ÍNDICE:
Introdu Introducci cción… ón………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……………… …………… …………… ……………… ……………. …….....
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Investi Investigac gación ión de Ope Operaci raciones ones.. Origen Origen……… …………… …………… ……………… ……………… ……………… ……………. ……...
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Evol Evoluc ució ión… n……… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………. ….
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Apli Ap lica caci ción ón…… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ……
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Princi Principio pioss de la Invest Investiga igació ciónn de Operaci Operacione ones…… s…………… ……………… ……………… ……………… …………… ……....
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Objeti Objetivos vos de de la Investi Investigac gación ión de Oper Operaci acione ones…… s…………… ……………… ……………… ……………… ……………. ……...
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Programa Programació ciónn Lineal Lineal……… ……………… …………… …………… ……………… ……………… ……………… …………… …………… …………. ….
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Méto Método dos… s……… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ……..
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Modelo Modelo de Colas Colas y Simula Simulació ción…… n…………… …………… …………… ……………… ……………… ……………… …………… ………. ….
9 1 0 1 2 1 5 1 6 1 9 1 9 2 0 2 1 2 2
Método Grafico……………………………… Grafico………………………………………………………… …………………………………………. ………………. Método Simplex……………………… Simplex………………………………………………… ………………………………………………… ……………………… Dualidad………………………………………………… Dualidad……………………… ……………………………………………………… ………………………………. …. Transporte: Definición y Aplicación del Modelo Transporte…………………………... Impacto de la Investigación Inve stigación de Operaciones……………………………………………. Operaciones……………………………………………. Enfoque de la Investigación de Operaciones…………………………………………… Etapas de la Investigación de Operaciones……………………………………………… Conclusión………………………………………………………… Conclusión…………………………… …………………………………………………. ……………………. Bibliografías…………………………………………………… Bibliografías………………………… ………………………………………………….. ………………………..
INTRODUCCIÓN
La inve invest stig igaci ación ón de ope opera raci cion ones es ha teni tenido do un impa impact ctoo impre impresi sion onant antee en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. Esta ha hecho hecho cont contri ribu buci cion ones es signi signifi fica cati tiva vass al incre increme ment ntoo de la produ product ctiv ivid idad ad dent dentro ro de la economía economía de varios países. Un elemento elemento principal de la investigaci investigación ón de operaciones operaciones es el modelo matemático. matemático. Aunque la solución del modelo modelo matemático establece una base para tomar una decisión, se deben tener en cuenta factores intangibles o no cuantificables, por ejemplo el comportamiento humano. Sus comienzos fueron en 1941 en problemas de detección de barcos y submarinos mediante un radar auto transportado. Este estudio condujo a que Blackett fuera nombrado director de Investigación de Operación Naval del Almirantazgo Británico Una vez terminada la contienda, los científicos pudieron llevar a la vida civil la metodología metodología empleada durante durante la guerra, tanto fue así que en 1948 se abrió el primer curso formal de Investigación de Operaciones en el MIT, un años después un matemático estadounidense (George Dantzig) hubiera desarrollado la Programación Lineal; definié definiéndos ndosee como como una técnic técnicaa median mediante te la cual cual se toman toman decisi decisione ones, s, reduci reduciend endoo el problema bajo estudio a un modelo matemático general, el cual debe ser resuelto por métodos métodos cuantitativos. cuantitativos. Uno de los método método utilizados utilizados en La Investigación Investigación de Operaciones son el Gráfico Gráfico el cual cual se puede resolve resolverr en forma gráfica gráfica si sólo tiene tiene dos variabl variables. es. Método Simplex Careciendo de la ventaja visual asociada con la representación gráfica del espacio de soluciones, el método simplex emplea un proceso iterativo que principia en un punto extremo factible, f actible, normalmente el origen, y se desplaza sistemáticamente de un punto extremo factible a otro, hasta que se llega por último al punto óptimo. Es importante resalt resaltar ar que la invest investiga igació ciónn de ope operaci raciones ones es una gran herramien herramienta ta para para planif planifica icar r controlar y mejorar situaciones que se nos presente en nuestro porvenir
