Description et construction des machines : transmi transmissio ssions ns m´ ecaniqu ecaniques es de puissan puissance. ce.
Pierre Dehombreux
Aout uˆt 2010
Ces notes de cours sont exclusivement destin´ ees ees aux ´etudiants etudiants et membres du personnel de l’Universit´ e de Mons. Elles ne peuvent donc ˆ etre etre ni reproduites, ni diffus´ ees, ees, sous quelque forme que ce soit, en dehors de ce cercle restreint.
Table ble des des mati` ti` ere eres
1 Introduction
6
1.1
Tran ransmission de mou ouv vement et de puissan ancce. . . . . . . . . . . . . . . . . ´ udee th´ 1.2 Etud Et th´eori e oriqu quee d’u d’une ne tran transm smis issi sion on entr entree deux deux soli solide des. s. . . . . . . . . . .
6 8
1.2.1
Rappels de cin´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.2
Mouvement plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.3
Mouvement spatial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2. 1.2.44
Clas Classi sific ficati ation on en en fonc foncti tion on de la dispo disposi siti tion on des des axe axess de de rotat rotatio ion n. .
12
1.2.5
Surfaces conjugu´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3
Classification des transmissions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.4 1.4
Sch Sch´emati e matisa sati tion on des ´el´ e l´emen e ments ts de trans transmi miss ssio ion n . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.5
Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2 Engren Engrenage agess cylind cylindriq riques ues a ` denture droite.
23
2.1 Propri´ Propri´et´ et´es es g´ g´eom´ eom´etriques etriques des d´eveloppan eveloppantes tes de cercle . . . . . . . . . . . . ´ 2.2 Etude cin´ematique ematique d’un engrenage cylindrique a` denture droite . . . . . .
25
2.3 2.3
R´ealis e alisati ation on d’un d’unee den dentur turee en en d´evel e velop oppan pante te de cercl cerclee . . . . . . . . . . . .
27
2.3.1
Cin´ematique de taillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.3. 2.3.22
Cr´ Cr´emai e mailll`ere e re de r´ef´ e f´eren e rence ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.3.3
Denture d´epo porrt´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ paisseur curviligne d’une dent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E
32
Engr En gr``enem e nemen entt ext ext´´erie e rieur ur d’un d’un pign pignon on et d’un d’unee rou roue. e. . . . . . . . . . . . . .
35
2.4. 2.4.11
Cara Ca ract ct´´eris e risti tiqu ques es de fonc foncti tion onne nem ment ent . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.4. 2.4.22
Condi Con ditio tions ns g´ eom´ e om´etri e triqu ques es d’en d’engr gr``enem e nemen entt
. . . . . . . . . . . . . .
36
2.4. 2.4.33
Ph´´enom Ph e nom´´enol e nolog ogie ie de l’en l’engr gr``enem e nemen entt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Engr En gr``enem e nemen entt in int´erie e rieur ur d’un d’un pign pignon on et d’un d’unee roue roue.. . . . . . . . . . . . . .
43
2.5. 2.5.11
Cara Ca ract ct´´eris e risti tiqu ques es de fonc foncti tion onne nem ment ent . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Interf´erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.6.1
46
2.3.4 2.4 2.4
2.5 2.5 2.6
Engrenage ext´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
23
33
` TABLE DES MATI ERES
2.6.2
2
Engrenage int´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.7 2.7
Repr Repr´´esen e senta tati tion on des des engr engren enag ages es cyli cylind ndri riq ques ues . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.8
Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3 Engrenages cylindriques h´ elico¨ıdaux
3.1 3.1
52
Int Int´erˆ e rˆet e t des des den denture turess h´ h´elic e licoo¨ıdal ıdales es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.2 G´ en´ en´eration eration d’un d’un h´ elico elico¨¨ıde d´ evelop eveloppabl pablee . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.3 3.3
R´ealis e alisati ation on d’un d’un h´elic e licoo¨ıde ıde d´ d´evel e velopp oppabl ablee . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.4 3.4
D´efini e finiti tion on norm normal alis is´´ee e e d’un d’unee roue roue den dent´ee. e e. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.4.1
R´eel et apparent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.4.2
61
3.4.3
Angles d’inclinais aison d’h´eli e lice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ paisseur curviligne apparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E
3.4.4
Nombre virtuel de dents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.5 Engr` Engr`enement enement d’un pignon et d’une roue a` denture denture h´elico elico¨¨ıdale ıdale . . . . . . .
63
3.6
61
3.5.1
Possibilit´ Possibilit´e de contact entre deux h´elico¨ elico¨ıdes d´ d´eveloppables eveloppables . . . . .
63
3.5.2 3.5.2
Possibil Possi bilit it´´e de succes successio sion n du contact contact entre entre deux deux h´elico elico¨¨ıdes ıdes d´evelop opp pables ho hom mologu guees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.5.3 3.5 .3
Possibili Possi bilit´ t´e de contact cont act entre deux h´elico elic o¨ıdes d´eveloppa evelo ppable bless homologue homolo gues. s. 65
3.5. 3.5.44
Exi Existen stence ce de jeux jeux radi radiau aux x en fond fond de den denture ture.. . . . . . . . . . . .
65
3.5.5
Con ond ditio tion de fon fonctio tionneme ement sans jeu. . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.5.6
Con onti tin nuit´e d’eng engr`enement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.5. 3.5.77
Long Longue ueur ur des des g´en´ e n´erat e ratri rice cess en con contact tact . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4 Fabric abricati ation on et con contrˆ trˆ ole des engrenages
69
4.1
Fabrication de roues cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.2 4.2
Con Co ntrˆ troˆle de roues cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.3
Classes de qualit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.4
Correction de profils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.4.1
Mod odiification sur le profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.4.2
Correction longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
4.5
` TABLE DES MATI ERES
3
5 Engrenages coniques.
5.1
77
G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
5.1.1
Surfaces primitives. Relations cin´ematiques . . . . . . . . . . . . .
78
5.2 Engrenages coniques a` denture droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
5.2.1
Relations g´eom´e triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
5.2.2
Mod`ele approch´e de Tredgold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
5.2.3
Remarques particuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.3 Engrenages coniques a` denture inclin´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.4
Repr´esentation normalis´ee des engrenages coniques . . . . . . . . . . . .
82
5.5
Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
6 Engrenages gauches.
86
6.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
6.2
Engrenages gauches h´elico¨ıdaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
6.3
Engrenages hypo¨ıdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
6.4
Engrenages a` vis sans fin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
6.4.1
Caract´eristiques g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
6.5
Repr´esentation normalis´ee des engrenages gauches . . . . . . . . . . . . .
91
6.6
Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
7 Efforts g´ en´ er´ es par les engrenages.
95
7.1
Engrenages parall`eles a` denture droite
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
7.2
Engrenages parall`eles a` denture h´e lico¨ıdale . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
7.3
Engrenages coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
7.4
Engrenages a` vis sans fin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
7.5
Engrenages gauches h´elico¨ıdaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
8 Capacit´ e de charge des engrenages.
100
8.1
L’apport de la norme ISO 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
8.2
R´esistance a` la pression superficielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
8.2.1
Principe du calcul. Engrenages parall`eles a` denture droite . . . . .
101
8.2.2
M´ethode pratique selon l’I.S.O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
R´esistance a` la rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
8.3.1
Engrenages parall`eles a` denture droite. Mod`ele ´el´ementaire. . . . .
114
8.3.2
Mod`ele de base de l’ISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
8.3
8.4
` TABLE DES MATI ERES
4
9 R´ educteurs ` a engrenages.
126
9.1
D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
9.2
Train plan´etaire plan ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
9.3
Train plan´ etaire plan a` deux ´etages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
9.4
Particularit´es constructives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
9.4.1
Condition de coaxialit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
9.4.2
Condition de non-interf´erence entre satellites . . . . . . . . . . . .
131
9.4.3
Condition de co¨ıncidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
9.4.4
Isostatisme
134
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Transmissions par courroies.
137
10.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
10.2 G´eom´etrie et cin´ematique d’une transmission par courroie . . . . . . . .
139
10.3 Comportement dynamique d’un ´el´ement de courroie . . . . . . . . . . . .
140
10.3.1 Courroie trap´ezo¨ıdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
10.4 Tension de la courroie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
10.5 Calcul d’une transmission par courroie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
10.6 Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
11 Transmissions par chaˆınes.
146
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
11.2 R`egles de conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
11.3 Calcul d’une transmission par chaˆınes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
11.4 Repr´esentation normalis´ee des transmissions a` chaˆınes . . . . . . . . . . .
150
11.5 Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
12 Accouplements.
152
12.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
12.1.1 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
12.1.2 Moments de torsion admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
12.2 Accouplements rigides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
12.3 Accouplements mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
12.4 Accouplements ´elastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
12.5 Synth`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
12.6 Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
` TABLE DES MATI ERES 13 Embrayages.
5 162
13.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
13.2 Embrayages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
13.3 Coupleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
13.3.1 Coupleurs centrifuges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
13.3.2 Coupleurs ´electromagn´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
13.3.3 Coupleurs a` induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
13.4 Roue libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
13.5 Limiteurs de couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
13.6 Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
14 Variateurs et boˆıtes de vitesses.
168
14.1 Boˆıtes de de vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
14.1.1 Boˆıtes a` baladeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
14.1.2 Boˆıtes a` engrenages en prise constante . . . . . . . . . . . . . . .
168
14.1.3 Boˆıtes de vitesses automatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
14.2 Variateurs de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
14.3 Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
15 Figures.
178
15.1 R´educteur marin a` deux ´etages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
15.2 Winch a` deux vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181
Chapitre 1 Introduction Le mouvement dort au milieu d’une roue qui tourne Jean Cocteau.
1.1
Transmission de mouvement et de puissance.
D`es l’Antiquit´e, l’homme a voulu utiliser la puissance animale ou hydraulique pour m´ecaniser des op´erations agricoles d’irrigation ou de minoterie. La civilisation grecque nous a l´egu´e la plupart des dispositifs ´el´ementaires de transmission de mouvement et de puissance : engrenages a` chevilles et a` lanterne, came profil´ee, principe de la d´emultiplication par train de roues dent´ees, vis d’Archim`ede utilis´ee comme m´ecanisme ´el´evateur ou comme ´el´ement de transmission dans les premiers engrenages a` vis et roue tangente... ˆ voit une diversification des fonctions des moulins a` eau : l’´energie hyLe Moyen Age draulique est utilis´ee pour l’actionnement des marteaux de forge, puis des souffleries qui vont permettre le d´eveloppement de la m´etallurgie a` partir du XIV`eme si`ecle. Le XV`eme si`ecle voit la d´ecouverte du syst`eme bielle-manivelle. La Renaissance introduit la machine dans tous les domaines, mˆeme si elle rel`eve encore souvent de l’utopie : machine automobile de Francesco di Giorgio (cf. fig. 1.1), machines `a voler de Leonardo da Vinci. La r´evolution technique anglaise du XVIII`eme si`ecle marque le triomphe du machinisme : la machine-outil va faire son apparition. Les moyens de transport vont se d´evelopper d`es le d´ebut du XIX`eme (locomotive de Trevithick (1803), diff´erentiel de Pecqueur (1828), bicylette a` chaˆıne de Meyer (1869), moteur automobile a` combustion interne de Benz (1886) ...) ; le XX`eme si`ecle verra l’essor de l’´electricit´e industrielle et l’industrie automobile et a´eronautique, n´ecessitant l’am´elioration des transmissions existantes pour des puissances et des vitesses toujours plus importantes... De tous temps, la transformation du mouvement et la transmission de la puissance m´ecanique ont ´et´e directement consid´er´ees comme les fonctions essentielles d’une machine. Toute machine poss`ede au moins un ´el´ement menant par lequel entre de l’´energie m´ecanique et au moins un ´el´ement men´e. On r´eserve le terme de transmission aux dispositifs pour lesquels les mouvements d’entr´ee et de sortie sont de mˆeme nature. Des ouvrages encyclop´ediques ([1], [3]) fournissent d’ing´enieux m´ecanismes permettant de r´ealiser les 6
7
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Figure 1.1 – L’automobile de Francesco di Giorgio [7]
Figure 1.2 – Chˆassis d’une Ford Scorpio [9]
transformations cin´ematiques les plus diverses. L’analyse cin´ematique et dynamique des syst`emes multicorps, qui fait l’objet d’un enseignement sp´ecialis´e a` la FPMs, permet de caract´eriser le mouvement de m´ecanismes complexes. Ce cours se limitera essentiellement `a l’´etude de la transmission de puissance entre arbres en rotation. G´en´eralement, l’´el´ement menant (moteur, d’entr´ee), S1, et men´e (r´ecepteur, de sortie), S2 , tournent autour d’axes fixes, parall`eles, concourants, ou gauches. Ils sont en contact direct ou poss`edent plusieurs ´el´ements interm´ediaires. Le rapport de transmission , i, est d´efini par le rapport des vitesses de rotation des deux ´el´ements appari´es par la transmission : ω2/0 i = i02,1 = (1.1) ω1/0 Selon les applications, on peut rechercher un rapport de transmission fixe (r´educteur a` engrenages) ou variable (soit continˆ ument (cames non circulaires) ou par niveaux (boˆıte de vitesses)). Quelle que soit la solution technologique adopt´ee, il est difficile de garantir un rapport de transmission rigoureusement constant, en raison des erreurs de fabrication et de la d´eformabilit´e des ´el´ements m´ecaniques en pr´esence. La variation relative du rapport de transmission permet de d´efinir l’erreur de transmission (cf. [8] pour un exemple d’erreur de transmission dans les entraˆınements a` courroies dent´ees). Le rapport d’efforts statiques , iC , est d´ efini par le rapport des efforts transmis a` aux organes d’entr´ee (couple C 1 ) et de sortie (couple C 2 ), en n´egligeant les effets d’inertie : iC =
C 2 C 1
(1.2)
8
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Une transmission m´ecanique assurant la transmission de puissance entre la machine motrice et la (les) machine(s) r´eceptrice(s) peut comporter plusieurs organes et sous-syst`emes fonctionnels, bien repr´esent´ es dans le cas des transmissions automobiles (cf. fig. 1.2) : – accouplements, rigides ou ´elastiques, dont le rapport de transmission est ´egal ou voisin de l’unit´e ; – arbre de transmission ; – embrayage, accouplement particulier permettant une transmission intermittente de la puissance ; – le syst`eme r´educteur ou multiplicateur qui transforme la puissance par modification du couple et de la vitesse peut ˆetre bas´e sur plusieurs principes m´ecaniques (roues a` friction, engrenages, courroies, chaˆınes), hydrauliques (hydrostatiques ou hydrodynamiques) ou ´electriques ; – limiteur d’effort, assurant la s´ecurit´e en cas de surcharge. Le choix de l’organe moteur (` a combustion interne, turbine a` vapeur ou a` gaz, pneumatique, hydraulique, ´electrique) et de sa commande reste ´evidemment primordial lors de la conception de l’ensemble de la machine.
1.2
1.2.1
´ Etude th´ eorique d’une transmission entre deux solides. Rappels de cin´ ematique
Champ de vitesses
Le torseur cin´ematique ( ωS2 /S1 , vOS2 /S1 ) caract´erise le mouvement d’un solide S2 en mouvement par rapport a` un solide S 1. La vitesse d’un point P de S2 par rapport a` S1 peut ˆetre d´etermin´ee d`es que l’on connaˆıt la vitesse d’un autre point de S 2 par rapport a` S1 et la rotation instantan´ee ω S2 /S1 . vPS2 /S1 = vOS2 /S1 + ωS2 /S1
→ ∧ −OP
(1.3)
Contact entre solides
Consid´erons deux solides S1 et S2 en contact permanent au cours de leur mouvement. La trajectoire du point de contact P, immat´eriel, d´ecrit une courbe Γ1 sur S1 et une courbe Γ2 sur S2 . La composante de la vitesse de glissement vPS2 /S1 est contenue dans le plan tangent. La composante tangentielle de la rotation instantan´ee ω S2 /S1 est appel´ee composante de rotation de roulement ; la composante normale, composante de rotation de pivotement.
1.2.2
Mouvement plan
Base et roulante
Soit un solide S2 en mouvement plan par rapport a` S1 . Le centre instantan´e de rotation (C.I.R.) I de S2 par rapport a` S1 est le point de S2 dont la vitesse par rapport a` S1 est
9
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
nulle :
vIS2 /S1 = 0
(1.4)
Rappelons l’´enonc´e du th´eor`eme de Kennedy : les centres instantan´es de rotation de trois solides consid´er´es deux a` deux sont en ligne droite a` tout instant. Dans un mouvement continu, la position de ce point I peut varier. On appellera : ecrit I par rapport a` S1 , li´ee a` S1 ; base la courbe γ que d´ ` S2 . roulante la courbe Γ que d´ecrit I par rapport a` S2 , li´ee a Les courbes conjugu´ees de roulement γ et Γ sont tangentes en I et sont enveloppes l’une de l’autre durant le mouvement. On peut d´emontrer que le mouvement de S2 par rapport `a S1 est reproduit lorsque l’on fait rouler sans glisser la roulante Γ sur la base γ . Transmission positive
Une transmission positive est bas´ee sur l’entraˆınement par obstacle d’un solide pouss´e par un autre : ce mode de transmission est rencontr´e dans les m´ecanismes `a cames ou a` dents (roues d’engrenage, pignon et maillon de chaˆıne). Le contact entre les solides est sujet au frottement mais celui-ci ne joue aucun rˆole fondamental dans la transmission. La r´eduction des glissements et frottements est souhait´ee pour am´eliorer le rendement de la transmission. ≪
≫
L’´etude g´en´erale d’une transmision positive entre deux cames S1 et S2 est riche d’enseignements.
Figure 1.3 – Transmission positive. La transmission a lieu par obstacle : les composantes normales des vitesses sont ´egales. ω1 O 1 Mcos β 1 =
−ω O Mcos β 2
2
2
(1.5)
Le rapport de transmission i a pour expression i =
ω2 = ω1
OT β =− − OO Mcos Mcos β OT 1
1
1
1
2
2
2
2
=
− OO II 1 2
(1.6)
10
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
I d´esigne le centre instantan´e de rotation, obtenu, en vertu du th´eor`eme de Kennedy, comme l’intersection de la ligne des centres de rotation O1 et O2 et de la droite perpendiculaire au point de contact M a` la vitesse de glissement v2/1 . L’expression du rendement s’´etablit comme le produit du rapport des couples et du rapport de transmission. On ´etablit facilement, en exprimant l’´equilibre de rotation de S2 autour de O2 , que : C 2 = F n O2 T 2 fF n T 2M C 2 = F n O2 T 2 (1 + f tan β 2 )
−
(1.7) (1.8)
(1.9) (1.10)
(β 2 est n´egatif sur la figure 1.3) De mˆeme pour S1 : C 1 = F n O1 T 1 + f F n T 1M C 1 = F n O1 T 1 (1 + f tan β 1 )
C 2 ω2 1 + f tan β 2 η = = <1 C 1 ω1 1 + f tan β 1 Transmission non positive
(1.11)
Au contraire de la transmission par obstacle, la transmission non positive exploite l’apparition d’un effort dˆ u au frottement pour permettre la transmission de la puissance. Une transmission non positive tire son principe de l’existence de frottement : transmissions a` galets, par courroies, ... La transmission non positive n’est plus possible en cas de perte d’adh´erence.
Figure 1.4 – Transmission non positive : existence d’un glissement.
v1 = ω1 R1 v2 = ω2 R2
v1
(1.12) (1.13)
11
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
g= g = 1
i =
ω2 = ω1
v1
−v
2
(1.14)
v1
⇒v
2
= 0, v1
− Rv
R1 = 2 v1
2
∀
(1.15)
− RR (1 − g) 1
(1.16)
2
Comme l’illustre la figure 1.5, la ligne d’action de l’effort normal d´evelopp´e au contact des deux galets peut se situer en arri`ere de la ligne des centres : le comportement visco´elastique des mat´eriaux cr´ee l’apparition d’un bourrelet (l’effet rouleau a` tarte !) qui rompt la sym´etrie du profil de distribution des pressions de contact. L’´ecart e reste en g´en´eral tr`es faible : un vingti`eme de la largeur du contact cylindrique. ≪
≫
Figure 1.5 – Transmission non positive.
C 1 R1 F eN = 0 C 1 = R 1 f N + eN e C 1 = f + R1N R1
−
−
C 2 R2 F + eN = 0 C 2 = R 2 f N eN e C 2 = f R2 N R2
−
− −
(1.17) (1.18)
(1.19)
(1.20) (1.21)
(1.22)
12
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
|i | C
R2 f = R1 f +
−
f
e R2 e R1
− η = (1 − g) f + 1.2.3
(1.23)
e R2 e R1
(1.24)
Mouvement spatial
A un instant d´etermin´e, le mouvement spatial d’un solide S2 par rapport a` un autre S1 peut ˆetre assimil´e a` un mouvement h´elico¨ıdal instantan´e d’axe d. Au cours du mouvement continu, cette droite engendre une surface σ par rapport a` S1 , li´ee a` S1 et une surface Σ par rapport a` S2 , li´ee a` S2 . Les surfaces r´egl´ees sont appel´ees les axo¨ıdes du mouvement de S2/S1 .
1.2.4
Classification en fonction de la disposition des axes de rotation
Les solides S1 et de S2 ont un mouvement de rotation autour des axes d1 et d2 , fixes par rapport au bˆ ati S0. Les axes d1 et d2 peuvent ˆetre gauches, s´ecants ou parall`eles. ωS2 /S1 = ωS2 /S0
− ω
S1 /S0
(1.25)
Recherchons d, l’axe h´elico¨ıdal instantan´e du mouvement de S2 par rapport a` S1, soit l’axe central du champ de vitesses de S2 par rapport a` S1 , de r´esultante ω S2 /S1 . L’axe central d d’un torseur est, par d´efinition, le lieu des points I o` u le moment associ´e est parall`ele a` la r´esultante. Tout point I de l’axe central d recherch´e v´erifie donc : ωS2 /S1
∧ v
IS2 /S1
= 0
(1.26)
ou encore vIS2 /S1 = k ω S2 /S1
(1.27)
La direction de l’axe central est connue (elle est parall`ele a` ω S2 /S1 ) : le probl`eme de sa d´etermination est r´esolu d`es que l’on connaˆıt un de ses points. Axes concourants
Si les axes de rotation d1 et d2 sont concourants en un point O, l’axe central d passe par ce point.
O axe central vOS2 /S1 = 0 = 0 ωS2 /S1
∈
P
(1.28) (1.29)
→ = k ω ∈ axe central ⇒ −OP
S2 /S1
(1.30)
13
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
→ ∧ −OP
vPS2 /S1 = vOS2 /S1 + ωS2 /S1 = 0 Il est parall`ele a` ω S2 /S1 = ωS2 /S0
− ω
S1 /S0 et
(1.31) (1.32)
est dans le plan d´efini par d1 et d2 .
Si ω2 /ω1 est constant, d est fixe par rapport au bˆ a ti fixe S0 et les deux axo¨ıdes du mouvement de S2 par rapport a` S1 sont deux cˆones circulaires. La vitesse de glissement de S2 par rapport a` S1 est nulle en tout point de l’axe central. Axes non concourants
D´esignons par H1 et H2 les pieds de la perpendiculaire commune aux axes d1 et d2 . Ces points peuvent ˆetre d´efinis lorsque les axes d1 et d2 sont gauches (cf. fig. 1.6) ou parall`eles. La d´efinition de l’axe central est r´ealis´ee d`es que l’on a d´etermin´e un de ses points, sa direction ´etant celle de la vitesse de rotation relative ω S2 /S1 . Nous allons montrer que l’axe central coupe la perpendiculaire commune H1 H2 en un point H et localiser ensuite ce point sur H1H2 . S1 H1
ω1/0 H2
S2
ω2/0
Figure 1.6 – Axes gauches. Remarquons tout d’abord que H1 H2 ´etant perpendiculaire aux droites d1 et d2 supports de ω S1 /S0 et de ω S2 /S0 , nous v´erifions la relation :
−H−−H→ . ω 2
1
S2 /S1
=0
(1.33)
−H−−H→ ⊥ ω −H−−H→ ⊥ ω −H−−H→ ⊥ ω 1
2
1/0
(1.34)
1
2
2/0
(1.35)
1
2
2/1
(1.36)
Soit I un point courant de l’axe central d. En ce point I, la vitesse de glissement, qui satisfait la relation (1.27), peut ˆetre d´evelopp´ee comme suit : vIS2 /S1 = vH1S
2 /S1
+ ωS2 /S1
H I ∧ −→ 1
(1.37)
14
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
dans laquelle vH1S
= vH1S
2 /S1
2 /S0
− v
(1.38)
H1S
1 /S0
∧ −−−→ 0
= vH2S
2 /S0
+ ωS2 /S0
H2H1
(1.39)
0
Donc,
HI (1.40) ∧ −H−−H→ + ω ∧ −→ −−−→ En multipliant scalairement l’´equation (1.40) par H H , il subsiste, pour tout point I de l’axe central : −H−−H→ . ω ∧ −→ H I =0 (1.41) vIS2 /S1 = k ω S2 /S1 = ωS2 /S0
2
1
2
2
1
S2 /S1
1
S2 /S1
1
1
On remarquera que cette derni`ere ´equation (1.41) est v´erifi´ee pour un point particulier H de l’axe central, situ´e sur la perpendiculaire commune H1 H2 (H1H = a H1 H2 ). Localisons `a pr´esent ce point H.
−−→
vHS2 /S1 = vHS2 /S0
−−−→
− v → ω ∧ −H−→H H H − ∧ −−
(1.42)
HS1 /S0
= ω S2 /S0
2
S1 /S0
(1.43)
1
En consid´erant le produit vectoriel de cette relation par la vitesse de rotation relative ωS2 /S1 , compte tenu de l’appartenance de H a` l’axe central :
∧
0 = ω S2 /S1 0 =
−H−→H −HH −→ 1
2
=
− ω − ω ω
S2 /S1
S2 /S1 S2 /S1
∧ −H−→H − ω −H−→H + ω
ωS2 /S0
. ωS2 /S0
. ωS2 /S0 . ωS1 /S0
2
2
S2 /S1
S2 /S1
∧
ωS1 /S0
. ωS1 /S0
→ H H ∧ −− −− → H H 1
1
(1.44) (1.45) (1.46)
Si le rapport ω 2/ω1 reste constant, l’axe d reste fixe par rapport a` un rep`ere fixe. Si les axes de rotation d1 et d2 sont parall`eles, l’axe central leur est parall`ele (et coplanaire) de direction ω S2 /S1 = ωS2 /S0 ωS1 /S0 . Axes parall` eles
−
Si le rapport de transmission ω2/ω1 est constant, la position du point H d´ efini par l’´equation (1.46) est d´etermin´ee sur la droite H1 H2 . La droite d est fixe par rapport au bˆa ti fixe S0 et les deux axo¨ıdes du mouvement de S2 par rapport a` S1 sont deux cylindres circulaires. On peut distinguer deux configurations pour les surfaces de viration selon le signe du rapport (1.46) : s’il est n´egatif, le rapport de transmission est positif : une des surfaces de viration est int´erieure a` l’autre. S’il est positif, les axo¨ıdes sont ext´erieures et le rapport de transmission est n´egatif. La vitesse de glissement de S2 par rapport a` S1 est nulle en tout point de l’axe central.
15
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Figure 1.7 – Hyperbolo¨ıdes en contact [5]
Les surfaces engendr´ees par celui-ci relativement a` S1 et a` S2 sont deux hyperbolo¨ıdes de r´evolution. Axes gauches
Un mouvement de rotation peut ˆetre transmis entre deux axes gauches au moyen de deux roues de friction appuy´ees l’une sur l’autres, taill´ees en forme d’hyperbolo¨ıdes de r´evolution. Les hyperbolo¨ıdes de r´evolution restent tangents mais les deux surfaces glissent l’une sur l’autre.
1.2.5
Surfaces conjugu´ ees
Lorsqu’une transmission est assur´ee par le contact de deux surfaces, celles-ci doivent rester tangentes durant leur mouvement. Les profils, intersections des surfaces en contact par des plans perpendiculaires aux axes, doivent rester tangents. De mani`ere g´en´erale, deux surfaces S1 et S2, tangentes en P (n d´esigne leur normale commune en P), sont conjugu´ees si : vPS2 /S1 .n = 0
(1.47)
Notons d’embl´ee que le probl`eme de la d´efinition de surfaces conjugu´ees d´epasse le cadre (d´ej` a large) des engrenages : il concerne bon nombre de machines volum´etriques (compresseur Roots, ...). La d´etermination de la g´eom´etrie d’un profil conjugu´e a` une courbe donn´ee est un probl`eme qui peut ˆetre r´esolu graphiquement (cf. [6], pages 32 et suivantes). L’engr`enement de roues dent´ ees se base sur la conjugaison de profils : – en d´eveloppante de cercle : ils sont de loin les plus couramment utilis´es, et seront de ce fait les seuls a` faire l’objet d’une ´etude d´etaill´ee dans ce cours (chapitres 2 a` 8) ; – cyclo¨ıdaux, constitu´es de portions d’´epicyclo¨ıdes et d’hypocyclo¨ıdes (cf. fig. 1.8) ; – en arc de cercle, comme dans l’engrenage de Wildhaber-Novikov (cf. fig. 1.9) ;
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Figure 1.8 – Engrenage cyclo¨ıdal ext´erieur [2]
Figure 1.9 – Engrenage de Wildhaber-Novikov [2]
16
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
17
Figure 1.10 – Engrenages : cylindrique a` denture droite, cylindrique a` denture h´elico¨ıdale, int´erieur, a` pignon et cr´emaill`ere, conique a` denture droite, conique a` denture inclin´ee, gauche h´elico¨ıdal, a` vis et roue tangente, gauche ([4]).
18
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
1.3
Classification des transmissions
De mani`ere formelle, on peut distinguer : – les transmissions positives : lorsque les efforts sont transmis par obstacle dans la chaˆıne cin´etostatique, que ce soit directement (cames, engrenages) ou au moyen d’un corps interm´ediaire (m´ecanismes a` barres articul´ees, chaˆınes, courroies dent´ees) ; – les transmissions non positives : dans le cas contraire, notamment lorsque le frottement est exploit´ e pour la transmission de la force motrice, directement (adh´erence entre roues) ou indirectement (courroies). Les transmissions hydrauliques ou ´electromagn´etiques entrent dans cette cat´egorie. Cette classification n’est pas d´enu´ ee d’int´ erˆet car elle caract´erise le comportement m´ecanique, synth´etis´e par le tableau 1.1. Transmission Rapport de transmission Rapport d’efforts
Rendement
positive d´ependant uniquement de la g´eom´etrie d´ependant de la g´eom´etrie et du frottement, ind´ependant de la charge. ind´ependant du couple a` transmettre
Vitesse de sortie
ind´ e pendante de la charge
Comportement en surcharge
rupture de l’´ el´ ement, d´et´erioration des surfaces
non positive d´ependant de la g´eom´etrie et du glissement d´ependant de la g´eom´ etrie, du frottement et de la charge. d´ ependant du couple a` transmettre, nul au patinage diminue `a charge croissante, s’annule en cas de patinage patinage et ´echauffement, d´et´erioration des surfaces
Table 1.1 – Propri´et´es fondamentales des transmissions. Quel que soit le type de transmission envisag´e, le glissement n’est jamais favorable et doit ˆetre maˆıtris´e, en particulier pour minimiser l’usure et ´eviter le grippage. Pour minimiser le glissement, il faut veiller `a ce que les points de contact par lesquels la transmission de puissance s’effectue soient situ´es au voisinage des surfaces axo¨ıdes. i Type de transmission Roues a` friction 1 a` 4 Engrenages cylindriques 1 a` 8 Engrenages coniques 1 a` 6 Engrenages a` vis 5 a` 60 Courroies plates 1 a` 5 Courroies trap´ezo¨ıdales 1 a` 8 Courroies crant´ees 1 a` 8 Chaˆınes a` rouleaux 1 a` 8 Chaˆınes silencieuses 1 a` 5
Puissance Vitesse maximale Rendement [kW] N [t/min] v [m/s] η [%] 150 20000 30 90 a` 98 30000 100000 120 96 a` 99 5000 30000 80 95 a` 98 1000 10000 40 50 a` 95 1000 150000 80 96 a` 98 500 8000 30 92 a` 94 200 20000 50 95 a` 98 1000 8000 20 96 a` 98 1000 12000 30 96 a` 98
Table 1.2 – Possibilit´es de diff´erentes transmissions (pour un seul ´etage).
