Calculo Mod 2

INSTITUCION EDUCATIVA LA DESPENSA Departamento de Matemáticas

CALCULO

Elaboró: Luis Ernesto Gómez Vargas Lic. en Matemáticas y Computación

2.013

Nombre: _______________________________________________

calculo 2 - 1

Ing. Luis E rnesto Gómez Vargas – Lic. En Matemáticas y Computación

UNIDAD III. RELACIONES Y FUNCIONES

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA INCLUSIÓN

RELACIONES RELACIÓN DE ORDEN

IGUALDAD PRODUCTO CARTESIANO

CORRESPONDENCIAS GRUPO OPERACIÓN BINARIA INTERNA

CONJUNTOS

ANILLO CUERPO

UNIÓN, INTERSECCIÓN

RELACIONES

FUNCIONES

FUNCIONES REALES ESPECIALES

ÁLGEBRA DE FUNCIONES

F. INYECTIVA FUNCIONES APLICACIONES

COMPLEMENTO

F. SOBREYECTIVA

CONJUNTO DE PARTES

F. BIYECTIVA

PRODUCTO CARTESIANO

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

ELEMENTOS DE UNA RELACIÓN

RELACIONES INVERSAS

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA

PROPIEDADES DE UNA RELACIÓN

FUNCIONES INVERSAS

FUNCIÓN: CONSTANTE, IDÉNTICA, LINEAL, VALOR ABSOLUTO, RACIONAL, POLINÓMICA, CUADRÁTICA, ESCALONADA

SUMA, DIFERENCIA, PRODUCTO, COCIENTE

I. E. La Despensa Departamento de Matemáticas – 2.013

calculo 2 - 2


PRODUCTO CARTESIANO UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO



Escribir las coordenadas de los 12 puntos que aparecen en el dibujo.



Si A es el conjunto cuyos elementos son 2, 3 y 4; y B es el conjunto cuyos elementos son 1, 2, 3 y 4; dibujar el diagrama de Venn de los conjuntos A y B y unir con flechas los elemento de los dos conjuntos de manera que queden representados los puntos de la figura de la izquierda.

ACTUALICÉMONOS Si A y B son dos conjuntos no vacíos, el producto cartesiano de A por B , denotado A x B , es el conjunto de todas las parejas ordenadas (x, y) , donde el primer elemento (x ) se toma de A y el segundo elemento (y ) se toma de B . En símbolos

A

x

B = {(x , y ) : x A

y

B }

Si A = {1, 2, 3} y B = {a, b}, entonces, de acuerdo con la anterior definición anterior A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} Cada elemento de este conjunto es una pareja. Por ejemplo: (2, a) A x B

Ejemplo:

ALGO PARA HACER 

Si M es el conjunto de los dígitos pares y P es el conjunto de los dígitos impares, establecer el producto cartesiano A x B y el producto cartesiano B x A .



Establecer el producto cartesiano P x Q entre los conjuntos P y Q si P es el conjunto de las vocales abiertas y Q es el conjunto de las vocales cerradas.



Encontrar el producto cartesiano Q x P para los mismos conjuntos del punto anterior.

Utilizando los mismos conjuntos de los ejercicios anteriores hallar:    

A x A. B x B . P x P . . Q x Q I. E. La Despensa Departamento de Matemáticas – 2.013

calculo 2 - 3


RELACIONES UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO 

¿cuántos salones hay en el colegio y cuantos estudiantes tiene cada uno?. (Averiguar y responer)



Se va a construir un corral rectangular para alimentar al ganado, con 100 metros de tela de alambre. (a) Si x representa el ancho del corral, expresar su área A en términos de x . (b) ¿Cual es el menor valor que puede tener el ancho del corral? (c) ¿Cual es el mayor valor que puede tener el ancho del corral?

ACTUALICÉMONOS Si A y B son dos conjuntos no vacíos, entonces una relación de A en B , es un subconjunto del producto cartesiano A x B . Entonces S es una relación de A en B si y solamente si S  A

x

B

Ejemplo: Si A = {1, 2, 3} y B = {a, b}, entonces: H = {(1, a), (1, b)} es una relación de A en B porque H  A x B Sea G una relación definida del conjunto A en el conjunto B . G  A

x

B

Dominio de G : ) es el conjunto formado por las primeras componentes D G = (G de cada par de G . (G )  A . Rango de G : (G ) es el conjunto formado por las segundas componentes de G . (G ) =  B .

RECUERDE

ALGO PARA HACER 

Representar mediante un diagrama sagital la relación H = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)} si A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c}



¿Cuál es el ominio de H ?



¿Cuál es el ango de H ?



Representar en un sistema de coordenadas XY la relación H = {(x , y ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}



Representar en un sistema de coordenadas XY la relación H = {( x , y ) : x 2 + y2 = 4}


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DOMINIO EN LAS RELACIONES REALES UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO Sean: U = {1, 2, 3, 4} y R : U  U dada por las siguientes reglas: a. R 1 = {(x , y ) : y = x } b. R 2 = {(x , y ) : x + y = 6} c. R 3 = {(x , y ) : y = x + 3} d. R 4 = {(x , y ) : y 2 = x } Elaborar un diagrama sagital de cada una y graficarlas en un plano cartesiano (cada una por separado). 



