DEFINIR LÓGICA La lógica es una ciencia formal que estudia los principios de la demostración e inferencia válida. La palabra deriva del griego antiguo λογική (logike), que significa «dotado de razón, intelectual, dialéctico, argumentativo», que a su vez viene de λόγος
(logos), «palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o principio». La lógica investiga los principios por los cuales algunas inferencias son aceptables, y otras no. Cuando una inferencia es aceptable, lo es por su estructura lógica, y no por el contenido específico del argumento o el lenguaje utilizado. Por esta razón la lógica se considera una ciencia formal, como la matemática, en vez de una ciencia empírica.
PREMISA En lógica, una premisa es cada una de las proposiciones anteriores a la conclusión de un argumento. En un argumento válido, las premisas implican la conclusión, pero esto no es necesario para que una proposición sea una premisa: lo único relevante es su lugar en el argumento, no su rol. Al ser proposiciones, las premisas siempre afirman o niegan algo y pueden ser verdaderas o falsas. f alsas. Considérese el siguiente argumento: 1. O es martes o es miércoles. 2. Si es martes, entonces tengo que ir a trabajar. 3. Si es miércoles, tengo que ir a trabajar. 4. Por lo tanto, tengo que ir a trabajar. En este argumento, las proposiciones 1, 2 y 3 son las premisas, y la proposición 4 es la conclusión. Un argumento puede tener cualquier número (en general finito) de premisas, incluso 0 (en cuyo caso la conclusión suele ser un teorema y una verdad lógica). PROPOSICIÓN Una expresión que deba ser verdadera o falsa pero que no pueda ser ambas, la llamaremos una proposición. NOTACIÓN Se designa con el término de notación a aquel sistema de signos convencionales que se adoptan y utilizan para expresar determinados conceptos de una disciplina concreta, las matemáticas, la música entre otras. CONTRADICCIÓN En lógica, una contradicción es una incompatibilidad entre dos o más proposiciones. Por ejemplo, las oraciones «llueve y no llueve» y «ni llueve ni truena, pero llueve y truena» expresan contradicciones.
En lógica proposicional, una contradicción se define como una fórmula que resulta falsa para cualquier interpretación, es decir para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas. Por ejemplo, la siguiente tabla demuestra una contradicción:
Dada esta definición, toda contradicción es la negación de una tautología, y toda tautología es la negación de una contradicción. Siguiendo el ejemplo anterior, al negar la contradicción obtenemos una tautología:
APLICACIÓN DE LA LOGICA Debido a su importancia la lógica se aplica a varias áreas entre ellas la ingeniería, en la electrónica para el diseño de circuitos mediante compuertas lógicas y en programación para el diseño de programas que requieren la unión de operadores lógicos. La lógica no es solo objeto de estudio como ciencia exacta sino que es relevante en cuanto a que todos estamos haciendo uso de ella en la vida cotidiana, por ejemplo los operadores lógicos han de ser utilizados todos los días al expresarnos mediante nuestro idioma y al tomar decisiones en cualquier aspecto de la vida de aquí la importancia que se le da a esta ciencia.
ARGUMENTOS Y CUANDO SON VALIDOS Un argumento es una secuencia de afirmaciones, todas las afirmaciones excepto la última se llamarán premisas, suposiciones o hipótesis, la declaración final se llamará conclusión. Argumentar consiste en deducir una conclusión a partir de una premisa que se tienen por verdaderas. Un argumento, por lo tanto, estará compuesto de unas premisas y de una conclusión Lo que hace que podamos hablar de razonamiento es la relación que existe entre los enunciados que llamamos premisas y la conclusión.
Diremos que un argumento es argumento válido si para cualquier valor de las variables proposicionales involucradas en las fórmulas que hacen verdaderas las premisas la conclusión es verdadera. Ar gumento Vali do
Un argumento es válido si se cumple: Un argumento puede ser válido con premisas y conclusión verdaderas. Pero también puede ser válido con premisas falsas y conclusión verdadera, o incluso con premisas y conclusión falsas. Ej emplos De Argu mentos Vali dos
Un argumento concreto es válido cuando tiene la forma de un esquema de argumento válido. Por ejemplo, considérese los siguientes dos argumentos: 1. O es de día o es de noche. 2. No es de día. 3. Por lo tanto, es de noche. 1. 2. 3.
