ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO La teoría de las ecuaciones en diferencias subraya todos los métodos de series de tiempo empleados en los últimos capítulos de este texto. Es justo decir que la econometría de series de tiempo es la preocupación por la estimación de las ecuaciones diferenciales que contienen componentes estocásticos. El uso tradicional de análisis de series de tiempo era para pronosticar el camino de la variable en equipo. El descubrimiento de la ruta dinámica de la serie mejora pronósticos predecibles puesto que los componentes de la serie se pueden extrapolar en el futuro futuro.. El crecien creciente te interé interéss por la dinámi dinámica ca económ económica ica ha dad dadoo un nue nuevo vo énfasis énfasis a la econometría econometría de series series de tiempo. Las ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales estocástic estocásticas as se levantan levantan muy naturalmente a partir de modelos económicos dinámicos. Estimando apropiadamente ecuaciones pueden usarse para la interpretación de los datos económicos y para las pruebas de hipótesis. Los objetivos de este capítulo de introducción son los siguientes: 1. Expl Explic icar ar cómo cómo las las ecua ecuaci cion ones es dife difere renc ncia iales les esto estocá cást stica icass se pued pueden en util utiliz izar ar para para el pronóstico y para ilustrar cómo estas ecuaciones pueden derivarse de los modelos económicos familiares. El capítulo no significa ser un tratado sobre la teoría de ecuaciones en diferencias. Sólo que esas técnicas son esenciales para la estimación adecuada de los modelos de series de tiempo tiempo lineales. lineales. Este capítu capítulo lo se centra centra en los modelo modeloss de ecuaci ecuación ón única: única: los modelo modeloss multivariables se consideran en el capítulo 5 y 6. 2. Explicar Explicar lo que signif significa ica “resolver “resolver”” la ecuació ecuaciónn en difere diferencias. ncias. La solución solución va a determ determinar inar si una variable variable tiene un equipo equipo estable o un camino explosivo. explosivo. El cono conocimien cimiento to de las condiciones de estabilidad es esencial para entender la reciente innovación en la econometría de series de tiempo. La literatura de series contemporáneas presta especial atención a la cuestión de las variables estacionarias contra las no estacionarias. Las condiciones de estabilidad subrayan las condiciones de estacionariedad. 3. Demostrar Demostrar cómo encontrar encontrar la solución solución a una una ecuació ecuaciónn diferenci diferencial al estocástic estocástica. a. Hay varias técnicas diferentes que se puede utilizar, cada uno tiene sus propios méritos. Algunos ejemplos se presentan para ayudar a comprender los diferentes métodos. Trate de trabajar a través de cada ejemplo ejemplo atentamente. atentamente. Para practicar practicar más, debe usted completar los ejercicios ejercicios al final final del capítulo. 1. MODE MODELO LOS S DE SER SERIE IES S DE TIE TIEMP MPO O La tarea de la econometría moderna de series de tiempo es bastante simple para desarrollar modelos capaces de predicción, interpretación y probar hipótesis sobre los l os datos económicos. El reto ha crecido con el tiempo, el uso original de análisis de series de tiempo fue toda una ayuda a la previsión. En tal sentido, se desarrolló la metodología para descomponer la serie en una tendencia, estacionalidad, ciclo y un componente irregular. Descubriendo la ruta dinámica de la serie mejora la precisión del pronóstico, ya cada uno de los componentes predecibles se puede extrapolar hacia el futuro. Supongamos que se observan los 50 puntos de datos que se muestran en la Figura 1.1 y se está interesado en la predicción de los valores siguientes.
