io r na o i uc l So
Exam
en de
admi
sión
UNI
2016 -I
Aptitud Académica y Humanidades Aptitud Académica Por lo tanto, la alternativa que debe ocupar el ca-
Razonamiento Matemático
sillero UNI es
PREGUNTA N.o 1 Determine la alternativa que debe ocupar el casillero UNI, en el cuadro siguiente:
.
Respuesta:
ACADEMIA
PREGUNTA N.o 2 ¿Qué figura continúa?
CESAR VALLEJO
UNI
A)
B)
D)
Resolución
C)
(base superior)
B)
C)
E)
E)
Resolución Tema: Psicotécnico Análisis y procedimiento Piden la figura que sigue. balanzas inclinadas a un lado
1 2 3
balanza equilibrada
UNI
= =
...
(base al medio)
CREEMOS EN LA EXIGENCIA D)
Tema: Psicotécnico Análisis y procedimiento Nos piden la alternativa que debe ocupar el casillero UNI. Podemos ver tres niveles en la base: , y , es decir que de la primera fila a la segunda, los elementos de la base suben un nivel, de igual forma en la tercera, así: (base inferior)
A)
= =
La figura que sigue corresponde al equilibrio
Además, tenemos en un sentido (figuras 1; 3 y 5), y en otro sentido (figuras 2; 4 y la que sigue).
Elementos en el nivel superior
1
unI 2016 -I
Academia CÉSAR VALLEJO PREGUNTA N.o 4
Por lo tanto, la figura que sigue tiene equilibrio ( = ) y la base que corresponde a la alternativa D.
Determine la figura discordante:
Respuesta:
A)
B)
C)
D)
E)
PREGUNTA N.o 3 Señale la alternativa correcta, después de determinar las vistas que corresponden al sólido mostrado.
Resolución
ACADEMIA
I
II
A) I, II y III B) II, III y IV C) II, III y V D) I y II E) II y IV
Resolución
III
Tema: Psicotécnico Análisis y procedimiento Observando las figuras de las alternativas B, C y E, puede notarse que al rotarlas convenientemente en sentido horario o antihorario resulta la figura de la alternativa A.
CESAR VALLEJO IV
V
Por lo tanto, la figura discordante es la alternativa D.
Respuesta:
PREGUNTA N.o 5
25 de julio del año pasado fue martes. Si el año CREEMOS EN LAEl EXIGENCIA antepasado fue bisiesto, ¿qué día será el 1.º de agosto del próximo año?
Tema: Razonamiento abstracto Análisis y procedimiento Primero obtendremos las vistas y luego determinamos a qué alternativas corresponden.
A) Martes B) Miércoles C) Jueves D) Viernes E) Sábado
Resolución
(alternativa III)
Tema: Relación de tiempo Análisis y procedimiento Analizamos los datos. Año Año pasado Año actual antepasado (año normal) (año normal) (bisiesto) 25 julio 25 julio Martes (dato)
(alternativa II)
Miércoles
Próximo año (año normal) 1 agosto 25 julio Jueves
Jueves 7 días
Por lo tanto, el 1 de agosto del próximo año será jueves.
(alternativa V)
Respuesta: II, III y V
Respuesta: Jueves
2
unI 2016 -I
Solucionario de Aptitud Académica y Humanidades PREGUNTA N.o 6
- La casa de Dora está entre la de David y Beto. - Ana vive al lado de Beto, a dos casas de Aldo. - César vive al lado de Celia, lo más lejos de David. Determine quiénes viven en el #105, #107 y #108 si David vive entre Ana y Bertha pero no al lado de una de ellas.
Determine las proposiciones correctas: I. p → q ≡ ∼ ((p ∨ q) ∧ ∼ q) II. p → q ≡ (p ∧ q) ∨ ∼ p III. p → q ≡ ∼ q → ∼ p
A) solo III B) solo I, II D) solo II, III
C) solo I, III E) I, II, III
Resolución Tema: Lógica proposicional Análisis y procedimiento Analizamos cada proposición. I. Correcta p → q ≡ ∼ ((p ∨ q) ∧ ∼ q) ≡ ∼ (p ∨ q) ∨ q (por Morgan) ≡ (∼ p ∧ ∼ q) ∨ q (por Morgan) ≡ ∼ p ∨ q (por absorción) ACADEMIA ≡ p → q (por definición de la con dicional)
A) David, César y Celia. B) Beto, César y Ana. C) Beto, César y Celia. D) David, Beto y Dora. E) César, Beto y Celia.
