Universidad Nacional Mayor de San Marcos – Marcos – Facultad Facultad de Ciencias Económicas
SOLUCION DE EJERCICIOS CAPITULO I Integrantes: 1)
Mesia Vargas, Luis Brayan
6)
Parejas Regalado, Evelyn Stefani
2)
Soto Salcedo, Ricardo Jair
7)
Corrales Espinoza, Katherine Brigitte
3)
Delgado Chumbile, Tomas Jorge
8)
Llamoca Gutierrez, Luis Teófilo
4)
Salas Marino, Renzo Waldir
9)
Kodaka Huamaní, Elvis
5)
Castillo Jimenez, Leydi Veronica
− − −− ⋯ − − ⌊⌋ <
EJERCICIO 1 Considere la diferencia de la ecuación
con la condición inicial
. Jill resolvió la ecuación de diferencia iterando hacia atrás:
Bill agregó las soluciones homogéneas y particulares para obtener a) Demuestre que las dos soluciones son idénticas para b) Muestre eso para
. Las soluciones de Jill son equivalentes a
usarías el método de Bill para llegar a la misma conclusión en el caso de que a
. ¿Cómo
?
Solución: a)
Sabemos que:
⋯− 1 1 1 − 1 ⋯ ⋯ 1 1 1 11 ⋯ ⋯ − 1
Primero se cancela de cada lado si:
Multiplicamos a cada uno por
y luego divida por
. Los dos lados de la ecuación son idénticos o p ie T e d s ei r e
:
S e d aí rt e
Finalmente: o n
1 1 o c E
Los dos lados de la ecuacion son identicas. b)
1
1
1 1 1 ⋯1−
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EJERCICIO 2 El modelo Cobweb en la sección 5 asumió expectativas de precios estáticos. Considere una formulación alternativa llamada expectativas de adaptación. Deje que el
∗ ∗ − −∗
precio esperado en t (indicado por
) sea un promedio ponderado del precio en t-1 y la
expectativa de precio del período anterior. Formalmente:
Claramente, cuando α = 1, los esquemas de expectativas estáticos y adaptativos son
equivalentes. Una característica interesante de este modelo es que puede verse como una ecuación de diferencia que expresa el precio esperado en función de su propio valor rezagado y de la variable de forzamiento
−∗
a)
Halle la solución homogénea para
b)
Use operadores de retraso para encontrar la solución particular. Verifique su respuesta sustituyendo su respuesta en la ecuación de diferencia original.
Solución: a)
Formando la ecuación homogénea:
La solución homogénea es:
∗ −∗ ∗ 1
Donde A es la constante arbitraria y
es la raíz característica.
b)
La solución particular puede ser escrita como
∗ − o p
O ie
∗ −/
T e d
Por tanto s ei r e S e d
∗ [− − − ⋯ ] aí rt e o n o c E
Así la ecuación se mantiene como identidad
[− − − ⋯ ] − [− − −]
2
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EJERCICIO 3 Supongamos que el proceso de suministro de dinero tiene la forma
−
a. b.
, donde m es una constante y 0 <ρ <1.
+ +
Demuestre que es posible expresar en términos del valor conocido m y la secuencia { }. Supongamos que todos los valores de para i > 0 tienen un valor medio de cero. Explique cómo podría usar su resultado en la parte (a) para pronosticar el suministro de dinero en n eríodos en el futuro.
+,+,…,+
Solución: a) Mediante la utilización de iteraciones directas se tiene que:
La actualización de
La actualización de
La actualización de
un periodo es
+ + + + + + + + (1)
dos periodos es
(2)
tres periodos es
(3)
Usando la expresión (2) y reemplazando (1) en (2)
+ + + + ++ + + + 4 Usando la expresión (3) y reemplazando (4) en (3)
+ + + + + ++ + + + + 5 La expresión (5) se puede escribir también como
+ 1 + + +
o p
6 ie T e d
Dada la expresión (6), entonces para el periodo t+n se tiene
b)
s ei
+ 1 − ⋯ − + +− ⋯ + +
e S e d aí rt e
es cero y teniendo en cuanta la ecuación
o
es cero, por lo tanto la expectativa del suministro de dinero en
o
Dado que para valores de i > 0 la esperanza de
+ + 1 ⋯ − + +− ⋯−+ + 1 ⋯ − de (a) la esperanza de
r
n c E
n períodos en el futuro es
Como n → ∞, el pronóstico se
aproxima a m / (1-ρ).
