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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

10° cuatrimestre

Geometrías no euclidianas

Unidad 2. Geometría hiperbólica

Clave: 050941037

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Índice Presentación Presentación de la unidad ................................................................................................... 3 Propósitos............................................................................................................................3 Competencia Competencia específica específica ....................................................................................................... 3 2. Geometría Geometría hiperbólica...................................................................................................... 3 Actividad 1. El postulado postulado de las las paralelas paralelas ...................................................................... 5 2.1. Suma de ángulos. ángulos. ................................................................................................... 5 2.1.1. Axioma hiperbólico hiperbólico.............................................................................................. 8 2.1.2. Ángulos internos de un triángulo ....................................................................... 11 2.2. Triángulos semejantes .......................................................................................... 23 2.2.1. El postulado postulado de Wallis ....................................................................................... 24 2.2.2. Congruencia Congruencia de triángulos ................................................................................ 27 Actividad 2. Suma de de ángulos y triángulos triángulos semejantes semejantes ................................................ 28 2.3. Paralelas y perpendiculares perpendiculares .................................................................................. 29 2.3.1. Paralelas Paralelas que admiten una perpendicular perpendicular común.............................................. 29 2.3.2. Limitación de rayos paralelos............................................................................ 38 2.4. Clasificación de las paralelas ................................................................................ 42 Actividad 3. Paralelas Paralelas y perpendiculares perpendiculares ...................................................................... 43 Autoevaluación Autoevaluación .................................................................................................................. 43 Evidencia Evidencia de aprendizaje. aprendizaje. Geometría hiperbólica .............................................................. 43 Autorreflexiones Autorreflexiones................................................................................................................. 44 Cierre de la unidad ............................................................................................................ 44 Para saber más ................................................................................................................. 44 Fuentes de consulta .......................................................................................................... 45


2

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Presentación de la unidad En el inicio de esta unidad observarás algunas formas equivalentes de presentar el quinto postulado de Euclides, para después construir una geometría distinta a la euclidiana por medio de la negación del postulado de las paralelas de Hilbert y así obtener el axioma hiperbólico y comenzar con el estudio de la conocida como geometría hiperbólica. Aunado a esto, se muestran propiedades que son comunes a ambas geometrías y también algunas diferencias entre ellas.

Propósitos Al término de de esta unidad unidad lograrás: lograrás:  





Identificar algunas equivalencias del quinto postulado de Euclides. Identificar el axioma hiperbólico como la negación del axioma de las paralelas de Hilbert. Revisar algunas propiedades comunes entre la geometría euclidiana y la geometría hiperbólica. Revisar algunas diferencias entre la geometría euclidiana y la geometría hiperbólica.

Competencia específica Analizar la consistencia consistencia de la geometría geometría hiperbólica hiperbólica para la resolución resolución de problemas geométricos, mediante los conceptos de ángulo, triángulo y perpendiculares.

2. Geometría hiperbólica Como has observado en la unidad anterior, el quinto postulado de Euclides ha sido el más controversial, muchos matemáticos intentaron deducirlo de los cuatro anteriores fracasando en cada uno de sus intentos; llegaron a la conclusión de que este postulado era independiente de los otros, lo que provocó un cambio en la forma de concebir la geometría, dando origen a otras geometrías conocidas como geometrías no euclidianas. En esta sección se aborda la geometría conocida como hiperbólica. hiperbólica. Es de resaltar que, en muchas ocasiones, cuando una nueva idea surge hay varias personas que trabajan simultáneamente con ésta, es muy conocida la historia del surgimiento del cálculo desarrollado en forma paralela por Newton en Inglaterra y Leibniz en Alemania. La historia ha ubicado a tres matemáticos como los iniciadores en el estudio de una geometría no euclidiana: el húngaro János Bolyai (1802-1860), el alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y el ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856). Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

3

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Como se vio en la unidad anterior, dos rectas son paralelas si nunca se cortan, la forma original en que Euclides presenta el quinto postulado en los elementos es: Quinto postulado de Euclides: si Euclides: si dos líneas son cortadas por una transversal de tal forma que la suma de los ángulos interiores de algún lado de la transversal sea menor que dos ángulos rectos, entonces las dos líneas se cortan del mismo lado de la transversal.

Gráficamente, el quinto postulado de Euclides se presenta de la siguiente manera:

Figura 1. El quinto postulado de Euclides

A continuación continuación se presenta presentan n algunas equivalencias equivalencias de este este postulado, postulado, las cuales se presentan sin demostración: Teorema 2.1. El quinto postulado de Euclides se cumple si y sólo si se cumple el axioma de las paralelas de Hilbert. Teorema 2.2. El axioma de las paralelas de Hilbert se cumple si y sólo si dadas dos líneas paralelas, si otra línea corta a alguna de éstas, entonces también corta a la otra. Teorema 2.3. El axioma de las paralelas de Hilbert se cumple si y sólo si cualesquiera dos líneas paralelas que son cortadas por una transversal tienen al menos un par de ángulos alternos internos congruentes. Teorema 2.4. El axioma de las paralelas de Hilbert se cumple si y sólo si cuando la línea es transversal a las líneas y , donde y  , implica que  . 1

2

3

2

3

1

2

1

3

Teorema 2.5. El axioma de las paralelas de Hilbert se cumple si y sólo si dadas cuatro líneas , , y tales que ,  y  implica que  o . 1

2

3

4

1

2

1

3

1

4

3

4


3

4

4

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Teorema 2.6. El quinto postulado de Euclides se cumple si y sólo si los rectángulos existen.

Actividad 1. El postulado de las paralelas A través de de esta actividad, actividad, identificarás identificarás los principios básicos de la geometría euclidiana para separar el quinto postulado de Euclides. 1. Investiga algunos Investiga algunos resultados de la geometría euclidiana clásica. 2. Ingresa al Ingresa al foro y responde las siguientes preguntas. ¿Cuáles son independientes del quinto postulado de Euclides? ¿Cuáles utilizan el quinto postulado de Euclides? realiza una comparación 3. Revisa las aportaciones de dos de tus compañeros(as), realiza una rechaza sus respuestas. con tus respuestas. Acepta o rechaza sus Consulta la rúbrica general de la participación en foros que se encuentra en la sección Material de apoyo.

2.1. Suma de ángulos Hay muchos objetos y resultados geométricos que se pueden obtener utilizando los axiomas de Hilbert sin necesidad de utilizar el axioma de las paralelas, como se ejemplifica a continuación; pero primero deberás considerar las siguientes definiciones: Definición: Sean Definición: Sean t , y tres líneas distintas, con t transversal a y y donde t corta en B y B a las rectas y respetivamente. Sean A y C puntos de tales que A B C y de forma similar A y C son puntos de ' tales que A B C . Entonces los ABB ', C ' B ' B, CBB CBB ' son llamados internos. internos. Por otro lado, las parejas ángulos A ' B ' B, ABB de ángulos ABB ABB ', C ' B ' B y A ' B ' B, CBB internos. CBB ' son llamados alternos internos. '

'

*

*

'

'

'

'

'*

'*

'

La definición anterior se ejemplifica en la siguiente figura:


5


Figura 2. Ángulos alternos internos

El resultado que se presenta se le conoce como teorema de los ángulos alternos interiores. interiores. Teorema 2.7. Si dos líneas son cortadas por una transversal de tal forma que se forme una pareja de ángulos alternos internos congruentes, entonces las dos son paralelas. Demostración: sean Demostración: sean las líneas t , anterior, entonces: (i).

