TUGAS M1 KB 2 : KOMBINATORIKA Nama : Merry Paskalia, S.Si
Kerjakan dengan tuntas soal-soal berikut ini. 1.
Ekspansikan dengan teorema Binomial Newton:
a. (1 + x)-1 b. (1 + x)−2 c. (1 + x)−3 Jawab :
a. Diberikan teorema 3 Binomial Newton adalah
∞ − (1) = ∑(1) 1)( 1,) ,) : ∞ (1)− ∑(1) 1)(1 1,) ,) = ∞ − (1) ∑(1) 1)(, , ) = (1) 1)(0,0) (1) 1)(1,1) (1) 1)(2,2) (1) 1)(3,3) ⋯
1.1.1( (1) 1 ). 1. 1.1. (1) 1).1. ⋯ 1 ⋯ b. Diberikan teorema 3 Binomial Newton adalah
∞ − (1) = ∑(1) 1)( 1,) ,) : ∞ (1)− = ∑(1) 1)(2 1,) ,) ∞ (1)− ∑(1) 1)( 1,) 1,) = (1) 1)(1,0) (1) 1)(2,1) (1) 1)(3,2) (1) 1)(4,3) ⋯
1.1.1( (1) 1). 2. 1.3. (1) 1).4. ⋯ 1 2 3 4 ⋯ c. Diberikan teorema 3 Binomial Newton adalah
∞ (1)− ∑(1) 1)( 1,) ,) = : ∞ (1)− ∑(1) 1)(3 1,) ,) = ∞ (1)− ∑(1) 1)( 2,) 2,) = (1) 1)(2,0) (1) 1)(3,1) (1) 1)(4,2) (1) 1)(5,3) ⋯
1.1.1( (1) 1). 3. 1.6. (1) 1).10. ⋯
1 3 6 10 ⋯ 2.
Tentukan Koefisien x101y49 dalam ekspansi (2x – (2x – 3y) 3y)150 Jawab :
Diketahui Teorema 2 Binomial adalah :
Jika a dan b bilangan-bilangan real dan
bilangan bulat positif, maka
∞ ( ) = ∑ (, , )−
Misalkan a = 2x dan b = -3y maka
( 2 x ( 3 y ))150 C (150, k )(2 x ) k ( 3 y )150k k 0
C (150, k )2 x 3 k
150k
k
y 150k
k 0
C (150, k )2 3
150k
k
x k y 150k
k 0
k
150 k
Jika x y
= x101y49
Maka k = 101, barisan tersebut adalah 101
( 3)150
101
( 3) 49 x101 y 49
C (150,101)2
C (150,101)2
101
101
x y
150 101
(C (150,101)2101 ( 3) 49 ) x101 y 49
101
Sehingga koefisien x101y49 dalam ekspansi (2x – (2x – 3y) 3y)150 adalah C (150,101)2
3.
Diketahui multiset A={4.a, 3.b, 2.c} dan B={2.a, 3.b, 4.c}. Tentukan A Jawab :
4.
( 3)49
∪
B, A ∩ B, A − B.
∪
a.
Gabungan A
B = {4.a, 3.b, 4.c}
b.
Irisan A ∩ B = {2.a, 3.b, 2.c}
c.
Selisih A – A – B B = {2.a, 2.c}
Tentukan solusi relasi rekursif :
2=
32
Langkah pertama, ditentukan persamaan karakteristik dengan mensubtitusi
n=
n
– – –
−1+
−2− 2
−3 dengan
10,
Jawab :
=2
dengan konstanta :
– –
=2
n = n
2
2
−1+
−2− 2
n-1+
n-2
n-1
9,
1=
−3
2
n-2 +
0=
2
n-3 n-3 =
0
2 +2=0 Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik: = -1, = 1 dan = 2. 3
2
Dengan demikian, bentuk solusinya sebagai berikut :
n=
C1. -1n+ C2. 1n+ C3. 2n
Dengan kondisi awal yang diberikan, diperoleh
0=
C1. -10+ C2. 10+ C3. 20 = C1. 1+ C2. 1+ C3. 1 = C1 + C2 + C3 = 9
1=
C1. -11+ C2. 11+ C3. 21 = C1. -1+ C2. 1+ C3. 2 = -C1 + C2+ 2C3 = 10
2=
C1. -12+ C2. 12+ C3. 22 = C1. 1+ C2. 1+ C3. 4 = C1 + C2+ 4C3 = 32
Untuk menemukan nilai C1, C2, dan C3 dilakukan eliminasi
C1 + C2 + C3 = 9…………………(1) -C1 + C2+ 2C3 = 10…………….(2)
C1 + C2+ 4C3 = 32………………(3) 32………………(3)
Eliminasi C1 dari persamaan (2) dan persamaan (1) -C1 + C2+ 2C3 = 10 C1 + C2 + C3 = 9 + 2 C2+3 C3 = 19…………………………….(4) Eliminasi C 1 dari persamaan (3) dan persamaan (2) -C1 + C2+ 2C3 = 10 C1 + C2 + 4C3 = 32 + 2 C2+6 C3 = 42…………………………….(5) Eliminasi C 2 dari persamaan (5) dan persamaan (4) 2 C2+6 C3 = 42 2 C2+3 C3 = 19 3 C3 = 23 C3 =
