Precalculo - Barnett

Contenido

APENDICE

A

básicas A -l A -2 A-3 A -4 A-5 A -6 A-7

O peraciones algebraicas A -l

Á lgebra y núm eros reales A-2 Polinomios: O peraciones básicas A -12 Polinom ios: Factorización A-23 Expresiones racionales: O peraciones básicas A-3 3 E xponentes enteros A-42 E xponentes racionales A-51 R adicales A-5 7

Actividades en grupo del apéndice A: R epresentaciones con núm eros racionales A-67

Repaso del apéndice A A péndice B A péndice C

A-67

D ígitos significativos A-73 Fórm ulas geom étricas A-76

R espuestas A -7 9 índice de aplicaciones Indice analítico 1-3

l- l

PREFACIO Precálculo: F unciones y gráficas es uno de los tres libros de precálculo en la serie del autor. En esta edición se incluyeron varias m ejoras gracias a la generosa respuesta de un gran núm ero de usuarios de la edición anterior, así com o a los resultados del trabajo de investigación de los instructores, al trabajo de los departam entos de m atem áticas, de los organizadores de cursos y de los catálogos de las escuelas. También es fundam ental para el m ejoram iento y efectividad del libro, su uso en el salón de clase y su retroalim entación, am bas condiciones de las que esta cuarta edición de Precálculo: Funciones y gráfica s se ha beneficiado am pliam ente.

Énfasis y estilo El texto está escrito para ser com prendido por los estudiantes. Se puso gran cuidado en que su contenido fuera m atem áticam ente correcto y accesible a los estudiantes. Se puso m ayor énfasis en las habilidades com putacionales, ideas y en la resolución de proble m as que en la teoría m atem ática. Se om itieron la m ayoría de las derivaciones y pruebas excepto en los casos en que su inclusión clarifica de m anera im portante la com prensión de un concepto en particular. A m enudo los conceptos generales y resultados se presen tan hasta después de haber analizado los casos particulares.

Ejemplos y problem as seleccionados Se incluyeron m ás de 375 ejem plos totalm ente resueltos para introducir conceptos y para dem ostrar las diversas técnicas en la solución de problem as. D espués de cada ejem plo se incluyen problem as sim ilares seleccionados para que el estudiante los re suelva m ientras lee el material. Esto involucra de m anera activa al estudiante en el proceso de aprendizaje. Al final de cada sección se incluyen las respuestas de los pro blem as seleccionados para que se encuentren fácilm ente.

Exploración, análisis y grupo de actividades C ada sección contiene cuadros de exploración y análisis, colocados en lugares adecua dos, con el fin de anim ar a los estudiantes a pensar acerca de la relación o proceso antes de que se dé el resultado o para investigar otras consecuencias de un desarrollo en el texto, así com o el de m otivarlos a verbalizar los conceptos m atem áticos, resultados y procesos, com o se hace con los problem as seleccionados y en problem as particulares en casi cada conjunto de ejercicios. El m aterial de exploración y análisis tam bién se puede usar tanto en clase com o en actividades de grupo extraescolares. Adem ás, antes del repaso incluido al final de cada capítulo, se insertó un capítulo especial de activida des en grupo que involucran diferentes conceptos analizados en el m ism o. Todas estas actividades especiales se resaltan para enfatizar su im portancia.

Conjuntos de ejercicios El libro contiene m ás de 5 600 problem as. C ada conjunto de ejercicios está diseñado de m anera que un estudiante prom edio o por debajo de él experim ente el éxito y de que represente un reto para un estudiante m uy capaz. La m ayoría de los conjuntos de ejercí-

cios están divididos en los niveles A (de rutina, fácil m erarazacíóc . B m ecanización m ás difícil), C (m ecanización difícil y algo de teoría y 2pisca: c k s Lc í problem as de aplicación más difíciles están m arcados con dos estrellas de aplicación m ode radam ente difícil con una (*), y los de aplicación mas ao esc¿r —arcad o s. Note, por favor, que a veces se le pide al estudiante realizar los e n sá c a o s a n a n o y después com probar sus resultados con la ayuda de un dispositivo ce g rz fk a rio iL aunque el uso de éste es opcional.

Aplicaciones U no de los principales objetivos de este libro es propcrr.-:--ar a '.os estudiantes una experiencia im portante en el m odelam iento y resoiucjoc r r r c l í —as ¿el m undo real. Se incluyen suficientes aplicaciones para convencer a in al escéptico de que las m atem áticas son realm ente útiles. Se incluye tam bién _ r de aplicaciones para ayudar a la localización de algunas en particular _a —r — a de las aplicaciones son versiones sim plificadas de problem as del m undo re a l.: : (nados ae re% istas y libros pro fesionales, por lo que no es necesario ser especialista para resolver cualquiera de las aplicaciones. C om o m uchos estudiantes se preparan para e! esruci : de calculo con este libro, los ejem plos y ejercicios que son especialm ente adecuados para esta m ateria se m arcan con y .

Tecnología El térm ino genérico “dispositivo de graficación" se usa para referirse a cualesquiera de las diferentes calculadoras gráficas o paquetes de softw are para com putadora de los que podría disponer el estudiante que usa este libro. A un cuando el uso de un dispositi vo de graficación es opcional, es com ún que m uchos ¿ irid ia n te s y m aestros quieran usar alguno, así que para ayudarlos desde el capitulo 3 hasta el final del libro, se inclu yeron actividades opcionales en las que se puede usar algún dispositivo de graficación. Se incluyen adem ás breves análisis, ejem plos o panes de ejem plos resueltos con un dispositivo de graficación, y tam bién problem as para que el estudiante los resuelva. Todo el m aterial que ofrece la opción de usar un dispositivo de graficación esta clara m ente identificado con el sím bolo y se puede om itir sin que se pierda la continui d a d si así se desea.

Gráficas e ilustraciones Todas las gráficas e ilustraciones incluidas en esta edición son nuevas. El total de las gráficas se realizaron por com putadora para asegurar su exactitud m atem ática. Las pantallas del dispositivo de graficación que se m uestran en el texto son las salidas reales de una calculadora gráfica.

Ayudas im portantes a los estudiantes P ara indicar las anotaciones de ejem plos y su desarrollo se usan leyendas a color, esto con la finalidad de ayudar a los estudiantes a superar las etapas críticas. Los cuadros con líneas discontinuas (cuadros para pensar) se usan para encerrar los pasos que a m enudo se realizan m entalm ente. Los cuadros con pantalla (som breados) se utilizan para resaltar definiciones im portantes, teorem as, resultados y procesos paso a paso. Los cuadros de atención aparecen en las partes del texto en las que es frecuente que los estudiantes se equivoquen (véase la sección 1-7). El uso funcional de cuatro colo res m ejora la claridad de m uchas ilustraciones, gráficas y desarrollos, y guía a los estudiantes a través de ciertos pasos críticos. Las letras negritas se usan para introdu

Prefacio

XV

cir nuevos térm inos y resaltar com entarios im portantes. Las secciones de repaso del capítulo, incluyen un repaso de todos los térm inos im portantes y sím bolos, así com o un extenso ejercicio de repaso. Los ejercicios de repaso acum ulativos que se encuen tran después de cada segundo o tercer capítulo proporcionan práctica adicional a los estudiantes. Las respuestas a los ejercicios de repaso, insertados en secciones ade cuadas, se incluyen al final del libro. L as respuestas a todos los dem ás problem as im pares tam bién se encuentran al final del libro. Los resúm enes de fórm ulas y sím bolos (colocados en las secciones en que se introdujeron) se encuentran en las solapas interiores del libro para una adecuada referencia.

Cam bios principales de la tercera edición C om o antes se m encionó, las actividades de exploración y análisis se distribuyeron de m anera uniform e en todo el libro. Esos nuevos elem entos incluyen preguntas de explo ración y análisis en el texto y en los conjuntos de ejercicios, así com o en las actividades de grupo del capítulo. El material en el que el uso de los dispositivos de graficación es opcional está tam bién distribuido uniform em ente. En el capítulo 1, las ecuaciones lineales y sus aplicaciones se abordan en una sección, y se agregó una nueva en la que se estudian los sistem as de ecuaciones lineales y sus aplicaciones. En el capítulo 2, se com binaron las secciones de ayudas para graficación de fun ciones y operaciones con funciones, esto con el fin de exponer estos tem as en form a m ás concisa. A dem ás se trasladó la sección sobre funciones racionales al capítulo 3. Se organizó y revisó am pliam ente el m aterial del capítulo 3, esto debido en gran parte al efecto que los dispositivos de graficación han tenido en algunos de esos temas. La sección 3-2 trata ahora con los m étodos para encontrar las raíces exactas, incluyen do todas las raíces racionales, y en la sección 3-3 se realiza un acercam iento a las raíces reales. En el capítulo 6, se resum ieron en una sección los m étodos para resolver ecuaciones trigonom étricas; de nuevo se refleja algo del im pacto que la tecnología ha tenido en la resolución de ecuaciones. En el capítulo 7, se resum ió tam bién en una sola sección el tratam iento de coordenadas polares y gráficas polares. Com o en esta edición se aborda en el capítulo 1 la resolución de dos ecuaciones lineales con dos variables, la prim era sección del capítulo 8 ahora se concentra en los m étodos gráficos y m étodos para m atrices, y en el capítulo 9 se dedica una sección a la sum a y m ultiplicación de m atrices. Las técnicas de conteo se cam biaron al capítulo 10 y se elim inó el m aterial restan te de probabilidad.

M aterial de apoyo U n conjunto amplio de m ateriales de apoyo, tanto para el estudiante como para el maestro, está disponible p ara usarse con este texto. Libro del m aestro: Este auxiliar contiene todo el m aterial del texto de la edición para el estudiante, adem ás las respuestas a todos los ejercicios del libro de texto. (La edición para el estudiante contiene las respuestas a los ejercicios seleccionados.) M anual de soluciones para el estudiante: Este suplem ento, escrito por Fred Safier del C ity College de San Francisco, está disponible a la venta al estudiante, e incluye soluciones detalladas de todos los problem as im pares y de la m ayoría de los ejercicios de repaso. M anual de soluciones para el m aestro: Este m anual, escrito por John R. M artin del T arrant County Júnior College, proporciona soluciones a los problem as pares y res puestas a todos los problem as del texto.

M anual de recursos del m aestro: Este suplem ento proporciona transparencias m aes tras y exám enes muestra, preparados por Mark Serebransky del Cam ded County College, para cada capítulo del texto. Banco de reactivos im presos y en disquetes: Se dispone de un banco de reactivo para com putadora, preparado p o r la com pañía E SA con la colaboración de Thom as Roe de la South D akota State University, dicho banco proporciona una variedad de form atos que le perm iten al m aestro crear pruebas usando tanto preguntas de exam en generadas m ediante algoritm os com o m ediante el banco de reactivos estático. Este sistem a de exám enes le perm ite al m aestro escoger preguntas, ya sea m anual o aleatoriam ente por secciones, tipos de preguntas, nivel de dificultad y otros criterios. Este software de exám enes está disponible para com putadoras personales y M acintosh. U na versión del banco de reactivos, im presa en pasta suave, preparada por M ark Stevenson del Oakland C om m unity C ollege, proporciona la m ayoría de las preguntas que se encuentran en la versión para com putadora. Series de video por Barnett/Ziegler/Byleen: Curso en video, nuevo y creado para esta edición, proporciona a los estudiantes refuerzos para la com prensión de los tem as presentados en el libro, ubicados de m anera específica en el texto y que poseen una efectiva com binación de los m étodos de aprendizaje, incluyendo la instrucción perso nal, gráficas en el estado del arte y aplicaciones del m undo real. D iagram a interactivo en CD-RO M : Este paquete de software está disponible a la venta para el estudiante. Este CD contiene 45 diagram as interactivos que se diseñaron para usarse con este libro. C ada diagram a interactivo (DI) es una versión separada de Java A plett que contiene una ilustración que el usuario puede m anipular para ir m ás allá de la com prensión conceptual del tem a presentado. En cada sección del texto para el que se ha creado un DI, se ha colocado un icono en el margen. Tutorial con m ultim edia: Este suplem ento de m ultim edia es un tutorial autorregulado, relacionado de m anera específica con el texto y refuerza los tem as m ediante infinidad de oportunidades para repasar conceptos y practicar la solución de problem as. A dem ás de los m ateriales de apoyo m encionados, se está desarrollando otro tipo de tecnología y apoyos auxiliares en red, que darán soporte a las necesidades de la tecnología siem pre cam biante en álgebra universitaria y precálculo. Para m ayor infor m ación acerca de éstos o cualquiera de los suplem entos, por favor contacte a su repre sentante de ventas local de M cG raw -H ill.

Exactitud D ebido a la cuidadosa revisión y prueba de la obra por diferentes m aestros de m atem á ticas (realizada en form a independiente), los autores y editores creem os que está sustancialm ente libre de errores. Sin em bargo, si encontrara alguno, le agradeceríam os que enviara sus observaciones a: M ichael R. Ziegler, 509 W est D ean C ourt, Fox Point, W I 53217; o, p o r em ail, a m ichaelziegler@ execpc.com .

Reconocim ientos A dem ás de los autores, m uchas personas participaron en la publicación exitosa del libro. N os gustaría agradecer personalm ente a: R evisores del m anuscrito: Y ungchen Chen, S. W. M issouri State U niversity; A lian Cochran, U niversity o f Arkansas; W ayne Ehler, A nne A rundel Com m unity College; A bdulla Elusta, Broward C om m unity College; Betsy Farber, Bucks County Com m unity C ollege; Jeffrey G raham , W estern C arolina U niversity; Selw yn H ollis, A rm strong A tlantic State U niversity; R andal H oppens, Blinn College; L inda H om er, Brow ard Com m unity College-N. Cam pus; Beverly Reed, K ent State University; M ike Rosenthal,

Prefacio

xvii

Florida International University; Robert W oodside, East Carolina State University; M ary W right, Southern Illinois University. Revisores del contenido: Diane A bbott, Bow ling G reen State U niversity; Je ff Brown, U niversity o f N orth Carolina en W ilm ington; K im berly Brow n, Tarrant C ounty Junior College; Roxanne Byrne, University o f C olo rado en Denver; H arold Carda, South Dakota School o f M ines andTechnology; Elizabeth Chu, Sussex C ounty C om m unity College; K arin D eck, U niversity o f North Carolina en W ilm ington; M ichelle D iehl, U niversity o f N uevo M exico; M ary Ehiers, Seattle U niversity; L aura Fernelius, University o f W isconsin en Oshkosh; Larry Friesen, Butler County Com m unity College; Doris Fuller, Virginia State University; D an Gardner, Elgin C o m m unity C ollege; Sheryl G riffith, Iow a C entral C om m unity C ollege; Vernon Gwaltney, John Tyler Com m unity College; Brian Jackson, C onnor's State College; Nancy Johnson, M anatee Com m unity College; Klaus Kaiser, U niversity o f H ouston; W arren Koepp, Texas A & M at Com m erce; Sonja Kung, U niversity o f W isconsin at Seven’s Point; M ark Lesperance, Kansas State U niversity; Carol Lucas, U niversity o f Kansas; R ich ard M ason, Indian H ills C om m unity C ollege; M ichael M o ntano, R iverside Com m unity College; Patricia Moreland, Cowley County Com m unity College; Arumudan M uhundan, M anatee C om m unity College; M ilt M yers, Delaware C ounty Com m unity C ollege; Richard N adel, F lorida International U niversity; V icki P artin, Lexington Com m unity College; G loria Phoenix, N orth Carolina A gricultural & Technical State U niversity; D onna Russo, Quincy College; Jean Sanders, University o f W isconsin en Platteville; Ellen Scheiber, Drexel University; Patricia Schmidt, University o f Pittsburgh en G reensburg; Sam kar Sethuram an, A ugusta State U niversity; Jam es Shockley, Virgi nia Polytechnic Institute; Lora Stewart, Cosum nes River College; Joseph Sukta, M oraine V alley C om m unity C ollege; H ussain Talibi, Tuskegee U niversity; Stuart T hom as, University o f Oregon; Jam es Ward, Pensacola Junior College; Lyndon Weberg, University o f W isconsin; Chad W heatley, Delaw are Technical & Com m unity College; Edward W hite, Frostburg State U niversity; C lifton W hyburn, U niversity o f Houston; Tom W illiam s, R ow an-Cabarrus Com m unity College. Tam bién quisiéram os agradecer a: G holam hoessein H am edani y Caroline Woods por proporcionar una cuidadosa y com pleta com probación de todos los cálculos m atem áticos en el libro, y en el manual de soluciones y respuestas para el estudiante (un laborioso y m uy im portante trabajo). Todos los autores de los suplem entos por desarrollar los m anuales de ayuda que son tan im portantes p ara el éxito de un texto. Jeanne W allace por la producción exacta y eficiente de la m ayor parte de los m anuales que apoyan el texto. G eorge M orris y su equipo de ilustradores científicos, por sus efectivas ilustraciones y exactitud en las gráficas. M aggie Rogers, R obert Preskill, Paul M urphy, N ina Kreiden y todas las dem ás perso nas de M cG raw -H ill que contribuyeron con su esfuerzo para la producción de este libro. El realizar esta nueva edición con la ayuda de todas estas personas tan com petentes ha sido la m ás satisfactoria experiencia.

R. A. B arnett M. R. Ziegler K. E. Byleen

^ 'g

ORGANIZACION Y DEPENDENCIA n >

c

AL ESTUDIANTE Para ayudarle a obtener lo m ejor de este libro, y de su esfuerzo, se sugiere lo siguiente. E studie el texto siguiendo el proceso de cinco pasos que en seguida se enum era. Para cada sección: ü i l t e í i i Repita el ciclo 1-2-3

1.

L ea un desarrollo m atem ático.

2.

Trabaje m ediante los ejem plos ilustrativos.

3.

Trabaje el problem a seleccionado.

4.

Revise las ideas principales de la sección.

5.

R ealice los ejercicios asignados al final de cada sección.

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► hasta que haya term inado la sección yg-¡u

illiiltóí'íi5'.-’

..':;LvJu1üíL.

Todo lo anterior se debe hacer con una calculadora, suficientes hojas de papel, lápices y un recipiente para la basura a la mano. De hecho, no se debería leer un libro de m atem áticas sin lápiz y papel a la m ano; las m atem áticas no son un deporte para verse. A sí com o no se puede aprender a nadar observando nadar a otra persona, tam poco se puede aprender m atem áticas sólo con estudiar los ejem plos resueltos (se deben resol v er problem as, y m ontones de ellos). Si tiene calculadora gráfica o acceso a una com putadora con softw are m atem áti co, com o M aple o M athem atica, debe poner especial atención a los com entarios, cua dros de exploración y análisis y ejercicios m arcados con el icono .•H?. Este es m aterial opcional que se ha incluido para ayudarle a aprender de m anera efectiva el uso de la tecnología com o parte del proceso en la solución de problem as. Si no tiene acceso a estos dispositivos, om ita este m aterial, ya que podría im plicar cálculos que no se pu e den realizar a m ano. Si se le dificulta con el curso, entonces, adem ás de realizar las tareas regulares, invierta m ás tiem po en los ejem plos y problem as seleccionados y haga m ás ejercicios tipo A, aunque no se le hayan asignado. Si, por el contrario, le parece dem asiado fácil, entonces realice m ás ejercicios tipo C y problem as de aplicación, aun cuando no se le hayan asignado.

Raym ond A. B am ett M ichael R. Ziegler Karl E. Byleen

1-1

Ecuaciones lineales y aplicaciones

1-2 Sistemas de ecuaciones lineales y aplicaciones 1-3 Desigualdades lineales 1-4 Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades 1-5 Números complejos 1-6 Ecuaciones cuadráticas y aplicaciones 1-7 Ecuaciones reducibles a la forma cuadrática 1-8 Desigualdades polinomiales y racionales

MtiNi|

Actividades en grupo del capítulo 1: Razones de cambio Repaso del capítulo 1

f ( x ) - ! 3 x

+

41 +

1

2

1

Ecuaciones y desigualdades

U no de los usos im p o rta n te s del á lg e b ra es la solución d e ecu aciones y d e sig u a ld a des. E n este c a p ítu lo se a b o rd a r á n los m éto d o s p a r a reso lv er ecuaciones y des ig u a ld a d e s lin eales y no lineales. A d em ás, se c o n sid e ra rá n d ife re n tes aplicaciones q u e se p u e d e n reso lv er con éstos. E n el c a p ítu lo 3 se a n a liz a rá n o tro s m étodos p a ra reso lv er ecu acio n es polinom iales.

SECCIÓN

1-1

Ecuaciones lineales y aplicaciones Ecuaciones Solución de ecuaciones lineales U na estrategia p ara resolver problem as con literales Problem as num éricos y geom étricos Problem as de razón y tiem po Problem as con m ezclas A lgunas observaciones finales respecto de las ecuaciones lineales Una ecu ació n a lg e b ra ic a es un enunciado m atem ático que relaciona dos expresiones algebraicas que involucran al m enos una variable. A lgunos ejem plos de ecuaciones con la variable x son 1

3x — 2

1+ x 2x2 — 3x + 5 = 0

x —2

Vx + 4 = x - 1

El c o n ju n to de reem p lazo , o dom inio, de una variable se define com o el conjunto de núm eros que perm iten reem plazar a la variable.

Suposición

Sobre los dominios de las variables A m enos que se establezca lo contrario, se supone que el dom inio de una variable es el conjunto de aquellos núm eros reales para el cual las expresiones algebraicas que im plican la variable son núm eros reales.

Por ejem plo, el dom inio de la variable x en la expresión 2x — 4 es R, el conjunto de todos los núm eros reales, com o 2x - 4 representa un núm ero real para todos los reem plazos de x por núm eros reales. El dom inio de x en la ecuación _L = 2 x x —3 es el conjunto de todos los núm eros reales excepto 0 y 3. Estos valores se excluyen, ya que el m iem bro izquierdo no está definido para x = 0 y el m iem bro derecho no está definido p a ra x = 3.

1-1


i

Los m iem bros de la izquierda y derecha representan núm eros reales para todos los otros reem plazos de x por núm eros reales. El conjunto solución de una ecuación se define com o el conjunto de los elem en tos en el dom inio de las variables que hacen que la ecuación sea verdadera. C ada ele m ento del conjunto solución se denom ina solución, o raíz de la ecuación. Resolver una ecuación es encontrar el conjunto solución de la ecuación. U na ecuación se llam a identidad si la ecuación es verdadera para todos los ele m entos del dom inio de la variable o ecuación condicional si es verdadera sólo para ciertos valores del dom inio y falsa para otros. Por ejem plo,

2x - 4 = 2(x - 2) x 1 — 3x

x(x — 3)

son identidades, ya que am bas ecuaciones son verdaderas para todos los elem entos de los respectivos dom inios de sus variables. Por otro lado, las ecuaciones

3* - 2 = 5

y

— — =— x - 1 x

son ecuaciones condicionales, puesto que, por ejem plo, ninguna de las ecuaciones es verdadera para el dom inio con valor 2 . Saber el significado del conjunto solución de una ecuación es una cosa; encontrar lo es otra. Para este fin se introduce la idea de ecuaciones equivalentes. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si am bas tienen el m ism o conjunto solución para un con ju n to de reem plazo dado. Un m étodo básico para resolver ecuaciones es realizar las operaciones sobre las ecuaciones que produzcan ecuaciones equivalentes m ás sim ples, y continuar el proceso hasta llegar a un punto en que la solución sea obvia. La aplicación de alguna de las propiedades de igualdad que se explican en el Teo rem a 1, producirán ecuaciones equivalentes.

Teorema 1

Propiedades de igualdad Para cualesquiera de los núm eros reales a, b y c 1. 2. 3.

Si a = b, entonces a + c = b + c. Si a — b, entonces a — c = b - c. Si a = b, entonces ca = c b ,c ¥= 0.

Propiedad de sum a Propiedad de resta Propiedad de m ultiplicación

4.

Si a = b, entonces — = — , c ¥= 0. c c Si a = b, entonces cualquiera de las dos puede reem plazar a la otra en cualquier enunciado sin cam biar la veracidad o falsedad de éste.

Propiedad de división

5.

Propiedad de sustitución

• Solución A hora la atención se enfocará en los m étodos para resolver ecuaciones de p rim e r grado o lineales con una variable.

1


DEFINICIÓN 1

Ecuación lineal con una variable C ualquier ecuación que se puede escribir en la form a Form a estándar se denom ina ecuación lineal o de prim er grado con una variable, donde a y b son constantes reales y x es una variable. Sx - 1 = 2(x + 3) es una ecuación lineal, porque se puede escribir en la forma estándar 3x - 7 = 0.

EJEMPLO 1

Solución de una ecuación lineal R esuelva 5x - 9 = 3x + 7 y com pruebe el resultado.

Solución

Se usan las propiedades de igualdad para transform ar la ecuación dada en una ecuación equivalente cuya solución sea obvia. 5x — 9 = 3x + 7

Ecuación original.

5x — 9 + 9 = 3x + 7 + r

Sume 9 en ambos lados.

5x = 3x + 16 5x

Combine términos semejantes

= 3x + 16

Reste 3xde ambos lados.

2x = 16

Combine términos semejantes.

2x _ 16 2

Divida ambos lados entre 2.

2 Simplifique.

x = 8

El conjunto solución para esta últim a ecuación es obvia: C onjunto solución: {8 } Y com o la ecuación .v = 8 es equivalente a todas las ecuaciones anteriores a la solución, {8 } tam bién es el conjunto solución de todas esas ecuaciones, incluyendo la ecuación original. [Nota: Si una ecuación sólo tiene un elem ento en su conjunto solución, por lo general se usa la últim a ecuación (en este caso, x = 8) en lugar de usar la notación del conjunto p ara representar la solución.] Comprobación

5x — 9 = 3x + 7 5(8) - 9

1

3(8) + 7

40 — 9 ¿ 24 + 7 31=31

Ecuación original. Sustituyax = 8.

Simplifique cada lado. Un enunciado verdadero.

1-1


5

R esuelva y com pruebe: I x — 10 = 4 x + 5

Con frecuencia se encuentran ecuaciones que im plican más de una variable. Por ejem plo, si / y w son la longitud y ancho de un rectángulo, respectivam ente, su área se determ inará por (véase la figura I). A = Iw Área de un

Dependiendo del caso, se podría despejar esta ecuación por / o w. Para resolver p o r w, sim plem ente se considera que A y / son constantes y w es la variable. Entonces, la e c u a c ió n ^ = Iw se convierte en una ecuación lineal en la que w se puede despejar con facilidad al dividir am bos lados entre /:

rectángulo.

/¥= 0

w -

Solución de una ecuación con más de una variable Encuentre P en térm inos de las otras variables: A = P + P rt A = P + P rt

Solución

Considere a A, ry t como constantes.

A = P ( 1 + rt) .

I

Divida ambos lados entre 1 + rt.

= P

ÍF -W

Factorice para aislar P.

1 + rt Restricción 1 + rt =£ 0

P = + rt

i2 Encuentre i 7 en térm inos de C: C = § (F —32)

Gran parte de los problem as prácticos se pueden resolver m ediante m étodos algebraicos (son m uchos), de hecho, no hay un m étodo que funcione para todos. Sin em bargo, se puede form ular una estrategia que le ayudará a organizar su enfoque.

literales

1.

Lea el problem a cuidadosam ente (varias veces, si es necesario) hasta que entienda el problema; es decir, hasta saber qué se quiere encontrar y con qué datos se cuenta.

* Las respuestas a los problemas seleccionados en una sección dada se encuentran cerca del íin^ c; i sección, antes del conjunto de ejercicios.

1


2.

3. 4. 5. 6. 7.

Represente una de las cantidades desconocidas con una variable, por ejem plo x, e intente representar todas las otras cantidades desconocidas en térm i nos de x. Éste es un paso im portante y se debe realizar con cuidado. Si lo considera pertinente, dibuje figuras o diagram as e identifique las partes conocidas y las incógnitas. B usque las fórm ulas que relacionan las cantidades conocidas con las incóg nitas. Forme una ecuación que relacione las incógnitas con las cantidades descono cidas. R esuelva la ecuación y escriba las respuestas de todas las preguntas plantea das en el problem a. C om pruebe e interprete todas las soluciones en térm inos del problem a origi nal (no sólo la ecuación encontrada en el paso 5), ya que se pudo haber co m etido un error al establecer la ecuación en el paso 5. :_____ — — i

Lili-— ...

...

— --------------- —_ _ —

--------- ,— iü--------------------------------------------------------------------;-------------- —

E l resto de los ejem plos de esta sección contiene soluciones de problem as diver sos con literales, que ilustran tanto el proceso de establecim iento de problem as con literales com o las técnicas que se usan para resolver las ecuaciones resultantes. Se su giere que cubra la solución e intente resolver el problem a, únicam ente en caso de d ifi cultad (que no pueda avanzar) descúbrala sólo lo suficiente para poder continuar. Después de term inar con éxito un ejem plo, intente resolver los problem as seleccionados. C onti núe así hasta el final de la sección, entonces estará listo para intentar resolver una gran variedad de problem as con aplicaciones.

• Problemas numéricos y geométricos

EJEMPLO 3

Con los prim eros ejem plos se introdujo el proceso de establecim iento y resolución de problem as con literales en un contexto m atem ático sim ple, los siguientes serán de natu raleza m ás sustancial.

Establecimiento y resolución de un problema con literales Encuentre 4 enteros pares consecutivos de m anera tal que la sum a de los 3 prim eros exceda al cuarto p o r 8.

Solución

Sea x el p rim er entero par, entonces x

x+ 2

x+ 4

y

x +6

represente 4 enteros pares consecutivos, com enzando con el entero par x. (Recuerde que los enteros pares aum entan de 2 en 2.) La frase “la sum a de los 3 prim eros excede al cuarto p o r 8” se traduce en una ecuación: Sum a de los 3 prim eros = cuarto + excedente x + (x + 2) + (x + 4) — (x + 6) + 8 3x + 6 = x + 14 2x = 8 x = 4 Los 4 enteros consecutivos son 4, 6, 8 y 10.

1-1

Comprobación

4 + 6 + 8 — 18 10


7

Sum a de los tres prim eros Excedente Cuarto

Encuentre 3 enteros im pares consecutivos de tal m anera que 3 veces su sum a sea 5 más que 8 veces el entero de enmedio.

---------------------------EXPLORACIÓN Y ANÁLISIS 1

De acuerdo con la propiedad 1 del Teorem a 1, m ultiplique am bos lados de una ecua ción por un núm ero diferente de 0 que siem pre produzca una ecuación equivalente. ¿Por qué núm ero deberá m ultiplicar am bos lados de la ecuación siguiente para eli m inar todas las fracciones? X

_1_

4

2

Si no hubiera escogido 12, que es el m cd (m ínim o com ún denom inador) de todas las fracciones en esta ecuación, todavía podría resolver la ecuación resultante, pero con m ás esfuerzo. (Para un análisis de los m cd y cóm o determ inarlos, véase la sección A -4.)

Uso de un diagrama para la solución de un problema con literales Si un lado del triángulo m ide un tercio del perím etro, el segundo 7 m etros y el tercero un quinto del perím etro, ¿cuánto mide el perím etro del triángulo? Solución

S e a p = perím etro. Dibuje un triángulo y m arque los lados, com o se m uestra en la fig u ra 2. Entonces p = a + b + c p = -P- + — + 1 3 5

p = a + b+ c

■p =

5| £ + ^

+ 7 Multiplique ambos lados por 15, que es el mcd. Éste y el siguiente paso por lo general se realizan mentalmente.

7 metros FIGURA 2

\5 p = 15 ■— + 15 • — + 15 • 7 3 5 15p = 5p + 3p + 105 I p = 105 p = 15 El perím etro mide 15 metros.

* Cuando el libro se refiera a cuadros para pensar se estará hablando de los formatos con lineas di$cc-n_=-_ü. éstos se usarán para representar los pasos que por lo general se realizan mentalmente.

1


Comprobación

Lado 3 15 m etros

Problema seleccionado 4

PRECAUCIÓN

Perímetro

Si un lado de un triángulo m ide un cuarto del perím etro, e1 segundo 7 centím etros y el tercero dos quintos del perím etro, ¿cuánto m ide el perím etro?

Un error m uy común que se puede com eter aquí es confundir expresiones algebrai cas que im plican fracciones, con ecuaciones algebraicas que tam bién im plican fracciones). C onsidere estos dos problemas: (A) Resuelva: — + — = 10 2

(B) Sume: — +■— + 10

3

2

3

Los problem as se parecen m ucho, pero son de hecho m uy diferentes. Para resol ver la ecuación en (A) se m ultiplica am bos lados por 6 (el m cd) para elim inar las fracciones. Esto funciona m uy bien para ecuaciones, pero los estudiantes quieren usar el m ism o procedim iento para problem as com o el (B). Sólo que (B) no es una ecuación, p o r lo tanto la propiedad de m ultiplicación para igualdades no es apli cable en este caso. ¡Si se m ultiplica a (B) por 6 , lo que se obtiene es una expresión 6 veces más grande que la original! C om pare lo siguiente: (A)

— + — =10 2

(B) — + — + 1 0

3

2

1

3

l--------------------------------------------------------1

• — + 6 • — = 6 • 10 !¡ = — ^ + — í . + 2 3 ! I

---------------------------------1 o , o _ 3x + 2 x = 60

¡ 3 -2

2 - 3 - 1

I

I________________________I 3x , 2x , 60 ---------- h ----- + ------

5x = 60 x = 12

• Problemas de razón y tiempo

5 a* +

60

1 lay m uchos tipos de problem as de razón y tiem po y de distancia, razón y tiem po. En general, si Q es la cantidad de algo que se produce (kilóm etros, palabras, partes, etcéte ra) en T unidades de tiem po (horas, años, m inutos, segundos, etcétera), entonces, las fórm ulas que aparecen en el cuadro son im portantes.

1-1


9

Fórmulas de cantidad, razón y tiempo n , Cantidad Razón = -------------Tiem po Cantidad = (Razón) (Tiempo) Cantidad

Tiem po

Razón

[Nota: R es una razón prom edio o uniform e.]

Un problema de distancia, rapidez y tiempo La distancia de una ruta en barco entre San Francisco y H onolulú es de 2 100 m illas náuticas. Si un barco sale de San Francisco al m ism o tiem po que otro sale de H onolulú, y si el prim ero viaja a 15 nudos* y el otro a 2 0 , ¿cuánto tiem po les tom ará a los barcos encontrarse? ¿A que distancia de H onolulú y de San Francisco estarán en ese tiem po? Solución

Sea T = núm ero de horas que pasarán antes de que se encuentren. D ibuje un diagram a y marque las partes conocidas e incógnitas. A m bos barcos tendrán que viajar la m ism a cantidad de tiem po p ara encontrarse. D, = 20 T

D2 = 15r

20 nudos

15 nudos

Punto de encuentro

D istancia que recorre el barco 1 desde H onolulú hasta el punto de encuentro

SF

/ D istancia que recorre ’ i el barco 2 desde I San Francisco hasta el \ punto de encuentro

(

Distancia total desde Honolulú hasta San Francisco 2 100

D,

+

D2

2o r

+

15 T

-

• 2 100

35 T

=

2 100

T

=

60

Por lo tanto, pasarán 60 horas o 2.5 días para que se encuentren. * 15 nudos significa 15 millas náuticas por hora. Una milla náutica mide 6 0/6.1 pies.

10

1


D istancia desde H onolulú = 20 • 60 = 1 200 m illas náuticas. D istancia desde San Francisco = 15 ■60 = 900 m illas náuticas. 1 200 + 900 = 2 100 m illas náuticas.

Comprobación


U n equipo viejo puede im prim ir, prensar y rotular 38 sobres postales por minuto. Un m odelo m ás reciente realiza el m ism o proceso pero a razón de 82 por m inuto. ¿Cuánto tiem po les tom ará a am bos equipos preparar 6 000 sobres? [Nota: La form a m atem ática es la m ism a que en el ejem plo 5.]

A lgunas ecuaciones que im plican variables en un denom inador se pueden trans form ar en ecuaciones lineales. Se podría proceder esencialm ente en la m ism a form a que en el ejem plo anterior; sin em bargo, se debe excluir cualquier valor de la variable que produzca u n denom inador 0. Excluyendo esos valores, se podría m ultiplicar por el m cd aunque contenga una variable, y, de acuerdo con el teorem a 1, la nueva ecuación será equivalente a la anterior.

EJEMPLO 6

Un problema de distancia, rapidez y tiempo Un bote p ara excursiones tarda 1.5 veces m ás en recorrer 360 m illas en el viaje de ida que en el de regreso. Si el bote viaja a 15 m illas por hora en aguas tranquilas, ¿cuál es la rapidez de la corriente?

Solución

Sea x = Rapidez de la corriente (en m illas por hora) 1 5 - x = Rapidez del bote en contra de la corriente 15 + x = R apidez del bote a favor de la corriente Tiem po en contra de la corriente = (1 .5)(Tiem po a favor de la corriente) D istancia recorrida en contra de la corriente R apidez en contra de la corriente 360 15 - x

D istancia recorrida a favor de la corriente (1.5 ) ---------------------------------R apidez a favor de la corriente ( 1. 5) — — 15 + x

360

540

15 - x

15 + x

360(15 + x) = 540(15 - x )

„

,

x # 1 5 ,x # - 1 5

Multiplique ambos lados por

(15 - x)(15 + x) 5 400 + 360x = 8 100 - 540x 900x = 2 700 x = 3

o

Recuerde: T = —

1-1

11


Por lo tanto, la rapidez de la co m en te es de 3 m illas por hora. Se deja la com probación al lector.

A un avión tipo je t le tom a 1.2 veces m ás tiem po volar la distancia de París a Nueva York (3 600 m illas), que el que le tom a de regreso. Si la velocidad de crucero de un avión es de 550 m illas por hora en aire tranquilo, ¿cuál es la rapidez prom edio con la que sopla el viento en dirección de París a N ueva York?

EXPLORACIÓN Y ANÁLISIS 2

C onsidere la solución siguiente: x x -2

+ 2 = x -2

x + 2 x -4 = 2 x -2 x —2 ¿Es x = 2 una raíz de la ecuación original? Si no es así, explique por qué. A nalice la im portancia de excluir valores que produzcan un denom inador 0 cuando se resuel ven ecuaciones.

Un problema de cantidad, rapidez y tiempo U na com pañía de publicidad tiene una com putadora vieja que para preparar todo el correo tarda 6 horas. Con la ayuda de un nuevo m odelo se term ina el trabajo en 2 horas. ¿Cuánto tiem po le tom ará al nuevo m odelo hacer solo el trabajo? Solución

Sea x = tiem po (en horas) que em plea el nuevo m odelo en hacer solo todo el trabajo. /P a rte del trabajo term inado\ , j = (Rapidez)(Tiem po) \ en un tiem po dado / R apidez del m odelo viejo = — Trabajo por hora

6

R apidez del nuevo m odelo = — Trabajo por hora Parte del trabajo \ term inada p o r el m odelo + viejo en 2 horas /

(

/ Parte del trabajo \ term inada con el m odelo = 1 Trabajo term inado \ nuevo en 2 horas J

/ R apidez del \ / Tiem po del \ / R apidez del \ / Tiem po del \ _ ^m odelo viejo j 1m odelo v ie jo ) ~ (m odelo nuevo/I modelo nuevo ~

J

— (2) 6

+

— (2) x

= 1

x*O

*

r /

12

1


x + 6 = 3jc -2 x = -6

x = 3 Por consiguiente, la com putadora nueva podrá hacer sola el trabajo en 3 horas. Comprobación

Parte del trabajo term inado por el m odelo viejo en 2 horas = 2(~) = ! Parte del trabajo term inado por el m odelo nuevo en 2 horas = 2 (j) = | Parte del trabajo term inado por am bos m odelos en 2 horas = 1


Se usan dos bom bas para llenar un tanque de alm acenam iento de agua en una villa. U na bom ba puede llenar el tanque en 9 horas y la otra en 6 . ¿Cuánto tiem po les tom aría llenarlo si trabajaran juntas?

» Problemas con mezclas

Una variedad de aplicaciones se puede clasificar com o problem as con m ezclas, los cuales, aunque provengan de diferentes áreas, su tratam iento m atem ático en esencia es igual.

EJEMPLO 8

Un problema con mezclas ¿C uántos litros de una m ezcla que contiene 80% de alcohol se tendrían que agregar a 5 litros de una solución al 20% para obtener una solución al 30% ?

Solución

S e a x = cantidad usada de solución al 80%. ANTES DE MEZCLAR

DESPUÉS DE MEZCLAR

_________________________ A ____________________ ____

Solución al 80%

Solución al 20%

J

+

5 litros

x litros

C antidad de \ alcohol en la ^prim era solución I 0 .8.x-

( +

Cantidad de alcohol en la segunda solución 0.2(5)

Solución al 30%

(x + 5) litros

(

C antidad d e ' alcohol en la m ezcla 0.3(x + 5)

1-1


13

0.8.x + 1 = 0.3x + 1.5 0.5* = 0.5 x = 1 Se agrega un litro de la solución al 80%.

Comprobación

Litros de solución Primera solución Segunda solución Mezcla

roblema seleccionado 8

• Algunas rvaciones finales respecto de las uaciones lineales

Litros de alcohol

1 5 6

Porcentaje de alcohol

0.8( 1) = 0.8 0.2(5) = 1 1.8

80 20 1.8/6 = 0.3, o 30%

En un alm acén de productos quím icos se tiene una solución ácida al 90% y otra al 40% . ¿C uántos centilitros de la solución al 90% se deben agregar a 50 centilitros de una solución al 40% para obtener una solución al 50% ?

Se puede dem ostrar que cualquier ecuación que se escriba en la form a ax + b = 0 a ¥ z 0

( 1)

sin restricciones sobre x. tiene exactam ente una solución, que se puede encontrar como sigue: ax + b = 0 Propiedad de resta de la igualdad

ax = - b —h x = ----a

Propiedad de división de la igualdad

El requerim iento a =£ 0 en la ecuación (1) es una restricción im portante, ya que sin ella se podrían escribir ecuaciones con m iem bros de prim er grado que no tengan solu ción o tengan un núm ero infinito de soluciones. Por ejem plo, 2x — 3 = 2x + 5 no tiene solución, y 3x - 4 = 5 + 3(x - 3) tiene un núm ero infinito de soluciones. Intente resolver cada ecuación para ver qué sucede. Respuestas a los problemas seleccionados

1. x = 5 2. F = fC + 32 3. 3, 5, 7 4. 20 centímetros 5. 50 minutos 6. 50 millas por hora 7. 3.6 horas 8. 12.5 centilitros

14

1


1-1

EJERCICIO

27.

2.32x

3.76

= 2.32

28. — x

+ 4.49 = x + 3

En los problemas del 1 al 16, resuelva cada ecuación. 1. 3(x + 2) = 5(x - 6)

2. 5 x + 1 0 ( x - 2 ) = 40

En los problemas del 29 al 36, despeje la variable indicada en términos de las otras variables.

3. 5 + 4(r - 2) = 2(/ + 7) + 1

29. an = a) + (n — 1)d para d (progresiones aritméticas)

4. 5x — (7jc —4) — 2 = 5 — (3x + 2)

30. F = rC + 32 para C (escala de temperaturas)

5. 3 7. 5-

2x — 3

5 —x

3

2

2x — 1

x + 2

4

3

6. - — - + 1 = — 3 7

8.

x+ 3

31. — = — + — para/ (fórmula de lentes simples) f d [ d2

x - 4

32. — = — + — para R, (circuito eléctrico) R R2 1

9. 0.1(x — 7) + 0.05x = 0.8 10. 0.4(x + 5) - 0.3x = 17

33. A = l ab + 2ac + 2be para a (área superficial de un rectángulo sólido)

11. 0.3x - 0.04(x + 1) = 2.04

34. A = l ab + l ac + Ibc para c 2x - 3

12. 0.02* - 0.5(jc “ 2) = 5.32 13.

1

1

4

2 9

3m

Sx 25 15. —= = - = 2 x+ 5 x+ 5

16. ^ _ + 4 = . 6* 2x — 1 2x — 1

Imagine que un estudiante a quien asesora le dio las “solucio nes ” de los problemas 37y 38. Responda si la solución es co rrecta o errónea. Si considera que es errónea, explique en qué consiste el error y proporcione la solución correcta. 37.

+ 4= x- 3

3 —x

2 +x

1

10 3x

14 2 —x

5 5+ x

2 1

24

10

40

15

s —1 _ s + 2 Is + 4

23. 24.

5 /-2 2

11

t2 - 6 t+ 9

f — 3t

5

33 - x

x —3

x2 - 6x + 9

38.

x2 + 1

X2 + 4x - 3

X —1

X—1

x2 + 1 = x2 + 4x - 3 " ~ 5 6n — 6

3í + 6

21. — - + - J — = 3 2 —x x —2

x = 3

22. 5

1

X= 1

n -3 I

1 3

x- 3

1

19.

Ix

2x - 3

x + 4x — 1 2 = 2 x — 3

En los problemas del 17 al 24, resuelva cada ecuación.

18.

i* x - —-----+ 2 para y 36.

1 4 .^ + l = ^ + ± 3x 2 x 3

B

17.

parax

3x + 5

2x 3 —x

x —3

t

En los problemas del 39 al 41, despeje x. X— 39.

26. 0.0512x + 0.125(x - 2) = 0.725x

%

1+ — x

En los problemas del 25 al 28, use una calculadora para resol ver cada ecuación con hasta 3 dígitos significativos. 25. 3.142x - 0.4835(x - 4) = 6.795

x

40.

= 1 X+ 1 -

X+ 1-41.

= x + 2

1-1 X

1-1

-C- Despeje y en términos de

— — = ------ I 1 -y \l- x j

43. Despeje x en términos de y: y = ----- -----i+ -A _ X+c 44 Sean m y n números reales con m mayor que n. Entonces ahí existe un número real positivo p tal que m — n + p. Encuentre el error en el argumento siguiente: m = n+p (m — n)m = (m — n)(n + p) m2 —mn = mn + mp —n2 — np m2 — mn — mp = mn — n2 — np m(m — n —p) = n(m — n — p) m =n

APLICACIONES

W

E s i o s problemas están agrupados de acuerdo con el tema con que se relacionan. Los problemas más difíciles están marca dos con dos estrellas **, los moderadamente difíciles con una estrella *, y los más fáciles no están marcados.

y ú meros 45. Encuentre un número tal que 10 menos que dos tercios del número sea un cuarto del número. 46. Encuentre un número tal que 6 más que la mitad del número sea dos tercios del número. 4". Encuentre 4 enteros pares consecutivos de manera que la suma de los 3 primeros sea 2 veces mayor que el doble del cuarto. 48. Encuentre 3 enteros pares consecutivos tales que el primero más el doble del segundo sea el doble del tercero. Geometría 49. Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un perímetro de 54 metros, si su longitud es 3 metros menor que el doble de su ancho. 50. Un rectángulo de 24 metros de longitud tiene la misma área que un cuadrado que tiene 12 metros de lado. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? 51. Encuentre el perímetro de un triángulo si uno de sus lados mide 16 pies, otro dos séptimos del perímetro y el tercero un tercio del perímetro. 52. Encuentre el perímetro de un triángulo si uno de sus lados mide 11 centímetros, otro es un quinto del perímetro, y el tercero un cuarto del perímetro.


15

Negocios y economía 53. El precio de una cámara después de descontarle el 20% es de $72. ¿Cuánto costaba antes del descuento? 54. Una tienda que vende estéreos etiqueta cada artículo con un precio 60% más caro de lo que cuestan al mayoreo. ¿Cuánto cuesta un reproductor de casetes cuyo precio al mayoreo es de $144? 55. A un empleado de una tienda de computación se le paga un salario base de $2 150 al mes, más un 8% de comisión si vende más de $7 000 durante ese periodo. ¿Cuánto debe vender para ganar S3 170 al mes? 56. A un segundo empleado de la tienda de computación del problema 55 se le paga un salario base de $1 175 al mes más un 5% de comisión sobre las ventas del mes. (A) ¿Cuánto debe vender este empleado en un mes para ganar $3 170? Determ ine el nivel de ventas en el que ambos empleados recibirían el mismo ingreso mensual. Si los empleados pudieran elegir alguna de estas formas de pago, ¿Qué le aconsejaría al empleado considerar antes de decidir? Ciencias de la Tierra *57. En 1984, los soviéticos fueron los primeros en el mundo que perforaron el pozo con más profundidad en la corteza terrestre (con más de 12 kilómetros de profundidad). Al perforar descubrieron que después de los 3 kilómetros la temperatura T aumentaba 2.5“C por cada 100 metros de profundidad que aumentaban. (A) Si la temperatura a los 3 kilómetros es de 30°C y x es la profundidad del pozo en kilómetros, plantee una ecuación usando x de m anera que indique la temperatura T en el pozo a más de 3 kilómetros de profundidad. (B) ¿Cuál sería la temperatura a 15 kilómetros? (La temperatura límite que soportaba su equipo de perfo ración era de alrededor de 300°C.) (C) ¿A qué profundidad (en kilómetros) encontrarían una temperatura de 280°C? * 58. Como el aire no es tan denso a grandes altitudes, los aviones requieren una alta velocidad en tierra para alcanzar la velocidad de sustentación. Una regla empírica es que sea 3% mayor que la velocidad en el suelo por cada 1 000 pies a partir de la elevación, suponga que no hay viento y que la temperatura del aire permanece constante. (Calcule las respuestas numéricas hasta tres dígitos significativos.) (A) Sea Vs —Velocidad de despegue a nivel del mar para un avión particular (en millas por hora). A = Altitud superior al nivel del mar (en miles de pies). V — Velocidad de despegue a una altitud A pan: el mismo avión (en millas por hora).

16

1


Escriba una fórmula que relacione estas tres canti dades. (B) ¿Cuál sería la velocidad de despegue necesaria en el aeropuerto de Lake Tahoe (6 400 pies), si la velocidad de despegue en el aeropuerto de San Francisco (a nivel del mar) es de 120 millas por hora? (C) Si en una pista de aterrizaje en las montañas de Colorado que están a una altura de 8 500 pies es necesaria una velocidad de despegue de 125 millas por hora, ¿cuál deberá ser la velocidad de despegue en Los Angeles (al nivel del mar)? (D) Si la velocidad de despegue a nivel del mar es de 135 millas por hora y la velocidad de despegue en un lugar montañoso es de 155 millas por hora, ¿cuál es la altitud del segundo lugar en miles de pies? 59. Un temblor emite una onda primaria y una onda secundaria. Cerca de la superficie terrestre la onda primaria viaja alrededor de 5 millas por segundo, y la onda secundaria al rededor de 3 millas por segundo. A partir del tiempo que tarda en llegar cada una de las dos ondas a una estación sísmica, es posible calcular la distancia al temblor. Suponga que una estación mide una diferencia de tiempo de 12 segundos entre la llegada de las dos ondas. ¿A qué distancia de la estación está el epicentro del temblor? (El epicentro se puede localizar al obtener la distancia de barrido en tres o más estaciones.) 60. Un barco que usa dispositivos medidores de sonido arriba y abajo del agua, registra en la superficie una explosión 39 segundos antes que el dispositivo bajo el agua. Si el sonido viaja en el aire a alrededor de 1 100 pies por segundo y en el agua a cerca de 5 000 pies por segundo, ¿a qué distancia ocurrió la explosión?

Ciencias de la vida 61. Una naturalista de un departamento de pesca calculó el número total de truchas en cierto lago mediante la popular técnica de captura, mareaje y recaptura. En total pescó, marcó y liberó 200 truchas. Una semana después durante la cual se pudieron mezclar, volvió a pescar 200 truchas entre las que encontró ocho marcadas. Suponiendo que el porcentaje de truchas marcadas con relación al número total de la segunda muestra es el mismo que el de todos los peces marcados en la primera muestra con relación al total de la población de truchas, estüne el número total de peces en el lago. 62. Repita el problema 61 con una primera muestra (marcada) de 300 y una Segunda muestra de 180 con sólo seis truchas marcadas.

Química 63. ¿Cuántos galones de agua destilada se deben mezclar con 50 galones de una solución con alcohol al 30% para obtener una solución al 25%? 64. ¿Cuántos galones de ácido clorhídrico se deben agregar a 12 galones de una solución al 30% para obtener una solución al 40%?

65. Un químico mezcla agua destilada con una solución al 90% de ácido sulfúrico para producir una solución al 50%. Si se usan 5 litros de agua destilada, ¿cuánta solución al 50% se produce? * 66. Un distribuidor tiene 120 000 galones de combustible con un contenido de 0.9% de sulfuro, porcentaje que excede al 8% permitido por los estándares de control de conta minación. ¿Cuántos galones de combustible que contengan 0.3% de sulfuro se deben agregar a los 120 000 galones para obtener un combustible que cumpla con los estándares mencionados? Rapidez .v tiempo 67. Una vieja computadora permite elaborar la nómina semanal en 5 horas. Una computadora más reciente permite hacer la misma nómina en 3 horas. Se comienza a hacer la nómina en la computadora vieja y después de una hora se conecta en línea con la nueva para que trabajen juntas hasta terminar el trabajo. ¿En cuánto tiempo terminarán el trabajo ambas computadoras? (Suponga que cada una opera de manera independiente.) * 68. Una bomba puede llenar un tanque para almacenar gasolina en 8 horas. Trabajando simultáneamente con una segunda bomba se puede llenar el tanque en 3 horas. ¿Cuánto tiempo le tomaría a la segunda bomba llenar el tanque si operara sola? ** 69. La velocidad de crucero de un avión es de 150 millas por hora (respecto al suelo). Usted renta el avión para un viaje de 3 horas y le indica al piloto que vuele hacia el norte tan lejos como pueda y regrese al aeropuerto cuando se termine el tiempo. (A) ¿Qué distancia podría volar el piloto hacia el norte si el viento sopla a 30 millas por hora desde esa di rección? (B) ¿Hasta qué distancia hacia el norte podría volar si no hubiera viento? * 70. Suponga que está en una villa cerca de un río y renta una lancha por 5 horas que comienzan a las 7 a .m . Le comentan que el bote viajará a 8 millas por hora corriente arriba y a 12 millas por hora en el regreso, así que decide que le gustaría alejarse río arriba tanto como para poder regresar al mediodía. ¿A qué hora tendría que regresar, y a qué distancia de la villa estará a esa hora? Música * 71. En música, un acorde mayor se compone de notas cuyas frecuencias están en la relación 4:5:6. Si la primera nota de un acorde tiene una frecuencia de 264 hertz (tecla media C en el piano), encuentre las frecuencias de las otras dos notas. [Sugerencia: Establezca dos proporciones usando 4:5 y 4:6.] * 72. Un acorde menor se compone de notas cuyas frecuencias están en la relación 10:12:15. Si la primera nota de un acorde menor es A, con una frecuencia de 220 hertz, ¿cuáles son las frecuencias de las otras dos notas?

1-2

3 . En un experimento sobre motivación, el profesor Brown er.trenó a un grupo de ratas para que corrieran por un pasaje angosto en una jaula con el fin de recibir comida en una caja objetivo. En seguida, le puso a cada rata un arnés y lo conectó a un alambre unido a un medidor. Después colocó a ias ratas a diferentes distancias de la comida y midió el alón (en gramos) de la rata hacia el alimento. Encontró que la relación entre motivación (jalón) y la posición estaba dada aproximadamente por la ecuación.

a = —j d + 230

Acertijo

30 < ¿ < 170

’■4. El profesor Brown repitió el experimento descrito en el problema 73, sólo que ahora reemplazó la comida en la caja objetivo con un leve choque eléctrico. Con los mismos aparatos pudo medir la resistencia a evitar el choque respecto de la distancia del objeto que lo produce. Encontró que la resistencia a evitarlo a (medida en gramos) se relaciona con la distancia d a la que la rata estaba del obje

I

30 < ¿ < 1 7 0

Si la misma rata fuera entrenada como se describió en este y en el problema 73, ¿a qué distancia (con un decimal) de la caja objetivo serán iguales las resistencias para acercarse y para evitarlo? (¿Qué cree que haría la rata en este punto? i

75. Una torre de perforación en el Golfo de México se coloca de manera que un quinto de su altura está en arena, 20 pies están en el agua y 2 tercios en el aire. ¿Cuál es la altura total de la torre?

¿onde el jalón p se midió en gramos y la distancia d en centímetros. Cuando el jalón registrado fue de 40 gramos, ¿a qué distancia de la caja objetivo llegó la rata?

^ s e c c ió n

1/

to que produce el choque (medido en centímetros) apro ximadamente por la ecuación.

Siíjtogia

p = - j d + 70

Sistemas de ecuaciones lineales y aplicaciones

76. Durante un viaje de campamento en los bosques del norte de Canadá, una pareja recorrió un tercio del camino en bote, 10 millas a pie y un sexto del camino a caballo. ¿Qué tan largo fue el viaje? »* 77. Exactamente después de las 12 del día, ¿a qué hora volverán a juntarse las manecillas de un reloj?

Sistemas de ecuaciones lineales y aplicaciones Sistem as de ecuaciones Sustitución A plicaciones En la sección anterior, se resolvieron problem as con literales introduciendo una sola variable p ara representar una de las incógnitas, y después se intentó representar a todas las incógnitas en térm inos de esta variable. En ciertos problem as con literales, es m ás conveniente introducir diversas variables, encontrar las ecuaciones que relacionan esas variables, y después resolver el sistem a de ecuaciones resultante. Por ejem plo, si un tablero de 12 pies se corta en dos partes de m anera que una de ellas sea 2 pies más grande que la otra, se tiene entonces x = L ongitud de la pieza m ás grande y = Longitud de la pieza m ás corta se observa que x y y deben satisfacer las ecuaciones siguientes: x + y = 12 x - y = 2 Se tiene ahora un sistem a de dos ecuaciones lineales con dos variables. Asi, se puede resolver este problem a al encontrar todos los pares de núm eros x y y que satisfagan am bas ecuaciones. E n general, se tiene interés en resolver sistem as lineales del tipo: ax + by — h ex + dy = k

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables


d o n d e x y y son variables y a, b, c, d , h y k son constantes reales. Un par de núm erosjc = x 0 y y = y o es una solución de este sistem a si cada ecuación se satisface por el par. El conjunto de todos esos pares de núm eros se denom ina conjunto solución para el siste ma. R esolver un sistem a es encontrar su conjunto solución. En esta sección, se restrin girá nuestro análisis a técnicas de solución sim ples para sistem as de dos ecuaciones lineales con dos variables. En el capítulo 8 se analizarán sistem as m ás grandes y m éto dos de solución m ás sofisticados.

Para resolver un sistem a por sustitución, prim ero se escoge una de las dos ecuaciones de un sistem a y se despeja una variable en térm inos de la o tía. (Si es posible, elija una que no contenga fracciones.) D espués sustituya el resultado en la otra ecuación y re suelva la ecuación lineal resultante con una variable. Por últim o, se sustituye de nuevo este resultado en la expresión obtenida en el prim er paso para encontrar la segunda variable. Se ilustrará este proceso al regresar al problem a del tablero enunciado al ini cio de la sección.

Solución de un sistema por sustitución R esuelva el problem a del tablero al resolver el sistema. x + y = 12 x —y — 2 Solución

D espeje de cualquier ecuación una de las variables y sustituyala en la otra ecuación Se elige despejar y de la prim era ecuación en térm inos de x: x + y = 12Resuelva la primera ecuación para yen términos de x. y — 12 — x

Sustituya en la segunda ecuación

x - y = 2 x - (12 - x ) = 2 x - 12 + x = 2 2x = 14 x = 7 A hora, se rem plaza x con 7 en la e cu a c ió n ^ = 12 -

jc:

y = 12 - x y= 12-7 >' = 5 De esta form a, el tablero m ás largo m ide 7 pies y el m ás corto 5.

1-2

Comprobación


x + y = 12

x - y = 2

7 + 5112

7 - 5 1 2

12 = 12

lema seleccionado 1

Resuelva p o r sustitución y com pruebe:

2 = 2

x — y = 3 x + 2j> = - 3

EJEMPLO

2

Resuelva un sistema por sustitución R esuelva p o r sustitución y com pruebe: 2x - 3y = 1 3x-y = 1

Solución

Para evitar fracciones, elija despejar y en la segunda ecuación: 3* - y = 7

Resuelva a y en términos de x.

—y = - 3 x + 7 y = 3 x - 7

Primera ecuación

2x-3y = 7 2x - 3(3*

Sustituya en la primera ecuación.

Resuelva para x.

7) = 7

2x - 9x + 21 = 7 - l x = -1 4

x = 2

Sustituya x = 2 en y = 3x - 7.

y = 3 x -l 1

m II y = -1

A sí, la solución esjc = 2 y . y = —1.

r~II


2x-3y = l

1 X m

Comprobación

2(2) - 3 (—1) I 7

3(2) - ( - 1 ) 1 7

7 = 7

7 = 7

R esuelva por sustitución y com pruebe: 3x — 4y = 18 2x + y = 1

20

1



U se sustitución p ara resolver cada uno de los sistem as siguientes. A nalice la natura leza de los conjuntos solución que obtenga. x + 3j> = 4

x + 3.v = 4

2x + 6y = 7

2x + 6y = 8

Los ejem plos siguientes ilustran las ventajas de usar sistem as de ecuaciones y el m éto do de sustitución para resolver problem as con literales.

EJEMPLO

Dieta U na persona quiere incluir en su dieta diaria leche y jugo de naranja, para aum entar la cantidad de calcio y vitam ina A. Una onza de leche contiene 38 m iligram os de calcio y 56 m icrogram os* de vitam ina A. U na onza de ju g o de naranja contiene 5 m iligram os de calcio y 60 m icrogram os de vitam ina A. ¿Cuántas onzas de leche y jugo de naranja deberá to m ar al día para obtener exactam ente 550 m iligram os de calcio y 1 200 m icrogram os de vitam ina A?

Solución

Prim ero se d efinen las variables im portantes: x = N úm ero de onzas de leche y = N úm ero de onzas de ju g o de naranja E n seguida se resum e, en una tabla, la inform ación con que se cuenta. Es conveniente organizar la inform ación en las tablas de m anera que las cantidades representadas por las variables se encuentren en las colum nas (en vez de en renglones), com o se m uestra.

Leche

Jugo de naranja

Necesidades totales

Calcio

38

5

550

Vitamina A

56

60

1 200

A hora, se u sa la inform ación de la tabla para form ar ecuaciones que im plican a x y y: I Calcio en y onzas \ 1 de ju g o de naranja )

í Calcio total (necesario (mg)

38x

5y

550

i V itam ina A en x 1 onzas de leche

/ V itam ina A en y o n z a s\ 1 de jugo de naranja J

Vitam ina A total necesaria (f^g)

56x

60y

1 200

Calcio en x \ onzas de leche I

*Un microgramo (mg) es un millonésimo (1026) de gramo.

1-2


I

Resuelva la primera ecuación para y.

5y = 550 — 38* y = 110 — 7.6* 56* + 60(110 — 7.6*) 56*

Sustituya yen la segunda ecuación.

= 1 200

+ 6600 - 456* = 1 200 —400.x = - 5 400 x —13.5

Sustituya en (1).

y = 110 - 7.6(13.5) y = 7.4

Tom ando 13.5 onzas de leche y 7.4 onzas de jugo de naranja al día se obtienen las cantidades necesarias de calcio y de vitam ina A.

Comprobación

Problem a seleccionado 3

EJEMPLO 4

38* + 5y = 550

56* + 60y = 1 000

38(13.5) + 5(7.4) I 500

56(13.5) + 60(7.4) ¿ 1 200

500 = 500

1 200 = 1 200

U na persona quiere usar queso cottage y yogurt para aum entar la cantidad de proteína y calcio en su dieta diaria. U na onza de queso cottage contiene 3 gram os de proteína y 12 m iligram os de calcio. Una onza de yogurt contiene un gramo de proteína y 44 m iligram os de calcio. ¿C uántas onzas de queso cottage y yogurt debería com er al día para obtener exactam ente 57 gram os de proteína y 840 m iligram os de calcio?

Velocidad del viento U n avión recorre las 2 400 m illas de W ashington, D. C., a San Francisco en 7.5 horas y hace el viaje de regreso en 6 horas. Suponga que el avión viaja a una velocidad constan te y que el viento fluye con una rapidez constante de oeste a este, encuentre la velocidad del avión y la rapidez del viento.

Solución

Sea que * represente la velocidad del avión y que y representa la rapidez con la cual sopla el viento (am bas en m illas por hora). La velocidad terrestre del avión se determ i na al com binar estas dos velocidades; es decir, x — y = velocidad de despegue volando de este a oeste (viento de frente) * + y = velocidad de despegue volando de oeste a este (viento de cola) A plicando la conocida fórm ula D = R T para cada parte del viaje se obtiene el siguiente sistem a de ecuaciones: 2 400 = 7.5(* — y )

De Washington a San Francisco

2 400 = 6(* + y )

De San Francisco a Washington

1


D espués de sim plificar, se tiene x — y = 320 x + y = 400 U sando sustituciones para resolver: x = y + 320

Sustituya / en la segunda ecuación.

II oo

320 + y = 400

Resuelva la primera ecuación para x.

o

22

y = 40 inph

Sustituya en (1).

x = 40 + 320 x = 360 m ph

Comprobación


EJEMPLO 5

Velocidad del avión

2 400 = 7.5(x - y)

2 400 = 6(x + y)

2 400 1 7.5(360 - 40)

2 400 1 6(360 + 40)

2 400 = 2 400

2 400 = 2 400

A un bote le tom a 8 horas recorrer 80 m illas corriente arriba y 5 horas el regreso a su punto de partida. Encuentre la velocidad del bote en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente.

Oferta y demanda La cantidad de un producto que la gente está com prando voluntariam ente durante algún periodo depende de su precio. Por lo general, a m ayor precio la dem anda es m enor; a m enor precio, la dem anda es mayor. De m anera similar, la cantidad de un producto que un proveedor está vendiendo voluntariam ente durante algún periodo tam bién depende del precio. Por lo general un proveedor estará abasteciendo m ás de un producto a pre cios altos y m enos de un producto a precio bajos. El m odelo m ás sim ple de proveedor y dem anda es un m odelo lineal. Suponga que se está interesado en el análisis de la venta diaria de cerezas en una ciudad en particular. U sando técnicas especiales de análisis (análisis de regresión) y recolección de datos, un analista obtiene las siguientes ecuaciones de precio-dem anda y de precio-abastecim iento: p = —0.3q + 5 p = O.Oóíy + 0-68

Ecuación de demanda (consumidor) Ecuación de abastecimiento (proveedor)

donde q representa la cantidad en m iles de libras y p representa el precio en dólares. Por ejem plo, se puede observar que los consum idores com pran 11 m iles de libras (q = 11) cuando el precio esp - - 0 .3 ( 11) + 5 = $ 1.70 por libra. Por otra parte, los proveedores estarán abasteciendo voluntariam ente 17 mil libras de cerezas a $ 1.70 por libra (resuel va 1.7 = 0.06# + 0.68 para q). Es decir, a $1.70 por libra de cerezas que los proveedo res están abasteciendo voluntariam ente, los consum idores están com prando voluntaria-

1-2


23

m ente m ayor núm ero de cerezas de las que se ofertan. El abastecim iento excede a la dem anda a ese precio, y por lo tanto, el precio bajará. ¿A qué precio por día se estabi lizarán las cerezas? Es decir, ¿cuál deberá ser el precio para que el abastecim iento sea igual a la dem anda? Este precio, si existe, se llam a precio de equilibrio; y la cantidad vendida a este precio se llama cantidad de equilibrio. ¿Qué hacer para encontrar estas cantidades? Se resuelve el sistem a lineal p = —0.3q + 5

Ecuación de demanda

p = 0,06? + 0.68

Ecuación de establecimiento

usando sustitución (sustituyendop = —0.3q + 5 en la segunda ecuación). - 0 . 3 ? + 5 = 0.06? + 0.68 —0.36? = - 4 .3 2

q = 12 mil libras

(cantidad de equilibrio)

A hora sustituyendo q = 12 en cualquiera de las ecuaciones originales del sistem a y despejando p (se eligió la segunda ecuación): p = 0.06(12) + 0.68

p = SI .40 por libra

(precio de equilibrio)

Las ecuaciones para el precio-dem anda y para el precio-oferta en el caso de las fresas en una cierta ciudad son:

p = —0.2q + 4 p — 0.04q + 1.84

Ecuación de demanda Ecuación de abastecimiento

donde q representa la cantidad en m iles de libras y p representa el precio en dólares. E ncuentre la cantidad de equilibrio y el precio de equilibrio.

EJEMPLO 6

Costos e ingresos Un editor está planeando producir un nuevo libro de texto. Los costos fijos (revisión, edición, tipografía, etcétera) son $320 000, y los costos variables (im presión, com isio nes p o r ventas, etcétera) son S 3 1.25 por libro. El precio al m ayoreo (es decir, la canti dad que recibirá el editor) será de S43.75 por libro. ¿Cuántos libros debe vender el editor para alcanzar el punto de equilibrio; es decir, cuándo los costos serán iguales a los ingresos?

Solución

Si x representa el núm ero de libros im presos y vendidos, entonces las ecuaciones de costos e ingresos para el editor estarán dadas por y — 320 000 + 3 1 .25x

Ecuación de costos

y = 43.75x

Ecuación de ingresos

I R

\

24

1


El editor alcanza el punto de equilibrio cuando los costos son iguales a los ingresos. Se puede encontrar cuándo ocurre esto al resolver este sistema. De la segunda ecuación se despeja y y se sustituye en la prim era ecuación, para obtener 43.75x = 320 000 + 31.25* 12.5* = 320 000 * = 25 600 Así, el editor alcanza el punto de equilibrio cuando se im prim en y venden 25 600 li bros.

U na com pañía de software está planeando com ercializar un nuevo procesador de texto. Los costos fijos (diseño, program ación, etcétera) son $720 000, y los costos variables (duplicado de discos, producción del m anual, etcétera) son S25.40 por copia. El precio de m ayoreo del procesador de texto será de $44.60 por copia. ¿Cuántas copias del procesador de texto deben hacerse y venderse para que la com pañía llegue a su punto de equilibrio?

Respuestas a los problemas seleccionados I. 3. 4. 5. 6.

x=l,y=-2 2 . x = 2,y = - 3 13.9 onzas de queso cottage, 15.3 onzas de yogurt Bote: 13 mph; corriente: 3 mph Cantidad de equilibrio = 9 mil libras: Precio de equilibrio = S2.20 por libra 37 500 copias

EJERCICIO 1 - 2

A _________ Resuelva los problemas del 1 al 6 por sustitución. 2. y = x + 4

1. y = 2x + 3

4. 2x- *

5. 3a- -

y= 3

y=

3. * — y = 4

y = 5* —8

y = 3* - 5

11. y =

x + 3y = 12

>• = 7

+ 2y = 14 2x + 3y = 1

13.

100

+

x - y — —3

Resuelva los problemas del 7 al 16 por sustitución.

3 a- -

9. I m 5m

26

8.

+ 12« = — 1

— 3n =

7

9a- - 3y = 24 1Le + 2y = 1

lly = - 7

10.

y =

80

+

0 .0 5 a

14. 0.3s - 0 .6/= 0.18

0 .8 « - 0 .3 v = 0 .7 9

0.5s - 0.2? = 0.54

6. 2x + y = 6

B

+ 3y =

0 .0 4 a-

y = 0 .0 7 a-

0 .2 « - 0 .5 v = 0 .0 7

15. \x + §y = ]x-¡y=

7 . 4 a-

12.

0 .0 8 a-

3p + &q = 4 I5p + lOq = - 1 0

2 -5

16. \x - |y = 10 ix + 4y = 6

Suponga que al estar resolviendo un sistema por sustitución encuentra una contradicción, como 0 = 1 . ¿Cómo podría describir este tipo de soluciones para un sistema? Ilustre sus ideas con el siguiente sistema x - 2 y = -3 —2x + 4y = 7 En el proceso de solución de un sistema por sustitución, suponga que encuentra una identidad, como 0 = 0 . ¿Cómo

1-2

podría describir la solución de tal sistema? Ilustre sus ideas con el siguiente sistema x — 2y = - 3 —2x + 4v = 6

En ios problemas 19 y 20, resuelva cada sistema para p y q en -.erminos de x y y. Explique cómo podría comprobar su solu ción y efectúe la prueba. x = 2 + p - 2q y — 3 —p + 1q

20. x = —1 + 2p - q y=

4— p+ q

Los problemas 21 y 22 se refieren al sistema ax + by = h ex + dy = k ¿onde x y y son variables y a, b, c, d, h y k son constantes miles. Resuelva el sistema para x y y en términos de las constantes a, b, c, d, h y k. Establezca claramente cualquier suposición que tome acerca de las constantes durante el proceso de solución. I I Analice la naturaleza de las soluciones a los sistemas que no satisfagan las suposiciones que haya hecho para el problema 2 1.

APLICACIONES

'Ü '

23. Velocidad del viento. A un avión privado le toma 8.75 horas volar las 2 100 millas de Atlanta a Los Angeles y 5 horas el vuelo de regreso. Suponiendo que el viento sopla a una rapidez constante de Los Angeles a Atlanta, encuentre la velocidad aerodinámica del avión y la rapidez del viento. 24. Velocidad del viento. Un avión tiene suficiente combus tible para 20 horas de vuelo a una velocidad aerodinámica de 150 millas por hora. ¿Qué distancia puede volar contra un viento de 30 millas por hora y todavia tener suficiente combustible para regresar a su punto de partida? (Esta distancia se conoce como punto de no regreso.) 25. Rapidez y tiempo. Una tripulación de ocho personas puede remar a 20 kilómetros por hora en aguas tranquilas. La tripulación rema corriente arriba y después regresa a su punto de partida en 15 minutos. Si el rio está fluyendo a 2 km/h, ¿qué distancia remó la tripulación corriente arriba? 26. Rapidez y tiempo. A un bote le toma 2 horas recorrer 20 millas río abajo y 3 horas regresar a su punto de partida comente arriba. ¿Cuál es la rapidez de la comente en el río? 27. Química. Un químico tiene dos soluciones de ácido clorhídrico almacenado: una solución al 50% y otra al 80%. ¿Qué cantidad de cada solución se debe usar para obtener 100 mililitros de una solución al 68%?


25

28. Negocios. Un joyero tiene dos barras de una aleación de oro en almacén, una es de 12 quilates y la otra de 18 (24 quilates de oro es oro puro, 12quilateses 12/24 puro, 18quilatesde oro es 18/24 puro, etcétera). ¿Cuántos gramos de cada aleación se deben mezclar para obtener 10 gramos de oro de 14 quilates? 29. Análisis de equilibrio. A una compañía de grabación pequeña le cuesta SI 7 680 producir un álbum. Éste es un costo fijo que incluye la grabación, el diseño del álbum, etcétera. Los costos variables, incluyendo la producción, comercialización y regalías son de S4.60 por álbum. Si el álbum se vende en las tiendas de discos a S8 cada uno. ¿cuántos debe vender la compañía para llegar al pumo de equilibrio? 30. Análisis de equilibrio. Un fabricante de videocasetcs determinó que la ecuación de costos semanales es C = 3 000 + lOx, donde x es el número de videocasetes producido y vendido cada semana. Si los videocasetes se venden a los distribuidores a S 15 cada uno, ¿cuántos debe vender el fabricante cada semana para alcanzar el punto de equilibrio? (Refiérase al problema 29.) 31. Finanzas. Suponga que tiene SI2 000 para invertir. Si una parte se invierte al 10% y el resto al 15%, ¿cuánto se debe invertir en cada tasa para obtener un 12% sobre el total de la cantidad invertida? 32. Finanzas. Un inversionista tiene $20 000 para invertir. Si invierte una parte al 8% y el resto al 12%. ¿cuánto se debe invertir en cada tasa de interés para obtener un 11% sobre el total de la cantidad invertida? 33. Producción. Un proveedor de la industria electrónica fabrica los teclados y pantallas para calculadoras gráficas en plantas en México y Taivván. En la tabla se indican las cantidades producidas por hora en cada planta. ¿Cuántas horas debe operar cada planta para cumplir exactamente con un pedido de 4 000 teclados y pantallas?

Planta

Teclados

Pantallas

México

40

32

Taiwàn

20

32

34. Producción. Una compañía produce salchichas italianas y salchichones en sus plantas en Creen Bay y Sheboygan. En la tabla se indica cuánto se produce por hora en cada planta. ¿Cuántas horas debe trabajar cada planta para cumplir exactamente con un pedido de 62 250 salchichas italianas y 76 500 salchichones?

Planta

Salchichas italianas

Salchichones

Green Bay

800

800

Sheboygan

500

1 000

26

1


35. Nutrición. Un experimento consiste en dar una dieta estricta a algunos animales. Cada animal va a recibir, entre otros alimentos, 20 gramos de protema y 6 gramos de grasa. El laboratorista puede comprar dos mezclas de alimentos que tienen la siguiente composición: La mezcla A tiene 10% de proteína y 6% de grasa; la mezcla B tiene 20% de proteína y 2% de grasa. ¿Cuántos gramos de cada mezcla se deben usar para obtener la dieta adecuada para un solo animal? 36. Nutrición. Un agricultor puede usar dos tipos de fertilizante en un plantío de naranjas, la marca A y la marca B. Cada saco de la marca A contiene 8 libras de nitrógeno y 4 de ácido fosfórico. Cada saco de la marca B contiene 7 libras de nitrógeno y 7 de ácido fosfórico. Las pruebas indican que el naranjo necesita 720 libras de nitrógeno y 500 de ácido fosfórico. ¿Cuántos sacos de cada marca tiene que usar para obtener las cantidades necesarias de nitrógeno y de ácido fosfórico? * 37. Oferta y demanda. A $0.60 por bushel, la oferta diaria para el trigo es de 450 bushels y la demanda diaria es de 645 bushels. Cuando el precio se incrementa a $0.90 por bushel. las ofertas diarias aumentan a 750 bushels y la demanda diaria disminuye a 495. Suponga que las ecua ciones para la oferta y demanda son lineales. (A) Encuentre la ecuación de la oferta. [Sugerencia: Formule la ecuación de la oferta en la forma p = aq + b y resuelva para a y (B) Encuentre la ecuación para la demanda. (C) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio. * 38. Oferta y demanda. A SI.40 por bushel, la oferta de frijol de soya es de 1 075 bushels y la demanda diaria es de 580 bushels. Cuando el precio cae a $ 1.20 por bushel, la oferta diaria disminuye a 575 bushels y la demanda diaria aumenta a 980 bushels. Suponga que las ecuaciones para la oferta y la demanda son lineales. (A) Encuentre la ecuación para la oferta. [Véase la suge rencia del problema 37.] (B) Encuentre la ecuación de la demanda. (C) Encuentre el precio y cantidad de equilibrio.

I ”3

*39. Física. Se deja caer un objeto desde lo alto de un edificio alto y cae verticalmente con aceleración constante. Si 5 es la distancia sobre el suelo (en pies), a la que está el objeto t segundos después de que se soltó, entonces s y t están relacionados por una ecuación de la forma s = a + bt2 donde a y b son constantes. Suponga que el objeto está a 180 pies sobre el suelo un segundo después de que se suelta y a 132 pies del suelo 2 segundos después. (A) Encuentre las constantes a y b. (B) ¿Qué altura tiene el edificio? (C) ¿Cuánto tiempo cae el objeto? * 40. Física. Repita el problema 39 si el objeto está a 240 pies de distancia del suelo después de un segundo y a 192 pies después de 2 segundos. *41. Ciencias de la Tierra. Un terremoto emite una onda primaria y una onda secundaria. Cerca de la superficie de la Tierra la onda primaria viaja a 5 millas por segundo y la secundaria a 3 millas por segundo. A partir del tiempo que tarden en llegar las dos ondas a cierta estación receptora, es posible calcular la distancia del movimiento. (El epicentro se puede localizar al obtener la distancia de barrido en tres o más estaciones.) Suponga que una estación mide que entre la llegada de una onda y la otra pasan 16 segundos. ¿Cuánto tiempo recorrió cada onda, y a qué distancia de la estación ocurrió el temblor? * 42. Ciencias de la Tierra. Un barco usa dispositivos medidores de sonido arriba y abajo del agua, el dispositivo de la superficie registró una explosión 6 segundos antes que el de debajo del agua. El sonido viaja en el aire a 1 100 pies por segundo y en el agua de mar a 5 000 pies por segundo. (A) ¿Cuánto tiempo le tomó a cada onda sonora alcanzar al barco? (B) ¿A qué distancia del barco ocurrió la explosión?

Desigualdades lineales R elaciones para desigualdades e intervalos de notación Solución de desigualdades lineales A plicaciones A hora se volverá al problem a de cóm o resolver desigualdades lineales con una varia ble, tales com o 3(* - 5) > 5(x + 7) -

10

y

- 4 < 3 — 2x < 1

1-3

Relaciones para ¿ desigualdades e intervalos de notación

Desigualdades lineales

27

Las form as m atem áticas anteriores im plican la desigualdad, o relación de orden; es decir, relaciones “m en or que” y “m ayor que” . A sí com o se usan = para reem plazar las palabras “es igual a”, se usan los sím bolos de desigualdad < y > para representar “es m enor que” y “es m ayor que”, respectivam ente. Tal vez salte a la vista que 2 <

4

5 >

0

25 000 >

1

son verdaderas, pero podría no ser tan evidente que -4

<

-2

0 >

-5

- 2 5 000 <

-1

P ara establecer una relación de desigualdad precisa, de m anera que pueda interpretarse con respecto de todos los núm eros reales, se necesita una definición precisa del con cepto.

DEFINICIÓN 1

a a Para los núm eros reales a y b, se dice que a es m enor que b o b e s mayor que a y se escribe a a

si existe un núm ero real positivo p tal que a + p = b (o de m anera equivalente, b -a=p).

C iertam ente se espera que si un núm ero positivo se sum a a cualquier núm ero real, la sum a sea m ayor que la original. Esto es en esencia lo que la definición establece. C uando se escribe a ^ b significa que a b

i-------1----- 1-------------H a

*

d

b

c

a < b, c > d.

significa que a > b o a = b y s e dice que a es m ayor que o igual a b. Los sím bolos de desigualdad < y > tienen una interpretación geom étrica m uy clara sobre la recta num érica real. Sí a < b, entonces a está a la izquierda de b\ si c > d, entonces c está a la derecha de d (véase la figura 1). Es un hecho interesante y útil que para dos núm eros reales a y b, sean a b o a = b. Esto se conoce com o propiedad de tricotom ía de los núm eros reales. La doble desigualdad a < x ^ b significa que x > a y x < b: es decir, x está entre a y b, incluyendo b pero excluyendo a. Al conjunto de todos los núm eros reales x que satisfacen la desigualdad a < x ^ b se le conoce com o intervalo y se representa por (a, tí]. D e esta m anera, (a, b] = {x | a < x < b}* * En general, {x|P(x)} representa el conjunto de todas las * para las cuales el enunciado P(x) es vercaier: Para expresar este conjunto verbalmente, la barra vertical se lee como “tal que”.

28

1


El núm ero a se conoce com o punto extrem o izquierdo del intervalo, y el sím bolo “(” indica que a no se incluye en el intervalo. El núm ero b se conoce com o punto extremo derecho del intervalo, y el sím bolo “]” indica que b se incluye en el intervalo. En la tabla 1 se indican otros tipos de intervalos para los núm eros reales.

TABLA 1

N otación d e in terv alo s Notación de intervalo

Notación de desigualdad

[O.JX

a < .* £ b

[a,b)

a
(a, b]

a
(a, ti)

a
co)

x>b

(# °)

x> b

( - » , a]

x S a

(-«=, a)

x
[b,

Tipo

Gráfica de línea —c— — ?— ' 1 b a — *— b 0 —H b 0 H— b -f— b H — 0 \ a

Cerrado — ►x — ►x

Semiabierto Semi abierto Abierto

—►íX X

— ►x —►x

Cerrado Abierto Cerrado Abierto

O bserve que el sím bolo que se lee “infinito”, usado en la tabla 1 no es un núm ero. C uando se escribe [b , <*), se refiere sim plem ente al intervalo que com ienza en b y continúa indefinidam ente a la derecha. N unca se escribiría [Í),“ ] o H i S c o , ya que * no se puede usar com o punto extrem o de un intervalo. El intervalo ( —<*, * ) representa el conjunto de los núm eros reales R, ya que su gráfica es toda la recta num é rica real.

PRECAUCIÓN

Es im portante notar que 5 > x < -3

es equivalente a [ - 3 , 5) y no a (5, - 3 ]

En notación de intervalo, el núm ero m ás pequeño se escribe siem pre a la izquier da. A sí, podría ser útil reescribir la desigualdad com o - 3 ^ x < 5 antes de reescribirlo en notación intervalo.

Intervalos de graficación y desigualdades Escriba cada una de las siguientes en notación de desigualdad y grañquelas sobre la recta num érica real: (A) [ - 2 , 3)

(B) ( - 4 , 2)

(C) [ - 2 , oo)

(D) (-<*, 3)

1-3

Soluciones


(A) —2 < x < 3 (B) —4 < X < 2

-5

i i i H

(C) x < - 2 (D)

a-

-H -t-

-5

-2

«t—KS x s

0

-4—l"~ l’ I I ' H —I—t -

<3

0

i

s

Escriba cada una de las siguientes desigualdades en notación de intervalo y grañquelas sobre la recta num érica real: (A) - 3 < x — 3

EXPLORACIÓN Y ANALISIS 1

(C )x > 1

(D )x < 2

El ejem plo 1C m uestra la gráfica de la desigualdad x ^ - 2 . ¿Cuál es la gráfica de x < - 2 ? ¿Cuál es el intervalo correspondiente? D escriba las relaciones entre estos conjuntos.

C om o los intervalos son conjuntos de núm eros reales, las operaciones de unión e intersección son a m enudo útiles cuando se trabaja con intervalos. L a unión de los conjuntos A y B, que se denotan por A U B, es el conjunto form ado por la com binación de todos los elem entos de A y de todos los elem entos de B. La intersección de los conjuntos A y B se denota por A C\ B, que es el conjunto de elem entos de A que está tam bién en B. Sim bólicam ente:

DEFINICIÓN 2

Unión e intersección Unión:

A U B = {x I x está en A x está en B} {1,2, 3} U {2, 3, 4, 5} ={1,2, 3, 4, 5}

Intersección: A < ÍB = {x |x está en A x está en B} 0, 2, 3}j 3J¿_3, 4, 5} ={2, 3}

Graficación de uniones e intersecciones de intervalos Si A = [ - 2 . 3], B = (1, 6), y C = ( 4 , 3°), grafique los conjuntos indicados y escríbalos com o un solo intervalo, si es posible: (B)vá U C y A fl C

(A)A U B y A D B Solución

(A)

-

1

-t----1----1---

— i— i— i-

A = [ - 2, 3]

I

5 = ( 1, 6)

3

I

-2

6

I

3

-*•

A \ J B = [-2 , 6)

-2 H----h

I

-

I

1

--- h

3

A n B = (1 ,3 ]

30

1


(B)

■ i 1 j\—H ----- i " f— 1 1= ■' i"1111 | 1-*---- hl *>

-2

A = [ ~ 2 , 3]

4

3

4

—2

. .j 3

•t

-2

3

4

-2 1

,

C = (4, oo)

•

A U C = [ - 2 , 3] U (4, » )

1

^ n c = 0

Si Z) = [—4, \ ) , E = ( —l , 3 ] y F = [2,<»), grafique los conjuntos indicados y escríbalos com o un solo intervalo, si es posible: (A ) D U E


(B ) D H E

(C) E U F

(D) E O F

R eem place ? con < o > en cada uno de los siguientes. (A)

—1 ? 3y

2 ( —1) ? 2(3)

(B)

—1 ? 3

(C)

12?-8

y

— ?— 12

(D)

12? - 8

y

i l ? : -4 -4

y

—2 (—1) ? —2(3)

C on base en estos ejem plos, describa verbalm ente el efecto de m ultiplicar am bos lados de una desigualdad por un núm ero.

desigualdades lineales

A hora se volverá al problem a de resolver desigualdades lineales con una variable, tales com o 2(2x + 3) < 6(x — 2) + 10

y

- 3 < 2x + 3 < 9

El c o n ju n to solución para una desigualdad es el conjunto de todos los valores de la variable que hacen de la desigualdad un enunciado verdadero. Cada elem ento del conjunto solución se conoce com o solución de la desigualdad. R eso lv er u n a d esig u al d a d es encontrar su conjunto solución. Dos desigualdades son equ iv alen tes si tienen el m ism o conjunto solución para un conjunto de reem plazo dado. Com o con las ecuacio nes, se realizan las operaciones sobre las desigualdades que produzcan desigualdades equivalentes más sim ples, y se continúa el proceso hasta llegar a una desigualdad cuya solución sea obvia. Las propiedades de las desigualdades dadas en el teorem a 1 se pueden u sar para producir desigualdades equivalentes.

1-3

Teorema 1


J I

Propiedades de las desigualdades Para cualquiera de los núm eros reales a, b

y

("

1. Si a < b y b < c, entonces a < c. 2. Si a < b, entonces a + c cb. -2 < 4 (-3 )(—2 ) > ( —3)(4) . ci b 6. Si a < b y c es positivo, entonces — < — . c c -2 4 -2 < 4 — -< — 2

2

Propiedad de transitividad Propiedad de la sum a Propiedad de la resta Propiedad de la m ultiplicación (O bserve la diferencia entre 4 y 5.)

Propiedad de la división (O bserve la diferencia entre 6 y 7.)

7. Si a ■ —. c c -2 4 -2 < 4 -< — -2

-2

Propiedades sim ilares se cum plen si cada signo de la desigualdad se invierte, o si < se reem plaza con < y > se reem plaza con < . De esta m anera, encontram os que se pueden ejecutar esencialm ente las m ism as operaciones para las desigualdades, que las que se realizaron para las ecuaciones. C uando se trabaje con desigualdades, sin em bar go, se debe tener particular cuidado con el uso de las propiedades de m ultiplicación y división. El orden de la desigualdad se invierte si se m ultiplica o divide am bos lados de un enunciado de desigualdad por un número negativo.


Las propiedades de igualdad se pueden resum ir fácilm ente: Se puede sumar, restar, m ultiplicar o dividir am bos lados de una ecuación por un núm ero real diferente de cero para producir una ecuación equivalente. Escriba un resum en sim ilar para las propiedades de las desigualdades.

A hora veam os cóm o se usan las propiedades de las desigualdades para resolver desigualdades lineales. A lgunos ejem plos ilustrarán el proceso.

Solución de una desigualdad lineal Resuelva y grafique: 2(2x + 3) — í 0 < 6(x - 2)

32

1 Ecuaciones y desigualdades

Solución

2 (2 a + 3) 4a + 6 -

10 < 6 (a -

2)

10 < 6a -

12

4 < 6a -

12

4a -

Simplifique los lados izquierdo y derecho

i--------------------------------------------1 |

4a -

4 +

< 6a -

Propiedad de la suma

12

i____________________________ i 4 a < 6a — 8

i---------------------------------------1 ¡

4a -

< 6a -

8 -

Propiedad de la resta

6.y

i_________________________ i - 2 a <

- 8

Propiedad de la división: observe el orden inverso de la desigualdad debido a que —2 es negativo

i--------------------- 1 - 2 a

- 8

> -2

-2

( 4 , 00)

A > 4

H— I—

I— '(“ ■ H M

2 3 4


EJEMPLO 4

Conjunto solución Gráfica del conjunto solución

5 6 7 8 9

Resuelva y grafique: 3(x — 1) > 5 ( i + 2) - 5

Solución de una desigualdad lineal que implica fracciones.

Resuelva y grafique: — — — + 6 > 2 + 4

3

Solución

Multiplique ambos lados por 12, el mod. 3 (2 * -

6x -

3)

+ 72>

9+ 6x +

72

>

24

+

24 +

4 (4 a)

16*

6 3 s 2 4 + 16 a

-1 0 *

> - 3 9 --------------------

x s H ---------------- «

3 .9

o

(-°°,

3 .9 ]

El orden se invirtió debido a que ambos lados están divididos entre -1 0 , un número negativo.

1-3


33

4x — 3 3x R esuelva y grafique: —-------- + 8 < 6 + — 3 2

Solución de una doble desigualdad R esuelva y grafique: —3 ^ 4 — 7jc < 18 Solución

Se procede com o antes, excepto que se intenta desp ejar* en la parte de enm edio con un coeficiente de 1.

- 3 < 4 - I x < 18 i---------------------------------------------------- 1 i —3 — < 4 — I x < 18 — ^ j Reste 4 en cada miembro, i__________________________________ i - 7 < - 7 * < 14 i--------------------------------1 -7 ~ lx 14 ---- > ------- > — -7

-7

-7

Divida cada miembro entre - 7 e invierta cada desigualdad.

i____________________ i -+X

1 > * > -2

-2

( - 2, 1]

Resuelva y grafique: - 3 < 7 - 2x ^ 7

• Aplicaciones

Química En un experim ento quím ico, una solución de ácido clorhídrico se va a m antener entre 30°C y 35°C; es decir, 30 ^ C ^ 35. ¿Cuál es el rango de tem peratura en grados Fahrenheit si la fórm ula de conversión Celsius/Fahrenheit es C = ?(F — 32)? Solución

30 s C < 35 30 < f (F — 32) < 35

y

Reemplace C con — (F - 32). 9

Multiplique cada miembro por —. 5

54 < F - 32 < 63

34

1


i-------------------------------------------------------- 1 j 54 ^ F — 32 - 32 S 63 j Sume 32 a cada miembro, i_____________________________________ i 86 s F < 95 El rango de la tem peratura es de 86°F a 95°F en total.

U n rollo fotográfico se va a m antener entre 68°F y 77°F: es decir, 68°cF < 77. ¿Cuál es el rango de tem peratura en grados Celsius si la fórm ula de conversión Celsius/Fahrenheit e s F = |C + 32?

Respuestas a los problemas seleccionados

1. (A)

(-3 , 3]

(B)

[ - 1 ,2 ]

(C)

0 ,» )

(D)

(-o o ,2 ) r t

2.

(A) (B) (C) (D)

3. X £

L -4 i1 -4

—f -5

I1 1 1 1 1 ]■ 4-1 ►x 0 3 5

I[ -s 0 2 5 11 11 11 11 11 11 l i l i 1 -5 0 1. 5 -5;

o

5

'

£>U£ = [-4 , 3]

-1 1 i__ 1 1 r ” 1 -i 1 1 ’ 2 3 -1 i1 1| i r 1 1 1 r-1 2 11— l, - 4 o ( - » , -4 ] -7 1i

ny

i 1

1k 1 3 ' 6 i ► 6

£> n £ = ( - 1 , 1 ) E U F = (-1,® ) £ f l F = [2, 3] ll ii ll ii 0

4. x > 6 o (6, oo) 5. 5 > i S 0 o 0 S j r < 5 o ( 0 , 5 )

^

-1

6. 2 0 s C < 25, el rango de temperatura es de 20=«C a 25=cC

EJERCICIO

1-3 Escriba los problemas del 13 al 16 en notación de intervalo y desigualdad.

Escriba los problemas del 1 al 6 en notación de desigualdad y grafiquelos sobre la recta numérica real. 1. [-8 ,7 ]

2. ( - 4 , 8)

4. (-3.31

5. [—6, oo)

3. [ - 6, 6)

6. (—o°, 7)

Escriba los problemas del 7 al 12 en notación de intervalos y grafiquelos sobre la recta numérica real. 7. - 2 < ,v < 6 10. - 4 <

a-

< 5

8. - 5 < . v s 5

.

11

,v —

-2

9. - 7 < a < 8 12. a > 3

13. 14. 15. 16.

-10

-s

-10

-5

-►x 10

0

5

-►X 10

I H [ l i l i l í I I I I H-W I >x -10 -5 0 5 10 l l l l l l l l l l l II111 H -H + x -10 -5 0 5 10

\

Resuelva y grajique los problemas del 17 al 30. 17. Ix - 8 < 4x + 7

18. 4.í + 8 >

a-

-

1

1-3

3 - x > 5(3 - x)

20. 2(x - 3) + 5 < 5 - x

a . ---- > 4 -2

22.

2 1 —5/ < —10

24. —7n s 21

25- 3 —m < 4(m — 3)

26. 2(1 - m) > 5u

-3

-2

*^ "> i

2». - 4 < 5r + 6 < 21

30. 2 < 3m - 7 < 14

B ü r ios problemas del 31 al 42, grafique el conjunto indicado y I im b a lo como un solo intervalo, si es posible. a t í - 5,5) U [4, 7]

32. ( - 5, 5) n [4, 7]

13l ; - i , 4) n ( 2, 6]

34. [ - 1 ,4 ) U (2,6]

J5L i -se. 1) U (-2,oo)

36. (-oo, 1) n (2,*=)

33. (—=0, —1) U [3, 7)

38. (1,6] U [9,oo)

j*.

40. [2,3] n (1,5)

3 ] u ( i ,5 )

4 L < - x ,4 ) U ( - l,6 ]

59. V T ^

60. V x + 5

61. V 3 x + 5

62. V 7 - 2x 64.

63' V l r + 3

- —^. -----B < -------1 + B17 4 3

42. ( - 3 , 2) U [0, =o)


35

1

¿Qué se puede comentar respecto de los signos de los números a y b en cada caso? (A) ab > 0

(B) ab < 0

(C) 7 > 0 b

(D) J < 0 b

¿Qué se puede comentar acerca de los signos de los números a, b y c en cada caso? ab (A) abe > 0 (B) — < 0 c (C) 7—> 0 be

(D) £ - < 0 be

67. Reemplace en cada pregunta el signo de interrogación con < o > , de la manera apropiada: (A) Si a —b = 1, entonces a l b. (B) Si 11 - v = - 2 , entonces u ? v. 68. ¿Para cuál p y q es p + q i ^ + i

44. £ _ ^ 3 2

s £_ 4 4

2 x 1 2x 3 4 , . T - - f t - 3 ) a T - - ( , + 2)

69. Si tanto a como b son números negativos y b/a es mayor que 1, entonces, ¿a - be s positivo o negativo? 70. Si a y b son números positivos y b!a es mayor que 1, entonces, ¿a — b es positivo o negativo? 71. Indique (V) si es verdadero o (F) si es falso:

« .§ ( * + 7 > - i > Í 0 - x ) + j

50. 24 < §(x - 5) < 36

(A) Si p > q y m > 0, entonces mp < mq. (B) Si p < q y m < 0, entonces mp > mq. (C) Si p > 0 y q < 0, entonces p + q > q.

51. 16 < 7 - 3 x < 3 1

52. - 1 < 9 - 2x < 5

Suponga que m > n > 0; entonces

53. —6 < —1(1 - x) s

54. 15 < 7 —\x < 21

47. - 4 < §x + 32 < 68 49.

- 12 < |(2 - x) < 24

48.

-1

+ 5 s 11

mn > n2 mn — m2 > n2 — m2

Use una calculadora para resolver cada una de las desigual dades en los problemas del 55 al 58. Escriba sus respuestas mediante notación de desigualdad.

m(n - m )> (n + m)(n — m) m> n+ m

55. 5.23(x - 0.172) s 6.02* - 0.427

0> n

56. 72.3x - 4.07 > 9.02(11.7x - 8.22) 57. -0.703 < 0.122 - 2.28x < 0.703 58. -4.26 < 3.88 - 6.07x < 5.66

Pero si se supuso que n > 0. Encuentre el error. Pruebe cada propiedad de desigualdad en los problemas del 73 al 76, dado que a, b y c son números reales arbitrarios.

* Los problemas 59-64 están relacionados con el cálculo. ¿Para que número(s) real(es) x cada expresión representa a un nú mero real?

73. Si a

< b, entonces a + c < b + c.

74. Si a

< b, entonces a — c cb.

36

1


81. Negocios y economía. La compañía electrónica del problema 79 encuentra que si aumentan los precios de las partes aumentan los costos variables a S50.5 por calcu ladora.

76. (A) Si a — .

.Analice las posibles estrategias que la compañía podría usar para tratar de solucionar este aumento de costos. (B) Si la compañía continúa vendiendo la calculadora a $63, ¿cuántas tiene que vender ahora para obtener utilidades? (C) Si la compañía quiere comenzar obteniendo utilidades con el mismo nivel de producción que tenía antes del aumento de costos, ¿en cuánto tendría que incrementar el precio de venta al mayoreo?

A P LIC A C IO N E S

Escriba todas las respuestas usando notación de desigualdad. 77. Ciencias de la Tierra. En 1984, al perforar el pozo más profundo del mundo, los soviéticos encontraron que la temperatura a x kilómetros de profundidad de la Tierra estaba dada por T = 30 + 25(a- - 3)

82. Negocios y economía. El fabricante de videojuegos del problema 80 enfrenta inesperados problemas de progra mación que aumentan los costos fijos a $660 000. Analice las posibles estrategias que la compañía podría usar para tratar de solucionar este aumento de costos. (B) Si la compañía continúa vendiendo el videojuego a $140, ¿cuántos tiene que vender para obtener utili dades? (C) Si la compañía quiere comenzar obteniendo utilidades con el mismo nivel de producción anterior al aumento de costos, ¿en cuánto debe incrementar el precio de venta al mayoreo?

3
donde T es la temperatura en grados Celsius. ¿A qué profundidad la temperatura estará entre 200 y 300°C en total? 78. Ciencias de la Tierra. El aire seco tiende a avanzar hacia arriba y a expandirse, y al ir avanzando se enfría a una razón constante de 5.5°F por cada 1 000 pies que asciende hasta alcanzar una altitud de 40 000 pies. Si la temperatura en el suelo es de 70°F, entonces la temperatura T a una altura h estará dada aproximadamente por T = 70 — 0.0055/;. ¿Para qué rango de altitud la temperatura estará entre 26°F y —40°F, en total?

83. Energía. Si en una casa, la demanda de potencia en un circuito eléctrico de 110 volts varía entre 220 y 2 750 watts, ¿cuál es el rango de corriente que fluye a través del circuito? (W = El, donde W = potencia en watts, E = voltaje en volts, 1 = corriente en amperios). 84. Psicología. El 1Q de una persona está dado por la fórmula

79. Negocios y economía. Una compañía electrónica está planeando comercializar una nueva calculadora gráfica. Los costos fijos son de $650 000 y los variables de S47 por calculadora. El precio de la calculadora al mayoreo será de S63. Es evidente que para que la compañía obtenga utilidades los ingresos deben ser superiores a los costos.

IQ =

EC

100

donde EM es la edad mental y EC es la edad cronológica. Si 8 0 £ I Q < 140

(A) ¿Cuántas calculadoras se deben vender para que la compañía obtenga utilidades? (B) ¿Cuántas calculadoras tendría que vender para llegar al punto de equilibrio? Analice la relación entre los resultados de los incisos A y B.

para un grupo de niños de 12 años de edad, encuentre el rango de su edad mental. Finanzas. Si una persona entre los 65 y 69 años de edad continúa trabajando después de comenzar a recibir los beneficios por seguridad social, los beneficios se reducirán cuando los ingresos excedan un límite establecido. En 1989, los beneficios se redujeron en $ 1 por cada $2 que se ganaron después de $8 880. Encuentre el rango en las reducciones de los beneficios para las personas que ganan entre $13 000 y $16 000.

80. Negocios y economía. Un fabricante de videojuegos planea comercializar un videojuego en versión de 64 bits. Los costos fijos son de $550 000 y los variables de $120 por artículo producido. El precio de la máquina al mayoreo será de $140. (A) ¿Cuántas máquinas de juego se deben venderpara que la compañía tenga ganancias? (B) ¿Cuántos videojuegos debe vender la compañía para llegar al punto de equilibrio? Analice las relaciones entre\los resultados de los incisos A y B.

EM

*

86 .

Finanzas. Refiérase al problema 85. En 1990, la ley se cambió de manera que los beneficios se redujeran en $ 1 por cada S3 que se ganaran después de $8 880. Encuentre el rango en las reducciones de beneficios para personas que ganan entre $13 000 y $16 000.

1-4 Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades

SECCION

1-4

37

Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades V alor absoluto y distancia Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades Valores absolutos y radicales En esta sección se analiza la resolución de ecuaciones con valor absoluto y desigualda des. C om enzam os con una definición geom étrica del valor absoluto. Si a es la coordenada de un punto sobre la recta num érica real, entonces la distancia desde el origen a a se representa por |a| y se conoce com o valor absoluto de a. A sí, |5| = 5, com o el punto con coordenada 5 está a 5 unidades del origen, y | - 6 ¡ = 6, ya que el punto con coorde nada —6 está a 6 unidades del origen (véase la figura 1).

r :C

c

Valor absoluto.

H— I— I— I— I-

H— I— I— I-

Sim bólicam ente, y de m anera m ás form al, se define el valor absoluto com o sigue:

DEFINICION 1

Valor absoluto si X ^ 0

141 = 4

sL r< 0

1-31

x = x

- (- 3 )

.

= 3

_i

[Nota: - x es positivo si x es negativo.]

A m bas definiciones, la geom étrica y la no geom étrica, del valor absoluto son úti les, com o se verá en seguida. Recuerde: El valor absoluto de un núm ero nunca es negativo.

E|Ei\

Valor absoluto de un número real (A) |7t — 3| = K — 3 (B) j3 — n\ — —(3 — 7t) = n — 3

Puesto que k = 3.14 ,71 - 3 es positivo Puesto que 3 - xes negativo

E scriba sin el signo de valor absoluto: (A) |8| 6

( B ) |^ 9 - 2 |

t

-

1L v h

(C) \ - V 2 \

v íi

(D) |2 - ^ 9 |

V f - z

1


Siguiendo el m ism o razonam iento em pleado en el ejem plo 1, se puede probar el teorem a siguiente (véase el problem a 79 en el ejercicio 1-4).

Teorema 1

Para todos los núm eros reales a y b, \b — a\ = \a — b\

Se usa este resultado al definir la distancia entre dos puntos sobre la recta num éri ca real.

DEFINICIÓN 2

Distancia entre los puntos A y B Sean A y B dos puntos sobre una recta num érica real con coordenadas a y b, respectivam ente. La distancia entre A y B está dada por d(A, B) = \b — a\ E sta distancia tam bién se conoce com o longitud del segm ento de la recta que une a A con B.

EJEMPLO 2

Distancia entre puntos sobre una recta numérica Encuentre la distancia entre los puntos A y B con coordenadas a y b, respectivam ente, com o se indica (A ) a = 4, b = 9

(B) a = 9, b = 4

(C) a = 0, b = 6

B) -••• |9 - 4

Soluciones

_______A_______.

(A)

H----------------------------- 1------------ 1-------------- 1— I— I---1— 1-------- 1— I1—►x o A 5 B 10 -

38

d'(A, 8) --= K - 9; =- l-5 | Hi 5 (B )

—I— I— \— I— ♦— I— I— I— I— *— I—►x

o

8

5

A io

d(A, 8) —!6 - 0] | I6| = 6

\

(C) » \

\

1 1 1 — I— I— t— I 0

S

g

1--------1— I—►x 10

' Sería claro, puesto que \b - a \ - \a - b |, es decir, d ( A , B ) = d(B

39

Por lo tanto, al calcular la distancia entre dos puntos sobre la recta num érica real, no im porta cóm o se m arquen los dos puntos (el punto A puede estar a la izquierda o a la derecha del punto B). O bserve tam bién que si A está en el origen O, entonces d (0 , B ) = \b ~ 0| = ¡A|

U se la siguiente recta num érica para encontrar las distancias indicadas.

I -1 0

A B 0 I + 'I I I I i I I I -5

(A) d(C, D ) (D) d(A , Q

• Vafor absoluto en ecuaciones y desigualdades

C D I M I I l ■ ! I I I *x

0

5

(B) d(D, Q (E ) d ( 0 , A )

10

(C) d(A , B) (F) d ( D , A )

La relación entre álgebra y geom etría es una herram ienta im portante cuando se trabaja con ecuaciones y desigualdades que im plican valor absoluto. Por ejem plo, el enunciado algebraico \x -

11 = 2

se puede interpretar geom étricam ente com o una declaración de que la distancia de x a 1 es 2 .


E scriba las interpretaciones geom étricas de los siguientes postulados algebraicos: (A) |x — 11< 2

(B) 0 < |x — 11 < 2

(C) \x - 11 > 2

Solución de problemas con valor absoluto de manera geométrica Interprete geom étricam ente, resuelva y grafique. Escriba las soluciones tanto en nota ción de desigualdad com o de intervalo, donde sea adecuado. (A) \x - 3| = 5 (C) 0 < |* - 3| < 5 Soluciones

(B) |jc - 3| < 5 (D) ¡x - 3| > 5

(A) G eom étricam ente, jx — 3| representa la distancia entre x y 3. Así, en |x - 3| = 5, x es u n núm ero cuya distancia desde 3 es 5. E s decir, x = 3 ± 5 = —2 El conjunto solución es {—2, 8 }.

o

8

Ésta no es la notación de intervalo.


(B) G eom étricam ente, en \x - 3| < 5, x es un núm ero cuya distancia desde 3 es m enor que 5; es decir, —2 < jc < 8 El conjunto solución es ( —2, 8).

(

I

■ !"

I

I— >"■■■ '!■ I

Ésta es la notación de intervalo

"I— M

>*

3

(C) La form a 0 < \x — 3| < 5 se encuentra con frecuencia en cálculo y en m atem áticas m ás avanzadas. G eom étricam ente, x es un núm ero cuya distancia desde 3 es m enor que 5, pero x no puede ser igual a 3. De esta m anera —2 < x < 8

x* 3

o

( —2, 3) U (3, 8 )

P Hoyo — (

l

i

l

i

|i

I— I— )— *■x

3

(D) G eom étricam ente en \x - 3| > 5, x es un núm ero cuya distancia desde 3 es m ayor que 5; es decir, x< -2

o

4 — M — i— i— n

PRECAUCIÓN

x > 8

o

(-= o, - 2 ) U (8, =c)

— i— i— i— i— t — ►

N o confunda soluciones del tipo —2 < x

y

x < 8

que tam bién se pueden escribir com o -2 < x < 8

o

( - 2 , 8)

con soluciones como x < —2

o

jc

> 8

que no pueden sér escritas com o una doble desigualdad o com o un solo intervalo. / En la tabla 1 se resum en los resultados.

41


TABLA 1 y desigualdades Forma (d > 0)

\x — c| = d

\x — c \< d

0 < |x — cl < d

¡.V — c \ >

d

Interpretación geométrica

Solución

La distancia entrex y c es igual a d.

|c — 4, c + d\

La distancia entre x y c es menor que d.

\c — d ,c + d\

La distancia entre x y c es menor que d, pero x ¥= c

(ic ~ d,c) U (c, c + d)

La distancia entre x y c es mayor que d.

(-=o, c - d) U (c + d, ao)

Gráfica

H------- ►x c — d

— (—

c

'I™

) -------

c -d

c

cid

c -d

c

c+

->x

d

4----- *------ 1------ (----- 1 X

c-d

c

c+ d

Interprete geom étricam ente, resuelva y grafique. Escriba las soluciones en notación de desigualdad y de intervalo, donde sea adecuado. (A) |* + 2| = 6

(B) |x + 2| < 6

(C) O < |x + 2| < 6

(D) |x + 2| > 6

[Sugerencia: \x + 2: = |x — ( —2)|.]


D escriba el conjunto de los núm eros que satisfagan cada una de las siguientes: (A) 2 > x > 1

(B) 2 > x < 1

(C) 2 < x > I

(D ) 2 < x < 1

Explique p o r qué nunca es necesario usar dobles desigualdades con sim bolos de desigualdad apuntando en direcciones diferentes. La notación m atem ática estándar necesita que todos los sím bolos de desigualdad en una expresión apunten en la m is m a dirección.

R azonando geom étricam ente com o antes (advirtiendo que |x| = jx — 0|) se llega al teorem a 2 .

42

1


Teorema 2

Propiedades de ecuaciones y desigualdades que implican Ixl P a ra p > 0: 1. x \ = p

es equivalente a

2.

|*| p

es equivalente a

Si general.

Teorema 3

x =p

o

x = —p.

~p

-p
o

0 ¿

* > p.

"

p p'

*’x

+

*

se reem plaza * en el teorem a 2 por ax + b, se obtiene el teorem a 3, que es más

Propiedades de ecuaciones y desigualdades que implican Iax + b\ P a ra p > 0: 1.

\ax + b\ = p

es equivalente a

ax + b = p

o

ax + b = - p .

2.

\ax + b\ p

es equivalente a

ax + b = —p

o

ax + b > p.

Solución de problemas con valor absoluto R esuelva y escriba las soluciones en notación tanto de desigualdad com o de intervalo, en donde sea pertinente. (A) |3* + 5| = 4 Soluciones

(B) |*| < 5

(A) |3* + 5| = 4 3* + 5 = ± 4 3*= -5 ± 4 -5 ± 4

*

o

= — 3,—3

( - 3 ,4 )

(B)

(C) \2x - l| < 3 |x| < 5 —5 < * < 5 o ( - 5 ,5 )

(D) \l - 3*| £ 2


(C) \2x — 11 < 3

(D) |7 - 3*| < 2

- 3 < 2* -

1< 3

- 2 < 7 - 3* < 2

—2 < 2* < 4

- 9 < - 3 x < - 5

—1 < x < 2

3 > * > f

o ( - 1 ,2 )

f

3

o [f, 3]

lema seleccionado 4

R esuelva y escriba soluciones en notación de desigualdad y de intervalo, donde sea apropiado. (A ) \2x — 11 = 8

EJEMPLO 5

( B ) |* |< 7

(C )|3 * + 3 | < 9

(D) |5 — 2x¡ < 9

Solución de desigualdades con valor absoluto R esuelva y escriba las soluciones en notación de desigualdad y de intervalo. (A ) |*| > 3

Soluciones

(B)|2*-l|>3

(A) |*| > 3 * < —3 (—cc, —3) U (3, «=)

o Notación de intervalo

(B) |2* - l| > 3 2x - 1 < - 3 o 2* - 1 > 3 2* < - 2 o 2* > 4 * < —1 o *> 2 ( —o®, —1J U [2, °°) (C) |7 - 3*| > 2 7-3* < -2 o - 3* < —9 o *> 3 o (—» , |) U (3, °°)

Problema seleccionado S

(C) | 7 - 3 ; t | > 2

* > 3

— £ y -f / ' ~7/ 3 Z/, Notación de desigualdad Notación de intervalo , V

7-3* >2 —3* > —5 *< f Notación de desigualdad Notación de intervalo

Resuelva y escriba soluciones de desigualdad y de intervalo. (A) |*| > 5

(B) |4x — 3| > 5

(C) |6 - 5*| > 16

Un problem a de valo r absoluto con dos casos Resuelva: |* + 4| = 3* — 8

v~ 7 .V “ 7 Notación de desigualdad-/ ^ 1

'Z' ^

Y ? / U-

44

1


Solución

El teorem a 3 no se aplica directam ente, puesto que no se sabe si 3* - 8 es positivo. Sin em bargo, se puede usar la definición de valor absoluto y dos casos: x + 4 > 0 y x + 4 < 0. Caso 1 .x + 4 > 0 (es decir, * > —4) Para este caso, los valores positivos de x están en el conjunto {x|x > —4}. t:

\x + x +

4|= 3x ~ 4 — 3x —

8 8

- o parao >0

|o|

-2 x = -12 x = 6

Una solución, ya que 6 está dentro de los posibles valores de x

La com probación se deja al lector. Caso 2. x + 4 < 0 (es decir, x < —4) En este caso, los valores posibles de x están en el conjunto {x|x < —4}. |* + 4|

= 3* - 8

—(.v + 4)

= 3x — 8

|a| = - a para o <

0

—x — 4 = 3x — 8 —4x = - 4 x = 1

No es una solución, ya que 1 no está dentro de los posibles valores de*

C om binando am bos casos, se observa que la única solución es x = 6 . Comprobación

Com o una com probación final, se sustituye x = 6 y x = 1 en la ecuación original. |x + 4[ = 3x — 8

|x + 4| = 3x - 8

|6 + 4| ^ 3(6) - 8

|] + 4| = 3(1) - 8

10 = 10

Problem a

;

5 * -5

Resuelva: |3x — 4| = x + 5

En la sección A-7, se mostró que si x es positiva o 0, entonces

y radicales V ? = x Sin em bargo, si x es negativa, se debe escribir V ? = -x

Ve ~W = - ( - 2 )

2

45


A sí, para cualquier núm ero real x, V 7 =

x

si x s 0

-x

si A" < 0

Que es exactam ente com o se definió a |x| al inicio de esta sección (véase la definición 1). A sí, para cualquier núm ero real x, V r = |j :| Respuestas a los problemas seleccionados 1. (A) 8 (B) N^9 - 2 (C) V 2 (D) $ 9 - 2 2. (A) 4 (B) 4 (C) 6 (D) 11 (E) 8 (F) 15 3. (A) x es un número cuya distancia desde —2 es 6 . -+X

+

x = - 8 ,4 o { -8 ,4 }

-8

(B) x es un número cuya distancia desde - 2 es menor que 6 X

(D) x es un número cuya distancia desde —2 es mayor que 6 . a <

- 8

o x > 4, o (-<*, -

8)

U (4, se)

(A) * = - | , ? o l - U ) (B) - 7 (D) - 2 < x < 7 o ( - 2 , 7)

i s 7 o

(A) x < - 5 o x s 5, o (—» , - 5 ] U [5. °°) (C) x < —2 o x > f , o (-<*>, - 2 ) U ( f , *)

-2

(C) - 4 s i s 2 o [-4, 2]

[ - 7 , 7] (B) x <

-5

o .t > 2, o ( -

00,

- i ) u (2, os)

H .f i

EJERCICIO 1 - 4

En los problemas del 1 al 8, simplifique y escriba sin los sig nos de valor absoluto. No reemplace a los radicales con aproxi maciones decimales. 1. |V5|

14. d(A,B)

15. d(0,B)

16. d{B,A)

17. d(B,C)

18. d(D, C)

Escriba cada uno de los enunciados de los problemas del 19 al 28 como una ecuación de valor absoluto o de desigualdad. 19. x está a 4 unidades de 3.

3. |(—6) - (-2 )|

4. |C—2) - ( - 6)|

5. |5 - V 5|

6. |V 7 - 2|

7. |V5 - 5|

8. ¡2 - V 7|

20. v está a 3 unidades de 1. 21. m está a 5 unidades de —2.

En los problemas del 9 al 12, encuentre la distancia entre los puntos A y B con coordenadas a y b respectivamente, como se dan. 9. a = - 7 , b = 5 10. a = 3, b = 12 11. a = 5, b = - 7 12. a = - 9 , b = -1 7 En los problemas del 13 al 18, use la recta numérica de abajo para encontrar las distancias indicadas: A

B

O

C

O

5

O

. |. +- 4—)—(—|—|—t—|—j—| | i | | | 1 i | | | -10

13. cl(B. O)

-5

10

22. n está a 7 unidades de - 5 . 23. x es menor que 5 unidades de 3. 24. z es menor que 8 unidades de - 2 . 25. p no es más grande que 6 unidades de —2. 26. c no es más grande que 7 unidades de - 3 . 27. q no es más grande que 2 unidades de 1. 28. d no es más grande que 4 unidades de 5.

46

1


19. Pruebe que \b - a\ = \a - ¿>| para todos los números a y b.

B

80. Demuestre que |*|2 = x1 para todos los números reales x. En los problemas del 29 al 44, resuelva, interprete geométri camente y grafique. Cuando sea aplicable, escriba las respues tas usando notación de desigualdad y notación de intervalos. 29. |*| £ 7

30. |r| < 5

31. |*| s 7

32. M a 5

33. [y - 5| = 3

34. \t - 3| = 4

35. |y - 5| < 3

36.

|f - 3| < 4

37. |y - 5| > 3

38. | í - 3 | > 4

39. |w + 8| = 3

40. |* + 1 | = 5

41. |« + 8 |< 3

42. |-v + 11=s 5

43. ]« + 8| a 3

44. \x + 11S 5

81. Pruebe que el promedio de dos números está entre los dos números; es decir, si m < n, entonces m+n m < --------< n 82. Pruebe que para m < n, m + n\ (m + n d\ m, —; — 1 = —-— , n 83. Pruebe que |—m\ = \m\.

En los problemas del 45 al 62, resuelva cada ecuación o des igualdad. Cuando sea aplicable escriba la respuesta en nota ción de desigualdad y notación de intervalos.

84. Pruebe que |—m\ = |«| si y sólo si m = n o m = - n . 85. Pruebe que para n =£ 0, m _ |/m| n |n|

45. |5 * - 3 | s 12

46. |2a - 3 | < 5

47. \2y - 8| > 2

48. |3¡< + 4| > 3

49. |5í —7| = 11

50. |6m + 9| = 13

86. Pruebe que \mn\ = \m\\n\.

51. |9 - lu\ < 14

52. |7 - 9M\ < 15

87. Pruebe que —\m\ < m < \m\

53. |1 —| a | > 5

54.

88. Pruebe la desigualdad del triángulo:

55. ||C + 32| < 31

56. ||(F - 32)| < 40

57. V ? < 2

58. V r > 3

59. V (1 - 3/)2 ^ 2

60. V( 3 - 2 x f < 5

61. V ( 21 - 3)2 > 3

62. V( 3m + 5)2 s 4

+ 3| a 9

|m + n\ £ \m\ + |n| Sugerencia: Use el problema 87 para mostrar que —|m| - |/i| s m + n S \m\ + |n| 89. Si a y b son números reales, pruebe que el máximo de a y b está dado por.

C f Los problemas del 63 al 66 se relacionan con cálculo. ResuelJ va y grafique. Escriba cada solución usando notación de in tervalos. 63. 0 < \x - 3| < 0.1

64. 0 < |* — 5| < 0.01

65. 0 < \x — c| < d

66. 0 <

|a - -

4| < d

máx(a, b) = |[a + b + \a — b\\ 90. Pruebe que el mínimo de a y b está dado por mín(a, b) = j[a + b - \a — 6|]

En los problemas del 67 al 76, ¿para cuáles valores de x tienen validez? 67. \x- 5\ = x - 5

68. |* + 7| = * + 7

69. \x + 8| = -(.v + 8)

70. | * - 11| = - ( * - 11)

71. |4.v + 3| = 4.v + 3

72. |5* - 9|

73. |5.v - 2| = —(5.v - 2)

74. |3* + 7| = -(3 *

75. |3 —Jt|

j

+3 =

|2 —3*|

'V

= (5x -

|* — 1| +

9)

X

1x — 11 y 78. ¿Cuáles son los valores posibles de -------j-—?

^

91. Estadística. Desigualdades de la forma

+ 7)

|* + 3 | = 6

77. ¿Cuáles son los valores posibles de -j-p?

A P LIC A C IO N ES

ocurren frecuentemente en estadística. Si m = 45.4, 5 = 3.2 y n = 1, encuentre x. 92. Estadística. Repita el problema 91 para m = 28.6, s = 6.5 y n = 2.

1-5

f3. Negocios. La producción diaria P en una planta ensambladora de automóviles está dentro de 20 unidades de 500 unidades. Exprese la producción diaria como una desigual dad de valores absolutos. 94. Química. En un proceso químico, la temperatura T se conserva entre los ÍO^C y los 200°°C. Exprese esta res tricción como una desigualdad de valores absolutos. |5 . Aproximación. El área A de una región es aproxima damente igual a 12.436. El error en esta aproximación es menor que 0.001. Describa los valores posibles de esta área con una desigualdad de valores absolutos y en notación de intervalos.

SECCIÓN

1-5

Números complejos

47

f 96. Aproximación. El volumen V de un sólido es aproxima damente igual a 6.94. El error en esta aproximación es menor que 0.02. Describa los valores posibles de este volumen en forma de desigualdad de valores absolutos y en notación de intervalos. * 97. Dígitos significativos. Si N — 2.37 representa una medida que se puede suponer con una precisión de 2.37 ± 0.005. Exprese la precisión deseada usando desigualdades de valores absolutos. * 9$. Dígitos significativos. S i N = 3.65 X 10-3 es un número de una medición, se puede suponer una precisión de 3.65 X 10' 3± 5 X 10"6. Exprese la precisión supuesta usando desigualdades de valores absolutos.

Números complejos Com entarios de introducción El sistem a de núm eros com plejos N úm eros com plejos y radicales

Los pitagóricos (500-275 a.C.) encontraron que la ecuación simple

de introducción x2 = 2

( 1)

no tenía soluciones num éricas racionales. Si esta ecuación (1) tuviera alguna solución, se tendría que inventar una nueva clase de núm eros, los núm eros irracionales. Los nú m eros irracionales V 2 y — V 2 son am bas soluciones de la ecuación (1). Los núm eros irracionales no se establecieron firm em ente en las m atem áticas hasta el siglo XIX. Los núm eros racionales e irracionales form an al sistem a de los núm eros reales. ¿Es necesario considerar otra clase de núm eros? La respuesta es sí, si se quiere que la ecuación sim ple jt2 = - 1 tenga una solución. Si x es cualquier núm ero real, entonces x 2 s 0. Es decir, x 2 = —1 no puede tener ninguna solución num érica real. Así, una vez m ás se debió inventar un nuevo tipo de núm eros, un núm ero cuyo cuadrado pudiera ser negativo. Estos nuevos núm eros se llam an núm eros com plejos, y evolucionaron durante m ucho tiem po; pero, igual que los núm eros reales, sólo hasta el siglo x ix se establecieron firm em ente en las m atem áticas.

-- E¡ s i s t e m a d e

Se com enzará con la exposición de los núm eros com plejos definiendo un núm ero com plejo y varios tipos de núm eros com plejos. D espués se definirá la concepción de igual dad, sum a y m ultiplicación en este sistem a, y a partir de estas definiciones se explicarán las propiedades especiales im portantes y las reglas de operación siguientes para suma, m ultiplicación y división.

48

1


---------------------------------------------------------------- — ..------------- ------------------------------------------------------ — -------;------------------------- --------- n

TABLA 1 Fecha aproximada

Persona

Evento

50

Herón de Alejandría

Fue el primero en encontrar la raíz cuadrada de un número negativo

850

Mahavira de India

Decía que un negativo no tenía raíz cuadrada, ya que no era cuadrado

1545

Cardano de Italia

Las soluciones de las ecuaciones cúbicas implican raíces cuadradas de números negativos

1637

Descartes de Francia

Introdujo los términos real e imaginario

1748

Euler de Suiza

Usó i para V —1

1832

Gauss de Alemania

Introdujo el término número complejo

DEFINICIÓN 1

Número complejo U n núm ero com plejo es un núm ero de la form a Form a estándar donde a y b son núm eros reales e i se llam a unidad im aginaria.

La unidad im aginaria i introducida en la definición 1 no es un núm ero real. Este es u n sim bolo especial usado en la representación de los elem entos en este nuevo sistem a de núm eros com plejos. A lgunos ejem plos de núm eros com plejos son 3 -2 i

5 + 5i

2 - 52

0 + 3/

5 + 0/

0 + 0i

Las clases particulares de núm eros com plejos reciben los siguientes nom bres especia les:

DEFINICIÓN 2

Nombres de clases particulares de números complejos. Unidad imaginaria:

i

N úm ero com plejo:

a + bi

a y b son núm eros reales

N úm ero im aginario:

a + bi

b * 0

N úm ero im aginario puro:

0 + bi - bi

b * 0

N úm ero real:

a + 0/ = a

Cero:

0 + 0/ = 0

C onjugado de a + bi:

a - bi

1-5

EJEMPLO 1

Números complejos

‘ Vi

Tipos especiales de números complejos: D e la lista de núm eros com plejos que se da a continuación: 3 -2 i

5 + 5/

2-

5/

0 + 3/ = 3i

5 + 0/ = 5

0 + 0i = 0

(A) Enum ere a todos los núm eros im aginarios, núm eros im aginarios puros, núm eros reales y cero. (B) E scriba el conjugado de cada uno. Soluciones

N úm eros im aginarios: 3 — 2/, j + 5i, 2 — |z, 3/ N úm eros im aginarios puros: 0 + 3/ = 3/ N úm eros reales: 5 + 0/ = 5, 0 + 0/ = 0 Cero: 0 + 0¿ = 0 (B) 3 + 2 / 0


i - 5/

2 + |/

— 3/ = - 3 i5 - 0/ = 5

0 - 0/ = 0

De la siguiente lista de núm eros com plejos: 6 + 7/

V 2 — 5/

0 — ¿ = —/

0 + fi = fi

-V 3 + 0 / - - V 3

0 - 0/ = 0

(A) E num ere a todos los núm eros im aginarios, núm eros im aginarios puros, núm eros reales y cero. (B) E scriba el conjugado de cada uno.

En la definición 2, observe que se identifica un núm ero com plejo de la form a a + Oi con el núm ero real a, un núm ero com plejo de la form a 0 + bi, b 0 , con el núm ero im aginario puro bi, y el núm ero com plejo 0 + 0/ con el núm ero real 0. De esta m ane ra, un núm ero real es tam bién un núm ero com plejo, al igual que un núm ero racional es tam bién un núm ero real. Cualquier núm ero com plejo que no es un núm ero real se llama núm ero im aginario. Si se com bina el conjunto de todos los núm eros reales con el conjunto de todos los núm eros im aginarios, se obtiene C, el conjunto de los números com plejos. L a relación entre el sistem a de núm eros com plejos y otros sistem as de núm eros que se han estudiado se m uestra en la figura 1.

FIG U R A 1

Números naturales (N )

Cero -----Enteros negativos

N C ZC QC RC C

Enteros (Z)

Números racionales------no enteros

Números ---- racionales-----

(Q) Números irracionales------>

(/)

—

Números reales ------(«)

Números imaginarios

Números — —complejos

(C)

50

1


Para usar los núm eros com plejos, se debe saber cóm o se sum an, restan, m ultipli can y dividen. Se em pezará por definir la igualdad, sum a y m ultiplicación.

DEFINICIÓN 3

Igualdad y operaciones básicas 1.

Igualdad:

a + bi = c + di

2.

Sum a:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

3.

M ultiplicación:

(a + bi)(c + di) = (ac - bd ) + (ad + bc)i

si y sólo si

a = cyb = d

En la sección A - 1 se enum eran las propiedades básicas de un sistem a de núm eros reales. U sando la definición 3, se puede dem ostrar que el sistem a de núm eros com ple jo s tiene las m ism as propiedades. E s decir: 1. 2. 3. 4. 5.

La sum a y m ultiplicación de núm eros com plejos son operaciones conm utativas y asociativas. Existe un idéntico aditivo y un idéntico m ultiplicativo en los núm eros com plejos. C ada núm ero com plejo tiene un inverso aditivo o negativo. C ada núm ero com plejo distinto de cero tiene un inverso m ultiplicativo o recí proco. La m ultiplicación es distributiva sobre la suma.

Com o consecuencia de estas propiedades, se pueden m anipular los sím bolos de los núm eros com plejos de la form a a + bi de igual m anera que se m anipulan los bino m ios de la form a a + bx, en tanto que se recuerde que i es un sím bolo especial para la unidad im aginaria, no para un núm ero real. De esta m anera, no es necesario m em orizar las definiciones de sum a y m ultiplicación de núm eros com plejos. En seguida se anali zarán estas operaciones y algunas de sus propiedades. En el ejercicio 2 - 5 se considera rán otras propiedades.

EjEM PLe

Suma de números complejos R ealice cada una de las operaciones y exprese la respuesta en la form a estándar:

(A)

Solución

(2

- 3/) +

(6

+

2 /)

(B)

(-5

+ 4 0 + (0 +

00

(A) Se podría aplicar directam ente la definición de suma, pero es m ás fácil usar las propiedades de los núm eros com plejos. (2 — 3 0 + (6 + 2 0 = 2 — 3i + 6 +

2i

Elimine paréntesis

i------------------------------------ 1 i = (2 + 6 ) + ( — 3 + 2 )/

i

Combine términos semejantes

j

i

1-5

Números complejos

51

(B) ( - 5 + 4 0 + (0 + 00 = - 5 + 4/ + 0 + 0/ = - 5 + 4i


Realice la operación y exprese la respuesta en la form a estándar: (A) (3 + 2 0 + (6 - 40

(B) (0 + 00 + (7 - 5i)

El ejem plo 2B y el problem a seleccionado 2B ilustran el siguiente resultado gene ral: Para cualquier núm ero com plejo a + bi, (a + bi) + (0 + 00 = (0 + 0/) + (a + bi) = a + bi Así, 0 + 0/ es la identidad aditiva o cero de los núm eros com plejos. Se ha anticipado este resultado en la definición 1 cuando se ha identificado al núm ero com plejo 0 + Oí con el núm ero real 0 . Se podrían d efinir los negativos y resta en térm inos de los inversos aditivos de un núm ero com plejo, com o ya se ha hecho para los núm eros reales, pero algunas veces es m ás fácil usar las propiedades de los núm eros com plejos.

EJEMPLO 3

Negativo y resta R ealice cada una de las siguientes operaciones y exprese la respuesta en la form a es tándar: (A) - ( 4 - 50

Solución

(B) (7 - 30 - (6 + 2 0 (C) ( - 2 + 7/') + (2 - 70 i-------------------------- 1 Í = ( - 1 ) ( 4 - 5/) | = - 4 + 5/ i_________________ i

(A) - ( 4 - 5 0

(B) (7 - 30 - (6 + 20 = 7 - 3/ - 6 - 2i = 1 -5 / (C) ( - 2 + 70 + (2 - 70 = - 2 + 7/ + 2 - 7/ = 0


R ealice cada operación y exprese la respuesta en la form a estándar: (A) - ( - 3 + 2 0

(B) (3 - 50 - (1 ~ 30

(C) ( - 4 + 9i) + (4 - 90

En general, el inverso aditivo o negativo de a -i- bi es —a - bi, ya que (a + bi) + ( ~ a — bi) = ( —a — bi) + (a + bi) = 0 (véase el ejem plo 3C y el problem a seleccionado 3C).

52

1


A hora se abordará la m ultiplicación. Prim ero, se recurre a la definición de plicación para averiguar qué pasa con la unidad com pleja i cuando se eleva al a

i2 =

a

=

b e

d

(0 + 10(0 + 10 c

(0

b

•0 -

d

o

d

b

c

1 •1)+ (0 • 1 + 1 • 0)/

= - 1 + 0/ = -1 A sí, se ha probado que r- = - i A hora se íiene un núm ero cuyo cuadrado es negativo y es una solución a x 2 = —1 Puesto que i2 = —1, se define a V— 1 com o la unidad im aginaria i. Así, i = V -í

y

—i = —\ - 1

Igual que en los casos de la sum a y la resta, la m ultiplicación de núm eros com jo s se puede efectuar usando las propiedades de los núm eros com plejos m ejor que Ja definición de m ultiplicación. Para hacerlo se reemplazará i2 p o r —1 cada vez aparezca.

EJEMPLO 4

M ultiplicación de números complejos R ealice cada operación y exprese la respuesta en form a estándar: (A) (2 - 30(6 + 2 0

Solución

(B) 1(3 - 5 0 (C) /(I + i) i------------------------------------------ 1 (A) (2 - 30(6 + 20 j = 2(6 + 2i) - 3/(6 + 2/) | i____________________________i = 12 + 4/ -

(D) (3 + 40(3 - 40

18/ - 6i2

= 12 — 14/ - 6( - l )

Reemplace i2 por -1 .

= 18 - 14/ i------------------------------1 (B) 1(3 - 50 | = 1 • 3 - 1 • 5/ | = 3 - 5/ I___________________ I (C) /(I + /) = / + i2 = i - 1 = - 1 + / (D) (3 + 4/)(3 - 4/) = 9 - 12/ + 12/ -

16/2

= 9 + 16 = 25


Realice cada operación y exprese la respuesta en la form a estándar:

(A) (5 + 2/)(4 - 3/)

(B) 3 ( - 2 + 60 (C)

1-5

Números complejos

Para cualquier número complejo a + bi, 1(a + bi) = (a + hi) 1 = a + bi (véase el ejem plo 4B). Así, 1 es el idéntico m ultiplicativo para los núm eros com plejos, igual que lo fue para los núm eros reales. A ntes se estableció que cualquier núm ero com plejo tiene un inverso m ultiplicati vo o recíproco. Se denotará esto com o una fracción, de igual m anera se hace con los núm eros reales. D e esta m anera,

es el recíproco de

a + bi

a + bi # 0

a + bi La siguiente propiedad im portante de los conjugados de un núm ero com plejo se usa para expresar recíprocos y cocientes en form a estándar.

Teorema 1

Producto de un número complejo por su conjugado (a + bi){a - bi) = a2 + b2

EJEMPLO 5

Un número real

Recíprocos y cocientes R ealice cada operación y exprese la respuesta en su form a estándar:

Solución

(A ) M ultiplique el num erador y el denom inador por el conjugado del denom inador:

1 2 + 3/

1

r' 2 — 3/ i

2 + 3/ * 2 — 3/ i

2 -3 i

2 - 3i

4 - 9 /2

4 + 9

L

2 - 3 / 2 13

_ 13

3 . 13 '

E sta respuesta se puede com probar por m ultiplicación: Comprobación

54

1


7 “ 3* 7 “ 3¿ 1 - ‘ 1 i + / _ i + i ' i - / 5

7 “ 7¿ “ 3Í + 3/2 i - f

i___________________

4_

i0i

,

— -— = 2 - 5 ; (1 + /)(2 — 5 i) = 2 — 5 i + 2i — 5 i2 = 1 — 3/

Comprobación


Realice cada operación y exprese la respuesta en su form a estándar:

(A) T4 T+ r2 1

E|EM PLO ó

(B)

2—i

Operaciones combinadas R ealice cada una de las operaciones indicadas y exprese su respuesta en la form a están dar: (A) (3 - 2/)2 - 6(3 - 20 + 13

Soluciones

(A) (3 — 2i)2 — 6(3 — 2i)

(B)

2/

+ 1 3 = 9 —12/ + 4i2 — =

18 + 12/+

13

9 - 12/ - 4 - 18 + 12/ + 13

= 0 (B) Si un núm ero com plejo se divide entre un núm ero im aginario puro, se puede hacer que el denom inador sea real m ultiplicando al num erador y al denom inador por i. 2 - 3/ 2/

Problema seleccionad

/ _ 2/- 3i2 _ 2i + 3 _ _ 3 _ .

’1~

-2

2

R ealice cada una de las operaciones indicadas y exprese la respuesta en la form a es tándar: (A) (3 + 2O2 - 6(3 + 2/) + 13


2 i2

(B)

Las potencias de núm eros naturales de / tienen form as particularm ente simples:

i5 = ¿4 • i — (1)/ = i

/

i2 = - 1

=

1 (-1 ) = - 1

P = i2 •

i = ( —1)/ = —i

i7 = i4 • /3 = 1(—0 = - /

/4 =

|2 =

/8 =

¿2

.

( - 1 ) ( - 1 ) = 1

/4 ■i 4 =

! • ! =

!

1-5

Números complejos

55

E n general, ¿qué valores son posibles para i", siendo n un núm ero natural? E xplique cóm o se puede encontrar fácilm ente i" para cualquier núm ero natural n. D espués evalúe cada una de las siguientes expresiones: c.' ( A ) / 17, (B )z24 (C) 0 * ' (D) / 47 -r A

R ecuerde que se dice que a es la raíz cuadrada de b si a 2 = b. Si x es un núm ero real positivo, entonces x tiene dos raíces cuadradas, la raíz principal, denotada por - fx , y por su negativo —V T (véase la sección A-7). Si x es un núm ero real negativo, entonces x tam bién tiene dos raíces cuadradas, pero ahora estas raíces son núm eros im aginarios.

DEFINICIÓN \

Raíz cuadrada principal de un número negativo real L a r a íz c u a d ra d a p rin c ip a l de un núm ero negativo re a l, se denota por -J—a donde a es positiva, y está definida por y1—a = i -Ja

'J - 3 = h /T

--J—9 = i-J9 = 3/

L a otra raíz cuadrada de —a, a > 0, es - V —a — - i - f a .

O bserve en la definición 4 que si se escribe i-fa y z'V3" en lugar de las form as estándares -Jai y V 3i. Se infiere que con esta convención la i podría aparecer acciden talm ente dentro de un signo radical ('J a i =£ 4 a i, pero 'Jai = / Va). La definición 4 se sustenta en el hecho de que (¡V a )2 = Pa = —a

Números complejos y radicales E scriba en la form a estándar: (A) V

Soluciones

4

(B) 4 + V ~ 5

(A) V —4 = i\ / 4 = 2/ ^

-3 -

( }

^

3

V5 .

2

2

2 1

1 1 -3 /

(D) ][ _ ^

(B) 4 + V ~ 5 = 4 + z“\ /5

- 3 - iV 5 2 1

( ) i _

(C)

1 • \ + 30 (1 - 30 * Í1 + 30 1 + 3/

1 + 3/

1

3 .

~ 1 - 9 i2 ~

10

10

101

56

1



Escriba en la form a estándar: (A) V —7 6


(B) 5 + V = 7 (C)~ 5 ~ 2V ^

(D)

A partir del teorem a 1 de la sección A-7, se sabe que si a y b son núm eros reales positivos - f a -V6 = Vab

( 1)

Es decir, se pueden evaluar expresiones de la form a V9~ V i de dos m aneras: V 9V 4 = V (9)(4) = -/36 = 6

y

V 9 $ T = (3)(2) = 6

Evalúe cada una de estas expresiones de 1as dos m aneras. ¿Es (1) una propiedad válida para usar en todos los casos? (A) ^9" V—4

PRECAUCIÓN

(B)

(C)

V ^ 9 - vC 4

O bserve que en el ejem plo 7D, se escribió 1 9 = 1 — 3/ antes de proceder con la sim plificación. Es necesario ir despacio porque algunas de las propiedades que son verdaderas para los núm eros reales, no lo son para los núm eros com ple jo s. En particular, para los núm eros reales positivos a y b, "■¡a'Tb = ~Jab

pero

a ~J—b =£ V ( —a ) ( —b)

(V éase exploración y análisis 2.)

La resistencia inicial al uso de estos nuevos núm eros se debió a lo que sugieren las palabras con que se denom inan: com plejo e imaginario. A pesar de esto, los núm e ros com plejos tienen un uso m uy am plio en m atem áticas puras y aplicadas. Los nú m eros com plejos son m uy usados, por ejem plo, en ingeniería eléctrica, física, quím ica, estadística e ingeniería aeronáutica. U n prim er uso de éstos será la conexión con las soluciones de ecuaciones de segundo grado en la siguiente sección.

Respuestas a los problemas seleccionados 1. (A) Núm eros imaginarios: 6 + 7í, V 2 —5/ , 0 — i =

-i, 0 + \i = §1

Números imaginarios puros: 0 - i = - i, 0 + |i = |¡ Números reales: —V 3 + 0/ = —V 3 , 0 - 0/ = 0 Cero: 0 — Oí = 0 2. 3. 4. 5. 6. 7.

(B) 6 - 7i, V 2 + 5 1 , 0 + í = 1, 0 - |f = -§ i, (A) 9 - 2i (B) 7 - 5i (A) 3 - 2/ (B) 2 - 2i (C) 0 (A) 26 - 7i (B) - 6 + 18/ (C) 3 + 2i (A) | - & (B) 1 + Ai (A) 0 (B) - i - fi (A) 4/ (B) 5 + / V 7 (O - | - (V 2/2)/

- V 3 - 0/ = - V 3 , 0 + Oí = 0

(D) 13

(D) ¿ + &

1-5

57

1-5

E |€ !

A _

41. (2 - 3/)2 - 2(2 - 3i) + 9

H k i r r problemas del I al 26, realice las operaciones indicaB f c y escriba cada respuesta en forma estándar. L «2 - 40 + (5 + 0

2. (3 + 0 + (4 + 2;)

1

4. (6 - 2i) +

- 60 + (7 - 3;)

(8

£ (6 - 70 - (4 + 3¡) - 3 - 50 - ( - 2 - 4/)

oc

*. ¡4 - 50 + 2;

10. 6 + (3 - 40

6. (9 +

8/)

- 30

- (5 + 60 Í-“'V <Ñ 1

1 35$ 1

OO

n.

Números complejos

44. Evalúe x2 — 2x + 2 para x = 1 4- i 45. Simplifique: ;18, i32 y ;67 46. Simplifique: /21, ;43 y ;52 47. ¿Para qué valores reales de x y y la ecuación siguiente será un postulado verdadero? (2x - 1) + (3y + 2)i = 5 - 4 /

*3. -3 /(2 - 40

14. -2 /(5 - 30

H. 3 - 3/)(2 - 30

16. ( - 2 - 3/)(3 - 5/)

r . C2 - 30(7 - 6/)

18. (3 + 20(2 - 0

«Sl ‘ - 4/)(7 - 4/)

20. (5 + 3;)(5 - 3;)

2 —i 3 - 2i

43. Evalúe x2 — 2x + 2 para jc = 1 — /

12. (30(8;)

- [60

_ —i

42. (2 - O2 + 3(2 - 0 - 5

22

. 3 —1 i

25.

13 + i 2- i

48. ¿Para qué valores reales de x y y la ecuación siguiente será un postulado verdadero? 3x + (>’ —2)i — (5 — 2x) +(3y -

8)i

23.

3+ i 2 - 3i

En los problemas del 49 al 52, ¿para quévalores reales de x cada expresión representa un número imaginario?

15 - 3i 2 - 3i

49. V T ^

50. V J T 7

26.

51. V 2 ^ H

52. V 3 + 2x

Use una calculadora*para resolver los problemas del 53 al 56. Escríbalos en la forma estándar a + bi, donde a y b se calculan con dos cifras significativas. HbIoi problemas del 27 al 36, convierta números imaginarios m h jir m a estándar, realice las operaciones indicadas y expreI r L respuestas en forma estándar.

53. (3.17 - 4.080(7.14 + 2.760 54. (6.12 + 4.920(1.82 - 5.050 55.

T . (2 - y / —4) + (5 - V 3 ?)

8.14 + 2.63; 3.04 + 6.27;

56.

7.66 + 3.33/ 4.72 - 2.68;

M . (3 - V —4) + ( - 8 + V^-25) » . (9 - V ^9) - (12 - V —25) » . ( - 2 - V = 36) - (4 + V= 49) 3L

En los problemas del 57 al 62, realice las operaciones indica das y escriba cada respuesta en la forma estándar.

3 - V —4)(—2 + V —49)

32. (2 - V 3 T)(5 + V —9) 33.

36.

57 1 2 - V ^9

34.

6 - V -6 4 2

1 36' 3 - V ^ T ó

Escriba los problemas del 37 al 42 en forma estándar. .

2 5;

1 + 3; 39. 2i

57. (a + bi) + (c + di)

58. (a + bi) — (c + di)

59. (a + bi)(a — bi)

60. (u — vi)(u + vi)

61. (a + bi)(c + di)

o2 .

a + bi c + di

63. Muestre que i4k = 1, k un número natural 64. Muestre que iAk + 1 = i, k un número natural

38‘ ¿ 40.

3/

* En este libro encontrará ejercicios opcionales que requieren de una calculadora gráfica. Si usted dispone de ésta seguramente la usará. Por otra parte, cualquier calculadora científica es suficiente para los problemas de este capítulo.

58

1


Indique las razones en las pruebas para los teoremas propues tos en los problemas 65 y 66.

Razón 1.

65. Teorema: Los números complejos son conmutativos con la suma.

3.

Prueba:

Sea a + bi y c + di dos números complejos arbitrarios; entonces:

Postulado 1. (a + bi)+ (c +di) = (a + c) + {b + d)i 2. = (c + a) + (d + b)i 3. = (c + di) + (a + bi)

2.

Las literales z y w a menudo se usan como variables comple jas, donde z — x + y i , w = u + vi, y x, y, u, v son números reales. Los conjugados de z y n; denotados por i y w, respecti vamente, están dados por z = x — yi y w = u — vi. En los problemas del 67al 74, exprese cada propiedad de los conju gados de manera verbal y después compruebe la propiedad.

Razón 1. 2.

67. zz es un número real.

3.

69. F = z si y sólo si z es real.

68. z + z es un número real.

Postulado 1. (a + bi)-(c + di) = {ac - bd) + (ad + bc)i 2. = (ca - db) + (da + cb)i 3. = (c + di)(a + bi)

s e c c ió n

1 -6

70. z = z 71. z + w = z + w

73.

II

72. z — w = z — w NI

66. Teorema: Los números complejos son conmutativos en la multiplicación. Prueba: Sea a + bi y c + di dos números complejos arbitrarios; entonces:

74. z/w = z/w

Ecuaciones cuadráticas y aplicaciones Solución p o r factorización Solución por raíz cuadrada Solución al com pletar el cuadrado Solución p o r la fórm ula cuadrática A plicaciones

La siguiente clase de ecuaciones que se analizarán son las ecuaciones con polinom ios de segundo grado con una variable, llam adas ecuaciones cuadráticas.

DEFINICIÓN 1

Ecuación cuadrática U na ecuación cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir en la form a Form a estándar donde * es una variable y a, b y c son constantes.

1-6

Ecuaciones cuadráticas y aplicaciones

59

A hora que se ha analizado el sistem a de los núm eros com plejos, se usará este tipo de núm eros cuando se resuelvan ecuaciones. R ecuerde que a la solución de una ecuación tam bién se le llam a ra íz de la ecuación. U na solución num érica real de una ecuación se denom ina ra íz re a l, y una solución num érica im aginaria se llam a ra íz im a g in a ria . En esta sección se desarrollarán los m étodos para encontrar todas las raíces reales e im agi narias de una ecuación cuadrática.

• Solución por factorización

Si ax2 + bx + c se puede escribir com o el producto de dos factores de prim er grado, entonces la ecuación cuadrática puede resolverse rápida y fácilm ente. El m étodo de solución por factorización se fundam enta en la propiedad cero de los núm eros com ple jo s, la cual es una generalización de la propiedad cero de los núm eros reales que se repasa en la sección A - l .

Propiedad cero Si m y n son núm eros com plejos, entonces m ■n — 0

EJEMPLO 1

si y solo si

0(o am bos)

Solución de ecuaciones cuadráticas por factorización Resuelva por factorización: (A) 6x2 —

Soluciones

(A)

6X2 -

—7 = 0

19*

19jc -

7

(B) jc2 — 6x + 5 = - 4

= 0

(:2x — l)(3 x + 1) = 0

2x — 7 = 0

(C) 2x2 = 3x

Factorice el lado izquierdo.

o

3x + 1 = 0

xX = 21

xx = - i3

El conjunto solución es {—j, \ ). (B) x2 — 6x + 5 = —4 x2 — 6x +

9

= 0

(x — 3)2 = 0

Escriba en la forma estándar. Factorice el lado izquierdo.

x = 3 El conjunto solución es {3}. La ecuación tiene una raíz, 3. Pero com o se obtuvo de dos factores, a 3 se le llam a ra íz doble. (C) I x 2 = 3x 2 r - 3x = 0 x(2x — 3) = 0 x = 0

o

2x — 3 = 0

Conjunto solución: ¡0, §}

1



Resuelva p o r factorización: (A) 3a:2 + I x - 20 = 0

PRECAUCIÓN

1.

(B) 4a2 + 12x + 9 = 0

(C) 4x> = 5x

Un lado de una ecuación debe ser 0 antes de que se aplique la propiedad cero. A sí

x2 - 6x + 5 = - 4 (x - l)(x - 5) = - 4

esto no im plica que x — 1 = —4 o x - 5 = —4. V éase el ejem plo 1B para la solución correcta de esta ecuación. 2.

Las ecuaciones

2x2 = 3x

y

2x = 3

no son equivalentes. La prim era tiene el conjunto solución {0, |} , m ientras que la segunda tiene el conjunto solución { La ra íz x = 0 se pierde cuando cada m iem bro de la prim era ecuación se divide entre la variable x. Véase el ejem plo 1C para la solución correcta de esta ecuación.

No divida am bos m iem bros de una ecuación por una expresión que con tenga la variable que está resolviendo. Si lo hace podría estar dividiendo entre 0.

• Solución por raíz cuadrada

A hora se enfocará la atención hacia las ecuaciones cuadráticas que no tienen el térm ino de prim er grado, es decir, ecuaciones de la form a especial

ax1 + c = 0

a ^ 0

El m étodo de solución de esta form a especial requiere el uso directo de la propiedad de raíz cuadrada:

■ü:

Propiedad de raíz cuadrada

......

Si A 2 = C, entonces A = ± V C .

.........................

- lül’i ---- ------------ --- :-- — -- 1------ íü ’áÉ! iiiiiiiiríii

1-6



61

D eterm ine si cada uno de los siguientes pares de ecuaciones es equivalente o no. Explique sus respuestas. (A)

x1— 4

y

x =

|2|

(B)

Jt2 = 4

y

x=

(C)

x = V4

y

x =

2

(D )

x = v'4

y

x =

—2

-2

El uso de la propiedad de raíz cuadrada se ilustra en el ejem plo siguiente. N ota: es práctica com ún representar soluciones de ecuaciones cuadráticas de m anera inform al m ediante la últim a ecuación en vez de escribir un conjunto solución usando la notación conjunto. De ahora en adelante, se seguirá esta práctica a m enos que se desee u n énfasis particular.

Uso de la propiedad de la raíz cuadrada R esuelva usando la propiedad de raíz cuadrada: (A) 2x2 — 3 = 0 Soluciones

(B) Sx2 + 21 = 0

(C) (x + \) 2 = f

(A) 2x2 — 3 = 0 xA2 = -23 X

= ±V f

o

± ——

Conjunto solucion:

- \ 6 V61

2

'

2

(B) 3jt + 27 = 0 x2 = - 9 A = ± V —9

:3;

Conjunto solución: (-3/, 3/}

(C) (A + \ f = f A+ 5 = ± v f 1 A' “

2 ~

V5 2

-1 ± V !

Probiemn sel

R esuelva usando la propiedad de raíz cuadrada: (A) 3x2 - 5 = 0

(B) 2x2 + 8 = 0

(C) (a + | ) 2 = §

62

1


EXPLORACION Y ANALISIS 2

R eem place ? en cada una de las siguientes expresiones con un núm ero que haga válida la ecuación. (A) (x + l )2 = x2 + 2x + ?

(B) (x + 2)2 = x2 + 4x + ?

(C) (x + 3 )2 = x2 + 6x + ?

(D) (x + 4 )2 = x2 + 8x + ?

Reem place ? en cada una de las siguientes expresiones con un núm ero que haga al trinom io un cuadrado perfecto. (E) x2 + lOx + ?

(F) x 2 + 12x + ?

(G) x2 + bx + ?

__ _____________________________________________________________________________ La aplicación de los m étodos de raíz cuadrada y de factorización por lo general condu cen a soluciones rápidas; sin em bargo, existen ecuaciones co m ox 2 + 6x - 2 = 0 (véase el ejem plo 4A ), que no puede resolverse directam ente por estos m étodos. Se debe desa rrollar un procedim iento m ás general para tom ar en cuenta este tipo de ecuación, por ejem plo, el m étodo de com pletar el cuadrado. Este m étodo se basa en el proceso de transform ar la ecuación cuadrática estándar ax2 + bx + c = 0 en la form a (x + A )2 = B donde A y B son constantes. La últim a ecuación se puede resolver con facilidad usando la propiedad de raíz cuadrada. Pero, ¿cóm o se transform a la prim era ecuación en la segunda? El breve análisis siguiente proporciona la clave para el proceso. ¿Qué núm ero se debe agregar a x 2 + bx de m anera que el resultado sea el cuadrado de un polinom io de prim er grado? Hay una regla m ecánica sim ple para encontrar este núm ero, basado en el cuadrado de los binom ios siguientes: (x + ni)2 = x2 + 2mx + m2 (x — m)2 = x 2 — 2mx + m 2 En cualquiera de los casos, se observa que el tercer térm ino de la derecha es el cuadra do de una m itad del coeficiente de x en el segundo térm ino de la derecha. Esta observa ción nos lleva directam ente a la regla para com pletar el cuadrado.

Completando el cuadrado Para com pletar el cuadrado de una cuadrática de la form a x2 + bx, sum e el cua drado de la m itad del coeficiente d e x , es decir, sume (b/2)2. Así, x2 + bx x 1- + ¿x +

Ij’lli

Íím 1i ¡ !jfe# H¡j ¡ I I ! / 5y ( b X1 = x + — : -r ;5ir+ *íi ¡illIlP u . l V 2 / •r mi 0 ní;:w .:iUtí;hií
II mi

1-6


63

Completando el cuadrado Com plete el cuadrado de cada una de las siguientes: (A) x 2 - 3x Soluciones

(B) x2 - bx

(A) x 2 — 3x x 1 - 3x + | = (jc — §)2 Sume (- ^ j ; es decir, (B) x 2 - bx u + ^ — = (I x — —J bY j^t — bx

cSume (~ b YJ ; esadecir, ■ *—.

Com plete el cuadrado de cada una de las siguientes: (A) x2 - 5.v

(B) x 2 + mx

Es im portante notar que la regla para com pletar el cuadrado aplica sólo a form as cuadráticas, en las cuales el coeficiente del térm ino de segundo grado es 1. Sin em bar go, com o se verá, esto causa algunos problem as. A hora se resolverán dos ecuaciones con el m étodo de com pletar el cuadrado.

Solucion al completar el cuadrado Resuelva al com pletar el cuadrado: (A) x2 + 6x - 2 = 0 Soluciones

(B) 2x2 — 4x + 3 = 0

(A) x 2 + 6x — 2 = 0 x 2 + 6x = 2 x2 + 6x + 9 = 2

9

Complete el cuadrado del lado izquierdo y sume el mismo número en el lado derecho.

{x + 3)2 = 11 x + 3 = ±V TT x= - 3 ± VTI (B) 2X1 - 4x + 3 = 0 x 2 — 2x + 5 = 0

Haga el primer coeficiente igual a 1 al dividir entre 2.

x 2 — 2x = —5 x2 — 2x

= —§ .

Complete el cuadrado en el lado izquierdo y sume el mismo número en el lado derecho.

1


(x — l )2 = —j

Factorice el lado izquierdo.

A" - 1 = ± V - ¡ x = 1 ± íV j V2

= 1 ± —— /


R esuelva al com pletar el cuadrado: (A)

• Solución por la fórmula cuadrática

Respuesta en la forma a + bi.

A'2 +

8x

-

3 =

0

(B)

3 a-2 -

12 a- +

13 =

0

Considere ahora la ecuación cuadrática general con coeficientes no especificados: a x' + hx + c — 0

a £ 0

Se puede resolver al com pletar el cuadrado exactam ente com o se hizo con el ejem plo 4B. Para obtener el coeficiente principal 1, se debe m ultiplicar am bos lados de la ecua ción por 1¡a. De esta form a, -> b c x^ H— a- H— = 0 a a Sum ando - c / a a am bos lados de la ecuación y después com pletando el cuadrado en el lado izquierdo, se tiene .

b

b2

a

4a

a 2 + - x + —- =

b2 —

2

4a~

c

-----

a

A hora se factoriza el lado izquierdo y se resuelve usando la propiedad de raíz cua drada:

b2 — 4ac. 4a2 + \ ¡b2 ~ 4ac V 4 a2 b

V í >2 — 4a c

2a

2a

—— ± ----- --------

Véase el problema 75 en los ejercicios 1-6.

- h ± V b 2 - 4ac 2a

De esta form a, se arribó a la m uy conocida y am pliam ente usada fo rm u la c u a d r á tica:

1-6

Teorema 1


65

Fórmula cuadrática Si ax2 + bx + c = 0, a ¥= 0, entonces

x

-b ± \ / b 2 — 4ac

=

la

La fórm ula cuadrática se debe m em orizar para usarla en la resolución de ecuaciones cuadráticas cuando otros m étodos fallen o sea m ás difícil aplicarlos.

EJEMPLO

Uso de la fórm ula cuadrática R esuelva 2x + ] = x 2 m ediante la fórm ula cuadrática. O btenga la respuesta en la forma radical m ás simple.

Solución

2x + \ = x 2 Ax + 3 = 2x2 Ix 2 — 4x — 3 = 0

Multiplique ambos lados por 2. Escriba en la forma estándar

-jb ± \/¿>2 — 4ac 2a

a = 2, b = -A, c = - 3

—( —4) ± V ( —4 )2 — 4 (2 )( —3)

2(2) 4 ± V4Ü

PRECAUCION

1.

—42 # ( - 4 )2

2

2 , VIO ^ 2 + VTÔ


2 ± VTÔ

42 = -1 6 y ( - 4 )2 = 16

2 3.

4 ± 2V1Ô

4 ± 2 V /K) ^ + 2 V ÎÔ

^ 2

V lO

4 ±V I 0 2

2

4 ± 2 Vio" ^ 2(2 ±VlO) = 2 - V io

R esuelvax 2 — | = —3jc m ediante el uso de la fórm ula cuadrática. O btenga la respuesta en la form a radical m ás sim ple.

Uso de la fórm ula cuadrática con una calculadora Resuelva 5.37x2 — b.03x + 1 .1 7 = 0 usando la calculadora, con dos cifras decim ales.

66

1


Solución

5.37a2 - 6.03a + 1.17 = 0 6 .0 3 ±

V ( —6 .Q 3 )2

-

4 ( 5 .3 7 )( 1 .1 7 )

2 ( 5 .3 7 ) = 0 .2 5 , 0 .8 7


Resuelva

2 . 7 9 x 2 + 5 . 0 7 a: -

7 .6 9 = 0

usando una calculadora, con dos cifras decim ales.

Se concluye esta parte de la expresión, haciendo notar que b 2 - 4ac en la fórm ula cuadrática se denom ina d isc rim in a n te y proporciona inform ación útil acerca de las raíces correspondientes, com o se m uestra en la tabla 1.

_ _ — |— .—

----------|— --------------

TABLA 1

Discriminante y raíces Discriminante b2 — 4ac

Raíces de ax2 + bx + c = 0 a, b y c son números reales, a ¥*

Positivo

Dos raíces reales distintas

0

Una raíz real (una raíz doble)

Negativo

Dos raíces imaginarias, una es el conjugado de la otra

0

Por ejem plo: (A) 2x2 — 3x — 4 = 0 tiene dos raíces reales, ya que b2 - 4ac = ( —3)2 - 4(2)(—4) - 41 > 0 (B)

4x2 — 4a

+ 1 = 0 tiene una raíz real (doble), ya que b2 - 4ac =

(-4 )2 -

4 (4 )(1 )

= 0

(C) 2x2 — 3x + 4 = 0 tiene dos raíces im aginarias, ya que b2 - 4 ac =

• Aplicaciones

(-3 )2 -

4 (2 )(4 )

=

-2 3

< 0

A hora considere algunas aplicaciones en las que se em pleen ecuaciones cuadráticas. Pri m ero, la estrategia p ara resolver problem as con literales, presentada en la secci ón 1- 1, se repite a continuación.

Estrategia para resolver problemas con literales 1.

Lea el problem a cuidadosam ente ( varias veces si es necesario), hasta com prender con claridad qué es lo que busca y con qué inform ación cuenta.

1-6

3.

67


Si lo considera adecuado, dibuje figuras o diagram as y m arque las partes conocidas y las incógnitas.

.

idas con las incógnitas.

B usque fórm ulas que relacionen ]

..

.

.

isconocidas con las mif tílli llllS iil!

el problema. 7.

EJEMPLO 7

C om pruebe e interprete todas las soluciones en térm inos del problem a origi nal (no sólo la ecuación que se encontró en el paso 5), ya que se pudo haber com etido un error en el establecim iento de la ecuación en el paso 5.

Establecimiento y solución de un problema con literales L a sum a de un núm ero y su recíproco es j . Encuentre esos núm eros.

Solución

Sea x = núm ero; entonces: 1 13 JC + - - — x 6 i-------------------------------------- j '

\v \x + 6 .v )- =

!

Multiplique ambos lados por 6x. [Nota: x * 0.]

! x 6 \ i_________________________ i frt 2 + 6 = 13.v

Una ecuación cuadrática

6 r - 13jc -H 6 = 0 (2 a - -

3)(3x - 2)

=

0

2jc — 3 = 0

o

3a: — 2 = 0 xx

xr -— 2

=

2-i

Es decir, los dos núm eros son \ y §. Comprobación

3 , 2 _ 13 2 3 6

2 . 3

_13 £

La sum a de dos núm eros es 23 y su producto es 132. Encuentre los dos núm eros. [Suge rencia: Si un núm ero es x, entonces el otro núm ero es 23 — x.]

68

1


EJEMPLO 8

Un problema de distancia, rapidez y tiempo A una lancha para excursiones le tom a 1.6 horas hacer un viaje de ida y vuelta 36 millas aguas arriba. Si la rapidez de la corriente es de 4 m illas por hora, ¿cuál es la rapidez de la lancha en aguas tranquilas?

Solución

Sea x = Rapidez de la lancha en aguas tranquilas x + 4 = Rapidez con la corriente a favor x — 4 = R apidez a contracorriente / Tiem po a \ _ 1contracorriente I

/ Tiem po con la \ _ j , 1 corriente a favor I

36

36

x - 4

x + 4

36(* + 4) - 36(x

-

= 1.6 4) = l.6(x

36* + 144 - 36a + 144

D T = —, x ± 4 , x ^ - 4 R - 4)(x + 4)

= 1.6.Y2 -

25.6

1.6a2 = 313.6 x2 = 196 a

=

V l9 6

14

=

L a rapidez en aguas tranquilas es de 14 m illas por hora.

[Nota: —V i 96 = —14 debe ser descartada, ya que en este problem a no tiene sentido obtener com o solución una rapidez negativa.] Comprobación

Tiem po a contracorriente = — = — —— = 3.6 R 1 4 -4 Tiem po con la corriente a favor

^ R

14 + 4 1 .6


b

Diferencias de tiempos

D os lanchas viajan en ángulos rectos uno con respecto al otro y arriban a un m uelle al m ism o tiem po. U na hora antes están separadas 25 m illas. Si una de las lanchas viaja 5 m illas p o r hora m ás rápido que la otra, ¿cuál es la rapidez a la que viaja la segunda? [Sugerencia: Use el teorem a de Pitágoras,* recuerde que a distancias iguales tiem pos iguales.]

* Teorema de Pitágoras: Un triángulo es rectángulo si y sólo si el cuadrado de la longitud del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos lados más cortos: c2 = a2 + b2.

1-6

EJEMPLO 9


69

Un problema de cantidad, rapidez y tiempo U na nóm ina se puede term inar en 4 horas trabajando en dos com putadoras sim ultánea m ente. ¿C uántas horas serán necesarias para que cada com putadora term ine sola si el m odelo viejo se tarda 3 horas m ás que el nuevo? Calcule la respuesta con dos cifras decim ales.

Solución

Sea x = Tiem po que tarda el nuevo m odelo en term inar solo la nóm ina x + 3 = Tiem po que tarda en term inar la nóm ina solo el m odelo viejo 4 = Tiempo en que term inan la nóm ina am bas com putadoras trabajando juntas

Entonces,

1 — = R apidez del m odelo nuevo

^

= R apidez del m odelo viejo

Parte del \ trabajo term inada \ p o r el m odelo I + nuevo en 4 horas J

-(4 ) x

+

i

+

x

1

Termina — de la nómina por hora

Termina — ^— de la nómina por hora

/ Parte del \ [trabajo term inada! I por el m odelo I = 1 trabajo com pleto y vie jo en 4 horas J

— (4) x + 3

=1

x*o, x * -3

« x + 3 4(x + 3) +

4x = x(x + 3) Multiplique ambos lados por x(x+ 3).

4„y + 12 +

4x = x 2 + 3x

x 2 — 5x —

12= 0 X

=

5

± V 73 2

5

+ V 73

x = -----------«=6.77 2

„ x + 3 = 9.77

5 - V73

---- ----- «»-1.77 2

se descarta, puesto que x no puede ser negativa,

El m odelo nuevo term inaría la nóm ina en 6.77 horas trabajando sola, y el m odelo viejo la term inaría en 9.77 horas.

70

1


Comprobación

g 77 W + ^

(4)

1

1.000 259

1

//o ía : N o espere que la com probación sea exacta, ya que las respuestas se redondearon a dos cifras decim ales. U na com probación exacta sólo se produciría usando x = (5 + V 7 3 )/2 . Esto últim o se deja al lector.


D os carteros pueden entregar la correspondencia en 3 horas cuando trabajan juntos. Uno puede term inar el trabajo 2 horas m ás rápido que el otro. ¿Cuánto tiem po le tom a a uno entregar la correspondencia? Calcule las respuestas con dos cifras decim ales.

Respuestas a los problemas seleccionados 1. (A) x = - 4 . |

(B) x =

—5

(una raíz doble)

(C) x = 0, §

2. (A) x = ± V | o ± V Í 5 /3 (B) x = ± 2 i (C) x = ( - 1 ± V 2)/3 3. (A) x 2 - 5x + f = (x - |)2 (B) x 3 + mx + (m2/4> = [x + [m ¡2)f

4. (A) x = - 4 ± V Í 9 6.

EJERCICIO

1 -6

x = —2.80, 0.98

(B) x = ( 6 ± iV 3)/3 o 2 ± (V 3/3)/ 7. 11 y 12 8 . 15 y 20 millas por hora

5. x = ( - 3 ± V Í9)/2 9. 5.16y 7.I6horas

Exprese todas las respuestas que implican radicales en una forma radical simplificada, a menos que se establezca lo contrario.

B

2. 3A2 = -1 2 A

En los problemas del 27 al 34, resuelva completando el cuadrado. 27. x 2 - 6x - 3 = 0

28. y 2 - lOy - 3 = 0

5. 1Ix = 2x2 + 12

29. 2y2 — 6y + 3 = 0

30. 2d2 - Ad + 1 = 0

31. 3X2 — 2x — 2 = 0

32. 3X2 + 5x - 4 = 0

33. x 2 + mx + n = 0

34. ax2 + bx + c = 0, a ¥= 1

K

4. lóx2 + 8x = -1

S5 II

3. 9y2 = 12y - 4

Ov OC 1

II

00

En los problemas del 1 al 6, resuelva por factorización.

En los problemas del 7 al 18, resuelva usando la propiedad de raíz cuadrada. 7. m2 - 12 = 0

8. y 2 - 45 = 0

9. x 2 + 25 = 0

10. x 2 + 16 = 0

En los problemas del 35 al 52. resuelva por cualquier método.

11. 9y2 - 1 6 = 0

12. 4.Ï2 - 9 = 0

35. 12x- + 7x = 10

36. 9x2 + 9x = 4

13. 4x2 + 25 = 0

14. 16a2 + 9 = 0

37. (2y - 3)2 = 5

38. (3m + 2)2 = - 4

15. (n + 5)2 = 9

16. (m - 3)2 = 25

39. x 2 = 3x + 1

40. x 2 + 2x = 2

17. (d - 3)2 = - 4

18. (t + l )2 = - 9

41. 7«2 = —4n

42. 8u2 + 3« = 0

En los problemas del 19 al 26, resuelva usando la fórmula cuadrática. 19. x2 - lOx - 3 = 0

20. x2 —6x —3 = 0

21. x2 + 8 = 4x

22. y2 + 3 = 2y

23. 2x2 + 1 = 4x

24. 2m 2 + 3 = 6m

25. Sx2 + 2 = 2x

26. 7X2 + 6x + 4 = 0

2

8 4 43. 1 + 4 = -

jr

24

45. 10

47.

+ m 2

x —2

+ 1 4 x —3

3

44. - = — + 1 u u

x

24 10- m 1 x+ 1

1.2

1.2

46. ------- + — = 1 y- 1 y 48.

x —1

x+ 3

x —2

1-6

_

75. Demuestre que si y t\ son dos raíces de ax2 + bx + c = 0, entonces /y , = cía

2x - 3 a- +

2

51. |3w - 2| = u2

71

¿Puede una ecuación cuadrática con coeficientes reales tener una raíz real y una imaginaria? Explique.

„ x+ 2 x2 a —1 49. - - -r---- - = 1 + 3 a2 - 9 3 —x 11 a+ 3 " -r — 4 2 - a


76. Para r, y r2 en el problema 75, demuestre que r { + r2 = —bia

52. ¡12 + 7a| = a2

£>¡ /o.? problemas del 53 al 56, despeje para la variable indica da en términos de las otras variables. Use sólo la raíz cuadra da positiva. 53. s = | gt2para t

54.a2 + b2 = c2para a

55. P = E l - RI2 para I

56. A = P(1 + r)2

± V (b 2 - 4ac)/4ai

para r

Resuelva los problemas del 57 al 60 para obtener dos cifras decimales, use una calculadora. 57. 2.07a2 - 3.79a + 1.34 = 0 58. 0.6 1a2 - 4.28a + 2.93 = 0 59. 4.83a2 + 2.04a - 3.18 = 0 60. 5.13a2 + 7.27a - 4.32 = 0 Considere la ecuación cuadrática a2 +

En una etapa de la deducción de la fórmula cuadrática, reemplace la expresión

- V ¿>2 — 4ac/2a ¿Cuál es la justificación para usar 2a en lugar de |2«|? Encuentre el error en la siguiente “prueba” de que dos números arbitrarios son iguales entre sí: Suponga que a y b son números arbitrarios tales que a + b. Entonces (a - b)2 = a2 - lab + b2 = b2 — 2ab + a2 (a - b f = (b ~ a)2

4a + c = 0

a —b = b - a donde c es un número real. Analice la relación entre los valores de c y los tres tipos de raíces enumerados en la tabla l.

2a = 2b a= b

Considere la ecuación cuadrática a2

-

2a + c = 0

donde c es un número real. Analice la relación entre los valores de c y los tres tipos de raíces enumerados en la tabla 1. Use el discriminante para determinar si las ecuaciones en los problemas del 63 al 66 tienen soluciones reales. 63. 0.0134a2 + 0.0414a + 0.0304 = 0 64. 0.543a2 - 0.1 82a + 0.003 12 = 0

66. 0.543a2 - 0.182x + 0.0312 = 0

69.

a2

+ 2/a = 3

- 4V3

68.

2V2a

+ V3

= V 3*2

70. x2 = 2ix - 3

En los problemas 71 y 72,encuentre todas las soluciones. 71. a3 - 1 = 0

72.

79. Números. Encuentre dos números tales que su suma sea 21 y su producto 104. 80. Números. Encuentre todos los números que tengan la propiedad de que cuando el número se suma a sí mismo el resultado de la suma sea igual que cuando el número se multiplica por sí mismo.

82. Números. La suma de un número y su recíproco es y. Encuentre el número.

Resuelva los problemas del 67 al 70 y deje las respuestas en la forma de radical simplificada (i es la unidad imaginaria) 8V2a

^

81. Números. Encuentre dos números consecutivos positivos enteros pares cuyo producto sea 168.

65. 0.0134a2 + 0.0214a + 0.0304 = 0

67. V I* 2 =

APLICACIONES

a" - 1 = 0

¿Puede una ecuación cuadrática con coeficientes racionales tener una raíz racional y una irracional? Explique.

83. Geometría. Si la longitud y el ancho de un rectángulo de 4 por 2 pulgadas se aumentan en la misma cantidad cada una, el área del nuevo rectángulo será dos veces el área original. ¿Cuáles serán las dimensiones del rectángulo (con dos cifras decimales)? 84. Geometría. Encuentre la base b y la altara h de un triángulo cuya área es de 2 pies cuadrados si su base es 3 pies más larga que su altura y la fórmula para el área es A = kbh. 85. Negocios. Si se invierte $P a una tasa anual de interés r, después de 2 años la cantidad será A = P( 1 + r ). ¿A qué tasa de interés los SI 000 aumentarán a $1 400 en 2 años? [Nota: A = SI 440 y P = $1 000.]

1-7

vO

CO

5 2

Fábrica A

5 2 ? ? ?

Fábrica B

5 2 9 3 7

Bodega

5 3 0 0 2

73

emergencia y estacionamiento para espectadores, el área de la pista debe medir 100 000 pies cuadrados. Encuentre la longitud de las carreteras y el diámetro de los semi círculos que más aproximen. [Recuerde: El área A y la circunferencia C de un círculo de diámetro d están dados por A = TLd2/4 y C = Kd.]

Lecturas del odómetro Bodega

Ecuaciones reducibles a forma cuadrática

96. Construcción. Una pista de carreras de j de milla está formada por dos semicírculos unidos por carreteras rectas paralelas (véase la figura). Con el fin de proporcionar suficiente espacio para el equipo de servicio, vehículos de

s e c c ió n

1-7 I "/

Ecuaciones reducibles a la forma cuadratica E cuaciones que im plican radicales Ecuaciones que im plican exponentes racionales

Al resolver una ecuación que im plica un radical com o

„_____

im plican radicales

x = V x T i parece que se puede elim inar al radical elevando al cuadrado cada lado, para después proceder a resolver la ecuación cuadrática resultante. En consecuencia, .y2 =

(V x

2Ÿ

+

x1 = x + 2 xr — x - 2 = 0 (x - 2)(x + 1) = 0 x = 2, - 1 Después se com prueban estos resultados en la ecuación original Com probación: x = 2 a-

= Vx + 2 = V

+2

Com probación: x = —1 Vx + 2 -1 = V

2±V 4

-1 = VT

2

- 1 =M

=

2

+2

Así, 2 es una solución, pero - 1 no lo es. Estos resultados son un caso especial del teorem a 1.

74

1


Teorema 1

Si am bos lados de una ecuación están elevados al cuadrado, entonces el conjunto solución de la ecuación original es un subconjunto del conjunto solución de la nueva ecuación.

*7 /

o y -5. xC rf ‘ o

<¡ / t ’ .<3

í

La operación de elevar al cuadrado en las ecuaciones

Ecuación x= 3 x2 = 9

' é<. V ’.

o

Conjunto solución {3} {- 3 , 3}

Este teorem a proporciona un m étodo para resolver algunas ecuaciones que im pli can radicales. Es im portante recordar que cualquier ecuación nueva obtenida al extraer la raíz de am bos m iem bros de una ecuación elevados a la m ism a potencia puede tener soluciones, que se conocen com o soluciones e x tra ñ a s; es decir, que no son soluciones de la ecuación original. Por otra parte cualquier solución de la ecuación original debe estar entre las soluciones de la nueva ecuación.

~~a> ^ '-'Cf.-

C ada solución de la nueva ecuación debe ser com probada en la ecuación original para elim inar soluciones extrañas.


A l elevar am bos lados de las ecuaciones x = y / x y x = —\ / x se produce la nueva ecu ació n x 2 = x. E ncuentre las soluciones de la nueva ecuación y después com prue be cada una de las soluciones extrañas en la ecuación original.

4 v

PRECAUCIÓN ,

R ecuerde que V 9 representa la raíz cuadrada p o sitiva de 9 y —V 9 representa la raíz cuadrada negativa de 9. Es correcto usar el sím bolo ± para com binar estas dos raíces cuando se esté resolviendo una ecuación:

y, _

x2 = 9

im plica

x = ±V 9~= ±3

Pero es incorrecto usar ± cuando se evalúa la raíz cuadrada positiva de un núm ero: V 9 + ±3

EJEMPLO

V9 =3

Solución de ecuaciones que implican radicales Resuelva: (A) x + V x - 4 = 4

Soluciones

(A)

(B) V 2 x + 3 - V x - 2 = 2

x 4- V x — 4 = 4 V x — 4 = 4 —x x — 4 = 16 — 8x + x2

Se aísla al radical en un solo lado, Elevando al cuadrado ambos lados.

1-7


75

x 2 - 9x + 20 = 0 (x - 5)(x - 4) = 0 x = 5 ,4 Comprobación

x = 5

x = 4

x + V x —4 = 4

x + Vx - 4 = 4

5+ V 5 - 4 ¿ 4

4 + V4 - 4 = 4

6

4

4 = 4

Esto m uestra que 4 es una solución de la ecuación original y 5 es una solución extraña. Es decir, x = 4

Es la única solución

(B) Para resolver una ecuación que contenga m ás de un radical, se debe despejar al radical en un solo lado y elevar alcuadrado am bos lados para elim inar alradical despejado. Se repite este proceso hasta elim inar todos los radicales.

V 2x + 3 - V x - 2 = 2 V 2x + 3 = V x — 2 + 2

Aísle uno de los dos radicales. Eleve al cuadrado ambos lados,

2x + 3= x — 2 + 4 V x — 2 + 4 x + 1= 4 V x — 2

Aísle al radical restante. Eleve al cuadrado ambos lados.

x 2 + 2x + l — 16(x — 2) x 2 — 14x + 33

= 0

( x - 3)(x — 11) = 0 x = 3,11 Comprobación

x = 3

x = 11

V 2x + 3 - V x - 2 = 2 V 2 (3 ) + 3 - V J ^ 2 & 2

V 2x + 3 — V x — 2 = 2 V 2( i i ) + 3 -

2=2

2=2

A m bas soluciones se com prueban. Por consiguiente, x = 3, 11


Son las dos soluciones

Resuelva: (A) x - 5 = V r ^ 7 !

¿ 2

(B) V 2 x + 5 + V x T I = 5

76

1


PRECAUCIÓN

C uando se eleva al cuadrado una expresión com o V x - 2 + 2, hay que asegurar se de aplicar correctam ente la fórm ula para elevar al cuadrado la sum a de dos térm inos (véase sección A-2): (u + v)2 =

u2

2 uv

+

+

v2

( V x - 2 + 2)2 = ( V x - 2)2 + 2 ( V ¡ r r 2)(2) + (2)2 = x - 2 + 4Ve - 2 + 4 No om ita el térm ino m edio en este producto: (V x — 2 + 2)2

• Ecuaciones que im plican exponentes racionales

x —2 + 4

Para resolver la ecuación x 2/3 - x 1/3 - 6 = 0 escriba esta ecuación en la form a (*1/3)2 _ x m - 6

= o

A hora se puede reconocer que la ecuación es cuadrática e n x 1;'3. A sí, se resuelve prim ero para x 1/3 y después se resuelve para x. Se puede resolver directam ente la ecuación o hacer la sustitución u = x 13, resolver para u y después resolver para x. A m bos m étodos de solución se m uestran en seguida. M étodo I.

Solución directa: (x>/3)2 _ x \n _ 6 = o (xI/3 - 3)(xI/3 + 2) = 0 x ,/3 = 3 o i--------------------- 1 { (x1/3)3 = 33 ¡ i______________i

Factorice el lado izquierdo. x 1/3= - 2 i------------------------- 1 ¡ (x1/3)3 = ( —2)3 j Eleve al cubo ambos lados, i------------------------- 1

x - 21

x = —8

C onjunto solución: { - 8, 27} M étodo II. Usando sustitución: Sea u = x 1'3, resuelva para u y después resuelva para x. u2 — u - 6 = 0 (« — 3)(h + 2) = 0 u = 3, —2 R eem place u con x 1/3, para obtener x 'fí = 3 x = 27 Conjunto solución: { —8, 27}

o

x 1/3 = —2 x = —8

1-7

77


En general, si una ecuación que no es cuadrática se puede transform ar a la form a aü2 + bu + c = 0 donde u es una expresión de alguna otra variable, entonces la ecuación se llam a fo rm a c u a d rá tic a . U na vez que se ha reconocido com o una form a cuadrática, una ecuación a m enudo se puede resolver usando los m étodos cuadráticos.


¿C uáles de las siguientes ecuaciones se pueden transform ar en una form a cuadrática haciendo una sustitución de la form a u = jc"? ( A) 3x~4 + 2x~2 + 7 (C) 2.x5 + 4 x V x - 6

(B) 7x5 - Sx2 + 3 (D) 8x zy / x - 5x~l\ / x - 2

E n general, si a, b, c, m y n son núm eros reales diferentes de cero, ¿cuándo puede una expresión de la form a axf' + bx" + c transform arse a una form a cuadrática?

Solución de formas cuadráticas R esuelva tanto com o le sea posible usando las técnicas desarrolladas hasta este punto. (A lgunas ecuaciones pueden tener más soluciones im aginarias que no podría encontrar sin un estudio m ás profundo de la teoría de ecuaciones.) (A ) x IU + 6x5 - 16 = 0 (B) 3x-4 + 6x ~2 — 1 = 0 Soluciones

(Encuentre todas las resoluciones reales.)

(A) P a ra x 10 + 6x5 — 16 = 0, sea u = x 5 y resuelva: u2+

6u — 16 = 0

(u + 8)(íí — 2) = 0 u = - 8, 2 Así que, x5 = —8 X = V —8 = — V 8

o

x5 = 2 x = ^ /2

Nota: x 4- (28)í y x

2s.

Dos soluciones son —V 8 y \ / 2 . En el capítulo 3 se verá que hay otras ocho soluciones. (B) La ecuación 3x“4 + 6x 2 — 1 = 0 es cuadrática en x~2, así se puede resolver prim ero x~ 2 y después x. Sin em bargo, es preferible prim ero convertir la ecuación en una que im plique exponentes positivos. Para hacer esto se m ultiplican am bos lados p o r x4, x # 0 : 3x~4 + 6x ~2 - 1 = 0 3 + 6x~ — x4 = 0 (x2)2 — 6x2— 3 = 0

Multiplique ambos lados por x4, x i= 0 Cuadrática

en xJ

78

1


El lado izquierdo no se puede factorizar usando coeficientes enteros, así que se debe resolver x2 usando la fórm ula cuadrática:

x2 =

6 ± V 3 6 - 4(1)(—3) 2

x2 = 3 ± 2 V 3 ± V 3 ± 2V 3

Puesto que 3 — 2 \ / 3 es negativo y conduce a raíces im aginarias, se debe descartar (sólo se están buscando todas las raíces reales). Es decir, x = ± V 3 + 2 \/3


Resuelva hasta donde le sea posible usando las técnicas que se han desarrollado hasta aquí. (A) (C)

EJEMPLO 3

Dos raíces reales

x2"3 - x m - 1 2 = 0 (B) x4 - 5x2 + 4 = 0 3x-4 = 1 — I Ox”2 (E ncuentre todas las soluciones reales.)

Plantee y resuelva un problema con literales La diagonal de un rectángulo es de 10 pulgadas, y el área es de 45 pulgadas cuadradas. Encuentre las dim ensiones del rectángulo correcto con una cifra decimal.

Solución

D ibuje un rectángulo y etiquete las dim ensiones com o se m uestra en la figura 1. A p artir del teorem a de Pitágoras, x 2 + y 2 = 102 Es decir, y = V100 - x2

x FIGURA 1

Ya que el área del rectángulo está dada por xy, se tiene x V 100 — x 2= 45

Área del rectángulo

x 2(100 — x 2) = 2 025

Eleve al cuadrado ambos lados.

100x2 - x 4= 2 025 (x2)2 , r

lOOx2 + 2 025

= 0

Cuadrática en x2

100 ± V'IOO2 - 4(1 )(2 025) ~

2

x2 = 50 ± 5 V l 9 x = V 5 0 ± 5 V 'l9

Descarte las soluciones negativas, ya que x > 0.

1-7

Ecuaciones reducibies a rorma cuaaratica

/7

Si x = V 5 0 + 5 v T 9 »=8.5, entonces y = V I 00 - x2 = VlOO - (50 + 5 V I9 ) = V 5 0 - 5 V l 9 - 5.3 Así, las dim ensiones del rectángulo con una cifra decimal son 8.5 por 5.3 pulgadas. O bserve que s ix = V 5 0 — 5 V 1 9 , entonces y = V 5 0 + '5 \7 í9 , y las dim ensiones aún son 8.5 p o r 5.3 pulgadas. Comprobación

Área: D iagonal:

(8.5)(5.3) = 45.05 ~ 45 V 8 .5 2 + 5.32 = V 100.34 « 10

Nota: Se puede obtener una com probación exacta u s a n d o ^ 50 — 19 yV 50 + $ / 19 en lugar de estas aproxim aciones decim ales. Esto se deja com o ejercicio al lector.


Si el área de un triángulo rectángulo es de 24 pulgadas cuadradas y la hipotenusa es de 12 pulgadas, encuentre las longitudes de los lados del triángulo correcto con una cifra decim al.

Respuestas a los problemas seleccionados 1. (A) jc = 7 (B) x = 2 2. (A) x = 64, - 2 7 (B) x = ± 1, ± 2 3. 11.2 pulgadas por 4.3 pulgadas

(C) x = ± V 5 + 2 V 7 (dos raíces reales)

EJERCICIO

A m en o s q u e s e se ñ a le lo con trario, en cu en tre to d a s la s p o s ib le s so lu c io n e s p o r la s té c n ic a s q u e s e han d e sa rr o lla d o h a sta aqu í:

1

II

11. x 10 + 3X5 - 10 = 0 13. 2jM + 3* 1/3- 2 = 0

+

Vx

O

1

00

1

cn‘

-t-

9.

+

II

6.

+

8. V 3h' - 2 - Vtv 10.

a4

12.

a 10 -

2a ) 2

“

(* 2

+

=

2a )

=

6

17.

V « - 2 = 2 + V 2u + 3

18.

V 37T4 + V t = - 3

19.

V3y - 2 = 3 - V3v + 1 -

4

=

2

( 2J> V 7 a - 2 - V x + 1 = V 3

7

22. V3 a +

O

5. V a + 5 + 7 = 0

>

4. m - 13 = V m

en

3. V 5 n + 9 = n - 1

7. V3.í + 4 = 2

16- (x 2 +

20. V lv - 1 - V a

(N

II en 1

£

2.

en II

in

+

1.

___________________________

g

2

- 7x2 - 1 8 = 0 7a5 - 8 = 0

14. j “ - 3a-w - 10 = 0

6 -

Vx

+

4

=

V2

23. 3/7 2 - 1 1 « - ' - 20 = 0

24.

25. 9v-4 - 10y"2 + 1 = 0

26. 4a ~4 -- 17a"2 + 4 = 0

27. yl/2 _• 3y "4 + 2 = 0

28. 4a" 1 -- 9a- 1/2+ 2 = 0

29. ( m - 5)4 + 36 = 13(m - 5)2

6 a 2 --

5x-1 -- 6 = 0

80

1


c _________________________ 31. V 5 - 2*' - V a-+ 6 = V x + 3 32. V l r + 3 - V .v - 2 = V 7 T T 33. 2 + 3y"4 = 6y~2

(Encuentre todas las raíces)

34. 4m~2 = 2 + m~4

(Encuentre todas las raíces)

*41. Construcción. Una artesa para agua está construida con una placa rectangular de metal de 4 por 6 pies, con los extremos doblados de tal forma que al unirse entre sí exactamente enmedio del rectángulo, forman un triángulo en cada lado (véase la figura). Si el volumen de la artesa es de 9 pies cúbicos, encuentre el ancho correcto con dos cifras decimales.

Resuelva los problemas del 35 al 38 de dos formas: por eleva ción al cuadrado y por sustitución. 35. m - l \ / m + 12 = 0

36. y — 6 + V y = 0

37. t - l l V f + 18 = 0

38. x = 15 — 2 \fx


39. Fabricación. Un aserradero corta rectángulos de un tronco (véase la figura). Si el diámetro del tronco mide 16 pulgadas y el área de la sección transversal de la viga 120 pulga das cuadradas, encuentre las dimensiones de la sección transversal de la viga correcta con una cifra decimal.

40. Diseño. Una compañía procesadora de alimentos empaca un lote de sus productos en latas rendondas de metal con un diám etro de 12 pulgadas. Se usan cuatro cajas rectangulares de idéntico tamaño para dividir la lata en ocho compartimentos (véase la figura). Si el área de la sección transversal de cada caja es de 15 pulgadas cuadradas, encuentre las dimensiones correctas de las cajas con una cifra decimal.

* 42. Diseño. Un cono de papel para beber agua, con la forma de un cono circular está formado por 125 centímetros cuadrados de papel (véase la figura). Si la altura del cono es de 10 centímetros, encuentre el radio correcto con dos cifras decimales.

Superficie lateral del área:

5 = itrVr2 + h2

43. O ferta y demanda. La oferta semanal y las ecuaciones de demanda para una cierta marca de teléfonos están dadas por p = 14 + 0.01
Ecuación de oferta

p = 50 - 0.5V <7


donde q es el número de teléfonos y Sp es el precio. Encuentre el precio de equilibrio y la cantidad equilibrio.

1-8

SECCION

1-8

Desigualdades polinomiales y racionales

81

Desigualdades polinomiales y racionales D esigualdades polinom iales D esigualdades racionales

En esta sección se resolverán las desigualdades polinom iales sim ples y las desigualda des racionales de la form a

2 .r - 3.v - 4 < 0

A un cuando el análisis se ha lim itado a desigualdades cuadráticas y racionales con num eradores y denom inadores de grado 2 o m enores (en seguida podrá ver por qué), la teoría presentada se aplica a desigualdades polinom iales y racionales en general. En el capítulo 3, con una teoría adicional, podrá usar los m étodos ahí desarrollados para resolver desigualdades polinom iales y racionales de naturaleza más general. El proceso tam bién (con sólo ligeras m odificaciones en los teorem as principales) es aplicable a las otras form as encontradas en cálculo. ¿Por qué el interés en resolver desigualdades? La m ayoría de las aplicaciones im portantes de las m atem áticas im plican más el uso de desigualdades que de igualdades. En el m undo real pocas cosas son exactas.

Sabem os cóm o resolver desigualdades lineales como

polinomiales 3x - 7 > 5(x - 2) + 3 ¿Pero cóm o resolver desigualdades cuadráticas (o de polinom ios de m ayor grado) como las que se dan en seguida? x 2 + 2,v < 8

(1)

Prim ero se escribe la desigualdad en la form a estándar; es decir, se transfieren todos los térm inos diferentes de 0 al lado izquierdo, dejando sólo al 0 en el lado dere cho: x 2 + 2x — 8 < 0

Forma estándar

(2 )

En este ejem plo, se está buscando valores de x que hagan que la cuadrática del lado izquierdo sea m enor que 0, es decir, que sea negativa. El teorem a siguiente proporciona la base para resolver de m anera efectiva este problem a. El teorem a 1 em plea en forma directa raíces reales de los polinom ios en el lado izquierdo de la desigualdad (2). Las raíces reales de los polinom ios son aquellos núm eros reales que hacen que el polinom io sea igual a 0 , es decir, las raíces reales de la ecuación polinom ial correspondiente. Si un polinom io tiene una o más raíces reales, entonces se dibujan estas raíces en una recta num érica real dividiendo a la recta en dos o m ás intervalos.

82

1


Teorema 1

Signo de un polinomio en una recta numérica real Un polinom io diferente de 0, tendrá un signo constante (ya sea siem pre positivo o siem pre negativo) dentro de cada intervalo determ inado por sus raíces reales di bujadas en una recta num érica. Si un polinom io no tiene raíces reales, entonces el polinom io puede ser positivo sobre toda la recta num érica real, o negativa sobre toda la recta num érica real.

A hora se term ina la solución de la desigualdad (1) usando el teorem a 1. Después de escribir ( 1) en la form a estándar, com o se hizo en la desigualdad (2), encontram os a las raíces reales del polinom io del lado izquierdo al resolver la correspondiente ecua ción polinom ial: x 2 + 2x — 8 = 0

Puede ser resuelta por factorización

(x - 2)(* + 4) = 0 x = —4 ,2

(-« , -4 )

( -4 , 2)

-A

(2, °°) 2

Raíces reales de .v2 + 2x -

8.

Raíces reales del polinomio x2 + 2x - 8

Después, se dibujan las raíces reales, - 4 y 2, sobre una recta num érica (figura 1) y se observa que se determ inan tres intervalos ( —®, —4), ( —4, 2) y (2 , <*>). A partir del teorem a 1 se sabe que el polinom io tiene signo constante en cada uno de los tres intervalos. Si se selecciona un núm ero de prueba en cada intervalo y se evalúa al polinom io en ese núm ero, entonces el signo del polinom io en este núm ero de prueba debe ser el signo para todo el intervalo. Puesto que cualquier núm ero den tro de un intervalo se puede usar com o núm ero de prueba, generalm ente elegim os nú m eros de prueba que sean fáciles de calcular. En este ejem plo se eligieron —5 ,0 y 3. La tabla 1 m uestra los cálculos.

TABLA 1 Número de prueba

-5

0

3

Valor del polinomio para cada número de prueba

7

-8

7

Signo del polinomio en el intervalo que contiene al número de prueba'

+

—

+

{ -» , -4 )

( - 4 , 2)

(2,
Intervalo que contiene al número de prueba

(~=°, -4)

(-4 , 2)

(2,»)

----------- ► FiGUR/ Cuadro de signos para.t2 + 2x — 8 .

FIGURA 3 x 2 + 2x < 8.

Solución de

U sando la inform ación de la tabla 1, construim os un cuadro de signos para el polinom io, com o se m uestra en la figura 2 . Es decir, x 2 + 2x — 8 es negativo en el intervalo ( —4, 2), y se puede resolver la desigualdad. L a solución y gráfica se m uestran en seguida y en la figura 3. -4 < x < 2


( - 4 , 2)

Notación de intervalos

N ota: Si se hubiera usado < en el problem a original en lugar de s , entonces se podría haber incluido a las raíces del polinom io en el conjunto solución. Los pasos para el proceso anterior se resum en en el cuadro siguiente:

1-8


83

Pasos a seguir para la solución de desigualdades polinomiales Escriba la desigualdad polinom ial en la form a estándar (es decir, una form a donde el lado derecho está igualado a 0). Encuentre todos las raíces reales del polinom io (el lado izquierdo de la form a estándar). G rafique las raíces reales en una recta num érica, y divida ésta en interva los. E lija una prueba num érica (que sea fácil de calcular) en cada intervalo, y evalúe el polinom io para cada núm ero (es útil hacer una pequeña tabla). U se los resultados del paso 4 para construir un cuadro de signos en don de se m uestre el signo del polinom io en cada intervalo. A partir del cuadro de signos, escriba abajo la solución de la desigualdad polinom ial original (y dibuje la gráfica si se requiere).

Con un poco de experiencia, se pueden com binar varios de los pasos m encionados antes y en el proceso agrupar a dos o tres pasos clave de operación. La parte crítica del m étodo es el paso 2, encontrar todas las raíces reales del polinom io. En este punto se pueden encontrar todas las raíces reales de cualquier polinom io cuadrático (véase la sección 1-6). Encontrar las raíces reales de los polinom ios de grado m ás alto es m ás difícil, y este proceso se considera en detalle en el capítulo 3.


Se puede resolver una ecuación cuadrática factorizando al polinom io cuadrático e igualando a 0 cada factor, com o se hizo en el ejem plo anterior. ¿Se puede resolver desigualdades cuadráticas de la m ism a m anera? Es decir, ¿se puede resolver (x - 2 )(x + 4) < 0 considerando las desigualdades lineales que im plican a los factores x — 2 y x + 4? A nalice cóm o se puede llegar a la solución correcta de —4 < x < 2, considerando las diferentes com binaciones de x —2 < 0

x —2 > 0

x + 4< 0

x + 4>0

Ahora se retom ará una im portante aplicación que im plica a las desigualdades polinom iales.

Análisis de pérdidas y ganancias U na em presa fabrica y vende linternas. Para un m odelo en particular, los departam en tos de m ercadotecnia y finanzas calculan un precio de $p por unidad, el costo sem anal C y los ingresos R (en m illones de dólares) están dados por las ecuaciones C = 7 —p

Ecuación de costo

R = 5p — p 2



E ncuentre los precios (incluya una gráfica) para que la com pañía tom e en cuenta si tiene: (A) U na ganancia Soluciones

(B) Una pérdida

(A) U na ganancia sería el resultado de que el costo fuera m enor que el ingreso, es decir, si C< R 7 - p < 5p - p 2 Se resolverá la desigualdad siguiendo los pasos antes esbozados. Paso 7.

E scriba la desigualdad polinom ial en la form a estándar. p 2 — 6p + 7 < 0

Paso 2.

Forma estándar

Encuentre todas las raíces reales del polinom io.

p 2 - 6p + 1 = 0

6 ± V 3 6 - 28

p = ------------------

F

2

,

Resuelva con la formula cuadratica.

= 3 ± V2 ~ $1.59, $4.41

Paso 3.

Raíces reales del polinomio redondeados al centésimo más cercano.

Dibuje las raíces reales sobre una recta num érica. Las dos raíces reales determ inan tres intervalos: ( —=°, 1.59), (1 .5 9 ,4 .4 1) y (4 .4 1 , oo). (-=c,1.59)

(1.59, 4.41)

$1.59

Paso 4.

(4.41, =c)

$4.41

Elija una prueba num érica en cada intervalo y construya una tabla.

Polinomio: p 1 — 6p + 7 Prueba número

1

2

5

Valor del polinomio para el número de prueba

2

-I

2

Signo del polinomio en el intervalo que contiene al número de prueba

+

-

+

(- » ,1 .5 9 )

(1.59,4.41)

(4.4l,oo)

Intervalos que contienen al número de prueba

Paso 5.

C onstruya un cuadro de signos. (1.59, 4.41)

(4.41,«) ►p Cuadro de signos para p7 - 6p + .7

$1.59

$4.41

1-8

Paso 6.

85


Escriba la solución y dibuje la gráfica. C on referencia al cuadro de signos del polinom io p 2 — 6p + 7 del paso 5 se puede ver que p 1 — 6p + 7 < 0, y la utilidad ocurre cuando (C < R), para

$1.59 R 7 - p > 5p — p 2 Si se escribe la desigualdad polinom ial en la form a estándar, se obtiene la m ism a desigualdad que se obtuvo en el paso 1 del inciso A, excepto que el orden de la de sigualdad está invertido: p 2 — bp + 7 > 0

Forma estándar

Con referencia al cuadro de signos del polinom io p 2 — 6/5 + 7 del paso 5 del inciso A. se puede ver que p 2 — 6p + 7 > 0, y la pérdida ocurre cuando(C > /?), para

/; < S I.59

o

p > S4.41

p

Puesto que un precio negativo no tiene sentido, se debe m odificar este resultado al elim inar cualquier núm ero que esté a la izquierda de 0. Es decir, una pérdida ocu rrirá para los siguientes precios:

S0 S P < Í 1.59

o

p > S 4.41

£

>

+

—

■

P

Las raíces reales no están incluidas, ya que los valores para los cuales R = C", son los valores de e q u ilib rio (sin pérdidas ni ganancias) de la com pañía.

Problem a seleccionado

Una com pañía fabrica y vende cintas para im presoras. Para una cinta en particular los departam entos de m ercadotecnia y de finanzas calculan un precio de Sp por unidad el costo sem anal C y los ingresos R (en m illones de dólares) están dados por las ecua ciones C = 13 — p

Ecuación de costos

R = lp —p 2


Encuentre los precios (incluya una gráfica) para los cuales la com pañía tendrá: (A ) Una ganancia

(B) U na pérdida

86

1


L os pasos para resolver desigualdades polinom iales pueden, con ligeras m odificacio nes, usarse para resolver desigualdades racionales como x —3 „ --------> 0 .v + 5

y 3

. r + 5.v -----------5 - .

Si, después de realizar las operaciones adecuadas en una desigualdad, el lado dere cho es 0 y el lado izquierdo es de la form a PIQ, donde P y O son polinom ios distintos de 0 , entonces se dice que la desigualdad es una desigualdad racional en form a están dar. Cuando las raíces reales (si existen) de los polinom ios P y Q se dibujan en una recta num érica, éstas dividen a la recta en dos o m ás intervalos. El siguiente teorem a, que incluye al teorem a 1 com o un caso especial, proporciona una base para resolver desigualdades racionales de la form a estándar.

Teorema 2

Signo de una expresión racional en una recta numérica real La expresión racional P IQ , donde P y Q son polinom ios distintos de cero, tendrá un signo constante (ya sea siem pre positivo o siem pre negativo) dentro de cada intervalo determ inado por las raíces reales de P y Q dibujadas sobre una recta num érica. Si ni P ni Q tienen raíces reales, entonces la expresión racional PIO puede ser positiva sobre toda la recta num érica real o negativa sobre toda la recta num érica real.

Se ilustrará el uso del teorem a 2 m ediante un ejem plo.

Solución de una desigualdad racional y*2 — 3 Y — 10 R esuelva y grafique: —-------------------- 2 2 1 —x Solución

Se podría intentar com enzando por m ultiplicar am bos lados por 1 — x (com o se haría si la desigualdad fuera una ecuación). Sin em bargo, puesto que no se sabe si 1 - x es positivo o negativo, no se conoce si el orden de la desigualdad se debe cambiar. En lugar de hacer esto se procede de 1a m anera siguiente (se m odifican los pasos para la solución de las desigualdades polinom iales com o sea necesario): Paso 1.

E scriba la desigualdad en la form a estándar. jt2 — 3x — 10 ------------------ > 2 1 —x x 1 — 3.V — 10

------------------- 2 s 0

1 —x

.y2 - 3x - 10 - 2(1 - X) 1 - X

y ? - x - 12 1 —x

> 0

Reste 2 de ambos lados.

Combine el lado izquierdo en una sola fracción. p

Forma estandar: — > 0

Q

1-8

87


El lado izquierdo de la últim a desigualdad es una expresión racional de la form a P/Q , donde P = x 2 - x — 12 y O = 1 — x . El problem a ahora es encontrar todos los valores de x tales que P /Q ^ 0 ; es decir, de tal form a que P /Q sea positiva o 0. Paso 2.

Se encuentran todas las raíces reales de los polinom ios P y Q. - X - 12 = 0

X2

(x + 3 ) ( a- - 4) = 0 x — —3 ,4

Raíces reales para P

1 - x = 0

x = 1

Raíz real para Q

N ota: Las raíces reales para P se encuentran haciendo P/Q igual a 0; así que la parte de igualdad de la desigualdad original se satisface para estas raíces y éstas deben estar incluidas en el conjunto solución final. Por otra parte, puesto que la división entre 0 no se perm ite, P /Q no está definida en las raíces de O. Así, las raíces reales de Q no deben incluirse en el conjunto solución.

-3 )

1

- i

Paso 3.

(4,®)

(1,4)

(-3 ,1 )

4

D ibuje todas las raíces reales para P y O en una recta num érica. Las tres raíces de P y Q determ inan cuatro intervalos: ( —» , —3), ( —3 ,1 ), (1, 4) y (4, oo). O bserve que se usan puntos sólidos en - 3 y 4 para indicar que las raíces de P son parte del conjunto solución. Sin em bargo, se usa un punto abierto com o en 1 para indicar que esta raíz de Q no es parte del conjunto solución. R ecuerde que P /Q no está definido en las raíces de Q.

Paso 4.

Elija u n núm ero de prueba en cada intervalo y construya una tabla.

Expresión racional: ■

x 2 - x - 12

(.v + 3)C* - 4)

1-x

1-x

Número de prueba Valor de P/Q

0

2

5

8

-1 2

10

-2

+

-

+

-

(-=o, - 3 )

( - 3 , 1)

0 ,4 )

(4, »)

5

Signo de P/Q Intervalo

Paso 5.

-4

C onstruya un cuadro de signos.

( - “ , -3 ) -3

(-3 ,1 )

(1,4)

(4, *>) Íffirfuíil

Cuadro de signos para

x2 - x - M

1 - x

88

1


Paso 6.

Escriba la solución y dibuje la gráfica. A partir del cuadro de signos, se puede ver que x 1 - x - 12

a2 - 3x - 10 1- x

- x

1

2

>

para

x — —3

o

1 < x S 4


( —so, —3] U (1, 4]

Notación de intervalo

]------------------- (

<

-3

---------- *X

1

4

1

Resuelva y grafique: 2 —x

x + 4

Respuestas a los problemas seleccionados 1. (A) Utilidades: S2.27 < / ; < S5.73

-e

J2.27

■f

$5.73

2. - 4 < . t S —| ox > 2

(B) Perdidas: SO $5.73

■+P

SO

-

$2.27

$5.73

-i— b

(—4, —f) U (2, »)

EJERCICIO

1 -8

A _________

B

En los problemas del 1 al 14, resuelva y grafique. Exprese las respuestas en forma de desigualdad y en notación de interva los.

En los problemas del 15 al 26 resuelva y grafique. Exprese las respuestas en forma de desigualdad y en notación de interva los.

1. x2 < 10 - 3x

2. x2 + x < 12

3. x2 + 21 > lOx

4. x2 + 7x + 10 > 0

5. x2 s 8x

6. x2 + 6x a 0

7. x2 + 5x < 0

8. x2 < 4x 10. x2 < 9

9. x2 > 4 11.

x —2 x+4

0

x+ 3

12. -----------£ 0 X— 1

3- x x+ 5

14. ------ < 0

t -. x ~ : la

1 6 .4 ^ - S O r + 2x

x —3

17.

(A-+ l )2 x2 + 2x - 3

18.

x2 - x - 12 x2 + 4

19. - < 4 x

20. - > 3 x

„ 3x + 1 , 21. — — 6x

¿Para qué valores reales de x cada expresión de las problemas d el27 al 32 representa un número real? Escriba las respuestas usando notación de desigualdades.

27. V x5"—""9

28. V4— x*

29. VZx2 + x - 6

30. V3X2 - Ix - 6

»■M

32.

Vx + 3

57 «, b y c, son números reales, la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 debe tener, ya sea dos raíces reales distintas, o una raíz real doble, o dos raíces imaginarias conjugadas. En los problemas del 33 al 36, use la información dada con respecto a las raíces para describir los posibles conjuntos solución para la desigualdad indicada. Ilustre sus conclusiones con ejem plos específicos. ax2 + bx + c > 0, da dos distintas raíces reales r. y i\ con ri < riax2 + bx + c ^ 0, da dos distintas raíces reales r} y r2 con r, < rr ax2 + bx + c 2 : 0, da una raíz real (doble) r. ax2 + bx + c < 0, da una raíz real (doble) r. Proporcione un ejemplo de desigualdad cuadrática cuyo conjunto solución sea la recta real completa. Dé un ejemplo de desigualdad cuadrática cuyo conjunto solución sea el conjunto vacío.

C = 28 - 2p

Ecuación

de costos

R = 9p — p2


Encuentre los precios para los cuales la compañía tiene (A) Una ganancia (B) Una pérdida 52. Análisis de pérdidas y ganancias. A un precio de $p por unidad, el departamento de investigación de mercado en una empresa estima que el costo semanal C y los ingresos R (en miles de dólares) están dados por las ecuaciones C = 27 — 2/7

Ecuación

de costos

R = lOp — p2


Encuentre los precios para los cuales la compañía tiene (A) Una ganancia

(B) Una pérdida

53. Física. Si un objeto se dispara hacia arriba con una velocidad inicial de 112 pies sobre segundo, la distancia d (en pies) que asciende después de t segundos (desprecie la resistencia del aire) está dada por d = 1121— 16/2. Encuentre el intervalo de tiempo en el que el objeto está a 160 pies más. 54. Física. En el problema 53, encuentre el intervalo de tiempo para el cual el objeto está en el suelo. 55. Investigación de seguridad. Es de considerable impor tancia conocer la distancia más corta d (en pies) en la cual un carro se puede detener, incluyendo el tiempo de reacción del conductor, a cierta velocidad v (en millas por hora). La investigación de seguridad ha encontrado la fórmula d = 0.044v2 + 1.1 v en la cual un carro se detiene. ¿A qué velocidad un carro necesitará una distancia de más de 330 pies para detenerse? 56. Investigación de seguridad. Usando la información del problema 55, ¿a qué velocidad deberá ir el carro para poder detenerse en una distancia menor a 220 pies?

En los problemas del 39 al 50. resuelva y grafique. Exprese las respuestas en forma de desigualdad y en notación de interva los. 39. x2 + 1 < 2x

40. x2 + 25 < 10*

41. x2 < 3x - 3

42. x2 + 3 > 2x

43. x2 — 1 a 4x

44. 2x + 2 > x2

45. x3 > 2x2 + x

46. x3 ^ 4x2 + 3x

47. 4X4 + 4 < 17X2

48. x4 + 36 > 13X2

49. |x2 - 1| s 3

50.

x+ 1

> 2

APLICACIONES

51. Análisis de pérdidas y ganancias. A un precio de Sp por unidad, el departamento de investigación de mercado en una compañía estima que el costo semanal C y los ingresos R (en millones de dólares) están dados por las ecuaciones

57. M ercadotecnia. Cuando se introduce un nuevo software por primera vez y se tiene gran éxito, las ventas semanales por lo general aumentan rápidamente durante un periodo y después empiezan a disminuir. Suponga que las ventas semanales S (en miles de unidades), t semanas después de que se introdujo el software están dadas por S=

200r t2 + 100

¿Cuándo se venderán 8 000 unidades o más por semana? 58. Medicina. Una droga es inyectada en el flujo sanguíneo del brazo derecho de una paciente. La concentración (en miligramos por mililitro) de la droga en el flujo sanguíneo del brazo izquierdo t horas después de la inyección está dada aproximadamente por C=

0.121 t2 + 2

¿Cuándo la concentración de la droga en el brazo izquierdo será de 0.04 miligramos por mililitro o mayor?

90

1


ACTIVIDADES EN GRUPO DEL CAPÍTULO 1

Razones de cambio

1. R azón prom edio. Si usted ha obtenido 90 en su prim er exam en de m atem áticas y 100 en el segundo exam en, entonces su prom edio de calificación de los dos exám enes es ¿(90 + 100) = 95. El núm ero 95 se llama prom edio aritm ético de 90 y de 100. A hora suponga que cam ina hacia arriba a 3 m ph durante 5 horas, después regresa al punto de partida cam inando a 6 m ph durante 2.5 horas. El prom edio aritm ético de las razones para cada viaje es de |(3 + 6) = 4.5 m ph. Por otra parte, cam inó una distancia total de 30 m illas en 7.5 horas, de tal m anera que la velocidad para todo el viaje es de 30/7.5 = 4 mph. ¿Cuál es la velocidad prom edio ? La fórm ula básica D = R T es válida en cualquier m om ento si un objeto viaja una distancia D a una velocidad constante R en un tiem po fijo T. Si la velocidad no es constante, entonces todavía puede usar esta fórm ula, pero debe ser interpretada de m anera distinta. Para precisar, en el caso de objetos que se m ueven a velocidades no constantes, la velocidad prom edio es la distancia total dividida entre el tiem po total. Así, su velocidad prom edio para el viaje com ple to hacia arriba y hacia abajo es de 4 m ph y no de 5.5 mph. La fórm ula R = D /T ahora tiene dos interpretaciones: R = D /T es la velocidad de un objeto m oviéndose a velocidad constante, y la velocidad prom edio de un objeto cuya velocidad no siem pre es la misma. (A) Si r es el prom edio para una parte de un viaje redondo y ó' es el prom edio para el viaje de regreso, exprese la velocidad prom edio del viaje redondo en térm inos de r y s. (B) U n barco viaja a 10 m ph en aguas tranquilas. El barco viaja a 60 m illas río arriba con una corriente de 5 m ph y después regresa hacia el punto de inicio. Encuentre la velocidad prom edio para el viaje redondo usando la definición de velocidad prom edio y com pruebe con la fórm ula que encontró en el inciso A. (C) De acuerdo con el ejem plo de ascenso de m ontañas analizado anteriorm ente, si sube la m ontaña a 3 mph, ¿con qué rapidez debe bajar para que la velocidad prom edio del viaje redondo sea de 6 m ph? (Esto es sim ilar a un famoso problem a com entado a A lbert Einstein por M ax W ertheimer. Véase a A braham S. Luchins y E dith H. Luchins, en “The Einstein -W ertheim er C orrespondence en G eom etric Proofs and M athem atical Puzzles”, M athem atical Intelligencer 2, prim avera de 1990, pp. 40-41. Para un análisis de éste y otros inte resantes problem as de rapidez y tiem po, véase Law rence S. Braden, “ My Favorite Rate- Tim e Problem s”, en M athem atics Teacher, noviem bre de 1991, pp. 635-638.) 2. Velocidad instantánea. U no de los conceptos fundam entales del cálculo es la velocidad instantánea de un objeto en m ovim iento, el cual está relacionado estrecham ente con la velocidad prom edio antes analizada. Para introducir este concepto, considere el siguiente problem a. U na b ola de acero caerá desde una torre una distancia de y pies en x segundos, com o está dado aproxim ada m ente p o r la fórm ula (de física) y = ló x 2 La figura 1 m uestra la posición de la bola en una recta num érica (dirección positiva hacia abajo) después de 0, 1, 2 y 3 segundos. Salta a la vista que la b ola no está cayendo a una velocidad constante.

Posición de un objeto que cae. [Nota: La dirección positiva es hacia abajo.]

Posición al inicio (x = 0 segundos) Posición en x = 1 segundo [y = 16(12) = 16 pies]

Posición en x = 2 segundos [y = 16(22) = 64 pies]

Posición en x = 3 segundos [y = 16(32) = 144 pies] Tierra

Repaso del capitulo i

(A) ¿C uál es la velocidad prom edio a la que cae una pelota durante el prim er segundo (de x = 0 a x = 1 segundo)? ¿D urante el siguiente segundo? ¿D urante el tercer segundo? Por definición, la rapidez prom edio im plica a la distancia a la que viaja un objeto durante un intervalo de tiem po, com o en el inciso A. ¿Cóm o se puede determ inar la velocidad de un objeto en un instante dado de tiem po? Por ejem plo, qué tan rápido está cayendo la pelota exactam ente 2 segundos después de que ha sido lanzada? Este problem a se podría tratar en dos m aneras, num érica y algebraicam ente. (B) C om plete la siguiente tabla de velocidades prom edio. ¿Cuáles núm eros de estas velocidades prom edio co rresponden a este enfoque?

Intervalo de tiempo

[1.9, 2]

[1.99, 2]

[1.999, 2]

[1.9999, 2]

Distancia que cae Rapidez promedio

(C) D em uestre que la velocidad prom edio en el intervalo de tiem po [t, 2] es — _ ^ Sim plifique esta expre sión algebraica y analice sus valores para t cercano a 2 . (D) C on base en los resultados de los incisos B y C, ¿qué tan rápido piensa que está cayendo la pelota en 2 segundos?

Repaso del capítulo 1 1-1

ECUACIONES LINEALES Y APLICACIONES

Una solución o raíz de una ecuación es un número en el dominio o conjunto de reemplazo de la variable que cuando se sustituye para la variable hace que la ecuación sea un enunciado verdadero. Una ecuación es una identidad si ésta es cierta para todos los valores del dominio de la variable, y una ecuación condicional es verdadera para algunos valores del dominio y falsa para otros. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Las propiedades de igualdad se usan para resolver las ecuaciones: 1. Si a = h, entonces a + c = b + c. Propiedad de la suma

Estrategia para la solución de problemas con literales 1. Lea cuidadosamente el problema (varias veces si es necesario); es decir, hasta que lo entienda, conozca qué se está buscando, y qué datos se están dando. 2. Suponga que una de las incógnitas está representada por una variable,*, por ejemplo, y trate de representar a las otras incógnitas en términos dé x. Éste es un paso muy importante y se debe realizar cuidadosamente.

2. Si a = b, entonces a — c = b - c. Propiedad de la resta

3. Si lo considera necesario, dibuje figuras o diagramas y señale las partes conocidas y las incógnitas.

3. Si a = b, entonces ca = ch .c i= 0 Propiedad de la multiplicación

4. Observe qué fórmulas relacionan a las cantidades conocidas con las incógnitas.

4. Si a = b, entonces

5. Forme una ecuación que relacione a las incógnitas con las cantidades conocidas.

= -g-, c ¥= 0. Propiedad de la división

5. Si a = b, entonces se puede sustituir en cualquiera de los otros enunciados sin cambiar la veracidad o falsedad del enunciado.

Propiedad de sustitución

Una ecuación que se puede escribir en la forma estándar ax + b = 0, a + 0, es una ecuación lineal o de prim er grado.

6. Resuelva la ecuación y escriba las respuestas de todas las preguntas del problema. 7. Compruebe e interprete todas las soluciones en términos del problema original —no exactamente la ecuación que encontró en el paso 5— ya qué puede equivocarse en la ecuación del paso 5.

92

1


Si O es la cantidad producida o la distancia recorrida a un promedio o rapidez uniforme R en T unidades de tiempo, entonces las fórmulas de cantidad, rapidez y tiempo son Q R = ¥; T

1-2

Q = RT

4. Si a 0. entonces ca < cb.

i Propiedad de la multiplicación

5. Si a cb. a ^ b < —. c Propiedades a _ b de la división > —. 7. Si a < b y c < 0, entonces c c „

Q T=% R

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y APLICACIONES

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables es un sistema de la forma: ax + by = h (1)

El orden de una desigualdad se invierte si se multiplica o se divide a ambos lados de la desigualdad por un número negativo.

1-4 VALOR ABSOLUTO EN ECUACIONES Y DESIGUALDADES

ex + dy = k donde x y y son las dos variables. El par ordenado de números (xn, y n) es una solución al sistema (1) si cada ecuación se satisface por el par. El conjunto de todos los pares ordenados de números se llama conjunto solución del sistema. Para resolver un sistema; es decir, para encontrar su conjunto solución. Si resuelve el sistema por sustitución, resuelva una ecuación para una variable y sustituya en la otra ecuación, resuelva la ecuación lineal resultante en una variable, y después sustituya este valor en la expresión obtenida en el primer paso para encontrar la otra variable. Si una ecuación en un sistema es una ecuación de deman da y la otra es una ecuación de oferta, entonces la solución produce el precio de equilibrio y la cantidad equilibrio. Si una ecuación en un sistema es una ecuación de costos (formada frecuentemente al usar costos fijos y variables de costos) y la otra es una ecuación de ingresos, entonces la solución produce el número de unidades que se deben fabricar en el punto de equilibrio.

El valor absoluto de un número x es la distancia sobre la recta numérica real desde el origen a un punto cuya coordenada x está dada por x —x

si x a 0 si x < 0

La distancia entre los puntos A y B con coordenadas a y b respectivamente, es d(A, B) = b — a la cual tiene las siguientes interpretaciones geométricas: ¡x — c \=

d La distancia entre x y c es igual a d.

|x — ¿j <

d La distancia entre x y c es menor que

d.

0 < |x - cj < d Ladistancia entre x y c es menor que d, pero x ¥= c \x — c \>

d La distancia entre x y c. es mayor que

d.

Las ecuaciones y desigualdades que implican valores absolutos se resuelven usando las siguientes relaciones para p > 0: 1-3

DESIGUALDADES LINEALES

1. |x| = p es equivalente a x = p o x = —p.

Los símbolos de desigualdades < , > , < , > se usan para expresar relaciones de desigualdad. G ráficas de rectas y notación de intervalos, y el conjunto de operaciones de unión e intersección se usa para describir las relaciones de des igualdad. Una solución de una desigualdad lineal en una variable es un valor de la variable que hace que la desigual dad sea un enunciado verdadero. Dos desigualdades son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Las propiedades de la desigualdad se usan para resolver desigual dades: 1. Si a < b y b < c, entonces a < c.

Propiedad de transitividad

2. Si a < b, entonces a + c p es equivalente a x < —p o x > p. Estas relaciones también valen si x se reemplaza por ax + b. Para x cualquier número real, V * 2""= |*|,

1-5

NUMEROS COMPLEJOS

Un número complejo en forma estándar es un número de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria. Si b =£ 0, entonces a + bi también es un número imaginario. Si a = 0, entonces 0 + bi = bi también se llama número imaginario puro. Si b = 0, entonces a + 0/ = a es un número real. El complejo cero es 0 + 0? = 0. El conjugado de a + bi es a — bi. Igualdad, suma y multiplicación se definen como sigue:

Ejercicico de repaso del capítulo 1

1. a + bi — c + di

si y sólo si

a = c y /; = d

2. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 3. (a + bi)(c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i Debido a que los números complejos obedecen a las mismas propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de los números reales, la mayoría de las operaciones con números complejos se realizan usando de estas propiedades y del hecho que P = —1. Las propiedades de los conjugados, (ia + bi)(a - bi) = a2 + b2 se pueden usar para encontrar a los recíprocos y a los cocientes. Si a > 0, entonces la raíz cuadrada principal del número real negativo —a es \ / ~ a = i\/a .

1-6

ECUACIONES CUADRÁTICAS Y APLICACIONES

Una ecuación cuadrática en forma estándar es una ecuación que se puede escribir en la forma ax2 + bx + c — 0

a ¥= 0

donde x es una variable y a, b y c son constantes. Los métodos de solución incluyen: 1. Factorización y uso de la propiedad cero: m ■n = 0

si y sólo si

Si el discriminante b2 - 4ac es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales distintas; si el discriminante es 0. la ecuación tiene una raíz real doble; y si el discriminante es negativo, la ecuación tiene dos raíces imaginarias, que son cada una la conjugada de la otra.

1-7 ECUACIONES REDUCIBLES A LA FORMA CUADRÁTICA

Un radical de raíz cuadrada puede ser eliminado de una ecuación al despejar al radical en uno de los lados de la ecua ción y elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación. La nueva ecuación formada al elevar al cuadrado ambos lados puede tener soluciones extrañas. En consecuencia, se debe comprobar cada solución de la nueva ecuación en la ecuación original para eliminar las soluciones extrañas. Si una ecuación contiene más de un radical, entonces el proceso de despejar al radical y elevar ambos lados de la ecuación al cuadrado se puede repetir hasta que se hayan eliminado los radicales. Si una sustitución transforma a una ecuación en la forma air + bu + c = 0, donde u es una expresión de alguna otra variable, entonces la ecuación está escrita en forma cuadrática, por lo tanto, puede ser resuelta por los métodos cuadráticos.

1 -8

m = 0 o n = 0 (o ambos)

2. Uso de la propiedad de la raíz cuadrada: Si A2 = C, entonces A — ± \/C~. 3. Completando el cuadrado:

4. Usando la fórmula cuadrática: —b ± V ft2 —Aac

DESIGUALDADES PGLINOIVMAIES V RACIONALES

Una desigualdad está en la forma estándar si el lado derecho es 0. Si el lado izquierdo es un polinomio, entonces las raíces reales de este polinomio dividen a la recta numérica real en intervalos con la propiedad de que el polinomio tiene signo constante en cada intervalo. Seleccione un número de prueba en cada intervalo y construya una tabla de signos que dé como resultado la solución de la desigualdad. Si el lado izquierdo de una desigualdad es una expresión racional de la forma PIQ, donde P y Q son polinomios, entonces las raices reales de ambos polinomios se usan para dividir la recta numérica real en intervalos para los cuales PIQ tiene signo constante. Puesto que la div isión entre cero no es permitida, las raíces reales de Q se excluyen del conjunto solución.

Ejercicios de repaso del capítulo 1 Después de resolver todos los problemas de este capítulo revise y compruebe las soluciones al fin a l del libro, en donde están todas las respuestas a los problemas de revisión, y en seguida de cada respuesta está un número en tipo itálico que indica de qué sección es el problema que se está analizando. Si se le presentan dudas, revise la sección correspondiente en el texto.

_________________________

Resuelva los problemas del 1 al 5. ^ 0 05x + 0 25(30 —,v) = 3 3

94

1

.5 * 3


4 +x 2

x —2 4

27. Si las coordenadas de A y B en una recta numérica real son —8 y —2, respectivamente, encuentre:

2. ------- -----------= ---------- + 1

(A) d(A,B)

3. y = 4x - 9 y = —x + 6

28. Realice las operaciones indicadas y escriba las respuestas finales en la forma estándar:

En los problemas del 4 al 8 resuelva y grafique 4. 3(2 - x) - 2 £ 2x - 1

(B) d(B,A)

(A) (3 + i f - 2(3 + 0 + 3

5. |y + 9 |< 5

(B) f

29. Convierta a la forma a + bi, realizando las operaciones

6. |3 - 2*| < 5

7. .v2 + * < 20

indicadas, y escriba las respuestas finales en la forma estándar:

8. *2 > 4 * + 21

(A) (2 - V —4) - (3 - V ^ 9 )

9. Realice las operaciones indicadas y escriba las respuestas en la forma estándar:

(B)

2 - V ^T

(C)

3 + \/= 4

(A) ( - 3 + 20 + (6 - 80 (B) (3 - 30(2 + 30

En los problemas del 30 al 35, encuentre todas las posibles soluciones usando las técnicas que se han desarrollado hasta aquí.

5 -3 /

30. (« + ! ) = 5-

Resuelva los problemas del 10 al 16. 10. 2X2 —7 = 0

11. 2*2 = 4*

12. 2x- = Ix - 3

13. m2 + m + 1 = 0

14. y2 = \(y + 1)

15. V5* - 6 - * = 0

16.

4 + Vc r 25 V "-4

32.

A

X

6

31. 1 + — = u u = 3 X

33. 2X213 - 5x'n - 12 = 0

34. m4 + 5m2 - 36 = 0

35. V y - 2 - V5y + 1 = - 3

2y = 5 4 x - y = 14 3* +

17. ¿Para qué valores d e x ,\A 3 -5 x representa un número real?

Use una calculadora para resolver los problemas del 36 al 40. y calcule con dos cifras decimales. 36. 2.15a- - 3.13(x - 0.93) = 6.1 lx 37. —1.52 < 0.77 - 2.04* < 5.33

B

3.77 - 8.47/ 38. --------------6.82 - 7.06;

Resuelva los problemas del 18 al 20 18

7 _ 10 ~ 4x 2 - x x2 + 3x - 10

19 « ~ 3 ‘ 2u - 2

1 6

1~ u 3« - 3

20. 5m + 6« = 2 4m —9n = 20 En los problemas del 21 al 25 resuelva y grafique.

39. 6.09.x2 + 4.57* - 8.86 = 0 40. 15.2* + 5.6y = 20 2.5* + 7.5y = 10 Resuelva los problemas del 41 al 43 para la variable indicada en términos de las otras variables. 41. P = M — Mdt para M (matemáticas para las finanzas)

21.

8

< 5 - -— 3

22. |3* - 8| > 2

23. - < 2 *

24.

3 x - 4

2 x - 3

42. P = E l — RF para / (ingeniería eléctrica) 4y + 5 43. * = —1---------- p arai' 2y + 1 Encuentre el error en la “solución” siguiente y después busque la solución correcta.

25. V (1 - 2m)2 £ 3 26. ¿Para qué valores de x la expresión siguiente representa un número real?

4 _ 3 jr2 - 4* + 3 ~ x2 - 3* + 2 4a2 — 12* + 8 = 3.V2 — 12* + 9

í

'.y + 4 2 —x

Jt2 = 1 * = —1

o

*= 1

Ejercicico de repaso del capitulo 1

7 Considere la ecuación cuadrática

máxima de seguridad para su edad. Una manera de determinarlo es restar su edad de 220 y multiplicar esta cantidad por 0.7.”

x2 — 6x + c = 0 donde c es un número real. Analice la relación entre los valores de c y los tres tipos de raíces señalados en la tabla 1 de la sección 1-6.

46. ¿Para qué valores de a y b es verdadera la desigualdad a + b b, entonces a!b es mayor o menor que 1? 1

48. Resuelva para x en términos de y: y = ■ 1-

Resuelva los problemas 50 y 51. (Encuentre todas las raíces.)

51. 4 = 8x' 2 + x~4 (Encuentre todas las raíces reales.) 52. Evalúe: (a + bi}\

i I, a, b + 0 a2 + b2

a2 + b2

Resuelva los problemas del 53 al 55. x2 54. - + 4 > 2x 4

JC2 53. 2x > — + 5 55. x ----

X

56. Resuelva para u y v en términos de x y y y compruébelos. x=

2 + 3u + 7v

y = —3 + 2« + 5v Analice la naturaleza del conjunto solución para cada uno de los siguientes sistemas: (A)

2x — y = - 5 (B) 2x —6x + 3y = 15—6x + 3y = 10

APLICACIONES

* 60. Química. Un depósito de productos químicos tiene una solución al 80% de alcohol y otra al 30%. ¿Cuántos mili litros de cada solución se deben usar para obtener 50 milili tros de solución al 60% de alcohol? *61. Velocidad y tiempo. Una lancha de excursión emplea 2 horas para un viaje de ida y vuelta 40 millas río arriba. Si la velocidad de la lancha en aguas tranquilas es de 12 millas por hora, ¿cuál es la velocidad de la corriente?

49. Resuelva y grafique: 0 < |x - 6| < d

50. 2X2 = V 3 x — i

(A) Si H es la máxima velocidad segura para su corazón (en latidos por minuto) para una persona de edad A (en años), escriba una fórmula que relacione a H con A. (B) ¿Cuál es la velocidad máxima segura para el corazón de una persona de 20 años? (C) Si la velocidad máxima segura para el corazón de una persona es de 126 latidos por minuto, ¿qué edad tiene la persona?

* 62. Velocidad y tiempo. Un equipo de cuatro tripulantes reman río arriba una distancia fija y después regresan a su punto de partida. El río tiene una corriente de 3 km/h. (A) Normalmente los remeros pueden remar a 15 km/h en aguas tranquilas. Si les toma 25 minutos hacer el viaje redondo, ¿qué distancia tuvieron que remar río arriba? (B) Después de una práctica adicional los remeros realizan el viaje redondo en 23 minutos. ¿M ora a qué veloci dad remaron en aguas tranquilas? Redondee su resulta do a una cifra decimal. (C) Si los remeros quieren aumentar su velocidad en aguas tranquilas a 18 km/h, ¿con qué rapidez deben hacer el viaje redondo? Exprese su respuesta en minutos redondeada a una cifra decimal. 63. Nutrición. Un agricultor puede usar dos tipos de ferti lizantes en un plantío de naranjas, de marcas A y B. Cada bolsa de marca A contiene 8 libras de nitrógeno y 9 libras de ácido fosfórico. Cada bolsa dé marca B contiene 4 li bras de nitrógeno y 7 de ácido fosfórico. Compruebe que el plantío necesita 860 libras de nitrógeno y I 080 libras de ácido fosfórico. ¿Cuántas bolsas de cada marca se deben usar para obtener las cantidades necesarias de nitrógeno y de ácido fosfórico?

y = -5

W*

64. Análisis de costos. Las ecuaciones de costo para una fábrica son frecuentemente de naturaleza cuadrática. Si la ecuación de costos para fabricar calculadoras baratas es C — X - — lOx + 31, donde C es el costo de fabricación de x unidades por semana (C y x en miles), encuentre:

58. Núm eros. Encuentre un número tal que al restarle su recíproco dé como resultado -|.

(A) La producción para un costo semanal de S I5 mil (B) La producción para un costo semanal de $6 mil

59. Medicina deportiva. La siguiente frase se encontró en un manual de medicina del deporte: “La idea es elevar y mantener la velocidad de su corazón al 70% de su velocidad

65. Análisis del punto de equilibrio. La fábrica del problema 64 vende sus calculadoras a mayoristas a S3 cada una. Es decir, su ecuación de ingresos es R = 3x, donde R es el

96

1


ingreso y x es el número de unidades vendidas por semana (ambas en miles). Encuentre el (o los) punto(s) de equilibrio para la fábrica; es decir, la producción para la cual los ingresos son iguales a los costos. 66. Análisis de ganancias. Con referencia a los problemas 64 y 65, encuentre todos los niveles de producción para los cuales se obtiene una utilidad esto es, para los cuales R > C. 67. Química. Si la temperatura T de una solución debe estar dentro de 5°C a 110"C, exprese la restricción como una desigualdad de valores absolutos.

sgSSKíSSr— I

i------------- y

12 Figura para el ejercicio 68

68. Diseño. Las páginas de un libro de texto tienen márgenes uniformes de 2 centímetros en los cuatro lados (véase la figura). Si el área de toda la página mide 480 centímetros cuadrados y el área de la parte impresa 320 centíme tros cuadrados, encuentre las dimensiones de la página. 69. Diseño. Un diseñador de jardines usa tablones de 8 pies para formar una serie de triángulos isósceles a lo largo de la pared de una casa (véase la figura). Si el área de cada triángulo mide 24 pies cuadrados, encuentre la base correcta con dos cifras decimales.

M M B h

2-1

Herram ientas básicas: círculos

2-2 Líneas rectas 2-3 Funciones 2-4 Gráficas de funciones 2-5 Combinación de funciones 2-6 Funciones inversas Actividades en grupo del capítulo 2: Modelado matemático en los negocios Repaso del capítulo 2

98

2

Gráficas y funciones

£1 concepto de función es una de las ideas más importantes en matemáti cas. El estudio de las matemáticas, más allá del nivel elemental, requiere se comprenda a profundidad una lista básica de funciones elementales, sus propiedades y sus gráficas. En las dos primeras secciones de este capítulo se consideran algunos conceptos geométricos básicos, que incluyen las grá ficas de círculos y de líneas rectas. En las secciones posteriores se introduce el importante concepto de función, se analizan sus propiedades básicas, y se consideran las operaciones que pueden realizarse con funciones. A medi da que se avance en éste y los capítulos siguientes, se encontrará una varie dad de tipos de funciones elementales. Un minucioso entendimiento de las definiciones, gráficas y propiedades de estas funciones elementales le pro porcionarán un conjunto de herramientas matemáticas para usarse en éste y en cursos posteriores o actividades que impliquen matemáticas.

s e c c ió n

2-1 I

Herramientas básicas: círculos Sistem a coordenado cartesiano G raficación: punto por punto Sim etría D istancia entre dos puntos C írculos

E n esta sección se desarrollarán algunas de las herram ientas básicas usadas en geom e tría analítica y se aplicarán a ia graficación de ecuaciones y a la deducción de la ecua ción de un círculo.

• Sistema coordenado cartesiano

10

11111I I I II -1 0

F8GURA 1 cartesiano.

-H--H \ I H -H -

10

Sistema coordenado

De igual m anera que una recta num érica real se form a al establecer una corresponden cia uno a uno entre los puntos sobre la recta y los elem entos en el conjunto de los núm eros reales, se puede form ar un plano real al establecer una correspondencia uno a uno entre los puntos en un plano y los elem entos en el conjunto de todos los pares ordenados de los núm eros reales. Esto se puede hacer m ediante un sistem a coordenado cartesiano. R ecuerde que para form ar un sistem a coordenado rectangular o cartesiano, se seleccionan dos rectas num éricas reales, una horizontal y una vertical, que se crucen en sus orígenes com o se indica en la figura 1. H acia arriba y a la derecha están las direc ciones que usualm ente se definen com o positivas. Estas dos rectas num éricas se llam an eje h orizontal y eje vertical, o, a am bas, ejes coordenados. Es com ún llam ar al eje horizontal eje x y al eje vertical eje y , y el m ism o nom bre reciben las rectas correspon dientes. En otras circunstancias se pueden usar otros nom bres. Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro partes llam adas cuadrantes que se num eran en sentido con trario al de las m anecillas del reloj (véase figura 1). A hora es necesario asignar coordenadas a cada punto del plano. D ado un punto arbitrario P en el plano, se traza una recta horizontal y una recta vertical que pasen por él (figura 2). L a recta vertical intersectará al eje horizontal en un punto con coordenada

2-1

- 1 0 ,5 ) r i 1

-io

10; ;------ J R(5, 10) : i !

/ : Origen U t i: ( 0, 0) :

i i i

1 0 1 10

4 P{a, b)

- 10: FIGURA 2 piano.

Herramientas básicas: círculos

99

a , y la recta horizontal intersectará al eje vertical en un punto con coordenada b. Estos dos núm eros se escriben com o el par ordenado* (a, b) que form a a las coordenadas del punto P. A la prim era coordenada a se le llama abscisa de P; y a la segunda coordenada, b, se le denom ina ordenada de P. L a abscisa de O en la figura 2 es — 10, y la ordenada de O es 5. Las coordenadas de un punto tam bién se pueden nom brar en térm inos de los nom bres de los ejes. La coordenadax de R en la figura 2 es 5, y la coordenada y de R es 10. A l punto con coordenadas (0, 0) se le llam a origen. E l procedim iento descrito asigna a cada punto P en el plano un par único de núm e ros reales (a, b). A la inversa, si se da un par ordenado de núm eros reales {a, b), se invierte este procedim iento y se puede determ inar un punto único P en el plano. Así:

Coordenadas en un

Hay una correspondencia uno a uno entre los puntos en un piano y los ele m entos en el conjunto de todos los pares ordenados de núm eros reales. E ste enunciado con frecuencia se denom ina teorem a fundam ental de la geom etría analítica.

por punto

El teorem a fundam ental de la geom etría analítica perm ite que las form as algebraicas se vean de m anera geom étrica y las form as geom étricas de m anera algebraica. Se em pe zará p o r considerar una form a algebraica, com o una ecuación con dos variables: y = x2 - 4

(1)

U na solución de la ecuación (1) es un par ordenado de núm eros reales (a, ti) tal que

b = a2 - 4 El conjunto solución de la ecuación (1) es el conjunto de todas sus soluciones. M ás form alm ente, Conjunto solución de la ecuación (1): { (x ,y ) \ y = x2 — 4} Para encontrar una solución de la ecuación (1) sim plem ente se reem plaza una de las variables con un núm ero y se resuelve para la otra variable. Por ejem plo, si x = 2, entonces y = 22 — 4 = 0, y el par ordenado (2 ,0 ) es una solución. D e m anera similar, si y = 5, entonces 5 = x2 — 4 .x 2 = 9 , x — ± 3 , y los pares ordenados (3, 5) y ( - 3 , 5) son soluciones. A lgunas veces al reem plazar una variable con un núm ero y resolver para la otra variable se introducirán núm eros im aginarios. Por ejem plo, si y = —5 en la ecuación ( 1), entonces - 5 = A-2 - 4 X2 = ~ 1

X = ± V —I = ± i

Así, {—i, 5) e (i, 5) son soluciones de y = x 1 — 4. Sin em bargo, las coordenadas de un punto en un sistem a coordenado rectangular deben ser núm eros reales. Por tanto, cuan do se grafica una ecuación, sólo se consideran aquellos valores de las variables que producen soluciones reales de la ecuación. * Un par ordenado de números reales es un par de números en el que se especifica el orden. Ahora se usarán (a, h) como las coordenadas de un punto en un plano. En el capitulo 1 se usó (o, b) para representar un intervalo en una recta numérica real. Estos conceptos no son los mismos. Se debe siempre interpretar al símbolo (a, b) en términos del contexto en el que se está usando.

100

2


La gráfica de una ecuación con dos variables es la gráfica de su conjunto solu ción. En la ecuación (1), se encuentra que su conjunto solución tendría un núm ero infinito de elem entos y su gráfica se extendería fuera de cualquier papel, sin im portar lo largo que éste pudiera ser. Así, para trazar la gráfica de una ecuación, se incluyen suficientes puntos de su conjunto solución para que se represente su gráfica com pleta. A este proceso se le llam a graficación punto por punto.

Gráfica de una ecuación mediante graficación punto por punto Trace la g ráfica de y = x 1 - 4. Solución

Se form a una tabla de soluciones con los pares ordenados de núm eros reales que satis fagan la ecuación dada. X

-4

y

12

-3 5

-2 0

-1

-3

1

2

3

4

-3

0

5

12

0

-4

D espués de g raficar estas soluciones, si algunas partes de la gráfica no están claras, se trazan m ás puntos hasta com pletar la form a de la gráfica. D espués se unen todos estos puntos con una curva suave, com o se m uestra en la figura 3. Las puntas de flecha se usan para indicar que la gráfica continúa m ás allá de la parte m ostrada en la figura sin cam bios significativos en la forma. La figura resultante se llam a parábola. Observe que si se dobla una hoja de papel a lo largo del eje y , el lado derecho se acopla con el lado izquierdo. Se dice que la g ráfica es sim étrica con respecto al eje y y al eje.y se le llam a eje de la parábola. M ás adelante se abundará en el tem a de las parábolas. FIGURA 3 Problema selección

Trace la g ráfica de y 2 = x.

A hora se usará un dispositivo de graficación electrónico para com probar el ejem plo 1. Para este fin se recurrirá a cualquier dispositivo electrónico capaz de desplegar g ráficas com o un dispositivo de graficación. Los dos dispositivos de graficación más com unes son las calculadoras gráficas y las com putadoras con el softw are apropiado. Este libro contiene diversas actividades en las que se usan dispositivos de graficación para enfatizar la relación entre los puntos de vista gráfico, num érico y algebraico. To das estas actividades están claram ente señaladas y se pueden om itir si no se cuenta con el dispositivo necesario. La figura 4 m uestra los pasos necesarios para reproducir la gráfica de la fig u ra 3 en un dispositivo de graficación. 15

FIGURA 4

n o ti n o ti plots

sViSX*-4 \V 2= \Y3 =

s V h=

WINDOW X h i n = -5 Xmax=5 Xscl=l

Y1=K1-H

\

Vroin= _5

\Vs=

Vnax=15 V s c 1=1 Xres=1

sV s= NV? = Introduzca la ecuación

(a)

Introduzca las variables de la ventana (b)

»

1

N

/

Y=S

Grafique la ecuación

(c)

2-1



101

Para g raficar la ecuación, y = —x 3 + 2x, se usará la graficación punto por punto para obtener la g ráfica de la figura 5.

y

(A) ¿Piensa que ésta es la gráfica correcta de la ecuación? Justifique su respuesta. (B) A gregue puntos en la gráfica para x = —2, - 0 .5 , 0.5 y 2. (C) A hora, ¿qué piensa de cóm o se ve la gráfica? Trace su versión de la gráfica. agregue m ás puntos si es necesario. (D) E scriba u n enunciado corto que explique las conclusiones que obtuvo de las partes A, B y C. ~

(E) C om pare su versión de la gráfica con una producida por un dispositivo de graficación.

El uso de gráficas para ilustrar relaciones entre cantidades es m uy com ún. La estim ación de las coordenadas de los puntos en una gráfica proporciona ejem plos espe cíficos de esta relación, incluso si no se dispone de la ecuación para la gráfica. El siguiente ejem plo ilustra este proceso.

EJEMPLO

Niveles de ozono El nivel de ozono se m ide en partes por mil m illones (ppm m ). El nivel de ozono durante un periodo de 12 horas en un suburbio de M ilwaukee, W isconsin, en un día de verano en particular, está dado en la figura 6 (fuente: D epartam ento de recursos naturales de W isconsin). U se esta gráfica para calcular los siguientes niveles de ozono al entero más cercano y los tiem pos al cuarto de hora m ás cercano. (A ) El nivel de ozono a las 6 p.m. (B) El nivel de ozono m ás alto y el tiem po al que esto ocurre. (C) La(s) hora(s) en que el nivel de ozono es de 90 ppm m .

102

2


Nivel de ozono

«

Solución

(A) L a ordenada del punto de la gráfica con abscisa 6 es de 97 ppm m (véase figura 7). (B) El nivel de ozono m ás alto es de 109 ppm m a las 3 P.M. (C) El nivel de ozono es 90 ppm m a las 12:30 P.M. y nuevam ente a las 10 P.M.

FIGURA 7 120

-

0 —---------------------------------- --------- ------------!!----------- -----------12:30


*

2

3

4

5

6789

10

11

U se la figura 6 para calcular los siguientes niveles de ozono cercanos al entero más próxim o y los tiem pos al cuarto de hora m ás cercano. (A) El nivel de ozono a las 7 p .m . (B) La(s) hora(s) cuando el nivel de ozono es de 100 ppmm.

U n aspecto im portante de este curso, y después en el de cálculo, es el desarrollo de las herram ientas que se podrán usar para el análisis de gráficas, y a sea m ediante graficación punto p or punto o con un dispositivo de graficación. U na herram ienta par ticularm ente útil es la sim etría, la cual se analizará en seguida. *-« •

Simetría

Se ha observado que la gráfica d e 7 = x 2 - 4 en el ejem plo 1 es sim étrica con respecto al eje y; es decir, las dos partes de la gráfica coinciden si se dobla el papel a lo largo del

2-1


103

eje y . De m anera sim ilar, se dice que una gráfica es sim étrica con respecto al eje x si las partes de arriba y de abajo del eje x coinciden cuando se dobla el papel a lo largo del eje x. E n general, la definición de sim etría con respecto al eje y , al e je .ry al origen se expresa com o sigue:

DEFINICIÓN 1

Simetría U na g ráfica es sim étrica con respecto a: 1.

AI e je y si (~ a , b) y (a, b) están en la gráfica y si los dos puntos son equidistantes del eje y.

2.

A l eje x si (a, - b ) y (a, b) están en la gráfica y si los dos puntos son equidistantes del eje x.

3.

El origen si ( - a , —b) y (a, b) están en la gráfica y si los dos puntos son equidistantes del origen en una recta que pase a través del m ism o.

La figura 8 ilustra estos tres tipos de simetría.

FIGURA 8

Simetría.

y

y

(o, -b)

(a)

Simetría con respecto al eje x (b)

Simetría con respecto al origen

Simetría con respecto al eje y, al eje x y al origen

(c)

(d)

Simetría con respecto al eje y


Si una g ráfica es sim étrica en dos de las tres form as antes definidas, ¿debe ser sim é trica tam bién en la tercera form a? Explique.

104

2


Dada una ecuación, si se pueden determ inar previam ente las propiedades de sim e tría de su gráfica, se puede ahorrar m ucho tiem po y energía al m om ento de trazarla. Por ejem plo, si se sabe que la gráfica de y = x 2 - 4 en el ejem plo 1 es sim étrica con respecto al eje y , se puede dibujar con cuidado sólo el lado derecho de la gráfica; y después reflejar el resultado con respecto al eje y para obtener la gráfica com pleta; ¡la graficación punto por punto se reduce a la mitad! Las pruebas para la sim etría están dadas en el teorem a 1. Estas pruebas se aplican fácilm ente y son m uy útiles para la graficación. Recuerde que dos ecuaciones son equi valentes si tienen el m ism o conjunto solución.

Teorema 1

EJEMPLO 3

Pruebas de simetría Simetría con respecto al

La ecuación es equivalente cuando

Eje y

.y

Eje x

y se reemplaza por —y

Origen

x y y se reemplaza por —x y —y

se reemplaza por —x

Uso de las simetrías como ayuda para la graficación Realice las pruebas de sim etría y trace la gráfica: (A) y = x 3

Solución

(B) y = |x|

(C) x 2 + y 2 = 36

(A) Pruebas de sim etría para y = x 3. Pruebas con respecto al eje y R eem place x p o r —x:

y = (--v )3 y = -jt3

Pruebas con respecto al eje y R eem p lacev por —y .

- y = x3 y =

—.y 3

Pruebas con respecto al origen Reem place x por —x y y por - y :

- y = {-x ? - y = —x3 y = x3

La única prueba que produce una ecuación equivalente es cuando se reem plaza a x por x y a y por —y . Así, la única propiedad de sim etría para la gráfica de y = x 3 es la sim etría con respecto al origen. G ráfica. O bserve que los valores positivos de x producen valores positivos para v y los valores negativos de .y producen valores negativos para 7 . Por tanto, la gráfica está en el p rim er y en el tercer cuadrantes. A hora se hará un cuidadoso trazo en el prim er cua drante; después se reflejarán estos puntos a través del origen para obtener la gráfica com pleta m ostrada en la figura 9.

2-1

FIGURA 9

y= x3 0

r 0

p / íi

(1,

)

)

5

/


105

A primera vista, la gráfica muestra cómo varía y conforme varía x. Una gráfica es una ayuda visual y se deberá construir para obtener la máxima cantidad de información usando el mínimo esfuerzo pór parte del observador. Se marcan los ejes coordenados y se indican las escalas en ambos ejes.

I

/ /

X

0

i

2

y

0

i

8

1-

( 1

5

1

(B) Pruebas de sim etría para y = |x |. Pruebas con respecto al eje y R eem place x por —x:

Pruebas con respecto al eje x Reem place y por —y:

y = \-x \

-y = \x \

y =M

y = -M

Pruebas con respecto al origen Reem place x por —x y y por —y:

-y = M - y = \x\ y = -M

A sí, la única propiedad de sim etría para la gráfica d e ;' = |xj, es la sim etría con respecto al eje y. G ráfica. C om o pc| nunca es negativa, esta gráfica estará en el prim er y en el segundo cuadrantes. Se traza con cuidado en el prim er cuadrante; y después se refleja esta grá fica a lo largo del eje y para obtener la gráfica com pleta m ostrada en la figura 10. FIGURA 10

X

0

2

4

y

0

2

4

(C) Puesto que tanto x com o y existen sólo para potencias pares com o .v2 + 4y 2 = 36. la ecuación será equivalente si x se reem plaza por —x o si y se reem plaza por —y. E n consecuencia, la gráfica es sim étrica con respecto al eje y , al eje x y al origen. Se necesita hacer un cuidadoso trazo sólo en el prim er cuadrante, reflejar esta g ráfica a lo largo del eje y y después reflejar todo esto a lo largo del eje x. Para encontrar soluciones en el prim er cuadrante, se resuelve la ecuación, ya sea en térm inos de y , en térm inos de x o x en térm inos de y. Se elige esta últim a porque es la m ás fácil de trabajar.

106

2


x 1 + 4y 2 = 36 x2 = 36 - 4y2 x = ± V 3 6 - 4y2

Para obtener la parte de la gráfica en el prim er cuadrante, se traza x = V36 - 4ÿ- para 0 < y < 3. Se observa que 36 - 4 ^ < 0 para y > 3 y que no hay soluciones reales para y > 3. L a gráfica final se m uestra en la figura 11.

X

6

y

0

V32 « 5.7 V 2 0 « 4 .5 1

2

0

Elija valores para y y resuelva para x

3

FIGURA 11 Esta figura se llama elipse.

Las partes A y B del ejem plo 3 se com prueban fácilm ente con un dispositivo de graficación, usted podría hacerlo si tiene uno de estos dispositivos. C om probar la parte C es m ás com plicado. D ebido a que la m ayoría de los dispositivos de graficación sólo grafican ecuaciones de la form a y = (expresión de x), se debe resolver la ecuación para x 2 + 4 y2 = 36 para _y (se om iten los detalles) y se grafican am bas soluciones com o se m uestra en la figura 12. FIGURA 12 P io ti

P i*t2

p io ti

V.V1B-K9-.25XO \V ¿ B --r< 9 -.2 5 X 2 > \V i =

10

nVm = \Vs=

sVfi =

'■■■V? =

(a)


R ealice las pruebas de las sim etrías y grafique: (A ) y = x

* D i s t a n c i a e r-'

(b)

(B) y = ~ \x\

(C) 9x2 + y 2 = 36

La geom etría analítica se relaciona con dos problem as básicos:

puntos 1.

Dada una ecuación, encuentre su gráfica.

2-1

2.

Herramientas básicas: círculos v

D ada una figura (recta, círculo, parábola, elipse, etcétera) en un sistem a coordenado, encuentre su ecuación.

H asta ahora nuestra atención se ha enfocado en el prim er problem a. Se ha introdu cido una herram ienta básica que se usa extensam ente en la solución del segundo pro blem a. E sta herram ienta básica es la fórm ula de la distancia entre dos puntos, la cual se deduce con facilidad usando el teorem a de Pitágoras (véase nota de pie de página, sección 2-6). Sean P ^ x ,, >>,) y P2(x2, y 2) dos puntos en un sistem a coordenado rectangu lar (suponga que la escala en cada uno de los ejes es la m ism a). Entonces, refiriéndose a la figura 13, se puede ver que [d(Pv P 2)Y = \x2 - x { + = (x 2 — Xj)2 + (y2 — y x)2

FIGURA 1 3 puntos.

Puesto que INI2 = N2.

y

Distancia entre dos

Así:

Teorema 2

Distancia entre P ,(x v y,) y P2(x2, y2) d(Pv P2) = V (x 2 - x ,)2 + (y2 - y , ) 2

EJEMPLO 4

Uso de la fórm ula de la distancia entre dos puntos E ncuentre la distancia entre los puntos ( —3, 5) y ( —2, - 8).*

Solución

N o im porta cuál punto se designe com o P , o P 2 debido a los cuadrados en la fórmula. Sea (*,,>>,) = ( - 3 , 5) y (x2, y 2) = ( - 2 , - 8). Entonces d = V [ ( - 2 ) - ( - 3 )]2 + [ ( - 8 ) - 5 ]2 = V ( —2 + 3)2 + ( - 8 - 5)2 = V i 2 + ( - 1 3 ) 2 = V i + 169 = V Í 7 0


E ncuentre la distancia entre los puntos (6, - 3 ) y ( —7, - 5 ) .

* Frecuentemente se habla del punto (a, b) cuando se hace referencia al punto con coordenadas (a, b). Esta forma breve, aunque no exacta, causa pocos problemas, así que se seguirá usando.

108

2


L a fórm ula de la distancia entre dos puntos es de gran ayuda si sólo se usa para encon trar la distancia real entre los puntos, tal com o se m ostró en el ejem plo 4. Sin em bargo, es m ás p ertin en te usarla para en co n trar las ecuaciones de fig u ras en un sistem a coordenado rectangular. Se usará para deducir la ecuación estándar de un círculo. Para em pezar se definirán las coordenadas libres de un circulo.

DEFINICION 2

Círculo U n círculo es el conjunto de todos los puntos en un plano equidistante de un punto fijo. La distancia fija se conoce com o radio, y al punto fijo se le llama centro.

Se encontrará la ecuación de un círculo de radio r {r > 0) y centro C en (h, k) en un sistem a coordenado rectangular (véase figura 14). El punto P (x ,y ) está en el círculo si y sólo si d(P, C) = r; es decir, si y sólo si V ( x - h)2 + (y — k)2 = r

r> 0

o, de m anera equivalente, (x - h)2 + (y - k)2 = r2

Teorema 3

Ecuación estándar de un círculo 1.

C írculo con radio r y centro en (h, k): (x — h)2 + (y — k)2 = r 2

2.

r>0

Círculo con radio r y centro en (0, 0): x2 + y 2 = r2


r > 0

r>0

D escriba geom étricam ente el conjunto de todos los puntos (x, y ) que son equidistantes de los puntos ( - 1, 0) y ( 1, 0 ), y después use la fórm ula de la distancia para verificar sus resultados en form a algebraica.

Ecuaciones y gráficas de círculos Encuentre la ecuación de un círculo con radio 4 y centro en (A)

( - 3 ,6 )

(B) (0 ,0 )

Trace la gráfica de cada ecuación.

2-1

Solución


(B) (h, k) = (0, 0) y

(A) (h, k) = (—3, 6) y r = 4:

r = 4:

(x - h)2 +

(y - k)2 =

r2

x 2 + y2 = r 2

[x - (—3)]2 +

(y - 6)2 =

42

a-2 + y2 = 42

(a- + 3)2 +

(,y - 6)2 =

16

x 2 + y1 - 16

Para g raficar la ecuación, localice el centro C (—3,6) y dibuje un círculo de radio 4 (véase figura 15).

109

Para graficar la ecuación, localice el centro en el origen y dibuje un círculo de radio 4 (véase figura 16)

— i- L^ —" ' S

V

1

^

sS_T—

- J

- 1 ¿

-----

- 5

r + y1 = 16

FIGURA 16

FIGURA 15

Encuentre la ecuación de un círculo con radio 3 y centro en: (A) ( 3 , - 2 )

(B) (0 ,0 )

G rafique cada ecuación.

Para g raficar el círculo de la fig u ra 15 en un dispositivo de graficación, se deben g raficar dos ecuaciones:.Vj = V 16 - x 2y y, = — V 16 - v2 [véase figura 17 (a)]. O bser ve que la g ráfica no parece ser circular, porque las unidades en el eje a son físicam ente más grandes que las unidades en el eje y en la ventana rectangular de visión. Para recti ficar esto, se debe elegir a las variables de la ventana de tal m anera que una unidad de longitud en el eje x sea igual a una unidad de longitud en el eje y. La ventana resultante se llama c u a d ra d o de visión, y despliega círculos que parecen circulares [véase figura 17 (b)]. La m ayoría de los dispositivos gráficos tienen una rutina, que por 1o general se denota p o r el acercam iento cuadrado o algo similar, para ajustar autom áticam ente las variables y producir una ventana cuadrada. Consulte su m anual para los detalles. FIGURA 17

\

\ }

•V i 6 - V i 6 - x2 (a)

r

\

\

Una ventana cuadrada (b)

7.58

110

2


O bserve tam bién que las gráficas de la figura 17 tienen espacios cerca d e x = —4 y x = 4 debido a la discrepancia entre las coordenadas reales de un punto y las coorde nadas de la pantalla del pixel que contiene al punto. (Intente trazar sólo la gráfica de: y l = v T ó - x2 y observe qué ocurre c u a n d o x está cercana a - 4 o 4.) Es im portante recordar que los dispositivos gráficos tienen dispositivos de baja resolución que produ cen sólo burdas aproxim aciones de las gráficas. Es por esto que se debe visualizar la apariencia correcta de una gráfica y llenar cualquier espacio faltante.

Determinación del centro y radio de un círculo E ncuentre el centro y el radio de un círculo con ecuación x 2+ y 2 + 6x - 4y Solución

= 23.

Se transform a la ecuación en una de la form a (x — h)2 4- (y — k)2 = r2 al com pletar el cuadrado respecto de x y con respecto de y (véase sección 1-6). A partir de esta form a estándar se puede determ inar el centro y el radio.

x 2 + y2 + 6x -

4y =

23 23

(x2 +

6x

) + (y2 - 4 y

) =

(x2 +

6x + ) + (y2 — 4y 4-

) =

23 + + Completelo

(x + 3)2 + (y -

2)2 =

36

[x - (—3)]2 + ( y -

2)2 =

62

Centro:

C(h, k) = C ( - 3, 2)

Radio:

r = V 36 = 6

Encuentre el centro y el radio del círculo con ecuación x 2 + y 2 - Sx + lOv = - 2 5 .

Respuestas a los problemas seleccionados 2.

(A)

96ppm m

(B) 1:45 P.M. y 5 P.M.

2-1

3. (A) Simétrica con respecto al origen

4. d = 4 173

111


(B) Simétrica con respecto al eje x, al eje y y al origen

(B) Simétrica con respecto al eje>'

5. (A) (x - 3)2 + (y + 2)2 = 9

(B) x ? + f = 9

5

N /

\ 5

5

-►x

¡

-s

6.

EJERCICIO

1

(jc - 4 ) 2 + (y + 5 )2 = 16; radio: 4, centro: (4, -5 )

2-1

A _________ En los problemas del 1 al 8, determine la simetría con respecto al eje x, al eje y o al origen, si existe alguna, y grafique. 1. y = 2x - 4

2. y = \ x + 1

3. y = \x

4. y = Ix

5. M = *

6. |y| =

7. M = |y|

8. y = - x

Encuentre la distancia entre Jos puntos indicados en los pro blemas del 9 al 12. Exprese la respuesta enforma de radicales. 9. ( - 6,- 4 ) , (3,4) 11. (6, 6), (4, -2 )

10. (-5 ,4 ), ( 6 ,-1 ) 12. (5 ,-3 ), ( -1 ,4 )

En los problemas del 13 al 20, escriba la ecuación de un circu lo con el radio y el centro indicados. 13. C(0, 0), r = 7

14. C(0, 0), r = 5

15. C(2, 3), r = 6

16. C(5,6), r = 2

17. C(—4, 1), r = V 7

18. C(—5, 6), r = VTT

En los problemas del 19 al 20, use la gráfica para calcular el entero más cercano a las coordenadas faltantes de los puntos indicados. (Asegúrese de encontrar todas las respuestas posi bles.) 19. (A) ( - 3 , ?) (C) (?, 3) y

(B) (2, ?) ( D ) ( ? ,- 1 )

112

2


20. (A) ( - 4 ,? ) (C) (?, 1)

29.

(B ) ( —1.7) (D) (?, 4)

y

4y2

—jc2 = 1

30.

4X2 - y2 =

1

31. y3 =

32. y = x*

33. y = 0.6.Y2 - 4.5

34. * = 0.8y2 - 3.5

35.

36. y = VlOO - 4x2

37.

x

y = V l7 - jr y = x2'3

38. y2« = .y En los problemas 39 y 40. determine si los puntos dados son vértices de un triángulo rectángulo. (Recuerde, un triángulo es un triángulo rectángulo si y sólo si el cuadrado del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de los lados máscortos.) Las figuras en los problemas 21 y 22 muestran una parte de la gráfica. Extienda la gráfica dada a una que exhiba el tipo in dicado de simetría. 21. (A) Sólo el eje.v (C) Sólo el origen

(B) Sólo el eje.y (D) E je* y y V

39. ( - 3 , 2), (1 ,-2 ), (8. 5) 40. ( - 4 , - I ) , (0.7). (6, - 6) Encuentre el perímetro (con dos cifras decimales) del triángu lo con los vértices indicados en los problemas 41 y 42. 41. (-3 ,1 ), (1 ,-2 ), (4, 3) 42. ( - 2 , 4), (3 ,1), (—3, -2 ) 43. Encuentre x tal que (x, 8) esté a 13unidades de (2, —4). 44. Encuentre y tal que ( —2, y) esté a 5 unidades de (—6, 6). En los problemas del 45 al 50, encuentre el centro y el radio del círculo con la ecuación dada. Grafique la ecuación. 45. (x + 4)2 + (y - 2)2 = 7 46. (x - 5)2 + (y + 7)2 = 15

22. (A) Sólo el eje x (B) Sólo el eje x (C) Sólo el origen(D) Eje x y y y

47. x2 + y2 - 6,v - 4y = 36 48. j r + y 2 - 2 x - lOy = 55 49. x2 + y2 + 8y —6y + 8 = 0

-S

50. x2 + y2 + 4 x+ lOy + 15 = 0

1s \

51. (A) Grafique el triángulo con vértices .4(1. 1). B(1, 2) y C(4, 6). (B) Ahora grafique el triángulo con vértices A '( l, — 1), R ’(7, —2) y C'(4, —6) en el mismo sistema coordenado. ! ¿Cómo se relacionan estos dos triángulos? ¿Cómo describiría el efecto del cambio de signo de la coordenada .y de todos los puntos sobre la gráfica?

N N

i

5

B ____________________________________________ En los problemas del 23 al 38, determine la simetría con res pecto al eje x, eje y o al origen, si existe alguna, y grafiquelas. *Compruebe sus gráficas de los problemas del 23 al 38 graficándolas con un dispositivo de graficación. 23. v2 = x + 2

24. y 2 = .y —2

25. y = x2 + 1

26. y + 2 = x 2

27. x~ + 4y2 = 4

28. x2 + 9y2 = 9

* Por favor observe que el uso de un dispositivo de graficación no es requerido para realizar estos ejercicios. La comprobación con un dis positivo de graficación es opcional. Si usted no tiene uno. puede tra bajar con los ejercicios.

52. (A) Grafique el triángulo con vértices A (\, 1). 5(7. 2) y C(4, 6). (B) Ahora grafique el triángulo con vértices A \ —\, 1) ,# ' (—1,2) y C '(—4 ,6) en el mismo sistema coordenado. _ 1 ¿Cómo se relacionan estos dos triángulos? ¿Cómo describiría el efecto del cambio de signo de la coordenada .y de todos los puntos sobre la gráfica? 53. (A) Grafique el triáneulo con vértices A( 1, 1), B(7, 2) y C(4, 6). (B) Ahora grafique el triángulo con vértices A ’(—1 ,-1 ) , B '(—l , —2) y C '(—4, —6) en el mismo sistema coordenado. ¿Cómo se relacionan estos dos triángulos? ¿Cómo describiría el efecto del cambio de signo de las coordenadas x y y de todos los puntos sobre la gráfica?

2-1

54. (A) Grafique el triángulo con vértices A (l. 2). 5(1. 4) y C(3, 4). (B) Ahora grafique y = x en el triángulo obtenido al invertir las coordenadas para cada vértice del triángulo original: A '(2, 1), B'(4, 1) y C’(4, 3). i ¿Cómo se relacionan estos dos triángulos? ¿Cómo describiría el efecto de invertir las coordenadas de cada punto en una gráfica? En los problemas del 55 al 58. despeje y, produciendo dos ecuaciones, y después grafique ambas ecuaciones en la misma ventana de visión.

APLICACIONES


113

^

73. Precio y demanda. La cantidad de un producto que los consumidores están deseando comprar durante algún periodo depende de su precio. L1 precio p y la corres pondiente demanda semanal q para una marca particular de refresco de dieta en una ciudad se muestran en la figura. Use esta gráfica para aproximar las siguientes demandas a las 100 rejas más cercanas. (A) ¿Cuál es la demanda cuando el precio es de S6.00 por reja/

55. a-2 + / = 3

56. a2 + y2 = 5

(B) ¿La demanda aumenta o disminuye si el precio

57. (x + 3)2 + (>■ + l )2 = 2

58. (x - 2)2 + (y - l )2 = 3

aumenta de $6.00 a $6.30 por reja? ¿En qué cantidad? (C) ¿La demanda aumenta o disminuye si el precio disminuye de $6.00 a $5.70? ¿En qué cantidad? (D) Describa de manera breve la relación entre el precio y la demanda que ilustra esta gráfica.

En los problemas del 59 al 62, grafique cada par de ecuaciones en la misma ventana de visión para señalar ¡os valores indica dos de x. Encuentre el centro y el radio del círculo resultante examinando la gráfica y encuentre la ecuación del círculo. Ex plique cómo podría comprobar su trabajo y realice la prueba.

P

y = \Z lx — x2, y = - V 2>r —x2, 0 í x á 2 60. y = 1 + V i - .v2. y = 1 - V i - .í2. - l < i s l 61 y = 1 + V 5 + 4x - x \ y = 1 - V 5 + 4x -1 < jt< 5

•62. y = —1 + V 4x - x 2, y = —1 — V4x — 0 s .t< 4 Número de casos

En los problemas del 63 al 68. determine la simetría con res pecto al eje x, al eje y o con respecto al origen, si existe algu na, y grajiquela. Compruebe sus gráficas de los problemas del 63 al 68 grajicándolas con un dispositivo de graficación. 63. y3 = |jt|

64. |>’| = a3

65. xy = 1

66. xy = —1

67. y = 6x — x2

68. y = x 1 — 6x

69. Encuentre la ecuación de la bisectriz perpendicular del segmento de recta que une a los puntos ( —6, —2) y (4, 4) mediante la fórmula de la distancia entre dos puntos.

74. Precio y demanda. La cantidad de un producto que los proveedores están vendiendo voluntariamente durante algún periodo depende de su precio. El preciop y la corres pondiente demanda semanal q para una marca en particular de refresco de dicta en una ciudad se muestra en la figura. Use esta gráfica para aproximar las siguientes demandas a las 100 rejas más cercanas. (A) ¿Cuál es la oferta cuando el precio es de S5.60 por reja? (B) ¿La oferta aumenta o disminuye si el precio aumenta de $5.60 a S5.80 por reja? ¿Qué tanto? (C) ¿La oferta aumenta o disminuye si el precio disminuye de $5.60 a $5.40 por reja? ¿En qué cantidad? (D) Describa en forma breve la relación entre precio y oferta ilustrado en esta gráfica. P

70. Use la fórmula de la distancia entre dos puntos pitra mostrar que el punto

$7

*i + *2 >~i + 2

’

2

O O

O- 56

es el punto medio de segmento de recta que une a los puntos (*,,>•,) y (x2, y 2). Encuentre la ecuación de un círculo que tenga un diàmetro cuyos puntos extremos estén dados en los problemas 71 y 72. [Sugerencia: Véase el problema 70.] 71. (7. -3 ), (1,7)

72. ( - 3 , 2), ( 7 ,- 4 )

ss 1---------------------- ►q 2 000

3 000

4 000

Numero de casos*

75. Tem peratura. La temperatura durante un día de primavera en el medio oeste se da en la figura. Use esta gráfica para

114

2


aproximar las siguientes temperaturas al grado más cercano y los tiempos a la hora más cercana. (A) La temperatura a las 9:00 A.M. (B) La temperatura más alta y la hora a la que esto ocurre. (C) Los tiempos en que la temperatura es de 49°F.

/ ss

V

jf

+

/

\

)

Media noche

6 AM

s \ \

/

|N

i '> \

/ >

Medio día

6 PM

donde x es el desplazamiento vertical (en centímetros) desde su posición de reposo (los desplazamientos positivos se miden hacia abajo, véase la figura).

Media noche

76. Temperatura. Use la gráfica del problema 75 para aproxi mar las siguientes temperaturas al grado más cercano y los tiempos al cuarto de hora más cercano.

(A) Grafique vpara - 5 < i £ 5. (B) Describa la relación entre esta gráfica y la conducta física de la pelota cuando está oscilando hacia arriba y hacia abajo. 79. Arquitectura. Una puerta de arco se forma al colocar un arco circular en la parte superior de un rectángulo (véase la figura). Si el arco de la puerta mide 4 pies de ancho y la altura del arco al final de sus extremos es de 1 pie, ¿cuál es el radio del círculo que contiene al arco? [Sugerencia: Observe que (2 , r — 1) debe satisfacer a x1 + y2 = r . ] y ( 2 , r - 1)

(A) La temperatura a las 7:00 p .m . (B) La temperatura más baja y la hora a la que esto ocurre. (C) Los tiempos en los que la temperatura es de 52°F.

/ c

y

77. Física. La velocidad (en metros por segundo) de una pelota oscilando en el extremo de un péndulo está dada por v = 0.5V2 - x donde x es el desplazamiento vertical (en centímetros) de la pelota desde su posición de reposo (véase la figura).

r ' 4 pies ...... Puerta de arco

80. Ingeniería. La sección transversal de un remache tiene una cabeza que tiene la forma de un arco de círculo (véase la figura). Si los extremos del arco están separados por 12 milímetros y la cabeza está 4 milímetros arriba de los extremos, ¿cuál es el radio del círculo que contiene al arco?

Remache

(A) Grafique vpara 0 ¿ x S 2 . Describa la relación entre esta gráfica y el compor tamiento físico de la pelota cuando está oscilando. 78. Física. La velocidad (en metros por segundo) de una pelota oscilando en el extremo de un resorte está dada por v = 4V25 - x2

*81. Construcción. El pueblo B está localizado 36 millas al este y 15 millas al norte del pueblo A (véase la figura). Una compañía local de teléfonos quiere colocar una torre de transmisión de tal manera que la distancia desde la torre al pueblo B sea dos veces la distancia desde la torre al pueblo^. (A) Muestre que la torre debe estar en un círculo, encuen tre el centro y el radio de éste y grafíquelo.

2-2

(B) Si la compañía decide colocar la torre en este círculo en un punto directamente al este del pueblo A, ¿a qué distancia del pueblo A la debe colocar? Calcule su respuesta con una cifra decimal.

Líneas rectas

115

* 82. Construcción. Repita el problema 81 si la distancia desde la torre al pueblo^ es el doble de la distancia desde la torre al pueblo B.

25

Pueblo B Torre

(36,15)

(*,y) H----1----1----1----1----1----IPueblo A

2-2 G ráficas de ecuaciones de prim er grado con dos variables Pendiente de una recta Ecuaciones de rectas: form as especiales R ectas paralelas y perpendiculares

En esta sección se considerará una de las figuras geom étricas básicas (una línea recta). Se aprenderá cóm o graficar a las líneas rectas, dando varias ecuaciones estándar, y cóm o encontrar la ecuación de una línea recta, dada la inform ación acerca de la recta. Se agregarán estas im portantes herram ientas a la caja de herram ientas m atem áticas, lo cual le capacitará para usar las líneas rectas com o una herram ienta efectiva de solución de problem as, com o se m ostrará en los ejercicios de aplicación que se incluyen al final de la sección. R efiriéndose a su experiencia pasada en la graficación de ecuaciones con dos variables, probablem ente recordará que las ecuaciones de prim er grado con dos variables, tales com o y = -3 x + 5

3x — 4y = 9

y = -\x

tienen gráficas que son líneas rectas. Este hecho se estableció en el teorem a 1. Para una prueba parcial de este teorem a, véase el problem a 80 de los ejercicios al final de esta sección.

Teorema 1

La ecuación de una línea recta Si A, B y C son constantes, con A y B diferentes de 0, y x y y son variables, entonces la g ráfica de la ecuación Form a estándar

(1)

es una línea recta. C ualquier línea recta en un sistem a coordenado rectangular tiene una ecuación de esta form a.

116

2


También, la gráfica de cualquier ecuación de la forma y = mx + b

(2 )

donde m y b son constantes, es una linea recta. La form a (2), que después se analizará en detalle, es sim plem ente un caso especial de la form a (1) para B =£ 0.Esto se puede v er resolviendo la form a ( 1) para y en térm inos de x:

Para g raficar (1) o (2), se dibujan dos puntos cualesquiera de su conjunto solución y se usa un segm ento de recta para dibujar una linca recta que pase por estos dos puntos. Los puntos donde la recta cruza a los ejes son convenientes de usar y fáciles de encontrar. La intersecció n con el e je y * es la ordenada del punto donde la gráfica cruza al eje y , y la in tersecció n con el eje x, es la abscisa del punto donde la gráfica cruza al eje x. Encontrar la intersección con el eje y , hace que jc = 0 y se despeja y; encontrar la intersección x, hace que y = 0 y se despeja ,t. Esto es frecuentem ente utilizado para encontrar un tercer punto com o punto de prueba. Los tres puntos deben estar en la m ism a línea recta, si no es así, significa que se com etió algún error.

EJEMPLO 1

Uso de las intersecciones para graficar una línea recta G rafique la ecuación 3x — 4y = 12.

Solución

Encuentre las intersecciones, un tercer punto de com probación (optativo), y dibuje una línea recta que pase por los dos (tres) puntos (figura 1).

FIGURA 1

'cinto de com probación

(4, 0) -5 X

y

0 -3

4

8

0

3


:crón co r La i ntersecó el eje x es -

+-x

La intersección con el eje x es 4

G rafique la ecuación 4x + 3y = 12.

* Si la intersección con el eje .v es a y la intersección con el eje y es b, entonces la gráfica de la recta pasa a través de los puntos (a, 0) y (U. b). Es una práctica común referirse a ambos puntos a y b y a los puntos (a. 0) y (0, b) com o las intersecciones x y y de la recta.

2-2

117

Líneas rectas

Para com probar la respuesta del ejem plo 1 con un dispositivo de graficación se debe resolver prim ero la ecuación para y y después graficar (figura 2): 3a- -

4y =

12

- A y = —3 x + y =

0 .7 5 x -

12 3

FIGURA 2

,.,z

/

-5

Si se consideran dos puntos P ,(x ,, y t) y P 2 (x2, y 2) sobre una recta, entonces la razón de cam bio en y con respecto al cam bio en x, com o cuando se hace un m ovim iento del punto P l al punto P 2 se llam a pendiente de la recta. En lenguaje burdo, la pendiente es una m edida de la “elevación” de una recta. A lgunas veces al cam bio en x se le llama desplazam iento y al cam bio e n j se le llam a elevación.

DEFINICION 1

Pendiente de una recta Si una recta pasa p o r dos puntos distintos P ^ x , , ^ ) y P 2(x2, y 2), entonces su pen diente m está dada p or la fórm ula

m =

y ,- y ^(*2/ Yi) C am bio vertical (elevación)

Y z-y i

í Elevación

C am bio horizontal (desplazam iento) Pl(*l; /i) -----V--------X2 - X, Desplazamiento

Para una recta horizontal, y no cam bia conform e cam bia x; por lo tanto, su pen diente es 0. Por otra parte, para una recta vertical, x no cam bia cuando cam bia y; por lo tanto, x, = x 2 y su pendiente no está definida: y, — Vi

>2 — Vi

x 2 ~ x,

0

--------

Para una recta vertical, la pendiente no está definida.

E n general, la pendiente de una recta puede ser positiva, negativa, 0, o no estar definida. Cada uno de estos casos se interpreta geom étricam ente com o se m uestra en la tabla 1.

118

2


TABLA 1 Recta

Pendiente

Se eleva conforme x se mueve de izquierda a derecha

Positiva

Disminuye conforme x se mueve de izquierda a derecha

Negativa

Ejemplo

Horizontal

Vertical

No está definida

Al usar la fórm ula para encontrar la pendiente de la recta que pasa por dos puntos, no im porta cuál punto se m arque, P, o P 2, ya que si se cam biara la m arca tam bién cam biaría el signo tanto del num erador com o del denom inador en la fórm ula de la pendiente: y * -y \ X2

y \~ y *

----- —

Xi

X1

•

n

.

,

Por ejemplo:

X2

5 -2 7-3

-

2 -5 3-7

A dem ás, es im portante observar que la definición de pendiente no depende de los dos puntos elegidos en la recta siem pre que éstos sean diferentes. Esto es consecuencia del hecho de que las proporciones de los lados correspondientes de triángulos sim ilares son iguales.

Determinación de la pendiente Trace una recta que una los pares de puntos indicados y encuentre su pendiente. (A) ( - 3 , - 4 ) , (3, 2) (C) ( - 4 , 2), (3, 2) Soluciones

(B) ( - 2 , 3), (1, - 3 ) (D) (2, 4), (2, - 3 )

(A)

m

2 - (-4 )

b

3 -(-3 )

6

m

-3 -3

-6

1 - (-2 )

3

2-2

Líneas rectas

119

(D)

(C) 5

| (2 ,

i, A

( -4 , ¿)

_ (2, -3) -,

2 -2 O m —------------- = — = O 3 - (-4 ) 7

m =

-3 -4

-7

2 -2 O’ la pendiente no está definida

E ncuentre la pendiente de la recta que une cada par de puntos. No grafique. (A) ( - 3 , - 3 ) , (2, - 3 ) (C) (0, 4), (2, - 4 )

(B) ( - 2 , - 1 ) , (1, 2) (D) ( - 3 , 2), ( - 3 , - 1 )

Para em pezar es conveniente investigar por qué y = m x + b se llam a fo rm a intersec ción-pendiente de una recta.

especiales EXPLORACIÓN Y ANALISIS 1

(A) G rafique y = x + b, en form a sim ultánea para b = - 5 , - 3 , 0 , 3 y 5 en el m is m o sistem a coordenado. D escriba verbalm ente el significado geom étrico de b. (B) G rafique y = m x — 1 en form a sim ultánea para m = —2, —1, 0, 1 y 2 en el m ism o sistem a coordenado. D escriba verbalm ente el significado geom étri co de m. ' f (C) U sando un dispositivo de graficación, explore la gráfica de y = m x + b para diferentes valores de m y b.

C om o podrá ver a partir de la exploración realizada, las constantes m y b en y = mx + b

(3)

tienen un especial significado geom étrico, que en seguida se establecerá de m anera explícita. Si se hace x = 0, entonces y = b, y se observa que la gráfica de la ecuación (3) cruza el eje y en el punto (0, b). La constante b es la intersección con el eje y . Por ejem plo, la intersección y de la gráfica d e y = —3x — 2 es —2. Para determ inar el significado geom étrico de m, se procede de la siguiente m ane ra: Si y = m x + b, se establece q u e * = 0 y x = 1, de donde se concluye que los puntos (0, b) y (1, m + b) están en la gráfica, que es una recta. Por lo tanto, se deduce que la pendiente de esta recta está dada por >'2 {m + b) - b Pendiente = ----------= ------;------— - m x 7 - x, 1 - ü

120

2


A sí, m es la pendiente de la recta dada por la ecu ació n ^ = m x + b. A hora se sabe por qué la ecuación (3) se llam a fo rm a p e n d ien te -in tersec ció n de la ecuación de una recta.

Teorema 2

Forma pendiente-intersección y = mx + b — mx + b

Elevación „ ,. m = -------------------------= Pendiente D esplazam iento m = Intersección con el eje y

EJEMPLO 3

\ Elevación Intersección en el eje y b ________Ti Desplazamiento (

Uso de la forma pendiente-intersección (A) Escriba la ecuación de la form a pendiente-intersección de una recta con una pen diente de | e intersección con el e j e ; ’ de —5. (B) E n cu en tre la p e n d ie n te y la in terse cc ió n y , y d e sp u é s h ag a la g rá fic a de y = - ¡ x - 2.

Soluciones

(A) Sustituya m —f y b = —5 en v = m x + b para obtener

y

y = h ~ 5 (B) La intersección con el eje y dej> = —¿ x - 2 es —2, así que el punto (0, —2) está en la gráfica. La pendiente de la recta es - f , de m odo que, cuando la coordenada x de (0, —2) aum enta cuatro unidades (desplazam iento), la coordenada y cam bia p o r —3. El punto resultante (4, —5) se dibuja fácilm ente, y los dos puntos están en la gráfica. En resum en, se em pieza con la intersección con el eje y en —2, y se m ueve cuatro unidades a la derecha y tres hacia abajo para obtener un segundo punto. D espués se dibuja una recta para unir los dos puntos, com o se m uestra en la figura 3.

FIGURA 3


E scriba la ecuación de pendiente-intersección de la recta con pendiente § y la intersec ción con el eje V igual a 1. G rafique la ecuación.

E n el ejem plo 3 se encontró la ecuación de una recta con una pendiente dada y por la intersección con el ejey . Esto tam bién perm ite encontrar la ecuación de una recta que pasa p o r cierto punto con una pendiente dada o encontrar la ecuación de una recta que contenga dos puntos dados. Suponga una re c ta que tiene pendiente m y pasa por un punto fijo (a- y ) . Si el punto (.v, y ) es cualquier otro punto sobre la recta, entonces:

x — Xx

2-2

Líneas rectas

121

esto es, y - >>i = m(x -

a-,)

(4)

Se observa ahora que (x v y s) tam bién satisface la ecuación (4) y se concluye que (4) es la ecuación de una recta con pendiente m que pasa por (x,, >',)■ Así se obtiene la fo rm a p u n to -p e n d ie n te de la ecuación de una recta.

Teorema 3

Forma punto-pendiente U n a ecuación de una recta que pasa p o r un punto P l(xv y ^ con pendiente m es

y - y, = m(x - x ,) Recuerde que P(x, y) es un punto variable y ?,(*, - y,) es un punto fijo.

P(x, y) yi)

__ y

\

EJEMPLO 4

La form a punto-pendiente es m uy útil, ya que perm ite encontrar la ecuación de una recta si se conoce la pendiente y las coordenadas de un punto sobre la recta, o si se conocen las coordenadas de dos puntos sobre la recta. En este últim o caso, se encontra rá prim ero la pendiente utilizando las coordenadas de los dos puntos de la recta; des pués se usa la form a punto-pendiente con cualesquiera de los dos puntos dados.

Uso de la form a punto-pendiente (A) Encuentre una ecuación para la recta que tenga pendiente f y pase por el punto ( —2, 1). E scriba la respuesta final en la form a estándar A x + B y = C. (B) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4, - 1 ) y ( —8, 5). E scriba la respuesta final en la form a pendiente-intersección jy = mx + b.

Soluciones

(A) Sea m = f y

= ( - 2 , 1). Entonces y - y i = m{x - x {) y -

1 = § [* -

i " 2)]

y -

1=

¡(x +

3y —2*

—

+ 3y

3= =

4

2a +

7o

2)

2a

— 3y = —7

122

2


(B) E ncuentre prim ero la pendiente de la recta usando la fórm ula de la pendiente:

m = ~ yi = 5 ~ ^ = 6 m x2 - x , -8 -4 -1 2

_ I 2

A hora deje que (x,, y ,) sean cualquiera de los dos puntos dados y proceda com o en la parte A, eligiendo (xv y ,) = (4, —1): y - y i = m ( x - r,) y - (-

1) =

~ \( x — 4)

y + 1 = - \ ( x - 4) y + 1 = ~ \x + 2

y=

-\x

+ 1

Se debe verificar que usando ( - 8, 5), el otro punto dado, se produce la m ism a ecuación.


EjEMPLO

(A) Encuentre la ecuación para la recta que tiene una pendiente de - f y pasa por el punto (3, —2). Escriba la respuesta final en la form a estándar A x + By = C. (B) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( - 3 , 1) y (7, —3). E scriba la respuesta final en la form a pendiente-intersección y = m x + b.

Política comercial de aumento de precios U na tienda de artículos deportivos vende una caña de pescar que cuesta $60 en S82, y un p ar de botas para esquiar en cam po-traviesa que cuesta S80, en $106. yv V -2__ (A) Si se supone que la política de aum ento de precios de la tienda para artículos que cuesten m ás de $30, es lineal y se refleja en el precio de estos dos artículos, escriba una ecuación que relacione el precio de venta al m enudeo R con el costo C. (B) Use la ecuación y encuentre el precio de venta al m enudeo de un par de tenis para correr que cuestan $40. (C) C om pruebe el resultado con un dispositivo de graficación.

Soluciones

(A) Si el precio de venta al m enudeo R se supone es lineal en relación con el costo C, entonces se debe buscar una ecuación cuya gráfica pase por (C p R¡) = (60, 82) y p o r (C2, R 2) = (80, 106). Se encuentra la pendiente, y después se usa la form a punto-pendiente para encontrar la ecuación. 106 - 82 _ 24 80 - 60 ~ 20 R — R¡ = m(C - C,) R - 82 = 1.2(C - 60) R - 82 = 1.2C - 72 R = 1.2C + 10

2-2

150

Líneas rectas

IZ S

(B) R = 1.2(40) + 10 = $58 (C) La com probación se m uestra en la figura 4. 100

o

El gerente de una com pañía que fabrica bolígrafos estim a que sus costos de operación serán de $200 por día con cero producción y de S700 por día con una producción de 1 000 bolígrafos. (A) Suponga que el costo total C por día está linealm ente relacionado con la produc ción total x p or día, escriba una ecuación que relacione estas dos cantidades. (B) ¿Cuál es el costo por día para una producción de 5 000 bolígrafos?

Las ecuaciones m ás sim ples de las rectas son aquellas para rectas verticales y horizontales. C onsidere las siguientes dos ecuaciones: x + Oy = a Ox +

y = b

o

x = a

(5)

o

y = b

(6)

En la ecuación (5), y puede ser cualquier núm ero m ientras que x = a. Así, la gráfica de .v = a es una recta vertical que cruza al eje x en {a, 0). En la ecuación (6), x puede ser cualquier núm ero m ientras que y = b. Así, la gráfica de y = b es una recta horizontal que cruza al eje y en (0, b). El resum en de estos resultados es el siguiente:

Teorema 4

Rectas horizontales y verticales E cuación

G ráfica

x = a (versión corta para x + 0y = a) Recta vertical que pasa por (a, 0) (La pendiente está indefinida.) y = b (versión corta para 0x + y = b) Recta horizontal que pasa por (0, b) (La pendiente es cero.)

y= a

+ x

124

2


Gráficas de rectas horizontales y verticales G rafique la recta x = —2 y la recta y = 3. Solución 1 3í

/ — '

...

■ ■ ■x

-5 — X

->

1

G rafique la recta x = 4 y la recta y = - 2 .

En la tabla 2 se resum en las diferentes form as de la ecuación de una recta que se han analizado para una referencia conveniente.

■

TABLA 2

una recta

Forma estándar

Ax + By = C

A y B no son 0

Forma pendiente-intersección

y = mx + b

Pendiente: m\ intersección con el eje y: b

1 ¿j, S II fs 1

Forma punto-intersección

Pendiente: m; Punto: (x , y })

Recta horizontal

y —b

Pendiente 0

Recta vertical

x =a

Pendiente indefinida


D eterm ine las condiciones en A, B y C de m anera que la ecuación lineal A r + B y = C pueda escribirse en cada una de las siguientes form as, y analice el núm ero posible de intersecciones con los ejes x y y en cada caso. 1.

y = m x = b, m # 0

2.

y=b

3.

x=a

De acuerdo con la geom etría, dos rectas verticales son paralelas entre sí, y una recta horizontal y una vertical son perpendiculares una con respecto a la otra. ¿Cóm o se le

2-2

Líneas rectas

125

podría llam ar entonces a dos rectas no verticales cuando son paralelas o perpendicula res entre sí? El teorem a 5, que se estableció sin prueba, proporciona un exam en conve niente.

Teorema 5

Rectas paralelas y perpendiculares D adas dos rectas no verticales L ] y entonces

con pendientes m ] y m v respectivam ente,

m2

L, || L-,

si y sólo si

m, =

L x _L L2

si y sólo si

m ]m 2 = —1

Los sím bolos || y _L significan, respectivam ente, “es paralela a” y “es perpendi cular a” . En el caso de perpendicularidad, las condiciones m xm 2 = —1 tam bién pueden escribirse com o 1 m2 = ------o

mi

m, = -------------

1

m2

Así: Dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo si sus pendientes son las recíprocas negativas de cada una.

EJEMPLO

Rectas paralelas y perpendiculares D ada la recta L\ 3x - 2y = 5 y el punto P( - 3 , 5), encuentre la ecuación de una recta que pasa p o r P que sea: (A ) Paralela a i

(B) Perpendicular a L

Escriba las respuestas finales en la form a pendiente-intersección^ = m x + b. Soluciones

Prim ero, encuentre la pendiente de L escribiendo 3.\- - 2v = 5 en la form a pendienteintersección equivalente y — m x + b. 3x — 2y = 5 ~ 2 y - - 3x + 5

A sí, la pendiente de L e s ] . La pendiente de una recta paralela a L es la m is m a ,3, y la pendiente de un recta perpendicular a L es f . Ahora se pueden encontrar las ecuaciones de las dos rectas de los incisos A y B usando la form a punto-pendiente.

126

2


(A) Paralelo (m = f):

(B) Perpendicular (m = - 3 )

y - yi = m (x - -vO

y -

y - 5 = §(x + 3)

y ~ 5 = - f ( x + 3)

y — 5 = \x + |

>' - 5 =

3x — 2

y = —5X + 3

y = I* + y


= m{x - x,)

D ada la recta L: 4x + 2y = 3 y el punto / )(2, —3), encuentre la ecuación de la recta que pasa p o r P que sea: (A) Paralela a L

(B) Perpendicular a L

E scriba las respuestas finales en la form a pendiente-intersección y = m x + b.


y

2. (A) m = 0 (C) m = - 4

4.