1
ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO
Mediante el uso de los métodos de series de tiempo analizados en los siguientes capítulos, es posible descomponer esta serie en la tendencia, componentes estacionales e irregulares que se muestran en la parte inferior de la figura. Como puede verse, la tendencia cambia la media de la serie y el componente estacional imparte un patrón cíclico regular con picos que ocurren cada 12 unidades de tiempo. En la práctica, los componentes de tendencia y estacionalidad no serán las funciones deterministas simples mostradas en la figura. Con los datos económicos, es típico encontrar una serie que contiene elementos estocásticos en las tendencias, la estacionalidad y los componentes irregulares. Por el momento, es aconsejable dejar de lado estas complicaciones, de manera que la proyección de la tendencia y componentes estacionales en 51 periodos y más allá sea sencilla. Observe que el componente irregular, mientras que no tiene un patrón bien definido, es algo predecible. Si examinamos la cifra de cerca, se podrá ver la cola de valores positivos y negativos que se producen en tiradas, la aparición de un gran valor en un periodo tiende a ser seguida por otro gran valor. Previsiones a corto plazo harán uso de esta correlación positiva en el componente irregular. Durante todo el período, sin embargo, el componente irregular exhibe una tendencia a volver a cero. Los que se muestran en la parte inferior de la figura, la proyección de la componente irregular pasada el período 50 decae rápidamente hacia cero. El pronóstico en general, se muestra en la parte superior de la figura, es la suma de cada componente previsto. La metodología general que se utiliza para hacer tal previsión implica la búsqueda de la “ecuación del movimiento” la conducción de un proceso estocástico y el uso de la ecuación cola para predecir los resultados posteriores. Digamos que Y t denota el valor del punto de datos en el período t , si usamos esta notación, el ejemplo de la figura 1.1 se asumió observado Y t través Y 50. para t = 1 a 50, las ecuaciones de movimiento utilizadas para construir componentes de la serie Y t: son: Tendencia: Estacionalidad: Irregular: Donde: es el valor del componente tendencia en el período t . es el valor de la componente estacionalidad en t . es el valor de la componente irregular en t . Por lo tanto, la alteración irregular en t es el 70% de perturbación irregular del período más un término de perturbación aleatoria.
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ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO Cada uno de las tres ecuaciones es del tipo de ecuación en diferencias. En su forma más general, la ecuación en diferencia expresa el valor de una variable como una función de sus propios valores rezagados, tiempo y otras variables. La tendencia y estacionalidad, ambos términos son funciones del tiempo y el término irregular es una función de su propio valor rezagado y ϵt variable estocástica. La razón de introducir este conjunto de ecuaciones es hacer el punto que la econometría de series de tiempo es la preocupación por la estimación de ecuaciones en diferencias que contienen componentes estocásticos. Las series de tiempo econométricas pueden estimar las propiedades de una serie simple o un vector que contiene varias series interdependientes. Tanto los métodos de pronósticos univariados y los multivariados son presentados en el presente texto. Aunque la previsión era la base del análisis de las series de tiempo, la creciente importancia de la dinámica económica ha generado nuevos usos para las ecuaciones en diferencias de series de tiempo. Muchas teorías económicas tienen representaciones naturales como las ecuaciones estocásticas en diferencia. Por otro lado, muchos de esos modelos tienen implicaciones testeable relativas a la trayectoria del equipo de la variable económica clave. Consideremos tres ejemplos. 1. La Hipótesis del Random Walk : En su forma más simple, el modelo del random walk sugiere que el cambio día a día de los precios de un stock debería tener una media de cero. Después de todo, se sabe que la plusvalía se puede hacer mediante la compra de una participación en el día t y venderlo para un beneficio esperado al día siguiente, la especulación eficiente hará subir el precio actual. Del mismo modo, nadie va a querer conservar las acciones si se espera que se deprecien. Formalmente, el modelo afirma que el precio de la acción debe evolucionar de acuerdo a la ecuación diferencial estocástica: Donde: : el precio de una parte de la acción en el día t . : es el término del error aleatorio tiene un valor esperado de cero. Consideremos ahora la ecuación en diferencia estocástica a nivel general: La hipótesis del random walk requiere la restricción contrastable
.
