Transmission de Puissance Intro

TABLE DES MATIÈRES - COURS 1 COURS 1 - INTRODUCTION ET RÉVISION .............................................................. .......................................................................... ............ 1.1 1.0 INTRODUCTION ....................................................... ....................................................................................................... ................................................ 1.1 1.1 OBJECTIFS DU COURS ................................................................. ............................................................................................ ........................... 1.1 1.2 ORGANISATION DE L’ENSEIGNEMENT ............................................................. 1.2 1.3 RAPPEL DES NOTIONS DE BASE .......................................................... .......................................................................... ................ 1.3 1.3.1 Transmission d’énergie.............................................. d’énergie ........................................................................................ .......................................... 1.3 1.3.2 Transmission de puissance............................................................... puissance............ ....................................................................... .................... 1.4 1.3.3 Composantes d’un train de transmission de puissance ........................................ 1.5 1.3.4 Convention Convention pour représenter représenter les variables variables de puissance puissance .............. ..................... .............. .............. ........... 1.6 1.3.5 Moteurs ....................................................... .............................................................................................................. ........................................................... 1.6 1.3.6 Transmetteurs....................................................................... Transmetteurs................... .................................................................................... ................................ 1.7 1.3.7 Charges .................................................... ........................................................................................................... ............................................................ ..... 1.9 1.3.8 Point d’opération............................................................................ d’opération........................ .......................................................................... ...................... 1.9 1.3.9 Phénomènes transitoires .............................................. .................................................................................... ...................................... 1.10 1.3.10 Conclusion ................................................ ........................................................................................................ .......................................................... 1.12 1.4 FACTEUR DE SÉCURITÉ........................................................... SÉCURITÉ ....................................................................................... ............................ 1.12 1.5 PROBLÈME DU CONVOYEUR .............................................................. ............................................................................. ............... 1.12 1.6 RÉFÉRENCES ............................................................ .......................................................................................................... .............................................. 1.12 EXERCICES - COURS 1 ........................................................ .......................................................................................................... .................................................. 1.13

COURS 1 - INTRODUCTION ET R ÉVISION 1.0

INTRODUCTION

L’ingénieur en mécanique fait face, dans l’exercice de sa fonction de concepteur de machines, à deux types distincts de problèmes. Le premier concerne la conception détaillée d’une pièce. Pour ceci, il doit faire des calculs de contraintes, de déformations, de fatigue, d’usure, de corrosion et de fiabilité. Il aboutit finalement, en tenant compte des principes fondamentaux de la mécanique, à une géométrie qui définit complètement la pièce. Les connaissances requises à cette fin sont acquises dans les cours de résistance des matériaux, de calculs par éléments finis, de communication graphique, etc. Dans la deuxième catégorie de problèmes, l’ingénieur doit concevoir un système mécanique à partir d’une variété de composantes élémentaires comme des moteurs, embrayages, freins, démultiplicateurs, accouplements, etc. Dans ce cas, il n’a pas à se soucier du calcul détaillé de ces composantes. L’ingénieur s’intéresse alors seulement aux paramètres d’entrée et de sortie des composantes afin de les harmoniser avec l’ensemble du système. Il s’agit de s’assurer de la compatibilité des dimensions géométriques et des capacités en force, couple et vitesse des différentes composantes mécaniques. Ces composantes sont choisies dans des catalogues qui donnent tous les détails nécessaires pour en faire l’agencement. Cependant, des informations manquent souvent dans ces catalogues sur des détails de construction, les précautions particulières concernant chaque type d’application, des comparaisons entre différents types de composantes et autres points techniques utiles au concepteur. Il est important en pratique pour l’ingénieur de pouvoir choisir les différents éléments d’un système de transmission de puissance, tels qu’ils apparaissent dans un grand nombre d’industries comme dans les pâtes et papiers, l’industrie minière, l’industrie agro-alimentaire, les alumineries et la plupart des entreprises manufacturières. L’objectif de ces notes est d’apporter une partie de ce complément d’information. Sans étudier en détail toutes les composantes de machine, les grandes étapes de la conception des systèmes mécaniques de transmission de puissance sont précisées, ainsi que les diverses techniques de montage qui permettent d’en agencer les composantes harmonieusement. En plus de traiter ces aspects de conception et de montage, certains éléments de machines sont examinés plus en détail sur le plan fonctionnel. Les différentes sections de ces notes contiennent chacune une description de la matière couverte chaque semaine pendant un cours de trois heures, suivi d’exercices et de l’énoncé du travail dirigé correspondant. Ces notes sont complétées par les diapositives utilisées pour donner le cours en classe. Les diapositives et les notes se complètent et constituent les deux documents de référence essentiels du cours MEC3330.

