TUGAS M2 KB4 GRUP CLOWDY TUMEMBOUW
1. Misalkan ℤ+ himpunan semua bilangan bulat positif. Didefinisikan # dengan aturan x # y = x+ 2y dengan x, y di ℤ+. Tunjukkan bahwa # merupakan operasi biner pada ℤ+! J awab: awab:
ℤ+ = {1, 2, 3, 4, …}
x # y = x + 2y dengan x,y di ℤ+ Ambil (x, y)
ℤ x ℤ sebarang, misalkan:
x = 1, y = 2
x # y = x + 2y = 1 + 2 (2) =1+4 =5
Untuk lebih mempermudah kita buat tabel Cayley untuk operasi # pada ℤ+ # 1 2 3 4
1 3 4 5 6
2 5 6 7 8
3 7 8 9 10
4 9 10 11 12
… … … … …
Dari tabel Cayley di atas, terlihat bahwa hasil operasi # semuanya merupakan anggota ℤ+. Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa # merupakan operasi biner pada ℤ+ karena bersifat tertutup
2. Didefinisikan ∗ dengan aturan a ∗b= −ab dengan a dan b bilanga n bulat. a. Jelaskan mengapa ∗ operasi biner pada ℤ! b. Tunjukkan ∗ assosiatif! c. Tunjukkan bahwa ∗ komutatif. d. Tunjukkan bahwa ℤ memuat elemen identitas untuk operasi ∗. e. Jika a di ℤ maka tentukan z’ di ℤ untuk operasi ∗. J awab:
a. a ∗b= −ab dengan a dan b bilangan bulat. Ambil (a, b)
a = 1, b = 2
a = 1, b = -2 Dari
ℤ x ℤ sebarang, misalkan:
a ∗b= − (1) (2) = -2 a ∗b= − (1) (-2) = 2
dua
contoh
di
atas
jelas
bahwa * terdefinisikan dengan baik karena rumus a ∗b=− ab memberikan hasil tunggal untuk setiap a, b dalam ℤ sehingga hasil operasi * semuanya merupakan anggota ℤ. Oleh karena itu, dapat ditarik kesimpulan bahwa * merupakan operasi biner pada ℤ karena bersifat tertutup. b. Ambil sebarang a, b, c dengan a, b dan c bilangan bulat (a * b) *c = (-ab) * c = - (-ab)c = abc a* (b * c) = a * (-bc) = - a(-bc) = abc Maka untuk setiap a, b, c
ℤ berlaku:
(a * b) *c = a* (b * c) Jadi, * bersifat asosiatif c. Ambil sebarang a, b dengan a dan b bilangan bulat a * b = -ab b * a = -ba = -ab Maka untuk setiap a, b
a*b=b*a Jadi, * bersifat komutatif
ℤ berlaku:
d. Ambil sebarang a a * e = - ae = a
ℤ dengan e sebagai identitas maka a
e =
e * a = -ea = a
e =
a
a
a
1
1
Jadi, ℤ memuat elemen identitas untuk operasi ∗ yaitu – 1. e. Karena a di ℤ dan z’ di ℤ sehingga a ∗ a’ = z ∗ z’ = e
a ∗ a’ = z ∗ z’ = – 1
z ∗ z’ = – z.z’ – 1 = – z.z’ z '
z '
1 z
1 z
3. Misalkan ∗ didefinisikan pada himpunan bilangan real ℝ dengan a ∗ b=
1 2
ab.
a. Tunjukkan ∗ merupakan operasi biner pada ℝ! b. Tunjukkan ∗ bersifat asosiatif! c. Tunjukkan ∗ bersifat komutatif! J awab:
a. a ∗ b=
1 2
ab dengan a dan b bilangan real ℝ.
