FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y EMPRESARIALES HOJA DE TRABAJO DE FUNDAMENTO DE MATEMATICA 1) La utilida utilidad d U(x) U(x) obteni obtenida da por fabri fabrica carr y vender vender x unidad unidades es de ciert cierto o produc producto to está dado por U(x) = 60x – x 2. Determinar Determinar el número número de unidades que deben producirse y vender vender con objeto de maximizar la utilidad. utilidad. ¿Cuál es esta utilidad utilidad máxima? Trace la gráfica e interprétela. interpréte la. 2) Una Una comp compañ añía ía de tran transp spor orte te cobr cobra a C$ 15,0 15,000 00 por por tran transp spor orta tarr 100 100 km un cargamento cargamento de papaya, y C$ 20,000 por transportarla 150 km. a) Escr Escrib iba a la fórm fórmul ula a del del cost costo o en func funció ión n de la dis dista tanc ncia ia sab sabie iend ndo o que que es lineal. b) ¿Cuá ¿Cuánt nto o se se pag paga a por por tran transp spor orta tarr la la pap papay aya a 300 300 km? km? ¿Po ¿Porr 50 50 Km? Km? c) ¿Cuá ¿Cuáll es la tar tarif ifa a bási básica ca? ? ¿Cuá ¿Cuáll es el el cost costo o por por kiló kilóme metr tro o de rec recor orri rido do? ? d) Si se pagaron C$12,500 de transporte ¿cuántos kilómetros se recorrieron? e) Cons onstru truya la grá gráfica ica de la funci unción ón.. 3) Según Según los datos de la CEPAL, CEPAL, la producci producción ón de banano banano y plátano plátano de Guatemal Guatemala a en 1970 1970 fue fue de 520,00 520,000 0 tone tonela lada das s y en 1980 de 700, 700,00 000 0 tone tonela lada das. s. Si suponemos que el crecimiento crecimiento de la producción producción es lineal: a) Escr Escrib iba a una una fórm fórmul ula a que que expr expres ese e la pro produ ducc cció ión n (en (en tone tonela lada das) s) en en func funció ión n de cada año. b) ¿Cuá ¿Cuánt nta as ton tonel elad adas as se van van a pro produ duci cirr en en 199 1990? 0? ¿En ¿En 198 1985? 5? c) ¿En ¿En qué qué año año se se esp esper era a que que la la pro produ ducc cció ión n alca alcanc nce e 1 mil milló lón n de de tone tonela lada das? s? 4) El costo de de producir 100 toneladas toneladas de arroz arroz es de $700.00 y el el de 120 toneladas toneladas $800. a) Dete Determ rmin ine e la func funció ión n del del cost costo, o, supo suponi nien endo do que que es es lin linea eal. l. b) ¿Cuá ¿Cuále les s son son los los cos costo tos s fijo fijos s y cuál cuáles es los los cos costo tos s var varia iabl bles es?. ?. c) ¿Cuá ¿Cuánt nto o cue cuest sta a pro produ duci cirr 250 250 tone tonela lada das s de de arr arroz oz? ? d) Si se se invi invier erte ten n $1,2 $1,200 00 ¿Cu ¿Cuán ánta tas s tone tonela lada das s de arro arroz z se se pro produ duce cen? n?.. 5) (Función (Función de costo) costo).. Una compañía compañía ha deter determina minado do que que el costo de produ producir cir x unidades de su productos por semana está dado por C(x) = 5,000 + 6x + 0.002 x2. Evalúe el costo de producir. producir. a) 1,000 unidades por semana. b) 2,500 c) ninguna unidad. 6) (Agricul (Agricultura tura)) Si las plantas plantas de arroz se siembra siembran n con una densidad densidad de x plantas plantas por pie cuadrado, la producción de arroz en cierta plantación está dada por P(x) P(x) = x(10 x(10 – 0.5x). 0.5x). ¿Qué ¿Qué valor valor de x maxim maximiz iza a la producc producción ión?¿C ?¿Cuá uáll es la producción máxima?. 7) La temper temperat atura ura de congel congelac ación ión del del agua es 0°C 0°C (ó 32°F). 32°F). La temper temperatu atura ra de ebullici ebullición ón es 100°C (ó 212°F). 212°F). Utilice Utilice esta informac información ión para encontrar encontrar una relación lineal entre la temperatura en °C y la temperatura en °F.
