DAFTAR ISI KATA PENGANTAR .............................................. ...................................................... ............................................................. .......
i
DAFTAR ISI..................................................... ......................................................................................................... ..................................................................... .................
ii
BAB I
PENDAHULUAN ....................................................... ................................................................................................. ..........................................
1
A. Latar Belakang ....................................................... ................................................................................................. ..........................................
1
B. Rumusan Masalah .................................................. ..........................................
1
C. Tujuan .................................................. ..................................................... ............................................................ .......
1
PEMBAHASAN ............................................... ....................................................
2
A.Pengertian Elips ....................................................... ................................................................................................. ..........................................
2
B. Persamaan Elips ...................................................... ................................................................................................ ..........................................
3
1. Persamaan elips dengan pusat di O (0,0) ....................................................
3
..................................................
6
BAB II
2. Persamaan elips yang berpusat di P(
C. Persamaan Garis singgung elips ............................................... ........................ 10
BAB III PENUTUP ................................................. ..................................................... ............................................................ ....... 14 A. Kesimpulan .................................................. .................................................... 14
DAFTAR PUSTAKA ................................................ ..................................................... ............................................................ ....... 15
ii
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai: tempat kedudukan titik-titik pada sebuah bidang, sedemikian, sehingga jarak titik-titik tersebut ke sebuah titik tetap F (yang disebut fokus) memiliki rasio yang konstan terhadap jarak titik-titik tersebut ke sebuah garis tetap L(disebut direktriks) yang tidak mengandung F. Irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua-dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Salah satu jenis irisan kerucut yang dapat terjadi adalah elips. Irisan yang terbentuk berupa elips terjadi jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, tidak memotong lingkaran alas, tidak sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut, bidang pengiris tidak tegak lurus pada kerucut dan sudutnya membentuk kurang dari
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jarakn ya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tersebut adalah titik fokus / titik api. Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.
B. Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud dengan elips? 2. Bagaimana bentuk persamaan elips dengan pusat di O (0,0)?
?
3. Bagaimana bentuk persamaan elips dengan pusat di P ( 4. Bagaimana bentuk persamaan garis singgung elips?
C. Tujuan
1. Mengetahui arti dan unsur-unsur dari elips. 2. Mengetahui bentuk persamaan elips dengan pusat di O (0,0).
3. Mengetahui bentuk persamaan elips dengan pusat di P ( 4. Mengetahui bentuk persamaan garis singgung elips.
1
BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tersebut adalah titik focus / titik api. Elips juga didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. ( e < 1 ). Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks. Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor .
Unsur – unsur elips yaitu : 1. Pusat elips O (0,0) 2. Sumbu simetri adalah sumbu X dan sumbu Y 2
3. Fokusnya F1 (c, 0) dan F2 (-c, 0) 4. Panjang sumbu mayor = 2a, panjang sumbu minor = 2b 5. LL2
= Latus Rectum =
6. PF1 + PF2 = 2a 7. Perbandingan jarak dari suatu titik pada elips ke titik focus dengan ke garis direktris g disebut eksentrisitas (e) atau
8.
. persamaan garis direktriks
√
B. Persamaan Elips 1. Persamaan elips dengan pusat di O (0,0)
Berikut ini akan diberikan persamaan elips berdasarkan letak titik pusat elips. a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
atau
x 2 a2
y 2 b2
1, a b
Dengan : -
Pusat (0,0)
-
Fokus F1 (-c, 0) dan F2 (c,0)
b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah :
2
2
2
2
2
a x b y a b
2
Dengan : -
Pusat (0,0)
-
Fokus F1 (0,-c) dan F2 (0,c)
Catatan :
c a2 b2 3
atau
x 2 b
2
y 2 a
2
1, a b
Contoh 1
Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0) dengan sumbu mayor 10 satuan. Jawab :
Fokus di F1 (-4,0) dan F2 (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x ) Panjang sumbu mayor = 10, maka 2a = 10. Sehingga a = 5
b
a 2 c2
25 16
9 3
Persamaan elipsnya :
x 2 a2
y 2
1
b2
x 2
52
y 2 32
Jadi persamaan elipnya adalah
1
x 2 25
x 2
y2 9
25
y2 9
1
1
Contoh 2
Diketahui persamaan elips
x 2 16
y2 9
1 , tentukan koordinat titik puncak, koordinat
titik fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum ! Jawab :
Dari persamaan elips
2
2
2
x 2 16
y2 9
1 , diperoleh a2 = 16, maka a = 4; b2 = 9, maka b = 3.
2
c = a - b , sehingga c = 16 – 9 =7, maka c =
7.