3
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EJERCICIO 4 El problema de raíz unitaria en la econometría de series temporales se refiere a las raíces características que son iguales a la unidad. Con el fin de obtener una vista previa del problema: a)
Encontrar las soluciones homogéneas para cada una de las siguientes ecuaciones
b)
Mostrar que cada una de las ecuaciones anteriores no son convergentes:
c)
Mostrar que la ecuación i puede ser escrita completamente en primeras diferencias, la cual es
d)
∆ .∆−
.Encontrar la solución particular para
∆
De manera similar transforme las otras ecuaciones en sus primeras diferencias. Encuentra las soluciones particulares si estas existen
para las ecuaciones
transformadas. e)
Escribe las ecuaciones de la i a la iv usando operadores de rezago
f)
Dada una condición inicial
,
encuentra la solución para
−
Solución: a)
i:
.− .−
Mediante transformación, la ecuación para hallar las raíces homogéneas sería la siguiente:
1.5 0.5 0 Cuyas raíces son 1 y 0.5, por lo tanto estas son sus soluciones homogéneas. ii:
−
Mediante transformación, la ecuación para hallar las raíces homogéneas sería la siguiente:
1 0 Cuyas raíces son 1 y -1, por lo tanto estas son sus soluciones homogéneas. iii:
o p
− − ie T e d
Mediante transformación, la ecuación para hallar las raíces homogéneas sería la siguiente: s ei r
2 1 0 e S e d aí
Presenta ambas raíces iguales (1), por lo tanto estas son sus soluciones homogéneas. iv:
rt e
− .− .− o n o c E
Mediante transformación, la ecuación para hallar las raíces homogéneas sería la siguiente:
0.25 0.25 0 10.25 1 0 0.25 1 0 Cuyas raíces son 0.5, -0.5 y 1, por lo tanto estas son sus soluciones homogéneas.
4
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b)
Se puede observar que en todas las ecuaciones, el valor del coeficiente para
−
es igual a 1 o
mayor, por lo cual estas ecuaciones no serán convergentes en el largo tiempo. c)
Partiendo de la ecuación original:
.− .− Ahora transformaremos la ecuación de modo que pueda ser representada por primeras diferencias:
− 0.5− 0.5− − 0.5− 0.5− Ahora que contamos con diferencias de dos periodos continuos, y con el mismo coeficiente, se procede a expresarlo como diferencias:
− ∆ 0.5− 0.5− 0.5∆− Finalmente se obtiene la ecuación indicada al comienzo:
∆ 0.5∆− Para hallar la solución particular:
10.5∆ 2 0.5 0.25 ⋯ ∆ 10.5 o p ie T
d) i:
−
e d s ei r e S
− − − ∆ ∆− e d aí rt e o n
En este caso la raíz característica es -1, por lo que no cuenta con una solución particular.
− −
o c E
ii:
− − − ∆ ∆−
En este caso la raíz es 1, por lo que no cuenta con una solución particular
5
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− .− .− − 0.25− 0.25− ∆ 0.25∆− ∆ iii:
/ (1-0.25
=
/(1-0.5L)(1+0.5L)
e)
.− .−
1:
(1-1.5L+0.5
2:
)
−
(1-
3:
− −
(1-2L+
4:
)
=
− .− .− 0.25
(1-L-0.25
f)
o p
− ie T e d
Por lo tanto: s ei r
e S e d aí rt e o n o c
De estas ecuaciones: E
6
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Ahora, se pasa a realizar una ecuación general
, = 1, =
EJERCICIO 5 El problema de la raíz de la unidad en la econometría de series temporales se refiere a las raíces características que son iguales a la unidad. Para obtener una vista previa del problema: a. Para cada uno de los siguientes, calcule las raíces características y el discriminante “d” para describir el proceso de ajuste. b. Suponga que
. Utilice un programa de hoja de cálculo o un paquete es tadístico
para calcular y graficar las siguientes 25 realizaciones de la serie anterior.
Solución:
o p
.− .− yt
A
t
2
t
0.75 yt
1
0.75 A
0.75
t 1
0.125 yt
t 1
2
0.125
T e d s
0
0.125 A t 2
ie
t 2
ei r
e S
0 e d aí
0 rt e
t 2
o n
0.75 0.125 0 o c E
Se halla la discriminante
d
a21 4a2
0.752 4(0.125) 0.0625 0
Si es mayor que cero tiene raíces reales y distintas.
