Université des Sciences et Technologies de LILLE UFR de MATHEMATIQUES CAPES externe 99/00
Thalès et la construction de l’espace affine
Ceci peut-être utilisé pour aider à l’exposé sur le théorème de Thalés et le caractère affine des projections. De nombreuses démonstrations ne sont qu’esquissées ou sont absentes. Bib R. Bkouche (Autour de Thalès) Commission interIREM, Cousin-Fauconnet (Enseigner la Géométrie au Collège) A. Colin, Lelong-Ferrand (Fondements de la géométrie) chap 6 et 7 PUF, Tisseron (Géométries affines, projectives, euclidiennes) Hermann, Fresnel (Méthodes modernes de géométrie), Godement (Cours d’algèbre) d’25 Hermann, Artin. Algèbre géométrique. 1972. Gauthier Villars. Berger M. Géométrie. Cédic Nathan. Fraenkel J. Géométrie pour l’élève professeur. 1973. Hermann. Cagnac Ramis Commeau (Mathématiques Spéciales Géométrie) chap V espaces affines Masson , Durrande Terminales tome II Géométrie Bordas 1983 p 83...., Exposé fait par L. Denis-Vidal sur les vecteurs. Prérequis Régionnement du plan par une droite. Mesures algébriques. Définition du parallélogramme : ABCD en est un si [AC] et [BD] se coupent en leur milieu. Cette définition équivaut au fait que (AB) et (CD) sont parallèles ainsi que (AD) et (BC) (considérer la symétrie de centre le point de concours des diagonales) Les réels. En particulier, il existe des nombres irrationnels, et entre deux rationnels, il existe un irrationnel et inversement. Valeurs approchées décimales des
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réels. La démonstration d’Euclide de l’existence de segments incommensurables est donnée en annexe.
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Introduction
Lemme 1 D et D0 étant deux droites sécantes, A, B, C étant trois points de D, A0 , B 0 , C 0 étant trois points de D0 tels que (AA0 ), (BB 0 ), (CC 0 ) sont parallèles, alors l’ordre des points A, B, C sur D est le même que l’ordre de A0 , B 0 , C 0 sur D0 . Démonstration. On suppose que B ∈ [AC] et que A et A0 sont de part et d’autre de (BB 0 ). Alors (AA0 ) et (BB 0 ) se coupent, ce qui est faux. On fait de même pour C et C 0 par rapport à la droite (BB 0 ). Théorème 1 (des milieux) Dans un triangle la droite parallèle à un côté et passant par le milieu d’un autre côté coupe le troisième côté en son milieu Démonstration. Soit ABC un triangle I le milieu de [AB], J 0 l’intersection de (AC) avec la parallèle à (BC) menée de I. On construit le parallélogramme ADCB, (IJ 0 ) coupe (DC) en K. ADKI et IKCB sont des parallélogrammes car leurs côtés sont parallèles deux à deux. Leurs côtés sont donc égaux deux à deux et K est donc le milieu de [DC]. I et K étant les milieux de [AB] et [CD] se correspondent donc dans la symétrie de centre J milieu de [AC]. Les points I, J 0 , K et I, J, K sont donc alignés et donc l’intersection de (IK) avec (AC) est unique : J = J 0 Conséquence du théorème des milieux : 2IJ = BC. Il suffit de mener de J la parallèle à (AB). Autre conséquence : Corollaire 1 Si 3 droites parallèles déterminent des segments égaux sur une sécante, alors elles déterminent des segments égaux sur toute autre droite Corollaire 2 Si des droites parallèles déterminent des segments égaux sur une sécante, alors elles déterminent des segments égaux sur toute autre droite Application : partage d’un segment en p segments égaux Théorème 2 Dans le plan sur les couples de points. La relation (A, B)R(A0 , B 0 ), si [AB 0 ] et [A0 B] ont même milieu, est une relation d’équivalence. C’est la transitivité de R qui pose problème. On suppose (A, B)R(A0 , B 0 ) et (A , B 0 )R(A00 , B 00 ). Alors (A, B)R(A”, B”). En effet si deux points d’un couple sont confondus, alors les autres le sont. Sinon, les couples définissent des droites (AB) et (A00 B 00 ) parallèles car elles sont toutes deux parallèles à (A0 B 0 ). De plus 0
- supposons que A, B, A00 , B 00 ne sont pas alignés. On considère I milieu de [AB 0 ] et de [BA0 ] et J milieu de [A0 B 00 ] et de [B 0 A00 ]. D’après le théorème des milieux (AA00 ) et (BB 00 ) sont parallèles à (IJ) dans les triangles B 0 AA00 et A0 BB 00 , elles sont donc parallèles. Et donc ABB”A” est un parallélogramme. - si A, B, B”, A” sont alignés, on montre par le théorème du milieu que 2IJ = AA” = BB” et donc [AB”] et [A”B] ont même milieu. Remarque. Dans l’espace la transitivité de R pose moins de problème. Elle repose sur la transitivité du parallélisme des droites et le fait que deux plans parallèles (c’est-à-dire contenant chacun deux droites sécantes parallèles à deux autres de l’autre plan) sont coupés par un plan suivant des droites parallèles. ~ (vecteur AB) la classe d’équivalence de (A, B) pour Définition 1 On notera AB la relation précédemment définie
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Théorème de Thalès dans le plan
Théorème 3 D et D0 étant deux droites sécantes, A, B, C étant trois points de D, A0 , B 0 , C 0 étant trois points de D0 telles que (AA0 ), (BB 0 ), (CC 0 ) sont parallèles, 0B0 alors AB =A . AC A0 C 0 Démonstration 0B0 a) Passage des longueurs aux mesures algébriques. Les rapports AB et A AC A0 C 0 0B0 sont de même signe d’après le lemme 1, il suffit donc de montrer que AB =A . AC A0 C 0 b) Cas où AB et AC sont commensurables. On suppose qu’il existe (p, q) ∈ N2 tels que qAB = pAC. On divise alors [AC] en q parties égales (avec la construction donnée au corllaire 2 ) et [AB] en p parties égales. Par les points de division de [AC] et [AB], on mène les parallèles à (CC 0 ). Ces droites partagent [A0 C 0 ] en q parties et [A0 B 0 ] en p parties, toutes ces parties étant égales d’après le corollaire 2. c) Cas où AB et AC ne sont pas commensurables, c’est à dire AB est irrationAC AB nel. Idée : on approche AC par ses valeurs approchées décimales par défaut. On met sur la demi-droite [AB) deux suites de points (Pn )n et (Qn )n de part et d’autre n n de B tels que les rapports AP et AQ soient rationnels. Par ces points on mène AC AC 0 des parallèles à (AA ) : on a les suites de points correspondants sur [A0 B 0 ). On applique le théorème de Thalès sur (A, C, Pn ) (A0 , C 0 , Pn0 ) d’une part et (A, C, Qn ) (A0 , C 0 , Q0n ) d’autre part. On fait une démonstration par récurrence sur n. Soit (p1 , q1 ) ∈ N2 tels que q1 = p1 + 1 et p1 < AB < q1 (p1 est la partie AC AB entière de AC ). Soit P1 et Q1 tels que AP1 = p1 AC et AQ1 = q1 AC : B est entre P1 et Q1 . Par ces points on mène les parallèles à (CC 0 ) pour obtenir P10 et Q01 sur [A0 B 0 ) qui vérifient aussi, d’après le théorème de Thalés lorsque les segments sont commensurables, A0 P10 = p1 A0 C 0 et A0 Q01 = q1 A0 C 0 .