Determinar el dominio de las relaciones del ejercicio anterior.

ACTUALICÉMONOS Como hasta el momento se está trabajando únicamente con el conjunto de los números reales, se verán en esta sección , relaciones definidas en este conjunto. Se limitará el trabajo a relaciones reales cuya regla esté dada por una ECUACIÓN en las variables “x ” y “y ” (E(x , y ) = 0). Algunos ejemplos de estas relaciones son: R 1 =

{(x , y ) : y + 2x = 1} , y ) : x 2 + y 2 = 4} R 2 = {(x , y ) : 3x 2 + 4y 2 = 12} Elipse R 3 = {(x R 1 = {(x , y ) : 3x 2 – y = 5} , y ) : x 2 – 3y 2 = 3} R 1 = {(x

Línea Recta Circunferencia Parábola Hipérbola

Como una relación real tiene infinitas parejas ordenadas es evidente que emplear diagramas sagitales para su representación es poco práctico. Por esta razón es conveniente conocer un método práctico que permita saber cuales valores de “x ” tienen imagen. Este método se describe a continuación:

1. Se despeja la “y ” de la ecuación dada. 2. Al despejar “y ” se pueden considerar tres casos: DESPEJAR y DE LA ECUACIÓN DADA

ANALIZAR LOS POSIBLES CASOS

PRIMER CASO

La x hacer parte de un radical par (raíz cuadrada, cuarta, ...)

SEGUNDO CASO

La x hace parte del denomi nador de una fracción.

TERCER CASO

La x no hacer parte de un radical ni de un denominad


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PRIMER CASO Si al despejar y en una ecuación de la forma E(x , y ) = 0, se encuentra que la x hace parte de un RADICAL PAR , entonces para hallar el dominio bastará hacer el radicando MAYOR O IGUAL A CERO y resolver esta inecuación.

Ejemplo: Encontrar el (R ) si , y ) : 3x + y 2 – 3 = 0} R = {(x En este caso, y   3  3 x Como solamente se tiene solución real si el radicando es mayor o igual a cero, entonces bastará con encontrar la solución de la desigualdad 3 – 3x ≥ 0, lo que produce a la respuesta x ≤ 1. Por lo tanto, se dice que en este caso, (R ) = {x  R : x ≤ 1}

Ejemplo: Encontrar el (R ) si , y ) : 2xy - 3y + 5 = 0} R = {(x En este caso, y 

5 2 x  3

Como la división por cero no está definida, entonces la relación existirá si 2x – 3 ≠ 0. (significa que no existe si 2x – 3 = 0). En este caso bastará con encontrar los valores para los que 2x – 3 = 0 y descontarlos del conjunto de los números reales. 2x – 3 = 0 x = 3/2 Esto significa que (R ) ={ x  R : x ≠ 3/2}.

SEGUNDO CASO Si al despejar y en una ecuación de la forma E(x , y ) = 0, se encuentra que la x hace parte del denominador de una fracción, entonces para hallar el dominio bastará hacer el denominador DIFERENTE DE CERO y despejar la x .

Ejemplo: Encontrar el (R ) si TERCER CASO , y ) : 3x 2 + 5y – 6 = 0} R = {(x 6  3 x 2 Si al despejar y en una ecuación de la forma En este caso, y  5 E(x , y ) = 0, se encuentra que la x NO hace parte de un RADICAL PAR , ni del Como x no hacer parte de un radical par ni del denominador de una fracción, entonces el denominador de una fracción, se concluye que el dominio dominio de la relación será todo el conjunto de son todos los números reales. Es decir, los números reales. (R ) = (- , )

ALGO PARA HACER Hallar el dominio de cada relación.          

2x -4y = 8 2x 2 – y + 7 = 0 3xy + 7x + 1 = 0 3x 2 + 3y 2 = 12 5x 2y – 3x + 1 = 0 3xy = 6 2y 2 – 4x + 5 = 0 4x 2 – 3y 2 = 12 5x 2 + y 2 = 5 2x 2 – 5xy + 6 = 0 I. E. La Despensa Departamento de Matemáticas – 2.013

calculo 2 - 6


RANGO EN LAS RELACIONES REALES UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO 

Sean: U = {1, 2, 3, 4} y a. b.

R :

U  U dada por las siguientes reglas:

R 1 =

{(x , y ) : y = x } , y ) : x + y = 6} R 2 = {(x

c. d.

R 3 =

{(x , y ) : y = x + 3} , y ) : y 2 = x } R 4 = {(x

Graficarlas en un plano cartesiano (cada una por separado). 

Determinar el rango de las relaciones del ejercicio anterior.

ACTUALICÉMONOS MÉTODO PARA HALLAR EL RANGO Como se definió anteriormente, el rango es el conjunto formado por aquellos elementos del conjunto de llegada que están relacionados con algún elemento del conjunto de partida. Por esta razón, para hallar el rango de una relación real, basta despejar la x y hacer un análisis similar al que se hacía cuando se despejaba y .

