INSTITUTO INS TITUTO TECNO TECNOL L GIC GICO O DE VILLA VILLAHERM HERMOSA OSA
Ingeniería Civil
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA Departamento: CIENCIAS DE LA TIERRA
Asignatura: MODELOS DE OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS
Unidad: 2
Tema: EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Autores:
Alejo Félix Samuel Arturo Carrillo Alfonso Eduardo Ramón Hernández Nallely
Catedrático: Ing. Juan Solís Hernández
VILLAHERMOSA, TABASCO, 07 DE MARZO DEL 2017
ÍNDICE INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN ................................. .................................................. .................................. ................................. ................................. ................................. ..............................1 ..............1 2.- EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL ............................ ............................................. .................................. ................................. ........................2 ........2 2.1.- EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE P.L. ................................... ................................................... ................................. ......................2 .....2 2.1.1.- Formulación de problemas de programación lineal ................................ ................................................ ........................5 ........5 2.1.2.- Construcción del modelo matemático ma temático ................................ ................................................. .................................. ...........................6 ..........6
2.2.- EL MODELO PRIMAL Y EL DUAL ............................ ............................................ ................................. .................................. ...............................11 ..............11 2.2.1.- Importancia de la dualidad en programación lineal ....................... ........................................ ...............................13 ..............13 2.2.2.- Resolución del problema dual, pasó a paso ............................................ ............................................................ ......................13 ......13 2.2.3.- Teoremas de la dualidad en programación progr amación lineal......................................... lineal.......................................................... .................18 18
2.3.- LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA ...................... ....................................... ................................. ................................. ...............................19 ..............19
2.4.- EL MÉTODO SIMPLEX TABULAR ................................ ................................................. .................................. .................................. .........................23 ........23
2.5.- ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD: CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES OBJETIVOS, OBJETIVOS, CAMBIOS EN LOS RECURSOS Y CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES TECNOLÓGICOS TECNOLÓGICOS ............................... ................................................ ....................27 ...27 2.6.- USO DE SOFTWARE .............................................. .............................................................. ................................. .................................. ...............................43 ..............43 2.6.1.- Microsoft Excel........................................... ............................................................ .................................. ................................. ................................. .................43 43 2.6.2.- Geogebra................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ................................. ...................44 ...44 2.6.3.- LINDO ................................ ................................................. ................................. ................................. .................................. ................................. .........................44 .........44 2.6.4.- PHPSimplex ............................... ................................................ .................................. ................................. ................................. .................................. .................45 45 2.6.5.- Microsoft Project............................. Project.............................................. ................................. ................................. ................................. ............................45 ............45
2.7. PROGRAMACIÓN CON GRÁFICA DE GANTT DE LAS ACTIVIDADES DE UN PROYECTO ...............46 ...............46 CONCLUSIÓN............................... ................................................ .................................. .................................. .................................. ................................. ................................. .................47 47 GLOSARIO DE TÉRMINOS ................................. ................................................. ................................. ................................. ................................. ...............................48 ..............48 ANEXOS ............................... ................................................ .................................. ................................. ................................. .................................. .................................. .........................50 ........50 BIBLIOGRAFÍA.................................. .................................................. ................................. ................................. ................................. .................................. ...............................56 ..............56
INTRODUCCIÓN En esta investigación aprenderemos que la programación pro gramación lineal es una herramienta determinística; es decir, todos los parámetros del modelo se suponen conocidos con certeza. Sin embargo, en la vida real, es raro encontrar un problema donde prevalezca una verdadera certeza respecto a los datos. La técnica de la PL compensa esta "deficiencia", proporcionando análisis sistemáticos post óptimos y paramétricos que permiten al tomador de decisiones probar la sensibilidad de la solución óptima "estática" respecto a cambios discretos o continuos de los parámetros del modelo. Básicamente, estas técnicas adicionales agregan una dimensión dinámica a la propiedad de solución óptima de la PL. Veremos algunos ejemplos de aplicaciones clásicas tales como: 1. Un fabricante desea elaborar un programa de producción y una política de inventarios que satisfaga la demanda de ventas v entas en periodos futuros. De forma ideal, el programa y la política permitirán a la compañía satisfacer la demanda y al mismo tiempo minimizar los costos totales de producción e inv entarios. 2. Un analista financiero debe seleccionar una cartera de inversiones a partir de diversas alternativas de inversión en bonos y acciones. Al analista le gustaría establecer la cartera que maximice el rendimiento sobre la inversión. Con ellos podremos definir dos características de la programación lineal: la una primera característica de todos los problemas de programación lineal: el objetivo es la maximización o minimización de alguna cantidad. Una segunda característica de los problemas de PL es que existen limitaciones o restricciones que obstruyen la medida en que puede tratarse de alcanzar el objetivo
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2.- EL MODELO DE PROGRAMACIÓN PROGRAMACIÓN LINEAL La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc. La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales . Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programación lineal, los que tienen solamente 2 variables, problemas bidimensionales. Para sistemas de más variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven por el llamado método Simplex (ideado por G.B.Danzig, matemático estadounidense en 1951). Recientemente (1984) el matemático indio establecido en Estados Unidos, Narenda Karmarkar, ha encontrado un algoritmo, llamado algoritmo de Karmarkar, que es más rápido r ápido que el método simplex en ciertos casos. Los problemas de este tipo, en el que intervienen gran número de variables, se implementan en ordenadores. (Anexo 1)
2.1.- EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE P.L. La programación lineal es un método de resolución de problemas que se ha desarrollado para ayudar a los administradores a tomar decisiones. Su éxito se mide por la difusión de su uso como una herramienta de la toma de decisiones. Desde su aparición a finales de la década de 1940, la programación lineal (PL) ha demostrado que es una de las herramientas más efectivas de la investigación de operaciones. Su éxito se debe a su flexibilidad para describir un gran número de situaciones reales en las siguientes áreas: militar, industrial, agrícola, de transporte, de la
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economía, de sistemas de salud, e incluso en e n las ciencias sociales y de la conducta. Un factor, importante en el amplio uso de esta técnica es la disponibilidad de programas de computadora muy eficientes para resolver problemas extensos de PL. Algunos ejemplos de aplicaciones clásicas de la programación lineal son: Un fabricante desea elaborar un programa de producción y una política de inventarios que satisfaga la demanda de ventas en periodos futuros. De forma ideal, el programa y la política permitirán a la compañía satisfacer la demanda y al mismo tiempo minimizar los costos totales de producción e inventarios. Un
analista
financiero
debe
seleccionar una cartera de inversiones a partir
de
diversas
alternativas
de
inversión en bonos y acciones. Al analista le gustaría establecer la cartera que maximice el rendimiento sobre la inversión.
Un gerente de mercadotecnia desea determinar la mejor forma de asignar un presupuesto de publicidad medios
fijo tales
entre como
diversos radio,
televisión, periódicos y revistas. Al gerente le gustaría determinar determinar la combinación de medios que maximiza la eficacia de la publicidad.
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Estos son algunos ejemplos de casos en los cuales se ha utilizado con éxito la PL. De la observación de estos ejemplos, podemos definir una primera característica de todos los problemas de programación lineal: el objetivo es la maximización o minimización de alguna cantidad. Por otra parte hay una segunda característica de los problemas de PL, es que existen limitaciones o restricciones que obstruyen la medida en que puede tratarse de alcanzar el objetivo. (Anexo 2) Por otro lado, la utilidad de la PL va más allá de sus aplicaciones inmediatas. De hecho, la PL debería considerarse como una base importante del desarrollo de otras técnicas de la Investigación de Operaciones (IO), incluidas la programación entera, la estocástica, la de flujo de redes y la cuadrática. Desde este punto de vista, el conocimiento de la PL es fundamental para implementar estas técnicas adicionales. La programación lineal es una herramienta determinística; es decir, todos los parámetros del modelo se suponen conocidos con certeza. Sin embargo, en la vida real, es raro encontrar un problema donde prevalezca una verdadera certeza respecto a los datos. La técnica de la PL compensa esta "deficiencia", proporcionando análisis sistemáticos post óptimos y paramétricos que permiten al tomador de decisiones probar la sensibilidad de la solución óptima "estática" respecto a cambios discretos o continuos de los parámetros del modelo. Básicamente, estas técnicas adicionales agregan una dimensión dinámica a la propiedad de solución óptima de la PL. A continuación se presentan los fundamentos del análisis de sensibilidad y se muestra su aplicación por medio de ejemplos prácticos.
