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Capítulo 5 Tráfego Telefônico 5.1 Introdução O objetivo do tráfego telefônico é dimensionar de maneira eficiente os recursos da rede telefônica. Os dimensionamentos eficientes dos equipamentos auxiliares em uma central telefônica, como registradores, geradores de tons de campainha, de discar, etc, são exemplos de aplicações do tráfego telefônico. Um outro exemplo clássico é o dimensionamento de troncos, circuitos ou linhas linhas que interligam duas duas centrais telefônicas. telefônicas. No exemplo da Fig. 5.1 a central central PABX possui um certo número de aparelhos telefônicos utilizados para fazer ligações externas através da rede comutada. Quantos troncos são necessários para um bom atendimento aos usuários de aparelhos telefônicos, mas ao mesmo tempo garantindo a eficiente utilização dos troncos? Ou em outras palavras quantos troncos são necessários para uma dada especificação de qualidade de serviço? Essa qualidade de serviço significa, por exemplo, uma chamada perdida em 100 chamadas ocorridas, isto é uma perda de 1%. Troncos PABX
Central Local
Rede Rede de Telefonia Pública
Figura 5.1 Exemplo de dimensionamento dimensionamento de tronco. No exemplo acima, não foi mencionada qualquer característica da central para se obter a qualidade de serviço desejada. Quando as características da central são evidenciadas, pode-se ter os seguintes critérios de tratamento de chamadas: a) sem espera de chamadas e com bloqueio b) com espera de chamadas (sem e com bloqueio) O critério do item a) é o tratamento clássico das chamadas em que quando não há troncos livres as chamadas sofrem bloqueios. No critério do item b), as chamadas que chegam à central são colocadas em um buffer , e se não houver troncos disponíveis aguardam por um determinado tempo até que se liberem os troncos ou são bloqueadas, recebendo nesse último caso, tons de ocupados. A maioria das centrais digitais opera com chamada em espera e, também, com bloqueio. Neste capítulo, estudam-se, inicialmente, as principais medidas utilizadas em tráfego telefônico. telefônico. Em seguida, a fórmula fórmula clássica de grande utilidade, utilidade, a fórmula fórmula de Erlang-B, será desenvolvida e vários exemplos de aplicação serão mostrados, e por fim, as principais fórmulas com chamada em espera serão desenvolvidas, utilizando as mesmas técnicas apresentadas para demonstrar a fórmula de Erlang-B.
5.2 Medidas de Tráfego telefônico 82
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As ocorrências das chamadas telefônicas são aleatórias, podendo ocorrer a qualquer instante, assim como os tempos de conversação que podem durar alguns segundos como algumas horas. Dessa maneira, há uma necessidade de caracterizar as medidas de tráfego telefônico. As medidas mais importantes são o volume, a intensidade e a hora de maior movimento.
Volume de Tráfego É a soma dos tempos ocupados durante as conversações em um grupo de enlaces ou circuitos de conexão. Seja t i, i = 1, …,4, os tempos de ocupação de um enlace, como mostrado na Fig. 5.2. t1
t2
t3
t4
Figura 5.2 Tempos de ocupação de um enlace. O volume de tráfego Y é dado por: 4
Y =
∑ t i =1
(5.1)
i
O volume de tráfego indica apenas a quantidade de ocupação, mas não a eficiência ou grau de utilização. Como exemplo, sejam dois enlaces, A e B, que foram ocupados 6 e 8 horas, respectivamente. Pode-se concluir que o enlace B foi mais utilizado que o A.
Intensidade de Tráfego A intensidade de tráfego escoado, por um grupo de enlaces, durante um período de tempo T, é a soma das durações de tempo de ocupação dividida por T. T é o tempo de observação ou unidade de tempo. t1
t2
t3
t4
T
Figura 5.3 Tempos de ocupação de um enlace por unidade de tempo. A intensidade de tráfego A da Fig. 5.3 é dada por: 4
A =
∑ t i =1
T
i
=
Y T
(5.2)
A intensidade de tráfego é uma grandeza adimensional. Entretanto, utiliza-se uma unidade que é o Erlang (E) em homenagem a A. K. Erlang (1878 - 1928), considerado o fundador da teoria de tráfego. Se um enlace ou circuito ou canal tem 1 E de intensidade de tráfego, significa que ele está 100% do tempo de observação ocupado. T pode ser 1 hora, 1 minuto, 1 segundo. Em geral, trabalha-se com tempo médio de ocupação ( t m ou 1/ µ µ ) ou conversação que pode ser obtido após uma série de medições estatísticas. 83
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As ocorrências das chamadas telefônicas são aleatórias, podendo ocorrer a qualquer instante, assim como os tempos de conversação que podem durar alguns segundos como algumas horas. Dessa maneira, há uma necessidade de caracterizar as medidas de tráfego telefônico. As medidas mais importantes são o volume, a intensidade e a hora de maior movimento.
Volume de Tráfego É a soma dos tempos ocupados durante as conversações em um grupo de enlaces ou circuitos de conexão. Seja t i, i = 1, …,4, os tempos de ocupação de um enlace, como mostrado na Fig. 5.2. t1
t2
t3
t4
Figura 5.2 Tempos de ocupação de um enlace. O volume de tráfego Y é dado por: 4
Y =
∑ t i =1
(5.1)
i
O volume de tráfego indica apenas a quantidade de ocupação, mas não a eficiência ou grau de utilização. Como exemplo, sejam dois enlaces, A e B, que foram ocupados 6 e 8 horas, respectivamente. Pode-se concluir que o enlace B foi mais utilizado que o A.
Intensidade de Tráfego A intensidade de tráfego escoado, por um grupo de enlaces, durante um período de tempo T, é a soma das durações de tempo de ocupação dividida por T. T é o tempo de observação ou unidade de tempo. t1
t2
t3
t4
T
Figura 5.3 Tempos de ocupação de um enlace por unidade de tempo. A intensidade de tráfego A da Fig. 5.3 é dada por: 4
A =
∑ t i =1
T
i
=
Y T
(5.2)
A intensidade de tráfego é uma grandeza adimensional. Entretanto, utiliza-se uma unidade que é o Erlang (E) em homenagem a A. K. Erlang (1878 - 1928), considerado o fundador da teoria de tráfego. Se um enlace ou circuito ou canal tem 1 E de intensidade de tráfego, significa que ele está 100% do tempo de observação ocupado. T pode ser 1 hora, 1 minuto, 1 segundo. Em geral, trabalha-se com tempo médio de ocupação ( t m ou 1/ µ µ ) ou conversação que pode ser obtido após uma série de medições estatísticas. 83
EE-981 Telefonia Prof. Motoyama 1º Semestre 2004 Seja c o número de ocorrências de chamadas, então, a intensidade de tráfego pode ser
escrita como: A =
onde,
c T
ct m
(5.3)
T
= λ = número de chamadas por unidade de tempo ou taxa de chamadas. A = λ t m
=
λ
(5.4)
µ
Quando a intensidade de tráfego (ou simplesmente tráfego) A se referir ao tráfego de N circuitos (enlaces, troncos ou canais), é admitida que a distribuição de probabilidade de ocupação dos circuitos seja a mesma para todos eles. Assim, ρ =
A N
, representa a intensidade de tráfego
de circuito individual. Como exemplo de duração média das chamadas, pode-se ter: Comunicação local : 1 a 2 minutos Comunicação Comunicação interurbana : 4 minutos Comunicação internacional: 10 minutos. Abaixo, são mostrados mostrados exemplos de utilização utilização das linhas: linhas: Linha residencial: 0,075 E Linha comercial : 0,2 a 0,4 E Telefone Público: 0,35 E.
