Tracción y compresión

Hipótesis básicas de la Resistencia de Materiales uando p > debe ser e > , e igualmente, cuando p < tiene que ser e < .  Ello exige que el módulo de elasticidad volumétrico sea siempre positivo. 

Hipótesis básicas de la Resistencia de Materiales 

Por otra parte, no puede alcanzar nunca un valor infinito, que obligaría a que la deformación volumétrica unitaria, e, fuese nula y, por tanto, que el cuerpo fuese absolutamente rígido.

Hipótesis básicas de la Resistencia de Materiales Es decir:

<  

< - 2R > R< ,


Por consiguiente, en cualquier cuerpo isótropo el coeficiente de Poisson ha de ser inferior a 0 ,5.



Esta propiedad es general por ser el coeficiente de Poisson una característica del material y, por tanto, independiente del estado de esfuerzos.

Hipótesis básicas de la Resistencia de Materiales El módulo de elasticidad transversal coincide con el segundo coeficiente de Lamé, = µ.  Por tanto: 

!

E

2(

 Y)

Relación entre tensión y deformación  E l

ensayo de tracción.

 Relación

experimental entre tensión y deformación.

 Ley

de Hooke.

 Descripción

del Diagrama esfuezodeformación.

Descripción

del diagrama esfuerzo-deformación

ado que deformación y tensión son causa y efecto, es de esperar que los vectores tensión y deformación unitaria estén relacionados entre sí.

D

Descripción

del diagrama esfuerzo-deformación 

Fijada la solicitación exterior es evidente que la deformación que se origina y, en consecuencia, la tensión creada en el sólido elástico dependen de las fuerzas de atracción molecular, es decir, de la estructura cristalina del material.

Descripción


Se deduce, por tanto, que para obtener la relación entre tensión y deformación tendremos que proceder necesariamente por vía experimental mediante ensayos realizados en el laboratorio, en donde se comprueba, en efecto, que para dos piezas de distintos materiales, de iguales dimensiones y sometidas al mismo estado de cargas, las deformaciones son distintas.

Descripción


on objeto de ir fijando las ideas veamos en que consiste el ensayo de tracción, tomando, a modo de ejemplo, un material como el acero dulce, de notables aplicaciones en la práctica.

Descripción


Se realiza este ensayo sometiendo una pieza recta de dimensiones normalizadas llamada probeta , a un esfuerzo de tracción que se aumenta gradualmente hasta la rotura.

Descripción


En la probeta se realizan previamente dos marcas, que determinan una longitud denominada distancia entre puntos , sobre las que se efectúa, por medio de un extensómetro, la medida de los alargamientos.

Descripción


onsideremos una probeta de sección A a la que aplicamos en sus extremos una fuerza F en dirección axial.

Descripción


Esta fuerza causa en el interior del material un estado de tensiones que supondremos uniforme para cualquier sección recta.

Descripción




La tensión normal W está relacionada con la fuerza F mediante la ecuación:

W

!

F

Descripción

del diagrama esfuerzo-deformación La probeta, debido al esfuerzo, se alarga.  Llamemos I al alargamiento unitario en el sentido longitudinal. 

Descripción


Aumentando progresivamente el valor de F y llevando los valores de W y I a un gráfico cuyo eje de ordenadas mida tensiones (W) y el de abscisas deformaciones unitarias (I), se obtiene para el acero dulce el diagrama tensión-deformación.

Descripción


Descripción

del diagrama esfuerzo-deformación  Hasta un punto fs que

se llama límite de fluencia los alargamientos son pequeños pero al llegar a él aumentan considerablemente sin necesidad de aumentar la fuerza F.

Descripción

del diagrama esfuerzo-deformación  Para cierto tipo de

materiales la fuerza disminuye hasta un valor determinado por el punto f i, denominado límite inferior de fluencia (en este caso f s se llama

límite superior de fluencia).

Descripción

del diagrama esfuerzo-deformación  Alcanzado el límite de fluencia al seguir

aumentado la fluencia sobre la probeta, la curva es creciente hasta un valor máximo cuya tensión correspondiente se llama resistencia a la tracción o tensión de rotura , a pesar de que ésta se produzca

instantes después, cuando el material sufre un alargamiento en una parte pequeña de la probeta.

Descripción



uando un cuerpo isótropo se somete a un esfuerzo de tracción, p, experimenta una dilatación cúbica, caracterizada por la deformación volumétrica unitaria e = V/Vo, que viene dada por la expresión:

p e! K

Descripción

del diagrama esfuerzo-deformación  Se forma una pequeña

garganta o huso, reduciéndose rápidamente la sección transversal; la deformación plástica, que se reparte en un principio a lo largo de toda la probeta, se concentra en una zona originando la estricción , el esfuerzo disminuye y la probeta se rompe.

Descripción

del diagrama esfuerzo-deformación  Para el acero

dulce la tensión de rotura vale de . a . 2 kp/cm .

Descripción

del diagrama esfuerzo-deformación  Realmente

esto no acontece como se ha indicado.

Descripción


uando hemos hablado de que se ha alcanzado un valor determinado de la tensión, se ha calculado ésta dividiendo la fuerza F ejercida por la sección inicial que tenía la probeta, pero esta sección ha ido disminuyendo lo que hace que el valor indicado en la gráfica sea un valor erróneo por defecto que irá aumentando con las deformaciones.

Descripción

del diagrama esfuerzo-deformación  Esto hace que la gráfica obtenida

sea falsa, sin embargo es la que utilizamos en la práctica dado lo laborioso que sería tener en cuenta continuamente en el valor de la tensión las variaciones de la sección.

Descripción


La determinación del límite de elasticidad es, en general, bastante difícil por lo que en la práctica se tomo como este límite el punto f s que se denomina entonces límite aparente de elasticidad.

