UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIER´IA DE MINAS, GEOLOG´IA Y CIVIL ´ PROFESIONAL ESCUELA DE FORMACION INGENIER´IA DE SISTEMAS
´ DE EJERCICIOS * RESOLUCION CURSO
: Estad´ıstica II
DOCENTE
: ROMERO PLACENCIA, Jackson M’Coy
ESTUDIANTES
˜ : NAHUI MARTINEZ, Fabio : PRADO VASQUEZ, Luis Miguel : RUA RIVEROS, Florencio : TRISTAN QUISPE, Ricardo
1
1.
EJERCICIO 3
Las cajas de cereal de un productor deben tener un contenido promedio de 160 gramos. Si en una muestra al azar de 36 cajas del cereal resultaron las siguientes sumas: 36 X
Xi = 5724;
i=1
36 X
Xi2 = 910302,6018
i=1
a) Calcule la media y la desviacion estandar de la muestra. ¿Cuanto es el error t´ıpico de la media? b) Describa la distribucion de la media de la muestra. c) Estime la media de la poblacion apliacando un intervalo de confianza del 95 % d) si los consumidores afirman que el producto no cumple con la especificacion del promedio, ¿Cree usted que tienen la razon? e) ¿Es el error de estimacion puntual de la media menor a 0.5 gramos? f) Si con los datos de la muestra el contenido promedio se estima en el intervalo, 159 ± 0.835,¿qu´e nivel de significaci´on se aplic´o? g) Si el costo del producto en soles es igual a 5 % de su duracion menos 3 soles, estime el costo promedio del producto en un intervalo de confianza del 95 %
Soluci´ on a) Datos n = 36 P36
i=1
X=
Xi
=
5724 36
n X = 159 P36 (Xi − X)2 S 2 = i=1 n−1
=( =(
36 X 1 )( Xi2 − nX)2 n − 1 i=1
1 )(910302,6018 − 36 ∗ 1592 ) 35 S = 2,309 S ET = σX = √ n ET = σX = 0,3848
Soluci´ on b) Como el n´ umero de datos es mayor que 30, entonces se distribuye aproximadamente con una normal. 2
Soluci´ on c) Datos γ = 0,95 ET = 0,3848
α 2 P [T ≤ t0 ] = 0,975
P [T ≤ t0 ] = 1 −
t0 = t0,975,35 Buscando en la tabla: t0 = 2,030 Los l´ımites de confianza inferior y superior para µ son: X ± t0 ∗ ET Respuesta : 159 ± 0,7811
Soluci´ on d) Si cumple que el promedio que es 159 se encuentra dentro del intervalo de confianza.
Soluci´ on e)
Error estimado: θb − θ = |159 − 160| = 1 Respuesta: No es menor puesto que el error de estimaci´on puntual resulta 1.
Soluci´ on f) Siendo el l´ımite de confianza 159 ± Tenemos las siguientes ecuaciones a resolver: −X + √Sn Zα/2 = −159 + 0,835 X + √Sn Zα/2 = 159 + 0,835 Resolviendo las ecuaciones tenemos: Zα/2 = 2,17 P [Z ≤ Zα/2 ] = 1 − α/2 P [Z ≤ 2,17] = 1 − α/2 0,985 = 1 − α/2 α = 0,03 ∴ el nivel de confianza γ = 0,97 = 97 %
3
2.