1.1

OBJECTIFS DU COURS

L’objectif du cours MEC3330 est de décrire les principales caractéristiques des composantes de machines et d’apprendre à les calculer selon les règles de l’art. D’une manière générale, il s’agit d’un cours de base en génie mécanique qui forme les ingénieurs aux tâches de conception, d’entretien et de réparation des machines.

1.1

Cours 1 – Introduction et révision

Le premier cours comprend une révision des notions de base sur la force, le couple, l’énergie, la puissance et le rendement. On rappelle aussi les principes de calcul des charges de frottement ou d’inertie et la notion importante de point d’opération d’un moteur électrique. Enfin, les deux principales méthodes statistiques de calcul d’un facteur de sécurité sont aussi revues. Les cours 2 et 3 portent sur les principaux éléments de tribologie : frottement, usure et lubrification. Le frottement crée l’usure, dont le remède préventif est la lubrification. C’est pourquoi il est nécessaire de connaître les caractéristiques des principales huiles et graisses couramment utilisées pour lubrifier les composantes mécaniques. Le cours 4 applique les principales notions de tribologie aux paliers de roulement qui sont utilisés pour monter les arbres de rotation des machines. Les moteurs électriques présentés dans le cours 5 constituent un autre volet incontournable dans l’étude des machines, car ils sont omniprésents dans l’industrie moderne et actionnent des machines très diverses. Afin de produire un travail utile, les moteurs sont reliés aux machines par l’intermédiaire d’éléments de transmission de puissance, qui font l’objet de la suite de l’étude : arbres et montages (cours 9), systèmes d’accouplement (cours 10), courroies ou chaînes (cours 6), freins ou embrayages (cours 11), engrenages (cours 12) et boîtes d’engrenages (cours 13). Enfin, les machines et leurs composantes sont fixées au moyen de ressorts (cours 7), de vis et de boulons (cours 8), dont l’étude complète la matière de ce cours.

1.2

ORGANISATION DE L’ENSEIGNEMENT

Chaque semaine, un cours théorique de 3 heures introduit un thème d’étude en décrivant une composante de machine particulière. Il est suivi par un travail dirigé de 2 heures (TD), qui a pour but d’apprendre à calculer cette composante à la façon d’un ingénieur, c’est-à-dire en effectuant des approximations raisonnables. Quand on parle d’activité de conception, il n’y a jamais une solution unique à un problème. Il existe généralement plusieurs solutions possibles et le travail de l’ingénieur consiste à choisir une solution en tenant compte non seulement des données et restrictions physiques, mais aussi des aspects coût , environnement et du facteur temps. Quatre heures de travail personnel par semaine sont nécessaires pour compléter les calculs du TD et étudier la matière du cours. Le cours est articulé en deux parties : cours 1 à 6 et cours 7 à 13. Pendant la semaine du cours 8, un contrôle périodique de 1 h 30 porte sur la première partie (cours 1 à 6) et compte pour 35 % de la note. Tous les travaux dirigés seront remis et certains seront corrigés (15 % de la note finale). Enfin, un examen final de 2 h 30 porte sur l’ensemble de la matière, en insistant sur la deuxième partie (cours 7 à 13). Cet examen comptera pour 50 % de la note finale. La matière de certains cours n’est pas couverte dans la présente édition de ces notes. C’est pourquoi le présent document peut être avantageusement complété par certains chapitres du livre « Éléments de machines » (M. Gou et al., Éditions de Polytechnique), qui contient une série de chapitres au programme du cours MEC3330 : courroies, chaînes, engrenages, boîtes d’engrenages, freins, embrayages, boulons, vis, et ressorts. Noter cependant que les diapositives utilisées en classe pour donner les cours théoriques ont été conçues pour compléter au maximum les informations non incluses dans ces notes. Ces diapositives sont disponibles dans un polycopié et sur le site web du cours www.cours.polymtl.ca/MEC3330/, de même que les énoncés des travaux dirigés. Les corrigés des travaux dirigés seront rendus disponible chaque semaine sur le site web.