5. (A) C = 0.5* + 200

(B) $2 700

(B) m = 1 (D) m no está definida

(A) 2* + 5y = —4

(B )y = -§ * -|

y

6.

-5-

1 1 x=4

-►x y= -2 ~

7. (A) y = —2x + 1

(B) y = \ x - 4

2-2

EJERCICIO

Líneas rectas

127

2-2 5.

A _________ En los problemas del 1 al 6, use la gráfica de cada recta para encontrar la intersección con el eje x, y la intersección con el eje y y su pendiente.

i

-*-x

/ / •

/ /

/

/ / -‘r

2.

-y

\ \ \

\ \

-*•* \ \

\

\

En los problemas del 7 al 20 grafique cada ecuación e indique su pendiente, si ésta existe. Compruebe sus gráficas de los problemas del 7 al 20 graficando cada una con un dispositivo de grajicación. 7. y = - f x + 4 9. y = - \ x

3.

s \ 3 S■ r

-►x

8. y = —\x + 6 10. y = §x — 3

11. 2x - 3j = 15

12. 4x + 3y = 24

13. 4 x ~ 5 y = -2 4

14. 6 x - l y = -4 9

1S- £8 - 74= * 17. x = - 3

18. y = - 2

19. y = 3.5

20. * = 2.5

En los problemas del 21 al 24, escriba la form a pendienteintersección de la ecuación de la recta e indique su pendiente y su intersección con el eje y. 21. Pendiente = 1; intersección con el eje y = 0 22. Pendiente = —1; intersección con el eje^ = 7 23. Pendiente = —§; intersección con el eje y = —4 24. Pendiente = f ; intersección con el eje y = 6

B ____________________________________________ En los problemas del 25 al 42, escriba la ecuación de la recta que contenga al(los) punto(s) indicado(s) y/o que tenga la pen-

2

128


diente indicada y/o que tengan las intersecciones indicadas. Escriba la ecuación final en la forma pendiente-intersección y = mx + b o en la forma x = c. 25. (0, 4); m = - 3 27. (—5,4); m

_ —

26. (2, 0); m = 2 2 5

28. (3, -3 ); m = - J

29. (5, 5); m = 0

30. ( - 4 , -2 ); m = \

31. (1,6); ( 5 ,- ■2)

32. (-3 ,4 ); (6,1)

33. ( - 4 ,

(2, 0)

34. (2 ,-1 ); (10, 5)

35. (-3 ,4 ); (5, 4)

36. (0, -2 ); (4, - 2 )

37. (4, 6); (4, --3)

38. ( - 3 , 1); ( - 3 , -4 )

8 );

62. Encuentre una ecuación del bisector perpendicular de AB. Los problemas del 63 al 68 se relacionan con el cálculo. Re cuerde que una recta tangente a un circulo en un punto es perpendicular al radio dibujado en el punto (véase la figura). Encuentre la ecuación de la recta tangente al circulo en el punto indicado. Escriba la respuesta final en laforma estándar Ax + By = C, A £ 0. Grafique el círculo y la recta tangente en el mismo sistema coordenado.

39. La intersección con el ejex es 6; la intersección con el eje y es 2 40. La intersección con el ejex es 3; la intersección con el eje y es 4

63. x1 + y2 — 25, (3, 4)

41. La intersección con el eje x es —4; la intersección con el eje y es 3

64. x2 + y2 = 100, ( - 8, 6)

42. La intersección con el eje x es —4; la intersección con el eje^ es —5

66. x2 + y2 = 80, ( - 4 , - 8)

En los problemas del 43 al 54, escriba una ecuación para la recta que contenga los puntos indicados)’ encuentre la condi ción indicada. Escriba la respuesta fin a l en laform a estándar Ax + By = C, A > 0. 43. ( - 3 , 4); paralela a y = 3x — 5 44. (—4, 0); paralela a y = —2x + 1 45. (2, —3); perpendicular a y = —} x 46. (—2, —4); perpendicular a y = \ x — 5

65. a2 + y2 = 50, (5, - 5 )

67. (x - 3)2 + (y + 4)2 = 169, (8, -1 6 ) 68. (x + 5)2 + (y - 9)2 = 289, (-1 3 , - 6)

c _________________________ 69. (A) Grafique las siguientes ecuaciones en el mismo siste ma coordenado:

47. (2, 5);

paralela al eje y

3x + 2y — 6

48. (7, 3);

paralela al ejex

3 x + 2 y = -6

3x + 2y =3 3 x + 2 y = -3

49. (3, -2 ) ; vertical 50. ( - 2 , -3 ) ; horizontal 51. (5, 0); paralela a 3x — 2y = 4 52. (3,5); paralela a 3x + 4y = 8 53. (0, —4); perpendicular a x + 3y = 9 54. (—2, 4); perpendicular a 4x + 5y = 0 55. Grafique y = mx + 2 para m — 2, m = \ , m = 0, m = —\ , y m = —2, todas en el mismo sistema coordenado. 56. Grafique y = —\ x + b para b = —3,b = 0y b = 3, todas en el mismo sistema coordenado. Los problemas del 57 al 62 se refieren al cuadrilátero con vér tices A (0, 2), B(4, -1 ), C(l, —5 )y D (—3, -2 ). 57. Muestre que AB || DC.

58. Muestre que DA || CB.

59. Muestre que AB _LBC.

60. Muestre que AD ± DC.

61. Encuentre una ecuación del bisector perpendicular de AD. [Sugerencia: Encuentre primero el punto medio de AD.)

A partir de sus observaciones en el inciso (A), describa la familia de rectas obtenidas al variar C en Ax + By = C manteniendo fijos A y B. (C) Verifique sus conclusiones del inciso B con una prueba. 70. (A) Grafique las siguientes dos ecuaciones en el mismo sistema coordenado: 3x + 4y = 12

4x - 3y = 12

(B) Grafique las siguientes dos ecuaciones en el mismo sistema coordenado: 2x + 3y = 12

3a - 2y = 12

A partir de sus observaciones en los incisos (A) y (B), describa la relación aparente entre las gráficas de Ax + By = C y B x - Ay = C. (D) Verifique sus conclusiones del inciso (C) con una prueba.

2-2

Dibuje las gráficas de las ecuaciones de los problemas del 71 al 76. 71. y = = b\\x

72. y = I* + 2|

73. y = 2\x\ - 4

74. >■= - ¿ |* | + 1

75. je2 - y2 = O

76. 4>'2 - 9X2 = O

129

Líneas rectas

82. Tem peratura del aire. A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. La temperatura del aire A en grados Celsius a una altimd de * kilómetros está dada aproximadamente por A = 2 5 -9 x (A) Complete la tabla 2.

Describa la relación entre las gráficas de y = mx + b y _y = |»;.v + b\. (Véase problemas 71 y 72.) 7fe Describa la relación entre las gráficas de y = mx + b y y = m\x\ + b. (Véase problemas 73 y 74.) 79. Demuestre que si una recta L tiene una intersección con el eje * (a, 0) y una intersección con el eje>- (0, b), entonces la ecuación de L se puede escribir en la form a de inter sección

—+ 7 = 1 a b

a ,b r 0

TABLA 2 *

0

1

5

(B Basado en la información de la tabla, escriba una descripción verbal de la relación entre la altitud y la temperatura del aire. Renta de autos. Una agencia de renta de autos calcula un cargo de renta diaria para autos compactos con la ecuación c = 25 + 0.25*

P iix^y,) = P¿Xi, mx, + b ) P2(x2, y2) = P2(x2, mx2 + tí) P}{x„ y3) = PÁXj, mx, + b) tres puntos arbitrarios que satisfacen t' = mx + b con *j < * ,< * ,. Demuestre que Pv P. y P, son colineales; es decir, los tres puntos están sobre la misma recta. [Sugerencia: Use la fórmula de la distancia y muestre que d(Pv P,) + d(Pv P.) = d(Pv P,).] Esto prueba que la gráfica de v = mx + b es una línea recta.

APLICACIONES

donde c es el cargo diario en dólares y * es el recorrido diario en millas. Traduzca este enunciado algebraico en un enunciado verbal que pueda ser usado para explicar los cargos diarios al consumidor. Cargos por instalación. Una compañía de teléfonos calcula los cargos para una instalación de teléfonos con la ecuación c = 15 + 0.7* donde c es el cargo de instalación en dólares y * es el tiempo gastado en minutos al realizar la instalación. Traduzca este enunciado algebraico en una forma verbal que pueda ser usada para explicar los cargos por instalación a un consu midor.

^

81. Punto de ebullición del agua. Al nivel del mar, el agua hierve cuando alcanza una temperatura de 2 12"F. A altitudes mayores, la presión aünosférica es más baja y también la temperamra a la cual hierve el agua. El punto de ebullición B en grados Fahrenheit a una altitud de * pies está dado de manera aproximada por B = 212 - 0.0018*

La compañía Merck & Co., Inc., es la compañía farmacéutica más grande del mundo. Los problemas 85 y 86 se referen a los datos de la tabla 3, tomados del reporte anual de la compañía para 1993.

TABLA 3 Datos financieros seleccionados (en miles de millones J) para IVIerck & Co., Inc.

(A) Complete la tabla 1.

TABLA 1 0

4

3

A

80. Sean

*

2

1988

1989

1990

1991

1992

Ventas

$5.9

$6.5

$7.7

$8.6

$9.7

Ingreso neto

$ 1.2

$1.5

$1.8

$2.1

$2.4

5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 85. Análisis de ventas. Un modelo matemático para las ventas de la compañía Merck está dado por

B (B) Con base en la información de la tabla, escriba una descripción verbal breve de la relación entre la altitud y el punto de ebullición del agua.

y = 5.74 + 0.97* donde* = 0 corresponde a 1988.

130

2


(A) Complete la tabla 4. Redondee los valores de y a una cifra decimal.

TABLA 4 X

0

1

2

3

4

Ventas

5.9

6.5

7.7

8.6

9.7

y (B) Trace la gráfica de y y los datos de ventas en los mis mos ejes. (C) Use la ecuación del modelo para estimar las ventas en 1993. En el 2000. Describa brevemente las ventas de la compañía de 1988 a 1992. 86. Análisis de ingresos. Un modelo matemático para los ingresos de la compañía Merck está dado por

5 libras causa un estiramiento de 2 pulgadas, mientras que cuando no hay peso el estiramiento del resorte es igual a 0. (A) Encuentre una ecuación lineal que exprese s en términos de w. (B) ¿Cuál es el peso que causa un estiramiento de 3.6 pulgadas? (C) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica de la ecuación? (La pendiente indica la cantidad de estiramiento por libra de aumento en el peso.) 89. Negocios: depreciación. Una firma de abogados compró una máquina copiadora en $8 000 que se supone tiene un valor de depreciación de SO después de 5 años. La firma considera una depreciación lineal en un periodo de 5 años. (A) Encuentre una ecuación lineal que exprese el valor V en cjólares en función del tiempo t en años. (B) ¿Cuál es el valor depreciado después de 3 años? ¿Cuál es la pendiente de la gráfica de la ecuación encontrada en el inciso (A)? Interprete verbalmente. 90. Negocios: política comercial de aumento de precios. Un almacén de ropa vende una camisa que cuesta S20 en S33 y una chamarra que cuesta S60 en S93.

y = 1.2 + 0.3-v donde x - 0 corresponde a 1988. (A) Complete la tabla 5. Redondee los valores de .v con una cifra decimal.

TABLA 5 X

0

1

2

3

4

Ingreso neto

1.2

1.5

1.8

2.1

2.4

y

(A) Si se supone que la política de aumento de precios del almacén para los objetos que cuestan más de S10 es lineal, escriba una ecuación que exprese el precio de venta al menudeo R. en términos del costo C (precio de venta al mayoreo). (B) ¿Cuánto paga el almacén por un traje que vende al menudeo a S240? ¿Cuál es la pendiente de la gráfica de la ecuación que se encontró en el inciso (A)? Interprete verbalmente. 91. Condiciones de vuelo. En aire estable, la temperatura del aire disminuye alrededor de 5°F por cada 1000 pies de altura.

(B) Trace la gráfica de la ecuación de modelación y los datos de las utilidades en los mismos ejes. (C) Use la ecuación de modelación para calcular los ingresos en 1993 y en el 2000. Describa en forma breve los ingresos de la compañía desde 1988 hasta 1992. 87. Física. Las dos escalas de temperaturas Fahrenheit (F) y Celsius (C) están relacionadas linealmente. Se sabe que el agua se congela a 32°F o 0°C y hierve a 212°F o 100°C. v 5 (A) Encuentre una ecuación lineal que exprese a F en términos de C. (B) Si una familia europea tiene la calefacción a 20°C, ¿cuál es su equivalente en grados Fahrenheit? Si en Milwaukee la temperatura a la intemperie es de 86°F, ¿cuál es la temperatura en grados Celsius? (C) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica de la ecuación lineal encontrada en la parte A? (La pendiente indica el cambio en grados Fahrenheit por cambio unitario en grados Celsius.) 88. Física. La ley de Hooke establece la relación entre la deformación i- de un resorte y el peso w que causa el estiramiento lineal (un principio bajo el cual se construyen todos los resortes). Para un resorte en particular, un peso de

(A) Si la temperatura al nivel del mar es de 70°F y un piloto comercial reporta una temperatura de —20°F a 18 000 pies, escriba una ecuación lineal que exprese la temperatura T en términos de la altitud A (en miles de pies). (B) ¿A qué altura está el avión si la temperatura es de 0°F? ¿Cuál es la pendiente de la gráfica de la ecuación que se encontró en el inciso (A)? Interprete verbalmente. * 92. Navegación aérea. Un indicador de velocidad aérea en un avión es afectado por los cambios en la presión atmosférica a diferentes alturas. Un piloto puede calcular la velocidad aérea real observando la velocidad aérea indicada y sumándole aproximadamente un 2% por cada 1 000 pies de altura. (A) Si un piloto mantiene una lectura constante de 200 millas por hora en el indicador de la velocidad aérea conforme el avión sube del nivel del mar a una altura de 10 000 pies, escriba una ecuación lineal que exprese la velocidad del aire T (en millas por hora) en términos de la altura A (en miles de pies). (B) ¿Cuál es la velocidad aérea rea) del avión a 6 500 pies?

2-3

(C) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica de la ecuación encontrada en el inciso (A)? Interprete verbalmente. *93. Oceanografía. Después de cerca de 9 horas de un viento tranquilo, la altura de las olas en el océano está relacionada de manera lineal aproximadamente con el tiempo en que el viento ha estado soplando. Durante una tormenta con vientos de 50 nudos, la altura de las olas después de 9 horas era de 23 pies, y después de 24 horas de 40 pies. (A) Si t es la hora en que comenzaron a soplar vientos de 50 nudos y h es la altura de la ola en pies, escriba una ecuación lineal que exprese la altura h en términos del tiempo t. (B) ¿Cuánto tiempo tendrá que estar soplando el viento para que las olas alcancen una altura de 50 pies? Exprese todas las cantidades calculadas con tres dígitos significativos. 94. Oceanografía. Conforme un buzo desciende en el océano, la presión aumenta linealmente con la profundidad. La presión es de 15 libras por pulgada cuadrada en la superficie y 30 libras por pulgada cuadrada 33 pies debajo de la superficie. (A) Si p es la presión en libras por pulgada cuadrada, y d es la profundidad debajo de la superficie en pies, escriba una ecuación que exprese ap en términos de d. (B) ¿Hasta qué profundidad puede descender un buzo si la presión segura para su equipo y su grado de experiencia es de 40 libras por pulgada cuadrada?

s e c c ió n

2-3J

Funciones

*95. Medicina. Investigaciones cardiovasculares han mostra do que a un nivel de colesterol superior a 210, cada aumen to de 1% por encima de este nivel aumenta el riesgo coronario en un 2%. Se encontró que para un grupo de edad particular el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol es de 0.160, y a un nivel de 231 el riesgo es de 0.192. (A) Encuentre una ecuación lineal que exprese el riesgo R en términos del nivel de colesterol C. (B) ¿Cuál es el riesgo para un nivel de colesterol de 260? ¿Cuál es la pendiente de la gráfica en términos de la ecuación encontrada en el inciso (A)? Interprete de manera verbal. * 96. Demografía. El número promedio de habitantes por casa en Estados Unidos ha estado disminuyendo en forma constante, mientras que la estadística se ha mantenido y es aproximadamente lineal con respecto al tiempo. En 1900, había cerca de 4.76 habitantes por casa y en 1990, cerca de 2.5. (A) Si N representa el número promedio de personas por casa, y t representa el número de años desde 1900, escriba una ecuación lineal que represente a N en términos de I. (B) ¿Cuál es la predicción del promedio de habitantes por casa para el año 2000? Exprese todas las cantidades calculadas con tres dígitos significativos.

Funciones D efinición de una función F unciones definidas por ecuaciones N otación de función A plicación U na historia breve del concepto de función L a idea de la correspondencia desem peña un papel central en la form ulación del con cepto de función. U sted ya ha tenido experiencias con correspondencias en la vida cotidiana. Por ejem plo: A A A A A

cada cada cada cada cada

persona le corresponde una edad. artículo en un alm acén le corresponde un precio. autom óvil le corresponde un núm ero de placa. círculo le corresponde un área. núm ero le corresponde su cubo.

U no de los aspectos m ás im portantes de cualquier ciencia (adm inistrativa, de la vida, social, física, de la com putación, etcétera) es el establecim iento de las correspon dencias entre varios tipos de fenóm enos. U na vez que se conoce una correspondencia, se pueden hacer predicciones. Un quím ico puede usar la ley de los gases para predecir la presión de un gas, dada su tem peratura. Un ingeniero puede usar una fórm ula para p redecir las desviaciones de una viga sujeta a diferentes cargas. U n científico de la com putación puede usar fórm ulas para com parar la eficiencia de los algoritm os, o para

132

2


ordenar datos alm acenados en una com putadora. Un econom ista podría predecir las tasas de interés, dada la tasa de cam bio de la oferta de la m oneda. Y así sucesivam ente.

• Definición de una función

¿Q ué tienen los ejem plos anteriores en com ún? C ada uno describe la relación de los elem entos de un conjunto con los elem entos de un segundo conjunto. C onsidere las tablas 1 a 3, las cuales contienen una lista de valores para el cubo, el cuadrado y la raíz cuadrada, respectivam ente

.......................... TABLA 2

TABLA 1 Dominio (número) 2

-1 —

Rango (cubo)

Dominio (número)

-r 8

-1 - ,

0------—*■ 0

2—

—► 8

Rango

(«•gdUofc

Dominio (número)

Rango (raíz cuadrada)

-2

-- ►-1

1-------- ► 1

TA BLA 3

0 ‘

1" /

4

, > 1 0

2

Las tablas 1 y 2 especifican funciones, pero la tabla 3 no. ¿A qué se debe esto? En seguida se explicará la definición del térm ino fu n ció n .

DEFINICIÓN 1

Regla de la definición de una función U na fu n ció n es una regla que produce una correspondencia entre dos conjuntos de elem entos, tales que a cada elem ento del prim er conjunto le corresponde uno y sólo un elem ento del segundo conjunto. El prim er conjunto se llama dom inio, y el conjunto de todos los elem entos que corresponden al segundo conjunto se conoce com o rango.

Las tablas 1 y 2 especifican funciones, ya que a cada valor del dom inio le corres ponde exactam ente un valor del rango (por ejem plo, el cubo de - 2 es —8 y no otro núm ero). Por otra parte, la tabla 3 no especifica una función, ya que al m enos a un valor del dom inio le corresponde más de un valor del rango (por ejem plo, al valor del dom i nio 9 le corresponde —3 y 3, am bas raíces cuadradas de 9). /

/


C onsidere el conjunto de estudiantes inscritos en un colegio y el conjunto de profe sores de ese colegio. D efina una correspondencia entre los dos conjuntos diciendo que a un estudiante le corresponde un profesor si está inscrito regularm ente en uno de los cursos que él im parte. ¿Esta función es una correspondencia? Analice.

Puesto que una función es una regla que relaciona a cada elem ento en el dom inio con un elem ento correspondiente en el rango, esta correspondencia se puede ilustrar usando pares ordenados de elem entos, donde la prim era com ponente representa un

2-3

Funciones

133

elem ento del dom inio y la segunda com ponente representa el correspondiente elem en to del rango. A sí, las funciones definidas en las tablas 1 y 2 se pueden escribir como: #

Función 1 = { ( - 2 , - 8), ( - 1 , - 1 ) , (0, 0), (1, 1), (2, 8)} Función 2 = { ( - 2 , 4), ( - 1 , 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}

En am bos casos, observe que no hay dos pares ordenados cuya prim era com po nente sea la m ism a y las segundas sean- diferentes. Por otra parte, si se enum era al conjunto de pares ordenados A determ inados en la tabla 3, se tiene A = {(0, 0), (1, 1), ( 1 , - 1 ) , (4, 2), (4, - 2 ) , (9, 3) (9, - 3 ) } E n este caso, hay pares ordenados con la m ism a prim era com ponente y con diferentes segundas com ponentes; por ejem plo, (1, 1) y (1, — I) pertenecen al conjunto A . Otra vez se observa que la tabla 3 no define a una función. Esto sugiere una form a alternativa pero equivalente de definir funciones que per m ite una m ejor com prensión de este concepto.

DEFINICIÓN 2

Forma de conjunto de la definición de una función U na función es un conjunto de pares ordenados con la propiedad de que no hay dos pares ordenados cuya prim era com ponente sea igual y sus segundas com po nentes diferentes. El conjunto de todas las prim eras com ponentes en una función se llam a dom inio de la función, y el conjunto de todas las segundas com ponentes se llam a rango.

EjE!VIPLO 1

Funciones definidas como conjuntos de pares ordenados ’rbf (A) El conjuntod 5 == Í{(1.4), define una función, ya que no Í m 5, (2, (2 ,33), ), (3, (3 ,22), ), (4, 3), (5,4)} i hay dos pares ordenados cuya prim era com ponente sea la m ism a y sus segundas com ponentes sean diferentes. El dom inio y el rango son Dom inio = {1, 2, 3, 4, 5} Rango = {2, 3, 4}

Es el conjunto de las primeras componentes Es el conjunto de las segundas componentes

(B) El conjunto T = {(1 ,4 ), (2, 3), (3, 2), (2 ,4 ), (1, 5)} no define una función, ya que hay pares ordenados que tienen la m ism a prim era com ponente y las segundas com ponentes diferentes [por ejem plo, (1 ,4 ) y ( I , 5)].

Problem a seleccionado l

D eterm ine si cada uno de los conjuntos define- una función. Si es así, establezca el dom inio y el rango.

(A) S = { ( - 2, 1), (- 1 , 2), .(0, 0), (- 1 , 1), ( - 2 , 2 (8 ) r =

Ua

¡jú)

{ ( - 2 ! ) , ( - ! , 2), (0, 0), (1, 2), (2, 1))

. m w H H tü u o d *

p J i & M ÛU) f y y , I t f U , __ i r W u f r 1 o / ¿ ¿ ‘c w j / m

A

2


e d e f ! ¡nidias voz

A m bas versiones de la definición de una función son bastante generales, sin restricciones en el tipo de elem entos que se usan en el dom inio o en el rango. Los puntos en el plano y los núm eros com plejos son dos ejem plos de los elem entos del dom inio y del rango que se usan en m uchos cursos avanzados. En este texto, a m enos que se indique otra cosa, el dom inio y el ran g o de u n a fu n ció n se rá n c o n ju n to s de n ú m ero s reales. D efin ir una función expresando la regla de correspondencia en una tabla o lista de pares ordenados de la función es pertinente sólo si el dom inio y el rango son conjuntos finitos. Las funciones con dom inios y rangos finitos se usan extensam ente en ciertas áreas especializadas, com o la com putación, pero la m ayoría de las aplicaciones de fun ciones im plican dom inios y rangos infinitos. Si el dom inio y el rango de una función son conjuntos infinitos, entonces la regla de correspondencia no se puede m ostrar en una tabla, y no es posible enum erar a todos los pares ordenados que pertenecen a la función. En la m ayoría de las funciones se usa una ecuación con dos variables para especificar ambas: la regla de correspondencia y el conjunto de pares ordenados. C onsidere la ecuación y - x z + 2x

x es cualquier núm ero real

(1)

E sta ecuación asigna a cada valor del dom inio x exactam ente un valor del rango y . Por ejem plo, Si x = 4

entonces

y

= (4)2 + 2(4) = 24

Si * = - 5

entonces

_y = ( - i )2 + 2 ( - j ) = - §

Así, se puede ver a la ecuación (1) com o una función con regla de correspondencia y = x 2 + 2x

x2 + 2x corresponde a x

o, equivalentem ente, com o una función con un conjunto de pares ordenados

vi

{ (x ,j) | y = X2 + 2x,

x un número real }

La variable x que se llam a variable independiente, indica cuáles valores se pueden asignar “ independientem ente” a cada x del dom inio. La variable y se llam a variable dependiente, indica qué valores de y “dependen” del valor asignado a x y a una ecua ción dada. En general, cualquier variable que se usa com o un com partim iento para los valores del dom inio se llam a v aria b le in d ep e n d ie n te ; cualquier variable que se usa com o un com partim iento para ios valores de rango se llam a v aria b le d e p en d ien te. ¿Q ué ecuaciones se pueden usar para definir a las funciones?

'1*:*-Mm•-Í M Funciones definidas por ecuaciones

•••■ ■

4"

En una ecuación con dos variables, si a cada v a lo r de la variable independiente le corresponde exactam ente un valor de la variable dependiente, entonces la ecua ción define a una función. Si a cualquier valor de la variable independiente le corresponde m ás de un valor de la variable dependiente, entonces la ecuación no define a una función.

2-3

EJEMPLO 2

Funciones

135

Establecimiento de si una ecuación define a una función O bserve las siguientes ecuaciones y determ ine cuáles definen funciones con variables independientes x y dom inio en todos los núm eros reales: (A) y3 — x = 1

Soluciones

(B) y2 - x2 = 9

(A) Al despejar p ara la variable dependiente y , se tiene

y3 - .v = 1

(2)

y3 = 1 + x y = ^1 + x C om o 1 + x es un núm ero real para cada núm ero real x, y puesto que cada núm ero real tiene exactam ente una raíz cúbica real, la ecuación (2) asigna exactam ente un valor de la variable dependiente, y = Vi + x. para cada valor de la variable inde pendiente x. A sí, la ecuación (2) define a una función. (B) Al despejar para la variable dependiente y , se tiene

y2 - x 2 = 9

(3)

y 2 = 9 + X2 y = ± V 9 + x2 Com o 9 + x 2 es siem pre un núm ero real positivo, y puesto que cada núm ero real positivo tiene dos raíces cuadradas reales, a cada valor de la variable indepen diente x le corresponden dos valores de la variable dependiente, = —v 9 + x2 y y - V 9 + x 2. A sí, la ecuación (3) no define a una función.

Problem a seleccionado 2 _ y 1

Y - 4r “ A

D eterm ine cuáles de las siguientes ecuaciones definen funciones con variable independiente x y dom inio en todos los núm eros reales:

^

(A ) y 2 + S = 4

i

' y

(B) y 3 - x i = 3 ■

v

N

^

O bserve que se ha estado usando la frase “una ecuación define a una función” más que “una ecuación es una función” . Ésta es una distinción técnica diferente, pero se em plea en form a consistente en la literatura m atem ática, es por eso que se adoptará en este texto. Es m uy fácil determ inar si una ecuación define a una función si ésta tiene la grá fica de la ecuación. Las dos ecuaciones que se han considerado en el ejem plo 2 están graficadas en la figura 1.

136

2


FIGURA 1 Gráficas de ecuaciones y prueba de la recta vertical.

-5-

(a)

E n la figura l(a ), cada recta vg i la gráfica de la ecuación y3 — x = 1 en exactam ente un punto. Esto dem uestra que a cada valor de la variable independien te x le corresponde exactam ente un valor de la variable dependiente y, y confirm a nues tra conclusión de que esta ecuación define a una función. Por otra parte, la figura 1(b) Y nuestra que existen rectas verticales que intersectan la gráfica de y 2 — x 2 = 9 en dos puntos. Esto indica que existen valores de la variable independiente* que corresponden a dos diferentes valores de la variable dependiente y, lo cual confirm a nuestra conclu sión de que esta ecuación no define a una función. Estas observaciones se resum en en el teorem a 1.

Teorema 1

Prueba de la recta vertical para una función U na ecuación define a una función si cada recta vertical en el sistem a coordenado rectangular pasa a lo m ás por un punto de la gráfica de la ecuación, i h v & C n U Q / Si una recta vertical pasa por dos o m ás puntos de la gráfica de una ecuación, entonces la ecuación no define a una función.


La definición de una función especifica que a cada elem ento del dom inio le corres ponde uno y sólo un elem ento en el rango. (A) D é un ejem plo de una función tal que a cada elem ento del rango le correspon dan exactam ente dos elem entos del dom inio. (B) D é un ejem plo de una función tal que a cada elem ento del rango le correspon da exactam ente un elem ento del dom inio.

En el ejem plo 2, el dom inio está dado en el enunciado del problem a. E n otros casos, no será asi. A m enos que se establezca lo contrario, se adoptará la siguiente convención para considerar dom inios y rangos de funciones definidas por ecuaciones:

2-3

137

Funciones

Convenciones sobre los dominios y rangos Si una función está definida por una ecuación y el dom inio no está indicado, entonces se debe suponer que el dom inio está en el conjunto de todos los núm eros reales de reem plazo de la variable independiente que producen valores reales para la variable dependiente. El rango es el conjunto de todos los valores de la variable dependiente que corresponden a esos valores del dom inio, l i l i , ..................:----------- ---------------- ---------- ... ______._________

EJEMPLO 3

Determinación del dominio de una función E ncuentre el dom inio de una función definida por la ecuación y = 4x — 3, suponiendo que x es la variable independiente.

Solución

Para y real, x - 3 debe ser m ás grande o igual que 0. Es decir, X

3 a 0

O

* 2 :3

Así, Dom inio: {x | x > 3} o [3, °c j i

O bserve que en algunos casos se om itirá la notación de conjunto y se escribirá sim ple m ente x ^ 3 en lugar de {x | x ^ 3}.


Encuentre el dom inio de la función definida por la ecuación y = Va 4- 5, suponiendo que x es la variable independiente. , ¿ « f' * ■

• Notación de función

* -

-

Cj

- V

±

p

Se usarán las literales para nom brar a las funciones y proporcionar una notación m uy im portante y conveniente para definir a las funciones. Por ejem plo, s i / e s el nom bre de la función definida por la e cu ació n ^ = 2x + 1, entonces, en lugar de las representacio nes m ás form ales f : y = 2x + 1

Regla de correspondencia

o f'- { (x, y) | y = 2x + 1}

Conjunto de pares ordenados

se escribe sim plem ente f ( x ) = 2x + 1

Notación de función

%

-

138

2


E l sím b o lo /(x ) se lee “/'d e x”, “/'e n x” , o “el valor de/ en x” y representa el núm ero en el rango de la fu n c ió n /p a ra la cual los valores del dom inio x están relacionados. Así, / ( 3 ) es el valor de rango para la fu n c ió n /a s o c ia d o con el valor del dom inio 3. Se encuentra este valor del rango reem plazando x por 3 donde x esté en la definición de la función /(x ) = 2x + 1 y se evalúa el lado derecho,

i<

>

- l

/<3) = 2 - 3 + 1 = 6+1

A

= 7 El en u n c ia d o /(3 ) = 7 indica de m anera concisa que a la función/ se le asigna el valor del rango 7 al valor del dom inio 3 o, de m anera equivalente, que el par ordenado (3, 7) pertenece a f . El sím bolo/ : x —>/( x ) , se lee “/ transform a a x en / ( x ) ”, esto tam bién se usa para denotar la relación entre el valor del dom inio x y el valor del ra n g o /(x ) (véase figura 2). Si se escribe y = f ( x ) , se supone que x es una variable independiente y que y y /( x ) representan a la variable dependiente. FIGURA 2

Notación de función.

DOMINIO

RANGO

La función f "transforma" a los valores del dominio x en los valores del rango f(x).

Otras literales distintas d e / y x se pueden usar para representar funciones y varia bles independientes. Por ejem plo, g(t) = t 2 - 3t + 7 j r define a g com o una función de la variable independiente t. Para encontrar g ( —2), se reem plaza a t p o r —2 si t está en el dom inio g (t) = e - 3? + 7 y se evalúa el lado derecho: g ( - 2 ) = ( —2)2

- 3(—2 ) + 7

= 4 + 6 + 7 = 17 A sí, la función g asigna el valor del rango 17 al valor del dom inio —2; el par ordenado ( - 2, 17) pertenece a g. Es im portante entender y recordar la definición del sím b o lo /(x ):

/

2-3

DEFINICIÓN 3

Funciones

139

El símbolo f( x ) El sím bolo f { x ) representa al núm ero real en el rango de la función/ correspon diente al valor de dom inio x. S im bólicam ente,/: x —> /(x ). El par ordenado (x, /( x ) ) pertenece a la función f Si x es un núm ero real que no está en el dom inio de .¿.en to n ces/ n o e stá d e fin id a en x y /( x ) no existe.

EJEMPLO 4

Evaluación de funciones

Para 15

f(x )

x - 3

g(x) = 16 + 3x - x~

h{x) = V 2 5 - x

encuentre: (A) / ( 6)

Solución

(A) / ( 6)

(B) g (~ 7 )

(C) *(10)

(D) /(O) + *(4) - h ( - 3)

15 6 —3

(B) g ( - 7 ) ¡ = 16 + 3( -7 ) - (—7 )2 ¡ i________________________ i

16 - 21 - 49 = - 5 4

(C) /z(10) r = V 2 5 - 102 ¡ = V 2 5 - 100 = V ^ T S I_______________ I Pero V —75 no es un núm ero real. Ya que se ha acordado restringir el dom inio de una función a los valores de x que produzcan valores reales para la función, 10 no está en el dom inio de h y /j (10) no está definida. (D) /(O) + g(4) - h ( - 3 ) rI I

15

i ‘ 0 -3

+ [16 + 3(4) - A2] - V 2 5 - ( - 3)2

i________ 15 = — + 12 - V Ï 6 = - 5 + 12 - 4 = 3

Problem a selec clonado

Use las funciones del ejem plo 4 para encontrar: (A) / ( —2)

(B) g(6)

(C) * ( - 8)

(D)

140

2


^ EJEMPLO 5

r '\l

V

Determinación de los dominios de las funciones Encuentre los dom inios de las funciones f g y h:

x-wo

,,

% -■ & > )

X

/(•*) = ------ j

Soluciones

i ( x ) = 16 + 3x - x2

Dominio de f

La fracción 15/(x - 3) representa un núm ero real para todos los reem plazos de x por un núm ero real excepto en x = 3, ya que la división entre 0 no está definida. A s í,/(3 ) no existe, y el dom inio d e / e s el conjunto de todos los núm eros reales excepto el 3. Frecuentem ente se indicará esto al escribir

v/

1

-

/) Ux) = ye

h(x) = V 2 5 — x2

1 \

15

H L 'W ' <9

Dominio de g

El dom inio es R, el conjunto de todos los núm eros reales, ya que 16 + 3x —x2 representa un núm ero real para todos los reem plazos de x por núm eros reales.

* ,

Dominio de h

U fe

El dom inio es el conjunto de todos los núm eros reales x, tales que -J25 - x2 es un núm ero real; es decir, tales que 25 - x2 ^ 0. R esolviendo 25 - x2 = (5 - x)(5 + x) > 0 con los m étodos analizados en la sección 2-8, se encuentra

M i ^

Dom inio: —5 < x < 5 — -

l

- ___

__ Problem a seleccionado 5

[—5, 5]

r

Encuentre los dom inios de las funciones F, G y H:

F(x) = x2 + 5x - 2 >• .


o

G(x) = Vx + 3 v

H(x) =

x - 2

Sean x y h núm eros reales. t y (A) Si /(x ) .= 4x + 3, qué parte de lo siguiente es verdadero: ; (1) / ( x + 7/) = 4x + 3 + h a z 4* + 4 * + 3 h) = 4x + 47? + +"66 (3) /fí-x (x + + A)

-

(B) Si g(x) = x 2, qué parte de lo siguiente es verdadero ( 1) g (x + h) = x2 + h (z (2 ;) g{x g (x +t h) n> = x2 + / r - x- t n~ (3) g (x + h) = x 1 + 2hx + h2#' (C)

Si M (x) = x2 + 4x + 3, describa las operaciones que se deban realizar para evaluar M (x + h).

j'Z' >

2-3

O

141

Funciones

1 ? '„

l ?

A dem ás de evaluar las funciones con núm eros específicos, tam bién es im portante poder evaluar funciones de expresiones que im pliquen una o m ás variables. Por ejem plo, la diferencia de cocientes

/>

/ ' 2j d

f ( x + h ) ~ j[ x )

x y x + h en el dom inio d e / h

0

*

que se estudia extensam ente en un curso de cálculo.

/V

M Evaluación y simplificación de una diferencia de cocientes

j

Para f ( x ) = x 2 + 4x + 5, encuentre y sim plifique: [ b +/N) > o (A) f ( x + h)

5 - * .S “ O

Solución

(B)

f ( x + h) — f(x ) — — , hl= 0 h -

\

p

(A) para encontrarf ( x + h). se reem plaza x por x + h en todo lugar que éste aparezca en la ecuación que define a / y sim plifique: /(

) = (x + h f + 4(.v + h) + 5 = x 2 + 2xh + h2 + 4x + 4h + 5

‘o

(B) Se usa el resultado del inciso (A), para obtener f ( x + h) —/ ( x) _ x 2 + 2xh + h2 + 4x + 4h + 5 — (x2 + 4x + 5) h

ts

h x2 4- 2xh + h2 + 4x + 4h + 5 — x 2 — 4x — 5

2xh + h2 + 4h

h(2x + h + 4) h

— 2x + h + 4

R epita el ejem plo 6 p a ra /(x ) = x 1 + 3x + 7.

P R E C A U C IÓ N

1.

Si/ es una función, entonces el sím bolo / ( x + h) representa al valor d e / e n el núm ero x + h y se debe evaluar reem plazando la variable independiente en la ecuación que define a/ con la expresión x + h, com o se hizo en el ejem plo 6 . N o se debe confundir esta notación con la notación algebraica fam iliar para la m ultiplicación: f ( x + h ) ¥=f x + fh 4(x + tí) + 4 x + 4 k

h rsíá en notación de función. 4(x + h) está en notación de multiplicación algebraica.

142

2


2.

Existe otra interpretación com ún incorrecta del sím bolo f { x + h). S i / e s una función arbitraria, entonces f ( x + h ) # / ( * ) + f(h ) Es posible encontrar algunas funciones particulares para las cuales f ( x + h) - f ( x ) + f ( h ) es un enunciado verdadero, pero en general estas dos expre siones no son iguales.

• Aplicación EjEMPLO 7

Construcción Se desea hacer un com edero para cabras en form a rectangular con 100 m etros de cerca. (A) Si x representa el ancho del com edero, exprese esta área A (x) en térm inos de x. (B) ¿Cuál es el dom inio de la fu n c ió n ^ (determ inado por las restricciones físicas)?

Y

Soluciones

(A) D ibuje una figura y m arque los lados.

ñ

-X

«p;

X

x (Ancho)

Perímetro = 100 metros de malla Semiperimetro = 50 Si x = ancho, entonces 50 - x = longitud

■X)

^ x

50 - x (Longitud)

A A(x) = (A ncho)(Longitud) — x(50 — x)

6

-V

(B) Para hacer un com edero, x debe ser positivo; pero a: tam bién debe ser m enor de 50 (o la longitud no existirá). Así, Dom inio: 0
50 Notación de desigualdad Notación de intervalo


Trabaje nuevam ente con el ejem plo 7 suponiendo adem ás que se usa un gran establo com o uno de los lados del com edero.

a Una h isto ria b rev e

L a historia del uso de las funciones en m atem áticas ilustra la tendencia de los m atem á ticos a extender y generalizar cada concepto. La palabra “función” fue usada por pri m era vez por Leibniz en 1694 para establecer cualquier cantidad asociada con una curva. En 1718, Johann B em oulli consideró a una función com o cualquier expresión hecha de constantes y variables. Posteriorm ente en el m ism o siglo, Euler consideró a una función com o cualquier ecuación hecha de constantes y variables. Euler extendió el uso de la m uy im portante n o tac ió n /(x ), aunque su origen por lo general se le atribu ye a C lairaut (1734).

2-3

Funciones

143

La form a de la definición de función que se ha usado hasta el siglo XX (m uchos textos aún contienen esta definición) fue form ulada por D irichlet (1805-1859). El esta bleció que, si dos variables x y y están relacionadas de m anera que a cada valor de x le corresponde exactam ente un valor de y , entonces se dice que y es una función (univaluada) de x . D irichlet determ inó a x , la variable a la cual se le asignarían valores, variable independiente, y y a la variable cuyos valores dependen de los valores asigna dos a x , variable dependiente. A los valores supuestos para x les llam ó dom inio de la función, y a los correspondientes valores supuestos para y , rango de la función. Ahora, com o el conjunto de conceptos se usa en casi todas las m atem áticas, se tiene la definición m ás general de función que se presenta en esta sección en térm inos de conjunto de pares ordenados de elem entos. Respuestas a los problemas seleccionados 1. (A) S no define una función (B) T define una función con dominio { —2, - 1 , 0, 1 ,2 } y rango {0, 1,2} 2. (A) No define una función (B) Define una función 3.

S ,' '

f

r

/

: 0 '

[5 , °°)

N otación d e intervalo

4. (A) - 3 (B) - 2 (C) N o existe (D) 1 5. Dominio de F: todos los números reales Dominio de G: x < —3 o x > 2 N otación d e desig u ald ad ( —=°, —3) U [2, °o) N otación d e intervalo Dominio de H: Todos los números reales excepto el 2 6 . (A) x2 + Zxh + h2 + 3x + 2>h + 1 (B ) 2x + h + 3 7. (A) A(x) = *(100 - 2*)(B) Dominio: 0 < x < 50 N otación d e desig u ald ad (0. 50) N otación d e intervalo

i

i

EJERCICIO

x > — 5 N otación d e desigualdad

2-3

A _________ In d iq u e s i c a d a tabla d e lo s p ro b le m a s d e l 1 a l 6 d efin e una fu n ció n .

1. Dominio

Rango

2. Dominio

ÍO 'O

O

Rango -*■ 1

Ni

'V

-* 3 -> 5

V

In diqu e s i c a d a uno d e lo s co n ju n to s d e lo s p ro b le m a s d e l 7 a l 12 d efin en a una fu n ció n . E ncuentre e l d o m in io y e l ran go d e c a d a fu n ció n .

3. Dominio

Rango

4. Dominio

Rango

,¿ /

7.. {(2,4), ((2.41. (3, (3.6). 6), (4, (4. 8). 8), (5 (5.10) ,10)|I /7 8. | ( - 1, 4), (0,3), (1,2), (2,1)} Y

y. Vo 9. {(10,-10), (5, -5 ), (0,0), (5, 5), (10, 10)}^ Hj
-3

10. {(-10, 10), (-5 ,5 ), (0,0), (5, 5). (10, 10)} 11. ((0,1), (1,1), (2,1), (3, 2). (4,2), (5, 2)}- y / 12. |(1, 1), (2.1), (3,1), (1,2), (2, 2), (3, 2)} ^

144

2


Indique si cada una de las gráficas de los problemas del 13 al 18 es la gráfica de una función.

Los problemas del 19 al 28 se refieren a las funciones S| - L1 / ( x) = 3x — 5 g(t) = 4 - t F(m) = 3m2 + 2m —4 \

k

Evalúe como se le indica.

' L

19. / ( - I ) - V (

i

^

20. g(6)

21. G ( - 2) 23. F ( - l ) + / ( 3 )

A

22. F (—3) 24. G(2) - g (-3 ) 26. 3G (-2) + 2F(—1)

25. 2F (-2) - G(—1) 27.

G(u) = u — u2

/(O) • g(~2) F ( - 3)

28

g{4)-f(2) G(l)

En los problemas del 29 al 32, use la siguiente gráfica de una función f para determinar a x o h al entero más cercano, como se indica. Algunos problemas pueden tener más de una res puesta. - r(x)

K JO

1 i/ '

16. JY 10

fd .W )

0 I

■■t i I I l >x

1( -►x

V

i

,n

(L A )

-10

30. y = /(4)

29. > > = /(-4) -10

31. 4 = f(x)

1

32. ~ 2 = f(x )

¿

f

' ¿ fH) 17.

B ____________ Determine cuáles de las ecuaciones de los problemas del 33 al 42 definen unafunción con variable independiente x. Para aque llas que lo hagan, encuentre el dominio. Para aquellas que no lo hagan, encuentre un valor de x que corresponda a más de un valor de y. ^ , 33. 2x - 5y = 20 ^

34. 6y - 3x = 24

35. y2 - x ■

36. y - x2 = 2

S7V

'f:

-

2-3

y

145

Fundones

/ i 37. |jc| + y2 = 5 %

38. a2 + |y| = 5

39. x f - S y

40. x + 4y + xy = 3

41. a2 + y2 = 81

42. 16a2 + y2 = 16

« * ,D ( - 1 + h ) - D ( - l ) 70. Si /)(/>) = —3p2 —4p + 9, encuentre: n 71. Encuentre / ( a), dado que /(a + h) = 2(a + ¿)2 - 4(a + h) + 6.

En los problemas del 43 a! 56, encuentre el dominio de la fu n ción indicada. 43. /(a ) = 3x + 8 ^

72. Encuentre g(x), dado que

44. g(x) = - 2 x + 11

g(A + A) = 5 —7(a + A)2 + 8(a + h)

45. h(x) = V a + 2 X+Z> o 46. k(x) = V 4 - x y -a -?.) 2 + 3á 3 - 5a 47. j (a) = 48. m(x) = 4 - x 1 +x a2 — 2x

50.

51. F(x) = V 4 - X 2

52. G(x) = V a2 — 9

53. H(x) = V a2 - 3a - 4

54. A:(a) = V 3 - 2a -

—A

55. L(a)

2

m(x + h) = 4(a + h) - 3V 7 T 7 Í + 9 74. Encuentre s (a), dado que

x2 + 11

+ 9 49. «(a) = a2 — 2a — 8

p (a) F

73. Encuentre m(x), dado que

=

, a2 + 3a - 10

s(a

+ h) = 2 ^ a + A - 6(a + h) - 5

a2

“■ M W -VPí

j

En los problemas del 75 al 82, encuentre y simplifique: (A)

A £ / enunciado verbal “la función f multiplica el cuadrado del elemento del dominio por 3 y después resta 7 del resultado ”y el enunciado algebraico “f(x) = 5a- — 7 " define a la misma función. En los problemas del 57 al 60, traduzca cada defini ción verbal de una función en una definición algebraica.

f ( x+h)

f(x)

(B)

/(a ) - /(a ) a —a

75. / ( a) = 3a - 4

76. / ( a) = - 2 a + 5

77. / ( a) = a2 - 1

78. / ( a) = a2 +

79. / ( a) = - 3 a2 + 9a

12

a

- 1

80. /( a) = - a2 - 2a - 4

La función g resta 5 del doble del cubo del elemento del

81. / ( a) = A3

dominio. 3* ) = | * , - y La función/multiplica al elemento del dominio P ^ —3 y le suma 4 al resultado, f j ^ >

83. El área de un rectángulo es de 64 pulgadas cuadradas.

La función G multiplica la raíz cuadrada del elemento del dominio por 2 y le resta el cuadrado del elemento del dominio al resultado. - ÍX~i~z. y y La función F multiplica al cubo del elemento del dominio por —8 y le suma tres veces la raíz cuadrada de tres al resultado. En los problemas del 61 al 64, traduzca cada definición algebraica de la función en una definición verbal. / ( a) = 2a - 3

g ( a)

F(x) = 3a 5 - 2 V a

G(a) = 4 V x - a2

a

Exprese el perímetro P(w) como una función del ancho w y establezca el dominio. 84. El perímetro de un rectángulo es de 50 pulgadas. Exprese

. 'Y'sS rJ '

el área A(w) como una función del ancho w y establezca el dominio. 85. La altura de un triángulo rectángulo es de 5 metros. Exprese

la hipotenusa h(b) como una función de la base b y establezca el dominio. ■if 86. La altura de un triángulo rectángulo es de 4 metros. Exprese la base b(h) como una función de la hipotenusa h y establezca el dominio.

= -2 a + 7

X

. F(2 + h ) ~ F(2) 65. Si F(s) = 3s + 15, encuentre 2% - > . K( 1 + h) - ATC1) 66, Si K(r) = 7 + 4r, encuentre: 67. Si g(x) = 2 —a2, encuentre

82. /( a) = a3 +

, g(3 +

h) -

g(3)

^

í La mayoría de las aplicaciones en esta sección están relacio nadas con el cálculo. Así, los problemas son similares a los que se abordan en un curso de cálculo, pero se requiere, ade más, un análisis de las funciones. 87. Función de costo. Los costos fijos por día para producir una docena de donas son $300, y los costos variables S1.75.

Si diariamente se producen a docenas, exprese el costo diario C(a) como una función de x.

. P{2 + h) - P(2) 68. Si P(m) = 2w2 + 3, encuentre: 69. Si I(w ) = —2 m¿ + 3w —1, encuentre:

APLICACIONES

L(—2 + h) —L (—2)

88. Función de costo. Los costos fijos por par de esquís producidos son $3 750, y los costos variables S68. Si todos los días se producen x pares de esquís, exprese el costo diario C(a) como una función de a .

146

2


89. Física: rapidez. La distancia en pies que un objeto cae en el vacío está dada p o r.?(/) = 1612, donde t es el tiempo en segundos. Encuentre:

1— •X— 1

3 >ies

( A ) 5 (0 ), 5 (1 ), 5 (2 ), 5(3) 5(2 + /¡) - 5(2)

(B)

—

h

Figura para el ejercicio 93

(C) ¿Qué sucede en el inciso (B) cuando h tiende a 0? In terprete físicamente. 90. Física: rapidez. Un automóvil parte del reposo y viaja por una carretera recta y nivelada. La distancia en pies que viaja el automóvil está dada por 5(0 = I Oí2, donde t es el tiempo en segundos. Encuentre: ( A ) 5 (8 ), 5 (9 ), 5 (1 0 ), 5(11) 5(11 + h ) ~ 5(11)

(C) ¿Qué sucede en el inciso (B) cuando h tiende a cero? Interprete físicamente.

\

\

* 94. Arquitectura. Un arquitecto quiere diseñar una ventana cuya área sea de 24 pies cuadrados, y tenga la forma de un rectángulo con un semicírculo montado, como se muestra en la figura. Si x es el ancho de la ventana, exprese el perímetro P(x) de la ventana como una función de *. Complete la tabla de abajo [redondee cada valor de P(x) a dos cifras decimales]: 4

X

5

6

7

P(x)

91. Fabricación. Se va a hacer una caja para dulces con una pieza de cartón que mide 8 por 12 pulgadas. Se hacen cuadrados, de .v pulgadas por lado, que después se cortan en cada una de las esquinas para después doblar los extremos hacia arriba (véase la figura). Encuentre una fórmula para el volumen de la caja V(x) en términos de .r. A partir de consideraciones prácticas, ¿cuál es el dominio de la función V ? X

X

X

X

X

X

-Í ? fi

X

X

92. Construcción. Un ranchero tiene 20 millas de malla para cercar un terreno de pastoreo en forma rectangular a lo largo de un río recto. Si no se requiriese cercar a lo largo del río y los lados perpendiculares al río tuvieran x millas de largo, encuentre una fórmula para el área A(x) del rectángulo en términos de x. A partir de consideraciones prácticas, ¿cuál es el dominio de la función A ? 93. El gerente de una clínica veterinaria quiere construir una perrera con cuatro corrales individuales, como se indica en la figura. La ley establece que cada corral debe tener una puerta de 3 pies de ancho y un área de 50 pies cuadrados. Si x es el ancho de un corral, exprese la cantidad total de malla F(x) (excluyendo las puertas) requerida para construir la perrera como una función de x. Complete la siguiente tabla [redondee los valores de F(x) a una cifra decimal]: X

F(x)

4

5

6

7

-95. Construcción. Una tubería de agua dulce va desde una fuente en la orilla de un lago a una pequeña comunidad de descanso en una isla a 8 millas de la costa, como se indica en la figura. El costo de colocar la tubería en la tierra es de S 10 000 por milla y el de colocarla en el lago de S 15 000. Exprese el costo total C(x) para la construcción de la tubería como una función de x. A partir de consideraciones prácticas, ¿cuál es el dominio de la función C?

Tierra

- 96. Clima. Se suelta un globo de observación en un punto a 10 millas de la estación que recibe su señal y se eleva verticalmente como se indica en la figura. Exprese la distancia d(h) entre el globo y la estación de recepción como una función de la altitud h del globo.

2-4

Gráficas y fundones

147

**97. Costos de operación. El costo de combustible por hora que un tren gasta en su recorrido es de v2/5 dólares, donde v es la velocidad en millas por hora. (Note que el costo depende del cuadrado de la velocidad.) Otros costos, incluyendo el de mano de obra, son de $400 por hora. Exprese el costo total de un viaje de 500 millas como una función de la velocidad v. ** 98. Costos de operación. Refiérase al problema 97. Si al tren le toma t horas realizar un viaje de 500 millas, exprese el costo total como una fundón de i.

SECCION

2-4

Gráficas de funciones C onceptos básicos Funciones lineales Funciones cuadráticas Funciones definidas en partes L a función entero m ás grande En esta sección se trata nuevam ente a las gráficas de las ecuaciones lineales, esta vez se usan los conceptos de función introducidos en la sección anterior. Tam bién se desarrollan procedim ientos para graficar funciones definidas por ecuaciones cuadráticas y funciones form adas por partes que unen a dos o m ás funciones. Se com enzará por analizar algunos conceptos generales relacionados con las gráficas de funciones.

Conceptos básicos y o f(x) Intersección con el eje y

(*, y) o (*, m /

\

y " \yo f(x)

i A

Intersección con el eje x

FIGURA 1 función.

Gráfica de una

C ada función que tiene un dom inio tiene un rango de núm eros reales y una gráfica (la g ráfica de los pares ordenados de núm eros reales que constituyen la función). C uando se g rafican las funciones, los valores del dom inio usualm ente están asociados con el eje horizontal y el rango de valores con el eje vertical. Así, la gráfica de una función/ es igual que la gráfica de la ecuación y

p.

=/'(*)

donde x es la variable independiente y la abscisa de un punto en la gráfica de / Las variables y y /( x ) son variables dependientes, y tam bién es la ordenada de un punto en la g ráfica de /( v é a s e la figura 1). L a abscisa de un punto en el que la gráfica de una función intersecta al eje x se denom ina intersección con el eje x o raíz de la función. L a intersección con el eje x es tam bién una solución real o raíz de la ecuación f ( x ) = 0. La ordenada de un punto en el que la g ráfica de una función cruza el eje y se denom ina intersección con el eje y de la función. L a intersección con el eje y está dada p o r/(0 ) , siem pre que 0 esté en el dom i nio d e / N ote que una función puede tener m ás de una intersección con el eje x, pero nunca puede tener m ás de una intersección con el eje y (una consecuencia de la prueba de la recta vertical que se analizó en la sección anterior). El dom inio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos en la gráfica de la función, y el rango es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y . Es instructivo ver el dom inio y rango com o subconjuntos de los ejes coordenados com o se verá en la figura 2. O bserve el uso efectivo de la notación de intervalo descri biendo el dom inio y rango de las funciones en esta figura. En la figura 2(a) se usa un

148

2


punto sólido para indicar que un punto está en la gráfica de la función, y en la figura 2(b) se usa u n punto abierto para indicar que un punto no está en la gráfica de la función. U n punto abierto o sólido al final de una gráfica indica que la gráfica term ina ahí, m ientras que una punta de flecha indica que la gráfica continúa m ás allá de la parte m ostrada sin cam bios significativos en su form a [véase la figura 2 (b)]. Dominio o rango.

m

m

Dominio f ■ [o, b] Rango f ■; [c, d]

Dominio f = {a, =°) Rango f = ( - » , d) (b)

(a)

Determinación del dominio y rango de una gráfica Encuentre el dom inio y rango de la función/ en la figura 3: Solución yo f(x)

Los puntos en cada extrem o de la gráfica d e /in d ic a n que la gráfica term ina en esos puntos. A sí, las coordenadas x de los puntos en la gráfica están entre - 3 y 6 . El pun to abierto en ( —3, 4) indica que —3 no está en el dom inio d e / m ientras que el punto cerrado (6 , —3) indica que 6 está en el dom inio de / Así, D o m in io :—3 < x < 6

1

V

y = f(x)

[ —3 , 6]

(- - 5 / ¿ 3

Las coordenadas y están entre —5 y 4, y, com o antes, el punto abierto en ( - 3 , 4 ) indica que 4 no está en el rango d e / y el punto cerrado en (3, - 5 ) indica que —5 está en el rango d e/ Así, Rango: —5 < y < 4

FIGURA 3

o

[ - 5 ,4 ]

i ** V

Encuentre el dom inio y rango de la función/ dado por la gráfica de la figura 4.

rp-r sC '0

FIGURA 4

!Vv

- J ~ Lf

En general no se espera que pueda determ inar el rango de cada función definida por una ecuación que encontrará en este curso, pero para ciertas funciones básicas reunidas en nuestra biblioteca de funciones elem entales, es im portante conocer el do m inio y rango de cada una, y éstas se analizarán cuando se introduzcan las funciones elem entales. U no de los principales objetivos de este curso es proporcionarle una b i blioteca de funciones m atem áticas básicas, incluyendo sus gráficas y otras propiedades im portantes. Éstas entonces se pueden usar para analizar gráficas y propiedades de una am plia variedad de funciones m ás com plejas que surgen de m anera natural en impor-

2-4


149

tantes aplicaciones. En esta sección se em pieza este proceso introduciendo algo del lenguaje que se usa com únm ente para describir el com portam iento de una gráfica. A hora se verán las propiedades de aum ento o dism inución de las funciones. Intuitivam ente, una función está aum entando sobre un intervalo 7 en su dom inio y su g ráfica aum enta conform e la variable independiente aum enta sobre 7. U na función está dism inuyendo sobre 7 si su gráfica desciende conform e la variable independiente au m enta sobre / (véase figura 5). g(x)

Funciones crecientes, decrecientes y constantes.

i

i

\

=

y

1

/

\

/ (

5

\ \

5

t J

1

í

■l Decreciente en (- » , =°)

-5

Decreciente en ( - » , t»)

(a)

(b)

PM

m í>

(q(x >==6 X

TT I I \J

\

_

I

pM = *2 - i .

o

1

-5

Constante en (-«>, «=)

(c)

Decreciente en (-<», 0] Creciente en [0, =<=)

(d)

D e m anera m ás form al, se definen las funciones crecientes, decrecientes o cons tantes com o sigue:

DEFINICIÓN 1

Funciones crecientes, decrecientes y constantes Sea / un intervalo en el dom inio de una función / Entonces:

• Funciones lineales

1.

/ e s creciente en I s ( f( b ) > f ( a ) siem pre que b > a en 7.

2.

/ es decreciente en 7 si f ( b ) < / ( o ) siem pre que b > a en 7.

3.

/ es constante en 7 si / ( a ) = f ( b ) para toda a y b en 7.

A hora se aplicarán los conceptos generales analizados antes para especificar una clase de funciones conocidas com o fu n cio n es lineales.

150

2


DEFINICIÓN 2

Función lineal U na función/ es una función lineal si f(x ) = mx + b donde m y b son núm eros reales.

G raficar una función lineal es equivalente a graficar la ecuación y - rnx + b que se reconoce com o la ecuación de una recta con pendiente m y b com o intersección con el ejey . C om o la expresión m x + b representa un núm ero real para todos los núm e ros reales de x; el dom inio de una función lineal es el conjunto de todos los núm eros reales. La restricción m J= 0 en la definición de una función lineal im plica que la g ráfi ca no es una recta horizontal. Por consiguiente, el rango de una función lineal es tam bién el conjunto de todos los núm eros reales. tttt—

Gráfica de fíx) = mx + b, m ¿ 0 La gráfica de una función lin e a l/e s una linea recta, no vertical y no horizontal con pendiente m e intersección con el eje y igual a b. ': :i: I

i

;

-

*

f(x)

/ / / b

/

"

ir » » !

/ m >0 Pendient e positiva Creciente sn (-°° ce)

m< 0 Pendiente negativa Decreciente en (-=°, * )

D om inio: Todos los núm eros reales

Rango: Todos los núm eros reales

----A hora observe que hay dos tipos de rectas que no son gráficas de funciones linea les. U na recta vertical con ecuación x = a no pasa la prueba de la recta vertical y no puede d efin ir a una función. U na recta horizontal con ecuación y = b pasa la prueba de la recta vertical y define una función. Sin em bargo, una función de la form a f(x ) = b

Función constante

se llam a función constante y no una función lineal.

2-4 ............i .


Gráficas de funciones

......

151 —— ■■ '

(A ) ¿Es posible para una función lineal tener dos intersecciones con el eje x? ¿No hay intersecciones con el eje x? Si alguna de sus respuestas es positiva, dé un ejem plo. (B) ¿Es posible para una función lineal tener dos intersecciones con el eje y l ¿No hay intersecciones con el e j e / ? Si alguna de sus respuestas es positiva, dé un ejem plo. (C) A nalice el núm ero posible de intersecciones con el eje x y con el e je ^ para una función constante.

Gráfica de una función lineal Encuentre la pendiente y las intersecciones, y después trace la gráfica de la función lineal definida por f(x )

fx + 4

C om pruebe con un dispositivo de graficación.

m

Solución

La intersección con el eje_y es /(O ) = 4, y la pendiente es - f . Para encontrar la intersec ción con el eje x, resuelva la e c u a c ió n /(x ) = 0 para x: f( x ) = 0 -fx + 4 = 0 -fx - -4 x = ( §)(

4) = 6

intersección en el eje x

L a g ráfica d e/ se m uestra en la figura 6 Para encontrar la intersección con el eje y con un dispositivo de graficación, eva lúe sim plem ente la función e n x = 0 [véase la figura 7(a)]. La m ayoría de los dispositivos de graficación tienen un procedim iento preconstruido para aproxim ar a las interseccio nes con el eje x, usualm ente llam ado raíz o cero de la función [véase figura 7(b)]. FIGURA 7

Intersección con el eje y

(a)

Intersección con el eje x (b)

Encuentre la pendiente y las intersecciones, y después trace la gráfica de la función lineal definida por f(x ) = \x - 6

152

2


• Funciones cuadráticas

DEFINICIÓN 3

De la m ism a m anera en que se usó el polinom io de prim er grado m x + b ,m 0, para definir una función lineal, se usará el polinom io de segundo grado ax2 + bx + c, a =£ 0, para definir una fu n c ió n cuadrática.

Función cuadrática U na función f e s una fu n ció n c u a d rá tic a si /( x ) = ax2 + bx + c

a ¥= 0

( 1)

donde a , b y c son núm eros reales.

En la figura 8 se m uestran las gráficas de tres funciones cuadráticas. La gráfica de una función cuadrática se llam a p a rá b o la . FIGURA 8 Gráficas de funciones cuadráticas.

/

10

V

/

i i i i I »X

-10-f(x) = xz

g(x) = 3x2 - 12x + 14

(a)

(b)

(c)

Com o la expresión ax2 + bx + c representa un núm ero real para todo elem ento el dom inio de x: El dom inio de una función cuadrática es el conjunto de todos ios núm e ros reaies. El rango de una función cuadrática y m uchas características im portantes de esta gráfica se pueden determ inar transform ando prim ero la ecuación ( 1) al com pletar el cuadrado en la form a /(x ) = a(x - h f + k

(2)

Un breve repaso de com pletar el cuadrado, que se analizó en la sección 1-6, sería de sum a utilidad en este punto. Se ilustrará este m étodo m ediante un ejem plo y después se generalizarán los resultados. C onsidere la función cuadrática dada por /(x ) = l x 2 - 8x + 4

(3)

Se em pezará por transform ar la ecuación (3) en la form a (2) al com pletar el cuadrado com o sigue:

2-4


153

/W -2**-a* + 4 / Y

' ’

, a a l> '7 VU l

V

s w -li

Factorice el coeficiente de x2 de los dos primeros términos.

= 2ÍX2 — 4x) + 4

X

^« .y i f c V * '

= 2(x* - 4x + ?) + 4 =

— 4x

) + 4 - S

\ £ ^

= 2(x — 2)2 — 4

Sume 4 para completar el cuadrado dentro del paréntesis. Pero como el 2 está fuera del paréntesis, se necesita en realidad sumar 8, de manera que se debe restar 8 . La transformación está completa.

A sí, /(x ) = 2(X -

2 f

-

(4)

4

Si x = 2, entonces 2(x — 2)2 = 0 y / ( 2 ) = —4. Para cualquier otro valor de x, el núm ero positivo 2(x — 2)2se sum a al núm ero —4, de esta m anera se hace m ás grande a f ( x ) . Por tanto, /(2 ) = - 4 es el valor m ínim o de j(x ) para toda x (¡un resultado m uy im portante!). Es m ás, si se eligen dos valores cualesquiera, que estén equidistantes de la recta vertical x = 2, se obtendrán los m ism os valores para la función. Por ejem plo x = 1 y x = 3 están a cada unidad de x = 2 , y los valores correspondientes de la función son /(1 ) = 2(—l )2 - 4 = - 2 /(3 ) = 2(1)2 - 4 = - 2 E n consecuencia, la recta vertical x = 2 es una recta de sim etría. Es decir, si la gráfica se dibuja en una hoja de papel y el papel se dobla a lo largo de la recta x = 2, entonces los dos lados de la parábola se acoplarán perfectam ente. Todos estos resultados se han ilustrado en las g ráficas de las ecuaciones (3) o (4) y la recta x = 2 en el m ism o sistem a coordenado. (V éase figura 9.) A partir del análisis anterior, se puede observar que si x se m ueve de izquierda a d erech a,/(x ) está decreciendo en (-< * , 2] y creciendo en [2„^:)Adem ás,/(x) puede tener valores m ás grandes o iguales a - 4 , pero no m enores de - 4 . A sí que, R ango de /: y > —4

Gráfica de f(x ) = 2 ( x - 2 ) 2- 4 .

o

[ —4, so)

E n general, la gráfica de una función cuadrática es una parábola con una recta de sim etría paralela al eje vertical. El punto m ás bajo o m ás alto de la parábola, donde exista, se llam a v értice. El valor m áxim o o m ínim o de una función cuadrática siem pre ocurre en el vértice de la parábola. La recta de sim etría que pasa por el vértice se llama e je de la parábola. En el ejem plo anterior, x = 2 es el eje de la parábola y (2, —4) es su vértice. O bserve los im portantes resultados que se han obtenido al transform ar la ecuación (3) en la ecuación (4): El vértice de la parábola El eje de la parábola

154

2


El valor mínimo de/(x) El rango de la función/ A hora, se explorará el efecto del cam bio de las constantes a, h y k en la gráfica de y = a (x — h)2 + k.

/

/


^

E xplore el efecto del cam bio de las constantes a , h y k en la gráfica f(x ) = a(x — h)2 + k. (A) Sea a = 1 y h = 5. G rafique la fu n c ió n /p a ra k = —4 ,0 y 3 sim ultáneam ente en el m ism o sistem a coordenado. Explique el efecto de cam biar k en la gráfica def (B ) Sea a = 1 y k = 2. G rafique la fu n ció n /p ara /z = —4 ,0 y 5 sim ultáneam ente en el m ism o sistem a coordenado. E xplique el efecto de cam biar h en la gráfica de/ (C ) Sea h = 5 y k = - 2 . G rafique la función/ para a = 0.25,1 y 3 sim ultáneam en te en el m ism o sistem a coordenado. G rafique la f u n c ió n /p a ra a = 1, —1 y —0.25 sim ultáneam ente en el m ism o sistem a coordenado. (D) A nalice los incisos A -C usando un dispositivo de graficación y la ventana de visión estándar.

El análisis anterior se generaliza para todas las funciones cuadráticas en el siguiente cuadro:

Propiedades de una fundón cuadrática y su gráfica D ada una función cuadrática y la form a obtenida al com pletar el cuadrado f ( x ) = ax2 + bx + c = a(x — h)1 + k

a ¥= 0

se resum en las propiedades generales de la siguiente m anera: 1.

La gráfica de/ es una parábola:

V \

\

1

Ej X =\ 1 1 ¡

'<;> E|, x= h i y Vértice (h, k)

/

/ / j ----- Vértice (h, k)

*— H i

¡ Mili! ¡í i'

, Máximo /(x)

\ i

i > Mínimo f(x) ■

h a>0 Abre hacia arriba

2. 3.

-■ ■

!1 K 11 1

\

h a<0

Abre hacia abajo

V értice: (/z, k). (La parábola aum enta en un lado del vértice y dism inuye en el otro.) Eje (de sim etría): x = h. (Paralela al eje y.)

2-4

4. 5. 6.

155

l i l i /(/? ) = k es el m ínim o si a > O y el m áxim o si a < 0. Dom inio: Todos los núm eros reales. Rango: ( —=», k] si a < 0 o [£, °°) si a > 0.

■l-Uit!---!-> ’’ ~ ^

EJEMPLO 3


¡ •jii^l!?ii-JüItilL'i-ij:li L !.~ J '■VJ'^r:::

Gráfica de una función cuadrática G rafique, encuentre el vértice, el eje, el m áxim o o m ínim o de f ( x ) , los intervalos donde / está aum entando o dism inuyendo y el rango. f(x )

Solución

-0.5x2 - x + 2

C om plete el cuadrado: f(x ) — ~0.5x2 - x + 2 = -0 .5 (x 2 + 2 x + ?) + 2 = —0.5(jt2 + 2x + 1) + 2 + 0.5 = -0 .5 (x + l )2 + 2.5

A partir de la últim a form a se puede ver que h = — 1 y k = 2.5. A sí, el vértice está en ( —1 ,2.5), el eje de sim etría es x = —1, y el valor m áxim o e s / ( —1) = 2.5. Para graficar f encuentre el eje y el vértice; después trace varios puntos en cada lado del eje (véase figura 10).

FIGURA 10

Eje

y

x

f( x )

-4

-2

-2

2

-1

2.5

0

2

2

-2

En la gráfica se ve q u e /'e s tá aum entando en ( —=°, - 1 ] y dism inuye en [ - 1 , °°). Tam bién, y = f i x ) puede ser cualquier núm ero m enor o igual a 2.5. A sí, el rango de f e s y < 2.5 (-= 0 ,2 .5 ],


G rafique, encuentre el vértice, el eje, el m áxim o o m ínim o de f ( x ) , los intervalos donde / e s t á aum entando o dism inuyendo y el rango. f{x ) =

- a-2

+ 4x - 4

156

2


L a función valor absoluto se puede definir usando la definición de valor absoluto de la sección 1-4:

/(x ) = |*| =

-x

si x < 0

X

six > 0

O bserve que esta función está definida por fórm ulas diferentes para las diversas partes de su dom inio. Las funciones cuyas definiciones im plican m ás de una fórm ula se lla m an funciones definidas en partes. C om o lo ilustra el siguiente ejem plo, las funcio nes definidas en partes ocurren de m anera natural en m uchas aplicaciones.

Cargos por renta U na agencia de renta de autos cobra $0.25 por m illa si el total de m illas recorridas no excede de 100. Si el total de m illas recorridas excede a 100, la agencia carga S0.25 por m illa para las prim eras 100 m illas m ás $0.15 por cada m illa adicional recorrida. Si x representa el núm ero de m illas recorrido por un vehículo rentado, exprese el cargo por m illas recorridas C(x) com o una función de x. Encuentre C(50) y ¿(1 5 0 ) y grafique aC . Solución

Si 0 ^ x ^ 100, entonces C(x) = 0.25x Si x > 100, entonces Cargo para las Cargo para el millaje primeras 100 millas adicional

C(x) =

0.25(100) 25

+ 0.15(x -

100)

+

15

0.15* -

= 10 + 0.15x A sí, se puede ver que C es una función definida en partes _

0.25x | l 0 + 0.15x

si 0 < x < 100 s ix > 100

Las funciones definidas en partes se evalúan determ inando prim ero cuál regla se va a aplicar y después usando la regla apropiada para encontrar el valor de la función. Por ejem plo, para evaluar C(50), se usa la prim era regla y se obtiene C(50) = 0.25(50) = $12.50

x = 50 satisface 0 < x < 1 00

Para evaluar C(150), se usa la segunda regla y se obtiene C( 150) = 10 + 0.15(150) = $32.50

x = 150 satisface x > 100

Para graficar C, se grafica cada regla en la definición para los valores indicados de x (véase la figura 11).

2-4

X

y

50

FIGURA 11

157

= 0.25x 12.5 25

100

a:


y

= 10 + 0.15*

100

25

150

32.5

O bserve que las dos fórm ulas producen el m ism o valor e n x = 100 y que la g ráfi ca de C no tiene cortes. De m anera inform al, una gráfica (o parte de una gráfica) se dice que es c o n tin u a si no se corta o si no tiene separaciones. (Se puede encontrar una exposición form al de continuidad en un texto de cálculo.)


R efiriéndose al ejem plo 4 encuentre C(x) si la agencia carga $0.30 por m illa cuando el total de m illas recorridas no excede a 75, y $0.30 por m illa para las prim eras 75 m illas, m ás SO.20 p o r cada m illa adicional recorrida cuando el total de m illas recorridas exce de a 75. Encuentre C(50) y C(100) y grafique a C.

Gráfica de una función que implica al valor absoluto. M G rafique la función f dada p o r

’ / I/! f(x) =

X

+ y-r

M y encuentre su dom inio y rango. C om pruebe con un dispositivo de graficación. Solución

A hora se usará la definición en partes de x para encontrar una definición en partes d e / que no im plique a x. Si x < 0, e n to n c esx = —x y

f(x )

x = X + t —r =

\x\

x

x H--------- = X -

-X

1

Si x = 0, entonces/ no está definida, ya que la división entre 0 no está perm itida. Si x > 0 entonces x = x y /(x ) = x + 7-7 = x + - = x + 1 x x

158

2


En consecuencia, una definición en partes para/ es

m s

f( x ) = -*-x

z

x - 1

si x < 0

x + 1

si x > 0

Dom inio; x ¥= 0

o

(-o o , - 0 ) U (O, «o)

Se usa esta definición para g ra fic a r/c o m o se m uestra en la figura 12. Al exam inar esta g ráfica, se ve que y = /( x ) puede ser cualquier núm ero m enor que - 1 o cualquier núm ero m ayor que 1. Así,

7

FIGURA 12

Rango: y < — 1

(- o c , - 1 ) U (1,00)

> ->1

O bserve que se han usado los puntos abiertos en la figura en (O, - 1 ) y (O, 1) para indicar que estos puntos no pertenecen a la gráfica d e/ . D ebido a la separación de la gráfica en x = O, se dice q u e / e s discontinua en x = 0 . La com probación de esto se m uestra en la figura 13. L a m ayoría de los dispositi vos de graficación denotan al valor absoluto de la función por abs(x)(verifíquelo en su manual).

FIGURA 13

G rafique la fu n c ió n /d a d a por

m

=

2x

y encuentre su dom inio y rango.

Se concluye esta sección con un análisis de una interesante y útil función llam ada/««ción entero m ás grande. El entero m ás grande de un núm ero real x, denotado por [x], es el entero n tal que n < x < n + 1; es decir, [x] es el entero m ás grande m enor o igual a x. Por ejemplo: [3.451 = 3[-2 .1 3 1 = —3 m

-f .'V 5

5 !• 1

I7J = 7 n

, f Ï

■ -r>

La función del entero más grande.

No es igual a -2

1-8 1 = - 8

M = 0 La función entero más grande / está definida por la ecuación j(x ) = [x]. En seguida se m uestra una definición parte por parte d e / para —2 < x < 3 , y e n l a figura 14 se m uestra una g ráfica d e / para - 5 < x < 5. Com o el dom inio d e / son todos los núm eros reales, la definición p o r partes continúa indefinidam ente en am bas direccio nes com o lo m uestra el patrón de escalera de la figura. Así, el rango d e / e s el conjunto de todos los enteros. La función entero m ás grande es un ejem plo de una clase m ás general de funciones llam adas funciones por pasos.

2-4

ftx ) =


-2

si - 2 < * < - 1

-1

si - 1 < * <

0

0

si

0£x<

1

1

si

1< *<

2

2

si

2
3

159

Se observa en la figura 14 que para cada valor entero de x hay una separación en la gráfica y entre los valores enteros de * no hay separación. Así, la función entero más grande es discontinua en cada entero n y continua en cada intervalo de la forma [n, n + 1).

^ EXPLORACIÓN Y ANÁLISIS 3

EJEMPLO

La mayoría de los dispositivos de graficación denotan a la función entero más gran de com o int(x); aunque no todas se definen de la misma forma que la dada aquí. Grafique y = int(x) para - 5 £ x < 5 y - 5 < j < 5 y analice cualquier diferencia entre su gráfica y la figura 14. Si su dispositivo de graficación apoya un modo co nectado y un modo de puntos para la graficación de funciones (consulte su manual), ¿qué modo es preferible usar para esta gráfica?

Ciencia de la computación Sea

„ , m

[[10* + 0.51 ■

10

Encuentre: ( A ) / ( 6)

(B )/(1 .8 )

( C ) / ( 3.24)

¿Q ué operación desem peña esta función? Soluciones

,A

r,rs

(A) m

[[60.5]]

■i r

60

- m ~ 6

¡[18.51 18 , 0 (B) / ( 1 . 8 ) = L i = - = 1 . 8 (C) /(3 .2 4 ) =

^

= 3.2

(D ) /( 4 .5 8 2 ) = K ^ a = ^ - 4 . 6

(E)

[-2 6 .3 1 -2 7 / ( —2.68) = = — = - 2 .7

(D) /(4.582)

(E) / ( —2.68)

160

2


Com parando los valores de x y f ( x ) en la tabla 1, se concluye que esta función redondea las fracciones decim ales al décim o m ás cercano.


Seaf ( x ) = I * + 0.5J. Encuentre: (A) / ( 6)

(B) /(1 .8 )

(C) /(3 .2 4 )

(D) / ( - 4 . 3 )

(E) /( - 2 .6 9 )

TA BLA 1 Ai

¿Q ué operación desem peña esta función? A x)

6

6

1.8

1.8

3.24

3.2

4.582

4.6

- 2.68

-2.7

Respuestas a los problemas seleccionados 1. D om inio:—4 < * < 5 o ( - 4 , 5) Rango: —4 < y < 3 o ( - 4 , 3)

4.

2. Intersección con el eje>-: /(O) = Intersección con el eje x: 4 Pendiente ~

0.3* si 0 < * < 75 7.5 + 0.2* si * > 75 C(50) = S15; C(100) = $27.50 C(x)

-6

i —

-j-/

/—

y 1

5

5.

—* si * < 0 2 —x s i* > 0 D om inio:* 0 o ( — 0) U (0, * ) Rango: (->», - 2 ) U (2, » ) 2

3. Eje: * = 2 Vértice: (2,/(2))- = (2. 0) Máximo: 2) = 0 Crecimiento: ( —» , 2] Decrecimiento: [2, <») Rango: (-< * ,/(2 )] = ( - « , 0]

m í

m

-*-x

N / / i

. /

\ V i

6.

\

(A) 6 (B) 2 (D) - 4 (C) 3 (E) - 3 ; / se redondea a las fracciones decimales que más se acercan al entero.

2-4

EJERCICIO

161

2-4

A _________ Los problemas del 1 al 6 se refieren a las funciones f g, h, k, p y q dadas en las siguientes gráficas. (Suponga que las gráficas continúan más allá de las partes mostradas como lo indica la figura.)

Los problemas del 7 al 12 describen la gráfica de una función continua f sobre el intervalo —5, 5. Trace la gráfica de la fu n ción que sea consistente con la información dada. 7. La función/es creciente en [—5, - 2 ] , es constante en [—2, —2] y decreciente en [2, 5], 8. La función/es decreciente en [—5, —2], es constante en [—2,2] y creciente en [2, 5].

1. Para la función f encuentre: (A) (B) (C) (D) (E) (F) (G) (H)


Dominio Rango Intersección con el eje x Intersección con el eje y Intervalos en los cuales/está aumentando Intervalos en los cuales/está disminuyendo Intervalos en los cuales/ es constante Cualquier punto de discontinuidad

9. La función/es decreciente en [—5, —2], es constante en [—2, 2] y decreciente en [2, 5]. 10. La función/es creciente en [—5, - 2 ] , constante en [—2, 2] y creciente en [2, 5]. 11. La función/es decreciente en [—5, —2], creciente en [—2, 2] y decreciente en [2, 5]. 12. La función/es creciente en [—5, —2], decreciente en [—2, 2] y creciente en [2, 5].

2. Repita el problema 1 para la función g. 3. Repita el problema 1 para la función h.

En los problemas del 13 al 16, encuentre la pendiente y las intersecciones, y después trace la gráfica.

4. Repita el problema 1 para la función k. 5. Repita el problema 1 para la función p. 6. Repita el problema 1 para la función q.

f(*)

g(x)

5

5-

¿

14. f(x) = 3 x - 3

15. f(x) = - \ x - \

16. f{x) = ~ \ x + \

En los problemas 17 y 18, encuentre una función lineal f que satisfaga las condiciones dadas.

%

i

13. f(x) = Ix + 4

17. / ( - 2 ) = 7 y /(4) = - 2

%

18. / ( —3) = - 2 y /(5) = 4

B h(x)

kM

s

i

En los problemas del 19 al 22, grafique, encuentre el eje, el vértice, el máximo o mínimo y el rango. 19. f(x) = ( x - 3)2 + 2

\ \

y

/ 5 \ \

/ / / -s

,

21. f(x) = - ( x + 3)2 - 2

u

En los problemas del 23 al 26, grafique, encuentre el eje, el vértice, las intersecciones con el eje x y con el eje y.

-►X

1;

+ 2)2 - 4

22. f(x) = - ( x - 2)2 + 4

5

t S- —

20. f(x) =

:/ -f-

q00

pM

-s

-r - - f -*-x

23. f(x) = x 2 - 4 x - 5

24. f(x) = x2 - 6 x + 5

25. f(x) = —X* + 6x

26. /( x) = - x 2 + 2x + 8

En los problemas del 27 al 30, grafique, encuentre el eje, el vértice, los intervalos sobre los que es creciente, y los interva los sobre los que es decreciente. 27. f ( x ) = x 2 + 6x+ 11

/I

29. f(x) = - x 2 + 6x - 6

28. f(x) = ^ - 8x + 14 30. f(x) = - x 2 - 10x - 24

162

2


En los problemas del 31 al 38, grafique, encuentre el dominio, el rango y cualquier punto de discontinuidad. 31. m

SI - 1 < A < s iO S í< l

A* + 1

=

—A" +

1

si - 2 si l <

X

32. f(x ) =

—x + 2

4

si - 3 SÍ — 1

1 -3

si - 2 si 2 <

-2

33. f(x) = 34. /( a) = 35. f(x) =

A+

2

x -

2

37. g(x) =

—2

<

a

< 2

a

s 5 1

<

2 2

>

SÍ A <

0

-je2 - 1

si je >

0

- 2

si a < si A >

0

x2 + 2

2

- 1 -

A" + 1

-A -2

38. h(x) =

< A

Si x si a

5 -x

a <

si x < si A >

- l - x

36. f{x) =

S A <

0

En los problemas del 39 al 44, grafique, encuentre el eje, el vértice, el máximo o mínimo de f(x), el rango, las interseccio nes, los intervalos sobre los que es creciente y los intervalos sobre los que f es decreciente. 39. f(x) = ±a2 + 2 r + 3

40. /(a) = 2a2 - 12a- + 14

41. f(x) = 4a-2 - I2.V + 9

42. f(x) = -^ a -2 + 4a- - 10

43. /(a) = -2 v 2 - 8a- - 2

44. /(a) = -4 a-2 - 4a- - 1

En los problemas del 45 al 50, encuentre una definición de función por partes de f que no implique la función valor abso luto (véase el ejemplo 5). Trace la grájicay encuentre el domi nio, el rango y cualquier punto de discontinuidad.

51. /( a) = Ia/2J

52. /( a-) = Ijc/31

53. f(x) = [3aJ

54. f(x) = ¡2x1

55. /(a) = a- - W

56. /(a) = M - x

Dado q u e /e s una función cuadrática con mín J\x) = /(2 ) = 4, encuentre el eje, el vértice, el rango y las intersecciones con el eje x. Dado que/es una función cuadrática con máxf(x ) = / ( —3) = - 5 , encuentre el eje, el vértice, el rango y las intersec ciones con el eje a:. La función/ es continua y creciente en el intervalo [1,9] c o n /(l) = - 5 y /(9 ) = 4. (A) Trace una gráfica de / que sea consistente con la información dada. (B) ¿Cuántas veces su gráfica cruza al eje x l ¿Podría la gráfica cruzar más veces? ¿Menos veces? Apoye sus conclusiones con trazos adicionales y/o argumentos verbales. Repita el problema 59 si la función no tiene que ser continua. La función f es continua en el intervalo [—5, 5] con/ ( —5) = - 4 ,/( l) = 3 ,y /( 5 ) = - 2 . (A) Trace una gráfica de / que sea consistente con la información dada. (B) ¿Cuántas veces cruza su gráfica al eje x? ¿Podría la gráfica cruzar más veces? ¿Menos veces? Apoye sus conclusiones con trazos adicionales y/o argumentos verbales. Repita el problema 61 si fe s continua en [—8, 8] con / ’( —8) = - 6 , / ( - 4 ) = 3 ,/(3 ) = - 2 y / ( 8) = 5. Los problemas del 63 al 66 están relacionados con cálculo. En

/ geometría, una recta que intersecta a un círculo en dos puntos distintos, se llama recta secante, como se muestra en la figura (a). En cálculo, la recta que pasa por los puntos (xr f( x ) ) y (x2,f(x )) se llama recta secante para la gráfica de lafunción f como se muestra en la figura (b). f(x)

' Compruebe sus gráficas de los problemas del 45 al SOgraficando la función dada de f con un dispositivo de graficación. 45. f{x) = ^

46. /( a) = ,v|x|

X

47. /( a) = a- + A —

1

49. /(a) = |.r| + |a" - 2|

48. /( a) = a + 2 \*+ ll a- + 1 50. / ( a) = |.v| - |jc - 3|

En los problemas del 51 al 56, escriba una definición para f (véase el análisis de la figura 14 en esta sección) y trace la gráfica def. Incluya suficientes intervalos para ilustrar clara mente la definición y la gráfica. Encuentre el dominio, el ran go, y cualquier punto de discontinuidad. Compruebe sus gráficas de los problemas 51 al 56 graficando la definición dada d e f con un dispositivo de graficación.

Recta secante para un circulo

(a)

Recta secante para la gráfica de una función (b)

En los problemas 63 y 64, encuentre la ecuación de la recta secante que pasa por los puntos indicados en la gráfica de f Grafique f y la recta secante en el mismo sistema coordenado. 63. /(a) = a2 - 4; (—1, —3), (3, 5)

2-4

(A) Complete la tabla 2. Redondee los valores de f(x ) a una cifra decimal.

64. /(* ) = 9 — x2; ( - 2 , 5), (4, - 7 ) 65. Sea/(* )= x2 —3* + 5. Si h es un número real diferente de cero, entonces (2, / ( 2)) y (2 + h ,f(2 + /;)) son dos puntos distintos de la gráfica de / (A) Encuentre la pendiente de la recta secante que pasa por esos dos puntos. (B) Evalúe la pendiente de una recta secante para h = 1, h = 0 .\ ,h = 0.01 y h = 0.001. ¿A qué valor se va aproximando la pendiente?

163


TABLA 2 *

28

30

32

— — i— 34

36

Millaje

45

52

55

51

47

Ax)

66. Repita el problema 65 para f(x ) = x2 + 2x — 6. (B) Trace la gráfica d e /y los datos de las millas recorridas en los mismos ejes. (C) Use los valores de la función de modelación redon deado a dos cifras decimales para calcular las millas recorridas por un neumático que tiene presión de 31 lb/pulg2. Y para 35 lb/pulg2. (D) Describa brevemente la relación entre la presión y las millas recorridas.

Los problemas de! 67 al 74 requieren del uso de un dispositivo de graficación. En los problemas del 67 al 72, grafique primero las funciones f y g en la misma ventana de visión, después grafique m(x) y n(x) en su propia ventana de visión. m(x) = 0.5 [/(.v) + g(x) + \f(x) - g(*)|]

76. Producción de automóviles. La tabla 3 enumera la producción total de vehículos de la compañía General Motors de Estados Unidos en millones de unidades de 1989 a 1993.

n{x) = 0.5[/(*) + g(x) - |/(*) - g(*)|] 67. /(*) = —2x, g(x) = 0.5* 68. /(*) = 3* + 1, „?(*)= -0 .5 * -- 4 69. /(*) = 5 —0.2*\ g(x) = 0.3*2 - 4

TABLA 3

70. /(*) = 0.15*2 - 5, g(x) = 5 - 1-51*| 71. /(*) = 0.2*2 - 0.4* - 5, g(x) = 0.3* - 3 72. /(*) = 8 + 1.5* - 0.4.V-. g(x) = -0.2* + 5

Año

89

90

91

92

93

Producci ó

4.7

4.1

3.5

3.7

5.0

73. ¿Cómo podría caracterizar a la relación e: los problemas del 67 al 72? [Sugerencia: Véase el problema 89 en el ejercicio 2-4.]

Un modelo matemático para los datos de producción de la compañía General Motors está dado por

¿Cómo podría caracterizar la relación entre/ g y n en los problemas del 67 al 72? [Sugerencia: Véase el problema 90 en el ejercicio 2-4.]

f(x ) = 0.33x2 - 1.3* + 4.8 donde * = 0 corresponde a 1989. (A) Complete la tabla 4. Redondee los valores de * a una cifra decimal.

APLICACIONES

W

75. Millas recorridas de un neumático. Una fábrica de neumáticos para automóvil recopila en la tabla 1 los datos que relacionan la presión del neumático x, en libras por pulgada cuadrada (lb/pulg2) y las millas recorridas, en miles de millas.

TABLA 4 *

0

1

Producci ó

4.7

4.1

2 3.5

3

4

3.7

5.0

Ax)

TABLA 1 *

28

30

32

34

36

Millaje

45

52

55

51

47

Un modelo matemático para estos datos esta dado por f{x) = —0.51 Bjc2 + 33.3* - 481

(B) Trace la gráfica d e /y los datos de producción en los mismos ejes. (C) Use los valores de la función del modelo f, redondee a dos cifras decimales para calcular la producción en 1994 y en 1995. Describa en forma verbal la producción de General Motors de 1989 a 1993.

164

2


77. Física: fuerza de un resorte. La ley de Hooke establece que la relación entre el alargamiento s de un resorte y el peso w que causa el alargamiento es lineal (un principio en el cual se basa la construcción de las básculas de resortes). Un peso de 10 libras estira un resorte una pulgada, mientras que cuando no hay peso el alargamiento es cero. (A) Encuentre una función lineal f s = f( w ) = rnw 4- b que represente esta relación. [Sugerencia: Los puntos ( 10, 1) y (0, 0) no están en la gráfica d e /]. (B) Encuentre/(15) y/(30); es decir, el alargamiento del resorte para pesos de 15 y 30 libras respectivamente. (C) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica d e /? (La pendiente indica el aumento en el alargamiento por cada libra de aumento en peso.) (D) G rafique/para 0 s « ’ < 40. 78. Negocios y depreciación. Una compañía compró una computadora electrónica en S20 000 y supuso que su va lor de recuperación es de S2 000 después de 10 años. Su valor se deprecia linealmente de S20 000 a 52 000. (A) Encuentre la función lin eal/ V —J(t) que relaciona al valor V, en dólares, con el tiempo i en años. (B) Encuentre/(4 ) y / ( 8), los valores de la computadora después de 4 y 8 años respectivamente. (C) Encuentre la pendiente de la gráfica de/ (La pendiente indica la disminución en el valor por año.) (D) Grafique / para 0 s / < 10. 79. Comisiones por ventas. Un vendedor de aparatos recibe un salario base de $200 a la semana y una comisión del 4% por todas las ventas de $3 000 que hace durante la semana. Además, si las ventas por semana son de S8 000 o más, el vendedor recibe un bono de SI00. Si x representa* las ventas por semana (en dólares), exprese los ingresos por semana E(x) como una función de x, y trace su gráfica. Identifique cualquier punto de discontinuidad. Encuentre E{5 750) y £(9 200). 80. Cargos por servicio. En los fines de semana y días feriados, un servicio de emergencia de plomería cobra $2.00 por minuto para los primeros 30 minutos de un servicio a domicilio y $ 1.00 por minuto por cada minuto adicional. Si x representa la duración de un servicio a domicilio en minutos, exprese el cargo total del servicio S(x) como una función de x, y trace su gráfica. Identifique cualquier punto de discontinuidad. Encuentre 5(25) y 5(45). 81. Construcción. Se va a construir una perrera rectangular con 100 pies de malla. (A) Si x representa el ancho de la perrera, exprese su área A(x) en términos de x. (B) Considerando las limitaciones físicas, ¿cuál es el dominio de la función^? (C) Grafique la función para este dominio. (D) Determine las dimensiones del rectángulo que va a formar el área máxima. 82. Construcción. Trabaje nuevamente con el problema 81, pero ahora suponga que se va a usar una cerca que ya existe para un lado del corral. (Sea x = Ancho; véase la figura).

Ciencias de la computación. Seaf{x) = 10J0.5 + x/10]. Evalúe/en 4, - 4 , 6, -6 ,2 4 ,2 5 ,2 4 7 , -2 4 3 , -2 4 5 y -246. ¿Qué operación realiza esta función? Ciencias de la computación. S ea/x) = 10()|0.5 + x/lOOj. E v a lú e/e n 40, -4 0 , 60, -6 0 , 740, 750, 7 551, -6 0 1 , —649 y -6 5 1 . ¿Qué operación realiza esta función? *85. Ciencias de ia computación. Use la función del entero más grande para definir una función / que redondee a los números reales al centésimo más cercano. »86. Ciencias de la computación. Use la función del entero más grande para definir una función /q u e redondee los números reales al milésimo más cercano. Cargos por entrega. Un servicio de entrega de paquetes por todo el país carga $15 por la entrega nocturna de paquetes que pesan una libra o menos. Cada libra de más (o fracción) cuesta $3. Sea C(x) el cargo por entrega nocturna de un paquete que pesa x libras. (A) Escriba una definición por partes de C para 0 < x S 6, y trace a mano la gráfica de la función C. (B) ¿Puede usarse la función/ definida porf(x )= 15 + 3 [x] para calcular los cargos pomgntrega para toda x, 0 < x s 6? Justifique su respuesta. ^

Cargos de teléfonos. Se han cargado llamadas de los números 900 a un usuario. Una línea con el número 900 que proporciona consejos y sugerencias para juegos de video, cobra $4 por el primer minuto de la llamada y S2 por cada minuto adicional (o fracción de éste). Sea C(x) el cargo para una llamada de x minutos. (A) Escriba una definición por partes de C para 0 < x s 6, y dibuje a mano la gráfica de C. (B) ¿Puede usarse la función / definida por /(x )= 4 + 2 [x] para calcular los cargos para toda x, 0 < x £ 6? Justifique su respuesta.

89. Renta de autos. Una agencia de renta de autos renta 300 automóviles diarios a una tarifa de $40 por día. Por cada S 1 de aumento en la tarifa se rentan cinco autos menos. ¿A qué tarifa se tendrían que rentar para producir el máximo ingreso? ¿Cuánto es el ingreso máximo? ** 90. Ingresos por rentas. Un hotel de Las Vegas con 400 cuartos se llena cada noche a toda su capacidad a $70 por habitación. Por cada $ 1 de aumento en la renta, se rentan cuatro cuartos menos. Si en cada cuarto rentado se gastan S 10 en servicios por día, ¿cuánto debería cobrar el gerente por cada cuarto para maximizar la ganancia? ¿Cuánto es la máxima ganancia?

2-5

**91. Física. Un acróbata está planeando saltar en motocicleta de una rampa a otra como se ilustra en la figura. Las rampas miden 10 pies de altura, y la distancia entre ambas es de 80 pies. La trayectoria de la motocicleta en el aire está dada por la gráfica de

Combinación de funciones

165

**92. Física. La trayectoria que sigue un acróbata de circo cuando es disparado por un cañón está dada por ia gráfica de la función

Tanto el cañón como la malla están a 10 pies de altura (véase la figura). donde v es la velocidad de la motocicleta en pies por segundo cuando ésta deja la rampa.

m

80 pies -

(A) ¿Con que rapidez debe viajar la motocicleta cuando deja la rampa para seguir la trayectoria que se ilustra en la figura? (B) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la motocicleta cuando sigue esta trayectoria?

SECCION

2-5

(A) ¿A qué distancia del cañón debe estar el centro de la malla para que el acróbata caiga en ese lugar? (B) ¿Cuál es la altura máxima; con respecto al suelo, que alcanza el acróbata?

Combinación de funciones O peraciones en funciones C om posición Funciones elem entales D esplazam ientos horizontales y verticales Reflexiones, expansiones y contracciones v Si dos funciones f y g están definidas para todos los núm eros reales x, y si f ( x ) y g(x) son am bos núm eros reales, entonces es posible realizar operaciones num éricas reales com o la sum a, resta, m ultiplicación o división c o n /(.r) y g(x). A dem ás, si g(x) es un núm ero en el dom inio de /,' entonces tam bién es posible evaluar a / en g(x). En esta sección se verá cóm o efectuar operaciones en los valoreé de las funciones que se pue dan usar para definir operaciones en las m ism as funciones. Tam bién se investigan las im plicaciones gráficas de algunas de estas operaciones.

• Operaciones en funciones

Las funciones f y g dadas por f ( x ) = 2x + 3

g(x) = x 2 - 4

están definidas para todos los núm eros reales. Así, para cualquier núm ero real x se pueden realizar las siguientes operaciones: f( x ) + g(x) = 2x + 3 + .x2 - 4 = x2 + 2 x — 1 f(x )

- g(x) = 2x + 3 - (x2 - 4) = —.x i- 2x + 7

f(x)g(x) = (2x + 3)(x? - 4) = 2X3 + 3X2 - 8x - 12

166

2 Gráficas y funciones

Para x # ± 2 se puede también formar el cociente f ( x) 2x + 3 J- —/- = --------g(x) x2 ~ 4

r ^ +2

O bserve que el resultado de cada operación es una nueva función. A sí, se tiene ( / + g)(x) = f ( x ) + g(,\) = x~ +

2x - 1

Suma

( / — #)(•*) = f ( x) — g(x) = —x 2 + 2x + 7

Diferencia

(fg)(x) = f(x)g(x) = 2x* + 3x2 - 8.v- 12

Producto

( ¿ \(A'), — = M 2v + 37 - 7-7 = — —----

Cociente

\g) X

S(x)

x ± ±2

x2 - 4

O bserve que la sum a, diferencia y producto de funciones están definidas para todos los valores de x, com o se hizo con f y g, pero el dom inio de la función cociente debe ser restringido a excluir aquellos valores donde g(x) = 0 .

DEFINICIÓN 1

Operaciones en funciones La sum a, diferencia, producto y cociente de las f u n c io n e s /y g son las funcio nes definidas por ( / + §)(x) = f ( x ) + g(x)

Función suma

( f — g)(x) = f ( x ) — g(x)

Función diferencia

(fg )(x ) = f(x )g (x )

Función producto

— ](x) = — SJ g(x)

g( x) # 0

Función cociente

C ada función está definida en la intersección de los dom inios d e / y g, excepto que los valores de x donde g(x) = 0 se deben excluir del dom inio de la función cociente.

EJEMPLO 1

Determinación de las funciones suma, r£sta, producto y cociente Sea f ( x ) = V 4 - * y g(x) = V 3 + x Encuentre las funciones/ + g , f — g ,f g y f/g , y encuentre sus dom inios.

Solución

(/ +

g)(x)

=

f ( x)

+

g(x)

= V 4 - X + V 3 + A'

( / “ g)(x) = f ( x) - g(x) = V 4 — x - V 3 + x (fg)(x) =f( x) g( x) = v ^ T x V Y T l = V (4 - x)(3 + x) = V 1 2 + X - x2

2-5


167

A a.) = M = V 4 ^ _ a / 4 ^ g(x) V3 + x V3 + x Dominio de f < ■I !■-I I

Los dom inios d e / y g son

I I I 1^1-3 I I > x o 4

^ . . , „ t , D om inio d e / ; c < 4 o ( —

. . . Dominio de g —H

-3

l I

Dominio de

1 1

M

D om inio de g: x > —3 o [—3, °o) 6 1 ’ ’

II I I I h l

0

4

x

La intersección de estos dom inios es

f + g, f - g , y fg

¿ 1 11

4]

1 1* x

( —oc» 4]

Pl [ —3 , » ) = [ —3 , 4 ]

Éste es el dom inio de las funciones / + g , f — g y fg . Com o g ( —3) = O, x = —3 este punto se debe excluir del dom inio de la función cociente. Así,

Dominio de —

f D om inio de — : g

I I M I I l l I ] I I >x 0 4


*

Composición

3, 4)

Sean/(A') = \ / x y g(x) = V lO - a. Encuentre las funciones/ + g, f — g, f g y f/ g , y encuentre sus dom inios.

C onsidere la función h dada por la ecuación

-

_____ h(x) = V 2a- + 1

}

¿ y ?/' ,t x ^ '2 )

D entro del radical hay un polinom io de prim er grado que define a una función lineal. C om o la función h es en realidad una com binación de una función raíz cuadrada y de u na función lineal. Esto se puede ver m ás claram ente com o sigue. Sea m = 2x + 1 = g(x) y

=

V m = f(u )

Entonces h(x) = f[g(x)\ Se dice que la función h está com puesta por dos funciones f y g . (H ablando vaga m ente, se puede pensar que h es una función de una función.) ¿Q ué se puede decir acerca del dom inio de h dados los dom inios d e / y g? Form ando la función com puesta h(x) ~ /[g (x )]: x debe estar restringida a q u e * esté en el dom inio d e g yg(„v) esté en el dom inio d e / Puesto que el dom inio def donde f ( u ) = -.fu, es el conjunto de todos los núm eros reales no negativos, se ve que g(x) debe ser no negativo; es decir, g(x) -

O

2x + 1 > O

x — —2 A sí, el dom inio de h es este dom inio restringido de g

168

2


Un sím bolo de función especial se usa frecuentem ente para representar a la fu n ción com puesta de dos fu n cio n es, las cuales se definen en térm inos generales de la siguiente m anera.

DEFINICIÓN 2

Funciones compuestas D adas las funcionesf y g , e n to n c e s /° g se llam ada co m p u e sta y se define po r la ecuación ( f ° g)(x) = /[g (x )] El dom inio d e / o g es el conjunto de todos los núm eros reales x en el dom inio de g donde g(x) está en el dom inio de /

C om o consecuencia inm ediata de la definición 2, se tiene (véase figura 1): El dom inio de / o g es siem pre un subconjunto del dom inio de g, y el rango d e / o g es siem pre un subconjunto del rango d e /. Composición de funciones.

(.f09) M = % (* )] Rango f° g

Dominio

Dominio g

Rango g Dominio f

Rango f

Determinación de la composición de dos funciones Encuentre ( f o g)(x) y (g of ) ( x ) y sus dom inios para f ( x ) = x 10 y g(x) = 3xA - l .

5 U ) ’ t

kcou ^ -

Solución

*

( / 0 g)(.x) = m x ) ) = / ( 3x* - 1) = (3x* -

l )10

(5 • /) ( * ) = í l / W l = *C*10) = 3(*10)4 - 1 = 3-v40 -

"5 ^ 0

1 ) i t

1

y :

n

£

consecuencia, x está en el dom inio d e / ° g. Así, el dom inio d e / o g es el conjunto de todos los núm eros reales. Usando razonam ientos sim ilares, el dom inio g ° /ta m b ié n es el conjunto de todos los núm eros reales.

' Encuentre ( / o g)(x) y (g o /) ( x ) y sus dom inios p a r a /(x ) = 2x + 1 y g (x )= (x - l)/2.

Si dos funciones están definidas para todos los núm eros reales, entonces tam bién lo está su com posición.

2-5


169


V erifique que si / ( x ) = 1/(1 - 2 a') y g(x ;1 = 1/x, entonces ( / ° g)(x) = x/(x — 2). C la ra m e n te /o g no está definid 0 en x = :2. ¿Hay algunos otros valores de x donde f o g no está definido? Explique.

Si alguna función en una com posición no está definida para algunos núm eros reales, entonces com o se ilustra en el ejem plo 3, puede ser que el dom inio de la com po sición no sea el que pensó prim ero que sería.

EJEMPLO 3

Determinación de la composición de dos funciones

{'i - 2 )T ^ ^ ')

Encuentre ( / ° g)(x) y su dom inio para f ( x ) = V 4 - x2 y g(x) = V 3 — x. Solución

y

7 -

Se em pieza por establecer los dom inios d e / y g , com o una buena práctica en cualquier problem a de com posición: ¿ D o m in io / —2 < x < 2 D om inio g: x < 3

o

o

1

[—2, 2]

( - * ,3 ]

A hora se encuentra la com posición:

w (/» * )(* ) = f[ g (x ) ] = f ( V 3 ^ x ) = V 4 - (V 3 - x)2

r T -

7

"b

=VTTx Aun cuando V 1 + x está definida para toda x > - 1, se debe restringir el dom inio de f o g a aquellos valores que tam bién están en el dom inio de g. Así, x > /~ A

i D o m in io /° g: x > - 1 y x < 3.


o

[ —1,3]

Encuentre ( / o g)(x) y su dom inio para /(x ) = V 9 - x2 y g(x) = V x - 1.

- r

PRECAUCIÓN A

* A 1 O V o o t, El dom inio d e / ° g no siem pre se puede determ inar exam inando sim plem ente la form a final de { f o g)(x). Cualesquiera de los núm eros que están excluidos del dom inio de g deben ser excluidos tam bién del dom inio d e / o g.

// E n cálculo, éste no sólo es im portante para poder encontrar la com posición de dos funciones, sino tam bién para reconocer cuando una función dada es la com posición de dos funciones m ás simples.

170

2


f

EJEM PLO 4

Reconocim iento de fo rm as com puestas Exprese h com o una com posición de dos funciones más sim ples para h(x) = (3* + 5)5 bQAAA (LV)

Solución

Si se hace que f ( x ) = x 5 y g(x) = 3x + 5, entonces h(x) = (3x + 5)5 = f ( 3 x + 5) = f[g(x)] = ( / o g%x) y se ha expresado h com o la com posición d e / y g.

Exprese h com o una com posición de la función raíz cuadrada y una función lineal para h(x) = V 4 r - 7. .

• Funciones elem entales

Las funciones g(x) = x 2 - 4

h(x) = (x - 4)2

k(x) - - 4 x 2

pueden obtenerse de la función f ( x ) = x 2 realizando operaciones sim ples e n / g(x) = f(x ) - 4

h(x) = f ( x - 4)

k(x) = - 4 f(x )

Se concluye que las gráficas de funciones g , h y k están m uy relacionadas con la gráfica de la f u n c ió n / A ntes de explorar relaciones de este tipo, se quiere identificar algunas funciones elem entales, resum ir sus propiedades básicas, e incluirlas en nuestra biblio teca de funciones elem entales. La figura 2 m uestra seis funciones básicas que se pue den encontrar con frecuencia. Si usted conociera la definición, dom inio y rango de cada una podría trazar sus gráficas.

FIGURA 2 Algunas funciones básicas y sus gráficas. [Nota: Las letras usadas para designar estas funciones pueden variar dependiendo del contexto; R es el conjunto de todos los núm eros reales.]

g(*)

m

1 // z/

z / /

z/

1

N

z

Función identidad

Función valor absoluto

f[x) = x

g(x) = Ixl

Dominio: R Rango: R

Dominio: R Rango: [0, ») (b)

(a)

Función cuadrada ' h(x) = x2

Dominio: R Rango: [0, =°)

(c)

2-5


171

pW

"(*) 11

-►x

-

Función cúbica m(x) = x 3 Dominio: Rango: /!

(d)

?

>

Función raíz cuadrada n(x) = \ / x Dominio: [0 ,» ) Rango: [0, =°) (e)

y

Función raíz cúbica

g(x) = < /x Dominio: R Rango: R

(f)

¿Cóm o son las gráficas de y = ( f + g)(x), = (Jg)(x), y y = ( f ° g)(x) relacionadas con las gráficas d e ;' = / ( x ) y y = g(x)? En general, ésta es una pregunta difícil de contestar. Sin em bargo, si g se elige com o una función m uy sim ple, tal com o g(x) = k o g(x) = x + h, entonces se pueden establecer algunas relaciones m uy útiles entre la gráfica d e j = / ( x ) y las gráficas de_y = /( x ) + k ,y = kf(x), y y = / ( x + /z). A la gráfica obtenida al realizar una de estas operaciones sobre una fu n c ió n /s e le conoce com o transform a ción de la g ráfica de y = j{x).


S e a /(x ) = |x|. (A ) G rafique y = /( x ) + k para k = - 2 , 0 y 1 sim ultáneam ente en el m ism o sistem a coordenado. D escriba la relación entre la gráfica d e y = /( x ) y la grá fica de y = / ( x ) + ¿ p a ra k, cualquier núm ero real. (B) G rafique y = / ( x + h) para h = —2, 0 y 1 sim ultáneam ente en el m ism o sistem a coordenado. D escriba la relación entre la g ráfica de y = / ( x ) y la grá fica de y = / ( x + h) para h cualquier núm ero real.

D esplazam ientos vertical y horizon tal (A) ¿Cóm o son las gráficas de y = x2 + 2 y v = x 2 - 3 relacionadas con la gráfica de y = x2? C onfirm e su respuesta graficando estas tres funciones sim ultáneam ente en el m ism o sistem a coordenado. (B) ¿C óm o son las gráficas d e j = (x + 2)2 y y = (x — 3)2 relacionadas con la gráfica de y = x2? C onfirm e su respuesta graficando estas tres funciones sim ultánea m ente en el m ism o sistem a coordenado. Soluciones

(A) L a g ráfica de y = x2 + 2 es igual a la gráfica de v = x 2 desplazada dos unidades, y la g ráfica de y = x2 - 3 es igual a la gráfica de y = x2 desplazada tres unidades hacia abajo. La figura 3 confirm a estas conclusiones. [Ahí se ve que la gráfica de y = / ( x ) + k es la gráfica de y = /( x ) desplazada hacia arriba si k es positiva y hacia abajo si k es negativa. ]

172

FIGURA 3 verticales.

2


Desplazamientos

y

(B) La g ráfica de y = (x + 2)2 es igual a la gráfica de y = x 2 desplazada hacia la izquierda dos unidades, y la gráfica de y = (x - 3)2 es igual a la de y = x 2 desplazada hacia la derecha tres unidades. La figura 4 confirm a estas conclusio nes. Ahí se ve que la gráfica de y = f ( x + h) es la gráfica de y = / ( x) desplazada hacia la derecha si h es negativa y hacia la izquierda si h es positiva (lo opuesto de lo que se esperaba). FIGURA 4 Desplazamientos horizontales.


(A) ¿Cóm o son las gráficas d e y = V * + 3 y y = \ / x — 1 relacionadas con la gráfica d e y = \ / x ? C onfirm e su respuesta graficando las tres funciones sim ultáneam en te en el m ism o sistem a coordenado? (B) ¿C óm o son las gráficas d e y = V x + 3 y y = V x - 1 relacionadas con la gráfica de y = V x ? C onfirm e su respuesta graficando estas tres funciones sim ultánea m ente en el m ism o sistem a coordenado.

C om parando a la gráfica de y = f ( x ) + k con la gráfica d e y = / ( x ) , se observa que la g ráfica de y = f{x ) + k se puede obtener de la gráfica de y = f{x) al tra s la d a r ve rticalm e n te (desplazam iento) a la gráfica de esta últim a, k unidades hacia arriba si k es positiva y k unidades hacia abajo si k es negativa. C om parando la gráfica d e y = / ( x + h) con la g ráfica de y = f ( x ) , se observa que la gráfica de y = f ( x + h) puede obtenerse de la g ráfica y = f(x ) al tra s la d a r h o rizo ntalm en te (desplazam iento) a la g ráfica de esta últim a h unidades hacia la izquierda si \h\ es positiva y h unidades hacia la derecha si h es negativa.

EjEMPLO 6

Traslaciones verticales y horizontales (desplazamientos) Las gráficas de la figura 5 son desplazam ientos horizontales o verticales de la gráfica de f ( x ) = |x|. E scriba las ecuaciones apropiadas para las funciones H. G, M y N en térm inos d e /

2-5


1 73

Desplazamientos verticales y horizontales.

Solución

Las funciones H y G son los desplazam ientos verticales dados por H(x) = |*| - 3 G(x) = | * | + 1 Las funciones M y N son los desplazam ientos horizontales dados por M(x) = I* + 2| N{x) = I* — 3|


Las gráficas en la figura 6 son desplazam ientos horizontales o verticales de la gráfica de /( * ) = x3. Escriba las ecuaciones apropiadas para las funciones H, G, M y N en térm inos de f . C

Desplazamientos verticales y horizontales.

• Reflexiones, expansiones y contracciones

f H

Y MfN

Ahora se investigará cóm o la gráfica de y = A f{x) está relacionada con la gráfica de y = /( * ) para diferentes núm eros reales A.

---------------------------------------------- ----------- ... EXPLORACIÓN Y ANÁLISIS 3

Y

.......

(A) G rafique y = A V 'x para A = '1 ,2 y j sim ultáneam ente en el m ism o sistem a coordenado. (B) G rafique y = A 'V x para A = - 1 , —2 y —j sim ultáneam ente en el m ism o sistem a coordenado. (C) D escriba la relación entre la gráfica de h(x) = V * y la gráfica de G(x) = A V * para cualquier núm ero reaIA .

174

2


C om parando la gráfica de y = A f(x ) con la gráfica de y = f( x ) , se observa que la gráfica de y = A f(x ) se puede obtener de la gráfica de y = f ( x ) al m ultiplicar cada valor de la ordenada de esta últim a por A. El resultado es una expansión vertical de la g ráfi ca de y = f ( x ) si/4 > 1, una contracción vertical de la gráfica de y = f ( x ) si 0
EJEMPLO 7

Reflexiones, expansiones y contracciones (A) ¿Cóm o son las gráficas de y = 2 \/x y y = 0.5^/x relacionadas con la gráfica de y = C onfirm e su respuesta graficando estas tres funciones sim ultáneam ente en el m ism o sistem a coordenado. (B) ¿C óm o es la g ráfica de y = - 2\¡/x relacionada con la gráfica de y = ^/x ? C onfir m e su respuesta graficando am bas funciones sim ultáneam ente en el m ism o siste m a coordenado.

S o lu ció n

FIGURA 7 Expansión y contracción vertical.

(A) La gráfica de y = 2 \/x es una expansión vertical de la gráfica de y = ^ /x p o r el factor de 2, y la gráfica á e y = 0.5^/x~es una contracción vertical de la gráfica de y = \ / x por un factor de 0.5. La figura 7 confirm a esta conclusión. y

(B) La g ráfica de y = —2 ^ /x es una reflexión en el eje x y una expansión vertical de la g ráfica de y = ^ / x . La figura 8 confirm a esta conclusión. FIGURA 8 Reflexión y expansión vertical.


y

(A ) ¿C óm o son las gráficas de y = 2x y y = 0.5x relacionadas con la gráfica de y = x? C onfirm e su respuesta graficando estas tres funciones sim ultáneam ente en el m ism o sistem a coordenado. (B) ¿Cóm o es la gráfica de y = - 0 .5 x relacionada con la gráfica de y = x? C onfirm e su respuesta graficando am bas funciones en el m ism o sistem a coordenado.

2-5


175

Las diferentes transform aciones antes consideradas están resum idas en el siguien te cuadro para una fácil referencia:

T r a n sfo r m a c io n e s d e g r á fic a s (r e s u m e n ) Traslación vertical [véase figura 9(a)]: k> Q

Desplazamiento de la gráfica de y = f(x) k unidades hacia arriba

k< 0

Desplazamiento de la gráfica de y = f( x ) |&] unidades hacia abajo

Traslación horizontal [véase figura 9(b)]:

y = A * + h)

h> 0

Desplazamiento de la gráfica de y = f(x ) h unidades hacia la izquierda

h <0

Desplazamiento de la gráfica de>’ = / ( x) \h\ unidades hacia la derecha

R eflexión [véase figura 9(c)]. y — ~ f( x )

G ráfica reflejada de y = f ( x ) en el eje x

E xpansión y contracción vertical [véase figura 9(d)]

y = 4f(x)

A> 1

Expansión vertical de la gráfica de y = /( x ) multiplicando cada valor de la ordenada por A

0< A< i

Contracción vertical de la gráfica de y = /( x ) multiplicando cada valor de la ordenada por A

FIGUE?. Transformaciones de la gráfica.

g y

f

h

g(x) = /(*) + 2

g ( x ) = f ( x + 3)

h(x) = / (* )- 3

h (x ) = K x - 2)

(a ) T raslació n v ertical

(b ) Traslació n h o rizo ntal


g(x) =
g(x) = 2Kx) h ( x ) = 0 .5 f ( x )

(c ) R eflexión

(b ) E xp a n sió n y co n tra c c ió n

U se un dispositivo de graficación para explorar la gráfica de y = A (x + h)2 + Arpara diferentes valores de las constantes A , h y k. A nalice cóm o relaciona la gráfica de y = A (x + h)2 + k con la gráfica de y = x2.

176

2


Combinación de transformaciones gráficas La g ráfica de y = g(x) en la figura 10 es una transform ación de la gráfica de v = x 2. E ncuentre una ecuación para la función g.

FIGURA 10

y = 9 MV-L

I

Solución

Para transform ar la g ráfica d e ^ = x 2 [véase figura i l (a)] en la gráfica de j = g(x), prim ero se refleja la gráfica de_y = x 2 en el e je x [véase figura 11 (b)], después desplácela dos unidades a la derecha [véase figura 11 (c)]. Así una ecuación para la función g es g(x) = ~ ( x - 2)2

FIGURA 11 i -x2_ i

/■

-5

7

7 / /

\ \

y = -xA (b)

y = x¿

(a)

(c)

La gráfica de >■ = h(x) en la figura 12 es una transform ación de la gráfica de y = xJ Encuentre una ecuación para la función h. FIGURA 12

i

3

■*x

N \ \

2-5


177

Respuestas a los problemas seleccionados 1. (/+ g)(*)V= Vx + V io - x, ( / - g)(x) = V * - V 'lO -x, (fg)(x) =V i o * - .* 2, (J!g)(x) =V x( 10 - x); las funciones/ + g , f —g. yfg tienen dominio [0,10], el dominio def/g es [0, 10)

2. ( f o g)(x) = x, dominio = (—« , *>) (g oJ)(x) = x, dominio = ( - » , x ) ' 3. (J o g)(x) = VlO — x, dominio a: > 1 y x < 10 o [1, 10] 4. h(x)= ( f og)(x), donde/íx) = V xy g(A:) = 4.x - 7 5. (A) La gráfica de y = V.x + 3 es la misma que la gráfica de y = V .x desplazada tres unidades hac:2 arriba, y la gráfica de y = V x - 1 es igual a la gráfica de y = V x desplazada una unidad ha cia abajo. La figura confirma estas conclusiones. (B) La gráfica de v = Vi' + 3 es igual a la gráfica de y = Vx desplazada tres unidades a la izquierda, y la gráfica de y = Vx — 1 es igual a la gráfica de>- = V x desplazada una unidad a la derecha. La figura confirma estas conclusiones.

6.

G(x) = (x + 3)3, H(x) = (x - l)3, M(x) = x 3 + 3, N(x) = x 3 - 4 7. (A) La gráfica de y = 2x es una expansión vertical de la gráfica de y = x, y la gráfica de>- = 0.5x es una contracción vertical de la gráfica de y = x. (B) La gráfica de .v = - 0 .5 x es una contracción vertical y una reflexión en el e jex de la gráfica de y = x. La figura confirma esta conclusión.

8.

EJERCICIO

La gráfica de una función h es una reflexión en el eje x y una traslación horizontal de tres unidades a la izquierda de la gráfica de y = x3. Una ecuación para h es h(x) = —(x + 3)3.

2-5

A ________ Sin volver a revisar el texto, indique el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones. (Puede ser útil hacer trazos burdos en hojas sueltas.) 1. h(x) = —V * 4. /(x) = —0.5|x|

2. m(x) = —'Vx

3. g(x) = -2X2

5. F(x) = -0 .5 *3 6. G(x) = 4X3

En los problemas del 7 al 12, para las funciones indicadas f y g, encuentre los dominios d e f + g , f - g, fg y f/g, y encuentre sus dominios. 7 ./(x ) = 4x; 8.

g(x) = x + 1

/(x) = 3x;

g(x) = x - 2

9 ./(x ) = 2x2; g (x )= x 2 + l

178

10.

f(x )

11. /(x)

2


37. /(x)

= V T ^ lc ; g(x) = V x T 3

1

38. /(x)

= V x + 4; g(x) = V 3 - x

- 7; g(x) = 9 - x2'

39. /(x)

= V x + 2; g(x) = V x - 4

= 3x;

g (x )

= x2 + 4

= 3x +

5;

g (x ) = x 2 -

12. /(x) =

2x

En los problemas del 13 al 18, para las funciones indicadas f y g, encuentre las funciones f ° g y g ° f , y sus dominios.

40. /(x) = =i 1- - vx; V i; g\x) g(x) == 2 —V x

13. /(x) = x3; g(x) = x2 - x + 1

42. /(x) = V 8 + 2x - x2; g(x) = V x2 - 7x + 10

14. /(x) = x2;

g (x )

= x3 +

2 x ,+

4

15. /(x) = |x + 1|;

g (x )

= 2x + 3

16. /(x) - |x - 4|;

g (x )

= 3x + 2

r

g (x) = 8 -

£« /os problemas del 43 al 48, para las funciones indicadas f y ig, encuentre las funciones f 0 g y g ° f y sus dominios. 13. /(x) = Vx;

17. /(x) = xw; g(x) = 2X3 + 4 1 8 ./( x ) = x M;

41. /(x) = V x2 + x - 6; g(x) -- V 7 + 6x - x2

g(x) - x - 4

L /(x) = Vx;

g(x) = 2x + 5

45. /(x) = xx + 2;

g(x) = 1 x

x3

Los problemas del 19 al 30 se refieren a las funciones f y g dadas por las gráficas de abajo (el dominio de cada función es [~2, 2]).

1 46. /(x) = x - 3; g(x) = ^

Use la gráfica d e f o g, que sea necesaria, para graficar cada función dada.

47. /(x) = |*|;

m

g(*)

---5- —

1 +

1 1 ,

-5

-

g(x) =

48. f(x) = |x - 1|;

g(x) = -

Cada gráfica de los problemas del 49 al 54 es el resultado de aplicar una secuencia de transformaciones a las gráficas de una de las seis funciones básicas en la figura 2. Identifique la función básica y describa verbalmente la transformación. Es criba una ecuación para la gráfica dada. Compruebe sus ecuaciones en los problemas del 49 al 54 graficando cada una con un dispositivo de graficación.

-5 19. /(x) + 2

20. g(x) - 1

21. g(x) + 2

22. /(x) - 1

23. /(x - 2)

24. ¿(x - 1)

25. g(x + 2)

26. f( x - 1)

27. -/(x )

28. -g{x)

29. 2g(x)

30. \f(x)

49. T I —5 7

Y

Z _

B _______ En los problemas del 31 al 36, indique cómo se relaciona la gráfica de cadafunción con la gráfica de una de las seisfuncio nes básicas de la figura 2. Trace una gráfica de cada función. Compruebe sus descripciones y gráficas del problema del 31 a! 36graficando cadafunción con un dispositivo degraficación. 31. g(x) = - \x + 2\

32. h(x) = - |x - 4|

33. /(x) = (x - 2 f - 4

34. m(x) = (x + l )2 + 3

35. /(x) = 4 - 2Vx

36. g(x) = - 2 + 3 ^ x

En los problemas del 37 al 42, para las funciones indicadas f y g, encuentre las funciones f + g , f ~ g .fg y f/g, y encuentre sus dominios.

50.

->x

2-5

51.


57. La gráfica de f(x ) = |x| se refleja en el eje x y se desplaza tres unidades a la derecha. 58. La gráfica de f(x ) = |x| se refleja en el eje x y se desplaza una unidad a la izquierda. 59. La gráfica de f(x ) = x3 se refleja en el eje x y se desplaza dos unidades a la izquierda y una unidad hacia arriba. 60. La gráfica de f(x ) = x2 se refleja en el eje x y se desplaza dos unidades a la derecha y cuatro hacia abajo. * En los problemas del 61 al 64, use el completar el cuadrado para transformar cada función cuadrática fe n la forma f(x) = C(x + h)2 + k donde C, h y k s o n constantes. Indique cómo se relaciona la gráfica de fc o n la gráfica de la función p(x) = xr. Grafiquey = f(x). 61. f(x) = 2x2 - 8x + 4 62. /(x) = 2X2 + 4x - 1 63. /(x) = —jx2 + 2x + 1 64. /(x) = - j x 2 - x + 4 í En los problemas del 65 al 72, exprese h como la composición de dos funciones simples f y g d e l a forma f(x) = x" y g(x) = ax + b, donde n es un número racional y a y b son enteros. 66. m

= (3 - 5x)7

67. h(x) = V 4 + 2x

68. h{x)

> II

72. h(x)

+

+ 3

70. h(x) = 5X6 + 3 II

á l-

71. h(x)

= 3x7 -- 5 II

69. m

1

65. h{x) = (2x - - 7)4

c _________________________ Cada una de las siguientes gráficas implica una reflexión en el eje x y/o una expansión vertical o contracción de una de las funciones básicas de la figura 2. Identifique la función básica y describa la transformación verbalmente. Escriba una ecua ción para la gráfica dada. Compruebe sus ecuaciones de los problemas del 73 al 76 graficando cada una con un dispositivo de graficación. 73. En los problemas del 55 ál 60, la gráfica de la función g se forma aplicando la secuencia indicada de las transformacio nes a la función dada f. Encuentre una ecuación para la fu n ción g y la gráfica de g usando —5 s x < 5 y —5 £ y 5. 55. La gráfica de f(x ) = \ A se desplaza dos unidades a la izquierda y tres unidades hacia arriba. 56. La gráfica d e/(x ) = \ / x se desplaza tres unidades a la derecha y dos unidades hacia abajo.

ii

180

2


84. /(x) =

g(x) = —— -

X— 1

85. /(*) = V25

X

- x2;

g(x)

= V 9 + x2

86. /(x) = Vx2- 9; g(x) = V *2 + 25 £« /osproblemas del 87 al 90, grafique f(x), ¡f(x)¡y —jf(x)¡ en ventanas de visión separadas con un dispositivo de graficación. 87. /(x) = 0.2X2 - 5 89. /(x) = 4 - 0.1 (x +

88. /(x) = 4 - 0.25X2 2)?

90. /(x) = 0.25(x - l )3 - 1

Describa la relación entre las gráficas de/(x) y |/{x)! en los problemas del 87 al 90. Describa la relación entre las gráficas de/(x) y —\fix)\ en los problemas del 87 al 90.

APLICACIONES

W

93. Mercadotecnia. La demanda x y el precio p (en dólares) para un cierto producto están relacionadas por * = /(/> ) = 4 000 - 200p El ingreso (en dólares) por la venta de x unidades está dada por R{x) = 20x —t^t-v2 200 y el costo (en dólares) de producción de x unidades está dado por C(x) = lOx + 30 000 Exprese la utilidad como una función del precio p. 94. Mercadotecnia. La demanda x y el precio p (en dólares) de un cierto producto están relacionadas por

En los problemas del 77 al 80, para las funciones indicadas f y g, encuentre las funciones f + g , f - g fg y f/g , y encuentre sus dominios. 77. /(x) = x + i ; g(x) = x -

x = f ( p ) = 5 000 - lOOp El ingreso (en dólares) por la venta de x unidades y el costo (en dólares) de producción de x unidades están dados, respectivamente, por

£

78. /(x) = x - 1; g(x) = x - ^ T y

R(x) = 50x - -p—x2 y C(x) = 20x + 40 000 100 Exprese la utilidad como una función del precio p.

79. /(*) = 1 - - ¡ í p 80. /(x) = x + |x|;

g(x) = x - |x|

£« /os problemas del 81 al 86, para las funciones indicadas f y g, encuentre las funciones f 0 g y g ° f y sus dominios.

I

95. Familia de curvas. En cálculo, las soluciones de ciertos tipos de problemas frecuentemente implican una constante no especificada. Por ejemplo, considere la ecuación

y = i* 2- c

81. /(x) = V 4 - x; g(x) = x2 82. /(x) = V x - 1; g(x) = x2 83. /(x) =

g(x) = —

donde C es una constante positiva. El conjunto de gráficas de esta ecuación para todos los valores permitidos de C se llama familia de curvas. En el mismo eje, grafique los miembros de esta familia correspondientes a C = 1,2,3 y 4.

2-5

í 96. Familia de curvas. Una familia de curvas se define por la ecuación

donde C es una constante positiva. En los mismos ejes, grafique a los miembros de esta familia correspondientes a C = 1,2, 3 y 4.


181

*99. Flujo de fluidos. Un cono de papel con diámetro de 4 pulgadas y altura de 4 pulgadas está inicialmente lleno de agua. Se le hace un pequeño hoyo en el fondo y el agua comienza a fluir. Sea h y /• la altura y el radio, respectiva mente, del agua en el cono t minutos después de que el agua empieza a fluir.

r 97. Flujo de fluidos. Un tanque cúbico tiene cuatro pies por lado y está inicialmente lleno de agua. El agua fluye hacia afuera por un orificio en el fondo del tanque con una rapidez proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad (véase la figura). Usando conceptos avanzados de matemáticas y física, se puede demostrar que el volumen del agua en el tanque t minutos después de que comienza a fluir está dado por 64

V(0 = — ( C - r )2

0

donde C es una constante que depende del tamaño del orificio. Grafique V(t) para C = 1, C = 2, C = 4 y C = 8.

V = \n r2h

(A) Exprese r como una función de h. (B) Exprese al volumen V como una función de h. (C) Si la altura del agua después de t minutos está dada por h(t) = 0.5V i exprese V como una función de t.

í 98. Evaporación. Un abrevadero con extremos triangulares tiene 9 pies de largo, 4 pies de ancho y 2 de profundidad (véase la figura). Inicialmente, el abrevadero está lleno de agua, pero debido a su evaporación el volumen disminuye con una rapidez proporcional a la raíz cuadrada del volumen. Usando conceptos avanzados de matemáticas y de física, se puede demostrar que el volumen después de t horas está dado por V(r) = ¿ ( / + 6C)2

100. Evaporación. Un abrevadero con extremos triangula res tiene 6 pies de largo 4 pies de ancho y 2 de pro fundidad. Inicialmente, el abrevadero está lleno de agua, pero debido a la evaporación el volumen disminuye. Sean hyw \& altura y el ancho, respectivamente, del agua en el tanque t horas después de que ésta comienza a evaporarse.

0 < f < 6 |C |

donde C es una constante. Grafique V(t) para C C = —5 y C = —6.

-4 ,

(A) Exprese w como una función de h. (B) Exprese V como una función de h. (C) Si la altura del agua después de t horas está dada por h(t) = 2 - 0.2V t exprese V como una función de t.

4

2


s e c c ió n

2-6

Funciones inversas Funciones uno a uno F unciones inversas

M uchas relaciones m atem áticas im portantes se pueden expresar en térm inos de funcio nes. Por ejem plo, C = 'nd = f ( d )

La circunferencia de un círculo es una función del diámetro d.

V = s3 = g (s)

d = 1 000 — lOOp= h {p )

El volumen de un cubo es una función de su lado s. La demanda para un producto es una función del precio p.

_ 9 F — 7 C + 32 3

La temperatura medida en °F es una función de la temperatura en °C.

E n m uchos casos, lo que interesa es in vertir la correspondencia determ inada por una función. Así, C d = — — m (C)

El diámetro de un círculo es una función de la circunferencia C.

TT

j = V v = n {V ) p = 1 0 ----— d = r (d ) 5

C = —( F — 32) 9

El

de un cubo es una función del volumen V. El precio de un producto es una función de la demanda d.

La temperatura medida en °C es una función de la temperatura en °F.

Com o lo m uestran estos ejem plos, invertir la relación entre dos cantidades a m enudo produce una nueva función. Esta nueva función se denom ina inversa de la función •original. M ás tarde en este texto se verá que m uchas funciones im portantes (por ejem plo, funciones logarítm icas) están de hecho definidas com o las inversas de otras fun ciones. E n esta sección se desarrollan las técnicas para determ inar si existe la función inver sa, algunas propiedades generales de funciones inversas, y m étodos para encontrar la regla de correspondencia que define la función inversa. Un repaso de la sección 2-3 probará la utilidad en este punto.

° F u n c io n e s

Recuerde la form a del conjunto de la definición de una función:

uno a uno U n a fu n ció n es un conjunto de pares ordenados, con la prop iedad de que ninguno de los dos pares ordenados tiene la m ism a p rim e ra com ponente y diferentes segundas com ponentes.

Sin em bargo, es posible que dos pares ordenados en una función pudieran tener la m ism a segunda com ponente y diferentes prim eras com ponentes. Si esto no sucede, entonces a esta función se le denom ina fu n ció n uno a uno. R esulta que las funciones uno a uno son las únicas funciones que tienen funciones inversas.

2-6

DEFINICIÓN 1

Funciones inversas

183

Función uno a uno U na función es uno a uno si ninguno de los dos pares ordenados en la función tienen la m ism a segunda com ponente y diferentes prim eras com ponentes.

Para ilustrar este concepto, considere los siguientes tres conjuntos de pares orde nados: /=

{(0,

3), (0,5), (4, 7))

g = {(0,

3), (2,3), (4, 7)}

h = {(0,

3), (2,5), (4, 7)}

El con ju n to / no es una función, ya que los pares ordenados (0, 3) y (0, 5) tienen la m ism a prim era com ponente y diferentes segundas com ponentes. El conjunto g es una función, pero no es una función uno a uno debido a que los pares ordenados (0, 3) y (2, 3) tienen la m ism a segunda com ponente y diferentes prim eras com ponentes. Pero el conjunto h es una función, y es uno a uno. R epresentando estos tres conjuntos de pares ordenados com o reglas de correspondencia se puede com prender m ejor el significado de este concepto.

/ Dominio

Rango

Dominio

Rango

Dominio

Rango

7 / n o es una función.

EJEMPLO 1

h es una función

g es una función pero no es uno a uno.

uno a uno.

Determinación de si una función es uno a uno D eterm ine si / es una función uno a uno para: (A) f( x ) =

Soluciones

(B) f(x ) = 2x -

1

(A) Para dem ostrar que una función no es uno a uno, todo lo que se tiene que hacer es encontrar dos diferentes pares ordenados en la función con la m ism a segunda com ponente y diferentes prim eras com ponentes. Com o / ( 2) = 22 = 4

/(-2 ) = (-2 f = 4

los pares ordenados (2 ,4 ) y ( —2 ,4 ) pertenecen a / y / n o es una función uno a uno. (B) Para dem ostrar que una función es uno a uno, se tiene que m ostrar que ninguno de los pares ordenados tenga la m ism a segunda com ponente y diferentes prim eras com ponentes. Para hacer esto, se supone que hay dos pares ordenados (a , f ( a )) y 0b , f ( b )) e n / con las m ism as segundas com ponentes y entonces m ostrar que las prim eras com ponentes deben tam bién ser las m ism as. Es decir, se dem uestra que f ( a ) = f{ b ) im plica que a = b. Se procede com o sigue:

184

2


Suponga que las segundas componentes son iguales.

m = f{ b )

Evalúe f(a) y f(b).

2 a -\= 2 b -\

Simplifique.

2a = 2b

Conclusión: fes uno a uno.

a=b

De esta m anera, p o r la definición 1 , / es una función uno a uno.

Problem a selección

D eterm ine l e ssi/ i j es e s una u n a función i u n c i ó n uno uno a a uno u n u para: p a ra . (A) /(x ) = 4 - x 2

j

(B) f(x ) = 4 - 2x

/

Los m étodos usados en la solución del ejem plo 1 se pueden postular com o un teorem a.

Teorema 1

Funciones uno a uno 1.

Si f ( a ) = f ( b ) para al m enos un par ordenado de valores del dom inio a y b, a # b, e n to n c e s /n o es una función uno a uno.

2.

Si la su p o sic ió n /(a ) = f ( b ) im plica siem pre que el dom inio de los valores a y b son iguales, entonces/ es una función uno a uno.

A plicar el teorem a 1 no siem pre es fácil, por ejem plo intente probarJ(x) = x 3 + 2x + 3. Sin em bargo, si se da la gráfica de una función, entonces existe un procedim iento gráfico simple para determ inar si la función es uno a uno. Si una recta horizontal intersecta la gráfica de una función en m ás de un punto, entonces la función no es uno a uno, com o se m uestra en la figura l(a). No obstante, si cada recta horizontal intersecta la gráfica en un punto, o si no lo hace, entonces la función es uno a uno, com o se m uestra en la figura l(b). Estas observaciones form an la base de la prueba de la recta horizontal.

FIGURA 1 Intersecciones de las gráficas y de las rectas horizontales.

í{d) = f{b) para a r b f no es una función uno a uno

(a)

Sólo un punto tiene ordenada /(o); fes una función uno a uno (b)

2-6

Teorema 2

Funciones inversas

1 85

Prueba de la recta horizontal U na función es uno a uno si y sólo si cada recta horizontal intersecta la gráfica de la función en a lo m ás un punto.

Las g ráficas de las funciones que se consideraron en el ejem plo 1, se m uestran en la figura 2. A plicando la prueba de la recta horizontal a cada gráfica, se confirm an los resultados obtenidos en el ejem plo 1.

Aplicación de la prueba de la recta horizontal.

s / /

/ / ! / / -s f(x) = x2 no pasa la prueba de recta horizontal; f no es uno a uno

(a)

f{x) = 2 x - 1 pasa la prueba de recta horizontal; íes uno a uno (b)

U na función que es creciente en todo su dom inio o decreciente en todo su dom inio siem pre pasará la prueba de la recta horizontal [véase figuras 3(a) y 3(b)]. Así, se tiene el siguiente teorem a.

Teorema 3

Funciones crecientes y decrecientes Si una función / es creciente en todo su dom inio o decreciente en todo su dom i nio, entonces/ es una función uno a uno.

FIGURA 3 Funciones crecientes, decrecientes y uno a uno.

V \ --- ► X

t-

«•/A / 3 v « y « f w - y

x *M -1 í

s— A \ - \

/

■1

( Î Y / < - '\

z z z

Una función creciente es siempre uno a uno

Una función decreciente es siempre uno a uno

Una función uno a uno no es siempre creciente o decreciente

(a)

(b)

(c)

2


La inversa del teorem a 3 es falsa. Para ver esto, considere la función graficada en la figura 3(c). Esta función es creciente en ( —<*, 0] y es decreciente en (0, <»), aunque la g ráfica pase la prueba de la recta horizontal. En consecuencia, ésta es una función uno a uno que no es creciente ni decreciente.

Funciones inversas

A hora se podría ver cóm o se puede form ar una función nueva invirtiendo la correspon dencia determ inada por una función dada. Sea g la función definida com o sigue: g = {(—3, 9), (0, 0), (3, 9)}

g no es uno a uno

O bserve que g no es uno a uno debido a que los elem entos del dom inio - 3 y 3, corres ponden al rango del elem ento 9. Se puede revertir la correspondencia determ inada por la función g sim plem ente invirtiendo las com ponentes en cada par ordenado en g, lo que produciría el conjunto siguiente: G = {(9, -3 ) , (0, 0), (9, 3)}

g nó es una función

Pero el resultado no es una función, ya que el dom inio del elem ento 9 corresponde a dos diferentes elem entos del rango, - 3 y 3. Por otra parte, si se invierten los pares ordenados en la función

/ = { 0 >2)> (2>4)> (3>9)}

f es uno a uno

F = {(2, 1), (4, 2), (9, 3)}

Fes una función

se obtiene

Esta v e z / es una función uno a uno, y el conjunto F resulta ser tam bién una función. Esta nueva función F, se form a al invertir todos los pares ordenados en f esto se conoce com o la inversa d e / y usualm ente se denota* p o r/ " ' . Así que, / ' = {(2, 1), (4, 2), (9, 3)}

La inversa de f

N ote q u e / " ' es tam bién una función uno a uno y que se cum plen las relaciones siguientes: D om inio d e/ -1 = {2, 4, 9} = Rango d e/ Rango d e/ -1 = { 1 ,2 ,3 } = D om inio d e / De esta m anera, al invertir todos los pares ordenados en una función uno a uno form a una nueva función uno a uno y se invierte el dom inio y rango en elproceso. A hora se está listo para presentar una definición form al de la inversa de una función.

* / ', se Ice ‘yinversa” , éste es un símbolo especial para representar a la inversa de la función f Esto no significa Mf

2-6

DEFINICIÓN 2

Funciones inversas

187

Inversa de una función Si / e s una función uno a unoêntonces la inversa d e /, se denota p o r / -1, que es la función form ada al invertir todosTos pares ordenados en / Por consiguiente, f ~ ' = {(y, x) | (x , y ) está e n / | S i / n o es una función uno a uno, entonces/ no tiene una inversa y f ~ ' no existe.

Las propiedades siguientes de las funciones inversas se infieren directam ente de la definición.

Teorema 4

Propiedades de las funciones inversas S i/ “' existe, entonces


1.

f ~ [ es una función uno a uno.

2.

D om inio d e / -1 = Rango de/

3.

Rango d e/" ' = D om inio d e/

La m ayoría de los dispositivos de graficación tienen una rutina, que usualm ente se denota po r “D ibuje la inversa” (o una abreviatura de esta frase, consulte su m anual), que trazará la g ráfica form ada invirtiendo los pares ordenados de todos los puntos en la gráfica de una función. Por ejem plo, la figura 4(a) m uestra la gráfica de f ( x ) = 2 x - 1 ju n to con la g ráfica obtenida al usar la rutina de “D ibuje la inversa” . La figura 4(b) realiza lo m ism o p a ra /(x ) = x 2. (A) ¿La g ráfica obtenida con “D ibuje la inversa” en la figura 4(a) es la gráfica de una función? ¿E xiste/ “'? Explique. (B) ¿La g ráfica obtenida con “D ibuje la inversa” en la figura 4(b) es la gráfica de una función? ¿ E x is te /“1? Explique. (C) Si cuenta con dispositivo de g raficación con la rutina “D ibuje la inversa”, úse lo con las g ráficas de y = V x - 1 y y = 4x - x 2 para determ inar si el resultado es la g ráfica de una función y si existe la inversa de la función original.

188

2


E ncontrando a la inversa de una función definida p o r un conjunto finito de pares . ordenados es fácil; sólo invierta cada par ordenado. Pero, ¿cóm o se encuentra la inversa de una función definida por una ecuación? Considere la función/ uno a uno definida por jg ' / ( x) = 2x -

1

Para encontrar/"1, se hace , =/(*) y se despeja x:

\

y = 2 x -l ,+

1 - 2,

+ 5= X

b

'

Com o el par ordenado ( x , y ) está e n / s i y sólo si el par ordenado invertido f ~ \ esta últim a ecuación define a / 1:

*= f ~ \ y )

(y ,

x) está en

W

=b +i

A lgo interesante sucede si se form a la com posición* d e / y / 1en cualquiera de los dos órdenes posibles / “ [ /M ] = / ■ ' [ 2x - 1} = {{2x - \) + \ = x - \

\ =x

y f[f-\y

)] = K b

+ \) =

2( b + ¿)- l =y+l - l =y

Esas com posiciones indican que si/ transform a a x en y , entonces f ~ l transform a a y en x, y s i/ _1 transform a a y en x, entonces / transform a a x en y. Esto se interpreta de m anera esquem ática en la figura 5.

FIGURA 5

Composición de/y

DOMINIO f

RANGO f

def

RANGO r 1

DOMINIO

r1

Por últim o, se observa que usualm ente se usa x para representar la variable inde pendiente y a y com o la variable dependiente en una ecuación que define una función. Se acostum bra tam bién hacer esto para funciones inversas. A sí, intercam biando las variables x y y en la ecuación ( 1), se puede establecer que la inversa de y

=

f ( X)

=

2X

~

1

es y = f~ \x ) = \x + \

* Cuando se trabaja con funciones inversas, se acostumbra escribir las composiciones c o m o /[g (x)] más que como ( f ° g ) ( x ) .

2-6

Funciones inversas

189

En general, se tiene el siguiente resultado:

Teorema 5

Relaciones entre f y f _1 Si / " ' existe, entonces 1.

x = / - ' 0 0 si y sólo si y = /( x ).

2. / _1 [/(x )] = x para toda x en el dom inio de / 3.

/ [ / ”’(y)] = y para toda y en el dom inio d e / ' o, s i x y y s e h a n in te rc a m b ia d o ,/]/“’^ ) ] = x para to d a x en el dom inio d e / -1.

Si f y g son funciones uno a uno que satisfacen

*

f[g{x)] = x

para toda x en el dom inio de g

g [/(x )] = x

para toda x en el dom inio d e/

entonces se puede m ostrar que g = / _1 y / = g-1. A sí, la función inversa es la única función que satisface am bas com posiciones. Se puede usar este hecho para com probar si se encontró la inversa de m anera correcta.


E ncuentref[g (x )] y g [/(x )] para / ( x ) = (x - l )3 + 2

y

g (x) = ( x - 2) l/3+ 1

¿C óm o se relacionanf y g !

El procedim iento para encontrar la inversa de una función definida por una ecua ción se indica en el cuadro siguiente. Este procedim iento se puede aplicar, siem pre que sea posible, para resolver y = /( x ) para x en térm inos de y.

Determinación de la inversa de una función f Encuentre el dom inio d e / y verifique q u e /e s uno a uno. S i / n o es una función uno a uno, entonces no continúe, ya que no e x is te /" 1. R esuelva la ecuación y = /( x ) p a rax . El resultado es una ecuación de la form a x = / " ‘(y)Intercam bie x y y en la ecuación encontrada en el paso 2. Esto expresa a f~ } com o una función de x. Encuentre el dom inio de/ " '. Recuerde, el dom inio de/ -1 debe ser igual que el rango de/

190

2


Determinación de la inversa de una función E ncuentre/ “' para f ( x ) = V x - 1 Solución

i

! í/ I 1 1 1 ✓

Paso 1.

Encuentre el dom inio d e / y verifique q u e/ es uno a uno. El dom inio d e/ es [1, oo). La gráfica d e / en la figura 6 m uestra q u e / e s uno a uno, por consi guiente, / " ' e x iste .

P aso 2.

R esuelva la ecuación y —f i x ) para x.

->x

y = Vx - 1

y2 = x - 1 -■> 1

x = y2 + 1

f(x) = Vx - 1, X& 1 FIGURA 6

Así, x = f ~ \ y ) = y2 + 1

Paso 3.

Intercam bie x y y.

■

y — / - 1(x) = x 2 + 1 Pa.vo

E ncuentre el dom inio d e / ”1. La ecuación / - 1(x ) = x 2 + 1 está definida para todo valor de x , pero esto no indica cuál es el dom inio de / _1. Recuerde, el dom inio d e/ “' debe ser igual al rango de/ D e la gráfica de f se observa que el rango d e / e s [O, °°). Así, el dom inio d e/ “' es tam bién [O, «=). Esto es, /- • (* ) = x2 + 1

Comprobación

x > O

Para x e n [ 1, oo), el dom inio d e / se tiene r '[ f ( x ) ] = r '( V i = i ) = (V x ’17! ') 2 - i —x — 1 + 1 y = X

j

■

2-6

Fundones inversas

191

Para x en [0, °°), el dom inio d e s e tiene

fl f-'ix)] = / ( x 2 + 1) = V (x 2 + 1) - 1

= VF *5 1*1.

Vx7 = |x| para cualquier número real x.

j

—x

E ncuentre / " ' para f{x) = V x + 2.

Problem a seieccio« '■ {

4? y i

|x| = para x a 0.

a. v -

----------------------------------------------------------------


La m ayoría de las operaciones aritm éticas básicas se pueden invertir al realizar una segunda operación: la resta invierte la sum a, la división invierte la m ultiplicación, elevar al cuadrado invierte sacar la raíz cuadrada, etcétera. O bservar a la función com o una secuencia de operaciones reversibles proporciona un conocim iento adi cional acerca del concepto de función inversa. Por ejem plo, la fu n c ió n /(x ) = 2x - 1 se puede describir de m anera verbal com o una función que m ultiplica cada dom inio del elem ento p o r 2 y después le resta 1. Invertir la secuencia describe una función g que sum a 1 a cada elem ento del dom inio y después se divide entre 2 , o g(x) = (x + 1)/ 2, que es la inversa de la función f. Para cada una de las funciones siguientes, escriba una descripción verbal de la función, invierta su descripción y escriba la ecuación algebraica resultante. V erifique que el resultado es ía inversa de la función original. (A ) / ( x ) = 3x + 5

(B) / ( x ) =

' (C) /( x ) = - i x+ 1

Hay una relación im portante entre la gráfica de cualquier función y su inversa, que se b asa en la observación siguiente: En un sistem a coordenado rectangular, los puntos (a, b) y ( b, a) son sim étricos con respecto a la recta y = x [véase la figura 7(a)]. El teorem a 6 es una consecuencia inm ediata de esta observación.

FIGURA 7 Simetría con respecto a la recta y = x.

(o, b) y (b, a) son simétricas con respecto a la recta y = x

f(x) = 2 x - 1

(a)

(b)

f(x) = Vx -1 f-,(x) = x2+ 1, x £ 0 (C)

192

2 Gráficas y funciones

Teorema 6

Propiedad de simetría para las gráficas de f y Las gráficas de>- = j(x ) y y = /~ '(x ) son sim étricas con respecto a la re c ta y = x.

El conocim iento de esta propiedad de sim etría facilita la graficación d e / ' si se conoce la gráfica d e/ , y viceversa. Las figuras 7(b) y 7(c) ilustran esta propiedad para las dos funciones inversas que antes se encontraron en esta sección. Si una función no es uno a uno, a m enudo se puede restringir el dom inio de la función para producir una nueva función que sea uno a uno. Entonces se puede encon trar una inversa para la función restringida. Suponga que se com ienza c o n /(x ) = x 2 - 4. C om o / n o es uno a uno, / ' 1no existe [véase la figura 8(a)]. Pero existen m uchas form as en las que el dom inio d e / s e puede restringir para obtener una función uno a uno. Las figuras 8(b) y 8(c) ilustran dos de esas restricciones.

y 'i i

Restricciones al dominio de la función.

y = f(x)

\ \ 5

\

¡\

\

V 5

/

f(x) = x2- 4 no existe

(a)

~ EXPLORACIÓN Y ANÁLISIS 4

h(x) = x2 - 4, x < 0 fr'(x) = - \ / x + 4 ,x > - 4 (b)

(c)

Para g raficar la función g(x) = 4.v - x 2, x > 0 con un dispositivo de graficación, introduzca >•, = ( 4 .r - x 2) / ( x > 0) (A ) A la expresión boleana (x > 0) se le asigna el valor de 1 si la desigualdad es verdadera y el de 0 si es falsa. ¿Cóm o restringe este resultado la gráfica de 4x - x 2 a sólo aquellos valores de x que satisfacen x ^ 0? (B) U se este concepto para reproducir las figuras 8(b) y 8(c) en un dispositivo de graficación. (C) ¿Sus gráficas parecen ser sim étricas con respecto a la recta y = x? ¿Qué sucede si se usa una ventana cuadrada para la gráfica?

2-6

Funciones inversas

1 93

R ecuerde del teorem a 2 que las funciones crecientes y decrecientes son siem pre uno a uno. Esto proporciona la base para un m étodo conveniente y popular de restringir el dom inio de una función: Si el dom inio de una fu n c ió n /s e restringe a un intervalo en el e je * sobre el c u a l / e s creciente (o decreciente), entonces la nueva función obtenida por esta restricción es uno a uno y tiene una inversa. Se usa este m étodo para form ar las funciones g y h en la figura 6 .

Determinación de la inversa de una función Encuentre la inversa de/(.v) = 4 x - x \ x < 2. G rafique/ / ' 1y y = x en el m ism o sistem a coordenado. Solución

Paso 1.

Encuentre el dom inio d e / y verifique que/ es uno a uno. La gráfica de y = 4x - x 2 es la parábola que se m uestra en la figura 9(a). R estringiendo el dom inio de f a x < 2 se restringe la gráfica d e / al lado izquierdo de esta parábola [véase la figura 9(b)]. De esta m a n e r a ,/e s una función uno a uno.

FIGURA 9

L-L

í

-+x

À X)

(a) Paso 2.

4 X - X1, X

S2

(b)

D espeje la ecuación y = f( x ) para x. y = 4,v - x2 x2 — 4x = —y - 4x

= —y

(* - 2)2 = 4 - >■

Reacomodo de los términos. Sume 4 para completar el cuadrado del lado Izquierdo.

Al sacar la raíz cuadrada en am bos lados de esta ultim a ecuación, se obtienen dos soluciones posibles: - 2 = ± V 4 ^ El dom inio restringido d e /in d ic a cuáles soluciones usar. Com o x < 2 im pli ca que x - 2 < 0, se debe seleccionar la raíz cuadrada negativa. A sí,

1 94

2


x -

2= - V 4 - y x = 2- V4 - y

y se tiene que x = r \y ) = 2 - V4 Paso 3.

Intercam bie x y y. y = f- '( x ) = 2 - V 4 ^

P aso 4.

Encuentre el dom inio de/ “'. La ecuación f ~ l (x) = 2 — \ / A -- x se define para x s 4. De la gráfica en la figura 9(b), el rango de/ es tam bién ( —<*, 4], Así, f ~ \ x ) = 2 - V 4 —"

La com probación se deja al lector. Las gráficas de f f ~ l y y = x se m uestran en la figura 10. A lgunas veces es difícil visualizar la reflexión de la gráfica de / e n la recta y = x. Se seleccionan algunos puntos en la g ráfica d e / y al dibujar prim ero sus reflexiones se facilita m ás trazar la gráfica de / " ' . L a figura 11 m uestra una com probación en un dispositivo de graficación.

FIGURA 11


E ncuentre la inversa d e /(x ) = 4 x - x 2, x > 2. G rafique/ / “1y y = x en el m ism o sistem a coordenado.

Respuestas a los problemas seleccionados. 1. (A) Ninguna función uno a uno

2. /-'(* ) = x2 - 2, ^ > 0 3. f~'(x) = 2 + V 4 - x , x < 4

=x

(B) Uno a uno

2-6

EJERCICIO

Funciones inversas

2-6 10.

A ___ ____ _

gW

¿Cuáles de las funciones en los problemas del 1 al 16 son uno a uno? -*x

1. {(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)} 2. {(—1,0), (0, 1), (1 ,-1 ), (2, 1)} 3. {(5,4), (4,3), (3, 3), (2,4)) 4. {(5,4), (4, 3), (3, 2), (2,1)} Dominio

Rango

6. Dominio

-2

-4

-2

-1

—►- 2

-1

0

0

0

1

1

1

2

5

2

7. Dominio

Rango

8. Dominio

Rango

-3

11.

h(x)

12.

m

A

Rango

-*-x

HA

13.

m(x)

195

196

2


nW

14.

29. f(x) =

x3 -

9x

|* * -9 |

30. f{x) =

4 X -X 3 |* * - 4 |

En los problemas del 31 al 34, use la gráfica de lafunción uno a uno,f, para trazar la gráfica de f ~ ‘. Establezca el dominio y el rango de

rM

15.

32.

B ¿Cuáles de las funciones en los problemas del 17 al 22 son uno a uno?

^

17. F(x) = \ x + 2

18. G(x) = - \ x + 1

19. H(x) = 4 - x2

20. K(x) = V 4 - *

21. M(x) = V x + 1 ,

22. N(x) = x2 - 1

En los problemas del 23 al 30 es necesario usar un dispositivo de graficación. Grafique cada función y use la gráfica para ■si la función es uno a uno. 23. f(x) = 25. /(x) =

24. /(x) = J2 - l*| X

X

|x|

26. /(x) =

X

28. /(x) =

X

^ “ 1 + —1 - ü

x2 —4 27. /(x) = \x - 2|

|*|3 +

1*1

En los problemas del 35 al 40, compruebe que g es la inversa de la función uno a uno f al mostrar que g[f(x)] = x y f[g(x)] = x. Trace las gráficas de f g y la recta y = x en el mismo sistema coordenado.

2-6

Compruebe sus gráficas en los problemas del 35 al 40 al grajicarf g y la recta y = x en una ventana cuadrada de visión mediante un dispositivo de graficación.

Fundones inversas

197

69. /(x) = V 9 - x2, - 3 £ x £ 0 70. /(x) = - V§"= 3 ? , - 3 < x £ 0 La gráfica de cada función en los problemas de! 71 al 74 es un cuarto de la gráfica del círculo con radio 1 y centro (0. 1). Encuentre f , encuentre también el dominio y rango d e f \ y trace las gráficas d e f y f 1en el mismo sistema coordenado.

35. f(x) = 3.v + 6; g(x) = jx - 2 36. /(x) = —\ x + 2; g(x) = —2x + 4 37. f(x) = 4 + x2^ > 0; g(x) = V x ^ 4

71. /(x) = 1 + V i - x2, 0 £ x £ 1

38. /(x) = V x + 2; g(x) = x2 - 2, x a 0

72. f(x) = 1 - V P 7 , 0 £ x £ 1

39. f(x) = - V x - 2; ;?(x) = x2 + 2, * < 0

73. /(x) = 1 - V i - x2, - 1 £ x £ 0

40. f(x) = 6 - / , í £ 0; g(x) = —V 6 - x

74. /(x) = 1 + V i - x 2, - l ' £ x < 0 Las funciones en los problemas del 41 al 60 son uno a uno. Encuentre f . !, 41. f{x) = 3x 42. /(x) = ¿x 43. f(x ) = 4x - 3

44. /(x) = - f x + f

45. /(x) = JLx + f

46. /(x) = -2 x - 7

47. f(x) =

48. /(x) =

49. f(x) = 51. /(x) =

x - 1 x + 2 2x+ 5 3.x- 4

5 - 3x 52. /(x) = 7 - 4x

76. Encuentre f~ \x ) para /(x ) = V«2 - x \ d > 0 , 0 s j s a . 77. Refiérase al problema 75. ¿Para qué valores de a y b e s / su propia inversa? 78. ¿Cómo podría reconocer la gráfica de una función que sea su propia inversa?

3 x+ 4

x - 3 50. /(x) = x

75. Encuentre/ '(x) para /(x) = ax + b ,a ¥= 0.

79. Demuestre que la recta a través de los puntos (a, b) y (b, a), a =£ 6, es perpendicular a la rectay= x (véase la figura). ZX

80. Demuestre que el punto (a + b)/2, (a + b)!2 biseca el segmento de recta desde (a, b) hasta (b, a), a =£ b (véase la figura).

x5 - 2

53. /(x) = a3 + 1

54. /(x)

55. /( x) = 4 - ^ + 2

56. /(x) = ^ x + 3 - 2

57. /(x) = 5 V l 6 - x _

58. /(x) = —5V 3 6 ^ -x

59. /(jc) = 3 - V x - 2

60. /(x) = 4 + V 5 - x

61. ¿Cómo se relacionan las intersecciones de x y y de una función con su inversa? 62. ¿Una función constante tiene una inversa? Explique.

En los problemas del 81 al 84, la función f no es uno a uno. Encuentre las inversas de las funciones formadas por la res tricción del dominio de f como se indica. Las funciones en los problemas del 63 al 66 son uno a uno. Encuentre f " ' . 63. f(x) = (x - l)2 + 2, x a 1 64. /(x) = 3 — (x - 5)2, x < 5 65. /( x ) = x 2 + 2x —2 , x < - l 66. /( x ) = x 2 + 8 x + 7 , x > 4

Compruebe sus gráficas en los problemas 81 a 84 graficando ■f g y la recta y = x en una ventana de visión cuadrada de un dispos iti vo de graficación. [Sugerencia: Para restringir la grá fica d e y = f(x) a un intervalo de la forma a £ x £ b, 'introduz ca y = f(x)/((a < x )* (x £ b)).] 81. /(x) = (2 - x)2: (A) x s 2 (B) x > 2

La gráfica de cada función en los problemas del 67 al 70 es un cuarto de la gráfica del círculo con radio 3 y centro (0, 0). Encuentre f - ', encuentre también el dominio y rango de f y trace las gráficas d e f y f 'en el mismo sistema coordenado.

82. /(x) = (1 + x)2: (A )x £ -1 (B )xs-l

67. /(x) = - V 9 - x 2, 0 £ x £ 3

84. /(x) = V 6x - x2: (A) 0 < x < 3 (B) 3 < x £ 6

68. /(x) = V 9 - x2, 0 £ x £ 3

83. /(x) = V 4x —x2: (A )0 sx < 2 (B) 2 £ x £ 4

198

2



Modelado matemático en los negocios*

Este grupo de actividades, tiene que ver con el análisis de un m odelo básico para la fabricación y venta de un producto usando tablas de datos y regresión lineal, para determ inar los valores adecuados de las constantes a, b, m y n en las funciones siguientes:

TABLA 1 Función

Definición

Interpretación

Precio-demanda

p(x) = m - nx

x es el número de artículos que se pueden vender a S P

Costo

C(x) = a + bx

Costo total de producción de x artículos

Ingresos

R(x) = xp

Ingresos totales de la venta de x artículos

= x(m - nx) Ganancia

P(x) = R(x) - C(x)

Ganancia total de la venta de x artículos

Una com pañía fabrica y vende bicicletas de m ontaña. Al gerente le gustaría tener las funciones de precio-dem an da y funciones de costos para el análisis del punto de equilibrio y de pérdidas-ganancias. Las funciones de preciodem anda y de costos podrían establecerse al obtener los datos adecuados en los diferentes niveles de producción, y después encontrando un m odelo en la form a de una función básica elem ental (de nuestra biblioteca de funcio nes elem entales) que “ajuste a lo m ás cercano” los datos obtenidos. El departam ento de finanzas, usando técnicas estadísticas, llegó a los datos de precio-dem anda y costo que se m uestran en las tablas 2 y 3, d o n d e p es el precio de m ayoreo de una bicicleta para una dem anda de x m iles de bicicletas y C es el costo, en m iles de dólares, para producir y vender x m iles de bicicletas.

TABLA 2 .v (miles)

P re c io -d e m a n d a p($)

TABLA 2 x (miles)

C(miles $)

7

530

5

2 100

13

360

12

2 940

19

270

19

3 500

25

130

25

3 920

(A) C onstrucción de un m odelo m atem ático para el precio-dem anda. Trace los datos de la tablá 2 y observe que la relación entre p y x es casi lineal. D espués de observar una relación entre variables, a m enudo los analistas intentan m odelar la relación en térm inos de una función básica, de un portafolio de funciones elem entales, que “ajuste m ejor” los datos. 1. L as rectas de regresión lineal se usan frecuentem ente para m odelar fenóm enos lineales. Éste es un proceso de ajuste de un conjunto de datos, a una línea recta que m inim ice la sum a de los cuadrados de las distancias de * Este proyecto de grupo puede hacerse sin usar un dispositivo de graficación, pero se obtiene un conocimiento adicional en el modelado matemático, si se dispone de un dispositivo de graficación.

Actividades en grupo del capítulo 2

199

todos los puntos en la g ráfica de los datos a la recta, m ediante el m étodo de m ínim os cuadrados. M uchos dispositivos de graficación tienen esta rutina preconstruida. L ea su m anual del usuario para su dispositivo de graficación en particular, y analice entre los m iem bros de su grupo cóm o se hace esto. D espués de obtener la recta de regresión lineal con los datos de la tabla 2 , grafique la recta y los datos en la m ism a ventana de visión. 2. L a recta de regresión lineal encontrada en la parte 1 es un m odelo m atem ático para la función precio-dem anda y está dada por p (x) = 666.5 —21 .5jc

Función precio-demanda

G rafique los datos de la tabla 2 y la función precio-dem anda en el m ism o sistem a coordenado rectangular. 3. L a recta de regresión lineal define la función lineal de precio-dem anda. Interprete la pendiente de la función. A nalice su dom inio y rango. M ediante el m odelo m atem ático, determ ine el precio para una dem anda de 10 000 bicicletas y para una dem anda de 20 000 bicicletas. (B) C onstrucción de un m odelo m atem ático para el costo. Trace los datos de la tabla 3 en un sistem a coordenado rectangular. ¿Q ué tipo de función resulta que ajusta m ejor los datos? 1. A juste los datos de la tabla 3 con una recta de regresión lineal. D espués trace los puntos dados por los datos y la recta en la m ism a ventana de visión. 2. L a recta de regresión lineal encontrada en la parte 1 es un m odelo m atem ático para la función costo y está dada por C(x) = 86,y + 1 782

Función costo

G rafique los datos de la tabla 3 y la función costo en el m ism o sistem a coordenado rectangular. 3. Interprete la pendiente y la intersección y de la función costo. A nalice su dom inio y rango. M ediante el m odelo m atem ático, determ ine el costo para una producción y venta de 10 000 bicicletas y para una producción y venta de 20 000 bicicletas. (C) A nálisis del punto de equilibrio y de ganancias-pérdidas. Form ule una ecuación para la función ingreso y establezca su dom inio. Form ule la ecuación para la función ganancia y establezca su dom inio. í . G rafique la función ganancia y la función costo, sim ultáneam ente en el m ism o sistem a coordenado rectangu lar. D eterm ine, en form a algebraica, con qué producción (a la unidad m ás cercana) la com pañía alcanza su punto de equilibrio. D eterm ine dónde los costos exceden a los ingresos y dónde los ingresos/exceden a los costos. 2. G rafique la función de ganancia y la función costo, sim ultáneam ente en la m ism a ventana de visión. D eterm i ne, de m anera gráfica, con qué producción (a la unidad m ás cercana) la com pañía llega a su punto de equilibrio y dónde los costos exceden a los ingresos y dónde los ingresos exceden los costos. 3. G rafique la función ganancia en un sistem a coordenado rectangular. D eterm ine, algebraicam ente, con qué producción (a la unidad m ás cercana) la com pañía llega a su punto de equilibrio. D eterm ine dónde ocurren las ganancias y dónde las pérdidas. ¿C on qué producción y precio se tendrá la m áxim a ganancia? ¿Se tienen los m áxim os ingresos y m áxim a ganancia con la m ism a producción? A nalice. 4. G rafique la función ganancia con un dispositivo de graficación. D eterm ine, gráficam ente, con qué producción (a la unidad m ás cercana) la com pañía llega a su punto de equilibrio y dónde ocurren las pérdidas y ganancias. ¿C on qué producción y precio se tendrá una m áxim a ganancia? ¿Se tienen los m áxim os ingresos y utilidades con la m ism a producción? Analice.

200

2


Repaso del capítulo 2 2 1

HERRAMIENTAS BÁSICAS; CÍRCULOS

Un sistema coordenado rectangular o cartesiano se forma por la intersección de una recta numérica real horizontal y una recta numérica real vertical en su origen. Estas rectas se denominan ejes coordenados. El eje horizontal es a menudo denominado eje x y el eje vertical eje y. Estos ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes. Cada punto en el plano corres ponde a sus coordenadas, esto es. un par ordenado (a, b) que se determina al pasar las rectas horizontal y vertical por el punto. La abscisa o coordenada a: de a, es la coordenada de la intersección de la recta vertical con el eje horizontal, y la ordenada o coordenada y, b es la coordenada de la intersección de la recta horizontal con el eje vertical. El punto (0, 0) se denomina origen. El conjunto solución de una ecuación con dos variables, es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales que hacen de la ecuación un postulado verdadero. La gráfica de una ecuación con dos variables es la gráfica de su conjunto solución, formada mediante la graficación punto por punto o con la ayuda de un dispositivo de graficación. La distancia entre dos puntos /*,(*,, y j y P2(x 2’ y 2) es d(Pu P2) = V (x 2 - -v,)2 + (y2 - y,)2 Las ecuaciones estándar para un círculo son (a- - h f + (y - k ) 2 = r2

Radio: r > 0, Centro: (h, k)

x2+ y l = i2

Radio: r > 0 , Centro: (0, 0)

Mediante una ventana cuadrada se mejorará la apariencia de un círculo en un dispositivo de graficación.

2-2

LÍNEAS RECTAS

La forma estándar para la ecuación de una recta es Ax + By = C, donde A, B y C son constantes, A y B no son cero. La intersección y es la ordenada del punto en que la gráfica cruza al eje y, y la intersección a: es la abscisa del punto donde la gráfica cruza al eje x. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (xp y ]) y ( x 2,y 2) es m

V? “ Vt x2 - a-.

= —— —

si

a:,

* x2

Ecuaciones de una recta Forma estándar

Ax + By = C A y B no son iguales a 0

Forma pendiente- y = mx + b intersección

Pendiente: m\ intersección con el eje y: b

Forma puntopendiente

y - y ,=

Pendiente: ni; Punto: (xv y t)

Recta horizontal

y =b

Pendiente: 0

Recta vertical

x =a

Pendiente: Indefinida

2-3

FUNCIONES

Una función es una regla que produce una correspondencia entre dos conjuntos de elementos, de manera que a cada elemento en el primer conjunto le corresponda uno y sólo un elemento en el segundo conjunto. El primer conjunto se denomina dominio y el conjunto de todos los elementos correspondientes en el segundo conjunto se denomina rango. De manera equivalente, una función es un conjunto de pares ordenados con la propiedad que dos pares ordenados no tienen la misma primera componente y diferentes segundas com ponentes. El dominio es el conjunto de todas las primeras componentes, y el rango es el conjunto de todas las segundas componentes. Una ecuación con dos variables define una función si para cada valor de la variable independiente, al sitio de los valores del dominio, le corresponde exactamente un valor de la variable dependiente, al sitio de los valores del rango. Una recta vertical intersectará la gráfica de una función en a lo más un punto. A menos que se especifique otra cosa, el dominio de una función definida por una ecuación se supone que es el conjunto de todos los de números reales reemplazados para la variable independiente que produzca valores reales para la variable dependiente. El símbolo f(x ) representa el número real en el rango de la fu n ció n / que corresponde al valor del dominio x. De manera equivalente, el par ordenado (,r, f(x )) pertenece a la función f. 2 4

GRÁFICAS DE FUNCIONES

La gráfica de una función / es la gráfica de la ecuación y = f(x). La abscisa de cualquier punto en que la gráfica de una función / cruza el eje x se denomina intersección x d e / La ordenada de un punto donde la gráfica cruza al eje y se denomina intersección y. Sea /un intervalo en el dominio de una funcipnf Entonces: 1. / es creciente en I si f(b ) >f{a) siempre que b> a c n I.

La pendiente no está definida para una recta vertical, donde x ] = xr Dos rectas con pendientes m ¡ y m2 son paralelas si y sólo si /n, = m2 y perpendiculares si y sólo si m jn r = - 1.

2. / es decreciente en / si f(b ) a e n l. 3. / es constante en / si f(a ) = f(b) para toda a y b en 1.

Repaso del capítulo 2

Una función/es una función lineal si/(x) = mx + b,m ¥= 0, y una función cuadrática si/(x ) = ax2 + bx + c, a i= 0. La gráfica de una función lineal es una recta que no es horizontal ni vertical. Propiedades de f(x ) = axl + bx + c = a(x - h)2+ k, a í 0, y su gráfica:

2-5

201

COMBINACION DE FUNCIONES

La suma, diferencia, producto y cociente de las funciones/y g están definidas por (f+ g )(x )= f( x ) + g(x)

( / - g)(x) = f(x) - g(x) -K x )

(fg) W =f(x)g(x) 1. La gráfica d e /e s una parábola:

f(x) g(x)

g(x) = o

El dominio de cada función es la intersección de los dominios d e /y g, con la excepción de que los valores de x donde g(;x) = 0 deben ser excluidos del dominio de f/g. La composición de funciones f y g se define por ( f o g)(x) =/[g(x)]. El dominio def o g es el conjunto de todos los números reales x en el dominio de g donde g(.v) está en el dominio de/ El dominio de / o g es siempre un subconjunto del dominio de g. Traslación vertical: y= J(x) + k ,k > 0

Desplazamiento de la gráfica de y = f(x ), A'unidades hacia arriba.

Abre hacia arriba

y = f( x ) - k ,k > 0

Desplazamiento de la gráfica de y : f(x), k unidades hacia abajo.

f(x)

Traslación horizontal:

a>0

Eje x=h

y = f ( x - h ) ,h > 0

Desplazainiento de la gráfica de y = f(x), h unidades hacia la derecha.

y = f(x + h), h> 0

Desplazamiento de la gráfica de y = J\x), h unidades hacia la izquierda.

i / V é r t ic e ( h , k )

/

i \

Reflexión: y = -/(x) a< 0 Abre hacia abajo

2. Vértice: (h, k). (La parábola aumenta en un lado del vértice y disminuye en el otro.)

Refleje la gráfica de y = /(x ) con respecto al eje x.

Expansión y contracción: y = C f(x),C > 1

Amplié la gráfica de y = f(x) multi plicando cada valor por C.

y = Cf(x), 0 < C < 1

Contraiga la gráfica de y = f( x ) multiplicando cada valor por C.

3. Eje (de simetría): x = h. (Paralelo al eje v.) 4. f(h ) = k es el mínimo si a > 0 y el máximo si a < 0.

2-6 FUNCIONES INVERSAS

5. Dominio: Todos los números reales.

Una función es uno a uno si dos pares ordenados en la función no tienen la misma segunda componente y diferentes primeras componentes. Una recta horizontal intersectará la gráfica de una función uno a uno en a lo más un punto. Una función que es creciente (o decreciente) en todo su dominio es uno a uno. La inversa de la función uno a u n o /e s la fu n ció n / 1 que se forma invirtiendo todos los pares ordenados e n / Si /n o es uno a uno, entonces/ 1 no existe. Suponga q u e / 1 existe, entonces:

Rango: (—°°, £] si a < 0 o [k,» ) si a > 0

Una función definida por partes es una función cuya definición involucra más de una fórmula. La gráfica de una función es continua si no tiene huecos o cortes y discontinua si tiene en cualquier punto un hueco o corte. La función entera más grande se define por f(x) = fr] = n

donde n es un entero, n < x < n + 1

1. f ' es uno aunó. 2. Dominio d e /~ l = Rango d e /

202

2


3. Rango de f ~ l = Dominio de /.’ 4. x = / _1(y) si y sólo si y =f{x) 5. / '[/(x) = x para toda x en el dominio d e / 6-

= x para toda.v en el dominio de/ “'.

Ejercicios de repaso del capítulo Al trabajar con los problemas de este capítulo revise y com pruebe sus respuestas con las que se dan al final del libro. Se incluyen todas las respuestas a los problemas de repaso y des pués de cada una está un número en tipo itálico que indica la sección de la cual se tomó el problema que se está analizando. Si se presentan dudas repase las secciones adecuadas en el texto.

A ____________________________________________ 1. Dados los puntos A(-2, 3) y 5(4, 0), encuentre: (A) La distancia entre A y B (B) Pendiente de la recta que pasa por A y B (C) Pendiente de la recta perpendicular a la recta que une a A y B. 2. Escriba la ecuación de un círculo con radio V 7 y centro: (A) (0,0)

(B) (3, -2)

3. Encuentre el centro y el radio del círculo dados por (a + 3 )2 + 0 ' - 2 ) 2 = 5

4. Grafique 3x + 2y = 9 e indique su pendiente. 5. Escriba una ecuación de una recta con intersección con el eje a- en 6 e intersección con el eje y en 4. Escriba la respuesta final en la forma estándar Ax + By = C, donde A, B y C son enteros. 6. Escriba la forma pendiente-intersección de la ecuación de la recta con pendiente —f e intersección con el eje y en 2. 7. Escriba las ecuaciones de las rectas vertical y horizontal que pasan por el punto (-3, 4). ¿Cuál es la pendiente de cada una? 8. Indique si cada conjunto define a una función. Encuentre el dominio y el rango de cada función. (A) {(1,1), (2,4), (3 ,9)| (B) {(1,1), (1 ,-1 ), (2. 2), ( 2 ,-2 )) . (C) { ( - 2 , 2), ( - 1 , 2 ) , (0,2), (1,2), (2, 2)}

9. Indique si cada gráfica especifica una función:

7. Para encontrar/ " ’, resuelva la ecuación d sy = f( x ) para a y después intercambie x y y. 8. Las gráficas de y = f( x ) y y = / respecto a la recta y = x.

‘(.v) son simétricas con

Ejercicios de repaso del capítulo 2

10. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones define funciones? (A) >’ = x (B) f = x (C) y3 = x (D) \y\ = x

23. Refiriéndose a la gráfica de la función/mostrada en la figura del problema 22 y usando las propiedades conocidas de las funciones cuadráticas, encuentre cada uno de los siguientes conceptos, con aproximación al entero más cercano:

Los problemas del I I al 20 se refieren a las funciones f g, k y m dadas por: f(x) = 3* + 5

m{x) = 21*| — 1 Encuentre tas cantidades indicadas o expresiones 11./(2)

+ g ( - 2) + m

12.

/(2 + h) - / ( 2) h

14.

w(—2) + 1 8(2) + 4

(B) Vértice (D) Rango (E) Intervalo decreciente

(A) Intersecciones (C) Máximo o mínimo (E) Intervalo creciente

g(x) = 4 - x2

k(x) = 5

203

24. Encuentre el valor máximo o mínimo de/(.v) = .v: 6x - 11 sin graficación. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la gráfica? 25. ¿Cómo están relacionadas las gráficas de las siguientes funciones con la gráfica dey = x 2? (A) y = - x 2 (B) y = x2 - 3 (C) >■= (x + 3)2

g(a + /;) - g(a)

15. (f+ g ) { x )

16. ( f - g ) ( x )

17. (fg)(x)

18. ( Í ) M

19. (/°g )(x )

20. (g ° f)(x )

B Los problemas del 26 al 32 se refieren a la función q dada p a la gráfica siguiente. (Suponga que la gráfica continúa como se indica más allá de la parte mostrada.)
21. Trace una gráfica de cada una de las funciones en los incisos A-D, usando la gráfica de la función/ mostrada en la figura. (A )y = -/(x ) (B) y = f(x) + 4 (C) >- = f ( x - 2) (D) y = ~f(x + 3) - 3

5

z ,z

-

m 5 26. Encuentre y con el entero más cercano: (A) y =
28. Encuentre el dominio y rango de q. 29. Encuentre los intervalos para los que q es creciente. 30. Encuentre los intervalos para los que q es decreciente. 31. Encuentre los intervalos para los que q es constante. 32. Identifique cualquier punto de discontinuidad. La función/multiplica el cubo del dominio del elemento por 4 y después resta la raíz cuadrada del dominio del elemento. Escriba una definición algebraica d e / Escriba una descripción verbal de la función f(x ) = 3.x2 + 4 x -6 . / 35. (A) Encuentre una ecuación de la recta p o r 3) y 0(0. -3). Escriba la respuesta final en la forma estándar Ax + By = C, donde A, B y C son enteros con A > 0. (B) Encuentre d(P, O).

204

2


36. Escriba las ecuaciones de las rectas (A) Paralelas a

(B) Perpendiculares a

dades hacia arriba para formar la gráfica de la función g. Encuentre una ecuación para la función g y la gráfica g.

la recta 6x + 3y = 5 y pasa por el punto (-2, 1). Escriba las respuestas finales en la forma pendiente-intersección y = tnx + b.

47. Escriba una ecuación para la siguiente gráfica en la forma y = a(x - h)2 + k, donde a puede ser -1 o +1 y h y k son enteros.

37. Analice la gráfica de 4x2 + 9y2 = 36 respecto a la simetría con respecto al eje x, eje y y al origen.

Compruebe graficando su ecuación con un dispositivo de graficación. y

38. Encuentre el dominio de g(x) = 1A/3 - x 39. Grafique f(x ) = x2 - 6.v + 5. Muestre el eje de simetría y vértice, y encuentre el rango, intersecciones y valor máximo y mínimo de f(x). 40. Encuentre el dominio de h(x) = 1/(4 - \/x ) . 41. D ados/(x) = V x —8 y g ( x) = |x|: (A) Encuentre f ° g y g ° f (B) Encuentre los dominios d e / ° g y g ° f 42. ¿Cuáles de las funciones siguientes son uno a uno? (A ) f(x) = x* (B) gU) = (x - 2 f

(C) h(x) = 2 x - 3 (D) F(x) = (x + 3)2, a' — 3

48. Grafique: (A) y = \x\ — 2 (C) y =

(B) y = \x + 11

L2 \x \

49. D ada/(x) = V * - 1. 43. Dada f(x) = 3x - 7: (A) (B) (C) (D)

E ncuentre/_l(x). Encuentref~'(5). Encuentre/ " 1[flx)j. ¿Es/creciente, decreciente o constante en (—oe, oc)?

Compruebe / / " 1 y y = x graficando en una ventana de visión cuadrada mediante un dispositivo de graficación. 44. Grafique, encuentre el dominio, rango y cualquiera de los puntos de discontinuidad: f(x) =

si - 1 < x < 0 SÍ 0 £

X£ 1

45. La gráfica siguiente es el resultado de aplicar una secuencia de transformaciones de la gráfica de y = x2. Describa las transformaciones verbalmente y escriba una ecuación para la gráfica dada. Compruebe graficando su ecuación con un dispositivo de graficación. y

(A) E n cu en tre/'1^-). (B) Encuentre el dominio y rango de/ y / ''. (C) G rafique/ f~ l yy= x en el mismo sistema coordenado. Compruebe graficando/ / " 1 y y = x en una ventana de visión cuadrada mediante un dispositivo de graficación. 50. Encuentre la ecuación de un círculo que pasa por el punto (—1,4) con centro en (3, 0). 51. Encuentre el centro y radio del círculo dado por x2 + y 2 + 4 x - 6 y = 3. 52. Determine la simetría con respecto al eje x, al eje y y al origen y grafique xy = 4. 53. Si la pendiente de una recta es negativa, ¿la función lineal está representada por la gráfica de la recta creciente, decreciente o constante en ( - , »)? 54. Dada f( x ) = x 2 - l . i S 0: (A) (B) (C) (D) (E)

Encuentre el dominio y rango de/ y / '. Encuentre/"'(x). Encuentre/"'(3). Encuentre/"'[(/(4)]. Encuentre / _,[/(x)].

Compruebe g r a f ic a n d o // 1 y y = x en una ventana de visión cuadrada mediante un dispositivo de graficación.

46. La gráfica def{x )= x se expande por un factor de 3, reflejada en el eje x, y desplazada 2 unidades a la derecha y 5 uni-

55. La gráfica que se muestra en la parte superior de la página siguiente es el resultado de aplicar una secuencia de transformaciones a la gráfica dey = \/x . Describa las trans formaciones verbalmente y escriba una ecuación para la gráfica dada.


y

205

67. Una gráfica parcial de la función/se muestra en la figura. Complete la gráfica de/ sobre el intervalo [0,5] dado que: (A) / e s simétrica con respecto al eje y. (B) / es simétrica con respecto al origen. y i

1

-

A

s

-

i

-v

V

Compruebe graficando su ecuación con un dispositivo de graficación. -j—

56. ¿Cómo es la gráfica de la función f( x ) = - (x - 2)2 - 1 en relación con la gráfica de la función g(x) = x 2? 57. Grafique /(*)= -|x + 1| - 1 58. Encuentre el dominio de/(x) = \ /2 5 - x l. 59. Dadas f( x ) = x2 y g(x) = \ / l - x, encuentre cada función y su dominio. ( A) f g

(B) f/g

(C)f°g

(D) g ° f

60. Para una función/ uno a uno que está dada por

/« =

x +2 x —3

(A) Encuentref ~ l(x). (B) E n c u e n tre /'(3). (C) Encuentre/ ' 1[/'(x)]. 61. Encuentre la definición por partes de/(x)= \x + 1 1—\x - 11 que no involucre el valor absoluto de la función. Encuentre el dominio y el rango d e / 62. Encuentre la ecuación del conjunto de puntos equidistantes de (3, 3) y (6, 0). ¿Cómo se llama la figura geométrica formada por este conjunto? 63. Pruebe que dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si sus pendientes son las mismas. 64. Pruebe que las rectas mx —y = b y x + my = c son perpendiculares. 65. Grafique: (A) m

= iw i

(B) ,?(*) = im i

66. Grafique en una ventana de visión estándar: 2 |3* ~ 6| /(*) = 0.1 (* - 2) + x -2 Suponiendo que la gráfica continúa como se indicó más allá de la parte mostrada en esta ventana, encuentre el dominio, rango y cualquiera de los puntos de discon tinuidad. (Use el modo de puntos en su dispositivo de graficación, si es que lo tiene.)

La función / es decreciente en [-5, 5] con / ( - 5) = 4 y f ( 5) = -3. (A) Si/ es continua en [-5, 5], ¿cuántas veces la gráfica de / puede cruzar el eje x? Justifique su conclusión con ejemplos y/o argumentos verbales? (B) Repita el inciso (A) si la función no tiene que ser continua.

APLICACIONES

69. Depreciación lineal. Una pequeña compañía compró un sistema de cómputo en $12 000 y supone que su valor de depreciación será de $2 000 después de 8 años. Si el valor se deprecia linealmente de S12 000 a $2 000: (A) Encuentre la ecuación lineal que relaciona el valor V (en dólares) con un tiempo t (en años). (B) ¿Cuál sería el valor depreciado del sistema después de 5 años? 70. Negocios: precios. Una tienda de artículos deportivos vende unos shorts para jugar tenis que cuestan $30 en $48 y unos lentes de sol que le cuestan S20 en S32. (A) Si la política de ganancias de la tienda para los artícu los que cuestan $ 10 se supone que es lineal y se refleja en el precio de estos dos artículos, escriba una ecua ción que exprese el precio al menudeo R como una función del costo C. (B) ¿Cuál debe ser el precio al menudeo de un par de esquíes que cuestan $105? * 71. Ingresos. Un vendedor recibe un salario base de S200 por semana y una comisión del 10% en las ventas realizadas por arriba de los $3 000 durante la semana. Si x representa las ventas realizadas por el vendedor durante la semana, exprese el total de las ganancias de la semana E(x) como una función de x Encuentre E(2 000) y E(5 000). 72. Demanda. El consumo de huevo ha ido disminuyendo con el tiempo, presumiblemente por el aumento en la infor mación del alto contenido de colesterol que se encuentra

206

2


en las yemas del huevo. En la tabla 1 se enlista el consumo anual per cápita de huevo en Estados Unidos (fuente: Departamento de Agricultura).

TA BLA 1 Año Consumo

1970

1975

1980

1985

1990

309

276

271

255

233

(B) Determine cuándo R = C; después, con la ayuda del inciso (A), determine cuando R < C y R> C. 75. Mercadotecnia. Si cada semana se producen * unidades de un producto que se vende a un precio de $p por unidad, entonces la demanda por semana, ingresos y la ecuación de costos son, respectivamente, *

= 500 - lOp

R(x) = 50* - -¡k*2 C(x) = 20* + 4 000

Un modelo matemático para estos datos está dado por Exprese la ganancia semanal como una función del precio P-

f(x) = 303.4 - 3.46* donde * = 0 corresponde al año de 1970. (A) Complete la tabla 2. Redondee los valores de/(x) al entero más cercano.

77. Construcción. Un granjero tiene 120 pies de cerca para construir dos corrales rectangulares idénticos, con un lado en común (véase la figura).

TA BLA 2 * Consumo

76. Arquitectura. La parte superior de una entrada está formada por un arco de 6 pies por lado vertical y 8 pies de separación. Si la parte superior del arco está a 2 pies por arriba de sus extremos, ¿cuál es el radio del arco?

0

5

10

15

20

309

276

271

255

233

m

(B) Grafique y - /(* ) y los datos de la tabla en el mismo conjunto de ejes. (C) Use la función modelamiento de / para calcular el consumo de huevo per cápita en 1995. En 2000. (D) Con base en la información de la tabla, describa en forma breve los cambios en el consumo de huevo de 1970 a 1990. 73. Precios. Una tienda de artículos para oficina vende bolígrafos con punto rodante a S0.49 cada uno. Para un pedido de bolígrafos de tres docenas o más, el precio por bolígrafo para todo el pedido de bolígrafos se reduce a SO.44, y para un pedido de seis docenas o más se reduce a SO.39. (A) Si C(x) es el costo total en dólares para un pedido de .v bolígrafos, escriba una definición por partes para C. (B) Grafique y = C(x) para 0 s i £ 108, e identifique cualquier punto de discontinuidad. 74. Análisis del punto de equilibrio. Una compañía de producción de videos está planeando producir un video educativo. El productor calcula que la grabación del vi deo costará $84 000 y $15 por unidad por la copia y distribución. El precio de mayoreo por unidad es de $50. (A) Escriba la ecuación de costo y la ecuación de ingresos, y grafique ambas de manera simultánea en un sistema coordenado rectangular.

(A) Exprese el área total A(x) delimitada por ambos corrales como una función del ancho *. (B) De acuerdo con las consideraciones físicas, ¿cuál es el dominio de la función A? (C) Encuentre las dimensiones de los corrales que harán que el área total encerrada sea la máxima. 78. Ciencia de la computación. En programación de compu tadoras, a menudo es necesario comprobar números para ciertas propiedades (pares, impares, cuadrados perfectos, etcétera). La función entera más grande proporciona un método conveniente para determinar algunas de esas propiedades. Por ejemplo, la siguiente función se puede usar para determinar si un número es el cuadrado de un entero: /(*) = * -

(A) (B) (C) (D) (E) (F)

Encuentre/(1). Encuentre/(2). Encuentre/(3). Encuentre/(4). Encuentre/(5). Encuentref( n 2), donde n es un entero positivo.

207

Ejercicios de repaso acumulativo de los capítulos 1 y 2

Ejercicios de repaso acumulativo de los capítulos 1 y 2 Trabaje en todos los problemas de este repaso acumulativo y compruebe las respuestas con las que se indican al fin a l del libro. Después de cada respuesta a los problemas hay un nú mero en tipo itálico que indica la sección a la que pertenece el problema que se está analizando. Si tiene dificultades para re solverlos, revise las secciones adecuadas en el texto.

17. ¿Cómo se relacionan las gráficas siguientes con la gráfica de y = |x|? (A) y = 2\x\

(B )j= [x -2 |

( C ) y = |* |- 2

18. Trace una gráfica de cada una de las funciones de los incisos A y B usando la función de la gráfica/ en la figura. (A) y —— f ( x + 1)

(B) y = 2f(x) - 2

f(x) ■

7* 3 + 2i jt - 10 1. Despeje p a ra je :----------------= ----------- \- 2 5 2 3

2. Despeje para x y y: 2x - 3y = 8 4x + y = 2 Resuelva y grafique los problemas del 3 al 5. 3. 2(3 - y) + 4 < 5 -

y

4. I* - 2| < 7

5. x2 + 3a > 10

6. Realice las operaciones indicadas y escriba la respuesta en la forma estándar: (A) (2 - 30 - ( - 5 + 7/) 5+ ; (C )J T ^

(B) (1 + 40(3 - 50

9. a-2 - 6a + 2 = 0

Resuelva los problemas del 19 al 22. x+3 5a + 2 5 1 9 .---------- 1---------- ——

„.

2a- + 2

3a + 3

A

6

X +

1

X ~

1

22. 2a — 3y = 9 4a + 2y = 23

8. 4a-2 - 2 0 = 0 10. x - V l2 —a = 0

11. ¿Para qué valores dex V 2 + 3x representa un número real? 12. Dados los puntos^4(3, 2) y B(5, 6), encuentre: (A) La distancia entre A y B. (B) La pendiente de la recta que pasa por A y B. (C) La pendiente de una recta perpendicular a la recta que pasa por A y B.

Resuelva y grafique los problemas del 23 al 25. 23. |4a - 9| > 3 25.

2 A+ 1

24. V(3m - 4)2 s 2

1 A- 2

26. ¿Para qué valores de a, representa la siguiente expresión un número real? Vx x - 4

13. Encuentre la ecuación del círculo con radio\ f l y centro: (A) (0, 0)

,„ 3

20 . - = ------- -

6

21. 2x + 1 = 3V 2 a - 1

Resuelva los problemas del 7 al 10. 7. 3a2 = - 1 2 *

B

(B) (-3 ,1 )

14. Grafique 2x - 3y= 6 e indique su pendiente e intersecciones. 15. Indique si cada conjunto define una función. Encuentre el dominio y rango de cada función. (A) {(1,1), (2, 1), (3,1)) (B) {(1,1), (1,2), (1,3)) (C) {(-2 , 2), ( - 1 , - 1 ) , (0,0), (1, -1 ), (2, 2)| 16. Para/(x) = a2 - 2x + 5 y g(x) = 3a - 2, encuentre: (A) / ( —2) + g(3) (B) (f+ g )(x ) (C) (f°g )(x) (D) /(a + h) ~ ña)

27. Realice las operaciones indicadas y escriba las respuestas finales en la forma estándar: (A) (2 - 302 - (4 - 50(2 - 30 - (2 + 10/) (C) Í3 5+V 28. Convierta a las formas a + bi, realice las operaciones indicadas, y escriba las respuestas finales en la forma estándar: (A) (5 + 2 \ / —9) - (2 - SV^Hó)

(B)

2 + 7V~-25 3 - V 17!

(C)

12 - V —64

%/—4

208

2


Compruebe grafícando su ecuación mediante un dispositivo de graficación.

29. Encuentre lo que se pide para la función/dada por la gráfica que se muestra en seguida. f(x)

38. Sea/(* ) = V * + 4.

\ 7

(A) Encuentre/"'(x). (B) Encuentre el dominio y rango d e / y / " '. (C) Grafique/, / “' yy=.Tenelmismosistemacoordenado. -*-x

Compruebe g ra fic a n d o / / _1 y y = x en una ventana cuadrada con un dispositivo de graficación. 39. Encuentre el centro y radio del círculo dado por x2 - 6x + y 2 + 2y = 0. Grafique el círculo y muestre el centro y el radio.

(A) El dominio de/ (B) El rango de f

40. Analice la simetría con respecto al eje x, al eje;- y al origen para la ecuación

(C) /(—3) +/(—2) +/(2). (D) Los intervalos sobre los que/ es creciente. (E) Las coordenadas x de cualquiera de los puntos de discontinuidad. 30. Escriba las ecuaciones de las rectas (A) Paralelas a (B) Perpendiculares a la recta 3x + 2y= 12 y que pasa por el punto (-6, 1). Escriba las respuestas finales en forma de pendienteintersección y = mx + b.

ry + |xy| = 5 41. Escriba una ecuación para la gráfica mostrada en la figura en la forma y = a(x - h)2 + k, donde a es -1 o +1 y h y k son enteros. y

31. Encuentre el dominio de g(x) = \ / x + 4. 32. Grafique f(x ) = x2 - 2* - 8. Muestre el eje de simetría y vórtice, y encuentre el rango, intersecciones y valor máximo o mínimo de f(x).

i

33. Dada f(x) = l/(* - 2) y g{x) = (x + 3)/*, encuentre / o g. ¿Cuál es el dominio d e /o g? 34. E ncuentre/ '(*) para /(* ) = 2* + 5. 35. Grafique, encontrando el dominio, rango y cualquier punto de discontinuidad: x - 1 /(*) = x2 + 1

si x < 0 si x s 0

36. Grafique: (A) y = 2V * + 1

(B) y = - V r M

37. La gráfica mostrada en la figura es el resultado de aplicar una secuencia de transformaciones a la gráfica de y = |*|. Describa las transformaciones de manera verbal, y escriba una ecuación para la gráfica de la figura.

Compruebe graficando su ecuación con un dispositivo de graficación. Resuelva los problemas del 42 al 45. 14 6 42. 1 + — = y y

43. 4x2/3 - 4.v1/3 - 3 = 0

44. u4 + m2 - 12 = 0

45. V 81 - 2 - 2v7 = 1

Use una calculadora para resolver los problemas del 46 al 48. Calcule las respuestas con dos cifras decimales. 46.

-3.45 < 1.86 - 0.33* < 7.92

47. 2.35.x2 + 10.44* - 16.47 = 0 48. 12.5* + 2.5y =f 20 3.5* + &Jy = 10 49. Despeje y en términos de x: x - 2 x+ 1

2y + 1 >■- 2

Ejercicios de repaso acumulativo de los capítulos 1 y 2

209

50. Despeje para 5 y t en términos de x y y y compruebe: x ~ - 1 + 5s + 2/

APLICACIONES

y = 2 + 2s+ t

64. Números. Encuentre un número tal que exceda su reciproco por §•

51. G rafiquej' = - 2 V $ c + 1 + 3 .

52. Evalúe x2 - x + 2 para x = |

65. Rapidez y tiempo. Un transportador de banda viejo trabajando solo puede llenar de material un vagón áe ferrocarril en 14 minutos. Con la banda vieja y una nueva operando juntas se puede llenar el %'agón en 6 minuto? ¿Cuánto tiempo le toma a la nueva banda trabajando sola llenar de material el vagón?

| \ A 7.

53. ¿Para qué valores de a y 6 es verdadera la desigualdad a b < b -a l 54. Despeje y en términos de x:

55. Encuentre todas las raíces: 3x2 = 2 V 2x - 1. Considere la ecuación cuadrática x2 + bx+ 1 = 0 donde b es un número real. Analice la relación entre los valores de b y los tres tipos de raíces enlistados en la tabla 1 de la sección 1-6. 57. Encuentre todas las raíces reales: 1 = 6?r2 + 9a' 4

59. Resuelva:

a —bi

+66. Rapidez y tiempo. Una lancha viaja corriente arriba 35 millas y después regresa a su punto de partida. Si el viaje redondo toma 4.8 horas y la velocidad del bote en aguas tranquilas es de 15 millas por hora, ¿cuál es la velocidad de la corriente? *67. Química. ¿Cuántos galones de agua destilada se deben mezclar con 24 galones de una solución de ácido sulfúrico al 90% para obtener una solución al 60%?

* + >■ ■= 1 x +y y ---------x -y

58. Escriba en la forma estándar:

'S?

a,bi= 0

<3

60. Encuentre una definición por partes de f(x ) = |x + 2| + |x 2| que no involucre el valor absoluto de la función. Grafique / y encuentre el dominio y rango. 61. Dada f{x ) = x2 y g(x) = \ / 4 - x2, encuentre: (A) El dominio de g. (B) f g y su dominio. (C) / o g y su dominio. 62. Sea f(x ) = x2 - 2x - 3, x ^ 1. (A) Encuentref '(x). (B) Encuentre el dominio y rango de f ~ x. (C) G rafique/ f A y>'=xenelmismosistemacoordenado. Compruebe graficando / / _1 y y = x en una ventana cuadrada con un dispositivo de graficación. 63. Escriba una definición por partes para f(x ) = 2 x - ¡2x] y trace la gráfica de / Incluya suficientes intervalos para ilustrar de forma clara la definición y la gráfica. Encuentre el dominio, rango y cualquier punto de discontinuidad.

68. Análisis del punto de equilibrio. Los costos fijos de una editorial para producir un nuevo libro de cocina son de S41 800. Los costos variables son de $4.90 por libro. Si el libro se vende a las librerías en S9.65, ¿cuántos libros debe vender la editorial para alcanzar el punto de equilibrio? 69. Finanzas. Un inversionista instruye a un corredor para que compre ciertas acciones siempre y cuando el precio por acción p del mercado esté entre S10 y S200. Exprese esta instrucción como una desigualdad de valor absoluto. 70. Oferta y demanda. Suponga que las ecuaciones de oferta y demanda para la espuma de estireno “cabezas de queso” en Green Bay para una semana en particular son p = 5.5 + 0.002(7

Ecuación de oferta

p = 22 —0.001 ^


dondep es el precio en dólares y q es el número de cabezas de queso. Encuentre el precio de equilibrio y la cantidad. 71. Análisis de pérdidas y ganancias. A un precio de Sp por unidad, el departamento de mercadotecnia en una compañía estima que el costo semanal C y el ingreso semanal R, en miles de dólares, estará dado por las ecuaciones C = 8 8 - I2p

Ecuación de costo

R= \5 p -2 p 1


Encuentre los precios para los que la compañía tiene: (A) Una ganancia. (B) Una pérdida. *72. Barcos. Un barco sale del puerto A, se dirige hacia el este al puerto B, y después hacia el norte al puerto C, viaja en total 115 millas de distancia. Al siguiente día el barco viaja directamente desde el puerto C de regreso al puerto A, una distancia de 85 millas. Encuentre la distancia entre los puertos A y B y entre los puertos B y C.

10

2


L Precio y demanda. La demanda semanal de enjuagues bucales en una cadena de farmacias es de 1 160 botellas a un precio de $3.79 cada uno. Si el precio se reduce a $3.59, la demanda semanal aumenta a 1 340 botellas. Suponiendo que la relación entre la demanda semanal x y el precio por botella p es lineal, exprese * como una función de p. ¿Cuántas botellas se podrían vender cada semana si el precio se redujera a $3.29? t. Negocios y precios. Una compañía telefónica empieza un

nuevo plan de tarifas en las que les cobra a los usuarios por llamadas locales como sigue: Las primeras 60 llamadas de cada mes son a 6 centavos cada una, las siguientes 90 son a 5 centavos cada una, las siguientes 150 son a 4 centavos cada una y las llamadas adicionales son a 3 centavos cada una. Si C es el costo, en dólares, al realizar* llamadas por mes, escriba una definición por partes de C como una función de * y grafíquela. 5. Construcción. Una persona tiene 80 pies de malla de alambre para construir una perrera adyacente a su casa (véase la figura).

(A) Exprese el área A(x) delimitada por la perrera como una función del ancho .v. (B) De las consideraciones físicas, ¿cuál es el dominio de la función^? (C) Grafique A y determine las dimensiones de la perrera para que se tenga un área máxima. 76. Ciencia de la computación. Sea /(* ) = * - \2x/2¡. Esta función se puede usar para determinar si un entero es impar o par. (A) Encuentre/(1 ),/(2 ),/(3 ),/(4 ). (B) Encuentre/(n) para cualquier entero n. [Sugerencia: Considere dos casos, n = 2k y n = 2k + 1, k es un entero.] *77. Física. La distancia s sobre el suelo (en pies) a la que está un objeto que se deja caer de un globo aerostático t segundos después de que se soltó está dada por s = a + bt2 donde a y b son constantes. Suponga que el objeto está a 2 100 pies sobre el suelo cinco segundos después de que se soltó, y a 900 pies 10 segundos después de que se soltó. (A) Encuentre las constantes a y b. (B) ¿A qué altura está el globo? (C) ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en caer?

RflCIOIMLES 3-1

Funciones polinomiales y gráficas

3-2 Determinación de raíces racionales de polinomios 3-3 Aproximación de raíces reales de polinomios 3-4 Funciones racionales 3-5 Fracciones parciales Actividades en grupo del capítulo 3: Interpolación de polinomios llf ü Im I ié


212

3

Funciones polinomiales y racionales

Recuerde que las raíces de una función f son las soluciones o raíces de la ecuación /(*■)= 0, si existe alguna. Se conoce cóm o encontrar todas las raíces reales e im agi narias de funciones lineales y cuadráticas (véase la tabla 1).

TABLA 1

ices de funciones lineales y cuadráticas

Función

Forma

L ineal

/ ( * ) = ax + b, a +

Cuadrática

Raíces

Ecuación ax + b =

0

/ ( * ) = ax 2 + bx + c, a ^

b 0

a 0

ax2 + bx + c =

- b ± V b 2 — 4ac 0

X~

2a

L a s fu n c io n e s lin e a le s y c u a d r á tic a s se c o n o ce n ta m b ié n com o fu n c io n e s polinom iales de prim er y segundo grado, respectivam ente. A sí, en la tabla 1 se indican las fórm ulas para encontrar las raíces de cualquier funciói^polinom ial de prim er o segundo grado. A quí surge la pregunta, ¿cóm o se puede resolver funcio nes polinom iales de orden superior? tales com o

p(x) = 4x3 - 2x2 + 3x + 5

Tercer grado

q(x) = -2 x * + 5x2 - 6

Cuarto grado

r(x) = x5 - x* + x 3 — 10

Quinto grado

C om o puede verse existen m étodos (directos, aunque com plicados) para encon trar todas las raíces de cualquier función polinom ial de tercer o cuarto grado. Sin em bargo, el francés É variste G alois (1811-1832) com probó a la edad de 20 años, que para funciones polinom iales de grado superior a cuatro no hay un proceso finito paso a paso con el que siem pre se obtengan todas las raíces.* Esto no signi fica que no se intente encontrar las raíces de funciones polinom iales de grado su perior, sino que será necesario usar diferentes m étodos especializados, y en ocasiones se tendrá que aproxim ar las raíces. El desarrollo de estos m étodos es uno de los objetivos principales de este capítulo. L a sección 3-1 com ienza con el análisis de las propiedades gráficas de funcio nes polinom iales. En la sección 3-2 se desarrollan las herram ientas para encontrar las raíces racionales de una ecuación polinom ial con coeficientes racionales. En la sección 3-3 se estudian los m étodos para localizar las raíces reales de un polinom io con coeficientes. U na vez localizadas, las raíces reales se pueden aproxim ar fácil m ente con la ayuda de un dispositivo de graficación. En la sección 3-4 se abordan las funciones racionales y sus gráficas y en la sección 3-5 se analiza la descom posi ción de funciones racionales en form as m ás sim ples, una herram ienta im portante en el cálculo.

* La contribución de Galois, al usar un nuevo concepto de “grupo”, tuvo gran importancia para las matemá ticas por su originalidad. Sin embargo, sus contemporáneos muy rara vez leían sus artículos, los que despre ciaban calificándolos como “casi ininteligibles”. A la edad de 21 años, implicado en agitaciones políticas, Galois encontró la muerte en forma prematura en un duelo. Un breve pero fascinante relato de la trágica vida de Galois se puede encontrar en el libro de E. T. Bell, Hombres en las matemáticas (Nueva York: Simón & Schuster, 1937), pp. 362-377.

3-1

SECCION


213

Fundones polinomiales y gráficas Funciones polinom iales D ivisión de polinom ios A lgoritm o de división Teorem a del residuo G raficación de funciones polinom iales

• Función; c polinomiales

E n el capitulo 2 se introdujeron las siguientes funciones básicas Función constante

f(x ) = b f ( x ) — ax + b,

Función lineal

a ¥= 0

f ( x ) = ax2 + bx + c,

a ¥= 0

Función cuadrática

asi com o para algunos casos especiales de funciones m ás com plicadas, por ejem plo, f ( x ) = ax3 + bx2 + ex + d,

a# 0

Función cúbica

O bserve cóm o se genera el patrón de la función constante a la función cúbica, esto es, los térm inos en cada ecuación son de la form a ax", donde n es un entero no negativo y a es un núm ero real. Todas estas funciones son casos especiales de la clase general de funciones denom inadas fu n cio n es polinom iales. La función P{x) = a„x" + an- lx"~1 + • • • + a,x + a0

an + 0

se conoce com o función polinom ial de « ésim o grado. Tam bién se hará referencia a P (x) com o u n polinom io de grado n o, de m anera m ás sim ple, com o un polinom io. Los núm eros a n7, a n—l7 ., 7 a,,\7 a„u se llam an coeficientes de la función. U na función constante, diferente de cero, es un polinom io de grado cero, una función lineal es un polinom io de prim er grado y una función cuadrática es un polinom io de segundo gra do. La función cero Q(x) = 0 tam bién se considera com o un polinom io, pero no se le asigna un grado. Los coeficientes de una función polinom ial pueden ser núm eros com plejos, o pueden estar restringidos a los núm eros reales, núm eros racionales o enteros, dependiendo de nuestro interés. El dom inio de una función polinom ial puede ser el conjunto de núm eros com plejos, el conjunto de núm eros reales, o subconjuntos ade cuados de ellos, dependiendo de nuestro interés. En general, el contexto indicará la elección de los coeficientes y del dom inio. Se dice que el núm ero r que es una raíz de la función P, o una raíz del polinom io P(x), o una solución o raíz de la ecuación P(x) = 0, si P(r) = 0 Una raíz de un polinom io puede o no ser el núm ero 0. U na raíz de un polinom io es cualquier núm ero que haga que el valor del polinom io sea 0. Si los coeficientes de un polinom io P(x) son núm eros reales, entonces una raíz real es sim plem ente una intersec ción en el eje x de la gráfica de y = P(x). C onsidere el polinom io P(x) - x2 — 4x + 3

3


La gráfica de P se muestra en la figura 1. Las intersecciones con el eje x en 1 y 3 son raíces de P(x) - x! 4x + 3, ya que P(1) = 0 y P(3) = 0. Las intersecciones con el eje x en 1 y 3 son también soluciones o raíces de la ecuación x2 - 4x + 3 = 0,

Raíces e intersecciones con el eje x.

h ' 5

>x

En general:

Raíces Si los coeficientes de un polinom io P(x ) son reales, entonces las intersecciones con el eje x de la gráfica de y = P(x) son las raíces reales de P y P(x), y son soluciones reales o raíces para la ecuación P(x) = 0.

• División de polinomios

EJEMPLO

Se puede encontrar cocientes de polinom ios m ediante un proceso de división larga, sim ilar al usado en aritm ética. Un ejem plo ilustrará este proceso.

División algebraica larga D ivida 5 + 4x3 - 3x entre 2x — 3.

Solución

I x 2 + 3x + 3 2x - 3 ) 4 ^ + Ox2 - 3x + 5 4.V3 - óx2 óx2 — 3x óx2 - 9x 6x + 5 6x - 9 14 = R

Arregle el dividendo y el divisor en potencias descendentes de la variable. Inserte, con coeficientes 0, cualquier término que falte de grado menor que 3. Divida el primer término del divisor entre el primer término del dividendo. Multiplique el divisor por 2x-, alinee los términos semejantes, réstelos como en aritmética y colóquelos abaje de -3 x. Repita el proceso hasta que el grado del residuo sea menor que el del divisor.

Residuo

Asi que 4x3 — 3x + 5 2x — 3 Comprobación

(2x - 3) (Ix 2 + 3x + 3) +

= 2xz + 3 x + 3 +

14 2x - 3.

14 2x — 3

= ( 2 x - 3)(2x2 + 3x + 3) + 14 = 4x3 - 3x + 5

3-1



215

D ivida 6x2 — 30 + 9x3 entre 3x - 4.

Poder dividir un polinom io P(x) entre un polinom io lineal de la form a x - r. rápida y exactam ente, será de gran ayuda en la búsqueda de las raíces de funciones polinom iales de grado superior. Se puede llevar a cabo este tipo de división de m anera m ás eficiente m ediante un m étodo conocido com o división sintética. El m étodo se entenderá m e jo r m ediante el siguiente ejem plo. C om encem os por dividir P(x) = 2xJ + 3x3 - x — 5 entre x + 2, usando división ordinaria larga. Las partes críticas del proceso se indican en color.

Divisor

x

x3 - lx2 x x 3 + x2 — ¡x 2x4 + x3

Cociente

) x4 +

Dividendo

- -Y3 + 0X2

- lx3

x2 X2

2xa

- lx x x —5x

5 ■ 5

Residuo

Los núm eros indicados en color, que representan la parte esencial del proceso de la división, se ordenan de m anera m ás conveniente com o sigue: Coeficiente del dividendo

2

3

0

4|

—2

12 / - l ! /

2

-1

—5

4 ’ -1 0 -5 -

Coeficiente del cociente

5 Residuo

M ecánicam ente, se observa que el segundo y tercer renglón de núm eros se gene ran com o sigue. El prim er coeficiente, 2, del dividendo se baja y m ultiplica por 2 del divisor; y el producto, 4, se coloca debajo del segundo coeficiente del dividendo, 3, y se resta. La diferencia, - 1, se m ultiplica de nuevo por el 2 del divisor, y el producto se coloca debajo del tercer coeficiente del dividendo y se resta. Este proceso se repite hasta obtener el residuo. Este proceso se puede hacer un poco m ás rápido, y con m enos probabilidades de equivocarse en los signos, cam biando el + 2 del divisor por - 2 y sum ando en vez de restar. D e esta m anera Coeficientes del dividendo

2

3

0

-1

-4

2

-4

10

2 /- 5 l/

5

2 |2 / - l l /

Coeficientes del cociente

-5

Residuo

216

3


Pasos clave en el proceso de división sintética » » M ili Para dividir el polinom io P(x) entre * - r : ■ ■

A rregle los coeficientes de P(x) en orden de potencias descendentes de E scriba 0 com o el coeficiente de cada potencia id faltante. íduanie.

$1®¡ÍHlS

D espués de escribir el divisor en la form a x - r, use r para generar el segundo y tercer renglones de núm eros com o sigue. Baje el prim er co eficiente del dividendo y m ultiplíquelo por r; después sum e el producto al segundo coeficiente del dividendo. M ultiplique esta sum a por r y " i”’”''' " " 1 w«*“ ' j "i >»••«•*••• m ¡ > >•> sum e el producto al tercer coeficiente del dividendo. R epita el proceso hasta que un producto se sum e al térm ino constante de P(x). El últim o núm ero a la derecha en el tercer renglón de núm eros es el residuo. L os otros núm eros en el tercer renglón son los coeficientes del cociente, que es de grado 1 m enor que P(x).

_

EJEMPLO

División sintética U se división sintética para encontrar el cociente y residuo resultante de dividir P(x) = 4xs — 30x3 — 50.r — 2 entre x + 3. Escriba la respuesta en la form a Q(x) + R í(x — r), donde R es una constante.

Solución

C om o x + 3 = x — ( —3), se tiene r = —3, y 0

-3 0

0

-5 0

-2

-1 2

36

-1 8

54

-1 2

-1 2

6

-1 8

4

-1 4

4

- 3 14

El cociente es 4X4 - 12x3 + 6x2 - 18x + 4 con un residuo de - 1 4 . Así,

PiX) = 4x4 x + 3

Problema seleccionado

12X3

+ 6.x2 - 18x + 4 + — — x + 3

Repita el ejem plo 2 con P(x) = 3X4 — 1 lx 3 — 18x + 8 y divisor x — 4.

U na calculadora es una herram ienta conveniente para realizar la división sintética. Se puede usar cualquier tipo de calculadora, aunque una con m em oria ahorrará algunos tecleos. El diagram a de flujo de la figura 2 m uestra los pasos repetitivos en el proceso de división sintética, y la figura 3 m uestra, en una calculadora gráfica, los resultados de aplicar este proceso al ejem plo 2 .

3-1

217


-3*R

-3

4*R+0 flns+R+< _30)

-12 6

ñns+R+0 fìns*R+< -5 0 ) flns*R+<:

"2)

( Pare )

-18 4 -14

División sintética.

Si se divide P(x) = 2x4 — 5x3 — 4x: + 13 entre x — 3, se obtiene 2x4 - Sx3 - 4X2 + 13 „ , , 4 ----------------- ------------ = 2 r + x^ - x - 3 + ------- x 3 .v - 3

x =# 3

Si se m ultiplican am bos lados de esta ecuación p o rx — 3, entonces se obtiene 2xA — 5x3 — 4x2 + 13 = (x — 3)(2x3 + x2 — x — 3) + 4 Esta últim a ecuación es una identidad en la que el lado izquierdo es igual al lado dere cho para todos los reem plazos de x por núm eros reales o im aginarios, incluyendo x = 3, E ste ejem plo sugiere el im portante a lg o ritm o de división, que se estableció com o el teorem a I sin prueba.

Teorema 1

Algoritmo de división Por cada polinom io P{x) de grado m ayor que 0 en cada núm ero r, existe un polinom io único Q (x) de grado 1 m enor que P(x) y un núm ero único R tal que P (x) = (x - r)Q (x) + R El polinom io Q (x) se denom ina cociente, x - r e s el divisor, y R es el residuo. O bserve que R puede ser 0.

218

3



Sea P(x) = x3 - 3x2 - 2x + 8. (A ) Evalúe P(x) para (i)x = -2

(ii)x = l

(iii)x = 3

(B) U se división sintética para encontrar el residuo cuando P(x) se divide entre (i) x + 2

(ii) x — 1

(iii) x — 3

¿Q ué se concluye de com parar los resultados de los incisos (A) y (B)?

Use ahora el algoritm o de división en el teorem a 1 para probar el teorem a del residuo. La ecuación en el teorem a 1, P(x) = (x - r)Q(x) + R es una identidad; es decir, es verdadera para todos los reem plazos reales o im aginarios de.v. En particular, si se hace x = r, entonces se observa una relación m uy interesante y útil: P{r) = (r - r)Q(r) + R = 0 • Q(r) + R = 0 + R = R

En palabras, el valor de un polinom io P(x) e n x = r es el m ism o residuo R que se obtuvo cuando se dividió P(x) entre x — r. Con esto se prueba el bien conocido teorem a del residuo:

Teorema 2

Teorema del residuo Si R es el residuo después de dividir el polinom io P(x) entre x — r, entonces P(r) = R

Dos métodos para evaluar polinomios Si P(x) = 4x4 + lOx3 + 19x + 5, encuentre P ( - 3) de las m aneras siguientes: (A) U sando el teorem a del residuo y la división sintética. (B) Evaluando directam ente P ( —3). Soluciones

(A ) U se la división sintética para dividir P(x) entre x - ( —3).

3-1

4

10 -1 2

- 3 [~4

—2


0

19

5

6

-1 8

-3

6

í

2=

i?= jP(—3)

(B) P ( —3) = 4 (—3)4 + 10(—3)3 + 19 (—3) + 5 = 2

Repita el ejemplo 3 para P(x) - 3x4 - 16x2 - 3x + 7 y x = -2 .

La forma de la gráfica de una función polinomial está conectada con el grado del polinomio. Las formas de funciones polinomiales de grado impar tienen algo en co mún, y las formas de funciones polinomiales de grado par también tienen algo en común. La figura 4 muestra algunas gráficas representativas de funciones polinomiales que parten del grado 1 hasta el 6 y sugiere algunas propiedades generales de gráficas de funciones polinomiales. Gráficas de funciones polinomiales.

5-

H—I—I—I— P-X

-5-

H—I—I—I I » *

-5-

fa) f(x) — x — 2 ^

(b) g(x) ~ x ' - Sx

y

(c)J

y

S"

H— I— i— I— I— »■ X

— I— i— I— I— l-

H— h H — [— 1- » X

—5 ” (d) F(x) -

- x+ 1

(e) G(x) = 2xl .

-51

x * 3

(f) H(x) =
lí

Observe que las gráficas de polinomios de grado impar comienzan en el eje y negativo, terminan en el eje y positivo y cruzan el eje x al menos una vez. Las gráficas de polinomios de grado par comienzan en el ejey positivo, terminan en el ejey positivo y no todas cruzan el eje x. En todos los casos mostrados en la figura 4, se seleccionó positivo el coeficiente del término de grado más alto. Si se hubiera escogido negativo cualquier coeficiente principal, entonces se podría tener una gráfica similar pero refle jada con respecto al eje x.

220

3


La forma de la gráfica de un polinomio, también está relacionada con la forma de la gráfica de grado más alto o con el té rm in o p rin c ip a l del polinomio. En la figura 5 se compara la gráfica de uno de los polinomios de la figura 4 con la gráfica de su término principal. Aunque son muy diferentes para los puntos cercanos al origen, conforme se realiza un “alejamiento” a los puntos distantes del origen, las gráficas se vuelven muy similares. El término principal en el polinomio domina todos los otros términos combi nados. = x s - 6xi

y

p

p(x) = x?, h(x)

ph

+ 8* + 1.

En general, el comportamiento de la gráfica de una función polinomial conforme x disminuye sin llegar al límite izquierdo o conforme x aumenta sin llegar al límite

derecho, está determinado por su término principal. A menudo se usan los simbolos —cc y x para ayudar a describir este comportamiento a la izquierda y a la derecha.* En el teorema 3 se resumen las diferentes posibilidades.

Teorema 3

Comportamiento a la izquierda y derecha de un polinomio P(x) v / = a nx" + an 1,x" 1 + • • • + a .x 1 + an, 0’

1. an > 0 y n es par La gráfica de P(x) aumenta sin límite conforme ,v disminuye a la izquierda y conforme x aumenta a la derecha.

2.

a n ¥= 0

an > 0 y n es impar La gráfica de P{x) disminuye sin límite conforme x disminuye a la

izquierda y aumenta sin límite conforme x aumenta a la derecha. y = P(x)

y = P(x)

X

conforme .v —>-ao conforme x —»

conforme x -» - « conforme x —> *>

* Recuerde que el símbolo no representa uu número real. Antes se usaba * para denotar intervalos sin límite, tal como [0. =■=). Ahora se usa para describir cantidades que están creciendo sin límite superior en su tamaño.

3-1

3. an < 0 y n es par La g ráfica de P(x) dism inuye sin límite conform e x dism inuye a la izquierda y conform e x aum enta a la derecha.


4.

a t < 0 y n es im par L a gráfica de P(x) aum enta sin lím ite conform e x dism inuye a la izquierda y dism inuye sin lím ite conform e x aum enta a la derecha.

Y = PM

y

=m

La figura 4 m uestra ejem plos de funciones polinom iales con gráficas que contie nen el m áxim o núm ero posible de puntos de retorno, para un polinom io de ese grado. Un p u n to de re to rn o sobre una gráfica continua, es un punto que separa la parte que está aum entando de la parte que está dism inuyendo. En el teorem a 4 se enum eran pro piedades útiles de funciones polinom iales que se aceptan sin prueba. La propiedad 3 se analiza en form a detallada en este capítulo un poco m ás adelante. Las otras propieda des se establecen en cálculo.

Teorema 4

Propiedades de gráficas de funciones polinomiales Sea P un n ésim o grado de una función polinom ial con coeficientes reales.


1.

P es continua para todos los núm eros reales.

2.

La gráfica de P es una curva suave.

3.

La gráfica de P tiene a lo m ás n intersecciones en el eje x.

4.

P tiene a lo m ás n — 1 puntos de retorno.

(A) ¿Cuál es el m enor núm ero de puntos de retorno que puede tener una función polinom ial de grado im par? ¿Y una función polinom ial de grado par? (B) ¿Cuál es el m áxim o núm ero de intersecciones con el eje x que puede tener una función polinom ial de grado n i (C) ¿Cuál es el m áxim o núm ero de soluciones reales que puede tener una ecuación polinom ial de «ésim o grado? (D) ¿Cuál es el m enor núm ero de intersecciones con el eje x que puede tener la gráfica de una función polinom ial de grado im par? ¿Y una de grado par?

3


(E) ¿Cuál es el menor número de soluciones reales que puede tener una ecuación polinomial de grado impar? ¿Y una de grado par?

Graficación de un polinomio

Grafique P(x) = x3 — \2x + 2, —4 ^ x ^ 4. Encuentre los puntos usando división sintética y el teorema del residuo. ¿Cuántas intersecciones con el eje x tiene la gráfica? ¿Cuántos puntos de retomo? Describa el comportamiento de P(x) a la izquierda y a la derecha. Solución

Se evalúa P(x) desde x = —4 hasta x — 4 para valores enteros de x. Se puede apresurar el proceso formando una tabla de división sintética. Para simplificar la forma de la tabla, se omite escribir el producto de r con cada coeficiente en el cociente y se realizan los cálculos mentalmente o con una calculadora. Se vuelve más útil el uso de una calcu ladora a medida que los coeficientes son más numerosos o complicados. La tabla pro porciona también otra información importante, como se verá en las secciones subse cuentes. 1

0

-12

2

-4

1 -4

4

-14

= P(~ 4)

-3

1 -3

-3

11

= P(~ 3)

-2

1 -2

-8

18 = P(~ 2)

-1

1 -1

-11

13 = />(-1)

1

-12

2

= P(0)

1 1

1 -11

-9

= P( 1)

2

1

2

-8

-14

= P( 2)

3

1

3

-3

-7

= P( 3)

4

1

4

4

0

0

18 = P(4)

Ahora se trazan los puntos encontrados en la tabla y se unen con una curva suave (figura 6). Conforme se dibuja esta curva, se observa que la gráfica cruza el eje x tres veces y cambia de dirección en dos ocasiones. Las siguientes dos secciones se dedi carán a determinar de manera precisa el lugar en el que una gráfica cruza al eje x. La determinación exacta de la localización de puntos de retorno requiere de técnicas de cálculo. Si falta esta infonnación, simplemente se cambia de dirección ax = —2 y x = 2. El término principal de P(x) es x3. Del caso 2 en el teorema 3, se observa que P(x) —> - o o como x - * —oo y P{x) oc conforme x —> oc. FIGURA 6

P(x) = x>- 12x + 2. Problema seleccionado 4

Grafique P(x) = x3 —4x2 —4x + 16, - 3 < x < 5. Encuentre los puntos usando la división sintética y el teorema del residuo. ¿Cuántas intersecciones con el eje x tiene la gráfica? ¿Cuántos puntos de retomo? Describa el comportamiento a la izquierda y a la derecha de P(x).

3-1


C o m e n ta rio . Un dispositivo de graficación puede producir rápidam ente una tabla de valores, sin usar la división sintética, y puede graficar un polinom io igual de rápido. En la sección 4-3 se m ostrará que una tabla para la división sintética es una herram ienta valiosa cuando se usa ju nto con un dispositivo de graficación. De m anera que los estu diantes que tengan dispositivos de graficación deben aprender tam bién a construir ta blas de división sintética. (Véase la tabla 1 en la sección 3-3 para una form a m ás eficiente de construir una tabla de división sintética con un dispositivo de graficación.) Respuestas a los problemas seleccionados 1. 3.x2 + dfc + 8 + — — — 3jt - 4 2. ü í í L = 3*3 + *2 + 4* - 2 +

x -4

— 5— = 3.r' + X2 + 4 r - 2 x-4

3. P (—2) = —3 para ambas partes, como debe ser. Tres intersecciones en x y dos puntos de retorno P(x) -> como x -» —=?; P(x) —>como x —?

EJERCICIO

3-1

A

y

En los problemas del 1 al 4, a es un número real positivo. Rela cione cada función con cada una de las gráficas (a)—(d).

1. f( x ) = ax1

2. g(x) = - ax4

3. h(x) = ax6

4. k(x) = -tí*5 y

x

y (C)

x

(a)

(b)

(d)

224

3


Los problemas del 5 al 8 se refieren a las gráficas de las fu n ciones f g, h y k que se muestran a continuación. m

9 00

Use división sintética y el teorema del residuo en los proble mas del 23 al 28. 23. Encuentre P (—2), dado P(x) = 3*2 —* — 10. 24. Encuentre P{—3), d a d o P(x) = 4*2 4- 10* — 8. 25. Encuentre P(2), d a d o P(x) = 2*3 — 5x2 + 7* — 7. 26. Encuentre P(5). dado P(x) = 2*3 - 12*2 —* + 30. 27. Encuentre P(—4), d a d o P(x) = X* — 10*2 + 25* — 2. 28. Encuentre P ( - 7), dado P(x) = *4 + 5*3 — 13*2 — 30.

h (x )

k (x )

En los problemas del 29 al 44, divida, usando división sintéti ca. Escriba el cociente e indique el residuo. Como se implican más coeficientes, una calculadora debe probar su utilidad. No redondee (todas las cantidades son exactas). 29. (3*4

4) - (* + 1) 30. (5*4 - 2x2 - 3) + (* - 1)

31. (*5 + 1) 4- (* + 1) 33. (3*4 +

32. (x4 - 16) -5- (* - 2)

2*3 - 4* -

1) - (* + 3)

34. (x4 - 3x3 - 5*2 4- 6* - 3) -e- (* - 4)

5. ¿Cuál de esas funciones puede ser un polinomio de segundo grado? 6. ¿Cuál de esas funciones puede ser un polinomio de tercer grado? 7. ¿Cuál de esas funciones puede ser un polinomio de cuarto grado? 8. ¿Cuál de esas funciones no es un polinomio? En los problemas de! 9 al 16, divida, usando la división algebraica larga. Escriba el cociente e indique el residuo. 9. (4m2 - 1) - (2m - 1)

10. (y2 - 9) - (y + 3)

11. (6 - 6* + 8*2) - (2x + 1) 12. (11* - 2 + I2*2) +

(3* + 2)

13. (*3 - 1) + (* - 1) 15.

(3y - y2 + 2y3 - 1)

14. (a3 + 27) + (a + 3)

+ (y + 2)

16. (3 + x* - *) -r (* - 3)

35. (2*6 -

13*5 + 75*3

+ 2*2 - 50) - (x - 5)

36. (4X6 +

20*5 - 24*4

- 3*2 - 13* + 30)- (x + 6)

37. (4*4 +

2X3 - óx2

5* + 1) - (* + ^)

-

38. (2*3 - 5*2 + 6* + 3) - (* 39. (4*3 -i- 4X2 - 7* - 6) - (* + l) 40. (3x* - x2 + * + 2) 4- (* + f) 41. (3xi - 2*3 + 2*2 - 3* + 1) + (* - 0.4) 42. (4x* - 3*:' + 5*2 + 7* - 6) -r (* - 0.7) 43. (3*s + 2.V4 + 5.V3 - 7* - 3) - (* + 0.8) 44. (7*5 - .v4 + 3*3 - 2 x 2 - 5) - (x + 0.9) En los problemas de! 45 al 52, grafique cadajunción polinomial usando división sintética)’el teorema del residuo. Después des criba verbalmente cada gráfica, incluyendo el número de inter secciones con el eje x, el número de punios de retorno y el comportamiento de la función polinomial a Ia derecha y a la izquierda. *Compruebe su trabajo en los problemas del 45 al 52 graficándolos con un dispositivo de graficación. P(x) = *3 — 5*2+ 2* + 8, —2 £ * ^ 5

En los problemas del 17 al 22, use división sintética para es cribir el cociente P(x) + (x - r) en la forma P(x)/(x - r ) = Q(x) + RJ(x - r), donde R es una constante.

P(x) = *3 + 2*2- 5* - 6, - 4 < * < 3 P(x) = *3 + 4x2 —x — 4, —5 < * < 2 P(x) — *3 - 2x2 — 5* + 6, —3 ^ * ^ 4

17. (*2 + 3.x - l ) + ( x - 2 )

P(x) = - * 3 +

2*2 - 3, - 2 < * < 3

18. (jc2 + 3x - 3) + (x - 3)

P(x) = - x 3 -

x + 4, - 2 < * < 2

P(x) = —*3 +

3*2 — 3* + 2. —1 < * < 3

P(x) = - * 3 +

*2 + 4* + 6. - 3 < * < 4

19. (4x2 + 10* - 9) -i- (* + 3) 20. (2*2 + 7* - 5) + (*

+ 4)

21. (2*3 - 3* + 1) -h (*

- 2)

22. (*3 + Zx2 — 3* —4)

-r (* + 2)

* Note por favor que no se necesita usar un dispositivo de graficación para terminar estos ejercicios. La comprobación con un dispositivo de graficación es opcional.

3-2

En los problemas del 53 al 56, dé un ejemplo de un polinomio con coeficientes reales que satisj'aga las condiciones dadas o explique por qué tal polinomio no puede existir.

Determinación de raíces racionales de polinomios

225

Compruebe su trabajo en los problemas del 65 al 72 graficando con un dispositivo de graficación. 65. P(x)= x4 - 2x3- 2x2 + 8x - 8

P(x) es un polinomio de tercer grado con una intersección con el eje x. P(x) es un polinomio de cuarto grado sin intersección con el eje x.

66. P(x) = x4 + x3 — 3x2 + 7x — 6 67. P(x)= x4 + 4x3- x2 - lOx - 8 68. P{x)= xA - 8x2- 4x + 10

P(x) es un polinomio de tercer grado sin intersección con el eje x.

69. P(x) = -x -4 + 2x3 + lOx2 — lOx - 9

P(x) es un polinomio de cuarto grado sin puntos de retorno.

70. P(x) = —x4 - 5x3 + x2 + 20x + 5 71. P(x) = xs - 6x4 + 4x3 + 17x2 - 5x - 7

En los problemas del 57 al 60, divida, usando división sintéti ca y una calculadora. Lle\’e todos los números a la capacidad máxima de su calculadora con forme proceda mediante el pro ceso de la división sintética. Sin embargo, escriba abajo los coeficientes del cociente y el residuo con dos cifras decimales a medida que vaya avanzando. 57. (2,\4x3 -

5.23x2

- 8.71x + 6.85) h-

58. (6.03X1 -

35.67x2 + 8.98.r - 12.81) * ( x - 5.72)

59. (0.96.x4 +

4.09.V2

+ 9.44* -1 .8 7 ) - (x + 1.37)

60. (6.45X4 -

1.07x3

+ 8.67x - 3.03) - (x + 0,88)

(x

- 3.37)

c _________________________ En los problemas 61 y 62, divida usando división algebraica larga. Escriba el cociente e indique el residuo. 61. (16x - 5x3 - 8 + 6x4 - 8x2)- (2x 62. (8x2 - 7 - 13x + 24.V4) - (3x+ 5

72. P(x) = x5 - 9x3 + 4x2 + 15x - 10 (A) Divida P(x) = a2x2 + a tx + a0 entre x — r. usando la división sintética y el proceso de división larga, y compare los coeficientes del cociente y el residuo producido por cada método. (B) Desarrolle la expresión que representa el residuo. ¿Qué observa? Repita el problema 73 para P(x) = a,x3 4- a^x2 + «,x + an 75. Los polinomios se evalúan también de manera adecuada usando un esquema de “factorización anidada". Por ejemplo, el polinomio P(x) = 2x4 —3x3 + 2x2 — 5x + 7 se puede escribir en forma de factorización anidada, de la manera siguiente:

- 4 4- 3x2)

P(x) = 2x4 - 3x3 + 2x2 - 5x + 7

+ 6x2)

= (2x - 3)x3 + 2x2 - 5x + 7

En los problemas 63 y 64, divida usando división sintética. No use calculadora.

= [(lx - 3)x + 2]x2 - 5x + 7 = {[(2x — 3)x + 2]x — 5}x + 7

63. (x3 — 3x2 + x — 3) -i- (x — 0 64. (x3 — 2x2 + x — 2) -r- (x + /')

En los problemas del 65 a! 72, grafique cada función polinomial usando división sintética y el teorema del residuo. Después describa cada gráfica de manera verbal, incluyendo el núme ro de intersecciones en x, el número de puntos de retorno y el comportamiento a la izquierda y a la derecha.

Use la forma de factorización anidada para encontrar P (- 2 ) y P(1.7). [Sugerencia: Para evaluar P (-2 ), guarde —2 en la memoria de su calculadora, para llamarla cuando se necesite, y proceda de izquierda a derecha.] 76. Encuentre P (~ 2) y P{ 1.3) para P(x) = 3x4 + r 1 - lOx2 + 5x — 2 usando el esquema de factorización presentado en el problema 75.

cc 3-2 Teorema de factorización Teorema fundamental del álgebra Raíces imaginarias Raíces racionales

226

3


En esta sección se desarrollarán algunas propiedades im portantes de los polinom ios con coeficientes arbitrarios. D espués se considerará el problem a de encontrar todas las raíces racionales de un polinom io con coeficientes racionales. En algunos casos, este proceso tam bién perm itirá encontrar raíces irracionales o im aginarias.

• T eorem a d e fa c to r iz a c ió n

El algoritm o de división (teorem a 1 en la sección 4-1) P(x) = (x - r)Q(x) + R podría, debido al teorem a del residuo (teorem a 2 en la sección 4-1), escribirse en una form a donde R se reem place por P(r): P (x) = ( x - r)Q (x) + P(r) Es fácil ver que x — r e s un factor de P(x) si y sólo si P(r) = 0; es decir, si y sólo si r es una raíz del polinom io P(x). Este resultado se conoce com o te o re m a de facto rizació n :

Teorema 1

Teorema de factorización Si r es una raíz del polinom io P(x), entonces x - r es un factor de P(x). Por el contrario, si x - r es un factor de P(x), entonces r es una raíz de P(x).

La relación entre raíces, factores e intersecciones en el eje x es fundam ental para estudiar los polinom ios. También es im portante el teorem a de factorización, puesto que en él se establece que los siguientes postulados son equivalentes para cualquier polinomio P(x): 1.

r es una raíz de la ecuación

2.

r es una raíz de P(x).

3.

x — r es un factor de P(x).

P(x) = 0.

Si, adem ás, los coeficientes de P(x) son núm eros reales y r es un núm ero real, entonces se puede sum ar un cuarto postulado a la lista: 4.

EJEMPLO 1

r es una intersección con el eje x en la gráfica de P(x).

Factores, raíces e intersecciones (A)

Use el teorem a de factorización para dem ostrar que x + 1 es un factor de P(x) = x 25 + 1 (B) ¿C uáles son las raíces de P(x) = 3(x — 5)(x + 2)(x — 3)? (C) ¿C uáles son las raíces de x4 - 1 = 0? (D ) ¿Cuáles son las intersecciones con el eje x de la gráfica de P(x) = x4 1? Soluciones

(A) C om o x + 1 = x - ( —1), se tiene r = —1 y

3-2


P(r) = P ( - 1) = (-1 )25 + 1 = - 1 + 1 = 0

Por consiguiente, —1 es una raíz de P(x) = x25 + 1. Por el teorema de factorización, x —(—1) = x + 1 es un factor de x25 + 1. (B) Como (x —5), (x + 2) y (x - 3) son factores de P(x), 5, —2 y 3 son raíces de P(x). (C) Con la factorización del lado izquierdo, se tiene a-4 - 1 = 0

(x2 - l)(x2 + 1) = 0 (x — l)(x + l)(x - i)(x + i) = 0

De esta forma, las raíces de x4 — 1 = 0 son l , —1, / y —i. (D) Del inciso C, las raíces de P(x) son 1, -1 , i y - i . Sin embargo, las intersecciones con el eje x deben ser números reales. Por lo tanto, las interseccionescon el eje x de la gráfica de P(x) = x4 - 1 son 1 y —1 (véase la figura 1). Intersecciones deP(x) = x> - 1. Problem a seleccionado 1

(A) Use el teorema de factorización para demostrar que x —1 es un factor de P(x) = x54- l .

(B) ¿Cuáles son las raíces de P(x) = 2{x + 3)(x + 7)(x - 8)(x + 1)?

(C) ¿Cuáles son las raíces de x2 + 4 = 0? (D) ¿Cuáles son las intersecciones con el eje x de P(x) = x 1 + 4?

®Teorema fundamental del álgebra

Teorema 2

El teorema 2, a menudo conocido como teorem a fundam ental del álgebra, requiere de una verificación que está más allá del alcance de este libro, de manera que se postula sin comprobarlo.

Teorema fundam ental del álgebra

Cada polinomio P{x) de grado n > 0 tiene al menos una raíz.

Si P(x) = ax" + an_xx"~[ +•••• + a xx + a(j es un polinomio de grado n > 0 con coeficientes complejos, entonces, de acuerdo con el teorema 2, tiene al menos una raíz, por ejemplo r y Según el teorema de factorización, x —r, es un factor de P(x). En consecuencia, P(x) = (x - r,)g,(x)

donde Qx(x) es un polinomio de grado n —1. Si n - 1 = 0, entonces Qx(x) = an. Si n 1 > 0, entonces, por el teorema 2, Qx(x) tiene al menos una raíz, por ejemplo rr Y £?,(*) = i* ~ r2)Q 2(x)

228

3


donde Q2(x) es un polinomio de grado n - 2. Así que, P(x) = (x - r,)(x - r2)Q2(x) S i « — 2 = 0, entonces Q2(x) = an. Si n - 2 > 0, entonces £?,(.v) tiene al m enos una raíz, por ejem plo ?*,. Y Q2(x) = (x - r3)Q 3(x) donde g ,(.r) es un polinom io de grado n — 3. Se continúa en esta form a hasta que Q jx ) sea de grado 0, es decir, hasta que k = n. En este punto, Qn(x) = an, y se tiene P(x) = {x - r x)(x - r2) .....(x - r ) a n De esta m anera, r ]f r 2, ..., rr son las n raíces, no necesariam ente distintas de P(x). ¿Es posible que P(x) tenga m ás que esas rt raíces? Si se supone que r es un núm ero diferente de las raíces anteriores. Entonces P(r) = a (r - r ,) ( r - r2) .....(r - r ) * 0 ya que r no es igual a ninguna de las raíces. Por lo tanto, r no es una raíz, y se podría concluir que r,, .., rn son las únicas raíces de P(x). Esto sólo es un esbozo de prueba del teorem a 3.

Teorema 3

Teorema de las n raíces C ada polinom io P(x) de grado n > 0 se puede expresar com o el producto de n factores lineales. De aquí que, P(x) tenga exactam ente n raíces (no necesariam en te distintas).

Los teorem as 2 y 3 se probaron por prim era vez en 1797, por Cari Friedrich Gauss (a la edad de 20 años), uno de los m atem áticos m ás grandes de todos los tiempos. Si P{x) se representa com o el producto de los factores lineales y x — r ocurre m veces, entonces r se denom ina ra íz de m u ltip licid a d m. Por ejem plo, si P(x) = 4(x - 5 f ( x + l ) 2(.r - i)(x + i) entonces este polinom io de séptim o grado tiene siete raíces, no todas diferentes. Es decir, 5 es una raíz de m ultiplicidad 3. o raíz triple; - 1 es una raíz de m ultiplicidad 2, o raíz doble; e i y —i son raíces de m ultiplicidad 1, o raíces sim ples. De m anera que, este polinom io de séptim o grado tiene exactam ente siete raíces tom ando en cuenta al 5 y —1 con sus respectivas m ultiplicidades.


Si r es una raíz real de un polinom io P(x) con coeficientes reales, entonces r tam bién es una intersección con el eje jc para la gráfica de P(x). A nalice la diferencia entre la gráfica de P{x) en una raíz real de m ultiplicidad im par y una raíz real de m ultiplici dad par.

3-2

E J E ’ i:


229

Factorización de un polinomio Si - 2 es una raíz doble de P(x) = x 4 — l x 2 + 4x + 20, escriba P(x) com o un producto de factores de prim er grado.

So lu ció n

C om o —2 es una raíz doble de

P (x ),

se puede escribir

P(x) = (x + 2 fQ (x ) = (x2 + 4x + 4 )Q(x) y encontrar Q(x) dividiendo P(x) entre x 2 + 4x + 4. C uando se efectúa toda la división algebraica larga, se obtiene Q(x) = x 1 - 4x + 5 Las raíces de Q(x) se determ inan m ediante la fórm ula cuadrática, y son 2 — / y 2 + /. De esta m anera, escribiendo P(x) com o un producto de factores lineales resulta P(x) = (x + 2)2[x - (2 - i)][x - (2 + /)] [Nota: Siem pre que Q(x) sea un polinom io cuadrático, sus raíces se pueden encontrar m ediante la fórm ula cuadrática.]


• Raíces imagina*

Si 3 es una raíz doble de P(x) = x4 — 12x3 + 55x2 — 114* + 90, escriba P(x) com o un producto de factores de prim er grado.

A lgo interesante sucede si se restringe los coeficientes de un polinom io a núm eros reales. Supóngase que se usa la fórm ula cuadrática para encontrar las raíces del polinomio

P(x) = x 2 - 6x + 13 Para encontrar las raíces de P(x), se resuelve P (x) = 0:

x 2 — 6x + 13 = 0 6 ± V 3 6 - 52 * = --------- 2--------6 ± V —16

6 ± 4¡

= 3 ± 2/

Las raíces de P (x) son 3 - 2/ y 3 4- 2i, que son los núm eros conjugados im aginarios (véase la sección 1-5). O bserve tam bién que las raíces im aginarias del ejem plo 1 son los núm eros conjugados im aginarios 2 — / y 2 + i.

3


Esto se generaliza en el teorem a siguiente:

Teorema 4

Teorema de raíces imaginarias L as raíces im aginarias de polinom ios con coeficientes reales, si existen, ocurren en pares conjugados.

C om o una consecuencia de los teorem as 3 y 4, se sabe tam bién (reflexione sobre esto) lo siguiente:

Teorema 5

Raíces reales y polinomios de grado impar U n polinom io de grado im par con coeficientes reales siem pre tiene al m enos una raíz real.


(A) Sea P(x) un polinom io de tercer grado con coeficientes reales. Indique cuáles de los postulados siguientes son verdaderos y cuáles falsos. Justifique sus con clusiones. (i) P (x) tiene al m enos una raíz real. (ii) P (x) tiene tres raíces. (iii) P (x) puede tener dos raíces reales y una raíz im aginaria. (B) Sea P{x) un polinom io de cuarto grado con coeficientes reales. Indique cuáles de los postulados siguientes son verdaderos y cuáles falsos. Justifique sus con clusiones. (i) P (x) tiene cuatro raíces. (ii) P (x) tiene al m enos dos raíces reales. (iii) Si se sabe que P(x) tiene tres raíces reales, entonces la cuarta raíz debe ser real.

• Rascés ra c io n a le s

O bserve prim ero que un polinom io con coeficientes racionales puede siem pre escribir se com o una constante por un polinom io con coeficientes enteros. Por ejem plo, P(x) = jx 3 - ¿x2 + \x + 5 = ]^(6x3 - 8X2 + 2 \x + 60) Así, es suficiente confinar nuestra atención a polinom ios con coeficientes enteros. Se introduce el teorem a de raíz racional exam inando el siguiente polinom io cuadrático cuyas raíces se pueden encontrar fácilm ente por factorización:

3-2

'

Teorema 6


231

Ñ ote que los num eradores, 5 y - 1 , de las raíces son factores enteros de —5, el térm ino constante en P(x). Los denom inadores 2 y 3 de las raíces son factores enteros de 6, el coeficiente del térm ino de m ayor grado en P(x). En el teorem a 6 se generalizan estas observaciones.

Teorema de las raíces racionales Si el núm ero racional bic, totalm ente sim plificado, es una raíz del polinom io

P(x) = ax? + a ^ x " - 1 + ■■■ + UJC + aü

an * 0

con coeficientes enteros, entonces b debe ser un factor entero de a 0 y c debe ser un factor entero de a n. P(x) = a n x n + On-íX""1 + • • ■+ o ,* + a 0

b debe ser un

c debe ser un

factor de oo

factor de o„

La prueba del teorem a 6 no es difícil y es instructiva, de m anera que la ilustram os aquí. C om o ble es una raíz de P(x),

a „ (^ j + « n - i 0 )

+ ••• + a '( “ ) + «o = 0

(D

Si se m ultiplican am bos lados de la ecuación (1) por c", se obtiene a„bn +

+ • • • + a lbcn~i + a0c" = 0

(2)

que se puede escribir en la form a anb" = c { - a n- i b " ~ '-----------a0c"~')

(3)

C om o am bos lados de la ecuación (3) son enteros, c debe ser un factor de ajb". Y como el núm ero racional ble está totalm ente sim plificado, f e y e n o pueden tener factores diferentes de ± 1. Es decir, b y c son p rim o s relativo s. Esto im plica que ¿ " y e son tam bién prim os relativos. Por lo tanto, c debe ser un factor de a n. A hora, si se resuelve la ecuación (2) para aüc" y se factoriza b en el lado derecho, se tiene a0c" = b (—anbn~l — ■■• — Se observa que b es un factor de a0c" y, por lo tanto, un factor de a0, ya que ¿ y e son relativam ente prim os.

232

3

Funciones poiinomiales y racionales


Sea

P{x) = ayc3 + aje2 + a^x + a0, donde ay a2, a, y a 0 son enteros.

1.

Si P(2) = 0, hay un coeficiente que debe ser un entero par. Identifique este coeficiente y explique por qué debe ser par.

2.

Si P( \) = 0, hay un coeficiente que debe ser un entero par. Identifique este coeficiente y explique por qué debe ser par.

3.

Si a 3 = ag = 1, P {— 1) i= 0, y P ( \) =# 0, ¿tiene P(x) algunas raíces racionales? Apoye su conclusión con argum entos verbales y/o ejem plos.

Sim plem ente se establece que si P(x) no tiene una raíz racional, entonces el num e rador de la raíz debe ser un factor entero de a0 y el denom inador de la raíz debe ser un factor entero de a n. Com o cada entero tiene un núm ero finito de factores enteros, el teorem a 6 perm ite construir una lista finita de posibles raíces racionales, lo que con vierte a la determ inación de cualquier raíz racional en una rutina, algunas veces tedio sa, en el proceso de elim inación.

Determinación de raíces racionales Encuentre todas las raíces racionales para P (x) —y2x3 — 9x2 + I x + ( 6 . Solución

Si b le (totalm ente sim plificada) es una raíz racional de P{x), entonces b debe ser un factor de 6 y c debe ser un factor de 2 . L os valores posibles de b son los factores enteros de 6 : ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6

(4)

Los valores posibles de c son los factores enteros de 2: ± 1 , ± 2

(5)

Al escribir todas las fracciones posibles ble en las que b es de (4) y c es de (5), se tiene R aíces racionales posibles para P(x): ± 1, ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± \ , ± \

(6)

[Nota: Todas las fracciones están totalm ente sim plificadas, y duplicadas com o ± 6 /± 2 = ± 3 no están repetidas]. Si P(x) tiene algunas raíces racionales, deben estar en la lista (6). Se usa una tabla de división sintética para probar los núm eros en esta lista hasta que se encuentra una raíz. Si se finaliza la lista sin encontrar una raíz, se puede concluir que P (x) no tiene ninguna raíz racional. 2

-9

7

[ 2

2

-8

3

1

2

-7

0

6

2

2

-6

-2

3

2

2 - 5 - 3

3

6 15

2

0

P( 2) = 0

3-2


233

¡Se encontró una raíz! Se podría continuar probando los ocho núm eros restantes en la lista (6) para ver si hay más raíces racionales. Sin em bargo, por lo general es más eficiente factorizar el polinom io original en este punto, produciendo un polinom io de grado m enor que se denom ina polinom io reducido de P(x). Con el uso de la última línea en la tabla de la división sintética, se tiene P(x) = 2x3 — 9x2 4- l x + 6 = (x - 2)(2;r - 5x — 3) El polinom io reducido Q{x) = 2x2 — 5.v — 3 es un polinom io de segundo grado cuyas raíces restantes se pueden encontrar por factorización o, si es necesario, con la fórm ula cuadrática. De esta m anera, P(x) = (x - 2)(2x2 - 5x -

3) = (x - 2)(x - 3)(2.v + 1)

y las raíces racionales de P (x) son 2, 3 y —Como P{x) es un polinom io cúbico, se puede concluir que se han encontrado todas las raíces de P(x), sin probar los núm eros restantes en la lista (6).

Encuentre todas las raíces racionales para P(x) = 2x:' + .v2 — I Lx — 10.

ÎiïiÏÏPïïi

Estrategia para en co n trar raíces racionales ■ ■

¡M I Suponga que P(x) es un polinom io con coeficientes enteros y es de grado mayor :ros y es de ¡

que 2 . Paso 1. i ! Í ||l|!

Paso 2.

iÍKÍilíi Enliste las posibles raíces racionales de P(x) usando el teorem a de raíz racional (teorem a 6) ; C onstruya una tabla de división sintética. Si se encuentra una raíz ra cional r, deténgase y escriba

111

P(x) == Cx ■ " y proceda inm ediatam ente a encontrar las raíces racionales para Q(x), el polinom io reducido relativo a P(x). Si el grado de 0(.v) es m ayor que 2, regrese al paso 1, usando 0 (x ) en lugar de P(x). Si Q(x) es cuadrática, encuentre todas sus raíces, usando m étodos estándar para resolver ecuaciones cuadráticas. üiMl

sil

n

Determinación de raíces racionales e irracionales Encuentre todas las raíces de m anera exacta para P(x) = 2x:' - l x 1 + 4,v + 3.

3


Solución

Paso I,

I

-t-I -+-2

1

~2' “ 2

Raíces racionales posibles

Paso 2. 2 - 7

-6

4

3

1

i

-5

-1

2

-4

-2

0

Se observa que x = | es una raíz. En consecuencia, P(x) = (x - §)(2*2 - 4x - 2) El polinom io reducido Q(x) = 2x2 - 4 x — 2 es cuadrático, de m odo que sus raíces se pueden encontrar por los m étodos estándar. Esta vez Q(x) no se factoriza por inspec ción, así que con el uso de la fórm ula cuadrática:

2X2 - 4x - 2 = 0 x2— 2x — 1 = 0 x =

2 ± V 4 - 4(1)(— 1)

2 ± 2V 2

= 1± V2

Las raíces exactas de P (x) son 5 y 1 ± \ / 2 .


Encuentre todas las raíces de m anera exacta para P(x) = 3x3 — 1Ox2 + 5x + 4.

^ Comentario. U n dispositivo de graficación puede acelerar el proceso de búsqueda 5

de raíces racionales. La figura 2 m uestra la gráfica del polinom io P(x) analizado en el ejem plo 4. U n vistazo a la gráfica m uestra que no se necesita probar * = i o * = 1. Tam bién se puede usar un dispositivo de graficación para evaluar el polinom io para probar las posibles raíces (véase la figura 2); sin em bargo, es necesaria la división sintética para factorizar P(x). En la sección siguiente se analizará el uso de los disposi tivos de graficación para aproxim ar a las raíces irracionales, tales com o 1 ± \ / 2 , y se verá que una tabla de división sintética es una herram ienta útil cuando se buscan las raíces de un polinom io.

FIGURA 2

Determinación de raíces racionales e imaginarias Encuentre todas las raíces de m anera exacta para P(x) = .r4 - 6x3 + \4 x 2 - 14* + 5.

3-2

So lu ció n


± ly ± 5

Paso 1.

235

Raíces racio nales posibles

Paso 2.

1

1

-6

I1

-5

14 -14 9

-5

5 0

De esta manera, 1 es una raíz de P(x), y se puede escribir P{x)

= (x - ÍX*3 - 5x* + 9x - 5)

Esta vez el polinomio reducido es un cúbico, así que se repiten los pasos 1 y 2 usando £?(*)• Q(x)

=

x3 — 5x2 + 9x — 5

±1 y ±5

Paso 1.

P o lino m io red u cid o

Raíces racio nales posibles

Paso 2.

1 -5 1 I1- 4 Q(x) = (x

9 -5 5

0~

- l)(x2 - 4x + 5)

Se encuentran las raíces del polinomio cuadrático reducido Q {(x) = (x2 - 4x + 5) usando la fórmula cuadrática: x2 - 4x + 5 = 0

4 ± V 1 6 - 4(1 )(5) 2

4 ± V--4 =

=

^ . 2±í

Las raíces exactas de P(x) son 1 (multiplicidad 2), 2 — /, y 2 + i.

Encuentre todas las raíces de manera exacta para P(x) = x 4 + 4 x3 + 10x2 + 12x + 5.

C o m e n ta rio . El ejem plo 5 ilustra la im portancia de usar el polinom io reducido siem pre que se encuentre una raíz. Probando las posibles raíces racionales en el polinom io original nunca se revelarán ningunas raíces m últiples. Respuestas a los p ro b lem as se leccio n ad o s

1. (A) P( 1) = 154 — 1 = 0 implica que x — 1 es un factor de P(x) (B) —3, —7, 8, -1 (C) —2i, 2i (D) No hav intersecciones en.v. 2 .p (x ) = (x -

3.

3 ) 2[.y -

(3 -

OH* "

(3 + /) ].

"2,-1,1

4. f, 1 - V 2, 1 + V 2 5. - 1 (multiplicidad 2), - 1 - 2i , - 1 + 2 ;

236

3


EJERCICIO

3-2 13.

Escriba las raíces de cada polinomio en los problemas del 1 al 4, e indique la multiplicidad de cada uno. ¿ Cuál es el grado de cada polinomio? 1. P(x) =

(x + 8)3U - 6)2

2. P(x) =

(* - 5){x + l f

3. P{x) =

3(x + 4?{x - 3)2(x +

1)

4. P(x)

5 (* -

2 f(x + 3)2(x -

1)

=

En los problemas del 5 a! 10, encuentre un polinomio P(x) de menor grado, con coeficiente principal 1, que tenga el conjun to indicado de raíces. Escriba la respuesta en una forma j'actorizada. Indique el grado del polinomio.

14.

PM

15.

PM

5. 3 (multiplicidad 2) y —4 6. - 2 (multiplicidad 3) y 1 (multiplicidad 2) 7 . - 7 (multiplicidad 3), - 3 + V 2 , - 3 - V 2 8.

y (multiplicidad 2), 5 + \ / 7 , 5 —\ / l

9. (2 - 3/), (2 + 3/), - 4 (multiplicidad 2) 10. i\/3 (multiplicidad 2), —/'V 3 (multiplicidad 2), y 4 (multiplicidad 3)

A En los problemas del 11 al 16, encuentre un polinomio de gra do menor, con coeficiente principal 1, que tenga la gráfica indicada. Suponga que las raíces son enteras. Escriba ¡a res puesta en forma factorizada. Indique el grado de cada polinomio 11 .

p

1, i / \ / \

M

16.

12.

m

5

M

i

1 1! i

p

!

/ \ 5

N/ \ \

En los problemas del 17 al 20, determine si el segundo polinomio es un factor del primer polinomio sin dividir o sin usar la división sintética. [Sugerencia: Evalúe directamente y use el teorema de factorización.] 17. .r1* - l ; x - 1

r

18.

a: 18

-

1;.t +

1

3-2

13.

Sx5 - Ix 1 - 8x

+

2; * + 1

48. P(x) = 2X4 + 3X3 - 4X2 - 3x + 2

2«. 3 .r - Ix 3 + 5x - 6; x - 1 m


En los problemas del 49 al 54, resuelva cada desigualdad (véase la sección 2-8).

_________________

ñxm cada polinomio de los problemas del 21 al 26, enumere roaas las posibles raíces racionales (teorema 6).

49. x2 < 4x — I

50.

x2 > 2x + 1

51. x3 + 3 £ 3X2 + x

52.

9x + 9 £ x3 + x2

53. 2x- + 6 > I3x - x2

54. 5X3 - 3X2 < lOx - 6

21. P(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6 En los problemas del 55 al 60, multiplique.

22. P(x) = x3 + 3.x2 - 6x - 8 23. P(x) = 3 r’

- 11.x2 + 8x + 4

24. P(x) = 2x>

+ x2 - 4x - 3

55. fx —(4 —5/)][x —(4 + 5 í)] 56. [x - (2 - 3¡)] [x - (2 + 30]

25. P(x) = 12x’ - 16x2 - 5x + 3 26. P(x) = 2x3 - 9x2 + 14x - 5 En los problemas del 27 al 34, encuentre todas las raíces de -'la n e ra exacta (racionales, irracionales e imaginarias) para cada ecuación del polinomio.

57.

[x - (3 + 40][x - (3 - 40]

58.

[x - (5 + 20] [x - (5 - 20]

59. [x

-

(a + bi)][x - ( a - bi)]

60. (x — bi)(x + bi)

27. 2X3 - 5X2 + 1 = 0 28. 2X3 — lOx2 + 12x — 4 = 0 29. x4 + 4X3 - x2 - 20x - 20 = 0

En los problemas del 61 al 66, encuentre todas las otras raíces de P(x), dadas las raíces indicadas.

30. x4 —4x2 - 4x — 1 = 0

61. P(x) = x3 — 5x2 + 4x + 10; 3 — i es una raíz

31. X4 —2xf —Dx2 + 8x + 4 = 0

62. P(x) =

32. x4 - 2x2 - I6x - 15 = 0

63. P(x) = x3— 3x2 + 25x — 75; —Si es una raíz

33. 2X5 — 3X4 — 2x + 3 = 0

64. P(x) — x3+ 2x- + 16x + 32; 4 i es una raíz

34. 2a5 + x4 - óx3 - 3X2 - 8x - 4 = 0

65. P(x) = x4— 4x3 + 3x2 + 8x — 10; 2 + z es una raíz

En los problemas del 35 al 42, encuentre todas las raíces de manera exacta (racionales, irracionales e imaginarias) para cada polinomio. 35. P(x) = x3 - 19x + 30

+ x2 + 4x + 6; 1 + i es una raíz

66. P(x) = x4 — 2x3 + Ix 1 — 18x — 18; — 3/ es una raíz En los problemas del 67 al 70, resuelva cada desigualdad (vea la sección 2-8). 67.

36. P(x) = x3 - 7X2 + 36

2X3 + 5.x2 — 2x — 5

> 0

x2 — 3x - 10 69. -i----- —---------- 7 < 0 x- - 4x" + x + 6

37. P(x) = x4 - f¿x-' + |x

68 .

2x> — x2 - 8x + 4

0

x2 + 4x — 21 70. - — — — z------ ~ a 0

x3 + 7x2 + 7x — 15

38. P(x) = x4 + gx? - j.r —|x Pruebe que cada uno de los números reales en los problemas del 71 al 74 es no racionalformulando el polinomio adecuado y usando el teorema 6.

39. P(x) = x4 - 5x3 + ^ x 1 - 2x - 2 40. P(x) = .t4 — y-C2 — JX — 4 41.

P(x) =3x3 - 5.x4 - 8x- + 16x2 + 21x +

42.

P(x) = Ix5 - 3 r - 6x’ + 23.r - 26x + 10

5

En los problemas del 43 al 48, escriba cada polinomio como un producto de factores lineales. 43.

P(x)

44.

P(x) = 6x3 - 17X2 - 4x + 3

= 6 r'

+ 13.^ - 4

71. V 6

72. V l2

73. i/5

74. ^ 8

■oí Los problemas del 75 al 80 requieren del uso de un dispositivo degrafie ación. Grafique el polinomio y use la gráfica para ayu dar a localizar las raíces reales. Después encuentre todas lasraíces (racional, irracional e imaginaria) de manera exacta. 75.

P(x) = 3x’ - 37x2 + 84x - 24

45. P(x) = .v3 + 2x2 - 9x - 4

76.

P(x) = 2x3 - 9a-2 - 2x + 30

46. P(x) = x 3 - 8X2 + 1 7 x - 4

77.

P(x) = 4X4 + 4x3 + 49x2 + 64x - 240

47. P(x) = 4x4 - 4X3 - 9X2 + x + 2

78.

P(x) = óx4 + 35x-1 + 2x~ - 233x - 360

238

3


79. P(x) = 4x4 - 44.x3 + 145*2 - 192* + 90 80. PLx) = jc5 - 6*4 + 6*’ + 28a-2 - 72* + 48 Las soluciones de la ecuación x3 — 1 = 0 son todas las raices cúbicas de 1. (A) ¿Cuántas son las raíces cúbicas de 1? (B) 1 es obviamente una raíz cúbica de 1; encuentre las otras. Las soluciones de la ecuación x} - 8 = 0 son todas las raíces cúbicas de 8. (A) ¿Cuántas son las raíces cúbicas de 8? (B) 2 es obviamente una raíz cúbica de 8; encuentre las otras. Si P es una función polinomial con coeficientes reales de grado n, con n impar, entonces ¿cuál es el número máximo de veces que la gráfica de y = P(x) puede cruzar el eje *? ¿Cuál es el número mínimo de veces?

87. A lm acenam iento. Una unidad de alm acenam iento rectangular tiene dimensiones de 1 por 2 por 3 pies. Si cada dimensión se aumenta en la misma cantidad, ¿qué cantidad se debe tener para crear una nueva unidad de almacenamiento que tenga 10 veces el volumen del anterior? 88. Construcción. Una caja rectangular tiene dimensiones de 1 por 1 por 2 pies. Si cada dimensión se aumenta en la misma cantidad, ¿qué cantidad se debe tener para crear una nueva caja que tenga seis veces el volumen del anterior? 89. Em paque. Se va a hacer una caja abierta con un pedazo rectangular de cartón que mide 8 por 5 pulgadas, quitando partes del mismo tamaño en las esquinas y doblando los lados hacia arriba (véase figura). Si el volumen de la caja debe ser de 14 pulgadas cúbicas, ¿cuál debe ser la longitud de cada una de las esquinas que se van a quitar? [Sugeren cia: Determine el dominio de x con las consideraciones físicas antes de empezar.]

Resuelva las preguntas del problema 83 para n par. x

Dada P(x) = x2 + 2ix - 5 con 2 —i como raíz, demuestre que 2 + /' no es una raíz de P(x). ¿F.sto contradice al teorema 4? Explique. 86 Si P(x) y Q(x) son dos polinomios de grado «, y si P(x) = Q(x) para más de n valores de x, entonces ¿cómo se relacionan P(x) y Q(x)l

APLICACIONES

^

Encuentre todas las soluciones racionales de manera exacta, y encuentre todas las soluciones irracionales con dos cifras de cimales.

s e c c ió n

3-3

90. Fabricación. Se va a fabricar un tanque metálico abierto para químicos, con una pieza rectangular de acero inoxidable que mide 10 por 8 pies, quitando partes del mismo tamaño en las esquinas y doblando los lados hacia arriba (véase figura). Si el volumen del tanque debe ser de 48 pies cúbicos, ¿de qué tamaño debe ser el cuadro que se va a quitar en cada una de las esquinas?

Aproximación de raíces reales de polinomios Localización de raíces reales M étodo de bisección A proxim ación de raíces reales utilizando un dispositivo de graficación A plicación

La estrategia para encontrar raíces, que se analizó en la sección anterior, está diseñada para encontrar tantas raíces reales e im aginarias com o sea posible. Pero existen raíces que no se pueden encontrar m ediante esta estrategia. Por ejem plo, el polinom io P(x) = x $ + x -

I

debe tener al m enos una raíz real (teorem a 5 en la sección 3-2). Com o las únicas raíces racionales posibles son ± 1 y ninguna de ellas es una raíz, P(x) debe tener al m enos una raíz irracional. No se puede encontrar el valor exacto de esta raíz, pero se puede hallar un valor aproxim ado usando varios m étodos que son bien conocidos.

3-3

Aproximación de raíces reales de polinomios

239

En esta sección se desarrollarán dos herram ientas im portantes para localizar zo nas reales, el teorema de localización y el teorema del lím ite superior e inferior. D es pués se analizará cóm o el teorem a de localización form a la base para el m étodo de bisección, un m étodo popular que se usa en la mayoría de los dispositivos de graficación para aproxim ar raíces reales. Por últim o, se estudiará cóm o puede ayudar el teorem a del lím ite superior e inferior en la aproxim ación de raíces reales con un dispositivo de graficación. N uestra atención se restringirá a las raíces reales de polinom ios con coefi cientes reales.

• Localización de raíces reales

R egresem os a la función polinom ial P(x) = x5 + x -

P(x)

1

C om o antes se m encionó, P (x) no tiene raíces racionales y al m enos una raíz irracional. La g ráfica de P(x) se m uestra en la figura 1. Note que P (0) = - 1 y P ( \ ) = 1. Com o la gráfica de una función polinom ial es continua, la gráfica de P(x) debe cnizar el eje x al m enos una vez entre x = 0 y x = 1. Esta observación es la base del teorem a 1 y nos conduce a un m étodo efectivo para localizar raíces.

5' '

H—I—I—i—H — 5

-s FIGURA i

P(x) = xs + r

Teorema 1

Teorema de localización S i / e s continua en un intervalo L a y b son dos núm eros en I, y / ( a ) y f{ b ) son de signo opuesto, entonces existe al m enos una intersección con el eje x entre a y b.

Se encontrará que el teorem a 1 es m uy útil cuando se están buscando raíces reales, de aquí el nom bre de teorema de localización. Es im portante recordar que “al m enos”, en el teorem a 1, significa “ uno o m ás” . O bserve en la figura 2 ( a ) q u e / ( - 3) = - 1 5 < 0 , / ( 3 ) = 15 > 0 y /t i e n e una raíz entre - 3 y 3. En la figura 2 ( b ) , / ( - 3 ) = - 1 5 y / ( 3 ) = 15, pero esta vez hay tres raíces entre —3 y 3. Teorema de localización.

(a) f(x) = 7 *3 = 2x

(b) f(x) - x2 - 4x

(c) f(x) - 2x>

La inversa para la localización del teorem a (teorem a 1) es falsa; es decir, si c es una raíz de/ , entonces./'puede o no cam biar de signo en c. Com pare la figura 2(a) y (c). A m bas funciones tienen una raíz en x = 0, pero la prim era cam bia de signo en 0 y la segunda no.

3

Fundones polinomiales y racionales

Localización de raíces reales Sea P(x) = x 3 — 6x2 + 9x — 3. Use una tabla de división sintética para localizar las raíces de P(x) entre enteros sucesivos. So lu ció n

Se construye una tabla de división sintética y se busca el cam bio de signo. 1 -6

9

-3

0

1 -6

9

-3

1

1 -5

4

2

1 -4

1

-1

3

1 -3

0

-3

4

1 -2

1

Cambio de signo

1 Cambio de signo

Cambio de signo

1

De acuerdo con el teorem a 1, P(x) debe tener una raíz real en cada uno de los intervalos (0, 1), (1, 2) y (3, 4). Com o P (x) es un polinom io cúbico, se han localizado todas sus raíces.

Probíema s

Sea P(x) = jt3 - 8.r2 + 15x - 2. Use una tabla de división sintética para localizar las raíces de P(x) entre enteros sucesivos.

En la solución del ejem plo 1, se encontraron tres raíces en relativam ente pocos pasos, ahí se podría detener la búsqueda, ya que se sabe que un polinom io cúbico no puede tener m ás de tres raíces. Pero, ¿qué pasaría si no se hubieran encontrado tres raíces? A lgunos polinom ios cúbicos tienen sólo una raíz real. ¿Cóm o se puede saber si ya se buscó lo suficiente? El teorem a siguiente indica cóm o encontrar los lím ites supe rior e inferior para las raíces reales de un polinom io. Cualquier núm ero que sea m ayor que o igual a la raíz m ás grande de un polinom io, se denom ina lím ite superior de las raíces del polinom io. De m anera similar, cualquier núm ero que sea m enor que o igual a la raíz m ás pequeña del polinom io se denom ina lím ite inferior de las raíces del polinom io. El teorem a 2, basado en el proceso de división sintética, perm ite determ inar los lím ites superior e inferior de las raíces reales de cualquier polinom io con coeficien tes reales.

Teorema 2

Límites superior e inferior de raíces reales D ado un polinom io P (x) de n ésim o grado con coeficientes reales, n > 0, an > 0 y P(x) dividido entre x — r usando división sintética: 1.

2.

L ím ite superior. Si r > 0 y todos los núm eros en el renglón cociente de la división sintética, incluyendo el residuo, son no negativos, entonces r es un lím ite superior de raíces reales de P(x). Lím ite inferior. Si r < 0 y todos los núm eros en el renglón cociente de la división sintética, incluyendo el residuo, alternan en signo, entonces r es un lím ite inferior de las raíces reales de P(x).

3-3


241

[Nota: En la prueba del lím ite inferior, si 0 aparece en uno o m ás lugares en el renglón cociente, incluyendo el residuo, el signo enfrente de él se puede considerar positivo o negativo, pero no am bos. Por ejem plo, se puede considerar que los nú m eros 1, 0 ,1 se alternan en signo, m ientras que no ocurre lo m ism o con 1, 0 , —1.]

Se esboza una prueba de la parte 1 del teorem a 2. La prueba de la parte 2 es similar, sólo que un poco m ás difícil. Prueba

Si todos los núm eros en el renglón cociente de la división sintética son no negativos después de dividir P(x) entre x — r, entonces P(x) = (x - r)Q(x) + R donde los coeficientes de Q(x) son no negativos y R es no negativo. Si x > r > 0, enton ces x — r > 0 y Q(x) > 0; de aquí que, P(x) - (x — r)Q(x) + R > 0 De esta m anera, P(x) no puede ser 0 para cualquier x superior p ara las raíces reales de P(x).

m ayor que r, y r

es

Limitación de raíces reales Sea P(x) = x* — 2x3 — 10x2 + 40x - 90. Encuentre los enteros positivos m ás pequeños y los enteros negativos m ás grandes que, m ediante el teorem a 2 , sean los lím ites supe rior e inferior, respectivam ente, para las raíces reales de P(x). N ote tam bién la localiza ción de cualesquiera de las raíces encontradas en el proceso de construir la tabla de división sintética. S o lu ció n

Una form a fácil para localizar los lím ites superior e inferior es probar r — 1 , 2 , 3 , . . . h asta que el ren g lón cociente resulte no negativo; después p ruebe r — — 1, —2 , —3, . . . hasta que el renglón cociente alterne en signo. Tam bién es útil incluir r = 0 en la tabla para detectar cualquier cam bio de signo entre r — O y r = ± 1.

LS

1

-2

-1 0

40

-9 0

0

1

-2

-1 0

40

-9 0

1

1

-1

-1 1

29

-6 1

2

1

0

-1 0

20

-5 0

3

1

1

-7

19

-3 3

4

1

2

-2

32

38

5

1

3

5

65

235

-1

1

-3

-7

47

-1 3 7

-2

1

-4

-2

44

-1 7 8

-3

1

-5

5

25

-1 6 5

-4

1

-6

14

-1 6

-2 6

-5

1

-7

25

-8 5

335

j por lo tanto,

5 es un limite superior (LS).

Este renglón cociente alterna en signo; por lo tanto, -5 es un límite inferior (Ll).

un lím ite

242

3


Con base en el teorem a 2, se concluye que todas las raíces reales de P(x) x 4 - 2x3 lOx2 + 40.v - 90 deben estar entre - 5 y 5. También se nota que debe haber al m enos una raíz en (3 ,4 ) y al m enos una en ( - 5 , - 4 ) .

Sea P(x) = xA — Sx3 — x 2 + 40.v — 70. Encuentre el entero positivo m ás pequeño y el entero negativo m ás grande que, por el teorem a 2 , sean los lím ites superior e inferior, respectivam ente, para las raíces reales de P(x). Note tam bién la localización de las raíces descubiertas en el proceso de construcción de la tabla de división sintética.

A hora que se sabe cómo localizar las raíces reales de un polinom io, se puede volver al problem a de aproxim ar realm ente una raíz real. En la sección de exploración y análisis 1 se proporciona una introducción a la repetida aplicación sistem ática del teorem a de localización (teorem a 1) llam ado m étodo de bisección. Éste es el m étodo para aproxi m ar raíces reales que se program an en m uchos dispositivos de graficación.


Sea P(x) = x 3 + x — 1. C om o P{0) = - 1 y P ( l ) = 1, el teorem a de localización im plica que P(x) debe tener al m enos una raíz en (0, 1). (A) ¿Es P( 0.5) positiva o negativa? ¿Existe una raíz en (0, 0.5) o en (0.5, 1)? (B) Sea m el punto m edio del intervalo del inciso (A) que contiene a la raíz. ¿Es P{m) positivo o negativo? ¿Qué le indica respecto de la localización de la raíz? (C) E xplique cóm o podría usarse este proceso de m anera repetida para aproxim ar una raíz a cualquier exactitud deseada.

El m éto d o de bisección usado para aproxim ar raíces reales es directo: Sea P(x) un polinom io con coeficientes reales. Si P(x) tiene signos opuestos en los puntos extrem os del intervalo (a, b ), entonces una raíz real r se encuentra en este intervalo. Se bisecta este intervalo [encuentre el punto m edio m = (a + b)l2], com pruebe el signo de P(m ) y elija el intervalo (a, m) o (m , b) sobre el cual P(x) tiene signos opuestos en los puntos extrem o. Se repite este proceso de bisección (produciendo un conjunto de intervalos “anidados”, cada uno de la m itad del tam año del anterior y cada uno conteniendo la raíz real r) hasta que se obtiene la exactitud decim al deseada para la aproxim ación de la raíz. En cualquier punto en el proceso si P(m ) = 0, hay que detenerse, ya que m es una raíz real. Un ejem plo ayudará a clarificar el proceso.

Aproximación de raíces reales por bisección Para el polinom io P(x) = .r4 — 2x3 - 10x2 + 40x — 90 en el ejem plo 2, se encontró que todas las raíces reales están entre —5 y 5. y que cada uno de los intervalos ( —5, —4) y (3 ,4 ) contienen al m enos una raíz. Use el m étodo de bisección para aproxim ar una raíz real sobre el intervalo (3, 4) con una cifra decim al de exactitud.

3-3

So lu ció n

243


Se com ienza el proceso con la tabla de división sintética: 1 3

1

4

1

-2

-1 0

1 - 7 2- 2

40

-9 0

19

-3 3

= P( 3)

32

38

= P(4)

TA BLA 1 Signo de P Cambio de signo en el intervalo (a, b)

Punto medio m

-----------P(a)

P(m)

m

(3,4)

3.5

(3.5,4)

3.75

■

+

(3.5,3.75)

3.625

+

+

(3.5, 3.625)

3.563

-

+

(3.563,3.625)

Deténgase aquí

+

—

+

C om o el signo de P(x) cam bia en los puntos extrem o del intervalo (3.563, 3.625), se concluye que una raíz real se encuentra en este intervalo y está dada por r = 3.6 con una cifra decim al de exactitud (cada punto extrem o se redondea a 3.6). La figura 3 ilustra los intervalos anidados producidos por el m étodo de bisección de la tabla 1. R elacione cada paso de la tabla 1 con un intervalo en la figura 3. N ote cóm o cada intervalo que contiene una raíz se hace m ás y m ás pequeño y queda conteni do en el intervalo precedente que contiene la raíz. F iG U í Intervalos anidados producidos por el método de bisección con la tabla 1.

3.563

i

3.S

r

3.625 3.75

Si se hubiera deseado una exactitud con dos cifras decim ales, se podría usar cuatro cifras decim ales para los valores d e x y continuar el proceso en la tabla 1 hasta que los puntos extrem os de un intervalo redondeado con dos cifras decim ales cam bien su signo.


Use el m étodo de bisección para aproxim ar a una cifra decim al de exactitud una raíz en el intervalo ( —5, —4) para el polinom io en el ejem plo 3.

• A p ro x im a ció n d e raíces rea les u tiliz a n d o un d isp o sitiv o

El m étodo de bisección es fácil de entender, pero es tedioso efectuarlo, en especial si la aproxim ación debe ser exacta con m ás de dos cifras decim ales. A fortunadam ente, éste es el tipo de cálculos repetitivos que se puede program ar en un dispositivo de graficación para realizarlo. De hecho, algunas veces se ha usado un dispositivo de graficación para encontrar las raíces de una función (véase la sección 2-4). Ahora se verá cóm o se puede usar el teorem a del límite superior e inferior ju nto con la rutina de aproxim ación en un dispositivo de graficación para aproxim ar todas las raíces reales de un polinom io.

de graficación

3


Aproximación de raíces reales usando un dispositivo de graficación D ado el polinom io P(x) = x 5 + x — 1: (A) Form e una tabla de división sintética para encontrar los lím ites superior e inferior para cualquier raíz real, y localice las raíces reales entre enteros sucesivos. (B) G rafique P{x) con un dispositivo de graficación, y aproxim e cualquier raíz real co n cuatro cifras decim ales usando u n a ru tin a de apro x im ació n de raíces preconstruida. (A) Forme una tabla de división sintética:

LS L1

1

0

0

0

1

-1

0

1

0

0

0

1

-1

1

1

1

1

1

2

-1

1

-1

1

-1

2

1 -3

En la tabla se observa que todas las raíces reales de P(x) están entre —1 y 1. y una raíz real se encuentra en el intervalo (0, 1). (B) Introduzca P (x) en un dispositivo de graficación y ajuste las dim ensiones de la ventana con la tabla de división sintética del inciso (A) com o guía. La figura 4(a) m uestra la gráfica de P(x), y la figura 4(b) m uestra la aproxim ación de la raíz usando una rutina preconstruida. FIGURA 4

Q ueda claro de la gráfica y de los lím ites superior e inferior, y de las raíces encontradas en el inciso (A), que P (x) tiene sólo una raíz real, la cual es, con cuatro cifras decim ales, x = 0.7549.

Dado el polinom io P(x) = x 5 — x2 + 1: (A) Forme una tabla de división sintética para encontrar los lím ites superior e inferior p ara cualquier raíz real y localice las raíces reales entre enteros sucesivos. (B) G rafique P(x) con un dispositivo de graficación y aproxim e cualquier raíz real con cuatro cifras decim ales usando una rutina preconstruida de aproxim ación.

Al inicio de esta sección y en la sección 3-1 se vio que una calculadora es una h erram ien ta útil para c o n stru ir una tabla de división sintética. Un dispositivo de graficación que puede alm acenar y correr program as es todavía m ás útil. La tabla 2 m uestra tam bién los resultados generados cuando se usa este program a para construir la tabla de división sintética en el ejem plo 2 .

3-3

C


245

TABLA 2 Program a SNYDIV

TI-82/TI-83

TI-85/TI-86

Resultados

Lbl A P ro m p t R 2 —>1 d im (L I ) —»N { 0 } —»L2 N—» d im ( L 2 ) L1 ( 1) —> L 2 (1 ) Lbl B L2 ( I —1 ) *R + L 1 ( I ) —>L2 ( I ) 1 + IH >I I f I
Lbl A P ro m p t R 2 —»I d im L L l —>N { 0 } —>L2 N—>dimL L2 L 1 (1 ) —>L2(1 ) Lbl B L2 ( I - 1 ) * R + L 1 { I ) - » L 2 ( I ) 1+ I-» I I f I
t i , - 2 , - 1 0 , 4 0 , -90>-M_l : a -2 -1 0 4 0 "90} SNVDIU R = ?l i l -1 -11 2 9 "61} R =?2 a tí -1 0 2 0 -5 0 } R =?3 a i -7 19 -3 3 } R =?4 a 2 -2 3 2 38} R = ?5 a 3 5 65 235} R=?-l -3 -7 4 7 -1 3 7 } a R=? -2 -4 -2 4 4 -1 7 8 } a R=? *3 -5 5 2 5 -1 6 5 } a R=? -4 -6 14 -1 6 -2 6 } a R=? -5 a -7 2 5 -8 5 3 3 5 } R=?

~ EXPLORACIÓN Y ANÁLISIS 2

Si tiene una calculadora gráfica T I-82, TI-83, TI-85 o T I-86, introduzca la versión adecuada del program a SY N D IV en su calculadora exactam ente com o se m uestra en la tabla 2. Para usar el program a, guarde los coeficientes del polinom io en L1 (véase la prim era línea de los resultados en la tabla 2) y corra el program a. Presione E N T E R para continuar después de cada línea que se despliega. Presione Q U IT en el cursor “R = ?” para term inar el program a. Si tiene algún otro dispositivo de graficación que pueda guardar y correr pro gram as, consulte su m anual y m odifique las instrucciones en el program a SY N D IV de m anera que funcione en su dispositivo de graficación.

Aproximación de raíces reales con un dispositivo de graficación Sea P(x) = x3 — 30x2 + 275x — 720: (A) E ncuentre el entero positivo m ás pequeño en m últiplos de 10 y el entero negativo m ás grande en m últiplos de 10 que, por el teorem a 2 , sean los lím ites superior e inferior, respectivam ente, para las raíces reales de P(x). (B) U se un dispositivo de graficación para aproxim ar las raíces reales de P(x) a dos cifras decim ales. (A) Se construye una tabla de división sintética para buscar los lím ites de las raíces de P{x). El tam año de los coeficientes en P (x) indica que se puede acelerar esta búsqueda seleccionando increm entos m ás grandes entre los valores de prueba.

246

3


1

-3 0

275

-7 2 0

10

1

-2 0

75

30

20

1

-1 0

75

780

LS

30

1

0

275

7 530

LI

-1 0

1

-4 0

675

- 7 470

D e esta m anera, todas las raíces reales de P(x) = x5 — 30x2 + 275x — 720 se deben encontrar entre - 1 0 y 30. (B) La gráfica P(x) para - 10 < x < 30 (figura 5) m uestra que P(x) tiene tres raíces. Los valores aproxim ados de estas raíces (se om iten los detalles) son 4.48, 11.28 y 14.23. 100

P(x) = x s - 3(te2 + 275x - 720.


Sea P(x) = x3 - 25x2 + 170x - 170. (A ) Encuentre el entero positivo más pequeño en m últiplos de 10 y el entero negativo m ás grande en m últiplos de 10 que, por el teorem a 2 , sean los lím ites superior e inferior, respectivam ente, para las raíces reales de P(x). (B) Use un dispositivo de graficación para aproxim ar las raíces reales de P(x) con dos cifras decim ales.

C om entario: Una de las preguntas concernientes a los dispositivos de graficación que se hacen con m ás frecuencia es: ¿cóm o determ inar la ventana correcta de visión? El teorem a del lím ite superior e inferior proporciona una respuesta a esta pregunta para las funciones polinom iales. Com o lo ilustra el ejem plo 5, el teorem a de los lím ites superior e inferior y la rutina de aproxim ación de raíces en un dispositivo de graficación son dos herram ientas m atem áticas im portantes que funcionan muy bien.

• Aplicación

EjEMPLO 6

Construcción Se tiene un tanque con aceite en form a de cilindro circular recto con tapas hem isféricas en cada extrem o (véase figura 8). El cilindro tiene 55 pulgadas de largo, y su volum en es de 11 OOOtt pulgadas cúbicas (aproxim adam ente 20 pies cúbicos). Sea x el radio com ún de los hem isferios y el cilindro.

3-3 Aproximación de raíces reales de polinomios

247

(A) Encuentre una ecuación polinom ial que satisfaga x. (B) A proxim e x a una cifra decimal. FIGURA 6

-55 pulgadas

Solu ción

(A) Si x es el radio com ún de los hem isferios y del cilindro en pulgadas, entonces V olum en\ del ) = tanque /

{ Volumen \ / Volumen \ ( de los dos ) + I del I \ h e m isfe rio s/ \ cilindro /

(

11 OOOtc =

yTCX3

33 000 =

55 f lX 2

+

M u ltip liq u e po r

3/n.

4x3 + 165x2

0 = 4x3 + 165x2 - 33

000

Así, x debe ser una raíz positiva de P(x) = 4x’ + 165x2 - 33 000 (B) Com o los coeficientes de P(x) son grandes, se usan increm entos mayores en la tabla de división sintética:

LS

4

165

0

- 3 3 000

10

4

205

2 050

-12 500

20

4

245

4 900

65 000

G raficando y = P(x) para 0 < x < 20 (figura 7), se observa que x = 12.4 pulga das (con una cifra decim al). [Si no tiene un dispositivo de graficación, construya una tabla com o la tabla 1 para aproxim ar la raíz de P(x).] FSCl” - 33 000.

P(x) = 4-v3 + 165*2

70 000

20

-70 000

R epita el ejem plo 6 si el volum en del tanque es de 44 OOOtc pulgadas cúbicas.

248

3

Funciones polinomiaies y racionales

Respuestas a los problemas seleccionados 1. Intervalos que contienen raíces: (0, 1), (2. 3), (5, 6) 2. Límite inferior: - 3; Límite superior: 6 Intervalos que contienen raíces: (—3, -2 ), (3. 4)

3. x = -4.1 4. (A) Límite inferior: - 1 ; Límite superior: 1 Intervalos que contienen raíces: ( -1 ,0 ) (B) Raíz real: x = —0.8087

5

5. (A) Limite inferior: - 10; Limite Superior: 30 (B) Raices reales: 1.20, 11.46, 12.34 6. (A) P(x) = 4.T3 + 165a2 - 132 000 = 0 (B) 22.7 pulg.

3-3 En los problemas del 1 al 4. use la tabla de valores de la fun ción polinomial P para analizar las posibles localizaciones de las intersecciones con el eje x de la gráfica de y = P(x). 1.

_nt

X

-5

Encuentre el entero positivo más pequeño y el entero negativo más grande que, por el teorema 2, sean los límites superior e inferior, respectivamente, para las raices reales de cada uno de los polinomios que se dan en los problemas del 9 al 14. 9. Píx) = x3 —

3a +

1

10. P(x) = a3 - 4 a2 + 4

11.

-1

3

5

-3

6

4

8

12. P(x)

9

4

-2

13. 14. 2.

x

-8

P(x)

—3

-2 4

0

2

5

2

4 -5

9

B

6

En .los problemas del 15 al 22: 3.

X

-6

P(x)

-5

3

-5

4.

0

- 4 -4

2 - 6

7

4 3

(A)

-5

(B)

-3

-6

P(x)

15.

Encuentre el entero positivo más pequeño y el entero ne gativo más grande que, por el teorema 2, sean los límites superior e inferior, respectivamente, para las raíces rea les de Píx). También observe la localización de cualquier raíz entre los enteros sucesivos. Aproxime con una cifra decimal la raíz real más grande de P(x) usando el método de bisección. P { a)

= x’ - 2a2 - 5x + 4

16. P(x) = a3 + a2 - 4a - 1 En los problemas del 5 al S. use una tabla de división sintética y el teorema 1 para localizar cada raíz real entre enteros suce sivos. 5.

P(x) = x3- 9x2 +

6.

P(x) =

7.

P(x) = a-’ +

3a2

8.

P(x) = x3+

a2

x3

-

23a

-

12a 2 + 4 4 a -

-

17. P(x) = a3 - 2 a2 —a + 5 18. P(x) = a3—3a2 —a —2 19. P(x) = a4- 2a1 - 7a-' + 9a + 7

14 49

20. P(x) = a4- a3 - 9a2 + 9a + 4

- a -

5

21. P(x) =

4a -

3

22. P(x) = a4- 3a3 - a2 + 3a + 3

a4—x’

- 4aj + 4a + 3

3-3 Aproximación de raíces reales de polinomios

249

En los problemas del 23 a! 30: (A) Encuentre el entero positivo más pequeño y el entero negativo más grande que, por el teorema 2, sean los lí mites superior e inferior, respectivamente, para las raí ces reales de P(x). iB) Aproxime las raíces reales de cada polinomio con dos cifras decimales. 23. P{x) = x3 - 2x2 + 3* - 8

24. P(x) = x- + 3x2 + 4* + 5

Exprese las soluciones de los problemas del 45 al 50 como las raíces de una ecuación polinomial de laforma P(x) = Oy aproxi me esas soluciones con una cifra decimal. Use un disposinvc de graficación, si lo tiene: si no cuenta con uno use el mérodc de bisección. 45. Geometría. Encuentre todos los puntos en la gráfica de y = *2 que estén a una unidad del punto (1.2). [Sugerencia: Use la fórmula de la distancia entre dos puntos de la sección

25. P(x) = x4 + x5 - 5*2 + I x - 22

2 - 1.]

26. P(x) = x> - x ' - 8*2 - 12* - 25

46. Geometría. Encuentre todos los puntos en la granea de = *2 que estén a una unidad del punto (2, 1).

27. P{x) = x5 - 3a3 —4x + 4 28. P(x) = x ’ - x1 - I x 1 - 4* - 5

47. Fabricación. Se va a formar una caja con una pieza de cartón que mide 18 por 24 pulgadas. En cada esquina se cortarán cuadrados de * pulgadas por lado, en seguida se doblarán hacia arriba los extremos y ¡os lados (véase figura). Encuentre el valor de* que debería resultar en una caja con 600 pulgadas cúbicas de volumen.

29. P(x) = *í + * 4 + 3 *3 + * 2 + 2 * - 5 30. P(x) = r ! - I r 4 - 6x2 - 9x + 10

En los problemas del 31 al 34: (A)

(B)

1----------- 24 pulg.----------- h

Encuentre el entero positivo más pequeño y el entero negativo más grande que, por el teorema 2, sean los lí mites superior e inferior, respectivamente, para las raí ces reales de P(x). Observe también la localización de cualquier raíz entre los enteros sucesivos. Aproxime con dos cifras decimales a la raíz real más gran de de P(x) usando el método de bisección.

j|j. '.]
31. P(x) = x? - S*4+ 5*’ + S*2 - 10* + 5 32. P(x) = xs - b r -

7*3+ 8x2 + 12v -

5

33. P(x) = x? - 10x’ + 9x + 10 34. P(x) = x3 - 9X3+ 4*2 + 12* - 15

En los problemas del 35 al 44: (A)

(B)

Encuentre los enteros positivos más pequeños en múltiplos de 10y los negativos más grandes en múltiplos de 10 que, por el teorema 2, sean los limites superior e inferior, res pectivamente. para las raíces reales de cada polinomio. Aproxime las raíces reales de cada polinomio con dos cifras decimales.

\ j? =j

Q. O
35. P(x) = *> - 24x2 - 25* + 10

------------ 40 p u lg .------------* «: j 1* x i . : * : i 1í i i 1i i v f aP r n

V

49. Construcción. Un tanque de gas propano tiene 1a forma de un cilindro circular recto con un hemisferio en cada extremo (véase la figura). Si la longitud global del tanque es de 10 pies y el volumen de 20n pies cúbicos, encuentre el radio común de ios hemisferios y el cilindro.