Se tiene por hipótesis que

y

'

, los

A ' B ' B



A, B, C , A ', B ', C ' como

CBB '

en la definición

.

Figura 3. Ángulos alternos internos en un par de líneas paralelas

(ii).

Por contradicción, contradicció n, supón que y no son paralelas, es decir, que existe un punto D donde intersecta a y supón que D está del mismo lado con respecto a t que los puntos C y C . '

'

'


6


Figura 4. Las rectas

(iii).

Existe un punto

E

sobre el rayo

B ' A '

y

se intersectan en

tal que

Figura 5. El punto

(iv).



B ' E



D

BD .

E satisface B ' E



BD

Como el segmento BB es congruente consigo mismo, entonces por el criterio LAL se tiene que B BD  B B E y en particular DB B  EBB '

'

'

Figura 6. El triángulos

(v).

'

B ' BD es congruente a

'

BB ' E

Dado que DB B es suplementario a EB B , entonces EB EBB B es suplementario a DBB DBB . (vi). En consecuencia E es un punto de . (vii). Entonces y tienen dos puntos en común, lo que implica que  , lo cual contradice la hipótesis   presentada en la definición. '. (viii). Por lo tanto D no existe, por lo tanto Lo que que dem demues uestra tra el el result resultad ado. o. '

'

'

'



'

Debido al teorema anterior, se presentan dos consecuencias inmediatas:


7

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Corolario 2.7.1. Dos líneas perpendiculares a la misma son paralelas entre sí. Más aún, dada una línea y un punto que no pertenece a ésta, entonces la perpendicular a la línea que pasa dicho punto es única. Demostración: si dos líneas y son perpendiculares a la línea t , los ángulos alternos internos son ángulos rectos, y como todos los ángulos rectos son congruentes entre sí, esto implica que . 



Corolario 2.7.2. Dadas cualquier línea y un punto P que no pertenezca a existe al menos una línea paralela a que pasa por P .

entonces

m

Demostración: existe Demostración: existe una línea t perpendicular a la línea que pasa por el punto P , Además de una única línea perpendicular a t que pasa por P , dado que y son m. perpendiculares a t entonces por el corolario anterior m

m

Observa que este resultado afirma la existencia de la línea paralela a que pasa por el afirma la unicidad de ésta, por lo que no se obtiene el punto P , pero este corolario no afirma la quinto postulado de Euclides. m

2.1.1. Axioma hiperbólico Como observaste en la unidad 1, existen resultados que se obtienen inmediatamente de los axiomas de Hilbert, sin necesidad de mezclar unos con otros. Los axiomas que determinan a la geometría hiperbólica son los de Hilbert, sin tomar en cuenta el axioma de las paralelas, que se sustituye por el axioma hiperbólico, hiperbólico, es decir, los axiomas que definen la geometría hiperbólica son: (a) Incidencia (b) Intermediación (c) Congruencia (d) Continuidad (e) Hiperbólico El axioma hiperbólico se enuncia de la siguiente manera: Axioma hiperbólico: existe una línea y un punto P que no pertenece a , tales que existen al menos dos líneas paralelas a distintas que pasan por P . Observa que este axioma es la negación del axioma de las paralelas de Hilbert y, en consecuencia, del quinto postulado de Euclides. La siguiente figura presenta una noción gráfica del axioma hiperbólico: Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

8


Figura 7. Axioma hiperbólico

En geometría hiperbólica, al no cumplirse el axioma de las paralelas de Hilbert, entonces el teorema 2.6. es falso, por consiguiente se tiene el siguiente resultado: Lema 2.1. En geometría hiperbólica no existen los rectángulos. El lema anterior permite plantear una versión universal del axioma hiperbólico, a esto se le conoce como el teorema hiperbólico universal. universal. Teorema 2.8. En geometría hiperbólica, para para toda línea y todo punto P que no pertenezca a se tiene que a través de P pasan al menos dos distintas líneas paralelas a . Demostración: basta Demostración: basta atender los siguientes pasos: (i).

Sean

una línea y

P

un punto que no pertenezca a .

Figura 8. La línea

(ii).

y el punto

P

Considera el punto Q de la línea , de tal forma que PQ  .

Figura 9. La línea PQ perpendicular a


9

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (iii).

Sea

m

la línea que pasa por

P

tal que PQ  m .

Figura 10. La línea

(iv).

Sea

R

un punto sobre

distinto de Q y


(v).

Sea

S

m

t

t

perpendicular a PQ

la perpendicular a

perpendicular a

un punto de la línea t , de tal forma que

Como PS y

R

.

que pasa por R

PS  t .

Figura 12. La línea PS perpendicular a

(vi).

que pasa por

son perpendiculares a t se tiene que

PS

t

.

(vii).

Se tiene que mostrar que PS  m o equivalentemente S no es elemento de la línea . m , se procede por contradicción, supóngase que S es elemento de (viii). En consecuencia, el cuadrilátero cuadriláter o QRSP es un rectángulo. (ix). Esto contradice el lema 2.7., por consiguiente S no pertenece a . Lo que demuestra el resultado. m

m


10

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica universal, se presenta el Como consecuencia inmediata del teorema hiperbólico universal, siguiente resultado: Corolario 2.8.1. En geometría hiperbólica, para para toda línea y todo punto P que no pertenezca a existen un número infinito de líneas paralelas a que pasan por P . Demostración: dado Demostración: dado que las rectas paralelas dependen del punto R y como hay una manera infinita de escoger al punto R , se tiene que existen un número infinito de rectas parale ralela lass a .

2.1.2. Ángulos internos de un triángulo Es momento de revisar el comportamiento de los ángulos interiores de un triángulo en geometría hiperbólica, para ello se presentan las siguientes definiciones: Definición: dos Definición: dos ángulos son adyacentes si y sólo si tienen el mismo vértice, comparten un lado y no se sobreponen uno sobre el otro. Gráficamente, dos ángulos adyacentes se ven de la siguiente forma:

Figura 13. Ángulos adyacentes

Definición: dos Definición: dos ángulos son opuestos por un vértice si se forman de la intersección de dos líneas y tales ángulos no son adyacentes. Gráficamente los ángulos opuestos por un vértice se ven la de la siguiente forma:

Figura 14. Ángulos opuestos por un vértice


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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Los ángulos opuestos por un vértice son congruentes, esto permite mostrar que los ángulos suplementarios de ángulos congruentes son congruentes. El siguiente concepto se utiliza en el próximo resultado: Definición: dados Definición: dados dos ángulos ABC ABC y DEF DEF , se dice que ABC es menor que DEF DEF , y se denota por ABC ABC  DEF DEF , si y sólo si existe un rayo EH entre los rayos ED y EF tal que ABC ABC  DEH . En la siguiente figura se ejemplifica la definición anterior:

Figura 15. El ángulo

CBA CB A es menor que el ángulo

DEF DEF

El siguiente resultado se conoce como el teorema del ángulo exterior y y es muy importante para obtener algunas propiedades básicas sobre triángulos. Teorema 2.9. Un ángulo exterior de un triángulo es más grande que los otros dos ángulos no adyacentes. Demostración: basta Demostración: basta que observes los siguientes pasos: (i).

Sea el triángulo con vértices en los puntos A B C y considera el ángulo ,

Figura 16. Ángulo

(ii).

Sea

D

un punto en la línea

BC tal

,

BAC BA C del triángulo

que

B * C * D

.