7
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Ahora las raíces características 2
0.75 0.125 0
(1 0.5)( 2 0.25) 0 1
0.5 1
2
0.25 1
.− .− yt
A t
t
2
1.5 yt
0.75 yt
1
t 1
1.5 A
1.5 t
1
2
0
0.75 A
0.75 t
2
t 2
0
0
t 2
1.5 0.75 0
Hallando la discriminante:
d
a21 4a2
1.52
4(0.75) 1.5 0
Al ser menor que cero las raíces son complejas.
(a1 i
1
1.5
1
2
2
2
1.5
i
2
(a1 i 1.5 2
d / 2)
i
o
d / 2) p
1.5
ie
2
e
T d s ei
r e
.− .− yt
A
t
2
t
1.8 yt
1
0.81yt
1.8 A t
1.8
t 1
2
1
0.81
e d aí rt
0 e
0.81A t
t 2
S
2
o
0 n o c E
0
t 2
1.8 0.81 0
8
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Su discriminante:
d
a
2 1
4a2
2
1.8
4(0.81) 0
Entonces sus raíces son iguales y reales.
a1
1 2
2
1.8 2
0.9
.− .− yt
A t
t
2
1.5 yt
1
0.5625 yt
1.5 A t
1.5 t
1
1
2
0
0.5625 A t
0.5625 t
2
2
0
0
t 2
1.5 0.5625 0
Hallando la discriminante:
d
a21 4a2
1.52 4( 0.5625) 0
Entonces sus raíces son iguales y reales. o 1 2
a1
2
1.5 2
p
ie
0.75 T e d s ei r e S e d aí rt e o n o c E
9
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.− .− Y1
10
Y2
10
Y3
6.25
Y4
3.437500000000
Y5
1.796875000000
Y6
0.917968750000
Y7
0.463867187500
Y8
0.233154296875
Y9
0.116882324219
Y10
0.058517456055
Y11
0.029277801514
Y12
0.014643669128
Y13
0.007323026657
Y14
0.003661811352
Y15
0.001830980182
Y16
0.000915508717
Y17
0.000457759015
Y18
0.000228880672
Y19
0.000114440627
Y20
0.000057220386
Y21
0.000028610211
Y22
0.000014305110
Y23
0.000007152556
Y24
0.000003576278
Y25
0.000001788139
o p ie T e d s ei r e S e d aí rt e o n o c E
10
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.− .− Y1
10
Y2
10
Y3
7.50
Y4
3.750000000000
Y5
0.000000000000
Y6
-2.812500000000
Y7
-4.22
Y8
-4.218750000000
Y9
-3.164062500000
Y10
-1.582031250000
Y11
0.00
Y12
1.186523437500
Y13
1.779785156250
Y14
1.779785156250
Y15
1.33
Y16
0.667419433594
Y17
0.000000000000
Y18
-0.500564575195
Y19
-0.75
Y20
-0.750846862793
Y21
-0.563135147095
Y22
-0.281567573547
Y23
0.00
Y24
0.211175680161
Y25
0.316763520241
o p ie T e d s ei r e S e d aí rt e o n o c E
11
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.− .− Y1
10
Y2
10
Y3
9.90
Y4
9.720000000000
Y5
9.477000000000
Y6
9.19
Y7
8.857350000000
Y8
8.503056000000
Y9
8.13
Y10
7.748409780000
Y11
7.360989291000
Y12
6.97
Y13
6.590022517890
Y14
6.213449802582
Y15
5.85
Y16
5.490430189191
Y17
5.147278302366
Y18
4.82
Y19
4.502839058910
Y20
4.202649788316
Y21
3.92
Y22
3.647299637717
Y23
3.391988663077
Y24
3.15
Y25
2.924769579485
o p ie T e d s ei r e S e d aí rt e o n o c E
12
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.− .− Y1
10
Y2
10
Y3
9.38
Y4
8.437500000000
Y5
7.382812500000
Y6
6.33
Y7
5.339355468750
Y8
4.449462890625
Y9
3.67
Y10
3.003387451172
Y11
2.440252304077
Y12
1.97
Y13
1.583817601204
Y14
1.267054080963
Y15
1.01
Y16
0.801807660609
Y17
0.634764397983
Y18
0.50
Y19
0.394639707956
Y20
0.310074056251
Y21
0.24
Y22
0.190272716336
Y23
0.148650559638
Y24
0.12
Y25
0.090305214980
o p ie T e d s ei r e S e d aí rt e o n o c E
13
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EJERCICIO 6 Utilizando el método señalado al final de la sección 1.8 encuentre la solución general para: a. b.
