2 Zatiketa (Lehen Hezkuntza-4. maila Txanela-matematika (Baga-biga)
LEHEN HEZKUNTZAKO 2. ZIKLOA 4. MAILA 2. UD: Zatiketa
Aurkibidea 0. Sarrera: Ezaugarri orokorrak 1.
Helburu didaktikoak
1.1. Helburu didaktiko estandarrak + Arloko konstanteak + Edukiak
2.
Metodologia
2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.
Denboraren erabilera Espazioa Baliabideak Zeregin-motak eta gelaren kudeaketa Aniztasunaren trataera Beste arlo batzuekin dituen erlazioak Jardueren analisia
3.
Ebaluazioa
3.1 Helburu didaktikoak eta ebaluazio-irizpideak 3.2 Behatzeko eta kalifikatzeko taula 3.3. Kalifikazio-irizpideak
4.
Eranskinak
45
0. Sarrera: unitate didaktikoaren ezaugarri orokorrak
4. mailako bigarren unitatea da honakoa. Ziklo honi ekin genionetik bide luzea egin dugu eta zikloaren erdialdean gaude. Orain arte ikasitakoa biltzeko eta sendotzeko unea da, beraz, baina ikaskuntza berriak eginez, ezin baititugu azkenerako utzi. Unitate didaktikoaren izenburuak (Zatiketa) garbi adierazten du hori. Eragiketa hau landu genuen aurreko ikasturtean eta aurten ere landu dugu, baina orain ikaskuntza hori ixten joan behar dugu pixkana, bai kontzeptuei dagokienez (esanahia, gaien izenak, biderketarekin eta kenketarekin duen lotura, propietateak…) eta bai kalkuluari dagokionez. Biderketa eta zatiketa dira ziklo honetako eragiketa nagusiak eta ondo ikasten eta erabiltzen dituztela ziurtatu behar dugu. Unitate didaktiko hau, aurrekoa eta ondorengo guztiak bezala, edukien aldetik honela dago egituratuta: -
Lehenengo jarduerek Logikaren arloarekin lotutako ikaskuntzak lantzen dituzte eta, kasu honetan, eragiketen prozesuak ondo antolatzeko helburuz, elementu berriak sartu ditugu. Makinak eta hauen osagai nagusiak batik bat: eragileak eta kontrolatzaileak. Lehenengo jarduerari buruzko iruzkinean aztertuko dugu gai hau kontu handiagoz.
Ondoren, Aritmetikarekin lotutako ikaskuntzak landuko dira eta horiek honela antolatu dira: - Zenbaki-sistemak. Zenbakiak eta zenbaki-motak. Zenbaki-sistema hamartarrari dagokionez, ikasleek ondo ezagutzen duen jarduera bat proposatu dugu: “txori eroa”, zifrak lekuz aldatzen dituena. Zenbaki-motei dagokienez, beste zenbaki-mota bat ikasten hasiko dira: zatikiak. Zatiki unitarioak aurkezten hasiko gara (unitatearen edo batekoaren zati bat adierazten dutenak: ½, 1/3, ¼...) - Eragiketa aritmetikoak. Esanahia eta kalkulua. Unitate didaktiko honetan ez dago zuzenean batuketa eta kenketa lantzera zuzenduko den jarduerarik, zuzenean biderketa eta honen algoritmoa gogoratzen hasteko jarduera batekin hasiko baikara. Hatzak erabiliz eta kalkuluak buruz eginez 10etik gorako zenbakien arteko biderkadurak kalkulatzeko azpijoko bat ere erakutsiko zaie. - Zatiketa landuko da bereziki, hainbat alderdi bereiziz: alde batetik, kontzeptuak (esanahia = zati berdinetan zatitzea; gaien izenak eta funtzioak: zatikizuna, zatitzailea, zatidura eta hondarra; biderketarekin duen lotura, hortik aterako baita honako berdintza ezagun hau: zatikizuna = zatitzailea x zatidura + hondarra. Bestalde, prozedurazko alderdiak ere landuko ditugu, zatiketa baten zatidura eta hondarra sistematikoki kalkulatzeko lehenengo modu bat irakatsiz. - Zati honekin amaitzeko, buruz egin beharreko kalkuluekin lotutako alderdiak aztertuko dira eta jakin behar dituzten kalkulu-mota guztiak gogoratuko dira.
46
Magnitudeei zuzendutako atalean bi alderdi hauetan sakonduko da bereziki: - Neurri-unitatea aldatzen denean lortuko diren neurri baliokideen idazketa, prozedura hori jada ezagutzen badute ere, behin eta berriro gogoratzea komeni baita. - Egutegiari buruzko problemak. Urteari, hilabeteari, asteari eta egunari buruzko denbora-unitateak landuko dira, egoera problematikoekin lan eginez. Geometriari buruzko atalean gai hauek izango ditugu aztergai: - Alde batetik, paralelismo eta perpendikulartasun kontzeptuak. - Tetris izeneko joko ezagun baten bidez egindako translazioak eta biraketak. Amaitzeko, sintesi-jarduera bat ezarri dugu, zatiketari zuzendua, eta oraingoan kapituluaren izenburuarekin bat dator hori. Azkenik, unitate didaktikoan aurrera goazen neurrian egin daitezkeen problema batzuk ageri dira, unitatearen egitura tematiko berari jarraitzen baitiote: -
Logika : 1, 2 eta 3 Aritmetika: 4,5,6,7,8 eta 11 Neurria: 9 eta 10 Geometria: 12 eta Plus
47
1. Helburu didaktikoak 1.1. Helburu didaktiko estandarrak + Arloko konstanteak + Edukiak
II. UNITATE DIDAKTIKOA:
Zatiketa
HELBURU
ARLOKO
DIDAKTIKAK
KONST.
1. – Makina deritzen diagrama logikoak arretaz irakurtzea eta ulertzea, eta berorietan azaltzen denaren arabera jokatzea. EBAL 2. – Zenbaki-sistema hamartarreko zifren balioa (bereziki ehunekoarena) ezagutzea nahiz zenbakiak zehaztasunez irakurtzea, idaztea, konposatzea eta deskonposatzea. EBAL 3.- Zatiki unitario xumeenak kopuru baten zatiekin identifikatzea eta zatiketarekin erlazionatzea. EBAL
EDUKIAK KONTZEPTUZKOAK
A, C
- Makina, eragilea, kontrolatzailea.
- Kalkuluak buruz.
A, C
- Batekoa, hamarrekoa, ehunekoa, milakoa.
- Batuketaren eta kenketaren algoritmoak. Zenbaki bat bere unitateetan konposatzea eta deskonposatzea.
A
- Erdia, herena, laurdena.
6- Hainbat kalkulu aritmetiko zorrotz eta azkar egitea, modurik egokiena erabiliz (buruz, papera eta arkatza erabiliz, kalkulagailuz). Bi zifrako biderkatzailea dugunean biderketaren algoritmoa erabiltzea. EBAL
A,C
A,C
JARRERAZKOAK - Arreta.
- Kontzentrazioa.
C
- Biderketaren algoritmoa.
4.- Biderketaren algoritmoa zorrotz eta azkar erabiltzea. EBAL 5.- Zatiketa zati berdinetan banatzeko egoera batekin lotuta dagoen eragiketa dela jabetzea, zatiketaren gaiak elkarrekin erlazionatzea eta zatiketa osoen prozedura aztertzea. EBAL
PROZEDURAZKOAK
- Zatikizuna, zatitzailea, zatidura eta hondarra. - Zatiketaren araua. Berdinketaren sistema. Batuketaren eta kenketaren propietateak
48
- Zati berdinetan zatitzea.
- Batuketaren, kenketaren eta biderketaren algoritmoak. - Zatiketaren kalkulua, etengabe kenketak eginez.
- Zehaztasuna eta azkartasuna.
7.- Modu konplexuan eta ez-konplexuan adierazitako luzeraneurrien balioa interpretatzea eta batetik bestera iragatea, idatzitakoaren balioa kontrolatuz. Beste neurri-unitate bat erabiliz neurri baliokideak idaztea. EBAL
A,C
Neurria, neurri-unitatea. Litroa, dezilitroa, zentilitroa. Neurrien konposizioa eta deskonposizioa.
- Neurri bat bere unitateetan deskonposatzea eta konposatzea. - Neurri batean unitate-aldaketak egiteko arauak. .
8.- Egutegiaren egitura erabiltzea (taula) denboraren antolamenduari buruzko problemak ebazteko. EBAL
A,B,C
Urtea, hilabetea, astea, eguna.