BAC

ABC ABC

.


12


Figura 17. Punto

(iii). (iv).

Se procede por contradicción, si BAC BAC  ACD entonces las líneas BA y BC son paralelas y en consecuencia B no existe, lo que es una contradicción. Si BAC BAC  ACD existe un rayo AE , de tal manera que ACD ACD  C AD .

Figura 18. Rayo

(v).

Existe el punto

G

sobre el rayo

AE que satisface

AE

, tal que

Figura 19. Punto

(vi). (vii). (viii).

D que satisface B * C * D

G que

ACD 

B * G * C

satisface

C AD

.

B * G * C

Entonces las líneas AE y CD son paralelas, por consiguiente el punto A no existe, lo que es una contradicción. Por consiguiente BAC BAC  ACD . Para mostrar ABC ABC  ACD ACD hay que considerar un punto F que esté en la línea AC ,

de tal forma que

A * C * F

.


13


Figura 20. Línea AC que satisface

A * C * F

(ix). Luego se tiene que ACD ACD  F CB , ya que son opuestos por el vértice C . (x). Por el razonamiento dado dado de los pasos (ii) al (vii), se tiene que ABC ABC  BCF BCF . (xi). En consecuencia ABC ABC  ACD ACD . Lo que demue demuest stra ra el el resu resulta ltado do.. Como consecuencia del teorema 2.9. y los resultados anteriores, se tienen los siguientes resultados: Proposición 2.1. Dados dos triángulos ABC ABC y B  E entonces ABC ABC  DEF .(LAA)

DE DEF

tales que

AC



DF

,

A 

D

y

Proposición 2.2. Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus respectivas hipotenusas son congruentes y algunos de sus respectivos catetos son congruentes. Proposición 2.3. Todo segmento tiene un punto medio. Proposición 2.4. Todo ángulo tiene una bisectriz. Proposición 2.5. Todo segmento tiene una única bisectriz perpendicular. Proposición 2.6. En todo triángulo, el ángulo interno más grande se opone al lado de mayor longitud, y el lado de mayor longitud es opuesto al ángulo interno más grande. Proposición 2.7. Dados los triángulos entonces B  E si y sólo si AC  DF .

ABC ABC

y

DEF DEF

tales que

AB  DE

y BC  EF

Proposición 2.8. Dados dos triángulos tales que son congruentes todos sus lados, entonces son congruentes. (LLL)


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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica La Proposición 2.1. toma el nombre de criterio Lado-Ángulo-Ángulo (LAA) y la Proposición 2.8. es conocida como el criterio Lado-Lado-Lado (LLL) de congruencias de triángulos. Es conocido que a cada segmento y a cada ángulo se le asigne un número, el primero grados). Los siguientes resultados llamado longitud y el segundo amplitud (expresada en grados). garantizan la existencia de dichos números, las demostraciones se basan en el axioma de Dedekind y Dedekind y su demostración es presentada en un curso de análisis matemático, por lo cual escapa de los objetivos de este curso. El primer resultado se presenta para ángulos y se enuncia de la siguiente manera: Teorema 2.10. Dado un ángulo



A

A

, existe una única manera de asignarle los grados

 que satisface las siguientes condiciones:

(a)

0

(b) 



A

A







 180



B

.

 si y sólo si

A 

B

.

(c) Si el rayo AC es interior al ángulo

 (d) 

DAC DA C A











x 

(f) Los ángulos (g) 

A













si y sólo si

90

(e) Para todo

CAB CA B

B

DAB DA B A

DAB entonces

 .

es un ángulo recto.

 0,180 existe un ángulo A

y

B

A

tal que 

A





x

son suplementarios si y sólo si  A

 si y sólo si

A 

B

. 



B

 180

.

.

A partir del del resultado anterior se obtienen los siguientes siguientes conceptos: conceptos: Definición: dado Definición: dado un ángulo dice que

A

A

, se dice que

es obtuso si obtuso si y sólo si  A



90

A

es agudo si agudo si y sólo si  A



90

y se

.

Como una consecuencia inmediata de este teorema se tiene el siguiente resultado: Corolario 2.10.1. La suma de los grados de dos ángulos internos de un triángulo es menor que 180 . Ahora se presenta el resultado resultado análogo análogo para segmentos: segmentos: Teorema 2.11. Dado un segmento OP llamado unidad existe unidad existe una única manera de asignar la longitud AB del segmento AB tal que satisface las siguientes condiciones: (a)

AB  0 y OP  1 .

(b) AB  CD si y sólo sí AB  CD . Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (c)

A * B * C

si y sólo si

(d)

AB  CD si

(e) Para todo

y sólo si

x 

con

AB  BC  AC . AB  CD x 

0

.

existe un segmento

AB

tal que

AB

x.



Como consecuencia del teorema anterior se obtiene el siguiente resultado: Corolario 2.11.1. Para cualesquiera tres puntos no colineales A , B y C se tiene que AC  AB  BC . Demostración: basta Demostración: basta observar los siguientes pasos: (i). Sean A , B y C tres puntos no colineales.

Figura 21. Puntos no colineales

(ii).

Aplicando los axiomas de intermediación intermediac ión 1 y de congruencia 1 al rayo opuesto a BA , existe un único punto D que satisface A B D y que BD  BC . *

Figura 22. Punto

(iii).

A , B y C

Entonces el triángulo

CBD CBD

*

D que satisface A * B * D y

es isósceles y así

que

BCD BCD 

Figura 23. Triángulo isósceles

BD  BC

.

BDC

CBD CBD


16

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (iv). (v). (vi). (vii).

Por la parte (c) del teorema 2.11. se tiene que AB  BD  AD . Como BC  BD se tiene que AB  BC  AD . Dado que el rayo CB esta entre los rayos CA y CD , por definición, se tiene que BCD BCD  ACD ACD . Como BCD BCD  ACD ACD y BCD BCD  BDC implica que ADC ADC  ACD ACD .

Figura 24. El ángulo

ADC ADC es menor que el ángulo

(viii). Por la proposición 2.7. se tiene que AD  AC . (ix). Por la parte (d) del teorema 2.11. se tiene que (x). Por consiguiente AB  BD  AD  AC . Lo que demue demuest stra ra el el resu resulta ltado do..

AD  AC

ACD

.

El siguiente es un resultado muy importante cuya demostración requiere del axioma de Saccheri-Legendre, pero antes de Arquímedes, Arquímedes, éste es conocido como el teorema de Saccheri-Legendre, abordarlo debes revisar el siguiente lema con su demostración. Lema 2.2. Dado el triángulo ABC ABC sea D el punto medio del segmento BC , y sea E el punto sobre el rayo AD de tal forma que A D E y AD  DE entonces la suma de las aberturas de los ángulos del triángulo ABC ABC es igual a la suma de las aberturas de los EAC EAC es ángulos del triángulo AEC AEC y la medida de alguno de los ángulos AEC o *

menor o igual a

1 2



*

 .

BAC

Demostración: basta observar los siguientes pasos: (i).

Dado un triángulo punto sobre el rayo

, sea D el punto medio del segmento BC y sea E el AD , de tal forma que A D E y AD  DE . ABC ABC

*

*


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Figura 25. El punto

(ii). (iii).

D es el punto medio de los

Por ser ángulos opuestos por el vértice D , se tiene que hipótesis BD  CD y ED  AD . Por el criterio LAL se tiene que BDA BDA  CDE CDE .

Figura 26. El triángulo

(iv).

