Toberas y Formulas La tobera es el órgano básico que que convierte la energía de presión disponible disponible en el vapor en energía cinética. En este párrafo desarrollaremos la teoría básica de la tobera de expansión aplicando el Primer Principio de la Termodinámica a una expansión adiabática. Se tiene que:
Como es expansión adiabática:
Sea A-B (fig. 9.1) un tubo o ducto por el que circula un fluído compresible. Una vez establecido el régimen permanente, al caudal másico G de fluído que circula por unidad de tiempo a través de una sección cualquiera X-X' de área W será constante. Si C es la velocidad media del fluído en la sección X-X' y v su volumen específico, entonces la ecuación de continuidad nos da:
Figura 9.1: Flujo en tobera
Lo anterior es verdadero cuando C se toma como velocidad media y es consecuencia de la equación general de la hidrodinámica:
o sea:
Para régimen permanente,
es independiente de t y si C es paralela al eje x, entonces Cx =
C; Cy = 0 y Cz =0 de donde , lo que integrando nos da: ·C = Cte. Como = 1/v, resulta que C/v = Cte. Esta constante equivale al caudal másico de fluído que circula a través de la tobera por unidad de área, es decir: G/W. Tomando diferenciales logarítmicas para G=Cte tenemos:
(9.2) En el caso de circulación adiabática de un fluído en una tobera entre dos presiones, se debe determinar cual debe ser la sección W de la tobera para tener valores prefijados de presión. Zeuner resolvió este problema, solución que después utilizó De Laval para la construcción de sus primeras turbinas. El caudal másico de fluído que circula a través de la tobera es:
(9.3) Si p1 y v1 son las características del fluído en la sección de entrada y p, v las de una sección cualquiera; y si además suponemos de que el fluído se comporta como gas perfecto, entonces la velocidad queda dada por la fórmula de Weissbach:
(9.4) Sabiendo que
y Cp - Cv = R, tenemos que la ecuación (9.4) toma la forma:
(9.5) Reemplazando este valor de C en (9.3) nos queda:
(9.6)
como:
sustituyendo el valor de v en (9.6) tenemos:
(9.7) La constante K corresponde al primer término de la ecuación precedente, y al segundo término. Como Gs es constante, el mínimo de W corresponderá al valor máximo de la función
, cuya condición de borde es:
Obsérvese que tanto para p = p1 como para p = 0, resulta que =0, y fuera de estos valores j >0; lo anterior implica que entre p1 y 0 hay, al menos, un máximo. Llamando pm el valor de p en el máximo de la función
, y derivando la ecuación (9.7) e igualando a 0, tenemos:
luego:
(9.8) Esta presión pm es la que en forma simultánea hará máxima y mínima la sección W. Lo anterior implica que, en general, para que la expansión adiabática en una tobera sea completa, esta debe ser del tipo convergente-divergente (Tobera de-Laval, figura 9.2). Eso sí que esta forma se presenta siempre y cuando p2 < pm, o lo que es lo mismo cuando:
De no cumplirse esta condición, y si la presión de salida es p2 > pm, la tobera quedará limitada al trozo convergente. Sean H1, Hm, H2 las entalpías correspondientes a p1, pm y p2. Se llama salto crítico a la diferenciaDHm = H1 - Hm; y velocidad crítica a la existente en el cuello, o sea:
Fig. 9.2 Tobera de Laval (hacer click para ver a tamaño completo)
(9.9) Reemplazando pm y vm en la ecuación (9.5), tenemos:
de donde:
(9.10) que es la velocidad crítica en función de las condiciones iniciales del fluído. Si se calcula esta velocidad en función de las condiciones que tiene el fluído en la garganta de la tobera se llega a un resultado interesante, en efecto:
(9.11) que es la velocidad de propagación de una onda elástica longitudinal en las condiciones que tiene el fluído en la sección mínima. Las ecuaciones anteriores son aplicables al vapor de agua con solo reemplazar $\gamma$ por el valor correcto, en particular: g = 1,41 para aire. g = 1,3 para vapor sobrecalentado. g = 1,135 para vapor saturado seco. g = 1,035 + 0,1 x para vapor con título inicial x. En los dos últimos casos la expansión va acompañada de condensación, lo cual hace variar x al mismo tiempo que la presión p. Las ecuaciones anteriores nos permiten determinar para un caudal másico conocido de fluído a través de la tobera, sea sus diferentes secciones (suponiendo distribución de caída de presion conocida), o bien la caída de presión conocida a lo largo de la tobera (suponiendo conocida la distribución de secciones).
