TRANSPORTE DE PUL TRANSPORTE PUL PA DEN TUBERÍAS Y CANALES
Transp ranspor orte te de suspe susp ensi nsion one es en tubería t uberíass Pulpas diluidas tienen comportamiento newtoniano, caracterizados por cierta densidad y viscosidad: densidad y • Pulp Pulpas as con con pa part rtíc ícul ulas as me meno nore res s a 50 mµ forman suspensiones homogéneas que no-sedimentan. • Pu Pulp lpas as con con par partí tícu cula las s may mayor ores es de de 50 mµ forman suspensiones heterogéneas que sedimentan.
Pulpas concentradas tienen comportan no-newtonianos con cierta densidad viscosidad y yield stress. ( no sedimentan)
Transp ranspor orte te de suspe susp ensi nsion one es en tubería t uberíass Pulpas diluidas tienen comportamiento newtoniano, caracterizados por cierta densidad y viscosidad: densidad y • Pulp Pulpas as con con pa part rtíc ícul ulas as me meno nore res s a 50 mµ forman suspensiones homogéneas que no-sedimentan. • Pu Pulp lpas as con con par partí tícu cula las s may mayor ores es de de 50 mµ forman suspensiones heterogéneas que sedimentan.
Pulpas concentradas tienen comportan no-newtonianos con cierta densidad viscosidad y yield stress. ( no sedimentan)
1. SUSPENSIONES HETEROGÉNEAS
Se requiere: 1. El gradiente de presión necesario para producir el escurrimiento en tubos. 2. Propiedades de las pulpas. 3. La velocidad mínima del flujo necesaria para evitar la sedimentación de las partículas.
Patrones de flujo en pulpas
v z
R 2 ∆p = 8µ L
Patrones de flujo en pulpas • Inicialmente existe un lecho de partículas en el tubo. • A medida que se inicia un flujo de agua en el tubo, algunas partículas son extraídas del lecho y comienzan a saltar. • A mayor velocidad, el sedimento comenzará a moverse como una nube en movimiento saltatorio y algunas partículas serán suspendidas por el fluido transportándose a la velocidad de éste. • A mayores velocidades, todas las partículas serán suspendidas y el fluido y partículas se comportarán como una mezcla homogénea.
Entre el comienzo del movimiento del lecho de partículas y la suspensión completa hay un rango de velocidades a la cual la presión del fluido es mínima y después de la cual vuelve a aumentar. A este rango de velocidades se la denomina velocidad crítica de transporte. Velocidad de la mexcla v Mi
Patrón de flujo
Fracción de fracción volumétrica de sólidos
v M 1
Suspensión homogénea
1.0
v M 2
Suspensión asimétrica
0.7 – 1.0
v M 3
Lecho en movimiento con suspensión asimétrica
0.2 – 0.7
v M 4
Lecho estacionario con algunas partículas es suspensión
0 – 0.2
ϕ ϕ F
Flujo de suspensiones Heterogéneas
Homogéneas
Condiciones para evitar sedimentación: 1. Flujo turbulento y régimen de Newton:
Re =
ρ Dv z µ
> 2100
y
D = diámetro del tubo;
Re p
=
ρ du (ϕ ) µ
> 1000
d = díametro de la partícula
2. Velocidad límite de transporte
v
L
Establecer una velocidad tal que las partículas no sedimenten.