Descripción


Sin embargo, el tomar este punto como límite de elasticidad puede traer consigo que se pueda romper el material sin necesidad de llegar a la tensión de rotura.

Descripción


En efecto, si hacemos desaparecer la carga F cuando la tensión W1 pertenece a la zona elástico plástica, queda una deformación permanente IA.

Descripción


Si aplicamos nuevamente un esfuerzo hasta conseguir la misma tensión anterior W1 se observa que el alargamiento I2 es considerablemente superior al I1, y las cosas ocurren como se indica en la Figura.

Descripción


Si cesa la fuerza causante de la deformación se mantiene una deformación permanente IB que, como se ve, es notoriamente mayor que IA.

Descripción


Al hacer el proceso reiterativo vemos que en una de las operaciones de someter la probeta a la tensión s1, se rompe sin llegar a este valor.

Descripción


Se deduce que sin necesidad de aplicar una tensión que llegue a Wr ni aún que pertenezca a la zona plástica, se puede conseguir la rotura de un material por aplicaciones sucesivas de un esfuerzo que produzca simplemente una pequeña deformación permanente.

Descripción


E l límite elástico

(punto b) es el máximo esfuerzo que se puede alcanzar sin que se produzcan deformaciones permanentes en la probeta al descargarla.

Descripción


Para tener en cuenta la precisión de los ensayos, normalmente, se admite como límite elástico el esfuerzo al que corresponde una deformación permanente comprendida entre el , 1% y el , %.

Descripción


Descripción


Las importantes deformaciones que experimenta la probeta en la zona de fluencia, producen a partir del punto d un aumento de la resistencia del material conocida por acritud.

Descripción


Esta propiedad hace que sea preciso incrementar de nuevo la carga para que las deformaciones continúen, hasta llegar al punto e en que la carga alcanza su valor máximo al que corresponde el máximo esfuerzo WR , o esfuerzo de rotura.

Descripción


Hasta llegar al punto d la probeta se ha alargado uniformemente en toda su longitud y este alargamiento uniforme ha ido acompañando de una contracción lateral también uniforme.

Descripción


Sin embargo, a partir del punto d, el alargamiento y la contracción lateral se localizan en las proximidades de una sección de la probeta en la que posteriormente se producirá la rotura.

Descripción


Este fenómeno conocido por estricción , se manifiesta de forma poco destacada en un gran número de materiales.

Descripción


Una vez alcanzado el punto e del diagrama la rotura de la probeta es irreversible, ya que aunque se disminuya la carga F y, por tanto, se disminuyan los esfuerzos W = F/Ao, la probeta experimenta deformaciones cada vez mayores hasta romperse, cuando las deformaciones alcanzan en el punto f su máximo valor o deformación de rotura I R.

Descripción


Ello se debe a que a partir del punto e el debilitamiento producido por la estricción supera al aumento de resistencia de la acritud.

Descripción


El tramo final d-f del diagrama en el que se producen las grandes deformaciones de la probeta constituye la zona plástica.

Descripción


Supongamos que se descarga gradualmente una probeta desde un punto k, situado fuera de la zona elástica de un diagrama de ensayos de tracción.

Descripción

del diagrama esfuerzo-deformación urante la descarga, el diagrama esfuerzosdeformaciones sigue la recta kl, paralela a Oa, hasta el punto l que determina la

 D

deformación permanente ,

Ol.

igual a

Descripción


Si de nuevo se volviera a cargar la misma probeta, el diagrama esfuerzosdeformaciones estaría representado por el tramo recto inicial lk y la curva kef .

Descripción


El diagrama esfuerzosdeformaciones representa los esfuerzos reales en la probeta únicamente mientras las deformaciones son pequeñas.

Descripción


uando las deformaciones son elevadas, para tener en cuenta la reducción de la sección transversal de la probeta, los esfuerzos reales se obtienen multiplicando las ordenadas del diagrama esfuerzos-deformaciones por la relación Ao/A entre el área Ao de la sección transversal inicial y el área A que en cada momento del ensayo tiene la sección transversal central de la probeta.

Descripción

del diagrama esfuerzo-deformación e esta forma se halla la curva Oabcd¶e¶f¶, que representa el diagrama

 D

real esfuerzosdeformaciones ,

en el que puede observarse que aunque la carga F disminuye a partir del punto e, los esfuerzos reales aumentan hasta alcanzar su máximo valor cuando la probeta se rompe.

Descripción


Los diagramas esfuerzosdeformaciones considerados hasta ahora corresponden a materiales dúctiles como el acero, el aluminio y el cobre, que se caracterizan por una rotura precedida de grandes deformaciones.

Descripción


Existen otros materiales como la fundición, el hormigón y el vidrio, para los cuales los diagramas esfuerzos-deformaciones no presentan una zona de fluencia definida, por lo que en estos materiales se toma convencionalmente como esfuerzo de fluencia el esfuerzo al que corresponde una deformación permanente igual al ,2%.

Descripción


En estos materiales llamados frágiles , la rotura aparece bruscamente sin previo aviso, lo que es un grave inconveniente para las estructuras.

Descripción

del diagrama esfuerzo-deformación  En ensayo de compresión se realiza colocando una probeta cilíndrica o prismática entre los platos de una prensa.

Descripción

del diagrama esfuerzo-deformación  Los materiales dúctiles y los materiales frágiles se comportan también diferentemente en los ensayos de compresión.

Descripción


En efecto, el diagrama esfuerzos-deformaciones para los materiales frágiles tiene las mismas particularidades en un ensayo de compresión que en un ensayo de tracción.

Descripción


Por el contrario, en los materiales dúctiles los resultados de un ensayo de compresión dependen considerablemente de las dimensiones de las probetas, pudiendo no alcanzarse la rotura a compresión en probetas poco esbeltas.

