(O(h4 ))
(O (h4 ))
(O(h4 ))
θ1 θ2 θ1 (t)
θ2 (t) θ1(t) θ2(t) θ1 θ2
θ1 (t)
θ2 (t) θ1(t) θ2(t) θ1 θ2
θ1 (t)
θ2 (t) θ1(t) θ2(t)
m1
m2
1
θ1
T
2
θ2
V
(x, y ) θ1 , θ 2
x
x1
X
θ1 ⇒ x˙ 21 = 21 θ˙12
x1 = 1 y1 m1
m1 2
θ1 .
Y
1 + 2
Y
m1
θ1 ) ⇒ y˙ 12 = 21 θ˙12
y1 = 1 (1 −
T 1 =
2
2
θ1 .
1 1 m1 (x˙ 21 + y˙ 12 ) = m1 21 θ˙12 . 2 2
x2
X
m2
m2 x 2 x1 x2 = x 2 + x1 = 1
⇒ x˙ 22 = 21 θ˙1
2
y2 m2
θ1 + 22 θ˙2
θ1 + 2 2
θ2 ⇒
θ2 + 2 1 2 ˙θ1 ˙θ2
θ1
θ2 .
Y m2 m1 m2
y2 , y1 y2 = y 2 + y1 = 1 (1 −
⇒ y˙ 22 = 21 θ˙12
2
θ1 + 22 θ˙22
θ1 ) + 2 (1 − 2
θ2 ) ⇒
θ2 + 2 1 2 ˙θ1 ˙θ2
1 m2 (x˙ 22 + y˙ 22 ) = 2 2 θ1 + 2 θ˙2 2 θ2 + 2 1 2 ˙θ1 ˙θ2
θ1
T 2 =
1 = m2 21 θ˙1 2 2 2 θ˙2 θ1 + 2 θ˙2
1 1
T 2 =
2 2
2
2
θ2 + 2 1 2 ˙θ1 ˙θ2
1 m2 (21 θ˙12 + 22 θ˙22 + 2 1 2 ˙θ1 ˙θ2 2
θ1
θ2 +
θ1
θ2 .
(θ1 − θ2 )).
θ2 .
y
θ1
θ2 T =
1 (m1 + m2 )21 θ˙12 + m2 1 2 θ˙1 θ˙2 2
1 (θ1 − θ2) + m222 θ˙2 . 2
V g = −9, 81 m · s−2 ez V i = m i gy i
V = V 1 + V 2 = (m1 + m2 )g 1 (1 −
θ1 ) + m2 g 2 (1 −
θ2 ).
1 1 (m1 + m2 )21 θ˙12 + m2 1 2 θ˙1 θ˙2 (θ1 − θ2 ) + m2 22θ˙2 − 2 2 θ1 ) + m2 g 2 (1 − θ2 ). −(m1 + m2)g1 (1 −
L = T − V =
L
θ≈θ
θ ≈1−
1 2 θ 2
1 1 L = (m1 + m2)21 θ12 + m2 1 2 θ˙1θ˙2 + m2 22 θ˙2 − 2 2 2 2 −(m1 + m2 )g 1 θ1 + m2 g 2 θ2 ,
d ∂ L ∂ L = ⇒ (m1 + m2 )21 θ¨1 + m2 1 2 θ¨2 + ( m1 + m2)g1 θ1 = 0 dt ∂ ˙θ1 ∂θ 1 d ∂ L ∂ L = ⇒ m21 2 θ¨1 + m2 22 θ¨2 + m2g 2 θ2 = 0. dt ∂ ˙θ2 ∂θ 2
( + ) ¨ + ¨ + ¨ + = 3; = 1 = = 16 ˙ (0) = 1;˙ (0) = −1 m2 21 θ1
m1
m2 1 2 θ1 m1 1
m2 1 2 θ¨2 + ( m1 + m2 )g 1 θ1 = 0
m2 22 θ2
m2 g2 θ2 = 0
m2
2
θ1
θ2
θ1 (0) = θ2 (0) = 0
(O(h4)) (O(h4 ))
(m1 + m2)1 θ¨1 + m2 2 θ¨2 + ( m1 + m2 )gθ 1 = 0 1 θ¨1 + 2 θ¨2 + gθ 2 = 0 θ1
θ2 g θ¨1 = 1
− 1+
θ¨2 =
m2 m1
g 2
m2 θ1 + θ2 m1
= C 1 θ1 + C 2 θ2 ,
m2 + 1 (θ1 − θ2 ) = C 3 θ1 + C 4 θ2 , m1
C 1 C 2 C 3 C 4
g m2 , = − 1+ 1 m1 gm 2 , = 1 m1 g m2 = +1 , 2 m1
g = − 2
m2 +1 . m1
x1 , x2 , x3
x4
x1 = θ 1 ⇒ x1 = θ˙1 = x 2 x2 = θ˙1 ⇒ x2 = θ¨1 = C 1 θ1 + C 2 θ2 = C 1 x1 + C 2 x3 x3 = θ 2 ⇒ x3 = θ˙2 = x 4 x4 = θ˙2 ⇒ x4 = θ¨2 = C 3 θ1 + C 4 θ2 = C 3 x1 + C 4 x3
x1 x2 x3 x4
0 = 0
C 1 C 3
1 0 0 C 2 0 0 0 C 4
0 0 1 0
x1 x2 x3 x4
.
(O(h4 ))
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28
29 30 31 32
33 34 35
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