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2.1.1.- Formulación de problemas de programación lineal Se presenta un modelo sencillo de PL con dos variables de decisión y se muestra cómo construir el modelo. Si bien es cierto que una solución gráfica bidimensional casi no tiene utilidad en situaciones reales (las cuales normalmente comprenden cientos o miles de variables y restricciones), el procedimiento ofrece una excelente oportunidad para entender cómo funciona el proceso de optimización en la PL. También permite presentar el concepto de análisis de sensibilidad de manera lógica y comprensible. Un ejemplo sería un negocio de pinturas de casa. La compañía PintaRápido es una pequeña fábrica de pinturas para interiores y exteriores de casas para su distribución al mayoreo. Se utilizan dos materiales básicos, A y B, para producir las pinturas. La disponibilidad máxima de A es de 6 toneladas diarias; la de B es de 8 toneladas por día. La necesidad diaria de materia prima por tonelada de pintura para interiores y exteriores se resumen en la tabla que sigue: Toneladas de materia prima por tonelada de pintura
Materia prima A Materia prima B
Exterior 1 2
Interior 2 1
Disponibilidad Máxima (toneladas) 6 8
Un estudio del mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la de pintura para exteriores en más de una tonelada. Asimismo, el estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a dos toneladas diarias.
El precio al mayoreo por tonelada es $3 000 para la pintura de exteriores y $2 000 para la pintura de interiores.
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¿Cuánta pintura para exteriores e interiores debe producir la compañía todos los días para maximizar el ingreso bruto?
2.1.2.- Construcción del modelo matemático La construcción de un m od elo m atem átic o se puede iniciar respondiendo a las tres preguntas siguientes: ¿Qué busca determinar el modelo? Dicho de otra manera, ¿cuáles son las variables (incógnitas) del problema? ¿Qué restricciones deben imponerse a las variables a fin de satisfacer las limitaciones del sistema representado por el modelo? ¿Cuál es el objetivo (meta) que necesita alcanzarse para determinar la solución óptima (mejor) de entre todos los valores factibles de las variables? Una manera efectiva de responder a estas preguntas consiste en hacer un r e s u m e n del problema. verbal En términos del ejemplo de compañía PintaRápido, la situación se describe en la forma siguiente. La compañía busca determinar las cantidades (en toneladas) de pintura para exteriores e interiores que se producirán, para maximizar (incrementar hasta donde sea factible) el ingreso bruto total (en miles de unidades monetarias), a la vez que se satisfacen las restricciones de la demanda y el uso de materias primas. El punto capital del modelo matemático consiste en identificar, en primer término, las variables y después expresar el objetivo y las restricciones como funciones matemáticas de las variables. Por lo tanto, en relación con el problema compañía PintaRápido, tenemos lo siguiente.
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2.1.2.1.- Variables Como deseamos determinar las cantidades de pintura para exteriores e interiores que se producirán, las variables del modelo se pueden definir como (Anexo 3) XE = toneladas de pintura para exteriores producidas diariamente X1 = toneladas de pintura para interiores producidas diariamente Función objetivo. Como cada tonelada de pintura para exteriores se vende en $ 3000, el ingreso bruto obtenido de la venta de X E toneladas es 3XE miles de unidades monetarias. En forma an álo g a , el ingreso bruto que se obtiene de vender X 1 toneladas de pintura para interiores es 2X1 miles de unidades monetarias. Bajo la suposición de que las ventas de pintura para exteriores e interiores son independientes, el ingreso bruto total se convierte en la suma de los dos ingresos. Si hacemos que z represente el ingreso bruto total (en miles de unidades monetarias), la función objetivo se puede escribir matemáticamente como = +
La meta consiste en determinar los valores (factibles) de X E y X 1 que maximizarán este criterio.
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2.1.2.2.- Restricciones. El problema de la compañía PintaRápido impone restricciones sobre el uso de materias primas y sobre la demanda. La restricción del uso de materias primas se puede expresar en forma verbal como (Anexo 4)
Esto nos lleva a las restricciones que siguen (véanse los datos del problema): XE + 2X1 < 6 (materia prima A) 2XE+ X1 < 8 (materia prima B)
Las restricciones sobre la demanda se expresan en forma verbal como
Matemáticamente, éstos se expresan, respectivamente, como
Una restricción implícita (o "sobreentendida") es que la cantidad que se produce de cada pintura no puede ser negativa (menor que cero).
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Para evitar obtener una solución como ésta, imponemos las restricciones de no negatividad, que normalmente se escriben como
Los valores de las variables XE y X1, se dice, constituyen una solución factible si satisfacen todas las restricciones del modelo, incluyendo las restricciones de no negatividad. El modelo matemático completo para el problema de la Compañía Pinta Rápido se puede resumir ahora de la manera siguiente:
Determínense las toneladas de pinturas para interiores y exteriores que se producirán para
Maximizar sujeto a
(Función objetivo)
Z =3XE+2X1 XE+2X1<6 2XE+ X1<8 -XE+ X1<1 X1<2 XE > 0, X 1 > 0
(Restricciones)
¿Qué hace que este modelo sea un programa lineal?
Técnicamente, es un programa lineal porque todas sus funciones (restricciones y objetivo) son lineales. La linealidad implica que se cumplen las propiedades de proporcionalidad y de aditividad.
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La proporcionalidad requiere que la contribución de cada variable (por ejemplo, xE y xI) en la función objetivo o su uso de los recursos sea directamente proporcional al nivel (valor) de la variable. Por ejemplo, si compañía PintaRápido ofrece vender la tonelada de pintura para exteriores en $2 500 cuando las ventas sean superiores a dos toneladas, no será cierto que cada tonelada de pintura producirá un ingreso de $3 000; puesto que generará $3 000 por tonelada para X E < 2 toneladas y $2 500 por tonelada X E>2 toneladas. Esta situación no satisface la condición de proporcionalidad directa con X E.
La aditividad requiere que la función objetivo sea la suma directa de las contribuciones individuales de las variables. En forma análoga, el primer miembro o lado izquierdo de cada restricción debe ser la suma de los usos individuales de cada variable del recurso correspondiente. Por ejemplo, en el caso de dos productos en competencia, donde un aumento en el nivel de ventas de un producto afecta contrariamente al del otro, los dos productos no satisfacen la propiedad de aditividad.
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2.2.- EL MODELO PRIMAL Y EL DUAL A todo programa lineal, llamado problema primal, le corresponde otro que se denomina problema dual. Las relaciones existentes entre ambos problemas son las siguientes (Anexo 5): El dual tiene tantas variables como restricciones existen en el primal. El dual tiene tantas restricciones como variables tiene el primal. Los coeficientes de la función objetivo del primal son los términos independientes de las restricciones del dual. Los términos independientes de las restricciones del primal son los coeficientes en la función objetivo del dual. La matriz de coeficientes de las restricciones del dual es igual a la traspuesta de la del primal. Se pueden distinguir dos tipos de problemas duales: Duales simétricos: para primales que incluyan restricciones de desigualdad. Duales asimétricos: para primales en forma estándar, es decir, con restricciones de igualdad. Otro tipo de relaciones entre los problemas primal y dual son las siguientes: Para duales simétricos el sentido de desigualdad de las restricciones del dual es inverso al de las del primal; mientras que para asimétricos, las restricciones del dual son de sentido menor o igual en caso de que el problema primal sean de minimización, y de mayor o igual en caso de maximización. Además, las variables del dual, variables duales, no están sujetas a la condición de no negatividad.