Rechazando esta restricción es equivalente a la rechazar la teoría. Dada la información disponible en el período t , la teoría requiere que también la media de sea igual a cero; la evidencia que es predecible invalida la hipótesis del random walk. Una vez más, la estimación adecuada de un modelo de una sola ecuación se considera en el Capítulo 2 al 4. 2. Reducir las formas y Ecuaciones Estructurales: A menudo, es útil para colapsar el sistema de ecuaciones en diferencia en los modelos de ecuación única separados. Para ilustrar las cuestiones clave del proceso, considere una versión estocástica del modelo clásico de Samuelson (1939): (1.1) (1.2) (1.3) Donde
es el Producto Bruto Nacional real el período t ;
es el consumo el período t ; es la inversión el período t . 3
ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO
En este modelo Keynesiano período anterior términos
y
y
,
e
son las variables endógenas. El PBI y el consumo del
se llaman predeterminados o rezagos de la variable endógena. Los
tienen media cero las perturbaciones aleatorias para el consumo y la inversión
y los coeficientes y son los parámetros a estimar. La primera ecuación es igual a la producción agregada (PBI) con la suma del consumo y el gasto de inversión. La segunda ecuación afirma que el gasto de consumo es proporcional a los ingresos del ejercicio anterior más un término de perturbación aleatoria. La tercera ecuación ilustra el principio del acelerador. El gasto de inversión es proporcional al cambio en el consumo; la idea es que el crecimiento en el consumo exige un nuevo gasto en inversión. El término del error y representan la porción del consumo y de la inversión no explicada por las ecuaciones de comportamiento del modelo. La ecuación es una ecuación estructural ya que expresa que la variable endógena es dependiente de la realización actual de otra variable endógena . Una forma reducida de la ecuación es otra que expresa el valor de la variable en términos de sus propios rezagos, rezago de otras variables endógenas, valores actuales o pasados de las variables exógenas, y del término de la perturbación. Como se ha formulado, la función del consumo se usa en forma reducida; el consumo actual depende sólo de los rezagos del ingreso y el valor actual del término de error estocástico . La inversión no se usa en forma reducida ya que depende del consumo del periodo actual. Para derivar una ecuación de la forma reducida para la inversión, sustituir la ecuación en la ecuación de la inversión para obtener.
Observe que la ecuación de forma reducida para la inversión no es única. Se puede rezagar un periodo para obtener podemos escribir la ecuación de inversión reducida de manera:
. Con esta expresión, también
(1.5) De forma similar, una forma reducida de la ecuación para el PBI puede obtenerse sustituyendo y
en
:
La ecuación anterior es la forma reducida de una ecuación univariada; es expresado únicamente como una función de sus propios rezagos y del término de la perturbación. El modelo univariado es útil para pronosticar particularmente, ya que le permite predecir la serie únicamente sobre la base de sus propias realizaciones actuales y pasadas. Una vez que obtenga estimaciones de α y β, es sencillo de utilizar los valores observados de a través de
para predecir los valores futuros de la serie (por ejemplo,
4
).
ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO
3. Corrección del error: Precio Futuro y precio corriente: Algunos productos e instrumentos financieros puede ser comprados y vendidos en el mercado spot 1 para entrega inmediata o para la entrega en una fecha futura determinada. Por ejemplo, supongamos que el precio de una moneda extranjera en particular en el mercado spot es st dólares y el precio de la moneda para la entrega de un período en el futuro es f t dólares. Ahora, consideremos un especulador que ha adquirido a plazo de divisas los precios f t dólares por unidad. Al comienzo del período t +1, el especulador recibe la moneda y paga dólares por unidad recibida. Aún el tipo de cambio extranjero puede ser vendido como st+1. La hipótesis tipo imparcial a plazo afirma que los beneficios esperados de tales comportamientos especulativos deben ser cero. Formalmente, la hipótesis postula la siguiente relación entre las tasas de cambio a plazo y al contado: Donde tiene un valor medio de cero desde la perspectiva del periodo de tiempo t . en la ecuación anterior, la tasa a futuro en t es una estimación no sesgada del tipo de cambio spot en t +1. Así, supongamos que ha recopilado datos de los dos tipos y se estima la regresión: Si podemos concluir que y los residuos de la regresión tienen un valor medio de cero en t , la hipótesis sesgada a plazo podría mantenerse. Los mercados actuales y de futuros se dice que están en "equilibrio a largo plazo", cuando . Siempre resulta diferir de por algún tipo de ajuste que debe ocurrir para restaurar el equilibrio en el período siguiente. Consideremos el proceso de ajuste:
Donde
y
son los valores medios de cero en el período t+1 y t respectivamente.