Hora de maior movimento - HMM A hora de maior movimento é o período de tempo durante o qual uma central telefônica acusa o tráfego máximo a escoar. A Fig. 5.2 mostra a utilização da central durante um dia típico da semana. O período entre 9 e 11 horas está o maior tráfego que corresponde o período em que as empresas, escritórios, fábricas, etc, estão em plena atividade de trabalho. O tráfego começa a diminuir em torno das 17 horas, mas recomeça a aumentar por volta das 19 e 20 horas, quando a maioria das pessoas está em suas residências residências e iniciam chamadas chamadas consideradas consideradas sociais. A hora de maior movimento no exemplo da figura é entre 9:30 a 10:30 horas. Erlangss 300 200 100
2
4
6
8
10
12 14 16 18
20
22 24
horas
Figura 5.4 Utilização de uma central telefônica durante um dia. Para determinar a HMM, a ITU-T (International Telecomunications Union Telecommunication Telecommunication Sector) recomenda efetuar medições de tráfego a cada quarto de hora entre 9 horas e 12 horas, e isto durante 10 dias úteis consecutivos. Estes dias deverão ser normais, ou seja, não poderão ser feriados ou conterem quaisquer acontecimentos anormais. 84
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--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 5.1 Um condomínio tem uma central PABX para fazer chamadas locais (dentro do condomínio) e chamadas externas (de/para fora do condomínio). Em uma hora de maior movimento (HMM), a central registrou 600 chamadas. 20% é ligação local e o restante é ligação externa. A duração média da ligação local é de 1 minuto, e a ligação externa tem em média uma duração de 3 minutos. a) Calcule a intensidade de tráfego das ligações locais. b) Calcule a intensidade de tráfego das ligações externas. c) Calcule o tráfego total. Solução: a) As chamadas locais são 0.2 x 600 = 120 chamadas (serão abreviadas como chms). A taxa de chamadas é λl = 120 / 60 = 2 chm/min. A duração da ligação local é t ml = 1 min. Portanto, a intensidade de tráfego é A l = λl x tml = 2 x 1 = 2 E. b) As chamadas externas são 600 - 120 = 480 chms. A taxa de chamadas é λe = 480 / 60 = 8 chms/min. A duração da ligação externa é t me = 3 minutos. Portanto, a intensidade de tráfego é A e = λe x tme = 8 x 3 = 24 E. c) O tráfego total é Αt =Αl + Αe = 24 + 2 = 26 E. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5.3 Caracterizações dos processos de chegada e de conversação das chamadas telefônicas Seja uma central PABX mostrada na Fig. 5.5. A central possui n terminais telefônicos e N troncos de saída. Suponha que cada telefone tenha uma probabilidade p de estar ativo. Qual é a probabilidade de ocorrer k chamadas ( k = 0, 1, 2, ... n. )? 1 PABX
1 N
n
Figura 5.5 Uma central com n aparelhos telefônicos e N troncos de saída. Para responder a pergunta acima, admite-se somente dois estados para cada telefone: ativo (em conversação), com probabilidade p, e inativo, com probabilidade 1- p. Essa variável aleatória que modela os estados do telefone é conhecida como variável aleatória de Bernoulli e, matematicamente, pode-se escrever Pr{ X = 1} = p > 0; Pr{ X = 0} = 1 − p = q
(5.5)
A esperança matemática (ou valor médio esperado ou média ou momento de primeira ordem), o valor quadrático médio e a variância dessa variável são: 85
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∆
= x = ∑ k Pr{ X = k } = 1 p + 0(1 − p) = p
E { X }
(5.6)
k
E{ X
2
∆
} = ∑ k 2 Pr{ X = k } = 1 p + 0(1 − p) = p
(5.7)
k
∆ +∞
σ X = 2
2 σ X
∑(X − x) k = 0
2
2
Pr{ X = k } = E { X 2 } − E { X }
(5.8)
= p(1 − p) = pq
Considere, agora, X 1 , X 2 , .... X n variáveis aleatórias de Bernoulli independentes e com a mesma distribuição de probabilidade. Pr{X i = 1} = p, Pr{X i=0} = 1 - p = q, i = 1, 2 ... n
Definindo Y = X 1 + X 2+ .... + X n, pode-se responder a pergunta inicialmente feita nesta seção. Refazendo a pergunta em termos das definições apresentadas: Qual é a probabilidade de Pr{ Y = k } ou qual é a probabilidade de k telefones estarem ativos num conjunto de n? Pr{ Y= k } é dada por:
n Pr {Y = k } = p k q (n − k ) k
(5.9)
onde, n n! é o número de combinações possíveis de telefones ativos em n, = k k !(n − k )! pk é a probabilidade de k telefones estarem ativos, q(n-k) é a probabilidade dos (n - k) restantes estarem inativos.
Para variáveis aleatórias independentes, pode-se afirmar que: a) a média da soma é a soma das médias e b) a variância da soma é a soma das variâncias. Portanto, E { Y} σ Y 2
= np
= npq
(5.10) (5.11)
Em geral, o número de chamadas telefônicas por um período de tempo é de maior interesse, pois, é mais fácil fazer medições na prática. A Eq. 5.9 fornece a probabilidade de número de chamadas somente em função de p. Considere um período de tempo θ e seja np = λθ =
Assim, λ =
np θ
constante; n → ∞ ⇒ p → 0 = taxa média de chamadas (número de chamadas por intervalo de
tempo). Substituindo essa relação na Eq. 5.9, e calculando o limite da probabilidade, tem-se: 86
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Pr {Y = k } =
n!
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p k (1 − p ) ( n − k )
k !( n − k )!
(λθ ) k λθ Pr{Y = k } = 1 − k !( n − k )! n k n n!
( n − k )
(λθ ) k λθ lim Pr{Y = k } = lim 1 − n→∞ n →∞ k !( n − k )! n k n n!
( n − k )
( n − k )
λθ = exp( −λθ ) lim 1 − n → ∞ n n! n ( n − 1)...( n − k + 1) 1 = =1 lim lim n → ∞ ( n − k )! n k n→∞ n...n lim Pr {Y = k } =
( λθ ) k
n→∞
onde,
k !
exp( − λθ )
(5.12)
= np = λθ = média e λθ λθ σ Y 2 = npq = lim n 1 − = λθ = variância. n→∞ n n y
Conclui-se que o limite de uma distribuição binomial é uma distribuição de Poisson. A média da distribuição poissoniana é igual à variância. Assim, as ocorrências das chamadas telefônicas podem ser modeladas como uma distribuição de Poisson, que é caracterizada apenas pela sua taxa média. A seguir, as principais propriedades da distribuição de Poisson são estudadas. 1- A soma de variáveis aleatórias poissonianas independentes é uma poissoniana. Considere a variável aleatória Y = Y 1 + Y 2 , onde Y 1 e Y 2 são poissonianas de médias λ 1 e λ 2, respectivamente. Assim, λ = λ 1 + λ 2
Pr {Y = k } =
( λθ ) k k !
exp( − λθ )
(5.13)
2 - A ocorrência de eventos simultâneos tem probabilidade nula. Seja θ = ∆t → 0. O termo exp(- λ∆t ) pode ser expandido em série de Taylor. ∞ ( − λ ∆t ) k exp( − λ ∆t ) = ∑ k ! k = 0 Para k = 0 e 1 e retendo os termos de primeira ordem na série de Taylor, a Eq. 5.13 pode ser escrita como: Pr {Y = 0} = 1 − λ ∆t e Pr {Y = 1} = λ ∆t 87
EE-981 Telefonia Prof. Motoyama Para k ≥ 2 , a Eq. 5.13 terá somente termos de segunda ordem.
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Portanto, Pr {Y ≥ 2} = 0 Para ∆t infinitesimal, há apenas uma ocorrência com probabilidade λ∆t, ou nenhuma ocorrência com probabilidade 1 - λ∆t. Em outras palavras, em processos poissonianos não há ocorrências simultâneas. 3- O dual da distribuição de Poisson é uma distribuição exponencial. Suponha as ocorrências de chamadas obedecendo a uma distribuição de Poisson, como ilustra a Fig. 5.6. Seja T a variável aleatória que representa o tempo entre as ocorrências sucessivas. Quer-se calcular a distribuição da variável aleatória T T t
Figura 5.6 Distribuição entre as ocorrências sucessivas. Seja F T(t) = Pr{T< t} a função distribuição de probabilidade da variável aleatória T . A derivada dessa distribuição é a função densidade de probabilidade e será denotada por pT (t). A função complementar Pr{T>t} representa a probabilidade de não haver ocorrência num intervalo de duração t . Portanto, Pr {T > t } = Pr {zero chamada no intervalo t} Pr{ T > t } =
( λ t ) 0
0!
exp ( − λt) = exp ( − λ t)
= 1 − PrT{ >t } = 1 − exp( − λ t); t ≥ 0
F (t) T
Derivando, obtém-se: p T (t ) = λ exp( − λ t ); t ≥ 0
(5.14)
A distribuição do tempo entre as chamadas é uma exponencial negativa. A média e a variância da exponencial negativa são E { T}
∞
∞
= ∫ 0 = ∞
∫ x 0
n
∞
= ∫ 0 tpT ( t )dt = ∫ 0tλ exp( − λ t )dt
1 λ
t ′
dt ′ λ exp( t ′) λ λ ∞
∫ t ′ exp(t ′)dt ′ 0
exp( −ax )dx =
Γ (n + 1) a
n +1
=
n!