Ejemplo. Hallar el rango de R = {(x , y ) : 3x 2 + 4y 2 = 36}

Si se despeja x para hallar el rango de R :

x  

36  4 y

3 Como y hace parte de un radical par, entonces se debe cumplir que i. 4(9 – y 2) ≥ 0 ii. 9- y 2 ≥ 0 iii. (3 – y ) · (3 + y ) ≥ 0

2

36 – 4y 2 ≥ 0

Para que se cumpla la desigualdad mostrada, (3 – y ) y (3 + y ) deben tener al mismo tiempo el mismo signo, o sea que (3 – y ) ≥ 0  (3 + y ) ≥ 0; o (3 – y ) ≤ 0  (3 + y ) ≤ 0; donde se observa que se debe cumplir que y ≤ 3 y y ≥ -3 (lo que lleva al intervalo [-3, -3] que cumple de manera simultánea con las dos condiciones), o y ≥ 3 y y ≤ -3 (lo que lleva a deducir que ningún número real puede cumplir con las dos condiciones al mismo tiempo). Por eso la solución a este ejercicio es (R ) = [-3, 3], que escrito en forma de desigualdad es (R ) = {x  R : -3 ≤ x ≤ 3}

ALGO PARA HACER Hallar el rango de cada relación.     

2x -4y = 8 2x 2 – y + 7 = 0 3xy + 7x + 1 = 0 3x 2 + 3y 2 = 12 5x 2y – 3x + 1 = 0

    

3xy = 6 2y 2 – 4x + 5 = 0 4x 2 – 3y 2 = 12 5x 2 + y 2 = 5 2x 2 – 5xy + 6 = 0


calculo 2 - 7


SIGNIFICADO GRÁFICO DEL DOMINIO Y EL RANGO UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO 

Dadas las siguientes funciones, hacer una tabla de valores (tabular) y graficar la figura correspondiente.

(a) y = x (b) y = 2 x

(c) f(x) = x + 1 (d) f(x) = x 2 – 6 x + 8

(e) f(x) = – x (f) f(x) = x 2 + 4

ACTUALICÉMONOS Aquí se verá la importancia que tiene desde el punto gráfico, hallar el dominio y el rango de una relación.

Ejemplo 1. Hallar el dominio y el rango de la relación gráficamente los resultados.

R

= {(x , y ) : y – x 2 + 1 = 0} y analizar

Despejando la y : = x 2 – 1 y Como la x no hace parte de un radical par, ni del denominador de una fracción, entonces el dominio es el conjunto de los números reales. Este resultado significa que x puede tomar cualquier valor, y por lo tanto, la gráfica de esta relación se extiende sin interrupciones a lo largo del eje x . Despejando la x :

x   y  1

Para que y  1  R es necesario que y + 1 ≥ 0  y ≥ -1  y  [-1, ) Este resultado significa gráficamente, que a lo largo del eje y solo hay gráfica para valores mayores o iguales a -1. En la siguiente figura se ha sombreado la zona donde no se puede dibujar.

CONCLUSIÓN: El análisis del domino y el rango nos ayuda a determinar las zonas del plano cartesiano en las cuales existe la gráfica.


calculo 2 - 8


Ejemplo 2. Hallar el dominio y el rango de la relación gráficamente los resultados. Despejando la y para hallar el dominio : Para que

4  2 x x

y 

R

= {(x , y ) : xy + 2x – 4 = 0} e interpretar

4  2 x x

 R , debe cumplirse que x ≠ 0. Por tanto, (R ) = {x : x ≠ 0}, es decir, la relación no

está definida para cero. Si se tabula y se toman valores de x cada vez más cercanos a cero por la izquierda, los valores correspondientes de y son cada vez más negativos; es decir, tienden a menos infinito (y  – ); pero si la aproximación de x a cero es por la derecha, los correspondientes valores de y son cada vez más grandes, o sea que tienden a mas infinito (y  ). Despejando ahora la x para hallar el rango : x 

Para que

4 y  2

4 y  2

 R , debe cumplirse que y + 2 ≠ 0. Luego y ≠ – 2. Por tanto, (R ) = {y : y ≠ -2}, es

decir, la relación no tendrá nunca el valor -2 en sus segundas componentes. eje y (x = 0)

y

8

6

4

2

x

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

(0, -2) -2

= -2 y

-4

-6

-8

La gráfica muestra que ningún punto de la curva corresponde a x = 0; además la recta vertical que pasa por origen coordenado, (0, 0) (es decir, el eje y ), juega un papel especial. En efecto, la curva que está a la derecha sube más entre más se acerca a ella, y la curva que está a la izquierda baja más entre más se acerca a la vertical. De cualquier modo, la distancia entre el eje y y la gráfica de la curva tiende a cero, ya sea por la izquierda o por la derecha, mientras que la curva continúa subiendo o bajando sin límite.

Si se observa la gráfica se puede concluir que cuando x crece tanto positiva como negativamente, los valores de y se hacen cada vez más próximos a -2. Esto quiere decir que la recta paralela al eje x que pasa por el punto (0, -2), es una ASÍNTOTA HORIZONTAL ya que la distancia entre la curva y la recta y = – 2 tiende a cero cuando x aumenta o disminuye cada vez más.

