SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
GRAĐEVINSKI FAKULTET U OSIJEKU
ZAVRŠNI RAD
Osijek, 15. 09. 2016.
Monika Trbojević
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
GRAĐEVINSKI FAKULTET U OSIJEKU
ZAVRŠNI RAD
TEMA :
NEKE METODE RJEŠAVANJA STATIČKI NEODREĐENIH NOSAČA
Osijek, 15. 09. 2016.
_________________ Trbojević, Monika
Neke metode metode rješavanja statički statički neodređenih neodređenih nosača
Sadržaj
1
........................................................ ........................................ ...................................... ...................................... ................................1 ............1 Sažetak ....................................
2
Uvod ................................. .................................................. .................................. .................................. ................................... .................................. .........................2 .........2
3
.................................................... ............................3 ...........3 Metode rješavanja statički neodređenih sustava ................................... 3.1.
Metoda deformacij deformacijee ................................. ................................................. .................................. ................................... ...............................4 ..............4
3.2.
.................................................. .................................. ................................... ....................6 ...6 Jednadžba triju momenata ..................................
3.3.
Princip minimuma potencijalne energije deformacije.......... deformacije. ................... ................... .................. ................. ........ 10
4
................................................... .................................. .................................. .................................. ........................ .......13 Riješeni zadaci ..................................
5
Zaključak......................................... .................................................. ..................................... ...................................... ...................................... ..........................68 ......68
6
Literatura..........................................................................................................................69
Trbojević, Monika
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
1 Sažetak
Tema ovog rada je analizirati načine rješavanja statički neodređenih sustava metodama naučenim iz kolegija Otpornost materijala: metodu deformacije, jednadžbu triju momenata i princip minimuma potencijalne energije deformacije.
U uvodu je opisan problem rješavanja statički neodređenih nosača, u teoretskom dijelu navedeni su postupci
rješavanja po svakoj metodi: pretvaranje statički neodređ enog sistema u
statički određen, osnovni sustav, osnovne jednadžbe proračuna, te primjere posebnih slučajeva. Riješeno je nekoliko primjera.
Ključne riječi: statički neodređeni sustavi, metoda deformacije, jednadžba triju momenata , princip minimuma potencijalne energije deformacije.
Trbojević, Monika
1
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
2 Uvod Statički
neodređeni sustavi su sustavi kod kojih nije mogu će odrediti unutar nje sile iz uvjeta
ravnoteže. Kod takvih sustava je broj mogućih jednadžbi ravnoteže manji od broja nepoznatih veličina potrebnih za izračun unutarnjih sila, odnosno imaju višak veza. Razlika broja nepoznatih
veličina i broja jednadžbi ravnoteže, koje se mogu postaviti za promatrani nosač
naziva se stupanj ( broj ) statičke
neodređenosti nosača.
Za rješavanje ovakvih sustava nije dovoljno postaviti samo jednadžbe ravnoteže. Svaki statički neodređeni sustav pretvaramo u zamjenski, statički određeni i postavljamo dodatne jednadžbe nad ukinutim, prekobrojnim vezama. Imamo onoliko dopunskih jednadžbi koliko je puta sustav
statički neodređen. Te dopunske jednadžbe su jednadžbe kompat ibilnosti
deformacija, a u nastavku će se obraditi metoda deformacije, jednadžba triju momenata i princip minimuma potencijalne energije deformacije.
U metodi deformacije, statički neodređenom sustavu na mjestu uklonjenih ležaja postavljamo nepoznate sile, deformacije.
čije djelovanje na konstrukciju mora zadovoljavati uvjete kompatibilnosti
U tromomentnoj jednadžbi oslobađamo momente savijanja iznad ležaja , koji su
tada nepoznate veličine.
Principom
minimuma
potencijalne
energije
deformacije
primjenjujemo drugi Castiglianov teorem s uvjetom da su pripadajući pomaci oslonca jednaki nuli.
Trbojević, Monika
2
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
3 Metode rješavanja statički neodređenih sustava
Dopunske jednadžbe kompatibilnosti deformacija su jednadžbe koje se dobivaju promatranjem deformacije sustava. Pri rješavanju, kao nepoznat e veličine mogu se uzeti sile i momenti u prekobrojnim vezama
( metoda sila ) ili deformacije, tj.pomaci pojedinih čv orova
sustava ( metoda deformacija, odnosno pomaka
). Uklanjanjem viška veza dobivamo statički
određen osnovni sistem opterećen zadanim vanjskim opterećenjem i nepoznatim veličinama. Nepoznate veličine ( sile i momenti ) moraju poprimiti takve vrijednosti da se deformacija statički određenog osnovnog sustava ne razlikuje od deformacije zadanog statički neodređenog sustava. Pomaci na mjestu i u smjeru uklonjenih veza jednaki su nuli, ako su veze krute.
Postupak rješavanja: a) odredimo
stupanj statičke neodređenosti sustava
b) uklanjamo prekobrojne veze, čiji je broj jednak stupnju statičke neodređenosti i dobivamo
statički određen osnovni sustav. N a mjestu ukinutih veza postavljamo nepoznate sile koje odgovaraju reakcijama ukinutih ležaja. Moramo voditi računa da sustav ostane kinematski stabilan
c) statički određen osnovni sustav opterećen je zadanim opterećenjem i nepoznatim veličinama (zamjenjuju djelovanje prekobrojnih veza ). Računaju se dijagrami unutarnjih sila i pomaci na mjestima ukinutih veza u osnovnom sustavu. d) na mjestu ukinutih pridržanja-veza postavljamo uvjete deformacija, tako da se deformacije zadanog i osnovnog sustava ne razlikuju. Broj dopunskih jednadžbi jednak je broju nepozatih
veličina . e) postavljene
statičke jednadžbe ravnoteže i dopunske jednadžbe zajedno daju dovoljan broj
jednadžbi za izračunavanje nepoznatih veličina nosača f) sljedeći korak je crtanje dijagrama unutarnjih sila
Trbojević, Monika
3
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
3.1. Metoda izjednačavanja deformacija Primjer 3.1. : Rješavanje
poduprte konzole
Slika 3.1.1.
a)
sustav je jedanput statički neodređen
b) uklanjamo vezu u točki B, da bi c) sada imamo osnovni sustav
dobili statički određen sustav ( slika 3.1.1. )
opterećen sa vanjskim opterećenjem ( q ) i rekacijom u
osloncu B ( R B ) ( slika 3.1.2. )
Slika 3.1.2.
Dopunska jednadžba je da progib u osloncu B mora biti jednak nuli (slika 3.1.3.) : d)
uk
0.
progib od opterećenja q : q
ql 4 8 EI
progib od opterećenja B: Rb
Bl 3 3 EI
Trbojević, Monika
4
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Slika 3.1.3.
