Trabajo 29

TRABAJO 29 Escalera Dimensionamiento y cálculo de una escalera es calera plegable plegable comercial comerc ial Calvo Orell ana Carlos Roberto Roberto 77024449W Bier Mérida Chris tian 78983571F 78983571F Herrera Gaitán 54120937M

Grado Ing. I ng. Mecánica Mecánica Curs o 2015-2016 2015-2016

Elasticidad y resistencia de materiales Trabajo de curso curs o

Contenido

1.

Objetivos............. Objetivos.................. .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... ......... .... 2

2.

Conocimientos Conocimientos complementarios a desarrollar.... desarrollar. ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. 2

1.

Modelizado de la Esca lera ........ ............. .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ......... .... 3

2.

Estructuras Estruct uras simp les .............. ................... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 5

3.

Cargas Carga s soportadas: soportada s: .......... ............... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ......... .... 7

4.

Ajustar Ajustar la sección al esfuerzo esfuerzo soportado soportado y a la funció función n del elemento. elemento. ..... ....... .... .... 9

5.

Comprobaciones de agotamiento de la secció n........ n........... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ..23

6.

Perfiles a usar............. usar.................. .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... ......... ......... ........... .......... ....28

7. Declaracion de los integrantes......................... integrantes............................................. .................... .................... ....30

pág. 1


Contenido

1.

Objetivos............. Objetivos.................. .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... ......... .... 2

2.

Conocimientos Conocimientos complementarios a desarrollar.... desarrollar. ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. 2

1.

Modelizado de la Esca lera ........ ............. .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ......... .... 3

2.

Estructuras Estruct uras simp les .............. ................... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 5

3.

Cargas Carga s soportadas: soportada s: .......... ............... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ......... .... 7

4.

Ajustar Ajustar la sección al esfuerzo esfuerzo soportado soportado y a la funció función n del elemento. elemento. ..... ....... .... .... 9

5.

Comprobaciones de agotamiento de la secció n........ n........... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ..23

6.

Perfiles a usar............. usar.................. .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... ......... ......... ........... .......... ....28

7. Declaracion de los integrantes......................... integrantes............................................. .................... .................... ....30

pág. 1


ESCALERA

Diseñe Di señe una una escalera del tipo tip o que se muestra muestra en la la figura 1. 1. Dimensiones a decidir en función de las existentes en el mercado.

Figura 1. Escalera E scalera

1. Objetivos 1.- Modeliz Modeli zar la estructura estructura para su análisis en el plano. plano. 2.- Familiari Fami liarizarse zarse con las estructuras estructuras simples. 3.- Razonar Razonar y definir las cargas soportadas sopo rtadas en ausencia ausencia de reglamentació reglamentación n especifica. 4.- Ajustar la sección al esfuerzo soportado y a la función del elemento. 5.- Analizar el equilibrio del sistema mecánico.

2. Con Conocimientos ocimientos complementarios complementarios a desarrolla de sarrollar. r. 1.- Modelización de sistemas mecánicos. 2.- An A nálisis de la estabilidad de elementos elementos mecánicos mecánicos 3.- Dimensionamiento Di mensionamiento de conjuntos conjuntos mecánicos compuestos por elementos sometidos sometid os a muy muy diversos esfuerzos. esfuerzos.

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Elasticidad y resistencia de materiales Trabajo de curso

1. Modelizado de la Escalera Consideraciones iniciales: 1.

La escalera tiene apoyos fijos en sus patas

Justificación: Si consideramos móvil uno de los apoyos este tiene la capacidad de desplazar libremente en la dirección móvil, sin ninguna condición de restricción. Para evitar esto las escaleras de esta tipología suelen llevar elementos tales como tapones, soportes o tapas en las patas para aumentar el coeficiente de fricción e impedir el desplazamiento. Además es de conocer que la fuerza se fricción es proporcional a la reacción.

