CINETICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIO 14-9
Cuando el conductor conductor acciona los frenos frenos de una una camioneta camioneta ligera que viaja viaja a 40 km/h, esta resbala 3 m antes de detenerse detenerse ¿Qué distancia resbalara la camioneta si est viajando a !0 km/h cuando se acciona el freno"
Solución:
#atos$ V 1 =40
km h
V 2=80
km h
d 1= 3 m d 2= ?
%n este caso la velocidad est dada en kil&metros 'or hora, lo transformaremos a metros 'or segundo 'ara igualar las unidades$ km 40 ( 10 ) m 40 = = 11.11 m / s h 3600 seg 3
km 80 ( 10 ) m = = 22.22 m/ s 80 h 3600 seg 3
Aplicn!o l l"# !" l con$"%&ción !" l "n"%'(: ω = Ec2− Ec 1
#onde$ ω =trabajo Ec2= Energia cinetica del punto 2 Ec1= Energia cinetica del punto 1
(a fuer)a de ro)amiento estar dada 'or *ara + que es igual al 'eso del veh-culo Fc= μ c N = μ c W = μc mg
%ntonces
.'licando 'ara 1 40 km/h$ 1 2
2
m v1
− μ c mg ( d )=0
11.11
¿ ¿ 1 2
m¿
61.71605
μc g =
− μ c g ( 3 )=0
61.71605 3
μc g =20.576 m / s
2
ENTONCES PARA LA )1 * +, ./0 1 2
2
m v2
− μ c mg ( d )=0
Fc= μ c N
22.22
¿ ¿ 1 2
m¿
61.71605
d=
−( 20.576 ) ( d ) =0
246.8642 20.576
d =11.997 m
R"$pu"$$ la distancia de frenado ser de 2 m2
EJERCICIO 14-12
Como se indic& en la derivaci&n el 'rinci'io del trabajo 5 la energ-a es vlido 'ara observadores en cualquier marco de referencia inercial demuestre que esto es asmediante la consideraci&n del bloque de 0 kg que descansa sobre la su'erficie lisa 5 est sometida a una fuer)a hori)ontal de 6 + si el observador . se encuentra en un marco fijo 7 determine la ra'ide) final del bloque si tiene una ra'ide) inicial de 8 m/s 5 viaja 0 m ambas dirigidas hacia la derecha 5 medidas desde el marco fijo com'are el resultado con el obtenido 'or un observador 9 unido al eje 7: 5 moviéndose a una velocidad constante de ; m/s con relaci&n a . sugerencia la distancia que viaja el bloque tendr que ser calculada 'rimero 'ara el observador 9 antes de a'licar el 'rinci'io de trabajo 5 la energ-a
Solución:
amos a tener dos observadores 'ara la resoluci&n de este 'roblema$ #atos del 'roblema$ m V 1 =5 s V 2=? VB=2
m s
dA =10 m
P% "l o3$"%&!o% A:
*or el 'rinci'io de la conservaci&n de la energ-a$
ω = Ec2− Ec 1
%l trabajo del bloque estar dado 'or$
ω = Fd =6 N × 10 m=60
%ntonces$ 60= Ec 2− Ec 1
1
= ( 10 ) V − ( 10 ) 5
60
2
2
2
2
2
amos a hallar los resultados 'or la segunda le5 de +e=ton F =ma
*ara el bloque la fuer)a ejercida es de 6 ne=tons 5 su masa es de 0>g$ 6 =10 a
#e donde hallamos$ m a =0.6 2 s *ara los des'la)amientos hori)ontales se sabe que$ 1
2
d =V 0 t + ac t 2
2
=5 t + (0.6 ) t
10
2
#onde obtenemos el sistema$ 2 t + 16.67 t −33.33 =0
ac = 0.6
m 2
s
, tenemos$
t =1.805 s
Con este tiem'o 9 recorre$ VB=dB / t *ara 91;m/s, t12!08s 2= dB / 1.805 dB =3.609 m
.'licando el 'rinci'io de trabajo 5 energ-a 'ara el observador 9 que ha recorrido 3260m con una velocidad del bloque de 3m/s ?'orque van en la misma direcci&n@ entonces encontraremos la velocidad final del bloque 'ara 9 ω = Ec2− Ec 1 ω = Fd =6 N × 6.391 m =38.346