36. P(x) = x 3 - 3 1 x 2 + 70* - 20 37. />(*) = ** + 12*- — 900*2 + 5 000 38. P{x) = *" - 12*’ - 425*2 + 7 000 39. P(x) = X* - 100*2 - 1 000* - 5 000 40. P(*) = x4 - S*3 - 50*2 - 500* + 7 000 41. P(x) = 4X4 - 40*-' - 1 475x2 + 7 875* - 10 000 42. P(x) = 9x4 + 120*3 - 3 083*2 - 25 674*

48. Fabricación. Se va a hacer una caja con tapadera articulada con una pieza de cartón que mide 20 por 40 pulgadas. Se cortarán seis cuadrados, de * pulgadas por lado, en cada esquina y en la parte de enmedio, y después se doblarán hacia arriba los extremos y los lados para formar la caja y su tapadera (véase figura). Encuentre el valor de* que podría resultaren unacajaconun volumen de 500 pulgadas cúbicas.

-

48 400

43. P(x) = O.OIx5 - O.lx4 - 12v3 + 9 000 44. P(x) = 0.1*5 + 0.7*4 - 18.775.x3 - 340*2 - 1645* - 2 450

250

3


50. Em barque. Una caja para embarque se refuerza con cinta de acero en las tres direcciones (véase figura). Se utiliza un total de 20.5 pies de cinta de acero, 6 pulgadas se desperdicia debido a un traslape de 2 pulgadas en cada dirección. Si la caja tiene una base cuadrada y un volumen de 2 pies cúbicos, encuentre sus dimensiones.

SECCION

3-4 t

Funciones racionales F unciones racionales A síntotas vertical y horizontal G raficación de funciones racionales

A sí corno los núm eros racionales se definen en térm inos de cocientes de enteros, las funciones racionales se definen en térm inos de los cocientes de polinom ios. Las ecuaciones siguientes definen las funciones racionales: x - 1 f( x ) = -------------r 6

1 g(x) = x

h(x) =

x1 - 1

p(x) = 2x2 — 3

q(x) = 3

r(x) = 0

x

En general, una f u n c ió n /e s una función racional si

f{x) = —— d(x)

d(x) ± 0

donde n(x) y d(x) son polinom ios. El dom inio de/ es el conjunto de todos los núm eros reales x tal que d(x) + 0 . Si x = a y d(d) = 0, e n to n c e s /n o está definida en x = a y ahí puede no haber ningún punto en la g ráfica d e / c o n abscisa x = a. Recuerde que no se perm ite la división entre 0. Esto puede dem ostrar que Si f[x) = n(x)td(x) y d(a) = 0. e n t o n c e s /e s discontinua en gráfica d e /'tie n e un hueco o corte eñ .v = a.

x = a. y la

Si x = a está en el dom inio d e /( x ) y n(a) = 0, entonces la gráfica d e /c r u z a el eje x en x = a. Así que: Si f{ x ) = n(x)!d(x), n(a) = 0, y d(u) ^ (I. entonces x = a es una intersec ción con el eje x para la gráfica d e / ¿Qué sucede sí n(a) = 0 y d(a) = 0? En este caso, se sabe que x - a es un factor de n(x) y d(x) y por c o n sig u ien te,/(x ) no está en los térm inos inferiores (véase la sec ción A-4). A m enos que se especifique lo contrario, suponga que todas las funciones racionales consideradas se reducen a térm inos inferiores.

3-4

Funciones racionales

251

Determinación del dominio e intersecciones con el eje x para una función racional y — ^

*) Encuentre el dom inio e intersecciones con el eje a- p a r a / * ) =

x2 - 9

So lu ció n

f(x )

n(x)

7jc — 2x — 4

2(x — 2)(x + 1)

d{x)

x2 — 9

{x - 3)U + 3)

C om o d (3) = 0 y d ( —3) = 0, el dom inio d e/ es x * ± 3

o

( - * , - 3 ) U ( - 3 , 3) U (3, “ )

C om o n{2) - 0 y n ( - 1) = 0, la gráfica d e /c r u z a al eje * en x = 2 y jc = —1.

E ncuentre el dom inio e intersecciones con el eje x para: f ( x ) =

3x2 — 12 x 2 + 2x

A unque una función ra c io n a l/p u e d e ser discontinua en x = a (no hay gráfica para x = a), todavía es útil saber qué sucede con la gráfica d e /c u a n d o x está cerca de a. Por ejem plo, considere la m uy sim ple función racional/ definida por

f(x ) = x Es evidente que la función/ es discontinua en x = 0. Pero, ¿qué pasa con f( x ) cuando x se aproxim a a 0 desde cualquier lado de 0? U n procedim iento num érico nos dará una idea de qué sucede con f ( x ) cuando x se acerca a 0. En la tabla 1, se observa que confor m e x se aproxim a a 0 desde la derecha, \/x se hace m ás y más grande; es decir, Mx aum enta sin límite. Esto se escribe de m anera sim bólica* com o - —» x

conform e

TABLA 1 Comportamiento de 1f x como X

1

0.1

0.01

0.001

0.0001

0 000 01

0 .0 0 0 001

1/x

1

10

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

x —> 0 *

x —> 0+ ...

x se aproxim a a 0 desde la izquierda ( x —> 0")

.. . 1 ¡ x Increm enta sin límite (1/x —>=e).

* Recuerde que el símbolo » no representa un número real. En este contexto & se usa para indicar que los valores de 1/x aumentan sin límite. Es decir, Uv excede cualquier número dado N sin importar qué tan grande sea el número de N que se haya elegido.

252

3

Fundones polinomiales y racionales

Si x se aproxim a a 0 desde ia izquierda, entonces x y \/x son negativos y los valores de 1/x dism inuyen sin lím ite (véase la tabla 2). Esto se denota com o - —» - 00 x

TABLA 2

conform e

x

0“

€omp-Qrta*ra§e**t© de 1/x co afo m e x —»Ô

X

-1

- 0.1

- 0.01

- 0.001

- 0.0001

- 0.000 01

\/x

-1

-1 0

-1 0 0

-

1 000

-1 0 000

-1 0 0 000

- 0.000 001 -

1 000 000

x se a p r o x im a a O d e s d e la d e re c h a ( y — 0 )

1 •. aum enta (1/ x -----

sin 'im ite

La gráfica de /( x ) = 1/x para - i ^ x < 1, x ¥= 0, se m uestra en la figura 1. El com portam iento de / conform e x se aproxim a a 0 desde la derecha se ilustra en la g ráfica dibujando una curva que casi se vuelve vertical y se coloca sobre ella una flecha para indicar que los valores de 1/x continúan aum entando sin lím ite conform e x se aproxim a a 0 desde la derecha. El com portam iento conform e x se aproxim a a 0 desde la izquierda se ilustra de m anera similar.

/(*) = - cerca .y = 0.

/

/


C onstruya tablas sim ilares a la 1 y 2 para g(x) = 1/x2, y analice el com portam iento de la g ráfica de g(x) cercana a x = 0 .

El procedim iento de análisis sugiere que las asíntotas verticales están asociadas con las raíces del denom inador de una función racional. Usando el m ism o tipo de razo nam iento, se establece el siguiente método general de localización de asíntotas vertica les para funciones racionales.

Teorema 1

Asíntotas verticales y funciones racionales S ea/ una función racional definida por

d(x)

3-4


253

donde n(x) y d(x) son polinom ios. Si a es un núm ero real, que d(a) — 0 y n(a) =¡¿ 0 , entonces la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de y = f( x ) .

A hora se observa el com portam iento d e /(x ) = 1/x conform e |x| se hace m uy gran de; es decir, conform e x —» oo y conform e x —> —ce. Considere las tablas 3 y 4. C onfor m e x aum enta sin lím ite, 1/x es positivo y se aproxim a a 0 desde arriba. C onform e .r dism inuye sin lím ite, 1/x es negativa y se aproxim a a 0 desde abajo. Para nuestros propósitos, no es necesario distinguir entre \¡x aproxim ándose a 0 desde arriba y desde abajo. Por consiguiente, se describirá este com portam iento escribiendo - —> 0 -X

T A B LA

3

C o m p o r t a m ie n t o

conform e

d e

1/

c o n fo rm e x

x

X

1

10

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

Mx

1

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00 0 01

0 .0 0 0 001

T A B LA

4

C o m p o r t a m ie n t o

d e

x —>=» y com o x —» —oo

1/x as x

x tiende a 0 por la derecha ( x - * * )

...

M x aum enta sin límite

0 ( 1/x —% 0}

- »

x

-1

-1 0

-1 0 0

- 1 000

- 1 0 000

- 1 0 0 000

- 1 000 000

\/x

-1

- 0 .1

- 0 .0 1

- 0 .0 0 1

- 0 .0 0 0 1

- 0 .0 0 0 01

- 0 .0 0 0 001

x dism inuye sin límite

1/x se aproxim a a 0 (1 / X - * 0 )

La gráfica com pleta de f ( x ) = 1/x se m uestra en la figura 2. O bserve que el com portam iento conform e x —» oc y conform e a- -» -= c se ilustra dibujando una curva que es casi horizontal y agregando flechas en los extrem os. La curva en la figura 2 es un ejem plo de una curva plana llam ada h ip é rb o la , y los ejes coordenados para esta curva se llam an a sín to ta s. El e je y es una asíntota vertical para 1/x, y el eje x es una asíntota horizontal para 1/x.

_Ax) = - , x i = o.

X

Asíntota vertical

\

f(x)

5 Asíntota horizontal

254

3


DEFINICIÓN 1

Asíntotas horizontales y verticales La recta x = a e s una asíntota vertical para la gráfica de y = /( x ) , si f ( x ) aum enta o dism inuye sin lim ite conform e x se aproxim a a a desde la derecha o desde la izquierda. D e m anera sim bólica, f(x ) -» »

o

j{x ) -» —oo

conform e

x —» a +

o

x —> a~

La recta y = b es una asíntota horizontal para la gráfica de y = f{ x ) si f ( x ) se aproxim a a b conform e x aum enta sin lím ite o conform e x dism inuye sin límite. D e m anera sim bólica, /( x ) —» b


conform e x —> oo

o

x —» —°°

C onstruya tablas sim ilares a las tablas 3 y 4 para cada una de las siguientes funcio nes y analice el com portam iento de cada una conform e x -» oo y conform e x —oo;

(A ) A * ) =

(B ) g M =

x2 + 1

x2 + 1

(C) A(x) =

x2 + 1

En la sección 3-1 se vio que el com portam iento de un polinom io P{x) = a.X' + .. . + a,x + a0 conform e x —» ±°c se determ ina por su térm ino principal, ax.". De m anera similar, el com portam iento de una función racional se determ ina por la relación de los térm inos principales de su num erador y denom inador; es decir, las gráficas de ,,

s

a ,X ' + ■■■ + f l , x + a0 = ~TJ. 7+-------7 ---r • • ■+Tbx x +~ b0

, v a jr Y 8 W = T 3 T b j?

exhiben el m ism o com portam iento conform e x —><» y conform e x —> —oc (véase figura 3). Gráficas de funciones racionales conforme

±œ.

K*) '■

2x+ 7

.

2x

**> = :

X2 + X *

2

g(x) = — = — x2 x

(a)

2x‘ + 4 x2 + x + 3

g ( x ) =:

^ =2 x2

(b)

Kx)sw

2x> + 3

+ x+ 3 2x¡ _

x1 (c)

2x

3-4


255

En la figura 3(a), el grado del num erador es m enor que el grado del denom inador y el eje x es una asíntota horizontal. En la figura 3(b), el grado del num erador es igual al grado del denom inador y la recta y = 2 es una asíntota horizontal. En la figura 3(c), el grado del num erador es m ayor que el grado del denom inador y no hay asíntotas horizontales. Estas ideas se generalizan en el teorem a 2 para proporcionar una form a sim ple para localizar asíntotas horizontales de cualquier función racional.

Teorema 2

Asíntotas horizontales y funciones racionales S e a /u n a función racional definida por el cociente de los dos polinom ios como sigue: a x m + ■■■ + a ,x + a.. /(* )=

1. Para m < n , la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.

2. Para m = n, la recta y = a j b n es una asíntota horizontal. 3. Para m > n, la gráfica aum entará o dism inuirá sin lím ite, dependiendo de m, n,

EJEMPLO 2

am y bn, y no hay asíntotas horizontales.

Determinación de asíntotas verticales y horizontales para una función racional Encuentre todas las asíntotas horizontales para

f(x )

Solución

n(x)

2x2 — 2 x — 4

d(x)

x2 - 9

C om o d(x) = x 1 - 9 = (x - 3)(x + 3), la gráfica d e /(x ) tiene asíntotas verticales en x = 3 y ,v = —3 (teorem a 1). Com o n(x) y d(x) tienen el m ism o grado, la recta i ^ != - = 2 b2 \ 1

a, = 2, b2 = 1

!_ es una asíntota horizontal (teorem a 2 , parte 2).


Encuentre todas las asíntotas verticales y horizontales para

fix )

3x2 - 12 •v-2 4-

2x — 3

256

3


• «Graficación d e fu n c io n e s ra cio n a les

A hora se usarán las técnicas para localizar asíntotas, ju n to con otras ayudas de graficación analizadas en el texto, para graficar diversas funciones racionales. Prim ero, se esboza un procedim iento sistem ático para el problem a de graficación de funciones racionales:

Ü 1

Graficación de funciones racionales /(x) = _

.............................................................................

n(x)/d(x)

.

■

■ .,

Intersecciones. Encuentre t e . y úselas para trazar cualquier intersección con el eje x de la gráfica de / si existe, y trace la intersección con el eje y . 1 1 ! : :l i l i ™ ! A síntotas verticales. Encuentre las soluciones reales de la t = 0 y úselas para determ inar el dom inio d e / los puntos de discontinuiy]n rl

1r»if

1 IM nn rt

/*» »m i rt i 1 4 4* A

t

Vrrt••4 "

1 />/\

Cuadro de signos. C onstruya un cuadro de signos para / y úselo para determ inar el com portam iento de la gráfica cerca de cada asíntota vertical.

HE

lililílili!

A síntotas horizontales. D eterm ine si existe una asíntota horizontal y si es así, trácela com o una línea discontinua. C om plete el trazo. C om plete el trazo de la g ráfica dibujando pi tos adi ^ | ¡ g yj Puniéndolos : , adicionales con una curva continua y suave sobre intervalo en el dom inio d e / N o cruce ningún punto de disconticada in nuidad.

/I PL

Graficación de funciones racionales G rafique: y = f ( x ) =

2x x —3 2x n(x) /(* ) = ------ r = * —3 d(x)

Solu ción

Paso 1.

Intersecciones. Encuentre las raíces reales de n(x) = 2x y encuentre/(O ): 2x = 0 x = 0

Intersección con x

/(O ) ~ 0

Intersección con y

La gráfica cruza el eje coordenado sólo en el origen. Dibuje esta intersección com o se m uestra en la fig u ra 4.

3-4


257

BC U R A 4

-10 Intersecciones

/ xy y —

1 1 I 1 1 1 1

-----W 10 A

Intersecciones y asíntotas

Paso 2.

Asíntotas verticales. Encuentre las raíces reales de d(x) = x - 3: x - 3 = 0 x = 3 El dom inio d e / es ( —°°, 3) U (3, x ) , f es discontinua en x = 3 y la gráfica tiene una asíntota vertical en x = 3. Trace esta asíntota com o se m uestra en la figura 4.

Prueba núm.

-1

1

4

Valor de/

i 2

-1

8

Signo de/

+

-

+

Puso 3.

Cuadro de signos. Construya un cuadro de signos paraf ( x ) (repase la sección 1-8), com o se m uestra en el margen. Com o x = 3 es una asíntota vertical, y /( x ) < 0 para 0 < x < 3, /(x )

—oc

conform e

x —» 3~

Com o x = 3 es una asíntota vertical y / ( x ) > 0 para x > 3, /( x ) —» <»

conform e

x —» 3 +

N ote cuánta inform ación está contenida en el cuadro de signos para f. El punto sólido determ ina la intersección con el eje x; el punto abierto determ i na el dom inio, el punto de discontinuidad y la asíntota vertical; y los signos d e /(x ) determ inan el com portam iento de la gráfica en la asíntota vertical. Paso 4. A síntota horizontal. Com o n{x) y d(x) tienen el m ism o grado, la recta y = 2 es una asíntota horizontal. Trace esta asíntota com o se m uestra en la figura 4. Paso 5. Com plete el trazo. Dibujando algunos puntos adicionales, se obtiene la g ráfi ca de la figura 5. Note que la gráfica es una curva continua suave en el inter valo ( —oo}3) y sobre el intervalo (3, ~~r-). Com o se esperaba, hay una separación en la gráfica e n x = 3.

258

3


C onform e adquiera experiencia en la graficación, m uchos de los pasos del ejem plo 3 se pueden hacer m entalm ente (o en una hoja de papel) lo que acelera el proceso en form a considerable.

Proceda com o en el ejem plo 3 y grafique: y = f(x ) =

~

Graficación mediante dispositivos de graficación de ,, , 2x f(x ) = ------- . x 3

3x x + 2

C o m e n ta rio : R efiérase al ejem plo 3. C uando grafique f ( x ) = 2x/(x - 3) con un dispositivo de graficación [figura 6(a)], parecerá que éste tam bién dibuja la asíntota vertical, pero éste no es el caso. La m ayoría de los dispositivos de graficación, cuando se seleccionan en el modo conectado, calculan los puntos en una gráfica y conectan esos puntos con segmentos de recta. El últim o punto dibujado a la izquierda de la asíntota y el prim er punto dibujado a la derecha de la asíntota, con frecuencia tiene coordenadas m uy grandes en el e j e j . Si esas coordenadas en el eje y tienen signo opuesto, entonces el dispositivo de graficación puede unir los dos puntos con un segm ento de recta casi vertical, que da la apariencia de una asíntota. Si lo desea, puede seleccionar su calcula dora en m odo de p untos para dibujar los puntos sin que se unan los segm entos de recta [(figura 6(b)]. 10

10

10

10

-10

-1 0

(a) Modo conectado

(b) Modo de puntos

En los ejem plos restantes sólo se listarán los resultados de cada paso en la estrate gia de graficación y se om itirán los detalles referentes a la com putación.

Graficación de una función racional ■6x + 9

G rafique: y = f ( x ) =

x2 + x - 2 Solución

m

=

v2 - 6x + 9 _ x2 + x — 2

Prueba núm. Valor de / Signo de/

-3

0 9 2

9 +

-

2

4

i 4

l 18

+

+

(x — 3)2 {x + 2 ) { x - 1)

Intersección con el eje x: x = 3 Intersección con el eje y: y = / ( 0 ) = —f = - 4 .5 Dominio: ( —*>, —2) U ( —2, 1) U (1, <*)

+ T — — — — +:•*-. +.

Puntos de discontinuidad: x = —2 y x = 1

-----------►

A síntotas verticales: x = - 2 y x =

1

3-4


fix ) -» »

conform e

x —> —2

f i x ) -> - *

conform e

X -4 - 2 +

f i x ) - » -o c

conform e

x —^ 1

f i x ) -> oc

conform e

x-> 2 +

A síntota horizontal:

259

y = 1

D ibuje las intersecciones y asíntotas (figura 7), después trace la gráfica d e /( f ig u r a 8).

L, „

xz -

óx -

9 2

t(x) = — -------- x

FIGURA 7


PRECAUCIÓN

— x -

FIGURA 8

G rafiq u K ,

La g ráfica de una función no puede cruzar una asíntota vertical, pero el m ism o postulado no es verdadero para asíntotas horizontales. L a gráfica en el ejem plo 4 m uestra claram ente que la gráfica de una función puede cruzar una asíntota horizontal. La definición de una asíntota horizontal requiere que f { x ) se aproxi m e a b conform e x aum ente o dism inuya sin lím ite, pero no excluye la posibilidad de que f { x ) = b para uno o m ás valores de x. De hecho, usando la función coseno de trigonom etría, es posible construir una función cuya gráfica cruce una asíntota horizontal un núm ero infinito de veces (véase la figura 9).

Intersecciones múltiples de una gráfica y una asíntota horizontal.

f(x ) = 1 + - - -

x

f ( x ) -» 1 conform e x -» »

y = 1 es una asíntota horizontal

H - - - - - - - - - - - - - - - - !- - - - - - - - - - - - - - - - i- - - - - - - - - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - - - - - - ( — ► X

n

2n

3rt

4rc

5n

6n

7jt

8n

260

3


Craficación de una función racional x2 - 3x - 4 G rafique: y = f ( x ) = ' x —2

Solución

Prueba núm.

-2 3 2

Valor de/ Signo de /

-

0

3

5

2

-4

2

+

-

+

f(x ) =

3* ~ 4 _

(x + IXjc ~ 4)

x —2

x -2

Intersecciones con el eje x: x = —1 y x = 4 Intersecciones con y: y = /(O ) = 2 Dom inio: ( —<*, 2) U (2, oo) Puntos de discontinuidad: x = 2 A síntota vertical: x = 2 /( x ) —» oc

conform e

x -» 2 ~

/( x ) —> —oc

conform e

x —» 2 "

No hay asíntota horizontal A unque la g ráfica de / n o tiene asíntota horizontal, todavía se puede obtener alguna inform ación im portante sobre el com portam iento de la gráfica conform e x —> —oo y conform e x —» oc si prim ero se realiza la división larga:

x - 1

Cociente

x - 2)x2 - 3x - 4 x2 - 2x —x — 4 —x + 2 —6

R esiduo

En consecuencia, x2 - 3x - 4 , 6 /(-v) = -----------r— = x - 1 x -2 x -2

Conform e x —> —oo o x —>6/(x - 2) —> 0 y la gráfica de/ se aproxim a a la recta y = x — 1. Esta recta se denom ina a sín to ta oblicua de la gráfica de / Las asíntotas e intersecciones están trazadas en la figura 10, y la gráfica d e / está trazada en la fig u ra 11.

3-4

10

-10


261

m 4-

10

Asíntota oblicua -vi

-

!

,VIntersecciones y asíntotas

FIGURA 10

FIGURA 11

G eneralizando los resultados del ejem plo 5, se obtiene el teorem a 3.

Teorema 3

Asíntotas oblicuas y funciones racionales Si f ( x ) = n(x)/d(x), donde n(x) y d(x) son polinom ios y elgrado de n(x) es 1 m ás que el grado de d{x), entonces f ( x ) se puede expresar en la form a

f(x ) = mx + b + d(x) donde el grado de r(x) es m enor que el grado de d(x). La recta y = mx + b es una asíntota oblicua para la gráfica de f Esto es, [/"(x) - {mx + ¿)] —> 0


conform e

x —» —

o

x2 "I- 5 G rafique, incluyendo cualquier asíntota oblicua: y = /(x ) = --------x + 1

x —>

3


Respuestas a los problemas seleccionados 1. Dominio:

- 3 ) U ( -3 , 1) U (1, =); intersecciones con el eje x: x = - 2 , x = 2

2. Asíntotas verticales: x = —3, x = 1; asíntota horizontal: y = 3

E J E R C IC IO

En los problemas del 1 al 4, relacione cada gráfica con una de las funciones siguientes:

f{x) h{x)

2 x -4 x + 2 2x + 4 x —2

g(x) = k(x) =

2x + 4 ■x 2x x + 2

3-4

29. gix) 31. fix ) = 33. fix ) = 35. gix) = 37. fix ) =

- r. los problemas del 5 al 12, encuentre el dominio e intersec ciones en x. No grafique. S. fix ) = 7. A(x) = 9. rix) = 11. FW =

2x - 4 *+ 1 x2 - 1 x2 - 16

x2 - x - 6 x2 — x — 12

6. gix) =

3x + 6 x - 1

8. k(x) =

x2 - 36 x2 - 25

10. i(x) =

7^ 9

32' ^

= ^ - 6x- - - 6

¿ ¿ i 2

x2 + \ \2x* (3x + 5)2

36. fix ) =

* "+ 1

38. fix ) =

Ix 1 i2x - 3)2

40. m

+ * x2 - x - 2

-

Si f( x ) = n{x)/d(x), donde n(x) y d(x) son funciones cuadráticas, ¿cuál es el máximo número de asíntotas verticales que puede tener/(x)? ¿Cuál es el número mínimo? Ilustre ambos casos con ejemplos.

t n los problemas del 13 al 20, encuentre todas las asíntotas verticales y horizontales. No grafique.

En los problemas del 43 al 48, encuentre todas las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. No grafique.

13. fix ) =

2x x - 4

14. hix) =

3x x + 5

43. fix) =

15. s(x) =

2X2 + 3x 3X2 - 48

16. r(x) =

5X2 - Ix 2X2 - 50

45. pix) =

17. pix) =

Y2 -f- 1 30. fix ) = ——

Si f i x ) = n{x)/d{x), donde n(x) y d(x) son funciones cuadráticas, ¿cuál es el máximo número de intersecciones con x que puede tener fix)? ¿Cuál es el número minimo? Ilustre ambos casos con ejemplos.

x2 + 16

x2 + 4

1-x 2

39. f(x) - , * : 1 , n ' x2 + 7x + 10

x2 + x - 12 x2 + x — 6

x


2x

2X2 x - 1 X3

x2 + 1 I r 2 — 3x + 5

47. rix) = ----------------

x4 + 1

44. gix) = 46. qix) = 48. j(x) =

3X2 x+ 2

x5 x3 — 8

- 3X2 + 5x + 9

En los problemas del 49 al 52, use un dispositivo de graficación para investigar el comportamiento de cada función conforme x —> 35 y conforme x —» y encuentre cualquier asíntota horizontal.

*> ■ *»-7 7 ^ 7 7

B 49. fix ) = En los problemas del 21 al 40, use la estrategia de graficación esbozada en el texto para trazar la gráfica de cada función.

5x

Vx2 + 1

4V x2 —4 51. fix ) = ------------

50. fix ) = 52. fix ) =

2x 3VX2 + 1 x - 1

Compruebe los problemas del 21 al 40 en un dispositivo de graficación. 21. fix ) = 23. fix) = 25. hix) = 27. fix) =

1 x - 4 x

X+ 1 X

2x - 2 2x - 4 x+ 3

22. gix) = 24. fix ) =

1 x + 3

x —3 3x 4x + 4

26. pix) = 28. fix ) =

En los problemas del 53 al 58, use la estrategia de graficación esbozada en el texto para trazar la gráfica de cada función. Incluya cualquier asíntota oblicua.

3x

3x + 3 2 -x

^

Compruebe los problemas del 53 al 58 con un dispositivo de graficación. 53. fix ) =

x"+ 1

x2 - 1 54. gix) = ■

264

3

55. ktx) =

.r2 - 4.v + 3 2 x -4

57. Fix)


8 -

A'1

56.

a - + a- /7(a)

58. G(x)

4a-

2

2x — 4 xJ + 1

Sif(x) = n(x)/d(x), donde él grado den(x) es mayor que el grado de d(x), se puede usar entonces la división larga para escribir f(x) = p(x) + q(x)/d(x), donde p(x) y q(x) son polinomios con grado q(x) menor que el grado de d(x). En los problemas del 59 al 62, realice la división larga y analice la relación entre las gráficas de f(x) y p(x) conforme x —» °c y conforme x —> 59.

/(a ) =

61.

/ (A )

60.

A +

/ (a * ) =

A2 + 1

62. f(x) = —

r En cálculo, a menudo es necesario considerar funciones ra cionales que no están totalmente simplificadas, tales como las funciones dadas en los problemas del 63 al 66. Para cada fu n ción establezca el dominio, simplifique la función a los ténninos inferiores y trace su gráfica. Recuerde excluir de la gráfica cualquier punto con valores en x que no estén en el dominio. 63. fix )

a-2

- 4

64. gOe) =

A' + 1 A -

65. rix) = 4 ^ A“ - 4

APLICACIONES

1

66. six) = ■

69. Retención. En una ciase de psicología se realizó un experimento sobre capacidad de retención. Durante 20 días se le pidió a cada estudiante memorizar una lista diferente cada día de 40 caracteres especiales. Al terminar el día debían regresar la lista, y anotar en cada día sucesivo del periodo que duró la prueba una lista con tantos símbolos como pu dieran recordar. Al final se sacaron promedios y se encontró que una buena aproximación del promedio del número de símbolos, N(t), retenidos después de t días está dado por NU)

i> 1

Trace la gráfica de N., incluyendo cualquier asíntota vertical u horizontal. ¿A qué valor tiende A1’conforme t —> «=■? 70. Teoría del aprendizaje. En 1917, L. L. Thurstone, un pio nero en la teoría del aprendizaje cuantitativo, propuso la función fix ) =

(a

aia- + c) + c) + b

para describir el número de tareas exitosas por unidad de tiempo que una persona puede terminar después de x sesiones de práctica. Suponga que para una persona en particular inscrita en una clase de mecanografía,

1

fix ) =

W

67. Capacitación laboral. Una compañía produce compo nentes electrónicos para televisores. Según sus registros un nuevo empleado puede ensamblar en promedio N{t) componentes por día, después de t días de capacitación, como está dada por 5Or t+4

50(.v + 1) a + 5

donde/(x) es el número de palabras por minuto que la persona puede teclear después de x semanas de lecciones. Trace la gráfica d e /, incluyendo cualquier asíntota hori zontal o vertical. ¿A qué valor tiende/conforme x -» “>? f Usando las técnicas de cálculo, se puede demostrar que el va lor mínimo de una función de la forma g(x) = ax + b + ■

Trace la gráfica de N, incluyendo cualquier asíntota vertical u horizontal. ¿A qué valor tiende Ar conforme / -» so? 68. Psicología. En un estudio sobre la rapidez de la contracción m uscular en ranas sometidas a diferentes descargas eléctricas, los investigadores W. O. Fems y J. Marsh encon traron que la velocidad de contracción disminuye con el aumento en las cargas. De forma más precisa, encontraron que la relación entre la velocidad de contracción S (en centímetros por segundo) y la descarga w (en gramos) está dada de manera aproximada por 26 + 0.06w’ S(w) = --------------

51 + 30

w> 5

Trace la gráfica de S, incluyendo cualquier asíntota vertical u horizontal. ¿A qué valor tiende S conforme vr —>oe?

a>

0, c > 0 , a > 0

es mín gíx) = (g \/c¡a). Use este hecho en los problemas del 71 al 74.

* 71. Tiempo de reemplazo. Una fotocopiadora tiene un precio inicial de S2 500. Un contrato por servicio y mantenimiento cuesta S200 el primer año y aumenta $50 por cada año subsecuente. Se puede demostrar que el costo total de la fotocopiadora después de n años está dado por Cin) = 2 500 + 175« + 25n2 El costo promedio por año para n años es C{n) = C{n)/n. (A) Encuentre la función racional C. (B) ¿Cuándo es mínimo el costo promedio por año? (Esto con frecuencia se denomina tiempo de reemplazo para este equipo.) (C) Trace la gráfica C, incluyendo cualquier asíntota.

3-5

Fracciones parciales

(C) Encuentre las dimensiones de la perrera para la que necesitará la mínima cantidad de material de cerca. (D) Grafique la función L, incluyendo cualquier asíntota.

72. Costo promedio. El costo total de producción de.v unidades de cierto producto está dado por C(x) = ¿x2 + 2x + 2 000

* 74. Construcción. Vuelva a trabajar en el problema 73. pero ahora suponiendo que la perrera se va a dividir en dos secciones, como se muestra en la figura.

El costo promedio por unidad para producir .y unidades es C(x) — C(x)/x. (A) Encuentre la función racional C. (B) ¿A qué nivel de producción el costo promedio por unidad será mínimo?_ (C) Dibuje la gráfica de C, incluyendo cualquier asíntota. 73. Construcción. Se va a construir una perrera rectangular que delimitará un área de 225 pies cuadrados. (A) Si x representa el ancho de la perrera, exprese la longitud total L(x) del material de cerca necesario para la perrera en términos de x. (B) Considerando las limitaciones físicas, ¿cuál es el dominio de la función ¿?

3-5

Fracciones parciales Teoremas básicos D escom posición de fracciones parciales

A hora ya tiene considerable experiencia en com binar dos o m ás expresiones racionales en una sola expresión racional. Por ejem plo, problem as como 2

3

x + 5

x - 4

2(x - 4) + 3(x + 5) _ (x + 5)(.y - 4)

5.v + 7 (x + 5)(x - 4)

deben parecer de rutina. Es frecuente que en cursos m ás avanzados, en particular en el cálculo, sea conveniente poder invertir este proceso; es decir, ser capaz de expresar una expresión racional com o la sum a de dos o m ás expresiones racionales m ás sim ples denom inadas fra c cio n es p arciales. C om o ocurre a m enudo en el caso de procesos inversos, el de descom posición de una expresión racional en fracciones parciales es m ás difícil que c o m b in ar ex presiones racio n ales. L o básico en el proceso es la factorización de polinom ios, de m anera que los tem as antes analizados en este capítulo se puedan usar de m anera efectiva. Enfoquem os nuestra atención hacia expresiones racionales de la form a P(x)/D (x), donde P(x) y D (x) son polinom ios con coeficientes reales. A dem ás, se supone que el grado de P(x) es m enor que el grado de D{x). Si el grado de P(x) es m ayor que o igual al de D(x), sólo se tiene que dividir P(x) entre D (x) para obtener a,

X

.

: -y

4

“ V X i ■/ X é x

1

+ 7X

a

x1 - X t í _ : r i

,

i ' 1 -y

* 1 - A - 2-

X +1 r X 1' - ' A " 1

"

P (A.)

D(x)

R(x)

W +

donde el grado de R(x) es m enor que el de D (x). Por ejem plo, .y4 - 3x3 + 2x2 — 5x + 1 , ^ - 1, + l - » - * -

+

—6x + 2 _ 2 >. + [

266

3


Si el grado de P(x) es m enor que el de D (x), entonces P(x)/D (x) se denom ina fracción p ro p ia.

N uestra tarea ahora es establecer una form a sistem ática para descom poner una fracción propia en la sum a de dos o m ás fracciones parciales. Los tres teorem as siguientes to m an en cuenta el problem a de form a com pleta. Los teorem as 1 y 3 se establecen sin prueba.

Teorema 1

Polinomios iguales D os polinom ios son iguales si y sólo si los coeficientes de los térm inos de grado sem ejante son iguales.

Por ejem plo, si Iguale los términos constantes.

i------------- 1

(A + - B ) x + B = 5 x - 3 Iguale los coeficientes de x.

entonces B = —3

Sustituya 8 = - 3 en la segunda ecuación para despejar 4.

A + 2B = 5 A + 2(

) = 5 A = 11


Si x + 5 = A (x + 1) + B (x — 3)

( 1)

es u n a identidad polinom ial (es decir, am bos lados representan el m ism o polinom io), entonces, igualando los coeficientes se produce el sistem a 1= A + B

Igualando coeficientes de x

5 = A — 3B

Igualando térm inos constantes

(A) Resuelva este sistem a (véase la sección 1-2). (B) Para un m étodo de solución alterno, sustituya x = 3 en (1) para encontrar A y después sustituya x = - 1 en (1) para encontrar B. E xplique por qué es válido el m étodo B.

3-5

Teorem a 2


Teorem a de facto res lineales y cuadráticos Para un polinom io con coeficientes reales, siem pre existe una factorización com pleta que sólo involucra factores lineales y/o cuadráticos con coeficientes reales, donde los factores lineales y cuadráticos son prim os relativos de los núm eros reales.

Q ue el teorem a 2 es verdadero puede verse com o sigue: De los teorem as anterio res en este capítulo, se sabe que un polinom io de n ésim o grado P(x) tiene n raíces y n factores lineales. Las raíces reales de P(x) corresponden a factores lineales de la form a (x - r), donde r es un núm ero real. Com o P(x) tiene coeficientes reales, las raíces im aginarias ocurren en pares conjugados. Así, las raíces im aginarias corresponden a pares de factores de la form a [x — (a + bi)] y [x — (a — bi)], donde a y b son núm eros reales. M ultiplicando esos dos factores im aginarios, se tiene [x — (a + ¿>;)][x - (a - bi)] = x2 - la x + a2 + b2 Este polinom io cuadrático con coeficientes reales es un factor de P(x). Así, P(x) se puede factorizar en un producto de factores lineales y factores cuadráticos, todos con coeficientes reales. A hora se está listo para establecer el teorem a 3, que form a la base para la descom posición de las fracciones parciales.

f r s ;

Teorem a 3

Descom posición de fracciones parciales C ualquier fracción propia P(x)/D (x) totalm ente sim plificada, se puede descom poner en la sum a de fracciones parciales com o sigue: 1.

Si D (x) tiene un factor lineal no repetido de la form a ax + b, entonces la descom posición de la fracción parcial de P (x)/D (x) contiene un térm ino de la form a A ---------ax + b

2.

A es una constante

Si D (x) tiene un factor lineal k que se repite, de la form a (ax + b ) \ entonces la descom posición de la fracción parcial de P(x)/D (x) contiene k térm inos de la form a A. A, A. ------1— + ------- — + • • • + -------- ----ax + b (ax + b)2 (ax + b)k

3.

A .,A „ . . . ,A . constantes 1 2 *

Si D (x) tiene un factor cuadrático no repetido de la form a ax2 + bx + c, que es prim o relativo de los núm eros reales, entonces la descom posición de la fracción parcial de P(x)/D (x) contiene un térm ino de la form a Ax + B D --------------------- A , B constantes ax2 + bx + c

268

3


4.

Si D (x) tiene un factor cuadrático k, repetido, de la form a (ax1 + bx + c)k, donde ax2 + bx + c es prim o relativo de los núm eros reales, entonces la descom posición de la fracción parcial de P(x)/D (x) contiene k térm inos de la form a

A,X + Bl

+

ax2 + bx + c

AS + B2

AkX + Bk

(ax2 + bx + c)2

(ax2 + bx + c)k A p . . . , A k,

B v ...,B k

constantes

Veamos cóm o se usa el teorem a para obtener las descom posiciones de las fraccio nes parciales en varios ejem plos.

EJEMPLO 1

Factores lineales que no se repiten 5x + 7

D escom ponga en fracciones parciales:

x 2 + 2x — 3 Solu ción

Intente prim ero factorizar el denom inador. Si no es posible hacerlo en los núm eros reales, entonces no se puede continuar. En este ejem plo, resultan ser los factores del denom inador, de m anera que se aplica la parte 1 del teorem a 3: 5* + 7 (x — l)(x + 3)

4 B x - 1 + x—+ 37

(2)

Para encontrar las constantes A y B, se com binan las fracciones en el lado derecho de la ecuación (2) para obtener 5* + 7

A (x + 3) + B(x - l)

(x - l)(x + 3)

(x — l)(x + 3)

C om o estas fracciones tienen el m ism o denom inador, sus num eradores deber ser igua les. En consecuencia, 5x + 7 = A (x + 3) + B(x -

1)

(3)

Se podría m ultiplicar el lado derecho y e n c o n tra rá y B m ediante el teorem a 1, pero en este caso es m ás fácil tom ar ventaja del hecho que la ecuación (3) es una identidad; es decir, se debe cum plir para todos los valores de x. En participar, se observa que si se hace x = 1, entonces el segundo térm ino de la derecha se elim ina y se puede despejar/í: 5 ■ 1 + 7 = A(1 + 3) + B(1 - 1) 12 = 4A A = 3 De m anera sim ilar, si se hace x = - 3 , entonces el prim er térm ino se elim ina y se encuentra que

3-5


269

- 8 = -A B B = 2 Por lo tanto. 5x + 7 x 2 + 2x — 3

3 2 x — 1 + x^ +7 3

que se puede com probar fácilm ente sum ando las dos fracciones de la derecha.

x2 + x - 6


Se puede tam bién usar un dispositivo de graficación para com probar la descom posi ción de una fracción parcial. Para com probar el ejem plo 1, se grafican los lados izquierdo y derecho de la ecuación (4) con un dispositivo de graficación (figura 1). A nalice cóm o se puede usar la característica de trazo con un dispositivo de graficación para com probar que el dispositivo está desplegando dos gráficas idénticas.

10

FIGURA 1

pioti Flou n o ti nVi B < 5 X + 7 ) / < X 2 + 2 X -3> '■■-V2 B 3 / + 2 /
Factores lineales que se repiten D escom ponga en fracciones parciales:

6.v: - 14.x- - 27 (x + 2)(x - 3)J

Solución

U sando las partes 1 y 2 del teorem a 3, se escribe 6.x2 - 14x - 27

, A

(x + 2)(x - 3)2 ~ x + 2

B

C

x.- 3 + (x - 3)2

_ A(x - 3)2 + B(x + 2)(x - 3) 4- C(x + 2) (x + 2)(x - 3)2 D e m anera que, para toda x, 6x2 - 14x - 27 = A(x - 3)2 + B(x + 2)(x - 3) + C(x + 2)

(4)

270

3


Si x = 3, entonces

Si x = —2, entonces

- 1 5 = 5C

25 = 25A

C= -3

,4=1

N o hay otros valores de x con los que se pueda elim inar los térm inos de la derecha. C om o cualquier valor de x se puede sustituir para producir una ecuación que relacione A, B y C, x se iguala 0 y se obtiene —27 = 9A — 6B + 2 C

Sustituya A = I y C = - 3.

- 2 7 = 9 - 65 - 6

B = 5 D e m anera que, 14* - 27 _

1

,

5

3

(x + 2)(x - 3)2 _ x + 2 + x - 3 ~ (x - 3 f


EJEMPLO 3

x? + 1 Ix 4- 15 D escom ponga en fracciones p a rc ia le s:-------------------— (x - l)(x + 2)2

Factores lineales y cuadráticos que no se repiten 5x2 — 8x + 5


(x - 2)(x2 - x + 1) Solución

Prim ero, se observa que la cuadrática en el denom inador ya no puede factorizarse en los núm eros reales. Entonces, se usan las partes 1 y 3 del teorem a 3 para escribir 5X2 — 8* + 5

A

(x - 2)(*2 — x + 1)

Bx + C

x —2

x2- x + 1

_ A(x1 - x + 1) + (Bx + C)(x — 2) (x - 2)(x2 - * + 1)

,

Asi, para toda x,

^

tê

(i v

!

i

?

f

5 fi - 8* + 5= A(x2 - x + 1) + (Bx -K C)(x

* • -4 ¿« r.

Si x = 2, entonces

*

« A

O

----- 5 9 = 3/4 A= 3

js >

- 2)

s"

3-5


271

Si x = 0, entonces, usando A = 3, se tiene 5 = 3-

2C

= -1

C

Si x = 1, entonces, usando A = 3 y C = - l , s e tiene 2 = 3 + ( B - 1)(—1) B =

2

Por lo tanto, 5X2 - 8x + 5

3

(x - 2)(x2 - x + 1)

x - 2


Pro blem i -• l

2x - l + ■ x2 - x + 1

I x 2 - 1 \x + 6 (x - l)(2x2 - 3x + 2)

Factores cuadráticos que se repiten x 3 — 4X2 4- 9x — 5 D escom ponga en fracciones parciales: —— — 2j V 3)'—

Solución

C o m o x 2 — 2x + 3 ya no puede factorizarse en los núm eros reales, se procede a usar la parte 4 del teorem a 3 para escribir x3 - 4x2 + 9 x - 5

Ax + B

(x2 - 2x + 3)2

x2 - 2x + 3

+

Cx + D (x2 - 2x + 3)2

_ (Ax- + B)(.r2 - 2x + 3) + Cx + D (x2 - 2x + 3)2 A sí, para toda x, v-3

4x2 + 9x - 5 = (Ax + B)(x2 - 2x + 3) + Cx + D

C om o la sustitución cuidadosa de los valores seleccionados de x no nos lleva a la inm e diata determ inación de A , B, C o D, se m ultiplica y se reordena el lado derecho para obtener x3 -

i

4X2

3

-

+ 9x - 5 = A r’ + (B - 2A)x2 + (3A - 2 B + C)x + (3B + D)

i'1 A hora se usa el teorem a 1 para igualar coeficientes de los térm inos de grado sem ejante: A = 1 -ú . --2 ^ B - 2A = - 4 -7 • t 3A - 2 6 + C = 9 3

lx3

-4 x 2

~9x

-5

+ (6 - 2Á)x2 + (3A - 2B + Q x + (38 + D)

3B + D =

-5

272

3


En estas ecuaciones se encuentra fácilm ente que A = 1 , 5 = —2 , C = 2 y D = 1. Ahora se puede escribir .y3 - Axr + 9x - 5 _

(x2 - 2x + 3)2

2x + 1

x - 2

~ x 2 - 2 x + 3 + (x2 - 2 x + 3 f

D escom ponga en fracciones parciales: —------- -------- ------(x2 — 2x + 2)2

Respuestas a los problemas seleccionados 4

3

x- 2

x+3

1, ------ + -------

, 3

2

1

x+2

(x + 2)2

2 . ---------- ------- + --------r x -1

2

3*- 2

x - ¡

2x*~ 3 x + 2

3 . --------1----z-----------

3x x - 2 x2 - 2x + 2 + (x2 - 2x + 2)2

3-5

EJERCICIO

A _________

B

E n los problem as del 1 a l 10, encuentre las constantes A, B, C y D de m anera q ue el lado derecho sea igual a l izquierdo.

En los problem as d el 11 a l 22, descom ponga en fra cc io n es parciales.

1. 2.

I x — 14

B

(x - 4)(x + 3)

x - 4

x + 3

9x+ 21

A

B

(x + 5)(x - 3)

x+ 5

17x — 1 3. (2x - 3)(3x - 1)

4. 5. 6.

x - 11

■+ •

x(x + l)2

~

B

3x - 13 ñx2 — x — 12

14.

15.

x2 - 12x + 18 x3 - óx2 + 9x

16.

17.

5x2 + 3x + 6 x3 + 2X2 + 3x

18.

19.

2x' + Ix + 5 x4 + 4X2 + 4

20.

-5 X 2 + l x - 18 x4 + óx2 + 9

21.

x3 - Ixr + 17x - 17 x2 — 5x + 6

22.

x1 + x2 - 13x + 11 x2 + 2 x - 15

( x + 1)2 B

-f-------- — -f- • X

3X2 + .

A

(x - 2XX2 + 3)

x- 2 A

13.

2x - 1

B

4 x+1

(x + l)(x - 2)2

B

A

+ x +1

x2 — 6x + 11

12.

3x - 1

(3x + 2)(2x - 1) _ 3x + 2

5X2 — 9x + 19

10 .

2x - 3

3X2 + 7x + 1 _ A

- x + 22 x2 2x 8

x - 3

A

=

(x - 4XX2 + 5)

9.

■+ ■

11.

- 2

- x -

21

x2 + 2x - 15 1 lx - 11

óx2 + lx — 3 5X2 - 36x + 48 x(x - 4)2 óx2 - 15x + 16 x3 -

3X2 +

4x

(x - 2)2

Bx + C

+ •

x2 + 3

Bx + C x2 + 5

.+ ■

x —4 '

2j ? + 4x — 1

Ax + B

(x2 + x + l ) 2

x2 + x + l

■+ •

En los pro b lem a s d el 23 a l 30, descom ponga en fra cc io n es parciales.

Cx + D

(x2 + x + l ) 2

3x5 - 3.x2 + lOx - 4

Ax + B

(x2 - x + 3)2

x2 - x + 3

t

23.

4X2 + 5x - 9 x3 - 6x - 9

24.

25.

x2 + 16x + 18 x3 + lx2 — 15x — 36

26.

4X2 - 8x + 1 x3 — x + 6

Cx + D

(x2 — x + 3)2

5X2 - 18x + 1 x’ - x 2 - 8 x + 12

273

Actividades en grupo del capítulo 3 Interpolación de polinomios

—x2 + .

29.

x* - 5X* + 9.x2 - 8* + 4

- 2s3 + 12x* — 20x - 10 - 7JC3 + \ l x 2 - 2 \x + 18

30.


4x s + 12x 4 - x 3 + Ix 2 - 4x + 2 4X 4 + 4x* - Sx2 + 5x

-

2

13* " + jt1 - 8X2 + 2x 6x 4 - lx >+ x2 + * - 1

6x’ —

Interpolación de polinomios

D ados dos puntos en el plano, se puede usar la form a punto-pendiente de la ecuación de una recta para encontrar un polinom io cuya g ráfica pase por esos dos puntos. ¿Cóm o se puede proceder si se dan m ás de dos puntos? Por ejem plo, ¿cóm o se puede encontrar la ecuación de un polinom io P (x) cuya gráfica, ilustrada en la figura 1, pase p o r los puntos indicados en la tabla 1 y graficados en la figura 1?

TABLA 1 X

1

2

P (X )

1

3

4

3 -3

1

FJGURA 1

L a clave para resolver este problem a es escribir el polinom io desconocido P(x) en la form a especial siguiente: P (x) = ag + a t(x - 1) + a2(x - l)(x - 2) + a 3(x - l)(x - 2)(x - 3)

(1)

Com o la g ráfica de P (x) va a pasar p o r cada punto de la tabla 1, se puede sustituir cada valor de x en (1) para determ inar los coeficientes a0, a v a2 y ay Prim ero se evalúa (1) e n x = 1 para determ inar aü: 1 = P (l) = a0

T od os los o tros té rm in o s en

(1) son 0 cu a n d o

x =

U sando este valor para a0 en (1) y evaluando en x = 2, se tiene 3 = P (2) = 1 + a , ( l )

To d o s los o tros té rm in o s son

2 = a, Continuando de esta m anera, se tiene - 3 = P ( 3) = 1 + 2(2) + a2( 2)(1)

-8

=

2 a2

0.

1.

274

3


1 = P{4) = 1 + 2(3) - 4(3X 2) + a3(3 )(2 )(l) 18 = 6a3 3 = fl3 Se tiene ahora evaluados todos los coeficientes en (1) y se puede escribir

P(x) = 1 + 2(x - 1) - 4(x - IX* - 2) + 3(x - 1)(* - 2)(x - 3)

(2)

Si se desarrollan los productos en (2) y se agrupan los términos semejantes, se puede expresar P(x) en la forma más convencional (verifique esto)

P(x) = 3x3 - 22x2 + 47x - 27 (A) Para comprobar estos cálculos, evalúe P(x) en x = 1, 2, 3 y 4 y compare los resultados con la tabla 1. Después agregue la gráfica de P(x) a la figura 1. (B) Escriba una descripción de la forma especial de P(x) en (1). En general, dado un conjunto de n + 1 puntos:

X

x0

Xn

y

yo

yn

el polinom io de interpolación para estos puntos es el polinomio P(x) de grado menor que o igual a n que satis faga P(xk) = y k para k = 0 , 1 La form a general del polinomio de interpolación es

P(x) = aü + a {(x - x 0) + a2(x - x0){x - * , ) + •• • + an(x - x j f a - * , ) ..... (x - x _,) (C) Resuma el procedimiento para usar los puntos en la tabla y encuentre los coeficientes en la forma general. (D) Dé un ejemplo para demostrar que el polinomio de interpolación puede tener estrictamente un grado menor que n. (E) ¿Podrían ser diferentes dos polinom ios de grado menor que o igual a n cuya gráfica pase por los n + 1 puntos dados? Justifique su respuesta. (F) Encuentre el polinom io de interpolación para las tablas 2 y 3. Compruebe sus respuestas evaluando el polinom io, e ilústrelas graficando los puntos en la tabla y el polinomio en los m ism os ejes.

TABLA 2 x y

^

-1 5

TABLA 3 0

1

3

3

2 11

x

-2

y'

"3

-1 0

0

1

5

0

Se puede usar un sorprendente programa corto en un dispositivo de graficación para calcular los coeficientes en la forma general de un polinom io de interpolación. La tabla 4 muestra este programa realizado en una calculadora gráfica Texas Instruments y los resultados generados cuando se utiliza para encontrar los co efi cientes del polinom io de interpolación para la tabla 1.


m m asr

TABLA 4

In terpolación d e los c o e fic ie n te s d e un p o lin o m io en un d isp o sitiv o d e graficación

Programa INTERP -----------------------------------------------------------------------------------

Resultados

L 2 —*L3 dimL L3— F o r (I , 2 , M , 1) F o r ( J , M , I, - 1 ) (L 3 ( J ) - L 3 (J —1) ) / (L 1 (J ) - L 1 ( J - I + l ) ) —>L3 ( J ) End End D i s p L3

a,2,3,4>-H_Í

{1 2 3 4 }

< 1 , 3 ? " 3 ? 1>+L2

INTERP

<1 3 -3 1> U 2 -4 3> Done

(G) Si usted tiene una calculadora g ráfica TI-85 o T I-86, teclee el program a IN TER P en su calculadora exacta m ente com o se m uestra en la tabla 4. Para usar este program a, introduzca los valores de x en L1 y los valores correspondientes y en L2 (véase los resultados en la tabla 4) y después corra el program a. Si cuenta con otro dispositivo de graficación que pueda guardar y correr program as, consulte su m anual y m odifique las ins trucciones en el program a INTERP, de m anera que el program a funcione en su dispositivo de graficación. U se IN TER P para com probar sus respuestas del inciso (F).

Repaso del capítulo 3 En este capítulo, a menos que se indique otra cosa, los coeficientes de la función polinomial de n ésimo grado P(x) = a x * + £7f[_jXfí—1 + ■• • + a^x + a0 son números complejos y el dominio es el conjunto de números complejos. Se dice que el número r es una raíz de la función P, o una raíz del polinomio P(x), o una solución o raíz de la ecuación P(x) = 0, si P(r) = 0. Si los coeficientes de P(x) son números reales, entonces las intersecciones con el eje x de la gráfica de y = P(x) son raíces reales de P y P(x) y soluciones o raíces reales para la ecuación P(x) = 0.

de n y del signo de an. Un punto de retorno en una gráfica continua es un punto que separa una parte creciente de una decreciente. Las propiedades importantes de las gráficas son:

3-1

Si P(x) es un polinomio de grado n > 0, entonces se tienen los siguientes teoremas importantes:

FUNCIONES POLINOM1ALES Y GRÁFICAS

La división sintética es un método eficiente para dividir polinomios entre términos lineales de la forma x — r que es muy adecuada para usarse en calculadora. Sea P(x) un polinomio de grado mayor que 0 y sea r un número real. Entonces se tienen los siguientes teoremas importantes: Algoritmo de división. P(x) — (x — r)Q(x) + R, donde x — res el divisor; Q(x), un polinomio único de grado 1 menor que P(x), es el cociente; y i?, un único número real, es el residuo. Teorema del residuo. P{r) = R. El comportamiento del lado izquierdo y derecho de un polinomio de n ésimo grado P(x) con coeficientes reales se determina por su grado más grande o término principal. Conforme -V—> anx" y P(x) tienden a ± «>, dependiendo

1. P es continua para todos los números reales. 2. La gráfica de P es una curva suave. 3. La gráfica de P tiene a lo más n intersecciones con el eje x. 4. P tiene a lo más n — 1 puntos de retorno. 3-2

DETERMINACIÓN DE RAICES RACIONALES DE POLINOMIOS

Teorema de factorización. El número r es una raíz de P(x) si y sólo si (x - r) es un factor de P(x). Teorema fundamental del álgebra. P(x) tiene al menos una raíz. Teorema de n raíces. P(x) se puede expresar como un producto de n factores lineales y tiene n raíces, no necesariamente diferentes. Si P(x) se representa como el producto de factores lineales y x — r ocurre m veces, entonces r se denomina raíz de multiplicidad m. Teorema de las raíces imaginarias. Si P(x) tiene coeficientes reales, entonces las raíces imaginarias de P(x), si existen, deben ocurrir en pares conjugados.

276

3


Raíces reales y polinomios de grado impar. Si P(x) tiene coeficientes reales y es de grado impar, entonces P(x) siempre tiene al menos una raíz real. Teorema de raíces racionales. Si el número racional ble, totalmente simplificado, es una raíz del polinomio P(x) = a„x" +

+ . . . + a,x + a0,

a n 0 con coeficientes enteros, entonces b debe ser un factor entero de a.,0 Jy c debe ser un factor entero de an.

Estrategia para encontrar raíces racionales

P(x) y se denomina limite inferior de las raices reales de P(x).

Una función de la forma/(.x) = n(x)id(x), donde n(x) y d(x) son polinomios, es una función racional. La recta .v = a es una asíntota vertical para la gráfica de v = /(* ) si /(* ) -¥ o f(x) —> —oo conforme x —» a ' o x —>a~. Si d(a) = O y n(a) =r O, entonces la recta* = a es una asíntota vertical. La recta^ —be s una asíntota horizontal para la gráfica de y = /(* ) si/(* ) —>b conforme*— o x —» — La rectas = mx + b es una asíntota oblicua si [/"(*) — (mx + ¿>)] —» Oconforme * —»<» o * —> ~ x . Sea

Suponga que P(x) es un polinomio con coeficientes en teros y es de grado mayor que 2. £.

Enumere las raíces racionales posibles de P(x) mediante el teorema de raíces racionales (teo rema 6). Construya una tabla de división sintética. Si se determina una raíz racional, deténgase y escriba P(x) = (* - r j f ¡ 0 ' e inmediatamente proceda a encontrar las raíces racionales para Q(x), el polinomio reducido respecto a P(x). Si el grado de q(x) es mayor que 2, regrese al paso 1 usando Q(x) en lugar de P(x). Si Q(x) es cuadrática, encuentre todas sus raíces usando métodos estándar para resolver ecuaciones cuadráti cas.

s ar,xm + • • • + a,* + a0 /(■?) = Tb„x - » +,----• ■• —7— + b¡x — + b0>

El comportamiento de la gráfica de/ conforme * —> cc o * —> —oo se determina por la relación de los términos principales del numerador yJ del denominador,?amx”‘ibnx”. 1. Si m < n, entonces el eje * es una asíntota horizontal. 2. Si m = n,’ entonces la recta y — a Ib es una asíntota horizontal.

<

Teorema de localización. S i/e s continua en un intervalo I, a y b son dos números en I, yf( a ) yf(b ) son de signo opuesto, entonces hay al menos una intersección con el eje x entre a y b. Límites superior e inferior de raíces reales. Si an > 0 y P(x) se divide entre * — r usando división sintética: 1. Si r > 0 y todos los números en el renglón cociente de la división sintética, incluyendo el residuo, son no negativos, entonces r es mayor que o igual a la raíz más grande de P(x) y se le conoce como límite superior de las raíces reales de P(x). 2. Si /• < 0 y todos los números en el renglón cociente de la división sintética, incluyendo el residuo, alternan en signo, entonces r es menor que o igual a la raíz más pequeña de

mn

3. Si m > n, entonces no hay asíntotas horizontales.

Graficación de una función racional: f(x) = n(x)/d(x) Intersecciones. Encuentre las soluciones rea les de la ecuación n(x) = Oy úselas para dibu jar cualquier intersección con el eje x de la gráfica de f . Evalúe/(0), si existe, y dibuje la intersección con el eje y. '

Los teoremas siguientes son herramientas útiles para localizar las raíces reales de un polinomio con coeficientes reales. Una vez localizadas, se puede usar un dispositivo de graficación para aproximar las raíces.

, ,„ a h »* 0

Asíntotas verticales. Encuentre las solucio nes reales de la ecuación d(x) = O y úselas para determinar el dominio de f los puntos de discontinuidad y las asíntotas verticales. Trace cualquier asíntota vertical con líneas discontinuas. Cuadro de signos. Construya un cuadro de signos para/ y úselo para determinar el com portamiento de la gráfica cerca de cada asín tota vertical. Asíntotas horizontales. Determine si existe una asíntota horizontal y, si es así, trácela como una recta discontinua. Termine el trazo. Termine el trazo de la gráfi ca dibujando puntos adicionales y únalos con una curva continua y suave en cada intervalo del dominio de f . (No cruce ninguno de los puntos de discontinuidad.)


3-5

FRACCIONES PARCIALES

Una función racional P(x)/Ü(x) a menudo se puede descom poner en una suma de funciones racionales más simples deno minadas fracciones parciales. Si el grado de P(x) es menor que el grado de D(x), entonces P(x)/D(x) se denomina fracción propia. Se tienen los siguientes teoremas importantes: Polinomios iguales. Dos polinomios son iguales, si y sólo si los coeficientes de los términos de grado semejantes son iguales. Teorema de factores lineales y cuadráticos. Un polinomio con coeficientes reales se puede factorizar en un producto de factores lineales y/o cuadráticos con coeficientes reales donde los factores lineales y cuadráticos son primos relativos de los números reales. Descomposición de fracciones parciales. Cualquier fracción propia P(x)/D(x) totalmente simplificada se puede descom poner en la suma de fracciones parciales como sigue: 1. Si D(x) tiene un factor lineal de la forma ax + h que no se repite, entonces la descomposición de la fracción parcial de P(x)/D(x) contiene un término de la forma A

A es una constante.

ax + b

277

2. Si D(x) tiene un factor lineal k que se repite de la forma (ax + b)k, entonces la descomposición de la fracción parcial de P(x)/D(x) contiene k términos de la forma

ax + b

+ ■ (ax + b f

{ax + b)2

A VA V . , . ,A k constantes Si D(x) tiene un factor cuadrático, que no se repite, de la forma ax2 + bx + c, que es primo relativo de los números reales, entonces la descomposición de la fracción parcial de P(x)/D(x) contiene un término de la forma Ax + B

A, B son constantes

ax2 + bx + c 4. Si D(x) tiene un factor cuadrático k, que se repite, de la forma (ax2 + bx + c f, donde ax2 + bx + c es primo relativo de los números reales, entonces la descomposición fracción parcial de P(x)/D(x) contiene k términos de la forma A,a + B¡ ax2 + bx + c

A 2x + B2 + (ax1 + bx + c f

i+

Atx + Bk (ax2 + bx + c)*

A v ...,A k, B .......... Bt constantes

Ejercicios de repaso del capítulo 3 Al trabajar con todos los problemas de este capítulo revise y compruebe las soluciones al fin a l del libro. Ahí están las res puestas a todos los problemas de revisión. Después de cada respuesta está un número en tipo itálico que indica la sección de la cual se tomó el problema que se está analizando. Si se le presentan dudas, repase la sección correspondiente en el texto.

(B) Describa el comportamiento a la izquierda y a la derecha de P(x).

P{x)

A ____________________________________________ 1. Use división sintética para dividir P(x) - 2xi + 3x2 1 entre D(x) = x + 2, y escriba la respuesta en la forma P(x) = D(x)0(x) + R. 2. Si P(x) = -V5 - 4.V1 + 9a2 8, encuentre P(3) usando el teorema del residuo y la división sintética. 3. ¿Cuáles son las raíces de P(x) = 3(.v - 2)(x + 4)(.v + 1)? 4. Si P(x) = x2 2.v + 2 y P( 1 + /) = 0, encuentre otra raiz de P(x). Sea P(x) el polinomio cuya gráfica se muestra en la fi gura. (A) Suponga que P(x) tiene raíces enteras y coeficiente principal 1. encuentre la ecuación con el grado más bajo que pudiera producir esta gráfica.

6. De acuerdo con el teorema de los límites superior e inferior, cuáles de los números siguientes son los límites de las raíces de P(x) = a-’ - 4,r2 + 2? - 2, - 1 , 3 , 4 7. ¿Cómo sabe usted que P(x) = 2aj - 3,v2 + x - 5 tiene al menos una raíz real entre 1 y 2? 8. Escriba las posibles raíces racionales de P{x) = x } - 4x2 + x + 6.

278

3


9. Encuentre las raíces racionales de P(x) = x3 - 4x* + x + 6. 10. Encuentre el dominio y la(s) intersección(es) de x para: (A) f{x) =

2x- 3 x+ 4

(B) gQc) =

3x x2 —x — 6

11. Encuentre la asíntota vertical y horizontal para las funciones del problema 10. 12. Descomponga en fracciones parciales:

(A) Encuentre el dominio e intersecciones para f. (B) Encuentre las asíntotas verticales y horizontales para f (C) Trace la gráfica de/ Dibuje las asíntotas verticales y horizontales con líneas discontinuas. 26. Descomponga en fracciones parciales:

x ( x - 2)2

7x —11 ( x - 3)(x + 2)

B ____________________________________________ 13. Sea P(x) = x3 - 3x2 - 3x + 4. Grafique P(x) y describa la gráfica, incluyendo el número de intersecciones en x, el número de puntos de retomo y el comportamiento a la izquierda y a la derecha. (B) Use el método de bisección para aproximar la intersec ción más grande con una cifra decimal. 14. Si P(x) = Sx4- l4x3- 13x2 - 4x + 7, encuentre Q(x) y R tal que P{x) = (x - \)Q(x) + R. ¿Qué es P(±)?

-x 2 + 3x + 4

27. Descomponga en fracciones parciales:

8x2 - 1Ox + 9 2x3 - 3x2 + 3x

c _________________________ 28. Use la división sintética para dividir P(x) = x3 + 3x + 2 entre [x - (1 +/')], y escriba la respuesta en la forma P(x) = D(x)Q(x) + R. 29. Encuentre el polinomio de menor grado con coeficiente principal 1 que tenga raíces —2' (multiplicidad 2), - 3 , y 1 (multiplicidad 3). (Escriba la respuesta en forma factorizada.) ¿Cuál es el grado del polinomio? 30. Repita el problema 29 para un polinomio P(x) con raíces - 5 , 2 - 3 / y 2 + 3/.

15. Si P(x) = 4x3 - 8x2 - 3x - 3, encuentre P ( - |) usando el teorema del residuo y la división sintética.

31. Encuentre todas las raíces (racionales, irracionales e imaginarias) de manera exacta para P(x) = 2X5 - 5X4 - 8x3 + 21x2- 4.

16. Use la fórmula cuadrática y el teorema de factorización para factorizar P(x) = x2 - 2x - 1.

32. Factorice el polinomio del problema 31 en factores lineales.

17. ¿Es x + 1 un factor de P(x) = 9X26 - 1 lx 17+ 8xu - 5x* - 7? Explique, sin dividir o usar la división sintética. 18. Determine todas las raíces racionales de P(x) = 2x3- 3X2 1 8 x - 8. 19. Factorice el polinomio del problema 18 en factores lineales. 20. Encuentre todas las raíces racionales de P{x) = x3 - 3x2 + 5. 21. Encuentre todas las raíces (racionales, irracionales e ima ginarias) de manera exacta para P(x) = 2x* - x3 + 2x - 1. 22. Factorice el polinomio del problema 21 en factores lineales. 23. Resuelva 2x3 + 3x2 < 1 lx + 6. Escriba la respuesta en notación de desigualdad y de intervalo. 24. Sea P(x) = x4- 2 x 3- 30X2 - 25. (A) Encuentre los enteros positivos más pequeños y los enteros negativos más grandes que, por el teore ma 2 en la sección 4-3, sean los límites superior e inferior, respectivamente, para todas las raíces reales de P(x). (B) Use el método de bisección para aproximar la raíz real más grande de P(x) con dos cifras decimales. (C) Use un dispositivo de graficación para aproximar las raíces reales de P(x) a dos cifras decimales. 25. Sea/(x) = 2x + 2

33. Resuelva 4X2 + 4x — 3 > 2x* + 3x* — 1lx — 6 Escriba la respuesta en notación de desigualdad y de intervalo. ¿Cuál es el grado mínimo de un polinomio P(x), dado que p ( - 1) = - 4, />(0) = 2, P (l) = - 5 y P(2) = 3? Justifique su conclusión. Si P(x) es un polinomio cúbico con coeficientes enteros y si 1 + 2i es una raíz de P(x), ¿puede P(x) tener una raíz irracional? Explique. Las soluciones de la ecuación x3 — 27 = 0 son las raíces cúbicas de 27. (A) ¿Cuántas son las raíces cúbicas de 27? (B) 3 es obviamente la raíz cúbica de 27; encuentre las demás. 37. Sea P(x) = x4 + 2x3 - 500x2 - 4 000. (A) Encuentre el entero positivo más pequeño en múltiplos de 10 y el entero negativo más grande en múltiplos de 10 que, por el teorema 2 de la sección 4-3, sean los limites superior e inferior, respectivamente, para todas las raíces reales de P(x). (B) Aproxime las raíces reales de P(x) con dos cifras decimales.


38. Grafi que , t ó , 2i ± * ± i

279

42. Construcción. Se construye un silo para granos uniendo un hemisferio a la parte superior de un cilindro circular recto (véase figura). Si el cilindro tiene 18 pies de altura y el volumen del silo es de 486ji pies cúbicos, encuentre el radio común del cilindro y del hemisferio.

Indique cualquier asíntota vertical, horizontal u oblicua con líneas discontinuas. 39. Use un dispositivo de graficación para encontrar cualquier asíntota horizontal en

m

‘ V 7 T S T ¡

40. Descomponga en fracciones parciales: 5x2 + 2x + 9 x* - 3JC3 + x2 - 2x

APLICACIONES

^

Exprese las soluciones de cada problema como las raíces de una ecuación polinomial de la forma P(x) = 0. Encuentre las soluciones racionales de manera exacta y las soluciones irracionales aproximadas con una cifra decimal. Use un dis positivo de graficación o el método de bisección sólo si es ne cesario.

43. Manufactura. Se va a formar una caja con una pieza de cartón que mide 15 por 20 pulgadas. En cada esquina se van a cortar cuadrados, de x pulgadas de lado, y después se van a doblar los extremos y lados hacia arriba (véase figura). Encuentre el valor de x que debería resultar en una caja con un volumen de 300 pulgadas cúbicas. -20 pulg.

41. Arquitectura. Se forma una entrada colocando una puerta rectangular dentro de un arco en forma de parábola con la gráfica y = 16 —x2, x y y en pies (véase figura). Si el área de la puerta es de 48 pies cuadrados, encuentre sus dimen siones.

44. Geometría. Encuentre todos los puntos en la gráfica y = x3 que estén a 3 unidades del punto (1,4).

4-1

Funciones exponenciales

4-2 La función exponencial de base e 4-3 Funciones logarítmicas 4-4 Logaritmos comunes y naturales 4-5 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Actividades en grupo del capítulo 4: El crecim iento de las funciones crecientes Repaso del capítulo 4

f(x)=/3x + 41 + 1

282

4

Funciones exponenciales y logarítmicas

La mayoría de las funciones que se ha considerado hasta ahora han sido funciones polinomiales y racionales, y algunas que implican las raíces o potencias de este mismo tipo de funciones. La clase general de funciones definidas por medio de operaciones algebraicas como la suma, resta, multi plicación, división, potencias y raíces coivVariables y constantes se llaman fu n c io n e s algebraicas. }

En este capítulo se definiráivy estudiarán las propiedades de dos nuevos tipos importantes de funciones, las exponenciales y las logarítm icas. Estas funciones no son algebraicas, pero forman parte de otra clase de funciones, las trascendentales. Las funciones exponenciales y logarítmicas se utilizan en la descripción y solución de una.amplié variedad de problemas de la vida cotidiana, incluyendo el crecimiento de poblaciones, animales y bacte rias; el decaimiento radiactivo; el incremento del dinero con intereses com puestos; la absorción de la luz al atravesar el aire, agua o vidrio, y las magnitudes del sonido y de los terremotos. Además de las aplicaciones en estas áreas se consideran muchas otras en las siguientes secciones.

SECCIÓN

4-1

Funciones exponenciales Funciones exponenciales G ráficas de funciones exponenciales básicas O tras propiedades exponenciales A plicaciones

En esta sección se definirán las funciones exponenciales, algunas de sus propiedades, incluyendo sus gráficas, y se considerarán sus num erosas e im portantes aplicaciones.

° Funcione: exponenciales

Se em pezará p o r observar que las f u n c io n e s / y g dadas por f ( x ) = 2*

y

g(x) = x 2

no son la m ism a función. En la prim era se tiene una base constante elevada a una variable, y en la segunda se tiene una variable elevada a un exponente constante, entre las cuales, com o es evidente, hay una gran diferencia. La función g es una función cuadrática que ya fue analizada, la función / es un nuevo tipo de función llam ada fu n ción exponencial. Si se le preguntara a varios estudiantes cóm o graficarían una función exponencial com o / ( * ) = 2X, no vacilarían en hacerlo. Lo m ás probable es que harían una tabla asig nando valores enteros a x, después graficarían los puntos resultantes y al final unirían estos puntos con una curva suave, com o se m uestra en la figura 1.

4-1


283

«CURA l f(x) = 2\ *

/(*)

-3

-1

i i 4 1 z

0

1

1

2

2

4

3

8

-2

La única tram pa es que 2Xno se definió para todos 'o s núm eros reales-x. S eâbe lo que significa 25, 2 -3, 2v:\ 2 _3/5, 2 14 y 2~315 porque 2P se definió para cualquier núm ero p racional, pero ¿qué significa? 4 2^5 / v Por el m om ento la pregunta no es fácil de contestar. De hecho, para llegar a una defini ción precisa de 2 v2 sólo se obtendrá en cursos m ás avanzados, en donde se pueda m os trar que, si b es un núm ero real positivo y x cualquier núm ero real, entonces If se refiere a un núm ero real, y la gráfica d e /(x ) = 2* es com o se indica en la figura 1. Se puede m ostrar tam bién que para alguna x irracional, bxse puede aproxim ar tanto como se deseé usando aproxim aciones a los núm eros racionales para x. Puesto que V 2 = 1.414213. . . , por ejem plo, la sucesión 21.4 2 1-41 2 1414 aproxim a 2V l, y cuando se usan m ás decim ales m ejora la aproxim ación.

DEFINICIÓN 1

La fundón exponencial L a ecuación /( x ) = b*

b > 0, b # 1

define una función exponencial para cada b constante diferente, llam ada base. La variable independiente x puede asum ir cualquier valor real.

Así, el dom inio d e/ es el conjunto de todos los núm eros reales positivos, se puede m ostrar que el rango de / es el conjunto de todos los núm eros reales positivos. Se requiere que la base b sea positiva para evitar núm eros im aginarios tales com o ( - 2 )' -.

286

4


Propiedades de la función exponencial Para a y b positivos, a + \ , b

\ y x y y reales:

Uso de las propiedades de la función exponencial D espeje .r de 4X~3 = 8. So lu ció n

s

Exprese am bos lados en térm inos de la m ism a base, y use la propiedad 2 para igualan los exponentes.

4X~3 H'

=

8

(22)v-.1 = 2 3

2l r " 6 = 23 a,

>

^

' 2 /-

r 3

7/

'

i

2 x -6 = 3

E xp rese

4 y 8 c o m o p o tencias d e 2 .

(0*)^= a* P ro p ied ad

, -

2

2x = 9

i v ^ 4 (9/2)- 3 = 43,'2 = ( ^ 4 ) 3 =

C o m p ro b a c ió n

23 =

* ' 1 l D espeje x de 2 7x+] = 9. y.* A 2 ^ = 2> ( * ^ > % 3( /

v

'

Aplicaciones

Se considerarán ahora tres aplicaciones de las funciones exponenciales: crecim iento dem ográfico, decaim iento radiactivo e interés com puesto. El crecim iento dem ográfico y el interés com puesto son ejem plos de crecim iento exponencial, m ientras que el decai m iento radiactivo es un ejem plo del crecim iento exponencial negativo. N uestro prim er ejem plo im plica el crecim iento de poblaciones, de personas, ani m ales, insectos y bacterias. Las poblaciones tienden a crecer exponencialm ente y a tasas diferentes. U na m anera conveniente y fácil de entender la m edida de la tasa de crecim iento es el tiem po de duplicación (éste es el tiem po que le tom a a una población duplicarse). En periodos cortos, se usa a m enudo el m odelo de crecim iento del tiem po de duplicación para m odelar al crecim iento dem ográfico: P = P„2"d

4-1

donde

287


P = población en el tiem po t PQ = población en el tiem po t = 0 d = tiem po de duplicación

O bserve que cuando t = d,

P = P¿2d,d = P02 y la población es el doble de la original, com o se espera. Se usará este m odelo para resolver un problem a de crecim iento dem ográfico en el ejem plo 3.

Crecimiento demográfico M éxico tiene una población aproxim ada de 100 m illones de personas, y se estim a que habrá aum entado al doble en 21 años. Si sigue creciendo a la m ism a tasa, ¿cuál será la población: (A) en 15 años a partir de ahora?

(B) en 30 años a partir de ahora?

Calcule sus respuestas con tres dígitos significativos. Soluciones P (millones)

^ — ^>2 '

4

500

Sustituyendo P 0 = 100 y d = 21, se obtiene

/ / { f J

400 300

Se usa el m odelo de crecim iento del tiem po de duplicación

P = 100(2'/21)

/

200

(A)

Véase figura 4.

Encuentre P cuando t = 15 años:

100 0 10

20

30

40

= 164 m illones de personas

Años FIGURA 4

P = 100(2 15'21)

so

Use calculadora.

P = 100(2'*').

(B)

Encuentre P cuando t = 30 años: P = 100(230/21) v

P = 269 m illones de personas

' Use calculadora.

La bacteria E scherichia coli (E . coli) se encuentra naturalm ente en los intestinos de m uchos m am íferos. En un experim ento de laboratorio, se encuentra que el tiem po de duplicación para la E. coli es de 25 m inutos. Si el experim ento com ienza con una po blación de 1 000 E. coli y no hay ningún cam bio en el tiem po de duplicación, ¿cuántas bacterias estarán presentes: (A) en 10 m inutos?

(B) en 5 horas?

Escriba sus respuestas con tres dígitos significativos.

288

4



C on el m odelo de crecim iento del tiem po de duplicación no se esperan resultados exactos p ara periodos largos. Según el m odelo de crecim iento del tiem po de dupli cación del ejem plo 3, ¿cuál era la población de M éxico durante el auge de la civili zación azteca; es decir, hace 500 años? ¿Cuál será la población de M éxico en 200 años? Explique por qué estos resultados no son realistas. A nalice el resultado para encontrar los factores de la población que no se han tom ado en cuenta en el m odelo de crecim iento del tiem po de duplicación.

La segunda aplicación im plica el decaim iento radiactivo, al que a m enudo se hace referencia com o crecim iento negativo. Los m ateriales radiactivos se usan extensam en te en diagnósticos y en terapias m édicas, com o fuentes de potencia en satélites y como fuentes de potencia en m uchos países. Si com enzam os con una cantidad A0 de un cierto isótopo radiactivo, la cantidad decaerá exponencialm ente en el tiem po. La tasa de de caim iento varía de isótopo a isótopo, lin a m edida conveniente y fácil de entender de la tasa de decaim iento es la vida m edia del isótopo (es decir, el tiem po que le tom a decaer a la m itad de cierta m ateria). En esta sección se usará el siguiente m odelo de decai m iento de vida media: i í \ 9' ■r\ \ 'J donde

A = C antidad al tiem po t A (¡ = C antidad al tiem po i = 0 h = V ida m edia

O bserve que cuando t = h, A,

A = A02~hm = Ao2-> = 20 y la cantidad dt isótopo es la m itad de la original, com o se espera.

■f

EJEMPLO 4

Decaimiento radiactivo El isótopo radiactivo del galio 67(67Ga) usado en eldiagnóstico de tum ores m alignos, tiene una vida m edia de 46.5 horas. Si se em pieza con 100m iligram os del isótopo, ¿cuántos m iligram os quedarán después de: (A) 24 horas?

(B) una semana?

C alcule sus respuestas con tres dígitos significativos. Soluciones

Se usa el m odelo de decaim iento de vida m edia: A = A0($ « h = A 02 - ,h Tom ando A g = 100 y h = 46.5, se obtiene A = 100(2—"46-5)

Véase fig ura

5

4-1

A .m iligram os) A


289

(A) Encuentre A cuando t = 24 horas: A = 100(2-24/46-5) = 69.9 m iligram os

Use calculadora.

(B) E n c u e n tre ^ cuando / = 168 horas (una sem ana = 168 horas): A = 1 0 0 (2 -|6S 46 5)

; :

= 8.17 m iligram os

Horas A = 100(2-,yiS-s).

Use calculadora.

El oro radiactivo 198(19sA u) que se usa en las radiografías del hígado tiene una vida m edia de 2.67 dias. Si se em pieza con 50 m iligram os del isótopo, ¿cuántos m iligram os quedarán después de: (A ) \ día?

(B) una sem ana?

C alcule sus respuestas con tres dígitos significativos.

La tercera aplicación es en la ganancia de dinero por interés com puesto. Este tem a le im porta a la m ayoría de las personas y es fundam ental para la m ateria de m atem áti cas financieras. Al rédito que se paga por usar dinero de otra persona se le llam a interés. Éste por lo general se calcula com o un porcentaje llam ado tasa de interés de un capital en un periodo dado. Si al final del periodo de pago el interés obtenido se invierte nuevam ente a la m ism a tasa, entonces, tanto el interés ganado com o el capital, ganarán intereses durante el siguiente periodo de pago. El interés pagado al interés reinvertido se llama interés com puesto. Suponga que se depositan S 1 000 en una cuenta de ahorros y préstam os que paga el 8% de interés com puesto sem estralm ente. ¿Cuánto dinero tendrá ahorrado y cuánto deberá después de 2 años? Los intereses com puestos sem estralm ente son los intereses que se depositan en su cuenta después de un periodo sem estral y que volverán a ganar intereses. La tasa de interés por periodo es la anual, 8% = 0.08, dividido entre el núm ero de periodos com puestos por año. Si A r A 2, A } y A a representan las nuevas can tidades que se deben al final del prim ero, segundo, tercero y cuarto periodos, respecti vam ente, entonces • ^ / 0.08 \ A, = $1 000 + SI 000l — I = $1 0 0 0 ( 1 + 0.04)

pi1+3

A 2 = A,( 1 + 0.04) = [$1 000(1 + 0.04)3(1 + 0.04) = SI 000(1 + 0.04)2

p(1+nj

A3 = A2( l + 0.04) = [$1 000(1 + 0.04)2](1 + 0.04) = SI 000(1 + 0.04)3

pt 1 + £ f

4

290


A 4 = A 3( 1 + 0.04) = [$1 000(1 + 0.04)3](1 + 0.04) = SI 000(1 + 0.04)4

p(l +

¿C uánto cree que serían los ahorros y préstam os que deberá después de 6 años? Si se supone A = $ 1 000(1 + 0.04)12 se observa un patrón que está generalizado en la siguiente fórm ula de interés com pues to:

W 1 1 1 1 P P ÍF Interés compuesto

Si un capital P se invierte a una tasa anual r de interés com puesto, n veces al año, entonces la cantidad A en la cuenta al final del año t está dada por

*:

a

¡É l® La tasa anual r se expresa en form a decim al.

Com o el capital P representa la cantidad inicial de la cuenta y A representa la cantidad t años después, tam bién se le llam a P al valor actual de la cuenta y A al valor futuro de la cuenta.

EJEMPLO 5

Interés compuesto Si se depositan $5 000 en una cuenta que paga el 9% de interés com puesto diariam ente, ¿cuánto tendrá en su cuenta en 5 años? A proxim e su respuesta al centésim o m ás cer cano. I

Solución

Se usa la fórm ula del interés com puesto com o se muestra:

A (dólares)

A = P\ 1 + ni = 5 0001 1 + = $7 841.12

n n o \ (365><5> ' ' 365 I Usé calcu lad o ra.

La g ráfica de / 0.09 Y 65' , = 5 ° 00 f ] + _ ) Años FIGURA 6

com o se m uestra en la figura 6.

4-1


Si se invierten $1 000 en una cuenta que paga el 10% de interés com puesto m ensual m ente, ¿cuánto habrá en la cuenta después de 10 años? A proxim e su respuesta al centésimo m ás cercano.

Visualización de inversiones con un dispositivo de graficación Use un dispositivo de graficación para com parar el crecim iento de una inversión de $1 000 al 10% de interés com puesto m ensualm ente con una inversión de S2 000 al 5% de interés com puesto m ensualm ente. ¿Cuándo tendrán las dos inversiones el m ism o valor? Solución 5000

20

Se usa la fórm ula de interés com puesto para expresar el valor futuro y i de la prim era inversión por = 1 000(1 + 0 . 10/ 12) 12r, y el valor futuro y 2 de la segunda inversión p o r y = 2 000(1 + 0.05/12)12*, donde x es el tiem po en años. Se grafican am bas fun ciones y se utiliza la rutina de intersección de un dispositivo de graficación para con cluir que las inversiones tienen el m ism o valor cuando x ~ 14 años com o se m uestra en la figura 7. D espués de ese tiem po la inversión de $1 000 tendrá un valor mayor.

Intersección

Ü51SL3335B3 v5qQii.5qa FIGURA 7

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

358

U se un dispositivo de graficación para determ inar si una inversión de $5 000 al 6% de interés com puesto trim estralm ente tiene el m ism o valor que una inversión de $4 000 al 10% de interés com puesto diariam ente.

Respuestas a los p ro b lem as se leccio n ad o s

1. y = i(4 ‘*)

■

X

y

-3

32.00

-2

8.00

-1

2.00

0

0.50

1

0.13

2

0.03

3

0.01

2. 3. 4. 5.

x= ~\ (A) 1 320 (A) 43.9 mg $2 707.04

6.

5 años,

6

meses

(B) 4 100 000 = 4.10 (B) 8.12 mg

X

10'’

292

4


EJERCICIO

4-1 En los problemas del 41 al 46, use una calculadora y calcule sus respuestas con cuatro dígitos significativos,

En los problemas del 1 al 10 construya una tabla para valores enteros de x sobre el intervalo indicado y grajique la función. —-K”y = ^ ' y

2. y = 51; [—2, 2]

[-3 ,3 ]

= {¡ y = 3-,; [ - 3 , 3]

41. 5V3

42. 3_v5

44. tt‘ v5

45.

2" + 2~

46.

4. y = (±)* = 5 -'; [-2 ,2 ]

5. g(x) = - 3 “x; [ - 3 , 3]

6. /(x) = -5*; [ - 2 , 2]

7. A(x) = 5(3-); [ - 3 , 3]

8. /(x) = 4(5'); [ - 2 , 2]

9. y = 3*+5 - 5; [-6 ,0 ]

10. y = 5*-2 + 4; [-4 , 0]

En los problemas del 47 al 50, simplifique 41. (6* + 6~X)(6X - 6~x)

En los problemas del 11 al 16, simplifique.

ío^-'io4-

43. 17^

49. (6X+ 6~x)2 - (6* - 6~')2 50. (3> - 3 ^ )2 4- (3' + 3“')2

_ J2 rT 4 3j‘)2'v

1 4 Cx-4 ^

48. (3' - 3“')(3" + 3~x)

Grajique cada función de los problemas del 51 al 54 constru yendo una tabla de valores. 16, (2*3^

- Compruebe los problemas del 51 al 54 con un dispositivo de graficación.

B

51. m(x) = x(3~x)

52. h(x) = x(2*)

En los problemas del17 al 28 despeje x.

2X + 2 ~ x 53. /(x) = ---- -----

54. g(x) =

j z f 9* = 54*~2

m . lo2 3-' = lO5*"6

.--49r 7^ = 72í+3

20. 45x~x‘ = 4 - 6

21. (1 - x)5 = (2x — \ f _^23^2* = 4*+! 25^25"*' = 1251* 27. 9^ = 33* '1

p / 9 = (x + 2)3 24; 9* '1 = 3' 26. 100‘" ‘ = 1 OOO2* ~ 28. 4*' = 2X+3

3" + 3

En los problemas del 55 al 58: (A) Aproxime las raíces reales de cada función con dos cifras decimales. (B) Investigue la conducta de cada función cuando x —>x y x —» — y encuentre alguna asíntota horizontal. 55. /(x) = 3' - 5

56. /(x) = 4 + 2“'

57. /(x) = 1 + x + 10*

58. /(x) = 8 - x2 + 2~x

Encuentre todos los números reales a tales que a2 = a~2. Explique por qué esto no viola la segunda propiedadde las funciones exponenciales del cuadro de la página 358. Encuentre todos los números reales a y b tales que a =?= b, pero a4 = b4. Explique por qué esto no viola la tercera propiedad de las ñinciones exponenciales del cuadro de la página 358. Grajique cada función de los problemas del 31 al 40 constru yendo una tabla de valores. Compruebe los problemas del 31 a! 40 con un dispositivo de graficación. 31. G{t) = 3"100

32. f(t) = 2"10

34. y = 7(2-2*)

35. g(x) = 2 "w

33. y = 11(3-^) 36. /(x) = 2W

37. y = 1 000(1.08)-'

38. y = 100(1.03)*

39. y = 2~x’

40. y = 3~x‘

* Observe por favor que es necesario usar un dispositivo de graficación para realizar estos ejercicios. Es opcional comprobarlos con un dispo sitivo de graficación.


^

59. Juego. Una persona apuesta en la ruleta al rojo y al negro usando la estrategia Martingale. Es decir, coloca una apuesta de $2 al rojo, y la duplica una y otra vez hasta que gana. Entonces repite el proceso. Si el negro ocurre n veces en una fila, entonces L = 2" dólares perdidos en la n-ésima apuesta. Grafique esta función para 1 < n < 10. Aunque la función está definida sólo para números positivos, los puntos en este tipo de gráfica usualmente se unen con una curva suave como una ayuda visual. 60. Crecimiento bacteriano. Si una colonia de bacterias se duplica cada media hora, escriba una ecuación que dé el número de bacterias N de la colonia después de t horas, suponga que la colonia tiene 100 bacterias en el inicio! Grafique la ecuación para 0 < t < 5. 61. Crecimiento demográfico. Debido a su corto tiempo de vida y a su rápida reproducción, la mosca de fruta Droso phila se usa en algunos estudios genéticos. Raymond Pearl,

4-2

(A) 10 años.

(B) 30 años.

Calcule sus repuestas con dos dígitos significativos. 63. Insecticidas. El uso del DDT está prohibido en muchos países debido a que sus efectos adversos duran mucho tiempo. Suponiendo que la vida media del DDT es de 12 años, y un granjero usa 25 libras, ¿después de cuánto tiempo permanecerá aún activo (A) 5 años?

Calcule sus repuestas con dos dígitos significativos. 64. Trazas radiactivas. El isótopo radiactivo del tecnecio 99m(‘,9n'Tc) se usa en las imágenes del cerebro. Este isótopo tiene una vida m edia de seis horas. Si se usan 12 miligramos, ¿cuántos quedarán después de: (B) 24 horas?

Calcule sus repuestas con tres dígitos significativos.

sección

4“2

293

(B)

10 años?

Calcule sus respuestas al centésimo más cercano. 66. Finanzas. Suponga que se invierten $2 500 en una cuenta al 7% de interés compuesto trimestralmente. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta en: (A) ? año?

(B)

15 años?

Calcule sus respuestas al centésimo más cercano. * 67. Finanzas. Una pareja acaba de tener un bebé. ¿Cuánto tendrán que invertir ahora al 8.25% de interés compuesto diariamente, con el fin de tener dentro de 17 años $40 000 para la educación del niño? Aproxime su repuesta al dólar más próximo. * 68. Finanzas. Una persona desea reunir S15 000 en efectivo para comprarse un carro dentro de cinco años. ¿Cuánto debe tener en la cuenta si ésta paga el 9.75% de interés compuesto semanalmente? Aproxime su respuesta al dólar más cercano. *

(B) 20 años?

(A) 3 horas?

(A) j año?

(B) dos semanas?

62. Crecimiento demográfico. Si Kenia tiene una población aproximada de 30 000 000 de personas y el tiempo de duplicación es de 19 años, y si el crecimiento continúa a la misma tasa, encuentre el número de personas que habrá en:

e

65. Finanzas. Suponga que se invierten $4 000 en una cuenta al 11% de interés compuesto semanalmente. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta en:

de la Universidad Johns Hopkins, por ejemplo, estudió 300 generaciones sucesivas de descendientes de un solo par de moscas Drosophila. En un laboratorio, con comida y espacio suficientes, el tiempo de duplicación para cierta población es de 2.4 días. Si se empieza con cinco moscas machos y cinco hembras, ¿cuántas moscas se espera que habrá en: (A) una semana?

La función exponencial de base

Finanzas. ¿Una inversión de $10 000 al 8.9% de interés compuesto diariamente dará mayor rendimiento al final de un trimestre, que una inversión de $10 000 al 9% de interés compuesto trimestralmente? Explique. Una cantidad de S5 000 se invierte al 13% de interés compuesto semestralmente. Suponga que una segunda inversión de $5 000 obtiene una tasa de interés r compuesto diariamente. ¿Para qué valores de r, aproximados al decimal más cercano de un porcentaje, es mejor la segunda inversión que la primera? Analice.

La función exponencial de base e Función exponencial de base e Repaso de las aplicaciones de crecim iento y decaim iento Interés com puesto continuo Una com paración del fenóm eno del crecim iento exponencial

Hasta ahora el núm ero n ha sido probablem ente el núm ero irracional m ás im portante que se ha encontrado. En esta sección se presentará otro núm ero irracional, e , que tam bién es m uy im portante tanto para las m atem áticas com o para sus aplicaciones.

• F utj.La siguiente ex p resio n es im portante en el estudio del cálculo y, com o se verá después, tam bién está relacionada estrecham ente con la fórm ula del interés com puesto analizade base da en la sección anterior:

294

4



(A) Calcule el valor de [1 + (1 lrri)]m para m = 1 ,2 , 3 ,4 , 5. ¿Están aumentando o disminuyendo estos valores conforme aumenta m i (B) ¿Cuál es el entero positivo más pequeño m tal que [1 + (1 /rn)]m es mayor que 2.5? ¿Es mayor que 2.7? ¿Es mayor que 2.9?

TABLA 1 m

r » ) 1

2

10

2 .59374 . . 2 .7 0 4 8 1 . . 2 .7 1 6 9 2 . .

10000

2 .7 1 8 1 4 . .

100000

2 .7 1 8 2 7 ..

1000 000

2 .7 1 8 2 8 ..

\ 2

e .i

—I---------------1----- 1----------- 1----------- 1----------- 11—► -2 - 1 0 1 2 3 4 -

100 1000

C uriosam ente, calculando el valor de la expresión para valores m uy grandes de m (véase tabla 1), parece que [1 + (1 fm )]m tiende a un núm ero cercano a 2.7183. En un curso de cálculo se m uestra que cuando m aum enta sin lím ite, el valor de [1 + (Mm)]"' tiende a un núm ero irracional llam ado e. Del m ism o m odo que un núm ero irracional com o n y \ / 2 que no tienen final, ni una representación decim al repetitiva (véase sec ción 1-1), tam poco e tiene un final ni una representación decim al repetitiva. Para 12 cifras decim ales,

DEFINICIÓN 1

^ T 7 i3

281 828 459j

Quién descubrió exactam ente al núm ero e sigue siendo un tem a de discusión. Se dice que fue el gran suizo m atem ático L eonhard Euler (1707-1783), quien calculó e con 23 cifras decim ales usando [1 + (Mm)]"'. La constante e parece ser una base ideal para una función exponencial, ya que en cálculo y algunas operaciones de m atem áticas avanzadas aparecen en su form a más sim ple usando esta base. A esto se debe que, com o en seguida se verá, se usa e extensa m ente en expresiones y fórm ulas de m odelos de fenóm enos del m undo real.

Función exponencial de base e Para un núm ero real x, la ecuación /(* ) = define a la función exponencial de base e.

La función exponencial de base e se usa con tanta frecuencia que a m enudo se hace referencia a ella com o la función exponencial. Las gráficas d e y = ex y y = e~x se m uestran en la figura 1. Funciones exponenciales de base e.

y

4-2



e

295

Se usó un dispositivo de graficación para graficar las funciones f ( x ) = 31, g(jr) = 2" y h(x) = ex en la figura 2. ¿Dónde se intersectan las gráficas? ¿Cuál gráfica está entre las otras? ¿Cuál gráfica está sobre las otras cuando x > 0? ¿Cuándo x < 0? Analice el comportamiento de las tres funciones cuando x —» ce y cuando x —> —

ÜHA.

G raficación de las funciones expo nenciales

Grafique y = 4 —exl2. Solución

FIGURA

Utilice una calculadora para construir una tabla para valores enteros de x. Después trace y una los puntos con una curva suave (véase figura 3).

y = 4—e"-. X

y

-4

3.86

-3

3.78

-2

3.63

-1

3.39

0

3

1

2.35

2

1.28

3

-0 .4 8

4

-3 .3 9

Observe que como .ytiende a —=», los valores de et;'2tienden a 0 y los valores de 4—en tienden a 4. La recta v = 4 es una asíntota horizontal de 1a gráfica.

Grafique y = 2ev2 —5.

296

4


* Repaso de las aplicaciones de crecim iento y decaim iento

EJEMPLO 2

La mayoría de los problemas de crecimiento y decaimiento exponencial se modelan usando funciones exponenciales de base e. Aquí se muestran dos aplicaciones y en el ejercicio 4-2 se muestran algunas otras.

M edicina-Crecim iento bacteriano

El cólera es una enfermedad intestinal causada por la bacteria del cólera que se multi plica exponencialmente por la división de células modelada por N = N0e '3m

donde N es el número de bacterias presentes después de t horas y N0 es el número de bacterias presentes cuando t = 0. Si se empieza con una bacteria, ¿cuántas bacterias habrá en: (A) 5 horas?

(B) 12 horas?

Calcule sus respuestas con tres dígitos significativos. Soluciones

(A) Utilice N0 = 1 y t = 5: N = N0e ' ii6' — g 1.385(5) =

1 020

(B) Utilice N0 = 1 y t = 12: N = N 0e lX6'

: £1.38602)

= 16 700 000


Grafique el modelo del crecimiento exponencial para la bacteria del cólera sobre el intervalo indicado: N

EJEMPLO 3

=

¿,1.386,

0 < í < 5

C álculo de fechas con el carbono 14

El bombardeo de rayos-cósmicos de la atmósfera produce neutrones, los que al regresar reaccionan con el nitrógeno y producen carbono 14 radiactivo. El carbono 14 radiactivo penetra en los tejidos de todos los seres vivos a través del dióxido de carbono, el cual es absorbido primero por las plantas. Mientras que la planta o el animal esté vivo, el nivel de carbono 14 en el organismo se mantiene constante. Una vez que el organismo mue re, el carbono 14 disminuye de acuerdo con la ecuación. A = /40e -0 000124'

4-2


e

297

donde A es la cantidad de carbono 14 presente después de t años y A fí es la cantidad presente en el tiempo t = 0. Si 1 000 miligramos de carbono 14 están presentes en un inicio, ¿cuántos miligramos estarán presentes en: (A) 10 000 años?

(B)

50 000 años?

Calcule sus respuestas con tres dígitos significativos.

Solu cio nes

Sustituyendo A n = 1 000 en la ecuación de decaimiento, se tiene

A

A

=

1 O O O e-fift0° 124'

Véase fig u ra

4.

(A) Encuentre A cuando t = 10 000:

■V X - -

A = 1 O00e_0000124<10000) = 289 miligramos 500 ■■

(B) Encuentre A cuando t = 50 000:

A = 1 O00e_0000124<50 000) ---------1-----1-----1-----1-----1------ ►

= 2.03 miligramos

50 000

F IG U R A

4

En los ejercicios 4-5 se dará mayor información acerca del cálculo de fechas con carbo no 14, ya que aquí se dará mayor importancia a encontrar t después de haber obtenido información sobre A y A 0.


Con relación al ejemplo 3, ¿cuántos miligramos de carbono 14 deben estar presentes en un inicio para tener 10 miligramos después de 20 000 años? Calcule sus respuestas con cuatro dígitos significativos.

• In terés c o m p u e s to c o n tin u o

La constante e aparece naturalmente en el estudio del interés compuesto. Regresando a la fórmula del interés compuesto analizada en la sección 4-1, / r\" A = P\ 1 -I— I

Interés co m p u e sto

recuerde que P es el capital inicial invertido a una tasa anual r compuesta de n periodos en un año, y A es la cantidad en la cuenta después de t años. Suponga que P , r y t son constantes y n se incrementa sin límite. ¿Aumentará la cantidad/4 sin límite o tenderá a algún valor limitante? Se efectuará un experimento con calculadora antes de abordar el problema general. Si P = $ 100, r = 0.08 y t = 2 años, entonces

298

4


La cantidad A se calculó para diversos valores de n en la tabla 2. O bserve que la ganan cia m ás grande parece encontrarse entre el periodo anual y el sem estral. En consecuen cia, la ganancia dism inuye conform e aum enta n. De hecho, parece que A tiende a aproxim arse algo a $117.35 cuando n es m uy grande.

TABLA 2 Frecuencia compuesta

Anualmente

l

SI 16.6400

Semestral mente

2

116.9859

Trimestralmente

4

117.1659

52

117.3367

365

117.3490

8 760

117.3501

Semanalmente Diariamente Cada hora

t o o , 2- A O » la . i

t ‘ ^

i 0.08 \ 2" A = 100 1 + ——

n

A hora se retom ará el problem a general para ver si se puede determ inar qué pasa con A = P [l + (rln)]'" cuando n aum enta sin lím ite. Una pequeña m anipulación algebraica de la fórm ula del interés com puesto proporcionará una respuesta y un resul tado im portante en m atem áticas financieras.

Ñ"

( 2 * 4 ( ’■'

A = P\ l + -

SUy ( U

'U

x

MW i *z)

*

| \ (nJr)rt = P\ l + ~^j~r I = P

■+ 2 .

4 o

l +

l m

--

* l + — | tiende a e m

X L

Sea m = n/r.

La expresión dentro del corchete parece familiar. Recuerde de la prim era parte de esta sección que

HGGD / CO'

Cambio algebraico.

2-

conform e

m tiende a »

Puesto que r es constante, m = nir tiende a *> conform e n tiende a

Así,

(o P\ l +

tiende a Per‘

conform e

n tiende a

y se ha llegado a la fórmula del interés continuo compuesto, una fórm ula im portante m uy usada en negocios, bancos y econom ía.

4-2


e

299

Fórmula del interés continuo compuesto Si el capital P se invierte a una tasa anual r com puesta continuam ente, entonces la cantidad A en la cuenta en t años está dada por A = Pe" irma decimal,

EJEMPLO 4

Interés compuesto continuo Si se invierten S I 00 a una tasa anual del 8% de interés com puesto continuam ente, ¿qué cantidad, aproxim ada al centésim o m ás cercano, estará en la cuenta después de 2 años?

Solución

Use la fórm ula del interés com puesto continuo para e n c o n tra rá cuando P = S I00, r = 0.08 y f = 2 : A = Pen = $ 10 0 e

8 % es e q u iva le n te a r -

0 .0 8 .

= $117.35 C om pare este resultado con los valores calculados en la tabla 2.


¿Qué cantidad tendrá una cuenta después de 5 años si se invierten $ 100 a una tasa anual del 12% de interés com puesto anualm ente? ¿Trimestralmente? ¿Continuam ente? Aproxi m e sus respuestas al centésim o m ás cercano.

La fórm ula del interés com puesto continuo se puede utilizar para m odelar el crecim ien to dem ográfico a corto plazo. Si se supone que la población P crece continuam ente a una tasa anual r, entonces la población A después de t años está dada por A = Pe".

• Una comparación del fenómeno del crecimiento exponencial

Las ecuaciones y gráficas dadas en la tabla 3 com paran algunos m odelos de crecim ien to m uy usados. Éstos se dividen básicam ente en dos grupos: el crecim iento sin límite y el crecim iento lim itado. D espués de cada ecuación y gráfica se indica una breve e incom pleta lista de áreas en las que se usan los m odelos. Sólo se señaló aquellos ca sos que se han desarrollado extensam ente y en los que se quisiera profundizar en el futuro.

300

4


TABLA 3 Descripción Crecimiento sin límite

Crecimiento Ecuación

y decaimiento exponencial Gráfica

Usos

y = cek' c, k > 0

Crecimiento de la población a corto plazo (personas, bacterias, etcétera); crecimiento de dinero a un interés compuesto continuo.

>t Decaimiento exponencial

y - ce h c, k > 0

Decaimiento radiactivo; absorción de luz en agua, vidrio, etcétera; presión atmosférica.

Crecimiento limitado

y = c(l - e~h ) c, k > 0

Habilidades de aprendizaje, últimas ventas: crecimiento de la compañía; circuitos eléctricos.

Crecimiento logistico

M ^ 1 + ce~h c, k >M > 0

Crecimiento de la población a largo plazo; epidemias; ventas de nuevos productos; crecimiento de una compañía.

Respuestas a los problemas seleccionados I

y

-4

-4 .7 3

-.3

—4.55

-2

-4 .2 6

-1

-3 .7 9

0

-3

1

-1 .7

2

0.44

3

3.96

4-2

2.


e

301

3. 119.4m g 4. Anualmente S I76.23: trimestralmente S I80.61; continua mente: SI 82.21

500

EJERCICIO

4-2 ex + é~

A _________

19. M(x) = e*2 + e - ^

En los problemas del 1 al 6, construya una tabla para valores enteros de x sobre el intervalo indicado y grafique la función.

21.

Compruebe los problemas del 1 al 6 con un dispositivo de graficación.

En los problemas del 23 al 28, simplifique.

N --

20. C(x) =

200 1 + 3e~‘

22 . N =

' "

- I x r ’e ** — 3 x te ~ 2*

1.

y

= _«»; [-3 ,3 ]

2. y

[-3 ,3 ]

3. y = lOe02*; [-5 ,5 ]

4. y =

lOOe01*; [-5 , 5]

5. f(t) = 100e-01'; [ - 5 , 5]

6. g(f) = lOe-0*; [-5 , 5]

En los problemas del 7 al 12, simplifique. 7. c?xc 3* 10.

I

26. 21,

12.

(A) Explique cuál es el error del razonamiento siguiente acerca de la expresión [1 + (1 lm)]m: Cuando m es muy grande, 1 + (1Im) tiende a 1. ya que 1/m tiende a 0 y 1 elevado a cualquier potencia es 1, así [1 + ( 1/ m)]mtiende a 1. (B) ¿Qué número es [1 + (1 im)]"' cuando m —> » ? (A) Explique cuál es el error en el siguiente razonamiento sobre la expresión [1 + (1 fm)]m: Si b > 1. entonces la función exponencial bx -» * confomie x —¥ <» y 1 + ( 1.7«) es más grande que 1, de manera que [1 + ( 1/ »0]"' tiende a infinito conforme m —> (B) ¿A qué número tiende [1 + (1/m)]"’ cuando m —> ■»?

B

5x*eSx - 4 x >e, -t

24. -

a8

25. (e* + e~v)2 + (ex — e~x)7

9. (e*y ll.

„

23. ------------ 7----------**

100 1 +
28.

e x(e ~ x + 1) — e~*(e* + 1) e~ x(e x — e ~ x) + e ~ x( e x + e ~ x)

ex(ex + e x) - (ex —e x)ex

En los problemas del 29 al 32, resuelva cada ecuación [Re cuerde: e x 0.J 29. 2xe x = 0 31. * V -

30. (x - 3)e* = 0 32. 3xe~x + x2e~* = 0

= 0

Una de las funciones más importantes en estadística es la f u n c ió n d e d e n s i d a d n o r m a l d e p r o b a b il id a d

f(x ) =

1 „-u-M aV27r

En los problemas del 15 al 22, grafique cada función constru yendo una tabla de valores.

donde ¡i es el p r o m e d i o y o es la d e s v ia c ió n e s t á n d a r . La grá fica de esta función es la curva en “forma de campana ” a la que se refieren los instructores cuando dicen estar ajustando a una curva.

Compruebe los problemas del 15 al 22 con un dispositivo de graficación. 15. y = 2 + ex~2 16. y = —3 + e,J~x

Grafique las funciones relacionadas que se dan en los proble mas 33 y 34. i

302

4


J 35. Dada f(s ) = (1 + s ) '\ s * 0: (A) Termine las tablas siguientes con cuatro cifras decima les. (B) ¿A qué tiende (1 + s)'" conforme s tiende a 0?

f(s)

8

8

f(s)

-0 .5

4.0000

0.5

2.2500

- 0.2

3.0518

0.2

2.4883

- 0.1

0.1

- 0.01

0.01

- 0.001

0.001

- 0.0001

0.0001

36. Remítase al problema 35. Grafique f(s) = (1 + s)l!s para s en [-0 .5 , 0) U (0, 0.5], ^

Los problemas del 37 al 40 requieren del uso de un dispositivo de graftcación.

J Es una práctica común en muchas aplicaciones de matemáti cas para aproximar apropiadamente a las funciones no polinomiales con los polinomios seleccionados. Por ejemplo, los polinomios en los problemas del 37 al 40. llamados polinomios de Taylor, se pueden usar para aproximar a la función expo nencialf(x) = e \ Para ilustrar enforma gráfica esta aproxima ción, grafiquef(x) = e' en cada problema y alpolinomio indicado en la misma ventana de visión, -4 ,(*)= 1 +

+ gx3

V + ¿x3 + ¿ x 4

40. P4(x)= 1 + x

2 + gx3 + ¿ x 4 + yjgx5

Investigue el comportamiento de las funciones/j(x) = x/e\ f ( x ) = x2/ex y f ( x ) = x s/ex conforme x - > » y x - > —ao, y encuentre alguna asíntota horizontal. Generalice a funciones de la forma,f j x ) = x"/e' donde n es cualquier entero positivo. Investigue el comportamiento de las funcionesg,(x) = xex, g,(x) = x V y g3(x) = x-V cuando x —» y x —> - oc( y en cuentre alguna asíntota horizontal. Generalice a funciones de la formagn(x) = x"e\ donde n es cualquier entero positivo.


&

43. Crecimiento demográfico. ¿Si la población mundial en la actualidad es de aproximadamente 6 mil millones de personas, y si la población crece en forma continua a una tasa anual del 1,7%, ¿cuál será la población en 10 años? Calcule la respuesta con dos dígitos significativos. 44. C recim iento dem ográfico. ¿Si la población actual de México es de alrededor de 100 millones de personas, y si la población crece continuamente a una tasa anual del 2.3%,

¿cuál será su población en 8 años? Calcule la respuesta con dos dígitos significativos. 45. Crecimiento demográfico. En 1996 la población de Rusia era de 148 millones de personas, y la de Nigeria de 104 millones. Si las poblaciones de Rusia y Nigeria crecen continuam ente a tasas anuales de -0 .6 2 % y 3.0%, respectivamente, ¿cuándo tendrá Nigeria una población mayor que la de Rusia? 46. Crecimiento demográfico. En 1996 la población de Ale mania era de 84 millones de personas y la de Egipto de 64 millones. Si las poblaciones de Alemania y Egipto crecen en forma continua a tasas anuales de —0.15% y 1.9%, respectivamente, ¿cuándo tendrá Egipto una población mayor a la de Alemania? 47. Ciencia espacial. Los isótopos radiactivos, así como las celdas solares, se utilizan para suministrar energía a ve hículos espaciales. Los isótopos pierden potencia gradual mente debido al decaimiento radiactivo. En cierto vehículo espacial la fuente de energía nuclear tenía una potencia de salida de P watts después de t días de uso, dada por p

=

75g-0-003J;

Grafique esta función para 0 < t< 100. 48. Ciencias de la Tierra. La presión atmosférica P, en libras por pulgada cuadrada, disminuye exponencialmente con respecto a la altitud h, en millas sobre el nivel del mar, dada por P = 14.7e-°-21* Grafique esta función para 0 < h < 10. 49. Biología marina. La vida marina depende de las plantas microscópicas que existen en la zona fótica, una zona que está a una profundidad en donde es visible aproximada mente el 1% de la luz de la superficie. La intensidad de la luz / respecto de la profundidad d, en pies, para uno de los mares más claros en el mundo, el Mar Sargasso en Las Antillas, se puede aproximar por I = /o*-00094“ donde f0 es la intensidad de luz en la superficie. ¿Qué porcentaje de la luz apreciable en la superficie se distingue a la profundidad de: (A) 50 pies?

(B)

100 pies?

50. Biología marina. Remítase al problema 49. En ciertas aguas con gran cantidad de sedimento, la zona fótica puede estar a sólo 15 a 20 pies de profundidad. En ciertas bahías oscuras, la intensidad de la luz d pies bajo la superficie está dada aproximadamente por I = ¡„e-02*1 ¿Qué porcentaje de la luz de la superficie es visible a una profundidad de: (A) 10 pies?

(B) 20 pies?

51. Crecimiento del dinero. Si se invierten $5 250 en una cuenta que paga el 11.38% de interés compuesto conti

4-2

nuamente, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de: (A) 6.25 años?

(B) 17 años?

52. Crecimiento dei dinero. Si se invierten $7 500 en una cuenta que paga el 8.35% de interés compuesto con tinuamente, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de: (A) 5.5 años?

(B) 12 años?

53. Crecimiento del dinero. Barron’s, un negocio nacional y de finanzas semanales, publicó lo siguiente “los depósitos ahorrados rinden” para certificados de cuentas de depósito a 2 ' años: Ahorros Gill Ahorros y préstamos Richardson Ahorros de Estados Unidos

8.30% (CC) 8.40% (CQ) 8.25% (CD)

donde CC representa el interés compuesto en forma continua, CQ el interés compuesto trimestral y CD el interés compuesto diariam ente. Calcule el valor de $1 000 invertidos en cada cuenta después de 2 j años. 54. Crecimiento del dinero. Remítase al problema 53. Otra emisión de Barron, de certificados de depósitos a un año incluyen: Ahorros Álamo Ahorros Lamar

8.25% (CQ) 8.05% (CC)

Calcule el valor de $10 000 invertidos en cada cuenta después de un año. 55. Valor actualizado. Un prometedor pagaré pagará S30 000 al vencimiento después de 10 años a partir de ahora. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por el pagaré ahora si éste gana valor a una tasa del 9% de interés compuesto continuamente'? 56. Valor actualizado. Un prometedor pagaré pagará $50 000 al vencimiento después de 5 j años a partir de ahora. ¿Cuán to estaría dispuesto a pagar por el pagaré ahora si éste gana valor a una tasa del 10% de interés compuesto continua mente? 57. La epidemia de SIDA. En junio de 1996 la Organización Mundial de la Salud estimó que en todo el mundo se han presentado 7.7 millones de casos de SIDA (Síndrome de Jnmunodeficiencia Adquirida) desde el comienzo de la epidemia. Suponiendo que la enfermedad se expande en forma continua a una tasa anual del 17%, calcule el número total de casos de SIDA que se presentarán en junio del año: (A) 2000

(B) 2004

58. La epidemia de SIDA. En junio de 1996 la Organización Mundial déla Salud estimó que 28 millones de personas en el mundo habían sido infectadas por el VIH (virus de inmunodeficiencia humana) desde que comenzó la epidemia del SIDA. Suponiendo que la infección del VIH se expande con tinuamente a una tasa anual del 19%, calcule el número total de personas que se habrán infectado con el VIH en junio del año: (A) 2000

(B) 2004

59. Curva de aprendizaje. Con el fin de entrenar trabajadores para armar tableros de circuitos se envió un grupo a una


e

303

compañía de capacitación de personal. En una experiencia pasada se encontró que la curva de aprendizaje para el empleado medio está dada por N = 40(1 - e - ° 12') donde N es el número de tableros armados por dia después de t días de entrenamiento. Grafique esta función para 0 < t < 30. ¿Cuál es, en promedio, el máximo número de tableros que se espera produzca un empleado en un día? 60. Publicidad. Una compañía está intentando dar a conocer un nuevo producto a tantas personas como sea posible mediante comerciales de televisión en una gran área metropolitana con 2 millones de posibles espectadores. Un modelo del número de personas A', en millones, que conocen el producto después de t días de publicidad se encuentra con N = 2(1 - €-0037') Grafique esta función para 0 < t < 50. ¿Qué valor tiene N cuando t aumenta sin límite? 61. Ley de enfriam iento de Newton. Esta ley establece que la razón a la cual un objeto se enfria es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y su medio circundante. La temperatura T del objeto después de / horas está dada por T = T m + (T0 - TJe~h donde Tm es la temperatura del medio circundante y T() es la temperatura del objeto en t = 0. Imagine una botella de vino que está a la temperatura ambiente de 72°F y se coloca en el refrigerador para enfriarla antes de una fiesta. Si la temperatura en el refrigerador se mantiene a 40°F y k = 0.4, encuentre la temperatura del vino, al grado más cercano, después de 3 horas. (En el ejercicio 4-5 se encuentra cómo determinar k.) 62. Ley de enfriamiento de Newton. Remitase al problema 61. ¿Cuál es la temperatura del vino, al grado más cercano, después de haber estado 5 horas en el refrigerador? 63. Fotografía. Una unidad de flash electrónico para una cámara fotográfica se activa cuando se descarga un capacitor mediante un filamento de alambre. Después de que se utiliza el flash y se descarga el capacitor, el circuito (véase la figura) está conectado y las baterías generan una corriente para recargar el capacitor. Al tiempo que tarda el capacitor en recargarse se le conoce como tiempo de reciclamiento. Para una unidad de flash que utiliza una batería de 12 volts, la carga q, en coulombs, en el capacitor, t segundos después de que se ha iniciado el recargado está dada por q = 0.0009(1 - e -0*) Grafique esta función para 0 < t < 10. Calcule la carga máxima en el capacitor. -----W v ---------1( I

304

4


64. Medicina. Un marcapasos electrónico utiliza el mismo tipo de circuito que el flash del problema 63, pero está diseñado para que el capacitor se descargue 72 veces en un minuto. Para cierto marcapasos, la carga en el capacitor, t segundos después de que empieza a recargarse está dada por

sale de la ensambladora. La curva de aprendizaje para un aprendiz promedio está dada por

N=

200 4 + 21
q = 0.000 008(1 - e~2‘)

f

Grafique esta función para 0 < t < . Calcule la carga máxima en el capacitor. 65. Administración de la fauna. Una manada de 20 venados cola blanca se introdujo a una isla en donde nunca había habido venados. Se estima que la población crecerá de acuerdo con la curva logística 100

N =1 + 4
donde N es el número de computadoras evaluadas por día después de t días en el trabajo. Grafique la ecuación para 0 < í < 50. ¿Cuál es el máximo número de computadoras que se espera puede evaluar un probador por día, en promedio, después del entrenamiento? 67. Catenaria. Una línea de fuerza cuelga 1ibre entre dos torres de apoyo parece ser una parábola, pero en realidad es una / curva llamada catenaria. Una catenaria tiene una ecuación de la forma emx + e -mx

donde N es el número de venados que se espera habrá en la manada después de t años. Grafique la ecuación para 0 < t < 30. Calcule el tamaño de la manada que puede caber en la isla.

66. Capacitación laboral. Una compañía que fabrica compu tadoras contrató a un aprendiz para enseñarle a evaluar cierto modelo de computadora personal después de que

SECCION

4-3

2m donde m es una constante. Grafique la ecuación para m = 0.25. 68. C atenaria. Grafique la ecuación del problema 67 para m = 0.4.

Funciones logarítmicas D efinición de una función logarítm ica De la form a logarítm ica a la form a exponencial, y viceversa Propiedades de las funciones logarítm icas

• Definición de una función logarítmica

A hora se definirá a un nuevo tipo de funciones, las llam adas funciones logarítm icas, como inversas de las funciones exponenciales. Debido a que las funciones exponenciales son uno a uno, existen sus inversas. A hora se verá por qué se puso especial interés en el concepto general de las funciones inversas de la sección 2-6. Si ya se conoce bastante respecto de una función, entonces, con base en el conocim iento de inversas, en general, de m anera autom ática se sabrá lo suficiente sobre la inversa. Por ejem plo, la gráfica de f ~ ' es la g ráfica d e / reflejada con respecto a la recta y = x, y el dom inio y el rango d e / -1 son, respectivam ente, el rango y dom inio de f . Si se em pieza con la función exponencial, /:

y = 2*

y se intercam bian las variables x y y , se obtiene la inversa de f r

x = 2y

Las gráficas de f f ~ l y la línea y = x se m uestran en la figura 1. E sta nueva función se llam a función logarítm ica de base 2. Com o no se puede resolver la ecuación x = 2V para y usando las propiedades algebraicas analizadas hasta ahora, se usa un nuevo sím bolo para representar a esta función inversa. y = log2 x

Q ue se lee c o m o "log d e la base 2 d e x"

4-3

Funciones logarítmicas

305

Así.

y = log x

es equivalente a

x = 2-’

esto es, log, x es el exponente al cual se debe elevar 2 para o b tener*. Sim bólicam ente, x = 2-v = 2|0&*. FIGURA de base 2 .

Función logarítmica / X -3 - 2

r l y — 2X

x= V

i

i

8

8

I 4 i

1

y -3

4

- 2

■2

1 2

- 1

0

1

1

0

1

2

2

1

2

4

4

2

3

8

8

3

- 1

DOMINIO de f = (-*>, oc) = RANGO de r RANGO de f = (0, *) = DOMINIO de t '

Pares ordenados invertidos

En general, se define a la fu nción lo g a rítm ica de b ase b com o la inversa de la función exponencial de base b ( b > 0, b # 1).

DEFINICIÓN 1

Definición de una función logarítmica Para b > Q y b * 1, Forma logarítmica y = logé x

Forma exponencial es equivalente a

x = b'

El logaritm o de base b d e * es el exponente al cual se debe elevar b para obtener*. y = logia x

es equivalente a

* = 10>

y = logf x

es equivalente a

x=&

Recuerde: U n logaritm o es un exponente.

Es m uy im portante recordar que y = log¿ * y * = bv definen la m ism a función y, po r lo tanto, se pueden usar alternativam ente.

306

4


Puesto que ei dom inio de una función exponencial incluye todos los núm eros reales y su rango es el conjunto de todos los núm eros reales positivos, el d om in io de una fun ción logarítm ica es el conjunto de todos los núm eros reales positivos y su ra n g o el con ju n to de todos los núm eros reales. Así, lo g !0 3 está definido, pero log|() 0 y log10 ( - 5 ) no lo están. Esto es, 3 es un valor del dom inio logarítm ico, pero 0 y - 5 no lo son. En la figura 2 se m uestran las típicas curvas logarítm icas. Gráficas logarítmicas típicas.

Y= '¿db* O- b ' 1

lo a ,,

l ->x

DOMINIO = (O, x ) RANGO = ( - « , » )

DOMINIO = (O, ®) RANGO = ( - « , ec) (b )

(a)


-

Para la función exponencial / = {(x, y) ( y = (§)*}, grafiqu e f f ~ ' y y = x en el m ism o sistem a coordenado. A nalice los dom inios y rangos d e / y su inversa. ¿Por qué otro nom bre se conoce a / -1?

' - ■

• De la fo rm a lo g a r ít m ic a a Ea fo rm a e x p o n e n c ia l, y v ic e v e rs a

EJEMPLO 1

Aquí se verá cóm o convertir form as logarítm icas a form as exponenciales equivalentes y viceversa.

Conversiones logarítmicas a exponenciales Cam bie cada form a logarítm ica a una form a exponencial equivalente: (A ) log, 8 = 3

So lu cio nes


(B) log25 5 = i

(C) log2 ( i ) = - 2

(A ) log, 8 = 3

es equivalente a

8 = 23

(B) log,. 5 = j

es equivalente a

5 = 2 5 1/2

(C) log, ( l ) = - 2

es equivalente a

¡ — 2~2

Cam bie cada form a logarítm ica a una form a exponencial equivalente: (A) log3 27 = 3

(B) log36 6 = |

(C) log3 (¿) = - 2

Conversiones logarítmicas exponenciales Cam bie cada form a exponencial a una form a logarítm ica equivalente: (A) 49 = 72

(B) 3 = V 9

(C) ± = 5“ 1

4-3

Soluciones

-



(A)

49 = 72

es equivalente a

log7 49 = 2

(B)

3 = V9

es equivalente a

log9 3 = \

(C)

| = 5 _1

es equivalente a

log5 ( |) = —1

Cam bie cada form a exponencial a una form a logarítm ica equivalente: (A) 64 = 43

(B) 2 = ^ 8

(C) ^ = 4 “2

Para com prender un poco m ejor las funciones logarítm icas y su relación con las funciones exponenciales, se consideran algunos problem as en los que se quiere encon trar x, b o y en y = logAx, dando los otros dos valores. Todos los valores se eligieron de tal m anera que se puedan resolver sin el uso de tablas o calculadora.

EJEMPLO 3

S o lu c io n e s d e ia e c u a c ió n y = lo g b x E n cu en trex , b o y según se indique: (A ) Encuentre y: y = log4 8 (B) Encuentre x: log3x = - 2 (C ) Encuentre b\ logA 1 000 = 3

So lu cio nes

(A) Escriba y = log4 8 en una form a exponencial equivalente: 8

= 4V

23 = 22v

Escriba cad a n ú m e ro co n la m ism a base

2y = 3

Recuerde q u e

b"’ = b" si

y sólo si

2

m = n.

Así, | = log4 8. (B) E scriba log3x = - 2 en form a exponencial equivalente: x = 3 “2

=J- - I “ 32 “ 9 A sí, logj ( | ) = - 2 . (C) E scriba log;¡ 1 000 = 3 en form a exponencial equivalente: 1 000 = ¿ 3 10 3 = ¿ 3

Escriba

b = 10 Así, log10 1 000 = 3.

1 000 co m o un n ú m e ro elevad o a la tercera p o te n cia.

308

4


. Encuentre x , b o y com o se indica: (A)

Encuentre y: y = log9 27

(C)

Encuentre b: log^ 100 = 2

(B) Encuentre x: log, x = - 3

Las propiedades conocidas de las funciones exponenciales imtilican propiedades co rrespondientes de las funciones logarítm icas.

lo g a r ítm ic a s


A nalice la conexión entre la ecuación exponencial y la ecuación logarítm ica, y ex plique p o r qué cada ecuación es válida. (A)

24 2 7 = 2 " ; log2 24 + log, 27 = log2 2 n

(B)

2 13/2 5 = 28; log, 2 13 - log2 25 = log2 28

(C)

(26)9 = 254; 9 log2 26 = log2 2 54

Varias de las útiles y convincentes propiedades de las funciones logarítm icas es tán enum eradas en el teorem a 1.

Teorema 1

Propiedades de las funciones logarítmicas Si b, M y N son núm eros reales positivos, b # l . y p y x son núm eros reales, entonces: 1.

log, 1 = 0

5.

log;j M N = logfi M + logí; N

2.

log;, b = 1

6.

log* ~

3.

logAb x = x

7.

log;j Mp = p log^ M

4.

b'OBiX = x , x > 0

8.

logAM = logfc N

= log*M ~ log* N

si y sólo si

M = N

Las prim eras dos propiedades del teorem a 1 se deducen directam ente de la defini ción de función logarítmica: logA 1 = 0

puesto que

b° = 1

log, b = 1

puesto que

bl — b

La tercera y cuarta propiedades parecen m ucho m ás com plicadas de lo que son en realidad. Se deducen directam ente del hecho de que las funciones exponenciales y

4-3


309

logarítm icas son inversas unas de las otras. Recuerde de la sección 3-8, que si/ es uno a uno, entonces/ ' 1 es una función uno a uno que satisface / - > [/■ (* )]= *

y

A f~ \x )] = x

A plicando estas propiedades generales a /.v ) = b y y / -l (x) = log¿ x, se ve que / “ [/(*)] = ^

/ [ / " '( * ) ] = x

log* [/(*)] = x

= a:

logfc b* = x

b'°*'x = x

Las propiedades 5 a 7 perm iten convertir la m ultiplicación en sum a, la división en resta y los problem as de potencias y raíces en m ultiplicaciones. Las pruebas de estas propiedades se basan en las propiedades de los exponentes. U n esquem a de prueba de la quinta propiedad consiste en lo siguiente: Introduciendo exponentes en la prueba, se tiene u = \ogh M

y

v = logAN

y éstas se convierten en las form as exponenciales equivalentes M = b" A hora, vea si se puede log* M N =

y

N = bv

proporcionar las razones para cada uno de logfc b“bv = log;, bu+v = u + v

los pasos siguientes:

= logfc M

+logf,N

Las otras propiedades se establecen de m anera sem ejante (véase los problem as 111 y 112 en los ejercicios 4-3). Finalm ente, la octava propiedad se deduce del hecho de que las funciones logarítm i cas son uno a uno." A hora se ilustrará el uso de estas propiedades en varios ejem plos.

EJEMPLO 4

Uso de las propiedades de los logaritmos Sim plifique usando las propiedades del teorem a 1:

/A ) log, 1 (D) log,o 0.01 Soluciones

P r o b le m a s e le c c io n a d o

4

(B) logl0 10 (E) IO1"8'"7

(C) log, e2x+1 (F) e10*'*1

(A) loge 1 = 0 (B) log,o 10 = 1 (C) log, ^ +1 = 2x + 1(D) log10 0.01 = log.o IO" 2 = - 2 (E) 10log'»7 = 7 v (F) = x2

Sim plifique usando las propiedades del teorem a 1: (A) logio 10- 5 -(D) loge
(B) l0g5 25 (C) logI0 1 (E) 10'"g'"4 (F)
v

4


Uso de las propiedades de los logaritmos E scriba en térm inos de form as logarítm icas m ás simples:

Soluciones

(A) log¡, 3x

(B) log„ j

(C) log¿, x1

(D) logt, — pq

(E) log¿, (mn)w

g (F) logfc 4 ? y

(A) log* 3x = logj, 3 + logj, •*

log6 MN = log., M + log* N

(B) log„ j = log* x - logt, 5

M log* j¡ = log0 M - loge N

(C) log¿, x 1 = 7 log¡, x

logt, Mp = p log6 M M log* — = log« M - log0 N

(D) logt, — = log¿> mn - log¿ pq pq = log* m + logt, « “ (logt, P + logi q)

logt, MN = logt, M + logt, N

= log* m + log* n - log* P ~ logt,
f log* mn

logb Mp = p logt, M logt, MN = log* M 4-- log6 N

= §(log¡, m + logt, n)

M logt, j j = log¡, M - log6 N

(F) log,, ^77? = log/, x8 - log* y Ui

logö MP = p log,, M

= 8 log* x - 5 logt, y

»ieccionac

E scriba en térm inos de form as logarítm icas m ás sim ples, com o en el ejem plo 5. r (A) log;,— uv

( m \ 3,s (B) logt, — \n )

u 113 (C) log» — v5

Uso de las propiedades de los logaritmos Si logt. 3 = 1.10 y loge 7 = 1.95, encuentre: (A) lo g ,( |) Soluciones

(B) log, V 2 l

(A) log, ( |) = log, 7 - log, 3 = 1.95 -

1.10 = 0.85

(B) log, V 2 Í = log£ (21),/3 = ¿ loge (3 • 7) = 5(log, 3 + log, 7) = |(1 .1 0 + 1.95) = 1.02

4-3



311

Si loge 5 = 1.609 y logc 8 = 2.079, encuentre: 5 «o (A) loge —

(B) log,. V f

El ejem plo y el problem a siguientes, aunque artificiales de alguna m anera, pro porcionan una práctica extra en el uso de las propiedades del teorem a 1.

EJEMPLO 7

Uso de las propiedades de los logaritmos Encuentre * tal qu elo g^x = \ logft27 + 2 log,, 2 - log,, 3 sin usar una calculadora o una tabla.

Solución

Prim ero se usan las propiedades del teorem a 1 para expresar el lado derecho com o el logaritm o de un solo número. log¿, x = | log,, 27 + 2 log„ 2 - log* 3 = log¿, 21m + log* 22 - logi, 3 = logi, 9 + log/, 4 - log* 3

27m = 9; 21 - 4

9 ■4 = logfc—-— = log¿, 12Propiedades 5 y ó dei teorema 1 Asi, log. x = logé 12 A hora se usa la propiedad 8 del teorem a 1 para encontrar x: x = 12


PRECAUCIÓN

E ncuentre*, tal que log. x = f log;j 8 + l log/; 9 - iog(i 6 sin usar una calculadora o una tabla.

Se concluye esta sección observando dos errores com unes:

1•

log* M Ilog° bh T, * N

lo8i M

~

N

l°9bM - l°9i. N = !°S..b

'N

log M ■no se puede simplificar, r r - IÇ 7

2.

log^ (M + N) r logAM + logAN /

10911N

log^ M - log^ N = log,, MN: log. (M -f N) no se puede simplificar.

4


Respuestas a los problem as seleccionad os 1. (A) 27 = 33

(B)

2. (A) Iog4 64 = 3

6

= 'i(s'a

3. (A) >• = | 4. (A) - 5

(C) log 4 (^) = - 2

(B) x = (B) 2

(C) 0

5. (A) log, r - log, u - log¿ v 6.

(C) h = 3-

(B) log 8 2 = |

(C) b = 10

5

(D) m + n

(E) 4

(F) x4 + 1

(B) ;(log, m - log, n)

(A) 14.01 (con cuatro dígitos significativos)

(C) f log, u - 5 log, v

(B) 0.1175 (con cuatro dígitos significativos).

7. x = 2

E JE R C IC IO

4-3 Escriba los problemas del 45 al 58 en términos de formas logarítmicas más simples (véase el ejemplo 5).

Reescriba los problemas del I al 8 en forma exponencial equi valente. 1. log3 8 1 = 4

2. log5 125 = 3

3. log10 0.001 = - 3

4. log10 1 000 = 3

5. log8, 3 = j

6. íog4 2 = j

7. logi,2 16 = - 4

8. logi/3 27 = - 3

Reescriba los problemas del 9 al 16 en forma logarítmica equi valente. 9. 0.0001 = 10"

10. 10 000 = 10J

11. 8 = 43' 2 13. i _ 32-

12. 9 = 272/3

15. 7 = V49

16. 4 = V<54

14. ¡ = 2~3

En los problemas del 17 al 30, simplifique cada expresión usan do el teorema 1.

45. log, « V

46. log, umvin

47- loSo = -Í7T

48. log, = —

49. log, = —

50. log, = w

51. log, =

52. log, =

53. log, V j? -

54. log, V «2 + 1

55. l o g , ^ j

56. log,

57. log,1

58. log, V ( - g

u3

VW

En los problemas del 59 al 68, escriba cada expresión en tér minos de un solo logaritmo con un coeficiente de 1. Ejemplo: log„ u2- logh v = logb (u2/v).

17. log« 1

18. log251

19. logo.5 0.5

59. 2 log, x - log, y

20. lo g ,7

21. log,e4

22. log10 105

61. log, vv - log, x - log, v

23. log,00.01

24. log,o 100

25. logs V5

26. log2 V I

27. elos-v*

28. e108'1'-1'

29. e2[os' x

30. IO"310*'"“

B Encuentre x, y o b , como se indica en los problemas del 31 al 44. 31. log2 x = 2 32. log3x = 3 33. Iog,j 16 = y

34. log¡¡64 =>•

35. log, 16 = 2

36. log, 10-3 = -

37. log, 1 = 0

38. log, b = 1

39. log4x = 3

40. log8 x = 3

41. log,/3 9 = y

42. log49( i ) = >-

43. log, 1 000 =

44. log, 4 = f

V~p

60. log, m - \ log, n

62. log, w + log, x - log, y 63. 3 log, x + 2 log, y - 3 log, z 64. 5 log* w —3 log, x - 5 log, >' 65. 5(j log, u - 2 log, v)

66. 7(4 log, m+ } log, n)

67. j(2 log, x + 3 log, y)

68. j(4 log,x - 2 log, y)

í En los problemas del 69 al 76 escriba cada expresión en térmi nos de logaritmos de polinomios de primer grado. Ejemplo: <2x + lY*

logi -{3x i 5)4 = 3 log, (2x + 1) - 4 log* (3x - 5) 69. log, [(x + 3)3(2x - 7)2] 71. log*

(x + 10)7 (1 + 10x)2

70. log, [(5x - 4)3(3x + 2)4] 72. logj

(x - 3)5 (5 + x)3

4-4

JC 73‘ lo & v T + 7

log*

75. log* (x4 + x3 - 20x2)

\ / r —1 p

Logaritmos comunes y naturales

313

97. y = log2 (x - 2) 98. y = log, (x + 3)

76. logb (x5 + 5X4 - 14x3)

£« los problemas del 77 o/ 86, despeje x sin usar una calcula dora o una tabla. 77. log2 (x + 5) = 2 log2 3 78. logia (5 - x) = 3 log,„ 2 79. 2 log; x = log5 (x2 - 6x + 2)

99. y - log2x —2 100. y = log2x + 3 (A) P a ra /= {(x,y) \ y = (j)* = 2"*}, grafique./;/-' y y = x en el mismo sistema coordenado. (B) Indique el dominio y el rango d e / y / " 1. (C) ¿Qué otro nombre se puede usar para la inversa de/? (A) P a r a /= {(x,y) \ y = ( j) ' = 3"'}, grafique/ / ” 1y v = x en el mismo sistema coordenado. (B) Indique el dominio y el rango d e /y f ~ \ (C) ¿Qué otro nombre se puede usar para la inversa de/?

80. logl0 (x2 - 2x - 2) = 2 log,o (x - 2) 81. logf (x + 8) - loge x = 3 logf 2 82. log7 4x - log, (x + 1) = 5 log, 4

Encuentre la inversa de cada función en los problemas del 103 al 106.

83. 2 log3 x = log3 2 + log, (4 - x) 84. logj x + log4 (x + 2) = j log4 9

103. f{x) = 53*-' + 4

85. 3 log* 2 + 1 log* 25 - log* 20 = log* x

104. g(x) = 321- 3 - 2

86. f log* 4 - f log* 8 + 2 log* 2 = log» x

105. g{x) = 3 logi (5x - 2)

Si logh 2 = 0.69, logh 3 = 1.10 y logb 5 = 1.61, encuentre el valor de cada expresión en los problemas del 87 a! 96. 87. log* 30

88. log* 12

89.

Iog*f

90. Iog*§

91. log* 27

92.

log* 16

93. l o g * ^

94. log* V I

95.

log, V 0 9

96. log*V T3

106. f(x) = 2 + log, (5x - 3) Explique por qué la gráfica de la reflexión de la función y = 3* con respecto a la recta y = x no es la gráfica de una función. Explique por qué la gráfica de la reflexión de la función y = 2Wcon respecto a la recta y = x no es la gráfica de una función. 109. Escriba logex — loge100 = —0.08/ en una forma expo nencial que no contenga logaritmos.

rJ v

c ________________________________________

110. Escriba logcx —logf C + kt = 0 en una forma exponencial que no contenga logaritmos.

Grafique los problemas del 97 al 100.

Pruebe que log* (M/N) = log* M - log. A'con base en las hipótesis del teorema 1.

Compruebe los problemas del 97 al 100 con un dispositivo de graficación, graficando la inversa de cada función.

Pruebe que \oghA íp = p log. M con base en las hipótesis del teorema 1.

sección

Logaritmos comunes y naturales Logaritm os com unes y naturales (definición y evaluación) A plicaciones

A John N apier (1550-1617) se le acredita la invención de los logaritm os, cuyo origen se debe a su interés por reducir el esfuerzo en los cálculos en la investigación astronóm ica. Esta nueva herram ienta de cálculo fue aceptada de inm ediato por el m undo científico. A hora, con la disponibilidad de calculadoras económ icas, los logaritm os han perdido gran parte de su im portancia com o dispositivos de cálculo. Sin em bargo, el concepto de logaritm os se ha generalizado debido a que su concepción y las funciones logarítm icas se han usado am pliam ente en ciencias teóricas y aplicadas.

314

4


De todas las bases logarítm icas posibles, la base e y la base 10 se usan casi en form a exclusiva. A ntes de poder usar logaritm os en ciertos problem as prácticos, es necesario ser capaz de aproxim ar el logaritm o de cualquier núm ero positivo, ya sea de base 10 o de base e. E inversam ente, si se da el logaritm o de un núm ero de base 10 o de base
* Logaritm os com unes y naturales (definición y evaluación)

Los logaritm os com unes también llamados logaritmos de Briggsian, son los logaritfnos de base 10. Los logaritmos naturales se conocen también como logaritm os nepenanos, éstos son los logaritm os de base e. La m ayoría de las calculadoras tienen una función clave etiquetada com o “log” y otra etiquetada com o “ ln” . La prim era representa un logaritm o com ún y la segunda un logaritmo natural. De hecho, “log” y “ln” se usan extensam ente en la literatura m atem ática, y en todo m om ento se verá que se usa una u otra en el libro sin indicar una base, esto se debe interpretar de la m anera siguiente:

Notación logarítmica Logaritm o com ún Logaritm o natural

EJEMPLO 1

Uso de una calculadora para la evaluación de logaritmos Use una calculadora para evaluar cada una con seis cifras decim ales: (A) log 3 184

Soluciones

(B) ln 0.000 349

(C) log (-3 .2 4 )

(A) log 3 184 = 3.502973 (B) ln 0.000349 = -7 .9 6 0 4 3 9 (C) log (-3 .2 4 ) = Error ¿Por qué se indica un error en el inciso C? Se debe a que - 3 .2 4 no está en el dom inio de la función log. [Nota: Las calculadoras despliegan m ensajes de error de varias m a neras. A lgunas usan una definición m ás avanzada de las funciones logarítm icas que im plican núm eros com plejos. Una de ellas despliega un par ordenado que representa un núm ero com plejo, com o el valor de log ( —3.24), en vez de un m ensaje de error. Este m ensaje se debe interpretar com o una indicación de que el núm ero introducido no está en el dom inio de la función logarítm ica com o se le ha definido.]


Use una calculadora para evaluar cada una con seis cifras decim ales: (A) log 0.013 529

(B) ln 28.693 28

(C) ln (-0 .4 3 8 )

C uando se trabaja con logaritm os com unes y naturales la práctica com ún es usar el signo igual “ = ” donde quizás lo m ás apropiado sea utilizar el signo aproxim adam ente

4-4


315

igual Esto no es peijudicial siem pre que se tenga en m ente que en un enunciado tal com o log 3.184 = 0.503, el núm ero en el lado derecho sólo supone una precisión de hasta tres cifras decim ales y no es exacto.


Las g ráficas de las funcionesf ( x ) = log x y g(x) = In x se m uestran en el despliegue del dispositivo de graficación de la fig u ra 1. ¿C uál gráfica pertenece a cuál función? Si en el despliegue parece que una de las funciones puede ser un m últiplo constante de la otra, com pruebe si es así. Encuentre y analice la evidencia para su respuesta. 2

EMPLC

Evaluación de logaritmos con calculadora Use una calculadora para evaluar cada expresión hasta con tres cifras decim ales:

(A) k > g h

Soluciones

(A)

log 2 log 1.1

(B) logn

(C) log2 “ lo g L1

= 7.273

(B) log y j = 0.260 (C) log 2 — log 1.1 = 0.260 O bserve que

^ # log 2 — log 1.1, pero log log 1.1 1.1

log 2 — log 1.1 (véase el teorem a 1, de la sección 4 —3).


U se una calculadora para evaluar cada una hasta con tres cifras decim ales:

(A )irn ¡8

< B ) ln n ¡ ¿

r o * 3 - 1" ' ' 08

A hora se abordará el segundo problem a: D ado el logaritm o de un núm ero, en cuentre el núm ero. Para resolver este problem a, se usan directam ente de las relaciones logarítm icas y exponenciales analizadas en la sección 4-3.

316

4


EJEMPLO 3

Despeje a x de log^ x = y E ncuentre x con tres dígitos significativos, dados los logaritm os indicados. (A) lo g x = - 9 .3 1 5

Soluciones

(B) ln x = 2.386

(A) lo g x = - 9 .3 1 5 x = 10-9'315

Cambio a una forma exponencial equivalente.

= 4 .8 4 X 1 ( T 10 O bserve que la respuesta se despliega en notación científica en la calculadora. (B) ln x = 2.386 x = ¿2.386

Cambio a una forma exponencial equivalente.

= 10.9


Encuentre x para cuatro dígitos significativos, dados los logaritm os indicados. (A) ln x = -5 .0 6 2

(B) log x = 12.0821

* A p lic a c io n e s

Se considerarán ahora tres aplicaciones que se resolvieron usando logaritm os com unes y naturales. La prim era aplicación se relaciona con la intensidad del sonido; la segunda con la intensidad de un terrem oto; y la tercera, con la teoría del vuelo de un cohete.

Intensidad del sonido

El oído hum ano es capaz de oír el sonido en un rango increíble de intensidades. El sonido m ás fuerte que una persona saludable puede oír sin daño en el tím pano tiene una intensidad de un billón (1 000 000 000 000) de veces la del sonido m ás suave que pue de percibir. Trabajar directam ente con núm eros con un rango tan am plio com o éste es m uy incóm odo. Puesto que el logaritm o de base m ás grande que 1, de un núm ero au m enta m ucho m ás lentam ente que el núm ero m ism o, con frecuencia se usan los logaritm os para crear escalas com prim idas m ás convenientes. La escala de decibeles para la intensidad del sonido es un ejem plo de tal escala. El decibel, llam ado así por el inventor del teléfono, A lexander G raham Bell (1847-1922), se define com o sigue: D = 10 log

Escala de decibeles

î)

(1)

4-4


317

donde D es el nivel de decibeles del sonido, / es la intensidad del sonido m edida en watts por m etro cuadrado (W /m 2) e In es la intensidad del sonido m ás pequeño audible que una persona prom edio, joven y saludable puede escuchar. Este últim o se estandariza a / 0 = 10" 12 w atts sobre m etro cuadrado. E n la tabla 1 se enum era algunas intensidades de sonidos típicos de fuentes fam iliares.

TABLA 1

Insdn ssdíscís-s tríp tcss d d $ÓY8Í4 Intensidad del sonido, W/m2

Sonido

1.0 X i o - '2

Umbral del oído

5.2 X 10-'°

Cuchicheo

3.2 X 10 6

Conversación normal

8.5 X 10~4

Tráfico pesado

3.2 X 10 3

Taladro

1.0 X 10°

Umbral del dolor

8.3 X 102

Avión de reacción con posquemador

Intensidad del sonido Encuentre el núm ero de decibeles de un cuchicheo con intensidad de sonido de 5.20 X 10” 10 watt por m etro cuadrado. Calcule la respuesta hasta dos cifras decim ales. Solución

Se usa la fórm ula de decibeles (1):

D = 10 log — lo 5.2 X 1 0 - " - 101og"

10-

= 10 log (5.2 X 102) = 10(log 5.2 + log 102) = 10(0.716 + 2)

log 5.2 = 0.716

= 27.16 decibeles

io

Encuentre el núm ero de decibeles de un taladro con intensidad de sonido de 3.2 X 10 3 watt por m etro cuadrado. Calcule la respuesta hasta dos cifras decim ales.

318

4



Intensidad de un terrem oto

TABLA 2 La escala de R ic h te r Magnitud en la escala de Richter M < 4.5

Im agine que usa una hoja de cuadrícula grande, con líneas horizontales y verticales separadas p o r 5 de pulgada, para graficar las intensidades de sonido de la tabla 1 en el eje x y el decibel correspondiente en el eje y. Suponga que cada ¡ de pulgada en el eje x representa la intensidad del m enor sonido audible (10-12 W /m 2), y que cada unidad de | de pulgada en el eje y representa un decibel. Si el punto correspondiente a un avión de reacción con posquem ador está graficado en una hoja cuadriculada, ¿a qué distancia está éste del eje x l ¿Y del e j e /? (¡Dé la prim era respuesta en pulgadas y la segunda en m illas!) Analice.

La energía liberada por un terrem oto, m edida en joules, es aproxim adam ente de 100 mil m illones (100 000 000 000) de veces la energía liberada por un terrem oto de poca intensidad. En los pasados 150 años m uchas personas de diversos países han desarro llado diferentes escalas para m edir las m agnitudes de los terrem otos, de tal m anera que su severidad pueda ser com parada fácilm ente. En 1935, el sism ólogo de C alifornia Charles R ichter desarrolló una escala logarítm ica que lleva su nom bre y se usa am plia m ente en Estados Unidos. La m a g n itu d M en la escala de R ic h ter* está dada como sigue:

Poder de destrucción Pequeña

4 .5 < M < 5 .5

Moderada

5.5 < M < 6.5

Grande

6.5 < M < 7.5

Mayor

7.5 < M

Máxima

2

E

3

E

Escala d e Richter

(2)

donde E es la energía liberada por el terrem oto, m edida en joules, y E 0 es la energía liberada por un terrem oto de m uy leve intensidad que se ha estandarizado como: E 0 = 104-40 joules El poder destructivo de los terrem otos de acuerdo con las m agnitudes de la escala de R ichter está indicado en la tabla 2.

Intensidad de un terremoto El terrem oto de San Francisco en 1906 liberó aproxim adam ente 5.96 X 1016jo u les de energía. ¿C uál fue su m agnitud en la escala de Richter? C alcule su respuesta hasta dos cifras decim ales.

Solución

Se usa la fórm ula de la m agnitud (2):

M -flo s f 2,

5.96 X 1 0 16

" 3 l0 §

JQ4.40

* Originalmente, Richter definió la magnitud de un terremoto en términos de logaritmos de la amplitud de onda sísmica máxima, en milésimas de milímetro, medidas en un sismógrafo estándar. La fórmula 2 da esencialmente la misma magnitud que obtuvo Richter para un terremoto dado, pero en términos de los logaritmos de la energía liberada por éste.

4-4


319

2

= - log (5.96 X 1011-6)

2 = - (log 5.96 + log 10“ '6)

2

= -(0 .7 7 5 + 11.6) = 8.25

El terrem oto de 1985 en Chile liberó aproxim adam ente 1.26 X 10 15jo ules de energía. ¿C uál fue su m agnitud en la escala de Richter? Calcule su respuesta con dos cifras decim ales.

Intensidad de un terremoto Si la energía liberada por un terrem oto es 1 000 veces la de otro, ¿cuánto m ás grande es en la escala de Richter la lectura del m ás grande com parada con la del m ás pequeño?

Solución

Sean

M l=fl0g% Y

M2=fl0 g%

las ecuaciones de Richter para los terrem otos pequeño y grande, respectivam ente. Sus tituyendo E 2 = 1 0 0 0 £ |; en la segunda ecuación, se obtiene 2

1 000£ ,

= | ( l o g 10> + l o g g

= -(3 ) + - l o g 3 3 B E0 = 2 + M, A sí, un terrem oto con 1 000 veces la energía de otro tiene en la escala de R ichter una lectura de dos veces mayor que la del otro.

Si la energía liberada por un terrem oto es 10 000 veces la de otro, ¿cuánto m ás grande es la lectura en la escala de Richter del m ás grande com parado con el m ás pequeño?

320

4


Teo ría de vuelo La teoría de vuelo de un cohete se utiliza en m atem áticas y física avanzada para m ostrar de un cohete que la velocidad v de un cohete al apagarse (cuando se le agota el com bustible) está dada por r -

< Inn —-

(3)

Ecuación del c o h e te

donde c es la velocidad de escape del m otor del cohete, W es el peso de partida (el com bustible, la estructura y la carga útil), y Wb es el peso consum ido (la estructura y la carga útil). D ebido a la resistencia atm osférica de la Tierra, la velocidad de un vehículo de lanzam iento debe ser de al m enos 9.0 kilóm etros por segundo con el fin de lograr la altitud m ínim a necesaria para alcanzar una órbita fija. Es evidente que para aum entar la velocidad v, se debe increm entar la razón del peso W/W.n o se debe aum entar la veloci dad de escape c. La razón del peso se puede aum entar por el uso de com bustibles sólidos, y la velocidad de escape m ejorando los com bustibles, sólidos o líquidos.

Teoría de vuelo de un cohete En una etapa típica, el com bustible sólido de un cohete puede tener una razón de peso W ¡W h = 18.7 y una velocidad de escape c = 2.38 kilóm etros por segundo. ¿A lcanzaría este cohete una velocidad de lanzam iento de 9.0 kilóm etros p o r segundo? Solu ción

U sando la ecuación de cohete (3):

= 2.38 ln 18.7 = 6.97 kilóm etros por segundo La velocidad de lanzam iento del vehículo es m ucho m enor que los 9.0 kilóm etros por segundo necesarios para llegar a la órbita. A esto se debe la utilización de etapas m últi ples de lanzam iento (el peso m uerto de la etapa anterior se puede tirar al océano cuando se inicia la siguiente etapa).

U n vehículo de lanzam iento que usa com bustible líquido, com o una m ezcla de hidró geno líquido y de oxígeno líquido, puede producir una velocidad de escape de c = 4.7 kilóm etros por segundo. Sin em bargo, la razón del peso W /W b debe ser pequeña, de alrededor de 5.5 km /s para algunos vehículos y debida al increm ento del peso estructu ral por el com bustible líquido. ¿Cuánto m ás o cuánto m enos que los 9.0 kilóm etros por segundo se necesitan para que el vehículo logre alcanzar la órbita?

Respuestas a los problem as seleccionad os 1. (A) -1.868 734 (B) 3.356 663 (C) N o es posible 2. (A) 14.275 (B) 1.022 (C) 1.022 3. (A) X = 0.006 333 (B) .t = 1.21 X 10 12 4. 95.05 decibeles 7. Menor de 1 km/s

5. 7.80

' 6. 2.67

4-4

EJEROCüO

321


4-4

A ________ En los problemas del 1 al 8, evalúe con cuatro cifras decimales. 1. log 82 734

2. iog 843 250

3. log 0.001 439

4. log 0.035 604

5. ln 43.046

6. ln 2 843 100

7. ln 0.081 043

8. ln 0.000 032 4

Encuentre el error: 1< 3 - L < .¿ 27

D ivid a am b o s lados e n tre

' 27

27 .

Ji 27 < 9 (|)3 < (*)*

En los problemas del 9 al 16, evalúe x con cuatro dígitos signi ficativos, dado que:

log ( j ) 3 < log

(^ ) 2

3 log j < 2 log j

9. logx = 5.3027

10. log x = 1.9168 3 <2

11. logx — -3.1773

12. log x = -2.0411

13. In x = 3.8655

14. In* = 5.0884

15. In* = -0.3916

16. lnx = -4.1083

D ivid a am b o s lad os entre log !

Encuentre el error: 3> 2

B _____________

3 log 5 > 2 log 5

En los problemas de117 al 24, evalúe con tres cifras decimales.

log (j)3 > log (£)2

M u ltip liq u e am b o s lados p o r log J-

i\2

18.

ln 3 ln 1.15

20.

ln 4 " ~ ln 1.2

ln 0.5 - 0.21

22.

ln 0.1 A ~ -0.0025

»O n co C e II

24.

21. x = 23. t =

"

© 3 > (j)

log 2 log 1.12

log 2 log 1.15

i > i 1>2

La función f(x ) = log x aumenta muy lentamente cuando x —> pero la función compuesta^(x) = log (logx) aumenta aun más lentamente.

log 200 log 2

(A) Ilustre este hecho calculando los valores de ambas funciones para diversos valores grandes de x. (B) Determine el dominio y el rango de la función g. (C) Analice las gráficas de ambas funciones.

En los problemas del 25 al 32, evalúe x con cinco dígitos signi ficativos. 25. x = log (5.3147 X IO12) 26. x =

log (2.0991 X IO17)

27.

X =

ln (6.7917 X IO -’2)

28.

X =

ln (4.0304 X IO '8)

M u ltip liq u e am b o s lados p o r ;

La función f(x ) = ln x aumenta muy lentamente cuando x —> pero la función compuestag(x) = ln (lnx) aumenta aún más lentamente.

29. log x = 32.068 523

30. log x = -12.731 64

31. ln x = - 1 4 .6 6 7 13

32. ln x = 18.891 143

Grafique cada función de los problemas del 33 al 40. Compruebe los problemas del 33 al 40 con un dispositivo de traficación. 33. >• = lnx 34. y = —ln* 35. y = |Inx|

36. y = ln |x|

37. y - 2 ln (x +2)

38. y = 2 ln x +

39. y — 4 ln x —3

40. y = 4 ln (x—3)

2

(A) ilustre este hecho calculando los valores de ambas funciones para diversos valores grandes de x. (B) Determine el dominio y el rango de la función g. (C) Analice las gráficas de ambas funciones. ^

En los problemas del 45 al 48, use un dispositivo de graficación para encontrar las coordenadas de todos los puntos de inter sección con dos cifras decimales. 45. /(x)

ln x, g(x) = O.lx —0.2

46. /(x)

log x, g(x) = 4 - x2

47. m

ln v a i

48.

/ (X )

322

4


^

Los problemas del 49 al 52 requieren del uso de un dispositivo de graficación.

J

Los polinomios en los problemas del 49 al 52, se llaman polinomios de Taylor. se puede usar para aproximar la fu n ción g(x) = In (I + x). Para ilustrar gráficamente esta aproxi mación, grafique en cada problema a g(x) = In (1 + x) y al polinomio indicado en la misma ventana de visión, -1 < x< 3 y —2 < y < 2. 49.

Px(x)= x - ¡ x 2

50.

P2(x)= x

—jjc2+jx*

51.

P3(x)= x

—¿x2+^x3-

52.

P¿(x)= a:

- ¿x2+ jr* - ¿x4 + 5.x5

\x*

A PLIC A C IO N E S

53. Sonido. ¿Cuál es el nivel de decibeles de: (A) el umbral del oído, 1.0 X 10 12 watt por metro cuadrado? (B) el umbral del dolor, 1.0 watts por metro cuadrado? Calcule las respuestas con dos dígitos significativos. 54. Sonido. ¿Cuál es el nivel de decibeles de: (A) una conversación normal, 3.2 X 10 6 watts por metro cuadrado? (B) un avión de propulsión con un posquemador de 8.3 X 102 watts por metro cuadrado? Calcule sus respuestas con dos dígitos significativos. 55. Sonido. ¿Si la intensidad de sonido de una fuente es 1 000 veces la de otro, cuánto mayor es el nivel de decibeles del sonido más fuerte comparado con el del sonido más bajo? 56. Sonido. ¿Si la intensidad de sonido de una fuente es 10 000 veces la de otro, cuanto mayor es el nivel de decibeles del sonido más fuerte comparado con el del sonido más bajo? 57. Terremotos. El terremoto más intenso registrado hasta la fecha ocurrió en Colombia en 1906, liberó una energía de 1.99 X 1017joules. ¿Cuál fue su magnitud en la escala de Richter? Calcule la respuesta con una cifra decimal. 58. Terremotos. En 1964, en Anchorage, Alaska, ocurrió un gran terremoto que liberó 7.08 X 10¡6joules de energía. ¿Cuál fue su magnitud en la escala de Richter? Calcule la respuesta hasta una cifra decimal. <■- 59. Terremotos. En 1933, en Long Beach, California, hubo un terremoto de 6.3 grados de intensidad en la escala de Richter, y en 1964 en Anchorage, Alaska, ocurrió otro de 8.3 grados de intensidad en la misma escala. ¿Cuántas veces más intenso fue el terremoto de Anchorage que el de Long Beach?

60. Terremotos. Generalmente, la intensidad de un terremoto debe ser superior a los 5.6 grados en la escala de Richter para causar un daño grave. ¿Cuántas veces más intenso fue que el gran terremoto de Colombia ocurrido en 1906, que registró una magnitud de 8.6 grados en la escala de Richter? 61. Vehículos espaciales. Un cohete nuevo de combustible sólido tiene una razón de peso de WJWh = 19.8 y una velocidad de escape c = 2.57 kilómetros por segundo. ¿Cuál es su velocidad de agotamiento? Calcule la respuesta con dos cifras decimales. 62. Vehículos espaciales. Un cohete de combustible líquido tiene una razón de peso de = 6.2 y una velocidad de escape c = 5.2 kilómetros por segundo. ¿Cuál es su velocidad de agotamiento? Calcule la respuesta con dos cifras decimales. 63. Química. La concentración del ion de hidrógeno de una sustancia se relaciona con su acidez y basicidad. Debido a que las concentraciones del ion de hidrógeno varían en un rango muy amplio, se usan los logaritmos para crear una escala de pH comprimida, que se define como sigue: pH = -lo g [H+] donde [H ' ] es la concentración del ion de hidrógeno, en moles por litro. El agua pura tiene un pH de 7, lo cual significa que es neutra. Las sustancias con un pH menor de 7 son áridas, y las que tienen un pH mayor que 7 son básicas. Calcule el pH de cada una de las sustancias siguientes, dada la concentración indicada del ion de hidrógeno. (A) Agua de mar, 4.63 X 10~<) (B) Vinagre, 9.32 X 10~4 Indique también si es ácido o básico. Calcule sus respuestas hasta una cifra decimal. 64. Química. Refiriéndose al problema 63, calcule el pH de cada una de las substancias siguientes, dada la concen tración indicada del ion de hidrógeno. Indique también si es ácido o básico. Calcule las respuestas con una cifra decimal. (A) Leche, 2.83 X 10—7 (B) La paja del cultivo, 3.78 X 10"6 65. Ecología. Refiérase al problema 63. En muchos lagos de Canadá y Estados Unidos se extinguieron algunas formas de fauna debido al aumento en la acidez del agua de lluvia y de la nieve causadas por las emisiones de bióxido de azufre de la industria. Si el pH de una muestra de agua de lluvia es 5.2, ¿cuál es su concentración de iones de hidrógeno en moles por litro? Calcule la respuesta hasta una cifra decimal. 66. Ecología. Refiérase al problema 63. Si el agua de lluvia normal tiene un pH de 5.7, ¿cuál es su concentración de

iones de hidrógeno en moles por litro? Calcule la respuesta con una cifra decimal.

4-5

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas


sección

Ecuaciones exponenciales Ecuaciones logarítmicas Cambio de base Las ecuaciones que implican funciones exponenciales y logarítmicas, tales como 2ix ~2 = 5

y

log (x + 3) + log x = 1

se llaman ecuaciones exponenciales y logarítm icas, respectivamente. Las propieda des de los logaritmos desempeñan un papel central en su solución. Los ejemplos siguientes ilustran el uso de las propiedades de los logaritmos en la solu ción de las ecuaciones exponenciales.

Solución de una ecuación exponencial

Despeje x de 2ix~2 = 5 con cuatro cifras decimales. Solución

¿Cómo se puede despejarx del exponente? ¡Usando logaritmos! Puesto que la función logaritmo es uno a uno, si dos cantidades positivas son iguales, sus logaritmos son iguales. Véase el teorema 1 en la sección 4-3. 23' - 2 = 5 log 2^ 2 = log 5

T om e el logaritm o com ú n o natural de am b os lados.

(3x —2) log 2 = log 5 -i 3x - o2

Use lo g t Np = p lo g b N para sacar 3x - 2 de la posición del e x p o n e n te .

log =— —5 log 2

x = —(2-f--- — ) 3\ log 2/ = 1.4406

log 2

Recuerde: ■ ^log 5-

log 2.

Con cuatro cifras decim ales

Un dispositivo de graficación proporciona un enfoque alternativo. Se grafican las fun ciones y t = 23x~2 y y 2 = 5 y se usa la rutina de intersección, como se indica en la fi gura 1.

: | :

:

:

In U m c ion • HZ? -iY=S ________ _

324

4


Despeje x de 3 5 1 2v = 7 con cuatro cifras decim ales.

Interés compuesto U na cierta cantidad de dinero P (capital) se invierte a una tasa anual r de interés com puesto anualm ente. La cantidad de dinero A en la cuenta después de t años, suponiendo que no hay retiros, está dada por r \" ' A = P\ 1 H— = P(1 + rY «/

n = 1 para interés com puesto anual

¿Calcule cuántos años aproxim ando al año m ás cercano pasarán para que se duplique si se invirtió a un 6% de interés com puesto anualm ente? Solución

Para encontrar el tiem po de duplicación, se reem plaza A por 2P en la ecuación A = P (1 .0 6 )' y se despeja t. 2 P = P(1.06)' 2 = 1.06'

Divida ambos lados entre P.

log 2 = log 1.06' = t log 1.06 logaritmos para sacar t del exponente.

lt — —

log 2 log 1.06

= 12 años

Aproxime al año más cercano

R epita el ejem plo 2, cam biando la tasa de interés al 9% com puesto anualm ente.

Presión atmosférica La presión atm osférica P, en libras por pulgada cuadrada, para x m illas sobre nivel del m ar está dada aproxim adam ente por P = 14.7e-021jt ¿A qué altura la presión atm osférica será la m itad de la presión al nivel del m ar? C alcu le la respuesta con dos dígitos significativos. Solución

La presión al nivel del m ar es la presión en x = 0. Así, P = 14.7e° = 14.7 La m itad de la presión al nivel del m ar es de 14.7/2 = 7.35. El problem a consiste ahora en encontrar a x tal que P = 7.35; es decir, se despeja x de 7.35 = 1A .le~ 02lx\

4-5

7.35 = 14.7«

-

0 . 21*

0 .5 = é ~ W *

D ivid a am b o s lados e n tre

ln 0.5 = In e -0.21* 0.21.x:

x =

14.7 y sim p lifiq u e .

D eb id o a q u e la base es e, se to m a el lo g a ritm o natural de am b o s lados. ln e = 1

ln 0.5 -

0.21

3.3 m illas


325


C o n dos d íg ito s sig n ifica tivo s

U sando la fórm ula del ejem plo 3, encuentre la altitud en m illas de m anera que la pre sión atm osférica sea un octavo de la presión al nivel del mar. Calcule la respuesta con dos dígitos significativos.

La g ráfica de í' 1 + (*

(1)

es una curva llam ada catenaria (figura 2). Un cable uniform e suspendido entre dos puntos fijos es un ejem plo físico de esta curva.

FIGURA 2

Y

Catenaria.

EJEMPLO 4

y=

Solución de una ecuación exponencial De la ecuación dada (1), encuentre x para y = 2.5. Calcule la respuesta con cuatro cifras decim ales. e x + e~x

So lu ció n

5 = ex + e~x 5ex = e2* + 1 e2* — 5ex + 1 = 0

M u ltip liq u e am b o s lad os p o r e\ Ésta es una e cu ació n cu a d rá tica en

4


Sea u = e*; entonces w2 - 5w + 1 = 0 5 ± V 2 5 - 4(1)(1) K = -------------I -----------= 5 ± V21

2 ,

5±V21

R eem p lace a u con e ' y d espeje x .

2 _

* =

5 ± V 2l 2

T o m e el lo g a ritm o n atu ral de am b o s lados (am b o s valo res del lad o d e re ch o son p o sitivo s).

5 ± V 2Í l n ------ -------

lo g s b * = x .

2

= -1 .5 6 6 8 , 1.5668

j


Dado v = (ev - e x)/2, encuentre x para y = 1.5. Calcule la respuesta con tres cifras decim ales.

Sea 7 = e21 + 3 ^ + e~x (A) Intente e n co n trar* cuando y = 7 con el m étodo usado en el ejem plo 4. E xpli que la dificultad que surge.

'<*-■ (B) U se un dispositivo de graficación para encontrar a x cuando y = 7.

En seguida se ilustrará la solución de diversos tipos de ecuaciones logarítm icas.

logarítmicas Solución de una ecuación logarítmica R esuelva log (x + 3) + log x = 1, y com pruebe.

So lu ció n

U se prim ero las propiedades de los logaritm os para expresar el lado izquierdo com o un solo logaritm o, después convierta a la form a exponencial y despeje x. log (x + 3) + log x = 1 log [x(;t + 3)] = 1 x(x + 3) = 101

C o m b in e el lad o izq u ie rd o u sand o log

M+

C a m b ie a la fo rm a e xp o n e n c ia l eq u ivale n te .

log

N=

log M N .

\ 4-5

I x2 + 3x —10 = 0


Escriba en la forma ax1

327

+ bx + c = 0 y resuelva.

(.x + 5)(x - 2) = 0 x = —5,2 Comprobación

x = -5 : log (-5 + 3) + log (—5) no está definido porque el dominio de la función log es (0, °°). x = 2:

log (2 -I- 3) + log 2 = log 5 + log 2 = log (5 ■2) = log 10 = 1

Así, la única solución para la ecuación original es x = 2. Recuerde,sedeben verificar las respuestas en la ecuación original para ver si se debe descartar alguna de éstas.

Resuelva log (x —15) = 2 - logx, y compruebe.

Solución de una ecuación logarítmica

Resuelva (ln x)2 = In x2. No hay propiedades logarítmicas para simplificar (ln x)2. Sin embargo, se puede sim plificar ln x2, obteniendo una ecuación que involucre a ln x y a (ln x)2. (ln x)2 = ln x2 = 2 lnx (ln x)2 —2 ln x

Ésta es una ecuación cuadrática en ln x Cambie todos los términos diferentes de cero al lado izquierdo y factorice.

=0

(ln x )(ln x - 2) = 0

lnx = 0

o

x = e°

= 1

10

;u ra i

lnx-2 ln

x

0

2

x

Verificar que x = 1 y x =
Resuelva log x2 = (log x)2.

328

4


PRECAUCIÓN

Observe que (loe x)2 * loe x2 U

;

10g*

(log» *)2 = (l09b x)(log“x)

log, x* = 2 log, x

Intensidad de un terremoto R ecuerde de la sección 4-4 que la m agnitud de un terrem oto en la escala de R ichter está dada por 2 F M = - log — 3 *E0 D espeje E en térm inos de los otros sím bolos.

Solución

2 E M = T F 3 loS E0 , E log — E0

3M

= — -

2

M u ltip liq u e am b o s lados por \

£ — =

103M/2

C a m b ie a la form a e xp o n e n c ia l.

Eo E

= £ o103M/2

Resuelva la ecuación de un cohete de la sección 4-4 para Wb en términos de los otros símbolos: v - c ti o -

¿Cómo se podría encontrar el logaritmo de un número positivo en una base distinta de 10 o e l ¿Por ejemplo, cómo se encontraría log3 5.2? En el ejemplo 8 se evaluó este logaritmo con un proceso directo. Después se desarrolló una fórmula de cambio de base para encontrar estos logaritmos en general. Por consiguiente, incluso se podrá recordar con más facilidad el proceso de la fórmula.

Evaluación de un logaritmo de base 3

Evalúe log35.2 con cuatro cifras decimales.

4-5

So lu ción

329


Sea y = log, 5.2 y proceda com o sigue: log3 5.2 = y 5.2 = 3y

ln 3 '

ln 5.2 =

= y ln 3

C a m b ie a la fo rm a e xp o n e n c ia l, Tom e el lo g a ritm o natural (o lo g a ritm o c o m ú n ) en am b o s lados.

-

log,,

p lo g c

M

ln 5.2 y -

Despeje y.

Reemplace >>con log3 5.2 del primer paso, y con una calculadora evalúe el lado derecho:

log-i 5.2 =


ln 3

= 1.5007

Evalúe log05 0.0372 con cuatro cifras decimales.

Para desarrollar una fórmula de cambio de base para bases positivas arbitrarias, con ninguna base igual a 1, se procede como en el ejemplo anterior. Sea y = log6 N, dónde N y b son positivos y b ¥= 1. Entonces log* N = y

N = by l0go N = lOg,, b y = y loga b

log. A' y

!°ga b

Escriba en la form a e xp o n e n cia l. En cada lado tóm e el lo g a ritm o en otra base positiva o, a * !o a t

1.

= p log, M

D e s p e je / .

•

Reemplazando a y con log6 N del primer paso, se obtiene una fórm ula de cam bio de base:

lóg„ b

,j

En palabras, esta fórmula expresa que el logaritmo de un número para una base dada es el logaritmo del número en una base nueva dividido entre el logaritmo de la base vieja en la base nueva. En la práctica, generalmente se elige a e o a 10 como la base nueva para que se pueda evaluar con calculadora los logaritmos necesarios (véase el ejemplo 8).


Si b es cualquier número real positivo diferente de 1, la fórmula de cambio de base implica que la función y = log. x es un múltiplo constante de la función natural logarítmica; es decir, logé* = k ln x para alguna k.

4


(A) G rafique las funciones y = ln x, y = 2 ln x, y — 0.5 ln x y

= —3 ln x.

(B) E scriba cada función del inciso A en la form a y = log¿ x encontrando la base b con dos cifras decim ales. (C) ¿C ada función exponencial y = ¡ f es un m últiplo constante de y = ex? Explique.

Respuestas a los problem as seleccionad os

1. x = 0.2263 3. 9.9 millas. 8. 4.7486

EJERCICIO

2. Es más del doble en 9 años, pero no alcanza a ser el doble en 8 años. x = 1.195 5. x = 20 6. * = 1,100 7. Wh = We~'h'

4.

4-5

Resuelva los problemas del 1 al 12 con tres dígitos significati vos. 1. 1 0 - '= 0.0347

2. 10*= 14.3

3. lO3**1 = 92

4. 105'" 2 = 348

5. e* = 3.65

6. e~x = 0.0142

7. e2*-' = 405

8. e3x+5 = 23.8

9. 5*= 18

10. 3X= 4

11. 2~x = 0.238

12. 3~x = 0.074

33. (ln x)3 = ln x4

34. (log x)3 = log x4

35. ln (ln x) = 1

36. log (log x) = 1

37. x ‘°8Jf = lOOx

38. 3logJt = 3x

En los problemas del 39 al 40: (A) Explique la dificultad para resolver con exactitud la ecua ción. (B) Determine el número de soluciones graficando lasfuncio nes de cada lado de la ecuación. e*12 = 5 ln x

ln(ln x) + ln x = 2

Resuelva los problemas del 13 al 18 exactamente. En los problemas del 41 al 42: 13. log 5 + log x = 2

14. log x — log 8 = 1

15. log x + log (x - 3) = 1 16. log (x - 9) + log 100* = 3 17. log ( i + 1) —log {x — 1) = 1 18. log (2x + 1) = 1 + log (x - 2)

B ____________________________________________

(A) Explique la dificultad resolviendo la ecuación exactamente. (B) Use un dispositivo de graficación para encontrar todas las soluciones hasta tres cifras decimales. 3' + 2 = 7 + x —e~x

exl4 = 5 log x + 4 ln x

Evalúe los problemas del 43 al 48 con cuatro cifras decimales. 43. log5 372

44. log4 23

46. log2 0.005 439

47. log3 0.1483

45. log3 0.0352 48. log,,435.62

Resuelva los problemas del 19 al 26 con tres dígitos significa tivos. 19. 2 = 1.05'

20. 3 = 1.06*

21. e~'Ax = 13

22. eon* = 632

23. 123 = 500e~0'12*

24. 438 = 200e°'25z

En los problemas del 49 al 56 para la variable indicada en términos de los símbolos restantes. Use el log natural para resolver las ecuaciones exponenciales.

25. e~x' = 0.23

26. e** = 125

49. A = Pe" despeje a r (finanzas)

Resuelva los problemas del 27 al 38 exactamente.

50. A = P\ 1 + — J despeje a t (finanzas)

27. log x - log 5 = log 2 - log (x — 3) 28. log (6x + 5) —log 3 = log 2 - log x

51. D = 10 log — despeje a / (sonido) I,

29. ln x = ln (2jc - 1) - ln (x - 2)

- 1, 52. t = — (ln A — ln A0) despeje a A (decaimiento) k

30. ln (x + 1) = ln (3x + 1) - ln x 31. log (2x + 1) = 1 —log (x - 1) 32. 1 - log (x - 2) = log (3x + 1)

53. M = 6 - 2.5 log — despeje I (astronomía)

4-5

54. L = 8.8 + 5.1 log D despeje D (astronomía) E 55. / = — (1 — e R'/L) despeje t (circuitos) R 56. S = R

----- í despeje n (anualidad)

Las siguientes combinaciones de funciones exponenciales de finen cuatro de las seis f u n c i o n e s h i p e r b ó l i c a s , una clase im portante de funciones en cálculo y matemáticas avanzadas. Resuelva los problemas del 57 al 60 para x en términos de y. Estos resultados se usan para definir lasf u n c i o n e s h i p e r b ó l ic a s i n v e r s a s , otra clase también importante de funciones en cálcu lo )’ matemáticas avanzadas. 57. y = 59. y =

ex + e

ex + e

58. y 60. y

ex + e~

62. y = log3 (4 + x) - 5 64. y = log,a- + log2x

En los problemas del 65 al 76, se usa un dispositivo de graficación para aproximar hasta dos cifras decimales cual quier solución de la ecuación en el intervalo 0 < x < l. Ningu na de estas ecuaciones se puede resolver exactamente usando el proceso algebraico paso por paso. 65. 2~* - 2x = 0

66. 3~* - 3* = 0

67. x Y - 1 = 0

68. x2x — 1 = 0

69. e~x — x = 0

70. xe2* — 1 = 0

71.

72. e~* - 2x = 0

—2 = 0

80. Interés compuesto. ¿Cuántos años tendrán que pasar para que S5 000 se incrementen a $8 000 si se invierte a una tasa de interés compuesto continuamente del 9% anual? Use la fórmulas! = Pen. Calcule la respuesta con tres dígi tos significativos. 81. Astronomía. El brillo de las estrellas se expresa en términos de magnitudes en una escala numérica que aumenta conforme disminuye el brillo. La magnitud m está dada por la fórmula

Lo

2

En los problemas del 61 al 64, se usa un dispositivo de graficaciónpara graficar cadafunción. [Sugerencia: Comienza usando la fórmula de cambio de base.]

63. y = log,* - log2*

331

incrementen a S2 500 en 10 años? Use la fórmula A = Pe". Calcule la respuesta con tres dígitos significativos.

m = 6 - 2 . 5 log

e

Los problemas del 61 al 76 requieren del uso de un dispositivo de graficación.

61. y = 3 + log2 (2 - *)


73. ln x + 2x = 0

74. lnx + jt2 = 0

75. ln x + ex — 0

76. ln * + x = 0

donde L es el flujo de luz de la estrella y L(¡ es el flujo de luz de las estrellas más débiles visibles al ojo desnudo. (A) ¿Cuál es la magnitud de las estrellas más débiles visibles a simple vista? (B) ¿Cuánto tiempo más brilla una estrella de magnitud 1 que una estrella de magnitud 6? 82. Astronomía. Es necesario un instrumento óptico para observar las estrellas más allá de la sexta magnitud, el límite de visión ordinario. Sin embargo, los instrumentos ópticos aún tienen sus limitaciones. La magnitud L, límite de cualquier telescopio óptico con lentes de diámetro D, en pulgadas, está dada por L = 8.8 + 5.1 log D (A) Encuentre la magnitud límite para un telescopio reflector casero de 6 pulgadas. (B) Encuentre el diámetro de un lente que tendría una magnitud límite de 20.6. Calcule sus respuestas con tres dígitos significativos. 83. Población. Un modelo matemático para el crecimiento demográfico mundial sobre periodos cortos de tiempo está dado por P = P0e"

A P LIC A C IO N ES

77. Interés compuesto. ¿Cuántos años, aproxime al más cercano, pasarán para que se duplique una suma de dinero si se invierte al 15% de interés compuesto anualmente? Use la fórmula A = P[ 1 + (r/n)]"'. 78. Interés compuesto. ¿Cuántos años, aproxime al más cercano, pasarán para que se cuadruplique una suma de dinero si se invierte al 20% de interés compuesto anual mente? Use la form ulad = P[ 1 + (r/n)]"'. 79. Interés compuesto. ¿A qué tasa de interés anual compuesto continuamente se tendrán que invertir $1 000 para que se

donde P es la población después de / años, Pves la población en / = 0, y se supone que la población crece continuamente a una tasa anual r. ¿Cuántos años, aproxime al más cercano, pasarán para que la población mundial se duplique si crece continuamente a una tasa anual del 2%? 84. Población. Refiérase al problema 83. Iniciando con una población mundial de 4 mil millones de personas y supo niendo que la población crece continuamente a una tasa anual del 2%, ¿cuántos años, aproxime al más cercano, pasarán para que la población crezca de manera que cada persona sólo pueda disponer de 1 yarda cuadrada de tierra? La tierra está formada por aproximadamente 1.7 X 1014 yardas cuadradas.

332

4


85. Arqueología: fechamiento con carbono 14. En tanto una planta o un animal estén vivos, el carbono 14 se mantiene en una cantidad constante en sus tejidos. Sin embargo, una vez que la planta o el animal mueren, la cantidad de carbono 14 comienza a disminuir por el decaimiento radiactivo de acuerdo con la ecuación ¿ = ¿ ^ —0.000124,

donde A es la cantidad después de t años y ^10es la cantidad cuando t = 0. Calcule la edad de un cráneo descubierto en un sitio arqueológico si aún contiene el 10% de la cantidad original de carbono 14. Calcule la respuesta con tres dígitos significativos. 86. Arqueología: fechamiento con carbono 14. Refiérase al problema 85. ¿Cuál es la vida media del carbono 14? Es decir, ¿cuánto tiempo tardará en decaer la mitad de una muestra de carbono 14? Calcule la respuesta con tres dígitos significativos. 87. Fotografía. Un flash electrónico para una cámara se activa cuando se descarga un capacitor por un filamento de alambre. Después que se acciona el flash el capacitor se descarga, el circuito (véase la figura) se conecta y la batería genera una corriente para recargar al capacitor. El tiempo que el capacitor tarda en recargarse se llama tiempo de reciclado. Para un flash en particular se usa una batería de 12 volts, la carga q, en coulombs, t segundos después de que comienza a recargar está dada por q = 0.0009(1 - e-°-2') ¿En cuántos segundos alcanzará el capacitor una carga de 0.0007 coulomb? Calcule la respuesta con tres dígitos significativos.

** 89. Ley de enfriamiento de Newton. Esta ley establece que la razón a la que un objeto se enfría es proporcional a la diferencia en la temperatura entre el objeto y su medio circundante. La temperatura del objeto T, t horas después está dada por T = T m + (T0 - TJe~>donde Tmes la temperatura del medio circundante y T(¡ es la temperatura del objeto en r = 0. Suponga que una botella de vino a una temperatura ambiente de 72°F se pone a enfriar en un refrigerador a 40°F antes de una cena. Después de una hora se encuentra que la temperatura del vino es de 61.5°F. Encuentre la constante k, con cifras decimales, y el tiempo, con una cifra decimal, en que la temperatura del vino descenderá de 72 a 50°F. * 90. Biología m arina. La vida marina depende de una planta microscópica que existe en la zona fótica, una zona que está a una profundidad en la que permanece casi el 1% de la luz de la superficie. La intensidad de la luz se reduce de acuerdo con la función exponencial / = I0e~M donde I es la intensidad d en pies bajo la superficie e ¡0 es la intensidad en la superficie. La constante k se llama coeficiente de extinción. En Lago de Cristal en Wisconsin se encontró que la mitad de la luz de la superficie perma necía a una profundidad de 14.3 pies. Encuentre k y la profundidad de la zona fótica. Calcule las respuestas con tres dígitos significativos. * 91. Administración de la fauna. Se lleva una manada de 20 venados cola blanca a una isla costera donde antes no había venados. Se predice que su población aumentará según la curva logística

N=■

100

i + 4 ¡r '

donde N es el número de venados que habrá aumentado la manada después de r años. ¿En cuántos años, aproxime al año más cercano, habrá 50 venados en la manada?

88. Publicidad. Una compañía trata de dar a conocer un nuevo producto a tantas personas como sea posible mediante publicidad por televisión en un área metropolitana grande con 2 millones de posibles espectadores. Con un modelo para el número de personas N, en millones, que conozcan el producto después de t días de publicidad se encontró que era de N = 2(1 - e~

92. C apacitación laboral. Una fábrica de computadoras contrata a un empleado para que aprenda a probar cierto modelo de computadora personal después de que sale de la .línea de ensamble. La curva de aprendizaje para un empleado promedio está dada por 200

N =4 + 21éT

'*)

¿Cuántos días, aproxime al más cercano, debe durar la campaña, para que al menos un 80% de los posibles espectadores conozca el producto?

donde N es el número de computadoras probadas por día después de t días de trabajo. ¿Cuántos días, aproxime al día más cercano, le tomará a un empleado promedio probar 40 computadoras por día?



El crecimiento de las funciones crecientes

Tanto la función exponencial 2X com o la función logarítm ica log, x son funciones crecientes: sus gráficas se elevan conform e aum enta x. Adem ás, éstas aum entan sin límite, pero de diferentes maneras. La función exponencial crece con rapidez, m ientras que la función logarítm ica aum enta m uy lentam ente. C alculando los valores de la función, y analizando sus gráficas, se puede conocer la m anera en que aum entan varias funciones crecientes. (A) Las funciones /( x ) = 2X y g(x) = x3 son crecientes, pero para valores grandes de x , f aum enta m ucho m ás rápido que g. Ilustre este hecho calculando los valores de am bas funciones para varios valores grandes de x. G rafique am bas funciones y determ ine el núm ero de puntos de intersección. (B) Las funciones h(x) = ln x y k(x) = x l/4 son crecientes para x > 0, pero para valores grandes de x, h aum enta m ucho más lentam ente que k. Ilustre este hecho calculando los valores de am bas funciones para varios valores grandes de x. G rafique am bas funciones y determ ine el núm ero de puntos de intersección. (C) Las siguientes 12 funciones aum entan sin lím ite p a ra x > 1. Póngalos en orden iniciando con la función que aum enta lentam ente y term inando con la función que aum enta con rapidez: V x , 2\ log x, e‘', x 6, x ln x, e \ x0-1, ln (ln x), ex\ 2x, ln x .


La ecuación f( x ) = b', b > 0, b # 1, define una función exponencial de base b. El dominio de/ es (—°°, °°) y el rango es (0, =c). La gráfica de una función exponencial es una curva continua que siempre pasa por el punto (0, 1) y tiene el eje x como una asíntota horizontal. Si b > 1, entonces b': aumen ta conforme aumenta x, y si 0 < b < 1,entonces bx dismi nuye conforme aumenta x. La fu n ció n /es uno a uno y tiene inversa. Se tienen las siguientes propiedades de la función exponencial: 1. a’a" = a ' ' y

(axy = axy

a \x a* - = — bj hx

(ab)x = axbx a' — = a*'* a?

2. ct' = a- si y sólo si x = y. 3. Para x ^ 0, entonces ax = bx si y sólo si a = b. Las funciones exponenciales se usan para describir diversos tipos de crecimiento. 1. El crecimiento demográfico puede ser modelado con el mo delo del crecimiento de tiempo de duplicación P = P 2 '/ donde P es la población en el tiempo t, P0 es la población en el tiempo t = 0 y d es el tiempo de duplicación (el tiempo necesario para que la población se duplique). 2. L1 decaimiento radiactivo se puede modelar con el modelo del decaimiento de la vida media A = A0(\)'’h = donde A es la cantidad en el tiempo r, A0 es la cantidad en el tiempo r = 0 y /í es la vida media (el tiempo que tarda en decaer la mitad de la materia).

3. El aumento de dinero en una cuenta que paga interés compuesto está descrito por A = P( 1 + /•/«)"', donde P es el capital, r la tasa anual, n el número de periodos en un año, y A es la cantidad en una cuenta después de i años. También se le llama P al valor actual y A al valor futuro de la cuenta.

4-2

LA FUNCION EXPONENCIAL DE BASE e

Cuando m se aproxima a *=,la expresión (1 + 1im)"' se aproxima al número irracional e ~ 2.718 281 828 459. La función f(x ) = é' se llama función exponencial de base e. Las funciones de base e se usan para modelar diferentes tipos de crecimiento y decaimiento exponencial, incluyendo el crecimiento de dinero en cuentas que pagan un interés compuesto continuo. Si se invierte un capital P a una tasa r anual compuesta continua mente. entonces el capital A en la cuenta después de t años está dada por/f = Pe".

4 5

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

La función logarítmica de base b se define como la inversa de la función exponencial de base b V se denota por y = log^x. Así, y = logA,v si y sólo si x = b \ b> 0, b + LEI dominio de una función logarítmica es (0, se) y el rango es (— =»). La gráfica de una función logarítmica es una curva continua que siempre pasa por el punto ( 1. 0) y tiene al eje y como asíntota

334

4


vertical. Se tienen las siguientes propiedades de las funciones logarítmicas: 1. log,, 1 = 0 2. log* b = 1 3. log* bx - x

Las aplicaciones siguientes implican los logaritmos: 1. El decibel se define por D = 10 log (///„), donde D es el nivel de decibel del sonido, íe s la intensidad del sonido e /„ = 10~12 watts por metro cuadrado es un nivel estan darizado del sonido. 2. La magnitud M de un terremoto en la escala de Richter está dada por M = 2 log (¿7En), donde E es la energía liberada por el terremoto y E(l = 104-40joules es un nivel estandarizado de la energía.

4. b'°s'x = x, x > 0 5. logi, MN = log,, M + log* N M 6. log,, — = log,, M - log,, N

3. La velocidad v de un cohete con posquemador está dada por la ecuación de cohete v = c ln (tVjWb), donde c es la velocidad del escape, W él peso de la partida y Wb el peso del posquemador.

7. log„ Mp = p log6 M 8. logé M = log, N si y sólo si M = N

Varias técnicas para resolver ecuaciones exponenciales, como = 5_ y ecuaciones logarítmicas, como log (x + 3) + log .y = 1, se ilustran con ejemplos. La fórmula de cambio de base, log, ¿V = (logu A,r)/(logíj b), relaciona a los logaritmos de dos bases diferentes que se pueden calcular, mediante una cal culadora que evalúe logaritmos con bases diferentes de e o 10.

2 ^ -2

Los logaritmos de base 10 se llaman logaritmos comunes y se denotan por log x. Los logaritmos de base e se conocen como logaritmos naturales y se denotan por ln x. Así. log x = y es equivalente a „r = 10'' y ln A' = y es equivalente a x = ey.

Ejercicio de repaso del capítulo 4 Al resolver los problemas de este capítulo revise y compruebe sus respuestas con las se que dan alfinal del libro. Ahí están todas las respuestas a los problemas de repaso. Después de cada res puesta hay un número en tipo itálico que indica la sección a la que corresponde el problema que se está analizando. Si se pre sentan dudas repase las secciones correspondientes en el texto.

B En los problemas del 14 al 24 despeje x exactamente. No use calculadora ni tabla. 14. ln (2x - 1) = ln (x + 3) 15. log (x2 - 3) = 2 log (x - 1) 16. ex' 3 = e2x

17. 4-"' = 2 '-*

1. Escriba en forma logarítmica usando la base 10: m = 10"

18. Zx2e~x = 18
19. log„4 16 = x

2. Escriba en forma logarítmica usando la base e: x = e-

20. log, 9 = - 2

21. log,ftx = f

22. log.ve5 = 5

23. 10'“s'J-r = 33

Escriba los problemas 3 y 4 en forma exponencial. 3. log x — y

24. ln x = 0

4. ln y = x

En los problemas 5 y 6. simplifique.

Evalúe los problemas del 25 al 2H con cuatro dígitos significa tivos usando una calculadora,

nx+2 5. t í -

í

En los problemas del 7 a! 9 despeje x exactamente. No use calculadora ni tabla. 7. log2 x = 3

8. log, 25 = 2

9. log3 27 = x

En los problemas del 10 al 13 despeje x con tres dígitos signi ficativos. 10. 10" = 17.5

11.

12. lnx = -0.015 73

13. log x = 2.013

25. ln tt

26. log (—e)

27. ■n"'2

28.

e’ +
En los problemas de129 al 38 despeje x con tres dígitos signi ficativos. 29. x = 2(10” 2) 31. lnx = -3.218

30. x = log5 23 32. x = log (2.156 X 10‘ 7)

= 143 000 33. x :

ln 4 ln 2.31

34. 25 = 5(2')

Ejercicio de repaso del capítulo 4

35. 4 000 = 2 500^° ^ )

36. 0.01

37. 5 Zl 3 = 7.08

38.

e

335

Encuentre la inversa de cada función en los problemas 59y 60.

—e

59. /(x) = 2 ln (x - 1)

----- = 1

ex — é? K

En los problemas del 39 al 44 despeje x exactamente. No use calculadora ni tabla.

61. Escriba ln y = —5/ + ln c en forma exponencial libre de logaritmos: después despeje y en términos de los símbolos restantes.

39. log 3x: —Iog 9x = 2 40. log x - log 3 = log 4 - log (x + 4) 41. ln (x + 3) - ln x

=

62. P a r a /= {(x, v) | v = log2x|, g ra f iq u e /y / 'en el mismo sistema coordenado. ¿Cuáles son los dominios y los rangos d e / y / '?

2 In 2

42. ln (2x + 1) —ln (jc — 1) = ln jc 43. (log a:)3

=

log x°

60. /(x) ------ -----

44. ln (log x)

Explique por qué no se puede usar 1 como base logarítmica.

= 1

Pruebe que log^ (M/N) = logfcM — log4N.

En los problemas 45 y 46, simplifique. 45. (e ' + 1)(
*

46. (ex + e~x)(ex — e x) — (e* —e~')2 Grafique cada función de los problemas del 47 al 50. '■Compruebe los problemas del 47 al 50 con un dispositivo de traficación. 47. y = 2 ' '

48. f(t) = IOíT008' 100

49. y = ln (x + 1)

50. N = 1 + 3«-'

Si la gráfica de v = e x se refleja con respecto a la recta y x. se obtiene la gráfica de la función y = ln .v. Analice las funciones que se obtienen reflejando la gráfica de y = e' en el eje x y en el eje v. (A) Explique por qué la ecuación e~xi} = 4 ln (x + 1) tiene exactamente una solución. (B) Encuentre la solución de la ecuación con tres cifras decimales. |E; 53. Aproxime todas las raíces reales d e/(x ) = 4 —x2 + ln x con tres cifras decimales. ¿s? 54. Encuentre las coordenadas de los puntos de intersección de /(.y) = 10' 3y g(x) = 8 log ,v con tres cifras decimales.

En los problemas del 55 al 58 despeje la variable que se indica en términos de los símbolos restantes. 55. D = 10 log — despeje / (intensidad del sonido) 56. v

\ / 2 tt

e 'r ,~ despeje x (probabilidad)

57. x = —y ln y despeje 1 (intensidad de los rayos X). K Iq 58. r = P -

l -

7— despeje n (finanzas)

(l + o

65. Crecimiento demográfico. Muchos países tienen una tasa de crecimiento demográfico de 3% (o más) por año. ¿A esta tasa, cuántos años tardará en duplicarse una población? Use el modelo de crecimiento compuesto anual P = P0{ 1 + r)'. Calcule la respuesta hasta tres dígitos significativos. 66. Crecimiento demográfico. Repita el problema 65 que usa el modelo de crecimiento compuesto continuamente P = e" • rP oL 67. Fechamiento con carbono 14. ¿Cuántos años tardará el carbono 14 en disminuirá 1% de la cantidad original después de la muerte de una planta o animal? Use la fórmula A = Aoe~om]2i'. Calcule la respuesta con tres dígitos signi ficativos. 68. Medicina. Una célula de leucemia que se inyecta en un ratón saludable, se dividirá en dos células en aproxima damente j día. Al finalizar el día estas dos células se dividirán en cuatro. La duplicación continuará hasta que se hayan formado mil millones de células; después el animal muere con el cuerpo invadido de células leucémicas. (A) Escriba una ecuación que dé el número ,V de células leucémicas después de t días. (B) ¿Cuándo, aproxime al día más cercano, morirá el ratón? 69. Crecimiento del dinero. Suponga que se invierte S I a una tasa anual del 3% de interés compuesto continuamente desde el nacimiento de Cristo. ¿Qué cantidad habría en la cuenta en el año 2000? Calcule la respuesta con dos dígitos signi ficativos. 70. Valor actual. Despejando a P cíe /( = Pe': se obtiene P = Ae~rl, que es el valor actual de la cantidad A obtenido después de t años si el dinero se invierte a una tasa r de interés compuesto continuamente. (A) Grafique P = 1 000(í>-°l,s'). 0 < t < 30. (B) ¿A qué tiende P cuando t tiende a infinito? [Conclu sión: El mayor tiempo es hasta que la cantidad A se alcanza; el menor tiempo es su valor presente, como se espera.]

336

4


71. Terremotos. El terremoto que ocurrió en 1971 en San Fernando, California, liberó 1.99 X 1014joules de energía. Calcule su magnitud en la escala de Richter con la fórmula M = \ log (E/E0), donde E0 = 10440 joules. Calcule la respuesta con una cifra decimal. 72. Terremotos. Refiérase al problema 71. ¿Si la magnitud del terremoto ocurrido en San Francisco en 1906 hubiera sido de 8.3 en la escala de Richter, ¿cuánta energía hubie ra liberado? Calcule la respuesta con tres dígitos signifi cativos. 73. Sonido. ¿Si la intensidad de una fuente de sonido es 100 000 veces la de otro, ¿cuánto más grande es el nivel de decibeles del sonido más fuerte comparado con el del más suave? Use la fórmula D = 10 log (///„). 74. Biología m arina. La intensidad de la luz al entrar al agua se reduce de acuerdo con la función exponencial / =

donde / es la intensidad, d en pies bajo la superficie, /0 la intensidad en la superficie y A-el coeficiente de extinción. Las medidas en el Mar de Sargasso en Las Antillas han indicado que esa mitad de la luz de la superficie alcanza una profundidad de 73.6 pies. Encuentre la luz k y la pro fundidad a la cual permanece el 1% de la luz de la superficie. Calcule las respuestas con tres dígitos significativos. 75. Administración de la fauna. Un lago formado por un dique contiene 1 000 peces. Se espera que su población aumente según la curva logística

__30_ 1 + 29e-1,35' donde N es el número de peces, en miles, que se espera habrá después de t años. El lago estará abierto a la pesca cuando el número de peces sea de 20 000. ¿Cuántos años, aproxime al año más cercano, pasarán para que se alcance esta cifra?

Ejercicio de repaso acumulativo de los capítulos 3 y 4 Resuelva los problemas de este repaso acumulativo y comprue be sus respuestas comparándolas con las que se incluyen al final del libro. Ahí están las respuestas a los problemas de re paso. Después de cada respuesta hay un número en tipo itálico que indica la sección a la cual pertenece el problema que se está analizando. Si tiene dificultad para resolver algún ejerci cio, repase la sección correspondiente en el texto.

3. Sea P(.x) = 2(x + 2)(x - 3)(x - 5). ¿Cuáles son las raíces de P(x)? 4. Sea P(x) = 4x’ — 5x2 — 3x — 1. ¿Cómo se puede saber si P(x) tiene por lo menos una raíz real entre 1 y 2? 5. Sea P(x) = x3 + x2 — lOx + 8. Encuentre todas las raíces racionales para P(x). 6. Descomponga en fracciones parciales:

A ____________________________________________

5x — 4 (x - 2)(x + 1)

1. Sea P(x) el polinomio cuya gráfica se muestra en la figura: (A) Suponga que P(x) tiene raíces de enteros y coeficiente delantero 1, encuentre la ecuación de grado más bajo que podría producir esta gráfica. (B) Describa el comportamiento a la izquierda y a la derecha de P(x).

7. Despeje x: (A) y =«10* 8. Simplifique: (A) (2e*)3

P(x)

(B) y = \nx e-‘ (B) — e a

9. Despeje x exactamente. No use calculadora. (A)log3x = 2 (B) log, 81 = x (C) log, 4 = - 2 10. Despeje x con tres dígitos significativos. (A)10* = 2.35 (B) e? = 87 500 (C) lo g x = —1.25 (D) ln x = 2 .7 5

B ____________________________________________ 2. En P(x) = 3x5 4- 5x2 - 18x - 3 y D(x) = x + 3, use división sintética para dividir P(x) entre D(x) y escriba la respuesta en la forma P(x) = D(x)Q(x) + R.

La función/ resta la raíz cuadrada del elemento del domi nio de tres veces, el logaritmo del elemento del dominio. Escriba una definición algebraica d e /

337

Ejercicio de repaso acumulativo de los capítulos 3 y 4

Describa en forma verbal de función/(x) = lOOe0'5-' — 50. 13. Si P(x) = 2xs — 5x2 -i- 3x + 2, encuentre P (j) usando el teorema del residuo y la división sintética. 14. Cuál de los siguientes es un factor de P(x) = x25 - x2'1 + x!S + x10 - x5 + 1 (A) x — 1

(B) x + 1

(C) Trace la gráfica de f. Dibuje las asíntotas verticales y hori zontales con líneas discontinuas. Resuelva los problemas del 25 al 34 para x exactamente. No use calculadora. 25. 2*' = 4J:+4

26. 2x2e ' + xe~* = e- '

27. e’“ = 2.5

28.

log, 104 = 4

30. In (x + 4) - ln (x- 4) = 2 ln

3

29. log9x = - \ 15. Sea P(x) = x4 — 8.v2 + 3 (A) Grafique P(x) y describa verbalmente la gráfica, incluyendo el número de intersecciones con el eje x, el número de puntos de retomo y su comportamiento a la izquierda y a la derecha. (B) Use el método de bisección para aproximar la inter sección con el eje x más grande con una cifra deci mal. 16. Sea P(x) = x4 + 2x¡ - 20x- - 30. (A) Encuentre el número positivo más pequeño y el entero negativo más grande que, por el teorema 2 de la sección 4-3, son sus límites superior e inferior, respectivamente, para las raíces reales de P(x). (B) Use el método de bisección para aproximarse a la raíz real más grande de P(x) con dos cifras decimales. (C) Use un dispositivo de graficación para aproximar las raíces reales de P(x) con dos cifras decimales. 17. Permita P(x) = 2.x4 — 9x¡ + 10x2 + x — 4. Encuentre Q(x) y R tales que P(x) = (x — 2) Q(x) + R. ¿Qué valor tiene P(2)l 18. Encuentre las raíces: racional, irracional e imaginaria, exac tamente para P(x) = 4x* — 20x2 + 29x — 15.

31. ln (2x2 + 2) = 2 ln (2x 32. log x + log (x + 15) = 2 33. log (ln x) = — 1

21. Aproxime todas las soluciones reales con dos cifras decima les: x3 + 4x — 20 = 0

34. 4 (ln x)2 = ln x2

En los problemas del 35 al 39 despeje x con tres dígitos signi ficativos. 35. x = log3 41

36.

Inx = 1.45

37. 4(2") = 20

38.

10
Grafique cada función de los problemas del 40 al 43. 4^ Compruebe los problemas del 40 al 43 con un dispositivo de graficación. 40. v = 31“-'

41. f(x) = ln (2 - x)

42. A(t)

43. v = -2e~ x + 3

=

100
Si la gráfica de y = ln x se refleja con respecto a la recta y = x, se obtiene la gráfica de la función v = e'. Analice las funciones que se obtienen reflejando la gráfica dey = ln x en el eje x y en el eje y.

19. Encuentre todas las raíces: racional, irracional e imaginaria, exactamente para P(x) = x4 + 5x5 + x2 — 15x — 12, y factorice a P(x) en factores lineales. 20. Resuelva x3 + 36 ^ 7x2. Escriba las respuestas en la notación de desigualdad y del intervalo.

4)

45.

Explique por qué la ecuación e x = ln x tiene exactamente una solución. (B) Use un dispositivo de graficación para aproximar la solución de la ecuación con dos cifras decimales.

22. Descomponga en fracciones parciales: 3X2 — x + 1 x(x + l)2

23. Descomponga en fracciones parciales: x2 + x — 2

x2 — xr + x 24. Sea f(x )

2x + 8 x+ 2

(A) Encuentre el dominio y las intersecciones para/ (B) Encuentre las asíntotas verticales y horizontales pa ra /

Si P(x) es un polinomio de cuarto grado con coeficientes enteros, y si i es una raíz de P(x). ¿puede P(x) tener raíces irracionales? Explique. 47. Sea P(x) = x4 + 9x3

500x2 + 20 000.

(A) Encuentre el múltiplo entero positivo más pequeño de 10 y el múltiplo entero negativo más grande de 10 que, por el teorema 2 de la sección 4-3, sean los límites superior e inferior, respectivamente, para las raíces reales de P(x). (B) Aproxime las raíces reales de P(x) con dos cifras decimales.

338

4


caja más la medida de su contorno es de lü pies (véase figura). Encuentre las dimensiones si los extremos de la caja son cuadrados y su volumen es de 8 pies cúbicos. Encuentre las soluciones racionales exactamente y las soluciones irracionales con una cifra decimal.

48. G rafique/e indique cualquier asíntota horizontal, vertical u oblicua con líneas discontinuas:

ftx)

x2 + 4x + x + 2

49. Encuentre un polinomio de grado inferior con coeficien te principal 1 que tenga raíces —1 (multiplicidad 2). 0 (mul tiplicidad 3), 3 + 5/ y 3 —5/. Exprese la respuesta en forma factorizada. ¿Cuál es el grado del polinomio? 50. Encuentre todas las raíces: la racional, irracional e imagina ria, exactamente para P(x) = x? - 4 S + 3x3 + 10*2 - 10-r - 12 y factorice P(x) en factores lineales. ✓v 51. Encuentre las raíces racionales exactamente y las raíces irracionales con dos cifras decimales para P(x) = x 5 + 4x4 + .x3 - 1Ix2 - 8x + 4 52. Descomponga en fracciones parciales: .v2 - 4.v + 11

58. Geometría. La diagonal de un rectángulo tiene 2 pies más de largo que uno de sus lados, y su área es de 6 pies cuadrados. Encuentre las dimensiones del rectángulo. Encuentre las soluciones racionales exactamente y las soluciones irracionales con una cifra decimal. 59. Crecimiento demográfico. Si Zaire tiene una población de casi 40 millones de personas y el tiempo que tarda en duplicarse es de 22 años, encuentre la población en:

53. Sea/(.y) = 3 ln (x - 2). (A) Encuentre/ '(.y). 1 (B) Encuentre el dominio y el rango d e / y / -1. x en el mismo sistem a (C) G rafique / / y y coordenado. Verifique por g ra fie a c ió n // 1y v = ,v en una ventana de visión cuadrada con un dispositivo de grafieación. 54. Use logaritmos naturales para resolver n: „(1 + i )" ~ 1

55. Resuelva ln (y = 5.y + ln A para j) . Exprese la respuesta en una forma que no contenga logaritmos. —2e~x 56. Resuelva y = -------— para .y:

57. M ensajería. Un servicio de mensajería proporciona a sus clientes cajas de embarque rectangulares. El largo de la

(A) 5 años

(B) 30 años

Calcule las respuestas con tres dígitos significativos. 60. Interés compuesto. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse una cantidad de dinero invertido que gana 7% de interés compuesto anualmente? Use el modelo de crecimiento com puesto anual P = P ^ l + r)', y calcule la respuesta con tres dígitos significativos. 61. Interés compuesto. Repita el problema 60 usando el modelo de interés compuesto continuo P= P.yn. 62.

Los terremotos. Si los terremotos ocurridos en 1906 y 1989. en San Francisco, registraron 8.3 y 7.1 grados respectivamente, en la escala de Richter. ¿cuántas veces más intenso fue el terremoto de 1906 que el de 1989? Use la fórmula M = f log (E/E0), donde = 10440 joules y calcule la respuesta con una cifra decimal.

63. Sonido. Si el nivel de decibelcs en un concierto de rock es de 88. encuentre la intensidad del sonido en el concierto. Use la fórmula D = 10 log (///0), donde Ia = !0~12 watts por metro cuadrado y calcule la respuesta con dos dígitos significativos.

5-1

La función generadora

5-2 Funciones circulares 5-3 Ángulos y su medida 5-4 Funciones trigonom étricas 5-5 Solución de triángulos rectángulos

C O K .©

5-6 Craficación de funciones trigonom étricas básicas 5-7 Graficación de y = k + A sen (Bx + Q y y = k + A eos ( Bx + Q 5-8 Graficación más general de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante 5-9 Funciones trigonométricas inversas Actividades en grupo del capítulo 5: un análisis depredador-presa que implica leones de la montaña y venados Repaso del capítulo 5

f'(x)=l3x + 41 + 1

340

5

Funciones trigonométricas

AI parecer, las funciones trigonom étricas tuvieron sus orígenes en el estudio de la m edición indirecta de ángulos de distancias y de la “esfera celeste” así com o en las m ediciones de las tierras inundadas por el Ñilo realizadas por los griegos. La “tri gonom etría” se basa en la palabra griega con que se denom ina la m edida de un triángulo, y fue usada por prim era vez com o título de un texto escrito por el m ate m ático alem án Pitiscus en el 1600 d.C. O riginalm ente, la aplicación de las funciones trigonom étricas estaba restringida a los ángulos y a la m edición indirecta de distancias entre éstos. Las restricciones fueron d esap arecien d o de m anera gradual, y ahora se cuenta con funciones trigonom étricas de núm eros reales. En la actualidad, las aplicaciones m odernas abarcan m uchos tipos de problem as que tienen poco o nada que ver con ángulos o triángulos (aplicaciones que im plican fenóm enos periódicos tales com o el sonido, la luz y las ondas eléctricas; los ciclos de un negocio y el m ovim iento planetario). En este libro no se seguirá el enfoque tradicional, ya que se com enzará con una introducción a las funciones trigonom étricas (funciones circulares) cuyos dom i nios son núm eros reales; y después se definirán las funciones trigonom étricas cu yos dom inios son ángulos.

5-1I

SECCION J "

La función generadora D efinición de la función generadora Valores reales para números reales particulares La función generadora no es uno a uno

• Definición de ia función generadora

FfGSJRA 2

Las importantes definiciones de las funciones circulares que se presentan en la próxi ma sección se basan en una función W, llamada función generadora, cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales y cuyo rango es el conjunto de puntos del círculo unitario; es decir, un círculo de radio 1 con el centro en el origen de un sistema coordenado rectangular. Su ecuación es u1 + v2 = 1 (véase figura 1).* Una función generadora significa, “enrollar” una recta numérica real con origen en (1 ,0 ) alrededor del círculo unitario, el eje real positivo se enrolla en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el eje real negativo se enrolla en el sentido de las maneci llas del reloj. D e esta manera, cada número real de la recta real se relaciona con un solo punto, llamado punto circular del círculo unitario, como se muestra en la figura 2.

Función generadora.

* Ahora se usa a las variables ií y v en lugar de x y y de tal manera que x pueda ser usada sin ambigüedad como una variable independiente al definir las funciones generadora y circular. Ambas funciones usan al círculo unidad en sus definiciones.

5-1


Para localizar un punto circular asociado con un número como 37 o —105. la recta numérica se enrolla muchas veces alrededor del círculo. Una manera equivalente de relacionar los números reales con puntos en el circulo unitario es pensar en términos de la longitud de arco, suponiendo que se sabe cuál es la longitud de arco. Para encontrar el punto.circular P que está asociado con el número real x, se empieza en A(l, 0) y se mueve |x| unidades a lo largo del círculo unitario, en sentido contrario al de las manecillas del reloj si ,x es positiva y en el sentido de las manecillas del reloj si es negativa. La longitud de arco AP es ¡x| (véase figura 3). La función generadora y la longitud de arco.

fa)

Es importante poder encontrar las coordenadas (a, b) del punto circular P asocia do con un número real* dado, así que se puede escribir W(x) = (a, b). En general, esto es difícil y requiere del uso de una calculadora. Sin embargo, para números reales dados, con múltiplos enteros de t t / 6 , t t / 4 , tt/3 y t t / 2 , se puede encontrar las coordena das exactas de los puntos circulares correspondientes usando las sencillas propiedades geométricas de un círculo.

Se comenzará la investigación encontrando la circunferencia del círculo unitario. Pues to que el radio r = 1, la circunferencia es p a rticu la res 2 'r r r = 2 tt( 1 ) = 2 tt

C irc u n fe re n c ia d e l c írc u lo unitario

Un cuarto, una mitad y tres cuartos de la circunferencia son, respectivamente, ir/2, -rr y 3 t t / 2 . Los puntos circulares correspondientes a estos números reales en los ejes coordenados y, por consiguiente, sus coordenadas se determinan fácilmente (véase fi gura 4). UL s; W(0)

Kf) W ( tt)

= (L 0)

=

( 0 , 1)

= (-

/ 3 tt \ w (T ) =

1 ,0 )

(0 , - 1 )

0) W(2 tt) =

(1 , 0)

O

Puntos circulares en los ejes coordenados.

Siguiendo el mismo procedimiento, se puede encontrar las coordenadas de cualquier punto circular en los ejes coordenados; es decir, de cualquier punto circular que corresponda a un número real que sea un múltiplo entero de t t / 2 .

342

5


Determinación de las coordenadas de los puntos circulares E ncuentre las coordenadas de los puntos circulares: (A) W(—ir/2) Solución

(B) W(5tt/2)

(A) Em pezando en el punto (1 ,0 ), se hace un cuarto de vuelta del círculo en el sentido de las m anecillas del reloj (véase figura 4). E n consecuencia,

(B) Em pezando en el punto (1 ,0 ) y en el sentido de las m anecillas del reloj, se cuen tan pasos de un cuarto del círculo, -ir/2, 2 tt/2, 3ir/2,4ix/2, hasta llegar a 5 tt/2. Así, el punto circular está en el eje vertical positivo, y se tiene

Encuentre las coordenadas de los puntos circulares: (A) W(—ir)

(B) W(3tt)

A hora se encuentran las coordenadas del punto circular W( tt/4). Puesto que ir/4 es la m itad del arco que une a (1, 0) y (0, 1), el punto circular W(ir/4) debe estar en la recta v = u, com o se m uestra en la figura 5. Puesto que W(ir/4) está en la recta v = u y en el círculo u2 + v2 = 1, sus coordenadas (a, b) deben satisfacer am bas ecuaciones. Esto es. a = b

y

a2 + b2 = 1

Sustituyendo a por b en la segunda ecuación, se tiene

FIG URAS

W(n / 4

Punto circular

a- + a 2 = 1 2a 2 = 1

1 7f

o = - 1/ V 2 se debe descartar, ya que tY(ji/4) está en el primer cuadrante.

Al usar la prim era ecuación, se ve que

b = a ’ ^ñ

5-1


Por lo tanto, r

l

1

U sando las propiedades de sim etría de un círculo (el círculo unitario es sim étrico con respeto a am bos ejes y al origen) se pueden encontrar fácilm ente las coordenadas de cualquier punto circular que se refleja a través de! eje vertical, el eje horizontal o el origen de W/('rr/4).

Determinación de las coordenadas de puntos circulares Encuentre las coordenadas de los puntos circulares: (A) W(5tt/4) Soluciones

(B) W (—n!A)

(A) Em pezando en (1 .0 ) y contando pasos de un octavo de círculo en el sentido de las m anecillas del reloj (
W\

5 ir T ) ~ l

V 2’

V'2

.l ' -l>-j

(0 ,1 )

■ i 3 4

✓ f-L, i — • •\ 2 V 2 i

k

4 (- 1 ,0 )’ i* V 2)

/ ^ /

4

*

k ir

/ 0 /0 ) — __ _ i _ i _ y ____ l ‘• V 2 / \ 2 (0 , - 1 )

(B) Em pezando en (1, 0), se continúa un octavo del cam ino alrededor del círculo unitario en el sentido de las m anecillas del reloj y se term ina sobre el cuarto cuadrante en el punto m edio del círculo que está entre (0 , - 1) y ( 1, 0), com o se indica en la figura 6 . Usando sim etría con respecto al eje horizontal, se observa que

P ro b lem a selecci

E ncuentre las coordenadas de los puntos circulares: (A.) W (3tt/4)

(B) W{—1 tt/4)

344

5


v

(

M

2r.

y

- 'v \

3 .

1, 0 )■.*

V

b)

-".(o ,

U

0 ,0 ) /

Se continúa con la investigación buscando las coordenadas del punto circular W (m 3). R efiriéndose a la figura 7, se divide al sem icírculo superior de (1 ,0 ) a ( - 1 , 0 ) en tres partes. Los puntos circulares W(i\!3) y fV(2ir/3) son sim étricos con respecto al eje v; por consiguiente, si W(tt/3) está dada por las coordenadas (a , b ), entonces W(2tt/3) debe tener las coordenadas (—a, b). La cuerda que une a W(2tt/3) con W(tt/3) tiene 2a unida des de longitud. Usando la fórm ula de la distancia (véase la sección 2-1), se encuentra que la longitud de la cuerda que une a fV(0) con W(tt/3) está dada por V ( a — l )2 + tí1. Las dos cuerdas tienen la m ism a longitud, puesto que los arcos congruentes son cuerdas congruentes opuestas en el m ism o círculo. Así,

Punto circular W(K! 3).

Elevando al cuadrando am bos lados, se obtiene (a - l )2 + b2 = 4a2 a2 -

2a+ 1 + b2 = 4a2

a2 +

b2- 2a + 1 = 4a2 1 — 2a + 1 = 4a2

4a2 + 2 a - 2

a2 + b 2 ~ 1(¿Por qué?)

=0

2a2 + a — 1 = 0 (2a - l)(a + 1) = 0

a ~ \

Se d e b e descartar o = - 1 . (¿Por qué?)

Se sustituye a a = \ en a2 + b2 = 1 y se despeja b:

b —

V3 Se d e b e descartar b

= - V 3 /2 (¿Por qué?)

Así,

Procediendo de m anera similar, o usando sim etría con respecto a la recta v = u, se obtiene

5-1


345

Los resultados clave del análisis anterior para el primer cuadrante están resumidos en la figura 8.

Coordenadas de los puntos circulares clave.

m e m o riz a r las relaciones q u e se m u e stra n en el p rim e r


Una efectiva ayuda a la memoria para recordar las coordenadas de los puntos cir culares clave de la figura 8 se puede elaborar escribiendo las coordenadas de los puntos circulares W(0), W(tt/6), JV(tt/4), W(tt/3) y W(tt/2), conservando este orden, de manera que cada numerador sea la raíz cuadrada de un número apropiado y cada denominador sea 2. Por ejemplo, W(0) = (1 ,0 ) = ( V 4 /2 , VO/2). Describa al patrón resultante.

La razón para memorizar las coordenadas de los puntos circulares clave del pri mer cuadrante es que usando éstos, junto con la simetría del círculo unitario, se puede encontrar que las coordenadas de cualquier punto circular corresponden a cualquier múltiplo entero de tt/6, t t /4 , tt/3 y ir/2.

Determinación de las coordenadas de los puntos circulares Encuentre las coordenadas de los puntos circulares: (A) W(5ir/6) Soluciones

(A)

(B) W (-2ir/3)

Observe que 5tt/6 es t t / 6 menor que ir = 6 t t / 6 . Localice 5ir/6 en el segundo cuadrante, use la figura 8 y la simetría con respecto al eje vertical para encontrar W(5tt/6). (Véase figura 9.)

W\ FIGU

5-rr

V3 1

~6

2 ’2

346

5


(B) Localice —2 tt/ 3 en el tercer cuadrante y use la figura 8 y la simetría con respecto al origen para encontrar fV(—2 tt/ 3 ) . (Véase figura 10.)

v

WI

2 rr \ = ( 1 ’ 3 j

l

V3 2’

2

FICURA 10

P r o b le m a s e le c c io n a r lo

5

Encuentre las coordenadas de los puntos circulares: (A) W(5-tt/3)

• ILa fu n c ió n g e n e r a d o r a n o es uno a uno

(B) VV(-7tt/6)

•

Es fácil ver que la función generadora no es una función uno a uno. A cada valor del dominio, un número real, le corresponde exactamente un valor del rango, un punto en el círculo unitario. Sin embargo, a cada valor del rango, es decir a un punto en el círculo unitario, le corresponde un número infinito de valores del dominio, los números reales. Por ejemplo, se ve que

Es decir, exactamente a cada valor del rango le corresponden tt/ 2 valores del dominio. ¿Pero a cuántos valores del dominio les corresponde el valor del rango (0, l)? Cada vez que se da una vuelta alrededor del círculo unitario se recorren 2n unidades en cualquier dirección a partir de (0, I), hasta regresar al punto de partida. Así, si se quiere resolver W(x) = (0, 1)

se tiene que escribir x =

TT

— + 2A-7T 2

k cualquier entero

y hay un número infinito de valores del dominio de W que corresponde a los valores del rango ( 0 , 1 ) . En general:

Teorema 1

Una propiedad de la función generadora

Para todos los números reales x, fV(x) = W(x + 2Air)

k cualquier entero?

__ .Jo, b) W(x)

0,0) —

* Piense en un punió P mov iéndose alrededor del circulo unitario en cualquier dirección. P recorre cada vez una distancia de In la circunferencia del círculo, hasta que regresa al punto donde comenzó.

5-1


347

En secciones posteriores se hablará más de las implicaciones de esta importante propiedad de la función generadora.

(A) Resuelva la ecuación del punto circular IV(x) = (0, —1), —2-rr < x < 2tt.


(B) Describa una expresión que represente a todas las soluciones de W(x) = ( 0 ,- 1 ) .

Respuestas a los problem as seleccionados 1. (A) ( - 1 , 0 ) (B) (—1,0) 2. (A) (-1/V 2. 1/V2) (B) (1/V2, 1/V2) 3. (A) (1/2,-V 3/2) (B) (—V 3 /2 ,1/2)

EJERCICIO

5-1

A _________

presión que represente a todas las soluciones para la ecuación sin restricciones en x.

En los problemas del I al 12, encuentre las coordenadas para sada punto circular. Trace sus propias figuras (no vea la con traportada del libro).

. 5 W(x) = (1,0)

2. W(0)

3. W(6n)

4. W(3tt)

S. W(—rr)

6. IV(—5tt)

7. ^(3-17/2)

8.

9. W(—ir/2)

1.

W (’IT)

10. W ( -3 ir /2 )

W(tt/2)

11. W (llir/2)

37.

<6. W(x) = ( -1 ,0 )

W(x) = ( - 1/V2, 1/V2)

W(x) = (1/V2, - 1/V2)

Describa en palabras por qué W(x) = fV(x + 4-it) para cada número real x. Describa en palabras porqué W(x) = W(x —6-ir) para cada número real x.

12. W{—15-U/2) .

B En los problemas del 13 al 24, encuentre las coordenadas para cada punto circular. Trace sus propias figuras (no vea la contraportada de! libro). 13. W( ir/4)

14. WÍ-it/3)

15. W(ir/6)

16. W (-ir/6)

17. W (-tt/3)

18. W(--n/4)

19. W(2tt/3)

20. M ilu /ó )

21. W (-3 it/4)

22. W(-7ir/6)

23. W(13n74)

24. W(-10tt/3)

Determine los signos de a y bpara las coordenadas (a, b) de ca da punto circular indicado en los problemas del 25 al 34. De termine primero el cuadrante en el que está cada punto circular. (Observación: -n/2 ~ 1.57 ir ~ 3.14, 3 tí/2 ~ 4.71 y 2-rr = 6.28.]

Si W(x) = (a, b), indique si las afirmaciones de los problemas del 41 al 46 son verdaderas (V) o falsas (F). Dibujarfiguras le ayudará a decidir. 41. W(x + tt) = (- a , - h )

42. W(x + ir) = (a, b)

43. W {-x) = ( - a , b)

44. W (-x) = (a, -b )

45. W(x + 2-ir) = (tí, b)

46. W(x + 2-rr) = ( -a . - b )

En los problemas del 47 al 52, encuentre todas las soluciones x, —2'it ^ x ^ 2 tí tales que:

47- " w - ( w ^ ) «■

25. W( 2)

26. W(l)

27. W(3)

28. W(4)

29. W(5)

30. W(7)

31. W (—2.5)

32. W(-4.5)

33. W(—6.1)

«■«*>-(-¥■-i)

« - " » - ( x ’í so.

a w -(-44

34. W(—1.8)

Encuentre todas las soluciones para cada ecuación de los pro blemas 53 y 54.

En los problemas del 35 al 38, encuentre todas las soluciones para cada ecuación con ( ) < .v < 2tt, después escriba una ex-

53. W(x) = W(ir/4)

54. W{x) = M/(2'ir/3)

348

5


5-2 Definición de las funciones circulares Valores exactos para números reales particulares Propiedades del signo Identidades básicas Evaluación con calculadora En la sección 5-1 se vio que la función generadora W relaciona cada número real x con un par ordenado de números reales (a, b), las coordenadas del punto circular IV(x). Se usa esta asociación para construir las seis funciones circulares, también llamadas fun ciones trigonom étricas:* seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Los valores de estas funciones para un número real x están denotados por sen ,v, eos x, tan x , cot x, sec x y ese x , respectivamente. Estos valores se expresan en términos de las coordenadas del punto circular W(x) = ( a , b) como se indica en la definición 1.

DEFINICION 1

Funciones circulares

Si x es un número real y (a, b) son las coordenadas del punto circular W(x), en tonces sen x = b eos x = a tan x — —— c7 # 0 a

cot x = — b

b+0

El dominio de las funciones seno y coseno es el conjunto de los números reales R. El rango de las funciones seno y coseno es [—1, 1], Este es el conjunto de números supuestos b, para el seno, y a, para el coseno, como el punto circular (a, b) que se mueve en el círculo unitario. El dominio de la cosecante es el conjunto de números realesx tales que b que está en W(x) = (a, b) no es 0. Se hacen restricciones similares en los dominios de las otras tres funciones circulares. Se abundará en el tema de los domi nios y los rangos de las seis funciones circulares en secciones subsecuentes. Usando los resultados de la sección 5 - 1 , se puede evaluar cualquiera de las seis funcio nes circulares con exactitud, cuando éstas existen, para múltiplos enteros de los núme ros reales t t / 6 , tt/ 4 , tt/ 3 y tt/ 2 . La figura 8 en la sección 5 - 1 , que se debió memorizar, y las propiedades de simetría del círculo unitario son importantes en este proceso. Más * Estrictamente hablando, la palabra trigonométrica se usa cuando se está tratando con dominios de ángu los, y la palabra circular cuando se está tratando con dominios de números reales. No se insistirá en esta distinción y, frecuentemente, como establece la convención, se usará trigonométrica en ambos casos.

5-2

Funciones circulares

349

adelante se m ostrará cóm o se puede usar una calculadora para evaluar las funciones circulares con ocho o m ás dígitos significativos para núm eros reales arbitrarios. U sted quizá se pregunte por qué no se usa la calculadora directam ente. La respuesta es que hay m uchas situaciones en que es m ás deseable trabajar con form as exactas, si se pue de, que con las aproxim aciones decim ales correspondientes producidas por una calcu ladora.

Evaluación exacta de funciones circulares Evalúe cada función circular exactam ente p a ra * = tt/3 Solución

D e la sección 5-1 se sabe que

i y l 2’

[Véase figura 1.

2

ex

Así, / V3

TT

sen-

= b

TT COS- = a TT b tan — = — 3 a

2 l

V 3 /2

V3

l T = 2 2 l TT a 2 cot — 3 ~ b ~ V 3 /2

V3

TT _ l sec — 3 a

2 = V3

2

-ir _ l _ l e s e —• 3 ~ b ~ V 3 /2 _

l

Evalúe cada función circular exactam ente p a ra x = tt/6 .

Evaluación exacta de funciones circulares Evalúe exactam ente: (A) se n (5 ir/6 ) Soluciones

(B) c o t ( —tt)

(C) sec ( —211/3)

Trace una figura para cada parte, después use la figura 8 de la sección 5-1 y las propie dades de sim etría del círculo unitario. (A)

5ir sen-

I

(D) tan (7tt/4)

h

2

350

5 Funciones trigonométricas

(B)

a

-1

b

0

C O t(-T T ) = - = —

No está definida

sec|- f ) = r

7n

b

^

= ~2

- 1/V2

tan — = - = ------- 7=“ 4 a 1 /V 2

Prob lema seleccionado

,

= -l

Evalúe exactamente: (A) eos (5 t t/6 )

(B) sen ( —3 -17/4 )

(C) ese 3 tt

(D)

tan ( —tt/3 )

Conforme un punto circular W(x) se mueve de cuadrante en cuadrante, sus coordenadas (a, b) experimentan cambios de signo. Por consiguiente, las funciones circulares tam bién cambian de signo. Es importante saber el signo de cada función circular en cada cuadrante. La tabla 1 muestra el comportamiento del signo para cada función. No es necesario memorizar la tabla 1, ya que el signo de cada función para cada cuadrante se determina fácilmente a partir de su definición (que se debe memorizar).

5-2 Funciones circulares

:

TABLA 1

Propiedades del signo Signo en el cuadrante Función II

circular

I II

IV i!

sen

x=b

CSC x = eos

EXPLORACIÓN Y ANALISIS 1

Mb

x=a

+

+

+

+

a b

a b

( - , +)

(+ , +)

+ +

sec x

Ma

+

'an v =

bla

+

+

co l x =

uib

+

+

a b

a b (+ , - )

(A) Determine el cuadrante para el cual tan x < 0 y sen x > 0. Dibuje diagramas y explique su razonamiento. (B) Determine el cuadrante para el cual eos a > 0 y cot x < 0. Dibuje diagramas y explique su razonamiento.

Volviendo a las definiciones de las funciones circulares se observa que básicas sen x = b

y

eos x = a

se pueden obtener las siguientes relaciones útiles entre las seis funciones circulares: 1 i ese x = — = ----b sen x

(1)

1

1

a

eos x

sec x = -

a 1 1 cot x - - = — = ----b bla tan x

_ sen* a

eos x

a eos x cot x = — = ----b sen*

(2)

(3) (4) (5)

Debido a que los puntos circulares fV(x) y W(—x) son simétricos con respecto al eje horizontal (véase figura 2 ), se tienen las siguientes propiedades de signo:,.

FIGURA 2 simetría.

Propiedad de

sen(-x) = ~ b = -senx

(6)

eos ( —x) = a = eos x

(7)

-b

b

tan (—x) = --- = — = ■ -tan x

(8)

352


Finalmente, debido a que (a, b) = (eos x, sen x) está en el circulo unitario u2 + v2 = 1, se sigue que (eos x)2 + (sen x)2 = 1 la cual se escribe generalmente como sen2x + eos2x = 1

(9)

donde sen2x y cos2x son las formas concisas de escribir (sen x)2 y (eos x)2 respectiva mente. (sen x)2 ¥= sen x2

PRECAUCIÓN

(eos x)2 ^ eos x2 Las ecuaciones (1) a (9) se llaman identidades básicas. Éstas valen para todos los reemplazos de x por números reales para los que están definidos ambos lados de una ecuación. Estas identidades básicas se deben memorizar junto con las definiciones de las seis funciones circulares, ya que el material se usa extensamente en los desarrollos que siguen. Observe que la mayor parte del capítulo 6 está dedicado a las identidades trigonométricas. Se resumen las identidades básicas para una referencia conveniente en el teore ma 1. Identidades trigonom étricas básicas

Para x cualquier número real (en todos los casos se restringe a que ambos lados de una ecuación estén definidos): Identidades recíprocas (1 )

/

(3)

(2 )

1 sec x = ----eos x

l

ese x = ----sen x

. cot x ~

1 tan x

Identidades del cociente (4)

(5)

sen x tan x = ----eos x

. eos x cot x = -----sen x

Identidades para negativos (6)

sen (—x) = —senx

(7)

(8)

eos (—x) = cosx tan (—x) = —tanx Identidad pitagórica (9)

sen2x + cos2x = 1 i.

EJEMPLO

Uso de las identidades básicas

Use las identidades básicas para encontrar los valores de las otras cinco funciones cir culares, dado que sen x = - \ y tan x > 0 .


Solución

353

Observe primero que el punto circular W(x) está en el cuadrante III, puesto que es el único cuadrante en el cual sen x < 0 y tan x > 0. Después encontramos eos x usando la identidad (9): sen" x + eos2 * = 1

Id e n tid a d p ita g ó rica (9)

(~ \)2 + eos2 x = 1

eos2x = | eos x —

V 3

—

Ya q u e W(x) n o e stá e n el c u a d ra n te III.

Ahora, a partir de los valores para senx y eos x, se pueden encontrar los valores para las otras cuatro funciones circulares usando las identidades (1), (2), (4) y (5): 1 1 esex — ——¡-i — ~ —2 sen* 2 sec x

1

cosx

Id e n tid a d recíp ro ca (1)

l -V 3/2

1 sen* tan x —----- —— rr2 —“ 7= eos X -V 3/2

cosx cotx = sen jc

-V 3/2

Id e n tid a d del c o c ie n te (4)

= V3 V"*

Id e n tid a d del c o c ie n te (5) p o d ría u sar ta m b ié n la id en tid ad (3 ).]

[Nota: se

En el ejemplo 3 es importante observar que se puede encontrar los valores de las otras cinco funciones circulares sin encontrar x.

Problema selecciona


Use las identidades básicas para encontrar los valores de las otras cinco funciones cir culares dando eos x = \ ! \ f i > y cot x < 0 .

Dadas las condiciones de x en el ejemplo 3: sen x = y tan x > 0. Encuentre, usando las identidades básicas y los resultados del ejemplo 3, cada una de las si guientes: (A) sen (-x )

(B) sec (-x )

(C) tan (—x)

Justifique verbalmente cada paso en el proceso de su solución.

La evaluación de funciones circulares para otros números reales además de los múltiplos enteros de tt/6 , t t / 4 , t t / 3 y tt/2 es difícil sin una calculadora. Usando matemáticas avan zadas, las calculadoras están programadas internamente para evaluar estas funciones en forma automática con un grado de precisión de ocho o más dígitos significativos. Si se observa las teclas de función de su calculadora, se encontrarán tres teclas marcadas

354


Estas teclas se usan para evaluar las funciones seno, coseno y tangente directamente. Un examen cuidadoso de las teclas de funciones de su calculadora le permitirán obser var también que no hay teclas para la cosecante, secante y cotangente. ¿Por qué no son necesarias estas teclas? Debido a las identidades recíprocas (1) a (3), se pueden usar las teclas de las funciones para el seno, coseno y tangente, y después usar la tecla de la función recíproca L

°

se obtiene ese x, sec* y cotx. No use las teclas marcadas con sen-1, eos' 1y t a n p a r a evaluar la ese, sec y cot, respectivamente. Usted verá el porqué en la sección 5-9. Algu nos ejemplos pueden ayudar a clarificar el proceso de evaluación de las funciones cir culares con calculadora.

PRECAUCIÓN

Estableciendo el modo de la calculadora: Antes de empezar con los ejemplos y

los ejercicios, lea el manual de instrucciones de su calculadora para determinar cómo ponerla en modo de radianes (rad). Es en este modo en el que se puede evaluar las funciones circulares para números reales. (Este proceso.se justifica en la sección 5-4 en que se analizan funciones trigonométricas con sus dominios de ángulos.) Una causa de error frecuente cuando se usa una calculadora es olvidar ponerla en el modo correcto antes de empezar a hacer cálculos que involucren funciones circulares o trigonométricas. ✓-

Evaluación con calculadora

Evalúe con cuatro dígitos significativos usando una calculadora: (A) sen2 Soluciones

(B) tan (-1.612)

(C)csc3.2

(A) sen 2 = 0.9093 (B) tan (-1.612) = 24.26 (C) ese 3.2 = -17.13


Evalúe con cuatro dígitos significativos usando calculadora: (A) eos 4

ANÁLISIS Y EXPLORACIÓN 3

*

(B) sec 1.605

(C) cot (-3.133)

Use una calculadora para evaluar cada uno de los siguientes enunciados, y explique los resultados que obtenga: (A) tan (17/2)

(B) cot 0

(C) sec (—tt/2)


355

Respuestas a los problemas seleccionados 1. sen (tt/6) = j , eos (tt/6) = V3/2, tan (ir/ó) = 1/V3Í ese (ir/ó) = 2, sec ( tt/ 6) = 21\/3 cot (rr/6) ="\/3 2. (A) —V3/2 (B) —1/V5"(C) No está definido 3. sen .v = — ese x - —\/2 , sec x = \ / 5 , tanx = —1, cot x = —1 4. (A) -0.6536 (B) -29.24 (C) 116.4

E J E R C IO En la figura 8 de la sección 5-1 está la definición de las fun ciones circulares, y las identidades básicas que se deben me mo/izar. Resuelva los problemas de este ejercicio sin mirar la sección de soluciones del libro. Dibuje la mayoría de las gráfi cas, si es necesario.

A ____________________________________________

33. eos tt

34. sen(3Tr/2)

35. eos (—tt/2)

36. tan ir

37. sen (3tr/4)

38. eos (2tt/3)

39. cot 2tt

40. tan (-3-rr/2)

41. tan (--rr/6)

42. c o t(—-rr/3)

43. eos (—-rr/6)

44. sen (—ir/4)

45. sec (5ir/3)

46. ese (4ir/3)

47. c o t(—3 tt/4)

48. tan(5-rr/4)

1. Escriba el valor de cada función circular en términos de las coordenadas (a, b) del punto circular W(x). (A) eos x (D) sec .r

(B) ese x (E) tan.v

(C) cot a; (F) sen x

2. Dado W(x) = (a, h), identifique cada cantidad usando uno de los valores de las funciones circulares sen x, eos x y así sucesivamente. (A) b (B) 1la (C) b/a (D) 1Ib (E) a (F) alb En los problemas del 3 al 20, encuentre el valor exacto de cada expresión (si ésta existe) sin usar calculadora.

4. sen 0

5. sen ( tt / 6 )

6. eos (tt/6)

7. sen ( it/2)

8 . eos (tt/2 )

9. tan ( tt/3)

10. eos (ir/3)

11. tan (-ir/2)

12. cot 0

13. secO

14.

15. sec (ir/4)

16. esc (ir/3)

17. tan ( tt/4)

18. tan 0

19. ese 0

20. cot (tt/6 )

3.

eos 0

COt

(77/4)

En los problemas del 2 i al 26, en cuáles cuadrantes debe estar W(x) de manera que:

21. eos x < 0

22. tan x > 0

23. senx > 0

24. sec x > 0

25. cot x < 0

26. esc x < 0

En los problemas del 27 al 32. evalúe con cuatro dígitos signi ficativos usando una calculadora

27. eos 2.288

28. sen 3.104

29. tan (-4.644)

30. sec (-1.555)

31. ese 1.571

32. cot 0.7854

B ____________________________________________ En los problemas del 33 al 48, encuentre el valor exacto de cada expresión (si ésta existe) sin usar calculadora.

En los problemas del 49 al 52, encuentre el valor de cada uno de los dígitos significativos. Use sólo la figura que lo acompa ña, la definición 1 y una calculadora si hay necesidad de mul tiplicar o de dividir Compruebe sus resultados evaluando directamente cada uno en una calculadora.

49. (A) sen 0.4

(B) eos 0.4

(C) tan 0.4

50. (A) sen 0.8

(B) eos 0.8

(d) cot 0.8

51. (A) sec 2.2

(B) tan 5.9

(C) cot 3.8

52. (A) ese 2.5

(B) cot 5.6

(C) tan 4.3

b

(D) —V 3

356


En los problemas del 53 al 56, ¿en cuáles cuadrantes son ver daderos los enunciados siguientes y por qué?

78. sec x = 2 y sen x < 0 79. tan x = \ ,/3 y sen x < 0

sen x < 0 y cot x < 0 80. cot x = —1 y sen x > 0

eos x > 0 y tan X < 0 eos x < 0 y sec x > 0

En los problemas del 81 al 86, encuentre el número más pe queño positivo x (en términos de -n) para el cual:

sen .v > 0 y ese .y < 0

57. eos x

58. sen x

59.

tan x

82. sen* =

60. cot x

61. sec.v

62.

ese .y

¿Cómo hacer para que el valor de la función indicado en los problemas 63 y 64 varié conforme x varía en el intervalo indi cado? [Sugerencia: Dibuje un circulo unitario y observe que W(x) = (a, b) = (eos x, sen x ).]

(A) [0,17/2] (C) [77,377/2]

V3

84. tan .y = 85. sec * = 00

sen x:

-1

o o * II

81. eos X =

00

¿Para cuáles valores de x, 2n, no está definido cada uno de los problemas del 57 al 62?

2

V3

ese x =

( B ) [77/2,17]

(D) [3i7/2, 2i7]

eos x: (A) [0.17/2] (C) [17, 377/2]

( B ) [77/2.17]

(D) [3-17/2, 217]

Realice los problemas del 65 al 68 con cuatro dígitos signifi cativos usando una calculadora. 65. sen (eos 0.3157)

66 . eos (tan 5.183)

67. eos [esc (-1 .4 0 8 )]

68 . sec [cot ( —3.566)]

En los problemas 87y 88, llene los espacios en blanco citando la identidad apropiada (1) a (9). Razón

87. Enunciado cot2 x + 1 =

eos x senx

+1

( A )___

Álgebra

!sen ---2--.y *" 1 eos2 x + sen2 x „ sen2*

Use las identidades apropiadas para resolver los problemas del 69 al 74. 69. Encuentre sen ( - a ) si senx = —

Álgebra (B ).

sen‘ x

70. Encuentre eos ( —x) si eos x = —t .

71. Encuentre tan ( —x) si tan ,v = —V 3.

Álgebra

\senjf /

72. Encuentre sec ( —x) si sec x = 1.

(C)___

73. Encuentre cot ( —x) si cotx = 5. 74. Encuentre ese ( —x) si ese x = —1. Razón

88. Enunciado

( A )___ Use las identidades para encontrar los valores de las otras cinco funciones circulares con la información dada en los pro blemas del 75 al 80. 75. eos x = - y tan x < 0

^

2

sen2 * -

—

2—

eos- *

76. sen .y = ----- y cot x < 0 2 77. sen x = - —

V2

y eos * < 0

Álgebra

1

sen2 x + eos2x

1 eos *

V 3

*■

Álgebra (B ).

Álgebra

■M \cosx (C ).

5-3 Ángulos y su medida

Aproximación de tt. Los problemas 93 y 94 se refieren a una / sucesión de números generados como sigue:

APLICACIONES

Si un polígono regular de n lados se inscribe en un círculo de radio r, entonces se puede demostrar que el área del polígono está dada por .

1

,

a-í — a\ + eos a]

a 3 = «2 + eos

2-77

A = — nr- sen — 2 n

Calcule cada área exactamente, y después con cuatro dígitos sig nificativos usando una calculadora si el área no es un entero.

89. 90. 91. 92.

n = \2,r = 5 metros n = 4,

r =3 pulgadas

n = 3,

r =4 pulgadas

n = 8,

r =10 centímetros

IOÍ

357

o

i

93. Sea a = 0.5, y calcule los primeros cinco términos de la sucesión con seis cifras decimales, después compare el quinto término con tt/2 calculado hasta con seis cifras decimales. 94. Repita el problema 93, comenzando con a. = 1.

5-3 Ángulos Mediciones en radianes y en grados De grados a radianes y viceversa

En esta sección se introducirá el concepto de ángulo y las dos unidades con que se miden, los grados y los radianes.

El estudio de la trigonometría comienza con el concepto de ángulo. Un án g u lo se forma girando una media recta, llamada rayo, alrededor de su punto final. Un rayo m, llamado lad o inicial del ángulo, permanece fijo; un segundo rayo n , llamado lad o te rm in a l del ángulo, comienza en la posición del lado inicial y gira alrededor del punto final común V en uá plano hasta que alcanza su posición terminal. El punto final común Fes el v értice (véase figura 1). Una rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj produce un ángulo positivo, y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo, como se muestra en las figuras 2(a) y (b). El tamaño de la rotación en cualquier dirección no está restringida. Dos ángulos diferentes pueden tener Angulo 0, ángulo PVQ o/L V.

358


Angulos y rotación.

Lado inicial

(a)

los mismos lados iniciales y terminales, como se muestra en la figura 2(c). Tales ángu los se llaman co term in ales. Se dice que un ángulo en un sistema coordenado rectangular que está en la posi ción normal (o estándar) si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x. Si el lado terminal de un ángulo está en la posición estándar yaciendo sobre un eje coordenado, se dice que es un án g u lo de c u a d ra n ta l. Si el lado terminal no está en un eje coordenado, entonces a menudo se hace referencia en términos del cuadrante en el que está (véase figura 3). •JICUÍT Ángulos en posiciones estándar.

Lado inicial Lado terminal 0 es un ángulo en el

8 es un ángulo en el

tercer cuadrante

segundo cuadrante

(a) • M e d ic io n e s e n r a d ia n e s y e n g ra d o s

DEFINICIÓN 1

(b)

(c)

Así como los segmentos de recta se miden en centímetros, metros, pulgadas o millas, los ángulos se miden en diferentes unidades. Las dos unidades más comúnmente usa das para la medida de los ángulos son los grados y los radianes..

Medición en grados

Se dice que un ángulo formado por una rotación completa tiene una medida de 360 grados (360°). Un ángulo formado por 3‘0 de una rotación completa se dice que tiene una medida de 1 g ra d o ( I o). El símbolo 0 denota grados.

Ciertos ángulos tienen nombres especiales. La figura 4 muestra un án g u lo llano, un á n g u lo recto, un án gulo a g u d o y un án g u lo obtuso. Tipos de ángulos.

180”

.90*

Angulo llano rotación!

Ángulo recto ( j rotación:

Angulo agudo (0° < 9 < 90c)

Ángulo obtuso (90° < 0 < 180°)

(a)

(b)

(c)

(d)


359

Dos ángulos positivos son c o m p le m e n ta rio s si su suma es de 9o: y su p le m e n ta si su suma es de 180°. Un grado se puede además dividir usando la notación decimal. Por ejemplo, 42.75° representa un ángulo de 42 grados más tres cuartas partes de 1 grado. Un grado tam bién se puede dividir usando minutos y segundos, de la misma manera que una hora se divide en minutos y segundos. Cada grado se divide en 60 partes iguales llamadas m in u to s, y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos. Simbólica mente, los minutos se representan por ' y los segundos por ". Así, rio s

12°23'I4" es una manera concisa de escribir 12 grados, 23 minutos y 14 segundos. Los grados decimales (GD) son útiles en algunos casos y los grados-minutossegundos (GMS) en otros. Usted debe ser capaz de ir de una forma a otra, como se muestra en el ejemplo 1.

Precisión de la conversi<

Si un ángulo se mide al segu debe incluir más de tres lug¡

EJEMPLO 1

De la forma GMS a la form a CD y a la inversa

(A) Convierta 21°47'12" a grados decimales. (B) Convierta 105.183° a la forma grado-minuto-segundo. Solución

i 47 12 \° (A) 21u47'12" = 21 + — + —— = 21.787a V 60 3600/

(B) 105.183° | = 105°(0.183-60)' ! = 105° 10.98' ¡ = 105°10'(0.98-60)" = 105°10'59" _______________________________________________________________________ Problema seleccionado 1

(A) Convierta 193° 17’ 34" a la forma GD. (B) Convierta 237.615° a la forma GMS. ii

Algunas calculadoras científicas y de graficación pueden convertir a las formas GD y GMS automáticamente, pero el proceso difiere en forma significativa entre los diferentes tipos de calculadoras. Verifique en el manual de su calculadora en particular. Los métodos de conversión delineados en el ejemplo 1 muestran el razonamiento de trás del proceso, el cual, a veces es más fácil de usar que los métodos “automáticos” de algunas calculadoras.

l


Las medidas de ángulos en grados se usan ampliamente en la ingeniería, levanta miento de planos y en la navegación. Otra unidad de medida de ángulos, llamada radián, se ajusta mejor a ciertos desarrollos matemáticos, al trabajo científico y a las aplicacio nes de la ingeniería.

DEFINICIÓN 2

Mediciones en radianes

Si se coloca el vértice de un ángulo 9 en el centro de un círculo de radio r > 0, y la longitud del arco opuesto a 0 en la circunferencia es s, entonces 0 medido en radianes está dado por $

0 = - radianes

r

También, s = rQ

Si s = r, entonces

0 = - = 1 radián

r

Así, un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que intersecta un arco de la misma longitud que el radio del círculo. [Nota: s y r deben estar medi dos en las mismas unidades. Observe también que 0 se usa de dos maneras: como el nombre de un ángulo y como la medida del ángulo. El contexto determina la elección. Así, cuando se escribe 0 = s/r, significa que la medida del ángulo 0 en radianes es s!r.}

Cálculo de la medida de un ángulo en radianes

¿Cuál es la medida en radianes de un ángulo central 0 opuesto a un arco de 24 metros en un círculo cuyo radio mide 6 metros? Solución

„ s 24 metros .,. 0 = — = -------------- = 4 radianes r 6 metros


361

¿Cuál es la medida en radianes de un ángulo central 0 opuesto a un arco de 60 pies en un círculo de radio de 12 pies?

Comentario. La medida radián es un número sin unidades. Las unidades en las que se mide la longitud del arco y el radio se cancelan; por consiguiente, se está dejando a un número “sin unidades”, o puro. Por esta razón, la palabra “radián” se omite a menu do cuando se trata con la unidad radián como medida de ángulos a menos que se desee hacer un énfasis especial. /

/


Analice por qué la medida en radianes de un ángulo es independiente del tamaño del círculo que tiene al ángulo como un ángulo central.

¿Cuál es la medida en radianes de un ángulo de 180o? Un ángulo central de 180° es subtendido por un arco que es la mitad de la circunferencia de un círculo. En conse cuencia, si C es la circunferencia de un círculo, entonces la mitad de la circunferencia está dada por C 2irr s = —= ---- = ttr 2

2

-nr

s r

y

0 = - = — = ir rad

r

De aquí que, 180° corresponde a tt* rad. Es importante recordar esto, ya que las medi das en radianes de algunos ángulos especiales se pueden obtener de esta corresponden cia. Por ejemplo, 90° es l80°/2; por lo tanto, 90° corresponde a tt/2 rad.


Termine la tabla 1: T A B LA 1 Radianes Grados

tt/6 do

tt/4

US

ir/3

tt/2

1T

4P

90

180

2 it

3 tt/2

¿ b o

* La constante tt tiene una larga e interesante historia; en seguida se enumeran algunas fechas importantes: 256 = 3.16049... 1650 a.C. Papiros de Rhind 81 3 < TT < 4 370 a.C. Euclides Arquímides

3 — - < T7 < 3 — (3.1408... <

264 d.C.

Liu H uí

470 d.C.

Tsu Ch'ung-chih

71 tt =* 3.14159 355

240 a.C.

7

TT<

3.1428...) i

3.1415929...

113 1674 d.C.

1761 d.C.

Leibniz

Johann Lambert

=4 ( 1 -

L + ± - L + L - l + •)

3 5 7 9 11 = 3.1415926535897932384626 (Ésta y otras series se pueden usar para calcular ir con la precisión deseada.) Mostró que ir es un irracional ( tt tiene una repetición decimal no repetitiva e infinita.)

362


Los resultados de la tabla I están resumidos en la figura 5 para una fácil referen cia. Estas correspondencias y sus múltiplos se usarán ampliamente en el trabajo que sigue. 90° = 7t/2

Correspondencias entre radián y grado.

270“ = 3n/2

En general, se puede usar la siguiente para convertir grados en radianes y vice versa.

Fórmulas de conversión entre grados y radianes

-JS L .

[Nota: La proporción de la izquierda es generalmente más fácil de recordar. Tam bién se omiten las unidades en los cálculos hasta la respuesta final. Si su calcula dora no tiene una clave marcada con t t , use t t = 3.14159.]

Algunas calculadoras científicas y de graficación pueden convertir automáticamente radianes a grados y viceversa. Verifique el manual de su calculadora.

EJEMPLO 3

Conversiones de grados a radianes

(A) Encuentre la medida en radián, exactos y con tres dígitos significativos, de un ángulo de 75°. (B) Encuentre las medidas en grados, exactos y con cuatro dígitos significativos, de un ángulo de 5 radianes. (C) Encuentre las medidas en radianes con dos cifras decimales de un ángulo de 41°12'. exacta con tres dígitos significativos. Solución

(A) 6

rad

='TTi ^ 0 =JÜ—(75) = — = 1.31 180° s 180 12 exacta con cuatro dígitos significativos.

(B) 6 rad = sra

TT

rad

0riJ =

(5) = 900= 286.5° TT

TT


75° 5r 4 1 °1 2 1

1.31

(C)

4 1 °1 2 ' = (41 + — ]

I

2 8 6 .5 4 1 .2 0

0rad =

= 4 1 .2 °

Primero cambie 41: i 2 'a GD.

60) °grad =

(4 1 .2 ) = 0.72

Con dos cifras decimales

La figura 6 muestra las tres conversiones anteriores hechas automáticamente con una calculadora de graficación.

Conversión automática.

(A) Encuentre los radianes, exactos y con tres dígitos significativos, de un ángulo de 240°. (B) Encuentre los grados, exactos y con tres dígitos significativos, de un ángulo de 1 radián. (C) Encuentre los radianes con tres dígitos significativos de un ángulo de 125°23'.

Comentario. Se escribirá 0 en lugar de 0nrad y 0nd cuando el contexto indique clara mente si se trata con grados o radianes.

Ingeniería

Una banda conecta una polea de 2 pulgadas de radio con una polea de 5 pulgadas de radio. Si la polea más grande gira 10 radianes, ¿cuántos radianes gira la polea más pequeña? Solución

Se comienza dibujando la figura 7.

FIGURA 7

Cuando la polea más grande gira 10 radianes, el punto P en esta circunferencia recorre rá la misma distancia (la longitud del arco) que el punto O en ei círculo más pequeño. Para la polea más grande:

r s = >-0 = (5)( 10) = 50 pulgadas

Para la polea más pequeña: s 50 0 = - = — = 25 radianes r

2

364


En el ejemplo 4, ¿cuántos radianes gira la polea más grande si la polea más pequeña gira 4 radianes?

Respuestas a los problemas seleccionados 1. (A) 193.293° 3. (A) y

= 4.19

(B) 237°36'54" (B) ^

2. 5 rad

= 57.3°

(C) 2.188

4. 1.6 rad

5-3 En todos los problemas, si la medida del ángulo se expresa por un número que no está en grados, debe suponerse que está en radianes.

19. - 4 5 ° ,- 9 0 ° ,- 1 3 5 ° ,- 1 8 0 ° 20. - 9 0 ° ,- 1 8 0 ° ,- 2 7 0 ° ,- 3 6 0 ° Encuentre los grados exactos de cada ángulo en los problemas del 21 al 24.

Encuentre los grados en cada uno de los ángulos de los pro blemas del 1 al 6, tenga presente que el ángulo de una rotación completa corresponde a 360° 1 . ¿ rotación

2.

rotación

3. * rotación

4.

rotación

5. | rotaciones

6 . -Orotaciones

Encuentre los radianes de un ángulo central 0 opuesto a una longitud de arco s de un círculo de radio r, donde r y s están dados en los problemas 7 al 10. 7. /• = 4 centímetros, s = 24 centímetros 8 . r = 8 pulgadas, s = 16 pulgadas

9. r = 12 pies, s = 30 pies 10 . r = 18 metros, s = 21 metros

Encuentre los radianes para cada ángulo de los problemas del 11 al 16, tenga presente que el ángulo de una rotación comple ta corresponde a 2 tt radianes.

„ 21-

tt

2t¡

3 3

4 tt 5 tt , ir,—

23. ——, —ir,

, —

, 2 -it

33

- 2 tt

TT TT TT 2 lT

22‘ 6 ’

3 ’

ir

it

Convierta cada ángulo de los problemas del 25 al 28 a grados decimales con tres cifras decimales. 25. 5°51'33"

26. 14°18'37"

27. 354°8'29"

28. 184°31'7"

Convierta cada ángulo de los problemas del 29 al 32 a la fo r ma grado-minuto-segundo. 29. 3.042°

30. 49.715°

31. 403.223°

32. 156.808°

Encuentre los radianes con tres cifras decimales para cada ángulo de los problemas del 35 al 38.

12.

33. 64°

34. 25°

13. 4 ? rotación

14. frotación

35. 108.413°

36. 203.097°

15. frotaciones

16. frotaciones

37. 13°25'14"

38. 56° 11 '52"

B

3n

- i'- r - T '- '

1 1 . - rotación

rotación

5 tT

2 ’T ’T ’ U

Encuentre los grados con dos cifras decimales para cada án gulo de los problemas del 39 al 44.

Encuentre los radianes exactamente, en términos de tt. de cada ángulo en los problemas del 17 al 20.

39. 0.93

40. 0.08

17. 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°

41. 1.13

42. 3.07

18. 60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°

43. -2.35

44. -1.72


OO O

Indique si cada ángulo en los problemas del 45 al 64 es un -ngulo que está en el cuadrante I, I I , I I I o I V o es un ángulo ruadrantal. Todos los ángulos están en la posición normal ■estándar) en un sistema coordenado rectangular. (Un dibujo puede ser de ayuda en algunos problemas.) 46. 135°

47. - 200‘

48. -6 0 °

49. 4

50. 3

51. 270°

52. 360°

53. - 1

45.

54. - 6

57.

63.

7ir ~~6~

-

3ir ~ T 13tt

- T O On) C OO

60.

56.

y se reflejaba en el agua de un pozo profundo en forma vertical. El mismo día, al mismo tiempo. 5 000 estadios (aproximadamente 500 millas) al norte de Alejandría, los rayos del Sol cruzaban un polo vertical en un ángulo de 7.5°, como se indica en la figura. Realice el cálculo de Eratóstenes para la circunferencia de la Tierra aproximando a los miles de millas más cercanas. (El cálculo más reciente de la circunferencia ecuatorial es de 24 902 millas).

2 -rr

T

59. -TT 62. —565'

23tt 64. —— 3

Describa verbalmente el significado de un ángulo central de 1 radián en un círculo. Describa verbalmente el significado de un ángulo de 1 erado.

80. Circunferencia de la Tie rra. Repita el problema 79 cuando el Sol cruza el polo vertical en Alejandría a 7°12'. Circunferencia de la T ie rra . En el problema 79, explique verbalmente cómo se determina 0 en la figura.

¿Cuáles ángulos de los problemas del 67 al 72 son coterminales con 30° si todos están en la posición normal (estándar) en un sistema coordenado rectangular? 67. 390° 70.

II tt ~6~

68 . 330°

69. ^ 6

71.

72. 750°

-6 9 0 °

¿ Cuáles ángulos en los problemas del 73 al 78 son coterminales con 3tv'4 si todos están en la posición normal (estándar) en un sistema coordenado rectangular? 73.

3 tt

T

76. -2 2 5 °

74. 77.

7- it

4

11TT ~4~

75. 135° 5-rr

Circunferencia de la T ie rra . Explique vcrbalmente cómo el radio, área superficial y el volumen de la Tierra se pueden determinar con el resultado del problema 79. 83. Medición en radianes. ¿Cuál es la medida en radianes del ángulo más grande formado por las manecillas de un reloj a las 4:30? Exprese la respuesta exactamente en términos de tt. 84. Medición en radianes. ¿Cuál es la medida en radianes del ángulo más pequeño que forman las manecillas de un reloj a la 1:30? Exprese la respuesta exactamente en términos de - . 85. In g en ie ría. ¿C uántos rad ian es gira una polea de 10 centímetros de diámetro cuando se jalan 10 metros de la cuerda y no resbala?

78- - T 86 . Ingeniería. ¿Cuántos radianes gira una polea de 6 pulgadas

de diámetro cuando se jalan 4 pies de la cuerda y no resbala?

79. L a circunferencia de la T ie rra . Los griegos usaron la proporción s/C = 9°/360°, donde s es una longitud del arco en un círculo. 0 ° son ios grados del ángulo central correspondiente y C es la circunferencia del círculo (C = 2 -nr). E ratóstenes (240 a .C ) , para obtener su famoso cálculo de la circunferencia de la Tierra, razonó como sigue: En Siena (ahora Asuán) durante el solsticio de verano el ravo de Sol del mediodía caía directamente sobre su cabeza

87. Astronomía. ¿Qué ángulo medido en radianes barre una línea del Sol a la Tierra en una semana? Suponga que la órbita de la Tierra es circular y que un año tiene 52 semanas. Exprese la respuesta en términos de - y como un decimal con dos cifras decimales. 88 . Astronomía. ¿De cuántos radianes es el ángulo que barre

una línea del centro de la Tierra al ecuador en 9 horas? Exprese la respuesta en términos de it y como decimal con dos cifras decimales.

366


La rueda de una bicicleta de rastreo tiene 40 centímetros de diámetro y la trasera 60. ¿Qué ángulo en radianes gira la rueda delantera si la trasera gira 8 radianes?

89. Ingeniería.

en radianes puede ayudar en la solución de ciertos problemas. Esta información será útil en los problemas del 91 al 94.

El Sol está aproximadamente a 9.3 X 10" millas de la Tierra. Si el ángulo subtendido por el diámetro del Sol a la superficie de la Tierra es de 9.3 X 10~3 rad aproximadamente, ¿cuál es el diámetro del Sol en miles de millas, aproxime a las más cercanas en notación decimal estándar?

91. Astronomía.

En el problema 89, ¿qué ángulo en radianes gira la rueda trasera si la delantera gira 15 radianes?

90. Ingeniería.

E s fá c il calcular la longitud de! arco en un círculo si el ángulo central correspondiente está dado en radianes y se conoce el radio del circulo (s = rQ). Si el radio del circulo es grande y el ángulo central es pequeño, entonces una longitud de arco se usa a menudo para aproximar a la longitud de la cuerda co rrespondiente, como se muestra en la figura. Si la medida de un ángulo está dada en grados, convertir primero esa medida

La Luna está aproximadamente a 381 000 kilómetros de la Tierra. Si el ángulo subtendido por el diámetro de la Luna a la superficie de la Tierra es de 0.0092 rad ¿cuál es el diámetro aproximado de la Luna en la centena de kilómetros más cercana?

92. Astronomía.

93.

Fotografía. El ángulo de visión de un lente de largo alcance de 1000 mm es de 2.5°. A 750 pies, ¿cuál es el ancho del campo de visión, aproxime al pie más cercano?

94. Fotografía. F.I ángulo de visión de un lente de 300 mm es de 8 5. A 500 pies, ¿cuál es el ancho del campo de visión, aproxime al pie más cercano?

s e c c ió n

5-4

Funciones trigonométricas Definición de las funciones trigonométricas Evaluación de las funciones trigonométricas con calculadora Definición de las funciones trigonométrica forma alternas: Valores exactos para ángulos especiales y números reales Resumen de valores de ángulos especiales

En esta sección se defi’.en las funciones trigonométricas con dominios de ángulo, don de los ángulos pueden estar medidos en grados o radianes. Se muestra también cómo las funciones circulares están relacionadas con las funciones trigonométricas para que usted pueda moverse fácilmente de uno al otro, cuando sea necesario.

Ahora usted está listo para definir las funciones trigonométricas con dominios de ángu lo. Puesto que se ha definido a las funciones circulares con dominios en los números reales, se pueden aprovechar estos resultados y definir las funciones trigonométricas con dominios de ángulo en términos de las funciones circulares. A cada una de las seis funciones circulares se le ha asociado una función trigonométrica del mismo nombre. Si 9 es un ángulo, ya sea en radianes o grados, se le asignan valores al sen 0 , eos 0 , tan 9, ese 0 , sec 0 y cot 0 como se indica en la definición 1.

5-4 Funciones trigonométricas

DEFINICIÓN 1

367

Funciones trigonom étricas con dominios de ángulo

Si 9 es un ángulo dex radianes, entonces el valor de cada fu nción trig o n o m é tric a en 9 está dado por su valor con el número real x. F u n c ió n trig o n o m é tric a

sen 9 eos 9 tan 9 ese 9 sec 9 cot 9

F u n c ió n c irc u la r

(o, b)

= senx = eos x = tan x = esex = sec x = cot x

W(x))

x unidades de \longitud de arco

( 1. 0 )

\

Si 9 es un ángulo medido en grados, convierta la medida en radianes y proceda como antes se indicó. [Nota: Para reducir el número de símbolos diferentes en ciertas figuras, se co menzará por etiquetar los ejes it y v como los ejes a y b. respectivamente. Una expresión tal como sen 30° también denota al seno de un ángulo que mide 30°.]

La figura en la definición 1 utiliza el hecho importante de que en un círculo unita rio la longitud de arco s opuesta a un ángulo de x radianes tiene una longitud de x unidades, y viceversa: 5 =

EJEMPLO 1

rO

=

1 ■X =

X

Evaluación exacta para ángulos especiales

Evalúe exactamente sin calculadora:

Solución

(A)

sen radianesj

(A)

sen í — radianes |= sen V6 ) 6

(B)tan ( ^radianes j

(B) tan ^— radianes j

(C) eos 180°

(D) ese (-150°)

—=— 2

= tan — = —1

(C) eos 180° i = eos (tt radianes)

■ = eos -ir = —1

(D) ese (—150°) i = ese ( —y" radianes j

i = ese

= —2

368



Evalúe exactamente sin calculadora:

(A) tan (—tt/4 radianes) (B) eos (2ir/3 radianes) (C) sen 90° (D) sec(-l20°)

• Evaluación de las funciones trigonométricas con ■ ' . ■•"

:

¿Cómo se evalúan las funciones trigonométricas para ángulos arbitrarios? Así como se puede usar una calculadora para aproximar las funciones circulares para números rea les arbitrarios, también se puede usar una calculadora para aproximar las funciones trigonométricas para ángulos arbitrarios. La mayoría de las calculadoras tienen tres opciones de modos trigonométricos: el grado (decimal), radián o grados centesimales. TT

Un ángulo recto = 90° = — radianes =100 grados centesimales. 2

La unidad g ra d o s cen tesim ales se usa en ciertas aplicaciones de ingeniería y no se usará en este libro. La siguiente es una precaución ya señalada pero que conviene recal car.

PRECAUCIÓN

Lea el manual de instrucciones de su calculadora para determinar cómo poner su calculadora en el modo de grados o radianes. Una causa frecuente de errores es olvidar poner la calculadora en el modo correcto antes de iniciar los cálculos que implican el uso de funciones trigonométricas.

Usando una calculadora en el modo de grado o de radián, se pueden evaluar las funciones trigonométricas directamente para ángulos medidos en grados o radianes sin tener que convertir primero de grados a radianes. (Algunas calculadoras trabajan sólo con grados decimales, otras trabajan con grados decimales o en forma de grado-minu to-segundo. Consulte su manual.) Generalizando las identidades recíprocas (expresadas primero en el teorema 1, de la sección 5-2) se puede evaluar la cosecante, la secante y la cotangente.

Teorema 1

Identidades recíprocas

Para .y cualquier número real o ángulo medido en grados o radianes: ese x = ---- -— sen*

sen x # 0

cot x = -------tan x

tan x ¥= 0


EJEMPLO 2

Evaluación con calculadora

Evalúe con cuatro dígitos significativos usando una calculadora: (A) eos 173.42° (B) sen (3 (E) sec (D) cot (—1Q2°51) Soluciones

(A) eos 173.42° = --0.9934 (B) sen (3 radianes) = 0.1411 (O tan 7.183 = 1.260 (D) cot (—102°51 'j

Modo grados (Degree en su calculadora) Modo radián Modo radián

l = cot (■ J

= 0.2281 (E) sec (12.59 radianes) = 1.000 (F) ese ( —206.3) = 1.156


Modo radián Modo radián

Evalúe con cuatro dígitos significativos usando calculadora: (A) sen 239.12° (D) tan (-212°33')

• D e fin ic ió n d e la s fu n c io n e s t r ig o n o m é t r ic a s : f o r m a a lt e r n a

necesitan grados decimales.)

(B) eos (7 radianes) (E) sec (-8.09 radianes)

(C) cot 10 (F) ese (-344.5)

Para muchas aplicaciones que implican el uso de funciones trigonométricas, incluso aplicaciones de los triángulos, es útil escribir la definición 1 en la forma alterna [una forma que utiliza las coordenadas de un punto arbitrario (a, b) # (0 , 0 ) en el lado terminal de un ángulo 0 (véase figura 1)]. Esta forma alterna de la definición 1 se encuentra fácilmente insertando un círcu lo unitario en la figura 1. dibujando perpendiculares desde los puntos P y Q al eje horizontal (figura 2 ), y usando el hecho de que las razones de los lados correspondien tes de triángulos semejantes son proporcionales.

b

FIGURA 1 Ángulo 0.

Triángulos semejantes.

370


Haciendo r —d(0. P) yobservando que d(0, Q) = 1,

se tiene

b’ b sen tía =sen.Y = utb = — =—

oy b, .siempre tienen el mismo signo.

a , a' a eos tí = eos x = a = — - —

a y o siempre tienen el mismo signo.

r

1

r

1

Los valores de las otras cuatro funciones trigonométricas se pueden obtener usando las identidades básicas. Por ejemplo tan 0 =

sen 0 eos 0

b/r

b

a/r

a

Ahora se tiene una muy útil forma alterna de la definición 1.

DEFINICIÓN 1 (FO RM A A LTER N A )

Funciones trigonom étricas con dominios de ángulo

Si 0 es un ángulo arbitrario en la posición estándar en un sistema coordenado rectangular y P{a, b) es un punto r unidades del origen en el lado terminal de 0, entonces:

sen 0 =

ese 0 = —, b =# 0 b

eos 0 =

sec 0 = —, a J= 0 a

tan 0 = — , a ¥= 0 a

cot 0 = —, b

r = Vo2 + b2 > 0 ; P(a, b ) es un punto arbitrario en el lado terminal de 0 . (a, b) * (0 , 0 )

0

b

Dominios: Conjuntos de todos los ángulos posibles para los que se definen las relaciones. Rangos: Subconjuntos del conjunto de los números reales. (Los dominios y los rangos se definirán más precisamente en la siguiente sec ción.) [Nota: El triángulo rectángulo que se forma al dibujar una perpendicular de P(a. b) al eje horizontal se llama triá n g u lo de refe ren cia asociado con el ángulo 0. A

menudo se hará referencia a este triángulo.]

5-4 Fundones trigonométricas

/

/


Analice por qué, para un ángulo dado 0, las relaciones de la definición 1 son indepen dientes de la elección de P(a, b) en el lado terminal de 0 en tanto que (a, b) =£ (0,0). Se debe memorizar esta forma alterna de la definición 1. Para auxiliar a la memo ria, observe que r = 1, por consiguiente P(a, b) está en el círculo unitario, y todos los valores de la función corresponden a valores obtenidos usando la definición 1 para funciones circulares de la sección 5-2. De hecho, usando la forma alterna de la defini ción 1 junto con el enunciado original de la definición 1 de esta sección, se tiene una manera alterna de evaluación de las funciones circulares:

De manera que ahora se pueden evaluar las funciones circulares en términos de las funciones trigonométricas, usando triángulos de referencia donde sea apropiado, o en términos de puntos circulares y de la función generadora antes analizada. Cada enfoque tiene ciertas ventajas en situaciones particulares, y usted debe familiarizarse con el uso de ambos. Esto se debe a que a partir de las ecuaciones (1) se puede evaluar las funciones circulares usando una calculadora en el modo de radián (véase la sección 5-2). General mente, a menos que se quiera dar cierto énfasis, no se usará “rad” después de un núme ro real. Esto es, se interpretará a las expresiones tal como “sen 5.73” como el “valor de la función circular sen 5.73” o el “valor de la función trigonométrica sen (5.73 rad)” según el contexto en que ocurra la expresión o la forma que se desea acentuar. Se permanecerá flexible y con frecuencia se cambiará entre el énfasis en la función circu lar al énfasis en la función trigonométrica, dependiendo de cuál de los dos proporcione mayor claridad en una situación dada.

Evaluación de las funciones trigonom étricas

Encuentre el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas para el ángulo ilustrado 0 cuyo lado terminal contiene a P(—3,—■4). Véase figura 3.

372


(a¡ b) = (-3, -4)

Solución

r = V a 2 + b2 = V ( - 3 )2 + ( - 4 )2 = V25 = 5 b - 4 sen 8 = - =— = - r 5 5 a

eos 0 = - = r

—3

3 = —— 5 5

„ ¿ - 4 4 tan 0 = —= — = a -3 3

Pr o b terna

4r ese 0 = - = — = — ¿>-4 4 r

5

55

5

sec 0 = - = —- =—a - 3 3 a - 3 3 cot 0 = - = — =b - 4 4

Encuentre el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas si ei lado terminal de 0 contiene al punto ( - 6 , - 8). [Nota: Este punto está en el lado terminal del ángulo en el ejemplo 3; de aquí que los resultados finales deben ser los mismos que los obteni dos en el ejemplo 3.]

Evaluación de las funciones trigonom étricas

Encuentre el valor de cada una de las otras cinco funciones trigonométricas para un ángulo 0 (sin encontrar 0) dado que 0 es un ángulo del cuadrante IV sen 0 = —7. La información dada es suficiente para poder localizar un triángulo de referencia en el IV cuadrante para 0, aunque 110 se conozca 0. Se traza un triángulo de referencia, que se etiqueta en la forma antes expresada (figura 4), y después termine el problema como se indica. b

Puesto que el sen 0 = b/r = - ^ puede hacer b = - 4 y r = 5 (r nunca es negativo). Si se puede encontrar a, entonces se puede determinar los valores de las otras cinco funciones.

^T i

..

S 11

-4)

Lado term inal de 9

Use el teorema de Pitágoras para encontrar a: a2 + (—4)2 = 52 a2 = 9 a = +3

= 3

o no puede ser negativo porque f) es un ángulo del cuadrante IV.

Usando (a, b) = (3, —4) y r = 5, se tiene que


a 3 eos 0 = —= r

5

b -4 4 tan 0 = - = —— = —— a 3 3


• V a lo r e s e x a c t o s p a r a á n g u lo s e s p e c ia le s y n ú m e r o s * r e a le s

r 5 5 ese 0 = - = —- = - -

r 5 sec 0 = —= a 3

¿ > - 4

3 _4

3 cot «0 = -a = —h

4

-4

Encuentre el valor de cada una de las otras cinco funciones trigonométricas para un ángulo 0 (sin encontrar 0) dado que 9 es un ángulo del cuadrante II y tan 0 = - j.

Suponga que está definida una función trigonométrica, se puede evaluar exactamente sin el uso de una calculadora o de una tabla (lo cual es diferente de encontrar los valores aproximados usando una tabla o una calculadora) para cualquier múltiplo de entero de 30°, 4 5 ° , 60°, 90°, t t / 6 , t t / 4 , tt/3 o de t t / 2 . Con un poco de práctica usted podrá determi nar estos valores mentalmente. En muchas situaciones es ventajoso trabajar con valores exactos en vez de con valores aproximados. Los ángulos más fáciles de tratar son los ángulos cuadrantales, ya que estos án gulos son múltiplos enteros de 9 0 ° o tt/ 2 . Es fácil encontrar las coordenadas de un punto en los ejes coordenados. Para cualquier punto que no esté en el origen, por con veniencia se escogen puntos de 1 unidad a partir del origen, como se muestra en la figura 5 .

Ángulos de cuadrantales.

(-1,0) T

' a ,b (0,1) N CAi-1 \ °> ^— > 0

En cada caso r ~ \ 'a 2 + b* = 1, es un número positivo,

(0, -1)

EJEMPLO 5

Funciones trigonom étricas de ángulos cuadrantales

Encuentre: (A) sen 90° Soluciones

(B) eos tt

(C) tan(-2ir)

(D) cot (-180°)

En cada caso se visualiza la localización del lado terminal del ángulo con respecto a la figura 3. Con un poco de práctica se podrá resolver mentalmente.

(A) sen 90°

(B)

CO S T T

=T = 1

a r

-1

= -1

(o, b) = ( 0, 1 ); r = 1

-*•0

!1

(o, b) = (-1, 0); r

1

374


(C) tan (—2tt)

=- i

(D) cot (-180°)

- T -

a ii — b !

-1

—

(o, b) = (1 , 0 ); r = 1

(o, £>) = (

1, 0 ); r = 1

No definida

Encuentre: (A) sen (377/2 )


(B) s e c ( - 77)

(C) tan 90°

(D) cot (—270°)

Observe en el ejemplo 5D que la cot (-180°) no está definida. Analice otros ángu los medidos en grados para los que no está definida la cotangente. ¿Para qué ángulos medidos en grados no está definida la función cosecante?

Debido a que el concepto de triángulo de referencia que se introdujo en la defini ción 1 (forma alterna) desempeña un papel importante en mucho del material que si gue, se retoma su definición y se define el concepto relacionado de ángulo de referencia.

[HHm

0/-

^ a ■J a

l l

1

(a, b) * (0 , 0 ) a es siempre positivo

\b

i i NjPCa, b) X

La figura 6 muestra varios triángulos de referencia y ángulos de referencia corres pondientes a ángulos particulares.


Triángulos de referencia y ángulos de referencia.

a = 180 - 12 0 '-' = 60-’

(b) a = lül = 451-’

\ Jt/2

(c) 17 « = -- - n = — 5 ir 4

a = fl ~ —

4

ir 6~ Si el triángulo de referencia de un ángulo dado es un triángulo rectángulo de 30c60°, o un triángulo rectángulo de 45°, entonces se pueden encontrar las coordenadas exactas, diferentes de (0. 0), en el lado terminal del ángulo dado. Con este fin. se obser va primero que en los triángulos 30°-60°, se forma la mitad de un triángulo equilátero, como se indica en la figura 7. Como en un triángulo equilátero todos los lados son iguales, se puede aplicar el teorema de Pitágoras para obtener una útil relación entre los tres lados del triángulo original: / Triángulo rectángulo 3 0°-60°.

c = 2a b = V(2 a)2 — a2

= V3¡? = a V I

376


De manera similar, usando el teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo de 45°, se obtiene el resultado que se muestra en la figura 8 . FIGURA 8 45°.

Triángulo rectángulo

c —\/

q2

+ a2

= V2í? = aV2

La figura 9 ilustra los resultados mostrados en las figuras 7 y 8 para el caso £7 = 1. Este caso es el más fácil de recordar. Todos los otros casos se pueden obtener a partir de este caso especial multiplicando o dividiendo la longitud de cada lado del triángulo de la figura 9 por la misma cantidad distinta de cero. Por ejemplo, si se quiere que la hipotenusa de un triángulo rectángulo especial de 45° sea 1, simplemente se dividirá a cada lado del triángulo de 45° entre y '2 como se muestra en la figura 9.

Triángulos especiales de 30°-60° y 45 FIGURA

9

Si un ángulo o número real tiene un triángulo de referencia de 30°-60° o 45°, se puede usar la figura 9 para encontrar las coordenadas exactas del punto final del lado terminal del ángulo. Usando la definición de las funciones trigonométricas, y la defini ción 1 (forma alterna), se podrá encontrar el valor exacto de cualquiera de las seis funciones para el ángulo indicado o para el número real.

Evaluación exacta

Evalúe exactamente usando los triángulos de referencia apropiados: (A) eos 60°, sen ( t t / 3 ) , tan ( t t / 3 ) Soluciones

(B) sen 45°, cot (tt/4), sec ( t t / 4 )

(A) Use el triángulo especial de 30°-60° con lados 1, 2 y V 3 como triángulo de referencia, y use el ángulo de 60° o t t / 3 como el ángulo de referencia (figura 10). Use los lados del triángulo de referencia para determinar P(a. b ) y r: después use las definiciones apropiadas.

5-4 Funciones trigonométricas FiGÜR/

377

eos 60° = - = \ r

tí

2

b

V3

sen —= - = — 3 /• tt

b

2 f-

V 3

tan - = - = — = V3 3 a 1

(B) Use el triángulo especial de 4 5 ° con lados 1,1 y V2 como el triángulo de referen cia, y use 4 5 ° o t t / 4 como el ángulo de referencia (figura 11). Use los lados del triángulo de referencia para determinar P{a, b) y r; después use las definiciones apropiadas. „

b

\ Í2

1

sen 45 = - = —7= o —— r

V2

2

a

1

cot 7 = 7 = 7 = 1

1

tt

4

b

tx r V2 sec — = - = ----= 4 a

V

/2 1

Evalúe exactamente usando los triángulos de referencia apropiados:

Antes de proceder, conviene observar desde un punto de vista geométrico múltiplos de tt/3 (60°), t t / 6 (30o) y t t / 4 ( 4 5 o ). Éstos se ilustran en la figura 12.

— =— 6

(a) Múltiplos de re/3 (60°) Múltiplos de ángulos especiales.

2

(b) Múltiplos de n/6 (30°)

23. —s. 4

“ 2

(c) Múltiplos de n/4 (45°)

378


EJEMPLO 7

Evaluación exacta

Evalúe exactamente usando los triángulos de referencia apropiados: (A) eos (7n/4) S olu ciones

(B) sen (2tt/3)

(C) tan 210°

(D) sec (-240°)

Cada ángulo (o número real) tiene un triángulo de referencia de 30c-60° o 45°. Localí celo y determine (a , b) y r como en el ejemplo 6 , y después evalúe. 7ir

1

2 ir

V2

(B)sen;

IA|C0ST = V ! 0 T

(C) tan 210°

i i —V I _ V 3

VI 3

V3

(D) sec (-240°) = —y = - 2 (o, 6) = ( 1 , V 3 ) r= 2


b

Evalúe exactamente usando los triángulos apropiados: (A) tan (-17/4)

(B) sen 210°

(C) eos (2ir/3)

(D) ese (-240°)

Ahora el problema se invierte; esto es, suponga que está dado el valor exacto de. i una de las seis funciones trigonométricas y suponga que el valor corresponde a uno de los triángulos especiales de referencia. ¿Puede encontrarse un 0 pequeño positivo para el que las funciones trigonométricas tienen este valor? El ejemplo 8 muestra cómo hacerlo.


Determinación de ángulos especiales

Encuentre el 0 pequeño positivo medido en radianes o en grados para el que cada uno de los siguientes enunciados es cierto. (A) tan e = 1/V3

Soluciones

(A)

(B) sec 0 = -V 2

tan 0 = —= —7= a V3 Sea (a, b) = (V 3 ,1) o (—V3, —1). El más pequeño positivo 0 para el cual esto es cierto está en el ángulo del cuadrante I con el triángulo de referencia como está dibujado en la figura 13.

FICU

sec 0

(B)

V2

Porque r > 0

a es negativo en los cuadrantes II y III. El 0 más pequeño positivo se asocia con un triángulo de referencia de 45° en el cuadrante II como se muestra en la figura 14. FIGURA 14

’ roblema selecciona

0 = 135°o

3l7

Encuentre el 0 positivo más pequeño medido en radianes o en grados para el que cada uno de los enunciados siguientes es verdadero. (A) sen 0 = V 3/2

(B) eos 0 = - 1/V 2

C o m e n ta rio . Después de un poco de práctica, las figuras de los triángulos de refe rencia de los ejemplos 7 y 8 se pueden visualizar mentalmente; sin embargo, cuando tenga duda, dibuje la figura.


La tabla 1 incluye un resumen de los valores exactos del seno, el coseno y la tangente para los valores de los ángulos especiales de 0oa 90°. Algunas personas pueden memorizar estos valores, mientras que otras prefieren memorizar los triángulos de la figura 9. Usted haga lo que le parezca más fácil.

TABLA 1

Valores de ángulos especiales 0

sen 0

eos 0

tan 0

0°

0

1

0

30°

\

V3/2

1/V3

45°

1/V 2 o V2/2

1/V 2 o V2/2

1

60°

V3/2

3

V3

90°

1

0

No definida

o

V3/3

Estos valores de ángulos especiales se recuerdan fácilmente para el seno y el cose no, si se observa el patrón inesperado al terminar la tabla 2 de exploración y análisis 3.


TABLA 2

Llene la columna del coseno en la tabla 2 con un patrón de valores que es similar a los de la columna del seno. Analice cómo están relacionadas las dos columnas de valores.

Valores de ángulos especiales (ayuda para la memoria) 0

sen

0°

VO / 2 =

0 0

30°

vT

45°

V

60°

V 3 /2

90°

V 4 /2 = 1

/2

= \

2/2

La cosecante, la secante y la cotangente se pueden encontrar para estos ángu los especiales usando los valores de las tablas 1 o 2 y las identidades recíprocas del teorema 1. Respuestas a los problemas seleccionados 1. 2. 3. 4. 5. 6.

(A) - 1 (B) - i (C) 1 (D) - 2 (A) -0.8582 (B) 0.7539 (C) 1.542 (D) -0.6383 (E) -4 .2 7 7 sen 0 = eos 0 = —5 , tan 0 = f, esc 0 = —f, sec 0 = - f , coi 0 = f sen 0 = 5, eos 0 = ese 0 = §, sec 0 = - f , cot 0 = — 3 (A) - 1 (B) - 1 (C) No definida (D) 0 _ (A) eos 45° = 1/V2, tan (ir/4) = 1, esc (tr/4) = V 2 (B) sen 30° = eos (ir/6 ) = V 3/2, cot (tt/6 ) = V 3 7. (A) - 1 (B) (C) (D) 2/V 3 (E) V 3 (F) 2 8 . (A) 60° o ir/3 (B) 135° o 3n/4

(F) 1.137


5-4 Encuentre el valor de cada una de las seis funciones trigono métricas para un ángulo 0 que tiene un lado terminal con el punto indicado en los problemas del 1 a! 4. 1. (6 , 8)

2. ( - 3 , 4 )

3. ( - 1 .V 3 )

4. (V 3 , 1)

6 . tan 89°

7. cot 12

8 . ese 13

9. sen 2.137

42. eos (2-17/3)

43. ese 150°

44. cot 225a

45. ta n (—4tt/3)

46. s e c ( l l 7r/6 )

47. eos 510°

48. tan 690°

Para cuáles valores de 0, 0o < 0 < 360°, no está definido cada uno de los problemas del 49 al 54. Explique p o r qué.

Evalúe los problemas del 5 al 14 con cuatro dígitos significati vos usando calculadora. Cerciórese de que su calculadora está en el modo correcto (grado o radián) para cada problema. 5. sen 25°

41. sen (3it/4)

eos 0

sec 0

tan 0

cot 0

esc 0

sen 0

En los problemas del 55 al 60, encuentre el 0 más pequeño positivo medido en grados y radianes para el cual:

10 . tan 4.327

11. cot (-4 3 1 .4 1 °)

12. sec (-2 4 7 .3 9 °)

55. eos 0 = —7 2

13. sen 113°27'13"

14. eos 235° 12’4 7"

57. sen 0 = — 2

En los problemas del 15 al 26, evalúe exactamente, usando los triángulos de referencia donde sea apropiado, sin usar calcu ladora. 15. sen 0°

16. eos 0°

17. tan 60°

18. eos 30°

19. sen 45°

20 . ese 60°

21. sec 45°

22. cot 45°

23. cot 0°

24. cot 90°

25. tan 90°

26. sec 0°

Encuentre el ángulo de referencia a para cada ángulo 0 de los problemas de! 27 al 32. 27. 0 = 300°

30. 0 = 7

4

28. 9 = 135°

T

„

-2

58. tan 9 = —V 3

60. sec 9 = —V 2

Vi

Encuentre el valor de cada una de las otras cinco funciones trigonométricas para un ángulo 0, sin encontrar 0, dada la información indicada en los problemas del 61 al 64. Trace un triángulo de referencia para ayudarse. 61. sen0 = | y eos 0 < 0 62. tan0 = —5 y sen 0 <

0

63. eos0 = - V5/3 y cot 0 > 0 64. eos0 = —V 5/3 y tan 0 > 0

»• • - ?6 „„

59. ese 9 =

-V 3

56. sen 9 =

5tt 4

32. 9 = — —

¿Cuáles funciones trigonométricas no están definidas cuan do el lado terminal de un ángulo está en el eje vertical? ¿Por qué? ¿Cuáles funciones trigonométricas no están definidas cuan do el lado terminal de un ángulo está en el eje horizontal? ¿Por qué?

B En los problemas del 33 al 48, evalúe exactamente, usando los ángulos de referencia donde se considere apropiado, sin usar calculadora. 33. eos 120°

34. sen 150°

35. eos (3tt/2)

36. sen ( 77/ 2)

37. cot (- 6 0 ° )

38. sec (- 3 0 ° )

39. eos ( —17/6 )

40. cot ( —77/4)

67. Encuentre exactamente todos los 0, 0° ^ 0 < 360°, para

los que eos 0 = — v 3/2 . 68 . Encuentre exactamente todos los 0, 0° 5 0 < 360°, para

los que eos 0 = - 1/V3. 69. Encuentre exactamente todos los 0, 0 < 0 < 2tt, para los

que tan 0 = 1 . 70. Encuentre exactamente todos los 0, 0 ^ 0 < 2tt, para los

que sec 0 = - V 2 .

382


c ________________________ En los problem as 71 y 72, refiérase a la sig u ien te fig u ra .

76. Energía solar. Con referencia al problema 75. (A) Encuentre la intensidad I de la luz en términos de k para 0 = 20°, 0 = 50° y 0 = 90°. (B) ¿A qué ángulo (con una cifra decimal) la intensidad será el 80% de la intensidad vertical? 77. Física: ingeniería. La figura ilustra un pistón conectado a una rueda que gira 3 revoluciones por segundo; en conse cuencia, el ángulo 0 se está generando en 3(2ir) = 6 tt radianes por segundo, o 0 = 6 ir t, donde t es el tiempo en segundos. Si P está en ( 1 , 0) cuando t = 0, demuestre que y = h + V 4 2 — a2 = sen 6 trf + V 16 — (eos 6 ttí)2

71. Si las coordenadas de A son (4 ,0 ) y 5 es la longitud de arco de 7 unidades, encuentre: (A) La m edida exacta de 0 en radianes (B) Las coordenadas P con tres cifras decimales

para t s 0 .

y

72. Si las coordenadas de A son (2 ,0 ) y s es la longitud de arco de 8 unidades, encuentre: (A) La medida exacta de 0 en radianes (B) Las coordenadas de P con tres cifras decimales 73. En un sistema de coordenadas rectangular, un círculo con centro en el origen pasa por el punto ( 6 , 8 ). ¿Cuál es la longitud de arco del círculo en el cuadrante I entre el eje horizontal positivo y el punto (6 , 8 )? Calcule su respuesta con dos cifras decimales. 74. En un sistema de coordenadas rectangular, un círculo con centro en el origen pasa por el punto (12, 5). ¿Cuál es la longitud de arco del círculo en el cuadrante 1 entre el eje horizontal positivo y el punto (12,5)? Calcule su respuesta con dos cifras decimales.

APLICACIONES

V *'

75. Energía solar. La intensidad Ade la luz en una celda solar cambia con el ángulo del Sol y está dada por la fórmula I = k eos 0, donde k es una constante (véase figura).

78. Física: ingeniería. En el problema 77, encuentre la posi ción del pistón y cuando t = 0.2 segundos (con tres dígitos significativos). Geometría. El área de un polígono regular de n lados ins crito en un círculo de radio 1 está dada por 180°

A = n ta n -----n

(A) Encuentre la intensidad de la luz I en términos de k para 0 = 0o, 0 = 30° y 0 = 60°. (B) ¿A qué ángulo (con una cifra decimal) la intensidad será el 25% de la intensidad vertical?

5-5 Solución de triángulos rectángulos

383

(A) Calcule las pendientes con dos cifras decimales de las rectas con ángulos de inclinación de 88.7° y 162.3°. (B) Encuentre la ecuación de una recta que pasa por (—4. 5) con un ángulo de inclinación de 137°. Escriba la respuesta en la forma y = mx + b. con m y b con dos cifras decimales.

(A) Encuentre A para n = 8, n = 100, n = i 000 y n = 10 000. Calcule con cinco cifras decimales. (B) ¿A qué número se aproxima A cuando n — » ? (¿Cuál es el área de un círculo de radio 1?)

80. Geometría. El área de un polígono regular de n lados ins crito en un círculo de radio 1 está dado por

y n 360° A = - s e n ----2

n

(A) Encuentre A para n = 8, n = 100, n = 1 000, y n = 10 000. Calcule con cinco cifras decimales. (B) ¿A qué número se aproxima A cuando n —>°°? (¿Cuál es el área de un círculo de radio 1?) 81. Angulo de inclinación. Recuerde (sección 2-2) que la pen diente de una recta no vertical que pasa por los puntos / >,(x!, y i) y ^ i ( x 2’-v 2) cst;l dada P01‘ Ia Pendiente = m = (y2 —y y (x_, — Xj). El ángulo 0 que la recta L hace con el e je x, 0° -5 0 < 180°, se llama ángulo de inclinación de la linca L (véase figura). Así, Pendiente = m = tan 0

0° £ 0 < 180°

/

82. Ángulo de inclinación. Remítase al problema 81. (A) Calcule las pendientes con dos cifras decimales de las rectas con ángulos de inclinación de 5.34° y 92.4°. (B) Encuentre la ecuación de una recta que pasa por (6, —4) con un ángulo de inclinación de 106°, Escriba la respuesta en la forma v = mx + b. con m y b con dos cifras decimales.

5-5 a t> r

En las secciones anteriores se aplican las funciones trigonométricas y circulares en las soluciones de una variedad de problemas significativos. En esta sección se centrará el interés en una clase particular de problemas que involucran triángulos rectángulos. Con referencia a la figura 1, nuestro objetivo será encontrar todas las incógnitas de un triánguio rectángulo, dadas las medidas de dos lados o la de un ángulo agudo y un lado. Esto se llama solución de un triá n g u lo rec tá n g u lo . Las funciones trigonométricas desem peñan un papel central en este proceso. Para comenzar, se localiza un triángulo rectángulo en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas rectangular y se observa, de la definición de las funciones trigonométricas, las seis relaciones trigonométricas que implican los lados de un trián gulo. (Observe que el triángulo rectángulo es el triángulo de referencia para el ángulo 0.)

* Esta sección proporciona una aplicación importante de las funciones trigonométricas para resolver pro blemas del mundo real. Sin embargo, ésta puede ser propuesta u omitida sin perder continuidad si se desea. Algunos pueden querer cubrir la sección antes de las secciones 7-1 y 7-2.

384


Es frecuente que se haga referencia al lado b como el lado op u esto de un ángulo 0. como a al lad o ad yacen te al ángulo 0 y c a la h ip o ten u sa. Usando estas designaciones para un triángulo rectángulo arbitrario sin importar el sistema coordenado, se tiene lo siguiente:


TABLA 1

Ángulo más cercano

Dígitos significativos para la medida de un lado

1°

2

10 ' o 0 . i 0

3

r oo.oi0

4

10" o 0 .001 °

5

Para un valor dado 0, 0 < 0 < 90°, explique por qué el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas es independiente del tamaño de un triángulo rectángulo que contiene a 0.

El uso de las relaciones trigonométricas para triángulos rectángulos se aclara en los siguientes ejemplos. Con respecto a la precisión de los cálculos, se usa la tabla 1 como guia. (Esta tabla también está impresa en los forros de este libro para una fácil referencia.) En muchos lugares se usará = en lugar de ==, tenga en cuenta que se supo ne la precisión indicada en la tabla 1 todo lo que se ha supuesto. Una advertencia más: cuando use su calculadora asegúrese de que esté en el modo de grado.