( − 1) 2
=1
Portanto, 88
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=
1
(5.15)
λ
E {T 2 } =
2 λ 2
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e σ T 2 =
1 λ 2
(5.16)
Pode-se caracterizar o processo de chegada como poissoniana de média λ , ou, alternativamente, como exponencial negativa de média 1 / λ, dependendo se está contando o número de chamadas ou se está observando o tempo entre as chamadas. O processo de conversação pode ser caracterizado de maneira análoga ao processo de chegada. Basta, neste caso, olhar o tronco de saída e verificar os tempos entre as partidas que podem ser modelados como exponencial negativa. Assim, FT (t ) = 1 − exp( − µ t ); t
e
≥0
p T (t ) = µ exp( − µ t ); t ≥ 0
(5.17) (5.18)
onde µ é a taxa média de término de conversação, e t m = 1/µ é o tempo médio de conversação. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 5.2 Seja uma central PABX em que os terminais telefônicos são divididos em dois grupos. Um grupo gera chamadas obedecendo a uma distribuição poissoniana de taxa 1 chamada/seg. O outro grupo gera chamadas obedecendo a uma distribuição exponencial negativa com média igual a 4 segundos. a) Calcule a probabilidade de que em um intervalo de 2 segundos não haja nenhuma chamada chegando à central. Solução: a) Utilizando a propriedade 3 da distribuição de Poisson, de que o dual da distribuição é a distribuição exponencial, e que a taxa média da exponencial é o inverso da taxa média poissoniana, tem-se: λ1 = 1 chm/seg e λ2 = 1 / 4 = 0,25 chm/seg A taxa média total é calculada, utilizando a propriedade 1.
λt = λ1 + λ2 = 1,25 chms/seg A probabilidade pedida pode ser calculada pelo uso da Eq. 5.13, com k = 0 e θ = 2 segs. Pr {Y = k = 0} =
(1,25.2)0
exp(− 1,25.2) = exp(−2,5) = 0,08 0! --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------89
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5.4 Sistemas sem espera de chamadas e com bloqueio Seja uma central PABX com somente um tronco de saída, mostrada na Fig. 5.7. O processo de chegada das chamadas obedece a uma distribuição poissoniana de taxa média λ, e o tempo de conversação tem uma distribuição exponencial negativa de média 1/ µ. A central opera sem espera, isto é quando o tronco estiver ocupado, e se chegarem novas chamadas, essas chamadas são bloqueadas. É suposto que existem infinitos aparelhos telefônicos. Essa suposição garante que a taxa λ seja constante. Se existe um número finito de aparelhos, por exemplo, 3 aparelhos telefônicos, quando dois aparelhos estão em conversação, somente o terceiro aparelho pode gerar a chamada. Nessas condições, a taxa de chamadas não será constante e dependerá de número de aparelhos telefônicos. Quando o número de aparelhos telefônicos é infinito, a taxa de chamadas pode ser considerada constante, pois, mesmo que tenha um número significativo de aparelhos em conversação, restam ainda infinitos aparelhos gerando novas chamadas. 1 Tronco
Central Local
PABX
Rede de Telefonia Pública
∞ Figura 5.7 Central telefônica com taxa constante de chegada das chamadas e um tronco. Para caracterizar o número de chamadas na central PABX, é utilizada uma representação em diagrama de estados. λ
0
1
µ
Figura 5.8 Diagrama de transição de estados para central com um tronco. O diagrama da Fig. 5.8 representa as duas possibilidades de ocorrência de chamadas na central. O estado 1 indica a probabilidade de se ter uma chamada na central e o estado 0, a probabilidade da central estar sem chamadas. Nos casos em que ocorrerem novas chamadas, enquanto uma conversação está em andamento, são situações em que as chamadas são bloqueadas e não ficam na central, portanto, são possibilidades ou estados não existentes, para este exemplo. A taxa λ representa a taxa de transição do estado 0 para estado 1 (taxa de chegada) e µ representa a taxa de partida (término de uma conversação). Em situação de equilíbrio estatístico (significa um processo ergódigo em que a média estatística é igual a média no tempo), o fluxo escoado ou atendido de chamadas deve ser igual ao fluxo de chamadas que deixa o sistema. Em termos de probabilidade, pode-se escrever:
90
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P P
=
λ
0
+
0
e
P 1 µ
P 1
=
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1
Resolvendo o sistema de equações P1
=
P0
+
P 1
=
λ µ
=
P0
A P0
A P0
= 1⇒
, A= P0
=
λ µ
1 1 + A
e
A
1 + A
O termo A = λ/µ é a intensidade de tráfego definida na seção 5.2. A média das chamadas na central é:
= 0. P0 + 1. P1 = P1 Se A = 0,6 → E { n} = P1 = 0,375 E { n}
A probabilidade de bloqueio de chamada é definida como a situação em que, dado que houve a geração de uma chamada, qual é a probabilidade de N troncos de saída estarem ocupados. Matematicamente, pode-se escrever, Probabilidade de bloqueio = P B = Pr {N troncos ocupados / 1 chegada}.
Recorrendo da definição de probabilidade condicional, a expressão acima pode ser escrita como, Pr {N troncos ocupados / 1 chegada }. Pr { 1 chegada } = Pr { 1 chegada / N troncos ocupados }. Pr {N troncos ocupados }
Mas, Pr {1 chegada / N troncos ocupados} = Pr { 1 chegada }.
Pois, o processo de chegada das chamadas foi admitido ser processo poissoniano de taxa λ que não varia com a ocupação dos troncos. Portanto, P B = Pr {N troncos ocupados / 1 chegada } = Pr {N troncos ocupados }
(5.19)
Assim, a probabilidade de bloqueio da central em consideração é P 1 , e o tráfego perdido é A P 1. O tráfego escoado é A(1-P 1). Para o caso do exemplo acima, P 1 = 0,375, ou seja uma perda de 37,5 %. O tráfego perdido é 0,225 E, e o tráfego escoado é 0,375 E. Alternativamente, a probabilidade de bloqueio pode ser definida como: P B = tráfego perdido / tráfego oferecido
(5.19 a)
Usando essa definição, para exemplo acima, tem-se P B = 0,225 / 0,6 = 0,375. 91
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Considere, agora, uma central com 2 troncos. O diagrama de transição de estados está mostrado na Fig. 5.9 λ
λ
1
0
2 2 µ
µ
Figura 5.9 Diagrama de transição de estado com dois troncos. Neste caso, tem-se até duas chamadas em conversação. A taxa de transição de partida do estado 2 para o estado 1 é agora 2 µ, pois, µ é taxa de partida de chamadas de um tronco. As equações de equilíbrio, a solução e a média das chamadas são P0λ P1λ
= P1µ → P1 =
λ µ
= AP0 λ
= P2 2µ → P2 =
P
2 µ 1 P1 ( λ + µ ) = P0λ + P2 2 µ P0 + P1 + P2 = 1 P0
+ AP0 +
A2
2
P0
=
A A2 P P 0 1 =
2
2
1
= 1 ⇒ P 0 =
1 + A +
A2
,
2
A2 A
P 1 =
1 + A + E { n}
A
2
2
e P 2 =
1 + A +
2
A2
2
= 1. P1 + 2 P2
A probabilidade de bloqueio, neste caso, é dada por P B = Pr {2 troncos ocupados / 1 chamada} = Pr {2 troncos ocupados } = P 2
Considere, agora, o caso geral da central com N troncos, como mostrado na Fig. 5.10 1 1
Troncos Central Local
PABX
∞
Rede de Telefonia Pública
N
Figura 5.10 Central com N troncos 92
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O diagrama de transição de estados, para este caso, é mostrado na Fig. 5.11. λ
λ 1
0
λ k-1
2
2µ
µ
λ k+1
k
k µ
λ
( k + 1)µ
N-2
λ N
N-1
( N − 1)µ
N µ
Figura 5.11 Diagrama de transição de estados para N troncos As equações de equilíbrio são: Pk (λ + kµ ) = Pk +1 ( k + 1)µ + λPk −1 ,1 ≤ k < N P ( Nµ ) = λ P , k = N N −1 N P0 λ = µ P1 , k = 0 N ∑ P k = 1 k =0
(5.21)
O sistema de equações pode ser resolvido de modo recursivo.
P1 = AP0 P k +1 = 1 [( A + k ) Pk − APk −1 ] ( k + 1) A P = N N P N −1 N P = 1 k ∑ k = 0
(5.22)
Para k = 1 P 2
=
AP 0
2
( A + 1) −
AP0
2
=
A 2 P0
2
k = 2
1 A 2 P3 = ( A + 2) P0 − A 2 P0 3 2 1 1 A 3 P 0 = + A 2 P0 − A 2 P0 = A 3 P0 3 2 6 M
Por indução pode-se escrever P k
=
A k k !
P0 ,
1 ≤ k ≤ N
(5.23) 93
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Mas, N
N
1
Ak
∑ P + P = ∑ k ! P + P = 1⇒ P = A ∑ k ! k
k =1
0
0
k =1
0
0
N
k
(5.24)
k =0
Substituindo a Eq. 5.24 na Eq. 5.23, tem-se: A k P k
=
k ! N A k
∑
(5.25)
k !
k = 0
A equação acima representa a distribuição de probabilidade de se ter k chamadas em andamento na central. A probabilidade de bloqueio é dada por Pr { N troncos ocupados / 1 chamada } = Pr { N troncos ocupados } = P N = P B
A N P N
= P B = N N ! k = E1, N ( A) A
∑ k !