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
19
Les transmissions a` engrenages sont nettement moins encombrantes que les transmissions `a liens flexibles, comme l’illustrent les comparaisons de quatre transmissions a` courroies, chaˆınes et engrenages d´ecrites par la figure 1.11 et le tableau 1.3 pour une transmission de puissance de 50 kW, N 1 = 1500 t/min et N 2 = 500 t/min.
Figure 1.11 – Comparaison de l’encombrement des transmissions (50 kW, 1500 t/min, i = 3) [10]
(a) (b) (c) (d)
Type de transmission Droues [mm] Largeur B [mm] Entraxe A [mm] Courroies trap´ezo¨ıdales 190 x 570 101 810 Courroie dent´ee 198 x 594 63 588 Chaˆıne Westinghouse 138 x 412 76 297 Engrenage 90 x 270 26 180
Table 1.3 – Comparaison de l’encombrement de transmissions (fig. 1.11).
20
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
1.4
Sch´ ematisation des ´ el´ ements de transmission Désignation
Vue de profil
Roues cylindriques (Transmission à friction) Engrenage parallèle extérieur et intérieur
Vue de bout
ou
ou
Engrenage conique
Engrenage à vis sans fin cylindrique
Transmission à crémaillère
Figure 1.12 – Repr´esentation symbolique des roues et engrenages.
21
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Désignation
Vue de profil
Vue de bout
Transmission par courroie Type de courroie plate trapézoïdale ronde crantée
Transmission par chaîne Type de chaîne à maillons à rouleaux à dents
Figure 1.13 – Repr´esentation symbolique des transmissions a` courroies et a` chaˆınes.
Désignation
Représentation
Désignation
Accouplement (général)
Accouplement rigide
Accouplement flexible
Accouplement élastique
Compensateur de dilatation
Joint de Cardan
Limiteur de couple
A rupture de protection
Embrayage
Embrayage à denture
Embrayage à friction
Embrayage centrifuge
Embrayage hydraulique
Coupleur
Frein
Roue libre antidévireur
Représentation
Figure 1.14 – Repr´esentation symbolique des accouplements, embrayages et freins.
´ ERENCES ´ R EF
1.5 la la le le l’ la l’ le l’ l’ le le la la la la la la
22
Lexique
Fran¸ cais transmission puissance mouvement couple (moment de torsion) angle de rotation vitesse angulaire acc´e l´e ration angulaire mouvement alternatif arbre moteur arbre r´ecepteur rapport de transmission rendement transmission ` a friction transmission ` a courroie transmission ` a chaˆıne transmission ` a engrenage roue jante
the the the the the the the the the the the the the the the the the the
English power transmission power motion torque angular displacement angular velo city angular acceleration reciprocating motion driving shaft driven shaft velocity ratio efficiency friction gearing belt drive chain drive (toothed) gearing wheel rim
het het de het de de de de de de de het de de de de het het
Nederlands drijfwerk vermogen beweging wringende moment rotatiehoek ho eksnelheid koekversnelling heen- en weergande beweging aandrijfas aangedrevenas overbrengingsverhouding rendement frictieoverbrenging riemaandrijving kettingoverbrenging tandwieloverbrenging wiel loopvlak
das die die das der die die die die die die der das der der das das der
Deutsch Getriebe Leistung Bewegung Drehmoment Drehwinkel Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung hin- und hergehende Bewegung Antriebswelle Abtriebswelle ¨ Ubersetzung Wirkungsgrad Reibradgetriebe Riementrieb Kettentrieb Zahnradgetriebe Rad Kranz
Table 1.4 – Lexique relatif aux transmissions.
R´ ef´ erences [1] I. Artobolevski : Les m´ecanismes dans la technique moderne . Mir Moscou, 1975. [2] I. Artobolevski : Th´eorie des m´ecanismes et des machines . Mir Moscou, 1977. [3] Nicholas P. Chironis : Mechanisms & Mechanical Devices Sourcebook . McGrawHill, 2nd ´edition, 1996. [4] Karl-Heinz Decker et Karlheinz Kabus : Maschinenelemente. Gestaltung und Berechnung. Carl Hanser, 1998. [5] David B. Dooner et Ali A. Seireg : The Kinematic Geometry of Gearing. A Concurrent Engineering Approach. John Wiley & Sons, 1st ´edition, 1995. [6] Georges Henriot : Engrenages. Conception. Fabrication. Mise en oeuvre. Dunod, 7`eme ´edition, 1999. [7] Bruno Jacomy : Une histoire des techniques . Seuil, 1990. [8] Daniel Play : Entraˆınement par courroies dent´ees. D´efinitions. G´eom´etrie. , chapitre BM 5 685, pages 1–15. Techniques de l’ing´enieur, 2006. [9] J¨ornsen Reimpell : Fahrwerktechnik : Radhaufh¨ urzburg, 2 angungen . Vogel, W¨ ´edition, 1988. [10] Georges Spinnler : Conception des machines. Principes et applications. Volume 3. Dimensionnement. Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 1997.
Chapitre 2 Engrenages cylindriques ` a denture droite en d´ eveloppante de cercle. La pers´ev´erance est au courage ce que la roue est au levier ; c’est le renouvellement perp´etuel du point d’appui. Victor Hugo, Les Travailleurs de la mer .
2.1
Propri´ et´ es g´ eom´ etriques des d´ eveloppantes de cercle
Consid´erons une droite d en contact en B avec un cercle de centre O et de rayon Rb . Faisons rouler d sur sans glisser. Dans ce mouvement, T est le centre instantan´e de rotation du mouvement de d par rapport a` . Le lieu de T par rapport `a un rep`ere fixe n’est autre que le cercle lui-mˆeme, qui s’apparente a` la base : nous l’appellerons cercle de base. Le lieu de T par rapport a` la droite d n’est autre que la droite d elle-mˆeme, la roulante .
C
C
C
C
θ α κ
Figure 2.1 – Profil en d´eveloppante.
23
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
24
Une d´eveloppante d’un cercle de centre O et de rayon R b est la trajectoire, par rapport au cercle fixe , d’un point U d´etermin´e sur une une droite d qui roule sans glisser sur en T.
C
C
C
Si l’on d´eroule une corde enroul´ee autour d’un cylindre fixe en la maintenant tendue, n’importe quel point de celle-ci d´ecrira une trajectoire en d´eveloppante de cercle. Propri´ et´ e 2.1.1 La normale en tout point de la d´ eveloppante de cercle est tangente au cercle de base.
ee d’un point de la d´ eveloppante de Propri´ et´ e 2.1.2 La longueur de la normale abaiss´ cercle sur le cercle de base est ´ egale ` a la longueur de l’arc correspondant mesur´ e sur le cercle de base. Propri´ et´ e 2.1.3 La longueur de la normale abaiss´ ee d’un point de la d´ eveloppante de cercle sur le cercle de base est ´egale au rayon de courbure en ce point. Propri´ et´ e 2.1.4 La distance normale entre deux d´ eveloppantes de cercle g´en´er´ees `a par- devcrcl1 tir d’un mˆeme cercle de base est ´ egale ` a la longueur de l’arc qui s´ epare leur origine, appel´ ee
pas de base
Figure 2.2 – Pas de base. Etablissons l’´equation du lieu de U, en coordonn´ees polaires (R, θ). Pour que le point g´en´erateur U passe de B en U, il faut que la tangente au cercle tourne d’un angle κ, appel´e angle de base . Appelons angle de d´eveloppante l’angle α qui d´efinit la position angulaire du point T relativement au point U. θ = κ
−α
(2.1)
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
25
Consid´erant le triangle OTU rectangle en T : OT OU TU tan α = OT cos α =
OU = R =
⇒ ⇒
Rb cos α
TU = R b tan α
(2.2) (2.3)
La condition de roulement sans glissement de d sur la circonf´erence de rayon Rb se traduit ⌢ par l’´egalit´e des longueurs du segment TU et de l’arc TB. Rb tan α = R b κ
⇒ κ = tan α
(2.4)
L’angle polaire θ peut ˆetre exprim´e directement en fonction de l’angle de d´eveloppante a` l’aide de la fonction involute :
invol arcinvol
θ = tan α
− α = inv
α (involute α)
(2.5)
La d´eveloppante de cercle s’exprime en coordonn´ees polaires sous la forme : Rb cos α θ = inv α
R =
2.2
(2.6)
(2.7)
´ Etude cin´ ematique d’un engrenage cylindrique ` a denture droite
Consid´erons deux d´eveloppantes de cercle en contact. Propri´ et´ e 2.2.1 Deux d´ eveloppantes de cercle en contact sont conjugu´ ees.
En effet, appelons M le point de contact entre deux d´eveloppantes de cercle g´en´er´ees respectivement a` partir de deux cercles de base de centres respectifs O1 et O2 et de rayons respectifs Rb1 et Rb2 . La normale commune au point de contact M est tangente aux deux cercles de base (propri´et´e 2.1.1) ; elle occupe une position immuable, quelle que soit la position des profils au cours de leur mouvement. Le lieu du point de contact est appel´e la ligne d’action , qui s’apparente a` la tangente commune aux deux cercles de base. Son intersection avec la ligne des centres O1 O2 , I, est fixe, ce qui prouve l’aptitude des profils en d´eveloppante de cercle a` assurer un rapport de vitesse constant durant l’engr`enement. Le rapport de transmission (ou de vitesse) est, conform´ement a` l’´equation 1.46 : OI R = |i| = IO R 1
2
p1
(2.8)
p2
Les rayons R p1 et R p1 sont appel´es rayons primitifs , et les cercles associ´es, cercles primitifs .
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
26
Figure 2.3 – D´eveloppantes de cercle conjugu´ees.
En appelant angle de pression αp l’angle de d´eveloppante correspondant au point de contact I, les rayons primitifs sont reli´es aux rayons de base par une relation simple : Rb1 cos αp Rb2 = cos αp
Rp1 = Rp2 et donc :
|i| = RR
p1 p2
=
Rb1 Rb2
(2.9) (2.10)
(2.11)
Le rapport d’engrenage u est l’inverse de la valeur absolue du rapport de transmission i. (u = 1/ i ).
||
Propri´ et´ e 2.2.2 Deux d´ eveloppantes de cercle en contact restent conjugu´ ees si la distance entre les centres de leurs cercles de base respectifs varie.
Le profil en d´eveloppante de cercle poss`ede une propri´et´e particuli`erement int´eressante : une variation d’entraxe O1 O2 n’entraˆıne par de modification du rapport de transmission. Cette insensibilit´e a` l’entraxe est un des facteurs qui fait pr´ef´erer la d´eveloppante de cercle a` toute autre forme de profil (cyclo¨ıdal, ...).
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
2.3
2.3.1
27
R´ ealisation d’une denture en d´ eveloppante de cercle Cin´ ematique de taillage
Le probl`eme est de pouvoir mat´erialiser une d´eveloppante de cercle au moyen d’un outil relativement simple a` mettre en œuvre. Au cours du mouvement de g´en´eration, le profil de la dent est d´efini par l’enveloppe de toutes les positions de l’arˆete tranchante de l’outil. Nous recherchons donc une courbe g´en´eratrice qui puisse envelopper, dans un mouvement particulier, une d´eveloppante de cercle. La solution la plus simple a priori est d’adopter, comme courbe g´en´eratrice, un segment de droite mat´erialis´e par l’arˆete rectiligne d’un outil de coupe. Dans l’´etude du contact de deux profils en d´eveloppante de cercle men´ee a` la section pr´ec´edente, nous avons mis en ´evidence que la normale au point de contact s’identifiait constamment a` la ligne de contact, fixe : un profil en d´eveloppante est conjugu´e a` une droite inclin´ee d’un angle αm sur OI. Au cours d’un mouvement o` u elle reste parall`ele a` elle-mˆeme, une droite est donc capable d’envelopper le profil en d´eveloppante de cercle. Il reste donc a` organiser son mouvement de translation pour r´epondre a` la question pos´ee. Appelons M le point de contact g´en´er´e par l’outil (le point de contact entre la d´eveloppante et la droite g´en´eratrice g, perpendiculaire a` la ligne d’action d (cette derni`ere ´etant tangente au cercle de base)).
α α
α
Figure 2.4 – G´en´eration d’une d´eveloppante de cercle. D´esignons par p une droite qui dans un mouvement de translation selon x, roule sans glisser sur le cercle de rayon OI, li´e a` la roue S1 : vIp/S1 = 0
(2.12)
Solidarisons la droite g´en´eratrice g a` cette droite p. Elle reste parall`ele a` elle-mˆeme au cours de son mouvement. Le point M se meut sur la ligne d’action d : nous allons montrer que nous pouvons lier M `a d, d roulant sans glisser sur le cercle de base de rayon OT. Nous pourrons alors affirmer
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
28
que M ´etant le point d’une droite qui roule sans glisser sur un cercle, M d´ecrit bien une d´eveloppante de cercle. Int´eressons-nous a` la vitesse du point g´en´erateur M par rapport a` un rep`ere fixe S0 :
∧−→
vMp/S0 = vIp/S0 + ωp/S0 IM
(2.13)
= 0
vMp/S0 = ω1 OI uX
(2.14)
D’autre part, nous pouvons la d´ecomposer comme suit : vMp/S0 = vMp/d + vMd/S0
(2.15)
La premi`ere composante, vMp/d = vMg/d est perpendiculaire a` la ligne d’action d, alors que la seconde, vMd/S0 , est de mˆeme direction que la ligne d’action. Le triangle des vitesses repr´esent´e sur la figure 2.4 est rectangle, et on y retrouve l’angle α m . Nous en d´eduisons :
||v
Md/S0
||
= vMp/S0 cos αm = ω1 OI cos αm = ω1 OT = vTd/S0
||
||
||
||
(2.16) (2.17) (2.18) (2.19)
Cette derni`ere relation ´etant celle que l’on aurait obtenue en exprimant le roulement dans glissement de d sur le cercle de base de rayon OT : la th`ese est d´emontr´ee. Autrement dit, lorsque p roule sans glisser sur le cercle de rayon Rp = OI, la droite d roule sans glisser sur le cercle de rayon Rb = OT. On est ainsi ramen´e a` la d´efinition ´el´ementaire de la d´eveloppante de cercle, comme le lieu de M li´e a` d (ou g) dans un rep`ere li´e `a la roue.
2.3.2
Cr´ emaill` ere de r´ ef´ erence
Pratiquement, on sera amen´e a` d´efinir une cr´emaill`ere de r´ef´erence dont le trac´e de section est repr´esent´e sur la figure 2.5. La cr´emaill`ere de r´ef´erence ´evoque le profil d’une cr´emaill`ere ”produit” plutˆ ot que celui de la cr´emaill`ere outil qui s’y emboˆıte. La tˆete de la cr´emaill`ere de r´ef´erence correspond ainsi au pied de la cr´emaill`ere outil qui donnera forme a` la tˆete de la dent. Le pied de la cr´emaill`ere de r´ef´erence d´efinit la tˆete de la cr´emaill`ere g´en´eratrice qui va d´efinir le pied de dent. Les flancs de la cr´emaill`ere sont inclin´es d’un angle valant αm sur le plan de r´ef´erence. Deux flancs homologues sont espac´es d’une distance appel´ee pas P . Sur une roue dent´ee, le pas P est mesur´e sur le cercle primitif. Pour une roue dent´ee qui poss`ede un nombre entier Z de dents : (2.20) Z P = 2πR m
±
L’´echelle de la cr´emaill`ere de r´ef´erence est fix´ee par le module de taillage M : M =
2Rm P = Z π
(2.21)
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
29
α
ρ
π
π
Figure 2.5 – Cr´emaill`ere de r´ef´erence.
Au primitif de taillage, l’intervalle libre entre deux dents E (l’entre-dent) est ´egal a` l’´epaisseur de dent S . Les pays anglo-saxons pr´ef`erent normaliser la valeur du pas diam´etral (eng : diametral ot que celle du module : pitch ) plutˆ P D =
25, 4 M
(2.22)
La tableau 2.3.2 fournit la correspondance entre les deux syst`emes. H a, H f et H d sont respectivement appel´es saillie, creux et creux au d´egagement. H d´esigne la hauteur totale.
H = H a + H f H d H a
≥
(2.23) (2.24)
La normalisation d´efinit des outils standardis´es et reconnaˆıt une valeur pr´ef´erentielle pour l’angle α m de 20◦. Rappelons que sa valeur d´etermine, par l’´equation 2.9, le rapport entre le rayon du cercle primitif de taillage et le rayon du cercle de base. Ce rapport influence la morphologie de la dent. La figure 2.6 montre trois dents faisant partie de roues de mˆeme nombre de dents et mˆeme module, mais se diff´erenciant par la valeur de l’angle de pression. Les dents avec fort angle de pression sont plus trapues. Les valeurs des creux et saillies sont d´efinies en fonction du module M , dont les valeurs sont prises dans des s´eries normalis´ees, pr´ecis´ees dans le tableau 2.3.2. Remarquons la pr´esence d’un raccordement circulaire du profil g´en´erateur avec la ligne de tˆete de la cr´emaill`ere g´en´eratrice (identique a` la ligne de pied de la cr´emaill`ere de r´ef´erence) dont le rayon a une valeur voisine de : ρM =
H f H d , cote normale (1 sin αm )
− −
(2.25)
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
30
Modules Diametral Pitches Valeurs principales Valeurs secondaires Valeurs principales Valeurs secondaires 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,125 1,25 20 1,375 18 1,5 16 1,75 14 2 12 2,25 2,5 10 2,75 9 3 8 3,5 7 4 6 4,5 5 1/2 5 5 5,5 4 1/2 6 4 7 3 1/2 8 3 9 2 3/4 10 2 1/2 11 2 1/4 12 2 14 1 3/4 16 1 1/2 18 20 1 1/4 22 25 1 28 32 36 40 45 50
Table 2.1 – Correspondance approximative des modules et des diametral pitches normalis´es
Saillie Creux Denture normale H a = M H f = 1, 25M Denture basse H a = 0, 8M H f = M Table 2.2 – Saillies (addendum) et creux (dedendum)
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
α
α
31
α
Figure 2.6 – Influence de l’angle de pression sur le profil des dentures. α
Figure 2.7 – Influence du nombre de dents sur leur profil.
Cette normalisation ne s’applique en pratique que dans la production d’engrenages en petites ou en moyennes s´eries. Plusieurs constructeurs s’´ecartent assez largement de ces valeurs rep` eres. Dans le secteur automobile, la hauteur des dentures est sup´erieure a` 2,25 M .
Figure 2.8 – Profils typiques pour diff´erents modules.
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
2.3.3
32
Denture d´ eport´ ee.
La figure 2.9 pr´esente l’´epure de taillage dans un cas o` u la ligne de r´ef´erence de la cr´emaill`ere est distant d’une distance X = xM du cercle primitif de taillage, appel´ee d´ eport . x est appel´e d´ eport r´eduit 1 . Lorsque le d´ eport est nul, la denture est dite normale. Lorsque le d´eport est positif, la cr´emaill`ere s’´eloigne du pignon.
´ de taillage pour un d´eport positif. Figure 2.9 – Epure
Figure 2.10 – Influence du d´eport sur la forme des dents. La valeur du d´ eport fixe ainsi la position de la dent par rapport au cercle primitif de taillage (dont le diam`etre est fix´e ´egal a` ZM ). Ra = Rm + H a + xM Rf = Rm H f + xM
−
(2.26) (2.27)
Pour un pignon, la grandeur H a + xM porte le nom de saillie de taille, H f xM , le nom de saillie de creux. Le d´eport influe sur la morphologie de la dent. On fixe g´en´eralement conjointement les d´eports des deux roues d’un mˆeme engrenage pour en optimaliser le fonctionnement (r´eduction des glissements, ...).
−
1. Dans ce cours, les variables en lettres minuscules d´esigneront g´en´eralement des grandeurs r´eduites, rapport´ees au module M
` DENTURE DROITE. CHAPITRE CHAPITRE 2. ENGRENA ENGRENAGES GES CYLINDRIQUE CYLINDRIQUES S A
33
On parle d’engrenage Deports des deux roues x1 et x2 est D -z´ero lorsque la somme des d´eports nulle. Le d´eport epo rt est g´en´ en´eralement erale ment positif po sitif pour po ur le pignon pigno n et n´egatif egat if pou pourr la roue. roue . La surface surface de tˆete ete de denture denture est la surface surface qui raccorde raccorde les deux deux surfaces surfaces des flancs flancs antihomologues des dents a` leur sommet. sommet . La d´efinition efinit ion de la surface surfa ce de tˆete ete d´epend epe nd des proc´ pro c´ed´ ed´es es de fabricatio fabr ication n des dents. Le cercle de tˆete, ete, de rayon Ra , peut – r´esulte esu lterr de l’op´eratio era tion n de tourna tou rnage ge pr´ec´ ec´edant eda nt la g´en´ en´eratio era tion n de la denture dent ure ; – r´esulte esu lterr de l’op´ l’o p´eratio era tion n de g´en´ en´eratio era tion n par cr´emaill` ema ill`ere, ere , comme com me envelopp envelo ppee du fond fon d de la dent de la cr´emaill` emaill`ere ere : la dent pr´esentera esentera un arrondi arro ndi ; – r´esulter esulter d’une combinaison des deux cas pr´ec´ ec´edents edents : le cercle de tˆete ete est celui de l’´ebau eb auche che mais ma is est es t chanf cha nfre rein´ in´e par pa r la cr´emai em aill` ll`ere er e La cr´emaill`ere g´en`ere : – les profils profi ls en d´eveloppante eveloppa nte de cercle, cercl e, app appel´ el´es es flancs ; ; – le profil de fond de dent, ou cercle de pied, de rayon Rf ; il est es t g´en´ en´er´ er´e par pa r le plat pla t en somm so mmet et de cr´emai em aill` ll`ere er e ; – les profils de raccordement entre les flancs et le fond de la dent, selon une courbe qui s’apparente a` une trocho¨ trocho¨ıde. Cette courbe est l’envel l’enveloppe oppe de la trajectoire du raccordement dem ent circula cir culaire ire du profil pro fil rectil rec tilign ignee de la cr´emaill` ema ill`ere ere g´en´ en´eratri era trice ce avec sa ligne lign e de tˆete. ete . Elle commence au rayon rayon actif de pied de taillage taillage et s’arrˆ s’arrˆete ete au rayon rayon de pied. Une troc es t, selon sa d´efinition efiniti on la plus g´en´ en´erale, erale , une courbe courb e qui est trac´ee ee sur un t roch ho¨ıde est, plan en rotation par un point particulier d’un second, qui, dans le cas particulier qui nous occupe, est soumis a` un u n mouvement mo uvement de translatio trans lation. n. Chaque point po int de la cr´ c r´emaill` emaill`ere ere g´en´ en´eratrice erat rice d´ecrit ecrit donc une trocho tro cho¨¨ıde sur la roue : le profil profi l de la dent est l’enveloppe l’envelopp e de l’ensemble de ces ce s trocho¨ tr ocho¨ıdes ıdes individu i ndividuelles. elles.
2.3.4
´ Epaisseur curviligne d’une dent.
L’´epaisseur epaiss eur curviligne curvil igne d’une dent sera calcul´ee ee sur la circon c irconf´ f´erence erenc e primitive p rimitive de taillage tailla ge ; nous verrons ensuite comment d´eterminer eterminer sa valeur sur une circonf´erence erence de rayon arbitraire. Ce calcul est important, important, car il permettra p ermettra le trac´ e des flancs de la denture. denture. La figur fig uree 2.11 2. 11 pr´esent es entee un profi pr ofill de dent de nt g´en´ en´er´ er´e par pa r un unee cr´emai em aill` ll`ere er e d´epor ep ort´ t´ee ee d’un d’ unee disdi stance X tance X ,, d´efini efi niee par pa r la dista dis tanc ncee s´epar ep arant ant la ligne lig ne de r´ef´ ef´eren er ence ce de la cr´emai em aill` ll`ere er e de la ligne lig ne primitive primit ive de taillag t aillage. e. L’´epaisseur epaisse ur curviligne curvili gne S S m mesur´ mesu r´ee ee sur la circon cir conf´ f´erence ere nce primit pri mitive ive de ⌢ taillage tailla ge est ´egale egale a` la longueur de l’arc IP. ⌢ 1 S m = IP 2 = IP′ = IQ + QP′ πM = + X tan tan αm 4
(2.28) (2.29) (2.30)
(2.31)
Nous en d´eduisons eduiso ns les expressions expre ssions de l’´epaisseur epaisse ur curviligne curvilig ne S S m et de l’entre-dent E l’entre-dent E m d’une dent sur la circonf´erence erence primitive de taillage : πM + 2xM 2xM tan tan αm 2 πM = 2xM tan tan αm 2
S m = E m
−
(2.32)
(2.33)
` DENTURE DROITE. CHAPITRE CHAPITRE 2. ENGRENA ENGRENAGES GES CYLINDRIQUE CYLINDRIQUES S A
34
α
´ curviligne d’une dent sur la circonf´erence erence primitive. Figure 2.11 Figure 2.11 – Epaisseur
´ curviligne c urviligne d’une dent sur une circonf´erence erence de rayon quelconque. Figure 2.12 – Epaisseur
Consid´erons erons la figure 2.12 pour po ur d´eterminer eterm iner l’´epaisseur epaisse ur curviligne curvil igne S R d’une d’u ne dent d´efinie efin ie sur une circonf´erence erence de rayon quelconque R : Nous pouvons ´ecrire ecrire la relation entre S R et l’angle au centre qui l’intercepte : S R = 2 R AOE
(2.34)
avec : + AOE = AOM MOB
EOB −
S m /2 + θm θR Rm S m = + inv α inv αm inv α inv αR 2Rm =
−
−
d’o` u, u, finalement : S R = D
S m + inv αm Dm
− inv α
R
(2.35)
(2.36)
(2.37)
(2.38)
` DENTURE DROITE. CHAPITRE CHAPITRE 2. ENGRENA ENGRENAGES GES CYLINDRIQUE CYLINDRIQUES S A
35
La valeur minimale mini male recomm rec ommand´ and´ee ee pour po ur l’´epaisse epa isseur ur d’une d’un e dent mesur´ mes ur´ee ee au diam` dia m`etre etr e de tˆete ete est de 0,2 M 0,2 M .. Une dent trop fine pourrait se fragiliser et se d´eformer eformer lors des traitements thermi the rmiques ques qu’elle qu’e lle va subir sub ir pour po ur accroˆ acc roˆıtre ıtr e ses propri´ pro pri´et´ et´es es m´ecaniqu eca niques es (duret´ (du ret´e, e, r´esistan esis tance ce a` la fatigue, ...). S a 0, 2M (2.39)
≥
Exercice Exer cice 2.3.1 2.3. 1 Grandeur Gran deurss g´ eom´ eom´ etriques etri ques d’une d’un e roue dent´ ee ee
On demand d emandee de comparer compa rer les grandeurs gran deurs caract´ cara ct´eristiques eristi ques (diam`etre etre primitif, primit if, diam`etre etre de base, ba se, diam` dia m`etre et re de pied pi ed,, dia d iam` m`etre et re de tˆete, et e, ´epai ep aisse sseur ur de tˆete, et e, ´epai ep aisse sseur ur au diam` di am`etre et re primi pr imiti tiff ) et de repr´esenter esenter le profil d’une dent : a. d’un pignon comportant 25 dents dents de module 4, avec avec un coefficient coefficient de d´eport eport nul; nul ; b. d’un pignon comportant 25 dents dents de module mo dule 4, avec avec un coefficie co efficient nt de d´eport eport de 0,5.
2.4
2.4.1
Engr Engr` enemen enementt ext´ ext´ erieur erieur d’un d’un pignon pignon et d’une d’une roue. Caract´ Caract´ eristiques eristiques de fonctionnement
Nous avons mis en exergue la possibilit´ possibilit´e, e, pour des engrenages engrenages dont les profils des dents dents s’apparentent a` des d´eveloppantes eveloppantes de cercle, de s’accommoder d’un entraxe de fonctionfonct ionnement A diff´ di ff´erent er ent de l’entr l’e ntrax axee de g´en´ en´erat er atio ion n Am .
Figure 2.13 Figure 2.13 – Effet d’une variation d’entraxe.
La figure figur e 2.13 illustre l’effet d’une augmentation au gmentation d’entraxe. Les circonf´ circon f´erences erences primitives de fonctionnement sont alors a` distinguer distinguer des circonf´ circonf´erences erences primitiv primitives es de taillage, taillage, de mˆeme eme que l’angle de pression pr ession de fonctio fo nctionnement nnement s’´ s ’´ecarte ecart e de l’angle l ’angle de pression pre ssion de d e taillage. tail lage.
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
36
Ces grandeurs sont reli´ees par les relations fondamentales : Rb1 + Rb2 cos αm Rb1 + Rb2 = cos α p
Am = Rm1 + Rm2 =
(2.40)
Ap = Rp1 + Rp2
(2.41)
Introduisons le module de fonctionnement M p et le pas primitif de fonctionnement P p d´efinis par : 2Rp1 2Rp2 = Z 1 Z 2 = πM p
M p = P p
2.4.2
(2.42)
(2.43)
Conditions g´ eom´ etriques d’engr` enement
Possibilit´ e de contact entre deux d´ eveloppantes homologues.
Le contact doit s’´etablir au-del` a des points de rebroussement des profils en d´eveloppante. L’entraxe O1O2 de fonctionnement, A, doit ˆetre sup´erieur a` la somme des rayons des cercles de base. Z 1 + Z 2 A > Rb1 + Rb2 = M cos αm (2.44) 2 Possibilit´ e de succession du contact entre deux d´ eveloppantes homologues.
Les pas de base des deux roues doivent ˆetre identiques. Cette condition est v´erifi´ee si la roue et le pignon sont taill´es avec des outils pr´esentant les mˆemes caract´eristiques (module M et angle de pression αm ). Existence de jeux radiaux en fond de denture.
L’existence de jeux radiaux en fond de denture s’exprime par une condition de nontalonnement faisant intervenir les rayons de tˆete et de pied des deux profils : J r1 = A J r2 = A
−R −R −R −R a1
f2
a2
f1
> 0 (0, 2M ) > 0 (0, 2M )
(2.45) (2.46)
D’apr`es la norme DIN 867, le jeu radial est g´en´eralement compris entre 0,1 M et 0,3 M et peut atteindre exceptionnellement 0,4 M . La norme ISO 53 pr´ econise une valeur de 0,25 M [1]. Jeu circonf´ erentiel
La description des conditions de fonctionnement d’un engrenage dont les caract´eristiques du pignon et de la roue sont fix´ees se r´esume a` la d´etermination de son entraxe. On comprend facilement que l’entraxe Ap que l’on aura choisi pour l’engrenage en fonctionnement aura une influence :
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
37
– sur sa viabilit´e (les roues, si elles sont trop rapproch´ees risquent d’ˆetre soumises a` des efforts intol´erables ; le jeu radial a` fond de denture risque d’ˆetre insuffisant, ...) – sur ses caract´eristiques de fonctionnement (que nous d´etaillerons plus loin : r´egularit´e de l’engr`enement, usure, ...). Un entraxe trop large conduit a` un jeu entre dentures excessif, a` une rupture intermittente du contact entre les dentures, ou a` un ´ecartement de la roue et du pignon tellement important qu’aucun contact n’est plus possible. Un entraxe trop faible conduit a` un blocage de la transmission, par interf´erence forc´ee de la roue et du pignon. Cette interf´erence peut ˆetre envisag´ee dans la direction radiale (jeu radial a` fond de denture n´egatif) ou dans la direction circonf´erentielle (la dent du pignon est forc´ee a` s’engager dans l’entredent de la roue qui s’av`ere trop ´etroit). La longueur de la circonf´erence de fonctionnement du pignon est ´egale a` 2πR p1 : elle contient Z 1 fois le pas de fonctionnement P p . La longueur de la circonf´erence de fonctionnement de la roue est ´egale a` 2πR p2 : elle contient Z 2 fois le mˆeme pas de fonctionnement P p . Que doit-on pouvoir observer sur un pas de fonctionnement ? Une ´epaisseur (curviligne : le pas de fonctionnement est bien d´efini comme une fraction de circonf´erence) de dent du pignon 1, une ´epaisseur curviligne de dent de la roue 2 et un ´eventuel jeu circonf´erentiel, que nous noterons J . P p = πM p = S p1 + S p2 + J
(2.47)
Nous d´eveloppons les expressions des ´epaisseurs curvilignes S p1 et S p2 selon les formules ´etablies : S mi S pi = 2Rpi + inv αm inv αp (2.48) Dmi
−
dans lesquelles nous rempla¸cons les ´epaisseurs curvilignes primitives S mi par leur expression : πM S mi = + 2xi M tan αm (2.49) 2 et nous exprimons ainsi que : S p1 + S p2 = πM p + M p 2(x1 + x2)tan αm + (Z 1 + Z 2)M p (inv αm
− inv α ) p
(2.50)
qui conduit a` : J + M p 2(x1 + x2 )tan αm + (Z 1 + Z 2)M p (inv αm
− inv α ) = 0 p
(2.51)
Cette derni`ere relation permet de d´eterminer αp en fonction du jeu J au prix de la r´esolution d’une ´equation non-lin´eaire. Pratiquement, on d´eterminera l’angle de pression de fonctionnement αp conduisant a` un jeu circonf´erentiel nul (J = 0) : inv αp = inv αm + 2
x1 + x2 tan αm Z 1 + Z 2
(2.52)
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
Module mm 2 3 5 8 12
50 0,12 0,15 – – –
Entraxe 100 200 400 0,15 0,20 – 0,20 0,25 0,35 0,25 0,30 0,40 0,33 0,40 0,50 – 0,50 0,60
38
800 – – – 0,70 0,85
Table 2.3 – Valeurs minimales recommand´ees du jeu entre dents
et qui permet de d´eterminer l’entraxe de fonctionnement a` jeu circonf´eentiel nul. L’entraxe de fonctionnement r´eel sera pratiquement sup´erieur a` cette valeur de mani`ere a` garantir un jeu suffisant. On remarquera que le jeu J est facilement calculable pour un entraxe donn´e a` l’aide de 2.51. L’absence totale de jeu (eng : backlash ) permet d’assurer la r´eversibilit´e du mouvement ; elle est souhait´ee dans les m´ecanismes de positionnement de machines-outils et de robots. Le jeu de denture peut donner lieu a` des chocs lors de l’inversion de l’effort en cas de fortes vibrations de torsion. Elle reste fort difficile a` assurer pratiquement, compte tenu des imperfections de r´ealisation des dentures. L’existence d’un jeu sur le cercle primitif (ordre de grandeur : centaine de µm pour les engrenages courants) est n´ecessaire pour la lubrification qui doit pouvoir s’effectuer dans toutes les conditions de dilatation thermique. Elle permet le passage des impuret´es solides entre les dents. Il existe des dispositifs de rattrapage de jeu, surtout lorsque la transmission du mouvement revˆet un caract`ere fonctionnel (entraˆınement ´equatorial d’un t´elescope, ...). Ceux-ci sont bas´es sur l’´etablissement d’une pr´econtrainte impos´ee par des ressorts reliant deux demiroues dispos´ees cˆ ote a` cˆote.