%% Trabajo optativo 50: Movimiento de un péndulo doble. % Aproximación lineal clc clear clf % El presente programa resolverá mediante el método de % Runge-Kutta de 4o orden el sistema de ecuaciones diferenciales % lineales homogéneas de segundo orden acopladas con % coeficientes constantes que modelan el movimiento de un % péndulo doble. En primer lugar definimos los valores % iniciales de las magnitudes que intervienen en las ecuaciones. % Creamos un vector para las masas y otro para las longitudes m(1)=3; m(2)=1; l(1)=16; l(2)=16; g=9.81; % Estos coeficientes permiten simplificar la expresión de la % funcion k1=(m(2))/(m(1))+1; k2=g/l(1); k3=g/l(2); C1=-k2*k1; C2=k2*(k1-1); C3=k3*k1; C4=-k3*k1; % Estos valores son las condiciones iniciales que debemos % introducir en la resolución del problema alfa1=1; alfa2=-1;% posiciones beta1=0; beta2=0;% velocidades % Tomamos el intervalo [0, 100] y 10000 iteraciones a=0; b=100; n=10000; % Definimos la función vectorial que recibe el método de % Runge-Kutta: f=@(t, x)([x(2); C1*x(1)+C2*x(3);x(4); C3*x(1)+C4*x(3)]); % Definimos los vectores iniciales que el método de Runge-Kutta % recibe. En este caso es Y0=Y(a)=Y(0). Este vector % contiene también los valores de las derivadas primeras, por % haberlas incluido en las variables del sistema: y0=[alfa1, beta1, alfa2, beta2]; % Introducimos el código de la función que resuelve el % sistema en el programa. Definimos en primer lugar los % parámetros necesarios para la aplicación del método % de Runge-Kutta h=(b-a)/n; hmed=h/2; hsext=h/6; m=length(y0); x=zeros(n+1,1); y(1,:)=y0’; x(1)=a;
52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107
for i=1:n; k1=f(x(i),y(i,:))’; k2=f(x(i)+hmed, y(i,:)+hmed*k1)’; k3=f(x(i)+hmed, y(i,:)+hmed*k2)’; k4=f(x(i)+hmed, y(i,:)+h*k3)’; y(i+1,:)=y(i,:)+hsext*(k1+2*k2+2*k3+k4); x(i+1)=x(i)+h; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Representaciones % Ahora extraemos los datos que el método de Runge-Kutta % devuelve. % La primera figura corresponde con la representación % del ángulo theta_1 frente al tiempo figure(1) plot(x, y(:,1), ’-r’) title(’Representación de \theta_1(t) frente a t’,’FontSize’, 15); ylabel(’Valores de \theta_1(t)’, ’FontSize’, 15); xlabel(’Valores de t’, ’FontSize’, 15); legend(’\theta_1(t)’) grid on axis tight % La segunda figura corresponde con la representación % del ángulo theta_2 frente al tiempo