T RAB RA B A JO Y E N E RGÍA
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EJE RCI CI OS DE T RABA JO Y EN ERGÍA RESUE RESUE L TOS: TOS: Ejemplo 1: Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000 N/m.
La fuerza necesaria para deformar un muelle es F es F =1000· =1000· x N, x N, donde x donde x es es la deformación. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral
El área del triángulo de la figura es (0.05·50)/2=1.25 J
Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento. W=F t t·s Ejemplo 2: Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.
Si la fuerza y el desplazamiento desplaza miento tienen el mismo sentido, el trabajo es positi vo Si la fuerza y el desplazamiento desplaza miento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negati vo Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.
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Ejemplo 3: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F =1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g.
El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J
La velocidad final v es
Ejemplo 4:
Sobre una partícula actúa la fuerza F=2 xyi+ x j N Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA.
La curva AB es el tramo de parábola y= x2/3. BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y CA es la porción del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)
El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento dW =F·dr=( F xi+ F y j)·(dxi+dy j)= F xdx+F ydy
Las variables x e y se relacionan a través de la ecuación de la trayectoria y=f(x), y los desplazamientos infinitesimales dx y dy se relacionan a través de la interpretación geométrica de la derivada dy= f’ ( x)·dx. Donde f’ ( x) quiere decir, derivada de la función f ( x) con respecto a x.
Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total en el camino cerrado.
Tramo AB
Trayectoria y= x2/3, dy=(2/3) x·dx.
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Tramo BC
La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de una recta de pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1. y=(2/3) x+1, dy=(2/3)·dx
Tramo CD
La trayectoria es la recta x=0, dx=0, La fuerza F=0 y por tanto, el trabajo W CA=0
El trabajo total
W ABCA=W AB+W BC +W CA=27+(-27)+0=0
Ejemplo 5:
Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular 1. La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y cuando llega al suelo, aplicando las fórmulas del M.R.U.A. 2. La energía cinética potencial y total en dichas posiciones Tomar g =10 m/s2
Posición inicial x=3 m, v=0.
E p=2·10·3=60 J, E k=0, E A= E k+E p=60 J
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Cuando x=1 m
E p=2·10·1=20 J, E k=40, E B= E k+E p=60 J
Cuando x=0 m
E p=2·10·0=0 J, E k=60, E C = E k+E p=60 J La energía total del cuerpo es constante. La energía potencial disminuye y la energía cinética aumenta. Ejemplo 6: Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30º de inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.16. Determinar:
la longitud x que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para la velocidad v que tendrá el bloque al regresar a la base del plano
Cuando el cuerpo asciende por el plano inclinado
La energía del cuerpo en A es E A=½0.2·122=14.4 J La energía del cuerpo en B es E B=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98· x J El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de A a B es
W =- F r ·x=- μ·mg ·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30· x=-0.272· x J De la ecuación del h=x·sen30º=5.75 m
balance
energético
W = E B-E A,
despejamos x=11.5m,
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Cuando el cuerpo desciende
La energía del cuerpo en B es E B=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98· x=0.98·11.5=11.28 J La energía del cuerpo en la base del plano E A==½0.2·v2 El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de B a A es
W =- F r ·x=- μ·mg ·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·11.5=-3.12 J De la ecuación del balance energético W = E A-E B, despejamos v=9.03 m/s. Ejemplo 7: Una partícula de masa m desliza sobre una superficie en forma de cuarto de circunferencia de radio R, tal como se muestra en la figura. Datos R = 2m, m = 2kg y velocidad final V = 4m/s
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:
El peso mg La reacción de la superficie N , cuya dirección es radial La fuerza de rozamiento F r, cuya dirección es tangencial y cuyo sentido es opuesto a la velocidad de la partícula.
Descomponiendo el peso mg , a lo largo de la dirección tangencial y normal, escribimos la ecuación del movimiento de la partícula en la dirección tangencial mat =mg ·cosθ- F r Donde at =dv/dt es la componente tangencial de la aceleración. Escribimos en forma de ecuación diferencial la ecuación del movimiento
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Calculamos el trabajo W r realizado por la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es de sentido contrario al desplazamiento
Teniendo en cuenta que el deslazamiento es un pequeño arco de circunferencia dl=R·dθ y que
El trabajo realizado por la fuerza no conservativa F r vale
Si el móvil parte del reposo v=0, en la posición θ =0. Cuando llega a la posición θ
La energía cinética se ha incrementado en mv2/2. La energía potencial ha disminuido en mgRsenθ .
