1 Problema Según los datos del foro económico mundial, Colombia construyó durante siglo y medio 4017 km de vías férreas de las cuales en la actualidad sobreviven 3000 km de ellas y en operación se encuentran 1000 km para el transporte de carbón y 106 km para el transporte de pasajeros. Mover una tonelada de carga por carretera según datos de la cámara colombiana de la infraestructura cuesta actualmente $120000 mientras que hacerlo por tren cuesta $50000.Con esta información: a) Calcule el trayecto en kilómetros que en promedio diario se construyó de vía férreas en Colombia. b) Si la velocidad del tren de carga es de 75 km/h cuando no está a capacidad y si va cargado es de 32km/h. Cálquele el tiempo que puede demorarse en transportar una carga durante los 4210 kilómetros de 𝟒
recorrido habilitados, si durante las 𝟕 partes del recorrido va a capacidad.
Solución. a) El problema no brinda la información de que se construyeron en Colombia 4017 km en siglo y medio. Siglo y medio equivale a 150 años, como se muestra en la siguiente conversión: 1
Siglo y medio lo podemos escribir de esta forma 1 2 , lo cual es una fracción mixta, y 3
equivale a 2 = 𝟏, 𝟓 Siglos. Convirtiendo a Años. 1,5 𝑆𝑖𝑔𝑙𝑜𝑠 ∗
100 𝑎ñ𝑜𝑠 = 𝟏𝟓𝟎 𝒂ñ𝒐𝒔 1 𝑆𝑖𝑔𝑙𝑜
Entonces, los 4017 km fueron construidos en 150 años, para saber el promedio diario realizamos la conversión a Km/día, teniendo como factor de conversión unitario que 1 año equivale a 365 días. 4017 𝑘𝑚 1 𝑎ñ𝑜 𝑥 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟑 𝑲𝒎/𝒅í𝒂 150 𝑎ñ𝑜𝑠 365 𝑑í𝑎𝑠 El promedio diario de kilómetros fue de 𝟎, 𝟎𝟕𝟑 𝑲𝒎/𝒅í𝒂 b) Para resolver esta parte del problema, primero debemos calcular la distancia que el tren de carga va a capacidad, las cuales son las 4/7 partes de los 4210 km de recorrido habilitados. 4 𝑥4210 = 𝟐𝟒𝟎𝟓, 𝟕 𝒌𝒎 7 Los km que el tren va cargado son 2405,7 km aproximadamente, y los km que va vació 4210-2405,7=1804,3 km aproximadamente.
Para saber el tiempo que se tarda en realizar el recorrido usamos la siguiente ecuación de velocidad: 𝑣=
𝑥 𝑡
Donde: v=Velocidad, x=Distancia recorrida y t= Tiempo. Por lo tanto despejando t de la ecuación para hallar el tiempo: 𝑡=
𝑥 𝑣
El tiempo que tarda para recorrer los 2405,7 km si la velocidad cuando va con carga es de 32 km/h se calcula reemplazando estos valores en la anterior ecuación: 𝑡=
2405,7 𝑘𝑚 = 𝟕𝟓, 𝟏𝟗 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 32 𝑘𝑚/ℎ
El tiempo que tarda para recorrer los 1804,3 km si la velocidad cuando va sin carga es de 75 km/h: 𝑡=
1804,3 𝑘𝑚 = 𝟐𝟒, 𝟎𝟔 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 75 𝑘𝑚/ℎ
Entonces el tiempo que puede demorarse en transportar la carga corresponde a la suma de los tiempos calculados: 75,16 horas + 24,06 horas = 99,22 horas aproximadamente.
Resuelva las siguientes ecuaciones lineales.
2. 𝟑𝒙 + 𝟐𝟓 = −𝟏 3𝑥 + 25 − 25 = −1 − 25 3𝑥 26 = − 3 3 𝑥= −
26 3
Restamos 25 a ambos lados de la ecuación. Dividimos entre 3 a ambos lados de la ecuación.
𝟑
3. 𝟓 𝒙 + 𝟐 = 𝟓 − 𝟐 3 𝑥+2=3 5 3 𝑥 5
+2−2=3−2
Restando 2 a ambos lados de la ecuación.
