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Grupo 911 – Febrero 2013 Ejercicios Resueltos del Tema 2.2.6
– Asignatura de Matemáticas – Grado en Química Lista de ejercicios en estas páginas: 1–7 y 9–12. Nota:
Los ejercicios ejercicios pueden pueden conten contener er errores, errores, agradec agradecemos emos que se comuni comuniquen quen a los profesores profesores para su corrección. Escribir Escribir a roger.casals
[email protected] 1. Determinar el trabajo realizado por el campo vectorial F ( F (x,y,z ) = (xy, 2, 4z ),
a lo largo de la hélice circular H : r(t) = (cos(t (cos(t), sin(t sin(t), t) para 0 ≤ t ≤ 2π . El trabajo realizado por una fuerza F a lo largo de r(t) es la integral de la componente de la fuerza en la dirección de r(t). La dirección de una curva en un punto dado es precisamente la derivada r (t). Dado Dado un pun punto r(t), la componente de F es el producto escalar F ( F (r(t)) · r (t)). El trabajo es la adición de todas estas contribuciones tribuciones infinitesim infinitesimales ales de la fuerza a lo largo de la curva. Luego, el resultado resultado es 2π
W =
H
F dl = dl =
· ·
0
F ( F (r (t)) r (t)dt
·
Tenemos r (t) = (− sin(t sin(t), cos(t cos(t), 1) y F ( F (r(t)) = (cos(t (cos(t)sin(t )sin(t), 2, 4t), así
F ( F (r (t)) r (t) = (2
·
2
cos(t) + 4t. 4 t. − sin (t)) cos(
El trabajo de F a lo largo de H es W =
2π
0
[(2
2
cos(t) + 4t 4 t]dt = dt = 8π − sin (t)) cos(
2
2. Integrar el campo vectorial h(x,y,z ) = (xy,yz,xz ), sobre la curva C descrita por r(t) = (t, t2 , t3 ) entre los puntos (−1, 1, −1) y (1, (1, 1, 1). Notemos en primer lugar que el punto (−1, 1, −1) corresponde a r(−1) y r(1) = Luegoo t = − 1 da el punto inicial y t = 1 el punto final, por lo tanto (1, (1, 1, 1). Lueg −1 ≤ t ≤ 1. Como en el ejercicio anterior, es necesario integrar h a lo largo de la curva. Esto quiere decir integrar la densidad obtenida al hacer el producto escalar h(r (t)) · r (t). Siendo h(r(t)) = (t (t3 , t5 , t4 ) y r (t) = (1, (1, 2t, 3t2 ):
C
1
h dl = dl =
·
−1
1
h(r(t)) r (t)dt = dt =
·
3. Calcular Calcular la integral integral
C
−1
6
6
(t + 2t 2t + 3t 3t )dt = dt =
h(r)dr si h( h(x, y ) = (ey ,
(1, (1, 0),(0, (0, 1) y ( 1, 0).
−
3
1
−1
5t6 dt = t3 + 5t dt =
10 7
− sin(πx el triángulo de vértices sin(πx)) )) y C el
Esta vez la curva C , esto es la unión de los lados del triángulo, tiene tres partes C 1 , C 2 y C 3 , una por lado. Empezemos con el lado horizontal C 1 que une el punto
1
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( 1, 0) con (1, 0), este se describe por r1 (t) = (t, 0) con 1 t 1 . El segmento que une (1, 0) con (0, 1) pertenece a la recta y = x + 1, luego1 es r2 (t) = (t, t+ 1) empezando con t = 1 y terminando en t = 0. El segmento que une (0, 1) con ( 1, 0) pertenece a la recta y = x + 1, luego se describe por r3(t) = (t, t + 1) con punto de inicio en t = 0 y final t = 1.