La ecuación y la demuestran los mecanismos de ajustes simultáneos. El modelo dinámico es llamado modelo de corrección del error ya que el movimiento de las variables en cualquier período se relaciona con la brecha del período anterior de equilibrio a largo plazo. Si la tasa de cambio actual resulta ser igual a la de futuro y indican que se espera que tasa de cambio actual y la de plazo permanezcan sin cambios. Si existe una brecha positiva entre la tasa de cambio actual y la de plazo de modo que y conducen a la predicción de que la tasa de cambio actual caerá y la tasa a futuro se elevará. 2. ECUACIONES EN DIFERENCIA Y SUS SOLUCIONES Aunque muchas de las ideas expuestas en la sección anterior eran probablemente familiares es necesario formalizar algunos de los conceptos utilizados. En esta sección, examinaremos las ecuaciones en diferencia utilizado en el análisis econométrico y explicitar lo que significa para 1
El precio spot o precio corriente de un producto, de un bono o de una divisa es el precio que es pactado para transacciones (compras o ventas) de manera inmediata. Este precio es lo contrario al precio futuro o forward price, donde los contratos se realizan ahora, pero la transacción y el pago ocurrirán en una fecha posterior. Los precios corrientes son calculados por medio de un método que usa los precios de los instrumentos operados en el mercado, obtenidos del efectivo de la curva del cupón. El resultado es la curva de precio corriente, que existe por cada uno de los diversos instrumentos que cotizan en los distintos mercados. 5
ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO “resolver” estas ecuaciones. Examinamos la siguiente ecuación en diferencia
. Si
evaluamos la función cuando la variable independiente t toma el valor específico , obtenemos un valor específico para la variable dependiente denominada . Si usamos la misma notación,
representa el valor de Y cuando t toma el valor específico
, la primera
diferencia de “ y” se define como el valor de la función cuando se evaluó en valor de la función evaluada en :
menos el
El cálculo diferencial permite el cambio en la variable independiente para acercarse a cero. Como la mayoría de los datos económicos se recogen durante períodos discretos, es más útil permitir que la longitud del período de tiempo que sea mayor que cero. Utilizando ecuaciones en diferencias se normalizan las unidades para que “ h” represente un cambio unitario en “t ” y considerar la secuencia de valores equidistantes de la variable independiente. Sin pérdida de generalidad, que siempre se puede caer el asterisco en . Entonces podemos formar las primeras diferencias:
A
menudo, será
conveniente
para
como
expresar
toda
la
secuencia
de valores
. A continuación, puede hacer referencia a cualquier
valor particular en la secuencia . A menos que se especifique, el índice de “t ” se extiende desde - ∞ a + ∞. En los modelos econométricos de series de tiempo, vamos a utilizar "t " para representar “el tiempo”, una “h” de la longitud de un período de tiempo. Por lo tanto, e podrían representar las realizaciones de la secuencia en el primer y segundo trimestre de 1995, respectivamente. De la misma manera, se puede formar la segunda diferencia como el cambio en la primera diferencia. Considerar
La diferencia n-ésima se define de forma análoga. En este punto, nos arriesgamos a tomar la teoría de ecuaciones en diferencias demasiado lejos. Como se verá, la necesidad de utilizar segundas diferencias rara vez surge en el análisis de series de tiempo. Es seguro decir que las terceras diferencias y de orden superior no se utilizan. Este texto considera métodos de series de tiempo lineales, es posible examinar sólo el caso especial de una ecuación lineal en diferencias de orden “n” con coeficientes constantes. La forma para este tipo especial de la ecuación diferencial es
(1.10) El orden de la ecuación en diferencia es dado por el valor de “n”. La ecuación es lineal porque todos los valores de la variable dependiente están elevados a la primera potencia. La teoría 6
ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO económica puede determinar los casos en que los diversos “ ” son funciones de las variables dentro de la economía. Sin embargo, siempre y cuando no dependan de cualquiera de los valores de “ ” o “ ”, los podemos considerar como parámetros. El término “ ” se denomina proceso de forzar. La forma de forzar el proceso puede ser muy general; “ ”, puede ser cualquier función del tiempo, los valores actuales y rezagados de otras variables, y / o las perturbaciones estocásticas. Mediante la elección apropiada del proceso forzado, se puede obtener una amplia variedad de importantes modelos macroeconómicos. Examinemos de nuevo la ecuación (1.5), la ecuación de forma reducida porción del PBN. Esta ecuación es una ecuación diferencial de segundo orden, ya que “ ” depende “ ”. El proceso forzado es la expresión
. Podemos notar que (1.5) no tiene término de intercepto.
Vemos que
no tiene término de
intersección correspondiente a la expresión “ ” en Un caso especial e importante para la secuencia
Donde los
son constantes (algunos de los cuales pueden ser iguales a cero) y el elemento
individual de la secuencia secuencia
es:
no son funciones de “ ”. En este punto, es útil permitir que la
sea nada más que una secuencia de variables exógenas no especificadas. Por
ejemplo, digamos que
es un término de error aleatorio y que
entonces la ecuación
Tenemos a “n=1,
,
se convierte en una ecuación autorregresiva:
y
ecuación (Δ). Restando
y
para obtener el Modelo de random walk. Notemos que la se puede escribir en términos del operador de diferencia
a partir de
O definiendo
obtenemos:
, obtenemos
Claramente, la ecuación
es una versión modificada de .