EJERCICIO 6
Se asigna una tarea estadistica a un grupo de estudiantes para hacer un estudio de contenido promedio de las latas de fruta en conserva de la agroindustria ”PURA SELVA”que afirma que los contenidos tienen distribuci´on normal con un media de 19 onzas y una desviaci´on est´andar de 2 onzas. a) ¿Que tama˜ no minimo de muestra deberian escoger si quieren que la estimacion del contenido promedio este dentro del error ± 0.98 onzas con confianza del 95 %? b) Si el grupo de trabajo escogio una muestra de 20 latas del producto y observo una media de 18.5 onzas, ¿es valido el tama˜ no de la muestra?¿es v´alida la afirmaci´on del produtor referente a la media con un nivel de confianza del 96 %? c) Si el costo real del producto en soles es igual al 10 % de su peso mas 2 sole, estime el costo promedio del producto aplicando los resultados del inciso b)
Soluci´ on Datos “Peso de algod´on” µ = 250Kg σ = 4Kg n=4 Y = aX + 52 σX =
σ2 n √σ n
σX =
√4 4
2 = σX
=2
Calculemos la media y la varianza de Y Y = E(Y ) = E(aX) + E(52) Y = aE(X) + 52 = 250a + 52 V ar(Y ) = V ar(aX) + V ar(52) V ar(Y ) = a2 ∗ V ar(X) = 4a2 Se quiere (Y ≥ 3100) 250a + 52 = 3100 250a = 3048 a = 12 ∴ el valor de a = 12 para que la media del costo de 4 fardos sea mayor que $3100.
4
3.
EJERCICIO 9
Obtenga el tama˜ no de muestra que como minimo se debe tomar para estimar la media de las longitudes de los tornillos que produce un fabricante si se quiere que la estimaci´on puntual tenga un error no mayor de 0.0233 cm. Al nivel de confianza del 98 %. a) Si el Rango de valores de la longitud de los tornillos es igual a 0.24 milimetros. b) Si de la longitud de los tornillos se sabe que tiene distribuci´on normal y que el 95.44 % de esta se desvian de la media en a lo mas 0.08 mm.
Soluci´ on Datos E = |X − µ| n = 36 σ = 18 Soluci´ on a Hallar P [E ≥ 4,5] P [|X − µ| ≥ 4,5] P[
|X − µ| 4,5 √ ] √ ≥ σ/ n 18/ 36 P [|Z| ≥
4,5 ] 18/6
4,5 ] 3 P [|Z| ≥ 1,5]
P [|Z| ≥
2 ∗ P [Z ≥ 1,5] 2 ∗ (1 − P [Z ≤ 1,5]) 2 ∗ (1 − 0,93319) 2 ∗ (0,06681) = 0,13362 ∴ El porcentaje aproximado de muestras que tendran un erro muestral mayor que 4.5 es de 13.3 % o de 0.1336.
5
Soluci´ on b Hallar P [E > K] = 0,10 P [|X − µ| > K] = 0,10 P [|X − µ| < K] = 0,90 P[
|X − µ| K √ ] = 0,90 √ < σ/ n 18/ 36 K ] − 1 = 0,90 3 1,90 K P [Z < ] = 3 2 K P [Z < ] = 0,95 3
2 ∗ P [Z <
Buscando valores en tabla
K = 1,65 3 K = 4,95
∴ El d´ecimo superior de los errores muestrales es de 4.95.
4.
EJERCICIO 12
Un auditor escoge un muestra aleatoria de 15 cuentas por cobrar de una poblaci´on de 400 cuentas por cobrar de la compa˜ nia P&C y encuentra los siguientes montos en dolares. 730, 759, 725, 740, 754, 745, 750, 753, 730, 780, 725, 790, 719, 775, 700 Asumiendo que la poblacion finita es normal y en el nivel de confianza del 95 %, a) Obtenga el intervalo de valores del promedio.¿cree usted que el promedio supera los 760 d´olares? b) Calcule los extremos del intervalo de estimaci´on del total de cuentas por cobrar.¿Es valido afirmar que el monto del total de las cuentas por cobrar es igual a $ 30,000?
Soluci´ on Datos a L: longitud en metros del objeto ∼N(µ = 0,012 ;
σ 2 = 1,44 × 10−4 )
Y: costo de producci´on de un objeto, Y= 100L µy = E (Y ) = E (100L) = 100 × 0,012 = 1,2 = µy σy2 = V ar (Y ) = V ar (100L) = 1002 × 1,44 × 10−4 = 1,44 σy2 = Y
σy2 n
∼
=
1,44 n
N 1,2 ;
1,44 n
6
Datos b U=precio venta - costo producci´on=200 - 100L
n=36 ; P U ≤ 0,5 =?