(5.26)
k = 0
A fórmula acima é conhecida como Erlang-B ou de 1 a espécie. A notação E 1,N (A) significa que é uma probabilidade de bloqueio de 1ª espécie, para uma central com N troncos e com uma intensidade de tráfego aplicada de A erlangs. A Eq. 5.26 não é conveniente para valores grande de A e de N. Por exemplo, para A = 1000 e N = 100, a relação A N / N! pode levar a erro de arredondamento. Para evitar erros de arredondamentos, a Eq. 5.26 pode ser modificada para calcular a probabilidade recursivamente. Para (N-1) troncos, a probabilidade de bloqueio é dada por A N −1 E1, N −1 ( A)
=
( N − 1)! N − 1
A k
∑ k !
(5.27)
k = 0
Portanto, A N −1 N
∑
k = 0
( N − 1)! A N = + k ! E1, N −1 ( A) N !
A k
(5.28)
Substituindo a Eq. 5.28 na Eq. 5.26, obtém-se 94
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A N E 1, N
=
N − 1
NAA
/
N ! ( N − 1)
NAE1, N −1 ( A) E1, N ( A)
=
N
A
+
N !
AE1, N −1 ( A) N
=
1 N AE 1, N −1
, E 1, 0 = 1
+ AE1, N −1 ( A)
+1 (5.29)
A Eq. 5.29 é uma fórmula de recorrência que permite calcular a probabilidade de bloqueio a partir da condição inicial de que o número de troncos é igual a zero ( E 1,0 = 1), ou seja a probabilidade de bloqueio é igual a 1. No passo seguinte, considera que o tronco é igual a 1 e calcula a probabilidade de bloqueio em função de E 1,0, e assim por diante, até chegar ao valor de N desejado. A tabela de Erlang, que está no apêndice A, foi calculada utilizando a Eq. 5.29. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 5.3 Um tráfego de 1 E é aplicado à uma central com 2 troncos de saída e infinitos telefones de entrada. O processo de chegada das chamadas é Poissoniano. A distribuição do tempo de conversação das chamadas é exponencial negativa de média 3 minutos. O sistema é sem espera. a) Calcule a probabilidade de que 1 tronco esteja ocupado. b) Calcule a probabilidade de que 2 troncos estejam livres. c) Calcule a probabilidade de bloqueio. d) Calcule as proporções de tráfego escoado e perdido. e) Calcule o número médio de chamadas na central. f) Calcule o tempo médio de permanência das chamadas na central. Solução: a) A probabilidade de ocupação da central é dada pela Eq. 5.25. Para o caso do exemplo, A = 1 e N = 2. Portanto, A1 P k =1
= N =21!
∑
A k
=
k !
k =0
1 1 1+1+ 2
= 0,4
b) A probabilidade de que 2 troncos estejam livres é igual a probabilidade de nenhuma chamada na central. Assim, A P k =0
0
= N =20!
∑
k =0
A k k !
=
1 1 1+1+ 2
= 0,4
95
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c) A probabilidade de bloqueio é dada pela Eq. 5.26. A N P B
= N N ! k = A
∑ k ! k =0
12 2!
1 1+1+ 2
= 0 ,2
d) O tráfego aplicado é 1 E. O tráfego perdido é AP B = 1.0,2 = 0,2 e o tráfego escoado é A(1 - P B ) = 1.(1 - 0,2) = 0,8. e) O número médio de chamadas na central é dado por . 0 E {n} = 0 P
. 1 + 2 P . 2 = 0.0,4 + 1.0,4 + 2.0,2 = 0,8 + 1 P
f) Como a central opera sem espera, o tempo médio de permanência de uma chamada é igual ao tempo de conversação, que é 3 minutos. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 5.4 Os troncos de saída de uma central são divididos em dois grupos. Um grupo é utilizado somente para receber chamadas externas; o outro grupo é utilizado somente para fazer chamadas externas. As distribuições de ocorrências das chamadas são poissonianas. A taxa de chamadas que entram é 2,5 chms/min, tendo cada chamada uma duração média de 5 minutos. A taxa de chamadas que saem é 5 chms/min, com duração média de 2,5 minutos. A qualidade de serviço ou a probabilidade de bloqueio exigida é de 4%. a) Quantos troncos são necessários para atender as chamadas que entram e que saem? b) Supondo os troncos bidirecionais, isto é, os troncos podem receber ou fazer chamadas, calcule o número de troncos necessários para atender as chamadas, satisfazendo a qualidade de serviço exigida. Solução: a) A intensidade de tráfego das chamadas recebidas é A 1 = 2,5 x 5 = 11 E, e a intensidade de tráfego das chamadas feitas é A 2 = 5 x 2,5 = 11 E. Será utilizada a tabela de Erlang do apêndice A, com os valores A 1 = 11 E e P B = B = 0,04. Como não há na tabela, o valor exato de 11 E, utiliza-se o valor mais próximo que seja sobreestimado, isto é, 11,059. Com esse valor, o número de troncos N é igual a 16, para chamadas recebidas. O mesmo valor é encontrado para chamadas feitas. Assim, o total de troncos necessários para atender as chamadas com a qualidade exigida é 32. b) Neste caso, os troncos podem receber ou fazer as chamadas. Desse modo, deve-se utilizar o tráfego agregado, que é A t = 22 E. Com esse valor e P B = B = 0,04, utiliza-se a tabela de Erlang do apêndice A. Novamente, não há valor exato de 22 E. O valor mais próximo sobreestimado é 22,099, que necessita de 28 troncos. Observe que houve um ganho significativo de 4 troncos, comparado com o item a). Esse ganho é obtido pela utilização mais eficiente de 96
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troncos. A utilização dos troncos no item a) é ρ1 = Α1 (1 - PB) / 16 = 11,059 (1 – 0,04) / 16 = 0,66. A utilização dos troncos no item b) é ρ2 = At (1 – PB) / 28 = 22,099 (1 – 0,04) / 28 = 0,76. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------A Eq. 5.26 não é válida para um central com um número finito de telefones de entrada, ou seja, quando a taxa de chamadas não é constante. Nesse caso, o desenvolvimento matemático é mais complexo, e o resultado final é denominado de fórmula de Engset. 1
M
Central sem espera
1 N
Figura 5.12 Central com taxa média de chamadas não constante. Considerando a central da Fig. 5.12, com M telefones de entrada e N enlaces de saída (N < M) a fórmula de Engset é dada por [1]:
M k A k P k = N M k A ∑ k = 0 k
(5.30)
A Eq. 5.30 representa a probabilidade de se ter k chamadas em conversação na central. A probabilidade de bloqueio é dada por [1]:
M − 1 N A k P B = N M − 1 k A ∑ k = 0 k
(5.31)
Para valor de M → ∞ a Eq. 5.31 se aproxima da fórmula de Erlang-B.
5.5 Sistema com espera de chamadas A análise feita na seção anterior foi considerada que a central não tinha capacidade para armazenar chamadas telefônicas. Assim, quando todos os troncos eram ocupados, as novas chamadas eram bloqueadas. Entretanto, as centrais digitais atuais têm capacidades para reter, por um certo tempo, as novas chamadas antes de bloquear. Nesta seção, são feitas as análises das centrais com espera de chamadas. Inicialmente, a central com espera, com 1 tronco e sem bloqueio (ou buffer infinito) é analisada. A seguir, a mesma central com 1 tronco mas com bloqueio (ou buffer finito) é investigada. Finalmente, a central com N troncos, com buffer infinito e finito é analisada em detalhes.
Sistema com 1 tronco e sem bloqueio 97
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Seja uma central PABX com somente um tronco de saída, mostrada na Fig. 5.13. O processo de chegada das chamadas obedece a uma distribuição poissoniana de taxa média λ, e o tempo de conversação tem uma distribuição exponencial negativa de média 1/ µ. A central opera com espera, isto é, quando o tronco estiver ocupado, todas as outras chamadas que chegam ficam esperando em um buffer de tamanho infinito. O esquema de atendimento é do tipo FIFO (first in - first out), ou seja, as chamadas são atendidas em ordem de chegada. 1
Buffer
Rede de Telefonia Pública
Central Local
Tronco
PABX
∞
Figura 5.13 Central com buffer de tamanho infinito e um tronco. O diagrama de transição de estados é mostrado na Fig. 5.14. λ
0
λ
1 µ
λ
2
k-1
µ
λ
k µ
k+1 µ
Figura 5.14 Diagrama de transição de estados de uma central com espera e um tronco. As equações de equilíbrio são:
P λ + P µ = P (µ + λ ) k +1 k k −1 P 1 µ = P 0 λ ∞ ∑ P k = 1 k =0
(5.32)
ou
Pk +1 = ( A + 1) Pk − APk −1 , A = P1 = AP0 ∞ ∑ P k = 1 k = 0
λ µ
(5.33)
O sistema de equações pode ser resolvido em função de P 0.