Son numerosas las correlaciones que se ha propuesto para la velocidad crítica de suspensiones de partículas desde 50mm a 5mm, en tuberías de 50mm (2 in) a 300mm (12in). Las correlaciones más coherentes son: Wilson:
vc
Yufin y Lopsin :
( ρ ( = 7.3 ×
s
ρ f ) ϕ guD
13
)
1 + ϕ ∆ρ ρ f
cm s
vc
= 253 × D1 3ϕ 0.0417
cm s
: Chien vc
= 56.4 × ϕ
0.154
× (1 − ϕ )
0.356
D × d
0.378
D ρ f × µ
0.09
× ( gd ∆ρ
ρ f )
0.545
s cm
Durand y Rayo: (unidades MKS)
Para sólidos finos yu distribución angosta en tuberías pequeñas: v L
= 1.1× FL (ϕ , d50 ) × ( 2 gD ∆ρ
0.5
ρ f ) ; para ϕ
< 0.20
Para sólidos gruesos y distribución ancha en tuberías pequeñas: v L
= F L (ϕ , d50 ) × ( 2 gD ∆ρ
ρ f )
0.5
d 80 × d 0
0.1
; para ϕ
< 0.20
Para sólidos finos y distribución angosta en tuberías grandes: ρ f )
0.25
v L
= 1.25 × FL (ϕ , d 50 ) × ( 2 gD ∆ρ
F L
= ( 0.2154ϕ + 0.1584) × ln ( d50 ) + (1.112ϕ + 1.19) ;
para 5 < d 50 (µ m) < 500
Köpinar and Gösüs vc gD
d = 0.090 s D
−0.58 0.33
ϕ 0.25 ∆ρ 0.06 Re (ϕ ) p
; Re (ϕ ) = d *u * ( ϕ ) ; Fr =
Valores recomendado por diseñadores:
v L
1.5 2.1 = 2.4 2.7
Relave
5% + # 65
Relave 15% + #65 Relave
20% + #65
Relave
25% + #65
vc gD
Velocidad límite de transporte (Velocidad media mínima para evitar sedimentación) 10.0
Yufin & Lop Thomas Charles Shook Babcock Zandi& Gov Condolios & Ch Sinclair Schulz Govier Cairns Newitt Spells Wilson Durand Oroskar Durand-Rayo Oroskar
9.0 8.0 s 7.0 / m , L v
6.0
y t i c o 5.0 l e v g 4.0 n i t i m i L 3.0
2.0 1.0 0.0 0
0.1
0.2
Solid volume fraction ϕ
0.3
0.4
100 90 80 s / m 70 c c
v
60
a c i t í r 50 c d a 40 d i c o 30 l e V
Yufin and Lopasin Chien Wilson K=7.3
20 D=12 in; d=75mm;
10 0 0.00
0.10
0.20
0.30
s =2.54
g/cm3; =15mPa-s
0.40
0.50
0.60
Fracción volumétrica de sólidos ϕ Fig 3. Velocidad crítica para el transporte de un relave de cobre de tamaño promedio 75m en una tubería de 12 pulgadas.
Velocidad límite de depósito DURAND-RAYO; KÖPINAR-GÖGÜS 5.0 4.5 s / m4.0 , L
v
Durand-Rayo D=0.10 m; d=0.15 mm Durand-Rayo D=0.20 m; d=1.5 mm Durand-Rayo D=0.50 m; d=1.5 mm Köpinar-Gögüs D=0,10 m; d=0,15 mm Köpinar-Gösüs D=0,20 m; d=1,5 mm Köpinar-Gögüs D=0,50 m; d=1,5 mm
y 3.5 t i c o 3.0 l e v n 2.5 o i t i s o 2.0 p e d 1.5 g n i t i 1.0 m i L 0.5 0.0 0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Solid volume fraction ϕ
0.25
0.30
El cálculo de la Velocidad Límite del escurrimiento requiere el conocimiento de la velocidad de sedimentación de las partículas a la concentración de escurrimiento.
Fdrag
+ Fgravity + F buoyancy = 0
Fdrag
= − ( Fgravity + F buoancy )
F D
= − ( ρ pV p ( − g ) + ρ f V p g ) ≡ ∆ρ V p g
F D C D
C D
= =
4 3
≡ net weight of the particle
