UNIDAD 2 Elementos de las turbomáquinas: conversión de energía potencial en cinética toberas ! di"usores# $lu%o compresible# &er"ormances# '# ()N*E+,I-N DE E& EN E(: .oberas ! Di"usores# Parte de la cascada de conversión de energía en las turbomáquinas requiere la conversión de energía potencial en energía cinética, y viceversa. Estas transformaciones se producen en elementos estáticos de las turbomáquinas denominados Toberas y Difusores. En las primeras la energía potencial presión! se convierte en energía cinética cinéti ca aumento de velocidad! y en los segundos sucede la l a inversa. Para las turbomáquinas "idráulicas fluído incompresible! y para las máquinas de muy ba#as relaciones de presión ventiladores! es suficiente traba#ar con las relaciones de flu#o incompresible ecuación de $ernouilli! para deducir los cambios de presión y velocidad. %uando los cambios de presión y velocidad son importantes y se traba#a con gases se comien&an a manifestar fenómenos de compresibilidad, que requieren consideración de la velocidad del gas respecto a la velocidad del sonido en el mismo. 2# *E/)(IDAD I,EN.+-&I(A DE/ ,)NID) %onsideramos un conducto de sección constante lleno de un fluído incompresible en reposo, en el cual se propaga, de i&quierda i &quierda a derec"a, una perturbación de presión con velocidad c 'igura (.)a!*
'ig. (.)* Propagación de una perturbación de presión +"apiro! a perturbación de presión es suficientemente peque-a para considerar el flu#o isentrópico. Detrás de la perturbación la presión sufre un incremento dp y el flu#o adquiere una velocidad dv. 'i#amos a"ora el sistema de coordenadas en la perturbación 'igura (.)b!, con lo que pasamos a considerar las velocidades relativas del flu#o indicadas en la 'igura. Planteamos el balance de fuer&as sobre el frente de perturbación 'uer&acambio en la cantidad de movimiento* A[ p − ( p + dp )] = G[(c − dv ) − c] , donde / es la sección del conducto y 0 el gasto másico. %omo G = ρ Ac , siendo ρ la densidad, resulta dp = ρ cdv Planteamos a"ora la conservación de la masa* ρ cA = ( ρ + d ρ )(c − dv ) A , de donde, despreciando el producto de infinitésimos, resulta
dv c
=
d ρ
.
ρ
De los dos balances resulta dp
c =
d ρ
/l ser la entropía constante adoptamos la e1presión de la adiabática p = ρ γ .const , de donde dp d ρ
= γρ γ −) .const =
γ
γ
ρ
.const =
ρ
γ
p = γ RT
ρ
uego, c=
p γ
= γ RT
ρ
Esta e1presión permite calcular la velocidad de transmisión de una peque-a perturbación de presión, tal como una onda de sonido, en un gas. Por e#emplo, para el aire γ ).2, 3(45.67! en condiciones normales T(44.)89! resulta c :26.: m;s. En adelante, para evitar confusión con la velocidad absoluta del fluído, denominaremos a a esta velocidad isentrópica del sonido* a = γ RT El cociente entre la velocidad absoluta del fluído c y la velocidad isentrópica del sonido es un n
%inética E> ?v( Potencial ?g& @nterna A?cvT
El calor intercambiado será B y el traba#o . os valores por unidad de masa se definen con min
∫
)
l = p d ρ ) Cotar que se requiere conocer la relación entre presión y densidad dentro del sistema para poder reali&ar la integral. El traba#o de circulación en un sistema %E33/D se relaciona con el traba#o de e1pansión como sigue*
(
l i = −
dp
∫) ρ
(
(
p ) p p = − ∫ d + ∫ pd = l + ) − ( ρ ) ρ ( ρ ) ρ )
uego, l = l i +
p(
−
ρ (
p) ρ )
Para un sistema /$@E3T, el traba#o total reali&ado por o sobre el fluído se compone del traba#o de e1pansión más los cambios de energía cinética y potencial entre los estados de entrada y salida del fluído* v (( − v)( + g ( z ( − z ) ) l ≡ l +