Figure 2.14 – Dispositif de rattrapage de jeu [5]
2.4.3
Ph´ enom´ enologie de l’engr` enement
Phases de l’engr` enement
Examinons l’´evolution de l’engr`enement de deux dents. Les points de contact vont se situer sur la ligne de contact, tangente aux deux cercles de base et contenant le point I, point de tangence des deux cercles primitifs du pignon 1 et de la roue 2.
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
39
Le premier point de contact entre deux dents donn´ees est d´efini au point A (fig. 2.15), mat´erialis´e par l’intersection de la ligne d’action et du cercle de tˆete du pignon 1. Le point V (fig. 2.16) mat´erialise le d´ebut du contact unique. Le point W mat´erialise la fin du contact unique (fig. 2.17) et B, la fin de l’engr`enement (fig. 2.18). Le segment AB d´efinit la longueur de conduite.
Figure 2.15 – D´ebut de l’engr`enement en A.
Figure 2.16 – D´ebut du contact unique lors de l’engr`enement en V. La longueur de conduite AB se subdivise en longueur d’approche AI et longueur de retrait IB. Leur valeur se d´etermine ais´ement d’apr`es l’´epure d’engr`enement pr´esent´ee a` la figure 2.19
AB = AI + IB AB = (AT2 IT2 ) + (BT1 AB =
−− 2 Ra2
2 Rb2
−R
− IT ) 1
b2 tan αp +
(2.53) (2.54)
2 Ra1
2 b1
−R −R
b1 tan αp
(2.55)
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
40
Figure 2.17 – Fin du contact unique lors de l’engr`enement en W.
Figure 2.18 – Fin du contact lors de l’engr`enement en B.
Continuit´ e d’engr` enement
La continuit´e de la transmission du mouvement n’est assur´ee que si le contact est assur´e en permanence entre la roue et le pignon : lorsque le point de contact entre deux dents disparaˆıt (cf. fig. 2.18), il est imp´eratif que le contact entre la roue et le pignon soit ´etabli par ailleurs. ⌢
Ai Bi =A′ i B′ i
(2.56)
⌢ ′ ′
AB AB = Rb Rb
(2.57)
2π πM = Z i Rm
(2.58)
φα AB R m AB AB = = = φp Rb πM πM cos αm P b
(2.59)
φα =
φp =
ǫα =
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
41
AB Segment de conduite AI Segment d’approche IB Segment de retrait VW Segment de contact unique ´ d’engr`enement. Figure 2.19 – Epure
Cette condition impose que la longueur de conduite soit plus grande que le pas de base. Le rapport de ces grandeurs d´efinit le rapport de conduite ǫα : ǫα =
AB P b
(2.60)
Profil actif. Profil utilisable
La figure 2.20 est l’´epure d’engr`enement de deux profils conjugu´es du pignon et de la roue d’un engrenage. Le contact est limit´e au point A pour le premier profil, et au point B pour le second. Ces points A et B permettent de d´efinit les profils actifs , c’est-`a-dire les portions des profils en d´eveloppante de cercle effectivement utilis´ees durant l’engr`enement. Le rayon actif de pied de chacun des profils est le rayon des points A et B, respectivement. Si nous consid´erons maintenant l’engrenage particulier compos´e d’une roue et de l’outil qui la taille, le point limite d’action A m d´efinit la limite du profil en d´eveloppante engendr´e par le profil g´en´erateur de l’outil : en-dessous de ce point, il ne peut plus y avoir de d´eveloppante. La partie du profil limit´ee a` Am est le profil utilisable. Le profil de raccordement est engendr´e par la pointe de l’outil. Nous appellerons rayon de d´egagement le rayon qui correspond a` ce point Am .
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
42
Figure 2.20 – Profil actif.
Glissement sp´ ecifique.
L’int´erˆet de la caract´erisation des glissements sp´ecifiques se justifie par l’incidence directe des vitesses de glissement au point de contact sur la lubrification, l’usure et le rendement.
Figure 2.21 – Vitesse de glissement. Soit M le point de contact entre le pignon S1 et la roue S2 . Si M n’est pas situ´e en I, il y a un glissement in´evitable entre les deux roues : vMS1 /S2 = 0 puisque les vitesses vMS1 /S0 et vMS2 /S0 ont des directions diff´erentes, comme l’illustre la figure 2.21.
Etablissons quelques relations cin´ematiques pr´ealables : vMS1 /S0 = vMS1 /T1 T2 + vMT1 T2 /S0
⊥O1 M
⊥T1 T2
(2.61)
T1 T2
– La vitesse du point M, appartenant a` la ligne d’action, par rapport a` S0 , est parall`ele `a celle-ci et vaut ω1Rb1 = ω2 Rb2 .
|
| |
|
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
43
– La ligne d’action est perpendiculaire aux profils en d´eveloppante de cercle. Cette vitesse relative est tangente aux profils conjugu´es et est donc orthogonale a` la ligne d’action. Nous appellerons glissement sp´ecifique gs le rapport entre la vitesse de glissement au contact et la vitesse de roulement d’une des roues Si : gsi =
||v ||v
MS2 /S1
|| ||
(2.62)
MSi/T1 T2
En d´eveloppant : vMS2 /S1 = vIS2 /S1 + ωS2 /S1 = ωS2 /S1 . IM vMS2/S1
||
||
|
|
→ ∧ −IM
vM,S1 /T1 T2 = vT1 ,S1 /T1 T2 + ωS1 /T1 T2 vM,S1/T1 T2 = ωS1/S0 . T 1 M
||
||
|
|
(2.63) (2.64)
TM ∧ −−→ 1
(2.65) (2.66)
D`es lors, le glissement sp´ecifique relatif au pignon 1 : g s1 =
|ω − ω |IM |ω |T M 2
1
1
(2.67)
1
o`u on notera que :
|ω − ω | = Z + Z Z |ω | 2
1
1
1
2
(2.68)
2
augmente proportionnellement a` la distance a` I. On l’´ evaluera donc aux points A et B extr´emit´es du segment de conduite. On obtient pour la roue 2, mutatis mutandi : g s2 = o`u on notera que :
1
2
1
2
2.5.1
2
(2.69)
2
|ω − ω | = Z + Z Z |ω | 2
2.5
|ω − ω |IM |ω |T M 1
2
(2.70)
1
Engr` enement int´ erieur d’un pignon et d’une roue. Caract´ eristiques de fonctionnement
L’engrenage int´erieur est compos´e d’une couronne a` denture int´erieure et d’un pignon a` denture ext´erieure, de telle fa¸con que leurs rotations s’effectuent dans le mˆeme sens. La g´eom´etrie d’une couronne appelle quelques constatations imm´ediates : – le cercle de tˆete est int´ erieur au cercle de pied ; – les dents sont concaves.
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
44
erieur. Cercles de base et cercles primitifs. Figure 2.22 – Engrenage int´
Les engrenages int´erieurs sont d’un usage tr`es r´epandu, en raison de leur compacit´e. Leur fonctionnement pr´esente d’autres avantages sur celui des engrenages ext´erieurs : – meilleure r´esistance a` la flexion de la dent de la couronne, qui pr´esente une largeur importante en pied de dent ; – r´eduction des pressions de contact, due a` une meilleure conformit´e du contact entre deux surfaces dont les courbures sont de signes oppos´es (le rayon de courbure associ´e `a un profil convexe (dent pignon) est positif ; le rayon de courbure associ´e a` un profil concave (dent couronne) est n´egatif) ; – meilleure configuration pour le d´eveloppement d’un film de lubrification ; – r´eduction du glissement relatif entre les dents en prise. L’´el´ement faible d’un engrenage int´erieur est ainsi le pignon (si le mat´eriau de celui-ci est le mˆeme que celui de la couronne). Pour des raisons ´evidentes d’interf´erence entre un outil cr´emaill`ere et une couronne, l’usinage d’une couronne int´ erieure s’effectue au moyen d’un outil pignon. Or, la forme de l’outil pignon (qui s’apparente a` celle d’une route dent´ee ext´erieure) est influenc´ee par le nombre de dents et le d´eport de denture. Pour cette raison, il reste rationnel de d´efinir la g´eom´etrie de la denture d’une couronne en se r´ef´erant a` une cr´emaill`ere g´en´eratrice fictive associ´ee a` l’outil pignon. Comme dans le cas des engrenages ext´erieurs, le d´eport sera positif lorsque la ligne de r´ef´erence de la cr´emaill`ere g´en´eratrice (imaginaire) est ext´erieure au cercle primitif de taillage. ´ une couronne, on associe facilement une roue a` denture ext´erieure qui s’y emboˆıterait. A La dent de l’une correspondrait a` l’entre-dent de l’autre, et vice versa.
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
Ra2 = Rm2 H a + x2 M Rf2 = Rm2 + H f + x2 M
−
Pour une couronne, on appelle saillie de taille la grandeur H a2 H f + x2 M
45
(2.71) (2.72)
− x M et saillie de creux, 2
Pour une couronne, les dents et les entre-dents sont mesur´es sur le cercle primitif de taillage par : πM 2x2M tan αm 2 πM = + 2x2M tan αm 2
S m2 = E m2
−
(2.73)
(2.74)
L’entraxe est la diff´erence de deux rayons des cercles primitifs. L’expression traduisant le fonctionnement sans jeu pour un engrenage int´ erieur d´ecoule de l’´egalit´e entre l’´epaisseur de la dent du pignon S1 et de l’entre-dent de la couronne S2 . On obtient, tous calculs faits : inv αp = inv αm + 2
x2 Z 2
− x tan α − Z 1
1
m
(2.75)
Les expressions utiles au calcul des longueurs des segments d’approche IA et de retraite IB deviennent : AI = IT2
− AT
2
AI = Rb2 tan αp IB = BT1 IB =
IT1
−− 2 Ra1
−
2 Rb1
2 Ra2
−R
2 b2
b1 tan αp
−R
(2.76)
(2.77) (2.78)
(2.79)
La somme des longueurs AI et IB divis´ ee par le pas de base fournit le rapport de conduite ǫα .
2.6
Interf´ erences
Les interf´erences sont des ph´enom`enes qui se produisent soit durant l’op´eration de g´en´eration soit durant l’engr`enement d’un pignon avec une roue, dans des conditions d´efavorables telles que certaines parties utiles du profil se trouvent rogn´ees par l’outil, ou que les profils conjugu´ es du pignon et de la roue tendent a` se p´en´etrer l’un dans l’autre `a certains instants.
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
2.6.1
46
Engrenage ext´ erieur
Interf´ erence d’engr` enement
Dans un engrenage a` d´eveloppante de cercle, le contact des profils conjugu´es doit s’effectuer obligatoirement selon la ligne d’action T1 T2 . Le profil d’une dent est compos´ e d’une partie en d´eveloppante de cercle suivie d’une trocho¨ıde de raccordement formant le fond de la denture. Pour que l’engr`enement s’effectue correctement, il faut qu’aucun point de contact ne puisse se situer en dehors de la partie en profil de d´eveloppante. Sinon, il y a contact dans la partie en trocho¨ıde : il se produit une interf´ erence d’engr`enement . Le cercle de tˆ ete d’une roue ne doit pas passer au-del` a du point d’interf´ erence T de la roue conjugu´ee. Dans le cas o` u la dent comporte un arrondi au sommet, il convient ´evidemment de consid´erer le cercle de tˆete correspondant au d´ebut de l’arrondi. Interf´ erence de taillage
L’interf´erence de taillage d´esigne l’interf´erence d’engr`enement avec la cr´emaill`ere g´en´eratrice. Consid´erons le cas du taillage d’une roue a` denture ext´erieure par un outil-cr´emaill`ere.
Figure 2.23 – Interf´erence de taillage. L’interf´erence de taillage se produit lorsque le point extrˆeme d’action de l’outil de taillage G va au-del`a du point d’interf´erence T. La condition de non-interf´erence se traduit par IR < IQ :
IR < IQ M
− xM
(2.80)
< ITsin αm =
Z >
2(1 x) sin2 αm
−
MZ 2 sin αm 2
(2.81) (2.82)
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
47
Pour un d´eport nul et un outil cr´emaill`ere normalis´e, il faut un nombre minimum de 17 dents pour ´eviter l’interf´erence de taillage. Interf´ erence avec le profil de raccordement
L’interf´erence avec le profil de raccordement se produit entre le sommets des dents d’un organe et la courbe de raccordement de pied de l’organe conjugu´e. La condition de non interf´erence exprime que le rayon du point limite d’action avec l’organe conjugu´e est sup´erieur au rayon du point limite du profil en d´eveloppante d’un pignon.
2.6.2
Engrenage int´ erieur
L’engrenage int´erieur peut donner lieu a` de nombreuses formes d’interf´erence qui contraignent les param`etres de denture (saillie, d´eport, ...) bien plus que dans le cas de l’engrenage ext´erieur. Interf´ erence g´ eom´ etrique primaire
Figure 2.24 – Interf´erence g´eom´etrique primaire [3] Consid´erons l’engrenage int´erieur de la figure 2.24. Les deux cercles primitifs sont tangents en I. La ligne d’action des deux profils conjugu´es est tangente en T1 et T2 aux deux cercles de base. Nous supposerons que le profil en d´eveloppante du pignon s’´etend effectivement jusqu’au point Q1 du cercle de base. Si nous faisons tourner l’engrenage, le point de contact se d´eplacera de I vers T1 . Jusqu’en ce dernier point, appel´e point d’interf´erence du pignon, le contact entre les deux profils en d´eveloppante s’effectue dans de bonnes conditions : si par contre, le contact d´epasse le point T1 , c’est-`a-dire que le rayon de tˆete
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
48
de la couronne est inf´erieur a` 02T1 , il se produira un ph´enom`ene d’interf´erence : les deux profils ne sont plus tangents, mais tendent a` se p´en´etrer l’un dans l’autre. Si a` la place du pignon nous consid´erons un outil circulaire de taillage de la roue, l’interf´ erence aura comme cons´equence d’´ecorner les dents de cette roue sur toute la partie VW du sommet. Cette interf´erence est facile a` d´elimiter : le rayon de tˆete de la couronne ne doit pas ˆetre inf´erieur a` 02 T1 . Il faut donc limiter la saillie de la roue. Interf´ erence g´ eom´ etrique avec le profil de raccordement du pied du pignon
La condition de non interf´erence pr´ec´edente est en g´en´eral satisfaisante dans le cas du taillage de la roue avec un outil circulaire dont le profil en d´eveloppante s’´etend en g´en´eral jusqu’au cercle de base. Par contre, dans le cas de l’engr`enement d’une roue avec un pignon, le profil de raccordement du pignon commence pratiquement a` l’ext´erieur du cercle de base. Il faut encore limiter la saillie de la roue, ou jouer sur les d´eports. Interf´ erence g´ eom´ etrique secondaire
L’engrenage int´erieur peut donner lieu a` une forme d’interf´erence g´eom´etrique tr`es particuli`ere, dans le cas o`u les nombres de dents de la roue et du pignon sont trop voisins. Pour une denture normale, d’angle de pression de 20◦, la diff´erence Z 2 Z 1 limite est de 8 dents. Lorsqu’une diff´erence plus faible est n´ecessaire, il sera possible d’utiliser un angle de pression plus ´elev´e, soit d’utiliser une denture basse.
−
Interf´ erence particuli` ere de taillage
Il y a deux fa¸cons d’amener un pignon en position d’engr`enement avec une roue int´erieure : 1. par enfoncement lat´eral 2. par enfoncement radial, suivant la ligne des centres. La premi`ere m´ethode est toujours possible. Par contre, lorsque les nombres de dents sont trop voisins, on ne peut plus effectuer l’enfoncement radial : les dents du pignon viennent buter contre celles de la roue sans qu’il soit possible de r´ealiser l’entraxe.
2.7
Repr´ esentation des engrenages cylindriques
La repr´ esentation conventionnelle des engrenages, d´efinie par la norme ISO 2203, est simplifi´ee a` l’extrˆeme : – dans une vue, la roue dent´ ee est assimil´ ee au solide plein qui l’enveloppe par sa surface de tˆete : la position du cylindre primitif est pr´ecis´ee par un trait mixte fin (cf. fig. 2.26) ; on ne repr´ esente le profil d’une dent qu’exceptionnellement (cf. fig. 2.29), le cylindre de pied peut ˆetre pr´ecis´e par un trait continu fin. – dans une coupe, les dents ´echappent a` la section (aucune hachure) et sont toujours repr´esent´ees sym´etriquement (mˆeme si le nombre de dents est impair !)
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
Figure 2.25 – Interf´erence particuli`ere de taillage [3].
Figure 2.26 – Repr´esentation d’un engrenage ext´erieur [4]
Figure 2.27 – Repr´esentation d’un engrenage int´erieur [4]
49
` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A
Figure 2.28 – Repr´esentation d’un couple pignon-cr´emaill`ere [4]
Figure 2.29 – Repr´esentation d’une roue dent´ee avec profil de dent [4]
Figure 2.30 – D´efinition d’une roue dent´ee [2].
50
´ ERENCES ´ R EF
2.8 l’ la le la la le la le l’ le le la l’ le le la la le le
51
Lexique
Fran¸ cais English engrenage cylindrique ` a denture droite the spur gearing roue dent´ee the toothed gear pignon the pinion couronne the internal (ring) gear cr´emaill`ere the (gear) rack pignon de la cr´emaill`ere the rack pinion dent the tooth nombre de dents the number of teeth entraxe the center distance cercle primitif the pitch circle cercle de base the base circle ligne d’action the line of action angle de pression the pressure angle module normal the module pas diam´etral the diametral pitch largeur de denture the face width hauteur de saillie the addendum creux de dent the dedendum d´eport the addendum modification
de het het het de het de het het de de de de de de de de de de
Nederlands rechte tandwieloverbrenging tandwiel kleine drijfwiel tandwiel met binnenvertanding tandheugel rondsel tand aantal tanden hartafstand steekcirkel grondcirkel ingrijplijn drukhoek normaalmodulus middellijnsteek tandbreedte kophhogte voethoogte profielverschuiving
das das das das die das der die der der der die der der die die die die die
Deutsch Geradstirnradgetribe Zahnrad Kleinrad Hohlrad Zahnstange Zahnstangenritzel Zahn Z¨ ahnezahl Achsabstand W¨alzkreis Grundkreis Eingriffslinie Eingriffswinkel Modul Diametralteilung Zahnbreite Kopfh¨ ohe Fussh¨ ohe Profilverschiebung
Table 2.4 – Lexique relatif aux engrenages cylindriques a` denture droite.
R´ ef´ erences [1] Karl-Heinz Decker et Karlheinz Kabus : Maschinenelemente. Gestaltung und Berechnung. Carl Hanser, 1998. [2] Claude Hazard : Dessin industriel . Educalivre, 1993. [3] Georges Henriot : Manuel pratique des engrenages. Dunod, 1999. [4] ISO : Technical drawings - conventional representation of gears. Rapport technique, International Standard Organization, 1973. [5] Georges Spinnler : Conception des Machines. Principes et Applications. Volume 1. Statique. Presses polytechniques et universitaires romandes, 1997.
Chapitre 3 Engrenages cylindriques ` a denture h´ elico¨ıdale. Je n’´epouse pas les opinions, except´e celles des livres d’Euclide. Montesquieu.
3.1
Int´ erˆ et des dentures h´ elico¨ıdales
Dans les engrenages cylindriques a` denture droite, le contact entre deux dentures conjugu´ees se produit suivant une droite parall`ele aux axes des roues, correspondant `a l’intersection des dents par le plan d’engr`enement. Si le taillage des engrenages n’a pas ´et´e suffisamment pr´ecis (pas inconstant, trac´e inexact du profil, ...), si le montage n’est pas suffisamment soign´e (parall´elisme des axes non respect´e, ...), ces imperfections peuvent se r´epercuter notablement sur les conditions de travail de l’engrenage : le contact peut devenir ponctuel. D’autre part, comme il a ´et´e signal´e au chapitre 2, le rapport de conduite des engrenages cylindriques a` denture droite est fortement limit´e, ce qui fait que dans la large majorit´e des cas, toute la charge se trouve r´epartie entre deux paires de dents tout au plus. Afin de diminuer l’influence des imperfections de fabrication sur le fonctionnement des engrenages et d’augmenter le rapport de conduite, on peut remplacer les dentures droites par des dents ´echelonn´ees. Leur r´ealisation se fait comme suit. Partageons un engrenage a` denture droite en parties ´egales par des plans coupant l’engrenage perpendiculairement a` son axe. D´ecalons chacune des tranches d’´egale ´epaisseur d’un mˆeme angle l’une par rapport a` l’autre. Nous obtenons une roue ´echelonn´ee dont la figure 3.1 pr´esente un exemple de vue en perspective. Si l’on met en prise deux roues de la nature d´ecrite, l’engr`enement aura lieu simultan´ement entre des portions de profils diff´erentes, sur des segments parall`eles a` l’axe. Les points o`u les profils des dents rencontrent le cylindre de base sont tous situ´es sur une mˆ eme h´elice b . Quant aux points de contact homologues sur les profils, ils sont tous situ´es sur une mˆeme droite qui est tangente a` l’h´elice b : cette droite se projette dans un plan perpendiculaire a` l’axe de la roue ´echelonn´ee selon la tangente au cercle de base.
H
H
Les engrenages a` dents ´echelonn´ees ne sont que tr`es rarement ex´ecut´es. On pressent que des roues a` dentures obliques ou h´elico¨ıdales, dont la figure 3.2 pr´esente un exemple,
52
´ ¨IDAUX CHAPITRE 3. ENGRENAGES CYLINDRIQUES H ELICO
53
Figure 3.1 – Roue ´echelonn´ee [3]
constitueront la mat´erialisation du cas limite o` u l’´epaisseur des tranches constituant les roues a` dents ´echelonn´ees tend vers z´ero.
Figure 3.2 – Roue h´elico¨ıdale [3]
´ ¨IDAUX CHAPITRE 3. ENGRENAGES CYLINDRIQUES H ELICO
3.2
54
G´ en´ eration d’un h´ elico¨ıde d´ eveloppable
Consid´erons un cylindre d’axe x auquel est tangent un plan π suivant la g´en´eratrice d. Un plan γ , perpendiculaire a` π et faisant un angle β avec d, est li´e invariablement a` π. Les plans π et γ se coupent perpendiculairement le long de la droite s UU’.
π
U’ s
I’
γ
U0
d O
I β
x U
Figure 3.3 – G´en´eration d’une h´elice. Faisons rouler sans glisser le plan π sur le cylindre suivant l’axe instantan´e de rotation d. Ce plan et ce cylindre sont les axo¨ıdes du mouvement. La droite s engendre au cours de son mouvement une courbe sur le cylindre qui s’identifie `a une h´elice circulaire . La droite s est le d´eveloppement sur le plan π d’une h´elice circulaire d’angle β .
H
H
Les positions successives de s sont donc toutes tangentes a` cette h´elice. Nous d´efinissons la surface Σ comme ´etant la surface engendr´ee par les tangentes successives men´ees a` une h´elice trac´ee sur le cylindre : c’est, par d´efinition, une surface d’h´elico¨ıde d´eveloppable dont l’h´elice est l’arˆete de rebroussement. La figure 3.4 fournit l’illustration de cet h´elico¨ıde comme ensemble des tangentes a` une h´elice.
H
H
L’enveloppe du plan g´en´erateur γ est une surface Σ li´ee au cylindre. Le plan π qui est normal a` γ suivant la droite s, l’est ´egalement suivant la mˆeme droite par rapport a` la surface Σ. La surface Σ peut ˆetre consid´er´ee comme la surface engendr´ee par la droite s du plan π lorsque celui-ci roule sans glisser sur le cylindre. Voyons quelques propri´et´es de l’h´elico¨ıde d´eveloppable Σ.
´ ¨IDAUX CHAPITRE 3. ENGRENAGES CYLINDRIQUES H ELICO
55
I’
U0
O I
B
U Figure 3.4 – G´en´eration d’un h´elico¨ıde d´eveloppable.
Tout plan perpendiculaire a` l’axe du cylindre (qui pr´efigure le pignon) est appel´e plan apparent , toutes les caract´eristiques g´eom´etriques d´efinies dans un plan apparent porteront l’adjectif apparent et leur d´esignation normalis´ee sera affect´ee de l’indice t . Le profil apparent t est l’intersection de l’h´elico¨ıde d´eveloppable Σ avec un plan apparent. ≪
≫
≪
≫
D
Tout plan perpendiculaire a` la tangente de l’h´elice primitive du pignon est appel´e plan normal et leur d´esignation normalis´ee sera affect´ee de l’indice n . ≪
≫
Puisque la droite s roule sans glisser sur le cylindre, nous pouvons exprimer une relation ⌢ d’´egalit´e entre la longueur du segment UU0 et la longueur de l’h´elice U0B. ⌢
U0 B= U0 U
(3.1)
Par ailleurs, la longueur d’un segment d’h´elice v´erifie : ⌢ 2
⌢2
U0B =BI +IU20
(3.2)
En effet, les coordonn´ees d’un point d’une h´elice de pas h´elico¨ıdal P z sont donn´ees par : x = R cos θ y = R sin θ θ z = P z 2π
(3.3) (3.4) (3.5)
´ ¨IDAUX CHAPITRE 3. ENGRENAGES CYLINDRIQUES H ELICO
56
La longueur d’une portion d’h´elice r´epond aux ´equations : ds =
ds2 =
dx2 + dy 2 + dz 2 P z2 2 R + 2 4π
(3.6)
dθ2
(3.7)
L’´equation 3.7 est ´equivalente a` l’´equation 3.2. Consid´erant le triangle rectangle UIU0 : U0 U2 = UI2 + IU20
(3.8)
On d´eduit des ´equations 3.1, 3.2, 3.8 que : ⌢
BI= IU
(3.9)
L’´equation (3.9) traduit le roulement sans glissement de IU sur le cercle. Le profil apparent est une d´eveloppante de ce cercle. L’intersection de l’h´elico¨ıde d´eveloppable par un plan normal a` l’axe est un arc de d´eveloppante du cercle , section du cylindre sur lequel est trac´ee l’h´elice de rebroussement.
C
Figure 3.5 – G´en´eration d’un h´elico¨ıde d´eveloppable [1]
L’h´elico¨ıde d´eveloppable peut ˆetre d´efinie de deux mani`eres diff´erentes (cf. fig. 3.5) : 1. Σ est un h´elico¨ıde d´eveloppable engendr´e par des tangentes a` l’h´elice ; 2. Σ est un h´elico¨ıde d´eveloppable engendr´e par un profil en d´eveloppante de cercle s’appuyant sur une h´elice.
3.3
R´ ealisation d’un h´ elico¨ıde d´ eveloppable
Consid´erons le cylindre primitif de l’un des deux organes d’un engrenage auquel est tangent un plan π suivant la g´en´eratrice d (ou II’), comme repr´esent´e sur la figure 3.6.
´ ¨IDAUX CHAPITRE 3. ENGRENAGES CYLINDRIQUES H ELICO
57
Figure 3.6 – G´en´eration d’un h´elico¨ıde d´eveloppable : cas g´en´eral.
Un plan g´en´erateur γ est invariablement li´e au plan π. Contrairement au cas ´el´ementaire ´etudi´e au paragraphe pr´ec´edent, le plan γ n’est plus orthogonal au plan π : les intersections respectives de ces deux plans avec un plan orthogonal a` l’axe x du cylindre font un angle θ = π/2 αt , mesur´e dans un plan apparent. L’intersection des plans π et γ , soit UU’ = s, fait un angle β avec la direction x.
−
Le plan π repr´esente le plan primitif de la cr´emaill`ere g´en´eratrice, et le plan γ repr´esente le tranchant de l’outil de coupe. Notre propos est de d´emontrer que la plan γ enveloppe une surface en h´elico¨ıde d´eveloppable. D´efinissons le plan auxiliaire π′ comme le plan contenant la droite d et perpendiculaire au plan γ . Remarquons que l’angle apparent entre π et π′ est d´efini par αt . L’intersection des plans π ′ et γ est VV’. VV’ coupe d en Q, et fait un angle β b avec la g´en´eratrice d. Lorsque le plan π roule sans glisser sur le cylindre primitif, le plan π ′ est entraˆın´e par l’interm´ediaire du plan γ . Comme l’inclinaison de ce dernier est fixe, π′ glisse sur luimˆeme. Si ω est la vitesse angulaire du cylindre primitif et R m son rayon, la vitesse de translation de π est ´egale a` ωRm. Le rapport entre la vitesse de translation de π ′ et celle de π est ´egale au rapport entre les longueurs des segments IV et IU, soit IV/IU = cos αt . La vitesse de
´ ¨IDAUX CHAPITRE 3. ENGRENAGES CYLINDRIQUES H ELICO
58
translation de π ′ est donc ´egale a` ωR m cos αt ; tout se passe comme si le plan π ′ roulait sans glisser sur le cylindre de rayon Rb = R m cos αt , coaxial au cylindre primitif. Nous sommes alors ramen´es au probl`eme pr´eliminaire : un plan π′ roule sans glisser sur un cylindre de rayon Rb et entraˆıne un plan γ qui lui est normal et fait un angle β b avec l’axe. La surface Σ envelopp´ee par γ est un h´elico¨ıde d´eveloppable dont le cylindre de rayon Rb est le cylindre de base. L’angle β b , inclinaison de l’h´elice de base par rapport a` une g´en´eratrice du cylindre de base, est l’angle d’inclinaison de l’h´elice de base de la denture. La droite UU’ s’enroule sur le cylindre primitif suivant l’h´elice primitive de la denture ; l’angle d’inclinaison de l’h´elice primitive de la denture est ´egale a` β . D´eterminons la relation entre les angles β b et β . Examinons la figure 3.6 et d´eduisons-en les relations trigonom´etriques ´el´ementaires : IU IQ IV = IQ IV = IU
tan β = tan β b cos αt
(3.10)
(3.11)
(3.12)
Nous en d´eduisons la relation cherch´ee : tan β b = tan β cos αt
(3.13)
Consid´erons la figure 3.7 sur laquelle les plans primitif et g´en´erateur sont repr´esent´es. Nous en d´eduisons :
Figure 3.7 – Plan primitif et plan g´en´erateur
´ ¨IDAUX CHAPITRE 3. ENGRENAGES CYLINDRIQUES H ELICO
XW VW UW tan αt = VW XW cos β = UW
tan αn =
59
(3.14)
(3.15)
(3.16)
et, finalement, la relation cherch´ee : tan αn = tan αt cos β
3.4
(3.17)
D´ efinition normalis´ ee d’une roue dent´ ee.