O es varón o es mujer. No es varón. Por lo tanto, es mujer.
Estos argumentos son válidos porque ambos tienen la forma de un silogismo disyuntivo, el cual es un esquema de argumento válido: 1. O p o q. 2. No p. 3. Por lo tanto, q. Para determinar la validez de un argumento concreto, entonces, alcanza con determinar la validez su esquema de argumento, y esto se puede lograr por medios semánticos o por medios sintácticos.
QUE SON FALACIAS Una falacia es un argumento que si bien puede ser convincente o persuasivo, no es lógicamente válido. Esto no quiere decir que la conclusión de los argumentos falaces sea falsa, sino que el argumento mismo es malo, no es válido. Existen varias maneras de clasificar a la gran cantidad de falacias conocidas, pero quizás la más neutral y general (aunque tal vez un poco amplia), sea la que divide a las falacias en formales e informales. Un ejemplo de falaci a es el siguiente:
1. Pedro está enamorado. 2. A Pedro le gusta Susana. 3. Por lo tanto, Pedro está enamorado de Carla.
1. Julio fue al Psiquiatra. 2. A Julio le duele mucho la cabeza. 3. Por lo tanto, Julio está loco. 1. Las esmeraldas son verdes 2. Este anillo es verde. 3. Por lo tanto, el anillo es de esmeraldas. Las dos premisas mencionadas pueden ser verdaderas, sin embargo, la conclusión no es necesariamente verdadera. El anillo puede ser de esmeraldas o de otro material de color verde. En el primer caso, la conclusión resultaría verdadera, pero, en el segundo, estaríamos frente a una conclusión falsa.
SÍMBOLOS DE LA LÓGICA PROPOCIONAL. Constantes proposicionales: Las conectivas o conectores. Se denomina constantes lógicas o conectivas a las partículas que sirven para unir proposiciones simples y convertirlas en fórmulas complejas. Las constantes lógicas más usuales son las siguientes: a. Negador.
Se representa con este símbolo “ ¬”, y produce fórmulas del tipo “¬p”, “no es cierto que p”, “no es p”, “es imposible que p”, etc.
Por definición el negador es aquella conectiva que invierte el valor de verdad de una proposición, es decir, la convierte en verdadera si es falsa, y en falsa si es verdadera. Esto se representa con la siguiente tabla de verdad: p ¬ 1 0 0 1 b. Conjun tor.
El conjuntor se representa con el símbolo “˄”, y da lugar a fórmulas del tipo “p˄q”, “p y q”.
Por definición el conjuntor es aquella conectiva que da lugar a fórmulas complejas que son verdaderas únicamente cuando son verdaderas las dos proposiciones que las componen. Se representa con la siguiente tabla de verdad: p q p˄q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
c. Di syuntor .
El disyuntor se representa con el símbolo “˅”, d ando lugar a fórmulas del tipo “p˅q”, “p o q”.
Por definición, el disyuntor es aquella conectiva que da lugar a fórmulas complejas que son verdaderas, cuando al menos una de las proposiciones que las componen es verdadera. Únicamente una disyunción es falsa cuando son falsas las proposiciones que la componen. Esto se representa con la siguiente tabla: p
q
p˅q
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 1 0
. d. Condici onal o impli cador La condicional o implicador se representa con el símbolo“→”, dando lugar a fórmulas del tipo “p → q”, “sí p entonces q” o también “cuando p entonces q”.
Por definición la condicional es una conectiva que da lugar a fórmulas complejas que son verdaderas en todos los casos menos cuando siendo verdadero el antecedente (antes de la flecha) es falso el consecuente. p q p → q 1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 1 1
e. Bicondi cional o coimpli cador.