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Investigación de operaciones: Origen: Su inicio fue en Inglaterra, fue allí donde se dieron las primeras actividades formales, en la segunda guerra mundial, cuando se encomendó a un equipo de científicos Ingleses la toma de decisiones a cerca de la mejor utilización de materiales bélicos, cuando termino la guerra. Las ideas formuladas en operaciones militares fueron adaptadas para mejorar la eficiencia y la productividad en el sector civil. Hoy en día la investigación de operaciones es una herramienta dominante e indispensable para tomar decisiones. Un elemento principal de la investigación de operaciones es el modelo matemático. Aunque la solución del modelo matemático establece una base para tomar una decisión, se deben tener en cuenta factores intangibles o no cuantificables, por ejemplo el comportamiento humano, para poder llegar a una decisión final. Cuando comenzó la Segunda Guerra Mundial, había un pequeño grupo de investigadores militares, encabezados por A. P. Rowe, interesados en el uso militar de una técnica conocida como radio ubicación (o radiolocalización), que desarrollaron científicos civiles. Algunos historiadores consideran que esta investigación es el punto inicial de la investigación de operaciones. Otros creen que los estudios que tienen las características del trabajo de investigación de operaciones aparecen posteriormente. Algunos consideran que su comienzo está en el análisis y solución del bloqueo naval de Siracusa que Arquímedes presentara al tirano de esa ciudad, en el siglo III A.C. F. W. Lanchester, en Inglaterra, justo antes de la primera guerra mundial, desarrolló relaciones matemáticas sobre la potencia balística de las fuerzas opositoras, que si se resolvían tomando en cuenta el tiempo, podían determinar el resultado de un encuentro militar. Tomás Edison también realizó estudios de guerra antisubmarina. Ni los estudios de Lanchester ni los de Edison tuvieron un impacto inmediato; junto con los de Arquímedes, constituyen viejos ejemplos del empleo de científicos para determinar la decisión óptima en las guerras, optimizando los ataques.
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No mucho después de que estallara la Segunda Guerra Mundial, la Badswey Research Station, bajo la dirección de Rowe, participó en el diseño de utilización óptima de un nuevo sistema de detección y advertencia prematura, denominado radar (Radio Detection And Ranging – Detección y medición de distancias mediante radio). Poco después este avance sirvió para el análisis de todas las fases de las operaciones nocturnas, y el estudio se constituyó en un modelo de los estudios de investigación de operaciones que siguieron. En agosto de 1940 se organizó un grupo de 20 investigadores, bajo la dirección de P. M. S. Blackett, de la Universidad de Manchester, para estudiar el uso de un nuevo sistema antiaéreo controlado por radar. Se conoció al grupo de investigación como el “Circo de Blackett”, nombre que no parece desatinado a la luz de sus antecedentes y orígenes diversos. El grupo estaba formado por tres fisiólogos, dos fisicomatemáticos, un astrofísico, un oficial del ejército, un topógrafo, un físico general y dos matemáticos. Parece aceptarse comúnmente que la formación de este grupo constituye el inicio de la investigación de operaciones. Blackett y parte de su grupo, participaron en 1941 en problemas de detección de barcos y submarinos mediante un radar autotransportado. Este estudio condujo a que Blackett fuera nombrado director de Investigación de Operación Naval del Almirantazgo Británico. Posteriormente, la parte restante de su equipo pasó a ser el grupo de Investigación de Operaciones de la Plana de Investigación y Desarrollo de la Defensa Aérea, y luego se dividió de nuevo para formar el Grupo de Investigación de Operaciones del Ejército. Después de la guerra, los tres servicios tenían grupos de investigación de operaciones. Como ejemplo de esos primeros estudios