Funciones Exponenciales. Definición de Función exponencial base “a”:
Si a > 0, entonces la función exponencial f con base a se define como f(x) = a x, donde x es cualquier número real.
1
Si a > 1, entonces f(x) = a x es creciente en todo R; si 0 < a < 1, entonces la función es decreciente en R.
Función Exponencial Natural. Definición:
La función f definida por f(x) = e x se denomina función exponencial natural, donde e = 2.71828.... El dominio de f son todos los números reales y su contra dominio el conjunto de los números reales positivos. Dándole valores a x y haciendo uso de la calculadora podemos obtener los siguientes puntos, mostrados en la tabla. EJERCICIOS I) Trace la gráfica de la función dada y determine el dominio y rango. a)
f(x) = 4x
b)
f(x) = 3
c)
f(x) = 4 – 2–x
–x
g)
f(x) = ex+4
h)
f(x) = - 2 ex x 3 f(x) = 2
i)
− x
x
2 3
d)
f(x) =
e)
f(x) = 2
j)
x+3
f(x) =
1 4
f(x) = 1 + 2x
k)
f) f(x) = e –x l) f(x) = ex–1 II) Represente gráficamente cada uno de las siguientes funciones. dominio y rango. 1)
f(x) = 10x
2)
f(x) = 5x
3)
f(x) = - 2x
4)
f(x) = 4–x
f(x) =
5 2
− x
3 4
Determine el
− x
5)
f(x) =
6)
7)
f(x) = 23–x
8)
f(x) = 3
9)
f(x) = e2x
10)
f(x) = e–2x
11)
f(x) = e2x + e –2x
13)
f(x) = 1 – 2x
15)
f(x) = 5x – 3
12) 14)
x+2
f(x) = ex+1
f(x) = 3x – 1
2
FUNCION LOGARITMICA DE BASE
“ a “
Definición: La función f definida como f(x) = logax para todo número real positivo “x” y a > 0 y a ≠1, se llama función logarítmica de base “a”. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, por tanto el logaritmo base “a” de un número positivo x es el exponente al que hay que elevar “a” para obtener x. Así: Y = logax ⇔ ay = x Puesto que el dominio y el contradominio de la función exponencial de base a son R y los números reales positivos, respectivamente, el dominio de su inversa log ax son los números reales positivos, su contradominio R.
FUNCIÓN LOGARÍTMO NATURAL. Definición: La función f(x) = Lnx es la inversa de la función exponencial de base “e” y se denomina función logarítmo natural. Así:Y = Lnx
⇔
x = ey
Propiedades de la función logarítmica natural: 1. 2. 3. 4.
Lne = 1 eLnx = x Lnex = x Ln1 = 0
Ejemplo: Trace la gráfica de f(x) = Ln(x –2) Determine su dominio y rango. Nota: Hacer el ejemplo en conjunto con los estudiantes, haciendo uso de la calculadora.
Propiedades de la función logarítmica. Si a∈ R, a > 0, a 1)
log a ( u . v )
2)
log a
3)
log a
4)
log a a
5)
log a 1
u = v
U
n
=n
≠
1 y “U” y “V” ∈ R+, entonces:
= log a log a
log
U ,
U
n
U
+ log
log
−
a
a
V
V
R ∈
a
=
=
1
0
Ejemplo: 1.
Exprese log 2
Solución:
log 2
x
y
2 Z
x 3 y1 / 2 =
Z 2
3
log
2
en término de los logaritmos de x, y, z.
3 1/ 2 x y
−
log
2
Z
2
3
=
log 2 x 3
log 2 y 1 / 2
+
1
= 3 log 2 x +
2.
2
−
log 2 Z 2
log 2 y − 2 log 2 Z
Exprese en término de un solo logaritmo
Solución:
log5 ( x − 1) − log5 y + log5 Z
=
log 5 3 x 2 − 1 − log 5 y + log 5 Z 4 x
2
−1
1) − log 5 y + 4 log 5 Z
y
+ log 5 Z 4
z 4 3 x 2 = log 5 y =
−
4
2
= log 5
Dado log 2
3
log 5 ( x 2
=
3
3.