3.4.1
R´ eel et apparent
Dans le plan normal, la section droite de la cr´emaill`ere de r´ef´erence a le mˆeme profil que la cr´emaill`ere de r´ef´erence utilis´ee pour le taillage des pignons a` denture droite.
α
β
α
Figure 3.8 – Profils de cr´emaill`ere dans les plans apparent et normal. Toutes les caract´eristiques g´eom´etriques d´efinies dans un plan perpendiculaire a` l’axe de la roue porteront l’adjectif apparent : leur d´esignation normalis´ee sera affect´ee de l’indice t . ≪
≪
≫
≫
Toutes les caract´eristiques g´eom´etriques d´efinies dans un plan normal a` l’h´elice primitive porteront l’adjectif normal ou (primitif ) r´eel : leur d´esignation normalis´ee sera affect´ee de l’indice n . ≪
≪
≫
≫
≪
≫
´ ¨IDAUX CHAPITRE 3. ENGRENAGES CYLINDRIQUES H ELICO
60
Figure 3.9 – Cr´emaill`ere mont´ee sur machine Maag [2]
Toutes les caract´eristiques g´eom´etriques d´efinies selon l’axe de la roue porteront l’adjectif axial : leur d´esignation normalis´ee sera affect´ee de l’indice x . ≪
≫
≪
≫
Les dimensions mesur´ees dans la direction de la trace du plan de r´ef´erence se correspondent au facteur cos β pr`es : P n = P t cos β M n = M t cos β
(3.18) (3.19)
Les dimensions mesur´ees dans une direction perpendiculaire a` la trace du plan de r´ef´erence se conservent : la hauteur des dents est la mˆeme ! Six pas diff´erents sont utilis´es pour la caract´erisation des roues cylindriques h´elico¨ıdales : – le pas normal ou pas primitif r´eel P n : c’est le pas de la cr´emaill`ere de r´ef´erence ; – le pas apparent P t = P n / cos β – le pas de base normal ou pas de base r´eel P bn = P n cos αn – le pas de base apparent P bt = P t cos αt = P bn / cos β b – le pas h´elico¨ıdal P z qui correspond a` celui de l’h´elice ; – le pas axial P x qui correspond a` la distance mesur´ee selon l’axe de la roue entre deux points homologues.
´ ¨IDAUX CHAPITRE 3. ENGRENAGES CYLINDRIQUES H ELICO
61
β
´ ements r´eels et apparents. Figure 3.10 – El´
3.4.2
Angles d’inclinaison d’h´ elice
A ce stade, il n’est peut-ˆetre pas inutile de clarifier la raison de l’existence d’angles d’inclinaison d’h´elice distincts. Toutes les h´elices ont le mˆeme pas h´elico¨ıdal P z . Si nous consid´erons diff´erents cylindres de hauteur ´egale a P ` z et si nous d´eveloppons ces cylindres nous mettons en ´evidence un angle d’h´elice li´e a` chacun d’eux. Nous pouvons donc ´ecrire : πDb tan β b = (3.20) P z πDm tan β = (3.21) P z On peut d’ailleurs tirer de ces deux derni`eres ´equations la relation suivante, d´ej` a ´etablie par ailleurs (cf. (3.13)) : Db tan β b = tan β = tan β cos αt Dm
3.4.3
(3.22)
´ Epaisseur curviligne apparente
Le calcul de l’´ epaisseur curviligne apparente sur le cercle primitif, S mt s’effectue selon le mˆeme raisonnement que celui utilis´e pour les dentures droites. Mutatis mutandis , on obtient : ⌢ 1 S mt = IP 2 = IP′ = IQ + QP′ πM t = + X tan αt 4
πM t + 2xM tan αt 2 M n π = + 2x tan αn cos β 2
(3.23) (3.24) (3.25)
S mt =
(3.26)
(3.27)
(3.28)
´ ¨IDAUX CHAPITRE 3. ENGRENAGES CYLINDRIQUES H ELICO
62
Figure 3.11 – D´etermination de l’´epaisseur curviligne apparente sur le cylindre primitif de taillage.
Figure 3.12 – D´etermination de l’´epaisseur curviligne apparente a` un rayon quelconque. Il vient :
S Rt = 2 R AOE
(3.29)
+ AOE = AOM MOB
(3.30)
=
EOB − S /2 + θ − θ R S + inv α − inv α 2R mt
m
=
mt
m
S R = D
3.4.4
mt
R
mt
S mt + inv αmt Dm
− inv α
R
(3.31)
R
(3.32)
(3.33)
Nombre virtuel de dents
Coupons le cylindre primitif, de rayon R m , par un plan normal `a l’h´elice primitive : nous obtenons une section elliptique dont les demi-axes valent Rm et Rm / cos β . Au point de contact pr´esum´e en A, le rayon de courbure vaut ρ A = R m / cos2 β . Nous consid´erons la r´epartition de Z v pas normaux sur une circonf´erence 2πρA , ´equivalente du point de vue du contact.
´ ¨IDAUX CHAPITRE 3. ENGRENAGES CYLINDRIQUES H ELICO
63
Figure 3.13 – D´etermination d’une roue cylindrique virtuelle.
Z v =
2πρA 2πR m Z = = P n cos2 β πM t cos β cos3 β
(3.34)
Le nombre virtuel de dents Z v permet d’´etablir une analogie entre le profil de la denture dans le plan r´eel et celui d’une denture droite d’un pignon a` Z v dents. Il s’agit ´evidemment d’une vue de l’esprit, car Z v n’est pas un nombre entier. En pratique, il est fr´equent d’adapter les formules ´etablies pour les engrenages cylindriques a` denture droite a` ceux `a denture h´elico¨ıdale en substituant Z v a` Z . Cette pratique concerne les caract´erisation des contacts et des interf´erences.
3.5
Engr` enement d’un pignon et d’une roue ` a denture h´ elico¨ıdale
3.5.1
Possibilit´ e de contact entre deux h´ elico¨ıdes d´ eveloppables
Le plan tangent aux deux cylindres de base est d´efini par l’angle α pt de pression apparent de fonctionnement. Les h´elico¨ıdes d´eveloppables Σ1 et Σ2 sont engendr´es respectivement par une droite d1 orient´ee par β b1 et une droite d2 orient´ee par β b2 . Pour que Σ1 et Σ2 soient tangents en M, il faut et il suffit que d1 = d2 = d, c’est-`a-dire que (3.35) β b1 = β b2 avec une h´elice a` gauche, l’autre a` droite. Le plan tangent aux deux cylindres de base contient a` chaque instant cette droite d de contact entre deux surfaces de dentures conjugu´ees : il est appel´e plan d’action . En fonctionnement, les angles de pression de fonctionnement apparents sont ´evidemment ´egaux (voir la figure 3.14) : αpt1 = α pt2 (3.36) et de l’´equation 3.13, il vient : β 1 = β 2
(3.37)
´ ¨IDAUX CHAPITRE 3. ENGRENAGES CYLINDRIQUES H ELICO
64
Figure 3.14 – Contact entre deux roues cylindriques h´elico¨ıdales.
Pour distinguer une roue a` denture h´elico¨ıdale `a droite d’une roue a` denture h´elico¨ıdale `a gauche , il faut la visualiser avec son axe de rotation vertical. Si, en suivant l’h´elice, on monte vers la droite, c’est une denture `a droite . Rappelons que la mˆeme convention est adopt´ee pour un filet de vis. ≪
≪
≫
≪
3.5.2
≫
≫
Possibilit´ e de succession du contact entre deux h´ elico¨ıdes d´ eveloppables homologues.
La succession des contacts est assur´ee si les pas de base, que l’on mesurera ici dans le plan normal, sont identiques pour chacune des roues : P bn1 = P bn2 . P bn1 = πM n1 cos αn1 = P bn2 = πM n2 cos αn2
(3.38)
La g´en´eration est effectu´ee par un mˆeme outil normalis´e : αn1 = α n2 = α n0
(3.39)
´ ¨IDAUX CHAPITRE 3. ENGRENAGES CYLINDRIQUES H ELICO
65
D`es lors : M n1 = M n2 = M n0
3.5.3
(3.40)
Possibilit´ e de contact entre deux h´ elico¨ıdes d´ eveloppables homologues.
L’entraxe O1O2 de fonctionnement, A, doit ˆetre sup´erieur a` la somme des rayons des cercles de base. A > Rb1 + Rb2 > (Rm1 + Rm2 )cos αmt M n Z 1 + Z 2 > cos αmt cos β 2
3.5.4
(3.41) (3.42)
(3.43)
Existence de jeux radiaux en fond de denture.
L’existence de jeux radiaux en fond de denture de la roue et en fond de denture du pignon s’exprime par une condition de non-talonnement faisant intervenir les rayons de tˆete et de pied des deux profils : A > Ra1 + Rf 2 A > Ra2 + Rf 1
3.5.5
(3.44) (3.45)
Condition de fonctionnement sans jeu.
L’´ etude se fait dans le plan apparent pour raisonner sur des cercles primitifs qui roulent sans glisser en I. L’expression de la condition de fonctionnement sans jeu exprime que la somme des ´epaisseurs curvilignes des dents en prise mesur´ees sur la circonf´erence primitive de fonctionnement vaut un pas : S pt1 + S pt2 = P pt
(3.46)
On aboutit a` : inv α jeu,nul = inv αmt + 2 pt
x1 + x2 tan αmn Z 1 + Z 2
(3.47)
Cette relation permet de calculer les caract´eristiques de fonctionnement th´eorique sans jeu en d´efinissant l’angle de pression apparent de fonctionnement αpt . A jeu,nul cos α jeu,nul = A m cos αmt avec A m = (Z 1 + Z 2 ) pt p A jeu,nul cos αmt p = Am cos αpt
M t 2
(3.48)
(3.49)
´ ¨IDAUX CHAPITRE 3. ENGRENAGES CYLINDRIQUES H ELICO
3.5.6
66
Continuit´ e d’engr` enement
La conduite doit ˆetre suffisante pour obtenir un fonctionnement continu et silencieux. La figure 3.15 montre que dans le cas d’une denture h´elico¨ıdale, l’engr`enement commence en A sur le profil situ´e sur la face avant du pignon 1 et se termine en B” sur la face arri`ere de la roue 2.
Figure 3.15 – Engr`enement et plan d’engr`enement.
Tout se passe comme si la conduite ´etait prolong´ee d’une longueur B’B” qui correspond au d´ecalage des deux profils. Par analogie avec l’engr`enement des engrenages cylindriques a` denture droite, on peut d´efinir le rapport total de conduite par : ǫγ =
AH P bt
(3.50)
Le rapport de conduite r´esulte de la somme du rapport de conduite apparent ǫα et du
´ ¨IDAUX CHAPITRE 3. ENGRENAGES CYLINDRIQUES H ELICO
67
rapport de recouvrement ǫβ :
ǫγ = ǫα + ǫβ AB ǫα = P bt BH ǫβ = P bt avec BH = B tan β b = B tan β cos αmt B tan β cos αmt B tan β B sin β ǫβ = = = πM mt cos αmt πM mt πM mn
(3.51) (3.52) (3.53)
(3.54) (3.55)
Pour utiliser avec profit une denture h´elico¨ıdale, il convient d’avoir un rapport de recouvrement au moins ´egal a` 1 afin de r´eduire la variation des actions au niveau des dentures.
3.5.7
Longueur des g´ en´ eratrices en contact
La longueur des g´en´eratrices en contact, Lγ , est utile `a la d´etermination de la charge normale unitaire (densit´e lin´eique d’effort).
Figure 3.16 – Somme des g´en´eratrices de contact. Sur une largeur de pignon ´egale au pas axial P x, la somme des longueurs des segments en contact est une constante qui vaut ǫα P bt/ sin β b . LP x =
ǫα P bt sin β b
(3.56)
En premi`ere approximation, on prend comme valeur de r´ef´erence pour Lγ la valeur moyenne obtenue en consid´erant que Lγ est proportionnelle a` B, soit : Lγ
≈ ≈
ǫα P bt B sin β b P x Bǫ α cos β b
(3.57) (3.58)
´ ERENCES ´ R EF
3.6
68
Lexique
Fran¸cais l’ engrenage cylindrique `a denture h´elico¨ıdale l’ engrenage `a chevrons l’ angle d’h´elice le pas apparent
English the helical gearing
Nederlands de tandwieloverbrenging met schuinen tanden the herringbone gear de pijltandwiel the helix angle de stijghoek the transverse pitch de dwarssteek
Deutsch das Schr¨agstirnradgetribe das Pfeilzahnrad der Schr¨agungswinkel die Stirnteilung
Table 3.1 – Lexique relatif aux engrenages cylindriques a` denture h´elico¨ıdale.
R´ ef´ erences [1] Michel Aublin, Ren´e Boncompain, Michel Boulaton, Daniel Caron, Emile Jeay, Bernard Lecage et Jacky R ´ ea : Syst`emes m´ecaniques. Th´eorie et dimensionnement. Dunod, 1992. [2] Jacques Dufailly : Etude g´eom´etrique des engrenages cylindriques de transmission de puissance . Ellipses, 1`ere ´edition, 1997. [3] Georges Henriot : Manuel pratique des engrenages. Dunod, 1999.
Chapitre 4 Fabrication et contrˆ ole des roues cylindriques Aussi grand que soit un trou, il y a toujours quelque chose autour. Franc ¸ ois Cavanna.
4.1
Fabrication de roues cylindriques
Il existe deux m´ethodes de taillage des roues cylindriques : – taillage par reproduction : bas´ e sur l’emploi d’une fraise disque (ou fraise de forme) dont le profil tranchant ´epouse la forme de l’entredent. La fraise tourne et se d´eplace en translation dans la direction de la g´en´eratrice lat´erale de la dent. A chaque passe de la fraise le long de l’axe de la roue, on obtient un entredent. A chaque passe de la fraise le long de l’axe de la roue, la fraise revient `a sa position initiale, apr`es quoi la roue a` tailler tourne d’un angle 2π/Z .
Figure 4.1 – Taillage par fraise de forme [2] – taillage par g´en´eration, de loin le plus r´epandu : il consiste a` imprimer `a l’outil de coupe et a` l’´ebauche le mouvement relatif qu’auraient deux engrenages correctement associ´es : l’outil de coupe repr´esente une roue dent´ee, ou une cr´emaill`ere. Trois proc´ed´es principaux peuvent ˆetre distingu´es : – par outil-cr´emaill`ere : on reproduit la cin´ematique de g´en´eration d´ecrite dans la partie th´eorique : la cr´emaill`ere effectue un mouvement de va-et-vient vertical parall`element `a l’axe de la roue `a tailler. – par fraise m`ere : le profil de la fraise m`ere d´erive de celui de la cr´emaill`ere : un effet, la section de celle-ci par un plan contenant son axe donne une cr´emaill`ere. On obtient
69
ˆ CHAPITRE 4. FABRICATION ET CONTR OLE DES ENGRENAGES
70
le profil de la fraise m`ere en d´epla¸cant la cr´emaill`ere suivant une h´elice d’inclinaison constante dont l’angle ne d´epasse pas g´en´eralement 5◦ .
Figure 4.2 – Taillage par fraise m`ere.
Figure 4.3 – Roue taill´ee et fraise m`ere[5] – par outil-pignon : l’outil, qui figure une roue dent´ ee, est anim´e d’un mouvement de translation parall`element a` l’axe de l’engrenage a` tailler combin´e a` un mouvement de rotation avec le mˆ eme rapport de vitesse qui aurait lieu si l’outil et la roue se trouvaient en prise. L’op´eration de taillage n’est pas continue : elle se d´ecompose en une s´erie d’op´erations successives qui consistent dans le mouvement ascendant et descendant de l’outil, dans la rotation de l’engrenage a` tailler. La particularit´e de ce proc´ed´e est qu’il est le seul qui permette d’obtenir l’engrenage int´erieur. Les proc´ed´es par outils-pignons et fraise m`ere sont rapides et les mieux appropri´es pour la r´ealisation de pignons de petites ou moyennes dimensions, avec des valeurs de module allant de 0,5 `a 10 mm. Les ´ebauches peuvent ˆetre pr´eforg´ees. L’outil cr´emaill`ere est essentiellement r´eserv´e a` la r´ealisation de pignons de moyennes et grandes dimensions. Outre les proc´ed´es de taillage, on peut citer ceux de roulage (moletage), de brochage, de moulage et d’estampage. Il existe deux m´ethodes de rectification des roues cylindriques : – rectification par g´en´eration (eng : grinding ) ; – rectification par meule de forme. Il existe deux op´erations de finition : – le rasage (eng : shaving ) ; – la superfinition (eng : honing ). L’article de Jean Kaleta ([5]) publi´e dans l’encyclop´edie Techniques de l’Ing´enieur fournit, en une vingtaine de pages, une synth` ese des diff´erents proc´ed´es de taillage et de rectification des engrenages. Le taillage des roues cylindriques est approfondi dans [1].
ˆ CHAPITRE 4. FABRICATION ET CONTR OLE DES ENGRENAGES
71
Figure 4.4 – Cin´ematique de taillage par cr´emaill`ere [5]
4.2
Contrˆ ole de roues cylindriques
Les normes I.S.O. 1328 et 10064 d´efinissent le contrˆ ole des flancs de denture et les erreurs caract´eristiques mesurables. Pasquier en fournit une synth`ese int´eressante ([6]). Erreurs de division
On distingue : erence alg´ebrique entre le pas erreur individuelle de pas circulaire : f pt est la diff´ (circulaire) effectivement r´ealis´e et la valeur th´eorique erreur accumul´ ee de pas : F pk sur un secteur de k pas est la diff´erence alg´ebrique
entre la longueur effective et la longueur th´eorique de ce secteur. C’est bien sˆ ur la somme alg´ebrique des erreurs individuelles de ces mˆemes k pas. ee erreur totale de division : F p est l’amplitude totale du diagramme d’erreur accumul´ Erreurs de profil
L’erreur totale de profil F α est la distance entre deux profils (d´eveloppantes de cercle) qui englobent le profil effectif dans une zone de contrˆ ole (sur une longueur Lα ). Erreurs d’h´ elice
L’erreur totale d’helice F β est la distance entre deux h´elices de r´ef´erence qui englobent la trace effective dans la longueur d’´evaluation Lβ .
ˆ CHAPITRE 4. FABRICATION ET CONTR OLE DES ENGRENAGES
72
Faux rond de denture
Le faux rond est le double de l’excentricit´e du cylindre primitif. Il se mesure pratiquement par l’amplitude totale, pour un tour complet autour de l’axe de r´ef´erence, de la variation d’enfoncement d’une pi`ece de mesure tangente aux profils aux environs de leur point d’insertion avec le cercle primitif. Erreur compos´ ee radiale
Pour un tour complet de la roue consid´er´ee, l’erreur compos´ee radiale F ”i est l’amplitude totale de la variation d’entraxe de l’engrenage parall`ele constitu´e par cette roue et une roue ´etalon (d’erreurs n´egligeables) soumise a` un effort radial constant assurant un engr`enement sans jeu de fonctionnement. Elle pr´esente l’avantage de fournir une mesure rapide et globale de la qualit´e de l’engrenage.
4.3
Classes de qualit´ e
La normalisation reconnaˆıt douze classes de qualit´e, num´erot´ees de 1 (engrenages ultrapr´ecis) a` 12 (engrenages grossiers). Nous fournissons quelques valeurs rep`eres des ´ecarts d´efinis au paragraphe 4.2 pour la qualit´e 5. Toutes les valeurs pour les autres qualit´es s’obtiennent par progression g´eom´etrique de raison 2.
√
f pt,[µm] = 0, 30(M [mm] + 0, 40 Dm,[mm]) + 4
(4.1)
F p,[µm] = 0, 30M [mm] + 1, 25 Dm,[mm] + 7
(4.2)
F ”i,[µm] = 3, 20M [mm] + 1, 01 Dm,[mm] + 6, 4
(4.3)
On peut se baser sur les tableaux suivants :
Proc´ed´es de Classes de qualit´e fabrication obtenues D´e coupage, injection 8 a` 12 Taillage moyen 6 a` 7 Taillage de pr´ecision 4 a` 6 Rasage 3 a` 5 Rectification 2 a` 5 Table 4.1 – Classes de qualit´e obtenues en fonction du proc´ed´e de fabrication
4.4 4.4.1
Correction de profils Modification sur le profil
La figure 4.5 compare les engr`enements th´eorique (roue rigide) et r´eel (roue d´eformable) de deux dentures : la flexion des dents et l’´ecrasement superficiel tendent a` provoquer dans le
ˆ CHAPITRE 4. FABRICATION ET CONTR OLE DES ENGRENAGES
Applications Pignons ´etalons, diviseurs Engrenages a` grande vitesse Boˆıtes de vitesses (automobile) R´educteurs de turbine Machines-outils, automobiles, camions Machines textiles et d’imprimerie Engins de levage
73
Classes de qualit´e recommand´ees 2 a` 3 3 a` 4 5 a` 6 5 a` 7 5 a` 10 6 a` 10 7 a` 12
Table 4.2 – Choix des tol´erances ISO en fonction du domaine d’utilisation Vitesses Classes de qualit´e circonf´erentielles recommand´ees Jusque 3 m/s 10 a` 12 De 2 a` 8 m/s 8 a` 9 De 6 a` 20 m/s 5 a` 7 De 15 a` 40 m/s 1 a` 4 Table 4.3 – Choix des tol´erances ISO en fonction des vitesses circonf´erentielles
Figure 4.5 – Effet de flexion des dents [4]
second cas une p´en´etration des dents avec comme cons´equence directe un choc au d´ebut de l’engr`enement. Ce choc est ´evidemment une source de bruit mais ses r´epercussions sont ´egalement importantes sur la r´esistance des dentures : on con¸ coit que le film d’huile ′ adh´erant a` la dent D1 se trouve d´etruit par l’intervention brutale de l’arˆete de sommet de la dent D′2. Pour avoir un d´ebut d’engr`enement progressif, il convient d’effectuer une l´eg`ere d´epouille au sommet des dents de l’organe men´e. On pourrait ´evidemment remplacer la d´epouille de tˆete de l’organe men´e par une d´epouille de pied de l’organe menant. Il faut ´evidemment se garder d’exag´erer ces corrections : elles doivent ˆetre simplement suffisantes pour com-
´ ERENCES ´ R EF
74
Figure 4.6 – D´epouilles [4]
penser les d´eformations de flexion et d’´ecrasement des dents, toujours tr`es faibles. Pour des pignons de boˆıtes de vitesse autmobiles, la d´epouille est de l’ordre de 10 a` 15 µm (cf. [3]).
4.4.2
Correction longitudinale
La figure 4.7(1) sch´ematise les conditions de contact dans un engrenage parall`ele a` denture droite id´eal : dentures sans erreur, axes absolument parall`eles, arbres, paliers et carters ind´eformables sous charge. Le contact est ´etabli sur toute la largeur de denture. En pratique, le parall´elisme ne peut ˆetre parfait, comme l’indique la figure 4.7(2) : la port´ee des dentures tend a` s’´etablir en une extr´emit´e. On diminue la concentration de contrainte hertzienne au bord des dentures avec des dents dites en bateau. Les bords des dents sont un peu amincis ; `a vide, les dents se touchent au milieu, puis le contact s’´etablit sur toute la largeur a` forte charge. Les dentures ”bateau” se rencontrent, par exemple, dans les engrenages tr`es charg´es des boˆıtes de vitesses automobiles : le bomb´e est de l’ordre de 10 `a 20 µm.
4.5
Lexique
R´ ef´ erences [1] Claude Bellais : Outils coupants. Taillage des roues cylindriques , chapitre B 7 097. Techniques de l’Ing´enieur. Techniques de l’ing´enieur, 1987. [2] Darle W. Dudley : Gear Handbook. The Design, Manufacture and Application of Gears. McGraw-Hill, 1st ´edition, 1962. [3] Georges Henriot : Engrenages. Conception. Fabrication. Mise en oeuvre. Dunod, 7`eme ´edition, 1999. [4] Georges Henriot : Manuel pratique des engrenages. Dunod, 1999.
´ ERENCES ´ R EF
75
Figure 4.7 – Contact entre dentures [4]
Figure 4.8 – Bomb´e [4]
´ ERENCES ´ R EF
le le le le le le le la le le le la la la l’
Fran¸cais fraisage taillage taillage par reproduction taillage par g´en´ eration taillage par outil pignon moletage brochage rectification rasage honage ou honing rodage fraise disque fraise doigt fraise vis-m`ere outil-pignon
76 the the the the the the the the the the the the the the the
English milling gear cutting form-copying method form-generating method gear shaping gear rolling broaching grinding shaving gear honing lapping involute side milling cutter involute end mill gear hobbing cutter gear shaper cutter
het het de het het het het het het het het de de de het
Nederlands frezen randwielfrezen kopieermethide afwikkelprocess afwikkelsteken tandwielrollen trekfrezen slijpen schrapen tandwielhonen lappen schijffrees vingerfrees wormfrees beitelwiel
Deutsch das Fr¨asen das Verzahnen das Formverfahren das W¨ alzverfahren das W¨ alzstossen das Zahnradrollen der R¨aumen das Schleifen das Zahnradschaben das Zahnradhonen das L¨ appen der scheibenf¨ormiger Zahnformfr¨aser der Zahnform-Fingerfr¨aser der W¨alzfr¨ aser das Schneidrad
Table 4.4 – Lexique relatif aux dispositifs de r´eglage de vitesse.
ed´es , chapitre BM 7 155. [5] Jean Kaleta : Taillage et rectification des engrenages : proc´ Techniques de l’Ing´enieur. 1998.
[6] Michel Pasquier : Contrˆ ole des engrenages parall`eles , chapitre R 1 290. Techniques de l’Ing´enieur. 2002.
Chapitre 5 Engrenages coniques. Si les triangles faisaient un dieu, ils lui donneraient trois cˆot´es. Montesquieu.
5.1
G´ en´ eralit´ es
Les engrenages a` roues coniques sont utilis´es pour transmettre un couple entre deux arbres a` axes concourant en un point appel´e apex . La valeur de l’angle des axes , Σ, peut ˆetre choisie entre de tr`es larges limites (entre 10 et 180 degr´es), mais l’engrenage le plus r´epandu est celui o` u les axes se coupent a` angle droit (Σ = 90◦ ) pour constituer un renvoi d’angle.
Figure 5.1 – Engrenage conique et roues virtuelles [5] Les surfaces primitives sont assimil´ ees a` des troncs de cˆone de sommet O, roulant sans glisser l’un sur l’autre. Le rendement de la transmission peut ˆetre excellent (> 98%). Les roues coniques doivent pouvoir se r´ egler axialement sur les arbres afin que les sommets des cˆ ones primitifs co¨ıncident exactement avec l’intersection des axes. 77
CHAPITRE 5. ENGRENAGES CONIQUES.
78
Le probl`eme de la d´efinition des dentures a` engrenages concourants est plus complexe que celui relatif aux engrenages parall`eles : le profil de r´ef´ erence de la denture n’est plus d´efini dans un plan mais sur une sph`ere. La cr´emaill`ere prismatique utilis´ee pour les engrenages cylindriques doit ˆetre ici remplac´ee, dans l’´etude du mouvement de g´en´eration, par une couronne ou roue plate. En pratique, le profil des dents de la couronne g´en´eratrice s’´ecarte un tantinet de la d´eveloppante de cercle sph´erique : la ligne d’action n’est plus rigoureusement rectiligne mais pr´esente la forme d’un huit, ce qui justifie l’appellation de denture octo¨ıde pour certaines dentures de pignons coniques. ≪
≫
Figure 5.2 – Engrenage conique en prise avec la couronne sph´erique conjugu´ee [6]
Figure 5.3 – Ligne d’action octo¨ıde [6] Les roues coniques a` denture droite sont relativement simples a` fabriquer. Les roues coniques a` denture h´elico¨ıdale, a` denture spirale ou en arc de cercle impliquent des proc´ed´es de fa¸connage assez complexes a` d´ecrire (consulter [1] pour une premi`ere approche). On retiendra que les machines sp´ ecialis´ ees qui permettent leur taillage sont sujettes a` de nombreux r´eglages, si bien que l’interchangeabilit´e d’une roue conique avec une autre, pr´esentant des caract´eristiques similaires, est douteuse : on veillera donc a` commander le couple de roues formant l’engrenage conique. Les roues hypo¨ıdes pr´esentent certaines similitudes avec les roues coniques. Quelques informations particuli`eres sont indiqu´ees au chapitre 6.
5.1.1
Surfaces primitives. Relations cin´ ematiques
La particularit´e de cet engrenage est que les g´en´eratrices des dents des deux roues conjugu´ees convergent vers le sommet commun S des cˆ ones primitifs de roulement (voir
79
CHAPITRE 5. ENGRENAGES CONIQUES.
Figure 5.4 – Roues conique droite (a), conique spirale (b), conique ZEROL (c) et hypo¨ıde (d). [4]
figure 5.1. L’engrenage conique peut ˆetre ext´erieur, a` roue plate ou int´ erieur, selon la valeur de l’angle primitif de la roue, δ 2. L’utilisation de l’engrenage conique int´ erieur reste exceptionnelle, ´etant donn´e la difficult´e de la r´ealisation. Lors d’un avant-projet, les donn´ees de d´epart disponibles sont le plus souvent le rapport de transmission i et l’angle des axes Σ. sin δ |i| = ||ωω || = OO CC = sin δ 2
1
m1
1
2
m2
(5.1)
En tenant compte du fait que δ m1 + δ m2 = Σ, on ´etablit facilement : tan δ m1 = tan δ m2 =
5.2 5.2.1
|i| sinΣ 1 + |i| cosΣ
sinΣ i + cos Σ
||
(5.2) (5.3)
Engrenages coniques ` a denture droite Relations g´ eom´ etriques
Il faut bien r´ealiser qu’une denture conique pr´esente une section variable le long d’une g´en´eratrice : la hauteur de denture varie augmente lorsque l’on s’´ecarte de l’apex. La figure 5.6 rappelle les principales grandeurs g´eom´etriques usuelles. Lors du dessin, on veillera `a ce que les g´en´eratrices convergent toutes au sommet primitif S. Lors de la conception de l’engrenage conique, une des difficult´es est de pr´evoir une possibilit´e de r´eglage axial pour que cette condition de convergence soit satisfaite. La figure 5.5 illustre la localisation axiale des pignons par les entretoises ou cales d’´epaisseur B, C, D et E. Le diam`etre primitif Dm de la roue conique droite est le plus grand diam`etre mesur´e sur le cˆone primitif ; il est, par convention, un multiple du module M : Dm = Z M
(5.4)
80
CHAPITRE 5. ENGRENAGES CONIQUES.
Figure 5.5 – R´educteur a` deux ´etages dont le premier couple est un engrenage conique. [2]
On veillera `a ne pas confondre diam`etre primitif Dm et g´en´eratrice primitive Lm . On trouve facilement la relation : Dm Lm = (5.5) 2sin δ m La largeur de denture B doit normalement v´erifier : B
10M Lm /3
(5.6) (5.7)
Il faut pr´evoir un d´egagement suffisant vers le sommet du cˆ one de chaque roue pour la sortie des outils. L’angle de pression de g´en´eration α m est de 20◦ (rarement 14,5◦ ). La saillie H a et le creux H f valent, pour un pignon conique standard : H a = M H f = 1, 25M
(5.8) (5.9)
Pour une denture droite Gleason : H a1 = 2M H a2 0, 460M H a2 = 0, 540M + Z 2 cos δ1
−
(5.10) (5.11)
Z 1 cos δ2
H f = 2, 188M
(5.12)
81
CHAPITRE 5. ENGRENAGES CONIQUES. ν
δ
δ
ν
δ
Figure 5.6 – Roue conique.