Dari data diatas diperoleh :
-
Titik puncak (a,0) = (4,0) dan (-a,0)=(-4,0)
-
Titik focus ( -c,0) = (- 7 ,0 ) dan ( c,0)=(
-
Panjang sumbu mayor = 2a = 2. 4 = 8 4
7 ,0 )
-
Panjang sumbu minor = 2b = 2. 3 = 6
-
Eksentrisitas:
-
Persamaan direktriks :
a
x
4
7
e
16 7
16
7
7
4 -
Panjang lactus rectum =
2 b2 a
2 .9 4
18
4
4
1 2
Contoh 3
Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan 2
2
eksentrisitas dari persamaan elips berikut : 9x + 25y = 900 Jawab: Pertama nyatakan persamaan yang diberikan ke dalam bentuk baku dengan membagi masing-masing ruas dengan 900 dan diperoleh bentuk baku
x 2 100
y2 36
1
a = 10, b = 6, c = 8 pusat O(0,0) Fokus (8, 0) dan (-8, 0) Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y Sumbu panjang = 2a = 20 Sumbu pendek = 2b = 12 Direktriks : x =
Eksentrisitas : e =
a2 c
c a
=
8 10
100 8
= 12
1 2
4 5
5
2. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)
a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah
x
2
2
a2
y b2
1
Dengan :
-
Pusat (α,β)
-
Titik fokus di F1
-
- F Titik puncak – Panjang sumbu mayor = 2
-
Panjang sumbu minor = 2b
-
-
2
Persamaan direktriks x
a2 c
b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y, persamaan elipsnya adalah
2
x b2
y a2
Dengan :
-
Pusat (α,β)
-
Titik fokus di F1
-
- c) & F + c) Titik puncak (, - a) & (, + a)
-
Panjang sumbu mayor = 2a
-
Panjang sumbu minor = 2b
-
Persamaan direktriks y
2
a2 c
6
2
1
Contoh 4
Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan sumbu minor dari persamaan elips 4 x 2 9 y 2 16 x 18 y 11 0 Jawab : Nyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut ke dalam bentuk baku
x
2
2
a2
y b2
1
4 x 2 9 y 2 16 x 18 y 11 0 4 x 2 16 x 9 y 2 18 y 11
4 x 2 4 x 9 y2 2 y 11
2
4 x 2 22 9
2
y 1
4 x 2 4 9
2
y 1
2
2
1
2
11
1 11
2
4 x 2 16 9 y 1 9 11 2
2
2
2
4 x 2 9 y 1 11 16 9
4 x 2 9 y 1 36
x 2
2
2
9
y 1 4 2
1
2
Dari persamaan diatas diperoleh : α = 2, β = 1, a = 9 maka a = 3, b = 4 maka a = 2,
c a2 b2 32 22 9 4 5
-
Pusat ( α,β ) = ( 2,1 )
-
Titik fokus di F1 ( α-c, β ) = ( 2 - 5 ,1 ) & F2 ( α+c, β ) =( 2+ 5 ,1 )
-
Titik puncak ( α-a, β ) = ( 2-3,1 ) = ( -1,1 ) & ( α+a, β ) = ( 2+3,1 ) = ( 5,1 )
-
Panjang sumbu mayor = 2a = 2.3 = 6
-
Panjang sumbu minor = 2b = 2.2 = 4 7
Contoh 5
Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks,
–
dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut : x2 + 4y2 4x + 24y + 4 = 0 Jawab :
–
x2 + 4y2 4x + 24y + 4 = 0
–
–
–
(x 2)2 4 + 4(y + 3)2 36 = -4
–
(x 2)2 + 4(y + 3)2 = 36 ( x 2) 2 36
( y 3) 2
1
9
pusat (2, -3)
a = 6, b = 3, c =
Fokus (3 3
2,
a 2 b 2 39 9 27 3 3 -3)
Sumbu simetri : x = 2 dan y = -3 Sumbu panjang = 2a = 12 Sumbu pendek = 2b = 6
Direktriks : x =
Eksentrisitas : e =
a2 c
c a
=
3 3 6
36 3 3
1 2
2 4 3 2
3
8
Contoh 6
Tentukan persamaan ellips yang berpusat di (5,3) dengan sumbu mayor dan sumbu pendek berturutturut 6 dan 4. Jawab :
Sumbu panjang = 6, berarti a = 3 Sumbu pendek = 4, berarti b = 2 Jadi persamaan ellipsnya adalah :
x a2
2
2
y b2
1
( )
9
C. Persamaan Garis Singgung Elips 1. Garis Singgung dengan gradien m pada pusat O (0,0)
Jika garis h : y = mx + n menyinggung elips
=1, maka besarnya diskriminan D =
0. Kita sudah mengetahui bahwa diskriminan dari persamaan kuadrat yang dihasilkan oleh kedua persamaan di atas adalah D = -4a2b2 (n2-b2
– a m ), sehingga diperoleh 2
2
–
4a2b22 (n2-b2 a2m2) = 0 n2 -
n2 = n
–
b2 a2m2 = 0 b2 + a2m2
=±
√
Jadi, persamaan garis singgung pada elips
=1 dengan gradient m didefinisikan
dengan persamaan : y = mx ±
√
1. Persamaan garis singgung dengan gradient m dengan pusat P(α,β)
Dengan cara yang serupa dengan di atas dapat ditemukan persamaan garis singgung ellips yang tidak berpusat di (0,0)misal di P (α,β) yaitu:
2. Persamaan Garis singgung melalui sebuah titik pada elips dengan pusat O (0,0)
y h P x
+
Perhatikan gambar diatas yang memperlihatkan sebuah garis h yang menyinggung elips = 1 di titik P (x1, y1). = 1 di titik P (x , y ) didefinisikan dengan Persamaan garis singgung elips 1 1
persamaan.