98
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= AP0 P2 = ( A + 1) P1 − P0 = ( A + 1) AP0 − AP0 = A2 P 0 P1
M Pk
(5.34)
= Ak P0
O valor de P 0 é calculado por: ∞
∞
∑P k = 0
k
∑A
= P0
= P0
k
k = 0
123
1 = 1 , para A < 1, que é a condição de 1 − A
Prog. geom.
estacionaridade. Portanto, e
P 0 = 1 - A
(5.35)
P k = Ak (1 - A)
(5.36)
A Fig. 5.15 mostra o comportamento da central em função do número de chamadas. P k 1-A (1-A)A (1-A)A 2 (1-A)A 3 (1-A)A 5
0
1
2
3
4
5
k Figura 5.15 Distribuição de probabilidade em função de k.
O gráfico da figura mostra que a probabilidade P k diminui com aumento de k ; por ex., a probabilidade de se ter duas chamadas no sistema é maior do que a probabilidade se ter 3 chamadas. A média pode ser calculada por ∞
E{ k}
=
∞
∞
∑ kP = ∑ kA (1 − A) = (1 − A) ∑ kA k
k = 0
k
k = 0
k
k = 0
Mas, ∞
∑ kA k = 0
k
=
A
(1 − A)2
Logo,
99
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Prof. Motoyama E { k }
=
A
1 − A
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(5.37)
Figura 5.16 Número médio de chamadas em função do tráfego. Para o tráfego A aproximando do valor 1, o número médio das chamada tende a infinito. Isto significa que a fila tem um número muito grande de chamadas em espera. Em geral, tem-se bastante interesse em saber qual é o tempo médio de espera das chamadas. O relacionamento entre o número médio e o tempo médio das chamadas foi estabelecido por Little [2]. O teorema de Little estabelece que, E {T }
=
E { k } λ ef
(5.38)
onde λ ef é a taxa média de chamadas efetivamente atendida. Este relacionamento é bastante geral, e não depende da distribuição da chegada, nem do tempo de conversação, nem do número de troncos, e nem da maneira como os troncos são utilizados. Assim, 1 1 E { k} A = = = E { T } = λ λ λ (1 − A) µ − λ µ (1 − ) µ (5.39) 1 E { T } = µ − λ A expressão acima mostra que quando λ se aproxima de µ, o tempo de espera tende a infinito. É a situação em que se forma uma fila muito grande. O tipo de fila analisado é conhecido na teoria de fila como M/M/1. A notação foi proposta por Kendal e no caso mais geral possui 5 campos A/B/m/z/U. O primeiro campo (A) descreve a distribuição do processo de chegada; o segundo (B), a distribuição do processo de 100
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atendimento (ou conversação no caso telefônico); m representa o número de servidores (ou troncos): z representa o tamanho máximo do sistema de fila ( capacidade do buffer somado ao número de servidores) e o último campo (U) representa o tamanho da população que procura o sistema de fila. Os campos A e B podem descrever as distribuições de Poisson (M de markoviano), exponencial negativa (M de markoviano), determinística (D), geral (G), etc. Assim, a fila M/M/1 representa a distribuição de chegada poissoniana, atendimento ou tempo de conversação exponencial negativa, uma fila com 1 servidor (ou 1 tronco) e os outros campos são considerados de tamanho infinito. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 5.5 Suponha uma central com um tronco de saída. O tamanho do buffer de espera na central é infinito. O processo de geração das chamadas obedece a uma distribuição de Poisson. A intensidade de tráfego aplicada é de 0,6 E, e a distribuição do tempo de conversação das chamadas é exponencial negativa de média 3 minutos. a) Calcule o número médio de chamadas na central. b) Calcule o tempo médio de permanência das chamadas na central. Solução: a) O número médio de chamadas na central é dado pela Eq. 5.37. Logo, E {k } =
0,6 = 1,5 chamadas 1 − A 1 − 0,6 A
=
b) Para calcular o tempo médio de permanência das chamadas na central, pode-se utilizar o teorema de Litlle. O valor de λ é igual a (A / t m) = (0,6 / 3) = 0,2 chms/min. Portanto, E {k } E {k }
1,5 = 7,5 minutos λ ef λ 0,2 Esse item pode ser resolvido utilizando a Eq. 5.39. O valor de µ é (1 /3). Assim, E {T } =
=
=
1 1 30 = = = 7,5 minutos µ − λ 1 − 0,2 4 3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- E {T } =
Considere, agora, a central com 1 tronco de saída e o buffer , como ocorre na prática, tem uma capacidade finita, e acomoda até L chamadas. Acima de L+1 (L chamadas em espera mais 1 chamada sendo atendida), as novas chamadas são bloqueadas. Nessas condições, algumas chamadas são perdidas. Para uma dada qualidade de serviço (por exemplo, 1 perda em 100 chamadas), quer-se dimensionar o tamanho do buffer L. Esse problema pode ser resolvido através do diagrama de transição de estados mostrado na Fig. 5.17. Na notação de Kendall, é uma fila do tipo M/M/1/N
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λ 0
λ
λ
µ
µ
λ k
k-1
2
1
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µ
λ k+1
µ
L-1
λ L
µ
L+1
µ
Figura 5.17 Diagrama de transição de estado para central com um tronco e buffer finito. As equações de equilíbrio são:
P k +1 = (1 + A) P k − AP k −1 , 1 ≤ k ≤ L P = AP , k = L + 1 L L+1 P 1 = AP 0 , k = 0 L+1 ∑ P k = 1 k=0
(5.40)
A solução para P k é a mesma solução da fila M/M/1. Assim, k
P k = A P 0 O valor de P 0 pode ser calculado por
(5.41)
L +1
∑ A P + P = 1 k
0
0
k =1
P 0
1 = L+1
∑ A
k
k = 0
Mas, 1 − A L+ 2 , para A < 1 A = ∑ − 1 A k = 0
L +1
k
Portanto, 1 − A 1 − A L +2
P 0
=
P k
= A k
e
1 − A , para 0 ≤ k ≤ L + 1 L + 2 1 − A
(5.42) (5.43)
A probabilidade acima representa o número de chamadas no sistema. A probabilidade de bloqueio pode ser calculada utilizando a expressão abaixo. Pr { L locais e o tronco ocupados / 1 chamada } = Pr { L locais e o tronco ocupados } = P L+1 = P B
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Assim, (1 − A) A L+1 P B = 1 − A L + 2
(5.44)
A taxa média de perda é λ P B e a taxa média escoada é λ (1-P B ). Pela escolha adequada do tamanho de buffer , é possível satisfazer a qualidade de serviço especificada. A Fig. 5.18 ilustra a variação da probabilidade de bloqueio em função do tamanho de buffer , tendo como parâmetro a intensidade de tráfego A. Para uma certa intensidade, por exemplo, A = 0,5, o valor de probabilidade de bloqueio poderá ser aproximar do especificado, se for escolhido um valor de L adequado. Se a probabilidade especificada for 10%, pode-se observar pela Fig. 5.18, que é necessário em torno de 2 locais de espera.
Figura 5.18 Probabilidade de bloqueio em função de locais de espera.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 5.6 Suponha uma central com um tronco de saída. O tamanho do buffer de espera na central é finito, com somente 1 local de espera. O processo de geração das chamadas obedece a uma distribuição de Poisson. A intensidade de tráfego aplicada é de 0,6 E, e a distribuição do tempo de conversação das chamadas é exponencial negativa de média 3 minutos. a) Calcule o número médio de chamadas na central. b) Calcule o tempo médio de permanência das chamadas na central. Solução: a) Com um local de espera, pode-se ter 0, 1 ou 2 chamadas na central. As probabilidades de ocorrências dessas chamadas são dadas pela Eq. 5.43 e são:
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1 − A 1 − A L+ 2 Para k = 0, 1 - 0,6 0 1 − A = = 0,51 P 0 = A 3 L + 2 1 − A 1 - 0,6 P k = A k
Para k = 1, 1 - 0,6 1 1 − A = = 0,306 0 , 6 P 1 = A 3 L + 2 1 − A 1 - 0,6 Para k = 2, 2 1 − A 2 1 - 0,6 0 , 6 P 2 = A = = 0,184 3 L + 2 1 − A 1 - 0,6 O número médio de chamadas é dado por: . 1 + 1 P . 1 + 2 P . 2 E {k } = 0 P
= 1.0,306 + 2.0,184 = 0,674
Observe que este número é menor do que o valor encontrado no exemplo 5.5, pois acima de duas chamadas, elas são bloqueadas e não esperam na central. b) O teorema de Little é utilizado para resolver este item. O valor de λ é o mesmo que foi calculado no exemplo 5.5, e é 0,2 chms/min. O valor de P B = P 2 = 0,184. Portanto, E {k }
E {k }
0,674 = 4,13 minutos λ ef λ (1 − P − ) 0 , 2 ( 1 0 , 184 ) B Observe que o valor encontrado é, também, menor do que do exemplo 5.5, pois as chamadas bloqueadas não esperam na central, permitindo que as chamadas atendidas permaneçam menos tempo na central. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- E {T } =
=
=
Considere, agora, uma central com N troncos e infinitos locais de espera. É uma fila do tipo M/M/N. O diagrama de transição de estado é mostrado na Fig. 5.19 λ 0
λ 2
1
µ
λ
2µ
λ N
N-1 N µ
λ N+1
N µ
N+2
N µ
Figura 5.19 Diagrama de transição de estado para N troncos e locais de espera ilimitados. Para escrever as equações de equilíbrio, o diagrama pode ser dividido em duas partes: a) Para k ≤ N
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Pk ( kµ + λ ) = Pk −1λ + ( k + 1)µPk +1 e λ = P 1 µ P 0 A solução, neste caso, é igual a distribuição de Erlang, e é P k
=
A k
P0
k !