El problema dual de uno de minimización es de maximización y vicev ersa.
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El dual del programa dual es el primal. Se consideran problemas primales dado que tienen una relación directa con la necesidad del planteamiento, y sus resultados responden a la formulación del problema original; sin embargo cada vez que se plantea y resuelve un problema lineal, existe otro problema ínsitamente planteado y que puede ser resuelto, es el considerado problema dual, el cual tiene unas importantes relaciones y propiedades respecto al problema primal que pueden ser de gran beneficio para la toma de decisiones. Relaciones entre problemas primales y duales El número de variables que presenta el problema dual se ve determinado por el número de restricciones que presenta el problema primal. El número de restricciones que presenta el problema dual se ve determinado por el número de variables que presenta el problema primal. Los coeficientes de la función objetivo en el problema dual corresponden a los términos independientes de las restricciones (RHS), que se ubican del otro lado de las variables. Los términos independientes de las restricciones (RHS) en el problema dual corresponden a los coeficientes de la función objetivo en el problema primal. La matriz que determina los coeficientes técnicos de cada variable en cada restricción corresponde a la transpuesta de la matriz de coeficientes técnicos del problema primal. El sentido de las igualdades y desigualdades se comporta s egún la tabla de TUCKER , presentada a continuación.
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2.2.1.- Importancia de la dualidad en programación lineal La resolución de los problemas duales respecto a los primales se justifica dada la facilidad que se presenta dados problemas donde el número de restricciones supere al número de variables. Además de tener gran aplicación en el análisis económico del problema. Otra de las ventajas que presenta es que dado a que el número de restricciones y variables entre problema dual y primal es inverso, se pueden resolver gráficamente problemas que presenten dos restricciones sin importar el número de variables.
2.2.2.- Resolución del problema dual, pasó a paso El siguiente problema a resolver es hasta el momento el modelo más completo de los resueltos en los módulos anteriores, dado que trataremos de resolver un problema primal y su dual mediante Método Simplex utilizando variables de holgura, exceso y artificiales; además resolveremos el primal utilizando Simplex maximizando y el dual minimizando. Dado el siguiente modelo primal: ZMAX = 40X1 + 18X2 16X1 + 2X2 ≤ 700 6X1 + 3X1 ≤ 612 X1 ≤ 80 X2 <120 X1 = 28,75 X2 = 120 S1 = 79.5 S3 = 51.25 13
Función objetivo = 3310 Procedemos a resolver el problema dual Definimos el problema dual
Este paso se lleva a cabo teniendo en cuenta las relaciones que se expusieron en la definición de la dualidad. Ahora las variables en el dual las representaremos por "ʎ" y corresponden a cada restricción. El modelo queda de la siguiente forma: ZMIN = 700 ʎ1 + 612ʎ2 + 80ʎ3 + 120ʎ4 16ʎ1 + 6ʎ2 + ʎ3 ≥ 40 2ʎ1 + 3ʎ2 + ʎ4 ≥ 18 ʎ1; ʎ4 ≥ 0
Ahora preparamos el modelo para ser resuelto mediante Método Simplex, utilizaremos el procedimiento en el cual la función objetivo es multiplicada por (-1) y resolveremos el modelo mediante maximización. ZMIN = 700 ʎ1 + 612ʎ2 + 80ʎ3 + 120ʎ4 Lo que es igual (-Z) MAX = -700ʎ1 - 612ʎ2 - 80ʎ3 - 120ʎ4
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Ahora dado que los signos de las inecuaciones son mayor o igual procedemos a volverlas ecuaciones agregando variables de exceso, recordemos que en este caso las variables de exceso se restan del lado izquierdo de la igualdad, por ende.
16ʎ1 + 6ʎ2 + ʎ3 + 0ʎ4 - 1S1 + 0S2 = 40 21ʎ1 + 3ʎ2 + 0ʎ3 + ʎ4 + 0S1- 1S2 = 18 ʎ1; ʎ4 ≥ 0
Recordemos que el Método Simplex solo es posible por la formación de la matriz identidad, sin embargo en una matriz identidad no pueden ir coeficientes negativos, el cual es el caso, por ende recurriremos al artificio denominado "Método de la M grande" utilizando variables artificiales, las cuales siempre se suman. 16ʎ1 + 6ʎ2 + ʎ3 + 0ʎ4 - 1S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 ≥ 40 21ʎ1 + 3ʎ2 + 0ʎ3 + ʎ4 + 0S1 - 1S2 + 0A1 + 1A2 ≥ 18 ʎ1; ʎ4 ≥ 0
Ahora si observamos la matriz identidad formada por las variables artificiales, nuestra función objetivo es la siguiente (varía dada la incorporación de las nuevas variables). (-Z)MAX = -700ʎ1 - 612ʎ2 - 80ʎ3 - 120ʎ4 + 0S1 + 0S2 - MA1 - MA2 Recordemos que el coeficiente de las variables de holgura y exceso es 0, además que los coeficientes de las variables artificiales es M, donde M corresponde a un número grande poco atractivo cuyo signo en la función objetivo depende del criterio de la misma, dado que la función es maximizar el signo es ne gativo.
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Dado que utilizaremos el Método Simplex y no un software para la resolución del modelo es necesario que M adquiera valor, en este caso será "-10000" un número bastante grande en el problemas. Las iteraciones que utiliza el Método Simplex son las siguientes:
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Podemos observar que todos los Cj - Zj son menores o iguales a 0, por ende hemos llegado a la solución óptima del problema, sin embargo recordemos que la función objetivo fue alterada en su signo al principio, por ende se hace necesario regresarle su signo original a Zj y a la fila Cj - Zj.
(-Z)Max = -3310 * (-1) Zmax = 3310
Podemos cotejar con la función objetivo del modelo primal y encontraremos que hallamos el mismo resultado. Ahora se hace necesario interpretar los resultados de la tabla dual respecto al modelo primal, y esta interpretación se realiza siguiendo los siguientes principios.
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La interpretación del tabulado final del modelo dual es la siguiente:
2.2.3.- Teoremas de la dualidad en programación lineal Si el modelo primal o dual tiene solución óptima finita entonces su respectivo dual o primal tendrán solución óptima finita. Si el modelo primal o dual tiene solución óptima no acotada, entonces su respectivo dual o primal no tendrán solución, será un modelo infactible.
Si el modelo primal o dual no tiene solución entonces su respectivo dual o primal no tendrán solución. Sea "A" un modelo primal cuyo modelo dual es "B", el modelo dual de "B" es igual a "A", es decir "El modelo dual de un dual es un modelo primal".