Iz uvjeta deformacije uk
Rb q 0 , slijedi:
ql 4 8 EI
Bl 3 3 EI
3
0 B ql 8
Slika 3.1.4.
e)
M
A
iz uvjeta ravnoteže na zadanom sustavu dobijemo ostale rakcije ( slika 3.1.4. ): 1
0 , dobivamo M A RB l ql 0 , iz čega slijedi da je M A 2
F 0 , y
f)
2
ql 2 8
5
R A ql RB 0 , slijedi da je R A ql 8
sljedeći korak je crtanje dijagrama unutarnjih sila
Trbojević, Monika
5
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
3.2. Jednadžba triju momenat a
Jedan od načina rješavanja kontinuiranog nosača je jednadžba triju momenata ili Clapeyron ova jednadžba. Kontinuirani nosač je statički neodređeni nosač, oslonjen na 3 ili više oslonaca. Jedan zglobni oslonac
je nepomičan, te služi
za preuzimanje horizontalnog
opterećenja, dok su drugi oslonci pomični ( što nosaču omogućava promjenu duljine ). Nosač je onoliko puta statički neodređen koliko ima unutarnjih oslonaca.
Ovakvi se sustavi rješavaj u
dekompozicijom.
Prikazan je nosač sa n polja i sa n+1 zglobnih ležajeva ( slika 3.2.1. ). Pri vertikalnom opterećenju imamo n+1 nepoznatu reakciju, a nosač je n -1 puta statički neodređen. Za određivanje reakcija oslonaca, uz dvije jednadžbe statičke ravnoteže ( potrebno je uvesti (n-1)
F
y
0, M x 0 ),
dopunsku jednadžbu.
Slika 3.2.1.
Do dopunskih jednadžbi možemo doći tako da uklonimo un utarnje oslonce ( statički određen, osnovni sustav ) ,
zamijenimo ih aktivnim silama čije vrijednosti moraju biti takve da je na
mjestu oslonaca progib jednak nuli: wn 1 0, wn 0, wn1 0 ( slika 3.2.2. ).
Slika 3.2.2.
Način određivanja prekobrojnih reakcija je dugotrajan (npr. iz jednadžbi elastične linije ). Pogodnije je izabrati statički određen osnovni sustav takav zglobovi iznad njih ( slika 3.2.3. ).
Trbojević, Monika
da se zadrže svi ležajevi, a umetnu
Time oslobađamo momente savijanja u presjecima iznad
6
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
ležajeva, koji su sada nepoznate veličine. Momente u ležajnim presjecima čine momentni spregovi , koji ograničavaju rotiranje presjeka, tj. osiguravaju kontinuitet nagiba tangente elastične linije nosača .
Slika 3.2.3. Ovakve reaktivne spregove tretiramo kao aktivne, a uvjet kontinuiteta zadovoljavamo
nagibom tangente elastične linije, koji mora biti jednak s lijeve ( nl ) i desne strane oslonca ( nd ): nl nd (
slika 2.2.4. ). Promatramo dva susjedna raspona nosača lijevo i desno od n-
tog oslonca ( raspone n-1, n i n+1 ), svaki od raspona neka bude kruta greda
čije se ukupno
opterećenje sastoji od vanjskog opterećenja ( q ) i reaktivnog sprega ( M n ).
Slika 3.2.4.
Uvjet deformacije je nl nd .
Primijenimo li grafoanalitičku metodu za određivanje kuta
nagiba tangente elastične linije nad n -tim osloncem, tada raspone n i n+1 moramo promatrati kao fiktivne grede kod kojih dijagrami momentnih
savijanja od vanjskog opterećenja i
reaktivnih momenata predstavljaju fiktivna linijska optereće nja. Tada je nagib tangente l
elastične
linije nad n-tim osloncem n-tog raspona jednak: l n
odredimo iz uv jeta ravnoteže momenta za
F n EI
. Fiktivnu reakciju F n
fiktiv ni oslonac ( n – 1 ). Promatramo sliku 3.2.4.
Kut zaokreta lijevo od oslonca n jednak je zbroju kuteva zaokreta uzrokovanog vanjskim
opterećenjem q i kuta zaokreta od momenta: luk lq l M . Neka je EI=const. (slika 3.2.5.): M l
1
1
1
1
1
2
EI 2
3
EI 2
3
M n1 Ln
Trbojević, Monika
M n Ln
7
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
lq
1 EI
n
an Ln
Slika 3.2.5.
Slika 3.2.6
Promatramo kut zaokreta desno ( nd ) na slici 3.2.6.:
duk dq d M
M l
a 1 1 1 2 1 1 1 M n Ln 1 M n 1 Ln 1 lq n 1 n 1 EI 2 3 EI 2 3 EI Ln 1
Zbrojem
1
luk lq l M = l
6 EI
1
duk dq d M d
3 EI
Trbojević, Monika
M n Ln 1
M n1 Ln
1 6 EI
1 3EI
.M n 1 Ln 1
M n Ln
1 EI
n 1
1 EI
n
an
i
Ln
bn 1
.
Ln1
8
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Izjednačavanjem uvjeta nl nd dobivamo tromomentnu jednadžbu ili jednadžbu triju momenata, Clapeyron-ovu jednadžbu (ako EI nije konstanta):
L a L b 1 M n 1 Ln 2 M n n n 1 M n 1 Ln 1 6 n n n 1 n 1 EI n EI n EI n 1 EI n 1 EI n Ln EI n 1 Ln 1 1
gdje su :
M n , M n1 , M n1 - reaktivni momenti nad osloncima, Ln , L n1 , Ln1 - duljine raspona između oslonaca , nl nd - kutevi nagiba tangente na elastičnu liniju lijevo i desno od promatranog ležaja n , n 1 n - površina dijagrama momenta savijanja od vanjskog , n - poprima vrijednosti 1, 2, 3,... n-1 koje odgovaraju
opterećenja ,
pripadnom broju unutarnjih ležaja.
Dobijemo toliko jednadžbi koliko ima unutarnjih ležajeva. Svaka od tih jednadžbi nema više od 3 nepoznata reaktivna momenta, a prva i posljednja imaju po dvije nepoznanice. Rezultat je matrica koja ima maksimalno tri člana različita od nule. Moment iznad krajnjeg
zglobnog ležaja jednak je nuli (slika 3.2.7.):
Slika 3.2.7.
Ako nosač ima prijepust i na njemu opterećenje, slijedi M n1 M F a ( slika 3.2.8.).
Slika 3.2.8
.
Trbojević, Monika
9
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Ukoliko je kraj nosača upet, upetost zamjenjujemo dopunskim poljem beskonačno velike krutosti ili beskonačno malog raspona ( l=0 ) koje nije opterećeno vanjskim silama. Slika 3.2.9.:
Slika 3.2.9.
Rješenjem sustava tromomentne jednadžbe dobijemo reaktivne momente M i u ležajnim presjecima. Daljnji
proračun svodi se na promatranje svakog polja nosača na dva ležaja
opterećenog zadanim vanjskim opterećenjem i re aktivnim mometima na krajevima.