, k≤N
(5.46)
b) Para k ≥ N PN ( Nµ + λ ) = PN −1 λ + PN +1 Nµ ou λ λ = + − ( 1 ) P P P N −1 N N +1 µ µ N N Pela Eq. 5.46 P N vale P N
=
A N N !
(5.45)
(5.47)
P 0
Portanto, A N −1 A A N +1 A 1 + P − P P = P N +1 = N ! N 0 ( N − 1) ! N 0 N ! N 0 A N
A N +1 A A A N A N + 2 A A = P N +1 1 + − P N = P − P = P 1 + N N N 0 N N ! 0 N ! N 2 0 N ! N
PN + 2
M P k
=
Ak N ! N k − N
P 0 ,
k≥N
P 0 pode ser calculado através da
(5.48)
probabilidade total.
∞
∑ P = 1 k
k = 0
N −1
∞
A k
A k
∑ k ! + ∑ N ! N k = 0
1
k − N
k = N
∞
∑
A k
N ! k = N N k − N
=
1
∞
=
∑
1 P 0
A N A k − N
N ! k = N N k − N
∞
A = ∑ N ! k = N N A N
k − N
=
k − N = c ⇒ k = N ⇒ c = 0 ∞
c
1 A A N A , para = ρ < 1 = = ∑ N ! c = 0 N N ! 1 − A N N A N
A relação ( A / N) = ρ < 1 é a condição de estacionaridade do sistema.
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= N −1
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1 A k
∑ k !
(5.49)
A N
+
N !(1 − A N )
k = 0
Portanto,
A k k ! P 0 , k ≤ N P k = k A P , k ≥ N N!N k- N 0
(5.50)
A probabilidade de haver espera pode ser dada por: Pr {espera} = Pr {k ≥ N } =
∞
∑ P k
k = N
∞
∞ N N A P 0 = P 0 k-N N! k = N N k=N N!N
∑
=
Se z = k − N
=
A k
∑
k
⇒ k = z + N
N N N!
∞
P 0
z + N
A
∑ N
=
N N
z =0
N !
N
A
P 0 N
∞
z
A
(5.51)
∑ N
z =0
Portanto, Pr {espera} =
A N N
= P 0 E 2, N ( A) N ! N − A
A expressão acima é conhecida como fórmula de Erlang-C ou de 2 a espécie. O número médio de chamadas em espera no buffer é: ∞
{ } = ∑ (k − N ) P k
E N q
k = N +1
=
∞
A k
∑
(k-N) P k-N 0 N!N k=N+1 ∞
A = ( ) k − N ∑ − N N ! N N k = N +1 P 0
k
Efetuando a mudança de variável: k − N = z ⇒ k = z + N e se k = N + 1 ⇒ z = 1
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A = N ! N − N N P 0
= =
A N N ! A N
P 0
∞
A z ∑ N z =1
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z
A N
(1 − A N )
N
2
N
P 0
A
!4 N 4 N2−44 A 3 N − A N 1 E2 , N ( A )
Portanto,
{ }= E
2, N ( A)
E Nq
A N
(5.52)
−A
O tempo médio de espera no buffer pode ser calculado utilizando o teorema de Little.
{ }=
E W q
{ } = E
( A) λ µ E2, N ( A) = λ ( N − A) µ ( N − A)
E N q λ
2 , N
(5.53)
Em casos práticos, o tamanho do buffer não é infinito. Para um buffer finito, de tamanho L, é possível o cálculo da probabilidade de bloqueio. Inicialmente, o valor de P 0 é calculado, pela probabilidade total. N −1
A k
N + L
A k
∑ k ! + ∑ N ! N
=
N −1
k
k = 0
k − N
k = N
A k
N N N + L A
∑ k ! + N ! ∑ N k = 0
k = N
1 P 0 N −1
=∑ k = 0
L +1
1 − ( A N ) + 1− A N k ! N ! N
A k
N N A
N
=
1 P0
Ou, P 0
=
1 N −1
∑ k = 0
L +1
1 − ( A N ) + k ! N ! 1 − A N
A k
A N
(5.54)
A probabilidade de bloqueio pode ser calculada por: P B = Pr { N troncos e L locais ocupados / 1 chamada } = Pr { N troncos e L locais ocupados } = P N+L A N + L PB = P N + L = P (5.55) N ! N L 0
O valor de P 0, neste caso, é dado pela Eq. 5.54. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 5.7
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Um tráfego de 1 E é aplicado à uma central com 2 troncos de saída. O processo de chegada das chamadas é Poissoniano. A distribuição do tempo de conversação das chamadas é exponencial negativa de média 3 minutos. A central tem buffer de espera de tamanho ilimitado. a) Calcule o número médio de chamadas em espera no buffer . b) Calcule o tempo médio de espera das chamadas na central.
b).
c) Suponha que o tamanho do buffer seja limitado a 1 local de espera. Refaça os itens a) e
Solução: a) O número médio de chamadas na central é dado pela Eq. 5.52. O valor de N é 2, e o de A é 1.
{ }=E
E Nq
P 0
= N −1
2, N
( A)
E 2, N ( A) = P 0 , N − A N ! N − A
1 A k
A N N
A
A N
∑ k ! + N !(1 − A N ) k = 0
=
1 1k 12 + ∑ ! 2!(1 − 1 / 2) k k = 0 1
=
1 1 = 2 +1 3
12 2 1 1 E 2, N ( A) = P 0 = = 2! 1 3 3 N ! N − A Portanto, 11 1 A = = = 0,333 chamadas E { N q } = E 2, N ( A) N − A 3 1 3 A N N
b) O tempo médio de espera é dado pela Eq. 5.53. O valor de λ é (A / tm) = 1 / 3 E {W q } =
E N q λ
=
1/ 3 = 1 minuto 1/ 3
c) Com o buffer limitado a 1 local de espera, pode-se ter 0, 1, 2 e 3 chamadas na central. As probabilidades de ocorrência dessas chamadas são dadas pela Eq. 5.50.
A k k ! P 0 , k ≤ N P k = k A P , k ≥ N N! N k - N 0 P 0
e
P 0
1 = L +1 k N A A 1 − ( A N ) + ∑ N ! 1 − A N k = 0 k !
= N −1
=
1 N −1
∑ k = 0
L +1
1 − ( A N ) + k ! N ! 1 − A N
A k
A N
1 1 = = 0,36 2 k 2 1 2 0 , 75 + 1 1 1 − (1 / 2) + ∑ ! 2! 1 − 1 / 2 k k = 0
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P k
=
A k k !