%ntonces tenemos$ 38.346= Ec 2− Ec 1
1
= ( 10 ) V − ( 10 ) 3
60
2
2
2
2
2
6.08 m
R"$pu"$$ %l sistema se cum'le 'ara ambos sistemas con una velocidad final de 620!m/s del bloque2
EJERCICIO 14-1+
#etermine que altura h 'uede alcan)ar el carro de ;00 kg sobre el 'lano inclinado curvo # si se lan)a desde 9 con ra'ide) suficiente justo 'ara alcan)ar la 'arte su'erior del la)o en el C sin abandonar la v-a el radio de curvatura en C es !c =25 m
Solucion:
.nali)ando la figura, en el 'unto C, la fuer)a inercia centrifuga debe de ser igual al 'eso, 'or lo tanto 'or la segunda le5 de +e=ton$
( ) 2
∑ F N =m a N
, entonces
mg=m
v"
!c
%ntonces sim'lificando m tendriamos$ 2 v " g= !c
( )
g= 9.81 m / s
*ar los valores de 2
v " =245.25
m
2
,
!c =25 m
tenemos$
2
2
s
*or el 'rinci'io de la conservaci&n de la energ-a 'ara el tramo 9AC$ Ec
−(¿ ¿ 2− Ec ) ω =¿ 1
%ntonces tenemos$ 1
2
1
mgh=−( m v " − m v B 2
2
2
)
(
200 9.81
) (35 )=−( 1 ( 200)( 245.25 )− 1 (200 ) v B ) 2
2
2
%ntonces$ v B=30.528 m / s %ntonces resolviendo 'ara el tramo 9A# tenemos$ Ec
−(¿ ¿ 2− Ec ) ω =¿ 1
1
mgh=−( m v #
2
2
1
2
− m vB ) 2
v #= 0
*ara
1
mgh=−( m v # 2
(
200 9.81
2
1
2
− m vB ) 2
1 ) h= ( 200) ( 30.53 ) 2
2
EJERCICIO 14-77
(os dos bloques . 5 9 tienes 'esos .160 lb 5 910 lb si el coeficiente de fricci&n cinética entre el 'lano inclinado 5 el bloque . es uk =0.2 determine la ra'ide) de . desde que se movido 3 'ies hacia abajo 'or el 'lano inclinado 'artiendo del re'oso des'recie la masa de cuerda 5 'oleas
Solucion:
Calculo de la rigide) de . si
$ % A =3 pies
#e la figura adjunta se define que
$
% A + ( % A + % B )= &
, 'or lo tanto
&=2 % A + % B
Bi hallamos la derivada con res'ecto al tiem'o en este sistema tenemos$ &=2 % A + % B
#erivando$ 2 d% A d% B 0
=
dt
+
dt
%ntonces tenemos$ 2 V A =−V B
*or la segunda le5 de +e=ton res'ecto al 'lano inclinado tendremos$
∑ F ' =m a' %ntonces N −W A
( )= 4 5
0
W A =60 lb
*ara
N =60
() 4 5
N = 48 lb
.'licando el 'rinci'io de trabajo 5 energ-a 'ara el sistema de bloques tendremos$
∑ ω = $ Ec
[
2
− $ Ec 1
∑ ω= 12 m v A
2
A 2
1
2
][
+ m A v B − 2
2
1 2
m B v A 1
2
1
+ mB v B 2
2 1
]
.'licando el trabajo 'ara los 'esos, 5 a'licando trabajo nulo en las tensiones, $ % A =3 pies $ % B=2 $ % A sabiendo adems que 5 que , entonces $ % B=6 pies
W A
(
3 5
$ % A
'or lo tanto tenemos$
)−
F " $ % A −W B $ % B=
[
1 2
m A v A 2
2
1 + m A v B 2
2 2
]
( ) 3 5
[
(3 ) −9.60 (3 )−10 ( 6 )=
Bim'lificando$
1
( ) 60
2 32.2
v A 2
2
+
1
( ) 10
2 32.2
vB2
2
]
19.2
=
[( ) 1
60
2 32.20
2
v A 2
+
(
1
10
2 32.20
)
2
v B2
]
ulti'licando ambos miembros 'or 6424 tenemos$ 1236.48
*ara
2
=60 v A + 10 v B 2
2 V A
1236.48
2 2
=−V B , entonces tenemos$ 2
=60 V A + 10 V B
2
EJERCICIO 14-78