9.- Planoan zuzenek izan ditzaketen posizioak identifikatzea eta izendatzea. EBAL
A
Zuzen paraleloak, gurutzatzen diren zuzenak, zuzen perpendikularrak. Angelua
10.- Planoan irudi geometriko lauak transladatzea eta biratzea, beste irudi batzuk osatzeko. EBAL
A
Biraketa, translazioa. Osaketa.
11.- Zatiketari eta zatiketarekin lotutako eragiketei buruzko informazioa ondo ulertuz irakurtzea, dagokion kontzeptuen mapa osatzea eta adierazitako kontzeptuak deskribatzea. EBAL
A,B
12. - Gogoeta eginez eta ahoz nahiz idatziz, problema aritmetikoak ebaztea, enuntziatua arretaz aztertuz eta erantzuteko dugun espazioaren erabilera ondo planifikatuz. EBAL
ARLOKO KONSTANTEAK
A, B, C eta D (batez ere D ebaluatuk o da)
Zatiketa, batuketa, kenketa, biderketa. Zatikizuna, zatitzailea, zatidura eta hondarra.
Unitate didaktikoan landutakoak.
Taulak irakurtzeko eta egiteko arauak.
Bilaketa eta ikertzeko gogoa. Kontzeptuen mapa bat egiteko eta idazteko arauak.
Problemak ebazteko eman beharreko pausoak. Ebazteko protokoloa.
A: ulermena; B: adierazpena; C: kalkulua; D: plangintza
49
Arreta, kontzentrazioa, adierazpen-zehaztasuna.
Arreta. Gogoeta. Arrazoiketa.
2. Metodologia 2.1. Denboraren erabilera Unitate didaktiko hau gutxi gorabehera 4 astetan lantzeko pentsatuta dago. Denboraren erabilerari dagokionez, 1. unitate didaktikoan (4-1 unitatea) zabal azaldu dugu gaia eta ez dugu uste hemen errepikatu beharrik dagoenik. Nahi izanez gero, berriro irakur daiteke.
2.2. Espazioa Unitate didaktiko honetan (eta hurrengoetan) ikasgelan kartelak jartzea komeni da, ikasleei lantzen ari diren emaitzak buruz ikasten laguntzeko. Kasu honetan ikasle gehienek taulak buruz jakingo dituztela pentsa dezakegu, baina zailenak utz ditzakegu oraindik. Unitate honetan gai hauei buruzko kartelak egin daitezke: Zatiketako gaien izenak eta guztiak biltzen dituen araua. Edukiera-unitate batzuen konposizioa eta deskonposizioa.
2.3. Baliabideak Baliabide idatziak: Matematikako liburuko 2. unitate didaktikoa: BAGA-BIGA 4 7. lan-koadernoa: 20. orrialdetik 38.era Manipulaziorako baliabideak: erabil daitezkeen materialen zerrenda zehatza egin dugu, horien erabilera kasu guztietan nahitaezkoa ez dela jakinda, betiere. Zentzuzkoena ikaskuntza berriak izango dituzten jardueretan erabiltzea izango da. Jarduera bakoitzari buruz egin dugun iruzkinean gure ustez horiek noiz erabiltzea komeni den zehaztuko dugu. • •
5. jardueran gelara fitxak edo puxtarriak eta kaxak eraman daitezke, banaketak nola egiten diren errazago uler dezaten. 9. jardueran egutegi bat eskura izatea komeni da.
•
10. jardueran hirien planoak erabil ditzakegu.
•
11. jardueran horrelako tetris bat egin daiteke kartoi mehea erabiliz. Tetrisen PCko bertsio bat bilatzen ere ahalegindu gaitezke eta, bilatuz gero, gelan jolas daitezke.
2.4. Zeregin-motak eta gelaren kudeaketa Jarduerak zehatz-mehatz 2.7 atalean deskribatu dira. Hemen, jarduera-mota adierazi baino ez dugu egingo. Jarduera-motak Esperientzia: 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 Ariketak: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 Problemak: 9 (56 eta 57. orrialdeetako bilduma) Jolasak: 7,11 Ikerketa: 1 Sintesia: 12
Gelaren kudeaketa Talde handian, banaka eta taldeka Banaka Banaka eta taldeka Taldeka Taldeka Taldeka/banaka
50
2.5. Aniztasunaren trataera 1. unitate didaktikoan egin dugu gai honen inguruko iruzkin orokorra eta ez dugu uste hemen errepikatzea beharrezkoa denik. Unitate didaktiko honekin lotutako alderdiei dagokienez, aniztasunaren ikuspegitik zerbait azpimarragarria adierazten duten jarduerak dituzue ondoren. 2. jardueran zenbaki-sistemaz hitz egiten da eta oinarrizkotzat hartuko da. 4. jardueran biderketaren algoritmoarekin lan egingo da eta hau ere oinarrizkotzat hartuko da. 7. jarduerak oinarrizko zenbait alderdi ditu, batuketaren, kenketaren eta biderketaren algoritmoak, adibidez. 8. jardueran, neurri bat bere unitateetan deskonposatu behar dutenez, zati hori behintzat oinarrizkotzat hartuko da. Garrantzi handia du horrelako gaietan ikasleak nola dabiltzan behatzeak eta ebaluatzeak eta, zailtasunak badituzte, lagundu egingo zaie.
2.6. Beste arlo batzuekin dituen erlazioak Matematikak curriculumaren beste arlo batzuekin lotura zuzena du, baina nagusiki bi arlorekin: Hizkuntzarekin (kasu honetan erlazioa elkarrekikoa da) eta Gizarte eta Natur Zientziekin. Matematika ikastea hizkuntza ikastea dela ulertu behar dugu, testuen irakurketa ulerkorra egin gabe ezinezkoa baita matematikako testuak eta kontzeptuak ulertzea eta, bestalde, hizkuntz adierazpen egokiak egiteko Matematikako termino eta adierazpide bereziak erabili behar baitira.
2.7. Jardueren analisia (ebaluazioa) Helburu didaktikoen eta jardueren arteko erlazioa Helburu didaktikoak 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Jardueren zenbakia 1, 2 3 4 5 6, 7 8 9 10 11 12 56 eta 57. orrialdeetako problemen bilduma
Jarduera-mota Esperientzia – Ikerketa – Ariketak Esperientzia – Ikerketa – Ariketak Esperientzia – Informazioa – Ariketak Jolasa – Ariketak – Esperientzia - Ariketak Esperientzia – Ikerketa – Ariketak Esperientzia – Ariketak Esperientzia- Informazioa – Ariketak Esperientzia – Ariketak Esperientzia – Ikerketa Esperientzia Sintesia Problemak
51
Jarduerei buruzko informazioa HD = Helburu didaktikoa AK = Arloko konstantea Zenbakia: 1
HD: 1
AK: A, C
Mota: esperientzia + ikerketa + ariketak
Kudeaketa: banaka, taldeka
Jarduera interesgarria da oso, izatez hala delako eta horrelakoekin lan egiten duten lehen aldia delako. Normalean, makinak prozesuak antolatzeko eta egin beharreko eragiketen multzo bat egituratzeko erabiltzen dira. Makinak hasiera edo sarrera bat eta amaiera edo irteera bat duten diagramak dira eta, beraz, barnealdean ibilbide bat dute egina. Elkarrekin lotu daitezkeen bi osagai-mota dituzte: eragileak eta kontrolatzaileak. Eragileek eragiketa bat egiten dute eta honako egitura hau dute: + Sarrera-----
Eragiketa
Irteera.
Eragiketak adierazteko erabiltzen dira.