está el que planteó la Comandancia Costera que no lograba hundir submarinos enemigos con una nueva bomba antisubmarina. Las bombas se preparaban para explotar a profundidades de no menos de 30 m. Después de estudios detallados, un profesor apellidado Williams llegó a la conclusión de que la máxima probabilidad de muerte ocurriría con ajustes para profundidades entre 6 y 7 m. Entonces se prepararon las bombas para mínima profundidad posible de 10 m, y los aumentos en las tasas de muertes, según distintas estimaciones, se incrementaron entre un 400 y un 700%. De inmediato se inició el desarrollo de un mecanismo de disparo que se pudiera ajustar a la 4
profundidad óptima de 6 a 7m. Otro problema que consideró el Almirantazgo fueron las ventajas de los convoyes grandes frente a los pequeños. Los resultados fueron a favor de los convoyes grandes. A pocos meses de que Estados Unidos entrara en la guerra, en la fuerza aérea del ejército y en la marina se iniciaron actividades de investigación de operaciones. Para el Día D (invasión aliada de Normandía), en la fuerza aérea se habían formado veintiséis grupos de investigación de operaciones, cada uno con aproximadamente diez científicos. En la marina se dio un proceso semejante. En 1942, Philip M. Morris, del Instituto Tecnológico de Massachussets, encabezó un grupo para analizar los datos de ataque marino y aéreo en contra de los submarinos alemanes. Luego se emprendió otro estudio para determinar la mejor política de maniobrabilidad de los barcos en convoyes a fin de evadir aeroplanos enemigos, e incluso los efectos de la exactitud antiaérea. Los resultados del estudio demostraron que los barcos pequeños deberían cambiar su dirección gradualmente.
Evolución: La mayor parte de las técnicas que hoy en día conocemos como parte de la Investigación de Operaciones fueron desarrolladas y usadas en Operaciones Militares, desde la batalla del atlántico a la campaña del pacífico, desde el desarrollo de estrategia y táctica de los soldados en tierra, hasta la ubicación de submarinos germanos en las aguas del atlántico. Los aliados con la ayuda de la Investigación de Operaciones ganaron la guerra. Una vez terminada la contienda, los científicos pudieron llevar a la vida civil la metodología empleada durante la guerra, tanto fue así que en 1948 se abrió el primer curso formal de Investigación de Operaciones en el MIT, un años después que un matemático estadounidense (George Dantzig) hubiera desarrollado la Programación Lineal, que se convirtiera en la punta de lanza durante medio siglo de la IO, por supuesto la herramienta computacional con que se contó luego ha sido de una ayuda invaluable dentro de la evolución de la ciencia, por los voluminosos cálculos que involucran los modelos.
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En nuestros días ya es una práctica común y una herramienta indispensable cuando la complejidad de la toma de la decisión empresarial es grande, sin embargo no debemos olvidar que lo que ahora estudiamos fácilmente en libros de texto alguna vez costo "sangre, sudor y lágrimas", como dijo Churchill.
Aplicación: Algunas personas se verían tentadas a aplicar métodos matemáticos a cuanto problema se presentase, pero es que ¿acaso siempre es necesario llegar al óptimo? Podría ser más caro el modelar y el llegar al óptimo que a la larga no nos dé un margen de ganancias muy superior al que ya tenemos. Tómese el siguiente ejemplo: La empresa EMX aplica I.O. y gasta por el estudio y el desarrollo de la aplicación $100 pero luego de aplicar el modelo observa que la mejora no es muy diferente a la que actualmente tenía. Podríamos pues indicar que la investigación de operaciones sólo se aplicará a los problemas de mayor complejidad, sin olvidar que el simple uso de la I.O. trae un costo, que de superar el beneficio, no resultará económicamente práctico, algunos ejemplos prácticos donde usar I.O. resulta útil son:
En el dominio combinatorio, muchas veces la enumeración es imposible. Por ejemplo, si tenemos 200 trabajos por realizar, que toman tiempos distintos y solo cuatro personas que pueden hacerlos, enumerar cada una de las combinaciones podría ser ineficiente (aparte de desanimante). Luego los métodos de secuenciación serán los más apropiados para este tipo de problemas.