Solución de un triángulo rectángulo

Resuelva el triángulo rectángulo con c = 6. 25 pies y [3 = 32.2°. Solución

Dibuje primero una figura y marque las partes (figura 2):

FIGURA 2 6.25 pies ^ 32.2°

Resuelva paraît

< 1

r a = 90° —32.2° = 57.8° a y (3 son complementarios.


n

Despeje b

b c

sen (3 = — sen 32.2°

O u se ese (3 --

385

c

b

6.25

b = 6.25 sen 32.2°

= 3.33 pies a c

eos B = —

Despeje a

O u s e se c (1

c o

eos 32.2° = ~ r z 6.25 a = 6.25 eos 32.2°

= 5.29 pies

Resuelva el triángulo rectángulo con c = 27. 3 metros y a = 47.83

En el siguiente ejemplo se aborda un problema del siguiente tipo: Encuentre 0 dado que sen 0 = 0.4196 Se sabe cómo encontrar (o aproximar) sen 0 dado un 0. ¿pero cómo sé invierte el proce so? ¿Cómo se encuentra a 0 dado sen 0? Primero, observe que la solución al problema se puede escribir simbólicamente como 0 = arcsen 0.4196 "arcsen" 7 'Sen “ '

representan lo mismo.

o 6 = sen-10.4196 Ambas expresiones se leen “0 es el ángulo cuyo seno es 0. 4196”.

PRECAUCIÓN

Es importante observar que sen_i 0.4196 no significa l/(sen 0.4196). El expo nente ~1es parte del símbolo de la función, y sen“1representa la función inver sa de seno. La inversa de las funciones trigonométricas se desarrolla en forma detallada en la sección 5-9.

Por fortuna con una calculadora se puede encontrar 0 directamente. La mayoría de las calculadoras del tipo que se usó en este libro tienen las teclas de la función o sus equivalentes (revise su manual), Estas teclas usan la relación tri gonométrica inversa para encontrar el ángulo agudo correspondiente medido en grados

386


cuando la calculadora está en el modo de grado. Así, si sen 0 = 0.4196 se puede escribir 0 = aresen 0.4196 0 0 = sen-1 0.4196. Se elige el segundo y se procede como sigue: 0 = sen“10.4196 = 24.81°

El g ra d o al c e n te s im o m ás c erc an o

o 24°49’

Al m in u to m ás c e rc a n o

sen 24.81° = 0.4196



Resuelva cada uno de los siguientes para 0 en grados aproximando al centésimo más cercano de un grado usando una calculadora. Explique por qué aparece un mensaje de error en uno de los problemas. (A) eos 0 = 0.2044

(B) tan 0 = 1.4138

(C) sen 0 = 1.4138

Solución de un triángulo rectángulo

Resuelva el triángulo rectángulo con a = 4.32 centímetros y b — 2.62 centímetros. Calcule las medidas del ángulo a los 10' más cercanos. Solución

Dibuje una figura y señale las partes conocidas (figura 3):

FIGURA 3

X] c

^ a

2.62 cm

: V 4.32 cm

D espeje ¡3

tan (3

_

Z62

~ 4.32

, 2.62 — 3 = tan"1— 4.32 = 3 1 .2 ° o 3 1 ° 1 0 '

D espeje a

D espeje c

0.2° = [(0.2)(60)]' = 12' - 1 0 ' los m ás c e rc a n o s 1 0 '

a = 90° - 31°10' n 2 -62 sen B = ---c

i-------------------------- 1 | = 89°60' - 31°10' j = 58°50' i_________________ i O use ese (3

c = ~r—z 2.62

2-62 c = -------- - = 5.06 centímetros sen 31.2° o, usando el teorema de Pitágoras, c = V4.322 + 2.622 = 5.05 centímetros


387

Observe la pequeña diferencia entre los valores obtenidos para c (5.05 contra 5.06). Esto se obtuvo redondeando p al 10' más cercano en el primer cálculo para c.

Resuelva el triángulo rectángulo con a = 1.38 kilómetros y b = 6.73 kilómetros.

Geometría

Si un pentágono (polígono regular de cinco lados) está inscrito en un círculo de radio 5.35 centímetros, encuentre la longitud de un lado del pentágono. Solución

Trace una figura e inserte un triángulo ACB con C en el centro (figura 4). Agregue la recta auxiliar CD como se indica. Se encuentra^/? y se duplica para encontrar la longi tud del lado requerido. Ángulo ACB = Angulo ACD = sen (ángulo ACD) =

5 2

■= 72°

Exacto

= 36°

Exacto

4D

AC

AD = AC sen (ángulo ACD)

= 5.35 sen 36° = 3.14 centímetros AB = 2AD = 6.28 centímetros

Si un cuadrado con 43.6 metros por lado está inserto en un círculo, ¿cuánto mide el radio del círculo?

Arquitectura

Un arquitecto está diseñando una casa y desea determinar la medida del alerón de un techo para que la sombra de la pared del sur se proyecte completa al mediodía durante el solsticio de verano (figura 5). ¿Cuánto debe medir mínimamente el alerón, por lo menos, para poder ejecutar este propósito?


El sol del solsticio de invierno (mediodía)

Solución

El sol del solsticio de verano (mediodía)

A partir de la figura se dibuja la siguiente relación en el triángulo rectángulo (figura 6) y se despeja x:

FIGU RA 6

6 = 90° - 81° = 9° tan 0 = — 11

>e 11

x = 11 tan 9o = 1.7 pies

81

a

Con la medida del alerón encontrada en el ejemplo 4, ¿de qué tamaño será la sombra del alerón si se baja la pared al mediodía durante el solsticio de invierno?

Respuestas a los problemas seleccionados 1. p = 42.2°, a = 20.2 m, 6 = 18.3 m 3. 30.8 m 4. 1.1 pies

EJERCiCIH

2.

a = 11°40', b = 78^20', c = 6.87 km

5-5

A En los problemas del 1 al 12, para el triángulo mostrado en la figura escriba las razones de los lados correspondientes a cada función trigonométrica de los problemas del 1 al 6. No vuelva atrás para ver las definiciones.

1 . sen 0

2 . cotS

3. ese 8

4. eos 8

5. tan 8

6 . sec 8

Cada razón de los problemas del 7 al 12 define una función trigonométrica de 0 (refiérase a la figura para los problemas del 1 al 12). Indique cuál es la función sin revisar otra vez las definiciones. 7. ale

8. bla

10 . ble

11. alb

9.

da

12 . cib

389


En los problemas del 13 al 18, encuentre cada ángulo agudo 0 en grados con dos cifras decimales usando calculadora.

Explique por qué:

13. eos 0 = 0.4917

14. sen 0 = 0.0859

15. 0 = tan 1 8.031

16. 0 = eos" 1 0.5097

Explique qué pasa en cada uno de los siguientes enuncia dos cuando el ángulo agudo 0 se aproxima a 90°:

17. sen 0 = 0.6031

18. tan 0 = 1.993

(A) sen 0 = AD

(A) eos 0

(B) tan 0 = DC

(B) cot 8

(C) ese 0 = OE

(C) sec 0

Explique qué pasa en cada uno de los siguientes enuncia dos cuando el ángulo agudo 0 se aproxima a 90°: (A) sen 0

B ____________ Resuelva cada triángulo en los problemas del 19 al 30 con la información dada y el triángulo marcado en la figura.

(B) tan 0

(C) esc 0

Explique qué le pasa a cada uno de los siguientes enuncia dos cuando el ángulo agudo 0 se aproxima a 0°. (A) sen 0

(B) tan 0

(C) ese 0

Explique qué pasa en cada uno de los siguientes enuncia dos cuando el ángulo agudo 0 se aproxima a 0°: (A) eos 0

(B) cot 0

(C) sec 0

V5

20. P = 33.7°, b = 22.4 22. P = 62°30\ c = 42.5

19. P = 17.8°, c = 3.45 21.

P = 43°20\ c = 42.5

23. a = 23°0 ',a = 54.0

24. a = 54°. c = 4.3

25. a = 53.21°, b = 23.82

26. a = 35.73°, b = 6.482

27. a = 6.00, b = 8.46

28. b = 22.0. c = 46.2

29. b = 10 .0 , c = 12.6

30. b = 50.0, c = 165

Los problemas del 31 al 36 dan una interpretación geométrica de las relaciones trigonométricas. Refiérase a la figura, don de 0 es el centro de un circulo de radio 1, 0 es el ángulo agudo AOD. D es el punto de intersección del lado terminal del ángu lo 0 con el círculo v E C es la tangente del circulo en D.

37. Demuestre que (véase figura): h = ------cot a

i i /

!h \

\a _ "Y d 38. Demuestre que (véase figura): h = cot (X + cot p

h

n

39. Inspección. Encuentre la altura de un árbol (que crece des de el nivel del terreno) si en un punto a 105 pies de la base del árbol hace un ángulo con la horizontal de 65.3C. 40. Seguridad aérea. Para medir la altura máxima a la que se encuentra una nube sobre un aeropuerto, se dirige un pro yector directamente hacia arriba para producir una señal sobre las nubes. Un observatorio a 500 metros de distancia informa que el ángulo de la lu2 con respecto a la horizon tal es de 32.2°. ¿A qué altura (aproxime al metro más cer cano) se encuentran las nubes sobre el aeropuerto? Explique por qué: (A ) eos 0 = OA

(B) cot 0 = D E

(C) sec 0 = OC

41. Ingeniería. Si un tren sube en un ángulo constante de 1°23', ¿Cuántos pies verticales ha subido después de avanzar 1 milla? (1 milla = 5 280 pies)

390


42. Seguridad aérea. Si un avión comercial sube un ángulo de 15°30' con una velocidad constante de 315 millas por hora, ¿cuánto tiempo le tomará (aproxime al minuto más cercano) alcanzar una altura de 8.00 millas? Suponiendo que no hay viento. 43. Astronomía. Encuentre el diámetro de la Luna (a la milla más cercana) si cuando está a 239 000 millas de la Tierra produce un ángulo de 32' respecto de un observador en la Tierra. 44. Astronomía. Si el Sol está a 93 000 000 millas de la Tie rra y su diámetro está frente a un ángulo de 32' respecto de un observador en la Tierra, ¿cuál es el diámetro del So) (con dos dígitos significativos)? 45. Geometría. Si un círculo de 4 centímetros de radio tiene una cuerda de longitud de 3 centímetros, encuentre el án gulo central que está frente a esta cuerda (aproxime al gra do más cercano). 46. Geometría. Encuentre la longitud de un lado de un polí gono regular de nueve lados inscrito en un círculo con un radio de 4.06 pulgadas. 47. Física. En un curso de física se muestra que la velocidad v de una pelota que rueda hacia abajo de un plano inclinado (despreciando la resistencia y la fricción aérea) está dada por / v = gt sen 0 donde g es la constante gravitacional (aceleración debida a la gravedad), t es el tiempo y 6 es el ángulo de inclina ción de un plano (véase figura). Galileo (1564-1642) usó esta ecuación en la forma

Ciudad 20 millas

(A ) Con referencia a la figura, muestre que el costo en términos de 0 está dado por C(0) = 75 000 sec 0 - 45 000 tan 0 + 300 000 (B ) Calcule una labia de costos, aproxime cada costo al dólar más cercano, para los siguientes valores de 0: 10°, 20°. 30°, 40° y 50°. (Observe cómo varían los costos con 0. En un curso de cálculo se pide a los estudiantes encontrar 0 para minimizar el costo.) ' 50. Ingeniería: análisis de costos. Refiérase al problema 49. Suponga que la isla está a 4 millas de la costa y que el costo de instalar el cable por la costa es de $20 000 por milla, y sumergido, es de S30 000 por milla. (A ) Refiérase a la figura para el problema 49 con los cambios apropiados, demuestre que el costo en términos de 0 está dado por C(0) = 120 000 sec 0 - 80 000 tan 0 + 400 000

t sen 0 para estimarg después de medir v experimentalmente. (En aquel entonces no existía ningún artefacto de sincronización para medir la velocidad de un cuerpo en caída libre, asi que Galileo usó el plano inclinado para retardar el movi miento hacia abajo.) Una pelota de acero rueda hacia aba jo de un plano inclinado de vidrio en 8.0°. Calcule g con una cifra decimal si al final de 3.0 segundos la pelota tiene una velocidad de 4.1 metros por segundo.

(B ) Calcule una tabla de costos, aproxime cada costo al dólar más cercano, para los siguientes valores de 0 : 10°, 20°, 30°. 40° y 50°. 51. Geometría. Encuentre r en la figura que se incluye (con dos dígitos significativos) para que el círculo sea la tan gente de tres lados de un triángulo isósceles. [Sugerencia: El radio de un círculo es perpendicular a la tangente de una recta en el punto de tangencia.]

- 2.0 metros

48. Física. Remítase al problema 47. Una pelota de acero rue da hacia abajo por un plano inclinado de vidrio a 4.0°. Calcule g con una cifra decimal si después de 4.0 segun dos la pelota tiene una velocidad de 9.0 pies por segundo. 49. Ingeniería: análisis de costos. Una compañía de televisión por cable desea instalar un cable desde una ciudad a una isla de descanso a 3 millas de la costa. E l cable deberá ir por la costa y después será sumergido hasta la isla, como se indica en la figura. El costo de instalar el cable por la costa es de S 15 000 por milla, y sumergido es de $25 000 por milla.

52. Geometría. Encuentre r en la figura que se incluye (con dos dígitos significativos) para que el círculo más peque ño sea tangente del círculo más grande y los dos lados del ángulo. [Vea la sugerencia en el problema 51.]

5-6 Graficación de funciones trigonométricas básicas

s e c c ió n

5-6

Graficación de funciones trigonométricas bàsici Funciones periódicas Gráficas de y = sen .v y y = eos x Gráficas de y = tan x y y = cot x Gráficas de y = ese x y y = sec x Gráficas en un dispositivo de graficación Considere las gráficas de tiempo de salida del Sol y las ondas de sonido que se mues tran en la figura 1. ¿Cuál es la característica común de las dos gráficas? Ambas repre sentan respectivamente a los fenómenos; esto es, ambas parecen ser periódicas. Las funciones trigonométricas son particularmente utilizadas para describir los fenómenos periódicos.

Fenómenos periódicos.

O

-o

O

Mes

X

Veces de salida del Sol y época del año

(a)

/ /7 fi 600

\ \\

/ \

•// /i 300

v

y v / Tiempo (segundos) Onda sonora llegando al tímpano

Esta sección analiza las gráficas de las seis funciones trigonométricas con los dominios de números reales antes presentados igual que a los dominios, los rangos y las propiedades periódicas de estas funciones. Las funciones circulares introducidas en la sección 5-2 probarán particularmente su utilidad en este aspecto. Al parecer hay mucho que recordar en esta sección. Sin embargo, sólo es necesa rio estar familiarizado con las gráficas y las propiedades de las funciones seno, coseno y tangente. Las relaciones recíprocas ya analizadas permitirán determinar las gráficas y las propiedades de las otras tres funciones trigonométricas de las gráficas y las pro piedades de las funciones seno, coseno y tangente. Aquí será necesario volver a los puntos circulares y las funciones generadoras analiza das en las secciones 5-1 y 5-2; puesto que el círculo unitario tiene una circunferencia de 2ir, se encuentra que para un valor dado de x (véase figura 2) se volverá al punto circular W(x) = (a, b) si se agrega cualquier múltiplo entero de 2tt a x. Piense en un punto P que se mueve en el círculo unitario en cualquier dirección. Cada vez que P

392


recorre una distancia de 2 t t , la circunferencia de un círculo, está atrás del punto donde la comenzó. Así, para algún número real x, sen (x + 2kit) — sen x

con k cualquier entero

eos (x + 2A'tt) = eos x

con k cualquier entero

b

Las funciones con esta clase de conducta repetitiva se llaman funciones periódi cas. En general, se tiene la definición 1.

DEFINICIÓN 1

Funciones periódicas

Una función/es p e rió d ic a si existe un número real positivo p tal que f ( x + p) = f(x )

para todo x en el dominio de/' El número positivo más pequeño p, si existe, se llama p e rio d o fu n d a m e n ta l de /(o a menudo se conoce como p erio d o d e / ) .

Am bas funciones seno y coseno son p e rió d ica s i-

Se empieza por graficar y = sen x

x un número real

( I)

La gráfica de la función seno es la gráfica del conjunto de todos los pares ordenados de números reales (x,y) que satisfacen la ecuación (1). La obtención de las gráficas usan do graficación punto por punto es tediosa y tiende a oscurecer muchas propiedades importantes. Se profundiza de manera más significativa en la naturaleza de estas fun-

5-6 Graficadón de funciones trigonométricas básicas

393

ciones observando cómo y = sen x - b varía como el punto circular P{a, b) se mueve en el círculo unitario. Ahora se sabe que el dominio de la función seno es el conjunto de todos los núme ros reales R , ei rango es [—1, 1], y el periodo es 2-rr. Debido a que la función seno tiene un periodo de 2 tt, se concentra en la gráfica de un periodo, de 0 a 2ir. Una vez que se tiene la gráfica para un periodo, se puede completar el resto de la gráfica tanto como se necesite repitiendo la gráfica a la izquierda o a la derecha. La figura 3 ilustra cómo y = sen x = b varía conforme x aumenta de 0 a 2tt y P{a. b) se mueve alrededor del círculo unitario.

FIGUR/

Variaciones en sen ,v.

Conforme x varía desde: 0 tt / 2

y = sen x — b varía desde:

a tt/ 2

0a

1

a tt

!a

0

77 a 3it/2

3tt/2 a 2-it

0a -1 -1 a

0

Para trazar una gráfica de y = sen x sobre el intervalo [0, 2 t t ] , se divide al interva lo en cuatro partes iguales correspondiendo a los cuadrantes por los cuales x varía y y se comporta uniformemente. Se escoge como unidad básica en el eje.y a 2 i r / 4 = t t / 2 . Por supuesto, todos los otros números reales están en el eje .y, pero por claridad se escoge sólo marcar los múltiplos de t t / 2 . Para completar el dibujo, se usan los resultados de la figura 3, complementando donde sea necesario valores especiales reales (múltiplos enteros de t t / 6 o de t t / 4 ) o valores de la calculadora. La gráfica final se muestra en la figura 4 . El círculo de la izquierda (que se usa para definir la función seno) por lo general se efectúa mentalmente y no forma parte de la gráfica de,y = sen ,v.

Grafieación de y = sen

La figura 5 resume los resultados anteriores y muestra la gráfica de seno en varios periodos.

394


H

H

í

Gráfica de y

sen x

Penodo: 2or Simétrica con

números reales

Rango: [

al origen

Si se procede de la misma manera para la función coseno, se puede obtener su gráfica. La figura 6 muestra cómo eos x = a = y varía cuando P(a, b) se mueve alrede dor del círculo unitario. Variaciones del eos a.

Conforme x varía desde: 0

tt/2

y = eos x = a varía desde:

a -tt/2

1a

a ir

Oa -1

tt a

3t t /2

3tt/2 a 2t t

0

-la

0

Oa

1

Se puede usar el resultado de la figura 6, el hecho de que la función coseno sea periódica con periodo 2tt, y los valores especiales o encontrados con calculadora don de sea necesario para obtener la figura 7.

«murai

Periodo: 2-it Dominio: Todos I Simétrica con respecto al eje y

V

Rango: [-1 , 1]

5-6 Craficación de funciones trigonométricas básicas

395

Se deben aprender las características básicas de lasgráficas del seno ycoseno para poder trazar las curvas rápidamente. En particular, usted debe poder contestar las preguntas siguientes: 1. ¿Cuál es el periodo de cada función (cuántas veces se ha repetido la gráfica)? 2. ¿Dónde están las intersecciones con el eje x? 3. ¿Dónde están las intersecciones con el eje/? 4. ¿Cuánto se desvía cada curva del eje x? 5. ¿Dónde ocurren los puntos altos y bajos? 6. ¿Cuáles son las propiedades de simetría?


(A) Analice cómo están relacionadas las gráficas de las funciones seno y coseno. (B) ¿Qué se podría desplazar y/o reflejar en la gráfica del seno para obtener la gráfica del coseno? (C) ¿Es esta gráfica de y = sen ( x — t t / 2 ) o de>’ = sen (a- + tt/2) igual a la gráfica de y = eos x? Explique en términos de desplazamientos y/o reflexiones.

Se analiza primero la gráfica de y = tan x. Después, a partir de esta gráfica, puesto que cot x = l/(tan x), se podrá obtener la gráfica de y = cot x usando las recíprocas de las ordenadas. La figura 8 muestra que cuando el punto circular P(a, b) está en el eje horizontal (es decir, cuando x = A’tt, k es un entero), entonces (a, b) = (± 1, 0), y tan x = bía = 0/ (± 1) = 0. Cuando P(a. b) está en el eje vertical [es decir, cuando x = ( t t / 2 ) + lerr, k es un entero], entonces (a, b) = (0. ±1), y tan x = bía = (±l)/0 no está definida (la función tangente es discontinua). Los valores de x para los cuales P{a, b) están en el eje horizontal en la figura 8 y son las raíces para tan x, o las intersecciones con el eje x para la gráfica de y = tan x. Asi, se puede escribir

• Grá

Intersecciones con el eje x: /err

El circulo unitario y tanx.

Intersecciones v asíntotas para v = tan .y.

k es un entero

El primer paso para graficar y = tan x, es localizar las intersecciones x con el eje x como se muestra en la figura 9.

396


Los valores de x tales como P(a, b) que están en el eje vertical de la figura 8 son puntos de discontinuidad. Un segundo paso para graficar y = tan x, es dibujar rectas verticales punteadas que pasen por estos puntos de discontinuidad como se ilustra en la figura 9, la gráfica 110 puede cruzar estas rectas. Estas rectas verticales punteadas se llaman asíntotas, son las pautas convenientes para trazar la gráfica de y = tan x. La recta x = a es una asíntota vertical para la gráfica de y = f\x ) si f(x ) aumenta o disminuye sin límite cuando x se aproxima a a desde la izquierda o desde la derecha. Así, se escribe Asíntotas verticales:

x = — + ¿ti 2

k es un entero

Ahora se estudia con mayor detalle la conducta de la gráfica de y = tan ,v entre las dos asíntotas más cercanas al origen, es decir, en el intervalo (—ir/2, tt/2). Ya que tan (—x) = —tan x (sección 5-2), sólo se necesita desarrollar la gráfica del intervalo entre [0, t t / 2 ) , después se puede reflejar esta gráfica que pasa por el origen para obtener la gráfica del intervalo entero entre ( - t t / 2 , t t / 2 ) . Dos puntos en la gráfica para el intervalo [0, t t / 2 ) son fáciles de calcular: tan 0 = 0 y tan (ir/4) = 1. ¿Qué le pasa a tan x cuando x se aproxima a t t / 2 desde la izquierda? Si x se aproxima a t t / 2 desde la izquierda, el punto circular P(a, b) en la figura 9 está en el primer cuadrante, a se aproxima a 0 pasando por los valores positivos y b se aproxi ma a 1. ¿Qué le pasa a y = tan x en el proceso? El experimento con calculadora en el ejemplo 1 le ayudará a determinar una respuesta.

Experimento con calculadora

A partir de una tabla de valores para>' = tan x aproxímese a t t / 2 = 1.570 796 pasando por los valores menores de t t / 2 , comenzando en 0. ¿Cuál es su conclusión? Solución

Se crea una tabla como se indica: j

1 n,

.V

0

0.5

1

1.57

1.5707

1.570 796

tan a*

0

0.5

1.6

1256

10 381

3 060 022

Cuando x se aproxima a t t / 2 desde la izquierda, tan x parece aumentar sin límite.

A partir de una tabla de valores para v = tan x, x se aproxima a — t t / 2 = -1.570 796 pasando por los valores mayores de - t t / 2 , comenzando en 0. Esto es, se usan los nega tivos de los valores de x utilizados en el ejemplo 1. ¿Cuál es su conclusión?

La figura 10(a) muestra la gráfica resultante del análisis del ejemplo 1. La gráfica se puede completar para el intervalo ( — t t / 2 , t t / 2 ) reflejando la gráfica de la figura 10(a) pasando por el origen. La figura 10(b) muestra el resultado.

5-6 Craficación de funciones trigonométricas básicas

397

Gráfica de y = tanx, -T il l < x < itíl. Asíntota j vertical i

—i— i 2 -1 ' ' I I I I I _

(a)

Asíntota vertical

(b)

Procediendo de la misma manera para los otros intervalos entre las asíntotas, la función tangente parece una función periódica con periodo tt. Para verificar esto, re grese a la figura 8. Si(<2, b) son las coordenadas del punto circular asociado con x, entonces, usando la simetría del círculo unitario y los triángulos de referencia con gruentes, ( - a , —b) son las coordenadas del punto circular asociado conx + t t . De aquí que, ✓

. —b —a

tan (x + tt) = —

b a

= - = tan

x

y se concluye que la función tangente es periódica con periodo -t t . En general, !an (.v —Att) —tan x

k es un entero

para todos los valores de x para los que ambos lados de la ecuación están definidos. Para completar la gráfica de y = tan x sólo se necesita repetir la gráfica de la figura 10 a la izquierda y a la derecha en intervalos de tt para producir tanto de la gráfi ca general como sea necesario (véase figura 11). Se deben aprender las características principales de la gráfica de la función tangente para poder dibujar la gráfica rápida mente. Gráfica de y = tan x 1

Periodo: tt

11

Dominio: Todos los números reales excepto n/2 + fot, k es un entero -

2

Rango: Todos los números reales

2k

2k

3K

3rc

I I I I I I I I

2

~~2

I :

i i i i i

S tc 2

I I I I I I

i

Simétrica con respecto al origen Función creciente entre las asíntotas Discontinua e n x = n/2 + fot, k es un

en,ero 11 ¡!|¡l|iii| !11 _______________________________________

398


Ahora se volverá al análisis de la función cotangente. Puesto que cotx = 1/tanx, se puede graficar y = cot x tomando las recíprocas de los valores de y en la gráfica de y = tan x en la figura 11. Observe que las intersecciones con el eje x y las asíntotas verticales se intercambian. La gráfica de y = cotx se muestra en la figura 12. Como en la función tangente, se deben aprender sus características principales para poder trazar su gráfica rápidamente.

Periodo: * Dominio: Todos los números reales excepto kn, k es un entero Rango: Todos los números reales Simétrica con respecto al origen .

Función decreciente entre las asíntotas

1

Discontinua en x = kn, kes un entero

FIGURA 12


y y = sec ,

(A) Analice la relación entre las gráficas de las funciones tangente y cotangente. (B) ¿Qué cambiaría y/o reflejaría en la gráfica de la tangente para obtener la gráfi ca de la cotangente? (C) ¿La gráfica de y = tan (x —t t / 2 ) o de y = —tan (x — t t / 2 ) es igual que la gráfica de y = cotx? Explique en términos de cambios y/o reflexiones.

Así como se obtuvo la gráfica de y = cot x tomando las recíprocas de los valores de y en la gráfica de y = tan x, ya que 1 ese x = ----sen x

y "

1 sec x = ----eos x

se pueden obtener las gráficas de y = ese x y y = sec x tomando las recíprocas de los valores de y en las gráficas de y = sen x y de y = eos x, respectivamente. Las asíntotas verticales están en las intersecciones con el eje x de cualquier función sen x o eos x. Las gráficas de y = ese x y de y = sec x se muestran en las figuras 13 y 14, respectivamente. Como una ayuda gráfica, se trazan primero las líneas discontinuas de y = sen x y de y = eos x y después se dibujan las asíntotas verticales pasando por la intersección x. Compruebe algunos puntos de las gráficas con calculadora.

5-6 Graficación de las funciones trigonométricas básicas

Gráfica de y = ese

Penodo: 2tr Dominio: Todos los números reales excepto kn. Aes un entero Rango: Todos los números reales y tales que Simétrica con respecto al origen Discontinua enx = kn, k es un entero

1

\

1

a! i :i..... -

1

*

'

1

ÎBìIÌ

1

1

1j P

FIGURA 13

Gráfica de y = sec x

Lfisi!ilil

Rango: Todos los números reales y tales que y < -1 o v s 1 Simétrica con respecto al eje.v rv n +• kn, i, Discontinua en x = tc/2 p m un u n entero pn t p r n kIr es

FIGURA 1

Con esto se termina el análisis de las gráficas de las seis funciones trigonométricas básicas y de sus propiedades fundamentales. En todos los casos se procede a partir de las definiciones básicas y de las propiedades de estas funciones. Ahora se debe poder trazar cualquiera de estas gráficas y describir sus atributos fundamentales. Memorizar el círculo unitario es útil. Ahora que se sabe que las gráficas de las seis funciones trigonométricas se derivan de las definiciones básicas y de sus propiedades, se volverá al trazo de las gráficas con un dispositivo de graficación. que puede producir estas gráficas casi instantáneamente.

400


EJEMPLO 2

Gráficas trigonom étricas de un dispositivo de graficación

Utilice un dispositivo de graficación para graficar las funciones y = sen x

y = tan x

y = sec x

para —2tt ^ x < 2tt, —5 s y < 5. Despliegue cada gráfica por separado en una venta na de visión en modo “conectado”. Solución

Ponga primero el dispositivo de graficación en radianes y modo conectado. Después vaya a la siguiente ventana de parámetros, usando 6.3 como una aproximación para 2ir: X mín = —6.3

X máx = 6.3

Xscl = l

Y mín = —5

Y máx = 5

Yscl = l

Ahora introduzca cada función y produzca su gráfica como se indica en la figura 15. Gráficas en un dispositivo de graficación en modo “conectado”. .

J

1

.

r

l \

T ñ

n

= ssc

(b) y = tan x

(a) y = sen x

i

v

En las figuras 15(b) y (c), parece que el dispositivo de graficación ha dibujado también las asíntotas verticales para estas funciones. Éste no es el caso. La mayoría de los dispositivos de graficación calculan los puntos en una gráfica y los conectan con segmentos de recta. El último punto trazado a la izquierda de una asíntota y el primer punto trazado a la derecha de la asíntota tendrán generalmente coordenadas y muy grandes. Si las coordenadas de y tienen signo contrario, entonces el dispositivo de graficación conectará los dos puntos con una recta que es casi vertical, y la línea tendrá la apariencia de una asíntota. El dispositivo no realiza ningún análisis de asíntota, sim plemente une los puntos con rectas (esto no es perjudicial) y el efecto visual se acerca al que se produce dibujando las asíntotas. Se puede usar un dispositivo de graficación para trazar los puntos sin conexiones en una línea recta (modo “dot”), como se muestra en la figura 16. A menos que se pida lo contrario, se traza la gráfica en el modo conec tado. Gráficas en un dispositivo de graficación en modo “punteado”.

/ 4;¿

y . . / . . [■•. . 7 A / : (a) y = sen >.

:! ■ (b) y - tan x

. . / ' (c) y

sec x

Repita el ejemplo 2 para (A) y = eos x, (B) y = cot x y (C) y = ese x. (Use el modo conectado.)

5-6 Craficación de fundones trigonométricas


X

0

-0 .5

-1

-1.57

-1.5707

-1.570 796

tan x

0

-0 .5

-1 .6

- 1 256

-10381

- 3 060 022

Conforme .v tiende a - t t / 2 desde la derecha, tan * parece decrecer sin límite. 2. (A) v = eos x (B) y = cot x (C) y —ese x

i

\

u u h h

L

h

5-6 La siguiente figura será útil en muchos de los problemas de este ejercicio.

6. ¿Cuáles son las intersecciones con el eje x en la gráfica de cada función en el intervalo —2tt < x s 2ir? (A ) v = eos x

(B ) y = tan x

(C ) y = scc x

7. ¿Para qué valores dex, —2ir ^ x £ 2ir, no están definidas las siguientes funciones? (A ) y = eos x

(B ) y = tan x

(C ) y = ese x

8. ¿Para qué valores dex, - 2 ir ^ x ^ 2ir, no están definidas las siguientes funciones? (A ) y = sen x

(B ) y — cot x

(C ) y = sec x

B 9. ¿En cuáles puntos, - 2 ir £ x < 2ir, para las siguientes funciones y las asíntotas verticales cruzan al eje x? (A ) y = eos x Resuelva los problemas del J al 12 sin re\’isar el texto o usar calculadora. Se puede remitir a ¡a figura anterior. 1. ¿Cuáles son los periodos de las funciones seno, cotangente y cosecante? 2. ¿Cuáles son los periodos de las funciones coseno, tangen te y secante? 3. ¿Cuánto se desvía la gráfica de cada función del ejex? (A ) y =

eos x

(B ) y = tan x

(C) y = ese x

4. ¿Cuánto se desvía la gráfica de cada función del eje x? (A ) y =

sen x

(B ) y = cot x

(C ) y = sec x

5. ¿Cuáles son las intersecciones con el eje x en la gráfica de cada función en el intervalo —2ir £ x £ 2ir? (A j y =

senx

(B ) y = cotx

(C ) y = ese x

(B)

y - tan x

(C ) y = ese x

10. ¿En cuáles puntos, - 2 i i < x < 2ir, para las siguientes funciones y las asíntotas verticales cruzan al eje x? (A ) v =

senx

(B) y

= cotx

(C ) y = secx

11. Trace las gráficas de cada una de las siguientes funciones sobre el intervalo [ - 2 ir , 2ir]. Indique la escala del ejex en términos de ir, y dibuje las asíntotas verticales usando las lineas punteadas apropiadas. (A ) y = eos x

(B ) y = tan x

(C ) y = ese x

12. Trace las gráficas de cada una de las siguientes funciones en el intervalo [ —2ir, 2ir], Indique la escala del eje x en términos de ir, y dibuje las asíntotas verticales usando las líneas punteadas apropiadas. (A ) y — sen x

(B)

y = cot x

(C ) y = sec x

(A ) Describa un desplazamiento y/o reflexión que trans forme la gráfica de y = ese x en la gráfica de y = sec x.

402


(A ) Grafiquey = sen (x + O (-2-rr £ x £ 2tt. - 1.5 £ y £ 1.5) para C = 0, —tt/2 y tt/2, todos en la misma ventana de visión. (Experimente con valores adicio nales de C.) (B ) Describa cómo cambia la gráfica dey = senxcuando cambian los valores de C en y = sen (x + C).

(B ) ¿La gráfica d ey = —ese (x + tt/2) o de y = —ese (x — -tt/2) es igual que la de y = sec x? Explique en términos de cambios y/o reflexiones. (A ) Describa un desplazamiento y/o reflexión que trans formará a la gráfica de y = sec x en la gráfica de y = esc x. (B ) ¿La gráfica de v = —sec (x — tt/2) o de y = — sec (x + tt/2) es igual que la gráfica de y - esc x? Exp li que en términos de desplazamientos y/o reflexiones.

c ___________________

Los problemas del 15 al 20 requieren e! uso de un dispositivo de graficación. Estos problemas ofrecen un análisis preliminar de las relaciones de las gráficas de y = sen x y de y = eos x con las gráficas de y = A sen x, y = A eos x, y = sen Bx, y = eos Bx, y = sen (x + C), y de y = eos (x + C). Este importante tema se analizará en forma detallada en la próxima sección. (A ) Grafiquey = A cos.v ( —2~ £ x £ 2tt, —3 < y 5 3) para A = 1, 2 y —3. todas en la misma ventana de v i sión. (B ) ¿Cambian las intersecciones con el eje x? Si éste es el caso, ¿en dónde lo hacen? (C) ¿Cuánto se desvía cada gráfica del ejex? (Experimente con valores adicionales de A.) (D ) Describa cómo cambia la gráfica dey - eos x cuando cambian los valores de A en y = A eos x. (A ) Grafiquey = A sen x ( —2ir < x < 2tr, —3 < y :£ 3) para A = 1,3 y — 2, todos en la misma ventana de v i sión. (B ) ¿Cambian las intersecciones con el eje x? Si es así, ¿en dónde lo hacen? (C ) ¿Cuánto se desvía cada gráfica del ejex? (Experimente con valores adicionales de A.) (D ) Describa cómo cambia la gráfica dey = sen x cuando cambian los valores de A en y = A sen x.

Trate de calcular cada uno de los siguientes enunciados en su calculadora. Explique los resultados. (A ) sec ( tt/2)

(A ) Grafiquey = eos (x + C) ( —2tt £ x £ 2tt, —1.5 £ y £ 1.5) para C = 0, —tt/2 y tt/2, todos en la misma ventana de visión. (Experimente con valores adicio nales de C.) (B ) Describa cómo cambia la gráfica de y = eos x cuando cambian los valores de C en y = eos (x + C).

tt/2)

(C ) cot( —- )

Trate de calcular cada uno de los siguientes en su calcula dora. Explique los resultados. (A ) ese 17

(B ) tan (tt/2 )

(C ) cot 0

^ Los problemas 23 y 24 requieren del uso de un dispositivo de graficación. Grafique/(x) = sen x y a g(x) = x en la misma ventana de visión ( —l í j r i l , —l £ y £ l ) . ( A ) ¿Que observa en las dos gráficas cuandox se aproxima a 0, por ejemplo - 0 .5 £ x £ 0.5? (B ) Termine la tabla con tres cifras decimales (use la característica de tabla en su dispositivo de graficación si es que tiene uno):

x

- 0 .3

se n x

(A ) Grafiquey = sen B x ( —~ £ x < 17, —2 < y £ 2) para B = 1, 2 y 3. todos en la misma ventana de visión. (B ) ¿Cuántos periodos de cada gráfica aparecen en el rectángulo considerado? (Experimente con valores enteros positivos adicionales de B .) (C ) Basándose en las observaciones de la parte B , ¿cuántos periodos de la gráfica de y - sen nx, n es un entero positivo, aparecerán en esta ventana de visión? (A ) Grafiquey = eos B x ( —tt < x < ir, —2 s y £ 2) para B = 1. 2 y 3, todos en la misma ventana de visión. (B ) ¿Cuántos periodos de cada gráfica aparecen en el rectángulo considerado? (Experimente con valores enteros positivos adicionales de B.) (C ) Con base en las observaciones de la parte B , ¿cuántos periodos de la gráfica de y = eos nx, n es un entero positivo, aparecen en esta ventana de visión?

(B ) tan ( -

- 0 .2

- 0 .1

0.1

0.0

,

0.2

!

(En matemáticas aplicadas ciertas deducciones, fórmulas y cálculos se simplifican reemplazando sen x con x para el menor |x|.) Grafique h(x)= tan x y g(x)= x en la misma ventana de visión ( —1 £ x £ 1 , - 1 — 1)• (A ) ¿Qué observa usted acerca de las dos gráficas cuando x está cerca de cero, digamos —0.5 £ x £ 0.5? (B ) Termine la tabla con tres cifras decimales (use la tabla característica de su utilidad gráfica, si tiene alguna):

x

- 0 .3

- 0 .2

-0 .1

0.0

0.1

0.2

ta n x

(En matemáticas aplicadas ciertas deducciones, fórmulas y cálculos, se simplifican al remplazar tan x con x para |x| pequeñas.)

5-7 Graficación de y

SECCIOÍ

=k

+ A sen (B x + Q y y = k

+A

eos ( Bx + Q

403

Graficación de y = k + A sen {Bx + Q y y = k + A eos {Bx -i- C)

y y y y

= A sen x y y = A eosx = sen Bx y y = eos Bx = k + A sen Bx y y = k + A eos Bx = k + A sen (Bx + C) y y = k + A eos (Bx + C)

Determinación de la ecuación de una gráfica armónica simple

Ahora que se han analizado las gráficas de y = sen x y y = eos x con todo detalle, se está listo para considerar las gráficas en formas más generales. y = k + A sen (Bx + Q

y

y = k + A eos (Bx + C)

( 1)

Estas ecuaciones son muy importantes en matemáticas puras y aplicadas. En mate máticas aplicadas se usa en los análisis de ondas seno, ondas de radio, rayos X, rayos gamma, luz visible, radiación infrarroja, radiación ultravioleta, ondas sísmicas, ondas del océano, circuitos eléctricos, generadores eléctricos, vibraciones, construc ción de puentes, sistema masa-resorte, ondas de arco de embarcaciones, estampi dos sónicos, etcétera. El fenómeno que se puede describir por cualquiera de las ecuaciones (1), donde x representa al tiempo, es conocido como m ovim iento a rm ó n i co sim ple, y ciertos tipos de análisis que implican estas ecuaciones se llaman análisis arm ó n ico s.

Trazar las gráficas de las ecuaciones (1) no es difícil si el problema se resuelve paso a paso. Es esencial en el proceso, sin embargo, un buen conocimiento de las grá ficas de y = sen x y de y = eos .v analizadas en la sección 6-6. Aquí se enfocará la atención en el efecto que tiene A, B. C y k en las gráficas básicas de y = sen ,vy de y = eos x. Es útil hacer un breve repaso de la sección 3-5.

La gráfica de y = A sen x se puede obtener de la gráfica de y = sen multiplicando cada valor de v de y = sen x por A. La gráfica de y = A sen x también cruza al eje .v donde la gráfica de y = sen .r cruza al eje x. porque A • 0 = 0. Puesto que el valor máximo de sen íe s 1, el valor máximo de A sen x es \A\ • 1 = ¡A\. La constante 14\ se llama a m p litu d de la gráfica de y = A senx e indica la desviación máxima de la gráfica de y = A sen x del eje x. Finalmente, el periodo de y = A sen x es también 2 u , ya que A sen (x + 2 t t ) = A sen x.

4 04


Comparación de gráficas con amplitudes diferentes

Compare las amplitudes de y = \ sen* y y = - 2 senx con las amplitudes de y = sen ,v y trace la gráfica de cada una en el mismo sistema coordenado para 0 ^ x < 2tt. Solución

Cambio en la

La amplitud de la gráfica dey = j senx es |¿| = j , la amplitud de la gráfica dey = - 2 sen x es \—2\ = 2, y la amplitud de la gráfica dey = sen* es |1| = 1. El signo negati vo en y = - 2 sen x refleja la gráfica de y = 2 sen x a través del eje x (lo gira de la parte superior hacia abajo). Las gráficas de estas tres ecuaciones se muestran en la figura 1. X

amplitud.

Compare las gráficas de y = y eos x y y = - 3 eos x con la gráfica de y = eos x graficando cada una en el mismo sistema coordenado para —tt/2 < x ^ 3tt/2. "V

Ahora se estudiará el efecto de B comparando y = sen x

y

y = sen Bx

B> 0

« Ambos tienen la misma amplitud, 1, ¿pero cómo comparar sus periodos? Puesto que sen x tiene un periodo de 2tt, se sigue que sen Bx completa un ciclo conforme Bx va ria de Bx = 0

conforme x varía de

a

Bx = 2tt

5-7 Graficación de y = k + A sen (Bx + C) y y

= k

+ A eos ( Bx + Q

405

Se concluye que el periodo de sen Bx es 2tt/B, como se puede verificar en seguida: Si f(x ) = sen Bx, entonces

/( * + y ] = » » B U +

t

= sen (Bx + 2tt) - sen Bx = f(x)

Comparación de gráficas con periodos diferentes

Compare los periodos de y = sen 2x y de y = sen (x/2) con el periodo de y = sen x y trace una gráfica de cada uno en el mismo sistema coordenado para un periodo que comienza en el origen. Solución

¿Cuál es el periodo de y = sen 2x? Periodo = ■^7r = -^= r- = tt B

Mitad del periodo para sen x.

Z .

¿Cuál es el periodo de y = sen (x/2)? r> • j 2 tt 2 tt Periodo = ----= -----= 4t. t B 1/2

Doble del periodo para sen /.

Las gráficas de las tres ecuaciones se muestran en la figura 2.

Cambio en el periodo.

Es claro del ejemplo 2 que el efecto de B será comprimir o estirar la curva bási ca del seno cambiando el periodo de la función. Un análisis semejante se aplica a y = eos Bx, para B > 0, donde se puede mostrar que su periodo también es 2iríB.

Compare las gráficas de y = eos 2x y y = eos (x/2) con la gráfica de y = eos x graficando cada una en el mismo sistema coordenado para un periodo que comienza en el origen.

406


• y - k + A sen B x y y — k + A eos B x

Combinando el análisis con la amplitud y el periodo, se resumen los resultados como se indica:

A sen Bx o para y

Amplitud = \A\

Periodo

Si 0 1, la curva básica del seno o del coseno se comprime.

Se puede memorizar la fórmula para el periodo, 2vIB, o usar el razonamiento con el que se deriva la fórmula. Recuerde, sen Bx o eos Bx completa un ciclo como Bx varía de Bx = 0

a

Bx = 2tt

esto es, conforme x varia de

B

Algunos prefieren memorizar una fórmula, otros un proceso. Ahora se considerarán algunos ejemplos donde se muestra cómo las gráficas de y = A sen Bx y y = A eos Bx se pueden graficar rápidamente.

iM

Graficación de una ecuación de la forma y = A sen Bx

Exprese la amplimd y el periodo para y = 2 sen 2x, y grafique la ecuación para el intervalo - i r < x < 2-rr. Solución

Amplitud = |2| = 2

Periodo = — = tt

Para trazar la gráfica, divida el intervalo o el periodo [0, t t ] en cuatro partes iguales, localice los puntos altos y bajos y las intersecciones con el eje x, trace en un periodo, y después extienda este trazo para cubrir el intervalo deseado. Haga una escala del eje x usando -tt/4 (el periodo dividido entre 4) como la unidad básica, y ajuste la escala en el eje y para acomodar la amplitud 2 (figura 3). Las escalas en ambos ejes no tienen que ser las mismas.

Problema seleccior

Exprese la amplitud y el periodo para y = —j sen (x/2), y grafique la ecuación para —4tt < x ^ 4tt.

5-7 Graficación de y= k + A sen (B x + Q y y = k + A eos (Bx + Q

407

FIGURA 3 y = 2 sen 2x.

EJEMPLO

Graficación de una ecuación de la forma y = A eos Bx

Exprese la amplitud y el periodo para y = - 3 eos ( t t x / 2 ) , y grafique la ecuación para -4

< x

< 4.

Solución

Amplitud = |—3| = 3

2tt Periodo = — = 4 t t /2

La gráfica de y = —3 eos ( t tx / 2 ) es la misma que la gráfica de y = 3 eos (-rrjc/2) reflejada a través del eje jc. Divida el intervalo de un periodo [0. 4] en cuatro partes iguales, localice los puntos altos y bajos y las intersecciones con el eje x, trace en un periodo, y después extienda el trazo para cubrir el intervalo deseado. Haga una escala del eje x usando j = 1 como la unidad básica (el periodo dividido entre 4), y ajuste al eje vertical para acomodar la amplitud 3 (figura 4). y

Problema

seleccionado 4

Exprese la amplitud y el periodo para y = intervalo —1 —x ^ 1.

eos

2 itx

y grafique la ecuación para el

5 Funciones trigonométricas I /

/


Encuerde una ecuación de la forma y = A eos Bx que produce la siguiente gráfica:

y

¿Es posible para una ecuación de la forma y = A sen Bx producir la misma gráfica? Explique.

¿Cómo graficaria una función como y = k + A sen Bx

o

y = k + A eos Bx?

Aplicando los métodos de la sección 2 -5 , se podría graficary = A senB xoy = A eos Bx y trasladar a la curva verticalmente k unidades hacia arriba si k es positiva y ¡/d unidades hacia abajo si k es negativa.

Craficación de una ecuación de la form a y = k + A sen Bx

Grafiquey = - 2 - 3 (ir*/2), - 4 < x < 4.

Solución

Primero se traza y = —3 eos (irx/2), como se hizo en el ejemplo 4, después traslade la gráfica |—2 = 2 unidades hacia abajo (figura 5).

5-7

Graficación de y = k + A sen ( B

x + Q y y = k

+ A

eos ( B x

+ Q

409

M uchos encuentran m ás fácil dibujar prim ero la recta horizontal discontinua que se m uestra en la fig u ra (la cual representa una traslación vertical de dos unidades abajo del eje x), después trace la gráfica de y = - 3 eos ( x r / 2) com o si esta recta horizontal fuera el eje x original.

G ra fiq u e y = 1 + 1 eos

2 ttx ,

Se considerarán ahora las gráficas de ecuaciones de la form a y = A sen (Bx + Q

y y = A eos (B x + Q

Se encontrará que las gráficas de estas ecuaciones son sim plem ente las gráficas de y = A sen B x

o

y = A eos Bx

trasladadas horizontalm ente a la izquierda o a la derecha. Esto se puede ver com o se indica: Puesto que A sen x tiene un periodo de 2 t t . se sigue que A sen (Bx ■+ C) com pleta un ciclo conform e B x + C varía de Bx + C = 0

a

Bx + C =

2 tt

o (despejando x en cada ecuación) conform e x varía de Corrim iento de fase

C

X =

— —

O

Periodo

C ,2 ir

X -- --------------1-------

B

B

B

Se concluye que y = A sen (Bx + C) tiene un periodo de 2 tt¡B, y su gráfica es tras ladada a \—CiB\ unidades a la derecha si —C/B es positivo y \—C!B\ unidades a la izquierda si —C/B es negativo. El núm ero —C/B se llam a tam bién corrim iento de fase. ¿Cuál es el periodo y el cam bio de fase para y = sen (x + tt/2 )? Para encontrar una respuesta, use las fórm ulas de arriba para el cam bio de periodo y de fase o siga el proceso usado para deducir las fórm ulas. M uy probablem ente encontrará que el proce so es fácil de recordar: El conjunto x + t t / 2 es igual a 0 y a 2 -tt, después despeje x de cada ecuación:

2

i 2

TT

X

TT

ii

+

7T

x + - = 0 = ----2

x =

TT

"l

A sí, - t t / 2 es el cam bio de la fase y 2 t t es el periodo. La gráfica de y = sen x se traslada horizontalm ente |—r r / 2 | = t t / 2 unidades a la izquierda. La figura 6(a) de la siguiente página m uestra las gráficas de y = sen x y de y = sen (x + t t / 2 ) . Siguiendo el m ism o proceso, se g ra fic a y = sen (x - t t / 2 ) , com o se m uestra en la figura 6(b). A quí, el cam bio de fase es t t / 2 , y la gráfica de y = sen x es trasladada horizontalm ente t t / 2 unidades a la derecha.

5


y = sen ( x + f )

C orrim iento de fase - n

/2

C orrim iento de fase ■■n /2

(a)

(b)

Un análisis sem ejante se aplica a y en los siguientes cuadros.

A eos (B x + C). Los resultados se resum en

lülfíi!IF lW

n W M lIM

i ¡i!

Propiedades de y = A sen ( Bx + Q y y = A eos ( Bx + Q

■ lililí

Para B > 0: A m plitud = \A¡

Periodo =

c

2tt

C orrim iento de fase = —— B

B

N o es necesario que m em orice las fónnulas para el periodo y el cam bio de fase a m enos que desee hacerlo. Éstas se deducen fácilm ente, com o se m uestra en los siguien tes pasos p o r graficar.

Craficacion de y = A sen (Bx + Q y y = A eos ( Bx + Q E ncuentre la am plitud \A\. R esuelva B x + C = 0 y B x + C = Bx + C = 0

2 tr:

Bx

y

Si

* = B

li!

B

Periodo = B

B

. I Periodo I IS S I

¡miento d e fase

C orrim iento de fase =

. .

L,,,.,,,,:

2tt B ;e s

decir, cuando x varía en el intervalo _ C

S IS

;:|l¡

* '

_C

!

II uUu llllílll R R H H M

2 -n-

s

f ililí

G rafique un ciclo en el intervalo [ - C /B , - C / B +

2ir/B].

Extienda la gráfica del paso 3 a la izquierda o a la derecha segur

«I

!

5-7 Graficación de y = k + A sen (Bx + Q y y = k + A eos {Bx + Q

411

Graficación de una ecuación de la forma y = A eos ( Bx + Q Encuentre la am plitud, el periodo y el corrim iento de fase para y = - eos (4x - ir), después trace la gráfica para —t t < x ^ tt. Solución

Paso 1.

E ncuentre la am plitud: Am plitud = \A\ = líl = \

Paso 2.

Resuelva B x + C = 0 y B x + C = 2 t t:

4jc — tt = 0

4x —

Tí

ir

=

2 tt

_

TT

TT

_ 37T

x _ 4 + 2 ~ T

X~ 4

Corrimiento de fase Periodo C orrim iento de fase

Periodo = 4

2

La gráfica com pleta un ciclo cuando jc varía en el intervalo Paso -

FIGURA 7

y = , eos (4.v -

[tt/4 , 3 tt/4 ],

G ráfica de un ciclo en el intervalo [ t t / 4 , 3 i t / 4 ] . D ivida al intervalo en cuatro partes iguales y trace un ciclo (figura 7). (H aga la escala del eje x en unidades de tt/ 8 .)

tt ) .

3 tt

tt

- S j í —.

4

4

------ V---- ;— Un periodo

Paso t.

FIGURA 8 i —ir s x s iT.

*

: - eos (4.v -

t t ).

Extienda ¡a gráfica del p a so 3 para cubrir el intervalo [ —t í , t t ] com o se m uestra en la figura 8 .

5


Grafique y = sen (2x + corrimiento de fase.


tt),

—

tt

< x^

tt.

Exprese la amplitud, el periodo y el

Encuentre una ecuación de la forma y = A sen (Bx + C) que produzca la siguiente gráfica: y

¿Es posible para una ecuación de la forma y = A eos (Bx + Q producir la misma gráfica? Explique.

Finalmente, la graficación de ecuaciones de la forma y — k + A sen (Bx + C) o y = k + A eos (Bx + C) implica traslaciones horizontales (corrimientos de fase) y traslaciones verticales.

Graficación de ecuaciones de la form a y = k + A eos (Bx + Q

Grafique y = | + j eos (4x - -ir), —t í < x < --ít. S o lu c ió n

Grafiquey = 2 eos (4x - t t ) como en el ejemplo 6, después traslade la gráfica vertical mente hacia arriba en | unidades (figura 9):

5-7

Graficación de

G ra fiq u e y = — ‘ + j sen

y = k

+ A sen

(Bx+C)yy=k + A

eos (fix + Q

413

(2x — -ir), —-tt < x < tt.

Dada una gráfica armónica simple, el problema será encontrar una ecuación de la for ma y = A sen (Bx + C)

o

y = A eos (Bx + C)

que produzca la gráfica. Un ejemplo ilustrará el proceso.

Determinación de la ecuación de una gráfica armónica simple

Grafique y = 3 sen x + 4 eos x usando un dispositivo de graficación, y encuentre una ecuación de la forma y , = A sen (Bx + C) que tenga la misma gráfica quevr Encuentre exactamente A, B y C con tres cifras decimales. Solución

La gráfica de y, se muestra en la figura 10. La gráfica parece ser una curva de seno corrida a la izquierda. La amplitud y el periodo parecen ser 5 y 2 tt, respectivamente. (Por ahora se supondrá esto y se verificará al final). Así, A = 5, y puesto que P = 2tt/B, entonces B = 2 it ¡P = 2 tt/2 tt = 1. Usando un dispositivo de graficación, se encuentra que la intersección con el eje x cercana al ori gen, con tres cifras decimales, es -0 .9 2 7 . Para encontrar C, sustituya B = 1 y x = —0.927 en la fórmula de corrimiento de fase x = —C/B y despeje C:

-ó

C

= 3 seav + 4 eos x.

-0.927 = - -

1

C = 0.927 Ahora se tiene la ecuación buscada para: y2 C o m p ro b a c ió n

= 5 sen (x + 0.927)

Grafiquey, y y 2 en la misma ventana de visión. Si las gráficas son iguales, parece que sólo se traza una gráfica, la segunda gráfica se dibuja sobre la primera. Para compro bar, además, que las gráficas son iguales, use, TRACE y alterne y , y y , para diferentes valores de x. La figura 11 muestra una comparación con x = 0 (ambas gráficas están en la misma ventana de visión).

< 6

6

414

5

Problem?


G rafique y x = 4 sen x - 3 eos x usando un dispositivo de graficación, y encuentre una ecuación de la form a y , = A sen (Bx + Q que es igual a la gráfica d e y r (Encuentre las intersecciones con el eje x cercano al origen con tres cifras decim ales.)


y

2.

3. Amplitud 2, periodo: 4-rr

4. Amplitud: 7 , periodo: 1

y

ii

1■

1'•

-4ji

1

°

-!z

jt

4r.

-i

5.

Y

6. Amplitud:

periodo: tt, corrimiento de

8. y. = 5 sen (x - 0.644) 6

sen

5-7

Graficación de

y

=k

+ A

sen (fix + Q y y = k + ,4 eos (Bx + C)

415

5-7

EJERCICIO

22.

A _________ Exprese la amplitud A y el periodo P de cada función en los problemas del 1 al 12, y grafique la función sobre el intervalo indicado. 1.

y

=

3senx,

—2 tt < x s

2 it

2. y - | eos x, —2tt < x £ 2t7 3. y = — ^ eos x, — 2it S í S 2 i r 4. y = -2 se n x, —2tt < x s 2tt

5. y = sen 3x, —tt s 6.

y

=

eos 2x,

- t t

x

23.

s 2tt

< x < -it

I. y = eos (x/2), - 4 t t <

x

£ 4tt

8. ysen(x/3), - 6tt < x £ 6tt 9. y = sen i « , - 2 s j s 2 10. y ~ eos ttx, - 2 £ x S 2 II. y = 3 eos 2x, -77 < x £ 77

24.

12. y = 2 sen 4x, - i r S ^ S n

B Exprese la amplitud A y el periodo P de cada función en los problemas del ¡3 al 20. y grafique la función sobre el inten-alo indicado. 13.

y

=

-jsei^T rx, - 2 s a - < 2

14.

y

= —5

15.

y

—

—

16.

y

-

—|

eos 2 ttx, - 2 S x £ 2

3 eos ( x / 2 ) , sen ( x / 2 ) ,

= 2

— 4 tr £ —4 tt £

+ 2

sen

x£ x £

En los problemas del 25 al 28, encuentre la ecuación de la forma y = A eos Bx que produzca la gráfica mostrada.

4 tt

25.

4 tt

(ttx /2 ) ,

-4 S íS 4

17.

y

18.

>■ =

3

+

3 eos ( t t x / 2 ) ,

19.

y = 4

-

2 eos (x/2),

20.

y=3

—2 sen (x/2), —4 tt s

—4 £ * £

- 4

tt

< x £ x

£

4 4 tt 4

tt

£« los problemas del 21 al 24. encuentre la ecuación de la forma y = A sen Bx que produzca la gráfica mostrada. 21.

26.

y

// -3

4

2

y

5


45. y

27.

=

2 —4 cos (2x -

tt), - t t s

x s

3 tt

46. y = —1 —2 cos (4* + -ir), —t t £ x £

-n

-I-----1-----H Los problemas 47y 48 se refieren a la gráfica siguiente:

-o.s

y

A 28.

4 --

y

ik

1 -I------- t-*-X 1 0.25

0.25

2

3

0.5

47. Si la gráfica es la de una ecuación de la forma y — A sen (Bx + C), 0 < —CIB < 2, encuentre la ecuación. Grajique cada función de los problemas del 29 al 32 con un dispositivo de graficación. (Escoja las dimensiones de cada ventana de visión que po r lo menos tenga dos periodos visi bles). Encuentre una ecuación de la forma y = k + A sen Bx o y = k + A eos Bx que tenga la misma gráfica que la ecuación dada. (Estos problemas sugieren la existencia de identidades adicionales además de las identidades básicas analizadas en la sección 5-2).

48. Si la gráfica es la de una ecuación de la forma y = A sen (Bx + Q , —2 < —CIB < 0, encuentre la ecuación. Los problemas 49 y 50 se refieren a la siguiente gráfica: Y 1 ' 2 ’

29. y = eos2* —sen2*

-3n

71

5;c

30. y = sen * eos x 1 2

31. >• = 2sen2x 32. y = 2 eos2 *

Exprese la amplitud A, el periodo P y el cambio de tu fase, de cada función en los problemas del 33 al 42, y grajique la fu n ción sobre el intervalo indicado.

49. Si la gráfica es la de una ecuación de la forma y = A cos (Bx + O , 0 < - C /3 < 4 tt. encuentre la ecuación. 50. Si la gráfica es la de una ecuación de la forma y = A cos (Bx + C), —2 t t < -C IB < 0, encuentre la ecuación.

33. y = sen (x + ir), —tt s x s 3-rr

Los problemas del 51 al 66 requieren el uso de un dispositivo de graficación.

34. y —eos (x — ir), —tt £ x < 3 tt

35. y = 2 cos (* —tt/4), —-it < * £ 3tt 36. y

=

2 sen ( x

+

tt/4),

-2 tt

x s

. 2 tt

37. y = sen [ttO - 1)], —2 £ x £ 3

En los problemas del 51 al 54, exprese la amplitud, el periodo y el corrimiento de fase de cada función y trace una gráfica de la función con la ayuda de un dispositivo de grajicación.

38. y = cos 12tt(x — j)], -1 < x < 2 ( t íx +

tt / 2 ) ,

- 2 s i £ 2

>'= 3.5 sen

52.

>'= 5.4 sen

40. y = 2 s e n ( ttx - -it/4), —1 £ i S 3 41. y = —4 cos (2x - tt), —tt £ x £ 3 tt 42. y = —2 cos (4x + tt), —-tt < * < tt

En los problemas del 43 al 46, grajique cada función sobre el intérnalo indicado. 43. v = - 1 + sen

(x

+ -tt), - tt S

x

£ 3Tr

44. y = 1 + cos (x — tt), —ti < a- S 3 tt

TT

iH a i

51.

0.5)

O

= 3 cos

VI

y

VI o

39.

- 1) , 0 < ; < 6

53. y = 50 cos [2tt(í —0.25)], 0 s t s 2 54. y = 25 cos [5tt(í - 0.1)] 0 < í < 2 En los problemas del 55 al 60, grajique cada ecuación con un dispositivo de grajicación. (Escoja el tamaño de cada ventana de visión para que por lo menos dos periodos sean visibles.)

5-7

Graficadón de

Encuentre una ecuación de la forma y = A sen (Bx + C) cuya gráfica sea igual a la de la ecuación dada. Encuentre exacta mente a A. B y C hasta con tres cifras decimales. Use la inter sección con el eje x más cercana al origen así como el corrimiento de fase.

y = k + A

sen

(Bx + Q

y

y = k

+ A eos (Bx + Q

417

65. 0 s x s 2it (A) y = sen x sen 3* (B) y = senx + ' sen 3,v senS.v (C) y = senx + —------1------—

55. y - \/2 se n x + V 2 eos x 56. y = V2sen;c - V 2 eos x 57. y - V 3 sen x — eos .v

66. 0 s x s 4 (A) >• = sen t t x

58. y = sen x + V 3 eos x 59. >■= 4.8 sen 2x - 1.4 eos 2x

(B) y = sen t t x

60. y = 1.4sen2x + 4.8 eos 2x Los problemas del 61 al 66 ilustran las combinaciones de fu n ciones que aparecen en las aplicaciones armónicas del análi sis. Grafique los incisos A, B y C de cada problema en la misma ventana de visión. En los problemas del 61 al 64, ¿qué le pasa a la amplitud de la función en el inciso C? Dé un ejemplo de un fenómeno físico que se pueda modelar por una función se mejante. O s x s 16 (A) y = x (B) y - — x

sen

2 ttx

+

sen 2trx sen 3tt.v (C) y = sen ttx h------ -------1-------—

67. El sistema masa resorte. Un peso de 6 libras cuelga del _____ _ final de un resorte que se estira j de pie debajo de la posición del equilibrio y en tonces se libera (véase figura). Si la resis tencia del aire y la fricción se desprecian, la distancia x que el peso se desplaza con respecto de su posición de equilibrio en un tiempo t (en segundos) está dada por

t r \ y = -1s e n ^ (C) -x

0

<

x = 5 eos 8í Exprese el periodo P y la amplitud<4 de esta función, y grafíquela para 0 £ t S t i .

10

(A) y = x

68.

genera una corriente dada por

2 (B) y = —

/ = 30 sen 120/

X

2 (C) y = - eos t t x

donde t es el tiempo en segundos. ¿Cuál es la amplitud A y el periodo P de esta función? ¿Cuál es la frecuencia de la corriente; es decir, ¿cuántos ciclos (periodos) se comple tarán en un segundo?

X

0 s .í < 10 (A) y = x

69.

El sistema masa resorte. Suponga que el movimiento del peso en el problema 67 tiene una amplitud de 8 pulgadas y un periodo de 0.5 segundos, y que su posición cuando t. = 0 es de 8 pulgadas debajo de su posición de reposo (el desplazamiento arriba de la posición de reposo es positivo y debajo es negativo). Encuentre una ecuación de la forma y = A eos Bt que describe al movimiento en cualquier tiem po t S 0. (Desprecie cualquier fuerza amortiguadora tales como, la fricción y la resistencia del aire.)

*70.

Circuitos eléctricos. Si el voltaje E en un circuito eléctri co tiene una amplitud de 110 voltios y un periodo de ¿ segundos, y si E = 110 volts cuando / = 0 segundos, en cuentre una ecuación de la forma E = A eos Bt que da al voltaje en cualquier tiempo t 2 0.

(B) y = - x _

ir

(C) y - xsen—x 0 —.X'— 10 < A > ,- § (B) , - - § x (C) y = —eos t t x

418


76. Física: ingeniería. Si en el problema 75 el disco empezó a girar en 0 = it/2, muestre que la posición de la sombra en un tiempo t (en segundos) está dada por

Contaminación. La cantidad de bióxido de azufre, obte nido de la combustión de combustibles liberados hacia la atmósfera de una ciudad varía estacionariamente. Supon ga que el número de toneladas del contaminante liberado en la atmósfera durante cualquier semana después del pri mero de enero para cierta ciudad está dado por /ITT A(n) = 1.5 + eos —— 26

y = 3 sen

Grafique esta ecuación para 0 £ r £ 1.

0 £ n < 104 ^

Grafique la función en el intervalo indicado y describa lo que muestra la gráfica. Medicina. Un adulto normal sentado aspira y exhala cer ca de 0.82 litros de aire cada 4.00 segundos. El volumen de aire en los pulmones t segundos después de exhalar es aproximadamente TTt

V(t) = 0.45 - 0.37 eos y

0< t< 8

Grafique la función en el intervalo indicado y describa lo que muestra la gráfica. 73. Circuito eléctrico. La corriente en un circuito eléctrico está dada por / = 15 eos (1 20tt? + -it/2), 0 < t < | o donde /está medida en amperes. Exprese la amplitud/í, el perio do P y el corrimiento de fase. Grafique la ecuación. 74. Circuito eléctrico. La corriente en un circuito eléctrico está dada por I = 30 eos (120irí — tt), 0 ^ I ^ donde I está medida en amperes. Exprese la amplitud A, el periodo P y el corrimiento de fase. Grafique la ecuación. 75. Física: ingeniería. El disco de plástico delgado mostrado en la figura gira a 3 revoluciones por segundo, comienza en 0 = 0 (así que al final de t segundos, 0 = óirf. ¿por qué?). Si el disco tiene un radio de 3, muestre que la posi ción de la sombra en la escala y de la pequeña pelota de acero B está dada por y = 3 sen 6 m

6 tt i +

77. Modelado de los tiempos de la puesta del Sol. Los tiem pos de la puesta del Sol para el quinto día de cada mes en un periodo de un año fueron tomados de un folleto de ma rea de la Bahía de San Francisco en la forma de la tabla 1. El tiempo de luz del día se ignoró, y los tiempos para un reloj de 24 horas comenzando en la medianoche. (A) Usando un mes como la unidad básica de tiempo, introduzca los datos para un periodo de 2 años en su dispositivo de graficación y produzca una gráfica de dispersión en la ventana de visión. Antes de ínuoducir los datos de la tabla 1 en su dispositivo de graficación, convierta el tiempo de puesta del Sol en horas y minutos, redondee las horas con dos cifras decimales. Elija a i 5 < < 20 para la ventana de visión. (B) Parece que una curva de la función seno de la forma y = k + A sen (Bx + Q m odelará aproxim adam ente estos datos. Las constantes k, A y B se determinan fácilmente de la tabla 1 como se indica: A = (Mk \ y - Min v)/2, B = 2-ñ/Periodo, k = Míny + A. Para calcular a C, estime visualmente con una cifra decimal e! menor cambio de fase positivo de la gráfica del inciso A. Después de determ inar A, B, k y C, escriba la ecuación resultante. (Su valor de C puede diferir un poco de la respuesta que se da en la parte de atrás del libro.) (C) Trace los resultados de los incisos A y B en la misma ventana de visión. (Se puede obtener un mejor resul tado ajustando levemente su valor de C.)

Grafique esta ecuación para 0 s i < l .

TABLA 1

Rayos paralelos de luz

x (mes) y (puesta de sol)*

1

2

3

4

5

6

17:05

17:38

18:07

18:36

19:04

19:29

* (mes)

7

8

9

10

11

12

y (puesta de Sol)*

19:35

19:15

18:34

17:47

17:07

16:51

* Tiempo en un reloj de 24 horas, iniciando a la medianoche.

'-v 78. Modelamiento de variación de temperatura. El prome dio de la temperatura mensual en un periodo de 30 años, en 3F, para cada mes del año en Washington. D. C., está dado en la tabla 2 (Almanaque mundial). (A) Usando un mes como la unidad básica de tiempo, introduzca los datos para un periodo de dos años en

5-8

Craficación más general de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante

su dispositivo de graficación y produzca una gráfica de dispersión en la ventana de visión. Elija a O S ) í < 80 para la ventana de visión. (B) Al aparecer una función seno de la forma

419

Después de determinar A, B, k y C, escriba la ecuación resultante. (C) Dibuje las gráficas resultantes de los incisos (A) y (B) en la misma ventana de visión. (Se logra un mejor resultado ajustando levemente el valor de C.)

y = k + A sen (Bx + C) modelará aproximadamente estos datos. Las constan tes k, A y B se determinan fácilmente de la tabla 2 como se indica: A = (Máx y — Mín y)/2, B - 2-it/ Periodo, k = Mín y + A. Para calcular C, estime visualmente con una cifra decimal el más pequeño cambio de fase positivo de la gráfica en el inciso (A).

SECCIÓN

5-8

TABLA 2 x (mes)

1

2

y (temp.)

31 34 43 53 62 71 76 74 67 55 45 35

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

Craficación más general de las funciones tangente,, cotangente, secante y cosecante G raficación de y = A tan (Bx + Q y y = A cot (Bx + C) G raficación d e y = A sec (Bx + C ) y y = A ese (Bx + Q

En esta sección se analiza la graficación de las form as m ás generales de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. En esencia, se sigue el m ism o proceso que se desarrolló para graficar a y = A sen (Bx + Q y y = A eos (Bx + Q . El proceso no es difícil si se com prendieron claram ente las gráficas básicas y las propiedades periódicas para cada una de estas funciones.

Para una fácil referencia, se repiten las gráficas que se m ostrarán para y = tan x y y = c o tx en la sección 6-6 (véase figuras 1 y 2).

y y — A c o t {Bx - C)

Periodo: n Dominio: Todos los números reales excepto tc/2 + kn, k es un entero Rango: Todos los números reales Simétrica con respecto al origen Función creciente entre las asíntotas Discontinua en x = tc/2 + kn., k es ui entero HGURA 1

420

5

;.'' í i*í4• ur ’


4hi ¿M

G ráfica

d e

:

y

:V:'~ ’iiT«]rr"

•?-r-: i -11M.^ =

-v- A:--—

Periodo:

y 1 1 1 11 1

1 1 1 1 1

1 11

1\ 1 \ 1

\

! -2 n

¿“

-K j

1 \ i 1” l 2

1 i

¡ !

0 V 1 --

\

1 i

¡ 1

1

í

t

2r

1

1 ' 1 1 1 1 1

''

i l l í l l i i l í í i i i ™

t

Í . ^VX;

!

Rango: Todos los núm eros reales

¡ 1

1

►X

Sim étrica con respecto al origen

i"

!

1

j

¡

:

1

D iscontinua e n x = h i , k es un entero ü--Ililllilli:Ií■í : .ílh.—Üiíi; fililí-- ü-lll: :¡------:--:—

•'

ülíílli


tt

D om inio: Todos los núm eros reales excepto k K , k es un

1 3*2

^ i.

cot x

Función decreciente entre las asíntotas j| | | |

(A) R elacione cada función con su gráfica y analice cóm o la gráfica se com para con la g ráfica de y = tan x o de y = cot x. (1 ) y = 4 ta n x (2) y = tan 2x (3) y = cot (x - nr/2) :

y

Y :

! 10..

i

1

i , 1

i

i

1

51

5' 1

1 1 -n

Y

i1 0 1 ;l1 _s" II 10-¡1 " 1 (a )

.

1

1

j

n

i

• -r- 1 1 I I | j

1

Jl

1

i

i

l i i i i

i o--

-n>•

11 i

/

A

i i

i i i 1 K |

0

!-5-■■

1

105-

0

-ÎÏ

lf

1 1 1

71

-5-10-

1

1 (b )

(C)

(B) U se un dispositivo de graficación para explorar la naturaleza de los cam bios en las g ráficas de las siguientes funciones cuando se cam bian los valores de A, B y C. A nalice qué pasa en cada caso. y = A tan x y y = A cot x para diferentes valores de A . y - A tan B x y y = cot Bx para diferentes valores de B. y = tan (x + C) y y = cot (x + Q para diferentes valores de C.

Para trazar rápidam ente las gráficas de las ecuaciones de la form a y = A tan (Bx + C), es necesario saber cóm o son las constantes A , B y C y sus efectos en las gráficas básicas de y = ta n x y y = c o tx , respectivam ente. O bserve prim ero que la am plitud no está definida para las funciones d e la tangente y cotangente. Las gráficas de am bas se desvían sin fin desde el eje x. El

5-8


421

efecto de A es hacer que la gráfica tenga m ás pendiente si \A\ > 1 o hacer que tenga m enos pendiente si \A\ < 1. Si A es negativa, la gráfica se refleja con respecto al eje x. Así com o con las funciones seno y coseno, las constantes B y C, respectivam ente, producen un cam bio en el periodo y corrim iento de fase. Puesto que A tan .v y A cot x tienen cada uno un periodo de ir, se deduce que A tan (Bx + C) y A cot (B x + C) cada una com pleta un ciclo cuando B x + C varía de Bx + C = 0

a

B x + C = tí

o (despejando x ) cuando x varía de Corrim iento de fase

I C ----------- a B

Periodo

1 C x = —— + — B

I 1T B

A sí, y = A tan (Bx + C) y y = A cot (Bx + C) cada una tiene un periodo de I B y un corrim iento de fase de - C / B . La gráfica básica se corre a la derecha si —C/B es positivo y a la izquierda si —C/B es negativo. Com o antes, no es necesario m em orizar las fórm ulas para el periodo y corrim ien to de fase. Sólo se necesita recordar el proceso usado para obtener las fórm ulas.

Graficación de una ecuación de la forma y = A cot ( Bx + Q Encuentre el periodo y el corrim iento de fase para y = 2 cot (x/2), después trace su gráfica para - 2 t t < x < 2 ir. Solución

Un ciclo de y = 2 cot (x/2) se com pleta cuando x/2 varía de 0 a tt. D espeje x de cada ecuación:

x = 0

x = 0 + 2tt

C orrim iento de fase = 0 Periodo = 2-ir En general, si C = 0, no hay corrim iento de fase. La gráfica se traza por un periodo, (0, 2-ir), luego se extiende en el intervalo ( —2 tt, 2 tt) com o se m uestra en la figura 3.

JRA 3

Y

Y

422

5


E ncuentre el periodo y el corrim iento de fase para y = 3 tan (irx/2), después trace su g ráfica para - 3 < x < 3.

Graficación de una ecuación de la forma y = A cot (Bx + C) Encuentre el periodo y el corrim iento de fase para y = cot (2x + g ráfica para —t t /2 < x < t >. Solución

Paso 7.

tt/2 ),

después trace la

Encuentre el periodo y el corrim iento de fase resolviendo Bx + C = 0 y B x + C = tt para .v:

TT 2x + — = TT

2

TT

2* - - j IT X= ~ 4 4

I I I I I I

C orrim iento de fase =

TT

TT 2x = -------1- TT 2 TT IT X = -----+ — 4 2 TT

Periodo - —

2 Paso 2.

Trace un periodo de la gráfica que com ienza en * = - t t / 4 (el corrim iento de fase) y ten nina en x = - t t / 4 + t t / 2 (el corrim iento de fase m ás un periodo) (figura 4 ) .

Paso 3.

Extienda la gráfica sobre el intervalo

FIGURA 4

( — tt/2 , tt)

(figura 5).

FIGURA 5

---1_ Tt 4

I I I I I II

.

3£ 4 I I I I !!

Encuentre el periodo y el corrim iento de fase para y = tan la gráfica para - 3 < .r < 3.

( ttx /2 + tt/4 ) ,

después trace

Para una referencia conveniente, se repiten las gráficas que se m ostraron para y = ese .v y y = sec x en la sección 5-6 (véase figuras 6 y 7).

y = A ese ( B x •+ C)

5-8


Gráfica de y = ese x IKáffiiiiiiooilM

1 ilg M ii||i|B

y

1 I

¡I

i / ¡/ .,

I*

!

, ¡

i j / sen*

i

HiHf "-2n ! 3jc1 -*nv 2J X , ' 7 ^ ¡ 1 2 j B 1¡ 2 1¡ • ¡ !/ \ \s '

%

~

f

!

—

¡ \ *

i

Dominio: Todos los números reales excepto fot. k es un entero

Simétrica con respecto al origen ‘Sli i ¡ ív *!•^111iim*íí?:i ^: ; ^ Discontinua eii Jc = fe, ¿ es un entero

i

1

Rango: Todos los números reales y tales que y<-lov>l

rY

m

m

K

m

m

m

FICU

” ¡7

Gráfica de y = sec x

Periodo: 2n k/2

+ fot, k es un entero

Rango: Todos los números reales y tales que y < — 1 o y >: 1

Simétrica con respecto al eje y Discontinua en x = tc/2 + kit, k es un entero

iüiüi

liüiiK'hit./iIím


(A) Relacione cada función con su gráfica y analice cómo se compara la gráfica con la gráfica de y = ese x o la de y = sec x. ( l ) y = \ ese x

(2) y = sec

ttx

(3) y = ese (x — tí/2 )

3-23jt 2 I I I

(a )

(b)

(c)

5


(B) U se un dispositivo de graficación para explorar la naturaleza de los cam bios en las gráficas de las siguientes funciones cuando se cam bian los valores de ^4, B y C. A nalice qué pasa en cada caso. y — A sec x y y = A ese x para diferentes valores de A y = sec B x y y = ese B x para diferentes valores de B y = sec (x + Q y y = ese (x + Q para diferentes valores de C

Com o con las funciones tangente y cotangente, la amplitud no está definida para las funciones secante ni cosecante. Puesto que am bas funciones tienen un perio do de 2 tt, encontram os el periodo y el corrim iento de fase para cada una resolviendo Bx + C = 0 y B x + C = 2t t . Para graficar cualquier y = A sec (Bx + Q o y = A ese (Bx + Q , usted probable m ente encontrará m ás fácil graficar y = (1 /A) eos (Bx + Q o y = (H A ) sen (Bx + C) con una curva discontinua, y después tom ar sus recíprocas. U n ejem plo le podría ayu dar a aclarar el proceso.

Graficación de una ecuación de la forma y = A sec ( Bx + A) Encuentre el periodo y el corrim iento de fase para y = ¡ sec (2x + tt), después trace la g ráfica para —3 tt/4 < x < 3-rr/4. Solución

Paso I.

Encuentre el periodo y el corrim iento de fase resolviendo B x + C = 0 y B x + C = 2 tt para x:

— TT

TT

2 ir

TT

TT

----2 Corrim iento de fa se =

=

£ 1

X

2x =

tt

II

2x +

0

Y = ---2 Periodo

=

tt

2 Paso 2.

Puesto que 1 1 - sec C2x + tt) = -------------------2 2 eos (2x + tt) se grafica y = 2 eos (2x + tt) para un ciclo de —t t / 2 a —t t / 2 + tt. y después se tom an sus reciprocas. Note que tam bién se colocaron las asíntotas verticales al encontrar las interseccio nes con el eje x de la gráfica del coseno com o guía para trazar de la función secante (figura 8).

5-8

FIGUHA 8

Graficación más general de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante

425

y

Paso 3. Extienda la gráfica en el intervalo requerido (—3tt/4, 3tt/4) (figura 9). y

Encuentre el periodo y el corrimiento de fase para y = la gráfica para - 2 £ x £ 10.

2

ese ( t t x / 2 - tt), después trace

Respuestas a los problemas seleccionados 1. Periodo 2. corrimiento de fase 0

2. Periodo 2, corrimiento de fase - j

5


3.

Periodo 4 corrim iento de fase 2

y

5-8 3-tt

3tt

17. y = tan (2x + ir), —— < x < — En los problemas del 1 al 4, trace una gráfica de cada función básica sin ver el texto o usando un dispositivo de graficación. 1. y = cot x, 0 < x < 2-it

2. y = tan x, 0 s x £ 2-tt

3. y - sec x, —tr < x £ ir

4. y = ese x, —tt < x <

18. >• = cot (2a- - -rr),

£ *£ -

19. y = sec ( itx + — ], —1 < x < 1

ir

20. y = ese ( ttx ——J, —1 < x < 1

B En los problemas del 5 al 14, encuentre el periodo de cada función y grafique la función para el intervalo indicado. 5. y = 2 cot 4x, 0 < x < ir/2 6. y = 3 tan Ix, —t t S x S n 7. y = —j tan 8ttx, 0 < x < j 8. y = —5 cot 2-nx, 0 < x < 1

En los problemas del 21 al 24, grafique por lo menos dos ci clos de la ecuación dada en un dispositivo de graficación, des pués encuentre una ecuación de la forma y = A tan Bx. y = A cot Bx, y = A sec Bx o y = A ese Bx que renga la misma gráfica. (Estos problemas sugieren otras identidades además de las analizadas en la sección 5-2. Las identidades adiciona les se analizan con todo detalle en el capítulo 6.) 21. >■= cot x - tan x

22. y = cot x + tan x

23. y = ese x + cot x

24. y = ese x - cot x

9. y = ese (x/2). —3-rr £ x £ 3-ít 10. y = sec i7x, —1.5 £ x £ 3.5 11. y — \ cot (x/2), 0 < x < 4tr 12. y = \ tan (x/2), —-rr < x < 3-n

En los problemas del 25 a! 30, encuentre el periodo y el corri miento de fase, después grafique cada función.

13. y = 2 sec rrx, —1 £ x £ 3 25. y = 2 tan ^ - y j , -4-it £ x £ 4tt

14. y — 2 ese (x/2), 0 < x < 8tt En los problemas del 15 al 20, encuentre el periodo y el corri miento de fase, después grafique cada función. / ir \ tt 3tt y = cot (x + —j, —— < X < — 16. y = t a n ( j t - - | ,

—ir

tt

26. y = 4 tan (2x + -rr), —t t £ x £ 27. y = —2 tan

-it

x — —j, -1 < x < 7

28. y = —3 cot (ttx - tt), —2 < x < 2 ' tt

-it 1

29. >■= 3 ese | -^x + y |, - 1 < x < 3

5-9

30. y = 2 sec

Funciones trigonométricas inversas

(B) Grafique la ecuación mostrada en el inciso (A) para el intervalo de tiempo [0, 1). Si la gráfica tiene una asíntota, señálela. < (C) Describa qué le pasa a la longitud c del rayo cuando t varía de 0 a 1.

——j, -1 < x < 3

En los problemas del 31 al 34, grafique por lo menos dos ci clos de la ecuación dada con un dispositivo de graficación, después encuentre una ecuación de laforma y = A tan Bx, y = A cot Bx, y = A sec Bx, o y = A esc Bx que tenga la misma gráfica. (Estos problemas sugieren identidades adicionales además de las analizadas en la sección 5-2. Las identidades adicionales se analizan con todo detalle en el capitulo 6.) 31. y = sen 3x + eos 3x cot 3x 32. y = eos Ix + sen Ix tan Ix sen 4x 33. y = -----------— 1 + eos 4x sen 6x

34-y = 1--------T 1 — eos 6x APLICACIONES

W

/

Movimiento. La luz de un faro a 20 pies de una pared gira en el sentido de las manecillas del reloj con una rapidez angular de 1/4 rps (véase figura); así, 8 = tí til. (A) Comience a contar el tiempo en segundos cuando la luz está en N y escriba una ecuación para la longitud c del rayo en términos de t.

SECCION

5-9

Movimiento. Refiérase al problema 35. (A) Escriba una ecuación para la distancia a cuando la luz viaja por la pared en términos del tiempo t. (B) Grafique la ecuación encontrada en el inciso (A) para el intervalo de tiempo [0, 1). Si la gráfica tiene una asíntota, señálela. (C) Describa qué le sucede a la distancia a sobre la pared cuando la luz i viaja desde 0 a 1.

Funciones trseson

.a s

ne*'

Función inversa del seno Función inversa del coseno Función inversa de la tangente Resum en Las funciones secante, cotangente y la inversa de la cosecante (opcional) U na breve revisión del concepto general de las funciones inversas analizadas en la sección 2-6 será útil antes de com enzar esta sección. En el siguiente cuadro se exponen nuevam ente algunos puntos im portantes de las funciones inversas de esta sección.

KM

Puntos que definen las funciones inversas P ara/ una función uno a uno y para su inversa/

IIP

1;

i.

Si (a, b) es un elem ento de f entonces (6, a) es un elem ento viceversa.

2.

Rango de / = D om inio d e/

.

1

D om inio d e / = Rango d e/ -1

428

5


mnuiMHU>?í DOMINIO f

RANGO f

'WHP" RANGO f

DOMINIO f

Si x = / ‘(y), entonces y = f ( x ) para y en el dom inio de/ -1 y jc en el dom inio d e / y viceversa.

para y en el dom inio d e / para x en el dom inio d e /

1

_______________________

Todas las funciones trigonom étricas son periódicas; de aquí que, cada valor del rango se puede asociar con una infinidad de valores del dom inio (figura 1). Como resultado, ninguna función trigonom étrica es uno a uno. Sin restricciones, ninguna fun ción trigonom étrica tiene una función inversa. Para resolver este problem a, se restringe el dom inio de cada función para que sea uno a uno sobre el dom inio restringido. Así, para este dom inio restringido, está garantizada una función inversa. y = sen x no es uno

/

Las funciones trigonom étricas inversas representan otro grupo de las funciones básicas que se añaden a nuestra biblioteca de funciones elem entales. Estas funciones se usan en m uchas aplicaciones y desarrollos m atem áticos, y serán particularm ente útiles cuando se resuelvan las ecuaciones trigonom étricas de la sección 6-5.

¿C óm o se puede restringir el dom inio de la función seno para que sea uno a uno? Hay infinidad de m aneras de hacer esto. U na m anera natural y generalm ente aceptada se m uestra en la figura 2 .

5-9


429

FIGURA 2 y = sen x es uno a uno en [—rr/2, t t / 2 ] .

Si el dominio de la función seno está restringida al intervalo [—ir/2 , tt/2], se ve que la función restringida pasa la prueba de la línea horizontal (sección 2-8) y, por consiguiente, es uno a uno. Observe que cada valor del rango de -1 a 1 se supone exacto una vez que x se mueve de - tt/ 2 a tt/ 2 . Se usa esta función restringida del seno para definir la función inversa del seno.

DEFINICIÓN 1

Función inversa del seno

La función inversa del seno, se denota por sen-1 o arcoseno, se define como la inversa de la función restringida del seno y = sen x , - t t / 2 S i < t t / 2 . En conse cuencia, y = sen-1 x

y

y = arcsenx

son equivalentes a sen y

=

x

donde

-tt/2

<

y

<

tt/2 , - 1

x^

<

1

En otras palabras, el inverso del seno de x, o del arcoseno de x, es el número o el ángulo y, - t t / 2 ^ y ^ t t / 2 , cuyo seno es x.

Para graficary = sen"1x, tome cada punto en la gráfica de la función restringida del seno e invierta el orden de las coordenadas. Por ejemplo, puesto que (—tt/2, -1), (0,0) y (tt/2, 1) están en la gráfica de la función restringida del seno (figura 3) entonces ( - 1 , — t t / 2 ) , (0,0) y ( 1 . t t / 2 ) están en 1a gráfica de la función inversa del seno, como se muestra en la figura 3. Usando estos tres puntos se obtiene una manera rápida de trazar la gráfica de la función inversa del seno. Una gráfica más exacta se puede obtener usando una calculadora. FIGURA 3

Función inversa

del seno.

jO 'f)

— 1•■ ■f

;( } .') I

( 0 ,0 ) 7t

/ , -1

(0 ' 0) /

2

T

■ Dom inio = [ - j , | ]

T

Rango =

[-1,1]

Función seno restringido

(a)

/ y = s e n '’ x = arcsen x

1

/

Dom inio = [ - 1 , 1]

/

]______

Rango = [ - f , f ]

Función seno inverso

(b)

5


Se expresan las im portantes identidades dei seno, seno inverso, que son una con secuencia de las propiedades generales de las funciones inversas dadas en el cuadro del principio de esta sección.

EJEMPLO 1

Valores exactos Encuentre los valores exactos sin usar una calculadora: (A ) a r c s e n ( —y)

Solu ción

(B) se n " 1 (sen 1.2)

(C) c o s(se n ~ ’f )

(A) y = arcsen ( —j ) es equivalente a

TT

TT

— = arcoseno(—5)

[Nota: y -¡M I t t / 6 , aunque cuando sen (11 77/ 6 ) = — J. y debe estar entre incluso.]

tt/2

y

tt/2 ,

(B) sen -1 (sen 1 .2 ) = 1 .2 Identidad del seno y del seno inverso, puesto que —t t / 2 s O s ir /2 (C) Sea y = sen “ 1 5 , después sen y = y, — t t / 2 < y ^ t t / 2 . Dibuje el triángulo de referencia asociado con y. Luego el eos y = eos (sen-1 \ se puede determ inar directam ente del triángulo (después de encontrar el tercer lado) sin encontrar real m ente ay . a2 + b2 = c2 a = V 3 2 - 22 V5

Ya que o > 0 en el c u ad ran te I

5-9


Por consiguiente, eos (sen-1 f ) = eos y = V5/3


Encuentre los valores exactos sin usar calculadora: (A) aresen (V 2 /2 ) (B) sen [sen " 1 ( - 0 .4 ) ] (C) tan [sen-1 ( —1 /V S j]

EjEMPLO 2

Valores con calculadora Encuentre con cuatro dígitos significativos usando una calculadora: (A) aresen ( —0.3042) (B) sen” 1 1.357 (C) cot [sen ' ( —0.1087)]

Solución

L as teclas de la función que se usan para representar la inversa de las funciones trigonom étricas varían en las diferentes calculadoras, así que debe leer el m anual del usuario para la suya. Ponga su calculadora en el m odo radián y siga su m anual para la secuencia de las teclas. (A) aresen ( - 0 .3 0 4 2 ) = -0 .3 0 9 1 (B) sen-1 1.357 = E rror

1.357 no está en el dominio de sen

(C) cot [sen“ 1 (-0 .1 0 8 7 )] = -9 .1 4 5


E ncuentre con cuatro dígitos significativos usando una calculadora: (A) sen 1 0.2903 (B) aresen ( —2.305) (C) cot [sen“ 1 (-0 .3 4 4 6 )]

• F u n c i ó n in v e rs a

d e ! co se n o

Para restringir la función del coseno de tal m anera que se convierta en uno a uno, se elige el intervalo [0, tt]. En este intervalo la función restringida pasa la prueba de la línea horizontal, y cada valor del rango se supone exacto una vez que x se mueve de 0 a ir (figura 4). Esta función restringida del coseno se usa para definir la fu n c ió n inversa del coseno. Y

y = eos es uno a uno en [0, ir]. /--v

/

-V -\

\

/ \

/

\

/ \ / \ / ' _ ----- t----- ,----- t----- ------------i---- £-----t----- t----- ™ /

'v

/

'

\

;

/i

\

432

5

Fundones trigonométricas

DEFINICIÓN 2

Fundón inversa del coseno La función inversa del coseno, denotada por eo s-1 o arcocoseno, se define como la inversa de la función restringida del coseno y = eos x, 0 ^ x ^ i t . Por consi guiente, y = eos-1 x

y

y = arccos x

son equivalentes a eos y = x

donde 0 < y < ir, —1 £ x < 1

En otras palabras, el inverso del coseno de x, o del arcocoseno de x, es el núm ero o el ángulo y , 0 s y < ir, cuyo coseno es x.

L a figura 5 com para las gráficas de la función restringida del coseno y su inversa. O bserve que (0, 1), ( tt/2, 0) y ( tt, - 1 ) no están en la gráfica restringida del coseno. Invirtiendo las coordenadas se obtienen tres puntos en la gráfica de la función inversa del coseno. Función coseno inversa.

Dom inio = [ 0, rt] Rango = [ - 1, 1]

Rango = [ 0, re] Función coseno inversa

Función coseno restringida

(b )

(a )

Se term ina este análisis dando las identidades del coseno y del inverso del coseno:

Identidades del coseno y del inverso del coseno ■

¡¡fc iffiíÉ w ; i J i i á f É É Í É ! !

eos (eos 1x) =

X

eos-

_____________ _


Evalúe cada uno de los siguientes enunciados con una calculadora. ¿C uál ilustra una identidad del coseno y del inverso del coseno y cuál no? A nalice por qué. (A) eos (eo s-1 0.2) (B) eos [eos-1 ( - 2 ) ]

(C) eos-1 (eos 2) (D) eos“ 1 [eos ( - 3 ) ]

5-9

|EMPLO


433

Valores exactos Encuentre los valores exactos sin usar calculadora: arccos ( - V 3 /2 )

Soluciones

y

(B) eos (eos 1 0

= arccos (—V 3 /2 ) es equivalente a ; eos y

Triángulo d e referencia asociado con y

V3 2 5 tt

y y ^

V3

~6~

(0

—V3

[Nota: y =£ —5tt/6, aun cuando eos ( —5ir/6) = —V 3 /2 y debe estar entre 0 y incluso.] (B) eos (eos- 1 0.7) = 0.7 Identidad del coseno y del coseno inverso.

tt,

puesto que —1 < 0.7 < 1

(C) Sea y = eos-1 ( - !); entonces eos y = —j , 0 ^ y ^ t t . D ibuje un triángulo de referencia asociado con y. Entonces sen y = sen [eos-1 ( - )íj se puede determ inar directam ente del triángulo (después de encontrar el tercer lado) sin encontrar real m ente y. a2 + b2 = c2 b = V 3 2 - ( - 1)2

Ya que b > 0 en el cuadrante II

= V 8 = 2V 2

Así, sen [eos 1 ( - 5)] = sen y = 2 V 2/3 .


E ncuentre los valores exactos sin usar calculadora: (A) arccos (V 2 /2 )

EJEMPLO 4

(B) eos-1 (eos 3.05)

(C) cot [eos-1 (—1/V 5)]

Valores con calculadora Encuentre con cuatro dígitos significativos usando una calculadora: (A) arccos 0.4325

(B) eos-1 2.137

(C) ese [eos-1 (-0 .0 3 4 9 )]

434

5


Solución

Ponga su calculadora en el modo radián. (A) árceos 0.4325 = 1.124 (B) eo s-1 2.137 = Error

2.137 no está en el dominio de eos 1

(C) ese [ e o s 1 (-0 .0 3 4 9 )] = 1.001


Encuentre con cuatro dígitos significativos usando una calculadora: (A) e o s -' 0.6773

• Función inversa de la ta n g e n te

(B) árceos (-1 .0 0 3 )

(C) cot [eos“ 1 (-0 .5 0 3 6 )]

Para restringir la función tangente para que llegue a ser uno a uno, se elige al intervalo ( - t t / 2 , t t / 2 ) . En este intervalo la función restringida pasa la prueba de la recta horizon tal, y cada valor del rango se supone exacto una vez que x se mueve a través de este dom inio restringido (figura 6). Esta función restringida de la tangente se usa para defi nir la fu n ció n inversa de la tangente.

y = tan x es uno a uno en el intervalo ( - t t / 2 , t t / 2 ) .

Función inversa de la tangente L a función inversa de la tangente, denotada por tan -1 o arcotangente, se define com o la inversa de la función restringida de la tangente y = tan x, — t t / 2 < x < t t / 2. Así, y = ta n -1 x

y

y = arctan x

son equivalentes a ta n y = x

donde

— tt/2 < y <

tt/2

y x es un núm ero real

En otras palabras, la inversa de la tangente de x, o el arcotangente de x, es el núm ero o el ángulo y , — t t / 2 < y < t t / 2 , cuya tangente es x.

5-9


435

En la figura 7 se com paran las gráficas de la función tangente restringida y su inversa. O bserve que ( —tt/4, 1), (0, 0) y (ir/4, 1) están en la gráfica de la tangente restringida. Inviniendo las coordenadas se obtienen tres puntos en la gráfica de la fun ción inversa de la tangente. También observe que las asíntotas verticales pasan a ser asíntotas horizontales para la función inversa.

y

Función tangente

inversa.

Dominio Rango = ”) Función tangente restringida

Dominio = ( - » , ») Rango = (-§> f ) Función tangente inversa

A hora expresam os las identidades de la tangente y la inversa de la tangente.

Identidades de la tangente y su Inversa


Evalúe cada uno de los siguientes enunciados con calculadora. ¿Cuál ilustra la inver sa de la tangente y la identidad de la tangente y cuál no? A nalice por qué. (A) tan (tan -1 30)

(C) tan -1 (tan 1.4)

(B) tan [tan“ 1 ( - 4 5 5 ) ]

(D) ta n “ 1 [tan ( - 3 ) ]

Valores exactos Encuentre los valores exactos sin usar calculadora: (A) tan” 1 ( - 1 / V 3 )

(B) tan“ ' (tan 0.63)

436

5


Soluciones

(A) y = tan 1(—l/'V 3) es equivalente a tan y =

1 'V 3

TT

TT

2

2

-----< V < —

TT

6

V3

-rJ2

[Nota: y no puede ser 11 tt/ó . y debe estar entre —77/2 y ir/2.] (B) ta n -1 (tan 0.63) = 0.63

Identidad de la tan g e n te y de la inversa de la tangente, puesto qu e - ttI2 < 0.63 < t t / 2

Encuentre los valores exactos sin usar calculadora: (A) arctan ( —V 3 )

(B) tan (tan-1 43)

Se resum en las definiciones y las gráficas de las funciones trigonom étricas inversas analizadas hasta aquí para una referencia conveniente.

n de sen-1, eos

Dominio Rango =

es equivalente a

x = sen y

es equivalente a

x = eos y

es equivalente a

x = tan y

y = eos"' x Dominio = [-1 Rango = [0, re]

5-9


Para terminar, se incluyen las definiciones y las gráficas de las funciones inversa de la cotangente, de la secante y de la cosecante. y la in versa d e ia c o s e c a n te (o p c io n a l)

DEFINICIÓN 4

Funciones inversas de la cotangente, de la secante y de la cosecante

y = c o r 1x y = sec'1x y = ese“1x

es equivalente a es equivalente a es equivalente a

x = coty x = sec y x = esc y

donde 0 < y < tt, —1» < x < 00 donde 0 ^ y ^ t t , y + t t / 2 , |x| ^ 1 donde —-rr/2 ^ y ^ ir/2,y # 0, |x| ^ 1

«i T ----- -

y = ese 1 x

y = sec*1 x

J Tí 2

• 0 -2 -1 ü

1 2

Dominio: x S —1 o x s l Rango: 0 < y =£ rc, y *■k/2

Dominio: Todos los números reales Rango: 0 < y < n

Dominio: x « -1 o x » 1 Rango: - k / 2 y n / 2 , y *= 0

[Nota: Las definiciones de la sec 1y ese' 1no son un acuerdo universal] Respuestas a los problemas seleccionados 1. (A) ir/4 2. (A) 0.2945 3. (A ) 17/4 4. (A ) 0.8267 5. (A ) —ir/3

E J E R C IC IO

(B) -0.4 (C) -1/2 (B) No está definida (B) 3.05 (C) -1/2 (B) No esiá definida (B) 43

(C) -2.724 (C) -0.5829

5-9

A menos que se exprese lo contrario, se supone que la inversa de las funciones trigonométricas tiene como rango a los núme ros reales (use el modo de radián en los problemas con calcu ladora). Algunos problemas implican rangos con ángulos medidos en grados, y éstos son claramente indicados (use el modo del grado en problemas con calculadora).

En los problemas del 13 al 18, evalúe con cuatro dígitos signi ficativos con calculadora.

13. 16.

sen‘ ; 0.9103

14. eos“1 0.4038

tan 143.09

17. arcos 3.051

15. arctan 103.7 18. aresen 1.131

B En los problemas del 1 al 12, encuentre los valores exactos sin usar una calculadora.

En ¡os problemas del 19 al 34. encuentre los valores exactos sin usar calculadora.

1. eos 10

2 . sen-1 0

3. aresen (V 3/2)

19.

4. arccos (V 3 /2 )

5. arctan V ’3

6. tan' 1 1

21. ta n ^ '( - V ^ )

22. tan' 1 ( - 1)

7. s c ir 1 (V 2/2)

8 . eos-1 ^

9. arccos 1

23. e o s"1 ( - 1 )

10. arctan (1 /V 3 )

11. sen -' *

24. 26.

12. tan' 1 0

aresen ( - V 2 / 2 )

25. sen“1 ( - 1 )

20. árceos ( —7 )

sen"1 ( —'\ /3 / 2 ) eos 1 ( - V 3 / 2 )

5


27. tan (tan-1 25)

28. sen [sen 1

( -0 .6 )]

29. eo s"1 (eos 2.3)

30. ta n "1 [tan

( —1.5)]

31. sen (eos"1 V §/2)

32. tan (eo s"1

33. ese [tan 1 ( - 1 ) ]

34. eos [sen"1 ( - V 3 /2 ) ]

64. La identidad sen (sen ' x) = x es válido para —1

1.

(A) La gráfica y = sen (sen" 1x) para —1 ^ x ^ 1. (B) ¿Qué pasa si se grafica y = sen (sen 1 x) en un intervalo más ancho, por ejemplo, —2 < x s 2? Explique.

1/2)

En los problemas del 35 al 40, evalúe con cuatro dígitos signi ficativos usando una calculadora. 35. a r c ta n ( - 10.04)

36. tan"1 (-4.038)

37. eot [eos"1 (-0.7003)]

38. sec [sen-■(-0.0399)]

En los problemas del 65 a! 68, escriba cada expresión como una expresión algebraica en x libre defunciones trigonomé tricas o de inversas de las funciones trigonométricas

39. V'd + eo s"1(1 - V 2 )

40. V 2 + tan"' N/5

65. eos (sen" 1x)

66. sen (eos ' x)

67. eos (arctan x)

68. tan (aresen x)

En los problemas del 41 al 44, encuentre la medida exacta del grado de cada uno sin usar calculadora. 41. sen-1 ( - V 2 /2 ) 44. a r c ta n ( - l)

42. e o s " '(-1 /2 ) 45. cos“ ' ( - l )

43. aretan ( - V 3 )

En los problemas 69 y 70, encuentref ‘(x). ¿Cómo debe estar x restringido en f '( x ) ?

46. sen-1 ( - 1 )

69. /(x) = 4 + 2 eos (x - 3 ) , 3 s . t s ( 3 + ir)

En los problemas del 47 al 52, encuentre la medida del grado de cada una con dos cifras decimales usando una calculadora en el modo grado.

70. /(x) = 3 + 5 sen(x - 1), (1 - tt/2 ) < x < (1 + tt/2 ) ^

Los problemas 71 y 72 requieren del uso de un dispositivo de graftcación.

47. e o s " '0.7253

48. tan" 1 12.4304

La identidad eos" 1 (eos x) = x es válida para 0 £ x £

49. aresen (-0.3662)

50. árceos (-0.9206)

51. ta n " '( —837)

52. sen-' (-0.7071)

(A) Grafique y = eos"' (cosx) para 0 s x < i r . (B) ¿Qué pasa si se graficay = eos ! (eos x) en un intervalo más grande, por ejemplo, - 2 i r < x < 2 ir? Explique.

Evalúe sen" 1(sen 2) con una calculadora en el modo radián, y explique por qué esto ilustra o no la identidad del seno y del seno inverso. Evalúe eos" 1[eos (—0.5)] con una calculadora en el modo radián, y explique por qué esto ilustra o no la identidad del coseno y del coseno inverso. ' Los problemas del 55 al 64 requieren del liso de un dispositivo de graficación. En los problemas de! 55 al 62, grafique cada función en un dispositivo de grajicación sobre el intervalo indicado. 55. y = s e n -'x , —1 < x =s 1 56. y = eos ’1x, -1 < x < 1 57. y = eos"' (x/3), - 3 < x < 3

La identidad sen"' (senx)= x es válida para - t t / 2 < x < tt/2 . (A) Grafiquey = sen 1(senx) = x para - t t / 2 ^ x £ t t / 2 . (B) ¿Qué pasa si se graficay = sen' 1(sen x) en un intervalo más grande, como, —2-jt < x < 2tt? Explique.

A P LIC A C IO N ES

^

73. Fotografía. El ángulo de visión cambia con la longitud focal de un lente de cámara: Un lente gran angular de 28 mm tiene un ángulo de visión ancho, y un lente de telefoto de 300 mm tiene un ángulo de visión estrecho. Para una cámara de for mato de 35 mm el ángulo de visión 0, en grados, está dado por 0 = 2 tan

21.634

58. y = sen 1(x/2), - 2 < x < 2 59. y = sen" 1 (x - 2), 1 s x s 3 60. y = eos" 1 (x + 1), - 2 =£ x =£ 0 61. y = tan-' (2x - 4), - 2 £ x £ 6 62. y = tan-1 (2x + 3), —5 £ x £ 2 La identidad eos (eos' 1x) = x es válida para —1 £ x ^ 1. (A) La gráfica y = eos (eos"' x) para —1 ^ x < 1. (B) ¿Qué pasa si se grafica y = eos (eos 1 x) sobre un intervalo más ancho, por ejemplo, - 2 S x á 2? Explique.

donde x es la longitud focal del lente que se usa. ¿Cuál es el ángulo de visión (en grados decimales con dos cifras deci males) de un lente de 28 mm? ¿De un lente de 100 mm?

5-9

"4. Fotografía. Refiriéndose al problema 73, ¿cuál es el án gulo de visión (en grados decimales con dos cifras deci males) de un lente de 17 mm? ¿De un lente de 70 mrn? "5. (A) Grafíque la función del problema 73 con un dispositi vo de graficación usando el modo grado. La gráfica debe cubrir lentes con longiftides focales de 10 mm a 100 mm. (B) ¿Qué longitud focal de lentes, con dos cifras deci males, tendrá un ángulo de visión de 40o? Resuelva graficando 0 = 40 y 0 = 2 tan" 1 (21.634/x) en la misma ventana de visión y encuentre el punto de intersección usando una rutina de aproximación.

(A) Grafiquey, en un dispositivo de graficación (en modo radián), incluyendo en la gráfica las poleas cuando sus centros están separados por una distancia de 3 a 10 pulgadas. (B) ¿Qué distancia, con dos cifras decimales, debería haber entre los centros de las dos poleas para usar una banda de 24 pulgadas de longitud? Resuelva graficando y, y y 2 = 24 en la misma ventana de visión y encuentre el punto de intersección usando una rutina de aproximación. sp 80. Ingeniería. La función y, = 6tt —2 eos"1- + 2xsen^cos~‘ -

76. (A) Grafique la función del problema 73 con un disposi tivo de graficación, en modo de grado, con la gráfica de lentes que cubren longitudes focales de 100 mm a 1 000 mm. (B) ¿Cuál es la longitud focal de un lente, con dos cifras decimales, que podría tenerun ángulo de visión de 10o? Resuelva graficando 0 = 10 y 0 = 2 tan" 1(21 ,634/jc) en la misma ventana de visión y encuentre el punto de intersección usando una rutina de aproximación.

representa la longitud de la banda alrededor de las dos po leas en el problema 78 cuando los centros de las poleas están a x pulgadas de distancia.

77. Ingeniería. La longitud de la banda alrededor de las dos poleas en la figura está dada por L = t¡D + (d — D)0 -I- 2 C sen 0 Donde 0 (en radianes) está dado por D- d


f

(A) Grafique y, con un dispositivo de graficación (en modo radián), mostrando los centros de las poleas separados por 3 a 20 pulgadas de distancia. (B) A qué distancia, con dos cifras decimales, deben estar colocados los centros de las dos poleas para usar una banda de 36 pulgadas de longitud? R esuelva graficando y, y y, = 36 en la misma ventana de visión y encontrar el punto de intersección usando una rutina de aproximación. 81, Movimiento. La figura representa un patio circular rodea do por una pared alta de piedra. Un foco localizado en E brilla en el patio.

0 = eos 1 ■

Verifique estas fórmulas y encuentre la longitud de la ban da con dos cifras decimales si D = 4 pulgadas, d = 2 pul gadas y C = 6 pulgadas.

D> d

78. Ingeniería. Para el problema 77, encuentre la longitud de la banda si D = 6 pulgadas, d — 4 pulgadas y C — 10 pul gadas.

(A) Si una persona camina x pies lejos del centro a lo largo de DC, muestre que la sombra de la persona se moverá una distancia dada por d = 2rd = 2r tan" 1r

y 79. Ingeniería. La función ■y, =477 —2 eos •' —+ 2«sen( eos"1-

donde 0 está en radianes. [Sugerencia: Dibuje una recta de A a C.] (B) Encuentre d con dos cifras decimales si r = 100 pies y x = 40 pies.

representa la longitud de la banda alrededor de dos poleas en el problema 77 cuando los centros de las poleas están a f -82. Movimiento. En el problema 81, encuentre d para r = 50 pies y x = 25 pies. x pulgadas de separación. —

440

5



Un análisis depredador-presa que implica leones de la montaña y venados

En algunas áreas del desierto occidental, las poblacio nes de venado y del león de la m ontaña están interrelacionadas, ya que el venado es la fuente de alim ento de los leones de la m ontaña. La población de cada es pacie sube y baja en ciclos, pero fuera de fase unos con respecto de los otros. U n equipo de investigación de adm inistración de fauna calculó las poblaciones respec tivas en cierta región cada 2 años en un periodo de 16 años, con los resultados que se m uestran en la tabla 1:

TABLA 1

Leones de montaña-población de venados

Años

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Venados

1 272

1 523

1 152

891

1 284

1 543

1 128

917

1 185

Leones de VI.

39

47

63

54

37

48

60

46

40

(A)

A nálisis de población del venado 1.

Introduzca los datos para la población de venado para el intervalo de tiem po [0 ,16] en un dispositivo de graficación y haga una g ráfica de dispersión de los datos. 2. Se puede usar una función de la form a y = k + A sen (Bx + Q para m odelar estos datos. U se los datos de la tabla 1 para determ inar k, A y B. Use la gráfica de la parte 1 para estim ar visualm ente a C con una cifra decim al. 3. D ibuje los datos de la parte 1 y la ecuación de la parte 2 en la m ism a ventana de visión. Si es necesario, ajuste el valor de C p ara un m ejor ajuste. 4. E scriba un resum en de los resultados, fluctuaciones que describen y los ciclos de la población de venado. (B)

A nálisis de la población del león de la m ontaña 1.

Introduzca los datos p ara la población de león de la m ontaña para el intervalo de tiem po [0, 16] en un dispositivo de graficación y haga una gráfica de dispersión de los datos. 2. Se puede usar una función de la form a y = k + A sen (Bx + C) para m odelar estos datos. U se los datos de la tabla 1 para determ inar k , A y B. Use la gráfica de la parte 1 para estim ar visualm ente a C con una cifra decim al. 3. D ibuje los datos de la parte 1 y la ecuación de la parte 2 en la m ism a ventana de visión. Si es necesario, ajuste el valor de C para u n m ejor ajuste. 4. Escriba un resum en de los resultados, fluctuaciones que describen y los ciclos de la población del león de la m ontaña. (C )

Interrelación de las dos poblaciones 1.

2. 3.

A nalice la relación de las poblaciones m áxim as del depredador con las m áxim as poblaciones de la presa con respecto al tiem po. A nalice la relación de las poblaciones m ínim as del depredador con las poblaciones m ínim as de la presa con respecto al tiempo. A nalice la dinám ica de las fluctuaciones de las dos poblaciones interdependientes. ¿Cuál es la causa de que las dos poblaciones suban y bajen, y por qué están fuera de fase una con respecto de la otra?



LA F<

: jo n

ERAD

Coordenadas en puntos circulares clave ■ ¡■ ¡M ilitt

/' 2 2 1

» C0, 1)

ü

/

i

'(i,o)>l

¡

lli

y

■

1

s5 / J T » . X2'

2 JA 4tA- H t - t ! !

t

4 .............................................................J

El círculo unitario es un círculo de radio 1 con centro en el origen de un sistema coordenado rectangular. La función ge neradora envuelve una recta numérica real con el origen en ( 1, 0) alrededor del círculo unitario (el eje real positivo se en vuelve en sentido contrario al de las manecillas del reloj, y el eje real negativo se envuelve en el sentido de las manecillas del reloj). Asi, cada número real de la recta real está relacionado con un punto único, llamado punto circular, en el círculo uni tario.

B iln s iia i

sinlite lllllHlillllffltliifeffii

jfig i

Ayuda de m em oria V i V4

« '1 1 1

i;ní4i;SK| IH1 ! ’t- \ V3 | :

A 4/

l

i

i \

\ V lW il

N i

va

\ 2

Tri _ /V 3

í )

/3 V Ì

6 1

2

2

\ 2

FF(0) = (L 0 )

’

/V ¡

2

Vo

2Ì \ 1 ¡|| | y » ! 1: ’

Una manera equivalente de relacionar números reales con puntos en el círculo unitario es pensar en términos de la longitud de arco, suponiendo que se sabe cuál es la longitud del arco. Para encontrar el punto circular P asociado con el número real x, se comienza en ,4(1,0) y se mueve jc| unidades a lo largo del círculo unitario, a la izquierda si x es positivo y a la derecha si x es negativo. La longitud del arco A P e s |x| (véase figura).

lo s . f t á t r é n f ií

i l B

(b)

!

La siguiente es una im portante propiedad de la función generadora: Para todos los números reales x,

W(x) = W(x + 2À-TT) k cualquier entero

(a)

P p illa i S llilíB iiS b -V

5

5-2


FUNCIONES CIRCULARES

La función generadora W une cada número real x con un par ordenado de números reales (a, b), las coordenadas del punto circular W(x). Esta asociación se usa en la siguiente definición de las seis funciones circulares; si x es un número real y (a, b) son las coordenadas del punto circular W(x), entonces

sen x = b

ese x = r b

b =£ 0

eos x = a

sec x = a

a

b ta n x = a

una posición fija y girando al lado terminal desde la posición fija a su posición final (en sentido contrario al de las maneci llas del reloj, positivo; en el sentido de las manecillas del reloj, negativo). Un ángulo está en posición estándar en un sistema coordenado rectangular si su vértice está en el origen y su lado inicial está en el eje x positivo. Los ángulos de cuadrante tie nen sus lados terminales en un eje coordenado. Un ángulo de un grado es 1/360 de una rotación completa. Un ángulo de un radián es un ángulo central de un círculo subtendido por un arco que tiene la misma longitud que el radio. s Medido en radianes: 0 = r

0

a cot x = - b i= 0 b

a^ 0

9grad „ 6ratlr Conversión de radianes a arados:------ = ------180° -rrrad

v 5-4

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

A cada una de las seis funciones circulares se le asocia una función trigonométrica del mismo nombre. Si Oes un ángulo medido en radianes x, entonces el valor de cada función trigonométrica en 0 está dado por el valor del número real x: Función trigonométrica Usando los resultados de la sección 5-1, se puede evaluar cualquiera de las seis funciones circulares exactamente, cuan do existe alguna, para múltiplos enteros de los números reales tt/6, -it/4, tt/3 y tt/2. Una calculadora se puede usar para eva luar las funciones circulares para números reales arbitrarios. Las siguientes identidades básicas trigonométricas, va len para todos los reemplazos de x por números reales para los que estén definidos ambos lados de una ecuación: Identidades recíprocas 1 sen x

1 sec x = ■ eos x

Función circular

sen 0

= senx

eos 0

= eos x

tan 0

= tan x

ese 0

= CSC X

sec 0

= sec x

cot 0

= co tx

cot X = •

tanx

Identidades del cociente

u n id a d e s d e d e a rc o

senx cosx

ta n x = ■

eos x co t x :

senx

Identidades para negativos sen(—x) = -sen x

eos (—x) = cosx

tan (—x) = —tanx

Identidad de Pitágoras sen2x 4- eos2x = 1

5-3

ÁNGULOS Y SU MEDIDA

Un ángulo tiene dos lados y un punto común llamado vértice. Un ángulo se puede formar comenzando con el lado inicial en

Para muchas aplicaciones que implican el uso de funcio nes frigonométricas, incluyendo las aplicaciones del triángulo, es útil tener una definición alterna de una función trigono métrica que utilice las coordenadas de un punto arbitrario (a. h) + (0, 0) en el lado terminal de un ángulo 0: Si 0 es un ángu lo arbitrario en la posición estándar en un sistema coordenado rectangular y P(a, b) es un punto a r unidades del origen en el lado terminal de 0, entonces:


Si un triángulo de la referencia de un ángulo dado es un triángulo rectángulo 30°-60° o un triángulo rectángulo a 45°, entonces se puede encontrar las coordenadas exactas y, por otra parte (0,0), en el lado terminal del ángulo dado. Las siguientes relaciones de triángulos rectángulos 30°-60° y 45° del triángu lo rectángulo son útiles en este enfoque:

\- 3

Algunos valores especiales del ángulo se resumen en la siguiente tabla:

sen 0

ese 0

eos 0 = r

sec 0 = a

a r= 0

cot 0

b* 0

r = V a 2 + b2 > 0: P(a, b) es un punto arbitrario en el lado terminal de 0, (a, b) ¥= (0, 0) Dominios: Los conjuntos de todos los ángulos posibles para los que se definen las funciones.

TABLA 1 Valores especiales de ángulos 0

sen 0

eos 0

tan 0

03

0

1

0

30°

2

V3/2

\ l V Í o V3/3

45°

1/V2 o V2/2

1

60°

V3/2

1/ V 2 o V 2/2 i 2

90°

1

0

Rangos: Subconjunto del conjunto de números reales. (Los dominios y rangos se expresarán más precisamente en la próxima sección.) Asociado con cada ángulo que no termina en un eje coordenado está un triángulo de referencia para 0. El trián gulo de referencia se forma dibujando una perpendicular del punto (a. b) en el lado terminal de 0 al eje horizontal. El ángu lo de referencia a es el ángulo agudo, siempre tomado positi vo, entre el lado terminal de 0 y el eje horizontal como se indica en la figura siguiente.

Referencia del triángulo (a, b) * (0, 0) a siempre es positivo.

V3 No está definida

Las funciones circulares están relacionadas con las funciones trigonométricas como se indica: Parax cualquier número real. sen.v = sen (x radianes)

eos x = eos (x radianes)

sec x = sec (x radianes)

ese x = ese (x radianes)

tan x = tan (x radianes)

cot .v = cot (x radianes)

Ahora se puede evaluar las funciones circulares en térmi nos de funciones trigonométricas, usando triángulos de refe rencia donde crea apropiado, o en términos del punto circular y de la función generadora. Cada enfoque tiene ciertas venta jas en situaciones particulares. 5-5

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo de 90°. Para resolver un triángulo rectángulo se deberán encontrar todos los ángulos y los lados desconocidos, dadas las medidas de dos lados o las medidas de un lado y el ángulo agudo.

444

5


Gráfica de y

=

eos x:

V / Periodo: 2-ir Dominio: Todos los números reales Rango: [ - 1 ,1 ] Gráfica de y = tan x:

Precisión Computarionai Dígitos significativos para el lado medido

Ángulo cercano a

Periodo: 'ir Dominio: Todos los números reales excepto tt/2 + k-n, k es un entero Rango: Todos los números reales

ío'oo.r r oo.oi° 10" o 0.001°

Gráfica de y = cotx:

UNCIONES TRIGONOMETRICAS

Una función/es periódica si existe un número real positivo p tal que

V

V

\

f ( x + p) = f(x ) para todo x en el dominio d e / El p positivo más pequeño, si existe, se llama periodo fundam ental d e /, o a menudo perio do de / Todas las funciones trigonométricas y circulares son periódicas.

Periodo: t t Dominio: Todos los números reales excepto kr,, /am entero Rango: Todos los números reales Gráfica de y = ese x:

Gráfica de y = sen x:

1•

/A » \

-2 *

-1 ■

3it

Alt

V/

Periodo: 2tt Dominio: Todos los números reales Rango: [ - 1 , 1]

Periodo: 2-rr Dominio: Todos los números reales excepto Air, k un entero Rango:Todos los números realesjy tales que y s ~ l o y s 1


Gráfica de v = sec x:

445

El periodo es 2-rr/ñ. El cambio de fase es una traducción hori zontal a la derecha si —C!B es positivo y a la izquierda si —C/ B es negativo. 5-9

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

y = s e n '1x = aresenx si y sólo si sen y = x, —rr/2 < _v < tt/2 y —1 < x < 1.

Periodo: 2ir Dominio: Todos los números reales excepto ir/2 + k-n, k un entero Rango: Todos los números reales v tales que y £ —1 o y> 1 5-7

GRAFICACION DE y = k + A sen (Bx + C) y y = k + A eos (B x + Q

\A\ = Amplitud Para encontrar el periodo y cambio de fase, resuelva (Bx + C) = 0 y (Bx + C) = 2tt: Corrimiento de fase

x — —— B

a

y = eos 1x = arccos x si y sólo si eos y — x, O ^ y ^ —y —1 < x < 1.

Periodo

= _C _+ 2nr B

B

El periodo 2tt/5. El cambio de la fase es una traslación hori zontal a la derecha si —C/B es positivo y a la izquierda si —CI B es negativo. \k\ es una traslación vertical: hacia arriba si k es positivo y hacia abajo si k es negativo. 5-8

GRAFICACION MÁS GENERAL DE LAS FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE

La amplitud no está definida para estas funciones. Para encontrar el periodo y el cambio de fase para y = A tan (Bx + O o y = A cot (Bx + C), resuelva Bx + C = 0 y Bx + C = ir: Corrimiento de fase

£ B

Rango = [0, Jt] Función coseno inversa

y = tan"1x = arctanx si y sólo si tany = x, —i r /2 < y < x es cualquier número real.

Periodo

C v x -------- + — B B

El periodo es irIB. El cambio de fase es una traslación horizon tal a la derecha si —C/B es positivo y a la izquierda si - C/B es negativo. Para encontrar el periodo y cambio de fase para y = A sec (Bx + C) o y = ese (Bx + Q , resuelva Bx + C = 0 y 5 x + C = 2it: Corrimiento de fase

Periodo

C

_ _ C

2tt

B

B

B

Función tangente inversa

tt/2

y

446

5


Ejercicio de repaso del capítulo 5 Al resolver ¡osproblemas de este capitulo compruebe sus res puestas con las que se dan al fina! del libro. Ahí se incluyen todas las respuestas a los problemas de repaso, y después de cada respuesta está un número en tipo itálico que indica la sección a la que pertenece el problema que se está analizando. Si se le presentan dudas repase las secciones correspondientes en el texto.

1. Encuentre la medida en radianes de un ángulo central en frente a una longitud de arco de 15 centímetros en un círcu lo con 6 centímetros de radio. 2. En un círculo con 3 centímetros de radio, encuentre la lon gitud de arco opuesto a un ángulo de 2.5 radianes. 3. Resuelva el triángulo:

9. Indique el dominio y rango de cada una de las siguientes funciones. (A) y — sen x

(B) y = tan .v

10. Trace una gráfica de y = sen x, —2i7 £ x ^ 2ir. 11. Trace una gráfica dey = cot x, - t t < x < rr. Describa verbalmente el significado de un ángulo central de 0.5 rad en un círculo. Describa el cambio más pequeño de la gráfica de y = sen.v que produzca la gráfica de v = eos x.

B 14. Cambie 1.37 radianes a grados decimales con dos cifras decimales. 15. Resuelva el triángulo:

4. Encuentre el ángulo de referencia asociado con cada án gulo 0: (A) 0 = 17/3 (C )0 = -1 3 i7 /6

(B) 0 = —120° (D) 0 = 210°

5. ¿En cuál cuadrante cada uno de los siguientes enunciados es negativo? (A) sen 0

(B) eos 0 (B) sec 0

(C) cot 0

7. Termine la tabla 1 usando valores exactos. No use calcula dora.

sen 0

eos 0 ■Jr■

O'

OO

0 rad

i'l

'JJh 1/ V 2

60°

f/d ? í> r

90°

i

30° 45° ir/4

360°

tan 0

esc 0

0

ND*

1;

y

sec 0

cot 0

:

1

r—

/yo i

O O OC

270°

(B) 5ir/2

(C) 4.2 radianes

(A) -2 4 0 °

(B) —7i7/6

(C) 840°

18. ¿Cuál de los siguientes enunciados tiene el mismo valor de eos 3? (A) 005 3°

(B) eos (3 radianes)

(C) cos(3 + 2i7)

19. ¿Para cuál valor de x, 0 ^ x < 2i7, no está definida cada una de las siguientes funciones?

TABLA 1 6°

(A) -2 1 0 °

17. ¿Cuál de los ángulos siguientes es coterminal con 120°?

(C) tan 0

6. Si (4, - 3 ) está en el lado terminal del ángulo 0, encuentre: (A) sen 0

16. Indique si el ángulo está en el cuadrante I, U, III o IV o es un ángulo cuadrantal.

-1

O

Ô J

m

(C) ese x

Un punto circular P(a, b) se mueve en el sentido de las manecillas del reloj de un círculo unitario comenzando en (1,0) y parando después de recorrer una distancia de 8.305 unidades. Explique cómo se puede encontrar las coorde nadas del punto P en su posición final y cómo se determi naría en cuál cuadrante está P. Encuentre las coordenadas de P con tres cifras decimales y el cuadrante para la posi ción final de P.

8. ¿Cuál es el periodo de cada una de las siguientes funciones? (C) y = tan x

,

23. eos ' 1

22. sec 90

21. tan 0 (B) y = ese x

(B) cotjc

En los problemas del 21 al 36, evalúe exactamente sin usar calculadora.

0

*ND = No está definida.

(A) y = eos x

(A) tanx

3ir

24. eos ( ——

2 5 .sen

,V 2 2

26. ese 300°


51. Encuentre la ecuación de la forma y = A sen Bx que tiene la gráfica

27. arctan V 3

28. sen 570°

29. tan"1(- 1 )

30. cot

31. arcsení —\ 2

32. eos

33. eos (eos-1 0.33)

34. esc [tan 1(—1)]

35. sen arccos

36. tan I sen' 1—-

i

447

4-rr

.V 3

Evalúe los problemas del 37 al 44 con cuatro dígitos significa tivos usando una calculadora. 37. eos 423.7°

Describa el corrimiento y/o reflexión más pequeños que transforman la gráfica de y = tan x en la gráfica de y = cot x. 53. Simplifique cada una de las funciones siguientes usando las identidades básicas apropiadas.

38. tan 93°46'17"

e 39. sec (-2.073)

(A) sen (—x) cot (—x)

40. sen’ 1 (-0.8277)

(B)

v

1 —s e n .t

54. Trace una gráfica de y = 3 sen [(x/2) + (tt/2)] en el inter valo —4 tt < x < 4 it.

41. árceos (—1.3281)

43. ese [eos-1 (—0.4081)]

55. Indique la amplitud A, el periodo P, y el cambio de fase para la gráfica de y = - 2 eos [ ( t t/ 2 ) x - (ir/4)]. No grafique.

44. sen-' (tan 1.345)

56. Trace una gráfica de y = eos" 1x, e indique el dominio y el rango.

42. tan’ 175.14

45. Encuentre la medida exacta en grados de cada uno de los ángulos siguientes sin usar calculadora: (A) 0 = sen"’(—1/2)

(B) 0 = arccos (—1/2)

46. Encuentre la medida en grados de cada uno de los ángulos siguientes con dos cifras decimales usando una calculado ra: (A) © = eos 1 (-0.8763)

(B) 0 = arctan 7.3771

Evalúe eos-1 [eos ( —2)J con una calculadora en modo radián, y explique por qué esto ilustra o no ilustra la iden tidad de coseno y del coseno inverso. 48. Trace una gráfica de y — —2 eos -ir*, —1 < la amplitud/! y el periodo P.

x

ís? 57. G rafiquey= 1/(1 + tan2x) en un dispositivo de graficación que muestre al menos dos periodos completos de la gráfi ca. Encuentre una ecuación de la forma y = k + A sen Bx o y = k + A eos Bx que tenga la misma gráfica. 58. Grafique cada ecuación con un dispositivo de graficación y encuentre una ecuación de la forma y = A tan Bx o y = A cot Bx que tenga la misma gráfica que la ecuación dada. Escoja las dimensiones de la ventana de visión para que por lo menos sean visibles dos periodos. (A) y =

2 sen2x se n 2x

(B) y =

2 eos2 x sen2x

^ 3 . Indique

49. Trace una gráfica de y = —2 + 3 sen (x/2), - 4 i r £ x < 4 ir. 50. Encuentre la ecuación de la forma y = A eos Bx que tiene la gráfica

59. Si en la figura las coordenadas de A son (8,0) y la longitud del arco .v es de 20 unidades, encuentre: (A) La medida exacta de 0 en radianes (B) Las coordenadas de P con tres dígitos significativos

448


60. Encuentre exactamente el menor número real positivo para el cual: (A) cosx = —5 (B) csex = - V 2

Esta forma de onda se llama onda de pulso u onda cua drada, y se usa, por ejemplo, para probar distorsión y para sincronizar las operaciones en computadoras.

61. Trace una gráfica de y = sec x, —ir/2 < x <3tt/2. 62. Trace una gráfica de y = tan' 1x, e indique el dominio y el rango. 63. Indique el periodo P y el cambio de fase para la gráfica de y = —5 tan (ir* + -rr/2). No grafique. 64. Indique el periodo y el cambio de fase para la gráfica de y = 3 ese (x/2 — i t / 4 ) . No grafique. 65. Indique si cada una de las ñinciones siguientes es simétri ca con respecto al eje*, el eje y o el origen. (A) Seno

(B) Coseno

(C) Tangente

66. Escriba como una expresión algebraica en x libre de fun ciones trigonométricas o de funciones trigonométricas in versas a: sec (sen" 1x) Intente calcular cada una de las funciones siguientes en su calculadora. Explique los resultados. (A) ese ( —ir)

(B) tan(-3-rr/2)

(C) sen-1 2

APLICACIONES

71. Astronomía. ¿Una recta del Sol a la Tierra barre un ángu lo de cuántos radianes en 73 días? Exprese la respuesta en términos de tt. 72. Geometría. Encuentre el perímetro de un cuadrado inscri to en un círculo con 5.00 centímetros de radio. 73. Corriente alterna. La corriente / en corriente eléctrica alterna tiene una amplitud de 30 amperes y un periodo de i segundos. Si I = 30 amperes cuando t = 0, encuentre una ecuación de la forma / = A eos Bt que dé la corriente a cualquier tiempo t S 0. 74. Acceso restringido. Un canal de 10 pies de ancho hace un ángulo recto con un canal de 15 pies de ancho. Un tronco largo y delgado va a estar flotando en los canales forman do un ángulo recto (véase figura). Se necesita encontrar la medida del tronco más largo que va de un lado a otro apo yado en la esquina ignorando el diámetro del tronco.

68. La gráfica siguiente representa una ecuación de la forma y = A sen (Bx + C), —1 < —C/B < 0. Encuentre la ecuación.

y

15 pies Canal

^

(A) Exprese la longitud de la recta L que toca los dos lados exteriores de los canales y la esquina interior en términos de 0. (B) Termine la tabla 2, con una cifra decimal, y calcule de la tabla el tronco más largo para aproximar al pie más cercano que puede hacer esto. (El tronco más largo es la distancia más corta L.)

69. Grafique y = 1.2 sen 2x + 1.6 eos 2x con un dispositivo de graficación. (Escoja las dimensiones de la ventana de vi sión para que por lo menos dos periodos sean visibles.) Encuentre una ecuación de la forma y = A sen (Bx + C) que tenga la misma gráfica de la ecuación dada. Encuentre A y B exactamente y C con tres cifras decimales. Use la intersección con el eje x cerca del origen como el corri miento de fase.

TABLA 2

70. Cierta forma de onda particular es aproximada por los pri meros seis términos de una serie de Fourier:

6 (rads)

0.4

L (pies)

42.0

y

=

4( / s e n ,

_

+

sen 3x _

+

sen 5x _

+

sen Ix _

+

sen 9x _

+

sen 1lx \ _ T r - j

(A) Grafique esta ecuación con un dispositivo de grafica ción para —3ir £ x s 3 ^ y — 2 £ y £ 2. (B) La gráfica del inciso (A) se aproxima una forma de onda que se compone totalmente de segmentos de línea recta. Trace a mano la forma de la onda a la que se aproxima la serie de Fourier.

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

(C) Grafique la función del inciso (A) con un dispositivo de graficación y use un método de aproximación para encontrar la distancia más corta L con una cifra decimal, en consecuencia, la longitud del tronco más largo que puede hacer esto. Explique qué pasa con la longitud L cuando 0 se aproxima a 0 o -rr/2.

Ejercicio de repaso dei capítulo 5

75. Modelado del ciclo estacional de negocios. Una compa ñía refresquera tiene ingresos por ventas en un periodo de 2 años como el que se muestra en la gráfica siguiente don de R(t) es el ingreso (en millones de dólares) de un mes de ventas t meses después del 1 de febrero. (A) Encuentre una ecuación de la forma R(t) = k + A eos Bt que produzca esta gráfica. (B) Interprete verbalmente la gráfica m

449

(A) Usando un mes como la unidad básica de tiempo, introduzca los datos para un periodo de dos años en su dispositivo de graficación y realice una gráfica de dispersión en la ventana de visión. Escoja 40 < y £ 90 para la ventana de visión. (B) Esto aparenta que una curva seno de la forma y = k + A sen (Bx + C) se aproximará al modelo de estos datos. Las constan tes k,A y B se determinan fácilmente de la tabla 3. Para calcular C, estime visualmente hasta una cifra decimal el cambio de fase positivo más pequeño desde el inci so (A) de la gráfica. Después de determinar A ,B ,k yC , escriba la ecuación resultante. (Su valor de C puede diferir levemente del que se da en las respuestas de su libro.) (C) Grafique los resultados de los incisos (A) y (B) en la misma ventana de visión. (Se puede obtener un mejor ajuste arreglando levemente el valor de C.)

TABLA 3 ¿S? 76. Modelado de la variación de la temperatura. El prome dio de 30 años de temperatura mensual, °F, de cada mes del año para Los Angeles está dado en la tabla 3 (Almana que mundial).

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

x (mes)

1

y (temp.)

58 60 61 63 66 70 74 75 74 70 63 58

6-1

Identidades básicas y su

6-2 Identidades de suma, diferencia y cofunción 6-3 Identidades de ángulos dobles y de ángulo mitad 6-4 Identidades de productosuma y de suma-producto 6-5 Ecuaciones trigonométricas Actividades en grupo del capítulo 6: Desde M sen B t+ N eos Bt hasta A sen (Bt + Q , una herram ienta de análisis armónico Repaso del capítulo 6

f(x)=/3x + 41 + 1

6

452

Identidades trigonométricas y ecuaciones condicionales

Las funciones trigonom étricas tienen am plia variedad de usos en la solución de problem as de la vida cotidiana, así com o en el desarrollo de las m atem áticas. Cual quiera que sea su uso, a m enudo es im portante poder cam biar una expresión trigonom étrica de una form a a otra equivalente que sea más útil. Esto im plica el uso de identidades. Recuerde que una ecuación con una o m ás variables es una identidad si el lado izquierdo es igual al derecho para todos los reem plazos de las variables que definen am bos lados. Por ejem plo, la ecuación

x 2 - 2 x - 8 = {x — 4){x + 2) es una identidad, pero

X2 -

2x - 8 = 0

no lo es. Esta últim a expresión se denom ina ecuación condicional , ya que sólo se cum ple para ciertos valores de x y no para todos los valores que definen ambos lados. En las prim eras cuatro secciones del capítulo se abordan las identidades trigonom étricas y en la últim a, las ecuaciones trigonom étricas condicionales.

SECCION

6-1

identidades básicas y su uso Identidades básicas O tras identidades

@

En esta sección se repasan las identidades básicas introducidas en la sección 5-2 y se m uestra cóm o se usan para verificar otras identidades.

® Identidades básicas

En el siguiente cuadro se enum eran, para una referencia conveniente, las identidades básicas vistas en la sección 5-2. Estas identidades se usarán con m ucha frecuencia en el trabajo que sigue por lo que se deberán mem orizar.

6-1

Identidades básicas y su uso

453

Todas estas identidades se establecieron en la sección 5-2 (en los problem as 87 y 88 de la sección de ejercicios 5-2, se establecieron la segunda y tercera identidad de Pitágoras).


Analice un camino fácil para recordar la segunda y tercera identidad de Pitágoras a partir de la primera. [Sugerencia: Divida la primera identidad pitagórica entre las expresiones adecuadas.]

Com o antes se indicó, cuando se trabaja con expresiones trigonom étricas, a m enudo es preferible convertir una forma a otra equivalente que pueda ser m ás útil. Esta sección está diseñada p ara que se adquiera experiencia en este proceso. A dem ás de usar las identidades básicas y dem ostrar otras identidades, se usarán con frecuencia las opera ciones algebraicas básicas tales com o m ultiplicación, factorización, com binación y re ducción de fracciones, etcétera. Los ejem plos siguientes ilustran algunas de las técnicas usadas para dem ostrar ciertas identidades. Los pasos m ostrados no son necesariam ente los únicos (a m enudo, hay m ás de un cam ino para cum plir el objetivo). Para adquirir habilidad en el uso de las identidades, es im portante que realice m uchos problem as por su cuenta.

Demostración de identidades D em uestre la identidad: eos .t tan x = sen x Demostración

Por lo general, se com ienza con el lado m ás com plicado, y se transform a ese lado en el otro, en uno o m ás pasos, m ediante identidades básicas, álgebra u otras identidades establecidas. Por consiguiente, sen x eos x tan x = eos x -------eos .r = sen x

D em uestre la identidad: sen .r cot x = eos x

EJEMPLO 2

Demostración de identidades D em uestre la identidad: sec ( —x) = sec.v

Identidad cociente Álgebra

454

6

Identidades trigonométricas y ecuaciones condicionales , , 1 sec ( —x) = ----------eos (—x)

D em ostración

1 eos x = sec x


EJEMPLO 3

Identidad recíproca

Identidad para negativos Identidad recíproca

D em uestre la identidad: ese ( —x) = - c s c .v

Demostración de identidades D em uestre la identidad: c o tx eos x -i- se n x = e sc x

co sx cot x eos x + sen x = -------eos x + senx sen x

D em ostración

—

+ se n *

sen x

Identidad cociente

Álgebra

Algebra

1 se n x = ese x

Identidad pitaqórica Identidad recíproca

Pasos algebraicos clave en el ejemplo

_o 0 + bu = _o2 +b = _a2 +_ b2


D em uestre la identidad: tan x sen x + eos x = sec x

Para dem ostrar cualquier identidad, se procede de un lado al otro, o de la m itad de am bos lados, asegúrese que todos los pasos sean reversibles. No use propiedades de igualdad para re a li/a r la m ism a operación en am bos lados de la ecuación. Aun cuando no hay un m étodo fijo de dem ostración de funciones para todas las identidades, en ocasiones puede ayudar el seguir ciertos pasos.

;UBI HDHMnUHIBHHI Pasos sugeridos para la demostración de ¡dent¡da< 1.

Empiece con el lado m ás com plicado de la identidad y transfórm elo en lado m ás simple.

6-1

3. 4.


.icas tales como multiplicación, factorización. com; y separación de fracciones. Si los otros pasos fallan, exprese cada función en términos de funciones seno y coseno, y después realice las operaciones algebraicas adecuadas. En cada paso, tenga en mente el otro lado de la identidad. Esto a menudo , . , , , ..... ____ hacer para llegar ahí. M i

Demostración de identidades

r-s . j i j 1 + senx co sx D em uestre la id e n tid a d :---------------1---------------= 2 s e c x cosx 1 + se n x Demostración

1 + sen x ^ cosx

cosx

_ (1 + s e n x )2 + eos2 x

1 +senx

Álgebra

cosx(l+senx)

1 + 2 se n x + s e n 2x + cos2x c o s x (l + senx)

Álgebra

1 + 2 se n x + 1 Id e n tid ad p itag ó rica

c o sx (l + sen x ) 2

+ 2 se n x

Álgebra

c o sx (1 + s e n x ) 2(1 + s e n x )

Álgebra

c o sx (l + senx)

2

Álgebra

co sx = 2 secx

Id en tid ad recíproca

'aso:- algebraicos clave en el ejem plo 4 a b b+o

a* + ti* ba

(1 + c)! = 1 + 2 c + c 7-

^ ... . , , 1 + eos x sen x Dem uestre la id e n tid a d :--------------- 1--------------- = 2 ese x se n x 1 + eos x

1EMPL(

455


Demuestre la identidad:

sen2x + 2 se n x + 1 _ 1 + s e n x cos2x

1 -se n x

,7i (o -f b) _ m n(o + b) n

6


Demostración

sen2* + 2 se n x + 1

(sen* + l) 2

Algebra

eos2* (sen* + l) 2

Identidad pitagórica

1 —sen2* (1 + s e n x ) 2 (1 - s e n * ) ( l + s e n x ) 1 + se n *

Álgebra

Algebra

1 -se n *

Pasos algebraicos clave en el ejem plo 5 o2 + 2o + 1 = (o + I ) 2


EJEMPLO 6

D em uestre la identidad: sec4 * — 2 sec2 * tan2 * + tan4 x = 1


D em uestre la identidad:

Demostración

1 —£>2 = (1 — b)( 1 - b}

tan * + cot *

se n *

e o s*

tan * — cot *

eos *

sen *

tan * + c o t*

se n * eo s* ---------b ------eos * sen * (sen*)(cos *)

= 1 - 2 eos2 *

Cambie a senos y cosenos (identidades de cociente).

sen *

eo s*

eos *

sen *

Multiplique el numerador y el denominador por (sen x)(cos x), y use el álgebra para transformar la fracción compuesta en una fracción simple.

/ sen * eo s* (senx)(cos * )(---------1c o s* sen *

sen2 * + eos2 * 1 - eos2 * - eos2 *

Identidad pitagórica

1 = 1 - 2 eos2 *

Álgebra

Pasos algebraicos clave en el ejem plo 6 - - b o o

,

b

~oIí ~ o~Z

ob\

a

J aa

vb

b \

, , ■ b a) a _ J a2 - b2 \b b

u

bb \\ a !

aa'22 -

b 2

6-1


457

2 cos^ x — 1 D em uestre la identidad: cot x — tan x = -------------- -—

C on sólo o b s e rv a r cóm o otros d e m u e stra n id e n tid a d e s se rá su ficien te p a ra !ie u sted m ejo re en tilo , pero tam b ién debe d e m o s tra r una g ran c a n tid a d p u r su cu e n ta . C on la p rá c tic a , el proceso le p a re c e rá m enos com plicado

Prueba de identidades mediante un dispositivo de graficación m i U se un dispositivo de graficación para probar si cada una de las siguientes expresiones es una identidad. Si una ecuación parece ser una identidad, dem uéstrela. Si parece que no lo es, encuentre un valor de x para el que am bos lados estén definidos pero no sean iguales. (A) tan x + 1 = (sec x)(sen x - eos x) (B) tan x - 1 = (sec *)(senx - eos x) S o lu c ió i .

(A) G rafique cada lado de la ecuación en la m ism a ventana de visión (figura 1).

FIGURA 1

2it

N o existe una identidad, dado que las gráficas no concuerdan. Intente con x = 0 Lado izquierdo: Lado derecho:

tan 0 + 1 = 1

(sec 0)(sen 0 — eos 0) = —1

E ncontrar un valor de x para el que am bos lados estén definidos, pero no sean iguales, no es suficiente para dem ostrar que la ecuación no sea una identidad. (B) G rafique cada lado de la ecuación en la m ism a ventana de visión (figura 2).

FIGURA 2

? 'J O S i ü :u

458

6


La ecuación parece ser una identidad, que en seguida se dem ostrará:

(secx)(senx - eos x) = í —-— Vsenx - eos x) \cos x ) _ se n *

eos x

eos x

eos X

= tan x - 1

Probi

U se un dispositivo de graficación para probar si cada una de las siguientes expresiones es una identidad. Si una ecuación parece ser una identidad, dem uéstrela; si no lo parece, encuentre un valor de x para el que am bos lados estén definidos pero no sean iguales. se n * (A) ---------- — - ese x

se n * (B) -------- —r— = sec x

Respuestas a los problemas seleccionados En las siguientes demostraciones de identidades, es posible tener otra secuencia (el proceso no es único). eos x X. s e n i c o t i = s e n i ------ --- e o s i sen i 2.

ese ( - x )

1 s e n (-i)

3. tan is e n x + eos x

, 1 + cosí

sen*

I

= -e se x -s e n * sen 2 * sen2 x + eos 2 i + eos x = eos x eos x

(1 + cosí)2 +scn2i

1 eos x

= sec x

1 + 2 co si + eos2* + sen2i

4. ------------- + ---------------= --------------- ------------- = ----------------- i--------------------■—

sen i

1

+ co si

s e n i ( 1 + c o sí) 2 ( 1 + c o sí)

sen i

2

s e n i ( l + c o s í)

(1

+ c o s í)

esci

5 . se c 4 1 — 2 se c 2 1 tan 2 1 + tan“ i = (s e c 2 1 - tan 2 1 )2 = l 2 = 1 co si sen i eos 2 1 - s e n 2 x co s2 i - (1 — co s 2 i )

6.

cot i - tan i =

sen i 7. (A) una identidad:

-2iT

(B)

eos x

y y n n

s e n i eos i

2 co s2i - l

se n i eos i

1

- cos2i

sen i sen2i

se n i eos i

1 sen i

No existe una identidad: el lado izquierdo no es igual al derecho para.v = 1. por ejemplo.

6-1

EJERCICIO


459

6-1 30.

Demuestre que los problemas del 1 al 26 sean identidades. l.'senB sec 0 = tan 0

2. eos 0 esc 0 = cot 0

3. cot u sec u sen u = 1

4. tan 0 esc 0 eos 0 = 1

ir < x £ -77 senx (A) >■= eos x tan x

(B) y = 1

B

_ sin (—x) а. ---------- = —tan x eos (—x)

Demuestre que los problemas del 3 1 al 60 sean identidades.

б. cot (—jc) tan x = —1

„ 1 - (senx —eos x)2 31. -------------------------= 2 eos x sen x

7. sen a =

tan a cot a 8 .

ese a

9. cot u + 1 = (ese «)(cos

u

ta n

a

=

eos a sec a cot a

32.

+ sen «)

10. tan u + ! = (sec «)(senu + eos u) eos x —sen x 11. -----------------= e s e x - s e c x

sen x eos x

12.

eos x —sen x = cot x — tan x sen x eos x

13.

>n2 1 ■+ eos t = sec t eos t

14.

15.

eos x = sec jc 1 —sen2*

16.

33. eos 0 + sen 0 =

cot 0 + 1 esc 0

34. sen 0 + eos 0 =

tan 0 + 1 sec t

35. sen t

+ sen i = esc t

sen u • = esc u 1 — eos2 u

>17. (I - eos k)(1 + eos u) —sen2 it 18. (1 —senf)(l +sen/) = cos2r 19. eos2x —sen2x = 1 — 2 sen2x

1 - eos2 v = tan- y (1 -se n y )(l +seny)

1 + eos y 1 —eos y

sen2y (1 —eos y)2

eos2y 36. 1 - sen y = ■ 1 -I- sen y 37. tan2x -- sen2 x = tan2xsen2 x 38. sec2x + ese2x = sec2x ese2x ese 0 39. --------------= eos 0 cot 0 + tan 0

20. (senx + eos x)2 = 1 + 2 sen x eos x

1 + sec 0 40. --------------= ese 0 sen 0 + tan 0

21.

(sec t + l)(sec t — 1) = tan2 1

41. ln (tanx) = ln (senx) - ln (cosx)

22. (esc t — l)(csc t + 1) = cot2 1

42. ln (cot x) = ln (eos x) —ln (senx)

23. ese2x — cot2x = 1

43. ln (cotx) = —ln (tan x)

24. sec2 u — tan2 u = 1

eos x + tan X sen x

25. cot x + sec x = --------------

26. sen m (ese m - sei, m) = eos2 m

■»/' En los problemas del 27 al 30, grqfique todas las partes de cada problema en la misma ventana de visión con un disposi tivo de graftcación. 27. —tt

(A) y = sen2x (B) y = cos2x (C) y = sen2x + eos2x 28. -IT s JC< TT

(A) y = sec2a: (B) y = tan2x (C) y = sec2x — tan2jc

29. —TrS.tS-TT eos x (A) y = cot x senx

(B) y =

44. ln(esex) = —ln (senx) .. 1— eos A sec A — 1 45. 1 + eos A sec A + 1 46.

1 —ese y _ sen y - 1 1 + esc v sen y + 1

47. sen4 w - eos4 w = 1 —2 eos2 w 48. sen4 x + 2 sen2 x eos2 x + eos4 x = 1 cosx 49. sec x - ----------- = tan x I + scnx sen n sO. ese n - < ------------= cot n 1 + ’eos n 51.

eos2 z — 3 eos z + 2

2 —eos z I + eos z

460

6


52.

sen2t + 4sen / + 3 _ 3 + sen t eos2t 1 -se n r

_tan u + sen u sec u + 1 7 5 . ------------------------------- 7 = 0 tan u —sen u sec u - 1

53.

eos3 0 - sen3 8 = 1 + sen 0 eos 0 eos 0 —sen 0

76.

54.

eos3 u + sen3 u = 1 —sen u eos u eos u + sen u

77. tan a + cot p =

55. (sec x - tan x)2 =

1 —senx 1 + sen*

56. (cot u - ese u)2 =

1 — eos u 1 + eos u

78.

esc4* - 1 , 57. ------ ;-----= 2 + cot2*

sec4 * — 1 „ , 58. -------;-----= 2 + tan2 *

1 + sen v eos v 59. ----------- = -- ---------eos v 1 —sen v

_ sen * 1 + eos * 60. ----------- = ------------1 — eos * sen *

Use un dispositivo de traficación para probar si cada uno de los problemas de1 61 al 72 es una identidad. Si una ecuación parece ser una identidad, demuéstrela. Si parece que no lo es, encuentre un valor de x para el que ambos lados estén defini dos pero no sean iguales. 61. 62. 64. \

66.

sen ( - *) = -1 eos ( - * ) tan ( - a) sen*

eos (—x) sen x cot (—x)

63.

eos x = 1 sen(—x) cot (—x)

65. sen x + ■ sen*

1

- tan2 *

1 - cot2 x

= tan2 x

e o s * ta n ( —x )

69.

1 tan x _ sen x - 2 tan x eos x —2

72.

eos x sen* + 1

1 eos* —2

eos x = 2 ese * sen* — 1

Demuestre que los problemas del 73 al 78 son identidades. 73.

2sen2x + 3 eos x — 3 sen2*

3 eos2 z + 5 sen z — 5 74. eos2 z

1 — tan a tan

p

1 —sen2*

79. /(*) = -------------- h sen * eos * tan*

80. /(*) =

1 + sen*

eos*

2 eos*

2 + 2 sen*

81. /(*) =

eos2 * 1 + sen * — eos2*

82. /(*) =

tan *sen * 1 - eos *

83. /(*) =

1 + eos * - 2 eos2* 1 - eos *

84. /(*) =

3sen* - 2 sen*eos* 1 —eos *

sen2 * 1 + eos * 1 + eos* sen*

Cada una de las ecuaciones en los problemas del 85 al 92 es una identidad en ciertos cuadrantes asociados con x. Indique los cuadrantes. V i —eos2* = —sen*

86. V i —sen2 * = eos*

eos x eos x 70. ----------- + —--------- - = 2 sec * 1 —sen* 1 + sen x tan x 71. sen* + 2 tan*

cot a + cot p _ tan a + tan p

•íSf En los problemas del 79 a! 84 se requiere el usodeun dispositivo de grajicación. Apartir déla gráfica dey i =J(x), encuentre una función más simple de la forma g(x) = k + AT(x), donde T(x) es una de las seis funciones trigonométricas que tiene la misma gráfica como v i =f(x). Demuestre la identidadf(x) = g(x).

vi OO

tan2x — 1 = tan2* 1 - cot2 x

tan* + tan .y 1 —tan * tan y

tan p + cot a tan p cot a

cot a cot p — 1

= -1

67. sen x + ■ sen*

68.

sen* eos y + eos x sen y eos * eos y - sen xsen y

2 eos x — 1 1 + eos* 3 sen z — 2 1 + sen z

87. V i - eos2 * = senx 88. V i - sen2* = - e o s * 89. V i —sen2* = |cos*| 90. V i - eos2* = |sen*| 91.

sen* ---------- = tan * V i - s e n 2*

, sen■x■ 5= = - tan * V i - s e n 2* 7 En cálculo, las sustituciones trigonométricas proporcionan una forma efectiva para racionalizar lasformas radicales V #2 —tr y V#- + ir, que a su vez conduce a la solución de una impor tante clase de problemas. Los problemas del 93 al $6 implican tales transformaciones. [Recuerde: V '? = Lrl para todos los números reales x.l 92.

93. En la forma radical V a2”— u2, a > 0, sea u = a sen x, —tt/2 < * < tt/2. Simplifique mediante una identidad bá sica y escriba la forma final sin radicales.

6-2

Identidades de suma, diferencia y cofunción

96. En la forma radical Ve- + ir, a > 0. sea u = a cot t. 0 < x < ir/2. Simplifique mediante una identidad básica y es criba la forma final sin radicales.

94. En la forma radical V a 2 —u2, a > 0, sea u = a eos x, 0 < . y < -rr. Simplifique mediante una identidad básica y escri ba la forma final sin radicales. 95. En la forma radical V «5 + u% a > 0, sea u = a tan x, 0 < .v < -tt/2. Simplifique mediante una identidad básica y es criba la forma final sin radicales.

SECCION

6-2

Identidades de suma, diferencia y cofunción Identidades de sum a y diferencia para el coseno Identidades de cofunción Identidades de sum a y diferencia del seno y tangente Resum en y su uso Las identidades básicas analizadas en la sección 6-1 im plican sólo una variable. En esta sección se consideran identidades que im plican dos variables. Se com ienza con la im portante identidad de diferencia para el coseno:

s u m a y d if e r e n c ia p a r a eS c o s e n o

cos <

y)

eos v eos >■ + sen .v sen y

(1)

M uchas otras identidades útiles se pueden dem ostrar fácilm ente a partir de ésta en particular. Aquí, se traza una prueba de la ecuación (1) suponiendo que x y y están en el intervalo (0, 2ir) y x > y > 0. La identidad (1) se cum ple, sin em bargo, para todos los núm eros reales y ángulos m edidos en radianes o en grados. Prim ero, asocie x y y con arcos y ángulos en el círculo unitario com o se indica en la figura l(a). Usando las definiciones de las funciones circulares, dadas en la sección 5-2. m arque los puntos term inales de x y y com o se m uestra en la figura l(a).

Identidad de

diferencia.

A hora, si se gira el triángulo AOB en el sentido de las m anecillas del reloj con respecto al origen hasta que el punto term inal A coincida con D( 1,0), entonces el punto term inal B estará en C, com o se m uestra en la figura l(b). Por consiguiente, com o en la rotación se conservan las longitudes, d(A, B) = d(C, D) V (c - a)2 + ( d - b f = V( 1 - e f + (0 - f f (c - a)2 + (d - b f = (1 - é f + / 2

462

6


c 2 - 2ac + a2 + d 2 - 2db + b 2 = 1 - 2e + e2 + f 2

(c2 + d 2) + (o2 + b 2) — 2ac — 2db = 1 —2e + (e2 + f 2)

(2)

Como los puntos A, B y C están sobre los círculos unitarios, c2 + d 2 = 1, a2 + b2 = 1 y e2 + f 1 = 1, entonces la ecuación (2) se simplifica a e — ac + bd

(3)

Reemplazando e, a, c, b y d con eos (x —y), eos y, eos x, sen y y sen x, respectivamente (véase figura 1), se obtiene eos {.x - y) = eos y eos x + sen y sen x = eos x eos y + sen x sen y

(4)

De esta manera, se ha establecido la identidad de diferencia para el coseno. Si se reemplaza^ con —y en la ecuación (4) y se usan las identidades para negati vos (un buen ejercicio para usted), se obtiene eos (.v

+ v) = eos x eos y —sen x sen v

(5)

Ésta es la identidad de sum a para el coseno.


Analice cómo se podría demostrar que, en general, eos (x — y) =£ eos x — eos y

y eos (x + y) =£ eos x + eos y

Para obtener las identidades de suma y diferencia para las funciones seno y tangente, se necesita primero obtener las identidades de cofunción directamente de la ecuación (1), la identidad de diferencia para el coseno: eos (x — y) = eos x eos y + sen x sen y ÍTr

\

7T

TT

eos 1—- y 1= eos — eos y + sen—sen y = (0)(cos y) + (D(seny) = sen v Así, se tiene la identidad de cofunción para el coseno: 1IT \ eos ( - - y ) - sen y

(6)

para cualquier número real y o ángulo medido en radianes. Si y está medida en grados, reemplace n/2 con 90°.

6-2

Ahora, si se sustituye y = eos


tt/2

—x en la ecuación (6), se tiene

TT 2

463

/ 7T ~

\2

TT

= sen | —- x ~

X

TT

eos x = sen | —- x Esto es la identidad de cofunción para el seno; es decir, sen — — -v = eos x

(7)

donde x es cualquier número real o ángulo medido en radianes. Si x está medido en grados, reemplace t t / 2 con 90°. Por último, se establece la identidad de cofunción para la tangente (y se deja su obtención para el problema 10 en la sección de ejercicios 6-2):

tan

.V

(8)

— coi

para cualquier número real o ángulo x medido en radianes. Si x está medido en grados, reemplace t t / 2 por 90°. Si 0 < x < 90°, entonces x y 90° —x son ángulos complementarios. “Coseno”, “cotangente” y “cosecante” significan, respectivamente, “complemento del seno”, “complemento de la tangente” y “complemento de la secante”. Ahora sólo se hará referencia al coseno, cotangente y cosecante como cofunciones del seno, tangente y secante, respectivamente. C om entario.

* Id e n t id a d e s d e s u m a y d if e r e n c ia d el sen o y ta n g e n te

Para obtener una identidad de diferencia del seno, se usan las ecuaciones (1), (6) y (7) como sigue: sen (x - >•) = eos y - C* - >') eos

--x l-(-y )

= eos ( y - *

cos (“ .v) + sen í ^ - x )sen (—>')

= senxcosy - cos x sen y

Use la ecuación 6

Álgebra

Use la ecuación (1 ).

Use las ecuaciones (6) y (7) y las identidades para negativos.

Se obtiene el mismo resultado al reemplazar t t / 2 por 90°. Así, sen (x — y) = sen x cos y — c*

(9)

es la identidad de diferencia para el seno. Ahora, si se reemplaza^ en la ecuación (9) con —y (un buen ejercicio para usted), se obtiene sen (,r + v i = sen x cos y +

la identidad de sum a para el seno.

(10)

464

6


N o es difícil deducir las identidades de sum a y diferencia para la función tangente. O bserve si puede explicar la razón de cada paso:

sen (* - y)

tan (x - y) = ----- -------- eos (x - y) _ sen.* eos y — eos x s e n y eos x eos y + sen x se n y sen x eos y

eos x sen y

eos x eos y eos eos y

eos x eos y se n * s e n y

eos x eos y

eos * eos y

sen *

sen v

eos x

eos y

j

Divida el numerador y el denominador entre eos x y eos y.

se n * sen y eos x eos y

tan x — tan y 1

+ tan * tan y

Asi, para todos los ángulos o núm eros reales x y y, ta n

a

-ta n i

tan i.v — y ) = — ¡ + tan x tan v

(11)

es la identidad de diferencia para la tangente. Por otra parte, si se re e m p la z a;' en la ecuación (11) por —y (otro buen ejercicio para usted), se obtiene

la identidad de sum a para la tangente.


/ Analice cóm o se podría dem ostrar que, en general, tan (x - y) # tan x — tan y

y tan (x + y) # tan x + tan y

A ntes de proceder con ejem plos que ilustren el uso de estas nuevas identidades, repase la lista dada en el cuadro siguiente.

6-2

465


Resumen de identidades Identidades de sum a

sen (x + v) = sen x eos y + eos x sen y eos (x + y) = eos x eos y —sen x sen y tan (x + y)

tanx + tany tan x tan y

Identidades

sen (x - y) = sen x eos y - eos x sen y eos (x - y) = eos x eos y + sen x sen y _

tan(x-y) =—rr---“ 1 + tan x tan7y .

• lliU il. m ín : » !; .

Identidades de cofunción

y'

(Reemplace t t / 2 por 9 0 ° si x está en grados.) x = eos x

cot x

/

Uso de la identidad de diferencia Sim plifique eos (x — t t ) m ediante la identidad de diferencia. eos (x — }■) = eos x eos y + sen x sen y eos (x — ir) = eos x eos tt + sen x sen tt = (eos x ) ( - l ) + (senx) (0) = -e o s x

Sim plifique sen (x +

3 tt/2 )

m ediante la identidad de suma.

Comprobación del uso de identidades de suma y diferencia en un dispositivo de graficación S im plifique sen (x — t t ) m ediante la identidad de diferencia. Introduzca la form a origi nal com o y 1 y la form a convertida c o m o y 2 en un dispositivo de graficación, después grafíquelas en la m ism a ventana de visión.

466

6


Solución 4

sen (x — y) = sen x eos y - eos x sen y sen (x — tt) = sen x eos tt — eos x sen tt = ( s e n x ) ( - l) - (eos x)(0) = -se n * La g ráfica de y 1 = sen (x — ir) y y2 = —sen x se m uestran en la m ism a ventana de visión (figura 2). Use la función TRA CE y m uévase hacia atrás y adelante e n tre v i y y2 en diferentes valores de x para dem ostrar que los correspondientes valores de y sean los m ism os, o casi los m ism os.

■•4

FIGURA 2


EJEMPLO 3

Sim plifique eos (x + 3 tt/2) usando una identidad de suma. Introduzca la form a original com o y \ y la form a convertida com o y2 en un dispositivo de graficación, después grafíquelas en la m ism a ventana de visión.

Determinación de valores exactos E ncuentre el valor de tan 75° en la form a radical exacta.

Solución

C om o se puede escribir 75° = 45° + 30°, la sum a de dos ángulos especiales, se puede usar la identidad de sum a para tangentes con x = 45° y y = 30°.

tan (x + y)

tan x + tan y 1 — tan x tan y

-

tan 45° + tan 30° tan (45° + 30 ) = r Identidad de suma v ; 1 - tan 45° tan 30° _ 1 + (1/V 3) ~ 1 - 1(1/V 3) p:

_ V3 + 1 V3 — 1 — o -L \ Fx

Problema selecciona

EJEMPLO 4

Evalúe las funciones de manera

exactaMultiplique el numerador y el denominador por \ 3 y simplr que. Racionalice el denominador y simplifique.

E ncuentre el valor de eos 15o en la form a radical exacta.

Determinación de valores exactos Encuentre el valor exacto de eos (x + y ), dado se n x = \ , eos y = | , x es un ángulo en el cuadrante II y y es un ángulo en el cuadrante I. N o use calculadora ni tabla.

Solución

Se com ienza con la identidad de sum a para el coseno, eos (x + >•) = eos x eos y - sen x sen y Se conoce el sen x y el eos y, pero no el eos x y el sen y. Se encuentran las dos últimas usando dos m étodos diferentes com o sigue (use el m étodo que considere m ás fácil).

6-2

467


Dado que sen x = f y x es un ángulo que está en el cuadrante II, encuentre eos x: M étodo I.

Use un triángulo de referencia:

M étodo 11.

U se un círculo unitario:

P a —■

x

M0' S!. w I ~r

/(I, 0)

eos x = a

eos x = -

a 2 + ( !)2 i) =

a 2 + 32 = 52 a 2 = 16

i

«2 = Ü

a — ±4 En el cuadrante II,

a = —4

Por lo tanto,

eos x - —i

D ado que eos _y = 5 y

En el cuadrante II, eos X

Por lo tanto,

=

es un ángulo que está en el cuadrante I, encuentre sen y:

M étodo I. Use un triángulo de referencia:

M étodo II. Use un círculo unitario:

(4, b)

P(j, b\ \ x —t— ►a /d ,o )

5 /T ib

¿ Y

.

sen y - b

sen y = 4^2

42 + b2 = 5 2

U2 -

(ir + b

b2 = 9

25

b

b = ±3 En el cuadrante II, Por lo tanto,

b = 3 sen y = |

J

En el cuadrante II,

-

+3

b =

Por lo tanto,

A hora se puede evaluar eos (x + y ) sin conocer x ni y: eos (x + y) = eos x eos y — se n x sen y (-fx f) - d x !)

25 25

= -1

Encuentre el valor exacto de sen (x - y ), dados sen x = - 1, eos y = V 5 /3 , x es un ángulo que se encuentra en el cuadrante III y y es un ángulo que está en el cuadrante IV N o use calculadora ni tabla.

468

6 Identidades trigonométricas y ecuaciones condicionales

Demostración de identidades D em uestre la identidad: tan x + cot y =

eos (x - y ) eos x sen v

eos (x - y)

eos x eos v + sen x se n y

eos x sen y

eos x se n y

------ -------- -LL = --------------- í.-------------------- .

D em o strac ió n

cosnc eos y

sen x ssm ?

c&rx se n y

eos x sen-r

Id e n tid ad d e

= ------------------------- + ------ --= cot

y + tan x

diferencia

A lgebra Id e n tid a d e s d e c o c ie n te

= tan x + cot y

D em uestre la identidad: c o t;'1 - c o tx = Sen ^ — — sen x sen y

R espuestas a los p ro b le m a s selec cio n a d o s

1. -eos j:

2. yl = eos (x + 3ir/2), y2 = sen * A

3. (1 + V 3 ) /2 V 2 o (V'ó + V 2)/4

4. - 4 V 5 /9

. sen (x - y)sen x eos y - eos .rsen y siwwr eos y eos * 5. --------- — = ------------------------ - = ----------:-------------- - = cot y - cot x sen .xsen y sen x seny ssn-xseny seiucs«»-?

6-2

1. sen (x + 2i7)

= sen*

3. tan (x + -it) = tan x

2. eos (x + 2tt) = eos *

9. 11.

co t (

1 t- 1r»

Se pueden utilizar las identidades de suma para establecer pro piedades periódicas para las funciones trigonométricas. De muestre las identidades de los problemas del I al 8 usando identidades de suma.

Demuestre cada identidad en los problemas del 9 a! 12 usando identidades de cofunción para el seno y el coseno y las identi dades básicas analizadas en la sección 6-1. = ta n x

= secx ÍU? - * )l

CSC 1

10.

ta n |

12. sec

cot x

\

4. cot (x + n) = cot x

6. sen (x + 2bn) = senx, k es un entero

Convierta los problemas del 13 al 18 a formas que impliquen sen x, eos x y /o tan x mediante identidades de suma o de dife rencia.

7. cot (x + h ir)

= cot x, ken un entero

13. sen (30° - x)

14. sen (a- - 45°)

8. tan (x + kn)

= tan x, ken un entero

15. sen (180° —x)

16. cos(.*+ 180°)

5. eos (x + 2k7r) = eos x, k es un entero

469

6-2 Identidades de suma, diferencia y cofunción

17. tan | x + —

18. tan I — — x

B

41. tan (x — y) =

cot y — cot x cot -v cot y + 1

42. tan (x + y) =

cotx + cot y cot x cot y — 1

. co.v (x + h) — eos x I eos h — 1) /sen h I 43. ----------- -------------= c o s x |-------;------] - s e n * h h

Use las identidades adecuadas para encontrar los valores exac „ sen (x + h) —sen x tos de los problemas del 19 al 26. No use calculadora. ¡J 44. ------------ -------------19. 21.

sec 75° 20. sen 75° 777 Sugerencia: ^ 777 77 ( 77 sen • 12 12 3 4_

22. eos —

12

Sugerencia:

77

_ 77 _

77

12

4

6

Evalúe ambos lados de la identidad de diferencia para el seno, y la identidad de suma para la tangente en cuanto a los valores de x y y indicados en los problemas del 45 al 48. Evalúe con calculadora hasta obtener cuatro dígitos significativos.

eos 7 4 ° eos 4 4 ° + sen 74° sen 4 4 ° 24. sen 22° eos 38° 4- eos 22° sen 38° tan 27a + tan 18° tan 110° —tan 50° 25. 26.

23.

1 - tan 27° tan 18°

sen h

eos h — 1

1 + tan 110° tan 50°

Encuentre sen (x - y) y tan (x + y), de manera exacta y sin calculadora usando la información dada en los problemas del 27 al 30. 27. senx = —j,s e n y = V 8/3,x es un ángulo en el cuadrante IV, y es un ángulo en el cuadrante L 2 1 28. sen A' = ] , eos y = —j , x es un ángulo en el cuadrante II, y es un ángulo en el cuadrante III. 29. tan x — | , tan y = —j , x es un ángulo en el cuadrante 111, y es un ángulo del cuadrante IV 30. eos . r = —j , tany = 2 , x es un ángulo del cuadrante II,3' es un ángulo en el cuadrante III.

45. x = 5.288, y = 1.769

46.

x = 3.042, y = 2.384

47. x = 42.08°. y = 68.37°

48. x = 128.3°, y = 25.62°

Explique cómo podría demostrar que. en general, sec (x —y) ^ sec x —sec y Explique cómo podría demostrar que. en general, ese (x + y)

ese x + ese y

•s-s En los problemas del 51 al 56. use las identidades de suma o diferencia para convertir cada ecuación a la forma que impli ca sen x , eos xy/o tan x. Introduzca la ecuación original en un dispositivo de graficación como vi y laforma convertida como y2, después grafique y I y y 2 en la misma ventana de visión. Use la función TRACE para comparar las dos gráficas. 51. y

= sen

(x + tt/6)

52.

y

= sen

(x — tt/3)

53. y = eos (x —3tt/4)

54.

y = eos (x + 5tt/6)

55. y = tan (x + 2tt/ 3)

56.

y = tan (x —tt/4)

Demuestre, cada identidad en los problemas del 31 al 44. En los problemas del 5 7 al 60, evalúe de manera exacta como se hace con los números reales sin usar una calculadora.

31. eos 2x = cos2x -s e n 2x 32. sen2x = 2senx eos x

57. sen [eos-1 (—5) + scn_l (—5)]

cot x cot y - I 33. cot (x + y) = cotx + cot y 34. cot (x —y) = 35. tan 2x

I

58. eos [sen-1 ( - 5) + eos' 1(5)] 59. sen [arccos j +arcsen(—1)]

cot x col y + 1 cot y —cotx

2 tan x —tan x

36. cot 2x =

37.

sen (v + u) _ sen (v —m)

38.

sen (H + v ) _ ta n « + tanv sen (u — v) tan« —tan v

39. cot x —tan y = 40. tan x - tan y =

cotu + cot v cotu —cot v

eos (x + y) sen x eos y sen (x - y) eos x eos y

60. eos [arccos ( - V3/2) -a rc se n (—j)] cot2x - 1 2 cotx

61. Exprese sen (sen 1x -i- e o s 1y) en una forma equivalente sin que aparezcan las funciones trigonométricas normales ni las inversas. 62. Exprese eos (sen-1 x — eos-1 y) en forma equivalente sin que aparezcan las funciones trigonométricas normales ni las inversas. Demuestre, las identidades en los problemas 63 y 64. 63. eos (x + y + z) = eos x eos y eos z - sen xscn.y eos z sen x eos y sen z —eos x sen y sen j

470


N tan |3 = tan a ----- sec a

64. sen (* + y + z) = sen * eos y eos z + eos x sen y eos z + cos*cos>-senz —sen* sen >•sen z En los problemas 65 y 66, escriba cada ecuación en términos de una sola función trigonométrica. Introduzca la ecuación original en un dispositivo de traficación como y l y la forma convertida comoy2, despuésgrafiqueylyy2 en la misma ven tana de visión. Use la función TRACE para comparar las dos gráficas. 65. y = eos 1.2* eos 0.8* —sen 1.2*sen0.8* 66. >• = sen 0.8* eos 0.3* —eos 0.8*sen0.3*

APLICAC

í 67. Geometría analítica. Use la información de la figura para demostrar que tan (02 - 6j)

1 + m¡m2

Ai

[Sugerencia: Use primero las relaciones geométricas para obtener N sen (a - (3)

M sen (90° - (3)

después use identidades de diferencia e identidades funda mentales para completar la deducción.] 70. Refracción de la luz. Use el resultado del problema 69 para encontrar (3 hasta el grado más próximo si a = 43°, M = 0.25 pulgadas y N = 0.11 pulgadas. 71. Reconocimiento. El Capitán es un gran pico monolítico de granito que se eleva en forma recta desde el suelo del valle de Yosemite en el Parque Nacional de Yosemite. Atrae a escaladores de picos de todo el mundo. Algunas veces la reflexión del pico se puede ver en el río Merced que corre a lo largo del valle. ¿Cómo se puede determinar la altura H de El Capitán, con respecto del río, usando sólo un sextante de h pies de altura para medir el ángulo de elevación ¡3 hacia la parte superior del pico, y el ángulo de depresión a de la parte superior del pico reflejado en el río? (Véase la figura, no está a escala.) (A) Usando las relaciones de triángulos rectángulos, de muestre que H= h

tan 0, = Pendiente d e l , = m, tan 0j = Pendiente de L2 = m2 í 68. Geometría analítica. Encuentre el ángulo agudo de inter sección entre: las dos rectasy rectasy := 3x + 1 y y = \ x — 1. (Use los resultados del problema 67.) 69. Refracción de la luz. Los rayos de luz que pasan a través del cristal de una ventana, se refractan cuando entran al vi drio y cuando vuelven a salir continúan en una trayectoria paralela a los rayos entrantes (véase figura). Si el cristal tie ne un espesor de M pulgadas, el desplazamiento paralelo de los rayos de luz es de N pulgadas, el ángulo de incidencia es a y el ángulo de refracción es (3, demuestre que

1 + tan ß cot a 1 —tan P cot oí

(B) Usando identidades de suma o diferencia, demuestre que el resultado del inciso (A) se puede escribir en la forma H

, sen(ot + ß) sen (a - ß)

(C) Si un sextante con una altura de 4.90 pies registra que a es de 46.23” y p es de 46.15°, calcule la altura H de El Capitán por arriba del río Merced hasta tres dígitos significativos. El Capitán

M

AP

»u L-""

-----B

I Río Merced

'

Parque Nacional Yosemite

6-3

SECCION

Identidades de ángulos dobles y de ángulo mitad

471

identidades de ángulos dobles y de ángulo mitad Identidades de ángulos dobles Identidades de ángulo mitad En esta sección se desarrolla otro conjunto importante de identidades llamadas identi dades de ángulos dobles y de ángulo mitad. Se pueden deducir esas identidades direc tamente de las identidades de suma y de diferencia explicadas en la sección 6-2. Aunque los nombres usan la palabra “ángulo”, las nuevas identidades se cumplen también para los números reales.

y se reemplaza y por x para obtener sen (x + x) = sen x eos x + eos x sen x Con la simplificación, se tiene Identidad de á

doble para ci sen

(1)

Si se comienza con la identidad de suma para el coseno, eos (x + y) = eos x eos y - sen x sen y y se reemplaza y por x, se obtiene eos (x + x) = eos x eos x —sen xsen x Con la simplificación, se tiene d u è augi]

(2)

Ahora, mediante la identidad pitagórica sen2 x + eos2 x = 1

(3)

eos2 x = 1 - sen2 x

(4)

en la forma

y sustituyéndola en la ecuación (2), se obtiene eos 2x = 1 —sen2 x - sen2 x Con la simplificación, se obtiene 1 - 2 ser

(5)

6


O, si se usa la ecuación (3) en la forma sen2 x = 1 - eos2 x y se sustituye en la ecuación (2 ), se obtiene eos 2x = eos2 x - (1 - eos2 x) Con la simplificación, el resultado es (6)

Se pueden establecer las identidades de ángulos dobles para la función tangente en la misma forma comenzando con la fórmula de suma para la tangente. Esto se propone como ejercicio para usted (problemas del 19 al 21 en el ejercicio 6-3). A continuación se indican las identidades de ángulo doble para una adecuada refe rencia.

¡■ 1

Identidades de ángulos dobles

2 cotx

cotx

Las identidades del segundo renglón se usan de manera ventajosa en cálculos del siguiente tipo: , 1 - eos 2x sen x = ----- -----2

, 1 + eos 2x eos x = ----- -----2

para transformar una fonna con potencia en otra sin potencia.


(A) Analice cómo se podría demostrar que, en general, sen 2x # 2 sen x

eos 2x í 2 eos x

tan 2 x i z 2 tan x '

(B) Grafiquey l = sen 2x y y2 = 2 sen x en la misma ventana de visión. ¿Cuál es su conclusión? Repita el proceso para los otros dos postulados del inciso (A).

Determinación de identidades

Demuestre la identidad: eos 2x = —-----tan — 1 + tan2*

6-3

Demostración


473

Se comienza por el lado derecho:

sen2 x 1 - tan2 x _ eos2 x 1 + tan2* . sen2* 1 H-----eos2 X 1-

Id e n tid a d e s d e co cien te

eos2x - sen2 x

eos2 x + sen2 x

Álgebra

= cos2x —sen2* = eos 2x

i:¡d a d pitag ó rica Id ^ n i'd a'í de á r q u lo doble

rbraicos clave en el ejem plo I

i - f b-i

,JV - hfe i

~

u'íi

0 Ì

' 0?

2

P r o b l e m a s e le c c io n a d c

El EM P

Demuestre la identidad: sen 2x = -------- -— 1 + tan3x

Determinación de valores exactos

Encuentre los valores exactos, sin usar calculadora, de sen 2x y eos 2x si tan x = - | y x es un ángulo en el cuadrante IV Solución

Se dibuja primero el triángulo de referencia para x y se encuentra cualesquiera de los lados desconocidos: r = V ( - 3 )2 + 42 = 5 4

------------------- ,---- ► i

3

senx = —| eos x = 45

Ahora se usan las identidades de ángulos dobles para el seno y el coseno: sen2x = 2 senxcosx = 2 (—f)(f) = —§5 eos 2x = 2 eos2 x — 1 = 2 (|)2 — 1 =


Encuentre los valores exactos, sin usar calculadora, de eos 2x y tan 2x si sen x = | y x es un ángulo en el cuadrante II.

474

6


Las identidades de ángulo m itad son sim plem ente identidades de ángulo doble estable cidas en form a alterna. Se com ienza con la identidad de ángulo doble para el coseno en la form a eos 2m = 1 — 2 sen2 m A hora reem place m con x/2 y despeje para sen (x/2 ) [si 2m es el doble de m, entonces m es la m itad de 2m (piense acerca de esto)]: , x eos x = 1 - 2sen/ -

2

2 x _ 1 — eos x

(7 )

donde la elección del signo se determ ina por el cuadrante en que se encuentre x/2. Si se quiere obtener una identidad de ángulo m itad para el coseno, se com ienza con la identidad de ángulo doble para el coseno en la form a eos 2m = 2 eos2 m — 1 y se hace m = x/2 para obtener

(8)

donde el signo se determ ina por el cuadrante en el que se encuentre x/2 . Para obtener una identidad de ángulo m itad para la tangente, use la identidad de cociente y las fórm ulas de ángulo m itad para el seno y coseno:

Así,

1

V 1 4-

(9)

v

donde el signo se determ ina por el cuadrante en que se encuentre x/2 . Se pueden obtener versiones m ás sim ples de la ecuación (9) com o sigue: x

1 — eos X

2

1 + eos

tan -

(10)

X

1 - eos X

1 + eos

1 + eos x

1 t eos x

X

6-3


1

(1 + eos x f (1 + cosx)2

Vsen2 x V (1 + eos x)2 Vsen2 x = Isen xl y

|sen x\ 1 + eos x

\ ( 1 + eos x)2 = 1 —eos x, ya que 1 + eos x nunca es negativo

Se pueden eliminar todos los signos de valor absoluto, ya que se puede demostrar que tan (x/2) y sen x siempre tienen el mismo signo (un buen ejercicio para usted). Así, ( 11)

Al multiplicar el numerador y el denominador en el radicando de la ecuación (10) por 1 - eos x y razonando como antes, también se puede obtener (12) A continuación se incluye la lista de todas las identidades de ángulo mitad para una adecuada referencia.

Identidades de ángulo mitad _

_

V

2

_

_

_

_

2 ___;_____

CQ= *

-

2

±

/ 1 +COSX

V

2 cosx

•rf COS X

+ cosx

1 + COS X

K M «

/

/


(A) Analice cómo se podría demostrar que, en general, X

, 1

sen — ^ 2 senx 2

X

, \

eos — =£ i eosx 2

X

, 1

tan — ¥= t tanx 2

^ (B) Grafique>'l = sen (x/2) y y 2 = \ sen x en la misma ventana de visión. ¿Qué se puede concluir? Repita el proceso para los otros dos postulados del inciso (A).

476

6


Determinación de valores exactos Calcule el valor exacto de sen 165° sin usar calculadora m ediante una identidad de ángulo m itad. So lu ció n

sen 165° = sen

330°

1 — eos 330 °

1",$e 'a '^ entidad c*e án g u lo m itad para el seno con un radical p ositivo, ya que sen 165 ° es positivo.

-------------- :—

2 1 -

V 2

3/ 2 )

(V

-

V

3

C alcule el valor exacto de tan 105° sin usar calculadora, m ediante una identidad de ángulo mitad.

Determinación de valores exactos Encuentre los valores exactos de eos (x/2) y cot (x/2), sin utilizar calculadora, si sen.r = — J , t t < -Y < 3 t 7 / 2 .

Solución

D ibuje un triángulo de referencia en el tercer cuadrante y encuentre eos x. Después use las identidades pertinentes de ángulo mitad. a = - V 5 2 - ( - 3 )2 = - 4 eos X

— < — < 2

2

=

—T

Divida cada miembro de tt < x < 3ir/2 entre 2. 4

A sí. x/2 es un ángulo en el segundo cuadrante donde el coseno y la cotangente son negativos, y eos

1 + eos x

x 1 cot - = 2 tan (x/2 )

1 + (-f) 1 - (- 1 )

T U 10 0

-v T o 10

sen x 1 - eos x

6-3


477

Encuentre los valores exactos de sen (x/2) y tan (x/2), sin usar una calculadora, si c o tx =

— 5 , ir / 2 <

<

x

tt.

Demostración de identidades x Demuestre la identidad: sen2 ■

tan x - sen x 2 tan x

x

D em o strac ió n

, /1 — c o s x

sen — = ± \ ----- -----2 V 2 y , -Ax _ 1 - eos x sen" — = ----- —— 2 “ 2

Id e n tid a d d e á n g u lo m itad para el seno

-------------------- -

_

Eleve al c u a d ra d o a m b o s lados.

tan x

1 - eos x

tan x

2

Á lgebra

tan x - tan x eos x A lgebra

2 tan x tan x - sen x

Id e n tid a d d e c o cien te

2 tan x

Probierrr.

D em uestre la identidad: eos2 — = tan X + Sl"n X 2 tan x


J sen* 2 tan * Veos x 1, ------1 + tan-* ( .serc*

?

\cosx) /, , sseir*\ e ir * \ COS- X 1 H--------r— \ eos a;/ ,,

2 sen* eos* cos-.v

+sen"*

, = 2sen * eos * = sen Zv

e o s'* 2. eos 2* = — tan 2* = y 3. - V 3 - 24. sen (*/2) = 3V10/10, tan (*/2) = 3 ,* 1 + eos * tan * 1 + eos * tan * + tan * eos * tan * + sen * S. eos 2 2 tan* 2 2 ta n * 2 tan*

EJERCICIO

6-3

A _________

2 ta n *

ir

1 - tan2 *

6

4. tan 2* = ----------- r—, * = —

En los problemas del 1 al 6, verifique cada identidad para los valores indicados. 1. eos 2* = eos2 * —s e n 2 *, * = 30°

*

4 / I — eos *

5. s e n - = ± y ----------- .* = 2 V 2 (Escoja el signo correcto).

2. se n 2* = 2 s e n * eos *, * = 45°

3. tan 2* ;

cot * — tan * :’X =

Tf 3

6. eos - = ± ]¡

1 + eos *

(Escoja el signo correcto).

478

6


En los problemas del 7 al 10, encuentre el valor exacto, sin usar calculadora, mediante identidades de ángulo doble y án gulo mitad.

En los problemas del 37 al 40, calcule losvalores exactosde sen (x/2), eos (x/2) y tan (x/2) usando lainformacióndaday las identidades adecuadas. No use calculadora.

7. sen 22.5°

8. tan 75°

37. sen x = —j, -ir < x < 3-n72

9. eos 67.5°

10. tan 15°

38. eos x = —j, tt < x < 3tt/2

r En los problemas del 11 al 14, grafique y l y y 2 en la misma ventana de visión para -2 ~ < x ^ 2-n. Use lafunción TRACE para comparar las dos gráficas. 11. yl = eos 2x, y2 = eos2 x —sen2 x

x sen x 13. yl = tan - , y l = — ------2 1 + eos x 2 tan x 14. yl = tan 2x, y l = , _ ^ 2 1 — tan2x

Demuestre las identidades en los problemas del 15 al 32. 15. (senx + eos x)2 = 1 + sen 2x 16. sen 2x = (tanx)(l + eos 2x) 17. sen2x = j( l - eos 2x)

Encuentre los valores exactos de sen 0 y eos 0, dado tan 20 = - j , 0° < 0 < 90°.

18. eos2x = |(cos 2x + 1) 19. 1 —eos 2x = tan xsen2x

Encuentre los valores exactos de sen 0 y eos 0, dado sec 20 = - f , 0° < 0 < 90°.

20. 1 + sen It = (sen t + eos t): ,x 1 — cosx 21. sen2 - = ------------

27. eos lu =

+ eos x

22. eos2 - = 2

2

1 tan x 1 — tan2x

24. tan 2x =

0 sen 0 25. cot - = 2 1 - eos 0

Demuestre cada una de las identidades sigidentes para el va lor de x indicado en los problemas del 43 al 46. Calcule los valores hasta con cinco dígitos significativos usando calcula dora. 2 tanx (A) tan 2x = ---- —3 1 — tan x x < /I + eos x (B) COS-= ± Y —

2

2 cotx cot2x - 1

_. 0 1 + eos 0 26. cot —= —--------2 sen 0

1 - tan2 u 1 + tan2 u

28.

1 + tan2 x 29. 2 ese 2x = tan x 31. eos a =

1 - tan2 (a/2) 1 + tan2 (a/2)

32. eos la =

cot a — tan a cot a + tan a

40. tanx = I , - i r < x < —Tr/2

(A) ¿En qué cuadrante está el ángulo 2 6 y cómo lo sabe? (B) ¿ Cómo puede encontrar sen 2 6y eos 2 6? Encuentre cada uno. (C) ¿Qué identidades relacionan sen 0 y eos 6 con sen 2 0 o eos 2 6? (D) ¿Cómopodría usar las identidades del inciso (C)para en contrar sen 8 y eos 8 de manera exacta, incluyendo el sig no correcto? (E) ¿Cuáles son los valores exactos de sen 8y eos 8?

B

23. tan Ix =

-ir < x < —tt/2

Suponga que está asesorando a un estudiante que tiene difi cultades para encontrar los valores exactos de sen 8 y eos 8 a partir de la información dada en los problemas 41 y 42. Su ponga que ha realizado cada problema y ha identificado los pasos clave en el proceso de solución; proceda a guiar al estu diante por el proceso de solución usando las siguientes pre guntas. Registre las respuestas correctas del estudiante.

12. yl = sen 2x, y2 = 2 sen x eos x

2

39. cot x :

eos lu 1 - scn2w

■tan u 1 - tan u

(Escoja el signo correcto).

sec2x 30. sec 2x = --------- — 2 - sec2 x

43. x = 252.06°

44. x = 72.358°

45. x = 0.934 57

46. x = 4

En los problemas del 47 al 50, grafique y 1 y y2 en la misma ventana de visión para —2tt < x < 2it, y establezca los inter valos para los cuales y l y y2 son identidades. 47. yl = eos (x/2), y2 =

1 + cosx

Calcule los valores exactos de sen 2x eos 2 xy tan 2x usando la información dada en los problemas del 33 a! 36 y las identida des adecuadas. No use calculadora.

48. yl = eos (x/2), y l = - y * + ^ osx

33. senx = 5, ir/2 < x < tt

49. yl = sen (x/2), y2 = —

34. eos x = —5,17/2 < x <

TT

35. tan x = —-¿5, —tt/2 < x < 0 36. cotx = —— 12,

— tt/ 2 <

x

< 0

50. yl = sen (x/2), y2 =

1 —eos x

6-3

479


cierto lanzamiento, se encuentra en la física de manera aproximada por Demuestre las identidades en los problemas del 51 al 54.

2v%sen 6 eos 6

d=

51. eos 3x = 4 eos3 x — 3 eos x

32 pies por segundo cuadrado

52. sen 3* = 3 sen x —4scn3 x

donde v.,es la velocidad inicial del objeto lanzado (en pies por segundo) y 0 es el ángulo por arriba de la horizontal con que el objeto sale de la mano (véase la figura).

53. eos 4x = 8 eos4 * — 8 eos2 x + 1 54. sen 4x = (eos x)(4sertx —8sen3 x) En los problemas del 55 al 60. encuentre el valor exacto de cada una de las expresiones usando una calculadora. 55. eos (2 eos- 11)

56. sen (2 eos“ 15)

57. tan [2 eos-1 ( - 5)]

58. tan [2 tan' 1( - 5)]

59. eos [5 eos' 1(-§ ))

60. sen [5 tan-1 ( - j)] (A) Escriba la fórmula sólo en términos de sen 0 mediante una identidad adecuada. (B) Usando el resultado de la ecuación del inciso (A), de termine el ángulo 0 que producirá la máxima distan cia d para cierta velocidad inicial v0. Este resultado es una consideración importante para los lanzadores de bala, de jabalina y de disco.

* En los problemas del 61 al 66. grafique f(x) con un dispositivo de graficación. encuentre unafunción más simple g(x) que tenga la misma gráfica que f(x), y verifique la identidad f(x) = g(x). [Suponga g(x) = k + .4T(Bx), donde T(x) es una de las seis funciones trigonométricas.] 61. f(x) = ese x - cot x

62. fix ) = ese x + cot x

63. f(x) =

1 —2 eos 2x 2sen* - 1

64. /(*) =

1 + 2 eos 2x 1 + 2 eos x

65. /(*) =

1 cot x sen 2x — 1

66. f{x) =

cot x 1 + eos 2x

APLICACIONES

70. Geometría. En el inciso (a) de la figura, M y N son los puntos medios de los lados de un cuadrado. Encuentre el valor exacto de eos 0. [Sugerencia: Use en la solución el teorema de Pitágoras, la definición de seno y coseno, la identidad de ángulo mitad y algunas rectas auxiliares como las dibujadas en el inciso (b) de la figura.] M M

^

67. Medición indirecta. Encuentre el valor exacto de x en la figura; después encuentre x y 0 con hasta tres cifras deci males. [Sugerencia: Use eos 20 = 2 eos2 0 - 1 . ]

N

N

(a) r ■ 68. Medición indirecta. Encuentre el valor exacto de x en la figura; después encuentre x y 0 con hasta tres cifras deci males. [Sugerencia: Use tan 20 = (2 tan 0)/( 1 — tan2 0).]

(b )

Área. Un polígono regular de n lados se encuentra en un círculo de radio R. (A) Demuestre que el área del n ésimo lado del polígono está dada por i 2-rr A„ = 5/¡i?'sen—• n [Sugerencia: Área de un triángulo = j (base)(altura). Una identidad de ángulo doble también es útil.] (B) Para un círculo de radio 1, complete la tabla 1, con cin co cifras decimales, usando la fórmula del inciso (A). TABLA 1 n

69. Física: deportes. La distancia teórica d que un lanzador de bala, uno de disco o uno de jabalina puede lograr en

A„

10

100

1000

10 000

480


(C) ¿Qué número hace que An parezca aproximarse conforme n aumenta sin límite? (¿Cuál es el área de un círculo de radio 1?) (D) será exactamente igual al área del círculo circunscrito para una n lo suficientemente grande? ¿Cómo se puede acercar A para obtener el área del círculo circunscrito?

SECCION

6-4

[En cálculo, el área del círculo circunscrito se denomina límite de A n conforme n aumenta sin límite. Utilizando un lenguaje simbólico, para un círculo de radio 1 se puede escribir lím A n - tt El concepto de límite es la parte fundamental sobre la cual se ha construido el cálculo.]

Identidades de producto-suma y suma-producto Identidades de producto-sum a Identidades de sum a-producto Se concluye el estudio de identidades desarrollando las identidades de producto-sum a y sum a-producto, que se obtienen fácilm ente a partir de las identidades de sum a y de diferencia desarrolladas en la sección 6-2. Esas identidades se usan en cálculo para convertir las form as de producto en form as de sum a m ás adecuadas. Tam bién se usan en m úsica, en el estudio de ondas sonoras, para convertir form as de sum a en form as de producto m ás adecuadas. Prim ero, sume las identidades de sum a y de diferencia para el seno, las del lado izquier do con las del lado izquierdo y las del lado derecho con las del lado derecho: sen (x + y) = sen x eos y + eos x sen y sen (x — y) = sen x eos y — eos x sen y sen (x + y) + sen (x - y) = 2 sen x eos y

sen x eos y = ¿ fsen(.v + y) + sen u- - y De m anera similar, al sum ar o restar las identidades adecuadas de sum a y de dife rencia, se puede obtener otras tres identidades de producto-suma. Éstas se enlistan a continuación para una referencia adecuada.

Un producto como una diferencia Escriba el producto eos 3 1 sen t com o una sum a o diferencia.

6-4

Solución

481

Identidades de producto-suma y suma-producto

c o s x s e n y = |[sen(.v + y) —sen (x — y)]

Sea

> - 3r y

y

=

t.

eos 3 rse n / = 5fsen(3f + t) - sen(3f - í)] = 5 sen4í - 2 sen 21


EJEMPLO 2

Escriba ei producto eos 50 eos 28 com o una sum a o diferencia.

Determinación de valores exactos Evalúe de m anera exacta sen 105° sen 15o m ediante una identidad adecuada de produc to-sum a. sen x sen y = j[cos (x — y) — eos (x + y)]

S o lu ció n

sen 105° sen 15° = jfeos (105° - 15°) - eos (105° + 15°)] = ^[cos 90° - eos 120°] = ifO - ( - é ) l = i o 0.25


Evalúe de m anera exacta eos 165° sen 75° m ediante una identidad adecuada de produc to-sum a.

id e n tid a d e s d e su m a -p r o d u c to

Las identidades de producto-sum a se pueden transform ar en form as equivalentes deno m inadas id e n tid a d e s de su m a -p ro d u c to . Esas identidades se usan para expresar su m as y diferencias que im plican senos y cosenos, com o productos que im plican senos y cosenos. Se ilustra la transform ación para una identidad. Las otras tres identidades se pueden obtener m ediante procedim ientos análogos. Se com ienza con una identidad de producto-sum a: sen a eos (3 = j[s e n ( a + 3) -I-sen (a - (3)]

(1)

Se podría hacer a + 3 = x
„ x - y B = ------P 2

(2)

Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) y sim plificando, se obtiene x +y x - y sen x + sen y = 2 sen —- — eos —- — 2

2

482

6


Todas las identidades de sum a-producto se enlistan a continuación para una ade cuada referencia.

amtwmt!

+ C0S>’

EJEMPLO S

Una diferencia como un producto Escriba la diferencia sen 70 - sen 30 com o un producto,

Solución

x +y x —y sen x - sen y = 2 e o s ------- s e n ------„ 70 + 30 70 - 30 sen 70 —sen 30 = 2 e o s ----------- se n -----------2 2 = 2 eos 50 sen20


EJEMPLO 4

Escriba la sum a eos 3/ + eos t com o un producto.

Determinación de valores exactos Encuentre el valor exacto de sen 105° - sen 15° m ediante una identidad adecuada de sum a-producto.

Solución

x +y x —v sen x - sen y = 2 e o s --------se n ------ 7

2

2

1co . 105° + 1 5 ° 1 0 5 °-1 5 ° sen 105 —sen 15 = 2 e o s ----------------se n ----------------

2

2

= 2 eos 60° sen 45° =

=

\ 2/\ 2 )

y l 2

6-4

Identidades de producto-suma y suma-producto

Encuentre el valor exacto de eos 165° - eos 75° mediante una identidad adecuada de suma-producto. --------------- ---------------------—

■- ■

-------------------

La siguiente “prueba sin palabras” de dos identidades de suma-producto se basa en una “prueba” similar realizada por Sidney H. Kung, de la Universidad de Jacksonville, que en octubre de 1996 se imprimió en la Revista de Matemáticas. (Analice cómo las relaciones de la figura a continuación se verifican de la figura.)


Respuestas a los problemas seleccionados 1. j eos 7 0 + 5 eos 39

2. (—V 3 - 2)/4

3. 2 eos 2 1 eos t

4. - V 6 /2

6-4 7. eos 5>v - eos 9w En los problemas del 1 al 4, escriba cada producto como una suma o diferencia que implique seno y coseno. 1

. sen 3m eos m

3. sen wsen 3 u

2.

cos 7A eos 5A

4. eos 20 sen 30

En los problemas del 5 al 8. escriba cada diferencia o suma como un producto que implique senos y cosenos. S. sen 3 1 + sen r

6

. eos 7 0 + eos 50

8.

sen u —sen 5u

B Evalúe de manera exacta los problemas del 9 al 12, usando una identidad adecuada. 10. eos 75° sen 15° 9. sen 195° eos 75° 11. eos 15° eos 75°

12. sen 105°scn 165°

Evalúe de manera exacta los problemas del 13 al 16, usando una identidad adecuada.

484

6


13. eos285° 4- eos 195°

14. sen 195° + sen 105°

15. eos 15° - eos 105°

16. sen 75° —sen 165°

Use las identidades de suma y de diferencia para demostrar las identidades de los problemas 17 y 18. 17. eos x eos y =

5

[eos (x + y) 4 eos (x —y)]

2

29. .v = 172.63°, y = 20.177° 30. x = 50.137°, y = 18.044°

32. x = 0.039 17, y = 0.610 52

Explique cómo puede transformar la identidad de produc to-suma = j[c o s (u — v) —eos (u 4 v)]

en la identidad de suma-producto x 4 y

2

31. * = 1.1255, y = 3.6014

18. sen A'scn y = 5 [eos (x - y) - eos (x 4 y)]

sen « se n v

(A) eos xsen y = jtsenf.t 4 y) —sen (x— y)] x +y x —y (B) eos x 4 eos y = 2 eos — 7— eos — ——

-V

eos .v - eos y = —2 sen-------sen----2

y

2

Escriba cada uno de los problemas del 33al 40, como un pro ducto, si y es una suma o diferencia: o como una suma o dife rencia si y es un producto. Introduzca la ecuación original en un dispositivo de graficación como y l. la forma convertida comoy2, y la gráfica d e y l y y 2 en la misma ventana de visión. Use la función TRACE para comparar las dos gráficas. 33. y = sen 2x 4 sen x

34.

y = eos 3.r + eos x

35. y = eos 1.7* - eos 0.3* 36. y - sen 2.1* - sen 0.5* mediante una sustitución adecuada. Explique cómo se puede trasformar la identidad productosuma

37. y = sen 3* eos *

38.

y = eos 5* eos 3*

39. y = sen 2.3*sen 0.7*

40.

v = eos l.9xsen0.5x

eos u eos v = j [eos (« + v) 4- eos (u - v)] en la identidad de sum a-producto

Demuestre cada identidad en los problemas 41 y 42.

x 4 y * - y eos * 4- eos y = 2 eos — - — e o s --------

2

2

m ediante una su stitución adecuada.

Demuestre cada identidad en los problemas del 21 al 28. .

2 1.

sen 2 1 4 sen

4?

„

= cot t

22.

eos 2 1 — eos 4 1 s e n * —sen v

eos t - eos 31 ----------------------= tan t sen t + sen 3/

cos * - eos y

2

sen x 4 sen y

24. ----------------- — = tan — —— 25. ,

* + y

2

*

26. ------------------- = - ta n ------------- sen x + sen y

_

eos x + eos v

- v 2

* 4 y

27. ----------------- - = - c o t -------- - c o t eos * - eos y

28.

+ sen (y + z — *) +

En los problemas del 43 al 46: (A) Grajique y l, y 2 y y 3 con un dispositivo de grq/icación para ¿ < , v á i y - 2 S y < 2. (B) Convierta y l a una suma o diferenciay repita el inciso (A). 43. yl = 2 eos (28-it*) eos (2trx) y2 = 2 eos (2tt*) y3 = —2 eos (2tt*) 44. yl = 2 sen(24nx)sen (2tt*) y2 = 2 sen(2ir*) y3 = -2sen(2irx)

eos * 4 eos y * —y ----------------- -- = c o t ---------------- sen * — sen y 2 eos x - eos y

42. sen xsen y sen z = |[sen(* + y — z) sen (z + x - y) —sen (x + y + z)]

* + y

23. ----------------- — = —cot — ——

eos * + eos y

41. eos * eos y eos z = 5 [eos (* + y —2) + eos (y + z - *) + eos (z -I- * —y) + eos (* + y + z)]

* «- y „ 2 2

sen* + sen y _ tan [|(* + y)] sen * —sen y tan (* —y)]

45. yl = 2 sen (20-ñ*) eos (2-ir*) y2 = 2 eos (2tt*) y3 = —2 eos (2ti*) 46. yl = 2 eos (16irx).sen (2-rrx) y2 = 2sen(277x) y3 = -2sen(2Trx)

APLICACIONES

Demuestre cada una de las identidades siguientes para los valores d e x y y indicados en los problemas del 29 al 32. Evalúe cada lado hasta con cinco dígitos significativos.

^

Los problemas 47 y 48 implican elfenómeno del sonido llamado interferencias. Si se escuchan dos tonos con la misma intensidady altura aproximada (frecuencia), uno después del otro,

6-5

es difícil para la mayoría de las personas diferenciar uno de otro. Sin embargo, si los tonos se escuchan de manera simultá nea, se intercalan entre si. produciendo un sonido bajo ululado denominado interferencia. Cuando los músicos afinan un ins trumento con otros instrumentos o con un diapasón, escuchan esos tonos bajos ululados y tratan de eliminarlos ajustando sus instrumentos. Los problemas 47 y 48 proporcionan una ilustración visual del fenómeno de interferencia. 47. Frecuencias de música y de interferencia Las ecuaciones y = 0.5 eos 128tt/ y_y = —0.5 eos 144m son ecuacio nes de ondas sonoras con frecuencias de 64 y 72 hertz. res pectivamente. Si ambos sonidos se emiten de manera simul tánea, el resultado es una frecuencia de interferencia. (A) Demuestre que 0.5 eos 128^/ - 0.5 eos 144-rrr =sen 8-iTísen 136-07 (La forma de producto es más útil para los ingenieros de sonido.) (B) Grafique cada ecuación en una diferente ventana de visión para 0 s / < 0.25: v = 0.5 eos 128tt/ y - —0.5 eos 144ttí

sección

0

" 0

Ecuaciones trigonométricas

y = 0.5 eos 128ir/ - 0.5 eos 144ttt y

=sen 8ir/sen 136irf

48. Frecuencias de música y de interferencia.y = 0.25 eos 256irf y y = —0.25 eos 288'rrr son ecuaciones de ondas sonoras con frecuencias de 128 y 144 hertz, respectiva mente. Si ambos sonidos se emiten de manera simultánea, resulta una interferencia. (A) Demuestre que 0.25 eos 256tr? —0.25 eos 288'tt? = 0.5 sen lÓTT/sen 272ttí (La forma de producto es más útil para los ingenieros de sonido.) (B) Grafique cada ecuación en una diferente ventana de visión para 0 ^ t ^ 0.125. y = 0.25

eos 25 6 ttt

y = —0.25 eos 288- ti y = 0.25

eos 2 56ttí — 0.25 eos 2 8 8 it/

y = 0.5 sen ló n ís e n 272irf

Ecuaciones trigonométricas Solución de ecuaciones trigonom étricas m ediante un procedim iento algebraico. Solución de ecuaciones trigonom étricas m ediante dispositivos de graficación.

En las prim eras cuatro secciones de este capítulo se consideraron ecuaciones trigo nom étricas denom inadas identidades. Estas ecuaciones son verdaderas para todos los reem plazos de la(s) variable(s) para las que am bos lados están definidos. Ahora se considerará otra clase de ecuaciones trigonom étricas, llam adas ecuaciones condicio nales. que pueden ser verdaderas para algunos reem plazos de la variable pero falsas para otros. Por ejem plo, eos x = sen x

es una ecuación condicional, ya que es verdadera para algunos valores, por ejem plo x = tt/4 , y falsa para otros, tales com o x = 0. (C om pruebe am bos valores.) En esta sección se consideran dos procedim ientos para resolver ecuaciones condi cionales trigonom étricas: un procedim iento algebraico y un procedim iento con un dis positivo de graficación. R esolver ecuaciones trigonom étricas usando un procedim iento algebraico requiere a m enudo del uso de m anipulaciones algebraicas, identidades e ingenuidad. En algunos casos los m étodos algebraicos conducen a soluciones exactas, que son m uy útiles en ciertos contextos. Se pueden usar m étodos con un dispositivo de g ra fic a c ió n p a ra a p ro x im a r so lu c io n e s en una am p lia v aried ad de e c u a c io n e s trigonom étricas; pero a m enudo no producen soluciones exactas. Cada m étodo tiene sus fortalezas.

486

6



Se está interesado en las soluciones de la ecuación eos x = 0.5 La figura siguiente muestra una gráfica parcial de los lados izquierdo y derecho de la ecuación. y

(A) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación en el intervalo [0, 2ir)? ¿Cuáles son? (B) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación en el intervalo (— *>)? Analice un método para escribir todas las soluciones de la ecuación.

Usted puede encontrar útil las sugerencias siguientes para resolver ecuaciones trigonométricas mediante un procedimiento algebraico: m e d ia n t e u n

Sugerencias para la solución de ecuaciones trigonom étricas de manera algebraica

1.

Considere una función trigonométrica en particular como una variable, y resuélvala. (a) Considere el uso de manipulaciones algebraicas tales como factorización, .combinación o separación de fracciones, etcétera. (b) Considere el uso de identidades.

2.

Después de resolver una función trigonométrica, despeje la variable.

Varios ejemplos le ayudarán a comprender el procedimiento algebraico.

Soluciones exactas mediante factorización

Encuentre todas las soluciones exactas de 2 eos2x - eos x = 0. Solución

Paso 1.

D espeje eos x:

6-5

2 eos2 x — eos x = 0 eos x (2 eos x — 1) = 0 eos x = 0

o


Ractorice eos x. ab = 0 sólo si a = 0 o b = 0. 2 eos x — 1 = 0 eos x = k

Paso 2. i ■■

Resuelva cada ecuación en un periodo [0, 2tt) : Trace la gráfica de y = co sx . y = 0 y y = ¿ en el m ism o sistem a coordenado para ayudarse al escribir todas las soluciones en un periodo (véase figura 1).

1/2 eos x = 0 -i FIGURA

Paso 3.

2

17 J7T

tt

2'~ 2

T ’T

5 ir

Escriba una expresión para todas las soluciones. Com o la función coseno es periódica con un periodo 2 tt, todas las soluciones están dadas por

17/2 + 2A tt 3 tt /2 + 2/C77 .5 7t /3 + 2ÀT7

Encuentre de m anera exacta todas las soluciones para 2 sen2 x + sen x = 0.

Soluciones aproxim adas usando identidades y factorización Encuentre todas las soluciones reales para 3 eos2 x + 8 sen x = 7. C alcule todas las funciones inversas con cuatro cifras decim ales. Solución

Paso / .

D espeje sen x y/o eos x. Pase todos los térm inos diferentes de cero a la iz quierda del signo igual y exprese el lado izquierdo en térm inos de sen x: 3 eos2 x + 8 sen x 3 eos2 x + 8 sen x - 7 3 ( 1 - sen2 x) + 8 sen x - 7

= 7 = 0 eos2 x = 1 - senr x = 0

3 sen2 x - 8 s e n x + 4

= 0 3uz - 8w - 4

(senx - 2) (3 s e n x - 2)

= 0 ab = 0 sólo si

sen x — 2 = 0 senx = 2

o

a

(u- 2) (3u

2)

= 0 o £> =

0

3 sen x - 2 = 0 senx = 5

488

6


y

P aso 2.

2

i ■■

Resuelva cada ecuación en un perio d o [0, 2 tt) . Trace una gráfica de y = senx, y — 2 y y = § en el m ism o sistem a coordenado para ayudar a escribir todas las soluciones en un periodo (véase figura 2).

Resuelva la prim era ecuación:

2/3

2rr —*—►x

senx = 2

-1 s s e n x ^ 1.

N o hay so lu ció n , ya que

/

^

i

R esuelva la segunda ecuación: F IC U R A

2

En la gráfica se ob serva que e xiste n solu ciones en el p rim e r y se g u n d o c u a d ra n te s.

= s e n _1 § = 0.7297

X

x


So lu ció n en el p rim e r cu a d ra n te

= tí —0.7297 = 2.4119

Solución en el se g u n d o c u a d ra n te

sen 0.7297 = 0.6667; sen 2.4119 = 0.6666 (Las com probaciones pueden no ser exac tas debido a los errores de redondeo.) Paso 3.

Escriba una expresión para todas las soluciones. Com o la función seno es periódica con el periodo 2 tt, todas las soluciones están dadas por i 0 .7 2 9 7 4- 2A-77 V

=

J

I r ¿Sí* M i q i / i T i i a r

o n fín '/ i

Encuentre todas las soluciones reales de 8 sen2 x = 5 — 10 eos x. Calcule todas las funciones inversas con cuatro cifras decim ales.

Soluciones aproximadas mediante sustitución E ncuentre 0, m edido en grados, con hasta tres cifras decim ales de m anera que 5 sen (20 - 5) = -3 .0 4 5 So lu ció n

Paso 1. R ealice una sustitución. Sea u = 20 5 sen u = -3 .0 4 5

0° ^ 20 - 5 < 360° — 5 para obtener 0° ^ u < 360°

Paso 2. D espeje sen u. -3 -0 4 5 sen u = — -— = -0 .6 0 9

Paso 3.

D espeje para u en 0 C < u < 3 6 0 Trace una gráfica de y = sen u y y = —0.609 en el m ism o sistem a coordenado para ayudar a escribir todas las so luciones en 0o ^ u £ 360° (véase figura 3).

6-5


489

Las soluciones se encuentran en el tercer y cuarto cuadrantes. Si el ángulo de referencia es a , entonces u = 180° + a o « = 360° - a . a = sen~'0.609 = 37.571°

Á ngulo d e referencia

u = 180° + 37.571° = 217.517°

Solución e n el te rc e r c u a d ra n te

u = 360° - 37.571° = 322.429°

Solución e n el c u a rto c u a d ra n te

sen 217.517° = —0.609


Paso 4.

sen 322.429° = —0.610

Ahora despeje para 8: u = 217.517° 26 - 5 = 217.517°

u = 322.429° 20 - 5 = 322.429°

0 = 1 !1.25ya

0 = 163.715®

Se deja al lector una com probación final en la ecuación original.

Problema

:io

Encuentre 8, m edido en grados, con tres cifras decim ales de m anera que 8 tan (60 + 15) = -6 4 .3 2 8

- 9 0 ° < 60 + 15 < 90°

Soluciones exactas mediante identidades y factorización Encuentre las soluciones exactas para sen2 x = j sen 2x, 0 ^ x ^ 2 tt. Solución

La solución siguiente sólo incluye los pasos clave. Trace las gráficas que sean adecua das en una hoja de papel. sen2* — i2.sen2x

Use la id e n tid a d d e á n g u lo d o b le .

~ 5( j(2 senx eos x) sen x —sen x eos x = 0

a- - ob

sen x(se.nx - eos x) = 0

o(o b) = 0 sólo si a = 0 o a - b = 0

se n x = 0 x - 0, tí

o

o(a - b)

senx — eos x = 0 sen x — eos x senx co sx tan x = 1 Ti 5 Ti

X ~ 4 ’1T

490

6


C om binando las soluciones de am bas ecuaciones, se tiene el conjunto com pleto de soluciones:

Encuentre las soluciones exactas para sen 2x = sen x, 0 < x < 2tr.

Soluciones aproxim adas mediante identidades y la fórm ula cuadrática Resuelva eos 2x = 4 eos x - 2 para toda x real. Calcule las funciones inversas con cuatro cifras decim ales. So lu ció n

Paso 1.

D espeje eos x. eos 2x = 4 eos x — 2

Use una id e n tid ad de do b le á n g u lo .

2 eos2 x — 1 = 4 eos x — 2 2 cos¿ x — 4 eos x + 1 = 0

eos x =

H aga una e c u a c ió n c u ad rática en eos x. El lad o izq u ierd o no se facto riza usando co eficien tes en tero s. Resuelva m ed ian te la fó rm u la c u a d rá tic a .

4 ± V 16 - 4(2) (1) 2(2)

= 1.707107 o 0.292893

Paso 2.

R esuelva cada ecuación en un perío d o [0. 2 tt): Trace una gráfica de y = eos x, y = 1.707107, y y = 0.292893 en el m ism o sistem a coordenado para ayudar a escribir todas las soluciones en un periodo (figura 4). R esuelva la prim era ecuación: cosx

=

1.707107

N o existe so lu ció n , ya q u e

- 1 :s eos x ^ 1

R esuelva la segunda ecuación: eos x = 0.292893 La figura 4 indica una solución en el prim er cuadrante y otra en el cuarto cuadrante. Si el ángulo de referencia es a , entonces x = a o x = 2 ir - a . a = eos" 1 0.292893 = 1.2735 2 tt - a = 2tt - 1.2735 = 5.0096 C o m p ro b a c ió n

eos 1.2735 = 0.292936

eos 5.0096 = 0.292854

6-5


Escriba una expresión para todas las soluciones. C om o la función coseno es periódica con el periodo 2tr, todas las soluciones están dadas por

a =

I

1 .2 7 3 5 + 2A-TT

I 5 .l> 0 % +


* S olu ción d e e c u a c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s ¡m edíante d isp o sitiv o s d e g ra fic a ció n

EJEMPLO 6

Resuelva eos 2x = 2(sen x cuatro cifras decim ales.

2 /cts

,

k es c u a lq u ie r e n te ro

1) para toda * real. Calcule las funciones inversas con

Todas las ecuaciones trigonom étricas que se han resuelto con m étodos algebraicos, pueden tam bién resolverse, aunque a m enudo no de m anera exacta, con m étodos donde se utilizan dispositivos de graficación. A dem ás, existen m uchas ecuaciones trigono m étricas que se pueden resolver (con el grado de exactitud decim al deseado) m ediante m étodos con dispositivos de graficación, pero no se pueden resolver en una secuencia finita de pasos usando m étodos algebraicos. Los ejem plos del 6 al 8 lo dem uestran.

Solución mediante un dispositivo de graficación Encuentre todas las soluciones reales hasta con cuatro cifras decim ales para 2 eos 2x = 1.35.x- 2 .

Solución

E sta ecuación trigonom étrica relativam ente sim ple no se puede resolver usando un nú m ero finito de pasos algebraicos (¡inténtelo!). Sin em bargo, se puede resolver fácil m ente con la exactitud deseada m ediante un dispositivo de graficación. G rafique vi = 2 eos 2 x y y 2 = 1,35.x - 2 en la m ism a ventana de visión, y encuentre cualquier punto de intersección usando una rutina preconstruida. E l prim er punto de intersección se m uestra en la figura 5. Parece que hay m ás de un punto de intersección, pero cuando se hace un acercam iento a la parte de la gráfica que se está analizando, se m uestra que las dos gráficas no se intersectan en esa región (figura 6). La única solución es x = 0.9639


Lado izquierdo: 2 eos 2(0.9639) = - 0 .6 9 8 9 Lado derecho: 1.35(0.9639) - 2 = -0 .6 9 8 7 3

E ncuentre todas las soluciones reales con cuatro cifras decim ales para sen x!2 = 0.2x - 0.5.

492

6


EJEMPLO 7

Aplicación geométrica Se tiene un arco de 10 centím etros sobre un círculo que tiene una cuerda de 8 centím e tros. ¿Cuál es el radio del círculo, con cuatro cifras decim ales? ¿Cuál es la m edida en radianes del ángulo central subtendido por el arco, con cuatro cifras decim ales?

Solución

Trace una figura con rectas auxiliares (figura 7). De la figura, 6 en radianes es

«0 = — 5

4 sen 0« = — R

y

R

Así, 5 4 sen — = — R R y el problem a es resolver esta ecuación trigonom étrica para R. Con m étodos algebraicos no se despeja /?, así es que vuelva al uso de un dispositivo de graficación. Com ience por g ra fic a ry l = sen (5/x) y y l = 4.6r en la m ism a ventana de visión para 1 ^ ,v ^ 10 y —2 < y < 2 (fig u ra 8 ). Parece que la gráfica intersecta x entre 4 y 5. Para obtener una visión m ás clara del punto de intersección, se cam bian las dim ensiones de la ventana a 4 < .v < 5 y 0.5 ^ y ^ 1.5 y se usa una rutina preconstruida para encontrar el punto de intersección (figura 9).

FIGURA 7

i.s

10

Intersection

X=H.H£0S65S Y=.90HBB£07 0.5

FIGURA 9

FSGURA 8

En la figura 9, se ve que R = 4.4205 cen tím etro s


5 5 s e n — = sen — —— = 0.9049 R 4.4205

R

4 4 — = , = 0.9049 4.4205

Si se tiene R, se puede calcular la m edida en radianes del ángulo central subtendido por el arco de 10 centím etros: Á ngulo ce n tra l

10

10

R

4.4205

2.2622 ra d ia n e s

Se tiene un arco de 8.2456 pulgadas sobre un círculo que tiene una cuerda de 6.0344 pulgadas. ¿C uál es el radio del círculo, con cuatro cifras decim ales? ¿Cuál es la m edida del ángulo central, con cuatro cifras decim ales, subtendido por el arco?

6-5

EJEM


493

Solución mediante un dispositivo de graficación Encuentre todas las soluciones reales, con cuatro cifras decim ales, para tan (x/2) = 1 x. —TT < X < 3Tr.

Solución

G rafique y l = tan (x/2) y y2 = 1/x en la m ism a ventana de visión para —tt < x < 3 ~ (figura 10). Las soluciones son los puntos de intersección. 2

FIGURA 10

k

- /J \( -2

U tilizando una rutina preconstruida, se encuentra que las tres soluciones son .v = -1 .3 0 6 5 . 1.3065. 6.5846 Se deja al lector la com probación de estas soluciones.

P ro b le m a s e le c c io n a d !

Encuentre todas las soluciones reales, con cuatro cifras decim ales, para 0.25 tan (x/2) = ln x , 0 < x < 4 tt.

R esolver desigualdades trigonom étricas m ediante un dispositivo de graficación es tan fácil com o re so lv e r ecu acio n es trig o n o m étrica s m ed ian te un d ispositivo de graficación. El ejem plo 9 ilustra el proceso.

EJEMPLC

Solución de una desigualdad trigonométrica Resuelva s e n x - c o s x < 0.25x - 0.5 con una exactitud de dos cifras decim ales.

Solución

G ra fiq u e y \ = se n x — e o s x y y 2 = 0.25x — 0.5 en la m ism a ventana de visión (fig u ra 11).

i FIGURA

494

6


Al encontrar los tres puntos de intersección mediante una rutina preconstruida, se ob serva que la gráfica de vi está debajo de la gráfica de v2 sobre los dos intervalos siguientes: ( —1.65, 0.52) y (3.63, °°). En consecuencia, el conjunto solución para la desigualdad es ( —1.65, 0.52) U (3.63, =°).

Resuelva eos x - sen x > 0.4 - 0.3.v con una exactitud de dos cifras decimales.

/

/


¿Cuántas soluciones tiene la ecuación siguiente? 1 = n0 sen — X

( 1)

G ra fiq u e y l = sen ( 1/x) y y2 = 0 para cada uno de los intervalos indicados en los incisos (A) a (G). A partir de cada gráfica, estim e el núm ero de soluciones que parece tener la ecuación (1). ¿Qué conjetura final podría usted establecer respecto al núm ero de soluciones de la ecuación (1)? Explique. (A) [ - 2 0 , 20]; ¿puede 0 ser una solución? Explique. (B) [ - 2 , 2 ]

(C) [ —1, 1]

(F) [ - 0 .0 0 1 ,0 .0 0 1 ]

(D) [ - 0 .1 , 0.1]

(E) [ - 0 .0 1 ,0 .0 1 ]

(G) [-0 .0 0 0 1 ,0 .0 0 0 1 ]

R espuestas a los p ro b le m a s se lec cio n a d o s

0 + 2£tt ir +

2 £ir

7ir/6 + 2kv

k es cualquier entero

.11nrr/6 + 2&it 1.8235 + 2k-n k es cualquier entero 4.4597 + Zkn 16.318° 4. x = 0 , i r / 3 , 7 r, 5 i t / 3 0.9665 + 2kn k es cualquier entero 2.1751 + 2 k v x = 5.1609 7. R = 3.1103 pulg; ángulo central = 2.6511 rad x = 1.1828, 2.6369, 9.2004 9. (-1 .6 7 , 0.64) U (3.46, =)

EJERCICIO

6-5 4. 2 eos x + l = 0, para todax real

En los problemas del 1 al 12, encuentre las soluciones exactas sobre los inter\>alos indicados, x es un número real >’ 0 está en grados. '

tan x + V 3 = 0 0 s x < rr V 3 tan x + 1 = 0,0 £ x < tt

1. 2senx + 1 = 0,0 s x < 2-rr

7. tan x + V 3 = 0, para todax real

2. 2 eos X 4- 1 = 0,0 £ x: < 2ir

8. V 3 tanx + 1 = 0, para todax real

3. 2senx + 1 = 0 , para todax real

9. 2 eos 9 - V 3 = 0, 0° s 0 < 360°

6-5


495

10. V 2 sen0 - 1 = 0 ,0 ° < 0 < 360°

39. 2scnx = eos 2x, 0 ^ x < 2 tt

11. 2 eos 0 - V 3 = 0, para toda 0

40. eos 2x + 10 eos x = 5, 0 s x < 2ir

12. V 2 sen 0 — 1 = 0, para toda 0

Resuelva los problemas 4 / y 42 para todas las soluciones rea les. Calcule las funciones inversas con cuatro dígitos signifi cativos.

Resuelva los problemas del 13 al 18 con cuatro cifras decima les (6 está en grados, x es real). 13. 7 eos x —3 := 0, 0 s x <

2 tt

14. 5 eos x —2 := 0, 0

2 tt

S

x

<

41. 2sen2x = 1 - 2 senx 42. eos2x = 3 —5 eos x Resuelva los problemas del 43 al 52 con cuatro cifras decima les mediante un dispositivo de graficación.

15. 2 tan 0 —7 == O , O ° < 0 < 180° 16. 4 tan 0 + 15 = O , O ° < 0 < 180°

43. 2 sen x = eos 2x, 0 £ x < 2tt

17. 1.3224scnx + 0.4732 = 0, para toda x real

44. eos 2x + 10 eos x = 5,0 < x < 2 ir

18. 5.0118senx - 3.1105 = 0, para toda x real

45. 2sen2 x = 1 - 2 senx, para toda x real

Resuelva los problemas del 19 al 22 con cuatro cifras decima les usando un dispositivo de graficación.

46. cos2x = 3 —5 eos x, para todax real 47. eos 2x > x2 —2, para toda x real

19. 1 —x = 2 sin x, para toda x real

48. 2sen (x — 2) < 3 - x2, para toda x real

20. 2x —eos x = 0, para toda x real

49. eos (2x + 1) £ 0.5x —2, para toda x real

21. tan (x/2) = 8 - x , 0 = £ x < t t

50. sen(3 - 2x) 2: 1 —0.4x, para todax real

22. tan 2x = 1 + 3x, O á j < -ít/4

51. e“ 1'-' = 2x — 1, para toda x real 52.

= 3 —x, para toda x real

B ____________________________________________

Explique la diferencia entre evaluar tan' 1 (-5 .3 7 7 ) y re suelva la ecuación tan x = —5.377.

En los problemas del 23 al 34, encuentre todas las soluciones exactas para toda x real y d en grados.

Explique la diferencia entre evaluar eos-1 (—0.7334) y re suelva la ecuación eos x = —0.7334.

c ______________________

23. 2sen2 0 + sen 20 = 0, para toda 0 24. eos2 0 = j sen 29, para toda 0

Encuentre las soluciones exactas en los problemas del 55 al 58. [Sugerencia: Eleve al cuadrado ambos lados en un punto adecuado, después despeje y al final, elimine las soluciones extrañas.]

25. tan x = —2sen x, 0 < x < 2ir 26. eos x = cot x. 0 s . ( < 2tt t i . sec (x/2) + 2 = 0, 0 < x < 2ir 28. tan (x/2) — 1 = 0, 0 £ x < 2tt

55. c o s x —senx = l , 0 ^ x < 2 - i r

29. 2 eos2 0 + 3 sen 0 = 0 ,0o < 0 < 360°

56. senx + eos x = 1,0 s x < 2-rr

30. sen2 0 + 2 eos 0 = - 2 . 0o == 0 < 360°

57. tan x —sec x = 1, 0 ^ x < 2ir

31. eos 29 + eos 0 = 0, 0o < 0 < 360°

58. sec x + tan x = 1, 0 £ x < 2tt

32. eos 20 +sen2 0 = 0. 0o < 0 < 360°

^

Resuelva los problemas 59 y 60 con cuatro dígitos significati vos mediante un dispositivo de graficación.

33. 2sen2 (x/2) - 3 sen (x/2) + 1 = 0 ,0 < x < 2it 59. sen (1/x) = 1.5 - 5x, 0.04 < x < 0.2

34. 4 eos2 2x —4 eos 2x + 1 = 0, 0 < x < 2 -rr Resuelva los problemas del 35 al 40, x es real y 9 está en gra dos. Calcule las funciones inversas con cuatro dígitos signifi cativos. 35. 6sen2 0 + 5 sen 0 = 6. 0o < 0 s 90° 36. 4 eos2 0 = 7 eos 0 + 2 ,0o < 0 < 180° 37. 3 eos2 x — 8 eos x = 3 , 0 S j 0.

12

(A) Explore la gráfica de/para diferentes intervalos [0.1. b\ para algunos valores de b. b > 0.1. ¿Tiene la función / una raíz más grande? Si es asi, ¿cuál es (con cuatro cifras decimales)? Explique qué sucede con la gráfica de/conform e x aumenta sin límite. ¿Tiene la gráfi ca una asíntota? Sí es así, ¿cuál es su ecuación?

496

6


(13) Explore la gráfica d e /p a ra diferentes intervalos (0, 6] para algunos valores de b, 0 0, aunque sean pequeñas? Explique por qué sucede esto. ¿Tiene /u n a raiz positiva más pequeña? Explique. Se quiere encontrar las raíces de la función g(x) = eos (l á ) para .v > 0. (A) Explore la gráfica de g para diferentes intervalos [0.1, h] para algunos valores de b, b > 0.1. ¿La función g tiene la raíz más grande? Si es así, ¿cuál es (con cuatro cifras decimales)? Explique que sucede con la gráfica de g conforme x aumenta sin límite. ¿Tiene la gráfi ca una asíntota? Si es así, ¿cuál es su ecuación? (B) Explore la gráfica de g para diferentes intervalos (0, Z?] para algunos valores de b, 0 0, aunque sea pequeña? Explique por qué sucede esto. ¿Tiene g una raíz positiva más pequeña? Explique.

APLICACIONES

66. Óptica. Refiérase al problema 65. Encuentre el ángulo 0 positivo más pequeño de manera que la luz que sale del filtro sea el 70% de la que entra. 67. Astronomía. L1 planeta Mercurio viaja alrededor del Sol en una órbita elíptica dada aproximadamente por 3.44 x 1(>7 1 - 0.206 eos 8 (véase la figura). Encuentre el ángulo 0 positivo más pe queño (en grados decimales con tres dígitos significati vos) de manera tal que Mercurio esté a 3.09 X 107 millas del Sol.

™

63. Corriente eléctrica. Un generador de corriente eléctrica produce una corriente dada por la ecuación I = 30 sen 120-it/ donde t es el tiempo en segundos e / es la corriente en amperes. Encuentre el tiempo t positivo más pequeño (con cuatro dígitos significativos) de manera que / - - 1 0 amperes. 64. Corriente eléctrica. Remítase al problema 63. Encuentre el tiempo t positivo más pequeño (con cuatro dígitos signi ficativos) de manera que / = 25 amperes. 65. Óptica. Un filtro polarizador de una cámara fotográfica contiene dos placas paralelas de vidrio polarizado: uno es fijo y la otra puede girar. Si 6 es el ángulo de rotación desde la posición de máxima transmisión de luz, entonces la intensidad de la luz que sale del filtro es eos2 0 veces la intensidad / de la luz que entra al filtro (véase la figura).

68. Astronomía. Refiérase al problema 67. Encuentre el án gulo 0 positivo más pequeño (en grados decimales con tres dígitos significativos) de manera que Mercurio esté a 3.78 X I O7 millas del Sol. 69. Geometría. El área del segmento de un círculo en la figu ra está dado por .4 = \R 2 (9 - sen 0)

donde 0 está medido en radianes. Use un dispositivo de grafieación para encontrar la medida en radianes, hasta con tres cifras decimales, del ángulo 0 si el radio es de 8 pulga das y el área del segmento es de 48 pulgadas cuadradas.

Filtro polarizador (esquem ático)

W: 70. Geometría. Repita el problema 69 si el radio es de 10 cen tímetros y el área del segmento tiene 40 centímetros cua drados. / eos2

9

Encuentreel ángulo 0 más pequeño (en grados decimales con doscifrasdecimales) de manera que laintensidad de la luz que sale del filtro sea el 40% de la que entra.

71. Cirugía de ojos. Una técnica de cirugía para corregir el astigmatismo implica remover pequeñas partes de tejido para cambiar la curvatura de la córnea.* En la sección trans*Basado en el artículo "La corrección quirúrgica del astigmatismo”, por Sheldon Rothmany Helen Strassberg, UMAP Journal, vol. V; núm. 2,1984.


versal de la córnea que se muestra en la figura, el arco circular, con radio R y el ángulo central 20, representa una sección transversal de la superficie de la córnea.

497

hacia dentro haciéndola más plana, aun de forma circular. Con la ayuda de un dispositivo de graficación en parte de la solución, aproxime b con cuatro cifras decimales si a se aumenta a 5.5 milímetros y L permanece igual que en el inciso (A). r Geometría analítica. Encuentre las soluciones simultáneas 1 para cada sistema de ecuaciones en los problemas 73 y 74 (0o S O S 360°). Estas ecuaciones son polares, y se analizarán en el capítulo siguiente. * 73. r = 2 sen 0 r = sen 20

Córnea

+ 74. r = 2 sen 0 r = 2(1 — sen 0)

(A) Si a = 5.5 milímetros y b = 2.5 milímetros, encuentre la L correcta con cuatro cifras decimales. (B) Al reducir la longimd de la cuerda a 2a sin cambiar la longimd L del arco, tiene un efecto de empuje de la córnea hacia afuera redondeándola. Con la ayuda de un dispositivo de graficación en parte de la solución, aproxime b con cuatro cifras decimales si a se redu ce a 5.4 milímetros y L permanece igual que en el inciso (A). 72. Cirugía de ojos. Refiérase al problema 71. (A) Si en la figura a = 5.4 milímetros y b = 2.4 milí metros, encuentre la L correcta con cuatro cifras decimales. (B) Aumentar la longitud de la cuerda sin cambiar la longitud L del arco, tiene un efecto de jalar la córnea

ACTIVIDADES EN CRUPO DEL CAPÍTULO 6

f Los problemas 75 y 76 están relacionados con la rotación de los ejes en geometría analítica. **75. Geometría analítica. Dada la ecuación Ixy = 1, reempla ce x y con x — u eos 0 —v sen 9 y = «sen 0 + v eos 0 y simplifique el lado izquierdo de la ecuación resultante. Encuentre el ángulo 0 positivo más pequeño medido en grados de manera que el coeficiente del término uv sea 0. * 76. Geometría analítica. Repita el problema 75 para.vy= —2.

Desde M sen Bt + N eos Bt hasta A sen (Bf + C), una herramienta de análisis armónico

Al resolver cierta clase de problem as m atem áticos avanzados (problem as que tienen que ver con circuitos eléctri cos, sistem as de m asa-resorte, flujo de calor, etcétera), el proceso de solución conduce de m anera natural a una función de la form a y = M sen B t + N eos B t

(1)

La investigación siguiente m ostrará que el fenóm eno que conduce a este tipo de ecuación son las arm ónicas sim ples y se puede representar p o r u n a ecuación de la form a y = A sen (B t + Q (A)

D ispositivo de graficación para exploración. U se un dispositivo de graficación para explorar la natura leza de la g ráfica de la ecuación (1) para algunos valores de M , N y B. ¿La gráfica parece ser arm ónica sim ple; es decir, parece ser la gráfica de una ecuación de la form a y = A sen (Bt + Q ?

498

6


La g ráfica d e y = 2 sen ( tt/) — 3 eos (irt), que es típica de varias gráficas de la ecuación (1), se m uestra en la figura 1. El resultado es que la g ráfica de ésta tam bién se puede obtener de una ecuación de la forma y = A sen (B t + C)

(2)

para valores adecuados de A , B y C. F IG U 3 A 1

y = 2 sen (nt) - 3 eos ( nt ).

A

El problem a ahora es: D ados M , N y B en la ecuación (1), e n c u e n tre ^ , B y C en la ecuación (2), de m anera que ésta produzca la m ism a gráfica que la anterior. Esto últim o se prefiere sobre lo prim ero, ya que de (2) se puede fácilm ente leer la am plitud, periodo y corrim iento de fase, y reconocer un fenóm eno com o arm ónico simple. El proceso para encontrar A, B y C, dados M , N y B, requiere un poco de ingenuidad y el uso de la identidad de la sum a sen (x + >•) = sen x eos y + eos x sen y

(3)

¿C óm o se procede? Se com ienza p o r tratar de obtener el lado derecho de la ecuación (1) para que se parezca al lado derecho de la identidad (3). D espués se usa (3), de derecha a izquierda, para obtener (2).

(B) Estableciendo una identidad de transformación. D em uestre que y = M sen B t + N eos Bt = V m 2 + N 2 sen (B t + C)

(4)

donde C es cualquier ángulo (en radianes si t es real) que tiene P (M , N) sobre su lado term inal. Sugerencia: Un prim er paso es el siguiente: V m 2+ N2 M sen B t + N eos B t = — . (M sen B t + N eos Bt) V M 2 + N2

(C) Uso de la identidad de transformación. U se la ecuación (4) para transform ar y 1 - - 4 sen — + 3 eos —

2

2

en la fo rm ay 2 = A sen (B t + Q , donde se escoge C de m anera que |C| sea m ínim a. Calcule C hasta con tres cifras decim ales. A partir de la nueva ecuación, determ ine la am plitud, periodo y corrim iento de fase.

(D) Visualización y verificación del dispositivo de graficación. G rafique y 1 y y2 de la parte C en la m ism a ventana de visión.

(E) Aplicación física.

Se suspende un peso de un resorte, con una constante del resorte de 64, se jala 4 centím etros po r debajo de su posición de equilibrio y después se le da un em puje hacia abajo para producir una velocidad inicial hacia abajo de 24 centím etros por segundo. En m atem áticas m ás avanzadas (ecuaciones diferenciales) se encuentra que la ecuación de m ovim iento (despreciando la resistencia del aire y la fric ción) está dada de m anera aproxim ada por y l = —3 sen 8í — 4 eos 8/


donde y l es la posición del peso en la parte inferior de la escala en la figura 2 , en un tiempo t (y está en centíme tros y t en segundos). Transforme la ecuación en la forma y2 = A sen (Bt + C)

e indique la amplitud, periodo y corrimiento de fase del movimiento. Escoja el mínimo positivo Cy mantenga^ positivo. Sistema masa-resorte.

(F) Visualización y verificación en un dispositivo de graficación. La gráfica de>T y y l del inciso (E) en la misma ventana de visión de un dispositivo de graficación, 0 á í < 6 . ¿Cuántas veces pasará el peso por 7 = 2 en los primeros 6 segundos? (G) Solución de una ecuación trigonométrica. ¿Cuánto tiempo, con tres cifras decimales, le tomará al peso llegar a y = 2 la primera vez?

Repaso del capítulo 6 6-11 IDENTIDADES BÁSICAS Y SU USO

Identidades para negativos Las siguientes once identidades son básicas en el proceso para cambiar expresiones trigonométricas a formas equivalentes que son más útiles:

n

n

n

B

B

a

sen

| i i-,

sec x = —

eos (-x) = eos x

Identidades pitagóricas

Identidades recíprocas

ese x = ----- — sen,

x

-

;

:

'■

sen 2 x + e o s 2 x =

U

•

; tan 2 .y +

1

.

= 1

—

Identidades de cocientes tan % = sen-v

Aun cuando no existen métodos fijos para la demostra ción que trabaja bien para todas las identidades, los siguientes pasos sugeridos son útiles en muchos casos.

500

6


Pasos sugeridos para la dem ostración de identidades 1

1. Comience con el lado más compl icado de la identidad y transfórmela en un lado más simple. 2. Intente operaciones algebraicas tales como multipli cación. factorización, combinación de fracciones y fracciones separables. 3. Si los otros pasos fallan, exprese cada función en tér minos de las funciones seno y coseno, y después rea lice operaciones algebraicas adecuadas. 4. En cada paso, tenga en cuenta el otro lado de la iden tidad. Esto a menudo revela lo que usted debe hacer para llegar ahí.

Identidades de suma

eos 2x = eos2x — sen2x = I —2 sen2x = eos2x — 1 !

2 tanx 2 cotx 2 tan 2x = -------------- = -------t--------= -----------------1- tan2 .v cot2x — 1 cot x — tan x

Identidades de ángulo mitad / i — eos X

X

sen

p m x eos -

,

x

,

/ 1 + cosx

2

tan-

2

I 1 — eos x V 1 + eos x

sen x 1 + eos x

l — eos x sen x

Identidades de producto-suma

sen (x + y) = sen x eos y -1- eos x sen y eos (x + y) = eos x eos y — sen x sen y , , , tanx + tany tan (x + y) = ------------------¿— 1—tan x tan y

Identidades de diferencia sen (x - y) = sen x eos y — eos x sen y eos (x —y) — eos x eos y + sen x sen y tan (x —y) =

tan x — tan y 1 + tan x tan y

sen x eos y =

j [sen(x + y) + sen (x —y)]

eos x sen y =

¡ [sen(x + y) - sen (x —y)]

sen x sen y =

[eos(x —y) — eos (x + y)]

eos x eos y =

¿ [eos(x + y) + eos (x - y)]

Identidades de suma-producto . x+y x - y sen x + sen v = 2 se n ------ e o s---------- - 2

2

. x+y x —y sen x — sen y = 2 eo s------ — sen ------ ™ 2

Identidades de cofunción (Reemplace ir/2 con 90° sí x está en grados.) eos |

- x j - sen x

sen í

- x ) = eos x

2

. x+ y x - y eos x + eos y = 2 eos------ — eo s-----2 2 . x+y x —y eosx — cosy — —2 sen ------ — sen ------ — 2

2

TT

Identidades de ángulo doble sen 2x = 2 sen x eos x

En las primeras cuatro secciones del capítulo, se consideraron ecuaciones trigonométricas llamadas identidades. Las identi dades son verdaderas para todos los reemplazos de la(s) variablc(s) para las cuales ambos lados están definidos. Esta sección considera ecuaciones condicionales, que son verda deras para algunos reemplazos de variables pero son falsas para otros reemplazos de variables para las cuales ambos lados es-

SOI


tán definidos. La ecuación sen x = eos x es una ecuación con dicional. En la resolución de una ecuación trigonom étrica me diante un procedimiento trigonométrico, ninguna regla en particular le conducirá a todas las soluciones de cada ecuación trigonométrica que usted quiera encontrar. Resolver ecuaciones trigonométricas de manera algebraica a menudo requiere del uso de manipulación algebraica, identidades e ingenuidad.

de ecuaciones trigonométrica de m anera algebraica

mm (a) Considere el uso de manipulación algebraica tai como factorización, combinación o separación de 11

Con la solución de una ecuación trigonométrica me diante un procedimiento en un dispositivo de graficación se pueden resolver mayor variedad de problemas que con el procedimiento algebraico. Las soluciones son generalmente aproximaciones (con cualquier exactitud decimal deseada). En algunos casos las soluciones exactas se pueden encontrar por medio de un procedimiento algebraico.

Ejercicio de repaso del capítulo 6 Después de resolver todos los problemas de este capitulo, re vise y compruebe las soluciones que se encuentran al final. Ahi están todas las respuestas a los problemas de repaso, ex cepto ¡as comprobaciones; en seguida está un número en tipo itálico que indica de qué sección es el problema analizado. Si se le presentan dudas, revise la sección correspondiente en el texto.

A _________

'___________________________

Demuestre cada identidad en ¡os problemas del 1 al 4. 1. tan x + cot x = sec x ese x 2. sec4 x —2 sec2x tan2 x + tan4 x = 1

Resuelva los problem as del 10 al 13 con cuatro cifras decimales(0 está en grados, x es real). 10. sen x = 0.7088, para toda x real 11. eos 0 = 0.2557, para toda 0 12. cot x = —0.1692, —tt/2 < x <

tt/2

13. 3 tan (11 - 3x) = 23.46, -

< 11 - 3x <

it/2

tt/2

14. Use un dispositivo de graficación para probar si cada una de las siguientes expresiones es una identidad. Si la ecua ción parece ser una identidad, demuéstrela. Si no lo pare ce. encuentre un valor de x para la que ambos lados están definidos pero no son iguales. (A) (senx + eos x)2 = 1 —2 senx eos x (B) eos2 x -s e n 2x = 1 — 2sen2 x

3. ---- ------- i------ ----- = 2 sec2x

I -sen x

1 -i-senx

4. eos Il x — — j = —senx 5. Escriba como una suma: sen 5a eos 3a.

Demuestre cada identidad en los problemas del 15 al 23.

6. Escriba como producto: eos 7x — eos 5x. 7. Simplifique: sen |x + — j

1 —2 eos x — 3 eos2 x 1 — 3 eos x 15. -------------- ;------- -------- -------------sen- x I - cosx 16. (I —cosx)(cscx + cotx) = sen x

Resuelva de manera exacta los problemas 8 y 9 (6 está en gra dos, x es real). 8. V T e o s 0 + 1 = 0, para todo 0 9. sen x tan x — sen x = 0, para toda x real

1 + scn x cosx 17. ----------- —-----------eos x 1 —sen x 1 — tan2x 18. eos 2x = ----------— 1+ tan x

502

x 19. cot 2

6


sen x 1 —eos x

20. cot x■— tan x =

encuentre un valor de x para el que ambos lados estén de finidos pero no sean iguales. tanx 1 sen x + 2 tan x eos x - 2 tan x______1 (B) senx —2 tanx cosx —2

4 eos2 x — 2 sen 2x

(A)

f 1 —co tx \ 2 21. | ----------- | 1 —sen2x 22. tan m + tan n

sen (m + n) eos m eos n

23. tan (x + y) =

cot x + cot y cot x cot y - 1

^

Evalúe de manera exacta los problemas 24 y 25 mediante las identidades pertinentes de suma-producto o de producto-suma.

41. Use una identidad de suma o diferencia para convertir^ = eos (x — tt/3) a una forma que implique sen x y/o eos x. Introduzca como y] la ecuación original a un dispositivo de graficación, la forma convertida como y2, y grafique >i y y2 en la misma ventana de visión. Use la función TRACE para comparar las dos gráficas. 42. (A) Resuelva de manera exacta tan (x/2) = 2 sen x, 0 £ x < 2 t í , mediante métodos algebraicos.

24. eos 195° sen 75°

(B) Resuelva tan (x/2) = 2 senx, 0 £ x < 2tt, con cuatro cifras decimales, usando un dispositivo de graficación.

25. eos 195° + eos 105°

43. Resuelva 3 eos (x — 1) = 2 —x2, para todax real, con tres cifras decimales, usando un dispositivo de graficación.

Resuelva de manera exacta los problemas del 26 al 30 (Q está en grados, x es real). 26. 4sen2jr —3 = 0,0 < x < 2ir 27. 2sen2 0 + eos 0 = 1,0o £ 0 £ 180°

Resuelva de manera exacta los problemas del 44 al 46, sin usar calculadora.

28. 2sen2x —sén x = 0, para toda x real 29. sen 2x = V3sen x, para toda x real

44. Dada tan x = —5 , n/2 ^ x ^ tí, encuentre:

30. 2sen2 0 + 5 eos 0 + 1 = 0, all 0

(A) sen(x/2) Resuelva los problemas del 31 al 33 con cuatro dígitos signifi cativos (6 está en grados, x es real).

45. sen [2 tan- ' (—|)] 46. sen (sen-1 § + eos-1 5)

31. tan 0 = 0.2557, para toda 0

47. (A) Resuelva eos2 2x = eos 2x + sen2 2x, 0 s x < t í , de manera exacta, mediante métodos algebraicos. (B) Resuelva eos2 2x = eos 2x + sen2 2x, 0 s x < t í , con cuatro cifras decimales usando un dispositivo de graficación.

32. sen2x + 2 = 4 senx, para todax real 33. tan2x = 2 tan x + 1, 0 £ x < it ^

Resuelva los problemas del 34 al 37 con cuatro cifras decima les mediante un dispositivo de graficación. 34. 3 sen 2x = 2x — 2.5, para toda x real 35. 3 sen 2x> 2x — 2.5, para todax real 36. 2sen2x - eos 2x = 1 - x2, para toda x real 37. 2sen2 x —eos 2x < 1 —x2, para toda x real 38. Dada la ecuación tan (x + y) = tan x + tan y (A) ¿Es x = 0 y y = ir/4 una solución? (B) ¿Es la ecuación una identidad o una ecuación condicional? Explique. Explique la diferencia entre evaluar sen-1 0.3351 y la so lución de la ecuación senx = 0.3351.

^

40. Use un dispositivo de graficación para probar si cada una de las siguientes expresiones es una identidad. Si una ecua ción parece ser una identidad, verifíquela. Si no lo parece,

(B) eos 2x

Se quiere encontrar las raíces de

/

/(x) =sen

1 x- 1

para x > 0

(A) Explore la gráfica de/ para diferentes intervalos [a, 6] para diversos valores de a y b, 0 < a < b. ¿La función/tiene la raíz más pequeña? Si es así, ¿cuál es (con cuatro cifras decimales)? ¿La función tiene la raíz más grande? Si es así cuál es (con cuatro cifras decimales)? (B) Explique qué sucede con la gráfica conforme x au menta sin límite. ¿Tiene la gráfica una asíntota? Si es así, ¿cuál es su ecuación? (C) Explore la gráfica de/ para intervalos cada vez más pequeños que contienen x = 1. ¿Cuántas raíces existen en cualquier intervalo que contiene x = 1? ¿Es x = 1 una raíz? Explique.

Ejercido de repaso del capítulo 6

503

(A) Demuestre que •APLICACIONES

^

0.6 eos 184-jrí —0.6 eos 208ití = 1.2sen 12-77?sen 196-irr

■*9. Medición indirecta. Encuentre el valor exacto de ,t en la ^ figura; después encuentre .t y 0 con tres cifras decima les. [Sugerencia: use una identidad adecuada que implique tan 20.]

(B) Grafique cada una de las ecuaciones siguientes en una diferente ventana de visión para 0 s / < 0.2. y = 0.6 eos 184 ití y — - 0.6 eos 208-77? y = 0.6 eos 184-7TÍ — 0.6 eos 208-rrr y — 1.2 sen 12-ití sen 196-nr

cm

cm

^

52. Ingeniería. Se tiene un puente con un arco circular con una longitud de arco de 36 pies y salva un claro del canal de 32 pies (véase la figura). Determine, con tres cifras de cimales, la altura y el radio del arco circular por arriba del agua en el centro del puente. Comience por dibujar rectas auxiliares en la figura, marcando las partes adecuadas, después explique cómo la siguiente ecuación trigono métrica sen 0 = 1 0

50. Corriente eléctrica. Un generador de corriente alterna produce una corriente dada por la ecuación / = 50 sen 120-ir (t - 0.001) donde t es el tiempo en segundos, e / es la corriente en amperes. Encuentre el valor de t positivo más pequeño, con tres dígitos significativos, de manera que / = 4 0 amperes. 51. Frecuencias de música e interferencia. v = 0 . 6 eos 1 8 4 ttí y y = - 0 . 6 eos 2 0 8 tt/ son ecuaciones de ondas sonoras con frecuencias de 9 2 y 1 0 4 hertz, respectivamente. Si se emiten ambos sonidos de manera simultánea, se tendrá una frecuencia de interferencia.

se relaciona con el problema. Resuelva en seguida la ecua ción trigonométrica para 0; el radio es fácil de encontrar y la altura del arco por arriba del agua se puede deducir con un poco de ingenuidad.

¿Efe!

7-1

Ley de los senos

7-2 Ley de los cosenos 7-3 Vectores geométricos 7-4 Vectores algebraicos 7-5 Coordenadas polares y gráficas 7-6 Números complejos en formas rectangulares y polares 7-7 El teorema de De Moivre /

Actividades en grupo del capítulo 7: Secciones cónicas y órbitas planetarias Repaso del capítulo 7

f(x)=l3x + 41 + 1 llwWI

506

7 Temas adicionales en la trigonometría

En este capítulo se consideran varios temas adicionales de trigonometría. Prime ro, se regresa al problema de resolver triángulos, pero ahora no sólo de triángulos rectángulos sino de cualquier tipo. Después se usan algunas de estas ideas para desarrollar el importante concepto de vector. Una vez adquirido el conocimiento de la trigonometría, es posible introducir el estudio del sistema de coordenadas polares , probablemente el sistema coordenado más importante después del siste ma coordenado rectangular. En seguida se consideran las ecuaciones polares y sus gráficas, los números complejos se representan en la form a polar. Una vez que un número complejo está en la forma polar, se pueden encontrar las nésimas poten cias y las n ésimas raíces del número usando un ingenioso teorema debido a De Moivre.

s e c c io n

/ -

I

Ley de los senos Deducción de la ley de los senos Solución de los casos ALA y AAL Solución del caso LLA incluyendo el caso ambiguo

La ley de los senos (desarrollada en esta sección) y la ley de los cosenos (que se desa rrollará en la siguiente) desempeñan un papel fundamental en la solución de triángulos oblicuos (triángulos sin un ángulo recto). Todo triángulo oblicuo es agudo, todos sus ángulos están entre 0o y 90°, u obtuso, un ángulo está entre 90° y 180°. La figura 1 ilustra ambos tipos de triángulos.

Triángulos oblicuos.

Triángulo a gudo Triángulo obtuso

(a) ----- —----:---- ---

TABLA 1

Triángulos y dígitos significativos Ángulo más cercano 1°

2 O d

10' 0

Dígitos significativos para la medida de un lado

3

1' 0 0.01° 4 10" 0

5

(b )

Observe cómo se marcaron los lados y los ángulos de los triángulos oblicuos de la figura 1: El lado a es el ángulo opuesto a , el lado b es el ángulo opuesto (3 y el lado c es el ángulo opuesto y. Observe también que el lado más grande de un triángulo está frente al ángulo más grande. Dando tres cantidades cualquiera de las seis que se indican en la figura 1 se busca encontrar las tres restantes, si éstas existen. Este proceso se llama solución del triángulo. En esta sección se desarrolla la ley de los senos y en la siguiente se desarrollará la ley de los cosenos. Estas dos leyes proporcionan las herramientas básicas para la solu ción de los triángulos oblicuos. Si las cantidades dadas incluyen un lado y el ángulo opuesto, se debe usar la ley de los senos; de otro modo, se inicia con la ley de los cosenos. Antes de proceder con ejemplos específicos, es importante recordar las reglas de la tabla 1 considerando la precisión de las medidas del ángulo y del lado. La tabla 1 se repite también en la cubierta del texto para una referencia fácil.

7-1

Ley de los senos

Cálculos con calculadora

lililí Hit

C uando se resuelve un cierto lado o un ángulo, se realizan todas las operaciones con calculadora y después se redondea al núm ero apropiado de dígitos significa tivos (com o se especifica en la tabla 1) al finalizar el cálculo. Su respuesta puede diferir u n poco de las que se dan enI bel libro, dependiendo del orden en que se .. VI i lí f c» l l U U « . ' s í . í S f f í n f v l h . ' H . : ................ resuelvan los lados y los ángulos.

lililí

üíisíii

La ley de los senos es relativam ente fácil de probar usando las propiedades de los trián gulos rectángulos estudiadas en la sección 5-5. Se usará tam bién el hecho de que sen (180° - x) = s e n t ía cual se obtiene fácilm ente usando una identidad de la diferencia (un ejercicio bueno para usted). R efiriéndose a los triángulos de la figura 2, se procede com o sigue: Para cada triángulo,

sen a = b

y

sen (3 = a

y

h = a sen 3

D espejando h de cada ecuación, se obtiene

(a) h - b sen a /O '

¿ V 8o‘- \ \ m 17

i“

Así,

\

fe se n a = a se n (3

H

sen a

sen 3

(1)

(b)

FIGURA 2

De m anera similar, para cada triángulo de la figura 2, m sen a = —

c

y

m sen y = sen (180° — y) = —

a

Al despejar m de cada ecuación, se obtiene m = c sen a

y

m = a sen -y

Así, csen a = aseny sena

sen y

Si se com binan las ecuaciones (1) y (2), se obtiene la ley de los senos.

(2)

508


Teorema 1

Ley de los senos

sen a a

_

sen ft _ b

sen -y

e

En palabras, la razón del seno de un ángulo con su lado opuesto es igual a la razón del seno de cualquiera de los otros ángulos con su lado opuesto. [Nota: Si las cantidades dadas incluyen un ángulo y el lado opuesto, use la ley de los senos. Si no es así, em piece con la ley de los cosenos.]

Por consiguiente, la ley de los senos se usa para resolver triángulos, dando: 1.

Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (LLA)

2.

D os ángulos y cualquier lado (A LA o AAL)

C om ience con la ley de los cosenos (sección 7-2) para resolver un triángulo dado: 3.

Tres lados (LLL)

4.

Dos lados y un ángulo (LAL)

Prim ero se aplica la ley de los senos para los casos m ás fáciles A LA y AAL, después se aborda el caso m ás difícil LLA.

e

S o íu d ó n d e los asos A L A y A A L Solución para el caso ALA R esuelva el triángulo de la figura 3.

FIGURA

Solución

Se están dando dos ángulos y el lado que los contiene, éste es el caso ALA. Encuentre el tercer ángulo, después encuentre los otros dos lados usando la ley de los senos.

7-1

Despeje -y

Ley de los senos

509

a + P + 7 = 180°

7 = 180° - (a + (3) = 180° - (28°0' + 45°20') = 106°40'

D espeje a

sen a _ sen 7 a

c c sen a a = ---------

sen 7

_ 120sen28°0' ~ sen 106°40' = 58.8 m etros

D espeje h

sen p _ sen 7 b

c _ csenp sen 7 _ 120sen45°20' sen 106°40' = 89.1 metros

R esuelva el triángulo de la figura 4.

F IG U R A

4

^13°0' c

65° 2 0 /

O bserve cóm o el caso A A L siem pre se puede convertir al caso ALA encontrando prim ero el tercer ángulo. En el caso del A LA o del AAL para determ inar un triángulo único, la sum a de los dos ángulos debe estar entre 0C y 180°, ya que la sum a de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180° y ningún ángulo puede ser cero ni negativo.

A hora se tratará el caso donde se dan dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (el caso LLA). Este caso tiene diferentes resultados posibles, dependiendo de las m edidas de los dos lados y del ángulo. La tabla 2 ilustra las diferentes posibilidades.

510


TABLA 2

a Agudo

a (h = b sen a )

Número de triángulos

0
0

Caso

Figura

(a)

<1°

» V* Agudo

a=h

_ \h

1

(b) b \a

Agudo

h < a
h a

2

(c) b^ / a h \a ^

Agudo

a > b

Caso a ambiguo

1

(d) b

a f / //

\ , \\ Obtuso

0 < a b

ct

1

(f)

/

N o es necesario aprenderse de m em oria la tabla 2. G eneralm ente, un burdo dibujo de cierta situación indicará cuál de las variaciones se aplica. El caso donde h < a < b se denom ina caso a m b ig u o , porque son siem pre posibles dos triángulos, un agudo y otro obtuso.

A nalice cuáles casos de la tabla 2 se aplican y p o r qué en el proceso de solución de un triángulo L L A con a agudo se encuentra que:

EJEMPLO ¿

Solución del caso LLA Resuelva el (los) triángulo(s) con a = 123°, b = 23 centím etros y a = 47 centím etros.

Solución

En un burdo dibujo (figura 5), se observa que sólo hay un triángulo:

R CU RA 5

sen (3 _ sen a

D espeje (3

fe

a

sen p =

b sen a

23 sen 123°

a

47

3 = sen~‘

D espeje y

23 sen 123c 47

= 24°

a + 3 + 7 = 180° y = 180° — 123° - 24° = 33c

D espeje c

sen á

sen 7

a

c a s e n "y 47sen33° c - --------- - = --------------= 31 centím etros sen a sen 123

R esuelva el (los) triángulo(s) con 3 = 98°, a = 62 m etros y fe = 88 metros.

Resuelva el caso LLA (ambiguo) Resuelva el (los) triángulo(s) con a = 26°, a = 1.0 m etro y fe = 1.8 metros. Solución

FIGURA

/ \

6

1.8 m

''.1 .0 m

1.0 m A

Si se trata de dibujar un triángulo con los lados indicados y un ángulo, se encuentra que son posibles dos triángulos, I y II (figura 6). Esto se verifica por el hecho de que h < a < fe, donde h = fe sen a = 0.79 m etros, a = 1.0 m etro y fe = 1.8 metros.

1.0 m

^ 26 °

B

sen3 _ sena fe a fesena 1.8sen26° sen 3 = --------= ----- —---- = 0.7891 a 1.0

512


El ángulo |3 puede ser obtuso o agudo:

(B = 180° - s e n - ' 0.7891

o

(3' = sen- 1 0.7891

= 180° - 52° = 128°

Despeje

y7

= 52°

En seguida se encuentra 7 y 7 ':

7 = 180° - (26° + 128°) = 26° 7 ' = 180° - (26° + 52°) = 102°

Despeje c y c

Finalm ente, se despeja c y c':

sen a

sen y

a

c c =

a sen 7 sena

sena

sen 7 r asen7 '

c

sen a _ 1.0 sen 102°

_ 1.0 sen 26° sen 26°

sen 26° = 2.2 m etros

= 1.0 metro

E n resum en: Triángulo I:

(3 = 128°

Triángulo II: p ' = 52°

7 = 26° 7 ' = 102°

c = 1.0 m etro c ' = 2.2 m etros

R esuelva el (los) triángulo(s) con a = 8 kilóm etros, b = 10 kilóm etros y a = 35°.

La ley de los senos es útil en m uchas aplicaciones, com o se puede ver en el ejeirplo 4 y las aplicaciones de los ejercicios 7-1.

Topografía Para m edir la longitud d de un lago (véase figura 7), se estableció y se m idió una líne¿ de base AB de 125 m etros. Los ángulos A y B son de 41.6° y 124.3°, respectivam en^. ¿Q ué tan largo es el lago?

7-1

Ley de los senos

513

HGURA 7

Solución

Encuentre el ángulo C y use la ley de los senos. A ngulo C = 180° - (124.3° + 41.6°)

sen 14.1°

sen 41.6o

= 14.1° d = 125

/sen41.6°\ \senl4.1°/

= 341 metros

En el ejemplo 4, encuentre la distancia AC.

Respuestas a los problemas seleccionados 1. y = 101°40'. b = 141. c = 152 2. a = 44“, y = 38°, c = 55 m 3. (3 = 134°. p' = 46°. 7 = 1 l c, *y’ = 99°. c = 2.7 km, c' = 14 km

4. 424 m

EJERC 8CSO Las etiquetas de la siguiente figura se basan en la convención que se seguirá en este conjunto de ejercicios. Sus respuestas a algunos problemas pueden diferir un poco de las que se dan en el libro, dependiendo del orden en que se resuelvan los lados y los ángulos de un triángulo dado.

3. a = 122°, 7 = 18°, b = 12 kilómetros 4. [3 = 43°, 7 = 36°, a = 92 milímetros 5. 3 = 112°, 7 = 19°, c = 23 yardas 6. a = 52°, 7 = 105°, c = 47 metros 7. a = 52°, 7 = 47°, a = 13 centímetros 8. (3 = 83°, 7 = 77°, c = 25 millas

A _____________________________________ Resuelva cada triángulo en los problemas del I al ti. 1. a = 73°, P = 28°, c = 42 pies 2. a = 41°, (3 = 33°, c = 21 centímetros

En los problemas del 9 al 16, determine si la información de cada problema permite que usted construya cero, uno o dos triángulos. No resuelva el triángulo. Explique cuál caso de la tabla 2 se aplica. a = 2 pulgadas, b = 4

pulgadas, oí= 30°

a = 3 pies, b — 6 pies,

a = 30°

a — 6 pulgadas, 6 = 4

pulgadas, a = 30a

514


a = 8 pies, b — 6 pies, a = 30° a = 1 pulgada, b = 4 pulgadas, a = 30° a = 2 pies, b = 6 pies, a = 30° a — 3 pulgadas, b = 4 pulgadas, a = 30° a = 5 pies, b = 6 pies, a = 30°

cometido un error al resolver el triángulo. Use esta ecua ción para comprobar el problema 1. (Debido a los erro res de redondeo, ambos lados pueden no ser exactamente iguales.) 34. (A) Use la ley de los senos y las identidades adecuadas para mostrar que en el caso de cualquier triángulo

B ____________________________________________ Resuelva cada triángulo en los problemas del 17 al 30. Si un problema no tiene solución, indíquelo.

a+ b

a + B tan — -—

(B) Demuestre la fórmula con los valores del problema 1.

17. a = 118.3°, y = 12.2°, b = 17.3 pies 18. 3 = 27.5°, y =

54.5°, a = 9.27 pulgadas

19. a = 67.7°, 3 =

54.2°, b = 123 metros

20. a = 122.7°, 3 = 34.4°, b = 18.3 kilómetros 21. a = 46.5°, a = 7.9 milímetros, b = 13.1 milímetros 22. a = 26.3°, a =

14.7 pulgadas, b = 35.2 pulgadas

23. 3 = 38.9°, a = agudo

42.7 pulgadas, b = 30.0 pulgadas, a

24. 3 = 27.3°, a = 244 centímetros, agudo

= 135 centímetros, a

25. 3 = 38.9°, a = 42.7 pulgadas, b - 30.0 pulgadas, o¡ obtuso 26. 3 = 27.3°, a = 244 centímetros, b = 135 centímetros, a obtuso 27. a = 123.2°, a = 101 yardas, b = 152 yardas 28. a = 137.3°,« = 13.9 metros, b =19. 1 metros 29. 3 = 29°30', a = 43.2 milímetros, b = 56.5 milímetros 30. 3 = 33°50', a —673 metros, b = 1 240 metros

A P LIC A C IO N ES

35. G uardia costera. Dos postes de mirador, A y B (con 10.0 millas de separación), se colocan en una costa para vigilar barcos ilegales que traspasen el límite de 3 millas. Si el poste A reporta un barco S en el ángulo BAS = 37°30'y el poste B reporta el mismo barco en el ángulo ABS = 20°0', ¿a qué distancia está el barco del poste A?, ¿a qué distancia está de la costa (suponga que la costa está a lo largo de la línea que une a los dos postes de observación)? 36. M irador de observación. Un faro en F está señalado con dos estaciones de mirador, A y B, con 10.0 millas de sepa ración. Si la estación B reporta al faro con un ángulo ABF = 53°0'y la estación,4 repolla al faro a un ángulo BAF = 28°30r, ¿a qué distancia de la estación/1 está el faro? ¿Y de la estación 5? * 37. Ciencia natural. Los árboles más altos del mundo crecen en el Parque Nacional Redwood en California; la altura de éstos es mayor que el largo de un campo de fútbol. En cuentre la altura de uno de estos árboles, dada la informa ción de la figura. (La medida de 100 pies tiene una precisión de tres dígitos significativos.)

c ________________________ 31. Sea a = 42.3° y b = 25.2 centímetros. Determine un valor k, tal que sí 0 < a < k, no hay solución; si a = k, hay una solución; y si k < a < b, hay dos soluciones. 32. Sea a = 37.3° y b = 42.8 centímetros. Determine un valor k, tal que si 0 < a < k, no hay solución; si a = k, hay una solución, y si k < a < b, hay dos soluciones. 33. Ecuación de Mollweide, 7 a — (3 (a - b) eos - = esen—- —

a menudo se usa para comprobar la solución final de un triángulo, ya que las seis partes de un triángulo están im plicadas en la ecuación. Si el lado izquierdo no es igual al lado derecho después de la sustitución, entonces se ha

' 38. Topografía. Para medir la altura del Monte Whitney en California, los topógrafos usan un esquema como el que se muestra en la figura del problema 37. Establecen una línea de base horizontal de 2 000 pies de largo al pie de

7-1

Ley de los senos

515

la montaña y encuentran que el ángulo más cercano a la montaña es de 43°5'; y el más lejano es de 38°0'. Si la lí nea de base estaba a 5 000 pies sobre el nivel del mar, ¿cuál es la altura del Monte Whitney con respecto al nivel del mar? 39. Ingeniería. Un pistón de 4.5 pulgadas se une por medio de una barra con un pistón de 1.5 pulgadas del cigüeñal (véase figura). ¿A qué distancia del centro del cigüeñal está la base del pistón (distancia d) cuando la barra forma un ángulo de 9° ( con la línea central? El problema tiene dos respuestas.

pulgadas

40. Ingeniería. Repita el problema 39 si la barra del pistón es de 6.3 pulgadas, el cigüeñal es de 1.7 pulgadas y el ángulo es de 11 °. 41. Astronomía. Las órbitas de la Tierra y Venus son aproxi madamente circulares, con el Sol en el centro. Se manda una señal a Venus desde la Tierra, y el ángulo STV es de 18°40'. Si el radio de la órbita de laTierra es 1.495 X 10s kilómetros y el radio de la órbita de Venus es 1.085 X 10S kilómetros, ¿cuáles son las posibles distancias de laTierra a Venus (véase figura)?

* 44. Topografía. Encuentre la altura del árbol del problema 43 si la longitud de la sombra es de 157 pies y, con respecto a la horizontal, la colina tiene una pendiente de 11.0° y el ángulo de elevación del Sol es de 42.0°. * 45. Ciencia de la vida. Una sección transversal de la córnea de un ojo, un arco circular, como el que se muestra en la figura. Encuentre el radio R del arco y la longitud del arco 5-, dada la longitud de la cuerda C — 11.8 milímetros y el ángulo central 0 = 98.9°.

42. Astronomía. En el problema 41, se encuentra el ángulo máximo STV. [Sugerencia: El ángulo es máximo cuando una línea recta que une a la Tierra y a Venus es tangente a la órbita de Venus.] Córnea

* 46. Ciencia de la vida. Con respecto a la figura, encuentre el radio R del arco y la longitud del arco s, dado que la cuer da tiene una longitud C = 10.2 milímetros y el ángulo cen tral 0 = 63.2°.

43. Topografía. Un árbol que crece en una ladera proyecta una sombra de 102 pies sobre el plano de la colina (véase figu ra). Encuentre la altura vertical del árbol si, con respecto a la horizontal, la colina tiene una pendiente de 15.0° y el ángulo de elevación del Sol es de 62.0°.

r 47. Topografía. El procedimiento ilustrado en los problemas 37 y 38 se usa para determinar una altura inaccesible h cuando la línea de base d está en una línea perpendicular a /¡. que se puede establecer (véase figura) y los ángulos a y (3 que se pueden medir. Muestre que sen a sen ¡i _sen(P - a).

516


h = d sen a ese (a + (3) tan y

48. Topografía. La disposición de la figura se usa para deter minar una altura inaccesible h cuando una línea de base d está en un plano perpendicular a h que se puede establecer, y se pueden medir los ángulos a, /3 y y. Muestre que

sección

7"2

Ley de los cosenos D educción de la ley de los cosenos Solución del caso LAL Solución del caso LLL

Si dos lados de un triángulo y el ángulo que los contiene (LA L) o tres lados (LLL). están dados, no se puede usar la ley de senos para resolver el triángulo (ningún caso im plica un ángulo y su lado opuesto (figura 1)). A m bos casos se pueden resolver co m enzando con la le y d e lo a c o s e n o s , que se estudiará en esta sección.

F IG U R A 1

(a) C aso LAL

(b) C aso LLL

E l teorem a 1 expresa la le y d e lo s c o s e n o s .

de Sos co se n o s

Teorema 1

Ley de los cosenos < < i

r"

a

b 2 ++ cC22 a 2 = b2

b2 =

- 2 b e eos a

Las tres ecu acio n es plan tean en esencia

a2+ c2

c2 = a2 +

b2

Los casos LA L y LLL se resuelven m uy rápidam ente com enzando con la ley de los cosenos.

7-2

Ley de los cosenos

517

Se establece a2 = b1 + c2 - 2 be eos a . Las otras dos ecuaciones se pueden obtener a partir de ésta con sólo etiquetar nuevam ente la figura. Se inicia localizando un trián gulo en un sistem a coordenado rectangular. La figura 2 m uestra tres triángulos típicos. Para un triángulo arbitrario com o los de la figura 2, se usa la fórm ula de la distan cia entre dos puntos para obtener a = V ( h - c ) 2 + ( k - O)2 a2 = (h — c)2 + k2 = h2 — 2 he + c2 + k2

E levando al c u a d ra d o a m b o s lados.

(1)

Tres triángulos representativos.

En la figura 2, se observa que b2 = h2 + k2 Sustituyendo b2 p o r h2 + kr en la ecuación (1), se obtiene a2 = b2 + c2 — 2hc

(2 .

Pero

eos a = — b h = b eos a

Así, reem plazando h en la ecuación (2) con b eos ct, se logra el objetivo: a2 = b2 + e2 — 2 be eos a [Nora: Si a es agudo, entonces eos a es positivo; si a es obtuso, entonces el eos a es negativo.]

• S olu ción d e l c a so LAL

Para el caso LA L, se com ienza usando la ley de los cosenos para encontrar el lado de enfrente del ángulo dado. D espués se usa la ley de los cosenos o la de los senos para encontrar un segundo ángulo. D ebido a sus cálculos m ás sim ples, generalm ente se usa rá la ley de los senos para encontrar al segundo ángulo.

518



D espués de usar la ley de los cosenos para encontrar el lado opuesto al ángulo en un caso de LA L, se usa la ley de los senos para encontrar un segundo ángulo. La fig u ra 2 (a) m uestra que hay dos opciones para un segundo ángulo. (A) Si el ángulo dado es obtuso, ¿puede ser obtuso cualquiera de los ángulos res tantes? Explique. (B) Si el ángulo dado es agudo, entonces uno de los ángulos restantes puede o no ser obtuso. E xplique por qué escoger el ángulo opuesto al lado m ás corto ga rantiza la selección de un ángulo agudo. (C) Iniciando con (sen a )/a = (sen fi)/b, m uestre que

0 = se„ - i / £ i H £ _ ' j

l

m

I

(D) E xplique p o r qué la ecuación (1) da el ángulo correcto a sólo si a es agudo.

El análisis anterior conduce a la estrategia siguiente para resolver el caso de LAL:

Estrategia para resolver el caso de LAL Paso Encuentre

Método

1.

El lado opuesto al ángulo dado.

Ley de los cosenos

2.

Segundo ángulo (Encuentre el ángulo opuesto al m ás corto de los dos lados dados; este ángulo siem pre será agudo.)

Ley de los senos

3.

Tercer ángulo.

R este de 180° la sum a del ángulo dado y del ángulo encontrado en el paso 2 .

Solución del caso LAL R esuelva el triángulo de la figura 3.

7-2

519

Ley de los cosenos

Solución D espeje b

Use la ley de los cosenos: b2 = a2 + c2 —2ac eos (3

D espeje b.

b = V a 2 + c2 - 2ac eos (3

= V(10.3)2 + (6.45)2 - 2(10.3X6.45) eos 32.4= = 5.96 cm Despeje 7

Puesto que el lado c es más corto que el lado a, y debe ser agudo y se usa la ley de los senos para despejar y, sen y “

sen (3 —

^

D esp eje sen y .

esen (3

s e r i7 = — -—

D esp eje -

b>

7

=

.,/csenp sen" [— 7— I v b0 ' f 6.45 sen32.4° 5.96

D eb id o a q u e -y es a g u d o , la fu n ció n inversa del seno p ro p o rcio n a -y d ire c ta m e n te .

35.4° D esp eje a

a = 180° - (p + 7 ) = 180° - (32.4° + 35.4°) = 112.2°


Resuelva el triángulo con a = 77.5°, b = 10.4 pies y c = 17.7 pies.

• S o lu c ió n d e l c a s o

Iniciando con tres lados de un triángulo, el problema será encontrar los tres ángulos. Los cálculos subsiguientes se simplifican si primero se despeja al ángulo obtuso. La ley de los cosenos se usa para este propósito. Un segundo ángulo, que debe ser agudo, se puede encontrar usando cualquiera de las leyes, aunque los cálculos son generalmente bastante más sencillos con la ley de los senos.


(A) Iniciando con a2 =

b2

+ c2 — 2b e eos a, muestre que

a = eos

- b 2 - c2^

(2)

(B) ¿La ecuación (2) da el ángulo correcto a independientemente de si a es agudo u obtuso? Explique.

El análisis anterior conduce a la siguiente estrategia para la solución del caso LLL.

520


Estrategia para resolver el caso de LAL

Solución del caso LLL Resuelva el triángulo con a = 27.3 m etros, b = 17.8 m etros y c = 35.2 metros. So lu ció n

F IG U R A

Se dan tres lados del triángulo y se deben encontrar los tres ángulos. Éste es el caso LLL. Se traza el triángulo (figura 4) y se usa la ley de los cosenos para encontrar el ángulo m ás grande, después se usa la ley de los senos para encontrar uno de los dos ángulos agudos restantes.

4

35.2 m D ebido a que y es el ángulo m ás grande, para encontrarlo prim ero se usa la ley de los cosenos. D esp eje -y

c2 = a2 + b2 - 2ab eos 7 eos 7 =

a2 + b2 - c2

D espeje eos y.

2 ab

7 = eos " 1

a2 + b2 - c2

D espeje

2 ab (27.3)2 + ( 17.8)2 — (35.2)2 2(27.3)(17.8)

= 100.5° D espeje a

A hora se despeja a o p , usando la ley de los senos. Se escoge a. sena

sen 7

7

7-2

¿rsen 7 _ 27.3 sen 100.5

sen a - - —

---------- -----------35.2

^27.3 sen 100.5' 35.2 = 49.7° D esp eje

(3

Ley de los cosenos

521

Despeje sen a .

D espéje u. ü

es agudo.

a + ¡3 + y = 180° (3 = 180° - (a + 7) = 180° - (100.5° + 49.7°) = 29.8°


EJEMPLO 3

Resuelva el triángulo con a = 1.25 yardas, b = 2.05 yardas y c = 1.52 yardas.

Encuentre el lado de un polígono regular Si un polígono regular de siete lados se inscribe en un circulo de 22.8 centím etros de radio, encuentre la longitud del lado del polígono.

So lu ción F IG U R A

5

Trace una figura (figura 5) y use la ley de los cosenos: De hecho, sólo se necesita dibujar el triángulo

/\ /

\

22.8 > — - \ 22.8 M. / 7 \ / \ / \ L___________ S

/

\

d 2 = 22.8- + 22.82 - 2(22.8)(22.8) eos , / , , 360° d = \ j 2(22.8) - 2(22.8) eos — = 19.8 centím etros


Si un polígono regular de 11 lados se inscribe en un círculo con 4.63 pulgadas de radio, encuentre la longitud de un lado del polígono.

522


Respuestas a los problemas seleccionados 1. a = 18.5 pies, p = 33.3°, y = 69.2°

2. a = 37.4°, (3 = 95.0°, y = 47.6°

3. 2.61 pulg.

EjERCICK / Las etiquetas de la figura de abajo establecen la convención que se seguirá en este conjunto de ejercicios. Sus respuestas a algunos problemas pueden diferir un poco de los que se dan en el libro, dependiendo del orden en que resuelvan los lados y ángulos de un triángulo dado.

12. a — 31.5 metros, b = 29.4 metros, c = 33.7 metros Los problemas del 13 al 26 representan una variedad de pro blemas que implican ambas leyes, la de los senos y la de los cosenos. Resuelva cada triángulo. Si un problema no tiene una solución, indíquelo. 13. a = 94.5°, 7 = 88.3°, b = 23.7 centímetros 14. P = 85.6°, 7 = 97.3°, a = 14.3 milímetros 15. P = 104.5°, a -= 17.2 pulgadas, c — 11.7 pulgadas

A ____________________________________________ Remitiéndose a la figura anterior, si a = 47.3°, b = 11.7 centímetros y c = 6.04 centímetros, ¿cuál de los dos ángu los, (3 o 7 , se puede decir con toda seguridad que es agudo y por qué? Con referencia a la figura de arriba, si a = 93.5°, b = 5.34 pulgadas y c = 8.77 pulgadas, ¿cuál de los dos ángulos, p o 7 , se puede decir con toda seguridad que es agudo y por qué? Resuelva cada triángulo en los problemas del 3 al 6.

16. P = 27.3°,« = 13.7 yardas, c = 20.1 yardas 17. a = 57.2°, y = 112.0°, c = 24.8 metros 18. p = 132.4°, y == 17.3°, b = 67.6 kilómetros 19. p = 38.4°, a = 11.5 pulgadas, b = 14.0 pulgadas 20. 7 - 66.4°, b = 25.5 metros, c = 25.5 metros 21. a = 32.9 metros, b = 42.4 metros, c = 20.4 metros 22. a = 10.5 centímetros, b = 5.23 centímetros, c = 8.66 centímetros 23. 7 = 58.4°, b = 7.23 metros, c = 6.54 metros

3. a = 71.2°, b = 5.32 yardas, c = 5.03 yardas

24. a = 46.7°, a = 18.1 metros, b = 22.6 metros

4. 3 = 57.3°, a = 6.08 centímetros, c = 5.25 centímetros

25. P = 39.8°, a = 12.5 pulgadas, b — 7.31 pulgadas

5. 7 = 120°20', a = 5.73 milímetros, b = 10.2 milímetros

26. 7 = 47.9°, b = 35.2 pulgadas, c = 25.5 pulgadas

6. a = 135°50', b = 8.44 pulgadas, c = 20.3 pulgadas

B ____________________________________________ Con referencia a la figura del inicio de estos ejercicios, si a = 13.5 pies, b = 20.8 pies y c = 8.09 pies, entonces, si el triángulo tiene un ángulo obtuso, ¿qué ángulo debe ser y por qué? Suponga que a usted se le dice que un triángulo tiene los lados a = 12.5 centímetros, b = 25.3 centímetros y c — 10.7 centímetros. Explique por qué el triángulo no tiene solución.

c ________________________ 27. Muestre, usando la ley de los cosenos, que si 7 = 90°, entonces c- = ar + b2 (el teorema de Pitágoras). 28. Muestre, usando la ley de los cosenos, que si c2 = a2 + b2, entonces y = 90°. 29. Muestre que para cualquier triángulo, a2 + b2 + c1 -------eos a + ------ü eos (3 + ----eos y--------------2abe a b e 30. Muestre que para cualquier triángulo,

Resuelva cada triángulo de los problemas del 9 al 12 si el trián gulo tiene una solución. Use los grados decimales para la me dida del ángulo.

a = b eos 7 + c eos P

j _______________________________ _____________

9. a = 4.00 metros, b = 10.2 metros, c = 9.05 metros 10. a = 10.5 millas, b = 20.7 millas, c = 12.2 millas

A P LIC A C IO N ES

11. a = 6.00 kilómetros, b = 5.30 kilómetros, c = 5.52 kilómetros

31. Topografía. Para encontrar la longitud AB de un lago pe queño, un topógrafo midió el ángulo ACB de 96°, con AC

7-2

de 91 yardas, y BC de 71 yardas. ¿Cuál es la longitud aproximada del lago?

32. Topografía. Suponga que la figura para este problema re presenta la base de un afloramiento grande de piedra en el terreno de una granja. Si un topógrafo encuentra zl ACB — 110°, AC = 85 metros y BC = 73 metros, ¿cuál es la longitud aproximada (con una cifra decimal) del aflora miento? 33. Geometría. Encuentre la medida en grados decimales de un ángulo subtendido central por una cuerda de longitud 112 milímetros en un círculo de radio 72.8 milimetros.

Ley de los cosenos

523

f *41. Geometría analítica. Si el punto A en la figura tiene coor denadas (3, 4) y el punto B tiene coordenadas (4. 3), en cuentre la medida en radianes del ángulo 0 con tres cifras decimales.

/

* 42. Geometría analítica. Si el punto/i de la figura tiene coor denadas (4, 3) y el punto B tiene coordenadas (5, 1), en cuentre la medida en radianes del ángulo 6 con tres cifras decimales. *43. Ingeniería. Tres círculos de radio 2.03, 5.00 y 8.20 centí metros son tangentes uno al otro (véase figura). Encuentre los tres ángulos formados por las líneas que unen sus cen tros (aproxime a los 10' más cercanos).

34. Geometría. Encuentre la medida en grados decimales de un ángulo subtendido central por una cuerda de longitud 13.8 pies en un círculo de radio 8.26 pies. 35. Geometría. Dos lados adyacentes de un paralclogramo se encuentran a un ángulo de 35°10'y tienen longitudes de 3 y 8 pies. ¿Cuál es la longitud de la diagonal más corta del paralelogramo (con tres dígitos significativos)? 36. Geometría. ¿Cuál es la longitud de la diagonal más larga del paralelogramo del problema 35 (con tres dígitos signi ficativos)? 37. Navegación. Entre Los Angeles y Las Vegas hay una dis tancia de aproximadamente 200 millas. Una piloto recorre 80 millas desde Los Ángeles y encuentra que está a 6°20' con respecto de su partida en Los Ángeles. ¿A qué distan cia de Las Vegas está en este tiempo? (Calcule la respuesta con tres dígitos significativos.) 38. Búsqueda y rescate. Al mediodía, dos aviones de bús queda despegan de San Francisco para encontrar un avión que cayó en el océano. El avión A viaja hacia el oeste a 400 millas por hora, y el avión B vuela hacia el noroeste a 500 millas por hora. A las 2 P.M. el avión A señala a los sobrevivientes del avión derribado y envía un mensaje de radio al avión B para que acuda y participe en el rescate. ¿A qué distancia del avión A está el avión B en este tiempo (calcule con tres dígitos significativos)? » 39. Geometría. Encuentre el perímetro de un pentágono ins crito en un círculo con radio de 12.6 metros. 40. Geometría. Encuentre el perímetro de un polígono regu lar de nueve lados inscrito en un círculo con radio de 7.09 centímetros.

* 44. Ingeniería. Tres círculos con un radio de 2.00,5.00 y 8.00 pulgadas son tangentes cada uno con respecto del otro (véa se figura). Encuentre los tres ángulos formados por las lí neas que unen sus centros (aproxime a los 10' más cercanos). 45. Geometría. Un sólido rectangular tiene los lados como se indican en la figura. Encuentre CAB, aproxime su res puesta al grado más cercano. C

2.8 cm

46. Geometría. Con referencia a la figura, encuentre ( ACB aproxime su respuesta al grado más cercano. *47. Ciencia espacial. Para establecer comunicaciones entre el

transbordador espacial y la estación Arenas Blancas que

524


rastrea en el sur de Nuevo México, se colocan dos satélites en una órbita geoestacionaria, a 130° con respecto del cen tro de la Tierra y a 22 300 millas sobre la superficie de la Tierra (véase figura). (Un satélite en una órbita geoesta cionaria permanece inmóvil arriba de un punto fijo en la superficie de la Tierra.) Las señales de radio se envían desde la estación de rastreo a través de los satélites al trans bordador, y viceversa. Este sistema permite que la esta ción de rastreo esté en contacto con el transbordador en la mayor parte de la superficie de la Tierra. ¿A qué distancia (aproxime a las 100 millas más cercanas) está uno de los satélites de la órbita geoestacionaria de la estación de ras

sección

7“3

treo Arenas Blancas W1 El radio de la Tierra es de 3 964 millas. 48. Ciencia espacial. Un satélite S, que gira alrededor de la Tierra en una órbita circular, es detectado por una estación de rastreo T (véase la figura). La distancia TS determinada por el radar es de 1 034 millas, y el ángulo de elevación por arriba del horizonte es de 32.4C. ¿A qué altura, arriba de la Tierra, está el satélite en el momento de ser detecta do? El radio de la Tierra es de 3 964 millas.

Vectores geométricos Vectores geom étricos y sum a vectorial Vectores velocidad Vectores fuerza R esolución de vectores en com ponentes de vector

M uchas cantidades físicas, tales com o longitud, área o volum en, se pueden especificar com pletam ente por un núm ero real. O tras cantidades, tales com o las distancias dirigi das, las velocidades y las fuerzas, requieren para su especificación com pleta de una m agnitud y una dirección. Al prim er tipo de cantidades a m enudo se le llam a c a n tid a des escalares, y al segundo c a n tid a d e s vectoriales. En esta sección se lim ita el análisis a la idea intuitiva de vectores geom étricos en un plano. E n la sección 7-4 se introducen vectores algebraicos, un prim er paso en la generalización de un concepto que tiene im portantes consecuencias. Los vectores tie nen un am plio uso en m uchas áreas de la ciencia y la ingeniería.

° V e c to re s g e o m é t r ic o s y s u "'íís v e c t o r ia l

O FIGURA 1

Vector OP o v.

Un segm ento con dirección asignada se llam a segm ento de re c ta d irig id o . U n vector geom étrico es un segm ento de recta dirigido y se representa por una flecha (véase f’gura 0 - U n vector c o n u n punto inicial O y un p u n to fin a l P (term inado en punta de flecha) se denota por OP. Los vectores son denotados tam bién por una letra negrita, tal com o v. Debido a la dificultad para escribir letras negritas a m ano, se sugiere usar una flecha sobre una sola letra, tal com o cuando se desee que la letra represente a un vector. ' La m a g n itu d del vector OP, se denota por \OP\, | v| o |v|, es la longitud del segm en to de recta dirigido. Dos vectores tienen la m ism a direcció n si son paralelos y apuntan en la m ism a dirección. D os vectores tienen direcciones o p u estas si son paralelos y apuntan en direcciones opuestas. El vector cero, se denota por 0 o por 0 tiene una m agnitud de cero, y una dirección arbitraria. Dos vectores son iguales si tienen la m is

7-3 Vectores geométricos

u Suma vectorial: regla de cola a punta.

u

m a m agnitud y dirección. Así. un vector puede ser tra s la d a d o de un lugar a otro siem pre que la m agnitud y la dirección no cam bien. L a su m a de dos vectores u y v se puede definir usando la regla de cola a p u n ta : Traslade v para que la cola (el punto inicial) esté en la punta (el punto term inal) de u. Entonces, el vector de la cola y de u a la punta y de v es la sum a, denotada por u + v. de los vectores u y v (véase figura 2 ). L a suma de dos vectores no paralelos tam bién se puede definir usando la regla del p a ra le lo g ra m o : La su m a de dos vectores u y v no p a ra le lo s es la diagonal del paralelogram o que se form a usando u y v com o lados adyacentes (véase figura 3). Si u y v son paralelos, use la regla de cola a punta. Con am bas reglas se obtiene la m ism a suma. La elección de cuál regla usar depen de de la situación y lo que parezca m ás natural. Al vector u -i- v se le llam a re su lta n te de los dos vectores u y v, y u y v se llaman v ecto res co m p o n en tes de u + v. Es conveniente observar que la sum a de vectores es c o n m u ta tiv a y asociativa. Esto es u + v = v + u y u + (v + w ) = (u + v) + w.

Suma vectorial: regla del paralclogramo.


Si a, b y c representan tres vectores geom étricos arbitrarios, ilustre usando cualquier definición de la sum a de vectores que: 1. 2.

a + b = b + a a + (b + c) = (a + b) + c

U n vector que representa la dirección y la velocidad de un objeto en m ovim iento se llama v ecto r velocidad. Los problem as que im plican objetos en m ovim iento a m enudo se pueden analizar usando m étodos vectoriales. M uchos de estos problem as im plican el uso de una b r ú ju la de navegación, que se m arca en el sentido de las m anecillas del reloj, en grados que em piezan en el norte corno se indica en la figura 4. FIGl

N , 0"'

V e lo c id a d a p a r e n t e y re a l Un avión tiene una brújula que apunta (la dirección a la que apunta el avión) a 85° y una velocidad del aire (respecto al aire) de 140 m illas por hora. El viento sopla de norte a sur a 66 m illas por hora. La velocidad de un avión con respecto al aire se llam a veloci d a d a p a re n te , y la re su lta n te de la velocidad con respecto a la tierra se llam a velo c id a d reai. La velocidad resultante es la sum a vectorial de la velocidad aparente y de la velocidad de viento. Encuentre la velocidad resultante; esto es, encuentre la velocidad

526


real y la dirección del avión con respecto a la tierra. A proxim e las direcciones al grado m ás cercano y las m agnitudes con dos dígitos significativos. Solución

Los vectores geom étricos [(figura 5(a)] se usan para representar al vector velocidad aparente y al vector velocidad de viento. Sum e los dos vectores usando el m étodo de suma de vectores de cola a punta para obtener la resultante vector velocidad (real) [figura 5 (b)]. D el diagram a vectorial [figura 5(b)] se obtiene el triángulo de la figura 6 y se encuentra 7 , c y a .

FIGURA 5

85 '

Velocidad aparente

Velocidad aparente

85 °

^

Velocidad del viento

Velocidad del viento

Velocidad real

(a)

(b)

FIGURA 6

D espeje

7

D espeje c

Puesto que el vector velocidad del viento es paralelo a la recta norte-sur, 7 = 85° [los ángulos interiores alternos de dos líneas paralelas que se cortan por una transversal son iguales, véase figura 5(b)]. Use la ley de los cosenos: c2 = a2 + b2 - la b eos 7 c = %/fl2 + b2 — la b eos 7 = \ / 662 + 1402 - 2(66)(140) eos 85c = 150 millas por hora

D espeje a

velocidad con respecto a la tierra.

U se la ley de los senos: sen a

se n 7

a = sen

¡I a se n 7 b 66 sen 85 150

El ángulo real = 85° + a = 85° + 26° = 111c A sí, la m agnitud y la dirección del vector resultante de la velocidad son 150 m illas por hora y 11 I o, respectivam ente. De m anera que el avión, con respecto al suelo, viaja a 150 m illas p o r hora en una dirección de 11 I o.

7-3 Vectores geométricos

U n río fluye hacia el sudoeste (225°) a 3.0 m illas por hora. Un barco cruza el rio con una brújula que apunta a 90°. Si en el velocím etro del barco se lee 5.0 millas por hora (la velocidad del barco con respecto al agua), ¿cuál es la velocidad resultante? ¿Es decir, cuál es la velocidad real del barco y la dirección con respecto al suelo? Las direcciones están aproxim adas al grado más cercano, y las m agnitudes con dos dígitos significativos.

Un vector que representa la dirección y la m agnitud de una fuerza aplicada se llama v e c to r de fu e rz a . Si un objeto está sujeto a dos fuerzas, entonces la sum a de estas dos fuerzas, la fu e rz a re s u lta n te , es una sola fuerza. Si la fuerza resultante reem plaza a las dos fuerzas originales, actuará sobre el objeto de la m ism a m anera que lo harían las dos fuerzas originales si actuaran juntas. En física se m uestra que el vector de la fuerza resultante se puede obtener usando la sum a vectorial para sum ar los dos vectores de fuerza individuales. Parece natural usar la regla del paralelogram o para sum ar a los vectores de fuerza individuales, com o se ilustra en el siguiente ejemplo.