1.2


1.3

R APPEL DES NOTIONS DE BASE

Cette section présente une révision des notions d’énergie et de puissance et introduit les concepts généraux d’un système mécanique de transmission de puissance avec ses principales composantes et modes d’opération. Elle contient également la définition des conventions utilisées dans les cours suivants et la nomenclature. Dans ces notes, on utilise en général les unités SI et la notation internationale ISO (« International Standard Organisation »).

1.3.1 Transmission d’énergie La Figure 1.1a représente la vue de plan d’un ensemble composé d’une masse reliée à un ressort par un système corde-poulie. La position initiale de la masse et du ressort est celle représentée par des lignes brisées. Dans cette position, la corde est reliée au ressort au point A et à la masse au point B. Supposons que le ressort a une constante élastique de 2 kN/mtel qu’illustré à la Figure 1.1b. Si on tire sur la masse avec une force F qui varie de 0 à 2 kN, le point B sur la masse se déplace en B’ en étirant le ressort de 1 m par l’intermédiaire de la corde et de la poulie. En moyenne, sur la distance de 1 m, l’intensité de la force F aura été de 1 kN : on dit que la force F a fait un travail de 1 kN⋅m. Si on néglige les pertes par frottement dans la transmission entre la corde et la poulie et entre la masse et le plan, une énergie de 1 kN⋅m est maintenant emmagasinée dans le ressort.

Corde

Figure 1.1 - Vue d’un système de transmission de puissance plan. Puisque la gravité n’agit pas sur la masse, il faut tirer sur celle-ci pour la déplacer.

1.3


Le travail de 1 kN⋅m de la force F est emmagasiné en énergie élastique dans le ressort. Le ressort est maintenant en mesure de faire un travail de 1 kN⋅m. En d’autres termes, l’énergie représente la capacité d’effectuer un travail mécanique. L’unité de travail et d’énergie est le Joule ou N⋅m.

1.3.2 Transmission de puissance La puissance implique l’exercice d’une force sur une distance en un temps donné ou l’exécution d’un travail en un temps donné ou la dépense d’une quantité d’énergie en un temps donné : Puissance =

force ⋅ distance distance = force ⋅ temps temps

(1.1)

L’unité de puissance est le N⋅m/s que l’on appelle Watt et dont le symbole est W. Dans l’exemple de la Figure 1.1, supposons que le temps pris par la force F pour amener le point B en B’ soit d’une seconde. Dans ce cas, après avoir remplacé les valeurs dans la relation (1.1), le système corde-poulie a transmis une puissance de 1 k N⋅m/s = 1 kW. De même, si le temps pris par la force F pour effectuer le même travail avait été de 2 secondes, la puissance transmise aurait été de 0,5 kW. Dans la relation (1.1), on remarque que le rapport de la distance sur le temps exprime une vitesse en m/s. En ingénierie, on a l’habitude d’écrire la relation qui donne la puissance en kW dans un mouvement de translation sous la forme : P =

F ⋅ V

10 3

(1.2)

où F est la force linéaire en N , V est la vitesse linéaire en m/s et le facteur 103 sert à exprimer la puissance en kW, l’unité la plus usuelle. La relation (1.2) s’applique dans le cas d’une force et d’une vitesse linéaire. Si une force est appliquée sur un bras de levier qui tourne autour d’un centre O à une vitesse ω en rad/s (cf. Figure 1.2), seule la composante normale au bras de levier, F n, peut réaliser du travail. En remplaçant la force F par F n et la distance par 2 π R n où R est le rayon d’application de la force, n est le nombre de tours effectués par le point A autour du centre O et t est le temps en secondes, la relation (1.1) devient : F 2 π R n (1.3) P = n t

Figure 1.2 - Travail d’une force appliquée sur un bras de levier par rapport au point O à une vitesse ω (rad/s)

1.4


On remarque dans la relation (1.3) que le produit de F n par R est un couple, T , exprimé en N⋅m et que n/t est une vitesse de rotation en tours/seconde. Comme en ingénierie on exprime souvent la vitesse de rotation N en tours/minute, tpm ou tr/min, il est utile d’exprimer la puissance d’un mouvement de rotation sous la forme : P =

T N 9550

(1.4)

où la constante 9550 vient de (60 × 103)/2π = 9549,3 et la puissance P est en kW. Si la vitesse de rotation est exprimée en rad/s plutôt qu’en tr/min, la puissance d’un mouvement de rotation se calcule plutôt par la relation : P =

T ω 10 3

(1.5)

où ω est la vitesse en rad/s et le facteur 103 sert à exprimer la puissance en kW.