La bicondicional o coimplicadora se representa con el símbolo “↔”, dando lugar a fórmulas del tipo “p↔q”, “p coimplica a q”, o también “si y sólo si p entonces q”, o “únicamente si p entonces q”.
La Bicondicional es aquella conectiva que da lugar a fórmulas complejas que son verdaderas cuando coinciden los valores de verdad de las proposiciones que las componen. p
q
p↔q
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
Conectivas Lógicas. A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para representarlas en lenguaje formal. Expresión Símbolo en el en Símbolos Conectiva Ejemplo lenguaje este alternativos natural artículo Negación
no
No está lloviendo.
Conjunción
y
Está lloviendo y está nublado.
Disyunción
o
Está lloviendo o está soleado.
Condicional material
si... entonces
Si está soleado, entonces es de día.
si y sólo si
Está nublado si y sólo si hay nubes visibles.
Bicondicional Negación conjunta
ni... ni
Ni está soleado ni está nublado.
Disyunción o bien... o O bien está soleado, o excluyente bien bien está nublado. En la lógica proposicional, las conectivas lógicas se tratan como funciones de verdad. Es decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por ejemplo, la conectiva lógica «no» es una función que si toma el valor de verdad V, devuelve F, y si toma el valor de verdad F, devuelve V. Por lo tanto, si se aplica la función «no» a una letra que represente una proposición falsa, el resultado será algo verdadero. Si es falso que «está lloviendo», entonces será verdadero que «no está lloviendo». El significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir. Esto quiere decir que el significado de cada conectiva lógica puede ilustrarse mediante una tabla que despliegue los valores de verdad que la función devuelve frente a todas las combinaciones posibles de valores de verdad que puede recibir.
Negación
Conjunción
Disyunción
Condicional
Bicondicional
Símbolos Auxiliares. Cuando los enunciados moleculares son complejos y tienen más de una conectiva, se vuelve necesario utilizar un nuevo tipo de símbolo que nos aclare cuál es el dominio de las conectivas. Símbolos auxiliares son: ( ), [ ], { }. Imagínate la siguiente expresión lógica: pΛq→r
Podría ser la simbolización de una expresión como "Si me levanto temprano y tengo tiempo libre, entonces daré un paseo por el campo". En este caso, la condición para que yo dé un paseo es que me levante temprano y tenga tiempo libre. Entonces la expresión lógica debería ser: (pΛq)→r
Con el paréntesis indicamos que el antecedente del condicional es p Λ q.
Pero imaginemos que decimos: "Hoy me levanto temprano y si tengo tiempo libre, entonces daré un paseo por el campo". En este caso, la condición para que yo dé un paseo es solamente que tenga tiempo libre (podría dar el paseo aunque me levante tarde, siempre que tenga tiempo libre). En este caso la expresión lógica debería ser: p Λ (q → r)
Con el paréntesis indicamos que el antecedente del condicional es solamente q. Como ves, los símbolos auxiliares son los mismos que se utilizan en matemáticas, y su significado es similar. En matemáticas no es lo mismo (4+3)x2 que 4+(3x2). Los paréntesis sirven para indicar entre qué números hacemos las operaciones, lo cual afecta al resultado final. En lógica los símbolos auxiliares nos dicen qué proposiciones unen las distintas conectivas, cuál es su dominio, todo lo cual afecta al significado lógico de la expresión.
TABLA DE LA VERDAD DE CADA CONECTIVO LÓGICO. Dado que las conectivas son funciones de verdad, existirán tantas conectivas como funciones de verdad. Sin embargo, no todas las funciones de verdad tienen análogos en el lenguaje natural, y en consecuencia, no todas son estudiadas con el mismo interés. A continuación se incluye una tabla que lista las 16 conectivas binarias posibles.
Donde: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
Tautología Disyunción lógica Condicional material inverso Proposición Condicional material Proposición Bicondicional Conjunción lógica Negación alternativa Disyunción exclusiva Negación lógica Negación del condicional material Negación lógica Negación del condicional inverso Negación conjunta Contradicción
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Una Estructura Algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación ó ley de composición interna definida en él. En algunos casos más complicados puede definirse más de una ley de composición interna y también leyes de composición externa.