Aldiz, kontrolatzaileek erlazioak ezartzen dituzte (balioak konparatu, zenbakien propietateei buruz erabaki…) eta egitura desberdina dute. Sarrera bat eta bi irteera dituzte, bata erlazio hori betetzen denerako (bai edo 1) eta bestea horrela gertatzen ez denerako (ez edo 0). Jarduera honetan, bi elementu horiekin (eragileak eta kontrolatzaileak) lan egiteaz gain, ikasleak beste kontzeptu bat lantzen hasiko dira: kiribilaren edo atzeraelikaduraren kontzeptua. 32. orrialdean, konparatzen den zenbakia 20 baino txikiagoa bada, makinak berriro atzera bidaliko du 5 unitate batzeko, eta prozesu hori errepikatu egingo da behin eta berriro, emaitza 20 baino handiagoa izatea lortu arte. Baldintza bete arte behin eta berriro atzera eramango gaituen ibilbide horri kiribil deituko diogu. Jarduera honetan nahiko makina xumeen egitura eta funtzionamendua azaltzen dira eta ikasleei irakurtzeko eta irakurritakoaren arabera jokatzeko eskatuko zaie. Diagrama ulertzen saiatu behar dute, beraz. “Esperientzia” atalak diagramaren esanahia ulertzeko eta diagramarekin lan egiteko balioko du. Ikerketan, osatu beharreko taula behatuz, honako ondorio hauetara iritsi behar dute: - 5etik 10era bitarteko zenbakiak 15 batu ondoren aterako dira. - 10etik 15era bitartekoak 10 batu ondoren aterako dira. - 15etik 20ra bitartekoak 5 batu ondoren aterako dira. - Noski, 20tik gorako zenbakiak aldatu gabe aterako dira. Nahikoa da arau horiek aplikatzea ondorengo kasuetan zein balio lortuko diren jakiteko: 6 (+15) 21; 8 (+15) 23 eta 14 (+10) 24. 33. orrialdeko testuak makinen egiturari eta elementuei buruzko informazioa emango digu eta arretaz irakurri behar da. Jarduera amaitzeko, emandako informazioa ondo ulertu dela egiaztatzeko zenbait ariketa ezarri dira.
JARDUERA OSAGARRIAK Nahi adina egin daitezke, beste kasu batzuekin (3. ariketan beste zenbaki batzuk emanez) lan eginez edo gero erabiltzeko makina berriak asmatuz. EBALUAZIOA Ulermena: diagramak ondo interpretatzen ditu eta adierazitakoaren arabera lan egiten du. Kalkulua: parte hartzen duten eragiketen emaitzak nahiko azkar eta zehatz kalkulatzen ditu buruz.
52
Zenbakia: 2
HD: 2
AK: A, C
Mota: esperientzia + ariketak
Kudeaketa: banaka
Aurreko ikasturteetan landutakoa gogoratzeko jarduera da honakoa. Ondorioz, ikasle gehienek autonomia apur batez lan egin behar lukete. Zenbaki-sistema hamartarra sakon landu dute aurreko hiru ikasturteetan eta, beraz, une honetan ikaskuntza horiek bildu behar ditugu, indartzeko eta aurrera egiteko. Aurreko jardueran landu dugun eragile kontzeptuaz baliatuz, zenbaki baten zifrak tokiz aldatzen dituen eragile berezi bat aurkeztuko dugu. Adibidez, BH eragileak Batekoei eta Hamarrekoei dagozkien zifrak elkarrekin trukatzen ditu. Esate baterako, 1.538 BH 1.583. Gauza bera gertatuko da gainerako eragileekin ere: BE, BM, HE etab. Horrela, landu behar ditugun bi gai bateratuko ditugu: batetik, eragile kontzeptua eta, bestetik, zenbakisistemako unitateen identifikazioa. Beraz, Logikarekin eta Aritmetikarekin lotutako alderdiak bateratuko ditugu. 35. orrialdean, elementu horiek beste eragiketa batzuekin batera (batuketak eta kenketak) landuko ditugu, hainbat sarrera eta amaiera bakarra dituen ibilbide batekin amaitzeko. Ikasi eta gogoratu ditugun ikaskuntzak biltzen dira jarduera honetan eta banaka eta autonomiaz egitea komeni da. Gainera, soluzioak idatzita ageri dira bertan eta horrela errazago egingo dute autoebaluazioa. Horregatik, ikasleei lana bakarka egitea eta beren okerrak beraiek zuzentzea espero dugula esango diegu.
JARDUERA OSAGARRIAK Horrelako ariketak gustuko badituzte, antzeko diagramak asmatzeko eta erabiltzeko edo gainerako ikasleei proposatzeko esango diegu. EBALUAZIOA Ulermena: diagraman zehaztutakoaren arabera jokatzen du. Unitateak identifikatzeko eta egin beharreko aldaketak egiteko gai da. Kalkulua: eragiketen emaitzak zuzen lortzen ditu. Okerrik egiten badu, zuzendu egiten du.
53
Zenbakia: 3
HD: 3
AK: A
Mota: esperientzia + ariketak
Kudeaketa: banaka taldeka
Garrantzi handiko jarduera da, sistematikoki zatikiekin lan egingo dugun lehen aldia baita. Beste kopuru baten osagai diren zenbait kopuru adierazi beharra dagoenean erabiltzen dira Matematikan zatikiak. Horregatik, “ordu erdi dugu aurretik”, “emadazu kilo laurdena” eta horrelakoak esaten ditugunean, deskribatu dugun kopuru hori beste kopuru baten osagaia dela esaten ari gara. Eta maiz erabiltzen ditugu horrelako esapideak. Ondorioz, ikasleei zehatz-mehatz azalduko diegu oraingoz “…ren erdia”, “…ren herena”, “…ren laurdena” eta horrelakoak erabiliko ditugula eta guztiek beste kopuru baten zati bat adierazten dutela. Argi ikusi behar dute hori. Hasteko, soilik zatiki unitarioak landuko ditugu, horiexek baitira errazenak. Zatiki unitarioak zatikatutako kopuruaren zati bakarra adierazten dutenak dira: ½; 1/3;1/4; 1/5 etab. Kontuan hartu behar dugun bigarren gauza honakoa da: kopuru osoa adierazten duen zenbakiaren eta zatia adierazten duen zenbakiaren arteko erlazioa zatiketa (biderketa) da. Horregatik, kopuru baten erdia kalkulatzeko zati bi egin behar da; herena kalkulatzeko zati 3 egin behar da, eta horrela jarraituko da. Berriro ere landuko dugu gai hau, baina hasieratik bi ideia hauek argi izan behar ditugu. 36. orrialdean horrelako zatikien alderdirik intuitiboena landuko da marrazkien bidez. Nahikoa da zati bakoitzari dagokion zatia margotzea. 37. orrialdeko informazio-testuan lehenago adierazitako ideiak azaltzen dira. Azkenik, orrialde horretako ariketek zatikiak zatiketarekin erlazionatzeko aukera emango digute.
JARDUERA OSAGARRIAK Komeni bada, proposatutakoen antzeko ariketa gehiago egin daitezke. EBALUAZIOA Ulermena: zatikiak dagozkien zatiekin identifikatzen ditu. Adierazitako zatikia dagokion zatiketarekin erlazionatzen du.
54
Zenbakia: 4 HD: 4
AK: C
Mota: esperientzia + Kudeaketa: banaka ariketak Ikasitakoa gogoratzeko jarduera bat da eta ikasleek ez lukete zailtasun handiegirik izan behar. Interesgarria izan daiteke taulekin eta biderketaren algoritmoarekin oraindik zein ikaslek dituzten zailtasunak ikustea, jada ondo ikasita eduki behar baitituzte. Zailtasunak dituzten ikasleekin ikaskuntza horiek gogoratzea komeni da. 39. orrialdeko azalpen-testua Matematikako bitxikeria bat da eta horrela hartuko da. Horrelako gaiekiko interesa erakusten duten ikasleek landu dezakete baina, horrez gain, ikuspuntu praktikoago batetik oraindik biderketa-taulekin zein ikaslek dituzten zailtasunak ikusteko balio du. Noski, zailtasunak dituzten ikasleak badaude, taulak ondo ikasteko jarduerak proposatuko zaizkie.
JARDUERA OSAGARRIAK Beharrezkoa irudituz gero, horrelako eragiketa gehiago egin daiteke. EBALUAZIOA Kalkulua: adierazitako biderketen emaitzak azkar eta zehatz kalkulatzen ditu.