On suppose au rang n qu’il existe pn nombre décimal et qn tels que pn < AB < qn et qn = pn + 10−n+1 . Soit Pn et Qn tels que APn = pn AC et AC AQn = qn AC. Le point B appartient à [Pn Qn ] car n n (1) pn = AP < AB < AQ = qn . Par ces points Pn et Qn on mène les parallèles à AC AC AC (CC 0 ) pour obtenir Pn0 et Q0n sur [A0 B 0 ) qui sont de part et d’autre de B 0 et vérifient aussi, d’après le théorème de Thalés lorsque les segments sont commensurables, 0 0 0 0 0B0 A0 Pn0 = pn A0 C 0 et A0 Q0n = qn A0 C 0 . On a donc (2) pn = AA0PCn0 < A < AA0QCn0 = qn A0 C 0 On divise [pn qn ] en 10 intervalles de même longueur, on choisit kn ∈ {0, 1, · · · , 9} et on pose pn+1 et qn+1 tels que kn AB kn +1 n pn+1 = pn + 10 = qn − 9−k = qn+1 . On montre que n < AC < pn + 10n 10n E(10n AB )
AC pn+1 = où E(x) est la partie entière de x (voir l’existence des valeurs 10n approchées décimales par défaut d’un nombre réel). 0 On construit de même les points Pn+1 , Qn+1 , Pn+1 et Q0n+1 . On a sur [AB) les points Pn , Pn+1 , B, Qn+1 , Qn dans cet ordre, de même que les points correspondants de [A0 B 0 ). On a aussi 10Pn+1 Qn+1 = Pn Qn . L’opération consiste, de façon géométrique, à diviser le segment Pn Qn en 10 segments égaux, celui des 10 segments où se trouve B détermine kn , Pn+1 , Qn+1 . De façon visuelle ([Pn Qn ])n (resp ([Pn0 Q0n ])n ) forment une suite de segments emboités de limite B (resp B 0 ) Mathématiquement on a deux suites adjacentes de rationnels (décimaux) (pn )n 0B0 et (qn )n dont la limite commune unique ne peut être que AB (cf (1)) ou A (cf AC A0 C 0 AB A0 B 0 (2)), on en déduit que AC = A0 C 0 .
Théorème 4 (réciproque) Soit A, B deux points d’une droite D, A0 , B 0 deux points d’une droite D0 tels que (AA0 ) et (BB 0 ) sont parallèles. Soit C un point de 0B0 . Alors (AA0 ) et (CC 0 ) sont parallèles. D et C 0 un point de D0 tels que AB =A AC A0 C 0 0
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B = A et (AA0 ), Attention à l’énoncé de la réciproque : on peut avoir AB AC A0 C 0 (BB 0 ), (CC 0 ) non parallèles entre elles (faire un dessin). Démonstration Soit C” le point de D0 tel que (AA0 ) et (CC”) sont parallèles. 0B0 = AB D’après Thalès on a : AA0 C” , d’où avec l’hypothèse, AC 0 AC” = AC c’est-à-dire C” = C 0 . Donc (AA0 ) et (CC 0 ) sont parallèles.
2.1 Configuration du triangle ABC un triangle, M ∈ (AB), N ∈ (AC). On a trois figures possibles de disposition respective de A, (M N ), (BC). Théorème 5 ABC un triangle, M ∈ (AB), N ∈ (AC). Si (BC) et (M N ) sont N = AN parallèles, alors AM = AN =M et AM AB AC BC AB AC Démonstration. On construit le point O tel que M N OB est un parallèloN gramme. D’après Thalès BO = AN et on a BO = M N d’où AN =M BC AC AC BC
Remarque. On a AM = AN = BO . Si on convient d’adopter la même unité de AB AC BC longueur et le même sens sur des droites parallèles, on a : M N = BO et on peut N N utiliser le rapport M . On a alors : AM = AN =M . BC AB AC BC Théorème 6 (réciproque) Si M et N ont la même disposition par rapport aux points A et B d’une part, A et C d’autre part, et si AM = AN alors (M N ) et AB AC (BC) sont parallèles.
3 Théorème de Thalès dans l’espace Théorème 7 (de Thalès dans l’espace) Soit P1 , P2 , P3 trois plans parallèles, deux droites D et D0 coupent P1 en A et A0 , P2 en B et B 0 , P3 en C et C 0 . Alors 0B0 AB =A . AC A0 C 0 Théorème 8 (réciproque du Thalès dans l’espace) D et D0 étant deux droites, 0B0 alors (AA0 ), A, B, C trois points de D, A0 , B 0 , C 0 trois points de D0 , si AB =A AC A0 C 0 0 0 (BB ) et (CC ) sont parallèles à un même plan.