(
El traba#o de total del sistema abierto será entonces* p( p) v (( − v)( l = l i + − + + g ( z ( − z ) ) ρ (
(
ρ )
+ustituyendo el traba#o l en el balance de energía del sistema cerrado y operando obtenemos el balance de energía del sistema abierto* v)( v (( q + h) + + gz ) = h( + + gz ( + l i
(
(
+alvo en las turbomáquinas "idráulicas donde es esencial!, el cambio de energía potencial es despreciable. /demás, los intercambios de calor con el e1terior son solamente debidos a pérdidas y por el momento pueden despreciarse, por lo que el traba#o de circulación, que es todo el traba#o entregado o recibido por el fluído en su pasa#e por la máquina, se e1presa como*
v ( l i = ∆ h + ( siendo positivo para una turbomáquina motri& y negativo para una turbomáquina operativa. En el pasa#e por una tobera o difusor no se reali&a traba#o y consideramos a estas transformaciones sin intercambio de calor con el e1terior, por lo que v ( = const h+
(
uego, podemos considerar un punto en el campo de flu#o donde la velocidad sea nula y la entalpía sea má1ima. Este será un punto de remanso, también denominado de estagnación o de tanque. En este punto las variables las indicaremos con el subíndice cero, con lo que v( v( h6 = c p T 6 = h + = c p T +
(
%onsiderando que c p =
γ
R , y que
γ − )
p = ρ RT podemos escribir
γ − ) ( T 6 = T ) + M γ
(
El pasa#e del fluído desde el tanque o punto de remanso al punto actual fue isentrópico, por lo que podemos considerar la relación de la adiabática* p = const γ T γ −) para establecer la relación entre la presión de remanso y la del punto actual* γ
γ − ) ( γ −) p6 = p ) + M , ( y también entre las densidades* ρ 6
= ρ ) +
γ − )
(
M (
) γ −)
.
/ las condiciones en el punto actual p, T, ρ) se las denomina valores estáticos, para diferenciarlos de los valores de remanso. Para apreciar el significado de las condiciones de remanso, considérese un conducto con dos mediciones de presión y una de temperatura 'igura (.(!*
'ig. (.(* =ediciones en un conducto a medición de temperatura y la de presión enfrentando al flu#o crean puntos de remanso y por consiguiente, despreciando los ro&amientos que afectan a la reversibilidad, miden las condiciones de remanso. a medición de presión sobre la pared mide la presión sin afectar a la velocidad del flu#o, es decir, la presión estática. %on las mediciones de presión y el coeficiente de la adiabática γ del fluído se puede obtener el n
# ()NDU(.), ()N (A13I) DE ,E((I)N Para el caso de flu#o isentrópico en un conducto tenemos v( h6 = h + = const
(
de donde dh = −v dv . De la Termodinámica tenemos que TdS = dh −
dp ρ
y, siendo la transformación isentrópica, d+ 6 y resulta dp = − ρ v dv a conservación de la masa es* ρ vA = const
,
de donde, tomando logaritmos y derivando, d ρ
dv
dA
= 6. v A 3eempla&ando a( dp;dρ y =v;a y operando con las e1presiones anteriores obtenemos* dA ) − M ( dp = ( A ρ v Esta e1presión nos relaciona el cambio de sección transversal / con el cambio de presión dp a través del n
+
ρ
1ac4 5' 5' 6' 6'
dA F6 G6 F6 G6
dp F6 G6 G6 F6
dv G6 F6 F6 G6
tipo difusor tobera tobera difusor
régimen subsónico subsónica supersónica supersónico
+e aprecia que un conducto convergente d/G6! puede acelerar el flu#o tobera! si la velocidad del fluído es menor que la del sonido, y decelerarlo difusor! si la velocidad es superior a la del sonido. An conducto divergente se comporta a la inversa.