3.3. Princip minimuma potencijalne energije deformacije
Tijelo se deformira pod utjecajem vanjskih sila. Pri tome vanjske sile obavljaju rad na putu
koji odgovara pomacima točaka tijela. Po zakonu o održanju energije rad vanjskih sila odgovara promjeni potencijalne, kinetičke i toplinske energije tijela. Ubrzanja pri laganom i postupnom povećanju
opterećenja mogu se zanemariti ( zanemarujemo promjenu kinetičke
energije ). Također, promjena toplinske energije i druge promjene vezane za strukturu tijela kod statičkog opterećenja su neznatne, kod elastične deforma cije i zanemaruju se. Promjena potencijalne energije vanjskih sila, pri statičkom opterećenju elastičnog tijela, jednaka je radu ( W ) koji one obavljaju na pomacima u smjeru njihova djelovanja. Iz toga slijedi da je potencijalna energija deformacije ( U ) jednaka radu vanjskih sila koji one obavljaju pri toj deformaciji, u smjeru njihova djelovanja U W u . Unutarnje sile, koje se opiru djelovanju vanjskih sila , pri opterećenju obavljaju negativan rad, jer su smjerovi unutarnjih sila i odgovarajućih deformacija suprotni h smjerova. Kada vanjske
sile deformiraju sistem, tada obavljaju pozitivan rad. Po zakonu o održanju energije taj rad prelazi u potpunosti u potencijalnu energiju. Dakle, potencijalna energija deformacije jednaka l
je negativnom radu unutarnjih sila: U W . Rad je definiran: W
F l (slika 3.3.1.) 0
Trbojević, Monika
10
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Slika 3.3.1.
Za elastično tijelo vrijedi da je deformacija proporcionalna sili : l k F ( gdje je kkoeficijent proporcionalnostia
pomak možemo odrediti kao d l kdF ) . Slijedi da je
F l F 2 l 2 F l , W U . W F k l k 2 2 2 k 2 0 F
Prema 2. Castiglianovu teoremu pomaci se mogu definirati
U . Za svaku napoznatu F
veličinu ( uklonjeni ležaj ) postavljamo po jednu takvu linearnu jednadžbu. Ako uklonjena veza nije omogućavala pomake nosača, tada je na mjestu i u smjeru uklonjene veze pomak jednak nuli: U 0 . Ovime definiramo princip minimuma potencijalne energije F
deformacije. U statički neodređenom sustavu statički nepoznate veličine moraju imati takve vrijednosti za koje potencijalna energija ima minimum.
Primjer 3.3.: promatramo sliku 3.3.2.
Slika 3.3.2.
a)
nosaču oduzimamo jednu prekobrojnu vezu ( ležaj B ) i na mjestu te veze postavljamo nepoznatu veličinu, reakciju R B (slika 3.3.3.)
Trbojević, Monika
11
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Slika 3.3.3.
b) potencijalna energija elastične deformacije može se i zraziti u obliku funkcije od vanjskog opterećenja ( q ) i statički nepoznate veličine RB : U U (q, R B ) c) prema Castiglianovu teoremu B
U 0. R B
U nekom presjeku na x udaljenosti od ležaja B ( slika 3.3.3. ) promatramo pomake od vanjskog opterećenja i napoznate sile R B : U B
R
B
1
l
M EI
X
0
minimumu potencijalne energije, slijedi da su pomaci jednaki nuli
M R
X
dx
0.
Prema
B
l
M 0
x
M X R B
d x 0
.
Daljnjim rješavanjem dobijemo reakciju B i rješavamo dijagrame unutarnjih sila. l
F B x3 qx 4 FBl 3 ql 4 qx3 2 x F B x M X FB x , dx 0 2 F B 2 3 8 3 8 0 0 qx 2 M x
F B
3 8
l
ql .
Trbojević, Monika
12
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
4 Riješeni zadaci
ZADATAK 1:
deformacije,
Riješiti reakcije statički neodređenog sustava ( slika 4.1.1. ) metodom
primjenom tromomentne jednadžbe i principom minimuma potencijalne
energije deformacije, te
priložiti rezultate iz Robota . EI=const.
Slika 4.1.1.
a) Metoda deformacije S=-1,
sustav je jedanput statički neodređen. Za daljnje rješavanje potrebno je napraviti fiktivni
nosač ( slika 4.1.2.) , tako da oslobađamo oslonac B i na tome mjestu postavljamo nepoznatu reakciju R B .
Slika 4.1.2. Trbojević, Monika
13
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Moment od uklonjene reakcije R B : M A RB l 2RB , M A q l
l 2
moment od vanjskog opterećenja:
2
2 2 4kNm . (slika 4.1.2.) 2
Pomaci oslonca B: 1.) od uklonjene reakcije R B
Rb
2.)
M RB EI
1 RB l l 2 1 RBl 3 RB 23 R 8 2, 67RB l B EI 2 3 EI 3 3 3 EI
od vanjskog opterećenja q
1 q l l 2 3 1 ql 4 2 24 4 l l q EI EI 2 3 8 EI 8 8 EI M q
Ukupni pomak oslonca B je nula: uk Rb q 0 .
1 EI
2, 67 R B 4 0
2, 67 R B 4 0 Slijedi da je reakcija R B : 2, 67 R B 4 / (2, 67) RB 1, 498kN .
Iz uvjeta ravnoteže dobijemo ostale reakcije: M A 0 M A RB l q l
l 2
2
1, 498 2 2 2 1, 00 1kNm 2
F Y 0 R A RB q l RA 1, 498 2 2 RA 2, 502kN
b) Tromomentna jednadžba
Slika 4.1.3.
Upetost u osloncu A ( slika 4.1.3.) zamjenjujemo dopunskim poljem raspona ( l= 0 m ), koje nije opterećeno vanjskim silama ( slika 4.1.4. ).
Trbojević, Monika
beskonačno malog
14
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Slika 4.1.4.
Dekompozicija nosača i momenti od vanjskog opterećenja :
Slika 4.1.5.
Momenti ( slika 4.1.5.) :
M 0 0kNm M 1
ql 2 8
2 22 8
1kNm
a0
l0
Tromomentna jednadžba: M 0 l0 2M A (l0 l1 ) M B l 1 6 0
1
b1
l 1
M 0 M B 0 kNm l0 0m
0
a0 l 0
0 kNm 2
l1 2 m
Trbojević, Monika
15
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
1
b1 l 1
ql 2 8
2 1
2 0, 67kNm2 3 2
Tromomentna jednadžba: 0 2 M A (0 2) 0 2 6 0 0, 67
4 M A 3,996 M A 1kNm
Preostale reakcije, iz uvjeta ravnoteže ( slika 4.1.6.):
Slika 4.1.6.