Substitusi C3 = 2 C2+3 C3
= 19
2 C2+3 .
= 19
2 C2+23
ke persamaan (4)
= 19
2 C2 = 19 – 19 – 23 23 2 C2 = - 4 C2 =
− 2
Substitusi C2 = -2 dan C3 =
ke persamaan (1)
C1 + C2 + C3 = 9
C1 + (-2) +
= 9
C1 =
Jadi C1 =
, C2 = -2, dan C3 =
Dari tiga persamaan di atas, diperoleh solusi homogen :
n= n=
n=
5.
C1. -1n+ C2. 1n+ C3. 2n
. -1n+ (-2). 1 n+ 11. 2n . -1n – 2 – 2 +
. 2n
Tentukan solusi relasi rekursif: Jawab :
=
−1+
−2 dengan
0=
0 dan
1=
1.
Langkah pertama, ditentukan persamaan karakteristik dengan mensubtitusi f n=
– – –– +√ +√ −√ −√ dengan konstanta : =
n = n
−1+
−2
n-1+
n-2
n-1
n-2 =
n
0
1 = 0 Dengan rumus abc diperoleh akar – akar – akar akar karakteristiknya yaitu 2
dan
Dengan demikian, bentuk solusinya sebagai berikut : Dengan kondisi awal yang diberikan, diperoleh
+√ −√
+ − √ √ .1. 1 0………………………………………(1) +√ −√ + − √ √ 1……………………………(2) Dari persamaan (1) diperoleh
.1. 1 0 0 1 2√ 5 1 2√ 5 1 1 2√ 5 1 2√ 5 1 √ 5 √ 5 1 2 2 2√ 5 1 2 √5 1 1 √ 5 15 √5 √ 5 1 5 1 5 √ √ 2 2 1 1 √ 5 1 1 5 √ 5 √5 √5 2 5 √5 √5 2 Substitusikan
Karena
ke persamaan (2)
maka
Lalu substitusikan ke
6.
dan diperoleh solusi berupa
Tentukan fungsi pembangkit dari barisan: 0,2,2,2,2,2,2,0,0,0,0,0,... dan sederhanakan. Jawab :
Diperhatikan bahwa barisan tersebut dapat dinyatakan dengan
⋯ () 0 2 2 2 2 2 2 ⋯ 0.0.1 2 2 2 2 2 2 ⋯ 0 2 2 2 2 2 2 ⋯ 22 2 2 2 2 2 2 ⋯ 2(1 (1 ) ⋯
{a } = 2(0,1,1,1,1,1,1,0,0,0,
)
Jadi diperoleh fungsi pembangkit :
2 2 −−
7.
Tentukan barisan dari fungsi pembangkit ber ikut ini: a.
(1 + 3x)−1
b.
(1 − x)−2
Jawab :
a.
(1)− (1) 1−)( 1,) , ) (13) 13) (1) 1) (1 1,) ,)3 (1) 1) (, , )3 (1) 1)(0,0)3, (1) 1)(1,1)3, (1) 1)(2,2)3, (1) 1)(3,3)3 Berdasarkan teorema
maka
Untuk k = 0,1,2,3,… 0,1,2,3,… maka barisan dari fungsi pembangkit tersebut adalah ,…
1.1.1,1.1.3,1.1.3 ,1.1.3 1,1.3, 3 ,1.3
,…
,…
b.
(1)− − (1) 1)( − 1,) , ) (1 ) (1(1 (1.)) (1) 1) (2 1,) ,)1 (1) 1) ( 1, )1 ( ( 1,) , )
Berdasarkan teorema
maka
Untuk k = 0,1,2,3,… maka barisan dari fungsi pembangkit tersebut adalah
( (01,0) 01,0), (1 1, 1,1), (21,2) 21,2), (31,3) 31,3), …. ( (1,0), (2,1), (3,2), (4,3), …. =1,2,3,4,…