yt = 1 + 0.7yt −1 − 0.1yt−1 + t yt = 1 − 0.3yt−1 + 0.1yt−1 + t
Solución: a)
10.6− − − 1 ⋯…. 1 1 − − ⋯…. 1 10.6− 1 10.6 −. −. Se sabe que para:
donde |a1| < 1.
Donde:
Luego, en el ejercicio:
o p ie T e d s ei r
b) e S
10.2− 1 10.2 +. +. e d aí rt e o n o c E
14
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EJERCICIO 7
Considere el proceso estocástico yt
a0
− ε
a2 yt
t
2
a)
Encuentre la solución homogénea y determine la condición de estabilidad.
b)
Encuentre la solución particular usando el método de coeficientes indeterminados.
c)
Encuentre la solución particular usando operadores de demora.
Solución: a) la solución homogénea y determine la condición de estabilidad.
La solución homogénea tiene la forma: yt
Aαt
Entonces, reemplazando en la ecuación original, se tendría lo siguiente: Aαt
−
a2 Aαt
2
0
De manera que α2
a2
De lo anterior, las dos raíces solución son:
√ √
α1 α2
a2 a2
La condición de estabilidad nos dice que si a2 es menor que la unidad en valor absoluto, se considera a la ecuación como estable.
b) Encuentre la solución particular usando el método de coeficientes indeterminados.
yt
b
o p
−
bi εt
i
ie T e
Para que esto sea una solución, debe satisfacer: b
b0 εt
d s
− b ε − b ε − ⋯ a a (b b ε − b ε − b ε − b ε − .. .) ε
b1 ε t
1
2 t 2
2
3 t 3
0 t 2
ei r e
0
1 t 3
2 t 4
3 t 5
S e
t
d aí rt
Correspondencia de coeficientes en términos similares e o
b2 b3
a2 b1
→ → , → b0
1
b1
0
a2 b0 b3
b2
0 desde
De esta manera se sigue que: Si i es par o si i es impar
n o c E
15
a2
b1
0
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c)
Encuentre la solución particular con los operadores de rezago.
Del modelo: Yt
a0
− ε
a2 yt
t
2
Teniendo en cuenta lo siguiente: L i yt L 2 yt
− y− yt
i
t 2
Al reemplazar en el modelo:
Yt Yt
a2 L2 yt
a0
1
a0
a2 L2
1
εt
εt
Entonces, resolviendo se tiene: Yt
Yt
( ) 2 2
a2 L2
1
a22 L
a23 L
2 3
.. . a0
εt
( ) ( ) 1
a2 L2
2 2
a22 L
a23 L
2 3
.. . a0
1
2 2
a2 L2
a22 L
.. . εt
o p
Yt
( a0
1
εt
a2 L2
ie T
− − )
a2 L2 εt
1
a2
2
2 2
L
εt
2
e
.. .