55
Zenbakia: 5 HD: 4 AK: A,C Mota: esperientzia + ariketak Kudeaketa: banaka Garrantzi handiko jarduera da. Zatiketa kontzeptu gisa landu dugu aurrez, baina gogoratzea eta oinarrizko ideia bat finkatzea komeni da: zatiketa kopuru bat zenbaki batek (zatitzaileak) adierazten duen adina zatitan banatzea da. Zatiketa eta banatzea kontzeptuak elkarrekin lotzea funtsezkoa iruditzen zaigu. 40. orrialdeko esperientziaren helburua horixe da. Zenbait fitxa kaxa batzuen artean banatzea eskatzen zaie, baina kaxa guztietan kopuru bera ezarri behar dutela kontuan hartuta. Kopuru bat zati berdinetan banatzeko prozesua ezaguna izango da ikasleentzat, baina gogoratzea komeni da: kaxa bakoitzean fitxa bat ezarriko da, gero beste bat, eta horrela jarraituko da gelditzen diren fitxen kopurua kaxen kopurua baino txikiagoa izan arte. Fitxen kopurua: zatikizuna. Kaxen kopurua: zatitzailea. Kaxa bakoitzeko kopurua: zatidura. Banatu gabe geldituko den kopurua: hondarra. Garrantzi handikoa da ikasleek kopuruen eta zatiketaren osagaien arteko erlazioa ondo ulertzea. Beraz, banaketa errepikatu egingo da, ikasleek guztia argi eta garbi ikusi arte. 41. orrialdeko taulak lortutako emaitzak biltzen eta antolatzen lagunduko digu. Ondoren adierazten den eragiketen ordenari jarraituz gero, zatitzailearen eta zatiduraren arteko biderkadurari hondarra batuz gero zatikizuna lortuko dela egiaztatuko da: 4 x 3 + 2 = 14 3 x 5 + 1 = 16 etab. Hala ere, horrek ez ditu ikasleak gehiegi harrituko, biderketaren eta zatiketaren arteko erlazioa landu baitugu aurrez ere. Zatiketa gehiago ezar daitezke eta, ondoren, legea guztietan betetzen dela egiazta dezakete. Interesgarria izan daiteke zatiketaren elementuak zatiketaren arauarekin erlazionatzea, agian ikasle guztientzat erraza ez izan arren. Zatiketa:16 : 5 = 3 (1) Zatiketa 16 zatikizuna
5 zatitzailea 3 zatidura 1 hondarra
5 x 3 +1 = 16
Zatiketaren araua 16 Biderkadura (hondarra zero duenean eta hedaduraz hondarrarekin) Biderkatzailea Biderkakizuna Zatiketa osoa ez bada, biderkadura osatzeko batuz
Egia esan, ez da ezinbestekoa biderkakizuna eta biderkatzailea bereiztea, emaitza berdina izango baita, baina ulermenerako gaitasun handiena duten ikasleek gai batzuk eta besteak nola barneratzen dituzten ikusteko interesgarria izango da. Zatiketaren araua garrantzi handikoa da eta buruz ikastea komeni da; horregatik, 41. orrialdearen amaieran berariaz lege hori azaldu da. PLUS atalean alderantzizkoa proposatzen da. Erantzun egokia 21:6 = 3(3) da; 21:3 = 6 (3) ere onartu egingo da.
JARDUERA OSAGARRIAK Nahi adina, banaketa gehiago proposatuz edo zuzenean zatiketak egiteko esanez. EBALUAZIOA Ulermena: zatiketa eta banaketa kontzeptuak ondo erlazionatzen ditu. - Ondo bereizten ditu zatiketaren osagaiak: zatikizuna, zatitzailea, zatidura eta hondarra, eta biderketarekin erlazionatzen du. - Zatiketaren araua ondo ikasi du buruz. Kalkulua: zati berdinetan banatzeko prozedura ondo erabiltzen du.
56
Zenbakia: 6 HD: 5
AK: A,C
Mota: (informazioa) + ariketak
Kudeaketa: taldeka
Jarduera honetan bi zenbakiren arteko zatidura (eta hondarra) kalkulatzeko prozedura lantzen hasiko gara. Nahiko erraz ulertzen den prozedura batekin hasiko gara, zenbaki handien kasuan oso erabilgarria ez izan arren. Prozedura horren barne-logika nahiko xumea da: zatidura kalkulatzeko, nahikoa da zatikizunari behin eta berriro zatitzailea kentzea, azkenean gelditzen den zenbakia zatitzailea baino txikiagoa izan arte. Eragiketa horretan jada landu dugun banaketaren logika bera errepikatuko da. Kopuru hori kendu den aldiek zatidura adieraziko dute eta banatu gabe geldituko den kopurua izango da hondarra. Horrelako taula bat presta daiteke jarduera honetan erabiltzeko. Horrela, 47:8 eragiketaren zatidura eta hondarra kalkulatzeko, honako hau egingo da: -8 47
39 1
31 2
23 3
15 4
7 5
Goiko ilaran etengabe 8 kenduz lortu diren emaitzak ageri dira, eta azken zenbakia 8 baino txikiago izan arte jarraituko da. Azken zenbakia, 7, hondarra izango da. Behealdeko ilaran kopuru hori zenbat aldiz kendu den adierazi da. Azken zenbakiak zatidura adieraziko du: 5 Zatiketaren araua erabili<, zuzena dela egiazta daiteke: 5 x 8 + 7 = 47 Logika xumea duen algoritmoa da, kenketa errepikatu besterik ez baita egiten. Funtsean gauza bat ulertu behar dute: biderketak etengabe batzea adierazten duen moduan, zatiketak etengabe kentzea adierazten du. Baina zenbakiak (batez ere zatidura) oso handiak direnean ez da oso algoritmo eraginkorra hori. Horregatik, ondo dago hasteko, baina hurrengo unitate didaktikoetan betiko algoritmoa landuko da. 42 eta 43. orrialdeetako ariketek biderketarekin eta zatiketarekin lotutako ikaskuntzak gogoratzen lagundu diezaiekete eta ez dute beste iruzkinik behar.
JARDUERA OSAGARRIAK Komenigarri dela irudituz gero, jarduera honetako ariketak errepika daitezke, antzeko beste ariketa batzuk proposatuz. EBALUAZIOA Ulermena: zatiketa eta kenketa ondo erlazionatzen ditu elkarrekin. Zatiketaren osagaiak bereizten ditu eta bakoitzaren funtzioa zein den badaki. Kalkulua: ondo erabiltzen du adierazitako prozedura zatidura eta hondarra lortzeko.
57
Zenbakia: 7
HD: 6
AK: A ,C
Mota: (informazioa) + jolasak + ariketak
Kudeaketa: taldeka /banaka
Kalkuluak lantzeko jarduera da. Lehenago ere esan izan dugunez, gaur egun ez da nahikoa papera eta arkatza erabiliz egiten diren kalkuluak ondo ikastea, beharrezkoa da kasu bakoitzean egokiena den bitartekoa erabiliz kalkuluak egiten ikastea, buruz (zenbaki txikiak eta biribilak), kalkulagailuz (zenbaki handiak eta kalkulu neketsuak) nahiz papera eta arkatza erabiliz (bien tartekoak). Horregatik, adin horretako ikasleekin ari garenean kalkulua egiteko zein bitarteko erabili behar duten adieraztea komeni da. Kalkulatzeko modua aukeratzen utzi aurretik, kalkulu-mota horiek guztiak ondo dakizkitela ziur izan behar dugu. Buruzko kalkuluetarako, berdintzetan oinarritzen den estrategia bat aurkeztu diegu ikasleei. Hasierako adierazpena hartuta, kalkulua erraztuko duen beste adierazpide baliokide bat lortzeko aldatzean datza. 44. orrialdean bai batuketaren kasuan eta bai kenketarenean nola jokatu behar duten azaltzen da. Batuketaren kasuan, emaitza ez aldarazteko batugaietariko bati ematen zaiona besteari kendu egin behar zaiola ikusaraziko diegu. 96 + 44 = 100 + 40 = 140 (96ri ematen dioguna –4– 44ri kendu egingo diogu). Kenketaren kasuan ez da gauza bera gertatuko: kenketa baliokidea lortzeko, kenkizunari eta kentzaileari, biei, kopuru bera kendu (edo batu) beharko zaie: 121 – 67 = 114 – 60 = 54 (7 kendu diegu biei). Beste estrategia batzuetan gertatzen denaren ildotik, jokabide hauek baliagarriagoak izango dira batzuetan besteetan baino eta, gainera, ikasle bakoitzak horrelako gaietan bere erara jokatu ohi du (ezin dira behartu horrelakoak erabiltzera). Horregatik, gure lana horrelakoak proposatzea eta lantzea izango da; ea ikasleak erabiltzera animatzen diren gero. Ondoren proposatzen diren ariketek azaldu dugun estrategia erabiltzeko aukera eman behar digute. Garrantzi handikoa izango da ahoz eta ozenki egitea, kalkulua egiteko jarraitutako pausoak azalduz. 44. orrialdeko jolasa nahiko xumea da eta kalkuluak ahoz egiteko aukera ematen du; jolasa azaltzen den testuan horrelakorik adierazi ez arren, batu beharrean kenduz ere berdin-berdin jolas daitezke. 45. orrialdean, kalkuluak egiteko moduak gogoratuz (buruz, papera eta arkatza erabiliz eta kalkulagailuz) hainbat ariketa egiteko aukera emango da. Garrantzitsua da ikasleek prozedurak nola erabiltzen dituzten behatzea eta ebaluatzea. Eta beharrezkoak baldin badira, ariketa gehiago proposatuko dira. Batuketaren eta kenketaren algoritmoak ondo jakin behar dituzte eta biderketaren algoritmoan ezin da onartu egiturazko okerrik. 6. ariketak aurrez azaldu dugun zatiketa osoaren kalkulurako prozedura gogoratzeko balio du. 45. orrialdean gutxi gorabeherako kalkuluak egiteko ariketa bat dugu amaieran. Kontu hau zehatzmehatz aztertuko dugu hurrengo unitate didaktikoan. Dena den, kalkulatu beharreko zenbakiak zenbaki biribilez ordezkatzeko esanez lagunduko diegu ikasleei: 58 + 47 batuketaren emaitza 100 baino handiagoa da, 50+50 eragiketaren emaitza 100 delako eta 58k sobera duena (8) beste batugaiari, 47ri falta zaiona (3) baino gehiago delako (3). Antzera jokatuko da hurrengo kasuetan ere. JARDUERA OSAGARRIAK Nahi adina egin daitezke. Kalkuluak egiteko modu horiek guztiak ondo ikasteko bakoitza zenbat aldiz errepikatu behar den kalkulatzea nahiko zaila da, ikasle bakoitzaren arabera. Horregatik, ikasleen maila kontuan hartuta, horrelako ariketa gehiago proposatuko zaizkie behar dituztenei. EBALUAZIOA Ulermena: kalkulatu beharreko adierazpenak aldatzeko eta adierazpen xumeago bihurtzeko propietate aritmetikoak (berdinketa batuketaren eta kenketaren kasuan) erabiltzen ditu. - Emaitzaren gutxi gorabeherako balioa kalkulatzeko propietate aritmetikoak erabiltzen ditu. Kalkulua: eragiketen emaitza zehatz eta nahikoa azkar kalkulatzen du, kasu bakoitzean adierazten den modua erabiliz (buruz, papera eta arkatza erabiliz, kalkulagailuz). - Eragiketa baten gutxi gorabeherako kalkulua zuzen ateratzen du.
