Física III D
Trabajo Práctico de laboratorio “Experimento “Experimento de Franck-Hertz”
Grupo Nº 9 Turno Noche
Fecha de realización: 13/11/2007 Fecha de entrega: 27/11/2007
Objetivo ● ●
●
Verificar la cuantificación de los niveles de energía de los electrones en los átomos. Llegar a la interpretación del resultado de las mediciones como indicio de la absorción discreta de energía de los átomos de mercurio. Medir la diferencia de energía de los electrones en los átomos de mercurio entre el estado fundamental y el primer estado excitado.
Introducción teórica
El descubrimiento de que la luz se propaga a través del espacio vacío y puede ser emitida o absorbida por la materia sólo como paquetes discretos de energía, llamados también ”cuantos de luz”, influyó profundamente sobre el estudio de la estructura de los átomos. En 1913, Niels Bohr propuso un nuevo modelo del átomo y de órbitas de los electrones, que se basaba en el modelo del átomo de Rutherford. Su modelo tiene dos postulados, uno de ellos relativo a la cuantificación de las órbitas de los electrones. El modelo de Bohr predice que la energía total de un electrón en un átomo está cuantizada. De acuerdo con este modelo en un átomo multielectrónico la energía total de cada uno de sus electrones deberá estar cuantizada y consecuentemente deberá ocurrir lo mismo con la energía total del átomo. Sin embargo los primeros experimentos que buscaban poner en evidencia esta cuantificación utilizaban luz y por ello, se reprochaba a Bohr que los resultados de la cuantificación de las órbitas (y por tanto la cuantificación de los estados de energía de los electrones del átomo) se debían sólo a la cuantificación de la luz. En 1914, Franck y Hertz, que trabajaban en las energías de ionización de los átomos, pusieron a punto una experiencia que usaba los niveles de energía del átomo de mercurio. Su experiencia sólo usaba electrones y átomos de mercurio, sin hacer uso de ninguna luz. Bohr encontró así la prueba irrefutable de su modelo atómico.
Figura 1 – Esquema del aparato utilizado por Franck y Hertz
En un tubo de vidrio donde previamente se practicó un vacío se encuentran átomos de mercurio a una presión de vapor que se mantiene constante regulando la temperatura. Se estudia aquí la pérdida de energía por parte de los electrones libres al dispersarse inelásticamente los átomos de mercurio, o sea, al sufrir éstos una excitación por colisión. El cátodo C al ser calentado actúa como fuente de electrones de baja energía. Estos electrones son acelerados hacia el ánodo A debido a una diferencia de potencial V variable entre los electrodos. El ánodo es una especie de rejilla y algunos electrones pasan a través de los agujeros y viajan hacia la placa P. Entre la placa y el ánodo se aplica un potencial de frenado Vr de modo tal que los electrones que lleguen hasta P serán aquellos que posean energía cinética suficiente para superarlo. El experimento consiste en medir la corriente de electrones que alcanzan la placa (indicada
por la corriente I que fluye a través del medidor) como función del voltaje acelerador V. Para potenciales bajos, los electrones acelerados adquirieron solamente una cantidad modesta de energía cinética. Cuando se encontraron con los átomos del mercurio en el tubo, participaron en colisiones puramente elásticas. Esto se debe a la predicción de la mecánica cuántica que un átomo no puede absorber ninguna energía hasta que la energía de la colisión exceda el valor requerido para excitar un electrón que esté enlazado un átomo a un estado de una energía más alta. Con las colisiones puramente elásticas, la cantidad total de energía cinética en el sistema sigue siendo igual. Puesto que los electrones son unas mil veces menos masivos que los átomos más ligeros, esto significa que la mayoría de los electrones mantuvieron su energía cinética. Para un cierto valor de V algunos electrones adquieren la energía necesaria para excitar los electrones de los átomos del gas por medio de una colisión inelástica, en la cual los electrones emitidos pierden su energía y si la colisión se produce cerca del ánodo la energía que les queda no es suficiente como para vencer la región del potencial de frenado y llegar a la placa colectora, por lo tanto en ese momento se observará un descenso de la corriente. Si se continúa aumentando el potencial acelerador, a pesar de la energía que pierden los electrones en la colisión, llegan al ánodo con energía suficiente como para vencer la barrera de potencial y alcanzar la placa colectora. De esta forma comienza a detectarse nuevamente un aumento de la corriente medida por el amperímetro. La corriente aumentará hasta que la energía que llevan los electrones sea suficiente como para excitar a dos átomos en sucesivos choques, entonces otra vez se observará una caída abrupta. En intervalos regulares este proceso se repetirá pues los electrones experimentarán una colisión inelástica adicional. Al continuar aumentando el voltaje acelerador seguirá producíendose este fenómeno, de forma tal que al graficar I vs V aparecerán picos, a partir de los cuales es posible medir la diferencia de energía entre el estado fundamental y el estado de primera excitación del átomo mercurio. Cabe aclarar que para voltajes mayores se encuentran picos adicionales que se deben a que algunos electrones excitan átomos hasta el primer estado excitado pero otros son excitados hasta estados superiores.