Le calcul des caract´eristiques moyennes de fonctionnement (notamment le calcul des efforts d’engr´enement trait´e au chapitre 7) est g´en´eralement effectu´e au milieu de la largeur de denture, d’o` u l’importance pratique de la g´en´eratrice moyenne Lmoy. ≪
5.2.2
≫
Mod` ele approch´ e de Tredgold
On peut, avec un degr´e d’approximation suffisant, consid´erer que l’engr`enement dans la zone la plus ´eloign´ee de l’apex (o` u la dimension des dents est la plus importante) s’effectue dans des conditions similaires `a celles rencontr´ees lors de l’action de deux roues d’axes parall`eles. Pratiquement, on m`ene par le point de contact arri`ere entre les deux roues coniques, le plan perpendiculaire a` l’axe instantan´e de rotation. Les distances mesur´ees dans ce plan entre ce point de contact et les points de perc´ee des axes de rotation de chacune des roues d´efinissent les rayons primitifs Rp1 et Rp2 de l’engrenage cylindrique ´equivalent. Dm1 (5.13) cos δ 1 Dm2 D2v = (5.14) cos δ 2 Ce qui pr´ec`ede permet de ramener la plupart des probl`emes relatifs a` un engrenage conique au cas d’un engrenage parall`ele avec denture en d´eveloppante de cercle. Le nombre de dents du pignon et de la roue ´etant respectivement Z 1 et Z 2 , on peut calculer le nombre de dents virtuel de la roue ´equivalente : Z 1 Z 1v = (5.15) cos δ 1 Z 2 Z 2v = (5.16) cos δ 2 D1v =
De cette fa¸con, l’´etude d’un engrenage conique (interf´erence, continuit´e d’engr`enement, etc.) peut s’effectuer a` l’aide des formules et des graphiques ´etablis pour un engrenage parall`ele, simplement en y rempla¸cant le nombre de dents Z par Z v .
82
CHAPITRE CHAPITRE 5. ENGRENA ENGRENAGES GES CONIQUES. CONIQUES.
5.2.3
Remarques particuli` particuli` eres eres
– L’angle δ abaisse la limite d’interf´erence erenc e a` l’usinage par rapport a` la roue cylindrique droite droit e ; le nombre minimal minima l de dents d’un pignon pigno n conique co nique (d´eport epo rt nul) peut p eut ˆetre etre estim´e a` partir de Z min (5.17) min = 14cos δ m – Il faut, d`es es le stade de l’avant-projet l’avant-projet de la transmission, pr´evoir evoir la possibilit´e d’un r´eglage eglage axial, afin de faire co¨ co¨ıncider les sommets des cˆ ones primitifs exactement avec ones l’intersection des axes. La plus grande pr´ecision ecision d’ex´ecution ecution n’aura pas d’effet si l’on n´eglige egl ige la pr´ecision eci sion du montage mont age.. – Les dentures denture s des roues coniques coniqu es droites droit es peuvent peu vent ˆetre etre d´eport´ epo rt´ees. ees. Pour ´eviter eviter une modimod ification ficat ion de l’angle l’ang le des axes Σ, il est pr´ef´ ef´erable erabl e de pr´evoir evoir un engrenage engre nage de type D-z´ero ero pour lequel la somme des d´eports eports de la roue et du pignon est nulle.
5.3 5.3
Engr Engren enag ages es coni coniqu ques es ` a dentur de nture e incli inclin´ n´ ee ee
D’innombr D’in nombrabl ables es variantes varia ntes existent exis tent.. Elles Elle s sont s ont souvent sou vent d´esign´ esig n´ees ees par les marques mar ques d´epos´ ep os´ees ees des fabrica fa bricants nts des machines-ou ma chines-outils tils qui qu i permet p ermettent tent de tailler taille r ces dentures denture s de g´eom´ eom´etrie etrie complexe : denture en arc ar c de cercle c ercle Gleason, Gleaso n, spirale spir ale pallo p allo¨¨ıde Klingelnb Kli ngelnberg erg (type ( type : d´eveloppante eveloppa nte de cercle), spirale Oerlikon (type : ´epicyclo¨ epicyclo¨ıde), spirale Zerol de Gleason, ... Pour d´efinir efinir l’angle l’ang le d’inclinaison d’incli naison β moy moy du profil : – on se r´ef` ef`ere ere au plan primitif d’une roue plate de r´ef´ ef´erence erence (qui pourrait s’identifier a` une roue g´en´ en´eratrice, erat rice, jouant le mˆeme eme rˆ ole ole que la cr´emaill` emaill`ere ere pour les engrenages cylindrique cylindriques) s) ; – on consid`ere ere un point du profil d’une dent situ´e a` mi-larg mi-largeur eur de denture denture ; – on m`ene ene par ce point deux droites d´efinissant efinissant l’angle β moy moy : la tangente au profil et la droite issue du centre de la roue. L’angle d’inclinaison β moy evidemment evidemm ent nul pour p our une denture droite, droit e, mais ´egalement egalem ent moy est ´ pour la denture spirale Zerol de Gleason. Par convention, l’angle β moy moy est positif mais il importe de distinguer distinguer les dentures dentures inclin´ inclin´ees ees a` droite et dentures inclin´ees ees a` gauche, notamment pour pr´evoir evoir les pouss´ees ees sur les arbres (cf. chapitre 7). Un valeur standard de l’angle spiral β moy es. es. La figure 5.7 pr´esente esente le cas de dentures denture s inclin´ees ees moy est de 35 degr´ a` droite. Pour une denture spirale Gleason : H a1 700M H a2 a1 = 1, 700M a2 0, 390M 390M H a2 460M + + Z 2 cos δ1 a2 = 0, 460M
−
(5.18) (5.19)
Z 1 cos δ2
H f f = 2, 188M 188M
5.4
(5.20)
Repr´ Repr´ esentatio esentation n normalis normalis´ ´ ee ee des engrenages engrenages coniques
La repr´esentation esentation conventionnelle conventionnelle des engrenages, d´efinie efinie par la norme ISO 2203, est fort simple :
83
CHAPITRE CHAPITRE 5. ENGRENA ENGRENAGES GES CONIQUES. CONIQUES.
β
β
esentation de la projection pro jection des dentures h´elico¨ elico¨ıdale et spirale d’une Figure 5.7 Figure 5.7 – Repr´esentation roue conique.
esentation d’un pignon conique [3] Figure 5.8 Figure 5.8 – Repr´esentation
esentation d’un engrenage conique [3] Figure 5.9 Figure 5.9 – Repr´esentation
84
CHAPITRE CHAPITRE 5. ENGRENA ENGRENAGES GES CONIQUES. CONIQUES.
R epr´esentation esentat ion simplifi´ee ee d’un engrenage engre nage conique coniqu e (Σ = 90◦ ) [3] Figure 5.10 Figure 5.10 – Repr´
´ ERENCES ´ R EF
5.5
85
Lexique
Fran¸cais English Nederlands Deutsch la roue conique the bevel gear het kegelwiel das Kegelrad la roue conique `a denture h´elico¨ıdale the skew bevel gear het schuinvertand kegelwiel das Schr¨agzahn Kegelrad la roue conique `a denture spirale the spiral bevel gear het conische schroefwiel das Kreisbogen Kegelrad
Table 5.1 – Lexique relatif aux engrenages coniques.
R´ ef´ erences [1] Claude Bellais : Outils coupants. Taillage des roues coniques , chapitre B 7 098. Techniques de l’Ing´enieur. Techniques de l’ing´enieur, 1987. alzlagerungen , 1997. [2] FAG. Die Gestaltung von W¨
[3] ISO : Technical drawings - conventional representation of gears. Rapport technique, International Standard Organization, 1973. [4] Robert L. Mott : Machine Elements in Mechanical Design . Prentice Hall, 1999. [5] G. Nicolet et E. Trottet : El´ements de machines. SPES, Lausanne, 1971. [6] Quality Transmission Components. Handbook of Metric Gears. Product Guide and Technical Data., December 2000.
Chapitre 6 Engrenages gauches. Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqu´e ? Proverbe Shadok.
6.1
Introduction
Pour ce type de transmission, les axo¨ıdes sont des hyperbolo¨ıdes de r´evolution. Si on taille sur ces hyperbolo¨ıdes des dentures ayant un mˆeme pas, on obtient un engrenage `a rapport de transmission constant. La partie utilis´ee des surfaces des hyperbolo¨ıdes primitifs est ´etroite, du fait de la largeur de denture est limit´ee. Pratiquement, elle est remplac´ee par des surfaces cylindriques pour les engrenages gauches h´elico¨ıdaux et par des surfaces tronconiques pour les engrenages hypo¨ıdes . Il en r´esulte que le contact des dents en prise est ponctuel. Comme le glissement est in´evitable dans les engrenages gauches, le rendement de ces transmissions sera plus faible que dans le cas des engrenages cylindriques ou coniques. Enfin, les engrenages `a roue et vis sans fin peuvent ˆetre consid´er´es comme une variante des engrenages gauches a` cette diff´erence pr`es que le contact entre les dents n’est pas ponctuel mais lin´eaire. Cette propri´et´e est obtenue en taillant les dents de la roue par g´en´eration avec une fraise-m`ere dont les ´el´ements d’engr`enement ont les mˆemes dimensions que la vis sans fin qui formera un couple avec la roue. Des rapports de r´eduction importants (10 `a 100) peuvent ˆetre facilement obtenus.
6.2
Engrenages gauches h´ elico¨ıdaux
Les figures 6.1 et 6.2 illustrent la configuration d’un engrenage gauche h´elico¨ıdal : les deux roues sont des roues cylindriques a` denture h´elico¨ıdale, d’inclinaisons primitives β 1 et β 2 pouvant ˆetre diff´erentes. La figure 6.2 repr´esente une situation o` u le pignon et la roue engr`enent simultan´ement avec une cr´emaill`ere g´en´eratrice commune : ils peuvent de facto engrener ensemble. On remarque que les dentures du pignon et de la roue sont toutes deux orient´ees a` droite! On v´erifie en effet que, dans cette configuration : β 1 + β 2 = Σ 86
(6.1)
87
CHAPITRE 6. ENGRENAGES GAUCHES.
Figure 6.1 – Engrenage gauche h´elico¨ıdal [3].
β Σ
β
Figure 6.2 – Engrenage gauche h´elico¨ıdal.
La somme des angles que fait une g´en´eratrice de la cr´emaill`ere avec chacun des axes de rotation est ´egal a` l’angle entre les deux axes gauches. On r´ealise une transmission a` angle droit avec deux roues d’angle d’h´elice ´egal a` 45◦ , les deux dentures ´etant inclin´ees dans le mˆeme sens. Dans une configuration o` u les inclinaisons seraient l’une a` droite, l’autre a` gauche, on aurait : β 1 β 2 = Σ (6.2)
| − |
L’´ equation 6.2 reproduit bien la contrainte a` laquelle doit satisfaire l’engrenage cylindrique (Σ = 0) h´elico¨ıdal, a` savoir l’´egalit´e de β 1 et de β 2 . Les dentures conjugu´ees du pignon et de la roue ayant une mˆeme cr´emaill`ere g´en´eratrice, celles-ci doivent ˆetre caract´eris´ees par le mˆeme pas normal et le mˆeme module normal.
CHAPITRE 6. ENGRENAGES GAUCHES.
88
Le rapport d’engrenage entre les deux arbres est : u =
Z 2 D2 cos β 2 = Z 1 D1 cos β 1
(6.3)
Le contact est ponctuel dans l’engrenage gauche h´elico¨ıdal : a` chaque instant, les deux dentures conjugu´ees ne sont en contact qu’en un seul point. Il ne faut donc pas esp´erer pouvoir transmettre une charge importante avec un tel engrenage.
6.3
Engrenages hypo¨ıdes
L’engrenage hypo¨ıde est constitu´e de roues coniques prises en dehors de la gorge des surfaces axo¨ıdes hyperbolo¨ıdes. Les angles d’inclinaison du pignon et de la roue sont diff´erents. Le pignon peut ˆetre con¸ cu pour que son angle spiral soit sup´erieur a` celui de la roue, ce qui permet d’obtenir une dent de pignon plus r´esistante.
Figure 6.3 – Engrenage gauche hypo¨ıde [3].
6.4 6.4.1
Engrenages ` a vis sans fin Caract´ eristiques g´ eom´ etriques
Un engrenage `a vis sans fin (ou `a vis et roue tangente ) est un engrenage gauche caract´eris´e par la forme particuli`ere d’une de ses roues qui se pr´esente sous l’aspect d’une vis. Nous n’´evoquerons que le cas le plus fr´equent o` u Σ vaut un angle droit. Cette disposition des arbres favorise la r´ealisation de grands rapports de transmission sous un faible encombrement : des rapports de r´eduction de l’ordre de quelques centaines peuvent en effet ˆetre atteints en un seul ´etage. Ils ont de plus la particularit´e d’offrir un fonctionnement peu bruyant. Leur rendement est malheureusement sensiblement plus faible, en raison de la pr´esence de glissement : il faut veiller au choix des mat´eriaux de la vis et de la roue pour obtenir un couple tribologique a` faible coefficient de frottement (le bronze est un mat´ eriau typiquement utilis´e pour la roue). L’importance des pertes ´energ´etiques n´ecessite d’ailleurs une ventilation du r´educteur. Leur prix de revient est plus ´elev´e (cons´equence du recours au bronze, taillage plus d´elicat a` mener) que celui
CHAPITRE 6. ENGRENAGES GAUCHES.
89
Figure 6.4 – Transmission arri`ere d’une voiture : roue hypo¨ıde li´ee a` la cage du diff´erentiel [5].
Figure 6.5 – Engrenage a` vis sans fin, d’apr`es [3].
des r´educteurs a` axes parall`eles ou perpendiculaires. Les r´educteurs a` vis sans fin constituent une solution acceptable pour des puissances mod´er´ees (inf´erieures a` 60 kW) et des applications o` u il faut assurer la r´egularit´e de marche. On appelle : – cylindre de r´ef´erence : : le cylindre par rapport auquel sont d´efinies les cotes g´eom´etriques du filet ; – diam`etre de r´ef´erence : le diam`etre de la vis, D1 ; on notera que le diam`etre de la vis n’est pas une fonction du nombre de filets (dents) Z 1 ; – pas h´elico¨ıdal : P z , distance mesur´ee parall`element a` l’axe entre deux points d’une mˆeme h´elice ; – pas axial : P x , distance parall`element a` l’axe entre deux points correspondants de deux
90
CHAPITRE 6. ENGRENAGES GAUCHES.
flancs cons´ecutifs (qui peuvent ne pas appartenir a` la mˆeme h´elice, dans le cas d’une vis `a plusieurs filets) ; – nombre de filets : Z 1 , on a P z = Z 1 P x . – inclinaison du filet : γ , l’angle de pas de r´ef´erence par rapport a` la direction de l’axe ; tan γ =
P z πD 1
(6.4)
Pour ´eviter l’interf´erence, l’inclinaison d’h´elice reste inf´erieur a` une valeur limite fonction de l’angle normal de pression αn , pr´ecis´ee par le tableau 6.1. Angle de pression Inclinaison maximale (degr´es) d’h´elice (degr´es) 14,5 15 20 25 25 35 30 45 Table 6.1 – Inclinaisons de filet admissibles pour diff´erents angles de pression. – inclinaison d’h´elice de la roue : β . Lorsque l’angle des axes est droit, l’angle d’h´elice de la roue est ´egal a` l’inclinaison d’h´elice de la vis : γ 1 = β 2 ; les sens d’enroulement sont les mˆemes sur les deux ´el´ements. Concernant les formes compl´ementaires au niveau de l’engrenage entre la vis 1 et la roue 2, deux dispositions constructives sont possibles : 1. la vis 1 ´epouse le contour de la roue 2 : la vis est qualifi´ee de globique . Grˆace a` cette disposition, il y a un plus grand nombre de filets simultan´ement en prise. 2. la roue 2 ´epouse le contour de la vis 1 : la vis est qualifi´ee de tangente
Figure 6.6 – Roue tangente et vis cylindrique (a). Vis globique (b), (c) et (d). [1]
Diff´ erentes formes de filet de vis sans fin utilis´ ees pratiquement On distingue : – Vis ZA `a profil axial : pour cet engrenage, la denture de la vis dans la section axiale
pr´esente les flancs rectilignes d’un profil trap´ezo¨ıdal sym´etrique, d´efini par l’angle de pression α 0 . Dans la section apparente perpendiculaire a` l’axe, le profil de la vis est une spirale d’Archim`ede. Ces profils peuvent ˆetre obtenus sur un tour, soit par un outil avec l’arˆete de forme du profil, soit par un outil pignon a` flancs en d´eveloppante, travaillant dans le plan axial de la vis. – Vis ZN `a flancs droits dans la section normale : les conditions d’usinage sont plus favorables que pour le type ZA. – Vis ZK `a flancs bomb´es engendr´es par un outil disque
91
CHAPITRE 6. ENGRENAGES GAUCHES.
Figure 6.7 – Diff´erentes formes de filet de vis sans fin [1].
` flancs en h´ elico¨ıde d´eveloppable : dans la section apparente perpendiculaire – Vis ZI a `a l’axe, le profil du filet est une d´eveloppante de cercle. C’est pourquoi cette vis peut ˆetre assimil´ee a` une roue h´elico¨ıdale a` denture normale et a` tr`es petit nombre de dents, o`u l’inclinaison primitive du filet de vis est choisie entre 50 et 87◦. La position de la vis dans le carter est choisie en fonction de la vitesse circonf´erentielle u1 = D 1 ω1 /2 de la vis. Si elle est inf´erieure a` 0,8 m/s, on se contente d’une lubrification par graisse consistante. Pour u1 5 m/s, la vis est plac´ ee en dessous de la roue et au-dessus, dans le cas contraire.
≤
6.5
Repr´ esentation gauches
normalis´ ee
des
engrenages
La repr´esentation des engrenages gauches, d´efinie par la norme ISO 2203, suit les principes simplificateurs conventionnels (il n’est mˆeme pas n´ecessaire de repr´esenter les contours cach´es !) :
CHAPITRE 6. ENGRENAGES GAUCHES.
Figure 6.8 – Exemple de r´educteur a` vis sans fin. [1]
Figure 6.9 – Repr´esentation d’un engrenage h´elico¨ıdal gauche selon ISO 2203 [4].
Figure 6.10 – Repr´esentation d’un engrenage hypo¨ıde selon ISO 2203 [4].
92
CHAPITRE 6. ENGRENAGES GAUCHES.
93
Figure 6.11 – Repr´esentation d’un engrenage a` vis et roue tangente selon ISO 2203 [4].
´ ERENCES ´ R EF
6.6
94
Lexique Fran¸cais la vis sans fin la vis globique la longueur filet´ ee la roue `a vis tangente
the the the the
English worm hour-glass worm threaded length worm wheel
de de de de
Nederlands worm globo¨ıdworm wormlengte wormwiel
die die die das
Deutsch Schnecke GloboidSchnecke Schneckenl¨ange Schneckenrad
Table 6.2 – Lexique relatif aux engrenages gauches.
R´ ef´ erences [1] Horst Haberhauer et Ferdinand Bodenstein : Maschinenelemente. Gestaltung, Berechnung, Anwendung. Springer, Berlin, 10st ´edition, 1996. (in German). [2] Georges Henriot : Engrenages. Conception. Fabrication. Mise en oeuvre. Dunod, 7`eme ´edition, 1999. [3] Georges Henriot : Manuel pratique des engrenages. Dunod, 1999. [4] ISO : Technical drawings - conventional representation of gears. Rapport technique, International Standard Organization, 1973. [5] Johannes Looman : Zahnradgetriebe . Springer, 1996. prˆet´e Declerq.
Chapitre 7 Efforts g´ en´ er´ es par les engrenages. Puisqu’apr`es tant d’efforts ma r´esistance est vaine, Je me livre en aveugle au destin qui m’entraˆıne. Racine, Andromaque, I, 1.
7.1
Engrenages parall` eles ` a denture droite
L’action de la dent du pignon sur celle de la roue se traduit par un effort de contact F dirig´e selon la normale commune aux profils des dentures, pour autant que l’on n´eglige la composante de frottement. Cette force normale F a comme support la ligne d’action et fait un angle α p avec la tangente commune aux deux cercles primitifs de fonctionnement. On d´ecompose F en sa composante tangentielle F t , directement reli´ee au couple transmis et sa composante radiale F r , dirig´ee vers le centre de chaque roue. F t = F cos αp F r = F sin αp = F t tan αp
(7.1) (7.2)
Pour chaque roue, la composante radiale est physiquement orient´ee vers l’axe de rotation. Nous la d´efinirons donc a priori positive dans cette direction. L’effort tangentiel et l’effort radial d´eterminent les efforts appliqu´es sur les arbres et les paliers du fait de la transmission de puissance, les poids de la roue et du pignon pouvant ´eventuellement ˆetre pris en compte.
7.2
Engrenages parall` eles ` a denture h´ elico¨ıdale
L’effort F appliqu´e sur une dent est contenu dans le plan normal : on y distingue les composantes radiale F r et fl´echissante F f . Cette derni`ere composante peut ˆetre a` son tout d´ecompos´ee en composante axiale F x et tangentielle (transversale) F t . De l’observation de la figure 7.1, il d´ecoule : F r F f F t F x
= = = =
F sin αn F cos αn F f cos β = F cos αn cos β F f sin β = F cos αn sin β 95
(7.3) (7.4) (7.5) (7.6)
´ ER ´ ES ´ PAR LES ENGRENAGES. CHAPITRE 7. EFFORTS GEN
96
Figure 7.1 – Composantes des forces transmises dans les engrenages parall`eles.
Pratiquement, on d´eduit F t de l’´equation d’´equilibre de rotation de la roue. Une denture h´elico¨ıdale g´en`ere une composante axiale qui pose le probl`eme de la s´election de l’organe devant assurer la liaison roto¨ıde de la transmission. L’installation sur un mˆeme arbre de deux dentures h´elico¨ıdales dont les angles d’h´elice sont ´egaux mais oppos´es offre un ´equilibrage parfait, quel que soit le sens de la rotation. Cette disposition offre encore l’avantage de distribuer la puissance transmise entre les deux roues. Son application suppose : – l’ex´ecution sym´etrique pr´ecise des dentures ; – la construction rigide des arbres et du bˆ ati afin que les plans principaux des roues restent parall`eles durant le fonctionnement ; – le montage rigoureusement parall`ele des arbres.
Figure 7.2 – Engrenages h´elico¨ıdaux oppos´es (conception des ann´ees 1960). L’engrenage a` chevrons, qui a fait la renomm´ee de Citro¨en, ´evite ces probl`emes de montage au prix d’un taillage simultan´e des deux dentures sur une mˆeme ´ebauche, n´ecessitant une machine-outil et un outillage sp´ecialis´es. Un pignon a` dentures a` chevrons est li´e axialement a` la roue avec laquelle il est en prise.
´ ER ´ ES ´ PAR LES ENGRENAGES. CHAPITRE 7. EFFORTS GEN
7.3
97
Engrenages coniques
Par convention, les efforts axiaux sont positifs dans la direction apex-pignon. Dans l’avantprojet d’un engrenage conique, on s’efforcera d’obtenir des efforts axiaux positifs car ceux-ci tendent a` ´ecarter les roues alors que des efforts axiaux n´egatifs r´eduisent le jeu entre dentures et induisent des efforts suppl´ementaires. Les efforts radiaux sont positifs lorsqu’ils sont orient´es vers l’axe. Les efforts sont estim´es a` mi-largeur de denture. L’effort r´eel F est d´ecompos´e, dans un plan normal au cˆ one primitif d’engr`enement, en effort tangentiel F t et effort normal F n . Denture droite
L’effort normal (au cˆ one primitif d’engr`enement) F n peut ˆetre d´ecompos´e en effort axial F x et radial F r . Observons que pour une denture droite, l’effort tangentiel n’a ni composante axiale, ni composante radiale.
δ
α
Figure 7.3 – Composantes des forces transmises dans les engrenages coniques a` denture droite.
F t F n F r F x Dans les cas classiques o` u δ
◦
= = = =
F cos αn F t tan αn F t tan αn cos δ F t tan αn sin δ
(7.7) (7.8) (7.9) (7.10)
≤ 90 , les efforts axiaux et radiaux sont toujours positifs.
´ ER ´ ES ´ PAR LES ENGRENAGES. CHAPITRE 7. EFFORTS GEN
98
L’analyse est plus complexe : il faut prendre en compte le sens d’inclinaison de la denture spirale ainsi que le sens de rotation. Celui-ci est conventionnellement d´efini pour un observateur situ´e a` l’apex. Denture inclin´ ee
Les composantes axiale et radiale s’expriment pour le pignon 1 menant et la roue men´ee 2 par les formules suivantes : F x1 = F t1 F r1 = F t1 F x2 = F t1 F r2 = F t1
sin δ 1 tan αn cos β cos δ 1 tan αn cos β sin δ 2 tan αn cos β cos δ 2 tan αn cos β
± tan β cos δ
1
∓ tan β sin δ
1
∓ tan β cos δ
2
± tan β sin δ
2
(7.11)
(7.12)
(7.13)
(7.14)
dans lesquelles on adopte le signe + ou sup´erieur si le pignon 1 : – a une denture a` gauche et une rotation dans le sens trigonom´etrique ; – a une denture a` droite et une rotation dans le sens horlogique ; et le signe inf´erieur dans les autres cas.
−
Lorsque les dentures sont inclin´ees, les efforts radiaux et axiaux peuvent ˆetre n´egatifs ; cette disposition doit ˆetre ´evit´ee autant que possible.
7.4
Engrenages ` a vis sans fin
La composante tangentielle F t1 sur la vis, mesur´ee sur son cylindre primitif, est la seule composante qui s’oppose a` la rotation de la vis; elle se d´ eduit du couple transmis et s’identifie a` la pouss´ee axiale F x2 sur la roue. La figure 7.4 illustre la correspondance entre les efforts appliqu´es sur la vis et sur la roue. La force r´esultante entre la vis et la roue est suppos´ee concentr´ee au point de concours de la ligne des centres avec le cylindre de r´ef´erence de la vis. Comme le r´egime de lubrification hydrodynamique est rarement atteint et que les effets de glissement ne sont pas n´egligeables, il faut prendre en compte la force de frottement qui s’oppose au mouvement.
F r1 = F n sin αp F t1 = F n (cos αp sin γ 1 + f cos γ 1) F x1 = F n (cos αp cos γ 1 f sin γ 1 )
−
(7.15) (7.16) (7.17)
Le coefficient de frottement au d´ emarrage se situe entre 0,1 et 0,2 alors qu’` a vitesse constante, il peut chuter jusqu’` a 0,02 (vis en acier et roue en bronze, construction soign´ee).
´ ER ´ ES ´ PAR LES ENGRENAGES. CHAPITRE 7. EFFORTS GEN
99
Figure 7.4 – Composantes des forces transmises dans les engrenages a` vis et roue tangente.
7.5
Engrenages gauches h´ elico¨ıdaux
On trouve, comme pour l’engrenage a` vis : F r1 F t1 F x1 F r2 F t2 F x2
= = = = = =
F n sin αp F n (cos αp cos β 1 + f sin β 1 ) F n (cos αp sin β 1 f cos β 1 ) F n sin αp F n (cos αp cos β 2 f sin β 2 ) F n (cos αp sin β 2 + f cos β 2 )
−
−
(7.18) (7.19) (7.20) (7.21) (7.22) (7.23)
Chapitre 8 Capacit´ e de charge des engrenages. This part of ISO 6336 is not intended for use by the general engineering public International Standard ISO 6336-1 :1996(E), p. 1 .
8.1
L’apport de la norme ISO 6336
Dans ses recommandations pour la d´etermination de la capacit´e de charge des engrenages cylindriques `a dentures droite et h´elico¨ıdale, la normalisation internationale ([3], consultable au service de g´enie m´ecanique) reconnaˆıt deux proc´edures distinctes, correspondant chacune a` un mode de d´et´erioration de l’engrenage qu’il faut ´etudier : 1. rupture par sollicitation des dents en flexion 2. apparition de piquage (eng : pitting ) par pression superficielle excessive La rupture d’une dent conduit a` la mise hors service presque instantan´ee de la transmission et pr´esente un facteur de danger important. L’apparition du piquage est progressive, d´etectable par analyse acoustique ou vibratoire : elle ne pr´esente pas de danger majeur pour des installations faisant l’objet d’une maintenance r´eguli`ere. D’autres d´efauts superficiels plus graves peuvent se produire (sous des conditions a priori plus d´efavorables que celles qui m`enent au piquage), comme le grippage, l’usure abrasive, l’´ecaillage.
Figure 8.1 – Grippage : pr´esence de sillons dans le sens du glissement. Dans le dimensionnement d’un engrenage, nous rechercherons donc a` ce que le risque de d´efaillance par rupture par fatigue volumique soit inf´erieur a` celui li´e a` l’apparition de d´efauts superficiels.
100
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
101
Ces crit`eres permettent la d´etermination d’une capacit´e de charge par unit´e de longueur qui s’exprime en fonction d’un nombre impressionnant de facteurs d´ependant de la g´eom´etrie, des mat´eriaux, des conditions d’utilisation (notamment la lubrification) . Ils ont ´et´e valid´es par de nombreuses ´etudes th´eoriques et exp´erimentales men´ees pour des conditions industrielles normales de d´efinition des engrenages (angles de pression voisins de 20◦, angles d’h´elice de r´ef´erence inf´erieurs a` 30◦ , rapports de conduite compris entre 1 et 2,5, ...). La norme reconnaˆıt quatre m´ethodes class´ees par ordre d´ecroissant de complexit´e : etermination pr´ecise de l’´etat de contrainte par exp´erimentation sur M´ ethode A : d´ mod`ele a` l’´echelle ou par mod´elisation math´ematique fid`ele du syst`eme de transmission sollicit´e ; cette m´ethode est tr`es rarement appliqu´ee en raison de sa complexit´e de mise en œuvre, et donc, de son coˆ ut ; el´ement de volume le plus sollicit´e M´ ethode B : calcul de la contrainte maximale de l’´ `a partir d’un calcul de structure tridimensionnel. M´ ethode C : m´ethode
simplifi´ee permettant de faire une bonne estimation de l’´etat de contrainte maximal, moyennant une excellente connaissance du composant et de ses d´efauts ;
M´ ethode D : m´ethode
≪
≫
simplifi´ee permettant de faire une estimation satisfaisante manuelle de l’´etat de contrainte maximal, moyennant une bonne connaissance du composant. ≪
≫
Les autres types d’engrenages sont soumis aux mˆemes modes de d´efaillance et leurs m´ethodes de dimensionnement s’inspirent d’une d´emarche analogue, ´equivalente a` celle des m´ethodes C ou D, dans l’´etat actuel de la technique.
8.2 8.2.1
R´ esistance ` a la pression superficielle Principe du calcul. Engrenages parall` eles ` a denture droite
Deux dents en prise en un point M peuvent ˆetre assimil´ees en premi`ere approximation a` deux cylindres de rayons de courbure ρ1 et ρ2 soumis `a un effort lin´eique de rapprochement q . Rappelons que la largeur 2b de la zone de contact rectangulaire (la longueur est infinie) est donn´ee par : ρ1ρ2 b = 2 (e1 + e2 )q (8.1) ρ1 + ρ2
dans laquelle les ´ecrasements sp´ecifiques ei sont d´efinis par : ei =
1
2 i
− ν
(8.2)
πE i
La valeur de la pression maximale est donn´ee par :.
pmax =
2q 1 = πb π
1 1 q + ρ1 ρ2 e1 + e2
(8.3)
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
102
Pour les profils en d´eveloppante de cercle, les rayons de courbure ρ 1 et ρ 2 sont ´egaux aux distances T1 M et T2M mesur´ees sur la ligne de contact, repr´esent´ee sur la figure 8.2.
ρ
ρ
Figure 8.2 – D´efinition des rayons de courbure associ´es aux deux dents en prise.
Il vient que :
pmax = Z E
T1 T2 1 1 q = Z E q + T1 M T2 M T1 M T2 M
(8.4)
expression faisant intervenir le facteur d’´elasticit´e Z E : 1 Z E = π
1 e1 + e2
(8.5)
d´efini par la norme ISO 6336, synth´etisant les effets des propri´et´es ´elastiques des mat´ eriaux (modules d’Young et des coefficients de Poisson des mat´ eriaux) des roues sur la pression de contact. Son ordre de grandeur avoisine 190 N/mm pour les aciers.
√
Au cours de l’engr`enement, la pression de contact varie en fonction de la position du point M et du nombre de dents en contact. La figure 8.3 repr´ esente son ´evolution. Le maximum est rencontr´e a` la fin du segment de contact unique (point W). Il n’est d`es lors pas tr`es compliqu´e de calculer la valeur maximale de la pression de contact. Le comit´e ISO n’a pas adopt´e cette d´emarche, en privil´egiant une appro che bas´ee sur des param`etres d’influence. Il pr´econise le calcul d’une pression superficielle de r´ef´erence au point I qui sera ensuite corrig´ee et compar´ee a` une valeur pH,lim caract´eristique du comportement du mat´eriau a` la fatigue superficielle.
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
103
Figure 8.3 – Evolution de la pression de contact en fonction de la localisation du point de contact sur la ligne d’action.