4 Retour sur les vecteurs ~ + BC ~ = AC. ~ On montre que Définition de la somme de vecteurs : ~u +~v = AB cette somme est indépendante des représentants de ~u et ~v : on a la configuration de la transitivité de la relation R du théorème 2. On montre que l’ensemble des vecteurs du plan ou de l’espace peut être muni d’une structure de groupe commutatif. ~ = AC ~ avec Définition du produit d’un vecteur par un scalaire : λ~u = λAB A, B, C alignés et AB = λAC, ici l’indépendance de cette définition avec le représentant du vecteur résulte du théorème de Thalés. Théorème 9 λ(~u + ~v ) = λ~u + λ~v Ceci résulte de Thalès : en reprenant les notations du théorème 5 on a, en posant ~ = λAB, ~ AN ~ = λAC, ~ BO ~ = λBC. ~ Or BO ~ = M~N donc , AM λ = AM AB ~ On a donc bien M~N = λBC. ~ + BC) ~ = λAC ~ = AN ~ = AM ~ + M~N = λAB ~ + λBC ~ λ(AB On montre à l’aide de ces remarques que l’ensemble des vecteurs du plan ou de l’espace peut être muni d’une structure d’espace vectoriel sur R
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Projections
5.1
Projection dans le plan sur une droite parallèlement à une autre droite
5.2
Projection dans l’espace sur un plan parallèlement à une droite
5.3
Projection dans l’espace sur une droite parallèlement à un plan
5.4
Rappel : espace affine
Définition 2 (d’un espace affine) Soit E un espace vectoriel sur un corps K. On appelle espace affine attaché à E un espace A muni d’une application de A×E → A qui a (P, ~x) de A × E associe P + ~x de A, cette application étant telle que i) ∀P, P ∈ A, P + ~0 = P ii) ∀P, P ∈ A, ∀(~x, ~y ), (~x, ~y ) ∈ E 2 , P + (~x + ~y ) = (P + ~x) + ~y iii) ∀(P, Q), (P, Q) ∈ (A)2 , ∃~x, ~x ∈ E, P + x = Q Par exemple, soit A l’espace et E les vecteurs de l’espace. Pour tout point P de l’espace et pour tout vecteur ~x de l’espace, on associe le point Q = P + ~x déduit de P par la translation de vecteur ~x. Alors l’espace est un espace affine avec l’ensemble de ses vecteurs comme espace vectoriel sous jacent. Si Q = P + ~x, on note ~x = P~Q Remarquer que la définition d’un espace affine entraîne la relation de Chasles ~ = −IO ~ et donc OI L’ensemble des points du plan (de l’espace) est un espace affine attaché à l’espace vectoriel des vecteurs du plan (resp de l’espace) Définition 3 (façon Tisseron) Soit A1 et A2 deux espaces affines attachés aux espaces vectoriels E1 et E2 sur le même corps K. Soit P une application de A1 dans A2 telle que 0 étant un point fixé de A1 , O0 = P (O), M quelconque de A1 , ~ ) = O0~M 0 est linéaire, alors M 0 = P (M ), si l’application P~0 définie par P~0 (OM P est dite application affine de A1 dans A2 Théorème 10 Dans les conditions de la définition précédente, pour tout I de A1 , ~ ) = I 0~M 0 où P (I) = I 0 et l’application P~I est linéaire où P~I (IM P (M ) = M 0 . De plus l’application P~ de E1 dans E2 telle que ~ ) où ~u = OM ~ est linéaire et appelée application linéaire associée à l’application affine P~ (~u) = P~O (OM P
~ = IM ~ + IN ~ alors I0 ~ + 0Q ~ = I0 ~ + 0M ~ + I0 ~ + 0N ~ Démonstration. Soit IQ ~ = −OI ~ + 0M ~ + 0N ~ et comme P~0 est linéaire, on a soit 0Q 0 0 0 0 0 0 ~ ~ ~ 0 Q = −O I + 0 M + 00~N 0 soit I~0 00 + 00~Q0 = I~0 00 + 00~M 0 + I~0 00 + 00~N 0 soit I 0~Q0 = I 0~M 0 + I 0~N 0 cqfd ~ = λIM ~ alors IO ~ + OQ ~ = λIO ~ + λIM ~ soit Maintenant soit IQ ~ = (1 − λ)OI ~ + λOM ~ , comme P~0 est linéaire, on a : OQ O~0 Q0 = (1 − λ)O~0 I 0 + λO0~M 0 , soit I 0~O0 + O~0 Q0 = λI 0~O0 + λI 0~M 0 soit I 0~Q0 = λI 0~M 0 cqfd Pour la définition de P~ , montrons qu’elle est indépendante du point O choisi. ~ = IN ~ , alors OM ~ = 0N ~ − OI ~ et donc P~O étant linéaire, O0~M 0 = En effet si OM 0 0 0 0 0 0 ~ ) cqfd 0 ~N − O~I = I ~N = P~I (IN Définitions équivalentes d’une application affine Définition 4 (façon Cagnac Ramis ou Durrande) Soit A1 et A2 deux espaces affines attachés aux espaces vectoriels E1 et E2 sur le même corps K. P une application de A1 dans A2 est affine s’il existe une application linéaire P~ de E1 dans E2 telle que pour tout ~u de E1 et tout M de A1 , P (M + ~u) = P (M ) + P~ (~u) Définition 5 Soit A1 et A2 deux espaces affines attachés aux espaces vectoriels E1 et E2 sur le même corps K. P une application de A1 dans A2 est affine si elle conserve les barycentres cf Tisseron p 16 Définition 6 Soit A1 et A2 deux espaces affines attachés aux espaces vectoriels E1 et E2 sur le même corps R. P une application bijective de A1 dans A2 est affine si elle transforme trois points alignés en trois points alignés Si K = C ce n’est plus le cas (cf Tisseron p 181). Cf aussi Artin, Berger, Fraenkel.
5.5
Caractère affine des projections
Montrer que a) l’application vectorielle associée p~ à une projection p est bien définie. b) p~ est bien linéaire.
6 6.1
Annexe Il existe des segments incommensurables
Des segments [AB] et [CD] non nuls sont commensurables s’il existe p et q dans N∗ et un segment [M N ] (que l’on prend le plus grand possible, c’est à dire p et q premiers entre eux) tels que [AB] = p[M N ] et [CD] = q[M N ]. On dit que [M N ] est la partie aliquote commune de [AB] et [CD]. Comment trouver la partie aliquote commune [M N ] de deux segments [AB] et [CD] commensurables ? a) soit AB = CD et c’est fini b) soit AB > CD par exemple, alors les segments [A0 B 0 ] et [CD] sont commensurables où la longueur de [A0 B 0 ] est la différence des longueurs de [AB] et de [CD]. Par ce procédé la valeur du plus grand entier p, q diminue. En réitérant ceci on finit par trouver l’un des deux entiers égal à 1 et on trouve ainsi [M N ]. Si l’algorithme d’Euclide ne s’arrête pas, c’est que les deux segments sont incommensurables. En existe-t-il ? La réponse est oui : la voici. Soit le carré ABCD. Nous allons montrer que [AD] et [AC] sont incommensurables. On construit le quart de cercle de centre C qui passe par A et D et coupe (AC) en E. Menons de E la tangente à ce cercle : elle coupe (AD) en F . Nous avons AE = EF = F D (à montrer). Si [AD] et [AC] sont commensurables, alors, par l’algorithme d’Euclide, [AD] et [AE] sont commensurables, ainsi que [AD] et [F D], ainsi que [AE] et [AF ]. Or on retombe sur le côté et la diagonale d’un carré : l’algorithme ne va pas s’arrêter. Cqfd
6.2
Démonstration du théorème de Thalès par la méthode des aires
Soit ABC un triangle, I un point de (AB) différent de A et B. On peut le supposer entre A et B sinon on intervertit le rôle de I et B. La parallèle à (AB) menée de I coupe (AC) en J. Les triangles IJC et IJB ont même aire car même base [IJ] et même hauteur, les triangles AJB et AIC ont donc aussi même aire. aireAIJ AI aireAIJ AJ Or du fait qu’ils ont même hauteur, on a aireAJB = AB et de même aireAIC = AC AI AJ et donc AB = AC Remarque. Le problème de l’existence de nombres irrationnels se pose pour définir l’aire d’un rectangle, dont on déduit l’aire d’un triangle. Il ne se retrouve donc plus dans cette démonstration du théorème de Thalès.
6.3
Applications
Théorème 11 (de Menela§s)
Démonstration a) avec le théorème de Thalès b) avec les homothéties
