UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
“
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE PARRILLA”
CURSO
DOCENTE :
:
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
ING. IVAN LEON MALO
NUE VO CHI M BOTE - OCTUBRE , 2014 2014
1
Las parrillas son estructuras reticulares sometidas a cargas que actúan perpendicularmente a su plano. Ejemplos de ellas se encuentran en muchas estructuras industriales, en losas de entrepiso con viguetas en dos direcciones, en tableros de puentes y en culatas de bodegas y fábricas sometidas a la acción del viento. Los nudos se suponen rígidos y en consecuencia las acciones principales sobre sus miembros son torsión, flexión y corte.
z
Y X FIGURA 1. Sistema de parrilla típica
2
Resumiendo en proceso de análisis se tiene:
z
z i , wi
M xi , 0xi
Y
z j , wj M yj , 0yj
M yi , 0yi
X M xj , 0xj
FIGURA 2. Elemento de parrilla orientado en la dirección positiva del eje «X» M xi
JG L
M yi
0
Zi
0
=
M xj
JG L
M yj
0
Z j
0
0
0
4EI
6EI 2
L
L
6EI
12EI
2
3
L
L
0
0
2EI
6EI
L
L2
6EI
12EI
2
L
3
L
JG L 0 0 JG L 0 0
0
0
2EI
6EI 2
L
L
6EI
12EI
E
0xi
M xi
0yi
M yi Zi
E
E
L
L3
wi
0
0
0xj
M xj
4EI
6EI
L
L2
0yj
M yj
6EI
12EI
w j
Z j
2
2
L
3
L
+
E E
E
ECUACIÓN 1. Ecuación básica de un elemento de parrilla en coordenadas locales orientada en la dirección del eje «X». válida para el sistema de coordenadas globales. 3
z j , w j
z
M yj , 0yj
zi , wi
Y
M yi , 0yi
M xj , 0xj M xi , 0xi
X
FIGURA 3. Elemento de parrilla orientado en la dirección positiva del eje «Y» M xi
4EI
M yi
0
L
6EI
Zi M xj M yj Z j
0
2
=
L
2EI L 0 6EI 2
L
JG L 0
0 JG L 0
6EI
2EI
L2
L
0
0
12EI
6EI
3
L
6EI 2
2
L
4EI
L
L
0
0
12EI
6EI
3
L
2
L
0
6EI
JG L
0
0
0 JG L 0
L2
12EI 3
L
6EI
E
0xi
M xi
0yi
M yi
wi
Zi
E
E
+
E
0xj
M xj
0
0yj
M yj
12EI
w j
Z j
2
L
3
L
E
E
ECUACIÓN 2. Ecuación básica de un elemento de parrilla en coordenadas locales orientada en la dirección del eje «Y». válida para el sistema de coordenadas globales. 4
EJEMPLO: Hallar las reacciones, fuerzas internas y la deformada del siguiente sistema: 4Tn
2Tn/m
2
Viga: 0.25x0.50 m
2
E = 2188198 Tn/m
5Tn
2
3.00m
G = 951391 Tn/m
1.50m 1.50m
Solución: 1.- Etiquetamos en cada nodo los GDL. 2.- Enumeramos cada elemento y la dirección de análisis respectivo.
9g 8g
2
3g
6g 2g
7g 5g
1g 1
4g
1 , 2 : Elemento 1g 2 g 3 g 4g 5g 6g 7g 8g 9 g : GDL
5
Calculamos el momento de inercia rotacional y torsional de cada elemento:
ℎ3 12
0.25 0.503 12
9
3
3 ℎ [1 −
0.002604 ; 1 2
∞ =,3,..
tanh(
)] , < ℎ
0.001787 ; 1 2 Resumiendo las rigideces a flexión, a cortante, a flexión cortante y torsional, tenemos: ELEMENTO
L
4EI/L
2EI/L
12EI/L³
6EI/L²
JG/L
1
3.00
7597.91
3798.95
2532.64
3798.95
566.58
2
3.00
7597.91
3798.95
2532.64
3798.95
566.58
Para el elemento 1: JG L 0 0
K
=
JG L 0 0
K=
0
0
4EI
6EI
L
L2
6EI
12EI
L2
L3
0
0
2EI
6EI
L
L2
6EI
12EI
L2
L3
JG L 0 0 JG L 0 0
0
0
2EI
6EI
L
L2
6EI
12EI
L2
L3
0
0
4EI
6EI
L
L2
6EI
12EI
L2
L3
Z 3g
2g Y
Z X
6g
5g Y
1g 1
4g
X
1g
2g
3g
4g
5g
6g
566.58
0
0
-566.58
0
0
1g
0
7597.91
-3798.95
0
3798.95
3798.95
2g
0
-3798.95
2532.64
0
-3798.95
-2532.64
3g
-566.58
0
0
566.58
0
0
4g
0
3798.95
-3798.95
0
7597.91
3798.95
5g
0
3798.95
-2532.64
0
3798.95
2532.64
6g
La matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales está orientada en la dirección del eje «X». válida para el sistema de coordenadas globales.