Ambil (a, b) a ∗ b=
1 2
ℝ x ℝ sebarang sehingga definisi operasi bintang, diperoleh:
ab
Karena ab dan
1 2
masing-masing merupakan bilangan real, sehingga
1 2
ab juga
merupakan bilangan real. Berarti, operasi bintang bersifat tertutup pada ℝ. Oleh karena itu, dapat ditarik kesimpulan bahwa * merupakan operasi biner pada ℝ karena bersifat tertutup.
b. Ambil sebarang a, b, c dengan a, b dan c bilangan bulat 1
(a * b) *c = (
1
ab) * c =
2
a* (b * c) = a * (
1 2
2 1
ab) =
2
Maka untuk setiap a, b, c
(
1 2
a(
1
ab)c = 1 2
4 1
bc) =
4
abc abc
ℝ berlaku:
(a * b) *c = a* (b * c) Jadi, * bersifat asosiatif c. Ambil sebarang a, b dengan a dan b bilangan bulat a*b= b*a=
1 2 1 2
ab 1
ba =
2
ab
Maka untuk setiap a, b
ℝ berlaku:
a*b=b*a Jadi, * bersifat komutatif
4. Diketahui ∗ didefinisikan pada himpunan semua bilangan real ℝ dengan aturan a ∗ b = a + b + 2. a. Tunjukkan ∗ merupakan operasi biner pada ℝ! b. Tunjukkan < ℝ ,∗> merupakan grup! J awab:
a. a ∗b= a + b + 2 dengan a dan b bilangan real. Ambil (a, b)
a = 1, b = 1
a= Dari
1 3
,b=
ℝ x ℝ sebarang, misalkan:
a ∗b= 1 + 1 + 2 = 4
1
a ∗b=
1
3
dua
3
+
1 3
+2=
2
2 3
contoh
di
atas
jelas
bahwa * terdefinisikan dengan baik karena rumus a ∗b= a + b + 2 memberikan hasil tunggal untuk setiap a, b dalam ℝ sehingga hasil operasi * semuanya merupakan anggota ℝ. Oleh karena itu, dapat ditarik kesimpulan bahwa * merupakan operasi biner pada ℝ karena bersifat tertutup.
b. Agar <ℝ ,∗> dikatakan sebagai grup dalam operasi bintang, maka harus ditunjukkan bahwa < ℝ ,∗> memenuhi 4 aksioma grup. 1. Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang bersifat tertutup pada ℝ Seperti yang terlihat pada jawaban a terbukti bahwa operasi bintang bersifat tertutup pada ℝ. 2. Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang pada ℝ bersifat asosiatif Ambil sebarang a, b, c dengan a, b dan c bilangan bulat (a * b) *c = (a + b + 2) * c = (a + b + 2) + c + 2 = a + b + c + 4 a* (b * c) = a * (b + c + 2) = a + (b + c + 2) + 2 = a + b + c + 4 Maka untuk setiap a, b, c
ℝ berlaku:
(a * b) *c = a* (b * c) Jadi, * bersifat asosiatif 3. Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang pada ℝ memiliki identitas Ambil sebarang a
ℝ dengan e sebagai identitas (yang akan dicari) maka
a ∗ e = a + e + 2 = a
e = a – a – 2 = – 2
e ∗ a = e + a + 2 = a
e = a – a – 2 = – 2
Jadi, unsur identitas / kesatuannya adalah – 2 4. Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang pada ℝ memiliki invers Ambil sebarang a, b
ℝ, sehingga menurut aksioma invers pada grup, invers
dari a yaitu b harus memenuhi a * b = – 2 a + b + 2 = – 2 b = – a + ( –2) + ( –2) b = – a + ( –4) b = – (a + 4) Jadi, invers sebarang a
ℝ adalah – (a + 4)
Karena memenuhi 4 aksioma grup tersebut, maka < ℝ ,∗> merupakan grup.
5. Misalkan
(ℝ) himpunan semua matriks 2 x 2 komponennya bilangan real dan
M 2 x 2
determinannya satu. a. Tunjukkan perkalian matriks merupakan operasi biner pada
b. Apakah perkalian matriks pada
M 2 x 2
(ℝ)!
(ℝ)bersifat komutatif? Jelaskan!