M A 0kNm 2 R B 2 2 1 M A 0 R B 1,5kN M B 0kNm 2 R A 2 2 1 M A 0 R A 2,5kN Provjera dobivenih reakcija: FY 0kN
R A ql RB 0 2, 5 2 2 1, 5 0 00
Trbojević, Monika
16
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
c) Energetska metoda
Slika 4.1.6.
Statički određen sustav: ( slika 4.1.7. )
Slika 4.1.7.
Uvjet deformacije : pomak oslonca B je nula
U l M M X . X d X 0 B R B 0 RB Moment na udaljenosti x : M X RB x Parcijalna derivacija :
qx2 2
RB x x 2
M X x R B
Pomak oslonca B:
U l RB x x 2 x d X 0 B R B 0 l
R
B
x 2 x 3 d X 0
0
R B x x 3 4 3
4
Trbojević, Monika
l
0 0
17
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
R B l
3
4
3 R B
l
4 3l 4
0 3 2 4
1, 5kN
Iz uvjeta ravnoteže slijedi : M A 0kNm 2 R B 2 2 1 M A 0 R B 1,5kN M B 0kNm 2 R A 2 2 1 M A 0 R A 2,5kN Provjera dobivenih reakcija:
FY 0kN R A ql RB 0 00
d) Pr ilozi iz računalnog programa Autodesk Robot Structural Analysis 2014.:
Reakcije ( slika 4.1.8 ):
Slika 4.1.8.
Trbojević, Monika
18
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Dijagram unutarnjih sila-momentni dijagram (kNm) ( s lika 4.1.9. )
Slika 4.1.9.
Dijagram unutarnjih sila- poprečne sile (kN) ( slika 4.1.10.)
Slika 4.1.10.
Trbojević, Monika
19
Neke metode metode rješavanja statički statički neodređenih neodređenih nosača
ZADATAK 2:
Riješiti statički neodređeni sustav kroz sve tri metode i priložiti rezultate iz
EI=co nst. računalnog računalnog programa Robot . (slika 4.2.1.) EI=const.
Slika 4.2.1.
a) Metoda deformacije
Sustav je jedanput statički neodređen ( slika 4.2.1. ). Oslobađamo oslonac B ( dobivamo statički određen, osnovni sustav ) i na istom mjestu postavljamo prekobrojnu reakciju R B ( slika 4.2.2 ). Iz uvjeta kompatibilnosti deformacija, da je pomak oslonca B jednak nuli, dobivamo reakciju R B .
Slika 4.2.2.
Računamo pomak na mjestu oslonca B uzrokovan vanjskim opterećenjem P i pomak oslonca B kojeg uzrokuje prekobrojna reakcija R B .
Trbojević, Monika
20
Neke metode metode rješavanja statički statički neodređenih neodređenih nosača
slika 4.2.3. ): Fiktivno opterećenje od opterećenja P , P ( slika
Slika 4.2.3.
1
1
2
2
P M A( P ) l 60 3 90kNm2 M A( P ) P 3 60kNm
Pomak oslonca B od opterećenja P: B ( P )
90 3 270 1 2 . P ( 3 1) 1) EI 3 EI EI
Fiktivno opterećenje od reakcije R B , Rb ( slika 4.2.4. ) :
Slika 4.2.4.
Trbojević, Monika
21
Neke metode metode rješavanja statički statički neodređenih neodređenih nosača
1
1
Rb M A( RB ) l 4RB 4 8RB M A( RB )
2 RB l 4RB
2
Pomak oslonca B od opterećenja R B : B (RB)
1
EI
2
8 R B 8
3
3EI
RB ( 4)
21, 33RB
EI
Uvjet kompatibilnosti deformacija:
B 0 B B ( P ) B (RB ) 0 Dobivamo:
270 21,33 R B 0
EI EI 270 21, 33 R B 0 RB 12, 66kN
Iz uvjeta ravnoteže M A M A, M B 0 dobijemo ostale reakcije ( slika 4.2.5. ):
Slika 4.2.5.
Reaktivni moment M A :
M A M A RB 4 P 3 M A M A 9,36kNm Vertikalna reakcija u osloncu A:
M B 0 RA 4 M A P 1 0 R A 7,34kN Provjera: FY 0 RA P RB 0 0 0
Trbojević, Monika
22
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
b) Tromomentna jednadžba
Slika 4.2.6.
Upetost u osloncu A ( slika 4.2.6. ) zamjenjujemo dopunskim poljem raspona ( l = 0 m ), koje nije opterećeno vanjskim silama ( slika 4.2.7. ):
beskonačno malog
Slika 4.2.7.
Dekompozicija nosača i momenti od vanjskog opterećenja:
Slika 4.2.8.
Trbojević, Monika
23
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Momenti ( slika 4.2.8. ):
M 0 0kNm M 1
3 4
P 1
3 4
20 1 15kNm
a0
l0
Tromomentna jednadžba: M 0 l0 2M A (l0 l1 ) M B l 1 6 0
1
b1
l 1
M 0 M B 0 kNm l0 0m
0
a0
0 kNm 2
l 0
l1 4 m
Težište momentnog dijagrama: 30 xT
3 15 2 2
3
15 1
3
2
3,33 2,33m , slijedi:
a1 2,33m b1 1,67m 1 1 1 15 3 1 30 kNm2 2 2
1
b1 l 1
30
1,67 4
12,53kNm 2
Tromomentna jednadžba: 0 2 M A (0 4) 0 4 6 0 12,53 8 M A 75,18 M A 9,39kNm
M A 9,39kNm
Slika 4.2.9.
Iz uvjeta ravnoteže M A M A, M B 0 dobijemo ostale reakcije ( slika 4.2.9. ): M A M A RB 4 P 3 M A 0 R B 12,66kNm
Trbojević, Monika
24
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
M B 0 RA 4 M A P 1 0 R A 7,34kN Provjera: FY 0 RA P RB 0 0 0
c) Energetska metoda
Slika 4.2.10.
Statički određen sustav ( slika 4.2.11. ):
Slika 4.2.11.
Uvjet deformacije : pomak oslonca B je nula
U l M M X . X d X 0 B R B 0 RB Moment na udaljenosti x : M X RB x 1 P x RB x RB 20x Parcijalna derivacija :
M X x 1 R B
Pomak oslonca B:
U l R x RB 20 x x 1 d X 0 B R B 0 B
Trbojević, Monika
25
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
l
R
B
x 2 RB x RB x RB 20x 2 20 x d X 0
0
R x R x R x 20 x 2 3 2 2 R x 3 10x 3
2
B
2
B
l
3
B
0
B
R B l
3
3
0
3
R B l RB l 2
20l 3
10l 2 0
l 3m 9 R B
9 RB 3 RB 180 90 0
R B 12,86 kN
Iz uvjeta ravnoteže slijedi : M A M A RB 4 P 3 M A 0 M A 8,56kNm M B 0 RA 4 M A P 1 0 R A 7,14kN
d) Prilozi iz Autodesk Robot Structural Analysis 2014.: Reakcije: ( slika 4.2.12. )
Slika 4.2.12.