Una solución de una ecuación de diferencia expresa el valor de “ ” como una función de los elementos de la secuencia
y “t ” (y, posiblemente, algunos valores dados de la “ ”
secuencia llamada condiciones iniciales). Examinando queda claro que hay una fuerte analogía con el cálculo integral cuando el problema es encontrar una función primitiva de una derivada dada. 7
ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO Tratamos de encontrar la función primitiva
dada una ecuación expresada en forma de
y . Hay que tener en cuenta que una solución es una función en lugar de un número. La propiedad clave de una solución que satisface la ecuación en diferencias para todos los valores admisibles de “t ” y . Por lo tanto, la sustitución de una solución en la ecuación de diferencia debe resultar en una identidad. Por ejemplo, consideremos la ecuación en diferencia simple (ó ). Podemos verificar fácilmente que la solución de esta ecuación en diferencia es una constante cualquiera. Por definición, si valores posibles de “t ”. Esto es, para el periodo , ecuación en diferencia de la siguiente manera:
, donde “c” es
es una solución, debe ser para todos los . Ahora, sustituyendo la solución en la
Es sencillo con el álgebra verificar que es una identidad. Este sencillo ejemplo ilustra también que la solución de una ecuación de diferencia no tiene que ser única, no es una solución para cualquier valor arbitrario de “c” Otro ejemplo útil es proporcionado por el término irregular que se muestra en la Figura 1.1; recordando que la ecuación para esta expresión es . Puede comprobarse que la solución a esta ecuación de primer orden es:
La ecuación componente irregular en
vale para todos los períodos de tiempo, el valor de la está dada por:
Ahora, sustituyendo obtenemos:
y
en
,
Los dos miembros de la ecuación son idénticos; esto demuestra que una solución de primer orden de la ecuación en diferencia estocástica
es .
La combinación de estas dos ecuaciones:
La ecuación es una ecuación de forma reducida ya que expresa “ ” en términos de sus propios rezagos y en términos de la perturbación. Sin embargo, la ecuación no califica como una solución, ya que contiene el valor “desconocido” de “
”. Para calificar como una solución,
debe expresar “ ” en cuanto a los elementos de “ ”, y las condiciones iniciales dadas.
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ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO 3. SOLUCIÓN POR ITERACIÓN La solución dada por simplemente se postula. Las posiciones restantes de este capítulo desarrollan los métodos que se pueden utilizar para obtener este tipo de soluciones. Cada método tiene sus propios méritos, sabiendo que el más apropiado para su uso en una circunstancia particular, es una habilidad que sólo se logra con la práctica. En esta sección se desarrolla el método de iteración. Aunque la iteración es el método más complicado y requiere mucho tiempo, la mayoría de las personas encuentran que es intuitivo. Si se conoce el valor de “ y” en un período específico, un método directo de la solución es iterar hacia adelante desde ese período para obtener la ruta del momento posterior de toda la secuencia “ y”. Consultando a ese valor conocido de “ y”, como la condición inicial o el valor de “ y” en el período de tiempo 0 (denotado por “ ”). Es más fácil de ilustrar la técnica iterativa mediante la ecuación diferencial de primer orden: (1.17) Dado el valor de “ ” se sigue que “ ” será impartido por: De la misma forma, “ ” debe ser:
Continuando el proceso con el fin de encontrar “ ” se obtiene:
Podemos verificar fácilmente que para todo “t>0”, la generación de iteraciones repetidas:
(1.18) La ecuación
es una solución de
ya que expresa “ ” como una función de “t ”, el proceso de forzar
, y el valor
conocido de “ ”. A modo de ejercicio, es útil demostrar que la iteración hacia atrás “ ” a “ ” genera lo mismo que la fórmula dada por
Dado que
se deduce que:
Continuando con la iteración hacia atrás al período 0 genera la ecuación:
Iteración Sin Una Condición Inicial
9
ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO Supongamos que no contamos con la condición inicial de “ ”. La solución dada por no sería apropiada, ya que el valor de “ ” es una incógnita. No se puede seleccionar este valor inicial de “ y” y repetir hacia adelante, ni podría iterar hacia atrás desde “ ” y simplemente optar por dejar en . Por lo tanto, suponemos que continuamos recorriendo hacia atrás, sustituyendo
para “ ” en
:
Continuando la iteración hacia atrás recorremos otros períodos “m”, se obtiene:
Ahora examinamos el patrón que emerge de
y de . Si
, el término
se
aproxima a cero y “m” se aproxima a infinito. Además, la suma infinita converge a
. Por lo tanto, si la temporalidad supone que
sustitución continua
después de una se puede escribir como:
(1.21) Nos tomará unos minutos convencernos que
es una solución la
ecuación en diferencia original en
; sustituyendo se
obtiene
la
identidad.