Determinación de la fuerza resultante D os fuerzas de 30 y 70 libras actúan en un punto de un avión. ¿Si el ángulo entre los vectores de fuerza es de 40°, ¿cuál es la m agnitud y la dirección (con respecto a la fuerza de 70 libras) de la fuerza resultante? Las m agnitudes de las fuerzas están aproxi m adas con dos dígitos significativos y los ángulos al grado m ás cercano. Solución

Se com ienza p o r hacer un esquem a (figura 7). en el que los vectores geom étricos repre sentan las diferentes fuerzas:

C om o los ángulos adyacentes en un paralelogram o son suplem entarios, el ángulo OCB = 180° — 40° = 140°. A hora se puede encontrar la m agnitud del vector resultante R usando la ley de los cosenos (véase figura 8): |R p = 302 + 702 - 2(30)(70) eos 140° |R| = V 3 0 2 + 702 - 2(30)(70) eos 140° = 95 libras Para encontrar 0, la dirección de R , se usa la ley de los senos (véase figura 9) senO

sen 140°

30

95

sen 0 =

¿7

140°

30 sen 140° 95

FIGURA 9

30

Temas adicionales en la trigonometría

. /30senl40°.

0 = sen“ 1 ( -------- ------ | = 12°

Así, las dos fuerzas dadas son equivalentes a una sola fuerza de 95 libras en una direc ción de 12o (con respecto a la fuerza de 70 libras).

Repita el ejemplo 2 usando un ángulo de 100° entre las dos fuerzas.

es ecí

En vez de sumar vectores, muchos problemas requieren la resolución de vectores en componentes. Como antes se indicó, cuando un vector se expresa como la suma o re sultante de dos vectores, los dos vectores se llaman componentes de vector del vector dado. El ejemplo 3 ilustra una aplicación del proceso de resolución de un vector en componentes de vector.

Resolución de un vector fuerza en componentes

Un coche que pesa 3 210 libras está en un camino de entrada inclinado 20.2° con res pecto a la horizontal. Despreciando la fricción, encuentre la magnitud de la fuerza para lela al camino de entrada que se mantendrá al conducir el coche hacia abajo de la colina. Se comienza por dibujar un diagrama vectorial (figura 10):

B

3 2 1 0 libras

El vector de fuerza DB actúa en la dirección hacia abajo y representa el peso del coche. Observe que DB = DC + DA, donde DC es la componente perpendicular de DB con respecto al camino de entrada y DA es la componente paralela de DB con respecto al camino de entrada. Para mantener al^coche en D circulando hacia abajo de la colina, se necesita una fuerza de magnitud DA pero dirigida en sentido opuesto. Para encontrar \DA\, se obser va primero que Z. ABD = 20.2°. Esto es verdad porque ¿i ABD y el ángulo del camino de entrada tienen el mismo complemento, ¿1ADB.

7-3

Vectores geométricos

\DA\

sen 20.2°

3

210

\DA\ = 3 210 sen 20.2° — 1110 libras

Encuentre la magnitud de la componente perpendicular de D B en el ejemplo 3.

R e sp u e s ta s a lo s p r o b le m a s s e le c c io n a d o s

1. Velocidad resultante: magnitud = 3,6 mph, dirección = 126°

2. ;R| = 71 Ib. 0 = 25° 3. |£>C| = 3 010 Ib

7-3 Exprese todos los ungidos en grados decimales. En los proble mas de navegación, refiérase a la siguientefigura que muestra una brújula de navegación.

1. |u| = 37 millas por hora, |v| = 45 millas por hora 2. |u| = 62 millas por hora, |v| = 34 millas por hora 3. |u| = 38 kilogramos, jv| = 53 kilogramos

N, 0°

4. u = 48 kilogramos, |v| = 31 kilogramos

90°, E

5. juj = 434 kilómetros por hora, |v| = 105 kilómetros por hora 6. |u| = 143 kilómetros por hora, |v| = 57.4 kilómetros por hora En los problemas del 7 al 10, encuentre |u|y |v|, las magnitudes de las componentes horizontal)’ vertical de u + v, dado |u + v| y 6 en las figuras (a) y (b).

Brújula d e navegación

7. |u + Los problemas del 1 al 10 se refieren a lasfiguras (a) y (b) que muestran que la suma de vectores u y v con ángulos rectángu los cada uno con respecto al otro.

v| = 32 libras, 0 =

22°

8. ju + vj = 250 libras, 0 = 65° 9. |u + v| = 230 millas por hora, 0 =

10. u

12°

+ v| = 28 millas por hora. 0 = 12°

Si dos vectores tienen la misma magnitud, ¿son éstos igua les? Explique por qué sí o por qué no. ¿La magnitud de un vector nunca es negativa? Explique por qué sí o por qué no. Regla de cola a pu n ta

Regla del paralelogram o

(a )

(b)

En los problemas del 1 al 6, encuentre ¡u + vj y 0, dado juj y |vj en las figuras (a) y (b).

B Los problemas del 13 al 20 se refieren a las Jiguras (a) y (b) que muestran al vector suma de los vectores u y v.

530


cero en aguas tranquilas de 8.0 nudos. ¿Si la corriente del río es de 2.5 nudos, qué dirección debe mantener mientras cruza el río? ¿Cuál es la velocidad real del barco con res pecto a la tierra?

Regla de cola a punta

Regla del paralelogramo

(a)

(b)

En los problemas del 13 al 16, encuentre |u + v| y a. dando |u|, |v| y 0 en las figuras (a) y (bj. 13. |u¡ = 66 gramos, |v| = 22 gramos, 6 = 68° 14. |u| = 120 gramos, |v| = 84 gramos, 0 = 44° 15. |u| = 21 nudos, |vj = 3.2 nudos, 0 = 53° 16. |u¡ = 8.0 nudos, |v| = 2.0 nudos, 0 = 64° En los problemas del 17 al 20, encuentre |u| y |v|, dado |u + v|, a y 0 en las figuras (a) y (b). 17.

|u +v| = 14 kilogramos, ex = 25°, 0 = 79°

18.

|u +v| = 33 kilogramos, a = 17°, 0 = 43°

19.

|u +v| = 223 millas por hora, o¡ = 42.3°, 0 = 69.4°

20. |u + v| = 437 millas por hora, a. = 17.8°, 0 = 50.5°

c _________________________ Explique por qué es o no correcto decir que el vector cero es perpendicular a cada vector. Explique por qué es o no correcto decir que el vector cero es paralelo a cada vector.

APLICACIONES

* 26. Navegación. Un avión puede ir a 255 millas por hora en aire tranquilo. Si un viento constante de 46.0 millas por hora sopla desde el oeste, ¿qué dirección debe mantener el piloto para mantener el curso del avión con respecto al suelo, en la dirección norte (0o)? Calcule la velocidad con respecto a la tierra para seguir este curso. 27. Fuerza resultante. Un barco grande sale de un muelle en una bahía jalado con cables por dos remolcadores. Si un remolcador jala en una dirección de 52° con una fuerza de 2 300 libras y otro jala en una dirección de 97° con una fuerza de 1 900 libras, ¿cuál es la dirección y la magnitud de la fuerza resultante? 28. Fuerza resultante. Repita el problema 27, ahora con un remolcador jalando en una dirección de 161° y con una fuerza de 2 900 kilogramos y el otro jalando en una direc ción de 192° y con una fuerza de 3 60Ü kilogramos. 29. Resolución de fuerzas. Un automóvil que pesa 4 050 li bras se está deteniendo en un camino de entrada inclinado 5.56 con respecto a la horizontal. (A ) Encuentre la magnitud de la fuerza paralela al camino de entrada necesaria para mantener el coche circu lando hacia abajo de la colina. (B ) Encuentre la magnitud de la fuerza perpendicular al camino de entrada. 30. Resolución de fuerzas. Repita el problema 29 para un coche que pesa 2 500 libras estacionado en una colina in clinada 15° con respecto a la horizontal. 31. Resolución de fuerzas. ¿Si se mantienen dos pesas juntas y se colocan en planos inclinados como los que se mues tran en la figura, despreciando la fricción, ¿de qué manera se deslizarán?

En los problemas del 23 al 26, suponga que las direcciones norte, este, sur y oeste son exactas. 23. Navegación. Un avión está volando en una dirección de 285° y una velocidad del aire de 230 millas por hora. Un viento constante de 35 millas por hora está soplando en la dirección de 260°. ¿Cuál es la velocidad real del avión?; es decir, ¿cuál es la velocidad y la dirección con respecto al suelo? 24. Navegación. Un barco de potencia cruza un río ancho con una dirección de 25° y velocidad con respecto al agua de 15 millas por hora. E l río fluye en la dirección de 135° a 3.9 millas por hora. ¿Cuál es la velocidad real del barco; esto es, cuál es la velocidad y la dirección con respecto a la tierra? 25. Navegación. Dos muelles están directamente uno frente al otro en un río que fluye hacia el sur. Un piloto de barco desea entrar en línea recta desde el muelle del este al mue lle del oeste en un transbordador con una velocidad de cru

32. Resolución de fuerzas. Si dos pesas se mantienen juntas y se colocan en planos inclinados como los que se mues tran en la figura, despreciando la fricción, ¿de qué manera se deslizarán?

7-4 Vectores algebraicos

s ;c .

.

7-4

/

- *

t

¿ c ¡ f s s

s ó b r a t e o s

De vectores geom étricos a vectores algebraicos La sum a de vectores y la m ultiplicación por un escalar Vectores unitarios Propiedades algebraicas E quilibrio estático Los vectores geom étricos en un plano se generalizan rápidam ente al espacio tridim en sional. Sin em bargo, para generalizar vectores a espacios abstractos de m ás dim ensio nes, es necesario d efinir el concepto de vector de m anera algebraica. Esto se hace de tal m anera, que los vectores geom étricos se convierten en casos especiales de vectores algebraicos m ás generales. Los vectores algebraicos tienen m uchas ventajas sobre los vectores geom étricos. Se m ostrará una de estas ventajas cuando se consideren proble m as de equilibrio estático al final de esta sección. El desarrollo de los vectores algebraicos en este libro es de naturaleza introductoria y está restringido al plano. El estudio de vectores en espacios de tres y m ás dim ensiones está reservado para cursos de m atem áticas m ás avanzadas.

« De v e c to re s g e o m é t r ic o s a v e c to r e s a lg e b r a ic o s y

La transición de vectores geom étricos a vectores algebraicos se inicia colocando los vectores geom étricos en un sistem a coordenado rectangular. U n vector geom étrico AB en un sistem a coordenado rectangular se traslada para que su punto inicialêsté el origen; es decir, para que esté en posición e s tá n d a r. El vector O P tal que O P = A B se dice que es un v ecto r e s tá n d a r para AB (véase figura 1). O bserve que el vector OP en la figura 1 es el vector estándar para un núm ero infinito de vectores (todos los vectores que tengan la m ism a m agnitud y dirección que OP).

Vector estándar

FIGURA 1 _ O P es el vector estándar de AB.


(A)

E n un a copia de la fig u ra 1, dibuje otros tres vectores que tengan O P com o su vector estándar.

(B ) Si la cola de un vector está en el punto A ( —3, 2) y su punta( está en 5 (6 , 4), analice cóm o encontraría las coordenadas de P tales que OP sean un vector estándar p ara AB.

D adas las coordenadas de los puntos finales de un vector geom étrico en un siste m a coordenado rectangular, ¿cóm o se encontraría al vector estándar correspondiente? El proceso no es difícil. Las coordenadas del punto inicial, O, de O P son siem pre (0 .0). Así, sólo se tiene que encontrar las coordenadas de P, el punto term inal de OP. Las coordenadas de P están dadas por {xp, yp) = (xb - xa, y„ - ya)

(1)

532


donde las coordenadas de A son (xa, y a) y las coordenadas de 5 son (xh, y h). El ejem plo 1 ilustra el uso de la ecuación ( 1).

Determinación de un vector estándar para un vector dado D ado el vector geom étrico A B con el punto inicial A (3 ,4 ) y el punto term inal 5 (7 , - 1 ) , encuentre el vector estándar OP pura AB. Esto es, encuentre las coordenadas del punto P tales que OP = AB. Solución

L as coordenadas de P están dadas por (xp, yp)

(x¿,

Xj, yb

y'a)

= (7 - 3, - 1 - 4) = (4, - 5 ) O bserve en la figura 2 que si se inicia en A , y después se mueve cuatro unidades a la derecha y cinco hacia abajo, se estará en B. Si se inicia en el origen, y se m ueve cuatro unidades a la derecha y cinco hacia abajo, se estará en P.

Dado el vector geom étrico AB con e ljn in to inicial A ( 8, - 3 ) y el punto final 5 (4 , 5), encuentre el vector estándar OP para A B.

El vector algebraico

{a. b) asociado, con un vector geométrico OP.

El análisis anterior sugiere otra m anera de observar a los vectores. Puesto que, dado cualquier vector geométrico^,45 en un sistem a coordenado rectangular, siem pre existe un punto P(xp,y p) tal que OP = A B , el punto P(xp, y p) especifica com pletam ente aW ecto r,4 5 , excepto su posición, la cual no se conoce porque se es libre de trasladarlo A B a cualquier lugar que se desee. Por el contrario, dado cualquier punto P (x , y ) en un sistem a coordenado rectangular, el segm ento de recta dirigido que une a O con P for m as al vector geom étrico OP. Esto conduce a la definición de un vector algebraico com o un par ordenado de núm eros reales. Para evitar confundir un punto (a, b) con un vector (a, h), se usará (a, b) para representar a un vector algebraico. G eom étricam ente, el vector algebraico (a, b) corresponde al vector estándar (geom étrico) OP con punto term inal P(a, b) y punto inicial 0 ( 0, 0), com o se ilustra en la figura 3. Los núm eros reales a y b son las com ponentes escalares del vector (a, b). La palabra escalar significa un núm ero real y a m enudo se usa en el contexto de vectores donde se hace referencia a “cantidades escalares” com o lo opuesto a “cantidades vectoriales” . A sí, se habla acerca de las “com ponentes escalares” y “com ponentes vectoriales” de un vector dado. Las palabras “escalar” y “vectorial” son a m enudo om i tidas si el significado de com ponente es claro a partir del contexto. Se dice que dos vectores u = (a, b) y v = (c, d) son iguales si sus com ponentes correspondientes son iauales; es decir, si a = c y b = d. El vector cero se denota por O = <0, 0). Los vectores geom étricos están lim itados a espacios que se pueden visualizar, esto es, a espacios de dos y tres dim ensiones. Los vectores algebraicos no tienen estas res tricciones. Los siguientes son vectores algebraicos de espacios en dos, tres, cuatro y cinco dim ensiones:

7-4

(-2 ,5 )

<3, 0 ,-8 )

Vectores algebraicos

(5, 1, 1, -2)

<-1,0, 1,3. 4)

C om o antes se m encionó, el análisis en este libro se lim ita a vectores algebraicos en espacios de dos dim ensiones, que representan un plano. A hora se define la m agnitud de un vector algebraico:

DEFINICIÓN 1

Magnitud de v = (a, b } L a m agnitud, o norm a, de un vector v = (a, b) se denota por |v| y está dada por

y

P(a, b)

|v| = V a 2 + b2

fió . Magnitud de un vector ¡a, b; geométricamente interpretado

EJEMPLO

G eom étricam ente, V a 2 + b2 es la longitud del vector geom étrico estándar O P que está asociado con el vector algebraico (a, b) (véase figura 4). La definición de la m agnitud se generaliza rápidam ente a espacios de vectores de m ás alto orden dim ensional. Por ejem plo, si |v| = (a, b, c, d), entonces la m agnitud, o la norm a, está dada por V a 2 + b2 + c1 + d2. Pero ahora no se está capacitado para inter pretar los resultados en térm inos de vectores geom étricos.

Determinación de la magnitud de un vector Encuentre la m agnitud del vector v = (3, - 5 ) .

Solución

|»j = V 3 2 + (- 5 )2 = V34


Encuentre la m agnitud del vector v = ( - 2 , 4)

* La su m a d e v e c to r e s y la m u ltip lic a c ió n por un escafar

Para sum ar dos vectores algebraicos, se deben sum ar las com ponentes correspondien tes com o se indica en la siguiente definición de la suma:

DEFINICIÓN 2

Suma vectorial Si u = (a, b) y v = (c, d), entonces u + \ = (a + c, b + d)

La definición de la sum a de vectores algebraicos es consistente con las definicio nes del paralelogram o y la cola a la punta que se dieron para sum ar vectores geom étricos en la sección 7-3 (véase Exploración y análisis 2).

534



Si u = ( - 3 , 2), v = (7 , 3), entonces u + v = ( —3 + 7, 2 + 3) = (4 , 5). Localice u, v, y u + v en un sistema coordenado rectangular e interprete geométricamente en términos de las reglas del paralelogramo y de la cola a la punta analizadas en la sección anterior.

Para m ultiplicar un vector por un escalar (un núm ero real) m ultiplique cada com ponente por el escalar:

DEFINICIÓN 3

Multiplicación por un escalar Si u = (a , b) y k es un escalar, entonces ku = k (a , b)

- (lea, kb)

G eom étricam ente, si un vector v se m ultiplica por un escalar k, la m agnitud del vector v se m ultiplica por |ft|. Si /res positiva, entonces kv tiene la m ism a dirección que v. Si k es negativa, entonces la dirección de kv es opuesta a v. Estas relaciones se ilus tran en la figura 5. ' /

7

/

v

FIGURA Multiplicación escalar geométricamente interpretada.

EJEMPLO 3

Suma de vectores y multiplicación por un escalar Sea u = (4 , - 3 ) , v = (2, 3) y w = (0, - 5 ) , encuentre: (A ) u + v

Soluciones

(B) —2u

(C ) 2u - 3v

(D ) 3u + 2v - w

(A ) u + v = (4, - 3 ) + (2, 3) = (6, 0)

(B) —2u = - 2 ( 4 , - 3 } = ( - 8 , 6) (C ) 2u - 3v = 2(4, - 3 ) - 3(2, 3) = (8. - 6 ) + ( - 6 . - 9 ) = (2, - 1 5 ) (D ) 3u + 2v — w = 3(4, - 3 ) + 2(2, 3) - (0, - 5 ) = (12, - 9 ) + (4, 6) + (0, 5) = (16. 2)


Sea u = ( —5, 3 ), v = (4 , —6) y w = ( —2 , 0 ), encuentre:

(A) u + v

(B) —3u

(C) 3u - 2v

(D) 2u - v + 3w


• Vectores unitario«

Si |v| = 1, entonces v se llam a vector unitario. U n vector unitario se puede form ar de un vector distinto de cero arbitrario com o sigue:

:

EJEMPLO

Determinación de un vector unitario con la misma dirección que el vector dado D ado un vector v = (1, - 2 ) , encuentre un vector unitario v con la m ism a dirección que v.

Solución

|v| = V i 2 + (—2)* = V 5

"(v 7 ? v § ) Comprobación

Y se ve que u es vector unitario con la m ism a dirección que v.

P ro b lem a seleccion ad o 4

D ado un vector v = <3, 1), encuentre un vector unitario u con la m ism a dirección que v.

A hora se definen dos vectores unitarios m uy im portantes, los vectores unitarios i

yj-


¿Por qué los vectores unitarios i y j son im portantes? Una de las razones es que cualquier vector v = (a, b) puede ser expresado com o una com binación lineal de esos dos vectores; es decir, com o ai + ¿j. v = (a, b) = (a, 0) + ( 0, b)

= a(l, 0) +

EJEMPLO 5

b( 0,

1} = a\ +

b\

Expresión de un vector en térm inos de los vectores unitarios i y j Exprese cada vector com o una com binación lineal de los vectores unitarios i y j. (A) ( - 2 , 4)

Soluciones

(B) <2, 0)

(C) (0, - 7 )

(A) ( - 2 , 4) = —2i + 4j (B) (2, 0) = 2¡ + Oj = 2i (C) <0, - 7 ) = Oi - 7j = —7j

Exprese cada vector com o una com binación lineal de los vectores unitarios i y j. (A) (5, - 3 )

(B) ( - 9 , 0>

(C) (0. 6)

La sum a de vectores y la m ultiplicación por un escalar poseen propiedades algebraicas sem ejantes a las de los núm eros reales. Estas propiedades nos habilitan para m anipular los sím bolos vectoriales que representan a los vectores y escalares, de la m ism a manera que se m anipulan los sím bolos que representan los núm eros reales en el álgebra. En seguida se proporciona la lista de estas propiedades para una referencia adecuada.

Propiedades algebraicas de vectores A . Propiedades de la sum a. Para todos los vectores u, v y w:

B.

1.

u+ v = v + u

Propiedad conm utativa

2.

u + (v + w) = (u +

3.

u+ 0 = 0 + u =

u

4.

u + (-u ) = (-u )

+

v) + vv Propiedad asociativa Identidad aditiva ■ ■r... u= 0

El inverso aditivo

Las propiedades de la m ultiplicación por un escalar. Para todos los vectores u y v y todos los escalares m y n: dad aso<


Operaciones algebraicas de vectores expresados en términos de los vectores i y j

So lu cio nes

Para

u = i - 2j y v = 5i + 2j, calcule cada una de las operaciones siguientes:

(A)

u +v

(A)

u + v = (i — 2j) + (5i + 2j)

(B) u - v

(C) 2u 4- 3v

= i - 2j + 5i + 2j = 6i + Oj = 6i (B)

u - v = (i - 2j) - (5i + 2j) = i - 2j - 5i - 2j = —4i - 4j

(C)2u + 3v

= 2(i - 2jj + 3(51 + 2j) = 2i — 4j t

15i + 6j = I7i + 2j

Para

u = 2i- j y v = 4i + 5j, calcule cada una de las operaciones siguientes:

(A)

u +v

(B)

u- v

(C) 3u - 2v

Los vectores algebraicos se pueden usar para resolver m uchos tipos de problem as en física e ingeniería. Se term ina esta sección considerando algunos problem as de equili brio estático. Com o fundam entos de este enfoque hay dos principios básicos con res pecto a las fuerzas y a los objetos sobre los que éstas actúan:

Slí*:1::

¡

Condiciones para el equilibrio estátic 1. 2.

U n objeto en reposo se dice que está ei Para que un objeto localizado en el oí tangular perm anezca en equilibrio est: sum a de todos los vectores de la fuerza cero.

ilibrio .. ■. estático. .. en un sistem a coordenado rec en reposo, es necesario que la ;túa sobre el objeto sea el vector 1 1 1

i

i

En el ejem plo 7 se m uestran algunos problem as im portantes de física e ingeniería que se pueden resolver usando vectores algebraicos y las condiciones para el equilibrio estático. Se supone que usted sabe cóm o resolver un sistem a de dos ecuaciones con dos variables. En caso de que necesite recordar el procedim iento repase lo planteado en la sección 1- 2 .

Tensión en los cables U n teleférico, que se usa para cruzar un río transportando gente y sum inistros, pesa 2 500 libras cuando está com pletam ente cargado. El carro se detiene cuando ha craza-

538


do parte del cam ino y hace que el cable cuelgue con respecto a la horizontal, com o se indica en la figura 6. ¿Cuál es la tensión en cada parte del cable que va a cada torre? FIGURA 6

Solución

iL

Paso 1.

D ibuje un diagram a de fuerzas con todos los vectores fuerza en la posición estándar en el origen (figura 7). El objetivo es encontrar Juj y |v|.

Paso 2.

E scriba cada vector fuerza en térm inos de los vectores unitarios i y j. u = |u|(cos 7°)i + |u (sen7°)j

V

7° u ------ ^

v = |v|(—eos 15°)i + |v|(senl5°)j *

«7 = —o

15° Paso 3. |w| = 2 500 libras FIGURA 7

Para que el sistem a esté en equilibrio estático, la sum a de los vectores de fuerza debe ser el vector cero. Esto es, u + v + w = 0 R eem plazando los vectores u, v y w del paso 2, se obtiene

[|u|(cos 7°)i + ju|(sen 7°)j] + [|v|(—eos 15°)i + |v|(sen 15°)j] - 2 500j = Oi + Oj la cual, com binando los vectores i y j será [|u|(cos 7°) + |v |(-c o s 15°)]¡ + [|u|(sen7°) + |v |(sen l5 °) - 2 500]j = Oi + Oj Puesto que los dos vectores son iguales si y sólo si sus correspondientes com ponentes son iguales, se obtiene el siguiente sistem a de dos ecuaciones con dos variables |u| y |v|: (eos 7°)]u| + ( - e o s 15°)|v| (sen7°)|u| +

= 0

(sen l5 °)|v | - 2 500 = 0

R esolviendo este sistem a por m étodos estándares, se encuentra que |u| = 6 400 libras

y

|v| = 6 600 libras

¿U sted esperaría que la tensión en cada parte del cable sea m ayor que el peso que cuelga de él?


539

R epita el ejem plo 7 reem plazando 15° por 13°, 7° por 9o y las 2 500 libras por 1 900 libras.

Respuestas a los problemas seleccionados 1. P (- 4, 8) 2. 2V5 3. (A) <-1. -3} (B) <15, -9 ) 4. u = (3/Vñi.1/VTÔ) 5. (A) 5i - 3j (B) -9i (C) 6. (A) 6i + 4j (B) -2i - 6j 7. |u| = 4 900 Ib, Ivi = 5 000Ib

EJERCICIO

(C) <-23, 21)

(D) (-20, 12)

6j (C) -2i - I3j

7-4 24. v = A B , donde A = ( —2, —1) y B = (0 ,2 )

Er. los problemas del I al 6, se representa cada vector geoméy-.'oAB. con los puntosfinales en la forma que se indica, como k : vector algebraico en la forma (a, b). 1. A(3, —2), B(0, - 5 )

2. A (—1, 7), 0(1, —I)

3. A(6, 0), B(0, 7)

4. A(0, - 1 ) ,S ( —2,0)

5. ,4(0,0), B (3, 5)

6. A(0, 0), B (—2, - 1 )

En los problemas del 7 al 12, encuentre la magnitud de cada vector. 7. <4, - 3 )

8. ( - 3 ,4 )

9. <3, - 5 )

10. ( - 5 , - 2 )

11. <-25, 0)

12. (0. -6 7)

Explique cuándo dos vectores algebraicos son iguales. Explique cuándo dos vectores geométricos son iguales.

En los problemas del 25 al 30, sea u = 3i — 2\, v = 2i + 4j, y w - 2i, y realice las operaciones indicadas.

25. u -i- v

26. u - v

28. 3u + 2v

29. 2u - v

27. 2u - 3v 2\v

30. u —3v + 2w

En los problemas del 31 al 34, encuentre un vector unitario u con la misma dirección que v.

31. v = < -3.4)

32. v = <4, - 3 )

33. v = <-5. 3)

34. v = <2. - 3 )

Si exactamente tres vectores de fuerza distintas de cero, con direcciones diferentes, están actuando sobre un objeto en reposo, ¿cómo está cualquiera de los vectores fuerza relacionado con los otros dos, si el objeto permanece en reposo? Si exactamente dos vectores fuerza, distintos de cero, ac túan sobre un objeto en reposo, ¿qué se puede decir de los vectores para que el objeto pcnnanezca en reposo?

B En los problemas del 15 al 18, encuentre: (A) u + v(B) u - v

(C) 2u — v + 3w

15. u = (2, l>,v = ( - 1 ,3 ) , w = <3,0) 16.

u=

( - 1 , 2), v =

17. u = <-4, - 1 ). v = (2, 18. u = ( - 3 , 2), v =

(3, - 2 ), w = <0, - 2 ) 2). w = <0, 1)

En los problemas del 37 al 44, sean u = (a, b). v = {c., d) y w = (e, f ) vectores y m y n escalares, pruebe cada una de las siguientes propiedades de vector usando las propiedades apro piadas de números reales, las definiciones de la suma vectorial v la multiplicación p o r un escalar.

( - 2 , 2), w = ( - 3 . 0>

37. u + (v + w) = (u + v) + w En los problemas del 19 al 24, exprese v en términos de los vectores unitarios i y j.

19. v = ( - 3 , 4)

20. v = (2,

21. v = (3, 0)

22. v = (0, —27)

23. v = AB , donde A = (2, 3) y B — ( - 3 , 1)

-5 )

38. u + v = v + u

39. u + 0 = u

40. u + (—u) = 0

41. (m + «)u = mu + nu

42. m(u + v) = mu + m \

43. m(nu) = (mn)u

44. lu = u

540


49. Equilibrio estático. Un anuncio de 400 libras está sus A PLIC A C IO N E S

«Si

En los problemas del 45 al 52, calcule todas las respuestas con tres dígitos significativos.

45. Equilibrio estático. Un acróbata se detiene en un cierto punto de una cuerda tensa y la cuelga como se indica en la figura. ¿Si el peso total del ciclista y de! uniciclo es de 155 libras, ¿cuánta tensión hay en cada parte del cable?

pendido como se muestra en la figura (a). El correspon diente diagrama de fuerzas (b) se forma observando lo siguiente: E l lado A B “ empuja” en B y este está bajo com presión. Esta fuerza de “ empuje” se puede pensar también como el vector de fuerza a que está “ empujando” a la de recha en B. E l vector de fuerza b refleja el hecho de que el lado CB está bajo tensión (esto es, “empuja” en B). E l vector de fuerza c corresponde al peso del anuncio “ empujando” hacia abajo en B. Encuentre las magnitudes de las fuerzas en los lados rígidos que soportan al peso; esto es, encuen tre |a| y |b| en el diagrama de ftierzas (b).

a

46. Equilibrio estático. Repita el problema 45 con el ángulo izquierdo de 4.2°, el ángulo derecho de 5.3° y el peso total de 112 libras. 47. Equilibrio estático. Un peso de 1 000 libras se suspende de dos cables como se muestra en la figura. ¿Cuál es la tensión en cada cable?

(b)

(a)

50. Equilibrio estático. Un peso de 1 000 kilogramos se sos tiene como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las magni tudes de las fuerzas en los lados A B y B C l

48. Equilibrio estático. Un peso de 500 libras está sostenido

2 metros

por dos cables como se ilustra. ¿Cuál es la tensión en cada cable?

MUSIC SHOP

1 000 kilogramos

51. Equilibrio estático. Un peso de 1 250 libras cuelga de un torno como se indica en la figura. ¿Cuáles son las magni tudes de las fuerzas en los lados A B y B C l

7-5

Coordenadas polares y gráficas

541

52. Equilib rio estático. Un peso de 5 000 kilogramos se sos tiene como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las magni tudes de las fuerzas en los lados A B y BC?

5 metros

5 000 kilogramos



7-5

lares y gráficas Sistem a de coordenadas polares C onversión de la form a polar a la form a rectangular, y viceversa G raficación de las ecuaciones polares A lgunas curvas polares estándares A plicación H asta ahora se ha usado sólo el sistem a coordenado rectangular. Otro sistem a de coor denadas tiene ventajas particulares en ciertas situaciones. De los m uchos que son posi bles, el sistem a de coordenadas polares es el segundo en im portancia después del sistema coordenado rectangular y es el tem a que se abordará en esta sección.

Polo

Eje polar

P(r, 6)

V Sistema coordenado polar.

Para form ar un sistem a de coordenadas polares en un plano (véase figura 1), se inicia con un punto fijo O llam ado polo u origen. Partiendo de este punto se dibuja una media línea, o rayo (generalm ente horizontal y a la derecha), a la que se llama línea al eje polar. Si P es un punto arbitrario en un plano, entonces se le asocian las coordenadas polares (r, 0) com o sigue: Se inicia con el eje polar com o el lado inicial de un ángulo, se gira hasta el lado term inal, o la extensión de un extrem o a otro del polo, pasando por el punto. La coordenada 0 en (r, 0) es este ángulo, m edido en grados o radianes. El ángulo 0 es positivo si la rotación es a la izquierda y negativo si la rotación es a la derecha. La coordenada r en (r, 0) es la distancia dirigida del polo al punto P. Es positivo si se mide del polo al lado term inal 0 y negativo si se mide del lado term inal extendido de un extrem o a otro del polo. La figura 2 ilustra un punto P con tres conjuntos diferentes de coordenadas pola res. Estudie esta figura detenidam ente. El polo tiene coordenadas polares (0, 0) con 0 arbitrario. Por ejem plo, (0, 0°), (0, rc/3) y (0, - 3 7 1 ° ) son todas coordenadas del polo.

Coordenadas polares de un punto.

(-

225

(

4 , 225')

------- ► 3r ' 4

(a)

(b)

542


A hora se ve una diferencia clara entre las coordenadas rectangulares y las polares para el punto dado. Para un punto dado en un sistem a coordenado rectangular, existe exactam ente un conjunto de coordenadas rectangulares. Por otro lado, en un sistem a de coordenadas polares, un punto tiene un núm ero infinito de conjuntos de coordenadas polares. Así com o se dispone de papel gráfico con una cuadricula rectangular para dibujar coordenadas rectangulares, tam bién hay papel para gráficas polares y en el que se pue den dibujar coordenadas polares.

Dibujando puntos en un sistema coordenado polar Trace los puntos siguientes en un sistem a coordenado polar: (A ) A (3, 30°), B { - 8, 180°), C (5, - 1 3 5 ° ), £ ( - 1 0 , - 4 5 ° ) (B ) A (5, tt/3), B { - 6, 5u/6), C (7, —tt/2), £>(-4, —-tt/6) Soluciones

(A)

(B) 120a

2ir

60"

150”

30«

^

6'

5

10

it-}

|

» 0 5

c

10

r

B

210°

330c

225*

515°

6

11TT 6

r 7 ir

5-tt 240°

4

S-n-

4 tt 270°

3

12 2

3

Trace los puntos siguientes en un sistem a coordenado polar: (A ) A ( 9, 45°), S ( —6, 1503), C (5 , -2 1 0 °), />(—7, - 9 0 ° ) (B ) A(10, tt/6), ¿3(—4, - tt). C ( - 8 , 7ir/4), D (6, - 5 ir/6 )


Un punto en un sistem a coordenado polar tiene coordenadas (5 ,3 0 °). ¿Cuántas otras coordenadas polares tienen la coordenada 0 restringida a —360° ^ 0 ^ 360o? E n cuentre las otras coordenadas del punto y explique cóm o se encuentran.

• C on versión d e la

v i c e " ':

A m enudo, es necesario transform ar coordenadas o ecuaciones de la form a rectangular a la form a polar o viceversa. Las siguientes relaciones polar-rectangular son útiles en este caso:

7-5


543

„.¡.i;.*!:;];!

Relaciones polar-rectangular Se tienen las siguientes relaciones entre las coordenadas rectangulares (x, y ) y las coordenadas polares (r,0):

p(k y) ¡ P(r, e ) r

Sil!

sen 0 = —

• I

o

y =

r !il!ll!i|l....... 1íü!!IIH

i

ili

IV

a v

T

co

* 7

0

í = rc o se

tan 0 = —

■

¡iji

X

[Nota: Los signos d e x y y determinan el cuadrante para 0. El ángulo 0 se elige tal que -ju < 0 < it o - 1 8 0 ° < 0 < 180°, a menos que se indique de otra manera.]

M uchas calculadoras pueden convertir autom áticam ente las coordenadas rectan gulares a la form a polar y viceversa. (Lea el m anual para su calculadora.) El ejem plo 2 ilustra conversiones de calculadora en am bas direcciones.

Conversión de la form a polar a la rectangular y viceversa (A) C onvierta las coordenadas polares ( —4, 1.077) a las coordenadas rectangulares con tres cifras decim ales. (B) C onvierta las coordenadas rectangulares ( - 3 .2 0 7 , -5 .7 1 9 ) a coordenadas pola res con 0 m edido en grados, —180° < 0 < 180° y / f s O . S o lu a c 11

(A)

Use la calculadora en el m odo de radián. (r, 6) = ( - 4 , 1.077) x = r eos 0 = ( —4) eos 1.077 = —1.896

P>Rx< -4 , 1 . 0 7 7 ) -1 .8 9 5 8 8 8 4 5 1 P>Ry< -4 , 1 . 0 7 7 ) *3 . 5 2 2 1 5 9 4 2

>■ = r sen 0 = ( - 4 ) sen 1.077 = -3 .5 2 2 Las coordenadas rectangulares son ( —1.896, —3.522) La figura 3 m uestra la m ism a conversión hecha con un dispositivo de graficación con una rutina preconstruida de conversión. (B) U se la calculadora en el m odo de grado. (x, y) = (-3 .2 0 7 , -5 .7 1 9 ) V F + 7 = V ( —3.207)2 + (- 5 .7 1 9 )2 = 6.557

« y - 5 .7 1 9 tan 0 = - = — z-TTz x —3.207

544


0

es un ángulo del tercer cuadrante y debe ser elegido de m odo que - 1 8 0 ° < 8 s

180°. R > P K -3 . 2 0 ? , -5 . 7 19 ) 6 .5 5 6 8 1 4 9 1 3

0 = - 180° + tan -1

R>P6K - 3 . 2 0 7 , - 5 . 7 19) - 1 1 9 .2 8 2 0 6 8 2

- 5 719 -3 .2 0 7

= -1 1 9 .2 8 °

Las coordenadas polares son (6.557, -1 1 9 .2 8 °). JRA

La fig u ra 4 m uestra la m ism a conversión hecha en un dispositivo de graficación con una rutina preconstruida de conversión.

(A)

C onvierta las coordenadas polares (8.677, —1.385) a coordenadas rectangulares con tres cifras decim ales. (B) C onvierta las coordenadas rectangulares ( - 6 .4 3 4 , 4.023) a coordenadas polares con 0 m edido en grados, - 1 8 0 ° < 0 ^ 180° y R ^ 0.

G eneralm ente, un uso más im portante de la relación rectangular polar es el de la conversión de ecuaciones de la form a rectangular a la form a polar, y viceversa.

Conversión de una ecuación de la form a rectangular a la form a polar C am bie x 2 + y 2 — 4y = 0 a la form a polar. Solución

Use r = x 2 + y2 y y = r sen 0. x 1 + y 2 - 4y = 0

r 2 - 4/'sen 0 = 0 r(r - 4 sen 0) = 0 )• = 0

o

r - 4 sen 0 = 0

L a gráfica de r = 0 es el polo. Ya que el polo está incluido en la gráfica de r — 4 sen 0 — 0 (sea 0 = 0 ), se puede descartar r = 0 y m antener sólo r — 4 sen 0 = 0

o r = 4 sen 0

La forma polar de a

C am bie A'2 + y 2 — 6x = 0 a la form a polar.

y2

Ay = 0

7-5


545

Conversión de una ecuación de la forma polar a la form a rectangular C am bie r = - 3 eos 0 a la form a rectangular. Solución

La transform ación de una ecuación com o ésta a la form a rectangular es bastante difí cil. Sin em bargo, con un pequeño truco, se vuelve m uy fácil. Se m ultiplican am bos lados por r, lo cual equivale a sim plem ente sum ar el polo a la gráfica. Pero el polo ya es parte de la g ráfica de r = - 3 eos 0 (sea 0 = Jt/2), así que en realidad no se ha cam biado nada. r = —3 eos 0 r 1 = —3r eos 0 X2 + y 2 = ~ 3 x

|yiulti|>::que smbos lados oor r

r? = •*'’ - y

y

r eos 0 = *

x 2 + y2 + 3x = 0

Cam bie r + 2 sen 0 = 0 a la form a rectangular.

Ahora se considerará la graficación de una ecuación polar. La gráfica de una ecuación polar, tal com o r = 30 o r = 6 eos 0, en un sistem a coordenado polar es el conjunto de todas las coordenadas que satisfacen a la ecuación polar. Ciertas curvas tienen repre sentaciones m ás sim ples en coordenadas polares, y otras curvas tienen las representa ciones m ás sim ples en coordenadas rectangulares. Para establecer los fundam entos en una graficación de ecuaciones polares, se ini cia con una gráfica punto por punto. Después se considera una m anera m ás rápida de hacer dibujos burdos de ciertas curvas polares. Y, finalm ente, se m uestra cóm o graficar curvas polares con un dispositivo de graficación. Para g raficar una ecuación polar usando la gráfica punto por punto, de igual m anera que con coordenadas rectangulares, se hace una tabla de valores que satisfagan la ecuación, se dibujan estos puntos, y después se unen con una curva suave. E l ejem plo 5 ilustra el proceso.

Graficación punto por punto (A) G rafique r = 8 eos 0 con 0 en radianes. (B) C onvierta la ecuación polar del inciso (A) a la form a rectangular, e identifique la gráfica. Solución

(A) Se construye una tabla usando m últiplos de 71/6, dibuje estos puntos y después únalos con una curva suave (figura 5): y

U

-

•*-t ^ ¿T

S e t 'ií

P

Ci> '

m

©

c

-* '•/

■

546


0 0

8.0

-rr/6

6.9

tt/3

4.0

tt /2

0.0

2W3

- 4 .0

5-rr/6

-6 .9

7T

3tt S tt 6

+ -H -H

10

7jx

8.0

■►o

11r

6

6

ZíL

Repeticiones gráficas 5tt

4 tt 3

3 tt

4

3

2

FIGURA 5

/• = 8 eos 0

(B)

r 2= 8r eos 0 x 2 + y 2 = 8x x2 x 2 — 8x +

Multiplique ambos lados por r. Cambie a la forma rectangular.

8x + y2 = 0

16 + y 2= 16

(jc — 4 )2 + y 2 = 4 2

Complete e! cuadrado en ti lade -tcu srdo. Ecuación estándar de un circulo

La g ráfica del inciso (A) es un círculo con centro en (4, 0) y radio 4 (véase la sección 2- 1).


(A) G rafique r = 8 sen 0 con 0 en grados. (B) C onvierta la ecuación polar en el inciso (A) a la form a rectangular, e identifique la gráfica.

Si sólo se desea hacer un burdo dibujo de una ecuación polar que im plique a sen 0 o eos 0, se puede dibujar más rápido con el proceso de graficación punto por punto aprovechando la variación uniform e de sen 0 y eos 0 conform e 0 se mueve alrededor del círculo unitario. Este proceso se llam a graficación polar rápida. Es conveniente observar la figura 6 durante el proceso. Con un poco de práctica se puede hacer m ental m ente la m ayor parte del trabajo de graficación rápida, y se puede hacer un dibujo burdo a partir de la ecuación. FIGURA 6

-it/2

7-5


547

Graficación polar rápida D ibuje r = 4 4- 4 eos 0 usando técnicas de graficación rápida con 0 en radianes. Solución

Se hace una tabla que indique cóm o varía r conform e 0 varía por cada conjunto de valores del cuadrante.

0 varía de 0 a 71/2 n/2 a tí K a 3k /2 3tc/2 a 27t

COS 0 varía de 1a

0

0 a -1

4 eos 0 varía de

r = 4 + 4 eos 0 varía de

0

8a4

0 a -4

4a0

4 a

-1 a

0

-4 a

0

0 a4

0a

1

0a

4

4a8

O bserve que com o 0 aum enta de 0 a tc/2, eos 0 dism inuye de 1 a 0 ,4 eos 0 dism i nuye de 4 a 0 y r = 4 + 4 eos 0 dism inuye de 8 a 4 y así sucesivam ente. Trazando estos valores, se obtiene la gráfica de la figura 7, llam ada cardioide.

G rafique /• = 5 + 5 sen 0 usando técnicas de graficación rápida con 0 en radianes.

Graficación polar rápida G rafique r = 8 eos 20 con 0 en radianes. Solución

Se inicia con valores de 20 (en lugar de 0) pasando por cada conjunto de valores del cuadrante. Esto es, se inicia con valores para 20 en la segunda colum na de la tabla, se llena la tabla y después se llena la prim era colum na para 0.


- Se inicia con la segunda colum na

eos 29

varía de

0 a 702

0 a rc/4 ni4 a tc/2

ni2 a 7t

Jt/2 a 37C/4

7t a 37i/2

3n/4 a n

371/2 a 27t

n a 5k /4

2)t a 57t/2

57t/4 a 37t/2

57t/2 a 3tc

371/2 a 771/4

3jc a 7tc/2

771/4 a 2n

ln!2 a 4tc

1a

r = 8 eos 26 varía de

0

0 a -1

O

29

varía de

OO

9

varía de

&

548

0 a -8

-1 a

0

-8 a

0

0a

1

0a

8

1a

0

8a

0

0 a -1

0 a -8

-1 a

0

-8 a

0

0a

1

0a

8

O bserve que conform e 20 aum enta de 0 a rt/2, 0 aum enta de 0 a Jt/4, y r disminuye de 8 a 0. C onform e 20 aum enta de rc/2 a n, 0 aum enta de rc/4 a tc/2 y r dism inuye de 0 a - 8 y así sucesivam ente. Se continúa con la gráfica hasta que se repite. G raficando los valores se obtiene la gráfica de la figura 8, llam ada rosa de cuatro pétalos:

-►o

Ir. 6

Vh[ 717

5 tt 4

4tt 3

5rr 3 tr

6

4

3

2

D ibuje r = 6 sen 20 con 0 en radianes.

En seguida se aborda la graficación de ecuaciones polares con un dispositivo de graficación. El ejem plo 8 ilustra este proceso.

7-5

'V


549

Graficación de ecuaciones polares con un dispositivo de graficación G rafique cada una de las ecuaciones polares siguientes con un dispositivo de graficación (los incisos (B) y (C) son de los ejem plos 6 y 7). (A ) r = 30. 0 < 0 < 3tc/2 (la espiral de A rquím edes) (B) r = 4 + 4 eos 0 (cardioide) (C) r = 8 eos 20 (rosa de cuatro pétalos) Solución

U se un dispositivo de graficación en el m odo polar, y seleccione coordenadas polares m edidas en radianes. Ajuste los valores de la ventana para acom odar la gráfica com ple ta. A m enudo es deseable una gráfica cuadrada para m ostrar la form a verdadera de la curva com o la que aquí se usa. M uchos dispositivos de graficación, incluyendo el usa do aquí, no m uestran una cuadrícula polar. C uando se usa la función TRACE, m uchos dispositivos de graficación ofrecen una opción entre coordenadas polares y rectangula res para puntos en la curva polar. Las gráficas de las ecuaciones polares de arriba se m uestran en la fig u ra 9.

(A) r = 30, 0 < 0 < 3 tí/2

(C) r — 8 eos 20

(B) r = 4 + 4 eos 0

15

10

10

15.1.,

15 1.

f 10

FIGURA

Probii

G rafique cada una de las siguientes ecuaciones polares con un dispositivo de graficación. (A) r = 20, 0 < 0 < 2-ri (B) r = 5 + 5 sen 0 (C) r = 6 sen 20


(A)

G rafique r l = 10 sen 0 y r2 = 10 eos 0 en la m ism a ventana de visión. Use la función TRA CE en r l , y estim e las coordenadas polares donde las dos g ráfi cas se intersectan. Haga lo m ism o para r2. ¿Cuál punto de intersección parece tener las m ism as coordenadas polares en cada curva y representa, consecuen tem ente, una solución sim ultánea a am bas ecuaciones? ¿Cuál punto de inter sección p arece tener diferentes coordenadas polares en cada curva y, por consiguiente, no representa una solución sim ultánea? Resuelva el sistem a para r y 0.

(B) E xplique cóm o los sistem as coordenados rectangulares difieren del sistem a coordenado polar, con respecto al punto de intersección y a las soluciones sim ultáneas de sistem as de ecuaciones en los sistem as respectivos.

550


* A lg u n a s c u r v a s p o la r e s e s t á n d a r e s

En un sistem a coordenado rectangular los tipos m ás sencillos de ecuaciones para graficar se encuentran usando las variables rectangulares x y y iguales a constantes: x = a

y

y = b

Las gráficas son líneas rectas: La gráfica de x = a es una recta vertical, y la gráfica de y = b es una recta horizontal. U na m irada a la tabla 1 m uestra que las rectas vertical y horizontal no tienen ecuaciones sim ples en coordenadas polares. D os de los tipos m ás sencillos de las ecuaciones polares para graficar en un siste ma coordenado polar se encuentran haciendo las variables polares r y 0 iguales a cons tantes: r = a

y

0= b

La figura 10 ilustra las gráficas de 0 = 7i /4 y r FIGURA 10

2v Zr. 4

§

5

10

0

/ Tjl

H it 6

6

7 TT

á* 4

Sv

ÍE 3

4

3

\ = ^ (corto para Or + 6 = ~) Recta a partir del origen

(a)

r = 5 (corto para 08 + r = 5) Círculo (b)

La tabla 1 ilustra varias gráficas polares estándares y sus ecuaciones. La graficación polar a m enudo es m ás fácil si se tiene alguna idea de la forma final. C orredores de velero profesionales hacen gráficas polares de la velocidad del barco en diferentes ángulos con el viento y con diferentes com binaciones de velas a diferentes velocidades de viento. Con varias gráficas polares para diferentes tam años y tipos de velas, a diferentes velocidades de viento, pueden escoger exactam ente una vela para el desem peño óptim o en diferentes puntos con respecto a cualquier fuerza del viento dada. La figura 11 ilustra una de tales gráficas polares, donde la velocidad m áxim a parece ser de aproxim adam ente 7.5 nudos a 105° del viento (con la vela spinnaker). Diagrama polar que muestra la velocidad óptima de veleo en diferentes ángulos con respecto al viento 150’

180‘

Velocidad del barco (en nudos)

7-5


TABLA 1

Recta vertical: r = a/cos 0 = o sec 0

Recta que pasa por el origen: 0

=

0

Recta horizontal: r = al sen 0 = O CSC 0

(b)

(a)

Círculo: r=o

(c)

(d)

*•

Círculo: r = a eos 0

Círculo: r = o sen (

Ce)

Cardioide: r = a + a eos 0

Cardioide: r = a + a sen 0

(9)

m

(O

♦

Rosa de tres pétalos r = o eos 30

Rosa de cuatro pétalos r = a eos 20

Espiral de Arquímedes: /• = 00, o > O

Lemniscata: r2 = a2 eos 20

(k)

(i)

(O

Respuestas a los problemas seleccionados 1. (A) 90á

120° 135c

45°

150c

180°

5

10

-►oc

B 210°

330°

315e

225*

240° 270°

551


(B)

2

(B) (7.588, 147.98°) (A-) (1.603, -8.528) 4. x 2 + y2 + 2y = 0 r = 6 eos 6 (A)

0

90°

120c 135a

0.0

oo

0o

r

co

552

4.0

60°

6.9

90°

8 .0

60 a 45£

30"

150°

¡ ¿ g il

11oU flry

5

120°

6.9

150°

4.0

180°

0.0

210°

"

3304

225„

Repeticiones gráficas

(B)

10

- 4)’ A Un círculo con centro en (0, 4) y radio 4. 6. r = — 5 + 5 sen 6 ^ Cardioide

315°

240“

300°

270c

.V2 + (V

7. r = 6 sen 20 Rosa de cuatro petalos 2-17

3 4 5-ít

6

-►0

7 IT 6

lili 6

517 4

7 tt

4 4tt

3

5tt

3

7-5

8. (A)

r


553

(B) r = 5 + 5 sen 0

= 26, 0 < 6 < 2tt

10

10

-i

15 1..

(C) r = 6 sen 20 10

15.!..

7-5 Grafique los problemas del 13 al 16 en un sistema coordenado polar. Dibuje A, B y C. en los problemas del 1 al 8 en un sistema coordenado polar.

13.

r =8

14.

r=5

16. 0 = tt /6

15. 0 = tt/3

1. A(4, 0o), B (l, 180°), C(9, 45°) 2. A(8, 0o), B(5, 90°), C(6, 30°)

En los problemas del 17 al 22, convierta las coordenadas po lares a coordenadas rectangulares con tres cifras decimales.

3. A (—4. 0o), B (—7, 180°), C (—9,45°)

17. ( 6 , t t / 6 )

18. (7 , 2 tt/3 )

4. A (- 8 , 0o), B { - 5, 90o), C (- 6 , 30°)

19. ( - 2 .7 1 T /8 )

2 0 . (3 , — 3 tt/7 )

5. A(8, -

21. ( - 4 .2 3 3 . - 2 .0 8 4 )

22

6. A(6,

tt/3),

—tt/6 ),

B(4, —ir/4),C(10, -ir/6 )

7. A (- 6 , —tt/6), B (- 5 , —ir/2), C (- 8 ,

-77/4)

8. A (- 6 , —tt/2), B (—5, —ir/3 ),C (-8 , - t t / 4 ) Un punto en un sistema coordenado polar tiene coordena das ( —5 ,3 Tt/4), Encuentre todas las otras coordenadas po lares para el punto, —2n ¿ 0 £ 2rc, y describa verbalmente cómo se asocian las coordenadas con el punto. Un punto en un sistema coordenado polar tiene coordena das (6, -3 0 °). Encuentre todas las coordenadas polares para el punto, —360° £ 0 < 360°, y describa verbalmente cómo las coordenadas están asociadas con el punto. Grafique los problemas 11 y ¡2 en un sistema coordenado po lar usando graficación pumo por punto y los valores especia les 0. n/6, n/4, n/3, n/2, 2n/3, 3n/4, 5n/6, y para n = 0. gp Verifique las gráficas de los problemas I I y 12 con un disposi tivo de graficación. 11. r = 10.sen0

. ( - 9 .0 2 8 , - 0 .6 6 3 )

8(5, - ir/2), C(8, - i t / 4 )

12. r = 10 eos 0

B _______________ En los problemas del 23 al 28, convierta las coordenadas rec tangulares a coordenadas polares con 0 medido en grados. -1 8 0 ° < 0 < 180° y 0. 2 3 . (3 .5 , 7 .1 )

2 4 . (6 .9 , 4 .7 )

2 5 . (2 2 , - 1 4 )

2 6 . (1 6 , - 2 7 )

27. ( - 7 .3 3 , - 2 .0 4 )

28. ( - 8 .3 3 ,4 .2 9 )

En los problemas del 29 al 38, use técnicas de graficación rá pida para dibujar la gráfica de cada ecuación polar. Verifique las gráficas de los problemas del 29 al 38 con un dispositivo de graficación.

29. r

=

4sen0

r

=

8

32.

eos

20

30.

r

=

4 eos 0

31.

r = 10sen20

33.

r

=

5 e o s 30

34.

r - 6 sen 30

3 + 3 eo s 0

35. r =

2 + 2sen 0

36. r =

37. r =

2 + 4 sen 0

38.

r

=

2 + 4 eos 0

554

^


los pequeños de la gráfica y cómo están relacionados en tre sí y con respecto a n los pétalos largos y pequeños.

Los problemas del 39 al 44 son problemas de exploración que requieren del uso de un dispositivo de tra ficación.

Grafique r = 1 + 2 eos («0) para diferentes valores de n, n es un número natural. Describa cómo está relacionado n con el número de pétalos largos y con el número de péta los pequeños en la gráfica y cómo están relacionados los pétalos largos y pequeños entre sí y con respecto a n.

39. Grafique cada ecuación polar en su propia ventana de v i sión: r = 2 + 2 sen 0, r = 4 + 2 sen 6, r = 2 + 4 sen 0 40. Grafique cada ecuación polar en su propia ventana de vi sión: r = 2 + 2 eos 0, r = 4 + 2 eos 8, r = 2 + 4 eos 0 (A ) Grafique cada ecuación polar en su propia ventana de visión: r = 4 sen 0, r - 4 sen 30, r = 4 sen 50 / (B ) ¿Podría usted adivinar el número de pétalos para r = 4 sen 70? , (C) ¿Podría usted adivinar el número de pétalos para r = a sen nO, a > 0 y n impar? (A ) Grafique cada ecuación polar en su propia ventana de visión: r = 4 eos 0, r = 4 eos 30, r = 4 eos 50 (B ) ¿Podría usted adivinar el número de pétalos para r = 4 eos 70? (C ) ¿Podría usted adivinar el número de pétalos para r = a eos «0, a > 0 y n impar? (A ) Grafique cada ecuación polar en su propia ventana de visión: r = 4 sen 20, r = 4 sen 40, r = 4 sen 60 (B ) ¿Podría usted adivinar el número de pétalos para r = 4 sen 80? (C) ¿Podría usted adivinar el número de pétalos para r = a sen «0, a > 0 y n par? (A ) Grafique cada ecuación polar en su propia ventana de visión: r = 4 eos 20, r = 4 eos 40, r = 4 eos 60 (B ) ¿Podría usted adivinar el número de pétalos para r = 4 eos 80? (C) Podría usted adivinar el número de pétalos para r — a eos «0, a > 0 y n par?

f

En los problemas del 59 al 62. grafique cada sistema de ecuaciones en el mismo conjunto de ejes coordenados polares. Después resuelva simultáneamente al sistema. [Mota: Cual quier solución (rr 0 ) para el sistema debe satisfacer cada ecua ción en el sistema y asi se identifica un punto de intersección de las dos gráficas. Sin embargo, puede haber otros puntos de intersección de las dos gráficas que no rengan coordenadas que satisfagan ambas ecuaciones. Esto representa la mayor diferencia entre el sistema coordenado rectangular y el siste ma coordenado polar. \ 59. r = 4 eos 0 r = —4sen0 O <0<7T

60. r — 2 eos 0 r = 2sen0

61. r = 6 eos 0 r — 6 sen 20 0o < 0 < 360°

62. r - 8 sen 0 r = 8 eos 20 O ° < 0 < 360°

O < 0 < 1 T

63. Geometría analítica. La fórmula de la distancia para la distancia entre dos puntos en un sistema coordenado polar se sigue directamente de la ley de los cosenos: d2 - r] + r\ — 2r¡r2 cos(02 — 0,) d — V r2 + r \ — 2r,r2cos(02 — 0,)

En los problemas del 45 al 50, cambie cada ecuación rectan gular a la forma polar. 45. y2 = 5y - x2

46. 6x —x2 = y2

47. y = x

48. i? + y2 = 9

49. v2 = 4x

50. 2xy = 1

Encuentre la distancia (con tres cifras decimales) entre les dos puntos P |(4,tc/4) y P 2( 1, n/2). ^2Ír2t ®2)

En los problemas del 51 a! 56, cambie cada ecuación polar a la forma rectangular.

/W v 8,)

51. r(3 eos 9 — 4sen 0) = - 1 52. r(2 eos 0 + sen 0) = 4 54. r — 8 eos 0

53. r = —2 sen 0

55. 0 = tt/4

56. r = 4

Los problemas 5 7 y 58 son problemas de exploración que re quieren del uso de un dispositivo de graficación. Grafique r — 1 + 2 sen («0) para diferentes valores de n, n es un número natural. Describa cómo está relacionado n con el número de pétalos largos y con el número de péta

r 64. Geometría analítica. Remítase al problema 63. EncuerJ tre la distancia (con tres cifras decimales) entre los c:~ puntos P f2 , 30°) y P ,(3, 60°) lo s problemas 65 y 66 se refieren al diagrama polar de L f gura. Los diagramas polares de este tipo son usados amp. :zmentepor corredores de velero profesionales, y este diagre-.. polar representa velocidades en nudos de una navegador. alto desempeño de velero para diferentes ángulos de un vie soplando a 20 nudos.

7-6

Números complejos en formas rectangulares y polares

Viento de 20 nudos A

555

8

r = -----------1 - e eos 0 para los valores siguientes de e. e identifique cada curva como una hipérbola, elipse o parábola. (A) e = 0.6

(B) <• = 1

(C) e = 2

Astronomía. (A ) El planeta Mercurio viaja alrededor del Sol en una órbita elíptica dada aproximadamente por _

3.442 X I0 7 I — 0.206 eos 0

65. Competencia de veleros. Con referencia a la figura, aproxi me al nudo más cercano la velocidad del velero que nave ga formando los ángulos siguientes con el viento: 30°, 75°, 135°y 180°

66. Competencia de veleros. Con referencia a la figura, aproxi me al nudo más cercano la velocidad del velero que nave ga formando los ángulos siguientes con el viento: 45a, 90°, 120°y 150°

v está medido en millas y el Sol está en un polo. Grafique la órbita. Use la función T R A C E para encontrar la distancia entre Mercurio y el Sol en el afelio (la distancia más grande desde el Sol) y en el perihelio (la distancia más corta desde el Sol). (B ) Johannes Kepler (1571-1630) mostró que una línea que une un planeta con ei Sol barre áreas iguales en el espacio en intervalos iguales de tiempo (véase figura). Use esta información para determinar si un planeta viaja más rápido o más lento en el afelio que en el perihelio. Explique su respuesta.

67. Secciones cónicas. Usando un dispositivo de graficación, grafique la ecuación _

8 1 — e eos 0

para los valores siguientes de e (llamada excentricidad de la cónica), e identifique cada curva como una hipérbola, elipse o parábola. (A) e = 0.4

(B) e = 1

(C) e = 1.6

(Es instructivo explorar la gráfica para otros valores posi tivos de e.)

68. Secciones cónicas. Usando un dispositivo de graficación, grafique la ecuación

sección

7-6

Números complejos en formas rectangulares y polares Form a rectangular Form a polar M ultiplicación y división en form a polar N ota histórica U tilizando los conceptos de coordenadas polares estudiados en la sección anterior, se m ostrará que los núm eros com plejos se pueden escribir en form a polar, la cual puede ser m uy útil en m uchas aplicaciones. Conviene repasar en form a breve los núm eros com plejos estudiados en la sección 1-5 antes de proseguir.

556


Recuerde de la sección 1-5 que un núm ero com plejo es cualquier núm ero que se puede escribir en la form a a + bi

donde a y b son núm eros reales e i es la unidad im aginaria. En consecuencia, asociado con cada núm ero com plejo a + bi es el único par ordenado de núm eros reales (a, b) y viceversa. Por ejem plo, Eje im aginario

o

“

3 - 5i

(a, b) i a + bi

i i i -----------------n----*’ X

Eje real

Plano complejo.

corresponde a

(3, —5)

A so cian d o este p a r ordenado de nú m ero s reales con pu n to s en un sistem a coordenado rectangular, se obtiene un plano com plejo (vcase figura 1). Cuando los núm eros com plejos están asociados con puntos en un sistem a coordenado rectangular, se refiere al eje x como el eje real y al eje y com o el eje im aginario. Se dice que el núm ero com plejo a + bi está en la form a rectangular.

Graficación en ei plano complejo Dibuje los siguientes núm eros com plejos en un plano com plejo: A = 2 + 3i

Solución

B = —3 + 5i

C = -4

D = -3 /

Y

G rafique los siguientes núm eros com plejos en un plano com plejo: A = 4 + 2i


B = 2 - 3¿

C = -5

D = Ai

Sobre una recta num érica real hay una correspondencia uno a uno entre el conjunto de los núm eros reales y el conjunto de puntos sobre la recta: C ada núm ero real está aso ciado con exactam ente un punto sobre la recta, y cada punto sobre la recta está asocia do exactam ente con un núm ero real. ¿H ay tal correspondencia entre el conjunto de los núm eros com plejos y el conjunto de puntos en un plano extendido? E xplique cóm o se puede establecer una correspondencia uno a uno.

7-6


55 7

Los núm eros com plejos tam bién se pueden escribir en form a polar. U sando las rela ciones rectangular-polar de la sección 7-5,

r

x = r eos 0

A S I

y

y = r sen 0

se puede escribir el núm ero com plejo z = x + iy en la form a polar com o sigue: r

z = x + iy = r eos 6 + ir sen 0 = ricos 0 + i sen 0)

( 1)

Esta relación polar rectangular se ilustra en la figura 2. En un tratam iento más avanza do de este tem a, se establece la famosa ecuación siguiente:

x Relación polar-

(2)

ilar

donde e'e obedece todas las leyes básicas de los exponentes. En consecuencia, la ecua ción ( 1) tom a la form a (3) Se usará librem ente rea com o una form a polar para un núm ero com plejo. D e hecho, algunos dispositivos de graficación despliegan la form a polar de x + iy de esta m anera (véase figura 3, donde 0 está en radianes). C om o eos 0 y sen 0 son am bos periódicos con periodo 2n, se tiene 1+ i ) > P o la r i s i e r e . 79i,>

cos (0 + 2¿-rr) = eos 0 k cualquier entero sen (0 + 2 k v ) = sen 0

l + í =

1.4l é ^

DEFINICIÓN 1

Por consiguiente, se puede escribir una form a polar m ás general para un núm ero com plejo z = x + iy, com o se m uestra en seguida, y se observa que rem es periódica con periodo 2kn, k es cualquier entero.

Forma polar general de un número complejo Para k cualquier entero, z = x + iy = /-[eos (0 + 2lai) + i sen (0 + 2kn.)]

= re'^ +

El núm ero r se llama módulo, o valor absoluto, de z y se denota por mod z o \z\. El ángulo polar que form a la recta que une a z con el origen al eje polar se llama argum ento de z y se denota por arg z. En la figura 2 se ven las siguientes relaciones:

DEFINICIÓN 2

El módulo y el argumento para z = x + iy m od z = r = V x 2 + y 2 arg Z = 0 + 2 kn

Nunca es negativa k es cualquier entero

donde sen 0 = y fr y eos 0 = x/r. Por lo general se elige el argum ento 0 de m anera que - 1 8 0 ° < 0 < 180° o —n < 0 ^ n.

558


EJEMPLO 2

De la forma rectangular a la polar Escriba los incisos (A)-(C) en la form a polar, 0 está en radianes, —7t < 0 < re. Calcule el m ódulo y el argum ento para cada inciso (A) y (B) exactam ente; calcule tam bién el m ódulo y el argum ento para el inciso (C) con dos cifras decim ales. (A) z, = 1 — /

Solución

(B) z2 = - V 3 + i

(C) ¿3 = —5 - 2/

Localice prim ero en un plano com plejo; después, si x y y están asociados con ángulos especiales, r y 0 a m enudo se pueden determ inar por exam inación. (A) Un dibujo m uestra que z { está asociado con un triángulo especial de 45° (figura 4). Asi que, p or exam inación, r = V 2, 0 = —rt/4 (no ln /4 ), y

z, = V 2

eos

FIGURA 4

-1

r

1- i

(B) Un dibujo m uestra que z, está asociado con un triángulo especial de 30°-60° (fi gura 5). De m anera que, por exam inación, r = 2, 0 = 5 tc/6, y J 517 S-tt z2 = 2 eos — 4- (sen — \

6

6

FiCÜRA 5 -V3 + i r

-V 3

(C) U n dibujo m uestra que z ¡ no está asociado con un triángulo especial (figura 6). De m odo que se procede com o sigue: /• = V ( —5 )2 + ( —2)2 = 5.39 0 = —-ir + tan

-I

2

-2.76

Con dos cifras decimales Con dos cifras decimales

7-6


559

Esto es, z3 = 5.39 [cos(—2.76)

is e n (- 2 .7 6 )]

= 5.39e(_2-76)'

BCURa ó

La fig u ra 7 m uestra la m ism a conversión hecha por un dispositivo de graficación con u n a rutina preconstruida de conversión. HCURA 7 539e-i7&.

-5 -2 i

<*5-2í, ►Polar 5.39
Escriba los incisos (A) a (C) en form a polar, 0 está en radianes, —n < 0 s n. Calcule el m ódulo y el argum ento para los incisos (A) y (B) exactam ente; calcule tam bién el m ódulo y el argum ento para el inciso (C) con dos cifras decim ales. (A) ’- 1 + /

(B) 1 + / V 3

(C) - 3 - 5¡

De la forma polar a la rectangular E scriba los incisos (A )-(C) en form a rectangular. Calcule los valores exactos en los incisos (A) y (B); en el inciso (C) calcule a y b para a + bi con dos cifras decim ales. (A ) z, = 2eí5vl6)¡ Solución

(A ) x + iy = 2ets"/6)‘

(B) z2 = 3
(C ) z3 = 7.19e-2 l,í


- S l- J + O

-V 3

3V 3

7 . 19?A<- 2 .1 3 1 )►R ect * O ■O

(C) x + iy = l .\ 9 e - - ni = 7.19[cos(—2.13) -l- /sen(—2.13)1 = -3 .8 1 - 6.09/

7 .19e~

-3.81 - 6.09/.


La figura 8 m uestra 1a m ism a conversión hccha por un dispositivo de graficación con una rutina de conversión preconstruida.

Si su calculadora tiene una rutina preconstruida de conversión de polares a rectangu lares, intente con \ / 2 e i5°i y X/r2 é * A')i, después invierta el proceso para ver si se vuel ve al punto de partida. (Para núm eros com plejos en form a polar exponencial, algunas calculadoras requieren que 0 esté en m odo radián para ejecutar los cálculos. Estudie su m anual del usuario.)

Escriba los incisos (A )-(C) en la form a rectangular. Calcule los valores exactos de los incisos (A) y (B); en el inciso (C) calcule a y b para a + bi con dos cifras decim ales. (A) z, = V2e< -"mi


(B) z2 = 3eu0"¡

(C) z3 = 6.49
Sea z, = V 3 + / y z 2 = 1 + i V 3 (A ) E ncuentre z^z„ y 2,/z, usando las form as rectangulares de z, y z v (B) Encuentre ZjZ2 y z,/z, usando la form a polar exponencial de z 1 y z v 0 está en grados. (Suponga que las leyes del producto y el cociente de exponentes se cum plen para e'a.) (C) C onvierta los resultados del inciso (B) de nuevo a una form a rectangular y com pare con los resultados del inciso (A).

En este punto se encontrará que hay cierta ventaja de representar a los núm eros com plejos en form a polar: La división y la m ultiplicación son m uy fáciles. El teorem a 1 proporciona la razón. (La form a exponencial polar de un núm ero com plejo obedece las reglas del cociente y del producto para exponentes: b”'b’¡ = bm+'! y bm/b” = bm~':.)

7-6

Teorema 1


561

Productos y cocientes en forma polar Si z, = r ^ ' y z 2 = r 2eil>l, entonces 1.

z ,z , =

= r f 2e w ' + e2>

2.

-i- = — r

2

r pi®i

z,

/-2eí82

r

= _!_ ^(0, - e2)

r.

Se establece 1a propiedad de la m ultiplicación y se deja la propiedad delcociente para el problem a 32 del ejercicio 7-6. ¡a

¡o

Eitriba en forma

z,z 2 = r,e T->e ’

'2

1

=

-

r¡rz(eos

0¡ +

trigonom étrica. / sen

0,)(cos 02 + i sen 02)

M-.. ap liq u e.

= >y2(cos 0, eos 0; + í eos 0, se n 0 2 4i s e n 0, eos 02 - s e n 0 , s e n 02) = ;-)^f(cos 0, eos 02 - s e n 0 , se n 02) + , a a 1 ü a s , ' í(cos 0 , eos 02+ sen 0 , eos 02)J

^

,

;-1r 2rc o s( 0 l + 0 2) 4 - i's e n ( 0 , + 0 2)J

.. y .1(1),+»,) 12

Productos y cocientes Si Zj = 8e 45 ■y z 2 = 2 e >0°i. encuentre: (A) z,z 2 Solución

(B) z,/z 2

(A) z,z, = 8e45“' • 2é3(ri ! = &’ 2eMy' ' £89 i = 16
z,

(B)Í

= ^ I------------------- 1 ! = ñ^/<4^-30^) .! = 4^15“/ I I__________________J

Si r , = 9el65=i yz^ = 3e55\ encuentre: (A) z tz2

Ksc^ bíi eri forma e x p o n e n c ia l.

(B) zj/z2

i«

h

562


Es m uy difícil encontrar un área en las m atem áticas que no tenga la huella del fam oso m atem ático suizo Leonhard Euler (1707-1783), quien invirtió la m ayor parte de su vida productiva en la N ew St. Petersburg Academ y en Rusia y en la Prussian A cadem y en Berlín. Uno de los m ás prolíficos escritores en la historia de las m atem áticas, a él se le acredita la unificación y estandarización de las siguientes notaciones familiares: f(x )

notación de función

e

base del logaritm o natural

i

unidad im aginaria. V — 1

Para el interés inm ediato, él es tam bién el responsable de la extraordinaria relación en = eos 0 + i sen 0

Si se hace 0 = 7t, se obtiene una ecuación que relaciona cinco de los m ás im portantes núm eros en la historia de las m atem áticas: + i = o Respuestas a los problemas seleccionados

2. (A ) V2[cos(37r/4) + isen(3iT/4)] = V 2 í <3"'4>1

(B) 2[cos(ir/3) + ¡sen(n/3)] = 2e ""} " (C) 5.83[cos(-2.11) + ¡sen(-2.Il)] = 5.83
3. (A ) - V 2 í (B) —— H------- — i

4. (A ) s,z2 = 21e2Wi

EJERCICIO

(C ) —3.16 — 5.67/

(B ) r ,f e = 3c1

7-6

A

6. A = 2e^/w, B = 4e7rl, C = \ /2ea7,/4'li 7. ,4 = 4 e- '5QV,B = 3e2m,C = Se"90“''

En los problemas del l al 8, dibuje cada conjunto de números complejos en un plano complejo. 1. A = 3 + 4/. B = - 2 - i. C = 2i 2. A = 4 + i, B = - 3 + 2i, C = -3 / 3. A = 3 - 3i, B = 4 ,C = - 2 + 3/ 4. A = - 3 . B - - 2 - i, C = 4 + 4/ 5. A = 2e^p,\ B = X/'2e(*m', C = 4e'rr-y‘

8. A = 2e'50°‘, B = 3
B En los problemas del 9 al 12, cambie los incisos (A)-(C) a la forma polar. Para los problemas 9y 10, elija 6 en grados, —I80c < $ < 180°; para los problemas 11 y 12, elija 0 en radianes —j i < 0 < ti. Calcule el módulo y el argumento para los incisos

7-7

El teorema de De Moivre

563

'A) y (B) exactamente; calcule el módulo y el argumento para el inciso (C) con dos cifras decimales. 9. (A) V 3 + i

(B ) - 1 - i

10. ( A ) - l + /V 3 11. (A) - í V 3

(B) -3 / (B )- V 3 - í

12. (A) V 3 - /

(C) 5 - 6i

29. Muestre que r ''V " 3 es una raíz cúbica de rem.

(C )- 7 - 4 /

30. Muestre que r : : e": es una raíz cuadrada de re'0.

( Q - 8 + 5/

(B) - 2 + 2i

(C) 6 - 5/

Si z = re,e, muestre que z2 = r2em y z 3 = r V * . ¿Qué pien sa que será z" para n un número natural? 32. Pruebe:

En los problemas del 13 al 16, cambie los incisos (A)-(C) a i r a forma rectangular. Calcule los valores exactos para los isos (A) y (B ); para el inciso (C) calcule a y b para a + bi con dos cifras decimales.

13. (A) 2eMV (A) 2e3m

(B) V2c~45“'

(C) 3.08e2" '

(B) V 2 e (~MA)<

(O 5.71c-0-4*'

(B) V 7< r‘JU’'

(C) 4.09c"l22S8’'

15. (A) 6c(ir/6)' l í . (A) V 3 e (~ ^ '

(B) V 2 c !35°f

(C) 6.83« ,0»-82”'

En los problemas del 17 al 22, encuentre z , z , y z/z.. I - . z¡ = 7cS2'', z2 = 2c3,'f

15.

r, =

U. z,

18. z, = 6c'-w , z2 = 3c‘m ‘

5c 52“1, z2 = 2cs ,"‘' 3.05e

1.76,

-

20 . z , = 3c67’1. z2 = 2e w

= ll.94c-

mc^plifique los problemas del 23 al 26 directamente y usando h forma polar. Escriba las respuestas en forma rectangular y foiar. 6 está en grados. 23. ( - 1 + i)2

24. (1 + o2

:5 . (- 1 + 0(1 + i)

26. (1 + ¡V 3 )(V 3 + i)

r .

28. (1 + /)’

i f

SECCIOI

APLICACIONES

m

33. Fuerzas y números complejos. Un objeto se localiza en el polo, y dos fuerzas u y v actúan sobre él. Sean las fuer zas vectores que van del polo a los números complejos 20c°5' y lOc60'', respectivamente. La fuerza u tiene una magnitud de 20 libras en la dirección de 0°. L a fuerza v tiene una magnitud de 10 libras en una dirección de 60°.

_

— z, = 7.11 cow,, z2 = 2.66c107'

(i -

r,e‘- . = _1 g'íe ■ a.) r2e '■ r2

7-7

(A ) Convierta estos números complejos de la forma polar a la forma rectangular y sume. (B ) Convierta la suma del inciso (A ) anterior a la forma polar. (C ) L1 vector que va del polo al número complejo del inciso ( B ) es la resultante de las dos fuerzas originales. ¿Cuál es su magnitud y dirección? 34. Fuerzas y números complejos. Repita el problema 33 con las fuerzas u y v asociadas con los números complejos Be0'1 y óe30“', respectivamente.

El teorema de De Moivre El teorem a de D e M oivre, n es un núm ero natural Raíces «¿sim as de z

A hora se verá uno de los m ás grandes teorem as de las m atem áticas, el teorema de D e Moivre. A braham De M oivre (1667-1754), francés de nacim iento, invirtió la m ayor parte de su vida en Londres dando clases privadas, escribiendo y publicando en m ate m áticas. Perteneció a m uchas prestigiosas sociedades profesionales de Inglaterra, A le m ania y Francia, y fue am igo cercano de Issac Ncwton. U sando la form a polar para un núm ero com plejo. D e M oivre estableció un teore ma que aún lleva su nom bre para elevar núm eros com plejos a potencias de núm eros naturales. Lo que es más im portante, este teorem a es la base del teorem a de la raíz nésim a, que perm ite encontrar todas las raíces ?¡osunas de cualquier núm ero com plejo, real o im aginario.

564


Se inicia con la exploración y análisis 1 y se generaliza a partir de esta exploración.


R epitiendo el uso de la fórm ula del producto para la form a polar exponencial re analizada en la sección anterior, se establece lo siguiente:

1.

(x + iy)2 = (re 6')2 = Ht?28'

2.

(x + i y f = (rewy — iJeM

3.

(x + i y f = (re'i‘)4 = r 4#40'

C on base en las form as 1-3, y con form a polar de (x + /y)"?

n

un núm ero natural, ¿cóm o piensa que sería la

Si usted consideró f 'e ',0i, ha adivinado el teorem a de D e M oivre, el cual ahora >í expresa sin prueba. Una prueba com pleta de este teorem a para todos los núm eros natu rales n requiere de un m étodo de prueba llam ado inducción m atem ática, que se analiza en la segunda sección de "Sucesiones y series”.

Teorema 1

El teorema de De Moivre Si r = x + iy = re'1*, y n es un núm ero natural, entonces

z" = (x + iy)n = (r é ,í)n = f 'e ”*’

Las potencias de un número natural de un número complejo Use el teorem a de De M oivre para encontrar (1 + O10- Escriba la respuesta en for—__ rectangular exacta. Solución

(1 + /)'° = (V 2 e 45”')10

C o nvierta

1 - i a la fo rm a polar.

= ( V 2 ) 1V o'45”1'

Use el te o re m a d e De M oivre.

= 32í'450"'

C a m b ie a la form a rectangular.

= 32(cos 450° + i sen450o) = 32(0 + i) = 32/

Form a re c ta n g u la r.

U se el teorem a de De M oivre para encontrar. (1 + form a polar exacta y en la form a rectangular.

/ V I ) 5. Escriba

la respuesta er. .

EJEMPLO 2

Las potencias de un número natural de un número complejo Use el teorem a de De M oivre para encontrar ( —V I + i)6. Escriba la respuesta en form a exacta rectangular.

Solución

(~ V^3 + ¡)6 = (2 e 'M ')b

Convierta

\ 3

ia la forma polar.

= 26í ,í6'I50’ )'

El Teorema de De Moivre

= 6 4 r ,"n '

Cambie a la forma rectangular

= 64(cos 900° + ¡ se n 900°) = 6 4 ( - 1 + ¡0) = —64

Forma rectangular

[Nota: - V 3 + i debe ser una raíz sexta de - 6 4 , ya que ( —V 3 + i f = - 6 4 .]


Use el teorem a de De M oivre para encontrar (1 - ¡V 3)4. Escriba la respuesta en form a polar exacta y en form a rectangular.

• R a í c e s n é s im a s

Se considerarán ahora las raíces de núm eros com plejos. Se puede decir que w es una ra íz n ésin ia de z, n es un núm ero natural, si w" = z. Por ejem plo, si w2 = z, entonces vv es una raíz cuadrada de z. Si m3 = z. entonces w es una raíz cúbica de z, Y así sucesiva m ente.


Si z = rem, entonces use el teorem a de De M oivre para m ostrar que r me{m)l es una raíz cuadrada de z y r ,íV e/3)í es una raíz cúbica de z.

Se puede proceder de la m ism a m anera que en la exploración y análisis 2 para m ostrar que r 1V a’'1' es una raíz nésim a de re®, n es un núm ero natural:

= re * A hora se puede hacer algo aún m ejor que esto. El teorem a de la raíz «ésim a (teorem a 2) m uestra cómo encontrar todas las raíces «ésim as de un núm ero com plejo.

Teorema 2

Teorema de la raíz nésima Para n un entero positivo m ás grande que 1, r línem + M60°íít)r

* = 0, 1...... ... — 1

son las « raíces «ésim as distintas de re'*1, y no hay otras.

lunam cu

¡a

uiyonometria

La prueba del teorem a 2 se deja a los problem as 31 y 32 en el ejercicio 7-7.

EJEMPLO 3

Determinación de todas las raíces sextas de un número complejo E ncuentre las seis distintas raíces sextas de - 1 + i V 3, y grafíquelas en un plano com plejo.

Solución

Prim ero escriba - 1 + / V 3 en la form a polar: - 1 + ( V 3 = 2e,2C°‘

U sando el teorem a de la raíz «ésim a, todas las seis raíces están dadas por k = 0 1 2 345

2i/Ge(¡20'','6+»60“/6)í _ Esto es,

Y w

.x

=

2 ,,v 20°+ '604)' = 21/se20“'

:=

21/V 2Ü'+

=

2'/6eao°~

= 2 [,6es0°‘

w — 21/«e<20°+ •60, )í_ 21/6g200°¡

h>, =

2U6e(20i+ '60°)' = 2 m e26U°:

=

2 l''fit»<20'^ -60°)i_ 21/6^20°;

Wj

Todas las raíces son fácilm ente graficadas en el plano com plejo después que se localiza la prim era raíz. Los puntos de las raíces están igualm ente espaciados alrededor de un círculo de radio 216 con increm entos angulares de 60c de una raíz a la siguiente (figura 1).

FIGURA 1

Problem

Encuentre cinco raíces distintas quintas de 1 + i. Deje todas las respuestas en la forma p olar y dibújelas en un plano com plejo.

Solución de una ecuación cúbica Resuelva x 5 + 1 = 0 . Escriba las respuestas finales en la form a rectangular y dibújelas en el plano com plejo. Solución

.

^ + 1= 0 r* = - 1

Se ve q u e x es una raíz cúbica de - 1 , y hay un total de tres raíces. Para encontrar las tres raíces, prim ero se escribe — 1 en la form a polar: —

[ = ¡¿.ISO0!'

7-7

El teorema de De Moivre

U sando el teorem a de la raíz «ésim a, las tres raíces cúbicas de —1 están dadas por

j 1 /3 ^(1 8 0 “,'3 + * 3 6 0 " /3 )í _

J e ( 6 0 " + * I 2 ü ') i

£

=

0

1

2

Esto es, Y

w, = le 60"1’ = eos 60° + í se n 60° = - + i— 2

2

w2 = l e 180“1= eos 180° + i sen 180° = -1 = le 3oo-i = cos 300o + / sen 300° = ]- - i— 2

FIGURA 2


2

[Nota: Este problem a se puede resolver tam bién usando factorización y la fórm ula cuadrática (inténtelo).] Tres raíces están graficadas en la figura 2.

Resuelva x 3 - 1 = 0. Escriba las respuestas finales en forma rectangular y dibújelas en un plano com plejo.

Respuestas a los problemas seleccionados X. 32eM'' = 16 - (16V3 2. \6e~2M‘‘ = -8 + /8V3 3. w, = 2',,0em, w2 = 2,',V 1”i, w3 = 21',V M'Í, k>4 = 2',we™’\ ws = 2'me™n Y

Y

i


568

7-7 A En los problemas del I al 6. use el teorema de De Moivre para evaluar cada una de las expresiones siguientes. Exprese las respuestas en forma polar. 1. (2e30=i)'’

2. (5e'y 'Y

3. (V2e'°°¡f

4. (.V2<’I5’,')S

5. (1 + (V3)-’

6. (V 3 + 0S

B En los problemas del 7 al 12, encuentre los valores de cada expresión y escriba la respuesta final en la forma rectangular exacta. (Verifique los resultados de los problemas del 7 al 12 e\!aluando cada uno directamente en una calculadora.) 7. ( - V 3 - O4

8. (- 1 + í)4

9. •(1 - i f

10. ( - V 3 + 05

V5 . 11. i - -1 + ----i 2

(A ) Muestre que —2 es una raíz de a 3 + 8 = 0. ¿Cuántas otras raíces tiene la ecuación? (B ) L a raíz - 2 está localizada en un círculo con radio de 2 en el plano complejo como se indica en la figura. Localice las otras dos raíces de .y3 — 8 = 0 en la figura, y explique geométricamente cómo encontró su ubicación. (C) Verifique que cada número complejo encontrado en el inciso (B ) sea una raíz de x i + 8 = 0

12. í —- — ——

2

Para n y z como se indica en ¡os problemas del 13 al 18, en cuentre todas las raíces nésimas de z. Exprese las respuestas en forma polar. 13. ? = 8 r!0”', n = 3

14. z

8
15. z =

16.

ló«’* ’“', n = 4

18. z

—1 + i, n = 3

= 4

17. z = 1 - i, n = 5

Para n y z como se indica en los problemas del 19 al 24, en cuentre todas las raíces nésimas de z. Escriba las respuestas en la forma polar y grafique en un plano complejo. 19. z = 8,n = 3

20. z = l.n = 4

21. z = -1 6 , n =

22. z = - 8 , n = 3

23. z = /, n = 6

24. z = —i, n - 5

(A ) Muestre que 1 + / es una raíz de x4 + 4 = 0. ¿Cuán tas otras raíces tiene la ecuación? (B ) La raíz 1 + i está localizada en un círculo con un radio de V 2 en el plano complejo como se indica en la figura. Localice las otras tres raíces de.v4 + 4 = 0 en la figura, y explique geométricamente cómo encontraría su ubicación. (C ) Verifique que cada número complejo encontrado en el inciso (B ) es una raíz de a 4 + 4 = 0.

En los problemas del 27 al 30, resuelva cada ecuación para todas las raíces. Escriba la respuestafin a l en forma polar exac ta y en forma rectangular. 11. ,r’ + 64

28. x3 - 64 = 0

29. ^ - 27 ;

30.

a-'

+ 27 = 0

31. Muestre que |yi/ne
para cualquier número natural n y cualquier entero k.

569


32. Muestre que

35. Resuelva .r- + 1 = O en el conjunto de los números com plejos. 36. Resuelva x’ — i = Oen el conjunto de los números com plejos.

j-l/n ^ (.0 /n + k 3 60V« )¡

es el mismo número para k = O y k = /¡.

En los problemas 37y 3
En /oí problemas del 33 al 36, escriba las respuestas en la forma polar. '-

37. F.seriba P{x) neales.

53. Encuentre todas las raíces complejas para Pí x) = x 5 — 32.

I (A)

64 como un producto de factores li

38. Escriba P(x) = ,vs — 1 como un producto de factores linea les.

34. Encuentre todas las raíces complejas para P(x) — xb + 1.


= .y6 +

Secciones cónicas y órbitas planetarias

Secciones cónicas en forma polar Introducción a las cónicas. Para entender las órbitas de los planetas, los com etas y otros cuerpos celestes, es necesario saber algo de las propiedades y naturaleza de las secciones cónicas. (Las secciones cónicas se abordan con detalle en el capítulo 11. Aquí el tratam iento será breve y se lim itará a las repre sentaciones polares). Las secciones cónicas deben su nom bre a las curvas que se form an al cortar un cono circular, recto y com pleto de dos hojas con un plano (figura 1). C ualquier plano perpendicular al eje del cono corta una sección que es un círculo. Incline el plano levem ente y la sección será una elipse. Si el plano es paralelo a una de las orillas del cono, cortará sólo una hoja, y la sección será una parábola. Incline el plano para que esté m ás vertical, y entonces se cortarán am bas hojas del cono, lo que producirá una hipérbola con dos ram as. Las órbitas cerradas son elipses o círculos. Cuando las órbitas son abiertas (o escapan) son parábolas o hipérbolas.

Á

\

,

•-

,

'.

jé j

-

A '•

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/

—

A

'

\

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.

% fr

' • - i ’’

V

* . ' ¿Tv .

■

Círculo

Elipse

-

: :i f t

P aráb o la

:

\ 1 ' 1 i r

'■

H ip érb o la

Secciones cónicas.

(B)

C ónicas y excentricidad. O tra m anera de definir las secciones cónicas es en térm inos de su excentri cidad. Sea F un punto fijo, llam ado foco, y sea d una línea fija, llam ada directriz (véase figura 2). Para valores positivos de la excentricidad e. una sección cónica se puede definir com o el conjunto de puntos {P} que tienen la propiedad de que la razón de la distancia de P al foco F con la distancia de P a la

570


Sección cónica.

Directriz

directriz d es la constante e. C om o se verá, una elipse, una parábola o una hipérbola se pueden obtener eligiendo e en form a adecuada. (C) La representación polar de cónicas. Un tratam iento unificado de las secciones cónicas se puede obtener usando un sistem a coordenado polar. Las ecuaciones polares de cónicas se usan am pliam ente en m ecánica celeste para describir y analizar las órbitas de planetas, los com etas, los satélites y otros cuer pos celestes. Problem a 1: La ecuación p o la r de una cónica. Use la definición de la excentricidad de una sección cónica dada en el inciso (B) para m ostrar que la ecuación polar de una cónica está dada por

donde p es la distancia entre los focos F y la directriz d, el polo del eje polar está en F, y el eje polar es perpendi cular a d y está apuntando hacia afuera de d (véase figura 2). Problem a 2: Exploración con un dispositivo de graflcación, 0 < e < 1. Para 0 < e < 1, use un dispositivo de graficación para explorar sistem áticam ente la naturaleza de los cam bios en la gráfica de la ecuación ( 1) cuando se cam bia la excentricidad e y la d istan ciap . Resum a los resultados m anteniendo fijo e y cam b iarp , y los resul tados de m antener p fijo y cam biar e. Para 0 < e < 1, ¿qué sección cónica se produce? Problem a 3: E xploración con un dispositivo de graficación, e = 1. Para e = '1, use un dispositivo de graficación para explorar sistem áticam ente la naturaleza de los cam bios en la gráfica de la ecuación (I ) cuando se cam bia la distancia/?. R esum a los resultados de m antener 1. E n e > 1, use un dispositivo de graficación para explorar sistem áticam ente la naturaleza de los cam bios en la gráfica de la ecuación ( 1) cuando se cam bia la excentricidad e y la distancia p. R esum a los resultados de m antener e fijo y cam biar p y los resultados de m ante ner p fijo y cam biar e. Para e > 1, ¿qué sección cónica se produce?

II

Órbitas planetarias

A hora se está interesado en encontrar las ecuaciones polares para las órbitas de planetas específicos donde el Sol está en el polo. E ntonces estas ecuaciones se pueden graficar con un dispositivo de graficación, y se puede, adem ás, contestar preguntas acerca de las órbitas. El m aterial de la tabla 1, se encontró en el A lm anaque m undial al que se puede acceder fácilm ente, está redondeado con tres dígitos significativos, y proporciona suficiente inform ación para encontrar la ecuación polar de cualquier órbita planetaria. Problem a 5: E cuaciones polares para las órbitas de Mercurio, Tierra y M arte. E n todos los casos el eje polar intersecta con la órbita del planeta en el afelio (la distancia m ás grande al Sol).


(A)

571

M uestre que la órbita de M ercurio está dada aproxim adam ente por 3.44 X 107 1 - 0.206 eos 0

TABLA 1

Planeta

Excentricidad

Mercurio

0.206

M áx. distancia del Sol (millones de millas)

M ín. distancia del Sol (millones de millas)

43.4

28.6

Venus

0.00677

67.7

66.8

Tierra

0.0167

94.6

91.4

Marte

0.0934

155

129

Júpiter

0.0485

507

461

938

838

Saturno

0.0555

Urano

0.0463

1 860

1 670

Neptuno

0.00899

2 820

2 760

Plutón

0.249

4 550

2 760

(B)

M uestre que la órbita de la T ierra está dada aproxim adam ente por 9.30 X 10 7 1 - 0.0167 eos 0

(C)

M uestre que la órbita de M arte está dada aproxim adam ente por 1.41 X 10* 1 — 0.0934 eos 0

Problema 6: Graficando las órbitas para M ercurio, Tierra y Marte. G rafique las tres órbitas (M ercurio, Tierra y M arte) a partir de las ecuaciones de los incisos (A) al (C) en la m ism a ventana de visión de un dispositivo de graficación. E scoja las dim ensiones de la ventana para que la órbita de M arte llene la m ayor parte de la ventana. Problema 7: D eterm inación de las distancias y los ángulos relacionados con las órbitas. La figura 3 representa un esquem a de la Tierra en dos ubicaciones durante su órbita. Encuentre la distancia en línea recta entre la posición e n ^ y la posición en B con tres dígitos significativos. Encuentre las m edidas de los ángulos BAO y A BO m edidos en grados con una cifra decim al. La órbita de la Tierra cruza al eje polar en el afelio (la distancia m ás grande desde el Sol). Órbita de la Tierra.

'

572



LEY DE LOS SENOS

TABLA 2 Un triángulo oblicuo es un triángulo sin un ángulo rectángu lo. Un triángulo oblicuo es agudo si todos los ángulos están entre 0 y 90° y obtuso si un ángulo está entre 90 y 180°. La convención mostrada en estas figuras se sigue de este capítulo.

(h = b sen a)

Número de triángulos

0 < a < h

0

a

« Agudo

Figura °

'

10

'■-l>

\Óí

\h

c c

Triángulo agudo

Triángulo obtuso

Agudo

a = h

1 4

E l objetivo de ésta y la siguiente sección será resolver un triángulo oblicuo dando tres de las seis cantidades indicadas en la figura, si existe una solución. La ley de ios senos, anali zada en esta sección, y la ley de los cosenos, que se analiza en la siguiente, se usan para este propósito. La precisión de los cálculos está dada en la tabla I .

Agudo

h < a < b

2

.

,

b

a h\

Agudo

as

b

1

h

a

b

°

Casos ambiguos

0

\

/

/

TABLA 1 Triángulos y dígitos significativos Obtuso

Ángulo más eercano

Dígitos significativos para la medida de un lado Obtuso

2

1° 10' 0 0.1°

a> b b

3

1' 0 0.01°

4

10" 0 0.001o

5

La lev de los senos está dada como

7-2

a

LEY DE LOS COSENOS

La lev de los cosenos está dada como sen a _ sen (3 _ sen -y a

b

e a2 = b2 + c2 - 2be eos a b2 = a1 + c2 - 2ac eos (3 c2 — a2 + b2 — 2be eos 7

y se usa por lo general para resolver los casos A L A , A A L y L L A para triángulos oblicuos. E l caso A A L se reduce fácil mente al caso A L A encontrando primero el tercer ángulo. El caso L L A tiene diferentes variaciones, incluyendo el caso am biguo. Estas variaciones se resumen en la tabla 2. Observe que el caso ambiguo siempre da como resultado dos tipos de trián gulos, un obtuso y un agudo.

y se usa por lo general como primer paso para resolver los casos L A L y L L L para triángulos oblicuos. Después de que se encuentra un lado o un ángulo usando la ley de los cosenos, generalmente es más fácil continuar el proceso de solución con la ley de los senos.


7-3

VECTORES GEOMETRICOS

Un escalar es un número real. Un vector geométrico de un plano es un segmento de recta dirigido y se representa por una flecha como se indica en la figura. P

O

velocidad real. La velocidad resultante es la suma vectorial de la velocidad aparente y la velocidad del viento. Afirmaciones semejantes se aplican a objetos en agua sujetos a corrientes. Un vector que representa la dirección y la magnitud de una fuerza aplicada se llama vector fuerza. Si un objeto está sujeto a dos fuerzas, entonces la suma de estas dos fuerzas, la fuerza resultante, es una sola fuerza que actúa sobre el objeto de la misma manera en que actúan las dos fuerzas originales juntas.

7 4

VECTORES ALGEBRAICOS

Vector OP, o v

E l punto O se llama punto inicial, y el punto P se llama punto terminal. La magnitud del vector AB , denotado por \AB\, ¡v|, o |v|, es la longitud del segmento de recta dirigido. Dos vectores tie nen la misma dirección si son paralelos y apuntan en la mis ma dirección. Dos vectores tienen direcciones opuestas si son paralelos y apuntan en direcciones opuestas. E l vector cero se denota por 0, o 0. tiene una magnitud de cero y una dirección arbitraria. Dos vectores son iguales si tienen la misma magni tud y dirección. Esto es, un vector se puede trasladar de un lugar a otro en tanto la magnitud y la dirección no cambien. La suma de dos vectores u y v se puede definir usando la regla de cola a punta. La suma de dos vectores no paralelos también se puede definir usando la regla del paralelogramo. Ambas reglas se muestran en la figura siguiente:

Un vector geométrico A B en un sistema coordenado rectangu lar trasladado de modo que su punto inicial cst£en el origen, se dice que está en posición estándar. E l vector OPtal que OP = AB se dice que es un vector estándar para.4.5. Esto se muestra en la figura siguiente. y

B p

\7 ~

Vector estándar

OP es el vector estándar para AB

u

Observe que el vector OP en la figura es un vector estándar para un número infinito de vectores^ todos los vectores con la misma magnitud y dirección que OP). Con referencia a la figura anterior, si las coordenadas de A son (,v > a'. sva/) *v las coordenadas de B son \(.v., a’ --y.), entonces las coordenadas de P están dadas por

Suma vectorial: regla de cola a punta

<,xl,,yP) = (xb: - x „ y b - y 0)

u

Suma vectorial: regla del paralelogramo Al vector u + v se le llama también resultante de los dos vectores u y v. y u y v se llaman componentes del vector de u + v. La suma de vectores es conmutativa; es decir, u + v =

v + u. Un vector que representa la dirección y la velocidad de un objeto en movimiento se llama vector velocidad. La velocidad de un avión con respecto al aire se llama velocidad aparente, y la velocidad con respecto a la Tierra se llama resultante, o

Cada vector geométrico en un sistema coordenado puede estar asociado con un par ordenado de números reales, las co ordenadas del punto terminal de su vector estándar. De manera inversa, cada par ordenado de números reales puede estar aso ciado con un único vector geométrico estándar. Esto nos con duce a la definición de un vector algebraico como un par ordenado de números reales, denotado por {a, b). Los nú meros reales a y b son las componentes escalares del vector (a, b). Dos vectores u - (a, b) y v = (c, el) se dice que son igua les si sus correspondientes componentes son iguales, esto es, si a = c y b = d. E l vector cero se denota por 0 = (0, 0) y tiene una dirección arbitraria. La magnitud o norma, de un vector v = (a, b) se denota por |v| y está dado por |v| =

574


Geométricamente, V a 2 + t>2 es la longitud del vector geomé trico estándar OP asociado con el vector algebraico (a, b). Si u = (a, b), v = (c, d) y k es un escalar, entonces la suma de u y v está dada por

■

b

h

h

2.

m(u + v) = mu + « v

3.

(m + n)u =

4.

lu = u

h

h

Propiedad distributiva Propiedad distributiva Identidad multiplicativa

mu + «u

u + v = (a + c, b + d)

i

y una multiplicación escalar de u por k está dada por

itu = k{a, b) = (ka, kb) Si v es un vector diferente de cero, entonces 1 u =r ív M

Algunos problemas de equilibrio estático se pueden re solver usando el material desarrollado en esta sección. Las con diciones para el equilibrio estático son: 1. Un objeto en reposo se dice que está en equilibrio está

tico. 2. Para un objeto localizado en el origen de un sistema

es un vector unitario con la misma dirección que v. Los vectores unitarios i y j están definidos como sigue:

coordenado rectangular que permanece en equilibrio está tico, en reposo, es necesario que la suma de todos los vectores de fuerza que actúan sobre el objeto sea igual al vector cero.

i = (1, 0} I = (0,1} L a figura siguiente ilustra un sistema coordenado polar. El punto fijo O se llama polo u origen, y la flecha horizontal se llama eje polar. Se tiene la siguiente relación entre las coor

-►i— ►x

denadas rectangulares (.y, v) v las coordenadas polares Cada vector algebraico se puede expresar en términos de los vectores unitarios i y j:

Las siguientes propiedades algebraicas de la suma de vectores y multiplicación por un escalar permiten la manipulación de los símbolos que representan vectores y escalares, de la misma manera que se manipulan los símbolos que representan a los números reales en álgebra.

de vectores

A. Propiedades de la suma. Para todos los vectores u ,v y w: 1. 2. 3. 4.

u+ v= v+ u u + (v + w) =, (u + v) -l- yv u+ 0 0+ u= u u + ( u) = (-u) + u = 0

Propiedad conmutativa Propiedad asociativa TdpnfiHíirl Identidad aditiva

Inverso aditivo ííííím !

B. Propiedades de la multiplicación por un escalar. Para todos los vectores u y v y todos los escalares m y n: 1.

m(nu) = (mrí) u

r = a-2 + y2 sent

v = (a, b) = ai + bj

Propiedades algeb

(>•,«):

Propiedad asociativa

l r

o

y = r sen0

eos 0 = r tan 0

[Nota: Los signos de A' y v determinan el cuadrante para 0. E l ángulo 0 se elige de tal modo que —n < 0 á ji o —180° < 0 s 180° a menos que se indique de otra manera.] Las gráficas polares se pueden obtener graficando punto por punto de la misma manera que se realizan las gráficas de coordenadas rectangulares, llaga una tabla de valores que sa tisfaga la ecuación polar, grafique estos puntos y después úna los con una curva suave. Las gráficas se pueden obtener también por técnicas rá pidas de grafieación. Si sólo se desea un burdo dibujo de una ecuación polar que implique a sen 0 o a eos 0. se puede acele rar el proceso de grafieación punto por punto tomando ventaja de que la variación es uniforme para sen 0 y eos 0 conforme 6 se mueve por cada conjunto de los valores del cuadrante. Los dispositivos de grafieación pueden producir gráficas polares casi instantáneamente. La tabla siguiente muestra algunas curvas polares estándar con sus ecuaciones:


Recta vertical: r = al eos 0 = a sec 0

Jnea que pasa por el origen: 0= a

Recta horizontal: r = a/sen 0 = o ese 0

(a)

Círculo: r=a

Cardioide: r = o + o sen i

Rosa de tres pétalos r = a eos 30

(h)

(0

(9)

Rosa de cuatro pétalos r = o eos 20 £j)

Círculo: r= a sen i

(e)

(d)

Cardioide: r = o + o eos i

Círculo: r = a eos 0

Lemniscata: r2 = o2 eos 20

(k)

Espiral de Arquímedes: r = 00, o > O

(I)

ros 0 - i sen ili

Un número complejo es un número de la forma a + bi donde a y b son números reales e i es la unidad im aginaria. La siguiente figura muestra un número complejo a + bi graficado en un plano complejo.

Eje imaginario (o, b) a + bi

Debido a la naturaleza periódica de las funciones seno y coseno, se tiene la forma polar más general para un número complejo z = x + iy: 2 = x + iy = r[cos(0 + 2A'-m) + i sen(0 + 2£it)]

Eje real Plano complejo donde Cuando los números complejos están asociados con pun tos en un sistema coordenado rectangular, al eje x se le llama eje real y al eje y eje imaginario. E l número complejo a + bi se dice que está en la forma rectangular. Los números complejos también se pueden escribir en for ma polar o trigonométrica, usando x = r eos 0 y y = r sen 9 como se muestra en la figura siguiente:

eos 0 -i- i senO y el cuadrante para 0 se determina por .v y y. E l número r se llama módulo, o valor absoluto, de z y se denota por mod o !z|. E l ángulo polar que la recta que une a z con el origen forma con el eje polar se llama argumento de r

576


y se denota por arg z. De la figura anterior se tienen las re presentaciones siguientes del módulo y del argumento para z = x + iy. mod z = r = V ? + y arg z = 0 + 2 iir

Nunca es negativo 1c es cualquier entero

donde sen 0 = y /r y eos 0 = x/r, y 0 es usualmente elegido de —n < 8 s i t o —'180° < 0 < 180°. Los productos y cocientes de números complejos en for mas polares se encuentran como sigue: Si

7-7

EL TEOREMA DE DE MOIVRE

Esta sección analiza el famoso teorema de De Moivre y su re lación con la raíz «ésima. Estos teoremas hacen que el proceso de encontrar las potencias de números naturales y todas las raíces «ésimas de un número complejo sea relativamente fácil. El teorema de De Moivre se expresa como sigue: si z = ,v + iy = re'" y n es un número natural, entonces zr‘ = (.v + iyY = (re'*)" = r V “

z, = r tem'

y

z2 = r2em’

entonces 1. z,z2 = rxe m 'r2e m - = r,r2eiw'+ ^

z1 _ r ¡£ ^ ^ r .

A partir del teorema de De Moivre, se puede deducir el teore ma de la raíz wésima: para n un entero positivo mayor que 1, r)in„Wit+kWm)i

k = 0. 1.......... n- 1

son las n raíces distintas de las «csimas raíces de rem, y no hay otras.

Ejercicio de repaso del capítulo 7 A i resolver los problemas de este capitulo revise y compruebe sus respuestas con las que se clan al final del libro. Se incluyen las respuestas a todos los problemas de repaso, y después de cada respuesta está un número en tipo itálico que indica la sección a la cual pertenece el problema que se está analizan do. Si se le presentan dudas repase las secciones correspon dientes en el texto.

¿cuál de los ángulos, (3 o y, se puede asegurar que es agu do y por qué? En los problemas del 5 al 7, resuelva cada triángulo a partir de la información dada. 5. a = 672, (3 = 38° y c = 49 metros 6. a = 15°, b = 9.1 pies y c = 12 pies

Para resolver los problemas de este ejercicio use las siguientes etiquetas de lados y ángulos.

7. y = 121°, c = 11 centímetros y b = 4.2 centímetros 8. Dados los vectores geométricos u y v como se indica en la figura. Encuentre |u + v y 0, dado |u¡ = 160 millas por hora y v = 55 millas por liora.

9. Escriba el vector algebraico (a. b) correspondiente al vec tor geométrico A B con los puntos terminales A (2, 6) y B (5, - 1 ). En los problemas del 1 al 3, determine si la información de cada problema permite construir cero, uno o dos triángulos. A'o resuelva el triángulo. a = 11 metros, b = 3.7 metros, a = 67° c = 15 centímetros, a = 97°, |3 = 84° a = 18 pies, b = 22 píes, a = 54° Con referencia a la figura del inicio de este ejercicio, si a - 52.6°, b = 57.1 centímetros y c = 79.5 centímetros,

10. Encuentre la magnitud del vector ( —3. —5). 11. Trace una gráfica de 0 = polar.

tc/6

en un sistema coordenado

12. Trace una gráfica de r = 6 en un sistema coordenado po lar. 13. Grafique en un plano complejo: A = 3 + 5/, B — —1 — i, C = -3 / Un punto en un sistema coordenado polar tiene las coor denadas (10, —30'). Encuentre todas las otras coordena


das polares para el punto, —360° < 0 < 360°, y describa verbalmente cómo están asociadas las coordenadas con el punto.

577

29. Encuentre una unidad vectorial u con la misma dirección que v = <-1, - 3 ) . En los problemas del 30 al 33, use técnicas rápidas de trazado para dibujar cada gráfica en un sistema coordenado polar.

15. Trace en un plano complejo: A = 5e3ü"', B = 10e( E'2)i, C = 7 e (3*/4V

16. (A ) Cambie 1 - í V 3 a forma polar, r £ ( ) , —! 80° < 0 < 180° (B ) Cambie 4e‘ a forma rectangular exacta. 17. (A ) Encuentre [(—1/2) — (V'3/2)/]5 usando el teorema de De Moivre. Escriba la respuesta final en las for mas exactas rectangulares. (B ) Verifique los resultados del inciso (A ) con una calcu ladora. 18. Encuentre (2e!5°')4 usando el teorema de De Moivre, y es criba la respuesta final en la forma rectangular exacta.

B ____________________________________________ Refiérase a la figura del principio del ejercicio, si a = 434 metros, b = 302 metros y c = 197 metros, entonces, si el triángulo tiene un ángulo obtuso, ¿qué ángulo debe de ser y por qué? En los problemas del 20 al 23, resuelva cada triángulo. Si un problema no tiene solución, dígalo. Si un triángulo tiene dos soluciones, dígalo, y resuelva el caso del obtuso. 20. p = 115.4C. a = 5.32 centímetros, c - 7.05 centímetros 21. a = 63.2°, ¿7=179 milímetros, b = 205 milímetros

22. a = 26.4°, a = 52.2 kilómetros, b = 84.6 kilómetros 23. a = 19.0 pulgadas, b = 27.8 pulgadas, c = 26.1 pulgadas Si cuatro vectores de fuerza diferentes de cero con distin tas magnitudes y direcciones están actuando sobre un cuer po en reposo, ¿cuál debe ser la suma de los cuatro vectores para que el objeto permanezca en reposo?

25. Dados los vectores geométricos u y v como se indica en la figura. Encuentre |u + v| y a , dada |u| = 75.2 kilogramos. ¡v¡ = 34.2 kilogramos y 0 = 57.2°.

W í Verifique las grájicas de los problemas del 30 al 33 con un dispositivo de grqficación. 30. r = 6 + 4 eos 0

31. r = 8 + 8 sen ()

32. r = 10 eos 20

33. /• = 8 sen 30

'f** 34. Grafique r = 6 eos (0/7) para 0 ^ 0 ^ 7k . ^

35. Grafique r = 6 eos (0/9) para 0 < 0 < 9k . Grafique r — 8 (sen 0)2il para n = 1, 2 y 3. ¿Cuántos péta los espera que tendrá la gráfica para la n arbitraria? 37. Grafique r = 3/(1 - e eos 0) para los siguientes valores de e, identifique a cada curva como una elipse, parábola o hipérbola. (A) e — 0.55

(B )< ?= 1

(C ) e = 1 .7

38. Convierta .v; + y 1 = 6.x a la forma polar. 39. Convierta r = 5 eos 0 a la forma rectangular. 40. Cambie los siguientes números complejos a la forma po lar, >• > 0, -1 8 0 ° < 0 < 180°: z¡ - 1 + í,z 2= - 1 - i V 3, z3 = 5. 41. Cambie los siguientes números complejos a la forma rec tangular exacta: z^ = V 2 é * ú,i, z, = 3e2:0''', z. = 2el_2K'3,i 42. Si z, = 8
(B) z,/z2

Exprese las respuestas en forma polar. 43. (A ) Escriba (1 + iV 3 )" a formas exactas rectangulares. Use el teorema de De Moivre. _ (B ) Verifique el inciso (A ) evaluando (1 + í V 3y1directa mente con una calculadora. 44. Encuentre todas las raíces cúbicas de i. Escriba las res puestas finales en forma rectangular exacta, y localice a las raíces en un círculo en el plano complejo. 45. Encuentre todas las raíces cúbicas de - 4 V 3 + 4/ exacta mente. Deje las respuestas en formas polares. 46. Muestre que 4e;5°' es una raíz cuadrada de 8 V 3 + 8¡. 47. Cambie las coordenadas rectangulares (5.17, —2.53) a co ordenadas polares con dos cifras decimales, r s 0, —180° < 0 < 180°.

26. Exprese cada vector en términos de i y j para los vectores unitarios: (A) u = ( —3, 9) (B) v = (0, —2) Para los vectores indicados en los problemas 27y 28, encuen tre: (A) u - v

(B) 3u — v +• 2w

27. u = ( - 2 . 3), v = (2, - 4 ), w = <-3, 0) 28. u = i — 2j, v = 3i + 2j. w = —j

48. Cambie las coordenadas polares (5.81, -2 .7 2 ) a coorde nadas rectangulares con dos cifras decimales. 49. Cambie el número complejo -3 .1 8 + 4.19? a las formas polares con dos cifras decimales, r S 0 , - l 80° < 0 < 1803. 50. Cambie el número complejo 7.63éT:íí2-7°í a las formas rec tangulares a + bi, donde a y b se calculan con dos cifras decimales. (A ) La raíz cúbica de un número complejo se muestra en la figura. Localice geométricamente todas las otras raíces cúbicas del número en la siguiente figura y explique cómo se localizaron.

578


N, 0C

(B ) Determine geométricamente las otras raíces cúbicas y el número en formas exactas rectangulares. (C ) Eleve al cubo cada raíz cúbica de los incisos (A ) v (B ). y

Brújula de navegación

59. Navegación. Un avión vuela al este a 256 millas por liora.

C ___________________________________ Para un triángulo oblicuo con a = 23.4°, b = 44.6 m ilí metros y a el lado opuesto al ángulo a , determine un valor k de modo que si 0 < a < L no tiene solución; si a = k, tiene una solución, y si k < a < b, tiene dos soluciones. 53. Muestre que para cualquier triángulo a2 + b2 + c2 eos a eos 8 eos -y ------------- = -------+ ----- - + ----2abc a b e 54. Sea u = (a, b) y v = (c, d) dos vectores y m un escalar; pruebe que: (A) (u + v) = (v + u) (B) m{u + v) = mu + m\ 55. Dada la ecuación polar r = 4 + 4 eos (0/2). (A ) Trace una gráfica de la ecuación usando las técnicas rápidas de graficación. (B ) Verifique la gráfica del inciso (A ) con un dispositivo de graficación. (A ) Grafique r = —8 sen 8 y r = 8 eos 0, 0 £ 0 :£ n, en la misma ventana de visión. Use la función T R A C E para determinar cuál punto de intersección tiene las coordenadas que satisfacen ambas ecuaciones simul táneamente. (B) Resuelva las ecuaciones en forma simultánea para verificar los resultados del inciso (B). (C ) Explique por qué el polo no es una solución simultá nea. aunque las dos curvas se intersecan en el polo. 57. Encuentre todas las soluciones, reales e imaginarias, pa ra y? —1 = 0. Escriba las raíces en la forma rectangular exacta. 58. Escriba P(x) = x 3 — 8i como un producto de factores li neales.

y otro avión vuela hacia el sudeste a 304 millas por hora. Después de dos horas, ¿qué distancia de separación hay entre los dos aviones?

60. Navegación. Un avión vuela contra una velocidad del aire de 450 millas por hora y una brújula indica 75°. Si el vien to sopla a 65 millas por hora hacia el norte (de norte a sur), ¿cuál es la verdadera dirección del avión y la velocidad relativa con respecto al suelo? Calcule la dirección al gra do más cercano y la velocidad a la milla por hora más cer cana.

61. Navegación. Un avión que puede viajar a 500 millas por hora en aire tranquilo, debe ■volar hacia el este. Si el viento sopla del nordeste a 50 millas por hora, ¿qué dirección de berá escoger el piloto? ¿Cuál será la velocidad real del avión con respecto del suelo? Calcule la dirección al grado más cercano y la velocidad a la milla por hora más cercana.

62. Navegación costera. El dueño de un barco de recreo que atraviesa una costa quiere pasar por un punto rocoso a una distancia segura (véase la figura). Las vistas del punto ro coso están realizadas desde A y desde B . a 1.0 milla de distancia. Si el barco sigue el mismo curso, ¿qué tan cerca estará del punto? Esto es, encuentre d en la figura a la dé cima de m illa más cercana.

M

É il i É i t Punto rocoso C

13 . 5° W

1.0 milla

r

B

63. Fuerzas. Dos fuerzas u y v actúan sobre un objeto como se indica en la figura. Encuentre la dirección y la magni tud de la fuerza resultante u + v respecto a la fuerza v.

u 75.0 libras APLICACIONES Para los problemas de! 59 al 61, use la brújula de navegación. Suponga que las direcciones dadas en términos de norte, este, sur y oeste son exactas.

\ 38.3°

v 112 libras

Ejercicio de repaso acumulativo de los capítulos 5 a 7

64. Equilibrio constante. Dos fuerzas u y v actúan sobre un objeto como se indica en la figura. ¿Qué tercera ñierza w se debe sumar para lograr el equilibrio estático? Dé la di rección con respecto a u.

579

66. Astronomía. (A ) E l planeta Marte viaja alrededor del Sol en una órbita elíptica dada aproximadamente por 1.41 X 10a ' ~ 1 - 0.0934 eos 0

v

(1)

135° 11 kilogramos

'

u 25 kilogramos

65. Ingeniería, lil peso de un teleférico, usado para cruzar un rio, es de 1 000 libras (véase figura). ¿Cuál es la tensión en cada mitad del cable cuando el carro se localiza en el lugar que se indica? Calcule la respuesta con tres dígitos significativos.

donde r se mide en millas y el Sol está en el polo. Grafique la órbita. Use la función T R A C E para encontrar la distancia (con tres dígitos significativos) desde Marte al Sol en el afelio (distancia más gran de desde el Sol) y al perihelio (la distancia más corta desde el Sol). (B ) Con referencia a la ecuación (1), r es máximo cuando el denominador es mínimo, y r es mínimo cuando el denominador es máximo. Use esta información para encontrar la distancia de Marte al Sol en el afelio y en el perihelio.

Ejercicio de repaso acumulativo de los capítulos 5 a 7 Resuelva los problemas de este repaso acumulativo y comprue be sus respuestas con las indicadas a !final del libro en donde se incluyen las respuestas para todos. Después de cada una hay un número en tipo itálico que indica la sección a la que pertenece el problema. Si tiene dificultad para resolverlos, re pase las secciones correspondientes en el texto.

A ____________________________________________ 1. En un círculo con radio de 6 metros, encuentre la longitud de un arco frente a un ángulo de 0.31 radián. 2. Resuelva el triángulo:

4. Si ( —3 , 4) está en el lado terminal de un ángulo 0, encuen tre: (A) eos 0

(B) ese 0

(C) tan 0

5. Encuentre al ángulo de referencia asociado con cada án gulo 6: (A) —3-77/4

(B) 245°

(C) -30°

6. Indique el dominio, el rango y el periodo de cada función: (A) y = sen se

(B) y = cosa-

(C) y = tanx

7. Trace una gráfica de v = eos x. —7C/2 -í

x

— 5kí2.

8. Trace una gráfica de v = tan ,v, —n/2 < x < 371/2. Describa el significado de un ángulo central en un círculo cuya medida en radianes es de 2.

c

32.7a

V

12.2

cm

r a

3. ¿En cuál(es) cuadrante(s) es positiva cada una de las si guientes expresiones? (A) sen6 (B) eos 6 (C) tan 6

Describa el cambio más pequeño de la gráfica de y = eos x para producir la gráfica de y = sen x. Demuestre cada identidad de los problemas del 11 al 14. 11. cot 0 sec 8 = esc 0

12. sec x — eos x = tan .r sen x

13. sen(x — n!2) = —eos x

14. ese 2x = 1 ese .v sec x

Utilice un dispositivo de graficación para probar si cada una de las expresiones siguientes es una identidad. Si una

580


ecuación parece ser una identidad demuéstrela. Si no lo parece, encuentre un valor de x para la cual ambos lados estén definidos pero no sean iguales. sen2* e o s .V = CSC X (A) eos X (B)

cosx

+ eos x = sec x

36. cos[sen ' ( - 3)]

37. cosftan '(- 2 )]

38. Evalúe con cuatro dígitos significativos utilizando calcu ladora. Si una función no está definida, dígalo. (A) tan 84°12'55" (C) tan- I(-84.32)

(B) s e c (- 1.8409) (D) eos’ ‘(tan 2.314)

39. Trace una gráfica de v = 2 - 2 eos (nx/2). - I< x £ 5.

En un triángulo, si a = 32.5 pies, c = 77.2 pies y f3 = 61.3°, sin resolver el triángulo o dibujar cualquier imagen, ¿cuál de los dos ángulos, a o y, se puede asegurar que es agudo y por qué? Resuelva los problemas 17 y 18 con cuatro cifras decimales. 17. sen* = 0.3188, 0

x £ 2jt

18. tan 6 = -4 .0 7 6 , - 9 0 ° < 0 < 90°

40. (A ) Encuentre lamedida exacta en grados de 6 = eos ~!( —V 3/2) sin usar calculadora. (B ) Encuentre la medida en grados de 0 = sen ‘( -0.338) con tres cifras decimales usando calculadora. Evalúe se n '1(sen 3) con una calculadora en modo radián, y explique por qué esto no ilustra la identidad de seno y del seno inverso. Un punto circular P(a, b) se mueve en sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor de la circunferencia de un círculo unitario empezando en (1, 0) y se detiene después de recorrer una distancia de 11.205 unidades. E x plique cómo encontraría las coordenadas del punto P en su posición final y cómo determinaría en qué cuadrante se encuentra P. Encuentre las coordenadas de P con tres ci fras decimales y el cuadrante de la posición final de P.

19. Resuelva el triángulo:

20. Escriba el vector algebraico (a, b) correspondiente al vec tor geométrico AB cuyos puntos extremos son A ( - 3 . 2) y 5 ( 3 ,- 1 ) .

Explique la diferencia entre la solución de la ecuación tanx = —24.5 y la evaluación de tan~'(—24.5). 44. Encuentre una ecuación de la forma y = k + a sen Bx que produzca la gráfica:

Un punto en un sistema coordenado polar tiene como co ordenadas ( - 5 , 150“). Encuentre todas las otras coorde nadas polares para el punto, -3 6 0 =< 0 £ 360=, y describa verbalmente cómo están asociadas las coordenadas con el punto. 22. Trace una gráfica de r = 6 eos 0 en un sistema coordenado polar. 23. Grafique en un plano complejo: A = - 3 + 4/ y B = 4eíi0'í. 24. Encuentre (2el')'í). Escriba la respuesta final en la forma rectaneular exacta.

B 25. ¿Cuáles de los ángulos siguientes son coterminales con 150°: 30°, - 7 tu/6. 870°?

45. Trace la gráfica de y = 3 sen (2x - n ), —7t s .v < 2n. Indique la amplimd A, el periodo P y el corrimiento de fase C.F.

26. Cambie 1.31 radianes a grados decimales con dos cifras decimales.

46. Trace la gráfica de y = 2 tan (7Cc/2 — Jt/2), 0 < .v < 4. Tndique el periodo P, y el corrimiento de fase C.F.

27. ¿Cuáles de las siguientes expresiones tienen el mismo va lor de eos 8? (A) cos(8 rad) (B) eos 8o (C) cos(8 — 4u)

47. Trace la gráfica de y = sen x y de y = ese x en el mismo sistema coordenado.

Evalúe exactamente los problemas del 28 al 3 7 sin calculado ra. Si la función no se define en el valor, dígalo. 28. sen(—5tt/6)

29. tan(Tr/2)

30. cot7iT/4

31. sec 330°

32. c o s - '(- l)

33. sen’ 1 1.5

34. arccost-j)

35. scn(serf10.55)

Describa el menor corrimiento de fase a la izquierda y/o la reflexión que transforma la gráfica de r = coi .v en la grá fica de y — tan x. 49. Grafiquey = l/(cot2.r+ 1) en un dispositivo de graficación que despliegue por lo menos dos periodos completos de la gráfica. Encuentre una ecuación de la Corma y = k + A sen Bx o y = k + A eos Bx que tengan la misma gráfica. Grafique ambas ecuaciones en la misma ventana, y utilice

Ejercido de repaso acumulativo de los capítulos 5 a 7

la función T R A C E para verificar que ambas gráficas sean las mismas. 50. Grafiqucy = (2 — 2 scn! x) /(sen 2x) en un dispositivo de graficación que muestre por lo menos dos de los periodos de la gráfica completos. Encuentre una ecuación de la for ma y = A tan B x o de y = A cot B x que tenga la misma gráfica. Grafiquc ambas ecuaciones en la misma ventana, y utilice la función T R A C E para verificar que ambas grá ficas son iguales.

? ¥ 64. Resuelva 2 eos x = x — eos 2x con tres cifras decimales para todas las soluciones reales utilizando un dispositivo de graficación. En los problemas del 65 al 67, resuelva cada triángulo etique tado como en lafigura. Si un problema no tiene solución, diga lo. Si un triángulo tiene dos soluciones, resuelva el caso obtuso.

Dada la ecuación sen 2x = 2 sen x. (A ) ¿Sonx = 0 y x = ~ soluciones? (B ) ¿lis la ecuación una identidad o una ecuación condi cional? Esplique. Demuestre cada identidad de los problemas del 52 al 5 7. sen u s 2 . ------------ -cot u = ese u 1 + eos« 53. sec x + tan x

cosx 1 — senx

54. tan — = esc x — cot x 2

581

Y“

f c

65. a = 21.3 metros, b — 37.4 metros, c = 48.2 metros 66 . a = 125.4°, b = 25.4 milímetros, a = 20.3 milímetros

67. a = 52.9°, b = 37.1 pulgadas, a = 34.4 pulgadas Suponiendo en un triángulo que 7 es agudo, a — 92.5 cen tímetros y b = 43.3 centímetros. ¿Cuál de los ángulos, a. o 3 , se puede decir con seguridad que es agudo y por qué? 69. Dados los vectores geométricos que se indican en las figu ras, encuentre ¡u -I- vj y a . dado que ui = 25.3 libras, v = 13.4 libras y 0 = 48.3°.

55. csc: - = 2 ese x (ese x + cot x)

56.

1

+ eos 2x

eos x + eos y * —v s7. -------------- = cot — — sen.* —sen y 2 [Sugerencia: Utilice las identidades suma-producto.] Utilice un dispositivo de graficación para probar si cada una de las siguientes expresiones es una identidad. Si una ecuación parece ser una identidad, demuéstrela. Si no lo parece, encuentre un valor de x para la cual ambos lados están definidos pero no son iguales, tan .t 1 (A) 2tan .x —senx 2 + sen* tan x 1 (B) 2tan x — sen x 2 - eos x 59. Encuentre el eos (x —y ) exactamente sin una calculadora, dado sen x = ( —2 / V 5), eos v = ( —2 / V 5), x es un ángulo del cuadrante IV y y un ángulo del cuadrante III. 60. Calcule el valor exacto de sen 2x y eos (x/2) sin una calcu ladora, dado que sen x = 5 , n/2 < . r < j t Resuelva los problemas 61 y 62 exactamente sin una calcula dora, 6 en grados y x en reales. 61. 2 sen2 0 + sen 6 = 1, 0 < 0 < 360° 62. sen 2x = sen ,v. todas las soluciones reales. 63. (A ) Resuelva cot.x = - 2 cosxexactamente,0 < x < 2n. (B ) Resuelva cotx = —2 cosx con tres cifras decimales utilizando un dispositivo de graficación, 0 ^ x ^ 2 n.

u

U

Regla de cola a punta

Regla del paralelogramo

(a)

(b)

70. Encuentre 2u — v + 3vv para:

(A) u —(-1 ,2 ), v — (0, —2), w = (1, —1) (B) u — 2i —j, v = i + 3j, w = 2j 71. Convierta a una forma polar: x 2 + y2 = 8v 72. Convierta r = —4 eos 0 a una forma rectangular. Use las técnicas rápidas de trazado para graficar los proble mas 73 y 74 en un sistema coordenado potar. Verifique las gráficas de ¡os problemas 73 y 74 en un disposi tivo de graficación. 73. r = 4 + 4 eos I

74. r = 6 sen 30

Grafique r = 5 (eos 20)2", para n — I. 2 y 3. ¿Cuántos pétalos espera que tenga la gráfica para una n arbitraria? 76. Grafique r = eíos9 — 2 eos (40) usando una ventana cua drada y 0.05 para el tamaño del paso de 0. A la curva resul tante a menudo se le llama curva de mariposa. 77. Cambie las coordenadas rectangulares ( —2.78. —3.19) a coordenadas polares con dos cifras decimales, 0 ,- 1 8 0 ° < 0 < 180°. 78. Cambie las coordenadas polares (6.22, -4 .0 8 ) a coorde nadas rectangulares con dos cifras decimales.

582


79. Cambie 2e' "" 6); a una forma rectangular exacta. 80. Cambie z = —1 + ¡ V 3 a una forma polar, 0 en grados.

ecuación buscando A, B y C exactamente. ¿Cuál es el pe riodo, la amplitud y el corrimiento de fase?

81. Calcule (1 — / V 3 ) 6 usando el teorema de De Moivre, y escriba la respuesta final en la forma a + bi. 82. Encuentre todas las raíces cúbicas de —i exactamente. E s criba las respuestas finales de la forma a + bi, y localice las raíces en el círculo del plano complejo. 83. Cambie el número complejo -4 .8 8 - 3.17i a una forma polar con dos cifras decimales, r s 0, —180° < 0 < 180°. 84. Cambie el número complejo 6.97eI63S7'' a la forma rectan gular a + bi, donde a y b están calculadas con dos cifras decimales. (A ) La cuarta raíz de un número complejo se muestra en la figura. Localice geométricamente todas las otras cuartas raíces del número en la figura, explique cómo se localizaron. (B ) Determine geométricamente las otras cuartas raíces del número en forma rectangular exacta. (C ) Aumente cada raíz cuarta de los incisos (A ) y (B ) a la cuarta potencia.

89. Grafique 1.6 sen 2x — 1.2 eos I x en un dispositivo de graficación. (Seleccione las dimensiones de una ventana de visión de tal manera que al menos dos periodos sean visibles.) Encuentre una ecuación de la forma y = A sen (Bx + C) que tenga la misma gráfica de la ecuación dada. Encuentre A y B exactamente y C con tres cifras decima les. Use la intersección con el eje x más cercano al origen como el corrimiento de fase. Para comprobar sus resulta dos grafique ambas ecuaciones en la misma ventana de visión, y use la función T R A C E m ¡entras cambia hacia atrás y hacia adelante entre las dos gráficas. 90. Escriba ese (eos-1 x) como una expresión algebraica en x, que esté libre de funciones trigonométricas y de funciones trigonométricas inversas. Resuelva los problemas 91 y 92 sin usar calculadora. 91. sen (2 cot 1 4 ) = ? 92. Dada sec x = -7 , rt/2 s x £ K, encuentre (A) sen(jr/2)

86 . Si, en la figura, las coordenadas de A son (1 ,0 ) y la longi tud de arco .? es 1.2 unidades, encuentre las coordenadas

de P con tres dígitos significativos.

(B ) eos 2x

93. (A ) Resuelva 2 sen2 x = 3 eos x exactamente para todas las soluciones reales, 0 s x á 2n. ( B ) Resuelva 2 sen2a- = 3 eos x con cuatro cifras decimales usando un dispositivo de graficación, 0 ^ x s 2k . 94. (A ) Use técnicas de graficación rápida para dibujar una gráfica de la ecuación polar r2 = 36 eos 20 . (B ) Verifique la gráfica del inciso (A ) usando un disposi tivo de graficación.

87. Dibuje una gráfica de y = 1 + sec x , —3rt/2 < x < 2n/2. 88 . La gráfica siguiente es una gráfica de una ecuación de la

forma y = A eos (Bx + C), 0 < —CJB < 1. Encuentre la

(A ) Grafique r l = 2 + 2 eos 0 y r l = 6 eos 0 en la misma ventana de visión, 0 s 0 s 2 jt. (B ) Use T R A C E para determinar cuántas veces la gráfica de r l intersecta a la gráfica de r l conforme 0 varía de ü a 271. (C ) Resuelva las dos ecuaciones simultáneamente para encontrar las soluciones exactas para 0 < 0 < 2n. (D ) Explique por qué el número de soluciones encontradas en el inciso (C) no coincide con el número de veces que r l intersecta a r2 , 0 s 0 < 2 rt. 96. Escriba P(x) = x2 + i como un producto de factores li neales.


A P LIC A C IO N ES

97. Astronomía. ¿Qué ángulo en radianes barre una línea que va desde el Sol a la Tierra en 5 días?

583

103. Ingeniería. Un niño que pesa 65 libras se desliza a través de un pequeño río con un rudimentario sistema de polea y cable (véase figura). ¿Cuál es la tensión en cada mitad del cable que lo soporta cuando el niño está en el centro? Calcule la respuesta a la libra más cercana.

98. Meteorología. Un globo meteorológico se suelta y sube verticalmente. Dos estaciones meteorológicas C y D e n el mismo plano vertical que el globo y a 1 000 metros de distancia una de la otra ven al globo al mismo tiempo y registran la información que se da en la figura. A la hora que ambos vieron al globo, ¿a qué altura estaba éste aproximando al metro más cercano?

B

Geometría. Un arco circular de 10 centímetros tiene una cuerda de 8 centímetros como se muestra en la figura. (A) Explique cómo está dado el radio por la ecuación.

sen

\ 24°

\37°

1 000 metros

99. Geometría. Encuentre la longitud con dos cifras deci males de un lado del pentágono regular inscrito en un círculo con radio de 5 pulgadas.

5 R

4 R

(B) ¿Qué dificultades encontrará al tratar de resolver la ecuación en el inciso (A) exactamente mediante métodos algebraicos y trigonométricos? (C) Muestre en un dispositivo de graficación cómo aproximar el radio de! círculo /?, y encuentre R con tres cifras decimales. 10 cm

100. Geometría. Encuentre Z. ABC al grado más cercano para el sólido rectangular que se muestra a continuación.

12 cm

42 cm 14 cm

101. Circuito eléctrico. La corriente/en un circuito eléctrico de corriente alterna tiene una amplitud de 50 amperes y un periodo de ^ segundos. Si I = 50 amperes cuando t = 0, encuentre una ecuación de la forma I = A eos Bt que indique la corriente al tiempo t > 0.

102. Navegación. Un avión vuela con una velocidad de 260 millas por hora y en una dirección de 110°. Si sopla un viento hacia el norte de 36 millas por hora, ¿cuál es la dirección y velocidad real con respecto a la tierra? Cal cule la dirección al grado más cercano y la velocidad con respecto a la tierra aproxime a la milla por hora más cer cana.

105. Modelado para la variación de la temperatura. El pro medio mensual de temperatura en 30 años, en °F. para cada mes del año en la ciudad de Washington, D.C., se indica en la tabla 1 (Almanaque mundial). (A) Usando un mes como la unidad básica de tiempo, introduzca los datos para un periodo de dos años en su dispositivo de graficación y produzca una gráfica de dispersión en la ventana de visión. Elija 25 s y < 80 para la ventana de visión. (B) Parece que una curva senoidal de la forma y = k + A sen (Bx + C) acercará al modelo de estos datos. Las constantes k, A y B se determinan fácilmente de la tabla 1. Para estimar C, calcule visualmente con una cifra decimal el más pequeño corrimiento de fase positivo a partir de la gráfica del inciso (A). Después de determinar


A, B . k y C, escriba la ecuación resultante. (Su valor de C' puede diferir ligeramente de la respuesta del libro.) (C ) Grafique los resultados de los incisos (A ) y (B ) en la misma ventana de visión. (Se puede obtener un mejor acercamiento ajustando un poco el valor de C.)

TABLA 1 Temperatura promedio m e n s u a l e n W a sh in g to n , D.C. .v (mes)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

y (temp.) 31 34 43 53 62 71 76 74 67 55 45 35

8-1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices aumentadas

8-2 Eliminación Gauss-Jordan 8-3 Sistemas que implican ecuaciones de segundo grado 8-4 Sistemas de desigualdades lineales con dos variables 8-5 Programación lineal Actividades en grupo del capítulo 8: M odelamiento con sistemas de ecuaciones lineales Repaso del capítulo 8

f(x)=l3x + 41 + 1

586

8

Sistemas de ecuaciones y desigualdades

E n c a p ítu lo s a n te rio re s se e stu d ia ro n los m é to d o s e s tá n d a r p a r a re so lv e r dos ecu acio n es lineales con dos v a ria b les, a h o ra se a b o rd a rá u n m étodo q u e se pued e u s a r p a ra resolver sistem as lineales con c u a lq u ie r nú m ero de v ariables y ecuaciones. E ste m éto d o es m uy a d e c u a d o p a r a reso lv er sistem as g ra n d e s en c o m p u ta d o ra . Se a n a liz a n ta m b ié n sistem as q u e im p lica n ecuaciones no lineales y sistem as d e des ig u a ld a d e s lineales. P o r últim o , se in tro d u c e u n a h e rra m ie n ta m a te m á tic a re la ti v am e n te nueva y p o d e ro sa lla m a d a p ro g ra m a c ió n lineal. M u ch as ap licacio n es en m a te m á tic a s im p lic an sistem as de ecu aciones o d e sig u ald a d es. L as técn icas m a te m á tic a s q u e se a n aliz a n en este c a p ítu lo son ap licab les a u n a v a rie d a d de in te re sa n te s y significativos usos p rá c tic o s.

SECCION

8-1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices aumentadas Sustitución: U n breve repaso G raficación Elim inación p or sum a M atrices Solución de sistem as lineales m ediante m atrices aum entadas En esta sección se continuará con el análisis, que se inició en la sección 1-2, de sistem as que im plican dos ecuaciones lineales con dos variables: ax + by = h ex + dy = k

(1)

donde x y y son variables, a , b , c y d son núm eros reales llam ados coeficientes de x y y, y h y k son núm eros reales llam ados té rm in o s c o n stan tes en las ecuaciones. Recuerde que un p ar de núm eros x = xf| y y = y que tam bién se puede escribir com o un par ordenado (,y 0, y 0), es una solución de este sistem a si cada ecuación se satisface por dicho par. El conjunto de todos esos pares ordenados de núm eros se denom ina c o n ju n to solución para el sistema. En la sección 1-2, se usó sustitución para resolver el sistem a (1). Después de un breve repaso a este m étodo, se explorará la relación entre la gráfica de las ecuaciones en un sistem a y la solución de éste. También se revisará el m étodo estándar de elim ina ción p o r suma. Después se dará una introducción a las m atrices aum entadas para trans form ar el m étodo de elim inación por sum a en un proceso de solución que es muy adecuado para usarse en com putadora en la solución de sistem as lineales que im plican un gran núm ero de ecuaciones y variables. C on objeto de m antener la introducción de m atrices aum entadas en esta sección, tan sim ple com o sea posible, el análisis se limita a dos ecuaciones con dos variables. En la sección siguiente, se generaliza el proceso de solución y se aplica a sistem as lineales m ás grandes. Para revisar algunos conceptos básicos que se introdujeron en la sección 1-2, considere el siguiente ejem plo sim ple. En la rifa de una com putadora, los boletos de estudiantes cuestan $2 y los de adm isión general $3. Si se adquieren siete boletos con un costo total de $ 18. ¿cuántos boletos de cada tipo se com praron? Sea x = N úm ero de boletos de estudiante y = N úm ero de boletos de adm isión general

8-1

587


E ntonces x + y = 7 2x + 3y = 18

N úm ero total de boletos com prados Costo total de la com pra

Para resolver este sistem a por sustitución, se d esp eja^ de la prim era ecuación en térm i nos de x y se sustituye en la segunda ecuación: x +y = 1

2x + 3y = 18 2x + 3 C

y = 7 -x

) = 18

- x + 21 = 18

A hora, x se reem plaza por 3 e n y = 7 — x : y = 7 - x

= 7 y = 4

De m anera que la solución es tres boletos de estudiante y cuatro boletos de adm isión general. U sted debe com probar este resultado en cada una de las ecuaciones originales.

R ecuerde que la g ráfica de una ecuación lineal es la recta que consiste de todos los pares ordenados que satisfacen la ecuación. Si se grafican am bas ecuaciones del siste m a ( 1) en el m ism o sistem a coordenado, entonces las coordenadas de cualquier punto que las rectas tengan en com ún deben ser las soluciones para el sistema. El ejem plo 1 ilustra este proceso para el problem a de los boletos antes visto.

Solución de un sistema mediante graficación Resuelva el problem a de los boletos m ediante graficación:

Solución

FIGUR

x +y = 2x + 3y =

En la fig u ra 1 se observa que: x = 3 y = 4


Boletos d e e stu d ia n te Boletos d e adm isión g e n era l

x + y = 7 3 + 4 ¿7 7 = 7

2x4-

3v = 18

2(3) + 3(4) =M8 18 = 18

588

8 Sistemas de ecuaciones y desigualdades

R esuelva m e d ian te g ra fic a c ió n y co m p ru eb e:

x - y = 3 x + 2y = —3

E s claro que el ejem p lo a n te rio r tie n e ex a ctam e n te u n a so lu ció n , ya que las rectas tie n en ex a ctam e n te u n p u n to d e in te rse c c ió n . En g en e ral, las rec tas en un sistem a co o rd e n ad o rec tan g u la r están rela cio n a d as en tre si en u n a de las tres fo rm as q u e se ilu stra n en el ejem p lo sig u ien te.

Solución de tres tipos im portantes de sistemas mediante graficación R esuelva cada uno de los sistem as sig u ien tes m e d ian te g rafica ció n : (A) 2x - 3y = 2 x + 2y = 8

(B) 4x + 6 y = 12 2 x + 3y = —6

(C.)

Las rectas se intcrsectan sólo en un punto. Tiene exactamente una solución: x = 4, y = 2

2x - 3y = - 6 —x + \ y = 3

Las rectas son paralelas (cada una tiene una pendiente —|) . No existe solución.

(C)

- -5 —

Las rectas coinciden. L1 número de soluciones es infinito.

R e su elv a ca d a uno d e los sistem a s sig u ien tes m e d ian te g rafica ció n : (A) 2x + 3y = 12 x — 3y = — 3

(B)

x - 3y = - 3 —2 x + 6y = 12

(C)

2x - 3y = 12 —x + |}! = —6

8-1


589

A h o ra se d e fin e n alg u n o s té rm in o s q u e se p u ed e n u sa r p ara d e s c rib ir los d ife re n tes tip o s de so lu c io n e s d e sistem as de ec u ac io n e s ilu stra d o s en el ejem p lo 2 .

Sistemas de ecuaciones lineales: Térm inos básicos U n sistem a de e c u ac io n e s lin eales es consistente si tie n e u n a o m ás so lu c io n e s y es inco nsistente si n o ex isten so lu cio n es. A d em ás, se d ice q u e u n sistem a c o n sis te n te es independ iente si tie n e e x a ctam e n te u n a so lu c ió n (a m e n u d o referida co m o so lución ú n ic a ) y dependiente si tie n e m ás de u n a so lu ció n .

1 1 1 !» R e firié n d o se a los tres sistem as del ejem p lo 2, el sistem a del inciso (A ) es c o n sis te n te e in d e p en d ie n te , con la so lu c ió n ú n ica x = 4 y y = 2. El sistem a en el in c iso (B ) es in c o n sisten te, sin solución. Y el siste m a en el in ciso (C ) es c o n siste n te y d ep e n d ie n te, co n u n nú m ero in fin ito de so lu cio n es: to d o s los p u n to s de las d o s re c ta s co in cid en tes.

EXPLORACION Y ANÁLISIS 1

(A ) ¿P u ed e un sistem a c o n siste n te y d e p e n d ie n te te n e r e x a ctam e n te d o s so lu c io n es? ¿E x a cta m e n te tres so lu cio n es? E x p liq u e. (B ) R e su elv a ca d a u n o de lo s sistem as del ejem p lo 2 p o r el m é to d o d e su stitu ció n . C o n base en sus resu ltad o s, d escrib a có m o p o d ría re c o n o c e r un sistem a d e p e n d ien te o u n sistem a in c o n siste n te cu an d o u se su stitu ció n .

A l in te rp re tar de m a n era g eo m étric a un sistem a de d o s e c u ac io n e s lin e ales con dos v ariab les, se o b tie n e in fo rm ac ió n útil ac erca de la fo rm a esp erad a de las so lu c io n e s del sistem a. En g en eral, d o s rec tas cu a le sq u iera en un p la n o co o rd e n ad o re c ta n g u la r se d eben in te rsec tar ex a ctam e n te en un p u n to , ser p ara lela s o co in cid e n te s (con g rá fic a s id énticas). A sí, los sistem a s del ejem p lo 2 ilu stra n los ú n ico s tres tip o s p o sib les de so lu c io n e s p ara sistem as de dos ec u ac io n e s lin eales co n dos v ariables. E sta s c o n c lu sio n es se re su m e n en el te o re m a 1.

Teorema 1

Soluciones posibles para un sistema lineal E l siste m a lin eal ax + by = h ex + d y = k D eb e tener: 1.

2. 3.

E x actam en te u n a so lu ció n O N in g u n a so lu ció n O U n n ú m e ro in fin ito de so lu cio n es

N o ex isten otras p o sib ilid a d es.

C o n sisten te e in d ep en d ien te

In co n sisten te C o n sisten te e in d ep en d ien te


590

U n inco n v en ien te de en c o n trar u n a so lu ció n p o r g ra fic a c ió n es la in e x ac titu d de las g rá fic a s d ib u ja d as a m ano. L as so lu cio n es g rá fic a s rea liza d as en u n disp o sitiv o de g rafica ció n , sin em b arg o , p ro p o rcio n an tan to u n a in terp retació n g eo m étrica útil com o u n a ap ro x im ació n ex acta de la so lu ció n a un siste m a de e c u ac io n e s lin eales c o n dos variables.

P

EJEMPLO 3

Solución de un sistema de ecuaciones lineales con un dispositivo de graficación R esuelva con d os cifras d ec im a le s u san d o un d isp o sitiv o de g ra fic a c ió n : 5x — 3 y = 13 2 x + 4 y = 15

Solu ción

P rim ero d e s p e je ^ de cad a ecu ació n :

5jc — 3>’ = 13

2x + 4y — 15

—3}' = - 5 x + 13

4y = - 2 x + 15

v =

y = - 0 .5 a + 3.75

D esp u é s, in tro d u z c a ca d a e c u a c ió n en u n d isp o sitiv o de g ra fic a c ió n [fig u ra 2 (a)], g ra fiq u e en u n a v en tan a de visión ap ro p ia d a, y ap ro x im e el p u n to de in tersecció n [fig u ra 2 (b)]. 10

F IG U R A

2

nm Piots B < 5 /3 > X -1 3 /3 \Y * B - .5 X + 3 .7 5 \V 3 = nV i

10

-1 0

IriU rstítio n

-10 (a ) D e fin icio n es d e ecu ació n

(b ) P u nto de in tersecció n

Al re d o n d e ar los v alo res de la fig u ra 2 (b ) con d o s cifras d ec im ales, se o b se rv a q ue la solu ció n es aC o m p ro b a c ió n

= 3 . 7 3 y v = 1.88

o

(3 .7 3 ,1 .8 8 )

5a - 3v = 1 3

2a + 4v = 15

5(3.73) - 3(1.88) ¿ 13

2(3.73) + 4(1.88) ¿ 15

13.01 ¿ 13

14.98 ¿ 15

Las co m p ro b a cio n e s n o son ex actas p o rq u e los v alo res de x y y son ap ro x im acio n es.

P ro blem a seleccionado 3

R e su elv a con d os cifras d ec im a le s u tiliza n d o u n d isp o sitiv o de g rafica ció n : 2x - 5>- = - 2 5 4 x + 3y = 5

L os m é to d o s de g ra fic a c ió n ay u d an a v isu a liz ar un sistem a y sus so lu c io n e s, con frecu en cia rev elan rela cio n e s qu e d e o tra m a n era se p o d ría n o m itir, y con la ay u d a de un disp o sitiv o de g ra fic a c ió n , se p ro p o rc io n a n ap ro x im acio n es m u y ex a ctas a las so lu ciones.

8-1

• Eliminación

p o r sum a

Teorema 2


591

A h o ra se ab o rd a rá la e lim inación p o r su m a. É ste es p ro b ab le m en te el m é to d o de so lu ción m ás im p o rta n te, y a q ue se g en e raliz a co n facilid ad a sistem as de o rd en superior. El m é to d o im p lica el ree m p laz o de sistem as de ec u ac io n e s co n siste m a s eq u iva le n te s m ás sim p les, rea liza n d o las o p e ra cio n e s ad e cu ad as h asta o b te n er u n sistem a co n un a so lu ció n obvia. L o s sistem as equiv alen tes d e ec u ac io n e s son, com o se esp erab a , sistem as que tie n en ex a ctam e n te el m ism o c o n ju n to so lu ció n . En el te o re m a 2 se en listan las o p era cio n e s q u e p ro d u ce n sistem as eq u iv alen tes.

Operaciones con ecuaciones elementales que producen sistemas equivalentes U n sistem a de e c u ac io n e s lin e ales se tra n s fo n n a en uno eq u iv alen te si: 1.

D os ec u ac io n e s so n in tercam b iab les.

2.

U na ec u ac ió n se m u ltip lic a p o r u n a co n stan te d iferen te de cero.

3.

Un m ú ltip lo co n stan te d e o tra ec u ació n se su m a a una ecu ació n dada.

C ada u n a de estas tre s o p era cio n e s en el te o re m a 2 se p u ed e u sa r p ara p ro d u c ir un sistem a equivalente, pero las o p e ra cio n e s 2 y 3 serán las m á s u tiliza d as p o r ahora. C o n fo rm e se avance en la secció n , la o p era ció n 1 se v u elv e m á s im p o rtan te. El u so del te o re m a 2 se ilu stra m e jo r co n ejem p lo s.

EJEMPLO 4

Solución de un sistema mediante eliminación por suma R e su elv a m e d ian te e lim in a c ió n p o r sum a:

Solución

< L

3x — 2y = 2x + 5 ;- =

8 —1

Se u tiliza el te o re m a 2 p ara elim in a r u n a de las v aria b les y así o b te n er u n sistem a con u n a so lu ció n obvia. * / 5.x — 2y = 8 J ^ 2x + 5y = — 1

Si se m ultiplica la p rim e ra e cu a ció n p o r 5, la sig u ie n te p o r 2, Y d e sp u é s se su m a n , se p u e d e elim inar y.

15x — 1Ov = 40

,

4 x + 10» = • —2

19a-

^

= 38

o

*

=

-V V = -----

,

_

^

V u -A a a C X

.

,, \ CK.

OIGCUO ^

i Jet

La ec u ació n x = 2 rela cio n a d a con cu a lq u ie ra de las d o s e c u ac io n e s o rig in a les p ro d u ce un sistem a eq uivalente. A sí, se p u ed e s u s titu irx = 2 en c u a lq u ie ra d e las d o s ec u acio n es o rig in a les p ara d e sp e ja r y . Se esco g e la seg u n d a ecu ació n . 2( ) + 5 y =

-1

5y = - 5 v = —1 S olución:

x = 2, y = - 1 o (2, — 1).

592


Comprobación

3x - 2y = 8

2x + 5y = ~

3(2)-2(-l)¿8

2(2) 4- 5(—1 ) ^ —1

8 = 8

P ro b le m a

j

1

-1 = -1

Resuelva mediante eliminación por suma:

6x + 3y = 3 5x t 4y = 7

Se puede ver qué sucede en el proceso de eliminación cuando un sistema no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones. Considere el siguiente sistema:

2x + 6y = —3 a- + 3y =

2

Multiplique la segunda ecuación por —2 y al sumar, se obtiene

2x + 6v = - 3 —2x - 6v = - 4 0 = -7 Se ha obtenido una contradicción. La suposición de que el sistema original tiene solu ciones debe ser falsa, de otra manera, ¡se hubiera comprobado que 0 = -7! En conse cuencia. el sistema no tiene solución. Las gráficas de las ecuaciones son paralelas y el sistema es inconsistente. Ahora, considere el sistema ,v - y

-2 x +

=

4

y = - 8

Si se multiplica la primera ecuación por 2 y se s u m a el resultado a la segunda ecuación, se tiene

2x - y =

8

-2 v + v = - 8

0 =

0

El obtener 0 = 0 mediante la suma, implica que las dos ecuaciones originales son equivalentes. Es decir, sus gráficas coinciden y el sistema es dependiente. Si se hace x = t. donde t es cualquier número real, y se despeja v en cualquiera de las ecuaciones, se obtiene y = 2t — 8.Así, (t, 2t — 8)

t es un número real

describe el conjunto solución para el sistema. La variable t se llama parámetro, y al reemplazar t por un número real se produce una solución particular para el sistema. Por ejemplo, algunas soluciones particulares para este sistema son: t =

i

(-1.-10)

( 2

(2,-4)

t = 5

f = 9. 4

(5,2)

(9.4,10.8)

8-1


593

M u c h o s pro b lem as d e la v id a real se re su e lv e n fác ilm e n te ap lica n d o m é to d o s de dos ec u ac io n e s con d o s v ariab les. El ejem p lo 5 ilu stra un a de las a p lica cio n es d e este tip o de sistem as.

Dieta U na p erso n a d esea to m a r le ch e y ju g o d e n ara n ja p ara a u m e n ta r la ca n tid a d de calcio y v ita m in a A en su d ie ta diaria. U n a o n za de lech e co n tien e 41 m ilig ram o s de ca lcio y 59 m ic ro g ra m o s* de v ita m in a A . U n a o n za de ju g o de n ara n ja co n tien e 5 m ilig ra m o s de ca lc io y 75 m ic ro g ra m o s de v ita m in a A. ¿C u án tas o n zas d e leche y de ju g o de n aran ja d eb e to m a r ca d a d ía p a ra o b te n e r e x a c ta m e n te 5 5 0 m ilig ra m o s de c a lc io y 1 300 m ic ro g ra m o s de v ita m in a A ? Solución

P rim ero se d e fin e n las v ariab les relevantes: .v = N ú m ero d e o n zas de le ch e y = N ú m ero de o n zas d e ju g o de n ara n ja L a in fo rm ació n d ad a se re su m e en la tabla 1. E s co n v en ien te o rg an iz ar la tab la d e m a n era que la in fo rm ac ió n rela cio n a d a co n cad a v ariab le se en liste en un a co lu m n a m ás q u e en un renglón.

TABLA 1 Jugo de naranja

Leche Calcio (mg) Vitamina A (|xg)

41 59

Requerimientos totales

5 75

550 1300

A h o ra se usa la in fo rm a c ió n d e la ta b la p ara fo rm a r ec u ac io n e s qu e im p liq u en a x y a y : / C alcio en .v o n z a s \ \ de lech e j

/ C alcio en y o n zas \ \ d e ju g o de n ara n ja )

+

4 be V itam in a A en x o n z a s \ de leche J

/ Total de calcio \ \ n ec esario (m g) J

5y

=

V ita m in a A en y o n zas \ de ju g o d e n ara n ja )

59.V

550 /Total de v ita m in a A y n ec esaria ( p g )

75 v

1 300

R esu elv a m ed ian te elim in a ció n p o r sum a: -6 1 5 x - 75y = 59 j + 75y = -556*

-8 250

41 (

1 300 - 6 950

* Ln microgramos
) + 5y = 550 5y = 37.5

v = 7.5

594


T om ando 12.5 o n za s d e leche y 7.5 o n zas de ju g o d e n ara n ja ca d a d ía se o b tie n en las ca n tid a d es req u e rid a s de calcio y d e v ita m in a A.

Comprobación

41,v + 5y = 550

59x + 75>' = 1 300

41(12.5) + 5(7.5) = 550

59(12.5) + 75(7.5) = 1 300

550 = 550

1 300 = 1 300

U n a p e rso n a d esea in g e rir q u eso co ttag e y y o g u rt p ara a u m en ta r la ca n tid a d d e p ro te í na y de ca lcio en su d ie ta d iaria. U na o n za de q u eso co ttag e co n tie n e 3 g ram o s de p ro te ín a y 15 m ilig ra m o s de calcio . U n a o n za de y o g u rt co n tien e 1 g ra m o d e p ro teín a y 41 m ilig ra m o s de calcio. ¿C u án tas o n zas d e q u eso co tta g e y de y o g u rt d eb e in g erir cada d ía p ara o b te n e r ex actam e n te 62 g ram o s de p ro teín as y 760 m ilig ra m o s d e c a l cio?

A1 re so lv e r sistem as d e ec u ac io n e s m e d ian te elim in a ció n p o r su m a, lo s c o e fic ie n te s de las variables y los té rm in o s c o n stan tes d e sem p e ñ an un p ap el cen tral. E l p ro ce so se p u ed e h a c e r m ás e fic ie n te de m an era g en eral y p ara un trab a jo de c o m p u tad o ra in tro d u cien d o una fo rm a m a tem ática d en o m in ad a m a triz. U n a m atriz es u n arreg lo re c ta n g u la r de n ú m e ro s escrito en p a ré n te sis cu ad rad o s. D os ejem p lo s son -5 ■3

A =

0

7

B =

-4

4

11

1

6

-2

12

8

-3

0

0

(2)

-1

A cada n ú m ero en u n a m atriz se le llam a elem ento de un a m atriz. La m a tr iz ,4 tie n e seis elem e n to s o rd en a d o s en d o s ren g lo n e s y tres co lu m n as. L a m a triz B tie n e 12 elem e n to s ord en a d o s en cuatro ren g lo n es y tres co lu m n as. Si un a m a triz tie n e m ren g lo n e s y n co lu m n as, se llam a m atriz m X n (léase “m a triz m p o r /?” ). L a ex p resió n m X n se co n o ce com o tam año de la m atriz, y los n ú m e ro s m y n se co n o cen co m o dim ensiones de la m atriz. E s im p o rta n te n o ta r q u e siem p re se in d ica p rim e ro el n ú m ero d e re n g lo nes. R e firién d o n o s a la ec u ac ió n a n te rio r (2), A es u n a m atriz 2 X 3 y B es u n a m atriz 4 X 3 . U na m a triz co n n ren g lo n e s y n co lu m n as se d en o m in a m atriz cuadrada de orden n. U na m a triz co n sólo un a co lu m n a se llam a m atriz colum na, y u n a m atriz con sólo un re n g ló n se llam a m atriz renglón. E sta s d e fin ic io n e s se ilu stran co n lo siguiente: 3X3

4 X 1

0.5

0.2

0.0

0.3

0.5

0.7

0.0

0.2

1.0

Matriz cuadrada de orden 3

1X 4

3' -2 1

[2

\

0

-§ ]

0. M atriz

columna

M atriz re n g ló n

8-1


595

La posición de un elem e n to en un a m a triz es el re n g ló n y co lu m n a q ue co n tien e al elem en to . E sto se in d ic a p o r lo g en eral u san d o notación con doble subíndice a.., d o n de i es el renglón y j es la co lu m n a q u e c o n tien e al elem e n to a , com o se ilu s tra a con tin u ació n : an ' C¡2\

1,

5, ¿/j3 =

6, a22 —0, #23 —

3 ^

N o te que a n se lee “a su b ín d ice uno d o s” y no “a su b ín d ice d o c e ” . L os elem e n to s a , . = 1 y a 22 = 0 c o n fo rm an la d ia g o n a l p r in c ip a l d e A . E n g en eral, la diagonal principal de u n a m atriz A c o n siste de los elem e n to s a u , a „ , a ; p . ...

2x - 3v =

5 (3)

x + 2y — —3

se tie n en las m a trice s sigu ien tes: Matriz aumentada de coeficientes

CM

1 co 1

l

Matriz constante 1

Matriz de coeficientes

'2 en 1

K>

Notación de matriz m un dispositivo de graficación.

C om entario. L a m a y o ría de los d isp o sitiv o s de g ra fic a c ió n tie n en la ca p ac id a d de a lm a c e n a r y re a liz a r o p era cio n e s co n m atrices. L a fig u ra 3 m u e stra la m atriz .4 d e sp le g ad a en la p an talla de ed ició n d e u n a ca lc u lad o ra g rá fic a en p articu lar. El ta m añ o d e la m atriz se p rese n ta en la p arte su p e rio r de la p an talla, y la p o sició n del elem en to se lec cio n ad o g en e ralm e n te ap arece en la p arte inferior. N ote qu e se u sa u n a co m a en la n o ta ció n para in d ic ar la p o sició n . E sto es u n a p rác tica co m ú n en los d isp o sitiv o s de g ra fic a c ió n pero no en literatu ra m atem ática. Se p u ed en u sa r los co e fic ie n te s y té rm in o s co n stan tes en un sistem a de e c u ac io n e s lin e ales p ara fo rm a r diversas m atrice s d e in terés en n u estro trab ajo . C on rela ció n al sistem a

-3

.1

2

5' -3 .

La m a triz au m en ta d a con co e fic ie n te s se usará en esta secció n . L as o tras m a trice s se u sarán en seccio n es p o ste rio re s. L a m a triz au m en ta d a de co e fic ie n te s co n tien e las p a r te s esen c iale s del sistem a, es decir, los c o e fic ie n te s y las co n stan tes. L a b a rra v ertical sólo se in clu y e co m o u n a ay u d a v isu a l p ara se p arar lo s c o e fic ie n te s de lo s té rm in o s con stan tes. (L as m atrices in tro d u c id as y d esp leg ad as en u n a ca lc u lad o ra g rá fic a o c o m p u ta d o ra no m o stra rá n esta línea.) P ara fac ilita r la g en e raliz ac ió n de los sistem a s g ran d e s en las seccio n es sig u ien tes, se va a ca m b ia r la n o ta c ió n de las v ariab les en el sistem a (3 ) a u n a fo rm a co n su b ín d ice s (p ro n to se ac ab a rá n las literales, p ero no se ac ab arán los su b ín d ice s). E s decir, en lu g ar de .v y y , se u sa rá .v, y .v,, resp e ctiv am e n te, y el sistem a (3 ) se escrib irá com o 2,t| — 3x 2 =

5

+ 2*, = —3 E n g en e ral, a so cia d o co n cada sistem a lineal de la fo rm a a nA-, + a 12A-2 = k , # 21Xl + #23*2

k2

(4)

596


d o n d e x, y x 2 son v ariab les, se tien e la m atriz aum entada del sistem a:

Columna 2 (C?) Columna 3 (C3)

]

«i i

«12

¿ i l — Renglón 1 (R-i)

a2i

a22 I ^2-1 ~ Renglón 2 (fi7)

E sta m a triz co n tien e las p arte s esen c iale s del sistem a (4). N u e stro o b jetiv o es ap re n d er có m o m a n e ja r m a trice s au m en ta d as de m a n era tal q u e resu lte u n a so lu ció n al sistem a (4), si existe una solución. E n n u estro an álisis a n te rio r del uso de la elim in a ció n m e d ian te sum a, se d ijo que d o s sistem as eran eq u iv alen tes si tenían la m ism a so lu ció n . Y se u sa ro n las o p eracio n es del te o re m a 2 p ara tra n sfo rm a r un sistem a en o tro eq u iv alen te. P arale lo a esta co n sid e ració n , se dice q u e d o s m a tric e s a u m en ta d as son d e renglón equivalente, lo cu al se den o ta p o r el sím b o lo ~ en tre las dos m a trice s, si so n m atrice s a u m en ta d as d e sistem as de ec u ac io n e s eq uiv alen tes. P o r o tra p arte , se u tilizan las o p era cio n e s e n u m erad a s en el te o re m a 3 que se m u e stra a co n tin u ac ió n , p a ra tra n sfo rm a r m a tric e s au m en ta d as en m a trice s de ren g ló n eq u iv alen te. N o te qu e el te o re m a 3 es una co n sec u en cia d ire c ta del te o re m a 2 .

Teorema 3

Operaciones elementales de renglón que producen matrices de renglón equivalente U n a m a triz au m en ta d a se tran sfo rm a en u n a m atriz d e ren g ló n eq u iv alen te si se re a liz a c u a lq u ie ra de las sig u ien tes operaciones renglón: 1.

D o s re n g lo n e s se in te rcam b ian (/?.. «-» R).

2.

Se m u ltip lic a un ren g ló n p o r u n a c o n stan te d iferen te d e cero (kR. —> R .).

3.

Se sum a el m ú ltip lo co n stan te d e un ren g ló n con el d e o tro re n g ló n

(k R

+

[N ota: La flecha sig n ific a “re e m p la z a ” .]

El u so del te o re m a 3 en la so lu c ió n d e sistem as en la fo rm a de (3) se ilu stra m e jo r con ejem plos.

sistema m e d ia n te

Solución de un sistema mediante métodos de matrices aumentadas R esu elv a, m ed ian te m é to d o s de m a tric e s au m en tad as: 3xj + 4 * , = 1

(3) x, — 2x2 - 7 Solución

Se co m ien z a p o r e sc rib ir la m a triz au m en ta d a co rre sp o n d ie n te al sistem a (3):

8-1


'3

r

4

.1

597

7.

-2

N u estro objetivo es u sa r o p era cio n e s ren g ló n a p a rtir del te o re m a 3 p ara in te n ta r tra n s form ar la m a triz (4) en la fo rm a 1

0

m

.0

1

n.

d o n d e m y n son n ú m e ro s reales. L a so lu ció n del sistem a (3) será en to n ces obvia, ya q u e la m atriz (5) será la m a triz au m en tad a del sistem a siguiente: x¡ = m

x,

x2 — n

Ox,

i 0x2 = t

m

x2 = n

A hora se p ro ce d e a u sa r las o p era cio n e s ren g ló n p ara tra n sfo rm a r (4) en la fo rm a (5). P aso 1

Paso

P ara o b te n e r u n 1 en la esq u in a su p e rio r iz q u ierd a, se in te rc a m b ia n lo s re n glo n es 1 y 2 (teo rem a 3, p arte 1): '3

4

1'

.1

-2

7_

R,

1

-2

1

4

-2

.3

4

7

Ahora se vera por que se optó por el teorema 2, parte 1.

1.

( 3)«, i

1

%

'—v— ■ ~

i.

6

-2

.0

10

7 - 20 .

- 2 1 ---------:

P ara o b te n er un 1 en el seg u n d o ren g ló n , se g u n d a co lu m n a, se m u ltip lic a R , p o r ^ (teo rem a 3, p a rte 2): '1 .0

P aso 4.

'1

P ara o b te n e r un 0 en la esq u in a in ferio r izq u ierd a, se m u ltip lic a R. p o r —3 y se su m a a R 2 (teo rem a 3. p arte 3). Esto ca m b ia a /?, p ero n o a R r A lg u n as p erso n a s en c u en tran útil esc rib ir ( —3)/?, fu era de la m a triz p a ra re d u c ir e rro res aritm éticos:

3

P aso 3.

R:,

-2 10

7'

'I

-2 0 .

0

-2

7

1

-2

P ara o b te n e r u n 0 en el p rim e r ren g ló n , seg u n d a co lu m n a, se m u ltip lic a /?, p o r 2 y se sum a el resu ltad o a R x (teo rem a 3, p arte 3). E sto ca m b ia a /?, p ero no a R 0 '1 .0

2 -2 1

4------ 1 7"

2/?j¡ ■R¡ —i fí¡

-2 .

'1 _0

0 1

3 -2

¡H em os cu m p lid o n u estro objetivo! La ú ltim a m atriz es la m atriz au m en ta d a p a ra el sistem a jc, =

3

(6) x2 = - 2

598


C o m o el siste m a (6) es eq u iv alen te al sistem a o rig in a l (3), se reso lv ió el siste m a (3). Es decir, x, = 3 y x 2 = —2.

Comprobación

=1

x, — 2 x 7 = 7

3(3) + 4 ( - 2 ) ¿ l

3 — 2 ( —2) = 7

1=1

7=7

3x, +

4x2

E l p ro ce so a n te rio r se escrib e de m a n e ra m á s co m p ac ta co m o sigue:

^

"3

4

^Necesita un 1 aquí/

.1

-2

Paso 2:

'1

-2

.3

4

Paso /:

\

Necesita un 0 aqu

-3

\ ri Necesita un 1 aquí/r .0 Paso 3:

11 7j

fi, <-> R2

(- 3 ) R ,+ R 2 ^ R 2

lJ -21 —

-2 10

71

-2 0 J

JqR2 —>R2

—4 ---/ Paso 4: •^Necesita un 0 aquí/

'1 .0

-2 1

7" -2 .

1 .0

0 1

3 -2 .

2R2 -f /?i —^/?•)

Por lo ta n to , x t = 3 y x 2 = —2.

R esu elv a, m e d ian te m é to d o s d e la m atriz au m en tad a:


2x. - x , =■— 7 x, + 2x, = 4

El re su m e n al fin a l del ejem p lo 6 m u e stra cin co m a trice s a u m en ta d as d e c o e fic ie n tes. E sc rib a el sistem a lin eal q u e re p re se n ta ca d a m a triz, resu e lv a ca d a sistem a g rá fica m en te, y an a lic e la rela ció n en tre estas so lu cio n es.

Solución de un sistema mediante métodos de matrices aumentadas R esu elv a, m e d ian te m é to d o s de m a triz au m en tad a:

2x, - 3x2 = 7 3Xj + 4 x, = 2

8-1


599

So lu ció n

P aso

7: 1 aquí

-» fi,

Necesita un

P aso

2 0 aquí

(-3 )R , +

1

2

2-1

o P aso

4: \ 0 a q u íy

Necesita un

71 17

1 O

3.>> Necesita un 1 a q u í/ P aso

»-*

1

Necesita un

ijR¿ -»

3

2

Ì

7-1

n 1 ^ 2?

2

|/?2 + /?i ”■ * /?i

-1 .

.0

1

'1

0

2

.0

i

-1 .

Así, jCj = 2 y *2 = - 1. Se debe comprobar esta solución en el sistema original.

Resuelva, mediante métodos de matriz aumentada:

5x( — 2x1 = 12 2x¡ + 3x2= 1

Solución de un sistema mediante métodos de m atriz aumentada Resuelva, mediante métodos de matriz aumentada:

So lu ción

2 .-6 1

-2 2

4

-1 3 i

- 12.

2

2

1

-4 .

j/ í, —> /?, (E sto p ro d u ce un

2x, - x2 = 4 —6jc, + 3x2 = —12

(7)

1 en la esquina su p erio r izq u ie rd a .)

j R , —> R , (E sto sim p lifica R y .)

2 R, t

R? -> R 2 (E sto p ro d u ce un

0 en la esq u in a inferio r izq u ie rd a .)

4

-1

1

1

2

2

0

0

0_

La última matriz corresponde al sistema A¡

2

2*2

0 = 0

^*12'^.’ Ox,

- Oa.

~

^

0

A sí, X, = \ x 2 + 2. Por lo tanto, para cualquier número real t, si x2 = t, entonces x { = \t + 2. Es decir, el conjunto solución está descrito por

( \t + 2, t)

t es un número real

(8)

600


P or ejem p lo , si t = 6 , en to n ce s ( 5 , 6) es u n a so lu ció n p articu la r; si t = —2, ente —2) es o tra so lu c ió n p articu la r; y así en fo rm a sucesiva. G eo m é trica m e n te, las ¡ de las dos e c u ac io n e s o rig in a les co in c id e n y ex iste un n ú m e ro in fin ito de so lí

En general, si se finaliza con un renglón de ceros en una m a triz aunie® da para un sistema de dos ecuaciones con dos variables, el sistem a dependiente v existe un número infinito de soluciones. C o m p ro b a c ió n

L o sig u ien te es u n a co m p ro b a c ió n de qu e (8) p ro p o rc io n a u n a so lu ció n p ara e l ; (7) p ara c u a lq u ie r n ú m e ro real t: —6*, + 3*2 = —12

2*i - * 2 = 4 2 (jf + 2)

- t ^ 4

t + 4 - t ¿ 4

-6 (£ f + 2 ) +

3 f*

-3 t -

3/

-12

4 = 4

R e su elv a, m e d ian te m éto d o s de m a triz au m en tad a:

:^ j


Ejecución de operaciones de renglón en un dispositivo de graficación.

12 +

-1 2

=*= - 1 2 =

-12

—2*, + 6* , = 3*. — 9x, = —9

L a m ay o ría de lo s d isp o sitiv o s d e g ra fic a c ió n p u ed e n re a liz a r o p e ra cio n e s co n i glones. L a fig u ra 4 m u estra la so lu ció n del ejem plo 8 en u n a calcu lad o ra de g rafica en particu lar. C o n su lte su m an u al p ara v e r có m o re a liz a r o p era cio n e s co n renglón y resu e lv a el p ro b le m a se lec cio n a d o 8 en su d isp o sitiv o de g rafica ció n .

[fi]

*r-owí 1/3.- [ñ] ,2> * [fl] [[1 - .5 2 ] [-2 1 -4] ] *row+<2>[ R 3? 1 , 2 ) *[ f l l Ctl -. 5 21 0] ] [0 0

-1 4 ] [ -6 3 - 121 ]

[ 12

+ ro u < l-"2? [fi] >1 >+ [fi] 5 2 ] [ [1 [-6 3 121 ]

Solución de un sistema mediante métodos de m atriz aumentada R esuelva, m e d ian te m é to d o s de m a triz au m en tad a:

'2

6

-3 '

.1

3

2.

'1

3

.2

6

-3 .

-6

-4

2

R\

ky

2

(- 2 )/ ? , - R

2 x l + 6x , = - 3 *, + 3*, = 2

8-1


‘1

3

2

o

O

-1 .

ft, implica la contradicción: 0 -

601

-7

É sta es la m atriz au m en ta d a del sistem a .V, + 3a'2 =

2

0 = —7

3x

2

0 a, ■ Oxj

-7

x¡

N o se sa tisface la se g u n d a ec u ac ió n p ara alg ú n p a r o rd en a d o de n ú m e ro s reales. P o r lo ta n to , el sistem a o rig in a l es in c o n siste n te y no tie n e so lu ció n . ¡D e o tra m a n era, se h u b ie ra co m p ro b a d o q u e 0 = - 7 !

Así, si io que se obtiene son ceros a la izquierda de la barra vertical \ tus núm ero diferente de cero a la derecha de la barra en un renglón de una m atriz aum entada, entonces el sistem a es inconsistente j no tiene solu ciones.

R esuelva, m e d ian te m é to d o s de m a trice s au m en tad as:

2xt — x2 = 4xt —

2x2 =

3 — 1

M T Sil

Resumen

I I I p * s B ls

lÉÉiiitei

El p ro ce so para reso lv e r sistem as de ec u ac io n e s d escrito en e sta secció n se co n o ce co m o elim in a ció n G auss-Jordan. E n la sig u ien te se cc ió n se u sa rá este m é to d o p ara resolver sistem as a g ran escala, que in clu y en sistem as en los que el n úm ero de ecu acio n es y el n ú m e ro de v ariab les no son iguales. Respuestas a los problemas seleccionados 1.

y .

I

x = l,.y = - 2 Comprobación:

x —y = 3 1 - (-2 ) * 3


602

2. 3. 5. 6. 8. 9.

'v - r K IC

O

“

(A) (3, 2) o í = 3 y y = 2 (B) No hay solución (C) Número infinito de soluciones (-1.92, 4.23) o x = —1.92 y y = 4.23 ' 4. (- 1 , 3), o j = -1 y y = 3 16.5 onzas de queso cottage, 12.5 onzas de yogurt x 1= —2, x2 = 3 7. x { = 2, x2 = - 1 Él sistema es dependiente. Para cualquier número realt. x2t, x t=3t- 3 es una solución. Inconsistente (no hay solución)

I

A

Resuelva los problemas del I I al 14 mediante eliminación por suma.

Relacione cada sistema en los problemas del 1 al 4 con una las gráficas siguientes, y use la gráfica para resolver el sistema.

11. 2x + 3y = 1 3x — y = 7

12. 2m — n = 10 m - 2n = - 4

13. 4 x - 3 y = 1 5 3* + 4>’ = 5

14. 5x + 2 y = l 2x — 3y = -11

Los problemas del 15 al 24 se refieren a las matrices siguien tes: '- 2 B = -3 4 D =

8

0'

6 2

9 0.

'- 4 ' 7.

15. ¿Cuál es el tamaño de A ? ¿ Y el de C? 16. ¿Cuál es el tamaño de B ? ¿ Y el de D? 17. Identifique a todas las matrices renglón. 18. Identifique a todas las matrices columna. 19. Identifique a todas las matrices cuadradas. 20. ¿Cuántos renglones necesitaría la matriz A para ser una matriz cuadrada? 21. Para la matriz A, encuentre an y aiy 22. Para la matriz^, encuentre a2l y a,_v

(d)

1. 2* - 4y = 8

2. x + y = 3

x — 2y = 0

x —2y = 0

3. 2x — y = 5 3x + 2y = - 3

23. Encuentre los elementos en la diagonal principal de la matriz B. 24. Encuentre los elementos en la diagonal principal de la matriz A.

4. 4* - 2y = 10 2* - y = 5

En los problemas del 25 al 36 realice cada una de las opera ciones renglón de la matriz siguiente: '1 .4

Resuelva los problemas del 5 al 10 mediante grajicación. 5. x + y = 1 x —y = 3

6. x — y = 2 x +y =4

7. 3x -

8. 3x -

2y = 12

7* + 2y = 8

9. 3« + 5v = 1510. 6« + lOv = -3 0

y=

25. R, 2

Jt + 2y = 10

m + 2n =

4 2m + 4n = —8

R2

28. - 2 R t -> R,

-3 -6

2 1 oo

(c)

26. \ R 2-+ R 2

2 7 .- 4

29. 2R2-> R 2

30. -1 R2^>R2

31. ( - 4 )R, + R 2- * R 2

32. (~ í)R 2 + R l -4 R ,

33. ( - 2 )R, + R 2

34. ( - 3 )R t + R 2 - * R 2

R2

8-1

35. (-1 )R,

+ r 2


36. íy?, + /? ,—>/?,

Resuelva los problemas 3 7 y 38 mediante métodos de matriz aumentada. Escriba el sistema lineal representado por cada matriz aumentada en su solución, y resuelva cada uno de estos sistemas gráficamente. Analice la relación entre las solucio nes de estos sistemas. + x2 = 7 x , —x2 = 1 at,

= 5 x, - x , = —3 A, + a ,

603

Resuelva los problemas del 57 al 60 mediante métodos de ma triz aumentada. Use un dispositivo de graficación para reali zar las operaciones renglón. 57. 0.8a , + 2.88aj = 4 1.25a , + 4.34a2 = 5 59.

58.

2.7a , - I5.12 a2 = 27 3.25a , - I 8.52a2 = 33

4.8a , - 40.32x2 = 295.2 -3 .7 5 a , + 28.7aj = - 2 1 1 .2

60. 5.7a, - 8.55a, = -35.91 4.5a, + 5.73a, = 76.17

B Resuelva los problemas del 39 al 50 mediante métodos de ma triz aumentada:

43.

A| + l x 2 = 4 2A| + 4jt, = —8

45. 2a , 4- a2 = 6 a2 =

a2 =

61. Acertijo. Una amiga suya salió de una oficina de correos

5

después de gastar $19.50 en timbres de 32 y 23 centavos. Si compró 75 timbres en total, ¿cuántos timbres de cada tipo compró?

42. 2a , + a2 = 0

+ 2a, = 10

A, -

A, —3a , -

A, ~ 2a2 = - 5 44.

2a , — 3a2 = — - 4 a , + 6a2 = 7

46. 3a , a,

-3

a2 - —5 + 3a2 - 5

47.

3a , — 6*2 = —9 - 2 a , + 4a2 = 6

48.

49.

4a , - 2 a 2 = 2 —6 a , + 3a2 - —3

50. —6 a , + 2a2 = 4

2a , - 4a, = - 3 a, + 6 a 2 = 3 3a ,

-

a2

= -

En los problemas del 51 al 54 use una rutina de intersección en un dispositivo de graficaciónpara aproximar la solución de cada sistema con dos cifras decimales. 51. 2a - 3>- = - 5 3a + Ay = 13

52. 7a - 3y = 20 5a + 2y = 8

53. 3.5a - 2.4y = 0.1 2 .6 a -

l.T y =

- 0 .2

54. 5.4a + 4.2y = - 1 2 .9 3.7a + 6.4y = - 4 . 5

Los coeficientes de los tres sistemas que se muestran a continuación son muy similares. Se podría pensar que los conjuntos solución de los tres sistemas también podrían ser casi idénticos. Desarrolle la evidencia para o contra esta suposición considerando las gráficas de los sistemas y las soluciones obtenidas mediante eliminación por suma. (A ) 4a + 5y = 4 9a + 1ly = 4 (C) 4a + 5y — 4 8 a + 10y = 4

^

1

41. 3a, — a2 = 2 a,

40.

- 3

II

a2 =

en 1

1

in

II

1

A, - 2 a, +

$

39.

APLICACIONES

(B) 4a + 5y = 4 8 a + 1ly = 4

Repita el problema 55 para los sistemas siguientes. (A) 5a - 6y = —10 (B) 5a - 6 y = - 1 0 11a — 13y = - 2 0 10a — 13y = —20 (C) 5a — 6y — —10 10a - 12y = - 2 0

62. Acertijo. Un parquímetro contiene monedas de 5 y 10 centavos que suman $6.05. Si en total contiene 89 monedas, ¿cuántas hay de cada tipo? 63. Inversiones. E l bono A paga 6% de interés compuesto anual y el B, 9%. Si una inversión de S200 000 en los dos bonos combinados gana $14 775 al año, ¿cuánto se invirtió en cada bono? 64. Inversiones. La historia indica que un fondo mutuo A ganará 14.6% anual y un fondo mutuo B , 9.8% en el mismo periodo. ¿Cómo se deberá dividir una inversión entre los dos fondos para producir una ganancia del 11%? 65. Q uím ica. Un químico tiene dos soluciones de ácido sulfúrico: una solución al 20% y otra al 80%. ¿Qué cantidad de cada solución se deberá usar para obtener 100 litros de una solución al 62%? 66. Q uím ica. Un químico tiene dos soluciones: una que contiene alcohol al 40% y otra que contiene alcohol al 70%. ¿Qué cantidad de cada solución se deberá usar para obtener 80 litros de una solución al 49%? 67. Nutrición. Ciertos animales en un experimento deben seguir una dieta estricta. Cada animal recibe, entre otras cosas. 54 gramos de proteína y 24 de grasa. E l técnico del laboratorio puede comprar dos mezclas de comida con las composiciones siguientes: L a mezcla A tiene 15% de proteína y 10% de grasa; la mezcla# tiene 30% de proteína y 5% de grasa. ¿Cuántos gramos de cada mezcla se deberán usar para obtener una dieta correcta para un solo animal?

68. Nutrición de las plantas. Un fruticultor puede usar dos tipos de fertilizante en su cultivo de naranjas, la marca A y la marca B. Cada bolsa de la marca A contiene 9 libras de nitrógeno y 5 de ácido fosfórico. Cada bolsa de la marca B contiene 8 libras de nitrógeno y 6 de ácido fosfórico. Las pruebas indican que el cultivo necesita 770 libras de nitrógeno y 490 de ácido fosfórico. ¿Cuántas bolsas de cada marca se deberán usar para proporcionar las cantidades necesarias de nitrógeno y de ácido fosfórico?

604


69. Cargos por entrega. Servicios Unidos, una empresa nacional de mensajería, cobra un precio base por la entrega nocturna de paquetes que pesan una libra o menos, y un cargo extra por cada libra adicional (o fracción). A un cliente se le cobra $27.75 por enviar un paquete de 5 libras y S64.50 por enviar otro de 20 libras. Encuentre el precio base y el cargo extra por cada libra adicional.

71. Asignación de recursos. Una fábrica productora de café utiliza granos de café colombiano y brasileño para produ cir dos mezclas, fuerte y suave. Una libra de la mezcla de café fuerte necesita 12 onzas de granos colombianos y 4 de granos brasileños. Una libra de la mezcla suave necesita 6 onzas de granos colombianos y 10 de granos brasileños. El café se envía en sacos de 132 libras. La compañía dispone de 50 sacos de granos colombianos y 40 de granos brasileños. ¿Cuántas libras de cada mezcla se tendrán que producir para usar todos los granos disponibles?

70. Cargos por entrega. Refiérase al problema 69. Envíos Federales, un servicio de la competencia para envíos nocturnos, informa al cliente del problema 69 que podría enviar el paquete de 5 libras por $29.95 y el de 20 libras por S59.20.

Asignación de recursos. Refiérase al problema 71. (A ) Si la compañia decide descontinuar la producción de la mezcla fuerte y producir sólo la mezcla suave, ¿cuántas libras de la mezcla suave puede producir y cuántas onzas de granos de cada tipo usará? (B ) Repita el inciso (A ) si la compañía decide descontinuar la producción de la mezcla suave y producir sólo la mezcla fuerte.

(A ) Si Envíos Federales calcula su costo de la misma manera que Sen-icios Unidos, encuentre el precio base y el cargo extra que cobra esta compañía. Establezca una regla simple que pueda usar el cliente para elegir el más barato de los dos servicios por envío de paquetes. Justifique su respuesta.

Eliminación Gauss-Jordan Matrices reducidas R eso lu ció n de sistem as m e d ian te elim in a ció n G au ss-Jo rd an A plicació n

A h o ra q u e se ha ad q u irid o alg o de ex p e rien c ia en o p era cio n e s re n g ló n en m a trice s au m en ta d as sim ples, se co n sid erarán sistem as q ue im p lica n m ás d e d o s v ariab les. A d e m ás, no se n ec esita qu e un sistem a ten g a el m ism o n ú m e ro de e c u ac io n e s qu e de v a ria bles. R e su lta q u e los sistem as de ec u acio n es lin eales con d o s ec u acio n es y dos variables, estab lecid o s en el te o re m a I en la secció n 8- 1, se cu m p len de h ec h o p ara sistem as lin e ales de c u a lq u ie r tam añ o .

Posibles soluciones de un sistema lineal Se p u ed e d e m o stra r qu e c u a lq u ie r sistem a lin eal d eb e te n e r ex a ctam e n te un a so lución, n in g u n a so lu ció n , o u n n ú m e ro in fin ito de so lu cio n es, sin im p o rta r el n ú m e ro de e c u ac io n e s o d e v ariab les en el sistem a. L o s té rm in o s único, c o n sis tente, in co nsisten te, d ep e n d ie n te e in d e p e n d ie n te se u tilizan p a ra d e sc rib ir esas so lu c io n e s, co m o se h ace p ara sistem as con d o s v ariables.

En la se cció n a n terio r se usaro n o p era cio n e s re n g ló n p ara tra n sfo rm a r la m atriz au m en ta d a de c o e fic ie n te s p ara un sistem a de d o s ec u ac io n e s con d o s v ariab les

-a2\

a22 ki_

ü\\X\

+

«12

1 -^T

.

8-2

d j 2%2 021*] + (¿22^2

^1

8-2

Eliminación Gauss-Jordan

en una de las siguientes form as sim plificadas: W Forma 2

•*n Forma 1

rf Form a 3

'1

0

m

1

m

n

1

m

n

.0

1

n_

o

O

0.

o

O

P-

(1)

d o n d e m . n y p son n ú m e ro s re a le s,/? i= 0. C a d a un a de estas fo rm a s red u cid as re p re sen ta u n sistem a que tien e u n tip o d iferen te de co n ju n to so lu c ió n , y dos de estas fo rm as no son de re n g ló n equiv alen te. D e esta m an era, se co n sid era qu e cad a u n a d e éstas es una fo rm a sim p lific a d a d iferen te. A h o ra se co n sid erarán sistem a s m á s g ran d e s co n m ás variables y m ás ecuacio n es.


L as fo rm a s an terio res 1 ,2 y 3 rep rese n tan sistem a s qu e tien en , resp e ctiv am e n te, u n a so lu c ió n ú n ic a, u n n ú m e ro in fin ito d e so lu c io n e s y n in g u n a so lu ció n . A n alice el n ú m e ro de so lu c io n e s p ara lo s sistem a s d e tres ec u ac io n e s co n tres v ariab les re p re se n tad o s p o r las sig u ien te s m a tric e s a u m en ta d as d e co e ficie n te s.

(A )

1

1

1

2

0

0

0

3

0

0

0

0

(B )

1

1

1

2

1

0

0

2

0

0

0

0

0

1

0

3

0

0

0

0

0

0

1

4

(C )

/ C om o no existe lím ite su p erio r en el n ú m ero de v ariab les o el n ú m ero de ecu acio n es en un sistem a lineal, no es p o sib le en lista r de m an era ex p lícita to d as las p o sib les “ fo r m as sim p lifica d as” p ara sistem as g ran d es, co m o se hizo p ara sistem as de dos ecu acio n es co n dos variables. En lu g ar de esto , se estab lece un a d e fin ic ió n g en eral de u n a fo rm a sim p lific a d a llam ada m a triz red u cid a qu e se p u ed e a p lica r a to d a s las m atrice s y siste m as, sin im p o rta r el tam añ o .

DEFINICION 1

M atriz reducida U na m a triz e stá en form a reducida si: 1. 2. 3. 4.

C a d a re n g ló n que co n siste to ta lm e n te de cero s está d eb a jo de c u a lq u ie r re n g lón que tie n e p o r lo m e n o s u n elem e n to d iferen te de cero. E l elem en to en el ex trem o izq u ierd o d iferen te de 0 en ca d a ren g ló n es I . L a c o lu m n a q ue c o n tien e al 1 en el ex trem o izq u ierd o d e cierto ren g ló n tiene ceros arrib a y d eb a jo d e 1. E l 1 en el ex trem o izq u ierd o de c u a lq u ie r ren g ló n está a la d ere ch a del 1 del ex trem o izq u ierd o del ren g ló n p reced en te.

Formas reducidas L as m a trice s que se m u e stran a co n tin u ac ió n no están en fo rm a red u cid a. In dique qué co n d ició n se v io la en la d e fin ic ió n p ara cad a m atriz. E sta b lez ca la(s) o p era ció n (es) n c c esaria(s) de re n g ló n p ara tra n sfo rm a r la m a triz a u n a fo rm a red u cid a, y en c u en tre la fo rm a red u cid a.

606


(A)

(C)

Soluciones

"0

i

—2

.1

0

3.

'1

0

-3 "

0

0

0

0

1 - 2.

(B)

(D)

"1

2

-2

3'

_0

0

1 - 1.

‘1

0

0

- 1'

0

2

0

3

0

0

1 -5 .

(A) Se viola la condición 4: El 1 en el extremo izquierdo en el renglón 2 no está a la derecha del 1 en el extremo izquierdo en el renglón 1. Realice la operación ren glón R ]
1 '1 l _0

3'

1 - 2.

(B) Se viola la condición 3: La columna que contiene el 1 en el extremo izquierdo en el renglón 2 no tiene un cero arriba del 1. Realice la operación renglón 2/?, + R, —> R^ para obtener la forma reducida:

f 1 -1 .

2 0

'1 .0

0

(C) Se viola la condición 1: Todos los elementos son cero en el segundo renglón, y no está debajo de cualquier renglón que tenga al menos un elemento diferente de cero. Realice la operación renglón R 2 R, para obtener la forma reducida: '1

0

0

1 -2

-3 '

o

O

0.

(D) Se viola la condición 2: El elemento en el extremo izquierdo diferente de cero en el renglón 2 no es un 1. Realice la operación renglón ¿ i?, —>R2 para obtener la forma reducida: '1

0

0

0

1

0

0

0

- r 3

2 1 -5 .

Las matrices que se muestran en seguida no están en forma reducida. Indique cuál es la condición en la definición que se viola para cada matriz. Establezca la(s) operación(es) renglón necesaria(s) para transformar la matriz a su forma reducida y encuentre la forma reducida.

(C )

5 1

4

0 0

0

0

'1

'1

0

2

.0

3

~ 6.

0

1

0

-3 '

1

0

0

0

0

0

1

2

(B)

(D )

3'

2

-1 0.

'1

2

0

3"

0

0

0

0

0

0

1 4_

8-2


607

Ahora se está listo para bosquejar el método de eliminación Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método transforma de manera sistemática una ma triz aumentada en una reducida. El sistema correspondiente para una matriz aumentada de coeficientes se llama sistem a reducido. Como se verá, los sistemas reducidos son fáciles de resolver. El método de eliminación Gauss-Jordan se llama así en honor al matemático ale mán Cari Friedrich Gauss (1777-1885) y al matemático francés Camillc Jordán (18381922). Gauss, uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos, utilizó este método para resolver sistemas de ecuaciones, el cual después Jordán volvió de uso general.

EJEIV

Solución de un sistema mediante eliminación Gauss-Jordan Resuelva mediante eliminación Gauss-Jordan:

2x, — 2x2 +

x, = 3

3x, + x, — .v, = 7 x, — 3x, + 2 x 3 = 0 So lu ció n

Escriba la matriz aumentada y siga los pasos que se indican a la derecha para producir una forma reducida.

"2 Necesita un

1 aquT

(N e c e s it a ceros a q u í)

3

c

-1 2

0.

'1

-3

2

0"

3

1 -2

-1 1

1 aquT) •

Necesita ceros aquí

P a s o 1; Seleccione la colum na en el extrem o izquierdo diferente de cero y obtenga un 1 en la parte superior.

7

( - 3)fi, + R2 -» R2

3

(-

1 aquí

(^Necesita ceros aquí

f?3

Ri

7

-3

2)ft, + R 3

P a s o 2 : Use m últiplos del renglón que contiene el 1 del paso 1 para obtener ceros en todos los lugares restantes en la colum na que contenga

fij

0.1«,

‘1

Necesita un

1

3'

1

.1

2

Necesita un

-2

-3

2

0"

0

1

- 0 .7

.0

4

-3

n

o -o.i

2.11

3R?_ +R-\

R-]

0.7 3j

(-4)R2 + «3

1

P a s o 4 : Repita el paso con la m o t r i z e n t e r a .

2

P a s o 3 : Repita el paso con la s u b m a t r i z form ada al elim inar (m entalm ente los dos renglones superiores.

1

P a s o 4 : Repita el paso con la m a t r i z e n t e r a .

2

R3

0

1

- 0 .7

0.7

.0

0

- 0.2

0 .2 .

(-5 ) R ^ R i

'1

0

- 0.1

2 .1'

0.1 /?3, -r Ry —> Ri

0

1

- 0 .7

0.7

Q.7R-$ + R¿ —>R-¿

.0

0

1 -1

P o s o 3 : Repita el paso con la s u b m a t r i z form ada al elim inar (m entalm ente) el renglón superior.

608


"1

2"

0

ü

0

1

0

0

.0

0

1

-1 .

La m atriz esta ahora en form a reducida, y se puede proceder a resolver el sistema reducido.

Xi

= 2

x2

=0 Xj

1

La solución de este sistema es x 1 = 2, x, = 0, x, = - 1 . Debe comprobar esta solución en el sistema original.

Eliminación Gauss-Jordan Seleccione la columna del extremo izquierdo diferente de cero y use las operaciones renglón adecuadas para obtener un 1 en la parte superior. Use múltiplos del renglón que contiene el 1 del paso 1 para obtener ceros en todos los lugares restantes en la columna que contiene este 1.

.

fT |i

Repita el paso I con la subm atriz formada al eliminar (mentalmente) el renglón usado en el paso 2 y todos los renglones arriba de este renglón. Repita el paso 2 con la m atriz entera, incluyendo los renglones elim i nados mentalmente. Continúe este proceso hasta que no se pueda avan zar mas.

.-y».5•«Jlt*M *s

M

«m--• i.-BfJSffPWfipi .

I

tt<¡V.- .'-1—.:.)i

- f . - . y : ., - , - . . v;.;

[Nota: Si en cierto punto del proceso se obtiene un renglón coi/ceros a la izquier

i.

da de la línea vertical y un número diferente de cero a la derecha, hay que detener se, pues se tiene una contradicción: 0 = n, n # 0. Se puede concluir entonces que el sistema no tiene solución.]

1 »

C om entarios 1.

2.

Aun cuando cada matriz tenga una forma reducida única, la secuencia de pasos (algoritmo) presentada aquí para transformar una matriz en una forma reducida no es única. Es decir, también otras secuencias de pasos (que utilizan operaciones renglón) pueden producir una matriz reducida. (Por ejemplo, es posible utilizar operaciones renglón de tal manera que los cálculos que impliquen fracciones sean m ínimos.) Pero se hace énfasis de nuevo en que no se está interesado en los m éto dos a mano más eficientes para transformar matrices pequeñas a formas reduci das. El interés principal radica en darle a usted un poco de experiencia con un método adecuado para resolver sistemas a gran escala, en una computadora o en un dispositivo de grafieación. La mayoría de los dispositivos de graficación tienen la capacidad de encontrar formas reducidas, directamente o con algo de programación. En la figura 1 se ilustra la solución del ejemplo 2 en una calculadora gráfica que tiene una rutina preconstruida para encontrar formas reducidas. Advierta que en el renglón 2 y columna 4 de la forma reducida la calculadora gráfica ha desplegado el número muy pequeño -3 .5 E -1 3 en lugar del valor exacto 0. Esto es algo que sucede a menudo en una calculadora gráfica y no causa problemas. Sólo reemplace cual quiera de los números muy pequeños desplegados en notación científica con 0 .

8-2

Eliminación Gauss-jordan

Eliminación Gauss-.Tordan en una calculadora gráfica.

3x,1 + 2 xi - 2x.j = 2 x, - 2x 2 + x 3 = 3 2x, — x 2 - 3x} = 3

Resuelva mediante eliminación Gauss-Jordan:

Solución de un sistema mediante eliminación Gauss-jordan Resuelva mediante eliminación Gauss-Jordan:

Solución

2

-4

4

-8

7

4

-3

1

-2

0.5

4

-8

-2

4

-2

~

~

~

~

'1

-2

0

0

.0

0

1

-4 2

7

5

-4

2 5

-> fi-.

5_

-3 0.5

0.5 R,

2x, - 4 x 2 4- x3 4x, - 8 x 2 + 7x, —2x, + 4x, J.v,

-2

2

(-4 )« , -

5.

2R,

0.2 R,

10

-2

I

'1

-2

0.5

-2

0

0

1

2

.0

0

-2

'1

-2

0

0

0

1

2

.0

0

0

5

1 -3

R2 ^> R7

f i, -> f i,

Observe que la columna 3 es la columna en el extremo izquierdo diferente de cero en esta submatriz.

(—0.5)fi2 2R¿ -t- fij

? fij

Se detiene la eliminación Gauss-lordan, aunque la matriz no está en forma reducida, debido a que ei último renglón produce una contradicción.

El sistema es inconsistente y no tiene solución.

Resuelva mediante eliminación Gauss-Jordan:

2x, — 4x, — x, = - 8 4x, - 8x , + 3x, = 4 —2Xj + 4x2 + x , = 11

609

610


~

P R E C A U C IÓ N

L a fig u ra 2 m u e stra la so lu ció n del ejem p lo 3 en u n a ca lc u lad o ra g rá fic a co n u n a ru tin a en fo rm a red u c id a p re c o n stru id a. O b serv e q ue la ca lc u lad o ra g rá fic a n o se d etien e cu a n d o o cu rre u n a p rim e ra co n tra d icc ió n , co m o se h iz o en la so lu c ió n del ejem p lo 3, sino q u e co n tin ú a p ara en c o n trar la fo rm a red u cid a. Sin em bargo, el ú ltim o re n g ló n en la fo rm a red u c id a to d av ía p ro d u ce un a co n tra d icc ió n , lo cu a l in d ic a qu e el sistem a no tie n e so lución.

Reconocimiento de contradicciones en un dispositivo de graficación.

Solución de un sistema mediante eliminación Gauss-Jordan R esuelva m e d ian te elim in a ció n G au ss-Jo rd an :

So lu ció n

3

6

-9

15'

2

4

-6

10

-2

4

-3

1

2

-3

2

4

-6

-2

-3

1

2

- 6.

5'

0

0

0

.0

1

-2

'1

2

-3

5'

0

1

-2

4

.0

0

0

0.

"1

0

1

-3 '

-2 0

Xj

+ x2

4,

4

1

_

0 .

0

0.

X3 — —3 r,

_

3

■*i

5" 10

-3

0

9x3 = 15 6x = 10 4xJ = - 6

- 6.

4

0

3x. + 6x

a

4

(-2 )« , + R2 -» «2 2 R\ + «3 —^ /?3

Note que se deben intercam biar los renglones 2 y 3 para obtener una entrad?, diferente de cero en la parte superior de la segunda colum na de esta subm atriz.'( —2 )R Z + R, -> R,

Esta m atriz está ahora en forma reducida. Escriba el sistema reducido correspondiente y resuélvalo.

cuación que corresponde al tercer renglón (todos son 0) en la forma reducida, ya que se satisface para todos los valores de x , , x 2 y *3.

8-2


611

N o te que la v ariab le en el ex trem o iz q u ierd o en ca d a ec u ac ió n ap arece en u na y sólo en una ecu ació n . Se d esp eja n las v ariab les en el ex trem o iz q u ierd o * y x 2 en té rm in o s d e la variable resta n te x 3: = -* 3- 3 jr2 =

2x í + 4

E ste sistem a d ep e n d ie n te tien e un n ú m e ro in fin ito de so lu cio n es. Se u sa rá u n p ará m etro p ara re p re se n ta r to d a s las so lu cio n es. Si se h ace x 3 = t, e n to n ce s p a ra c u a lq u ie r n ú m e ro real t, x¡ = —t — 3 x 2 = 2t + 4 x3 = t U ste d d eb e co m p ro b a r q ue ( —f — 3 , 2 r + 4 , t) es u n a so lu ció n del sistem a o rig in al p ara cu a lq u ie r n ú m ero real t. A lg u n as so lu c io n e s p a rtic u la re s so n ( =0 ( - 3 ,4 ,0 )

t=

2

(-1 ,0 , -2 )

R e su elv a m e d ian te elim in ació n G au ss-Jo rd an :

í = 3.5 ( - 6 .5 ,1 1 ,3 .5 )

2x,1 - 2x, -2 4x„2= - 2 3x, — 3*2 —6x 3 = —3 —2x, + 3.t 2 + x 3 = 7

E n general.

H ay m u c h as m an eras de u sa r la m a triz au m en ta d a re d u c id a de co e fic ie n te s p ara d e sc rib ir el n ú m e ro in fin ito de so lu c io n e s de un sistem a in d ep en d ien te. S iem p re se p ro ce d erá co m o sigue: R esu elv a ca d a ec u ació n en u n sistem a red u cid o p ara su v ariab le en el ex trem o izq u ierd o y d esp u és in tro d u z ca u n p ará m etro d iferen te p ara cad a v ariab le restan te. C o m o lo ilu s tra la so lu ció n del ejem p lo 4, este m é to d o p ro d u ce u n a rep rese n ta ció n co n cisa y útil de las so lu c io n e s p ara un sistem a d ep e n d ien te. El ejem p lo 5 ilu stra un sistem a d e p e n d ie n te d o n d e se n ecesitan d o s p ará m etro s p ara d e s c rib ir la so lu ció n .


E x p liq u e p o r qué la d e fin ic ió n d e u n a fo rm a re d u c id a a seg u ra q u e ca d a v ariab le en el ex trem o iz q u ierd o en u n sistem a red u c id o ap a rece en u n a y só lo en u n a ec u ac ió n , y que n in g u n a ec u ac ió n c o n tien e m ás d e u n a v ariab le d el ex trem o izq u ierd o . A n alice los m é to d o s p a ra d e te rm in a r si u n sistem a co n siste n te es in d e p en d ie n te o d e p e n d ien te ex a m in a n d o la fo rm a red u cid a.

612


EJEMPLO 5

Solución de un sistema mediante eliminación Gauss-Jordan x, x, + 2x, + 4x, . .v4 2x, + 4 x 2 4- 8x, 4 - 3 x 4 - 4x? x, + 3x, + 7x3 -I3x

R e su elv a m e d ian te elim in a ció n G au ss-Jo rd an

2

Solución

~

4

1

-1

1

4

8

3

-4

2

3

7

0

'1

2

4

1

-1

r

0

0

0

1

-2

0

0

1

3

'1

2

4

0

1

3

0

0

0

4

-1 1

3

1

0

-2

0

1

3

0

o

0

1

2) R , -

-2

2

fi, -> R;

-3

«.i +

0 7

-3

La m atriz está en form a re d u cid a.

-3 0

-2

- 3x, =

— 2 x, AS +

(-

7'

-9 4

0

R: <->

0,

-1

0

R¡

-3

-2

3

R,

r

4

1

R,

1)« , +

3.

-

-1

-1

-2 0

3 -2

(-2 )« , + R (-

2

-2

3x 3

7

+ 2x5 = - 3 x4

-

2x5

-

0

D esp e je las v aria b les en el ex trem o iz q u ierd o x,, x2 y x4 en té rm in o s de las v ariab les re sta n te s x. y x.: 2x 3 + 3x s + 7

Xj =

x2 = x4 =

— 3x 3 —

2x 5 — 3

2x5

Si se h ace x, = s y x. = t, e n to n ce s p ara c u a le sq u iera de los n ú m e ro s reales s y i,

x, = 2s + 3t + 7 x2 = - 3 s — 2 t — 3 x3 = j x4 = 21 x5 = l es u n a so lución. Se d eja q u e u ste d rea lice la co m p ro b ació n .

8-2


.y, -

R e su elv a m e d ian te elim in a ció n G au ss-Jo rd an :

x , + 2 x,

613

- 2.v. =

3

—2x, + 2*2 - 4xi — x4 + .v. = - 5 3 *, - 3 x , + 7 x, + x4 - 4x. = 6

ca

C o n sid ere ah o ra u n a ap lica ció n qu e im p liq u e un sistem a d ep e n d ie n te de ecu acio n es.

Compras U n fab rican te de p ro d u cto s q u ím ico s q u iere c o m p ra r una flo tilla d e 24 v ag o n es con una ca p a c id a d de carga co m b in ad a de 250 0 0 0 g alo n es. Se d isp o n e de ca rro s tan q u e con tres d iferen tes cap ac id a d es de carga: 6 0 00 g alo n es, 8 000 g alo n es y 18 000 galo n es. ¿C u án to s ca rro s ta n q u e de cad a tip o se d eb en co m p rar?

Solución

x , = N ú m e ro de

ca rro s ta n q u e de 6 000 g alo n es

-v, = N ú m e ro de

ca rro s ta n q u e de 8 000 g alo n es

x , = N ú m ero de ca rro s ta n q u e d e 18 000 g alo n es E n to n ces

*, +

*2 +

* 3 = 24

Número total de carros tanque

6 000*, + 8 000a'2 + 18 000*3 = 250 000

Capacidad total

de carga

A h o ra se pu ed e fo rm a r u n a m atriz au m e n ta d a del sistem a y reso lv e rla m e d ian te e lim i n ac ió n G au ss-Jo rd an : 1

1

1

24

.6 000

8 000

18 000

250 000

1

1

1

24'

_6

8

18

250.

1

1

1

24'

0

2

12

106.

1

1

1 24

0

1

6

0 1 *i

(- 6 )R, + R2

%

( - 1) R, + R,

53. -5 6

-» R2 (simplifique R )

R,

-2 9 53.

- 5*3 = - 2 9 *2 + 6*3 = 5 3

La m a triz está en fo rm a reducid a

o o

*! = 5*3- 29 *2 = - 6*3 + 53

614


Sea .v3 = /. Entonces, para cualquier núm ero real

t,

jc, = 5t - 29 x 2 = ~ 6 t + 53 x3 = t es u n a so lu ció n , ¿o no ? C o m o las v ariab les en e ste sistem a rep rese n tan el n ú m e ro de c a rro s ta n q u e co m p ra d o s, los v alo res d e x r x 2 y x 3 d eb e n se r en tero s n o negativos. A sí, la te rc era ec u ació n n e c e sita qu e t sea u n en tero no n egativo. L a p rim e ra ecu ació n n e c e sita que 5t — 29 ^ 0, d e m an era q u e t d eb e ser p o r lo m e n o s 6. L a ecu ació n d e en m ed io n ec esita que - 6 t 4- 53 s 0, de m a n era q u e I no p u e d a ser m ay o r qu e 8. A sí, 6, 7 y 8 son los ú n ico s v alores p o sib les p ara t. S ólo hay tres co m b in a c io n e s p o sib les que cu m p len las e sp e c ific a c io n e s de la co m p añ ía de 24 carro s ta n q u e co n u n a ca p a c id a d total de carg a de 2 50 000 g alo n es, co m o se m u e stra en la tab la 1:

TABLA 1 Carros tanque 6 000 galones

Carros tanque 8 000 galones

Carros tanque 18 000 galones

t

*i

*2

*3

ó

1

17

6

7

6

11

7

8

11

5

8

L a elecció n fin a l será p ro b ab le m en te in flu e n cia d a p o r o tro s facto res. Por ejem p lo , la co m p añ ía p o d ría q u ere r m in im iz a r el co sto d e los 24 ca rro s tanque.

U na línea aérea q u ie re c o m p ra r u na flo tilla de 30 av io n es co n u n a ca p ac id a d total de carg a co m b in ad a de 960 p asaje ro s. L o s tres tip o s d isp o n ib les de av io n es tran sp o rtan 18, 24 y 42 p a saje ro s, resp ectiv am en te. ¿ C u án to s av io n es d e cad a tip o se d e b e n de co m p ra r?

Respuestas a los problemas seleccionados 1. (A) Se viola la condición 2: El 3 en el renglón 2 y la columna 2 debe ser un . Realice la operación —> i?, para obtener:

(B) Se viola la condición 3: El 5 en el renglón 1 columna 2 debe ser un 0. Realice la operación (—5)R2 - t R, para obtener: 'l 0 .0

8' 0 -6 2 -1 1 0 0 0.

8-2

615

Eliminación Gauss-|ordan

(C) Se viola la condición 4: El I en el extremo izquierdo en el segundo renglón no está a la derecha del 1 en el extremo izquierdo en el primer renglón. Realice la operación <-» /?, para obtener: '1 0 0

0 0' 0 -3 1 2.

0 1 0

(D) Se viola la condición 1: Todos los ceros en el segundo renglón deben estar en la parte inferior. Realice la operación O R. para obtener: '1 2 0 3 0 0 1 4 0 0 0 0.

2. x¡ = l,x 2 = —1**, = 0 3. Inconsistente; no hay solución 4. a:, = 5 i + 4, x. = 3r + 5, x3 = 1.1 es cualquier número real 5. xt = s + 7, x2 = s , x. = t - 2. jr, = —3/ — 1, .t, = t, s y t son dos números reales cualesquiera 6.

Aviones de 18 pasajeros t

X,

14

14

15

5

10

15

16

8

6

16

17

11

2

17

1

2

5.

2.

- 1

0 .0

0 0 1

0 0 .0

1 0 o

1 0

2 0

2 0 -1

3' 0 4.

4.

2 0

9.

0 1

I

'1 0

0 1

0

0

0 -2 0 0 1 1 0 1 0

1 0

8.

0

0

0 -2 ' 0 3 1 0.

0

13.

1 3 0 0 0 0

-1

11 . 0

0

'1 0 10. 0 .0

0 1 0 0

15.

0 0

2

3' 1 -5

0 1 0

0

12.

0.

0'

0 1 0

1

1 0

-2

0 0

0 0

'1 14.

0 I.

0

'1

0 0

0 - 3 —5 ’ 1 lo. 2 1 3 .0

0 -3 ' 1 0

5 0.

5 0 1 -3 0. 0 0 1

-2 -1

4 3 2 -1

B 2 -3

En los problemas del 17 al 22 utilice operaciones renglón para cambiar cada matriz a su form a reducida.

En los problemas del 9 al 16, escriba el sistema lineal corres pondiente para cada matriz aumentada reducida y resuélvala. 1 0

JC,

2

En los problemas del 1 al 8 indique si cada matriz está en forma reducida.

'1

x2

14

A ________

3.

Aviones de 42 pasajeros

8-2

EJERCICIO

1.

Aviones de 24 pasajeros

0 0 1 0

0 —2 0 0 0 1 1 3.

-1

17.

19.

'1 0

0 1

0

0

-3

2 3

1 -4

18.

3 1' 0 -6

20.

'1 0 .0

0

4

!

-3

0

-2

0' -1 2.


616

'1 21.

2

0

3 -1

0

-2 -6 2

- f 1 1

22 .

3J

'0

-2

8

2

-2

6

0

-1

4

Considere un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables. Dé ejemplos de dos formas reducidas que sean de renglón equivalente si el sistema es

1'

-4

1 2-1

(A ) Consistente y dependiente CB) Inconsistente

Resuelva los problemas del 23 al 42 mediante eliminación Gauss-Jordan.

26. 2xi + 7* 2 + 15x, = - 1 2 4X| + 7*2 + 13*3 = - 1 0 3x, + 6*2 + 12x, = - 9

27. 2 x, -

28. 2x, + 4x2 3x, + 3x2 - 3x3 = 6

1

II

34.

2x, - 2x 2 - 4 x 3 = - 2 —3x, + 3x 2 + 6x 3 - 3

36.

4x, - ^2 -1- 2x3 = 3 ~4x, + x 2 — 3x 3 = - 1 0 8x, — 2 x 2 + 9x 3 = - 1

38.

4x¡ - 2 x 3 + 2x 3 = 5 - 6x 1 + 3x 2 - 3x 3 = - 2 10x, — 5x 2 + 9x 3 = 4

39.

2*, — 5x 2 - 3x3 = 7 - 4 * , + l( k 2 + 2*3 = 6 6 x , — 15*2 —*3 = —19

41.

+lOx, —15x3 +\9x}

3x2 + 2x 3 = 13 x2 — 3x, = 1 4x, - 2x2 + 4x3 = 12 5x, lx , -

2x, + 5x 2 + 4*3 = —7 -4 x , — 5x 2 -I- 2*3 = 9 x2 + 4x3 = 3 - 2x , 8x 2

- 6x 3 = 4

—3x, — 12x 2 -1- 9x 3 = —6

37.

40. - 4 * . + 8x2 6x¡ — 12v2 —8x, + 14x 2

II

33. —2 xi + x2 + 3x 3 = - 7 -<1 — 4x 2 + 2x 3 = 0 *1 — 3x 2 + x3 = 1

2x,

x, — x2 4- 3x, — 2x4 = 1 —2x, + 4x2- 3x3 + *4 = 0.5 3x, — x2+ 10*, — 4x4 = 2.9 4x, —3x2+ 8x, — 2X4 = 0.6

48.

x, —x, 2*i 2x,

=—6 =9 =- 8 42. 4x, - 2*2 + 3x, = 3 3x, - x2 — 2*, = —10 2x, + 4 x 2 — x3 -1

Un 1 en el extremo izquierdo Dos 1 en el extremo izquierdo Tres 1 en el extremo izquierdo Cuatro / en el extremo izquierdo

+ x2 + 4x3 + * 4 = 1.3 + x2 — x3 =1.1 + * 3 + 3x4 = -4 .4 + 5x2 + 1 lx 3+ 3x4 = 5.6

49. x ¡ — 2x, + x 3 + x 4 + 2x, = 2 —2x, + 4x2 + 2x3 + 2x 4 — 2x5 = 0 3x, — 6x2 + *, + x4 + 5x5 = 4 —x, + 2x, + 3x3 + x4 + *5 = 3

50.

Considere un sistema consistente de tres ecuaciones lineales con tres variables. Analice la naturaleza del conjunto solución para el sistema si la forma reducida de la matriz aumentada de coeficientes tiene (A ) (B ) (C ) (D )

x ¡ + 2 x 2 — 4x 3 - *4 = 7 2x, + 5x2 — 9x3 - 4x4 = 16 x, + 5x2 — 7xj - 7x4 = 13

47.

0

32. 3x, + l x 2 — x 3 = 11 X1 + 2 x 2 - x 3 = 3 2x, + 4x2

1

31. 3x, —4x2 - •*3 = 1 2a-, - 3x2 + -*3 = 1 *1 “ 2x2 + 3x, = 2

35.

45.

0

1

1

x2 = - 1

-

Resuelva los problemas del 45 al 50 mediante eliminación Gauss-Jordan.

46. 2x, + 4x2 + 5x3 + 4x4 = 8 x, + 2x2 + Z x , + x4 = 3

30. 2x, - *2 = 0 3X| + l x 2 = 7 •<1 — x2 = - 2

29. 2x, - x2 = 0 3x, + 2x 2 = 7

*1

1

*2 - 3x3 = 8 =7

2x 2

r-

25. 3x, + 8x 2 — *3 = 18 2x, + x 2 + 5x3 = 8 2 x, + 4x2 + 2x 3 = 4

II

24. 3x, + 5x 2 *1 + •*2 + X3 = — 1 2x , + llx 3 = 7 h1

23. 2 *! + 4x, - IO.V3 = - 2 3xi + 9x 2 - 21 x 3 == 0 x, + 5x2 — 12x 3 = 1

x-! — -x , + 2x, — —x, +

3x2+ *3+ *4 + 2x, = 2 5x2+ 2x3+ 2x4 — 2x5 = 0 6x2+ 2x3+ 2x4 + 4x5 = 4 3x2— x 3— x 5 = —3

APLICACIONES

^

Resuelva los problemas del 51 al 72 mediante eliminación Gauss-Jordan. * 51. A certijo. Una amiga suya sale de una oficina de correos después de gastar $ 14.00 en timbres de 15,20 y 35 centavos. Si compró 45 timbres en total, ¿cuántos de cada tipo adquirió? 52. Acertijo. Un parquímetro contiene 32 monedas de 5, 10 y 25 centavos, que suman en total $6.80. ¿Cuántas monedas de cada tipo hay? 53. Química. Un químico puede comprar una solución salina al 10% en recipientes de 500 centímetros cúbicos, una solución salina al 20% en recipientes de 500 centímetros cúbicosyuna solución salina al 50% en recipientes de 1 000 centímetros cúbicos. Necesita 12 000 centímetros cúbicos

8-2

Eliminación Gauss-)ordan

617

de solución salina al 30%. ¿Cuántos recipientes de cada tipo de solución tendrá que comprar para preparar esta solución?

* 63. Producción planificada. Ahora resuelva otra vez el

' T54. Química. Repita el problema 53 suponiendo ahora que sólo se dispone de la solución salina al 50% en recipientes de 1 500 centímetros cúbicos.

*64. Producción planificada. Resuelva nuevamente el

55. Geometría. Encuentre a, b y c de manera que la gráfica de la parábola con la ecuación y = a + bx + ex2pase por los puntos ( - 2 , 3), ( - 1 , 2) y (1, 6).

65. Nutrición. Un dietista en un hospital va a diseñar una dieta

56. Geometría. Encuentre a, h y c de manera que la gráfica de la parábola con la ecuación y = a 4- bx + ex2pase por los puntos (1 ,3 ), (2, 2) y (3, 5).

57. Geometría. Encuentre a, b y c de manera que la gráfica

problema 59 suponiendo que ya no se produce el bote para cuatro personas.

problema 60 suponiendo que se dejó de producir el bote para cuatro personas.

especial utilizando tres alimentos básicos. La dieta es para incluir exactamente 340 unidades de calcio. 180 unidades de hierro y 220 unidades de vitamina A. E l número de unidades por onza de cada ingrediente especial para cada una de las comidas se indica en la tabla. ¿Cuántas onzas de cada alimento se tendrán que usar para cumplir los requeri mientos de la dieta?

del círculo con la ecuación x 2 + y 2 + ax + by + c — 0 pase por los puntos (6, 2), (4, 6) y ( —3, —1).

58. Geometría. Encuentre a, b y c de manera que la gráfica

Unidades por onza

del círculo con la ecuación x2 + y 2 + ax + by + c = 0 pase por los puntos ( - 4 , 1), ( - 1 , 2) y (3, - 6 ).

Comida A

Comida B

Comida C

Calcio

30

10

20

Hierro

10

10

20

Vitamina A

10

30

20

59. Producción planificada. Una pequeña fábrica produce tres modelos de botes inflables: en modelos para una, dos y cuatro personas. Cada bote necesita el servicio de tres departamentos, como se muestra en la tabla. Los departa mentos de corte, ensamble y empaque disponen como máximo de 380, 330 y 120 horas de mano de obra por semana, respectivamente. ¿Cuántos botes de cada tipo se deben producir cada semana para que la planta opere a su máxima capacidad?

Bote para una persona

Bote para dos personas

Bote para cuatro personas

66. Nutrición. Repita el problema 65 si la dieta es para incluir exactamente 400 unidades de calcio, 160 de hierro y 240 de vitamina A.

67. Nutrición. Resuelva el problema 65 suponiendo que ya no se dispone del alimento C.

68. Nutrición. Vuelva a resolver el problema 66 suponiendo Departamento de corte

0.5 h

que el alimento C ya no está disponible. 1.0 h

1.5 h

69. Nutrición. Resuelva el problema 65 suponiendo que ya Departamento de ensamble

no se requiere la vitamina A. 0.6 h

0.9 h

1.2 h

70. Nutrición. Resuelva el problema 66 suponiendo que ya Departamento de empaque

0.2 h

0.3 h

0.5 h

no es necesaria la vitamina A .

71. Sociología. Dos sociólogos tienen una beca para financiar 60. Producción p la n ifica d a . Repita el problema 59 suponiendo que los departamentos de corte, ensamble y empaque disponen de un máximo de 350, 330 y 115 horas de mano de obra por semana, respectivamente.

61. Producción planificada. Resuelva otra vez el problema 59 suponiendo ahora que ya no se utiliza el departamento de empaque. -62. Producción p lan ificad a. Repita el problema 60 suponiendo que ya no se utiliza el departamento de em paque.

sus estudios en una escuela formal de una ciudad en particular. Quieren realizar una encuesta de opinión haciendo 600 llamadas telefónicas y visitando 400 casas. La compañía investigadora A tiene personal para hacer hasta 30 llamadas telefónicas y visitar 10 casas por hora, la compañía investigadora B puede manejar 20 telefonemas y 20 visitas a casas por hora. ¿Cuántas horas deberá programar cada compañía para producir exactamente el número de contactos necesarios?

72. Sociología. Repita el problema 7 1 suponiendo ahora que se necesitan 650 contactos por teléfono y 350 por visita en casas.

618


sección

8-3

Sistemas que implican ecuaciones de segundo grado Solución por sustitución Otros métodos de solución

Si un sistema de ecuaciones contiene ciertas ecuaciones que no son lineales, entonces el sistema se llama sistem a no lineal. En esta sección se estudian sistemas no lineales que implican términos de segundo grado tales como x 2 + y2 = 5

x 2 — 2y2 = 2

3¿r'+ y = 1

xy — 2

x 2 + 3x y + y2 = 20 x y - y2 =

0

Se puede demostrar que tales sistemas tienen a lo más cuatro soluciones, de las que algunas pueden ser imaginarias. Como se está interesado en encontrar soluciones rea les e imaginarias para los sistemas considerados, se supone ahora que el conjunto de reemplazo para cada variable es el conjunto de los números complejos, en lugar del conjunto de los números reales.

El método por sustitución usado para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos variables es también un método efectivo para resolver sistemas no lineales. Este proceso se ilustra mejor con ejemplos.

Solución de un sistema no lineal por sustitución Resuelva el sistema:

Solución

x2 + y1 = 5 3x + y = 1

Despeje y de la segunda ecuación en términos de x ; luego sustituya y en la primera ecuación para obtener una ecuación que sólo implique a x . 3x + y = 1 y = 1 — 3x

Sustituya esta expresión por yen la primera ecuación.

I---------

x 2 + y2 = 5 x 2 + (i

- ; )2= 5

10x2 — 6x — 4 = 0

5.x2 — 3x — 2= 0

Simplifique y escriba en formacuadrática estándar. Dividatodo entre2 para simplificar

más.

(x - 1)(S* + 2) = 0

Si se vuelven a sustituir estos valores en la ecuación y = 1 — 3x, se obtienen dos soluciones para el sistema:

8-3

y

Sistemas que implican ecuaciones de segundo grado

x=l

*= ~ \

y - 1 -3 (1 ) = - 2

>' = 1 — 3 (—|) = y

619

U n a comprobación que se debe de realizar, verifica que (1, —2) y (—|, y) son solucio nes del sistema. Estas soluciones se ilustran en la figura 1. Sin embargo, si se sustituyen los valores de x en la ecuación x 2 + y 2 = 5, se obtiene

II

ro +

X = 1 FIGURA 1

x =

5

2 5

(■ ~ ¡)2 + y2 = 5 121 y2 = 25

/ = 4 > = ±2

y = ± li

Parece que se han encontrado dos soluciones más, (1, 2) y (—f , —j ) . Pero ninguna de ellas satisface la ecuación 3x + y = 1, que se debe verificar. D e manera que ninguna es solución del sistema original. Se han producido dos raíces extrañas, que en apariencia son soluciones pero en realidad no satisfacen las dos ecuaciones del sistema. Esto ocu rre a m e n u d o cuando se resuelven sistemas no lineales.

Es muy importante comprobar siempre las soluciones de cualquier siste ma no lineal para asegurarse de no incluir raíces extrañas.



Resuelva el sistema:

x 2 + y 2 = 10 2x + y = 1

E n el ejemplo 1, se vio que la recta 3x + y = 1 intersecta el círculo x 2 + y 2 = 5 en dos puntos. (A) Considere el sistema x2 + y 2 = 5 3x + y = 10 Grafique ambas ecuaciones en el m i s m o sistema coordenado. ¿Existen algu nas soluciones reales para este sistema? ¿Son soluciones complejas? Encuen tre cualquier solución real o compleja. (B) Considere la familia de rectas dada por 3x + y = b

b es cualquier número real

¿ Q u é tienen todas estas rectas en c o m ú n ? Ilustre gráficamente las rectas de esta familia que intersectan el círculo x 2 + y 2 = 5 en exactamente un punto. ¿Cuántas rectas hay? ¿Cuál(es) es (son) el (los) valor(es) correspondiente(s) de b? ¿Cuáles son los puntos de intersección? ¿ C ó m o están relacionadas estas rectas con el círculo?


620

EJEMPLO 2

Solución de un sistema no lineal por sustitución R esuelva:

Solución

x 2 — 2y* = 2 xy = 2

D espeje y de la se g u n d a ecu ació n , su stitu y ala en la p rim e ra ec u ac ió n , y p ro c e d a co m o antes.

xy = 2 2 y

W

\x¡

=

~

x

- i

x2 - - 2= 2 X

x4 — 2x2 — 8 = 0

Multiplique am b os lados

h2 — 2h — 8 = 0

por x2 y simplifique.

Sustituya u = x7 para transformar a una forma

(« - 4 )(« + 2) = 0

cuadrática y resuélvala.

«= 4 , - 2 Así, x2 = 4 x = ±2 Y

2

Para x = 2, y = - = 1. 2

2

o

x2 = - 2 x = ± V :I2 = ± i V 2

2

Para x — /V 2 , y = — 7= = —;V 2. /'V 2

2

Para x = - 2, y = —- = - 1 . Para x = - / V 2, y = — —^ = í"V2. — 2 — iV 2

Así, las cuatro soluciones para este sistema son (2 ,1), ( - 2 , - 1 ) , ( / \ /2, - i V 2 ) y ( —/V 2 , /V 2 ). Note que dos de las soluciones implican números imaginarios. Estas soluciones imaginarias no se pueden ilustrar gráficamente (véase figura 2); sin embargo, pueden satisfacer ambas ecuaciones en el sistema (verifique esta afirmación). FIGURA 2



R esuelva:

3x2 — y 2 = 6 xy = 3

(A ) R e fié ra se al sistem a del ejem p lo 2. ¿P u ed e u sa rse u n d isp o sitiv o de g rafica ció n p ara en c o n tra r so lu c io n e s rea les de este sistem a? ¿P ara so lu c io n e s im a g in a rias?

8-3


621

(B) En general, explique por qué se pueden usar las técnicas de aproximación grá fica para aproximar las soluciones reales de un sistema, pero no para solucio nes complejas.

EJEMPLO

Diseño Un ingeniero va a diseñar una pantalla rectangular para computadora con una diagonal de 19 pulgadas y un área de 175 pulgadas cuadradas. Encuentre las dimensiones de la pantalla a la décima de pulgada más próxima.

Solución

Dibuje un rectángulo en el que el ancho sea x y la altura y (figura 3). Se obtiene el siguiente sistema usando el teorema de Pitágoras y la fórmula para el área de un rectán gulo: a:2 + y2 = 192 xy = 175

X

FIGURA 3

Este sistema se resolvió utilizando los procedimientos esbozados en el ejemplo 2. Sin embargo, en este caso, sólo se tiene interés en las soluciones reales. Se comienza por despejar y de la segunda ecuación en términos de x y se sustituye el resultado en la primera ecuación.

- m i ^ ,

x

1752

x 2 + — 7- = 19

x

x A + 30 625 = 361.V2 x4 — 36 lx 2 + 30 625 = 0

Multiplique ambos lados por x2y simplifique. Cuadrática en x2.

Despeje x 2 de la última ecuación usando la fórmula cuadrática, después despeje x:

V

2

= 15.0 pulgadas u 11.7 pulgadas Sustituya cada opción de x en y = 175/x para encontrar los valores correspondientes de v: Para* = 15.0 pulgadas,

y = -í- ^ - = 1 1 .7 pulgadas 15

Parax = 11.7 pulgadas, y =

= 15.0 pulgadas 11.7

Suponiendo que el ancho de la pantalla es mayor que su altura, las dimensiones son 15.0 y 11.7 pulgadas.

622


Un ingeniero va a diseñar una pantalla de televisión rectangular con una diagonal de 21 pulgadas y un área de 209 pulgadas cuadradas. Encuentre las dimensiones de la panta lla al décimo de pulgada más cercana.

Igual que en el ejemplo 3 sólo se tiene interés en las soluciones reales, asi que se pueden usar las técnicas gráficas para aproximar las soluciones (véase figura 4). Como se vio en la sección 2- 1, la graficación de un círculo con un dispositivo de graficación requiere de dos funciones, una para la mitad superior del círculo y otra para la mitad inferior. [Nota: com o x y y deben ser números reales no negativos, se ignoran los pun tos de intersección en el tercer cuadrante, véase figura 4(a).]

(a) y, = V 3 6 1 y2 = - V361 - x2 175 Xb = ----x

18

18

60

(b) Punto de intersección:

(c) Punto de intersección:

( 1 1 .7 ,1 5 .0 )

(1 5 .0 , 11.7)

Ahora se verán algunas otras técnicas para resolver sistemas de ecuaciones no lineales.

solución

Solución de un sistema no lineal por eliminación Resuelva:

Solución

x2 — y 1 = 5 x 2 + 2 f = 17

Este tipo de sistema se puede resolver mediante eliminación por suma. Multiplique la segunda ecuación por - 1 y sume: x 2 - y2 =

5

- x 2 - 2y2 = - 1 7 -3 y 2 = -1 2

y2 = 4 y = ±2

Ahora sustituya y = 2 y y = - 2 en la ecuación original para encontrar x. Para y = 2,

P a r a / = —2, x2 - (2)2 = 5 x = ±3

x2 - ( —2)2 = 5 x = ±3

8-3


623

A sí, (3, —2), (3, 2), ( —3, —2) y ( —3, 2), son las cuatro soluciones del sistema. Se deja al lector la comprobación de las soluciones.


Resuelva:

2.x2 — 3y 2 — 5 3x2 + Ay)2 = 16

EJEMPLO 5 Solución de un sistema no linealpor factorización Resuelva:

Solución

y sustitución

x2 + 3xy + x 2 = 20 xy - y 2 = 0

Factorice el lado izquierdo de laecuación que tiene untérmino

constante 0:

xv - y2 = 0 ,v(x - y) = 0

y = 0

y = x

o

A sí, el sistema original es equivalente a los dos sistemas: >! =

0

y = x

o

x 2 + 3x_y + y2 = 20

x 2 + 3xy + y2 = 20

Estos sistemas se resuelven por sustitución. Primer sistema

3' =

0

x2 + 3xy + y 1 = 20 Sustituya y = 0 en la segunda ecuación, y despeje x. x 2 + 3x(0) + (O)2 = 20 x 2 = 20 x = ± V 20 = ± 2 V 5 Segundo sistema

^

—

x 2 + 3xv + y2 = 2 0 Sustituya y = x en la segunda ecuación, y despeje x. x 2 + 3xx + x 2 = 20 5x2 = 20 x2 = 4 x = ±2

Sustituya estos valores en y = x, para encontrar v.

624


Para x = 2, y = 2. Para x = —2 , y = —2 Las soluciones del sistema original son (2 V 5 , 0), ( —2 V 5 , 0), (2, 2) y ( —2, - 2 ) . Se deja al lector la comprobación de las soluciones.


Resuelva:

x2 — xy + y 2 = 9

2x 2 - xy = 0

El ejemplo 5 es algo especializado. Sin embargo, se sugiere un procedimiento que funciona para resolver algunos problemas.

g j EJEMPLO 6

Aproximaciones gráficas de soluciones reales Use un dispositivo de graficación para aproximar las soluciones reales con dos cifras decimales: x 2 - 4xy + y2 = 12 2x2 + 2x>' + y2 = 6

Solución

Antes de introducir estas ecuaciones en un dispositivo de graficación, se debe despe jar yx 2 - 4xy + y2 = 12 y2 - 4xv + (x2 - 12) = 0

2x2 + 2xy + y2 = 6 y2 + 2xy + (2x2 - 6) = 0

Aplicando la fórmula cuadrática a cada ecuación, se tiene 4x ± V l 6 x 2 - 4(x2 - 12)

v = --------------------------------

_ 4x ± V l2 x 2 + 48

—2x ± V 4 x 2 - 4(2x2 - 6)

v = ----------------------------------

- 2 x ± V 2 4 - 4x2

2 = 2x ± V 3 x 2 + 12

2 = —x ± V 6 - x 2

Como cada ecuación tiene dos soluciones, se debe introducir cuatro funciones en el dispositivo de graficación, com o se muestra en la figura 5(a). Examinando la gráfica de la figura 5(b), se observa que hay cuatro puntos de intersección. Usando la rutina preconstruida de intersección de manera repetida (se omiten los detalles), se encuentra que las soluciones con dos cifras decimales son ( —2.10, 0.83), ( - 0 .3 7 , 2.79), (0.37, - 2 .7 9 ) y (2.10, - 0 .8 3 ) . FIGURA 5 P io t i

P"lot2

P lo ts

vVi S2X+-T <3X2+12) s V 2 B 2 X -v T < 3 X 2 + i2 )

7.6

vV ?.B -X + -fí:6 -X 2 > s V iB - X - J < 6 - X 2 >

(a)

(b)

8-3

625


U se un dispositivo de graficación para aproximar soluciones reales con dos cifras deci males:

x 2 + 8xy + y2 = 70 2x2 — 2xy + y2 = 20

Respuestas a los problemas seleccionados 1. ( - 1 , 3 ) . (f, - f ) 2. (V I, V I), ( - V I . - V 3 ) , (;', -3 í) , ( - / , 3¿)3. 4. (2, 1), (2, - 1 ) , (-2 , 1), (-2 , -1 ) 5. (0. 3). (0. - 3 ) , (V I, 2V I), ( - V 3 . - 2 V 3 ) 6. (-3 .8 9 , -1 .6 8 ), (-0 .9 6 , -5 .3 2 ), (0.96, 5.32), (3.89, 1.68)

EJERCICIO

8-3

A _________

f

En los problemas del 1 al 12 resuelva cada sistema. 1.

a2 +

y2 = 169 a = -1 2

2.

a2 +

y2 = 25 y = -4

Un tipo importante de problemas de cálculo es encontrar el área entre las gráficas de dos funciones. Para resolver algu nos de estos problemas es necesario encontrar las coordena das de los puntos de intersección de las dos gráficas. En los problemas del 25 al 32, encuentre las coordenadas de los pun tos de intersección de las dos ecuaciones dadas. 25.

y = 5 — x 2, y = 2 — 2x

26. y = 5x —x 2, y = x + 3

3. 8a 2 - y2 = 16 y — Zx

4. y2 = Zx x =y - ^

27. v = a-

- x, y = 2x 28. y —x2 + 2a, y — 3a

5. 3a2 - 2y- = 25

6. .v2 + 4y2 = 32 a + 2y = 0

29. y = x2

- 6x + 9, y

=

5-

30. y —x1

+ 2x + 3, y

=

2a +4

a

7.

+y=0

y2 = x a - 2v = 2

9. 2a 2 + y2 = 24

8.

a 2 + y 2 = 10 16a2 + y 2 = 25

2y 3a = y + 2

10. a 2

x2 - y 2= -1 2

11.

a2 =

y2

a2+

12.

y2

= 3 = 5

a2 -

2y2 = 1 a 2 + 4y2 = 25

B En los problemas del 13 al 24 resuelva cada sistema.

13.

A-y

a

15.

- 4 = 0 - y =2

a2 +

2y2 = 6 Ay = 2

17. Zx2 + 3y2 = - 4

14. xy — 6 = 0 a

16. 2a2 + y 2 = 18 xy = 4

18. 2a2 - 3y2 = 10

4 a 2 + 2y2 = 8

19. .v2 - y2 = 2

A2

a 2 = 9 - 2y

23. a-2 - y2 = 3 xy = 2

+ 4y2 = - 1 7

20. a 2 + y2 = 20

y2 = a

21. x2 + y2 = 9

—y = 4

a2 = y

22.

.V2

+ y2 = 16 y2 = 4 - a

24. y2 = 5 a 2 + I AV — 2

31. y

■ 8 + 4a -

X, y =X

a

2x

32. y ; A“ — 4 a ' 10, y = 14- 2

a

-

a2

Considere el círculo con la ecuación a2 + y2 = 5 y la familia de rectas dada por 2a —y = b, donde b es cualquier número real. (A ) Ilustre gráficamente las rectas de esta familia que intersectan el círculo en exactamente un punto, y describa la relación entre el círculo y estas rectas. (B ) Encuentre los valores de b que corresponden a las rectas del inciso (A ), y encuentre los puntos de intersección de las rectas y del círculo. (C ) ¿Cómo se relaciona la recta de la ecuación a + 2y 0 con esta familia de rectas? ¿Cómo se podría usar esta recta para encontrar los puntos de intersección del inciso (B)? Considere el círculo con la ecuación a2 + y 2 = 25 y la familia de rectas dada por 3a + 4y = b. donde b es cualquier número real. (A ) Ilustre gráficamente las rectas de esta familia que intersectan el círculo en exactamente un punto, y describa la relación entre éstas y el círculo. (B ) Encuentre los valores de b que corresponden a las rectas del inciso (A ), y encuentre los puntos de intersección de las rectas y del círculo.

17 . 1 por 12.2 pu

626


(C ) ¿Cómo se relaciona la recta con la ecuación 4a — 3y = 0 con esta familia de rectas? ¿Cómo se podría usar esta recta para encontrar los puntos de intersección y los valores de b del inciso (B)?

rectángulo. E l diámetro del círculo mide 6.5 pulgadas, y el área del rectángulo 15 pulgadas cuadradas. Encuentre las dimensiones del rectángulo.

En los problemas del 35 a! 42 resuelva cada sistema. 35. 2x + 5y 4- 7xy = 8 xy — 3 = 0

36. 2x + 3y + xy = 16 xy — 5 = 0

37. . r - 2xy + f = I a - 2y = 2

38. -v2 + xy - y2 = - 5 y- x =3

39. 2 .r - -V)’ + y2 = 8 . r - y2 = 0

40. x2 + 2-vy + y2 = 36 A'2 — Ay = 0

41. .v2 + xy - 3y2 = 3 x2 + 4.vy + 3y2 = 0

42. a-2 - 2xy + 2y2 = 16 a2 -

v2 = 0

En los problemas del 43 al 48. use un dispositivo de graficación para aproximar con dos cifras decimales las soluciones reales de cada sistema.

43. —a2 + 2xy + y2 ~ 1

44. —.v2 + 4Ay + y2 = 2

3a2 — 4a}> + y2 = 2

8a- - 2xy + y2 = 9

Zx2 + 2xy + y2

=2 =9

47. 2a2 — 2xy + y2

=9

45. 3a2 - 4Ay - y2

* 55. Construcción. Una piscina rectangular tiene una banque ta de 5 pies de ancho y está rodeada por una cerca como se muestra en la figura. E l área que ocupa la piscina es de 572 pies cuadrados, y el área total rodeada por la cerca (incluyendo la piscina y la banqueta) es de 1 152 pies cuadrados. Encuentre las dimensiones de la piscina.

46. 5a-2 + 4xy + y2 = 4 4x2 — 2 a t + y2 = 16

4 a 2 — 4a.y + y2 + a = 3

Piscina

48. 2a2 + 2ay

+ y 2 = 12 4a2 — 4a>- + y2 + a + 2y = 9

APLICACIONES

W

49. Números. Encuentre dos números cuya suma sea 3 y su producto 1.

50. Números. Encuentre dos números tales que su diferencia sea 1y su producto 1. (Sea a el número mayor y y el menor.)

51. Geometría. Encuentre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con un área de 30 pulgadas cuadradas si su hipotenusa es de 13 pulgadas.

52. Geometría. Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un área de 32 metros cuadrados si su perímetro es de 36 metros.

53. Diseño. Un ingeniero diseña una televisión portátil pequeña. De acuerdo con las especificaciones de diseño, la televisión debe tener una pantalla rectangular con una diagonal de 7.5 pulgadas y un área de 27 pulgadas cuadradas. Encuentre las dimensiones de la pantalla.

54. Diseño. Un artista está diseñando el logotipo de una empresa que tiene la forma de un circulo dentro de un

* 56. Construcción. Se forma una caja rectangular, abierta en su parte superior, cortando cuadros de 6 pulgadas en cada esquina de un rectángulo de cartón y doblando los lados hacia arriba. Si el área del cartón antes de cortar sus esquinas es de 768 pulgadas cuadradas, y el volumen de la caja es de 1 440 pulgadas cúbicas. Encuentre las di mensiones originales del rectángulo de cartón.

8-4

57. Transportación. Dos botes parten al mismo tiempo del puerto de Bournemouth, Inglaterra, y siguen la misma ruta en un viaje de 75 millas náuticas a través del canal inglés a Cherbourg, Francia. La velocidad promedio del bote A es 5 millas por hora mayor que la velocidad promedio del bote B. En consecuencia, el bote A llega a Cherbourg 30 minutos antes que el bote B . Encuentre la velocidad promedio de cada bote.

SECCIÓN O - H

Sistemas de desigualdades lineales con dos variables

627

**58. Transportación. E l autobús A parte a medio día de Milwaukee y viaja hacia el oeste por la carretera interestatal 94. E l autobús B parte 30 minutos más tarde, recorre la misma ruta y rebasa al autobús A en un punto a 210 millas al oeste de Milwaukee. Si la velocidad promedio del autobús B es 10 millas por hora mayor que la velocidad promedio del autobús A, ¿a qué hora el autobús B rebasó al autobús A l


♦

G ra fic a c ió n de d esig u ald ad es lin e ales co n d o s v ariab les S o lu ció n g rá fic a de sistem a s d e d esig u ald ad es lin eales A p lic ac ió n

M u c h as ap lica cio n es m a tem áticas im p lica n sistem as d e d e s ig u ald ad es en v e z de siste m a s de ec u acio n es. U n a g rá fic a es a m e n u d o el m o d o m ás co n v en ien te d e re p rese n tar la s so lu c io n e s de u n sistem a de d esig u ald ad es co n d o s v ariab les. E n esta secció n se an a liz an las té cn ic as p ara g ra fic a r ta n to un a so la d esig u ald ad lin eal co n d o s v ariab les co m o u n sistem a de d e sig u ald ad es lin e ales co n dos v ariables.

• G r a f ic a c ió n d e d e s ig u a ld a d e s lin e a le s c o n d o s v a r ia b le s

Se sabe có m o g ra fic a r ec u ac io n e s de p rim e r g rad o ta les com o y = 2x — 3

y

2 x - 3y = 5

p ero , có m o se g ra fic a n d esig u ald ad es de p rim e r g rad o ta les co m o y < 2x — 3

y

2x — 3 y > 5

D e hech o , la g ra fic a c ió n d e estas d e sig u ald ad es es casi ta n fácil co m o la g ra fic a c ió n de ecu acio n es. Pero an tes d e co m en zar, se d e b e n an a liz ar a lg u n o s su b c o n ju n to s im p o rta n tes de un p la n o en un siste m a c o o rd e n ad o rectan g u lar. U na re c ta d ivide un p la n o en d o s m itad e s llam ad as sem iplanos. U n a re c ta v ertical d ivide un p la n o en sem iplanos a la izquierda y a la derecha [fig u ra 1(a)]; u n a recta no v ertical d ivide un p la n o en sem iplanos superior e inferior [fig u ra l(b )]. FDGUKA

Semiplanos.

izquierdo

derecho __________

(a )

(b)

628



Considere las siguientes ecuaciones lineales y relacione las desigualdades lineales:

(1) 2x — 3y = 12

(2) 2x — 3y < 12

(3) 2x - 3y > 12

(A) Grafique la recta con la ecuación (1).

(B) Encuentre el punto sobre esta recta con coordenada en x igual a 3 y dibuje una recta vertical que pase por este punto. Analice la relación entre las coordena das y de los puntos sobre esta recta y los postulados (1), (2) y (3). (C) Repita el inciso (B) para x = —3. Para x = 9.

(D) Con base en sus observaciones de los incisos (B) y (C), escriba una descrip ción verbal de todos los puntos en el plano que satisfagan la ecuación ( 1), para aquellos que satisfagan la desigualdad (2 ) y para los que satisfagan la des igualdad (3).

Ahora se estudiarán los semiplanos determinados por la ecuación lineal y = 2x 3. Se empezará por graficar y = 2x — 3 (figura 2). Para cualquier valor dado de x, existe exactamente un valor para y tal que (jc, y) se encuentre sobre la recta. Para la m ism ax, si el punto (x, y) está debajo de la recta, entonces y < 2x — 3. Así, el semiplano inferior corresponde a la solución de la desigualdad y < 2x - 3. De manera similar, el semiplano superior corresponde a la solución de la desigualdad y > 2x - 3, com o se muestra en la figura 2 .

FIGURA 2 = 5; punto en el semiplano superior = 5; punto sobre la recta = 5; punto en el semiplano inferior

Las cuatro desigualdades formadas a partir d ey = 2x - 3 al reemplazar el signo = por > , >, < y <, respectivamente, son y > 2v - 3

>' > 2x — 3

y ^ 2x — 3

y < 2x - 3

La gráfica de cada una es un semiplano. La recta y = 2x — 3, llamada recta frontera del semiplano, está incluida para > y < y excluida para > y <. En la figura 3, los semiplanos se indican con flechas pequeñas en la gráfica d e y = 2x — 3 y después se grafican com o regiones sombreadas. Las rectas frontera se muestran com o líneas con tinuas, y las rectas frontera excluidas se muestran como líneas discontinuas.

8-4

629


FIGURA 3

(a)

Teorema 1

(b)

(c)

(d)

Gráficas de desigualdades lineales con dos variables La gráfica de una desigualdad lineal

A x + By < C

o

Ax + By > C

donde j? =£ 0 , es el semiplano superior o el semiplano inferior (pero no ambos) determinado por la recta Ax + B y = C. Si B = 0, entonces la gráfica de

A x< C

o

A x> C

es el semiplano izquierdo o el derecho (pero no ambos) determinado por la recta

A x = C.

Como una consecuencia del teorema 1, se establece un procedimiento mecánico simple y rápido para graficar desigualdades lineales.

Procedimiento para graficar desigualdades lineales con dos variables Grafique Ax + By = C con una línea discontinua si la igualdad no está incluida en el postulado original o com o una línea sólida si la desigual dad está incluida. Elija un punto de prueba en cualquier lugar del plano, excepto sobre la recta, y sustituya las coordenadas en la desigualdad. El origen (0, 0) a menudo requiere de un último cálculo. contiene el punto de prueba si la desigualdad se satisface por ese punto, o el semiplano no contiene ese punto si la desigualdad no se satisface por ese punto.

" i'll!

__

Graficación de una desigualdad lineal. G rafique: 3x -

A y

< 12

im


630

Solución

Paso 1.

Grafique 3x - 4y = 12 como una línea continua, ya que la igualdad está incluida en el postulado original (figura 4).

Paso 2.

Tome un punto de prueba conveniente arriba o abajo de la recta. El origen (0, 0) requiere un último cálculo. Sustituyendo (0, 0) en la desigualdad

y

ii

5--

3x - 4 y= 12

3x - 4y < 12 i------------------------------- 1

¡ 3(0) - 4(0) = 0 < 12 ¡ i______________________________i -5 -

produce un postulado verdadero; por lo tanto, (0 , 0) está en el conjunto solu ción.

FIGURA 4

Paso 3.

La recta 3x - 4y = 12 y el semiplano que contiene la forma original de la gráfica de 3x — 4y < 12 (figura 5).

y

FIGURA 5


EJEMPLO 2

Grafique: 2x + 3y< 6

Graficación de una desigualdad lineal Grafique: (A) y > —3

Soluciones

(B) 2x < 5

(A ) La gráfica de y > - 3 se muestra en la figura 6

(B) La gráfica de 2x ^ 5 se muestra en la figura 7

5:: ■■ í 11 1 *■' '"r... -5 :: -s •• FIGURA 7

FIGURA 6


Grafique:

(A )y < 2

(B) 3 x > - 8

8-4


631

A h o ra se co n sid eran sistem as d e d e sig u ald ad es lin eales ta le s co m o

de sistem as de desigualdades lineales

x + y > 6

y

2x - y > 0

2x +

y < 22

x +

y < 13

2x + 5y < 50 x> 0 O Al Se q u ie re resolver ta le s sistem as gráficam ente, es decir, en c o n tra r la g rá fic a d e to d o s lo s p are s o rd en a d o s de n ú m e ro s re a le s (x, y ) q u e sa tisfag a n en fo rm a sim u ltá n e a to d a s las d e sig u ald ad es del sistem a. L a g rá fic a se d en o m in a región de solución p ara el siste m a. Para en c o n tra r la reg ió n de so lu c ió n , se g ra fic a cad a d esig u ald ad en el sistem a y d esp u és se to m a la in te rse c c ió n d e to d a s las g rá fic a s. P ara sim p lific a r el an á lisis que sig u e, se considerarán sólo sistem as de desigualdades lineales donde se incluya la

igualdad en cada postulado del sistem a.

Solución gráfica de sistemas de desigualdades lineales R e su elv a el sig u ien te siste m a de d e sig u ald ad es lin e ales d e fo rm a g ráfica : x + y > 6 2x - y > 0 Solución

FIGURA 8

P rim ero , g ra fiq u e la r e c ta x + y = 6 y so m b ree la región q u e satisface la d e s ig u a ld a d x + y > 6. E sta re g ió n se so m b rea en azu l e n la fig u ra 8(a). D esp u és, g ra fiq u e la re c ta 2x — y = 0 y so m b ree la región qu e sa tisfac e la d esig u ald ad 2x — y > 0. E sta región está so m b rea d a en ro jo en la fig u ra 8(a). L a reg ió n d e so lu c ió n p ara el sistem a de d e sig u a l d ades es la in tersecció n de estas dos reg io n es. É sta es la reg ió n so m b rea d a en ro jo y azul en la fig u ra 8(a), qu e se v u elv e a d ib u ja r en la fig u ra 8(b) en la qu e sólo se so m b rea la reg ió n de solu ció n p o r clarid ad . L as c o o rd e n ad as d e c u a lq u ie r p u n to en la reg ió n so m b rea d a de la fig u ra 8(b) e s p e c ific a u n a so lu c ió n p ara el sistem a. Por ejem p lo , los p u n to s (2, 4), (6, 3) y (7 .4 3 , 8.56) son tres de la in fin id a d de so lu c io n e s q ue se p u ed e n co m p ro b a r fácilm en te. E l p u n to d e in te rsec ció n (2, 4) se p u ed e o b te n e r re so lv ien d o las ec u ac io n e s x + y — 6 y 2x - y = 0 d e m a n e ra sim u ltán ea.

632


Resuelva el sistema siguiente de desigualdades lineales de forma gráfica: 3x + y < 21 x — 2y ^ 0


Refiérase al ejemplo 3. Grafique cada recta frontera y sombree las regiones obteni das al invertir cada desigualdad. Es decir, sombree la región del plano que corres ponda a la desigualdad x + y < 6 y después sombree la región que corresponda a la desigualdad 2x — y < 0. ¿Qué parte del plano se deja sin sombrear? Compare este método con el usado en la solución del ejemplo 3.

Los puntos de intersección de las rectas que forman la frontera de una región solución desempeñan un papel fundamental en la solución de problemas de programa ción lineal, los cuales se analizan en la siguiente sección.

Definición 1

Punto esquina U n punto esquina de una región solución es un punto en la región solución que es la intersección de dos rectas frontera.

El punto (2, 4) es el único punto esquina de la región solución en el ejemplo 3; véase figura (b).

Solución gráfica de sistemas de desigualdades lineales Resuelva en forma gráfica los siguientes sistemas de desigualdades lineales, y encuen tre los puntos esquina. 2x +

y

< 22

X +

y

< 13

2x + 5y < 50 X > 0

y Solución

> 0

Las d e s i g u a l d a d e s í > 0 y y > 0 , denominadas restricciones no negativas, ocurren con frecuencia en aplicaciones que implican sistemas de desigualdades, ya que x y y a menudo representan cantidades que no pueden ser negativas (número de unidades pro ducidas, número de horas trabajadas, etcétera). La región de solución se encuentra en el primer cuadrante, y se puede restringir la atención a esa parte del plano. Se comienza por graficar las rectas

2x +

y = 22

E n cu en tre las in terseccio n es

x y

y en cad a recta; desp u és trace

recta q u e pase por esos p u n to s, c o m o se m uestra en lafig u ra 9 .

x +

y = 13

2x + 5y = 50

la

8-4


633

Después, elija (0,0) como un punto de prueba, se observa que la gráfica de cada una de las tres primeras desigualdades en el sistema consisten de su recta correspondiente y del semiplano que se encuentra debajo de la recta, como se indica en la figura 9. Así, la región de solución del sistema consiste de los puntos del primer cuadrante que simultá neamente se encuentran sobre o debajo de estas tres rectas (véase figura 9). FIGURA 9

Los puntos esquina (0, 0), (0, 10) y (11, 0) se pueden determinar a partir de la gráfica. Los otros dos puntos esquina se determinan com o sigue: Resuelva el sistema

Resuelva el sistema

2x + 5y = 50 y +

2x + y = 22 x + y = 13

y = 13

para obtener (5, 8).

para obtener (9, 4).

Note que las rectas 2x + 5^ = 50 y 2x + y = 22 también se intersectan, pero el punto de intersección no forma parte de la región solución y, en consecuencia, no es un pun to esquina.

Resuelva en forma gráfica el sistema siguiente de desigualdades lineales, y encuentre los puntos esquina: SA +

y > 20

y > 12 + 3y > 18

AT + X

X

> 0

y > 0

634


Como se vio en la sección 8-1, un dispositivo de graficación es una herramienta útil para graficar rectas y encontrar puntos de intersección. La mayoría de los disposi tivos de graficación tienen también algunas capacidades limitadas para sombrear re giones que satisfacen desigualdades. La figura 10(a) muestra una solución para el ejemplo 3 que se podría realizar en la mayoría de los dispositivos de graficación. En modelos recientes (por ejemplo, en las calculadoras Tl-83 y TI-96), es una operación simple sombrear la región arriba o abajo de una gráfica. Usando esta opción para sombrear los puntos que no satisfacen cierta desigualdad, com o se analizó en la exploración y análi sis 2 anterior, se ilustra de manera clara la solución para un sistema de desigualdades. La figura 10(b) muestra el resultado de aplicar este método al ejemplo 4. F IG U R A

10

8

-3

(a ) La reg ió n so m b read a es la so lu ció n del sistem a en el eje m p lo 3 [véase fig u ra 8 (b )]

(b ) La reg ió n no so m b read a es la so lu ció n del sistem a en el eje m p lo 4 (vé ase fig u ra 9 )

Si se comparan las regiones de solución de los ejemplos 3 y 4, se observa que hay una diferencia fundamental entre estas dos regiones. Se puede dibujar un círculo alre dedor de la región de solución del ejemplo 4. Sin embargo, en cualquier círculo es imposible incluir todos los puntos de la región de solución en el ejemplo 3, sin importar qué tan grande se dibuje. Esto conduce a la siguiente definición.

DEFINICIÓN 2

Regiones de solución acotadas y sin acotar Una región de solución de un sistema de desigualdades lineales es acotada si se puede encerrar en un círculo. Si no se puede encerrar en un círculo, entonces es no acotada.

Por consiguiente, la región de solución del ejemplo 4 es acotada y la del ejemplo 3 es no acotada. Esta definición será importante en la sección siguiente.

• Aplicación EJEMPLO 5

Producción planificada Un fabricante de tablas para surf (deslizadores) fabrica un m odelo estándar y un mode lo para competición. La fabricación de cada tabla estándar necesita 6 horas de mano de obra y el acabado una hora. Fabricar cada tabla para competición requiere de 8 horas de mano de obra y el acabado 3 horas. El número máximo de horas de mano de obra disponible por semana en los departamentos de fabricación y acabado es de 120 y 30, respectivamente. ¿Qué combinaciones de tablas se pueden producir cada semana de manera que no se exceda el número de horas de mano de obra disponible en cada departamento por semana?

8-4

Solución

635


Con objeto de clarificar las relaciones, se resume la información en la tabla siguiente:

Modelo estándar (horas de mano de obra por tabla)

Modelo de competición (horas de mano de obra por tabla)

Número máximo de horas de mano de obra disponibles por semana

6 1

8 3

120 30

Fabricación Acabado

Sea x = Número de tablas estándar producidas por semana y = Número de tablas de competición producidas por semana

Estas variables están restringidas como se indica: R estricció n en e l departamento de fa b ric a c ió n : T ie m p o de fa b ric a c ió n \ p o r se m an a para x tab las está n d a r /

+

6x

+

(

/ T ie m p o de fa b ric a c ió n \ I p o r se m an a para y \ ta b la s de c o m p e tic ió n /

N ú m e ro m á x im o de h o r a s ' de m an o de obra d isp o n ib le s por se m an a ¡

(

8y

120

R e stricció n en e l departam ento de acabado: 'T ie m p o de a c a b a d o ' p o r se m an a para x y tablas e stán d ar ¡

T ie m p o de a cab a d o ' p o r sem an a para y ^tablas de c o m p e tic ió n y

N ú m e ro m á x im o de h o ra s ' de m a n o de obra v d isp o n ib le s p o r sem an a j

\x

3y

30

Como no es posible fabricar un número negativo de tablas, x y y deben también satisfacer las restricciones no negativas x > 0

y > 0 A si, x y y deben satisfacer el siguiente sistema de desigualdades lineales:

í6x

+

8 V ;— 1 2 0

a. f x + 3y ^ 3 0 ^ x > 0

¡R estricció n del d e p a rta m e n to de fa b ric a ció n Restricció n del d e p a rta m e n to de acab a d o R estricción no neg ativa R estricción no n eg ativa

Al graficar este sistema de desigualdades lineales, se obtiene el conjunto de solu ciones factibles, o la región factible, como se muestra en la figura 11. Para problemas de este tipo y para los problemas de programación lineal que se consideran en la sec ción siguiente, las regiones solución son a menudo referidas com o regiones factibles. Cualquier punto dentro del área sombreada, incluyendo las rectas frontera, represen ta una posible planeación de producción. Cualquier punto fuera del área sombrea-

636


da representa una planeación imposible. Por ejemplo, podría ser posible producir 12 tablas estándar y cinco de competición por semana, pero no sería posible producir 12 tablas estándar y siete de competición por semana (véase la figura). FIGURA

Recta de la capacidad de fabricación 6x + 8y = 120 (12, 7)

( 12, 6) (12, 5)

Recta de la capacidad de acabado x + 3y = 30

Repita el ejemplo 5 usando 5 horas para la fabricación de una tabla estándar y un máxi mo de 27 horas de mano de obra para el departamento de acabado.

C om entario. Refiérase al ejemplo 5. ¿Cómo se interpreta una planeación de produc ción de 10.5 tablas estándar y 4.3 tablas para competición? N o es posible fabricar una fracción de tabla. Pero es posible prom ediar 10.5 tablas estándar y 4.3 de competición por semana. En general, se supondrá que todos los puntos en la región factible repre sentan soluciones aceptables, aun cuando soluciones no enteras puedan requerir de interpretación especial.

Respuestas a los problemas seleccionados 1. 5.

-ufeN -

-

1

m 1

5

T

■

K

I I

1

I

8-4


x + 3y= 18

3

y = 27

5x + 8 /= 120

EJERCICIO

I n los problemas del l al 10 grafique cada desigualdad. 1. I x - 3y < 6

2. 3* + 4y < 12

3. 3x + 2y > 18

4. 3y - 2x > 24

5. >• < \x + 5

6. y > ^ - 2

7. y < S

8. x > —5

9. - 3 s >■< 2

10. - 1 < x < 3

637


En los problemas del 11 al 14, relacione la región de solución de cada sistema de desigualdades lineales con una de las cua tro regiones mostradas en la figura a continuación. 3x-2y=0

■lili! .,

1/ . . .

-5

/

11. 13.

*

/

. ^

•• IV ” -5-

x + 2y £ 8 3* - 2y 2 0

12.

x + 2y 2 8 3x - 2y 2 0

14.

a

+ 2> 2

8

3a- - 2y £ 0 a- + 2y £ 8 3a- - 2y £ 0

En los problemas del 15 al 20, resuelva cada sistema de des igualdades lineales en forma gráfica. 15.

; y: a

16.

a

£4

y2 2

a + 3> £ 18 2x + y £ 16 A2 0 >20

23.

a + 3y 2 18 2a + y 2 16 A—0 y2 0

24.

a + 3> 2 18 2a + y £ 16 A2 0 >>20

19.

20. 2a- + 5y £ 20 a — 5y £ - 5

26. 4a + 3 > £ 12 a20 >20

27. 4a + 5y 2 20 A>0 y>0

28. 5a + 6v 2 30 A2 0 V2 0

29. 2a + j i< 8 A + 3)’ £ 12 j> 0 >>20

30.

a + 2>- £ 3a + y £ A2 >•2

31. 4a + 3y 2 24 2a + 3y 2 18 X 20 y2 0

32.

x + 2 )2 8 2a + >• 2 10 A2 0 >2 0

33. 2x + y £ 12 x + y £7

34. 3a + > £ 2 1 a+ > £ 9 x + 3> £ 21 A2 0 >20

O

18. 3a + 4v £ 12 y 2 -3

25. 2a- + 3y £ 6 A 20 js 0

VI o? + H

17. 3a + >• 2 6 a £4 a — 2>' £ 12 2a- + y 2 4

22.

En tos problemas del 25 al 36, resuelva en forma gráfica los sistemas, e indique si cada región de solución es acolada o no acotada. Encuentre las coordenadas de cada punto esquina.

3)

III

m: /

a + 3>£18 2a + y 2 16 A —0 >• a 0

II

■ " /: '

x + 2y = 8 !

21.

s 0 >'2 0

X

35.

B En los problemas del 21 al 24, relacione la región de solución de cada sistema de desigualdades lineales con una de las cua tro regiones mostradas en la siguiente figura. Identifique los puntos esquina de cada región de solución.

A- + 2 y 2 16 x + y 2 12 2x + y 2 14 A 2 0 >•2 0

10 15 0 0

36. 3a + y 2 30 A + > 2 16 a + 3y 2 24 A 2 0 >20

C En los problemas del 3 7 al 44, resuelva los sistemas de forma gráfica, e indique si cada región de solución es acotada o no acotada. Encuentre las coordenadas de cada punto esquina. 37. a- + > £ 1 1 38. 4a + > £ 32 5a + > 2 15 a + 3> £ 30 A + 2> 2 12 5a + 4y 2 51 39. 3a + 2v 2 24 3a + y £ 15 A 2 4

40. 3a + 4> £ 48 a + 2 y 2 ? '■

41.

42.

+ +

OJ * 1

a

3x

18

43.

y £ 10 5 > 2 15 IA

638

- 5 x + 2y £ 6 16a + 13y £ 119 12a + 16> 2 101 - 4 a + 3_v £ 11

y£ 3a - y 2 t —a + 5> 2 9 A + > £ 9 >£5 [¿i j 44. 8 a + 4y £ 41 — 15a + 5> £ 19 2 a + 6> 2 37

8-4

APLICACIONES

^


639

(C) Analice los métodos que utilizan rectas de este tipo en los incisos (A ) y (B ) para encontrar la mayor utilidad diaria posible.

45. Fabricación: asignación de recursos. Una compañía

49. Nutrición de las plantas. Un granjero puede comprar dos

fabrica dos tipos de esquíes acuáticos: el esquí acrobático y el esquí de competencia. El esqui acrobático requiere de 6 horas de mano de obra para su fabricación y 1 para el acabado. E l esquí de competencia requiere de 4 horas de mano de obra para su fabricación y 1 para el acabado. El número máximo de horas de mano de obra disponibles por día en la fabricación y el acabado es de 108 y 24 horas, respectivamente. Si x es el número de esquíes acrobáticos y y él de esquíes de competencia producidos por día, escriba un sistema de desigualdades que indique las restricciones apropiadas para x y y. Encuentre en forma gráfica el conjunto de soluciones posibles para el número de cada tipo de esquí que se puede producir.

tipos de abono, la mezcla A y la mezcla B. Cada yarda cúbica de la mezclad contiene 20 libras de ácido fosfórico, 30 de nitrógeno y 5 de potasio. Cada yarda cúbica de la mezcla B contiene 220 libras de ácido fosfórico, 30 de nitrógeno y 10 de potasio. Los requerimientos mínimos son de 460 libras de ácido fosfórico, 960 libras de nitrógeno y 220 libras de potasio. Si x es el número de yardas cúbicas utilizadas de la mezcla A y y el de yardas cúbicas utilizadas de la mezcla B , escriba un sistema de desigualdades que indique las restricciones adecuadas de x y y. Encuentre en forma gráfica el conjunto de posibles soluciones para la cantidad de mezcla A y B que se puede utilizar.

4*. Fabricación: asignación de recursos. Una fábrica de muebles produce mesas y sillas de comedor. Una mesa requiere de 8 horas de mano de obra para el ensamble y de 2 para el acabado. Una silla requiere de 2 horas de mano de obra para el ensamble y de 1 para el acabado. El número máxim o de horas disponibles por día para el ensamble y el acabado es de 400 y 120 horas, respec tivamente. S i* es el número de mesas y y el de sillas pro ducidas al día, escriba un sistema de desigualdades que indique en forma apropiada las restricciones de x y y. Encuentre de forma gráfica el conjunto de soluciones posibles para el número de mesas y sillas que se pueden producir.

Fabricación: asignación de recursos. Refiérase al problema 45. La compañía tiene una ganancia de S50 en cada esquí acrobático y una ganancia de $60 en cada esquí de competencia. >A ) Si la compañía produce 10 esquíes acrobáticos y 10 de competencia por día, la utilidad diaria será de $1 100. ¿Existe otra posible producción que genere una utilidad de $ 1 100? ¿Como se relacionan esas producciones con la gráfica de la línea 50a- + 6 0 v = 1 100? (B ) Encuentre una producción factible que genere una ganancia diaria mayor de $ 1 100 y repita el inciso (A ) para esta planificación. (C ) Analice los métodos que utilizan líneas como éstas en los incisos (A ) y (B ) para encontrar la mayor utilidad diaria posible.

Fabricación: asignación de recursos. Refiérase al pror:ema 46. La compañía obtiene una ganancia de S50 en

cada mesa y de $ 15 en cada silla. A i Si la compañía produce 20 mesas y 20 sillas por día, la ganancia diaria será de S I 300. ¿Existen otras planeaciones de producción factibles que generen una utilidad de $ 1 300? ¿Cómo se relacionan esas producciones con la gráfica de la recta 5x + 15y = 1 300? (B ) Encuentre una posible producción que genere una utilidad diaria mayor que $ 1 300 y repita el inciso (A ) para esta planeación.

50. Nutrición. Un dietista en un hospital desea diseñar una dieta especial utilizando dos alimentos. Cada onza del alimento M contiene 30 unidades de calcio, 10 de hierro y 10 de vitaminaA. Cada onza del alimento ¿Vcontiene lOunidades de calcio, 10 de hierro y 30 de vitamina A . Los requeri mientos mínimos en la dieta son de 360 unidades de calcio, 160 de hierro y 240 de vitamina A . Si x es el número de onzas utilizadas del alimento, M y y el de onzas utilizadas del alimento N, escriba un sistema de desigualdades lineales que refleje las condiciones indicadas. Encuentre en forma gráfica el conjunto de soluciones factibles para la cantidad de cada tipo de alimento que se puede utilizar.

51. Sociología. Un ayuntamiento votó por dirigir un estudio de los problemas de una comunidad céntrica. Se contactó una universidad cercana para contratar sociólogos y asistentes de investigación. Cada sociólogo pasará 10 horas semanales recolectando datos en la comunidad y 30 ho ras en el mismo periodo analizándolos en el centro de investigación. Cada investigador asistente pasará 30 horas a la semana en la comunidad y 10 en el centro de inves tigación. E l mínimo de trabajo requerido en horas por semana son 280 en la comunidad y 360 en el centro de investigación. Si x representa el número de sociólogos contratados para el estudio y y el de investigadores asistentes, escriba un sistema de desigualdades lineales que indique las restricciones adecuadas para x y y. Encuentre en forma gráfica el conjunto de soluciones factibles.

52. Psicología. En un experimento de acondicionamiento, un psicólogo usa dos tipos de cajas Skinncr (de acondi cionamiento) con ratones y ratas. Cada ratón pasa 10 minutos al día en la caja A y 20 minutos en la caja B . Cada rata pasa 20 minutos al día en la caja A y 10 minutos en la caja B. El tiempo máximo total disponible por día es de 800 minutos para la caja A y 640 minutos para la caja B. Se tiene interés en determinar el número de ratones y ratas que se pueden u tiliza r en el experimento bajo las condiciones establecidas. Si x es el número de ratones utilizados y y el de ratas, escriba un sistema de desi gualdades lineales que indique las restricciones adecuadas para x y y. Encuentre en forma gráfica el conjunto de posibles soluciones.

640


SECCION

8-5

Programación lineal Un problema de programación lineal Programación lineal: Una descripción general Aplicación Varios problemas de la sección 8-4 están relacionados con el tipo general de problemas llamados problemas de programación lineal. La programación lineal es un procedi miento matemático que se desarrolló para ayudar a tomar decisiones de tipo adminis trativo, y se ha convertido en una de las herramientas más ampliamente usadas y conocidas en la ciencia administrativa y la ingeniería industrial. Se utilizará un procedi miento gráfico intuitivo basado en las técnicas analizadas en la sección 8-4, para ilus trar este proceso en problemas que involucran dos variables. El matemático estadounidense George B. Dantzig (1914 - ) formuló el primer problema de programación lineal en 1947 y presentó una técnica de solución, denomi nada método simplex, que no depende de la graficación y se adapta fácilmente a solu ciones en computadora. Hoy en día, es muy común utilizaruna computadora para resolver problemas de programación lineal aplicados que involucran a miles de variables y des igualdades.

• Un problem a de program ación lineal

EjEíVi

Se empezará el análisis con un ejemplo que conducirá a un procedimiento general para resolver problemas de programación lineal con dos variables.

Producción planificada Un fabricante de casetas de fibra de vidrio para camionetas produce un modelo com pacto y uno regular. Cada caseta compacta requiere de 5 horas en el departamento de fabricación y 2 en el de acabado. Cada caseta regular requiere de 4 horas en el departa mento de fabricación y de 3 en el de acabado. El número máximo de horas de mano de obra disponibles por semana en el departamento de fabricación y en el de acabado es de 200 y 108 respectivamente. Si la compañía obtiene una utilidad de $40 en cada caseta compacta y S50 en cada caseta regular, ¿cuántas casetas de cada tipo debe producir cada semana para maximizar la ganancia total obtenida en el mismo periodo, suponien do que todas las casetas se puedan vender? ¿Cuál es la ganancia máxima?

S olución

Éste es un ejemplo de un problema de programación lineal. Para ver más claramente las relaciones, en la siguiente tabla se resumen los requerimientos de fabricación, los obje tivos y las restricciones:

Modelo compacto (horas de mano de*obra por caseta)

Modelo regular (horas de mano de obra por caseta)

Número máximo de horas de mano de obra disponibles por semana

Fabricación

5

4

200

Acabado

2

3

108

S40

$50

Utilidad por caseta

8-5

Programación lineal

Ahora se procede a formular un modelo matemático para el problema y después a resolverlo utilizando métodos gráficos.

Función objetivo

El objetivo de la administración es decidir cuántos m odelos de cada caseta se deben producir cada semana para maximizar la ganancia. Sean

x = Número de casetas compactas producidas por semana Variables de decisión

y = Número de casetas regulares producidas por semana La siguiente función da una ganancia total P para* casetas compactas y y casetas regu lares fabricadas cada semana:

P = 40.x + 50y

Función objetivo

Matemáticamente, el administrador necesita decidir los valores para las variables de decisión (x j^ y ) que logren su objetivo, esto es, maximizando la función objetivo (ga nancia) P = 40,v + 50 y. A I parecer, la ganancia puede ser tan grande como se desee al fabricar más y más casetas, ¿es esto posible?

Restricciones

Cualquier fábrica, sin importar qué tan grande o pequeña sea, tiene restricciones im puestas por los recursos disponibles, capacidad de la planta, demanda, etcétera. Estas restricciones son referidas com o restricciones del problem a.

Restricciones del departamento de fabricación: de fabricación N (Tiempo por semana para y

t Tiempo de fabricación\ por semana para x \ casetas compactas / 5*

casetas regulares +

4y

y

Máximo de horas '' de mano de obra disponibles por semanay

(

200

Restricciones del departamento de acabado: ' Tiempo de acabado \ por semana para x \ casetas compactas j

Tiempo de acabado por semana para y casetas regulares

2x

3y

máximo de horas\ (Número de mano de obra disponibles por semana )

108

Restricciones no negativas: N o es posible fabricar un número negativo de casetas; así, se tienen las restricciones no negativas

x> 0

T ° que usualmente se escriben en la forma:

x, y s 0

642


M o d elo m a te m á tico

A h o ra se tien e un m odelo m atem ático p a ra el p ro b lem a q u e se está co n sid eran d o . M axim izar

P = AOx + 50 v

Sujeto a

5x + Ay < 200

Función objetivo

Restricciones del problem a

2 x + 3y S 108 x, y ^ 0

So lu ció n gráfica

Restricciones no negativas

Al resolver el sistem a d e re stric cio n e s de u n a d e sig u a ld a d lin eal de m anera gráfica, co m o en la se c c ió n 8-4, se o b tie n e un a reg ió n factib le p ara los p ro g ra m as de p ro d u c ción, co m o se m u e stra en la fig u ra 1.

FIGURA 1

Recta de la capacidad de fabricación 5x + Ay = 200

Todas las rectas están restringidas al prim er cuadrante debido a las restricciones no negativas x , y a 0.

(0,

20

(24, 20) Recta de la capacidad de acabado 2x + 3y = 108

A l eleg ir un p ro g ra m a de p ro d u c c ió n (x, y ) de la reg ió n factib le, se p u ed e d e te rm i n a r u n a g an a n cia u tilizan d o la fu n ció n o b jetiv o P - 40a- + 50y. P or ejem p lo , si a- = 24 y y = 10, en to n ce s la g an a n cia se m an a l es P = 40(24) + 50(10) = $1 460 O si a: = 15 y y = 2 0 , en to n ce s la g a n a n c ia sem an al es P = 40(15) + 50(20) = S I 600 L a p reg u n ta es, ad e m á s de to d o s lo s p o sib les p ro g ra m as de p ro d u c c ió n (x,y) de la reg ió n factib le, ¿q u é p ro g ra m a(s) p ro d u ce n la g an a n cia m á x im a ? Tal p ro g ra m ac ió n , si existe, se lla m a solución óptim a al p ro b lem a p o rq u e p ro d u c e el v alo r m á x im o de la fu n ció n objetiv o y está en u n a reg ió n factib le. N o es p rá c tic o h a c e r un a co m p ro b a ció n p u n to p o r p unto p ara en c o n tra r la so lu c ió n ó p tim a. A u n q u e si se co n sid eran sólo los p u n to s co n co o rd e n ad as en teras, hay m á s d e 800 p u n to s en la reg ió n factib le p a ra este p ro b lem a. E n lu g a r d e esto , se u sa la te o ría d esarro llad a p ara re so lv e r p ro b lem as de p ro g ra m a c ió n lineal. U tiliza n d o té cn ic as av an zad as, se p u ed e d e m o stra r que:

Si la región factible está acotada: entonces uno o más puntos esquina de la región factible son una solución óptima del problema. El v a lo r m á x im o de la fu n ció n o b jetiv o es ú n ico ; sin em b arg o , p u ed e h a b e r m ás de un p o sib le p ro g ra m a de p ro d u c c ió n qu e p ro d u c irá e ste v a lo r ú n ic o . C o n fo rm e se av ance en la se c c ió n se p ro fu n d iz a rá en el tem a.

8-5

Punto esquina (X, y)

Función objetivo P = 40* + 50j’

(0 ,0 )

o

(0 ,36 )

1800

(24,20)

1 960

(40, 0)

1 600

7 Máximo valor de P



643

Puesto que la región factible de este problema es acotada, por lo menos uno de los puntos esquina (0, 0), (0, 36), (2 4 ,2 0 ) o (40, 0) es una solución óptima. Para encontrar cuál es, se evalúa P = 40x + 50 y en cada punto esquina y se escoge el que produzca un valor más grande de P. Es conveniente organizar estos cálculos en una tabla como la que se muestra en el margen. Al examinar los valores en esta tabla, se observa que el valor máximo de P en cada punto esquina es P = 1 960 en .v = 24 y y = 20. Ya que el máximo valor de P en toda la región factible siempre se debe encontrar en un punto esquina, se concluye que la ga nancia máxima es de $ 1 960 cuando se producen 24 casetas compactas y 20 casetas regulares por semana.

Ahora se convierte el problema de las tablas de surf (deslizadores) de la sección 8-4 en un problema de programación lineal. Una fábrica de tablas de surf produce un modelo estándar y uno de competición. Cada tabla estándar requiere de 6 horas de mano de obra para la fabricación y 1 para el acabado. Cada tabla de competición requiere de 8 horas de mano de obra para la fabricación y 3 para el acabado. El número máximo de horas de mano de obra disponibles por semana en el departamento de fabricación y de acabado es de 120 y 30, respectivamente. Si la compañía obtiene una ganancia de $40 en cada tabla estándar y de $75 en cada tabla de competición, ¿cuántas tablas de cada tipo debe de producir cada semana para maximizar la ganancia total en el mismo periodo? (A) (B) (C) (D)

Identifique las variables de decisión. Escriba la función objetivo P. Escriba las restricciones del problema y las restricciones no negativas. Grafique la región factible, identifique los puntos esquina y evalúe P en cada punto esquina. (E) ¿Cuántas tablas de cada tipo se deben producir cada semana para maximizar la ganancia? ¿Cuál es la utilidad máxima?

-------------------------EXPLORACION Y ANALISIS 1

Refiérase al ejemplo I. Si se asigna a la función de la ganancia P en P = 40,r + 50y un cierto valor y se grafica la ecuación resultante en el sistema coordenado mostra do en la figura 1, se obtiene una recta de ganancia constante (recta de misma ganancia). Cada punto en la región factible en esta recta representa una producción programada que genera la misma ganancia. La figura 2 muestra las rectas de ganan cia constante para P = $1 000 y P = $1 500.

644


(A) ¿Cómo están relacionadas todas las rectas de ganancia? (B) Coloque una regla a lo largo de la recta de ganancia constante para P = $ 1 000 y deslicela tan lejos como pueda en dirección del aumento de la ganancia sin cambiar su pendiente y sin salir de la región factible. Explique cóm o se puede usar este proceso para identificar la solución óptima en un problema de pro gramación lineal. (C) Si P se cambia a P - 25x + ISy, grafique la recta de la ganancia constante para P = $1 000 y P = $1 500, y use una regla para identificar la solución óptima. Compruebe su respuesta evaluando P en cada punto esquina. (D) Repita el inciso (C) para P = 15x + 25y.

• Program ación lineal: Una descripción general

Los problemas de programación lineal considerados en el ejemplo 1 y en el problema seleccionado 1 fueron problemas de maximización donde se buscaba maximizar las ganancias. La misma técnica se puede usar para resolver problemas de minimización donde, por ejemplo, se desea minimizar los costos. Antes de considerar más ejemplos, se establecerán algunas definiciones generales. Un problema de programación lineal es aquel que busca encontrar el valor óp timo (valor máximo o mínimo) de una función objetivo lineal de la forma

z = ax + by donde las variables de decisión x y y están sujetas a las restricciones del problema en forma de desigualdades lineales y de restricciones no negativas, .v, y ^ 0. Al conjunto de puntos que satisface a las restricciones del problema y a las restricciones no negati vas, se le llama región factible del problema. Cualquier punto en la región factible que produzca un valor óptimo de la función objetivo sobre la región factible se le llama

solución óptima. El teorema 1 es fundamenta] en la solución de problemas de programación li neal.

Teorema 1

Teorema fundam ental de programación lineal Sea S la región factible de un problema de programación lineal, y sea z = ax + by la función objetivo. Si S es la acotada, entonces z tiene un valor máximo y un valor mínimo en S y cada uno de éstos se encuentra en un punto esquina de S. Si S no está acotada, entonces el valor máximo o mínimo de z en S puede no existir. Sin embargo, si existe, entonces debe de estar en un punto esquina de S.

En esta breve introducción no se considerarán problemas con regiones factibles no acotadas. Si una región factible es acotada, entonces el teorema 1 proporciona la base para el siguiente procedimiento simple con el que se resuelve el problema asociado con la programación lineal.

8-5


645

Solución de problemas de programación lineal I

í m

Construya un m odelo matemático para el problema: (A)

i r7 r « '~ i v n r i n a r A o 'i o / 'i o i x> a n n i - i k n im o -t-í í~>-i A n ,c»f i * Introduzca variables de .decisión y escriba iuna función objetivo _ _ 1 lineal. . Escriba las restricciones del problema en forma de desigua lineales. Escriba las restricciones rio negativas.

/ A \

(B) (C)

.

.

Grafique la región factible y encuentre los puntos esquina. Evalúe la función objetivo de cada punto esquina para det determinar la

.

_______ ! _

_____

A n tes de c o n sid erar m á s ap lica cio n es, se u tiliza rá este p ro ce d im ie n to p ara re so l v e r un p ro b le m a de p ro g ra m ac ió n lin eal d o n d e el m o d elo y a se haya d eterm in a d o .

EJEMPLO

Solución de un problema de programación lineal M in im ic e y m a x im ic e z = 5x + 15y S u jeta a x + 7>x ^ 60 x + y > 10 x — y < 0 x, y > 0

Solución

FIGURA 3

E ste p ro b lem a es u n a co m b in ac ió n de d o s p ro b lem as d e p ro g ra m ac ió n lineal (un p ro b le m a de m in im iz a c ió n y o tro de m a x im iz ac ió n ). C o m o la reg ió n factib le es la m ism a p a ra am b o s p ro b lem as, se p u ed e n reso lv e r ésto s de m a n era co n ju n ta. Para em pezar, se traza la g rá fic a de la reg ió n fac tib le S, co m o se m u e stra en la fig u ra 3, y se en cu en tran las c o o rd e n ad as de ca d a p u n to esq u in a.

y

D esp u é s, se evalú a la fu n ció n o b jetiv o de ca d a p u n to e sq u in a con los resu ltad o s q u e se d a n en la tabla:

646


Punto esquina

Función objetivo + 15>>

(x ,y )

Z = Sx

(0, 10)

150

(0, 20)

300

Valor máximo

(15, 15)

300

Valor máximo

(5,5)

100

Valor mínimo

Soluciones óptimas múltiples

Examinando los valores de la tabla, se puede ver que el valor mínimo de z en la región factible S es 100 en (5, 5). En consecuencia, (5, 5) es la solución óptima del problema de minimización. El máximo valor de z en la región factible 5 es de 300, que ocurre en (0, 20) y en (15, 15). Por consiguiente, el problema de maximización tiene soluciones óptim as m últiples. En general:

Si dos puntos esquina son soluciones óptimas del mismo tipo (ambos pro ducen el mismo valor máximo o el mismo valor mínimo) para un proble ma de programación lineal, entonces cualquier punto sobre el segmento de la recta que une a los dos puntos esquina es también una solución óptima de este tipo. Se puede mostrar que ésta es la única ocasión que ocurre un valor óptimo en más de un punto.

.

P r o b l e m a s e le c c ió n

• A p lic a r

EJEM PLO 3

L ibras por yarda cúbica

Nitrógeno Potasio Ácido fosfórico

Mezcla A

Mezcla B

10 8 9

5 24 6

M inimice y m aximice z = 10x + 5 y Sujeta a 2x + y s 40 3* + y < 150 2x — y > 0 x ,y > 0

Se considera otra aplicación donde se debe primero encontrar el m odelo matemático para después encontrar su solución.

Agricultura Un granjero puede utilizar dos tipos de abono, la m ezcla A y la mezcla B. Las cantida des (en libras) de nitrógeno, ácido fosfórico y potasio en una yarda cúbica de cada mezcla se muestran en la tabla. Pruebas realizadas en la tierra de un cultivo grande indican que ésta necesita por lo menos #4í)-libr-as de potasio y 350 libras de nitrógeno. Las pruebas también indican que no se deberán agregar más de 630 libras de ácido iosfórico. Una yarda cúbica de la m ezcla A cuesta S7, y una de la m ezcla B cuesta $9. ¿Cuántas yardas cúbicas de cada mezcla deberá agregar el granjero a la tierra para cubrir las necesidades nutricionales a un costo mínimo?

8-5

Solución


647

Sea x = N úm ero de yardas cúbicas de la m ezcla A agregadas al cultivo Variables de decisión y = N úm ero de yardas cúbicas de la m ezcla B agregadas al cultivo Se fo rm a ah o ra la fu n ció n o b jetiv o lineal C = I x + 9y la cual p ro p o rc io n a el co sto de x y ard a s cú b icas de la m e zc la A y d e y y ard a s cú b ica s de la m e zc la B ag re g ad as al cu ltivo. U tiliza n d o la in fo rm ac ió n d e la tabla, y p ro ce d ien d o co m o en el ejem p lo 1, se fo rm u la un m o d e lo m a tem ático p ara el p ro b lem a: M in im ic e S u je ta a

Función objetivo

C = I x + 9y lO x +

5y ^

35 0

Restricción del nitrógeno

8x + 24y >

840

Restricción de! potasio

9x +

6y ^ 630 Restricción del ácido fosfórico i,} ) 2

0

Restricciones no negativas

R e so lv ie n d o g rá fic a m e n te este sistem a de d esig u ald ad es restrin g id as, se o b tien e la re gión factible S m o stra d a en la fig u ra 4, y se en cu en tran las c o o rd e n ad as d e cad a p u n to esquina. FIGURA 4

Punto esquina

E n seguida, se evalúa la fu n ció n o b jetiv o de ca d a p u n to esq u in a co m o se m u e stra en la ta b la al m argen. E l v alor ó p tim o es C = 399 en el p u n to esq u in a (2 1 , 28). D e m an era q u e, el g ra n je ro d eb e rá a ñ a d ir 21 y ard a s cú b ica s de la m e zc la A y 28 de la m e z c la B co n un co sto de $399. E sto resu ltará en la ag reg ació n de los n u trie n tes sig u ien te s al cam po:

(X ,y)

Función objetivo C = 7.v + 9v

(0, 105)

945

(0, 70)

630

N itró g en o :

10(21) -I-

5(28) = 350

libras

(21,28)

399 Valor mínimo de C

P otasio:

8 (2 1 ) +

2 4 (2 8 ) = 840

libras

(60, 15)

555

Á cid o fo sfó rico :

9(2 1 ) +

6(2 8 ) = 357

lib ras

C on lo que se sa tisfac en to d o s los re q u e rim ien to s n u tric io n ale s.

648


p ro b lem a

.

R e p ita el ejem p lo 3 si ah o ra las p ru e b a s in d ic an qu e el cultivo n ec esita d e p o r lo m en o s 4 0 0 lib ra s de n itró g e n o p ero to d as las o tras c o n d icio n e s sig u e n sien d o las m ism as.

Respuestas a problem as seleccionados

1. (A) x = Número de tablas estándar producidas cada semana y = Número de tablas de competición producidas cada semana (B) P = 40x + ISy (C) ó.v + 8>' s 120 Restricciones (i: abi Ládon x + 3y s 30 Restricciones de acabado x ,y S :0 Res! ficciones no negativos (D)

Punto esquina (*,.v)

0

(0, 0) Región factible

Función objetivo P = 40x + 75y

(0, 10) (12, 6)

750

(20,0)

800

930

(E) 12 tablas estándar y 6 de competición generan una ganancia máxima de S930. 2. El máximo es z = 600 en (30, 60); el mínimo es z = 200 en (10, 20) y en (20, 0) (soluciones óptimas múltiples) 3. 27 yardas cúbicas de la mezcla A, 26 yardas cúbicas de la mezcla 5; minimo de C = S423

EJERCICIO

A ___________ En los problemas del 1 al 4, encuentre el valor máximo de cada función objetivo sobre la región factible S mostrada en la figura siguiente.

En los problemas del 5 al 8, encuentre el valor minimo de cada función objetivo sobre ¡a región factible T mostrada en la fig u ra siguiente.

2, 0) i—i—

1. z — x + y

2. z = 4x + y

5. z = l x + 4y

6. z = l x + 9y

3. z = 3x + ly

4. z = 9x + 3y

7. z = 3x + 8y

8. z = 5x + 4y

8-5

B


649

3x + 4y < 240 x £ 60 >><45 x ,y > 0

En los problemas del 9 al 22, resuelva los problemas de pro gramación lineal.

20. Minimice y maximice z = 25x + 30y 9. Maximice Sujeta a

z = 3* + 2y x+ 2y^ l0 3x + y s 1 5 x, y s 0

Sujeta a

10. Maximicc z = 4x + 5y Sujeta a l x + y < 12

21. Maximice P — 525x, 4- 478x2

x + 3.v £ 21

Sujeta a

x,y s 0 2x + y > 8 a; + 2y £ 10 x, y s 0

22. Maximice Sujeta a

12. Minimice z = 2x + y Sujeta a

2 7 5 a-, + 3 2 2 x 2 <

3 381

3 5 0 a:, + 3 4 0 x , <

3 762

425x, 4- 306x,

11. Minimice z = 3x 4- 4>• Sujeta a

2x 4- 3y > 120 3x + 2y < 360 x< 80 >•< 120 x, >• s 0

4x + 3y a 24 4x + y < 1 6 x,y> 0

■4 114 :0

P = 300x, + 460x2 245x, + 452x2 < 4 181 290x, + 379x7 < 3 888 390x, 4- 299x; < 4 407 x ,, x , s 0

13. Maximice z = 3x + 4y Sujeta a

x

4-2y < 24 y < 14 4- y < 24

x+ 2x

Los puntos esquina para la región factible determinada por las restricciones del problema

x,y> 0

14. Maximice z = 5x + 3y Sujeta a

2x 4-

3x + y < 2 4 x + y < 10 x + 3y < 24

x + 2y ^ 15 x, y > 0

x ,;y > 0 15. M inim ice Sujeta a

z = 5x 4- 6>x + 4y s 20

son O = (0, 0), A = (5, 0). B = (3 ,4 ) y C = (0, 5). Si z = ax + by y a, b> 0, determine las condiciones de a y b que aseguren la localización del valor máximo de z:

4x 4- y > 20 x+ y <20 x ,; y > 0 16. M inim ice S ujeta a

10

(A ) Sólo en A (C ) Sólo en C (E ) En 5 y C

z = je 4- 2y 2x + 3>- s 30 3x + 2 y > 30 x 4 - jy < 15

(B ) Sólo en B (D ) En A y B

Los puntos esquina para la región factible determinada por las restricciones del problema

x,y^ 0 x + y>4

17. M inim ice y m axim ice z = 25* + 50}' Sujeta a x 4- 2y s 120 x4- y > 6 0 x - 2y > 0 x,y> 0 18.

M inim ice y m axim ice z = Sujeta a x -f 2y > 1 0 0

1 5 a:

x + 2y > 6 2x 4- 3y < 12 x,y 2 0

+ 30y

son A = (6 ,0 ), B = (2 ,2 ) y C = (0 ,4 ). Si z = ax + by y a, b > 0, determine las condiciones de a y b que aseguren la localización del valor mínimo de z:

2a: — y < 0 2at + y < 200 x ,) ’ í 0 19. M inim ice y m axim ice z = 25.* + 15;y Sujeta a 4x + 5>’ £ 100

/

(A ) Sólo en A (C ) Sólo en C (E ) En.fi y C

(B ) Sólo en B (D ) E n A y B

650


28. Transportación. Los administradores de una preparatoria A PLIC A C IO N ES

25. Asignación de recursos. Una fábrica produce dos tipos de esquíes, el esquí acrobático y el de competencia. La información relevante de la producción está en la tabla. (A ) Si la ganancia de producir el esquí acrobático es de $40 y la de producir el de competencia es de $30, ¿cuántos esquíes de cada tipo se deberán producir cada día para generar la máxima ganancia? ¿Cuál es la máxima ganancia? Analice el efecto de programar la producción y la máxima ganancia, si la utilidad por los esquíes de competencia disminuye a $25, pero los demás datos siguen siendo los mismos. Analice el efecto de programar la producción y la máxima ganancia si la utilidad de los esquíes de competencia aumenta a $45 pero los otros datos permanecen iguales. Número m á x i m o de horas de m a n o de obra disponibles diariamente

F.squf acrobático (horas de m a n o de obra por esquí)

Esquí de competencia (horas de m a n o de obra por esquí)

Departamento de fabricación

6

4

108

Departamento de acabado

1

1

24

29. Asignación de recursos. Una fábrica de muebles produce mesas y sillas para comedor. Una mesa requiere de 8 horas de trabajo del departamento de ensamble y 2 horas de trabajo del departamento de acabado y genera una ganan cia de $90. Una silla requiere de 2 horas de trabajo del departamento de ensamble y 1 hora de trabajo del departa mento de acabado y genera una ganancia de $25. E l máxi mo de horas disponibles por día para el ensamble y el acabado es de 400 y 120 horas, respectivamente. (A ) ¿Cuántas mesas y cuántas sillas se deben producir diariamente para maximizar la ganancia diaria? ¿Cuál es la máxima ganancia diaria? Analice el efecto de planificar la producción y la ganancia máxima si el departamento de mercadotecnia de la compañía decide que el número de sillas producidas debe ser cuatro veces menor que el número de mesas producidas.