π R 3 ∆ρ g F D 2
1 2 ρ f u∞π R
2
≡
9.06 = 0.28 1 + 1 2 Re
4 ∆ ρ dg 3 ρ f u∞2 2
, Re∞
=
du∞ ρ f
µ f
,
2 3 g ∆ ρρ ρ Re 4 3 f f 2 3 ∞ C D Re∞ = 3 µ f 2 d , CD = 4 ∆ρµ f g u∞ 13 13 2 3 µ f 4 ∆ρµ f g P= , Q= 4 ∆ ρρ f g 3 ρ 2f 3
2
C D Re∞ Re∞
d = = d* P
3
,
3
u∞ = ≡ u*∞3 Q
Re∞ C D
= d * u*∞ 2
*3 2 2 12 δ d 0 ( u*∞ d * ) , u∞* d * + δ 0 (u∞* d * ) − d * 3 = C0 1 + =0 12 ( u* d * )1 2 C 0 ∞ 2 12 2 δ 1 4 *3 2 0 u*∞ = d 1 + − 1 12 2 * C 0 δ 0 4 d *
u
=
20.52
((1 + 0 0921d
*3 2
12
)
)
−1
2
Parámetros de la viscosidad y densidad
= ρ (T )
ρ
= µ (T )
y µ
−6
−5
= −4.0 ×10 T − 6.0 ×10 T + 1.0004 −7 2 −4 −2 µ water = 9.0 × 10 T − 2.0 × 10 T + 1.56 ×10
ρ water
2
1.005 air
1.000 )
= -3E-06T + 0.0013 R2 = 0.9931
1.40E-03
0.018
1.20E-03
0.016
0.995
3
) 1.00E-03 3 m c / g 8.00E-04 ( ,
m0.990 c / g ( , 0.985 y0.980 t i s n e d0.975 r e t a0.970 w
y t i 6.00E-04 s n e d r i 4.00E-04 a
2 water = -4E-06 T - 6E-05 T + 1.0004 2 R = 0.9993
0.965 2.00E-04
0.960 0.955
0.00E+00
0
10
20
30
40
50
60
Temperature T , (ºC)
70
80
90
100
g/cm
3
g/cm×s 2.50E-04
= 5E-07T + 0.0002 R2 = 0.9996
) 0.014 s m c 0.012 / g (
2.00E-04
air
) s 1.50E-04
0.01
y t i s o 0.008 c s i v r 0.006 e t a w 0.004
y t i s 1.00E-04 o c s i v r i a
2
water
= 9E-07T - 0.0002T + 0.0156 R2 = 0.9983
5.00E-05
0.002 0
0.00E+00
0
10
20
30
40
50
m c / g (
60
Temperature T, (ºC)
70
80
90
100
Coeficiente de arrastre y Velocidad de Sedimentación Una partícula: d*
=d
and u *
P 13
3 µ P= 4 ∆ ρρ f g ∆ ρ = ρ s − ρ f 2 f
u
*
=
20.52 *
d
Q 13
and
4 ∆ρµ f g Q= 3 ρ 2f
((1 + 0.092d
ρ water = −4.0 × 10−6 T 2 µ
=u
*3 2
12
)
)
−1
2
− 6.0 × 10−5 T + 1.0004
= 9.0 × 10−7 T 2 − 2.0 × 10−4 T + 1.56 × 10−2
g/cm3 g/cm×s ; (poise)
s (g/cm3)
f (g/cm3)
f (g/cms)
P (cm)
Q (cm/s)
s (g/cm3)
f (g/cm3)
f (g/cms)
P (cm)
Q (cm/s)
1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100
9.1470E-03 7.9906E-03 7.2600E-03 6.7396E-03 6.3422E-03 6.0245E-03 5.7622E-03 5.5404E-03 5.3492E-03 5.1819E-03 5.0338E-03 4.9013E-03
1.0933E+00 1.2515E+00 1.3774E+00 1.4838E+00 1.5767E+00 1.6599E+00 1.7354E+00 1.8049E+00 1.8694E+00 1.9298E+00 1.9866E+00 2.0403E+00
3.35 3.40 3.45 3.50 3.55 3.60 3.65 3.70 3.75 3.80 3.85 3.90
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100
3.1934E-03 3.1711E-03 3.1494E-03 3.1282E-03 3.1076E-03 3.0876E-03 3.0681E-03 3.0490E-03 3.0304E-03 3.0123E-03 2.9945E-03 2.9772E-03
3.1314E+00 3.1535E+00 3.1752E+00 3.1967E+00 3.2179E+00 3.2388E+00 3.2594E+00 3.2798E+00 3.2999E+00 3.3198E+00 3.3394E+00 3.3588E+00
1.70
1
0.0100
4.7817E-03 2.0913E+00
3.95
1
0.0100
2.9603E-03 3.3780E+00
1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30 2.35 2.40 2.45 2.50 2.55 2.60 2.65 2.70 2.75 2.80 2.85 2.90 2.95 3.00 3.05 3.10 3.15 3.20