3 𝑥=1 5 5 3 5 ∗ 𝑥 =1∗ 3 5 3 𝑥=
3𝑥 − 5 + 5 =
7 4
𝟕 𝟒
+5
27 4
27 3𝑥 = 4 3 3 𝑥=
la ecuación.
5 3
4. 𝟑𝒙 − 𝟓 =
3𝑥 =
5 3
Multiplicando ambos lados de
Sumando 5 a ambos lados de la ecuación.
Dividiendo entre 3 ambos lados de la ecuación.
9 4
5. 𝟓(𝒙 + 𝟑) = 𝟑(𝒙 + 𝟒) 5𝑥 + 15 = 3𝑥 + 12 5𝑥 + 15 − 15 = 3𝑥 + 12 − 15
Aplicando propiedad distributiva Restando 15 a ambos lados de la ecuación.
5𝑥 = 3𝑥 − 3 5𝑥 − 3𝑥 = 3𝑥 − 3𝑥 − 3
Restando 3x a ambos lados de la ecuación.
2𝑥 = −3 2𝑥 3 =− 2 2 𝑥= −
3 2
Dividiendo entre 2 ambos lados de la ecuación.
6. 𝟓𝒛 + 𝟑 − 𝒛 = 𝟔𝒛 − 𝟑 + 𝟐𝒛 4𝑧 + 3 − 3 = 8𝑧 − 3 − 3
Reduciendo términos semejantes y restando 3 a ambos lados de la ecuación.
4𝑧 = 8𝑧 − 6 4𝑧 − 8𝑧 = 8𝑧 − 8𝑧 − 6 −4𝑧 = −6
Restando 8z a ambos lados de la ecuación.
−4𝑧 −6 = −4 −4
Dividiendo entre -4 a ambos lados de la ecuación.
𝑧=
6 4
𝑧=
3 2
𝟓
𝟐 (𝒙 + 𝟑
7. 𝟐 (𝒙 − 𝟏) = 5
5 2
𝟏) + 𝟐 Aplicando propiedad distributiva.
. 2𝑥 −
5 2
=
2 𝑥 3
+
2 3
+2
5 2
5 2
=
2 𝑥 3
+
2 3
+2+
2 3
+2
. 𝑥−
+
5
. 2𝑥 =
2 𝑥 3
5
+
+
=
2 𝑥 3
−3 𝑥+
.
11 𝑥 6
=
31 6
.6∗
11 𝑥 6
=
31 6
. 2𝑥 −
2 𝑥 3
5 2
Sumando 5/2 a ambos lados de la ecuación.
9
2 𝑥 3
. 2𝑥 = 5
Simplificando.
Sumando.
31 6 2
31 6
2 3
Restando 𝑥 a ambos lados de la ecuación.
∗6
Multiplicando por 6.
. 11𝑥 = 31 11𝑥 31 = 11 11 𝑥=
31 11
Dividiendo entre 11.
8. 𝟐𝒙 + 𝟑𝟐 = 𝟔𝒙 + 𝟗 2𝑥 + 32 − 32 = 6𝑥 + 9 − 32
Restando 32 a ambos lados de la ecuación.
2𝑥 = 6𝑥 − 23
Restando 6x a ambos lados de la ecuación.
2𝑥 − 6𝑥 = 6𝑥 − 6𝑥 − 23 −4𝑥 = −23 −4𝑥 −23 = −4 −4 𝑥=
23 4
Dividiendo entre -4 ambos lados de la ecuación.
En los siguientes ejercicios simplificar las siguientes fracciones algebraicas. 𝑥 5
9. +
1 5
𝑥+1 5
Al sumar fracciones homogéneas se escribe el mismo denominador y se suman los numeradores. .
1
10. 𝑥−1 +
2 𝑥+2
(𝑥 + 2) + 2(𝑥 − 1) (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
Hallamos el común denominador y realizamos las operaciones.
𝑥 + 2 + 2𝑥 − 2 (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
Resolviendo productos indicados.
3𝑥 (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
Reducción de términos semejantes.