1.3.3 Composantes d’un train de transmission de puissance La Figure 1.3 représente schématiquement un train de transmission composé d’un moteur, des transmetteurs nos 1 et 2 et d’une charge. À partir de cette figure, on distingue trois catégories de composantes dans un train de transmission de puissance : (1) le moteur, (2) les transmetteurs nos 1 et 2, (3) la charge.

Figure 1.3 - Représentation schématique des composantes d’une chaîne de transmission de puissance Il faut aussi remarquer sur cette figure que : • la puissance circule du moteur vers la charge; • la sortie d’une composante constitue l’entrée de l’autre. Deux flèches sont tracées entre les composantes pour rappeler que selon les relations (1.2) et (1.3) la transmission de puissance mécanique implique toujours deux grandeurs, soit une force et une vitesse linéaire ou bien un couple et une vitesse de rotation.

1.5


1.3.4 Convention pour représenter les variables de puissance La Figure 1.4 illustre la convention utilisée pour représenter la façon dont les variables de la puissance se transmettent d’une composante à l’autre. Si on suppose dans cette figure que la puissance est transmise de la gauche vers la droite, la composante n0 1 est motrice alors que la composante n02 est entraînée. Pour conserver l’équilibre statique avec les sens de rotation ω 1,2 montrés, il faut que le sens des couples T 1,2 soient tels qu’indiqué à la Figure 1.4 : sur l’arbre d’entrée de la composante n02, qui est entraînée, le couple T 1 et la vitesse de rotation ω1 sont dans le même sens ; l’inverse est vrai sur l’arbre de la composante motrice n0 1. La convention devient : • l’arbre d’entrée d’une composante est toujours l’arbre entraîné; on y montre l’action et on utilise l’indice 1; • l’arbre de sortie d’une composante est toujours l’arbre moteur; on y montre la réaction et on utilise l’indice 2.

Figure 1.4 - Conventions sur le sens de la vitesse et du couple et des indices à l’entrée et à la sortie Cette convention est vérifiée à la Figure 1.1 avec une force et une vitesse linéaires sur la composante corde. En effet, l’extrémité B de la corde, là où est appliquée la force F est son entrée; elle est donc entraînée, et F 1 et V 1 sont dans le même sens. Par contre, à l’extrémité A de la corde, F 2 et V 2 sont en sens opposés.

1.3.5 Moteurs Un moteur est en un convertisseur de puissance. En effet, la puissance mécanique se transporte mal sur de longues distances; on peut penser au Cable Train de San Francisco par exemple. On préfère, pour des raisons de commodité et finalement d’économie, transporter la puissance soit sous forme électrique (courant, différence de potentiel dans un conducteur), chimique (pétrole, charbon, gaz), thermique (vapeur) ou encore fluide sous pression (air, huile, eau). Au lieu d’utilisation, les machines qui convertissent cette puissance facile à transporter sous forme mécanique sont les moteurs. À l’entrée, les moteurs reçoivent la puissance sous différentes formes, mais à la sortie cette puissance est toujours sous forme mécanique (couple ou force et vitesse). La courbe de variation du couple ou de la force en fonction de la vitesse est la courbe de capacité du moteur. Cette transformation ne se fait évidemment pas sans pertes; c’est pourquoi on introduit la notion de rendement du moteur. 1.6


Dans l’industrie, les convertisseurs de puissance les plus rencontrés sont les moteurs électriques, les moteurs à combustion interne, les turbines à gaz, à eau ou à vapeur et les moteurs à fluides pneumatiques ou hydrauliques. Ces notes s’intéressent plus particulièrement aux moteurs électriques et pneumatiques.

1.3.6 Transmetteurs Les transmetteurs de puissance, contrairement aux moteurs, sont des composantes qui échangent le même type de puissance à l’entrée et à la sortie, c’est-à-dire de la puissance mécanique. On distingue quatre types fondamentaux de transmetteurs : les accouplements, les changeurs de vitesse, les embrayages et les transmissions. Une clavette, un arbre de transmission, la tige d’un vérin fournissent des exemples d’accouplements. Les accouplements ne changent ni le couple ou la force, ni la vitesse entre l’entrée et la sortie. Les plus importants de ces éléments seront étudiés ici.