De igual manera, la I.O. es útil cuando en los fenómenos estudiados interviene el azar. La noción de esperanza matemática y la teoría de procesos estocásticos suministran la herramienta necesaria para construir el cuadro en el cual se optimizará la
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función económica. Dentro de este tipo de fenómenos se encuentran las líneas de espera y los inventarios con demanda probabilística.
Con mayor motivo, la investigación de operaciones se muestra como un conjunto de instrumentos precioso cuando se presentan situaciones de concurrencia. La teoría de juegos no permite siempre resolverlos formalmente, pero aporta un marco de reflexión que ayude a la toma de decisiones.
Cuando observamos que los métodos científicos resultan engorrosos para nuestro conjunto de datos, tenemos otra opción, simular tanto el comportamiento actual así como las propuestas y ver si hay mejoras sustanciales. Las simulaciones son experiencias artificiales. Es importante resaltar que la investigación de operaciones no es una colección de
formulas o algoritmos aplicables sistemáticamente a unas situaciones determinadas. Si se cae en este error, será muy difícil captar en condiciones reales los problemas que puedan deducirse de los múltiples aspectos de esta disciplina, la cual busca adaptarse a las condiciones variantes y particulares de los diferentes sistemas que puede afrontar, usando una lógica y métodos de solución muy diferentes a problemas similares mas no iguales.
Principios de la Investigación de Operaciones La Investigación de Operaciones se ocupa de la resolución de problemas relacionados con la conducción y coordinación de las operaciones o actividades dentro de una organización. Su ámbito de aplicación es muy amplio, aplicándose a problemas de fabricación, transporte, construcción, telecomunicaciones, planificación y gestión financiera, ciencias de
la salud,
servicios
públicos, etc. En general, puede aplicarse en todos los problemas relacionados con la gestión, la planificación y el diseño. La Investigación
de
Operaciones incluye
un conjunto muy
amplio
de técnicas orientadas a proporcionar una ayuda cuantitativa a la toma de decisiones. El método empleado es el método científico, y las técnicas que se utilizan son, en buena medida, técnicas matemáticas. 7
El objetivo de esta asignatura es que el estudiante asimile los principios que guían la resolución de problemas mediante la aplicación de las técnicas de Investigación de Operaciones. En concreto: La construcción de modelos de decisión basados en descripciones matemáticas, con
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el objetivo de tomar decisiones en situaciones de complejidad o incertidumbre. La resolución, mediante análisis matemático o simulación, de los modelos de
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decisión, obteniendo los valores óptimos de las variables de decisión que intervienen en el modelo. La realización de estudios de sensibilidad de la solución o soluciones propuestas,
•
para evaluar su robustez frente a cambios en las condiciones de los parámetros del modelo. Obtener una visión general sobre el concepto de sistema e identificar sus partes
•
componentes en un sistema productivo Atender a las expectativas que presenta el medio productivo mundial para poder ser
•
componente clave dentro de su desarrollo. Desarrollar capacidades necesarias para el diseño de modelos particulares para
•
resolver problemas en situaciones específicas. Comprender
•
la
importancia
de
la
Investigación
de
Operaciones
como metodología de optimización dentro de cualquier tipo de organización. Conocer y utilizar herramientas computacionales, soporte para la aplicación de los
•
modelos.
Objetivos de la investigación de operaciones: •
La construcción de modelos de decisión basados en descripciones matemáticas, con el objetivo de tomar decisiones en situaciones de complejidad o incertidumbre.
•
La resolución, mediante análisis matemático o simulación, de los modelos de decisión, obteniendo los valores óptimos de las variables de decisión que intervienen en el modelo.
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•
La realización de estudios de sensibilidad de la solución o soluciones propuestas, para evaluar su robustez frente a cambios en las condiciones de los parámetros del modelo.
•
Obtener una visión general sobre el concepto de sistema e identificar sus partes componentes en un sistema productivo
•
Atender a las expectativas que presenta el medio productivo mundial para poder ser componente clave dentro de su desarrollo.