Luego

DEC DEC 

DAB DAB

y así

Como

ABD ABD 

E CD



BAD BAD 

DAC DAC 

CEA CEA 

DEC es congruente al triángulo

, se tiene que

ECA ECA 

ECD ECD 

AE y BC

BDA BDA 

BD BDA es congruente al triángulo

BAC BAC


(v).

segmentos

DCA DCA 

, y por

C DE

CDE CDE

EAC EAC

.

DAB DAB

ECB ECB 


BCA BCA

.

18



(vi).

ECD

Aplicando la parte (c) del teorema 2.10. se tiene que:



(vii).

ABD es congruente al triángulo

BAC

 

Finalmente  implica que

ACB

BAC BAC

min





 







CEA

 ,

CEA

    CEA   EAC     ACB     CEA   EAC    ACE 

CBA



EAC





EAC





1 2







2 min



 ,

CEA

ECB



  lo que

EAC EAC

 .

BAC

Con lo cual cual queda queda demo demostrad strado o el resultad resultado. o. Teorema 2.12. En todo triángulo, la suma de las medidas en grados de sus ángulos internos es menor o igual a 180 . Demostración: se Demostración: se procede por contradicción siguiendo los siguientes pasos: (i). (ii). (iii).

Supóngase que la suma de las medidas en grados de sus ángulos internos del triángulo ABC ABC es mayor que 180 . Así, existe p  0 tal que  A   B   C   180  p . Por el lema 2.2. existe un triángulo AB C tal que la suma de las aberturas de los ángulos del triángulo ABC ABC es igual a la suma de las aberturas de los ángulos del 1

triángulo





AB1C

AB1C , 

1 2



es decir  A





B1 





C

 180



p y

 .

BAC

Figura 29. Triángulo

AB1C que satisface el lema 2.2


19

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (iv).

De forma similar, aplicando el lema 2.2. al triángulo AB C tal que:

existe un triángulo

AB1C

2



A





B2 





C

 180


(v).

p y





A B2C

AB2C que

k 





A Bk C

k 0







Bk 





C

 180



p y

(vi).

Por el axioma de Arquímedes existe

(vii).

Lo que implica que existe un triángulo



1 2





B1 AC



1 4



BAC

 .

satisface el lema 2.2

Por inducción matemática para todo A



existe un triángulo





1 2

k



tal que y

ABk C que 0

ABk C

tal que:

 .

BAC 1 2

k 0



BAC 



p.

satisface las siguientes

relaciones: 180



p   A



A



(ix). Por lo tanto  A    B  Lo que demue demuest stra ra el el resu resulta ltado do..





(viii).

En consecuencia

180







Bk





C



C

0

  

C





A



p   C 

 , contradiciendo al corolario 2.10.1.

 180

.

Como consecuencia del teorema anterior se desprenden dos propiedades (corolario), la primera se enuncia a continuación: Corolario 2.12.1. La suma de las medidas de dos ángulos interiores de un triángulo es menor o igual a la medida del ángulo exterior no adyacente. Para la segunda hay que definir el siguiente concepto: Definición: se Definición: se dice que un cuadrilátero ABCD ABCD es convexo si y sólo si existe un par de lados opuestos, dígase AB y CD , tal que el segmento CD está contenido en uno de los semiplanos determinados por la línea AB y el segmento AB está contenido en uno de los semiplanos determinados por la línea CD . La siguiente figura ejemplifica la definición de cuadrilátero convexo:


20


Figura 31. Cuadrilátero convexo y cuadrilátero no convexo

Corolario 2.12.2. La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero convexo es menor o igual a 360 . El teorema 2.12. permite definir el siguiente concepto: Definición: dado Definición: dado un triángulo



A







B







C



, el defecto

ABC

  ABC ABC  180

 ABC ABC es

el número positivo tal que:

.

El siguiente resultado muestra que si existe un triángulo tal que su defecto es positivo, entonces todos los triángulos tienen defecto positivo, equivalentemente, si existe un triángulo cuya suma de ángulos internos es igual a 180 , entonces para cualquier triángulo la suma de sus ángulos interiores es igual a 180 . Primero se comienza con la propiedad aditiva del defecto de un triángulo. Teorema 2.13. Dados un triángulo ABC ABC y un punto  ABC ABC   ACD ACD   DCB DCB . Demostración: basta Demostración: basta atender los siguientes pasos: (i). Se tiene que el rayo CD es interior al ángulo

D

tal que

ACB

A * D * B entonces

.

Figura 32. Rayo CD es interior al ángulo

ACB

(ii). (iii).

DCB    ACB ACB  . Por la parte (c) del teorema 2.10. se tiene que  ACD   DCB Como los ángulos ADC ADC y CDB CDB son suplementarios, la parte (f) del teorema

(iv).

ADC    CDB CDB   180 . 2.10. implica que  ADC Por definición de defecto se tienen las siguientes relaciones:


21

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica 

ABC









BCA



DBC







BCD



ADC







DCA





CAB



  ABC  180



  DBC  180



  ADC  180







C DB







C AD

(v).

Sumando miembro a miembro y utilizando las relaciones obtenidas en los pasos (ii) y (iii) se obtiene que  ABC ABC   ACD ACD   DCB DCB . Lo que muestr muestra a el el resul resulta tado do.. Corolario 2.13.1. Bajo las hipótesis del teorema 2.13. la suma de los ángulos interiores del triángulo ABC ABC es igual a 180 si y sólo si la suma de los ángulos internos de cada triángulo ACD y DCB DCB es 180 . ACD Demostración: supóngase Demostración: supóngase que la suma de los ángulos internos de cada triángulo ACD y DCB DCB es 180 , entonces  ACD ACD   DCB  0 , por el teorema 2.13. se tiene que  ABC ABC   ACD ACD   DCB DCB  0  0  0 , es decir, la suma de los ángulos interiores del triángulo ABC ABC es igual a 180 . Inversamente, si  ABC  0 , entonces por el teorema 2.13. se tiene que  ACD ACD   DCB DCB   ABC ABC  0 , por el teorema 2.12. se tiene que  ACD y  DCB DCB son números no negativos, lo que implica que  ACD ACD  DCB DCB 0 , es decir, la suma de los ángulos internos de cada triángulo ACD DCB DCB es 180 . ACD y 



El siguiente resultado muestra que cuando un rectángulo existe también un triángulo que tiene defecto nulo e inversamente, éste se presenta sin demostración. Teorema 2.14. Si existe un triángulo cuya suma de ángulos internos es 180 , entonces existe un rectángulo. Inversamente, si un rectángulo existe entonces en todo triángulo la suma de sus ángulos internos es igual a 180 . Corolario 2.14.1. Si existe un triángulo con defecto positivo, entonces todos los rectángulos tienen defecto positivo. Combinando el lema 2.1. y el teorema 2.14., se tienen los siguientes resultados: Teorema 2.15. En geometría hiperbólica, en cualquier triángulo la suma de sus ángulos internos es menor que 180 . Una consecuencia del teorema anterior es la siguiente propiedad que tienen los cuadriláteros convexos. Corolario 2.15.1. En geometría hiperbólica, la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero convexo es menor que 360 . Demostración: considera Demostración: considera los siguientes pasos: (i). Sea el cuadrilátero cuadriláter o convexo ABCD ABCD . Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

22

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (ii).

Tomando la diagonal

AC

y considerar los dos triángulos

Figura 33. Triángulos

(iii). (iv).

ACD ACD

.