Realización práctica del ensayo de tracción

Al resolver los problemas más simples de la tracción y compresión, nos encontramos ya con la necesidad de tener ciertos datos experimentales previos sobre los cuales se pueda basar la teoría e introducir así ciertas generalizaciones en el análisis de estructuras concretas.


Entre estos datos experimentales se encuentra, ante todo, la ley de Hooke que ya conocemos.


Las características básicas de los materiales en este caso son el módulo de elasticidad, E, y el coeficiente de Poisson, µ. Claro, que estas magnitudes dependen de las propiedades del material.


E y µ dependen, ante todo, del tipo de material y, en cierta medida, de las condiciones de tratamiento térmico y mecánico.


Para la solución de los problemas prácticos es indispensable tener también las características numéricas de las propiedades de resistencia del material.


Al estudiar los procesos de doblado y estampado se necesitan ciertos exponentes que caracterizan la capacidad del material de deformarse plásticamente.


En toda una serie de casos se requieren datos sobre la capacidad del material de resistir las temperaturas altas, de trabajar con cargas variables, etc.

Realización práctica del ensayo de tracción De acuerdo con lo expuesto, se realizan diversos tipos de ensayos, siendo los principales y más difundidos los ensayos a tracción y compresión. Con su ayuda, se consiguen obtener las características principales del material de aplicación directa en los cálculos prácticos.

Realización práctica del ensayo de tracción 

Para los ensayos a tracción se emplean probetas especiales que en su mayor parte se tornean en barras o se hacen de láminas.


La particularidad esencial de las probetas es la existencia de lugares reforzados que sirven para fijarlas y de una variación paulatina de la sección hacia la parte de trabajo, relativamente más estrecha y debilitada.


En la figura se muestran algunos tipos de probetas.


La longitud de la parte de trabajo, l trab es generalmente 15 veces superior al diámetro, d.

Realización práctica del ensayo de tracción  Al

medir las deformaciones, se usa solamente la parte de esta longitud que no supera los 10 centímetros.


Existen al mismo tiempo probetas más cortas, para las cuales l trab /d no es mayor que 5.


En el caso de sección transversal rectangular, se escoge como característica que determina la longitud de trabajo, l , el diámetro del círculo equivalente, d.


 Las

normas UNE (Una Norma Española) recogen todos los modelos estandarizados que pueden aplicarse.






En el ensayo se emplean probetas de dimendimen siones normalizadas, aunque en ocasiones se requieren probetas que tiene que diseñar el que ejecuta el ensayo. Las probetas de metales suelen ser ci líndr ic as cuando el material es forjado, fundido, en plancha de gran espesor, en barra o en redondos laminados. Se utilizan probetas prismáticas cuando el material se encuentra en planchas de espesor medio o bajo.



Realización práctica del ensayo de tracción Las probetas suelen tener una parte central calibrada, que se ensancha en los extremos para sujetarse a la máquina de tracción. El hecho de que las probetas estén normalizadas permite hacer un estudio igual para cada material a nivel mundial, con lo que se obtienen resultados estandarizados que son de aplicación universal.

Realización práctica del ensayo de tracción La norma que regula el ensayo de tracción es la UNE7 UNE7--474 474,, mientras que las normas que afectan a los tipos de probetas y sus tolerancias se resumen a continuación: ± UNE 7282: Preparación de las probetas. ± UNE 7262 7262--73: Tolerancias del mecanizado de las probetas. ± UNE 7010: Da algunas medidas recomendables para las probetas (S o = 150 mm2; D = 13,8 mm; l o = 100 mm).

Realización práctica del ensayo de tracción En los ensayos a compresión se emplean probetas cilíndricas cortas, cuya altura es mayor que las dimensiones de la sección en menos de dos veces. En el caso de gran altura, la compresión de la probeta va acompañada, como regla general, de un pandeo que influye sobre los resultados de los ensayos.


Realización práctica del ensayo de tracción Las dimensiones absolutas de las probetas, tanto en los ensayos a tracción como a compresión, dependen de la potencia1 de que disponen las máquinas y de las dimensiones de la pieza bruta de la cual se preparan las probetas. ± 1Cuando se habla de la potencia de una máquina de ensayo o de una prensa, se tiene en cuenta, no el trabajo que realiza por unidad de tiempo, sino la fuerza máxima que es capaz de desarrollar la máquina.

Realización práctica del ensayo de tracción En ensayo a tracción o compresión se realiza en máquinas especiales, donde la fuerza se crea, o bien por un peso que actúa sobre la probeta mediante un sistema de palancas, palancas, o por medio de la presión hidráulica transmitida al émbolo. émbolo . En el primer caso la máquina se llama de palanca y en el segundo hidráulica. hidráulica.


Máquina de ensayo de palanca



Del tornillo sin fin 1, a mano o con mando eléctrico, gira la rueda dentada 2 que desplaza hacia abajo el tornillo de fuerza 3.



En la probeta 4 aparece de esta manera un esfuerzo que a través de las palancas 5, 6 y 7 se equilibra con el peso de la carga P en el brazo a.



En la palanca 7 existe una graduación en unidades de fuerza aplicada a la probeta.



El desplazamiento del peso sobre la palanca puede realizarse no solamente a mano, sino también automáticamente.

Máquina hidráulica de ensayo de tipo universal

 Una

máquina hidráulica de ensayo de tipo universal está diseñada para los ensayos a tracción y a compresión.



En el espacio interior del cilindro 1, mediante la bomba 2, a presión, se introduce el aceite, elevándose así el émbolo 3.

 En

el émbolo se instala el pórtico 4, cuya parte superior tiene un cierre que fija la probeta 5 que se ensaya a tracción.

 En

el caso

de compresión, la probeta se instala sobre la parte inferior de la plataforma.

En la figura, la probeta para el ensayo a compresión está dibujada con la línea punteada y va señalada con la cifra 6.  El pórtico 10 es inmóvil. 