•
Desarrollar capacidades necesarias para el diseño de modelos particulares para resolver problemas en situaciones específicas.
•
Comprender la importancia de la Investigación de Operaciones como metodología de optimización dentro de cualquier tipo de organización.
•
Conocer y utilizar herramientas computacionales, soporte para la aplicación de los modelos.
Programación lineal: La programación lineal es una técnica mediante la cual se toman decisiones, reduciendo el problema bajo estudio a un modelo matemático general, el cual debe ser resuelto por métodos cuantitativos. Se diseña para modelos objetivos y restricciones estrictamente lineales
Métodos: Dentro de los modelos encontramos la programación lineal, programación entera, en la que las variables toman valor entero; la programación dinámica, en la que el modelo original se puede descomponer en sub problemas más pequeños; la programación de red, y la programación no lineal, en las que las funciones del modelo no son lineales. Las técnicas mencionadas no son más que una lista parcial de la gran cantidad de herramientas disponibles en la investigación.
Modelo de colas y simulación: 9
Estos tratan de estudiar las líneas de espera. No son técnicas de optimización, más bien determinan medidas de eficiencia de las líneas de espera como son el tiempo promedio de espera en la cola, tiempo promedio para el servicio y utilización de las instalaciones de servicio. Además se desarrollara la aplicación de variables artificiales y obtención de soluciones para identificar a qué tipo de clasificación pertenecen. Por medio de dichos modelos de solución se podrá obtener la solución adecuada para cada problema y facilitar la toma de decisiones.
Método Gráfico. El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo. El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible. Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos. Los pasos necesarios para realizar el método son nueve: 1. Graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea. 2. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles. 3. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta. 4. Trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada. 10
5. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible. 6. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo. 7. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo. Ejemplo. Maximizar Z = 3X1 + 2X2 restricciones: X1 + 2X2 2X1 + X2 -X1 + X2 X2 X1 X2
<=6 <=8 <=1 <= 2 >= 0 >= 0
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
Convirtiendo las restricciones a igualdad y representándolas gráficamente se tiene: X1 + 2X2 = 6 2X1 + X2 = 8 -X1 + X2 = 1 X2 = 2 X1 =0 X2 = 0
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
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Determinación de solución Maximizar Z = 3X1 + 2X2 Punto
(X1, X2)
Z
A
(0, 0)
0
B
(4, 0)
12
C
(3.3, 1.3)
D
(2, 3)
12
E
(1, 3)
9
F
(0, 2)
4
12.6 (óptima)
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Para obtener la solución gráfica, después de haber obtenido el espacio de solución y graficada la función objetivo el factor clave consiste en decidir la dirección de mejora de la función objetivo.
Método Simplex: En la solución gráfica observamos que la solución óptima está asociada siempre con un punto extremo del espacio de soluciones. El método simplex está basado fundamentalmente en este concepto. Careciendo de la ventaja visual asociada con la representación gráfica del espacio de soluciones, el método simplex emplea un proceso iterativo que principia en un punto extremo factible, normalmente el origen, y se desplaza sistemáticamente de un punto extremo factible a otro, hasta que se llega por último al punto óptimo. Existen reglas que rigen la selección del siguiente punto extremo del método simplex: 1. El siguiente punto extremo debe ser adyacente al actual. 2. La solución no puede regresar nunca a un punto extremo considerado con la anterioridad. El algoritmo simplex da inicio en el origen, que suele llamarse solución inicial. Después se desplaza a un punto extremo adyacente. La elección específica de uno a otro punto depende de los coeficientes de la función objetivo hasta encontrar el punto óptimo. Al aplicar la condición de optimidad a la tabla inicial seleccionamos a Xi como la variable que entra. En este punto la variable que sale debe ser una de las variables artificiales. Los pasos del algoritmo simplex son (10): 1. Determinar una solución básica factible inicial. 2. Prueba de optimidad: determinar si la solución básica factible inicial es óptima y sólo si todos los coeficientes de la ecuación son no negativos (>= 0). Si es así, el proceso termina; de otra manera se lleva a cabo otra interacción para obtener la nueva solución básica factible inicial.