Desarrolle las siguientes situaciones empleando ecuaciones de primer o segundo orden, según sea el caso. 11. La población de peces de un lago aumenta y disminuye según la fórmula 𝑷(𝒕) = 𝟏𝟎𝟎𝟎 (𝟒𝟐 + 𝟏𝟓𝒕 − 𝒕𝟐 ) En este caso, P es la cantidad de peces que hay en el tiempo t, donde t se mide años desde el primero de enero de 2002 cuando la población de peces se estimó por primera vez. ¿En qué fecha la población de peces volverá a ser la misma que en el primero de enero de 2012? ¿En qué fecha habrán muerto todos los peces del lago?
Solución: a) Para saber en qué fecha la población de peces volverá a ser la misma que en el primero de enero de 2012, calculamos la población de peces para ese año, siendo t=10 años. 𝑃(10) = 1000 (42 + 15(10) − (102 ) 𝑃 = 92000 La población de peces para el primero de enero de 2012 es de 92000 peces. Ahora para calcular el tiempo que debe pasar para que la cantidad de peces sea la misma que el primero de enero de 2012, tomamos P=92000 y resolvemos la ecuación cuadrática: 92000 = 1000 (42 + 15(10) − (102 ) 92 = 42 + 15(𝑡) − (𝑡 2 ) 0 = −50 + 15(𝑡) − (𝑡 2 ) 𝑡=
−15 ± √(15)2 − 4(−1)(−50) 2(−1) 𝑡1 = 5, 𝑡2 = 10
Si estimamos la población del año 2012 como la población inicial de peces, entonces para el 1 de enero del año 2017 y del año 2022 se tendrá la misma población de peces del año 2012. b) Para saber la fecha en que habrán muerto todos los peces del lago, hacemos P=0, y resolvemos la ecuación cuadrática para hallar el valor de t (años).
𝑃(𝑡) = 1000 (42 + 15(𝑡) − (𝑡 2 ) 0 = 1000 (42 + 15(𝑡) − (𝑡 2 ) 0 = (42 + 15(𝑡) − (𝑡 2 ) 1000 0 = 42 + 15𝑡 − 𝑡 2 𝑡=
−15 ± √(15)2 − 4(−1)(42) 2(−1) 𝑡1 = −2,41 , 𝑡2 = 17.41
Tomamos la solución positiva, entonces serian 17 años y 0,41 años más que se deben llevar a meses para dar una aproximación de la fecha en que todos los peces morirán; se convierten 0,41 años a meses:
0,42 𝑎ñ𝑜𝑠𝑥
12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 5,04 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 1𝑎ñ𝑜
Así seria entonces hasta este punto 17 años, 5 meses y 0,04 meses más que los vamos a expresar en días, se convierten 0,04 meses a días: 0,04 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑥
30 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 1,2 𝑑í𝑎𝑠 1 𝑚𝑒𝑠
Entonces serían 17 años, 5 meses, 1 día y 0,2 días más que se convertirán en horas, se convierten 0,2 días a horas: 0,2 𝑑í𝑎𝑠 𝑥
24 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 4,8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 1 𝑑í𝑎
Con esto tendríamos 17 años, 5 meses, 1 día, 4 horas más 0,8 horas que se convierten a minutos: 0,8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑥
60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 48 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 1 ℎ𝑜𝑟𝑎
Es decir, que 17 años, 5 meses, 1 día, 4 horas y 48 minutos aproximadamente sería el tiempo que tendría que pasar para que mueran todos los peces, y tomando esta información la fecha aproximada sería entonces: El 1 de junio de 2029 a las 4:48 de la madrugada todos los peces estarán muertos.
Realizar el desarrollo de las siguientes funciones cuadráticas haciendo uso del método indicado en cada caso.
Factorización. 12. 𝑥 2 − 9𝑥 + 20 = 0
Trinomio cuadrado de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
(𝑥 − 4)(𝑥 − 5) = 0 Búsqueda de dos números cuya suma sean 9 y multiplicación 20. 𝑥 = 4 ;𝑥 = 5
13. 6(𝑧 − 1) = 21 − 𝑧 6(𝑧 − 1) − 21 + 𝑧 = 0 6𝑧 + 𝑧 − 6 − 21 = 0 7𝑧 − 27 = 0 7𝑧 = 27 𝑧=
Valores que satisfacen la ecuación inicial.