M 2 x 2
c. Tunjukkan < M 2 x 2 (ℝ), x> merupakan grup! J awab:
a. Langkah pertama, ambil (P, Q)
p
M
2 x 2
q dan Q p q
Misalkan P p 21 11
p12
11
22
21
(ℝ) x
M 2 x 2
(ℝ) sebarang
q12
dengan det (P) = 1 dan det (Q) = 1
q 22
Berdasarkan definisi perkalian matriks diperoleh
p q p q p q p q
PQ
11 21
11
12
11
22
p11q12 p12 q 22
sehingga p q p q
21 21
21
12
21
PQ
M
2 x 2
(ℝ)
22
…………………………..(i)
Berdasarkan sifat det (PQ) = det (P) det (Q) dan det (P) = 1, det (Q) = 1 diperoleh det
(PQ)
=
1
……………………………………………………………………………………………… ………(ii)
Akibatnya, dari (i) dan (ii) diperoleh PQ Jadi, untuk setiap (P, Q)
M
(ℝ) x
2 x 2
a a
A
11
a12
21
a 22
,
B
b b
2 x 2
M 2 x 2
M 2 x 2
11
b12
21
b22
,
(ℝ)
(ℝ) berlaku PQ
Langkah kedua, ambil (A, B), (C, D) di Misalkan
M
(ℝ) x
c c
C
M 2 x 2
11
c12
21
c 22
M
2 x 2
(ℝ)
(ℝ) dengan (A, B) = (C, D)
d d 12 dan D 11 d d 21 22
Berdasarkan definisi perkalian matriks diperoleh AB
a b
b
11 11
b 21 11
a a
b21
a11b12
b 22 21
a 21b12
12
a a
12
b22
dan
b 21 22
CD
c c
11
d 11
d 21 11
c c
d 21
c11d 12
d 21 22
c 21d 12
12
Karena (A, B) = (C, D) maka A = C dan B = D sehingga a ij setiap
i = 1, 2 dan j = 1, 2. Akibatnya, AB = CD.
c c
12
d 22
d 21 22
cij dan bij
d ij untuk
Jadi, untuk setiap (A, B), (C, D) di
M 2 x 2
(ℝ) x
M 2 x 2
(ℝ) dengan (A, B) = (C, D)
berlaku AB = CD. Berdasarkan dua langkah tersebut diperoleh perkalian matriks merupakan operasi biner pada himpunan
M 2 x 2
(ℝ).
b. Ambil sebarang A, B dengan A, B ∈ ℝ Pandang matriks
Karena
AB
A
1 0
1
dan 2
1 1 dan 0 4
matriks pada
M 2 x 2
B
BA
1 1 0 2
1 1 maka 0 4
AB
BA
sehingga perkalian
(ℝ) bersifat tidak komutatif.
c. Agar < M 2 x 2 (ℝ), x> dikatakan grup maka < M 2 x 2 (ℝ), x> harus memenuhi aksioma – aksioma berikut:
1. Operasi biner perkalian matriks pada himpunan semua matriks 2x2 dengan komponen bilangan real dan determinannya satu, 2. Matriks
I
1 0
0
M 1
2 x 2
0 a
1 c
b
a d c
3. Setiap matriks pada
M 2 x 2
b
a d c
(ℝ) bersifat asosiatif.
(ℝ) karena det ( I ) = 1. Maka matriks I merupakan
elemen identitas untuk perkalian matriks pada
1 0
M 2 x 2
M 2 x 2
b 1
d 0
0
M 2 x 2
(ℝ) karena
a untuk setiap 1 c
b
M d
2 x 2
(ℝ).
(ℝ) mempunyai invers untuk perkalian matriks pada
(ℝ) karena setiap matriks pada
M 2 x 2
(ℝ) determinannya satu.
karena < M 2 x2 (ℝ), x> telah memenuhi aksioma – aksioma maka < M 2 x 2 (ℝ), x>
merupakan grup.
a 0 0 0
6. Misalkan
a R, a
0
a. Tunjukkan perkalian matriks merupakan operasi biner pada himpunan A! b. Apakah perkalian matriks pada A bersifat komutatif? Jelaskan! c. Tentukan elemen identitas untuk perkalian matriks pada A!
5
0
0
0
d. Tentukan invers elemen
∈ A untuk perkalian pada A!
e. Tunjukkan
merupakan grup! J awab:
a.
A
a 0 0 0
a R, a
0
Ambil (P, Q) ∈ A, a, b R, a 0, b 0 sebarang
p
Misalkan P 0
0
q dan Q 0 0
0
0
Berdasarkan definisi perkalian matriks diperoleh
pq 0.0 p.0 0.0 0.q 0.0 0.0 0.0
PQ
pq
0
0
PQ
0
sehingga PQ A
Jadi, untuk setiap (P, Q)
A berlaku PQ A
Langkah kedua, ambil (P, Q), (R, S) di A (ℝ) x A (ℝ) dengan (P, Q) = (R, S)
p
Misalkan P 0
0
q , Q 0 0
0
r , R 0 0
0
dan 0
S
s 0
0
0
Berdasarkan definisi perkalian matriks diperoleh
pq 0.0 p.0 0.0 pq q 0 . 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0
PQ
0
dan 0
RS
rs 0.0 0. s 0.0
r .0 0.0
rs 0.0 0.0 0
0
0
Karena (P, Q) = (R, S) maka P = R dan Q = S sehingga p = r dan q = s. Akibatnya,
PQ = RS.