Se dice entonces que en este caso, el eje y (x = 0) es una ASÍNTOTA VERTICAL.


calculo 2 - 9


Para hallar las ASÍNTOTAS VERTICALES se despeja la y en términos de x . Si el resultado es una fracción, entonces se hallan todos los valores de x para los cuales se anula el DENOMINADOR. Si uno de esos valores es x = a, entonces la recta vertical que pasa por el punto (a, 0) será una asíntota vertical . Para hallar las ASÍNTOTAS HORIZONTALES se despeja la x en términos de y . Si el resultado es una fracción, entonces se hallan todos los valores de y para los cuales se anula el DENOMINADOR. RECUERDE

Si uno de esos valores es y = b, entonces la recta horizontal que pasa por el punto (0, b) será una asíntota hor izontal .

LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL. Se puede complementar el análisis gráfico de una relación añadiendo un elemento muy útil: LOS INTERCEPTOS CON LOS EJES.

DEFINICIÓN Los puntos donde la curva corta a los ejes se denominan INTERCEPTOS CON LOS EJES. Para encontrar los interceptos con el eje x , se despeja y en función de x , se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante para x . Para encontrar los interceptos con el eje y , se despeja y en función de x , se reemplaza x por cero y el valor resultante para y es el intercepto con ese eje.

y

Intercepto con el eje y (0,4)

Intercepto con el eje x

Intercepto con el eje x

(-2,0)

x

(2,0)

ALGO PARA HACER En los siguientes diez ejercicios, hallar el dominio, rango y las asíntotas (verticales y horizontales) de cada relación. Luego indicar las zonas del plano cartesiano donde no se puede graficar. Finalmente dibujar la gráfica elaborando previamente una tabla de valores.     

2x – 4y = 8 3xy = 6 2x 2 – y + 7 = 0 2x 2 – 4x + 5 = 0 3xy + 7x + 1 = 0

    

4x 2 – 3y 2 = 12 3x 2 + 3y 2 = 12 5x 2 + y 2 = 5 5x 2y – 3x + 1 = 0 2x 2 – 5xy + 6 = 0 I. E. La Despensa Departamento de Matemáticas – 2.013

calcul o 2 - 10


FUNCIONES DEFINICIÓNES 1. Se llama función de un conjunto A en un conjunto B , a toda relación R de A en B que cumple con la condición: para todo elemento a  A , existe un único elemento b  B , tal que, (a, b)  R . 2. Sea f una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales. a) Se dice que f es una fu nción par si f (-x ) = f (x ) para todo x del dominio. b) Se dice que f es una fu nción impar si f (-x ) = - f (x ) para todo x del dominio. FUNCIÓN INYECTIVA Se dice que una función f de A en B es i n yecti va o un o a uno , si cada element o del rango es imagen a lo más de un e lemento del dominio

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

FUNCIÓN SOBREYECTIVA Se dice que una función f de A en B es sobreyecti va o simp lemente sobre, si cada elemento de B es imagen por lo menos de un elemento de A .

FUNCIÓN BIYECTIVA Se dice que una función f de A en B es bireyectiva si cumple con la condición de ser inyectiva (1-1) y sobr eyectivaal mismo tiempo.

ALGO PARA HACER 1. Dados los siguientes pares de conjuntos y una función definida entre ellos, encontrar los elementos (parejas ordenadas) de la función, decir si ésta es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva hacer la representación gráfica empleando diagramas sagitales y dibujar la gráfica en un plano cartesiano.     

A = {1, 2, 3}; A = {1, 2, 3}; A = {1, 2, 3}; A = {1, 2, 3}; A = {-1, 1, -2, 2, 3};

B = {1, 2, 3} B = {2, 4, 6} B = {2, 3, 4, 5} B = {1, 4, 9} B = {2, 5, 10}

f : A f : A f : A f : A f : A

B = {(a, b) : a = {(a, b) : a  B = {(a, b) : a  B  B = {(a, b) : a = {(a, b) : a  B 

 A;

b  B  b = a}  A ; b  B  b = 2a}  A ; b  B  b = a + 2} 2  A ; b  B  b = a } 2  A ; b  B  b = a + 1}

2. Dados los conjuntos A y B y la relación G establecida entre ellos, indicar si ésta es función o no. Hacer el correspondiente diagrama sagital. Explicar la respuesta.    

A = {1, 2, 3, 4, 5}; A = {1, 2, 3, 4}; A = {1, 2, 3, 4}; A = {6, 12, 18, 23};

B = {2, 3, 7, 12, 18}; B = {8, 12, 19, 23}; B = {3, 4, 8, 9}; B = {4, 9, 15, 6};

= {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5;2)} G = {(1, 8), (2, 19), (3, 23), (4, 23)} G = {(3, 3), (3, 4), (3, 8), (3, 9)} G = {(6, 4), (18, 6), (23, 6)} G


calcul o 2 - 11


COMPOSICIÓN DE FUNCIONES UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO Hacer el diagrama sagital de la función indicada para cada uno de los siguientes conjuntos.   