 En

la figura, su plano convencional mente se hace coincidir con el del dibujo y el del pórtico 4.

 El

esfuerzo se mide con un manómetro 7, cuya escala indica la fuerza que actúa sobre la probeta.

 Al

terminar el ensayo, el aceite, bajo la presión del pórtico 4, se desplaza por la llave 8 hacia el recipiente de aceite 9.






La potencia de las máquinas de ensayo varía entre algunos gramos (para el ensayo de fibras e hilos) a cientos de toneladas (para los ensayos de estructuras grandes). Las máquinas de pequeña potencia (hasta una tonelada) se hacen generalmente del tipo de palanca. Para mayores potencias es preferible el principio hidráulico.


Durante los ensayos a tracción, la probeta se fija en los cierres de la máquina, o mediante cuñas que aprietan automáticamente la probeta (a), o mediante casquillos partidos (b).


Los cierres en las máquinas se diseñan de tal manera que excluyan la inclinación de la probeta y garanticen, dentro de lo posible, la transmisión central del esfuerzo sin flexión suplementaria.


En los ensayos a compresión la probeta cilíndrica se coloca libremente entre las losas paralelas.






El propósito principal de los ensayos a tracción y compresión consiste en la construcción de los diagramas de tracción y compresión, o sea, la dependencia entre la fuerza que actúa sobre la probeta y su alargamiento. En la máquina de palanca la fuerza se mide, o por el ángulo de inclinación del péndulo, o por la posición del peso que equilibra. En la máquina hidráulica, la magnitud de la fuerza se establece por la escala del manómetro graduada debidamente.


Para la medición a grosso modo de los alargamientos se usan dispositivos simples (a menudo de palanca) que fijan el desplazamiento mutuo de los cierres de la máquina.



Este desplazamiento en el caso de alargamientos grandes se puede igualar al alargamiento de la probeta.


Para la medición exacta de pequeños alargamientos se emplean aparatos especiales denominados tensómetros.



Este dispositivo se establece directamente sobre la probeta para fijar el desplazamiento mutuo de dos secciones de la parte de trabajo de la probeta.


La máquina de ensayo moderna generalmente está provista de un dispositivo para obtener automáticamente el diagrama de traccióntracción -compresión.


Esto permite, una vez realizado el ensayo, obtener en cierta escala la curva P = f(l).

ELEMENTOS DE UN LABORATORIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES

Máquina universal

Aditamentos

Compresión de cilindros de concreto

Flexión

de viguetas de concreto

Flexión

en maderas

Tensión en varillas

Corte en maderas

Coeficiente de seguridad: Tensión admisible

A lo largo del tiempo se ha pasado de la aspiración de seguridad absoluta de una estructura a la aceptación de un riesgo más o menos probable.




El ideal de perennidad de una estructura ha sido sustituido por el concepto de durabilidad, y con este concepto se eligen los materiales y se dimensionan las secciones, para que la estructura dure el número de años que se prevé útil, con el error que lleva consigo la difícil profecía de utilidad.




Al aumentar gradualmente las cargas aplicadas a una estructura, en alguno de sus puntos aparecen fisuras o simplemente se producen deformaciones que se consideran peligrosas cuando son debidas a esfuerzos superiores al límite elástico.




El estado de esfuerzos correspondiente a este punto de la estructura constituye un estado de esfuerzos límite ya que su presencia significa que la estructura ha alcanzado lo que se considera su límite de resistencia.




En una estructura donde solamente existen estados de esfuerzos uniaxiales, el estado de esfuerzos límite tendrá como única componente un esfuerzo característico del material denominado esfuerzo límite W L.




omo la estructura ha de estar siempre en condiciones elásticas, para que no se produzcan en ella deformaciones permanentes al descargarla, el esfuerzo límite W L debería ser el límite elástico W e.

C


ada la dificultad de determinar en los ensayos el límite elástico, se adopta como esfuerzo límite el esfuerzo de fluencia W fl para los materiales dúctiles y el esfuerzo de rotura W R para los materiales frágiles.

D

Coeficiente de seguridad: Tensión admisible  En

estas estructuras con estados de esfuerzos uniaxiales se dimensionan sus secciones transversales haciendo que en ninguno de sus puntos los esfuerzos máximos W máx superen un valor determinado, denominado esfuerzo admisible W adm , que depende del material y de las condiciones de trabajo de la estructura.

Coeficiente de seguridad: Tensión admisible 

Es decir, ha de verificarse:

W máx e W adm siendo:

W adm !

W

n

donde W L es el esfuerzo límite del material y n un coeficiente mayor que la unidad llamado coeficiente de seguridad.


onocidas las características mecánicas del material y la tensión interior máxima en el mismo, se ha de establecer la tensión admisible Wadm, es decir, la tensión de servicio que ha de estar, naturalmente, muy alejada de la tensión de rotura.

C


La relación entre la tensión de rotura WR y la tensión admisible, Wadm es el grado de seguridad, n. Se tiene, por tanto:



Wadm

!

W R

n


Los materiales frágiles se comportan casi elásticamente hasta la rotura, que no viene precedida de fenómenos especiales. En estos materiales se toma efectivamente la tensión de rotura, WR , como base para determinar Wadm. 


En los materiales dúctiles se inician las deformaciones permanentes a partir del límite elástico, se y a continuación se presenta la fluencia con la que comienzan las grandes deformaciones, produciéndose, por último, la rotura.




En estos materiales la tensión admisible ha de ser no sólo inferior a la fluencia que representa un fenómeno importante que altera profundamente las propiedades resistentes del material, sino también al límite elástico WE y al límite de proporcionalidad WF.




Esto es necesario para que el cuerpo no se deforme de modo permanente y para que, además, pueda suponerse válida la ley de Hooke.