Trbojević, Monika
26
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Momentni dijagram (kNm): ( slika 4.2.13. )
Slika 4.2.13.
Dijagram poprečnih sila (kN) : ( slika 4.2.14. )
Slika 4.2.14.
Trbojević, Monika
27
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
ZADATAK 3: Riješiti Robota: EI=const.
statički neodređeni sustav kroz sve tri metode i priložiti rezultate iz
Slika 4.3.1.
a) Metoda deformacije
sustav je jedanput statički neodređen ( slika 4.3.1. ). Za fiktivni nosač: maknemo oslonac B i dobivamo statički određen ( slika 4.3.2. ), osnovni nosač, na istom mjestu S= -1
postavljamo prekobrojnu reakciju R B . Iz uvjeta kompatibilnosti, da je pomak oslonca B jednak nuli, dobivamo reakciju R B .
Slika 4.3.2.
Računamo pomak na mjestu oslonca B uzrokovan vanjskim opterećenjem P, q i pomak oslonca B kojeg uzrokuje prekobrojna reakcija R B . Zbog jednostavnosti, odvojeno
promatramo utjecaj vanjskog opterećenja P ( slika 4.3.3. ) i utjecaj vanjskog opterećenja q ( slika 4.3.5. ). 1. Pomak oslonca B
od vanjskog opterećenja P ( slika 4.3.3. ):
Slika 4.3.3.
Trbojević, Monika
28
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Reakcije: M A 0 RC 8 P 2 0 RC 1, 25kN
M C 0 RA 8 P 6 0 RA 3, 75kN Momentni dijagram ( slika 4.3.4. ):
M A M C 0kNm M1 R A 2 3, 75 2 7, 5kNm M B RA 4 P 2 3, 75 4 5 2 5kNm
Slika 4.3.4.
Trbojević, Monika
29
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Fiktivno opterećenje od opterećenja P, P : P 1 2 3 4 ( slika 4.3.5. ):
Slika 4.3.5.
Fiktivno opterećenje i 1
Krak do oslonca B xi
1 7,5 2 7,5kNm 2
x1
1
2 5 2 10kNm2
x2
1
x3
2
x4
1
2
1
3 2,5 2 2,5kNm2 2
1
4 5 4 10 kNm2 2
Trbojević, Monika
3 2 3 3
Pomaci oslonca i xi
2 2 2, 33m
1 x1 7,5 2,33 17, 48kNm3
2 1m
2 x2 10 1 10kNm3
2 1,33m
3 x3 2,5 1,33 3,33kNm3
4 1,33m
4 x4 10 1,33 13,33kNm3
30
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Pomak oslonca B od vanjske sile P: B P i xi 17, 48 10 3,33 13,33 44,11 2. Pomak oslonca B od vanjskog opterećenja q ( slika 4.3.6. ):
Slika 4.3.6.
Reakcije: M A 0 RC 8 q 4 6 0 RC 30kN
M C 0 RA 8 q 4 2 0 RA 10kN Momentni dijagram: ( slika 4.3.7. )
M A M C 0kNm M B RA 4 40kNm
Slika 4.3.7.
Trbojević, Monika
31
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Fiktivno opterećenje od opterećenja q, q : q 1 2 ( slika 4.3.8. )
Slika 4.3.8.
Fiktivno opterećenje i 1
1 40 4 80kNm2 2
2
2 40 4 106, 67 kNm 2 3
Krak do oslonca B xi
x1
1
x2
3
3 8
Pomaci oslonca i xi
4 1,33m
1 x1 80 1,33 106, 4kNm3
4 1, 5m
2 x2 106, 67 1,5 160, 01kNm3
Pomak oslonca B od vanjske sile q: Bq i xi 106, 4 160, 01 266,8
Trbojević, Monika
32
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
3. Pomak oslonca B od ukinute reakcije R B ( slika 4.3.9. )
Slika 4.3.9. R Reakcije: M A 0 RC 8 4 RB 0 RC B kN 2
R B kN 2 Momentni dijagram: ( slika 4.3.10. )
M C 0 RA
M A M C 0kNm M B RA 4 2RB kNm
Slika 4.3.10.
Trbojević, Monika
33
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Fiktivno opterećenje R : R 1 1 2 1 2 RB 4
1 2
4RB
1
Krak do točke B ( x ): x 4 1,33m 3
Pomak oslonca B od ukinute reakcije R B : B R i xi 2 R x 10, 64 RB 4. Ukupni pomak oslonca B: ( slika 4.3.11. )
Slika 4.3.11.
Buk B 44,11 266,8 10, 64 RB Uvjet kompatibilnosti deformacija:
B 0 310, 91 10, 64 R B 0 Dobijemo:
10, 64 R B 310, 94
R B 29,22kN
Iz uvjeta ravnoteže M A 0, M C 0 dobijemo ostale reakcije: ( slika 4.3.12. ) M A 0 8 RC 4 RB 10 4 6 5 2 0 RC 16, 64kN M C 0 ↓ 8 R A 4 RB 5 6 10 4 2 0 RA 0,86kN
Slika 4.3.12.
Provjera dobivenih reakcija: FY 0 RA P RB q 4 RC 0 0 0
Trbojević, Monika
34
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
b) Tromomentna jednadžba
Slika 4.3.13.
Stavljamo zglob iznad oslonca B i time oslobađamo momentni spreg M B . ( slika 4.3.14. )
Slika 4.3.14.
Dekompozicija nosača i momenti od vanjskog opterećenja: ( slika 4.3.15. )
Slika 4.3.15.
Momenti :
M A 0kNm M 1
P 1 4
5 4 4
Trbojević, Monika
5kNm
35
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
M C 0kNm M 2
q 12 8
20kNm
a1
l1
Tromomentna jednadžba: M A l1 2M B (l1 l 2 ) M C l 2 6 1
2
b2
l 2
M A M C 0kNm l1 4m a1 2m 1 1 2 5 2 10 kNm 2 2
1
a1 l 1
5kNm 2
a2 2m b2 2m l 2 4m
2 2 20 4 53,33kNm2 3 2
b2 l 2
2
53, 33 26, 67 kNm2 4
Tromomentna jednadžba: 0 4 2 M B (4 4) 0 4 6 5 26,67 16 M B 190, 02 M B 11,88kNm
M B 11,88kNm
Reakcije dobivamo ravnotežom sila na rastavljenom nosaču : ( slika 4.3.16., 4.3.17.)
Slika 4.3.16.
M B 11,88 4 R A 5 2 11,88 RA 0, 47kN
Trbojević, Monika
36
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
F Y 0 R B 5 0, 47 0 RB 5, 47kN
Slika 4.3.17.