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2.3.- LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA La solución gráfica del modelo de programación lineal (PL) de compañía PintaRápido. El modelo se puede resolver en forma gráfica porque sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible. No obstante, podremos deducir conclusiones generales del método gráfico que servirán como la base para el desarrollo del método de solución general. El primer paso del método gráfico consiste en graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfaga todas las restricciones en forma simultánea. La figura 2.3.1 representa el espacio de soluciones que se requiere. Las restricciones de no negatividad XE > 0 y XI > 0 confinan todos los valores factibles al primer cuadrante (que está definido por el espacio arriba de o sobre el eje xE y a la derecha de 0 sobre el eje xI). El espacio encerrado por las restricciones restantes se determina sustituyendo en primer término (<) por ( =) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta. Después se traza cada línea recta en el plano (xE, xI) y, la región en la cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad, lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada. Una manera fácil de determinar la dirección de la flecha es usar el origen (0,0) como punto de referencia. Si (0,0) satisface la desigualdad, la dirección factible debe incluir al origen; si no es así, debe estar en el lado opuesto. Por ejemplo, (0,0) satisface la desigualdad - XE + XI < 1, lo que significa que la desigualdad es factible en el semiespacio que incluye al origen. Aplicando este procedimiento a nuestro ejemplo, especificamos el espacio de soluciones ABCDEF mostrado en la figura 2-1. Para obtener la solución óptima (máxima) desplazamos la recta del ingreso "cuesta arriba" hasta el punto donde cualquier incremento adicional en el ingreso produciría una solución infactible. La figura 2.3.2 ilustra que la solución óptima ocurre en el punto C. Como C es la intersección de las rectas 1 y 2, los valores de xE y xI, se determinan al resolver las dos ecuaciones que siguen en forma simultánea:
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XE + 2XI = 6 2XE + XI= 8
2.3.1
2.3.2
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Cada punto contenido en la frontera del espacio de solución ABCDEF satisface todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo z=3XE +2XI; la figura 2.3.2 ilustra este resultado. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores crecientes (arbitrarios) a z=3XE+2XI, a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece el ingreso total (función objetivo). En la figura 2.3.2 se utilizó z = 6 y z = 9. Las dos ecuaciones producen XE=3 1/3, XI=1 1/3. Por lo tanto, la solución indica que la producción diaria debe ser de 3 1/3 toneladas de pintura para exteriores y de 1 1/3 toneladas de pintura para interiores. El ingreso asociado es: Z=3(3 1/3)+2 (1 1/3)=12 2/3 (miles de $) En la figura 2.3.3 se presenta la salida del modelo compañía PintaRápido, empleando el programa TORA. La primera parte proporciona un resumen de la solución (xE = 3.3333, xI = 1.3333 y z = 12.6667), así como la contribución de cada variable individual a la función objetivo. La segunda parte de la salida en la figura 23 en lista las restricciones y su tipo, junto con los valores asociados d e sus variables de holgura o de exceso. Una variable de holgura está asociada con la restricción (<) y representa la cantidad en que excede el segundo miembro de la restricción al primero. Una variable de exceso se identifica con una restricción (>) y representa el exceso del primer miembro sobre el segundo. En restricciones del tipo (<), por lo general el segundo miembro representa el límite de la disponibilidad de un recurso, en tanto que su primer miembro representa el uso de este limitado recurso, por las diferentes actividades (variables) del modelo. Desde este punto de vista, la variable de holgura representa la cantidad no utilizada del recurso. En general, las restricciones del tipo (>) establecen requisitos mínimos de especificación, en cuyo caso la variable de exceso representa la cantidad de
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exceso con la que satisface la especificación mínima. En el modelo de la compañía PintaRápido las dos primeras restricciones representan la disponibilidad de las materias primas A y B. Ambas restricciones muestran holguras nulas, es decir, que se han usado completamente. Las restricciones de la demanda 3 y 4 tienen holguras positivas, o sea, sus límites son mayores que los necesarios para la solución óptima. La figura 2.3.3 incluye dos columnas adicionales: "costo reducido" y "precio dual". La importancia de esta información se explicará en la próxima sección, después de presentar el tema del análisis de sensibilidad. La observación que acabamos de analizar es la idea principal para resolver programas lineales en general. En realidad, podemos ver que ya no nos tiene que preocupar el hecho de que el espacio de soluciones tenga un número infinito de ellas porque ahora podemos concentrar un número finito de puntos extremos.
2.3.3
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2.4.- EL MÉTODO SIMPLEX TABULAR to d o an al ítico de solución de problemas El Método Simplex es un m é
de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables. (Anexo 6) to d o it er at iv o que permite ir mejorando la solución en El Método Simplex es un m é
cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un v értice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución. Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables. Se define como un método matemático para la resolución de un problema d e forma iterativa, de manera que se pueda ir mejorando paso a paso, es decir, se inicia con una solución básica factible pero no óptima, y se genera soluciones básicas factibles cada vez mejores hasta encontrar la solución óptima, si ésta existe, la base de su lógica es mantener la factibilidad mientras busca el óptimo, es decir, se mejora que hasta que no sea posible mejorar más.
Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Como el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución. El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.
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Resolviendo
un
problema
por
medio
del
método
simplex
(ejemplo)
sea el siguiente problema: Maximizar Z=f(x,y)=3x+2y sujeto a las condiciones 2x1+x2<=4, x1+2x2<=5, x1>=0, y>=0 Paso 1) convertir las desigualdades en igualdades 2x1+x2+s1=4 x1+2x2+s2=5 Paso 2) Graficar las ecuaciones (condiciones)
Paso 3) Buscando las soluciones factibles y el máximo A= (0,0) B= (2,0) C= (5,0) D= (1,2) E= (0,4) F= (0,2.5)
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En seguida vemos que el valor máximo es el de 12 que corr esponde a E, pero E no es factible, por lo que necesitamos otro valor, checando el 10 que corr esponde al C vemos que tampoco es factible, siguiendo nuestra rutina toca el turno al 8 que corresponde al D esa solución si es factible, por lo 8 es el valor que estamos buscando, es decir, el máximo. Degeneración Al aplicar la condición de factibilidad del método simplex, se puede romper un empate en la razón mínima en forma arbitraria. Cuando se presenta un empate, al menos una variable básica será cero en la siguiente iteración y se dice que la nueva solución ha sido degenerada. Solución no factible Los modelos de programación lineal con restricciones inconsistentes no tienen solución factible. Estos casos nunca suceden si todas las restricciones son del tipo <= (suponiendo lados derechos no negativos), porque las holguras permiten una solución factible. Para otros tipos de restricciones se usan variables artificiales. Aunque esas variables artificiales se penalizan en la función objetivo para obligarlas a ser cero en el óptimo, eso solo puede suceder si el modelo tiene un espacio factible. En caso contrario, al menos una variable artificial será positiva en la iteración óptima. Desde el punto de vista práctico, un espacio no factible indica la posibilidad de que el modelo no está bien formulado
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Es un término financiero, muy utilizado en las empresas para tomar decisiones de inversión, que consiste en calcular los nuevos flujos de caja y el VAN (en un proyecto, en un negocio, etc.), al cambiar una variable (la inversión inicial, la duración, los ingresos, la tasa de crecimiento de los ingresos, los costes, etc.) De este modo teniendo los nuevos flujos de caja y el nuevo VAN podremos calcular y mejorar nuestras estimaciones sobre el proyecto que vamos a comenzar en el caso de que esas variables cambiasen o existiesen errores de apreciación por nuestra parte en los datos iniciales. Para hacer el análisis de sensibilidad tenemos que comparar el VAN antiguo con el VAN nuevo y nos dará un valor que al multiplicarlo por cien nos da el porcentaje de cambio. La fórmula a utilizar es la siguiente:
.
Donde VANn es el nuevo VAN obtenido y VANe es el VAN que teníamos antes de realizar el cambio en la variable.
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2.5.- ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD: CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES OBJETIVOS, CAMBIOS EN LOS RECURSOS Y CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES TECNOLÓGICOS El Análisis de Sensibilidad se relaciona con la cuantificación de los efectos en la solución óptima de cambios en los parámetros del modelo matemático. Cuando escribimos un modelo, damos por aceptado que los valores de los parámetros se conocen con certidumbre; pero en la realidad no siempre se cumple que los valores sean verídicos, ya que por ejemplo las variaciones en los costos de los materiales, en la mano de obra o en el precio de un producto, ocasionan cambios en los coeficientes de la función objetivo. Así mismo las demoras en los envíos de los proveedores, las huelgas, los deterioros no previstos y otros factores imponderables generarán cambios en la disponibilidad de los recursos.