Jadi, untuk setiap (P, Q), (R, S) di A (ℝ) x A (ℝ) dengan (P, Q) = (R, S) berlaku PQ = RS.
Berdasarkan dua langkah tersebut diperoleh perkalian matriks merupakan operasi biner pada himpunan A. b. Perkalian matriks pada A bersifat komutatif, hal ini dapat dilihat melalui pembuktian berikut: Ambil (P, Q) ∈ A, a, b R, a 0, b 0 sebarang
p
0
q dan Q 0 0
Misalkan P 0
0
0
Berdasarkan definisi perkalian matriks diperoleh
pq 0.0 p.0 0.0 pq q 0 . 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0
0
qp 0.0 q.0 0.0 qp 0. p 0.0 0.0 0.0 0
0
PQ QP
pq
Karena PQ
0
0
pq 0 0
0
pq dan QP 0 0
0
0
0
maka PQ = QP sehingga perkalian
0
matriks pada A bersifat komutatif c. Matriks
I
1 0 1
A karena
0
0
∈ A merupakan elemen identitas untuk perkalian matriks pada
0
0 a
0 0
0
a 0 0
5.0
0.0
a 0 0
5
0
0
0
d. Determinan dari matriks det A
0
0 1
0 0
0
a untuk setiap 0 0
0
A
0
yaitu
0
5
Karena matriks 0
0
5 , det A = 0 maka elemen 0 0
0
∈ A untuk perkalian pada
0
A tidak memiliki invers. e. Agar merupakan grup maka harus memenuhi aksioma – aksioma yaitu bersifat asosiatif, memiliki identitas dan memiliki invers. Tetapi seperti yang telah dijelaskan pada jawaban no 6d bahwa tidak memiliki determinan yang berakibat tidak memiliki invers sehingga salah satu aksioma tidak terpenuhi maka dapat disimpulkan bahwa bukan merupakan grup.
7. Misalkan n ℤ himpunan semua bilangan bulat kelipatan n, ℚ himpunan semua bilangan rasional, dan ℝ himpunan semua bilangan real. Tunjukkan bahwa n ℤ, ℚ dan ℝ merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan! J awab:
a. n ℤ merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan apabila memenuhi aksioma – aksioma berikut: 1. Langkah pertama, ambil ( x, y ) ∈ nℤ x nℤ sebarang. Berdasarkan sifat penjumlahan diperoleh n ( x + y ) ∈ nℤ. Jadi, untuk setiap ( x, y ) ∈ nℤ x nℤ berlaku n ( x + y ) ∈ nℤ. Langkah kedua, ambil (a, b), (c, d) di n ℤ x nℤ, (a, b) dengan (a, b) = (c, d). Karena (a, b) = (c, d) maka a = c dan b = d sehingga n (a + b) = n (c + d). Jadi untuk setiap (a, b), (c, d) di n ℤ x nℤ dengan (a, b) = (c, d) berlaku n (a + b) = n (c + d). Berdasarkan dua langkah tersebut diperoleh penjumlahan merupakan operasi biner pada himpunan semua bilangan bulat kelipatan n (n ℤ). 2. Operasi biner pada penjumlahan pada himpunan semua bilangan bulat kelipatan n (n ℤ) bersifat komutatif dan asosiatif 3. Elemen 0 ∈ nℤ merupakan elemen identitas untuk penjumlahan himpunan semua bilangan bulat kelipatan n (n ℤ) karena n (x + 0) = nx = n (x + 0) untuk setiap x ∈ nℤ. 4. Setiap a ∈ nℤ mempunyai invers –a ∈ nℤ karena a + (-a) = 0 = (-a) + a Karena n ℤ
telah memenuhi aksioma – aksioma maka n ℤ merupakan grup
terhadap operasi penjumlahan bilangan. b. ℚ merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan apabila memenuhi aksioma – aksioma berikut: 1. Langkah pertama, ambil ( x, y ) ∈ ℚ sebarang. Berdasarkan sifat penjumlahan diperoleh ( x + y ) ∈ ℚ. Jadi, untuk setiap ( x, y ) ∈ ℚ berlaku ( x + y ) ∈ ℚ Langkah kedua, ambil (a, b), (c, d) di ℚ dengan (a, b) = (c, d).