%l bloque . 'esa 60 lb 5 el bloque 9 0 lb determine la distancia que . debe descender desde el re'oso antes de obtener una ra'ide) de ! 'ies/s ¿Cul es la tensi&n en la cuerda que so'orta al bloque ." des'recie la masa de cuerda 5 'oleas2
Solución:
$ % A
Calculo de
V A =8 m / s
del bloque ., 'ara
, el bloque va a bajar desde el
re'osoD del mismo anlisis del ejercicio anterior tenemos$
&=2 % A + % B
, medidos
desde los ejes de las 'oleas2 *or consiguiente derivando tenemos$ 2 d % A d% B 0
=
dt
+
dt
Que 'odemos re'resentar como$ 0 =2 $ % A + $ % B Como sabemos la diferencial del es'acio res'ecto del tiem'o es la velocidad 'or tanto$ 2 V A =−V B
*or lo tanto si %ntonces
V A 2= 8 pies / s
,
V B =−16 pies / s
.'licando el 'rinci'io de trabajo 5 energ-a 'ara el sistema de bloques tendremos$
∑ ω = $ Ec
[
2
− $ Ec 1
∑ ω= 12 m v A
2
A 2
1
2
][
+ m A v B − 2
2
1 2
m B v A 1
2
1
+ mB v B 2
2 1
]
.'licando los datos del ejercicio teniendo en cuenta que 'ara las tensiones los valores son cero entonces tenemos$
[
W A ( $ % A ) −W B ( $ % B )=
1 2
[
W A ( $ % A ) −W B ( 2 $ % A )=
m A v A 2
1 2
2
1 + m A v B
m A v A 2
2
2
2 2
]
1
+ m A v B 2
*ara los valores conocidos tenemos
2 2
]
60
[( ) ( ) ]
( $ % A )−10( 2 $ % A )=
1
60
2 32.2
2
8
+
1
10
2 32.2
2
(−16 )
%valuando tenemos$ $ % A =2.484 pies
A0o% clcul%".o$ l "n$ión "n l cu"%!
*or 'rinci'io de trabajo 5 energ-a 'ara el bloque .$
∑ ω = $ Ec
[
2
− $ Ec 1
∑ ω= 12 m v A
2
A 2
][ −
1 2
2
m B v A 1
]
.'licando 'ara los valores conocidos del 'roblema 5 sabiendo que desciende desde el re'oso$
(
60 2.484
)−−[ 0 ]
%valuando tenemos$ ) A =35.995 lb
EJERCICIO 14-2,
%l mecanismo de cata'ulta se usa 'ara im'ulsar el desli)ador . de 0 kg hacia la derecha a lo largo de la v-a lisa la acci&n de 'ro'ulsi&n se obtiene jalando la 'olea unida a la barra 9C r'idamente hacia la i)quierda 'or medio de un 'ist&n * si el 'ist&n a'lica una fuer)a constante E1;0 >+ a la barra 9C de tal manera que se mueve 02; m determine la ra'ide) alcan)ada 'or el desli)ador que originalmente estaba en re'oso des'recie la masa de 'eleas, cable, 'ist&n 5 la barra 9C2
Solución:
Clculo !" l &"loci!! u" !ui"%" A:
(a variaci&n de la longitud de los cables cuando . 5 C se mueven es$ &=2 % " + % A #onde ( es una constante 'or lo tanto si le a'licamos la derivada a la funci&n con res'ecto al tiem'o tenemos$ &=2 % " + % A
#erivando$
0
=
2 d% "
dt
+
d% A dt
(as variaciones serian$ 0 =2 $ % " + $ % A %ntonces tenemos$ 2 V " =−V A Bi sabemos que la variaci&n de la distancia en C es 02;m entonces2 0
=2 $ % " + $ % A
0
=2 (0.2)+ $ % A
$ % A =−0.4 m
*or 'rinci'io de trabajo 5 energ-a 'ara el bloque .$
∑ ω= $ Ec − $ Ec 2
[
∑ ω= 12 m v A
2
A 2
1
1
][ −
W A ( $ % A ) = m A v A 2
2
2
1 2
2
m B v A 1
1
+ m A v A 2
] 2 1
.'licando 'ara los valores conocidos del 'roblema 'ara
m A=10 kg
, la fuer)a
que se a'lica en las tensiones es de la mitad de la fuer)a del 'ist&n, 'or tanto es de 0000+, 5 sabiendo que 'arte del re'oso$
(
10000 0.4
)= 1 (10 ) v A + 0 2
2
%valuando tenemos$ v A 2 =28.284 m / s
2