Resolución Tema: Ordenamiento de información Análisis y procedimiento Piden determinar quiénes viven en el #105, #107 y #108. De los datos: • Distribución de 8 casas en círculo. • Las mujeres viven en número par. • Bertha vive en el #102 y Aldo en el #101.
CESAR VALLEJO
II. Correcta p → q ≡ (p ∧ q) ∨ ∼ p ≡ ∼ p ∨ q (por absorción) ≡ p → q (por definición de la con dicional)
Tenemos
CREEMOS EN LA EXIGENCIA
III. Correcta p → q ≡ ∼ q → ∼ p ≡ ∼ (∼ q) ∨ ∼ p (por definición de la con dicional) ≡ q ∨ ∼ p (por ley de la negación) ≡ ∼ p ∨ q (por conmutatividad) ≡ p → q (por definición de la con dicional)
101 Aldo
Paso 1
102
Dato: César vive lo más lejos de David (varones a los extremos).
Bertha
103 David Paso 3
Dora
108 Celia Paso 4
César está al lado de Celia y lejos de David.
Respuesta: I, II, III
PREGUNTA N.o 7
César Beto 107 106 Ana
105
104
Dato: Dora está entre David y Beto (se deduce del paso 2). Paso 2
Se deduce que este varón es Beto.
• Dato final: Entre Aldo y Ana hay 2 casas. Además, David no está junto a Ana.
Frente a un parque de forma circular viven: Aldo, Ana, Bertha, Beto, César, Celia, Dora y David. Se sabe que: - Las mujeres viven en direcciones que terminan en número par. - Bertha vive en el #102 a la derecha del #101 que es la casa de Aldo.
Por lo tanto, en el #105 vive Beto; en el #107, César; y en el #108, Celia. Respuesta: Beto, César y Celia.
3
unI 2016 -I
Academia CÉSAR VALLEJO
PREGUNTA N.o 8
PREGUNTA N.o 9
Si la siguiente proposición es verdadera p ∧ (p → q) ∧ (q → (r ∧ s)) ∧ (s → w) entonces I. s es verdadera II. w es falsa III. q es falsa son correctas:
Un cuadrado mágico es un arreglo de números donde la suma de los números de cada fila, cada columna y cada diagonal es un mismo número. La siguiente figura es un cuadrado mágico formado con los números del 11 al 19, determine el valor de x.
18
A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) II y III
x
Resolución Tema: Lógica proposicional Análisis y procedimiento Analizamos. ACADEMIA (r ∧ s )) ∧ ( s → w) ≡ V ( p p q ∧ q → ∧ → ( ) V V V V se observa que p ≡ V. De p → q ≡ V ↓ V
De q → (r ∧ s ) ≡ V
Tema: Cuadrados mágicos Análisis y procedimiento Sea tc el término central. Del cuadrado mágico, se obtiene que 18 + 12 tc = = 15 2
CREEMOS EN LA EXIGENCIAx
11 15 12
Además 11+15=x+12 \ 14=x
↓ V
s ≡ v.
De s → w ≡ V
Respuesta: 14
se tiene que w ≡ V.
PREGUNTA N.o 10
↓ V
C) 15 E) 17
Resolución
18
V
Luego, r ≡ v
A) 13 B) 14 D) 16
CESAR VALLEJO
se tiene que r ∧ s ≡ V. ↓ V
12
Reemplazamos
↓ V
se tiene que q ≡ V. ↓ V
11
↓ V
Susan es sobrina de Ángel, si Ángel no tiene hermana y su único hermano ha desposado a Raquel, ¿cuál es el parentesco entre Susan y Raquel?
Entonces, se concluye que I. s es verdadera. II. w es verdadera. III. q es verdadera.
Por lo tanto, es correcta solo I. Respuesta: solo I
4
A) Raquel es cuñada de Susan. B) Raquel y Susan son primas hermanas. C) Susan es tía de Raquel. D) Susan es hija de Raquel. E) Raquel es tía política de Susan.
unI 2016 -I
Solucionario de Aptitud Académica y Humanidades Resolución
Del gráfico tenemos que
Tema: Parentescos Análisis y procedimiento De los datos generamos el esquema.
13
1
12
2
11 Único hermano
Ángel
Raquel
3 10
madre hija
9
5 8
PREGUNTA N. 11
6
PREGUNTA N.o 12
ACADEMIA
Determine el valor de x.