Figure 1.5 - Boîte d’engrenages comme exemple de transmetteur de puissance La Figure 1.5 représente une boîte d’engrenages pour illustrer un transmetteur du type changeur de vitesse. D’une façon générale, la boîte d’engrenages sert à changer la vitesse ou le couple, en sens et en intensité, entre l’entrée et la sortie. Cette figure montre que le sens de la vitesse a été changé, mais ne donne aucune indication sur son intensité. Le sens de rotation à la sortie d’un train d’engrenages résulte de conditions cinématiques. L’intensité du couple se calcule à partir du rapport de la boîte et de son rendement. Dans un transmetteur, la puissance se conserve toujours. On peut donc écrire : η P (1.6) 1 = η ω 1 T 1 = P 2 = ω 2 T 2 où η est le rendement de la boîte compris entre 0 et 1, ω la vitesse angulaire et T le couple. Les indices 1 et 2 correspondent respectivement aux paramètres d’entrée et de sortie. Dans un changeur de vitesse du type positif (engrenages, chaîne ou courroie crantée), la perte de puissance n’affecte pas la vitesse : c’est le couple qui est diminué. L’intensité du couple T 2 à la sortie est alors : T 2 = η i T 1 avec ω 1 = i ω 2 (1.7) où i est le rapport de vitesse. Le sens de T 2 est défini par celui de la vitesse angulaire ω2. Le rapport de vitesse i d’un changeur de vitesse est défini par le rapport de la vitesse d’entrée sur la vitesse de sortie : 1.7


i=

ω1 N 1 = ω 2 N 2

(1.8)

où N 1 et N 2 désignent les vitesses angulaires en tours/minutes. Noter la différence entre le rapport d’une boîte d’engrenages et la valeur d’un train d’engrenages que l’on dénote habituellement avec le symbole e et qui correspond à 1/i. L’ AGMA (l’ « American Gear Manufacturers Association ») utilise le symbole m g pour noter le rapport i d’une boîte d’engrenages. Dans un changeur de vitesse à frottement (courroie trapézoïdale ou courroie plate), la perte de puissance n’affecte pas le couple; c’est plutôt la vitesse qui diminue. À cause d’un glissement interne, la vitesse à la sortie est donnée par la relation :  1 − S  (1.9) ω 2 = ω1    i 

où le glissement S est défini par : 0 ≤ S =

ω 1

− ω 2

=

ω 1

N 1 − N 2 N 1

≤ 1

(1.10)

Dans un changeur de vitesse à frottement, le glissement n’est jamais nul. Il prend des valeurs typiques comprises entre 0,5 à 2 ou 3 pour cent selon les variables d’opération et le rapport de vitesse i. La Figure 1.6 montre le schéma d’un embrayage, qui constitue un autre exemple de transmetteur à frottement. En général, les embrayages, tout comme les courroies, possèdent un glissement interne qui change la vitesse entre l’entrée et la sortie, mais pas le couple, de telle sorte que : T 1 = T 2 ,

ω2 = 1 - S ω1

(1.11)

Figure 1.6 - Embrayage comme exemple de transmetteur de puissance

Quand le glissement S = 0, ω2 = ω1 comme pour un accouplement. Ceci est le cas pour certains embrayages, comme dans une automobile par exemple : un glissement apparaît au début de l’engagement, mais il devient nul lorsque l’embrayage complètement engagé. Quand le glissement S = 1, la vitesse de sortie est nulle; on dit que l’arbre de sortie est bloqué. Le glissement peut être 1.8


contrôlé par un mécanisme électrique, des ressorts ou par un fluide. Noter que si une des moitiés d’un embrayage est fixe, alors ce transmetteur devient un frein. Les freins et les embrayages seront étudiés au cours 11.

1.3.7 Charges En transmission de puissance, la charge est définie comme la force linéaire F ou le couple T dans les équations (1.2) et (1.4) respectivement. La charge comprend trois composantes, soit : • du frottement, F f ou T f ; • de l’inertie, m a ou I α; • une pente à gravir, mg sinα où α est l’angle de la déclinaison.