Pour un point d’engr`enement localis´e au point I, on ´ecrit successivement : q = T1 I = T2 I = u = Rm1 =
F n F mt = B B cos αm Rb1 tan αp Rb2 tan αp Rb2 Rb1 Rb1 cos αm
(8.6)
(8.7) (8.8) (8.9) (8.10)
pour aboutir a` l’expression :
pmax = Z E
8.2.2
F m u + 1 2 Dm1B u cos2 αm tan αp
(8.11)
M´ ethode pratique selon l’I.S.O.
Pour la r´esistance a` la pression superficielle, le crit`ere normalis´e s’exprime sous la forme : F t <
p2H,lim
B Dm,1
u u+1
Z N T,(1,2)Z L Z V Z R Z W Z X Z E Z H Z ǫ Z β Z (V,W ) K R
2
1 K A K V K Hβ K Hα
(8.12)
Le crit`ere 8.12 fait intervenir plusieurs facteurs que nous allons pr´eciser imm´ediatement dans la suite. On peut les peut regrouper en familles : – facteurs li´es `a la g´eom´etrie de l’engrenage : la largeur de denture B, le diam`etre primitif du pignon Dm,1 , le facteur g´eom´etrique Z H , le facteur d’inclinaison Z β , ; – facteurs li´es aux mat´eriaux de l’engrenage : la pression de Hertz admissible pH,lim, le facteur d’´elasticit´e Z E – facteurs d’influence des essais de fatigue destin´ es ` a caract´eriser les mat´ eriaux :
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
104
– facteurs li´es `a la cin´ematique d’engr`enement : le rapport d’engrenage u, le facteur de conduite Z ǫ , le facteur de contact unique Z V,W ; – facteurs li´es aux conditions de fonctionnement : le facteur d’application K A , le facteur dynamique K V , ... Remarquons d’embl´ee que la force tangentielle admissible sur les dentures est limit´ee par le carr´e de la pression superficielle admissible. Les facteurs K corrigent la force tangentielle. Les facteurs Z corrigent la pression de contact et sont soumis a` l’´el´evation au carr´e au mˆeme titre que celle-ci. ≪
≪
≫
≫
Pression superficielle admissible
Les pressions superficielles admissibles pH,lim fournies par la norme ISO 6336, partie 5, sont d´etermin´ees directement a` partir d’essais normalis´es r´ealis´es sur des engrenages cylindriques `a denture droite r´epondant a` un cahier des charges pr´ecis. La valeur de la contrainte de r´ef´erence, p H,lim, est la pression superficielle que le mat´eriau peut supporter, sans d´et´erioration par piqˆ ures, pendant une dur´ee de vie de 2 a` 50 Mcycles de chargement, avec une fiabilit´e de 99 %. On consid`ere que la dur´ee de vie de 99 % des ´echantillons dont la pression superficielle est inf´erieure a p ` H,lim ont une dur´ee de vie infinie vis-`a-vis de la d´et´erioration par pitting. Les figures 8.4 et 8.5 fournissent les ordres de grandeur des pressions superficielles admissibles, en fonction de la duret´e superficielle des mat´eriaux.
Aciers de nitruration, nitruration de longue durée
Aciers de cémentation, nitruration de longue durée
Fontes graphite sphéroïdal Fontes malléables Fontes grises
Figure 8.4 – Pression superficielle admissibles.
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
105
Aciers alliés cémentés, trempés
Aciers durcis superficiellement à la flamme ou par induction
Aciers de cémentation, nitruration de courte durée
Aciers fortement alliés traités et revenus
Aciers non alliés Aciers de construction Aciers moulés
Figure 8.5 – Pression superficielle admissibles.
Facteur de fiabilit´ e
Certaines applications sont d´efinies avec des fiabilit´es diff´erentes de 99%. Des fiabilit´es plus faibles peuvent convenir pour certaines applications de m´ecanique g´en´erale, mais d’autres class´ees comme sensibles, n´ecessitent des fiabilit´es accrues pouvant atteindre 0,9999%.
F
Le facteur de fiabilit´e K R peut ˆetre d´etermin´e par : K R =
pH,lim,F =0,99 pH,lim,F
= 0, 6933
− 0, 18 log
10 (1
− F ) − 0, 0133 (log
10 (1
− F ))
2
Facteur de dur´ ee
Le facteur de dur´ee Z N T intervient pour des applications dont la dur´ee est limit´ee. Dans la majorit´e des applications industrielles, ce facteur est ´egal a` l’unit´e. Facteur lubrifiant
La lubrification de l’engrenage est essentielle, car elle dessert plusieurs fonctions : – elle pr´evient l’usure par interposition d’un film de lubrification ´elasto-hydrodynamique entre les dentures;
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
106
– elle permet l’´evacuation calorifique des pertes de la transmission m´ecanique ; on retiendra que la temp´erature du lubrifiant se situe g´en´eralement entre 40◦C et 60◦C : 80◦ C est un seuil d’alerte. – elle prot` ege l’engrenage de la corrosion et de la contamination par des ´el´ ements ´etrangers (`a condition de veiller a` la propret´e du lubrifiant) Le facteur de lubrifiant Z L peut ˆetre d´etermin´e par les expressions suivantes, faisant intervenir la viscosit´e cin´ematique ν 40 C , exprim´ee en m2 /s. ◦
Z L = C ZL + avec :
4 (1
− C
ZL )
10−6 1, 2 + 134 ν 40◦ C
2
C ZL = 0,83 si pH,lim < 850 MPa pH,lim C ZL = 0,6357 + si 850 pH,lim < 1200 MPa 4,375 109 C ZL = 0,91 si pH,lim > 1200 MPa
≤
(8.13)
(8.14) (8.15) (8.16)
Jusqu’`a une vitesse p´eriph´erique v = ωR p de 1 m/s, l’application (directe ou par pulv´erisation) d’une pˆ ate contenant des agents lubrifants solides (MoS2 ) peut ˆetre envisag´ee. Jusqu’`a 2 m/s, un barbotage dans la graisse peut ˆetre envisag´ e. Au-del` a, jusque 15 m/s, un barbotage dans un bain d’huile peut suffire : on veillera `a ce que la hauteur du bain de lubrifiant en contact avec la roue se situe entre 1M et 6M . Au-del`a de 15 m/s, il faut imp´erativement pr´evoir un circuit de lubrification permettant l’aspersion des dentures au travers d’injecteurs (projection directe ou formation d’un brouillard d’huile). Cette solution, qui n´ecessite la conception d’un circuit hydraulique, permet de refroidir l’huile et de veiller `a sa non-contamination (filtre). Il faut encore pouvoir estimer la viscosit´e du lubrifiant. La norme allemande DIN 51 509 fournit quelques indications, bas´ee sur la pression de Stribeck. pStri =
3F t u + 1 BD m1 u
(8.17)
En fonction du rapport en cette pression de Stribeck et la vitesse p´eriph´erique v, le tableau 8.1 fournit des valeurs rep`eres de viscosit´e cin´ematique. pStri /v [MPa.s/m] 0.01 0.05 0.10 0.5 1 5 10 ν 40 C mm2 /s 47 63 77 150 195 420 570 ◦
Table 8.1 – Viscosit´es d’huiles de lubrification pour les transmissions a` engrenages d’apr`es DIN 51 509 On recommande que le lubrifiant soit enrichi d’agents antiusure ou extrˆeme pression d`es que la pression de Stribeck d´epasse 7,5 MPa. Des valeurs importante de d´eport r´eduits ( x > 0, 5) ou de glissements sp´ecifiques (gs > 0.8) n´ecessitent ´egalement des lubrifiants avec des additifs antiusure ou extrˆeme pression et des dentures a` flancs durcis. ≪
≫
||
≪
≫
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
107
Figure 8.6 – Lubrification par barbotage [2].
Facteur de vitesse
Le facteur de vitesse Z V d´epend de la vitesse tangentielle, et de la valeur de la pression superficielle admissible pH,lim du mat´ eriau le moins dur du couple pignon-roue. Il peut ˆetre d´etermin´e par : 2(1 C ZV ) Z V = C ZV + (8.18) 32 0, 8 + v avec :
−
C ZV = C ZL + 0, 02
(8.19)
Il caract´erise l’influence de la vitesse tangentielle d’engr`enement sur la lubrification ´elastohydrodynamique de l’engrenage d’essai normalis´e. Facteur de rugosit´ e
Le facteur de rugosit´e Z R d´epend de la rugosit´e des flancs de dent, des rayons de courbure au contact et de la valeur de la pression superficielle de r´ef´erence pH,lim du mat´eriau le
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
108
Figure 8.7 – Lubrification par brouillard d’huile [2].
plus faible des deux roues constituant l’engrenage. Z R =
3
C ZR
(8.20)
RZ,10
avec : C ZR = 0, 32
−
C ZR = 0, 15 si pH,lim < 850 MPa 2 10−10 pH,lim si 850 MPa pH,lim < 1200 MPa C ZR = 0, 08 si pH,lim > 1200 MPa
≤
(8.21) (8.22) (8.23)
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
109
RZ,10 est la rugosit´e relative moyenne crˆete a` crˆete du couple de pignons :
RZ,10 = R Z 3
10
(8.24)
ρeq,[mm]
avec RZ , la rugosit´e moyenne crˆete a` crˆete du couple de pignons : RZ =
RZ 1 + RZ 2 2
(8.25)
et ρeq , le rayon de courbure ´equivalent du couple de pignons, exprim´e en m`etre : ρeq =
ρ1 ρ2 ρ1 + ρ2
(8.26)
(ρ1,2 = Rb,(1,2) tan αt pour une denture ext´erieure, ρ2 = int´erieure.
−R
b2 tan αt pour
une denture
Sans pr´ecisions particuli`eres provenant de mesures de rugosit´e, on peut admettre une valeur rep`ere de 0,5 µm pour la rugosit´e arithm´etique (correspondant a` un ´etat apr`es finition) et RZ = 6Ra (un tableau de correspondance des rugosit´es RZ et Ra est disponible dans le formulaire RUGO [1]). Facteur de rapport de duret´ e
Le facteur de rapport de duret´e Z W tient compte de l’augmentation de r´esistance superficielle due a` l’engr`enement d’une roue avec une roue notablement plus dure. Z W =1, 2 Z W =1, 2 Z W =1, 0
−
HB −130 1700
si H B 130 si 130 < HB si H B > 470
≤
≤ 470
(8.27)
Facteur de dimension
Le facteur de dimension Z X prend en compte le fait que statistiquement, plus la structure est de dimension importante, plus elle contient des d´efauts m´etallurgiques, qui sont autant de sources d’endommagements initiaux. La pression superficielle admissible diminue avec la taille de la structure. Dans le document normatif IS0 6336-2, le facteur de dimension Z X est pris ´egal a` 1. Facteur g´ eom´ etrique
Les grandeurs g´eom´etriques de fonctionnement et de g´en´eration de l’engrenage permettent de d´efinir le facteur g´eom´etrique Z H . Z H =
2cos β b cos2 αmt tan αt
(8.28)
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE CHAPITRE 8. CAPAC CAPACIT IT E
110
Facteur de conduite
Le facteur de conduite Z ǫ prend en compte les rapports de conduite et la longueur de contact pou pourr les le s engrena en grenages ges h´elico¨ elico¨ıdaux. ıdaux. Pour les dentures denture s droites dr oites : Z ǫ =
−
ǫα
4
si ǫ si ǫ α
3
Z ǫ =1
≥ 2
(8.29)
si ǫ α < 2
Pour les denture dent uress h´elico eli co¨¨ıdales ıda les :
−
Z ǫ = Z ǫ =
1 ǫα (4
si ǫ si ǫ β
≥ 1
ǫα )(1 3
−ǫ ) + ǫ β
β
ǫα
(8.30)
si ǫ si ǫ β < 1
Facteur d’inclinaison
Le facteur d’inclinaison Z β prend en compte le fait que les rayons de courbure ne sont pas constants le long de la ligne de contact pour des dentures h´elico¨ elico¨ıdales. Z β =
cos β b
(8.31)
Facteur de contact unique
Le facteur de contact unique Z unique Z V,W est e st dest de stin´ in´e a` obtenir la pression superficielle maximale maximale aux points V ou W `a partir p artir de la pression pressio n superficie sup erficielle lle de r´ef´ ef´erence erenc e en I.
Z V,0 =
tan αpt
− − − − − − − − 2 Ra1 2 Rb1
Z W,0 =
1
2 Ra2 2 Rb2
2π Z 1
1
2π (ǫ Z 2 α
− 1)
tan αpt
2 Ra2 2 Rb2
1
2 Ra1 2 Rb1
2π Z 2
1
2π (ǫ Z 1 α
− 1)
(8.32)
(8.33)
Pour les dentures droites, Z V,W = max(Z max(Z V,0, Z W,0, 1)
(8.34)
Pour les denture dent uress h´elico eli co¨¨ıdales ıda les : – si le rapport de recouvrement ǫβ est e st sup´ sup ´erie er ieur ur ou ´egal eg al a` l’un l’ unit it´´e : Z V,W = 1
(8.35)
– si le rapport de recouvrement ǫβ est inf´erieur eri eur a` l’unit´ l’unit´e, e, il faut tout d’abord calculer calculer les facteurs Z facteurs Z V,0 et Z W,0 en se basant sur les formules 8.32 et 8.33 correspondant a` un recouvrement nul. : Z V = max( ax(1, Z V,0 ǫβ (Z V,0 1)) Z W = max( ax(1, Z W,0 ǫβ (Z W,0 1)) Z V,W = max(Z V , Z W )
− −
− −
(8.36) (8.37) (8.38)
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE CHAPITRE 8. CAPAC CAPACIT IT E
111
Facteur d’application
Le facteur facteur d’appl d’applica ication tion K A tient tient compte compte des surcharg surcharges es dynami dynamique quess prove provenan nantt des source sou rcess ext´erieur eri eurss `a l’engrenage. Pour les machines motrices, on distingue les quatre classes suivantes : 1. Fonctionnem oncti onnement ent uniforme unifor me : moteurs moteu rs ´electriques, electr iques, d´emarrages emarr ages peu fr´equents, equents, faible couple de d´emarrage, emarrage, ... ; 2. Cho Chocs cs l´egers eger s : turbines, turbi nes, moteurs moteu rs hydrauliques, hydrauliq ues, d´emarrages emarr ages plus fr´equents, equents, ... ; 3. Cho Chocs cs mod´ mo d´er´ er´es es : mot m oteur eurss a` combustion combustion interne interne multicyl multicylindres indres,, ... ; 4. Chocs importants : moteurs a` combustion combustion interne interne monocylindres. monocylindres... .. Pour les machines r´eceptrices, eceptrices, on distingue les quatre classes suivantes : 1. Fonctionnem oncti onnement ent uniforme un iforme : g´en´ en´erateurs, erate urs, transpo tran sporteur rteurss continus conti nus a` bande, a` vis, engrenages d’avance d’avance de machines-outils, ventilateurs, ventilateurs, m´elangeurs elangeurs pour mat´eriaux eriaux a` densit´e constante, const ante, ... ; 2. Chocs l´egers egers : transporteurs transporteurs discontinu discontinus, s, commandes commandes principales principales des machinesmachinesoutils, outils, engrenages de rotation de grues, grues, ... ; 3. Chocs Cho cs mod´er´ er´es es : extrudeuses, extrud euses, m´elangeurs elang eurs a` fonctionnement discontinu, cages de laminoirs, treuils, pompes a` piston piston monocyl monocylind indre, re, ... ; 4. Chocs importants : pelles p elles m´ecaniques, ecaniques, tamis, broyeurs, machines de sid´erurgie, erurgie, foreuses, presses, ... Machine motrice Fonctionnement uniforme Chocs l´egers Chocs moyens Chocs importants
Machine Mach ine r´eceptr ece ptrice ice Fonctionnement Chocs Chocs Chocs uniforme l´egers moyens importants 1,00
1,25
1,50
1,75
1,10
1,35
1,75
1,85
1,25
1,50
1,75
2,00
1,50
1,75
2,00
¿ 2,25
Table 8.2 Table 8.2 – Facteurs d’application
Facteur dynamique
En pratique, la transmission du mouvement par un engrenage n’est pas rigoureusement homocin´etique. etique. Cette variation provient des principaux facteurs suivants suivants : – d´efauts efaut s de pas et de forme des diff´erents erents profils profil s cons´ c ons´ecutifs ecuti fs ; ces d´efauts efaut s proviennent provienn ent du mode mod e de g´en´ en´eration erati on et des d´eformatio efor mations ns dues au traitement trait ement thermique therm ique ; – flexion des dents dents sous charge ; les effets d’amplificati d’amplification on dynamique dynamique doivent doivent ˆetre etre pris en compt comptee ; – variation d’´epaisseur epaisseur du film d’huile.
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE CHAPITRE 8. CAPAC CAPACIT IT E
112
Le facte facteur ur dyna dynami miqu quee K V s’apparente te a` un coeffic coefficie ien nt d’am d’ampl plifi ifica cati tion on dyna dynami miqu quee V s’apparen d´ependant ependant des raideurs, inerties et caract´eristiques eristiques du comportement dynamique. K V V = 1 +
K 1 B[mm] + K 2 K A F t
u2 1 + u + u2
vZ 1 100
(8.39)
Si la charge char ge lin´eique eiqu e K A F t /B /B es estt inf´erieur eri euree a` 100 N/mm, sa valeur sera suppos´ supp os´ee ee ´egale egale a` 100 N/mm. Les facteurs K 1 (expri (ex prim´ m´e en N/mm) N/m m) et K 2 sont fournis dans la table : Denture K 1 : clas c lasses ses de qualit´ qua lit´e K 2 Qualit´e 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 T Tooutes Droi Droite te 2,1 2,1 3,9 7,5 7,5 14,9 14,9 26,8 26,8 39,1 39,1 52,8 52,8 76,6 76,6 102,6 102,6 146, 146,33 0,019 0,01933 H´elico¨ elico¨ıdale 1,9 3,5 6,7 13,3 23,9 34,8 47,0 68,2 91,4 130,3 0,0087 Table 8.3 Table 8.3 – Coefficients K 1,[N/ [N/mm] et K 2 utiles au calcul du facteur dynamique
Facteur de distribution de charge longitudinale
Le rˆole ole du facteur de distribution de charge longitudinale K longitudinale K Hβ Hβ est de prendre en compte le caract` cara ct`ere ere non uniforme unifo rme de la r´epartition epart ition de pression pressi on le long de la g´en´ en´eratrice erat rice de contact contac t d’un couple de dents. La m´ethod eth odee C est d´ej` ej` a fortement fort ement ´elabor´ elab or´ee. ee. La m´ethode etho de D permet per met une d´eterminatio eterm ination n du facteur K Hβ ` partir d’expressions analytiques, diff´erentes erentes selon les mat´eriaux eriaux et les Hβ a ajustements aju stements apr` a pr`es es montage dans da ns le carter c arter : 1. Engrenages Engrenages en acier de c´ementation, ementation, en acier trait´ trait´e dans la masse ou en fonte a` grap gr aphi hite te sph´ sp h´ero er o¨ıdal ıd al Pas d’ajustement d’aj ustement apr`es es montage, rodage rodag e Clas Classe se 5 : K Hβ Hβ
2
B = 1, 135 + 0, 0, 18 Dp1
Clas Classe se 6 : K Hβ 0, 18 Hβ = 1, 15 + 0, Clas Classe se 7 : K Hβ 0, 18 Hβ = 1, 17 + 0, Clas Classe se 8 : K Hβ 0, 18 Hβ = 1, 23 + 0,
B Dp1 B Dp1 B Dp1
+ 0, 0, 23
× 10
−3
B[mm] (8.40)
2
+ 0, 0, 30
× 10
−3
B[mm]
(8.41)
+ 0, 0, 47
× 10
−3
B[mm]
(8.42)
+ 0, 0, 61
× 10
−3
B[mm]
(8.43)
2
2
Ajustement Ajuste ment apr`es es montage, montage , rodage ro dage suivant sp´ecifications ecifica tions Clas Classe se 5 : K Hβ 0, 18 Hβ = 1, 10 + 0, Clas Classe se 6 : K Hβ 0, 18 Hβ = 1, 11 + 0, Clas Classe se 7 : K Hβ 0, 18 Hβ = 1, 12 + 0, Clas Classe se 8 : K Hβ 0, 18 Hβ = 1, 25 + 0,
B Dp1 B Dp1 B Dp1 B Dp1
2
+ 0, 0, 115
× 10
−3
B[mm] (8.44)
2
+ 0, 0, 15
× 10
−3
B[mm]
(8.45)
+ 0, 0, 23
× 10
−3
B[mm]
(8.46)
+ 0, 0, 31
× 10
−3
B[mm]
(8.47)
2
2
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
113
2. Engrenages durcis superficiellement Pas d’ajustement apr`es montage, rodage Classe 5, K Hβ
≤ 1, 34
: K Hβ =
Classe 5, K Hβ > 1, 34 : K Hβ = Classe 6, K Hβ
≤ 1, 34
: K Hβ =
Classe 6, K Hβ > 1, 34 : K Hβ =
1,05+0,31 1,09+0,26 1,09+0,26
1,05+0,31
B Dp1 B Dp1 B Dp1 B Dp1
2
+0,199×10 +0,234×10 +0,330×10
−3
B[mm]
(8.48)
−3
B[mm]
(8.49)
−3
B[mm]
(8.50)
+0,380×10−3 B[mm]
(8.51)
2
2
2
Ajustement apr`es montage, rodage suivant sp´ecifications Classe 5, K Hβ
≤ 1, 34
: K Hβ =
Classe 5, K Hβ > 1, 34 : K Hβ = Classe 6, K Hβ
≤ 1, 34
: K Hβ =
Classe 6, K Hβ > 1, 34 : K Hβ =
0,99+0,31 1,05+0,26 1,05+0,26
1,05+0,26
B Dp1 B Dp1 B Dp1 B Dp1
2
+0,110×10 +0,120×10 +0,160×10
−3
B[mm]
(8.52)
−3
B[mm]
(8.53)
−3
B[mm]
(8.54)
+0,160×10−3 B[mm]
(8.55)
2
2
2
On tend vers l’´egalisation de la charge lin´eique des engrenages en prenant les mesures suivantes : – ex´ecuter les dentures avec une grande pr´ecision ; – veiller au parall´elisme des arbres par un positionnement pr´ecis des paliers ; – disposer les pignons et les roues au milieu des port´ees des paliers ; les pignons en porte`a-faux sont particuli`erement surcharg´es ; – construire des bˆ atis tr`es rigides ; – donner aux flancs des dentures des formes adapt´ees (bomb´e). Facteur de distribution de charge transversale
Le facteur de distribution de charge transversale K Hα prend en compte la r´epartition in´ egale de la charge, dans le plan d’engr`enement, sur plusieurs paires de dents simultan´ement en contact. La m´ethode C fournit des valeurs moyennes utilisables dans des conditions standard, reprises dans le tableau 8.4. F t K A /B Qualit´e Droite, durcie H´elico¨ıdale, durcie Droite, non durcie H´elico¨ıdale, non durcie
6 1,0 1,0 1,0 1,0
> 100 N/mm 100 N/mm 7 8 9 10 11 12 < 6 1,0 1,1 1,2 1/Z ǫ2 1, 2 1,1 1,2 1,4 ǫα/ cos2 β b 1, 4 1,0 1,0 1,1 1,2 1/Z ǫ2 1, 2 1,0 1,1 1,2 1,4 ǫα / cos2 β b 1, 4
≤
≥
≥ ≥ ≥
Table 8.4 – Facteur de distribution de charge transversale
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
114
Figure 8.8 – Rupture d’une dent par fatigue (faci`es stri´e caract´eristique).
8.3 8.3.1
R´ esistance ` a la rupture Engrenages ´ el´ ementaire.
parall` e les
` a
denture
droite.
Mod` e le
Comme pour la v´erification de la r´esistance a` la fatigue superficielle, les m´ethodes de dimensionnement proc`edent en deux ´etapes : 1. d´efinition d’une configuration de r´ef´erence sujette a` un certain nombre d’hypoth`eses simplificatrices ; 2. d´etermination de facteurs de correction permettant de prendre en compte les ´ecarts entre le mod`ele et le cas r´eel ´etudi´e.
Figure 8.9 – Sollicitation d’une dent. La figure 8.9 illustre l’effort F sollicitant une dent pour une position quelconque du point de contact M, sous l’hypoth`ese d’un contact lin´eique rectiligne uniforme. Durant l’engr`enement, le point de contact M parcourt le profil actif de dent. La dent est soumise a` la compression et `a la flexion simple. La section critique se situe tr`es certainement au voisinage du pied de dent.
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
115
La r´esistance au glissement conduit a` une inclinaison de la force par rapport a` la normale au contact. L’amplitude de l’effort varie en fonction du nombre de dents en contact (cf. 8.2.1). Les th´eories plus ou moins ´elabor´ees a` la base du dimensionnement a` la rupture des roues dent´ ees vont se distinguer essentiellement par : – le choix du point d’application de l’effort sur la dent ; – la d´efinition de la section critique appel´ee section d’encastrement ; – la prise en compte du nombre de dents en contact. Les effets de la r´esistance au glissement sont presque toujours consid´er´ es comme n´egligeables. La premi`ere libert´e que l’on prend pour ´evaluer le dimensionnement d’une denture a` la rupture est de postuler qu’une dent d’un pignon peut ˆetre assimil´ ee a` une poutre au sens de la R´esistance des Mat´eriaux : les dimensions transversales ne sont certainement pas n´egligeables par rapport a` la dimension longitudinale.
π
π
Figure 8.10 – Mod`ele ´el´ementaire. Nous ´etablissons un mod`ele ´el´ementaire sous les hypoth`eses suivantes : – il n’a qu’un seul couple de dents en prise ; – la g´eom´etrie de la dent est suppos´ee parfaite ; le contact est lin´eique rectiligne ; la r´epartition des efforts par unit´e de longueur est uniforme ; – une dent d’engrenage est assimil´ee a` une poutre encastr´ee de section constante, d´efinie g´eom´etriquement par une longueur L = 2, 25M , une section rectangulaire constante, de dimensions B et S m = πM/2 ; – l’effort est localis´e au sommet de la dent L = 2, 25M ; – l’angle que fait l’effort avec la section d’encastrement est l’angle de pression ; – seule la sollicitation de flexion est prise en consid´eration pour l’´evaluation de la contrainte maximale. La contrainte normale maximale de flexion σf ,max a pour expression : σf ,max =
M f ymax I Gzz
(8.56)
dans laquelle M f = 2, 25MF t
(8.57)
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
ymax =
I Gzz = consuidant finalement a` :
B
116
πM 4
(8.58)
(8.59)
πM 3 2
12
F ≈ 5, 47 BM t
σf ,max
(8.60)
Cette contrainte doit ˆetre compar´ee a` une contrainte admissible a` la rupture par fatigue. Cette formule est ´evidemment sujette a` de nombreuses hypoth`eses simplificatrices, mais elle permet de d´eterminer une premi`ere estimation du module de la roue et est d’un int´erˆet pratique ´evident. La largeur de denture B est g´en´eralement comprise entre 8 et 12 fois la taille de module M . En supposant B = 10M , on ´etablit une relation utile permettant d’estimer (grossi`erement) le module ad´equat a` la transmission d’un couple C : Le module peut ˆetre d´eduit de la formule suivante faisant intervenir la contrainte normale maximale de flexion σf ,max : M =
8.3.2
3
1, 094 C Z σf ,max
(8.61)
Mod` ele de base de l’ISO
Pour la r´esistance a` la rupture, le crit`ere s’exprimera sous la forme : F t < σF,lim,(1,2) BM n
Y ST Y N T,(1,2) Y δrelT,(1,2)Y RrelT,(1,2)Y X 1 K A K V K F β K F αK R Y Fa Y Sa Y ǫ Y β
`a rapprocher de la relation simpliste ≪
≫
(8.62)
8.60.
Ce crit`ere 8.62 fait intervenir plusieurs facteurs correctifs que l’on peut regrouper en familles : – facteurs li´es `a la g´eom´etrie de l’engrenage – facteurs li´es aux mat´eriaux de l’engrenage es ` a caract´eriser les mat´ eriaux – facteurs d’influence des essais de fatigue destin´ – facteurs li´es `a la cin´ematique d’engr`enement – facteurs li´es aux conditions de fonctionnement La contrainte r´eelle effective σF =
K A K V K F β K F α F t Y Fa Y Sa Y ǫ Y β BM n
(8.63)
(8.64)
doit ˆetre compar´ee a` la contrainte limite d´efinie pour l’engrenage r´eel : σF,adm =
σF,lim Y ST Y N T Y δrelT Y RrelTY X sf K R
Pour la m´ethode C, principalement r´eserv´ee aux calculs d’avant-projet, l’effort (normal `a la dent) est consid´er´e comme agissant au sommet de la dent. On consid`ere qu’il n’y a qu’un seul couple de dents en prise.
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
117
γ
α δ
Figure 8.11 – Mod`ele de base de l’ISO.
La section d’encastrement est d´efinie par les points de tangence avec le profil de raccordement de deux droites inclin´ees a` 30◦ par rapport a` l’axe de la dent. Remarquons que l’effort normal est inclin´e par rapport a` l’axe de la dent d’un angle γ diff´erent de l’angle de pression α. La diff´erence entre les deux angles ; δ provient de la rotation de la roue. L’effort tangentiel F t est d´eduit du couple a` transmettre : F t = C 1/(Dm1 /2). On en d´eduit l’expression de l’effort normal F n = F t / cos α. Celui-ci sollicite la dent avec une composante transversale qui la sollicite en flexion : F n cos γ =
F t cos γ cos α
(8.65)
(8.66)
et une composante axiale qui la sollicite en compression : F n sin γ =
F t sin γ cos α
L’effort de contact est suppos´ e ˆetre appliqu´e au point K, intersection de la ligne d’engr`enement avec l’axe de sym´etrie de la dent. On ´etablit ais´ement les expressions : – du moment de flexion maximal : M f =
F t cos γ H K cos α
(8.67)
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
118
– du moment quadratique de la section d’encastrement I est donn´e par : 3 BS 30 I = 12
(8.68)
– de la distance v de l’´el´ement de volume le plus sollicit´e a` la fibre neutre : S 30 (8.69) 2 En posant H K = MhK , S 30 = Ms30 , on d´eduit l’expression de la contrainte nominale selon la m´ethode I.S.O. C : v=
σf ,nomC =
F t 6hK cos γ BM s230 cos α
(8.70)
Facteur de forme
Le facteur de forme est le nombre sans dimension : Y Fa =
6hK cos γ s230 cos αm
(8.71)
Son calcul s’av`ere d´elicat, car il faut tenir de la g´en´eration du profil de raccordement, c’est`a-dire de la g´eom´etrie de l’outil (fraise-m`ere, outil cr´emaill`ere ´ebaucheur, outil cr´emaill`ere finisseur, outil cr´emaill`ere avec protub´erance) qui s’´ecarte en pratique de la cr´emaill`ere de r´ef´erence (l’outil ´ebaucheur am´eliore les conditions de coupe de l’outil finisseur, tout en laissant une sur´epaisseur d’usinage qui sera ´elimin´ee dans l’op´eration de finition). La figure 8.12 en fournit un diagramme fournissant le facteur de forme en fonction du nombre de dents et du d´eport, pour un outil cr´emaill`ere standard. On notera que la facteur de forme est largement inf´erieur au coefficient 5,47 obtenu dans l’´equation 8.60 relative au mod`ele ´el´ementaire. Facteur de concentration de contrainte
Le raccordement provoque une concentration de contrainte : il faut multiplier la contrainte nominale d’un facteur Y S . Son calcul ne peut ˆetre men´e analytiquement et n´ecessite un plan d’exp´erience num´ erique. Comme pour le facteur de forme, il doit tenir compte pr´ecis´ement de la g´eom´etrie de l’outil. On combine g´en´eralement ces deux facteurs en seul : Y FS = Y Fa Y S (8.72) La figure 8.13 fournit un diagramme combinant le facteur de forme et le facteur de concentration de contrainte, en fonction du nombre de dents et du d´eport, pour un outil cr´emaill`ere standard. On reste avec des produits pratiquement inf´erieurs a` 5 pour les cas usuels.
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
Figure 8.12 – Facteur de forme d’apr`es ISO (cr´emaill`ere standard) [3].
119
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
120
Figure 8.13 – Facteur r´esultant du facteur de forme et du facteur de concentration de contrainte d’apr`es ISO (cr´emaill`ere standard) [3].