d s ei r e S e d
Operador particular con operadores de rezago: aí rt e
∞
Yt
− C
=
a2 L2 εt
o n
i
o c
i 0
E
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EJERCICIO 8 Para cada uno de los siguientes, verifique que la solución postulada satisfaga la ecuación de diferencia. Los símbolos c, Ecuación
y
denotan constantes solución
− − − − − − ⋯ a)
b)
c)
d)
Solución:
Hacemos una Sustitución a cada solución postulada en la diferencia original. a)
Si
− 0 − 1 entonces
seria de la misma forma, hacemos la sustitución en la ecuación
original b)
Si
y reemplazamos en la ecuación original quedaría de la siguiente
forma:
c)
1 − 1−
Si hacemos que la solución este en un periodo t-2 quedaría:
Haciendo el reemplazo de estos valores en la ecuación original para verificar la solución quedaría de la siguiente manera:
1 1− 0 1 1− o p ie
Quedaría reducido de la siguiente manera:
T e d s
De modo que la solución planteada seria de esa manera. d)
Como
ei r e S
1 − − ⋯ e d aí rt
Reemplazando en la ecuación original en t y t-2 seria:
e
1 − − ⋯ 1− − − − ⋯ 1 1− o n o c E
Entonces la solución correcta seria:
17
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EJERCICIO 9 Parte1. Para cada uno de los siguientes, determine si {Y t} representa un proceso estable. Determine si las raíces características son reales o imaginarias y si las partes reales son positivos o negativos. a. Y t − 1.2Y t −1 + 0.2Y t− 2 b. Y t − 1.2Y t− 1 + 0.4Y t− 2 c. Y t − 1.2Y t− 1 − 1.2Y t− 2 d. Y t + 1.2Y t− 1 e. Y t − 0.7Y t− 1 − 0.25Y t −2 + 0.175Y t− 3 = 0
Ayuda: ( x − 0.5) ( x + 0.5) ( x − 0.7) = x 3 − 0.7 x 2 − 0.25 x + 0.175.] Parte 2. Escribe cada una de las ecuaciones anteriores usando operadores de retraso. Determine
la característica raíces de la ecuación de característica inversa.
Solución: Resolviendo la parte 1 lo que hacemos para poder obtener las raíces debemos plantear ecuaciones características de tal manera que faciliten las operaciones: a)
Y t − 1.2Y t −1 +
0.2Y t− 2 ecuación característica es α2 – 1.2 α + 0.2 = 0
De tal manera que para poder resolver esta ecuación de segundo grado podemos utilizar la formula general o resolverlo factorizando.
Formula general: Para este caso factorizamos la ecuación de tal manera que se obtiene: (α-1)(α-0.2) = 0, igualamos ambos factores a 0 y se obtiene: (α – 1)=0 , α1 = 1
;
(α – 0.2) = 0 , α 2 = 0.2 o p
Conclusión: La raíz de la unidad significa que el {Yt} la secuencia no es convergente. b)
Y t − 1.2Y t −1 +
ie T e
0.4Y t− 2 ecuación característica es α 2 – 1.2 α + 0.4 = 0 d s ei r
Observamos que no se puede factorizar con facilidad, entonces utilizamos la formula general e S
para obtener las dos raíces. e d aí rt e o
a = 1 , b = -1.2 , c = 0.4 reemplazamos
−−.±√−.−∗∗. ∗
n o c E
y obtenemos raíces imaginarias
De valores α1, α2 = 0.6 ± 0.2 i Conclusión: Las raíces son imaginarias {Yt} la secuencia exhibe oscilaciones parecidas
18
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c) Y t − 1.2Y t −1 − 1.2Y t− 2 ecuación característica es α2 – 1.2 α – 1.2 = 0 Para poder resolver esta ecuación utilizamos la formula general:
a = 1 , b = -1.2 , c = -1.2 reemplazamos
−−.±√−.∗−∗∗−.
y obtenemos las raíces de valores α1 = 1.85 , α2 = -0.65
Conclusión: Una de las raíces está fuera del círculo unitario, de modo que {Yt} presenta secuencia explosiva. d)
Y t +
1.2Y t −1 ecuación característica es α + 1.2 = 0
Nos damos cuenta que esta ecuación solo tendrá una raíz de tal manera que solo despejamos y obtenemos la raíz que es α = -1.2 Conclusión: {Yt} la secuencia tiene oscilaciones explosivas. e)
Y t − 0.7Y t −1
− 0.25Y t− 2 + 0.175Y t− 3 ecuación característica es α 3 − 0.7 α 2 − 0.25 α + 0.175 = 0
Para poder resolver esta ecuación factorizamos en tres grupos de tal manera (α − 0.5) (α + 0.5) (α − 0.7) igualamos ambos factores a 0 y se obtiene: (α – 0.5)=0 , α1 = 0.5
;
(α + 0.5) = 0 , α2 = -0.5 ; (α − 0.7) = α3 = 0.7
Conclusión: Aunque todas las raíces son reales, existen oscilaciones amortiguadas debido a la presencia del término (-0.5)t.