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3. Condición de factibilidad.- Para todos los problemas de maximización y minimización, variable que sale es la variable básica que tiene la razón más pequeña (positiva). Una coincidencia se anula arbitrariamente. 4. Seleccionar las variables de holgura como las variables básicas de inicio. 5. Selecciona una variable que entra de entre las variables no básicas actuales que, cuando se incrementan arriba de cero, pueden mejorar el valor de la función objetivo. Si no existe la solución básica es la óptima, si existe pasar al paso siguiente. 6. Realizar el paso iterativo: a) Se determina la variable básica entrante mediante la elección de la variable con el coeficiente negativo que tiene el valor mayor valor absoluto en la ecuación. Se enmarca la columna correspondiente a este coeficiente y se le da el nombre de columna pivote. b) Se determina la variable básica que sale; para esta, se toma cada coeficiente positivo (>0) de la columna enmarcada, se divide el lado derecho de cada renglón entre estos coeficientes, se identifica la ecuación con el menor cociente y se selecciona la variable básica para esta ecuación. c) Se determina la nueva solución básica factible construyendo una nueva tabla en la forma apropiada de eliminación de Gauss, abajo de la que se tiene. Para cambiar el coeficiente de la nueva variable básica en el renglón pivote a 1, se divide todo el renglón entre el número pivote, entonces renglón pivote nuevo = renglón pivote antiguo numero pivote. Para completar la primera iteración es necesario seguir usando la eliminación de Gauss para obtener coeficientes de 0 para la nueva variable básica Xj en los otros renglones, para realizar este cambio se utiliza la siguiente fórmula: Renglón nuevo = renglón antiguo - (coeficiente de la columna pivote X renglón pivote nuevo) Cuando el coeficiente es negativo se utiliza la fórmula:
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Renglón nuevo = renglón antiguo + (coeficiente de la columna pivote X renglón pivote nuevo)
TABLA SIMPLEX Como se capturaría la solución básica factible inicial en el siguiente ejemplo: sea: Maximizar Z = 2X1+4X2 sujeto a: 2X1+ X2<= 230 X1+ 2X2<= 250 X2<= 120 todas las X1,X2>=0
BASE Z S1 S2 S3
Z 0 0 0 0
X1 -2 2 1 0
X2 -4 1 2 1
S1 0 1 0 0
S2 0 0 1 0
S3 0 0 0 1
SOLUCIÓN 0 230 250 120
RAZÓN 0 230/1 250/2 120/1
Se selecciona la variable que entra y la variable que sale de la base: Entra X2 y sale S3, se desarrolla la nueva tabla solución y se continua el proceso iterativo hasta encontrar la solución optima si es que está existe.
Tabla Óptima:
BASE Z S1 X1 X2
Z 0 0 0 0
X1 0 0 1 0
X2 0 0 0 1
S1 0 1 0 0
S2 2 -2 1 0
S3 0 3 -2 1
Solución: Z = $500 fabricando X1=10 X2=120 Sobrante de
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SOLUCIÓN 500 90 10 120
RAZÓN
S1 = 90 Tipo de solución: Optima Múltiple
Dualidad: Todo problema de programación lineal tiene asociado con él otro problema de programación lineal llamado DUAL. El problema inicial es llamado PRIMO y el problema asociado (sombra) es llamado el problema PRIMO. Los dos juntos son llamados problemas duales ya que ambos están formados por el mismo conjunto de datos. La solución básica factible óptima de estos problemas es tal que una puede fácilmente ser usada para la solución de la otra. La dimensión del problema de programación lineal influencia la elección del cálculo del primo o del dual. Si el primo tiene más ecuaciones que variables, es frecuentemente más fácil obtener la solución del dual ya que menor número de iteraciones son requeridas. Además si el primo tiene solución, el dual tendrá solución. Una vez que el problema dual es formulado, el procedimiento de solución es exactamente el mismo que para cualquier problema de programación lineal.