El grado de seguridad en estos materiales se establece por la relación entre la tensión de fluencia, WF y la Wadm:

WF W n' ! Wadm ! Wadm n'


En algunas ocasiones, la tensión determinante no es la tensión normal, W, sino la cortante, X. Se establece entonces, análogamente, la Xadm.




En el caso de solicitaciones compuestas, el criterio de resistencia es más complejo. Sin embargo, siempre es posible expresar la condición de resistencia admisible limitando adecuadamente las tensiones. 


En la determinación del coeficiente de seguridad influye considerablemente la experiencia basada en la construcción de estructuras análogas y el nivel de la técnica en cada momento.




En el proyecto de una construcción que ha de estar en servicio un elevado número de años como las edificaciones, se toman coeficientes de seguridad comprendidos entre 2 y .




En la técnica aeronáutica donde la reducción del peso en las estructuras tiene una importancia fundamental, los coeficientes de seguridad varían entre 1, y 2, pero van acompañados de numerosos ensayos mecánicos complementarios.




La elección del coeficiente de seguridad depende de diversos factores entre los cuales se consideran como fundamentales los siguientes:



Coeficiente de seguridad: Tensión admisible a) Material de la estructura. Cuanto

mayor sea la calidad y la homogeneidad de un material, será menor la dispersión en los ensayos que determinan el esfuerzo límite y, en consecuencia, se precisará un coeficiente de seguridad menor. La mayor facilidad en reducir dicha dispersión por la técnica empleada en la fabricación hace que el coeficiente de seguridad de los aceros (n = 2) sea menor que el de los hormigones (n = 3).

Coeficiente de seguridad: Tensión admisible b)

xactitud E

de los cálculos.

Es evidente que cuanto mayor sea la exactitud de los cálculos y la rigurosidad de sus hipótesis, menor será el coeficiente de seguridad necesario.

Coeficiente de seguridad: Tensión admisible c) Tipo de construcción.

En el caso de ruina de una estructura, los daños en una construcción pública suelen ser mayores que en una privada y, por consiguiente, su coeficiente de seguridad ha de ser mayor. Si la construcción es provisional la probabilidad de ruina disminuye y, por ello, el coeficiente de seguridad de su estructura puede reducirse. Por último, si de la ruina de una estructura pueden derivarse daños físicos a personas, el coeficiente de seguridad ha de aumentarse.


La magnitud del grado de seguridad depende también de una serie de circunstancias. Se detallan a continuación las principales: 

Coeficiente de seguridad: Tensión admisible  Grado

de conocimiento del sistema de fuerzas exteriores:

En muchas ocasiones se pueden valorar exactamente las fuerzas exteriores que va a actuar. Pero existen otros casos en que ya no es tan exacto ese conocimiento (acción del viento, empujes de tierras, acciones sísmicas, acciones dinámicas, etc.).

Coeficiente de seguridad: Tensión admisible Grado ± Es

de dominio del cálculo:

importante la consideración de esta circunstancia, ya que se presentan casos en que el cálculo ha de basarse en hipótesis simplificadoras que no corresponden a la realidad más que aproximadamente, y, por tanto, el valor calculado para las tensiones no es el auténtico.

Coeficiente de seguridad: Tensión admisible  Incertidumbre

respecto a las propiedades del

material:

Si se trata, por ejemplo, del acero de construcción, su fabricación industrial permite tener la seguridad de que sus características son siempre prácticamente las mismas. Pero si el material es la madera, con su falta de homogeneidad, nudos, etc., o la piedra natural, de propiedades variables, hemos de aumentar el grado de seguridad.

Coeficiente de seguridad: Tensión admisible  Inseguridad

sobre las dimensiones de los perfiles a utilizar y sobre su disposición en obra

Por ejemplo, espesor de chapas laminadas, colocación de armaduras en el hormigón armado, etc.


En consecuencia, el grado de seguridad será tanto mayor cuanto mayor sea la incertidumbre existente en relación a las circunstancias que acabamos de señalar.  Como valor medio del grado de seguridad respecto a la rotura se puede tomar para el acero de construcción n = 3, y para la madera, n = 8. 


Se han de tener también en cuenta los efectos dinámicos correspondientes a cargas que puedan originar efectos de impacto.  Por otra parte, la tensión admisible para los metales empleados en elementos de máquinas debe reducirse para tener en cuenta el efecto perjudicial de las vibraciones. 


odo lo indicado respecto al grado de seguridad corresponde al ³modo clásico´ de enfocar el cálculo de estructuras.  En la actualidad existe la tendencia a considerar la cuestión de la seguridad de forma diferente: una vez determinadas las cargas que va a actuar, se ³mayoran´ multiplicándolas por el grado de seguridad. T

Coeficiente de seguridad: Tensión admisible 

Una vez mayoradas las cargas, los cálculos deberán garantizar que, tanto en el conjunto de la estructura considerado, como en cada uno de sus elementos, no se produce en ningún punto la tensión de fluencia para los materiales con escalón de fluencia o la de rotura en los materiales frágiles.

Valores

de tensión admisible

Valores

de tensión admisible

El concepto de esfuerzo 

Una estructura está solicitada a tracción cuando en sus secciones transversales actúa únicamente la fuerza normal N dirigida en el sentido positivo del eje normal x.



Por el contrario, si N está dirigida en el sentido negativo del eje x, la estructura estará solicitada a compresión.


Las estructuras hiperestáticas se analizan complementando las ecuaciones de la Estática con un número de ecuaciones adicionales, o ecuaci ones d e d ef ormación igual al grado de hiperestaticidad de la estructura.

El concepto de esfuerzo 

Consideremos una viga (a), es d eci r, un cuerpo eng endrado por el d esplazami ento en el espaci o d e una su per f ici e plana, llamada sección transv ersal, cuy o c entro d e grav edad r ec orr e una curva a la que permanec e c onstant ement e normal.