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100
4.6730E-03 4.5735E-03 4.4820E-03 4.3974E-03 4.3189E-03 4.2457E-03 4.1772E-03 4.1129E-03 4.0524E-03 3.9953E-03 3.9413E-03 3.8901E-03 3.8415E-03 3.7952E-03 3.7511E-03 3.7089E-03 3.6686E-03 3.6300E-03 3.5929E-03 3.5574E-03 3.5232E-03 3.4902E-03 3.4585E-03 3.4279E-03 3.3983E-03 3.3698E-03 3.3422E-03 3.3154E-03 3.2895E-03 3.2644E-03
4.00 4.05 4.10 4.15 4.20 4.25 4.30 4.35 4.40 4.45 4.50 4.55 4.60 4.65 4.70 4.75 4.80 4.85 4.90 4.95 5.00 5.05 5.10 5.15 5.20 5.25 5.30 5.35 5.40 5.45
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100
2.9438E-03 2.9276E-03 2.9118E-03 2.8963E-03 2.8811E-03 2.8663E-03 2.8517E-03 2.8375E-03 2.8235E-03 2.8098E-03 2.7963E-03 2.7831E-03 2.7702E-03 2.7575E-03 2.7450E-03 2.7328E-03 2.7207E-03 2.7089E-03 2.6973E-03 2.6858E-03 2.6746E-03 2.6635E-03 2.6527E-03 2.6420E-03 2.6315E-03 2.6211E-03 2.6109E-03 2.6009E-03 2.5910E-03 2.5812E-03
2.1400E+00 2.1865E+00 2.2311E+00 2.2741E+00 2.3154E+00 2.3553E+00 2.3940E+00 2.4314E+00 2.4677E+00 2.5029E+00 2.5372E+00 2.5706E+00 2.6032E+00 2.6349E+00 2.6659E+00 2.6962E+00 2.7258E+00 2.7548E+00 2.7832E+00 2.8111E+00 2.8384E+00 2.8651E+00 2.8914E+00 2.9172E+00 2.9426E+00 2.9676E+00 2.9921E+00 3.0162E+00 3.0400E+00 3.0633E+00
3.3970E+00 3.4158E+00 3.4343E+00 3.4527E+00 3.4709E+00 3.4889E+00 3.5067E+00 3.5243E+00 3.5417E+00 3.5590E+00 3.5761E+00 3.5931E+00 3.6098E+00 3.6265E+00 3.6430E+00 3.6593E+00 3.6755E+00 3.6915E+00 3.7075E+00 3.7232E+00 3.7389E+00 3.7544E+00 3.7698E+00 3.7850E+00 3.8002E+00 3.8152E+00 3.8301E+00 3.8449E+00 3.8596E+00 3.8741E+00
1.E+03
1.E+02 * u y t i c 1.E+01 o l e V s e l n o i s n 1.E+00 e m i D
1.E-01 Spheres Correlation 1.E-02 1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+02
1.E+03
Dimensionless Diameter d*
1.E+04
1.E+05
Una suspensión de partículas: u (ϕ ) = Q (ϕ ) u (ϕ )
d = d P (ϕ ) ; *
u (ϕ ) = *
20.52 *
d
*
((
f p (ϕ ) f q (ϕ ) 1 + 0.0921 f p−3 2 d
C D (ϕ ) = 0.28 (1 − ϕ )
−2.01
Re p P (ϕ ) = Pf p (ϕ ) f p (ϕ ) = (1 − ϕ )
−2.033
9.08 (1 − ϕ ) 1 + Re p1 2
*3 2
−1.83
12
)
2
= d * u* y
Q (ϕ ) = Qf q ( ϕ )
,
f q (ϕ ) = (1 − ϕ )
−0.167
)
−1
2
1.0
0.010 0.050
0.9
0.100 0.150
o o
u / u y t i c o l e v g n i l t e s s s e l n o i s n e m i D
0.200
0.8 0.7
0.300
0.6
0.400
0.5
0.500
0.4
0.585
0.3 0.2 0.1
n=3.90 y m=0.85
0.0 1.0E-03 1.0E-02 1.0E-01 1.0E+00 1.0E+01 1.0E+02 1.0E+03 1.0E+04 1.0E+05 Reynolds Number Reoo
Problema Calcular la velocidad de sedimentación de una suspensión de partículas de 5 mm de diámetro de un mineral de hierro de densidad 5000 kg/m 3 con una densidad de pulpa de 1667 kg/m 3.