58
Zenbakia: 8 HD:7
AK: A,C
Mota: esperientzia + ariketak
Kudeaketa: taldeka /banaka
Aurreko unitate didaktikoko 8. jardueraren antzekoa da. Bietan neurriak idazteko bi erak (konplexua eta ez-konplexua) eta taulak erabiliz batetik bestera pasatzeko modua lantzen dira. Aldi berean, unitateen arteko aldaketa aztertzen da bietan. Desberdintasun nagusia erabiltzen diren unitateek adieraziko digute: orduan luzera-neurriak eta unitateak erabili ziren, eta orain edukierarekin lotutakoak erabiliko dira. Ez dirudi beharrezkoa lehen esan duguna errepikatzea; dena den, 1-8 jarduerari buruzko informazioa irakur daiteke berriro.
JARDUERA OSAGARRIAK Alde batetik unitateen konposiziorako eta deskonposiziorako ariketa gehiago eta, bestetik, unitate-aldaketetarako ariketa gehiago egin beharko dira. EBALUAZIOA Ulermena: neurri baten adierazpen konplexuan ageri diren unitate guztien balioa ondo identifikatzen du. Neurri baten adierazpen ez-konplexuan batekoei dagokien zifraren balioa identifikatzeko gai da. Kalkulua: unitate bat bere unitateetan deskonposatzeko eta konposatzeko neurriak zuzen erabiltzen ditu.
59
Zenbakia: 9
HD: 8
AK: A, Mota: esperientzia + Kudeaketa: banaka B, C problemak /taldeka Egutegia egitura matematiko interesgarria da oso eta hainbat problema planteatzeko erabil dezakegu. Jarduera honen bidez bi helburu hauek lortu nahi dira: denbora-unitateei buruzko oinarrizko datu batzuk gogoraraztea; b) zenbait problema ebazteko egutegiaren egitura (taula) erabiltzea. a) Hauek dira gogoratu beharreko unitateen arteko zenbakizko erlazio nagusiak: urte 1 = 365 egun (366 bisurtean) urte bat = 52 aste eta egun 1 (2 bisurteetan) urte bat = 12 aste Adin horretako ikasleek jada hilabeteen izenak buruz jakin behar lituzkete, baina badaezpada egiaztatzea komeni da. 48. orrialdeko esperientzian galderak egingo dira eta datuak antolatuko dira. Egokia izan liteke gelan kartel bat egitea eta horman eskegitzea. b) Egutegia oso interesgarria da matematikako egitura gisa (taula) eta 49. orrialdean egitura hori erabiltzeko aukera ematen duten problema batzuk daude. 1/ Probleman bertan iradokitzen den moduan. zazpi zutabeko taula bat egingo da, asteko egun bakoitzerako bat. Horrela, problema nahiko erraz ebatziko dute.
Astelehena Asteartea Asteazkena Osteguna Ostirala Larunbata Igandea 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Zenbatzen asteartetik hasita, lau egun barru larunbata izango da eta bederatzi egun barru osteguna (hurrengo astekoa). 7 egunetik aurrera zatiketaren hondarrak adieraziko du zenbatu beharreko egun-kopurua. Hau da: 9: 7 = 1(2), beraz, 2 zenbakiak adieraziko digu asteko zein egun izango den (asteartetik hasita, –1– asteazkena, –2– osteguna). 2/ Aurrekoaren antzekoa da, baina orain alderantziz egin beharko da. Hau da, taularen bigarren zutabetik hasita atzeraka zenbatu beharko dugu.
Astelehena Asteartea Asteazkena Osteguna Ostirala Larunbata Igandea 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Asteazkenean hasita, duela lau egun larunbata zen eta duela bederatzi egun, berriz, astelehena. Hemen ere hondarra ateratzea eta atzeraka zenbatzea beharrezkoa dela jabetu behar dute. 9:7 = 1(2); asteazkenetik hasita, –1– asteartea, –2– astelehena. 3/ Problema hau nahiko erraza da, soilik datu batzuk gogoratu behar dituzte eta gero biderketak baino ez dituzte egin behar. Egunak 24 ordu ditu. Asteak: 7 x 24 ordu = 168 ordu. Hilabeteak 30 egun: 24 x 30 ordu = 720 ordu. 4/ Nahiko erraz egiteko moduko jarduera da. Beren ordutegia irakurri behar dute eta informazioa laburtuz taula osatu behar dute. Taula osatzeko, hilabetek 4 aste dituela pentsatuko dugu. 5/ Problema hau errazago egin ahal izango da lehenengo bi zati bereizten baditugu eta, gero, biak batzen baditugu. Zenbat opor egun dituzte abenduan? Eta urtarrilean? Bi galdera horiei erantzunez, erantzun zuzena lortzeko biak batu baino ez dute egin behar. Horrelako problemetan bada aurretik argitu beharreko kontu bat: aipatzen diren egunak opor egun gisa hartuko diren edo ez. Hau da, oporrak 21ean hasten badira, 21a opor eguna izango den edo ez. Edo urtarrilaren 7an amaitzen direla badiogu, urtarrilaren 7an eskola duten edo ez. Era askotako interpretazioak egin daitezke, baina ohiko erabilerari emango zaio lehentasuna.
60
PLUS Problema hau taula erabiliz edo zuzenean zati 7 eginez eta hondarra kalkulatuz egin daiteke. PLUS atalean gaudenez, azken metodo hori erabiliz egiten saiatuko gara. 31: 7 = 4(3). 3 egun zenbatuz: ostegunetik hasita, –1– ostirala, –2– larunbata, –3– igandea. JARDUERA OSAGARRIAK Nahiko lan eskatzen duen jarduera da, baina nahi izanez gero, horrelako proposamen gehiago ere egin daitezke. EBALUAZIOA Ulermena: urtearen, hilabetearen, astearen eta egunaren arteko zenbakizko oinarrizko erlazioez gogoratzen da. - Egutegiko (taula) informazioa zuzen irakurtzen du. Adierazpena: informazioa antolatzeko zuzen erabiltzen du taula. Kalkulua: beharrezkoak diren eragiketak zehatz eta azkar kalkulatzen ditu.
Zenbakia: 10 HD: 9
AK: A
Mota: esperientzia
Kudeaketa: taldeka - banaka
Plano batean bi zuzen marrazten direnean, bi gauza gerta daitezke: a) elkar ebakitzea; b) elkar ez ebakitzea, hau da, bien artean puntu komunik ez izatea.