ACD ACD

Por el teorema 2.15. 2.15. las suma de los ángulos internos de cada triangulo es menor que 180 . Dado que ABCD ABCD es convexo significa que el rayo AC esta entre los rayos AB y AD .

Figura 34. El rayo

(v).

ABC AB C y

y

ABC

AC está

entre los rayos

AB y AD

Por la parte (c) del teorema 2.10. se tiene las siguiente relación:



BAC BAC







CAD CAD







BAD BAD



ACB    ACD ACD    BCD BCD  . De forma similar se tiene que  ACB Combinando los pasos (ii), (v) y (vi) se tiene que la suma de los ángulos internos del cuadrilátero ABCD ABCD es menor que dos veces 180 . Lo que demue demuest stra ra el el resu resulta ltado do..

(vi). (vii).

2.2. Triángulos semejantes Hasta el momento, tomando en cuenta también la unidad anterior, se han presentado los siguientes criterios de congruencias de triángulos: (a) Criterio Lado-Ángulo-Lado. (b) Criterio Ángulo-Lado-Ángulo. (c) Criterio Lado-Ángulo-Ángulo. Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

23

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (d) Criterio Lado-Lado-Lado. El objetivo de esta sección es mostrar que en geometría hiperbólica basta el criterio LadoLado-Lado.

2.2.1. El postulado de Wallis El resultado importante de esta sección es también equivalente al axioma de las paralelas, inicialmente fue planteado por el astrónomo persa Nasir Eddin al-Tusi (1201-1274); sin embargo, su demostración tiene varias afirmaciones cuya justificación no es correcta, el matemático John Wallis (1616-1703) fue quien se dedicó a resolver los vacíos dejados por el astrónomo persa. Wallis plantea un nuevo postulado y utilizando los axiomas incidencia, intermediación, congruencia y continuidad obtuvo el postulado de las paralelas. Se empieza con el siguiente concepto. Definición: dados Definición: dados dos triángulos ABC y DEF DEF se dice que el triángulo ABC AB C es semejante a DEF DEF si y sólo si se puede realizar una correspondencia de vértices de tal forma que los ángulos sean congruentes. Cuando los triángulos

ABC ABC

y

DEF DEF

son congruentes se denota por

ABC AB C

DEF DEF

.

En geometría euclidiana se demuestra que cuando dos triángulos son congruentes los lados correspondientes son proporcionales. La siguiente figura ilustra concepto de semejanza de triángulos:

Figura 35. Triángulos semejantes

Postulado de Wallis: dados Wallis: dados un triángulo ABC ABC y un segmento DEF , de tal manera que triángulo DEF ABC ABC DEF DEF .

DE ,

siempre existe un

A continuación continuación se presenta presenta el resultado resultado principal principal de esta sección: Teorema 2.16. El postulado de Wallis implica el postulado de las paralelas. Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

24

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Demostración: basta Demostración: basta atender los siguientes pasos: (i). Sean una recta y P un punto que no sea elemento de


(ii).

Sean Q el punto sobre la recta

y punto

tal que PQ  y

.

P

m

la recta que pasa por

P

tal

que m  PQ .

Figura 37. Línea PQ perpendicular a

(iii). (iv).

Como PQ  y m  PQ entonces m , sea desea mostrar que línea paralela a . Sea una línea distinta de que pasa por P . n

es la única

m

Figura 38. Línea

(v).

m

n que

pasa por

P

Toma el rayo contenido en que inicia en P que está entre los rayos PQ y donde m1 es un rayo contenido en la línea m . n

1

n

Figura 39. Rayo

n

1

contenido en

n

que inicia en

m

1

,

P


25

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (vi).

Para cualquier punto

R

en el rayo

n

1

existe un punto

S

en el rayo PQ que

satisface que S R  P Q .

Figura 40. Línea

(vii).

SR

perpendicular a PQ

Aplicando el postulado de Wallis al triángulo PSR y al segmento PQ , así existe Q y un punto T de tal manera que PSR PSR PQT PQT , con la asignación P P , S R T . Se puede suponer que T y R están del mismo lado con respecto a la línea PQ , ya que si T y R están del lado opuesto con respecto a PQ existe un punto T

1

que está del mismo lado que

R

con respecto a PQ tal que


(viii).

Por (viii) se tiene que

PQT PQT

PQT congruente al triángulo



PQT PQT 1 .

PQT PQT 1

TPQ  RPS .

(ix).

Por el punto (ix), por el hecho de que PQ PS y el axioma de continuidad 4

(x).

implican que PR PT . Por consiguiente T es un punto del rayo PR . PQT  P SR y se tiene que De forma similar, similar , por ser ángulos rectos se tiene que PQT T es un punto de la línea , lo que implica que n y se intersectan en T .





n

Figura 42. Punto

T donde

se intersectan las l íneas

n

y


26

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (xi). Por lo tanto es única. Lo que demue demuest stra ra el el resu resulta ltado do.. m

2.2.2. Congruencia de triángulos El teorema El teorema 2.16. garantiza 2.16. garantiza que el postulado de Wallis no se cumple en geometría hiperbólica. En consecuencia, bajo ciertas circunstancias, en esta geometría hablar de triángulos similares carece de significado. El objetivo de esta sección es agregar condiciones para ver que el concepto de triángulos similares no se tiene en geometría hiperbólica. Teorema 2.17. En geometría hiperbólica, si dos triángulos son similares, entonces también son congruentes. Demostración: se Demostración: se procede por contradicción siguiendo los siguientes pasos: (i). Supóngase que existen dos triángulos ABC A B C que son similares pero ABC y no congruentes, con la correspondencia A A , B B y C C . '

'

'

'

'

'

Figura 43. Triángulos similares y no congruentes

(ii).

Entonces no hay lados correspondientes correspondient es que sean congruentes, ya que en caso contrario por el criterio LAL garantiza que los triángulos ABC A B C son ABC y congruentes contradiciendo el punto (i). Considera las dos ternas ordenadas  AB AC BC  y  A ' B ', A 'C ', B 'C ' de lados de los triángulos ABC ABC y A B C , respectivamente. Alguna de las ternas anteriores debe contener al menos dos segmentos que sean más grandes que los otros dos correspondientes, sin pérdida de generalidad, se puede suponer que AB  A B y AC  A C . Luego, existen dos puntos B y C en AB y AC respectivamente tales que AB  A B y AC  A C . Por el criterio LAL se tiene que los triángulos AB ''C '' y A B C son congruentes. Esto implica que los ángulos correspondientes son congruentes AB C  B y AC B  C . '

(iii).

,

'

(iv).

'

(v).

'

'

''

'

,

'

'

''

'

'

''

''

''

'

'

'

''

''

(vi).

'

'

'

'

''


27

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (vii).

Por la hipótesis ABC ABC A ' B ' C ' y el axioma de congruencia cinco implica que AC B  C . AB C  B y Por el teorema 2.7. se tiene que BC B C , trayendo como consecuencia que el cuadrilátero BB C C es convexo. Por las partes (b) y (f) del teorema 2.10. se tiene que: ''

(viii).

''

''

''

(ix).



''

''

''



C

''

B







BB '' C ''











CC '' B ''



 180

(x).

Por consiguiente la suma de los ángulos internos del cuadrilátero cuadriláter o 360 , lo que contradice al corolario 2.15.1. Lo que demue demuest stra ra el el resu resulta ltado do..