−
− ≤ ≤
−
− −
−
La integral a lo largo de cada uno de estos segmentos se calcula como en los dos ejercicios anteriores: evaluando h a lo largo de r y haciendo el producto escalar del vector resultante con r (t). Tenemos:
r1 (t) = (1, 0), h(r1 (t)) = (1,
− sin(πt)),
h(r2 (t)) = (e
t+1
−
Las tres integrales son:
C 1
·
0
C 2
C 3
h(r2 (t)) r2 (t)dt =
−1
h(r3 (t)) r3 (t)dt =
t+1
−
(e
1
·
3
t+1
3
h(r1 (t)) r1 (t)dt =
·
− r (t) = (1, 1) , − sin(πt)), h(r (t)) = (e , − sin(πt)) 1
r2 (t) = (1, 1),
0
(et+1
−1
1dt = 2
+ sin(πt))dt = 1
− e − π2
− sin(πt))dt = 1 − e − π2
La integral total es la suma de la integral en los tres lados I =
C
h dl =
·
C 1
h dl +
·
C 2
h dl +
·
C 3
h dl =
·
−2(e − 2) − π4
Alternativamente podemos calcular la integral en el contorno C de un dominio Ω usando el teorema de Green:
C
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
Ω
(Qx
− P ) · dxdy, y
donde P es la fuerza del campo en la dirección x y Q la fuerza en la dirección y , i.e. la primera y la segunda componente del campo. En nuestro caso Ω es el interior del triángulo, cuyos límites de integración son −1 ≤ x ≤ 0 y 0 ≤ y ≤ x + 1 para el sector del segundo cuadrante y 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ −x + 1 para el sector del primer cuadrante. En nuestro caso la fuerza en la dirección x de h es P (x, y) = e y mientras que Q(x, y) = − sin(πx). Luego Qx =
−π cos(πx),
P y = e y .
Según la teoría, la integral I también se puede calcular integrando Qx − P y en el interior del triángulo: I = x+1
0
=
−1
0
( π cos(πx)
−
Ω
− P ) · dxdy = y
−1
y
− e ) · dxdy + =
1
(Qx
0
x+1
−
0
( π cos(πx)
−
−2(e − 2) − π4
Para describir una recta y = nx + m podemos coger t = x y usar r (t) = ( t,nt + m).
2
y
− e ) · dxdy =
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4. Calcular la integral
C
encia unidad.
h(r) dr, si h(x, y) = (y2 + y, 2xy
2y
−e
·
) y C es la circunfer-
Podemos calcular la integral de línea directamente o integrar la densidad adecuada en el interior del dominio Ω con frontera C . En este caso Ω = D2 el disco unidad centrado en el origen (x, y) = (0, 0). Método 1: Integral de línea a lo largo de C Describimos la curva C mediante r(θ) = (cos θ, sin θ). Tenemos r (θ) = (− sin θ, cos θ). La densidad a lo largo de la circunferencia es
h(r(θ)) = h(cos θ, sin θ) = (sin2 θ + sin θ, 2sin θ cos θ
2 sin θ
−e
)
Luego la integral de línea es I = =
C
2π
0
(sin2 θ + sin θ, 2sin θ cos θ
− sin θ(sin
2
2 sin θ
−e
) ( sin θ, cos θ)dθ =
·−
θ + sin θ) + cos θ(2 sin θ cos θ
2 sin θ
−e
)dθ =
−π
Método 2: Integral en el dominio Ω con ∂ Ω = C En h(x, y) = (y2 + y, 2xy − e2y ) tenemos P (x, y) = y 2 + y y Q(x, y) = 2xy − e2y . Luego la densidad Qx − P y a integrar es P y = 2y + 1,
Qx = 2y =
⇒ Q − P = −1 x
y
y obtenemos de nuevo I =
C
h dl =
·
Ω
(Qx
− P ) · dxdy = −Area(Ω) = −π. y
5. Un planeta se mueve en el campo gravitatorio del sol: F (r) =
−ρm rr , 3
ρ, m constantes
Demostrar que el campo de fuerzas es conservativo, hallar una función de energía potencial y determinar la energía gravitatoria del planeta. Recordemos que r2 = x 2 + y 2 + z 2 y r = (x,y,z ). Luego el campo gravitatorio en el 3–espacio R3 es F (x,y,z ) =
−ρm
(x2 + y 2 + z 2 )3/2
· (x,y,z )
Un campo de fuerzas en R3 es conservativo si ocurre alguna de las tres siguientes propiedades equivalentes:
3
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(C1) La fuerza proviene de una potencial, es decir existe una función ϕ :
3
R
−→ R
tal que integra al campo, esto es, cumple la ecuación −∇ϕ = F . (C2) El trabajo de F a lo largo de trayectorias cerradas es 0:
C
F dl = 0,
·
siendo C una curva cerrada cualquiera. (C3) El producto vectorial del gradiente con la fuerza es nulo, i.e. ∇ × F = 0. Comprobemos que se satisface (C1) hallando el potencial. Necesitamos una función ϕ(x,y,z ) de modo que
−∇ϕ = −(∂ ϕ, ∂ ϕ, ∂ ϕ) = F. x
y
z
Luego tenemos que resolver las ecuaciones ∂ x ϕ =
ρm x (x2 + y 2 + z 2 )3/2
·
ρm y (x2 + y 2 + z 2 )3/2 ρm z ∂ z ϕ = 2 (x + y 2 + z 2 )3/2
·
∂ y ϕ =
·
Integrando respecto a x, y y z la primera, segunda y tercera ecuación obtenemos: ϕ(x,y,z ) =
− (x
ρm 2 + y 2 + z 2 )1/2
Podemos comprobar que efectivamente ϕ es el potencial gravitatorio, por ejemplo
−∂
− · −
x
= ρm
ρm = ρm ∂ x (x2 + y 2 + z 2 ) 2 2 2 1/2 (x + y + z ) 1 2 (x + y 2 + z 2 ) 2
/2
−3
·
· 2x
=
−
−1
/2
=
x ρm (x2 + y 2 + z 2 )3/2
que efectivamente corresponde a la primera componente de F . La energía potencial gravitatoria del planeta es el trabajo de la fuerza gravitatoria del origen de potencial a la posición del planeta. Esto es precisamente ϕ evaluado en la posición del planeta por ser ϕ una primitiva de F y centrar el origen de potencial en el Sol. La energía total del planeta será su energía cinética sumada a esta energía potencial. 6. Considera la rampa espiral S dada por r(u, v) = (u cos(ωv), u sin(ωv), bv)
donde l,b, ω ∈ R son constantes y (u, v) ∈ Ω = [0, l] × [0, 2π/ω].