Egoera geometriko hori irudikatzeko, intuizioz landu daitekeen egoera ezagun bat hautatu dugu: herri baten kaleen planoa. Bertan bat egiten duten kaleak, gurutzatzen diren kaleak edota bat egiten ez duten kaleak daude. Gurutzatzen diren kaleen artean, batzuek 4 angelu berdin sorrarazten dituzte eta beste batzuek, berriz, ez. Angelu berdinak sorrarazten dituztenak zuzen perpendikularrak dira. Kontzeptu xumeak dira eta ez dute zailtasun-maila handirik adierazi behar. Aurreko unitate didaktikoan landu dugun angelu kontzeptua gogoratzeko erabil dezakegu.
JARDUERA OSAGARRIAK Hiri baten planoak eskura baditugu, jarduera hau egoera horien analisia eginez zabaldu dezakete. EBALUAZIOA Ulermena: planoan zuzenek izan ditzaketen posizioak bereizten ditu eta zuzen izendatzen ditu.
61
Zenbakia: 11 HD: 9
AK: A
Mota: jolasa
Kudeaketa: taldeka - banaka
Tetrisa oso joko ezaguna da eta ordenagailuetarako nahiz bideo-jokoetarako bertsio ugari daude. Oinarrizko irudi lau batzuk erabiliz ahalik eta ilera gehien osatzea da helburua. Liburuko 52. orrialdean horrelako lau irudi aurkeztu dira, baina badaude ikaslearen liburuan ageri ez diren beste bi irudi ere:
52. orrialdean, irudia mugitzeko eta ahalik eta ilara gehien osatzeko moduan kokatzeko eskatzen zaie. Ilara ugari osa daitezke: - Bi ilara lehenengo kasuan. - Bat bigarrenean. - Bi hirugarrenean. - Bat laugarrenean. 53. orrialdeko ariketak apur bat zailxeagoak dira eta kokatu aurretik irudia biratzea eskatzen dute. Lehengoan bi ilara osa daitezke. Baita bigarrengoan ere. Irudia biraraziz, hiru ilara osa daitezke hirugarrenean. Gauza bera gertatzen da laugarrengoan ere. Benetako piezak erabili gabe mugimenduak imajinatuz egiten ahalegindu behar dute. Ordenagailuko programa izanez gero erabil daiteke, interesgarria izan baitaiteke ikasleak joko horretan jolastea. Plus atalean zailtasun-maila areagotu egin da, bi pieza ezarriz. Bietan, zuzen jolastuz gero bi ilara osa daitezke.
JARDUERA OSAGARRIAK Ordenagailuko joko batean edo bideo-joko batean Tetrisean ibiltzea. EBALUAZIOA Ulermena: hutsuneak identifikatzen ditu eta ilarak zuzen osatzen ditu. Irudiak ahalik eta ilara gehien osatzeko moduan birarazten eta mugitzen ditu.
62
Zenbakia: 12 HD: 10
AK: A
Mota: sintesia
Kudeaketa: taldeka - banaka
Nahiko jarduera berria da hau ikasleentzat, 3. mailan horrelakoak egiten hasi baziren ere. Garrantzi eta interes handikoa da gainera. Jarduera honen hasieran zatiketari buruzko informazio-testu bat ageri da: esanahia, beste eragiketa batzuekin dituen harremanak, gaien izenak eta funtzioa, gai horien arteko zenbakizko erlazioa. Ikasleek testua irakurtzea, gauza bakoitza azalduz testua gelan lantzea eta hurrengo orrialdeko maparekin konparatzea lortu nahi dugu, eskemaren eta testuaren arteko paralelotasunaz jabetzeko. Irakurketa eta eskematizaziolan hori egin ondoren, mapa irakurtzeko eta bertan ageri diren kontzeptuen deskribapenak ateratzeko unea iritsiko da. Horrelako jarduerak lantzeko moduari buruz azalpen zabalagoak dituzue 1. unitate didaktikoko 12. jardueran; horregatik, ez zaigu beharrezkoa iruditu han esandakoak hemen errepikatzea. Garrantzi handikoa iruditzen zaigu irakurketa hori ozenki egitea eta guztiek esku hartzea, bakoitzak bere ideiak adieraziz. Kontzeptuen mapa egitea zaila izango da ikasle batzuentzat, baina eraiki ondoren, berau irakurtzeko baliagarri izan daitezkeen esaldiak eta adierazpenak proposa ditzakete. Amaitzeko, irakurketa horrek 55. orrialde amaieran ageri diren esaldiak osatzen lagundu behar digu. Idatzi behar dituzten definizioak eraikitako kontzeptuen mapa irakurriz osatuko dituzte. Adibidez, zatidura honela definitu da mapan: emaitza edo zati bakoitzaren kopurua. Gure asmoa ez da, beraz, esaldi hori asmatzea, mapa zuzen irakurtzea baizik.
JARDUERA OSAGARRIAK Gure ustez gaitasun handiena duten ikasleei kontzeptuen mapa buruz ikasteko eta mapa horri begiratu gabe berria marrazten ahalegintzeko eskatuko diegu. Definizioak buruz ikasteko ere eska geniezaieke. EBALUAZIOA Ulermena: informazioa ondo interpretatzen du eta garrantzi handiena duena ateratzeko gai da. Kontzeptuak ondo erlazionatzen ditu esanahiaren ikuspegitik. Adierazpena: adierazitako kontzeptuen deskribapena garatzen duten adierazpenak ondo osatzen ditu. Adierazitako kontzeptuak ondo deskribatzen ditu.
63
Zenbakia: 56 eta 57.orrialdeetako problemen bilduma
HD: 12
AK: A,B,C eta D
Mota: problemak
Kudeaketa: taldeka banaka
Orrialde horietako problemen bildumaren bidez: a) problemen ebazpena landuko da (12. helburua); b) unitate didaktikoko edukiak gogoratuko dira. Horregatik, batzuk unitate didaktikoan aurrera goazen neurrian egitea eta beste batzuk amaierarako uztea komeni da. Normalean, problema hauek egiteko ebazpen-protokolo bat erabiltzea komeni da, nahiko zailak izango baitira bestela ikasleentzat eta horrelakoak erabiltzeak lagundu egingo baitie. Guk proposatutako protokoloa unitate didaktiko honen eranskinetan dator. Protokolo horren erabilerari buruzko azalpen zabalagoak nahi badituzu, zoaz 1. unitate didaktikoko problemen iruzkinera. 1/ Egoera antolatzeko zuhaitz-diagrama erabiliz gero, errazago ebatziko da problema. Agian egokiena lehengo galderari gelan erantzutea –txanpona bi aldiz jaurtikiz gero gertatu daitekeenari buruzkoa– eta bigarrena, hiru aldiz jaurtikitzeari buruzkoa, taldeka egiteko eskatzea izango da. 1. jaurtialdia: aurkia edo ifrentzua. 2. jaurtialdia: aurkia-aurkia, aurkia-ifrentzua, ifrentzua-aurkia edo ifrentzua-ifrentzua (aurreko biei txandaka aurkia edo ifrentzua erantsiz aterako dugu hori) 3. jaurtialdia: aurkia-aurkia-aurkia; aurkia-aurkia-ifrentzua aurkia-ifrentzua-aurkia; aurkia-ifrentzua-ifrentzua ifrentzua-aurkia-aurkia; ifrentzua-aurkia-ifrentzua ifrentzua-ifrentzua-aurkia; ifrentzua-ifrentzua-ifrentzua Aurreko laurei txandaka aurkia edo ifrentzua erantsiz lortuko dugu hori. Ez da erraza adin horretako ikasleentzat pentsamendu-sistematika horretara iristea, baina pentsamenduak antolatzeko eta informazioaren antolamendu-prozesua kontrolatzeko modu bikaina da. Ez da problema erraza, bai, aldiz, interesgarria. 2/ Eskatzen zaien makinak eragile bat izango da hasieran, +5. Gero kontrolatzaile bat izango du eta sarrerako kopurua 10 zenbakiarekin konparatuko du: “>10”. Kontrolatzaileak bi irteera izango ditu: baldintza betetzen denean hartu beharreko irteeran beste eragile bat aterako da 10 kentzeko: - 10. Baldintza betetzen ez bada, zuzenean joango da irteerara. Hainbat zenbakirekin erabiltzen badugu, irteera guztietan 10 edo txikiagoa behar duela ohartuko gara. Probleman ez da horrelako galderarik egiten, baina aztertutako egoera hori osatzeko galde zitekeen. 3/ Soluzio grafikoa eskatzen duen problema da. Ikasleentzat beren kabuz soluzio asko bilatzea oso erraza ez denez, egokiena horietako batzuk proposatzea eta berorietatik egokiena zein iruditzen zaien eta zergatik galdetzea izan daiteke. Hona hemen hiru irtenbide, hiru bide erabiliz:
Ondoren, horietatik onena zein den aztertu dezakete, irtenbiderik onena herri bakoitzetik besteetara azkarren joateko aukera ematen duena izango dela kontuan hartuta. Ez dute zenbakizko soluziorik atera bera, nahikoa da intuizioz lan egitea eta arrazoiak argi ematea.