Figure 1.7 - Variation des charges de frottement avec la vitesse Les charges de frottement sont constituées des forces ou couples du frottement de glissement sec ou lubrifié, du frottement de roulement, du frottement visqueux et du frottement aérodynamique. Tel qu’illustré à la Figure 1.7, les charges de frottement varient avec la vitesse sauf dans le cas du frottement sec. La variation linéaire est caractéristique des paliers lisses ou à roulements dans lesquels le frottement est principalement visqueux ou de roulement. La charge de frottement aérodynamique est caractéristique de l’écoulement de l’air sur les pales d’un ventilateur ou sur le profil d’un véhicule (frottement aérodynamique). La charge constante représente un treuil ou une charge d’inertie à accélération constante. Enfin, une charge décroissante avec la vitesse se rencontre dans le tournage d’un barreau cylindrique ou le bobinage d’un rouleau de papier à vitesse linéaire constante. Les composantes de la charge de frottement seront expliquées en détail dans le chapitre 2 sur latribologie.

1.3.8 Point d’opération Après avoir calculé les charges d’une application, il faut choisir un moteur et vérifier que sa capacité est bien ajustée à la charge. Du point de vue du rendement énergétique, le système moteur-machine le plus efficace est celui pour lequel la charge de la machine est égale à la capacité en couple ou en force

1.9


du moteur à toutes les vitesses. Il est rare que les courbes de capacité et de charge se superposent parfaitement, ce qui rend ceci difficile à réaliser en pratique. Si cette situation serait souhaitable du point de vue énergétique, en revanche le moteur ne pourra jamais accélérer la machine jusqu’à sa vitesse de fonctionnement puisqu’il n’a aucune capacité en réserve. On peut alors énoncer les règles suivantes pour sélectionner un moteur pour une machine : 1. La courbe de la capacité du moteur et celle de la charge ne doivent se couper qu’en un seul point, appelé point d’opération. 2. La capacité du moteur doit être supérieure à la charge pour les vitesses plus petites que celle du point d’opération et inférieure pour les vitesses plus grandes. 3. Pour des raisons d’efficacité, il est bon de garder les courbes de la capacité du moteur et de la charge le plus près possible l’une de l’autre pour toute la plage des vitesses d’opération, tout en respectant évidemment les deux règles précédentes. La Figure 1.8 reproduit la courbe de capacité d’un moteur électrique à courant alternatif typique. Les courbes de charge A et B sont adaptées à ce moteur avec chacune un seul point d’opération stable, soit les points a et b respectivement. À basse vitesse, le moteur possède amplement de couple en réserve pour accélérer et vaincre l’inertie. Cependant, ce moteur ne convient pas aux chargesC et D. En effet, la charge D excède la capacité du moteur au décollage. Quant à la courbe de charge C, elle coupe la courbe de la capacité du moteur à une vitesse trop basse : la capacité du moteur est mal exploitée.

Figure 1.8 - Charges typiques et points d’équilibre en opération

1.3.9 Phénomènes transitoires Jusqu’ici nous avons supposé que le système de transmission de la Figure 1.3 fonctionnait en régime permanent, c’est-à-dire en équilibre de couple ou de force et de vitesse. Quoiqu’une telle hypothèse soit suffisante dans certains cas, elle n’est pas valide durant les périodes de démarrage et d’arrêt. 1.10


Sur la Figure 1.8, nous observons qu’à la vitesse zéro le couple disponible au moteur dépasse celui absorbé par la charge A par exemple. L’excédent de couple sert alors à accélérer la charge selon la relation : T α = I α (1.12) où T α est le couple disponible pour accélérer la charge, I est le moment d’inertie polaire de la machine et α est l’accélération angulaire de la machine. Évidemment, l’équation (1.12) n’est valide que pour les masses en rotation. Pour les masses en translation, c’est la relation de Newton F = m a qui s’applique. En transmission de puissance mécanique, il est très fréquent de rencontrer les inerties sous la forme de masses en rotation. Dans ce cas, les manufacturiers de machines mécaniques ont coutume de donner le produit W k 2 de leurs équipements plutôt que le moment d’inertie polaire, où W est le poids de la pièce en N et k est son rayon de giration en m. Afin d’obtenir les unités N m s2 (ou kg⋅m2) qui sont celles du moment d’inertie polaire à utiliser dans l’équation (1.12), il faut diviser W k 2 par g , la constante d’accélération de la pesanteur, de telle sorte que : I =