Parte 2:
Para poder resolver y ver las características de las raíces de la ecuación de
característica inversa utilizamos operadores de retraso: o p
LYt = Yt-1 ie T e
2
L Yt = Yt-2 d s ei r
3
e
L Yt = Yt-3 S e
a)
Y t − 1.2Y t −1 +
d
0.2Y t− 2 aí rt e
Reemplazando se obtiene Y t − 1.2LY t + 0.2L2Yt Factorizamos el término común que en este caso es Y t, de tal manera que haciendo esta o n o c E
2
operación quedaría: Yt(1 − 1.2L + 0.2L ) de tal manera que desarrollamos la parte de los cuadrados para ver el comportamiento de las raíces: (1 − 1.2L + 0.2L2) , para poder resolver estas ecuación cuadrática f actorizamos e igualamos cada factor a 0. (1 – 0.2L)(1 – L) = 0 , 1 – 0.2L = 0 L1 = 5 L2= 1
L1 = 5 ; 1 – L = 0 L2= 1
raíces características de ecuación característica inversa.
19
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Conclusión: Como una raíz se encuentra en el círculo unitario {Yt} secuencia no es convergente. Tenga en cuenta que estas raíces son recíprocas de las raíces que se encuentran en la Parte 1.
b)
Y t − 1.2Y t −1 +
0.4Y t− 2 Reemplazando se obtiene Y t − 1.2LY t + 0.4L2Yt Factorizamos el término común que en este caso es Y t, de tal manera que haciendo esta operación quedaría: Yt(1 − 1.2L + 0.4L2), dado que esta ecuación es complicado para factorizarlo lo que se utiliza es la fórmula general:
a = 0.4 , b = -1.2 , c = 1 reemplazamos
−.±√−.∗.−∗.∗
y obtenemos raíces imaginarias
De valores α1, α2 = 1.5 ± 0.5 i Conclusión: Las raíces de la ecuación característica inversa son fuera del círculo unitario para que {Yt} la secuencia exhibe oscilaciones convergentes similares a ondas.
c)
Y t − 1.2Y t −1
− 1.2Y t− 2
2 Yt Reemplazando se obtiene Y t − 1.2LY t – 1.2L Factorizamos el término común que en este caso es Y t, de tal manera que haciendo esta
operación quedaría: Yt(1 − 1.2L – 1.2L2) utiliza la fórmula general:
−−.±√−.−∗−.∗ ∗−.
a = -1.2 , b = -1.2 , c = 1 reemplazamos
y obtenemos las raíces de valores
α1 = -1.54 , α2 = 0.54 o p
Conclusión: Uno de las raíces inversas características es dentro el círculo unitario para que {Yt} ie
la secuencia sea explosiva. e
d)
Y t +
T d s ei
1.2Y t −1 r e S e
Reemplazando se obtiene Y t + 1.2LY t d aí rt
Factorizamos el término común que en este caso es Y t, de tal manera que haciendo esta e
operación quedaría: Yt(1 + 1.2L), observamos que solo tendrá una raíz lao cual es 1 + 1.2L = 0 L
o
= -0.8333
o
n c E
Conclusión: la raíz inversa característica es negativa y está dentro del círculo unitario, {Yt} la secuencia tiene oscilaciones explosivas.
20 e)
Y t − 0.7Y t −1
− 0.25Y t− 2 + 0.175Y t− 3 = 0
Reemplazando se obtiene Y t – 0.7LY t – 0.25L2Y t + 0.175L3 Y t
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Factorizamos el término común que en este caso es Y t, de tal manera que haciendo esta operación quedaría: Yt(1 – 0.7L – 0.25L2 +0.175 L3), lo factorizamos para obtener las raíces: (1 0.5L)(1 + 0.5 L)(1 - 0.7L) = 0 (1 - 0.5L) = 0 L1 = 2 ; (1 + 0.5 L) = 0 L2 = 2 ; (1 - 0.7L) = 0 L3 = 1.429 Conclusión: Todas las raíces características inversas se encuentran fuera del círculo unitario.
EJERCICIO 10 Considere la ecuación de la diferencia estocástica:
.− .− − .
a)
Supongamos que las condiciones iniciales son tales que: Determine los valores
a
y
por iteración directa.
b)
Encuentra las soluciones homogéneas y particulares.
c)
Imponer las condiciones iniciales para obtener la solución general.
Solución: a)
Respuesta: Si suponemos que todos los valores f uturos de {
} = 0 podemos encontrar la
solución. En esencia, este es el método utilizado para obtener la función de respuesta al impulso.