7# ()NDU(.) ()N*E+8EN.E9DI*E+8EN.E: .obera de /aval %onsideramos un conducto convergenteHdivergente en régimen compresible, subsónico. a conservación de la masa se e1presa como* G = ρ vA = const 3eempla&amos utili&ando las e1presiones de flu#o compresible para obtener* G ρ 6T o
R γ
= AM ) +
γ − )
(
M (
−
γ +) ( (γ −))
Esta e1presión nos relaciona la sección transversal y el n
'ig. (.:* 'unciones de flu#o compresible para γ ).2 Jilson! a tobera convergenteHdivergente tobera de aval! es entonces
(
/demás, se requiere una cierta diferencia de presión mínima que estará dada por la e1presión de la presión de remanso con =)*
γ + ) (
p6 = p
γ γ −)
uego, la presión en la garganta y la presión a la entrada de la tobera asumiendo muy ba#a velocidad de entrada! deben estar en la proporción má1ima de
( ) γ +
γ γ −)
≅ 6.84(:
a presión de descarga a la salida de la porción divergente debe ser más ba#a a
c"oque, que reducen bruscamente la velocidad por deba#o de la del sonido. El proceso contin
'ig. (.2* Presiones en la tobera de aval ee! / caudales inferiores al crítico la tobera primero acelera y luego decelera el flu#o, todo en régimen subsónico 56K, L6K!. uego se alcan&a el caudal crítico 0 c, a partir del cual ya no se incrementa el caudal por más que se contin
p γ ( M p 6
( (
ρ
v = γρ 6 p6
y sustituímos las relaciones de flu#o compresible para eliminar = en función de p;p6. btenemos así* ( (
ρ
v =
p (γ ρ 6 p6 p γ − ) 6
γ +) γ
γ −) − γ p ) − p6
Esta e1presión la podemos ma1imi&ar derivando con respecto a p;p 6 e igualando a cero, con lo que obtenemos el valor de p;p6 que ma1imi&a el caudal másico. Este resulta ser precisamente el valor crítico que corresponde a =).
uego, la tobera convergenteHdivergente, o simplemente convergente con una descarga suave d/6! al e1terior, tiene un caudal másico má1imo que se alcan&a cuando la relación de presiones entradaH garganta es la crítica. / partir de allí el caudal másico sólo puede aumentarse aumentando la densidad del fluído, es decir, la presión de entrada. a presión de descarga, pasada la presión crítica en la garganta, no tiene efecto sobre el caudal másico.
# DIA8+A1A ; ()N) DE ,.)D)/A El caudal másico puede e1presarse en función de la relación de presiones en lugar del n
p p 6
G = A ρ 6
) γ
γ −) (γ p6 p γ ) − γ − ) ρ 6 p6
En el espacio 0, p, p6!, para cada valor de p6, el caudal másico 0 es nulo cuando pp6. /l reducirse p aumenta el caudal másico "asta que se alcan&a la relación crítica de presiones y el caudal má1imo. Para valores de presión de garganta p a
8
8 8
'ig (.8* Diagramas y cono de +todola 0annio! Cotar que cuando se fi#a p p) en la figura! y se aumenta p6 el caudal contin
<# +ENDI1IEN.) DE .)3E+A,: $actor 9 f Debido a la fricción del fluído con las paredes de la tobera la velocidad de descarga será ligeramente inferior en un factor 9 f, que usualmente se toma entre 6.L5 y 6.LL para toberas convergentes y
entre 6.L7 y 6.L2 para convergentesHdivergentes por las mayores velocidades alcan&adas y por ende mayores pérdidas!. a 'igura (.7 ilustra la e1pansión en una tobera en el plano "i!Hs*
'ig (.7* Tobera con pérdidas •
• •
Esto puede interpretarse de dos maneras* Para obtener la velocidad de descarga deseada con un salto entálpico igual al isentrópico o disponible, se debe e1pandir "asta una presión menor punto (!. Esto se debe a que parte de la energía cinética se convierte en calor por fricción, aumentando la temperatura y cancelando parte de la caída de entalpía. E1pandiendo "asta la presión dada la velocidad de descarga será menor punto (M! por las ra&ones anteriores. En cualquier caso el efecto de la fricción es una pérdida de presión de remanso, que pasa a p 6(. El salto de entalpía adiabático, despreciando la velocidad de entrada, es v (( had =