CESAR VALLEJO
Respuesta: Susan es hija de Raquel. o
7
Respuesta: 13
Susan (sobrina de Ángel)
Por lo tanto, Susan es hija de Raquel.
4
14
4 18
11
En la figura se muestra 6 monedas de un sol. Determine el número máximo de monedas de un sol que puedan ser colocadas tangencialmente a ellas.
2
9
15 5
x
13
8
A) 7 B) 8 D) 10
4
C) 9 E) 11
CREEMOS EN LA EXIGENCIA Resolución
Tema: Psicotécnico Análisis y procedimiento En las distribuciones numéricas se cumple lo siguiente: (+)
A) 11 B) 12 D) 14
14
C) 13 E) 15
4 18
11
9
2 (+)
Resolución → 4+x=15 \ x=11
Tema: Situaciones lógicas Análisis y procedimiento Nos piden el número máximo de monedas de un sol que pueden ser colocadas tangencialmente a ellas.
Respuesta: 11
5
15 5 (+)
8
x
(+)
4
13
unI 2016 -I
Academia CÉSAR VALLEJO
PREGUNTA N.o 13
Resolución
Partiendo de la sucesión de Fibonacci se obtuvo la siguiente sucesión: 11, 11, 22, 33, 55, 88, 1313, x, y, ... Indique la suma de las cifras de y – x.
Tema: Psicotécnico Análisis y procedimiento Nos piden el término que continúa en la sucesión.
2; 5; 10; 17; 26; x
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12
3
11
PREGUNTA N.o 15
Recordemos la secuencia de Fibonacci:ACADEMIA 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; ...
Indique el valor que corresponde al signo de interrogación:
CESAR VALLEJO 6 7
y x 11; 11; 22; 33; 55; 88; 1313; 2121 ; 3434
2
4
6
1
3
4
8
8
7
5
A) 3 B) 4 D) 7
2 ?
1
C) 6 E) 8
CREEMOS EN LA EXIGENCIA Resolución
Tema: Psicotécnico Análisis y procedimiento Nos piden el valor que corresponde al signo de interrogación: x.
suma de =8 ∴ cifras Respuesta: 8
6
PREGUNTA N.o 14
7
Determine el siguiente término de la sucesión: 2, 5, 10, 17, 26, ...
9
Respuesta: 37
Tema: Psicotécnico Análisis y procedimiento Nos piden la suma de cifras de (y – x).
Luego y – x=3434 – 2121 =1313
7
x=26+11 \ x=37
Resolución
Desarrollamos en el problema.
5
Secuencia de números impares a partir del 3
2
4
6
1
3
2=(6+4) – (7+1)
Respuesta: 4
6
8
7
5
4=(6+8) – (3+7)
Resolvemos x=(8+2) – (5+1) x=10 – 6 \ x=4
A) 29 B) 31 C) 35 D) 37 E) 43
4
8
2 x
1
(8+2) – (5+1)
Solucionario de Aptitud Académica y Humanidades PREGUNTA N.o 16
Considere la siguiente información: I. 6 < 2x < 10 II. x2=16 Para determinar el valor de x:
unI 2016 -I
C) Es necesario usar ambas informaciones. D) Cada información por separado es suficiente. E) Las informaciones dadas son insuficientes.
Resolución Tema: Suficiencia de datos Análisis y procedimiento Nos piden el número de varones y mujeres.
A) La información I es suficiente. B) La información II es suficiente. C) Es necesario usar ambas informaciones a la vez. D) Cada una de las informaciones por separado es suficiente. E) La información brindada es insuficiente.
Sabemos que el total de personas es 48. I. Dato n.º de varones 2 (16) = n.º de mujeres 1 (16)
Resolución Tema: Suficiencia de datos Análisis y procedimiento Usamos la información para determinar el valor ACADEMIA de x. I. 6 < 2x < 10 3
3(16)=48 Luego, este dato permite conocer las cantidades pedidas. II. Dato V – M=16 Sabemos que V +M=48
CESAR VALLEJO
II. x2=16 x= – 4 ∨ x=4 Con este dato, x toma dos valores.
Al resolver se obtiene que V=32 y M=16
Luego, este dato permite conocer las cantidades pedidas.
CREEMOS EN LA EXIGENCIA
Por lo tanto, si empleamos ambas informaciones, de forma conjunta, se obtiene el valor de x=4.
Respuesta: Cada información por separado es suficiente.
Respuesta: Es necesario usar ambas informaciones a la vez.