M B 11,88 4 RC 10 4 2 11,88 0 RC 17, 03kN F Y 0 R B 10 4 17, 03 0 RB 22,97kN Reakcija u osloncu B jednaka je zbroju re akcija u osloncu B na rastavljenim nosačima:
R B 22,97 5, 47 28, 44kN
c) Energetska metoda
Slika 4.3.18.
Trbojević, Monika
37
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Statički određen sustav:
Slika 4.3.19.
Uvjet deformacije : pomak oslonca B je nula
U l M M X . X d X 0 B R B 0 RB
Iz ravnoteže momenata na osloncu C dobijemo ovisnost reakcija: M C 0 8 R A 4RB 6P
q 42 2
0 RA 0,5RB 13, 75
Segment 1: ( slika 4.3.20. ) Moment na udaljenosti x1 , za vrijednosti segmenta 0 x1 2 :
Slika 4.3.20.
M X 1 RA x1 0,5RB x1 13, 75x1
Parcijalna derivacija :
M X 1 0,5 x1 R B
Pomak oslonca B:
U l M X 1 M X 1 d X 1 0 B R B 0 RB
Trbojević, Monika
38
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
l
0,5 R x 13, 75x 0,5x dx B 1
1
1
1
0
0
Rješavanjem integrala dobijemo jednadžbu za pomak oslonca B za prvi segment : l
0, 25 R x
2 B 1
6,88 x12 dx1 0
0
0, 083 R
2
x 2, 29 x13 0
3 B 1
0
0, 664 R B 18,32 0
(1)
Segment 2: ( slika 4.3.21.) Moment na udaljenosti x2 , za vrijednosti segmenta 0 x2 2 :
Slika 4.3.21.
M X 2 RA 2 x2 Px2 0,5RB x2 RB 8, 75x2 27,5 Parcijalna derivacija :
M X 2 1 0, 5 x2 R B
Pomak oslonca B:
U l M X 2 M X 2 d X 2 0 B R B 0 RB l
0,5 R x B
2
RB 8, 75x2 27,5 1 0,5x2 dx2 0
0
Rješavanjem integrala dobijemo jednadžbu za pomak oslonca B za drugi segment: l
R
B
RB x2 0, 25RB x 2 2 4,38 x 22 22,5 x 2 27,5 dx 2 0
0 2
R B x2 2 0, 083RB x23 1, 46 x 23 11, 25 x 22 27, 5 x 2 0 R B x2 2 0 4, 664 R B 111, 68 0 (2)
Trbojević, Monika
39
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Segment 3: ( slika 4.3.22. ) Moment na udaljenosti x3 , za vrijednosti segmenta 0 x3 4 :
Slika 4.3.22.
M X 3 RA 4 x3 P 2 x3 RB x3 Parcijalna derivacija :
qx32 2
0,5RB x3 2 RB 8, 75 x3 45 5 x32
M X 3 2 0, 5 x3 R B
Pomak oslonca B:
U l M X 3 M X 3 d X 3 0 B R B 0 RB l
0, 5 R x
B 3
2RB 8, 75x3 45 5x32 2 0,5x3 dx3 0
0
Rješavanjem integrala dobijemo jednadžbu za pomak oslonca B za treći segment: l
4 R
B
RB x3 90 17,5x3 10x32 RB x3 0, 25RB x32 22,5x3 4,38x32 2,5x33 dx 3 0
0
4 R x
B 3
4
0, 5RB x32 90 x3 8, 75 x32 3,33 x33 0, 5 RB x32 0, 083 RB x33 11, 25 x32 1, 46 x33 0, 63 x34 0 0
16 R B 8RB 8RB 5,31RB 174, 72 0 5, 31 R B 174, 72 0
(3)
Pomak oslonca B jednak je: B
U U1 U 2 U 3 0 R B RB RB RB
Iz jednadžbi 1 2 3 slijedi: 0, 664 R B 4, 664RB 5, 31RB 18, 32 111, 68 174, 72 0 10, 64 R B 304, 72 0 R B 28,64kN
Trbojević, Monika
40
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Ostale reakcije dobijemo iz uvjeta ravnoteže: M A 0, M C 0 ( slika 4.3.23. ) M A 0 8 RC 4 RB 10 4 6 5 2 0 RC 16,93kN
M C 0 ↓ 8 R A 4RB 5 6 10 4 2 0 RA 0,57kN
Slika 4.3.23.
Provjera dobivenih reakcija: FY 0 RA P RB q 4 RC 0 0 0
d) Prilozi iz Autodesk Robot Professional Structural Analysis:
Reakcije: ( slika 4.3.24. )
Slika 4.3.24.
Trbojević, Monika
41
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Momentni dijagram (kNm): ( slika 4.3.25. )
Slika 4.3.25.
Dijagram poprečnih sila (kN): ( slika 4.3.26. )
Slika 4.3.26.
Trbojević, Monika
42
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
ZADATAK 4: Riješiti statički neodređeni sustav metodom, priložiti rezultate iz Robota: EI=const.
metodom deformacije i energetskom
Slika 4.4.1.
a) Metoda deformacije S=-1,
sustav je jedanput statički neodređen. Za daljnje rješavanje potrebno je napraviti fiktivni nosač, tako da oslobađamo oslonac B i na tome mjestu postavljamo nepoznatu reakciju R B .
Slika 4.4.2.
Trbojević, Monika
43
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Iz uvjeta kompatibilnosti deformacija, da je pomak oslonca B jednak nuli, dobivamo reakciju
R B . 1.
Pomak na mjestu oslonca B uzrokovan vanjskim opterećenjem q: ( slika 4.4.3. )
Slika 4.4.3.
Reakcije u osloncu A:
M A 0 q 4 2 M A 0 M A 80kNm
M B 0 M A RA 4 q 4 2 0 RA 40kN Momentni dijagram: ( slika 4.4.4. )
M A 80kNm M C 80kNm M B 0kNm
Trbojević, Monika
44
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Slika 4.4.4.
Fiktivno opterećenje i
Krak do oslonca B xi
1
3
3
4
1 80 4 106, 67 kNm 2 x1 4 3m
2 80 8 640kNm2
x2
1 2
8 4m
Pomaci oslonca i xi
1 x1 106,67 3 320kNm3 2 x2 640 4 2560kNm3
Pomak oslonca B od vanjskog opterećenja q: Bq i xi 320 2560 2880
Trbojević, Monika
45
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
2.
Pomak na mjestu oslonca B uzrokovan uklonjenom reakcijom R B : ( slika 4.4.5. )
Slika 4.4.5.
Reakcije u osloncu A:
M A 0 RB 4 M A 0 M A 4RB FY 0 RA RB 0 RA RB
Momentni dijagram: ( slika 4.4.6. )
M A M C 4RB M B 0kNm
Trbojević, Monika
46
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Momentni dijagram:
Slika 4.4.6.