W k 2

(1.13)

g

Dans l’équation (1.12), T α est la différence à chaque instant pendant l’accélération entre le couple absorbé par la charge et celui disponible au moteur. Dans le cas de la charge A, on voit à la figure 1.8 que cette différence s’amenuise au fur et à mesure que la charge prend de la vitesse jusqu’à devenir nulle au point d’opération à l’équilibre, le point a. Le même raisonnement s’applique pour les charges B et C, quoique la charge C doive être diminuée quelque peu pour pouvoir l’amener à un point d’opération stable. Quant à la charge D, pour la démarrer et l’amener à un point d’opération d’équilibre, il faut utiliser une combinaison adéquate de démultiplication de la vitesse et d’embrayage comme dans le cas d’une transmission d’automobile ou de camion par exemple. Durant la période de décélération, la machine entraînée devient motrice et épuise son énergie cinétique par frottement en entraînant le moteur et les autres composantes du train de transmission. C’est pour cette raison que des freins sont indispensables dans toutes les applications avec des départs et des arrêts fréquents (camions, machines-outils, etc.). Dans les systèmes de transmission mécanique, l’énergie cinétique se trouve le plus souvent sous la forme d’énergie de translation et de rotation. Rappelons ici les expressions de ces deux formes d’énergie : translation : E k =

1 2

2

m(∆ V )

1 2 rotation : E k = I (∆ω ) 2

(1.14) (1.15)

où m est la masse de la pièce en translation en kg, V sa vitesse linéaire en m/s ou ω la vitesse angulaire de rotation en rad/s et I représente l’inertie polaire de la pièce. Dans beaucoup d’applications, il faut tenir compte des périodes de démarrage et d’arrêt dans le choix des équipements qui entrent dans la composition d’un train de transmission de puissance mécanique. L’objectif premier de ce cours n’est pas d’étudier les phénomènes dynamiques reliés au démarrage et à l’arrêt des machines. Cependant, à cause de l’importance pratique de ces questions, il est essentiel 1.11


de maîtriser les principales notions sur le calcul des charges d’inertie. C’est pourquoi certains problèmes à la fin de ce chapitre et une partie du travail dirigé du cours 1 portent sur ce sujet.

1.3.10 Conclusion Dans cette section, nous avons examiné les concepts de base qui s’appliquent à tous les systèmes de transmission mécanique de puissance : l’énergie, la puissance et le rendement d’une transmission. Les composantes des trains de transmission de puissance ont été classifiées en quatre types principaux : les moteurs, les transmetteurs, les éléments entraînés (qui génèrent les charges du système) et les accessoires de fixation. L’harmonisation de la charge et du moteur a été discutée en introduisant la notion de point d’opération stable ou instable. Enfin, les charges dynamiques générées en régime transitoire à l’arrêt ou au démarrage du système ont aussi été introduites. Avant de passer à l’exemple d’un convoyeur à minerai qui fera l’objet de plusieurs travaux dirigés, la définition et la signification statistique du facteur de sécurité seront exposées (cf. diapositives du cours 1). 1.4

FACTEUR DE SÉCURITÉ

Le facteur de sécurité est le rapport de la résistance mécanique du matériau sur la contrainte maximale dans la pièce. Il s’agit d’une notion statistique qui peut être évaluée soit à partir des écarts types des deux grandeurs considérées, soit d’une manière qualitative en quantifiant l’influence d’une série de paramètres. Dans ce dernier cas, le facteur de sécurité global est obtenu comme le produit des facteurs de sécurité relatifs à chacun des paramètres considérés. Les principales informations sur le facteur de sécurité se trouvent dans les diapositives du cours théorique et dans les références [1.3] et [1.4].

1.5

PROBLÈME DU CONVOYEUR

Le convoyeur constitue un bon exemple d’un système mécanique qui comporte une grande variété d’éléments de machine (moteur, poulies, courroie, chaîne, arbre, paliers de roulement, réducteur de vitesse, etc.). Ces composantes fourniront autant de sujets distincts pour plusieurs des travaux dirigés de ce cours. Le problème du convoyeur est présenté dans ses grandes lignes pendant le cours théorique et plus en détail au début du TD 1. Noter que toutes les diapositives se rapportant au convoyeur sont aussi disponibles dans la section « problèmes » du site web www.cours.polymtl.ca/MEC3330.

1.6

R ÉFÉRENCES

[1.1] THORPE, J. F., Mechanical System Components, Allyn and Bacon, 1989. [1.2] MERIAM, J. L., Engineering Dynamics, Wiley. [1.3] EDWARDS, K. S., Jr., Fundamentals of Mechanical Components Design, McGraw-Hill, 1991. [1.4] HAMROCK , B. J., JACOBSON B., SCHMIDT, S. R., Fundamentals of Machine Elements, McGraw-Hill,1999.