w
ϕ
=
100 × ρ s × ( ρ ρ × ( ρ s
− ρ f )
=
100 × 5000 × (1667 − 1000)
= 50% sólido en peso
1667 × (5000 − 1000) − ρ f ) ρ f × w 1000 × 50 = = = 0.167 ρ s × (100 − w) + ρ f w 5000 × (100 − 50) + 1000 × 50
CONVERSIÓN DE w a φ ρs= ρf = w= φ= CONVERSIÓN DE ρ a φ ρs= ρf = ρ= φ= CONVERSIÓN DE D a φ ρs= ρf = D= φ= CONVERSIÓN DE w a ρ ρs= ρf = w= ρ= CONVERSIÓN DE w a D ρs= ρf = w= D= CONVERSIÓN DE D a ρ ρs= ρf =
1300 1028 40.00 0.345
CONVERSIÓN DE φ a w ρs = ρf = φ= w=
2650 1000 0.190 38.3
2570 1123 1500 0.261
CONVERSIÓN DE φ a ρ ρs = ρf = φ= ρ=
4610 1000 0.370 2336
2570 1123 1.237 0.261
CONVERSIÓN DE φ a D ρs = ρf = φ= D=
2570 1123 0.261 1.237
4610 1000 79.5 2647
CONVERSIÓN DE ρ a w ρs = ρf = ρ= w=
5000 1000 1667 50.0
2650 1000 35.0 1.857
CONVERSIÓN DE D a w ρs = ρf = D= w=
5000 1000 1.237 44.7
2570 1123
CONVERSIÓN DE ρ a D ρs = ρf =
5000 1000
13
3 3 µ 0.001 13 −5 = × P= 2.674 10 m 4 ∆ ρ × ρ f × g 4 (5000 − 1000) ×1000 × 9.81 13 (1/3) 4 ∆ ρ × µ f × g 4 (5000 − 1000) × 0.001× 9.81 13 = = Q= 0.0374 ( m s ) 3 2 2 3 ρ 1000 f 2 f
*
d
=
d
0.005
=
−5
= 187.01
P 2.674 × 10 20.52 * *3 2 1 0.09 21 + × u = d * d = 22.698
((
1/ 3
2
12
)
)
2
−1 =
20.52
1 + 0.0921 ×187 ( ( 187
= u* × Q = 22.689 × 0.03740 = 0.849 m s * * Re p = d u = 187 × 22.689 = 4243.0 > 1000
*3 2
12
)
u
(Régimen de Newton)
)
−1
2
Pérdida de carga para suspensiones Se adiciona la pérdida de caga del fluido puro JL con la pérdida de las partículas JS
J m J L J S
= J L + J S = J L × (1 + 81ϕ A = h f
L = λ
= 81J Lϕ A
−3
−3
2
)
2 z
v
2 gD 2
; donde A =
2 z
v
C D (ϕ )
gD ∆ρ ρ f
Donde:
= Pérdida de carga para suspensiones por unidad de longitud J L = Para mantener flujo turbulento (misma que para agua) J S = Para mantener partículas en suspensión. h L = Pérdida de carga debido a fricción para agua λ = Factor de fricción C D = Coeficiente de arrastre para partículas ϕ = Concentración de la suspensión como feracción volumétrica ∆ρ =ρs − ρ f ρ s = Densidad de las partículas sólidos ρ f = Densidad del fluido J m
SUSPENSIONES HOMOGÉNEAS
Flujo de suspensiones homogéneas Son suspensiones homogéneas aquellas en que las partículas no sedimentan. Las suspensiones homogéneas se comportan como fluidos con una densidad y una viscosidad característica. • Si son diluidas tienen una viscosidad constante y se comportan como fluidos newtonianos • Si son más concentradas, la viscosidad varía con la velocidad de cizalle y puede aparecer una velocidad mínima para que el flujo se inicie. Estas son características de los flujos nonewtonianos.