De
cualquier
manera,
no es una única solución. Para cualquier valor arbitrario de “ A”, una solución para la ecuación:
estaría dada por:
(1.22)
10
ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO Para
verificar
que
para
cualquier es
valor
una
arbitrario
solución.
en
Vemos
que
ambos
miembros
de
“ A”,
la
ecuación
la
ecuación
idénticos,
entonces,
Sustituyendo obtenemos:
de
la
ecuación
son
es necesariamente una solución para
.
Conciliación De Los Dos Métodos Iterativos Dada la solución por iteración en la ecuación
, supongamos
que ahora se le da una condición inicial sobre el valor de “ y” en el periodo arbitrario “t 0”. Es sencillo demostrar que podemos imponer una condición inicial en la ecuación para generar la misma solución que la ecuación . Ya que
debe ser
válida para todos los períodos (incluyendo “t 0”), entonces cuando “t=0”, debe ser cierto que:
Entonces,
(1.23) Ya que “ ” está dado, podemos ver a la ecuación de “ A” que representa la ecuación
como el valor como una solución de
dada la condición inicial. Por lo tanto, la presencia de la condición inicial elimina la “arbitrariedad” de “ A”. Sustituyendo este valor de “ A” en la ecuación nos queda:
Simplificando nos queda:
11
ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO Deberíamos
tomar
un
momento
para
verificar es
que
la
idéntica
ecuación a
.
Secuencias No Convergentes Dado que
, la ecuación
es el valor límite de la ecuación ya que “m” crece infinitamente. ¿Qué
sucedería con la solución bajo otras circunstancias? Si
, no es posible movernos de la
ecuación
a puesto que la expresión
la
ecuación
crece infinitamente no hay
necesidad de obtener la sumatoria infinita. Simplemente se selecciona la condición inicial “ ” e iterando hacia atrás, el resultado será:
Aunque los valores sucesivos de la secuencia serán cada vez más grandes en valor absoluto, todos los valores de la serie serán finitos. Un caso interesante aparece si . Re-expresando la ecuación como: ó: Se puede comprobar por iteración desde “ ” hacia atrás hasta “ ”, una solución a esta ecuación es:
Luego de unos minutos de reflexión, la solución es sutilmente intuitiva. En cada período “t ”, el valor de “ ” cambia en “ ” unidades. Después de “t ” períodos, hay algunos cambios equivalentes a “t ” ; por lo tanto, el cambio total es “
”, más los valores de “t ” de la secuencia
. Observemos que la solución contiene la sumatoria de todas las perturbaciones desde “ ” hasta “ ”. Por lo tanto, cuando
, cada perturbación tiene un efecto integrado permanente
en el valor de “ ”. Podemos comparar estos resultados con la solución hallada en
. Para
el caso en el cual , es una función decreciente de “t ” de manera que los efectos de las últimas perturbaciones son sucesivamente más pequeños en el tiempo.