10
+
= 1
3. Persamaan garis singgung melalui sebuah titik pada elips dengan pusat P (α,β)
Contoh :
Persamaan garis singgung pada elips
= 1, dengan gradient m = 3. Tentukan
persamaan garis singgung tersebut! Jawab:
b2 = 16
= 1, diperoleh a2= 4
⟶ a = 2
⟶ b = 4
Persamaan garis singgungnya adalah:
√ √ √ √ Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = 3x
√
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung pada elips
, dititik
√ ,2) ?
P(2
Jawab:
x2 + 2y2 - 16 = 0
⟶ x
2+
2y2 = 16
⟶ ⟶ Di titik P (√ ) ⟶
√ ,2) terletak pada elips , jadi persamaan garis singgungnya:
ini artinya P(2
=1 √ 1 ⟶ 11
√ x + 4y = 1 6 √ x + 2y = 8
√
2y = 8
√
y=4
4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Pada Elips dari Suatu Titik di Luar Elips.
Untuk menentukan garis singgung elips melalui titik di luar elips, tidak terdapat rumus yang baku, untuk menentukannya dapat digunakan rumus pada butir a dan b sebagai dasar pertolongan perhitungan. Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung pada elips
x 2 100
y 2 25
1 melalui titik p (2,7),
tentukan titik singgungnya? Jawab :
xx1 a2 x
yy1 b2
2
100
y
1
2
25
1
–
x2 2x - 48 = 0 ( x - 8) (x + 6) = 0 x = 8 dan x = -6 untuk x 8 maka y
1 14
untuk x 6 maka y
.8 1
14
25 7
3
6
25 7
4
titik singgungnya adalah 8,3 dan 6,4
12
Persamaan garis singgung melalui titik 8,3 dan titik 6,4 adalah xx1 a
2
yy1 b2
x.8
100
xx1 a
2
2 x
1
y.3
3 y
yy1 b2 6
3 x
1
8 y
25
0
1
0
1
y.4
100
25
x
25
50
13
BAB III PENUTUP A. Kesimpulan
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tersebut ad alah titik focus / titik api. Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor. 1. Persamaan elips dengan pusat di O (0,0) o
Untuk elips yang berfokus pada sumbu x.
2
2
2
2
2
b x a y a b
o
2
atau
x 2 a2
y 2 b2
1, a b
Untuk elips yang berfokus pada sumbu y.
2
2
2
2
2
a x b y a b
2
atau
x 2 b2
y 2 a2
1, a b
2. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β) o
Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah
x
2
a2 o
2
y b2
1
Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y, persamaan elipsnya adalah 2
x b2
y a2
2
1
3. Persamaan garis singgung elips. o
Persamaan garis singgung elips dengan pusat O (0,0) dengan gradient m
√ o
Persamaan garis singgung elips dengan pusat
√
14
dengan gradient m
DAFTAR PUSTAKA
https://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0CB8Q FjAA&url=http%3A%2F%2Ftoermoedy.files.wordpress.com%2F2010%2F11%2Fbab-vellips.pdf&ei=YZZtVKjhLcjAmAXs1IGQCA&usg=AFQjCNFuL-PpV7cIgOPLovpjk4dSdTJbw&sig2=LZikCxQICTBrMRv5fPz0KA
Di kutip pada 14 November 2014 https://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&ved=0CDIQFjAD&url=http%3 A%2F%2Fgis.fns.uniba.sk%2Fvyuka%2Fkzga%2Fellipse_app2.pdf&ei=YZZtVKjhLcjAmAXs1IGQCA&usg=AF QjCNFtQ0p6nwGANzJGIkS468a0uu7laA&sig2=hVqJSRcGjoCaI9H4s_z6Ig
Di kutip pada 20 November 2014 http://andisudarmansulnas.blogspot.com/2013/12/modul-tentang-persamaan-elips.html Di akses pada 20 November 2014
15