2.- Los elementos compuestos se van a modelar como barras articuladas. Justificación: Puesto que se trata de una escalera plegable, los elementos móviles se van a modelar con articulaciones. 3.- Tipos de carga Justificación: debido a que la estructura puede estar sometido a varios tipos de cargas, se van a elegir aquellas que parezcan ser las más desfavorables. 4.- Simetría Justificación: La condición de simetría nos permite analizar la escalera contenida en un plano, sin necesidad de un análisis en 3D. Para ello también la carga tomada en cuenta tiene que repartirse en estos planos. Esto se detalla mas adelante

Para tanto dimensionar la estructura y su posterior análisis, la estructura se puede contener en un plano, como se muestra

pág. 3


Para su discretizacion de la estructura se comenzará por las cargas en cada peldaño, donde se muestra cada carga para cada caso. Cargas visualizadas en t/m Para cada peldaño este se modelara como:

Se discutirá más adelante la modelación más apropiada para los peldaños Para el análisis en 2D se compondrá mediante la siguiente topología con los diferentes tipos de carga a considerar: Barra Biarticulada Tirantes articulados a la barra principal  

Las cargas visualizadas en toneladas Se ha considerado que el peso máximo admisible será de unos 150kg, de los cuales por simetría se reparten entre dos quedando así la carga que figura de unos 75kg o 0,075t. pág. 4


2. Estructuras simples Peldaños:

pág. 5


Escalera:

pág. 6


3. Cargas soportadas: Se ha supuesto una carga admisible para la escalera de 150kg, suponiendo una persona con herramientas. Este masa se ha considerado repartida, también parar simplificar las hipótesis se podría haber tomado como puntuales, puesto que no es significante el momento flector. Peldaños: Se ha elegido varias cargas para comprobar su repercusión en esas posiciones relativas. Simplificaciones:

Cargas en t/m t=toneladas

∑  = 0 ∑ ℎ = 0 ∑  = 0

 =  =0,075=75

pág. 7


Escalera:

Cotas en metros

Cargas en toneladas pág. 8


4. Ajustar la sección al esfuerzo soportado y a la función del elemento. Carga en la clave

∑  = 0 ∑ ℎ = 0 ∑  = 0

 =  =0,0375=37,5

Por simetría calculamos los valores horizontales:

 =  =0,0188=18,5

Para el equilibrio a nivel interno se deduce:

pág. 9


∑  = 0 ∑ ℎ = 0 ∑  = 0

 =  =0=0

Es decir no trabajan los tirantes. Puesto que solamente trabajan las barras principales y estos están sometidos a compresión, habrá dimensionar para su estabilidad ante pandeo Luego: Descomponiendo los esfuerzos en las coordenadas locales de la barra principal se obtiene que:

 = 42  ó Luego el perfil que ha ser utilizado será aquel que no pandee en su eje débil, pero un axil de 42kg va a cumplir cualquier sección comercial y además si tomamos en cuenta la longitud de pandeo, al estar coaccionado por los tirantes el pandeo no es tan significativo para una sección comercial.

pág. 10


Carga en mitad de barra principal

∑  = 0 ∑ ℎ = 0 ∑  = 0

 =56,25  =18,75

Puesto que al ser hiperestática la estructura y que ya no cumplen simetría al actuar esa carga, el cálculo de las reacciones horizontales estará ligado a las características de las barras. Para calcular las reacciones horizontales como los axiles en los tirantes se va usar el Principio de trabajos virtuales y para no tener que usar términos relativos a las características de cada barra, se usará el mínimo perfil comercial y que luego se comprobará si este cumple.

pág. 11


El perfil para proceder a la comprobación será:

Si aplicamos el PTV, para ello hay que convertir la estructura en formas isostáticas de la inicial:

pág. 12


Estado N0

∑  = 0 ∑ ℎ = 0 ∑  = 0  = −

 =56,25  =18,75  =9,375  =9,375

Diagramas Axiles

pág. 13


Cortantes

Flectores

Tramo 1 Tramo 2

M(x)=17x (kgm) M(x)=17x-34(x-0.73) (kgm)

pág. 14


Estado N1

∑  = 0 ∑ ℎ = 0 ∑  = 0  = −

 =0  =0  =0,67  =0,67 Axiles

pág. 15


Cortantes

Flectores

Tramo 1 Tramo 2

M(x)=0,596x M(x)=0,596x-0,894(x-0,48)

pág. 16


Estado N2

∑  = 0 ∑ ℎ = 0 ∑  = 0  = −

 =0  =0  =0,33  =0,33 Axiles

pág. 17


Cortantes

Flectores

Tramo1 Tramo 2

M(x)=0,298x M(x)=0,298x -0,894(x-0.97)

pág. 18


Enunciando el Tma. Castigliano y aplicándolo:

      ·  ·  =  = ∫   +∫               ·  ·  =  = ∫   +∫           =  +  ·  +  · 

Barras N1-N6 N6-N4 N6-N4 N4-N3 N3-N5 N5-N7 N7-N2 N6-N7 N4-N5

N0 -55 -55 13 13 -21 -21 -21 0 0

N1 0.149 0.149 0.149 -0.298 -0.298 0.149 0.149 -1 0

N2 0.298 -0.149 -0.149 -0.149 -0.149 -0.149 0.298 0 -1

M0 M1 M2 17*x 0.298*x 0.596*x 17*x 0.298*x 0.596*x-0.894*(x-0.48) 17*x-34*(x-0.73) 0.298*x 0.596*x-0.894*(x-0.48) 17*x-34*(x-0.73) 0.298*x-0.849*(x-0.97) 0.596*x-0.894*(x-0.48) 0 0.298*x-0.849*(x-0.97) 0.596*x-0.894*(x-0.48) 0 0.298*x 0.596*x-0.894*(x-0.48) 0 0.298*x 0.596*x 0 0 0 0 0 0

Nr

Mr

0.149*a+0.298*b-55

(0.298*a+0.596*b+17)*x

0.149*a-0.149*b-55

(0.298*a-0.298*b+17.)*x+0.429*b

0.149*a-0.149*b+13

(0.298*a-0.298*b-17.)*x+0.429*b+24.82

-0.298*a-0.149*b+13

(-0.551*a-0.298*b-17.)*x+0.823*a+0.429*b+24.82

-0.298*a-0.149*b-21

(-0.551*a-0.298*b)*x+0.823*a+0.429*b

0.149*a-0.149*b-21

(0.298*a-0.298*b)*x+0.429*b

0.149*a+0.298*b-21

(0.298*a+0.596*b)*x

-a

0

-b

0

Nr·N1· 0.022*(a+2.*(b-184.56)) 0.022*(a-b-369.12) 0.022*(a-b+87.24) 0.088*(a+0.5*(b-87.24)) 0.088*(a+0.5*(b+140.94)) 0.022*(a-b-140.93) 0.022*(a+2.*(b-70.46)) a 0

Mr·M1 0.088*(a+2.*(b+28.52))*x^2 0.088*x*((a-b+57.02)*x+1.44*b) 0.088*x*((a-b-57.04)*x+1.44*(b+57.83)) 0.30*(x-1.49)*((a+0.54*(b+57.04))*x-1.49*(a+0.52*(b+57.83))) 0.30*(x-1.49)*((a+0.54*b)*x-1.49*(a+0.52*b)) 0.088*x*((a-b)*x+1.44*b) 0.088*(a+2.*b)*x^2 0 0

L(m) 0.48 0.72 0.96 1.45 1.45 0.96 0.48 0.87 0.43

A(m²) 8.1E-5 8.1E-5 8.1E-5 8.1E-5 8.1E-5 8.1E-5 8.1E-5 2.E-5 2.E-5

pág. 19


Nr·N1·L/A

Mr·M1·L/A

131.568*(a+2.*(b-184.36))

40.41*(a+2.*(b+28.52))

65.78*(a-b-369.12) 65.78*(a-b+87.24)

95.98*(a+1.36*(b+41.68)) 186.92*(a+0.70*(b+58.96))

537.20*(a+0.5*(b-87.24))

190.78*(a+0.45*(b+60.79))

537.26*(a+0.5*(b+140.93))

190.78*(a+0.45*b)

131.56*(a-b-140.93) -106.89*(a+2.*(b-70.46))

282.90*(a+0.92*b) 40.41*(a+2.*b)

43500.*a

0.

0.

0.