BB '' C '' C

es

En resumen, en la geometría hiperbólica es imposible ampliar o reducir el tamaño del triángulo sin que éste sufra una distorsión. distorsión. Como Como una aplicación de esto, si se tiene una fotografía, en un mundo hiperbólico, tiene que ser inherentemente ser inherentemente surrealista. Una consecuencia sorprendente del teorema 2.17. es que en la geometría hiperbólica un segmento puede ser determinado con la ayuda de un ángulo ángulo;; por por ejemplo ejemplo,, el ángulo de un triángulo equilátero determina la longitud de un lado de forma única. única. Esto a veces se dice de forma más dramática, afirmando que la geometría hiperbólica tiene una unidad absoluta de longitud. longitud. Incluso Incluso si la geometría del universo físico fuera fuera de de tipo hiperbólico hiperbólico,, no tendría más que el tamaño necesario, obteniendo necesario, obteniendo así una unidad de longitud que sería cuidadosamente guardada en la Oficina de Pesas y Medidas Internacionales .

Actividad 2. Suma de ángulos y triángulos semejantes A través de de esta actividad, actividad, resolverás resolverás ejercicios de sumas de ángulos y triángulos semejantes, tomando en cuenta los axiomas de intermediación y congruencia. Instrucciones: Suma de ángulos ángulos y triángulos triángulos semejantes. semejantes. 1. Descarga el documento Act. 2. Suma

2. Resuelve los ejercicios que ahí se presentan, toma en cuenta los axiomas de intermediación y congruencia. 3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MGNE_U2_A2_XXYZ. 4. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación. *Nota: *Nota: no olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo. Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

28


2.3. Paralelas y perpendiculares Una de las primeras experiencias que se tiene con las líneas paralelas se presenta al observar las vías del tren, éstas se mantienen siempre a una misma distancia una de la otra, como lo muestra la siguiente figura:

Figura 44: Rieles de ferrocarril

Para formalizar la idea anterior se presenta el siguiente concepto: Definición: dadas dos líneas y , para un conjunto de punto A, B, C , sobre la línea , le corresponde el conjunto de puntos A ', B ', C ', de la línea ' , que se obtiene cuando las perpendiculares a que pasan por los puntos A, B,C , respectivamente intersectan a . Se dice que los puntos A, B, C , son equidistantes a si y sólo si AA'  BB'  C C '  . La siguiente figura ejemplifica la definición anterior: '

'





Figura 45. Puntos equidistantes de dos líneas

2.3.1. Paralelas que admiten una perpendicular común Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

29

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica El matemático Girolamo Saccheri (1667-1733) presentó en su libro Euclides ab omni naevo vindicatus la negación del postulado de las paralelas e intentó obtener una contradicción. Concretamente, Saccheri estudió un tipo particular de cuadriláteros que tienen como base dos ángulos rectos y cuyos lados adyacentes a las bases son congruentes uno al otro, por Saccheri. tal motivo esta clase de cuadriláteros toman el nombre de Cuadriláteros de Saccheri. Lema 2.3. Los cuadriláteros de Saccheri existen. Demostración: basta Demostración: basta atender los siguientes pasos: (i).

Toma el segmento

AB

.

Figura 46. Segmento AB

(ii).

Sean m y n las rectas perpendiculares a la línea AB tal que pasa por respectivamente.

Figura 47. Líneas

(iii).

y

y B

n perpendiculares a AB

Considera los puntos C y D de las líneas y respectivamente, de tal manera que C y D están del mismo lado con respecto a AB y que AC  BD . m

Figura 48. Puntos

(iv).

m

A

Toma la línea que pasa por Saccheri.

CD

n

C y D que satisfacen AC  BD

y el cuadrilátero

ABCD ABCD

es un cuadrilátero de


30


Figura 49. Cuadrilátero

ABCD ABCD

Lo que demue demuest stra ra el el resu resulta ltado do.. En la parte alta de un cuadrilátero de Saccheri pueden suceder una y sólo una de las siguientes condiciones: (a) Los ángulos en la altura son ángulos rectos. (b) Los ángulos en la altura son ángulos obtusos. (c) Los ángulos en la altura son ángulos agudos. En la siguiente figura se ejemplifican los tres casos de cuadriláteros de Saccheri.

Figura 50. Cuadriláteros de Saccheri

La clasificación anterior se deduce a partir del siguiente resultado: Lema 2.4. Dado un cuadrilátero de Saccheri ABCD ABCD donde los ángulos rectos y AC  DB entonces C  D . Demostración: basta atender los siguientes pasos: (i).

Considera el cuadrilátero AC  DB .

ABCD ABCD

donde los ángulos

A

y

B

A

y

B

son

son rectos y


31


Figura 51. El cuadrilátero

(ii).

Considera la segmentos AD y BC , el criterio LAL garantiza que los triángulos DBA DBA son congruentes y en consecuencia ACB ACB  BDA y CB  DA . CAB CAB y

Figura 52. Los triángulos

(iii). (iv). (v).

ABCD ABCD

CAB CAB

y

DBA DBA son congruentes

Por el criterio LLL los triángulos CBD  DAC , así los ángulos son congruentes. Luego se tiene que C  ACB  BCD y D  BDA BDA  ADC ADC . Por las partes (b) y (c) del teorema 2.10. se tiene que:



C







ACB







BCD





BDA







ADB





D

BCD y

ADC AD C







(vi). Por la parte (b) del teorema 2.10. se tiene que Lo que demue demuest stra ra el el resu resulta ltado do..

C 

D

.

Otra propiedad importante que tienen los cuadriláteros de Saccheri se presenta en el siguiente enunciado: Lema 2.5. En un cuadrilátero de Saccheri, el segmento que une el punto medio de la base con el punto medio de la altura es perpendicular tanto a la base como a la altura y su longitud es más pequeña que la longitud de sus lados paralelos. Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

32

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Demostración: considera Demostración: considera los siguientes pasos: (i).

Sean y dos líneas donde los puntos A B de y los puntos A B de son ABB ' A ' es un cuadrilátero de Saccheri. Denota escogidos de tal manera que el ABB por M y M los puntos de los segmentos AB y A B respectivamente. 

'

,

'

'

Figura 53. Cuadrilátero de Saccheri

(ii).



'

ABB ABB ' A'

Por el lema 2.4. se tiene que A  B y utilizando el criterio LAL que implican A AM  B BM , obteniendo que los lados A M y B M son congruentes: '

'

'


(iii).

'

A ' AM y

'

B ' BM son congruentes

El criterio LLL garantiza que A M M  B M M . Luego los correspondientes ángulos A M M y B M M son congruentes y como son congruentes éstos deben ser ángulos rectos, lo que demuestra que M M  A B . '

'

'

'

'

'

'

'

'


A ' M ' M y

'

'

B ' M ' M son congruentes


33

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (iv). (v).

De las dos congruencias de triángulos anteriores se tiene que A MM  B MM y A' MA  B ' MB , Además AMA AMA  A MM  AMM AMM y BM BMB  B MM  BMM lo que implica que los ángulos suplementarios A MA y B MB son congruentes y la parte (b) '

'

'

'

del teorema 2.10. implica que  y B MB son rectos.

'

'

'

'



A ' MA





'

B ' MB

'

'

'

'

'

 , es decir, los ángulos

A ' MA

'

Figura 56. Los ángulos

(vi).