PREGUNTA N.o 18 Un artículo se vende con cierta ganancia. ¿Qué porcentaje del precio de venta se ganó? Información brindada: I. La ganancia fue de S/20. II. Se ganó el 20 % del precio de costo.
PREGUNTA N.o 17 En un aula se encuentran 48 estudiantes. Determine el número de varones y de mujeres. Información brindada: I. La relación entre varones y mujeres es de 2 a 1. II. La diferencia entre el número de varones y mujeres es 16. Para resolver el problema:
A) La información I es suficiente. B) La información II es suficiente.
7
A) La información I es suficiente. B) La información II es suficiente. C) Es necesario usar ambas informaciones a la vez. D) Cada una de las informaciones, por separado, es suficiente. E) La información brindada es insuficiente.
unI 2016 -I
Academia CÉSAR VALLEJO
Resolución
Entonces por ser n primo, n puede ser 2 o 3.
Tema: Suficiencia de datos Análisis y procedimiento Nos piden el porcentaje del precio de venta que se ganó. I. La ganancia fue de S/20. Con este dato no se podrá conocer el porcentaje pedido.
De las informaciones I. n2 es de un dígito.
II. n es impar. Notamos que el valor será 3.
II. Se ganó el 20 % del precio de costo. Precio de costo 100K
Por lo tanto, la información II es suficiente.
Precio de venta 120K
Respuesta: Información II es suficiente.
PREGUNTA N.o 20
Se ganó 20K.
Notamos que con este dato podemos conocer ACADEMIA el porcentaje pedido.
Se desea determinar dos números primos. Información brindada: I. La diferencia entre ellos es un número par. II. La suma entre ellos es 20. Para responder a la pregunta:
CESAR VALLEJO
Respuesta: La información II es suficiente.
PREGUNTA N.o 19
n2=4 ∨ n2=9 Con este dato, no podemos conocer el valor de n.
Se desea determinar un número primo n tal que n3 < 30. Información brindada:
A) Información I es suficiente. B) Información II es suficiente. C) Ambas informaciones son necesarias. D) Cada una de las informaciones por separado es suficiente. E) No hay suficiente información.
CREEMOS EN LA EXIGENCIA
I. n2 es de un solo dígito. II. n es impar. Para responder a la pregunta:
Resolución Tema: Suficiencia de datos Análisis y procedimiento Se desea determinar dos números primos.
A) Información I es suficiente. B) Información II es suficiente. C) Ambas informaciones son necesarias. D) Cada una de las informaciones por separado es suficiente. E) No hay suficiente información.
Sean a y b los números primos. I. a – b=par 5 7 11 13
Resolución Tema: Suficiencia de datos Análisis y procedimiento Nos piden determinar el valor de n primo.
n3 < 30
8
3 3 5 7
Con este valor no se pueden conocer los números.
unI 2016 -I
Solucionario de Aptitud Académica y Humanidades PREGUNTA N.o 22
II. a + b=20
Una caja contiene 10 bolas de color rojo y 4 bolas de color azul. Si se extraen al azar 2 bolas, ¿cuál es la probabilidad de que se extraigan dos bolas de color rojo?
3 17 7 13
Con este dato no se pueden conocer los números.
Respuesta: No hay suficiente información.
PREGUNTA N.o 21
A) 25 B) 28 D) 35
Tema: Situaciones aritméticas Análisis y procedimiento Nos piden la probabilidad de que al extraer 2 bolas, estas sean rojas. 10 bolas rojas
C) 30 ACADEMIA E) 38
Tema: Problemas sobre conjuntos Análisis y procedimiento Nos piden el número de mujeres que desaprobaron los dos cursos: x. M u n(Química)=30 j e r e (30 – 20) s V a r o n e s
20
A: obtener 2 esferas rojas
x 10 5
P [ A] =
casos a favor C10 = 2 casos totales C14 2 10 × 9
10 × 9 → P [ A] = 2 × 1 = 14 × 13 2×1
14 × 13
CREEMOS EN LA∴ EXIGENCIA P[A]=0,494
n(Física)
15 25
4 bolas azules
CESAR VALLEJO
Resolución
C) 0,512 E) 0,652
Resolución
Después del primer ciclo universitario de un grupo de estudiantes, se tiene que 30 aprobaron química, y de las 55 mujeres, 10 aprobaron física, pero no química. De los varones, 25 aprobaron química o física y 15 desaprobaron los dos cursos. Si 20 varones desaprobaron química, ¿cuántas mujeres desaprobaron los dos cursos?
