UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO FACULTAD DE INGENIERIA
PROGRAMA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS METODO PARA GENERAR VARIABLES ALEATORIAS: Método de la transformada Inversa, Método de Consolidación, Consolidación, Método de Composición Composición y Método de ace ace taci tación ón rec recha hazo zo
PROFESOR: ING FREDY CRUGGER ALUMNO: LUIS ANTONIO CORNEJO OLIVERA CODIGO: 032390-J
CUSCO, MAYO DEL 2010
GENERACION DE VARIABLE ALEATORIAS: INTRODUCCION De forma general, el proceso de simulación necesita la generación de datos semejantes a los que se producen en la realidad, lo que precisa la posibilidad de generar variables aleatorias de varias distribuciones, por ejemplo la exponencial que es muy usada en casos de estudio de colas. El algoritmo concreto a utilizar dependerá de la distribución a generar, pero de forma general tendrá las siguientes etapas: Generar uno a más números aleatorios U (0,1
Transformación dependiente de la distribución
Obtener X de la distribución deseada
Características deseables: Exacto si es posible (existen métodos aproximados). Eficiente: poco almacenamiento, rápido y robusto.
sencillo, fácil de comprender y de implementar.
Que precise solo números U(0,1) y, si es posible un numero genere una variable
METODOS PARA GENERAR VARIABLES ALEATORIAS
Método de la Transformada Inversa
Método de Convolución
Método de Composición
Método de Aceptación / Rechazo
METODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA -Puede ser usada para muestrear distribuciones exponencial, uniforme, Weibull y triangular. -Es usada como base para muestrear una gran variedad de distribuciones discretas. -Es la técnica más fácil, pero no siempre es la más eficiente en términos computacionales. Sea X la variable aleatoria cuya función de distribución es F ( x) P X
x
Se genera un número aleatorio uniforme entre 0 y 1, u , y luego se determina x tal que F ( x) u Supongamos que la variable tiene distribución exponencial con F ( x) 1 e
x
1/ la media de la distribución. Dado un numero aleatorio u tal que F ( x) u , luego x
ln(1 u )
d
ln(u)
.
para x 0 siendo
Otra aplicación directa de este procedimiento es para la distribución uniforme en un intervalo cualquiera (a, b). La función de distribución en este caso es F ( x)
xa ba
si x (a, b) (0 para
valores menores y 1 para valores mayores) y dado un numero aleatorio u tal que F ( x) u , se tiene que x a (b a)u . La distribución Weibull ( , ) es otra distribución para la que se puede aplicar este procedimiento directamente. La función de densidad de una distribución Weibull ( , ) de media
es f ( x) x 1e
( x )
1
(1 / ) ,
, x 0 , con lo que la función de distribución se obtiene de forma
inmediata F ( x) 1 e( x) , x 0 .Así , dado un valor aleatorio uniforme en (0,1), u , el valor generado sería x
1
1/
ln(1 u)
d
1
1/
ln(u)
.
Aunque éste es el procedimiento más extendido, sin embargo, muestra una dificultad fundamental para su aplicación, la necesidad de conocer explícitamente la función de distribución. La forma habitual de caracterizar una distribución absolutamente continua es mediante su función de densidad, de ahí que se hayan diseñado otros procedimientos basados en esta función. Ejemplo: Generar datos con distribución exponencial con 1, 5 , para u =0,5520 Sol: Se obtiene
1
a F (0,55 ,5520)
u
a
0.552
0.3961
0.4881
0.4782
0.7512
0.1907
0.3124
0.7756
0.5696
0.3752
0.7238
0.2155
0.9438
0.0386
1 1, 5
ln(0,55 ,5520) 0,39 ,3961
METODO DE LA TRANSFORMADA DIRECTA -Técnica intuitiva de transformación directa que produce un par de variables normales estándar independientes una de otra con media cero y varianza uno. -No es tan eficiente pero es fácil de implementar en distintos tipos de lenguajes de programación
METODO DE CONVOLUCION -La distribución de probabilidad de la suma de dos o más variables aleatorias independientes es llamada la convolución de las distribuciones de las variables originales. -El método de convolución es entonces la suma de dos o más variables aleatorias para obtener una nueva variable aleatoria con la distribución de probabilidad deseada. -Puede ser usada para obtener variables con distribuciones Erlang y binomiales. -Muchas v.a. se pueden expresar de forma exacta o aproximada mediante la suma lineal de otras v.a. -Este método se puede usar cuando la v.a. x se puede expresar como una combinación lineal de k v.a., x b1 x1 b2 x2 ... bk xk
-Se necesita generar k números aleatorios (u1, u2 , ..., uk ) para generar ( x1, x2 , ..., xk ) v.a. y así obtener el valor final.