Ecuación lineal. Números a la izquierda del igual con signo cambiado. Se desarrolla el primer factor. Reducción de términos semejantes. Despeje de la ecuación.
27 7
14. 1 − 4𝑥 2 = 0 12 − 22 𝑥 2 = 0 (1 − 2𝑥)(1 + 2𝑥) = 0 (1 − 2𝑥 = 0) 𝑦 (1 + 2𝑥 = 0)
Resultado del valor de z. Diferencia de cuadrados 𝑎2 − 𝑏 2 Adecuación del ejercicio a la formula. Aplicación de la diferencia de cuadrados (a-b)(a-b) Solución de ecuaciones lineales.
(1 = 2𝑥) 𝑦 (2𝑥 = −1)
Despejes de ecuaciones.
1 (2
Valores que satisfacen la ecuación.
= 𝑥) 𝑦 (𝑥 =
1 − 2)
15. 𝑎2 − 2𝑎 − 3 = 0 (𝑎 − 1)(𝑎 + 3) = 0 multiplicación 2. 𝑎 = 1 ;𝑎 = −3
Trinomio cuadrado de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Búsqueda de dos números cuya suma sean 3 y Valores que satisfacen la ecuación inicial.
Completando el cuadrado.
16.
9𝑥 2 − 2𝑥 = 0
Ecuación cuadrática incompleta.
9 2 2 0 𝑥 − 9𝑥 = 9 9 2 𝑥2 − 9 𝑥 = 0
Dividimos todo por 9. Para hallar el tercer término dividimos entre 2 y elevamos
al cuadrado. 2
1
1
𝑥 2 − 9 𝑥 + 81 = 81
1
2 2
1
El término es (2 ∗ 9) = 81
1 2 1 2 (𝑥 − ) = ( ) 9 9
21 Juan tiene un capital de $500.000 pesos en billetes de $ 1.000 y $5.000, si el número de billetes de $1.000 es la tercera parte de la cantidad de billetes de $5000 que tiene. ¿Cuántos billetes tiene de cada denominación? Sea X= la cantidad de $1.000 3X= la cantidad de billetes de $5.000 Entonces: 𝑥(1000) + 3𝑥(5000) = 500000 1000𝑥 + 15000𝑥 = 500000 16000𝑥 = 500000 𝑥=
500000 16000
𝑥 = 31.25 Billetes de 1000 3(31.25) = 93.75 Billetes de 5000
22. ¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 81 metros si el ancho es la mitad del largo? 2X X
Sea X = Ancho 2X=Largo El perímetro (P) de un rectángulo es la suma de todos los lados. 𝑃 = 2(2𝑥) + 2(𝑥) 81 = 4𝑥 + 2𝑥 81 = 6𝑥 81 − 6𝑥 − 81 = 6𝑥 − 6𝑥 − 81 −6𝑥 = −81 −6𝑥 −81 = −6 −6 𝑥 = 13.5 El ancho es 13.5 metros y el largo es el doble del ancho: 2(13.5) = 27 metros 23. La diferencia entre los puntajes del Sisben de dos personas es de 15 puntos. Si la suma de los puntajes de las dos personas es 35, ¿cuál es el puntaje de cada uno de ellos? Solución: Sea X el puntaje de una de las personas. Entonces como la diferencia de los puntajes es 15 puntos y la suma es 35 puntos, esto quiere decir que una de las personas tiene 15 puntos más que la otra (x + 15), lo cual se puede expresar mediante la siguiente ecuación de primer grado: 𝑥 + (𝑥 + 15) = 35 2𝑥 + 15 = 35 2𝑥 + 15 − 15 = 35 − 15 2𝑥 = 20
2𝑥 20 = 2 2 𝑥 = 10 El puntaje de cada uno de ellos es: 10 y 25, la suma da 35 puntos y su diferencia e 15 puntos.