Desarrollo de la experiencia
Figura 2 – Horno de Franck y Hertz El experimento fue llevado a cabo en cinco ocasiones, variando algunos parámetros en cada oportunidad. Para ello contamos con un horno como el que se muestra en la Figura 2, dentro del cual se encontraba el dispositivo al que hicimos referencia previamente (Figura 1). El horno tenía conectado un termómetro, y multímetros para poder visualizar los valores del potencial de aceleración, el potencial de frenado y la intensidad de corriente durante el desarrollo de la experiencia.
Debido a la velocidad con la que se producían las modificaciones en el estado del sistema, el relevamiento de los datos se efectuó con la ayuda de una PC conectada al dispositivo, mientras que manualmente se detallaban algunas características del estado inicial así como también el voltaje para el cual la ionización de los átomos de mercurio generaba una emisión de radiación visible, momento en el cual se procedía a detener el proceso. Con los datos obtenidos, más precisamente el tiempo y la intensidad de corriente medidos por la PC, se inició la segunda etapa del trabajo práctico (ya fuera del laboratorio). Luego de volcar los datos en tablas, el paso siguiente fue identificar en cada ensayo del experimento cuál fue el instante en el cuál la llave era abierta; esto era necesario debido a que la computadora comenzaba a tomar datos antes del inicio del proceso. Otro detalle a tener en cuenta fue la regularidad con la cual se hacía cada medición de la PC, que tomaba muestras aproximadamente cada medio segundo (1). Una vez determinados los tiempos reales se calculó para cada instante el valor del potencial de aceleración de acuerdo a la fórmula Ua(t ) 50V (1 e ) (2) y se elaboró un gráfico de la intensidad de corriente en función de tal. Teniendo los gráficos relativos a cada experiencia se identificaron los picos de corriente, a fin de determinar la diferencia de enregía entre el estado fundamental y el primer estado excitado de los átomos de mercurio. Para tal fin se colocaron los valores del voltaje de aceleración de cada pico y se los situó por orden de aparición en un gráfico, donde se realizó un ajuste por cuadrados mínimos y se obtuvo la pendiente de la recta. Finalmente la pendiente de la recta por cuadrados mínimos es proporcional a la diferencia de energía que se busca. −
=
−
t RC
(1) Será considerado al analizar los resultados. (2) Ver anexo.
Resultados obtenidos ●
Experimento Nº 1
Uf = 3,03 V T = 160 ºC Ionización = 47 V (aprox.) 500 450 ) A 400 µ ( e 350 t n e i r r 300 o c 250 e d d 200 a d i s 150 n e t n 100 I
50 0 0
5
10
15
20
25
30
35
Potencial de aceleración Ua(t) (V)
Gráfico 1 – I vs V en el experimento 1
40
45
50
47,5 45 42,5 40 37,5 35 32,5 ) t ( a 30 U 27,5
25 22,5 20 17,5 15 12,5 1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
N
Gráfico 2 – Valores de Ua(t) que produjeron picos de corriente en el experimento 1 N
Ua(t) 14,05 19,06 24,92 30,86 34,94 40,68 45,85
1 2 3 4 5 6 7
Tabla 1 – Valores de Ua(t) que produjeron picos de corriente en el experimento 1 El valor de la pendiente de la recta por cuadrados mínimos es de 5,31; por lo tanto la diferencia de energía entre el estado fundamental y el primer estado excitado del átomo de mercurio es de 5,31eV
●
Experimento Nº 2
Uf = 1,47 V T = 130 ºC La ionización se produjo muy rápido 700 650 ) a µ ( e t n e i r r o c e d d a d i s n e t n I
600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 -50 0
2,5
5
7,5
10
12,5
15
17,5
20
22,5
25
27,5
30
Potencial de aceleración Ua(t) (V)
Gráfico 3 – I vs V en el experimento 2
32,5
35
37,5
35 32,5 30 27,5 25
) t ( a 22,5 U
20 17,5 15 12,5 10 1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
N
Gráfico 4 – Valores de Ua(t) que produjeron picos de corriente en el experimento 2 N 1 2 3 4 5 6
Ua(t) 10,67 15,02 20,85 25,15 30,49 32,78
Tabla 2 - Valores de Ua(t) que produjeron picos de corriente en el experimento 2 El valor de la pendiente de la recta por cuadrados mínimos es de 4,61; por lo tanto la diferencia de energía entre el estado fundamental y el primer estado excitado del átomo de mercurio es de 4,61eV
●
Experimento Nº 3
Uf = 1,47 V T = 165 ºC Ionización = 35 V (aprox.)