figure(2) plot(x, y(:,3), ’-r’) title(’Representación de \theta_2(t) frente a t’, ’FontSize’, 15); ylabel(’Valores de \theta_2(t)’, ’FontSize’, 15); xlabel(’Valores de t’, ’FontSize’, 15); legend(’\theta_2(t)’) grid on axis tight % La tercera figura corresponde con la representación % de theta_1 y theta_2 figure(3) plot(x,y(:,1),’r’) hold on plot(x,y(:,3)) title(’Representación de \theta_1(t) y \theta_2(t)’, ... ’FontSize’, 15); ylabel(’Valores de \theta_i(t)’, ’FontSize’, 15); xlabel(’Valores de t’, ’FontSize’, 15); legend(’Valores de \theta_1(t)’,’Valores de \theta_2(t)’) grid on axis tight hold off % La cuarta figura corresponde con la representación % del diagrama de fases del ángulo theta_1 figure(4) plot(y(:,1), y(:,2), ’-k’) title([’Representación del diagrama de fases para ’, ... ’\theta_1(t)’], ’FontSize’, 15); yl=ylabel(’Valores de \theta´_1(t)’); set(yl, ’FontSize’, 15); xlabel(’Valores de \theta_1(t)’, ’FontSize’, 15); legend(’Diagrama de \theta_1(t)’)
108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
grid on axis tight % La quinta figura corresponde con la representación % del diagrama de fases del ángulo theta_2 figure(5) plot(y(:,3), y(:,4),’-k’) title([’Representación del diagrama de fases para ’,... ’\theta_2(t)’], ’FontSize’, 15); ylabel(’Valores de \theta´_2(t)’, ’FontSize’, 15); xlabel(’Valores de \theta_2(t)’, ’FontSize’, 15); legend(’Diagrama de \theta_2(t)’); grid on axis tight
θ1 (t)
θ1
θ1 (t)
(1, −1) A = 1
A = 1
θ1 .
θ2 (t)
θ2
θ2 (t) θ1 (t)
(2, −2)
|A| = |A1 | + |A2 | ≤ 2
θ1 (t) θ2 (t)
|A2 | ≥ |A1| x2
x2
x1
x2 ≤ 0 ⇒ A2 ≤ A1
θ1 (t)
θ2 (t)
θ1 (t)
θ˙1 (t)
θ1 (t)
θ2 (t)
θ˙2 (t)
θ2 (t)
θi
( + ) ¨ + ¨ + ¨ + = 3; = 1 = = 16 ˙ (0) = 1;˙ (0) = −1 m1
m2 1 2 θ1 m1 1
m2 1 2 θ¨2 + ( m1 + m2 )g 1
m2 21 θ1
m2 22 θ2
θ˙i
θi
θ¨i
θ1 = 0
θ2 = 0
m2 g 2
m2
2
θ1
θ2
θ1 (0) = θ2 (0) = 0
θ1
θ2
(O(h4 ))
θi
θ˙i
θi g θ¨1 = 1
θ¨i
− 1+
θ¨2 =
m2 m1
g 2
m2 θ1 + m1
m2 +1 ( m1
C 1 C 2 C 3 C 4
θ1 −
θ2
= C 1
θ2 ) = C 3
θ1 + C 2
θ1 + C 4
θ2 ,
θ2
g m2 , = − 1+ 1 m1 gm 2 = , 1 m1 g m2 = +1 , 2 m1
g = − 2
m2 +1 . m1 θ˙i
x1 , x2 , x3 , x4
θ¨i x1 , x2 , x3 , x4
x1 = θ 1 ⇒ x1 = θ˙1 = x 2 x2 = θ˙1 ⇒ x2 = θ¨1 = C 1 θ1 + C 2 θ2 = C 1
x1 + C 2
x3
x1 + C 4
x3
x3 = θ 2 ⇒ x3 = θ˙2 = x 4 x4 = θ˙2 ⇒ x4 = θ¨2 = C 3 θ1 + C 4 θ2 = C 3
x1 x2 x3 x4
0 = 0
C 1 C 3
1 0 0 C 2 0 0 0 C 4
0 0 1 0
x1 x2 x3 x4
.