30. Asignación de recursos. En una fábrica se producen dos

26. Psicología. En un experimento de acondicionamiento, un psicólogo utiliza dos tipos de cajas Skinner con ratones y ratas. La cantidad de tiempo (en minutos) que cada ratón y cada rata pasa en cada caja diariamente está dado en la tabla. ¿Cuál es el número total máximo de ratones y ratas que se puede utilizar en este experimento? ¿Cuántos ratones y ratas producen este valor máximo?

Ratones (minutos)

Caja Skinner A Caja Skinner B

planean rentar autobuses y camionetas para un viaje de prácticas. Cada autobús puede transportar a 40 estudiantes y tres supervisores, y la renta cuesta $ 1 200. Cada camio neta puede transportar a ocho estudiantes y un supervisor y su renta tiene un costo de $100. Los administradores quieren poder acomodar a por lo menos 400 estudiantes con no más de 36 supervisores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo se deben rentar para minimizar el costo de la trans portación? ¿Cuál es el costo mínimo de la transporta ción?

10 20

Ratas (minutos)

20 10

Ti e m p o m á x i m o disponible diariamente (minutos)

800 640

27. Compras. Una compañía de camiones quiere comprar un máximo de 15 camiones nuevos que proporcionen por lo menos 36 toneladas de capacidad adicional de carga. Un camión del modelo A tiene una capacidad de 2 toneladas y un costo de $15 000. Un camión del modelo B tiene una capacidad de 3 toneladas y un costo de $24 000. ¿Cuántos camiones de cada modelo debe comprar la compañía para proporcionar la capacidad adicional de carga al costo mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo?

tipos de computadoras, el modelo para escritorio y el modelo portátil. Si la producción de una computadora para escritorio requiere de un gasto principal de S400 y de 40 horas de trabajo. La producción de una computadora portátil requiere de un gasto principal de S250 y 30 horas de trabajo. La fábrica tiene un capital de $20 000 y dispone de 2 160 horas para la producción de las computadoras para escritorio y portátiles. (A ) ¿Cuál es el número máximo de computadoras que la compañía puede producir? Si cada computadora para escritorio genera una ganancia de $320 y cada computadora portátil genera una ganancia de $220, ¿cuánto ganará la compañía si produce el máximo número de computadoras determi nado en el inciso (A )? ¿Es ésta la máxima ganancia? Si no lo es, ¿cuál es la máxima ganancia?

31. Control de la contaminación. Debido al nuevo reglamento federal referente a la contaminación, una planta química introdujo un nuevo proceso para el suplemento o reemplazo de un antiguo proceso utilizado en la producción de cierto químico. E l antiguo proceso emitía 20 gramos de dióxido de azufre y 40 gramos de partículas suspendidas en la atmósfera por cada galón del químico producido. El nuevo proceso emite 5 gramos de dióxido de azufre y 20 gramos de partículas suspendidas en la atmósfera por cada galón del químico producido. La compañía genera una ganancia de 60 centavos por galón en el antiguo proceso y 20 centavos por galón en el nuevo.

Actividades en grupo del capituic ;

(A ) Si el reglamento le permite emitir a la planta diaria mente no más de 16 000 gramos de dióxido de azufre y 30 000 gramos de partículas suspendidas, ¿cuántos galones del químico se deben producir por cada proceso para generar la máxima ganancia diaria? ¿Cuál es la máxima ganancia diaria? Analice el efecto de planificar la producción y la máxima ganancia si el reglamento restringe las emi siones diarias de dióxido de azufre a 11 500 gramos y los otros datos permanecen iguales. Analice el efecto de planificar la producción y la máxima ganancia si el reglamento restringe las emisiones diarias de dióxido de azufre a 7 200 gramos pero los demás datos siguen siendo los mismos. •'«32. Sociología. Un ayuntamiento votó por dirigir un estudio de los problemas de una comunidad céntrica. Una universidad cercana fue contactada para contratar un máximo de 40 sociólogos y asistentes de investigación. E l tiempo asignado y el costo por semana se dan en la tabla. (A ) ¿Cuántos sociólogos y asistentes de investigación se emplearán para cumplir con las horas laborales requeridas por semana y para minimizar el costo semanal? ¿Cuál es el costo en ese mismo periodo? Analice el efecto de la solución del inciso (A ), si el ayuntamiento decide que no se podrá emplear a más sociólogos que asistentes y si los demás datos permanecen iguales.

Sociólogos (horas laborales)

Asistentes (horas laborales)

Mínimo de horas laborales requeridas por semana

Trabajo de campo

10

30

280

Trabajo en el centro de investigación

30

10

360

$500

$300

Costo semanal


**3 3 . Nutrición de las plantas. Un fruticultor puede usar dos tipos de abono en su cultivo de naranjas, la marca A y la marca B. Las cantidades (en libras) de nitrógeno, ácido fosfórico, potasio y cloro en una bolsa de cada mezcla se dan en la tabla. Las pruebas indican que el cultivo necesita por lo menos 480 libras de ácido fosfórico, 540 de potasio y un máximo de 620 libras de cloro. Si el fruticultor siempre utiliza una combinación de bolsas de la marca A y de la marca B que satisfacen las restricciones de ácido fosfórico, potasio y cloro, analice el efecto que tendrá sobre la cantidad de nitrógeno añadida al cultivo.

Libras por bolsa

Nitrógeno Ácido fosfórico Potasio Cloro

Marca A

Marca B

6 2 6 3

7 4 3 4

” 34. Dieta. Un dietista en un hospital debe diseñar una dieta especial compuesta de dos tipos de alimentos, M y N. Cada onza del alimento M contiene 16 unidades de calcio, 5 de hierro, 6 de colesterol y 8 de vitamina A . Cada onza del alimento N contiene 4 unidades de calcio, 25 de hierro, 4 de colesterol y 4 de vitamina A . La dieta requiere de por lo menos 320 unidades de calcio, 575 de hierro y más de 300 de colesterol. Si el dietista siempre selecciona una com binación de alimentos M y N que deba satisfacer las restricciones de calcio, hierro y colesterol, analice el efecto que tendrá sobre la cantidad de vitamina A en la dieta.

Modelamiento con sistemas de ecuaciones lineales

E n esta ac tiv id ad en g ru p o se c o n sid eran dos p ro b lem as de la v id a c o tid ia n a qu e se p u ed e n reso lv e r u tilizan d o sistem a s de ec u ac io n e s lin e ales: co n d u c ció n del c a lo r y circ u lac ió n v eh icu lar. A m b o s p ro b lem as im p lic a n e l uso d e u n a c u a d rícu la y u n a su p o sic ió n b ásic a p ara c o n stru ir el m o d e lo (siste m a d e ecu ac io n e s). La elim in a ció n G a u ss-Jo rd a n se u tiliza en to n ces para reso lv e r el m o d elo . E n el p ro b lem a d e la co n d u c ció n d el calor, la so lu ció n del m o d e lo es fác ilm e n te in te rp re tad a en té rm in o s d el p ro b lem a o rig in al. E l sistem a en el seg u n d o p ro b lem a es d ep e n d ie n te, y la solu ció n req u ie re de u n a in te rp re ta c ió n m á s cu id ad o sa.

I C onducción del calor U n a p a rrilla d e m e tal está fo rm a d a p o r cuatro b arras d elg ad as d e m etal. El ex trem o d e ca d a b arra d e la p arrilla p e rm a n e c e a u n a te m p e ra tu ra co n stan te, co m o se m u e stra en la fig u ra 1. S e su p o n e q u e la te m p e ra tu ra en cada p u n to de in te rsec ció n e n la p a rrilla e s el p ro m e d io de la te m p e ra tu ra de los cu a tro p u n to s a d y a ce n te s en la p a rrilla

652


(los p u n to s a d y a ce n te s so n los o tro s p u n to s de in tersecció n o los ex trem o s d e las b arras). A sí, la te m p e ra tu ra x , en el p u n to de in te rse c c ió n de la e sq u in a su p e rio r iz q u ierd a d e la c u a d ríc u la d eb e sa tisfac er Izquierda * l = I (4 0

Arriba + 0

Derecha

x2

+

Abajo

+

x3 )

E n c u e n tre las e c u ac io n e s p ara la te m p e ra tu ra en lo s o tro s tre s p u n to s d e in te rsec ció n , y re su e lv a e l sis te m a re su l ta n te p ara en c o n tra r la te m p e ra tu ra de ca d a p u n to de in te rse c c ió n en la cu ad rícu la. FIGURA 1 0°

*1

x2

*3

Xa

20 °

II

40°

20°

Circulación vehicular

L a h o ra de m ayor flu jo v eh icu la r p a ra u n a re d de cu atro calles d e un so lo se n tid o en u n a ciu d ad se m u e stra en la fig u ra 2. L os sig u ien te s n ú m e ro s d e ca d a calle in d ic an el n ú m e ro de v eh ícu lo s p o r h o ra q ue e n tra n y sa len de la red en aq u e lla calle. L as v aria b les x p x 2, x , y x4 rep rese n tan la circ u la c ió n v eh icu la r en tre las cu a tro in te rsec cio n e s de la red. P ara u n a circ u lac ió n v eh icu la r fluida, se su p o n e qu e el n ú m e ro d e v eh ícu lo s qu e en tran en ca d a in tersecció n sie m p re es igual al n ú m ero de lo s que salen. P or ejem p lo , co m o 1 5 0 0 v eh ícu lo s en tra ro n ca d a h o ra a la in te rse c c ió n de la C a lle Q u in ta y la A venida W ashington, y saliero n x , + x4 v eh ícu lo s, se o b se rv a q u e Xj + x 4 = 1 500. FIGURA 2

L .

(A ) E n cu en tre las ec u ac io n e s d e term in a d as p o r la c irc u lac ió n v e h ic u la r e n ca d a u n a d e las o tras cu atro in te rse c ciones. (B ) E n cu e n tre la so lu c ió n al siste m a del in ciso (A ). (C ) ¿C u ál es el n ú m e ro m á x im o de v eh ícu lo s q u e p u ed e n v ia ja r d esd e la A v enida W a sh in g to n a la A venida L in co ln p o r la C a lle Q u in ta ? ¿C u ál es el n ú m e ro m ín im o ? (D ) Si la s v ía s estre ch a s están aju sta d as de tal m a n e ra q u e v iajen 10 0 0 v eh ícu lo s p o r h o ra de la A venida W a sh in g to n a la A venida L in co ln p o r la C alle Q u in ta, d eterm in e la circ u lac ió n en el resto d e la red.


653


SISTEMA DE ECUACÍONES LINEALES Y MATRICES AUMENTADAS

Para facilitar la generalización de grandes sistemas, se cambia la notación por variables y constantes en el sistema (1) a la siguiente forma de subíndices:

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables es un sistema de la forma

a,x¡ + byX2 = k¡ (2) a2x, + b2x7 = k2

ax + bv = h ex + dy = k

(1)

donde x y y son las variables, a, b, c y d son números reales llamados coeficientes de .r y y, y h y k son números reales lla mados términos constantes en las ecuaciones. E l par ordenado de los números (x0,j>0) es una solución del sistema (1) si cada ecuación se satisface por el par. E l conjunto de todos los pares ordenados de números se llama conjunto solución del sistema. Resolver un sistema es encontrar su conjunto solución. En general, un sistema de ecuaciones lineales tiene exactamente una solución, ninguna solución o un número infinito de soluciones. Un sistema de ecuaciones lineales es consistente si tiene una o más soluciones e inconsistente si no tiene ninguna. Se dice que un sistema consistente es inde pendiente si tiene exactamente una solución, y dependiente si tiene más de una. Se analizaron dos métodos estándar para resolver el sistema ( 1): el de solución por graficación y el de solución mediante

eliminación por suma. Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si ambos tienen el mismo conjunto de soluciones. Un sistema de ecuaciones lineales se transforma en un sistema equivalente si:

Asociado con cada sistema lineal de la forma ( 2 ) , donde x , y x2 son las variables, ésta es la matriz aumentada del sistema: Columna 1 (Q ) Columna 2 (C2) Columna 3 (C3) a,

b,

k¡

_Ü2

1}2

— Renglón 1 (fl|)

¿2. — Renglón 2 (/?2)

Dos matrices aumentadas son de renglón equivalente, y se denotan por el símbolo ~ entre las dos matrices, si son ma trices aumentadas de los sistemas equivalentes de ecuaciones. Una matriz aumentada se transforma en una matriz renglón equivalente si se realiza cualquiera de las siguientes operacio

nes renglón: 1. Se intercambian dos renglones. 2. Se multiplica un renglón por una constante diferente de cero. 3. Se suma un múltiplo constante de otro renglón al renglón dado. Los siguientes símbolos se utilizan para describir estas opera ciones de renglón:

2. Una ecuación se multiplica por una constante diferente de cero.

1. R. /?. significa “ intercambio del renglón i con el renglón / ’■ 2. kR. —> R . significa “ multiplicación del renglón i por la constante le".

3. Un múltiplo constante de otra ecuación se suma a la ecuación dada.

3. kR. + R. —» R. significa “ multiplicación del renglón j por la constante k y se suma a R ’’.

Estas operaciones forman la base de la solución utilizando la eliminación por suma. E l método de solución mediante eliminación por suma se puede transformar en un método más eficiente para sistemas a mayor escala por la introducción de una matriz aumentada. Una matriz es un arreglo rectangular de números escritos dentro de paréntesis cuadrados. Cada número de una matriz se denomina elemento de la matriz. Si una matriz tiene m renglones y n columnas, se llama matriz m X n (léase “ matriz m por n” ). La expresión m X n se llama tamaño de la matriz, y los números m y n s e llaman dimensiones de la matriz. Una matriz con n renglones y n columnas se denomina matriz cuadrada de orden n. Una matriz con só lo una columna se llama matriz columna, y una matriz con sólo un renglón se llama matriz renglón. La posición de un elemento en una matriz es el renglón y la columna que contienen al elemento. Esto se denota a menudo utilizando la notación de doble subíndice a.., donde i es el renglón y j es la columna que contiene al elemento a...

A l resolver el sistema ( 2 ) utilizando operaciones de renglón, el objetivo es transformar la matriz aumentada (3) en la forma

1. Se intercambian dos ecuaciones.

0 m 1 n_

'1 .0

Si se puede hacer esto, entonces (m, n) es la única solución del sistema (2). Si (3) se transforma en la forma 1 m n .0 0 0. entonces el sistema ( 2 ) tiene una infinidad de soluciones. Si ( 3 ) se transforma en la forma '1

m

n

o

O

P-

entonces el sistema (2) no tiene solución.

654

8 2


ELIMINACION GAUSS-JORDAN

En la última parte de la sección 8-1 se usó eliminación GaussJordan para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables. E l método se generaliza por completo para sistemas con más de dos variables, y el número de variables no tiene que ser el mismo número de ecuaciones. Como antes, el objetivo será empezar con las matrices aumentadas de un sistema lineal y transformarlo mediante operaciones de renglón en una forma simple donde la solución se pueda leer por revisión. La forma simple, llamada forma reducida, se logra si: 1. Cada renglón que consiste por completo de ceros está debajo de cualquier renglón que tenga por lo menos un elemento diferente de cero. 2. E l elemento diferente de cero en el extremo izquierdo de cada renglón es 1. 3. L a columna que contiene al 1 del extremo izquierdo de un renglón dado tiene ceros arriba y abajo del 1.

4. E l 1 del extremo izquierdo de cualquier renglón está a la derecha del 1 del extremo izquierdo del renglón anterior. Un sistema reducido es un sistema de ecuaciones lineales que corresponde a una matriz aumentada reducida. Cuando un sistema reducido tiene más variables que ecuaciones y no tiene contradicciones, el sistema es dependiente y tiene una infinidad de soluciones. E l procedimiento de la eliminación Gauss-Jordan utiliza do para resolver un sistema de ecuaciones lineales está dado por la forma paso por paso como se indica: Paso 1.

E lija la columna diferente de cero, y utilice las operaciones de renglón apropiadas para obtener un 1 en la parte superior.

Paso 2.

Use múltiplos del renglón que contiene el 1 del paso 1 para obtener ceros en los lugares restantes en la columna que contenga a este 1.

Paso 3.

Repita el paso 1 con la submatriz formada (mentalmente) eliminando el renglón utilizado en el paso 2 y en todos los renglones arriba de este renglón.

Puso 4.

Repita el paso 2 con la matriz entera, incluyendo los renglones eliminados mentalmente. Continúe este procedimiento hasta que sea imposible avanzar más lejos.

Si en cierto punto del procedimiento anterior se obtiene un renglón con ceros a la izquierda de la recta vertical y un número diferente de cero n a la derecha, se puede parar, ya que se tiene una contradicción: 0 = n, n + 0. Se puede entonces concluir que el sistema no tiene solución. Si esto no sucede y se obtiene a una matriz aumentada en forma reducida sin contradicciones, la solución se puede leer por revisión. 8 3

SISTEMAS QUE IMPLICAN ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Si un sistema de ecuaciones contiene ciertas ecuaciones no lineales, entonces el sistema se llama sistema no lineal. En

esta sección se estudiaron sistemas no lineales que implican términos de segundo grado tales como: x 2 + y2 = 5

x 2 - 2y2 = 2

x 2 + 3xy + y2 = 20

3x + y = I

xy = 2

xy — y2 = 0

Se puede demostrar que estos sistemas tienen a lo más cuatro soluciones, algunas pueden ser imaginarias. Se usaron diversos métodos para resolver sistemas no li neales de la forma indicada: solución por sustitución, solu ción mediante eliminación por suma y solución mediante factorización y sustitución. Es importante siempre compro bar las soluciones de cualquier sistema no lineal para asegurar se de que no se hayan introducido raíces extrañas.

8-4

SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES

A menudo el modo más conveniente para representar la solución de una desigualdad lineal con dos variables o de un sistema de desigualdades lineales con dos variables es una gráfica. Una recta vertical divide un plano en semiplanos a la derecha y a la izquierda. Una recta no vertical divide un plano en semiplanos superior e inferior. Sean A . B y C números reales con A y B diferentes de cero, entonces la gráfica de la desigualdad lineal Ax + B v < C

Ax + B y > C

con B + 0, está en el semiplano superior o en el semiplano inferior (pero no en ambos) determinados por la recta Ax + By — C. Si B = 0, entonces la gráfica de Ax < C

Ax > C

está en el semiplano izquierdo o en el derecho (pero no en ambos) determinado por la recta Ax = C. A partir de estos resultados se deduce un fácil procedimiento paso por paso

para graficar una desigualdad lineal con dos variables: Paso 1.

G rafiq u e A x + B y = C como una línea discontinua si la igualdad no está incluida en el planteamiento original o como una línea sólida si la igualdad está incluida.

Paso 2.

E lija un punto de prueba en cualquier lugar del plano que no esté en la recta, y sustituya las coordenadas en la desigualdad. E l origen (0, 0) a menudo requiere de un último cálculo.

Paso 3.

La gráfica de la desigualdad original incluye al semiplano que contiene al punto de prueba si la desigualdad se satisface por ese punto, o el semiplano no contiene ese punto si la desigualdad no se satisface por ese plinto.

Ahora se verán los sistemas de desigualdades lineales con dos variables. La solución de un sistema de desigualdades lineales con dos variables es el conjunto de todos los pares


ordenados de números reales que satisfacen simultáneamente :odas las desigualdades del sistema. La gráfica se llama región solución. En muchas aplicaciones también se hace referencia a la región de solución como región factible. Para encontrar la región solución, se grafica cada desigualdad en el sistema y luego se toma la intersección de todas las gráficas. Un pun to esquina de una región solución es un punto en la región solución que es la intersección de dos rectas acotadas. Una región solución es acotada si se puede encerrar dentro de un circulo. Si no se puede insertar en un círculo, entonces es no acotada. 8-5

655

básico para resolver problemas de programación lineal: Sea S la región factible para un problema de programación lineal, y seaz = ax + by la función objetivo. Si S está acotada, entonces z tiene un valor máximo y uno mínimo en S, y cada uno de éstos se encuentra en el punto esquina de S. Si S es acotada, entonces tal vez no haya un valor máximo o mínimo de z en S. Sin embargo, si lo hay, deberá estar en un punto esquina de 5. Los problemas con regiones factibles no acotadas no se consideran en esta breve introducción. E l teorema conduce hacia una simple solución de problemas de programación lineal paso por paso con una región factible acotada: Construya un modelo matemático para el problema:

PROGRAMACIÓN LINEAL

l a programación lineal es un proceso matemático que se desarrolló para ayudar a la administración en la toma de decisiones, y se convirtió en una de las mejores herramientas, más conocidas y usadas en la administración y en la ingeniería industrial. Un problema de programación lineal es el que busca encontrar el valor óptimo (valor máximo o mínimo) de una función objetivo lineal de la forma z = ax + by, donde las variables de decisión x y y están sujetas a las restricciones del problem a en forma de desigualdades lineales y de restricciones no negativasx ,y > 0. E l conjunto de puntos que satisface las restricciones del problema y las restricciones no ligativas se llama región factible del problema. Cualquier runto en la región factible que produzca un valor óptimo de la función objetivo sobre la región factible se llama solución óptima. E l teorema fundamental de programación lineal es

(A ) Introduzca las variables de decisión y escriba una función objetivo lineal. (B ) Escriba las restricciones del problema en forma de desigualdades lineales. (C ) Escriba las restricciones no negativas. Grafique la región factible y encuentre los puntos esquina. Evalúe la función objetivo de cada punto esquina para determinar la solución óptima. Si dos puntos esquina son las soluciones óptimas del mismo tipo (ambos producen el mismo valor máximo o el mismo valor mínimo) para un problema de programación lineal, entonces cualquier punto del segmento de recta que une los dos puntos esquina es también una solución óptima de este tipo.

Ejercicio de repaso del capítulo 8 A l trabajar con los problemas de este capítulo revise y com pruebe sus respuestas con las que se dan al fin a l del libro. Se meluyen todas las respuestas a los problemas de repaso, y des pués de cada respuesta está un número en tipo itálico que indi ca la sección a la que corresponde el problema que se está analizando. Si se le presentan dudas repase la sección co/respendiente en el texto.

9. 2 x+ y s 2 x + 2y > - 2 Realice cada una de las operaciones renglón indicadas en los problemas del 10 al 12 en la siginente matriz aumentada:

10. /?, Mesuelva los problemas del 1 al 6 utilizando la eliminación p o r suma. 1. 2x + y 3x - 2y ■

2.

3.

4. y = ,v2 - 5.x — 3 y = -x + 2

4x - 3y = - 2 x + \y = 4

3x - 6y — 5 —2x + 4y = 1

6. 3x2 - y2 = - 6 2x2 + 3 / = 29

Resuelva los problemas del 7 al 9 p o r graficación. 8. 3x - 4y > 24

-6

5' 12.

11. 5*2-» *2

En los problemas del 13 al 15, escriba el sistema lineal corres pondiente para cada una de las matrices aumentadas reduci das y resuélvalas.

14. 7. 3x - 2y = 8 x + 3v = - I

-4

.3

12. ( - 3 )R t + R2-> R2

13. 5. x 2 + r = 2 2x - y = 3

R2

"1

15.

1 _0 "l

4 0 1 -7 .

1

.0

0

4 1.

'1 .0

-1 0

4' 0.

-


656

16. Encuentre los valores máximos y mínimos dez — 5x + 3y en la región factible S mostrada en la figura.

27. I t 2 + Ay + y 2= 8 x1 - y2 = 0 Resuelva gráficamente los sistemas de los problemas del 28 al 30, e indique si cada región solución es acotada o no acotada. Encuentre las coordenadas de cada punto esquina. 28. 2 x +

2x +

29. 2x + y 2 8

y: 3y

: ; 12

* + 3 y > 12

:0 y £ 20 x + 4y 2 20 x y s 0

30. x +

Resuelva los problemas de programación lineal en los proble mas del 31 al 33.


z

= I x + 9y x + 2y s 8

2 x+ y < 10 x ,y 2 0

Utilice la eliminación Gauss-Jordan para resolver el sistema 32. Minimice x ,- x 2

Sujeta a

=4

2 r, + x 2 = 2

Después escriba el sistema lineal representado por cada matriz aumentada en su solución, y resuelva cada uno de estos sistemas gráficamente. Analice la relación entre las soluciones de estos sistemas.

z = 5x + lOy * + y < 20 3x + y 2 15 x + 2y 2 15 x, y 2 0

33. Maximice y minimice Sujeta a x + 2y s 20 3x + y £ 15

* + y 27 x ,y 2 0

18. Utilice una rutina de intersección en un dispositivo de graficación para aproximar la solución del sistema siguiente con dos cifras decimales: x + 3y = 9 -2x + 7y = 10

34. Resuelva utilizando la eliminación Gauss-Jordan: x¡ +

B Resuelva los problemas del 19 al 24 mediante la eliminación Gauss-Jordan. 19. 3x, + l x , = 3 x,

21.

x, 2x¡ .y ,

23. x x 2xx

.r,

4- 3 x 2=

8

22.

1 0 — 3 x 2= —2

24.

— 2 x 2= —

x 2=

JC|+ 2x,

2 x 2 — X?,

+ 3x 2

=

x¡ + 2 x 2 -

—1

x3 =

3x¡ — x 2 + 2x 3

2

= —3

0 .0 6 .V , =

= 360 120

x2

—x y

x2

+ x y — 2y2 - 0

+

y2 = 4


z = 30a + 20y 1-2a‘ + 0.6y s 0.04a: + 0.03y < 0.2a-+ 0.3y < a, y 2

960 36 270 0

37. Aproxime todas las soluciones reales con dos cifras deci males:

Resuelva los problemas del 25 a l 27 25. a-2 - y2 = 2 o y x

0 . 0 4 a , + 0 .0 5 .V , -

2

+ ;tj = —3

3 x , + 5x2 =

x} = 7 000

O.OÓX;

35. Resuelva:

20. x, + ■x 2 = 1 x , — x } = —2 x 2 + 2x3 = 4

+ lx 2+ 3 x 3 = 1 + 3x, + 4x, = 3 + 2x2+ Xj = 3

x2 +

0 .0 4 aT | + 0 . 0 5 . í 2 +

26. a:2 + 2a: v + y2 = 1

xy = - 2

x2 + 4xy + y2 =

8

5a2 + 2 x y + y2 = 25


Analice el número de soluciones para el sistema corres pondiente a la forma reducida que se muestra a continua ción si (A) m + 0 ( B ) « = 0 y n =£ 0 (C) m = 0 y n = 0 '1 0 0

0 -3 1 2 0 m

4 5 n

** 42. Acertijo. Una alcancía contiene 30 monedas con un valor total de $1.90. (A ) Si la alcancía sólo contiene monedas de 5 y de 10 centavos, ¿cuántas monedas hay de cada tipo? (B ) Si la alcancía contiene monedas de 5,10 y 25 centavos, ¿cuántas monedas hay de cada tipo?

* 43. Asignación de recursos. La compañía North Star Sail Loft fabrica velas regulares y de competición. Cada vela regular requiere de 1 hora de trabajo para el corte y de 3 para coserla. Cada vela de competición requiere de 2 horas de trabajo para el cortado y 4 para coserla. Se dispone de 140 horas de trabajo en el departamento de corte y 360 en el departamento de costura.

U CAGONES

39. Negocios. Un recipiente contiene 120 paquetes. Algunos pesan 1/2 libra cada uno, y el resto pesa 1/3 de libra cada uno. Si el contenido total del recipiente pesa 48 libras, ¿cuántos paquetes de cada tipo hay? Resuelva utilizando métodos de dos ecuaciones con dos variables. •40. Geometría. Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un área de 48 metros cuadrados y un perímetro de 28 metros. Resuelva utilizando métodos de dos ecuaciones con dos variables. *41. Dieta. Un asistente de laboratorio desea obtener una mezcla de alimentos que contenga, entre otras cosas, 27 gramos de proteína, 5.4 gramos de grasa y 19 gramos de humedad. Dispone para ello de las mezclas A , B y C que tienen las composiciones indicadas en la tabla. ¿Cuántos gramos de cada mezcla se deben utilizar para obtener la mezcla deseada de alimentos? Establezca un sistema de ecuaciones y resuelva mediante eliminación Gauss-Jordan.

Mezcla

657

Proteína

Grasa

Humedad

(% )

(% )

(% )

A

30

3

10

B

20

5

20

C

10

4

10

(A ) Si la fábrica obtiene una ganancia de $60 en cada vela regular y $100 en cada vela de competición, ¿cuántas velas de cada tipo debe ¡producir para maximizar su ganancia? ¿Cuál es la sanancia máxima? (B) Un aumento en la demanda de las velas para com petición provoca que la utilidad en una vela de compe tición se eleve hasta S I 25. Analice el efecto de este cambio sobre el número de velas producidas y sobre la utilidad máxima. Una disminución en la demanda de las velas para com petición provoca que la utilidad en una vela de compe tición se reduzca hasta S75. Analice el efecto de este cambio sobre el número de velas producidas y sobre la ganancia máxima.

* 44. Nutrición de animales. Una dieta especial para animales de laboratorio contiene al menos 800 unidades de vitaminas, al menos 800 unidades de minerales y a lo más 1 300 calorías. Se dispone de dos combinaciones de alimentos, la mezclad y la mezcla B. Un gramo de la mezcla A contiene 5 unidades de vitaminas, 2 de minerales y 4 calorías. Un gramo de la mezcla B contiene 2 unidades de vitaminas, 4 de minerales y 4 calorías. (A ) Si la mezcla A cuesta $0.07 por gramo y la mezcla B SO.04 por gramo, ¿cuántos gramos de cada mezcla se deberán utilizar para satisfacer los requerimientos de la dieta al mínimo costo? ¿Cuál es el costo mínimo? (B ) Si el precio de la mezcla B disminuye a $0.02 por gramo, analice el efecto de este cambio en la solución del inciso^. Si el precio de la mezcla B se eleva a $0.15 por gramo, analice el efecto de este cambio en la solución del inciso (A ).

660

9

Matrices y determinantes

En este capítulo se analizan las m atrices con m ás detalle. En las prim eras tres secciones se definen y estudian algunas operaciones algebraicas m atriciales, que incluyen sum a, m ultiplicación e inversión. En las siguientes tres secciones se abor da el determ inante de una m atriz. E n el capítulo anterior se usaron las operaciones de renglón y la elim inación de G auss-Jordan para resolver sistem as de ecuaciones lineales. En este capítulo las operaciones de renglón desem peñan un papel im portante en el desarrollo de di versos tem as. Una consecuencia del análisis será el desarrollo de otros dos m éto dos para resolver sistem as de ecuaciones lineales: uno de ellos im plica a las m atrices inversas y el otro a los determ inantes. Las m atrices son un concepto m atem ático m uy antiguo y muy actual. Se pueden encontrar referencias acerca de las m atrices y sistem as de ecuaciones en m anus critos chinos que datan de alrededor del año 200 a. C. Con los años, los m atem áti cos y científicos han encontrado m uchas aplicaciones de las m atrices. A ctualm ente, con la llegada de com putadoras personales a gran escala se ha increm entado el uso de las m atrices en una am plia variedad de aplicaciones. En 1979 Dan Bricklin y R o b ert F rankston introdujeron V isiC alc, la prim era hoja de cálcu lo para com putadoras personales. De m anera m uy sim ple, una hoja de cálculo es un pro gram a en com putadora que perm ite al usuario introducir y m anejar núm eros, a m enudo m ediante notación m atricial y operaciones. Al inicio las hojas de cálculo se usaron en los negocios en áreas tales com o presupuestos, proyección de ventas y estim ación de costos. Sin em bargo, han aparecido m uchas otras aplicaciones. Por ejem plo, un científico puede usar una hoja de cálculo para analizar los resultados de un experim ento, o un m aestro para registrar y sacar prom edios de calificacio nes. Inclusive existen hojas de cálculo que se usan para ayudar a calcular, de m a nera individual, el im puesto por ingresos.

s e c c ió n

9"

1 Matrices: Operaciones básicas S um a y resta M u ltip lic ac ió n d e u n a m a triz p o r u n n ú m ero P ro d u c to m atricial

E n la secció n 8-1 se in tro d u jo la te rm in o lo g ía b ásic a m a tricia l y se reso lv ie ro n sistem as de e c u ac io n e s m e d ia n te o p era cio n e s de ren g ló n en m a trice s co n c o e fic ie n te s a u m e n ta dos. L as m a trice s tie n e n m u c h as o tras a p lica cio n es ú tiles y p o se e n en sí m ism a s u n a e stru c tu ra m a te m á tic a in teresan te. C o m o se v erá, la su m a y m u ltip lic a c ió n m a tricial se p a re c e n a la su m a y m u ltip lic ac ió n d e n ú m e ro s re a le s en m u c h o s asp ecto s, p ero d ifie re n de ellas en alg u n o s asp ec to s im p o rta n tes. P a ra e n te n d e r m e jo r la s sim ilitu d es y d iferen c ia s, se su g iere re v isa r las p ro p ie d a d e s b ás ica s de o p era cio n e s con n ú m e ro s re a les que se an a liz an en la secció n A -l del A p én d ic e A.

A n te s de co m e n z a r co n el estu d io de las o p e ra cio n e s a ritm ética s p a ra m a trice s, se tien e q u e d e fin ir la ig u a ld ad p a ra m a trices. D os m a trice s so n ig uales si tie n e n el m ism o ta m añ o y sus elem e n to s c o rre sp o n d ie n te s so n ig u ales. Por ejem p lo ,

9-1

661

2x3

2x3 a b e

d

Matrices: Operaciones básicas

e

f.

u

v

w

x

y

z

si y só lo si

a = u

b =

y

c = H-

d =x

e = v

/= =

L a sum a de dos m atrices del m ism o ta m añ o es u n a m atriz co n elem e n to s q u e so n la su m a de los elem e n to s co rre sp o n d ie n te s d e d o s m a trices dadas.

La sum a no está definida por m atrices de diferentes tam años.

EJEMPLO 1

Suma matricial

(A)

a

b

c

d_

'

Sum e:

3

-1 0

[R3 [93

112 -3 0 ] [1 2 -5]]

[[3 12] [-325]] [fi] + [B] [[5 - 2 21 [-2 4 0]]

w

X

(a+ w) (b + x)

--

(c + y )

3 -3 0 • 2 -5 .- 3

(B)


+

1 2

'-2

2

(d + z) 2

5.

3'

- 1 +

1

-1

3.

2

-2 .

=

1

5 -2 4 .- 2

4

o

2

0.

5

-z

T am bién se p u ed e n u sa r d isp o sitiv o s de g ra fic a c ió n p a ra reso lv e r p ro b lem as que im p liq u e n o p era cio n e s m a triciales. L a fig u ra 1 ilu stra la so lu c ió n d el ejem p lo 1(B ) en u n a c a lc u la d o ra g ráfica . C o m o la su m a de d o s m a trice s se o b tu v o al su m a r su s elem e n to s c o rre sp o n d ie n tes, se co n clu y e de las p ro p ie d a d e s d e los n ú m e ro s rea les qu e las m a trice s d el m ism o ta m añ o son co n m u tativ as y aso ciativ as co n resp e cto a la sum a. Es d ecir, si A, B y C son m a trice s del m ism o ta m añ o , en to n ces

FIGURA 1 Suma en una calculadora gráfica.

Conmutativa

A + B = B + A (A + B) + C = A + (li + C )

Asociativa

U n a m a triz en la cual to d o s los elem e n to s so n cero se d en o m in a m atriz cero. Por e jem p lo , las sig u ien te s so n m a tric e s cero de d iferen te tam añ o : [0

0

0]

0

0

0

0

0

0

0

0

0.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 [Nota: “ 0 ” se p u e d e u sa r p ara d e n o ta r u n a m a triz cero de c u a lq u ie r tam añ o .] El negativo de una m atriz M , q u e se d en o ta p o r —M , es u n a m a triz co n elem e n tos q u e son los n eg ativ o s de lo s elem e n to s d e M . A sí, si

M =

a

h

c

d.

662

9


entonces

N o te q u e M + ( ~ M ) = 0 (u n a m a triz cero). Si A y B so n m a tric e s del m ism o ta m añ o , e n to n ce s se d e fin e la resta co m o sigue:

A - B = A + (-B) A sí, p a ra re sta r la m a triz B de la m a triz A , sim p lem en te se re sta n los elem e n to s c o rre s p o n d ie n tes.

EJEMPLO 2

Resta matricial '3

.5

P ro b le m a s e le c c io n a d o 2

• M ultiplicación de una m atriz por un número

EJEMPLO 3

-2

'- 2

o;

R este: [2

2 4

3

-3

i--------------------------------------1 i i i i 2 -2 -2 i _ ‘3 i _ "5 + i i .2 .5 0. .- 3 -4 . i i i_____ ______________________________ i

5] - [3

-2

-4 -4 .

1]

E l producto de un núm ero k por una m atriz M , qu e se d e n o ta p o r k M , es u n a m atriz que se fo rm a al m u ltip lic a r ca d a elem e n to d e M p o r k.

M ultiplicación de una m atriz por un número 0'

' 3 - 1 -2

-2 . 0 - 1

1

3 -2.

'-6 —

2

4

-2

0

2

0' -6 4.

1 .3


E ncuentre: 10 0.2 3 .5


L a m u ltip lic ac ió n de d o s n ú m e ro s se p u ed e in te rp re ta r c o m o su m a s re p e tid a s si uno de lo s n ú m e ro s es u n en tero p o sitiv o . E s decir,

9-1

2a = a + a


3a = a + a + a

663

4a = a + a + a + a

y así sucesiv am en te. A n a lic e esta in te rp re ta c ió n p a ra el p ro d u c to d e un en tero k p o r u n a m atriz M . U se ejem p lo s e s p e c ífic o s p ara ilu stra r sus o b serv acio n es.

A h o ra co n sid ere un a ap licació n qu e u sa varias o p era cio n e s m atriciales.

E JEM PLO 4

Ventas y comisiones L a señ o ra P érez y el se ñ o r L ó p e z so n v e n d e d o re s de u n a ag e n cia n u ev a de au to s que sólo vende dos m o d elo s. A g o sto fue el ú ltim o m e s p a ra m o d e lo s de este añ o , y en sep tie m b re se in tro d u je ro n los m o d e lo s del sig u ien te año. E n las sig u ien te s m a trice s se ind ican las v en tas to ta le s p a ra ca d a m es:

VENTAS DE AGOSTO Compacto De lujo

VENTAS DE SEPTIEMBRE Compacto De lujo

Pérez

'$ 3 6 000

$72 0 0 0 '

López

.$72 000

$0

— nA —

"$144 000

$288 000"

.$ 1 8 0 000

$216 000_

P or e je m p lo , la se ñ o ra P é re z o b tu v o S 36 0 0 0 p o r las v e n ta s d e a u to s c o m p a c to s en ag o sto y el se ñ o r L ó p ez o b tu v o S 216 000 p o r las v en tas de ca rro s de lu jo en se p tiem bre. (A ) ¿C u áles fueron, en d ó lares, las v en tas co m b in ad a s de ag o sto y se p tie m b re de cada v e n d e d o r y ca d a m o d elo ? (B ) ¿E n cu á n to a u m en ta ro n las v en tas, en d ó lares, de ag o sto a se p tiem b re? (C ) Si ca d a v en d e d o r recib e un 3% d e co m isió n so b re las v en tas to ta le s, ca lc u le la co m isió n de ca d a v e n d e d o r p a ra ca d a m o d e lo v en d id o en sep tiem b re. Soluciones

Se u sa la su m a m a tricia l p a ra el in c iso (A ), la resta m a tricial p ara el in c iso (B ) y la m u ltip lic ac ió n de u n a m a triz p o r u n n ú m e ro p a ra el in c iso (C).

(A )

(B)

(C )

A + B =

B - A -

0.03 B =

Compacto

De lujo

$180 000

$360 000

Pérez

$252 000

$216 000.

López

$108 000

$216 000

Pérez

$108 000

$216 000.

López

Compacto

De lujo

(0.03)($144 000)

(0.03)($288 000)"

L(0.03)($180 000)

(0.03)($216 000X

$4 320

S8 640

Pérez

L$5 400

$6 480

López

664

9



R e p ita el ejem p lo 4 con '$ 7 2 000 $36 000

$72.000"

B =

y

$72 000.

$180 000

$216 000'

$144 000

$216 000.

E l ejem p lo 4 im p lica u n a ag e n cia con sólo d o s v e n d e d o res y d o s m o d elo s. Un p ro b le m a m ás re a lista p u ed e in v o lu crar 20 v en d e d o res y 15 m o d elo s. P ro b le m a s de este ta m añ o a m e n u d o se resu e lv en co n la ay u d a de u n a h o ja de cá lc u lo en un a c o m p u ta d o ra p erso n al. L a fig u ra 2 m u e stra la so lu ció n del ejem p lo 4 m e d ian te u n a h o ja de cá lc u lo en co m p u tad o ra.

A

B

1

Compacto

2

Ventas de agosto

E

D

C De lujo

Compacto

De lujo

G

F Compacto

De lujo

Comisiones de septiembre

Ventas de septiembre

3

Pérez

S36 000

$72 000

$144 000

$288 000

$4 320

$8 640

4

López

$72 000

$0

$180 000

$216 000

S5 400

$6 480

Aumento en ventas

Ventas combinadas

5 6

Pérez

$180 000

$360 000

$108 000

$216 000

7

López

$252 000

$216 000

$108 000

$216 000

FIGURA 2

Se in tro d u c e ah o ra la m u ltip lic ac ió n m atricia l, q u e al p rin cip io p u ed e p a re c e r extraña. Sin em b arg o , a p e s a r de lo ra ra qu e p a re c e , e sta o p era ció n está b ien c im en tad a en la te o ría g eneral de m a trice s y, co m o se v erá, es m u y útil e n 'm u c h o s p ro b lem as p ráctico s. D e acu erd o con la h isto ria , la m u ltip lic ac ió n m a tricial fue in tro d u c id a p o r el m a te m á tic o in g lé s A rth u r C ay ley (1 8 2 1 -1 8 9 5 ) en estu d io s ac erca de las ec u ac io n e s lin eales y tra n sfo rm a c io n e s lin eales. E n la se cc ió n 9-3, se v erá q u e la m u ltip lic ac ió n m atricial es ce n tral en el p ro c e so d e ex p re sió n de sistem as de e c u ac io n e s co m o e c u ac io n e s m atric ia le s y p a ra el p ro c e so d e so lu c ió n d e e c u a c io n e s m a tric ia le s. L a s e c u a c io n e s m a tricia le s y sus so lu c io n e s p ro p o rc io n a n u n m é to d o altern o p a ra re so lv e r sistem a s de e c u ac io n e s lin eales qu e tien en el m ism o n ú m e ro de v ariab les q ue d e ecu acio n es. Se e m p ie z a p o r d e fin ir el p ro d u cto d e d o s m a tric e s esp ec iale s, u n a m a triz ren g ló n y u n a m atriz colum n a.

DEFINICIÓN 1

Producto de una m atriz renglón y de una m atriz columna El producto d e u n a m a triz ren g ló n 1 X n y d e u n a m a triz co lu m n a n X 1 es u n a m a triz 1 X 1 d ad a p o r

nx 1 1 x $

K

a 2 •••**]

b, b2

9-1


N o te q u e el n ú m e ro de elem e n to s en la m a triz ren g ló n y en la m a triz co lu m n a d eb e ser el m ism o p ara el p ro d u cto a d efin irse .

EJEMPLO 5

Producto de una m atriz renglón y de una m atriz columna -5 [2

-3

0]

2

= [ ( 2 ) ( - 5 ) + ( —3 )(2 ) + (0 ) ( —2)1

-2 = [ - 1 0 - 6 + 0] = [- 1 6 1

21 P ro b le m a s e le c c io n a d o 5

[-1

0

3

3

2]

4

R e fié ra se al ejem p lo 5. L a d istin ció n en tre el n ú m e ro real - 16 y la m a triz 1 X 1 [ - 1 6 ] es té cn ic o , y es co m ú n v er a las m a tric e s 1 X 1 escritas co m o n ú m e ro s re a le s sin co rch etes. E n la ex p o sició n sig u ien te, a m e n u d o se h ará refe re n c ia a m atrice s 1 X 1 co m o n ú m e ro s rea les y se o m itirá n los co rc h ete s cu a n d o sea co n v en ien te.

EJEMPLO 6

Planeación de la producción U na fáb rica p ro d u ce un e sq u í acu ático de co m p e te n c ia qu e n e c e sita de 4 h o ras de m a n o de o b ra en el d ep a rtam e n to de fa b rica ció n y un a h o ra de m a n o de o b ra en el d e p a rta m e n to de acab ad o . L o s o b rero s q u e lo fab rica n rec ib en $ 1 0 p o r h o ra, y lo s q u e lo te rm in a n $8 p o r hora. E l co sto to tal p o r esq u í e stá d ad o p o r el p ro d u cto

[4

P ro b le m a se le c c io n a d o 6

1]

10

= [(4)( 10) + (1)(8)1 = [40 + 8] = [481 o $48 p o r esquí

Si la fáb rica del ejem p lo 6 p ro d u ce ta m b ié n un esq u í acu ático p a ra ac ro b acia q u e n e c e sita de 6 h o ras de m an o de o b ra p ara la fab ricació n y 1.5 p ara el ac ab ad o , escrib a un p ro d u c to ad e cu a d o en tre m a trice s ren g ló n y co lu m n a q u e in d iq u e el co sto to tal d e m an o de o b ra p a ra este esquí. C a lc u le el costo.

A h o ra se u sa el p ro d u cto d e u n a m a triz ren g ló n de 1 X n y u n a m a triz co lu m n a n X 1 p ara am p lia r la d e fin ic ió n d e p ro d u cto m atricial a m a tric e s m ás g en erales.

666

9


DEFINICIÓN 2

Producto matricial Si A es u n a m a triz m X p y B e s u n a m a triz p X n, en to n ce s el producto m atricial de A y B, q u e se d en o ta p o r A B , es u n a m a triz m X n d o n d e el elem e n to e n el zesim o ren g ló n y layesim a co lu m n a es el n ú m e ro real qu e se obtuvo del p ro d u cto del z'ésimo re n g ló n de A y la /é s im a co lu m n a d e B . Si el n ú m e ro d e co lu m n as en A no es igual al n ú m e ro de ren g lo n e s en B, en to n ce s el p ro d u cto m atricia l A B no está definido.

E s im p o rta n te co m p ro b a r los ta m a ñ o s an tes d e e m p ez ar el p ro ce so de m u ltip lic a ción. Si A es u n a m a triz a X b y B es u n a m a triz c X d, en to n ce s si b = c, e x istirá el p ro d u cto A B y será u n a m a triz a X d (v éa se fig u ra 3). Si b ¥= c, en to n ce s no ex istirá el p ro d u cto AB. FIGURA 3

Deben ser las mismas (b = c)

ax b

cx d

Tamaño del producto (o x d) L a d e fin ic ió n n o es ta n co m p lic ad a co m o p a re c e a p rim e ra v ista. U n ejem p lo debe c la rific a r el p ro ceso . P a ra

A =

2

B =

-2

1

3

2

0

-1

2

A es 2 X 3, B es 3 X 2 y, p o r lo tan to , A B es 2 X 2. P ara en c o n tra r el p rim e r re n g ló n de A B , se to m a el p ro d u cto d el p rim e r re n g ló n de A co n ca d a co lu m n a de B y se escrib e ca d a resu ltad o co m o u n n ú m e ro real, n o co m o un a m a triz 1 X 1. E l seg u n d o re n g ló n de A B se c a lc u la de la m ism a fo rm a. L os cu a tro p ro d u cto s d e las m a trice s re n g ló n y c o lu m n a se u sa n p a ra p ro d u c ir lo s cu a tro elem e n to s en A B q u e se m u estran en el cu ad ro con lín e as d isc o n tin u a s de ab ajo . E so s p ro d u cto s a m e n u d o se c a lc u la n de m a n e ra m e n tal, o con la ayuda de un a calculadora, y no es necesario escribirlas. L as partes som breadas resaltan los p aso s im p lica d o s en el cá lc u lo del elem e n to en el p rim e r re n g ló n y seg u n d a co lu m n a de A B .

2x3 -2

3

-1

1

2

1

[2

3

-1 ]

2

[2

3

. " 3 '

1' [-2

1

2]

2 .-1 .

_ 2X2 9

-2

4

-2

0

-1 ]

-1 .

2 -1

‘ 3 '

1'

3X2

[-2

1

2]

0 . 2 .

9-1

EJEMPLO 7

667


Producto matricial 3X2

(A)

2

1

1

0

-1

1

-1

2

2

1

0

-1

2

2

-1

0

1

3

0

*

-1

4

3x2

-1

i

0

1 2

2x4

(B)

3x4

2X4

7

■~i v a .

2

1

1 ~ L_ ,

0

2 (C)

6

-1

-3

2

20

40

6.

-10

-20

El p ro d u cto no está definido

3

.-1

3 * -5 ‘

1

2 [2

(F)

6 -3,

'- 1 0

15

0

4

-6

0

6

0

-2 .

P ro b ie m a s e le c c io n a d o

(E) [ 2 - 3

2

0]

-4

E n cu en tre ca d a p ro d u cto , si es q u e está d efin id o : ■*2. z x (A)

-1 1

M

(C)

1

3

-2

2

2

0. o 2 K.

2 -2

-1

1 '- i 2

o

n

-2 1

i 4

-2

r 3

(E) [3

-2

4" 1] 2 .3.

[B]

[

1] [1 0] [-1 211 12

I [1 -1 0 1] [2 1 2 0] ] [fi] * [B] [ [4 - 1 2 2 ] [1 -1 0 1 ] [3 3 4 -1] ] Multiplicación en una calculadora gráfica.

-i 2

(B)

o.

1

n r.

r

1

1

o. 1

-2 í ■ >'

2 -1

3

-2 (D) £ i I

1 V

[R]

= [-1 6 ]

-2

0] =

-3

-5

o " ~o

2

O o

2

1 (D)

-1

3

-2

2

0

2' -2

"4" (F)

2 [3 3

1]

La fig u ra 4 ilu stra una so lu ció n del ejem p lo 7 (A ) e n u n a ca lc u lad o ra g rá fic a . ¿Q ué e sp eraría que su c ed ie ra si in te n ta ra reso lv e r el ejem p lo 7(B ) en u n a ca lc u lad o ra g r á f i ca? E n la a ritm ética de n ú m e ro s rea les no im p o rta en qu é o rd en se m u ltip liq u e ; p o r ejem p lo 5 X 7 = 7 X 5. E n la m u ltip lic a c ió n m a tricia l, sin em b arg o , sí hay d iferen cia. Es decir, A B n o es sie m p re igual a BA, au n q u e am b as m u ltip lic ac io n es estén d efin id as y los dos p ro d u c to s se an del m ism o ta m añ o (v éase ejem p lo s 7 (C ) y 7(D ). Por c o n si gu ien te, L a m u ltip lic a c ió n m a tr ic ia l

do

es c o n m u ta tiv a .

T am bién, A B p o d ría ser cero co n sid eran d o q u e A y B n o son ig u a les a cero (v éase ejem p lo 7(D ). P or lo ta n to ,

La propiedad cero no se cum ple en la m ultiplicación m a tr ic ia l.

668

9


(P a ra u n an álisis de la p ro p ie d a d cero p ara los n ú m e ro s rea les v éa se la secció n A - 1 del ap é n d ic e A .) A sí co m o se usó la c o n o c id a n o ta ció n alg eb raic a A B p ara re p rese n tar el p ro d u cto de las m a tric e s .4 y B, se u sa la n o ta c ió n ^ 2 p ara A A , el p ro d u cto de A m u ltip lic ad a p o r sí m ism a, A 3 p ara A A A , y así su cesiv am en te.


A d e m á s de las p ro p ie d a d e s co n m u tativ a y cero , ex isten o tras d iferen c ia s im p o rta n te s en tre la m u ltip lic a c ió n d e n ú m e ro s re a le s y la m u ltip lic ac ió n m atricial. (A ) E n la m u ltip lic ac ió n co n n ú m e ro s reales, el ú n ic o n ú m e ro real cu y o cu a d rad o es 0 es el n ú m e ro real 0 (O2 = 0). E n cu e n tre al m e n o s u n a m a triz A de 2 X 2 c o n to d o s los elem e n to s d iferen tes d e cero tal q u e / í 2 = 0, d o n d e 0 es la m atriz cero de 2 X 2.

(B) En m u ltip lic a c ió n c o n n ú m e ro s rea les, el ú n ic o n ú m e ro rea l d iferen te d e cero que es ig u al a su c u a d rad o e s el n ú m e ro rea l 1 ( l 2 = 1). E n cu en tre a l m e n o s una m a triz A de 2 X 2 c o n to d o s lo s elem e n to s d iferen tes de cero tal qu e A 2 = A .

M ás ad e la n te se co n tin u ará co n el an á lisis de las p ro p ied a d es de la m u ltip lic ac ió n m a tricial. A h o ra se c o n sid erará un a a p lica ció n d e la m u ltip lic ac ió n m atricial.

Costos por mano de obra Si se co m b in an en u n a m a triz los tie m p o s n ec es ario s p a ra los esq u íes ac ro b átic o s y de co m p ete n cia, q u e se an a liz aro n en el ejem p lo 6 y en el p ro b lem a se lec cio n a d o 6, se tiene: Horas de mano de obra por esquí Departamento Departamento de ensamble de acabado Esquí acrobático

6h

1.5 h

Esquí de competencia

4h

1h

= L

A h o ra su p o n g a que la co m p añ ía tien e d o s p la n ta s de fab rica ció n , X y Y, en d iferen tes p arte s del p aís, y qu e las ta rifa s p o r h o ra p ara ca d a d ep a rtam e n to se in d ic an en la si g u ie n te m atriz: Salarios por hora Planta Planta

X

Y

Departamento de ensamble

"$10

$12'

Departamento de acabado

_$ 8

$10.

= H

C o m o H y L son m atrice s 2 X 2, se p u e d e to m a r el p ro d u cto de H y L en c u a lq u ie r o rd e n y el resu ltad o se rá u n a m a triz 2 X 2 :

HL

LH

10

12' '6

1.5'

1 O oo

EJEMPLO 8

27

8

10. .4

1

. 88

22

10

12"

'72

87'

. 8

10.

,48

58.

6

1.5"

4

1

9-1


669

¿C ó m o se p u ed e n in te rp re ta r lo s elem e n to s en esto s p ro d u c to s? Se co m ien z a co n el p ro d u c to H L . El elem e n to 108 en el p rim e r ren g ló n y la p rim e ra co lu m n a d e H L es el p ro d u cto del p rim e r ren g ló n de la m a triz d e H y la p rim e ra co lu m n a d e la m atriz de¿:

Planta Planta X Y

[10

12]

"6" 4

Acrobático De competencia

= 10(6) + 12(4) = 60 + 48 = 108

A d v ie rta q u e el costo de la m a n o d e o b ra p a ra e n sam b lar u n esq u í acro b átic o en la p la n ta de C a lifo rn ia es de $ 6 0 y el d e e n sam b lar un esq u í de c o m p e te n c ia en la p la n ta de W isco n sin es de.S 4 8 . A u n q u e las dos ca n tid a d es rep rese n tan co sto s p o r m a n o de obra, n o se p u ed e n su m ar, p u esto q u e n o p erte n ec en al m ism o tip o d e esq u í o a la m ism a p lanta. D e m a n e ra que, au n q u e el p ro d u cto H L está m a te m á tic a m e n te d efin id o , n o tie n e in te rp re ta c ió n ú til en este p ro b lem a. Si ah o ra se co n sid era el p ro d u c to L H . E l elem e n to 72 en el p rim e r ren g ló n y la p rim e ra c o lu m n a de L H está d ad o p o r el p ro d u cto sig u ien te:

Ensamble [6

Acabado 1.5]

Ensamble

10

8J

Acabado

= 6(10) + 1.5(8) = 60 + 12 = 72

d o n d e $ 60 es el costo d e la m an o de o b ra p ara e n sam b lar u n esq u í acro b átic o en la p la n ta X y $ 12 es el costo p o r m an o d e o b ra p a ra el te rm in a d o d e un esq u í a c ro b átic o en la p la n ta X . D e esta m a n era, la su m a es el co sto to ta l p o r m an o d e o b ra p a ra p ro d u c ir u n esq u í a c ro b átic o en la p la n ta X . L os o tro s elem e n to s en L H re p re se n ta n ta m b ié n los co sto s to ta le s p o r m a n o d e o b ra, co m o lo in d ic an las ley en d as en el re n g ló n y co lu m n a q u e se m u e stran en seguida:

Costos de mano de obra por esquí Planta Planta X Y

LH =


$72

$87

Esquí acrobático

.$48

$58

Esquí de competencia

R e m ítase al ejem p lo 8. La c o m p a ñ ía q u ie re sa b er cu á n ta s h o ras so n n ec esarias p ara p la n e a r en ca d a d ep a rtam e n to un p ed id o p ara p ro d u c ir 1 0 0 0 e sq u íes a c ro b átic o s y 2 000 esq u íes de co m p ete n cia. E sto s re q u e rim ien to s de p ro d u cc ió n se p u ed e n re p re se n ta r p o r cu a lq u ie ra d e las m a trice s sig u ien tes:

Esquíes Esquíes de acrobáticos competencia

P = [ 1 0 00

2 000]

<2 =

1 000

Esquíes acrobáticos

2 000 .

Esquíes de competencia

M e d ian te la m a triz L , m a n o d e o b ra-h o ra, del ejem p lo 8, e n c u en tre P L o L Q , la que ten g a u n a in te rp re tac ió n sig n ific ativ a p a ra este p ro b lem a, y m arq u e los ren g lo n e s y c o lu m n as co m o co rresp o n d a .

670

9


P R E C A U C IÓ N

E l ejemplo 8 y el problema 8 ilustran un punto importante acerca de la m u ltip lica ción m atricial. Aunque esté usando un dispositivo de graficación para realizar los cálculos en un producto m atricial, todavía es necesario que conozca la definición de m ultiplicación m atricial de manera que pueda interpretar correctamente los resultados.

Respuestas a los problemas seleccionados 2. [-1

4. (A)

i $252 000 L$ 180 000

5. [81

6. [6

-1

(E) [11]

- 3

2

3.

1

4

2

0

5

5'

2

1'

- 6

1 4 4.

4

(F)

12 - 8 6 -4 9 -6

6.

(B)

' 2 1 .- 1

0

5'

-2

2 0 1 4

5

7.

- 3

o

1

3

2 6 0

-1 12 3

• ['

- M

6

2 -4 -2 .

0 .0

(C)

.0

- 4

4

- 5 '

2

1

9.

[■$5 400 L$4 320

$6 4801 $6 480J

r-6 (D) L 3

0' 0.

-1 2 ] 6J

—2

11.

1

13.

6

4 -5

0

-1 6

2 -2

- 3 .

1

-7 .

2

-1

3

0

- 4

5

10

-5 .

2 -6 0

2

1

15.

■1

(C)

4' 2 3

1

- 3

5.

3

-1

2

$144 000' $144.000

Ensamble Acabado PL = [14 000 3 500] Horas de mano de obra

-2

-6 . 0

$108 000 .$108 000

1.5] [ 1g] = i72! o $72

Realice las operaciones indicadas en los problemas del 1 al 18, si es posible. -1

(B)

:]

9-1

EJERCICIO

1.

3.

4]

$288 000 $288 000.

7. (A) No está definida

8.

13' 2 .35.

5' 1 - lO 1H

to 0

1 1.

[2

4]

10.

1 - 3

1 2 . [1

2

5]

i -ara u -ara -< •[■ rat::a [;:ara '- 3

2 ] [ - 2

5"

-lJL -1

3.

'- 2

5 l[ - 3

2

.- 1

3J L

.

17.

-2

5

4

4

-1 .

9-1


671

B Encuentre los productos de los problemas del 19 al 26.

T --5s l -3

23. [3

[4

-2

2«. [2

-2]

22. r 2

-4 ]

[2

24. [1

-2

f 2 [3 -3 .

-2

2' 2] -1 1.

-4 ]

2' - 1 [1 I.

26.

-2

X

.3

1

'y

2.

_y

T -6.

f

y .2

.v 1.

50. Encuentre x y y de manera que

-1]

-3 . 25.

r 1 3i

- !][_ ’]

21.

-2 ][:(]

19. [4

49. Encuentre x y y de manera que

2]

x .1

- f '2 o. .4

1.

51. Encuentre a, b, c y d de manera que '1 3 a b 6 — 1 4 -C d . 1

-5 l -7 j

52. Encuentre a , b , c y d d e manera que Los problemas del 27 al 44 se refieren a las siguientes ma trices. -1 4

C=

-1 4 -2

3 -2

0 -3 3

] m i;

2 1

'3 D= 0 1

5

-2 -1 2

29. BA

30. AB

31. C 2

32. B 2

33. C + DA

34. B + A D

35. 0.2CD

36. 0.1 DB

37. 2DB + 5CD

38. 3BA + 4AC

39. ( ~1 ) A C + 3 D B

40. (-2)BA + 6CD 41. CDA

42. ACD

43. DBA

c

d

44. BAD

de maneraque

[o " K

-2

-3

0

w x .y

3 -3

5 4x

2y -6

]-u a

48. Encuentrex y y de manera que 4 -4x

2x -3

-5 5v

<4 =

a 0

b d

donde a , b y d son cualesquiera números reales. Analice la validez de cada uno de los postulados. Si éstos son siempre válidos, explique por qué. Si no lo son, dé contraejemplos.

-3

-y

(A ) Siy4 y B son matrices diagonales 2 X 2 , entonces A + B es una matriz diagonal 2 X 2 (B ) Si A y B son matrices diagonales 2 x 2 , entonces A + B = B+A. (C ) Si A y B son matrices diagonales 2 X 2 , entonces AB es una matriz diagonal 2 x 2 . (D ) Si ,4 y B son matrices diagonales 2 X 2 , entonces AB = BA.

5

z\

47. Encuentre x y y de manera que 3* -1

donde a y d son cualquier número real. Analice la validez de cada uno de los siguientes postulados. Si el postulado es siempre válido, explique por qué. Si no es así, dé contraejemplos.

Una matriz cuadrada es una m atriz trian gu lar superior si todos los elementos debajo de la diagonal principal son cero. A sí, una matriz triangular superior 2 X 2 tiene la forma

46. Encuentre w, x , y y z de manera que 4

2.

~ Lo d

28. AC

b

1 0' .3

_ ["a 0

27. CA

a

-2 a b - 3 . -C d_

Una matriz cuadrada es una m atriz diagonal si todos los elementos que no están sobre la diagonal principal son cero. A sí, una matriz diagonal 2 X 2 tiene la forma

Realice las operaciones indicadas, si es posible.

45. Encuentre a, b, c y d

'l 2

-3 ,1 3j

r-i i L 1 o

(A ) Si A y B son matrices triangulares superiores 2 X 2 , entonces^ + B e s una matriz triangular superior 2 X 2. (B ) Si A y B son matrices triangulares superiores 2 X 2 , entonces A + B = B + A. (C ) S x A y B son matrices triangulares superiores 2 X 2 , entonces A B es una matriz triangular superior 2 X 2 .

672

9


(D ) Si A y B son matrices triangulares superiores 2 X 2 , entonces AB = BA.

APLICACIONES

^

55. Análisis de costos. Una compañía con dos diferentes plantas fabrica guitarras y banjos. Sus costos de producción para cada instrumento están dados en las matrices siguientes: Planta X Guitarra Banjo '$30 Materiales Mano de obra .$60

$25' — A —A $80.

Planta / Guitarra Banjo '$36 .$54

56. Análisis de costos. Si la mano de obra y los materiales en la planta X del problema 55 aumenta un 20%, encuentre ¿(1.2A + B), el nuevo costo promedio de producción para las dos plantas. 57. G an a n cia. Una persona vende tres modelos de autos importados. En las siguientes dos matrices se indican el precio facturado al vendedor (costo) y el precio de venta al público para los modelos básicos, así como las opciones de equipamiento (donde “Aire” significa aire acondicionado):

Precio facturado al vendedor Auto Radio Control de Aire AM/FM crucero básico Modelo fi Modelo C

'$10 400 $12 500 .$16 400

$682 $721 $827

$215 $295 $443

$182' $182 = $192.

Precio de venta al público Auto Radio Control de básico Aire AM/FM crucero Modelo A Modelo 8 Modelo C

'$13 900 $15 000 .$18 300

$783 $838 $967

$263 $395 $573

Horas de trabajo por bote Departamento Departamento Departamento de corte de ensamble de empaque

0.6 h

0.6 h

M = 1.0 h 1.5 h

0.9 h 1.2 h

$27' $74.

Encuentre ¿(A 4- B ), el costo promedio de producción de las dos plantas.

Modelo A

59. Costos por mano de obra. Una compañía con plantas manufactureras localizadas en diferentes partes del país tiene los requerimientos de horas de trabajo y salarios para la fabricación de los tres tipos de botes inflables que se indican en las dos matrices siguientes

$215' $236 = $248.

Se define la matriz de ganancia como N — M (ganancia es la diferencia entre el precio de venta al público y el precio facturado al vendedor). Suponga que el valor del dólar disminuye bruscamente y el precio facturado al vendedor va a tener un aumento general del 15% en el próximo año. Para mantener un precio competitivo con el de los autos nacionales, el vendedor sólo aumenta 10% el precio de venta al público. Calcule una matriz de ganancia para los modelos del próximo año y las opciones indicadas. (Calcule los resultados al dólar más cercano.) 58. Ganancia. Remítase al problema 57, ¿cuál es la matriz de ganancia que resulta de un aumento del 20% en los precios facturados al vendedor y de un aumento del 15% en los precios de venta al público? (Aproxime sus resultados al dólar más cercano.)

0.2 h 0.3 h 0.4 h

Bote para una persona Bote para dos personas Bote para cuatro personas

Salario por hora Planta I Planta

N =

$9

S8 $10

$12

Departamento de ensamble

$5

$6.

Departamento de empaque

Departamento de corte

(A ) Encuentre los costos de trabajo en la producción de un bote para una persona fabricado en la planta T. (B ) Encuentre los costos de trabajo en la producción de un bote para una persona fabricado en la planta II. Analice las posibles interpretaciones de los elementos en la matriz de productos M N y NM. Si cualquiera de los productos MN o N M tiene una interpretación significativa, encuentre el producto y marque sus renglones y columnas. 60. Valor del inventario. Un vendedor de una compañía de computadoras personales vende cinco modelos diferentes de computadoras en tres tiendas localizadas en una gran área metropolitana. En la matriz M se resume el inventario de cada modelo disponible en cada tienda. En la matriz N se resumen los valores de venta al mayoreo (W) y al menudeo (R) de cada modelo de computadora.

Modelo B C D E

A 4 M =

N =

2 3 4

2 10

3 5 3

7 0 4

f 6 3.

W

R

$700 $1 400 $1 800

$840' $1 800 $2 400 $3 300 $4 900_

$2 700 $3 500

Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3

A B C D E

(A ) ¿Cuál es el valor al menudeo del inventario en la tienda 2? (B ) ¿Cuál es el valor al mayoreo del inventario en la tienda 3? Analice las posibles interpretaciones de los elementos en la matriz de productos M N y NM.

9-1


673

(D) Si cualquiera de los productos M N o N M tiene una

Mensajería aérea. Encuentre la matriz de incidencia^ para

interpretación significativa, encuentre el producto y marque sus renglones y columnas. Analice los métodos de la multiplicación matricial que se pueda usar para encontrar el inventario total de cada modelo disponible en las tres tiendas. Establezca las matrices que se puedan usar, y realice las operaciones necesarias. Analice los métodos de multiplicación matricial que se puedan usar para encontrar el inventario total de los cinco modelos en cada tienda. Establezca las matrices que se puedan usar, y realice las operaciones necesarias.

el itinerario de vuelo ilustrado en la figura. Calcule A ,A + A2, A + A2 + A3, . . hasta obtener una matriz con elementos diferentes de cero (excepto, tal vez, sobre la diagonal principal), y explique su interpretación.

Mensajería aérea. Una empresa de mensajería aérea nacional tiene vuelos de conexión entre cinco ciudades, como se ilustra en la figura. Para representar este itinerario en forma matricial, se construye una matriz de incidencia A de 5 X 5, donde los renglones representan el origen de cada vuelo y las columnas representan el destino. Se co loca un 1 en el /ésimo renglón y en la /ésima columna de esta matriz si hay un vuelo de conexión de la (ésima ciu dad a la yésima ciudad, de otra manera se coloca un 0. Se colocan también ceros en la diagonal principal, ya que no tiene sentido un vuelo de conexión con el mismo origen y destino.

Atlanta

Baltimore

1 2 1 c 2 $ .S1 3 ° 4 5

Denver

0

Destino 3 4

1 0

0 0 10

Costo por contacto $0.80'

5

0

0

0

0 0

0

1 0

Milwaukee

63. Política. En una elección local, un grupo contrató a una firma de relaciones públicas para promover a su candidato en tres formas: por teléfono, por visitas a domicilio y por carta. E l costo por contacto está dado en la matriz M:

M = $1.50 S0.40

10'

1 0

0 0 10

Louisville

1

0

E l número de contactos realizados de cada tipo en dos ciudades adyacentes está dado en la matriz N:

El Paso

N= Después de representar el itinerario en la forma matemática de una matriz, se realizan las operaciones de esta matriz para obtener información acerca del recorrido. (A ) Encuentre A 2. ¿Qué indica el 1 en el renglón 2 y la columna 1 de A1 respecto del itinerario? ¿Qué indica el 2 en el renglón 1 y la columna 3 acerca del recorri do? En general, ¿cómo se podría interpretar cada elemento fuera de la diagonal principal de A 2? [Sugerencia: Examine el diagrama para posibles conexiones entre la ¡ésima ciudad y la /ésima ciudad.] (B ) Encuentre A 3. ¿Qué indica el 1 en el renglón 4 y la columna 2 de A3 acerca del itinerario? ¿Qué indica el 2 en el renglón 1 y la columna 5 respecto del recorrido? En general, ¿cómo se podría interpretar cada elemento fuera de la diagonal principal de A 3? (C ) Calcule A, A + A2, A + A 2 + A 3.......hasta obtener una matriz con elementos diferentes de cero (excepto, tal vez, sobre la diagonal principal), y explique su inter pretación.

Teléfono Visitas a domicilio Carta

Teléfono

Visitas a domicilio

"1 000 .2 000

500 800

Carta 5 000 8 000 .

Berkeley Oakland

(A ) Encuentre la cantidad total gastada en Berkelcy. (BT Encuentre la cantidad total gastada en Oakland. Analice las posibles interpretaciones de los elementos en la matriz de productos M N y NM. Si cualquiera de los productos M N o N M tiene una interpretación significativa, encuentre el producto y marque sus renglones y columnas. Analice los métodos de la multiplicación matricial que se pueda usar para encontrar el número total de llamadas por teléfono, visitas a domicilio y cartas. Establezca las matrices que se pueden usar, y realice las operaciones necesarias. 64. Nutrición. Un nutriólogo de una compañía de cereales combina dos cereales en diferentes mezclas. Las cantidades de proteína, carbohidratos y grasa (en gramos por onza) en cada cereal están dados en la matriz M. Las cantidades de cada cereal usadas en las tres mezclas están dadas en la matriz N.

674

9


Cereal A

Cereal B

4g/oz

2 g/oz 16 g/oz 1 g/oz.

M = 20 g/oz

3 g/oz

Proteínas Carbohidratos Grasa

(A) (B) (C) en la matriz de productos MN y NM.

(D) Si cualquiera de los productos M N o N M tiene una interpretación significativa, encuentre el producto y marque sus renglones y columnas.

Mezcla X Mezcla Y Mezcla Z N■

I"15 oz L 5 oz

SECCION

10 oz 10 oz

9-2

5 oz 15 oz.

Cereal A Cereal S

Inversa de una m atriz cuadrada M a triz de id e n tid a d p a ra la m u ltip lic ac ió n Inversa de u n a m a triz c u a d rad a A p licació n : C rip to g ra fía

E n esta secció n se in tro d u ce la m a triz d e id e n tid a d y la in v ersa d e una m a triz cu ad rad a. E sta s fo rm a s m a tricia le s, ju n to co n la m a triz d e m u ltip lic ac ió n , se u san , m á s ta rd e en la se cció n 9-3, p a ra re so lv e r alg u n o s sistem a s d e e c u ac io n e s escrito s en fo rm a m atricial.

Se sab e que p a ra c u a lq u ie r n ú m e ro real a

identidad para la m ultiplicación

(1 )a =
DEFINICIÓN 1

M atriz de identidad L a m atriz de identidad para la m ultiplicación p ara el co n ju n to de to d a s las m a trice s cu a d rad as de o rd en n es la m a triz cu a d rad a d e o rd en n, d en o tad a p o r I, c o n u n o s a lo larg o d e la d ia g o n al p rin cip al (d esd e la esq u in a su p e rio r iz q u ierd a h a sta la esq u in a in fe rio r d ere ch a) y ce ro s en lo s lu g ares restan tes.

P o r ejem p lo ,

'1 0' .0 1.

y

'i 0 0" 0 i 0 .0 0 1.

son m a trice s de id e n tid a d p a ra to d a s las m a trices cu a d rad as d e o rd en 2 y 3, resp e ctiv a m ente.

9-2

:dentity(2)

Inversa de una matriz cuadrada

675

La mayoría de los dispositivos de graficación tienen un comando preconstruido p a ra g e n e ra r la m a triz de id e n tid a d d e cierto o rd en (v éa se fig u ra 1).

id e n tity < 3 )

F¡ ' IR/ identidad.

Matrices de

EJEMPLO 1

M ultiplicación matricial de la identidad '1

0

0'

a

b

0

1

0

d

e

0

0

1. .g

h

/ i_

a

b

c

"1

0

0'

d

e

f /.

0

1

0

.8

h

0

c

0

P ro b le m a se lec cio n a d o 1

e

=

1.

a b e .d

=

/.

Ì

0

0

0

1

0

0

0

1

a

b

d

e

S

h

a

b

d

e

.8

h

a

b

c

d

e

f.

a b e

M u ltip liq u e:

(A)

1 0 0 '1

(B)

3 - 5 1 0

3 - 5 lj U 0

0

1

0

0

y

6

01 [5

ó j [o

1.

—7 0 24

1

.4

y

6 - 8

En g en e ral, se p u e d e d e m o stra r q u e si M es u n a m a triz cu a d rad a de o rd en n e I e s la m a triz de id e n tid a d de o rd en n, en to n ces

Si M es u n a m a triz m X n q u e n o es c u a d ra d a (m ¥= n), e n to n ce s to d a v ía es p o si ble m u ltip lic a r M a la iz q u ierd a y a la d e re c h a d e u n a m a triz de identidad, p ero no co n m a trice s de id e n tid a d del m ism o ta m añ o [v éase e jem p lo s 1(C) y 1(D )]. P ara ev itar co m p lic ac io n es in v o lu crad as co n la aso cia ció n de d o s d iferen tes m a trice s d e id e n tid a d con ca d a m a triz no cu ad rad a, en esta se cc ió n se restrin g e el an á lisis a m atrice s c u a dradas.

676

9



L as ú n ic as so lu c io n e s n u m é ric a s rea les p ara la ec u ac ió n x2 = 1 so n x — 1 y x = — 1.

or sa tisfac e A 2 = I, d o n d e I es la id e n tid a d 2 X 2 .

(A ) D em u e stre q u e A = . 1 0.

' o -r sa tisfac e B 2 = I.

(B ) D em u e stre q u e B = -i (C )

o

E n cu e n tre u n a m atriz 2 X 2 co n to d o s sus elem e n to s d iferen tes d e cero cuyo cu a d rad o es la m a triz de id e n tid a d 2 X 2 .

E n el c o n ju n to de los n ú m e ro s reales, se sabe qu e p ara ca d a n ú m e ro real a, ex cep to 0, m a tíiz c

a

ex iste un n ú m e ro real a ~ l tal qu e a ~ xa = 1 E l n ú m e ro a -1 se llam a inversa del n ú m e ro a co n resp e cto a la m u ltip lic a c ió n , o la inversa m ultiplicativa d e a. P o r ejem p lo , 2-1 es la in v ersa m u ltip lic ativ a d e 2, y a que 2"'(2) = 1. Se u s a este co n c ep to p a ra d e fin ir la in versa d e u na m atriz cuadrada.

DEFINICIÓN 2

Inversa de una matriz cuadrada Si M es una m a triz c u a d ra d a d e o rd en n y si ex iste u n a m a triz M ~ ' (léase “ in v ersa de M ’) tal que M ~ lM = M M ~ ' = / e n to n ce s M 1 se lla m a inversa m ultiplicativa de M o, d e m a n e ra m ás sim p le,

inversa de M .

L a inv ersa m u ltip lic ativ a de u n n ú m e ro rea l a d iferen te d e cero se p u ed e ta m b ié n esc rib ir co m o 1/a. E sta n o ta ció n n o se u sa p a ra m atrice s inversas. A h o ra se u sa rá la d e fin ic ió n 2 p a ra en c o n tra r M ~ \ si ex iste, p ara

M =

2

3

1

2

Se e stá b u sc an d o p ara a

c

b

d

ta l que MM~' = M -'M = I

9-2


677

Así, se escribe

i

M a

c

b

d_

o

3'
'2

-0

1.

e in te n te en c o n tra r a, b, c y d d e m a n era qu e el p ro d u c to d e M y M 1 sea la m a triz de id e n tid a d I. A l m u ltip lic a r M y 1 en el lado iz q u ierd o , se o b tie n e '(2 a + 3b)

(2c + 3d)

'1

0'

_(a + 2b)

(c + 2d) _

.0

1.

que es v álid a só lo si 2a + 3b = 1

2c + 3 d — 0

a + 2b = 0

c + 2d = 1

R e so lv ie n d o esto s dos sistem as, se e n c u en tra q u e a = 2, b e sta m a n era.

AT1=

■1, c = —3 y d = 2. D e

2 -1

es fác ilm e n te com p ro b ad a: M

M-

"2

3"

.1

2. . - 1

2

M -3 ’

'1

0'

2.

.0

1.

2

M -3 '

'2

3'

2.

.1

2.

.-1

A d iferen c ia de los n ú m e ro s rea les d iferen tes d e cero , la in v ersa n o sie m p re ex iste p a ra u n a m a triz c u a d ra d a d iferen te d e cero. P or ejem p lo , si

N

2

1

4

2

en to n ce s, si se p ro ce d e co m o an tes, se o b tie n en lo s sistem as 2a +

b

4 a + 2b

2c +

d —0

4c + 2d = 1

E sto s sistem a s son in c o n siste n te s y no tie n e n so lu ció n . E n co n sec u en cia, N ~ l n o existe. P o d er en c o n tra r las inversas, cu a n d o ex isten , co n d u c e a so lu c io n e s sim p les y d i rec tas de m u c h o s p ro b lem as p rác tico s. E n la secció n sig u ien te, p o r ejem p lo , se m o stra rá có m o se p u e d e u sa r la in v ersa p ara re so lv e r sistem as de ec u ac io n e s lineales. E l m é to d o an tes d escrito p a ra en c o n tra r la inversa, si ex iste, es m u y u tiliz a d o en m a tric e s de o rd en m ay o r d e 2. A h o ra qu e se sabe lo q u e se está b u sc an d o , se p u ed e u sa r las m a tric e s a u m en ta d as co m o en la secció n 8-2 p a ra h a c e r el p ro ce so m á s e fic ie n te L o s d etalles se ilu stra n en el ejem p lo 2.

678

9


EJEMPLO 2

Determinación de una inversa E n cu e n tre la inversa, si ex iste, de 1 M =

Solución

-1

1

0

2

2

3

-1 0

Se co m ien z a co m o an tes y se escrib e M

/

M-'

-1

1

2

-1

3

0

a

d

b

e

g h

f

i_

c

'1 =

0

0

0

1

0

0

0

1

E sto es v álid o sólo si a —

b + c = 1

d -

2b - c = 0

g — h + i = 0

= 1

2h - i = 0

2e - f

- 0

2a + 3 b

e +f = 0

2d + 3e

= 0

2g+3h

>e escrib en la s m atrice s a u m en ta d as p a ra ca d a u n o de lo s tres sistem as: Primero ' 1 - 1

1

0

2 - 1

2

3

0

Segundo 1'

' 1 - 1

0

0

2 - 1

0.

2

3

Tercero

1 0

0'

' 1 - 1

1

0

2 - 1

1

0.

.2

3

0' 0

0

1.

C o m o cada m a triz a la iz q u ierd a d e la b arra v e rtic a l es la m ism a, se p u ed e n u sa r ex a c ta m e n te las m ism as o p era cio n e s d e ren g ló n en ca d a m a triz a u m en ta d a p a ra tra n sfo r m a rla e n u n a fo rm a re d u c id a . Se p u e d e a c e le ra r el p ro c e s o d e m a n e ra su sta n c ia l co m b in an d o las tres m a trice s a u m en ta d as en u n a so la fo rm a d e m a triz au m en ta d a '1

1

-1

0

2

.2

3

-1 0

1

0

0'

0

1

0

0

0

1.

= [M \I]

(1)

A h o ra se in te n ta rá re a liz a r o p era cio n e s de re n g ló n en la m a triz (1) h asta o b te n e r u n a m a triz de ren g ló n eq u iv alen te q u e se asem e je a la m a triz (2): I

B

'1

0

0

a

d

0

1

0

b

e

i h

.0

0

1

c

f

i.

¡Si esto se p u ed e realizar, e n to n ce s la n u ev a m a triz a la d ere ch a de la b a rra v e rtic a l es M ~ l ! A h o ra in te n te tra n s fo n n a r (1) en u n a fo rm a co m o la (2). Se sig u e la m ism a se

9-2


679

cu c n cia de p aso s co m o en la so lu c ió n de sistem as lin eales m e d ian te elim in a ció n G aussJo rd an (v éase la secció n 8-2): M '1 0

-1 2

2

3

1

1

0

0'

0

1

ü

0

0

2

-1

5

-2

0

1

0

0

1

-1

0

1

0

5 0

0

1

0

0

0 -2 1

1 i 2 -2

0 0‘ 1 2 0 0 1.

0 -2

i

i

1

T 1

2

I

- fi.

+ Ri

(- 5

0

5

-2

(-2 )« , + R, -» fi,

R,

)fi, +

->

R,

2R} ^ Ri

1.

5 i 2 T

1

0

0

I

7

0

0

0

1

-4

-5

2.

1

0

0

3

3

- f

0

1

0

-2

-2

1 = [ I I B]

0

0

I

-4

-5

2

1

R3

(>■

T 1 2

0

2

.

0

1

0

Ì

0

-1

0

'1

1

1

0'

(~ |)R> + fii —» R¡

0

jR ,

- «i -* h

C o n v irtien d o lo a n te rio r a sistem as de e c u ac io n e s eq u iv alen tes a las tres ec u acio n es o rig in a les (no se ten d rá qu e h a c e r este p aso en la p ráctica), se tiene a =

3

d =

3

g = —1

b = - 2

e = -2

h=

1

c — -4

/ = —5

i -

2

¡Y ésto s son ex a ctam e n te los ele m e n to s de M ~ [ qu e se están b u scan d o ! En c o n se cuencia, 3

II 7 Si

1 K>

3 -2 -4

—5

N o te que ésta es la m a triz a la d e re c h a de la línea vertical en la ú ltim a m atriz au m en tad a. Comprobación

C o m o la d e fin ic ió n de la m a triz inversa n ec esita que M ~ 'M = I

y

MM~' = I

(3)

p a re c e que se debe ca lc u lar M ~ ]M y M M ~ ' p a ra c o m p ro b a r el trab ajo realizad o . Sin em b arg o , se p u ed e d e m o stra r q ue si u n a de las ec u ac io n e s en (3) se satisface, en to n ces la o tra ta m b ié n se satisface. D e esta m an era, p ara p ro p ó sito s de co m p ro b a ció n es s u fi cien te ca lc u lar M ~ ' M o M M ~ l (no se n ec esita re so lv e r am bas).

680

9


M ~ ' M

3 ma eleccionado

Sea: M =

-1 1

-1

3

3

-2

-2

0

2 - 1

-4

-5

2

3

1 - 1

1 -

0

"1

0

0'

0

1

0

0

0

1.

= /

1 1

0

0

1

(A ) F orm e la m a triz au m en ta d a [ M | / ] . (B ) U se o p era cio n e s de re n g ló n p ara tra n sfo rm a r [M \ I ] en [ / 1B], (C ) V erifique m e d ian te m u ltip lic ac ió n qu e B = A/-1 .

El p ro ce d im ie n to u sa d o en el ejem p lo 2 se p u ed e u sa r p ara en c o n tra r la inversa de c u a lq u ie r m a triz cu ad rad a, si ésta ex iste, y se in d ic ará ta m b ié n cu a n d o no existe. Estos co n c ep to s se resu m e n en el te o re m a 1.

Teorema 1

Inversa de una m atriz cuadrada M Si [M | / ] se tra n sfo rm a m e d ian te o p era cio n e s d e ren g ló n en [ / | B], en to n ces la m a triz resu ltan te B es M~K Si, sin em b arg o , se o b tien en cero s en u n o o m á s re n g lo n e s a la iz q u ie rd a de la re c ta v e rtical, e n to n ce s M ~ l n o existe.


(A ) S u p o n g a q u e la m a triz c u a d ra d a M tie n e un ren g ló n d o n d e to d o s los elem e n to s son cero. E x p liq u e p o r q u é M no tie n e inversa. (B ) S u p o n g a q u e la m a triz cu a d rad a M tie n e u n a co lu m n a d o n d e to d o s los e le m e n tos son cero. E x p liq u e p o r q u é M n o tie n e inversa.

Determinación de una m atriz inversa

E n cu en tre M ', dado: M =

Solución

r

4

4 _ -6

-1 2

1

0'

0

1,

9-2

1 .0 1

0

0

I

I 3


681

0 2.

1

A sí,

A T1=

E n cu e n tre M ', dada: M

P ro b le m a selecci

C o m p ru e b e d e m o stra n d o q u e M ‘M = 1.

2

-6

1

-2

Determinación de una inversa

E n c u e n tre M

Solución

si existe, dada: M ■

" 10

- 2

.-5

1

10 -5

-2 1

1

0'

1

i 5

l 10

0'

0

1.

_— 5

1

0

1.

1

I 5

0

0

i 10 i 2

0' 1.

En el seg u n d o ren g ló n a la iz q u ierd a d e la lin ea v ertical, to d o s los elem e n to s son cero. P or lo tan to , M ~ ] no existe.

P ro b le m a sele c c io r

E n cu e n tre M \ si existe, dada: M

L a m a y o ría de los d isp o sitiv o s d e g ra fic a c ió n y c o m p u tad o ras p u ed e n ca lc u lar m a trice s inversas y p u ed e n ta m b ié n id e n tific a r aq u e lla s m a trice s q u e no tie n en inversas (v éase la fig u ra 2). U na m a triz qu e no tie n e in v ersa es a m e n u d o c o n o c id a co m o m atriz Determinación matricial inversa en una calculadora gráfica.

singular. M

[ [4 -i] [ -6 2 ] ]

112

-41

[ - 3 6 ] ]

M-i

[ [1 .5 1 [3 2 ] ] n ü io (a) Ejemplo 3

(b) Ejemplo 4


• Aplicación: Criptografía

L as m a trice s in v ersas se p u ed e n u sar p ara p ro p o rc io n a r un p ro ce d im ie n to sim p le y efectivo p ara c o d ific a r y d e c o d ific a r m e n sajes. Para em p ezar, a los n ú m e ro s d el 1 al 26 se les asignan las letras del alfab eto , co m o se m u e stra a co n tin u ac ió n . Al n ú m e ro 27 ta m b ié n se le asig n a u n esp acio en b la n co p ara d a r esp acio en tre p alab ras. (U n có d ig o m ás so fistic a d o p o d ría in c lu ir letras m a y ú scu las y m in ú scu la s y sig n o s de p u n tu a ció n .) A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

F 6

G 7

H 8

I 9

J 10

K 11

L 12

M 13

0 15

P 16

Q 17

R 18

S 19

T 20

U 21

V 22

W 23

X 24

Y 25

Z 26

E sp acio en b lan co 27

N 14

D e esta m a n e ra el m e n sa je en in g lés I L O V E M A TH co rresp o n d e a la secu en cia 9

27

12

15

22

5

27

13

1

20

8

C u a lq u ie r m a triz, cu y o s elem e n to s sean en tero s p o sitiv o s y sea inversa se p u ed e u sa r co m o una m a triz de co d ifica ció n . P or ejem p lo , al u sa r la m a triz 2 X 2

p ara c o d ific a r el m e n saje an terio r, p rim e ro se d iv id en los n ú m e ro s en la se cu en cia en g ru p o s de d os y se u san esto s g ru p o s co m o las co lu m n as de u n a m a triz co n d o s re n g lo nes. (N ote que se ha ag reg ad o un esp ac io en b lan co e x tra al fin a l del m e n saje p ara que las co lu m n as sean p are s.) D esp u és se m u ltip lic a esta m atriz a la izq u ierd a p o r A: "4

3' ' 9

12

22

27

1

8"

117

93

103

147

64

113

_5

4. .27

15

5

13

20

27.

.153

120

130

187

85

148.

120

103

E l m e n saje c o d ific a d o es 117

153

93

130

147

187

64

85

113

148

El m e n sa je se p u ed e d e c o d ific a r con sólo reg resa rlo a su fo rm a m a tricia l y m u ltip lic a r lo a la iz q u ierd a p o r la m atriz d eco d ifica d o ra /1 '1. C o r n o s ' es fácilm en te d e te rm in a da si se c o n o c e A, la m atriz co d ific a d o ra A es la ú n ica clave n ec esaria p ara d e c o d ific a r m e n sajes co d ific a d o s en esta fo rm a. A u n q u e el co n c ep to es sim p le, los có d ig o s de este tipo p u ed e n se r m u y d ifíciles d e descifrar. Respuestas a los problemas seleccionados "3 .4

1. (A)

* 2. (A)

-

. • (C) 3.

'-1 l 5

3' 1

-5 ' 6.

'5 2 .6

(B)

-1 1 0 i 2 -1

1 0 1

1

-7 ' 4 -8. 0

0

0' O

9

O

682

0

- r '3 - 1 - 1 -1 1 2. 1 o

4. No existe

(B)

1. '1 f 0 = 0 1. 0

'1 0 0

0 1 0

0 0' 1 0 o

1.

0 0 1

1 1 - f 1 2 -1 -1 -1 2.

9-2

9-2

EJERCICIO

'1

-2

21.

0 2

1 -1

I

1

23.

0 .1

2 0

Realice las operaciones indicadas en los problemas del 1 al 8. 1.

P °1 2 Lo i. 4

5.

6.

-2

0

1o

2 5

o 1

1 0 0 0 1o

5 -3 1 2

1 4 1

1 4

1 2 3 -2 0. 2 5 7

0 1 -1

0] T4 — 3] lJLo 2

.o

„ i 2 J Lo

2' 5

-1

r3 9i

27.

r2 3i

0

1

I r los problemas de! 9 al 14. demuestre que las dos matrices son inversas entre s í comprobando que su producto es la ma?-i- de identidad I.

31.

3 2

11.

13.

-4 3.

0

3 2

5 -2

10.

-4 ' -5

-5 -4

-1 2

1 -1

3 -2

3 -2

i

0

-4

-5

2.

-7 3.

3 2

-3 -5.

12.

7 5 -3 -2

24.

3 2 -1

0‘ 3 2.

'1 2 1

0 -1 1

-1 0 -4

6.

.3

5_

26.

28.

.-3

2

-4 6.

"-5 4

4" -3 .

33.

2

-I

4 -2

-1 1

30.

4 2 -1 1 1 -1 - 3 - 1 1 1 2 0

2

1

1

1

32.

-1

-1

1 0 1

5 10 I 4 6 15

34.

0 1

0 1 -10 6

-4

-3

35. Demuestre que (A ') 1 = A para A =

1

3 -2

14.

0' -1 1

1 0

En los problemas del 29 al 34 encuentre la inversa de cada matriz, s i existe.

1.

29.

fllî

.2

1 0 0 0 1 0 0

Ì

7.

1 0 0 0 1 0 0

25.

0.

0 1

22.

£« /as problemas del 25 al 28 encuentre la inversa de cada matriz, si existe.

1.

3' -2

1

-3

o 1

-2 2

4.

1.

0 0

o

8.

1 0 0

1 .0

ri 2. 0

0‘ 1 2.

1— 0

’■[

-3 5

1

-3 5


3 2

4 3

36. Demuestre que (AB) 1 = B 'A 1para

-1

-5

0

4 =

'3 2

4 3.

y

B =

'3

7"

.2

5.

Analice la existencia de M 1para matrices diagonales 2 X 2 de la forma

B los problemas del 15 al 24 dada M encuentre M ', y detre que M ‘M = 1.

«

16. 19.

i-í]

I]

17.

20.

I

2

1 3_

'2

f

1

1

M =

a 0

0 d

Analice la existencia de M 1 para matrices triangulares superiores 2 X 2 de la forma M =

a .0

b d

684

9


rír En los problemas del 39 al 42, use un dispositivo de graficación para encontrar la inversa de cada matriz, si existe. '6 5 39. 0 .2

41.

42.

4" 1 2 1 -2 1 0.

--1 -3

3 5 -1 3 1 1 2 -1

'- 2 2 40. 0

0

2 3

3

2 4 -1

1 6 1 -4

0 0

3 4

2 6 -2

4 2 -2

3 2 1 2

-3 1

2

4 5 2 6 -7

-1 1 3

4 -1 2 -3

0 2 -1

46. Criptografía. E l mensaje siguiente fue codificado con la matriz A antes indicada. Decodifique este mensaje.

- f 5 7 5.

0

99 56

38 86

154 58 29 196

115 43 121 73 99 38

43

20

7

149

Los problemas del 47 al 50 requieren el uso de un dispositivo de graficación. Para usar una matriz codificadora B de 5 X 5 dada a continuación, forme una matriz con cinco renglones)’ con tantas columnas como sea necesario para acomodar cada mensaje.

4' 1 3 1 2.

1 0 0 1 B = 2 1 0 0 1 1

5' 6 3 4 -4 .

1 0 f 1 0 3 1 1 1 1 0 2 1 2

1.

47. Criptografía. Codifique el mensaje D W IG H T DAVID E IS EN H O W ER con la matriz B antes indicada.

APLICACIONES

48. Criptografía. Codifique el mensaje JOHN F IT Z G E R A L D Los problemas del 43 al 46 hacen rej'erencia a la matriz codidijicadora A

3

5"

1

2

K E N N E D Y con la matriz B antes indicada.

49. Criptografía. E l mensaje siguiente fue codificado con la matriz B antes indicada. Decodifique este mensaje.

43. Criptografía. Codifique el mensaje en inglés CAT1N T H E H AT con la matriz A antes indicada.

44. Criptografía. Codifique el mensaje en inglés FO X IN SO C KS con la matriz A antes indicada.

45. Criptografía. E l mensaje siguiente fue codificado con la matriz A antes indicada. Decodifique este mensaje. 111 43 40 15 29 62 22 121

SECCION

177 68 50 43 68 27

9-3

19

116

45

41 89 81

84 82 44 74 25 56 67 20 54 43 54 39 102 44 67 86 44 90 68 135 136 149

50. Criptografía. E l mensaje siguiente fue codificado con matriz B antes indicada. Decodifique este mensaje.

86

22 87 81

15 57 53 96 149

5 47 54 58 89 45 84 46 51 68 116 39 113 68 135

80 136

Ecuaciones matríciales y sistemas de ecuaciones lineales E cu acio n es m a tricia le s E cu acio n es m a tricia le s y sistem as de ec u ac io n e s lin eales A p lic ac ió n L a m a triz de id en tid ad y la m atriz in v ersa a n a liz ad a s en la secció n a n te rio r se puede-:: u sa r de in m e d ia to p ara reso lv e r alg u n as ec u ac io n e s m a tricia le s sim p les. C u an d o p u ed e reso lv e r u n a ec u ac ió n m atricial d ad a, se o b tie n e otro m éto d o im p o rtan te parresolver u n sistem a de ecu acio n es qu e tienen el m ism o n ú m ero de v ariables y ecuaciones Si el sistem a tie n e m e n o s v ariab les q u e ec u ac io n e s o m ás v ariab les qu e ecu acio en to n ce s se d eb e re g re sa r al m éto d o de elim in a ció n G au ss-Jo rd an .

9-3

Ecuaciones matriciales y sistemas de ecuaciones lineales

685

A n tes de a n a liz a r la solució n de ec u ac io n e s m a tricia le s, ta l v ez sea útil re p a sa r en fo r m a brev e las p ro p ied a d es b ásica s d e los n ú m e ro s rea les y las ec u ac io n e s lin eales a n a li za d as en la secció n 1-1 y en la secció n A - 1 del ap é n d ic e A.


S ean los n ú m e ro s re a le s a, b y c co n a + 0. D esp e je x d e ca d a ecu ació n . (A ) ax = b

(B ) ax + b = c

L a solu ció n de ec u ac io n e s m a tricia le s sim p les es m u y p are cid a a los p ro c e d im ie n to s que se usaro n en la solu ció n de e c u ac io n e s co n n ú m e ro s reales. Se tie n e, sin em b ar go. m enos lib e rta d c o n las ecu acio n es m atriciales. d ebido a que la m ultiplicación m atricial no es conm utativa. P ara la so lu ció n de e c u ac io n e s m a tricia le s, se p artirá de las p ro p ie d ades m a tricia le s q u e se resu m e n en el te o re m a 1.

Teorema 1

Propiedades básicas de matrices Se sup o n e q u e to d o s los p ro d u cto s y las su m as están d e fin id o s p o r las m a trice s in d ic ad a s A, B, C, I y 0, en to n ces

Propiedades de la sum a A sociativa: C onm utativa: Identidad aditiva: Inverso aditivo: Propiedades de la m ultiplicación Propiedad asociativa: Identidad m ultiplicativa: Inversa m ultiplicativa:

•

(A + B) + C = A + {B + Q A +B =B +A A+0=0+A=A A + ( - A ) = (- A ) + A = 0 A (B Q = (AB)C A I = IA = A Si A es u n a m atriz c u a d ra d a y A 1 existe, e n t o n c e s ^ -1 = A~'A = I.

Propiedades com binadas Distributiva por la izquierda: D istributiva por la derecha:

A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA

Igualdad Suma: M ultiplicación por la izquierda: M ultiplicación por la derecha:

Si A = B, en to n ce s A + C = B + C. Si A = B. en to n ces CA = CB. Si A = B, en to n ce s AC = BC.

El p ro ce so p ara re so lv e r cierto s tip o s de ec u ac io n e s m a tricia le s sim p les se ilu stra m e jo r m e d ian te un ejem p lo .

Solución de una ecuación matricial D ad a u n a m a triz A, n X n, y la s m a tric e s co lu m n a B y X. n X 1, d esp eje X de A X = B. S u p o n g a que ex iste n to d a s las in v ersas n ecesarias.


Solución

L o q u e in te resa es en c o n tra r u n a m a triz c o lu m n a X q u e sa tisfa g a la ec u ac ió n m atricial A X = B. P ara re so lv e r esta ec u ac ió n , se m u ltip lic a n am b o s lados, p o r la izq u ierd a, p o r A ~ \ su p o n ie n d o q u e ex ista, p ara d e s p e j a r á en el lad o izquierdo.

AX = B A~ w

= A " lB

Use la propiedad de multiplicación por la izquierda.

(A- lA )X = A~ lB IX = A~ 'B X = A " lB

PRECAUCIÓN

IX = X

N o m e zc le la p ro p ie d a d d e m u ltip lic a c ió n p o r la iz q u ierd a co n la p ro p ie d a d de m u ltip lic a c ió n p o r la d erech a. Si A X = B , en to n ce s A ~ '( A X ) * BA - i

D ada u n a m a triz A , « X n, y las m a trice s c o lu m n a B , C y X , n X 1, d esp eje X d e A X + C = B. S u p o n g a q u e ex isten to d a s las in v ersas n ecesarias.

A h o ra se m o stra rá có m o lo s sistem a s in d e p en d ie n te s de e c u ac io n e s lin eales co n el m is m o n ú m e ro de v ariab les y ec u ac io n e s, se p u ed e n reso lv e r co n v irtien d o p rim e ro el siste m a en una ec u ac ió n m atricial d e la fo rm a A X = B y m e d ian te X — A [B de la m ism a m a n era que en el ejem p lo 1.

Uso de inversas para resolver sistemas de ecuaciones U se m é to d o s de m a triz in v ersa p ara re so lv e r el sistem a: x¡ -

x2 + x3 = 1 2x 2 - x 3 =

2x, + 3x 2

Solución

1

(1 )

=1

La inv ersa de la m a triz de co e fic ie n te s 1 A =

-1

0

2

2

3

1 -1 0

p ro p o rc io n a u n m é to d o e fic ie n te p ara reso lv e r este sistem a. P ara v e r có m o se realiza esto, el siste m a (1) se co n v ierte en u n a ec u ac ió n m atricial:

9-3


A '1

X

-1

f

0

2 - 1

.2

3

B V

V =

X,

0.

687

1 .1 ,

*3 .

C o m p ru e b e q u e la ec u ac ió n m a tricia l (2) es eq u iv alen te al sistem a (1) e n c o n tran d o el p ro d u c to del lado izq u ierd o y d esp u és ig u a lan d o los elem e n to s co rre sp o n d ie n te s en el lad o iz q u ierd o con los del lad o derech o . E n seg u id a se v erá o tra raz ó n im p o rta n te p ara d e fin ir la m u ltip lic ac ió n m a tricia l co m o se h izo antes. N o s in te resa en c o n tra r un a m a triz co lu m n a X q u e sa tisfag a la ec u ac ió n m atricial A X = B. E n el ejem p lo I se e n c o n tró q u e si A X = B y si A ~1 ex iste, en to n ces X = A -'B La inversa de A que se d eterm in ó en el ejem p lo 2 en la secció n 9-2 es

' A~l =

3

3

-1

-2

-2

1

.-4

-5

2

A sí, X V x2 = ,x l.

A'' 3 _ 2 .-4

3

-

'1 '

-2

1

-5

_1_

5" =

-3 .-7 .

x , = - 7 . C o m p ru e b e este resu ltad o en el x l = 5, *2 = - 33 y x. sistem a (1).

U se los m é to d o s de la m a triz in v ersa p ara re so lv e r el sistem a: 3a-, — x 2 + —jr, + x 2 x,

x3

= 1 =3

+ jc3 = 2

[Nota: La inversa de la m a triz de c o e fic ie n te s se d eterm in ó en el p ro b le m a se le c c io n a do 2 en la secció n 9-2.]

A p rim e ra vista, e m p le a r los m é to d o s de la m a triz in v ersa p are ce n e c e sita r la m is m a ca n tid ad de esfu erzo qu e la e lim in a c ió n G au ss-Jo rd an . En c u a lq u ie r caso , se deb en a p lica r las o p era cio n e s de ren g ló n a la m a triz au m en ta d a q ue im p lica los co e fic ie n te s del sistem a. L a v en taja de! m é to d o de la m a triz inversa es ev id en te cu an d o se resu elv en d iferen tes sistem as con una m a triz d e c o e fic ie n te s co m u n es y d iferen tes té rm in o s c o n s tantes.

9


EJEM F

Uso de inversas para resolver sistemas de ecuaciones U se los m é to d o s de la m atriz inversa p ara re so lv e r cad a u n o d e los sistem as sig u ien tes: (A)

x¡ -

x2 + x3 — 3

2x¡ + 3x2 Soluciones

a'j — x 2 + x 3 = —5

(B)

- x3 = 1

2x 2

2x 2

=4

- x3 =

2x¡ + 3x2

2

= -3

N o te que am bos sistem as tie n en la m ism a m a triz de c o e fic ie n te s A co m o el siste m a (1) en el ejem p lo (2). Sólo se ca m b ia ro n los té rm in o s co n stan tes. A sí. se p u ed e u s a r ^ -1 p a ra re so lv e r estos sistem as co m o se h iz o en el ejem p lo 2. (A)

B

X

3

V *2

=

*3.

(B)

3 - 1

-2

-2

-4

-5

'

3' 1 2

=

1

8 -4

4.

~9

i, x 2 - - 4 y X j = - 9

A sí, x.

B

X

3

— -2

-2

1

-5

2

-4

-6

-5

3

V & 1 £

688

-1

2

3 4

-3

P or co n sig u ie n te, x, = —ó , x 2 = 3 y x } = 4

Problenr

cton

U se los m é to d o s de la m a triz in v ersa p ara re so lv e r ca d a uno de los sistem as sig u ien tes (v éase el p ro b lem a se lec cio n a d o 2): (A)

3x, - x 2 + x 3 = —x¡ + x 2 x¿

3

= —3 +

jc3

=

2

(B)

3x, - x 2 + x 3 = v- 5 —x¡ + x2 Xj

= 1 + x3 = —4

C o m o lo ilustran lo s ejem p lo s 2 y 3, los m é to d o s in v erso s so n m u y co n v e n ie n te s para cá lcu lo s a m a n o , ya qu e u n a v ez qu e se h a en co n trad o la in v ersa, se p u e d e u sa r p ara re so lv e r c u a lq u ie r n u ev o sistem a fo rm ad o sólo c a m b ia n d o los té rm in o s c o n s tantes. C om o la m ay o ría de los d isp o sitiv o s de g ra fic a c ió n p u ed e n c a lc u la r la inversa de una m atriz, este m éto d o tam b ién se ad ap ta fác ilm e n te p ara o b te n e r so lu c io n e s m e d iante un d isp o sitiv o de g rafica ció n . Sin em b arg o , si su d isp o sitiv o d e g ra fic a c ió n ta m b ién tiene un p ro ce d im ie n to p rec o n stru id o p ara en c o n tra r la fo rm a red u c id a de una m a triz au m en ta d a d e c o e fic ie n te s, en to n ce s es co n v en ien te u sa r só lo la elim in a ció n G au ss-Jo rd an . A d em ás, se p u ed e u sa r la elim in a ció n G a u ss-Jo rd an en to d o s los caso s y, co m o se in d ic a a co n tin u ac ió n , los m é to d o s de la m a triz in v ersa no siem p re se p u e d en usar.

9-3


•; ■.

Uso de métodos inversos para resolver

689

de ecuacioi

: " . . . ... S i el n ú m e ro d e e c u ac io n e s en u n sistem a es ig u a l al n ú m e ro d e v ariab les y la m a triz de c o e fic ie n te s tie n e un a inversa, en to n ce s el sistem a sie m p re te n d rá u n a so lu ció n ú n ica, q u e se p u ed e e n c o n tra r u san d o la inversa d e la m a triz d e c o e fi c ien te s p ara re so lv e r la ec u ació n m a tricial co rresp o n d ien te .

SolÙGÌijl

,

...

C o m e n ta rio . ¿Q u é su ced e si la m a triz d e c o e fic ie n te s no tie n e u n a inversa? En este caso, se p u ed e d em o strar q ue el siste m a no tien e u n a so lu c ió n ú n ic a y es d ep e n d ie n te o inconsisten te. L a elim in a ció n G au ss-Jo rd an se d eb e u sa r p ara d eterm in a r cuál es el caso. T am bién, co m o antes se m e n cio n ó , la elim in a ció n G au ss-Jo rd an se d eb e u sar siem pre si el nú m ero de v ariab les no es el m is m o qu e el n ú m e ro de ecu acio n es.

L a ap licació n sig u ien te ilu stra la u tilid a d del m é to d o inverso.

Ubicación de la inversión U n a seso r de in versiones tie n e d o s tipos d e in v ersió n d isp o n ib les p ara sus clien tes: u n a inversión A que p ag a el 10% anual y la in v ersió n B de m ay o r riesg o q u e p ag a el 2 0 % anual. Los clien tes p u ed en d iv id ir su s in v ersio n es en tre los d o s tip o s p ara o b te n e r c u a l q u ie r in te rés to tal d esea d o en tre el 10 y 2 0 % . Sin em b arg o , cu an to m ay o r sea el in terés d esea d o m ay o r es el riesg o . ¿D e qu é m a n era d eb e in v e rtir ca d a clien te en lista d o en la tab la p a ra o b te n er el interés in d icad o ?

Cliente

Inversión total In terés anual d eseado

Solución

1

2

3

k

S20 000 S2 400 (1 2 % )

$50 000 $7 500 (1 5 % )

$10 000 SI 300 (1 3 % )

k2

P rim ero se d eb e re so lv e r el p ro b lem a p ara u n clien te k c u a le sq u iera u san d o inversas, y d esp u és a p lica r el resu ltad o a los tres clien tes esp ec ífico s. Sea x ] = C a n tid a d in v e rtid a en A X-,

= C an tid ad in v ertid a en B

E ntonces *i +

x2

~ k¡ Total invertido

0.1*! + 0.2x2 = k2

Interés total anual


Escriba como una ecuación matricial: a

Si e x i s te ^

x

B

"l

1

X,

K

.0.1

0.2

M.

-&2-

en to n ce s X = A~'B

A h o ra se d eterm in a A 1 co m en z an d o co n [A | / ] y p ro c e d ie n d o co m o se an alizó en la sección 9-2: 1

1

0'

.0.1

0.2

0

1.

'1

1

1

0' 10. 0'

2

-1 0 '

0

'1

1

1

.0

1

1

«2 + (-1)«, -»■ «. + (-1)«2 -» «,

~o

1

1

.0

10fi2 -> fi2

o

to

'1

-O

9

------------ 1

690

A sí, A

2

-10'

.-1

1 2 -10 Comprobación .- 1 10. .0.1

10.

1 1 _ '1 0" 0.2 J " 0 1.

y X

<4-’ 2

V

.-1

M .

B

-10'

V

10.

Para reso lv e r ca d a p ro b lem a d e in v ersió n del clien te, se re e m p la z a k ] y k 2 con los valo res a d e cu a d o s de la tabla y se m u ltip lic a p o M -1: Cliente 1 Xi X2.

2 .- 1

- 1 0 ' '2 0 000'

16 0 0 0 '

10. . 2 400.

. 4 000.

S olución: x } = S16 0 0 0 en A , x 2 = $4 0 0 0 en B Cliente 2 2 *2-

.-1

- 1 0 ' '5 0 .0 0 0 '

25 0 0 0 '

10. . 7 500.

.25 0 00.

S olución: x, = S25 0 0 0 en A , x 2 = $25 000 en B

9-3


691

Cliente 3 2 .-1

-■*2-

- 1 0 ' '1 0 000" 10.

1 300.

"7 000" .3 000.

S o lución: x, = $7 000 en A , x 2 = $3 000 en B

R e p ita el ejem p lo 4 con la in v ersió n A p ag a n d o el 8 % y la in v ersió n B p ag a n d o el 24% .

Se p u ed e n h a c e r m ás e fic ie n te s las so lu c io n e s a m an o de sistem as q ue im p lica n dos ec u acio n es co n dos v ariab les u sa n d o la fó rm u la p ara la inversa de u n a m a triz 2 X 2 .


L a inversa de

es

d

-b

ad — be

ad — be

—c

a

_ad — be

ad — bc_

1

d

-b

D _—c

a. •

d o n d e D = a d — be, sie m p re y cu a n d o D i= 0. (A ) U se la m u ltip lic a c ió n m a tricial p a ra v e rific a r esta fó rm u la. ¿Q u é p u e d e co n c lu ir a c e rc a de A ~ l si D = 0 ? (S e p ro fu n d iz a rá m á s en el n ú m e ro D en las tres se cc io n es sig u ien tes.) (B ) U se esta fó rm u la p a ra en c o n tra r la in v ersa d e la m a triz A en el ejem p lo 4.


AX + C = B

l---------------------------- 1 (AX + C ) - C = B - C AX + ( C - C ) = B - C AX + 0 = 5 —C

I— _____________________ AX - B - C

l A '\ A X ) = A~'(B - C) l ! (A-'A)X = A' \ B - C) ¡ IX = A-'(B - C) ¡ i-______ ____ _____________ i X = A-'(B - C) 2. x¡ = 2, xí = 5,

= 0 3. (A) x¡ = - 2 , xt = -5 , x, = (B) x, = 0, x2 = 1. jc3 = - 4 1.5 -6 .2 5 ' 4, A I = ; Cliente 1: $15 000 en.4 y $5 000 en5; Cliente 2: S28 125 en/4 y $21 875 en S; .-0 .5 6.25 J Cliente 3: S6 875 en/1 y $3 125 en B

692

9


9-3 17. .v, —2*2

= fe,

X2 "i"" X3 — fe2

Escriba los problemas del 1 al 4 como sistemas de ecuaciones lineales sin matrices. 1.

3.

4.

2

- l'

1

3.

3" .-2.

x\ x2.

'- 3

f V 2. -X2-

.-1

'- 2 ' 5.

x2 + (A) fe, = (B) fe, = (C) fe, =

= k, x, + 2x2 + 3x3 = ¿2 X2 “F 2x3 —¿3 (A) fe,= O, k2 = 2, fe3 = 1 (B) fe, = - 2 , *2 = 0, *3= 1 (C) jfe,= 3, ¿2 = 1, /t3 = 0

-4

0

1

1

-2 1

2

- 1 . L*3 O V - 1 *2

O 4 L*aJ

3 -2 5

19. x, + x2

= ¿i 2x2 —Xj = ¿2 x, + x 3 = fe, (A) fe,= 2, k2 = O, = 4 (B) fe,= 0,k2 = 4, k3 = - 2 (C) fe,= 4, ¿2 = 2,= 0

los problemas del 5 al 8 escriba cada sistema como una ecuación matricial de la forma A X = B. 6.

5. 4*! - 3*2 = 2 x, + 2*2 = 1 7.

x, - 2x2 + x3 = - 1 =2 - x , + x. 2a:, -I- 3;c2 + x¡ = —3

2x, = k3 1, k2 = O, = 2 - l,f e 2 = 1,*3 =0 2, fe2 = - 2 , = 1

18. x, + 3x2

3

-2 1

-3 2

2.

2*1 -

x, — 2x2 = 7 —3x, + x2 = - 3

8. 2x, x,-

20.

+ 3*3= 5

2*2 + x3 = —4

—x, + 3*2

=2

xx - x , = fe, 2x, *2 — fe2 x , + x2 _ 4x3 = k3 (A) k, — 4, k2 = 8, k3 = O (B) fe,= 4, k2 = O, fe3 = —4 (C) fe, = O, k 2 = 8,fe3 = - 8

En los problemas del 9 al 12, encuentre x , y x,. 3 L*2-

1

*i

-2

X2J

-2

-2

1.

4.

2

3 -1

3

ü-É i x ,l = [3

-1

xj LO 2

3 -2 . -2 1

B En los problemas del 13 al 20 escriba cada sistema como una ecuación matricial y resuelva usando inversas. [Nota: Las in versas se determinaron en los problemas del 17 a 24 en los ejercicios 9-2.]

13.

+ 2x2 k¡ + 3x-, = fe. (A) fe, = l,fe2 = 3 (B) fe, = 3, k2 = 5 (C) k, = - 2 , k2 = 1

15. x, + 3x2 = fe, 2x¡ + 7x2 = k2 (A) fe, = 2, k2 = -1 (B) fe, = l,fe2 = O

(C) fe, = 3, ¿2 = - 1

Para /ai matrices A y B. n X n, y las matrices C, D y X, n X 1, en los problemas del 21 al 26 despeje X de cada ecuación matricial. Suponga que existen todas las inversas necesarias.

21. AX - BX = C

22. AX + BX = C

23. AY + X = C

24. AY - X = C

25. A X - C = D - BX

26. AY + C = BX + £>

Con los métodos de la matriz inversa resuelva el sistema siguiente para los valores indicados de fe, y fer

14. 2x, + x2 = fe, 5x, + 3x2 = fe2 (A ) fe, = 2 ,fe2 = 13 (B) fe, = - 2 , fe2 = 4 (C) fe, = l,fe2 = - 3

16. 2x, + x, = fe, x, (A) (B) (C)

+ x 2 = k2 fe, = - 1 , * 2 = - 2 fe, = 2, fe2 = 3 fe, = 2, fe2 = O

x, + 2.00 lx 2 = fe, x, + 2x 2 = fe2 (A) fe, = l,fe2 = 1 (B) fe, = \ , ki = 0 (C ) fe, = 0, fej = 1

Analice los efectos de pequeños cambios en los términos constantes en el conjunto solución de este sistema.

9-3

28. Repita el problema 27 para el sistema siguiente:

Si se autoriza un total de S3 000 a la semana para mano de obra y materiales, ¿cuántas guitarras de cada modelo se deben producir en ese periodo para usar de manera exacta las cantidades asignadas de los S3 000 indicadas en la tabla siguiente? Use decimales en el cálculo de la inversa.

x, — 3.00 1a2 = x, — 3x2 = k2 En los problemas del 29 al 32, escriba cada sistema como una ¿cuación matricial y resuelva mediante la matriz inversa de coeficientes. Use un dispositivo de graficación para realizar ios cálculos necesarios.

Asignación semanal

29. a, + 8x2 + 7a, = 135 6a-, + 3

t

2

3

Mano de obra

$1 800

$1 750

$1 720

Material

$1 200

$1 250

SI 280

6x 2 +

a,

30. 5a, + 3a27a , + 5a 2 3a, + a 2 -

693


8a,= 155 + 4a2 + 6a, = 75 2a3=112 = 70 9a3=96

31. 6a, + 9a2 + 7a, + 5a4 = 250

* 35. Análisis de circuitos. Un circuito eléctrico de corriente

6a, + 4a, + 7a, + 3a4 = 195 4a , + 5a2 + 3a , + 2a4 = 145 4a, + 3a2 + 8a, + 2a4 = 125

directa que consiste de conductores (alambres), resistencias y baterías se indica en la figura.

32. 3a, + 3a2 + 6a3 + 5a4 = 10 4a, + 5a2 + 8a3 + 2a4 = 15 3a, + 6a2 + 7a3 + 4a4 = 30 4a, + a2 + 6a3 + 3x4 = 25

A p l ic a c io n e s

-

Resuelva usando sistemas de ecuaciones e inversas. Si i , , 1, e /, son las corrientes (en amperes) en las tres ramas del circuito y F, y V, son los voltajes (en volts) de las dos baterías, entonces se pueden aplicar las leyes de Kirchhoff* para demostrar que las corrientes satisfacen el sistema de ecuaciones siguiente:

35. Asignación de recursos. Una sala de conciertos tiene 10 000 asientos. Si los boletos son de $4 y $8, ¿cuántos boletos de cada tipo se deben vender (suponiendo que se vendan todos los asientos) para obtener las cantidades indicadas en la tabla? Use decimales en el cálculo de la inversa.

0oo Q

l\~ h + h ~ 0

¿j

Concierto

h + h = Vi /, + 2/, = V2

1

2

3

10 000

10 000

10 000

S56 000

$60 000

$68 000

Resuelva este sistema para: Boletos vendidos Cantidad requerida

(A) V, (B) V, (C) V,

= = =

10 volts, V2 = 10 volts, V2 = 15 volts, V2 =

10 volts 15 volts 10 volts

36. Análisis de circuitos. Repita el problema 35 para el circuito 3-4. Planeación de la producción. Los costos de la mano de obra y materiales para fabricar dos modelos de guitarra se indican en la tabla siguiente:

eléctrico mostrado en la figura. h ~ h + h =0 /, + 2U = V,

Modelo de guitarra

Costo de la mano de obra

Costos del material

A

S30

S20

B

S40

S30

212 + 2/j = V2 *Gustav K.irchholT(1824-1887), físico alemán, fue el primero en aplicar matemática teórica a la física. Es más conocido por su desarrollo de ciertas propiedades de circuitos eléctricos, que ahora se conocen como leyes de Kirchhoff.

694

9


39. Dietas. Un biólogo dispone de dos mezclas de comidas comerciales con los porcentajes de proteína y grasa siguientes:

37. Geometría. La gráfica de f ( x ) - ax2 + bx + c pasa por los puntos (1, kt), (2, k2), (3, £.). Determine a . b y c para:

Mezcla

Proteína (% )

G rasa (% )

A

20

2

B

10

6

¿Cuántas onzas de cada mezcla se deben usar para preparar cada una de las dietas enlistadas en la tabla siguiente?

(A) kx = —2, k2 = 1, k¡ = 6 (B) kx = 4, k2 = 3, = - 2 (C) k¡ = 8, = - 5 , ¿3 = 4

Dieta

38. Geometría. Repita el problema 37 si la gráfica pasa por los puntos ( - 1 , ¿j), ( 0, k2), ( 1 , Proteína

En los problemas 37 y 38 compruebe sus respuestas graficando y —J'(x) en un dispositivo de graficación y verifique que la gráfica pasa po r los puntos indicados.

SECCION

9-4

Grasa

3

2

1 20 oz

10 oz

10 oz

6 oz

4 oz

6 oz

Determinantes Determinantes Determinantes de segundo orden Determinantes de tercer orden Determinantes de orden superior

• Determinantes

E n esta sección se va a asociar con cada una de las matrices cuadradas un número real, llamado determ inante de la m atriz. Si A es una m atriz cuadrada, entonces el determi nante de A se denota por det A, o simplemente escribiendo el arreglo de elementos en A mediante líneas verticales en lugar de corchetes. Por ejemplo,

det

2 5

-3 1

=

2 5

-3 1

1 det

0 -2

-2

1

3'

5 - 7 1

0 6

-2

-2

3

5 - 7

1

6

U n determinante de orden n es un determinante con n renglones y n columnas. C asi toda esta sección se concentrará en determinar los valores de determinantes de órdenes 2 y 3. Pero se pueden generalizar completamente muchos de los resultados y procedimientos analizados para determinantes de orden n. En general, un determ inante de segundo orden se escribe como

segundo orden au

a \i

Ü2¡

(¡22

y representa un número real como se indica en la definición 1 .

9-4

DEFINICIÓN 1

Determinantes

695

Valor de un determ inante de segundo orden «n

«12

«21

«22

«11«22

(1)

«21«12

L a fó rm u la (1) se rec u erd a fácilm en te si se ad v ierte q u e la e x p resió n de la d erech a es el p ro d u cto de la diagonal principal, del té rm in o de la iz q u ierd a su p e rio r al té rm in o in ferio r d erech o , m en o s el p ro d u cto de la diagonal secundaria, del té rm in o in ferio r iz q u ierd o al té rm in o su p e rio r d erecho.

EJEMPLO 1

Evaluación de un determ inante de segundo orden

V -3


Determinantes de tercer orden

DEFINICIÓN 2

2 ' -4

( - 1)(—4 ) - ( —3)(2) = 4 - ( - 6 ) = 10

E ncuentre:

U n d eterm in a n te de o rden 3 es un arreg lo cu a d rad o de nu ev e elem e n to s y rep rese n ta un n ú m ero real dad o p o r la d e fin ic ió n 2, la cual es un caso esp ecial de la d e fin ic ió n g en e ral del v alo r de un d ete rm in a n te de o rden n. O b serv e qu e cad a térm in o en el d esarro llo del lado d ere ch o de la ec u ac ió n (2) co n tien e ex a ctam en te un elem en to de ca d a ren g ló n y de cada colu m n a.

Valor de un determ inante de tercer orden «11

&12

«21

«22

«23

«31

«32

«33

«13 « ¡i« 2 2 « 3 3

«1 í«32«23

«21 « 3 2 « 13

«21«12«33

+ «31«12«23

«31 « 2 2 « 13

¡N o se asuste! No es n ec esario m e m o riz a r la fó rm u la (2). D esp u és de in tro d u cir los co n cep to s de m e n o r y co factoi; se estab lece rá un te o re m a qu e se p u ed e u sa r p ara ob te n er el m ism o resu ltad o co n m u c h o s m e n o s p ro b lem as. El m enor de un elem ento en un d ete rm in a n te de te rc e r o rd en es un d eterm in a n te de segundo orden o b te n id o al elim in a r el ren g ló n y la co lu m n a que co n tien en al ele m ento. P or ejem p lo , en el d eterm in a n te de la fó rm u la (2),

«12

M e n o r de a ,

«32

M e n o r de a ,

«11

«13

«2.

«23

oi2 r®~r¡ Lql ' —f l * '

o T ro fii'1 ¿ « 'I

L _ _l

O li ¡0 1 2 ¡ O iJ ■321 ¡
Por lo aeneral las elim inaciones se hacen m entalm ente.

696

9



E sc rib a los m e n o re s d e los o tro s sie te elem e n to s e n el d ete rm in a n te de la fó rm u la (2).

U n a ca n tid a d c e rcan a m e n te a so c ia d a co n el m e n o r d e u n elem e n to es el cofactor de un elem ento a., (del iésim o re n g ló n y la 7'ésim a co lu m n a), la cu al es el p ro d u cto del m e n o r de a., y ( — í)' ^ '.

DEFINICION 3

Cofactor C o fa c to r de a.. = ( — 1 ) '+J (M e n o r de a..)

A sí, u n co fa c to r d e u n elem e n to no es m á s qu e u n m e n o r co n signo. El sig n o se d eterm in a elevando — 1 a u n a p o te n cia qu e sea la su m a de lo s n ú m e ro s qu e in d ic an el renglón y la co lu m n a en los cu a le s ap a rece el elem en to . N o te q u e ( —1) ' +J es 1 si / + j es p a r y — 1 si i + j es im par. D e m a n era qu e, si se tie n e el d e term in a n te

an a 2\

a \n

a 22

ai\ ai2

a 23

a33

en to n ces

C o facto r de a 2i = ( - 1 )

,2+3 a n a 31

a í2

an

¿Z12

a32

a 3¡

ü32

a 22

O23

a 22

a 32

a 3i

a32

C o fac to r de a u = ( — l ) 1

a 23 <333

Determinación de cofactores E n cu e n tre los c o fa cto res de —2 v 5 en el d eterm in a n te

-2 1

0 3 -6

5

- 1 2 Solución

C o fa c to r de - 2 = ( - 1)1+1

0 -6 2

5

-6

5

0

2

0

= ( - 6 X 0 ) - (2)(5) = - 1 0 C o fac to r d e 5 = ( - 1)2+3

-2

0

-2

0

-1

2

-1

2

= - [ ( - 2 ) ( 2 ) - (-1 )(0 )] = 4

9-4

Determinantes

E n cu e n tre los co fa cto res de 2 y 3 en el d eterm in a n te del ejem p lo 2.

[Nota: El sig n o d elan te del m en o r, ( — 1)' 1 >, p u ed e ser d eterm in a d o m e cá n ica m en te u sando la tab la de sig n o s de + y - en el d e term in a n te, in ician d o co n + en la esq u in a su p e rio r izquierda:

+

-

+

-

+

U se la ta b la de sig n o s o el m é to d o del ex p o n en te, el qu e co n sid ere m ás fácil, para d e te rm in a r el sig n o d elan te del m enor.] A h o ra se está listo p a ra el te o re m a clav e de esta secció n , el te o re m a 1. E ste te o re m a p ro p o rc io n a u n e fic ie n te p ro ce d im ie n to p aso p o r p aso , lla m a d o alg o ritm o , p ara evalu ar d e term in a n tes de te rc e r orden.

Teorema 1

Valor de un determ inante de tercer orden El v a lo r de u n d eterm in a n te de o rden 3 es la su m a de tres p ro d u cto s o b ten id o s al m u ltip lic a r ca d a elem en to d e c u a lq u ie r ren g ló n (o ca d a elem e n to d e cu a lq u ie r co lu m n a) p o r su cofactor.

P ara p ro b a r este te o re m a se d eb e m o stra r q ue los d e sarro llo s in d icad o s p o r el te o re m a p ara c u a lq u ie r ren g ló n o c u a lq u ie r co lu m n a (seis caso s) p ro d u cen la ex p resió n de la d ere ch a de la fó rm u la (2). L as p ru e b a s de caso s esp eciales d e este te o re m a se dejan al le cto r en la p arte C d e los p ro b lem as de los ejercic io s 9-4.

Evaluación de un determ inante de tercer orden E valúe

2 - 2 -3 1

0 1

-3

2 -1

d esarro llan d o :

(A ) El p rim e r ren g ló n

(B ) L a se g u n d a co lu m n a

9


2 -2 Soluciones

(A )

-3 1

1 -3

i Cofactor \ , / Cofactor \ , l Cofactor \ d e « , , ) + a Í de a , J + H d e a j

-1

= 2 (-I)1 = (2)( 1)[( 1)(

I -3

2 'l -3 í J + ( - 2 ) í ( - l ) ' +2 -1 1

2 -1

+0

1) - (-3 X 2 )] + ( —2)(—l) [ ( - 3 ) ( —1) - (1)(2)]

= (2)(5) + (2)(1) = 12

2

(B) - 3 1

-2 1 -3

0

/ \ / Cofactor \ 2 - a' \ de a ]2 ) -1 = (-2)1 ( - l ) l+2

/ \ / Cofactor \ + a,: “ 22\ de a22 ) -3 1

( >( ( - 1)-,+2

+ (1) ( - 1 )

2 1

0 -1

ro

698

-3

2

= ( —2)(—1)[(—3)(—1) - (1)(2)] + (1)(1)[(2)(—1) - (1)(0)] + ( - 3 ) ( - l ) [ ( 2 ) ( 2 ) - (-3 )(0 )] = (2 )(l) + ( l) ( - 2 ) + (3 )(4)= 12


Evalú e 2 -2 -1

1 -3 2

-1 0 1

d esarro llan d o :

(A ) E l prim er renglón

(B ) L a tercera columna

La mayoría de los dispositivos de g raficación evalúan determinantes. L a figura 1 muestra la evaluación del determinante del ejemplo 3.

E l teorema 1 y las definiciones de menor y cofactor se generalizan completamente para determinantes de orden mayor que 3. Estos conceptos están ilustrados para un determi nante de cuarto orden en el ejemplo siguiente.

Evaluación de un determ inante de cuarto orden Dado el determinante de cuarto orden

9-4

0 -5

-1 5

0

3

2

0

-3

0

-6

4

Determinantes

-2

6 -4

0

(A ) E n cu e n tre el m e n o r en fo rm a de d e term in a n te del elem e n to 3. (B ) E n cu e n tre el c o fa c to r en fo rm a de d ete rm in a n te del elem en to - 5 . (C ) E n cu e n tre el v a lo r del d e term in a n te de cu a rto orden.

0 Soluciones

0

-5

(A ) M e n o r de 3 =

0

4

-2 0

-1 5

(B ) C o fa c to r de - 5 s ( - l ) 2 1

2

3

-1

6 =

-2 0

-

-4

2

0 -2

5

6 -4

0

3

(C ) G en e ra liz an d o el te o re m a 1, el v alo r de este d ete rm in a n te d e cu a rto o rd en es la su m a de los cuatro p ro d u cto s o b te n id o s m u ltip lic an d o cada elem e n to d e c u a l q u ie r ren g ló n (o ca d a elem e n to de c u a lq u ie r co lu m n a) p o r su cofactor. El trab ajo im p lica d o en esta ev alu ació n se red u c e g ran d e si se elig e al ren g ló n o co lu m n a con la m ay o r ca n tid a d de elem e n to s ig u a les a cero. Ya qu e la co lu m n a 3 tiene tres ceros, se d e s a rro lla a través d e esta co lu m n a: 0 -5

-I

0

-6

0

4

5

0

3

-2 0

2

0

-3

-1

0 + 0 + ( —2 )(— 1)3+3 - 5

6

-6

0

-1

= (-2) - 5

+ 0

Desarrollando este d eterm inante en su primera colum na.

-6

0

-3 -4

3

0

-4

2

3

( - 2 ) ( 0 + ( - 5 ) ( — 1)2+1

-1 3

2 -4

+ 0

= ( —2 ) ( —5 ) ( —1)(—2) = 20


R epita el ejem p lo 4 p ara el sig u ien te d eterm in a n te d e cu arto orden: 0 -3 0 5

*

4

-2

0

3

-1

2

6 -6

0 -5

0 -4

/


E sc rib a u n a tab la de sig n o s d e + y - p ara un d e term in a n te d e cu a rto o rd en , y úselo para d e te rm in a r lo s sig n o s d e los m e n o re s en el e je m p lo 4.

700

9


C om entario. ¿D ó n d e se usan los d eterm in a n tes? M u c h as ec u ac io n e s y fó rm u las tie n en fo rm as p a rtic u la rm e n te sim p les y rep rese n tac io n e s co m p ac tas en fo rm a d e d e te r m in a n te s que son fáciles de recordar. (V é ase los p ro b lem as 50 a 54 en el ejercic io 9-5.) T am bién, en la se cc ió n 9-6 se v erá q ue las so lu c io n e s de cierto s sistem a s d e ec u acio n es se p u eden ex p re sar en té rm in o s de d eterm in a n tes. A d em á s, los d e te rm in a n te s están im p lica d o s en el trab a jo teó rico de c u rso s de m a tem áticas avanzadas. C o m o ejem p lo , se p u ed e m o stra r que la inversa de una m a triz cu a d rad a ex iste si y sólo si su d e te rm i n an te n o es igual a 0. Respuestas a los problemas seleccionados 1. 14

2. Cofactordc2= 13; cofactor de 3 = —4

0 -2 0 4. (A) 0 5

EJERCICIO

-5

0 0 -4

17.

determinante de segundo orden en los problemas

0 3 0

2 -3

2 1

2.

2 3

6 -1

-2 -3

4.

5 -2

-4 2

0.5 1.4

- 3. 2 - 6. 7

1.8 -1.9

-

1.6 1.2

4 -1

19.

-1 -2 4

1 -7 -2

4

5 18.

6 -3

20.

6 2

«i.

0 3 1 -2 -4 8

«31 «41

10.

Escriba el cofactor de cada elemento dado en los problemas del 11 al 14, y evalúelo. 12. an

13. a32

14. a21

5

0 4 -2

0 3 1

2 16. 0 0

-6 7

3 -9

-1 1 -2

a12 «13 a a22 «23 a ai2 «33 a «42 «43 a

22. ¿u

23. a43

24. a2

Evalúe cada determinante en los problemas del 25 al 34 usan do cofactores. ?! Compruebe sus respuestas a los problemas del 25 al 34 con un dispositivo de graficación.

,? r ,;

Compruebe sus respuestas a los problemas del 15 a 20 con un dispositivo de graficación. 1 -2

2

21. au

Evalúe los problemas del 15 al 20 usando cofactores.

15.

0

escriba el cofactor en forma de determinante de cada elemen to en los problemas del 21 al 24.

8» #22

11. <2n

2

Dado el determinante

Escriba el menor de cada elemento dado en los problemas del 7 al 10. Exprese la respuesta en forma de determinante.

9. a ,2

0 4 0

B

«21

2

-2 5

9 1

3

2 0 -3

Los problemas del 7 al 14 se refieren al determinante siguiente:

7. a ,|

IB) 3

9-4

del 1 al 6.

3.

3. (A) 3

0 4 0 (B) - - 3 3 2 0 6 0

-3 -3 6

5 1 2

25.

27.

3 -2 1

-2 0 0

1

4 1 1 -2 1 -1

1 2

-8 -3 -4

26.

28.

4

-4

2 0

8 -5

3 -1 2

2 5 3

6 -3 0 1 1 1

9-4

29.

31.

1

4

2 3

1 -2

2 6 0 3 3 4 0

33.

34.

9

3 6 9

0 -1 1

-1 7

4 -2

2 0 0

0 0 3 0 0 2

0 0

0 0

-1 5

1 7 0 0 2 5 0 2

-2 9 2

-6 4 -6

4

30.

'Xl

0 0 3 2 3 0 0

0

0

0 0 2 5

0

3

1

0

1

7 0 2

6 1 5

2

4

0

3

0

6

Una matriz con todos los elementos iguales a cero arriba de la diagonal principal se llama matriz tria n g u la r inferior.

(A ) Encuentre

0 5

‘

/

PS

c

d

a

b

ka

b

kc

d

40.

kc + a c

43.

a c

'

P6

E l determinante de A está dado por [compare con la fórmula <2)1

^11^22^33

^12^23^31

6 3 -2

-1 -7 1

4 36.

1 -3

1 2 -1

0,2

«22

0 0

a d ’ kc

b kd

f l23

a través de la primera columna es la misma que la expansión a través del tercer renglón. 46. Repita el problema 45, usando el segundo renglón y la tercera columna. 47. Si

.4 =

a\2 ^13 a22 .#23

0

a c

a31 ö32 Û33

-5 -6 7

“n

y

a c

a |2

a 2 \ a 22

Una matriz con todos los elementos iguales a cero debajo de la diagonal principal se llam a m a triz tria n g u la r superior.

(A ) Encuentre

b b d* d

45. Demuestre que la expansión del determinante

aj 3^21^32 ®13^22^31 — a¡\a2ia22 ~ &¡jU] ¡Ú^?

I 'se la fórmula de la expansión diagonal para evaluar ¡os de terminantes en los problemas 35 y 36.

5 -4

a c

ka + b kc + d

au

'Precaución: E l procedimiento de la expansión diagonal fun ciona sólo para matrices 3 X 3 . No lo aplique a matrices de cualquier otro tamaño.]

2

0 0

kd + b d

det A = p, + p2 + p 3 - pt - ps - p6

35.

a22 «32

En los problemas del 39 al 44, todas las letras representan números reales. Encuentre una ecuación que satisfaga cada par de determinantes, y describa la relación entre los dos de terminantes.

Fórmula de la expansión diagonal /

0

«I! a2\ «31

y

0

Si A es una matriz 3 X 3, ei det A se puede evaluar po r la siguiente expansión diagonal. Forme una matriz 3 X 5 au mentando a la A derecha con las dos primeras columnas y cal cular los productos diagonales p r p 2......p 6 indicados por las flechas:

Pi

au 0 a2\ a22

(B ) Con base en los resultados del inciso (A), describa verbalmente al determinante de estas matrices trian gulares inferiores.

0

0 0 0 1 0 0 4

0 0

701

(B ) Con base en los resultados del inciso (A), describa verbalmente al determinante de estas matrices trian gulares superiores.

1 3

0

Determinantes

Û33

B =

-1 2

3 1

demuestre que det (AB) = det A ■det B. 48. Si

A =

a

b

.c

d_

y

B =

demuestre que det (AB) = det A ■det B.

YV X .y

z.

702

9


X

X

9-5

51.

r5

- 4]

.2

- lj

50.

O

SECCION

49.

1

S i A es una matriz n n e I es la matriz identidad n n, entonces ¡a función f(x ) = ¡x l —A/ se llama polinomio carac terístico de A, y las raíces de f(x ) se llaman valores propios de A. Los polinomios característicos y los valores propios tienen muchas aplicaciones importantes que se analizarán en trata mientos avanzados de matrices. En los problemas del 49 al 52, encuentre el polinomio característico y los valores propios de cada matriz.

2 - 2

0

.4

-8

52.

-4 .

'8

-6 '

.3

-1 .

'- 2 -1

2 1

. —2

4

Propiedades de los determinantes A n álisis de la s p ro p ied a d es de los d eterm in a n tes R e su m e n de las p ro p ied a d es de u n d eterm in a n te

L os d e term in a n tes tien en varias p ro p ied a d es ú tiles qu e p u ed e n re d u c ir en g ran p arte el trab a jo de la evaluació n de lo s d e te rm in a n te s d e o rd en 3 o su p erio res. E sta s p ro p ie d a d es y su u so son el o b jeto d e estu d io d e esta sección.

• Análisis de las propiedades de los determ inantes

Teorema 1

A h o ra se estab lece rán y an a liz arán cin co p ro p ied a d es g en e rale s de lo s d eterm in a n tes e n fo rm a de te o re m as. Ya qu e las p ru eb a s p ara los caso s g en e rale s de esto s te o re m as so n co m p lic ad a s y co n n o ta ció n d ifícil, se b o sq u e jarán só lo p ru e b a s in fo rm ale s p ara los d e te rm in a n te s de o rd en 3. L o s te o re m as, sin em b arg o , se ap lica n a d e term in a n tes de c u a lq u ie r orden.

M ultiplicación de un renglón o columna por una constante Si ca d a elem e n to de c u a lq u ie r ren g ló n (o co lu m n a) de un d e term in a n te se m u l tip lica p o r u n a co n stan te k, el n u ev o d e term in a n te es k v eces el d e term in a n te o riginal.

Prueba parcial

S ea C el co fa c to r d e a... D esp u és se d e sa rro lla a trav és del p rim e r ren g ló n , se tiene k a 13

kan

ka¡2

«21

a 22

«23

«31

«32

«33

— ¿fifiiCji +

^

1 2 ^ 1 2 "t"

— k{au C u + a n Ci2

= k

«11

«12

«21

«22

«23

«31

«32

«33

k a l}C

« 13C 13)

«13

El te o re m a 1 ta m b ié n estab lece qu e u n fa c to r co m ú n a to d o s los ele m e n to s d e u n ren g ló n (o co lu m n a) se p u e d e to m a r co m o u n fac to r del d eterm in an te.

9-5

Propiedades de los determinantes

703

Factorización del factor común de una columna 6

1

-2

3 -2

7

4

5

3

1

= 2 -1

0

7

2

5

3 -2 0

d o n d e 2 es un fa c to r co m ú n de la p rim e ra co lu m n a.

F acto rice lo s fac to re s co m u n es a c u a lq u ie r ren g ló n o c u a lq u ie r co lu m n a: 3 6 10


(A ) ¿C óm o están

(B ) ¿C ó m o están

a

b

c

d

a d

b e h

g

Teorema 2

Y

ka

kb

kc

kd

c f i

y

ka kd %

2

1

3 - 9 -5

rela cio n a d as?

kb ke kh

kc kf ki

rela cio n a d as?

Renglón o columna de ceros Si ca d a elem e n to en un re n g ló n (o co lu m n a) es 0, el v alo r del d eterm in a n te es 0.

El te o re m a 2 es u n a c o n sec u en cia in m e d ia ta del te o re m a 1. y su p ru eb a se d eja co m o ejercicio . E sto se ilu stra en el sig u ien te ejem plo:

0 -1

Teorema 3

-2

5

0

0

4

9

II O

3

Intercambio de renglones o columnas Si dos re n g lo n e s (o d o s co lu m n as) d e u n d e te rm in a n te son in te rcam b iad o s, el n uevo d e te rm in a n te es el n eg ativ o d el o riginal.

704

9


U na p ru e b a del te o re m a 3, in c lu so p ara un d eterm in a n te de o rd en 3, tie n e n o ta ció n co m p licad a. Se su g iere q u e p ru eb e p arc ialm en te al te o re m a p o r d esarro llo d irec to de los d e te rm in a n te s an tes y d esp u és del in te rcam b io de dos re n g lo n e s (o co lu m n as). El te o re m a se ilustra co n el sig u ien te ejem p lo , d o n d e las seg u n d as y te rc eras co lu m n as e stá n in tercam b iad as: 1 -2 3


;

0

9

1

5 =

0

7

-2 3

9

0

5

1

7

0

(A ) ¿C u áles son los co fa cto res d e ca d a elem e n to en el p rim e r re n g ló n del sig u ien te d eterm in a n te? ¿C uál es el v alo r del d eterm in a n te? a d d

b

c

e f e /

¿C u áles son lo s co fa cto res d e c a d a elem e n to en la seg u n d a c o lu m n a d el sig u íe n te d eterm in a n te? ¿C u ál es el v alo r d el d eterm in a n te? a b a d e d 8

Teorema 4

h

g

Renglones o columnas iguales Si los elem e n to s co rre sp o n d ie n te s en d o s ren g lo n e s (o co lu m n as) son ig u ales, el v a lo r d el d ete rm in a n te es 0.

Prueba

L a p ru e b a gen eral del te o re m a 4 se d ed u ce d irec tam en te a p a rtir d el te o re m a 3. Si se in ic ia c o n un d e te rm in a n te D q u e tie n e d o s re n g lo n e s (o c o lu m n a s ) ig u a le s y se in te rcam b ian los ren g lo n e s (o co lu m n as) ig u ales, el n uevo d e term in a n te será el m ism o que el orig in al. Pero p o r el te o re m a 3, D = -D de donde, 2D = 0 D = 0

Teorema 5

Suma de renglones o columnas Si un m ú ltip lo de c u a lq u ie r re n g ló n (o co lu m n a) de u n d e te rm in a n te se su m a a c u a lq u ie r o tro re n g ló n (o co lu m n a), el v a lo r del d eterm in a n te n o cam b ia.

9-5

Prueba parcial

705


Si, en un d e term in a n te g en eral de te rc er o rd en , se su m a un m ú ltip lo k d e la se g u n d a c o lu m n a a la p rim e ra y d esp u és se d esarro lla a trav és de la p rim e ra co lu m n a, se o b tien e (d o n d e C es el co fa c to r de a en el d ete rm in a n te orig in al)

<*11

+ kan

«12

a 13

«21

+ ka22

a22

a2i — (a n + ^ú|2)Cn + (a2l + ka22) C2¡ +■(« 3i + ka32)C2¡

«31

+ kai2

«32

«33

= ia \\C\\ + « 21C 21 + « 3iC 31) + k ( aí2C }} + a22C 2l +

-

« n

«12

«13

«21

«22

«23

«31

«32

«33

+ k

«12

«12

«13

«22

«22

«23

«32

«32

«33

=

« II

«12

«13

«21

«22

«23

«31

«32

«33

El sig u ien te d e te rm in a n te k es 0, y a qu e la p rim e ra y la seg u n d a co lu m n as so n iguales.

N o te la sim ilitu d del p ro ce so d escrito en el te o re m a 5 co n el qu e se u tilizó p ara o b te n e r m a trice s de ren g ló n eq u iv alen te. Se u sa este te o re m a p ara tra n sfo rm a r u n d eter m in a n te sin elem e n to s 0 en u n o qu e co n ten g a un ren g ló n o co lu m n a co n to d o s los elem e n to s cero ex cep to uno. El d eterm in a n te tra n sfo rm a d o p u ed e en to n ce s d e sa rro lla r se fácilm en te a trav és de este re n g ló n (o co lu m n a). U n e jem p lo ilu s tra m e jo r el p ro ceso .

EjEM P

Evaluación de un determ inante E valúe el d eterm in a n te 3 - 1 -2

2 4

-3

4 - 2 Solución

5

U se el te o re m a 5 p ara o b te n e r dos ce ro s en el p rim e r ren g ló n , y d esp u és d esarro lle el d e term in a n te a través de este ren g ló n . P ara in iciar, ree m p lac e la te rc era co lu m n a co n la su m a de ésta y d os veces la se g u n d a co lu m n a p ara o b te n er u n 0 en la p o sició n a B: 3 -2 4

-1 4 -2

2 -3

3 =

-1

-2 4

5

4 -2

0 5 1

A hora, p ara o b te n e r un 0 en la p o sició n a {V ree m p lac e la p rim e ra co lu m n a c o n la su m a d e ésta y tres v ec es la se g u n d a co lu m n a: 3 -2 4

-1 4 -2

0 5 1

0 ~

10 -2

-1 4 -2

0 5 1

A h o ra ésta es una m an era fácil de d e s a rro lla r este ú ltim o d e term in a n te a trav és del p rim e r re n g ló n p a ra o b te n er

*C. C, y C. representan las columnas 1, 2 y 3, respectivamente.

706

9


10

0 + (-l) (-i)


» Resumen de las propiedades de un determinante

TABLA 1

5

-2

1

+ 0 = 20

E valúe el sig u ien te d e te rm in a n te u san d o p rim e ro el te o re m a 5 p ara o b te n e r c e ro s en las p o sic io n e s a u y a 31, y d esp u és d esarro lle a través d e la p rim e ra co lu m n a. 3

10

-5

1

6

-3

2

3

4

A h o ra se resu m e n las cin co p ro p ie d a d e s de d eterm in a n te an a liz ad a s en la tabla 1 p ara u n a referen c ia conven ien te. A u n q u e estas p ro p ied a d es se cu m p len p a ra d eterm in a n tes de c u a lq u ie r orden, p o r s im p lic id a d se ilu strará cad a p ro p ie d a d en té rm in o s de u n d e te rm in a n te de segund o orden.

asumen de las propiedades de los determ inantes Ejemplos

Propiedad Si cada elemento de cualquier renglón (o columna) de un determinante se multiplica por una constante k, el nuevo determinante es k veces el original.

2. Si cada elemento en un renglón (o columna) es 0, el valor del determinante es 0.

2a c

a 2b =2 d c

a

b

c

d

a

b

0

0

3a 3c

b d b d

=0

=0

3. Si dos renglones (o dos columnas) de un determinante se intercambian, el nuevo determinante es el negativo del original.

=0

4. Si los elementos correspondientes son iguales en dos renglones (o columnas), el valor del determinante es 0.

5. Si se suma un múltiplo de cualquier renglón (o columna) de un determinante a cualquier otro renglón (o columna), el valor del determinante no cambia.

Respuestas a los problemas seleccionados 3

1. 3

2

1

1 -3 0 -5

2. 44

a c

a =0 c b

a c + ka

d + kb

a + kb c + kd

b d

9-5

9-5

EJERCICIO

Para cada postulado en los problemas del I al 10, identifique el teorema de esta sección que lo justifique. No lo evalúe.

9. 10.

3

0

-2

0

5

- 1

OO

7.

2.

2 1 -4 1 = 6 4 -3 4

3. 5.

1 -1

0

4

3

1

2

3 5

2

4. 4

-1 0

12 1

0

9 1

0

1

6

9

-1

-1 X 2 2

12.

-1 5

3 -2

—

-1 x

3 13

27.

29.

30. h d

=

4 3

b+ d d

0 -1 3

2 0 4 -8 1 1

2 1 0 0 = 4 3 -1 1 3 2

1 0 2

1 2 0 1 3 0 = 0 0 1 0 5 1 7 0 8

13 12 15

4 2 -3

2 0 5

-1 2 -2

7 -3

7 -3

1 11

2

2

0

5 7

-2 1

13 12

4 -4 2+ 8 -3 -8

2 0 5

-1 2 -2

10

use las propiedades de los determinantes analizados en esta sección para evaluar cada determinante en los problemas del 15 al 20. d b

8 12 4

1 2 4 = -6 0 1

»O

x

-1 0 3 2 x 4 1 5 2

a a —b 19. c c —d

-I

o

1 3

26.

28.

10

2

a c

a +c c

I

-2

0

Dado que

17.

-2

OO

-1

1 1 3

c a

1

1 0 25. - 2 3 - 2 1 0

2

15.

20 1 -1 -3 1 2

2 1

2

14.

24.

0

3+4 5+2

1 1 3

-1

23.

-1 2 0 2 1 10 5 1 3

Para cada postulado en los problemas del 25 al 30, identifique el teorema de esta sección que lo justifique.

2

13.

5

22.

32

2

-1

-1 0 3 2 5 4 1 5 2

4 -4 1

3 -4

2

21.

B

En los problemas de! l i a ! 14, se usó el teorema 5 para trans formar el determinante a la izquierda en el de la derecha. Reemplace cada literal x con un número adecuado para com pletar la transformación. 11 .

En los problemas del 21 al 24, transforme cada determinante en uno que contenga un renglón (o columna) con todos los elementos cero excepto uno, si es posible. Después expanda el determinante transformado por este renglón (o columna).

-7 = 0 0

6

5 8

1 3 = -3 0 2

3 = -4 2 1

-1 2

6.

= 0

1

1 -9 1 Os

8 2 = 8 0 -1

O

16 1. 0

707


16.

2a c

2b d

18.

a+b c+ d

En los problemas del 31 al 34 se usó el teorema 5 para trans formar el determinante de la izquierda en el de la derecha. Reemplace cada literal x y y con un número adecuado para completar la transformación.

31. b d

a+ c b+ d 20. -a - b

3 32. - 2 1

1 4

-1 1

0 5

-1 1

2

-2

y

-2

-1 4 5

0 - 1 0 4 * 5

0 7 y

708

33.

9


7

9

4

2

3

1

3

4

- 2

2 1 -3

5 3 34. -4

X

0

2

3

1

7

>’

0

-1 =

X 3 2 = 3 5 5

«i

48.

b,

a¡ +

Ci

bz

—

í>3 Ci

0 1

-1 2

o

y

36.

- 1 5 2 3 3 2

1

y 2 5 -3 4 X

3 39. 6 9

-3 4 3

5 38. - 1 4

-4 * 1 2 -1 2 3

0 1 1 -2 41. 2 1 1 2

0 4 5 1

1 3 4 2

40.

2 5 -4

42.

2 3 0 - 1

ci

i

1 = 0 1

Demuestre que

1 1

y 2 3 - 1 2 X

5 2 4 37. - 2 1 -1

bi

Sin desarrollar, explique por qué (2, 5) y (—3,4) satisfacen la ecuación

En los problemas del 35 al 42, transforme cada determinante en uno que contenga un renglón (o columna) con todos sus elementos cero excepto uno. si es posible. Después expanda el determinante transformado por este renglón (o columna). 1 5 3 35. 4 2 1 3 1 2

fe .

a2 + kc-. b2 C2 a , + kc3 b3

3

-6 4 1 3 -6 3

4 -6 3 1

5 2

- 1 7 2

1 1 = 0

1

es la ecuación de la recta que pasa por (2, 3) y ( Demuestre que

1 - ! 2 1 4 0 3 0

x x,

y y,

1 1 = 0

*2 >2 1 es la ecuación de la recta que pasa por (.*,,>>,) y (xY y 2).

Transforme cada determinante de los problemas 43 y 44 en tino que contenga un renglón (o columna) con todos sus ele mentos cero excepto uno, si es posible. Después expanda el determinante transformado por este renglón (o columna) 3 3 43. 2 4

2 -2 1 5

3 8 3 4

1 5 1 -3

- 1 4 5 -1 44. 2 -1 3 -3

2 -3 -2 3

1 -1 3 3

Los problemas del 45 a 48 son casos representativos de los teoremas analizados en esta sección. Use expansiones por cofactor para verificar directamente cada postulado, sin ha cer referencia al teorema que representa. 45.

b a e d = 0 h

ÜJ by

a b e d e f g h i

l II

47.

y¡ 1 *2 >2 > *3 y3 1 Use este resultado para encontrar el área de un triángulo con vértices ( - 1 ,4 ) , (4, 8) y (1, 1). ¿Qué se puede comentar acerca de los tres puntos (x,,>•,) y (x,, >j) si la ecuación siguiente es válida? X, *2 *3

>1 1 >’2 1 = 0 >'3 1

[Sugerencia: Véase problema 52.]

8 II

46.

b ke h

En geometría analítica se puede demostrar que el área de un triángulo con vértices (xr >•,), (x2, y\) y (x3, y }) es el valor absoluto de

b¡ fl| b2 a2 bi a^

Si los tres puntos (x,, y,), (x,, y 2) y (x}, v,) están sobre la misma recta, ¿qué puede comentar acerca del valor del determinante que sigue? Xi >'i x2 y 2

1 1 i

9-6 Regla de Cramer

SECCIÓN

9-6

709

Regla de Cramer Dos ecuaciones y dos variables Tres ecuaciones y tres variables Ahora se verá cóm o los determ inantes surgen de m anera natural en el proceso de solu ción de sistem as de ecuaciones lineales. Se com ienza por exam inar dos ecuaciones y dos variables, y después se am plían los resultados a tres ecuaciones y tres variables. En lugar de pensar en cada sistem a de ecuaciones lineales con dos variables com o un problem a diferente, veam os qué sucede cuando se intenta resolver el sistem a general a ux + a n y = k¡

(1A)

a2¡x + a 22 y = k2

(IB)

una vez y para todos, en térm inos de las constantes reales no especificadas a u , a r , «,,, a 22, *,

y k..

Se procede m ultiplicando las ecuaciones (1A) y (IB ) por constantes adecuadas, de m anera que cuando se sum en las ecuaciones resultantes, lado izquierdo con lado izquierdo y lado derecho con lado derecho, se elim ina una de las variables. Suponga que se escoge elim inar y. ¿Qué constante se debe usar para hacer que los coeficientes de y sean iguales excepto en los signos? M ultiplique la ecuación (1A) por a22 y (IB ) por —a |2; después sume: A): —Oi2(1B):

ü íla22x + d \2a22y — k\ü22 —a21a 12x — &\2ci22y ~ ~ k 2a i2_____ a n a22x - a2la 12x + Oy = k xa22 - k2a ¡2 (<*11 <*22 ~ a 2 l a \ 2 ) X = k¡ü22 — k2a X2 _

^\a22 ~ k2a l2

a \\a22

ü2\a \2 • 0

¿Q ue le recuerda el num erador y el denom inador? Con base en su experiencia con determ inantes adquirida en las dos. últim as secciones, usted debe reconocer estas ex presiones com o ki L

a 22 <1X2 «22

De m anera similar, com enzando con el sistem a (1 A) y (IB ) y elim inando x (se deja esto com o ejercicio), se obtiene

y =

an

kx

a2l

k2

---------

<*11 <*12 <*21 <*22

710

9 Matrices y determinantes

Estos resultados se resum en en el teorem a 1, regla de C ram er, que lleva este nom bre en honor del m atem ático suizo G. C ram er (1704-1752).

Teorema 1

Regla de Cram er para dos ecuaciones y dos variables Dado el sistem a

a ux + a x J = K a2¡x + a22y = k2

con

D

* 0

entonces

II 1

a !2 a22

1

*. k2 D

flii *i a2l K D

El determ inante D se llam a determ inante coeficiente. Si D ¥= 0, entonces el sis tem a tiene exactam ente una solución, que es la dada por la regla de Cramer. Si, por otro lado, D = 0, entonces se puede dem ostrar que el sistem a puede ser inconsistente y no tener soluciones o dependiente y tener un núm ero infinito de soluciones. Se debe usar otros m étodos, tales com o los analizados en el capítulo 8, para determ inar la naturaleza exacta de las soluciones cuando D = 0.

EJEMPLO 1

Solución de un sistema con la regla de Cram er Resuelva m ediante la regla de Cramer:

Solución

D

3

-5

-4 2

3

3.r - 5v = 2 - 4 x + 3y = - 1

11

-5

3

J ____ 3 -11

P ro b lem a seleccionado 1

-4 11

R esuelva m ediante la regla de Cramer: —


2 -1 11

3x + 2y = —4 + 3>- = —10

4 x

R ecuerde que un sistem a de ecuaciones lineales debe ser cero, uno o tener un núm e ro infinito de soluciones. A nalice el núm ero de soluciones para el sistem a

9-6 Regla de Cramer

711

ax + 3y = b 4x + 2y - 8 donde a y b son núm eros reales. Use la regla de C ram er donde sea adecuado o de otra form a use la elim inación G auss-Jordan. _

• T r e s e c u a c io n e s y t r e s v a r ia b le s

L a regla de C ram er se puede generalizar com pletam ente para cualquier tam año de sis tem a lineal que tenga el mism o número de variables y ecuaciones. Sin em bargo, no se puede usar para resolver sistem as donde el núm ero de variables no sea igual al núm ero de ecuaciones. En el teorem a 2 se estableció sin prueba la regla de C ram er para tres ecuaciones y tres variables.

Teorema 2

Regla de Cram er para tres ecuaciones y tres variables D ado el sistem a a uX +

+ fll3Z = *1

a2\X + Ü2 ^ + a23Z = k2 aMx + a32y + a33z =

con

D =

au

«12

«13

a2¡

«22

«23 * 0

«31

«32

«33

entonces n

^12

22

23

21

^22

32

«33

31

ai2

*i k2

X =

D

D

D

Se puede recordar fácilm ente estas fórm ulas de determ inantes para x, y y 2 si se observa lo siguiente: 1.

2.

El determ inante D se form a a partir de los coeficientes de x , y y z, m anteniendo la m ism a posición relativa en el determ inante que se determ inó en el sistem a de ecuaciones. El determ inante D aparece en los denom inadores para x, y y z.

3.Se puede obtener el num erador para x a partir de D al reem plazar los coeficientes de x (a x,, a 2|, a }1) con las constantes k v k2 y k}, respectivam ente. Se pueden estable cer postulados sim ilares en el caso de los num eradores para y y z.

Solución de unsistema con laregla de Cram er R esuelva m ediante la regla de Cramer: x + y = 2 3y — z = —4 x + z= 3

712


Solución 1

1

D = 0

3

1

0

0 -1

=2

1

2 -4 3

1

0

i

3

1

0

0

1

2 1

1

0

3

1

0

7 2

i

y -

2 -4 3

0 -1 1

2

2 -4 3

2

1 2

Resuelva m ediante la regla de Cram er: 3* —z = 5 x - y + z = 0 x + y = 1

En la práctica, la regla de C ram er se usa ocasionalm ente para resolver a m ano sistem as de orden superior a 2 o 3, ya que se dispone de m étodos m ás eficientes para usarse en com putadora. Sin em bargo, la regla de C ram er es una herram ienta valiosa en las m atem áticas teóricas y aplicadas m ás avanzadas.


-ié i?

EJERCICIO

iy

9-6

A

B

Resuelva los problemas del I al S mediante la regla de Cramer.

Resuelva los problemas del 9 al 12 con dos dígitos significati vas mediante la regla de Cramer

1. a- + 2y = 1 x + 3y = —1

2. x + 2y = 3 x + 3y = 5

3. 2x + y = 1 5a- + 3y = 2

4. x- 3v 2 k ■ 8y

5. 2x — y = — —x + 3y =

6. —3x + 2y = 1 2x - 3y = - 3

7. 4x ■ 3y = 4 3x ■ 2y = - 2

8. 5.v + 2y = -1 Ix - 3 y =

9. 0.9925* - 0.9659y = 0 0.1219* + 0.25 88y = 2.500

2

10. 0.9877* - 0.9744y = 0 0.1564* + 0.2250y = 1,900 11. 0.9954* - 0.9942y = 0 0.0958* + 0.1080)’ = 155 12. 0.9973* - 0.9957y = 0 0.0732* + 0.0924y =112

9-6 Regla de Cramer

Resuelva los problemas del 13 al 20 mediante la regla de Cramer: 13.

x + y = 0 2y + z = - 5 + z= -3 —x

15. x +

17.

y =1 2y + z = 0 —y + z = 1

14.

16.

*+ y = —4 2y + z = 0 —x + z = 5

18. x —z = 3 2x — y = -3 *+ y+ z= 1

2y - z = - 3 y - z= 2 y + 2z = 4

20. 2x + y = 2 x - y + z = -1 * + y+ z= 2

19. xx-

30. (Omita este problema si aún no ha estudiado trigonometría.) Los ángulos a . [3 y 7 y los lados a, b y c de un triánguio (véase la figura) satisfacen C = b eos et + a eos (3

* + 3y = -3 2y + 2 — 3 —x + 3z = 7

3y + z = —1 * + 2z = 3 x - 3y = -2

713

b = c eos oí

+ a eos 7

a =

c eos (3 + b eos 7

Use la regla de Cramer para expresar eos a en términos de a, b y c, para ello deduzca la conocida ley de los cosenos de la trigonometría:

u ~

b2 + c2 2bc

c _________________________ En los problemas 21 y 22, use la regla de Cramer para despe jar sólo x. 21.

2x - 3y + z = - 3 22. -4 x + 3y + 2z = —11 x - y - z= 3

* + 4y - 3z = 25 3* + y — z — 2 - 4 x + y + 22 - 1

c= b

eos a. + a eos 3

En los problemas 23 y 24, use la regla de Cramer para despe jar sólo y. APLICACIONES

23. 12x - 14y + 11z = 5 15*+ 7y — 9z = —13 5x — 3y + 2z = 0 24.

31. Análisis de ingresos. Un supermercado vende dos tipos de café: el tipo A a %p por libra y el tipo B a Sq por libra. Las ecuaciones para la demanda diaria de los tipos A y B son, respectivamente,

2x - y + 4z = 15 - x + y + 22= 5 3* + 4y — 2z = 4

x = 200 - 6p + 4q

En los problemas 25 y 26, use la regla de Cramer para despe ja r sólo z. 25.

y = 300 + 2p — 3q (ambas en libras). Los ingresos diarios R están dados por

3x —4y + 5z = 18 —9x + 8y + 7 z = -1 3 5* —7y + lOz - 33

R = xp + y q

26. 13* + lly + lOz = 2 10* + 8y + 7z = 1 8* + 5y + 4z = 4 Es claro que x = 0, y = 0, z = 0 es una solución de cada uno de los sistemas dados en los problemas 27y 28. Use la regla de Cramer para determinar si esta solución es única. [Sugeren cia: Si D 0, ¿qué se puede concluir? ¿ Y si D = 0?J 27. * - 4y + 9z = 0 4* — y + 6z = 0 * — y + 3z = 0

W

28.

29. Pruebe el teorema 1 para y.

3* - y + 3z = 0 5* + 5v —9z = 0 —2* + y —3z = 0

(A) Para analizar el efecto del cambio de precio en los ingresos diarios, un economista desea expresarlos in gresos diarios R sólo en términos de p y q. Use (1) para eliminar x y y en la ecuación de R. de manera que los ingresos diarios se expresen en términos dep

y< ?■ (B) Para analizar el efecto de los cambios en la demanda sobre los ingresos diarios, el economista desea ahora expresarlos sólo en términos de * y y. Use la regla de Cramer para resolver el sistema (1) en p y q en términos de * y y, y después exprese los ingresos diarios R en términos de * y y.

714


y y es la demanda semanal para las bicicletas de tres velocidades. El ingreso semanal R está dado por

32. Análisis de ingresos. Una compañía fabrica bicicletas de diez y tres velocidades. Las ecuaciones por la demanda semanal son

R = xp + yq p = 230 - lO.v + 5)' (2)

(A) Use (2) para expresar el ingreso diario sólo en términos de ,r y y. (B) Use la regla de Cramer para resolver el sistema (2) para x y v en términos de p y q, y después exprese el ingreso diario R sólo en términos de p y q.

q — 130 + 4.r —4y donde %p es el precio de una bicicleta de diez velocidades, Sq es el precio de una bicicleta de tres velocidades, x es la demanda semanal para las bicicletas de diez velocidades,

ACTIVIDADES EN GRUPO DEL CAPÍTULO 9 Uso de m atrices para encontrar costo, ingreso y ganancia

Un distribuidor de juguetes compra componentes para diferentes modelos de trenes a varios proveedores y los empaca en tres diferentes conjuntos de trenes listos para usarse: el de colección, el imperio y el cometa. Los componentes usados en cada conjunto se enlistan en la tabla 1. Por conveniencia, el tiempo total de trabajo (en minutos) necesario para preparar un conjunto para envío se incluye como un componente. TABLA 1 Conjunto de trenes Componentes

De colección

Imperio

Cometa

Locomotoras

1

1

2

Vagones

5

6

8

20

24

32

1

2

4

Partes de vías Interruptores de vías Unidad de potencia Mano de obra (por min)

1

1

15

18

1 24

Los costos actuales de los componentes se indican en la tabla 2, y los precios de venta al distribuidor para los conjuntos se dan en la tabla 3. TABLA 3

TABLA 2 Componentes

Costo por unidad

Locomotoras

$12.52

P r e c io s d e v e n t a

Conjunto

Precio

De colección

S54.60

Vagones

$1.43

Imperio

S62.28

Partes de vías

$0.25

Cometa

$81.15

Interruptor de vías

$2.29

Unidad de potencia

$12.54

Mano de obra (por min)

$0.15


En la tabla 4 se muestra el pedido que ha recibido el distribuidor de una tienda de juguetes al menudeo.

TABLA 4

P e d id o d e l c lie n te

Conjunto

Cantidad

De colección

48

Imperio

24

Cometa

12

El distribuidor desea guardar la información de cada tabla en una matriz y usar operaciones matriciales para encontrar la información siguiente: 1. El inventario (partes y mano de obra) requerido para completar el pedido. 2. El costo (partes y mano de obra) para cubrir el pedido. 3. El ingreso (ventas) obtenido del cliente. 4. La utilidad obtenida en el pedido. (A) Use sólo una literal para designar la matriz que representa cada tabla, y escriba las expresiones matriciales en términos de esas literales de manera que proporcione la información requerida. Analice el tamaño de la matriz que se debe usar para representar cada tabla de manera que estén definidas todas las operaciones matriciales pertinentes. (B) Evalúe las expresiones matriciales del inciso (A). Un poco después de completar el pedido de la tabla 4, un proveedor informa al distribuidor que ya no se tienen disponibles los vagones y locomotoras que se usan en esos conjuntos de trenes. El distribuidor tiene actualmente en existencia 30 locomotoras y 134 vagones. (C) ¿Cuántos conjuntos de trenes de cada tipo puede producir el distribuidor usando todas las locomotoras y vagones disponibles? Suponga que el distribuidor tiene cantidades ilimitadas de los otros componentes que se usan en estos conjuntos. (D) ¿Qué utilidad obtendrá el distribuidor si se venden todos los conjuntos? Si hay más de una forma para usar todas las locomotoras y vagones disponibles, ¿cuál producirá la máxima ganancia?

Repaso del capítulo 9 Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y sus ele—entos correspondientes son iguales. La suma de dos matrices del mismo tamaño es una matriz con elementos que son las rimas de los elementos correspondientes de las dos matrices cadas. La suma matricial es conmutativa y asociativa. Una satriz sólo con elementos cero se llama matriz cero. El negatiro de una matriz M, denotada por —M, es una matriz con elementos que son los negativos de los elementos en M. Si A y 5 son matrices del mismo tamaño, entonces se define la resta : 3mo sigue: A — B = A + ( —5). El producto de un número k

y una matriz M, denotada por kM, es una matriz formada al multiplicar cada elemento de M por k. El producto de una matriz renglón 1 X n y una matriz columna n X 1 es una matriz 1 X 1 dada por

l * n r 2

b, b7

1x í = [fljé. +

+ • • • + a„b„]

716


Si A es una matriz m X p y B es una matriz p X n, entonces la matriz producto de .4 y B. denotada AB, es una matriz m X n cuyo elemento en el zesimo renglón y la j'ésima columna es el número real obtenido del producto del zesimo renglón de A y la yesima columna de B. Si el número de columnas en A no es igual al número de renglones en B, entonces el producto malricial AB no está definido. La multiplicación matricial no es conmutativa, y la propiedad cero no se cumple para la multiplicación matricial. Es decir, para las matrices .4 y B, el producto matricial AB puede ser cero sin que A o B sean la matriz cero.

Propiedades combinadas Distributiva por la izquierda: A(B + C) = AB + AC Distributiva por la derecha: (B -l- C)A - BA + CA Igualdad Suma: Multiplicación por la izquierda: Multiplicación por la derecha:

Si A = B, entonces A + C = B + C. Si A

= B, entonces CA = CB.

Si/I

= B. entonces AC = BC.

Un sistema de ecuaciones lineales con el mismo número de variables que dé ecuaciones tal como MATR

anx, + aX2x2 + fluJCj = ¿i

'RADA

£22,*] La matriz de identidad para la multiplicación en el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n es la matriz cuadrada de orden n, denotada por /, con unos a lo largo de la diagonal principal (desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha) y ceros en los lugares restantes. Si M es una matriz cuadrada de orden n, e / es la matriz de identidad de orden n, entonces IM = MI = M

<222*2

<2}i*i ‘ <232*2

entonces M ' se llama inversa multiplicativa de M o, de manera más simple, inversa dc.W. Si la matriz aumentada [M|/] se transforma mediante operaciones de renglón en [IB], entonces la matriz resultante B es M ~ \ Si, sin embargo, se obtienen sólo ceros en uno o más renglones a la izquierda de la raya vertical, entonces M~' no existe y M se conoce como matriz singular.

lUACi

PATRICIALES Y SISTEMAS

I IMF Ai Las siguientes propiedades de matrices son fundamentales en el proceso de solución de ecuaciones matriciales. Suponga que todos los productos y sumas están definidos para las matrices indicadas A, B, C, I y 0, entonces:

Asociativa: Conmutativa: identidad aditiva: inverso aditivo:

(A + B) + C = A + (B + Q A + B= B+A A+ 0= 0+ A= A A + (~ A ) = { - A ) + A = 0

Propiedades de multiplicación Propiedad asociativa: Identidad multiplicativa: Inversa multiplicativa:

A(BC) = (AB)C AI — IA = A SL4 es una matriz cuadrada y ,4 ~' existe, entonces AA '• = A~'A = I.

a33xl ~ ^3

X

A

8

°I3 V V ¿?21 <^22 ^23 *2 = k 2 _<2.-51 a 32 a33. .*3. A. a ll

°\2

Si existe la inversa de A, entonces la ecuación matricial tiene una solución única dada por X = A~'B Después de multiplicar B por A ~1 desde la izquierda, es fácil leer la solución del sistema original de ecuaciones. 9-4

DETERMINANTES

Con cada matriz cuadrada A hay asociado un número real llamado determinante de la matriz. El determinante de A se denota por det A, o simplemente escribiendo el arreglo de los elementos e n ^ usando líneas verticales en lugar de corchetes. Por ejemplo, det

«ii (i |2 -«2. o22.

au «12 ^21 a22

Un determinante de orden n es un determinante con n renglones y n columnas. El valor de un determinante de segundo orden es el número real dado por £2,2

Propiedades de suma

^2

se puede escribir como la ecuación matricial

Si M es una matriz cuadrada de orden n, y si existe una matriz M~[ (léase “inversa de M”) tal que M 'M = MM~' = I

<223*3

1^22

^21^12

°2 2

El valor de un determinante de tercer orden es la suma de los tres productos obtenidos al multiplicar cada elemento de cualquiera de los renglones (o cada elemento de cualquier columna) por su cofactor. El cofactor de un elemento o (del íésimo renglón y la /ésima columna) es el producto del menor de a., y (—1) ' ' J. El menor de un elemento a., es el determinante restante después de eliminar el /ésimo renglón y la yésima columna. Se puede usar un proceso similar para evaluar los determinantes de orden mayor que 3.


9-5

PROP

ADES OE LOS

fERMlNANTES

determinantes y la regla de Cramer. La regla de C ram er para tres ecuaciones y tres variables es como sigue: Dado el sistema

El uso de las siguientes cinco propiedades de los determinantes puede reducir considerablemente el esfuerzo para evaluar determinantes de orden 3 o mayores: 1.

2.

Si cada elemento de cualquier renglón (o columna) de un de terminante se multiplica por una constante k, el nuevo deter minante es A"veces el original.

2a c

Si cada elemento en un renglón (o columna) es 0, el valor del determinante es 0.

a 0

717

2b a = 2 c d

a b c d

b d

3a b 3c d

£7,1* + a,2>'+ a ,3z = A, ill 1* +

C?22y+ Cl2yL —¿2

a 3,x

a 32y

+

con

D=

* 0 a31 a32

+ a 33z = k ¡

o33

entonces al2 <¡n a2 #22 #23 A, a 52 a33 D

b = 0 0

A,

#13 a2¡ ¿2 a23 a3! a3 a3i D

«ii a12 Ai «21 a22 Ai ÖJI üy2 A3 D

= 0 3.

4.

5.

9-6

c d a b

Si se intercambian dos renglo nes (o dos columnas) de un determinante, el nuevo determi nante es el negativo del original. Si los elementos correspon dientes son iguales en dos ren glones (o columnas), el valor del determinante es 0.

b a d c a a

b = 0 b

a a c

c

1. El determinante D se forma de los coeficientes x, y y z, manteniendo la misma posición relativa en el determinante que se determinó en el sistema de ecuaciones. 2.

El determinante D aparece en los denominadores para .y, y yz-

3.

El numerador para x se puede obtener a partir de D reemplazando los coeficientes de .v(aP. a,,, a31) con las constantes k.. k2 y A\, respectivamente. Se pueden establecer postulados similares para los numeradores en y y z.

= 0

Si se suma un múltiplo de cual quier renglón (o columna) de un determinante a cualquier otro renglón (o columna), el valor del determinante no cambia. RE<

La regla de Cramer se puede generalizar de manera completa para cualquier tamaño de sistemas lineales que tengan el mismo número de variables que de ecuaciones. Las fórmulas son fáciles de recordar si se toma en cuenta lo siguiente:

c + ka d + kb a + kb b c + kd d

CRA

Sistemas de ecuaciones que tienen el mismo número de variables que de ecuaciones se pueden resolver también usando

La regla de Cramer rara vez se usa para resolver, a mano, sistemas de orden mayor de 3, ya que se dispone de métodos más eficientes. La regla de Cramer, sin embargo, es una herramienta valiosa en matemáticas teóricas y aplicadas más avanzadas.

Ejercicio de repaso del capítulo 9 Al trabajar con los problemas de este capítulo revise y com pruebe sus respuestas con las que se dan al final del libro. Se incluyen todas las respuestas a los problemas de repaso, y des pués de cada respuesta está un número en tipo itálico que indi ca la sección a la que pertenece el problema que se está analizando. Si se le presentan dudas repase las secciones co rrespondientes en el texto.

7. DC

8. CD

9. C + D

10. Encuentre la inversa de A=

3 2 4 3

Demuestre que A ~''A = I. 11. Escriba el sistema En los problemas del 1 al 9, realice las operaciones que se indican, dadas las siguientes matrices: '1 A = ,3

2 l_

'2 B= . 1

f 1.

C = [2

3]

T D= .2.

1. .4 + B

2. B - D

3. A - 2B

4. AB

5. AC

6. AD

3.V, + 2x2 = k , 4.v, + 3a'2 = k2 como una ecuación matricial, y resuelva mediante la inversa determinada en el problema 10 para: (A) k , = 3, k2 = 5 (B) A, = 7. As = 10 (C) A, = 4, A; = 2

718


23. Escriba el sistema + 2.1% • 3.\ —k¡

E valú e los d e te rm in a n te s en lo s p ro b le m a s 1 2 y 13.

+ ~

3

13.

’J

1

2

1

12. \

2

3

0

5

1

-4

3.V-.

4- 4.í, = k>

.V, -

" I 0

_ 11 com o una ecu ación m atricial. y resuelva m ediante la inversa determ inada en el problem a

14. R esu elva el sistem a m ediante la regla de Cramer:

3-v - 2v =

8

.v + 3v =

En lo s p ro b le m a s 2 4 y 2 5 e va lú e los determ in an tes.

i

24. b

< ■

d

e h

i

8

para:

1

15. U se las propiedades de lo s determ inantes para encontrar cada uno de lo s sigu ien tes, dado que

a

22

(A) k , = l.A, = 3. A> - 3 (B) k, = 0, k, = 0, kx - - 2 {(') k ¡ ~ " 3 . k? ~ - 4 . A, — 1

—1

]

- 3 ? 1 -2

2

2 4

.i

4 ; i : 2

25.

= 26. R esu elv a só lo para y m ediante la regla de Cramer:

.?

h

i

a

3/>

c

v - 2v 1- : - - 6

d

e f b c

(B) d

3e

f

y —r =

1a

3

i

a

h a +b+ c

(C)

a

d

e

d —e + f

$

lì

fi + li + i

2 .v

+

2y

4

- r =

2

(E n c u e n tr e p rim ero el n u m erad or y el d en o m in a d o r: desp u és sim p lifiq u e .) A n a lic e el núm ero de so lu c io n e s para un sistem a de n ecu a cio n es en n variables si la matriz de c o eficien tes: (A ) T ien e una inversa.

B En lo s p r o b le m a s d e l 16 a l 21, re a lic e la s o p e ra c io n es q u e s e indican, d a d a s las m a tric e s sig u ien tes:

(B ) N o tiene una inversa.

Si A e s una niatrí? cuadrada diferente de cero de orden n que satisface A 1 = 0. ¿puede existir A *? Explique.

■- r

.4 -

1 3

D =

0 2.

3

2

B =

C ~ [2

i

3]

3

-2 1

f

r L.

—

—

2

3 .-1

—4 0

2 9 . Para las m atrices A y C, n X_n>y m atrices colu m na R y X\ n X 1, d e sp e je X su p on ien d o que existan todas las inversas necesarias:

AX - B - CX. 16. .4 + D

17. E + DA

18. DA

19. CD

20. CB

21. AD - BC

3 0 . Encuentre la inversa de

22. Encuentre la inversa de

1 2

2 3 3 4

1

2 1

D em uestre que A 'A = 1.

.4 =

4

5

4

5

D em uestre que A lA — I.

6 -6

Ejercicio de repaso del capitulo 9

31. Elimine los decimales en el sistema

/ IV

Requerimientos de mano de obra por hora Departamento Departamento Departamento de fabricación de ensamble de empaque

0.04.V, -

0.Ü5.V, +0.06.V, -

360

0.04.V, -

0.05a, - 0.06a, ^

120

.V, +

.y, +-

.Vi= 7 000

multiplicando las dos primeras ecuaciones por 100. Después escriba el sistema resultante como una ecuación matricial y resuelva mediante la inversa determinada en el problema 30.

32.

-1 5 T —3

4 - 1 1 3

1.7 h 0.9 h

33. Demuestre que 1» !ir

,j _ ¡i + kv v v| »• + k.\ a

.‘■4. Explique por qué los puntos (1,2) y (—1,5) deben satisfacer la ecuación

0.8 h 0.6 h

1.8 h

Escritorio Impresora

Salarios por hora Planta de Plantó de Carolina Carolina del Norte del Sur

H=

1 - 1 3 3

2.4 h

'S I 1.50 S9.50 . S5.00

S10.00' $8.50 S4.50.

Departamento de fabricación Departamento de ensamble Departamento de empaque

(A) Encuentre el costo de mano de obra para producir una impresora en la fábrica de Carolina del Sur. Analice las posibles interpretaciones de los elementos en la matriz de productos HI. y l.H. (C) Si cualquiera de los productos Hl. o LH tiene una interpretación significativa, encuentre el producto y marque sus renglones y columnas. 37. Costos por mano de obra. La producción mensual de computadoras de escritorio e impresoras de la compañía en el problema 36 en los meses de enero y febrero están dadas en las matrices J y F: Producción de enero Planta d e Planta de Carolina Carolina del N orte del Sur

Describa el conjunto de todos los puntos que satisfagan esta ecuación.

APLICACIONES

I 650 700_

Escritorios Impresoras

Producción de febrero Planta d e Planta de Carolina Carolina del N orte del Sur

W

35. A signación de recursos. Una compañía minera de Colorado opera minas en las localidades de Big Bend y Saw Pit. De la mina de Big Bend se extrae mineral que tiene 5% de níquel y 7% de cobre. De la de Saw Pit se extrae mineral que tiene 3% de níquel y 4% de cobre. ¿Cuántas toneladas de mineral se deben extraer de cada mina para obtener las cantidades de níquel y cobre de las listas en la tabla? Establezca una ecuación matricial y resuélvala mediante matrices inversas. Níquel

' l 500 850

Cobre

(A) 3.6 ton

5 ton

(B) 3 ton

4.1 ton

(C) 3.2 ton

4.4 ton

36. Costos por mano de obra. Una compañía con fábricas en el norte y sur de Carolina requiere de la mano de obra y salarios por hora que se indican en las matrices L y II para producir computadoras de escritorio e impresoras:

F =

1 700 930

1 810' 740.

Escritorios Impresoras

(A) Encuentre la producción promedio mensual para los meses de enero y febrero. (B) Encuentre el aumento en producción de enero a febrero. ' f (C) Encuentre./ e interprete. 38. Criptografía. L1 mensaje siguiente fue codificado con la matriz B que se muestra a continuación. Dceodifiquc el mensaje: 25 21

8 26 24 25 33 21 32 4! 52 52 79

«

-

I 1 I

41

10 0 1 I 1

48

41

30

50

720


Ejercicio de repaso acumulativo de los capítulos 8 y 9 Al trabajar con los problemas de este repaso revise y comprue be sus respuestas con las que se dan al final del libro. Se inclu yen todas las respuestas a los problemas de repaso, seguidas por un número en tipo itálico que indica la sección a la cual pertenece el problema que se está analizando. Si se le presen tan dudas repase las secciones correspondientes en el texto.

0

7. Evalúe:

2

0

1 3 2 -1 4 3

8. Escriba el sistema lineal correspondiente para cada una de las matrices aumentadas y resuelva: (A)

1. Resuelva usando sustitución o eliminación por suma:

3' -4 .

"1 0

(B)

-2 0

3" 0.

(C) 3* - 5y = 11 2x + 3y =

9.

1

Dado el sistema: x, + a-, —x. + x,

2. Resuelva mediante graficación: 2x — y = —4

(A) Escriba la matriz aumentada para el sistema. (B) Transforme la matriz aumentada en forma reducida. (C) Escriba la solución para el sistema.

3x + y = - 1 3. Resuelva mediante sustitución o eliminación por suma:

10. Dado el sistema: x, — 3x, = k{ 2x. — 5.v, = k2

x2 + y2 = 2

(A) Escriba el sistema como una ecuación matricial de la forma A X = fí. (B) Encuentre la inversa de la matriz de coeficientes A. (C) Use.4“ 1para encontrar la solución de A, = —2y k2 = 1. (D) Use.4~ 'para encontrar la solución de ^ = 1y£, = - 2 .

2x - y = 1 4. Resuelva mediante graficación:

3x + 5y s 15 x ,y — o

5. Encuentre el valor máximo y mínimo de z = 2x +■ 3y sobre la región factible S\

11. Dado ei sistema: 2x - 3y — 1 4x — 5>- = 2 (A) Encuentre el determinante de la matriz de coeficientes. (B) Resuelva el sistema usando la regla de Cramer.

y

1 (0, 10)

Use eliminación Gauss-Jordan para resolver el sistema • (6, 7)

x, + 3x_, = 10 2v|

(0,4)

Después escriba el sistema lineal representado para cada una de las matrices aumentadas en su solución, y resuelva cada uno de esos sistemas en forma gráfica. Analice la relación entre las soluciones de esos sistemas.

0) X ♦ (5, i i i i i

6. Realice las operaciones indicadas, dadas las matrices siguientes:

M

'2

1'

J

-3 .

P = í1 2 ] (A) M - 2N (D) MN

(B) P + Q (E) PN

.V — i» —

Q=

x-* — — 1

1

13. Use una rutina de intersección en un dispositivo de gra ficación para aproximar la solución del sistema siguiente con dos cifras decimales:

2'

—2x + 3y = 7

1 3.

3x + 4 v = 18

- 1 9

(C) PQ (F) QM

B Resuelva los problemas del 14 al 16 mediante eliminación Gauss-Jordan.

721


14.

15.

+ 2 y 2 — -Y., = 3 Xi + X-, = - 2 2x, + 3.v2 + Xt¡ — 0 .y,

-Y, -

.Y, =

4.V, + 6a'? = 6x■>+ 9x, =

25. Use un dispositivo de graficación para aproximar todas las soluciones reales a dos cifras decimales:

ZV; + X, = 1 2 x 2 ~ y, = —5

16. .Y, 3.v,

x* + 2xy - y- =

9x2 + 4 x y + y 2 = 15

En los problemas 17 y 18, resuelva cada sistema.

XV

—

19. Dada M = [\ (A) MN

2

A nalice el núm ero de soluciones para el sistem a correspondiente a la forma reducida que se muestra a continuación si

18. .y2 - 3xy + y2 = -1 X2 .YV =0

17. .y- - 3-Yv + 3 / = 1 1

(A) m = 0 y n (C) m * 0

Encuentre:

-1 ] y N =

2'

1

L=

.1

(B) m = 0

0

(B) NM '1 0 0

20. Dadas

'2

1

-1 2

0'

M =

1.

-1

N =

0 1.

1

Encuentre, si están definidas: (A)L M - 2N

2

f

.- i o.

+ 2y > 12

x + 2y s

Si una matriz cuadrada A satisface la ecuación A2 = A, encuentre A. Suponga que existe A~l. 28. ¿Cuál de las matrices aumentadas siguientes está en forma reducida? '1 L= 0 0

0 0 1 0 0 1

2 0

'1 M= 0 0

- 1 .

0 0 0' N= 1 0 2 0 1 -3 .

8

.y. y 2: 0 22. Resuelva el problema de programación lineal: Maximice

z = 4,y + 9y

Sujeta a

.y + 2y ^ 14

2" 6 n_

(B)ML + N

21. Resuelva de forma gráfica e indique si la región de solución es acotada o no acotada. Encuentre las coordenadas de cada punto esquina. 3 .y

0 --5 1 3 m 0

12

0

0 0 13

3' 2 0.

2

29. Demuestre que a c

2x + y s 16

P=

0 3 1 -2 0 0

b d

ka kc

b d

30. Demuestre que

,y.v> 0 a b c d

23. Dado el sistema: x, -I- 4x, + 2r, - k,

a c + ka

b d+ kb

2x. + 6jc2 + 3x. = k2 2x, + 5,v2 + 2.y.

k.

31. Si M =

(A) Escriba el sistema como una ecuación matricial en la forma A X = B. (B) Encuentre la inversa de la matriz de coeficientes A . (C) U se/1” 1para resolver el sistema cuando A'( = —1. = 2 y Aj = 1. (D) Use A~‘ para resolver el sistema cuando k í = 2, k2 = O y k . = - 1. 24. Dado elsistema:

x + 2y — z — 2x -i- 8y +

z=

—x + 3y + 5z =

1 —2 2

(A)Evalúeel determinante coeficiente D. (B) Despeje para 2 usando la regla de Cramer.

a b y det M =£ 0, demuestre que c d

APLICACIONES

'S "

32. Finanzas. Un inversionista tiene $12 000 para invertir. Si invierte una parte al 8% y el resto en una inversión de alto riesgo al 14%, ¿cuánto debe de invertir en cada tipo de interés para obtener el mismo rendimiento que habría obtenido si hubiera invertido todo al 10%?

722


33. Dicta. En un experimento que involucra a ratones, una zoóloga necesita una mezcla de alimentos que contiene, entre otras cosas, 23 gramos de proteína, 6.2 gramos de grasa y 16 gramos de humedad. Dispone de mezclas con las composiciones siguientes: La mezcla A contiene 20% de proteina, 2% de grasa y 15% de humedad; la mezcla B contiene 10% de proteína. 6% de grasa y 10% de hume dad; y la mezcla C contiene 15% de proteína, 5% de grasa y 5% de humedad. ¿Cuántos gramos de cada mezcla se deberán usar para obtener la mezcla de dieta deseada? 34. Compras. Un distribuidor de refrescos tiene un presupuesto de $300 000 para comprar 12 camiones nuevos. Si un modelo,4 de camión cuesta S18 000. un modelo B. $22 000 y un modelo C, S30 000, ¿cuántos camiones de cada modelo deberá comprar el distribuidor para usar de manera exacta los fondos de su presupuesto? 35. Geometría. Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un perímetro de 24 metros y un área de 32 metros cuadrados. 36. Fabricación. Un fabricante elabora dos modelos de bolsas de mano, uno estándar y uno de lujo. Cada modelo estándar necesita 0.5 horas de mano de obra del departamento de fabricación y 0.3 horas del departamento de cosido. Cada modelo de lujo emplea 0.5 horas de mano de obra del departamento de fabricación y 0.6 horas del departamento de cosido. El número de horas de mano de obra máximo disponible por semana en el departamento de fabricación y cosido es de 300 y 240, respectivamente. (A) Si la ganancia en una bolsa de mano estándar es S8 y la ganancia en una de lujo es S12. ¿cuántas bolsas de cada tipo se deben fabricar cada día para obtener la máxima ganancia? ¿Cuál os la máxima utilidad?

Analice el efecto en la planeación de la producción y la máxima utilidad si ésta disminuye S3 por cada bolsa de mano estándar y aumenta S3 por cada bolsa de mano de lujo. Analice el efecto en la planeación de la producción y la máxima ganancia si ésta aumenta a $3 en una bolsa de mano estándar y disminuye $3 por cada bolsa de mano de lujo. Promedios de exámenes. Un maestro aplica cuatro exámenes a una clase de cinco estudiantes y registra los resultados en la matriz siguiente: 1

Exámenes 2 3

4

Ana

'78

84

81

86

Roberto

91

65

84

92

Carolina

95

90

92

91

Daniel

75

82

87

91

Ernesto

83

88

81

76

Analice los métodos de la multiplicación matricial que puede usar el maestro para obtener la información indicada en los incisos (A) a (C). Establezca las matrices que se van a usar en cada caso y después realice las multiplicaciones necesarias. (A) El promedio de los cuatro exámenes para cada estudiante, suponiendo que los cuatro exámenes tienen igual valor. (B) El promedio de los cuatro exámenes para cada estu diante, suponiendo que los tres primeros tienen el mis mo valor y el cuarto vale el doble de cada uno de éstos. (C) El promedio de la clase en cada uno de los tres exá menes.

10-1

Sucesiones y series

10-2 Inducción matemática 10-3 Sucesiones aritm éticas y geométricas 10-4 Fórmula binomial 10-5 Principio de multiplicación, permutaciones y combinaciones Actividades en grupo del capítulo 10: Sucesiones especificadas por fórmulas de recurrencia Repaso del capítulo 10

*

•¡3x + 4! + 1

724

10 Sucesiones y series

Si alguien le pidiera hacer una lista de todos los números naturales que son perfec tos cuadrados, tendría que empezar por escribir. 1, 4, 9,

16, 25, 36

Pero usted pronto se daría cuenta de que es imposible enumerar todos los cua drados perfectos, ya que hay un número infinito. No obstante, esta colección de números se puede representar en muchas formas diferentes. Un método común es escribir 1,4,9,

nEN

donde N es el conjunto de números naturales. Una lista de números como ésta se llama generalmente sucesión. En este capítulo se estudian las sucesiones y los te mas relacionados con ellas. Uno de estos temas que implican un método de prueba al que se ha hecho referencia varias veces con anterioridad en este libro es la in ducción matemática. Este método nos capacita para probar conjeturas que impli can conjuntos infinitos de enteros sucesivos.

SECCIÓN

Sucesiones y series Sucesiones Series

En esta sección se introduce la notación y fórmulas especiales para representar y gene rar sucesiones y sumas de sucesiones.

Considere la función/ dada por fin ) = 2/7 - 1

( 1)

donde el dominio de/es el conjunto de números naturales N. Observe que /(1 ) = l , / ( 2 ) = 3 ,/( 3 ) = 5 . . . .

La función/es un ejemplo de sucesión. Una sucesión es una función cuyo dominio es un conjunto de enteros sucesivos. Sin embargo, a veces es difícil representar una suce sión en la forma de la ecuación (1). En seguida se describe una notación especial para las sucesiones que se ha desarrollado. Para empezar, los valores del rango f(n ) generalmente se simbolizan de manera más compacta mediante un símbolo como «„.Así, en lugar de la ecuación ( 1) se escribe a„ = 2n —

1

El dominio de una función se entiende como el conjunto de los números naturales ,¥a menos que se exprese lo contrario o el contexto indique otra cosa. Los elementos en el

10-1 Sucesiones y series

725

rango son llam ados térm inos de la sucesión: a, es el prim er térm ino, a 2 el segundo térm ino, y an el nésim o térm ino, o térm ino general: a a a

= 2( ) — 1 = 1 = 2( ) — i = 3 = 2( ) — 1 = 5

Primer térm ino S egu n d o térm ino Tercer térm ino

La lista ordenada de elem entos 1,3,5, . . . , 2 k -

1,...

en la cual los térm inos de una sucesión se escriben en su orden natural con respecto de los valores del dom inio, a m enudo es llam ada inform alm ente sucesión. Una sucesión se representa tam bién por la form a abreviada { a j . donde el sim bolo para el nésim o térm ino se coloca entre las llaves. Por ejem plo, se puede hacer referencia a la sucesión 1, 3, 5 , . . . , 2 n -

1, . . .

com o la sucesión {2r¡ - 1}. Si el dom inio de una función es un conjunto finito de enteros sucesivos, entonces la sucesión se llam a sucesión finita. Si el dom inio es un conjunto infinito de enteros sucesivos, entonces la sucesión anterior se llam a una sucesión infinita. La sucesión {2n - 1} anterior es un ejem plo de sucesión infinita.


La sucesión {2n — 1} es una función cuyo dom inio es el conjunto de núm eros natu rales, y se puede g raficar de la m ism a m anera que cualquier función cuyo dom inio y rango sean conjuntos de núm eros reales (véase la figura 1).

Gráfica de [2n - l). 2018 1614121086421 1 i >-<■■'» 1 1 ! 1 >X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(A) E xplique por qué la gráfica de la sucesión {2n — 1} no es continua. (B) Explique por qué los puntos de la gráfica de {2n Encuentre una ecuación para esta recta. (C) G rafique la sucesión

2rr - n + 1 n

2 n2 — n + ¡j.-,

1} están en una recta.

. ¿Cóm o se relacionan las gráficas de

726


A lgunas sucesiones se especifican por una fórm ula de recurrencia (es decir, una fórm ula que define cada térm ino en térm inos de uno o más térm inos anteriores). La sucesión que se eligió para ilustrar una fórm ula de recurrencia es una sucesión muy fam osa en la historia de las m atem áticas conocidas com o sucesión de Fibonacci. la cual recibió ese nom bre en honor del m atem ático m ás célebre del siglo XIII. Leonardo Fibonacci de Italia (11807-1250?).

EJEMPLO

La sucesión de Fibonacci Haga una lista de los prim eros seis térm inos de la sucesión especificada por a, -

1

«7 = 1

0, — ü, i + í7„_2 Solución

«1

=

1

a2

=

1

n >

“1

r

Ch «4

a2 + «i =

1 +

1

! = 2

t

= «:í

=

= o, +

= 3 + 2 ! = 5

!1 = 3

2 + 1

1

= cu + «4 = 5 + 3 ! I_____________________I

=

8

La fórm ula an = an _ , + an _ es una fórm ula de recurrencia que se puede usar para generar los térm inos de una sucesión en los térm inos anteriores. Por supuesto, al iniciar es necesario proporcionar los térm inos a. y a , ordenados para usar la fórmula. L as fó rm u la s de re c u rre n c ia son p a rtic u la rm e n te a d e c u a d a s para u sa rse con com putadoras y calculadoras (véanse los problem as 57 y 58 del ejercicio 10-1).


Enumere los prim eros cinco térm inos de la sucesión especificada por at = 4

a„ =

,

n >2

A hora se considera el problem a inverso. Esto es. ¿se puede definir una sucesión con sólo enum erar los prim eros tres o cuatro térm inos de la sucesión? ¿Y se pueden usar estos térm inos iniciales para encontrar la fórm ula para el «ésim o térm ino? En general, sin otra inform ación, la respuesta a la prim era pregunta es no. M uchas sucesio nes diferentes pueden com enzar con los m ism os térm inos. Por ejem plo, cada una de las siguientes sucesiones com ienza con los m ism os tres términos: 1, 3. 9 .....3"-'....

-

1. 3. 9 .....I + 2(n 1, 3, 9 .....8/; + —

n

l)2,...

— 19,..

.


727

Sin em bargo, éstas son ciertam ente sucesiones diferentes. Es necesario verificar que estas sucesiones concuertlan para los prim eros tres térm inos y difieren en el cuarto evaluando el térm ino general para cada sucesión en n = 1,2. 3, 4. En consecuencia, la sola enum eración de los tres prim eros térm inos, o cualquier otro núm ero finito de tér m inos. no especifica una sucesión particular, de hecho, se puede m ostrar que dada cualquier lista de m núm eros, hay un núm ero infinito de sucesiones cuyos prim eros m térm inos concuerdan con estos núm eros dados. A hora bien, en cuanto a la segunda pregunta que plantea ¿si dados unos cuantos térm inos se puede encontrar la fórm ula general para que al m enos todos los prim eros térm inos de una sucesión concuerden con los térm inos dados? La respuesta a esta pregunta es un calificado sí. Si se puede obser var un m odelo sencillo en los térm inos dados, entonces se puede construir un térm ino general que reproduzca el m odelo. El siguiente ejem plo ilustra este procedim iento.

Determinación del término general de una sucesión Encuentre el térm ino general de una sucesión cuyos prim eros cuatro térm inos son: (A) 5, 6, 7, 8 , . . .

Soluciones

(B) 2 , - 4 , 8, - 1 6 , . . .

(A) Ya que estos térm inos son enteros consecutivos, una solución es a r - n, n > 5. Si se quiere que el dom inio de la sucesión sean todos los núm eros naturales, enton ces otra solución es b n = n + 4. (B) Cada uno de estos térm inos se puede escribir com o el producto de una potencia de 2 y de una potencia de — 1: 2 = ( - i y ’2 1 - 4 = ( —1)'28 = (-l)^ - 1 6 = ( —1 )‘24 Si se elige que el dom inio sean todos los núm eros naturales, entonces una solu ción es

a„ = ( - 1 r

Probu ¡ -

'2"

Encuentre el térm ino general de una sucesión cuyos prim eros cuatro térm inos son: (A) 2. 4. 6. 8, . . .

(B) 1, - f ,

. ..

En general, usualm ente hay m ás de una m anera de representar el «ésim o term ino de una sucesión dada. Esto se vio en la solución del ejem plo 2(A). Sin em bargo, a m enos que se exprese lo contrario, se supone que el dom inio de la sucesión es el con junto de núm eros naturales N.

728



HCURA 2

V5 /1+ V5 V

La sucesión con término general b = ----- ----------- esta cercanamente reJacio' 5 V 2 ) nada con la sucesión de Fibonacci. Calcule los primeros 20 términos de ambas su cesiones y analice su relación. (Los valores de bv b2 y b3 se muestran en la figura 2.) d + T Í5 )> ^ 2 + ñ

1.618033989

J X S V S + fi

ñns+ñ

.7236067977 1.170820393 1.894427191

Sí u x, a y a ,,..., ar,... es una sucesión, entonces a la expresión a, + a , + + ... + a n + ... se le llam a serie. Si la sucesión es finita, la serie correspondiente es una serie finita. Si la sucesión es infinita, la serie correspondiente es una serie infinita. Por ejem plo

1,2,4,8,16

Sucesión finita

1 + 2 + 4 + 8 + 16

Serie finita

Esta sección del análisis se restringe a las series finitas. Las series a m enudo se representan en una form a com pacta llam ada notación de sum atoria usando el sím bolo el cual es una versión estilizada de la letra griega sigma. Considere los ejem plos siguientes:

2 k =

o, = a¡ + cu_ + <:/, +
^ V I- =r i I

ht = h¡ + b4 + bf + hh + /?7 » — . +

t¡-

ío

. j.

c\

. +

4-

c2

D o m in io es el c o n ju n to de enteros rnavores q u e o ¡quales a 0.

Los térm inos de la derecha se obtienen de la expresión de la izquierda al reem plazar sucesivam ente al índice de sum atoria con k enteros, se inicia con el prim er núm ero indicado abajo de ^ y se term ina con el núm ero que aparece arriba de De m anera que. por ejem plo, si se da la sucesión

I

I

I

_ L

2’ 4’ 8 " " ’ 2" la serie correspondiente es 1

1

1

--------{ - ------- (------------. . .

2

4

8

-f-

——

1 2”


729

o, en forma más compacta V _L A. >

Escritura de los términos de una serie 5 k —1 E scriba sin la notación de sum atoria: ^ -------l-1 k

v> £ -

Solución

1

I - '

2 - 1

3 - 1

4 - 1

5 - 1

/ , -------- — ----------- 1----------- H--------------- 1-----------+ ----------

",

k.

1

2

1 2 —

0

3

3

4

5

4

------- 1------- i------- ~ ~

2

3

? Escriba sin la notación de sum atoria: ^

4

5

(— 1)* O 2k + I

Si los térm inos de una serie son de m anera alternada positivos y negativos, ésta se llam a serie a lte rn a n te . En el ejem plo 4 se representa una serie de este tipo.

Escriba una serie en la notación de sumatoria E scriba las siguientes series usando la notación de sumatoria:

1_ i + i _ i + I _ I 2 + 3

4

5

6

(A) Inicie el índice de sum atoria en k = I . (B) Inicie el índice de sum atoria en k = 0. So lucio nes

(A) ( —l )*"1 proporciona el signo alternante, y 1¡k proporciona la otra parte de cada térm ino. A sí, se puede escribir £ (-!)* k que se puede verificar fácilm ente. (B) ( - 1)i: proporciona el signo alternante, y 1!{k + 1) proporciona la otra parte de cada térm ino. Por consiguiente, se escribe

730


y t-n * n i, k + i

como se puede verificar.

E scriba la siguiente serie usando notación de sumatoria: _ 2

4 _ _8_ _ ] 6

~~ 3 + 9 ” 27 ' 81 (A) Inicie con k — 1.


(B) Inicie con k = 0.

(A) Encuentre el núm ero más pequeño de térm inos de la serie infinita

1+ I +1 + -..+ I + ... 2

3

n

que cuando se sum en, el resultado sea un núm ero m ayor que 3. (B) Encuentre el núm ero m ás pequeño de térm inos de la serie infinita

1 + I + ... + -L + ... 2

4

2"

que cuando se sumen, se obtenga un núm ero m ayor que 0.99. M ayor que 0.999. ¿Puede la sum a e x c e d e rá 1? Explique.


EJERCICIO

1.

4. 2. 1,

4.

s h X k~l (A) 2 <-')*■ '( f j

2. (A) a„ = Zn

(B) a.. = < - t >"-'<§)"

\

1

Í2Y

10-1 9. Escriba el centesimo término de la sucesión del problema 3.

Escriba los primeros cuatro términos para cada sucesión en los problemas del 1 al 6 1. a, = n - 2 3. a„

n- 1 n -r

5. a„ = ( - 2 r 1

En los problemas del 11 al 16. Escriba cada serie en la forma desarrollada sin notación de sumatoria.

2 . a ,,. = « - 1 - 3

—

H

10. Escriba el término doscientos de la sucesión del problema 4.

'

11.

2k

i =I

»•I,(í;

f —IV" 1

6 . a „ = ------- :—

íi

7. Escriba el octavo término de la sucesión del problema 1. 8. Escriba el décimo término de la sucesión del problema 2.

12. 2 k-

15. ¿

( - 1)*

16. ^ ( - l ) ;

*

10-1

3

B

4

n

731

Sucesiones y series

+ 1

54. 2 + - + - + ••• + ------2 3 n

Escriba los primeros cinco términos de cada sucesión en los problemas del 17 a 26. 17.

18. a„ =

19. «„

=

j(l

21. a„

=

( - j )"-1 22.

23. a,

—

7: a„

=

_,

- 4. n > 2

24. ax —

a, =

I:

a„ -

a„, + a„_,./;S*3

25. a,

4: a„

=

ja„

,, n> 2

=

26. <7, -2 :a „ = 2a„.,.

20.

'I —

a„ =

27. 4. 5. 6. 7 . . . .

28. - 2 . - 1 .0 , I , . . .

29. 3.6,9, 12... .

30. - 2 . - 4 . - 6, - 8, . . .

31 12 ’ 3=’ ¿4 ’ d5> • '

.T i.

32 2i . i4 . (i) . R2,

. . .

34. 1 ,- 2 , 3 , - 4 , . . .

35. - 2 .4 , - 8, 16,.

36. I , - 3 , 5 , - 7 , . , ,

„ t 2 x* / 37. .v, —. —. — 2 3 4

38. .y. - r \ j \ - x !. . . .

| Algunos dipositivos de graficación usan rutinas especiales para graficar sucesiones (consulte, su manual). En los problemas del 39 al 42. use estas rutinas para graficar los primeros 20 términos de cada sucesión.

42. a, = —1, a„ = f «„ , + ; En los problemas del 43 al 48, escriba cada serie en forma desarrollada sin notación de suma loria. 44. 2 ( - D ‘ " ( 2 * - O’ *= I 46. t í “ 1

- I^ S T T

50. 2 + 3 + 4 + 5 + 6 2 + 3

53. ! + l + ¿ +

La sucesión a: . + M

n :i~- 2. \'í es un número real positivo

2a se puede usar para encontrar V M con cualquier cifra deci mal con la exactitud deseada. Para comenzar la sucesión, elija a. arbitrariamente de los números reales positivos. Los pro blemas 57y 58 están relacionados con esta sucesión. (A) Encuentre los primeros cuatro términos de la sucesión .+ 2 52 a„ = «—r--------«

(B) Compare los términos con V 2 por medio de una calculadora. (C) Repita los incisos (A) y (B) considerando a, como cualquier otro número positivo, por ejemplo 1. (A) Encuentre los primeros cuatro términos de la sucesión

(B) Encuentre Y 5 con una calculadora, y compare con los resultados del inciso (A). (C) Repita los incisos (A) y (B) considerando que «, es cualquier otro número positivo, por ejemplo 3. Sea {« J la notación de la sucesión de Fibonacci y sea { b j la notación de la sucesión definida por b. = \ ,b 2 = 3, bn = b b para n s 3. Calcule 10 términos de la sucesión íc i. donde ct: = b.*?/a» . Describa los términos de ' a -’ * { c j para valores grandes de n. Defina las sucesiones { u j y {v^} por í/j = 1, v( = 0, un n _ + v _, y vn = ur , para n '3:2. Encuentre los primeros 10 términos de cada sucesión, y explique cómo se relacio nan con la sucesión de Fibonacci.

£>í /as problemas del 49 al 56. escríba cada serie usando notación de simatoria con el Índice de. sumatoria k iniciando en k = 1. 49. I2 + 2- + 32 -+- 4J

2"

40. a„ = 2 + 7w

41. a„ = (-0 ,9 )”

47.

— ■■• + 8

4

ai = 3

33. 1, - 1 , 1. - 1. . .

( - 2/

2

a„ = (-§ )"“ '

En los problemas del 27 al 38, encuentre el término general de una sucesión en la cual se dan los primeros cuatro términos.

39. a„ = l/n

56.

+ (—I

n\\

2

•

55. I —4 —9 —

4

y En el cálculo, se puede demostrar que v ; ,, k\

? — /

,

,\ I!

x~ 2!

x 3!

! -i------h — + — -f

.v ñ'.

donde la mejor ùproximaciôn es para la n mets grande. Los problemas 61 y 62 se refieren a estas sériés. Note que n!. se lee como “nfactorial ", se define a 0! = / y n! = 1 • 2 ■3 .........n para n £ N.

732


61. Aproxime e°~ usando los primeros cinco términos de la . _ , . . . . , , sene. Compare esta aproximación con la evaluación de su calculadora de e02.

^ ^ 63. Demuestre que: >, ca, = c > a. n ‘ 1

62. Aproxime e~0i usando los primeros cinco términos de las series. Compare esta aproximación con la evaluación de su calculadora de e~05.

64. Demuestre que: ^ (a* + b¡_) = ^ ak + 2 bk <=l *r>

ti

SECCIO N

a

n

I 10-2 Introducción Inducción m atem ática Ejem plos adicionales de inducción m atem ática Tres problem as fam osos En lenguaje cotidiano, la palabra “inducción” significa la generalización de casos o hechos particulares. La habilidad para form ular hipótesis generales de un núm ero lim i tado de hechos es una característica distintiva de un m atem ático creativo. Sin embargo, el proceso creativo no se detiene aquí. Estas hipótesis deben de ser probadas o refuta das. En m atem áticas, un m étodo especial de prueba llam ado in d u cció n m a te m á tic a se coloca entre las herram ientas básicas m ás im portantes en la caja de herram ientas m ate m áticas. En esta sección la inducción m atem ática se usará para probar una variedad de expresiones m atem áticas, algunas nuevas y algunas que hasta ahora acabam os supo niendo que son verdaderas. Se ilustra el proceso de form ulación de hipótesis m ediante un ejem plo. Suponga que le interesa la sum a de los prim eros enteros im pares n consecutivos, donde n es un entero positivo. Se com ienza por escribir las sum as para los prim eros valores de n para ver si se puede observar un patrón: 1= 1 1 + 3 = 4 1 +3 + 5= 9 1+3 1+3 +

+ 5 + 7 = 16 5 + 7 + 9 = 25

n =

1

n = 2 n

3

n = 4 n=

5

¿H ay algún patrón en las sum as de 1 ,4 , 9, 16 y 25? Sin duda observó que cada uno es un cuadrado perfecto y, de hecho, cada uno es el cuadrado del núm ero de térm inos en la suma. De m odo que, la siguiente conjetura parece razonable: Conjetura P : Para cada entero positivo n, 1 + 3 + 5 + • • • + (2w - 1) = n2 Esto es, la sum a de los prim eros n enteros im pares es n2 para cada entero positi vo n. H asta ahora la inducción ordinaria se ha usado para generalizar el patrón observa do en los prim eros pocos casos antes enlistados. Pero en este punto la conjetura P n es sim plem ente eso, una conjetura. ¿Cóm o se prueba que P . es una expresión verdadera? Se continúa enlistando casos específicos que nunca proporcionarán una prueba general ¡no sólo en el tiem po que dure su vida, sino en el que dure la vida de todos sus descen dientes! La inducción m atem ática es la herram ienta que se usará para establecer la validez de la conjetura Pr.

10-2 Inducción matemática

733

Antes de analizar este método de prueba, consideremos otra conjetura: Conjetura Q \ Para cada entero positivo n, el número n1 —n + 41 es un número primo.

TA BLA 1 n

n2 —n + 41

¿Prim o?

1

41

Sí

2

43

Sí

3

47

Sí

4

53

Sí

5

61

Sí

EXPLORACIÓN YANÁLISIS 1

Es importante reconocer que se puede comprobar que una conjetura es falsa si falla en sólo un caso. Un solo caso o un ejemplo para el cual una conjetura falla se llama c o n tra e je m p lo . Se comprueba la conjetura para algunos casos particulares en la tabla 1. Por lo que se ve en la tabla, parece que en efecto la probabilidad de que la conjetura Qn sea verdadera es muy alta. Tal vez desee comprobar algunos casos más. Si persiste en hacerlo encontrará que la conjetura Qn es verdadera para n hasta 41. ¿Qué pasa en n = 41? 412 - 41 + 41 = 412 el cual no es primo. Por consiguiente, n = 41 proporciona un contraejemplo, la conje tura Qr es falsa. Aquí se ve el peligro de generalizar sin probar algunos casos especia les. Este ejemplo fue descubierto por Euler (1707-1783).

Pruebe que la siguiente expresión es falsa dando un contraejemplo: Si n > 2, enton ces por lo menos uno, el tercero de los enteros positivos que es menor o igual a n es primo.

Se comienza expresando el principio de la inducción matemática, sobre el cual se basa todo el trabajo de esta sección.

Teorema 1

Principio de la inducción matemática

Sea Pn un enunciado asociado con cada entero positivo n, y suponiendo que se satisfacen las siguientes condiciones: 1.

P¡ es verdadera.

2.

Para algún entero positivo k, si P, es verdadera, entonces Pk + , también es verdadera.

Entonces la expresión Pn es verdadera para todos los enteros positivos n.

El teorema 1 debe ser leido muy detenidamente. A primera vista, parece decir que si suponemos que una expresión es verdadera, entonces es verdadera. Pero no siempre es el caso. Si las dos condiciones del teorema 1 se satisfacen, entonces se puede razonar como sigue. P, es P2 es P, es P 4 es

verdadera. C o n d ició n 1 verdadera,porque Pj es verdadera. C o n d ició n 2 verdadera, porque P, es verdadera. C o n d ició n verdadera, porque P, es verdadera. C o n d ició n

2 2

734

10

Sucesiones y series

C o n d ició n 1: La prim era ficha d e d o m in ó p u e d e c a e r so b re las otras.

Puesto que esta cadena de im plicaciones nunca acaba, se alcanzará eventualm ente a P n para algún entero positivo n. Para ayudar a representar este proceso, im agínese una fila de fichas de dom inó que van una detrás de otra (véase figura 1) e interprete las condiciones del teorem a 1 com o sigue: La condición 1 dice que la prim era ficha se puede em pujar sobre. La condición 2 dice que si la ficha Pésima cae, entonces caerá la ficha (k + 1) ésima. Juntas, estas dos condiciones im plican que todas las fichas deben de caer. A hora, para ilustrar el proceso de prueba por inducción m atem ática, se vuelve a la conjetura P n analizada anteriorm ente, la cual se vuelve a exponer en seguida.

(a) P :

1+ 3 + 5 +

+ (2 n - 1)

n es algún entero positivo

Se sabe ya que P , es una expresión verdadera. De hecho, se dem uestra que desde P , hasta P 5 son todas verdaderas por cálculo directo. En consecuencia, se satisface la con dición 1 del teorem a 1. Para dem ostrar que la condición 2 se satisface, se supone que P k es una expresión verdadera: C o n d ició n 2: Si la Pésim a ficha cae, e n to n c e s c a e la (k + 1 ) ésim a. (b)

Pt : 1 + 3 + 5 + • • • + {2k — \) — k 2 A hora se debe dem ostrar que esta suposición im plica que Pk + , tam bién es una expre sión verdadera: Pk+l:

C onclusión: T odas las fichas c ae rán .

(c) Interpretación de la inducción matemática.

1 + 3 + 5 + ■• • + (2k - 1) + (2* + 1) = (* + l )2

C om o se supone que Pk es verdadera, es posible realizar las operaciones de esta ecua' ción. O bserve que el lado izquierdo de Pk+ , es el lado izquierdo de P k m ás (2k + 1). Asi que se com ienza sum ando (2k + 1) a am bos lados de P ¿ 1 + 3 + 5 + - - - + (2Jfc- 1) = ¿P 1 + 3 + 5 + • • • + ( 2 k - 1) + (2A + 1) = A2 + (2Á + D

Pk Sum e 2 ^ - 1 a a m b o s lados.

Al factorizar el lado derecho de esta ecuación, se tiene 1 + 3 + 5 + • • • + (2k - 1) + (2* + 1) = (k + l ) 2

Pt .

Pero esta últim a ecuación es P k ^ ,. Así, se ha com enzado con P k, se supone que este enunciado es verdadero, y se realizan las operaciones válidas para producir P k+ ,, el enunciado que se necesita sea verdadero. En otras palabras, se ha m ostrado que si P k es verdadero, entonces Pk + , es tam bién verdadero. Puesto que am bas condiciones del teorem a 1 se satisfacen, P es verdadero para todos los enteros positivos n.

A hora se van a considerar algunos ejem plos adicionales de prueba por inducción. La prim era es otra fórm ula de sum atoria. La inducción m atem ática es la herram ienta prin cipal para probar que fórm ulas de este tipo son verdaderas.

m a t e m á t ic a

Prueba de una fórm ula de sumatoria Pruebe que p ara todos los enteros positivos n 1 1 1 1 2" - 1 ----1------1------ b • • • H-----— ---------2 4 8 2” 2n


Prueba

Establezca la conjetura: 1

1

1

1

2" - 1

2"

2"

P„: -T + - + - + ■•• + — = 2

Parte 1

735

4

8

D em uestre que P { es verdadera.

Pr. ''

1

2' - 1

2

2' _ J_ ~ 2

Así, P { es verdadera.

P arte 2

D em uestre que si Pk es verdadera, entonces Pk + , es verdadera. Es una buena práctica siem pre escribir am bas Pk y Pk+, al principio de cualquier prueba de inducción para ver qué se supone y qué se debe de probar: p

J_ _1 , _1

2

k'

1

Pk+]'

1

T

4

J _ _ 2k —1 2k ~ 2*

*

8

1

i

2 + 4

+ 8

1

+ '

Se su p o n e q u e

Pk es

v e rd a d e ra .

2*+I — 1

Se d e b e dem ostrar que

+ 2*+ 2 * ^ =

P; - 1 se deduce de ,CV

Se com ienza con la expresión verdadera P t, y se le suma 1/2*'+ 1 a am bos lados, y se sim plifica el lado derecho: 1

1

1

“ 4------- h ~

2

1

—

2

4

8

1- \ - —1 J ------- = 4

1

2* - 1

2*

2k

P„

• H-----r — ------:----

1

2* - 1

2

2

----------------------------------------------------------- -------

8

2* - 1

2

1

2*

2

2*+l

2*+1 - 2 + 1 2* "1

2* +l - 1

A sí, 1

__

2

i

1___ _1L 4

__

8

i

. . .

1

_1_ ____

_l_

1

_________ —

2* ! 2 * "

2i+l - 1

__________________

p

2i+l

y se h a m ostrado que si P,. es verdadera, entonces Pk + , es verdadera. Conclusión

A m bas condiciones del teorem a 1 se satisfacen. Así, Pn es verdadera para todos los enteros positivos n.

736


P ro b lem a seleccionado

Pruebe que para todos los enteros positivos n 1 + 2 + 3 + -- - + « =

n(n + 1) -— -

El siguiente ejem plo proporciona una prueba de la ley de los exponentes que pre viam ente se tuvo que suponer com o verdadera. Prim ero se vuelve a definir a" para un entero positivo n, usando una fórm ula de recurrencia:

DEFINICIÓN 1

Definición de recurrencia de an Para n un entero positivo a' = a a" + l = a"a

n > 1

Prueba de la ley de los exponentes

:JE!V

Pruebe que (xy)" = x"y”para todos los enteros positivos n. Prueba

Establezca la conjetura:

P\ Parte 1

(xy)n = x y

D em uestre que P , es verdadera. (xy) 1 = xy

D efinición '

= x 1_v1

D efinición 1

A sí, P x es verdadera. Parte 2

D em uestre que si P k es verdadera, entonces P , + , es verdadera. P ¿

P k+ l:

S u p o n g a q u e F. es v e rd a d e ra .

(xy)* = x y

(x>-')A+ 1 = X*+ l>'t+

1

D e m u e stre q u e

P , se d e d u c e d e P,.

A quí se com ienza con el lado izquierdo de P k + , y se usa P k para encontrar el lado derecho de P k + ,: (xy)k + 1 = (xy)k(xy)]

Definición 1

= x lyh cy

Se usa P s: (xy)' -

= ( x Ax )(]■''■)')

P ro p ied ad d e los n ú m e ro s reales D efinición 1

xy


737

Así, {xy)k + 1 = xk' ‘y 4 + 1 y se m uestra que si Pk es verdadera, entonces P k+ j es verda dera. Conclusión

A m bas condiciones del teorem a 1 se satisfacen. Así, P n es verdadera para todos los enteros positivos n.

Pruebe que (x/y)” = x ”/yn para todos enteros positivos n.

Probier

N uestro últim o ejem plo trata con factores de enteros. A ntes de com enzar, recuer de que un entero p es divisible entre un entero q si p = qr para algún entero r.

Prueba de una propiedad de la división

Pruebe que 42" - 1 es divisible entre 5 para todos los enteros positivos n. Pruct.M

Use la definición de divisibilidad para establecer la conjetura como se indica: p .

P arte 1

42» -

1 = 5r

p ara

algún entero r.

Demuestre que Px es verdadera. P¿

42 — 1 = 15 = 5 • 3

Así, P ] es verdadera. Parte 2

Muestre que si P, es verdadera, entonces P k + , es verdadera. P,\ ?k+

r

42k — 1 = 5/- para algún entero r

4^*+ I} - 1 = 5í para algunos enteros s

S u p o n g a qui;

^

D e m u estre q u e

es v erd ad e ra.

f-\ _.

se p u e d e deducir.

Como antes, se comienza con la expresión verdadera P..: 42t - 1 = 5r

P,

(42*— 1) = (5r)

M ultiplique a m b o s lados p o r 4-.

42t' +2 — 16 = 8 0 42 (k+

i) _

j _

gQr +

Sim plifique. 1 5

= 5(16/' + 3)

S u m e 15 a a m b o s Factorice

3!

lados

S.

Así, 4*(*+i>-l=5s

p

donde s — 16r + 3 es un entero, y se dem uestra que si P k es verdadera, entonces Pk + j tam bién lo es.

738


Conclusión

A m bas condiciones son satisfechas en el teorem a 1. Por consiguiente, P n es verdadera p ara todos los enteros positivos n.

Pruebe que 8" — 1 es divisible entre 7 para todos los enteros positivos n.

En algunos casos, una conjetura puede ser verdadera sólo para n ^ m, donde m es un entero positivo, m ás que para todo n s 0. Por ejem plo, véase los problem as 49 y 50 del ejercicio 10-2. El principio de la inducción m atem ática se puede extender para cubrir casos sim ilares a éstos com o se indica en seguida:

Teorema 2

Principio extendido de la inducción matemática Sea m un entero positivo, sea P n un enunciado asociado con cada entero n > m, y suponga que se satisfacen las siguientes condiciones: 1.

P m es verdadera.

2.

Para cualquier entero k > m, si P y es verdadera, entonces P k + , tam bién es verdadera.

Entonces, la expresión P n es verdadera para todos los enteros n > m.

El problem a de determ inar si cierta expresión de los enteros positivos es verdadera puede ser extrem adam ente difícil. Las pruebas pueden requerir de profundo conoci m iento e ingenio notable y del desarrollo de técnicas m ás avanzadas que la inducción m atem ática. C onsidere, por ejem plo, los problem as fam osos para probar los enuncia dos siguientes: 1.

Teorem a de L agrange de los cuatro cuadrados, 1772: C ada entero positivo se puede expresar com o la sum a de cuatro o m enos cuadrados de enteros positivos.

2.

Últim o teorem a de Fermat, 1637: Para n > 2, x" + y " = z" no tiene soluciones en los núm eros naturales.

3.

C onjetura de G oldbach, 1742: C ada entero par positivo m ayor que 2 es la sum a de dos núm eros prim os.

El prim er enunciado fue establecido por los prim eros griegos y finalm ente probado en 1772 por Lagrange. El últim o teorem a de Ferm at desafió a las m ejores m entes m atem á ticas de los últim os 350 años, finalm ente sucum bió ante un análisis de 200 páginas realizado p o r A ndrew W iles de la U niversidad de Princeton en 1993. D espués de esta fecha nadie ha sido capaz de probar o refutar la conjetura de Goldbach.


(A) Explique la diferencia entre un teorem a y una conjetura. (B) ¿Por qué el nom bre “el últim o teorem a de Ferm at” es inapropiado? Sugiera nom bres m ás exactos para el resultado.


739

Respuestas a los problemas seleccionados 1. Bosqueje la prueba. Establezca la conjetura: /3n: l + 2 + 3 + -- - + « = —” + ^ r> ^0 1) r*es verdadera. Parte /. 1 = —-------P.

2

'

Parte 2. Demuestre que si Pk es verdadera, entonces P . x | es verdadera.

. . k(fc + 1) 1 + 2 t 3 + - " + « = --------2 1 + 2 + 3-1-. . . +*■

p

= k-k ~ —

_ (k+ l)«r+ 2) 2

K"

Conclusión: P es verdadera. 2.

Bosqueje la prueba. Establezca la conjetura P\

x \' = v v"

X

Pane /. I — I = — = —. P, es verdadera. y

y'

Parte 2. Demuestre que si Pk es verdadera, entonces Pk+, es verdadera.

X\, „ . .

. X\.r . . X\

X*. X\

k XX

y)

\y/\yj

y'\y/

y ky

Xk+1

Conclusión: Pr es verdadera. 3. Bosqueje la prueba. Establezca la conjetura: 8" - 1 = 7r para algún entero r. Parte 1. 8! — 1 = 7 = 7 • 1. Pxes verdadera. Parte 2. Demuestre que si Pt es verdadera, entonces Pl¡, , es verdadera. 8‘ -

1 = Ir

p.

X(8* - 1) = Mlr) 8* * '

— 1 = 5 6 r + 7 = 7 ( 8 r + 1 ) = 7.v

p..,

Conclusión: P es verdadera.

EJERCICIO

10-2 10. P n: 4" — 1 es divisible entre 3

En los problemas del 1 al 4, encuentre el primer entero positi vo n para el cual la expresión no se cumple.

Escriba P .y Pk . .para Pn como se indicó en los problemas del H a lló .

1. (3 + 5)" = 3” + 5"

2. n < 10

11. Pn en el problema 5


3. n2 = 3n — 2

4.

13. P en el problema 7




+ 11« = 6n2 + 6

Compruebe cada expresión Pr en los problemas del 5 al 10 para n = 1. 2 y 3. 5. Pn: 2 + 6 + 10 + . . . + (4« - 2) = 2n2

En los problemas del 17 al 22, use inducción matemática para probar que cada Pn vale para todos los enteros positivos n.

6. P„: 4 + 8 + 12 + .. . + 4n = 2n(n + I)



7. P„: a 5a" = a s~"



21. P en el problema 9


8. P„: {a5)" = a 5"

9. P : 9" — 1 es divisible entre 4


740

B En los problemas del 23 al 26, pruebe que la expresión es falsa encontrando un ejemplo contrarío. 23. Si n > 2. entonces cualquier polinomio de grado n tiene por lo menos una raíz real.

V + 23 + 33 + • • • + n¡ = (1 + 2 + 3 + • ■■+ n)2 [Sugerencia: Véase el problema seleccionado 1 que se deduce del ejemplo 1.] 1-2-3

1 2-3-4

24. Cualquier entero positivo n > 1 se puede escribir como la suma de tres o menos cuadrados de enteros positivos.

3-4-5 1 + n(n + IX« + 2)

n(n + 3) 4(n +- 1)(n + 2)

25. Si n es un entero positivo, entonces hay por lo menos un número primop tal que n < p < n + 6. 26. Si a, b, c, d son enteros positivos tales que a2 + b2 = c2 + d2, entonces a = c o a = d. En los problemas del 27 al 42. use inducción matemática para probar cada expresión para todos los enteros positivos n, a menos que exista otra restricción. 2

+ 22 + 23 + ■■• + 2n = 2"*' - 2

1 1 1 1 1 — + — l-------------- {-•••-)------ — 1 -~ — 2 4 8 2” \2 l2 + 32 + 52 + • ■• + (2n - l )2 = 5(4/1-’ - n) 1 + 8 + 16 + • ■• + 8(n - 1) = (2/i - I)2; n > 1 l2

+ y + y + . . . + „z = "<” + l > ( 2n + l) 6

1 • 2 + 2 - 3 + 3 -4 +

En los problemas del 43 al 46, sugiera una fórmula para cada expresión, y pruebe su hipótesis usando inducción matemáti ca, n G N. 2+4+ 6-

+ n(n + 1) = —r - an 3; /! > 3 a

n(n + l)(n + 2)

t; n > 5

1 n(n + 1)

1 1 1 1 •2 + 2 •3 + 3 •4

Del número de rectas determinadas por n puntos en un plano, no hay tres que sean colincales. El número de diagonales en un polígono con n lados. Pruebe que los problemas del 47 al 50 son verdaderos para todos los enteros n como se especifica. 47. a > l = > a " > l ; n S A ? 48. 0< a < 1 => 0 < a" < 1; n S N 49. n2> 2n: « > 3

•

2n

50. 2n

> n2: n a 5

Pruebe o refute la generalización de los dos siguientes hechos: 32 + 42 = 52 33 + 43 + 53 = 63

a”'a" = am+,,\ m, n G. N

[Sugerencia: Elija m como un elemento arbitrario de N, y entonces use la inducción en «.] (a")m = am"; m, n G N a-" — 1 es divisible entre x — \ \ x i= 1 [iSugerencia: Divisible significa que .y'’ — 1 = (x — 1)Q(x) para algún polinomio Q(x).]

Pruebe o refute: n2 4- 21/j + 1 es un número primo para todos los números naturales n. SifaJ y (bJ son dos sucesiones, se escribe { a j = { b j si y sólo si an = br, n G N. En los problemas del 53 al 56, use inducción matemática para demostrar que { a j = fb j. a, = \, a„ =

+ 2; b„ = 2n —

x" — y es divisible entre x — y; x + y

a, = 2, a„ = a„ ., + 2; b„ =

x2n — 1 es divisible entre x — 1; x ¥= 1

a, = 2,a„ = 22a„_1; b„ = 22n~'

.v2" - 1 es divisible entre x + 1; x i= —1

a, = 2, a„ = 3a„-i; b„ = 2 ■3"“'

1 0 -B

Sucesiones aritméticas y geo-n Sucesiones aritm éticas y geom étricas Fórm ulas de térm inos //ésimos Fórm ulas de sum a para series aritm éticas finitas Fórm ulas de sum a para series geom étricas finitas Fórm ula de sum a para series geom étricas infinitas

2n

1

10-3 Sucesiones aritméticas y geométricas

741

En la m ayoría de las sucesiones es difícil sum ar un núm ero arbitrario en térm inos de la sucesión sin sum ar térm ino por térm ino. Pero tipos particulares de sucesiones, sucesio nes aritm éticas y sucesiones geom étricas, tienen ciertas propiedades que conducen ha cia unas convenientes y útiles fórm ulas para las sum as de las series aritm éticas y series geom étricas correspondientes.

La sucesión 5, 7, 9, 11, 1 3 ,..., 5 + 2 (n - 1),..., donde cada térm ino después del prim e ro se obtiene sum ándole 2 al térm ino anterior, es un ejem plo de una sucesión aritm éti ca. La sucesión 5 ,1 0 ,2 0 ,4 0 ,8 0 ,..., 5(2)’’ donde cada térm ino después del prim ero se obtiene al m ultiplicar el térm ino anterior por 2 , es un ejem plo de una sucesión geom étrica.

DEFINICIÓN 1

Sucesión aritmética U na sucesión

se llam a sucesión aritm ética, o progresión aritm ética, si existe una constante d, llam ada diferencia com ún, tal que a n — an —1. = d Esto es,

a„ = an - \ + d

DEFINICIÓN 2

Para cac*a n > *

Sucesión geométrica U na sucesión

se llam a sucesión geom étrica, o progresión geom étrica, si allí existe una cons tante diferente de cero r, llam ada razón com ún, tal que

Esto es, an = ran _ x

para cada n > 1

742



(A) G rafique la sucesión aritm ética 5, 7, 9 ,. . . D escriba las gráficas de todas las sucesiones aritm éticas con una diferencia com ún de 2 . (B) G rafique la sucesión geom étrica 5, 10, 2 0 ,. . . D escriba las gráficas de todas las sucesiones geom étricas con una razón co m ún 2 .

Reconocimiento de sucesiones aritméticas y geométricas ¿Cuáles de los siguientes núm eros pueden ser los prim eros cuatro térm inos de una sucesión aritm ética? ¿Y de una geom étrica? (A) 1, 2, 3, 5,. (C) 3, 3, 3, 3,. Solución

(B) (D)

-1, 3 , - 9 , 27,... 10,8.5,7,5.5,...

(A) Puesto que 2 - 1 =# 5 - 3, no hay diferencia com ún, por lo tanto, la sucesión no es aritm ética. Puesto que 2/1 + 3/2, no hay razón com ún, así que la sucesión tam poco es geom étrica. (B) La sucesión es geom étrica con una razón común de - 3 , pero no es aritm ética. (C) La sucesión es aritm ética con una diferencia com ún de 0 y es tam bién geom étrica con una razón com ún de 1. (D) La sucesión es aritmética con una diferencia com ún de —1.5, pero no es geométrica.

¿Cuáles de los siguientes pueden ser los prim eros cuatro térm inos de una sucesión aritm ética? ¿Y de una sucesión geom étrica? (A) 8, 2, 0.5, 0 .1 2 5 ,... (B) - 7 , - 2 , 3, 8, . . . (C) 1, 5, 25, 1 0 0 , . . .

Si { a j es una sucesión aritm ética con una diferencia com ún d, entonces

t é r m in o s n é s im o s a 2 = a¡ + d a3

= a 2 + d = a¡ + 2 d

a 4 = a 3 + d = a¡ + 3 d

Esto sugiere el teorem a 1, el cual se puede probar por inducción m atem ática (véase el problem a 63 del ejercicio 10-3).


Teorema 1

743

Térm ino nésimo de una sucesión aritmética an = a, 4- (n — 1)d

para cada n > 1

Sim ilarm ente, si { a j es una sucesión geom étrica con una razón com ún r, entonces

a2 = a¡r a3 = a2r = a xr 2 aA = a-¡r = a , r 3 Esto sugiere el teorem a 2, el cual se puede probar por inducción m atem ática (véase el problem a 63 del ejercicio 10-3).

Teorema 2

Térm ino nésimo de una sucesión geométrica an = a }r" ~ 1 para cada n > 1 11

EJEMPLO 2

§

(■-

- N| i.

~

fh _?/

Determinación de términos en sucesiones aritméticas y geométricas (A) Si el prim ero y décim o térm inos de una sucesión aritm ética son 3 y 30, respecti vam ente, encuentre el quincuagésim o térm ino de la sucesión. (B) Si el prim er y el décim o térm inos de una sucesión geom étrica son 1 y 4, encuen tre el diecisieteavo térm ino con tres cifras decim ales.

Solución

(A) Primero use el teorem a 1 con a 10 = 30 para encontrar d:

= 3y

a„ = a, + (n - 1)d « io = « i +

(10

-

A hora encuentre a a Vi:

«50 = fli + (50 -

1)3

= 3+49-3

1)d

30 = 3 + 9 d

= 150

d = 3 (B) Prim ero sea n = 10, a, = 1, a l0 = 4 y use el teorem a 2 para encontrar r. an = a trn- ] 4 = Ir10-1 r = 41/9 Vuelva a usar el teorem a 2, esta vez con « = 1 7 .

a „ = a ,r17 = 1 (4I/9)17 = 4 '7' 9 = 13.716

744



(A) Si el prim ero y el quincuagésim o térm inos de una sucesión aritm ética son —5 y 23, respectivam ente, encuentre el térm ino setenta y tres de la sucesión. (B) Encuentre el octavo térm ino de la sucesión geom étrica — , — —. — ......... 64 32 16

F ó r m u la s d e s u m a p a r a s e rie s a r it m é t ic a s f in it a s

Si a ,, a,, ap . . . , an es una sucesión aritm ética finita, entonces la serie correspondiente a { + a 2 + a , + • ■■+ a (j, se llam a serie aritm ética. Se deducirán dos fórm ulas sencillas y m uy útiles para la sum a de una serie aritm ética. Sea d la diferencia com ún de la sucesión aritm ética a v a2, a v . . . , an y sea que Sn denote la sum a de la serie a , + a , + a,3 + • • • + a « . Entonces S„ = a, + (a¡ + d ) + • • • + [a¡ + (n — 2)d] + [a, + (n — l)c/] Inviniendo el orden de la sum a, se obtiene $n ~ [fli ■*" (n ~ 1)^]

[a i + (w — 2)d] + • • • + (a { + d ) + a.

Sum ando los lados izquierdos de estas dos ecuaciones y los elem entos correspondien tes de los lados derechos, se ve que 2S„ = [2ai + (« - l)d ) + [2a, + (n -

1)¿] + • • • + [2a, + (n -

1)¿]

= «[2a , + (h — \)d \ Esto se retom a en el teorem a 3:

Teorema 3

Suma de una serie aritm ética, primera forma 5 = | [2a, + (n - 1)¿]

Al reem plazar a, + (n - \ )d con an, se obtiene una segunda útil fórm ula para la suma:

Teorema 4

Suma de una serie aritm ética, segunda forma S t i = -2 ( a . + a )


La prueba de la prim era fórm ula de la sum a por inducción m atem ática se deja com o ejercicio (véase el problem a 64 del ejercicio 10-3).

Determinación de la suma de una serie aritmética Encuentre la sum a de los prim eros 26 térm inos de una serie aritm ética si el prim er térm ino es - 7 y d = 3. Solución

Sea n = 26, a , = —7, d = 3, y use el teorem a 3.

S„ = \ [2a, + (n - 1)d] S26 =

f P ( —7) +

(26 - 1)3]

= 793

Encuentre la sum a de los prim eros 52 térm inos de una serie aritm ética si el prim er térm ino es 23 y d = - 2 .

EJEMPLO 4

Determinación de la suma de una serie aritmética Encuentre la sum a de todos los núm eros im pares entre 51 y 99 inclusive.

Solución

Prim ero, use = 51, an = 99, y el teorem a 1 para encontrar n:

a„ = a, + (« — 1)d 99 = 51 + (n n = 25


1)2

A hora use el teorem a 4 para encontrar 5,,:

S- = ^

+ °n)

S25 = f (51 + 99) = 1 875

Encuentre la suma de todos los núm eros pares entre - 2 2 y 52 inclusive.

Premio U na liga de 16 equipos de boliche tiene $8 000 para ser concedidos com o prem io. Si el equipo que quede en últim o lugar es prem iado con S275 y el prem io aum enta la m ism a cantidad para el siguiente lugar y así sucesivam ente, ¿cuánto recibirá el equipo que obtenga el prim er lugar? Si a, es el prem io para el equipo que llegue al prim er lugar, a , es el prem io para el equipo que obtenga el segundo lugar, y así sucesivam ente, entonces la cantidad de dinero prem iado form a una sucesión aritm ética con n = 16, a 16 = 275 y S |6 = 8 000. Use el teorem a 4 para encontrar a v

746


S„ = ~ (ai + <*„) 8 000 = f (a, + 275) a, = 725 Por consiguiente, el equipo que gane el prim er lugar recibe S725.


R efiérase al ejem plo 5. ¿Cuánto dinero recibirá com o prem io el equipo que obtenga el segundo lugar?

• F ó r m u la s d e s u m a p a r a s e ríe s g e o m é t r ic a s f in it a s

Si a ,, av ay ■■■, an es una sucesión geom étrica finita, entonces la serie correspondiente a, + « + a 3 + • ■• + An se llam a serie geom étrica. Com o con la serie aritm ética, se pueden deducir dos fórm ulas sencillas y m uy útiles para la sum a de una serie geométrica. Sea r la razón com ún de la sucesión geom étrica a ,, a 2, a , , . . . , an y sea que Sn denote la sum a de la serie a,1 +2 a . + a,3 + ■• ■ + a n. Entonces S„ = a, + a ,r + a , r 2+ a , r 3 + • • • + a xr n~2 + a¡r"~' M ultiplique am bos lados de esta ecuación por r para obtener rS„ = a¡r + a tr 2 + a ,r 3 + • • • + a {r n~l + a^r" A hora reste el lado izquierdo de la segunda ecuación del lado izquierdo de la prim era, y el lado derecho de la segunda ecuación del lado derecho de la prim era para obtener S„ -

rS„ = a, -

a,r"

S„(l - r) = a, -

a,r"

Así, al encontrar Sn, se obtiene la fórm ula siguiente para la sum a de una serie geométrica:

Teorema 5

Suma de una serie geométrica, primera forma

Puesto que ar = a^rn 1 o ran = a ,r" la fórm ula de la sum a tam bién se puede escribir en la form a siguiente:

Teorema 6

Suma de una serie geométrica, segunda forma


747

La prueba de la prim era fórm ula de la sum a por inducción m atem ática se deja com o ejercicio (véase el problem a 70, del ejercicio 10-3). Si r — 1, entonces Sn = a, + a, ( l ) + a , ( l 2) + • • • + a ,( l" _I) = ««i

Determinación de la suma de una serie geométrica Encuentre la sum a de los prim eros 20 térm inos de una serie geom étrica si el prim er térm ino es 1 y r = 2. Solución

Sea n = 20, a x = 1, r = 2, y use el teorem a 5.

,

a, - a¡r" = “ 1i--------—r 1 - 1 • 220

= -------- -— = 1 048 575

Cálculo hecho usando calculadora

E ncuentre la suma, con dos cifras decim ales, de los prim eros 14 térm inos de una serie geom étrica si el prim er térm ino es 1/64 y r = —2.

Considere una serie geom étrica con a{ = 5 y r = 1/2 ¿Qué le pasa a la sum a Sn cuando n aum enta? Para contestar esta pregunta, se escribe prim ero la fórm ula de la sum a en la form a m ás conveniente

748


Parece que ( ¿)" tiende a ser m ás y m ás pequeño cuando n aum enta y cuando la sum a se acerca m ás a 10. En general, es posible dem ostrar que si |r| < 1 entonces r" se obtendrá m ás y más cerca de 0 cuando n aum ente. Sim bólicam ente, r" —>0 com o n —» °c. A sí, el térm ino a f 1- r en la ecuación ( 1) tenderá a 0 conform e n aum ente, y Sn tenderá a fli 1- r En otras palabras, si |r¡ < 1, entonces Sn puede ser tan cercano a gi 1- r com o se desee tom ando a n suficientem ente grande. A sí, se define la sum a de una serie geom étrica infinita por la fórm ula siguiente:

DEFINICIÓN 3

Suma de una serie geométrica infinita

— 1 —r

M< 1

Si ¡?-| > 1, una serie geom étrica infinita no tiene suma.

Expresión de un decimal repetitivo como fracción R epresente el decim al repetitivo 0.454 545 ■• • = 0.45 com o el cociente de dos enteros. R ecuerde que un decim al repetitivo se llama núm ero racional y que cualquier núm ero racional se puede representar com o el cociente de dos enteros.

Solución

0.45 = 0.45 + 0.0045 + 0.000 045 + • • ■ El lado derecho de la ecuación es una serie geom étrica infinita con a, = 0.45 y r = 0.01. En consecuencia, a,

_

0.45

_ 0.45 _ 5

“ ” 1 - /• “ 1 - 0.01 ~ 0.99 De aquí en adelante, 0.45 y dividiendo 5 entre 11.

11

son el m ism o núm ero racional. Com pruebe el resultado


749

R epita el ejem plo 7 para 0.818 181 • - - = 0.81

Estimulación de la economía El gobierno de un estado usa las ganancias de una lotería para proporcionar un reem bolso del im puesto para los dueños de propiedades. Suponga que un individuo reci be un reem bolso de S500 y gasta el 80% de éste, y cada una de las personas que reciben el dinero que gasta este individuo gastan tam bién el 80% de lo que él o ella reciben, y este proceso continúa sin fin. Según la d o c trin a m u ltip lic ativ a en econom ía, el efec to del reem bolso de im puesto original de $500 en la econom ía se m ultiplica m u chas veces. ¿Cuál es el total de la cantidad gastada si el proceso continúa com o se indicó?

Solución

El individuo recibe $500 y gasta 0.8(500) = $400. Los destinatarios de estos $400 gastan 0.8(400) = $320, los destinatarios de estos S320 gastan 0.8(320) = S256, y así sucesivam ente. A sí, el gasto total generado por el reem bolso de S500 es 400 + 320 + 256 + • • • = 400 + 0.8(400) + (0.8)2(400) + • • • lo que se reconoce com o una serie geom étrica infinita con a, = 400 y r = 0.8. Por consiguiente, la cantidad total gastada es

1

Prob

-

0.8

0.2

R epita el ejem plo 8 si el reem bolso del im puesto es de $1 000 y el porcentaje gastado por todos los destinatarios es de 90%.

----- —------------------------------


(A) E ncuentre una serie geom étrica infinita con a l = 10 cuya sum a sea 1 000. (B) Encuentre una serie geom étrica infinita con a — 10 cuya sum a sea 6 . (C) Suponga que una serie geom étrica infinita con que p o r qué la sum a debe ser m ayor de 5.

Respuestas a los problemas seleccionados 1. (A) La sucesión es geométrica con r = 7 , pero no aritmética. (B) La sucesión es aritmética con d = 5. pero no geométrica. (C) La sucesión no es aritmética ni geométrica. 2. (A) 139 (B) - 2 3. -1456 4. 570 5. S695 6. -85.33 7. £ 8. S9 000

= 10 tiene una suma. E xpli

750


EJERCICIO

10-3 23. a3 = 13, a ,0 = 55; a¡ = ? 24. a9 = —12, a 13 = 3; a, = ?

En los problemas 1 y 2, determine si los siguientes pueden ser los primeros tres términos de una sucesión aritmética o geométrica, y, si éste es el caso, encuentre la diferencia común o la razón común y los siguientes dos términos de la sucesión. (B) 2 , - 4 , 8, . . .

Sea a¡, a 3, . . . , a¿ . . . una sucesión geométrica. En los problemas del 25 al 30, encuentre cada una de las cantidades indicadas. 25. a, = 100, a6 = 1; r = ?

1. (A) - 1 1 , - 1 6 , - 2 1 , . . . (C)l,4,9,...

(P )H f c ...

26. a, = 10, a 10 = 30; r = ?

2. (A) 5, 20, 100,... (C) 7, 6.5, 6, . . .

(B) - 5 , - 5 , - 5 , . .. (D) 512, 256, 128,...

27. a, = 5, r = - 2 ; Sw = ? 28. a, = 3, r = 2; S10 = ?

cz„

Sea a¡, a .,. . . ,an. .. una sucesión aritmética. En los proble mas del 3 al 10 encuentre las cantidades indicadas. 3. a, = - 5 , d = 4; a2 = ?, a3 = ?, a4 = ? 4. a, = —18, d — 3; a, = ?, a3 = ?, aA = ? 5.

29. a, = 9, a4 = f; a2 = ?, a¡ = ? 30. a, = 12, a4 = - 5; a2 = ?, a3 = ? 51

40

31. S5l = X (3* + 3) = ?

32. S40 = 2 (2Jfc - 3) = ?

33. S7 = ^ (—3)*-' = ?

34. S7 = 2 3* = ?

= - 3 , d = 5; a 13 = ?, Sn = ?

6. a, = 3, d = 4; a22 = ?, S21 = ?

k = \

k= ]

7. a,

= 1, a2 = 5; 521 = ?

8. a,

= 5, a2 = 11; 5,, = ?

36. E n c u e n tre /(l)+ /(2 )+ /(3 ) + ---- h/(20) si/(x) = 2x - 5.

= 7, a2 = 5; a 15 = ?

37. Encuentres g (l) + g{2) + • • • + g(10) si g(x) = ({)'.

9. a,

35. Encuentre g (l) + g(2) + g(3) + • • • + g(51)sig(?) = 5 - 1.

38. Encuentre/(1 ) + /( 2 ) + ■• ■+ /(1 0 ) sif(x ) = 2*.

10. a, = —3, d = - 4 ; a 10 = ? Sea a¡: a;, ay . . . , a n,... una sucesión geométrica. En los proble mas 11 al 16, encuentre cada una de las cantidades indicadas 11. a, = - 6, r = - | ; a2 = ?, a3 = ?, a4 = ? 12. a, = 12, r = |; a2 = ?, fl3 = ?, a4 = ? 13. a, = 81, r

= 5; a 10 = ?

14. a,

= 64, r

= 5; a 13 = ?

15. a,

= 3, a7= 2,187, r = 3; 5, = ?

16. a,

= 1, a7= 729, r = - 3 ;

39. Encuentre la suma de todos los enteros pares entre 21 y 135. 40. Encuentre la suma de todos los enteros impares entre 100 y 500. 41. Demuestre que la suma de los primeros números naturales impares n es n2, usando las fórmulas adecuadas para esta sección. 42. Demuestre que la suma de los primeros números naturales de n es n + n2, usando las fórmulas adecuadas de esta sec ción.

S7= ?

43. Encuentre un número positivo „r tal que - 2 + una serie geométrica de tres términos.

— 6 sea

44. Encuentre un número positivo x tal que 6 + * + 8 sea una serie geométrica de tres términos.

B .Sea a¡)a v ay ...,a ¡f. . . una sucesión aritmética. En los proble mas del 17 al 24 encuentre las cantidades indicadas.

45. Para una sucesión dada en la cual a, = —3 y an = an , + 3,7n > 1,? encuentre a II en términos de n. n 46. Para la sucesión del problema 45, encuentre Sr = ^ ak en términos de n. k=z 1

17. a, = 3, a20 = 1 1 7 ;rf= ? ,a 10l = ?

19. a,

= - 1 2 ,a 40

= 22;S40= ?

20. a!

= 24, a24 =

-2 8 ; S24 = ?

En los problemas del 47 al 50. encuentre el menor entero posi tivo n tal que an < bngrqficando las sucesiones {a.} y {bn} con un dispositivo de grajicación. Compruebe su respuesta usan do un dispositivo de grajicación para mostrar ambas sucesio nes en forma de tabla,

21. a,

= 5, a2 = j;

a,, = ?, Sn= ?

47. a„ = 5 + 8«, b„ = 1.1"

22. a,

= g, a2 = |;

a ,9 = ?, SI9= ?

48. a„ = 96 + 47«, b„ = 8(1.5)“

18. a, = 7, a8 = 28; á = ?, a25 = ?


Dado el sistema de ecuaciones

49. a„ = 1 000 (0.99)", bn = 2n + 1 50. an = 500 — n, bn — 1.05”

ax + by — c

En los problemas del 51 al 56 encuentre la suma de cada serie geométrica infinita que tiene una suma.

dx + ey = f

51. 3 + 1

+ j + • • ■ 52. 16 + 4 + 1 + • •

53. 2 + 4

+ 8 + • • • 54. 4 + 6 + 9 + • ■•

55. 2 —5

+ I ------ 56. 21 - 3 + | ------------

■

En los problemas del 57 al 62. represente cada decimal repeti tivo como el cociente de dos enteros. 57. 0.7 =

751

donde a, b, c, d,
0.7777 • • • 58. 0.5 = 0.5555 • • •

59. 0.54 = 0.545 454 •• •

60. 0.27 = 0.272 727

•

APLICACIONES

^

61. 3.216 = 3.216 216 216 • • • 62. 5.63 = 5.636 363 • • •

c _________________________ Pruebe, usando inducción matemática, que si {a } es una sucesión aritmética, entonces an = a, + (n — 1)d

para cada n > 1

Pruebe, usando inducción matemática, que si {a;} es una sucesión aritmética, entonces •S„ = ^ [ 2a, + (n - 1)d\

65. Si en una sucesión dada,7ú,1 = - 2 vJ a n = - 3 an—I5 ., n > 1,7 encuentre a n en términos de n. n 66. Para la sucesión del problema 65, encuentre a Sr = 2 c,¿ en términos de n. k 1

67. Demuestre que (x2 + xy + y2), (z2 + xz + x2) y (y2 + yz + z2) son términos consecutivos de una progresión aritméti ca si x, y y z forman una progresión aritmética. (De las Olimpiadas de matemáticas de la URSS, 1955-1956, Gra do 9.) 68. Tome 121 términos de cada progresión aritmética 2, 7, 12,..., y 2, 5. 8,... ¿Cuántos números habrá en común? (De las Olimpiadas de Matemáticas de la URSS, 1955-1956, Grado 9.) t

Pruebe, usando inducción matemática, que si { a j es una sucesión geométrica, entonces a„ = a,rn 1

n€ N

Pruebe, usando inducción matemática, que si { a j es una sucesión geométrica, entonces

73. Negocios. Al examinar diferentes oportunidades de traba jo, usted encuentra que la firma A comenzará pagándole S25 000 por año pero le garantiza un aumento de SI 200 cada año mientras la firma B comenzará pagándole $28 000 por año pero le garantiza un aumento de sólo $800 cada año. En un periodo de 15 años, ¿cuánto recibiría usted de cada firma? 74. Negocios. En el problema 73, ¿cuál sería su salario anual en cada firma en el décimo año? 75. Economía. El gobierno, a través de programa de subsidio distribuye S 1 000 000. Si se supone que cada individuo o agencia gastan 0.8 de lo que reciben, y 0.8 de esto se gasta, etcétera, ¿cuánto del aumento total del gasto resulta de esta acción del gobierno? 76. Economía. Debido a los impuestos reducidos, un indivi duo tiene un extra de $600 en ingresos gastablcs. Si se supone que el individuo gasta el 70% de éstos en bienes de consumo, y que los productores de estos bienes gastan al ternativamente el 70% de lo que reciben en bienes de con sumo, y que este proceso continúa en forma indefinida, ¿cuál es la cantidad total gastada en bienes de consumo? 77. Negocios. Si SP es invertida al r% de interés compuesto anual, la cantidad A presente después de n años forma una progresión geométrica con una razón común de 1 + r. Es criba una fórmula para la cantidad después de n años. ¿En cuánto tiempo se duplicará una suma de dinero P si se in vierte al 6% de interés compuesto anual? 78. Crecimiento demográfico. Si una población de At¡ perso nas crece a una tasa constante de r% anual, la población después de t años forma una progresión geométrica con una razón común de 1 + r. Escriba una fórmula para la población total después de t años. Si la población mundial aumenta a una tasa de 2% por año, ¿cuánto tiempo le to mará duplicarse? 79. Finanzas. Hace 11 años una inversión ganó S7 000 al año. El año pasado la inversión ganó $14 000. Si los intereses de la inversión han aumentado la misma cantidad cada año, ¿cuál es el aumento anual? y ¿cuántos intereses se han acu mulado en la inversión en los últimos 11 años?

752


80. Temperatura del aire. Cuando el aire seco se mueve ha cia arriba, se expande. F.n ese proceso, se enfria a una tasa de aproximadamente 5”F por cada 1 000 pies que se eleva. Esto se conoce como proceso adiabático.

85. Física. Un objeto que está cayendo del reposo hacia un vacío cerca de la superficie de la Tierra cae 16 pies duran te el primer segundo, 48 pies durante el segundo, 80 pies durante el tercero, etcétera.

(A) ¿Qué clase de sucesión forman las temperaturas de altitudes que son múltiplos de 1 000 pies? (B) Si la temperatura del suelo es de 80°F, escriba una fórmula para la temperatura T en términos de n, si n está en miles de pies.

(A) ¿Cuánto caerá el objeto durante el onceavo segundo? (B) ¿Cuánto caerá el objeto en 11 segundos? (C) ¿Cuánto caerá el objeto en l segundos?

81. Ingeniería. Una rueda que intenta llegar al reposo gira 300 revoluciones el primer minuto (véase la figura). Si en ca da minuto subsiguiente gira dos tercios de lo que giró en el minuto anterior, ¿cuántas revoluciones hará la rueda antes de llegar al reposo?

86. Física. En el problema 85, ¿cuánto caerá el objeto durante: (A) El doceavo segundo?

(B) El résimo segundo?

87. Crecimiento de bacterias. Una bacteria de cólera simple se divide cada media hora para producir dos bacterias de cólera completas. Si se empieza con una colonia de bacte rias A a, ¿cuántas bacterias se tendrán en t horas, suponien do que se suministra la comida adecuada? 88. División celular. Una célula de leucemia inyectada a un ratón saludable se dividirá en dos células en aproximada mente medio día. Al finalizar el día estas dos células se dividen otra vez, con el mismo proceso de duplicación con tinúa cada medio dia hasta completar mil millones de cé lulas, tiempo en el cual muere el ratón. ¿Que día después de comenzar el experimento va a ocurrir esto?

82. Física. La primera oscilación de un balancín en un péndu lo es de 10 pulgadas. Si en cada oscilación subsecuente se mueve una distancia de 0.9 con relación a la oscilación anterior, ¿Qué distancia oscilará el balancín antes de lle gar al reposo?

**89. Astronomía. Desde la época del astrónomo griego Hiparco. siglo ii a.C.. el brillo de las estrellas se ha medido en tér minos de magnitud. Las estrellas más brillantes, excluyen do al Sol, se clasifican en la magnitud 1, y las más difíciles de observar son clasificadas en la magnitud 6. En 1856. el astrónomo inglés N. R. Posgon mostró que las estrellas de primera magnitud son 100 veces más brillantes que las de sexta magnitud. Si la razón del brillo entre magnitudes consecutivas es constante, encuentre esta razón. [Sugeren cia: Si b es el brillo de una magnitud /¡ésima, encuentre a /•para la progresión aeométrica b r b„ í>„ . . . , dado que bt = 1006,.] 90. Música. Las notas en un piano se miden en ciclos por se gundo, forme una progresión geométrica. (A) Si A es de 400 ciclos por segundo y ^' , 12 notas más altas, es de 800 ciclos por segundo, encuentre la ra zón constante r. (B) Encuentre los ciclos por segundo de C, tres notas más altas que/í.

83. Cadena alimenticia. Una planta es comida por un insec to, un insecto por una trucha, una trucha por un salmón, un salmón por un oso, y el oso es comido por usted. Si sólo 20% de la energía se transforma de una etapa a la otra, ¿cuántas calorias debe contener la planta para que usted obtenga 2 000 calorias al comer la carne del oso? 84. Genealogía. Si existen 30 años en una generación, ¿cuán tos antecesores directos tiene cada uno de nosotros desde hace 600 años? Por antecesores directos, se entiende a los padres, abuelos, bisabuelos, etcétera.

91. Acertijo. Si se coloca 1C en el primer cuadro de un table ro, 2é en el segundo cuadro, 4e en el tercero, y así conti núa duplicándose la cantidad hasta que se ocupan 64 cuadros, ¿cuánto dinero habrá en el cuadro 64? ¿Cuánto dinero habrá en todo el tablero?

10-4 Fórmula binomial

753

etcétera. Desde este punto de vista parece que nunca aca bará la carrera. Esta famosa paradoja se atribuye al filóso fo griego Zeno, 495-435 a.C. Si se supone que el corredor corre a 440 yardas por minuto, los tiempos entre las ruptu ras de la cinta forman una progresión geométrica infinita. ¿Cuál es la suma de esta progresión?

92. Acertijo. Si una hoja de papel muy delgado de 0.001 pul gadas de grosor se rompe a la mitad, y cada mitad se rom pe otra vez a la mitad, y el proceso se repite 32 veces, ¿de qué altura será el montón de papel si los pedazos se colo can uno sobre otro? Calcule su respuesta a la milla más cercana. 93. Presión atmosférica. Si la presión atmosférica disminuye bruscamente por un factor de 10 por cada 10 millas de aumento en una altitud de hasta 60 millas, y si la presión es de 15 libras por pulgada cuadrada al nivel del mar, ¿cuál será la presión en una altinid de 40 millas? 94. Paradoja de Zeno. Visualice una hipotética pista oval de 440 yardas que tiene cintas estiradas cruzando la pista en el punto medio y en cada punto que marca el punto medio de cada distancia restante después de aquél. Un corredor que corre alrededor de la pista tiene que romper la primera cinta antes que la segunda, la segunda antes de la tercera,

5 e c c ,ó .

10-4

95. Geometría. Si los puntos medios de los lados de un trián gulo equilátero están unidos por líneas rectas, la figura nueva será un triángulo equilátero con un perímetro igual a la mitad del original. Si se comienza con un triángulo equilátero con perímetro 1 y se forma una sucesión de trián gulos equiláteros “anidados’' procediendo como se descri be, ¿cuál será el perímetro total de todos los triángulos que se pueden formar de esta manera? 96. Fotografía. El tiempo de exposición y las/paradas de una cámara están dados como se indica: Tiempo de exposición: /paradas:

, I I I _L

J______________ !________ !____

1- 2’ 4- 8- is- jo- óo-

12* 25o- srxi

1.4, 2. 2.8. 4. 5.6. 8. 11, 16, 22

Éstas están muy ccrca de ser progresiones geométricas. Estime sus razones comunes. ** 97. Geometría. Se sabe que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180". Demuestre que las sumas de los ángulos interiores de polígonos con 3, 4, 5, 6, . . . lados forman una sucesión aritmética. Encuentre la suma de los ángulos interiores de un polígono de 21 lados.

F ó r m u l a b¡n< Factorial Fórm ula binom ial

L a form a binomial (ia + b)" donde n es un núm ero natural, aparece m ás frecuentem ente de lo que se podría esperar. Los coeficientes en la expansión desem peñan un papel im portante en estudios de pro babilidad. La fórm ula binom ial, que se deduce a continuación, perm ite d e sa rro lla ría + b)n d irectam ente para cu alquier núm ero natural n. Puesto que la fórm ula im plica fa cto ria les, se desvía un m om ento el estudio para introducir este concepto im portante.

Para n un núm ero natural, n factorial (se denota por /;!) es el producto de la prim era n en núm eros naturales. E l cero factorial se define com o 1.

754


DEFINICIÓN 1

n factorial Para n un núm ero natural

n\ = rt(n — 1 ).......... 2*1

1! = 1 0! = 1

Esto es tam bién útil para notar que:

Teorema 1

Fórmula de recurrencia para n factorial «! = «■(« — 1)!

EJEMPLO 1

Evaluación de factoriales (A) 4! = 4 • 3! = 4 • 3 • 2! = 4 • 3 • 2 • 1! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24 (B) 5! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 ^ 7-6! „ C) — = ----- = 7 ' 6! 6! 8! 8 • 7 • 6 • y. _ (D) - = ----- ------- = 336 y.


(B) —

Encuentre: (A) 6 !

(C)

5!

PRECAUCIÓN

—1 6!

C uando las fracciones reducidas im pliquen factoriales, no confunda el entero sim ple n con el sím bolo n\, el cual representa al producto de n enteros consecutivos. 6! 31

6i _ 3!

6 5-4-3! 3! '

_ 6 J 4 _ 120

Los factoriales se usan en la definición del im portante sím bolo

el cual se usa

frecuentem ente en estudios de pro b ab ilid ad se llam a el sím bolo co m b in a to rio y se d efin e para r y n no negativos, de la m anera siguiente:


D EFIN IC IO N 2

755

Sím bolo com binatorio

Para enteros r y n n o negativos. O s r s n. ín\

ni

r)

r\{n —r)\ _ n(n — !)(« —2 ) ........(» —>• + 1) r(r - 1) ........ 2 - 1

El símbolo combinatorio

también puede denotarse por Cnr. Cr o C(n, r) y se lee

como “de n se eligen r”. Muchas calculadoras usan Cr para denotar la función que evalúa al símbolo combinatorio.

EJEM PLO

Evaluación del sím bolo com binatorio

(A) (B)

8!

8!

8 * 7 • 6 - 5!

3!(8 — 3)!

3!5!

3 • 2 • 1 • 5!

7! 0/

7!

0!(7 — 0)!

Encuentre: (A) P j


= — =1

7!

= 56

Recuerde, 0! = i

(B) P

(A) Calcule los términos de la sucesión finita ^ j, ^ j. ^

. . . , ^ j (la sucesión

está graficada en la figura 1). ¿La sucesión es aritmética? ¿Geométrica? ¿Cuál término es el mayor? ¿El menor? Encuentre la suma de las series correspon dientes. 75

u=B rtCr r> a

:o=S

-Y=5fi 0

.

... . ,

(B) Conteste las mismas preguntas para la sucesión finita

0 / 11

756


* F ó r m u la b in o m ia l

A hora se está listo para tratar de descubrir una fórm ula para el desarrollo de (a + b)“ usando la inducción ordinaria; esto es. se verán algunos casos especiales y se postulará una fórm ula general de ellos. D espués se tratará de probar que la fórm ula es válida para todos los núm eros naturales, usando inducción m atem ática. Para com enzar, se calcula directam ente las potencias de los prim eros cinco núm eros naturales de (a + b)'\ organi zando los térm inos en potencias decrecientes de a: (a + b)1 = a + b

íHiñi

:"W y.

(a +

b)2 = a1 + la b + b2

(a +

b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a +

b)4 = a4 + 4 a3b + 6arb2 + 4ab3 +

(a +

b )5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2¿>3 + 5ab4 + b5

b4

p p ll

'■

in n o c Observaciones

i i 1. H L a expansión iia de (a + b)n tiene n + 1 térm inos. ”

L a potencia de a dism inuye en 1 para cada térm ino conform e se mueve de izquierda a derecha.

4.

En cada térm ino, la sum a de las potencias de a y b siem pre asciende a n.

5.

C om enzando con un térm ino dado, se puede obte m o térm ino m ultiplicando el coeficiente del téi de a y dividiendo entre el núm ero que representa la serie de térm inos. Por ejem plo, en la expansió: del tercer térm ino se encuentra en el segundo téi

coeficiente del próxidado por el exponente Dsición del térm ino en a + b f , el coeficiente o m ultiplicando 4 y 3 y es (4 • 3)/

lililí

A hora se postulan las propiedades para el caso general: n n(n — 1) ,,, (a + b)" = a" + y a”~ lb + ■ y - y an 2b 2 „ („ - 1)(„ - 2)

y

y

1-2-3 n\

n\

,,

, ,,,

n]

a" + -------------- a" lb + — ------- — a" 2b2 0 !(n — 0)! l!(n — 1)! l\( n - 2)1 nl

■an~ib3 + - - ‘ +

3!(« - 3)!

. , n-~ — bn

n \{n - n)\

a„ + I " Ia n~lb + I " \an~2b2 + I ” W _3¿3 + •■• + ( ” \bn \0 ) " \\ Así, se ha llegado a la fó rm u la b in o m ia l usando la inducción ordinaria:


Teorema 2

757

Fórmula binomial Para n un entero positivo

(a + b y = 2

a"~tbk

* = o \k j

Ahora se procede a probar que la fórm ula binom ial es válida para todos los núm e ros naturales n usando inducción m atem ática. Prueba

Establezca la conjetura.

P„:

Parte 1

(a + b y = 2

( j j an~JhJ

D em uestre que P es verdadera.

i

(‘W=(¿V+(IV--

+ h = (a + b)'

j =0 \ J

En consecuencia, P es verdadera.

Parte 2

D em uestre que si P k es verdadera, entonces P k + ,

Pk:

Pt+ i:

es verdadera.

(a + b f = ^ í . ja"~Jb J j —o \ J )

Suponga que P, es verdadera.

k~ 1 ík + 1 \ (a + b)k r ' = 2 ■ \cik* l ~Jb j ]=o V J }

Muestre que , es verdadera.

Se com ienza m ultiplicando am bos lados de P. por (a + b): k (a + b)k(a + b) =

(a + b) -j¿= o \uJ

El lado izquierdo de esta ecuación es el lado izquierdo de P k + A hora se m ultiplica afuera el lado derecho de la ecuación y se trata de obtener el lado derecho de P k+ {-


758

A hora se usan los siguientes hechos (las pruebas se dejan com o ejercicios; véase los problem as del 55 al 57, del ejercicio 10-4): k

\

(r — 1/

+

(k\

(k + l \

(k\

(k + l\

(k\

\r )

\

\0 /

\

\k j

r

)

0

/

~

(k + 1 \k — 1

para reescribir el lado derecho como

. rV .

h

Puesto que el lado derecho de la últim a ecuación es el lado derecho de P k_ ,, se m uestra que P k + ( se deduce de Pk,

1

P n es verdadera. Esto es, la fórm ula binom ial es válida para todos los enteros positi -r * " ' 1 vos n.

Conclusión .

.

. V:|

r

EIEMPLO

Uso de la fórmula binomial Use la fórm ula binom ial para desarrollar (x + y )6.

Solución

(x + y f = 2

^ W *y

k

o)"6+( i h +(2) ^ +(3) ^ +&

y +

( * r +(er

= x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x', >’3 + 15x2y4 + 6xys + y6


EJEMPLO 4

Use la fórm ula binom ial para desarrollar (x + l) 5.

Uso de la fórmula binomial Use la fórm ula binom ial para desarrollar (3p — 2 q f.

Solución

(3p - 2q f = [(3/7) + { ~ 2 q ) f

= t

a = 3p, b = - 2 q

^ ) ( 3 p ) 4" * ( - 2 ? ) ‘

o)(3p)4^( í W (-2í) + Í ^ \ O p ) \ - 2 q f + (3 )(3/7)(

2^)3 + I 4 1( —2^)4

= 81p 4 - 2 \6 p iq + 216p 2q 2 - 96p q l + 16c/4

759

10-4 Formula binomial

Problem

Use la formula binomial para desarrollar (2m - 5nf .


(A) C alcule cada térm ino y tam bién la sum a de las series alternantes,

(B) ¿Q ué resultado de las series alternantes se puede deducir para a = 1 y b = —1 en la fórm ula binom ial?

Uso de la fórm ula binomial U se la fórm ula binom ial para encontrar el cuarto y decim osexto térm ino en el desarro llo de (x - 2 )20. Solución

En el desarrollo de (a + b)n el exponente de b en el résim o térm ino es r exponente de a es n — (r - 1). Así que, C uarto térm ino:

D ecim osexto térm ino:

-

(20

3 j*17(- 2)3

[u jX -W

_ 20-19-18

_ 20-19-18-17-16

" 3-2-1 X ( = —9 120jc17

Prc I;

1 y el

8)

“ =

5-4-3-2-1 508 035 072*5

32 ?6 8 )

U se la fórm ula binom ial para encontrar el quinto y decim osegundo térm inos en el desa rrollo de (w - 1)1S.

R espuestas a los p ro b le m a s selec cio n a d o s 1. (A) 720

(B)

6

(C) 504

2. (A) 36 4. 8m3 -

3. í 3 + Sx* + lO.r3 + 10*2 + 5jc + 1 5.

EJERCICIO

(B) 1

60m2n + 150mn2 - 125«3

3 060«'“; -3 1 824«7

10-4 4. — 4!

5. — 7!

6. — 6!

5! 8. —

9.

Evalúe cada expresión en los problemas del I al 12. 1. 6!

2. 4!

20! 3. —

19!

7.

6!

412!

2!3!

9!

01(9 - 0)!

760

10.


8!(8 - 8)!

11.

2!(8 - 2 )!

12.

7!

48. Encuentre el número de términos de la sucesión

3!(7 - 3)!

Escriba cada expresión en los problemas del 13 al 16 como el cociente de dos factoriales. que son mayores que la mitad del término más grande.

13. 9

14.

15. 6 • 7 •

16. 9 • 10 • 11 12

12

49. (A) Encuentre el término más grande de la sucesión aQ, a,, a„ . . . , aw con tres cifras decimales, donde

B ____

ak = ^ ° j (0.6)‘°-‘(04)*.

Evalúe cada expresión en los problemas de117 al 24. 18.

17.

21.

20.

(B) De acuerdo con la fórmula binomial, ¿cuál es la suma de la serie a0 + a, + a2 + • • • + ¿r10?

19. 22.

50. (A) Encuentre el término más grande de la sucesión a0. a x,a v . . . ,a |0 con tres cifras decimales, donde a* = (^ °) (0.3)lo- ‘(0.7)*.

24.

23.

25. Encuentre el menor entero positivo n tal que n\ produzca un error de capacidad (overflow) en su calculadora. 2(i. Encuentre el menor entero positivo n tal que ( J produz ca un error de capacidad en su calculadora. \ n ) Desarrolle los problemas del 27 al 38 usando la fórmula bino/nial. 27. (m + n f

28. (x + 2)3

29. (2x - 3y f

30. (3k + 2i--)3

31. (x - 2)4

32. (x - y f

33. (m + 3n)4

34. (3p - q f

35. (2 x ~ y f

36. (2x - l)5

37. (m + 2n f

38. (2x - y f

(B) De acuerdo con la fórmula binomial, ¿cuál es la suma de la serie a„ + a, + a, + • a |0?

c 51. Evalúe (1.01 )10 con cuatro cifras decimales, mediante la fórmula binomial. [Sugerencia: Sea 1.01= 1 + 0.01.] 52. Evalúe (0.99)6con cuatro cifras decimales, usando la fórmu la binomial. Demuestre que: Demuestre que:

r)

n \n — r

n\

(n

0/

\n

En los problemas del 39 al 46, encuentre el término indicado I +* • en cada desarrollo,___— / - j f ' 39. (u + v)13: tt$fi*Mi^sépt¡mo término

Demuestre que:

k + 1 0

Demuestre que:

k+ 1 k+ 1

40. (a 4- b)n ; quinto término 41. (2m + n)12; onceavo término 42. (x + 2>’)20; tercer término 43. [(vw/2) - 2]j': itóéíwoséplimo término

Demuestre que ( j está dado por la fórmula de recurrencia

44. (x - 3)10; cuarto término n - r + 1I

45. (3.r —2 y f\ sexto término

r

46. (2p — 3q)~\ cuarto término En los problemas del 47 al 50, use un dispositivo de graficación para graficar cada sucesión y mostrarla en forma de tabla. 47. Encuentre el número de términos de la sucesión

donde

n

Ir —1

= 1.

59. Escriba 2" = (1 + 1)" y desarrolle, usando la fórmula binomial para obtener

oHT que son mayores que la mitad del término más grande.

v.

10-5 Principio de multiplicación, permutaciones y combinaciones

60. ¿Puede usted adivinar qué sigue en los siguientes dos renglones del triángulo de Pascal que se muestra a la derecha? Compare los números del triángulo con los coeficien tes binomiales obtenidos con la fórmula binomial.

761

1 . . 1 2 1 13 3 1 14 6 4 1

10-5

SECCÍÓN I

V J - D

de multiplicación, permutaciones y combinaciones Principio de m ultiplicación Perm utaciones C om binaciones

A hora se puede desarrollar la forma binom ial (a + b)':, en dos pasos: prim ero, desarro llam os en una sum a de 2" térm inos, con cada coeficiente 1; segundo, agrupando todos los térm inos en los cuales b parece tener la m ism a potencia, se obtiene la sum a de los n + 1 térm inos de la fórm ula binom ial. Por ejem plo, (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(aa + ab + ba + bb) = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Paso 1

Paso 2

C onsidere el térm ino aba del paso 1: La prim era a viene del prim er factor de a + b, la b viene del segundo factor de a 4-

y la a final viene del tercer factor. Por tanto, ^ J =

3 el coeficiente de a2b en el paso 2, es el núm ero de m aneras en que se elige a b de exactam ente uno de los tres factores de a + b en (a + b ) \ /52\ De la m ism a form a, ( 1 = 2 598 960 es el núm ero de m aneras de elegir a b de exactam ente cinco de los 52 factores de a + b en (a + b f 2. De m anera similar, 2 598 960 es el núm ero de cinco m anos de cartas que se pueden elegir de una baraja de 52 cartas usual. En esta sección se estudian técnicas de conteo que están relacionadas con la su cesión |

), \ ], [ I, y se desarrollan im portantes herram ientas de conteo \I J \2J \n) que son la base de la teoría de probabilidad.

Se inicia con un ejem plo.

m u lt ip lic a c ió n

Resultados combinados Suponga que se lanza una m oneda y después se tira un dado (véase figura 1). ¿Cuáles son los posibles resultados com binados?

762


Solución

Para resolver este problema, se usa un d ia g ra m a de á rb o l: Resultado de la m oneda

Resultados d e la m oneda

Resultado del dado

Resultados com binados

(C, (C, (C, (C, (C, (C,

1) 2) 3) 4) 5) 6)

(C, (C, (C, (C, (C, (C,

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Inicio

Resultados del dado

Resultados de monedas y dados.

Por consiguiente, hay 12 posibles resultados com binados (hay dos m aneras en las que la m oneda puede caer seguida por seis m aneras en las cuales el dado puede caer).

U se un diagram a de árbol para determ inar el núm ero de posibles resultados de un solo lanzam iento de dado seguido por el lanzam iento de una m oneda.

A hora suponga que le preguntan, “de las 26 letras del alfabeto inglés, ¿de cuántas m aneras pueden aparecer tres letras en un renglón de una placa de licencia si la letra no se repite?” Intentar contar las posibilidades usando un diagram a de árbol podría ser extrem adam ente tedioso. El siguiente p rin c ip io de m ultip licació n , tam bién llam ado p rin c ip io fu n d a m e n ta l de conteo, nos capacita para resolver este problem a fácilm en te. Adem ás, éste form a las bases para otras técnicas de conteo que después se desarro llarán en esta sección.

Principio de multiplicación

li

IIP

Si dos operaciones O x y 0 1 se realizan en orden, con N [ posibles resultados para la prim era operación y N 2 posibles resultados para la segunda opera ción, entonces hay m 3 l:l '}ir , ^lííBr&ülj m Ar ,- N , PIWmWÍíUmUIIIIIHBWÍ

ÈÌR1I

....-...... , . . I 1lrrn„ïï.........-....... , r ,nnm , m l [ m ^

posibles resultados com binados de la prim era operación seguidas por la se gunda. iM íiH i En general, si n operaciones O r 0 2, . . . ,On se realizan en orden, con un posible núm ero de resultados N , AL . . . , N , respec tivam ente, entonces hay ' : :■■; ’ '■ ' i : " '■ Ip llp i lO T H lffillllB n ulv1 ; i (w um . ..........N N K 1 2 n \i ! u í i:.ií tfijH jíJíí i ! î î i ! * M1SÍit¡

íiláji ISSlilllliïlfiiSfeai

posibles resultados com binados de las operaciones realizadas en el orden dado. m fc : : . .


763

En el ejem plo 1, se ve que hay dos posibles resultados de la prim era operación de lanzar una m oneda y seis posibles resultados de la segunda operación de lanzar un dado. Asi que, por el principio de m ultiplicación, hay 2 • 6 = 12 posibles resultados com binados de lanzar una m oneda y después un dado. U se el principio de m ultiplica ción para resolver el problem a seleccionado 1. Para responder la pregunta de la licencia de placa, se razona com o sigue: Hay 26 m aneras de elegir la prim era letra. Después de que la prim era letra se ha elegido, restan 25 letras; hay 25 m aneras de elegir la segunda letra. Y después de que se han elegido dos letras, hay 24 m aneras de elegir la tercer letra. Así, usando el principio de m ultipli cación, hay 26 ■25 • 24 = 15 600 posibles m aneras de elegir tres letras del alfabeto, sin que ninguna letra se repita. Pero si no se p ennite que ninguna se repita, las selecciones anteriores afectan las selecciones siguientes. Si se perm ite que las letras se repitan, entonces las selecciones anteriores no afectarán las selecciones posteriores, hay 26 po sibles m aneras de elegir cada una de las tres letras. A sí, si se perm ite que las letras se repitan, hay 2 6 - 2 6 - 2 6 = 263 = 17 576 posibles m aneras de elegir tres letras del alfabeto.

EJEMPLO 2

Pruebas generadas en computadora M uchas universidades y colegios están usando en la actualidad procedim ientos de prueba asistidos por com putadora. Suponga que una pantalla de prueba consiste de cinco pre guntas, y una com putadora alm acena cinco preguntas equivalentes para la prim era pregunta de la prueba, ocho preguntas equivalentes para la segunda, seis para la tercera, cinco para la cuarta y 10 para la quinta. ¿Cuántas diferentes pruebas de cinco preguntas puede seleccionar la com putadora? Se consideran dos pruebas diferentes si difieren en una o m ás preguntas.

Solución

O t : Selección de la prim era pregunta

N-

5 m aneras

O ,: Selección de la segunda pregunta

N¿

8 m aneras

O y Selección de la tercera pregunta

Ny

6 m aneras

0 4\ Selección de la cuarta pregunta

K--

5 m aneras

O.: Selección de la quinta pregunta

Ny

10 m aneras

En consecuencia, la com putadora puede generar 5 • 8 ■6 • 5 • 10 = 12 000 diferentes pruebas


EJEMPLO 3

Cada pregunta de una prueba de opción m últiple tiene cinco opciones. Si hay cinco de estas preguntas en una prueba, ¿cuántas hojas de diferentes respuestas son posibles si sólo se m arca una opción para cada pregunta?

Palabras con código de conteo ¿C uántas palabras con código de tres letras se pueden form ar usando las ocho prim eras letras del alfabeto si: (A) ninguna letra se puede repetir? (B) las letras se pueden repetir? (C) las letras adyacentes pueden no ser iguales?

764


Soluciones

(A) Ninguna letra se puede repetir. O,: Selección de la prim era letra

A^: 8 form as

0 2: Selección de la segunda letra

N r 7 form as

D e b id o a q u e ya se ha u sa d o una letra

O

Selección de la tercera letra

A\: 6 form as

D ebido a q u e ya se han u sa d o dos letras

De m anera que hay 8 • 7 • 6 = 336 posibles palabras en código Las letras se pueden repetir. O y Selección de la prim era letra

Ar,: 8 form as

0 ,: Selección de la segunda letra

A’,: 8 form as

Se p e rm ite la re p etic ió n .

O y Selección de la tercera letra

N y 8 form as

Se p e rm ite la rep etició n .

Por consiguiente, hay 8 - 8 * 8 = 83 = 512 posibles palabras en código Letras adyacentes no pueden ser iguales. O y Selección de la prim era letra

N y 8 formas

0 ,: Selección de la segunda letra

N y 7 form as

N o p u e d e ser la m ism a q u e la prim era.

0 ,: Selección de la tercera letra

N y 7 form as

N o p u e d e ser la m ism a q u e la se g u n d a , p e ro p u e d e se r la m is ma que

la p rim era.

D e m anera que hay 8 • 7 ■7 = 392 posibles palabras en código

¿Cuántas palabras en código de cuatro letras son posibles usando las prim eras 10 letras del alfabeto bajo las tres condiciones establecidas en el ejem plo 3?


El servicio de correos de un país en desarrollo elige un código postal form ado por cinco caracteres por letras (del alfabeto inglés) y por dígitos. A l m enos m edio m illón de códigos postales se pueden generar. ¿Qué form ato recom endaría usted para que los códigos se pudieran recordar fácilm ente?

El principio de m ultiplicación se puede usar para desarrollar dos m étodos más para el conteo que son m uy útiles en problem as de conteo más com plicados. A m bos m étodos usan la función factorial, la cual se introdujo en la sección 10-4.


• Permutaciones

765

Im agine cuatro pinturas ordenadas de izquierda a derecha en la pared de una galería de arte. ¿C uantos arreglos son posibles? U sando el principio de m ultiplicación, hay cuatro m aneras de seleccionar la prim era pintura. Después de seleccionar la prim era pintura hay tres m aneras de seleccionar la segunda. Después de seleccionar las dos prim eras pinturas, hay dos m aneras de seleccionar la tercera. Y después de que las tres prim e ras pinturas han sido seleccionadas, hay sólo una m anera de seleccionar la cuarta. Por lo tanto, el núm ero de arreglos posibles para las cuatro pinturas es 4 • 3 • 2 • 1 = 4!

o

24

En general, se hace referencia a un arreglo en particular, u ordenam iento, de n objetos sin repetición com o una perm utación de n objetos. ¿C uántas perm utaciones de n objetos son posibles? Del razonam iento anterior, hay n form as en las que el prim er objeto se puede elegir, hay n - 1 form as en las cuales el segundo objeto se puede elegir, y así sucesivam ente. A plicando el principio de m ultiplicación, se tiene el teorem a 1:

Teorema 1

Permutaciones de n objetos El núm ero de perm utaciones de n objetos, se denota por P

está dado por

P nn = n • (w — 1 ) ..........1 = n\

A hora suponga que el director de la galería de arte decide usar sólo dos de las cuatro pinturas disponibles en la p a re d arregladas de izquierda a derecha. ¿Cuántos arreglos de dos pinturas se pueden form ar de las cuatro? Hay cuatro m aneras de elegir la prim era pintura. Después de que se ha seleccionado la prim era pintura, hay tres m a neras de elegir la segunda pintura. Así, el núm ero de arreglos de dos de las cuatro pinturas, se denota por P A„ dado por PA2 = 4 * 3 = 12 O, en térm inos de factoriales, m ultiplicando 4 • 3 por 1 en la forma 2!/2!, se tiene

P.. 2 = 4 - 3 =

4 * 3 • 2!

4!

Esta últim a forma da P 42 en térm inos de factoriales, lo cual es útil en algunos casos. Una perm utación de un conjunto de n objetos tom ando r al m ism o tiem po es un arreglo de los r objetos en un orden específico. Así, razonando de la m ism a m anera que en el ejem plo anterior se encuentra que el núm ero de perm utaciones de « objetos tom ando r al m ism o tiem po, 0 < / • < « , se denota por P r ., está dado por P„,r =■ n(n - l)(n - 2) ..........(n - r + 1) M ultiplicando el lado derecho de esta ecuación por 1 en la forma (n - r)\!(n — /■)!, se obtiene una form a factorial para Pn.y: r (,n — r)! Pn,r = n(n - 1 )0 - 2) ......... (n - r + 1) - -

766

10

Sucesiones y series

Pero n(n — \){n - 2 ) ..........(w — r + l )(/2 - r)! = n\ En consecuencia, se tiene el teorem a 2:

Teorema 2

Permutación de n objetos tom ando r a un tiem po El núm ero de perm utaciones de n objetos tom ando r a un tiem po está dado por P nr = n(n - \){n - 2) • • • • • ( « - # • + 1) r fa cto res

O bserve que si r = 73, entonces el núm ero de perm utaciones de n objetos tom ando 77a u n tiem po es

' ( ^ ) T = Si= ”! lo cual concuerda con el teorem a 1, com o debe ser. El sím bolo de perm utación Pr r, tam bién se p u ed e denotar p o r , P“, P r o P(n, r). M uchas calculadoras usan P r, para denotar a la función que evalúa ai sím bolo de perm utación.

EJEMPLO 4

Selección de funcionarios De un com ité de ocho personas, ¿cuántas m aneras posibles hay de elegir un presidente y un vicepresidente, suponiendo que una persona no puede m antener m ás de una posi ción?

Solución

R ealm ente se está preguntando por el núm ero de perm utaciones de ocho objetos to m ando dos a un tiem po, esto es, P s 8! 8! 8-7-6! ^ Pf, , = ----------- = — = ----------------- 56

8'2


(8 - 2 )!

6!

6!

De un com ité de 10 personas, ¿cuántas m aneras hay de elegir un presidente, un vicepre sidente y un secretario, suponiendo que una persona no puede m antener más de una posición?

10-5

PRECAUCIÓN

Principio de m ultiplicación, perm utaciones y com binaciones

Recuerde el uso de la definición de factorial cuando sim plifique fracciones que im pliquen factoriales. 6' — ^ 2! 3!

EJEMPLO 5

6> 6 •5 •4 •31 — = = 120 3! 3!

Evaluación de Pn,r Encuentre el núm ero de perm utaciones de 25 objetos tom ando ocho a un tiem po. C al cule la respuesta con cuatro dígitos significativos usando una calculadora.

Solución


• Com binaciones

25!

P¡5.8 — “ -----“

25! = jy j' = 4.361 X 10!O

Un n ú m e ro m u y g ra n d e

E ncuentre el núm ero de perm utaciones de 30 objetos tom ando cuatro a un tiempo. C alcule la respuesta exactam ente usando una calculadora.

A hora suponga que un m useo de arte tiene ocho pinturas de un artista dado y otro m useo de arte desea que le presten tres de esas pinturas para una exposición especial. ¿D e cuántas m aneras se pueden seleccionar las tres pinturas que se van a enviar de las ocho disponibles? Aquí, el orden de los objetos seleccionados no es im portante. Lo que ahora realm ente interesa es conocer cuántos subconjuntos de tres objetos se pueden form ar de un conjunto de ocho objetos. A tales subconjuntos se les llama co m b in ación de ocho objetos tom ando tres al m ism o tiempo. El núm ero total de com binaciones se denota por el sím bolo

.3

Para encontrar el núm ero de com binaciones de ocho objetos tom ando tres al m is m o tiem po, Cs „ se usa la fónnula para P n r y el principio de m ultiplicación. Sesabe que el núm ero de perm utaciones de ocho objetos tom ando tres al m ism o tiem po está dado por P 8, y se tiene una fórm ula para calcular esta cantidad. A hora suponga que se piensa a P f , en térm inos de dos operaciones: O j:

Selección de un subconjunto de tres objetos (pinturas)

N1 ,:

C 8. , ,j m aneras

0 2\

A rreglo de los subconjuntos en un orden dado

N2:

3! m aneras

La operación com binada O v seguida de 0 „ produce una perm utación de ocho objetos tom ando tres al m ism o tiem po. De tal m anera que,

Px, = C», • 3!

768

10

Sucesiones y series

Para encontrar CR3, se reem plaza a P 8, en la ecuación anterior con 8!/(8 — 3)! y se despeja Cs ,: si = CM • 3!

(8 - 3)!

8! 8-7-6-5! C<,, = -------------- = ------------------ = 56 S3 3!(8 — 3)! 3-2-1-5! Por lo tanto, el m useo puede seleccionar las tres pinturas de entre las ocho disponibles en 56 diferentes maneras. Una c om b in a c ió n de un c o n ju n to de n ob jeto s to m a n d o r al m ism o tie m p o es un subconjunto de r elem entos de los n objetos. Razonando de la mism a m anera que en el ejem plo, el núm ero de com binaciones de n objetos tom ando r al m ism o tiem po 0 ^ r < n. denotado p o r C irse puede obtener al despejar Cnr de la relación Pn .r = 'C- 'n .r • 1r'‘ P L n,r ,r

r! «! r\(n - r)!

Teorema 3

„ n'

(n

n! - r)!

Combinación de n objetos tom ando r a un tiem po El núm ero de com binaciones de n objetos tom ando r a un tiem po está dado por c

= M = iü £ . =---—-\r )

r\

0SfS«

r \ ( n — r)!

O bserve que se ha usado la fórm ula de com binación en la sección 10-4 para repre sentar los coeficientes binom iales. Los sím bolos de com binación C, r. y ( n I tam bién se pueden denotar por C ’, Cr o C(n, r). vJ

EJEMPLO 6

Selección de subcomités De un com ité de ocho personas, ¿de cuántas m aneras se puede elegir un subcom ité de dos personas?

Solución

O bserve cóm o difiere este ejem plo del ejem plo 4, se quiere saber cuántas m aneras hay de elegir un presidente y un vicepresidente de un com ité de ocho personas. En el ejem plo 4, el ordenam iento era im portante. En la selección de un subcom ité de dos perso nas, el ordenam iento no im porta. Así, realm ente se está preguntando por el núm ero de com binaciones de ocho objetos tom ando dos a la vez. El núm ero está dado por

10-5


769

¿Cuántos subcom ités de tres personas se pueden elegir de un com ité de ocho personas?

Evaluación de Cnr Encuentre el núm ero de com binaciones de 25 objetos tom ando ocho a la vez. Calcule la respuesta con cuatro dígitos significativos usando calculadora. Í2 5 \

Solución

C-'st = ( ‘5'8

\ 8/

25'

251

8!(25 — 8)!

8! 17!

= ------ —----- = ----- -- = 1-082

X

105

C om pare este resultado con el obtenido en el ejem plo 5.