TRANSPORTE: DEFINICIÓN Y APLICACIÓN DEL MODELO DE TRANSPORTE El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:
1.
Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.
2.
El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.
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Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total. La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al número de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte. El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino está representado por un nodo, el arco que une fuente y un destino representan la ruta por la cual se transporta la mercancía. La cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij. Si Xi j representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j, entonces, el modelo general de PL que representa el modelo de transporte es: Minimiza Z= S i=1 m S j=1 n C i j X i j Sujeta a: S j=1 n X i j <= ai ,
i=1,2,…, m
S i=1 m X I j >= bj ,
j=1,2,…, n
X i j >=0
para todas las i y j
El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envíos a un destino satisfaga su demanda. El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total Si=1 m ai debe ser cuando menos igual a la demanda total Sj=1 n bj. Cuando la oferta total es igual a la demanda total, la formulación resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir: SX i j = ai,
i=1,2,..., m 17
SX i j = bj,
j=1,2,..., n
En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede equilibrarse. El equilibrio, además de su utilidad en la representación a través de modelos de ciertas situaciones prácticas, es importante para el desarrollo
del método de solución que explote
completamente la estructura especial del modelo de transporte. Los dos ejemplos que siguen presentan la idea del equilibrio y también sus implicaciones prácticas. Ejemplo (Modelo de transporte estándar) MG Auto Company tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns. Sus centros de distribución principales son Denver y Miami. Las capacidades de las plantas durante el trimestre próximo son 1 000, 1 500, y 1 200 automóviles. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2 300 y 1 400 vehículos. El costo del transporte de un automóvil por tren es de 8 centavos por milla. El diagrama de las distancias recorridas entre las plantas y los centros de distribución son: Esto produce en costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida. Produce los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a C i j del modelo original: Mediante el uso de códigos numéricos que representan las plantas y centros de distribución, hacemos que X i j represente el número de automóviles transportados de la fuente i al destino j. Como la oferta total ( = 1 000 + 1 500 + 1 200 = 3 700) es igual a la demanda ( = 2 300 + 1 400 = 3 700), el modelo de transporte resultante está equilibrado. Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que representa el problema tiene todas las restricciones de igualdad.
Minimizar Z = 80X 11 + 215X 12 + 100X 21 + 108X 22 + 102X 31 + 68X 32
Un método más resumido para representar el modelo de transporte consiste en utilizar lo que se llama tabla de transporte. Esta es una forma de matriz donde sus renglones representan las fuentes y sus columnas los destinos. Los elementos de costo C i j se 18
resumen en la esquina noroeste de la celda de la matriz (i, j). Por lo tanto, el modelo de MG se puede resumir en la tabla siguiente:
Asignaciones: El Problema de la Asignación es un problema clásico de la Investigación de Operaciones
y
es
un
caso
particular
del
Problema
del
Transporte.
Este problema se trata de asignar una serie de recursos a una serie de tareas. Tiene una limitante y es que a cada tarea se le puede asignar sólo un recurso, pueden sobrar recursos o podrían sobrar tareas pero no se le puede asignar dos recursos a una misma tarea, o tres... por ejemplo si se tienen tres operarios con diferentes tiempos de operación en cuatro máquinas el modelo nos diría como asignar los tres operarios a tres máquinas (nos sobraría una) de manera que se minimice el tiempo total, pero no nos diría como asignar dos operarios a dos máquinas y el otro operario a las otras dos máquinas... si el Problema en la Vida Real se puede simplificar de esa manera, o de hecho es requerido que sea así (un recurso para una tarea), pues como se dice aquí: "santo y bueno", pero sino será necesario modelarlo como un Programa Lineal y resolverlo con el simplex. Ejemplos de Asignaciones: Operarios a Tareas, Máquinas a Operarios, Nadadores a Estilos, Novias a días de la semana, etc. El Problema de la Asignación se basa en una información comparativa para tomar la decisión de que asignar a que, por ejemplo una matriz de costos, una matriz de tiempos, de ingresos, etc. Cuando la matriz no está balanceada, es decir, cuando no es cuadrada, cuando sobran filas o columnas, se debe balancear para que tenga solución mediante la inclusión de filas o columnas ficticias, con valores de cero en dicha matriz.