4
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1. Calcula el módulo del vector normal a la superficie. 2. Calcula el área de la superficie.
3. Calcula S
x2 + y 2 dσ.
Calculemos el módulo del vector normal a la superficie correspondiendo a esta parametrización r(u, v). En primer lugar calculemos el vector normal. Recordemos que el producto vectorial de dos vectores en el 3–espacio R3 es perpendicular a ambos, si encontramos dos vectores tangentes linealmente independientes a la superfície y hacemos su producto vectorial obtendremos un tercer vector, perpendicular a ambos vector tangentes, es decir, normal a la superficie. Los dos vectores tangentes que usamos son ∂ u r(u, v) y ∂ v r(u, v). Para la parametrización dada los vectores son ∂ u r(u, v) = (cos(ωv), sin(ωv), 0),
∂ v r(u, v) = ( uω sin(ωv), uω cos(ωv), b)
−
Su producto vectorial es n = (cos(ωv), sin(ωv), 0)
× (−uω sin(ωv), uω cos(ωv), b) =
−uω sin(ωv)
cos(ωv) = sin(ωv) 0
i j = (b sin(ωv), b cos(ωv), uω) k
uω cos(ωv) b
El módulo del vector normal n es
−
|(b sin(ωv), −b cos(ωv), uω)| =
√
b2 + u2 ω2
Calculemos el área de la superficie S , esto es, la integral a lo largo del dominio Ω del módulo del vector normal n: Área(S ) =
S
1 dA =
·
√
2π/ω
b + u ω dudv =
Ω
2
2
2
0
l
b2 + u2 ω2 dudv =
0
√
2π = ω
l
b2 + u2 ω2 du
0
Finalmente calculemos
x2 + y 2 dσ . La densidad f (x,y,z ) =
S
de la superfície S es
√
√ x
2
+ y 2 a lo largo
f (r(u, v)) = u .
||
Luego la integral de superfície es
S
x + y dσ = 2
2
l
2π/ω
0
0
|u| ·
√
2π b2 + u2 ω2 dvdu = ω
l
0
l 2π 2π[(b2 + l 2 ω2 )3/2 2 2 2 3/2 = (b + u ω ) = 0 3ω3 3ω 3
7. Evaluar las integrales de línea I 1 =
C
xdx,
I2 =
C
ydy
a lo largo de las siguientes curvas orientas positivamente:
5
√
u b2 + u2 ω 2 du = 3
−b ]
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(a) C = {x2 + y 2 = ρ2 } ⊂ R2, con el radio ρ constante (b) C = xa + yb = 1 ⊂ R2 Empezemos por la curva C de (a), la circunferencia de radio ρ centrada en el origen (0, 0) ∈ R2. Podemos integrar el campo P (x, y)dx + Q(x, y) en el contorno o la densidad Qx − P y en el interior, en este caso el disco de radio ρ centrado en el origen.