Nr·N2 Mr·M2 Nr·N2·L/A Mr·M2 0.04*(a+2.*(b-184.56)) 0.17*(a+2.*(b+28.523489932886))*x^2 263.12*(a+2.*(b-184.56)) 80.83*(a+2.*(b+28.52)) -0.02*(a-b-369.12) -0.08*(x-1.44)*((a-b+57.04)*x+1.44*b) -197.34*(a-b-369.12) 131.35*(a+1.42*(b+40.08)) -0.02*(a-b+87.24) -0.08*(x-1.44)*((a-b-57.02)*x+1.44*(b+57.84)) -263.12*(a-b+87.24) 131.35*(a+0.73*(b+58.92)) 0.04*(a+0.5*(b-87.24)) 0.16*(x-1.44)*((a+0.54*(b+57.62))*x-1.49*(a+0.52*(b+57.84))) 794.85*(a+0.5*(b-87.24)) 87.47*(a+0.46*(b+60.61)) 0.04*(a+0.5*(b+140.94)) 0.16*(x-1.44)*((a+0.54*b)*x-1.49*(a+0.52*b)) 794.85*(a+0.5*(b+140.93)) 87.47*(a+0.46*b) -0.021*(a-b-140.94) -0.08*(x-1.44)*((a-b)*x+1.44*b) -263.12*(a-b-140.93) 262.70*(a+1.07*b) 0.04*(a+2.*(b-70.46)) 0.17*(a+2.*b)*x^2 263.12*(a+2.*(b-70.46)) -400.46*(a+2.*b) 0 0 0. 0. b 0 21500.*b 0.

Sumando la última columna se obtiene dos sistemas de ecuaciones formados por los estados isostáticos:

5469,45+1024,89−140216,25=0 −2516,15+2689,89−10213,45=0 a=21.21 kg b=23.64kg Si lo comprobamos mediante programas computacionales tales como Cype Metal, se puede observar que:

Los valores discrepan un poco pero son claros indicadores. pág. 20


Si superponemos todos los esfuerzos anteriores se obtiene que: Flectores

Cortantes

pág. 21


Axiles

pág. 22


5. Comprobaciones de agotamiento de la sección Peldaños Se va a elegir el modelo de comportamiento más desfavorable:

Mmax=11kgm=1100kgcm

Mmax=23kgm=2300kgcm Luego es apropiado modelar los peldaños para una carga muy desfavorable esta es mejor para una carga biapoyada.

Calculando la sección necesaria: Mmax=23kgm=2300kgcm σadm =1150 – 1250 kg/cm²

 =  =  = 2 ³

Buscando el perfil comercial ideal, se obtiene que:

pág. 23


 =  ·  = 3.5 

Luego volviendo a comprobar:

S=2625mm³=2,625cm³ I=5,86 cm^4 b =2·0,65=1,3cm y=1,75 cm M=23kgm=2300kgcm V=75kg

 =25,84 ²  =686,86 ²   = √  +3²=688,31 ²  < 

pág. 24


Escalera Puesto que el máximo flector se observa que se da en lado derecho de la barra y también el cortante es: M=8kgm V=17kg

Se comprobara mediante la expresión de Von Mises:

V=cortante (kg) S=Momento estático de la sección (cm³) t= espesor (cm) Iz= Momento de inercia (cm^4) y=Distancia a la fibra neutra (cm) Mz=momento actuante (kgcm)

  = 

Para calcular algunos parámetros tales como el momento estático o el de inercia:

pág. 25


S=247,125mm³=0,247cm³ I=0,38 cm^4 b =2·0,15=0,3cm y=1 cm Mmax=8kgm=800kgcm V=17kg

 =36,83 ²  =2105,26 ²

Como se puede ver es muy representativo la tensión de Navier.

  √  =  +3²=2106,23 ²

Si comparamos la tensión admisible de material, en este caso Aluminio extruido EN AW5083.

  = 115 −125  = 1150− 1250 ²  ≥ 

Luego es muy superior y no cumple

Si elegimos otra serie y luego su posterior comprobación, sabiendo además la inercia aumenta significativamente respecto a la altura de la sección:

pág. 26


S=595mm³=0,595cm³ I=1,41 cm^4 b =2·0,15=0,3cm y=1,5 cm M=8kgm=800kgcm V=17kg

 =23,91 ²  =851,06 ²   √  =  +3²=852,07 ²   = 115 −125  = 1150− 1250 ²  <   = 42  ó

Comprobación a pandeo

Eal=700x10³ kg/cm² I=0,45 cm^4 L=48cm α=1 (mas desfavorable)

 =429,5kg>>N=42kg pág. 27


6. Perfiles a usar Peldaños

Escalera

pág. 28

Trabajo 29

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