Karena (a, b) = (c, d) maka a = c dan b = d sehingga (a + b) = (c + d). Jadi, untuk setiap (a, b), (c, d) di ℚ x ℚ dengan (a, b) = (c, d) berlaku (a + b) = (c + d). Berdasarkan dua langkah tersebut diperoleh penjumlahan merupakan operasi biner pada himpunan semua bilangan rasional ( ℚ). 2. Operasi biner pada penjumlahan pada himpunan semua bilangan rasional ( ℚ) bersifat komutatif dan asosiatif 3. Elemen 0 ∈ ℚ merupakan elemen identitas untuk penjumlahan himpunan semua bilangan rasional ( ℚ) karena (x + 0) = x = (x + 0) untuk setiap x ∈ ℚ. 4. Setiap a ∈ ℚ mempunyai invers –a ∈ ℚ karena a + (-a) = 0 = (-a) + a Karena ℚ telah memenuhi aksioma – aksioma maka ℚ merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan. c. ℝ merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan harus memenuhi aksioma – aksioma berikut: 1. Langkah pertama, ambil ( x, y ) ∈ ℝ sebarang. Berdasarkan sifat penjumlahan diperoleh ( x + y ) ∈ ℝ. Jadi, untuk setiap ( x, y ) ∈ ℝ berlaku ( x + y ) ∈ ℝ. Langkah kedua, ambil (a, b), (c, d) di ℝ dengan (a, b) = (c, d). Karena (a, b) = (c, d) maka a = c dan b = d sehingga (a + b) = (c + d). Jadi, untuk setiap (a, b), (c, d) di ℝ x ℝ dengan (a, b) = (c, d) berlaku (a + b) = (c + d). Berdasarkan dua langkah tersebut diperoleh penjumlahan merupakan operasi biner pada himpunan semua bilangan real ( ℝ). 2. Operasi biner pada penjumlahan pada himpunan semua bilangan real ( ℝ) bersifat komutatif dan asosiatif 3. Elemen 0 ∈ ℝ merupakan elemen identitas untuk penjumlahan himpunan semua bilangan real ( ℝ) karena (x + 0) = x = (x + 0) untuk setiap x ∈ ℝ. 4. Setiap a ∈ ℝ mempunyai invers –a ∈ ℝ karena a + (-a) = 0 = (-a) + a Karena ℝ telah memenuhi aksioma – aksioma maka ℝ merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan.
8. Misalkan ℚ+ himpunan semua bilangan rasional positif, ℚ∗ himpunan semua bilangan rasional tak-nol, ℝ+ himpunan semua bilangan real positif dan ℝ* himpunan semua bilangan real tak-nol Tunjukkan bahwa ℚ+, ℚ∗, ℝ+, dan ℝ* merupakan grup terhadap operasi perkalian bilangan! J awab:
a. ℚ+ merupakan grup terhadap operasi perkalian bilangan apabila memenuhi aksioma – aksioma berikut: 1. Langkah pertama, ambil ( p, q ) ∈ ℚ+ x ℚ+ sebarang. Berdasarkan sifat perkalian dan p, q bilangan rasional positif maka diperoleh p x q ∈ ℚ+. Jadi, untuk setiap ( p, q) ∈ ℚ+ x ℚ+ berlaku p x q ∈ ℚ+ Langkah kedua, ambil (a, b), (c, d) di ℚ+ x ℚ+ dengan (a, b) = (c, d). Karena (a, b) = (c, d) maka a = c dan b = d sehingga a x b = c x d. Jadi, untuk setiap (a, b), (c, d) di ℚ+ x ℚ+ dengan (a, b) = (c, d) berlaku a x b = c x d. Berdasarkan dua langkah tersebut diperoleh perkalian merupakan operasi biner pada himpunan semua bilangan rasional positif ( ℚ+). 2. Operasi biner pada perkalian pada himpunan semua bilangan rasional positif (ℚ+) bersifat komutatif dan asosiatif 3. Elemen 1 ∈ ℚ+ merupakan elemen identitas untuk perkalian himpunan semua bilangan rasional positif ( ℚ+) karena 1 x a = a = a x 1 untuk setiap a ∈ ℚ+. 4. Setiap bilangan rasional positif ( ℚ+) berlaku
1
merupakan bilangan rasional
p
positif ( ℚ+) dan memenuhi sifat
p
1 p
elemen p ∈ ℚ+ mempunyai invers
1
1
1
p
. Oleh karena itu, setiap
p
∈ ℚ+
p
Karena ℚ+ telah memenuhi aksioma – aksioma maka ℚ+ merupakan grup terhadap operasi perkalian bilangan.