RESULTADOS EXPERIMENTALES
Esfuerzo de cizalle para un Relave de cobre
10
) a P ( , e l l a z i c 5 e d o z r e u f s E
τ
= η (γ ) γ
0 0
100
200
300
400
Velocidad de cizalle , (1/s)
500
600
Viscosidad 150 ) s a P m ( , 100
η
= η (γ )
y t i s o c s 50 i v r a e h S
0 0
50
100
150
200
250
300
350
Shear rate , (1/s)
400
450
500
550
Efecto de la concentración de sólidos 20 55% solid 60% solid 65% solid 70% solid
15 a P , τ
s s e r 10 t s r a e h S
5
0 0
100
200
300
Shear rate γ , 1/s
400
500
600
500 450 400 ) s a P350 m ( , 300
55% sólido
η(55) = 818.26γ-0.6963
60% sólido
η (60)= 1141.8γ-0.6996
65% sólido
η (65)= 1611.7γ-0.7072
70% sólido
η(70) = 2266.1γ-0.7134
η
y t i 250 s o c s 200 i V r a 150 e h S
100 50 0 0
50
100
150
Shear rate γ , (1/s)
200
250
10000
1000
s a P m , y t i s o c s i v r a e h S
-1.25
=(1+ /0.5)
100
10
1
0.1 0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
Solid volume fraction
0.50
0.60
1.0 0.9 K τ 0.8 / y τ
τ y τ K
= (ϕ
0.1
0.2
ϕm )
3
(1 − ϕ
ϕm )
0.4
0.5
s 0.7 s e r t s 0.6 f l e i y 0.5 s s e 0.4 l n o i s 0.3 n e m0.2 i D 0.1 0.0 0.0
0.3
0.6
0.7
Volume fraction of solid ratio ϕ / ϕ m
0.8
0.9
1.0
Modelos Reológicos
Las suspensiones homogéneas se comportan como fluidos no-newtoniano 1. Comportamiento seudo-plástico 2. Comportamiento dilatante 3. Comportamiento plástico 4. Comportamiento tixotrópico 5. Comportamiento reo-péptico
1. Comportamiento seudo-plástico Materiales que disminuyen su viscosidad a medida que aumenta la aplicación del esfuerzo son pseudo-plásticos.
Comportamiento seudo-plástico y dilatante
Modelo de Bingham 10 9 8
Datos experimentales
) a P ( 7 , e l l a z i c e d o z r e u f s E
= 6.0179+0.0069 2 R = 0.9905
6 5
τ = τ y + K γ τ y = 6.0179
4
K= 0.0069
3 2 1 0 0
100
200
300
400
Velocidad de cizalle , (1/s)
500
600
Fluidos de Bingham 35
Viscosidad plástica 150 mPa-s Yield stress 5 Pa Yield stress 10 Pa Yield stress 15 Pa
30
a P , 25
E z r
T e l l 20 a z i c e d 15 o z r e u 10 f s E
τ
∂v z = τ y + K ∂r
5
0 0
20
40
60
80
Velocidad de cizalle dvz/dr, s
100
120
-1
Fig. 4 Reología de un material con modelos de Bingham, viscosidad plástica 150 mPa-s y esfuerzos de cedencia 5, 10 y 15 Pa.
10
Bingham Plastic Model: y
=6.4, K=0.006
) a P ( , s s e r t s r a e h S
Sisko Model:
=1.5+1.72
0.273
5
y
=1.5, n=0.273
0 0
100
200
300
Shear rate
400
(1/s)
500
600
Ejemplo
Relave 63%; pH=10.1 180
Datos experimentales
160
a 140 P , τ 120 e l l a z 100 i C e d 80 o z r e 60 u f s E 40 20 0 0
50
100
150
200
250
Velocidad de Cizalle
, 1/s
300
350
400
Modelo Potencial: Viscosidad 3000
2500 Datos experimentales
s a 2000 P m , d 1500 a d i s o c 1000 s i V 500
0 0
50
100
150
200
250
Velocidad de Cizalle , 1/s
300
350
400
Modelo de Bingham Relave 63%; pH=10.1 180
Datos experimentales 160 y=118
a 140 P , τ 120
e l l a z 100 i C e d 80 o z r e 60 u f s E 40 20 0 0