2
2
2
2
Usando la integral en el contorno, una posible parametrización es r(t) = (ρ cos(t), ρ sin(t)) con 0 ≤ t ≤ 2π. El primer campo a integrar es F 1 (x, y) = (x, 0), luego
F (r(t)) = (ρ cos(t), 0),
r (t) = ( ρ sin(t), ρ cos(t)),
F (r(t)) r (t) =
−
·
−ρ
2
sin(t)cos(t)
Entonces la primera integral da I 1 =
C
F dl =
·
2π
0
−ρ
2
sin(t) cos(t)dt = 0
dado que la primitiva es inmediata o usando sin(2t) = 2 sin(t)cos(t). El resultado se podría haber deducido del hecho que el campo F es conservativo ya que la función φ(x, y) = −x2 /2 cumple
−∇φ = (−∂ φ, −∂ φ) = (x, 0) = F (x, y) x
y
Deducimos que el campo F integrado a lo largo de la curva C en (b), una elipse de semiejes a y b, tiene trabajo neto cero. Para la integral I 2 a lo largo de las curvas C en (a) y (b) procedemos análogamente. Dado que τ (x, y) = (0, −y 2/2) es un potencial para el campo G(x, y) = (0, y) tenemos I 2 = 0 por ser ambas curvas C cerradas. A modo de ejemplo, calculemos la integral I 2 usando el teorema de Green. Como F (x, y) = (x, 0), la fuerza a integrar es xdx: luego P (x, y) = x y Q(x, y) = 0. Por lo tanto la densidad a integrar es Qx − P y = 0, y el trabajo neto producido por la fuerza a lo largo de C es 0. En conclusión, las cuatro integrales se anulan. 9. Determinar el trabajo realizado por la fuerza F (x,y,z ) =
−
x , 2
−
y 1 , 2 4
al desplazarnos en la hélice r(t) = (cos(t), sin(t), t) desde el punto p = (1, 0, 0) al punto q = (1, 0, 3π). Los puntos p y q corresponden a los valores t = 0 y t = 3π respectivamente, luego integraremos en 0 ≤ t ≤ 3π. La densidad a integrar es el producto escalar F (r(t)) · r (t), como
F (r(t)) =
−
cos(t) , 2
−
sin(t) 1 , , 2 4
⇒ F (r(t))·r (t) = 41
r (t) = ( sin(t), cos(t), 1) =
6
−
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El trabajo realizado es entonces
W =
C
F dr =
·
3π
0
1 3π dt = 4 4
·
10. Calcular el trabajo realizado por la fuerza F (x,y,z ) = (x2 y, x − z, xyz ) al desplazarnos en la curva C descrita por r(t) = (t, t2 , 2) con 0 ≤ t ≤ 1. La densidad a integrar es F (r(t)) · r (t), esto es
F (r(t)) = (t4 , t
3
r (t) = (1, 2t, 0) =
− 2, 2t ),
⇒ F (r(t)) · r (t) = t
4
+ 2t(t
− 2)
El trabajo se calcula integrando la densidad a lo largo de la curva C : W =
C
1
F dl =
·
0
t4 + 2t(t
− 2)dt = − 17 15
11. Calcular el trabajo realizado por la fuerza F (x, y) = (x3 − 2x2 , x − y/2) al movernos en la curva C descrita por r(t) = (t, t2 ). Comprobar que el trabajo es nulo cuando el vector tangente es perpendicular a la fuerza. Primero calculemos la integral sistemáticamente. La densidad es F (r(t)) · r (t), en nuestro caso
F (r(t)) = (t3 2t2 , t t2 /2),
−
−
3
r (t) = (1, 2t) =
2
2
⇒ F (r(t))·r (t) = t −2t +2t −t
3
=0
Luego el trabajo realizado por la fuerza F entre cualquier par de puntos de la parabola C es 0, por ser la integral de la densidad 0 . Es claro que en general si la fuerza F (r(t)) es perpendicular al vector tangente r (t), i.e. F (r(t)) · r (t) = 0. Por lo tanto, el trabajo realizado es nulo dado que integramos la densidad 0.
12. Dada la fuerza F (x, y) = (y, x2 ), calcular su integral de línea, i.e. el trabajo realizado, en la curva r(t) = (4 − t, 4t − t2 ) con 0 ≤ t ≤ 3, y razonar el resultado que se obtendría recorriendo la curva en sentido inverso. La densidad es la fuerza evaluada en los puntos de la curva producto escalar con el vector tangente, que captura la componente de la fuerza en la dirección de la curva: F (r(t)) = (4t t2 , (4 t)2 ),
−
−
r (t) = ( 1, 4 2t),
− −
F (r(t)) r (t) = t 2 4t+(4 2t)(4 t)2
·
−
−
−
La integral es
C
3
F dl =
·
0
t2
− 4t + (4 − 2t)(4 − t) dt = 692 2
En el sentido inverso el resultado cambia de signo. Esto se sigue de la interpretación física o directamente usando la parametrización de t = 3 a t = 0 junto con b
a
− a
7
=
b