A) 0,396 B) 0,494 D) 0,568
55
Respuesta: 0,494
PREGUNTA N.o 23
20 varones desprobaron Química.
Para el concierto de Gianmarco se vendieron solamente 30 entradas VIP. Los 800 asistentes al concierto gozaron plenamente de la calidad de este gran artista que donó 30 % de los ingresos del evento. Si la donación fue 48 870 soles, ¿cuántas entradas para galería se vendieron? Considere los siguientes precios: VIP 1000 soles Platea 270 soles Galería 150 soles
De los varones, 15 desaprobaron los dos cursos.
Del gráfico, el total de mujeres es 55. → x+10+10=55 ∴ x=35
Respuesta: 35
9
A) 145 B) 290 D) 625
C) 525 E) 655
unI 2016 -I
Academia CÉSAR VALLEJO
Resolución
Luego casos totales=6×6×6=216
Tema: Planteo de ecuaciones Análisis y procedimiento De los datos Total de asistentes: 800
• Casos favorables Caso 1 Cuando a=6
N.º de personas
Costo por entrada
30
S/1000
Galería
x
S/150
Platea
770 – x
S/270
VIP
1.a 3.a 2.a vez vez vez a > b > c 6
Donación: 48 870=30 % (ingreso total) → ingreso total=162 900 Luego
ACADEMIA
162 900=30(1000)+x(150)+(770 – x)270
∴ x=625
CESAR VALLEJO
PREGUNTA N.o 24
5
CREEMOS EN LA EXIGENCIA
3
5
2
5
1
4
3
4
2
4
1
3
2
3
1
2
1
10 casos
Caso 2 Cuando a=5
Un dado es lanzado tres veces. Calcule la probabilidad de obtener un número mayor cada vez que se lanza el dado.
4
5
1.a 3.a 2.a vez vez vez a > b > c
Respuesta: 625
5 A) 108
5
3 B) 54
1 D) 12
5 C) 72
Caso 3
Cuando a=4
5 E) 54
4
Tema: Probabilidades Análisis y procedimiento Analizamos los casos al lanzar tres veces un dado. • Casos totales 1.a vez
6 casos
2.a vez
6 casos
3.a vez
6 casos
3
4
2
4
1
3
2
3
1
2
1
6 casos
1.a 3.a 2.a vez vez vez a > b > c
Resolución
4
Caso 4
Cuando a=3
3
2
3
1
2
1
1.a 2.a 3.a vez vez vez a > b > c 3 2 1
10
3 casos
1 caso
unI 2016 -I
Solucionario de Aptitud Académica y Humanidades
(total de casos favorables)=10+6+3+1=20
Sea A obtener un número mayor cada vez que se lanza un dado.
Por definición de elemento inverso (x–1). x # x –1=e → b # b –1=c
En consecuencia casos favorables P [ A] = casos totales
→ P [ A] =
20 216
∴ P [ A] =
5 54
Luego
b –1=a
Por lo tanto, la expresión que corresponde a la operación del elemento inverso de b con el elemento neutro es b–1 # e=a # c. Respuesta: a # c
5 Respuesta: 54
PREGUNTA N.o 26
ACADEMIA
o
PREGUNTA N. 25
Se define el operador mediante la siguiente tabla:
1
2
3
4
1
3
4
1
2
2
4
1
2
3
3
1
2
3
4
4
2
3
4
1
CESAR VALLEJO
Dado el operador # definido por: #
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
Si y: elemento neutro
CREEMOS EN LAx–1EXIGENCIA : elemento inverso de x
La expresión que corresponde a la operación del elemento inverso de b con el elemento neutro es:
Halle el valor de n =
A) a # b B) a # c D) b # c
x =1
C) b # a E) c # a
A) 22 B) 32 D) 42
C) 38 E) 48
Resolución
Resolución
Tema: Operaciones matemáticas Análisis y procedimiento De la tabla obtenemos el elemento neutro.
Tema: Operaciones matemáticas Análisis y procedimiento De la tabla # a b c
4
∑ ( x ⊗ x −1 + x −1 )
a b c a
1 2 3 4
b c c a a b b c elemento neutro → e=c
1 3 4 1 2
2 4 1 2 3 y=3
11
3 1 2 3 4
4 2 3 4 1
unI 2016 -I
Academia CÉSAR VALLEJO
Piden
n=
→ n =
4
∑ ( x ⊗ x −1 + x −1 )
x =1 por definición x ⊗ x −1 = y
A) VVV B) VFV C) VFF D) FFV E) FVV
4
∑ (y + x )
Resolución
x =1
Tema: Propiedades de las operaciones matemáticas Análisis y procedimiento Analizamos cada proposición.