b. ℚ∗ merupakan grup terhadap operasi perkalian bilangan apabila memenuhi aksioma – aksioma berikut: 1. Langkah pertama, ambil ( p, q ) ∈ ℚ∗ x ℚ∗ sebarang. Berdasarkan sifat perkalian dan p, q bilangan rasional tak-nol maka diperoleh p x q ∈ ℚ∗. Jadi, untuk setiap ( p, q) ∈ ℚ∗ x ℚ∗ berlaku p x q ∈ ℚ∗ Langkah kedua, ambil (a, b), (c, d) di ℚ∗ x ℚ∗dengan (a, b) = (c, d). Karena (a, b) = (c, d) maka a = c dan b = d sehingga a x b = c x d. Jadi, untuk setiap (a, b), (c, d) di ℚ∗ x ℚ∗ dengan (a, b) = (c, d) berlaku a x b = c x d. Berdasarkan dua langkah tersebut diperoleh perkalian merupakan operasi biner pada himpunan semua bilangan rasional tak-nol ( ℚ∗). 2. Operasi biner pada perkalian pada himpunan semua bilangan rasional tak-nol (ℚ∗) bersifat komutatif dan asosiatif 3. Elemen 1 ∈ ℚ∗ merupakan elemen identitas untuk perkalian himpunan semua bilangan rasional tak-nol ( ℚ*) karena 1 x a = a = a x 1 untuk setiap a ∈ ℚ*. 4. Setiap bilangan rasional tak-nol ( ℚ*) berlaku
1
merupakan bilangan rasional
p
tak-nol (ℚ*) dan memenuhi sifat
p
1 p
elemen p ∈ ℚ* mempunyai invers
1
1
1
p
. Oleh karena itu, setiap
p
∈ ℚ*
p
Karena ℚ* telah memenuhi aksioma – aksioma maka ℚ* merupakan grup terhadap operasi perkalian bilangan. c. ℝ+ merupakan grup terhadap operasi perkalian bilangan apabila memenuhi aksioma – aksioma berikut: 1. Langkah pertama, ambil ( p, q ) ∈ ℝ+ x ℝ+ sebarang. Berdasarkan sifat perkalian dan p, q bilangan real positif maka diperoleh p x q ∈ ℝ+. Jadi, untuk setiap ( p, q) ∈ ℝ+ x ℝ+ berlaku p x q ∈ ℝ+ Langkah kedua, ambil (a, b), (c, d) di ℝ+ x ℝ+ dengan (a, b) = (c, d). Karena (a, b) = (c, d) maka a = c dan b = d sehingga a x b = c x d.