El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial o bien, la suma de la variación de energía cinética más la variación de energía potencial. El trabajo total de la fuerza de rozamiento cuando la partícula describe el cuarto de círculo es sustituyendo W r = -24 Julios.
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Ejemplo 8: Una partícula se encuentra inicialmente en reposo sobre el vértice de la cúpula, en una posición de equilibrio inestable. Cuando se desvía ligeramente de esta posición, la partícula desliza sin rozamiento , incrementando su velocidad hasta que llega un momento en el que deja de tener contacto con la cúpula. Calcular la posición θ c para la que abandona la cúpula. Indicar una vez está en el aire el punto del suelo dónde impacta. Radio de la cúpula R=15 m
En este apartado, calcularemos la posición θ c para la cual la reacción N de superficie semiesférica es nula.
Conservación de la energía
La energía de la partícula en la posición inicial θ =0, es E i=mgR La energía de la partícula en la posición θ es
Aplicando el E i=E f , podemos calcular la velocidad del móvil v en la posición θ v2=2 gR(1-cosθ )
Dinámica
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son
el peso mg la reacción de la cúpula N .
La partícula describe un movimiento circular con aceleración tangencial at y aceleración normal an. Estas aceleraciones se determinan aplicando la segunda ley de Newton a un movimiento circular de radio R
Ecuación del movimiento en la dirección tangencial
mg·senθ =mat
Ecuación del movimiento en la dirección normal
mg·cosθ -N=man
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La primera ecuación nos permite calcular la posición angular θ en función del tiempo t .
La segunda ecuación, junto al principio de conservación de la energía, nos permite calcular la reacción del plano N , en la posición θ
La partícula deja de tener contacto con la cúpula cuando la reacción N se anule. Para el ángulo θ c tal que
Aproximadamente, 48º medi dos desde la ver ti cal . Como vemos el ángulo límite es independiente del radio de la cúpula y de la masa de la partícula. La velocidad de la partícula cuando alcanza en esta posición es
Nota: Si resolvemos la ecuación diferencial del movimiento, con las condiciones iniciales son θ 0=0, dθ/dt =0, la partícula permanece en dicha posición indefinidamente, ya que está es una situación de equilibrio inestable.
Para que se mueva, desviamos la partícula ligeramente de la posición de equilibrio: las condiciones iniciales que hemos tomado son θ 0=0.02 rad, y aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad angular inicial dθ/dt de la partícula en la posición de partida. Una vez que la partícula deja de tener contacto con la cúpula, se mueve bajo la acción de su propio peso, es decir, describe una trayectoria parabólica desde el punto de coordenadas x0=R·sen 0=R·cos . Con velocidad inicial
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Las ecuaciones del movimiento son
El punto de impacto sobre el suelo se calcula poniendo y=0 en la segunda ecuación, despejando el tiempo t , y sustituyéndolo en la primera. Como el radio de la cúpula es R=15 m. En el momento en el que la partícula deja de tener contacto con la cúpula N =0, su posición angular es cosθ = 2/3 y su velocidad es,
Cuando llega al suelo y=0 0=15·cosθ -v0·senθ -½ 9.8·t 2. Se resuelve la ecuación de segundo grado t =0.86 s Se calcula el alcance medido desde el centro de la cúpula x=15·senθ + v0·cosθ ·t =16.90 m Ejemplo 9: A un muelle de k =1000 N/m, que está en vertical, se le engancha una m=10 kg. Determina la posición de equilibrio xo y el período de las oscilaciones. Si desde este equilibrio se estira hacia abajo una distancia a xo determina cuál es la ecuación del movimiento. El periodo de las oscilaciones es
La posición de equilibrio es 1000· x0=10·9.8, por lo que x0=0.098 m=9.8 cm La posición del cuerpo en función del tiempo es x= 9.8·cos(10t +π ) cm
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Ejemplo 10: Un bloque parte de la posición x0 sobre un plano inclinado con velocidad inicial nula. Teniendo en cuenta los siguientes datos: Coeficiente de rozamiento μ=0.3, Masa del bloque, m=1 kg, Angulo del plano inclinado θ =30º, Constante elástica del muelle, k =50 N/m, Posición inicial del bloque x0 =-1.0 m. Determinar en primer lugar que efectivamente se mueve y después: tiempo que tarda en impactar con el resorte, velocidad con la que impacta, deformación máxima que le produce al resorte, velocidad del bloque al volver a pasar por el origen subiendo, altura a la que llega,….