A = {1, 2, 3}; B = {2, 4, 6}; C = {1, 2, 3};

f (x ) = 2x g (x ) = x + 1 h(x ) = x 2

 

D = {1, 4, 9}; E = {2, 4, 18};

f (x ) = 2x g (x ) = x + 1

ACTUALICÉMONOS Existen muchas maneras de formar funciones a partir de funciones dadas; una es la composición de funciones. Analizar la siguiente situación: Se observa que a cada elemento x  A , la función f le asigna un elemento f (x )  B . La función g asigna al elemento f (x ), un elemento . g ( f (x )) del conjunto C El análisis anterior permite definir una nueva función, la función compuesta, cuyo dominio es el conjunto A y codominio el conjunto C , de tal forma que esta nueva función asigne a cada elemento x  A el elemento g [ f (x )]  C . Esta nueva función tiene sentido si se cumple que el dominio de la función g es subconjunto del rango de la función f ; de lo contrario g no sería función.

Notación:

f : A  B

A a b c d

f

g : B  C

B

g

C

1

4

2

5

3

6

gof

( g ◦ f )(x ) = f [ g (x )] significa que primero se aplica la función g y después f. ( f ◦ g )(x ) = g [ f (x )] significa que primero se aplica la función f y después g.

. Ejemplo: Considerando las funciones f (x ) = x 2 + 2, g (x ) = x + 1, ambas con su dominio en R Hallar ( g ◦ f )(x ). Solución: Como ( g ◦ f )(x ) = f [ g (x )], se aplica primero la función g y luego la f . Se tiene entonces: ( g ◦ f )(x ) = f [ g (x )] = f (x + 1) ahora se aplica f : ( g ◦ f )(x ) = (x + 1)2 + 2 NOTA: En general ( g ◦ f )(x ) = (x 2 + 2x + 1) + 2 ( f ◦ g )(x ) ≠ ( g ◦ f )(x ) 2 ( g ◦ f )(x ) = x + 2x + 3 f ( g (x )) ≠ g ( f (x ))

ALGO PARA HACER En los ejercicios siguientes encontrar (a) ( f ◦ g )(x ), (b) ( g ◦ f )(x ) si f y g están definidas para las expresiones dadas.     

f (x ) = 2x 2 + 3; f (x ) = 1/(3x + 1); f (x ) = x 3; f (x ) = 5; f (x ) = x 2;

g (x ) = 4 – 7x g (x ) = 2 / x 2 g (x ) = x + 2 g (x ) = 2 1/2 g (x ) = x I. E. La Despensa Departamento de Matemáticas – 2.013

calcul o 2 - 12


FUNCIONES INVERSAS UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO

Expresar cada uno de los siguientes números en términos de las operaciones básicas. 9 15



Ejemplo:

8 = 7 + 1;

 

3 17



6 12

 

8 = 14 – 6;

 

8 = 2 * 4;

20 7

 

8 = 16 / 2;

16 21

 

19 2

8 = 64

ACTUALICÉMONOS Para determinar la inversa de una función f , se intercambian el dominio y el codominio y se denota como -1 f . Pasos para encontrar la inversa de una función: (1) Obtener la función expresada en forma explícita; es decir, de la forma y = f (x ). (2) Intercambiar los papeles de x y de y . (3) A partir de la nueva expresión encontrar y en forma explícita, y ese resultado será la función inversa f -1 .

Ejemplo: Sea f (x ) = 3x + 2. Encontrar f -1(x ). Solución:

INVERSA DE UNA FUNCIÓN f(x)=3x + 2 f(x)=(x -2)/3 f(x)=x

Como ya se tiene la forma explícita y = 3x + 2 (y en función de x ), se intercambian las dos variables y resulta x = 3y + 2 (donde estaba y viceversa). Despejando y de la x se escribió y nueva expresión se tiene y = tanto, f -1(x ) =

x  2 3

x  2 3

. Por lo

.

Gráficamente la inversa se obtiene reflejándola sobre la recta cuya ecuación es y = x .

NOTA: La condición necesaria y suficiente para que f -1 sea función es que f sea biyectiva.

ALGO PARA HACER En los ejercicios siguientes encontrar f -1(x ), graficar f (x ) y f -1(x ) sobre el mismo plano cartesiano cuando sea posible. Si no se puede, decir por qué.     

f (x ) = 2x + 3 f (x ) = 1/(3x + 1) f (x ) = x 3 f (x ) = 5 f (x ) = x 2

    

f (x ) = 4 – 7x f (x ) = 2 / x 2 f (x ) = x + 2 f (x ) = 2 1/2 f (x ) = x I. E. La Despensa Departamento de Matemáticas – 2.013

calcul o 2 - 13


UNIDAD IV. FUNCIONES REALES ESPECIALES Las funciones que se tratan en esta unidad tienen las siguientes características: El dominio es un subconjunto de los números reales. El rango es un subconjunto de los números reales.