Jadi, untuk setiap (a, b), (c, d) di ℝ+ x ℝ+ dengan (a, b) = (c, d) berlaku a x b = c x d. Berdasarkan dua langkah tersebut diperoleh perkalian merupakan operasi biner pada himpunan semua bilangan real positif ( ℝ+) 2. Operasi biner pada perkalian pada himpunan semua bilangan real positif ( ℝ+) bersifat komutatif dan asosiatif 3. Elemen 1 ∈ ℝ+ merupakan elemen identitas untuk perkalian himpunan semua bilangan real positif ( ℝ+) karena 1 x a = a = a x 1 untuk setiap a ∈ ℝ+. 4. Setiap bilangan real positif ( ℝ+) berlaku
1
merupakan bilangan real positif ( ℝ+)
p
dan memenuhi sifat
p
1
1
p
mempunyai invers
1
1
p
. Oleh karena itu, setiap elemen p ∈ ℝ+
p
∈ ℝ+
p
Karena ℝ+ telah memenuhi aksioma – aksioma maka ℝ+ merupakan grup terhadap operasi perkalian bilangan. d. ℝ* merupakan grup terhadap operasi perkalian bilangan apabila memenuhi aksioma – aksioma berikut: 1. Langkah pertama, ambil ( p, q ) ∈ ℝ* x ℝ* sebarang. Berdasarkan sifat perkalian dan p, q bilangan real tak-nol maka diperoleh p x q ∈ ℝ*. Jadi, untuk setiap ( p, q) ∈ ℝ* x ℝ* berlaku p x q ∈ ℝ* Langkah kedua, ambil (a, b), (c, d) di ℝ* x ℝ* dengan (a, b) = (c, d). Karena (a, b) = (c, d) maka a = c dan b = d sehingga a x b = c x d. Jadi, untuk setiap (a, b), (c, d) di ℝ* x ℝ* dengan (a, b) = (c, d) berlaku a x b = c x d. Berdasarkan dua langkah tersebut diperoleh perkalian merupakan operasi biner pada himpunan semua bilangan real tak-nol ( ℝ*) 2. Operasi biner pada perkalian pada himpunan semua bilangan real tak-nol ( ℝ*) bersifat komutatif dan asosiatif 3. Elemen 1 ∈ ℝ* merupakan elemen identitas untuk perkalian himpunan semua bilangan real tak-nol ( ℝ*) karena 1 x a = a = a x 1 untuk setiap a ∈ ℝ*.
4. Setiap bilangan real tak-nol ( ℝ*) berlaku
1
merupakan bilangan real tak-nol ( ℝ*)
p
dan memenuhi sifat
p
1 p
mempunyai invers
1
1
1
p
. Oleh karena itu, setiap elemen p ∈ ℝ*
p
∈ ℝ*
p
Karena ℝ* telah memenuhi aksioma – aksioma maka ℝ*merupakan grup terhadap operasi perkalian bilangan.
9.
Misalkan 〈,∗〉 grup yang memenuhi ∗ = , ∀ ∈ . Tunjukkan G grup komutatif (abelian)! J awab:
Bukti Ambil = dan = , karena , = dan ∀ ∈ , maka , ∈ Akan ditunjukkan ∗ = ∗ , dengan , ∈ Karena , ∈ maka ∗ ∈ (sifat tertutup), berarti ( ∗ ) ∗ ( ∗ ) =
(karena ∗ = )
∗∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗∗ = ∗∗∗=∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ = ∗
(kedua ruas di ∗ dari sebelah kiri) (karena ∗ = → ∗ = ) ( ∗ = ,sifat elemen identitas) (kedua ruas di ∗ dari sebelah kiri) (karena ∗ = → ∗ = ) ( ∗ = ,sifat elemen identitas)
(Terbukti bahwa G komutatif (abelian) karena ∗ = ∗ dengan , ∈ )
10.
Misalkan 〈,∗ 〉 grup dan a, b di G. Tunjukkan ( ∗ )− = − ∗ − ⇔ ∗ = ∗ ! J awab:
Berdasarkan teorema, jika 〈,∗〉 grup dan a, b di G maka berlaku ( ∗ )− = − ∗ −
Akan dibuktikan ( ∗ )− = − ∗ − ⇔ ∗ = ∗ Ambil ( ∗ )− dan inversnya, yaitu ( ∗ )
( ∗ )− ∗ ( ∗ ) = − ∗ − ∗ ∗
(karena ( ∗ )− = − ∗ − )
= − ∗ ∗
(− ∗ = , sifat invers elemen)
= − ∗
( ∗ = , sifat elemen identitas)
=
( − ∗ = , sifat invers elemen)
Ambil ( − ∗ − ) dan inversnya, yaitu ( ∗ ) (− ∗ −) ∗ ( ∗ ) = − ∗ − ∗ ∗ = 1 ∗ ∗
( − ∗ = , sifat invers elemen)
= 1 ∗
( ∗ = , sifat elemen identitas)
=
(− ∗ = , sifat invers elemen)
Karena ( ∗ )− ∗ ( ∗ ) = dan − ∗ − ∗ ( ∗ ) = , maka ( ∗ )− ∗ ( ∗ ) = − ∗ − ∗ ( ∗ )
Sehingga ( ∗ )− = − ∗ − ⇔ ∗ = ∗ (Terbukti)