50
100
150
200
250
Velocidad de Cizalle
, 1/s
300
350
400
Mod ode elo Potencial Potenci al 180 160 140 a P , 120 e l l a z 100 i C e d 80 o z r e 60 u f s E 40
Datos experimentales Correlación modelo potencial
=51.872
0.1933
20 0 0
50
100
150
200
250
300
Velocidad de Cizalle , 1/s
350
400
450
Modelo Potencial: Vis iscos cosidad idad 100000 m
= 51872
-0.8067
2
R = 0.9996 s a 10000 P m , K
d a d i s o c s i V
1000
100 0
1
10
Velocidad de cizalle
100
, 1/s
1000
VISCOSIDAD_ PULPA MINERAL_LOTE # MUESTRA Nº 5405
300 50% sólido
250
55 % sólido 58 % sólido
) s - 200 a P m ( d 150 a d i s o c s i 100 V
60 % sólido 65 % sólido
50
0 0
50
100
150
200
250
300
Velocidad de cizalle (1/s)
ϕ
1-ϕ/ϕm
ϕ/ϕm
0 0.274 0.316 0.343
1.000 0 0.609 0.39138943 0.549 0.45091207 0.511 0.48941018
0.361 0 412
0.484 0.51635112 0 411 0 58863482
350
400
450
ESFUERZOS_ PULPA MINERAL_LOTE # MUESTRA Nº 5405
30
50 % sólido 55 % sólido
25
58 % sólido 60% sólido
) 20 a P ( o z 15 r e u f s E
65 % sólido
11.2 Pa
10 5 0 0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Velocidad de cizalle (1/s)
ϕ
1-ϕ/ϕm
ϕ/ϕm
τy sim
τy
0 0.274 0.316 0.343
1.000 0 0 0.609 0.39138943 1.42977452 0.549 0.45091207 2.58565777 0.511 0.48941018 3.89035622
0 2 2 3
0.361 0 412
0.484 0.51635112 5.25410655 0 411 0 58863482 12 6855011
4.5 12
a= 7.14 b= 0.20 c= 0.55 d= 5.00 ϕm= 0.70
10 50 50 50
0 0.274 0.274 0.274
1.00 22.00 21.30 22.00
50 55 55 55 55 58 58 58 58 60 60 60 60 65 65 65 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91
0.274 0.316 0.316 0.316 0.316 0.343 0.343 0.343 0.343 0.361 0.361 0.361 0.361 0.412 0.412 0.412 0.412 0.423 0.434 0.445 0.457 0.468 0.480 0.492 0.505 0.518 0.531 0.544 0.558 0.572 0.587 0.602 0.617 0.632 0.648 0.665 0.681 0.699 0.716 0.735 0.753 0.773 0.792
24.00 27.00 27.00 24.00 24.00 25.40 28.60 28.00 30.00 35.60 31.90 32.00 41.00 66.30 96.00 76.00 93.00 93.00 93.00 93.00 93.00 93.00 93.00 93.00 93.00 93.00 93.00 93.00 93.00 93.00
m
(1-
-a* m m)
1.000 1 0.609 1.275479992 0.609 1.275479992 0.609 1.275479992 0.609 0.549 0.549 0.549 0.549 0.511 0.511 0.511 0.511 0.484 0.484 0.484 0.484 0.411 0.411 0.411 0.411 0.396 0.380 0.364 0.348 0.331 0.314 0.296 0.279 0.260 0.241 0.222 0.203 0.182 0.162 0.141 0.119 0.097 0.074 0.051 0.027 0.002 -0.023 -0.049 -0.076 -0.104 -0.132
1.275479992 1.341453031 1.341453031 1.341453031 1.341453031 1.390095521 1.390095521 1.390095521 1.390095521 1.427513448 1.427513448 1.427513448 1.427513448 1.545355888 1.545355888 1.545355888 1.545355888 1.574468164 1.6059942 1.640269459 1.67769763 1.718769494 1.764088568 1.814406611 1.870673816 1.93411142 2.006319651 2.089443261 2.186434882 2.30149275 2.440827968 2.614101274 2.83735092 3.139670548 3.58106316 4.313480897 5.910315466 21.1545852 #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM!