Los cambios en el modelo matemático, que pueden cuantificarse a veces sin necesidad de volver a resolver el modelo, se relacionan con: Cambios en los coeficientes de las variables de decisión en la función objetivo (Ganancias por unidad de variable de decisión) Cambios en los lados derechos de las restricciones que definen el modelo. (Cantidad de recursos disponibles) Los efectos de cambios en los coeficientes dentro de la matriz A son muy difíciles de cuantificar, y por tanto en estos casos se aconseja correr de nuevo el modelo con los cambios. En primera instancia veremos cuando solo un coeficiente cambia; después veremos cuando varios coeficientes cambian simultáneamente. El análisis de la sensibilidad es una técnica que, aplicada a la valoración de inversiones, permite el estudio de la posible variación de los elementos que determinan una inversión de forma que, en función de alguno de los criterios de valoración, se cumpla que la inversión es efectuable o es preferible a otra. Por ejemplo, se puede analizar cuál es la cuantía mínima de uno de los flujos de caja para que la inversión sea efectuable según el Valor Actualizado Neto (VAN), o cuál es valor máximo que puede tener el desembolso inicial para que una inversión sea
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preferible a otra según la Tasa Interna de Retorno o Rentabilidad (TIR). El análisis de sensibilidad se considera como una primera aproximación al estudio de inversiones con riesgo, ya que permite identificar aquellos elementos que son más sensibles ante una variación. Puede aplicarse a la valoración de inversiones con dos objetivos fundamentales: Para determinar la efectuabilidad de una inversión Para establecer un determinado orden de preferencia (jerarquización) entre varias inversiones En cualquiera de los dos casos es posible utilizarlo con cualquiera de los métodos de valoración de inversiones aunque, por su importancia, se analiza para el VAN y para la TIR.
EL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD PARA DETERMINAR LA EFECTUABILIDAD DE UNA INVERSIÓN
En este caso se trata de determinar la posible variación del desembolso inicial, de los flujos de caja y del tipo de descuento para que interese realizar la inversión. Este análisis se realiza según el VAN y según la T IR. Análisis de sensibilidad para determinar la efectuabilidad según el VAN La condición que tiene que cumplir una inversión para ser efectuable según el VAN es que sea mayor que cero. Por tanto, para determinar la variación o sensibilidad de alguno de los parámetros de la inversión tan solo es necesario despejar el parámetro analizado de la anterior inecuación.
Análisis de sensibilidad del desembolso inicial para determinar la efectuabilidad según el VAN
Para determinar el valor máximo del desembolso inicial hay que dejar “A” como
incógnita y despejarla de la inecuación anterior. Así se obtiene que el VAN será positivo, y por tanto la inversión efectuable, siempre que:
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El valor obtenido permite determinar cuál es máximo desembolso inicial que puede pagar la empresa para que la inversión sea interesante para la empresa. Además, si se dispone de un valor estimado del desembolso, la diferencia entre el valor obtenido y el estimado permite determinar si la empresa tiene mucho o poco margen de variación para mantener la decisión sobre la aceptación de la inversión.
Análisis de sensibilidad de los flujos de caja para determinar la efectuabilidad según el VAN
Al analizar la posible variación de alguno de los flujos de caja para que el VAN siga siendo positivo, se deja el flujo de caja a analizar (Qj) como incógnita y se despeja de la mencionada inecuación obteniendo: El valor obtenido es el mínimo flujo de caja que tiene que generar la inversión en el período “j” para que la inversión sea interesante para la empresa.
Si la empresa conoce el valor real del flujo de caja la diferencia con el obtenido permite determinar si la empresa tiene mucho o poco margen de variación para mantener la decisión sobre la aceptación de la inversión.
Análisis de sensibilidad del tipo de descuento para determinar la efectuabilidad según el VAN
En este caso se trata de determinar cuál es el valor máximo del tipo de descuento (k) para que la inversión sea efectuable según el VAN, que se obtiene despejando el tipo de descuento de la inecuación señalada anteriormente. Este valor coincide con el de la TIR, por lo que el valor máximo del tipo de descuento para que la inversión sea efectuable según el VAN es justo la TIR de la inversión (K < TIR).
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Análisis de sensibilidad para determinar la efectuabilidad según la TIR La condición que tiene que cumplir una inversión para ser efectuable según la TIR es que ésta sea mayor que la rentabilidad exigida para aceptar una inversión (TIR>k). Para determinar la variación o sensibilidad de alguno de los parámetros de la inversión hay que despejar el parámetro analizado de la expresión de la TIR teniendo en cuenta:
Que esta expresión debe ser mayor que cero
Que se utiliza “K” como tipo de descuento
Como puede observarse el resultado es similar al obtenido según el VAN.
análisis de sensibilidad del desembolso inicial para determinar la efectuabilidad según la TIR
El valor máximo del desembolso inicial para que la inversión sea efectuable según la TIR se obtiene despejando el citado parámetro de la inecuación anterior: El valor obtenido y la interpretación es similar a la lograda co n el VAN.
Análisis de sensibilidad de los flujos de caja para determinar la efectuabilidad según la TIR
Al analizar la posible variación de alguno de los flujos de caja para que, según la TIR, la inversión sea efectuable, se fija el flujo de caja a analizar (Qj) como incógnita y se despeja de la mencionada inecuación: De nuevo, tanto el valor obtenido como la interpretación son s imilares a las logradas con el VAN.
Análisis de sensibilidad del tipo de descuento para determinar la efectuabilidad según la TIR
La condición que debe cumplir la TIR de una inversión para que sea considerada efectuable es que su valor sea superior al de “K”, por lo que el tipo de descuento
máximo del citado tipo de descuento coincide con la TIR. 30
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD PARA DETERMINAR LA JERARQUIZACIÓN ENTRE VARIAS INVERSIONES
Cuando se dispone de un conjunto de alternativas de inversión la empresa debe realizar un proceso para establecer la preferencia entre unas y otras. Este proceso, denominado jerarquización, determina la inversión que realizará la empresa, en caso de sólo poder elegir una, o el orden en el que realizará varias, si dispone de recursos suficientes. La aplicación del análisis de sensibilidad en este contexto permite medir las posibles variaciones de los parámetros de la inversión para que se mantenga el orden de preferencia establecido. Al igual que en el caso de la efectuabilidad se analiza tanto para el VAN como para la TIR. Análisis de sensibilidad para determinar la jerarquización según el VAN Según el VAN son mejores aquellas inversiones que tienen un VAN superior. Por tanto, si se dispone de varias alternativas jerarquizadas según el VAN (de mayor a menor valor), puede interesar analizar si esa ordenación es afectada por la variación de alguna de las magnitudes que intervienen en el cálculo del VAN de cada proyecto. En este caso, se analizan los elementos de una inversión “X” de manera que ésta sea preferible a otra inversión “Y” cuyo VAN es VANy. Por tanto, la
condición que tiene que cumplirse (VANx > VANY) es la siguiente: En caso de querer analizar los parámetros de la inversión “X” para que no fuese preferible a la inversión “Y” en la expresión anterior tan sólo habría que sustituir el signo mayor por “menor”, ya que la condición a cumplir sería VANx
Análisis de sensibilidad del desembolso inicial en la jerarquización según el VAN
Para analizar la variación del desembolso inicial “A”, se despeja el mismo de la
inecuación anterior, obteniendo: Por tanto, el valor obtenido es el máximo que puede tener el desembolso de la inversión “X” para que ésta sea preferible a la inversión “Y” según el VAN.
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Análisis de sensibilidad de los flujos de caja en la jerarquización según el VAN
En este caso, el procedimiento es similar, pero despejando el flujo de caja a analizar: Mostrar/Ocultar El valor obtenido es el mínimo que pu ede tener el flujo de caja del período “j” de la inversión “X” para que ésta sea preferible a la inversión “Y” según el VAN.