750 700 ) 650 A µ 600 ( e 550 t n 500 e i r 450 r o 400 c e 350 d d 300 a 250 d i s 200 n e 150 t n I
100 50
0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
Potencial de aceleración Ua(t) (V)
Gráfico 5 – I vs V en el experimento 3
35 32,5 30 27,5 25
) t ( a 22,5 U
20 17,5 15 12,5 10 1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
N
Gráfico 6 - Valores de Ua(t) que produjeron picos de corriente en el experimento 3 N 1 2 3 4 5 6
Ua(t) 10,67 14,05 19,06 24,16 29,67 34,94
Tabla 3 - Valores de Ua(t) que produjeron picos de corriente en el experimento 3 El valor de la pendiente de la recta por cuadrados mínimos es de 4,87; por lo tanto la diferencia de energía entre el estado fundamental y el primer estado excitado del átomo de mercurio es de 4,87eV
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Experimento Nº 4
Uf = 1,47 V T = 200 ºC Ionización más allá de los 50 V 350 325 ) 300 A µ ( 275 e 250 t n e 225 i r r 200 o c 175 e d 150 d a 125 d i s 100 n e 75 t n I 50
25 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Potencial de aceleración Ua(t) (V)
Gráfico 7 – I vs V en el experimento 4 47,5 45 42,5 40 ) t ( a U
37,5 35 32,5 30 27,5 25 22,5 1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
N
Gráfico 8 - Valores de Ua(t) que produjeron picos de corriente en el experimento 4 N 1 2 3 4 5
Ua(t) 22,56 26,38 33,02 37,42 46,21
Tabla 4 - Valores de Ua(t) que produjeron picos de corriente en el experimento 4
50
El valor de la pendiente de la recta por cuadrados mínimos es de 5,83; por lo tanto la diferencia de energía entre el estado fundamental y el primer estado excitado del átomo de mercurio es de 5,83eV
●
Experimento Nº 5
Uf = 3 V T = 200 ºC Ionización más allá de los 50 V 350 325 300
) A275 µ ( 250 e t n 225 e i r 200 r o 175 c e 150 d d 125 a d i 100 s n 75 e t n 50 I
25 0 -25 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Potencial de aceleración Ua(t) (V)
Gráfico 9 – I vs V en el experimento 5 50 47,5 45 42,5 40 ) 37,5 t ( a U 35
32,5 30 27,5 25 22,5 1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
N
Gráfico 10 - Valores de Ua(t) que produjeron picos de corriente en el experimento 5
50
N 1 2 3 4 5 6
Ua(t) 22,56 26,38 33,02 37,42 46,21 49,15
Tabla 5 - Valores de Ua(t) que produjeron picos de corriente en el experimento 5 El valor de la pendiente de la recta por cuadrados mínimos es de 5,62; por lo tanto la diferencia de energía entre el estado fundamental y el primer estado excitado del átomo de mercurio es de 5,62eV
Análisis y conclusiones
Con el desarrollo de este trabajo práctico hemos tomado contacto con la experiencia de verificar predicciones cuánticas. Al observar los resultados notamos ciertas irregularidades con respecto a los valores esperados. Es notorio que los gráficos de I vs V muestran picos de intensidad de corriente cada vez menores cuando teóricamente se preveía que serían picos cada vez mayores, además en todos los casos el primer pico aparece más tarde de lo que se suponía. Como atenuante podemos detallar algunas cuestiones involucradas con el procesamiento de los resultados, más allá de las incertezas propias de cada medición. En primer lugar el desfazaje entre el inicio de la toma de datos y el comienzo del proceso propiamente dicho (al abrir la llave) supuso una fuente adicional de posibles errores al buscar el instante al cuál identificar con t = 0. Otro detalle fue el hecho de que la toma de datos se producía de forma irregular, frente a lo cual se eligió como criterio para calcular el potencial de aceleración utilizar intervalos regulares de 0,66 segundos (el valor que más se repetía entre datos consecutivos). Además en las mediciones aparecía repetidas veces un valor que no tenía correspondencia con el proceso: un repentino salto hasta los 10.000 µA, el cual hubo que quitar de la muestra. Sin embargo, y como dato saliente de este trabajo práctico, los resultados también reflejan claramente el carácter cuántico de los niveles energéticos, pues se observan marcados picos de intensidad de corriente en todos los casos. Y finalmente en los cálculos para determinar la diferencia de energía entre el estado fundamental y el primer estado excitado del átomo de mercurio se llegó a valores cercanos al valor teórico de 4,9 eV. Por lo tanto consideramos cumplidos los objetivos propuestos.