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
121
Limite d’endurance
La valeur de la contrainte de r´ef´erence, σ F,lim est la contrainte effective la plus ´elev´ee, calcul´ee d’apr`es cette norme (m´ethode B), que peut supporter ce mat´eriau, sans d´et´erioration par rupture pendant une dur´ee de vie de 3 Mcycles. L’´eprouvette d’essai est un engrenage de r´ef´erence normalis´e, et non une ´eprouvette soumise a` la flexion rotative ou `a la traction uniaxiale. Ces valeurs n’ont donc rien de commun avec les limites d’endurance utilis´ ees dans le cours g´en´eral de construction des machines. Les valeurs sont indiqu´ees pour une fiabilit´e de 99%. Pour une dur´ee de vie sup´erieure a` 10 Gcycles, la contrainte de r´ef´erence sera prise ´egale `a 0,85 σF,lim . Les figures 8.14 et 8.15 fournissent les ordres de grandeur des limites d’endurance de diff´erents mat´eriaux, en fonction de leur duret´e superficielle.
Aciers de nitruration, nitruration de longue durée
σ Fontes graphite sphéroïdal
Aciers de cémentation, nitruration de longue durée
Fontes malléables
Fontes grises
Figure 8.14 – Limites d’endurance.
Facteur de concentration de contrainte de l’engrenage d’essai de r´ ef´ erence
De mani`ere purement conventionnelle, la contrainte de r´ef´erence σF,lim est consid´er´ee comme une contrainte nominale sujette a` un facteur de concentration de contrainte Y ST ´egal a` deux. La contrainte d’amplitude 0, 85Y STσF,lim pourrait ˆetre ainsi virtuellement rapproch´ee de la limite classique d’endurance conventionnelle du cours σD ...
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
122
Aciers alliés cémentés, trempés
Aciers fortement alliés traités et revenus
Aciers durcis superficiellement à la flamme ou par induction
σ Aciers non alliés Aciers de construction Aciers moulés
Aciers de cémentation, nitruration de courte durée
Figure 8.15 – Limites d’endurance.
Facteur de dur´ ee
Le facteur de dur´ee Y N T intervient pour des applications dont la dur´ee est limit´e. Dans la majorit´e des applications industrielles, ce facteur est ´egal a` l’unit´e. Facteur de fiabilit´ e
Le facteur de fiabilit´e K R peut ˆetre d´etermin´e par : pH,lim,f =0,99 1 K R = = 0, 6933 + 0, 18log pH,lim,f 1 f
− − 0, 0133
log
1 1
− f
2
(8.73)
Facteur de conduite
En accord avec la m´ethode C , on adopte un facteur de conduite Y ǫ : – pour les dentures droites : 1 3 Y ǫ = + 4 4ǫα – pour les dentures h´elico¨ıdales : ≪
≫
1 3 cos2 β b Y ǫ = + 4 4ǫα
(8.74)
(8.75)
´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E
123
Facteur d’inclinaison
Le facteur d’inclinaison Y β prend en compte la position de la ligne de contact sur la dent. En accord avec la m´ethode simplifi´ee
≪
C (conservative) : ≫
Y β = 1 + ǫβ
β [deg] 120
(8.76)
Dans la majorit´e des cas, rappelons que : – 10 < β [deg] < 30 – ǫβ 1
≥
Facteur relatif d’entaille
Le facteur relatif de sensibilit´e a` l’entaille Y δrelT indique combien la contrainte th´eorique en pied de dent des engrenages r´eels d´epasse la limite de contrainte admissible du mat´eriau vis-`a-vis de la rupture par fatigue. Il caract´erise la sensibilit´ e a` l’entaille du mat´eriau. Une valeur de Y δrelT = 1, 15 suffit pour un calcul d’avant-projet. Facteur relatif d’´ etat de surface
Le facteur relatif d’´etat de surface Y RrelT tient compte de la d´ependance de la r´esistance du pied de dent par rapport a` l’´etat de surface du fond de dent. Une valeur unitaire de Y RrelT suffit pour un calcul d’avant-projet. Facteur de dimension
Le facteur de dimension Y X tient compte de l’influence de la dimension sur la r´epartition probable des points faibles de la structure. Le facteur de dimension est unitaire pour les modules inf´erieurs ou ´egaux a` 5 ou, lorsque l’on effectue un calcul aux sollicitations statiques. M [mm] 5 5 < M [mm] < 30 30 M [mm] Aciers durcis superficiellement, a` la M [mm] 5 flamme ou par induction, aciers 5 < M [mm] < 25 nitrur´es et nitrocarbur´es 25 M [mm] M [mm] 5 Fontes grises et fontes nodulaires 5 < M [mm] < 30 ferritiques 25 M [mm] Aciers, fontes nodulaires, fontes mall´eables
Y X = 1, 0 Y X = 1, 03 0, 006M [mm] Y X = 0, 85 Y X = 1, 0 Y X = 1, 05 0, 01M [mm] Y X = 0, 8 Y X = 1, 0 Y X = 1, 075 0, 015M [mm] Y X = 0, 7
− −
−
Table 8.5 – Facteur de dimension selon ISO 6336 :1996
´ ERENCES ´ R EF
124
Facteur d’application
Le facteur d’application K A suit la mˆeme d´efinition que celle propos´ee pour la r´esistance `a la rupture par fatigue superficielle. Facteur dynamique
Le facteur d’application K V suit la mˆeme d´efinition que celle propos´ee pour la r´esistance `a la rupture par fatigue superficielle. Facteur de distribution de charge longitudinale
Le facteur de distribution de charge longitudinale K F β pour la rupture s’av`ere l´eg`erement plus faible que le facteur de distribution de charge longitudinale K Hβ pour la pression superficielle. Facteur de distribution de charge transversale
Pour la r´esistance a` la rupture, on admet que l’influence des d´efauts g´eom´etriques de profil et de pas est la mˆ eme que pour la pression superficielle : K F α = K Hα .
8.4
Conclusions
Les engrenages sont dimensionn´es suivant les deux crit`eres : – la r´esistance a` la pression superficielle – la r´esistance a` la rupture par fatigue Les modes de ruine ne sont pas du tout ´equivalents. Une contrainte effective en pied de dent mal maˆıtris´ee conduit a` une rupture brutale de une ou plusieurs dents, rendant instantan´ ement le composant hors service, avec des cons´equences graves sur la s´ecurit´e. Aucune manifestation pr´eventive n’apparaˆıt. Une pression superficielle mal maˆıtris´ee conduit a` une d´egradation des surfaces actives par piqˆ ures. Avec le temps, celles-ci vont croˆıtre en nombre et en taille, jusqu’` a l’apparition de macro-fissures, conduisant a` la rupture de la dent. Ce mode de ruine a un cˆ ot´e pr´eventif, en se manifestant visuellement lorsqu’il est activ´e. Pour les applications a` risque, un contrˆ ole visuel par endoscopie permettra de pr´evenir la ruine du composant. Il faut donc choisir des coefficients de s´ecurit´e diff´erents pour les deux modes de ruine : le coefficient de s´ecurit´e sF adopt´e vis-`a-vis de la rupture est largement sup´erieur a` celui consid´er´e s H pour la pression superficielle. On prendra par exemple s H 1, 2 et s F = 2sH
≥
R´ ef´ erences [1] Pierre B. Dehombreux : Formulaire de g´enie m´ecanique . Mutuelle d’´editions des ´etuidants de la Facult´e Polytechnique de Mons, 2001.
´ ERENCES ´ R EF
125
[2] D. A. Hofmann, H. K. Kohler et R. G. Munro : Gear Technology Manual . British Gear Association, Burton upon Trent, Straffordshire, United Kingdom, 1998. [3] ISO : Calculation of load capacity of spur and helical gears. Rapport technique 6336-1,2,3,5, ISO, 1996.
Chapitre 9 R´ educteurs ` a engrenages. Notre tˆete est ronde pour permettre a` la pens´ee de changer de direction. Francis Picabia.
9.1
D´ efinition
Les engrenages peuvent ˆetre associ´es dans des configurations en s´erie ou en parall`ele de telle mani`ere que l’organe r´ecepteur d’une combinaison soit moteur dans une autre. De tels arrangements portent le nom de trains d’engrenages (fig. 7.2, fig. 9.1).
Figure 9.1 – R´educteur a` trois ´etages. Le rapport de transmission r´ealisable avec un seul couple de roues dent´ees n’est pas grand. Or, il arrive souvent en pratique qu’on a `a r´ealiser des rapports de transmissions fort ´elev´es. A cet effet, on r´eunit en s´erie plusieurs roues en prise : il s’agit d’une transmission `a plusieurs ´etages. On distingue les trains d’engrenages ` a axes fixes , dont l’´etude cin´ematique d´ecoule syst´ematiquement des r`egles d´eduites pour un engrenage ´el´ementaire, des trains d’ena axes mobiles , qui m´eritent une ´etude particuli`ere. grenages ` 126
´ ` ENGRENAGES. CHAPITRE 9. R EDUCTEURS A
127
La conception de r´educteurs a` engrenages a` axes mobiles pose le probl`eme de la distribution des efforts dans la chaˆıne cin´ematique. Il faut essayer de respecter les principes d’une construction isostatique.
9.2
Train plan´ etaire plan ´ el´ ementaire
Figure 9.2 – Engrenage ´epicyclo¨ıdal a` trois satellites [4]. Un train plan´etaire plan (ou train ´epicyclo¨ıdal) comprend quatre pi`eces mobiles par rapport a` un bˆ a ti fixe S0. Trois pi`eces sont guid´ees par des liaisons roto¨ıdes d’axe fixe : le solaire S1 , la couronne S3 , le bras porte-satellite S4 . Le satellite 1 S2 est en liaison roto¨ıde avec le bras S3. La chaˆıne cin´ematique comprend deux degr´es de libert´e (4 solides contraints par 4 liaisons roto¨ıdes et deux ´equations de conjugaison entre les roues S1 et S2 d’une part et S2 et S3 , d’autre part. La figure 9.3 illustre deux configurations cin´ematiquement ´equivalentes d’un tel train. En pratique, on ins`ere entre la couronne et le solaire plusieurs satellites (g´en´eralement trois) de mani`ere a` transmettre dans un ensemble compact une puissance ´elev´ee. Les satellites sont dispos´es sous des angles ´egaux, de mani`ere a` assurer l’´equilibre dynamique. L’analyse cin´ematique de trains plan´etaires s’effectue syst´ematiquement selon la m´ethode suivante : 1. rep´ erer les roues dont les axes de rotation sont fixes ; 2. exprimer leur vitesse de rotation absolue en fonction des vitesses de rotation relatives par rapport au bras ; 3. adopter le bras comme r´ef´erence et exprimer les rapports des vitesses relatives utilis´ees au point pr´ec´edent en fonction des nombres de dents des roues ; 4. r´esoudre le syst`eme d’´equations (on dispose de suffisamment d’´equations pour d´eterminer toutes les vitesses de rotation en fonction de deux impos´ees). 1. Il faut d´eplorer une certaine confusion dans l’appellation des solides d´efinissant le train plan´etaire : selon les auteurs, les plan´etaires d´esignent tantˆot les satellites, tantˆot les roues dont les axes sont fixes !
´ ` ENGRENAGES. CHAPITRE 9. R EDUCTEURS A
128
Figure 9.3 – Trains plan´etaires a` un ´etage.
Appliqu´ee au train plan´etaire repr´esent´e par la figure 9.3, nous obtenons le d´eveloppement suivant : 1. Les roues S1 et S3 ayant un axe fixe et S4 d´esignant le bras : ω1/0 = ω1/4 + ω4/0 ω3/0 = ω3/4 + ω4/0
(9.1) (9.2)
2. Dans la relation qu’a le bras S 4 avec les roues S1 et S3 , la roue satellite S2 joue le rˆole d’un pignon interm´ediaire : ω1/4 = ω3/4
− Z Z
3
(9.3)
1
3. Nous disposons a` ce stade des relations caract´erisant la cin´ematique du train. Exprimons l’´equation (9.3) de la mani`ere suivante : ω1/0 ω3/0
−ω −ω
4/0 4/0
=
− Z Z
3 1
= i41,3
(9.4)
ica,b d´esigne le rapport de transmission entre Sa et Sb , Sc ´etant bloqu´e. La relation 9.4 porte le nom de formule de Willis. 4. Plutˆot que de bloquer le bras, bloquons la couronne S3 et recherchons le rapport de transmission entre S1 et S4 , soit i31,4 . Partant de la relation (9.3) : ω1/4 Z 3 = ω3/4 Z 1 ω1/3 + ω3/4 Z 3 = ω4/3 Z 1 ω1/3 Z 3 = 1+ =1 ω4/3 Z 1
−
−
(9.5)
−
(9.6) 4 1,3
−i
(9.7)
Le rapport i31,4 est toujours sup´erieur a` l’unit´e, le fonctionnement en r´educteur est garanti. 5. Connaissant les rapports i31,4 et i41,3 , nous pouvons ´ecrire : ω1 = i 31,4 ω4 + i41,3 ω3
(9.8)
´ ` ENGRENAGES. CHAPITRE 9. R EDUCTEURS A
9.3
129
Train plan´ etaire plan ` a deux ´ etages
Du train plan´etaire ´el´ementaire pr´esent´e au point pr´ec´edent (dit de type A ), on peut d´eriver des trains a` deux ´etages (fig. 9.4) en adoptant un satellite double, c’est-` a-dire constitu´e de deux roues synchrones a` Z 2 et Z 2 dents. ≪
≫
′
Figure 9.4 – Types de trains plan´etaires.
Caract´erisons la cin´ematique d’un train de type B . Int´eressons-nous aux rapports de transmission entre l’arbre d’entr´ee li´e a` S1 et les composants susceptibles d’ˆetre utilis´es comme ´el´ements de sortie du r´educteur : S3 et S4 . Le calcul suit la m´ethodologie explicit´ee pr´ec´edemment. ≪
≫
1. Les ´el´ements a` axe fixe sont facilement identifi´es : le pignon S1 , la couronne S3, et le bras S4 . D`es lors : ω1/0 = ω1/4 + ω4/0 ω3/0 = ω3/4 + ω4/0
(9.9) (9.10)
2. Nous devons rechercher le rapport i41,3 = ω1/4/ω3/4 , que nous appelons raison de base du train. On ´etablit successivement les relations : ω1/4 Z 2 = ω2/4 Z 1 ω2 /4 Z 3 =+ ω3/4 Z 2 ω1/4 Z 2 Z 3 = ω3/4 Z 1 Z 2
−
′
(9.11) (9.12)
′
−
′
(9.13)
´ ` ENGRENAGES. CHAPITRE 9. R EDUCTEURS A
130
Le rapport i41,3 est n´egatif. Quant a` i31,4 , il est toujours positif : i31,4 = 1
4 1,3
−i
= 1+
Z 2Z 3 Z 1Z 2
(9.14)
′
Int´eressons-nous a` pr´esent a` la cin´ematique d’un train de type D . 1. Les ´el´ements a` axe fixe sont facilement identifi´es : S1 et S3 , et le bras S4. D`es lors : ≪
≫
ω1/0 = ω1/4 + ω4/0 ω3/0 = ω3/4 + ω4/0
(9.15) (9.16)
2. Nous devons rechercher le rapport ω1/4 /ω3/4 . On ´etablit successivement les relations : ω1/4 Z 2 = (9.17) ω2/4 Z 1 ω2 /4 Z 3 = (9.18) ω3/4 Z 2 ω1/4 Z 2 Z 3 =+ (9.19) ω3/4 Z 1 Z 2
−
′
−
′
′
Le rapport i41,3 est positif. Quant `a i31,4 , il est inf´erieur a` l’unit´e et peut ˆetre positif ou n´egatif : Z 2Z 3 (9.20) i31,4 = 1 i41,3 = 1 Z 1Z 2 Remarquons que si i41,3 tend vers l’unit´e, i 31,4 tend vers z´ero et i 34,1 tend vers l’infini ! Il est ainsi possible d’obtenir des rapports de transmissions tr`es importants. La figure 9.5 synth´etise les rapports de r´eduction qu’il est possible d’atteindre en bloquant un ´el´ement autre que le bras, en fonction de la raison de base. Les types A et B couvrent le domaine d’abscisses i 41,3 n´egatives, les types C et D, le domaine des abscisses positives.
−
9.4
−
′
Particularit´ es constructives
Un train plan´etaire comporte g´en´eralement au moins trois satellites, leur nombre dans certaines applications allant jusqu’` a six (r´educteurs compacts). Le choix du nombre de dents de chacune des roues d´ecoule du rapport de transmission que l’on veut r´ealiser, mais est contraint par un nombre de conditions g´eom´etriques suppl´ementaires exprimant la possibilit´e d’engr`enement entre les divers ´el´ements.
9.4.1
Condition de coaxialit´ e
Le diam`etre primitif de la couronne S3 est ´egal a` celui du solaire S1 , augment´e de deux diam`etres de satellites S2. D3 = D 1 + 2D2 (9.21) Ces roues dent´ ees ayant n´ecessairement un pas (module) identique, il en d´ecoule une relation de contrainte entre leur nombre de dents : Z 3 = Z 1 + 2Z 2
(9.22)
´ ` ENGRENAGES. CHAPITRE 9. R EDUCTEURS A
131
8 7 6
i1 34
i1 43
5 4 3 2 1 i
0
−1 −2 −3 −4
i3 14
−5 −6 −7
i1 34
−8 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
i1 43 0
1
2
3
4
5
6
7
8
i4 13
Figure 9.5 – Rapports de r´eduction de trains plan´etaires.
Figure 9.6 – Train ´epicyclo¨ıdal a` quatre satellites [3].
9.4.2
Condition de non-interf´ erence entre satellites
Repr´esentons les circonf´erences primitives de deux roues cylindriques a` denture droite : Il faut s’assurer que les n2 satellites r´epartis dans l’espace annulaire d´efini par le solaire et la couronne ne puissent en aucun cas entrer en contact l’un avec l’autre. L’´ecartement
´ ` ENGRENAGES. CHAPITRE 9. R EDUCTEURS A
132
erence entre satellites. Figure 9.7 – Non interf´
de leur centre doit ˆetre sup´erieur a` deux fois leur rayon de tˆete. O2a O2b π 2 O1O2a sin n2 π 2 (Rm1 + Rm2 )sin n2 Z 1 + Z 2 π 2M sin 2 n2 Z 1 + Z 2 π sin 2 n2
9.4.3
> 2Ra2
(9.23)
> 2Ra2
(9.24)
> 2 (Rm2 + H a2 )
> 2 >
(9.25)
Z 2 M + M 2 Z 2 +1 2
(9.26) (9.27)
Condition de co¨ıncidence
Les roues doivent ˆetre dispos´ees de telle mani`ere que les n2 satellites puissent engrener simultan´ement avec le solaire et la couronne. S’il est toujours possible d’ins´erer un satellite entre le solaire et la couronne, une fois que celui-ci est en place, il faut exprimer les conditions pour que les dents d’un satellite suppl´ementaire (dont la position du centre est fix´ ee par le respect d’une disposition sym´etrique des satellites autour du solaire) puissent s’ins´erer simultan´ement dans les entredents du solaire et du satellite. Premier raisonnement ⌢
⌢
Si l’on dispose n2 satellites, les longueurs des arcs primitifs AB et CD que d´elimitent les rayons joignant les centres de deux satellites cons´ecutifs au centre du solaire peuvent ˆetre exprim´es comme des fractions de la circonf´erence primitive : ⌢
AB=
⌢ Z 1P Z 3P et CD= n2 n2
(9.28)
Si Z 1/n2 et Z 3 /n2 sont des nombres entiers, les dents et entredents des satellites vont correspondre parfaitement aux entredents et dents du solaire et de la couronne, comme l’illustre la figure 9.6.
´ ` ENGRENAGES. CHAPITRE 9. R EDUCTEURS A
133
Figure 9.8 – Co¨ıncidence des satellites avec le solaire et la couronne.
Supposons que Z 1 /n2 ne soit pas un nombre entier. Alors qu’au point A, les axes de sym´etrie d’une dent du solaire et de l’entredent du premier satellite sont parfaitement confondus , au point B, l’engr`enement entre le solaire et le satellite ne s’effectuera pas dans les mˆemes conditions g´eom´etriques d’engr`enement ; on observe un d´ephasage qui devra pouvoir ˆetre compens´e au point de contact oppos´e, entre le satellite et la couronne. ⌢ ⌢ Il faut que la somme des arcs AB et CD soit ´egal a` un nombre entier de pas ; il vient la contrainte entre nombre de dents : ≪
Z 1 + Z 3 n2
∈N
≫
(9.29)
Deuxi` eme raisonnement
Un deuxi`eme raisonnement permet d’aboutir, plus rationnellement, a` cette mˆeme relation de contrainte. – Partons d’une configuration pour laquelle le satellite est correctement mont´ e entre le solaire et la couronne. – Fixons la couronne. Faisons tourner le bras d’un angle θ4a : il s’ensuit in´evitablement une rotation du solaire. On impose celle-ci pour que l’engr`enement apparent entre le solaire et le satellite s’effectue un nombre entier k1 de pas plus loin (le solaire garde la mˆeme apparence). Le solaire tourne ainsi d’un angle (k1 /Z 1)2π. Que vaut l’angle θ4a dont a tourn´e le bras ? ω1/3 Z 1 + Z 3 = ω4/3 Z 1
⇒θ
4a
= (k1/Z 1 )2π
Z 1 k1 = 2π Z 1 + Z 3 Z 1 + Z 3
(9.30)
– Le solaire a tourn´e d’un angle acceptable pour le montage ; il faut a` pr´esent r´eajuster la couronne pour reproduire les conditions d’engr`enement analogue a` celles de la configuration initiale. On bloque `a pr´esent la roue solaire et on fait tourner la couronne pour situer l’engr`enement a` un nombre entier k3 de pas de la configuration initiale. Celle-ci va tourner d’un angle (k3/Z 3)2π. Que vaut l’angle θ 4b dont a tourn´e le bras apr`es cette seconde manœuvre ? ω4/1 Z 3 = ω3/1 Z 1 + Z 3
−
⇒θ
4b
= (k3 /Z 3)2π
−Z
3
Z 1 + Z 3
=
k 2π − Z + Z 3
1
(9.31)
3
– L’angle dont a tourn´e le bras apr`es ces deux op´erations qui garantissent la possibilit´e de montage d’un second satellite dans les mˆemes conditions que le premier (on a fait
´ ERENCES ´ R EF
134
progresser le satellite dans le train en ayant r´etabli les configurations g´eom´etriques homologues entre le solaire et la couronne) vaut : θ4 = (k1
2π − k ) Z + Z 3
1
(9.32)
3
Cet angle doit ˆetre ´egal a` (2π)/n2 si l’on souhaite disposer n 2 satellites sym´etriquement. Comme k1 et k3 sont des nombres entiers : 2π Z 1 + Z 3 N (9.33) n2 n2 1 3 Pour les types de trains B, C et D d´efinis sur la figure 9.4, Henriot ([1]) indique la relation g´en´erale suivante a` respecter : Z 3Z 2 Z 1Z 2 doit ˆetre un multiple de n s d, d ´etant le plus grand commun diviseur de Z 2 et de Z 2 . (k1
2π − k ) Z + Z 3
−
9.4.4
=
⇒
∈
′
′
Isostatisme
Les engrenages ´epicyclo¨ıdaux sont hyperstatiques. On limite le d´es´equilibre des efforts r´epartis parall`element entre les satellites en soignant l’ex´ecution de toutes les pi`eces (classe de qualit´e 5). Pour les appareils rapides et puissants, la meilleure solution consiste a` laisser flotter certains ´el´ements afin de r´etablir l’isostatisme, soit en supprimant purement et simplement le guidage, soit en permettant un d´ebattement radial contraint par un ´el´ement ´elastique. La figure 9.9 illustre diverses solutions de principe possibles : – le pignon central (solaire) est flottant : solution simple et ´economique, mais il faut un arbre articul´e ; n’est suffisant qu’avec trois satellites seulement ; – la couronne fixe est flottante : solution simple, n´ecessaire lorsque le nombre de satellites d´epasse 4 ; la couronne est mont´ ee dans le carter par l’interm´ ediaire de douilles ´elastiques fendues (cf. fig. 9.10 et 9.11) ; – les satellites sont flottants : solution simple, n´ecessaire lorsque le nombre de satellites d´epasse 4. Les satellites sont mont´es sur des moyeux souples (par exemple en caoutchouc) ou sur des axes d´eformables (cf. fig. 9.12). – le solaire et la couronne sont flottants : cette solution doit ˆetre utilis´ee dans les r´educteurs rapides ; – le porte-satellite est flottant : cette disposition ne convient que pour les r´educteurs lents et petits, car le porte-satellites est la pi`ece mobile la plus massive d’un engrenage plan´etaire et les forces d’inertie a` vitesses ´elev´ees sont beaucoup trop grandes ; – le porte-satellite et le solaire sont flottants.
R´ ef´ erences [1] Georges Henriot : Engrenages. Conception. Fabrication. Mise en oeuvre. Dunod, 7`eme ´edition, 1999. [2] Johannes Looman : Zahnradgetriebe . Springer, 1996. prˆet´e Declerq. [3] Quality Transmission Components. Handbook of Metric Gears. Product Guide and Technical Data., December 2000. [4] Georges Spinnler : Conception des Machines. Principes et Applications. Volume 1. Statique. Presses polytechniques et universitaires romandes, 1997.
´ ERENCES ´ R EF
135
Figure 9.9 – Solutions de principe pour l’isostatisme des train plan´etaires.
Figure 9.10 – Montage souple d’une couronne [2].
Figure 9.11 – Montage souple d’une couronne [2].
´ ERENCES ´ R EF
136
Figure 9.12 – Montage souple d’un satellite [2].
Chapitre 10 Transmissions par courroies. Il est bon d’ˆetre ferme par temp´erament, et flexible par r´eflexion. Vauvenargues, R´eflexions et maximes .
10.1
G´ en´ eralit´ es
Une courroie est un lien flexible destin´e a` assurer une transmission de puissance indirecte entre un arbre moteur et un arbre r´ ecepteur dont les axes peuvent occuper diverses positions relatives. La courroie en mouvement transmet l’´energie a` partir de la poulie menante (motrice) vers la poulie men´ee (r´eceptrice), grˆ ace au frottement qui s’´etablit entre le lien et les poulies. Le tension dite naturelle est produite par la d´ eformation ´elastique de la courroie mont´ee sur les poulies. Pour la transmission de grandes puissances, des dispositifs sp´eciaux (galets tendeurs, ...) permettent d’imposer et de r´egler une tension ad´equate. On distingue : – les courroies lisses ou stri´ees, plates ou trap´ezo¨ıdales, asynchrones – les courroies synchrones selon qu’elles peuvent ou non glisser sur les gorges des poulies. Certaines courroies asynchrones sont crant´ees pour faciliter l’enroulement et favoriser la ventilation. La courroie est g´en´eralement constitu´ee d’une structure fibreuse r´esistante a` la traction noy´ee dans un corps en ´elastom`ere moul´e. L’´elastom`ere doit ˆetre de nature a` adh´erer parfaitement aux fils de traction qu’il entoure. Les fibres peuvent ˆetre en acier, en polyester ou en aramide (kevlar). Enroul´ees h´elico¨ıdalement les unes sur les autres, elles forment des cordons qui encaissent l’essentiel des sollicitations de traction. L’´elastom`ere est revˆetu d’un textile (le plus souvent du nylon) sp´ecialement trait´e pour le contact entre la courroie et la poulie. L’origine de la transmission par lien flexible en Europe remonte au Moyen Age (le rouet aurait ´et´e invent´ e Inde, entre le V`eme et le IX`eme si`ecle) : dans la filature, le rouet remplace la quenouille pour le filage a` la main. Les cordes glissent trop sur les axes en bois : les ing´enieurs de la Renaissance vont les remplacer progressivement par des courroies plates en cuir. Il faut toutefois attendre 1917 pour l’invention de la courroie trap´ezo¨ıdale par John Gates, et 1946, pour celle de la courroie synchrone. La figure 10.1 pr´esente diff´erents types de courroies : 137
CHAPITRE 10. TRANSMISSIONS PAR COURROIES.
138
Figure 10.1 – Diff´erents types de courroies [4].
1. a` section trap´ezo¨ıdale classique (DIN 2215) (de largeur de maximale B et de hauteur H ), d´esign´ees selon leur section par les lettres Z (B = 10 mm, H = 6 mm), A (B = 13 mm, H = 8 mm), B (B = 17 mm, H = 10 mm), C (B = 22 mm, H = 12 mm) et D (B = 32 mm, H = 19 mm); 2. a` section trap´ezo¨ıdale ´etroite (DIN 7753), dont l’usage est de plus en plus fr´equent vis-`a-vis de la cat´egorie pr´ec´edente ; elles sont d´esign´ees par les lettres SPZ (B = 10 mm, H = 8 mm), SPA (B = 13 mm, H = 10 mm), SPB (B = 16 mm, H = 13 mm), SPC (B = 22 mm, H = 18 mm); 3. a` section large (DIN 7719), sp´ecifiquement adapt´ees aux poulies a` gorges d´eformables ; 4. a` section hexagonale, qui peuvent s’engager dans des poulies sur chacune de leur deux faces, d´esign´ees par HAA, HBB, HCC, HDD ; 5. a` brins multiples, lorsque plusieurs courroies sont jumel´ees et prot´eg´ees par un textile commun (AJ, BJ, CJ, DJ) ; 6. a` section triangulaire ou Poly-V , particuli`erement adapt´ee aux poulies de faible diam`etre. ≪
≫
Les principaux avantages d’une transmission par courroie sont : – la possibilit´e d’une variation d’entraxe et de position relative entre les arbres moteur et r´ecepteur ; – une relative souplesse dans la transmission : l’´elasticit´e et l’amortissement naturel du mat´eriau constituant la courroie permettent d’att´enuer les irr´egularit´es du couple, vibrations et chocs ; – une fonction de limitation de couple est offerte naturellement par une possibilit´ e de glissement entre la courroie et la poulie dans le cas de fortes charges transmises ; – un entretien limit´e au r´eglage p´eriodique de la tension initiale : aucune lubrification n’est n´ecessaire ; les carters ne sont que des ´el´ements de protection secs ; – un fonctionnement silencieux ; – un coˆ ut d’achat et d’installation r´eduit – un rendement correct (rarement inf´erieur a` 95%, sauf en cas d’erreur de conception ou de montage) Les principaux inconv´ enients d’une transmission par courroie sont :
139
CHAPITRE 10. TRANSMISSIONS PAR COURROIES.
– l’encombrement plus important que celui des r´educteurs a` engrenages ; – la non garantie d’une transmission parfaitement homocin´etique et ce, pour trois raisons : – l’´elasticit´e de la courroie autorise celle-ci a` s’allonger selon l’intensit´e des tensions de fonctionnement ; – le contact sans obstacle entre une courroie lisse et la poulie n’exclut pas un glissement toujours possible lors d’une surcharge ; – la courroie ”rampe” le long de son contact curviligne avec chacune des deux poulies. Ce ph´enom`ene peut conduite a` un glissement syst´ematique pouvant faire varier de 2% le rapport de transmission.
10.2
G´ eom´ etrie et cin´ ematique d’une transmission par courroie A2
A1
O1
θ1
O2
B1 B
2
Figure 10.2 – Transmission `a courroie a` brins non crois´es. On ´etablit facilement l’expression de la longueur L de la courroie en fonction des rayons R1 et R 2 des poulies et de leur entraxe A. Dans la disposition o`u les poulies sont situ´ees dans un mˆeme plan, les brins ´etant non crois´es, on obtient, en introduisant l’arc d’enroulement θ1 : θ1 θ1 R2 R1 L = 2A sin + R1 θ1 + R2 (2π θ1 ) avec cos = (10.1) 2 2 A Le rapport de transmission est facilement d´eduit de la condition de non glissement au contact entre la courroie et la poulie, imposant l’´ egalit´e des vitesses tangentielles au contact : ω2 R1 i = = (10.2) ω1 R2
−
−
Le rapport de transmission i d´efini par 10.2 ne tient pas compte du glissement fonctionnel dˆu a` l’´elasticit´e de la courroie. L’existence d’un couple sur chacune des poulies implique une diff´erence de tension entre les brins de la courroie : l’un est tendu, l’autre est mou. Un simple ´equilibre de rotation de la poulie permet d’´ecrire en effet : C 1 N A N B = (10.3) R1
−
140
CHAPITRE 10. TRANSMISSIONS PAR COURROIES.
A1
n d u b r in t e
O1
θ1
B1
b r in m o u
Figure 10.3 – Transmission des efforts.
L’allongement d’un ´el´ement de courroie est plus important sur le brin tendu que sur le brin mou. Cet allongement varie progressivement entre les points A et B, lieux d’entr´ee et de sortie de la courroie sur la poulie. Il en r´esulte une vitesse de glissement fonctionnelle non nulle : la courroie rampe sur la poulie. Ce ph´enom`ene existe sur les deux poulies, motrice et r´eceptrice. Lorsqu’il n’est pas n´egligeable, le rapport de transmission a pour expression : ω2 R1 i = = (1 g) (10.4) ω1 R2
−
o`u g est appel´e glissement fonctionnel (valeur typique : 2%).