Análisis de sensibilidad del tipo de descuento en la jerarquización según el VAN
Se trata de determinar si modificando el tipo de descuento aplicado a varias inversiones, se produce algún cambio en la jerarquización de las mismas. Para realizar este análisis es fundamental conocer si el VAN de las inversiones analizadas se corta en algún punto ( véase “Intersección de Fisher”).
Si no se produce ese punto de corte, las modificaciones de “k” no afectan a la jerarquización,
ya
que
como
puede
verse
en
el
gráfico
adjunto,
independientemente del valor de “k” siempre el VAN de “X” es superior al VAN de “Y”.
Si el VAN de ambas inversiones coincide (es decir si existe alguna intersección de Fisher), según el tipo de descuento utilizado el VAN de la inversión “X” es superior o inferior al de “Y”. Así, en el gráfico adjunto se observa que si se utiliza un tipo de descuento “k1” inferior a “rf”, el VAN de “Y” es superior al de “X” (VANy1>VANx1). Sin embargo, si el tipo utilizado “k2” es superior a “rf” ocurre lo contrario (VANx2>VANy2). En definitiva, la inversión “X” será preferible a la inversión “Y” según el VAN siempre que el tipo de descuento u tilizado sea superior a “rf”.
Mostrar/Ocultar Análisis de sensibilidad para determinar la jerarquización según la TIR La TIR establece la preferencia de las inversiones que tienen una T IR más elevada. En este caso el análisis de sensibilidad determina la posible variación de los 32
parámetros de una inversión para que se mantenga el orden de preferencia establecido. Si se analizan los elementos de una inversión “X” de manera que ésta sea preferible a otra inversión “Y”, es necesario que se cumpla que la TIR de “X” (TIRx) sea superior a la TIR de “Y” (TIRy). Para realizar este análisis se utiliza un
procedimiento similar al del VAN con dos diferencias:
En lugar del VAN de la inversión a comparar (VANy) se utiliza el valor cero.
Se emplea como tipo de descuento la TIR de la inversión a comparar (TIRy).
En caso de querer analizar los parámetros de la inversión “X” para que no fuese preferible a la inversión “Y”, en la expresión anterior tan sólo habría que sustituir el signo mayor por “menor”, ya que la condición a cumplir sería TIRx
Análisis de sensibilidad del desembolso inicial en la jerarquización según la TIR
Para analizar la variación del desembolso inicial “A”, se despeja el mismo de la
inecuación anterior, obteniendo: Por tanto, el valor obtenido es el máximo que puede tener el desembolso de la inversión “X” para que ésta sea preferible a la inversión “Y” según la TIR.
Análisis de sensibilidad de los flujos de caja en la jerarquización según la TIR
En este caso, el procedimiento es similar, pero despejando el flujo de caja a analizar: El valor obtenido es el mínimo que puede tener el flujo de caja del período “j” de la inversión “X” para que ésta sea preferible a la inversión “Y” según la TIR.
Análisis de sensibilidad del tipo de descuento en la jerarquización según la TIR
En este caso, la jerarquización de las inversiones según la TIR no depende del tipo de descuento, por lo que la preferencia, aplicando el citado método de valoración, no se modifica por el tipo “k” utilizado.
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Ejemplo. Una inversión con un desembolso inicial de 150 miles de euros, genera unos flujos de caja anuales (también en miles de euros) de 100 en el primer año y de 190 en el segundo. Si el tipo de descuento utilizado para valorar la inversión es del 5%, determinar: a) El flujo de caja máximo para aceptar la inversión según el VAN y según la TIR, así como el margen de variación del citado parámetro: Según el VAN para que la inversión sea efectuable, el máximo valor que estaría dispuesto a pagar el inversor es: Por tanto, par a que la inversión sea efectuable “A” tiene que ser inferior 176,87 miles de euros. Como el desembolso inicial es de 150, el margen de variación para que la inversión sea efectuable es de 26,87 miles de euros. Si se realiza el análisis según la TIR el resultado es el mismo. b) El inversor quiere determinar el valor mínimo del primer flujo de caja para que la inversión sea efectuable, según VAN y TIR, y si hay mucho margen de variación con respecto al estimado. Para ello se despeja Q1 de la siguiente expresión: Para que interese realizar la inversión el flujo neto de caja del año 1 debe tomar como mínimo un valor de 71,78 miles de euros. Teniendo en cuenta que valor estimado es de 100, el margen de variación es de 28,22 miles de euros (100 – 71,78). Al igual que en el caso anterior, el análisis realizado según la TIR no ofrece diferencias. c) Cual es el valor mínimo del segundo flujo de caja para qu e la inversión analizada sea preferible a otra cuyo VAN es de 20 mil euros. En este caso la condición que debe cumplir el VAN de la inversión analizada es que sea superior a 20. Despejando Q2 se obtiene el valor buscado: Por tanto, Q2 tiene que ser mayor que 92,18 miles de euros para que la inversión analizada sea preferible al proyecto alternativo.
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d) Determinar el valor máximo que debe tener el segundo flujo de caja para que la inversión analizada no sea preferible a otra alternativa con una TIR del 12%. Para responder a esta cuestión se despeja Q2 de la expresión anterior en la que se han producido los siguientes cambios: - En lugar del VAN de la inversión alternativa se utiliza el valor cero. - Al querer que la inversión analizada no sea preferible se hace que sea “menor” en lugar de “mayor”.
- Se emplea la TIR de la inversión alternativa (12%) como tipo de descuento. Sólo si Q2 es menor de 87,64 la inversión analizada no es preferible a la alternativa. En este caso el margen de variación es de 12,26 miles de euros (100-87,64). Análisis de sensibilidad En el momento de tomar decisiones sobre la herramienta financiera en la que debemos invertir nuestros ahorros, es necesario conocer algunos métodos para obtener el grado de riesgo que representa esa inversión. Existe una forma de análisis de uso frecuente en la administración financiera llamada Sensibilidad, que permite visualizar de forma inmediata las ventajas y desventajas económicas de un proyecto. Este método se puede aplicar también a inversiones que no sean productos de instituciones financieras, por lo que también es recomendable para los casos en que un familiar o amigo nos ofrezca invertir en algún negocio o proyecto que nos redituaría dividendos en el futuro. El análisis de sensibilidad de un proyecto de inversión es una de las herramientas más sencillas de aplicar y que nos puede proporcionar la información básica para tomar una decisión acorde al grado de riesgo que decidamos asumir. Análisis de Sensibilidad La base para aplicar este método es identificar los posibles escenarios del proyecto de inversión, los cuales se clasifican en los siguientes:
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Pesimista: Es el peor panorama de la inversión, es decir, es el resultado en caso del fracaso total del proyecto. Probable: Éste sería el resultado más probable que supondríamos en el análisis de la inversión, debe ser objetivo y basado en la mayor información posible. Optimista: Siempre existe la posibilidad de lograr más de lo que proyectamos, el escenario optimista normalmente es el que se presenta para motivar a los inversionistas a correr el riesgo. Así podremos darnos cuenta que en dos inversiones donde estaríamos dispuestos a invertir una misma cantidad, el grado de riesgo y las utilidades se pueden comportar de manera muy diferente, por lo que debe mos analizarlas por su nivel de incertidumbre, pero también por la posible ganancia que representan: Ejemplo: Inversión A Inversión B Inversión Inicial $ 100,000 $ 100,000 Posibles ganancias en el periodo de Inversión Resultado Posible Pesimista 2,500 0.00 Probable 50,000 50,000 Optimista 60,000 100,000 Resultados incluyendo la inversión: Pesimista (-97,500) (-100,000) Probable 150,000 150,000 Optimista 160,000 200,000 Los estimados de resultados se deben fijar por medio de la investigación de cada proyecto, es decir, si se trata de una sociedad de inversión podremos analizar el
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histórico de esa herramienta financiera en particular, en el caso de un proyecto de negocio, debemos conocer la proyección financiera del mismo y las bases en que determinaron dicha proyección. Como se puede observar en el ejemplo, el grado de mayor riesgo lo presenta el proyecto B, pero también la oportunidad de obtener la mayor utilidad. Normalmente así se comportan las inversiones, a mayor riesgo mayores utilidades posibles. Después de conocer el sistema de análisis de Sensibilidad de un proyecto, lo siguiente es que analices y tomes decisiones en base a tus expectativas de riesgo. Recomendamos asesoría de un profesional antes de invertir tu dinero, en conjunto podrán considerar éste y otros métodos para tomar la decisión que más se adapte a tus requerimientos. El análisis de sensibilidad o postoptimal para los modelos de Programación Lineal, tiene por objetivo identificar el impacto que resulta en los resultados del problema original luego de determinadas variaciones en los parámetros, variables o restricciones del modelo, sin que esto pase por resolver el problema nuevamente. Es decir, ya sea si resolvemos nuestro modelo gráficamente o utilizando el Método Simplex, lo que se busca es que estas variaciones o sensibilidad hagan uso de la solución y valor óptimo actual, sin tener la necesidad de resolver para cada variación un nuevo problema. En especial nos concentraremos en el análisis de sensibilidad o postoptimal que hace uso de la tabla final del Método Simplex. Cambios en los coeficientes tecnológicos
Unos de los puntos que hay que tener en cuenta cuando se va a a nalizar el cambio en los coeficientes tecnológicos, es si los cambios ocurren en las variables básicas o en las no básicas, ya que dependiendo de ello, se afecta o no la solución óptima que se tenga. Por ejemplo, si el cambio se realiza a una variable no básica, seguramente al calcular su nuevo costo de oportunidad puede resultar atractivo producir o no, ya que de obtenerse un costo de oportunidad positivo, el tablero que hasta ese momento era óptimo, deja de serlo y se obtendría a trav és del cambio en
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los coeficientes tecnológicos, una nueva solución. Los coeficientes tecnológicos forman parte de los vectores asociados a las diferentes variables, vectores Pi. Como la repercusión, según se trate de una variable básica o no básica, puede ser muy distinta, se estudiarán los dos casos por separado.