Hallamos los inversos en la tabla.
1–1=1
2–1=4
I. La operación es conmutativa. Para analizar la conmutatividad de las operaciones en una tabla, se debe verificar la simetría al trazar la diagonal principal.
–1
3 =3
4–1=2
Luego
ACADEMIA
n = ( 3 + 1−1 ) + ( 3 + 2 −1 ) + ( 3 + 3 −1 ) + ( 3 + 4 −1 )
n=(3+1)+(3+4)+(3+3)+(3+2)
CESAR VALLEJO
∴ n=22
Respuesta: 22
* a b c d e
a b a d e c
b a d e c b
c d e c b a
d e c b a d
e c b a d e
Se observa que es simétrico, por lo tanto, sí es
Luego, I es verdadera.
CREEMOS EN LA EXIGENCIA conmutativa.
o
PREGUNTA N. 27
Se define el operador * mediante la tabla: *
a
b
c
d
e
a
b
a
d
e
c
b
a
d
e
c
b
c
d
e
c
b
a
d
e
c
b
a
d
e
c
b
a
d
e
II. La operación es asociativa. Para analizar la asociatividad de las operaciones, se debe cumplir la siguiente propiedad: (a * b) * c=a * (b * c)
Señale la alternativa correcta luego de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. La operación es conmutativa. II. La operación es asociativa. III. (d * c) * (e * b)=d
De la tabla
(a * b) * c=a * (b * c)
a * c=a * e d c
12
SOLUCIONARIO Examen UNI 2016 – I Matemática
MATEMÁTICA
Pregunta 02
Sean N y M números naturales. Al extraer la raíz cúbica al número 2N+M y al extraer la raíz cuadrada al número N-M, tienen como residuo cero y ambas raíces son iguales. Determine la suma de las cifras del mayor N menor que cien que satisface tal propiedad.
x2 + x + 3 sea racional, son de la forma:
A)
3 − q2 ,q ! Q 2q 2 + 1
B)
3 − q2 1 , q ∈ Q\ $ - . 2 2q + 1
C)
3 + q2 1 , q ∈ Q\ $ - . 2 2q + 1
D)
3 - q2 1 , q ∈ Q\ $ . 2 2q - 1
E)
3 + q2 1 , q ∈ Q\ $ . 2 2q − 1
A) 3 B) 4 C) 5 D) 9 E) 12 Resolución 01 Potenciación - radicación Radicación 2N+M = k3 N-M=
(+) Donde k ∈ Z+
k2
3N= k2(k+1)
N=
o k2 (k + 1) < 100 ; k2 (k + 1) = 3 3
k2(k+1) <300
Resolución 02 Números racionales Q Fracciones continuas Si:
Resolviendo: k= 2 ; 3 ; 5 ; 6
m x2 + x + 3 = dQ n
62 (6 + 1) kmáx= 6 " Nmáx = 3
x2 + x + 3 = K 1 11 = 2 (x + 1 ) 2 + k 2 4
Nmáx= 84
(2x+1)2+11=(2k)2
Prohibida su venta
Pregunta 01
Sea Q el conjunto de los números racionales, luego todos los valores racionales posibles x de manera que
11=(2k)2-(2x+1)2
∴ Suma de cifras= 8+4=12 Rpta.: 12
www.trilce.edu.pe
1
SOLUCIONARIO
Examen UNI 2016 – I
Matemática 11 = 6(2k) + (2x + 1) @ 6(2k) − (2x + 1) @ 1 4 44 2 444 3 1 4 44 2 4 44 3 11
1
Resolución 03 Razones y proporciones Proporción
k=3 ∧ x=2 Solución general:
x=
3 − q2 2q − 1
I.
2q - 1 ! 0 1 q! 2
*
a = c → ad = bc b d
*
1 −1 =1 −1 a+d = b+c → a b c d ad bc a+d = b+c ↓ bc + = + d b c d bc+d2=bd+cd b(c – d)=d(c – d)
∴ q d Q/ 8 B
1 2
Rpta.:
3 - q2 1 , q d Q\ $ . 2 2q - 1
1er caso: c – d≠0 → b=d ∧ a=c
Pregunta 03
Las proporciones serian:
Señale la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado. I.