(O(h4 ))
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27
28 29 30 31 32 33 34 35 36
%% Trabajo optativo 50: Movimiento de un péndulo doble. % Aproximación no lineal. Runge-Kutta de orden 4 clc clear clf % El presente programa resolverá mediante el método de % Runge-Kutta de 4o orden el sistema de ecuaciones diferenciales % no lineales homogéneas de segundo orden acopladas con % coeficientes constantes que modelan el movimiento de % un péndulo doble. En primer lugar definimos los valores % iniciales de las magnitudes que intervienen en las ecuaciones. % Creamos un vector para las masas y otro para las longitudes m(1)=3; m(2)=1; l(1)=16; l(2)=16; g=9.81; % Estos coeficientes permiten simplificar la expresión de la % funcion k1=(m(2))/(m(1))+1; k2=g/l(1); k3=g/l(2); C1=-k2*k1; C2=k2*(k1-1); C3=k3*k1; C4=-k3*k1; % Estos valores son las condiciones iniciales que debemos % introducir en la resolución del problema alfa1=1; alfa2=-1; beta1=0; beta2=0; % Tomamos el intervalo [0, 100] y 10000 iteraciones a=0; b=100; n=1000; % Para realizar la aproximación no lineal, deshacemos % el cambio del seno por el ángulo. Esto se traduce en cambiar % theta_1 por sen(theta_1) y theta_2 por sen(theta_2). % Las demas aproximaciones se mantendrán. % Debemos redefinir la función:
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92
f=@(t, x)([x(2); C1*sin(x(1))+C2*sin(x(3));x(4); ... C3*sin(x(1))+C4*sin(x(3))]); % El vector será el mismo que en el caso lineal. y0=[alfa1, beta1, alfa2, beta2]; % Introducimos de nuevo el código en el programa y % definimos los prámetros requeridos h=(b-a)/n; hmed=h/2; hsext=h/6; m=length(y0); x=zeros(n+1,1); y(1,:)=y0’; x(1)=a; for i=1:n; k1=f(x(i),y(i,:))’; k2=f(x(i)+hmed, y(i,:)+hmed*k1)’; k3=f(x(i)+hmed, y(i,:)+hmed*k2)’; k4=f(x(i)+hmed, y(i,:)+h*k3)’; y(i+1,:)=y(i,:)+hsext*(k1+2*k2+2*k3+k4); x(i+1)=x(i)+h; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Representaciones % Ahora extraemos los datos que el método de Runge-Kutta % devuelve. % La primera figura corresponde con la representación % del ángulo theta_1 frente al tiempo figure(1) plot(x, y(:,1), ’-r’) title(’Representación de \theta_1(t) frente a t’,’FontSize’, 15); ylabel(’Valores de \theta_1(t)’, ’FontSize’, 15); xlabel(’Valores de t’, ’FontSize’, 15); legend(’\theta_1(t)’) grid on axis tight % La segunda figura corresponde con la representación % del ángulo theta_2 frente al tiempo figure(2) plot(x, y(:,3), ’-r’) title(’Representación de \theta_2(t) frente a t’, ’FontSize’, 15); ylabel(’Valores de \theta_2(t)’, ’FontSize’, 15); xlabel(’Valores de t’, ’FontSize’, 15); legend(’\theta_2(t)’) grid on axis tight % La tercera figura corresponde con la representación % de theta_1 y theta_2 figure(3) plot(x,y(:,1),’r’) hold on plot(x,y(:,3)) title(’Representación de \theta_1(t) y \theta_2(t)’, ... ’FontSize’, 15); ylabel(’Valores de \theta_i(t)’, ’FontSize’, 15); xlabel(’Valores de t’, ’FontSize’, 15); legend(’Valores de \theta_1(t)’,’Valores de \theta_2(t)’)
93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
grid on axis tight hold off % La cuarta figura corresponde con la representación % del diagrama de fases del ángulo theta_1 figure(4) plot(y(:,1), y(:,2), ’-k’) title([’Representación del diagrama de fases para ’, ... ’\theta_1(t)’], ’FontSize’, 15); yl=ylabel(’Valores de \theta´_1(t)’); set(yl, ’FontSize’, 15); xlabel(’Valores de \theta_1(t)’, ’FontSize’, 15); legend(’Diagrama de \theta_1(t)’) grid on axis tight % La quinta figura corresponde con la representación % del diagrama de fases del ángulo theta_2 figure(5) plot(y(:,3), y(:,4),’-k’) title([’Representación del diagrama de fases para ’,... ’\theta_2(t)’], ’FontSize’, 15); ylabel(’Valores de \theta´_2(t)’, ’FontSize’, 15); xlabel(’Valores de \theta_2(t)’, ’FontSize’, 15); legend(’Diagrama de \theta_2(t)’); grid on axis tight
θ1 (t)
θ1
θ1 (t)
(1, −1) A = 1
θ2 (t)
θ2
θ2 (t) θ1 (t)
θ2 (t)
θ1 (t)
A = 1
θ1 .