Para el elemento 2: 4EI L
K
=
0
6EI L2
2EI L
0
6EI L2 0
0
JG L
0
0
JG L
6EI L2
0
12EI L3
6EI L2
0
12EI L3
2EI L
0
6EI L2
4EI L
0
6EI L2
0
JG L
0
0
JG L
0
6EI L2
0
12EI L3
6EI L2
0
12EI L3
K=
Z Z
2
3g 2g
X
7g
Y X
1g
8g Y
9g
1g
2g
3g
7g
8g
9g
7597.91
0
3798.95
3798.95
0
-3798.95
1g
0
566.58
0
0
-566.58
0
2g
3798.95
0
2532.64
3798.95
0
-2532.64
3g
3798.95
0
3798.95
7597.91
0
-3798.95
7g
0
-566.58
0
0
566.58
0
8g
-3798.95
0
-2532.64
-3798.95
0
2532.64
9g
La matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales está orientada en la dirección del eje «Y». válida para el sistema de coordenadas globales.
Ensamblando la matriz de rigidez global del sistema se tiene:
K=
1g 8164.49 0.00 3798.95 -566.58 0.00 0.00 3798.95 0.00 -3798.95
2g 0.00 8164.49 -3798.95 0.00 3798.95 3798.95 0.00 -566.58 0.00
1g
3g 4g 5g 3798.95 -566.58 0.00 -3798.95 0.00 3798.95 5065.27 0.00 -3798.95 0.00 566.58 0.00 -3798.95 0.00 7597.91 -2532.64 0.00 3798.95 3798.95 0 0 0.00 0 0 -2532.64 0 0
2g
3g
4g
5g
6g 0.00 3798.95 -2532.64 0.00 3798.95 2532.64 0 0 0
7g 3798.95 0.00 3798.95 0 0 0 7597.91 0.00 -3798.95
6g
7g
kLL
kLR
kRL
kRR
8g 0.00 -566.58 0.00 0 0 0 0.00 566.58 0.00 8g
9g -3798.95 0.00 -2532.64 0 0 0 -3798.95 0.00 2532.64 9g
K=
FLL = KLL x D LL + KLR x D RR FLL FRR
KLL
KLR
=
x KRL
KRR
D LL D RR
FRR = KRL x D LL + KRR x D RR FLL = KLL x D LL
y
1g 2g 3g 4g 5g 6g 7g 8g 9g
FRR = KRL x D LL
1g 2g 3g 4g 5g 6g 7g 8g 9g
Ensamblando el vector de fuerzas y desplazamientos, tenemos:
M1 M2 F3 M4
F = M = 5
0 0 -4 M4
F Libres = FLL
M5
F6
F6
M7 M8 F9
M7 M8 F9
D =
01 02
01 02
D3
D3
04 05
0 =
D6
F Restringidas = FRR
07 08 D9
DLibres = D LL
0 0 0 0 0
DRestringidas = D RR
Así que: Los desplazamientos nodales y reacciones lo podemos determinar con las siguientes ecuaciones: -1 K D FRR = KRL x D LL = x F LL LL LL Pero debemos tener en cuenta que las cargas o fuerzas aplicadas a lo largo del elemento deben ser transformadas a cargas aplicadas en el extremo o nodo.
Para el elemento 1:
P = 5Tn
3g 2.5 Tn
6g 2.5 Tn
P = 5Tn
2g
P a
5g
b L
2
2
Pab
1.875 Tn.m
Pab
2
L
2
2
Pb(3a+b)
2
Pa(a+3b)
L
Para el elemento 2:
W = 2Tn/m
3g
W
1g
9g
3 Tn
Por tanto, las ecuaciones
W = 2Tn/m
3 Tn
7g
1.5 Tn.m
FLL = KLL x D LL
FLL = KLL x D LL + FE
2
WL 12
WL 2
1.5 Tn.m
y
L
2
WL 12
WL 2
FRR = KRL x D LL quedarían así:
FRR = KRL x D LL + FE
Reemplazando los datos en las ecuaciones anteriores se tiene: 0 0 -4
=
8164.49
0.00
3798.95
0.00
8164.49
-3798.95
3798.95
-3798.95
5065.27 0.0022279 rad
θ1 θ2
D3
=
-0.00218197 rad -0.00518291 m
1.5
θ1
x
θ2
D3
+
-1.875 5.5
M4
-566.58
0.00
0.00
M5
0.00
3798.95
-3798.95
0.00
3798.95
-2532.64
M7
3798.95
0.00
3798.95
M8
0.00
-566.58
0.00
0.00
F9
-3798.95
0.00
-2532.64
3.00
F6
=
0.00
-1.262 Tn.m
M5
13.275 Tn.m =
x
-0.00218197 -0.00518291
M4 F6
0.002227897
7.337 Tn
M7
-12.726 Tn.m
M8
1.236 Tn.m
F9
7.663 Tn
Ahora dibujamos los diagramas solicitados : F9 = 7.663 Tn 4Tn
2Tn/m
M8 = 1.236 Tn.m M7 = 12.726 Tn.m 5Tn
F6 = 7.337 Tn M5 = 13.275 Tn.m M4 = 1.262 Tn.m
1.875 +
2.50 -1.50
DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES
-
(-)1.66 Tn. (+)2.34 Tn. +
+
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES
(-)7.663 Tn.
- 12.726 Tn.m. 1.264 Tn.m. +
(+)7.337 Tn. 1.236 Tn.m.
DIAGRAMA DE MOMENTO TORSOR
DEFORMADA
(+)1.24 Tn.m. +
01=0.0022279 rad D3= -0.005182 m
(-)1.26 Tn.m.
02=-0.00218197 rad
- 13.275 Tn.m.
AHORA TE TOCA A TI: HALLAR LAS REACCIONES, FUERZAS DE CORTE, MOMENTOS FLECTORES, TORSIÓN Y DESPLAZAMIENTOS, DE LA SIGUIENTE ESTRUCTURA:
EXITOS!!!!