TIPOS DE ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Las estructuras algebraicas se clasifican según las propiedades que cumplen las operaciones sobre el conjunto dado. En estructuras algebraicas más elaboradas, se definen además varias leyes de composición. Con una ley de composición interna Magma Semigrupo Cuasigrupo Monoide Grupo Grupo abeliano
Con dos leyes de composición interna Semianillo Anillo Pseudoanillo Cuerpo Retículo (orden)
Con leyes de composición interna y externa Dominio de integridad Módulo Espacio vectorial Álgebra sobre un cuerpo
OPERACIÓN BINARIAS Se define como operación binaria (o ley de composición) aquella operación matemática, que necesita el operador y dos operandos (argumentos) para que se pueda calcular un valor. Dados tres conjuntos A, B y C una operación binaria producto, representando la operación por el signo , es una aplicación que asigna a cada par de valores a de A y b de B un solo valor c de C, que podemos representar:
Podemos expresar la operación: Por ejemplo, el operador de suma «+» de números naturales es un operador binario, porque requiere dos argumentos:
y tenemos que: El número de argumentos de una función se denomina aridad.
Clase De Operación Binaria Según los conjuntos A, B y C podemos diferenciar dos tipos de operaciones, las internas en las que A = B = C, y las externas que son todas las demás, se denomina Ley de composición a un subtipo de operación binaria.
Operación interna Si a cada par de valores (a, b) de
la operación le corresponde un valor c de A:
se dice que esta operación es interna, también se llama ley de composición interna, así por ejemplo dado el conjunto de vectores de tres dimensiones y la adición de vectores, se tiene:
que la suma de dos vectores de
es otro vector de
, por ejemplo, dados los vectores:
su suma es:
Operación externa Si la operación no es interna entonces es externa, pudiéndose presentar los siguientes casos: Si a cada par de valores a de A y b de B, se le asigna un valor c de A,
a esta operación también se denomina ley de composición externa, un ejemplo claro, de esta operación, es el producto de un vector por un escalar:
así, dado el vector: el resultado de multiplicarlo por un escalar b, será:
Si la operación es de la forma:
en la que a cada par de valores a, b de A se le asigna un c de B, esta operación no se denomina ley de composición, como ejemplo podemos poner el producto escalar de dos vectores, que da como resultado un número real:
así dados los vectores:
su producto escalar será:
Si la operación asigna a cada par de valores a de A y b de B un c de C, siendo A, B y C conjuntos distintos:
es el caso más general, y tampoco se denomina ley de composición, podemos ver el ejemplo de la división de un número entero entre un número natural para dar como resultado un número racional .
BIBLIOGRAFÍA
Priest, Graham (2008). An introduction to non-classical logic: From if to is (2ª edición). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0521854337. Ferrater Mora, J. (1984). Diccionario de Filosofía (4 tomos). Barcelona. Alianza • Diccionarios.. ISBN 84-206-5299-7. • Honderich, T.(Editor) (2001). Enciclopedia Oxford de Filosofía. Trd. Carmen García Trevijano. Madrid. Editorial Tecnos. ISBN 84-309-3699-8. •
CONCLUSIÓN Con esta investigación hemos obtenido un amplio conocimiento sobre la Lógica y el Lenguaje, aunque con este material no es suficiente por lo amplio que este tema, pero nos dio una iniciación en la cátedra en estudio, con esto queremos decir que hemos entendido, en parte, la mayoría de los concepto y estudios referentes a los temas antes mencionados; estos temas nos han parecido bastante amplios e indispensables para nuestro crecimiento intelectual, ya que ellos nos sirven de herramienta para cualquier actividad en nuestra existencia, en especial con áreas de estudios y áreas de trabajo que se vinculan con lo estudiado, aunque no es demás decir que la Lógica y El Lenguaje se aplican a cualquier tema, seas social, científico, etc.
. Equivocidad: consiste en utilizar una misma palabra con varios sentidos, o cambiando la suppositio.