θ1 (t) θ2 (t)
θ1 (t)
θ2 (t)
θ1 (t)
θ˙1 (t)
θ1 (t)
θ2 (t)
θ˙2 (t)
θ2 (t)
(O(h4))
(O(h4 )) 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30
31 32 33 34
35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
%% Trabajo optativo 50: Movimiento de un péndulo doble. % Aproximación no lineal. Fórmulas de Adams de orden 4 clear clc clf % El presente programa resolverá mediante el método de % Runge-Kutta de 4o orden el sistema de ecuaciones diferenciales % no lineales homogéneas de segundo orden acopladas con % coeficientes constantes que modelan el movimiento de % un péndulo doble, empleando además la fórmula explícita % de Adams-Bashforth y la fórmula implícita de Adams-Moulton. % En primer lugar definimos los valores iniciales de las % magnitudes que intervienen en las ecuaciones. % Creamos un vector para las masas y otro para las longitudes m(1)=3; m(2)=1; l(1)=16; l(2)=16; g=9.81; % Estos coeficientes permiten simplificar la expresión de la % funcion k1=(m(2))/(m(1))+1; k2=g/l(1); k3=g/l(2); C1=-k2*k1; C2=k2*(k1-1); C3=k3*k1; C4=-k3*k1; % Estos valores son las condiciones iniciales que debemos % introducir en la resolución del problema alfa1=1; alfa2=-1; beta1=0; beta2=0; % Tomamos el intervalo [0, 100] y 1000 iteraciones a=0; b=100; n=1000; % Para realizar la aproximación no lineal, deshacemos % el cambio del seno por el ángulo. Esto se traduce en cambiar % theta_1 por sen(theta_1) y theta_2 por sen(theta_2). % Las demas aproximaciones se mantendrán. % Debemos redefinir la función: f=@(t, x)([x(2); C1*sin(x(1))+C2*sin(x(3));x(4); ... C3*sin(x(1))+C4*sin(x(3))]); % El vector será el mismo que en el caso lineal. y0=[alfa1, beta1, alfa2, beta2]; % Introducimos de nuevo el código en el programa y
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
% definimos los prámetros requeridos h=(b-a)/n; hmed=h/2; hsext=h/6; h24=h/24; m=length(y0); x=zeros(n+1,1); y=zeros(n+1,4); y(1,:)=y0’; % ytem es el vector de soluciones de y aproximadas calculadas con % la formula explicita de Adams-Bashford ytem=zeros(n+1,4); x(1)=a; % Empleamos el método de Runge-Kutta para calcular los primeros % 4 terminos del vector "y", dado que las formulas de Adams % necesitan como minimo 4 puntos anteriores al que queremos % calcular for i=1:4 % Calculamos los valores de las k_i que involucra el metodo de % Runge-Kutta % son valores que dependen de la y_i empleados para calcular la % y_i+1 k1=f(x(i),y(i,:))’; k2=f(x(i)+hmed, y(i,:)+hmed*k1)’; k3=f(x(i)+hmed, y(i,:)+hmed*k2)’; k4=f(x(i)+h, y(i,:)+h*k3)’; y(i+1,:)=y(i,:)+hsext*(k1+2*k2+2*k3+k4); x(i+1)=x(i)+h; end % Ahora abrimos el bucle para calcular los sucesivos % terminos de "y" empleando primero una aproximacion % del mismo y despues introduciendolo en la formula % implicita for j=4:n