Como tanθ≥μ, tan30≥0.3, el bloque desliza hacia abajo La aceleración del bloque es a+= g (senθ - μcosθ )=9.8·(sen30º-0.3·cos30º)=2.35 m/s El tiempo t que tarda en llegar al origen x=0 0=-1.0+a+t 2/2, t =0.92 s La velocidad v del bloque v=a+t, v0=2.17 m/s Balance energético La fuerza de rozamiento vale f r= μmg cosθ=0.3·1.0·9.8·cos30=2.55 N
El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo
TRABAJO Y ENERGÍA La frecuencia angular ω2=k/m=50 El tiempo que tarda en alcanzar el máximo desplazamiento, v=0, es
El máximo desplazamiento xm es
Balance energético
Se resuelve la ecuación de segundo grado para calcular xm=0.357 m El bloque, en contacto con el muelle, desliza hacia arriba
La aceleración a-= g (senθ + μcosθ )=9.8·(sen30º+0.3·cos30º)=7.45 m/s 2 El bloque vuelve a pasar por el origen y tarda un tiempo
La velocidad v f del bloque cuando pasa por el origen es
Balance energético
El bloque desliza hacia arriba
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v=-1.03 +7.45 t x=-1.03·t +7.45·t 2 / 2 La velocidad v se hace cero, en el instante t =0.14 s, x0=-0.072 m El bloque completa un ciclo, y retorna hacia el ori gen, deslizando por el plano inclinado x=-0.072+a+t 2/2, v=a+t, cuando pasa por el origen x=0 , t =0.24 s, v0=0.58 m/s El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo
El tiempo que tarda en alcanzar el máximo desplazamiento es
El máximo desplazamiento xm es
En esta posición kxm-mg senθ ≤ μ smg cosθ , 1.19<2.55 El bloque permanece definitivamente en reposo en esta posición Ejemplo 11: Un bloque parte de la posición x0 sobre un plano inclinado con velocidad inicial nula. Teniendo en cuenta los siguientes datos: Coeficiente de rozamiento μ=0.24, Masa del bloque, m=1 kg, Angulo del plano inclinado θ =40º, Constante elástica del muelle, k =50 N/m, Posición inicial del bloque x0 =-1.0 m. Determinar en primer lugar que efectivamente se mueve y después: tiempo que tarda en impactar con el resorte, velocidad con la que impacta, deformación máxima que le produce al resorte, velocidad del bloque al volver a pasar por el origen subiendo, altura a la que llega,…. Solución: V = 3m/s, x máx = 52,4cm V = -2,29m/s , x que recorre hacia arriba hasta que se detiene x = -32cm. Ejemplo 12: Un bloque parte de la posición x0 sobre un plano inclinado con velocidad inicial nula. Teniendo en cuenta los siguientes datos: Coeficiente de rozamiento μ=0.2, Masa del bloque, m=1 kg, Angulo del plano inclinado θ =35º, Constante elástica del muelle, k =150 N/m, Posición inicial del bloque x0 =-1.0 m. Determinar en primer lugar que efectivamente se mueve y después: tiempo que tarda en impactar con el resorte, velocidad con la que impacta, deformación máxima que le produce al resorte, velocidad
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del bloque al volver a pasar por el origen subiendo, altura a la que llega,…. Solución: V = 2,83m/s, x máx = 26cm V = -2,52m/s , x que recorre hacia arriba hasta que se detiene x = -44cm. ¿Qué velocidad tendrá cuando se haya comprimido 20,4cm? V = 1,85m/s. Ejemplo 13: ¡Una curiosidad! Supongamos una goma de longitud d sujeta por su extremo superior, del extremo inferior se puede colgar un cuerpo de masa m. El comportamiento de la goma es distinto al de un resorte tal como podemos observar en la figura.
Para x<0 la goma no ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo de masa m. F =0 Para x>0 la goma ejerce una fuerza F =-k·x. Suponiendo que la goma tiene un comportamiento lineal (ley de Hooke)
Si sujetamos el cuerpo con la mano y hacemos que descienda muy despacio. Llega un momento en el que la fuerza que ejerce la goma equilibra el peso del cuerpo y la acción de la mano ya no es necesaria. En esta situación de equilibrio, el cuerpo se ha desplazado xe mg=kxe
Si se deja caer un cuerpo desde la posición del extremo superior de la goma x=-d, aplicando el principio de conservación de la energía podemos calcular la velocidad que alcanza cuando la goma se ha estirado una longitud x.
La máxima deformación xm de la goma se alcanza cuando v=0
Asi , por ejemplo, para k =400 N/m y m=30kg. La posición de equilibrio si descendemos poco a poco es xe es 0,735m, pero si lo la soltamos desde una distancia d =1m la xe es 3,7m