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P 0 , k ≤ N
k = 0
10 P 0 = 0,36 = 0,36 0! k = 1 11 P 1 = 0,36 = 0,36 1! k = 2 12 P 2 = 0,36 = 0,18 2! k = 3 A k P k = P , k ≥ N N! N k - N 0 13 0,36 = 0,09 P 3 = 2!23-2 O número médio de chamadas em espera é dado por: E { N q } =
N + L
3
∑ (k − N ) P = ∑ (3 − 2) P = 0,09 chamadas 3
k
k = N +1
3
O número médio de chamadas na central é: E{N} = 1.P 1 + 2.P 2 + 3.P 3 = 0,36 + 2.0,36 + 3.0,09 = 1,35 chamadas
O tempo médio de espera pode ser calculado pelo teorema de Litlle. O valor de λ já foi calculado, e é igual a 1/3. A probabilidade de bloqueio pode ser calculada pela Eq. 5.55, e é igual a P 3. Portanto, 0,09 0,09 0,27 = = = 0,30 minutos 1 λ ef λ (1 − P ) 0 , 91 B x0,91 3 O tempo médio de permanência das chamadas na central é:
E {W q } =
E N q
E { N }
=
1,35 1,35 4,05 = = = 4,45 minutos 1 ) 0 , 91 λ ef λ (1 − P B x0,91 3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- E {T } =
=
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 5.8 109
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Uma empresa de cartão de credito tem uma central PABX digital. A central tem um certo número de mesa de atendentes para clientes do tipo 0800 e um certo número de telefones comuns. O tráfego total esperado, para os atendentes e para os telefones comuns, é 5 E. a) Supondo uma central sem espera, calcule o número de troncos bidirecionais necessários para satisfazer uma qualidade de serviço de 4%. b) Suponha que 1 E do tráfego escoado é direcionado para os atendentes. Supondo que a central permita até 3 chamadas em espera e, que a qualidade de serviço exigida seja de 2%, calcule o número de atendentes necessários. Solução: a) Este item está relacionado com o dimensionamento de troncos de entrada/saída para atendimento adequado de todos os telefones. Utilizando a tabela de Erlang do apêndice A, para A = 5 e P B = B = 0,04, o valor sobreestimado de N é 9 troncos. b) Para dimensionar o número de atendentes, deve-se considerar que os atendentes são equivalentes a troncos e que um tráfego de 1 E é aplicado. Além disso, a central, neste caso, opera com espera de até 3 chamadas. Nessas condições, a Eq. 5.55 pode ser utilizada. A solução, aqui proposta, é resolver através de aproximações sucessivas. Pela tabela de Erlang do apêndice A, para A = 1 e P B = B = 0,02, o valor de N é igual a 4. Se não houvesse chamada em espera, seriam necessários 4 atendentes. Mas, como há a espera, o número de atendentes pode ser menor. Supondo N = 3 atendentes, é verificado se a probabilidade de bloqueio satisfaz a aquela exigida. Para N = 3, tem-se: P 0
1 1 1 1 = = = L + 1 4 2 k 2,5 + 0,25 2,75 1 13 1 − (1 / 3) A k A N 1 − ( A N ) + + ∑ ∑ 3! 1 − 1 / 3 N ! 1 − A N k = 0 k ! k = 0 k !
= N −1
A probabilidade de bloqueio é dada pela Eq. 5.55. P B
= P N + L
A N + L
16 1 = = 0,002245 P 0 = 3!33 2,75 N ! N L
O valor de P B encontrado é subestimado. Dessa maneira, pode-se verificar se o valor de N = 2, satisfaz a probabilidade exigida. Para N = 2, tem-se: P 0
1 = L +1 A k A N 1 − ( A N ) + ∑ N ! 1 − A N k = 0 k !
= N −1
1 1 = 4 1 2,94 1k 12 1 − (1 / 2) + ∑ 2! 1 − 1 / 2 k = 0 k !
e A N + L
16 1 = 0,0212 P P 0 = B = P N + L = 2!2 3 2,94 N ! N L O valor P B encontrado está muito próximo da qualidade exigida. Entretanto, se a qualidade exigida deve ser estritamente inferior aos 2 %, deve-se utilizar 3 atendentes. Para uma exigência branda, pode-se utilizar 2 atendentes. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------110
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REFERÊNCIAS 1. D. Bear, " Principles of Telecommunication Traffic Engineering", Peter Peregrinus LTD., England, 1976. 2. L. Kleinrock, "Queueing Systems Volume 1: Theory", John Wiley & Sons, 1975. 3. J. E. Flood, "Telecommunications Switching, Traffic and Networks", Prentice Hall, 1995.
EXERCÍCIOS 5.1 Em uma hora de maior movimento (HMM), uma empresa faz 120 chamadas telefônicas de duração média de 2 minutos em ligações externas e recebe 200 chamadas de duração média de 3 minutos. a) Qual é a intensidade de tráfego de saída? b) Qual é a intensidade de tráfego de entrada? c) Qual é o tráfego total? d) Qual é o número médio de chamadas por tempo médio de conversação? Calcule para os tráfegos de entrada e de saída. 5.2 Uma central PABX possui 3 terminais telefônicos e 1 tronco de saída. Suponha que cada telefone tenha uma probabilidade p = 0,5 de fazer uma ligação externa. a) Determinar a probabilidade de ocorrer i chamadas, onde i = 0, 1, 2, 3. b) Determinar o número médio de ocorrências de chamadas. c) Determinar o número médio de chamadas bloqueadas. d) Determinar o número médio de chamadas atendidas. e) Determinar a probabilidade de bloqueio. 5.3 Suponha para o Ex. 5.2, que a central PABX possui dois tronco de saída. Refaça os ítens c), d) e e). 5.4 Suponha para o Ex. 5.2, que a central PABX possui n terminais telefônicos. Escreva a expressão geral para a probabilidade de ocorrer i chamadas, onde i = 0, 1, 2, .... n. 5.5 Seja uma central PABX em que as chegadas das chamadas obedecem a uma distribuição poissoniana com uma taxa de 0,5 chamadas/min. a) Qual é a probabilidade de 0 chegadas em um intervalo de 5 minutos? b) Qual é a probabilidade de 2 chegadas em um intervalo de 5 minutos? 5.6 Seja uma central PABX em que os terminais telefônicos são divididos em dois conjuntos. Um conjunto gera chamadas obedecendo a uma distribuição poissoniana de taxa 1 chamada/seg. O outro conjunto gera chamadas obedecendo a uma distribuição exponencial negativa com média igual a 4 segundos. a) Qual é a probabilidade de que em um intervalo de 2 segundos não haja nenhuma chamada chegando à central? 111
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5.7 Um tráfego de 2 E é aplicado à uma central com 3 troncos de saída e infinitos enlaces de entrada. O processo de chegada das chamadas é Poissoniano. A distribuição do tempo de conversação das chamadas é exponencial negativa de média 3 minutos. O sistema é sem espera. a) Qual é o número médio de chamadas aplicadas por hora? b) Qual é a probabilidade de que nenhuma chamada seja aplicada durante o período de 2 minutos? c) Qual é a probabilidade de que 2 troncos estejam ocupados? d) Qual é a probabilidade de que 2 troncos estejam livres? e) Qual é a probabilidade de bloqueio? f) Quais são as proporções de tráfego escoado e perdido? g) Qual é o número médio de chamadas na central? h) Qual é o tempo médio de permanência das chamadas na central? 5.8 Seja uma central com 2 troncos de saída e sem espera. A taxa de chegada das chamadas é λ = 3 chamadas/min (Poisson). O tempo médio de conversação é 3 minutos (exponencial negativa). Seja o seguinte tipo de encaminhamento de chamada: Se os dois troncos estiverem livres, escolhe-se um tronco aleatoriamente, com probabilidade p = 0,5. Se um estiver ocupado, o outro é ocupado sem escolher. a) Desenhe o diagrama de transição de estado bidimensional. b) Escreva e resolva as equações de equilíbrio. c) Calcule a probabilidade de bloqueio e compare com aquela obtida pela fórmula de Erlang. 5.9 Seja uma central com 2 troncos, numerados de 1 e 2, e sem espera. A taxa de chegada das chamadas é λ = 3 chamadas/min. (Poisson). O tempo de conversação é 3 minutos (exponencial negativa). Seja o seguinte tipo de encaminhamento de chamada: O tronco 1 é sempre escolhido em primeiro lugar. O tronco 2 é utilizado somente se o tronco 1 estiver ocupado. a) Desenhe o diagrama de transição de estado bidimensional. b) Escreva as equações de equilíbrio. c) Calcule a probabilidade de bloqueio e compare com as probabilidades obtidas no Ex. 5.10 Os troncos de uma PABX são divididos em dois grupos. Um grupo é utilizado somente para receber chamadas externas; o outro grupo é utilizado somente para fazer chamadas externas. A taxa de chamadas que entram é 120 chamadas por hora, tendo cada chamada uma duração média de 4,5 minutos; a taxa de chamadas que saem é 180 chamadas por hora com duração média de 3 minutos. A qualidade de serviço ou a probabilidade de bloqueio exigida é de 2%, a) Quantos troncos são necessários para atender as chamadas que entram e que saem? Supondo agora que os troncos são bidirecionais, isto é, os troncos podem receber ou fazer chamadas b) Quantos troncos são necessários para atender todas as chamadas e satisfazer a mesma qualidade de serviço? c) Comente os resultados obtidos. 5. 11 A central PABX de uma empresa tem 1 tronco. A central opera sem espera. Na medição feita durante a hora de maior movimento, foi constatado que a utilização do tronco foi de 25%. a) Qual é a probabilidade de bloqueio? b) Quantos troncos devem ser adicionados para se ter uma qualidade de serviço de 5%? 112
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5.12 A central PABX de uma empresa tem 1 tronco. A central opera com 1 chamada em espera. Na medição feita durante a hora de maior movimento, foi constatado que a utilização do tronco foi de 25%. a) Qual é a probabilidade de bloqueio? b) Quantos troncos devem ser adicionados para se ter uma qualidade de serviço de 5%? 5.13 Seja uma central com dois enlaces de saída. O buffer de espera na central possui somente um lugar de espera. O processo de geração das chamadas obedece a uma distribuição de Poisson de média λ e a distribuição do tempo de conversação das chamadas é exponencial negativa de média 1/µ. a) Desenhe o diagrama de transição de estado. b) Escreva as equações de equilíbrio. c) Calcule o número médio de chamadas na central. d) Calcule a probabilidade de bloqueio. e) Calcule o tempo médio de espera das chamadas na central. 5.14 Seja uma central com dois troncos de saída e infinitos enlaces de entrada. O buffer de espera na central possui 3 locais de espera. O processo de geração das chamadas obedece a uma distribuição de Poisson de média λ = 1 chamada/seg e a distribuição do tempo de conversação das chamadas é exponencial negativa de média (1/ µ) = 1 seg. a) Desenhe o diagrama de transição de estado. b) Escreva as equações de equilíbrio. c) Calcule a probabilidade de bloqueio. 5.15 Seja uma central com um tronco de saída e infinitos enlaces de entrada. O buffer de espera na central possui 5 locais de espera. O processo de geração das chamadas obedece a uma distribuição de Poisson de média λ = 0,5 chamdas/seg e a distribuição do tempo de conversação das chamadas é exponencial negativa de média (1/ µ) = 1 seg. a) Desenhe o diagrama de transição de estado. b) Escreva as equações de equilíbrio. c) Calcule a probabilidade de bloqueio. 5.16 Uma empresa de cartão de crédito tem uma central PABX digital. A central tem um certo número de mesa de atendentes para clientes do tipo 0800 e uma certa quantidade de telefones comuns. O tráfego total esperado é 10 E. a) Quantos troncos bidirecionais são necessários para satisfazer uma qualidade de serviço de 5%, supondo sem espera? b) Suponha que 1 E do tráfego escoado é direcionado para os atendentes. Supondo que a central permite somente uma chamada em espera e, que se exige uma qualidade de serviço de 5%, quantos atendentes são necessários?