(
mientras que el salto real es h= (
( K f v( )( (
(
por lo que el rendimiento es η = K f y las pérdidas son ∆h = ) − K f
(
)
v ((
(
=# DI$U,)+E, Para los difusores se emplea el mismo coeficiente 9 f, sólo que incrementando el valor de la velocidad de entrada. a 'igura (.5 ilustra la transformación*
•
• •
'ig (.5* Difusión en el plano "i!Hs Cuevamente, esto puede interpretarse de dos maneras* +e requiere un mayor salto de entalpía para alcan&ar la misma presión punto (M!. Esto se debe a que parte de la energía cinética se convierte en calor por fricción, aumentando la temperatura y disminuyendo la densidad sin contribuir al aumento de presión. %on un salto de entalpía dado se alcan&a una menor presión punto (!, por la misma ra&ón anterior. En cualquier caso se pierde parte de la presión de remanso. El salto de entalpía adiabático, despreciando la velocidad de salida, es had =
( K v) )(
mientras que el salto real es*
f
(
(v) )( h = ( (
(
por lo que el rendimiento es* η = K f y las pérdidas son ∆h = ) − K f
(
)
v)(
(
.
El dise-o de difusores contempla muy especialmente la posibilidad de que el fluído no pueda seguir el contorno de la pared por ser la divergencia demasiado alta, en cuyo caso el flu#o se separa y el difusor se comporta como si la relación de áreas fuera muc"o menor, alcan&ando presiones muc"o menores. En la 'igura (.4 se ilustran valores má1imos recomendados de ángulos de paredes para varios tipos de difusores*
'ig (.4* Nalores recomendados para difusores +mit"!
># DE++A1E EN .)3E+A, ()N *A&)+ ?U1ED) a. %uando el derrame en la tobera tiene lugar en la &ona de vapor "
Donde f =
velocidad de las gotas velocidad del vapor
6,64 a 6,(!
Oi titulo del vapor al iniciarse el derrame. Ofs coeficiente de velocidad para toberas operando con vapor sobrecalentado Ana e1presión de calculo para f es* seg
Donde "l6, "l) entalpías del liquido en la condición inicial y final respectivamente. "v6, "v) entalpías del vapor en la condición inicial y final respectivamente. %uando el derrame se origina en la &ona de vapor sobrecalentado la anterior e1presión no es de utilidad. b. +obreenfriamiento %uando el derrame se inicia con vapor sobrecalentado, es posible que finalice en la &ona de vapor "
'igura ) En principio, al alcan&ar el fluido en estado /, se daría el proceso de aparición de gotas de líquido. +in embargo, diversas e1periencias demuestran que ello no sucede. /un para presiones menores que p a el flu#o permanece completamente en fase vapor, configurando un estado metaestable que se conoce como sobreenfriamiento o sobresaturación. El fenómeno se e1plica en el "ec"o de que los procesos donde se verifican cambios de fases condensaciónHevaporación! demandan un tiempo físico para llevarse a cabo y dado que en el derrame los parámetros térmicos varían con notable velocidad, se establece ese desfasa#e o retardo.
%uando el ale#amiento de las condiciones estables alcan&a una cierta magnitud, s
'igura (. ínea de Jilson de los estados de sobresaturación en los planos THs y "Hs. a perdida de energía será " cH" b. El lugar geométrico de los estados en donde se inicia la condensación para derrames cuyo comien&o tiene distintos valores de entropía configura lo que se denomina Qlínea de JilslonR. Dado que e1iste ine1actitud en las e1perimentaciones para su determinación, mas que una línea correspondería "ablar de una R&ona de JilsonR. Esta abarcaría una fran#a paralela a la de vapor saturado y comprendida apro1imadamente entre los títulos 1 6,L: y 1 6,L8.