12
ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO
La importancia de la magnitud de “ ” es ilustrada en la Figura 1.2. Veinticinco números aleatorios con una media teórica igual a cero fueron generados por PC desde “ ” a “
”. Entonces, el
valor de “ ” se estableció igual a 1 y los siguientes 25 valores de la secuencia construyeron utilizando la fórmula:
se
El resultado se muestra en la delgada línea en la parte 8ª) de la Figura 1.2. Si se sustituye y
en
, veremos que la trayectoria
temporal de consiste en dos partes. La primera parte es , s demuestra por el lento descenso de la línea gruesa en el panel (a) de la figura. Este término domina la solución para valores relativamente pequeños de “t ”. La influencia de la parte aleatoria es expresada por la diferencia entre la línea finita y la gruesa; se puede ver que los primeros valores de son negativos. Como “t ” aumenta, la influencia en la componente aleatoria se hace más pronunciada. Usando los números aleatorios previamente dibujados, nos hacemos nuevamente “ ” igual a 1 y una segunda secuencia se construyó utilizando la fórmula:
13
ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO Esta segunda secuencia se detalla por la delgada línea en la parte (b) de la figura 1.2. La influencia de la expresión nos muestra el rápido descenso de la línea delgada. Nuevamente, como “t ” aumenta, la porción de la solución se vuelve más dominante en la trayectoria temporal de . Cuando comparamos los dos paneles, resulta claro que la reducción de la magnitud de aumenta la tasa de convergencia. Por otro lado, las discrepancias entre los valores simulados de “ ” y la línea delgada son menos pronunciados en la segunda parte. Como puede verse en la ecuación:
cada valor de
ingresa en la solución de “ ” con un coeficiente “ ”. El valor más pequeño
de la media “ ” de las últimas realizaciones de
tienen una menor influencia en el valor
actual de “ ”. Simulando la tercera secuencia con la vemos en la parte (c). La expresión expresada por la línea delgada, es positiva cuando “t ” es par y negativo cuando “t ” es impar. Dado que , las oscilaciones se amortiguan. Las siguientes tres partes de la Figura 1.2 muestras secuencias no convergentes. Cada una usa la condición inicial y los mismos 25 valores de empleados en las otras simulaciones. Ya que cada valor de “ ” tiene un valor esperado de cero, la parte (d) ilustra un proceso de caminata aleatoria (Random-Walk). Aquí,
de modo que el cambio en “ ” es al azar.
La falta de convergencia se muestra por la tendencia sinuosa de “ ”. En el apartado €, la línea gruesa representa la expresión explosiva que domina la parte aleatoria de la secuencia de “ ”. Hay que advertir una discrepancia entre la secuencia simulada en y la línea gruesa se ensancha a medida que “t ” aumenta. La razón es que los valores pasados de solución de “ ” con el coeficiente
entran en la
. Como “i” aumenta, la importancia de las
discrepancias previas es cada vez más relevante. De manera similar, los resultados en las oscilaciones de la explosión se muestran en la parte inferior derecha de la Figura 1.2. El valor es positivo para valores pares de “t ” y negativo para los valores impares de “t ”.
4. UNA SOLUCIÓN METODOLÓGICA ALTERNATIVA La solución por el método iterativo se quiebra en las ecuaciones de orden superior. La complejidad algebraica rápidamente abruma todo intento razonable de encontrar una solución. Afortunadamente, hay varias técnicas de solución alternativa que pueden ser útil en la solución de la ecuación de orden “n” dada por:
Utilizando el principio de que se debe aprender a caminar antes de aprender a correr, vemos que lo mejor es dar un paso a través de la ecuación de primer orden dada por la ecuación: . A pesar de que le dará cobertura a un terreno familiar, el caso de primer orden ilustra la metodología general muy bien. Para dividir el procedimiento en sus partes componentes, hay que tener en cuenta la parte homogénea de la ecuación: (1.27) 14
ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO La solución de esta ecuación homogénea se denomina solución homogénea; será útil denotar la solución homogénea con la expresión “ ”. Obviamente, la solución trivial satisface la ecuación establecer
“ ”
y
. De cualquier forma, esta solución no es la única. Al todos
los
valores
de
igual
se convierte en debe ser una solución para
a
cero,
la
ecuación
. Por lo tanto,
. Sin embargo, incluso esta solución no constituye el
conjunto completo de soluciones. Es fácil verificar que la expresión “ ” multiplicada por cualquier constante arbitraria " A" satisface en
. Sustituyendo
y
nos queda:
Como
resulta que resuelve . Con la ayuda de las líneas gruesas en la Figura 1.2, podemos clasificar las propiedades de la solución homogénea de la siguiente manera: 1. Si , la expresión converge a cero y “t ” se aproxima a infinito. La convergencia es directa si y oscilatoria si . 2. Si , la solución homogénea no es estable. Si , la solución homogénea se aproxima a infinito ya que “ t ” aumenta. Si , la solución homogénea oscila explosivamente. 3. Si , alguna constante arbitraria “ A” satisface la ecuación homogénea . Si , el sistema es metaestable: impares de “t ”.