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Apêndice A Tabela de Erlang A tabela abaixo foi desenvolvida utilizando a Eq. 5.29. B = E 1, N ( A) =
AE 1, N −1 ( A) N + AE 1, N −1 ( A)
, E 1,0 = 1
N B=0.001 B=0.002 B=0.003 B=0.004 B=0.005 B=0.01 B=0.02 B=0.03 B=0.04 B=0.05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
0.001 0.046 0.194 0.439 0.762 1.146 1.579 2.051 2.558 3.092 3.651 4.231 4.831 5.446 6.077 6.722 7.378 8.046 8.724 9.412 10.108 10.812 11.524 12.243 12.969 13.701 14.439 15.182 15.93 16.684 17.442 18.205 18.972 19.745 20.517 21.296 22.078 22.864 23.652
0.002 0.065 0.249 0.535 0.900 1.325 1.798 2.311 2.855 3.427 4.022 4.637 5.270 5.919 6.582 7.258 7.946 8.644 9.351 10.068 10.793 11.525 12.265 13.011 13.763 14.522 15.285 16.054 16.828 17.606 18.389 19.176 19.966 20.761 21.559 22.361 23.166 23.974 24.785
0.003 0.081 0.289 0.602 0.995 1.447 1.946 2.484 3.053 3.648 4.266 4.904 5.559 6.229 6.913 7.609 8.316 9.034 9.761 10.496 11.239 11.989 12.747 13.510 14.280 15.055 15.835 16.620 17.410 18.204 19.002 19.805 20.611 21.421 22.234 23.050 23.870 24.692 25.518
0.004 0.094 0.321 0.656 1.069 1.542 2.061 2.618 3.206 3.819 4.455 5.109 5.781 6.467 7.167 7.878 8.600 9.332 10.073 10.823 11.580 12.344 13.114 13.891 14.673 15.461 16.254 17.051 17.853 18.660 19.470 20.284 21.102 21.923 22.748 23.575 24.406 25.240 26.076
0.005 0.105 0.349 0.701 1.132 1.622 2.158 2.730 3.333 3.961 4.610 5.279 5.964 6.663 7.376 8.100 8.834 9.578 10.331 11.092 11.860 12.635 13.416 14.204 14.997 15.795 16.598 17.406 18.218 19.034 19.854 20.678 21.505 22.336 23.169 24.006 24.846 25.689 26.534
0.010 0.153 0.456 0.869 1.361 1.909 2.501 3.128 3.783 4.461 5.600 5.876 6.607 7.352 8.108 8.875 9.652 10.437 11.230 12.031 12.838 13.651 14.471 15.295 16.125 16.959 17.797 18.640 19.487 20.337 21.191 22.048 22.909 23.772 24.638 25.507 26.379 27.253 28.129
0.020 0.224 0.602 1.092 1.657 2.276 2.935 3.627 4.345 5.084 5.842 6.615 7.402 8.200 9.010 9.828 10.656 11.491 12.333 13.182 14.036 14.896 15.761 16.631 17.505 18.383 19.265 20.150 21.039 21.932 22.827 23.725 24.626 25.529 26.435 27.343 28.254 29.166 30.081
0.031 0.282 0.715 1.259 1.875 2.543 3.250 3.987 4.748 5.529 6.328 7.141 7.967 8.809 9.650 10.505 11.368 12.238 13.115 13.997 14.885 15.778 16.676 17.577 18.483 19.392 20.305 21.221 2 2.14 23.062 23.987 24.914 25.844 26.776 27.711 28.647 29.585 30.526 31.468
0.042 0.333 0.812 1.399 2.057 2.705 3.510 4.283 5.080 5.895 6.727 7.572 8.430 9.298 10.175 11.059 11.952 12.850 13.755 14.665 15.581 16.501 17.425 18.353 19.284 20.219 21.158 22.099 23.043 23.990 24.939 25.890 26.844 27.800 28.758 29.718 30.680 31.643 32.608
0.530 0.381 0.899 1.525 2.219 2.960 3.738 4.543 5.370 6.216 7.076 7.950 8.835 9.730 10.633 11.544 12.461 13.385 14.315 15.249 16.189 17.132 18.080 19.031 19.985 20.943 21.904 22.867 23.833 24.802 25.773 26.746 27.721 28.698 29.677 30.657 31.640 32.624 33.609
B=0.1 B=0.15 B=0.2 B=0.25 B=0.3 0.111 0.595 1.271 2.045 2.881 3.758 4.666 5.597 6.546 7.5 11 8.487 9.474 10.470 11.474 12.484 13.500 14.522 15.548 16.579 17.613 18.651 19.693 20.737 21.784 22.833 23.885 24.939 25.995 27.053 28.113 29.174 30.237 31.301 32.367 33.434 34.503 35.572 36.643 37.715
0.177 0.796 1.603 2.501 3.454 4.445 5.461 6.498 7.551 8.616 9.691 10.776 11.867 12.965 14.068 15.176 16.289 17.405 18.525 19.648 20.773 21.901 23.031 24.164 25.298 26.435 27.572 28.712 29.853 30.995 32.138 33.283 34.429 35.576 36.723 37.872 39.022 40.127 41.323
0.250 1.000 1.930 2.945 4.010 5.109 6.230 7.369 8.522 9.685 10.857 12.036 13.222 14.413 15.608 16.807 18.010 19.216 20.424 21.635 22.848 24.064 25.281 26.499 27.720 28.941 30.164 31.388 32.614 33.840 35.067 36.295 37.524 38.754 39.985 41.216 42.448 43.680 44.913
0.333 1.215 2.270 3.403 4.581 5.790 7.018 8.262 9.518 10.783 12.055 13.333 14.617 15.905 17.197 18.492 19.790 21.090 22.392 23.697 25.003 26.311 27.621 28.931 30.243 31.556 32.870 34.185 35.501 36.817 38.135 39.453 40.771 42.091 43.410 44.731 46.052 47.373 48.695
0.429 1.449 2.633 3.891 5.189 6.514 7.856 9.213 10.579 11.953 13.333 14.719 16.109 17.503 18.899 20.299 21.700 23.104 24.510 25.917 27.325 28.735 30.146 31.558 32.971 34.385 35.799 37.215 38.630 40.047 41.464 42.882 44.300 45.719 47.138 48.557 49.977 51.397 52.818
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Prof. Motoyama
1º Semestre 2004
N B=0.001 B=0.002 B=0.003 B=0.004 B=0.005 B=0.01 B=0.02 B=0.03 B=0.04 B=0.05 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
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