El concepto de esfuerzo Los esfuerzos V existentes en la viga se ponen de manifiesto si la imaginamos cortada en dos partes, por ejemplo, por la sección transversal S. T



El concepto de esfuerzo Las acciones mecánicas, o esfuerzos V , que las partículas contiguas ejercen sobre los elementos de superficie dA de la sección transversal S d, originan un sistema de fuerzas internas que restablecen el equilibrio de la parte izquierda de la viga (b) T




Reduciendo el sistema de fuerzas internas que actúan sobre la sección transversal Sd al centro de gravedad G de dicha sección, se obtiene la resultante general R y el momento resultante M R relativo al punto G. T

T


Se elige un triedro cuyos ejes y, z están situados en el plano de la sección y el eje x normal a dicho plano, está dirigido hacia fuera de la parte de la viga limitada por la sección Sd.


Proyectando la resultante general R sobre el eje normal W y sobre el plano yz de la sección transversal se obtienen, respectivamente, respectivamente, la f uerza normal N y la f uerza c ortant ortant e X, cuyas componentes componentes según s egún los ejes y, z son Xy y Xz. T


De la misma mism a forma, al proyectar proyectar el momento m omento resultante M R sobre el eje x y el plano yz se obtienen, respectivamente, respectivamente, el momento torsor M t y el momento f l le c tor tor M, cuyas componentes según los ejes y, z son My y Mz T




Las componentes componentes N, Xy, Xz, Mt, My, Mz son las posibles ici ta sol ici taci on ones de la sección transversal S. Estas solicitacione s olicitaciones s formarán un sistema equivalente al sistema de fuerzas internas elementales dA que actúan sobre la sección transversal Sd.


De las anteriores definiciones se deducen las siguientes relaciones entre esfuerzos y solicitaciones:


Considerando ahora la sección transversal de la viga representada en la figura, solicitada por la fuerza normal N.



Al ser nulas las restantes solicitaciones, el sistema de ecuaciones se reduce a:

El concepto de esfuerzo


Estas ecuaciones por sí solas no permiten determinar los esfuerzos que la fuerza normal N origina en la sección transversal, siendo necesario recurrir a hipótesis simplificadoras relativas al comportamiento de las secciones transversales.

El concepto de esfuerzo a h p i ót esi s d e Bernoui ll i, que ha si do c omprobada ex per i mentalment e, establ ec e que d urant e la d ef ormación las secci ones transv ersal es permanec en planas y paral elas a sí mi smas.

L


De acuerdo con esta hipótesis, un elemento de la viga, limitado por las superficies S 1 y S2 se transformará, bien en el elemento S S (a) o bien en el elemento S S (b), según que las traslaciones de las secciones transversales S 1 y S2 tengan únicamente la dirección del eje de la viga, o tengan además componentes transversales. "

"

1

2

'

'

1

2


En el primer caso, los paralelepípedos elementales a 1a2b1b2, se transforman en ' ' ' ' los paralelepípedos a 1a 2 b 1 b 2 sin experimentar distorsión alguna, es decir, siendo Kxy = Kxz = 0 y, por tanto, Xxy = Xxz = 0.


En el segundo caso, al transformarse los " " " " a paralelepípedos a 1a2b1b2 en los a 2 b b 2 , la distorsión será constante, es decir, Kxy = cte, Kxz = cte y, por tanto, Xxy cte, Xxz = cte. 1

1


En este caso, la segunda y tercera ecuaciones se reducirían a:

´

X xy dA ! 0

´

X xz dA ! 0

o sea

Xxy = Xxz = 0

El concepto de esfuerzo En resumen, tanto en un caso como en otro, la h p i ót esi s d e Bernoui ll i ex ig e que las d i storsi ones sean nulas y , en c onsecuenci a, que sean nulas las c omponent es Xxy y Xxz de los esf uerzos c ortant es.  Por consiguiente, la segunda, tercera y cuarta ecuaciones serán idénticamente nulas. 


Al trasladarse las secciones transversales S 1 y S2 en la dirección del eje de la viga magnitudes diferentes, el elemento S1S2, de longitud dx, se transforma en el elemento S ' S 2', de longitud dx + dx, con lo que todos los paralelepípedos elementales a 1a2b1b2, paralelos al eje de la viga, se transforman en los ' ' ' ' paralelepípedos a1a 2 b1 b 2 , experimentando la misma deformación lineal. 1


Siendo Wy = Wz = 0, la ley de Hooke generalizada determina:

Wx ! E Ix

El concepto de esfuerzo Al ser iguales las deformaciones lineales ex en todos los puntos de una sección transversal, también serán iguales los esfuerzos normales Wx.





Es decir, ex is t e una d is tr i bución uni f orme d e esf uerzos normal es W x en c ada a. sección transv ersal d e la v ig


Teniendo esto en cuenta, la primera ecuación se reduce a:

N ! W x de donde: Wx !

´

dA !

N A

siendo A el área de la sección transversal.

xA


La distribución uniforme de esfuerzos normales ha sido comprobada experimentalmente en secciones transversales alejadas de las cargas aplicadas y está de acuerdo con el Principio de Saint Venant, según el cual únicamente se produce una particular distribución no uniforme de esfuerzos normales en las secciones próximas a las cargas.

Deformaciones 

En una viga solicitada a tracción o a compresión, los paralelepípedos paralelos al eje de la viga experimentan una deformación lineal:

N Ix ! EA

Deformaciones 

La variación de longitud del eje de la viga, es decir, el alargami ento o ac ortami ento d e la a es: v ig

( !

´

I x dx

Deformaciones 

Es decir:

(L !

Ndx

´ EA

Deformaciones Asimismo, el alargamiento o acortamiento de una viga va acompañado, respectivamente, de contracciones o dilataciones laterales, definidas por las deformaciones lineales



I y ! I z ! YI x ! 