Fiktivno opterećenje i 1 4 R B 4
1 2
8 RB kNm2
2 4 R B 8 32RB
Krak do oslonca B xi x1
2
x2
1
3 2
Pomaci oslonca i xi
4 2, 67 m
1 x1 8R B 2, 67 21, 36RB
8 4m
2 x2 32R B 4 128RB
Pomak oslonca B od ukinute reakcije R B : B R i xi 21, 33RB 128RB 149, 33RB 3. Ukupni pomak oslonca B
od vanjskog opterećenja i ukinute reakcije R B :
Buk B 149 RB 2880 Uvjet kompatibilnosti deformacija:
B 0 149, 33 R B 2880 0
Trbojević, Monika
47
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Dobijemo:
149, 33 R B 2880
R B 19,29kN
Slika 4.4.7.
Iz uvjeta ravnoteže M A , F Y dobijemo ostale reakcije: ( slika 4.4.7. ) M A M A 4 R B 10 4 2 M A 0 M A 2,84kNm F Y 0 R B RA q 4 0 RA 20, 71kN Provjera dobivenih reakcija:
M B 0 M A 4RA 10 4 2 0 0 0
Trbojević, Monika
48
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
b) Energetska metoda
Slika 4.4.8.
Statički određen sustav:
Slika 4.4.9.
Trbojević, Monika
49
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Uvjet deformacije : pomak oslonca B je nula:
U l M M X . X d X 0 B R B 0 RB
Slika 4.4.9.
Segment 1: Moment na udaljenosti x1 , za vrijednosti segmenta 0 x1 4 :
M X 1 RB x1
qx12 2
RB x1 5 x12
Parcijalna derivacija :
M X 1 x1 R B
Segment 2: Moment na udaljenosti x2 , za vrijednosti segmenta 0 x2 8 :
M X 2 RB 4
q 42 2
4 RB 80
Parcijalna derivacija :
Trbojević, Monika
M X 2 4 R B
50
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Pomak oslonca B za prvi segment:
U l M X 1 B M X 1 d X 1 0 R B 0 RB l
R x 5x x dx 2 1
B 1
1
1
0
0
Rješavanjem integrala dobijemo jednadžbu za pomak oslonca B za prvi segment: l
R x
2
B 1
5x13 dx1 0
0 4
R B x13 5 x13 0 3 4 0 21,33 R B 320 0
(1)
Pomak oslonca B za drugi segment:
U l M X 2 M X 2 d X 2 0 B R B 0 RB l
4 R
B
80 4 dx2 0
0
Rješavanjem integrala dobijemo jednadžbu za pomak oslonca B za drugi segment: l
16 R
B
320 dx2 0
0 8
16 R B x2 320 x2 0 0 128 R B 2560 0
(2)
Ukupni pomak oslonca B jednak je: B
U U1 U 2 R B RB RB
Iz jednadžbi 1 2 slijedi: 21,33 R B 320 128RB 2560 0 149, 33 R B 2880 0 R B 19,29kN
Preostale reakcije dobivamo ravnotežom sila na nosaču: M A M A 4 R B 10 4 2 M A 0 M A 2,84kNm M B 0 4 R A M A 10 4 2 0 RA 20, 71kN
Trbojević, Monika
51
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Slika 4.4.10.
Provjera dobivenih reakcija:
F Y 0 R A RB 10 4 0 0 0
Trbojević, Monika
52
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
c) Prilozi iz Autodesk Robotu Structural Analysis 2014.:
Reakcije: ( slika 4.4.11. )
Slika 4.4.11.
Trbojević, Monika
53
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Dijagram unutarnjih sila-momentni dijagram (kNm): ( slika 4.4.12. )
Slika 4.4.12.
Trbojević, Monika
54
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Dijagram poprečnih sila (kN): ( slika 4.4.13. )
Slika 4.4.13.
Trbojević, Monika
55
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
ZADATAK 5:
Riješiti statički neodređeni sustav kroz sve tri metode i priložiti Robot.
EI=const.
Slika 4.5.1.
a) Metoda deformacije
sustav je jedanput statički neodređen . Za fiktivni nosač: maknemo oslonac B i dobivamo statički određen, osnovni nosač ( slika 4.5.2. ), na istom mjestu postavljamo S= -1
prekobrojnu reakciju R B . Iz uvjeta kompatibilnosti, da je pomak oslonca B jednak nuli, dobivamo reakciju R B .
Slika 4.5.2.
Računamo pomak na mjestu oslonca B uzrokovan vanjskim opterećenjem q i pomak oslonca B kojeg uzrokuje prekobrojna reakcija R B . 1.
Pomak oslonca B od vanjskog opterećenja q:
Slika 4.5.3.
Reakcije: M A 0 RC 6 q 3 1,5 0 RC 11, 25kN
Trbojević, Monika
56
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
M C 0 RA 6 q 3 4,5 0 RA 33,75kN Momentni dijagram: ( slika 4.5.4. )
M A M C 0kNm M B RC 3 11,25 3 33,75kNm
Fiktivno opterećenje od opterećenja q, q : q 1 2
Slika 4.5.4.
Fiktivno opterećenje i 2
1 33, 75 3 67, 5kNm2 3
1
2 33, 75 3 50, 63kNm2 2
Krak do oslonca B xi
x1 x2
3 8 1 3
Pomaci oslonca i xi
3 1,13m
1 x1 67,5 1,13 75, 94kNm3
3 1m
2 x2 50, 63 1 50, 63kNm3
Pomak oslonca B od vanjske sile q: Bq i xi 75,94 50,63 126,57
Trbojević, Monika
57
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
2. Pomak oslonca B od ukinute reakcije R B
Slika 4.5.5.
Reakcije: M A 0 RC 6 3 RB 0 RC
M C 0 RA
R B 2
R B
kN 2 Momentni dijagram: ( slika 4.5.6. )
M A M C 0kNm M B RA 3 1,5RB
Slika 4.5.6.
Trbojević, Monika
58
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Fiktivno opterećenje R : R 1 1 21 4,5 RB 1
1 1, 5 R B 3 2, 25RB 2
Krak do oslonca B: x1
1 3
3 1m
Pomak oslonca B od ukinute reakcije R B : B R i xi 21 x1 4,5RB 3. Ukupni pomak oslonca B:
Slika 4.5.7.
Buk B Bq BR 126,57 4,5 RB Iz uvjeta kompatibilnosti deformacija slijedi:
B 0 126, 57 4, 5 R B 0 Dobijemo:
4, 5 R B 126, 57
R B 28,13kN
Iz uvjeta ravnoteže M A 0, M C 0 dobijemo ostale reakcije: ( slika 4.5.8. ) M A 0 ↓ 6 RC 3RB 15 3 1,5 0 RC 2,82kN M C 0 6 R A 3RB 15 3 4,5 0 RA 19, 69kN
Slika 4.5.8.