E ncuentre el núm ero de com binaciones de 30 objetos tom ando cuatro a la vez. Calcule la respuesta exactam ente usando calculadora.

Recuerde: En una permutación, importa el orden. En una combinación, el orden no imparta. Para determ inar si una perm utación o com binación es necesaria, observe si al rearreglar la colección o lista se produce una diferencia. Si es así, use perm utaciones. Si no, use com binaciones.


C ada una de las siguientes es una selección sin repetición. ¿Podría usted considerar la selección com o una com binación? ¿U na perm utación? A nalice su razonam iento. (A) U n estudiante saca tres libros de la biblioteca. (B) Un entrenador de un equipo de béisbol da los nom bres de su alineación inicial. (C) El nuevo presidente electo nom bra a los m iem bros de su gabinete. (D) E l presidente selecciona una delegación de tres m iem bros de su gabinete para asistir al funeral de un je fe de Estado. (E) U n director de orquesta elige tres piezas de m úsica para un program a de sinfo nía.

Una baraja de 52 cartas tiene cuatro palos: corazones, espadas, diam antes y trébo les, com o se m uestra en la figura 2. En el ejem plo 8, así com o en otros ejem plos y ejercicios de este capítulo, se hará referencia a esta baraja usual.

770

10

Sucesiones y series

Una baraja usual de cartas.

EJEMPLO 8

Conteo de manos de cartas De una baraja usual de 52 cartas, ¿cuántas m anos de cinco cartas tienen tres ases y dos reyes?

Solución

O t:

Selección de tres ases de los cuatro posibles.

El orden no es importante.

C4, O

Selección de dos reyes de los cuatro posibles.

N 2*■

C 4.2

El orden no es importante.

Usando el principio de m ultiplicación, se tiene N úm ero de m anos = C4,3 ., ■C 4,2 . , = 4 • 6 = 24

P ro b le m a s e le c c io n a d o

8

EJEMPLO 9

De una baraja usual de 52 cartas, ¿cuántas m anos de cinco cartas tienen tres corazones y dos espadas?

Conteo de números de serie Los núm eros de serie para un producto se han form ado usando dos letras seguidas de tres núm eros. Si las letras se tom an de las ocho prim eras letras del alfabeto sin repeti ción y los núm eros de los 10 dígitos del 0 al 9 sin repetición, ¿cuántos núm eros de serie son posibles?

Solución

O

Selección de dos letras de las ocho disponibles pu

O,:

Selección de tres núm eros de los 10 disponibles

El o rd e n

es im p o rta n te .

10-5


771

U sando el principio de m ultiplicación, se tiene N úm ero de núm eros de serie = P H, • P [0, = 40 320

!


Repita el ejem plo 9 bajo las m ism as condiciones, excepto que los núm eros de serie ahora tienen tres letras seguidas por dos dígitos sin repetición.

Respuestas a los problemas seleccionados cc

cc

cc

cc

cc

2. 5S, O 3 125

cc

V V V V V V Inicio 3. (A) 10 • 9 • 8 • 7 = 5 040 (B) 10 • 10 • 10 ■ 10 = 10 000 (C) 10 • 9 • 9 • 9 = 7 290 10! „„„ 30! 8' = 657 720 6. C„ = 56 4. P,o.i = (10 - 3)! 720 3' (30 - 4)! 3!(8 - 3)! 30! 7* C->,ya — 27 405 8. Cl3.3 ■C ,,.2 = 22 308 9. • P¡(,, = 30 240 4!(30 - 4)!

EJERCICIO

10-5 20. En una carrera de larga distancia, en la que participan 50 personas, ¿cuántas combinaciones se pueden formar con los cinco primeros lugares? Excluya empates.

Evalúe los problemas del I al 16. 1.

11! 8!

2.

4.

6! 4!2!

5.

7.

7! 7!(7 - 7)!

8.

14!

3.

12 !

7! 4!(7 - 4)! 8! 0!(8 - 0 )!

6.

5! 2!3! 8!

3!(8 -

9. ^ 5.3

10 . P..2

1 1 . ^52.4

12 . P 52.2

13.

14. Cj ,2

15. Cs2.4

16. C 52.2 17. Un modelo nuevo de automóvil está disponible con cinco opciones de color, tres opciones de transmisión, cuatro ti pos de interiores y dos tipos de motor. ¿Cuántas diferentes variaciones de este modelo de automóvil son posibles? 18. Una cafetería vende sándwiches con las siguientes opcio nes: tres clases de pan, cinco clases de carne y lechuga o col. ¿Cuántos diferentes sándwiches son posibles, supo niendo que se usa un producto de cada categoría? 19. En una carrera en la que participan 10 caballos, ¿cuántas diferentes combinaciones de caballos pueden ocupar los Ires primeros lugares? No considere empates.

21. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un subcomité de tres personas de un comité formado por siete personas? ¿De cuántas maneras se puede elegir a un presidente, un vicepresidente y un secretario de un comité formado por siete personas? 22. Suponga nueve cartas que están numeradas con los nueve dígitos del 1 al 9. Se da una mano de tres cartas, una carta cada vez. ¿Cuántas manos son posibles donde: (A) Se toma en cuenta el orden? (B) No se toma en cuenta el orden? 23. Una liga está formada por 10 equipos. Si cada equipo ju e ga con otro exactamente una vez, ¿cuántos juegos se de ben programar? 24. Dados siete puntos, de los cuales tres no están en una línea recta, ¿cuántas rectas se pueden dibujar uniendo dos pun tos a la vez?

B 25. ¿Cuántas palabras en código de cuatro letras se pueden formar con las seis primeras letras del alfabeto sin que se repitan letras? ¿Y permitiendo que se repitan letras?

772

10

Sucesiones y series

26. ¿Cuántas palabras en código de cinco letras se pueden for mar usando las siete primeras letras del alfabeto, sin que se repitan letras? ¿Y permitiendo que las letras se repitan?

dos los guantes son del mismo tamaño. ¿En cuántas dife rentes maneras se puede seleccionar un guante izquierdo y uno derecho sin tomar en cuenta la marca?

27. Un seguro de combinación tiene cinco vueltas cada una marcada con los 10 dígitos del 0 al 9. ¿Cuántas combina ciones de apertura con cinco números son posibles, supo niendo que los dígitos no se repiten? ¿Y suponiendo que los dígitos se repiten?

40. Una tienda de deportes tiene seis pares de tenis para correr

28. Un pequeño seguro de combinación de una maleta tiene tres vueltas, cada una marcada con dígitos del 0 al 9. ¿Cuán tas combinaciones de tres números son posibles para abrir la maleta, suponiendo que no se repiten los dígitos? ¿Y suponiendo que sí se repiten?

41. Se seleccionan ocho puntos distintos en la circunferencia

29. De una baraja usual de 52 cartas, ¿cuántas manos de cinco cartas tendrán corazones? 30. De una baraja usual de 52 cartas, ¿cuántas manos de cinco cartas tendrán todas caras? ¿Todas tendrán caras, pero no reyes? Considere que sólo las sotas, las reinas y los reyes son las cartas con cara. 31. ¿Cuántas diferentes placas de licencia son posibles si cada

una contiene tres letras seguidas de tres dígitos? ¿Cuántas de estas placas de licencia no contienen letras ni dígitos re petidos? 32. ¿Cuántos códigos de cinco dígitos de teléfono son posibles? ¿Cuántos de estos códigos no tienen dígitos repetidos? 33. De una baraja usual de 52 cartas, ¿cuántas manos de siete cartas tienen exactamente cinco espadas y dos corazones? 34. De una baraja usual de 52 cartas, ¿cuántas manos de cinco cartas tendrán dos tréboles y tres corazones? 35. Un servicio que provee comida ofrece ocho entradas, 10 platos principales y siete postres. Una persona encargada del banquete selecciona tres entradas, cuatro platos princi pales y dos postres para el banquete. ¿De cuántas maneras se puede hacer éste? 36. Tres departam entos de investigación tienen 12, 15 y 18 miembros, respectivamente. Si cada departamento seleccio na un delegado y un suplente para representar al departamen to en una conferencia, ¿cuántas maneras hay de hacer esto?

?ÑZ 37. (A) Use un dispositivo de graficación para desplegar las sucesiones P 0#, P |01, . . . , P [0A0, y 0!, 1 ! , . . . , 10! en forma de tabla, y muestre que P l(lr a r\ para r = 0,

1 , . . . , 10.

p vj C io.o’ C • • ■>__!2JiL j Q i

0!

(A) ¿Cuántas cuerdas se pueden trazar uniendo los pun

tos en todas las direcciones posibles? (B) ¿Cuántos triángulos se pueden trazar usando estos ocho puntos como vértices? (C) ¿Cuántos cuadriláteros se pueden trazar usando estos ocho puntos como vértices? 42. Cinco puntos distintos se seleccionan en la circunferencia

de un círculo. (A) ¿Cuántas cuerdas se pueden trazar uniendo los pun

tos en todas las formas posibles? (B) ¿Cuántos triángulos se pueden trazar usando estos Cinco puntos como vértices? 43. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar dos perso

nas en una línea de cinco sillas?, ¿tres personas?, ¿cuatro personas?, ¿cinco personas? 44. Cada uno de dos países manda cinco delegados a una con

ferencia de negocios. Se usa una mesa rectangular con cinco sillas a lo largo de cada lado. Si a cada país se le asigna todo un lado de la mesa, ¿cuántas formas diferentes de sentarse son posibles? [Sugerencia: La operación 1 asigna un lado de la mesa a cada país.] 45. En un equipo de basquetbol hay cinco posiciones distin

tas. Se cuenta con ocho jugadores, ¿cuántos equipos ini ciales son posibles si: (A) se toman en consideración las distintas posiciones?

(B) no se toman en consideración las distintas posicio nes? (C) no se consideran las distintas posiciones pero Mike o Ken. alguno de los dos, debe empezar, pero no am bos? 46. ¿Cuántos comités de cuatro personas es posible formar de (A) no hay restricciones?

P, P. , 38. (A) ¿Cómo están relacionadas las sucesiones—— , —— . 6

de un círculo.

un grupo de nueve personas si:

(B) Encuentre los valores de r tales que P ¡t r = r\ (C) Explique por qué P 2 : /•! cuando 0 s r < n . w

de seis diferentes estilos dentro de una canasta. Los zapa tos son todos del mismo tamaño. ¿De cuántas maneras se puede elegir un tenis izquierdo y uno derecho sin tomar en cuenta la marca?

1! '

’C îo.io’7

(B) Use un dispositivo de graficación para graficar cada sucesión y confirm ar la relación del inciso (A).

c _________________________ 39. U na tienda de artículos deportivos tiene 12 pares de guan tes para esquiar de 12 diferentes marcas en un cajón. To

(B) Juan y M an' deben estar en el comité? (C) Juan o Mary, pero no ambos, debe estar en el co mité? Una mano de cinco cartas se reparte de una baraja usual de 5 2 cartas. ¿Qué es más probable: que la mano conten ga exactamente un rey o que la mano no contenga cora zones? Una mano de 10 cartas se reparte de una baraja usual de 5 2 cartas. ¿Qué es más probable: que todas las cartas en la mano sean rojas o que todas contengan cuatro ases?


ACTIVIDADES EN GRUPO DEL CAPÍTULO 10 de recurrencia

773

Sucesiones especificadas por fórmulas

L a fórm ula de recurrencia an = 5an _ l — 6a n _ 2 ju n to con los valores iniciales a, = 4, a , = 14, especifican la sucesión { a j cuyos prim eros diversos térm inos son 4, 14, 46, 146, 454, 1 3 9 4 ,.... La sucesión {a } no es ni aritm ética ni geom étrica. No obstante, ya que satisface una sim ple fórm ula de recurrencia, es posible obtener la fórm ula para el «ésim o térm ino para {an} que es sim ilar a las fórm ulas de los «ésim os térm inos para sucesiones aritm éticas y geom étricas. Puesto que la fórm ula para el «ésim o térm ino es evaluable porque perm ite estim ar un térm ino de una sucesión sin calcular todos los térm inos anteriores. Si la sucesión geom étrica {/•"} satisface la fórm ula de recurrencia anterior, entonces r" = 5r" 1 - 6r" ~ 2. Al dividirla entre /•"~2 se obtiene a la ecuación cuadrática r2 — 5r + 6 = 0, cuyas soluciones son r = 2 y r = 3. Ahora es fácil com probar que las sucesiones geom étricas {2"} = 2, 4, 8, 1 6 , . . . y {3n} = 3, 9, 27, 8 1 , . . . satisfacen la fórm ula de recurrencia. Por tanto, cualquier sucesión de la form a {u2" + v3"} donde u y v son constantes, satis face la m ism a fórm ula de recurrencia. Ahora se encontrarán u y v de m odo que los prim eros dos térm inos de \u2" + v3n} sean a i = 4, a2 = 14. H aciendo n = l y « = 2 se verá que u y v deben satisfacer el siguiente sistem a lineal: 2u 4- 3v = 4 4u + 9v = 14 R esolviendo el sistem a u = —1, v = 2. Por tanto, una fórm ula para el «ésim o térm ino para la sucesión original es a„~ 1)2" + (2)3". O bserve que la fórm ula para el «ésim o térm ino se obtuvo por la solución de una ecuación cuadrática y de un sistem a de dos ecuaciones lineales con dos variables. (A) Calcule ( —1)2” + (2)3" para n = 1, 2 ,. . . , 6 y com pare con los térm inos de {an}. (B) Estim e el térm ino cien de { a j . (C) M uestre que cualquier sucesión de la form a {u2" + v3”}, donde u y v son constantes, satisfacen la fórm ula de recurrencia a n = 5a n — !, — 6an — 2 (D) Encuentre una fórm ula de «ésim o térm ino para la sucesión { b j que se especifica por b { = 5, b2 = 55, bn = 3 n — 1 b n ,- +2 4 b (E) Encuentre una fórm ula de «ésim o térm ino para la sucesión de Fibonacci. (F) Encuentre una fórm ula de «ésim o térm ino para la sucesión { c } que se especifica por c, = - 3 , c, = 15, = 99, cn = 6cn _ , — 3cn _ 2 — 10cn _ ,. (D ebido a que la fórm ula de recurrencia im plica los tres térm inos que preceden a cn, el m étodo usado im plica la solución de una ecuación cúbica y un sistem a de tres ecuaciones lineales con tres variables).


SUCESIONES Y SERIES

Una sucesión es una función con el dominio de un conjunto de enteros sucesivos. El símbolo an7, llamado «-ésimo término, o término general, representa el valor del rango asociado con el valor del dominio n. A menos que se especifique otra cosa, se entiende que el dominio representa el conjunto de números naturales. Una sucesión finita tiene un dominio finito, y una sucesión infinita tiene un dominio infinito. Una fórmula de recurrencia define cada termino de una sucesión cn términos de uno o más de los términos precedentes. Por ejemplo, la su cesión de Fibonacci se define por an = an _ , + an _ para n £ 3, donde a, = a2 = 1. Si av a2, . . . , a , . . . es una sucesión,

entonces a la expresión a, + & , + :.•• + a + • • • se le da el nombre de una serie. Una sucesión finita produce series fini tas, y una sucesión infinita produce una serie infinita. Las series se pueden representar usando notación sumatoria:

2 a* = am + a„±j + ••• +
donde k se conoce como índice de sumatoria. Si los términos en las series son alternadamente positivos y negativos, la serie se llama serie alternante.

774

10 2

10

Sucesiones y series

INDUCCION MATEMATICA

Una amplia variedad de postulados se puede probar usando el principio de inducción matemática: Sea Pr un postulado aso ciado con cada entero positivo n y suponiendo que se satisfa cen las siguientes condiciones:

a, - a,rn S„ = -»i u i' 1- r S„ =

a i ra* 1- r

Sm~

a. —r

1. P x es verdadera. 2.

Fórmula del //ésimo término

a„ = a¡rn '

Para cualquier entero positivo k. si P. es verdadero, enton ces P¡. + , también es verdadero.

Por lo tanto, el postulado P, es verdadero para todos los ente ros positivos n. Usar la inducción matemática para probar postulados que involucren leyes de los exponentes, es conveniente para esta blecer una definición de recurrencia de a":

10 4

r j=- 1 Fórmula de suma (primera forma) r jz i

Fórmula de suma (segunda forma)

r < 1

Suma de una serie geométrica infi. nita

FORMULA BIN0MIAL

Para un número natural n, n factorial se denota por «!, se defi ne por n! = n(n — 1 ).........2 -1

a"a

a —a

1! = 1

O! = 1

para cualquier entero n > 1 También, n factorial está dado por la fórmula de recurrencia

Para tratar con conjeturas que pueden ser verdaderas sólo para n 2: ni, donde m es un entero positivo, se utiliza el princi pio extendido de la inducción matemática: Sea m un entero positivo, sea Pr un postulado asociado con cada entero n m. y suponiendo que se satisfacen las siguientes condiciones:

/)! = « • ( « — 1)! Para enteros no negativos r y n, O S r < n, el símbolo combi natorio l ^

1.

Pn; es verdadero.

2.

Para cualquier entero k - ni. si Pt es verdadero, entonces Pk + , también es verdadero.

se define por

n\

n\

rj

r!(/i - r)!

n (n -

1 ) ...........(n - r + 1)

r(r - 1 ) ...........2*1

Entonces el enunciado P. es verdadero para todos los enteros n £ tn. Para un entero positivo n, la fórmula binomial es 10-3

SUCESIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS (a + h)n = 2 (? ) a” kb k k=o \k /

Una sucesión se llama sucesión aritmética, o progresión arit mética. si existe una constante d, llamada diferencia común, tal que au — a ti I, = d

o

an = an — I, + d

IO S PRINCIPIO DE MULTIPLICACION, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

para cada n > 1 Las siguientes fórmulas se utilizan cuando se trabaja con suce siones aritméticas y sus series correspondientes: a„ = a, + {n — 1)d

Fórmula del nésimo término

Dada una sucesión de operaciones, a menudo se usan tres diagramas para anotar todas las posibles combinaciones de resultados. Para el número de combinaciones de resultados sin enlistarlos en realidad, se usa el principio de multiplicación: 1.

S„ = —[2a, + (n - 1)¿/] Fórmula de suma (primera forma) S„ = - { a t +a„)

—— = r

N 'M • 'V2

Fórmula de suma (segunda forma)

Una sucesión se llama sucesión geométrica, o progresión geométrica, si ahi existe una constante diferente de cero r, lla mada razón común, tal que o

a„ = ra„-!

para cada n > 1

an -l

Las siguientes fórmulas se usan cuando se trabaja con sucesio nes geométricas y sus series correspondientes:

Si las operaciones O, y O, se realizan en orden con N { posibles resultados para la primera operación y N2 posi bles resultados para la segunda operación, entonces hay

posibles resultados de la primera operación seguidas por la segunda. 2.

En general, si n operaciones (),, 0 2........ On se realizan en orden, con números de posibles resultados Nx, Nv . . . , Nn, respectivamente, entonces hay N,I • Ar,2 .........N n posibles resultados combinados de las operaciones reali zadas en el orden dado.


Un arreglo particular u ordenamiento de n objetos sin repeti ción se llama perm utación. El número de permutaciones de n objetos está dado por

P„„ = « • ( « — 1) .........1 = n\

77 5

Una combinación de un conjunto de n elementos tomando r a la vez es un subconjunto de r elementos de los n objetos. El número de combinaciones de n objetos tomando r a l a vez está dado por

y el número de permutaciones de n objetos tomando r a un tiempo está dado por

n K r = _______

C„,r =

r!

r\(n - r)!

En una permutación, el orden es importante. En una combina ción, el orden no es importante.

(n - r)!

Ejercicio de repaso del capítulo 10 Al resolver los problemas de este capitulo revise y compruebe sus respuestas con las que se dan al final del libro. Ahí están todas las respuestas a los problemas de repaso. Después de cada respuesta hay un número en tipo itálico que indica la sección a la que corresponde el problema que se está anali zando. Si se le presentan dudas repase las secciones corres pondientes en el texto.

1. Determine si cada una de las siguientes sucesiones pueden ser los tres primeros términos de una sucesión geométrica, de una sucesión aritmética, o de ninguna.

(A) 1 6 , - 8 , 4 , . . .

(B) 5 , 7 , 9 , . . .

(C) - 8, - 5 , - 2 , . . . (E) - 1 ,2 , - 4 , . . .

(D) 2, 3, 5 , . . .

12. ¿En cuántas formas es posible sentar a seis personas en una fila de seis sillas? Resuelva mediante el principio de multiplicación.

13. Resuelva el problema 12 usando permutaciones o combi naciones, lo que sea posible.

Compruebe los problemas del 14 al 16 para n = 1. 2 y 3. 14. P„

5 + 7 + 9 + • • • + (2n + 3) = n 2 + 4n

15. Pn

2 + 4 + 8 + -- - + 2'1 = 2n+' - 2

16. P„

49" — 1 es divisible entre 6

En los problemas del 17 al 19. escriba Pky Pk4 r 17. Para Pn en el problema 14.

18. Para Pti en el problema 15. 19. Para Pr en el problema 16. Pruebe si el enunciado es verdadero o falso encontrando un contraejemplo: Si n es un entero positivo, entonces la

En los problemas del 2 al 5: (A) Escriba los primeros cuatro términos de cada sucesión. (B) Encuentre a¡(f (C) Encuentre Sw. 2.

a„ = 2n + 3

4.

a, = - 8; a„ =

a„_, + 3,n > 2

5.

a, = - 1 ; a„ =

(-2) 2

6 . Encuentre

Sx en el problema 3.

Evalúe los problemas del 7 al 10. „ 22! ' 19!

7. 6! 7! 2!(7 - 2)!

suma de la serie 1 + — + — + • • ' + — es menor que 4. 2 3 n

3. an = 3 2 (|)n

10. C,6.2 Y *6,2

B Escriba los problemas 21 y 22 sin notación de sumatoria, y encuentre la suma 10 21. 5,o = ^ { 2 k - 8)

22- S7 = Í f

k=1L

23.

= 27 -

1 8 + 12 + ■• • = ?

24. Escriba 11. Se lanza un solo dado y se lanza una moneda. ¿Cuántas com binaciones de resultados pueden ser posibles? R e suelva: (A) Usando un diagrama de árbol (B) Usando el principio de multiplicación

1 1 1 (—i r 5 = ------- + ------ ! - • • • + 1— — n

3

9

27

3"

usando notación de sumatoria, y encuentre 5 .

776

10

Sucesiones y series

25. Seis diferentes puntos se seleccionan sobre la circunferen cia de un círculo. ¿Cuántos triángulos se pueden formar usando esos puntos como vértices?

39. a , = 100, an = 0 .9 9 a„.., + 5, b„ = 9 + In

26. En una sucesión aritmética, a, = 13 y a, = 31. Encuentre la diferencia común d y el quinto término ay 27. ¿Cuántas palabras en códigos de tres letras son posibles usando las primeras ocho letras del alfabeto si ninguna le tra se puede repetir? ¿Si las letras se pueden repetir? ¿Si las letras adyacentes no pueden ser iguales? 28. Use la fórmula para la suma de una serie geométrica infi nita para escribir 0.727 272 • ■• = 0.72 como el cociente de dos enteros. 29. Resuelva los siguientes problemas usando Pnr o Cnr, como sea adecuado: (A) ¿Cuántas combinaciones de apertura de tres dígitos son posibles en una combinación de candado con seis dígitos si éstos no se pueden repetir? (B) Suponga que cinco jugadores de tenis llegaron a las finales. Si cada uno de los cinco jugadores va a jugar contra otro jugador exactamente una vez, ¿cuántos juegos se deben programar? Evalúe los problemas del 30 al 32. 20 ! 30.

18!(20 - 18)1

31.

16 \1 2 /

32.

11

\11

40. ¿Cuántas familias diferentes con cinco niños son posibles, con excepción de los nacimientos múltiples, si se toma en cuenta el sexo de cada niño en el orden de su nacimiento? ¿Cuántas familias son posibles si no se toma en cuenta el patrón de orden? 41. Un cuerpo en caída libre recorre g!2 pies en el primer se gundo, 3g¡2 pies durante el siguiente segundo, 5g/2 pies el siguiente segundo, y así sucesivamente. Encuentre la distancia de caída durante los 25 segundos y la distancia total de caída desde el inicio hasta el final de los 25 segun dos. 42. ¿De cuántas formas se pueden sentar dos personas en una fila con cuatro sillas? 43. Desarrolle (.v + i f , donde i es la unidad imaginaria, usan do la fórmula binomial. 44. Transportación. Un centro de distribución A desea distri buir sus productos en cinco diferentes tiendas al menudeo, B, C, D, E y F. en una ciudad. ¿Cuántas rutas diferentes se pueden construir de manera que un solo camión pueda empezar a repartir desde A. a cada tienda exactamente una vez. y después regresar al centro?

33. Desarrolle (x - y)5 usando la fórmula binomial. 34. Encuentre el décimo término en el desarrollo de (Ix - y);í. Establezca cada enunciado en los problemas del 35 al 37para todos los números naturales, mediante inducción matemática.

Pruebe que cada enunciado de los problemas 45 al 49 se cum ple para rodos los enteros positivos, usando inducción mate mática. 45 . 2

);= t

35. Pn en el problema 14.

= ( '2 k V* - I

46. x-” — ) a”es divisible entre x — y, x r y

36. Pn en el problema 15. Clr‘

. .

37. Pn en el problema 16.

47. — = a” m:n > m, n, m enteros positivos a'"

En los problemas 38 y 39, encuentre el entero positivo más pequeño n tal que at¡ < bngraficando las sucesiones {a j y ( b j con un dispositivo de graficación. Compruebe su respuesta usando un dispositivo de graficación que despliegue ambas sucesiones en forma de tabla.

48. { a j = { b j , donde ar = 2n

( + 2, a. = —3, bn - —5 +

49. (1!) 1 + (2!)2 + (3!)3 + • • • + («!)« = (n + 1)! - 1. (De las Olimpiadas de Matemáticas en la URSS. 1955-1956. Grado 10.)

11-1 Secciones cónicas. Parábola

11-3 Hipérbola 11-4 Traslación de ejes 11-5 Ecuaciones paramétricas Actividades en grupo del capítulo 11: Cuerdas focales Repaso del capítulo 11

f(x)=!3x + 41 + 1

778

11

Temas adicionales en geometría analítica

La geom etría analítica, una unión de la geom etría y del álgebra, perm ite analizar ciertos conceptos geom étricos de m anera algebraica e interpretar ciertas relacio nes algebraicas de m anera geom étrica. Los dos principales objetivos se centran en la graficación de ecuaciones algebraicas y la determ inación de ecuaciones de figu ras geom étricas útiles. E n capítulos anteriores se han analizado diferentes tem as de geom etría analítica, com o rectas y círculos. E n este capítulo se analizan otros tem as de geom etría analítica: secciones cónicas y traslación de ejes. R ené D escartes (1596-1650), el filósofo y m atem ático francés, es generalm ente re conocido com o el fundador de la geom etría analítica.

SECCION

11-1

Secciones cónicas. Parábola Secciones cónicas D efinición de una parábola D ibujando una parábola Ecuaciones estándar y sus gráficas A plicaciones

En esta sección se introduce el concepto general de sección cónica y después se analiza la sección cónica particular llam ada parábola. En las dos secciones siguientes se anali zarán otras dos secciones cónicas llam adas elipses e hipérbolas.

En la sección 2-2 se determ inó que la gráfica de una ecuación de prim er grado con dos variables, A x + By = C

(1)

donde A y B no son cero, es una recta, y que cada recta en un sistem a coordenado rectangular tiene una ecuación de esta form a. ¿Qué tipo de gráfica tendrá una ecuación de segundo grado con dos variables, Ax2 + Bxy -I- Cy2 + D x + Ey + F = 0

(2)

donde A, B y C n o son todas cero, para diferentes conjuntos de valores de los coeficien tes? Las g ráficas de la ecuación (2) para varias elecciones de los coeficientes son cur vas planas que se obtienen al intersectar un cono* con un plano, com o lo m uestra la figura 1. E stas curvas se denom inan secciones cónicas. Si un plano corta de m anera com pleta un cono recto, y el plano es perpendicular al eje y entonces a la curva de intersección se le llam a círculo; si el plano no es perpendi cular al eje se le llam a elipse. Si un plano corta un solo cono recto, pero no de m anera * Comenzando con una recta fija L y un punto fijo V sobre L, la superficie formada por todas las lineas rectas que pasan por F haciendo un ángulo constante 0 con L se llama un cono circular recto. La recta fija L se llama el eje del cono y Fes su vértice. Las dos partes de un cono separadas por el vértice se llaman hojas.

11 -1

FIGURA 1

Secciones cónicas. Parábola

Secciones cónicas.

C írc u lo

Elipse

Parábola

H ipérbola

com pleta, entonces a la curva de intersección se le llam a parábola. Por últim o, si un plano corta am bos conos rectos, pero no pasa por el vértice, la curva de intersección resultante se llam a hipérbola. Un plano que pasa por el vértice del cono produce una cónica degenerada (un punto, una recta o un par de rectas). Las secciones cónicas son m uy útiles y se identifican fácilm ente en su alrededor, algunos ejem plos son (véase figura 2): las ruedas (círculo), la trayectoria descrita por el agua al salir de una m anguera (parábola), algunas bandejas para llevar comida (elipses), y la som bra sobre una pared de una luz rodeada por una lámpara de form a cilindrica o cónica (hipérbola). Se analizarán m uchas aplicaciones de cónicas en todo el resto del capítulo. FIGURA ; cónicas.

Ejemplos de

R ueda (círculo)

(a)

A gua salien d o de u n a m a n g u e ra (p a rá b o la ) (b)

C harola (elipse)

S o m b ra d e u n a lám p a ra (h ip érb o la)

fe)

(d)

U na definición de una sección cónica que no depende de las coordenadas de los puntos en cualquier sistem a coordenado se llam a definición libre de coordenadas. En la sección 2-1 se dio una definición libre de coordenadas de un círculo y se desarrolló su ecuación estándar en un sistem a coordenado rectangular. En ésta y en las dos seccio nes siguientes se darán las definiciones de parábola, elipse e hipérbola, y se desarrolla rán ecuaciones estándar para cada una de esas cónicas en un sistem a coordenado rectangular.

La definición siguiente de una parábola no depende de las coordenadas de los puntos en cualquier sistem a coordenado:

780

11


DEFINICIÓN 1

Parábola U na parábola es el conjunto de todos los puntos en u n plano equidistante a partir de un punto fijo F y de una recta fija L en el plano. El punto fijo F se denom ina foco, y la recta fija L se llam a directriz. U na recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llam a eje, y al punto sobre el eje a la m itad entre la directriz y el foco se le llam a vértice.

d-¡ -

d2

F (Foco)

Parábola Directriz

U sando la definición, se puede dibujar una parábola con elem entos relativam ente sim ples (una regla, una escuadra de ángulo recto, un pedazo de cuerda, una chincheta y un lápiz). R efiérase a la figura 3 , fije la regla a lo largo de la línea AB y coloque la chinche ta arriba de la línea A B. Coloque un lado del triángulo a lo largo de la regla com o se indica, después tom e un pedazo de cuerda de la m ism a longitud que la del otro lado, ate un extrem o a la chincheta. y apriete el otro extrem o con cinta en C sobre el triángulo. A hora presione la cuerda con la orilla del triángulo, y m anteniendo la cuerda tensa, deslice el triángulo a lo largo de la regla. Com o D E es siem pre igual a D F, la curva resultante será parte de una parábola con la directriz AB que se encuentra a lo largo de la regla y con el foco F en la chincheta. FIGURA

Dibujando una

Cuerda

parábola.


La línea que pasa por el foco F que es perpendicular al eje de una parábola intersecta la parábola en dos puntos, G y H. Explique por qué la distancia de G a H es el doble de la distancia de F a la directriz de la parábola.

U sando la definición de una parábola y la fórm ula de la distancia entre dos puntos

estándar

y

sus d = V (* 2 - * ,)2 + (y2 - y ,)2

(3)

11-1


781

Parábola con centro en el origen y eje en el eje x. M (- a , y)

Foco Directriz x = -a

a > 0 , foco en el eje x positivo

o <

0,

(a)

fo c o en el eje x n e g ativ o (b)

se pueden deducir ecuaciones estándar sim ples para una parábola localizada en un sis tem a coordenado rectangular con su vértice en el origen y su eje a lo largo del eje coordenado. Se com ienza con el eje de la parábola a lo largo del eje x y el foco en F{a, 0). Se localiza la parábola en un sistem a coordenado com o en la figura 4 y se m arcan líneas guia y puntos. Éste es un paso im portante para encontrar una ecuación de una figura geom étrica en un sistem a coordenado. N ote que la parábola se abre a la derecha si a > 0 y a la izquierda si a < 0. El vértice está en el origen, la directriz es x = - a , y las coordenadas de M son ( - a , y). El punto P (x, y ) es un punto sobre la parábola si y sólo si dx = d2 d (P , M ) = d ( P , F )

V ( x + a)2 + (y - y)2 = V ( x - a)2 + (y - O)2 (x + a)2 = (x - a)2 -I- y 2 x 2 + la x + a2 = x2 — 2 ax + a 2 + y 2

Use la e c u a c ió n (3). Eleve al c u a d ra d o a m b o s lados. Sim plifique.

y z = 4ax

(4)

La ecuación (4) es la ecuación estándar de una parábola con vértice en el origen, eje el eje x y foco en (a, 0). A hora se localiza el vértice en el origen y foco en el eje v en (0, a). Al observar la figura 5 en la página siguiente, se nota que la parábola abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0. La directriz e s j = - a , y las coordenadas de N son (x, - a ) . El punto P(x, y ) es un punto en la parábola si y sólo si dy — d 2 d (P .N ) = d ( P ,F )

V ( x - x)1 + (>■ + a)2 = V ( x - O)2 + (y - a)2 (y + a)2 = x2 + (y y 2+ 2ay +

af

a 2 — x 2 + y 2 - 2ay + a 2 x~ = 4ay

Use la e cu a ció n (3). Eleve al c u a d ra d o a m b o s lados. Sim plifique.

(5)

La ecuación (5) es la ecuación estándar de una parábola con vértice en el origen, eje el eje.v y foco en (0, a).

782

11


y

Parábola con centro en el origen y eje en el eje y.

Directriz

y = -a m

o)

t

\

Foco -

\

P(x,

Y

F(0, a) Foco

►X i

N(x, - o )

Directriz y= - a

a > 0, foco e n el eje y positivo

o < 0, foco en el eje y n e g ativ o

(
(b)

En el teorem a l se resum en estos resultados para una fácil referencia:

Teorema 1

Ecuaciones estándar de una parábola con vértice en (0, 0)

- ■\' \ \

i . y 2 — 4ax V értice: (0, 0) Foco: (a, 0) D irectriz: x = —a Sim étrica con respecto al eje x E je el eje x

-+ X

0

v a < 0 (a b re a la izq u ierd a)

a > 0 (a b re a la d e re c h a )

a < 0 (a b re hacia a b ajo )

a > 0 (a b re hacia arriba)

2. x 2 = 4ay V értice: (0, 0) Foco: (0, a) D irectriz: y = —a Sim étrica con respecto al eje y E je el eje y

E| EMPLO

Craficación de x2 = 4 ay G rafique ; r = —16y, y localice el foco y directriz.

Solución

Para graficar x2 = —16y, es conveniente asignar valores a y que hagan del lado derecho un cuadrado perfecto, y despejar a x. N ote que y debe ser 0 o negativo para que x sea real. C om o el coeficiente de y es negativo, a debe ser negativa, y la parábola abre hacia abajo (figura 6).

M“ l

X

0

±4

±8

y

0

-1

-4

OC^V.IC/1ICO CUI IIV.UJ. «Ul MWV.V.

<

10

■

Directriz y= 4

a 10

-10

..x ¿ = - 1 6 y F (0, a) = F(0, - 4 ) Directriz: y = —a = -(-4 ) = 4

Foco:

= 4 ( - 4 )y

-

► \ o , -4 )

-

10 "

x2 = - \6v.

G rafique _y2 = - 8 x , y localice el foco y directriz.

P r o b ie r

C om entario. Para g raficar la ecuación x 2 = - 1 6 y del ejem plo 1 en un dispositivo de graficación, prim ero se despeja^-' de la ecuación y después se grafica la función y = ~ ' 6x 2. Si se usa el m ism o procedim iento para graficar la ecuación^-2 = —8x del proble m a seleccionado 1, en to n ces^ = ± V - 8x, y hay dos funciones por graficar. La gráfica de y = \ / —8x es la m itad superior de la parábola, y la gráfica de y = —V - 8.x es la m itad inferior (véase figura 7). FIGURA 7

10

fleti Pioti Mot3 nV í nV j

V2=••Tí-B+K)

-3*X> B - vK -8*X> =

nVh =

10

10

s Ve=

Ws= \V ? =

K=-2.5?B7l'i V=-4.BBÍE?fi i 10

PRECAUCIÓN

Un error com ún al realizar un trazo rápido de y 2 = 4ax o x 2 = 4ay es trazar la prim era con el eje y com o su eje y la segunda con el eje x com o su eje. La g ráfica de y 2 = 4 ax es sim étrica con respecto al eje x, y la grafica de x 2 = 4ay es sim étrica con respecto al eje y , com o lo revelaría una rápida com probación de sim etría.

Determinación de la ecuación de una parábola (A) Encuentre la ecuación de una parábola que tiene el origen com o su vértice, el eje y com o su eje y ( —10, —5) sobre su gráfica. (B) E ncuentre las coordenadas de su foco y la ecuación de su directriz.

784

11


Soluciones

(A) La parábola abre hacia abajo y tiene una ecuación de la form a x2 = 4ay. Com o ( - 1 0 , - 5 ) está sobre la gráfica, se tiene

x2 = 4 ay ( - 10)2 = 4 a ( - 5 ) 100 = - 2 0 a a = -5

Así, la ecuación de la parábola es x2 = 4 ( —5)y = —20y a (B) Foco:

x2 = —20y

= 4 ( - 5 )y

F (0, a) = F (0, - 5 ) D irectriz:

y = —a = -(-5 ) = 5

(A) E ncuentre la ecuación de una parábola que tiene el origen com o su vértice, el eje x com o su eje y (4, - 8) sobre su gráfica. (B) E ncuentre las coordenadas de su foco y la ecuación de su directriz.


C onsidere la g ráfica de una ecuación con las variables x y y . L a ecuación de su aum ento por un factor k > 0 se obtiene al reem plazar x y y en la ecuación por x /k y y /k , respectivam ente. (Por supuesto, un aum ento por un factor k entre 0 y 1 significa una reducción real en tam año.) (A) D em uestre que el aum ento por un factor 3 del círculo con ecuación x2 + y 2 = 1 tiene la ecuación x2 + y 2 = 9. (B) Explique por qué cada círculo con centro en (0, 0) es un aum ento del círculo con la ecuación x2 + y 2 = 1. (C) Encuentre la ecuación del aum ento por un factor 3 de la parábola con la ecua ción x2 = y . G rafique am bas ecuaciones. (D) E xplique p o r qué cada parábola con vértice (0, 0) que abre hacia arriba es un aum ento de la parábola con la ecuación x2 = y.

11-1


785

Las form as parabólicas se encuentran a m enudo en el m undo físico. Puentes colgantes, arcos de puentes, m icrófonos, bóvedas para sinfónicas, antenas de satélite, telescopios para radio y ópticos, equipos de radar, recolectores solares y reflectores son sólo algu nos de los objetos que utilizan form as parabólicas en su diseño. L a figura 8(a) ilustra un reflector parabólico que se usa en todos los telescopios de reflexión, que van desde 3 a 6 pulgadas para los de tipo casero hasta 200 pulgadas para instrum entos de búsqueda en el M onte Palom ar en California. La luz de rayos paralelos de cuerpos celestes lejanos se refleja en el foco de un espejo parabólico. Si la fuente de luz es el Sol, entonces los rayos paralelos se concentran en F y se tiene un horno solar. Se han alcanzado tem peraturas de más de 6 000 °C en tales hornos. Si una ñiente de luz se localiza en F. entonces los rayos en la figura 8(a) se invierten, y se tiene una luz concentrada o un reflector. Los faros de un automóvil pueden usar reflectores parabólicos con lentes especiales sobre las luces altas para difundir los rayos en patrones útiles. La figura 8(b) m uestra un puente colgante, com o el puente Golden Gate en San Francisco. El cable suspendido es una parábola. Es interesante notar que un cable que cuelga librem ente, tal com o una línea telefónica, no form a una parábola. Forma otra curva llam ada carenaría. La figura 8(c) m uestra un puente de concreto en form a de arco. Si todas las cargas sobre el arco van a ser cargas de com presión (el concreto funciona m uy bien bajo com presión), entonces usando la física y las m atem áticas avanzadas, se puede dem ostrar que el arco debe ser parabólico. Usos de las formas parabólicas.

Reflector parabólico

Puente suspendido

Arco del p u en te

(a)

(b)

(c)

Reflector parabólico Se form a un paraboloide al girar una parábola con respecto a su eje. Una luz concen trada en form a de un paraboloide de 5 pulgadas de profundidad tiene su foco a 2 pulga das del vértice. Encuentre, con una cifra decim al, el radio R de abertura de la luz concentrada. Solución

Paso I.

Localice una sección transversal parabólica que contenga al eje en un sistem a coordenado rectangular, y m arque todas las partes conocidas y las que desea encontrar. Éste es un paso m uy im portante y se puede hacer de m uchas m aneras. D ebido a que se está en la carga, se pueden sim plificar las cosas al ubicar el vértice en el origen y al escoger un eje coordenado como el eje. Se elige el eje y como el eje de la parábola y ésta abriendo hacia arriba. Véase la figura 9.

78 6

11


Paso 2.

Encuentre la ecuación de la parábola en la figura. Com o la parábola tiene el eje y com o su eje y el vértice en el origen, la ecuación es de la form a yp- = 4 ay Se tiene F (0, a) = F (0, 2); así, a = 2, y la ecuación de la parábola es x 2 = 8y

Paso 3.

Use la ecuación determ inada en el paso 2 para encontrar el radio R de la abertura. Com o (R , 5) está sobre la parábola, se tiene R 2 = 8(5) R = V 4 0 ® 6.3 pulgadas

Repita el ejem plo 3 con un paraboloide de 12 pulgadas de profundidad y un foco de 9 pulgadas del vértice.

Respuestas a los problemas seleccionados 1. Foco: ( -2 ,0 ) Directriz: x = 2

5 Directriz x= 2 ( - 2 , 0) -5

F

■

5

-2

-s -

±4

2. (A) y 2 = 16* 3. R = 20.8 pulg

(B) Foco: (4. 0); Directriz: x = - 4

1 1-1 E ncuentre las coordenadas, con dos cifras decim ales, d el fo c o para cada p a rá b o la en los pro b lem a s d e l 13 a l 18,

13. y 2 = 39x E n los p roblem as d el 1 a l 12, gra fiq u e cada ecuación y locali ce el fo c o y directriz.

1. y 2 = 4x

2. y2 = Sx

4. x2 = 4y

5. y 2 = - \ 2 x

x

^

ld. x 2 = - 2 4 y

x

14. jr1 = 58y

15. r* = -105>>

16. y2 ~ ~ 9 3 x 17.y 2= —

3. x 2 = %y

^

6. y 2 = - 4 x 9. y-

20x

B

E n los p ro b lem a s d e l 19 a l 26, encuentre la ecuación d e una p a 1 1 . x 2 = 10>>12 .y2

11 -1

19. Directriz y = —3

20. Directriz y = 4

21. Foco (0, - 7 )

22. Foco (0, 5)

23. Directriz x = 6

24. Directriz x = - 9

25. Foco (2. 0)

26. Foco ( - 4 , 0)


En los problemas del 41 al 44. use la definición de una pará bola y la fórmula de la distancia para encontrar la ecuación de una parábola con:

En los problemas del 27 al 32, encuentre la ecuación de la parábola que tenga su vértice en el origen, su eje como se indi ca, y pase por el punto indicado.

42. D irectriz/ = 2 y foco (—3, 6)

27. Eje y; (4, 2)

28.

Eje x; (4, 8)

43. Directriz x = 2 y foco (6, —4)

29. Eje*; ( - 3 , 6)

30.

E je /; ( - 5 , 10)

44. Directrizx = - 3 y foco (1,4)

31. Eje y; (—6, —9)

32.

Eje x; ( - 6 , - 1 2 )

En los problemas del 33 al 36, encuentre los puntos en el pri mer cuadrante de intersección para cada sistema de ecuaciones con tres cifras decimales. Compruebe los problemas 33 a 36 con un dispositivo de graficación. 33. x2 = 4y y2 = 4x

34. y2 = 3x x2 = 3y

35. y2 = 6x

36. x2 = ly y2 = Ix

x2 = 5y

Considere la parábola con la ecuación x2 = 4ay. (A) ¿Cuántas rectas que pasan por (0. 0) intersectan la parábola en exactamente un punto? Encuentre sus ecuaciones. (B) Encuentre las coordenadas de todos los puntos de in tersección de la parábola con la recta que pasa por (0, 0) y tenga una pendiente m + 0.

787

41. Directriz>> = - 4 y foco (2, 2)

^

En los problemas 45 a 48. use un dispositivo de graficación para encontrar las coordenadas de todos los puntos de inter sección con dos cifras decimales. 45. x2 = 8y, y = 5x + 4

46. x2 = 3>\ 7x + 4y = 11

47. x2 = - 8 y, y2 = —5x

48. y2 = 6x, 2x - 9y = 13

APLICACIONES

49. Ingeniería. El arco parabólico, en el puente de concreto de la figura, debe tener un claro de 50 pies por arriba del agua y una distancia de claro de 200 pies. Encuentre la ecuación de la parábola después de insertar un sistema coordenado con el origen en el vértice de la parábola y el e je / vertical (apuntando hacia arriba) a lo largo de la parábola.

Encuentre las coordenadas de todos los puntos de inter sección de la parábola con ecuación x 2 = 4ay y la parábola con ecuación y2 = 4¿>x. El segmento de recta AB que pasa por el foco en la figura se conoce como cuerda focal de la parábola. Encuentre las coordenadas A y B. y

v2

\ A “

4ov

f(0, o)

\

-

50. Astronomía. La sección transversal de un reflector para bólico con 6 pulgadas de diámetro está curvada de manera que su vértice está a 0.15 pulgadas por debajo del borde (véase figura).

El segmento de recta AB que pasa por el foco en la figura es conocido como cuerda focal de la parábola. Encuentre las coordenadas d e ^ y B.

(A) Encuentre la ecuación de la parábola después de in sertar un sistema coordenado xy con el vértice en el

788

11


origen, el eje de la parábola (apuntando hacia arriba) es el eje>\ (B) ¿A qué distancia del vértice está el foco? 51. Ciencia espacial. Un diseñador de una antena electromag nética parabólica de 200 pies de diámetro para rastrear es pacios de prueba desea ubicar el foco 100 pies por arriba del vértice (véase la figura).

(A) Encuentre la ecuación de la parábola usando el eje de la parábola como el eje v (positivo hacia arriba) y el vértice en el origen. (B) Determine la profundidad del reflector parabólico. 52. Señal de la luz. Un reflector en un barco es una luz con centrada con rayos de luz paralelos reflejados (véase la fi gura). Suponga que el reflector parabólico es de 12 pulgadas de diámetro y la fuente de luz se localiza en el foco, que está a 1.5 pulgadas del vértice.

(A) Encuentre la ecuación de la parábola usando el eje de la parábola como el eje ,y (positivo a la derecha) y vértice en el origen. (B) Determine la profundidad del reflector parabólico.

SECCIÓN

11-2

Elipse D efinición de una elipse Trazo de una elipse Ecuaciones estándar y sus gráficas A plicaciones

Se com ienza el análisis de la elipse con una definición libre de coordenadas. M ediante esta definición, se m uestra cómo se puede dibujar una elipse y se obtienen las ecuaciones estándar para elipses especialm ente localizadas en un sistem a coordenado rectangular.

Lo siguiente es una definición libre de coordenadas de una elipse:

elipse DEFINICIÓN 1

Elipse U na elipse es el conjunto de todos los puntos P en un plano tal que la sum a de las distancias de P desde dos puntos fijos en el plano sea constante. Cada uno de los puntos fijos, F ' y F , se llam a foco, y juntos se conocen com o focos. R em ítase a la figura, el segm ento de recta V V que pasa por los focos es el eje mayor. El bisector perpendicular B B del eje m ayor es el eje m enor. C ada extrem o del eje

11-2

Elipse

789

mayor, V y V, se llam a vértice. El punto m edio del segm ento de recta F 'F se llam a c e n tro de la elipse.

d,

• Trazo d e una e lip se

+ d2 = C onstante

Es fácil dibujar una elipse. Todo lo que necesita es un pedazo de cuerda, dos chinchetas y un lápiz o plum a (véase figura 1). C oloque las dos chinchetas en un pedazo de cartón. Estas form an los focos de la elipse. Tome un pedazo de cuerda m ás grande que la distancia entre las dos chinchetas (esto representa la constante en la definición) y ate cada extrem o a una chincheta. Por últim o, inserte la punta de un lápiz bajo la cuerda y m uévalo m ientras m antiene estirada la cuerda. La figura resultante es por definición una elipse. El resultado son elipses de diferentes form as, dependiendo de la ubicación de las chinchetas y la longitud de la cuerda que las une.

Dibujando una elipse. O bserve que + d2 siem pre es la sum a de la longitud de la cuerda, q u e no cam bia.

* E cu aciones e stá n d a r y sus g rá fic a s

:I Elipse con focos sobre el eje x.

U sando la definición de una elipse y la fórm ula de la distancia entre dos puntos, se pueden obtener ecuaciones estándar para una elipse localizada en un sistema coordenado rectangular. Se com ienza por insertar una elipse en el sistem a coordenado con los focos en el eje x equidistante desde el origen en F ' ( - c , 0) y F(c, 0). com o se m uestra en la figura 2.

790

11


Por razones que pronto se aclararán, es conveniente representar la sum a constante d ] + d2 por 2a, a > 0. También, el hecho geom étrico que la sum a de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser m ayor que el tercer lado se puede apli car a la figura 2 para obtener los resultados útiles siguientes: d(F', P) + d(P, F ) > d(F', F) d\ + d2 > 2c 2a > 2c a > c

(1)

Se usará este resultado en la obtención de la ecuación de una elipse, que ahora com ienza. R em ítase a la figura 2, el punto P(x, y ) está sobre la elipse si y sólo si d, + d2 = 2a d(P, F ’) + d(P, F ) = 2a V ( x + c)2 + ( y ~ O)2 + V ( x - c)2 + (y - O)2 = 2a D espués de elim inar radicales y sim plificar, un buen ejercicio para usted, se obtiene (a2 — c 2)x2 + a2y 2= a \ a 2 - c2) X* ^ a

(2)

V2 a —c

= 1

(3)

Se perm ite dividir am bos lados de la ecuación (2) entre a \ a 2 - c2), ya que ni a2 ni a2 c2 es 0. De la ecuación (1), a > c; de m anera que a2 > c2 y a2 - c1 > 0. Al inicio se eligió positiva la constante a. Para sim plificar un poco m ás la ecuación (3), se hace b2 = a2 — c2

b > 0

(4)

p ara obtener .IT V2 - + fe = 1 «" Ir

(5)

De la ecuación (5) se observa que las intersecciones en x son x = ± a y las interseccio nes en y son y = ± b. Las intersecciones en x son tam bién los vértices. De esta m anera, Longitud del eje mayor = 2a Longitud del eje m en o r = 2h Para ver que el eje m ayor es m ás grande que el eje menor, se dem uestra que 2a > 2b. R egresando a la ecuación (4), b2 = a2 — c2 b2 + c2 = a2

a, b, c > 0

11 -2

b2 < a2

Elipse

D efinición d e

b2 — a2 < 0 (b - á){b + a) < 0 b —a < 0

C o m o b + o es positiva, b - a d e b e ser n e g ativ a.

b < a 2b < 2a 2a > 2b í Longitud d el\ \ eje m ayor J

/ Longitud del l eje m enor

Si se com ienza con los focos sobre el eje y en F(0, c) y F '{ 0, —c) com o en la figura 3, en lugar de estar sobre el eje x com o en la figura 2, entonces, siguiendo argum entos sim ilares a los usados en la prim era obtención, se tiene

7^ + ~ ; = 1 b~ ar

a > b

(6)

donde las relaciones entre a , b y c perm anecen igual que antes: b2 = a2 - c2

(7 )

El centro está todavía en el origen, pero el eje m ayor está ahora a lo largo del eje y y el eje m enor está a lo largo del eje x. FIGURA 3

Elipse con focos

sobre el eje y.

Es fácil trazar gráficas de las ecuaciones de la form a (5) o (6). Se determ inan las intersecciones en x y y y se trazan en una elipse adecuada. C om o al reem plazar x con —x , o y con - y se produce una ecuación equivalente, se concluye que las gráficas son sim étricas con respecto al eje x, al eje y y al origen. Si se desea m ayor exactitud, se pueden determ inar puntos adicionales con la ayuda de una calculadora y el uso de las propiedades de sim etría. Dada una ecuación de la form a (5) o (6), ¿cóm o se puede encontrar las coordena das de los focos sin m em orizar o sin buscar la relación b2 = a2 - c2l Hay una relación geom étrica sim ple en una elipse que perm ite obtener el m ism o resultado usando el teorem a pitagórico. Para ver esta relación, rem ítase a la figura 4(a). D espués, usando la

792

11


definición de una elipse y 2a para la sum a constante, com o se hizo al obtener las ecuaciones estándar, se observa que d + d = la I d = 2a d = a Así: La longitud del segm ento de recta desde el extrem o de un eje m enor hasta un foco es la mism a que la mitad de la longitud de un eje mayor. E sta relación geom étrica se ilustra en la figura 4(b). U sando el teorem a pitagórico para el triángulo en la figura 4(b). se tiene b2 + c2 = a2

b2 = a2 — c2

E cuaciones (4) y (7)

c2 — a2 — b2

Útil p a ra e n c o n tra r los focos, d a d a s

ayb

De esta m anera, se puede encontrar los focos de una elipse dadas las intersecciones a y b usando sim plem ente el triángulo de la figura 4(b) y el teorem a de Pitágoras.

FIGURA 4

Relaciones

geométricas.

(a)

Se resum en todos estos resultados en el teorem a 1 para una referencia adecuada.

Teorema 1

Ecuaciones estándar de una elipse con centro en (0, 0)

a2

b2

*>*> 0

11-2

Intersecciones e n r ± a (vértices) Intersecciones en y: ± b Focos: F ' ( - c , 0), F(c, 0)

Elipse

y

c2 = a2 — b2 Longitud del eje m ayor = 2a Longitud del eje m enor = 2b

2.

il + ¿ = l b2 a2

a > b > 0 y

Intersecciones e n x : ± b Intersecciones en y: ± a (vértices) Focos: F ' (0, - c ) , F (0, c) c2 = a2 - b2 Longitud del eje m ayor = 2a Longitud del eje m enor = 2b [.Nota: A m bas gráficas son simétricas co respecto al eje*, al e je y y al origen. Tan bién, el eje m ayor es siem pre m ás larg que el eje menor.]


EJEMPLO 1

La recta que pasa p o r un foco F de una elipse que es perpendicular al eje m ayor intersecta la elipse en dos puntos G y H. Para cada una de las dos ecuaciones estándar de u n a elipse con centro (0, 0), encuentre una expresión en térm inos de a y b para la distancia de G a H.

Graficación de elipses Trace la gráfica de cada ecuación, encuentre las coordenadas de los focos y tam bién las longitudes de los ejes m ayor y menor. (A) 9X2 + 1 6 / = 144

Soluciones

(B) 2x2 + y 2 = 10

(A) Prim ero, escriba la ecuación en form a estándar dividiendo am bos lados entre 144: "

§

9JC2 +

= 144

l 9X2

16 v2

144

144

144

144

x2

y2

7g + J = l

L_.

o2 = 16 y b2 = 9

794

11


Localice las intersecciones: Intersecciones en Jt:

±4

Intersecciones en y:

±3

y trácelas en la elipse, com o se m uestra en la figura 5. Focos:

c2 = a2 — b2 = 16-9 = 7 c = V l

9,-r2 + 16V2 = 144.

c es positiva

D e m odo que, los focos son F ' ( —V 7, 0) y

7, 0).

L ongitud del eje m ayor = 2(4) = 8 Longitud del eje m enor = 2(3) = 6 (B) E scriba la ecuación en form a estándar dividiendo am bos lados entre 10: I x 2 + y2 = 10 i-------------------------1 1É.

10 + 10 _ 10

í5 +¿-, 10

a2 = 10

b2 = 5

Localice las intersecciones: Intersecciones en x:

± V 5 = ± 2 .2 4

Intersecciones en y:

± V lO = ± 3 .1 6

y trácelas en la elipse, com o se m uestra en la figura 6. Focos:

c2 = a2

b2

= 10-5 = 5 c= V5 Zx2 + y 2 = 10.

A sí, los focos son F ' (0, - V ? ) y F(0, V 5). Eje de m ayor longitud = 2 V 10 = 6.32 Eje de m enor longitud = 2 V 5 * 4.47 C om entario.

Para graficar la ecuación 9x2 + ló y 2 = 144 del ejem plo 1(A) en un /144

-

9x2

dispositivo de graficación, prim ero se despeja y , obteniendo y = ± * ----------------.

V

16

Después se traza cada una de las dos funciones. La gráfica de y = es la m itad superior de la elipse, y la gráfica de y = rior.


144 - 9x2 16

144 - 9x2 16

es la m itad infe-

Trace la g ráfica de cada ecuación, encuentre las coordenadas de los focos, y encuentre las longitudes de los ejes m ayor y menor. (A) x2 + 4y2 = 4

(B) 3X2 + f

= 18

Determinación de ia ecuación de una elipse E ncuentre una ecuación de una elipse en la form a

si el centro está en el origen, el eje m ayor está a lo largo del eje y , y: (A) Longitud del eje m ayor = 20 Longitud del eje m enor = 12

(B) Longitud del eje m ayor = 10 D istancia a los focos desde el centro = 4

m uestra en la figura 7. x2

y2

b2 + a2

1

a = a 2 =10 2

FIGURA 7

x-

y2

— + — = 1. 36 100

b - ~ - 6 2

¿ + ¿ = i 36 100 (B) Realice un trazo rápido de la elipse, com o se m uestra en la figura 8; localice los focos e intersecciones en y , después determ ine las intersecciones en x usando la relación especial del triángulo antes analizada.

¿ + ¿ = 1 b2 a2 10 < a = ~2~

b2 = 52 - 42 = 25 - 16 = 9 b = 3

FIGURA 3

x2

y2

9

25

— + — =

x2 y2 —+ — = 1 9 25

796

11


Encuentre la ecuación de una elipse en la form a x2

v,2

M

N

— + - = 1

M ,N > 0

si el centro está en el origen, el eje m ayor está a lo largo del eje x, y: (A) Longitud del eje m ayor = 50 Longitud del eje m enor = 30


(B) L ongitud del eje m enor = 16 D istancia a los focos desde el centro = 6

C onsidere la g ráfica de una ecuación con las variables x y y . La ecuación de su aum ento por un factor k > 0 se obtiene al reem plazar x y v en la ecuación p o r x lk y y /k , respectivam ente. (A) Encuentre la ecuación del aum ento por un factor 3 de la elipse con ecuación (x2/4) + y 2 = 1. G rafique am bas ecuaciones. (B) D é un ejem plo de una elipse con centro (0, 0) con a > b que no tenga un aum ento de (x2/4) + y 2 = 1. (C) Encuentre las ecuaciones de todas las elipses que sean aum entos de (x2/4) + y 2 = 1.

Sin duda se conocen las m últiples presentaciones y usos de form as elípticas: algunos ejem plos son las órbitas de satélites, planetas y com etas; form as de galaxias, engranes y levas; algunos alerones de aviones, quillas de barcos y tim ones, cubiertas de com edo res. fuentes públicas y dom os en edificios (véase figura 9). Una aplicación reciente en la m edicina es el uso de reflectores elípticos y ultrasónicos para disolver cálculos re nales.

P la n e ta

/

_ ----- —

/

'

Sol \ .

'\

-

F

*

- H

F

F

\

'

'

'

D om o elíptico M ovim iento planetario

Engrane elíptico

(a)

(b)

(c)

Uso de formas elípticas.

Johannes Kepler (1571-1630), un astrónom o alem án, descubrió que los planetas se m ueven en órbitas elípticas, con el Sol com o foco, y no en órbitas circulares como antes se había creído [figura 9(a)]. La figura 9(b) m uestra un par de engranes elípticos con puntos pivote en los focos. Esos engranes trasm iten velocidad de rotación constan-

11-2

Elipse

797

te a velocidad de rotación variable, y viceversa. La figura 9(c) m uestra un dom o elípti co. U na propiedad interesante de tales dom os es que una fuente de sonido o luz en un foco se refleja en el dom o y pasa por el otro foco. Una de las cám aras en el edificio C apítol en W ashington, D.C., tiene tal dom o, y se le conoce com o un cuarto de m urm u llo, ya que el sonido del cuchicheo en un foco se puede oír fácilm ente en el otro foco. Respuestas a los problemas seleccionados y

1. (A) 1

Focos: f ' ( - V 3 , 0), F(V 3, 0) Longitud del eje m ayor = 4 Longitud del eje m enor = 2

'

F

(B) V I8

-Ve

Focos: F’(0, - V l 2 ) , R0, V 1 2)_ Longitud del eje m ayor = 2V18 = 8.49 Longitud del eje m enor = 2V6 «• 4.90

Y6 P - vTs Jt2

EJEFKSCSO

11-2

A ________

11. 4.v2 +

En los problemas del 1 al 6, trace una gráfica de cada ecua ción, encuentre las coordenadas de los focos y determine las longitudes de los ejes mayor y menor. x2 y2 1. — + — = 1

2.

x2 v2 3. — + — = 1

4.

5. x2 + 9 f = 9

6.

25

4

V2

4

25

4

4

9

7y 2 = 28

12. 3.t2 + 2v 2 = 24

En los problemas del 13 al 20, encuentre una ecuación de una elipse en la forma M, \ > 0

= 1

si el centro está en el origen, y;

= 1

13. El eje mayor está sobre el ejex Longitud del eje mayor = 8 Longitud del eje menor = 6

4X2 + y 2 = 4

B

14. El eje mayor está sobre el eje x Longitud del eje mayor = 14 Longitud del eje menor = 10

En los problemas del 7 al 12, trace una gráfica de cada ecua ción, encuentre las coordenadas de los focos y determine las longitudes de los ejes mayor y menor.

15. El eje mayor está sobre el eje Longitud del eje mayor = 22 Longitud del eje menor = 16

7. 25X2 + 9y2 = 225 9. 2x2 + v2 = 12

8. 16*2 + 25y2 = 400 10. 4 x 2 + 3y2 = 24

16. El eje mayor está sobre el eje v Longitud del eje mayor = 24 Longitud del eje menor = 1 8

798

11


/ En los problemas del 33 al 36, use un dispositivo de graficación para encontrar las coordenadas de todos los puntos de inter sección con dos cifras decimales.

17. El eje mayor está sobre el eje x Longitud del eje mayor = 16 Distancia a los focos desde el centro = 6 18. El eje mayor está sobre el eje x Longitud del eje mayor = 24 Distancia a los focos desde el centro = 10

33. x2 + 3 / = 20, 4x + 5>- = 11

19. El eje mayor está sobre el eje y Longitud del eje menor = 20 Distancia a los focos desde el centro

35. 5ÜX2 + 4 / = 1 025, 9.x2 + 2 / = 300

34. 8JC2 + 3 5 / = 3 600, j«2 = -25>>

36. 2x2 +

20. El eje mayor está sobre el eje y __ Longitud del eje menor = 14 Distancia a los focos desde el centro = V 20 0 Explique por qué una ecuación cuya gráfica es una elipse no define una función. Considere todas las elipses que tengan (0, ±1) como los extremos del eje menor. Describa la conexión entre el alar gamiento de la elipse y la distancia de un foco al origen.

/

^

En los problemas del 23 al 26, grafique cada sistema de ecuaciones en el mismo sistema coordenado rectangular y en cuentre las coordenadas de cualquier punto de intersección. Determine coordenadas no enteras con tres cifras decimales.

= 95, 13x2 + 6 / = 63

APLICACIONES

'3 *

37. Ingeniería. El arco semielíptico en el puente de concreto que se muestra en la figura debe tener un claro de 12 pies por arriba del agua y salvar una distancia de 40 pies. En cuentre la ecuación de la elipse después de insertar un sis tema coordenado con el centro de la elipse en el origen y el eje mayor en el eje .r. El eje y apunta hacia arriba, y el eje x apunta a la derecha. ¿Qué altura tiene el claro arriba del agua a 5 pies desde la orilla?

Compruebe los problemas del 23 al 26 con un dispositivo de graficación. * 23. lóx2 + 2 5 / = 2x — 5y = 25. 25jt + 1 6 / 25X2 - 36y

400 10

= 400

24. 25X2 + 1 6 / = 5x + 8y = 26.

20

16 a-2 + 2 5 / = 4 0 0

3X2 - 20y

= 0

400

= 0

En los problemas del 27 al 30. encuentre los puntos de inter sección en el primer cuadrante para cada sistema de ecuaciones con tres cifras decimales. ^

7 /

V 70

Compruebe los problemas del 27 al 30 con un dispositivo de graficación. 27. 5x2 + 2 / = 6 3 2x — y = 0

28. 3x2 + 4

29. 2x2 + 3 / = 3 3 x2 - 8 y = 0

30.

/ = 57

x -2 y = 0

38. Diseño. Una cubierta elíptica de una mesa de comedor de 4 X 8 pies se va a hacer al cortar de una hoja rectangular de triplay de 4 X 8 pies (véase la figura). Para dibujar la elipse en el triplay, ¿a qué distancia se deben localizar los focos de cada orilla y cuál debe ser la longitud de un peda zo de cuerda para ajustarse a cada foco para producir la elipse (véase figura 1 en el texto)? Calcule la respuesta con dos cifras decimales.

3. í 2 4- 2 / = 4 3

.x2 - 12>- = 0

Encuentre una ecuación del conjunto de puntos en un pla no, cada una de cuyas distancias de (2, 0) es una mitad de su distancia desde la recta x = 8. Identifique la figura geométrica. Encuentre una ecuación del conjunto de puntos en un pla no, cada una de cuyas distancias de (0,9) es tres cuartos de la distancia de la recta y = 1 6 . Identifique la figura geométrica. * Observe por favor que no es necesario el uso de un dispositivo de graficación para terminar estos ejercicios. La comprobación de éstos con un dispositivo de graficación es opcional.

Cubierta elíptica

39. Ingeniería aeronáutica. De todas las formas posibles, se ha determinado que la única con menos arrastre a lo largo del borde posterior es una elipse. El borde puede ser una línea recta, como se muestra en la figura. Uno de los aero planos más famosos con este diseño fue el Spitfire británi co de la Segunda Guerra Mundial. El aeroplano en la figura tiene una envergadura de 48.0 pies.

11-3

Borde delantero

paralelo al eje mayor de la elipse y está a un pie enfrente de él. La cuerda es un pie más corta que el eje mayor.

/

Fuselaje

Hipérbola

/

posterior

Alerones y cola elípticos

(A) Si el borde delantero recto es paralelo a! eje mayor de la elipse y está a 1.14 pies enfrente de él, y si el borde delantero tiene un largo de 46 pies (incluyendo el an cho del fuselaje), encuentre la ecuación de la elipse. Haga que el eje x esté a lo largo del eje mayor (positi vo a la derecha), y que el eje y esté a lo largo del eje menor (positivo hacia arriba). (B) ¿Qué ancho tiene el alerón en el centro del fuselaje (suponiendo que los alerones pasen por el fuselaje)? Calcule las cantidades con tres cifras significativas. 40. A rquitectura naval. Actualmente, muchas carreras de bo tes de alto rendimiento usan quillas elípticas, timones y velas principales por las mismas razones que se comenta ron en el problema 39 (menos arrastre a lo largo del borde delantero). En la figura adjunta, la elipse tiene una quilla con un eje mayor a 12 pies. E! borde delantero recto es

SECCÌON

1 1 -3

(A) Encuentre la ecuación de la elipse. Haga que el eje y esté a lo largo del eje menor de la elipse, y que el eje .r esté a lo largo del eje mayor, ambos con dirección positiva hacia arriba. (B) ¿Cuál es el ancho de la quilla, medido perpendicular al eje mayor, un pie por arriba del eje mayor desde el extremo inferior de la quilla? Calcule las cantidades con 3 dígitos significativos.

Hipérbola D efinición de una hipérbola Trazo de una hipérbola Ecuaciones estándar y sus gráficas A plicaciones

C om o antes, se com ienza con la definición libre de coordenadas de una hipérbola. U sando esta definición, se m uestra cóm o se puede dibujar una hipérbola y se obtienen las ecu acio n es estándar para hipérbolas especialm ente localizadas en un sistem a coordenado rectangular.

La siguiente es una definición libre de coordenadas de una hipérbola:

hipérbola

800

11


DEFINICIÓN 1

Hipérbola U na h ip é rb o la es el conjunto de todos los pun tos P en u n plano tales que el valor absoluto de la diferencia de las distancias de P a dos pun tos fijos en el plano sea una constante positiva. C ada uno de los puntos fijos, F 'y F, se llaman focos. Los puntos de intersección V y V d e la recta que pasa por los focos y las dos ram as de la hipérbola se llam an vértices, y cada uno se llam a vértice. E l segm ento de recta V V se de nom ina el eje transverso. El punto m edio del eje transverso es el centro de la hipérbola.

~ di\ : Constante

Todo lo que se necesita para dibujar una hipérbola (véase figura 1) son chinchetas, una regla, una cuerda y un lápiz. C oloque dos chinchetas en un pedazo de cartón (éstas form an los focos de la hipérbola). Fije una esquina de la regla en el foco F \ de m anera que gire librem ente alrededor de este punto. Corte un pedazo de cuerda m ás corta que la longitud de la regla, y apriete un extrem o a la esquina A de la regla y el otro extrem o a la chincheta en F. A hora em puje la cuerda con un lápiz contra la regla en B. M ante niendo estirada la cuerda, gire la regla alrededor de F \ m anteniendo la esquina en F \ La curva resultante será parte de una hipérbola. Las otras partes de la hipérbola se pueden dibujar cam biando la posición de la regla y la cuerda. Para ver que la curva resultante cum ple con las condiciones de la definición, note que la diferencia de las distancias B F ' y B F es B F ' - B F = B F ' + B A - B F - BA = A F ' - {BF + BA) R egla] recta / = Constante

FIGURA 1 Dibujando una hipérbola.

_

I Longitud de \ la cuerda

11-3

¡d2 F(-c, 0)

Hipérbola

U sando la definición de hipérbola y la fórm ula de la distancia entre dos puntos, se pueden obtener las ecuaciones estándar para una hipérbola localizada en un sistem a coordenado rectangular. Se com ienza por ubicar una hipérbola en el sistem a coordenado rectangular con los focos en el eje x equidistantes del origen en F" ( —c, 0) y F (c, 0), e > 0, com o se m uestra en la figura 2. C om o se hizo con la elipse, es conveniente representar la diferencia constante con 2a, a > 0. Tam bién, el hecho geom étrico de que la diferencia de dos lados de un trián gulo es siem pre m enor que el tercer lado se puede aplicar a la figura 2 para obtener el resultado útil siguiente:

P(c, 0) \d\ ~ d 2\ < 2c c?

2a < 2c

c> 0 1^1 ~ ^2! = Constante positiva Hipérbola con focos

en el eje x.

a < c

(1)

Se usará este resultado en la obtención de la ecuación de una hipérbola que ahora co m ienza. R em ítase a la figura 2, el punto P (x ,y ) está sobre la hipérbola si y sólo si \di - d 2) = 2a Id ( P ,F ’) - d(P , F ) I = 2a |V (x + c)z + y 2 - V ( x - c)2 + y 2\ = 2a D espués de elim inar radicales y signos de valor absoluto m ediante el uso adecuado de elevar al cuadrado y sim plificar, otro buen ejercicio para usted, se tiene (c2 — a2)]2 - a2y2 = a \ c 2 - a2) 2

c - a

2

= 1

(2) (3)

Se perm ite dividir am bos lados de la ecuación (2) entre a2(c2 - a2), ya que ni a2 ni c2 a2 es 0. De la ecuación (1), a < c; así, a2 < c2 y c2 - a2 > 0. Al inicio se escogió la constante positiva a. Para sim plificar la ecuación (3) un poco m ás, se hace b2 = c2 - a2

b> 0

(4)

para obtener (5)

De la ecuación (5) se observa que las intersecciones con el eje x, que tam bién son los vértices, son x = ± a y que no hay intersecciones con el eje y. Para ver por qué no hay intersecciones con el eje>>, h a g a x = 0 y despeje^:

02

v2 f

- -b ‘ y = ± V -í> 2

Un número imaginario

802

11


Si se em pieza con los focos sobre el e je y en F \ 0, - c) y F (0, c) com o en la figura 3, en lugar de sobre el eje jc com o en la figura 2, entonces, siguiendo argum entos sim i lares a los usados en la prim era deducción, se obtiene v*

X'

—- —= i

a*

b~

(6 )

donde la relación entre a, b y c perm anece igual que antes: (7) C> o |d-| - d21= Constante positiva Hipérbola con focos

El centro está todavía en el origen, pero el eje transversal está ahora sobre el eje y: C om o ayuda p ara graficar la ecuación (5), se d esp eja y de la ecuación en térm inos de x, otro buen ejercicio para usted, para obtener

en el eje x.

Com o x cam bia de m anera que |;t| se vuelve m ás grande, la expresión 1 — (a2!x2) dentro del radical se aproxim a a 1. Por lo tanto, para valores grandes de |.\j, la ecuación (5) se com porta en form a m uy parecida a las rectas

y = ± -x a

(9)

Estas rectas son asíntotas para la gráfica de la ecuación (5). La hipérbola se aproxim a a estas rectas en tanto un punto P(x, y) sobre la hipérbola se mueve hacia afuera del origen (véase figura 4). Una form a fácil para dibujar las asíntotas es prim ero dibujar el rectángulo com o en la figura 4, y después extender las diagonales. A este triángulo se le conoce com o rectángulo de asíntota. Asíntotas.

Asíntota

Asíntota b

Al com enzar con la ecuación (6) y procediendo como se hizo para la ecuación (5), se obtienen las asíntotas para la gráfica de la ecuación (6): y = = -x

(10)

El bisector perpendicular al eje transversal, que se extiende desde un lado de la asíntota rectangular hasta el otro, se llam a eje conjugado de la hipérbola. Dada una ecuación de la form a (5) o (6), ¿cóm o se pueden encontrar las coordena das de los focos sin m em orizar u observar la relación Ir = c2 — a 2? Así com o con la

11-3

Hipérbola

elipse, hay una relación geom étrica sim ple en una hipérbola que perm ite obtener el m ism o resultado m ediante el teorem a de Pitágoras. Para ver esta relación, se vuelve a escribir b2 = c2 — a1 en la form a c2 = a2 + b2

(11)

N ote en las siguientes figuras del teorem a 1, que la distancia desde el centro a un foco es la m ism a que la distancia desde el centro a una esquina del rectángulo de asíntota. D icho de otra forma: Un círculo, con centro en el origen, que pasa por las cuatro esquinas del rectángulo de asíntota, también pasa por los cuatro focos de las hipérbolas con las asíntotas determ inadas por las diagonales del rectángulo. Se resum en todos los resultados anteriores en el teorem a 1 para una referencia adecuada.

Teorema 1

Ecuaciones estándar de una hipérbola con centro en (0, 0) 1. a2

b2

Intersecciones en x: ± a (vértices) Intersecciones en y: ninguna Focos: F ' ( —c, 0), F(c, 0) c2 = a2 + b2 Longitud del eje transversal = 2a Longitud del eje conjugado = 2b

2.

¿ - ¿ = 1 a2 b2 Intersecciones en x: ninguna Intersecciones en y: ± a (vértices) Focos: F ' (0, —c), F (0, c) c2 = a2 + b2 Longitud del eje transversal = 2a L ongitud del eje conjugado = 2b

[Nota: A m bas gráficas son sim étricas con respecto al eje x, al eje y y al origen.]

/


La recta que pasa p o r un foco F de una hipérbola que es perpendicular al eje trans versal, intersecta la hipérbola en dos puntos G y H. Para cada una de las dos ecuaciones estándar de una hipérbola con centro (0, 0), encuentre una expresión en térm inos de a y b para la distancia G slH.

804

11


lEMPi

Craficación de hipérbolas Trace la gráfica de cada ecuación, encuentre las coordenadas de los focos y tam bién las longitudes de los ejes transversal y conjugado. (A) 9 / - 1 6 / = 144

Soluciones

(B) 1 6 / - 9x2 = 144

(C) 2x2 - y 2 = 10

(A) Prim ero, escriba la ecuación en form a estándar dividiendo am bos lados entre 144: 9 / - 1 6 / = 144 x1 —

y2 _ -

!

o 2 = 16 y b 2 = 9

Localice las intersecciones con el eje x, x = ± 4 ; no hay intersecciones con el eje y. Trace las asíntotas usando el rectángulo de asíntota, después trace en la hipér bola (figura 5). Focos:

c2 = a2 + b2 = 16 + 9 = 25 c = 5

9x2 - 1 6 / = 144.

Por consiguiente, los focos son F \ —5, 0) y F (5, 0) Longitud del eje transversal = 2(4) = 8 Longitud del eje conjugado = 2(3) = 6 (B)

1 6 / - 9x2 = 144 ¿ - 4 = i 9 16 ’L ocalice las intersecciones con el e je y , y = ± 3 ; no hay intersecciones con el eje x. Trace las asíntotas usando el rectángulo de asíntota, después trace en la hipér bola (fi-gura 6). Esto es im portante para notar que el eje transversal y los focos están sobre el ejey . Focos:

c2 = a2 + b2 = 16 + 9 = 25 c = 5

1 6 / - 9 x 2 = 144.

De m anera que los focos son F '(0, - 5 ) y F (0, 5) Longitud del eje transversal = 2(3) = 6 Longitud del eje conjugado = 2(4) = 8

11-3

Hipérbola

2x2 - f = 10

(C)

^ - ¿ = 1 5 10

5 y b2 = 10

Localice las intersecciones con el eje x, x = ± V^5; no hay intersecciones con el eje y. Trace las asíntotas usando el rectángulo de asíntota, después trace en la hipérbola (figura 7). K\ -s F

-- C / \ + /

H-/ \ / ' \ / . \ / \ r-— =

Focos:

C

c2 = a1 + b 2

-4—(F 5

= 5+10 = 15 c = Vi 5

2x2 - y = io.

De m odo que los focos son F ' ( - a / Í 5 , 0) y F ( V 15, 0). Longitud del eje transversal = 2 V 5 = 4.47 Longitud del eje conjugado = 2 V 10 = 6.32 C om entario. Para g raficar la ecuación 9.y2 - 16y2 = 144 del ejem plo 1(A) en un dispositivo de graficación, prim ero se despeja y de la ecuación, y se obtiene y = j 9X2 -

144

± - J - — — ------- . D espués se grafica cada una de las dos funciones. La gráfica de y = 16 I g x 2 _ ¡4 4 i 9x2 - 1 4 4 a / — ----------------- es la m itad superior de la hipérbola, y la gráfica dej> = \ 16 16 es la m itad inferior.

V

lección

Trace la g ráfica de cada ecuación, encuentre las coordenadas de los focos, y tam bién las longitudes de los ejes transversal y conjugado. (A) \6 x 2 - 25y 2 = 400

(B) 25_r - 16x2 = 400

(C)

- 3,x2 = 12

H ipérbolas de la form a

M

N

y_ N

M

= 1

M, N > 0

se llam an hipérbolas conjugadas. En el ejem plo 1 y en el problem a seleccionado 1. las hipérbolas en los incisos (A) y (B) son hipérbolas conjugadas (com parten las m ism as asíntotas).

PRECA UCIO N

C uando haga un trazo rápido de una parábola, es un error com ún tener la hipérbo la abriendo hacia arriba y abajo cuando debe abrir a la izquierda y derecha, o viceversa. E ste error se puede evitar si prim ero se localizan las intersecciones de m anera exacta.

806

11


Determinación de la ecuación de una hipérbola Encuentre una ecuación de una hipérbola en la form a v2 x2 L-------- = i M N

Ai, A? > 0

Si el centro está en el origen, y: (A) Longitud del eje transvers transversal es 12 Longitud del eje conjugado es 20

S oluciones

(B) Longitud del eje transversal es 6 La distancia de los focos desde el centro es 5

(A) Com ience con ¿ _ ¿ =1

a2

b2

y encuentre a y b: 12

*

20 b = y -

y

a = ~2 =

10

Así que, la ecuación es

36

100

= 1

(B) Com ience con ¿ _ £ =1 a 2 b2 y encuentre a y b:

a= ~ 2= 3 Para encontrar b, trace el rectángulo de asíntota (figura 8), m arque las partes conocidas y use el teorem a de Pitágoras. b2 = 52 - 32 = 16 b = 4 Así, la ecuación es

= 1 9

FIGUR

Rectángulo asíntota.

16

11-3


Hipérbola

Encuentre una ecuación de una hipérbola en la forma

------ — = 1 M N

Ai, N > 0

Si el centro está en el origen, y: (A) La longitud del eje transversal es 50 L a longitud del eje conjugado es 30


(B) La longim d del eje transversal es 12 La distancia de los focos desde el centro es 9

(A) ¿La recta con la e c u a c ió n / = x intersecta la hipérbola con la ecuación jc2 — (y2/ 4) = 1? Si es así, encuentre las coordenadas de todos los puntos de intersec ción. (B) ¿La recta con la e c u a c ió n / = 3x intersecta la hipérbola con la ecuación x 2 — (y2/4) = 1? Si es así, encuentre las coordenadas de todos los puntos de inter sección. (C) ¿Para qué valores de m la recta con la e c u a c ió n / = m x intersecta la hipérbola x2 y2 — — — = 1? Encuentre las coordenadas de todos los puntos de intersección. a1 b2

Q uizá no se dé cuenta de los m uchos usos im portantes de las form as hiperbólicas. Se encuentran en el estudio de com etas; el Sistem a Loran de navegación para cruceros, barcos y aviones; m ovim iento de capilaridad y torres de enfriam iento nuclear, óptica y radiotelescopios; y estructuras arquitectónicas contem poráneas. El edificio de la com pañía de aviación TWA en el aeropuerto K ennedy es un paraboloide hiperbólico, y el planetario del centro de la ciencia en St Louis, Estados U nidos, es un hiperboloide (véase figura 9).

/

/

/

i C o m eta

C o m e ta a lre d e d o r del Sol (a)

: Usos de formas hiperbólicas.

N a v eg a c ió n Loran (b)

P lan etario d e St. Louis (c)

Algunos com etas del espacio exterior ocasionalm ente entran al campo gravitacional del Sol, siguen una trayectoria hiperbólica alrededor del Sol (con el Sol en un foco), y

808

11


después salen, para no volver a aparecer [figura 9(a)]. En el Sistem a Loran de navega ción, las estaciones transm iten en tres puntos, S v S2 y 5, [figura 9(b)], envían señales sim ultáneam ente. Un barco con un receptor registra la diferencia en los tiem pos de llegada de las señales de S, y S, y tam bién registra la diferencia en los tiem pos de lle gada de las señales de S2 y 5,. La diferencia en los tiem pos de llegada se puede transfor m ar en diferencias de las distancias que el barco está en S í y 5, y entre 5 , y Sy Al trazar todos los puntos de m anera que esas diferencias en distancia perm anezcan constantes produce dos ram as p , y p 2, de una hipérbola con focos S ] y S2 y dos ram as, q x y qv de una hipérbola con focos S2 y Sy Es fácil indicar en cuál form a está el barco al advertir los tiem pos de llegada de las señales de cada estación. La intersección de una rama desde cada hipérbola ubica el barco. La mayoría de estos cálculos se hacen ahora en com putadoras a bordo del barco, y se indican las posiciones en longitud y latitud. Este sistem a de navegación es am pliam ente usado en navegación costera. Las económ icas unidades Loran ahora se encuentran en m uchos pequeños barcos de diversión. La figu ra 9 (c) ilustra un paraboloide usado en arquitectura. Con tales estructuras, cascarones delgados de concreto pueden salvar espacios grandes.

Respuestas a los problemas seleccionados 1. (A) 25 16 Focos: f ' ( - V 4 1 , 0), f(V 4 1 , 0) Longitud del eje transversal = 10 Longitud del eje conjugado = 8

(B)

ílL 1 16 25 Focos: F (0 , - V 4 1 ), F(0, V 4 1 ) Longitud del eje transversal = 8 Longitud del eje conjugado = 10

(C) 12 4 Focos: F (0 , - 4 ) , f(0, 4) Longitud del eje transversal = 2 V l 2 •» 6.93 Longitud del eje conjugado = 4

x*

y2

(B> «45 - h36 = 1

11-3

Hipérbola

11-3 Trace una gráfica de cada ecuación en los problemas del 1 al 8. encuentre las coordenadas de los focos y las longitudes de los ejes transversal y conjugado. 1. ^ - ¿ = 1 9 4 3.

x2 9 ~~ ' VO

II

1

5.

y2 4

2.

7. 9y2 - lóx2 = 144

9

y t = 25 ’ 9

6.

9y2 =

20. El eje conjugado está en el eje x __ Longitud del eje conjugado = 10 Distancia de los focos desde el centro = V 70 (A) ¿Cuántas hipérbolas tienen su centro en (0, 0) y su foco en (1, 0)? Encuentre sus ecuaciones. (B) ¿Cuántas elipses tienen su centro en (0, 0) y su foco en (1, 0)? Encuentre sus ecuaciones. (C) ¿Cuántas parábolas tienen su centro en (0, 0) y su foco en (1, 0)? Encuentre sus ecuaciones.

25

4.

19. El eje conjugado está en el eje x Longitud del eje conjugado = 14 Distancia de los focos desde el centro = V 200

¿Cuántas hipérbolas tienen las rectas y = ± 2x como asíntotas? Encuentre sus ecuaciones.

8.

r En los problemas del 23*al 26, grafique cada sistema de ecuaciones en el mismo sistema coordenado rectangular y en cuentre las coordenadas de cualquier punto de intersección.

B Trace una gráfica de cada ecuación en los problemas del 9 al 12, encuentre las coordenadas de los focos y las longitudes de los ejes transversal y conjugado. 9. 3.r - 2y2 = 12 11. 7y2 - 4.r = 28

10. 3x2 - 4>|2 = 24 12. 3y2 - 2x2 = 24

En los problemas del 13 al 20. encuentre una ecuación de una hipérbola en la forma

y_ N

y2 N

x2 M

M ,N > 0

Compruebe los problemas del 23 al 26 con un dispositivo de graficación. 23. 3y2 - 4x2 = 12 y2 + x2 = 25

24. y2 - x2 = 3 y2 + x2 = 5

25. 2x2 + y2 = 24

26. 2x2 + y2 = 17 .x2 —y2 = - 5

*2

-

y2

=

-1 2

En los problemas del 27 a! 30, encuentre todos los puntos de intersección para cada sistema de ecuaciones con tres cifras decimales. Compruebe los problemas de! 27 al 30 con un dispositivo de graficación. 27. y2 - x2 = 9 2y - x = 8

si el centro está en el origen, y:

y —o

13. F.l eje transversa] está en el eje x Longitud del eje transversal = 14 Longitud del eje conjugado = 10

29. y2 - x2 = 4 v2 + 2x2 = 36 ya 0

14. El eje transversal está en el eje x Longitud del eje transversal = 8 Longitud del eje conjugado = 6 15. El eje transversal está en el eje y Longitud del eje transversal = 24 Longitud del eje conjugado = 18

28. y2 - x2 = 4 y —x = 6 y> 0 30.

y2 - x2 = 1 2y2 + x2 = 16 y —0

11

Excentricidad. Los problemas 3 1 y 32, que se incluyen en se guida, y los problemas 31 y 32 de la sección de ejercicios 11-2 están relacionados con una propiedad de las cónicas llamada excentricidad, la cual se denota por un número real positivo E. Las parábolas, elipses e hipérbolas se pueden definir en tér minos de E. un punto jijo llamado foco, y una recta que no contiene elfoco llamada directriz, como sigue: El conjunto de puntos en un plano cada uno con una distancia desde un punto fijo es E veces la distancia desde una recta Jija, es una elipse si 0 < E < l.una parábola si E = 1 y una hipérbola si E > 1.

18. El eje transversal está en el eje x Longitud del eje transversal = 16 Distancia de los focos desde el centro = 10

31. Encuentre una ecuación del conjunto de puntos en un pla no cuya distancia desde (3, 0) sea tres medios su distancia desde la recta x = \ . Identifique la figura geométrica.

16. El eje transversal está en el eje y Longitud del eje transversal = 16 Longitud del eje conjugado = 22 17. El eje transversal está en el eje x Longitud del eje transversal = 18 Distancia de los focos desde el centro

=

81Ó

11


32. Encuentre una ecuación del conjunto de puntos en un pla no cuya distancia desde (0.4) sea cuatro tercios de la dis tancia desde la recta y = 9r Identifique la figura geométrica. En los problemas del 33 al 36, use un dispositivo de graficación para encontrar las coordenadas de iodos los puntos de inter sección con dos cifras decimales, 33. 2x2 - 3y2 = 20. Ix + 15y = 10 34. y 2 - 3 x 2 35. 24y2 - 18.v2 = 175, 90i? + 3v2 = 200 Torre d e e n fria m ie n to n u c le ar (a)

36. 8.v2 - l y 2 = 58. 4y2 - 1lx~ = 45

>NES

37. A rquitectura. Un arquitecto está interesado en el diseño de un domo de cascarón delgado en forma de un paraboloi de hiperbólico, como se muestra en la figura (a). Encuen tre la ecuación de la hipérbola localizada en un sistema coordenado [figura (b)] que satisfaga las condiciones in dicadas. ¿A qué distancia está la hipérbola por arriba del vértice 6 pies a la derecha del vértice? Calcule la respuesta con dos cifras decimales.

(b)

Si la torre tiene una altura de 500 pies, el techo está a 150 pies arriba del centro de la hipérbola y la base está a 350 del centro, ¿cuál es el radio del techo y de la base? ¿Cuál es el radio de la más pequeña sección transversal circular de la torre? Calcule su respuesta con tres digitos significativos.

P a ra b o lo id e h ip erb ó lico

(a)

Parábola

(8 , 1 2 ) 10 -

39. Ciencia espacial. Para rastrear sondas espaciales en otros planetas, la NASA usa grandes reflectores parabólicos con diámetros igual a dos tercios de la longitud de un campo de fútbol. No se necesita mencionar, que muchos proble mas de diseño se crean por el peso de esos reflectores. Un problema con el peso se resuelve usando un reflector de forma hiperbólica que comparte el foco de la parábola para reflejar las ondas electromagnéticas que llegan al otro foco de la hipérbola donde se tiene equipo receptor ya instalado (véase la figura). O nda e ntrante

1 1 1 1 1

-1 0

10

Parte d e la h ip érb o la del d o m o (b) Hipérbola

38. Planta de potencia nuclear. Una torre de enfriamiento nuclear es un hiperboloide, es decir, una hipérbola que gira alrededor de su eje conjugado como se muestra en la figura (a). La ecuación de la hipérbola en la figura (b) usa da para generar el hiperboloide es x2 1002

r = 1 1502

Cono receptor

Parábola

11-4

Traslación de ejes

811

Para la antena de recepción mostrada en la figura, el foco común está localizado 120 pies por encima del vértice de la parábola y el foco F '(para la hipérbola) está 20 pies arri ba del vértice. El vértice de la hipérbola reflectora está a 110 pies arriba del vértice de la parábola. Se introduce un sistema coordenado para usar al eje de la parábola como el e je j (positivo hacia arriba), y el eje.* pasa por el centro de la hipérbola (positivo hacia la derecha). ¿Cuál es la ecua ción de la hipérbola reflectora? Escriba v en términos de *.

(b)

s e c c ió n

"T * 11-4 I

I

Traslación de ejes Traslación de ejes E cuaciones estándar de las cónicas trasladadas G raficación de ecuaciones de la form a A x2 + Cy2 + D x + Ey + F = 0 D eterm inación de las ecuaciones de cónicas

En las últim as tres secciones se han encontrado ecuaciones estándar para parábolas, elipses e hipérbolas cuyos ejes respectivos están centrados sobre los ejes coordenados y centradas con respecto al origen. ¿Q ué pasa si se desplazan las cónicas del origen m an teniendo sus ejes paralelos a los ejes coordenados? Ahora se m ostrará que se pueden obtener las nuevas ecuaciones estándar que son casos especiales de la ecuación A x 2 + Cy2 + D x + E y + F = 0 donde A y C no son am bas iguales a cero. La herram ienta m atem ática básica usada en este intento es la traslación de ejes. Sin em bargo, la utili dad de la traslación de ejes no se lim ita a la graficación de cónicas. La traslación de ejes tam bién se puede usar m uy bien en otras situaciones de graficación.

• Traslación de

Traslación de ejes coordenados.

Una traslación de ejes coordenados ocurre cuando los nuevos ejes coordenados tie nen la m ism a dirección, es decir, que son paralelos a los ejes coordenados originales. Para ver cómo cam bian las coordenadas en el sistem a original cuando se m ueve al sistem a trasladado, y viceversa, véase la figura 1.

812

11


U n punto P en el plano tiene dos conjuntos de coordenadas: (x, y ) en el siste m a original y ( x \ y r) en el sistem a trasladado. Si las coordenadas del origen del sistem a trasladado son (h, k), con respecto al sistem a o rig in a l entonces las viejas y las nuevas coordenadas están relacionadas de acuerdo con el teorem a 1,

Teorema 1

Fórmulas de traslación 1.

x = x' + h

2.

x' = x — h

y = y '+ k

y ' —y — k

Se puede m ostrar que estas fórm ulas para (A, k) se localizan en cualquier lugar en el sistem a coordenado original.

Ecuación de una curva en un sistema trasladado. U na curva tiene la ecuación (x - 4)2 + (y + l ) 2 = 36 Si el origen se traslada a (4, - 1 ) , encuentre la ecuación de la curva en el sistem a trasla dado e identifique la curva. Solución

Ya que (h, k) = (4, - 1 ) , usando las fórm ulas de traslación. x' = x — h = x — 4

y = y - k = y + 1 después de sustituir, se obtiene X'2 + y'2 = 36 Ésta es la ecuación de un círculo de radio 6 con centro en el nuevo origen. Las coorde nadas del nuevo origen en el sistem a coordenado original son (4, - 1 ) (véase la figura 2). O bserve que este resultado concuerda con el tratam iento general del círculo hecho en la sección 2-1. y

(.v —4)2 + (y + 1)2 = 36.

y’

11 -4

Traslación de ejes

813

U na curva tiene la ecuación (y + 2)2 = 8(x - 3). Si el origen se traslada a (3, - 2 ) encuentre una ecuación de la curva en el sistem a trasladado e identifique la curva.

A hora se procede a encontrar las ecuaciones estándar de cónicas trasladadas lejos de su origen. Para hacer esto, prim ero se escriben las ecuaciones estándar encontradas en secciones anteriores en el sistem a coordenado x 'y ' con 0 ' en (h, k). D espués se usan las ecuaciones de traslación para encontrar las form as estándares con respecto al sistem a coordenado original xy. Las ecuaciones de traslación en todos los casos son

x' = x — h

y' = v - *

Para parábolas se tiene

h f — 4 a(y - k)

(x -

y '2 = 4 ax'

(y - k )2 = 4 a(x - h)

Para círculos se tiene y 'i = r 2

v >2 +

(x

hf

_

+ (y - le)2

=

r2

En elipses se tiene para a > b > 0

£2 o

,

.-»

= . l

* '2 V'2 7J — F - 1 b a2

(-V - h f _ (y - k )2 _ a

o 2

1

-o

b2

A

[X - h )2 , (vy - k f ... — ~ H--------- 5— = 1 b2

a~

(x - h f

(y - k f

Para hipérbolas se tiene

* '2

v '2

a

y '2

.r':

0

(y ~ k f

ti2 (.X - h f

= 1

La tabla 1 resum e estos resultados con las figuras apropiadas y algunas propieda des analizadas anteriorm ente.

814

11


TABLA 1

Ecuai Parábolas (y - k f - 4a(x - h)

(x - h )2 = 4a(y - k)

\

Vértice ( h, k) Focos ( h, k + a) a > 0 abre hacia arriba a < 0 abre hacia abajo

Vértice ( h, k) Focos (h + a, k) a < 0 abre hacia la izquierda a > 0 abre hacia la derecha

Círculos (* - h)z + (y ~ k )2 = r 2 Y

C entro ( h, k) Radio r

C(h. k)

Elipses (x ~ h)2 + (y - k)2 _

= 1

(* ~ h)~ . (y ~ k f b2 a2

a > b > 0

C entro ( h, k)

C entro (h, k)

Hipérbolas (x ~ h f _ (y - k f _ l

(y - k f _ (x - h f _

à2 C entro ( h, k) Eje transversal 2o Eje conjugado 2b

b2 C entro ( h, k)

11 -4

Traslación de ejes

815

Se puede mostrar que la gráfica de

ecuaciones de ia A x 2 + Cy2 + D x + Ey + F = 0

+

Ey

+

F

(1)

=O donde A y C no son am bas cero, es una cónica o una cónica degenerada o no es una gráfica. Si se puede transform ar la ecuación (1) a una de las form as estándar de la tabla 1, entonces se podrá identificar su gráfica y dibujarla rápidam ente. El proceso de com pletar el cuadrado analizado en la sección 1-6 es la herram ienta básica para realizar esta transform ación. U n par de ejem plos podrían ayudar a aclarar este proceso.

Graficación de una cónica trasladada Transforme y 2 - 6y - 4x + 1 = 0

(2)

en una de las form as estándares de la tabla 1. Identifique lacónica y grafíquela. Com plete el cuadrado en la ecuación (2) respecto a cada variable que esté en el cuadrado, en este caso y: y 2 - 6y - 4x + 1 = 0 y2 - 6y y 2 — 6y

= 4x +

9 = 4x

1 +

8

(3) S u m e 9 a a m b o s lad o s a c o m ^ e t.:el c u a d ra d o e n el lad o izq u ierd o .

(>• - 3)2 = 4(x + 2)

De la tabla 1, se reconoce la ecuación (3) com o una ecuación de una parábola que se abre hacia la derecha con vértice en (h, k) = ( —2, 3). Pase

Encuentre la ecuación de la parábola en el sistem a trasladado con origen O 'en (h, k) = ( - 2 , 3). Las ecuaciones de traslación están directam ente indicadas de la ecuación (3): x' = x + 2 y = y - 3

y y

H aciendo estas sustituciones en la ecuación (3) se obtiene y '2 = 4x'

(4)

la ecuación de la parábola en el sistem a x'y'. Paso 3. FIGURA 3 y 1-

6

y-

4 x -i- ] = 0 .

G rafique la ecuación (4) en el sistem a x 'y ' siguiendo el proceso analiza do en la sección 11 - 1. La gráfica resultante es la gráfica de la ecuación original con respecto al sistem a coordenado original x y (figura 3).

816

11


Transform e x~ + 4x + 4y -

12 = 0

en una de las form as estándar de la tabla 1. Identifique la cónica y grafíquela.

Gráfica de una cónica trasladada Transform e 9x2 - 4y2 - 36x - 24y - 36 = 0 en una de las form as estándar de la tabla 1. Identifique la cónica y grafíquela. Encuen tre las coordenadas de cualquiera de sus focos con respecto al sistem a original. Solución

Paso 1.

Com plete el cuadrado con respecto a a- y y. 9x2 - 4y2 - 36a - 24>' - 36 = 0

9a-2 - 36a 9(xJ ~ 4 x

- 4y2 - 24y

= 36

) - 4 (y2 + 6y

) = 36

9ÍX2 —4a + 4) —4(>'2 + 6v + 9) = 36 -l- 36 —36 9(x - 2)2 - 4(y + 3)2 = 36 (a

- 2)2

(y + 3)2

,

De la tabla 1 reconozca la última ecuación com o una ecuación de una hipérbola que abre a la izquierda o a la derecha con centro en (h, k) = (2, - 3 ) . Paso 2.

Encuentre la ecuación de la hipérbola en el sistem a trasladado con el origen O'en (h, k) = (2, —3). Las ecuaciones de traslación se leen direc tam ente de la últim a ecuación en el paso 1: x' = x — 2 y' = y + 3 Haciendo estas sustituciones, se obtiene

—

-

t i

=

1

la ecuación de la hipérbola en el sistem a x'y'. Paso 3.

G rafique la ecuación obtenida en el paso 2 en el sistem a x 'y ' siguiendo el proceso analizado en la sección 11-3. L a gráfica resultante es la grá fica de la ecuación original respecto al sistem a coordenado original xy (figura 4).

11 -4

FIGURA 4

Traslación de ejes

817

y y'

9.x2 - 4 f - 36x - 24v - 36 = ü.

/V so 4.

Encuentre las coordenadas de los focos. Encuentre las coordenadas de los focos en el sistem a trasladado: c'~ = 22 + 32 = 13 c' = V l 3 - c ' = -V T 3 Así, las coordenadas en el sistem a trasladado son F \ - V 1 3 ,0 )

y

F (\/l3 ,0 )

A hora, use x = x'+h=x' + 2 y = y' + k = y' — 3 para obtener F '( —V Í 3 + 2 , - 3 )

y

F (V Í3 + 2 , - 3 )

que son las coordenadas de los focos en el sistem a original.

Transform e 9X2 + \6y2 + 36x - 32y - 92 = 0 en una de las form as estándar de la tabla 1. Identifique la cónica y grafíqucla. Encuen tre las coordenadas de cualquiera de los focos con respecto al sistem a original.

C om entario. Un dispositivo de graficación proporciona un enfoque alternativo para graficar ecuaciones de la form a A x2 + Cy2 + D x + E y + F = 0. C onsidere, por ejem plo, la ecuación 9.x2 — 4v2 — 36.v - 24_v — 36 = 0 del ejem plo 3. Se escribe la ecuación com o una ecuación cuadrática en la variable y: 4y2 + 24v + ( ~ 9 x 2 + 36x + 36) = 0.

818

11


Por la fórm ula cuadrática y = — —— —' ^

8

^

, donde f ( x ) = —9x2 + 36x + 36.

Después grafique cada una de las dos funciones en la expresión para y. La gráfica de y = — 24 + V 24------ 16 /(x) ^ eg |a m jtacj SUp erjor de ia hipérbola y la gráfica de

8

______

- 24 - V 2 4 2 - 16/(x) . . .. . . y = ----------------------------------- es la m itad inferior.

EXPLORACION YANALISIS 1

D E Si A ± 0 y C * 0, m uestre que la traslación de los ejes x ' = x + ----- , y ' = y + ----2A 2C transform a la ecuación Æt2 + Cy2 + D x + E y + F = 0 en una ecuación de la form a A x '2 + C y '2 = K.

A hora se invertirá el problem a: Dada cierta inform ación acerca de una cónica en un sistem a coordenado rectangular, encuentre su ecuación.

Determinación de la ecuación de una cónica trasladada Encuentre la ecuación de una hipérbola con vértices en la re c ta x = - 4 , el eje conjuga do está en la recta y = 3. la longitud del eje transversal = 4 y la longitud del eje conjugado = 6. S o lu :

Localice los vértices, las asíntotas rectangulares y las asíntotas en el sistem a coordenado original [figura 5(a)], después grafique la hipérbola y traslade el origen al centro de la hipérbola [figura 5(b)].

(a) R ectán g u lo a sín to ta

(b ) H ipérbola

A hora se escribe la ecuación de la hipérbola en el sistem a trasladado:

11 -4

Traslación de ejes

819

El origen del sistem a trasladado está en (h, k) = ( —4, 3) y las fórm ulas de traslación son x '= x - h /

= x — (-4 ) = x + 4

= y - k = y - 3

Por consiguiente, la ecuación de la hipérbola en el sistem a original es

o,

(y - 3)2

(x + 4)2

4

9

después sim plificando y escribiendo en la form a de la ecuación (1), 4x> - 9y2 + 32x + 54y + 19 = 0

Encuentre la ecuación de una elipse con focos sobre la recta x = 4, eje m enor sobre la recta y = —3, longitud del eje m ayor = 8, y longitud del eje m enor = 4.


U se la estrategia de com pletar el cuadrado para transform ar cada ecuación en una ecuación en un sistem a coordenado x'y'. O bserve que la ecuación no está en una de las form as estándar de la tabla 1; ya sea la ecuación de una cónica degenerada o la ecuación no tiene solución. Si el conjunto solución de la ecuación no es vacío grafíquela e identifique la gráfica (un punto, una recta, dos rectas paralelas o dos rectas que se intersectan). (A) x 2 + 2y*- — 2x + 16y + 33 = 0 (B) 4x2 - f - 2 4 x - 2 y + 35 = 0 (C) y - 2y - 15 = 0 (D) 5x2 + f +

12y + 40 = 0

(E) x2 — 18x + 81 = 0

R espuestas a los p ro b le m a s selec cio n a d o s 1. y 'z = &r'; una parábola 2. (x + 2 f = -4(> ; - 4): una parábola

820

11


3. {X+. 2— + — U = 1: elipse 9 16

y

F \ - V'7 - 2,1), F (V 7 - 2.1)

y

(x - 4 Y | (>■ + 3)2

4

foco:

16

1, o 4x* + y2 - 32* + 6y + 57 = 0

11-4

EJERCICIO A ________

B

En los problem as del I a l 8:

En los problemas del 15 al 22, transforme cada ecuación en una de las formas estándar de la tabla 1. Identifique la cun’a y grafíquela.

(A) E ncuentre las fó r m u la s d e traslación que trasladen el o ri gen al p u n to indicado (h, k). (B) E scríba la ecuación de la curva para el sistem a traslada do.

16. 16x2 + 9y2 + 64x + 54y + 1 = 0

(C) Identifique la curva. 1. (x - 3)2 + (y —

15. 4.x2 + 9y2 - 16x — 36y + 1 6 = 0

5)2 = 81; (3, 5)

17. x2 + 8x + 8y = 0

2. (x- 3)2 = 8(y + 2); (3, - 2 )

18. y2 + 12x + 4y - 32 = 0

3 ^

19. x2 + y2 + 12x + lOy +

+ «

^

= i;(_ 74)

45 = 0

20. x2 + y2 —8x - 6y = 0 4. {x + 2)2 + (>’ + 6)2 = 36; ( - 2 , - 6 )

21. -9.V2 + 16y2 - 72x - 96y - 144 = 0

5. (y + 9)2 = 16(x

22. I6x2 - 25y2 - 160x = 0

7.

(y - 9)2

(x + 5)2

10

6

(X

+ oo

6.

- 4); ( 4 .-9 )

i

(y

+

12

c*

+

25

8 7 )2

(> ’ -

50

= 1; ( - 5 ,9 )

3)2= 1; ( - 8 . - 3 ) 8 )2

= 1; ( - 7 .8 )

En los problemas del 9 al 14: (A) Escriba cada ecuación en una de las formas estándar enlistadas en la tabla 1. (B) Identifique la curva. 9. 16U - 3)2 - 9(y + 2)2 = 144 10. (>• + 2 )2 - 12(x - 3) = 0 11. 6(x + 5)2 + 5(y + l f = 30 12. 12(y - 5 )2 - 8(.r - 3 )2 = 24 13. (x + 6)2 + 24(y - 4) = 0 14. 4(x - 7)2 + 7(y - 3)2 = 28

Si A # 0, C = 0 y E + 0, encuentre h y k de modo que la traslación de los ejesx = x ' + h .y = y ' + A-transforme la ecuación Ax1 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 en una de las formas estándar de la tabla 1. Si A ~ 0, C + 0 y D +0, encuentre h y k de modo que la traslación de los ejesx = x ' + h .y - y ' + ¿transforme la ecuación Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 en una de las formas estándar de la tabla 1. En los problemas del 25 al 32, use la información dada para encontrar la ecuación de cada cónica. Exprese la respuesta en la forma Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = I) con coeficientes enteros y A > tí. 25. Una parábola con vértice en (2, 5), eje en la recta x = 2, y que pasa por el punto ( - 2 . 1). 26. Una parábola con vértice (4, - 1 ), eje en la recta y = —1, y que pasa por el punto (2,3). 27. Una elipse con su eje mayor en la recta y = —3, su eje menor en la recta x = —2, longitud del eje mayor = 8 y longitud del eje menor = 4.

11 -5

c _________________________

28. Una elipse con su eje mayor en la recta x = —4. su eje menor en la recta y = 1. longitud del eje mayor = 4 y longitud del eje menor = 2.

En los pro b lem a s del 33 a l 38 encuentre las coordenadas de cualquiera de los fo c o s con respecto al sistem a coordenado original.

29. Una elipse con vértices en (4. - 7 ) y (4,3) y focos (4. - 6 ) v (4, 2). 30. Una elipse con vértices en ( —3.1) y (7, 1) v focos ( - 1 , 1) y (5, 1).

^

31. Una hipérbola con eje transversal sobre la recta a- = 2, longimd del eje transversal = 4. el eje conjugado sobre la recta y = 3 y longitud del eje conjugado = 2.

33. Problema 15

34. Problema 16

35. Problema 17

36. Problema 18

37. Problema 2 1

38. Problema 22

En los problem as d el 39 a l 42. use un dispositivo de graficaeión p a ra encontrar las coordenadas d e todos los p u n to s de inter sección con dos cifras decim ales.

32. Una hipérbola con el eje transversal sobre la recta y = —5, longitud del eje transversal = 6, el eje conjugado sobre la recta x = 2 y longitud del eje conjugado = 6.

11-5

821

Ecuaciones paramétricas

39.

3 a~

- 5y2 +

40.

8a2

+ 3y2 - 14* + 17y - 39 = 0, 5* - 1\y = 23

41.

7 a-2

-

42.

4 a-2

- y1 -

8a-

+

2y + 11 = 0, 6x + 4y = 15

7 a- -

5y

-

25

2 4 a- -

2y

= +

0, 35

x2 + = 0.

4v2 2 r

+ 4x - y -

12

+ 6y2 - 3* -

= 34

0

= 0

p a ra s

Ecuaciones param étricas y curvas planas M ovim iento de proyectiles C icloide Considere las dos ecuaciones x = t + 1 —* < t < «

(1)

.y = t 1 — 2t C ada valor de t determ ina un valor de x y un valor de y , y, en consecuencia, un par ordenado (x, y). Para graficar el conjunto de pares ordenados (x ,y) determ inado supo niendo que todos los valores de t son reales, construya la tabla I enlistando los valores seleccionados de t y los valores correspondientes d e x y y . Después se dibujan los pares ordenados (x, y ) y únalos con una curva continua, com o se m uestra en la figura 1. La variable t se llam a parám etro y no aparece en la gráfica. Las ecuaciones (1) se llaman ecuaciones param étricas, ya que am bas x y y so expresan en térm inos del parám etro /. L a gráfica de los pares ordenados (x, y ) se llam a curva plana.

TABLA 1 t

0

X

1

y

0

1

2

3

4

-1

-2

2

3

4

5

0

-1

-1

0

3

8

3

8

En algunos casos es posible elim inar el parám etro resolviendo una de las ecuaciones para t y sustituyendo en la otra. En el ejem plo que se está considerando despeje t de la prim era ecuación en térm inos de x, se tiene y = t2 - 2t, - x < r <

t= x - 1

822

11


D espués, sustituya el resultado en la segunda ecuación, se obtiene. y = (x - l) 2 - 2(x - 1) = j t - 4x + 3 Se reconoce a ésta com o la ecuación de una parábola, com o se puede observar en la figura 1. En algunos otros casos, puede no ser fácil o posible elim inar el parám etro para obtener una ecuación en térm inos de x y y. Por ejem plo, para A' = t +

lO g

t t>0

y — t - e' no es posible despejar a t en ninguna de las ecuaciones en térm inos de las funciones que se están considerando. ¿Hay m ás de una representación param étrica para una curva plana? La respuesta es si. En efecto, hay un núm ero ilim itado de representaciones param étricas para la m is m a curva plana. Las siguientes son dos representaciones adicionales de la parábola en la figura 1.

.v = t + 3

- x < t < <»

(2)

-oo < t < oo

(3)

y = t 2 + 21 x —t y = t 2 - 4t + 3 Los conceptos introducidos en el análisis anterior se resum en en la definición 1.

DEFINICIÓN 1

Ecuaciones paramétricas y curvas planas Una curva plana es el conjunto de puntos (x , y ) determ inado por las ecuaciones param étricas. * = /0 ) y

=8 (0

donde el parám etro t varía en el intervalo / y las f u n c io n e s /y g están am bas definidas en el intervalo /.

¿Por qué se está interesado en las representaciones param étricas de las curvas planas? Porque el enfoque es m ás general que usando ecuaciones con dos variables com o ya se ha hecho. A dem ás, el enfoque se generaliza a curvas en espacios de tres y m ás dim ensiones. Otra razón im portante para el uso de representaciones param étricas de curvas planas se ilustra en el análisis y ejem plos siguientes.

11 -5

823


Craficación de ecuaciones paramétricas y eliminación del parámetro G rafique la curva plana dada param étricam ente por x = 8 eos 0 -oo < 0 < ac

(4)

y = 4 sen 0 Identifique la curva elim inando el parám etro 0. Solución

C onstruya una tabla y grafique

0

0

-tt/ 6

tt/3

tt/ 2

2 -ir/3

5 tt/6

X

8

4V 3

4

0

-4

-

y

0

2

2V 3

4

2V 3

2

4V 3

tt

7-77/6

4

-8

—4 V 3

-4

0

-

tt/ 3

— 2V

2

3

3 tt/ 2

5-11/3

1 l -r r / 6

2l T

0

4

4V 3

8

-4

-

- 2

0

2V 3

Para elim inar el parám etro 0, despeje de la prim era ecuación en (4) a eos 0, y de la segunda a sen 0, y sustituya en la identidad de Pitágoras eos2 0 + sen2 0 = 1

eos 0 = -

sen 0 = 4

y

8

y

eos2 0 + s e n 2 0 = 1

64

Gráfica de

16

x = 8 eos 0, y = 4 sen 0,

—co < 0 < »,

L a g ráfica es una elipse (figura 2).

G rafique la curva plana dada param étricam ente por x = 4 eos 0, y = 4 sen 0, 0 > 0. Identifique la curva elim inando el parám etro 0,


G rafique un periodo (0 ^ 0 ^ 2 n) para cada una de las tres curvas planas dadas param étricam ente por x, = 5 eos 0

x 2 — 2 eos 0

x3 = 5 eos 0

y , — 5 sen 0

y 2 = 2 sen 0

y 3 = 2 sen 0

Identifique las curvas elim inando el parám etro.

824

11


Ecuaciones paramétricas para secciones cónicas Encuentre las ecuaciones param étricas para la sección cónica con las ecuaciones dadas: (A) 25.v2 + 9y2 - 100* + 54y - 44 = 0 (B) - 1 6 r - 10* + 32>> - 7 = 0

So lu cio n e s

(x — 2)2 (A) Al com pletar el cuadrado en x y y se obtiene la form a estándar —-------- — + -

1. D . modo q„e ia gráfioa es o„a elipse eoo ceotro en (2. - 3 ) y e, e

m ayor sobre la recta x = 2. Ya que eos2 0 + sen2 0 = 1. una representación param étrica con parám etro 0 se obtiene al hacer —— — = eos 0, -

x = 2 + 3 eos 6

+

= sen 0:

-o o < 0 < cc

y = —3 + 5 sen 0

X1T=E + N /c o s - VlT= i+tari
(x — 5)2 (B) A l com pletar el cuadrado en x y v se obtiene la form a estándar —------- -— 16 (y — l ) 2 = 1. De m anera que la gráfica es una hipérbola con centro en (5, 1) y el eje transversal en la recta y = 1. Ya que sec2 0 - tan2 0 = 1. se obtiene una rex —5 presentación param étrica con parám etro 0 haciendo —-------- = sec 0, y — 1 = tan 0: 4 x = 5 + 4 sec 0

!--íy f

- oo < 0 < t»(

y = 1 + tan 0

9

ir — + f a , k un entero 2

T=.‘ X=9 -2

x = 5 + 4 sec 0, y = 1 + tan 0.

^

O bserve que cuando las ecuaciones param étricas se grafican en un dispositivo de graficación en m odo conectado, la gráfica parece m ostrar las asíntotas de la hi pérbola (véase la figura 3).

Encuentre las ecuaciones param étricas para la sección cónica con la ecuación dada: (A) 36x2 + 16v2 + 504x - 96y + 1332 = 0 (B) 16>'2 - 9x2 - 36x + 128y + 76 = 0

• M ovimiento de proyectiles

Las leyes de N ew ton y las m atem áticas avanzadas se pueden usar para determ inar la trayectoria de un proyectil. Si v0 es la velocidad inicial del proyectil con un ángulo a con respecto a la horizontal (véase la figura 4) y la resistencia del aire se desprecia, entonces la trayectoria del proyectil está dada por

x = (v0 eos a)í >’ = (v0sen a)t — 4.9f2

O^íSi;

(5)

11 -5


825

El parám etro t representa el tiem po en segundos, y x y y son distancias m edidas en m etros. Al despejar t en térm inos de x de la prim era ecuación (5), sustituyendo en la segunda ecuación, y sim plificando los resultados en la siguiente ecuación: 4 9 y = (tan a ) x ----- r----- — a 2 co r a

(6)

Verifique ésta com pletando los detalles om itidos. Movimiento de un

y

proyectil.

Se reconoce la ecuación (6) com o una parábola. Esta ecuación en x y y describe la trayectoria que sigue el proyectil, pero dice un poco m ás acerca de su vuelo. Por otra parte, las ecuaciones param étricas (5) no sólo determ inan la trayectoria del proyectil sino tam bién indican qué posición tienen en cualquier tiem po t. A dem ás, usando con ceptos de física y cálculo, las ecuaciones param étricas se pueden usar para determ inar la velocidad y la aceleración del proyectil en cualquier tiem po t. Esto ilustra otra venta ja del uso de las representaciones param étricas de las curvas planas. El rango de un proyectil es la distancia del punto de disparo al punto de impacto. Si se conserva la velocidad inicial v0 del proyectil constante y varía el ángulo a en la figura 4, se obtienen diferentes trayectorias parabólicas seguidas por el proyectil y dife rentes rangos. El m áxim o rango se obtiene cuando a = 45°. A dem ás, suponiendo que el proyectil siem pre está en el m ism o plano vertical, entonces hay puntos en el aire y en la tierra que el proyectil no puede alcanzar, irrespectivam ente del ángulo a usado, 0° < a < 180°. U sando m atem áticas m ás avanzadas, se puede m ostrar que la región alcan zable está separada de la región no alcanzable por una parábola llam ada envolvente de las otras parábolas (véase la figura 5). Región alcanzable de un proyectil.

Envolvente

• Cicloide

A hora se considerará una curva no usual llam ada cicloide, lo cual tiene justam ente una representación param étrica sim ple y solam ente una m uy com plicada representación en térm inos de x y y . La trayectoria trazada por un punto sobre el borde de un círculo que rueda a lo largo de una recta se llam a cicloide. Para deducir las ecuaciones param étricas para una cicloide se rueda un círculo de radio a a lo largo del eje x con el punto P trazando el borde a partir del origen (véase la figura 6).

826 FIGUR/

11


Cicloide.

y

Puesto que el círculo rueda a lo largo del eje x sin resbalar (rem ítase a la figura 6), observe que d ( 0 , S) = are P S = a0

0 en radianes

(7)

donde S es el punto de contacto entre el círculo y el eje x. R efiriéndose al triángulo CPQ, se ve que d(P, Q) = a sen 0

0 ^ 0 ^ rc/2

(8)

d(Q, C) = a eos 0

0 ^ 0 — 7t/2

(9)

U sando estos resultados, se tiene que x = d ( 0 , R) = d { 0 , S ) - d(R, S) = (are PS) - d(P, Q) = aQ — a s e n 0

Use las ecuaciones (7) y (8).

y = d (R ,P ) = d(S, C ) - d(Q, C ) = a — a eos 0Use la ecuación (9) y e! hecho de que d(S, O = a. A unque 0 en las ecuaciones (8) y (9) está restringido de m odo que 0 á 0 < n/2, se puede m ostrar que las ecuaciones param étricas deducidas generan toda la cicloide para —oc < 0 < oc. La g ráfica especifica una función periódica con periodo 2na. Por consi guiente, en general, se tiene el teorem a 1.

Teorema 1

Ecuaciones paramétricas para una cicloide Para un círculo de radio a rodado a lo largo del e je * , la cicloide resultante gene rada p o r un punto del borde iniciando en el origen está dada por x = a% — a sen 0 — 00 < 0 < 00

y = a — a eos 0

11 -5


827

La cicloide es un buen ejem plo de una curva que es m uy difícil de representar sin el uso de un parám etro. Una cicloide tiene una m uy interesante propiedad física. Un objeto que resbala sin fricción de un punto P a un punto Q más debajo de P, pero no en la m ism a recta vertical que P, llegará a Q en un tiem po corto viajando a lo largo de una cicloide que cualquier otra trayectoria (véase la figura 7).

Trayectoria cicloide.


(A) Sea Q un punto que está a b unidades del centro de una rueda de radio a, donde 0 < b < a. Si la rueda da vueltas a lo largo del eje x, con el punto de trazo O iniciando en (0 , a — b) explique por qué las ecuaciones param étricas para la trayectoria de Q están dadas por x = a 0 — b sen 0 y = a — b eos 0

;'s/ (B) U se un dispositivo de graficación para graficar las trayectorias de un punto en el borde de una rueda de radio 1, y un punto a la m itad entre el borde y el centro, la rueda hace dos revoluciones com pletas al rodar a lo largo del eje x.

R espuestas a los p ro b le m a s se leccio n ad o s 1. x1

+ y2 = 16; círculo

(B) x = —2 + 4 tan 0, y = —4 + 3 sec 0, —« < 0 < ^ , 0 i t ^ - - t - £tt. k es un entero

EJERCICIO

11-5

A ________

B

En los problem as d el 1 a l 10 d ibuje cada curva plana, m edian te una tabla de valores (véase el ejem plo I). O btenga una ecua ción en x y y elim inando el parám etro, e id entifique la curva. En este conjunto d e ejercicios, el intervalo para el parám etro es toda la recta real, a m enos que se establezca lo contrario.

En los problem as d e l 11 a l 18, obtenga una ecuación en x y y elim inando e l parám etro. Use la m ás sim p le de las dos form as para g ra fica r la curva. N om bre la c u /v a s i ésta es una curva identificada. 11. x = 3 sen 0, y = 4 eos 0

1 . x = —t , y = 2t — 2

2. x

= t, y = t + I

3. x = - t \ y = 2 t2 - 2

4. x

= t 2, y

= t 1+

5. x = 3 r,y = - 2 1

6. x

= 2t, y

=t

1. x = \ t 2, y = t

8. x

= 2t, y

=t 2

9. x = | í 4, y = P

10 . x = 2 t 2, y = P

12. x = 3 sen0, y = 3 eos 0 13. x = 2 + 2 sen 0, y = 3 + 2 eos 0 14. x = 3 + 4 sen 0, y = 2 + 2 eos 0

15. x = t — 2, y

2

- .t * 2

2- t

828

16.

11

Temas adicionales

en geometría

analítica

x= — 1,y = - ^:r^ 1

ecuaciones paramétricas para graficar la curva en un disposi tivo de gra/'tcatión.

t

17. x =

t

- 1, 3»= V?; t > 0

18. ,v = í \

33.

y = r2 + 1

2 5 a -2 -

34. 36x2 +

Si ,4 =£ 0, C = 0 y E + 0, encuentre las ecuaciones paramétricas para Ax 2 + Cy'~ + Dx + Ey + F = 0. Identi fique la curva. Si A = 0, C í 0 y D # 0, encuentre las ecuaciones paramétricas para Ax 2 + Cy2 + ü x + Ey + F = 0. Identi fique la curva.

35.

4a2 -

36.

16x2

2 0 0 .y

- 9y2 -

360a-

+ 4y2 - 8y

2 4 a -i- 4 9 y 2

+

32a- -

+

9v2 -

+

18y +

392y

616

760

+

3 6 )' -

624

164

= =

0

0

= =

0

0

APLICACIONES

37. Movimiento en un plano. Un objeto sigue una trayectoria dada por En los problemas del 21 al 26, obtenga una ecuación en x y y eli minando el parámetro. Use la más simple de las dos formas para dibujar la curva. Nombre la curva si ésta está identificada. 21. x = t 2,y = r~2; t # 0

22. a = e', y = e~‘

23. x = eos 20, v = 4 sen 0

24. x = 3 see2 0, y = 2 tan2 0

8 41 x = t.22 +, ~7> 4 >' = r- + 4:

x = 5 senó-nv y = 5 eos 6-rr/

t> 0

donde t es el tiempo en segundos y x y y son distancias en pies.

41 4t 2 26. a = , ,y = ~r t2 + 1 t- +

Grafique, usando una calculadora, un periodo (0 < 9 < 2n) de cada cicloide en los problemas 2 7 y 28. 27. x = 0 - sen 0, y = 1 - eos 0

(A) ¿Cuáles son las coordenadas del objeto cuando t = 0.1 segundos? Calcule su respuesta con una cifra de cimal. (B) Elimine el parámetro y grafique la ecuación resultan te c n x y > !. Identifique la trayectoria. 38. Movimiento en un plano. Repita el problema 37 para

28. a = 20 —2 sen 0, y = 2 —2 eos 0 x = En los problemas del 29 a! 32, m e un dispositivo de graficación para graficar las ecuaciones paramétricas. Después elimine el parámetro y encuentre la ecuación estándar para la curva. Nombre la curva y encuentre su centro. 29. a = 3 +

6

eos t, y

=

2 + 4 senr, 0 ^

ts

2-ir

ti 3tt ti 30. a = 1 + 3 sec t, y = —2 + 2 tan t . ---- < t < ■— t + — 2

2

2

. T7 3-rr ir 31. a- = —3 + 2 tan t, y = —I + 5 sec / , ---- < t < — , t + — 2

2

2

32. x = —4 + 5 eos t,y = I + 8 senr, 0 s t £ 2tt

^

En los problemas del 33 al 36, encuentre la forma estándar de cada ecuación. Nombre la curva v encuentre su centro. Use las


4 se n -n 7

y — 2 eos nt

t SO

39. Movimiento de proyectiles. Un proyectil se dispara con una velocidad inicial de 300 metros por segundo a un án gulo de 45° con respecto a la horizontal. Despreciando la resistencia del aire, encuentre: (A) El momento del impacto. (13) La distancia horizontal cubierta (rango) en metros y kilómetros en el momento del impacto. (C) La máxima altura en metros del proyectil. Calcule todas las repuestas con tres cifras decimales usando calculadora. 40. Movimiento de proyectiles. Repita el problema 39 si el mismo proyectil se dispara a 40° con respecto a la hori zontal en lugar de 45°.

Cuerdas focales

M uchas de las aplicaciones de las secciones cónicas están basadas en sus propiedades de reflexión o focales. U na de las más interesantes propiedades algebraicas de las secciones cónicas conciernen a sus cuerdas focales. Si u n a recta que pasa por el foco F contiene los dos puntos G y H de una sección cónica, entonces el segm ento de recta G H se llam a cuerda focal. Sean G-(xv y¡) y H (x 2 , y 2) los puntos de la gráfica x2 = 4ay tal que G H es una cuerda focal. Sea que u denote la longitud de G F y la longitud de F H (véase la figura 1).


FIGURA 1 Cuerda focal GH de la parábola a-2 = 4ay.

Y \ F

v,.

H ( 2 a, a)

c < ?

(A) U se la fórm ula de la distancia para m ostrar que u = y, + a. ( B) M uestre que G y H están sobre la recta y — a = mx, donde m — (y2 —y l)/(x 2 — x^). (C) D esp ejen de y - a = m x y sustituya en a-2 = 4 ay, para obtener una ecuación cuadrática en y. E xplique por q u é y ,y , = a2. (D) M uestre que — + — = — u v a (E) M uestre que u + v — 4a = —— u —a si y sólo si u = v = 2 a.

Expl i que por qué esto im plica que « + v s 4a, la igualdad se cum ple

(F) ¿Cuál es la cuerda focal más corta? ¿Hay una cuerda focal m ás larga? (G) ¿Es — + — una constante para las cuerdas focales de la elipse? ¿Para las cuerdas focales de la hipérbola? u

v

O btenga evidencias para sus respuestas considerando problem as específicos. (H) La sección cónica con foco en el origen, directriz en la recta x = D > 0 y excentricidad E > 0 tiene la ecuación polar r = --------- — --- . Explique por qué esta ecuación facilita m ostrar que — + — = — para 1 + E eos 0 u v a una parábola. U se la ecuación polar para determ inar la sum a — + — para una cuerda focal de una elipse o u v hipérbola.

Repaso del capítulo 11 1 1 -1

SECCIONES

Las curvas planas obtenidas por la intersección de un cono circular recto con un plano se llaman secciones cónicas. Si el plano se corta claramente por un sector, entonces la curva de intersección se llama círculo si el plano es perpendicular al eje y elipse si el plano no es perpendicular al eje. Si un plano corta sólo un sector pero no corta claramente al otro, entonces la curva de intersección se llama parábola. Si un plano corta am bos sectores, pero no pasa por el vértice, la curva de in tersección resultante se llama hipérbola. Un plano que pasa por el vértice de un cono produce una cónica dege nerada (un punto, una rccta o un par de rectas). La figu ra ilustra las cuatro cónicas no degeneradas.

Círculo

Elipse

P arábola

H ipérbola

830

11


La gráfica de Ax 2 + Bxy + Q r + Dx + Ey + F = 0 donde A, B y C no son todos 0, es una cónica. La siguiente es una definición libre de coordenadas de una parábola:

2. x 1 = Aay Vértice: (0, 0) Foco: (0, a) Directriz: y = —a Simetría con respecto al eje y Eje, el eje y

Parábola

y

¡II

y

ik

litílíM

‘*

Una parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano equidistante de un punto fijo F y a una recta fija L en el plano. El punto fijo se llama foco, y la recta fija se llama directriz. Una recta que pasa por el eje perpendi cular a la directriz se llama eje, y el punto que está sobre el eje a la mitad entre la directriz y el foco se llama vér tice.

r \

\ j í S

aoá

11-2

ELIPSE

La siguiente es una definición libre de coordenadas de una elipse:

Elipse De la definición de una parábola, se pueden obtener las si guientes ecuaciones estándar:

Ecuaciones estándar de una parábola con vértice en (0, 0) 1. y¡- = ¿\ax Vértice: (0,0) Foco: (a, 0) Directriz: x = - a Simetría con respecto al eje x Eje, el eje x

Una elipse es el conjunto de todos los puntos P en un plano tal que la suma de la distancia de P de dos puntos fijos en el plano es constante. Cada uno de los pun tos fijos F ' y F se llama foco y juntos se llaman focos. Refiriéndose a la figura, el segmento de recta V'V que pasa por los focos es el eje mayor. El bisector perpendi cular B 'B del eje mayor es el eje menor. Cada uno de los puntos del eje mayor, V y V, se llama vértice. El punto medio del segmento de recta F'F se llama centro de la elipse.

d-¡ + d2 - C onstante

B y

I

V '/

P

i - - - , ; ' . : 1; ;

* \

m

f '" " -

i 8

< Ó (¿bré^«i.V ía

||¡ i ¡ ¿ q u i e n # ) íSSlí«!!*. ’

';tr > 0 (abft íjacid !a

> • derecha)

De la definición de una elipse, se obtienen las siguiente? ecuaciones estándar:


11-3

Ecuaciones estándar de una elipse con centro en (0, 0) l . * + ¿ - i a2 b2

HIPERBOLA

La siguiente es una definición libre de coordenadas de una hi pérbola:

a> b> 0

Intersecciones con el eje x: ± a (vértices) Intersecciones con el eje y: ± b Focos: F '( - c , 0), F(c, 0)

Longitud del eje mayor = 2a Longitud del eje menor = 2b

-c

Hipérbola Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos P en un plano tal que el valor absoluto de la diferencia de las distancias de P a los dos puntos fijos en el plano es una constante positiva. Cada uno de los puntos fijos, F 'y F se llaman foco. Los puntos de intersección V y Vde la recta que pasa por los focos y las dos ramas de la hipér bola se llaman vértices y cada uno se llama vértice. El segmento de recta V V se llama eje transversal. El pun to medio del eje transversal es el centro de la hipérbola.

c2 = a 2 - b1

-a

831

c

112111 M ~ ^1 = Constante / /

a

PÍ m

\

m

-b

x2 v2 2. — + í ~ = 1

b2

a2

d,

a> b> 0

Intersecciones con el eje x: ± b Intersecciones con el eje y: ~ a (vértices) Focos: F'(0, - c ) , F(0, c) c2 = a2 - b2 Longitud del eje mayor = 2a Longitud del eje menor = 2b

\

a

\

De la definición de una hipérbola, se pueden obtener las si guientes ecuaciones estándar:

Ecuaciones estándar de una hipérbola con centro en (0, 0) 1 .¿ F ¿ = 1

a2

b2

Intersecciones con el eje x: ± a (vértices) Intersecciones con el eje y: ninguna Focos: F \ —c, 0), F(c, 0) c2 = a2 - b2 [Nota: Ambas gráficas son simétricas con respecto al eje x, al eje>- y al origen. También, el eje mayor es siem pre más grande que el eje menor.]

Longitud del eje transversal == 2« Longitud del eje conjugado = 2b

832

11


1. x = x' + h y = y' + k

2. x' = x —h y ' = y —k

donde (h, k) son las coordenadas con respecto al origen O'respecto al sistema original. Y

Y

Intersecciones con el eje x: ninguna Intersecciones con el eje .y: ± a (vértices) Focos: F'(0, - c ) f c O , c) F.n la tabla 1 se enlistan las ecuaciones estándar para cóni cas trasladadas. Longitud del eje transversal = 2a Longitud del eje conjugado = 2b 11-5

ECUACIONES PARAMETRJCAS

Una curva plana es el conjunto de puntos (x, y) dado por las ecuaciones param étricas. .r = / ( / )

y

.y = g(t)

donde el parám etro r varía en el intervalo /. La trayectoria de un proyectil con una velocidad inicial v0 a un ángulo a con respecto a la horizontal está dada por ¡íífPÜFli

[Nota: Ambas gráficas son simétricas con respecto al eje x, al eje v y al origen.]

x = (v0 eos a)t

y y — (v0 sen a)t — 4.9fi, Ó< ¡ s b

o después de eliminar al parámetro t, por

114

TRASLACIÓN DE EJES

En las últimas tres secciones se encuentran las ecuaciones estándar para parábolas, elipses e hipérbolas localizadas con sus ejes en los ejes coordenados y centradas con respecto al origen. Ahora se mueve la cónica fuera del origen mientras que sus ejes se mantienen paralelos a los ejes coordenados. En este proceso se obtienen a las nuevas ecuaciones estándar que son un caso especial de la ecuación Ax 2 4- Cy2 + Dx + Ey + F = 0. donde A y C no son ambas cero. La herramienta matemática básica usada es la traslación de ejes. Una traslación de ejes coordenados ocurre cuando los nuevos ejes coordenados tienen la misma dirección y son para lelos a los ejes coordenados originales. Las fórmulas de tras lación son las siguientes:

4.9 y = (tan a)x - —----- — x2 vj eos a donde t es el tiempo en segundos y x y y son las distancias en metros. El rango de un proyectil es la distancia del punto de disparo al punto de impacto. Si la velocidad inicial v0 se man tiene constante y el ángulo a varia, entonces la región alcanzable del proyectil está separada de la región no alcanzable por una parábola llamada envolvente de las posibles trayectorias parabólicas del proyectil. La trayectoria trazada por un punto en el borde de un círcu lo de radio a que rueda a lo largo de una línea recta se llama cicloide y está dada por x = afí — a sen 0 y y = a — a eos 0, —QC< 0 < X

833


TABLA 1

Ecuaciones estándar para cónicas trasladadas Parábolas (i - h )! = 4a(y - k)

(y - k)2 = 4a(x - h )

Vértice (h, k) Focos (h, k + a) a > 0 abre hacia arriba o < 0 abre hacia abajo

Vértice (h, k) Focos (h + a, k) a < O abre hacia la izquierda a > O abre hacia la derecha

—1 —o

Círculos (x - h)* + (y - kY = r2

Klipses

b

Cx - h f

(y - k)>

a‘

b1

a> b> O

(x - h)1

(y - kjñ

b2

a*

‘

C entro ( h, k) Eje m ayor 2a Eje m enor 2b

C entro (h, k)

a

( h ,k )

Hipérbolas (x - h)3

~

(y - k f

,

V ~ =1 C entro (h, k) Eje transversal 2 a Eje conjugado 2b

(y - k)2

(x - h)2

a'---------- ^ “

,

=1 C entro ( h, k) Eje transversal 2a Eje conjugado 2b

834

11


Ejercicio de repaso del capítulo 11 Al resolver los problemas ele este capitulo revise y compruebe sus respuestas con las que se dan al fin a l del libro. Ahí están todas las respuestas a los problemas de repaso seguidas por un número en tipo itálico que indica la sección a la que corres ponde el problema que se está analizando. Si se le presentan dudas repase las secciones correspondientes en el texto.

Obtenga una ecuación en .v y y eliminando el parámetro, e identifique la curva. í En los problemas del 11 al 13. grafique cada sistema de ecuaciones en el mismo sistema coordenado y encuentre las coordenadas de cualquiera de los puntos de intersección. 11. ¿ + 4 y2 = 32 x + 2y = 0 12. ldr2 + 2 5 / = 400

En los problemas del 1 al 3. grafique cada ecuación y encuen tre los focos. Ubique la directriz para cualquier parábola. En cuentre las longitudes de los ejes mayor, menor, transversal y conjugado donde sea aplicable.

16*2 - 45y = 0 13.

x2 + y 2 = 10 l d r + y 2 = 25

2 . ^ = — \2y

En los problemas del 14 al 16. transforme cada ecuación a tina de tas formas estándar de la tabla 1 del repaso. Identifique la curva y grafiquela.

3. 2 5 / - 9 x 2 = 225

14. 16a2 + 4y2 + 96* - 16y + 96 = 0

1. 9x2 + 25f = 225

En los problemas del 4 al 6 :

15. x2 - Ax - 8y - 20 = 0

(A)

16.

(B)

Escriba cada ecuación en una de las formas estándar enlistadas en la tabla I del repaso. Identifique la curva.

4. 4(y + 2)2 - 2 5 ( * - 4 ) 2 =

100

5. (x + 5)2 + 12(y + 4) = 0

4X2

- 9y2 + 24a - 36y - 36 = 0

17. Dadas las ecuaciones paramétricas de una curva plana, a = —2 + 2 sen 0 y y = 3 + 4 eos 0, obtenga una ecuación en .v y eny eliminando el parámetro. Use la más simple de las dos formas para graficar la curva. Identifique la curva.

Use un dispositivo de graficación para graficarx2 = y y .r = 50y en la misma ventana de visión - 10 s .v, y ^ 10. Encuentre m de tal modo que la gráfica de r = y en la B misma ventana de visión —m — x ,y — m. tenga la mism apariencia que la gráfica de .v2 = SOven — 10 < v,y £ 10 7. Encuentre la ecuación de la parábola que tiene su vértice Explique. en el origen, su eje en el eje .v y pasa por el punto (—4, - 2 ). 6. 16U - 6)2 + 9(y - 4)2 = 144

8. Encuentre una ecuación de una elipse de ia forma .v2— 1 ---- 1---M N

M .N>0

si el centro está en el origen, el eje mayor está en el eje y, la longitud dei eje menor en 6 y la distancia de los focos des de el centro es 4. 9. Encuentre una ecuación de una hipérbola de la forma M .N> 0 si el centro está en el origen, la longitud del eje conjugado es 8, y los focos están a 5 unidades del centro. 10. Grafique la curva dada paramétricamente por x■= = -r

y = -±r2 -b + 1

Use la definición de una parábola y la fórmula de la dis tancia para encontrar la ecuación de una parábola con di rectriz .v = 6 y foco en (2, 4). Encuentre una ecuación de los conjuntos de puntos en un plano cuya distancia desde (4,0) es el doble de la distancia de la recta x = 1. Identifique la figura geométrica. Encuentre una ecuación de los conjuntos de puntos en un plano cuya distancia desde (4, 0) es de dos tercios de la distancia de la recta x = 9. identifique la figura geométrica. En los problemas del 22 al 24. encuentre las coordenadas de cualquiera de los Jocos con respecto al sistema coordenado original. 22. Problema 14

23. Problema 15

24. Problema 16

25. Dadas las ecuaciones paramétricas de una curva plana x = 2' y = 2-

■


obtenga una ecuación en x y en y eliminando el parámetro. Use la más simple de las dos formas para graficar la curva. Identifique la curva.

835

largo. Suponga que el eje mayor está sobre el eje x (hacia la derecha positivo) y el eje menor está sobre el eje y (ha cia arriba positivo), escriba la ecuación de la elipse en la forma estándar.

26. Use un dispositivo de graficación para encontrar, con dos cifras decimales las coordenadas de todos los puntos de intersección de ,v; — 3i¿ + 9.v + 7v — 22 = 0 y 4.v: + 5.v

+ lOy - 53 = 0. 29. Ciencia espacial. Un reflecto r h ip erb ó lico para un radiotelescopio (como el que se ilustra en el problema 39. ejercicio 11-3) tiene la ecuación APLICACIONES

27. Comunicaciones. Una antena parabólica para transmisio nes vía satélite tiene un diámetro de 8 pies y 1 pie de pro fundidad. ¿A qué distancia del vértice está el foco?

Si el reflector tiene un diámetro de 30 pies, ¿qué profundi dad tendrá? Calcule la respuesta con tres dígitos significa tivos.

28. Ingeniería. Un equipo elíptico tiene sus focos separados por 8 centímetros y un eje mayor de 10 centímetros de

Ejercicio de repaso acumulativo de los capítulos 10 y 11 Trabaje en toctos los problemas de este repaso acumulativo y compruebe las respuestas con las indicadas al final del libro. Las respuestas a todos los problemas de repaso están ahí, y después de cada respuesta está un número en tipo itálico que indica la sección a la cual pertenece el problema que se está analizando. Si los ejercicios le dan mucho trabajo, repase las secciones adecuadas en el texto.

En los problemas del 7 al 9. grafique cada ecuación y encuen tre los focos. Encuentre la directriz para cualquier parábola. Encuentre las longitudes de los ejes mayor, menor, transversal y conjugado donde sea aplicable.

1.

25x - 3 6 / = 900

8. 25X2 + 3 6 / = 900 9. 25^ - 36y = 0

1. Determine si cada uno de los siguientes pueden ser los pri meros tres términos de una sucesión aritmética, una suce sión geométrica o ninguna. (A) 20, 15, 1 0 ,... (C ) 5, 25, 5 0 ,... (E) - 9 . - 6 . - 3 , . . .

(B) 5, 2 5 ,1 2 5 ,... 27. - 9 , 3 , . . .

(D )

En los problemas del 2 al 4: (A) Escriba los primeros cuatro términos de cada sucesión. (B) Encuentre ax. (C) Encuentre Sy

10. Una moneda se lanza tres veces. ¿Cuántos resultados com binados son posibles? Resuelva: (A) Usando un diagrama de árbol. (B) Usando el principiode multiplicación. 11. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar cuatro libros distintos en un estante? Resuelva: (A) Usando el principio de multiplicación. (B) Usando permutaciones o combinaciones, si alguna de éstas es aplicable. 12. Grafique la curva paramétrica dada por

2.

= 2 • 5"

3. a„ = 3n — 1

x = 2t + 3

4. a, = 100; a„ = a„_, —6, n ^ 2

y = 4/ + 5

5. Evalúe cada una de las expresiones siguientes:

(A) 8!

m w ha

6. Evalúe cada una de las expresiones siguientes:

(A) I 2 I

(B)

C7J

(C)

Obtenga una ecuación en x y y eliminando el parámetro e identifique la curva. Compruebe los problemas 13 y 14 para n — I, 2 y 3.

13. P \

l + 5 + 9 + • • • + (4« - 3) = n(2n - I)

14. P :

n2 + n + 2 es divisible entre 2

836

11


En los problemas 15 y 16 escriba Pky Pw .

27. Desarrolle (a + , b f usando la fórmula binomíal.

15. Para Pn en el problema 13. 16. Para Pn en el problema 14.

28. Encuentre el quinto y el octavo términos en el desarrollo de (3.v - y )10.

B _____________________________

Establezca cada enunciado en los problemas 29 y 30 para to dos los enteros positivos usando inducción matemática. P n en el problema 13.

17. Encuentre la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen, su eje en el eje y y (2, —8) en su gráfica.

Pit en el problema 14.

31. Encuentre la suma de todos los enteros impares entre 50 y 500.

18. Encuentre una ecuación de una elipse de la forma

—

M

+

—

N

=

1

32. Use la fórmula para la suma de una serie geométrica infi nita para escribir 2.45 = 2.454 545 • • • como el cociente de dos enteros.

M,N> 0

si el centro está en el origen, el eje mayor está en el eje.v. la longitud del eje mayor es 10 y la distancia de los focos al centro es 3.

~

M, N > 0

En los problemas del 34 al 36, use una traslación de coordena das para transformar cada ecuación en una ecuación estándar para una cónica no degenerada. Identifique la curva y grafiquela.

si el centro está en el origen, la longitud del eje transversal es 16. y la distancia de los focos desde el centro es V 89. 5

20. Escriba suma.

34. 4* + 4y —y2 + 8 = 0

kÁ sin la notación de sumatoria y encuentre la

35. jc2 + 2* —4y2 — 16y + 1 = 0

2 2 : 2 5 24 25 2 *’ 21. Escriba laserie — — — + “ — - + —— — usando 2! 3! 4! 5! 6! 7! notación desumatoria con el índice de sumatoria k ini ciando en k = 1. 22. Encuentre

(0.1 )30 * (0.9)* para k = 0, 1. . . . , 30. Use

un dispositivo de graficación para encontrar el término más grande de la sucesión {a.} y el número de términos que son más grandes que 0 .01.

19. Encuentre una ecuación de una hipérbola de la forma ----- — = 1 M N

33. Sea ak = |

para la serie geométrica 108 — 36 + 12 —4

23. ¿Cuántas palabras en código de cuatro letras son posibles usando las primeras seis letras del alfabeto si las letras no se pueden repetir? ¿Si las letras se pueden repetir? ¿Si las letras adyacentes no pueden ser iguales? 24. Sea an = 100(0.9)" y bñ = 10 + 0.03«. Encuentre el entero positivo n más pequeño tal que an< bngraficando las suce siones { a j y \bn\ con un dispositivo de graficación. Com pruebe sus respuestas usando un dispositivo de graficación para mostrar ambas sucesiones en forma de tabla.

36. 4jt - 16.x + 9y 2 + 54v + 6 1 = 0 37. ¿Cuántos códigos postales son posibles con nueve dígitos? ¿Cuántos de éstos no tienen dígitos repetidos? ~

38. Use un dispositivo de graficación para encontrar, con dos cifras decimales, las coordenadas de todos los puntos de intersección de 5.x2 + 2v~ — 7.v + 8y — 48 = 0 y e' — e - 2y = 0. 39. Use inducción matemática para probar que ios siguientes enunciados valen para todos los enteros positivos.

P :

"

1 -1----------1 1-------- +1 • • • + -----1 -3

3 -5

5 -7

1 (2n — l)(2n + 1)

2« + 1

25. Dadas las ecuaciones paramétricas de una curva plana .v = 2 + 7 eos O y = —3 + 5 sen 0 obtenga una ecuación en ,v y en y eliminando el parámetro. Use la más simple de las dos formas para graficar la curva. Identifique la curva. 26. Evalúe cada una de las siuuientes: (A) P 2,

(B) C(25. 5)

(C)

(S)

40. Use la fórmula binomial para desarrollar ( v — 2 i)" donde i es la unidad imaginaria. 41. Use la definición de una parábola y la fórmula de la dis tancia para encontrar la ecuación de una parábola con di rectriz y = 3 y foco (6. 1). 42. Una elipse tiene vértices (± 4 ,0 ) y focos (± 2 ,0 ). Encuen tre las intersecciones con el eje .v.


43. Una hipérbola tiene vértices en (2. ± 3 ) y focos (2, ± 5). Encuentre la longitud de los ejes conjugados. 44. Se seleccionan siete puntos distintos de la circunferencia de un círculo. ¿Cuántos triángulos se pueden formar usan do estos siete puntos como vértices? 45. Dadas las ecuaciones paramétricas de una curva plana

x = e* - 4 y = l - e' obtenga una ecuación en .v y en y eliminando el parámetro. Use la más simple de las dos formas para graficar la curv a. Identifique la curva, Use inducción matemática para probar que 2" < «! para todos los enteros ti > 3. Use inducción matemática para mostrar que {an} = {6 J . donde a t = 3. a n = 2un , — 1 para n > 1 y bn = 2" + 1, n s 1. 48. Encuentre una ecuación del conjunto de puntos en el pla no cuya distancia desde (I, 4) es tres veces su distancia desde el eje x. Escriba la ecuación en la forma .4.r: + C y1 + D x 4- E y + F = 0, e identifique la curva.


49. Economía. El gobierno, mediante un programa de subsi dio. distribuye 52 000 000. Si se supone que cada indivi

837

duo o agencia gasta el 75% de lo que recibe, y el 75% de esto se gasta, y así sucesivamente, ¿a cuánto asciende el total del gasto resultante de esta acción del gobierno?

50. Ingeniería. Una luz en el techo de un automóvil tiene un reflector parabólico con un diámetro de 8 pulgadas. Si la fuente de luz se localiza en el foco, el cual está a una pulgada de su vértice, ¿qué profundidad tiene el re flector?

51. A rquitectura. Un sonido en voz baja en un foco de una cámara de sonido puede ser fácilmente escuchado en el otro foco. Suponga que una sección transversal de esta cámara es un arco semieliptico que tiene 80 pies de ancho y 24 de altura (véase la figura). ¿A qué distancia está cada foco del centro del arco? ¿Qué altura tiene el arco arriba de cada foco?

A-l Álgebra y números reales A-2 Polinomios: Operaciones básicas A-3 Polinomios: Factorización A-4 Expresiones racionales: Operaciones básicas A-5 Exponentes enteros A-6 Exponentes racionales A-7 Radicales ^

Actividades en grupo del apéndice A: Representaciones numéricas racionales

* * i . -■ ' * > .

y **** >

f(x)=/3x + 41 +

Z

-

'

« •"* J Repaso del apéndice A •* '

A-2

Apéndice A

Operaciones algebraicas básicas

A m en u d o se hace re fe re n cia al álg e b ra com o u n a “ m a te m á tic a g e n e ra liz a d a ’*. En a ritm é tic a se tr a b a ja con las o p e rac io n e s básicas de su m a , re sta , m u ltip licació n y división re a liz a d a s con n ú m ero s específicos. En álg e b ra se c o n tin ú a u san d o todo lo q u e se conoce en la a ritm é tic a , p ero ad e m ás, se raz o n a y tr a b a ja con sím bolos q u e re p re s e n ta n u no o m ás nú m ero s. E n este a p én d ic e se re p a sa n alg u n as o p e ra ciones a lg e b ra ic as básicas q u e p o r lo g en eral ya se e stu d ia ro n en curso s a n te rio re s. El m a te ria l se p u e d e e s tu d ia r siste m á tic a m e n te an te s de in ic ia r con el resto del lib ro , o r e p a s a r co n fo rm e sea n ecesario.

SECCIÓN

A-1

Algebra y números reales Conjuntos El conjunto de núm eros reales La recta num érica real Propiedades básicas de ios núm eros reales O tras propiedades Propiedades de las fracciones Las reglas para m anipular y razonar con sím bolos en álgebra dependen, en gran m edi da. de las im portantes propiedades de los núm eros reales. En esta sección se analizarán algunas de ellas. De m anera sim ultánea al análisis y donde sea necesario ser más claros y precisos, se introducirán prim ero algunos conceptos útiles de conjuntos. G eorg C antor (1845-1918) desarrolló la teoría de conjuntos com o un gran resultado de sus estudios acerca del infinito. Su trabajo ha sido la piedra angular en el desarrollo de las m atem áticas. El uso de la palabra "conjunto” no difiere apreciablem ente de la m anera en que se usa en el lenguaje cotidiano. Palabras tales com o “conjunto”, “colección”, “grupo” y “congregación” tienen el m ism o significado. Así, se piensa en un c o n ju n to com o una colección de objetos con la im portante propiedad de poder determ inar si un objeto dado está o no en el conjunto. ' C ada objeto de un conjunto se llam a elem ento o m ie m b ro del conjunto. Sim bóli cam ente, significa

“a es un elem ento del conjunto A ”

significa “a no es un elem ento del conjunto A ”

3 ■= (1, 3, 5} 2 6 ( 1 ,3 ,5 ]

t

Con frecuencia se usan las letras m ayúsculas para representar conjuntos y las letras m inúsculas para representar elem entos de un conjunto. Un conjunto es finito si el núm ero de elem entos del conjunto se puede contar e infinito si el núm ero de elem entos no tiene fin. Un conjunto es vacío si no contiene elem entos. El conjunto vacío se llama tam bién conjunto nulo y se denota por 0 . Es im portante observar que el conjunto vacío no se escribe com o {0 }. Un conjunto se describe usualm ente en una de las dos form as siguientes: haciendo una lista de los elem entos entre llaves, { }, o encerrando entre llaves una regla que determ ina los elem entos. Por ejem plo, si D es el conjunto de todos los núm eros.v tales que x 2 = 4. entonces usando el m étodo de la lista se escribe D = { —2 , 2 }

Método de lista

A-1

Algebra y números reales

A-3

o, usando el método de regla se escribe D = {.v | .v2 = 4 ¡-

Método de regla

O bserve que en el m étodo de la regla, la barra vertical | representa “tal que” , y la for ma sim bólica com pleta {.v | . r = 4} se lee como: "El conjunto de todas las x tales que . r = 4.” La literal x introducida en el m étodo de la regla es una variable. En general, una variab le es un sím bolo que se usa com o un com partim ento para los elem entos de un conjunto con dos o m ás elem entos. Este conjunto se llama c o n ju n to de reem plazo s para las variables. Una constan te, por otra parte, es un sím bolo que nom bra exacta mente un objeto. El sím bolo “ 8" es una constante, ya que siem pre designa al núm ero ocho. Si cada elem ento del conjunto A es tam bién un elem ento del conjunto B. se dice que A es un s u b c o n ju n to del conjunto B y se escribe

H

l

{1, 5) c (i, 3, 5}

Note que la definición de un subconjunto perm ite a un conjunto ser un subconjunto de si mism o. Ya que el conjunto vacío 0 no tiene elem entos, cada elem ento de 0 es tam bién un elem ento de cualquier conjunto dado. Así, el conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto. Por ejem plo, 0 C (1, 3, 5}

y

0 C (2, 4, 6 }

Si dos conjuntos A y B tienen exactam ente los m ism os elem entos, se dice que los conjuntos son iguales y se escribe t

/?

(4, 2, 6 ) = (6 , 4, 2)

O bserve que el orden en que se enlistan los elem entos en un conjunto no es im portante. A hora se puede iniciar el análisis del sistem a de los núm eros reales. Otros concep tos de conjuntos se introducirán conform e se necesiten.

El sistem a de núm eros reales es el sistem a num érico que se usará con m ayor frecuencia en la vida. Inform alm ente, un n ú m ero real es cualquier núm ero que tenga una repre sentación decim al. La tabla 1 describe el conjunto de los núm eros reales y algunos de sus subconjuntos im portantes. La figura I ilustra cóm o estos conjuntos de núm eros se relacionan entre si.

Los números reales y subconjuntos importantes.

N úm eros naturales -

(N) Cero — Negativos d e los núm ero naturales

_ Enteros _

(Z) C ocientes no enteros — d e los enteros

N úm eros -ra c io n a le s -

(Q)

N úm eros • reales

N úm eros irracionales-

(«)

(/) NCZCQCP,

A-4

Apéndice A


TABLA 1

conjunto de números reales

Nombre

Descripción

Ejemplos

N

Números naturales

Número para contar (también llamados enteros positivos)

1, 2 , 3 , . . .

Z

Enteros

Números naturales, sus negativos, y 0

. . . . - 2, - 1, 0, 1, 2, . . .

Q

Números racionales

Números que se pueden representar como a/b donde a y b son enteros y b i= 0; las representaciones decimales son repetitivas 0 terminan.

- 4 , 0, 1. 25, 5.272727

1

Números irracionales

Números que se pueden representar como números decimales no repetitivos 0 no terminados.

\/2 . ir.^ 7 , 1.414213 2.71828182...

R

Númetos reales

Números racionales e irracionales

Símbolo

5, 3.67. -0.333.*

*La barra sobre el n ú m e r o (o bloque de números) indica que éste se repite indefinidamente.

Existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto de núm eros reales y el conjunto de puntos sobre la recta. Es decir, a cada núm ero real le corresponde exactam ente un punto, y a cada punto le corresponde exactam ente un núm ero real. Una recta que asocia un núm ero real con cada punto, y viceversa com o se m uestra en la figura 2, se llama recta n u m é ric a real, o sim plem ente recta real. C ada núm ero asociado con un punto se llama c o o r d e n a d a del punto. El punto con coordenada 0 se llama origen. La flecha en el lado derecho de la recta indica dirección positiva. Las coordenadas de todos los puntos a la derecha del origen se llaman n ú m e ro s reales positivos, y aquellos a la izquierda del origen se llam an nú m e ro s reales negativos. El núm ero real 0 no es ni positivo ni negativo. Recta numérica real.

—\ / 2 7

~1

n 9 en

_

7 54

H---- 1---- 1---- 1---- 1---- I---- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---- I—*• -10 -s o s 10 Ahora se analizarán algunas de las propiedades básicas de núm eros reales. (V éase el cuadro siguiente.) U na vez rev isado el cu ad ro ya se está fa m ilia riz a d o con las p r o p i e d a d e s c o n m u ta tiv a s para la sum a y la m ultiplicación. Éstas indican que el orden en el que se realice la sum a o m ultiplicación de dos núm eros no es im portante. Por ejem plo.

4 + 5 = 5 +4

y

4 •5 = 5 •4

¿H ay una propiedad conm utativa con respecto de la resta o la división? ¿Es decir, .v — y = y - x o x + y = y + x para todos los núm eros reales x y y (la división entre 0 se excluye)? La respuesta es no, ya que, por ejem plo

7 - 5* 5 - 7

y

6 -r 3 t4 3 -r 6

A-1

Álgebra y números reales

A-5

Propiedades básicas del conjunto de números reales Sea R el conjunto de núm eros reales, y sea x , y y z elem entos arbitrarios de R.

Propiedades de la suma Cerradura:

x + y es un elem ento único en R.

Asociativa:

(x + .y) + r = a- + (y + z)

Conmutativa:

x + y = y + x

Identidad:

0 es la identidad aditiva; es decir, 0 + j : = .r + 0 = .r para toda x en R, y 0 es el único elem ento en R que tiene esta propiedad.

Inversa:

Para cada a- en R, —x es el único inverso aditivo; es decir, a- + ( - . r ) = (-jc ) + x = 0, y —x es el único elem ento en R respecto a x, con esta propiedad.

Propiedades de la multiplicación Cerradura:

Ay es un elem ento único en R.

Asociativa:

(xy)z

x (yz)

2. II

Conmutativa:

=

Identidad:

1 es la identidad m ultiplicativa; es decir, para x en R (1 )x = a (I ) = .r, y 1 es el único elem ento en R que tiene esta propiedad.

Inversa:

Para cada x en R, x & 0, l/x es el único inverso m ultiplicativo; es decir, a-(1/at) = ( 1!x)x = 1, y 1/jte s el único elem ento en R respecto a .t, que tiene esta propiedad.

Propiedad combinada Distributiva:

,v(y + z) = x y + x z

(a- + y)z = x z + y z

C uando calcule 2 + 5 + 3

o

2-5-3

¿Por qué no es necesario el paréntesis para indicar cuáles de los dos núm eros se sum an o m ultiplican prim ero? La respuesta se encuentra en las p ro p ie d a d e s asociativas. Es tas propiedades perm iten escribir (2 + 5) + 3 = 2 + (5 + 3)

y

(2 • 5) • 3 = 2 • (5 • 3)

sin que im porte cóm o se agruparon los núm eros relacionados con cada operación. ¿Hay una propiedad asociativa para la resta o la división? La respuesta es no, ya que, por ejem plo.

A-6

Apéndice A


(8 — 4) - 2 * 8 - (4 - 2)

y

(8 + 4)

2 * 8 + (4 + 2)

E valuando am bos lados de estas ecuaciones se ve por qué.

Conclusión Respecto de la suma, la conm utatividad y la asociatividad permite cambiar el orden de la suma e insertar o eliminar paréntesis como se quiera. Lo mismo es cierto para la multiplicación, pero no para la resta y división.

¿Q ué núm ero se debe sum ar a un núm ero dado para obtener el m ism o núm ero? ¿C uántas veces el núm ero de un núm ero dado dará el m ism o núm ero? Las respuestas son 0 y 1, respectivam ente. Ya que 0 y 1 se llaman elementos identidad para los núm e ros reales. Así, para cualesquiera núm eros reales x y y ,

7+0=7

0 + (x

1•6 = 6

1(jc + y) = x + y

+ y) = x + y

O e s l a id e n tid a d aditiva.

1 es la id e n tid a d m ultiplicativa.

A hora se considerará a las inversas. Para cada núm ero real x, hay un núm ero real único -.v tal que x + ( - x ) = 0. El núm ero —x se llama inverso aditivo de x , o el negativo de x. Por ejem plo, el inverso aditivo de 4 es —4, ya que 4 + ( —4) = 0. El inverso aditivo de - 4 es —( —4) = 4, ya que —4 + [ —( —4)] = 0. Es im portante recordar: - a no es n e c e s a ria m e n te un n ú m e r o negativo; éste es positix <>si i es nega tivo y negativo si x es positivo. Para cada núm ero real ,v diferente de cero hay un núm ero real único 1/.v tal que,v( 1 x ) = 1. El núm ero l / x se llam a inverso multiplicativo de x , o el recíproco de .v. Por ejem plo, el inverso m ultiplicativo de 7 es ya que 7( \) = 1. Tam bién observe que 7 es el inverso m ultiplicativo de i. El núm ero 0 no tiene inverso m ultiplicativo. A hora se verán las propiedades de los núm eros reales que im plican tanto a la m ultiplicación com o a la suma. Se consideran los dos cálculos.

3(4 + 2) = 3(6) = 18 3(4) + 3(2) = 12 + 6 = 18 Así.

3(4 + 2) = 3(4) + 3(2) se dice que la m ultiplicación por 3 distribuye sobre la sum a (4 + 2). En general, la m ultiplicación distribuye sobre la sum a en el sistem a de núm eros reales. A continua ción se incluyen dos ejem plos:

2(x + y) = 2* + 2y

(3 + 5)x = 3x + 5x

A-1

EJEMPLO 1

Álgebra

y números

reales

A-7

Uso de las propiedades de los números reales ¿Cuáles propiedades de los núm eros reales justifican el enunciado indicado?

Enunciado

Propiedad ilustrada

(A ) ( l x ) y = l{ x y )

A sociativa (•)

(B) a(b + c ) = (b + c)a

Conm utativa (•)

(C) ( 2 t + 3y ) + 5y = I x + (3y + 5y )

Asociativa ( + )

(D ) (.v + y )(a + b ) = (.v + y )a + (a- + y )b

Distributiva

(E) Si <7 + b — 0, entonces b = —a.

Inversa ( + )

¿Cuál propiedad de los núm eros reales ju stifica el enunciado indicado? (A) 4 + (2 + x) = (4 + 2) + X (B) (a + b) + c (C) 3x + I x = (3 + Tíx (D) (2x + 3y) + (E) Si ab = 1 y a # 0, entonces b = i /a.

propiedades

DEFINICIÓN 1

= c + (a + b) 0 = 2x + 3y

La resta y la división se pueden definir en térm inos de la sum a y m ultiplicación respec tivamente:

Resta y división Para todos los núm eros reales a y b\

Resta:

a - b = a + (-b )

División: b u i = a + b = ~ = al — | b

b * 0

\ b j

Así. para restar b de a . sume el negativo de b a a. Para dividir a entre b. m ultiplique a por el recíproco de b. O bserve que la división entre 0 no está definida, ya que 0 no tiene un reciproco. Es im portante recordar:

Las siguientes propiedades de los negativos se pueden probar usando las anterio res propiedades y definiciones.

A-8

Apéndice A


Teorema 1

Propiedades de ios negativos Para todos los núm eros reales a y b:

1.

~ ( —a) = a

2.

( -á )b = —(ab) = a(—b) = -a b

3.

( —a)(—b) = ab

4. ( —\)a = - a 5. — 6

= - — =— b -b

-b

b

H O

-b

b

A hora se establece un teorem a im portante que im plica al 0.

Teorema 2

Propiedades del cero Para todos los núm eros reales a y b. 1.

a •0 = 0

2.

ab = 0

si y sólo si

a = 0 o b = 0 o ambos

Uso de las propiedades de los negativos y del cero ¿Cuál propiedad o definición de los núm eros reales ju stifica cada enunciado?

Enunciado (A )

Propiedad o definición ilustrada

3 - ( - 2 ) = 3 + [ —( —2)] = 5

(B) - ( - 2 ) = 2 —3

N egativos (teorem a 1, parte 1) 3

(C) — -------= —

2 (D)

N egativos (teorem a I, parte 6)

2

- = ——

-2

Resta (definición 1 y teorem a 1, parte 1)

N egativos (teorem a 1, parte 5)

2

(E) Si (x — 3)(.v + 5) = 0. entonces, ya sea x — 3 = 0 o .¥ + 5 = 0.

Cero (teorem a 2, parte 2)

A-1


A-9

¿Cuál propiedad o definición de los núm eros reales ju stifica cada enunciado?

(A )|-= 3 ^ y j

(B) ( - 5 X 2 ) = - ( 5 • 2)

(C) ( - 1 ) 3 = - 3

(D) — — = —— E ) Si .v + 5 = 0, entonces (x - 3)(.v + 5) = 0. 9 9

-------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------EXPLORACION Y ANALISIS 1

En general, un conjunto de números se cierra bajo una operación si al realizar las operaciones sobre los números en el conjunto siempre se produce otro número en el conjunto. Por ejemplo, los números reales se cierran bajo la suma, multiplicación, resta y división, excluyendo la división entre 0. Reemplace cada ? en las siguientes tablas con V (verdadero) o F (falso), e ilustre cada enunciado falso con un ejemplo. (Véase la tabla 1 para las definiciones de los conjuntos N, Z, I , Q y R.)

Cerrado bajo la suma

Cerrado bajo la multiplicación

N

?

?

Z

?

7

?

?

7

7

T

T

Cerrado bajo ia resta

Cerrado bajo la división*

N

?

?

Z

?

?

Q i

7

?

7

?

R

T

T

Q i R

•Excepto la división entre 0.

Recuerde que el cociente a + b, b 0, escrito en la forma a/b se llama fracción. A la cantidad a se le llama numerador y a la cantidad b denominador.

A-10

Apéndice A


Teorema 3

Propiedades de las fracciones Para todos los núm eros reales, a, b , c, d y k (la división entre 0 se excluye):

a b

c d

. . . .

— = —

4 6 —= — 6 9

ya que

ka _ a kb b 7-3 7-5

4 •9 = 6- 6

3.

3 5

a i c _ a +c b b b 3 ! 5

6

ad = be

si y solo si

6

6.

a b

c _ ac d bd

3 5

7

8

a b

4.

3-7 5-8

c _ a —c b b

a . c _ a b d b 2 A 5 _ 2 3 7 3

d c 7 5

a ( c _ ab + be b d bd

7.

3+5

7

3

7 -3

2

3 _ 2 •5 + 3 • 3

6

8

8

8

3

5

3- 5


1. (A) (E) 2. (A) (C) (E)

EJERCIO

Asociativa( +) (B) Conmutativa(+) (C) Distributiva (D) Identidad(+) Inversa (•) División (definición I) (B) Negativos (teorema 1, parte 2) Negativos (teorema I, parte4) (D) Negativos (teorema 1, parte 5) Cero (teorema 2. parte I)

oA-1

Todas las variables representan números reales.

12. Propiedad asociativa ( + ): 3 + (7 + y) = ? 13. Propiedad identidad ( + ): 0 + 9m = ? 14. Propiedad identidad (•): 1( m + v) = ?

En los problemas de! I al
2. 6 6 (2,4,6)

3. 3 g (3,4,5)

4. 7 £ (2,4,6}

5. (1,2) C {1,3,5}

6. (2,6) C (2,4,6}

7. {7,3,5} C (3,5,7)

8. (7,3,5) = (3,5,7)

En los problemas del 9 al / 4. reemplace el signo de integra ción con una expresión apropiada que ilustre el uso de la pro piedad de los números reales indicada.

En los problemas de! 15 al 26. cada enunciado ilustra el uso de una de las siguientes propiedades o definiciones. Indique cuál de éstas. Conmutativa (+. •) Asociativa (+, •) Distributiva Identidad (+. •) Inversa (+, •)

Resta División Negativos (teorema l) Cero (teorema 2)

15. x + ym = x + my

16. 7(3m) = (7 • 3)m

17. lu + 9u = (7 + 9)u

18.

10. Propiedad conmutativa (•): uv = ?

19. ( - 2 ) ( J j ) = 1

20. 8 - 12 = 8 + (- 1 2 )

11. Propiedad asociativa (•): .v( vz) = ?

21. w + (—w) = 0

22. 5 + ( - 6 ) = 5 (rg )

9. Propiedad conmutativa ('+): .v + 7 = ?

u

—v

u

v

A-1

-y

y

A-11

Dé un ejemplo de un número racional que no sea un ente ro.

23. 3(jry + z) + 0 = 3(xy + z) 24. ab(c + d) = abe + abd -x _ a 25.


26.

Dé un ejemplo de un número real que no sea un número racional.

(a + y ) • O = 0

B Escriba cada conjunto en los problemas del 27 al 32, usando el método de listado, esto es. la lista de los elementos entre las llaves. Si el conjunto es vacio, escriba 0 .

48. Dados los conjuntos de números N. Z . Q y R (véase el pro blema 47), indique a cuái(es) conjunto(s) pertenece cada uno de los siguientes números: (A) 8 (B ) V 2 (C) -1.414 (D) =£

27. {.y | ,v es un entero impar entre —3 y 5} 28. {x | x es un entero par entre —4 y 6 } 29. j.v | x es una letra en "status” } 30.

{.y

| x es una letra en “consensus"}

3 1.

{.y

| a- es un mes que empieza con B ¡

32.

{.y

| x es un mes con 32 dias ¡

47. Dados los conjuntos de números N (números naturales), Z (enteros), O (números racionales) y R (números reales), indique a cuál(es) conjunto(s) pertenece cada uno de los siguientes números: (A) - 3 (B ) 3.14 (C) ir (D) §

En los problemas del 33 al 40, cada enunciado ilustra el uso de una de las siguientes propiedades o definiciones, indique cuál es en cada caso.

En los problemas 49 y 5U use una calculadora para expresar cada número como una fracción decimal a la capacidad de su calculadora (use el manual del usuario para su calculadora). Observe la representación decimal repetitiva de los números racionales r la representación decimal no repetitiva de los números irracionales.

49. (A) § 50. (A) £

Conmutativa (+, •)

Resta

Asociativa (+, •)

División

Distributiva

Negativos (teorema I)

Identidad (+, •)

C eiv (teorema 2)

(B ) ¿

(C) V 5

(B ) V 2 Í

£

(D) V < D >

$

Indique verdadero (V) o falso (F), y para cada enunciado falso, encuentre todos los reemplazos de los números rea les para a y b que proporcionen un contraejemplo. Para todos los números reales a y b: (A) a + b = b + a (C) ab = ba

Inversa (+, •)

(B) a - b = b —a (D) a + b = b + a

3 3 . ( 3 a + 5 ) + 7 = 7 + ( 3 a 4- 5 ) 34.

(5x)(ly)

Indique verdadero (V) o falso (F), y para cada enunciado falso encuentre todos los números reales que reemplacen a a. b y c y proporcionen un contraejemplo. Para todos los números reales a, b y c: (A) (a + b) + c = a + (b + c) (B ) (a - b) - c = a - (b - c) (C) a(bc) = (ab)c (D) (a -r- b) c = a -f- (b t c )

= 5 M 7 y )]

3 5 . ( 3 a + 2 ) + (a + 5 ) = 3 a + [ 2 + ( a + 5 ) ] 3 6 . (a + 3 ) ( a + 5 ) = (a + 3 ) a + ( a + 3 ) 5 37.

x(x -

y) +

3 8 . -------— ——

—(m - n)

3 9 . (2 y

-

3 ) (a

y(x

-

y ) = (a +

y)(x - y)

= — ——

m —n

+

5)

= tí si y sólo si 2 y -

3

= 0ox +

40. Si a ( 3 a — 7) = 0. entonces, ya sea a = 0 o

3a —

5

= 0.

7 = 0.

Si ab = 0. ¿a o b deben de ser 0? Si ab = 0 ¿a o b deben de ser I ? Indique cuáles de los siguientes enunciados son verdade ros:

(A) Todos los números naturales son enteros. (B) Todos los números reales son irracionales. (C) Todos los números racionales son números reales. Indique cuáles de los siguientes enunciados son verdade ros: (A) Todos los enteros son números naturales. (B) Todos los números racionales son números reales. (C) Todos los números naturales son números racionales.

53. Si A = ¡ 1.2 , 3 , 4 } y B = (2.4. 6 } encuentre: (A) (B)

( .y |.y

| a S .4 o x E B\ |.v E A y x G t í )

54. Si F = ( - 2 . 0 .2 } y ( 7 = { - 1 , 0 , 1. 2}. encuentre: (A) {.y | a £ F o x G G) (B) { A | . v G F y . v e G\ 55. Si c- = 0.151515.... entonces 100c = 15.15 15.. .0 y 1 0 0 c - c = 1 5 .1 5 1 5 ...- 0 .1 5 1 5 1 5 ... 99c = 15 rc = 15 = -599 33

A -1 2

Apéndice A Operaciones algebraicas básicas

58. Para a y b números reales, justifique cada paso usando una propiedad de esta sección.

Procediendo de manera similar, convierta la repetición de cimal 0.090909. . . en una fracción. (Todos los decimales repetitivos son números racionales, y todos los números racionales tienen representaciones decimales repetitivas.) 56. Repita el problema 55 para 0.181818... Para ver cómo la propiedad distributiva está detrás del mecanismo de la multiplicación larga, calcule cada una de las siguientes multiplicaciones y compare: Multiplicación larga 23 x 12

Enunciado

Razón

1. (a -I- b) + (—a) = (—a) + (a + b) 2. = [(-a ) + a) + b 3. = 0+b 4. = b

1. 2. 3. 4.

Uso de la propiedad distributiva 23- 12 = 23(2 + 10) = 2 3 - 2 + 23- 10

A-2

• 7 \r

ioi

N úm eros naturales com o exponentes Polinom ios C om binación de térm inos sem ejantes Sum a y resta M ultiplicación O peraciones com binadas A plicación

En esta sección se repasan las operaciones básicas con polinom ios, una form a m atem á tica que se encuentra frecuentem ente en m atem áticas. El análisis se inicia con un breve repaso de los núm eros naturales com o exponentes. Los exponentes enteros y racionales y sus propiedades se analizarán en detalle en las secciones siguientes.

En seguida se define lo que es un número natural como exponente.

DEFINICIÓN 1

Número natural como exponente Para n un núm ero natural y a para cualquier núm ero real:

a" = a - a ..........a

'------- v------- '

n fa c to re s d e o

2*

2 -2 - 2 -2 4 fa c to re s d e 2

A-2

Polinomios: Operaciones básicas

A-13

Tam bién, la primera propiedad de los exponentes se enuncia de la m anera siguiente:

Teorema 1

Primera propiedad de los exponentes Para cualesquiera núm eros naturales m y «, y cualquier núm ero real a: i----------------- ’ (3xi)(2 x '), (3 • 2)#> 1

aman = am +"

Polinomios

6x’-

Las expresiones algebraicas se forman usando constantes y variables y las operacio nes algebraicas de sum a, resta, m ultiplicación, división, elevación a potencias y locali zación de raíces. A lgunos ejem plos son

5 /

x + y -

x2

2 r

— 7

(2x - y f

1

+ 2 x -

+

,+

1

5

1

1+ x

Una expresión algebraica im plica sólo las operaciones de suma, resta, m ultiplica ción y elevación de núm eros naturales a potencias en las variables y constantes se llama polinom io. A lgunos ejem plos son

2x

-

3

4X2 -

3x +

7

x -2 y

5x* - I x 2 - 7x + 9

5

x2 - 3xy + 4 /

0

x 3 — 3x2}’ + xy 2 + l y 1

En un polinom io, una variable no puede estar en un denom inador, com o un exponente, o dentro de un radical. De acuerdo con esto, un polinomio de una variable .v se cons truye al sum ar o restar constantes y térm inos de la form a a x donde a es un núm ero real y n es un núm ero natural. Un polinom io con dos variables x y y se construye sum ando y restando constantes y térm inos de la form a a.v'V , donde a es un núm ero real y m y n son núm eros naturales. Los polinom ios en tres o m ás variables se definen de manera similar. Los polinom ios se pueden clasificar de acuerdo con su grado. Si un térm ino en un polinom io tiene sólo una variable com o factor, entonces el grado de ese término es la potencia de la variable. Si dos o m ás variables están presentes en un térm ino com o factores, entonces el grado del término es la sum a de las potencias de las variables. El grado de un polinomio es el grado del térm ino diferente de cero con el grado más alto en el polinom io. C ualquier constante diferente de cero se define com o un polinomio de grado cero. El núm ero 0 es tam bién un polinom io pero no tiene grado asignado.

A - 14

Apéndice A


Polinomios y no polinomios (A) Polinom ios en una variable: x2 - 3 x + 2

óx 3 - V 2x - |

(B) Polinom ios en varias variables:

3at - 2xy + y 2

4*Y - V lry V

(C) N o polinom ios

3 , V lx - - + 5 x

x 1 — 3x + 2

/—*— ------W - 3* + 1

------------— x —3

(D) El grado del prim er térm ino en 6.r3 - V l v - i es 3. el grado del segundo térm ino es 1, el grado del tercer térm ino es 0, y el grado del polinom io com pleto es 3. (E) El grado del prim er térm ino en 4.v3y 2 - V 3xy 2 es 5. el grado del segundo térm ino es 3, y el grado de todo el polinom io es 5.

(A) ¿Cuáles de las siguientes expresiones son polinom ios?

3X2 -

2x

+ 1

Vx - 3

x2 -

2 xy

+ y2

\ ~

(B) Dado el polinom io 3.v5 — 6.v3 + 5, ¿cuál es el grado del prim er térm ino? ¿El del segundo térm ino? ¿El del polinom io com pleto? (C) Dado el polinom io 6.vV — 3*y3, ¿cuál es el grado del prim er térm ino? ¿El del segundo térm ino? ¿El del polinom io com pleto?

A dem ás de clasificar los polinom ios por grados, tam bién se le llama monomio a un polinom io de un solo térm ino, a un polinom io de dos térm inos binomio, y a un polinom io de tres térm inos trinomio. fjc2}'3

M o n o m io

jt5 + 4.7 x* — y / l x 2 + 9

Trinom io

Se inicia con una palabra acerca de los coeficientes. Una constante en un térm ino de un polinom io, incluyendo el signo que precede a éste, se llam a coeficiente numérico, o sim plem ente, coeficiente, del térm ino. Si no se tiene una constante, o sólo tiene un

A-2


signo + , se entiende que el coeficiente es 1. Si sólo tiene un signo —, se entiende que ei coeficiente es —1. Por consiguiente, dado el polinom io 2x* - 4 c 3 + x 2 - x + 5

—

el coeficiente del prim er térm ino es 2, el coeficiente delsegundo térm ino es - 4 . el coeficiente del tercer térm ino es 1, el coeficiente del cuarto térm ino es — 1, y el coefi ciente del últim o térm ino es 5. En este punto, es útil establecer otras dos propiedades distributivas, de los nú m eros reales que se deducen de las propiedades distributivas establecidas en la sección A- l .

Otras propiedades distributivas 1.

a(b — c) = (b — c)a = ab — ac

2.

a{b + c + * • • + f) — ab + ac + • • • + a f

Dos térm inos en un polinom io se llaman té rm in o s sem e ja nte s si tienen exac tam ente los m ism os factores variables a las m ism as potencias. Los coeficientes num é ricos pueden o no pueden ser los m ism os. Debido a que los térm inos constantes no im plican variables, todos los térm inos constantes son térm inos sem ejantes. Si un polinom io contiene dos o más térm inos sem ejantes, estos térm inos se pueden com bi nar en un solo térm ino usando las propiedades distributivas. C onsidere el siguiente ejem plo:

5xiy - 2xy - x iy — 2jc3>’

= 5a^_v — x 3}' — 2x iy — 2xy = (5

-

= (5 -

1 - 2)

-2

)- 2 x y

- 2xv

------------------------------------ ----------- i = 2x > - 2xy Es clara la libertad con que se han usado las propiedades de los núm eros reales, antes analizadas. Los pasos m arcados en el cuadro punteado se hacen por lo general m entalm ente y el proceso se m ecaniza en forma rápida de la manera siguiente: L

EJEMPLO

'i*in

Simplificación de polinomios Elim ine los paréntesis y com bine térm inos sem ejantes: (A) 2(3.r2 - I x + 5) + (x 2 + 3* - 7)

j = 2(3.r - 2x + 5) + l(.r + 3* - 7) Pierse L._________________________ ______ ______ J = 6jt - 4x + 10 + jr + 3 x - 7 = Ix 2 - x + 3

Apéndice A


(B) (x 3 - I x - 6 ) - (2X3 - x 2 + I x - 3) i---------- ------------------------------------------------------------ 1 ; = U x3 — 2x — 6) + ( —1JClx3 — x 2 + 2x — 3) ¡ a <-¡. Piense

i

i

! c ° n el si9 n0-

i______________________________________________ i = x 3 - 2x — 6 - 2 x ’ + x 2 - 2 x + 3 = - x 3 + x 2 - 4.t - 3 (C)

[ 3a 2

— (2x

+

1)] — (x2 — 1)

=

[ 3a 2

— 2x — 1] — (x2

= 3x2 - 2x -

—

1)

1 - x2 + 1

E lim in e

p arén tesis in te rn o s

= I x 2 - 2x


Elimine los paréntesis y combine los términos semejantes:

(A) 3(m2 - 2V2) + (m2 + 5V2) (B) (m3 - 3m2 + m - 1) - (2m 3 — m + 3) (C ) ( x 3 — 2 ) — [ 2 r 3 - (3x + 4)]

• Suma y resta

EJEMPLO 3

La sum a y resta de polinom ios se puede pensar en térm inos de elim inación de parénte sis y com binación de térm inos sem ejantes, com o se ilustra en el ejem plo 2. Los arre glos horizontal y vertical se ilustran en los siguientes dos ejem plos. Usted podrá trabajar de cualquier manera, perm itiendo que la situación determ ine la elección.

Suma de polinomios Sume: x4 - 3x3 + x2,

S o lu d ó r

—x 3 - 2x2 + 3x

y

3X2 - 4x - 5

Sume horizontalm ente: (X1 - 3X3+ x 2) + ( —x 3

- I x 2 + 3x) + (3X2- 4x - 5)

= x1

- 3X3

+ x2 - x 3— Tx2 + 3x + 3X2- 4x - 5

= X*

- 4x 3

+ 2x2 — x — 5

O verticalm ente, alineando los térm inos sem ejantes y sum ando sus coeficientes: x4 - 3-r3 + -

x2

x 3 — 2x 2 + 3x

___________ 3x2 - 4x - 5 X’ - 4 x '

+ 2x2 -

x - 5

A-2


Sume horizontal y verticalmente: 3x* — I x 3 - Ax2,

EJEMPLO 4

4.v2 — 3.v + 5

= x 2 — 8 - 4 j t + 3x — 5

—Ax2 + 3x — 5

= —i x 2 + 3x - 13

- 3 *2 + 3x -

Iv 2 - 5.v + 4

Reste:

M u ltip lica ció n

EJEMPLO 5

13

5.T2 — 6

de

11 - (2 x + 5)

y no

4.v — 11 — 2 t + 5

La multiplicación de expresiones algebraicas implica el uso extensivo de las propieda des distributivas de los números reales, tan bien como otras propiedades de los núme ros reales.

Multiplicación de polinomios ^ ___ Jy> ( 2 x y 3 ) ( 3 x : - 2 x + 3)

Multiplique: Solución

<- Cambie de skjn<

Cuando use un arreglo horizontal para restar un polinomio con más de un tér mino, debe encerrar al polinomio entre paréntesis. En consecuencia, para restar 2x 4- 5 de 4.v — 11, se debe escribir Ax -

•

OO

(x 2 - 8 ) - (Ax2 - 3x + 5)

1

P R E C A U C IO N

x2 + I x - 2

y

x2 - 8

de O


x* - I x 2 - 5x,

Resta de polinomios Reste:

Solución


(2* - 3X3*2 - 2x + 3)

! = 2x(3;r - 2x + 3) - 3(3x> - 2x + 3) !

L

________ ______________________ _____ _

= 6x* - Ax 2 + 6x = 6x 3 -

13.r + 12x - 9

0 , usando un arreglo vertical, 3X2 - 2x + 3 2x - 3 6x 5 -

Ax2 + 6x 9X2 +

9X2

6x

-

9

6-r1 — 13JC2 -h 12jc — 9

+ 6x -

__

9

__ J

A -1 8

Apéndice A


Multiplique:

(2v — 3 )(2 r + 3x — 2)

Así, para m ultiplicar los dos polinom ios, m ultiplique cada térm ino de uno por cada térm ino de los otros, y com bine los térm inos sem ejantes. Los productos de ciertos factores binom iales ocurren con tanta frecuencia que es útil desarrollar procedim ientos que perm itan escribir sus productos por inspección. Para encontrar el producto (2.v — 1) (3.v + 2) se usa el popular m étodo PE IU . Se m ul tiplica cada térm ino de un factor por cada térm ino de los otros factores de la m anera siguiente: p E P ro d u c to Prim er p ro d u c to e x te rn o i

(2.v - 1 )(3.v + 2) = óx 6X2 2

1

P ro d u c to in te rn o

U Ú ltim o p ro d u c to

i

i

i

+ 4.v

- 3.v

- 2

Los productos internos y externos son térm inos sem ejantes y. por lo tanto, se com binan en un solo térm ino. De manera que, (2x -

l)(3x + 2) = 6x* + * - 2

Para acelerar el proceso, se com binan los productos internos y externos m entalm ente. Los productos de ciertos factores binom iales ocurren con tanta frecuencia que es útil recordar sus fórm ulas. Las siguientes fórm ulas se verifican fácilm ente al m ultipli car los factores del lado izquierdo usando el m étodo PEIU:

Productos especiales


1.

(a —b)(a + b) = a 2 — br

2.

(a + b)2 = a2 + lab + b 2

3.

( a — b)2 = a2 — lab + b2

(A ) Explique la relación entre la fórm ula del producto especial 1 y las áreas de los rectángulos en las figuras. (a — b ) ( a

+ b)

a2 - b

2

a+b

a- b

(B) C onstruya figuras sim ilares para proporcionar interpretaciones geom étricas para los productos especiales 2 y 3.

A-2

A-19


Multiplicación de binomios M ultiplique:

(A) (2x - 3y)(5.r

+

2y )

(B) (3a - 2b)(3a + 2b)

j^ =

10a2 +

4xy<

-

1 5jt\

- 6 v2 ¡

=

1 Ojt-

— I ljcy

—

6_v2

\ = (3a )2 -

(2¿>)2! = 9a 2 - 4b 2 i________________ i

(C) (5a - 3 )2 r = (5a )2 - 2(5a)(3) + 321 = 25.x2 - 30a + 9 i_________________________i \2 = — (D) (m + 2n)2 m 2 + 4mu + 4«2

M ultiplique: (A) (4u - 3v)(2 u + v) (C) (m + 4/i)(m - 4 n)

PRECAUCION

(B) (2xy + 3)(2xy - 3) (D) (2u - 3v)2

(E) (6a + y ) 2

R ecuerde incluir la sum a de los térm inos internos y externos cuando use el m éto do PEIU para elevar al cuadrado un binom io. Esto es, (a + 3 )2 ¥= a 2 + 9

(x - 3)J

x2

6

x+9

Se considerarán varios ejem plos en los que se usan todas las operaciones ya analizadas. A ntes de considerar estos ejem plos, es útil resum ir las convenciones del orden de las operaciones pertenecientes a los exponentes, la m ultiplicación y división, y la suma y resta.

Orden de las operaciones 1. Prim ero agrupe sim plificando el paréntesis más interno, después el siguiente paréntesis m ás interno y así sucesivam ente. 2[3 - ( a - 4 )] = 2[3 = 2(7 -

a a)

+ 4] = 14 - 2v

2. A m enos que los sím bolos de agolpam iento indiquen otra cosa, aplique los exponentes antes de realizar la m ultiplicación o la división. 2(a - 2 )2 = 2(aj - 4 a + 4 ) = 2v2 - 8a + 8

3. A m enos que los sím bolos de agrupam iento indiquen otra cosa, realice la m ultiplicación y división antes de la sum a y la resta. En cualquier otro caso, proceda de izquierda a derecha.

5 - 2(x - 3) = 5 - 2a + 6 = 11 - 2a

A -2 0

Apéndice A


EJEMPLO 7

Operaciones combinadas Realice las operaciones indicadas y sim plifique: (A) 3x — {5 — 3[x —.t(3 —jc)J} =

3x — {5

—

3[* — 3jcjt2] }

= 3jc —{5

—

3[—2jc + ^JJ

=

3.í —(5

+

6x — 3JT2}

=

3x - 5 — 6x +

3.x2

= 3x> - 3x - 5 (B) (x — 2y)(2x + 3>’) - (2x + y )2 = 2 r + 3 x y - 4.ry - óy2 - (4jt + 4xy + y2) = 2x 2 - xy — óy2 - 4x 2 — 4xy — y 2 = - I r 2 - 5xy - 7y 2

(C) (2m + 3n)3 = (2m + 3n)(2m m + 3n)(4m 2

=

(2

=

8m}

+ 24

= 8m- +


+

36

m 2n

3«)2

+ 1 2

+

m 2n +

mn + 9 rr )

\%mn2 + \2m 2n + 54

m n2 +

27

36

mn2 +

27

n3

n}

Realice las operaciones indicadas y sim plifique: (A) 2/ - {7 - 2[t - t i 4 + /)]) (C) (4x - y )3

(B) (m - 3v)2 - (2u - v)(2m + v)

• Aplicación

EJEMPLO 8

Volumen de un cascarón cilindrico Un tubo de plástico para agua con un hoyo en el centro tiene 100 pulgadas de largo, una pulgada de grueso, y un radio interno de a- pulgadas (véase figura). Escriba una expre sión algebraica en térm inos de x que represente el volum en del plástico usado para construir el tubo. Sim plifique la expresión. [Recuerde: El volum en V de un cilindro circular recto de radio r y altura h está dado por V — n r h .]

A-2


A-21

U n cilindro circular recto con un hoyo en el centro se llam a ca sc a ró n cilin d rico . El volum en del cascarón es igual al volum en del cilindro m enos el volum en del hoyo. Debido a que el radio del hoyo es .v pulgadas y el tubo tiene un espesor de una pulgada, el radio del cilindro es x + 1 pulgadas. De m odo que se tiene /Volumeni del\ / Volumen ^ 1 cascarón ón ) = Udel cilindro/

/Volumen^ l.del hoyo/

Volumen = 7t(.v + 1)2100 — 7tv: 100 = 100jt(.V" + 2x + 1) -

lOOmr

= 1007LY: + 200JIV + lOOrt - lOOTLr = 200jlv + IOOju

Un tubo de plástico para agua tiene 200 pulgadas de largo, 2 pulgadas de espesor, y tiene un radio externo de.v pulgadas. Escriba una expresión algebraica en térm inos de.v que represente el volum en del plástico usado para construir el tubo. Sim plifique la expresión.

R espuestas a los p ro b le m a s selec cio n a d o s 1. 2. 3. 6.

(A) 3jt - 2* + 1, x3 - 2xy + y2 (B) 5, 3. 5 (C) 6, 4. 6 (A) 4u2 - v2 (B) - m3 - 3m2 + 2m - 4 (C) -x> + 3x + 2 3.Í4 — — 5x> + 2x - 2 4. 3x* + 5x — 10 5. 4x> - 13* + 6 (A) 8u2 - 2uv - 3V2 (B.) 4 x V - 9 (C) m2 - 16n2 (D) 4u2 - 12uv + 9v= (E) 36.x2 + 12r>- + y2 7. (A) - 2 12 - 4/ - 7 '(B) —3m2 - 6uv + lOi-2 (C) 64x3 - 48X2? + 12xy2 - y3 8. Volumen = 2ÜOirxJ — 200n(x — 2)2 = 8 0 0 - it a : - 8 0 0 tt

EJERCICIO

A-2

A __________

10. 2(u - 1) - (3u + 2) - 2(2u - 3) — ^y[4 —2(y — 1)]

Los problemas de! 1 al 8 se refieren a los siguientes polinomios: (a) 2X3 - 3^ + x + 5

1. ¿Cuál es el gradode (a)? 3.

Sume (a) y (b).

(b) 2x* + x - \

(c) 3x - 2

2. ¿Cuál es el grado de(B)? 4.

Sume(b)y(c).

12. 4a - 2a[5 - 3(a + 2)] *3. (m - n)(m + n) 14.

(a + b)(a — b)

(4; - 3 )(t —2)

5. Reste (b) de (a).

6. Reste (c) de (b).

15.

7. Multiplique (a) y (c).

8. Multiplique (b) y (c).

16. (3* - 5)(2x + 1)

En los problemas del 9 al 28. realice las operaciones indica das y simplifique: 9. 2(x - 1) + 3(2x - 3) - (4* - 5)

17. (3x + 2y)(x - iy ) ( 2 x— - 3y)(x + 2y) 18. (2x 19. (2m - l)(2m + 7)

A-22

Apéndice A


20. (3y + 2)(3y - 2)

21. (6x -

4y)(5x +

3y)

22. (3m + 7n)(2m - 5n)

23. (3x - 2y)(3x +

2y)

24. (4m + 3n)(4m — 3n)

25. (4* —

26. (3u + 4v)2

27. (a + b)(cr - ab + tí2)

y)2

En los problemas del 53 al 56 realice las operaciones indica das y simplifique. 53.

28. (a —b)(a2 + ab + tí2)

-

5 4 . (2 * -

B En los problemas del 29 al 42. realice las operaciones indica das y simplifique.

2 )3

(x

2)2 - 3(x

l)3 -

2 (2 x -

1)J +

-

3 (2 x -

55.

—3 x { jc[jc — x(2 - x)] — (x +

56.

2((x -

3 )(r =

- 2x + 1) -

2) -

* [3

4

1) + 7

2X *2 -

3 )}

- x(x -

2 )])

Muestre por ejemplo que. en general, (a + b): ^ a: + b: . Analice las posibles condiciones de a y b que hacen de ésta una ecuación válida. Muestre por ejemplo que, en general. (a — b): ^ a 2 — b: . Analice las posibles condiciones de a y b que hacen de ésta una ecuación válida.

29. 2x - 3{* + 2[x — (x + 5)] + 1) 30. m — (m — [m —(m — 1)]} 31. 2{3[a - 4(1

2(x

- a)] - (5 - a))

Si a usted le dan dos polinomios, uno de grado m y otro de grado n. m > n. ¿cuál es el grado de la suma?

32. 5£> — 3{ — [2 — 4(2¿> - 1)] + 2(2- 3b))

¿Cuál es el grado del producto de dos polinomios en el problema 59?

33. (2X2 + x - 2)Cr! - 3x + 5) 34. (x2 - 2xy + y2«*2 + 2xy + y2)

¿Cómo cambia la respuesta del problema 59 si los dos polinomios pueden tener el mismo grado?

35. (h2 + hk + k2)(h2 - hk + k2) 36. (n2 + 2n + 1)(n2 — 4n — 3)

¿Cómo cambia la respuesta del problema 60 si los dos polinomios pueden tener el mismo grado?

37. (2x - 1)J — ( 3x + 2)(3x - 2) 38. (3a - b)(3a + b) - (2a - 3b)2 39. (m - 3n)(m + 8n) + (m + 6n)(m+ 4n)

H IC

40. ( y - 2)(y + 1) + ( y - 3)(y + 4) 41. (2m - n)3

42. (3a + 2b)3

63. Geometría. El ancho de un rectángulo es 5 centímetros menor que su largo. Si .v representa el largo, escriba una expresión algebraica en términos de ,v que representa el perímetro del rectángulo. Simplifique la expresión.

Los problemas del 43 al 50 están relacionadas con el cálculo. Realice las operaciones indicadas y simplifique:

- 4)

43. S(x

+ h ) ~ 4 - (5x

44. 6(x

+ h) + 2 - (6x + 2)

45. 3(x + h)2 + 2(x + h) - (3X2 + 2x) 46. 4(x + h)2 - 5(x + h ) ~ (Ax2 - 5x) 47. - 2 ( x + h)2 - 3 ( x + h) + 7 - ( - 2 X 2 - 3x + 1) 48. —(jc + h)2 + 4 ( x + h ) - 9 ~ ( - x 2 +

4x

- 9)

49. (x + h)3 - x s 50. 2(x + h)2 + 3(x + h ) - ( 2 x 2 + 3a:)

64. Geometría. El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su ancho. Si ,v representa el ancho del rectángulo escri ba una expresión algebraica en términos de a-que represen ta su área. Cambie la expresión a una forma sin paréntesis. 65. Problema de monedas. Un parquímetro contiene mone das de 5 C, 10 <é y 25 i. Hay cinco monedas de 10 C menos que de 5 c y 2 de 25 c más que de 10 c, si ,v representa el número de monedas de 5 c. escriba una expresión algebraica en términos de ,v que represente el valor de todas las mone das en el parquímetro en centavos. Simplifique la expre sión.

66. Problema de monedas. Una máquina vendedora contiene

51. Reste la suma de los primeros dos polinomios de la suma de los dos últimos: 3 ///- — 2 m + 5. 4/»: — m. 3m2 — 3m — 2. m} + mr + 2

monedas de 10 é y de 25 0 solamente. Hay cuatro monedas de 10t‘ más que de 25e. Si a-representa el número de mone das de 25 0, escriba una expresión algebraica en términos de .v que represente el valor de todas las monedas en la máquina vendedora en centavos. Simplifique la expresión.

52. Reste la suma de los últimos dos polinomios de la suma de los dos primeros: 2.r - 4.vv + tJ, 3.vv — r , .r —2 w — y2, - r + 3x y - 2 V2

67. Empacado. Un recipiente plástico esférico para relojes de pulso tiene un radio interno de .v centímetros (véase la fi gura). Si el cascarón plástico tiene 3 centímetros de espe-

A-3

Polinomios: Factorización

A-23

sor. escriba una expresión algebraica en términos de.v que represente el volumen del plástico usado para construir el recipiente. Simplifique la expresión. [Sugerencia: El vo lumen V de una esfera de radio r está dado por V = , nr'.] 68. Empacado. Un recipiente cúbico para los componentes de una computadora barata se forma cubriendo un molde de metal de poliestireno. Si el molde de metal es un cubo con lados de x centímetros de largo y la cubierta de poliestireno tiene 2 centímetros de espesor, escriba una expresión algebraica en términos de x que represente el volumen del poliestireno usado para construir el recipien te. Simplifique la expresión. [Sugerencia: El volumen V de un cubo con lados de largo i está dado por V = ty.]

SECCION

A-3

Polinomios: Factorización Factorización, ¿qué significa? Factores com unes y factorización por agrupam iento Factorización de polinom ios de segundo grado M ás acerca de factorización

Un factor de un número es uno de dos o más núm eros cuyo producto es el núm ero dado. De m anera sim ilar, los factores de una expresión algebraica son una de dos o m ás expresiones algebraicas cuyo producto es la expresión algebraica dada. Por ejem plo, 30 = 2 • 3 ■ 5 x 2 — 4 = (x — 2 )(x + 2)

Al proceso de escribir un núm ero de expresiones algebraicas com o el producto de otros núm eros o expresiones algebraicas se llam a factorización. Se inicia el análisis de factorización con los enteros positivos. Un entero tal com o el 30 se puede representar en una forma factorizada de varias m aneras. Los productos 6 -5

(5XIOX6 )

15-2

2-3-5

dan com o resultado 30. Una forma particularm ente útil de factorizar enteros positivos m ayores que 1 es en térm inos de núm eros prim os.

DEFINICIÓN 1

Números primos y compuestos Un entero m ayor que 1 es primo si éste sólo tiene com o factores enteros a él m ism o y al 1. Un entero m ayor que 1 que no es prim o se llama número compues to. El entero I no es ni prim o ni com puesto. Ejemplos de números primos:

2, 3. S, 7, 11. 13

Ejemplo? de números compuestos:

4. 6, 8, 9. 10, 12

A-24

Apéndice A



En el siguiente arreglo, cruce todos los múltiplos de 2, excepto al 2. Después cruce todos los múltiplos de 3. excepto al 3. Repita esto para cada entero en el arreglo que no haya sido ya cruzado. Describa el conjunto de números que permanecen cuando se completa el proceso. 1 21 41 61 81

2 3 22 23 42 43 62 63 82 83

4 24 44 64 84

5 25 45 65 85

6 7 8 26 27 28 46 47 48 66 67 68 86 87 88

9 29 49 69 89

10 11 30 31 50 51 70 71 90 91

12 32 52 72 92

13 33 53 73 93

14 34 54 74 94

15 35 55 75 95

16 36 56 76 96

17 37 57 77 97

18 38 58 78 98

19 20 39 40 59 60 79 80 9 9 100

Este proceso se llama c rib a de E ra tó ste n e s. (Eratóstenes fue un matemático y as trónomo griego contemporáneo de Arquimedes. aproximadamente 200 a.C.)

Se dice que un número compuesto está com pletam ente factorizado si se repre senta com o un producto de factores primos. La única factorización de 30, de las antes dadas, que cumple esta condición es 30 = 2 • 3 • 5.

Factorización de un número compuesto Escriba 60 en una forma completamente factorizada. 60 = 6 - 10 = 2 - 3 - 2 - 5 = 2 2 - 3 - 5

Solución o

60 = 5 - 12 = 5 - 4 - 3 = 2 2 - 3 - 5 o 60 = 2 • 30 = 2 • 2 • 15 = 2 2 = 2 2 • 3 • 5

Escriba 180 en forma completamente factorizada.

Observe en el ejemplo 1 que se termina con los mismos factores primos para 60 sin tomar en cuenta el proceso de factorización. Esto ilustra una importante propiedad de los enteros:

Teorema 1

El teorema fundamental de la aritmética Cada entero mayor que 1 puede ser primo o puede ser expresado de manera única, excepto por el orden de los factores, como un producto de factores primos.

A-3


A-25

Los polinom ios tam bién se pueden escribir en form a com pletam ente factorizada. Un polinom io tal com o I x 1 - x — 6 se puede escribir en form a factorizada de varias m aneras. Los productos (2x + 3)(* - 2)

K x2 - ¡ x - 3 )

2(x + §)(* - 2)

El resultado de todos es 2v2 — x — 6. Una form a particularm ente útil de factorizar polinom ios es en térm inos de polinom ios prim os.

DEFINICIÓN 2

Polinomios primos Un polinom io de grado m ayor que 0 se dice que es primo respecto a un conjunto dado de núm eros si: ( / ) todos sus coeficientes son parte del conjunto de núm eros, y ( 2 ) no se puede escribir com o el producto de 2 polinom ios, excluyendo al I y a él m ism o, con coeficientes del conjunto de núm eros. Respecto al conjunto de enteros: x2 - 2 es primo x1 - 9 no es primo, ya que x 1

9 = (x - 3)(x + 3)

[Nota: El conjunto de núm eros más frecuentem ente usado en la factorización de polinom ios es el conjunto de enteros.]

Un polinom io no prim o se dice que está completamente factorizado con respec to a un conjunto dado de números si está escrito com o un producto de polinom ios prim os respecto al conjunto de núm eros. N uestro objetivo en esta sección es repasar algunas de las técnicas de factorización estándar para polinom ios con coeficientes enteros. En el capitulo 3 se trata en form a detallada el tem a de la factorización de polinom ios de m ás alto grado con coeficientes arbitrarios.

El siguiente ejem plo ilustra el uso de las propiedades distributivas en la factorización.

y factorización por agrupam iento

Factorización de factores comunes Factorice, respecto a los enteros, todos los factores com unes de todos los térm inos: (A ) Soluciones

(A )

2r*y - 8 x V I r ’ v - 8.rV -

(B) 2v(3jc - 2) - 7(3x - 2)

6xf bx y *

\=

'.w ’X3 -

i

A xy -

3\" |

i________________ :------------------------ 1 =

(B) 2r(3.v - 2) - 7(3* - 2)

,( j r — 4 .xt \=

2* V

3>’2)

2.-7

!

i____________________________ i (3.v - 2)

A-26

Apéndice A


Factorice. con respecto a los enteros, todos los factores com unes de todos los térm inos:


(A) 3x3y -

EJEMPLO 3 /

6x

y -

(B) 3y{2y + 5) + 2(2y + 5)

Factorice todos los factores comunes Factorice com pletam ente con respecto a los enteros:

Solución

4 (2 x + 7 )(x -

3)2 + 2(2x

+ l ) \ x - 3)

4 (2 x + l) (x -

3)2 + 2 (2 x

+ l ) \ x - 3)

= 2 (2 x + l)(x -

3)[2(jc - 3) + (2x + 7)]

= 2 (2 * + 7)(jc -

3 )(2 *

= 2 (2 * + 7 )(x - 3 )(4 jc


- 6 + 2x + 7) + 1)

Factorice com pletam ente respecto a los enteros: 4(2x + 5)(3x + l)2 + 6(2x + 5)2(3x + 1)

A lgunos polinom ios se pueden factorizar agrupando prim ero los térm inos de tal m anera que se obtenga una expresión algebraica parecida a la del ejem plo 2(B). Se puede entonces term inar la factorización por el método usado en ese ejem plo.

Factorización por agrupamiento Factorice com pletam ente, respecto a los enteros, por agrupam iento: (A) 3X2 - 6* + 4x - 8 (C) 3ac + bd — 7>ad — be Soluciones

(B) * 7 +

- 2xy — 2xz

(A) 3at — 6x + 4 x — 8 = (3X2 — 6x) + (4 x — 8)

Agrupe los primeros dos y los últimos dos términos.

= 3x

Elimine los l.icUin-s

+ 4

= (3 x + 4 )

>m

Factorice el factor común

'

;

2

(B) vvv + ivz - 2xy - 2xz =

(vvv + w z) — ( 2x v + 2xz)

= iv

= (w — 2x)

— 2x

A g ru p e los d o s p rim e ro s y los d o s últim o s térm in o s, s«m c u id a d o o Elimine los

factores 1 o rr ;

Fací'>rice el factor comú: , .

ni

:

A-3


A -27

(C ) 3 ac + bd — 3 ad — be

En los incisos (A ) y (B) los polinom ios están arreglados de tal m anera que agrupando los prim eros dos prim eros térm inos y los últim os dos térm inos se conduce a factores com unes. En este problem a ni los prim eros dos térm inos, ni los últim os dos térm inos tienen un factor común. A veces reacomodando términos se puede llegara la factorización por agrupam iento. En este caso se intercam bian el segundo y cuarto térm inos para obtener un problem a com parable con el inciso (B), el cual se puede factorizar com o sigue: 3ac - be — 3ad + bd = (3 ac - be) - (3 ad - bd) - d

= c

= (c - d )

Factorice com pletam ente, respecto a los enteros, por agrupam iento: (A) Zr2 + 6.í + 5x + 15 (C) 6wy - xz - Ix y + 3 wz

(B) 2p r + ps -

6

qr - 3qs

Ahora se abordará la factorización de polinom ios de segundo grado de la forma 2 jt - 5.v - 3

y

I x 2 + 3xy - 2y 2

com o el producto de dos polinom ios de prim er grado con coeficientes enteros. El si guiente ejem plo ilustra un enfoque del problema.

Factorización de polinomios de segundo grado Factorice cada polinomio, si es posible, usando coeficientes enteros: (B) x 2 - 3x + 4(C)6.r

(A) 2X2 + 3xy - 2y 2 Soluciones

(A) 2x~ + 3.x>' - 2y 2 = (2x + I

y )(jt — y ) j-

+ 5xy - 4 f

Ponga en qué se conoce. Los signos deben ser opuestos. (Se puede invertir esta elección si se obtiene -3 x y e n lugar de *- 3xy para el término de enmedio.)

Ahora, ¿cuáles son los factores de 2 (el coeficiente de v2)?

2 1 - 2

i--------------------------------------------------1 ¡ (2x

y )(i

2y)

2xix y

- 2y-' ¡

I 2 * 1

! (2 x + 2 y )(*

y)

2x1

2 y*

i________________________________ i

El resultado de la primera elección es —3.vv para el término medio (que se acerca, pero no es) así que se invierte la elección de signos para obtener 2X2 + 3x y -

2y 2

= (2v - >■)(* + 2y )

A-28

Apéndice A


(B) a~ — 3.v + 4 = (jc — ){x —

)

Los signos deben ser los mismos, ya que el tercer término es positivo y debe ser negativo, ya que el término medio es negativo.

4 2

2

cx -

2)(x - 2) = x* - 4x + 4

1 •4

(x -

1 )(* - 4) = x* - 5 x + 4

4 • 1

(X -

4)(x - 1) = x2 -

•

5x + 4

N inguna de las elecciones produce el térm ino m edio; así que x 2 — 3.v + 4 no es factorizable usando coeficientes enteros. (C) 6a2 + 5av - 4 / = (

x +

y)(

í í

T

?

?

x -

y)

T ?

?

Los signos deben ser opuestos en los factores, ya que el tercer térm ino es negativo. Se puede invertir la elección de signos si es necesario. Ahora se escriben todos los factores de 6 y de 4: 6

4

2 •3

2 •2

3 •2

1•4

1•6

4 • 1

6 • 1 y se prueba con cada una de las elecciones de la izquierda con cada una de las de la derecha, un total de 12 com binaciones que den el prim ero y últim o térm inos del polinom io 6.v: + 5a;v - 4-v2. La pregunta es: ¿Puede alguna com binación dar tam bién el térm ino de enm edio, 5x y l D espués de prueba y error y, quizá, de alguna educación para suponer entre las opciones, se encuentra que 3 • 2 se acopla con 4 • 1 da el térm ino m edio correcto de enm edio. Por consiguiente, 6x 2 + 5xy - 4y2 = (3 a + 4 v)(2 a - y)

Si ninguna de las 24 com binaciones (incluyendo la inversión de signos) producen el térm ino de enm edio, se concluye entonces que el polinom io no es factorizable usando coeficientes enteros.

Factorice cada polinom io, si es posible, usando coeficientes enteros: (A) j r - 8a + 1 2 (C) 2a3 + Ix y - 4y 2

(B) a2 + 2a + 5 (D) 4a2 - 15Ay - 4 y 2

A-3

• Más acerca de factorización


A -29

Las fórm ulas de factorización que en seguida se num eran nos capacitan para factorizar ciertos polinom ios que ocurren con frecuencia.

Fórmulas de factorización especial 1.

ir

+ 2 u v + w2 = (w + v)2

Cuadrado perfecto

2.

ir — 2 u v

+ v2 = (// —v)2

Cuadrado perfecto

3.

u1 -

4.

u3

5.

m3 + v1 = (u + v)(tr -

= (// -

— v3 =

(u

v)(u

+

Diferencia de cuadrados

v)

—v)(w2 + uv + v2) uv

Diferencia de cubos

+ t'2)

Suma de cubos

Las fórm ulas en el cuadro se pueden establecer m ultiplicando los factores de la derecha.

P R E C A U C IÓ N

O bserve que no se ha listado una fórm ula de factorización especial para la sum a de los dos cuadrados. En general,

ir

+

v 2

#

(au

+

h v ) ( c u

+

dv)

para cualquier elección de coeficientes de núm eros reales, a . b . c y d. Pero ir + v2 se pueden factorizar usando núm eros com plejos (sección 1-5).

EJEMPLO 6

Uso de las fórmulas de factorización Factorice com pletam ente respecto de los enteros:

(A) a 2 + 6.ry + 9 y 2 Soluciones

(B) 9.v2 - 4 >-2

(C ) 8 m 3 -

1

i--------------------------------------1 (A) a-2 + 6 xy + 9y 2 [ = x 2 + 2(.v)(3>0 + (3v)2 j = (x + 3.v)2 (B) 9 .r - 4y* (C) 8

-

[= _ (3 * )2 ~ (2.v_)2 j

1 \ = (2m ) 3 I

= (3a - 2y)(3x + 2y)

1’

¡ = (2m - l)t(2w)2 + (2m)(l) + l 2] !

i----------------------------------------------------- 1 = (2m -

l)(4w 2 + 2 m + 1)

(D) x 3 + y*z3 [ = -v3 + (y z )3j

(D ) a 3 + y 3z 3

A-30

Apéndice A


lema selecciona

Factorice completamente respecto de los enteros: (A) 4 m 2 -


12 mn + 9 n 1

(B ) x 2 -

16v2(C) z 3- 1(D

(A) Verifique las siguientes fórm ulas de factorización para uA — v4: m4

— v4 = ( m — v)(w + v)( m2 + v2) = (u - v)(w3 + tr v + wv2 + v3)

(B) A nalice los patrones en las siguientes fórm ulas: m2

— v2 = (u —

v)( m

m3 — v3 = (u — M4 -

+ v)

v)(w2 + mv 4- v2)

V4 = (u - v)(m3 + M2V + MV2 + V3)

(C) Use el patrón que descubrió en el inciso (B) para escribir las fórm ulas sim ila res para m5 — v5 y w6 - v6 . V erifique sus fórm ulas por m ultiplicación.

Se termina esta sección considerando los factores que implican combinaciones de las técnicas anteriores tan bien com o algunas otras. Generalmente hablando:

Cuando se preguntó cómo fartori/ar un polinomio, primero se tomaron todos los factores comunes de todos los términos, si estos están presentes, y después se procede como antes basta que todos los factores sean pri mos.

MPLO

Combinación de técnicas de factorización Factorice com pletam ente respecto de los enteros: (B) x 2 - 6.v + 9 - y 2 (E) 2 / - 5y2 - 12

(A) 18JC3 - 8.v (D) 2f* - 16/ Solucione

(C) 4 m3n - 2m2n2 + 2m n3

(A) 18a 3 - 8a = 2 v (9 .r - 4) = 2x(3x - 2)(3x + 2) (B) x 2 - 6x + 9 - f =

(a2 — 6x

+

9 ) — y 2 Agrupe los primeros tres términos.

=

(x — 3)2

—

y2

=

[(.v — 3)

—

,y][(A' — 3)

= (.v -

3 - ? )(* - 3

+ y)

Factorice >

6 x + 9. + v]

Dit'-renaa de cuadrados

A-3


A-31

(C ) 4m:'n — 2 m2n2 + 2mn3 - 2mn{2m 2 — mn + n2)

(D) 2t* -

16/ = 2t(r 3 - 8) = 2t(t - 2) ( í2 + 2t + 4)

(E) 2 / - 5 / -

12 = ( 2 / + 3 )(y 2 - 4) = ( 2y 2 + 3) ( y -

2 )(y + 2 )

Factorice com pletam ente con respecto de los enteros: (A) 3a 3 - 48a (B ) x 1 - y 2 - 4y - 4 3 u \ - 9 « V (D) 3m4 - 24mn3 (E) 3a 4 - 5a 2 + 2

(C ) 3 u 4 -

R espuestas a los p ro b le m a s selec cio n a d o s 1. 22 • y • 5 2. (A) 3xy(^ - 2xy - f ) (B) (3y + 2)(2y + 5) 3. 2(2r + 5)(3-t + l)(12t + 17) 4. (A) (2r + 5)U + 3) )(jr - 4v) 6. (A) (2m - 3n)2 (B) (x - 4y)(x + 4>-) (C) (: - l)(z2 + z + 1) (D) (m + n)(m2 - mn + n2) 7. (A) 3 4 * - 4)(.r + 4)(B) (x - y - 2)(x + y + 2) (C) 3u \ u 2 - u v - 3V2) (D) 3m(m - 2n)(m' + 2mn + 4n2) (E) (3.V2 - 2)(x - l)(.t + 1)

A-3

EJERCICIO

15. 8ac + 7>bd — 6be — 4ad En los problemas del I id 8 . factorice. con respecto de los en teros, todos los factores comunes de todos los términos. 1. b\A - Z x ' - l x

1

3.

lO.r'y + 20.ry3 -

5.

5 a (a +

1) -

15xy3

3 (a +

1)

7. 2w(y - 2z) - x(y ~ 2z)

2. 6nr — 9m-’ - 3m2

En los problemas del 17 al 28. factorice completamente con respecto de los enteros. Si un polinomio es primo con relación a los enteros, indiquelo.

4. 8u3v —ó«2^2 + 4uv'

17. Ix 2 + 5x - 3

18.

6. lm(2m - 3) + 5(2m - 3)

19. x 2 - 4xy - 12y2

20. u2 - luv - 15V2

8. a(3c + d) - 4¿>(3c + d)

21.

22. m2 — 6 m —3

En los problemas del 9 al 16. factorice completamente con res pecto de los enteros. 9.

a

2

- 2v + 3a - 6

10. 2y2 — 6y + 5y — 15

16. 3pr - Iqs — qr + 6ps

a2 + a

—4

- y- 2

23. 25m2 - 16/i2

24. w2*2 - y 2

25. x2 + lO.ry + 2 5 /

26. 9m 2 — 6 mn + n2

27. u2 + 81

28. y2 + 16

B

11. 6m2 + 10/71 — 3m —5 12. 5JC2 - 40.r -

+ 8

13. Ir2 - 4xy - 2>xy + 6y2 14. 3a2 — 12ab — lab + 8b2

En los problemas del 29 al 44, factorice completamente con relación a los enteros. Si un polinomio es primo respecto de los enteros, indiquelo. 29. ó*2 + 48.r + 72

30. 4z2 - 28z + 48

A-32

Apéndice A


31. 2 / - 22y* + 48v

32. 2.V4 -- 24a-’ + 40.r

67. m2 + 2mn + n2 — m — n

33. 16a- v - 8.vv + y

34. 4.rv2 - 12a>- + 9a

68. y 2 - 2xy + .v2 — y + a

35. 6í" + Ist — 312

36. 6m2 - mn — 12n2

69. 18a’ —8a(A~ + 8a + 16)

37. .r’y —9xy*

38. 4 u3v — uv3

70. 25(4.r - 12xy + 9y2) - 9a2b2

39. 3m1 -- 6m2 + 15m

40. 2r 3 -- 2a- + 8.v

71. a-4 + 2 í2 + 1 - A2

41. m3 + n3

42. r3 - t3

72. a4 + 2a-b2 + b* — a2h2

43. c3 - :1

44. a 3 + 1

Los problemas del 45 al 50 están relacionados con el cálculo. Factorice completamente con respecto de los enteros. 45. 6(3 a - 5)(2.v — 3 )2 + 4(3.v — 5 )2(2 a — 3) 46.

2(x — 3X4* + 7 )2 + 8(v -

47.

5x*(9 — x) — 4.c (9 — x)

48

i r ( v - 7 ): + 4 v3(* — 7 )3

3 )2(4v + 7)

f

APLICACIONES 73. C o n s t r u c c i ó n . U n a c a ja re c ta n g u la r d e sta p a d a se c o n s tru y e d e u n a h o ja d e lg a d a de c a rtó n c o rta n d o c u a d ra d o s d e * p u lg a d a s e n c a d a u n a d e las e sq u in a s y d o b la n d o los lad o s h a cia a rrib a c o m o se in d ic a e n la fig u ra . E x p rese c a d a una d e las sig u ie n te s c a n tid a d e s c o m o un p o lin o m io e n fo rm a fa c to riz a d a v d e sa rro lla d a .

49. 2(x + l)(x 2 - 5)2 + 4 a(a + 1): (*-’ - 5)

- 3)*(x* + 2)2

50. 4 (.r - 3 ) ^ + 2 )’ + 6 a (a

(A ) El á rea d e c a rtó n d e sp u é s d e q u e se han c o rta d o las e sq u in a s. ( B ) El v o lu m e n d e la caja.

En los problemas del 51 al 56. factorice completamente con relación a los enteros. Como primer paso, en los polinomios que tengan más de tres términos se prueba agrupando los tér minos en varías combinaciones. Si un polinomio es primo con relación a los enteros, indiquelo. 51. (a

- b )2 - 4 (c - d )1

53. 2 am - 3an

+ 2 )2 - 9 f

+ 2bm - 3bn

54. 15ac — 20 ad 55. 3 . r — 2xy

52. (a

r

ulgs.

+ 3 be — 4bd

— 4v2

56. 5 u2 + 4 tiv — 2i~

c _________________________ En los problemas del 57 al 72. factorice completamente con respecto a los enteros. Como primer paso en los polinomios que implican más de tres términos, intente agrupar los térmi nos en varias combinaciones. Si un polinomio es primo con respecto a los enteros, indiquelo. 57. x3 - 3 x 2 - 9.v + 27 58. a3 - a2 - * + 1 59. a3 - 2a 2 - a + 2 60. t' - 2t2 + t - 2 61. 4(A +

B)2 -

5 (A

+

B) -

6

62. 6(x — y)2 + 23(a —y) — 4 63. m4 — n4

64. y* — 3 y — 4

65. s*t* — 8st

66. 21a2 + aV;'

74. Construcción. Una caja rectangular destapada se constru ye con una hoja delgada de cartón de 9 por 16 pulgadas cortando cuadrados de * pulgadas en cada esquina y do blando los lados hacia arriba. Exprese cada una de las si guientes cantidades como un polinom io en forma factorizada y desarrollada. (A) El área del cartón después de que se cortaron las esquinas. (B) El volumen de la caja.

A-4

se c c ió n f \ - * t

Expresiones racionales: Operaciones básicas

A-33

Expresiones racionales: Operaciones básicas Reducción a térm inos más sim ples M ultiplicación y división Sum a y resta Fracciones com puestas

A hora la atención se centrará en las form as fraccionarias. Al cociente de dos expresio nes algebraicas, la división entre cero se excluye, se llama expresión fraccionaria. Si el num erador y el denom inador de una expresión fraccionaria son polinom ios, la expre sión fraccionaria se llam a expresión racional. A lgunos ejem plos de las expresiones racionales son las siguientes (recuerde, una constante diferente de cero es un polinom io de grado 0): x - 2

I

3

.v2 + 3.v - 5

2 r - 3.r + 5

x4 - 1

x

I

En esta sección se analizan operaciones básicas de las expresiones racionales, inclu yendo m ultiplicación, división, sum a y resta. Debido a que las variables representan núm eros reales en las expresiones raciona les, se van a considerar las propiedades de las fracciones de los núm eros reales resum i dos en la sección A -l desem peñan un papel central en gran parte del trabajo que se hará.

Aunque no siempre se establece explícitamente, siempre se supone que las variables están restringidas de modo que la división entre 0 se exclu ye. Se inicia este análisis estableciendo la propiedad fundamental de fracciones (a partir del teorem a 3 de la sección A - l ):

más simples Propiedad fundamental de fracciones Si a, b y k son números reales con A, £ # 0, entonces ka _ a kb b x * O, x * 3

Al usar esta propiedad de izquierda a derecha para elim inar todos los factores com unes el num erador y el denom inador de una fracción dada se llama reducción de fracciones términos más simples. Realm ente se divide al num erador y al denom ina dor entre el m ism o factor com ún diferente de cero. U sando esta propiedad de derecha a izquierda, es decir, m ultiplicando el num era dor y el denom inador por el m ism o factor diferente de cero se está expresando una fracción en términos más complicados. Esta propiedad se usará en am bos sentidos en el m aterial que sigue.

A-34

Apéndice A


Se dice que una expresión racional está re d u c id a a té rm in o s m ás sim ples si el num erador y el denom inador no tienen factores en com ún. A m enos que se establezca lo contrario, se factoriza con respecto de los enteros.

Reducción de expresiones racionales Reduzca cada expresión racional a térm inos m ás simples. J^ - 6x + 9 _

x2 - 9

( x - 2 y-

(.v - 3)(.r + 3) jc

—3

Factorice el numerador y el denominador completamente. Divida el numerador y el denominador entre (x - 3); ésta es una operación válida tanto como x í 3 y x * - 3 .

jr + 3 x-3 _

|

/v

+ v + j\

(B) —-----------------------—-----1--------.v2 — 1

)(at + 1 )

Divida el numerador y el denominador entre (x - 1), se puede indicar dibujando líneas en ambos (x 1;. escribiendo el cociente resultante como 1 .

x * -1

roblem a seleccionad

y

x * 1

Reduzca cada expresión racional a térm inos más simples. 6 .r + x - 2 (A> I r + -------.r - 1T

_ xA - 8.v (B) 73 .r 3— T - I7 r3 — - 8.v

Reducción a una expresión racional Reduzca la siguiente expresión racional a térm inos m ás sim ples. 6 .v V + 2 ) 2 - 4 * V + 2)3

2 x V + 2)2[3.r - K x 2 + 2)]

.r8 1 _ 2 * V + 2) V

- 4)

xs

2 (.r + 2)2(.v -

2

)(x +

.v5

a seleccionad

R eduzca la siguiente expresión racional a térm inos más simples. 6 a-V + O2 - ^ A x 1 + l) 3

2

)

A-4

PRECAUCIÓN

A-35


R ecuerde factorizar siem pre al num erador y denom inador prim ero, después divi da cualesquiera de los fa cto res com unes. N o elim ine en form a indiscrim inada térm inos que estén en el num erador y en el denom inador. Por ejem plo,

* L l¿

= Z t» + , 1

D ebido a que el térm ino / no es un factor del num erador, no se puede eliminar. De hecho, (2x* + / ) / / ya está reducido a los térm inos m ás simples.

C om o se están restringiendo los reem plazos de la variable a los núm eros reales, la m ultiplicación y división de expresiones racionales siguen las reglas para la m ultiplica ción y división de fracciones de núm eros reales (teorem a 3 en la sección A - l ).

Multiplicación y división Si a, b, c y d son núm eros reales con b, d ^ 0, entonces: 1

—__ — b d

2

— - — = — •— b

— bd

d

x

b

c *

_

'_

0

c

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Escriba una descripción verbal del proceso de m ultiplicación de dos fracciones. Haga lo m ism o para el cociente de dos fracciones.

Multiplicación y división de expresiones racionales Realice las operaciones indicadas y reduzca a térm inos más simples.

Sx2 (A)

x2 - 9

lO ./v 3xv + 9 y

1 -1

IftfV

_

4 .r - 12*

3^(jt-K 3) 3 -1

4 tf( x - ^ 3 ) 2 -1

5/

Factorice los numeradores y denominadores, después divida cualquier numerador y cualquier denominador con un mismo factor común.

1 (B |

* ( , - 2) 4

x - 2

4

2

x - 2

es el mismo que

x - 2

l-36

Apéndice A


-i 2 - x _ -(x -" 2) ~ — --------1------- —— ¿ (x ~ 2 ) 2 (x - ^ 2 )

=

b

a

-(a

ti),

u n útil c a m b io en a lg u n o s p ro b lem as.

_1 _

_

2 2 v3 - 2 v:v + I v r ^

x3+ y

x*y — .ti'3

x 2 + 2x y + y 2 1

2

1

x y (x ^ r y ’)(x - y )

y

(x ^ ry )b ¿ - ^ - x y ^ T y 1)

1

1

1

2___ .v(-v - y )


Realice las operaciones indicadas y reduzca los términos semejantes. 1 2 ry 3

y + 6y + 9

(A) 2< y + 6.vv'

3y + 9y

m 3 + n1 (

• Suma y resta

x 2 — 16

( } (

~ x)"

5

m }n — m 2n2 + mn5

] 2m 2 + mn - n2

2m'nr - w V

Nuevamente, debido a que se restringen los reemplazos de las variables a los números reales, la suma y resta de las expresiones racionales se deducen de las reglas para la suma y resta de fracciones numéricas reales (teorema 3 en la sección A - l ).

Suma y resta Para a . b y c números reales con b # 0:

1.

" + c b

b

a

c _

b

b

a + c b

x

3

a —c b

2x y

Zxv ----------------------a

Por consiguiente, se suman las expresiones racionales con los mismos denomina dores sumando o restando sus numeradores y colocando el resultado sobre el común denominador. Si el denominador no es el mismo, las fracciones se expresan en térmi nos más complicados, usando la propiedad fundamental de las fracciones para obtener denominadores comunes y después se procede como se ha descrito.

A-4


A -37

Aun cuando cualquier denominador común funciona, el trabajo se simplificará si se usa el mínimo común denominador (MCD). Frecuentemente, el MCD es obvio, pero si no es asi, los pasos del cuadro describen cómo encontrarlo.

El mínimo común denominador (MCD) El MCD de dos o más expresiones racionales se encuentra com o sigue:

EJEMPLO

1.

Factorice cada denominador completamente.

2.

Identifique cada factor primo diferente de todos los denominadores.

3.

Forme un producto usando cada factor diferente a la más alta potencia que aparece en cualquiera de los denominadores. Este producto es el MCD.

Suma y resta de expresiones racionales Combine en una sola fracción y reduzca a términos más simples.

Soluciones

(A ) Para encontrar al MCD, factorice cada denominador completamente: 10 = 2 • 5 '

6 = 2 -3

LCD = 2 • 3 2 ■5 = 90

45 = 3 2 • 5. Ahora use la propiedad fundamental de las fracciones para hacer cada denominador de 90: —

5

11

10

6

45 9 * 10 15-6 r ¡ = 27 75 _ 22 ¡ ¡ L

-3

15-5 _

90 + 90

-11 -45

90 ! J

27 + 75 - 22 _ 80 _ 8 90 LCD = 2 • 3 V

" 90 " 9

= 18,xy 2■ -4 _ 2v~ • 9,v Sy2 -

<■, • 5a ^______ 3.v • 6y 2

1 5 r + 18av2 18jy2

18 v ,

A-38

Apéndice A


,_ jt + 3 x + 2 5 * + 3 * + 2 (C) t=— — — - -3 — - - ------- = :------- =3 - 7 ------ + x2 — 6x + 9 x2 - 9 3 —x ( j c - 3 )2 ( x — 3 )(x + 3)

5 x - 3

i---------------------------------------------------------1 1

5

5

5

1

i N q iq - —___- ___= ________ - _____ = ____- ___ ' ¡ 3 —X ~ {x — 3) X —3 j

Nuevamente se usa el hecho de que a - b = - ( b - a).

El M CD = (.v — 3)2(.v 4- 3) Por consiguiente, Cx + 3)2

(x - 3)(x + 2) + 5(* — 3)(x + 3) (x — 3 )2(x + 3)

(jc - 3 )2( r + 3)

(x - 3)2(x + 3)

_ (x 2 + 6x + 9 ) - (x 2 ~ x - 6 ) + 5(x* - 9) (jc — 3 )2( jc + 3 ) _

j?

+

6 x

+

9 -

x^

+

x

+

Aquí se debe tener cuidado con los errores de signo

6 + 5x^ — 45

(x - 3 )2(x + 3) _ Sx2 + 7 x - 30 “ (x - 3)2(x + 3)


C om bine una sola fracción y reduzca a térm inos m ás sim ples. ...

5

(A) 28

1

6

1

10 + 35

(C)

Ax2

y2 - 4y + 4

2x+

1 3

3x> + I2x

2 -y

16 EXPLORACIÓN Y ANÁLISIS 2

¿Cuál es el valor de 4 ?

y ¿Cuál es el resultado de introducir 16 -s- 4 -r 2 en una calculadora? ¿Cuál es la diferencia entre 16 + (4 + 2) y (16 + 4) + 2? ¿Cómo podría usar las barras de fracción para distinguir entre estos dos casos cuando \6

se escribe 4 ?

7

• Fracciones com puestas

Una expresión fraccional con fracciones en su num erador, denom inador, o am bos, se llam a fracción com puesta. Con frecuencia es necesario representar una fracción com -

A-4


A-39

puesta com o una fracció n sim ple, esto es (en todos los casos que se considerarán), com o el cociente de dos polinom ios. El proceso no im plica ningún concepto nuevo. Es im portante aplicar los viejos conceptos y realizar el proceso en la secuencia correcta. A hora se ilustrarán dos enfoques al problem a, cada uno con sus propios m éritos, de pendiendo del problem a en particular que se esté considerando.

Simplificación de fracciones compuestas Exprese com o una fracción sim ple reducida a los térm inos m ínimos:

x

7

Solución

M étodo 1. M ultiplique al num erador y al denom inador por el M CD de todas las fracciones en el num erador y denom inador, en este caso x2. (A hora m ultiplique por 1 = x^/x2.)

2x

i x (7 ^x )

- ¿ _

4 - x2 ~

(2

+ x)( 2 - -^ x ) 1

x ~

2

+x

M étodo 2. Escriba el num erador y el denom inador com o fracciones sim ples. Después trate com o un cociente. 2

2

--------1

4

—x

----

____ __

x

t

4 - x2

1

_

2

—x x

~

,

X

4 — . r _ 2--—' í x2

x

jr (2^~ x)(2 + x)

'

’

x

2+x

Exprese com o una sim ple fracción reducida a los térm inos m ás sim ples. Use los dos m étodos descritos en el ejem plo 5.

A-40

Apéndice A


EJEMPLO 6

Simplificación de fracciones compuestas Exprese como una fracción simple al reducir a los términos más simples:

L

_ i.

x2

y2

i _ í

* Solución

y

Usando el primer método descrito en el ejemplo 5, se tiene

_

/

~ ^

= ( y ^ - x ) ( y 2 + xy + x 2)

xy 3 - x >y

x y ( y ^ x ) ( y + x)

1 _ y 2 + xy + x 2 xy { y + x)


Exprese como una simple fracción reducida a los términos más simples. Use el primer método descrito en el ejemplo 5. a

b

b

a

a - +

b

2

b + -

a


1. (A)

3x + 2 x + 1

3. (A) 2x 4. (A) i i.

EJERCICIO

1 *- 1

(B)

(B) (B) „

6.

x2 + 2x + 4

2.

3.v + 4

-5 x +4

3C*2 + l)2(x + !)(* - 1)

(C) mn

3.V2 - 5* - 4

llt3

(C)

2 / —9y - 6

(y - 2)J(y + 2)

a - b a +b

Á-4

En los problemas del 1 al 20, realice las operaciones indicat/ai 3»reduzca las respuestas a los términos más simples. Re presente cualquierfracción compuesta comofracciones simples

reducidas a los términos más simples.

i

\ 3a ' ^

3

I 4^3

_ n i ___ Z. 18

28

42

J /

2 — + l—

' l ^2 •— 4^ ' 'iI

4 ^ | ~v____ L 12

18

30

A-4

3* + 8 4^

e

2x - l ^

5

A-41


/

3x*(x + l )3 - 3(x* + 4)(x + l )2

^ (.x + W

sx

+ _3_______ 2m 6m2

, Ix 2 + Ix + 3 7. — ^ _ |------s- (a + 3)

£>i ¡os problemas del 27 a! 40. realice las operaciones indicadas y reduzca las respuestas a los términos más simples. Represente cualquierfracción compuesta comofracciones simples reducidas a los términos más simples.

8.

27.

~ 3

18m

4m

1

“ Jf - 12) m+ n m2 — n1

1

y f - y -2

x 2_____ ^ x — - 1 _ 2xx++ 1\ '3 3x x + 3 xX2 + 2 6

m2 — mn m2 — 2mn + n2

x 2 - 6x + 9 . x 2 + 2x - 15 ¿ - x -6 S + 2x

9 - m2 m+2 m2 + 5m + 6 m — 3

a2 —b2

2x + x 2

2 —x

12.

y2 + 5y

a2 + 2a 6 + ti2

D

£.

je — 3

3 —x

1 7 .- 2

-

x +7

y +9

ax - bx

by - ay

31. ----------+ . -

------ 3 -------------r -1 f - ^ + l

, m- 1 13. m - 3 --------- m —2

x 2 + 4x + 4 x 2 —4

„ c+ 2 32. 5c — 5

.,• * + ! 1 4 .---------- 1 jc — 1 ^

3

2

a —1

1 —a

33.

-

x 2 - 16

x 1 - 13x + 36

2** + 10* + 8

x> + I

\

>+ 3 y - 3 y I- 9

c- 2 . 3c — 3 1 —c

?

x-y l

x +y

x-y

19 __¿ /

’ xy + y 2

S - f

x 2 - 2xy + y 2 ¿ y + xy2

20 __£

36 ( ¿ Z S + _ f L z ¿ _ U x y+ + yf 2) W + f/ ‘ *x 2 ++ 22 xy ) '

' x - -9 x

37. í ~T~ ~ 2 — Ì + —~— / \ j? - 16 x + 4 / x +4

’ l - l

‘ W +

-

/

*

1 \

¿ y + xÿ1

4

-

x 2 - y2

y.*2 + 2xy + y 2

(

18. -r——r: + — ----------------------------------------------------------------- — 35.

?

38. M ---------- L - U f ± i \ jc — 2 * + 1 / * - 2 R

--------------------------------------------------------------------------

r Los problemas del 21 al 26 están relacionados con cálculo. Reduzca cada fracción a los términos más simples.

6jt3(jt + 2)2 - I xj x 2 + 2)3 21. w v~* T ^ x

22.

4.v4(.rJ + 3) — 3x 2(x2 + 3)2 Jt6

x

x2

términos más bajos. Represente cualquierfracción compuesta como fracción simple reducida a sus términos más simples.

24 2x(2x + 3)4 - fofQ x + 3)3 (2r + 3)*

x + h+ 2

2x(x + 4 )3 - 3(3 - j^X-t + 4)2

(x

+ 4)‘

x

Los problemas de! 41 al 44 se relacionan con el cálculo. Rea-

1 1 ^ x + h x 4L h

-

y

/ 1 lice las operaciones indicadas y reduzca las respuestas a los

2t(l - 3.t)3 + 9:r(l - 3*)2 (1 - 3.r)6

„

* „ y ---- 2 + V *

. 2 15 1 + ------- i 'r , " 39. ----------- 40.

(jc + h)2 _ 43.

■■ ■

h

_

( jc

1 1 + h)2 x 2 h

x2 *+ 2

2x + 2h + 3 _ 2x + 3 44.

x + h

1■ —■

h

x

•~

A-42

Apéndice A


En los problemas del 45 al 52, imagine que las "soluciones ” indicadas le fueron dadas por un estudiante a quien está ase sorando en su clase. (A) ¿Es la solución correcta? Si considera que la solución es incorrecta explique p or qué y cómo se puede corregir. (B) Muestre una solución correcta para cada solución incorrecta. + 5* + 4 jí2 4- 5x -----------------= ------------= jt + 5 x + 4 x

x2 - 2 x - 3

x2 - I x

x - 3

x

(x + h) 2 - .t2 47.

4X . { x + h ) ' ~

49.

x*-lx x2 - x -

2

1+

( x +

l ) ' - x ' =

3x> +

3 x + l

„ x* - Z x + x - 2 , + x - 2 = ---------------- 1— = 1 x2 — x - 2

5U .

51.

Ix 2 _ X _ Ix 2 - x 2 — 2x = X x2 - 4 x — 2 x2 - 4 x +2

x+3 x2 - \

x - 2 x2 - 3 x + 2

SECCION

t

56. 1 -

- 2

1-

5 —

■+ t s - t

/ - x 2 1

=x

2 x- 1

x +

54.

a +

1- • 2

1-

= (x + l)2 - a2 = 2 x + 1

xl =

h

f 53.

jc2

46.

En los problemas del 53 al 56, realice las operaciones indica das y reduzca las respuestas a los términos más simples. Re presente cualquierfracción compuesta comofracciones simples reducidas a los términos más simples.

2x + 2 - x - 3 x2 - 1

x +x - 2 x 2 - 3x + 2

A-5

-

x

En los problemas 57 y 58. a, b, c y d representan los números reales. 57. (A) Pruebe que d/c es el inverso multiplicativo de c/d (c, d * 0). (B) Use el inciso (A) para probar que

1 x+1

ac _ a d b db c 58. Pruebe que ac _ a + c b b b

2

x-2

b* 0

Exponentes enteros Exponentes enteros Notación científica

Al matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650) generalmente se le atri buye la introducción de la muy útil notación de exponentes ‘V ”. Esta notación, así como otros avances en álgebra se encontraron en su libro G eom etría, publicado en 1637. En la sección A-2 se introducen los números naturales com o exponentes para es cribir de manera más corta un producto que involucre los mism os factores. En esta sección se desarrollará el significado de exponente para incluir a todos los enteros de tal manera que las formas exponenciales de los siguientes tipos tengan significado: 75

3.14°

La definición 1 generaliza la notación de exponentes para incluir al 0 y a los exponen tes enteros negativos.

A-5

DEFINICIÓN 1

Exponentes enteros

A -43

o", n un entero y o un número real. 1.

Para n un entero positivo: an = a • a

........... a

3J = 3 • 3 ■3 • 3 • 3

n factores de a 2.

Para n = 0:

a° = 1

a * 0

13 2 ° = 1

0 o no está definida 3.

Para n un entero negativo: ,------------------------------------------- ,

„

1 a" = -------

, n a # 0

- . I 1 | 1 7 , = -------- . = —

a-"

,

7-J-»

,

7J

Nota: En general, se puede mostrar que para todos los enteros n

EJEMPLO 1

1 a -n" = —

a * ——

a”

o5

1,=„ —1 c rJ

Uso de la definición de los enteros positivos Escriba cada inciso com o una fracción decimal o usando exponentes positivos.

(A) (« V )° = 1

u * 0,

(B) 10- 3 =

v * 0

-3

(C)


5

= 0.001

£ x3

Escriba los incisos (A)-(D) como fracciones decimales y los incisos (E) y (F) con expo nentes positivos. (A) 636° (D)

1 10 - 3

(B)

(E)

(a 2) 0

x

*

0

(C) IO' 5 u ~7

x

(F) — v

Las propiedades básicas de los exponentes enteros se resumen en el teorema 1. La prueba de este teorema implica inducción m atem ática . la cual se analiza en el capi tulo 10.

A-44

Apéndice A


Teorema 1

Propiedades de los exponentes enteros Para n y m enteros y a y b números reales:

1.

aman = am* n

tfo -7 ¡ = o5* '-” ¡ = o 2

2.

( a T = a™

(o5) - ^

3.

(ab)m = amb r

(ofa)J = o V

4.

a \m_

am

b)

br

b± 0

¡ = O'6

o V _ o4 b)

tf

L =

Qm-n

= os

-2

a

1

a"


= o < - J>J

0*_

a "-m

j- 2

1 n -l-l

1 n -S

La propiedad 1 del teorema 1 se puede expresar verbalmente de la siguiente manera: Para encontrar el producto de las dos formas exponenciales con la misma base, sume los exponentes y use la misma base. Exprese las otras propiedades en el teorema 1 verbalmente. Decida cuál encuentra más fácil de recordar, una fórmula o una descripción verbal.

EJEMPLO 2

Uso de las propiedades de los exponentes Sim plifique usando las propiedades de los exponentes, y exprese las respuestas usando sólo exponentes positivos.* (A) (3a5)(2a-3)

Í" = (3 • 2)(o5a -3) l

= 6a2

i-------- ----------- 1

„

6*-2 !

1 ’ ¿F» i ^

3j T 2-<-5> 4

I___________

(C) - 4 / - ( —4y )3 = —4y 3 - ( - 4 ) 3y> [ = - 4 y 3 - ( - 6 4 ) ^ 1 = —4y 3 + 64y3 = 60>’3

* L a palabra “simplificar" significa que se eliminan los factores c o m u n e s de los numeradores y denom i n a dores y se reduce al m i n i m o el nú m e r o de veces que la constante dada o la variable aparece en una expre sión. Se pide que las respuestas se expresen empleando exponentes positivos sólo en orden para tener una forma definitiva de una respuesta. Posteriormente en esta sección se enumerarán las situaciones donde se requieren los exponentes negativos en la respuesta final.

A-5

P roblem a

Exponentes enteros

A-45

Sim plifique usando propiedades de los exponentes, y exprese las respuestas usando sólo exponentes positivos.

io

(A) (5x~3)(3x*)

* PRECAUCION

(B) ^ 6y

(C) 2x* - (~2x)<

1 Tenga cuidado cuando use la relación a~" = — : a"

ab~‘ i= — ab ' # a 1+ b 1 a + b

ab ' = — b

y

(ab)' = — ab

—'— = (o + £>)” ' a+b

y

— +— = a ' +b ’

a

b

N o confunda las propiedades 1 y 2 en el teorem a 1: o ’O l'

^ a3'*

( a 5)4 i1 a3+4

a'a* a1 '

a’

propiedad 1, teorema 1

a1-*

a'1

propiedad 2, teorema 1

(o’)4

De la definición de exponentes negativos y de las cinco propiedades de los expo nentes, se puede establecer fácilm ente las propiedades siguientes, que se usan a m enu do cuando se trabaja con form as exponenciales.

Teorema 2

Propiedades adicionales de los exponentes Para a y b, cualesquiera núm eros reales y m , n y p cualesquiera núm eros enteros (se excluye la división entre 0): 1.

3

(ambny = c fmb r

Q~" = b~m

Prueba

qH

Se prueban las propiedades 1 y 4 del teorem a 2 y las pruebas de las propiedades 2 y 3 se dejan com o ejercicio. 1. (amb")p = (a"')p(b")p = apmbp"

propiedad 3, teorema 1 propiedad 2, teorema 1

A-46

Apéndice A


p ro p ie d a d 4, te o re m a 1



EJEMPLO 3

Uso de las propiedades de los exponentes S im plifique m ediante las propiedades de los exponentes, y exprese las respuestas usan do sólo exponentes positivos.

(A)


(22r 2=2-Vft-4=

Sim plifique m ediante propiedades de los exponentes, exprese las respuestas usando sólo exponentes positivos.

(A)(3íV>)-, (D) í- ^ l 3

(E)

*

(o - b y

A1 sim plificar form as con exponentes hay a m enudo m ás de una secuencia de pasos que le conducirán al m ism o resultado (véase ejem plo 3(B)). Use la secuencia de pasos que considere m ás adecuada.

Simplificación de una fracción compuesta Exprese com o una sim ple fracción reducida con los térm inos sim plificados al m ínimo:

1

1

x2

y2

B í\

11

x*y*

A-47

) +

j T2 - y’ 2 X~l + v_l

Exponentes enteros

* 1 + ^1

A-5

l\

1

______ _

_ xy2 + jry

(y -

-V)0U r - X )

xy(y^~x) 1

>’ ~ v


E x p rese co m o una sim p le fracció n red u cid a a los té rm in o s m ás sim ples:

1 - .V 2

• N o ta c ió n c ie n tífic a

El trab a jo cie n tífic o a m en u d o im p lica el u so de ca n tid a d es m u y g ran d e s o m uy p e q u e ñas. Por ejem p lo , una cé lu la p ro m ed io c o n tie n e a lre d e d o r d e 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m o lécu las, y el d iá m etro d e un electró n es de alre d e d o r d e 0 .0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 c e n tí m etros. E sto p o r lo g en eral cau sa p ro b lem as al esc rib ir y trab a jar con ca n tid a d es d e este tipo en fo rm a d ecim al estándar. N o se p u ed en in tro d u c ir las ca n tid a d es a n terio res en la m ayoría de las ca lcu lad o ras. C o n ex p o n e n te s y a d e fin id o s p ara to d o s los en tero s, es p o sib le ex p re sar c u a lq u ie r fo rm a decim al co m o el p ro d u cto de un n ú m e ro e n tre 1 y 10 y co n u n a p o te n c ia en tera de 10, es decir, en la fo rm a a X 10"

1 s a < 10, n es u n en tero , a está en fo rm a d ecim al

U n n ú m ero q u e se ex p resa en esta fo rm a se dice q u e está en

EJEMPLO 5

notación científica.

Notación científica C a d a n ú m e ro está escrito en n o tació n cien tífic a.

7 = 7 x 10° 720 = 7.2 X 102 6 430 = 6.43 X 101 5 350 000 = 5.35 X 106

0.5 = 5 x 1 0 '1 0.08 = 8 X 10"2 0.000 32 = 3.2 X lO " 4 0.000 000 0738 = 7.38 X 10~*

¿S e p u ed e d e sc u b rir u n a regla q u e rela cio n e el n ú m ero d e cifras d ec im a le s y la p o sic ió n del p u n to d ecim al co n la p o te n cia d e 10 q u e se está u san d o ?

A -4 8

Apéndice A


7 320 000

= 7.32 X 106

= 7.320 000. X 1066 lugares a la izquierda Exponente positivo ___________________________ i

= 0.000 000 5.4 X 10~7-1

0.000 000 54

= 5.4 X 10-

7 lugares a la derecha Exponente negativo

P ro blem a seleccion ado 5

(A )

E scriba cada n ú m ero en n otación cien tífica: 4 30; 23 000; 345 000 000; 0.3; 0.0031; 0 .0 0 0 0 00 683 (B ) E scrib a en n o tació n d ecim al están d ar: 4 X 103; 5.3 x 105; 2.53 X 10“2; 7.42 x 10~6

En la m ayoría de las ca lc u lad o ras se ex p resan n ú m e ro s m u y g ra n d e s y m uy p eq u e ñ o s en n o ta ció n cien tífic a. (E n c u a lq u ie r p arte en este libro en c o n trará e jercic io s o p cio n ales q u e req u ie re n u n a ca lc u lad o ra g rá fic a . Si tie n e u n a calc u lad o ra, seg u ra m en te la usará aqui. Por o tra p arte, c u a lq u ie r ca lc u lad o ra cie n tífic a será s u fic ie n te p ara reso lv er los p ro b lem as de este rep aso .) C o n su lte el m anual d e su ca lc u lad o ra p ara v er có m o se in tro d u cen en ella los n ú m ero s en n o tació n c ie n tífic a . A lg u n o s m é to d o s co m u n es para d esp leg a r n o tació n cie n tífic a en un a ca lc u lad o ra se m u estran a co n tin u ació n .

Representación numérica 5.427 493 X IO "17 2.359 779 X 10u

EJEMPLO 6

Despliegue de una calculadora gráfica típica

Despliegue de una calculadora científica típica 5 .4 2 7 4 9 3 - 1 7 (2 .3 5 9 7 7 9 1 8|

5 .4 2 7 4 9 3 E —17 |2 .3 5 9 7 7 9 e I 2 Í

Uso de la notación científica en una calculadora E scrib a ca d a n ú m e ro en n o tació n cien tífic a; d esp u és realice los cá lc u lo s u san d o su ca lcu lad o ra. (R e fié ra se al m anual del u su a rio de su ca lc u lad o ra p ara el p ro ce d im ie n to .) E x p re se la resp u e sta co n tres d íg ito s sig n ific ativ o s* en n o ta ció n cien tífic a. 325 100 000 000 0.000 000 000 000 0871

3.251 X 1 0 " 8.71 X 10’ 3 .7 3 2 4 9 1 3 8 9 b 2 4 | = 3.73 X 1024

Despliegue de calculadora Con tres dígitos significativos

* Para quienes no estén familiarizados con el significado de dígitos significativos, véase el Apéndice B en donde se analiza brevemente este concepto.

A-5

< 3 .2 5 1 E l 1 > / < 8 .71 e -1 4 ) 3 .7 3 2 4 9 1 3 8 9 e 2 4 3 2 5 1 Ò 0 0 0 0 0 0 0 / .0 0 00000000000871 3 .7 3 2 4 9 1 3 8 9 e 2 4

FIGURA 1

P r o b l e m a s e le c d o *

Exponentes enteros

A -4 9

La fig u ra 1 m u e stra d os so lu c io n e s a este p ro b lem a en un a ca lc u lad o ra g ra fic a d o ra . En la p rim e ra so lu ció n se in tro d u cen los n ú m e ro s en n o tació n c ie n tífic a , y en la se g u n d a se u tiliza una n o tació n decim al estándar. A u n q u e la línea m ú ltip le d esp leg ad a en p an talla de u n a ca lc u lad o ra g rá fic a p erm ite in tro d u c ir n ú m e ro s d ec im a le s e stá n d a r m u y g ra n des, u su a lm e n te la n o ta ció n c ie n tífic a e s m ás e fic ie n te y m e n o s p ro p e n sa a e rro re s en la n tro d u cc ió n de datos. A d em ás, co m o se m u e stra en la fig u ra 1, la ca lc u lad o ra usa n o tació n cie n tífic a para d esp leg a r la resp u esta, p resc in d ie n d o de la fo rm a en q u e se n tro d u ce n los núm ero s.

R epita el ejem p lo 6 para: 0.000 000 006 932 62 600 000 000

Medición del tiempo con un reloj atómico U n reloj ató m ic o que cu e n ta las e m isio n e s rad iactiv as del ce sio se usa p ara p ro p o rc io n a r la d e fin ic ió n de un seg u n d o . U n seg u n d o es d e fin id o co m o el tie m p o q u e le to m a al c e sio e m itir 9 192 631 770 ciclo s d e rad iació n . ¿ C u án to s d e esto s ciclo s p u ed e n o c u rrir en una ho ra? E x prese la resp u esta co n cin co d íg ito s sig n ific ativ o s en n o tació n c ie n tífica. Solución

(9 192 631 770)(602) =

'

= 3.3093 X 1015

P ro b lem a seleccion ado 7

R e fiérase al ejem p lo 7. ¿C u án to s d e esto s ciclo s p u ed en o c u rrir en un añ o ? E x p rese el resu ltad o con cin co d íg ito s sig n ific ativ o s en n o tació n cien tífic a.


X. 2. 3. 4. 5.

(A) 1 (B) 1 (C) 0.000 01 (D) 1000 (E) x* (F) v7a7 (A) I5x (B) 3/<2>J) (C) -I4x* (A) fl(9 x ‘) (B) (C) 2n7(5m) (D) x> (E) (a - h)2 x

(A) 4.3 X 102; 2.3 x 104; 3.45 X 10": 3 X 10'1; 3.1 x 10-’; 6.83 X 10*7 (B) 4 000; 530 000: 0.0253; 0.000 007 42 6. 1.11 X 10-'9 7. 2.8990 X I017

E J E R C IC IO

A-5

Las variables están restringidas para evitar la división entre 0.

Simplifique los problemas del I al 16 y escriba las respuestas usando sólo exponentes positivos.

1. y - y

2. x3* -3

3. (Z O tfx ’Xx4)

4. (2xs)(.3x7X4x¡)

5. (3 jcV 2)2

6. (2cd2)-’

7.

ab3' 4 c2d

>©)'

1025 • 1 0 '" 10" 3 • IO' 2

A -5 0

10. 12.

Apéndice A


10-4 10IO"2' • 10’

11.

»

(#)“

zx~ Y '

(Sí’

2abb~2 16

f Los problemas de! 49 al 54 son cálculos relacionados. Escriba cada problema en laforma axp + bx? o axp + bx1 + cxr, donde a. b y c son números reales y p, q y r son enteros. Por ejemplo,

4x~y3

15.

2v4 - 3 .r + 1

2r’

8 x 10’ 2 x IO-5

i

1 2í* 3a2 ¡ = 2? ~ 2? 2? ¡ i_________________ i 3 - x - —x

18 x 10'16. 6 X 10~4

2

Escriba los números de los problemas del 17 al 22 en notación científica. 17. 32 250 000

18. 4 930

19. 0.085

20. 0.017

49.

4 .r _ 1 2 2v

50.

51.

5x' - 2 3X2

52.

53.

2 r ' - 3.r

22. 0.000 592

21. 0.000 000 0729

En los pmblemas de123 al 28, escriba cada número en forma decimal estándar. 23. 5 x 10-’

24. 4

26. 6.5

27. 5.9

25. 2.69

X 10-*

+ a

2X2

54.

B _______

56.

(4 320)(0.000 000 000 704) (835)(635 000 000 000)

Simplifique los problemas del 29 al 42. y escriba las respues tas utilizando sólo exponentes positivos. Escriba las fraccio nes compuestas como Junciones simples.

57.

(5 760 000 000) (527XO.OOO 007 09)

58.

0.000 000 007 23 (0.0933)(43 700 000 000)

27.v~'V 29. 1 8 v -y • i 0 35.

37. (a: + y V 2

X

IO'4

“(£*r

32« V * 30. 24m-7»!7

f

K -\u * m

28. 6.3

IO"10

/

m

( W

41. ‘ ~ ' x ‘ —1 43. - K x 3 + i r ' O x 2) 40.

1+ * -!/ 39. 1 - a' :

- b2Y

/ x —y

42.

4 a-' 3.v4 - 4 a2 -

1

4.r'

i

i / 38. (
7x> - x 2

X 107

(32.7)(0.000 000 008 42) (0.0513X80 700 000 000)

X

6x' + 9 a 3.x3

Resuelva los pmblemas del 55 al 58 con tres dígitos significa tivos, utilizando notación científica donde sea apropiado y una calculadora. 55.

X 10*

I+ - X 1 -3 2

i< + v u~' +

En los problemas del 59 al 64. utilice una calculadora para evaluar cada uno de los siguientes problemas para cinco dígitos significativos. (Lea el manual de instrucciones que acompaña a su calculadora). 59. (23.8)8

60. (-302)7

61. (-3 0 2 )"7

62. (23.8)-®

63. (9 820 000 000)3

64. (0.000 000 000 482)*J

v" 1

44. - 2 ^ + 3a)-3(2a + 3)

12(a + 2 b y 3 6(tí + I b Y *

66.

67.

xy~2 - yx~2 y~' - j T 1

68.

/

x" >>

1

*

69.

I 1

Si m = —n, entonces la propiedad 1 en el teorema 1 impli ca que a "tí" = tí“ = 1. Explique cómo esto ayuda a obte ner la definición de a " .

65.

70.

4( a - 3 ) - 4 1 N >

Si n = 0, entonces la propiedad 1 en el teorema 1 implica que am tímau a° = tí"1 am*° "0 — = tí". a Explique cómo esto ayuda a obtener la definición de tí0.

Simplifique los problemas del 65 a! 70, y escriba las respues tas utilizando sólo exponentes positivos. Escriba fracciones compuestas como fracciones simples. 1

Refiérase al problema 45. ¿Cuál es la diferencia entre 2iV> y (23)2? ¿Cuáles concuerdan con el valor de 23"' obtenido en la calculadora?

00

¿Cuál es el resultado de introducir 2J; en una calculadora?

b~2 - c-2 b-3 -

c -3

r ¡r2 - v L(«"' - v-

A-6

APLICACIONES

71. C ien cias de la T ie r r a . Si la masa de la Tierra es de aproxi X

72. Biología. En 1929 Vemadsky, un biólogo, estimó que todo

75. Econom ía. Si en 1986 el contribuyente de Estados Uni

el oxígeno libre de la Tierra pesa 1.5 X 1021 gramos y que éste es producido sólo por la vida. Si 1 gramo es aproxi madamente 2.2 X I0~3 libras, ¿cuál es el peso del oxígeno libre en libras? 73. C ien cias de la com putación. Si una computadora puede

efectuar una sola operación en 10"'" segundos, ¿cuántas operaciones puede efectuar en I segundo? ¿En 1 minuto? Calcule las respuestas con tres dígitos significativos. * 74. C ien cias de la com putación. Si la electricidad viaja a la

velocidad de la luz (1.86

s e c c ió n

X

A-6

105 millas por segundo), ¿qué

E x p o n e n te s

A-51

distancia viajará la electricidad en el superconductor de la computadora (véase problema 73) en el tiempo que le toma realizar una operación? (El tamaño de los circuitos es un problema critico en el diseño de computadoras.) Dé el re sultado en millas, pies y pulgadas (1 milla = 5 280 pies). Calcule la respuesta con dos dígitos significativos.

”

madamente 6.1 X 1027 gramos y cada gramo es de 2.2 1 0 '3 libras, ¿cuál es la masa de la Tierra en libras?

Exponentes racionales

dos pagaba alrededor de S349 000 000 000 por concepto del impuesto sobre la renta federal y la población era de aproximadamente 242 000 000, calcule con tres dígitos sig nificativos el porcentaje de impuesto que paga cada con tribuyente. Escriba la respuesta en notación científica y en la forma decimal estándar. 76. Eco no m ía. Si el producto nacional bruto (PNB) de Esta

dos Unidos en 1986 fue de S4 240 000 000 000 y la pobla ción era de aproximadamente 242 000 000. estime con tres dígitos significativos el PNB por persona. Escriba la res puesta en notación científica y en forma decimal estándar.

ra c io n a le s

R aíces de n ú m e ro s reales E x p o n en tes rac io n ale s

Se c o n o c e y a el sig n ific a d o d e sím b o lo s co m o 35, 2 '3 y 7o; es d ecir, y a se d e fin ió a". d o n d e n es c u a lq u ie r en tero y a es un n ú m e ro real. Pero, ¿q u é sig n ific an sím b o lo s co m o 4 1/2 y 71'3? E n esta secció n se am p lía la d e fin ic ió n d e ex p o n e n te a los n ú m e ro s rac io n a les. Se p u d o h a c e r esto an tes, sin em b arg o , es n ec esario un co n o c im ien to ex acto del sig n ific a d o de “ raíz de un n ú m e ro ” .

Tal v ez rec u erd e q u e una raíz cuadrada de un n ú m ero b es un n ú m e ro c, tal q u e cr = b, y u n a raíz cúbica d e u n n ú m e ro b es un n ú m e ro d tal q u e cP = h. ¿C u áles so n las raíces cu a d rad as de 9?

3 es u n a raíz cu a d rad a d e 9, y a q u e 3 : = 9. —3 es u na raíz c u a d rad a d e 9, y a q u e ( —3 )2 = 9.

P or co n sig u ie n te, 9 tie n e d o s raíces cu a d rad as reales, un a es el n eg ativ o d e la otra. ¿C u áles son las raíc es cú b ica s d e 8?

2 es u n a raíz cu a d rad a d e 8, ya q u e 2 3 = 8.

Y 2 es el único n ú m e ro real co n es ta p ro p ied ad . En g en eral:

A -5 2

Apéndice A


DEFINICIÓN 1

Definición de una raíz nésima Para un núm ero natural n, y a y b núm eros reales: a es una raíz nésim a de b si a" = b


3 es una raíz cuarta de 81, ya que 3^

81

¿Es - 4 una raíz cúbica de - 6 4 ? ¿Es 8 0 - 8 una raíz cuadrada de —64? ¿Puede encontrar cualquier núm ero real b con la propiedad de que br = 64? [Si/gerencia : C onsidere el signo de b2 para b > 0 y b < 0.]

¿C uántas raíces cuadradas reales de 4 existen? ¿De 5? ¿De —9 ? ¿C uántas raíces cuartas reales de 5 existen? ¿D e - 5 ? ¿C uántas raíces cúbicas reales de 27 están presen tes? ¿D e - 2 7 ? El siguiente teorem a im portante (establecido sin prueba) responde estas preguntas.

Teorema 1

Número de raíces reales nésimas de un número real

b positivo

b negativo

b*

n p ar

n im p ar

Dos raíces reales nésimas

Una raíz real nésima

- 3 y 3 son las dos raíces cuartas de 81

2 es la única raíz cúbica real de 8

Raices nésimas no reales

Una raíz real nésima

—9 no tiene raíces cuadradas no reales

—2 es la única raíz cúbica real de - 8

En consecuencia. 4 y 5 tienen dos raíces cuadradas reales cada uno, y —9 ninguna. Hay dos raíces cuartas reales de 5 y ninguna para —5. Y 27 y —27 tienen una raíz cúbica real cada una. ¿Q ué sím bolos se utilizan para representar estas raíces? En segui da se vuelve a esta pregunta.

rn c io n a le s

Si todas las propiedades de los exponentes se van a m antener constantes aunque atgunos de los exponentes sean núm eros racionales, entonces ( 5 1/3)3 =

53/3 =

5

y

(71/2)2 = 72/2 =

7

D ebido a que el teorem a 1 establece que el núm ero 5 tiene una raíz cúbica real, parece preferible usar el sím bolo 5 1/3 para representar esta raíz. Por otra parte, el teorem a 1 establece que 7 tiene dos raíces cuadradas reales. ¿Q ué raíz cuadrada real de 7 repre senta 7 1'1? La respuesta a la pregunta se da en la siguiente definición. *En esta sección se limita el análisis a las raices reales de los números reales. Después de que los números reales se extienden a los números complejos (véase sección I -5), las raices adicionales se deben de conside rar. Por ejemplo, aparece que 1 tiene tres raíces cúbicas: además del número real 1, hay otras dos raíces cúbicas de 1 en el sistema de números complejos.

A-6

DEFINICIÓN 2

b Vn


A -53

raíz principal nésima

Para n un núm ero natural y b un núm ero real,

b Un es la raíz principal nésima de b d efinida como: 1.

Si n es par y b es positivo, entonces b v” representa la raiz positiva nésim a de i . 16,/2 = 4

no - 4 y 4.

- 1 6 ,,:2 = - 4

2.

- 1 6 1/J y ( - 1 6 ) l/2 no son iguales.

Si n es par y b es negativo, la b' " no representa un núm ero real. (Posterior m ente se profundizará en este caso.) ( - 1 6 ) ,/2 no es real.

3.

Si n es impar, entonces b Vn representa la raíz real wésima de b (sólo hay una). 32’" = 2

4.

EJEMPLO 1

O1'" = 0

0 '" = 0

(-3 2 )'» = - 2

0I/6 = 0

Raíces principales nésimas (A) 9 ,n = 3 (B) —9 'n = —3


Compare los incisos (B) y (C).

(C) ( - Ç ) 1^ no es un núm ero real.

(D) 27l/3 = 3

(E) ( —27)l/3 = - 3

(F) 0 ,/7 = 0

Encuentre cada una de las expresiones siguientes: (A) 4 W

(B) - 4 ' n

(D) 8 ,/3

(E) ( —8)1/3

(C) (-4 )« « (F) 0 ,/g

¿Cóm o se define el sím bolo 72/3? Si las propiedades de los exponentes son válidas para exponentes racionales, entonces 72/3 = (7 1'3)2; es decir, 72/3 debe representar el cuadrado de la raíz cúbica de 7. Esto conduce a la siguiente definición general:

DEFINICIÓN 3

t/nin y ¡j-m/H'

número racional como exponente

Para m y n núm eros naturales y b cualquier núm ero real (excepto b que no puede ser negativo cuando n es par): f f " = i b 1")1”

y

4V2 = (4 1/J)3 = 2 3 = 8

Ij-mln = 4 - J'J = —

( -3 2 )s,s Í f C - 3 2 )''s]3 = ( - 2 ) 1 =

1 bmln

43« -8

= —

8

( - 4 )3'2 no es real

A -5 4

Apéndice A


A h o ra que se ha an a liz ad o b"' " p ara to d o s los n ú m e ro s rac io n ale s m /n y n ú m e ro s rea les b. Se pu ed e m o strar, au n q u e no se h ará aq u í, qu e las cin co p ro p ied a d es d e los ex p o n e n te s e n lista d o s en el te o re m a 1 d e la secció n A -5 co n tin ú an sie n d o v álid as para los ex p o n e n te s rac io n ale s en tan to se eviten las raíc es p ares d e n ú m e ro s neg ativ o s. En efecto , con esta ú ltim a restricció n la sig u ien te rela ció n útil es un a co n sec u en cia in m e d ia ta de las p ro p ied a d es de los ex p o n en tes:

Teorema 2

Propiedad de los exponentes racionales P ara m y n n ú m ero s n atu ra les y b c u a lq u ie r n ú m e ro real (ex c ep to b qu e no p u ed e s e r negativo cu a n d o n es par):

( b [/T

(bmy iH


81J} = Í ( 8 'T

1(8J)’ >

E n cu e n tre la co n tra d icc ió n en la sig u ien te ca d en a de ecu acio n es:

- 1 = ( - l ) 2/2 = [ ( - l ) 2] 1/2= V a = 1

(1)

¿E n d ó n d e se in ten tó u sa r el te o re m a 2 ? ¿P o r q u é esto no fue co rrec to ?

L as tres fo rm a s ex p o n e n ciale s en el te o re m a 2 son ig u a les siem p re q u e só lo se im p liq u en n ú m e ro s reales. Pero si b es n eg ativ o y n es par, e n to n ce s b ' " no es un n ú m e ro real y el te o re m a 2 no n e c esariam en te se cu m p le, co m o se ilu stra en el ap a rtad o de e x p lo ra ció n y an á lisis 2. U n a m a n era d e ev itar esta d ific u lta d es su p o n e r q u e m y n no tie n en fac to re s com u n es.

EJEMPLO 2

Uso de los exponentes racionales S im p lifiq u e y ex p rese las re sp u e sta s u sa n d o só lo ex p o n e n te s p o sitiv o s. T odas las litera les rep rese n tan n ú m e ro s reales p o sitiv o s.

22 = 4 or 8W = (82) 1'3 = 64,/3 = 4 (B) (-8 )5/3 = [(—8)1/3]5 = (-2 )5 = -32 (C) (3*1/3)(2x,/2) = 6.r1/3+l/2 = &rV6

(A) 8 ^ = (8 1/3)2 =

(D) (

4jci/3\ i/2 _ 41/2^1/6 vi/4 * ,/2 )

rl/4 —1/6

(E) (m,/2 — 2v,/2)(3u m 4 v,/2) = 3u — 5u m v xa — 2v

A-6



A -55

S im p lifiq u e y ex p re se las resp u estas u san d o só lo ex p o n e n te s p o sitiv o s. T odas las litera les rep rese n tan n ú m e ro s rea les p o sitiv o s. (A) 9 in

(B) ( —27)4/3

(C) (5yV4)(2 y'n ) (D) ( 2 r “ 3/y /4)4

g x l / 2 \ 1/3

(

-p s-1

EJEMPLO 3

(F) (2 x m + y 'n )(x 'n - 7>ym )

Evaluación de formas exponenciales racionales con calculadora E valúe con cuatro d íg ito s sig n ific ativ o s u san d o ca lcu lad o ra. (R e fié ra se al m an u al de in stru c cio n e s de su ca lc u lad o ra p ara v er có m o se evalúan las fo rm as ex p o n e n ciale s.) (A) U 3'4

Soluciones

(B) 3 . 1046-2/3

(C) (0.000 000 008 437)3/"

(A ) P rim ero ca m b ie j a la fo rm a decim al e stá n d a r d e 0 .7 5 ; d esp u és ev alú e 1 1075 m e d ia n te u n a ca lcu lad o ra. 113/4 = 6.040 (B) S.KW ó’ 2' 3 = 0.4699 (C) (0.000 000 008 437)3/" = (8.437 X

lO“9)3'11

= 0.006 281


E valúe con cu a tro d íg ito s sig n ific ativ o s u sa n d o ca lcu lad o ra. (A) 23/8

EJEMPLO 4

(B) 5 7 .2 8 _5/6

(C) (83 240 000 000)5/3

Simplificación de fracciones que implican exponentes racionales

H

E scrib a la ex p re sió n sig u ien te co m o un a fracció n sim p le red u c id a a los té rm in o s m ás sim p les y sin ex p o n e n te s negativos:

(1 + jc2),/2(2jc) - jc ^ X I + ^ y u\2 x ) 1 + A2

Solución

El ex p o n e n te negativo in d ica la p rese n cia d e un a fracció n en el n u m erad o r. M u ltip liq u e el n u m e ra d o r y el d e n o m in a d o r p o r (1 + j r ) l/2 p ara e lim in a r el ex p o n e n te n eg ativ o y sim p lifiq u e.

(1 + *2) l/2(2r) - ^ (|) (1 + j e r l/2(2x) 1+*2

(1 + X 2)1'2 ’ ( 1 + j t 2) " 2

A -56

Apéndice A


2x(l +

x 2)

—x 3

( l + x 2)3'2

_ 2x ~

+

2x*

-x 3 _

(1 + x 2)3'2

2x

+

x3

~ (1 + x2)3'2

+ x 2) (1 + x 2)3'2 x(2

P r o b l e m a seleccionado 4

E scrib a la ex p re sió n sig u ien te co m o un a fracció n sim p le red u cid a al té rm in o m ás sim p le y sin ex p o n e n te s negativos:

j t ^ X l + x2r m (2x) - (1 + ¿ ) m (2x) jc4


1. (A) 2 (B) - 2 (C) No e s real (D) 2 (E) -2 2. (A) 27 (B) 81 (C) 10yv,í (D) 16y/x3(E) 2Ix'1" 3. (A) 1.297 (B) 0.034 28 (C) 1.587 X lO" 4. -(2 + .^(/[x’d + .r2)'«]

E J E R C IC IO

27. En los problemas del 1 al 12. evalúe cada expresión que resul te en un número racional. 161/2

2.

541/3

4. 163'4

5. - 3 6 w

7. (-3 6 ) m

8.

10 .

(£ )M

(F) Ix - Sx'^y'12 - 3y

A-6

Todas las variables representan números reales positivos a menos que se indique otra cosa.

1.

(F) 0

(-3 2 )w

1 1 . 9 - 3«

8* -1/3 12* /

3°- (

25.

/ 8a-*b3 \" [ n a 2^ 3]

26.

28.

6a3'4 15a -'n

29.

25x Y ' y 16x‘ 3y ' 5/ l a ^ b - " 2V

{ au2bV2 /

- l/3 v l/2 \6

^

j

3. ló3* 6.

325/5

9. (5>3/J 1 2 . g-2/3

Simplifique los problemas del 13 al 20, y exprese las respues tas usando sólo exponentes positivos.

En los problemas del 31 al 38, multiplique y exprese las res puestas usando sólo exponentes positivos. 31. 2m'f3(3mV3 - m*)

32. 3aj/4(4jc,/4 - 2r*)

33. (a'a + 2b'r2)(a'n - 3b'n) 34. (3u'a - vm)(u'n - 4v,/2)

13. y 1* / "

14. a1"*3'4

15. d V3d - 'r3

16.

17. (y-»)’''6

18. (x -2/3) ' 6

. t i /4a " 3'4

19. (8*3y_*)l/3

20. (4 u -V ),/2

B __________________________________________ Simplifique los problemas del 21 al 30, y exprese las respues tas usando sólo exponentes positivos.

35. (2x'n - 3yl' 2)(2x,/2 + 3y,/2) 36. (5m m + nm)(5m'a - n'n) 37. (x'n + 2 y'n )7

38. O x'n - y 1'1 )2

En los problemas de! 39 al 46, e\>alúe con 4 dígitos significati vos usando calculadora. (Refiérase al manual de su calcula dora para ver cómo se evalúan las formas exponenciales.) 39. 155*

40. 223/2

41. 103-3/4

42. K 2 1 - ™

43. 2.876""

44. 37.097/>

45. (0.000 000 077 35)_2/7

46. (491 300 000 000)7'4

A-7

Los problemas del 47 al 50 ilustran los errores comunes que implican exponentes racionales. En cada caso, encuentre ejem plos numéricos que muestren que el lado izquierdo no siempre es igual al lado derecho.

67

1

50. (x +

(.x + yŸ

y T 117

*

4x

4x

4x

1 ?

54.

12x''2 - 3

52.

4x,,z 2X3'4 + 3xl/3

55.

3x

x™ + 2 2x'°

53.

x2 - 4xl/2 2xl/3

56.

3X2" + x l/2 2x l/3 - x 'n 4xl/2

En los problemas del 57 a! 60. m y n representan enteros posi tivos. Simplifique y exprese las respuestas usando exponentes positivos.

59

58. { a ^ b ^ y '1'

12

60. (am0fr"/2r 6

6!. Si es posible, encuentre un valor real de x tal que: (A ) (x2) 1'2 * x (B ) (x2)1« = x (C ) (x3) 1'3 * x 62. Si es posible, encuentre un valor real de x tal que: (A ) (x2) 1« * - x

(B ) (X2) 1« = - x

(x - l )l/2 - x(^)(x - 1 ) - |/2 x - 1 2(3x - 1

- (2x + l)(j)(3 x - l ) ' 2^ ) (3x - l ) 2'3

(x + 2)w - x(^)(x + 2) - /3

68-

V T Í r -----------

APLICACIONES 69. Econom ía. E l número de N unidades de un producto ter minado producido con x unidades de mano de obra y y unidades de capital en cierto país del tercer mundo está aproximado por

N = 10xvy /4

Ecuación de Cobb-Douglas

5x

c

57. 0av"bvm)'ri

A -5 7

(2x - 1)1/2 - (x + 2 X j)(2 x - l)~ 1/2(2) 2x - 1

*

(x +y r

Los problemas del 51 al 56 están relacionados con el cálculo. Escriba cada problema en la forma axp + bx1’, donde a y b son números reales y p y q son números racionales. Por ejemplo. T I 2x,/3 + 4 ¡ lx 'n 4_ -I + — = TX,/3* ‘ + X II

51.

66.

48. (x3 + y3)1'* * x + y

47. (x + y)1'2 * 49. (x + yy ” í

65.

Radicales

(C ) (x3) 1« = - x

Estim e cuántas unidades de un producto terminado se pro ducirán usando 256 unidades de mano de obra y 81 unida des de capital. 70. Econom ía. E l número de N unidades de un producto ter minado producido por cierta compañía automotriz donde las x unidades de mano de obra y las v unidades de capital que se usan están aproximadas por

N = 50x1/2y 1/2

Ecuación de Cobb-Douglas

C alcule cuántas unidades se producirán usando 256 uni dades de mano de obra y 144 unidades de capital. 71. D istancia de frenado. R. A . Moyer de la Universidad E s tatal de Iowa, encontró, en pruebas completas realizadas en 41 pavimentos mojados, que la distancia de frenado d (en pies) para un automóvil particular que viaja a v m illas por hora estaba dada aproximadamente por

d = 0.0212v7/3 63. Si n es par y b es negativo, entonces b ' " no es real ¿ S im e s impar, n es par y b es negativo, es (b")'" real? 6 4. Si se supone que m es impar y n es par, ¿es posible que uno de (b' ")my (bm)' ” sea real y el otro no? ¡ Los problemas del 65 al 68 se relacionan con el cálculo. Sim

plifique escribiendo cada expresión como una fracción simple reducida a los mínimos términos y sin exponentes negativos.

S E C C IO N

A-7

Aproxim e la distancia de frenado al pie más cercano para un carro que viaja sobre un pavimento mojado a 70 m illas por hora. 72. D istancia de frenado. De manera aproximada, ¿cuántos pies le tomaría al carro del problema 71 detenerse en el pavimento mojado si estuviera viajando a 50 m illas por hora? (Calcule la respuesta al pie más cercano.)

R a d ic a le s

•

D e los ex p o n e n te s rac io n ale s a los rad icales, y v icev ersa P ro p ie d ad e s d e los rad icales S im p lific a c ió n de rad icales S u m as y restas P roductos O p erac io n es de racio n aliza ció n

A -5 8

Apéndice A


¿Qué hace que las siguientes expresiones algebraicas tengan algo en común?

2m

1

2x™

x ,/2 + y '12

V2

2 ^ /P

1 Vx + Vy

C ad a p a r v ertical rep rese n ta la m ism a c a n tid a d un a en fo rm a de ex p o n e n te racio n al y la o tra en fo r m a radica l. H ay o ca sio n e s en q ue es m ás co n v en ien te tra b a ja r co n rad ic a les q u e con ex p o n e n te s rac io n ale s, o viceversa. En esta se cció n se ve có m o las dos fo rm a s están rela cio n a d as y se inv estig an alg u n as d e las o p e ra cio n e s b ásica s d e los radicales.

• D e lo s e x p o n e n t e s r a c i o n a l e s a lo s r a d ic a le s , y v ic e v e rs a

DEFINICIÓN 1

S e in ic ia este an á lisis d efin ie n d o un

radical de raíz nésima:

"C b, radical de nésima raíz Para un n ú m e ro natural n m ás g ran d e q ue 1 y b un n ú m e ro real, se d e fin e '¡V~b la

raíz principal nésima (v éase la d e fin ic ió n 2 en la secció n A-6); es decir, V b = b '1” S i n = 2 , se escrib e V b en lu g ar de 'V b

V25 1 = 25,n i = 5 I ______ _

V T2

-V 2 5

V -tt

! = - 2 5 '« ' = - 5

1________i

V - 2 5 no es real

I 1 = 32'« i = 2 I ________ 1 = ( - 3 2 ) 1'5 1 = - 2

i ___ ___ 1 _i

V Ó = 0,rt = 0

El sím b o lo V se llam a radical, n se llam a índice y b se llam a radicando. C o m o an tes se in d icó , a m en u d o es un a v en taja p o d er c a m b ia r h ac ia atrá s y hacia ad e la n te en tre las fo rm a s co n ex p o n e n te s rac io n ale s y las fo rm a s co n rad icales. L as re la c io n e s sig u ien tes, q u e so n co n sec u en cias d irec tas d e la d e fin ic ió n 1 y del te o re m a 2 de la se cc ió n A -6, son ú tiles en este caso.

Conversiones de los exponentes racionales y radicales Para m y n enteros positivos (n

>

1), y b no negativo cuando n es par,

( b m )Un tr" =

= V b m

.

; (6‘ T

=(Vbf

A-7

Radicales

A -5 9

N o ta : A m e n o s q u e se in d iq u e lo co n tra rio , to d a s las v ariab les en el resto del an álisis están restrin g id as de m an era q u e to d a s las ca n tid a d es im p lica d as so n n ú m e ro s reales.


E n cada una de las sig u ien te s ex p re sio n es, ev alú e a m b as fo rm as rad icales. 163/2 = V Í 6 3 = ( V l 6 ) 3 2 7 2/3 = Í / 2 1 2 = O v/27)2

¿C uál fo rm a de con v ersió n rad ical es m ás fácil d e u sa r si se están h ac ie n d o los cá lc u lo s a m an o ?

EJEMPLO 1

Conversiones de exponentes racionales a radicales C a m b ie de la fo rm a d e ex p o n e n te racio n al a la fo rm a rad ical. (A ) x 'n = V x (B) (3 w 2v3) 3/5 = ^ ( 3 m 2v 3) 3

o

( V 3 m2v 3) 3

U su alm en te se p refiere el p rim e ro

or

C a m b ie d e la fo rm a rad ical a la fo rm a d e ex p o n e n te racio n al. (D) V ò = 6 1/s


(E)

—V P = -.v 273

(F)

V.v2 + y2 = (x2 + y 2)'12

C a m b ie d e la fo rm a de ex p o n e n te racio n al a la fo rm a radical. (A) u 'a

(B) (Ól-v2/ ) 279

(C) (3.vy)-3'5

C a m b ie de la fo rm a de rad ical a la fo rm a d e ex p o n e n te racio n al. (D)

(E) - V â x ) *

(F) V x 3 + f

• Pro p ied ad es de los A l p ro ce so de ca m b io y sim p lific a c ió n d e ex p re sio n es rad ic ale s se les su m a la introrn d icaíe ■ d u cc ió n de varias p ro p ied a d es d e los rad ic ale s q u e se d ed u c en d irec tam en te de las p ro p ied a d es d e lo s ex p o n e n te s an tes co n sid erad o s.

A -6 0

Apéndice A


Teorema 1

Propiedades de los radicales Para n un núm ero natural más grande que 1, y .v y y núm eros positivos reales: 1.

= x

v/? = *

2. ■»

EJEMPLO 2

\7 y "fx _ y * V y V j

4 r* - ^ * V y -
Simplificación de radicales Sim plifique: (A) ^ ( 3 r 7 ) 5 = 3x*y (B) V T Ô V 5 = V5Ô = V25^2 = V25V 2 = 5V2


PRECAUCIÓN

En general, las propiedades de los radicales se pueden usar para sim plificar tér m inos elevados a potencias. Así, para x y y núm eros reales positivos, y/x*+

y *

# V ¿

+

= X +

y

pero V t 2 + 2xy + y 2 =

• S im p lific a c ió n d e ra d ic a le s

+ÿÿ = x + y

Las propiedades de los radicales proporcionan el significado del cam bio de expresio nes algebraicas que contienen radicales a una variedad de form as equivalentes. Una form a que con frecuencia es m uy útil es una form a sim plificada. U na expresión algebraica que contiene radicales se dice que está en fo rm a sim p lifica d a si se satisfa cen las cuatro condiciones que se exponen en la siguiente definición.

A-7

DEFINICIÓN 2

Radicales

A-61

Forma (radical) simplificada 1.

N in g ú n rad ic an d o (la ex p resió n d en tro del sig n o rad ical) co n tien e un fac to r a u n a p o te n c ia jn á s g ra n d e o igual q u e el índice del radical. Por ejemplo, V xs viola esta condición.

2.

N in g u n a p o te n cia del rad ic an d o y el ín d ice del rad ical tien e un fac to r co m ú n diferen te de 1. ^

^

Por ejemplo, V 7 viola esta condición.

3.

N o h ay rad ic ale s en un d en o m in ad o r. Por ejemplo, y / V x viola esta condición.

4.

N o hay fra cc io n es d en tro d e un rad ical. Por ejemplo, V 'J viola esta condición.

EJEMPLO 3

Determinación de la forma simplificada E x p rese los rad ic ale s en fo rm a sim p lifica d a. (A ) V 12 * V z 2 = V ( 4 . r V : ‘ )(3 x y )

I-------- -----------------¡ = V(2x>'2z)2(3xy)

La c o n d ic ió n 1 n o se c u m p le .

„pmypn m (*«iy«y

= V (2 x y 2z ÿ V 3 x ÿ Vxÿ = ‘Vx'Py L----------------------------1

V7i = x

= Ix fz V íx y (B )

1^ =

1v/ (6 .r> ’)(4.r 5y 2)

j

'0'x'C/ÿ = \"'xy

= ^ /2 4 x Y = ^ (8 * V )(3 * )


= ^ (2 jr2y)3(3x) Vxÿ = '¡/x'C'y = Zr2) - ^ (C )

y 16.vJ v: = [(4 .r 2y ) 3] l/6


i------------------1 = (4 x 2y ) 3/6 j

N o te la c o n v en ien c ia d e u sar los e x p o n e n te s racionales.

= (4x1}’)1'3 = 's/Á ry (D )

^ 2 7

= [( 3 , ) ,/2] l/3

r ----------------------,

A -6 2

Apéndice A



Exprese los radicales en form a sim plificada. (A) V l& r V z 5

• S u m as y re s ta s

EJEM PLO 4

(B) < fiñ a sí?< /3aibi

(C) V S ÿ ÿ 5

(D) V ^ 4

Las expresiones algebraicas que im plican radicales con frecuencia se pueden sim plifi car sum ando y restando los térm inos que contengan exactam ente las m ism as expresio nes radicales. A hora se procede esencialm ente de la m ism a m anera que cuando se com binan térm inos sem ejantes en polinom ios. La propiedad distributiva de los núm e ros reales desem peña un papel central en este proceso.

C o m b in a c ió n d e t é r m i n o s s e m e ja n te s C om bine tantos térm inos com o sea posible: T-----------(A) 5V3 + 4V3 [= (5 + 4)V3 j = 9V3

(B)

l'Vxy' -

7 ^ 7 [= ( 2 - 7 r f ó y * j = - 5 > ^

(C) 3 V xy — l'V x y + 4 \ í x y - l'V x y [ = 3 V !y y + 4 VÁy - l'V x y - l'J/x y j = l \ / x y - 9 '^ /x y


C om bine tantos térm inos com o sea posible: (A) 6 V 2 + 2 V 2

(B) 3
(C) 5 yl /mr? - 3 v W i — 2 'fymn2 + l^ /m ñ

• P ro d u c to s

EJEMPLO 5

A hora se considerarán varios tipos de productos especiales que im plican radicales. La propiedad distributiva de los núm eros reales desem peña un papel central en el enfoque de estos problem as.

Multiplicación de formas radicales M ultiplique y sim plifique:

(A) V 2(V ÏÔ - 3) = V 2 VTÔ - V 2 • 3 = V2Ô - 3V2 = 2V5 - 3V2 (B) (V 2 - 3)(V2 + 5) = V 2 V 2 - 3V2 + 5V2 - 15 = 2 + 2V2 - 15 = 2V2 - 13 (C) (V x - 3)(Va + 5) =

V x V x

- x

- 3V a + 5V a - 15

+ 2V a - 15

A-7

(D)

Radicales

A -63

( V w + V /P x V m 5 - V ñ ) — V n ? + V n f n 2 — V w /i - V /r ’ = m - V rrn + V m V - n

Pro blem a seleccionado 5

• O p e ra c ió n j ra c io n a liz a c ió n


M u ltip liq u e y s im p lifiq u e :

(A)

V 3 ( V 6 - 4)

(B) ( V 3 - 2 ) (V 3 + 4)

(C)

( V y - 2 ) (V y + 4)

A h o ra se co n sid eran las fraccio n es alg eb raic as q u e im p lican rad ic ale s en el d en o m in ador. AI h echo d e elim in a r un rad ical de un d en o m in a d o r se le llam a racionalización del denominador. P ara rac io n aliza r el d e n o m in a d o r se m u ltip lic a al n u m e ra d o r y al d e n o m in a d o r p o r un fac to r a d e cu a d o q u e rac io n alice al d en o m in ad o r, es d ecir, q u e d eje al d e n o m in a d o r libre d e rad icales. A l fac to r se le llam a factor de racionalización. L os siguientes productos esp eciales se usan para en co n trar alg u n o s factores de racionalización (v éase los e jem p lo s 6(C ), (D )): (a — b)(a + b) = a 2 — b 2

(1)

(o - b )(a 2 + ab + b2) = a 3 - h 3

(2)

(a + b )(a 2 — ab + b2) = a 3 + b 3

(3)

U se lo s a n te rio re s p ro d u c to s e s p e c ia le s (1 ) a (3 ) p ara e n c o n tra r un fa c to r d e racio n aliza ció n p ara ca d a un a d e las e x p re sio n es sig u ien tes:

(B) V a + V b

(A ) \ T a - V b

EJEMPLO 6

(D) ( V ? - V ? ) ( V a + V y )

(C ) V a - V b

(D) V a + V b

Racionalización de denominadores R acio n alice los d en o m in ad o res. 3

\ (V

,A) v T

Soluciones

„3/ 2?

,B )

(C)

Va + Vy 3V

a

-

(D)

2V y

Vm + 2

(A ) V Ü es un fac to r de racio n aliza ció n p ara V~5, y a q u e V 5 V 5 = V 5 2 = 5. Por co n sig u ie n te, se m u ltip lic a el n u m e ra d o r y el d e n o m in a d o r p o r V~5 p ara ra c io n a liz ar el d en o m in ad o r: 3

_

3\ 5

_ 3V 5

V5 “ V5 V 5 “

¿¡2¡? (B)

V ia -

\3 b > ~ V W ~

V k r ■V b V3P \

»

5

V 2 • 3-a-b 3b

A -6 4

Apéndice A


(C ) El p ro d u cto esp ecial (1 ) su g iere qu e si se m u ltip lica el d en o m in ad o r 3 V x — 2 \ ' y p o r 3 V x + 2 \ í y se o b tie n e la d iferen c ia d e los cu a d rad o s y el d en o m in ad o r e sta rá racio n alizad o .

Vx

+ Vy _ (Vx + V y )< 3 V x + 2 \ y)

y3Vx -

(3Vx - 2Vy)<3\ x + 2 \ v

l V y ~

3 V ? + 2Vxy -I- 3Vxy + 2

V ?

(3Vx)2 - (2V y ) 2 3x + 5 V x y + 2 y 9 x - Ay

(D ) El a n te rio r p ro d u cto es£ ecial (3) su g iere q u e si se m u ltip lic a el d e n o m in a d o r V m + 2 p o r ( V m ) 2 - 2V m + 22 se o b tie n e la su m a de d o s cu b o s y el d en o m in ad o r estará rac io n alizad o .

_ 1

____ __

Vm + 2

\'m +

2

;]

(V m + 2 )[ i \' n i ) - 2 \'

m

+

1

| ( \ W

-

2

_ V m 1 - 2V m + 4

Í"

(V m )3 + 23

’ 2

’ |

| Í

I_____________________ I _ ^ /ñ ? - 2 V m + 4 m + 8


R a cio n alice los d en o m in ad o res.