1, 0.3, 0.24, 0.192, 0.1536 0.8− 0 0.8 −. −. 1/10.8 − 0.8− 0.8− 0.8− ⋯0.5− 0.8− 0.8− ⋯. 0.80.5− 0.80.80.5− 0.80.80.5− ⋯ 0.3− 0.80.3− 0.80.3− ⋯ b)
La solución a la ecuación homogénea
is
o
Usando operadores de retardo, la solución par ticular es Si aplicamos
a
y -0.5
p ie T
, obtenemos:
e d s ei r e S e d aí rt e o n
c) o c E
La combinación de soluciones homogéneas y particulares produce la solución general
0.3− 0.80.3− 0.80.3− ⋯0.8 0 − 0 0.3− 0.80.3− 0.80.3− ⋯
Ahora impone la condición inicial 0=
y
para obtener
. Por lo tanto
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0.3− 0.80.3− 0.80.3− ⋯
A=-
Por lo tanto, A = 0 si el sistema comenzó en equilibrio inicial. Ahora sustituye a A para obtener
= −− 0.30. 8 = EJERCICIO 11 Usa la ecuación (1.5) para determinar las restricciones en α y β necesarias para garantizar que el proceso de {
} sea estable
Solución:
− − 1, , 1 − 1− − 0 0 < < 1 > 0
La ecuación (1.5) es: Donde
Para determinar la estabilidad, solo es necesario examinar la porción homogénea de (1.5); es decir,
donde
y
Imaginarios
o
1
En términos de la notación utilizada en la figura 1.6, α y β son positivos,
> 0 < 0 y
y
y unidades
ie
. Dado que
. Por lo tanto, el punto etiquetado
corresponder a α (1 + β) unidades a lo largo del eje
p T e
podría
a lo largo del eje
d s
. ei r e
Las condiciones de estabilidad para una ecuación de diferencia de segundo orden son:
Si sabemos que
< 1 > 1 < 1 < 0 1
S e d aí rt e o n o c E
. Como 0 <α <1, la primera condición de
estabilidad siempre se cumple. Para satisfacer la segunda condición (es decir,
< 1
),
es necesario restringir los coeficientes de manera que -αβ <1 + α (1 + β); rendimientos de manipulación simple: 0 <1 + α + 2αβ. Como α y β son positivos, la segunda condición de estabilidad necesariamente se cumple. La tercera condición (es decir,
< 1
) es
equivalente a αβ <1 o β <1 / α. Por lo tanto, para garantizar la estabilidad, es necesario restringir β para que sea menor que 1 / α.
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EJERCICIO 12 Considere las siguientes dos ecuaciones de diferencia estocástica
.− .− .− .−
i. ii. a.
,
Utilizar el método de coeficientes indeterminados para encontrar la solución particular para cada ecuación.
b.
Encontrar las soluciones homogéneas para cada ecuación
c.
Para cada proceso, suponga que
,,,,…
y que todos los valores de
para
. Utilice el método ilustrado por la ecuación (1.75) y (1.76)
para encontrar los valores de las constantes
y
.
a) Solución mediante el método de coefici entes indeterminados
30.75− 0.125−
i.
Formulando la ecuación con los coeficientes a determinar
∑∞= −
(a)
Reemplazando (a) en la ecuación original y agrupando según términos afines
− − ⋯ 30.75 − − − ⋯ 0.125 − − − ⋯ 30.75 0.125 3⁄10.750.125 8 1 − 0.75 0.75 − 0.75 0.125 0.438 0,75− 0,125− 1 0,75 0,75− 0,125− 0.25 0.5 0.25 0.5 1 0.75 0.25 0.5 1 2 0.25 2 0.5 0,438 0,234 0,121 Agrupando en términos de la constante:
Agrupando en términos de
de modo que
:
Agrupando en términos de
:
Agrupando en términos de
:
Obsérvese que para i ≥ 2, todos
p
de modo que
ie T e d
de modo que
satisfacen
s ei r e
. Esto puede ser visto
como una ecuación de diferencia de segundo orden en . Las dos raíces de
lo tanto, los
o
con condiciones iniciales
son
y
S e d
y aí rt
. Por e
satisfacen:
Donde
y
o n o c
son constantes arbitrarias. Imponiendo las E
condiciones iniciales: y
dando los valores de
Por lo tanto, los coeficientes son los valores de que
,
y
.
y
.