ytem(j+1,:)=y(j,:)+h24*(55*f(x(j),y(j,:))’-59*f(x(j-1),... y(j-1,:))’+37*f(x(j-2),y(j-2,:))’-9*f(x(j-3),y(j-3,:))’); x(j+1)=x(j)+h; y(j+1,:)=y(j,:)+h24*(9*f(x(j+1),ytem(j+1,:))’+19*f(x(j),y(j,:))’... -5*f(x(j-1),y(j-1,:))’+f(x(j-2),y(j-2,:))’); end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Representaciones % Ahora extraemos los datos que el método predictor-corrector % devuelve. % La primera figura corresponde con la representación % del ángulo theta_1 frente al tiempo figure(1) plot(x, y(:,1), ’-r’) title(’Representación de \theta_1(t) frente a t’,’FontSize’, 15); ylabel(’Valores de \theta_1(t)’, ’FontSize’, 15); xlabel(’Valores de t’, ’FontSize’, 15); legend(’\theta_1(t)’) grid on axis tight % La segunda figura corresponde con la representación % del ángulo theta_2 frente al tiempo
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145
figure(2) plot(x, y(:,3), ’-r’) title(’Representación de \theta_2(t) frente a t’, ’FontSize’, 15); ylabel(’Valores de \theta_2(t)’, ’FontSize’, 15); xlabel(’Valores de t’, ’FontSize’, 15); legend(’\theta_2(t)’) grid on axis tight % La tercera figura corresponde con la representación % de theta_1 y theta_2 figure(3) plot(x,y(:,1),’r’) hold on plot(x,y(:,3)) title(’Representación de \theta_1(t) y \theta_2(t)’, ... ’FontSize’, 15); ylabel(’Valores de \theta_i(t)’, ’FontSize’, 15); xlabel(’Valores de t’, ’FontSize’, 15); legend(’Valores de \theta_1(t)’,’Valores de \theta_2(t)’) grid on axis tight hold off % La cuarta figura corresponde con la representación % del diagrama de fases del ángulo theta_1 figure(4) plot(y(:,1), y(:,2), ’-k’) title([’Representación del diagrama de fases para ’, ... ’\theta_1(t)’], ’FontSize’, 15); yl=ylabel(’Valores de \theta´_1(t)’); set(yl, ’FontSize’, 15); xlabel(’Valores de \theta_1(t)’, ’FontSize’, 15); legend(’Diagrama de \theta_1(t)’) grid on axis tight % La quinta figura corresponde con la representación % del diagrama de fases del ángulo theta_2 figure(5) plot(y(:,3), y(:,4),’-k’) title([’Representación del diagrama de fases para ’,... ’\theta_2(t)’], ’FontSize’, 15); ylabel(’Valores de \theta´_2(t)’, ’FontSize’, 15); xlabel(’Valores de \theta_2(t)’, ’FontSize’, 15); legend(’Diagrama de \theta_2(t)’); grid on axis tight
θ1 (t)
θ1
θ1 (t)
(1, −1) A = 1
A = 1
θ1 .
θ2 (t)
θ2
θ2 (t) θ1 (t) θ1 (t)
θ2 (t)
θ1 (t) θ2 (t)
θ1 (t)
θ2 (t)
θ1 (t)
θ˙1 (t)
θ1 (t)
θ2 (t)
θ˙2 (t)
θ2 (t)
http://www3.uco.es/ m1415/course/view.php?id=363
http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/ 27212-animated-double-pendulum http://www.sciences. univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Systemes/pendule_ double.html http://es.wikipedia.org/ wiki/Doble_p%C3%A9ndulo http://en.wikipedia. org/wiki/Double_pendulum http://scienceworld.wolfram.com/ physics/DoublePendulum.html http://demonstrations. wolfram.com/DoublePendulum/ http: //demonstrations.wolfram.com/NormalModesOfADoublePendulum/