Existen números positivos a, b, c, d que forman una proporción geométrica discreta y armónica discreta a la vez.
II. Es posible encontrar dos números que están en relación de 3 a 5 cuya diferencia es 200. III. Existen números positivos a, b, c, d que forman una proporción geométrica discreta y aritmética discreta a la vez.
a =a 1 1 1 1 ∧ − = − b b a b a b 2do caso: c – d=0 → c=d ∧ a=b Las proporciones serian: a =c 1 −1 =1 −1 a c ∧ a a c c Sí existen números positivos a, b, c y d ...... (V) II. Sea
A) VVV
Prohibida su venta
B) VFV
a =3 b 5
}
a = 3k b = 5k
Además
C) FVV
}
E) FFF
∨ b – a=200 a – b=200 – 2k=200 a=–300 2k=200 k=–100 k= 100 b=–500
}
D) FVF
a=300 b=500
Sí es posible encontrar dos números ..... (V)
2
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SOLUCIONARIO
Examen UNI 2016 – I
Matemática
III.
a = c → ad = bc b d
Resolución 04
a – b=c – d → a + d = b + c
Probabilidad condicional
Probabilidades Sea: P(A/B): Probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió B
De la primera proposición tenemos:
P (A + B) P (B) # P (A/B) =P(A + B) "S S P (A/B) = P (B) 0, 8 0, 4 =P(A + B)
b (c − d ) = d ( c − d)
0,32 = P(A + B)
1er caso: c – d≠0 → b=d ∧ a=c
Rpta.: 0,32
Las proporciones serian: Pregunta 05 a =a a−b = a−b b b ∧
Sea el número N = 4a(a+b)b(12) . Se afirma I.
2do caso: c–d=0 → c=d ∧ a=b
Existen valores para a y b tal que la división N ÷ 12 es exacta.
II. Existen valores para a y b tal que la división N ÷ 9 es exacta.
Las proporciones serian:
III. E xisten valores para a y b tal que la división N ÷ 1000 es exacta.
a =c a−a = c−c a c ∧
¿Cuáles de las afirmaciones son las correctas? A) I y II
Sí existen números positivos a, b, c y d .... (V)
B) I y III C) II y III
Rpta.: V V V
D) I, II y III E) Solo I
Pregunta 04
Resolución 05
A) 0,12 B) 0,32 C) 0,38 D) 0,40 E) 0,68
Divisibilidad Criterios Sea N=4a(a+b)b(12) I.
o
N = 4a (a + b) b(12) = 12 + b o
⇒ N es 12 para b=0 y cualquier valor de “a” desde 0 hasta 11. (V) o
II. N = 4a (a + b) b(12) = 144 + 12 (a + b) + b o
N = 9 + 3 (a + b) + b
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3
Prohibida su venta
La probabilidad de que haya un temblor en Chile es 0,8 y la probabilidad de que haya un temblor en Perú, dado que hubo uno en Chile es 0,4. Determine la probabilidad de que sucedan ambos eventos.
SOLUCIONARIO
Examen UNI 2016 – I
Matemática o
Resolución 06
o
Si N = 9 ; entonces 3(a+b)+b= 9
Números enteros
hay valores que hacen esto posible
Números enteros
b=0 → a=3; 6; 9 b=3 → a=2; 5; 8
I.
b=6 → a=1; 4 b=9 → a=0 (V) III. N = 4a (a + b) b(12) = 4.123 + a.122 + (a + b) .12 + b N=6912+156a+13b=6912+13(12a+b) o
N = 1000 − 88 + 13 ab(12) o
Si N = 1000 , entonces 13 ab(12) − 88 = 1000 o
13 ab(12) = 1000 + 88 + 10 000 o
ab(12) = 1000 + 776 " ab(12) = 776 como ab(12) toma su máximo valor 143; no hay valores ... (F) Rpta.: I y II
Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado. El producto de dos números enteros es un número natural.
II. La suma de todos los elementos del conjunto de los números enteros siempre es cero.
Prohibida su venta
III. El cociente de dos números naturales es un número entero.
B) VFV C) FVV D) FVF E) FFF
4
1 .−1 = − 1 S bN
II. (F) S=...+(–3)+(–2)+(–1)+0+1+2+3+... Agrupando i.
S=(0 − 1) + (1 − 2) + (2 − 3) + (3 − 4) + ... S S S S 1
1
1
1
S=–∞ 1 + 0) + (2 − 1) + (3 − 2) + (4 − 3) + ... ii. S= (S S S S 1
Pregunta 06
A) VVV
SS
!Z !Z
No es una suma de valor único.
o
I.