FUNCIÓN CONSTANTE Sea f : R  R , se dice que f es constante si la función f asocia a cada número real x el valor fijo a; es decir: f (x ) = a para todo x  R . En otras palabras: No importa cuál sea el valor de x , siempre y tendrá el valor a. y

y=a

a

x

FUNCIÓN IDÉNTICA (O IDENTIDAD) Sea f : R  R , se dice que f es la función idéntica, si f asocia a cada número real x el mismo x . Es decir: f (x ) = x para todo x  R . y

f(x)=x y=x

x

ALGO PARA HACER Dibujar sobre papel milimetrado (cortado a tamaño carta) cada una de las siguientes funciones.     

y = 3 y = 2 y = – 5 y = 0 y = – 1

(en cada caso indicar el intervalo dibujado)

    

y = x = x y y = – x y = – x = x y

[ – 4, 1] [ – 4, 1] [0, 6] [ – 5, 0] I. E. La Despensa Departamento de Matemáticas – 2.013

calcul o 2 - 14


FUNCIÓN LINEAL Sea f : R  R , se dice que f es lineal si f asocia a cada número real x  R un número de la forma mx + b donde m y b son constantes. Es decir, f (x ) = mx + b, la cual es la forma general de la función lineal; por ejemplo, f (x ) = 3x + 2 es una función lineal.

Si se tiene m = 1 y b = 0, se trata de la función idéntica, ya que ésta es un caso particular de la función lineal. y

f(x)=mx+b La función lineal se representa siempre con una línea recta en el plano.

x

FUNCIÓN ESCALONADA Sea f : R  R , se dice que f es escalonada si su dominio se puede dividir rn intervalos, tales que en cada uno de ellos la función es constante. y

3

si x  [-6, -4)

9

8

1

si x  [-4, -1)

7

6

f (x ) =

5

5

si x  [-1, 3]

4

3

1

si x  (3, 8]

2

1

4

si x  (8, 11]

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

ALGO PARA HACER Dibujar sobre papel milimetrado (cortado a tamaño carta) cada una de las siguientes funciones. En la misma hoja:     

= x y = x + 1 y y = x – 1 y = x + 3 = x – 2 y

En la misma hoja:     

= 2x y = 3x y y = – x y = – 3x = 4x y

En la misma hoja:     

= – 2x + 1 y = 3x + 2 y y = 5x – 4 y = x – 4 = – 3x /2 + 1/2 y

Cada una en una hoja: 

f (x ) = [x ]



f (x ) =



f (x) =

(función parte entera) – 1 si x ≤ 0 2 si x > 0 1 si x ≤ -3 0 si -3 < x ≤ 0 2 si 0 < x < 4 –3 si 4 ≤ x ≤ 7


calcul o 2 - 15


FUNCIÓN CUADRÁTICA Sea f : R  R , se dice que f es una función cuadrática si f asocia a cada número real x , un número de la 2 forma ax + bx + c, a ≠ 0 donde a, b y c son constantes. Es decir, f (x ) = ax 2 + bx + c, es la forma general de la función cuadrática.

Ejemplo:

f (x ) = 3x 2 – 4x + 2 es una función cuadrática.

Es evidente que si a = 0, la expresión f (x ) = ax 2 + bx + c, la expresión se convierte en función lineal. La gráfica de la función cuadrática, representa a una curva en el plano cartesiano llamada “parábola”.

y

y

f(x)=ax2+bx+c x

a>0

f(x)=ax2+bx+c a<0

x

FUNCIÓN POLINÓMICA Sea f : R  R , se dice que f es una función polinómica de grado n, si f asocia a cada x  R , un número n 2 n-1 n-2 + de la forma a nx + a n-1x + a n-2 x + ···+ a 2x + a 1x + a 0, con n  Z , a n ≠ 0, a i  R ; es decir, que n es un entero positivo, a n diferente de cero y los coeficientes a n , a n-1 , a 2 , a 1 , a 0 son números reales.

Ejemplos: Los siguientes son ejemplos de funciones polinómicas de diferentes grados. (grado de un polinomio es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable) 1. 3x 4 -2x 3 + x 2 + x – 2 2. x 2 – 2x + 1 3. x 5 + x 4 – 2x 3 – 3x 2 + 6 4. x 10 + x 2 – 1 5. 9x 3 – 8x 2 + 5x + 8

(grado 4) (grado 2) (grado 5) (grado 10) (grado 3)

ALGO PARA HACER Para cada una de las siguientes funciones, indicar el grado explicando por qué es ese y dibujar sobre papel milimetrado (cortado a tamaño carta) las que sean cuadráticas.    

f (x ) = x 2 + 2x + 1 2 f (x ) = 3x + 6x + 8 f (x ) = – 2x 2 + x – 4 f (x ) = – x 2

   

f (x ) = 3x 4 – 2x 3 + x 2 + x – 2 3 2 f (x ) = 2x – 2x + x – 2 f (x ) = x 4 – x 3 + x 2 + x – 2 f (x ) = x 2 + 1


calcul o 2 - 16


FUNCIÓN RACIONAL Sean f y g dos funciones polinómicas; se llama función racional h, al cociente de estas dos funciones.

 h  f ( x) , y su valor en x está dado por h( x)   ( x)  g g ( x)  g  El dominio de h es el conjunto de los números reales, excluyendo los que anulan a g . Es decir, h 

f

(h) = {x  R : g (x ) ≠ 0}.

Explicar por qué.