METODO DE COMPOSICION El tercer método existente para la generación de variables aleatorias utilizando computadoras es el llamado método de composición o método de mezclas. x) se expresa como una mezcla de varias Mediante este método la distribución de probabilidad fX ( x distribuciones de probabilidad probabilidad fi ( x) seleccionadas adecuadamente.
Cada fragmento se expresa como producto de una función de densidad y un peso, y la función global queda como
f ( x)
n
n
w f ( x) i
i
Con
i 1
w ( x) 1 i
i 1
La guía para la selección de los fi ( x) esta dada sobre las consideraciones relativas a la bondad n
de ajuste y el objetivo de minimizar
w t donde i i
t i es el tiempo esperado de computación para
i 1
x). generar valores de variables aleatorias a partir de fi ( x Los pasos requeridos para la aplicación de este método en la simulación de variables aleatorias son los siguientes: Algoritmo 4.1 Método de composición
1. Dividir la distribución de probabilidad original en sub áreas. 2. Definir una distribución de probabilidad para cada sub área. 3. Expresar la distribución de probabilidad original en la forma siguiente:
f ( x) wi fi ( x) w2 f 2 ( x) ... wn f n ( x)
n
w f ( x) i
i 1
4. Obtener la función de distribución de las áreas. 5. Generar dos números aleatorios R1 y R2.
i
x) con la cual se va a simular el valor de X . La 6. Seleccionar la distribución de probabilidad fi ( x selección de esta distribución se obtiene al aplicar el método de la transformación inversa, en la cual el eje de las ordenadas esta representado por la distribución acumulada de las áreas, y el eje de las abscisas por las distribuciones fi ( x). Para esta selección se utiliza el numero aleatorio R1. 7. Utilizar el numero aleatorio R2 para simular por el método de la transformada inversa o algún x) otro procedimiento especial, números al azar que sigan la distribución de probabilidad fi ( x seleccionada en el paso anterior. probabilidad: Ejemplo: Se desea generar variables aleatorias de la siguiente distribución de probabilidad:
fX ( x)
1 x, si 1 x 0 1 x, si0 x 1
Siguiendo los pasos descritos previamente, la generación de variables aleatorias, puede ser resumida en los siguientes pasos. 1. La distribución de probabilidad probabilidad original, se va ha dividir en dos áreas, definidas por los limites de la misma, entonces estas áreas son: w1 1 / 2 que es el área definida en el intervalo
1 x 0, y w2 1 / 2 que corresponde al área definida en el intervalo
0 x 1 2. En seguida se determinan las distribuciones de probabilidad y distribución distribución acumulada de las áreas definidas en el paso anterior 2 fX ( x)1 2(1 x) y F X ( x)1 ( x 1)
fX ( x) 2 2(1 x) y F X ( x )2 2 x x
2
3. La distribución de probabilidad probabilidad original, original, se puede expresar como: como:
fX ( x) w1 fX ( x)1 w2 fX ( x)2 1
1
(2(1 x)) (2(1 x))
2 2 4. Con las áreas y distribuciones fi(x) definidas en los pasos anteriores, la distribución acumulada de las áreas sería ½, si x esta definido en fX ( x)1 F A =
1, si x esta definido en fX ( x ) 2
5. Generar dos números aleatorios R1 y R2 6. Si R1<1/2, entonces se simulan valores de la distribución fX(x)1: ( x 1) R2 2
x R2 1 En caso contrario, se simulan simulan valores de la distribución distribución fX(x)2: fX(x)2: 2 x x R2 2
x 1 1 R2 7. Repetir los pasos anteriores anteriores tantas veces como se desee.