VARIACIÓN EN UN COEFICIENTE TECNOLÓGICO DE UNA VARIABLE BÁSICA
Los cambios en un vector básico afectan tanto a las condiciones e optimalidad, como a las de factibilidad, dado que el vector Pj pertenece a la matriz B, y por tanto, sus modificaciones pueden afectar sustancialmente al problema actual. Los cambios pueden ser múltiples, desde hacer que la matriz inicial B sea una matriz singular, y, por tanto, sin inversa, hasta que las modificaciones de ésta mantengan la factibilidad y la optimalidad dela solución actual. En el caso de que la matriz original B devenga de una matriz singular, ya no se tiene procedimiento para poder continuar y la alternativa en este caso es reiniciar el problema de su origen. En el caso de que la matriz B siga siendo regular, y por tanto, sea posible obtener B-1, pueden dárselos casos siguientes:
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Variación en un coeficiente tecnológico de una variable no básica
El cambio en un coeficiente a ij, afecta el vector PJ, y, por tanto, al correspondiente vector transformado en la tabla óptima, dado que Pj’ = B-1 * Pj. Los cambios afectan a los rendimientos indirectos de esta variable y por consiguiente a los rendimientos marginales, es decir, a la condición de optimalidad: Wj = cj (CB B-1 Pj) a. Si Wj es menor que cero, la solución actual seguirá siendo óptima. b. Si Wj es cero, quiere decir que la solución actual es óptima, pero ya no es única, sino que existe una solución alternativa a ésta. c. Si Wj es mayor a cero, la solución actual deja de ser óptima y se deberá seguir iterando hasta encontrar una nueva solución óptima. Otra forma de investigar el efecto de los cambios en los coeficientes de la función objetivo, es calcular el intervalo para el que cada coeficiente individual mantenga la solución óptima actual. Esto se hace reemplazando el CJ actual con CJ + DJ, donde DJ representa la cantidad (positiva o negativa) de cambio Cambios en la matriz A de coeficientes tecnológicos de restricciones en variables no básicas.
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Los cambios en A para variables básicas resultan en cálculos muy complicados, siendo mejor recalcular con el simplex. Para cambio de coeficientes variables no básicas, sólo interesa manejar los
de la matriz A de restricciones, en
de ellas, pues el resto queda igual. Se
procede así: 1ra. Etapa.Usando la fórmula de Z j - C j = CB B-1 A - C = YA - C se revisa si el coeficiente indicador Z j C j cambia de signo. Si no ocurre el cambio de signo en tal coeficiente no es necesario aplicar la 2ª. Etapa, ya que el cambio propuesto no afecta la optimalidad del problema. Cuando el coeficiente Z j - C j cambia de signo, se entiende que el cambio propuesto, sí provoca la pérdida de optimalidad de la solución que se está revisando y en tal caso se procede a la siguiente etapa. 2ª. Etapa.Se aplica utilizando la fórmula A* = B -1 A con la cual se calcula la nueva columna a*j. Se aplica el simplex hasta re optimizar.
Ejemplo 3-10. Cambio en la matriz A de coeficientes tecnológicos de restricciones (MINSENA1). Dado el modelo de PL siguiente y su correspondiente tabla simplex óptimo:
Figura. Modelo y tabla simplex óptima del ejemplo MINSENA1.
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Suponga que el coeficiente
13 =
-1 cambia por
13 =
2.
1ra. Etapa: indicador Z3 - C3 = Y 3 - c3 = (3, -1/2) (2, 1) T - 4 = 3/2 > 0
no óptima
También, con más labor de cálculo, se verifica este resultado usando las matrices: Z j-C j = YA - C =(3,-1/2) Z j - C j = (0, 0, 3/2) > 0
- (3, -1, 4) = (3, -1, 11/2) - (3, -1, 4)
ya no es óptima, así se procede con la:
2da. Etapa:
Cálculo de la columna *3 de la matriz A*: El resultado se verifica con todas las matrices, aunque con más labor de cálculo:
La tabla simplex dada con la solución óptima original, se arregla con los nuevos coeficientes Z3 - C3 y 3, procediendo a re optimizar:
Figura. Re optimización del ejemplo MINSENA1, debido al cambio en La nueva solución óptima es: Zo = 8; X 2 = 8, X 3 = 4, X1 = S1 = W1 = W2 = 0
Cambio en la matriz A de coeficientes tecnológicos de restricciones. Dado el modelo de PL siguiente y su correspondiente tabla simplex óptimo:
41
13.
Figura 3-29. Modelo y tabla simplex óptima del ejemplo MINSENA2. Suponga que el vector columna 1= (2, 6, 2) T de coeficientes en restricciones, cambia a (6, 6, -2 )T. Calcule la nueva solución óptima.
1 =
1ra. Etapa: Z1-C1 =Y 1 -C1 = (1/16, 0, -53/16) (6, 6, -2)T -5 = 2 > 0
no es óptima
2da. Etapa: Se procede al cálculo de la columna *1 de la matriz A*:
Ahora se sustituyen los valores Z1 - C1 = 2 y *1 = (0, 7, -1) T en la tabla simplex dada, procediendo al cambio de base, haciendo básica a X1 y no básica a H 2.
Figura. Re optimización del ejemplo MINSENA2, cambian coeficientes
1.