Y N

EA

Deformaciones 

En el caso particular de una viga de sección transversal constante y peso despreciable sometida a la carga longitudinal P aplicada en su extremo, el diagrama de fuerzas normales es rectangular y corresponde a la expresión N = P.

Deformaciones 

Sustituyendo este valor constante, se obtiene:

PL (L ! EA

Deformaciones 

En numerosos casos, a la vez que actúan cargas longitudinales en la viga se produce una variación T en su temperatura.




Las componentes componentes N, Xy, Xz, Mt, My, Mz son las posibles ici ta sol ici taci on ones de la sección transversal S. Estas solicitacione s olicitaciones s formarán un sistema equivalente al sistema de fuerzas internas elementales dA que actúan sobre la sección transversal Sd.

Deformaciones 

Debido a la variación de temperatura T, un paralelepípedo paralelo al eje de la viga de longitud dx experimenta una variación de longitud dx = dx . E T, siendo E el coeficiente de dilatación lineal de la viga.

Deformaciones 

Es decir, la deformación lineal lineal Ix debida a la variación de temperatura T, es

Ix T !

(dx

dx

! E(T

Deformaciones 

Se ha comprobado experimentalmente experimentalmente que, a temperaturas t emperaturas no demasiado elevadas, el módulo de elasticidad E apenas varía con la temperatura, y que el coefici coeficiente ente de dilatac dilatación ión a no depende depende prácticamente de los esfuerzos normales Wx.

Deformaciones 

En consecuencia, los efectos de las cargas longitudinales y de la variación de temperatura pueden considerar independientes y, por tanto, la deformación lineal Ix, debida a las cargas longitudinales y a la variación de temperatura T, se obtiene sumando las correspondientes a estos dos efectos:

Ix !

N EA

 E(T

Deformaciones 

Por tanto, una viga se sección transversal constante, sometida a cargas longitudinales P aplicadas en sus extremos y a una variación de temperatura T, experimenta una variación de longitud:

PL (L !  EL(T EA

Deformaciones 

Sin embargo, cuando las temperaturas son elevadas, del orden de 300° para el acero, es preciso tener en cuenta que el módulo de elasticidad E depende realmente de la temperatura.

Tensiones y deformaciones en un prisma por su propio peso

 En algunas ocasiones la magnitud de las cargas que actúan sobre el prisma es muy grande, lo que hace que el peso propio del mismo se pueda considerar despreciable.  En otras, por el contrario, sólo el propio peso puede producir por sí mismo unas tensiones que pudieran ser del mismo orden de magnitud, e incluso superiores, que las debidas a las cargas y que, evidentemente, habrá que tener en cuenta.

Tensiones y deformaciones en un prisma por su propio peso  Supongamos el prisma recto de peso P, longitud  y sección de área constante A indicado en la figura, en uno de cuyos extremos está sometido a una carga F, que supondremos uniformemente repartida en esa sección, creando un estado tensional de tracción en el caso (a) y de compresión en el (b).


 Si el peso P fuera despreciable frente a la carga F podríamos considerar que la tensión normal W en cualquier sección recta de área A sería en valor absoluto

F W! A y el alargamiento o acortamiento, en su caso, del prisma en dirección axial

Fl (l ! EA


 En el caso que el peso no fuera despreciable, la tensión dada por la primera de estas ecuaciones solamente sería cierta para la sección extrema inferior en el caso (a), o la superior en el caso (b).


 Para cualquier sección intermedia la fuerza que habría que considerar sería F aumentada en el peso de la parte de prisma existente entre esta sección y la que está aplicada la carga.


 La tensión es variable, alcanzando su valor máximo en la sección de empotramiento. Su valor sería: W máx !

F P A


 Para una sección cualquiera nn, a distancia x de la sección extrema en la que se aplica la carga, la tensión toma el valor W!

K

F  Ax A

siendo K el peso específico del material de la barra PESO ESPECÍFIC O) = (DENSIDAD) x (GRAVEDAD).


 Supongamos dos secciones rectas separadas dx. El estado de tensiones definido anteriormente produce un alargamiento o acortamiento de este prisma elemental.

d( ( l ) !

K dx EA

F  Ax


 El alargamiento, o acortamiento, total del prisma se obtendrá integrando esta expresión a lo largo de la barra: F  K Ax R l 1 K Al 2 l ¨ P ¸ (l ! ´0 EA dx ! EA  2 EA ! EA ©ª F 2 º¹ l


 El resultado a que hemos llegado nos dice que cuando se considera un prisma de sección constante sometido a tracción (o compresión) y se tiene en cuenta el peso propio, la variación de longitud que experimenta dicho prisma es la misma que presentaría un prisma de peso despreciable sometido a un esfuerzo de tracción (o compresión) igual a la carga aplicada incrementada en otra igual a la mitad del peso propio de la pieza.

Sól ido

de igual resistencia

 En el caso estudiado hemos supuesto constante la sección A.  Asegurando que la tensión máxima dada por la tercera ecuación sea menor o igual a la tensión admisible, en cualquier otra sección del prisma la tensión será inferior a la Wadm con toda seguridad.

Sól ido


 Esta circunstancia nos permite disminuir las secciones del prisma hasta conseguir que en cualquiera de ellas la tensión sea la misma, con un consiguiente ahorro de material.  Llegamos así al concepto de sólido de igual resistencia , es decir, un sólido en el que se tiene en cuenta su propio peso y es tal que en cualquier sección recta la tensión s es la misma.

Sól ido




Consideremos

el pilar de la siguiente figura, y calculemos la función que da el valor de la sección A del mismo para que verifique estas condiciones.

Sól ido

de igual resistencia  Sean dos secciones próximas mm y nn; sobre la inferior la carga es igual a la correspondiente a la sección superior aumentada en el peso del prisma comprendido entre ambas.