∗ µU = E U = E (2,00 − 100L) = E (2,00) − E (100L) = 2,00 − 100E (L) = 2,00 − 1,2 = 0,8 = µU
∗ σU2 = V ar U = V ar (2,00 − 100L) = V ar (2,00) − V ar (100L) = 0 + 1002 × V ar (L) = 1002 × 1,44 × 10−4 = 1,44 σ2 =⇒ σU2 = √nU = 1,44 = 0,04 36 =⇒ σU = 1,44 = 1,2 ∴
5.
P U ≤ 0,5 = P
U −µ √ σU / n
≤
0,5−0,8 √ 1,2/ 36
= P (Z ≤ −1,5) = 0,06681
EJERCICIO 15
En un estudio socioeconomico se tomo una muestra aleatoria de 100 comerciantes informales y se encontro entre otros datos que solo el 30 % de ellos tienen ingresos superiores a $ 800 por mes. a) Obtenga los extremos del intervalo de estimacion de la proporci´on de todos los comerciantes con ingresos superiores a $ 800, al nivel de confianza del 98 %. b) Si la proporci´on de todos los comerciantes con ingresos superiores a $ 800 se estimo entre 20.06 % y 39.94 %, ¿ Que nivel de confianza se aplic´o?
Soluci´ on Datos: N = 400, n = 36, µ=2.500 d´olares, σ=660 d´olares X: monto de compras mensuales. P (x > 2765) =? ⇒P
6.
x−µ √ σx / n
>
2765−2,500 √ 110/ 36
= P (Z > 2,52) = 1 − P (Z > 2,52) = 1 − 0,99413 = 0,0058
EJERCICIO 18
Un fabricante escoge una muestar al azar de 20 unidades de su producci´on encontrando una defectuosa. Con este resultado afirma que es el 5 % la proporci´on de unidadesdefectuosas de todas las unidades producidas. a) ¿Tiene raz´on el fabricante? b) ¿Tiene raz´on el fabricante si en una muestra al azar de 400 unidades producidas se observaron 40 unidades defectuosas?. Aplique el m´etodo del intervalo de estimaci´on con un nivel de confianza del 95 %.
7
Soluci´ on Datos X :“Cuentas por cobrar” error muestral E = |X − µ| σ = $2000 N = 10000 n =? Hallar: P [|X − µ| ≤ 192] = 0,95 P[
|X − µ| 192 ≤ ] = 0,95 σX σX
Calculemos Desviaci´on est´andar s
(10000 − n) 10000 − 1 √ 2000 10000 − n σX = √ ∗ √ n 9999
2000 σX = √ ∗ n
(2000)2 10000 − n ∗ n 9999 400,040004 2 σX ∗ (10000 − n) = n 2 σX =
s
σ =X
(
400,040004 ) − 400,040004 n
Reemplazando la desviaci´on est´andar en la probabilidad P[
|X − µ| 192 ≤q ] = 0,95 σX ) − 400,040004 ( 400,040004 n
Por la propiedad del valor absoluto se tiene: 2 ∗ P [Z ≤ q
P [Z ≤ q
192 ( 400,040004 ) n
192 ( 4000400,04 ) n
buscando en tabla
] = 0,975
− 400,040004
192 q
] − 1 = 0,95
− 400,040004
( 4000400,04 ) − 400,040004 n
= 1,96
36864 = 3,8416 − 400,040004
( 4000400,04 ) n
15367936,79 − 1536,793679 n 38400,79368n = 15367936,79
36864 =
8
15367936,79 38400,79368 n = 400,198 n∼ = 401
n=
∴ El tama˜ no de la muestra que se debe escoger para que el error muestral sea menor a $192 es de 401.
7.