64
4/ Problema honetako estrategiarik azpimarragarriena taularen erabilera izango da. Argi eta garbi jakin behar dute zer eskatzen zaie: bi asteak kontuan hartuta, asteko zein egun izan den euri gehienekoa esan behar dute. 1. astea 25 16 24 0 0 12 0
Astelehena Asteartea Asteazkena Osteguna Ostirala Larunbata Igandea
2. astea 32 0 14 8 16 32 32
Guztira 58 16 38 8 16 44 32
Nahiko erraz ikusiko dute egun hori astelehena izan zela. Problema hau osatzeko, zein astetan egin duen euri gehien ere galde geniezaieke. Zutabe bakoitza batu beharko dute, ondoren konparatzeko. Bigarren galdera horretarako, honelako taulak erabil ditzakete: hirugarren zutabean aurreko datuak batuta ageri dira: Astelehena Asteartea Asteazkena Osteguna Ostirala Larunbata Igandea Astelehena Asteartea Asteazkena Osteguna Ostirala Larunbata Igandea
25 16 24 0 0 12 0 32 0 14 8 16 32 32
25 41 65 65 65 77 77 32 32 46 54 70 102 134
Nahiko normala da taulak diseinatzerakoan zailtasunak izatea eta, horregatik, lagundu egingo zaie. 5/ Nahiko egitura xumea duen problema da eta arretaz eta ondo planifikatuz irakurri behar da. Bai problema honetan eta bai ondorengoan biderketa bat egin behar dutela ohartu behar dute. 8 kaxa handi: 625 x 8 = 5.000 8 kaxa txiki: 225 x 8 = 1.800 Guztira: 5.000 + 1.800 = 6.800 6/ Aurrekoaren oso antzekoa da hau ere. Testua ondo ulertuz gero eta eragiketak behar bezala ordenatuz gero, ez dute zailtasunik izan behar: Bonbilla gorriak: 45 x 12 = 540 Bonbilla zuriak: 115 x 12 = 1.380 Bonbilla berdeak: 38 x 12= 456 Bonbilla horiak: 39 x 12 = 468 7/ Banaketa-egoera bat da eta zatikien bidez landu daiteke. Nahiko erraza da informazio guztia ondo ordenatzen badute. Unaik kopuru osoaren erdia: 20ren erdia; 20 : 2 = 10 Anek gelditu direnen erdiak: 10 gelditu dira, erdia: 10: 2 = 5 Jonek Karlosek baino bat gehiago: 5 gelditzen direnez, horrela banatzeko modu bakarra hauxe da: Jonek 3 eta Karlosek 2.
65
Lehen esan dugunez, problema honen zailtasun nagusia testua ondo ulertzeak eta ebazpena ondo ordenatzeak adieraziko du. 8/ Problema hau ere banatzearekin lotuta dago eta zatiketa bat eginaraziko digu: 67 : 6 = 11 eta hondarra 1. 11 kaxa bete ditzakegu eta arrautza bat geldituko da kaxetatik kanpo. Zatiketa kalkulatzeko prozedura unitate didaktiko honetan irakatsi zaiena edo ezagutzen duten beste bat izan daiteke. 9/ Prezioak konparatzeko unitateak aldatzera behartuko gaitu problema honek. Edozein unitate aukera daiteke berez eta, horrexegatik, erosoena egiten zaiguna aukeratuko dugu. Era askotako iritziak sor daitezke horren inguruan. Guk guztiak zentilitrotara (cl) pasatu ditugu. 0,25 l = 25 cl 35 cl = 35 cl 3,8 dl = 38 cl 0,4 l = 40 cl Argi ikusten denez, azken ontzi hori da merkeena, prezio berean kopuru gehien horrexek eskainiko baitigu. Bestalde, guztiak unitate bera erabiliz adieraziz gero, erraz ordenatuko dituzte kopuru guztiak. 10/ Egutegi bat edo hauen propietate batzuk erabili beharko dira. Espedizioa ekainaren 3an atera zen eta irailaren 4an itzuli zen. Onena denboraldi hori zenbait zatitan banatzea izango da. Ekainak 30 egun ditu: ekainaren 3tik 30era 27 egun daude: 27 egun. Uztailak 31 egun ditu. Abuztuak beste horrenbeste, 31. Irailaren 1etik 4ra 4 egun daude, biak barne hartuta. Beraz, guztira: 27+31+31+4 = 93 egun. 11/ Nahiko problema konplikatua da eta bi zati ondo bereiztea eskatzen du. Alde batetik, behar ditugu bonboien kopurua kalkulatu beharko dugu eta, bestetik, horrelako kaxak batuz kopuru horretara gehien nola hurbildu kalkulatu behar dugu. -
Behar ditugun bonboien kopurua: 22 x 3 = 66. Kaxen kopurua. 66 zati 12 egiten badugu, 66: 12 = 5 (6); beraz, 5 kaxa beharko genituzke eta 6 bonboi faltako litzaizkiguke artean. Beraz, 5 kaxa handi eta txiki bat hartuta, 68 bonboi izango genituzke eta 2 geldituko litzaizkiguke sobera. 66 zati 8 eginez: 66:8 = 8(2); 9 kaxa txiki beharko genituzke eta 6 bonboi geldituko litzaizkiguke sobera. Lehenengo irtenbideak egokiago dirudi, beraz. Horrelaxe jarrai genezake gehiago hurbiltzeko.
12/ 12 kaxa ilaretan eta zutabeetan kokatzeko moduak hauek dira: - 12 ilara berean: 6ko bi ilara; eta 4ko 3 ilara. Gainerakoak, 3ko 4 ilara, 2ko 6 ilara eta 12ko zutabe bat, baliokideak dira. Lehenengoan ez da plazarik sortuko. Bigarrengoan 6 plaza sortuko dira. Hirugarrengoan ere 6 plaza sortuko dira. Noski, problema hau ulertzeko, nahitaezkoa da marrazkiak egitea. PLUS Nahiko problema konplikatua da eta, emaitza guztiak ateratzeko gai ez badira ere, saia daitezela eta eztabaida dezatela, lortzen dituztenak berdinak diren edo ez jakiteko. Agian egokia izan daiteke kartoi mehea erabiliz horrelako pieza batzuk eraikitzea, elkartzea eta emaitzak marraztea. Piezak egin eta modu batera edo bestera elkartu ondoren, emaitzak marraz ditzakete. EBALUAZIOA Ulermena: - Testuetan nahiz tauletan eta diagrametan ageri den informazioa zuzen interpretatzen du. - Kasu bakoitzean egoerak dagozkien eragiketekin eta kontzeptuekin ondo erlazionatzen ditu.
66
- Egoeretan esku hartzen duten kontzeptuak identifikatzen ditu eta egokiena eta problemaren ebazpena gehien errazten duena erabiltzen du. Adierazpena: - Problemaren ebazpen-prozesua argi eta garbi idazten eta antolatzen du. - Problema ebazteko jarraitutako prozesua argi azaltzen du. - Notazioa zuzen erabiltzen du eta adierazpen aritmetikoak ondo idazten ditu. Kalkulua: - Kalkuluak egiteko bitartekorik egokiena erabiltzen du egoera bakoitzean (buruz, papera eta arkatza erabiliz, kalkulagailuz). - Kalkuluak azkar eta zehatz egiten ditu. - Algoritmoen arauak ondo erabiltzen ditu.
Plangintza: - Problema ebazteko pausoei jarraitzen die. - Ebazpen-prozesua azaltzeko protokoloa ondo erabiltzen du. - Emaitza zuzen dagoela egiaztatzen ahalegintzen da.
67
3. Ebaluazioa
Unitate didaktiko honetan ez da ebaluazioa egiteko zeregin espezifikorik ezarri. Beraz, unitate didaktikoko jarduerak erabiliko dira ebaluazioa egiteko. Lehenengo taulak, labur-labur, zeregin bakoitzaren analisia egin denean azaldu diren ebaluazio-irizpideak biltzen ditu. Horrela, helburuen lorpen-maila zehaztu ahal izango da. Bigarren taulak konstante bakoitza kalifikatzeko aukera ematen du eta, horretarako, horietako bakoitzarekin lotuta dauden helburuen berri ematen da. Irakaslearen zeregina izango da taulan ezarriko dituen zereginak aukeratzea. Jardueren atalaren hasieran, erlazio horiek azkarrago zehazteko taula bat ageri da. 3.1. Helburu didaktikoak eta ebaluazio-irizpideak
68
Helburu didaktikoak
Arloko konstanteak
1. – Makina deritzen diagrama logikoak arretaz irakurtzea eta ulertzea, eta berorietan azaltzen denaren arabera jokatzea.