Sól ido

de igual resistencia  La superficie de la sección nn será mayor que la de mm y la diferencia dA entre una y otra ha de ser tal que la tensión producida por el peso del prisma elemental sea W, es decir:

WdA ! K Adx

Sól ido


 Separando variables, e integrando la ecuación diferencial, se tiene:

´

dA K ! dx A ´W

LA !

Kx W

Kx  LC



A!

eW

Sól ido

de igual resistencia 

es una constante de integración, cuyo valor es igual al área de la sección superior del pilar, según se desprende al particularizar esta ecuación para x = 0. C

C!Ao !

F W

Sól ido




Con

lo que la ecuación precedente toma, pues, la forma:

F

A! e W

Kx W


Estas ecuaciones por sí solas no permiten determinar los esfuerzos que la fuerza normal N origina en la sección transversal, siendo necesario recurrir a hipótesis simplificadoras relativas al comportamiento de las secciones transversales.

El concepto de esfuerzo a h p i ót esi s d e Bernoui ll i, que ha si do c omprobada ex per i mentalment e, establ ec e que d urant e la d ef ormación las secci ones transv ersal es permanec en planas y paral elas a sí mi smas.

L


De acuerdo con esta hipótesis, un elemento de la viga, limitado por las superficies S 1 y S2 se transformará, bien en el elemento S S (a) o bien en el elemento S S (b), según que las traslaciones de las secciones transversales S 1 y S2 tengan únicamente la dirección del eje de la viga, o tengan además componentes transversales. "

"

1

2

'

'

1

2


En el primer caso, los paralelepípedos elementales a 1a2b1b2, se transforman en ' ' ' ' los paralelepípedos a 1a 2 b 1 b 2 sin experimentar distorsión alguna, es decir, siendo Kxy = Kxz = 0 y, por tanto, Xxy = Xxz = 0.


En el segundo caso, al transformarse los " " " " a paralelepípedos a 1a2b1b2 en los a 2 b b 2 , la distorsión será constante, es decir, Kxy = cte, Kxz = cte y, por tanto, Xxy cte, Xxz = cte. 1

1


En este caso, la segunda y tercera ecuaciones se reducirían a:

´

X xy dA ! 0

´

X xz dA ! 0

o sea

Xxy = Xxz = 0

El concepto de esfuerzo En resumen, tanto en un caso como en otro, la h p i ót esi s d e Bernoui ll i ex ig e que las d i storsi ones sean nulas y , en c onsecuenci a, que sean nulas las c omponent es Xxy y Xxz de los esf uerzos c ortant es.  Por consiguiente, la segunda, tercera y cuarta ecuaciones serán idénticamente nulas. 


Al trasladarse las secciones transversales S 1 y S2 en la dirección del eje de la viga magnitudes diferentes, el elemento S1S2, de longitud dx, se transforma en el elemento S ' S 2', de longitud dx + dx, con lo que todos los paralelepípedos elementales a 1a2b1b2, paralelos al eje de la viga, se transforman en los ' ' ' ' paralelepípedos a1a 2 b1 b 2 , experimentando la misma deformación lineal. 1


Siendo Wy = Wz = 0, la ley de Hooke generalizada determina:

Wx ! E Ix

El concepto de esfuerzo Al ser iguales las deformaciones lineales ex en todos los puntos de una sección transversal, también serán iguales los esfuerzos normales Wx.





Es decir, ex is t e una d is tr i bución uni f orme d e esf uerzos normal es W x en c ada a. sección transv ersal d e la v ig


Teniendo esto en cuenta, la primera ecuación se reduce a:

N ! W x de donde: Wx !

´

dA !

N A

siendo A el área de la sección transversal.

xA


La distribución uniforme de esfuerzos normales ha sido comprobada experimentalmente en secciones transversales alejadas de las cargas aplicadas y está de acuerdo con el Principio de Saint Venant, según el cual únicamente se produce una particular distribución no uniforme de esfuerzos normales en las secciones próximas a las cargas.

Deformaciones 

En una viga solicitada a tracción o a compresión, los paralelepípedos paralelos al eje de la viga experimentan una deformación lineal:

N Ix ! EA

Deformaciones 

La variación de longitud del eje de la viga, es decir, el alargami ento o ac ortami ento d e la a es: v ig

( !

´

I x dx

Deformaciones 

Es decir:

(L !

Ndx

´ EA

Deformaciones Asimismo, el alargamiento o acortamiento de una viga va acompañado, respectivamente, de contracciones o dilataciones laterales, definidas por las deformaciones lineales



I y ! I z ! YI x ! 

Y N

EA

Deformaciones 

En el caso particular de una viga de sección transversal constante y peso despreciable sometida a la carga longitudinal P aplicada en su extremo, el diagrama de fuerzas normales es rectangular y corresponde a la expresión N = P.

Deformaciones 

Sustituyendo este valor constante, se obtiene:

PL (L ! EA

Deformaciones 

En numerosos casos, a la vez que actúan cargas longitudinales en la viga se produce una variación T en su temperatura.

Deformaciones 

Debido a la variación de temperatura T, un paralelepípedo paralelo al eje de la viga de longitud dx experimenta una variación de longitud dx = dx . E T, siendo E el coeficiente de dilatación lineal de la viga.

Deformaciones 

Es decir, la deformación lineal lineal Ix debida a la variación de temperatura T, es

Ix T !

(dx

dx

! E(T

Deformaciones 

Se ha comprobado experimentalmente experimentalmente que, a temperaturas t emperaturas no demasiado elevadas, el módulo de elasticidad E apenas varía con la temperatura, y que el coefici coeficiente ente de dilatac dilatación ión a no depende depende prácticamente de los esfuerzos normales Wx.

Tracción y compresión

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