A ' MA y

B ' MB son

rectos

Considera el rectángulo rectángulo A M MA , que tiene tres ángulos rectos, en geometría hiperbólica, como los rectángulos no existen el cuarto ángulo tiene que ser agudo. Lo que implica que AA'  MM ' . Lo que demue demuest stra ra el el resu resulta ltado do.. '

'

En geometría euclidiana es usual utilizar el concepto de equidistancia para definir rectas paralelas como aquéllas que cada punto de una es equidistante a la otra. En geometría hiperbólica las cosas son distintas, como lo muestra el siguiente resultado: Teorema 2.18. En geometría hiperbólica si dos líneas y son dos líneas paralelas, cualquier conjunto de puntos de la línea a la línea tiene a lo más dos elementos equidistantes. Demostración: se Demostración: se procede por contradicción, siguiendo los pasos que a continuación se presentan: 



(i).

Supóngase que existen tres puntos A, B, C de la línea línea .

que son equidistantes a la

'


34


Figura 57. Los puntos equidistantes A B C ,

(ii).

Entonces se forman dos cuadriláteros cuadriláter os A' B ' BA , A C CA y B C CB que son cuadriláteros de Saccheri, ya que sus ángulos bases son rectos y sus lados son congruentes. '

Figura 58. Los cuadriláteros de Saccheri

(iii). (iv).

,

A' B ' BA ,

'

'

A ' C ' CA y

'

B ' C ' CB

El lema 2.4. garantiza que A AB  B BA , A AC  C CA y B BC  C CB . Por el axioma de congruencia 5 se tiene que los ángulos suplementarios suplementario s B BA y B BC son congruentes a cada uno de los otros, es decir, son ángulos rectos. '

'

'

'

'

'

'

'

Figura 59. Los ángulos

(v).

B ' BA y

B ' BC son

rectos

Lo que implica que A B BA , A C CA y B C CB son rectángulos, lo que contradice el lema 2.1. (vi). Por lo tanto A , B y C no pueden ser equidistantes a la línea . Lo que demue demuest stra ra el el resu resulta ltado do.. '

'

'

'

'

'

Los siguientes resultados son importantes, ya que permiten darle una interpretación gráfica a la geometría hiperbólica.


35

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Teorema 2.19. En geometría hiperbólica si dos líneas y son paralelas y además existen dos puntos A y B de que son equidistantes a  , entonces y tienen una perpendicular común. 



Demostración: considera Demostración: considera los siguientes pasos: (i).

Dadas dos líneas a .

y



paralelas y dos puntos

A

y B de

que son equidistantes



Figura 60. Puntos

(ii).

A y B son equidistantes

Existen dos puntos A y B de la línea  tales que el cuadrilátero A B BA es un cuadrilátero de Saccheri, es decir, los puntos A y B de la línea se obtienen cuando las perpendiculares a que pasan por A y B respectivamente cortan a . '

'

'

'

'

'

'

'

Figura 61. Cuadrilátero de Saccheri

(iii). (iv).

A ' B ' BA

Sean M y M ' los puntos medios de los segmentos AB y A B respectivamente. El lema 2.5. garantiza que el segmento M M es perpendicular a y simultáneamente. '

'



'

Figura 62. Línea

M ' M

perpendicular a

y



Lo que demue demuest stra ra el el resu resulta ltado do.. Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

36

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Teorema 2.20. En geometría hiperbólica si dos líneas y tienen una perpendicular común MM , entonces éstas son paralelas, y la perpendicular MM es única. Más aún, si de tal forma que M es el punto medio de AB A y B son dos puntos de la línea entonces los puntos A y B son equidistantes a . 

'

'



Demostración: basta Demostración: basta atender los siguientes pasos: (i).

El corolario 2.7.1. garantiza que las líneas simultáneamente simultáneam ente perpendicular a y .

y



son paralelas, ya que

MM '

es




(ii). (iii). (iv).

perpen endi dicu cula larr MM ' es perp





'

'



'

Por el criterio LAL se tiene que AM  BM . '

MM ' perpendicular a

AM ' M



BM ' M

, ya qué

AM ' M



BM ' M

y

'


(vi).

y

La perpendicular MM a y es única, ya que si existiera otra perpendicular, ésta formaría un rectángulo, contradiciendo el lema 2.1. Dados dos puntos A y B de la línea , tales que M sea el punto medio del segmento AB . Considera los puntos A y B de la línea que se obtienen al trazar las perpendiculares perpendiculare s a la línea que pasan por los puntos A y B respectivamente.

Figura 64. Línea

(v).

com común ún a

AM ' M y

BM ' M son congruentes

Por consiguiente:


37

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica  (vii).

A ' M ' A





90





AM ' M





90





BM ' M







B'M 'B

 .

Así que A M A  B M B , por el criterio LAA se tiene que AA M  BB M lo que implica que los lados correspondientes AA y BB son congruentes. Lo que muest muestra ra el resul resulta tado do.. '

'

'

'

'

'

'

'

'

'

El teorema 2.18. plantea que a los más dos puntos en una línea pueden ser equidistantes a la línea  , el teorema 2.19. plantea que si un par de líneas y tienen un par de puntos equidistantes éstas poseen una única perpendicular común y el teorema 2.20. proyecta cómo se ubican dos puntos equidistantes. Una idea gráfica que conjunta todos estos resultados se presenta en la siguiente figura: 

Figura 66. Líneas paralelas en geometría hiperbólica

2.3.2. Limitación de rayos paralelos A lo largo de esta unidad unidad se ha utilizado utilizado una técnica estándar estándar para construir, a partir de una línea y un punto que no pertenezca a ésta, una línea paralela a la línea inicial que pasa por el punto dado. Esta técnica se describe a continuación: Dado una línea que pasa por

P

y un punto

P

que no pertenece a

, luego se traza la perpendicular

m

, se traza la perpendicular PQ a

a PQ que pasa por

P

, las líneas

y

m . Por el teorema hiperbólico tienen una perpendicular común que es PQ entonces n . universal existe otra línea n distinta de que pasa por el punto P tal que

m

m

La siguiente es una noción intuitiva del objetivo de esta sección, para ello se hace uso del axioma de continuidad. continuidad. Considerando la construcción anterior, toma la familia  PR  de k

todos rayos que pasan por P , en este conjunto existe un rayo distinguido PR tal que cualquier rayo PR que esté entre y PR es paralelo a y cualquier rayo PRk que no k

esté entre

m y PR

m

tiene que intersectar a

, en tal caso se dice que el rayo PR limita a

los rayos PR que son paralelos a la línea . La siguiente figura bosqueja la idea antes presentada: Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías k

38


Figura 67. Rayo paralelo limitante

Teorema 2.21. Dada la línea punto de la línea

, y para todo punto

de tal manera que

PQ 

P

que no pertenezca a

sea Q el

. Entonces existen dos únicos rayos PX y

que no intersectan a y que están en lados opuestos con respecto a la línea PQ que satisface la condición: un rayo que inicie en P intersecta a si y sólo si éste está entre los rayos PX y PX . Más aún, esos rayos limitantes están situados simétricamente XPQ  X P Q . con respecto a la línea PQ en el sentido de que XPQ PX '

'

'

Demostración: basta Demostración: basta atender los siguientes pasos: (i).

Sea

una línea y P un punto que no pertenece a , considera la perpendicular PQ a que pasa por P , y se denota por la perpendicular a PQ que pasa por m. P , implicando que m


(ii).

