TRABAJO DE MÉTODOS NUMÉRICOS
TEMA: INTERPOLACIÓN POLINOMICA DE NEWTON CON DIFERENCIA DIVIDAS INTERPOLACIÓN POLINOMICA DE LAGRANGE
PRESENTADO POR:
PRESENTADO A: ING FREDY MOLINA
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARIBE BARRANQUILLA-ATLANTICO 01/13/2013
INTRODUCCIÓN
En análisis numérico, la interpolación polinomica es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos.
INTERPOLACIÓN POLINOMICA
La interpolación polinomica es un método usado para conocer, de un modo aproximado, los valores que toma cierta función de la cual sólo se conoce su imagen en un número finito de abscisas. A menudo, ni siquiera se conocerá la expresión de la función y sólo se dispondrá de los valores que toma para dichas abscisas. El objetivo será hallar un polinomio que cumpla lo antes mencionado y que permita hallar aproximaciones de otros valores desconocidos para la función con una precisión deseable fijada. Por ello, para cada polinomio interpolador se dispondrá de una fórmula del error de interpolación que permitirá ajustar la precisión del polinomio.
INTERPOLACIÓN POLINOMICA DE NEWTON CON DIFERENCIA DIVIDAS Sea una variable discreta de elementos y sea otra variable discreta de elementos los cuales corresponden, por parejas, a la imagen u ordenada y abscisa de los datos que se quieran interpolar, respectivamente, tales que:
Este método es muy algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado. El polinomio de grado
Definiendo
Y definiendo
resultante tendrá la forma
como
como
Los coeficientes
son las llamadas diferencias
divididas .
Una vez se hayan realizado todos los cálculos, nótese que hay (muchas) más diferencias divididas que coeficientes . El cálculo de todos los términos intermedios debe realizarse simplemente porque son necesarios para poder formar todos los términos finales. Sin embargo, los términos usados en la construcción del polinomio interpolador son todos aquellos que involucren a . Estos coeficientes se calculan mediante los datos que se conocen de la función . Queda definido, como:
Ejemplo Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Newton en diferencias divididas con los datos de la Tabla que aparece a continuación, e interpo lar en el punto x = −1. Xk
6
Yk
48
−2
−4
0
8
x2+2 x Utilizando la formula Calculamos entonces la tabla de diferencias divididas:
Donde se ha expresado por brevedad la diferencia dividida f[xk,xk+1,...,xk+p] como f[xk || xk+p].La diagonal de la tabla de
Diferencias divididas, en color rojo, es entonces: [48, 6,1], que se corresponde exactamente con el conjunto de valores que aparece En la fórmula y por tanto, los polinomios de Newton son los siguientes: p0(x) = 48 (interpola en el primer punto) p1(x) = 6 (x-6) + p0(x) = 6 x+12 (interpola en los 2 primeros puntos) p2(x) = (x−6) ( x+2 ) + p1(x) = x2+2 x (interpola en todos los puntos)
O también: p(x) = 48 +6 (x−6) +1 (x−6) ( x+2 ) = x2+2 x
La g ráfica del p olino mio de in terpolación: p(x) = x2+2 x y de lo s p un tos (xi,yi), i=0...2
Si se quiere interpolar en un punto concreto, lo mejor es tomar el polinomio de interpolación en su forma de Newton y reordenarlo al estilo Ruffini-Horner expresando el polinomio como:
p(x) = 48 +(x−6) (6+(x+2) (1))
lo que supone realizar a lo sumo 4 sumas/restas y 2 multiplicaciones para interpolar en un punto x. Para interpolar entonces en x = −1, basta sustituir la x de la expresión reordenada anterior por su valor −1 para obtener p(−1) = −1.
Si se tuviera el polinomio en su forma normal, como combinación lineal de {1,x,x2,...,xn}, deberíamos usar el algoritmo clásico de Ruffini-Horner, ya que supondría 2 sumas y 2 multiplicaciones, como se ve a continuación. En este caso, para obtener el valor en x = −1 del polinomio de interpolación p(x) = x2+2 x colocamos los coeficientes de
mayor a menor exponente y operamos de la forma usual:
o bien p(−1) = (1 . (−1) +2) . (−1) +0 = −1
Obteniendo el mismo resultado que antes, p(−1) = −1, con el mismo número de multiplicaciones y la mitad de sumas/restas.
INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE Sea la función a interpolar, sean las abscisas conocidas de y sean los valores que toma la función en esas abscisas, el polinomio interpolador de grado de LaGrange es un polinomio de la forma
Donde modo:
son los llamados polinomios de LaGrange, que se calculan de este
Hay que tener en cuenta que los coeficientes siempre distintos de cero.
están bien definidos y son
EXISTENCIA DEL POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN. Sea Lin(x) un polinomio de grado n, que se anule en todos los puntos x j, j = 0, 1, ..., n, salvo en el i-ésimo, donde vale 1; es decir, tal que Li(x j)
= 0 si ji y Li(xi) = 1
La existencia de este polinomio se deriva del resultado anterior, pero puede obtenerse directamente, sin necesidad de resolver un sistema, gracias a la siguiente fórmula debida a LaGrange Lin ( x)
( x x 0 )( x x i 1 )( x x i 1 )( x x n )
(xi
x 0 ) ( x i
x i 1 )( x i
x i 1 )( x i
xn )
Es inmediato comprobar entonces que el polinomio Pn(x) = y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x) + ··· + yn Ln(x) cumple las condiciones Pn(xi) = yi, i=0,1,2...,n. lo que prueba directamente la existencia del polinomio de interpolación. La unicidad se puede garantizar utilizando el hecho de que un polinomio de grado n puede tener a lo sumo n raíces. Si dos polinomios de grado n interpolan n+1 puntos, su diferencia se anula en dichos puntos, por lo que sólo puede ser el polinomio idénticamente nulo.
Ejemplo: Se quiere hallar el valor de la función para LaGrange de grado 2.
usando un polinomio interpolador de
Para ello se usan los siguientes datos:
Se usa primero el método directo para calcular el polinomio interpolador de Lagrange. Con las condiciones dadas, los polinomios de Lagrange son:
Se calcula ahora el polinomio interpolador de grado 2:
Ahora evaluamos este polinomio en aproximado de :
para obtener un valor
Si se usase una calculadora para efectuar el cálculo obtenemos es el siguiente:
, por lo que el error cometido
Se trata de un error del orden del 0.66 % Ejemplo por diferencias dividas
Se diseña una tabla de Diferencias Divididas esquemática y se realiza los pertinentes cálculos para obtener los siguientes coeficientes:
Ahora se debe tomar de estos coeficientes los que se necesitasen para escribir el polinomio interpolador. Hay que recordar, según lo apuntado anteriormente, que sólo se usan aquéllos coeficientes que involucren a . De esta forma se obtiene el polinomio interpolador de Lagrange de grado 2:
Y, como se puede apreciar, se llega al mismo polinomio pero con relativamente menos trabajo.
Bibliografías http://www.paginaspersonales.unam.mx/files/977/Interpolacion_de_Lagrange.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica http://zapallalmicaela.blogspot.com/2013/03/52-polinomio-de-interpolacion-de-newton.html