(A) y f e

(B) ^

(Q W Ì + 3

(D) 1 - V y

Respuestas a los p r o b l e m a s seleccionados

1. (A) (B) N/'f&ryV o (^6xV )2 (C) l/'v/(3xyP (D) (9u),rt (E) - ( 2 i r (F) (jr5 + y’)l/s 2. (A) u2 + v2(B) 2\/3 (C) (VS3)/2 o 3. (A) 3jrVrVSz (B) 3a3/)^ P = 3a2&Vfr (C) (D) \^2 4. (A) 8\/2 (B) - 5 -^ P y 5 (C) 3'^mñI + 4Vmñ 5. (A) 3V2 - 4V3 (B) 2V3 - 5(C) y + 2Vy 3V2x , 2* + V5 - 6 1 + ty y + V ? 6. (A) (B) SS'VT? (C) — -------— (D) ----------------jr 4.t - 9 1- y

- 8(D)x +Vx*y- 'V x? - y

A-7

EJERCICIO

Radicales

A -65

A-7

A menos que se establezca lo contrarío, todas las variables están restringidas a que todas las cantidades implicadas sean números reales.

En los problemas de153 al 64, racionalice los denominadores y escriba en forma simplificada.

En los problemas del I al 8, cambie a la forma radical. No simplifique. 1. m2"

2. n4"

3. 6xsn

4. 7y»

5. (4^

6.

7.

(,r + y)'a

’)w 8. x,a +y'n

(lxly)in

En los problemas del 9 al 16, cambie a la forma exponente racional. No simplifique.

9.

Vb

12. Im V ir

15.

Vx + Vÿ

10.

Ve 13. VÜPy? 16. Vx +y

11. 5 ^ ?

14.

V(3m4n)2

En los problemas del 17 al 32, escriba en forma simplificada.

17. 20. 23. 26. 29. 32.

V^ V\6 ^ 7 \ / 871? Vr 7 ? VVy V lv V 8xy

18. ^ 2 7

19.

21. Ÿ 16m V

22.

24.

25.

V 27/nV

27.

28.

30.

31.

V 9? ÿ ■'J/32a15¿>10 VFTy* W V9?V 9Í

En los problemas del 33 al 40. racionalice los denominadores y escriba en forma simplificada.

33.

1 V5

i 2r Vóy V2 ' 39. Vó + 2 36.

34. 37. 40.

1

35.

V7 V2 - 1

38.

6x V&

4 Vó - 2

V2 VIÔ - 2

En los problemas del 41 al 52, escriba en forma simplificada.

4 i.

.v'C^vy7

. V T h^?

44.

47.

---------UV

VWP 49. VÏFfV&ÿ 51. Va} + fr’

45.

- a)2 48.

43.

V l l m ’n*

46.

Ÿ 36(h + v)6

2mn

VW f 50. V4¿ñ¡V6¡P? 52. V F T ?

7 ¿os problemas del 65 a! 68 se relacionan con el cálculo. Ra

cionalice los numeradores: esto es. realice las operaciones en las fracciones que eliminen los radicales de los numeradores. (Ésta es una operación particularmente útil en algunos pro blemas de cálculo).

V t-V x t- x Vx - Vy 66. Vx + Vy Vx + h - Vx 67. 65.

68.

V 2 +h + V 2

— y.

O S?-

A -6 6

Apéndice A


En los problemas del 69 al 80. evalúe con cuatro dígitos signi ficativos con una calculadora. (Lea las instrucciones en el ma nual de su calculadora para el proceso necesario para evaluar V~x.) 69. V0.049 375

70. V306.721

71. V27.0635

72. V0.O7O 144

73. VO.OOO 000 008 066

74. V ó 423 000 000 000

75. V 7 + V 7

76. V 4 + V 5

77. V
78. V v 7? y V 5

1 V2 79‘ V5 y T

1 80. VS

V55

Demuestre q u e N / V x = \?x~para m y n que son números naturales mayores que 1.

APLICACIONES

95. F ís ic a : masa relativista. La masa M de un objeto que se mueve a una velocidad v está dada por

M= ¿Para qué números reales los problemas del 81 al 84 son ver daderos? 81. V ? = - x 83.

V? = x

82.

V? = x

84.

V? =-X

donde M0 = masa en reposo y c = velocidad de la luz. La masa de un objeto aumenta con la velocidad y tiende al infinito conforme la velocidad se aproxima a la velocidad de la luz. Demuestre que M se puede escribir en la forma

TT" En los problemas 85 y 86 evalúe cada expresión con una cal culadora y determine cuáles pares tienen el mismo valor. Veri fique sus resultados algebraicamente. V 2 + V3 + V 2 - V 3

85. (A ) V 3 + V 3 (C ) 1 + V 3 (E) V8 + V60

(D ) V lO + 6 V 3

86. (A ) 2 V 2 T V 5

(B ) V 8 ______

(B )

(F ) V 6

(C ) V 3 + V 7

(D ) V 3 + V 8 + V 3 - V 8

(E) VlO + \ 84

(F ) 1 + V 5

M= c2 -

96. F ís ic a : péndulo. Un péndulo simple se forma al colgar un disco de masa M en una cuerda de longitud L de un sopor te fijo (véase la figura). E l tiempo que le toma al disco oscilar de derecha a izquierda y volver se llama periodo T y está dado por

■■

En los pmblemas del 87 al 90. racionalice los denominadores.

1 87. V S -V fc 89.

1______ Vx - V y + V i

„ 88. 90.

1 Vm + V« Vx

1 + Vy - Vz

[Sugerencia para el problema 89: Comience por multiplicar el numerador y el denominador por ( V * — v y ) — V z ) . ] r Los pmblemas 91 y 92 están relacionados con el cálculo. Ra

cionalice los numeradores. 91.

Va* + h - Vx

92.

V i-V i t- x

Demuestre que tyjc" = V x" para k, m y n que son núme ros naturales mayores que 1.

V*

2'v!

donde g es la constante gravitacional. Demuestre que T se puede escribir en la forma

T=

2trVg¿

Repaso del apéndice A

A C T IV ID A D E S EN G R U P O DEL A P É N D IC E A

A -6 7

R e p re s e n ta c io n e s n u m é ric a s ra c io n a le s

El co n ju n to de n ú m e ro s rea les se p u ed e d iv id ir en d o s su b c o n ju n to s se p arad o s, el co n ju n to d e los n ú m e ro s rac io n ales y el c o n ju n to de los n ú m e ro s irra cio n ale s. L o s n ú m e ro s rac io n ale s se p u ed en re p rese n tar d e d o s form as: co m o a íb , d o n d e a y b son e n tero s y b ^ 0, y co m o ex p a n sio n e s d e term in ac ió n o rep e tició n decim al. Los n ú m e ro s irra cio n ale s se p u ed e n re p re se n ta r co m o ex p a n sio n e s d ec im a le s no rep etitiv as o d e no te rm in ac ió n . E n esta ac tiv id ad se d esea e x p lo ra r la rela ció n en tre los d o s m é to d o s d iferen tes p ara re p re se n ta r n ú m e ro s racio n ales. C o n sid ere el n ú m e ro racio n al r = a lb , d o n d e a y b so n en tero s sin fac to r co m u n es y b # 0. 1. 2. 3.

4.

Si b = 10" p ara un en tero positiv o n, ¿q u é tip o d e ex p a n sió n d ecim al te n d rá r l Si b - 2",5n p ara los en tero s p o sitiv o s m y n. ¿q u é tip o d e ex p a n sió n d ecim al ten d rá r ? Si r tie n e una ex p an sió n de te rm in ac ió n d ecim al, d em u estre q u e r se p u ed e e x p re sar en la fo rm a a /b , d o n d e b = 2m5". E n cu en tre a y b p ara las sig u ien te s ex p a n sio n e s d e rep etició n (la b a rra q u e está a rrib a d e los n ú m e ro s in d ica el b lo q u e q u e se repite): (A ) 0.63

5.

(C ) 0 .846153

E n cu e n tre a y b p ara r = 0 .1 9 y d esp u és e n c u e n tre u n a ex p a n sió n d e te rm in a c ió n decim al p ara

R e p a so A l

(B ) 0 .4 8 6

d e l a p é n d ic e

r.

A

Á LG E B R A Y NÚMEROS REALES

Un conjunto es una colección de objetos llamados elementos o m iem bros del conjunto. Los conjuntos se describen a menu do enlistando los elementos o estableciendo una regla que determina los elementos. Un conjunto puede ser finito o in fi

nito. Un conjunto sin elementos se llama conjunto vacío o conjunto nulo y se denota por 0 . Una variab le es un símbolo que representa elementos no especificados de un conjunto de reem plazo. Una constante es un símbolo para un solo objeto. Si cada elemento del conjunto A está también en el conjunto B. se dice que A es un subconjunto de B y se escribe A C B.

Números reales: Números naturales —

(N) (1,2, 3,...)

_____ Enteros _

Cero — Negativos d e los n ú m e r o s naturales

( - 1 , - 2 , - 3 , ...}

Números — racionales------

(2) Cocientes n o enteros— d e enteros (por ejemplo, j , y)

Números reales

(Q) Números irracionales ------

(«)

(,) V2, /- ir) (por ejemplo,

Recta numérica real: Origen

I *— Coordenada

Dirección positiva — '

-

-

-

H------------------------ 1---------1----------- 1----------- i----------- 1----------- 1----------- 1----------- 1----------- 11----------- 1----------- 1----------- 1----------- 1----------- 1-10 -5 0 5 10

A -6 8

Apéndice A


L a s propiedades básicas de los números reales incluyen propiedades asociativas: x + (y + z) = (x + y ) + z y .v(yz) = (xy)z\ propiedades conm utativas: x + y = y + x y x y = yx\ identidades: 0 + x = x 4- 0 = .vy ( l ) x = .t ( l ) = x; inversas —x es el inverso aditivo o negativo de x y, si.v 0 l/.r es el inverso multiplicativo o recíproco de .r; y la propiedad distrib utiva: x(y + z) = xy + xz. La resta se define por a - b = a + ( —b) y la división por a/b = a(\/b). La división entre cero nunca se permite. Otras propiedades incluyen propiedades de ne gativos:

1. - ( - a ) = a 2. ( -a )b = —(ab) = a (-b ) = -a b

3. (~a)(~b) = ab 4. (—l)a = —a —a _ a _ a ~b ~ ~ b ~ ^ b

b± 0

-b

-b

Una expresión algebraica se forma al usar constantes y varia bles y las operaciones de suma, resta, multiplicación, eleva ción de potencias y extracción de raíces. Un polinomio es una expresión algebraica que se forma al sumar y restar constantes y términos de la forma ax" (una variable), ax"\J” (dos varia bles), y así sucesivamente. El grado de un térm ino es la suma de las potencias de todas las variables en el término, y el grado de un polinomio es el grado de un término diferente de cero con el grado más alto en el polinomio. Los polinomios con uno, dos o tres términos son llamados monomios, binom ios y trinom ios, respectivamente. Los térm inos semejantes tienen exactamente los mismos factores variables elevados a las mis mas potencias y se pueden combinar al sumar sus coeficien tes. Los polinomios se pueden sum ar, restar y m u ltip lica r de manera repetida aplicando la propiedad distributiva y combi nando términos comunes. El método P E IU se usa para multi plicar dos binomios. Los productos especiales que se obtienen al usar el método PEIU son:

a b

1. (a - b)(a + b) = a 2 — b 2 b* 0

2. (a —b)2 = a 2 — 2ab + b2

3. (a + b)2 = a2 + 2ab + b 2 propiedades cero:

A 3 POLINOMIOS: FACTORIZACION

1. a - 0 = 0 2. ab = 0 o ambos

si y sólo si

a = 0

b= 0

y propiedades con Tracciones (excepto la división entre 0):

si y sólo si ad = be ka kb a c b 'd

a b ac bd

de m anera completa con respecto a un conjunto dado de números si se escribe como un producto de polinomios pri mos con respecto de ese conjunto de números. Los factores com unes se pueden factorizar aplicando las propiedades distributivas. Se puede usar el agrupam iento para identificar

d b c a c _ a+c ~b + b ~ b

factores comunes. Los polinomios de segundo grado se pue den factorizar por prueba y error. Las siguientes fórmulas de factorización especial son útiles:

a —c

7.

Un número o expresión algebraica se factoriza si se expresa como un producto de otros números o expresiones algebraicas, que se llaman factores. Un entero mayor que 1 es un número prim o si sólo sus factores enteros positivos son ellos mismos y 1, y de otra forma es un número compuesto. Cada número com puesto se puede fa c to riza r sólo en un producto de números prim os. Un polinomio es prim o con respecto de un conjunto dado de números (usualmente el conjunto de enteros) si (1) todos sus coeficientes son de ese conjunto de números, y (2) si no se pueden escribir como un producto de dos polinomios, excepto el 1 y el número mismo, y que tengan coeficientes de ese conjunto de números. Un polinomio no primo se factoriza

1. u2 + 2«v + v2 = (u + v)2

a c _ ad + be b + d~ bd

2

. u2 -

2 uv

+ v 2 = (« - v ) 2

3. u2 - v2 = (k - v)(u + v)

A 2 POLINOMIOS: OPERACIONES BASICAS

Cuadrado perfecto Cuadrado perfecto Diferencia de cuadrados

4. u? - v3 = (u — v)(ir + uv + v2) Diferencia de cubos 5. u3 + v3 = (u + v)(u 2 —uv + v2) Suma de cubos

Para n y m números naturales y a cualquier número real: a" = a • a .........a (n factores de a)

y

a"a" = a " +"

No hay fórmula de factorización con respecto de los número? reales para u2 + v2.

Repaso del apéndice A

A 4 EXPRESIONES RACIONALES: OPERACIONES BÁSICAS Una expresión fracciona) es el cociente de dos expresiones algebraicas, y una expresión racional es el cociente de dos polinomios. Las reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones de números reales (véase sección A - l en este repa so) se amplían a expresiones fracciónales con la advertencia de que las variables siem pre se restringen a la exclusión de la división entre cero. La s fracciones se pueden red u cir a sus térm inos más sim ples o elevar a térm inos superiores me diante la propiedad fundamental de fracciones:

A -6 9

Notación cien tífica:

a x 10"

I < o < 10

n es un entero, a está en forma decimal.

A-6 EXPONENTES RACIONALES Para un número natural n y los números reales a y b:

a es la nésima raíz de b si a" = b ka kb

a b

77 = -

con b. k * 0

Una expresión racional se reduce a sus térm inos más simples si el numerador y el denominador no tienen factores en común con respecto de los enteros. E l m ínim o común denom inador (M C D ) es útil para sumar y restar fracciones con diferentes denominadores y también para reducir fracciones compues tas a fracciones sim ples.

La ra íz p rin cip al /tésima de b se denota por b l ". Si n es impar, b tiene una nésima raíz real que es la nésima raíz principal. Si n es par y b > 0, b tiene dos nésimas raíces reales y la nésima raíz positiva es la nésima raíz principal. Si n es par y b < 0, b no tiene nésimas raíces reales. P ara exponentes con números racionales (se excluyen las raices pares de números negativos):

br,„, = (bUr)m _ (bmy,n

A-S EXPONENTES ENTEROS a" — a - a ........... a(n factores de a) para un entero positivo n, a" = 1 (a 0), a" = 1/a " para un entero negativo n (a * 0). 0° no está definido.

2.

= J _

A 7 RADICALES Un rad ical con nésim a ra íz se define por = b 1", donde b' " es la n-ésima raíz principal de b, V es un rad ical, n es el índice y b es el radicando. Los exponentes racionales y los radicales se relacionan por

Propiedades de exponentes enteros (se excluye la divi sión entre 0):

1. ama n = am~"

y

b

= ( ¿ n ”" =

= (b "T = ( v ^ r

Propiedades de radicales (x > 0, j > 0):

(anr = am"

3. (ab)m = a"bm , (a \m ' \b )

am “ bm

5.
1. V/? = .«r 2. V x y = fx

Un radical está en form a sim p lificad a si:

Propiedades adicionales de los exponentes (se excluye la división entre 0):

1. Ningún radicando contiene un factor a una potencia mayor que o igual al índice del radical.

1. ( amb")'’ = a’mb<"'

2. Ninguna potencia del radicando y el índice del radical tie ne un factor común diferente de 1.

(c rV _ ‘ U "J ~ b b~m

a"

-er-er

3. Ningún radical aparece en un denominador. 4. Ninguna fracción aparece dentro de un radical. Las fracciones algebraicas que contienen radicales se racio n alizan al multiplicar el numerador y denominador por un fac tor de racionalización a menudo determinado mediante una fórmula de producto especial.

A -7 0

Apéndice A

E je rc ic io

d e


re p a s o

d e l a p é n d ic e

Después de resolver todos los problemas de este capitulo, revi se y compruebe las respuestas con las que se dan al fin a l del libro. Ahi están todas las respuestas a los problemas de repaso, seguidas por un número en tipo itálico que indica la sección a la que pertenece el problema que se está analizando. Si se le presentan dudas, repase la sección correspondiente en el texto.

1. Para A = { 1 , 2 , 3 . 4 , 5} , B = {1, 2, 4} y C = {4, 1 , 2 } , indique si es verdadero (V ) o falso (F ): (A ) 3 E A (B ) 5
A Simplifique los pmblemas del 19 al 24. y escriba las respues tas usando sólo exponentes positivos. Todas las variables re presentan números reales positivos. 20.

21. (2 X ia')(3 X 10-')

22.

( x 'Y ) - 2

23. u,num

24.

(9a4/ r - ) l/2

26. Cambie a la forma de exponentes racionales: —33V (.ry)2 Simplifique los pmblemas de127 al 31. y exprese las respues tas en forma simplificada. Todas las variables representan nú meros reales positivos.

29

Los problemas del 3 al 7 se refieren a los polinomios siguien tes: (a) 3x - 4 (b) x + 2 (c) 3.r + x - 8 (d) x' + 8

6 ab

30.

V3a

V5 3 - V5

6. ¿Cuál es el grado de (
7. ¿Cuál es el coeficiente del segundo término en (c)?

En los problemas del 8 al II. realice las operaciones indica das y simplifique. 8. 5.r2 - 3.f[4 - 3(jc - 2)] 9. (3m - 5n)(3m + 5n)

32. Escriba usando el método de lista:

11. ( 2 a - 3b)2

En los pmblemas del 33 al 38, cada enunciado ilustra el uso de una de las siguientes pmpiedades o definiciones de los nú meros reales. Indique cuál es en cada caso. Conmutativa (+, •) División Inversa (+, •) Distributiva Negativos

Identidad (+, •) Asociativa (+, •) Cem Resta

En los problemas del 12 al 14, escriba cada polinomio en for ma completamente factorizada respecto de los enteros. Si el polinomio es primo respecto de los enteros, también indiquelo.

33. ( - 3 ) - ( - 2 ) = ( - 3 ) + [ - ( - 2 ) ]

12. 9-r2 — 12 * + 4

35. (2x + 3)(3x

13. H - 4 / - 6

En los pmblemas del 15 al 18, realice las operaciones indica da:;y reduzca a los términos más simples. Represente todas las fracciones compuestas como fracciones simples reducidas a sus términos más simples.

17.

18.

A 3a'

1 6a2b2

16.

y - 2

y 2 + 2y

y2 —4y + 4

y2 + 4 y + 4

1 u ---u

/ 1

U-

34. 3y + (2x + 5) =(2 t +

5) + 3y

+ 5) =(2v + 3)3.r + (2 t + 3)5

36. 3 • (5*) = (3 • 5)x

14. 6«’ - 9/r - 15/i

is. i 5b

31. V ?

{a | -v es un entero impar entre —4 y 2}

4. Reste la suma de (a ) y ( c) de la suma de (b) y ( d).

10. ( 2x + y)(3.v - 4y)

28. V 2 7 7 V T 8 7 7

B

3. Sume los cuatro polinomios.

5. Multiplique (c ) y (d).

3i ( V

25. Cambie a la forma radical: 3.ti5

27. 3.t\X ?7

(A ) Conmutativa (•): x(y + z) = ? (B ) Asociativa ( + ) : 2 + (x + y) = ? (C ) Distributiva (2 + 3)x = ?

9u*v

19. 6(xy')5 .

3.t

I

3 .r — 12a

6.v

37.

a —(b — c)

a b —c

38. 3.vv + 0 = 3.ív

Lndique si es verdadero (V) o falso (F): (A) Un entero es un número racional y un número real. (B) Un número irracional tiene una representación deci mal repetitiva. Dé un ejemplo de un entero que no sea un número natural. 41. Dadas las expresiones algebraicas: (a) 2 r - 3x + 5 (b) x2 - V x - 3 (c) x " 3 + x - 3x-1 (d) jt2 - 3.rv - v2 (A) Identifique todos los polinomios de segundo grado. (B) Identifique todos los polinomios de tercer grado.

Ejercido de repaso del apéndice A

En los problemas del 42 al 46. realice las operaciones indica das y simplifique.

Evalúe los problemas del 67 al 74 con cuatro dígitos significa tivos con una calculadora.

42. (2x - >)(2x + y) - (2x - y)2

67.

43. (m2 + 2mn - n2)(m2 - 2mn - n2)

(20 410)(0.000 003 477) 0.000 000 022 09

44. 5(.r + h)2 - l(x + h) - (5.x2 - Ix)

68. 0.1347’

45. -2jr((.r2 + 2)(x - 3) - .r[jc - * 3 - *)]}

71. (0.000 000 419 9 )^

46. (x - 2 y f

73. V3 + V2

En los problemas de! 47 al 53, escriba una forma completa mente factorizada respecto de los enteros. 47. (4.t - y)2 - 9X2 49. 6.r’.v + 12*V 51. 3 r' + 24y*

50. (y - b)2

69. (-6 0.39)-’70.82.458/3 72. V0.006 604 2-./ j _ 3-i/j 74. + 3-

En los problemas del 75 al 83. realice las operaciones indica das y exprese las respuestas en forma simplificada. Todos los radicandos representan números reales positivos.

48. 2X2 + 4xy - 5 f ISxy3

A-71

- y +b

75. - 2 aV 5 W T

-Vi

76. ^

52. y3 + 2 f - 4 y - 8 78. V 8 7 7 1

J 53. 2x(x - 4)J + 3x2(x• - 4)2

79. V V 4 ?

80. (2 V x - 5Vy)(V^ + V y) En los problemas del 54 al 58, realice las operaciones indica das)- reduzca a los términos más simples. Represente todas las fracciones compuestas como fracciones simples reducidas a sus términos más simples. 54.

3.r(.r + 2)2 - Zx{x + 2)3

/ 55. c

/ m — 4m + 4

m —4

2 —m

x>y ~ x 2y \ L .r2 ' U r 2 + 5* - 3 ' I r 2 - 3x + 1/ 1- • x 1+ V

1-

1

3V* 2 \íx - Vy

83.

y2 y/y 2 + 4 - 2

82.

84. Racionalice el numerador:

2Vm - 3 V v 2 V u + 3Vv

V T -V s t - 5

r 85. Escriba en la forma ax? + bx?, donde a y b son números J reales y p y q son números racionales: 4Vjt - 3 2V x

1

57.

81.

58.

a - '- b - ' ab 2 — ba~2

I - i 59. Compruebe la solución siguiente. Si considera que es in correcta. explique por qué y cómo se puede corregir, y después muestre la solución correcta. x2 + 2x „ x2 + 3x + 2 x + 1 + x+ 2= x2 + x - 2 x2 + x - 2 x - 1 En los problemas del 60 al 65, realice las operaciones indica das. simplifique y escriba las respuestas usando sólo exponentes positivos. Todas las variables representan números reales positivos. 8u\3 5o 3~2 8«-' \-V \ - Y„“-5 ~5Y 60, 6 l- T 2 + r I W ) U ‘7

“■

(W

T .

64. (,rl/2 + y 1'2)2

63. (a - mb'l*)(,9a'r,b - ,'2)in 65. (3*1/2 - y m)(2xm + 3 0

66. Convierta a notación científica y simplifique: 0.000 000 000 52 (1 300)(0.000 002)

86. Escriba el decimal repetitivo 0.545 4 5 4 ... en la forma a/ b reducida a sus términos más simples, donde a y b son enteros positivos. ¿Este número es racional o irracional? 87. Si A /= { - 4 , - 3 ,2 } y N = { -3 , 0, 2}, encuentre: (A) [ x \ x & M o j c &N) (B) [ x \ x E M y xEN)

88. Evalúe x2 — 4x + 1 para x — 2 — VT. 89. Simplifique: x(2x - l)(x + 3) - (.v — l)3 90. Factorice de manera completa con respecto de los enteros: 4x(a2 - 4a + 4) - 9x3 9 1. Evalúe cada expresión en una calculadora y determine cuá les pares tienen el mismo valor. Verifique estos resultados de manera algebraica. (A) V 3 + V5 + V 3 - V i (B) V 4 + V l5 + V 4 - VT5 (C) n/ I o

A -7 2

Apéndice A


En los problemas del 92 a 95. simplifique y exprese las res puestas usando sólo exponentes positivos (m es un entero ma yor que 1). 92.

8(x - 2) (jt + 3)2 12(* - 2 y \ x + 3)-2 -22 ¿ -2 \-.

93. 94. (x,n -—yy,/3)(x2 >r,)(x™ * + x ]rsy '° + y20) > s \ I/(m — I) xT' 95. m> 1 “ i 96. Racionalice el denominador:

97. Racionalice el numerador:

1 \--V x

R =

V i-V s t - 5

98. Escriba en forma simplificada:

(A) Estime el número de unidades producidas cuando se usan 1 600 unidades de capital y 900 unidades de mano de obra. (B) ¿Cuál es el efecto en la producción si el número de unidades de capital y mano de obra se duplican a 3 200 unidades y 1 800 unidades, respectivamente? (C ) ¿Cuál es el efecto en la producción al duplicar las unidades de mano de obra y capital en cualquier nivel de producción? 102. Circuitos eléctricos. Si tres resistores eléctricos con re sistencias R v R2 y R}, se conectan en paralelo, entonces la resistencia total R para el circuito que se muestra en la figura está dada por 1 1 1 1 — H---- 4* — R i R2 Ri

Represente esta fracción compuesta como una fracción simple. n> 0

«i —

w

* ---------

«2 A A A «3 A ' WA A V

APLICACIONES

99. Construcción. Una fuente circular en un parque incluye una pared de concreto de 3 pies de altura y 2 pies de es pesor (véase la figura). El radio interior de la pared tiene x pies, escriba una expresión algebraica en términos de x que represente el volumen del concreto usado en la cons trucción de la pared. Simplifique la expresión.

pies

100. Consumo de energía. En 1984 la cantidad total de ener gía que se consumió en Estados Unidos fue equivalente a 2 257 000 000 000 kilogramos de carbón (el consumo de todas las formas de energía se expresa en términos del carbón para propósitos de comparación) y la población era de aproximadamente 235 000 000. Calcule con tres dígitos significativos el consumo promedio de energía por persona. Escriba su respuesta en notación científica y en notación decimal estándar. 101. Economía. El número de unidades N producida por una compañía petrolera a partir del uso de a: unidades de ca pital y y unidades de mano de obra está aproximado por N = 20xiny m

j

j

11 1

103. C onstrucción. Se va a hacer una caja con una tapa articulada con un pedazo de cartón que mide 16 por 30 pulgadas. En cada esquina y enmedio se van a cortar cua dros de x pulgadas de lado, después se van a doblar hacia arriba los extremos y los lados para formar la caja y su tapa (véase la figura). Exprese cada una de las cantida des siguientes con un polinomio, tanto en forma factorizada como desarrollada. (A) El área del pedazo de cartón después de que se le han quitado las esquinas. (B) El volumen de la caja.

A P E N D I C E

B

Dígitos significativos

La m ayoría de los problem as que im plican cálculos del m undo real se relacionan con figuras que son sólo aproxim aciones. Por lo tanto, parece razonable suponer que una respuesta final no debe ser m ás exacta que la exactitud m ínim a de la figura usada en el cálculo. Éste es un punto im portante, ya que las calculadoras tienden a dar la im presión de que se alcanza m ayor exactitud de la que se garantiza. Suponga que se desea calcular la longitud de la diagonal de un cam po rectangular a partir de las m edidas de sus lados de 237.8 y 61.3 metros. U sando el teorem a de Pitágoras y una calculadora, se encuentra

d = V 237.82 + 61.32 = 245.573 878 ••• 237.8 metros

La respuesta en la calculadora sugiere una exactitud que no se justifica. ¿Q ué exacti tud se ju stifica? Para responder esta pregunta, se introduce el concepto de dígitos signi fic a tiv o s. C uando escriba una m edida tal com o 61.3 m etros, se supone que ésta es exacta al ultim o dígito escrito. De m anera que, la m edida de 61.3 m etros indica que se realizó hasta el décim o de m etro m ás cercano. Es decir, el ancho real está entre 61.25 y 61.35 metros. En general, los dígitos en un núm ero que indican la exactitud del núm ero se llam an dígitos significativos. Si todos los dígitos en un núm ero son diferentes de cero, entonces todos son significativos. Así, la m edida de 6 1.3 m etros tiene tres dígitos signi ficativos, y la m edida de 237.8 m etros tiene cuatro dígitos significativos. ¿C uáles son los dígitos significativos en el núm ero 7 800? La exactitud de este núm ero no es clara. Podría representar una m edición con cualquiera de las exactitudes siguientes: Entre 7 750 y 7 850

Correcta hasta las centenas

Entre 7 795 y 7 805

Correcta hasta las d e c e n a s

Entre 7 799.5 y 7 800.5

Correcta hasta las unídade>

Para dar una definición precisa de dígitos significativos que resuelva esta am bigüedad se usa la notación científica.

A -7 4

Apéndice B


DEFINICIÓN 1

Dígitos significativos Si un núm ero x está escrito en notación científica com o .v = a X

10"

1 <

a <

10,

n es u n entero

e n t o n c e s el n ú m e r o d e dígitos significativos e n x e s el n ú m e r o d e dígitos e n a .

E n co n sec u en cia, 7.8 x

103

7.80 X 7.800 X

103 103

tiene 2 dígitos significativos tiene 3 dígitos significativos tiene 4 dígitos significativos

E stas tres m e d id as tie n en la m ism a rep rese n tac ió n d ecim al (7 8 00), p ero cad a u n a re p rese n ta d iferen te ex actitu d . L a d e fin ic ió n 1 in d ic a có m o e sc rib ir un n ú m e ro d e m a n era q u e el n ú m e ro de d íg ito s sig n ific ativ o s sea claro , p ero no in d ica có m o in te rp re ta r la ex a ctitu d de un n ú m ero q u e no esté escrito en n o tació n c ie n tífic a . S e u sa la co n v en ció n sig u ien te p ara n ú m e ro s q u e se escrib an co m o fra cc io n es d ecim ales:

Dígitos significativos en fracciones decimales El n ú m e ro de d íg ito s sig n ific ativ o s en un n ú m e ro sin p u n to decim al se en c u en tra co n tan d o los d íg ito s d e iz q u ierd a a d ere ch a, c o m en z an d o co n el p rim e r d íg ito y te rm in a n d o con el ú ltim o d íg ito d iferen te d e cero. El n ú m e ro d e d íg ito s sig n ific ativ o s en un n ú m e ro q u e c o n tien e un p u n to d ecim al se e n c u e n tra co n tan d o los d íg ito s d e iz q u ierd a a d ere ch a, co m en z an d o co n el p rim e r d íg ito d iferen te d e cero y te rm in an d o co n el ú ltim o d íg ito .

C u a n d o se ap lica esta reg la al n ú m ero 7 8 00, se co n c lu y e q u e este n ú m e ro tie n e 2 d íg ito s sig n ific ativ o s. Si se q u ie re in d ic ar q u e tien e 3 o 4 d íg ito s sig n ific ativ o s, se d eb e u sa r n o tació n cien tífic a. L os d íg ito s sig n ific ativ o s en los n ú m e ro s sig u ien te s están su b rayados: 70 007

82 000

5.600

0.0008

0.000 830

En cá lc u lo s q u e im p lican m u ltip lic ac ió n , d iv isió n , p o te n cia s y raíces, se ad o p ta la co n v e n ció n siguiente:

Redondeo de valores calculados El resu ltad o de un cá lc u lo se red o n d e a al m ism o n ú m e ro de d íg ito s sig n ific ativ o s que el n ú m e ro usad o en el cá lc u lo qu e te n g a el n ú m e ro m ín im o d e d íg ito s sig n i ficativ o s.


A -75

D e esta m a n e r a , al calcular la l o n g i t u d d e la d i a g o n a l del c a m p o r e c t a n g u l a r a n tes m o s t r a d o , se escribe la r e s p u e s t a r e d o n d e a d a c o n 3 dígitos significativos, y a q u e el a n c h o tiene 3 dígitos significativos y la l o n g i t u d tiene 4 dígitos significativos: d =

U na

2 4 6 metros

n o ta f in a l. A l redondear u n

3 dígitos significativos

n ú m e r o q u e está e x a c t a m e n t e a la m i t a d entre u n

n ú m e r o lar g o y u n o p e q u e ñ o , se u s a la c o n v e n c i ó n d e h a c e r q u e el r e s u l t a d o final se a par.

EJEMPLO 1

Redondeo de números R e d o n d e e c a d a n ú m e r o a 3 dígitos significativos: (A) 43.0690

Soluciones

(C) 48.15

(D) 8.017 6 3 2

X 10'3

( A ) 43.1 ( B ) 48.01 (C) 48.2

U s e la c o n v e n c i ó n d e hacer q u e el dígito antes

i

( D ) 8.02

Pro blem a seleccion ado 1

(B ) 4 8 . 0 5

del

5

sea P ar si es ¡ m P ar- 0 déjelo así si es par.

X 10~5

R e d o n d e e c a d a n ú m e r o a 3 dígitos significativos: (A) 3.1495

(B) 0 . 004 135

(C) 3 2 4 5 0

(D) 4.314 7 6 4 0 9

Respuestas a los p r o b l e m a s seleccionados

1.

(A) 3.15

(B) 0.004 14

(C) 32.400

(D) 4.31 x 10'2

X 1 0 12

A P É N D I C E

C

Fórmulas geométricas

• T riá n g u lo s s e m e ja n te s

(A)

D o s triángulos s o n s e m e j a n t e s si d o s d e los á n g u l o s d e u n triángulo m i d e n lo m i s m o q u e d o s d e los á n g u l o s del otro.

(B)

Si d o s triángulos s o n s e m e j a n t e s , s u s l a d o s c o r r e s p o n d i e n t e s s o n p r o p o r c i o n a l e s :

• T e o rem a d e P itá g o ra s b

• R e c tá n g u lo

A

=

ab

P

=

2a +

Área 2b

Perímetro

a

P a ra le lo g ra m o

• T riá n g u lo

h =

Altura

A

= a h = a b sen 0

Área

P

=

Perímetro

h =

2a +

Altura

A

= \h c

P

=

s = A

=

2b

a +

Área b

^(a + b +

+

c)

Perímetro

c

4

Vs(s — a )(s — b )(s — c )

S e m iperímetro Área (fórmula

d e He r ó n )


• T ra p e z o id e

h =

• C írc u lo

a

L a b a s e a e s paralela a la b a s e b . Altura

b

A

=

í(a + b )h

R

-

Radio

D

=

Diámetro

D

=

IR

A

=

n R 2 =

C

=

27tR = n D

Circunferencia

=

n

Para t o d o círculo

c

—

Área

ín D 2

Área

D

7t = 3.141 59

• S ó lid o r e c t a n g u l a r

• C ilin d ro c ir c u la r re c to

V =

abe

T =

la b

+ la c + Ib c

R

=

R a d i o d e la b a s e

h

—

Altura

Área d e la superficie total

V —

n R 2h

Volumen

=

In R h

Área d e la superficie lateral

S

ln R (R

T =

• C o n o c irc u la r r e c to

Volumen

+

h)

Área d e la superficie total

R

=

R a d i o d e la b a s e

h

=

Altura

s =

A l t u r a inclinada

V =

5

S

=

T =

n R 'h

tcRs

Volumen

nR V /?2 4- h2

=

nR (R

+

s) =

nR (R + ^ R 2 + h 2)

Área d e la superficie lateral Área d e la superficie total

A-77

A-78

Apéndice C

•


Esfera

R

=

Radio

D

=

Diámetro

D

=

2R

V = 3k R 1 = i n D 3

Volumen

S = 4nR2 = n D 2

Área d e la superficie

RESPUESTAS

CAPÍTULO 1 x = 18 -v = j

Ejercicio 1-1

1. 17. 31. 41. 51. 61.

3. i = 9 19. s = 2

5. x = 9 7. x = j , o 5 . 5 9. jr = 10 II. x = 8 13. m = 3 15. N o hay solución 21. N o hay solución 23. / = - 4 25. * = 1 . 8 3 27. * = - 8 . 5 5 29. d = (os -«,)/(«j; I) f = d [d j ( d [ + d ¡ ) 33. a = (A - 2 b c )l(2 b + 2 c ) 35. v = [ 5 y + 3)/(2 - 3>>) 37. Incorrecta. N o hay solución. , 39. 4 Para iodos los números reales excepto 0 y I 43. x = [ b y + c y - a c ) l{ a - y ) 45. 24 47. 8 . 1 0 , 1 2 . 1 4 49. 17 por 10 m 4 2 pies 53. S90 55. $19 750 57. (A) T = 30 + 25< a- - 3)
73.

150 c m

75.

150 pies

77.

5 ^ después de las I p .m

Ejercicio 1-2 I. x = 8 , y = i 9 3. II. x = 2 500, y = 200 19.

q = x + y -

= 2 5. x = 2 , y = - 1 7. x = 5 , y = 2 u = l . l , v = 0.3 15. x = - 5 / 4 , y = 5/3 17.

x =

13.

S , p = 3.t + 2 y -

12

21.

x =

dh ~ M

,y =

°* ~ c/l .a d - b e * 0

a
9. m = I, /i = —2/3 El sistema no tiene soluciones

nJ - 6c

Velocidad de vuelo = 330 mph, velocidad del viento = 90 m p h 25. 2.475 k m 40 niL de la solución al 5 0 % . 60 m L de la solución al 8 0 % 29. 5 200 discos 31. S7 200 al 1 0 % y S4 800 al 1 5 % Planta en México: 75 h; planta en Taiwán: 50 h 35. Mezcla A : 80 g; Mezcla li: 60 g (A) /> = 0.001í/ + 0.15 (B) p = -0.002
Ejercicio 1-3 1.

- 8

£ x £

7.

(-2.

6

]

7

:i[|'H h ih h >h]iii ■x -10-5 0 5 10 111 m

13.

[-7, 2); - 7 < x < 2

21.

N <

27.

fi>-4o

33.

2 <

- 8

9.

X< 4

39.

1< x < 5

45.

x a 4.5 o [4.5. »)

(-7,

8)

•x

15.

(-«. 0]; x £ 0

23.

29.

-4 35.

- í---- f2

- 6

1 1mq

o <-*. - 8 )

[-4. »)

3.

s x <

-10 -5 0 5 10 11 .......... lililí:

63 67. 79. 83.

U.

-2 <

1

25.

£ 3 o (-2.3]

-2

—» < x < »

m >

3 o

31.

- i----- J - f

- 6

J

19.

/ > 2 o (2, «)

x a

{-<*, - 2 ]

(3, *)

- 5 < x S 7

x s

6

47.

- 3 0 £ x < 18 o [-30. 18)

- 1 4 < x < II o (-14. 11]

~i---- ¡h**

-5

7

x < —l o 3 s i < 7 -13

41.

-f— *-rn

x — 3 o [3. =)

3

4

í--- ►*

43.

q <

- 1 4 o (-*, - 14)

- 2 0 £ x s 20 o [-20. 20]

-20 - f -----> -*

51.

- 8 < x < - 3 o

- t —- J - * * -14 u a

55.

x > - 0.60

-30

53.

■*

r. x < 5 o (-». 5)

4.5 49.

5.

-io1111-ti 1111111 s o 1rn)' 10

6

[-8.-3)

18

57.

7

j--- ►(? -14

20 - { ----> -8 -3

-0.259 < x < 0.357

59.

x ss li

61.

x a -j

65. (A) y (C) a > 0 y b > 0. o a < 0 y b < 0 (B) y (D) a > 0 y b < 0, o a < 0 y b > 0 (A) > (B) < 69. Positivo 71. (A) F (B) V V 77. 9.8 £ x £ 13.8 (de 9.8 a 13.8 k m ) (A) x > 4 0 6 2 5 (B) x = 40 625 81. (B) x > S 2 0 0 0 (C) A u m e n t o en el precio al mayoreo de 53.50 a S66.50 2 s / < 25 o [2, 25] 85. S2 060 £ Beneficio en la reducción s $3 560

x> ~ í

Respuestas

Ejercicio 1-4

V5

V5

21.

3. 4 |m + 2| = 5

29.

x no está a m á s de 7 unidades del origen. - 7 s x & 7 o [-7, 7)

31.

x está al m e n o s a 7 unidades del origen, x s

1.

5. 23.

5 - V5 7. 5 9. 12 11. 12 13. |x - 3| < 5 25. \p + 2| > 6 27. \q - 1| a 2

~*2

= 2. 8

-7 o i 2 7 o

4

y está a 3 unidades de 5. y

J- *’ 1'

35.

37.

y está a m á s de tres unidades de 5. y < 2 o y > 8 o

u está a 3 unidades de

41.

u no está a m á s de tres unidades de -8. - I I s « s - 5 o

43.

u está al m e n o s a 3 unidades de -8. u s

-jj s jr £ 3 o [ - | , 3] x £

59.

- { s i < 1 o [-i, I]

65.

(c - d, c) U (c, c + d)

77.

±1

47.

y

91.

93.

<

< 8 o (2.8)

y

( ■ " ■) »y

8

- í ---- h - u

-11

55.

-5

( - « . -II] U [-5, <*>)

< 3 o y > 5 o ( —« . 3) U (5. «)

49.

-11 -s

(—®, 0) U (3, ®)

67.

x a 5

69.

|/> - 500| s 20

95.

63.

57.

- $ 3o

-4 — ° ) ■* c -d c c+d

42.2 < x < 48 6

[-11. -5]

-11 o « a - 5 o

K O o

3| = 4

¡x -

7^

- 6 o x ss 9 o (-«, -6] U [9. ®) 61.

19.

9

(-®. 2) U (8. *)

39.

53.

17.

7

y está a m e n o s de 3 unidades de 2

2 -8. « = —11,—5

4

(-». -7) U [7, ®) -7

33.

45.

15.

71.

~ i— ^

2.9

x a -f

73.

-) ■* 3.1

3

75.

is j

12.436| < 0.001, (12.435, 12.437)

97.

x = -2. 2 )

|7V — 2.37| =s 0.005

Ejercicio 1-5 1.

7 + 5/

3.

5 + 3i 19.

5.

2 + 4/

65 o 65 + Oi

7. 21.

5 + 9/

] - ¡i

9. 23.

4 - 3i

5 + 3i

27.

13.

7 - 5/

- 1 2 - 6/ 29.

15.

15 - 3/

31. 45.

8 + 25/ 33. $ - $ / 35. £ + & 37. - j / o 0 - j / 39. J - J/ 41. - 6 / o 0 - 6/ 43. 0 o 0 + 0/ /" = - 1 , p = ! , / • ’= -/ 47. x = 3, y = —2 49. x > 3 5Í. jc > | 53. 33.89 - 20.38/ 55. 0.85 - 0.89/

57.

(a + e) + (b + d )i 59.

63. 65.

/** = (/*)* = (i1 • i2)* = [( - 1)(- 1)]* = 1* = 1 (/) Definición de suma; (2) Conmutativa (+) propiedad para R \

61.

25.

- 2 4 o - 2 4 + 0/

- 4 - 33/

a! + ¿r o (a 2 + b 2) + 0 ¡

£ + \ {¡

11.

17.

- 3 + 21

(ac — bd) + (a d + b c)i

(3) Definición de s u m a

Ejercicio 1 - 6

1.

u = 0, 2

3.

n = -2, - 8 x = 3 ± 2\/3

y = § (raíz doble)

5.

17. d = 3 ± 2/ 19. 29. y = (3 ± V3)/2

15. 27. 37.

y = (3 ± V5)/2

47.

x = ( - 5 ± V37)/2

55.

/ = (£ + V £ J - 4RP)/2R

39.

x = f, 4

x = (3 ± VÍ3)/2 49.

7.

m = ±2\/3

9.

x = ±5/

11.

y = ±f

13.

x = ±f/

x = 5 ±2V7 21. x = 2 ± 2/ 23. x = (2 ± V2)/2 25. x = £ ± §/ 31. x = (1 ± V7)/3 33. x = ( - m ± V m 2 - 4n)/2 35. x = -J, § 41.

n = -$, 0

x = ( - 3 ± V57)/4

51.

43.

x = 2j ¿ 2/

« = 1 . 2 , ( - 3 ± VT7)/2

45. 53.

m = -50. 2 l = V5/g

61. 63.

57. x = 1.35, 0.48 59. x = -1.05. 0.63 Si c < 4. hay dos raíces reales distintas: si c = 4, hay una raíz real doble; y si c > 4. hay dos raíces imaginarias distintas. Tiene soluciones reales, ya que el discriminante es positivo. 65. N o tiene soluciones reales, ya que el discriminante es negativo,

67.

x = ¿ V ó ± 5V T

75. 77. 85. 93.

[(-¿ + V i 2 - 4ac)/2a] X [( — b - V b 2 - 4ar)/2a] = [ir - (¿r — 4ar)]/4aJ = c/a El signo i al frente vale para los dos mi s m o s números pares si a es negativa. 79. 8.13 81. 20% 87. 100 mph, 240 niph 89. 13.09 h y 8.09 h 91. 5 0 m p h 50 pies de ancho y 300 pies de largo o 150 pies de ancho y 100 pies de largo 95. 52 millas

5

o (4\/6 i 2\ZÍ5)/3

69.

x = V 2 - /, - V 2 - /

71.

x = 1, - £ ± £ / V 3 12.14

83.

5.12 por 3.12 pulg

Ejercicio 1-7

1.

15.

x = 22 3. n = 8 m = -2,3, j/V7

5.

N o hay solución

17. No haysolución

7.

19.

x

= 0,4 y =

9.

y = ±2. + /V T

21. x = 2

11. x = - V J , V í

23. 11

j,j

25.

y =

13. x

±1, ±3

= f,-8

Respuestas

27. y = l , l 6 39.

29. m = 2, 3, 7,8

13.1 pulg por 9.1 pulg

41.

31. x = - 2

33. >■= ±

1.65 pies o 3.65 pies

43.

(cuatro ralees)

35. m = 9. 16

A-81

37. í = 4.8l

S30: I 600 teléfonos.

Ejercicio 1 8 1.

—5 < jc < 2

3.

5.

x < 3 o x > 1

(-5. 2)

0 S i S

(-», 3) U (7, x)

-4 < x s 2 (-4. 2]

13.

i s -4 o i > 1 (-x, -4] U (1. x)

- 5 :£ x :£ 0 [-5. 0]

- i ----0 8

- f-5

-í-----5 2 11.

7.

8

[0. 8 )

15.

9.

x < -2 o x > 2 (-«, -2 ) U (2. x)

0

- 5 s x < 0 o i > 3 [-5, 0| U (3. x)

17.

-3 < x J (-». 0) U (¿. ®)

i

i s - 4 o 0 < j á 2 27. i £ - 3 o (—1. 2) U [5. oo)(-x, -4] U [0,2)

•H

29.

i < - 2 o

H »*

-4

5

i i 3

0 2

31. 35. 39.

-7íjt<3 33. Si a > 0, el conjunto de solución es (- x , /-,) U ( r „ *). Si a < 0. el conjunto solución es (r,, r ; ). Si a > 0. el conjunto solución es /?, el conjunto de números reales. Si« < 0 el conjunto solución es )r¡. 37. ,r 2 0 N o hay solución; 0 41. N o hay solución: 0

43.

j t s 2 - V 5 o

í

£ 2 + V 5

45.

l - V 2 < x < 0 o x > l + \ / 2

(-x, 2 - V 5 ] U [2 + V i . «)

f— 2 -V S

51. 55.

2+V5

(1 - V2, 0) U (I + V2. »)

- 2 < » s - j2ou ;2 S [-2. -4] U & 21

- í -----)---t- V Í 0.1-V2

-2 ^

(A) Ganancia: $4 75 m p h 57. 5 £ r £ 20

(B)

Pérdida: $ 0 s ^ < $ 4 o

47.

j

i < 2

49.

-2 í i s 2

1-2. 2]

2

p > $7 o |S0, S4) U (S7. x)

53.

2 s /s 5

Ejercicio d e r e p a s o del c a p í t u l o 1 * x =

21

x a

1

(/-/)

2. x = (1 -1 ) 3. * = 3. y = 3 (1 -2 ) 5. —14 < y < - 4 (1 -4 ) 6. —1 S i s 4

(1 -3 )

(-14.-4)

[1. °°)

-5 < x < 4

(1 -4 )

[-1.4J

- t -----b~Y

+

- í ----5

9.

(A)

3 -

6/

(B)

12. x = i. 3 rv- 16.

Jt = 3, y = - 2

21.

x a

—19

15 + 3 i 13.

(1 -2 )

(1 -3 )

[-19. x)

m = 4

(C) 2 + i (7-5;

10.

X = ± V j o ±^v T 4

± (V3/2)í

14.

y = (3 ± V33)/4

17.

i s j

22.

x < 2 o x > f

(7-6;

(7-Jj

18. (1 -4 )

(-x, 2) U ( £ x)

(1 -8 )

8.

(-5, 4)

x = —15

23.

(1 -1 )

19.

x < 0 o x > {

- 3 o x a 7 (7-S) (-x, - 3] U [7. x)

4

(/-ó ;

11. x = 0. 2 (1-6) 15.

( 1 -6 )

x = 2. 3

N o hay solución 24.

(1 -8 )

x £

(l-l)

x s l o

(1 -7 )

20.

m = 2. n =

3 < x < 4

(1-2)

(1 -8 )

( x, 0) U (j, X)

-1 9

25.

-1 < m < 2 [-1.2]

(B)

(1 -4 )

(B)

6

-í

(1 -5 )

x = 0.45

(1 -1 )

-f----- h 29.

(A)

32. 37. 40. 43.

x = (1 ± V 4 3 V 3 (1 -6 ) 33. x = 64 (7-7j 34. m = ±2, ±3r (/-7J 35. y = ?. 3 (7-7J -2.24 < x £ 1.12 o [-2.24. 1.12] (1 -3 ) 38. 0.89 - 0.32/ (1 -5 ) 39. x = -1.64. 0.89 (7-6) x = 0.94. y = 1.02 (1 -2 ) 41. M - P ! ( \ - d i) (1 -1 ) 42. / = (£ ± V f ! - A P R V 2 R (1 -6 ) y = (5 - x)/(2x - 4) (1 -1 ) 44. La respuesta correcta es x = - 1 . (1 -1 )

-1+í

(B)

n-ni

(C)

§ — 2/

45.

Si c < 9, hay dos ralees reales distintas; si c = 9, hay una raíz doble real; y si c > 9, hay dos raíces imaginarias distintas.

(1 -5 )

30.

u = ( - 5 ± V5)/2

(7-6)

31.

u =

* El n ú m e r o entre paréntesis después de cada respuesta de un problema de repaso del capitulo se refiere a la sección a la que pertenece el problema que se está analizando.

1 ± iV2

(7-6; 36.

(1 -6 )

A -8 2

46.

Respuestas

Todas las b reales y todas las a negativas

49. 6 - d < x < 6 + d. x # 6 (1-4) 52. I (1-5) (6 - d. 6 ) U (6 , 6 + d)

6— 53. 55. 56. 58. 60. 62. 64. 66. 68.

d

(1-3)

47.

Menor que I (1-3)

50. ,í = j \ ' 3 t j i

48. x = 1/(1 —y)

51. .t = i \J(2 +

(1-6)

(l-l)

VTj/2(dos raíces reales)

(1-7)

6 6 +d

No hay solución (1-8) 54. Conjunto de todos los números reales (1-8) - 4 o - 2 s x < 0 o 0 < x s 2 o x > 4 ; ( - i , -4 ) U [-2 ,0 ) U (0, 2] U [4, *) (1-8) u = -31 + 5jc —7j\ v = 13 —2x + 3y (1-2) 57. (A) Número infinito de soluciones (B) No hay solución (1-2) f o - f (1-6) 59. (A) H = 0.7(220-/1) (B) 140 latidos/min (C) 40 años de edad (1-1) 20 niL de 30% solución, 30 mL de 80% solución (1-1) 61. 3 mph (1-6) (A) 3 km (B) I6.2km/h (C) 20.6 min (1-1. 1-6) 63. 85 bolsas de la marca A y 45 bolsas de la marca B (1-2) (A) 2 000 y 8 000 (B) 5 000 (1-6) 65. = (13 i V45)/2 miles, o aprox. 3 146 y 9 854 (1-6) (13 - V45)/2 < a < (13 +V45)/2 o aprox. 3 146 < x< 9 854..venmiles (1-8) 67. \T - 110| £ 5 (1-4) 20cm por24cm (1-6) 69.6.58 pies o 14.58 pies (1-7)

Ejercicio 2-1

CAPÍTULO 2

1.

Y

3.

Simétrica con respecto al origen

5.

Simétrica con respecto al eje x

7. Simétrica con respecto al eje x. al eje y y al origen.

Y

9. VT45 19. (A) 3 21. (A)

11. V 6813. ** + f = 4915. (x - 2)2 + (y - 3)’ = 36 (B) - 2 (C) - 3 , - 1 , 4 (D) - 4 ,1 ,3

25. Simétrica con respecto al eje>’

23. Simétrica con respecto al eje x

27. Simétrica con respecto al eje x. al eje y y al origen

Y

Y

33.

31. Simétrica con respecto al origen

*

Simétrica con respecto al eje>>

35. Simétrica con respecto al eje y

29.

Simétrica con respecto al eje x, al eje y y al origen

Y

Simétrica con respecto al eje y

A -83

Respuestas 39. Un triángulo rectángulo 45. Centro: (-4 ,2 ); radio: V 7

41.

18.11 43. x = - 3 , 7 47. Centro: (3. 2 ); radio: 7 49. Centro: (-4 , 3); radio: V Í 7

53.

55. y = ±VT"-""?

51.

59.

57. y = - 1 ± V 2 - (x + 3)2

Centro: (1,0); radio: I;

3.1

í w

(jc - l)2 + f = 1

\ -3.1

61.

Centro: (2, 1); radio: 3; 2 )2 + (y - I )2 = 9

63.

Simétrica con respecto al eje y

65.

Simétrica con respecto al origen

67.

(x -

4.1

69. 73. 75. 77.

S x + 1y = - 2 71. (x - 4 )2 + (y - 2? = 34 (A) 3 000 casos (B) La demanda disminuye en 400 casos (C) La demanda aumenta en 600 casos (A) 53° (B) 68°en3P.M. (C) I A.M..7A.M., 11 P.M. Y 79. 2.5 pies 81. (A) (jr + I2 )2 + (y + 5): = 262; centro: (-12. -5 ); radio: 26

Pueblo A

(B)

Pueblo 8 (36.15)

Ejercicio 2 - 2

I. 3.

Intersección con el eje x: -2 ; intersección con el eje .y: 2; pendiente: I Intersección con el eje x: - 2 : intersección con el ¿jey: -4 ; pendiente: - 2 5. Intersección con el eje x: 3; intersección con el eje y: -1 ; pendiente: { 1 1 7. Pendiente = —j 9. Pendiente = II. Pendiente = ^

13.

Pendiente = j Y

I3.5m¡

A -8 4

Respuestas

17. Pendiente no definida

15. Pendiente = 2

19. Pendiente = 0

27.

63.

67.

3* + 4y = 25

81.

(A)

X

0

5 000

10 000

15 000

20000

25 000

30 000

B

212

203

194

185

176

167

158

(B) El punto de ebullición disminuye 9°F por cada 5 000 pies de aumento de altura. 83. Los cargos de renta son $25 por día más S0.25 por milla manejada. 85. (A) (C) 0 2 3 4 X

1

Ventas

5.9

6.5

7.7

8.6

9.7

fM

5.7

6.7

7.7

8.6

9.6

87. 91.

(A) F = fC + 32 (B) 68°F; 30°C (C) | (A) T = -5 A + 70. A a 0 (B) 14 000 píes

93.

(A) h =

95.

5.c - 12y = 232 Y

Y

(A)

23. y = —y x - 4

y = -\x + 2 29. y = 5 31. y = -2 * + 8 33. y = - f x + § 35. y = 4 37. x = 4 y = Jx + 3 43. 3x - y = -1 3 45. 3* - y = 9 47. x = 2 49. x = 3 51. 3x - 2y = 15 Pendiente/!/? = —| = Pendiente DC 59. (Pendiente AB )(Pendiente BC) = (-|)(f) =

41.

69.

21. y - x

Y

Y

SI0.6 mil millones. SI7.4 mil millones

89. (A) V = -1 600f + 8 000, 0 S t s 5 (B) $3 200 (C) -1 600 (C) -5; la temperatura cambia 25°F para cada aumento de I 000 pies en altura

1.13/ + 12.8 (B) 32.9 h = 0.001 52C - 0.159. C a 210 (B) 0.236 (C) 0.001 52; el riesgo coronario aumenta 0.001 52 por unidad de aumento de colesterol arriba del nivel de 210 decolcsterol. (A) R

nespuestas

A-85

Ejercicio 2 3 I. 9. 17. 33. 35. 39. 43. 49. 55. 61. 63. 65. 77. 81. 87. 89.

Función 3. No es una función 5. Función 7. Función; dominio = )2 .3 ,4 ,5 |; rango = (4 . 6. 8, I0¡ No es una función II. Función; dominio = {0.1.2.3.4. Sarango {1,2) 13. Función 15. No es una función No es una función 19. - 8 21. - 6 23. I 25. 10 27. - j ? 29. 7 31. - 1 . - S . 6 Una función con dominio R No es una función, por ejemplo, cuando x = 2, y = - 2 37. No es una función, por ejempfoTcuando x = I ,y = ±2 Una función con dominio en lodos los números reales excepto .v = 5 41. No es una función; por ejemplo, cuando x = 0, y = ±9 Dominio: iodos los números reales 45. Dominio: x 2 47. Dominio: todos los números reales excepto.4— Dominio: todos los números reales excepto- 2 y 4 51. Dominio: - 2 s .v s 2 53. Dominio: x £ - 1 o x 2:4 Dominio: 2 < x £ 5 57. g(x) = 2x' - 5 59. G (x ) = 2 V x - x-’ La función/ multiplica el elemento del dominio por 2 y le resta 3 al resultado. La (unción F multiplica el cubo del elemento del dominio por 3 y le resta dos veces la raíz cuadrada del elemento del dominio al resultado. 3 67. - 6 - h 69. - 2 h + 11 71. /(x) = 2r* - 4x + 6 73. m(x) = 4x - 3Vx + 9 75. (A) 3 (B) 3 (A) 2 x + h (B) x + a 79. (A) - 6 x - 3A + 9 (B) -3* - 3c + 9 (A) 3x= + 3x/i + h J (B) x 1 + ax + o : 83. P ( w ) = 2 w + (128/uO. w > 085.h (b ) = v V + 25. b > 0 C (x ) = 300 + 1.75* (A) í(0) = 0. i(l) = 16. j(2) = 64. i<3) = 144 (B) 64 + 16/i (C) El valor de la expresión tiende a 64; este número parece ser la velocidad del objeto después de transcurridos 2 segundos. 91. V(x) = -i(8 - 2*X12 - 2x)\ dominio: 0 < x < 4 93. F (x ) = 8jt + (250/x) - 12; I 4 5 6 7 F(x)

82.5

78

77.7

79.7

95. C(x) = 10 000(20 - jc) + ISOOOVjt + 64; dominio: 0 s i s 20

97. C(W = lOOv + (200 00QA-)

Ejercicio 2 - 4

I. 3. 5.

(A) [-4 .4 ) (B) [-3 .3 ) (C) 0 (D) 0 (E) [-4 .4 ) (F) Ninguna (G) Ninguna (H) Ninguna (A) ( - * . « ) (B) ( - 4 ,* ) (C) -3 ,1 (D)- 3 (E) [ - 1 .* ) (F) ( - « , - ] ] (G) Ninguna (H) Ninguna (A)(—« , 2) U (2. *) (B) < - * . - l ) U [ l . * ) (C)Ninguna (D) I (E) Ninguna (F) ( - » , -2 ], (2, *) (G) [-2 .2 ) (H) x = 2 7. Una posible respuesta: 9. Una posible respuesta: II. Una posible respuesta:

>(.*)

fW

m

=í

13.

Pendiente = 2. intersección con el eje x = —2. intersección con el eje v = 4

15.

Pendiente = - j , intersección con el ejex = —j , intersección con el eje y = - ,

I

10

5

m

19.

Min/(x) = /(3 ) = 2 Rango = [2, *)

m

17. f( x ) = jx + 4

fW

21.

M á x /( x ) = /( - 3 ) = - 2 Rango = ( - * . -2 ]

/(*)

23.

Intersección con el eje x: —1,5 Intersección con el ejc y = - 5 f(x)

25.

Intersección con el eje x: 0,6 Intersección con el eje y = 0

A -8 6

Respuestas

27. Aumenta en [-3.») Disminuye en [-*, 3)

29. Aumenta en [-*, 3) Disminuye en [3,®)

31. Dominio: [-1, I] ^ Rango: [0, I]

((*)

m

35.

33. Dominio: [—3, - 1 ) U (—I. 2] Rango: ( - 2.4} (un conjunto, no un intervalo) Discontinua en x = - 1

Dominio: todos los números reales Rango: todos los números reales Discontinua en .v = - I

m

37. Dominio: x * 0, o ( - * . 0) U (0, *) Rango: (—» , - 1) U ( I , x ) Discontinua en .v = 0

ffW

HA

39. Min/(.v) = / ( —2) = I Rango: [!,*') No intersecta al eje x Intersección con el eje y = / ( 0) = 3 Aumenta en [-2 , *) Disminuye en (—<*, -2 ]

41.

Min/(.r) = / ( ; ) = 0 Rango: [0, *) Intersección con el eje x = j Intersección cot\ el eje .v = /(0 ) = 9 Aumenta en [j. *) Disminuye en (—*, j]

f(*)

43. Máx/(.v) = / ( —2) = 6 Rango: ( - « , 6] Intersecciones con el eje.t: -2 ± V 3 Intersección con el eje>’ = /(0 ) = - 2 Aumenta c n ( - x , -2 ] Disminuye en [-2 . *)

/(*)

h a

Vértice ! ;10 (“ 2/ 6)n , /¡v /1 - ,0

i

5

Eje P \ *= - 2^1 , «

45. f(x)

-r:

si j: < 0

six > 0

Dominio: x & 0, o ( 0 ) U (0. °°) Rango: { - 1, 1i (un conjunto, no un intervalo) Discontinua en x = 0 f(x)

P_1

SÍ JT < 1

47. f(x) = U + i SÍJC> 1 Dominio: jt ^ l , o ( ~ x , I) U (I,*) Rango: ( - » , 0) U (2, «>) Discontinua en x - I

m

49. f(x) =

2 - 2x six < 0 2 si 0 £ x < 2 1^—2 + 7x si* a 2

Dominio: todos los números reales Rango: [2.x ) No hay discontinuidades

m

Respuestas

51. Dominio: lodos los números reales Rango: todos los enteros Discontinua en los enteros pares

Dominio: todos los números reales Rango: todos los enteros Discontinua en los números racionales de la forma A73. donde k es un entero

si - 4 £ x < - 2 si - 2 £ x < 0 si 0 £ x < 2 si 2 s x < 4 si 4 £ x < 6

-2

-1 0 1 2

fU ) =

53.

-2

-I 1 2

!(*)

x+2 X x - 1 x- 2

1

5 0 1

J 2 3

1

K»)

55. Dominio: todos los números reales Rango: [0. I ) Discontinua en todos los enteros

.t + 1

0

f(x) = •

si —§ < jr < SÍ —j £ Jt < si 0 S x < si j £ * < 2 St J £ x <

57.

Eje: x = 2; vértice: (2,4); rango: [4, »]; no hay intersección con el eje.v

si —2 £ jc < - 1 si - 1 £ jc< 0 si 0 £ x < 1 si 1 £ * < 2 si 2 £ X < 3

2

X 59. (A)

í t r j T Ü -2 Una respuesta posible

61. (A) Una respuesta posible:

f(x)

(B) La gráfica debe cruzar al eje .c exactamente una vez 65. (A) h + 1

(B)

(B)' Pendiente

67. Gráficas d e /y g

0.1

0.01

0.001

1.1

1.01

1.001


10 -10

La gráfica debe intersectar al eje ,v por lo menos dos veces. No hay un límite superior en el número de veces que puede cruzar al eje x


10 -10

-10

aproximándose a I

10 -10

-10

10 -10

A -o /

^

A-ttO

Kespuesias

-10

-10

-10

73. m(x) 5 máx[/"(.í), g(.r)] 75. (A)

X

Millas recorridas fix)

28 45 45.3

30 52 51.8

77. (A) s = f(w ) = w/10 (B) /( 15) = 1.5 pulg. /(30) = 3 pulg. (C) Pendiente =,-5

34 51 52.4

32 55 54.2

(C) /(31) « 53.50 miles de millas /(35) = 49.95 miles de millas

36 47 46.5

200 si 0 £ a: £ 3 000 80 + 0.04* si 3 000 < jt < 8 000 180 + 0.04* six a 8 000

79. E(x) =

81. (A) A(x) = 50x - jt (B) Dominio: 0 < x < 50

83.

85. fix) = 10.5 + 1004/100 87. (A) 15 0 < jr £ 1 1 < jt£ 2 18 21 2 < jt £ 3 C(x) = 24 3 < Jt £ 4 27 4 < jt £ 5 5 < Jt £ 6 30

(B)

No, ya que/(jt)

# C(x) en x — 1, 2, 3,4,5 o 6

1 2 3 4 s 6

89.

S50 por día; máximo ingreso = SI 2 500

91. (A) 32V5 «* 71.55 pies/seg

Ejercicio 2 - 5

1. 7.

(B)

15 pies

^

Dominio: [0, ®); Rango: ( - » ,0 ] 3. Dominio: K. Rango: (—*, 0] 5. Dominio: R', Rango: R ( / + g)(x) = 5x+ !.(/•- g)(.r) = 3jt - I. (/g)(.v) = 4.r + 4.«r. (flg)U) = 4.v/(.v + I); Dominio d e /+ g = Dominio d e / —g = Dominio de/i» = ( - * , *). Dominio de /7g = ( - * . —I) U ( - I ,»)

Respuestas 9.

11.

(/ + g )(x ) — 3jt + 1, (/ -

g )(x )

= x 5 - I, ( f g )( x ) = 2x* + 2jt,

( f + g ) ( x ) = x> + 3x + 4, (f - g)(x) = -x? + 3x +

(f/ g )(x )

A -89

= 2r7(.r + 1); Dominio de cada función = (-*>, x)

6 . (/*)
= 3x> + 5.r - 3* - 5, (f/g)(x) = (3x + S W x 2 - 1); Dominio de / + g = Dominio d e/- g = Dominio de f g = (- » , ®), Dominio de f l g = (—», -1) U ( - 1 , I) u (I. x)

13. (/* ár)M = (x3 - x + l)3, (g °/)(x) = x 6 - x 3 + 1; Dominio de/» g = Dominio de £ •/ = (- * , =°) 15. U ° g)(x) = |2x + 4|, (g °/)(x) = 2¡x + l| + 3: Dominio de/» g = Dominio d e g ° f = (-x. x) 17. (/ ° g)(x) = (2r’ + 4)in, (g o f X x ) = 2x + 4: Dominio de /« g = Dominio de g ° f = (—». «=) 19. 21. 25.

-2

2 31. La gráfica dey = |x| está corrida 2 unidades a la izquierda y reflejada en el eje a

33. La gráfica de y =,x* está corrida 2 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo

35. La gráfica dey = Vx está expandida verticalmente por un factor de 2. reflejada en el eje x, y corrida 4 unidades hacia arriba.

37. (/ + «)(*) = V 2 - x + V x + 3. (/ - g X x ) = V 2 - x - V x + 3. (/*)(x) = V 6 - x - x-', ( f l g ) ( x ) = V ( 2 - x)/(x + 3); Dominio de / + g = Dominio de / - g = Dominio de f g = [-3, 2], Dominio de f l g = (-3. 2] 39. (/ + g)(x) = 2 V x - 2 . ( / - gXx) = 6 . = x - 2 V x - 8 . (//g)(x) = ( V x + 2 W V x - 4); Dominio de / + g = Dominio de / - g = Dominio de/g = [0, »), Dominio de f l g = [0. 16) U (16. x) 41. (/ + g)(x) = V x 2 + x - 6 + V 7 + 6 x - jr. (/ - gX*> = V . r + x - 6 - V 7 + 6 x - x3, (/g)(x) = V

43. 45. 47. 49. 55.

7

xJ + 5.r + 19x-’- 29x - 42. (flgXx) = V ( x i + x - 6)1(7 +

6x

- x3);

Dominio de / + g = Dominio de / - g = Dominio de/g = [2, 7], Dominio de flg = [2. 7) (/ ° g)(x) = Vx - 4. (g ®/)
Y

Y

A -yü

61.

Respuestas

Fs igual que la gráfica de p(x ) = xr corrida 2 unidades a la derecho, y expandida por un factor de 2 y corrida 4 unidades hacia abajo.

63.

Es igual que la gráfica de p(x) = x2 corrida 2 unidades a la derecha, y contraida por un factor de i, reflejada con respecto al eje x y corrida 3 unidades hacia arriba. f(x)

m

67. h (x) = (/» g ) ( x y , f ( x ) = x'n , g(x) = 4 + 2* 71. h {x) = (g °/)(x): g(x) = 4x + 3,/(x) = x ' 1* 73. La gráfica de y = |x| está reflejada en el eje x y expandida verticalmente por un factor de 3. Ecuación: y =-3|x|.. 75. La gráfica de y = x' está reflejada en el ejex y contraida verycalmente por un factor de 0.5. Ecuación: y = —O.Sx'. = (/•

= x*.

65. 69.

h (x)

77.

(/ + R ) W = 2 x, (/ - g)(x) = 2 /x, (/g)(x) = x 2 - (l/.r), (//?)(x) = (x3 + l)/(.r - 1 ); D ominio d e / + g = Dominio d e / - g = Dominio de f g = ( t x . 0) U (O,00), Dominio de f l g = (-», —1) U (-1,0) U (0, 1) U (1, »)

79.

(/ + g ) M =

81. 83. 85. 87.

g )(x ):f(x )

g (x )

=

2 x - l

h (x) = (g °/)(x); g (x ) = 3x - 5./(x) = x 7

2 , (/

- g)(x) = - 2 x/|x). (/sXx) =

0

. (//g)(x) =

-10

-10

:

10

-10

-10

Gráfica de |/(jc)|

Gráfica de |/(x)|

10

10

-10

10

-10

-10

-10 Gráfica de -|/(x)|

Gráfica de-|/(x)|

10

10 10

-10 -10

-10 93. 95.

0

Dominio d e / + g = Dominio.de / - g = Dominio de/* = (—«. 0) U (0. °°), Dominio de f l g = (O, ®) ( / ° g)(x) = V 4 - x^. (g »/)(x) = 4 - x; Dominio de f ° g = [-2 , 2], Dominio deg » / = (-», 4) ( / ° g)(x) = (6x - 10yx, (g °/)(x) = (x +5)/(5 - x): Dominio de/ ° g = ( - » . 0) U (0. 2) U (2, “>), Dominio deg » / = (-oe, 0) U (0. 5) U (5. “ ) ( / 0 g)(x) = V16 - .r. (g o/)(x) = V 34 - x‘; Dominio de/» g = [-4 . 4), Dominio deg » / = [-5 , 5) Gráfica de/(x) 89. Gráfica de/(x) 91. La gráfica de y = l/"(.v)l es igual que la gráfica de .y = /(x ) to io siempre que/(x) a Oy es la reflexión de la gráfica de y = /(x ) con respecto al eje x siempre que/(x) < 0.

P(p) = -7 0 000 + 6 OOOp - 200p2 99.

97.

fW

(A)

r(h) = ^

(B)

V(h) =

t¡irh 3

(C)

V(r) = 2JfirrM

Ejercicio 2 - 6

I.

Uno a uno

3.

No es uno a uno

5.

Uno a uno

7. No es uno a uno

9.

Uno a uno

11.

No es uno a uno

Respuestas 13. 23.

15.

Uno a uno Uno a uno

17.

Uno a uno 25.

Uno a uno No es uno a uno

10

Dominio de/ * ' = [ 1, 5] Rango de f ~ ' = [-4 , 4]

No es uno a uno 21. Uno a uno 27. No es uno a urjo

10

-10 31.

19.

A -91

29. Uno a una

10

-10 33.

4L

Dominio de/ -1 = [-3 . 5] Rango de f ~ ' = [-5 . 3]

/-'(* ) = i*

43. f ' ( x )

35.

= J-t + J

45. f- i(x )

= 10* - 6

47. f - ' ( x )

= (2 + x)/x

49. / - '( x ) = 2 f / ( \ 57. /-'(*) = 16 -

- x) 51. f ' ( x ) = ( 4 x + 5V(3x - 2 W 53. f ' ( x ) = ' ^ T 55. f ~ ' ( x ) = (4 - x)’ - 2 4^. jt a O 59. f " ( x ) = (3 - x f + 2 . x £ 3 61. La intersección de/con el eje x es la intersección de / ' 1 con el eje y, y'la intersección de/con el eje y es la intersección de/ ' con el eje .i 63. f~ '(x) = 1 + V 7 ^ 2 65. / - ’(jr) = - 1 - v T + 1 67. / ‘'(i) = V 9 ^ 7 69. /-'(z) = - V ^ T ? 71. /-'(Jt) = \ 2x - .r 73. /'•(*) = - V 2 j - .r Dominio de / -1 = [-3 .0 ] Dominio d e /" ' = [0,3] Dominio de / -1 = [1,2] Dominio de/ ' 1 = [0. I] Rango de / ' 1 = [O, 3] Rango d e / " 1 = [-3 .0 ] Rango de / " 1 = [0. 1] Rango de /■ ' = [-1 .0 ]

Y s

y

x 1

-ffH *

V= XS

// 83. (A) f \ x ) = 2 -

0 £ jt £ 2

—2

(B) /-'(* ) = 2 + V 4 ^ 7 . 0 £ x £ 2

Ejercicio d e r e p a s o del capít u l o 2

I. (A) V45 (13) - j (C) 2 (2-1.2-2) 2. (A) aj + / = 7 (U) (.»•'- 3)J + {y + 2)1 = 7 (2-1) 3. Centro: (-3 .2 ); radio = \ Í T (2-1) 4. Pendiente = - ' (2-2) 5. 2.v + 3y = 12 (2-2) 6. y = — | .v + 2 (2-2)

yx-y-2 x - Z -H

A -9 2

Respuestas

7. Vertical: x = - 3 , la pendiente no está definida: horizontal:y = 4. pendiente = 0 (2-2) 8. (A) Función; dominio = ( I, 2, 3(, rango = { 1,4. 9¡ (B) No es una función (C) Función; dominio = { - 2 ,- 1 .0 ,1 .2 } , rango = {2} (2 -3 ) 9. (A) No es una función (B) Una función (C) Una función (D) No es una función (2 -3 ) 10. Los incisos (A) y (C) especifican funciones (2 -3 ) U. 16 ( 2 -3 ) 12. I (2 -3 ) 13. 3 (2 -3 ) 14. 15. 9 + i x - x 2 (2 -7 ) 16. I+ 3 X + X5 (2 -5 ) 17. 20 + 12* - 5-r2 - 3x> (2 -5 ) 18. (3 x + 5)1(4 19. 17 - 3x* (2 -5 ) 20. -21 - 30* - 9 r (2 -5 )

-2 a —h x*), x

*

±2

(2 -3 ) (2 -5 )

22. (A) a (B) m (C) n (D) / (2-4. 2 -5 ) 23. (A) Intersecciones con el eje x: —4 , 0; intersección con el eje y: 0 (B) Vértice: ( - 2 . - 4 ) (C) Mínimo:—4 (D) Rango: y a - 4 o [-4 . *) (E) Aumenta en [—2, *) (F) Disminuye en (—», -2 ] (2 -4 ) 24. Min f ( x ) =/<3) = 2; vértice (3.2) (2 -4 ) 25. (A) Reflejada a través del eje x (B) Corrida hacia abajo 3 unidades (C) Corrida 3 unidades hacia la izquierda (2 -5 ) 26. (A) 0 (B) I (C) 2 (D) 0 (2 -4 ) 27. (Á) 28. Dominio = ( - * , * ) . rango = ( - 3 .* ) (2 -4 ) _29. (-2 . - 1], [I. *) (2 -4 ) 30. (-1 ,1 ) (2 -4 ) 31. ( - * , - 2 ) (2 -4 ) 32. x = - 2 , x = I (2 -4 ) 33. f ( x ) = 4jr' - V.v (2 -3 ) 34. La función/multiplica el cuadrado del dominio del elemento por 3. suma cuatro veces el elemento del dominio, y luego resta 6. (2 -3 ) 35. (A) l x + 2 y = - b V ¡ 2 ( 2 - 1 . 2 - 2 ) 36. (A) 37. Es simétrica con respecto a los tres (2 -1 ) 38. ( - * .3 ) 39. Rango = [ - 4 .« ) (2 -4 ) 40. [0, 16) U (16. *) (2 -3 ) Intersecciones: x = I y x = 5 , y = 5 M ín /(jc )= /(3 )= -4

y = -

2v - 3

(B) r = j .r + 2

(2 -2 )

(2 -3 )

Y

41. (A) (/« £)(*) = V^íj - 8. (g ° f ) ( x ) = | V x - 8| (B) Dominio de/°,g = (-* •.* ), dominio de g ° / = [0, ®) 42. Funciones (A). (C) y (D) son uno a uno (2 -6 ) 43. (A) (.v+7)/3 (B) 4 (C) x (D) Aumenta 44. Dominio = [—i, I] (2 -4 ) Rango = [0. I] U (2, 3] Discontinua en x = 0

45.

(2 -5 ) (2 -6 )

La gráfica d e y = x2 es verticalmente expandida por un factor de 2. reflejada con respecto al eje x. y corrida hacia la izquierda 3 unidades. Ecuación:.v = —2(x + 3)3. (2 -5 )

- 2 .0 (B)I (C)

N

Respuestas

46. g(x) = 5 — 3J* — 2| (2-5)

47. y = -(* - 4)J + 3 (2-4, 2-5)

Y

48.

49. (A) f~ '(x) = jc2 + 1 (B) Dominio d e / - [1, «) = Rango de / “’ Rango d e / = [0, x) = Dominio d e / -1

(2-6)

52. Simétrica con respecto al origen (2-1)

S3.

Disminuye en

(2-2, 2-3)

54.

(A) Dominio d e / = [0, « ) = Rango d e / “1; Rango d e / = 1-1, “ ) = Dominio d e / 1 (B) V.r + I (C) 2 (D) 4 (E) x (2-6) 55. La gráfica de y - x' x es verlicalmenie expandida por un factor de 2. reflejada en el eje x, corrida una unidad hacia la izquierda y una unidad hacia abajo. Ecuación y = - l 'i / x + 1 — 1 (2-4) 56. Es igual que la gráfica de g cambiada 2 unidades a la derecha, reflejada en el eje .v, y corrida I unidad hacia abajo. (2-5) (2-5) 58. [-5 .5 ] (1-8, 2-3)

59. (A) 1 - x-, dominio = (—», I] (B) rVVl - x, dominio = ( - x , i) (C) I - x. dominio‘= ( - » , I] (D) V I - x 2, dominio = [-1 , I] (2 -5 ) 60. (A) + 2)/(x - 1) (B) ^ (C) * (2 -6 ) —2 si x < — 1 61. f ( x ) = 2 x si - 1 s x < I; dominio = (-oo, x), rango = [-2 ,2 ] (2 -4 ) 2 si x a 1

(3*

A -9 3

A -9 4

Respuestas

(2-5)

(B)

62. x - y = 3; una recia (2-1, 2-2) 65. (A)

5

*—o

•-o ------------

66. Dominio: Todos los números reales excepto x - 2.

67.

Rango: y > - 3 o ( -3 .= ) discontinua en .v = 2 (2-4)

(2-1. 2-5)

(A)

\A/V

10

-s

\ ,

-10

s

10 -5

-10 6 8 . (A) La gráfica debe cruzar el eje x exactamente una vez. (B) La gráfica puede intersectar al eje .v una vez o ninguna. 69. (A) V = -1 250; + 12 000 (B) S5 750 (2-2) 70. (A) R = 1.6C (B) $168 (2-2)

71.

E(x) = í

72.

(A)

200

[O.lx -

100

x

Destrucción f(x)

(C) 73. (A)

S., 0 £ j ; ~ J 000; £(2 000) = $200. £(5 000) = $400 (2-4) s u > 3 000 0

5

10

15

20

309

276

271

255

233

303

286

269

252

234

217 en 1995. 200 en 2000 0.49* CU) = 0.44.t 0.39x

(2-4)

(D)

El consumo de huevo per cápita es de aproximadamente 17 huevos cada 5 años (2-4)

para 0 £ x < 36 para 36 £ x < 72 para 72 £ x

74. (A) C = 84 000 + 15a;/? = 50.v

(B)

(B) Discontinua en x = 36 y x = 72

R = Cenx = 2 400 unidades;

i'-M,/

< Cpata 0 £ x< 2400; R > C p a ra x > 2 400

m . c(x)

75. P(p) = -1 4 000 + 700p - 10p2 (2-5) 76. 5 pies (2-1) 77. (A) A(x) = 60x - ^x2 (B) 0 < x < 40 (C) x = 20, y = 15 (2-4) 78. (A) 0 (B) l (C) 2 (D) 0 (E) 1 (F) 0 (2-4)

(2-2)

Ejercicio de repaso acum ulativo de los capítulos 1 y 2 1. x = § (1-1)

2. .1 = 1, y = - 2

( 1-2

3. y a 5

(1-3)

4.

(5. x)

-5 < x < 9

(1-4)

5. i < - 5 o i a 2

<-». -5] U [2. oo)

(-5 . 9)

- i -----5

9

-5

6.

(A) 7 - 1 0 / (B) 23 + 7/ (C) I - i ll-5) 7. x = -4 , 0 (1-6) 8. x = - V 5 . V 5 (1-6) 9. x = 3 ± V 7 f/- 6) 10. x = 3 ( / - 7 ; 11. i s - j o [-} ,* ) (1-3) 12. (A) 2V ! (B) 2 (C) I2' 1- 2'2> 13. (A) x 3 + y2 = 2 (B) (x + S)3 + (y — I )3 = 2 <2-/¿ 14. Pendiente: j . intersección con el eje y: -2 ; intersección con el eje .v: 3 (2-2) Y

15. (A) Punción: dominio; {I. 2, 3); rango: ¡ l | (B) No es una función (C) Función: dominio; (—2 .—1,0. l.2j:rango: | - l . 0 . 2 | (2-3) 16. (A) 20 (13) jJ + x + S (C) 9xj - I 8 x + I 3 ID) 2n + li - 2 17. (A) Expandida por un factor de 2(B) Corrida 2 unidades a la derecha 18. (A) Y (B) Y (2-5) s

(2-2. 2-51

(C) Corrida 2 unidades hacia abajo (2-5)

5 -•

5

. X

\|

/

}

i

V .

/

—5

19. No hay solución (1-1) 23. x < \ o x > 3 (1-4) (-os. I) U (3. og)

- i

20. x = ^,3 (1-6) 24. j s m £ 2 (1-4 If. 2)

- i ----- h

21. x = t , § (1-7) 22. x = 87/16, y = 5/8 (1-2) 25. - 1 < 'x < 2 o .r a 5 (1-8) 26. x a 2, x * 4 (1-3) (-1 . 2) U [5, ») [2. 4) U (4. oo) -12

I-» *

5

2

4

27. (A) (B) f (C) - i (1-5) 2S. (A) 3 + 18/ (B) -2.9 + 10.7/ (C) - 4 - 6/ (1-5) 29. (A) Todos los números reales (C) 1 (D) 1-3, -2) y [2. oo) (E) -2, 2 (2-3. 2-4) iB) | - 2 | U [I. *) 32. Rango: [-9. x) (2-4) 30. (A) y = —|.t - 8 (B) y = fx + 5 (2-2 31. [ - 4 .» ) (2-3) Intersecciones: x = - 2 y x = 4. y = - 8 Min/ix) = / l ) = -9 Y

(1-8)

A -9 6

Respuestas

34. / - '( * ) = * * - *

33.

35.

(2-6)

Dominio: * # 0, 3 (2-5)

Dominio: todos los números reales (2-4) Rango: ( ~ x , - I) U [I. *) Discontinua en x = 0

(2-5)

36.

37. La gráfica dey = pr) es contraída por i, reflejada en el eje*. corrida 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba; y = -y |* - 2| + 3. 38. (A) /■'(*) = ** - 4, * a 0 39. Centro: (3, - 1 ); radio: VTÓ" (2-1) 40. Simétrica con respecto al origen (2-1) (B) Dominio/= [-4 , =o) = Rango/ 1 /<*) Rango/ = [0, ®) = Dominiof~*

(2-6)

41. y = (x + 2)3 - 3 (2-4) 42. y = 3 * ¡V E (1-6) 43. x = - { . % (1-7) 44. u = ±V 5, ± 2/ (1-7) 45. í = | (1-7) 46. -18.36 £ i < 16.09; [—18.36. 16.09) (1-3) 47. * = - 5 . 6 8 . 1 . 2 3 (1-6) 48. * = 1.49. y = 0.55 (1-2)

49. y = (2-5)

3 -3 * x +4

50. s = 5 + * - 2y. I = - 1 2 - 2x + 5y (1-2)

(1-1)

52. 0 (1-5)

53.

Todas las a y h tales que a > 2, hay dos raíces reales distintas; si b = - 2 o /i = 2, hay una raíz real doble; y si - 2 2; ( - » , -1) U (2, ®) (1-8)

58.

a2 - b2 a2 + b2

lab i a3 + b2

(1-5)

(2-5)

Respuestas

4

2*

si jc < —2 si - 2 £ * £ 2 si x > 2

61. (A)

Dominio: todos los números reales; Rango: [4. * )

Dominio g: [-2.2]

**
(2-4)

(C) ( / ° g)(x) = 4 - x2-. Dominio (/» g): 1 -2 .2 ) (2-5)

Y

62. (A) f - \ x ) = 1 + V 7 T 4 (B) Dominio [-4, °°); R a n g o [1, “ ) (C) y

2x+ 2

63.

<2-6)

2* + 1 2* 2* - 1 2* - 2

f(x)

2i - 3

si -1 £ * < 4 si - 5 £ * < 0 si 0 £ * < 1 si j £ * < 1 si 1 £ * < 1 si 2 K>»W IA * A

—2* 60. J[x) =

A -9 7

Dominio: todos los números reales; Rango: [0. I ); discontinua en x = k/2, k es un entero Y

1

l"t i Ia V

M -

64. 69. 71. 72. 73.

(2-4)

11 M

7

1 -2

2o - ] (1-6) 65. 10.5 min (1-1) 66 . 2.5 mph (1-6) 67. 12 gal (1-1) 68 . 8800 libros \p - 2CK)| s 10 (1-4) 70. S16.50,5 500 piezas de queso (1-2) (A) Ganancia: $5.5 $8 o [$0, $5.5) U ($8 . * ) (1-8) 40 millas de A a B y 75 millas de B a Co 75 millas de A a B y 40 millas de B a C (1-6) x = -900p + 4 571; I 610 botellas (2-2)

0.06* 0.05* + 0.6 74. C(x) = 0.04* + 2.1 0.03*+ 5.1

si 0 s * s 60 si 60 < * £ 150 si 150 < * s 300 si 300 < *

75. (A) A(x) = 80* - Tx2 (C) 20 X 40 pies (2-4)

76. (A) /(1) = /(3) = l,/(2) = /(4) = 0

CAPÍTULO 3

(B) 0 < * < 40

A(x)

C(x)

77. (A) a = 2 500,

(1-2)

= -16

(B)

(B) f(n )

2 500 pies

■ (i

(C)

si n es un entero impar (2-4) si n es un entero par 12.5 s (l-l. 1-2. 1-6)

Ejercicio 3-1

1. c 3. d 5. h 7. h . k 9. 2m + 1 11. 4* - 5. R = , , ** + 3 *- 7 , 3 4x> + 10* - 9 17. ----- -— = * + 5 + ---19. 4* - 2 x-2 * - 2 * + 3 *+ 3

21.

13. Jt2 + * + 1 15. 2,y2 - 5y + 13. R = -27 2* 1 - 3* + 1 II = 2x: + 4* + 5 + 23. 4 x-2 x-2

A -9 8

25. 35. 41. 45.

Respuestas

3

27. - 6 29. 3a3 - 3a2 + 3* - 4, R = O 31. x4 - x3 + x2 - a: + 1. R = O 33. 3x> 2x> - 3X4 - 15X3 + 2x + 10. R = O 37. 4a3 - 6x - 2. R = 2 39. 4X2 - 2x - 4. R = O 3x> - 0.8a2 + 1.68a: - 2.328, R = 0.0688 43. 3** - 0.4a3 + 5.32X2 - 4.256a - 3.5952, R = -0.123 84 La gráfica tiene tres intersecciones con el eje a y dos puntos de retorno: P(x) -* » como x » y P(x) -* - » como a -» - x

La gráfica tiene tres intersecciones con el eje .r y dos puntos de retomo P(x) —> x como a -» x y Pía) —> —« como x -* —x P(x)

47.

PW

49.

+ 21x - 67. R = 200

La gráfica tiene una intersección con el eje a y dos 51. La gráfica tiene una intersección con el eje x y no tiene puntos puntos de retomo; de retomo P(x) —» -<*> como x —* x y P(a) —> x como x -» —« P(x) —> —» como x -» x y /’(a) -» x como a -» - x P(A) P(x)

55. No existe dicho polinomio. 57. 2.14a2 + 1.98a - 2.03, « = 0.00 53. /•(a) = a 3 59. 0.96a1 - 1.32a2 + 5.89a + 1.37, K = -3.74 61. 2a2 - 3a + 2. R = 0 63. a 2 + ( -3 + i)* - 3í 67. La gráfica tiene dos intersecciones con el eje .v y tres puntos 65. La gráfica tiene dos intersecciones con el eje x y un de retorno. punto de retorno P(x) -* x como a —> x y como a —> - x P(x) —» x como a —> ® y como x —> —x

/>(*)

/>(*)

69. La gráfica tiene cuatro intersecciones con el eje a y tres puntos de retomo; P (x) — > - x c o m o a —» x y c o m o a —> —x P(x)

71. La gráfica tiene cinco intersecciones con el eje a y cuatro puntos de retomo; P(x) —* x como x —> x y P(j:) —> —oc como a —» —x P(A)

73. (A) En ambos casos, el coeficiente de .v es a2, el término constante es a f + (B) El residuo desarrollado es a¡r2 + a,r +
y el residuo es (a2r + a,)r + o„.

Ejercicio 3- 2

1. 5. 9. 15. 25.

-8 (multiplicidad 3), 6 (multiplicidad 2); grado de P(x) es 5

3.

-4 (multiplicidad 3), 3 (multiplicidad 2); - I ; grado de /j(a) es 6

P(x) = (a - 3)2(x + 4); grado 3 7. />(a) = (x + 7)’[x - ( - 3 + V2)][x - ( - 3 - V2)); grado 5 P(x) = [a - (2 - 3í)][a - (2 + 3í)](a + 4 ft grado 4 11. (a + 2)(x - 1)(a - 3), grado 3 13. (x + 2)2(x - l)2. grado 4

(a + 3)(x + 2Wx - l)(x - 2). grado 5 ±1. ±3, ±i, ±i. ± 1 ±¿,

17. Si 19. Sí 21. ± 1, ±2. ±3, ±6 27. I, 1 i V2 29. - 2 (raízdoble), ±V 5

23. ±1. ±2. ±4, ±J, ±f. 31. ±2. 1 ± V 2 33. ±1. J.

Respuestas

35. 43. 47. 51. 53. 55. 67. 69. 71. 73. 75. 83. 87.

- 5 ,2 .3

37.

- y , 0 , 5 ,2

39. j —2 ^ 3 , 2 (doble raíz)

41.

A -9 9

- 1 (doble raíz), - y , 2 ± /

P(x) = (x + 2 )(2x - I )(3x + 2 ) 45. /f r) =
Notación de desigualdad: . t s - I o I £ . t S 3 ; notación de intervalo: ( - « , —I] U [1,3] Notación de desigualdad: - 3 s x £ j o x a 2; notación de intervalo: [-3 , j ] U [2, x) x2 —8x + 4 1 57. x2 - ?6x + 25* 59. x> - 2wc + a: + Ir 61. 3 + í. - I 63. 5/. 3 65. 2 - í. ± V 2 Notación de desigualdad: - j < x < - I o x > 1: notación de intervalo; (—5 , —I) U ( I , ») Notación de desigualdad: x £ - 2 o —l < x < 2 o 3 < x £ 5 ; notación de intervalo: ( - x , -2 ] U ( - I, 2) U (3. 5] V 6 es una raíz de P{x) = x? - 6, pero P(x) no tiene raices racionales. V 5 es una raiz de P(x) = x’ - 5, pero P(x) no tiene raíces racionales j, 6 ± 2V 3 77. ~ 2 <í< —4/ 79. j (doble raiz). 4 i V 6 81. (A) 3 (B) *4 - (V3/2)/, - j + (V3/2); Máx = n, min. = 1 85. No, ya que P{x) no es un polinomio con coeficientes reales (el coeficiente de x es el número imaginario 2¡) 2 pies 89. 0.5 por 0.5 pulg o t .59 por 1.59 pulg Ejercicio 3-3

I. 3. 5. II. 15. 17. 19. 21. 23. 27. 31. 33. 35. 37. 39. 41. 43. 45.

H a y por lo m e n o s una intersección con el eje x en cada uno de los intervalos (-5, -1), (- I. 3) y (5, 8 ) H a y por lo m e n o s ima intersección con el eje x en cada uno de los intervalos ( - 6 . -4), ( - 4 . 0), (2.4) y (4, 7) Raíces en (0, I), (3,4) y (4, 5)7. Raíces en ( - 3 ,- 2 ) , (-2 , - I) y (I, 2) 9. Límite superior 2; límite inferior—2 Límite superior: 3; limite inferior: - 2 13. Límite superior: 2; límite inferior: - 3 (A) Limite superior: 4; límite inferior: -2 ; raíces reales en (-2 , - 1), (0, I) y (3,4) (B) 3.2 (A) Limite superior: 3; límite inferior: —2: raíces reales e n ( - 2 , -1 ) (B) —1.4 (A) Límite superiorí 4; límite inferior: - 3 ; raices reales en ( -3 , —2), ( - 1, 0). (1. 2) y (3,4) (B) 3.1 (A) Limíte superior: 3; límite inferior -2 ; raices reales en (-2 . - 1) y ( - 1,0) (B) -0.5 (A) Límite superior: 3; limite inferior: - 1 (B) 2.25 25. (A) Límite superior: 3; límite inferior:- 4 (B) -3.51,2.12 (A) Limite superior: 2; limite inferior- 3 (B) -2.09,0.75,1,88 29. (A) Límite superior I; límite inferior - 1 (8 ) 0.83 (A) Limite superior: 5; límite inferior -2; raices reales en (-2, - 1), ( I, 2) y (3,4) (B) 3.22 (A) Limite superior: 4; límite inferior: -4; raices reales en (-4, -3), (I, 2) y (2, 3) (B) 2.92 (A) Limite superior: 30; limite inferior:- 1 0 (B) -1.29.0.31,24.98 (A) Limite superior: 30; limite inferior: - 4 0 (B) -36.53,-2.33,2.40, 24.46 (A) Limite superior: 20; limite inferior: - 10 (B) -7.47, 14.03 (A) Limite superior: 30; limite inferior - 2 0 (Bi - 17.66,2.5 (raíz doble), 22.66 (A) Limite superior: 40; limite inferior: - 4 0 (B) -30.45,9.06, 39.80 x4 - 3 x ’- 2 x + 4=0;(l.l)y(l.7,2.9) 47. Ax5- 84x* + 432x — 600 = 0; 2.3 pulg o 4.6 pulg. 49. x ' - 15jr + 30 = 0; 1.5 pies Ejercicio 3-4

1.

11.

13. 17. 21.

g(.v)

3. h(x)

5.

Dominio: ( - « , -I) U ( — 1, * ) ; intersección con el ejex: 2

7.

Dominio: ( - *

, —4 ) U ( — 4 ,4) U (4, x ) ;

intersección con el ejex: —1,1 9. Dominio (—*, -3 ) U (-3,4) U (4 ,x); intersecciones con el ejex: - 2 , 3 Dominio: todos los números reales; intersección con el eje x: 0 Asíntota vertical: x = 4; asíntota horizontal: >>= 2 15. Asíntotas verticales: x = -4, x = 4; asíntota horizontal: >> = 2/3 N o hay asíntotas verticales; asíntota horizontal: y =

0

19.

Asíntotas verticales x = — I,x = y; no hay asíntota no horizontal. 27.

A -100

Respuestas

41. El número máximo de intersecciones con el eje x es 2 y el número minimo es 0. Por ejemplo, (x2 - I )/x~ llene dos intersecciones con el eje x y (x2 + 1 l/x2 no tiene ninguna.

43. Asíntota vertical: x = 1; asíntota oblicua: y = 2x + 2

45. Asíntota oblicua: y = x Asíntota vertical: x = 0; asíntota oblicua: y = 2x - 3 /(x) -* 5 como x - ) » y / ( x ) -» - 5 comox -» las rectas ,v = 5 y y - - 5 son asíntotas horizontales. las recias y = 4 y y = - 4 son asíntotas horizontales. 51. f( x ) —* 4 como x -» « y /(x) -> - 4 comox -» 57. Y 53.

47. 49 .

59.

p(x)

63.

Dominio: x ^ 2, o ( - * , 2) U (2, »); /(x) = x + 2

= x2 - I, [/'(x) - p(x)] -» 0 como x —> i * 65.

61. p(x) = x’ + x. [/‘(x) - p(x)] —» 0 como x -» ± * 67.

Dominio: x * 2 . - 2 , o ( — —2) U (—2, 2) U (2, «);

/V-> 50 como I -> *

jw - rh y

71.

69. N -» 5 como I -» *

-

2,500

73.

C(n) = 25n + 175 + ------

(A)

n

(B)

10 yardas

(C)

450 x

(A)

Ux) = 2x + ----

(B)

(0. <=°)

(C) (D)

15 pies por 15 pies

Ejercicio 3-5 1. 9. -

A = 2. B = 5

A = 0. B = 3* “

2

3.

A = 7. B =

2, C = 2.

D =

2x

1

x + x2 + 2x + 3 2

7 ^

1

-3

x1 +

3

~ 7 7 3 + (x + 3)5

-2

11.

A = 1, B = 2. C = 3 7. A = 2, B = 1. C = 3 3 4 3 1 „ 2 1 3 ---- --------13. ----- - - ----- - 1 5 . ------------ - ----x - 4 x + 2 3x + 4 2x — 3 x x - 3 (x - 3)J S.

, 3x + 5 2 + (x2 + 2)J 2

„

„

3 x -

3

2 7 , x - 2 _ (x-2)j

2

2

x -

„

2 x -

3

2x

.

x-'-x+l

29, JC + 2 + 2 x - 1

1

2x + 5

3

x3 + 3x + 3 2

,

x —1

x + 2 + 2x2- x + 1

Respuestas

A -1 0 1

1

Ejercid o de repaso del capítulo 3

J. I r ’ + ix 2 - 1 = (x + 2)(2jtz - x + 2) - 5 (3-1) 5. (A) P ( x ) = ( x + 2 W x - 2) = x> - 4 x (B) 6. 8. 10. 11.

2.

ñ3) = -8

Limite inferior: -2. -1; limite superior: 4 ’3-3) ±1. ±2. ±3, ± 6 (3-2) 9. - 1 . 2 . 3 (3-2) (A) D o m i n i o : ( - x , - 4 ) U (-4.*); intersecciónconeIejex:;| (A) Asíntota horizontal: y = 2; asíntota vertical: t = - 4 (B) Asíntota horizontal:y = 0; asíntotas verticales: x =

2

5

12. —— x -

13. (A)

+ ---- —

3

x

+

(3-1. 3-2)

3. 2. - 4 . - 1

4.

(3-2)

I - i (3-3)

—* * como .v -> * y /J(x) —> - « como * -» —* (3-1) 7. /’(!) = - 5 y /’(2) = I son de signo contrario. (3-3)

(B) Dominio: ( - * . —2) U (-2 .3 )U O,*); intersección con el ejex: 0 (3-4) - 2,.v = 3 (3-4)

(3.5)

2

La gráfica de P{x) tiene tres intersecciones con el eje x y dos puntos de retomo: P(x) -» * c o m o x —* * y P(x) -» - * c o m o x -> - «

(B) 3.5

(3-1.3-3)

P(x)

14. (3-1) 15. 17. Si ya que P ( - 1) = 0,x - ( —1) = x + I debe ser un factor. (3-2) 19.

P { x ) = (x + 2)(2x + IX* — 4)

20. No hay raíces racionales

(3-2)

I+»V3\/

1 - ¡V i

22. U + I X 2 x - l , ( x - i ± ^ l ) ( x - i ^ - - )

2

A

16. P ( x ) = [jc - (I + V2)][x - (I - V 2)] - 4 (3-1) 18. - 2 , - j , 4 (3-2)

,

2

,

(3-2)

L-

21.

w

(3-2)

23. Notación de desigualdad: j : S - 3 o - ¿ £ i £ 2 ; notación de intervalo ( - * . -3 ] U (—v. 2] (3-2. 1-8) 24. (A) Limite superior: 7; límite inferior- 5 (B) 6.62 (C) -4.67,6.62 (3-3) 25. (A) Dominio: ( - » , - 1) U ( - 1, = ) intersección con el ejex I; intersección con el e je y : - j (B) Asíntota vertical: x = ■I; asíntota horizontal ,v = I

28. 30. 32. 33. 34. 35.

2x — 1 27. — + (3-5) x 2x> - 3x + 3 P ( x ) = [x - ( I + /)][x- + (I + ¡)x + (3 + 2/)] + (3 + Si) (3-1) 29. P ( x ) —( x +2 )2(x + 3)(x - 1)', grado 6 (3-2) P ( x ) = (x + 5)[x - (2 + 3/)][x - (2 + 3/)], grado 3 (3-2) 31. j , ± 2 , l ± V 2 (3-2) tx - 2)(x + 2 X2 r - I )[x - (1 - V2)](x - ( I + V i ) ] (3-2) Notación de desigualdad:- 3 < x £ - j o - T< x s j O x > 2; notación de intervalo: ( - 3 , - | ] U I 1 *’] U ( 2 . x ) (p2. 1-8) Ya que P ( x ) cambia el signo tres veces, el grado mínimo es 3. (3-3) P ( x ) = o(x - r)(xJ - 2x + 5). y ya que el término constante. - S a r . debe ser un entero, r debe ser un número racional. (3-2)

36. (A)

3

(B)

j * 3 /\ 3

2

(3 -4 )

„ ,, (3-2)

,, ^ 37.

dimite superior: 30; limite inferior: -3 0

(B)

-23.54,21.57

(3-3)

(3-2)

A -1 0 2

Respuestas

+ — L (3-5) 41. 2x' -3Zv + 48 = 0 .4 X 12 pies o 5.2 x 9.2 pies x - 3 x x2 + I 42. .v’ + 27.x2 - 729 = 0.4.8 pies (3-3)43. 4.r’ - 70.r + 300.V - 300, 1.4 pulg o 4.5 pulg (3-3) 44. .«* - 7;r - 2* + 8. (-2 , 4). (-1.6. 2.6). (1, I). (2.6, 6 .8) (3-2)

39. y — 2 y y = —2 (3-4)

40. — -—

(3-2)

Ejercicio 4-1

CAPITULO 4

5.

3.

1.

X

g(*)

-3

-1

-27 -9 -3

0

-1

—2

S

y

5

r rv

1

-0.33

2

-0.11

3

-0.04

/ -20

-30

9.

17. 31.

x = l

19. x = - 1 ,3

21. ac = | 33.

11 .

23.

\0 '" * y

13. 3*-'

is.

a = 1,-1

37.

35.

v v v i

1500

cnn

j w

10

-10 41.

39.

16.24

55. (A)

53.

10

43. 5.047

1.46

45. 4.469

47. V - 6 '*

11

J /

-1.08

51.

(B) / ( j : ) c o m o . í - » «; / ( *) - » - 5 como*-» ~ * \ y = - 5

"1

57. (A)

49. 4

(B) fix) —» * como x —> *;/(x ) —> - * como x —»

ninguno

4'" —

61.

59.

65. (A) $4 225.92

A

(B) $12 002.71

'6 vuelos

67. $9 841

(B)

570 vuelos

63.

(A)

19 1b

(B)

7.9 Ib

69. No

Ejercicio 4 - 2

x

-3 —2 -1 0 1 2

3

t

-0.05 - 0 14 -0.37

5.

3.

y

_s í-

-5 -4 -3

5

-2 -1 0 1 2

-1

- 2 72 -7.39 -20.09

3 4 5 7. e~‘

3.68 4.49 5.49 6.7 8.19

14.92 18.22 22.26 27.18

3 4 5

9. eJ*

164.87 149.18 134.99 122.14 110.52

100 90.48 81.87 74.08 67.03 60.65

11. í 5*-113.(A)l+ 1/mnoes igualaI(B)e

M

19.

27. 2 ^

(A)

-2 -1 0 1 2

10 12.21

17.

35.

f(t)

-5 -4 -3

8

fl»)

s

-0.5 - 0.2 - 0.1 - 0.01 - 0.001 - 0.0001

4.0000 3.0518 2.8680 2.7320 2.7196 2.7184

0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001

0.5

29. x = 0

(B) 2.718 -

21.

31. x

e

37.

M

2.2500 2.4883 2.5937 2.7048 2.7169 2.7181

41. Como,v —» » . / ( a-) —* O-.como* —> -*,/,(■O —* x si n es par, y/,(.v) —> - * si íi es impar;>>= Oes una asíntota horizontal. 43. 7.1 miles de millones 45. 2 006 47. P 49. (A) 62% (B) 39% 51. (A) $10 691.81 (B) $36 336.69

A-1U4

Kespuestas

53. Ahorros de Gill: S1 230.60: Richardson SyL: SI 231.00; ahorros de Estados Unidos: SI 229.03 55. 57. (A) 15 millones (B) 30millones 59. 40 tableros 61. 50°F 63. 0.0009 coulomb 65. 100 venados N

q

S12 197.09

N

Ejercicio 4 - 3

5 3 = 811/4 9. log,„ 0.0001 = - 4 11. log, 8 = | 3. 0.001 = 10' 5 5. 7. 16 '(*)23. - 2 25. i 27. Vx 29.* x3 31. * = 4 log.j (|) =- J 15. l^g« 7 = i 17. 0 19. I . 21. .. , 39. x = 241. y = - 2 43. ft = 100 y = 2 35. b = 4 37. ft = cualquier número real positivo excepto el 1. log* u - log* v - log* iv 51. - 2 log* a 53. } log* (x3 - / ) 2 log,, u + 7 log,, v 47. | log,, m —j log* n 49. log, log* z) 59. log* (x7y) 61. log* (w/xy) | log,, N - 2 log» p - 3 log,, q 57. }(2 log* x + 3 log» y log,, (jr'y/Vc) 65. log* (Vü/v3)’ 67. log* „ . *9 5 log* (x + 3) + 2 log* (2r - 7) 77. x = 4 7 log* (x + 10) - 2 log* (1 + lOx) 73. 2 log* x - 12 log* (x + 1) 75 2 tog* x + log* (x + 5) + log* (x —4) 89. -0.92 91. 3.30 93. 0.23 95. -0.05 = ! 81. x = !j 83. x = 2 85. x = 2 87. 3.40

1. 8 1 = 3 " 13. 33. 45. 55. 63. 71 79

(B)

D ominio/= ( - = . <») = Rango f~ Rango / = (0. *) = Dominio / " ’ (C) / " ’(x) = log„2 x = -log, x

103. f~ '(x) = 5(1 + log, (x - 4)] 109. x = lOOf00«

105. -s '(x) =

+ 2)

107. La reflexión no es una función, ya que.v = 3’ no es uno a uno.

Ejercicio 4 - 4

1. 4.9177 3. -2.8419 5. 3.7623 7. -2.5128 9. 200 800 17. 4.959 19. 7.861 21. 3.301 23. 4.561 25. x = 12.725 31. x = 4.2672 X 10 7

4

11. 0.000 664 8 27. x = -25.715

13. 47.73 15. 0.6760 29. x = 1.1709 X 10”

Respuestas

A -105

41. El signo de desigualdad en el último paso es opuesto porque log , es negativo. 43. (B) Dominio = (I.* ); rango = ( - » . * ) 45. (0.90,-0.11). (38.51.3.65 ) 47. (6.41. 186). (93.35.4 54 ) 49^ _______ 2_______ 51. 2

-2 53. (A) Odecibeles 63. (A) 8.3, básico

(B) I20decibeles 55. 30 decibeles más (B) 3.0. ácido 65. 6.3 X 10'"mol/litro

57. 8.6 59.

-2 I 000 veces más potente

61.

7.67 ktn/s

*

Ejercicio 4 - 5 1. x = 1.46 3. x = 0.321 5. x = 1.29 7. x = 3.50 9. or = 1.80 II. x = 2.07 13. x = 20 15. x = 5 17. x = ^ 19. x = 14.2 21. x = -1.83 23. * = 11.7 25. x = ±1.21 27. x = 5 29. x = 2 + V3 31. jc = Í ( 1+V8 9) 33. x = l , e J. e ' J 35. x = e* 37. x = 0.1, 100 39. (B) 2 41. (B) -1.252,1.707

43. 3.6776 55.

l

= —j j 1

45.

-1.6094

In 11 - ^

61.

j

57.

47. x

=

-1.7372 In (y

i

v> '

49. r = -

«0

63.

-10

51. / =/„( 10“ '°)

53. / = /„[lO16- " " 5]

1)

-10

75. 83.

■AIP''

65. 0.38

67. 0.55

69. 0.57

71. 0.85

73. 0.43

10 -10

0.27 77. Aproximadamente 5 años 79. 9.16% 81. (A) 6 (B) Aproximadamente 35 años 85. 18 600 años de antigüedad 87. 7.52 s

100 veces más brillante 89. k = 0.40; I = 2.9 h

91.

10 años

Ejercicio d e r e p a s o del capí t u l o 4

1. log m = n (4-3) 7. 13. 19. 25. 30. 35. 40. 45.

2. ln x = y (4-3) 3. x = 10' (4-3) 4. y = e (4-3) 5. 7* (4-1) 6. e2*' (4-1) x = 8 (4-3) 8. x = 5 (4-3) 9. x = 3 (4-3) 10. x = 1.24 (4-3) 11. x = 11.9 (4-3) 12. x = 0.984 (4-3) x = 103 (4-3) 14. x = 4 (4-3) 15. x = 2 (4-3) 16. x = - l . 3 (4-2) 17. x = l (4-1) 18. x = ±3 (4-2) x = - 2 (4-3)20. x = | (4-3) 21. x = 64 (4-3) 22. x = e (4-3) 23. x = 33 (4-3) 24. x = 1 (4-3) 1.145 (4-3) 26. No está definido (4-3) 27. 2.211 (4-3) 28. 11.59 (4-3) 29. x = 4l.8 (4-1) x = 1.95 (4-3) 31. x = 0.0400 (4-3) 32. x = -6.67 (4-3) 33. x = 1.66 (4-3) 34. x = 2.32 (4-5) x = 3.92 (4-5) 36. x = 92.1 (4-5) 37. x = 2.11 (4-5) 38. x = 0.881 (4-5) 39. x = 300 (4-5) x = 2 (4-5) 41. x = 1 (4-5) 42. x = 4(3 + VÍ3) (4-5) 43. x = 1, IO5. 10“’ (4-5) 44. x = lO' (4-5) e ' - 1 (4-2)46. 2 - 2e~^ (4-2) (4-1) 48. I (4-2) (4-3)

y

A -1 0 6

Respuestas 51. y = - í ' ; y = (i)' = e '

(4-2)

50.

(4-3)

52. (A) y = e'*'3 está disminuyendo, mientras y = 4 In (x + 1) está aumentando sin limite. 54. (1.003. 0.010). (3.653. 4.502) (4-4)

55. / = /odO "10)(4-5)

58. n = - ln|1 ~ (/>'/r)1 (4-5) 59. /-•(* ) = e " + ln (1 + i) 61. _v = ce~>r (4-3. 4-5) 62. D o m inio/= (O, =) = R a n g o /'1 (4-3) Rango/ = ( - » . “ ) = D om inio/"1

1 (4-5. 2-7)

56. jc = +'V - 2 60. f~'(x)

(B)

0.258

(4-5)

ln (V2wy) (4-5)

53. 0.018,2.187 57.

(4-3)

/ = /„(«-*') (4-5;

= ln (jc + V F + T ) <4-5. 2-6)

Y

63. Si log, x = y, entonces se tiene lv = x: estoes. I = .v para un x positivo arbitrario, el cual es imposible. (4-3) 65. 23.4 años (4-5) 66. 23.1 años (4-5) 67. 37IOOaños (4-5) 68. (A) N = 2'1o N = 4' (B) 15 días (4-5) 69. S l.l X 10Jt (4-2) (B) 0 (4-2) 71. 6.6 (4-4) 72. 7.08 X 10’6 joules (4-4)

73.

50 decibeles más

(4-4)

74.

k = 0.009 42; 489 pies

(4-2)

75.

3 años

(4-5)

Ejercicio de repaso acum ulativo de los capítulos 3 y 4 1. (A) P(x) = (x + 1)Hx - I ) + Sx2 - 18-t - 3 = (x + 3X3*2 - 4.r - 6) + 15 (3-1) 3. - 2 , 3, 5 (3-2) 4. P(l) = —5 y P(2) = 5 son de signo opuesto (3-3) 5. 1, 2 , - 4 (3-2) 6. 9. 11. 12. 13. 15.

—

x+ 1

x - 2

(3-5)

7. (A) x — log y

(B) x = e> (4-4)

8. (A) 8«-1*

(B) e*

(4-2)

(A) 9 (B) 4 (C) £ (4-3) 10. (A) 0.371 (B) 11.4 (C) 0.0562 (D) 15.6 (4-4) f(x) = 3 Inx - V x (4-3) La función/ multiplica la base e elevada a la potencia j del elemento del dominio por 100 y después le resta 50. />(j) = | (3-2) 14. Inciso (B) (3-1) (A) La gráfica de P(x) tiene cuatro intersecciones, el eje x y tres puntos de retorno; (B) 2.8 (3-1. 3-3) P(x) —> * como como x —«

PW

(4-2)

Respuestas

A -1 0 7

16. (A) Límite superior 4; limite inferior:- 6 (B) 3.80 (C) -5.68,3.80 (3-3) 17. Q(x) = 2x> - 5x= + 1, R = - 2 . PQ) = - 2 (3-2) 18. 3, 1 ± {i (3-2) 19. - 4 , - 1 , ± V 3 ; P(x) = (x + 4)(x + I )(x - V3Kx + V 3) (3-2) 20. i S - 2 o 3 í j í 6 ; ( - » , - 2 ] U [3. 6] (3-2) 21. 24.

223

22- ; + j 7 T - u f i ?

a

- zx + ^

j h

M

(A) Dominio: x * - 2 ; intersección con el eje x: - 4 ; intersección con el eje y: 4. (B) Asíntota vertical: x = - 2 Asíntota horizontal:^ = 2

(3-4)

= - 1 . i (4-2) 27. x = 2.5 (4-3) 28. x = 10 (4-3) 29. x = £ (4-3) 30. x = 5 (4-5) 31. x = 7 (4-5) 32. x = 5 (4-5) 33. x = e°' (4-4) 34. x = 1, r05 (4-5) 35. x = 3.38 (4-5) 36. x = 4.26 (4-4) 37. x = 2.32 (4-4) 38. x = 3.67 (4-5) 39. x = 0.549 (4-5) 41. (4-1) (4-4) 42. (4-2) K*)

(4-2)

44. Una reflexión en el eje x transforma la gráfica de = Inxen la gráfica de y — -In.v. Una reflexión en el eje v transforma la gráfica de.v’ = Inx en la gráfica de y = In ( —x). (4-3) 45. (A) Para x > 0,y = e ' disminuye de 1 a 0, mientras Inx aumenta de a Consecuentemente, las gráficas se pueden intersectar exactamente en un punto. (B ) 1.31 (4-3) 46. Sí. por ejemplo: P(x) = (x + /)(x — »)(x + V 2)(x 2) = x4 - .r - 2 (3-2) 47. (A) Límite superior: 20; limíte in fe rio r- 3 0 ( B ) -26.29.-6 .2 2 ,7 .2 3 ,1 6 .6 7 (3-3) 48. Asíntota vertical: x = - 2 49. P(x) = (x+ 1>V(x - 3 - 5/)(* - 3 + 5/); grado 7 (3-2) Asíntota oblicua: y = x + 2 (3-4)

Y

50.

- 1 (raíz doble), 2.2 ± iV l;P (x) = (x + if tx - 2Kx - 2 - íV2)(x - 2 + íV 2 )

51.

- 2 (raízdoble), -1.88,0.35, 1.53 (3-3)

52.

(x

~2

1)

2

(x — 1)J

lr + 3

(3-2)

jr + x + 2

(3-5)

A -1 0 8 53.

Respuestas

(A) / - ’(*) = e‘n + 2 (B) D om inio/= (2, <*) = Rango/ " 1 Rango / = Dominio/ -1 = (-<*, *) y (4-5) (C)

54.

n

=

ln(l + Ai/P) ln(l + i)

(4-5)

57. x = 2 pies y y = 2 pies o í = 1.3 pies y y = 4.8 pies (3-2) 55. y = Ar' 1 (4-5) 56. x = ln(>’ + V r + 2) (4-5) 59. (A) 46.8 millones (B) 103 millones (4-1) 60. 10.2 años (4-5) 61. 9.90 años 58. 1.8 por 3.3 pies (3-3) 63. 6.31 X IO"‘ W/m2 (4 -4 ) 62. 63.1 veces más potente (4-4) Ejercicio 5 1

CAPÍTULO 5

1. ( - 1 .0 ) 15. 25. 37. 39.

41.

(4-5)

11. ( 0 .- 1 ) 13. (1/V 2.1A /2) (1.0) 5. ( - 1 .0 ) 7. ( 0 .- I ) 9. ( 0 . - I ) 21. (-1 A /2 , —1/V2) 23. (—1/V2. —1/V2) 17. (1/2. -V 3 /2 ) 19. (-1 /2 . V3/2) 33. a, + ;/>,+ 35. 0; 2An, i cualquier entero a ,-.b , + 27. o , —;/> ,+ 29. a ,+ ',b ,— 31. a. - ; / > . — 3it/4; 3rc/4 + 2Ait, Acualquier entero W{x) son las coordenadas de un punto en un circulo unitario que está a |a| unidades de ( 1. 0). en dirección contraria a la de las manecillas del reloj si x es positiva y en dirección de las manecillas del reloj si x es negativa. W(x + 4ir) tiene las mismas coordenadas que H\x), ya que se regresa al mismo punto cada vez que se va alrededor del circulo unitario cualquier múltiplo entero de 2it unidades (la circunferencia del circulo) en cualquier dirección. V 43. F 45. V 47. -7jt/4, rc/4 49. -4;t/3.2n/3 51. -in lb , InKt 53. a- = it/4 + 2bt, k cualquier entero. 3.

(V3/2. 1/2)

Ejercicio 5-2 I. 11. 25. 41. 51. 53. 55. 57. 65. 75. 77. 79. 87. 93.

(A) a (B) IIb (C) a/h (D) Ila (E) bla (F) b 3. I 5. j 7. I 9. V i No está definido 13. I 15. V~2 17. I 19. No está definido 21. Cuadrante II o III 2i. Cuadrante I o II Cuadrante II o IV _27. -0.6573 29. -14.60 31. 1.000 33. - I 35. 0 37. I/V 2 39. No está definido - I /V i 43. V 3/2 45. 2 47. I 49. (A) sen 0.4 = 0.4 (B) eos 0.4 = 0.9 (C) tan 0.4 = 0.4 (A) sec 2.2 = - 2 (B) tan 5.9 = - 0 . 4 (C) cot 3 .8 = 1 sen x < 0 en los cuadrantes III y IV. cot .v < 0 en los cuadrantes II y IV; por tanto, ambos son verdaderos en el cuadrante IV. eos x < 0 en los cuadrantes II y III, sec.t > 0 en los cuadrantes I y IV; por tanto, no es posible que ambos sean verdaderos para el mismo valor de a. Ninguno 59. k/2 , ík /2 61. Jt/2.3rt/2 63. (A) 0 a I (B) la O (C) 0 a - I (D) - l a O 0.8138 67. 0.5290 69. 5 71. V i 73. - 5 _ sen x = —V T /2, tanjt = —V i , cot* = - l/V T .c sc .r = -21 V 3, sec.r = 2 ^ eos x = - 1 / V 2 , tan x = 1, col* = I, ese x = —V T . sec.t = —V i cot x = I/V 3 , sen a- = —V 3 /2 , eos x = — ese jr = —2lV~i. sec a- = —2 81. ti 83. 5jt/685.5rc/6 (A) Identidad (S) (B) Identidad (9) (C) Identidad ( I ) 89. 75 m91. 12V"3 = 20.78 pulg3 a , = 0.5, o, = 1.377 583, a, = 1.569 596. a4 = I 570 796; a, = I 570 796 ; tc/2 = 1.570 796 Ejercicio 5-3

1. 40° 3. 270° 5. 405° 7. 6 9. 2.5 11. ir/4 13. 3tt/2 15. 13ir/6 17. tt/6. tt/3, tt/2. 2ir/3. 5ir/6. tt 19. —ir/4 ,-ir/2 , - 3 n / 4 . - i r 21. 60°. 120°. 180°. 240°. 300°. 360° 23. -9 0 °, -1 8 0 ° ,- 2 7 0 ° ,-3 6 0 ° 25. 5.859° 27. 354.141° 29. 3°2'31" 31. 403°13'23' 33. 1.117 35. 1.892 37. 0.234 39. 53.29° 41. 64.74° 43. -134.65 45. Cuadrante III 47. Cuadrante II 49. Cuadrante III 51. Angulo cuadrantal 53. Cuadrante IV 55. Cuadrante IV 57. Cuadrante II 59. Ángulo cuadrantal 61. Cuadrante II 63. Cuadrante III 65. Un ángulo central que mide un radián es un ángulo subtendido por un arco de la misma longitud que la del radio del circulo. 67. Coterminal 69. Coterminal 71. Coterminal 73. No eoterminal 75. Coterminal 77. Coterminal 79. 24 000 millas 81. El ángulo de 7.5° y 0 tienen un lado en común. (Un polo vertical extendido en Alejandría pasa por el centro de la Tierra.) Los rayos del Sol son esencialmente paralelos cuando llegan a la Tierra. De manera que. los otros dos lados de los ángulos son paralelos, ya que un rayo de Sol hacia el fondo del pozo, cuando se extiende, pasa por el centro de laTierra. Con base en la geometría se sabe que los ángulos interiores alternados forman una linea que intersecta a dos lineas paralelas que son iguales Por lo tanto, 0 = 7.5°. 83. 7ji/4 rad85. 200 rad 87. tc/26 = 0.12 rad 89. 1291. 865 000 mi 93. 33 pies

Respuestas

A - 1 09

Ejercicio 5-4 1. 3. 5. 23. 41¿ 51. 55. 61. 63. 65. 67. 75. 81.

sen0 = 4/5, eos 0 = 3/5, tan 0 = 4/3. ese 6 = 5/4. sec 0 = 5/3. cot 0 = 3/4 sen0 = \/3 /2 , eos 0 = —1/2, tan 0 = —V 3, esc 0 = 2/V3, scc 0 = —2, cot 0 = —1/V3 0.4226 7. -1.573 9. 0.8439 11. -0.3363 13. 0.9174 15. 0 -17. V 3 19. 1/V2 21. V 2 No está definido 25. No está definido 27. 60° 29. ir/6 31. tt/3 33. -1 /2 35. 0 ' 37. - 1/V5 39. V 3/2 1/V2 43. 2 45. - V 5 47. - V 3 /2 49. Definido para todo 0, ya que eos 0 = a/r y r nunca es cero. 90° y 270°, ya que tan 0 = bla y a = 0 en 0 = 90°. 270" 53. 0° y 180°. ya que ese H = r/b y /> = 0 en 0 = 0o y 180° 120° o 2ir/3 rad 57. 210° o 7ir/6 rad 59. 240° o 4ir/3 rad eos 0 = -4/5, tan 0 = -3/4, ese 0 = 5/3, sec 0 = -5 /4 . cot 0 = -4/3 sen 0 = -2 /3 , tan 0 = 2/V5. ese 0 = -3 /2 , sec 0 = -3 A /5 . cot 0 = V5/2 Tangente y secante, ya que tan 0 = bla y sec 0 = ría y u = 0 si P(a. b) está sobre el eje vertical (la división entre cero no está definida) 150°. 210° 69. ir/4, 5tt/4 71. (A) 1.75 rad (B) (-0.713, 3.936) 73. 9.27 unidades (A) *. 0.866*. 0.5* (B) 75.5° 79. (A)-3.31371. 3.14263, 3.14160. 3.14159. (B) tt = 3.1315926 ■ (A) 44.07; -0.32 (B) y = -0.93* + 1.27 Ejercicio 5-5

1. ble 3. c/b 5. bla 7. eos 0 9. sec 0 11. col 0 13. 60.55° 15. 82.90° 17. 37.09° 19. a = 72.2°, a = 3.28, b = 1.05 21. a = 46=40’, b = 116, c = 169 23. 0 = 67°0\ b = 127, c = 138 25. f$ = 36.79°, a = 31.85. c = 39.77 27. a = 35*20’. 3 = 54°40’,:c = 10.4 29. ot = 37°30\ (3 = 52°30\ a = 7.67 31. (A) eos 0 = 04/1 = OA (B) Ángulo OED = 6: coc 0 = DE!\ = DE (C) sec 0 = OCII = OC 33. (A) Conforme 6 tiende a 90°. OA = eos 0 tiende a 0 (B) Conforme 0 tiende a 90°.DE = col 0 tiende a 0. (C) Conforme 0 tiende a 90°, OC = sec 0 aumenta sin limite. 35. (A) Conforme 0 tiende a 0°, AD = sen 0 tiende a 0
Ejercicio 5-6 I. 2jc, ti. 2it 3. (A) 1 unidad (B) Indefinidamente lejos (C) Indefinidamente lejos 5. (A) -2 n . -7 1 .0 ,7t, 2tc (B) —37ü 2, - tv2. k/2. 3tu/2 (C) No hay intersecciones con el eje .r 7. (A) Ninguna (B) -371/2, -Jtf2. ti/2, ík /2 (C) -2 it, - n . 0 ,7t. 2ti 9. (A) No tiene asíntotas verticales (B) —3tc/2. —ti/2, ti/2. 3ti/2 (C) - 2 tt, - ti. 0, tt, 2ti II. (A) j> = cos.r (B) ^ = t a n x (C) j> = csc.v

Y

Y

Un corrimiento de n!2 a la izquierda transforma la gráfica de la cosecante en la gráfica de la secante. [La respuesta no es única (véase el inciso (B).] (B) La gráfica de.v = -e s e (jr - ti/2) es un corrimiento deit/2 a la derecha y una rellexión en el eje de las .v de la gráfica de y = ese x. El resultado es la gráfica de / = sec x. 15. (A) (B) No (C) I unidad; 2 unidades; 3 unidades (D) La desviación de la gráfica con respecto al eje .v cambia conforme cambia A. La desviación parece ser \A\.

13.

(A)

A -110

Respuestas

17. (A) y=sen2x ,y = sen3x

(B) I; 2; 3

(C)

n

I W

(B)

21. 23.

La gráfica de y = eos jr está corrida |C| unidades ¡i la derecha si C < 0 y |C|

En cada caso, el número no está en el dominio de la función, y aparece algún mensaje de error. (A) Ambas gráficas son casi indistinguibles cuanto más se acercan a x en el origen. (B) 0.0 0.1 0.2 0.3 -0 .3 - 0.2 - 0.1 X sen x

-0.296

-0.199

—0.100

O.(XK)

0.100

0.199

0.296

Ejercicio 5-7 3. A = l P = 2-rr

1. A = 3. P = 2t¡

Y

5. A = 1, P = 2ir/3

A = \. P = 4tt

Y 2-

4- ■

2ir -2tt

V A

/ ' \ . / i . y . V / "

13. A = Í P = I

9. A = \ . P = 2

II

- 2= 4 tt

Y

y ■■

w

-1

-4ir /-2 tt \ ..

14v \

-4 21. y = 3 sen4.r, -tr/4 £ x £ tt/2 8-

; 4

A , -2

■, X , / . . S 2

4

- 4 tt - 2 tt

A 2ir

4?r

23. y = -lO s e n iw , —1 £ x £ 2 25. >■ = 5 eos (x/4), -4 ir £ x £ 8ir 29. y = eos 2a: 31. y = l — eos 2x

27. y = -0 .5 eos (tt.í/4), —4 £ * £ 8

4r

33. A = l, P = 2ir Corrimiento de fase = —jt

35. A = i. P = 2-z Corrí miento de fase = 71/4

37. A = l, P = 2 Corrimiento de fase = I

41. A = A.P = s

A = 3. P = 2

Corrimiento de fase = ¡1/2

Corrimiento de fase = - j

47.

45.

51. A = 3.5, P = 4 Corrimiento de fase = -0 .5

53.

;. = -4 sen (ir.t/2 - ir/2)

A = 50.P = l

49. y = 5 eos (x/4 - 371-/4)

55. y = 2 sen (x + 0.785)

57. y = 2 sen (x - 0.524)

Corrimiento de fase = 0.25

Y

59. .v = 5 sen(2x - 0.284) 1 61.

La amplitud está disminuyendo con el tiempo. Esto frecuentemente es referido como una onda senoidal amortiguada. L - ejemplos son automóviles en movimiento vertical, el cual se amortigua por el sistema de suspensión después de que el carro tiene un choque y el decaimiento lento de un péndulo que se ha liberado de una linea vertical de suspensión (resistencia del aire y fricción).

La amplitud está aumentando con el tiempo. En sistemas lisíeos y eléctricos esto se llama resonancia. Algunos ejemplos son el balanceo de un puente cuando hay vientos fuertes y el movimiento de edificios altos durante un terremoto. Algunos puentes y edificios se destruyen cuando la resonancia alcanza limites elásticos de la estructura.

65.

67. A = \ .P = tt/4

69.

v = ~8 eos 4irf

A -1 1 2

Respuestas La gráfica muestra los cambios de estación del contaminante bióxido de sulfuro en la atmósfera; se produce más durante los meses de invierno debido al aumento de calor

71.

73. A = \5,P = Corrimiento de fase = —240 .

75. A = 3. P = J

I

(B) y = 18.22 + 1.37 sen (-itjc/6 - 1.75)

(C)

24

1S

15 Ejercicio 5 8 7.

9. Periodo = 4n

11.

Periodo =

15.

Periodo = 2n

Periodo = k

it

y

Corrimiento de fase = — 5

J .U 1 17. Periodo = 5 Corrimiento de fase = -5

21. >>= 2 cot 2.v

-17/2 V

V

-5

tt/2

V \\

2ir

Respuestas 25. Periodo = 4ji Corrimiento de fase = n

27. Periodo = 4 Corrimiento de fase = I

29. Periodo = 4 Corrimiento de fase = - I

31.

y

A - 113

— ese 3*

-2*11

2w/3

33. y = tan 2x

-*12

J

J

v/2

( -5

(C) La longitud de un haz de luz empieza en 20 pies y aumenta rápidamente sin limite.

Ejercicio 5-9 I. Jt/2 3. Jl/3 5. jc/3 7. k/4 9. 0 II. jt/6 13. 1.144 15. 1.561 17. No está definido 19. -k /4 21. - n / i 23. ir 25. -Jt/2 27. 25 29. 2.3 31. 1/2 33. - V 2 35. -1.472 37. -0.9810 39. 2.645 41. -4 5 ° 43. -6 0 ° 45. 180° 47. 43.51° 49. -21.48° 51. -89.93° 53. sen"' (sen 2) = 1 .1 4 1 6 * 2 Para que la identidad sen' 1(sen.v) = x valga,.« debe estar en el dominio restringido de la función seno; estoes, - ; t / 2 s .v s ;r/2. El número 2 no está en el dominio restringido. _______ ?/2_______ 57. _______ ________ 59. _______ *12_______ 61. ______ « « _______ 55.

0

-ir/2

- it/2

“ ir/2

(B) El dominio de eos"1está restringido a - I £ x £ I; por consiguiente, la gráfica no aparece para la otra x.

i -2 -1 65. 71.

Vi - r1 (A)

67.

1 /V T T 7

69. /-*<*) = 3 + eos' 1 [(* - 4)/2], 2 £ x £ 6 (B) El dominio para eos x es (—« , * ) y el rango es [ - 1,1] el cual está en el dominio para eos"' x De manera que. el dominio para y = eos“ 1(eos x) tiene una gráfica en el intervalo ( - * . *). pero eos' 1(eos x) = x sólo en el dominio restringido de eos.«, [0, jr].

-2«

73. 75.38°; 24.41°

Respuestas 75. (A)

77. 21.59 pulg

(B) 59.44 mm

150

100 100 5SSK5Í&\ 79.

(A)

(B)

81.

7.22 pulg

(B)

76.10 pies

35


.9.

3. a = 54.8°, a = 16.5 pies. b = 11.6 pies (5-2) 30° (5-2. 5-4) 5. (A) III, IV (B) II. III

(C)

II. IV

(5-3)

'•»Ir'' 1

y

2.5 radianes (5-1) 2. 7.5 cm (5-1) (A) tt/3 (B) 60° (C) tt/6 (D) (5-3) (B) í (A) _25 0°

0 rad

sen 0

eos 0

tan 0

CSC 0

sec 0

cot 0

0 30 45 60 90 180 270 360

0 tt/6 n/4 tt/3 ■jt/2 IT 3ir/2 2ir

0 1/2 1/V 2 V a /2 i 0 -1 0

1 V5/2 1/V 2 1/2 0 -1 0 1

0 i/v 5 i V3 ND 0 ND 0

ND* 2 V2 2/V3 1 ND -1 ND

1 2A/3

ND V3 1 1/V3 0 ND 0 ND

V2 2 ND -1 ND 1

(5-4)

8. (A)

2ir

(B)

2ir

(C)

ir

(5-6)

•ND = No eslá definida (A) Dominio= (—®. <»), rango = [ - 1 , 1] (B) Dominio es el conjunto de iodos los números reales excepto* = ——— ir, k un entero, rango es el conjunto de todos los números reales (5-6

10.

(5-6)

-2tt

12. 13.

15. 18. 20.

21. 26. 31. 36. 41. 45.

A - \

y.

(5-6)

2tr

A y

El ángulo central en un circulo subtendido por un arco de la mitad de la longitud del radio. (5-1) Si la gráfica de y = sen x está corrida n¡2 unidades a la izquierda, el resultado será la gráfica de y = cosx. (5-6, 5-7) 14. 78.50° (5-1) a = 49.7°, (3 = 40.3° c = 20.6 cm (5-2) 16. (A) II (B) Cuadrantal (C) III (5-1) 17. (A) (C) (5-1) (B) y (C) (5-3.5-5) 19. Jt/2,3n/2 (B) O.k
Respuestas 47. 48.

eos 1 [eos ( - 2 ) ] = 2. Para que la identidad eos' 1(eos x) = .r valga, x debe estaren el dominio restringido de la función coseno; esto es, 0 £ .r £ k. El número - 2 no está en el dominio restringido. (5-9) - - - - -----(5-7) 50. y = 6 eos 2x. - tt/2 £ x £ ir (5-7)

51. y = -0 .5 senirjr, -1 í j S 2 (5-7) 52. Si lagráfica de v = tanx está corrida n/2 unidades a la derecha y se refleja con respecto al eje*, elresultado será la gráfica dey = cotjr. (5-6. 5-7) 53. (A) eos x (B ) tan: x (5-5) 54. (5-7) 55. A = 2. P = 4. corrimiento de fase = í (5-7) 3,

56. y = eos' 1x = árceos x Dominio = [ - 1 , 1J Rango = [0, ir]

Y

- 1.it)

(5-9)

57. y = t - i COJ 2x

(5-7)

-2i

•tr

M ) 2

o .< 5 \ , 58.

-1 (A) y — tan x

1

(B) y = ex* x (5-8)

—2ir

-S 59. 61.

(A)

2.5 rad

Y

-S

60. (A) 2ir/3 (B) 5ir/4 (5-5) (B) (-6.41.4.79) (5-1, 5-3) (5-6) 62. y = tan~! x = arelan x (5-9) 63. P = I; corrimiento de fase : -5

(5-8)

Dominio = ( - * , ®) Rango = (—ir/2. tt/2)

Y

64. Periodo = 4it; corrimiento de fase = tc/2 (5-8) 65. (A) Origen (B) Eje y (C) Origen (5-6) 67. Para cada caso, el número no está en el dominio de la función y el mensaje de error aparecerá. (5-5,5-9) 68. y = 2 sen (Jtr + Jt/4) (5-7)

66.

I/V I - .r

(5-9)

A - 1 16

Respuestas

69. y = 2 sen(2x + 0.928)

(5-7)

(B)

70. (A)

(5-7)

CL

—3ir

-3tt

2’rr

—2ir

tr

-2

ir -3

3ir

-2'

71. 2ir/5 rad (5-1) 72. 28.3 cm (5-2) 73. / = 30 eos 120« (5-7) 74. (A) L = 10 ese 9 + 15 sec 0. 0 < 0 < ir/2 (B) La longitud del tronco más largo que puede hacer la esquina es de 35 pies. TABLA 2 0 (rad)

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

L (pies)

42.0

38.0

35.9

35.1

35.5

36.9

39.6

(C) La longitud del tronco más largo que puede hacer la esquina es de 35.1 pies. 40

1.0

0.4

30

75. 76.

(D) La longitud ¿ aumenta sin fin. (5-2. 5-5) (A) >> = 4 - 3 eos (jtf/6) (B) La gráfica muestra los cambios de estación en el consumo de refrescos. La mayor cantidad se consume en agosto y la menor en febrero. (5-7) (A) 90 ( B ) y = 66.5 + 8.5 sen [(irx/6) - 2.4] (C) *>_______ (5-7)

40

Ejercicio 6-1 29.

-2 67. Una identidad 79. g(x) = cot x

61.

2

No es una identidad

Una identidad 71. No es una identidad 81. g(x) = - 1 + ese x

2tr

No es una identidad

83. g(x) = 3 eos x

—2ir

2ir

n

2-rr

-2»

n -4

-4

87.

65.

4

—2ir

III, IV

Una identidad

-2 69.

4

85.

63.

I, II

89.

Todos los cuadrantes

91.

• IV

93.

a eos x

95.

a sec x

Ejercicio 6 2 13. i(cos x - V 3senjt)

-0.3685. -0.3685; 0.9771, 0.9771

17.

2V2

lanX't -^ 1 - V 3 tan * I9‘ VT^~\ - 3 - 4V8 4V8 - 3 -2 29. sen (* - y) = 27. sen (.x - y) - ------—----- . tan (* + y) = 4 45.

15. sen*

47.

21.

V3 + 1

2V2

tan (x + y) = ¿II

-0.4429, -0.4429; -2.682. -2.682

23.

V5

25.

1

Respuestas

A -1 I /

Evalúe cada lado para un conjunto particular de \alores de x y y para el cual cada lado está definido. Si el lado izquierdo no es igual al derecho, entonces la ecuación no es una identidad. Por ejemplo, para ,t = 2 y y — I. ambos lados están definidos pero no son ¡guales. 53. yt = eos U - 3ir/4) 55. y, = tan (x + 2ir/3) 51. y, = sen (x + tt/6) V2 Vi tan x — V 3 V3 1 eos x + — sen* yi = yi •'y,* = —— sen x + — O eos x

49.

"X .

-2tt

-2tt

2ii

-4

1 57. g 59. 61. xy + ( v T ^ x V Í ^ ) 65. y, = eos l.2x eos O.&x - sen 1.2* sen O.&r 71. y, = eos 2x

t

3 510 pies

4

-2tt

v

y/y r \j V V

Ejercicio 6-3 1. Í = Í

3.

-V 3 = -V 3

11.

i = i

V 2 - V~2

7.

9

V 2 -V 2

13.

—2tt

\

r .\ .,‘\ .A /V V V

V

33. sen 2x = x

37. sen41.

5.

(A) (B) (C) (D)

-2*

eos 2x =

/3 + 2V 2

tan 2* = -í#

1

!T! T 35. ser.

= -{ § , eos 2x =

tan 2x = —

Af: /3 - 2 v l

x 2V 5 jr V 5 x = Y _ r - . Co s - = - Y 39. sen - = — — , eos - = — , tan - = - 2 2 5 2 5 2 26 es un ángulo del segundo cuadrante. ;.a que 6 es el ángulo del primer cuadrante y tan 20 es negativo para 20 en el segundo cuadrante y no para 20 en el primero. Construya un triángulo de referencia para 2* en ei segundo cuadrante con (n, b) - (- 3 ,4 ). Use el teorema de Pitágoras para encontrar r = 5. De manera que, 20 = jy c o s 2 0 = —| Las identidades de los ángulos dobles eos 29 = I - 2 sen; 0 y eos 20 = 2 cos: 0 - 1. + cos 20 Use las identidades en la parte (C)en la forma sen 0 = y —---- cos ^ y eos 0 = yj~.

x

Se usan los radicales positivos porque 0 está en el cuadrante I. (E) sen 0 = 2\/5/5; cos 0 = V5/5 43. (A) -0.723 35 = -0.723 35 (B) -0.588 21 = -0 5 8 8 21 49. y, = y3 para [-2-ir, 0] 47. y, = y¡ para [ - i r ir] 4

-3.2518 = -3.2518 (B) 0.892 79 = 0.892 79

-¿

59- ^ /5

57.

-2*

tan (x/2)

—2ir

55.

(A)

4

-2it

61.

45.

63.

2

2v

1 + 2 sen*

—2v

65.

2n

sec 2x

—2rr

J

J

íl

A

r

2ir

A -118

67.

x= ^

71.

(B)

Respuestas

69.

~ 13.176 m; 0 = 28.955°

(A) d =

vf( sen 20 32 pies sr

(B) 0 = 45°

TABLA 1 n

10

100

1 000

10000

A„

2.93893

3.13953

3.14157

3.14159

(C) An tiende a ji, el área del circulo con radio 1. (D) An no igualará exactamente el área del circulo inscrito para cualquier n sin importar lo larga que se escoja a n: sin embargo. Ar se puede aproximar al área del circulo inscrito tan grande como se desee hacer a ii. Ejercicio 6-4 3. j eos 2ii — ; eos 4u

1. ! sen 4m + | sen 2m

5.

2 sen 2/ eos l

7.

2 sen 7t»rsen 2w

11.

9.

V6 V2 15. 2 •" 2 19. Sea x = u + v y y = u - v, resuelva el sistema resultante para u y v en términos de .v y y, después sustituya los resultados en la primera 13.

-

identidad. La segunda identidad resultará después de una pequeña cantidad de manipulaciones algebraicas. (A) -0.34207 = -0.34207 (B) -0.05311 = -0.05311 31. (A) -0.19115 = -0.19115 (B) 3.x x 35. >*2 = - 2 sen x sen 0.7* 33. yj — 2 sen — eos 29.

-0.46541 = -0.46541

4

- 2tt ( X ^

-2tt

ü V

37. y3 — i(sen4x + sen lr) 4

39.

\ T

°

2xi

v2 = j(eos 1.6x - eos 3x)

Ejercicio 6-5 1.

7ti/6, lln /6

3.

7tc/6 + 2ifrt, 1ltt/6 + 2kn, k cualquier entero

5.

2ir/3

7.

2jt/3 + kit, k cualquier entero

9.

30°, 330°

A-119

Respuestas

11. 30° + *(360°), 330° + 4(360°), * cualquier entero 13. 1.1279,5.1553 15. 74.0546° 17. 3.5075 + 2*71.5.9172 + 2*7t. * cualquier entero 19. 0.3376 21. 2.7642 23. k{ 180°). 135° + «180°), k cualquier entero 25. 0 .27C/3. ti, 4 tü3 27. 4 tc/3 29. 210°. 330° 31. 60°. 180°. 300° 33. tc/3, ti. 5n/3 35. 41.81° 37. 1.911 39. 0.3747,2.767 41. 0.3747 + 2ix. 2.767 - 2te. * cualquier entero 43. 0.3747.2.7669 45. 0.3747 + 2*71. 2.7669 + 2*71, k cualquier entero 47. (-1.1530,1.1530) 49. [3.5424, 5.3778], [5.9227,») 51. 1.8183 53. tan 1(-5.377) tiene exactamente un valor. -1.38*. la ecuación tan .v = —5.377 tiene infinidad de soluciones, las cuales se encuentran al sumar *7t. k cualquier entero, para cada solución en un periodo de tan x. 55. 0. 3ir/2 57. ir 59. 0.1204.0.1384 61. (A) La raiz más grande d e /e s 0.3183. Como x aumenta sin limite, l/.v tiende a 0 a través de números positivos, y sen ( l/x) tiende a 0 a través de números positivos, y = 0 es una asíntota horizontal para la gráfica de/ (B ) Existe un número infinito de raíces entre 0 > b. para cualquier />. sin embargo, pequeña. La exploración de la gráfica sugiere esta conclusión, la cual es reforzada por el siguiente razonamiento: Note que para cada intervalo (0, b], sin embargo, pequeño, conforme x tiende a 0 a través de números positivos, i x aumenta sin límite, y como l/x aumenta sin límite, sen 1/x cruzará el eje x un número ilimitado de veces. La función/no tiene una raíz roqueña, porque entre 0 y b, no importa qué tan pequeña sea b, hay siempre un número ilimitado de raíces. 63. 0.009235 s 65. 50.77° 67. 123= 69. 2.267 rad 71. (A) 12.4575 mm (B) 2.6496 mm 73. (r, 0) = (0. 0). (0, 180°), (0.360°) 75. 0 = 45 Ejercicio de repaso del capítulo 6 5. 8. 10. 12.

¿ (sen 8a + sen 2a) (6-4) 6. - 2 sen tu sen x (6-4) 7. cosx 16-2) 135° + *(360°), 225° + *(360°)* cualquier entero '6-5: 9. kn. n/4 + kK. k cualquier entero (6-5) 0.7878 + 2kn, 2.3538 + 2*7t, * cualquier entero (6-5)| | . 75.1849° + 1(360°), 284.8151° + *(360°), * cualquier entero -1.4032 (6-5) 13. 3.1855 (6-5. 14. i A • Vio es una identidad (B) Una identidad (6-1)

24.

39. 40.

25. ‘6-4.5-4¡ 26. it/3,2lt/3, 471/3, 5ti/3 (6-5)27.0°.120°(6-5) 2 kn. n/6 + 2*it, 5tc/6 + 2kn, k cualquier entero '6-5¡ 29. fot, tt/6 + 2kn. I lit/6 + 2kn, k cualquier entero (6-5) 120° + *(360°), 240° + *(360°).* cualquier entero -6-5: 31. 14.34° + *( 180°). * cualquier entero (6-5) 0.6259 + 2*tc, 2.516 + 2*71, * cualquier entero 16-5) 33. 1.178,2.749 (6-5) 34. 1.4903 (6-5) 35. x< 1.4903 (6-5) -0.6716.0.6716 (6-5) 37. [-0 .6 7 1 6 .0 6716] (6-5) (A) Sí (B) Ecuación condicional, va que la ecuación es falsa para x = I y i' = I, por ejemplo, y ambos lados están definidos en x = I y y = I. (6-1) sen "' 0.3351 tiene exactamente un v a lo r .la ecuación sen i= 0.3351 tieneun número infinito desoluciones. (5-9. 6-5) (A) No es una identidad (B) Una ¡denudad ib-h

41.

i V3 yj = j cosx + - ^ - s e n i

28. 30. 32. 36. 38.

(6-5)

(6-4.5-4)

4

(6-2)

2

-2 42. (A) 0. 2ir/3,4ir/3 (B) 0. 2.0944. 4.18S8 (6-51 43. -2.233,0.149 (6-5) 44. (A) 3/V IÓ o 3VT0/10 (B) 7/25 <6-3) 45. -24/25 (6-3)46.24/25(6-2) 47. (A) 0. -it/3, 2ir/3 (B) 0. 1.0472. 2.0944 iü-5i 48. (A) 0.6817, 1.3183 (B) Conforme x aumenta sin límite, 1 ix - 11tiende a0 a través de números positivos, y sen [l/(x - I )]tiende a 0 a través de números positivos, y = 0 es una asíntota horizontal para la gráfica de/ (C) Hay un númeroinfinito de raíces en cualquier intervalo que contenga a x = I.E In ú m ero x = I no es una raiz porque sen [l/(x - l)]no está definido en x = I. (6-5) 49. x = V27: x = 5.196 em. 6 = 30.000° (6-3) 50. 0.00346 s (6-5) 51. y = 0.6 eos (I847rf) y = -0 .6 eos (208irf) _______ 2 _________ 2_________

0.0

0.2 -2

0.0 m m m

-2

m

0.2

A -120 y

Respuestas

= 0.6 eos (184ttí) - 0.6 eos (208irr)

y =

1.2 sen(12iT/) sen(196irr)

-2 52. Altura = 7.057 pies, radio = 21.668 pies De la figura, R9 = 18 y sen 0 = 16IR. De estas dos ecuaciones, al despejar R en términos de 0 y establecer que los resultados son iguales entre sí. se obtiene la ecuación trigonométrica deseada. (6-5)

CAPÍTULO 7 I. 7. 11. 13. 15. 17. 23. 29. 35. 45.

Ejercicio 7-1

7 = 79°, o = 4l pies, b = 20 pies 3. p = 40°. a = 16 km. c = 5.8 km 5. a = 49°, a = 53 yd, b = 66 yd p = 8 1 b = 16 cm, c = 12 cm 9. Un triángulo, el caso donde a es agudo ya = 2 = h Un triángulo: el caso donde a es agudo y a & / ) ( a = 6./i = 4 | Triángulos cero; el casodondea es agudo y 0 < a < /» (o = l./» = 2) Dostriángulos: el caso donde a es agudo y li < a = 2. a = 3. b = 4) (3 = 49.5°, a = 20.0 pies, c = 4.81 pies 19. y = 58.1°. a = 140 m. <• = 129 m 21. No hay solución a = 63.4°, 7 = 77.7°, c = 46.7 pulg 25. a = 116.6°. y = 24 5°. c = 19.8 pulg 27. No hay solución a = 22° 10', y = I28°20’, c = 89.8 mm 31. k = 25.2 sen 42.3° = 16.9599 33. Lado izquierdo: 16.204; lado derecho: 16.073 4.06 nii, 2.47 mi 37. 353 pies 39. 5.8 pulg, 3 .1 pulg 41. 4.42 X IO7km, 2.39 x 10* km 43. 159 pies R = 7.76 mm, j = 13.4 mm Ejercicio 7-2

El ángulo y es agudo. Un triángulo puede tener a lo más un ángulo obtuso. Ya que a es agudo, entonces, si el triángulo tiene unángulo obtuso, puede ser el ángulo opuesto al más largo de los dos lados, b y c. Por consiguiente, y , el ángulo opuesto al más corto de losdos lados, c. debe ser agudo. 3. a = 6.03 yd, P = 56.6°, y = 52.2° 5. c = 14.0 mm, o = 20°40'. P = 39°0' 7. Si el triángulo tiene un ángulo opuesto, entonces debe ser un ángulo opuesto al lado mayor, en este caso, p. 9. a = 23.0°, p = 94.9°, y = 62.1° 11. a = 67.3°. P = 54.6°. y = 58.1° 13. No hay solución, ya que a + 7 > 180° 15. b = 23.1 pulg, a = 46.1°. 7 = 29.4° 17. P = 10.8°, a = 22.5 m. 6 = 5.01 m 19. a = 30.7°. 7 = 110.9°. c = 2 1.0 pulg. 21. a = 49.1°, P = 102.9°, 7 = 28.0° 23. Triángulo 1: P = 70.3°. a = 51.3°, a = 5.99 m; Triángulo 2: P = 109.7°. a = 11.9°. o = 1.58 m 25. No hay solución 31. 120yd 33. 100.6° 35. 5.81 pies 37. 121 mi 39. 74.1 m 41. 0.284 rad 43. a = 3I°50'. p = 50°10', 7 = 98°0' 45. ¿C A B = 33° 47. 24 800 mi 1.

Ejercicio 7-3 1. |u + v| = 58m ph.0 = 51° 3. |u + v| = 65 kg. 0 = 54° 5. |u + v| = 447 km/h, 0 = 13.6° 7. |u| = 30 Ib. |v| = 12 Ib 9. |u| = 71 mph, |v| = 220 mph II. No. Dos vectores son iguales si y sólo si tienen la misma magnitud y dirección. 13. |u + v| = 77g, a = 15° 15. |u + v| = 23 nudos, a = 6° 17. |u| = I2kg, |v| = 6.0 kg 19. |u| = 109 mph, |v| = 160 mph 21. Debido a que el vector cero tiene una dirección arbitraria, puede ser perpendicular a cualquier vector. 23. 260 mph a 282° 25. 288°. 7.6 nudos 27. 3 900 libras a 72° 29. (A) 388 libras (B) 4 030 libras 31. A la derecha. Ejercicio 7-4 1. < - 3 ,- 3 ) 3. < -6. 7) 5. <3,5> 7. 5 9. V 34 11. 25 13. Dos vectores algebraicos, (a, b) y (c, d). son iguales si y sólo si a = b y c = d. 17. (A) ( - 2 .1 ) (B) < -6. - 3 ) 15. (A) U.4> (B) <3,-2> (C) <14. -1> 21.

v = 3i

23.

v = —5i - 2j

25.

5i + 2j

27. —I 6j

29.

- 8j

(C)

31. 11 = <-H>

<-10. -1>

19. v = —3¡ + 4j

33. u = ( - ^ - . ^ - )

Respuestas 35. Cualquiera de los vectores de tuerza deben tener la misma magnitud que la suma vectorial de los otros dosy directamente opuestos a la suma vectorial. 45. Lado izquierdo: 760 libras; lado derecho: 761 libras 47. Cable izquierdo: X97 libras: cable derecho: 732 libras. 49. El miembro AB tiene una tuerza de compresión de 231 libras; el miembro CB tiene una fuerza de tensión de 462 libras. 51. Para AB; compresión: 2 360 libras; para CB tensión 2 000 libras.

Ejercicio 7-5

~

—— 2

9.

17. 29.

~2

(5. -n/4): El eje polar está rotado s/4 radianes a la derecha i dirección negativa y el punto está localizado a 5 unidades del polo a lo largo del eje polar positivo. (5. 7rc/4): El eje polar está rotado ln 4 rad a la izquierda (dirección positiva), y el punto está localizado a 5 unidades del polo a lo largo del eje polar positivo. ( - 5 . —5w4): El ete polar está rotado 5rc/4 rad a la derecha (dirección negativa), y el punto está localizado a 5 unidades del polo a lo largo del eje polar negativo

(5.196, 3.000)

19. J

(1.848. -0.765) 31.

21.

I2JJ78, 3.688)

it 2

23.

(7.9, 64°) 33.

25.

(2 6 .-3 2 °)

27.

(7.61,-164.4°)

A- 1 2 2

Respuestas 37.

35.

41.

(A)

(B)

7

(B)

16

(C)

n

9

43.

(A)

(C)

2n

45. r = 5 sen 8 47. tan 6 = 1 o 0 = tt/4 49. r = (4 eos 0)/(sen! 0) = 4 cot 0 esc 0 51. 3.t - 4y = -1 53. Jt2 + f = -2 y 55. y = x 57. Para cada n, hay ;i pétalos largos y n pétalos pequeños. Para ii impar, los pétalos pequeños están dentro de pétalos largos; para n par; los pétalos pequeños están entre los pétalos largos.

*) 270°

(r, 0) = ( - 2 \ /2, 3ir/4) [Ñola: (0.0) no es una solución 63. 67.

del sistema aunque las gráficas se intcrsecten en el origen ] 3.368 unidades 65. 6 k, 13 k, 12 k. 9 k (A) Elipse (B) Parábola

10

10

(r. 0) = (0. 90°), (0, 270°). (3\/3, 30°). (-3 V 3 , 150°) [Nota: (0. 0) no es una solución del sistema aunque las gráficas se intersecten en el origen ] (C)

Hipérbola

Respuestas 69.

(A) Afelio: 4.34

X

I07millas: Perihelio2.85

X

I0Tmillas

(B)

s x io7

A - 123

Más rápido en el perihelio. Puesto que la disiancia del Sol a Mercurio e> menor en el perihelio que en el afelio, el planeta debe viajar más rápidamente cerca del perihelio con el fin de que la línea que une a Mercurio con el Sol barra áreas iguales en intervalos de liempo iguales.

-Sx 10' Ejercicio 7-6

Y 5-

Y

5.

7.

5

•A

c

c*

A

•8 -5

-5

-5

-5

-5

-5

9. (A) 2exri _ (B) V i S - '35'* (C) 7 .81e'-*,r' 11. (A) V á e '- " 2" (B) 2e(-,'"tu (C) 9.43eJ5!" 13. (A) I + iV 3 (B) 1 - i (C) -2.35 + 1.99i 15. (A) 3V3 + 3i (B) - i V 7 (C) -2 .2 2 - 3.43/ 17. 14A2etii". 0.26í'-OJO') 23. -2 i; 2e' w “ 25. - 2 : 2emr' 27. - 2 - 2í, 2V 2 í < 31. z" = r'e ~ 33. (A) (20 + Oi) + (5 + Í5V5) = 25 + » V 5 (B( 26-5í'” -'(C)26.5Ibenunángulode19.1° Ejercicio 7-7 1. 8f*r ' 3. 8Í 60"1 5. S í1*0'' 7. - 8 + 8V 3 i 9.1611.1 13. h-, = 2 í'tr‘. iv, = 2e,Kr‘. w, = 2e1Kr‘ 15. w, = 3e'r ‘. w, = 3í">5\ w, = 3«IM*'. = 3e™'‘ 17. tv, = 2I/IV * ’"“. w2 = 2mV 5-'. w, = 2 ,,,V *5\ » . = 2wV 07\ = 2,/1V ,'r ' 19. Wj = 2e”\ = 2 íIJ
23.

w, = le15-', w2 = le75-1, w, = le1” *',

= le"*\ w, = 1í 2!5\ w4 = le” »*'

Y

25.

(A) (1 + O4 + 4 = - 4 + 4 = 0; hay otras tres raíces. (B) Las cuatro raíces están igualmente espaciadas alrededor del circulo. Debido a que hay cuatro raíces, el ángulo entre las raíces sucesivas en el circulo es de 360°/4 = 90°.

A -1 24

Respuestas

(C) ( - 1 + i)4 + 4 = - 4 + 4 = 0: ( - 1 - i)4 + 4 = - 4 + 4 = 0; (1 - i)4 + 4 = - 4 + 4 = 0 27. x, = 4eM'' = 2 + 2V3í. x, = 4el9®-‘ = - 4 . x, = 4e'ar' = 2 - 2V3i 3

29. x, = 3em = 3. xj = 3eIM"' = - - +

3V3.

2

33. 37.

,

-i. xj = 3 ^ '

3

3V3.

2

2

“I

= le*'. x2 = 2*72\ jfj = 2el44\ *4 = 2e*,6\ jTj = 2^“*‘ 35. *, = e x2 = em\ .x, = P(x) = (x - 2/)(x + 2í)[x - ( - V 3 + i)][x - ( - V 3 - i)][x - (V5 + í)][x - ( V I - i)] Ejercicio de repaso del capítulo 7

1. 4. 5.

8. 11.

1 (7-1) 2. 0 (7-1) 3. 2 (7-/) El ángulo (i es agudo. Un triángulo puede tener a lo más un ángulo obtuso. Como u es agudo, entonces, si el triángulo tiene un ángulo obtuso, debe ser el ángulo opuesto al más largo de los dos lados, b y c Asi que. 0. el ángulo opuesto al más corto de los dos lados, b. debe ser agudo. (7-2) 6. a = 4.0 ft, 0 = 36°. 7 = 129° (7-1. 7-2) y = 75°. a = 47 m. b = 31 m (7-1) 7. a = 40°. 0 = 19°. a = 8.2 cm (7-1) 9. (3. - 7 ) (7-4) 10. V34 (7-4) 0 = 19°, |u + v| = 170 mi/h (7-3) f 12. (7-5) 13. (7-6) f (7-5) A • 5------

(

-5

c

y

3tt 2

5

8 «-

0

c

\

-5-

3£ 2

14. (-1 0 , -210°): El eje polar está rotado 210° en dirección de las manecillas del reloj (dirección negativa), y el punto está localizado a 10 unidades del polo a lo largo del eje polar negativo. (-1 0 . 150°): El eje polar está rolado 150° en sentido contrario al de las manecillas del reloj (dirección positiva), y el punto está localizado a 10 unidades del polo a lo largo del eje polar negativo. (10. 330o): El eje polar está rolado 330° en sentido contrario al de las manecillas del feloj, y el punto está localizado a 10 unidades del polo a lo largo del eje polar positivo. (7-5) 15. 2 (7-6) 16. (A) 2 « r“
c.

A

•

5

10

' i

25.

3tt 2 8 + /8V3 (7-7) 19. Si el triángulo tiene un ángulo obtuso, entonces debe ser el ángulo opuesto al más largo de los lados, en este caso, a (7-2) b = 10.5 cm, a = 27.2°. y = 37.4° (7-2) 21. No hay solución (7-1) Dos soluciones. Caso obtuso: 0 = 133.9°, y = 19.7°. c = 39.6 km (7-1) 23. a = 41.1°, 0 = 74.1°. 7 = 64.8° (7-1, 7-2) La suma de todos los vectores de fuerza debe ser el vector cero para que el objeto permanezca en reposo. (7-4) |u + v| = 98.0 kg, a = 17.1° (7-3) 26. (A) u = - 3 i + 9j (B) v = - 2 j (7-4)

27.

(A)

18.

20. 22. 24.

30.

<-4, 7)

(B)

(-1 4 ,1 3 )

(7-4) (7-5)

28. 31.

(A)

—21 - 4j, -lO j

(7-4)

29.

(7-5)

u = ( - _ í= .- -y 32.

(7-4) (7-5)

Respuestas 33.

<7-5)

34.

(7-5)

35.

10

(7-5)

-10 -10

3 tt

2 36.

n= 2

n= 1

n= 3 10

10

-10

-10 37.

(A)

10

-10

-10 -10

(B) Parábola

Elipse

Dos pélalos para todas las //

10

(C)

Hipérbola

10 r ----'\ V ___ ^

-10

10

-10

-10 38. 40. 42. 44.

(7-5) 10

-10

-10

r3 = 6r eos 0 o r - 6 eos 0 f7-5) 39. x* + y2 = 5* (7-Ó; z, = V 2 e '" \ z, = z, = 5«°"' (7-6) 41. z, = 1 + í, z, = (-3 V 3 /2 ) - |i. z, = - 1 - «V3 (A) 32 f"N (B) 2ím (7-6; 43. (A) - 8 - 8V 3/ (B) - 8 - 13.86/ (7-7; V3 I w, = — + - / (7-7;

(7-6)

V 3 1. H’¡ = — r" + r '

45. 47. 51.

2e50'1. 2*'™\ 2é*Kr‘ (7-7) 46. (4e l5V)J = 1 6 ^ ' = 8V3 + 8i (7-7; (5.76. -26.08°) (7-5) 48. (-5.30. -2.38) (7-5) 49. S.2(x'v x r‘ (7-6) 50. -7.27 -2.32/ (A) I lay un total de iros raíces cúbicas, y están igualmente espaciadas alrededor de un circulo de radio 2 Y

52.

(B) Wj = - V 3 — ¡, tv, = V 5 — i * = 44.6 sen 23.4° (7-1)

(C)

El cubo de cada miz cúbica es - 8i

(7-7)

(7-6)

¡f7-5j

A -1 26 55.

Respuestas (B)

(A)

(7-5)

10

15.2

-15.2

-10

3tt

2

56.

(A)

Las coordenadas de P representan una solución simultánea.

10 -15.2

15.2

-10 57. 58. 61. 65.

66.

'p

(Bj r = -4 V 2 , 0 = 3ir/4 (C) Las dos gráficas pasan por el polo en diferentes valores de 0. (7-5) I, - 1 . i. - i . V í a + iV2/2, V2/2 - iV2/2. —\ ñ fl + iV2/2. -V2J2 - ¡VV2 (7-7) P[x) = (* + 2¡)(x - ( - V 3 + i)|[.t - (V 3 + i)J (7-7) 59. 438 mi (8-3) 60. 438 mph at 83° (7-3) 64. 19 kg a 204° respecto de \ 86“. 464 mph (7-3) 62. 0.6 mi (7-1) 63. 177 Ib a 15.2° respecto de v (7-3) 5 740 1b (7-4) (A) Distancia al afelio: 1.56 x 10* mi (B) Distancia al afelio: 1.56 X 10" mi Distancia al perihelio: 1.29 x 10* mi Distancia al perihelio: 1.29 x 10" mi (7-5)

(7-4,

2 x 10*

2 x 10 8

-2 x 10*

-2 X 10* Ejercicio de repaso acumulativo de los capítulos 5 a 7 1. 1.86 m (5-1) 2. 0 = 57.3°, 14.5 cm. 7.83 cm (5-2) 3. (A) 1. II (B) I. IV (C) 1. III (5-3) 4. (A) (B) l (C) (5-3) 5. (A) n/4 (B) 65° (C) 30° (5-4) 6. (A) Dominio: todos los números reales: Rango: - 1 S y s. I; Periodo: 2rt (13) Dominio: todos los números reales: Rango: - 1 £ v £ I: Periodo: 2ji (C) Dominio: todos los números reales, excepto, .v = ji/2 + kn. k cualquier entero Rango: todos los números reales: Periodo: k (5-6) 7. Y (5-6) 8. Y (5-6)

9. El ángulo central de un circulo subtendido por un arco dos veces la longitud del radio (5-1) 10. Si la gráfica de y = eos .v está corrida it/2 unidades a la derecha, el resultado será la gráfica de y = sen v (5-6. 5-7) 15. (A) No es una identidad (B) Una identidad (6-1) 16. El ángulo u es agudo. Un triángulo puede tener a lo más un ángulo obtuso. Ya que (í es agudo, entonces si el triángulo tieneun ángulo obtuso, debe ser el ángulo opuesto al más largo de los dos lados, a y c En consecuencia, a. el ángulo opuesto más corto de losdos lados.«, debe ser agudo. (7-2) 17. 0.3245.2.8171 (6-5) 18. -76.2154° (6-5) 19. /> = 22 pies.« = 28°.-y = 31° (7-2. 7-1) 20. ( 6 ,- 3 ) (7-4) 21. (5, - 3 0 o): El eje polar está rotado 30° en el sentido de las manecillas del reloj (dirección negativa), y el punto está localizado a 5 unidades del polo a lo largo del eje polar positivo. ( - 5 . -210°): El eje polar está rotado 210° en el sentido de las manecillas del reloj (dirección negativa), y el punto está localizado a 5 unidades del polo a lo largo del eje polar negativo. (5, 330°): El eje polar está rotado 330° en sentido contrario al de las manecillas del reloj (dirección positiva), y el punto está localizado a 5 unidades del polo a lo largo del eje polar positivo. (7-5)

Respuestas 22.

|

(7-5)

23.

Y

(7-6)

24. 4V5 + 4¿

A -127

(7-7)

25. —7-71/6. 870° fJ-/) 26. 75.06a f í- // 27. (A) y (C) r5-i. 5-JJ 28. - | (5-4) 29. No está definido (5-3. 5-4. 5-5) 30. - I (5-4) 31. 2/V3 15-4) 32. - (5-9) 33. No está definido (5-9; 34. 2ir/3 (5-9; 35. 0.55 (5-9) 36. I (5-9. 5-3) 37. 1/V5 (5-9. 5-3) 38. (A) 9.871 (B) -3.748 (C) -1.559 (D) No está definido (5-3. 5-5. 5-9) 39. Y (5-7) 40. (A) 150° (B) - 1 9.755o (5-9)

41. sen"' (sen 3) = 0.142. Para la identidad sen' 1(senx) = x para que valga, x debe estaren el dominio restringido de la función seno; esto es, - id 2 5 1 s 7t/2. El número 3 no está en el dominio restringido (5-9/ 42. Ya que las coordenadas de un punto en un circulo unr.uno están dadas por P(a, b) = /J(cos x, sen x), se evalúa P(eos ( 11.205). sen ( 11.205)) usando una calculadora en el modo radián, para obtener P(0.208. -0.978). El cuadrante en el cual está P(a, h) se puede determinar por los signos de a y b. En este caso P está en el cuarto cuadrante, ya que a es positivo y b negativo. (5-5) 43. La ecuación tiene un número infinito de soluciones [x = tan"1(-2 4 .5 ) + kn. A-cualquier entero]; tan '( —24.5) tiene un valor único (-1.530 con tres cifras decimales). (5-9. 6-5) 44. y 2 sentrx (5-7) 45. A = 3\P = tr; P.S. = ir/2 (5-7) 46. P = 2; P.S. = 1 (5-8) 47. Y (5-6)

= 3+

48. Si la gráfica day = coi x se corre hacia la izquierda x¡2 unidades y se refleja con respecto al eje x, el resultado será la gráfica de y = tan x. •49. y = \ \ eos Zx (5-7) 50. y = eot x (5-7. 5S) 2 S

-2

(5-6.5-7)

-J

51. (A) Si (B) Condicional, ya que ambos lados están definidos en x = n/2, por ejemplo, pero it/2 no es una solución. (6-1) 58. (A) No es yna identidad (B) Una identidad (6-1) 59. 0 (6-2) 60. sen 2x = - ¿ eos (jr/2) = V ¿ o V lO /lO (5-4. 6-3) 61. 30M 5 0 o,270<’ (6-5) 62. kn.K/3 + 2kit. y - it/3 + 2kn, todos para k cualquier entero. (6-5) 63. (A) Jt/2,3Jt/2,7n/6, 11 nib (B) 1.571.3.665,4.712,5.760 (6-5) 64. x = 0.926 (6-5) 65. a = 25.0°. (i = 47.8°. y = 107.2° (7-1. 7-2) 66. No hay solución (7-1) 67. (J = 120.7°, y = 6.4°, c = 4.81 pulg (7-1) 68. (3 debe ser agudo. Un triángulo puede tener a lo más un ángulo obtuso, y ya que y es agudo, el ángulo obtuso, si está presente, debe ser el opuesto al más largo de los dos lados a y b. (7-2) 69. |u + v| = 35.6 Ib, o = 16.3° (7-3. 7-1. 7-2) 70. (A) <1,3) ( B ) 3i + j (7-4) 71. r = 8 sen 0 (7-5) 72. .r + y: = —4x (7-5)

A- 1 2 8

Respuestas

-7

(7-5)

76.

77.

-7

(4.23,-131.07°) (7-5)

78.

(-3.68.5.02)

(7-5)

79.

6.06

-6.06

80. z = 2e'wi (7-6)

81.

64 + Oí = 64

(7-7)

82.

w, = V3/2 - \¡, w2 = í, w, = -V 5 /2 - 51, (7-8)

83. 5.82el_l46W'1' (7-6) 84. -6 .7 0 + 1.94Í (7-6) 85. (A) 1lay un toial de cuatro raíces cuartas, y están igualmente espaciadas alrededor de un circulo de radio V2.

Y

(B) vvj = —1 + /. w3 = —1 — i. h> 4 = 1 —i 86. a = eos 1.2 = 0.362. b = sen 1.2 = 0.932 (5-5)

(C) La cuarta potencia de cada raíz cuarta es 4 87. K (5-8)

88. y = 3 eos (2ir.t - ir/4); amplitud = 3. periodo = 1, C F.

t

f7-7)

V3 - i

(7-6)

Respuestas

89. y = 2 sen(2* - 0.644) 3

(5-7)

¡/ V i - .r

90.

(5-9)

91. g

(6-15-9)

92.

(A)

= 2V5/5

(B)

-¿

(6-3)

(D) Los puntos en r2 y / I llegan en los puntos de intersección con diferentes valores de 8. excepto para los dos encontrados en el inciso C. (7-5) 96. PU) = (x - 01* “ (V3/2 - W)][* - (- V 3 /2 - itt)J <7-7) 97. 2tt/73 rad (5-/) 98. 1 088 m (5-2) 99. 5.88 pulg (5-2 o 7-2) 100. 76° (7-2) 101. / = 50 eos 220iri (5-7) 102. 274 mph en i 17o (7-3) 103. Ambos tienen una tensión de 234 libras (7-4/ 104. (A) Sume la bisectriz perpendicular de la cuerda como se muestra en la figura. Entonces, sen 0 = 4//? y 8 = 5IR Sustituyendo el segundo en el primero, se obtiene sen 5IR = AJR. 5

(13)

(C)

R no puede estar aislado en un lado de la ecuación Grafique .r, = sen 5IR y y2 = 4/R en la misma ventana de visión y resuelva para R en el punto de intersección utilizando una rutina preconstruida (véase figura). R = 4 420 cm. 3 13 (6-5)

25

25

CAPITULO 8 I. 15.

Ejercicio 8 1

fi. no hay solución 2 X 3, I x 3

3. 17.

»[¡--¿ua

0 . ( 1 . - 3) C

19. B

5.

(5.2!

21.

7.

- 2 .- 6

( 2 .- 3 ) 23.

9.

No Imy solución (lineasparalelas)

- 2. 6 .0

25.

^

!jj

»E“5I-.3 - U:sf-.o]

27.

II.

r-4 L 4

(2. —I)

12 ] - 8l - 6 I -8J

13.

( 3 .- I )

A -130

Respuestas

37. x, = 4, ,v, = 3; cada par de lineas tiene el mismo punto de intersección.

(4. 3) -10

10 _

in

a, = 4 .t, + x2 = 7 .v, - Xj = 1 —2x2 = - 6 = 3 *2 = 3 39. .v, = ¿ 41. x, = 2y.Vj, = 4 43. No hay solución 45. .v, = I y x2 2 y xx,2 = =1 I 47. Número infinito de soluciones; para cualquier número real s, = s, x, = 2s — 3. 49. Número infinito de soluciones; para cualquier número real i , .v^ = j , x , = - j + I /2 51. (1.12,2.41) 53. (-2 .2 4 .-3 .3 1 ) 55. (A) (-2 4 .2 0 ) (B) ( 6 ,- 4 ) (C) No hay solución 57, (-23.125.7.8125) 59. (3.225.-6.9375) 61. 25 32í timbres, 50 23í timbres 63. S107 500 en el lazo A y S92 500 en el lazo B 65. 30 litros de la solución al 20% y 70 litros de la solución al 80% 67. 200 g de la mezcla A y 80 g de la mezcla B 69. Precio base = $17.95, sobrecargo = S2,45/lb 71. 5 720 libras de la mezcla fuerte y 6 160 libras de la mezcla suave

Ejercicio 8-2 1. 13.

19. 27. 33. 37. 43.

45. 49. 51. 53. 55. 61. 63. 67.

Sí

3.

No

5.

Mo hay solución

No

7.

Sí

9.

15. x, = 2.5 + 3/ —5.x,

= -2 ..v , = 3..v, = 0

11. x = 2/ + 3, x, = - / - 5. x, = /, / cualquier número real

0

»•

[¿

i r a

1 0 0 -5 ' 1 0 2 3 25. = 0. x¡ = - 2, xj = 2 0 1 0 4 21. 0 1 -2 23. *i = - 2 . x2 = 3, x, = I 0 0 1 -2 0. .0 0 0 31. No hay solución x, = 2/ + 3, x2 = I - 2, x, = 1. / cualquier número real 29. x, = l.x , = 2 x, = 2/ + 4. x, = / + 1. jtj = /. / cualquier número real 35. x, = s + 2/ - I. a", = s, x, = /. s y / cualesquiera números reales 41. x, = I.Xj = - 2 , x, = No hay solución 39. x, = 2.5/ - 4, x2 = /,.* ,= - 5 para / cualquier número real (D) Imposible (A) Dependiente con dos parámetros (B) Dependiente con un parámetro (C) Independiente 47. = -0 .5 . x2 = 0.2,x, = 0.3. x4 = -0 .4 x, = 2 s - 3/ + 3, Xj = s + 2/ + 2, x, = s, x4 = / para s y / cualesquiera números reales x, = 2s — 1.5/ + I. x2 = s , x, = - / + 1.5, x4 = 0.5/ - 0.5, x, = /, para .v y I cualesquiera números reales 15c timbres: 3/ — 100,20 t timbres: 145 - 4/, 35í timbres: /, donde / = 34, 35 o 36 Contenedores al 10%: 6/ - 24, contenedores al 20%: 48 - 8/. contenedores al 50%: I. donde / = 4, 5 o 6 n = 3 ,6 = 2 ,c = I 57. a = - 2 ,6 = —4 ,c = - 2 0 59. 20 botes para una persona, 20 botes para dos personas. 100 botes para cuatro personas Botes para una persona: / - 80, botes para dos personas: - 2 / + 420, botes para cuatro personas: /, 80 £ / s 210. / un entero No hay solución, la planeación de la producción no usará todas las horas de mano de obra en todos los departamentos. 65. 8 onzas del alimento A. 2 onzas del alimento B, 4 onzas del alimento C. No hay solución 69. 8 onzas de la comida A, - 2 / + 10 onzas de la comida B.l onzas de la comida C, 0 £ / £ 5 71. Compañía A: 10 h. compañía B. 15 h Ejercicio 8-3

1. (-1 2 . 5). (-1 2 . - 5 ) 9. 15.

21. 29.

33.

3. (2, 4), ( - 2 . - 4 ) 5. (5, -5 ). ( - 5 , 5)7. (4 + 2V3, 1 + V3). (4 - 2V3 (2, 4), (2. - 4 ) , ( - 2. 4). ( - 2, - 4 ) 11. ( 1. 3). ( I , -3 ). ( - 1. 3), ( - 1, - 3 ) 13. (1 + V 5 , -1 + V5), (I - V 5, - I - V i) 17. (2. 2¡). (2. - 2 0 . ( - 2 . 2í), ( - 2 . -2 í) 19. (2. V2), (2. - V 2 ). ( - 1 . 0. ( - 1 . ~ 0 (V2. V I). ( - V 2 . - V 2). (2. 1). ( - 2. - 1) 25. ( - 1. 4). ( 3 .- 4 ) 27. (0. 0). (3. 6) (3. 0). ( - 3 . 0). (V I. 2). ( - V 5 . 2) 23. (2. 1), ( - 2 . -1 ) . (¿, - 2 0 . ( - / . 20 (1.4). (4.1) 31. ( - 1 .3 ) . (4. 8) (B) b = 5. el punto de intersección es (2, - 1); b = - 5 , el punto de intersección es ( - 2 . I ). (A) Las líneas son tangentes al círculo. (C) La recta x + 2y = 0 es perpendicular a todas las lineas en la familia e intersecta el circulo Y en los puntos de intersección encontrados en el inciso (B). Resolviendo el sistema x; + jr = 5. x + 2y = 0 se determinarían los puntos de intersección.

V

Respuestas

35. 41.

(- 5 . - |) , ( - 1 - 2 ) 37. (0. - 1 ) . ( - 4 . - 3 ) ( - 3 , 1). (3. - I ) , ( - / , i). (/. - 0 43. (- 1 .4 1 .

45.

(- 1 .6 6 . - 0 .8 4 ). (- 0 .9 1 . 3.77). (0.91. -3 .7 7 ). íl.6 6 . 0.84 )

49.

j(3 - V5), 1(3 + V 5)

51. 5 pulg y 12 pulg

A-131

39. (2. 2). ( - 2 . - 2 ) . ( V 2 , - V 2 ) , ( - V 2 . V 2 ) - 0 .8 2 ). (- 0 .1 3 , 1.15). (0.13. - 1 .1 5 ). (1.41. 0.82) 53.

47.

(- 2 .9 6 . -3 .4 7 ). (- 0 .8 9 . - 3 .7 6 ). (1.39. 4.05). (2.46. 4.18)

6 p o r4 .5 p u lg

55.

2 2 p o r2 6 p ie s

57.

Bote A: 30 mph; bote B: 25 mph

Ejercicio 8-4 3.

—__— -—

11.

Región IV

13. Región 1

21. Región IV; puntos esquina: (6. 4), (8. 0), (18,0)

25.

Pumos esquina: (0. 0), (3, 0), (0. 2)

27.

Acolada

31.

Puntos esquina: (0. 8), (3, 4). (9, 0) No acolada

33.

Pumos esquina: (5, 0), (0, 4) No acotada

Puntos esquina: (0. 0), (0. 5), (4, 3),

(5. 2). (6. 0) Acotada

29.

23.

Región 1; puntos esquina: (0. 16). (6. 4), (18, 0)

Puntos esquina: (0. 0). (0. 4). ( y . f ) , (4. 0) Acotada

35.

Puntos esquina: (0. 14). (2. 10). (8. 4). (16. 0) No acolada

10

20

1i ¿

Respuestas

37. Puntos esquina: (2, 5), (10. 1), (1, 10)

39. La región factible está vacia.

Acotada

41. Pumos esquina: (0. 3), (5. 0), (7. 3), (2. 8) Acotada

Y

43.

Puntos esquina. (1.27, 5.36), (2.14, 6.52), (5.91, 1.88) Acotada

Y -4 x + 3 y = 11

.91, 1.88) 6x + 4y = 108 16x+ 13y= 119 12x + 16y47.

(A) Todos los programas de producción en la región factible que están en la gráfica de 50.v + 60j' = I 100 resultará en una ganancia de SI 100 (13) Hay muchas opciones posibles. Por ejemplo, produciendo cinco esquies estándar y 15 esquíes profesionales se producirá una ganancia de SI 150. La gráfica de la recta 50.v + 60'y = I 150 incluye todos los programas de producción en la región factible que resulta en una ganancia de SI 150.

49.

51.

360 960

220

20

40

60

10*+ 30y = 280

E je rc icio 8 -5

1. 7. 13. 17. 19. 23. 25.

27. 29.

31.

33.

M áxr = 16 en (7.9) 3. Máx z = 84 en (0, 12) y (7. 9) (soluciones óptimas múltiples) 5. Mín z = 32 en (0. 8) 11. Mín ; = 12 en (4,0) Mín r = 36 en (12,0) y (4, 3) (soluciones óptimas múltiples) 9. M áxr = 18 en (4, 3) Máx z - 52 en (4, 10) 15. Mín z = 44 en (4,4) Mín z — I 500 en (60,0); máx r = 3 000 en (60, 30) y (120.0) (soluciones óptimas múltiples) Mín z = 300 en (0, 20); máx z = I 725 en (60. 15) 21. Máx P = 5 507 en .v, = 6.62 y .Vj = 4.25 (A) a> 2b (B) jb < a < 2 b (C) ¿>>3o (D) a = 2b (E) b = 3o (A) 6 esquíes estándar, 18 esquíes profesionales; S780 (B) La máxima ganancia disminuye a S720 cuando se producen 18 esquies estándar y ninguno profesional. (C) La máxima ganancia aumenta a SI 080 cuando no se producen 24 esquies profesionales. Nueve camiones del modelo A, seis camiones del modelo B, S279 000 (A) 40 mesas, 40 sillas; S4 600 (B) La máxima ganancia disminuye a S3 800 cuando se producen 20 mesas y 80 sillas. (A) Máx P = S450 cuando se producen 750 galones utilizando exclusivamente el viejo proceso. (B) La máxima ganancia disminuye a S380 cuando se producen 400 galones utilizando el viejo proceso y 700 galones utilizando el nuevo proceso. (C) La máxima ganancia disminuye a S288 cuando se producen I 440 galones utilizando sólo el nuevo proceso. El nitrógeno tendrá un rango desde un mínimo de 940 Ib cuando se usen 40 bolsas de la marca A y 100 bolsas de la marca B hasta un máximo de I 190 Ib cuando se usen 140 bolsas de la marca .-I y 50 bolsas de la marca B.

Respuestas

A - 133

Ejercicio de repaso del capítulo 8 1. 4. 7.

(2,3) (8-1) 2. No hay solución (inconsistente) 18-1) 3. Un número infinito de soluciones (/. (4/ + S)/3). para cualquier número real l (8-1) (- 1 . 3), ( 5 .- 3 ) (8-3) S. (1. - 1 ) .( ¡ . 4 ) (8-3) 6. (1, 3). (1. -3 ). ( - 1 .3 ) . (- 1 . - 3 ) (8-3) (8-1) 8.

(8-4)

10.

"■ [!

14. x, - x¡ = 4

0= 1

(8-2)

•] * "

16. x, = 4 (8-2) i + 4. je, = f. i cualquier número real

No hay solución 17. x, = 2, jt, = - 2 ; cada par de rectas tiene el mismo punto de intersección

18. 22. 24. 25. 27 28.

(8-4)

(8-1)

13. x, = 4 (8-2) x2 = - 7 (4, - 7 ) M inr = 18 en (0. 6): m áxr 4 2 en (6 ,4 )

(8-5)

(8-1)

2x, + x2 = 2 3xj = —6 x, — - 2 Xj = -2 (2.54,2.15) (8-1) 19. ar, = —1. x, = 3 (S-2 2*. x, = —I, x, = 2, x, = 1 (8-2) 21 x, = 2. Xj = I, Xj = —1 (5-2) Un número infinito de soluciones: x, = - 5 1 - 12. x: = 3/ - 7. x, = i, t cualquier número real (8-2) 23. No hay solución (8-2) Un número infinito de soluciones: x, = -$ r - i. i ; = « - J. i , = i, / cualquier número real (8/2) (2. V2), ( 2 . -V 2 ), (-1 .1 ). (- 1 , - 0 (8-3) 26. ; -2>. (-1 . 2). ( 2 .- 1 ) . ( - 2 . I) (8-3) (2. - 2). ( - 2. 2). (Vi, Vi). (—V i. - V i ) (8-3/ Puntos esquina: (0, 0), (0, 4), 29. Puntos esquita <0. <¥. ^ ), 30. Puntos esquina: (4, 4). (10, 10), (3. 2), (4. 0) (8-4) (8-4) (12,0) (20.0) (8-4) Noaxxada Acotada: Acotada

5 10 31. Max r = 46 en (4, 2) (8-5) 32. M m r = 75 en (3 ,6i y 115.0) «soluciones óptimas múltiples) (8-5) 33. M inr = 44 en (4. 3) máx r = 82 en (2. 9) (8-5) 34. x, = 1 000. x3 = 4 000, x, = 2 000 (8-2) 35. (2. 2). ( - 2 . -2 ). (j\/7 . -fV 7 ). ( - Í V 7 J V 7 ) <8-3) 36. Máx r = 26000 en (600.400) (8-5) 37. (-2.16, -0.37), (-1.09, 5.59). (1.09. -5.59). (2.16. 037) (8-3) 38. (A) Una solución única (B) No hav solución (C) Un número infinito de soluciones (8-2) 39. Paquetes de 5 libra: 48. paquetes de y libra: 72 (8-1. 8-2) 40. 6 p o r8 m (8-3) 41. 40 g de la mezcla A, 60 g de la mezcla B, 30 de la mezcla C (8-2) 42. (A) 22 monedas de 5 centavos y ocho de 10 centavos (B) 22 + il. monedas de 5 centavos. 8 - 4 / monedas de 10 centavos y 1 de 25 centavos, / = 0. 1,2 (8-1. 8-2) 43. (A) La utilidad máxima es P = S7 800 cuando se producen 80 botes regulares y 30 de competición. (B) La ganancia máxima aumenta a S8 750 cuando se produce 70 botes de competición y no se produce ninguno de tipo regular. (C) La ganancia máxima disminuye a S7 200 cuando no se produce ningún bote de competición y se producen 120 botes regulares (8-5)

n- i

respuestas

44. (A) El costo mínimo es C = $ 13 cuando se usan 100 g de la mezcla/I y 150 g de la mezcla B. (B)El costo mínimo disminuye a S9 cuando se usan 50 g de la mezcla I y 275 g de la mezcla B (C) El costo mínimo aumenta a S28.75 cuando se usan 250 g de la mezcla A y 75 g de la mezcla B. (8-5) CAPÍTULO 9

15.

29.

39.

Ejercicio 9-1

G-3 R4]

-1

6

-4

3

I

-1

r > _5i [-2 -J ' -3 -1 8 4 '- 2 25 41. 26 -2 5 .- 2 45 51. a = 3. b

[■: No está definido

57.

$3 330 S2 125 SI 270

$77 $93 $113

S42 $95 $121

a.

(C)

[11]

25.

-2

' 3 6

-4 6

.-9 1.2' - 0.6 2.2.

-4 '

-8

27.

No está definido

12. -3 1 61 . -3

=2

MN da los costos de mano de obra por bote en cada planta

Bote de una persona Bote de dos personas

$30.30 Bote de cuatro personas 0 0' 0 1 2 0 ; Hay una manera de viajar de Baltimore a Atlanta con una conexión intermedia: hay dos maneras de viajar de 0 1 Atlanta a Chicago con una conexión intermedia. En general, los elementos en .l: indican el número de diferentes 0 0. maneras de viajar de la í ésima ciudad a la j ésima ciudad con una conexión intermedia. 0 2 0 2 0

2' 0 0 Hay una manera de viajar de Denver a Baltimore con dos conexiones intermedias; hay dos maneras de viajar de 0 Atlanta a El Paso con dos conexiones intermedias. En general. los elementos en A' indican el número de diferentes 1. maneras de viajar de la i ésima ciudad a la j ésima ciudad con dos conexiones intermedias. 3 2 5 2"

(C) A + A2 + A} + A* =

(B)

S6 000

Costo por ciudad

NM

23.

” t-3

$27' $50 $52

$13.80

$3 550

-20 10" .— 12 6.

11. [101

6 8 '5 -11 15' - 0.2 16' 12 10 33. 4 -7 3 35. 2.6 37. - 25 6 24 4. 0 10 - 0.2 77. 15 ‘ -26 -1 5 - 2 5 ' - 4 -1 8 45 43. 4 45. a = - l . b = 1. c = 3. d = - 5 4 * = I. 2 43 —19 25 . 1, c = 1, d = - -2 53. Todos son verdaderos. 55. Guitarra Banjo [$33 S26l Materiales [$57 S77j Mano de obra

MN = $18.50 $21.60 $26.00 0 0 2 1 0 0 (A) A1 = 0 1 0 1 0 0 .0 0 1 2 0 0 0 1 0 (B) /i3 = 0 0 3 0 1 0 .1 0 0

(A) (D)

21.

[-14]

30 50

Alza de precios Radio Control Aire AM/FM de crucero

Carro base

Modelo A Modelo 8 Modelo C

20 -10 0 -4 0

No está definido

19.

31.

49. .t = - 5 , y = 4

59.

5.

$3 550

- [ $6 000;

Berkeley Oakland

Es posible viajar desde cualquier origen a cualquier destino con a lo más tres conexiones intermedias. (C) NM da el costo total por ciudad (E) Llamada Llamadas telefónica a domicilio [1 1]W = [3 000 1 300

(F) Carta 13 000]

Total de 1

N 1 1

6 5001 Berkeley . 10 800j Oakland

A-135

Respuestas Ejercicio 9 2

-2 1 3' '- 2 1 3 2 4 -2 7. 2 4 -2 5 1 0. 5 1 0 -3 -4 2' ' 2 -1 - f 1 0 f -2 -2 1 23. 25. No existe 27. ^ ^ 29. i2 i2 1 -1 1 1 1 2‘- . 2 3 -1 . -2 1 2. .2 1 4. 10 - 9 -1 5 -4 33. 37. W-' existe si y sólo si todos los elementos de la diagonal principal son diferentes de cero. 5.

19.

31.

] No existe

-1

39.

43. 47. 49.

1

-1

1.75 5.25 8.75 -1 -18.75 ' 1.25 3.75 6.25 -1 -13.25 41. -4.75 -13.25 -22.75 3 48.75 -1-375 -4.625 -7.875 1 16.375 3.25 8.75 15.25 -2 -32.25 . 14 5 195 74 97 37 181 67 49 18 121 43 103 41 45 GREEN EGGS AND HAM 21 56 55 25 58 46 97 94 48 75 45 58 63 45 59 48 64 80 44 69 68 104 123 72 LYNDON BAINES JOHNSON 0.5 0 -1 -0 .5

-0 .3 0.1 0.9 0.4

0.85 0.05 - 1.55 -1 .3

'

-0 .2 5 ' -0 .2 5 0.75 0.5 .

127

Ejercicio 9 3

9. 15. 17. 19.

21. 27. 29. 33. 35. 37. 39.

[; ii:H

1 -2 I IV - r + x, = 3 2 2jtj + x, = —4 1 1 0 .t. = *2 - X, = 2 2 3 1. U j . -3 . = - 8. x¡ = 2 11. jr, = 0. j , = ^ 13. A i - 3 .I J = —1, x3 = 2 2 (B) (C) x, = - 8, x, = 3 (A) or, = 17. x2 = - 5 (B) x, = 7, x2 = - 2 C x • 24. x, = - 7 (A) x, = 1. x, = 0, x, = 0 (B) x, = - 1. 1 . » O. *, = 1 (C) x, = 4. xj = I, x, = - 3 (A) x, = 0. x2 = 2. Xj = 4 (B) x, = - 2 , x: = 2. i. = 0 (O x, = 6. x3 = - 2 , x, = - 6 X = (A - B y'C 23. X = (A+1)-'C 25. X = - B C + D) (A) x, = l.x , = 0 (B) x, = - 2 000. X, = 1000 C z, = 2 001. x5 = - 1 000 x, = 18.2. x2 = 27.9, x, = -15.2 31. x, = 24. x: = 5. x- = - 2 . x* = 15 Concierto 1: 6 000 boletos de S4 y 4 000 boletos de i* . Coooeru-' 2 ; OC.i boletos de S4 y 5 000 boletos de 58: Concierto 3: 3 000 boletos de S4 y 7 000 boletos de S8 (A) /, = 4. /j = 6. /, = 2 (B) /, = 3, /2 = 7. /, = 4 (O / = 7. /, = 8. /, = 1 (A) 0 = 1. 6 = 0. c = - 3 (B) a = —2. ¿> = 5, e = 1 iC) a = 11. 6 = -4 6 . c = 43 Dieta 1: 60 onzas de la mezcla /I y 80 onzas de la mezcla B: Dieta 2 20 ¿x a mezcla A y 60 onzas de la mezcla B: Dieta 3: 0 onzas de la mezcla A y 100 onzas de la mezcla B. 2x, — x, = 3 x, + 3at2 = - 2

3. -2x, jc, +

Ejercicio 9-4 1.

8

15.

10

31. 37. 39.

3.

17.

-2 0

-21

5.

-0.88

19.

-4 0

1 -2 -4 8

7.

21.

( - 1)'*'

9.

-2 5

a¡2 av 2 a»

ÖJ4 a«

a«2 0«

o**

-2 =0 8

0 -2 ; « 1. a.i 23. ( - i r *
aS4

25.

13.

( - 1 )5

22

5

2 7 .- 1 2

-2

29.

aM

6 (A)

33. 60 35. 114 a na22. o,,a22a„ (B) En cada caso, el determinante es el producto de los términos de la diagonal principal a b le d ; intercambiando las filas de este determinante cambia el signo

= -4

c d a b ka b a b 41. = k ; multiplicando una columna de esta determinante por un numero k se multiplica el valor de la determinante por k. kc d c d kc + a kd + b _ a b 43. ; sumando un múltiplo de una fila a otra fila no cambia el valor de la determinante. c d c d 47. 49 = (- 7 X -7 ) 49. f(x) = x2 - 4x + 3: 1. 3 51. f(x) = x3 + 2x* - 8x; - 4 . 0. 2

0

^

m- 1 j o

Kespuestas Ejercicio 9-5

t. Teorema I 17. 33. 45. 49.

51. 53.

3. Teorema 1 5. Teorema 2 7. Teorema 3 9. Teorema 5 11. x = 0 13. x = 5 15. - 1 0 10 19. —10 21. 25 23. - 1 2 25. Teorema I 27. Teorem a2 29. Teorem as 31. x = 5ay = 0 x = —3, y = 10 35. - 2 8 37. 106 39. 0 41. 6 43. 14 Desarrolle el lado izquierdo de la ecuación usando menores. 47. Desarrolle ambos lados de la ecuación y compare. Esto se deduce del teorema 4. Desarrolle el determinante de la primera fila para obtener 0', —y} )•>' - (.v, - .v,)y + (x ,y , - x ,y ,) = 0. Después demuestre que los dos puntos satisfacen esta ecuación lineal. Si el determinante es 0. entonces el área del triángulo formado por los trespuntos es0. La única manera de que esto suceda es que los tres puntos estén en la misma recta, esto es. que los puntos sean colineales

Ejercicio 9-6

1. x = 5, y = - 2 3. x = 1, y = - 1 5. x = - f , y = f 7. x = & y = - $ 9. x = 6 400, y = 6 600 11. x = 760, y — 760 13. x = 2, y = - 2 . z = - 1 15. x = j , y = - } , z = § 17. * = - 9 , y = - J , z = 6 19.

27. 31.

* = i y = ~ l z = 3 21- * = 4 23. y = 2 25. z = § Ya que D = 0, el sistema no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones. Puesto que ,r = 0, y = 0. caso debe ser válido. (A ) R = 200p + 300q - 6/r + 6pq - 3q 2 (B )

p = —0.3x - 0.4y + 180. q = - 0 .2 * - 0.6y + 220, R = 180x

r = 0 es una solución, el segundo

+220y - 0.3x2 - 0.6*y -

0.6y-

Ejercicio de repaso del capítulo 9 3

3

2 [;4 áj

6. [ J J

2.

,, i‘

(9 -1 )

7.

11. (A ) x , = - 1 , 14.

(9 -1 )

No está definido

(9 -1 )

^

8.

(9 -1 )

[8]

*3 = 3

(B )

x, = 1 ,x 2 = 2

(9-6 )

15.

(A )

x = 2, y = —1

3.

-2

(B )

(C ) 6

(9-1 )

[

^

9.

No está definido

2

(9 -5 )

(9 -1 )

16.

1

(9-1 )

18.

19.

No está definido

(9-1)

20.

[9]

(9-1)

21.

12.

23. 24. 27. 28. 31. 33. 34. 35. 36.

(9-4)

-1 7

(9-1 )

■io

-5

-1

-4

-5

-7

-2 .

Una solución única

u + k\’ v

*

0

(9-4. 9-5)

["

1 ]

(9-1)

(9 -1 )

(9 -2 )

26. y = f = 2 (9-6)

(B )

= (u + kv)x — (w + kx)v = ux + kvx - h t - kvx — ux — wv =

K' + kx x

13.

r

O no hay solución o hay un número infinito de soluciones. (9-3) 1 r 11 5' -1 60' 12 12 i -11 2 12 No. (9-3) 29. X = (A - C ) - 'B (9-3 ) 30. 10 2 -4 8 12 - 4 12 0 72 X __L 0. 0. 1 -1 12 L 12 x , = 1 000, x2 = 4 000. x , = 2 000 (9-3 ) 32. 42 (9-5 ) (A )

(9-1)

1

1

-u

KJ\

r-j 2 12 - i2i 1 1 - 1 1 2 - 2 2 ° 2 0 - i2-1 i 0 - 1 . L i2 U A ) x , = 2, x 2 = 1, x, = - 1 (B ) - | | (9-4 ) 25. 35 (9-4. 9-5)

No está definido

(9 -2 )

No está definido

1 22.

5.

10.

(9-3 )

x , = 8, X j = - 1 0 (C )

(9-1 )

4.

u

v

w x

(9-2 )

(9-5 )

E l teorema 4 de la sección 9-5 implica que ambos puntos satisfacen la ecuación. Todos los otros puntos sobre la recta que pasan por los puntos dados también satisfacen la ecuación. (9-5) (A ) 60 ton en Big Bend, 20 ton en Saw Pit. (B ) 30 toneladas en Big Bend. 50 ton en Saw Pit. (C ) 40 ton en Big Bend, 40 ton en Saw Pit. (9-3) (A ) S27 (B ) Los elementos en L H dan un costo de fabricación total de cada producto en cada planta. (C )

Carolina del Norte

(9-1)

Carolina del Sur

[ $46.35$41.001 $41.001 EscritorioEscritorios '

“ L$30.45 $27.00J $27.( Estantes

[1 6 0 0 r ™ [ 890

1,730] " ™ l 72oJ

f 200 l'¡ñ [ 80

Escritorios 1601 _ P ' ¡ ¿ I L1 550J Estantes (9-1 ) 40 J Producción total de cada articulo en enero

37.

(A )

38.

D IS P O S IT IV O D E G R A F IC A C IÓ N (9-2)

®

’

Respuestas Ejercicio de repaso acum ulativo de los capítulos 8 y 9 1. x = 2, y = —1 <8-1)

2.

( - 1 .2 )

(8-1)

3. ( - J . (1,I)(8-3) y

(8-4)

5-

K

1 Máximo: 33; Mínimo: 10 (8-5) (A)

|"0 —3l

I

■10 (9-4) (A) 10.

(A)

(B)

No está definido

8. (A) x i — 3, x2 = —4

1 1 -I I

3^ 5

ÍB)

[¿ :r:i

2'

(C)

P]

(D)

[:

(E)

( - 1 ,8 ]

B-

z = 2i i- 3, x2 = r, i cualquier número real

•C

x, = —1, í j = 4

-" 5' Ij ■ ia » - K a 11. (A) 2 (B) x = y = 0 (9-6) 12. x, = I. .rj = 3; cada par de rectas tiene el mismo

O

(F)

No está definido (C)

(9-1)

No hay solución

(8-1/

(8-1, 8-2)

X: = 13. x3 = 5

(D) x, = —l l .jt j = —4

(9-3)

(8-1)

- t - — .1.

19.

U

21.

35. 36.

II T

24. 26. 27. 33. 34.

(8-2)

-3 2 0 V V 2 6 3 x? = *2 2 -2 1 (C, a - 5 . 6) (D) ( - 6. 3 . - 2 ) (9-3) .2 5 2. x,. -2 3 -2 . .^3. (B) z = 32 (9-5, 9-6) 25. ( —1.35. 0.28 k i —0.87. -1.60), (0.87. 1.60). (1.35. -0.28) (8-3) (A) Número infinito de soluciones (B) So hay solucion ’C) Solución única (8-2) A = / . la identidad n X n (9-3) 28. L .M y P (8-2, 32. S8 000al 8% y S4 000 al 14% (8-1. 8-2) 60 g de la mezcla A. 50 g de la mezcla B. 40 g de la mezcla C (S-2> Un camión del modelo A, seis camiones del modelo B. 5 camiones del modelo C; o tres camiones del modelo A. tres camiones del modelo B, seis camiones del modelo C; o cinco camiones del modelo A y sieie camiones del modelo C. (8-2) 8 por 4 m (8-3) (A) Fabricando diariamente 400 paquetes estándar y 200 de lujo se produce una ganancia máxima semanal de $5 600 (B) La máxima ganancia semanalaumenta a S6 000 cuando no se producen paquetes estándar y se producen 400paquetes de lujo. (C) La máxima ganancia semanalaumenta a S6 600 cuando se producen diariamente 600 paquetes estándar y ninguno de lujo. (8-5) m

23.

NJ

13. 17.

x, + 3x2 = 10 x. * 3x¡ X| + 3x3 = 10 10 2x, - x, = - 1 X; -7 x , = -21 X; = 3 3 (1.53,3.35) (8-1) 14. (1.0, - 2 ) (8-2) 15. Nohav icJacifM 14. t: - 3 .: - 2, /) / cualquier número real (1, I). ( - 1 . - 1 ) . (V 3. V3/3). ( - V 3 , - V 3 / 3 ) (8-3) 1S. O . : . - ' - . ' -I -S-3i ' 1 2 - 1' - 1 -2 1 (9-1) (A) [-3 ] (B) 20. (A, 3 ¡B) No esd defaado (9-1) L * .2 4 -2 . y (8-4) 22. 63 (8-5)

A - 1 38

37.

(A)

(C)

Respuestas

82.25' 83 92 83.75 82

0.25 0.25 M 0.25 0.25

Ana Roberto Carolina Daniel Ernesto

Roberto Carolina Daniel Ernesto

(9-1)

3. 0 , |. ¿ , } 5. 4 . - 8. 1 6 .-3 2 7. 6 9. ^ 11. I + 2 + 3 + 4 + 5 13. ^ + 7^5 + 7^55 1 17. 1. - 4 . 9 .- 1 6 . 25 19. 0.3.0.33,0.333.0.3333.0.333 33 21. I . - 3. i “ s-t6 - 9 25. 4. I. J, ¿ 27. a„ = n + 3 29. a„ = 3n 31. a„ = n!(n + 1)33.a„= ( - 1 ) ”“ 37. a„ =

isC0.fi“»

usi/» 20

0 ¡0ejo =20 n

Y: OS

r*i2is?U( - 1 .5

-0 .3

.r .r a2 .r5 .t4 47. 49. J i P 51. 2 3 * 2 + 3 4 + 5 (A) 3. 1.83, 1.46. 1.415 (B) V 2 « 1.4142 (C) Paraa, = 1: 1. 1.5, 1.417. 1.414 Los valores de cHson aproximadamente 2.236 (es decir. v 5) para valores grandes de 11. Aproximación en serie de e"2 = 1.221 400 0, valor de calculadora c"; = 1.2214028

43. Í - M 57. 59. 61.

Ana

Ejercicio 10- 1

1. - 1 ,0 . 1,2 15. -1 + 1 -1 + 23. 7. 3, - 1 . - 5 . 35. a„ = (-2 )"

Xs20

'83 ' 84.8 91.8 85.2 .80.8.

Promedios de la clase Examen I Examen 2 Examen 3 Examen 4 [84.4 81.8 85 87.2]

[0.2 0.2 0.2 0.2 0.2] A/

CAPÍTULO 10

(B)

0.2' 0.2 = M 0.2 .04.

- ?

45.

AT + — + —

i?

53.

v i

^- ik*2 a

55.

íf - i) * * '^

Ejercicio 10-2 1. 7. 9. 11. 13. 23. 45.

Falla en n = 2 3. Falla en n = 35. P,: 2 = 2 • I2; P2: 2 + 6 = 2 • 22; />,: P,: a'a = a ’*1; P¡: a'a2 = a’(a'a) = (a'a)a = a6a = a7 = a5*2; /*,: a V = a!(a2a) = a\a'a)a = [(a5a)a]a = a" = a5*’ />,: 91- I = 8 es divisible entre 4; Pr 9: I = 80 es divisible entre 4: 9' - I = 728 es divisible entre 4 />,: 2 + 6 + 10 + ■• • + (4* - 2) = 2Jt2;2 + 6 + 10 + • • • + (4* - 2) + (4* + 2) = 2(* + l )2 /V a V = a’**: />».,: a V * 1 = a’ ***1 15. /*,: 9* — 1 = 4r; P ,.,: 9**1 - I = 4í; r, s £ A/ n = 4, pU) = X* + 1 25. n = 23 43. 2 + 4 + 6 + • ■• + In = n(n + I) 1 + 2 + 3 + • • • + (n - 1) = n(n - l)/2. n a 2 51. 34 + 44 + 5* + 64 * 74 Ejercicio 10-3

1. (A) Aritmético con d = —5; —26. -3 1 (B) Geométrico con r — —2; —16,32 (C) Tampoco (D) Geométrico con r = 5; -¡j; 3. a: = —1, a3 = 3, a4 = 7 5. als = 67, Su = 242 7. S2t = 861 9. a,s = —21 11. a2 = 3, a, = —§, a, — | 13. a,o = 2« 15. S7 = 3 279 17. d = 6, a 10, = 603 19. 5 „ = 200 21. a „ = 2, 5,, = ? 23. a, = I 25. r = 0.398 27. 510 = -1 705 29. a2 = 6, a, = 4 31. S„ = 4 131 33. S7 = 547 35. - 1 071 37. 39. 4 446 43. x = 2 \/3 45. a„ = - 3 + (n - 1)3 47. 66 49. 133 51. S„ = | 53. No hay suma. 55.. S. = ; 57. 5 59. ^ 61. 3yj o ^ 65. a„ = ( - 2 ) ( - 3 y -1 67. Sugerencia’, y = x + d, z = x + 2d 71. x = —1, y = 2 73. Compañía /í: S50I 000; compañía i?: S504 000 75. S4 00(1000 77. .-1 = /'( I + /•)"; aprox 12 yardas 79. S700 al año; S115 500 81. 900 83. 1250 000 85. (A) 336 pies (B) I 936 pies (C) I6í: 87. A = /l„22' 89. r = I0'" 4 = 0.398 91. $9.223 x 10“ ; $1.845 X 10n 93. 0.0015 psi 95. 2 97. 3.420° Ejercicio 10-4 1. 23. 33. 37. 45.

720 3. 20 5. 720 7. 15 9. 1 11. 28 2 380 27. m5 + 3m'n + 3mn! + ny 29. 8a3 - 36.rv + m4 + 12m’n + 54mV + 108mn3 + 81n4 35. 32a5 - 80.-5 47. 5 49. (A) a, = 0.251 (B) 1

13. 9!/8! 15. 8!/5! 17. 126 19. 6 21. 54.0-’ - 27>J 31. X* - Sx3 + 24x: - 32* + 16 + 8 0 rV - 40xV + IOjo4 - y5 39. 5 005hV 41. 264mV° 43. 924m-6 51. 1.1046

1

Respuestas Ejercicio 10-5 I. 19. 25. 29. 33.

37. 39. 43. 45. 47.

990 3. 10 5. 35 7. I 9. 60 I I . 6497400 13. 10 15. 270725 17. 5 - 3 - 4 - 2 = 1 2 0 P ,,,» = 1 0 - 9 - 8 = 720 21. C , , = 35 subcomites. P . , = 210 23. C ,„ . = 45 No se repite 6 • 5 - 4 - 3 = 360; con repeticiones d e 6 - 6 - 6 - 6 = 1296 27. No repite P IM = 30 240; con repeticiones de: I0 5 = 100 000 C | t , = I 287 31. 26 • 26 • 26 • 10- 1 0 -1 0 = 17 576000 posibles matrículas de licencias: no se repite 26 • 25 • 24 • 10 • 9 • 8 = I I 232 00G C „ , C ,u = 100 386 35. C „ , C |04 C , . = 246 960
Ejercicio de repaso del capítulo 10 1. 2.

(A ) Geométrico (A ) 5. 7. 9. 11

(B ) (B )

Aritmético a,o = 23

(C )

Aritmético

(D )

Tampoco

(E )

Geométrico <10-1, IO S )

8. 11.

(C ) S,o = 140 <10-1. 10-3) (A ) 16. 8. 4. 2 (B ) o ,0 = j , (C ) 5 ,a = 31& <10-1. 10-3) (A ) - 8 . - 5 . - 2 , 1 (B ) fl10 = 19 (C ) 5 I0 = 55 (10-1. 10-3) (A ) - 1 . 2. - 4 . 8 (B ) 0,0 = 512 (C ) S,o = 341 <10-1. 10-3) 6. 5 , = 32 ( 10-3) 7. 720 (10-4) 20 - 2 1 - 2 2 = 9 240 <10-4) 9. 21 (10 -4) 10. C u = 15. /» „ = 30 <10-5) (A ) 12 resultados combinados (B ) 6 - 2 = 12 (10 -5) 12. 6 - 5 ' 4 • 3 • 2 • I = 720 <10-5) 13. PM = 6! = 720

14. 15.

= 22 + 4 - 2: P ,: 5 - 7 + 9 = 3J + 4 - 3 (10-2) />,: 2 = 2 '* ' - 2; />,: 2 + 4 = 22" - 2; P ,: 2 - 4 - 8 = 2’ * ' - 2 (10-2)

3. 4. 5.

<10-5

16. P t: 491 — I = 48 es divisible entre 6; P.: 49; - . = 2 400 es divisible entre 6. P x: 49' - I = 117 648 es divisible entre 6 17. 18.

(10-2) Pk: 5 + 7 + 9 + • • • + (2* + 3) = Jp’ + 4fc Pt . , : 5 + 7 + 9 + • • • + (2k + 3) + (2* + 5) = (* + l ) 3 + 4<¿ + 1) (10-2) Pk: 2 + 4 + 8 + • • • + 2* = 2**' - 2; 2 + 4 + 8 + -- - + 2 * + 2*"1 = 2‘ * 2 - 2 (10 -2) Pr 49* — I = 6r para algún entero /•; P t _ , : 49* * ' - I = 6s para algún omero s (10-2) 20. n = 3 1 es un contraejemplo (10-2)

19. 21. 5,o = - 6 - 4 — 2 + 0 + 2 + 4 + 6-T -8 - 10 + 12 = 30 (10 -3) (- l^ 1 e 23.

Sx = ¥

27.

336: 512: 392 1 820 (10 -4)

31. 34. 42.

(10 -3)

-1 7 6 0 *V 12 (1 0 -5 )

CAPÍTULO 11

24.

5. = ^

(10 -5) 32.

(10 -4) 43.

28. I

(10 -3)

£

(10 -4)

38. 29 Jt* + 6 o 5 -

33.

a 0 -3 )

= í

3*

25.

22.

C u = 20

S7 = 8 + 4 + 2 + 1 + í

(10 -5)

26.

d = 3. o, = 25

29. (A ) = 120 (B ) C „ = 10 (10-5) x 3 - 5x^ + 10Ur*>- - lO x V + Sxy4 - y> (10-4)

(10 -4) 39. 26 (10 -1) 15.T4 - 20ÍX* + 15*3 + 6 ú -

Ejercicio 11 1

y 5-

yno. 2)

-s

5 Directnz

r

-2

40. 25 = 32; 6 1 (10-4) 44.

(10-5) />„ = 120

1 + J4 8

30.

41.

190

(10-3) (10 -4)

49 g/2 pies; 625 g/2 pies

(10-5)

(10 -3)

(¡0-3)

A -140

Respuestas

Y

9.

11.

y

.10-

13. (9.75,0)

15. (0.-26.25)

17. (-19.25,0)

5Directriz x= 5

H-S. 0)

I I l.l I -to

10

-5 Directriz

-s} 19. x2 = I2y 33. /

21. x2 = -2 8 y 35.

y = -2 5

23. y2 = -2 4 * K

25. f = 8*

27. x2 = 8.v 29. y2 = -1 2 x 37. (A) 2; x = 0 y y = 0 (B)

31. x2 = -4 y (0. 0). (4am, 4am2)

39. A(-2a, a), B(.2a. a) 41. x2 - 4* - 12y - 8 = 0 43. y2 + 8y - 8* + 48 = 0 45. (-0.78. 0.08), (40.78. 207.92) 47, (-6.84, -5.85), (0, 0) 49. x2 = -200)' 51. (A) y = 0.0025.r, - 100 £ x £ 100 (B) 25 pies Ejercicio 11-2 1.

Focos: F ( - V 2 Í , 0), F(V2l. 0) Longitud del eje mayor = 10 Longitud del eje menor = 4

3.

Focos' F (0 . - V 2 Í ) , F(Q, V'TÍ) Longitud del eje mayor = 10 Longitud del eje menor = 4

Y

7.

Focos: F ( 0, -4 ), F(0, 4) Longitud del eje mayor = 10 Longitud del eje menor = 6

5.

Focos: F ( - V 8 . 0), F (V 8, 0) Longitud del eje mayor = 6 Longitud del eje menor = 2

Y

9.

Focos: F ( 0, - V ? ) . F(0, V6) Longitud del eje mayor = 2 V 12 “ 6.93 Longitud del eje menor = 2 V 6 => 4.90

Y

Y

11. Focos. F ( - V 3, 0). F ( V 3, 0) Longitud del eje mayor = 2N/7 = 5.29 Longitud del eje menor = 4 y

(o.vTi)-^:;

x2

y2

17. — + — = 1 64 28 25.

x2

y2

19. - —- + —— = 1 21. No pasa la prueba de la recta vertical. 100 170 '' 27. (2.201,4.403)

Respuestas

29.

x2

37- ^

y2 12

31. 77 + 7- = 1; elipse

(3.565, 1.589)

10

+ l ^ = 1;7-94Pics 39- (A) ^

33.

(-0.46, 2.57), (4.08, -1-.06)

+ - íi? = ‘

W

35.

(±3.64, ±9.50)

5 1 3 P¡es

Ejercicio 11-3 1.

Focos: F \ - V U . 0). F í V ñ . 0) Longitud del eje transversal = 6 Longitud del eje conjugado = 4

3.

Focos: F'(0. - \ / l 3 ) . F(0, V Í3 ) Longitud del eje transversal = 4 Longitud del eje conjugado = 6

5.

Focos: F ’(-V 2 0 , 0). F(V2Ó, 0) Longitud del eje transversal = 4 Longitud del eje conjugado = 8

Y

7.

13 21.

Focos: r (0, -5 ). F(0. 5) Longitud del eje transversal = 8 Longitud del eje conjugado = 6

Focos: F ( - \ / Í 0. 0), F(vTo, 0) Longitud del eje transversal = 4 Longitud del eje conjugado = 2 V 6 ■» 4.90

9.

= 1 17 ¿ - ¿ = 1 8! ' 81 40 x2 y2 (A) Un número infinito de; — - ------; = 1 (O < a < 1J

- - ¿ = 1 49 25

15

,9

144

a

l —a

'

J Í-£ l= i 151 49

(B) Un número infinito d e ; 27.

29.

(-3.266, 3.830), (3.266, 3.830)

31.

Jt2 y2 - - j = 1; hipért>o!a

y*

37. — —— = 1; 5.38 pies sobre el vértice 16 8

Focos: F \ 0, - VTT), F(0. V i l ) Longitud del eje transversal = 4 Longitud del eje conjugado = 2V/7 »■ 5.29

11.

33.

jc2

y2

cr

a - 1

+ - 5— - = 1 (a > 1)(C)Uno

(-1.389. 3.306), (6.722. 7.361)

(-4.73, 2.88). (3.35, -0.90)

35.

(±1.39, r2.96)

v = f v x2 + 302

39.

Ejercicio 1 1 -4 1. (A) *' = x - 3. /

= y - 5

x' = x + 7. y' = y - 4

3.

(A)

5.

(A) x' = x - 4. y' = y + 9

7.

(A)

x' = x + 8. y' = y + 3

11. (A) (,r * 5) + (> + ?) = I

+ y ” = 81 x ** v,J (B) — + ^ = 1

(B)

(O (C)

Circulo Elipse

(B) / * = 16x' (C) Parábola x '2 y,J (B) — + — = 1 (C) Elipse

12

(B)

Elipse

o

9.

(A)

(x - 3)J fv + 2)s J——------------—— 9 16

13. (A) (x + 6)1 = —24(>- - 4)

(B) Parábola

= 1(B)Hipérbola

-v- i

Kespuestas

(x - 2)2 (y - 2)2 15. --------- + ----- ----- -- 1; elipse

17.

(x + 4)2 = - 8(y — 2); parábola

y' y

y y’

19.

(x + 6)2 + (>• + 5)2 = 16; círculo

21.

(y ~ 3)2

(x + 4): 16

= '• h¡pérb0'a

—D , D2 - 4AF k = ' 4AE

23< h = ^

y- y

25. je2 - 4* + 4y - 16 = 0 27. x3 + 4>J + 4x + 24y + 24 = 0 29. 25.r3 + 9y: - 200x + 36y + 2 1 1 = 0 31. 4.x2 — y2 - 16* + 6y + 11 = 0 33. F '( - V 5 + 2. 2). f ( V 5 + 2. 2) 35. F (- 4, 0) 37. F '(-4 , -2 ). F (- 4. 8) 39. (1.18. 1.98). (6.85, -6.52) 41. (-1 .7 2 .-1 .8 7 ). (-0.99, 2.06) Ejercicio 11-5 1. y = -2 x - 2; línea recta

9.

r = 4.t. y a 0; parábola (mitad superior)

Y

17. y2 = x + 1, y a 0. x a —1; parábola (mitad superior)

y

3.

y = - 2 * - 2, je s 0;

5.

un rayo (parte de una línea recta)

13.

y = —|jr; línea recta

(x - 2)1 + (y - 3)2 = 4; círculo

elipse

At2 + Dt + F -£

7. y2 = 4.v; parábola

15. y = hipérbola

19. x = f, y = ------------ ------------, - « < f < »; p hipérbola (una rama)

23. y2 = —8(¿c - I), —l s » s l ¡ parte de una parábola

25. x3 + y2 = Ix. x * O o [x — l )2 + y2 — 1. x * 0; circulo (noie el orificio en el origen)

Y

27.

Y

(x + 3)2

(y + I)2

29.

= 1; hipérbola con centro ( - 3 . - 1 )

10

ro %

10

-10

to

-t o 33.

( v + 1)2 ix —4)* — —------------ — = 1; hipérbola con centro ( 4 .- 1 ) ;

35.

IT 3 1 T B x = 4 + 3 tan /. y = - 1 + 5 sec f. - — < r < — . f * —

-10 (x - 3); + (y + 4);

= 1; elipse con centro (3. -4 ); 49 4 ,v = 3 + 7 eos /, y = —4 + 2 sen /. 0 £ t s 2ir

10 10

-10

10

-10

-10 39.

(A) (4.8. -1.5) (B) r + y2 = 25; circulo

(A) 43.292s

B;

9.183.619 m; 9.184 km

(C)

2.295.918 m

Y

Ejercicio de repaso del capítulo 11 1.

Focos: F ( —4. 0). f(4. 0) (¡1-2) Longitud del eje mayor = 10 Longitud del eje menor = 6

(11-1)

2.

3.

Focos: F'(0. -V 3 4 ). F(0. V34) (11-3) Longitud del eje transversal = 6 Longitud del eje conjugado = 10

Y

1

6. (A)

(x - 6): 9

’’’

(y - 4)2 16

(B)

Hipérbola

(B)

Elipse

(11-4)

(11-4)

5. 7. f =

(A)

(x + 5)2 = -1 2 (y + 4) (12-1)

x2

y2

(B)

Parábola (11-4)

8. - + r r = 1 (i 2-2) 9 25

y2

9. 7T - T T = i y io

(J1-3)

10. y = |x + I. x £ 0; un rayo (parte de una linea recta)

(11-1. 11-2. 8-3)

12.

..

(x + 3)2 , (y - 2)1

.

(11-5)

(11-2, 8-3)

11.

(11-2, 8-3)

13.

(x + 3)2 9

(.x - 2)J = 8(y + 3); parábola (11-4)

,4- ~ r ~ + “ T6_ - 1elipse (11-4)

(y + 2)? 4

17.

19. (y - 4)3 = - 8(x - 4). o y* - 8v + 8x - 16 = 0

(11-1)

20. j -

= 1; hipérbola

“ + ” — 1; elipse (11-2) 22. f ' ( - 3 . - V Í 2 + 2). F (-3 . V Ï2 + 2) 36 20 24. F ( - > / Ï 3 - 3. -2 ), F(VT3 - 3. - 2 ) (11-4)

(11-4)

21.

25.

y = - , x > 0; hipérbola (una rama)

x

26. (2.09, 2.50), (3.67,-1.92)

(11-4)

23.

(11-3) F (2, - 1 )

f /M )

(11-5)

27. 4 pies (11-1)

Jt2 28. ^

V*

I

(11-2)

29. 4.72 pies de profundidad

(11-3)

I\C5fJUC3taj

M- I

Ejercicio de repaso acum ulativo de los capítulos 10 y 11 1. (A ) 2. (A )

Aritmético

(B ) Geométrico

(C )

Ninguno(D )

Geometrico

Aritmético (10-3)

(E )

1 0 .5 0 .2 5 0 .1 2 5 0 (B ) o, = 781 250 (C ) S, = 976 560 (10-3) 2 ,5 ,8 .1 1 (B ) a , = 23 ( O S , = 100 (10-3) 4. (A ) 1 0 0 .9 4 ,8 8 .8 2 40 320 (B ) 992 (O 84 (10-4) 6. (A ) 21 (B ) 21 (C ) 42

3. (A ) 5. (A ) 7. Focos: n-VóT, 0), F(Vòì. 0 ) (11-3) Longitud de los ejes transversales = 12 Longitud de los ejes conjugados = 1 0

10. Ocho resultados combinados:

12. y = 2x — I; linca recia

(B)

8.

Focos: F’(-vTF, 0). RvTÍ. 0) Longitud del eje mayor = 12 Longitud del eje menor = 10

2*2 -2 = 8

(10-5)

11.

(A )

(B )

o , = 58

(C) S„ = 632

(10-3)

(10-4.10-5)

(11-2)

4 • 3 • 2 • I = 24

9.

(11-1)

(B )

PtJ = 4! = 24 (10-5)

(11-5)

Y

P¿. 2a + 2 + 2 = 8 es divisible entro 2

P>: 1 + 5 + 9 = 3(5) (10-2)

P¡: 3! » 3 + 2 = 14 es divisible entre 2 /V 1 + 5+ 9 + • - • + (4* - 3) = *(2*~ 1) I + 5 + 9 + • • • + (4* - 3) + (4*+ I) = (* + 1X2* + 1) (¡0-2) 16. Pt: Ir + k + 2 = 2r para algún entero r P (* + I)J + (* + 1) + 2 = 2s para algún entero i (10-2) X3 V3 X* V3 17. >■ = -2i= ( / /- / ) 18. — + f r = 1 0 1-2) 25 1o 64

(10-2)

15.

6 / 1)4^12* 21- ^ \k ,1. -1+■1).

2Z

25. (X ~ 2) + - *g3) = 1; elipse

81 Í//-5 )

n- ^ 26.

1 296: 750 (J°-5>

(A) 6375600

19. — ~ ^ 7 = l

24- ” = 22

(B) 53130

(C) 53130

(10-4.10-5)

(11-3)20.I+ 4

(10-41 27. a* + 3a'h + y a '/r + â'b1 + jfa2/?'* + 32. fy (11-3) 33. a;, = 0.236; 8 términos (10-4) (y + 2)2 (a + I)2 34. (y - 2f = 4(a + 3); parábola (ll-l) hipérbola (11-3)

4

Y‘

16

28. 36.

Y

153 090-rV; -3 240r'y7 (10-4)

31. 61 875 (10-3)

(x ~ 2)2 t (y + 3)2

9 elipse

4

(11-2)

37. lO* = I OOO000 00«; 3 628 800 (10-5) 38. (-2 .2 6 .-4 .7 2 ). (1.85. 3.09) (11-4) 40. (10-4) 41. (x - 6)2 = —4(y - 2) o x2 - 12* + 4y + 28 = 0 42. ± 2V 3 (J1-2) 43. 8 (11-3) 44. C,., = 35 (10-5) 45. x + 4 = (y — l)2. y < 1 mitad interior de una parábola (excluyendo al vértice) ( 11-5)

V - 12Í.V5- 60* + 160/.r‘ + 240at- I92¿a- 64

( ll-l)

Y

48.

a2 - Sv2 - 2x - 8v + 17 = 0; hipérbola

APENDICE A

I. 19. 33. 45. 49. 51. 53.

(11-3)

49.

S6 000 000 (10-3)

50.

4 pulg (11-1)

51. 32 pies, 14.4 pies (11-2)

Ejercicio A-1

V 3. F 5. F 7. V 9. 7 + x 11. (xy)z 13. 9m 15. Conmutativa (•) 17. Distributiva 21. Inversa ( + ) 23. Identidad ( + ) 25. Negativos 27. ( - 2 , 0 ,2 .4 ) 29. {a, s, t, u) 31. 0 Inversa (•) Conmutativa (+ ) 35. Asociativa ( + ) 37. Distributiva 39. Cero (B) F (C) 41. Si 43. | y —1.43 son dos ejemplos de un número infinito 47. (A) Z. Q. R (D) Q. R (B) Q. R (C) R (A) 0.888 888 88 • • ■ (B) 0.272 727 27 •• • (D) (B) es falso, ya que, por ejemplo. —3 * 3 (D) es falso, ya que, por ejemplo, (A) { 1 .2 .3 .4 ,6 } (B) 12.4) 55. £ 57.

(A)

5

5

V

(C) 2.23606797■ •• 1.37500000• 9+ 3*3+ 9 23 23•12= 23(2+ 10) x12 = 23-2+23-10 46 = 46+230 230 = 276 276

Ejercicio A-2

1. 13. 25. 35. 45. 55. 63. 67.

3 3. 2r'-

2x>

7. 6a4 - 13a-' + 9a2 + 13a - 10 9. 4a - 6 11. óy2 - 16y .v2 + 2x + 4 5. - 5a- + 6 19. 4m2 - 49 21. 30,r - 2Ay - 12y2 23. m2 - n2 15. 4t* - 11; + 6 17. 3a2 - Ixy - 6y: 16a2 - 8av + y 3 27. a3 + b> 29. - x + 31. 32a - 34 33. 2a4 - 5 r' + 5 r + 11a - 10 41. 8m' - 12m:n + 6mrr - n ’ 43. 5h 39. 2m2 + 15mn h4 + Irle2 + * 4 37. - 5 a 2 - 4.v + 5 47. -4xh — 3/i — 2lr 49. 3x2h + 3ah2 + hf 51. m5 - 3m2 - 5 53. 2x’ - 13a2 + 25a - 18 6 hx + 2h + 3/r 57. (I + 1): * l 2 + I2; cualquier u o /> debe ser cero 59. m61. Ahora el grado es menor que o igual a ni 9.r’ - 9.v2 - 18.v

9.r:- 4r

27

Perímetro = 2v + 2(x - 5) = 4a - 1065. Valor = 5a + 10(a - 5) + 25(x - 3) = 40.t - 125 Volumen = jtt(a + 0.3)' — |w.r’ = 1.2UA2 + 0.36ir.r + 0.036ir Ejercicio A-B

2v’ (3.v'— 4.v- I) 3. S .ry d r 4.vy 3y2) 5. (5a - 3)(a 1) (2 l)(3m+ 5) 13. (2x - 3y)(.v - 2y) 15. (4a - )b)(2c - tí) 23. (5 m - 4»i)(5m + 4 n) y(4x- l )2 35. (3j + 3/) 37. xy(x - 3v)(a + 3y) 39.

1. II. m 21. Primo 33.

+

i)(2 s

-

+

7.

(2 w

17.

- x)(y - 2z)

9. (a + 3)1a - 2) 19. (a - 6y)(.t + 2y) 25. (a + 5v)227.Primo29.6(x+ 2)(a+ 6)31 41. (m + n)(m2 — mn + n2)

(2a - 1)(a + 3)

3m(m2 - 2m + 5)

Kespuestas 43. (c - 1)(c~ + c + 1) 51. [(a - b) - 2(c - d)][(a 59. (a — 2 )(a + l)(a — 1) 67. (m + n)(m + n — 1) 73. (A) 4(10 - x)(10 + x)

A - 14/

^

2(3* - 5)(2x - 3)0 2x - 19) 47. 9x'(9 - x)3(5 - x) 49. 2(x + l)(r - 5)<3x + 5)(x - 1) - b) + 2
45.

= 400 - 4 r

(B) 4*10 - x)2 = 4(X).v - BO.r + 4.r'

Ejercicio A-4

a

1. £ 3. 22v + 9 2 ‘ 252 ,7 _ J _ 19 * ± 1 >•+3 x

(A)

'

33. 4 z £ ± 1 2(x - 9)

3 I. J L ^ L xyfa - b) 45.

_ x2 + 8 1 5. 7. _ L1 _ JL ' 8xr’ ‘ 2x - 1 ' m 21 4(t + lMx - l » r - 2 r ^

Incorrecto

53. Z É 1 ± H

(Bl x + 1

55.

>’

„.

'

47.

(A)

37. - L x- 4

Incorrecto

B

- 6m + 7 13. -------15. m- 2 x- 3 (x + D(x - 9) ^ y +3 ’ (x + 4)4 ‘ (y - 2)(.v + 7)

(a + b)2(a - b)

x(2 + 3x) (1 - 3x)4

xs 35. Í I Z 2 > 1 ‘ y2(x

2a -----------------

39. 2x + h

^ x- 1 49.

41. - = L ’ x(x + h) (A) Incorrecto

2<)

43. **+ * + *X + “ (x + /i + 2)(x + 2) x2 x* -—2 51. (A) Correcto (B) 1----- — x+ 1

^

a Ejercicio A-5

I. I 3. 6x" 5. W / 7. a,b,i/{c‘dt) 9. I0f II. 2x;.v13. ir 15. 4 X 10' 17. 3.225 X |0 r 19. 8.5X 10--’ 21. 7.29 X 10“* 23. 0.005 25. 26900000 27. ()000 000000 59 29. 3 //2 31. 33. 4 x 7 / 35. ir'-’/(trV ) 37. I/(x + y): 39. xtix - , 41. -1 ixyt 43. -9*-7(x' + 3 )4 45. 64 49. 2 .V - 6 .Í 1 51. ; X - f . r : 53. X ~ l+ j x ' 1 55. 61. -4.3647 X 10 '“ 63. 9.4697 X I02" 65.' 2(0 + 2 / 73. I0"'o 10 miles de millones; 6 x 10" o 600 miles de millono

~ -r • 57.I.5 4 X I0 1259.1.0295X 1 fc7. .- - ... - >-> ix.v) 69. (y - x)/y 71. 1.3 X 10» Ib *5 — ■ ciliares por persona; SI 440 por persona

Ejercicio A-6 I. 21. 35. 47. 55. 63.

4 3. 64 5. - 6 7. No es un número real 9. 11. 13. y*5 15. d,n 17. Ilym 19. 2x/r 1Hautb'n) 23. xy-72 25. 267(3a2) 27. 2J(3xln:7 29. a' ir 31. 6m - 2m'w 33. a - a'r-b'ri - bb 4x - 9y 37. x + 4x'ny'n + 4y 39. 29.52 41. 0.030 93 -O. 5 421 45. 107.6 x = >■ = I es una de muchas opciones 49. x = y = le su n « d e m u c h « í». r> 51. 3 - jx' 1'3 53. |x 'n + |x ~'n jx3'3 - 2 tl/6 57. a'"'bUm 59. l/(r'"yto) 61. (A) x = - 2 . r- - - n r r kí B> x = 2, por ejemplo (Cl No es posible Ño 65. (x - 3)/(2> - l)w 67. (4x - 3)/(3x - Ií*’’ 69. 1.920 : 7!. 428 pies Ejercicio A-7

1. V ;n" o (K m)2 (primer preferido) 3. 6 ^ 7 (no \^6? ) 5. ^ (4x7? 7. \ x - y 9. blf} 11. 5.r'-‘ 13. (2 x2y),n 15. xm + ym 17. - 2 19. 3x‘f 21. 2mn: 23. 2air\ 2 ^ 25. 2 2 7 . 31. 3x'C/3 33. V5/5 35. 2V3x 37. 2V 2 + 2 39. V 3 - \ 2 41. 3 4 3 . n\4 2^ 45. V a \b - a) 47. 'tyTb 49. x2y 'fá x ? 51. En forma ,implif>£3cl3 53. V 5 /2 o JV 5 55. 2a2b< 4
iíO

83.

Todos los números reales

- V y - v;)[n + y - :> + 2vÁyl (x + y - í )5 - 4x>—f '/*íl — ^n/n _

85.

(A) y (E). (B) y (F). iC) y (Di.

87.

V a 1 + 'ia b + 'Ülr a- b

-

i V(x + h? + Vx(x + h) + Vx^

Ejercicio de repaso del apéndice A 1. 3. 7. 12. 16. 21.

(A) V (B) V (C) F (D) V x3 + 3X2 + 5x - 2 (A-2) 4. x5 1 (A-2) 8. \4x2 - 30x (A-2) (3x ~ 2J! (A-J) 13. Primo! (A-i) (7x - 4)/[6.t(x - 4)] 7a 7 ) 17. (y 6 X 10: (A-5) 22. x6/ / IA-5)

(E) F (F) F (A-l) 2. (A) (y + z)x (B) (2 + x) + y (C) 2r + 3x (A-I) 3.^ - 3x + 22 (A-2) 5. 3x* + x4 - 8,r’ + 24X2 + 8x - 64 (A-2) 6. 3 (A-2) 9. 9m: - 25rr (A-2) 10. 6r - 5xy - 4y= (A-2) 11. 4a5 - I2a¿ + 9b: (A-2) 14. 3n(2n - 5Xn + I) (A-3) 15. (12a'fc - 40b; - 5a)/(30aV) (A-4) + 2V[y(v - 2)) (A-4) 18. u (A-4) 19. dr'y15 (A-5) 20. 3h7^ (A-5) 23. u70 (A-6) 24. 3a-Ib (A-6) 25. 3 ^ ? (A-7) 26. -3(.iy)2'5 (A-7)

V

A- i 4 8

Kespuestas

l.Sy'Z/?}- (A-7) 28. 6* V V *y (A-7) 29. 2 iV 3 a (4-7) 30. (3V5 + 5)/4 (4-7) 31. V ? (A-7) ( —3 , —1,1) (A-l) 33. Sustracción (A-l) 34. Conmutativa (+ ) (A-l) 35. Distributiva (A-l) Asociativa (•) (A-l) 37. Negativos (A-l) 38. Identidad (+ ) (A-l) 39. (A) V (B) F (A-l) 0 y —3 son dos ejemplos de un número infinito. (A-I) 41. (A) (a) y (d) (B) Ninguno (A-2) 42. 4rv - ly2 (A-2) m* - 6m2n2 + nÁ (A-2) 44. \0xh + 5h2 - 7 h (A-2) 45. 2xi - 4x2 + I2x (A-2) 46. j 3 - 6*\v + llry* - 8/ (A-2) (* — y)(7* — y) (A-3) 48. Primo (A-3) 49. 3xy(2x2 + 4*y - 5y2) (A-3) 50. (y - b)(y — b - 1) (A-3) (x —4)(* + 51. 3(* + 2y)(x2 - Ixy + 4 / ) (A-3) 52. (y - 2)(y + 2 f (A-3) 53. x(x - 4)J(5x - 8) (A-3) 54. 5------- p ------ -- (A-4)

27. 32. 36. 40. 43. 47.

55. 2ml\(m + 2)(m - 2)J] (A-4) 56. y /x (A-4) 57. (x - y)/(x + y) (A-4) 58. ~ab/(a2 + rh + b2) (A-4) 59. Incorrecto, la forma correcta final es (x2 + 2x - 2)/(x — 1) (A-4) 60. j (A-5) 61. § (A-5) 62. 3^/(2 y2) (A-6) 63. 27o'*/¿>1'3 (A-6) 64. x + 2x'ay'n + y (A-6) 65. 6* + lx my''2 - 3y (A-6) 66. 2 X 10' 7 (A-5) 67. 3.213 X 10“ (A-5) 68. 4.434 X I 0 -5 (A-5) 69. -4.541 X 10 '■ (A-5) 70. 128 800 (A-6) 71. 0.01507 (A-6) 72. 0.3664 (A-7) 73. 1.640 (A-7) 74. 0.08726 (A-6) 75. - 6 * V ^ 5 ? y (A-7) 76. * ^ 2 ? (4-7) 77. VT2?7/(2*) (4-7) 78. yV 5?y (4-7) 79. V i ? (4-7) 80. 2* - 3V Iy - 5y (4-7) 81. (6.t + 3Vxy)/(4x - y) (4-7) 82. (4u - 12Vüv + 9v)/(4u - 9v) (4-7) 83. V y 2 + 4 + 2 (4-7) 84. \l(V t + V 5) (4-7) 85. 2 - | r - |n (4-7) 86. racional (4-/) 87. (A) |- 4 , - 3 , 0 . 2 ) (B) ( - 3 . 2 ) (A-l) 88. 0 (4-7) 89. x 1 + &r - 6* + 1 (A-2) 90. x(2a + 3* - 4)(2a — 3* - 4) (A-3) 91. Los tres tienen el mismo valor. (A-7) 92. f(* - 2)(x + 3)' (4-5) 93. a V fla ’ + b') (A-5) 94. x - y (A-6) 95. *"-■ (A-6) 96. (1 + - x) (A-7) 97. l / ( ^ r + ■'3/5í + >J/25) (4-7) 98. *■*' (A-7) 99. Volumen = 3t7(* + 2)2 - 3ttx2 = 12-irx ■+ 12-n pies' (4-2) 100. 9.60 X 10' = 9 600 kg/persona (4-5) 101. (A) 24 000 unidades (B) La producción se duplica a 48 000 unidades (C)En cualquier nivel de producción, se duplican las unidades de capital y las horas de mano de obra duplican la producción. (4-6) 102.

R=

R' p f i p 'p (A-4) RjR, + R,R} + R¡R,

103. (A) 4 = 480 - dx2 = 6(80 - *-’)

(B)

V = *(16 - 2*)(15 - 1.5*) = 240* - 54*-' + 3*J (4-.?)

ÍNDICE DE APLICACIONES Abastecimiento y demanda, 22. 26, 72. 80. 209 Acertijo. 17. 72.603. 616. 657. 752, 753 Administración de la fauna. 304. 332. 336 Afelio. 555, 579 Agricultura, 646 Análisis armónico, 403 Análisis de costos. 95, 390, 672 Análisis de equilibrio. 23. 25. 36. 85, 95. 206.209 Análisis de ingresos. 130, 713. 714 Análisis de inversión, 603.689 Análisis de pérdidas y utilidades, 83. 89. 95, 209 Análisis de ventas. 129 Análisis depredador-presa. 440 Arqueología. 296, 331. 332 Arquitectura, 72, 114, 146. 206. 279, 387, 810, 837 Arquitectura naval, 799 Astronomía, 331,365, 366. 390. 448. 496. 515,555.579,583. 752, 787 Biología, A-51 Biología marina, 302, 332. 336 Brújula para la navegación. 525 Buscadores radiactivos, 293 Búsqueda y rescate, 523 Cadena alimenticia. 752 Cantidad de equilibrio. 23 Carcaza de un proyectil. 825 Cargos por entrega. 164, 603, 604 Cargos por instalación. 129 Cargos por renta. 156 Cargos por servicio. 164 Cargos por teléfono, 164 Carreras en veleros. 550, 555 Cascarón cilindrico. A-21 Catenaria, 304, 325 Células leucémicas. 752 Cicloide, 825 Ciclos de negocios por temporada. 449 Ciencia de la computación. A-51. 164. 206. 210 Ciencias de la Tierra, A-51, 15, 26, 36, 302. 365 Ciencias del espacio. 302, 322. 523. 524. 788.810. 835 Ciencias naturales. 514 Circuitos eléctricos. A-72. 36,417, 418, 496, 503, 583, 693 Cirugía de ojos, 496,497. 515 Clima. 146 Cociente de inteligencia (IQ), 36 Comercialización, 89

Comisiones por ventas. 15. 164. 205. 663 Comité de selección. 768. 772 Compras. 613. 650. 722 Comunicaciones, 835 Concentración de drogas. 89 Condicione» de vuelo, 130 Conducción de calor, 651 Construcción. A-32, A -72. 72, 73. 80. 114. 115. 146. 1 6 4 .2 0 6 .2 1 0 . 238. 246.249. 265. 279, 626 Contaminación. 418, 650 Corriente alterna. 448 Costos fijos. 23 Costos operecionales, 147 Costos por mano de obra. 668. 672. 7 19 Crecimiento de bacterias. 292, 296. 752 Crecimiento de dinero. 302. 303. 335 Crecimiento de la población. 292. 302, 335, 338. 751 Criptografía. 682.684. 719 Curva de aprendizaje, 303 Decaimiento radiactivo. 288. 293 Decibel. 316 Demandas. 205 Demografía. 131 Deportes. 4 T9 Depreciación. 130. 164, 205 Detección del sonido. 16. 26 Dieta. 2 0 . 5 9 3 . 65 i . 6 5 7 .6 9 4 . 722 Diseño. 8 0 .9 5 . 9 6 ,6 2 1 . 626. 798 Distancia de trenado. A-57 Doctrina multiplicado«, 749, 751 Duplicación de nempo. 2 8 6 .2 9 2 . 293. 3 3 1 Ecología. 322 Economía. A -51, A -5 7 , A -72. 15, 36. 72. 7 4 9 .7 5 1 .8 3 7

Ecuación de Cobb y Douglas. A 57 Ecuación de Molhveide, 514 Embarque. 2 0 9 ,3 3 8 Empaques. A -22. A -2 3, 238 Enetgia solar. 382 Energia. A -72. 36 Entrenamiento a empleados. 264. 304, 332 Equilibrio estático, 537, 540, 5 4 1 .5 7 9 Escala de Richter, 318 Estadística. 46 Estrategia de Martingale, 292 Evaporación, 181 Excentricidad, 555, 569, 809 Exploración, 389. 470. 512. 514, 5 15. 5 16. 522, 523

Fabricación. 80. 146, 238, 249, 279. 639. 722

Familia de curvas. 180, 181 Fechado con carbono 14. 296. 331. 332, 335 Finanzas. 25. 36. 209, 293. 721. 751 Física. A-66, 26. 72. 89, 114. 130. 146. 165. 382.390.418, 752 Fisiología, 264 Flete aéreo, 673 * Flujo de fluidos. 181 Flujo del tráfico. 652 Fotografía, 303. 332. 366. 438.439. 753 Fuegos artificiales, 514 Función de costos. 145. 198 Función de densidad probabilistica normal. 301 Función de ganancia. 198 Función de ingresos. 198 Genealogía. 752 Geoestacionario, 524 Geometría analítica. 470.497. 523. 554 Guardacostas, 514 Horas del ocaso, 418 Impuesto por ingresos, A-51 Ingeniería, 72, 114, 363, 365. 366. 382. 389. 390.418, 439. 503,515. 523. 579. 583. 752. 787. 798. 835. 837 Ingeniería aeronáutica, 798 Ingreso de renta, 164 Insecticidas, 293 Intensidad de la luz. 302 Intensidad del sonido. 317. 322, 336. 338 Interés compuesto. 71. 289. 290. 293.322. 324,331,338, 751 Interés compuesto continuo. 299 Interpolación de polinomios. 274 Inventario de valores, 672 Investigación de mercado. 180. 206 Investigación sobre seguridad, 89 Juegos de azar. 292 Kilometraje de llantas. 163 Ley de Hooke. 130, 164 Ley de Newton del enfriamiento. 303, 332 Leyes de Kirchhofl', 693 Lluvia acida, 322 Localización de las fuentes, 604. 639. 650. 657.693,719 Masa relativa mística, A-66 Medicina, 89, 131,296,304, 335,418

inaice ae aplicaciones

sdicina deportiva, 95 tteorología, 583 ;todo de mínimos cuadrados. Ic>8 jthación. 16. 17 jvimiento. 427, 439 jvimiento armónico simple. 403 ¡miento de un proyectil. 824. 828 isica. 16.485, 503. 752 ¡vegación. 72, 130. 523. 530. 550, 578, 583 .vegación costera, 578 gocios. 15.25,36. 47.71.657. 751. «1 de ozono, 101 tel de pH. 322 imina. 16 meros de serie. 770 ilición. 26, 95. 603. 617. 639. 673 trición animal. 657 eanografia, 131 tica. 496 bitas planetarias. 570 idulo, A-66, 114 ihelio. 555, 579 neación de la producción. 617, 634, 640. 665. 693 Jita de nutrición. 639, 651 ilación mundial. 302. 331 itica. 673 iticas de ganancia. 122. 130, 672 encia nuclear, 810 ció de equilibrio. 23

Precio de mavoreo, 15 Precio y abastecimiento. 113 Precio y demanda. 113. 198.209 Precios. 15.205. 209 Premio en dinero, 745 Presión atmosférica. 129. 302. 324, 753 Problemas con mezclas. 12, 16 Problemas con monedas. A-22 Problemas de cantidad rapidez y tiempo. 9. I I . 16. 69 Problemas de distancia, rapidez y tiempo, 9, 10,25, 68. 95 Problemas de rapidez y tiempo. 9, 16. 95. 209 Proceso adiabático. 752 Producción. 25 Producción de automóviles. 163 Producto nacional bruto (PNB). A-51 Pruebas generadas en computadora, 763 Psicología. 16, 36. 639. 650 Publicidad 303. 332 Química, 16. 25. 33. 47, 95. 209. 322, 603, 616,6)7 Radiotelescopio. 788. 811. 835 Reflector parabólico. 785, 787. 788 Refracción de la luz. 470 Regresión lineal. 198 Reloj atómico. A-49 Renta de autos, 129. 164 Resorte estirado, 164 Retención. 264 Riesgo coronario. 131

Seguridad aérea, 389, 390 Seguridad social, 36 SIDA epidémica. 303 Sistema masa-resorte. 114. 417.499 Sociología, 617, 639. 651 Tasa de interés. 289 Técnica de captura, marca y recaptura. 16 Temperatura del aire. 113, 114. 129, 752 Tensión en el cable. 537 Teoría del aprendizaje, 264 Terremotos. 16. 26. 318, 3 19, 322. 328, 335. 336. 338

magnitud de. 318 Tiempo de sustitución. 264 Transportación. 72, 627. 650, 776 Valor futuro, 290 Valor presente, 290, 303, 335 Variación de la temperatura. 4 18, 449, 583 Velocidad actual, 525 Velocidad aparente. 525 Velocidad del aire, 16, 21. 25. 130 Velocidad en el suelo, 15 Vida media. 288, 293 Volumen de un cascarón cilindrico. A-20 Vuelo de un cohete, 320. 322 Zona fótica. 302

ÍNDICE ANALÍTICO Abastecimiento y demanda. 22. 26. 72. 80, 209 Abscisa, 99 Acceso restringido. 448 Acertijos. 17. 72. 603. 616, 657, 752. 753 Administrador de la fauna. 304, 332, 336 Afelio, 555, 579 Agricultura, 646 Aire: seguridad en el. 389, 390 temperatura del. 113, 114, 129, 752 Amplitud, 403 Análisis armónico, 403 Análisis de costos. 95, 390. 672 Análisis de equilibrio. 23. 25, 36. 85. 95. 206, 209 Análisis de ingresos. 130. 713. 714 Análisis de inversión, 603, 689 Análisis de pérdidas y utilidades, 83. 89. 95. 209 Análisis de ventas. 129 Análisis depredador-presa. 440 Ángulo agudo, 358 Ángulo de cuadrante, 358 Ángulo de referencia, 374 Ángulo obtuso. 358 Ángulo recto, 358 Ángulos complementarios. 359 Ángulos suplementarios. 359 Ángulos: agudos. 358 complementarios. 359 coterminales, 358 cuadrante, 358 definición de, 357 de lado inicial. 357 de lado terminal. 357 vértice. 357 de inclinación, 383 especial (30°. 60°. 45°), 376 grados de medición de. 358 en minutos y segundos. 359 medidas de conversión de. 362 negativo, 357 obtuso, 358 posición estándar de. 358 positivo, 357 radián medida de. 360 recto, 358 suplementario. 359 Aplicaciones, estrategia para resolver. 5. 66 Aproximación gráfica de raices, 243 Argumentos de un número complejo. 557 Arqueología, 296. 331. 332 . Arquitectura, 72. 114. 146. 206. 279. 387, 810, 837

Arquitectura naval. 799 Asignación de recursos. 604, 639, 650. 657. 693.719 Asíntota oblicua. 260 Asíntota vertical. 254, 396 Asintotas: honzontal. 254 hipérbola. 253. 802 oblicua. 260 vertical. 254. 396 Astronomía. 331. 365. 366. 390, 448, 496. 5 i 5. 555,579, 583. 752. 787 Bínomial. A -14 Biología. A-51 Biología marina. 302, 332. 336 Brújula de asvecación. 525 Búsqueda > rescate. 523 Cadena alimenticia. '5 2 Cantidad de equilibrio. 23 Carcaza de un proyectil. 825 Cargos por entrega. 164,603. 604 Cargos por insolación. 129 Cargos por re n ti 156 Cargos por servicio, 164 Cargos por teiétooo. 164 Carreras de botes. 550,555 Cascarón ciIükítco. A-21 Caso de estadio. 359. 4^0.512. 514, 515, 516,522. 523 Catenaria. 304. 325 Células leucémicas. 752 Cero: como número complejo. 5 1 matriz. 661 propiedades de, A-8. 59 vector. 524.532 Cicloide. 825 Ciclos en negocios por temporada. 449 Ciencia de la computación, A-51. 164. 206.

210 Ciencia espacial. 302. 322. 523. 524. 788. 810.835 Ciencia natural. 514 Ciencias de la Tierra. A-51. 15. 26. 36. 302. 365 Circuitos eléctricos. A-72, 3 6 ,4 17. 4 18. 496. 503, 583. 693 Circulo(s): centro de, 108 definición de, 108, 778 ecuaciones de. 108 radio de, 108 unidad, 340 unitario. 340

Cirugía de ojos. 496.497. 5 15 Clima. 146 Cociente. 217 de funciones. 166 identidades, 352 Cociente de inteligencia (IQ en inglés). 36 Coeficiente. A -14, 586 de extinción. 302 Cofactor (determinantes). 696 Cofunción, 465 identidades para, 465 Combinaciones. 767 Comisiones por ventas. 15. 164, 205, 663 Comité de selección. 768. 772 Completando el cuadrado. 62 Compras. 6 13. 650. 722 Común denominador. A-37 mínimo común denominador (MCD). A-37 Comunicaciones. 835 Concentración de drogas. 89 Condiciones de vuelo. 130 Conducción de calor, 6 5 1 Conjetura de Goldbach. 738 Conjugado (número complejo). 48 Conjunto de reemplazo. A-3. 2 Conjunto finito, A-2 Conjunto infinito. A-2 Conjunto solución. 3. 18. 30. 99. 586 Conjunto vacio, A-2 Conjuntos: definición de. A-2 elemento de, A-2 finitos. A-2 iguales. A-3 infinitos. A-2 intersección de. 29 notación para: método de listado de. A-2 regla para el método de. A-2 nulo. A-2 subconjunto de. A-3 unión de. 29 vacíos, A-2 Constante. A-3 Construcción. A-32. A-72. 72. 73. 80, 114, 115. 146. 164. 206.210, 238. 246.249. 265. 279. 626 Contaminación. 418. 650 Contracción (graficación). 174 Contraejemplo. 733 Coordenada(s). A-4. 99 ejes, 99 polar. 541 recia real. A-4 sistema cartesiano de. 99

índice analítico

'oordenada x, 99 loordenada y, 99 ‘orrida, 68

"órnente alterna, 448 Costos: fijos. 23 variables. 23 Costos fijos, 23 Costos operacionales, 147 Costos por mano de obra, 668, 672, 719 Costos variables, 23 'recimiento de bacterias, 292, 296. 752 'recimiento de dinero. 302, 303, 335 Crecimiento de la población, 292. 302, 335. 338, 751 Criba de Eratóstenes, A-24 Criptografía, 682. 684, 719 Cuadrado perfecto, A-29 Cuadrante. 98 Cuerda focal, 828 Curva de aprendizaje. 303 Curva plana, 821 decaimiento radiactivo. 288. 293 decibcl, 316 nivel, 317 dccodificando una matriz, 682 demanda, 205 Demografía, 131 denominador, A-9 deportes, 479 medicina, 95 depreciación, 130, 164. 205 descomposición de fuerzas, 530 [desigualdad del triángulo, 46 [desigualdad racional: definición de. 86 forma estándar, 86 signo sobre la recta real, 86 Desigualdades: conjunto solución de. 30 (véase también Relación de desigualdad) equivalentes, 30 lineales, dos variables: graficación de, 627 semiplanos. 627 lineales, una variable, 30 polinomiales. 83 forma estándar de, 81 racional. 86 forma estándar de. 86 solución de. 30 y notación de intervalos. 28 y valor absoluto, 39 Desviación estándar, 301 Determinantes: coeficiente. 710-711 de orden n, 694 de orden superior, 698 de tercer orden. 695 diagonal principal de. 695 diagonal secundaria de. 695 propiedades de, 706 segundo orden, 694 y cofactor, 696

y desarrollo diagonal, 701 y menores, 695 y polinomio característico, 701 y regla de Cramer. 710-711 y valores propios, 701 Diagrama de árbol. 762 Dieta. 20. 593, 651, 657. 694. 722 Diferencia: cociente. 141 de cuadrados, A-20 de cubos. A-29 identidades, 465 Digitos significativos. 47, A-73 Discriminante. 66 Diseño. 80, 95, 96. 621. 626. 798 Dispositivo de graficación. 100 e interpolación de polinomios. 275 y aproximación de raíces. 243 y división sintética. 245 y gráficas polares. 549 y sistemas lineales, 590 Distancia de frenado. A-57 Distancia: fórmula para, 107 recta real, 38 sistema coordenado cartesiano y. 107 División: algoritmo, 217 de expresiones racionales. A-35 de fracciones. A-10 de funciones. 166 de números complejos, 561 de números reales. A-7 larga algebraica, 216 sintético, 216 División algebraica larga. 214 División sintética. 216 y un dispositivo de graficación. 245 Divisor. 217 Doctrina multiplicadora. 749. 751 Dominio, 2, 132. 133 e, 294 Ecología. 322 Economía. A-51, A-57. A-72, 15. 36. 72, 749, 751.837 Ecuación algebraica. 2 Ecuación condicional. 3, 485 Ecuación de Cobb y Douglas, A-57 Ecuación de Mollweide. 514 Ecuación de primer grado (véase Ecuaciones lineales) Ecuaciones: algebraicas. 2 condicionales, 3.485 conjunto solución de. 3. 18. 99 cuadráticas, 58 de primer grado. 4 equivalentes, 3 exponenciales, 323 gráfica de. 100 identidad. 3 línea recia. 115 lineales. 4 logarítmicas, 323

matriz, 685 operación al cuadrado de, 74 paramétricas. 821 polinomiales. 213 propiedades de. 42 que implican exponentes racionales. 76 que implican radicales, 73 raíces de. 3, 59.213 reemplazando un conjunto, A-3. 2 solución extraña de. 74. 619 solución particular de. 592 trigonométricas. 485-494 y valor absoluto. 39 Ecuaciones cuadráticas, 358 forma estándar de, 58 solución de: al completar el cuadrado. 62 por factor, factorización, 59 por la fórmula cuadrática. 65 por raíz cuadrada. 60 Ecuaciones de segundo grado (véase Ecuaciones cuadráticas) Ecuaciones estándar de cónicas trasladadas. 814 Ecuaciones lineales: con dos variables, 17, 115 con una variable, 4 forma estándar de, 4. 115 graficación de. 115 resolución,4 Ecuaciones paramétricas. 821 Eje horizontal, 98 Eje imaginario, 556 Eje real. 556 Eje venical, 98 Eje *, 98 Eje y, 98 Elemento de un conjunto. A-2 Elevación, 117 Eliminación Gauss-Jordan, 608 Elipse: aplicaciones de, 796 centro de, 789 definición de. 778,788 dibujo de, 789 ecuaciones estándar de, 792 eje mayor de. 788 eje menor de, 788 excentricidad de, 809 focos de. 788 gráfica de. 106. 793 vértice de, 789 Empaque. A-22, A-23.238 Energía solar, 382 Energía. A-72, 36 Entero(s), A-4 exponente, A-43 Entrenamiento a empleados. 264, 304, 332 Equilibrio estático, 537, 540, 541. 579 Equivalente desigualdades, 30 ecuaciones. 3 sistemas de. 17, 591 Escala Richter. 318 Escalar. 524

iiiuilc onaiiut-u

Espira! de Arquímedes. 549 Estadística, 46 Estiramiento de un resorte. 164 Estrategia de Martingale, 292 Evaporación, 181 Excentricidad, 555. 569. 809 Expansión (gráfica). 174 Exponente: cero, A-43 de enteros negativos, A-43 de un número natural. A-l 2 definición recursiva de un. 736 entero, A-43 propiedades de A-44, A-45, A-54 racional. A-53 y notación científica, A-47 Expresión algebraica. A-13 Expresión racional, A-33 división, A-35 multiplicación. A-35 reducida a términos más bajos. A-34 resta, A-36 signo sobre la recta real, 86 suma. A-36 / W . 139 Fabricación. 80. 146, 238, 249.279,639. 722 Factor. A-23 de manera completa, A-24 de racionalización, A-63 teorema. 226 Factorial, 753 Factorización. A-23 anidada. 225 cuadrado perfecto. A-29 diferencia de cuadrados, A-29 diferencia de cubos. A-29 fórmulas especiales para. A-29 suma de cubos. A-29 y agrupación. A-26 y factores comunes. A-26 y polinomios de segundo grado, A-27 Familia de curvas. 180, 181 Fase de deslizamiento. 409 Fechado con carbono 14, 296, 331,332, 335 Finanzas. 25. 36.209. 293, 721, 751 Física. A-66. 26. 72, 89, 114, 130. 146. 165. 382. 390.418. 752 Fisiología, 264 Flete aéreo, 673 Flujo de fluidos, 181 Flujo del tráfico. 652 Forma cuadrática. 77 Forma del radical simplificado, A-60 Forma pendiente-intersección, 120 Forma punto-pendiente, 121 Fórmula binomiat, 757 Fórmula cuadrática, 65 discriminante, 66 Fórmula de punto medio, 113 Fórmula de recursión, 726 Fórmula para el cambio de base (logaritmos), 329

Fórmula reducida. 605 Fotografía. 303. 332. 366. 438. 439. 753 Fracción compuesta, .4-38 Fracción parcial. 265 descomposición. 267 Fracción propia. 266 Fracción simple. A-39 Fracciones. A-9 compuestas. A-38 denominador de. A-9 división de. A-10 elevando a términos superiores. A-33 minnno común denominador (MCD) de. A-37 multiplicación de. A-10 numerador de, A-9 propiedad fundamental de. A-33 pravedades de números reales de. A-10 reducción a términos inferiores. A-33 resta de. A-I0 simples. A-39 suma de. A-10 y expresiones racionales. A-33 Fuegos pirotécnicos. 514 Fuerza resultaste. 527,530 Función constante. 150 Función continua, 157 Función de costos. 145. 198 Función de densidad probabilistica normal. 301 Función de ganancia. 198 Función de ingresos, 198 Función decreciente, 149 Función definida por partes, 156 Función discontinua. 158 Función entera mas grande. 158 Funoor. envolvente. 340 Fudchxí incremento. 149 Función polmomial: coeficientes de, 213 compîamiento a la izquierda y derecha, 220 cuadranca. 152 de primer grado. 150 definición de. 213 factorización anidada de. 225 graficación de. 217,221 igualdad de. 266 interpolación. 274 limite inferior de las raíces de. 240 limite superior de las raíces de. 240 limites de raíces reales, 2 4 1 multiplicidad (de raíces), 228 raiz de. 213 reducida, 233 solución de. 213 término principal, 219 y raíces racionales:

estrategia para encontrar. 233 teorema, 231 y raíces reales: aproximaciones con dispositivo de graficación de, 243 método de bisección para. 242

1--1

y grado impar. 230 y teorema de factorización. 226 y teorema de Jas raíces imaginarías, 230 y teorema de localización. 239 y teorema de n raíces. 228 y teorema del factor lineal y cuadrático, 267 y teorema del residuo. 218 y teorema fundamental del álgebra. 227 Función(es) racional(es): asíntotas de. 254 definición de. 250 discontinuidades de, 250 dominio de. 250 fracción parcial. 265 descomposición. 267 fracciones propias, 266 graficación de, 256 Función uno a uno. 183 Funciones: aumento. 149 circulares. 348 cociente de. 166 compuestas. 168 conjunto definición de. 133 constantes. 149 continuas. 157 cuadradas. 170 cuadrática (véu.ve Funciones cuadráticas) cúbicas. 171 definida por partes, 156 diferencia de, 166 cociente de. 141 discontinuidad, 158 disminución. 149 dominio de. 132,133 entero más grande. 158 exponencial, 283 gráfica de. 147 historia de, 142 identidad 170 intersección* de, 147 intersección y de. 147 inversa trigonométrica, 429-437 inversa, 187 lineal (véase Funciones lineales) logarítmica, 305 paso. 158 periódicas. 392 polinomio. 213 producto de, 166 racionales (véase Funciones racionales) raiz cuadrada, 171 raiz cúbica. 171 raíz de. 147. 213 rango de. 132. 133 recta secante. 162 regla definición de. 132 secuencia, 724 símbolo, 139 suma de, 166 trigonométricas (véase Funciones trigonométricas) una a una. 183 valor absoluto. 156. 170

índice analítico

variable dependiente. 134 variable independiente, 134 y prueba de la recta vertical, 136 y prueba en la linea horizontal. 185 Funciones circulares. 348 Funciones compuestas, 168 Funciones cuadráticas: definición de, 152 gráfica de. 154 eje de. 153 vértice de. 153 valor máximo o mínimo de. 154 Funciones escalón. 158 Funciones exponenciales: base de, 283 definición de, 283 dominio. 283 gráficas de. 284. 295 interés compuesto. 290 interés compuesto continuo. 299 propiedades de. 285 rango, 283 y duplicación del tiempo del modelo de crecimiento, 286 y e, 294 y modelo de decaimiento de vida media. 288 Funciones hiperbólicas, 331 Funciones inversas, 187 dominio de. 187 funciones trigonométricas. 429-437 gráfica de, 187 hiperbólicas. 331 rango de. 187 Funciones lineales: definición de. 149 gráfica de. 149 pendiente de, 149 Funciones logarítmicas: común, evaluación en calculadora de, 314 definición de, 305 dominio, 305 fórmula de cambio de base. 329 naturales, evaluación en calculadora de. 314 propiedades de. 308 rango, 305 relaciones logarítmicas y exponenciales, 316 Funciones periódicas. 392 Funciones trigonométricas: amplitud de. 403 ángulo de referencia, 374 cofunciones, 465 definición de: dominio del ángulo. 366. 370 dominio del número real. 348 evaluación de: ángulos especiales y números reales. 367, 373' calculadora, 368 fase de deslizamiento. 409 gráficas de. 394-399, 419-423 identidades (véase Identidades)

inversa. 429-437 ley de cosenos, 516 ley de senos. 508 periodo, 392 periodo fundamental de. 392 relaciones. 370 soluciones para triángulo rectángulo, 383 y funciones circulares. 348 Genealogía. 752 Geoestacionario. 524 Geometría. A-22. 15, 71, 249. 279, 382. 383. 387. 390, 448.479, 492, 496, 521.523. 583.617.626. 657. 694. 722, 753 Geometría analítica, 470,497. 523, 554 Grado de medida de ángulos. 358 Grado de un polinomio. A-13. 213 Gráfica de signos, 82 Graficación: de circuios, 108 de desigualdades. 28 de desigualdades lineales. 629 de ecuaciones. 100 de ecuaciones de primer grado, 115 de elipses. 106. 793 de funciones, 147 de funciones básicas. 170 de funciones exponenciales. 284, 295 de funciones lineales, 150 de funciones polinomiales, 217 de funciones racionales. 256 de funciones trigonométricas. 349-399. 419-423 de hipérbolas. 804 de intervalos. 28 de parábolas, 154 de sistemas lineales. 587 desplazamiento horizontal. 172,409 en contracción, 174 en desplazamiento vertical. 172 en expansión. 174 en traslación. 172 en trazo. 100 polar, 541 punto por punto. 100 reflexión en, 174 simetría: con respecto al eje.v, 103 con respecto al eje.v, 103 con respecto al origen, 103 examen para. 104 y asíntotas: horizontal. 254 hipérbola, 253 oblicua, 260 vertical, 254. 396 y continuidad, 157 y de sistemas coordenados rectangulares, 99 y la intercepción en x, 147 y la intersección en v, 147 y sistema de coordenadas cartesianas. 99

Guardacostas. 514 Hipérbola: aplicaciones de. 807 asíntotas de. 253, 802 rectángulo de. 802 centro de, 800 conjugado, 805 eje de, 802 definición de. 779. 800 dibujo de. 800 ecuaciones estándar de. 803 eje transversal de. 800 excentricidad de, 809 focos de, 800 gráfica de. 804 vértices de, 800 Hiperboloide, 807, 810 Hoja de cálculo. 664 Horas de la puesta del sol. 4 18 (.48 Identidad aditiva, A-6, 51 Identidad multiplicativa, A-6, 53 Identidades: ángulo doble. 471-472 básicas. 352. 452 cociente. 352 cofunción, 462-465 coseno, coseno inverso. 432 de negativos. 352. 453 definición de. 3 diferencia, 461-465 pasos en la verificación. 454 pitagoreano. 352. 453 producto (suma). 480 recíproco. 352. 368.452 semiángulo. 475 seno, seno inverso. 430 suma, 462-465 suma (producto). 482 tangente, tangente inversa. 435 Identidades básicas. 352. 452 Identidades de ángulo doble. 472 Identidades de ángulo medio. 475 Identidades de suma (producto). 482 Identidades del coseno y coseno inverso. 432 Identidades para producto (suma), 480 Identidades pitagóricas, 352.453 Identidades reciprocas. 352.452 Igualdad: de conjuntos. A-3 de matrices. 660 de números complejos. 50 de polinomios. 266 de vectores. 525. 532 propiedades de, 3 Impuesto por ingresos. A-51 Indicadores radiactivos. 293 Índice de una radial. A-58 Inducción matemática. 732 principio ampliado de. 738 principio de. 733 y contraejemplo. 733

índice analítico

Infinito, 28, 220, 251 Ingeniería, 72. 114. 363, 365, 366, 382. 389, 390.418,439,503.515. 523, 579. 583. 752. 787. 798. 835. 837 Ingeniería aeronáutica, 798 Ingresos por renta. 164 Insecticidas, 293 Intensidad de la luz, 302 Interés: tasa, 289 por período. 289 Interés compuesto. 71. 289, 290, 293. 322. 324. 331.338, 751 continuo, 299 razón de, 289 y cantidad, 290 y capital. 290 y valor futuro, 290 y valor presente, 290 Interés compuesto continuo, 299 Interpolación de polinomios. 274 y dispositivos de graficación, 275 Interpretación geométrica del valor absoluto. 38, 41 Intersección, 116, 147 Intersección con eje.v, 116, 147 Intersección con eje v, 116, 147 Intersección de ejes. 29 Intervalo, 27 gráfica, 28 notación, 28 punto extremo derecho, 28 punto extremo izquierdo, 28 Inversa aditiva, A-6, 51 Inversa de una matriz, 676 Inversa multiplicativa, A-6 Investigación de mercado. 180. 206 Investigación segura, 89 Juegos de azar. 292 Kilometraje de llamas, 163 Ley de cosenos. 516 Ley de Hooke, 130, 164 Ley de Newton del enfriamiento. 303. 332 Ley de senos. 508 Leyes de Kirchhoff, 693 Límite inferior (de las raíces de un polinomio), 240 Límite superior (de las raíces de un polinomio), 240 Linea de frontera. 628 Lluvia ácida. 322 Logaritmos comunes, 314 Logaritmos de base 10 (de Briggsian), 314 Logaritmos naturales. 314 Logaritmos neperíanos. 314 Longitud de un segmento de recta. 38 Magnitud. 524, 533 Manejo. 209, 338 Masa relativista, A-66

Matriz: aumentada, 596 de renglón equivalente, 596 cero. 661 codificación, 682 columna, 594 cuadrada. 594, 674 de identidad. 674 decodificación. 682 definición de, 594 diagonal principal de, 595 diagonaL 671 dimensiones de. 594 ecuaciones, 685 elemento de, 594 forma reducida de. 604 igual 660 inversa de. 676 matriz singular. 681 multiplicación de. 664. 666 por un número, 662 negativa de. 661 notación de subíndices para. 595 posición. 595 producto de, 664.666 propiedades de, 685 renglón. 594 operaciones, 596 resta de. 662 submatriz. 608 suma de. 661 tamaño de, 594 triangular inferior, 701 triangular superior. 671, 701 y eliminación de Gauss-Jordan. 608 Matriz aumentada. 596 Matriz codificadora. 682 Matriz cuadrada de orden n. 674 Matriz de identidad 674 Matriz diagonal. 671 Matriz singular. 681 Matriz triangular inferior, 701 Matriz triangular superior. 671, 701 Mayor que. 2~ Mazo estándar de cartas, 770 Media, 301 Medicina. 89.131.296. 304.335.418 Medición indirecta. 479. 502 Menor (determinantes), 695 Menor que, 27 Mercadotecnia, 89 Meteorología. 583 Método de bisección. 242 Método de mínimos cuadrados, 198 Método PEIU, A-l 8 Mínimo común denominador (MCD). A-37 Minuto (ángulo medido). 359 Módulos. 557 Monomia!, A-14 Motivación. 16, 17 Movimiento armónico simple. 403 Movimiento de un proyectil. 824, 828 carcaza. 825 rango, 825 Movimiento. 427,439

Multiplicación: de expresiones racionales. A-35 de fracciones. A -10 de funciones. 166 de matrices. 666 de números complejos, 50. 561 de polinomios A -17 método PEIU de. A-18 de radicales, A-62 propiedades de, A-5 Multiplicación escalar. 534 Multiplicidad (de raíces), 228 Música. 16. 485. 503.752 n factorial. 753 nésima raíz, A-52. 565 radical, A-58 teorema, 565 Navegación. 72. 130. 523. 530, 550. 578. 583 Navegación costera, 578 Negocios. 15, 25. 36.47. 71. 657. 751 Nivel de ozono. 101 Nivel de pl!. 322 Nómina. 16 Norma, 533 Norma para ganancias, 122. 130. 672 Notación científica. A-47 Notación para sumatoría. 728 Numerador, A-9 Número compuesto, A-23 Número primo, A-23 Númcro(s) real(es) división de. A-7 identidad aditiva de. A-6 identidad multiplicativa de. A-6 inversa aditiva de. A-6 inversa multiplicativa de, A-6 negativos. A-4. A-6 propiedades de. A-8 orden de las operaciones para. A -19 positivos. A-4 propiedad asociativa de, A-5 propiedad conmutativa de, A-6 propiedad distributiva de. A-6 propiedades básicas de. A-5 propiedades de fracción de. A-10 propiedades del cero. A-8 recíprocos, A-6 recta real, A-4 resta de. A-7 Número real negativo. A-4, A-6 propiedades de. A-8 Número real positivo. A-4 Números: complejos. 48 enteros. A-4 irracionales. A-4 naturales, A-4 racionales, A-4 reales, A-3 Números complejos: cero, 48. 51 conjugado de. 48 definición de. 48

I-

>-8

índice analítico

forma estándar de. 48 forma polar (trigonométrica) de, 557 argumento de, 557 división de, 561 módulo (valor absoluto) de. 557 multiplicación de, 561 teorema de De Moivre para, 564 y teorema de la n ésima raiz. 565 forma rectangular de, 556 historia de, 48, 562 identidad aditiva para. 51 identidad multiplicativa para, 53 igualdad, 50 inverso aditivo de, 51 multiplicación de, 50 negativo de, 51 número imaginario, 48 número imaginario puro, 48 propiedad del cero, 59 propiedades de. 50 recíproco, 53 suma de, 50 unidad imaginaria, 48 valor absoluto de, 557 y plano complejo, 556 eje imaginario. 556 eje real, 556 Números de serie, 770 Números imaginarios (véase Números complejos) Números irracionales, A-4 Números naturales, A-4 compuestos, A-23 exponente, A-12 primos, A-23 relativamente primos, 231 Números racionales. A-4 Nutrición. 26. 95, 603, 617, 639. 673 Nutrición animal. 657 Oceanografía. 131 Óptica, 496 Órbitas planetarias. 570 Orden de operaciones. A-19 Orden de relación. 27 Ordenación (véase Permutaciones) Ordenada. 99 Origen. A-4, 99, 541 Par ordenado. 99 Parábola: aplicaciones de. 785 definición de, 152, 779. 780 dibujo de, 780 directriz de, 780 ecuaciones estándar de, 782 eje de la, 153. 780 excentricidad de. 809 foco de, 780 gráfica de, 154. 782 vértice de. 153, 780 Paraboloide, 785 Paraboloide hiperbólico, 807 Paradoja de seno, 753 Parámetro. 592, 821

Pendiente, 117 Péndulo. A-66. 114 periodo de, A-66 Perihelio. 555. 579 Periodo fundamental, 392 Permutaciones. 765 Planeación de la producción, 617. 634. 640, 665, 693 Plano de movimiento. 828 Plano real, 98 Planta de nutrición. 639, 651 Población mundial. 302, 331 Polinomio(s): binomial. A-14 característico, 701 cociente de, 217 coeficiente de. A-14 coeficiente numérico. A-14 completamente factorizado. A-25 definición de. A-13 desigualdad, 81 divisor de, 217 factorización de. A-23 fórmulas especiales de factorización para. A-29 grado de. A -13 gráfica de signos para, 82 monomial, A-14 multiplicación de, A-17 método PEIU de. A-18 primo, A-25 productos especiales de. A-18 raíz real de. 81 residuo de. 217 resta de. A-16 sobre la recta real, signo del, 82 suma de. A - 16 teorema del residuo, 218 término principal. 219 términos semejantes en. A - 15 trinomial. A-14 Polinomio de Taylor. 302 Polinomio primo. A-25 Polinomio reducido, 233 Políticas, 673 Potencia nuclear. 810 Precio de equilibrio. 23 Precio de mayoreo, 15 Precio y abastecimiento. 113 Precio y demanda. 113. 198, 209 Precios. 1 5 ,2 0 5 .2 0 9 Premio en dinero, 745 Presión atmosférica, 129, 3 0 2 .3 2 4 , 753 Primera propiedad de los exponentes, A-13 Principio de conteo fundamental, 762 Principio de multiplicación. 762 Problemas con mezclas, 12, 16 Problemas con monedas. A-22 Problemas con números, 15, 67, 71, 95 Problemas de cantidad, razón y tiempo, 9, 11. 16,69 Problemas de distancia, rapidez y tiempo. 9, 10, 25,68. 95 Problemas rapidez-tiempo, 9, 16, 95, 209

Proceso adiabático, 752 Producción de automóviles. 163 Producción. 25 Producto Nacional Bruto (PNB). A-51 Productos especiales. A-18 Programación lineal descripción general de. 644 función objetivo para, 641, 644 modelo matemático para. 641 problema de restricciones para, 641 recta de ganancia constante, 643 recta de utilidad constante, 643 región factible de, 644 restricciones no negativas para, 641. 644 solución gráfica de. 642 solución óptima para. 642, 644 soluciones múltiples óptimas de. 646 teorema fundamental de. 644 valor óptimo de, 644 variables de decisión para. 641.644 Progresión aritmética (véase Secuencia aritmética) Progresión geométrica (véase Secuencia geométrica) Promedio: aritmético. 90 costo. 265 de pruebas. 722 razón de cambio, 90 Propiedad asociativa. A-5 Propiedad conmutativa, A-4 Propiedad de tricotomía, 27 Propiedad distributiva, A-6 Propiedad fundamental de fracciones. A-33 Prueba de la recta horizontal, 185 Prueba numérica. 82 Pruebas generadas en computadora. 763 Publicidad. 303, 332 Punto circular, 340 Punto de esquina, 632 Punto extremo, 28 Punto extremo a la derecha, 28 Punto extremo izquierdo, 28 Química, 16. 25. 33. 47. 95. 209, 322, 603, 616,617 Racionalizando denominadores. A-63 Radián, medida de ángulos. 360, 365 Radicales: índice de, A-58 nésima raiz, A-58 principal, A-58 propiedades de. A-59 y factor de racionalización. A-63 y forma del radical simplificado, A-60 y racionalización de denominadores, A-63 y radicando, A-58 y signo radical. A-58 y valor absoluto, 45 Radicando. A-58 Radiotelescopio, 788, 811, 835

■ I1UII.C dlldMULU

Raíces: complejas. 565 cuadrada. A-51, 55 cúbicas. A-51 de un polinomio. 213 de una ecuación, 3 doble. 59 imaginaria. 59 real, 59 de una función, 147 nésima, A-52. 565 principal. A-53 Raíces imaginarias. 59 Raíz cuadrada, A-51 de un número real negativo, 55 propiedad, 60 Raíz cuadrada principal de un número real negativo. 55 Raíz cúbica, A-51 Raíz doble. 59 Raíz //¿sima principal. A-53, A-58 Raíz de una función. 147. 213 Raíz real. 59. 81 Rango, 132, 133 Rayo, 357 Razón instantánea de cambio, 90 Reciproco, A-6. 53 Recta(s): corrida. 117 ecuación(es) de. 124 forma intersección de. 129 forma punto-pendiente de, 121 forma pendiente-intersección de. 120 forma estándar de, 115 elevación, 117 gráfica de. 115 horizontales. 123 intersección x de la, 116 intersección y de la. 116 paralelas. 125 pendiente de. 117 perpendiculares, 125 vertical, 123 Recta horizontal, 123 Recta numérica real. A-4 coordenada de, A-4 origen de, A-4 Recta secante, 162 Recta vertical, 123 prueba. 136 Rectas paralelas. 125 Rectas perpendiculares, 125 Redondeo de valores calculados. A-74 Reflector parabólico. 785, 787, 788 Reflexión, 174 Refracción de la luz, 470 Región de solución acotada, 634 Región de solución no limitada, 634 Región factible. 635 Regla de Cramer. 710-711 Regla de la cola a la punta, 525 Regla del paralelogramo. 525 Regresión, 198 Regresión lineal. 198 Relación de desigualdad, 27

doble, 33

gráfica de, 28 mayor que. 27 menor que. 27 propiedades de, 31.42 tricotomía propiedad de, 27 Relativamente primo. 231 Reloj atómico, A-49 Renta de autos, 129, 164 RcsdDG. 217 teoresia.218 Resta: de expresiones racionales. A-36 de éacoooes. A-10 de ránoooes. 166 de masases, 662 de nenas» reales. A-7 de radoíek A-62 Resulta*. 525 Reteooce.

Secciones cc e n s. 555 5é*. circulo. 10* 5** T % cónico ¿ rgraeraac. cono uitaúe tsc*. 1 eje de.—S err.ohcrae oe. vértice de. I definición de coccaeafcai ¿ t í directriz. 569

ecuaciones rv .mt'at x cem=n elipse. 569,77*. 7 » excentricidad 555.571. M 9 focos. 569, 7#0. '■> v» hipérbola. 56*. sX parábola, 569. S. ~bO Secuencia ansnérva definictóe de, diferencia ca t n m de. nésitno término K t a a para. *43 Secuencia de F:t«:cü.cv ~2é Secuencia geooetnca: defmjciÓG de. "41 fórmula de mesaao senniüo para, 743 relación ccrauc de. 741 Secuencia: aritmética. 741 de Fibonacci. 726 defmiaóa de, 724 finita. 725 fórmula de recursión para, 726 geométrica. 741 infinita. 725 termino general de. 725 términos de, 724 Segmento de recta dirigida, 524 Segundo (ángulo medido), 359 Seguridad social. 36 Semiplano a la derecha. 627 Semiplano inferior, 627 Semiplano izquierdo. 627 Semiplano superior, 627

Semiplanos. 627 Seno inverso, identidades para seno. 430 Serie: alternante. 729 aritmética. 744 definición de, 728 finita. 728 geométrica, 746 índice de sumatoria para. 728 infinita. 728 notación de sumatoria para, 728 Series alternantes, 729 Series aritméticas definición de. 744 suma de fórmulas para, 744 Series geométricas: definición de, 746 fórmulas de suma finita para, 746 fórmulas de suma infinita para. 748 Sicología. 16. 36. 639. 650 SIDA epidémico, 303 Símbolo de combinaciones, 755, 767 Stmetria. 103 Sistema coordenado cartesiano: abscisa. 99 coordenada x, 99 coordenada y. 99 coordenadas. 99 cuadrantes de. 98 eje horizontal de. 98 eje vertical de. 98 «je x de. 98 eje y de. 98 ejes coordenados de. 98 formula de la distancia para. 107 formula del medio punto para. 113 ordenada de. 99 ortgea de. 99 > relaciones polares a rectangulares, 541 y teorema fundamental de geometría analítica. 99 Sistema coordenado polar. 541 eje polar de. 541 graftcación de, 545 gráficas estándar en. 551 origen de. 541 polo de, 541 relaciones polar-rectangular de. 542 trazo rápido en, 546 y trazo punto por punto. 545 Sistema coordenado rectangular (véase Sistema coordenado cartesiano) Sistema masa-resorte. 114.417. 499 Sistema reducido. 607 Sistemas de desigualdades lineales: gráfica de. 629. 631 punto esquina de. 632 recta límite de. 628 región de solución de, 631 con limites, 634 sin límites. 634 región factible de. 635 restricciones no negativas para. 632 solución factible de. 635

I-

índice analítico

Sistemas de ecuaciones lineales: consistente. 589 dependiente, 589 dos variables. 17 solución usando eliminación por suma, 591 equivalente, 591 inconsistente. 589 independiente. 589 parámetro. 592 reducido. 607 solución de. 26.586 conjunto de. 26. 586 solución particular. 592 solución por graficación, 587 solución por sustitución, 18 solución única de. 589 solución usando inversas. 686 submatriz, 608 y eliminación de Gauss-Jordan. 608 Sistemas no lineales. 618 Sistemas que implican ecuaciones no lineales. 618 Sociología, 617, 639, 651 Solución 3. 18. 30. 99. 213. 586 Solución particular. 592 Soluciones extrañas. 74. 619 Soluciones factibles, 635 Sonido: intensidad de. 317. 322. 336. 338 medidor de. 16.26 Subconjunto. A-3 Submatriz. 608 Suma: de eubos, A-29 de dos vectores, 525 identidades, 465 Tangente inversa, identidades de la tangente. 435 Técnica de captura, marca y recaptura. 16 Tensión del cable. 537 Teorema de Euclides. 72 Teorema de la raíz racional, 231 Teorema de las raíces imaginarias. 230 Teorema de localización. 239 Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange. 738 Teorema de De Moivre. 564 Teorema de n raíces, 228 Teorema de Pitágoras. 68 Teorema del factor lineal y cuadrático, 267 Teorema fundamental de álgebra, 227 Teorema fundamental de aritmética, A-24 Teorema fundamental de geometría analítica, 99 Teorema fundamental de programación lineal. 644

Teoría del aprendizaje, 264 Término constante. 586 Términos semejantes. A-15 Terremotos. 16, 26. 318, 3 19, 322, 328. 335. 336. 338 magnitud de, 318 Tiempo de duplicación. 286, 292, 293, 331 modelo de crecimiento. 286 Tiempo de reemplazo. 264 Transportación, 72. 627. 650. 776 Traslación, 811 ecuaciones estándar de cónicas, 814 fórmulas. 812 Traslación horizontal (deslizamiento). 172. 409 Traslación vertical (desplazamiento), 172 Trazo punto por punto, 100, 545 Triángulo agudo, 506 Triángulo de Pascal, 761 Triángulo de referencia, 374 Triángulo oblicuo, 506 Triángulo obtuso, 506 Triángulo recto hipotenusa, 384 lado adyacente. 384 lado opuesto, 384 solución de, 383 teorema de Pitágoras, 68 Triángulos: agudo.506 caso ambiguo, 510 casos posibles, 510 oblicuo, 506 obtuso. 506 rectángulos, 383 similares, 72 solución. 506 y ley de cosenos. 516 y ley de senos, 508 Triángulos semejantes, 72 Trinomio, A-14 Último teorema de Fermat. 738 Unidad imaginaria, 48 Unión de conjuntos, 29 Valor absoluto: de un número complejo, 557 definición de, 37 distancia, 38 forma radical de, 45 función, 156, 170 interpretación geométrica de, 38 propiedades de, 42 Valor de inventario. 672 Valor futuro. 290 Valor presente, 290, 303, 335 Valores propios (de una matriz), 701

Variable. A-3 Variable dependiente, 134 Variable independiente. 134 Variación de la temperatura. 418. 449, 583 Vector algebraico, 532 Vector geométrico, 524 Vector unitario, 535 Vectores fuerza. 527. 563, 578 Vectores: algebraicos. 532 cantidades escalares. $24 cantidades. 524 cero. 524, 532 componentes de, 525, 528 componentes escalares de. 532 dirección de, 524 equilibrio estático, 537 estándar. 531 fuerza. 527 geométricos, 524 iguales, 525, 532 magnitud de, 524. 533 multiplicación escalar de. 534 norma de. 533 posición estándar, 531 propiedades de, 536 pumo inicial de. 524 punto terminal de, 524 regla de la cola a la punta, 525 resultante, 525 suma de, 525, 533 tensión. 537 trasladados. 525 unitarios. 535 velocidad, 525 y regla del paralelogramo, 525 Velocidad actual, 525 de expresiones racionales. A-36 de fracciones. A-10 de funciones, 166 de matrices. 661 de números complejos. 50 de polinomios. Aló de radicales. A-62 de vectores, 533 propiedades de. A-5 Velocidad aparente. 525 Velocidad del aire, 16, 21. 25.130 Velocidad en el suelo. 15 Ventana cuadrada. 109 Vida media. 288. 293 modelo de decaimiento. 288 Volumen de un cascarón cilindrico. A-20 Vuelo de cohete. 320. 322 Zona fótica. 302

Elipse (11 -2?

I le -•** '

r

y

a > b> 0

tr

b¡

Focos: F‘ (-c. 0). Fie. 0): tr - a : - Ir

r

.r

a > l>>()

a1

Focos: [■' (0, —<•). F(0, c): tr = tí- - Ir

. negativos (5-2, 6-1)

scn(-.v) = - sen .v !an(—.v) - - tan .v

cos(—.v) = cos.v

Identidades pitagóricas (5-2, 6-1)

Hipérbola ( 113) r tr

r Ir

Focos: F’ (-c. 0). Fie, 0): tr = a: + Ir

¿ a:

-r' Ir

Focos: F' (0, -e). F(0, c); r =

sen-.v + eos-' x = 1 1 + cot2x = ese2 x

tan x + 1 = sec2 v

- b2

Identidades de suma (6-2)

Fórmulas de traslación (11-4) x = r' + /;, y = y ' + le; .t' = x — It. y ' —y — k Nuevo origen |/j. k)

s’ - sen.v sen y tan x + tan y tan
Identidades de diferencia (6-2)

Ecuaciones paramétricas (11-5) >’ /( /) .

y = gil),

l € I. donde / es un imer.aio en ii

— y) = s
tan jr - tan v - y) = ------------- — 1 + un x tan y

Identidades trigonométricas (5-5, 6-1 a 6-4) Identidades recíprocas (5-2, 6-1) 1 ese x = -----sen x

I eos x

sec x = -------

Identidades de cofunción (6-2)

1 coc x = ----tan x

= cos.v

tañí * “ y ) = cot y

sem9CP - 6i = eos 9

tan(90' - 9) = cot 9

« ■ (§ eos 90' — 61 = sen 9

Identidades de cociente (5-2, 6-1) Identidades de doble ángulo (6-3) sen x tan x = ------

eos x

eos .v cot x = ------

sen.v

sen 2* = 2 sen.v eos x

I cos3x

— sen3 x

1 - 2 sen2x 2 eos2 x - 1

tan 2x =

2 tan a-

2 cot x

2

I - tan2.v

cot2.v - 1

cot x - tan v

Identidades de mitad de ángulo (6-3)

T r iá n g u l o s e s p e c ia le s ( 5 - 4 )

1 — eos X 2 1 + eos v

Los signos se determinan por el cuadrante en el que se encuentre .r/2

- COS JC x 1 — cos.t sen a' — = ± \ j- — tan —= ---------- = — 2 sen* 1 + eos >s* V 1 + cos.r

V3o Triángulo de 45°

Triángulo de 30°-60c

Identidades producto-suma (6-4) Funciones trig o n o m é trica s (5-2, 5-4) sen x eos y = j|sen(jr + y) + sen(.r - y)] eos x sen y = j|sen(.v + y) - sen(.v - y)]

b r

ese x = -

a r

sec.v = -

sen x = -

sen* sen y = j[cos(.v - y) - cos(.v + y)] eos x eos y = j[cos(a: + y) + cos(.r — y)]

eos .v' = -

b

tan x = -

a

Identidades suma-producto (6-4)

b

(o. tí).

a

a h

eot x = -

r = Vo‘ + b‘ > 0

( r está en grados o radianes) * sen x + sen v = 2 sen —- — eos —- —

2

2

2 2 x +y x - y eos x + eos y = 2 eos —- — eos —- — 2 2 x + yx - y eos x — eos y = —2 sen------- sen —- — 2 2

+ y

x - y

Para cualquier número real v y cualquier función trigonométrica T:

Tíx) = 7'(.v radianes) Para un circulo unitario:

G rados y ra d ia n e s (5-3) 0D0R 0D se mide en grados: 180°tt

0R se mide en radianes

Funciones trigonométricas inversas (5-9) circunferencia

y = sen

1.v significa x = sen y,

y = eos

' x significa x = eos y.

y = tan

1.v significa .v = tan y,

donde —ir/2 S y s tt/2 y - 1< x S 1 donde 0 S y £ tt y

- 1<

1 radián

I

donde —tr/2 < y < ir/2 y -v es cualquier número real

Precalculo - Barnett

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