IMPACTO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. En el proceso, la investigación de operaciones ha hecho contribuciones significativas al incremento de la productividad dentro de la economía de varios países. Hay ahora más de 30 países que son miembros de la International Federation of Operational Research 19
Societies (IFORS), en la que cada país cuenta con una sociedad de investigación de operaciones. Sin duda, el impacto de la investigación de operaciones continuará aumentando.
ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES: La parte innovadora de la investigación de operaciones es sin duda alguna su enfoque modelístico, producto de sus creadores aunado a la presión de supervivencia de la guerra o la sinergía generada al combinarse diferentes disciplinas, una descripción del enfoque es la siguiente. 1. Se define el sistema real en donde se presenta el problema. Dentro del sistema interactúan normalmente un gran número de variables. 2. Se seleccionan las variables que norman la conducta o el estado actual del sistema, llamadas variables relevantes, con las cuales se define un sistema asumido del sistema real. 3. Se construye un modelo cuantitativo del sistema asumido, identificando y funciones matemáticas. Simplificando las relaciones entre las variables relevantes mediante la utilización de funciones matemáticas. 4. Se obtiene la solución al modelo cuantitativo mediante la aplicación de una o más de las técnicas desarrolladas por la investigación de operaciones. 5. Se adapta e imprime la máxima realidad posible a la solución teórica del problema real obtenida en el punto 4, mediante la consideración de factores cualitativos o no cuantificables, los cuales no pudieron incluirse en el modelo. Además se ajusta los detalles finales vía el juicio y la experiencia del tomador de decisiones. 6. Se implanta la solución en el sistema real.
Etapas de la Investigación de Operaciones
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CONCLUSIÓN
La investigación de Operaciones se ocupa de la resolución de problemas relacionados con la conducción y coordinación de las operaciones o actividades dentro de una organización. Su ámbito de aplicación es muy amplio, aplicándose a problemas de 21
fabricación, transporte, telecomunicaciones, planificación y gestión financiera, ciencias de la salud, servicios públicos, entre otros. En general, puede aplicarse en todos los problemas relacionados con la gestión, la planificación y el diseño En nuestros días ya es una práctica común y una herramienta indispensable cuando la complejidad de la toma de la decisión empresarial es grande, sin embargo no debemos olvidar que lo que ahora estudiamos fácilmente en libros de texto alguna vez costo "sangre, sudor y lágrimas", como dijo Churchill.
La Investigación
de
Operaciones incluye
un conjunto muy
amplio
de técnicas orientadas a proporcionar una ayuda cuantitativa a la toma de decisiones entre ellas podemos mencionar: •
La resolución, mediante análisis matemático o simulación, de los modelos de decisión, obteniendo los valores óptimos de las variables de decisión que intervienen en el modelo.
•
La realización de estudios de sensibilidad de la solución o soluciones propuestas, para evaluar su robustez frente a cambios en las condiciones de los parámetros del modelo.
•
Obtener una visión general sobre el concepto de sistema e identificar sus partes componentes en un sistema productivo
•
Atender a las expectativas que presenta el medio productivo mundial para poder ser componente clave dentro de su desarrollo.
•
Desarrollar capacidades necesarias para el diseño de modelos particulares para resolver problemas en situaciones específicas.
•
Comprender
la
importancia
de
la
Investigación
de
Operaciones
como metodología de optimización dentro de cualquier tipo de organización. •
Conocer y utilizar herramientas computacionales, soporte para la aplicación de los modelos.
BIBLIOGRAFIA Arias, F. (2006) El proyecto de investigación (5a ed.). Caracas, Venezuela. Taha A Handy Investigación de operaciones (6ta ed.). México 2004. http://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operaciones
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