EJERCICIO 21 Dos candidatos A y B compiten como favoritos en las pr´oximas elecciones.
a) Si en el u ´ltimo sondeo, una muestra de 400 electores, revelo que 160 votarian por A y 132 votarian por B, al nivel de significaci´on del 95 %, ¿Cree usted que A seria el ganador absoluto? b) Si se mantienen las tendencias, ¿que porcentaje como min´ımo deberia obtener A para que sea el ganador absoluto?
Soluci´ on Datos Generales X :“Puntos obtenidos en la prueba” µ = 100 Datos de a σ = 15 n =? Hallar: P [90,2 ≤ X ≤ 109,8] = 0,95 P[
90,2 − 100 X −µ 109,8 − 100 √ √ ≤ √ ≤ ] = 0,95 15/ n σ/ n 15/ n −9,8 9,8 √ ≤Z≤ √ ] = 0,95 P[ 15/ n 15/ n 9,8 √ ] − 1 = 0,95 2 ∗ P [Z ≤ 15/ n 9,8 √ ] = 0,975 P [Z ≤ 15/ n
buscando el valor en la tabla
9,8 √ = 1,96 15/ n 1,96 ∗ 15 √ 9,8 = n √ 29,4 n= 9,8 √ n=3 n=9 9
∴ El tama˜ no de muestra que se debe escoger para que la media muestral este entre los valores de 90.2 y 109.8 es 9. Datos b n = 16 s = 12 Hallar: P [92,194 ≤ X ≤ 104,023] →T =
X −µ X − 100 X − 100 X − 100 √ √ = = = ∼ t( n − 1) = t( 15) s/ n 12/4 3 12/ 16 → P [92,194 ≤ X ≤ 104,023] P[
92,194 − 100 104,023 − 100 ≤T ≤ ] 3 3 −7,806 4,023 P[ ≤T ≤ ] 3 3 P [−2,602 ≤ T ≤ 1,341] P [T ≤ 1,341] − P [T ≤ −2,602] 0,90 − (1 − P [T ≤ 2,602]) 0,90 − 1 + 0,990 1,89 − 1 = 0,89
∴ la probabilidad con que la media de la muestra se ubica entre 92.194 y 104.023 es de 0.89.
8.
EJERCICIO 24
La empresa P & C cambiara su proceso actual de producci´on, cuya desviaci´on est´andar de los tiempos empleados para procesar cada pieza es 9 segundos, solo si hay pruebas que el nuevo proceso es mas estable en cuanto a variabilidad. Si una muestra aleatoria de lso tiempos empleados para producir 13 piezas con el nuevo proceso a dado una desviaci´on est´andar de 6 segundos, con un nivel de confianza del 95 %,¿Deberia la empresa cambiarse al nuevo proceso de producc´ı´on? Asuma que los tiempos de proceso del nuevo proceso se distribuyen segun el modelo de la probabilidad normal.
Soluci´ on Datos √ tc = (X − 3)/(s/ n) n = 16 µ=3 s = 1,5
10
Hallar
√ tc = (X − 3)/(s/ n)
Reemplazando datos en la ecuaci´on √ tc = (3,8 − 3)/(1,5/ 16) tc = (0,8)/(1,5/4) tc = (0,8)/(0,375) tc = 2,133 buscando los valores de t0,05 y −t0,05 en tabla t0,05 =⇒ T ∼ t(15) = 0,05 =⇒ t = 1,753 ∴ tc = 2,133 no pertenece al intervalo de [-1.753,1.753] por lo cual se concluir´ıa que el producto es mejor de lo afirmado.
9.
EJERCICIO 27
Se realiza un estudio comparativo de los tiempos, en minutos, que emplean los operarios de una f´abrica para realizar una tarea en los turnos diurno y nocturno. Si las muestras de 10 y 12 operarios de los turnos de d´ıa y de noche han dado las medias respectivas de 110 y 100 minutos y varianzas 100 y 64. Asumiendo que las dos poblaciones de tiempo empleados son normales y aplicando el m´etodo del intervalo de estimaci´on con nivel de confianza del 95 %. a) ¿ Son homog´eneas las varianzas de las dos poblaciones? b) ¿Emplean los operarios el mismo tiempo promedio para realizar la tarea? Si no es asi, ¿Es v´alido afirmar que µ1 − µ2 = 13?