1
0.3010 y log 3
−
1
0.4771
=
Calcule: a)
log
16
log 3 12
b)
3
Solución: a)
b)
log
16
= log16 − log 3 = log 24 − log 3
3 = 4 log 2 − log 3
log 3 12
=
=
1 3 1 3
= 4( 0.3010) − 0.4771 = 0.7269
= log (12 ) 1 / 3 =
[log 2
2
+
log 3] =
1 3
1 3
log 12
=
1 3
log( 2 2 .3)
[ 2 log 2 + log 3]
[ 2(0.3010) + 0.4771]
Teorema (Cambio de base) Sean a, b, x ∈ R+ con a, b
Ejemplo: Solución: log 2 5
Dados log 2
=
log 5 log 2
=
≠
1, entonces
= 0.3010
0.6990 0.3010
log b x =
y log 5
log a x log a b
= 0.6990 calcule log 2 5
= 2.322
4
Antilogaritmo: Se llama antilogaritmo al número correspondiente a un logaritmo dado. Si log N = x ⇒ N = antilog x
Ejemplo: Calcule a) Antilog 3.6284
b)
log x 4 =
Solución: a)
N = antilog 3.6284 N = 4250
b)
log x 4
2 3
= ⇒
log 4 log x
2 3
2 3
= ⇒ 3 log 4 = 2 log x
3 log 4 = log 2 ⇒ 0.9031 = log x 2 x = anti log 0.9031 = 8
⇒
⇒
=8
x
Ejemplo: Calcule, haciendo uso de logaritmo. a)
log (5.63 x 8.34) = log 5.63 + log 8.34 = 0.7505 + 0.9212 = 1.6717 (5.63 x 8.34) = antilog 1.6717 = 46.957
b)
log 5 83 .964 1 5 5
(1.9241)
83.964
= log(83 .964 ) 1 / 2 =
= 0.3848
= anti log(0.3848) = 2.4255
I. Determine dominio, rango y grafique f ( x ) = log 2 x 1) 2)
f ( x )
=
3)
f ( x )
= ln x + 2
1 log(83 .964 ) 5
log 5 x
4)
f ( x ) = log 2 ( x + 3)
5)
f ( x) = log 2 x + 3
6)
f ( x)
= 3Lnx
II. Expresar a forma logarítmica a cada uno de las siguientes ecuaciones. −1
=
1
a)
5
a)
log 4 1 = 0
b)
6° = 1
c)
b)
log 2 1 / 8 = −3 3)
5 III. Expresar a forma exponencial de las siguientes ecuaciones.
IV.
103 = 1,000
log 4 / 3 27
= −
3
Encuentre “x” , “a” o “y” en cada uno de las siguientes ecuaciones.
5
V.
VI.
2
6)
y = log 25 5
7)
y
=
log 5 1 / 125
8)
y
=
log 64 16
log 4 2 = y
9)
log 5 x
log 2 8 = 3
10)
log 125 25
log 8 x
2)
log 1 / 2 x
= −
3)
log a 1 / 4
= −
4) 5)
Dado log 2
3
4 1 2
= 0.3010
y log 3
= 0.4771,
=
2 =
y
encuentre:
a)
log 48
d)
log
b)
log6
e)
log 3 8
g)
24
h)
log 2 12
log 2 10
log 3 / 2 log 3 2 c) f) Exprese el logaritmo dado en término de los logaritmos de x, y, z.
a)
b) VII.
=
1)
log 3
x 2 y
log a
c)
z 3 x z 2
d)
y 4
log a
log
3
y 2 z 4
y 6 x 3
x 2
Escriba la expresión dada como un solo logaritmo. 1 2 log a x + log a ( x − 2) − 5 log a (2 x + 3) 1. 3 2.
5 log a x −
3.
2 log a
4.
y 3 x
1 2
log a (3 x − 4) + 3 log a (5 x + 1)
− 3 log a y
1
+ log a x 2 y 2
log x + log( x − 3) −
2
1 log( x + 1) 2
6