Ahora consideremos
para valores pares y -14 para valores en su totalidad. En la última sección,
confirmamos que
es una solución válida para
. La ecuación
se denomina solución particular de las ecuaciones en
diferencia; todas estas soluciones particulares se denotan por el término “ ”. El término “particular” deriva del hecho de que una solución de una ecuación de diferencia puede no ser única; por lo tanto, la ecuación
es una solución en particular de todas
las soluciones posibles. Al pasar a la ecuación
, se verifica que la solución particular
no era la única. La solución homogénea
más la solución dada por
constituyen la
solución completa de la ecuación . La solución general de la ecuación en diferencia es definida como una solución particular más la solución homogénea. Una vez que se obtiene la solución general, la constante arbitraria “ A” puede ser eliminada imponiendo la condición inicial para “ ”.
La Solución Metodológica Los resultados del caso de primer orden son directamente aplicados al orden enésimo de la ecuación dado por: 15
ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO
En este caso general, será más difícil encontrar la solución particular y habrá “ n” soluciones homogéneas diferentes. Sin embargo, la solución metodológica siempre implica los siguientes cuatro pasos: PASO 1: Formar la ecuación homogénea y encontrar las “n” soluciones homogéneas. PASO 2: Encontrar la solución particular. PASO 3: Obtener la solución general como la suma de la solución particular y una combinación lineal de todas las soluciones homogéneas. PASO 4: Eliminar la(s) constante(s) arbitraria(s) imponiendo la condición inicial en la solución general. Antes de abordar las diversas técnicas que se pueden utilizar para obtener la solución homogénea y la solución particular, merece la pena para ilustrar la metodología empleada para la ecuación: Claramente, la ecuación de segundo orden es de la forma:
con , , y forma de la ecuación homogénea es:
. Comenzando con el primero de los cuatro pasos, la
En el primer orden de la ecuación
, la solución homogénea era
ahora, es suficiente afirmar que las dos soluciones homogéneas son: . Para verificar la primer solución, vemos que . Así, Si dividimos por
. Por y y
es una solución si satisface: la cuestión es si:
Algebraicamente
es igual a cero entonces
es una solución de la
ecuación es una solución ya que:
. De la misma forma, se puede verificar que
Dividiendo por obtenemos . El segundo paso es obtener la solución particular; se puede confirmar que la solución particular resuelve la ecuación . El tercer paso es combinar la solución particular y la combinación lineal de ambas soluciones homogéneas: Donde
y
son dos constantes arbitrarias.
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ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO Para el cuarto paso, suponemos que hay dos condiciones iniciales de la secuencia
. Para que
podamos mantener nuestros números razonablemente redondos, suponemos que
e
. Por lo tanto, para el periodo cero y uno nuestra solución debe satisfacer:
Resolviendo simultáneamente para es:
y
vemos que
y
. Entonces, la solución
GENERALIZANDO EL MÉTODO Para demostrar que el método es aplicable a las ecuaciones de orden superior, consideramos la parte homogénea de la ecuación:
Que sería:
(1.30) Hay “n” soluciones homogéneas que satisfacen la siguiente proposición: Si ,
es
una
. Es suficiente demostrar solución
homogénea
de
la
ecuación
es también una solución para cualquier constante A . Por supuesto
resuelve la ecuación homogénea de modo que:
La expresión de
es también la solución si:
Sabemos que la ecuación se satisface desde dividiendo cada término por A. Ahora supongamos que hay dos soluciones separadas a la ecuación homogénea denotada por e
. Es fácil demostrar que para cualquiera de las dos constantes
, la combinación lineal
y
es una solución también de la ecuación homogénea. Si
es una solución de la ecuación
, la misma debe satisfacer:
Reagrupando términos queremos saber si:
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ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO y son soluciones separadas de la ecuación donde cada una de las expresiones dentro del paréntesis es cero. La combinación lineal es necesariamente una solución de la ecuación homogénea. Este resultado fácilmente se generaliza para todas las “n” soluciones homogéneas de la enésima ecuación. Finalmente, usamos el paso 3 como la suma de cualquier solución particular y cualquier combinación lineal de todas las soluciones homogéneas que es también una solución . Para probar esta proposición, sustituimos la suma de la solución particular y la solución homogénea en la ecuación:
Y obtenemos:
Combinando los términos en la ecuación anterior, queremos saber si:
Como resuelve resuelve la ecuación
homogénea
ecuación y
la
, la expresión en el primer paréntesis es cero. homogénea. Así, la ecuación ecuación
particular
.
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es una identidad; la suma de la se resuelven la ecuación
ENDERS – APLICACIÓN DE SERIES DE TIEMPO
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