La nueva solución óptima es: Zo = -44.30, X1 = 3.214, X2 = 4.125, X3 = 5.089. 42
2.6.- USO DE SOFTWARE
Existen muchas herramientas y materiales didácticos disponibles para ser utilizadas en el tema de la programación lineal de Bachillerato de Ciencias Sociales. Sin pretender ser exhaustivos, vamos a repasar las características de algunos de ellos. El software a disposición de los institutos, profesores y alumnos, puede clasificarse de muchas maneras. Una clasificación útil es la que divide los programas disponibles en programas de propósito general y programas de propósito específico. Con la vista puesta en el aprendizaje de algún punto del currículo, podemos considerar como software de propósito específico aquel que está especialmente diseñado para ser utilizado en un único momento del itinerario curricular (por ejemplo, en el tema de la programación lineal); el software de propósito general sería aquel que puede ser utilizado dentro de los límites de una unidad didáctica, pero que puede ser reutilizado en el aprendizaje de otros temas. Por lo general, el software de propósito general requerirá, tanto para el alumno como para el profesor, un aprendizaje previo para interactuar con el programa, que es un coste adicional al que supone la interacción con la máquina, mientras que el de propósito específico, puesto que en general tendrá una funcionalidad restringida, requerirá un aprendizaje menor, o incluso ningún aprendizaje previo.
2.6.1.- Microsoft Excel Con esta distinción in mente, y con esta caracterización de cada uno de los tipos de software, podemos citar como software de propósito general la hoja de cálculo de Microsoft, Excel, que cuenta con
un
complemento
denominado
Solver, que permite calcular la
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solución al problema de programación lineal general (utilizando diversos algoritmos). La hoja de cálculo Excel, que tiene grandes ventajas para cubrir diferentes puntos del currículo de matemáticas en distintos niveles de la enseñanza, resulta algo alambicada cuando se quiere aplicar a la programación lineal de segundo de Bachillerato de Ciencias Sociales.
2.6.2.- Geogebra Al contrario que Excel, Geogebra es gratuito y está disponible en red, de modo que no es necesario instalarlo en los equipos antes de que se vaya a utilizar (esta última puede parecer una ventaja menor, pero hay que tener en cuenta lo comentado en el primer apartado de este trabajo sobre las razones que llevan a los profesores de secundaria a mostrarse reticentes al empleo en sus clases de las herramientas tecnológicas). En relación al tema de la programación lineal, puede emplearse para calcular las soluciones de un problema en dimensión n = 2, pero es necesaria cierta inversión de tiempo en aprender a manejar el programa. Permite cierto grado de andamiaje para calcular la solución de problemas concretos (en el sentido de que Geogebra realiza parte de los cálculos algebraicos necesarios para llegar a ella), pero no dispone de objetos específicos para programación lineal.
2.6.3.- LINDO LINDO es una aplicación para computadoras que se utiliza para resolver problemas de programación lineal, cuadrática y entera. Desde 1979 el programa LINDO ha sido una de las herramientas de optimización favoritas de las comunidades Educativas y Empresariales.
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LINDO Systems se ha dedicado a proveer poderosas e innovativas herramientas de optimización que también son flexibles y muy fáciles de usar. LINDO tiene una larga historia y es uno de los pioneros en crear poderosos programas de optimización.
2.6.4.- PHPSimplex PHPSimplex es una herramienta online para
resolver
problemas
de
programación lineal. Su uso es libre y gratuito. Para acceder a ella basta con pulsar sobre el icono que aparece a la izquierda, o sobre «PHPSimplex» en el menú superior. PHPSimplex es capaz de resolver problemas mediante el método Simplex, el método de las Dos Fases, y el método Gráfico, y no cuenta con limitaciones en el número de variables de decisión ni en las restricciones de los problemas.
2.6.5.- Microsoft Project Microsoft Project (o MSP) es un software de administración de proyectos diseñado, desarrollado y comercializado por Microsoft para asistir a administradores de proyectos en el desarrollo de planes, asignación de recursos a tareas, dar seguimiento al progreso, administrar presupuesto y analizar cargas de trabajo. El software Microsoft Office Project en todas sus versiones (la versión 2013 es la más reciente a febrero de 2013) es útil para la gestión de proyectos, aplicando procedimientos descritos en el PMBoK del Project Management Institute.
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2.7. PROGRAMACIÓN CON GRÁFICA DE GANTT DE LAS ACTIVIDADES DE UN PROYECTO
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CONCLUSIÓN Como ya estudiamos la programación lineal es un método de resolución de problemas que se ha desarrollado para ayudar a los administradores a tomar decisiones. Su éxito se mide por la difusión de su uso como una herramienta de la toma de decisiones. Desde su aparición a finales de la década de 1940, la programación lineal (PL) ha demostrado que es una de las herramientas más efectivas de la investigación de operaciones. Su éxito se de be a su flexibilidad para describir un gran número de situaciones reales en las siguientes áreas: militar, industrial, agrícola, de transporte, de la economía, de sistemas de salud, e incluso en las ciencias sociales y de la conducta. Un factor, importante en el amplio uso de esta técnica es la disponibilidad de programas de computadora muy eficientes para resolver problemas extensos de PL. Por otro lado, la utilidad de la PL va más allá de sus aplicaciones inmediatas. De hecho, la PL debería considerarse como una base importante del desarrollo de otras técnicas de la Investigación de Operaciones (IO), incluidas la programación entera, la estocástica, la de flujo de redes y la cuadrática. Desde este punto de vista, el conocimiento de la PL es fundamental para implementar estas técnicas adicionales.
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GLOSARIO DE TÉRMINOS A n álo g o
Se refiere al vínculo de semejanza que existe entre dos elementos diferentes. Para establecer una relación de analogía, es necesario realizar una comparación. Al hallarse puntos en común, similitudes o aproximaciones, se puede afirmar que dos objetos o entes son análogos. Ciencias soc iales
Agrupan a todas las disciplinas científicas cuyo objeto de estudio está vinculado a las actividades y el comportamiento de los seres humanos. Las ciencias sociales, por lo tanto, analizan las manifestaciones de la sociedad, tanto materiales como simbólicas. Factores impo nd erables
Son factores que se sabe que son importantes pero no que tan importante. Ingreso b ruto to tal
Es la cantidad total de dinero que recibe de alquileres, después de haber pagado los gastos de la propiedad. Mé to d o an al ítico
Es aquel método de investigación que consiste en la desmembración de un todo, descomponiéndolo en sus partes o elementos para observar las causas, la naturaleza y los efectos. Mé to d o it erat iv o
Es un método que progresivamente va calculando aproximaciones a la solución de un problema. En Matemáticas, en un método iterativo se repite un mismo proceso de mejora sobre una solución aproximada Mod elo m atemático
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Es uno de los tipos de modelos científicos que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables de las operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad. Restricciones
Cuando hablamos de las restricciones en un problema de programación lineal, nos referimos a todo aquello que limita la libertad de los valores que pueden tomar las variables de decisión. Resumen verbal
Un resumen es una exposición acotada y reducida del tratamiento de un tema determinado. En general, el término hace alusión a un compendio escrito de los puntos más importantes de un tema explayado con detenimiento y minuciosidad, aunque también puede hablarse un resumen oral. La tarea de resumir un tema suele aplicarse con asiduidad para hacer frente a las exigencias del estudio formal, en cualquiera de sus niveles . Tabla de Tuck er
Los problemas duales simétricos son los que se obtienen de un problema primal en forma canónica y normalizada, es decir, cuando llevan asociadas desigualdades de la forma mayor o igual en los problemas de minimización, y desigualdades menores o igual para los problemas de maximización. Variables
Se trata de algo que se caracteriza por ser inestable, inconstante ymudable. En otras palabras, una variable es un símbolo que permite identificar a un elemento no especificado dentro de un determinado grupo. Este conjunto suele ser definido como el conjunto universal de la variable (universo de la variable, en otras ocasiones), y cada pieza incluida en él constituye un valor de la variable
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ANEXOS Anexo 1
50
Anexo 2
Anexo 3
51
Anexo 4
52
Anexo 5
53
Anexo 6
54
55