Si a, b∈ Z, entonces a.b∈N ....(F) Por contraejemplo
1
1
1
S=∞ iii. S=0+(1 − 1) + (2 − 2) + (3 − 3) + ... S S S 0
0
0
S=0 `No es valor cero siempre. III. Si a,b ∈N , entonces a ! Z ...(F) b Por contraejemplo ∈N 1 = 0, 5 2 S bZ
∈N Rpta.: FFF
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SOLUCIONARIO
Examen UNI 2016 – I
Matemática Pregunta 07
Pregunta 08
Determine el menor número natural divisible por los números primos p, q y r, sabiendo que r - q = 2p y rq + p2 = 676.
Indique la secuencia correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F).
A) 2001
I.
B) 2031 C) 2061 D) 2301
II. Si a y b son números primos entonces
E) 2331
a + b también es primo. III. Si a > 3, siendo a primo, entonces a es de la forma a = 6k ÷ 1 o a = 6k - 1, con k ∈ N .
Resolución 07 Números primos Números primos
A) VFF
r − q= 2p r=q+2p... (I)
B) VFV C) FFF
Luego
D) FFV E) FVV
rq + p2 = 676 ^q + 2ph q + p2 = 676
Resolución 08
2
Números primos / mcd – mcm
2
Primos entre sí
2qp + p = 676 ^q + ph = 676
I.
q + p = 26 En (I) se tiene que
r = q+p+p S
II. Si “a” y “b” son números primos, entonces (a+b) es primo. Si 11 y 17 son primos, pero (11+17) ∉ primos. (F)
r = 26 +p ∧ q+p=26 3
III. Si a>3, siendo a=primo, entonces a=6k+1 o a=6k–1. (V)
23 3
Piden
Zo ] 29 ]o N =[ 3 ]o ] 23 \
o
N = mcm^29; 3; 23h o
N = 2001 ` N = 2001 ^mín. valorh
a= 2c +1 a=( 3c +1)∨( 3c –1)
a=
2c +1
a= 6c +1=6k+1, k∈ N 3c +1 2c –1 a= a= 6c –1=6k – 1, k∈ N 3c –1
Rpta.: F F V
Rpta.: 2001
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5
Prohibida su venta
29
mcd (a, b, c, d)=1, entonces (a, b, c, d) PESI 2 a 2. Por ejemplo (8, 15, 25, 35)=1, pero (8, 15, 25, 35) no son PESI 2 a 2. (F)
}
2+
} }
q
En un conjunto de 4 números cuyo máximo común divisor es igual a 1, entonces dichos números son primos dos a dos.
SOLUCIONARIO
Examen UNI 2016 – I
Matemática Pregunta 09
Pregunta 10
Sea f: A → R una función definida por: f(x) Ln[log1/2 (5 -
x2)]
,
donde A = Dom (f) ⊂ R. Entonces la cantidad de números enteros que posee el conjunto A es:
Se vende 300 unidades de un cierto libro con un precio unitario de S/ 60. Luego por cada descuento de S/ 5 en el precio unitario se venden 45 unidades más. Determine el precio máximo a fijar para obtener un ingreso de al menos S/ 19 500. A) 35 B) 40
A) 0
C) 45
B) 1
D) 50
C) 2 D) 3
E) 55
E) 4
Resolución 10
Resolución 09
Funciones
Función logarítmica
Funciones Del problema
Dominio de la función
Precio unitario: 60−5x
∧ 5−x2>0
2 Log 1 ^5 − x h > 0 2
x −5<0
Cantidad:
(x+ 5 )(x− 5 )<0
Ingreso = precio # cantidad
2
5−x <1 2
S S
19 500 # (60−5x)(300+45x)
0
+
−
- 5
+
− 2
5
x∈ - 5 ; 5
Efectuando: 3x2−16x+20 # 0 3x −10 x
Prohibida su venta
al intersecar:
- 5
-3
−2
2
+
∴No existen valores enteros. Rpta.: 0
x d ; 2;
Entonces
2#x#
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10 3
+
− 2
+3
5
A=Dom(f)= - 5 ; - 2 , 2; 5
6
−2
(3x−10)(x−2) # 0
x∈ − 3; − 2 , 2; + 3
-3
300+45x
10 3
10 E 3
+3