Trbojević, Monika
59
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Provjera dobivenih reakcija: FY 0 RA RB q 3 RC 0 0 0
b) Tromomentna jednadžba
Slika 4.5.9.
Stavljamo zglob iznad oslonca B i time oslobađamo momentni spreg M B .
Slika 4.5.10.
Dekompozicija nosača i momenti od vanjskog opterećenja:
Slika 4.5.11.
Momenti :
M A 0kNm M 1
q 12 8
15 32 8
Trbojević, Monika
16,88kNm
60
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
M C 0kNm M 2 0kNm
a1
l1
Tromomentna jednadžba: M A l1 2M B (l1 l 2 ) M C l 2 6 1
2
b2
l 2
a1 1,5m
2 1 16,88 3 33, 75 kNm2 3 1
a1 l 1
16,88kNm 2
l2 3m
2 0kNm2 2
b2 l 2
0kNm2
Tromomentna jednadžba: 0 3 2 M B (3 3) 0 3 6 16,88 0 12 M B 101, 28 M B 8,44kNm
M B 8,44kNm
Reakcije dobivamo ravnotežom sila na rastavljenom nosaču:
Slika 4.5.12.
M B 8,44 3 R A q 3 1,5 8, 44 0 RA 19, 69kN F Y 0 R B 15 3 19, 69 0 RB 25,31kN
Trbojević, Monika
61
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Slika 4.5.13.
M B 8,44 ↓ 3 RC 8, 44 0 RC 2,81kN F Y 0 R B RC 0 RB 2,81kN Reakcija u osloncu B jednaka je zbroju re akcija u osloncu B na rastavljenim nosačima:
R B 25,31 2,81 28,12kN
Slika 4.5.14.
Provjera dobivenih reakcija: FY 0 RA RB q 3 RC 0 0 0
c) Energetska metoda
Slika 4.5.15.
Trbojević, Monika
62
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Statički određen sustav:
Slika 4.5.16.
Uvjet deformacije : pomak oslonca B je nula
M U l M X . X d X 0 B R B 0 RB
Iz ravnoteže momenata na osloncu C dobijemo ovisnost reakcija: M A 0 6 RC 3RB q 3 1,5 0 RC 0,5RB 11, 25
Segment 1: Moment na udaljenosti x1 , za vrijednosti segmenta 0 x1 3 :
Slika 4.5.17.
M X 1 RC x1 0,5RB x1 11, 25x1 Parcijalna derivacija :
M X 1 0,5 x1 R B
Pomak oslonca B:
U l M X 1 M X 1 d X 1 0 B R B 0 RB l
0,5 R x 11, 25 x 0,5 x dx B 1
1
1
1
0
0
Trbojević, Monika
63
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Rješavanjem integrala dobijemo jednadžbu za pomak oslonca B za prvi segment: l
0, 25 R x
2 B 1
5, 63 x12 dx1 0
0 3
0, 083 R B x13 1,88 x13 0 0
2, 24 R B 50, 76 0
(1)
Segment 2: Moment na udaljenosti x2 , za vrijednosti segmenta 0 x2 3 :
Slika 4.5.18.
M X 2 RC 3 x2 RB x2
Parcijalna derivacija :
qx2 2
1,5RB 0,5RB x2 11, 25x2 33, 75 7,5x22
M X 2 1,5 0,5 x2 R B
Pomak oslonca B:
U l M X 2 M X 2 d X 2 0 B R B 0 RB l
1, 5 R
B
0,5RB x2 11, 25x2 33, 75 7,5x22 1,5 0,5x2 dx 2 0
0
Rješavanjem integrala dobijemo jednadžbu za pomak oslonca B za drugi segment: l
2, 25 R
B
1,5 RB x2 0, 25 RB x 2 2 16,88 x 2 5, 63 x 22 11, 25 x 22 3, 75 x 23 50, 63 16,88 x dx 2 0
0
2, 25 R
B
3
x2 0, 75 RB x2 2 0, 083 RB x 23 8, 44 x 22 1,88 x 23 3, 75 x 23 0,94 x 24 50, 63 x 2 8, 44 x 22 0
2, 24 R B 76, 29 0
Trbojević, Monika
0
(2)
64
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Iz jednadžbi 1 2 slijedi:
2, 24 R B 2, 24RB 50, 76 76, 29 0 4, 48 R B 127, 05 0 R B 28,35kN
Iz uvjeta ravnoteže M A 0, M C 0 dobijemo ostale reakcije: M A 0 ↓ 6 RC 3RB 15 3 1,5 0 RC 2,82kN M C 0 6 R A 3RB 15 3 4,5 0 RA 19, 69kN
Slika 4.5.19.
Provjera dobivenih reakcija: FY 0 RA RB q 3 RC 0 0 0
Trbojević, Monika
65
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
d) Prilozi iz Autodesk Robot Structural Analysis 2014.:
Reakcije: ( slika 4.5.20. )
Slika 4.5.20.
Dijagram unutarnjih sila-momentni (kNm): ( slika 4.5.21. )
Slika 4.5.21.
Trbojević, Monika
66
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
Dijagram poprečnih sila (kN): ( slika 4.5.22. )
Slika 4.5.22.
Trbojević, Monika
67
Neke metode rješavanja statički neodređenih nosača
5 Zaključak
Statički neodređeni sustavi imaju prekobrojne veze, te za njihovo rješavanje nije dovoljno postaviti samo jednadžbe ravnoteže. Potrebno je postaviti dodatne jednadžbe, koje dobivamo iz uvjeta kompatibilnosti deformacija.
Statički neodređeni primjeri riješeni metodama deformacije, tromomentnom jednadžbom i principom minimuma potencijalne energije deformacije pokazuju vrlo mala odstupanja
rezultata. Izračuni reakcija se vrlo dobro poklapaju i s računalnim programom Autodesk Robot Structural Analysis 2014. N ajveće odstupanje rezultata je 8%.
Iz priloženih
zadataka vidimo da je metoda deformacije praktična za rješavanje jednostavnih
statički neodređenih nosača: nosača upetih na jednom kraju, a na drugom oslonjenih na ležaj. Kod nosača koji su oslonjeni na više od dva ležaja ( kontinuirani nosači ) rješavanje metodom deformacije je dugotrajnije zbog posebne
analize svakog utjecaja opterećenja na
nosač. Jednadžba triju momenata služi za rješavanje kontinuiranih nosača, gdje oslobađamo zglobove u presjecima iznad ležajeva. U priloženim zadacima su nosači prikazani kao kontinuirani i tek tada je p ostavljena tromomenta jednadžba, koja je i
najjednostavnija metoda
rješavanja takvih nosača. Principom minimuma potencijalne energije deformacije primjenjujemo drugi Castiglianov
teorem s uvjetom da su pripadajući pomaci oslonca jednaki nuli , odnosno, potencijalna energija deformacije ovdje ima svoj minimum. Ova metoda je pogodna za sve vrste nosača.
Trbojević, Monika
68