Soluci´ on Datos X : “la cantidad de muestras a favor” N = 3000 n = 300 p = 0,8 Pb Xn Hallar P [0,76 ≤ Pb ≤ 0,84] Pb − P Z = q P (1−P ) −n ∗N n N −1 11
0,76 − 0,8 0,84 − 0,8 Pb − P P [ q 0,8∗0,2 ≤ q 0,8∗0,2 ≤ q P (1−P ) ] 3000−300 3000−300 N −n ∗ ∗ ∗ 300 3000−1 300 3000−1 n N −1 P [−1,82 ≤ Z ≤ 1,82] 2 ∗ P [Z ≤ 1,82] − 1 2 ∗ (0,96562) − 1 = 0,93124 ∴ La probabilidad de que la proporci´on muestral a favor de las condiciones laborales est´e comprendida en el intervalo 0.70 y 0.84 es de 0.93124.
10.
EJERCICIO 30
Para comparar el rendimiento de una nueva variedad de uva de clima tropical con la variedad actual, se dise˜ no un experimento en el ”Vi˜ nedo P & C”de San Antonio de Cumbaza en San Martin, los pesos en gramos de 10 y 9 racimos de uvas escogidos al azar de la variedad nueva y antigua respectivamente dieron los siguientes resultados: Variedad Nueva: 400, 410, 420, 380, 390, 410, 400, 405, 405, 400 Variedad Actual: 390, 395, 380, 390, 400, 380, 370, 390, 380 Asumiendo que la distribuci´on de los pesos en cada variedad son normales con varianzas iguales y aplicando un intervalo de confianza del 95 % par ala diferencia de los pesos promedios por racimo de toda la producci´on,¿Es v´alido inferir que las 2 variedades rinden igual? Si no es asi, ¿Cu´al de las dos variedades rinde m´as?
Soluci´ on Datos N = 3000 X :“Muestras a favor” p = 0,3 q = 0,7 n =? Pb =
X n
Hallar P [|Pb − p| ≤ 0,0492] = 0,95 |Pb − p| 0,0492 P [ q p∗q ≤q ] = 0,95 N −n 0,3∗0,7 3000−n ∗ ∗ n N −1 n 2999 P [Z ≤ q
0,0492 0,3∗0,7 n
∗
3000−n 2999
] − (1 − P [Z ≤ q
2 ∗ P [Z ≤ q P [Z ≤ q
0,0492 0,3∗0,7 n
∗
3000−n 2999
0,0492 0,3∗0,7 n
12
∗
3000−n 2999
0,0492 0,3∗0,2 n
∗
3000−n 2999
] = 1 + 0,95 ] = 0,975
]) = 0,95
Buscando valores en tabla
0,0492 q
0,3∗0,7 n
∗
3000−n 2999
= 1,96
s
0,0492 0,21 3000 − n = ∗ 1,96 n 2999 630 0,0492 2 ) ∗ 2999 = − 0,21 ( 1,96 n 0,0492 2 630 ( ) ∗ 2999 + 0,21 = 1,96 n n = 630/2,099707247 = 300,042 ∼ = 300 ∴ El tama˜ no de muestra que se debe tomar es de 300 personas.
11.
EJERCICIO 33
Sean X1 y X2 las medias respectivas de dos muestras al azar independiente de tama˜ nos n1 y n2 escogidas de una poblaci´on X de poisson con parametro λ. b= a) Compruebe que la estadistica λ
n1 X1 +n2 X2 n1 +n2
es un estimador insesgado del par´ametro λ.