4 Sea la función racional h( x)  x . Es claro que la función h es el cociente de dos x  2 2 funciones polinómicas: f (x )= x – 4 y g (x ) = x + 2. El dominio de h es el conjunto de los reales, excluyendo el – 2; puesto que si x = – 2, la función g se anula; por lo tanto, (h) = {x  R : x ≠ – 2 }. (También suele expresarse este resultado como (h) = R – { – 2}). 2

Ejemplo:

Gráfica de h . 3

y

2

1

x

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

f(x )=(x2 - 4) / (x + 2) -4

-5

-6

-7

FUNCIÓNES CRECIENTES Y DECRECIENTES y

Definición: Se dice que una función es creciente en un intervalo I si para todo a < b en el intervalo, f (a) < f (b). En otras palabras, su gráfica crece ( sube) en la medida en que se avanza hacia la derecha.

f(a) < f(b)

a

f(b)

f(a)

x

b

y

Definición: Se dice que una función es decreciente en un intervalo I si para todo a < b en el intervalo, f (a) > f (b). En otras palabras, su gráfica decrece (baja) en la medida en que se avanza hacia la derecha.

f(a) > f(b) f(a)

f(b) x

a

b

ALGO PARA HACER 

Averiguar todo lo relacionado con las funciones EXPONENCIAL y LOGARITMICA . (Forma explícita, dominio, rango, gráfica, ejemplos) I. E. La Despensa Departamento de Matemáticas – 2.013

calcul o 2 - 17


PLANTEAMIENTO DE FUNCIONES En situaciones prácticas de la vida real, surgen con frecuencia relaciones complicadas que pueden expresarse como funciones para ser manejadas de manera mas sencilla.

Ejemplo 1: En una fábrica se producen helados de fruta a un costo de $120 cada uno. Se calcula que si se venden a x pesos cada uno, se pueden vender aproximadamente 720 – x helados al día. La utilidad diaria de la fábrica es función del precio x al cual se venden los helados. (a) Expresar esta función matemáticamente. (b) Calcular la utilidad si los helados se venden a $200 cada uno. Solución: (a) Se deben tener conocimientos previos como: Utilidad = Ingreso – Costo Ingreso = (Número de helados) · (Precio por helado) Costo = (Número de helados) · (Costo por helado) Si x es el precio de venta de cada helado se tiene: Número total de helados = 720 – x Precio de venta del helado = x Costo del helado = 120 Función de utilidad = f f (x ) = (720 – x )(x ) – (720 – x )(120) f (x ) = (720 – x )(x – 120) ¿Qué clase de función es? (b) Para calcular la utilidad, si el precio de venta es $200, simplemente se calcula la función utilidad para x = 200, obteniendo entonces: f (200) = (720 – 200)(200 – 120) f (200) = 520 x 80 f (200) = $41600 Es decir, la utilidad diaria de la fábrica será de $41600 cuando vende los helados a $200 cada uno.

Ejemplo 2: La junta de deportes de la ciudad planea construir un campo deportivo rectangular de 3600 metros cuadrados de área. El campo de juego ha de estar rodeado por una cerca. Expresar la longitud de la cerca como una función de la longitud de uno de sus lados Solución: Sean x , y las longitudes de los lados del rectángulo. Área del rectángulo = x · y 3600 = x · y de donde y = 3600 / x

3600 m2

y

x

La longitud de la cerca equivale al perímetro del rectángulo: L = 2x + 2y Como la función solicitada debe hacerse con referencia a uno solo de sus lados, se reemplaza y , y se obtiene L = 2x + 2(3600 / x ) L (x ) = 2x + 7200 / y L (x ) expresa la longitud de la cerca en función del lado x .

ALGO PARA HACER   

Calcular la longitud de la cerca, si el largo del campo es de 100 metros Calcular la longitud de la cerca, si uno de los lados del rectángulo mide 60 metros. Calcular la longitud de la cerca cuando uno de sus lados mide 90 metros.


calcul o 2 - 18


ALGEBRA DE FUNCIONES SUMA DE FUNCIONES Sean f : R  R y g : R  R dos funciones, se define la función suma de f y g , denotada como f + g , mediante la expresión: ( f + g )(x ) = f (x ) + g (x ),

( x  R ) (x  D f  D g )

Donde D f es el dominio de f y D g es el dominio de g . O sea que la suma de dos funciones reales f y g es otra función h, cuyos coeficientes se obtienen sumando los respectivos coeficientes de los términos semejantes de las funciones reales dadas. (esto solo incluye el caso de las funciones polinómicas).

Ejemplo:

Sean f (x ) = 3x 2 + 2x – 5 y g (x ) = 2x 3 – 3x + 7. De acuerdo con lo anterior se tiene ( f + g )(x ) = f (x ) + g (x ) = (3x 2 + 2x – 5) + (2x 3 – 3x + 7)

Después de aplicar las propiedades conmutativa y asociativa, y reducir términos semejantes resulta ( f + g )(x ) = 2x 3 + 3x 2 – x + 2

DIFERENCIA DE FUNCIONES Sean f : R  R y g : R  R dos funciones, se define la función diferencia de f y g , denotada como f – g , mediante la expresión: ( f – g )(x ) = f (x ) – g (x ),

Ejemplo:

( x  R ) (x  D f  D g )

Sean f (x ) = x 3 + 1 y g (x ) = 2x 3 + x 2 – 1. Entonces ( f – g )(x ) = f (x ) – g (x ) = (x 3 + 1) – (2x 3 + x 2 – 1) = – x 3 – x 2 + 2