2. – Zenbaki-sistema hamartarreko zifren balioa (bereziki ehunekoarena) ezagutzea nahiz zenbakiak zehaztasunez irakurtzea, idaztea, konposatzea eta deskonposatzea.
A
+ Diagramak ondo interpretatzen ditu eta adierazitakoaren arabera lan egiten du
C
+ Parte hartzen duten eragiketen emaitzak nahiko azkar eta zehatz kalkulatzen ditu buruz.
A
C
3.- Zatiki unitario xumeenak kopuru baten zatiekin identifikatzea eta zatiketarekin erlazionatzea.
4.- Biderketaren algoritmoa zorrotz eta azkar erabiltzea. 5.- Zatiketa zati berdinetan banatzeko egoera batekin lotuta dagoen eragiketa dela jabetzea, zatiketaren gaiak elkarrekin erlazionatzea eta zatiketa osoen prozedura aztertzea.
Ebaluazio-irizpideak
A
+ Diagraman zehaztutakoaren arabera jokatzen du. + Unitateak identifikatzeko eta egin beharreko aldaketak egiteko gai da. + Eragiketen emaitzak zuzen lortzen ditu. + Okerrik egiten badu, zuzendu egiten du. + Zatikiak dagozkien zatiekin identifikatzen ditu. + Adierazitako zatikia dagokion zatiketarekin erlazionatzen du. + Adierazitako biderketen emaitzak azkar eta zehatz kalkulatzen ditu.
C A
+ Zatiketa eta banaketa kontzeptuak ondo erlazionatzen ditu. + Ondo bereizten ditu zatiketaren osagaiak: zatikizuna, zatitzailea, zatidura eta hondarra, eta biderketarekin erlazionatzen du. + Zatiketaren araua ondo ikasi du buruz. + Zatiketa eta kenketa ondo erlazionatzen ditu elkarrekin.
C
+ Zati berdinetan banatzeko prozedura ondo erabiltzen du. + Ondo erabiltzen du adierazitako prozedura zatidura eta hondarra lortzeko. 6- Hainbat kalkulu aritmetiko zorrotz eta azkar egitea, modurik egokiena erabiliz (buruz, papera eta arkatza erabiliz, kalkulagailuz). Bi zifrako biderkatzailea dugunean biderketaren algoritmoa erabiltzea.
A C
+ Buruz ikasi beharreko emaitzak zehatz eta azkar gogoratzen ditu (lehenengo 20 zenbakien arteko batuketak eta kenketak, biderketa-taulak eta zatiketa errazenak). + Kalkuluak egiteko adierazten zaion modua erabiliz, emaitzak zuzen eta nahiko azkar lortzen ditu. + Eragiketa baten emaitzaren gutxi gorabeherako kalkulua ondo egiten du eta zergatia azaltzen du. + Algoritmoa zuzen erabiltzen du, adierazitako arauak pausoz pauso betez eta oker gutxi eginez.
69
Helburu didaktikoak Arloko Ebaluazio-irizpideak konstanteak 3.2. Behatzeko eta kalifikatzeko taula 6.- Eragiketa konposatuei dagokien + Adierazpen aritmetikoak ondo interpretatzen ditu eta dagozkien A notazio aritmetikoa interpretatzea eragiketen lehentasuna errespetatuz. Horrelako adierazpen aritmetikoen emaitza kalkulatzea papera eta arkatza eta kalkulagailua erabiliz.
C
7.- Modu konplexuan eta ezkonplexuan adierazitako luzeraneurrien balioa interpretatzea eta batetik bestera iragatea, idatzitakoaren balioa kontrolatuz. Beste neurri-unitate bat erabiliz neurri baliokideak idaztea.
A
C 8.- Egutegiaren egitura erabiltzea (taula) denboraren antolamenduari buruzko problemak ebazteko.
A
egoerekin erlazionatzen ditu. + Adierazpen aritmetiko konposatuetan lehentasuna ematen die batuketei eta kenketei eta adierazpen aritmetikoaren zentzuaren arabera lan egiten du. + Eragiketen lehentasunari buruzko araua aplikatzen du. + Adierazpen aritmetiko konposatuak kalkulatzerakoan bete beharreko arauak erabiltzen ditu. + Kalkulagailuaren memoria zuzen erabiltzen du, eragiketa aritmetiko konposatuen emaitzak lortzeko.
+ Neurri baten adierazpen konplexuan ageri diren unitate guztien balioa ondo identifikatzen du. +Neurri baten adierazpen ez-konplexuan batekoei dagokien zifraren balioa identifikatzeko gai da.
+ Unitate bat bere unitateetan deskonposatzeko eta konposatzeko neurriak zuzen erabiltzen ditu. + Urtearen, hilabetearen, astearen eta egunaren arteko zenbakizko oinarrizko erlazioez gogoratzen da. + Egutegiko (taula) informazioa zuzen irakurtzen du. + Informazioa antolatzeko zuzen erabiltzen du taula.
B C 9.- Planoan zuzenek izan ditzaketen posizioak identifikatzea eta izendatzea.
10.- Planoan irudi geometriko lauak transladatzea eta biratzea beste irudi batzuk osatzeko.
11.- Zatiketari eta zatiketarekin lotutako eragiketei buruzko informazioa ondo ulertuz irakurtzea, dagokion kontzeptuen mapa osatzea eta adierazitako kontzeptuak deskribatzea.
A
+Beharrezkoak diren eragiketak zehatz eta azkar kalkulatzen ditu. + Planoan zuzenek izan ditzaketen posizioak bereizten ditu eta zuzen izendatzen ditu.
+ Hutsuneak identifikatzen ditu eta ilarak zuzen osatzen ditu. + Irudiak ahalik eta ilara gehien osatzeko moduan birarazten eta mugitzen ditu.
A
A
+Informazioa ondo interpretatzen du eta garrantzi handiena duena ateratzeko gai da. + Kontzeptuak ondo erlazionatzen ditu esanahiaren ikuspegitik.
B + Adierazitako kontzeptuen deskribapena garatzen duten adierazpenak ondo osatzen ditu. + Adierazitako kontzeptuak ondo deskribatzen ditu.
12. - Gogoeta eginez eta ahoz nahiz idatziz, problema aritmetikoak ebaztea, enuntziatua arretaz aztertuz eta erantzuteko dugun espazioaren erabilera ondo planifikatuz.
A B
C D
- Kasu bakoitzean egoerak dagozkien eragiketekin eta kontzeptuekin ondo erlazionatzen ditu. (A) - Problemaren ebazpen-prozesua argi eta garbi idazten eta antolatzen du. (B) - Problema ebazteko jarraitutako prozesua argi azaltzen du. (B) Euroen eta zentimoen kasuan ondo erabiltzen du batuketaren algoritmoa. (C) - Problema ebazteko pausoei jarraitzen die. (D) - Ebazpen-prozesua azaltzeko protokoloa ondo erabiltzen du (D) - Emaitza zuzen dagoela egiaztatzen ahalegintzen da. (D)
70
Konstanteen zutabeetan dauden zenbakiek ebaluatu daitezkeen helburu didaktikoak adierazten dituzte. Egokiena eskala bat hartu (0, 4) eta lorpen-maila eskala horren arabera ebaluatzea izango da. ULERMENA: Helburu didaktikoak Ikasleak 1
2
3
4
6
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
71
8
9
10
11
12
Adierazpena: Ikasleak
Helburu didaktikoak 8
11
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
72
Ikaslea 1
2
Kalkulua. Helburu didaktikoak 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
73
12
Ikaslea
Plangintza (problemen ebazpena). Helburu didaktikoak 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
74
3. 3. Kalifikazio-irizpideak Unitate didaktikoaren amaieran azken kalifikazio orokorra lortu nahi bada, konstanteen artean honako taula hau kontuan hartzea izango da egokiena:
Konstanteen haztapen-taula Arloko konstantea
Azken kalifikaziorako gomendatzen den ehunekoa
ULERMENA
40
ADIERAZPENA
10
KALKULUA
35
PLANGINTZA
15
75
5. Eranskinak: -
Problemak ebazteko orria:
76
Problema:
Datuak:
Galdera:
Ebazpena:
Kalkulua:
Erantzuna: Egiaztapena:
77