Sea

S

un punto en la línea

m

m es paralela a la línea

distinto de

P

y considera la línea SQ . Sea

1

el

conjunto de todos los puntos T sobre el segmento SQ , de tal manera que PT intersecta a y el conjunto  el complemento de 1 . Observa que Q   y S   2 . 2


1

39


Figura 69. Definición de los conjuntos

(iii).

Si el punto

T

1 y  2

del segmento SQ pertenece al conjunto

1

, entonces todo el

segmento TQ está contenido en  , lo que implica que la pareja  1, 2  es una cortadura de Dedekind. Por el axioma de continuidad se tiene que existe un único punto X de la línea SQ de tal manera que P * X * P si y sólo si P   y P   . Por definición de  y  se tiene que cualquier rayo que esté por encima del rayo 1

1

1

PX

a

no intersecta a

1

2

2

2

y cualquier rayo que este por debajo del rayo

PX

intersecta

.

Figura 70. La cortadura de Dedekind

(iv).

1

2

 1, 2 

Se desea mostrar que PX no intersecta a y se procede por contradicción, contradicci ón, supóngase que PX intersecta a la línea en el punto U .

Figura 71. El rayo PX intersecta a línea

en el punto

U


40

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (v).

Sea

V

cualquier punto sobre la línea

que cumpla con V U Q , como *

*

U

están del mismo lado con respecto a la línea SQ se tiene que los puntos

y V

P

y V

son opuestos con respecto a la línea SQ , implicando que VP intersecta a SQ en el punto Y . Se tiene que Y X Q implicando que Y   . Contradiciendo el hecho *

de que

PY

intersecta a

*

, lo que implica que PX es un rayo paralelo limitante.

Figura 72. El rayo

(vi).

2

PX es un rayo pa ralelo limitante de

Para mostrar la simetría, se procede por contradicción: contradicció n: supóngase que los XPQ y X ' PQ no son congruentes y sin pérdida de ángulos contrarios XPQ generalidad se puede suponer que  XPQ





X ' PQ . Por el axioma de

congruencia 4, existe un rayo PR entre los rayos PX y PQ , de tal manera que R PQ  X PQ . El axioma de congruencia 1 garantiza que existe un punto R que es opuesto a R con respecto a la línea PQ que satisface R Q R y RQ  R ' Q . RPQ  R P Q . RPQ  R P Q , lo que implica que RPQ El criterio criteri o LAL garantiza que RPQ RPQ  X PQ , lo que es una El axioma de congruencia 5 garantiza que RPQ '

'

'

(vii).

'

*

(viii).

*

'

'

contradicción, ya que

PR

se encuentra entre los rayos

Figura 73. El rayo

X '

'

y PQ .

PX

es simétrico al rayo

X

Lo que demue demuest stra ra el el resu resulta ltado do..


41

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Los ángulos XPQ y

X ' PQ que

tienen respectivamente los rayos limitantes

paralelismo y son llamados ángulos de paralelismo y usualmente se denotan por que



 PQ

 90

, ya que si



 PQ

 90



PX y

PX '

 PQ  . Observa

, entonces se contradice el teorema hiperbólico

universal, más aún, se tiene que   PQ  toma cualquier valor entre 0 y 90 . Bolyai y Lobachevsky describieron Lobachevsky describieron una fórmula para encontrar el valor del ángulo de paralelismo. En geometría hiperbólica un segmento unitario natural OI es cualquier segmento OI tal que



 OI 

 45

.

2.4. Clasificación de las paralelas En geometría hiperbólica existen dos tipos de líneas paralelas: (a)

El primer tipo consiste tipo consiste de líneas paralelas y que tienen una perpendicular común, donde diverge de en ambos lados de la perpendicular común. m

m

Figura 74: Líneas paralelas de primer tipo

(b)

El segundo tipo consiste de todas las líneas paralelas a que están contenidas en un rayo paralelo limitante en una dirección, es decir, estas paralelas se aproximan asintóticamente a una de las direcciones de y son divergentes a en la otra dirección.

Figura 75. Líneas paralelas de segundo tipo


42

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Si la línea es una paralela de segundo tipo a la línea se puede demostrar demostrar que y no tienen una perpendicular común, lo que muestra que no existe una paralela que sea de ambos tipos. El siguiente teorema, el cual se enuncia sin demostración, establece que sólo existen estos dos tipos de líneas paralelas. m

m

m , supóngase que Teorema 2.22. Dadas dos líneas y de tal forma que no está limitado por ningún rayo paralelo a en alguna dirección adecuada. Entonces existe una línea perpendicular común a m y . m

m

Actividad 3. Paralelas y perpendiculares A través de de esta actividad, actividad, resolverás resolverás ejercicios ejercicios relacionados relacionados con paralelas y perpendiculares, tomando en cuenta los axiomas de continuidad y paralelismo. Instrucciones: Paralelas y perpendic perpendiculares. ulares. 1. Descarga el documento Act. 3. Paralelas

2. Resuelve los ejercicios que ahí se presentan, toma en cuenta los axiomas de continuidad y paralelismo. 3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCDI_U2_A3_XXYZ. espera su retroalimentación. 4. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su *Nota: *Nota: no olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad, es necesario que resuelvas la autoevaluación. Ingresa al Ingresa al aula virtual para realizar tu actividad.

Evidencia de aprendizaje. Geometría hiperbólica A través de esta actividad, actividad, resolverás resolverás ejercicios ejercicios tomando en cuenta cuenta los axiomas axiomas de Hilbert. Para ello: Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

43

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica 1. Descarga el documento llamado EA_ Geometría hiperbólica . .

2. Resuelve los planteamientos que se presentan de acuerdo con lo que aprendiste en la unidad. 3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCDI_U2_EA_XXYZ. 4. Envía tu Envía tu reporte al Portafolio de evidencias y espera la espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus atiende sus comentarios y reenvía la reenvía la nueva versión de tu evidencia. 5. Consulta la Consulta la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión y leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes elaborar tu autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad En esta unidad iniciaste estudiando distintos enunciados equivalentes al quinto postulado de Euclides, como la geometría hiperbólica, que es distinta a la euclidiana, la cual se obtiene partiendo del axioma hiperbólico, negando el postulado de las paralelas de Hilbert. Comprendiste que existen algunas propiedades comunes entre la geometría hiperbólica y la geometría euclidiana, como también propiedades que difieren entre ambas. Te invitamos a que revises la unidad 3, donde estos conocimientos se reforzarán, con lo que lograrás tener un conocimiento integral.

Para saber más Existe una geometría no-euclidiana llamada geometría elíptica que se construye de forma similar a la geometría hiperbólica para ver más detalles puede consultar los siguientes sitios: 

http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_geometry


44

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica 



http://www.math.brown.edu/~banchoff/gc/elliptic/elliptic.html http://web.mnstate.edu/peil/geometry/C2EuclidNonEuclid/7elliptic.htm

Fuentes de consulta 

Courant, R., Courant, R., Robbins, Robbins, H. H. y Stewart, y Stewart, I. I. (1996). What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods Methods . EUA: Oxford University Press Devlin, K. (2000). The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible . EUA: Holt Paperbacks. Eves, H. (1972). Survey of geometry . EUA: Allyn & Bacon. Hartshorne, Hartshorne, R. (2005). Geometry: Euclid and Beyond . EUA: Springer. Hilbert D. y Cohn-Vossen, S. (1999) Geometry and imagination . EUA: American Mathematical Society. Meschkowski, H. (1964). Noneuclidean Geometry . EUA: Academic Press. .



  




45

Unidad 2. Geometria Hiperbolica.pdf

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