Con estos pasos, generamos una muestra aleatoria de tamaño n=10000, y obteniendo el histograma con el respectivo ajuste de datos
METODO DE ACEPTACION/RECHAZ ACEPTACION/RECHAZO O -Se generan variables aleatorias con alguna distribución y son aceptadas si cumplen con una condición determinada, sino son rechazadas. -La eficiencia de esta técnica depende grandemente en ser capaz de minimizar el número de rechazos. -La número medio de dígitos aleatorios requerido para generar una variable X es uno más que el número de rechazos Se utiliza cuando es imposible o extremadamente difícil expresar x en función de la transformada 1
inversa F (U ) . Sea f la función densidad de probabilidad. Este método precisa una función que sea mayor que f, tal que g(x) ≥f(x) para todo x. g(x) no será una función densidad puesto que:
c
g ( x)dx
f ( x) dx 1
Para c ≤ ∞, entonces h(x)=g(x)/c es una función densidad.
Algoritmo 1. Generar Y teniendo una densidad h. 2. Generar U de U(0,1), independiente de Y. 3. Si U ≤f(Y)/g(Y), entonces hacer X←Y, sino volver al paso 1. El algoritmo continúa haciendo este bucle sobre el paso 1 hasta que se genera un (Y,U) para el que U
≤f(Y)/g(Y)
(hasta que aceptamos el valor de Y para Z). La variable aleatoria Z generada por el
algoritmo anterior tiene una función densidad f. ¿Cómo elegir g? • Hay que intentar elegir g de modo que la variable aleatoria Y se pueda generar rápidamente, • La probabilidad de ac eptar Y debiera ser grande (c próxima a 1), lo que significa que g debe estar próxima a f. Ejemplo: La distribución Beta (4,3) tiene una función densidad f(x) = 60 x3 (1 – x)2 0 ≤x ≤1
El valor máximo de f se alcanza para x=0,6 y f(0,6) = 2,0736. Si definimos g(x)=2,0736 para 0 ≤x ≤ 1, entonces g es mayor que f.
Algoritmo: 1. Generar Y y U de U(0,1). 60Y (1 y) 3
2. Si U
2
2,0736
Entonces hacer X=Y; sino rechazar el valor de Y y volver al paso 1.
ELECCION DEL METODO ADECUADO • Si la función de distribución distribución se puede invertir utilizar inversión. • Si la función de distribución es la suma de otras funciones de distribución utilizar composición. • Si la variable aleatoria es composición de otras variables aleatorias utiliza r convolución • Si existe una función que maximice a función densidad utilizar aceptación rechazo. • Si existe algún tipo de relación utiliza r métodos específicos .
METODOS PARA GENERAR VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS • Uniforme: Transformada inversa • Exponencial: Transformada inversa • Erlang: Convolución Convolución • Gamma: Aceptación -rechazo • Weibull: Transformada inversa • Normal: Transforma Tr ansformación ción directa • Triangular: Transformada inversa • Empírica: Transformada inversa • Bernoulli: Transformada inversa • Uniforme: Transformada invers a • Discreta arbitraria: Transformada inversa • Binomial: Convolución • Geométrica: Transformada inversa • Poisson: Aceptación -rechazo CONCLUSION Dado que existen varios métodos para generar variables aleatorias continuas, y también discretas, se debería profundizar en el tema de estudio para poder reconocer bien con que método se puede trabajar, en lo que respecta a mi proyecto, se trabajara con el método exponencial y la transformada inversa ya que se trabajara con colas y tiempos de espera. El método de aceptación- rechazo no me parece que es muy acertado en las respuestas ya que tiene que cumplir con ciertas condiciones, sino se rechaza, asi que se tiene que procurar obtener la mínima cantidad de rechazos.