Bibliografía empleada ● ●
Eisberg y Resnik - “Física Cuántica” editorial Limusa Tipler - “Física Moderna”
Anexo: Resolución del circuito eléctrico y obtención de Ua(t)
A continuación se detalla la manera de obtener la expresión del voltaje de aceleración en función del tiempo dado el circuito utilizado para realizar el experimento.
Figura 3 – Circuito eléctrico utilizado Nos enfocaremos en la malla que se encuentra en la parte inferior izquierda, que es la responsable de generar la diferencia de potencial analizada a medida que se carga el capacitor.
Figura 4 – Detalle de la parte del circuito vinculada con el potencial de aceleración Ua Según las leyes de Kirchoff se tiene la siguiente ecuación de malla ε 0 −
Donde llamamos
ε
0
=
I (t ) R −
q(t ) C
=
0
50V
De modo que reemplazando la intensidad de corriente como la carga por unidad de tiempo la expresión se transforma en ε 0
Pasando de miembro
dq q (t ) = R + dt C
Y dividiendo por R resulta
dq dt
+
−
dq R dt
ε 0
q (t ) RC
=
ε 0
R
−
q (t ) C
=
0
Esta ecuación diferencial podemos resolverla como la suma de la solución de la ecuación homogénea asociada y una solución particular q (t ) =
dq
Primero resolvemos la ecuación homogénea de la forma qh (t ) = e
α
t
dqh
y por lo tanto
=
dt
q(t )
+
dt
α
α
e
e t (α α
+
0 , para lo cual proponemos una solución
=
RC t
Reemplazando en la ecuación homogénea se llega a
común
qh (t ) + q p (t )
α
α
e
t
1
+
RC
α
e
t
=
0 , y luego tomando factor
1
) = 0. RC
Seguidamente notando que e
α
t
≠
0∀ α ∀ t se deduce que
α
1
+
=
RC
0 y por lo tanto
α
1
= −
Entonces la solución general del sistema homogéneo resulta ser de la forma q (t ) = Ae h
RC −
t RC
Luego como una solución particular proponemos una constante q p (t ) = k , y al reemplazarla en la ecuación tenemos 0 +
k
=
RC
ε 0
k
⇒
R
=
ε
0
C y entonces q p (t ) =
ε 0
C
La solución a la ecuación diferencial que buscamos es la suma de las soluciones homogénea y particular obtenidas. En este momento aplicamos la condición inicial del sistema q (0) = 0 para obtener el valor de la constante A:
q(0) = A + ε 0C ⇒
A +
ε
C = 0
0
⇒
Entonces nuestra solución resulta ser q(t ) =
A =
− ε 0
− ε 0C
Ce
−
t RC
+ ε 0
C , y si se toma factor común y se ordenan
los términos podemos presentarla bajo la expresión q (t ) =
C (1 − e
ε 0
−
t RC
)
Ahora, para despejar la expresión que representa al voltaje de aceleración recordamos que para un q (t ) q(t ) ⇒ V = = V (t ) capacitor q (t ) = CV ⇒ V = C C Y como es el capacitor cargándose el que genera la diferencia de potencial Ua(t) se tiene finalmente
Ua (t ) y reemplazando
ε 0
=
q (t ) =
C
=
ε 0
(1 e
−
−
t RC
)
50V llegamos a la expresión buscada
Ua(t ) = 50V (1 − e
−
t RC
)