PRODUCTO DE FUNCIONES Sean f : R  R y g : R  R dos funciones, se define la función producto de f y g , denotada como f · g , mediante la expresión: ( f · g )(x ) = f (x ) · g (x ),

Ejemplo:

 x  R

Sean f (x ) = x 2 + 1 y g (x ) = x 3 + 2x + 1. Entonces ( f · g )(x ) = f (x ) · g (x ) = (x 2 + 1) · (x 3 + 2x + 1) = x 5 + 3x 3 + x 2 + 2x + 1 I. E. La Despensa Departamento de Matemáticas – 2.013

calcul o 2 - 19


COCIENTE DE FUNCIONES

Sean f : R  R y g : R  R dos funciones, se define la función cociente de f y g , denotada por

f g

,

mediante la expresión:

 f  f ( x )  ( x )  g ( x )  g  Ejemplo:

 x  R

(x  D f  D g  g(x)  0)

Sean f (x ) = x 3 + 3x 2 – x – 3 y g (x ) = x 2 + 4x + 3. Entonces

 f  f ( x ) x  3 x  x  3  ( x )    x  1 2 x ( ) g g 4 3   x   x 3

2

ALGO PARA HACER 1. Dadas las funciones reales: f (x ) = 12x 3 – 5x 4 + 16x + 3x 2       

y

g (x ) = – 15x 4 – 6x 3 + 12x 2 + 2. Hallar:

f (x ) + g (x ) f (x ) – g (x ) g (x ) – f (x ) [ g (x ) + f (x )] · g (x ) [ f (x ) – g (x )] · f (x ) f (x ) · f (x ) f (x ) · g (x )

2. Sean f (x ) = 5x 4 – 3x 3 + 4x – 336 y

g (x ) = x – 3. Hallar: f (x ) / g (x )

3. Sean f (x ) = 5x 4 – 3x 3 + 4x – 336 y

g (x ) = x – 3. Hallar: f (x ) · g (x )

4. Sean f (x ) = x 3 – 3x 2 + 3x – 1

y

g (x ) = x – 1. Hallar: f (x ) / g (x )

5. Sean f (x ) = x 3 – 3x 2 + 3x – 1

y

g (x ) = x – 1. Hallar: f (x ) · g (x )

6. Sean f (x ) = x 3 – 3x 2 + 3x – 1

y

g (x ) = x 2 – 2x + 1. Hallar: f (x ) / g (x )

7. Sean f (x ) = x 3 – 3x 2 + 3x – 1

y

g (x ) = x 2 – 2x + 1. Hallar: f (x ) · g (x )


calcul o 2 - 20


¿CUÁNTO APRENDÍ? 1. (a) (b) (c) (d)

En los siguientes ejercicios encuentre: (e) f (x ) + g (x ) ( f ) (f) f (x ) – g (x ) ( f ) (g) g (x ) – f (x ) ( g ) (h) f (x ) · g (x ) ( g )



f (x ) = 2x 2 + 3 1 f ( x )  3 x  1





f (x ) = x3 f (x ) = 5



f (x ) = x



(i) f (x ) / g (x ) (j) ( f ◦ g )(x ) (k) ( g ◦ f )(x )

g (x ) = 4 – 7x 2 g ( x)  x 2 g (x ) = x + 2 g (x ) = 2

2

g ( x ) 

x

2. En los siguientes ejercicios encontrar la función inversa de f, ( f -1), si f está definida por la expresión dada: 

f (x ) = 10x + 3 3 f (x ) = 2x + 6



f ( x )  2 x  1



x  

1 2

3. Un editor produce libros a un costo de $100 por unidad. Según sus cálculos, si le asigna un precio x a cada uno, podrá vender 500 – x libros al mes. Expresar la utilidad mensual como una función del precio de venta x . 4. Fernando vende mensualmente 2000 bolsas de papel a $2 cada una. Calcula que por cada centavo de aumento en el precio, venderá 10 bolsas menos cada mes. Los costos de Fernando consisten en unos gastos generales fijos de $500 mensuales más 40 centavos por bolsa. Expresar la utilidad mensual de Fernando, como una función del precio de venta de cada bolsa.

¿DONDE PUEDO PROFUNDIZAR?

· BARNETT, Raymond a. Precálculo. Álgebra, geometría analítica y trigonometría. Ed. Limusa. · URIBE CÁLAD, Julio A. MATEMÁTICA. Una propuesta curricular 10. Bedout Editores S.A. · LONDOÑO, Nelson y BEDOYA, Hernando. MATEMÁTICA PROGRESIVA. Ed. Norma · SWOKOWSKY, Earl. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ALGEBRA LINEAL. · WILLS, Darío y otros. Matemática Moderna Estructurada 6. Ed Norma. · GONZALEZ, Marcos. Matemática práctica 11. Ed. Voluntad.

APOYO INFORMÁTICO · ENCARTA 2004. Enciclopedia multimedial de consulta. · Graph 3.2.2 · Derive 5.0 · Visío 3.0 · Internet I. E. La Despensa Departamento de Matemáticas – 2.013

Calculo Mod 2

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