b) Obtenga la varianza del estimador. Soluci´ on Datos n = 36 µ = 30 = µX σ = 6,5 X : Tiempo real que utilizan para armar rompecabezas Soluci´ on a Sea Yt la funci´on de probabilidad aproximada del tiempo total Calculemos µtotal µtotal = µX ∗ totalmuestra(n) µtotal = 30 ∗ 36 = 1080 Calculemos Desviaci´on est´andar total σtotal √ σX = σ/ n √ σX = 6,5/ 36 σX = 6,5/6 σX = 1,083333 σtotal = σX ∗ totalmuestra(n) σtotal = 1,083333 ∗ 36 σtotal = 39 13
Yt ∼ N [1080, (39)2 ] calculemos P [1002 ≤ Yt ≤ 1158] P[
Yt − µ 1158 − 1080 1002 − 1080 ≤ ≤ ] 39 σ 39 P [−2 ≤ Z ≤ 2] P [Z ≤ 2] − P [Z ≤ −2] 0,97725 − 0,022775 = 0,954475
∴ La probabilidad de que este total sea de 1002 a 1158 minutos es de 0.0954475 Soluci´ on b tomando datos de la soluci´on a tenemos: µX = 30 σX = 1,08333 ∴ X ∼ N [30.(1,08333)2 ] Calculemos: P [27,877 ≤ X ≤ 32,123] P[
27,877 − 30 X −µ 32,123 − 30 ≤ ≤ ] 1,08333 σ 1,08333 P [−1,96 ≤ Z ≤ 1,96] P [Z ≤ 1,96] − P [Z ≤ −1,96] 0,97500 − 0,02500 = 0,95
∴ La probabilidad de que esta media se halle entre 27.877 y 32.123 minutos es de 0.95 Soluci´ on c Como la distribuci´on de los tiempos es normal =⇒ X ∼ N [30, (6,5)2 ] Calculemos: P [X ≥ 38,32] P[
38,32 − 30 X −µ ≥ ] σ 6,5 P [Z ≥ 1,28] 1 − P [Z ≤ 1,28]
1 − (0,89973) = 0,1003 ∴ el porcentaje de tiempos empleados para hacer la tarea superiores a 38.32 minutos es de 10.03 %.
14
Soluci´ on d Sea Pb la proporci´on entonces tenemos: µPb = p donde p porcentaje o probabilidad a favor de hacer la tarea superiores a 38.32 minutos calculado en c. =⇒ µPb = p = 0,1003 ∼ = 0,10 p(1 − p) n 0,1003 ∗ (1 − 0,1003) σP2b = 36 2 σPb = 0,002501 σPb = 0,05006 ∼ = 0,05 σP2b =
∴ Pb ∼ N [0,10, (0,05)2 ] Soluci´ on e Calculemos P [0,03 ≤ Pb ≤ 0,17] 0,03 − 0,1 0,17 − 0,1 Pb − p P[ q ≤q ≤ q ] p(1−p) n
(0,1∗0,9) 36
(0,1∗0,9) 36
P [−1,4 ≤ Z ≤ 1,4] P [Z ≤ 1,4] − P [Z ≤ −1,4] 0,91924 − 0,08076 = 0,83848 ∴ la probabilidad aproximada de que esta proporci´on est´e entre 0.03 y 0.017 es de 0.83848.
12.
EJERCICIO 36
Sea X1 , X2 , ..., Xn una muestra al azar de tama˜ no n escogida de una poblaci´on X bernoulli B(1,p). Dadas las siguientes estad´ısticas: Pn
θc 1
=
Xi − Xk c , θ2 = n−1
i=1
Pn
i=1
Xi2
n
a) ¿Son cada una un estimador insesgado del par´ametro p? b) Si ambas son insesgadas,¿Cu´al de las dos es de varianza min´ıma?
Soluci´ on Datos: n1 = 32;
n2 = 36;
µ1 = µ2 ;
σ12 = 16;
σ22 = 9
1 −µ2 ) = P (Z > 2,30) = 1 − P (Z ≤ 2,30) q2 )−(µ P (x1 − x2 > 2) = P (x1 −x > √ 2−0 16 9 σ2 σ2 1+ 2 n1 n2
32
= 1 − 0,98525 = 0,0104 15
+ 36