. Se puede verificar
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ii. Dado que
30.25− 0.375− ∑∞= −
Agrupando
− − ⋯ 30.25 − − − ⋯ 0.375 − − − ⋯ 30.25 0.375 3⁄10.250.375 8 1 − 0.25 0.25 0,25− 0,375− 1 0,25 0,25− 0.375− 0.75 0.5 0.75 0.5 1 0.25 0.75 0.5 0.6 0.4 0.60.75 0.4 0.5 Agrupando en términos de la constante:
Agrupando en términos de Agrupando en términos de
de modo que
:
:
Obsérvese que para i ≥ 2, todos
de modo que
satisfacen
. Esto puede ser visto
como una ecuación de diferencia de segundo orden en . Las dos raíces de
lo tanto, los
con condiciones iniciales
son
y
y
. Por
satisfacen:
donde
y
son constantes arbitrarias. Imponiendo las
condiciones iniciales: y
dando los valores de
Por lo tanto, los coeficientes son los valores de
b) i.
y
.
.
.− .− −∝0.75 ∝−0.125 ∝− 0 ∝ ∝ 0.75 ∝ 0.125 0 1000 ∝ 750 ∝ 125 0 8 ∝6 ∝ 1 0 4 ∝ 1 2 ∝ 1 ∝ 0.25 ∝ 0.5
o p ie T e d s ei
Dividimos entre
r e S e d aí rt
Lo dividimos entre 125
Ambas raíces son menores a 1 en valor absoluto, por lo que la expresión es estable y por lo tanto convergente.
0.25 0.5
e o n o c E
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ii.
30.25− 0.375− −∝0.25 ∝−0.375 ∝− 0 ∝ ∝ 0.25 ∝ 0.375 0 1000 ∝ 250 ∝ 375 0 8 ∝2 ∝ 3 0 4∝ 3 2 ∝ 1 ∝ 0.75 ∝ 0.5 Dividimos entre
Lo dividimos entre 125
Ambas raíces son menores a 1 en valor absoluto, por lo que la expresión es estable y por lo tanto convergente.
0.75 0.5 c)
i.
30.75− 0.125− ∞ 4.8 = 8 ∞ 8 4.8 8 ∞ 3.2 8 =
o
=
p ie T e d s ei r e
∞ 4.8 0.50.25− = 8 S e d aí rt e o n o c
∞ 8 4.8 0.50.25− ∞= ∑∞= = ∑ 0. 5 − 1.6
3.75
E
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.− .− ∞ 8 ∞ = 8 8 8 =
ii.
∞ 8 =
∞ 8 8 0.750.5− = ∞= ∑∞= − 0 . 7 5∑
5.5
EJERCICIO 13 Aunque no es el método de solución más simple, es posible usar el método de coeficientes indeterminados usando se le dan las condiciones iniciales. Considere el modelo
.− − − − ⋯ − −− − − − − − − ⋯− − .− donde
para
está dado. De las ecuaciones (1.18) y (1.66) sabe qu e la solución
tiene la forma
donde
son los coeficientes indeterminados. a.
Demuestre que la solución para
tiene la forma .
b.
Sustituya las soluciones de desafío para encontrar los valores de
e
en
para
.
o p
Solución: ie T e d
a) s
0.75− 0.75 0.75 0.750.75 0.75 0.75 0.75 0.750.75 0.75 0.75 0.75 0.75
ei r e S e d
t=1:
aí
t = 2:
e
rt o n o c E
t=3:
26
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0.75 0.750.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 − 0.75 0.75 − = − − − − − − = − − − − − − − − − ∑−− = −−
t=4:
Solución para
:
Solución para
:
− 0.75− − − − ⋯ − − − − − ⋯− − ⇒ .− − − − ⋯ − − 0 b)
Sustituya las soluciones de desafío para
encontrar los valores de
e
en
para
.
o p
Se sabe qué:
ie
0.75 0.75 0.7 5 0 0.75 0 0 0.750. 75 0 0.75 0 0.75 .− 0
e
T d
,
s ei r e S
e d aí rt
e o n o c E
Entonces:
27
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0.75− 0 0.75 0 0.75 ⇒ 0.75 − 0.75 0.75 .− =
o p ie T e d s ei r e S e d aí rt e o n o c E
28