1.12


EXERCICES - COURS 1 1.1 -

À la Figure 1.1, si la force externe F 1 est enlevée, jusqu’à quelle position l’extrémité de la corde reliée au ressort se trouve-t-elle déplacée? (Noter que la Figure 1.1 représente un montage plan : la gravité n’agit pas sur la masse dans le sens de la corde.) Réponse : point A’

1.2 -

À la Figure 1.1, si la masse M vaut 100 kg et que le coefficient de frottement entre la masse et le plan sur lequel elle repose vaut 0,1, combien y aura-t-il d’énergie accumulée dans le ressort quand il sera étiré dans les conditions énoncées dans l’article 1.1? Réponse : 904,4 N⋅m

1.3 -

À la Figure 1.1, si la force externe F est enlevée, quelle sera la vitesse de la masse M = 100 kg après un mètre de déplacement? Négligez les pertes par frottement. Réponse : 4,47 m/s

1.4 -

À la Figure 1.1, si la force externe F est enlevée, quelle sera la vitesse de la masse M = 100 kg après un mètre de déplacement si le coefficient de frottement entre la masse et le plan vaut 0,1? Réponse : 4,25 m/s

1.5 -

Si, après avoir enlevé la force externe F , la masse de 100 kg était libre de glisser sur son plan porteur, sur quelle distance glisserait-elle avant de s’arrêter si le coefficient de frottement est constant à 0,1? Le ressort ne reste pas accroché à la masse. Réponse : 10,2 m

1.6 -

Si la boîte d’engrenages de la Figure 1.5 a un rapporti = 0,89, quelle est la vitesse à l’entrée de la boîte si la vitesse à la sortie est de 180 tpm? Réponse : 160 tpm

1.7 -

Si la boîte d’engrenages de la Figure 1.5 a un rendement de 95 % et un rapport de vitesse de 2, calculer le couple et la vitesse à la sortie si la puissance à l’entrée est 2 kW et la vitesse 1750 tpm. Réponse : N = 875 tpm, T = 20,74 N⋅m

1.13


Figure 1.9 - Machine à perforer Le schéma d’un train de transmission d’une perforeuse de feuilles de papier est illustré à la Figure 1.9. La transmission comporte les composantes suivantes : 1 - Volant d’inertie, 1,9 kg, d o = 170 mm, d i = 130 mm, d m = 150 mm, Wk 2 = 0,107 N⋅m2 2 - Poulie motrice, d = 108 mm, 1725 tpm 3 - Poulie entraînée, d = 66,67 mm 4 - Embrayage 5 - Came (2) 6 - Arbre de came 7 - Appui simple fixe 8 - Levier 9 - Bielle 10 - Matrice de poinçon 11 - Engrenages, i = 1 Pour effectuer un cycle de poinçonnage, l’arbre de la came tourne de 112o. Durant un cycle de poinçonnage, le volant perd 10 % de sa vitesse. Calculer les paramètres suivants : 1 -Temps durant lequel la came travaille. Réponse : 0,00668 s 2 - Énergie perdue par le volant. Réponse : 86,9 N⋅m 3 - Puissance transmise par le volant durant un cycle de travail. Réponse :13 kW

1.14


1.9 -

La Figure 1.10 représente un treuil de mine à tambour unique avec les caractéristiques suivantes : poids du câble : 1,88 lb/pi (27,44 N / m ) longueur max. de câble suspendu sous la molette : 2000 pi (609,6 m) poids du transporteur : 000 lb (17,8 kN) poids des matériaux : 000 lb (35,6 kN) 2 (WK ) tambour : 250 000 lb ⋅pi2 (103, kN·m2) diamètre du tambour : 8 pi (2,44 m) 2 (WK )molette : 100 000 lb ⋅pi2 (41,3 kN·m2) diamètre de la molette : 8 pi (2,44 m) 2 (WK )démultiplicateur : négligeable rapport du démultiplicateur : 13 2 (WK )moteur : 3000 lb ⋅pi2 (1,2 kN·m2) Quel serait le moment de freinage nécessaire à appliquer au tambour pour décélérer à 4 pi/s2 une charge qui descend lorsque tout le câble est déroulé? Réponse : 97 300 lb ⋅pi (132 kN·m)

Figure 1.10 - Treuil de mines

1.15

Transmission de Puissance Intro

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