1-
m
(1-
-a* m m)
y sim
0 0.01 0.02 0.03
1 0.98571429 0.97142857 0.95714286
1.00 1.07 1.16 1.24
0.000 0.021 0.033 0.044
0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46
0.94285714 0.92857143 0.91428571 0.90000000 0.88571429 0.87142857 0.85714286 0.84285714 0.82857143 0.81428571 0.80000000 0.78571429 0.77142857 0.75714286 0.74285714 0.72857143 0.71428571 0.70000000 0.68571429 0.67142857 0.65714286 0.64285714 0.62857143 0.61428571 0.60000000 0.58571429 0.57142857 0.55714286 0.54285714 0.52857143 0.51428571 0.50000000 0.48571429 0.47142857 0.45714286 0.44285714 0.42857143 0.41428571 0.40000000 0.38571429 0.37142857 0.35714286 0.34285714
1.34 1.45 1.56 1.69 1.83 1.99 2.16 2.35 2.56 2.79 3.05 3.34 3.66 4.02 4.42 4.87 5.37 5.95 6.59 7.32 8.15 9.10 10.18 11.42 12.85 14.49 16.39 18.61 21.19 24.21 27.76 31.96 36.94 42.88 50.01 58.61 69.05 81.80 97.48 116.91 141.18 171.75 210.62
0.056 0.068 0.081 0.095 0.111 0.129 0.148 0.170 0.194 0.221 0.252 0.286 0.325 0.369 0.419 0.476 0.540 0.614 0.698 0.795 0.906 1.034 1.182 1.354 1.554 1.787 2.060 2.380 2.758 3.205 3.737 4.371 5.132 6.049 7.159 8.511 10.168 12.211 14.747 17.919 21.915 26.995 33.510
Efecto de la concentración Modelo de Krieger y Doherty
η η f
ϕ = 1 − ϕ m
300.0
Datos experimentales Modelo a gama=200 1/s
250.0
s a 200.0 P m ,
=(1-
a=7.14
-a* m)
m
m =0.7
d 150.0 a d i s o c s 100.0 i V 50.0
0.0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
− a×ϕ m
Efecto de la concentración en el yield stress 45 Datos experimentales: a=7.14; b=0.20; c=0.55; Fim=0.7
40
Correlación 35
a P 30 , y s 25 s e r t S 20 d l e i 15 Y 10 5 0 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Fracción volumétrica de sólidos
0.4
0.45
0.5
TRANSPORTE DE SUSPENSIONES HOMOGÉNEAS
El flujo de un fluido no-newtoniano en un tubo circular queda descrito por las siguientes variables: 1. la densidad del fluido ρ 2. la velocidad del fluido vz 3. gradiente de presión ∆p 4. el esfuerzo de cizalle τ 5. velocidad de cizalle
γ Estas variables deben cumplir las ecuaciones de continuidad y momentum lineal. Para el flujo estacionario de cualquier fluido se cumple la relación entre el esfuerzo de cizalle y el gradiente de presión:
Esfuerzo de cizalle
τ 0
=T
E rz
( R) = −
T (r ) = − E rz
1 ∆ p 2 L
1 ∆ p 2 L
r
R
Modelo de Bingham
E rz
T
∂vz (r ) = τ y + K ∂r
0.03 Yield stress 15 Pa Yield stress 20 Pa Yield stress 50 Pa
0.02
0.01 m , r
s 0.00 u i 0.0 d a R
0.5
1.0
-0.01
-0.02
-0.03
Velocity v z(r), m/s
1.5
2 τ r 1 r 1 ∆ pR y 1 − − 1 − ; for τ > τ y v z (r ) = − 2 KL τ w R 2 R 2 2 τ y 1 ∆ pR τ y τ y 1 1 − − 1 − ; for τ ≤ τ y v z (r ) = − 2 KL τ w τ w 2 τ w 2
4 ∆ pR 4 τ y 1 τ y 1− + v z = 8 KL 3 τ w 3 τ w 4 8v z 1 ∆pD 4 τ y 1 τ y 1 − + = γ w = 4 KL 3 τ w 3 τ w D 2
Modelo de Potencia
E rz
T 1n
∆pR v z ( r ) = n + 1 2mL nR
∂vz (r ) = m ∂r
r ( n+1) n 1 − R
0.015 n=0.20 n=0.33 n=0.50
0.010
m
0.005
,
r
s u i d 0.000 a r e p i P-0.005
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
n=1.00
-0.010
-0.015
Velocity distribution v z(r) m/s
4.0
n
Q = π R
2
1n
n +1
∆pR ( 3n + 1) 2mL n
1n
∆pR v z = 2mL 3 1 n + ( ) n ( 3n + 1) 8vz ( 3n + 1) 8v z , τ w = m γw = 4n 4 D n D n +1
n
∆ p =
2mL ( 3n + 1) Q R n +1
n
2 R π
n
Flujo Turbulento (Modelo de Bingham) 4 τ τ 16 4 y 1 y 1 − + f = Re B 3 τ w 3 τ w
f smooth
= ( 4.53log ( ReB
f
for Re B
) − 2.3 + 4.5log(1 − τ
f water;rough f rough = f mooth × f water;smooth −2 D + 3.36 f = 4.07log ∈ 2 Re∈ =∈ 1 f Re PL
for Re B
;
< 4000 y
τ w )
)
−2
for Re B
> 4000; 5 < Re∈ < 70
for Re B
> 4000,
Re∈
> 70
> 4000; Re∈ < 5