10.3
Comportement dynamique d’un ´ el´ ement de courroie
Un ´el´ement de courroie de longueur R1dθ, de masse lin´eique ρl , tel que repr´esent´e sur la figure 10.4, est soumis `a l’action : – des efforts de tension N (θ) et N (θ + dθ) ; des actions de contact de la poulie ; – a` la r´esultante dF – des r´eactions d’inertie ρl R1 dθ aC
−
¨ut + R1 ˙θ2un + N (θ + dθ) + d F = ρ l R1 dθ R1 θ N (θ)
(10.5)
Projetons l’´equation 10.5 selon les directions normale n et tangentielle t, en introduisant la relation suivante entre les composantes normale dF n et tangentielle dF t de l’effort dF : dF t = f dF n
(10.6)
141
CHAPITRE CHAPITRE 10. TRANSMISSI TRANSMISSIONS ONS PAR PAR COURROIES. COURROIES.
(θ)
C θ
O1
(θ+ θ)
.4 – El´ement ement de courroie courr oie en ´equilibre. equilibr e. Figure 10 Figure 10.4
exprimant l’absence de glissement de la courroie (f (f d´ d´esignant esigna nt le coefficient co efficient de frott f rottement ement au contact) : N (θ)
sin d2θ cos d2θ
−
+ N ( N (θ + dθ d θ)
− sin cos
dθ 2 dθ 2
+
dF n f d f dF n
−
=
ρl R12ω 2 dθ ρl R12 θ¨dθ
(10.7)
Il vient successivemen succe ssivement, t, en r´egime egime stationnaire (θ¨ = 0 et θ˙ = ω = ω = = constante) : dθ dθ + N ( N (θ + dθ d θ) dF n = ρl R12ω 2 dθ 2 2 N (θ) + N + N ((θ + dθ d θ) f d f dF n = 0
N (θ)
− −
−
(10.8) (10.9)
N dθ dF n = ρl R12 ω 2dθ dN f d f dF n = 0
− − −
(10.10) (10.11)
et finalement : dF n = N d N dθ
2 1
2
− ρ R ω dθ l
=
f d f dθ = En int´egra eg rant nt :
θ1
f
dθ =
0
N A1
N B1
N A1 f θ1 = ln N B1 N A1 N B1
2 l t 2 l t
−ρv −ρv
1 dN f N
− −
2 l t 2 l t
= e f θ1
(10.12)
1 dN ρl R21 ω 2
dN N ρl R12 ω 2
−− −ρv −ρv
(10.13)
(10.14)
(10.15)
(10.16)
142
CHAPITRE CHAPITRE 10. TRANSMISSI TRANSMISSIONS ONS PAR PAR COURROIES. COURROIES.
10.3.1 10. 3.1
Courroi Cour roie e trap´ ezo¨ ezo¨ıdale ıdal e
Les courroies courr oies trap´ezo¨ ezo¨ıdales ont une u ne action actio n de d e contact co ntact bilat´erale erale sur les flancs d’une gorge gorg e d´efinie efin ie par l’angl l’a nglee β . Les L es efforts effort s normau n ormaux x ´el´ el´ementaires ementair es sur chacun des flancs, flancs , dF n et dF n” n” sont identiques identique s et se r´eduisent eduise nt en un effort ´el´ el´ementaire ementair e normal norma l a` la poulie dF dF n : ′
dF n = 2dF 2dF n sin ′
β 2
(10.17)
β
Effort s sur s ur les flancs d’une courroie courr oie trap´ezo¨ ezo¨ıdale. Figure 10.5 Figure 10.5 – Efforts L’effort L’effo rt tangentiel tang entiel qui peut peu t ˆetre etre tol´er´ er´e sans glissement glissem ent est : dF t = f 2d f 2dF F n dF n = f β sin 2
′
(10.18) (10.19)
Le raisonnemen raisonnementt qui a ´et´ et´e produit pour les courroies plates reste valable pour autant que l’on substitue au coefficient de frottement f le coefficient de frottement ´equivalent equivalent f / sin β/2. β/ 2. Pour les courro cou rroies ies trap´ tra p´ezo¨ ezo¨ıdales ıda les normal nor malis´ is´ees, ees , l’angl l’a nglee β avoisine avoisine 40◦ (l’angle β doit rester suffisammen suffisammentt grand pour p our ´eviter eviter le coincement coincement de la courroie dans la gorge de la poulie) : le coefficient de frottement ´equivalent equivalent est ´egal egal a` trois fois le coefficient de frottement frot tement r´eel. eel. Une courroie courr oie trap´ezo¨ ezo¨ıdale peut, peu t, th´eoriquement, eoriq uement, transmettr tran smettree un effort effor t p´eriph´ eriph´erique erique trois fois plus p lus grand gr and que celui d’une d ’une courr c ourroie oie plate. pla te. Cet avantage est toutef t outefois ois limit´e par pa r l’usure l’ usure plus rapide rapid e d’une d ’une courroie courr oie trap´ezo¨ ezo¨ıdale, du fait f ait que la pression pressio n unitair u nitairee sur les flancs des gorges de la poulie est beaucoup plus importante que dans le cas d’une courroie plate. On comp co mpre rend nd donc do nc pour po urquo quoii les le s cour co urro roie iess trap´ tr ap´ezo ez o¨ıdal ıd ales es sont so nt g´en´ en´eral er alem ement ent pr´ef´ ef´er´ er´ees ee s aux au x courroies plates, en dehors des cas particuliers suivants : – sur des pou poulies lies de diam`etre etre r´eduit, eduit, o` u des contrai cont raintes ntes de flexion flex ion s´ev` ev`eres ere s peuvent pe uvent ˆetre etr e rencont ren contr´ r´ees ees ; – pour po ur des vitesses vitesse s p´eriph´ eriph´eriques erique s importante impo rtantess (sup´erieures erieur es a` 30 m/s).
143
CHAPITRE CHAPITRE 10. TRANSMISSI TRANSMISSIONS ONS PAR PAR COURROIES. COURROIES.
10.4 10 .4
Tensi ension on de la cour courro roie ie
L’un L’un des param` param` etres etres importan importants ts dans la transmi transmissi ssion on du mouve mouvemen mentt par courroie courroie trap´ezo¨ ezo¨ıdale est la tension initiale de pose de la courroie. Cette tension est celle r´egnant egnant dans toute la courroie en l’absence de couple sur les poulies p oulies motrice et r´eceptrice. eceptrice. Une tension insuffisante insuffisa nte peut peu t ˆetre etre la cause d’un glissement glissem ent provoquant provoqua nt un ´echauffement echauffem ent exag´er´ er´e et la rupture ruptu re pr´ematur´ ematu r´ee ee de la courroie. courr oie. A l’inverse, un exc`es es de tension tensio n r´eduit eduit la dur´ee ee de vie de la courroie et exerce une charge suppl´ suppl´ementaire ementaire sur les paliers. paliers. On estimera la tension de pose N 0 comme : N 0 =
N A + N + N B 2
(10.20)
La tension tensio n est g´en´ en´eralement erale ment r´egl´ egl´ee ee au moment de la pose pos e de la courroie courr oie : – par mesure de l’allongement relatif de la courroie (de 0,5 a` 1% suivant le type de courrroie) – par mesure de la fl`eche eche du brin rectiligne rectiligne sous un effort donn´ e, e, normal a` ce brin et appliqu´ appliq u´e en son milieu. L’allongemen L’allongementt irr´ eversibl eversiblee due au vieilliss vieillissemen ementt naturel de la courroie provoque provoque une diminution progressive de sa tension de pose, en particulier lors de sa mise en service. Un r´egla eg lagge a` une valeur sup´ su p´erieure erieu re de 40% 4 0% environ e nviron a` la l a tens t ension ion de pose po se am`ene, ene , apr` a pr`es es quelque que lquess heures de fonctionnement, une stabilisation a` la valeur souhai sou hait´ t´ee. ee.
Figure 10.6 Figure 10.6 – Dispositif de tension.
10.5 10 .5
Calc Calcul ul d’un d’une e trans transmi miss ssio ion n par par courr courroi oie e
La puissance transmissible par courroie d´epend epend : – du type de courroie courr oie (g´eom´ eom´etrie etrie et mat´eriau) eriau ) ; – de la valeur aleur de l’arc l’arc d’enroul d’enrouleme ement nt ; – de la longueu longueurr de la courroi courroiee ; – des diam`etres etres primitifs des poulies (et du rapport de transmission) transmission) ; Les fabricants fabr icants de courroies cour roies proposent prop osent diff´erentes erentes m´ethodes etho des d´etaill´ etail l´ees ees de calcul qu’il faut suivre. suivre. Il est vivemen vivementt conseill conseill´´e de se procurer un catalogue chez un des nombreux nombreux fournisseurs.
CHAPITRE 10. TRANSMISSIONS PAR COURROIES.
144
La figure 10.7 fournit a` titre purement indicatif les ordres de grandeur des puissances transmissibles individuelles pour des courroies trap´ezo¨ıdales pour lesquelles on a pr´ecis´e, en mm, la largeur, la hauteur et le diam`etre de la plus petite roue.
Figure 10.7 – Ordres de grandeur des puissances transmissibles par courroie trap´ezo¨ıdale. On retiendra les ´etapes classiques de la d´emarche de projet d’une transmission par courroies, supposant connus la puissance nominale P , la vitesse de rotation de l’arbre d’entr´ee N 1, le rapport de r´eduction i et une estimation de l’entraxe A : 1. estimer la puissance corrig´ee en multipliant la puissance nominale par un facteur d’application sup´erieur ou ´egal a` l’unit´e, en fonction des conditions de fonctionnement (couple de d´emarrage de la partie motrice, fr´equence des d´emarrages, nombre d’heures de fonctionnement par jour, ...) ; 2. choisir une section de courroie a` partir d’un diagramme puissance / vitesse de rotation de l’arbre rapide, tel que celui pr´esent´e par la figure10.7. On peut a` ce stade d´ecider du nombre de courroies. 3. choisir le diam`etre des poulies dans les s´eries standard, en s’effor¸ cant d’approcher au mieux le rapport de r´eduction i tout en respectant les contraintes d’encombrement ; les diam`etres standard de poulie sont rarement inf´erieurs a` 63 mm, pour les transmissions industrielles ; 4. estimer la vitesse lin´eaire de la courroie et la comparer aux valeurs limites ; 5. estimer la longueur primitive de la courroie a` partir de l’´equation 10.1 ; on choisit une longueur standardis´ee et on d´etermine l’entraxe nominal. 6. d´eterminer la puissance brute par courroie dans les donn´ees du fournisseur, prenant en compte les effets de la longueur, de la vitesse et des arcs d’enroulement ; 7. v´erifier ou adapter le nombre de courroies en cons´equence.
´ ERENCES ´ R EF la la le le la la la le le
Fran¸cais courroie poulie galet de guidage galet de tension courroie plate courroie trap´ezo¨ıdale courroie crant´ee brin menant brin men´e
145 the the the the the the the the the
English Nederlands Deutsch belt de riem der Riemen pulley de riemschijf die Riemenscheibe guiding idler pulley de leirol die Leitrolle tensioner de spanrol die Spannrolle flat belt de vlakke riem der Flachriemen V-belt de V-riem der Keilriemen timing belt de getande riem der Zahnriemen driving side het trekkende part der Lasttrum slack side het teruggaande part der Leertrum
Table 10.1 – Lexique relatif aux courroies.
10.6
Lexique
R´ ef´ erences [1] Roland Farges : Poulies et courroies de transmission. Donn´ees num´eriques , chapitre B 5 681. Techniques de l’Ing´enieur. Techniques de l’ing´enieur, 1988. [2] Roland Farges : Poulies et courroies de transmission. Entraˆınement par adh´erence , chapitre B 5 680. Techniques de l’Ing´enieur. Techniques de l’ing´enieur, 1988. [3] Roland Farges : Poulies et courroies de transmission. Entraˆınement synchrone , chapitre BM 5 683. Techniques de l’Ing´enieur. Techniques de l’ing´enieur, 1990. [4] Horst Haberhauer et Ferdinand Bodenstein : Maschinenelemente. Gestaltung, Berechnung, Anwendung. Springer, Berlin, 10st ´edition, 1996. (in German). [5] Daniel Play : Entraˆınement par courroies dent´ees. Caract´eristiques de fonctionneenieur, 2006. ment , chapitre BM 5 686, pages 1–19. Techniques de l’ing´ [6] Daniel Play : Entraˆınement par courroies dent´ees. D´efinitions. G´eom´etrie. , chapitre BM 5 685, pages 1–15. Techniques de l’ing´enieur, 2006.
Chapitre 11 Transmissions par chaˆınes. Tu vis mon d´esespoir, et tu m’as vu depuis Traˆıner de mers en mers ma chaˆıne et mes ennuis. Racine, Andromaque, I, 1.
11.1
Introduction
Les chaˆınes, comme les courroies, sont des ´el´ements flexibles qui permettent la transmission de la puissance entre deux arbres parall`eles mais ´eloign´es l’un de l’autre. Puisqu’elles sont compos´ees de maillons articul´es en acier, les chaˆınes peuvent ˆetre soumises a` des conditions d’utilisation plus difficiles (temp´erature, chocs, ...) que celles appliqu´ees aux courroies. Le rapport de transmission ne d´epasse pas 7, la vitesse reste mod´er´ee car le bruit devient gˆenant a` haute vitesse. Le plan de la chaˆıne doit rester vertical, sinon la flexion lat´erale due au poids propre use rapidement les maillons. Le rendement est ´elev´e (96 a` 98 %) dans les constructions avec lubrification contrˆ ol´ee. On classe les chaˆınes en deux grandes cat´egories : chaˆınes de transmission : utilis´ees pour la transmission de puissance. On distingue
principalement : ecision, les plus r´epandues. Ces chaˆınes chaˆınes ` a rouleaux : ou chaˆınes de pr´ sont constitu´ees de maillons ext´erieurs et int´erieurs. Les maillons ext´erieurs sont form´es de deux plaquettes reli´ees entre elles par deux axes sertis, tandis que les maillons int´erieurs sont form´es de deux plaquettes reli´ees entre elles par deux douilles serties. Pour faciliter l’engr`enement des chaˆınes sur les pignons, on place deux rouleaux sur les douilles, avec un ajustement libre mais tr`es pr´ecis. Ils permettent de r´eduire et d’uniformiser l’usure des dents de pignon. ` dents renvers´ees ou chaˆınes Morse. Ces chaˆınes silencieuses : ou chaˆınes a chaˆınes sont constitu´ees de plaques en forme de double dent articul´ees sur des douilles longues, lesquelles forment les coussinets destin´es a` recevoir les axes en acier durci et rectifi´e. chaˆınes de manutention : utilis´ees principalement pour les convoyeurs a` chaˆınes, elles
comportent des rouleaux qui r´eduisent leur frottement apparent sous la charge qu’elles v´ehiculent.
146
CHAPITRE 11. TRANSMISSIONS PAR CHAˆINES.
147
Figure 11.1 – Chaˆınes a` rouleaux [3].
Figure 11.2 – Chaˆıne silencieuse [3].
11.2
R` egles de conception
Le pas P d’un maillon est l’´el´ement dimensionnel de r´ef´erence d’une chaˆıne. La standardisation am´ericaine l’a emport´e sur l’europ´eenne continentale : les pas sont g´en´eralement exprim´es en fractions de pouce. La force transmissible se d´eduit directement du couple a` transmettre. Pour les vitesses importantes, on la majorera de ρl v 2. Pour un entraxe A, qui doit ˆetre de l’ordre de 25 a` 75 fois la valeur du pas P , le nombre Z 0 de maillons de la chaˆıne peut ˆetre estim´e a` partir de : 2A Z 1 + Z 2 Z 0 = + + P 2
Z 2
− Z
1
2π
2
P A
(11.1)
Lorsque la longueur L = Z 0 P de la chaˆıne est d´etermin´ee, on calcule la valeur A de l’entraxe th´eorique : P A = 4
Z 0
−
Z 1 + Z 2 + 2
Z 0
−
Z 1 + Z 2 2
− 2
2(Z 2
2
− Z ) 1
π2
(11.2)
Cette valeur th´eorique fournit une limite sup´erieure qu’il ne faut pas d´epasser, car il faut pr´evoir une certaine aisance a` la chaˆıne. Une fl`eche ´egale a` 1 a` 3 % de l’entraxe est g´en´eralement tol´er´ee.
CHAPITRE 11. TRANSMISSIONS PAR CHAˆINES.
148
Pas P Hauteur H Effort transmissible F Masse lin´eique ρl mm
mm
kN
kg/m
6
5
3
0,12
8
7,1
5
0,18
9,525
8,2
9
0,41
12,7
11,8
18
0,70
19,05
16,1
29
1,2
25,4
20,5
60
2,7
31,75
26
95
3,7
63,5
52,9
355
16,3
Table 11.1 – Donn´ees caract´eristiques d’une chaˆıne a` rouleaux ISO 606
Le nombre de dents du pignon ne devrait pas ˆetre inf´erieur a` 17, sauf pour des vitesses tr`es faibles, inf´erieures a` 100 t/min. A l’engr`enement de la chaˆıne sur le pignon, chaque maillon pivote autour d’un de ses axes d’un angle γ /2 appel´e angle d’articulation . Il faut r´eduire cet angle pour att´enuer l’usure des articulations et les chocs entre les maillons et les dents. Le fait que la chaˆıne se d´eplace autour du pignon selon un polygone entraˆıne une variation de sa vitesse, comme l’illustre la figure : c’est ce que l’on appelle l’ effet ee par la relation polygonal . La variation relative de vitesse est donn´ δ v =
1 cos(π/Z )
− 1
(11.3)
et vaut 1,7% pour 17 dents.
γ/2
Figure 11.3 – Illustration de l’effet polygonal. Le rapport de transmission n’exc`ede pas 7. Le nombre de dents de la roue ne devrait pas
CHAPITRE 11. TRANSMISSIONS PAR CHAˆINES.
149
ˆetre sup´erieur a` 120. L’angle d’enroulement doit ˆetre ´egal ou sup´erieur a` 120◦ pour assurer une r´epartition ad´equate des efforts appliqu´es sur la chaˆıne. Une ligne des centres verticale ou inclin´ee a` plus de 45◦ par rapport a` l’horizontale est a` ´eviter, car les effets de la gravit´e causent des vibrations excessives dans les brins. Les chaˆınes doivent ˆetre lubrifi´ees, selon diff´erents proc´ed´es illustr´es par la figure 11.4. – Jusqu’une vitesse lin´eaire de 1 m/s, une lubrification au pinceau ou a` la burette suffit. – En-dessous de 4 m/s, un r´eservoir muni d’un orifice a` section variable permet une lubrification au goutte a` goutte . – Jusqu’`a 7 m/s, un barbotage peut ˆetre envisag´e (sur une hauteur d’un demi pas) ; – Au-del`a de 12 m/s, il faut imp´erativement pr´evoir un dispositif d’injection d’huile avec contrˆ ole de temp´erature ; le d´ebit, exprim´e en litres par minute, est de l’ordre du pas exprim´e en millim`etre ! ≪
≫
Figure 11.4 – Lubrification des chaˆınes [1].
11.3
Calcul d’une transmission par chaˆınes
La proc´edure de d´etermination d’une transmission par chaˆınes est relativement simple a` suivre. On en retiendra les ´etapes principales, en supposant connus la puissance nominale P , la vitesse de rotation de l’arbre d’entr´ee N 1 , le rapport de r´eduction i et une estimation de l’entraxe A : 1. estimer la puissance corrig´ee en multipliant la puissance nominale par un facteur d’application sup´erieur ou ´egal a` l’unit´e, en fonction des conditions de fonctionnement (pr´esence d’`a-coups, fr´equence des d´emarrages, nombre d’heures de fonctionnement par jour, ...) ; 2. choisir le nombre de chaˆınes (rarement sup´erieur a` 3), et le pas, `a partir d’un diagramme puissance / vitesse tel que celui fourni par la figure 11.5 ; 3. choisir les pignons (nombres de dents Z 1 17 et Z 2) en s’effor¸cant d’approcher au mieux le rapport de r´eduction i ; 4. estimer la vitesse lin´eaire de la chaˆıne et la comparer aux valeurs limites ; 5. d´eterminer la longueur primitive de la chaˆıne (Z 0 pair) `a partir des relations 11.1 et 11.2.
CHAPITRE 11. TRANSMISSIONS PAR CHAˆINES.
150
Figure 11.5 – Abaque pour choix de chaˆınes au standard europ´een [4].
11.4
Repr´ esentation normalis´ ee des transmissions ` a chaˆınes
Sur un plan, il n’est pas d’usage de repr´esenter la chaˆıne : un trait mixte fin suffit pour rappeler son existence :
Figure 11.6 – Repr´esentation d’une transmission a` chaˆıne selon ISO 2203.
´ ERENCES ´ R EF
151
Fran¸ cais la chaˆıne de transmission la chaˆıne a ` rouleaux la chaˆıne silencieuse (dent´ ee) la chaˆıne de traction la chaˆıne simple la chaˆıne double la chaˆıne multiple le maillon le pas de chaˆıne le pignon a ` chaˆıne
the the the the the the the the the the
English Nederlands transmission chain de aandrijfketting roller chain de rollenketting silent (inverted-tooth) chain de tandketting hoisting chain de trekketting single-strand chain de eenrijige ketting double-strand chain de duplexketting multiple-strand chain de meervoudige ketting link plate de schakel pitch of chain de kettingsteek sprocket het kettingwiel
die die die die die die die die die das
Deutsch Treibkette Rollenkette Zahnkette Lastkette Einfachkette Zweifachkette Mehrfachkette Lasche Kettenteilung Kettenrad
Table 11.2 – Lexique relatif aux chaˆınes.
11.5
Lexique
R´ ef´ erences [1] Karl-Heinz Decker et Karlheinz Kabus : Maschinenelemente. Gestaltung und Berechnung. Carl Hanser, 1998. [2] Bernard Kohler et Edgard Sztrygler : Chaˆınes m´ecaniques , volume B 5, M´ecanique et Chaleur de Techniques de l’Ing´enieur , chapitre B 5 650. 1995. [3] G. Nicolet et E. Trottet : El´ements de machines. SPES, Lausanne, 1971. [4] Georges Spinnler : Conception des machines. Principes et applications. Volume 2. Dynamique. Presses polytechniques et univesitaires romandes, Lausanne, 1997. Sites internet : http://www.renold.com http://www.sedis.fr http://chain-guide.com/toc.html
Chapitre 12 Accouplements. Tout mouvement de quelque nature qu’il soit est cr´eateur. Edgar Poe.
12.1
G´ en´ eralit´ es
12.1.1
Classification
Un accouplement a pour fonction de relier deux bouts d’arbre et d’assurer de mani`ere permanente la transmission du mouvement de rotation et du moment de torsion. Il s’agit d’un ´el´ement tr`es important puisqu’il assure l’interface cin´etostatique entre machines motrices et r´eceptrices. Cet ´el´ement connaˆıt un nombre pratiquement ind´enombrable de r´ealisations. On peut distinguer plusieurs modes d’accouplement : es l’un par accouplements rigides : ils solidarisent les deux arbres correctement align´ rapport a` l’autre ; ils r´ealisent un assemblage d´ emontable des deux arbres en pr´esence : accouplements a` manchon, a` coquilles, `a plateaux, ... ee a` l’aide d’´el´ements dont accouplements mobiles : la liaison des arbres est effectu´ certains gardent une mobilit´e cin´ematique permettant a` un alignement moins rigoureux, voire un certain d´ebattement lat´eral ; ils mat´erialisent des liaisons particuli`eres autour des axes de rotation des arbres accoupl´es : joint de Cardan, accouplement a` glissi`eres crois´ees ou joint d’Oldham, ... Certains accouplements bas´es sur l’entraˆınement par obstacle d’´el´ements emboˆıt´es peuvent ˆetre attach´es a` cette cat´egorie : accouplements a` dentures, a` crabots, ... ements transmettant les couples de torsion sont le accouplements ´ elastiques : les ´el´ plus souvent des ´el´ements d´eformables : ressorts m´etalliques ou ´el´ements en caoutchouc ; La figure 12.1 montre les d´efauts d’alignement susceptibles d’ˆetre rencontr´es en pratique.
152
153
CHAPITRE 12. ACCOUPLEMENTS.
Figure 12.1 – D´efauts d’alignement [7].
12.1.2
Moments de torsion admissibles
Le choix d’un accouplement a` partir de catalogues ou conform´ement aux normes en vigueur doit ˆetre pr´ec´ed´e d’un calcul de couple maximal de torsion, dans les conditions de fonctionnement les plus s´ev`eres. Il est dict´e par le la dur´ee de vie, l’encombrement, l’inertie des masses, la facilit´e de montage, le coˆ ut, les erreurs admissibles de centrage, les caract´eristiques dynamiques (possibilit´e d’amortissement), ... Le couple maximal de torsion M t transmis par un accouplement d´epend du rapport entre la puissance P et la vitesse de rotation ω, des caract´eristiques des machines motrice et r´eceptrice, des conditions de fonctionnement (fr´equence des d’enclenchements, r´eversibilit´e, ...), ... Le couple appliqu´e r´eellement appliqu´e sur l’´el´ement de liaison vaut : M t = M nom S
(12.1)
o`u S est un facteur de s´ecurit´e variant habituellement entre 1 et 4.
12.2
Accouplements rigides
Si deux arbres sont align´es correctement, leur liaison peut s’effectuer par un accouplement rigide. Celui-ci transmettra non seulement les moments de torsion, mais aussi les moments de flexion et les efforts axiaux produits dans le syst`eme. Pour att´enuer la transmission de ces effets parasites, les accouplements rigides seront plac´es le plus pr`es possible des paliers des arbres. Les accouplements rigides ne devraient ˆetre utilis´es que lorsque les ´el´ements en pr´esence sont : – suffisamment rigides pour que les d´efauts d’alignement puissent ˆetre limit´es et maintenus au cours du temps ; – suffisamment r´esistants pour que les efforts g´en´er´es suite a` ces d´efauts puissent ˆetre accept´es. Manchon ` a douille
La r´ealisation la plus simple est le manchon a` douille. Il est compos´ e d’une douille en acier ou en fonte fix´ee sur les extr´emit´es des arbres, habituellement par des goupilles coniques dimensionn´ees de telle mani`ere qu’elles soient cisaill´ees dans le cas de surcharges inadmissibles.
CHAPITRE 12. ACCOUPLEMENTS.
154
Figure 12.2 – Accouplement a` disques [4].
Accouplements ` a plateaux
Les plateaux viennent directement de forge ou sont rapport´es sur les arbres et fix´es par clavettes, par al´esage tronconique, etc. La partie mˆ ale de l’emboˆıtement de centrage se trouve toujours sur le plateau menant. On peut distinguer les accouplements pour lesquels la transmission du moment de torsion est assur´ee par le cisaillement de boulons ajust´es de ceux pour lesquels il est repris par frottement des surfaces frontales grˆ ace au serrage de boulons.
Figure 12.3 – Accouplement par assemblage direct [4].
Manchon ` a coquilles boulonn´ ees
Le manchon a` co quilles boulonn´ees est compos´e de deux coquilles serr´ees par deux rang´ees de boulons, plac´es sym´etriquement par rapport a` son axe, l’entraˆınement de l’arbre ´etant assur´e par une clavette. Pour le calcul, on admet que la pression entre le manchon et l’arbre est r´epartie uniform´ement et que le coefficient de frottement est constant. On suppose que le moment de
CHAPITRE 12. ACCOUPLEMENTS.
155
torsion est transmis uniquement par le frottement entre l’arbre et les coquilles (l’effet de la clavette est n´eglig´e).
Figure 12.4 – Accouplement a` coquilles boulonn´ees [4].
12.3
Accouplements mobiles
On ne repr´esente ci-apr`es qu’un choix tr`es limit´e des ex´ecutions a` disposition. Joints de Cardan.
Le joint universel de Cardan est h´et´erocin´etique : la rotation uniforme de l’arbre primaire cause la rotation non uniforme de l’arbre secondaire. Le rapport de transmission i du joint de Cardan varie entre cos α et 1/ cos α.
Figure 12.5 – Joint universel de Cardan [1].
Le double joint de Cardan, ou joint de Hooke (v´erifiant une disposition sym´ etrique des ´el´ements α1 = α2 ), est homocin´etique. Accouplements ` a glissi` eres crois´ ees. Accouplements ` a dents.
En pratique, il est parfois difficile d’assurer aux arbres un alignement suffisamment pr´ecis pour l’utilisation d’un accouplement rigide. D’autre part, l’alignement initial peut ˆetre
CHAPITRE 12. ACCOUPLEMENTS.
156
Figure 12.6 – R´ealisation de base d’un joint de Cardan [3].
Figure 12.7 – Joint d’Oldham ou accouplement a` glissi`eres crois´ees [4].
modifi´e sous l’action des d´eformations provoqu´ees par les surcharges, la temp´erature, l’affaissement in´egal des fondations, etc. Ce se sont autant de cas dans lesquels les accouplements rigides ne sont pas applicables, les arbres devant ˆetre li´es par des accouplements mobiles ou ´elastiques. Les accouplements a` dents permettent de reprendre des ´ecarts angulaires et radiaux ainsi que la dilatation longitudinale des arbres. Ils sont classiquement constitu´es de deux manchons a` denture int´ erieure et de deux moyeux a` denture ext´erieure. L’inclinaison des arbres est possible grˆ ace aux dentures ext´erieures bomb´ees des moyeux, en liaison mobile avec les dentures int´ erieures droites des manchons. Cette disposition permet aux moyeux de pivoter par rapport aux manchons. Par ailleurs, le jeu entre les dentures permet un d´eplacement radial relatif. Dans ce type d’accouplement, la lubrification revˆet une importance primordiale. Elle est souvent r´ealis´ee par barbotage d’huile. Accouplements ` a chaˆıne.
Les accouplements a` chaˆıne sont g´en´eralement m´etalliques. Les pignons dent´es sont reli´es par une chaˆıne double. Pour un mˆeme encombrement, ils transmettent une puissance
CHAPITRE 12. ACCOUPLEMENTS.
157
Figure 12.8 – Accouplement a` dents [5].
Figure 12.9 – Accouplement a` dents [2].
moindre que les accouplements a` dents, mais sont moins coˆ uteux. Ils peuvent inclure un dispositif limiteur de couple `a glissement.
12.4
Accouplements ´ elastiques
Les accouplements ´elastiques ins´er´es entre les parties motrice et r´eceptrice d’une installation doivent remplir les fonctions suivantes : – compenser les erreurs d’alignement radial et angulaire des arbres ; – ´eliminer les pouss´ees axiales dues a` la dilatation thermique ; – r´eduire les vibrations nuisibles et filtrer les chocs ´eventuels. Un accouplement ´elastique est compos´e principalement de deux manchons m´etalliques, li´es par un ´el´ement ´elastique interm´ediaire qui d´etermine les caract´eristiques dynamiques de l’accouplement : la raideur en torsion et l’amortissement modifient en effet le comportement dynamique de l’installation. Les ´el´ements ´elastiques en caoutchouc sont tr`es
CHAPITRE 12. ACCOUPLEMENTS.
158
Figure 12.10 – Accouplements a` chaˆıne [5].
largement utilis´ es : ils peuvent subir des d´eformations importantes et dissiper une grande quantit´e d’´ energie. Plusieurs types existent selon le type de sollicitation agissant sur l’´el´ement ´elastique : effort de compression, de cisaillement, de traction. Accouplements ` a grille.
Les accouplements a` grille pr´esentent sur les deux moyeux des entailles dans lesquelles s’ins`ere une grille m´etallique d´eformable.
Figure 12.11 – Accouplement Grid-Flex [5].
Accouplements ` a´ el´ ements ´ elastom` ere.
CHAPITRE 12. ACCOUPLEMENTS.
Figure 12.12 – Accouplement a` grille [2].
Figure 12.13 – Accouplements PERIFLEX et SPIROFLEX [6].
159
160
CHAPITRE 12. ACCOUPLEMENTS.
12.5
Synth` ese
Type d’accouplement rigide `a dents `a chaˆıne `a grille universel ´elastique `a cisaillement ´elastique `a compression
Rapport Couple / encombrement Tr`es ´elev´e Tr`es ´elev´e Moyen Elev´e Faible Faible Faible
D´esalignement angulaire (degr´e) 1,5 1,5 0,4 20 4 0,2
Entraxe mm/mm 0,025 0,004 0,004 0,40 0,20 0,06
Course axiale mm 3 `a 25 6 5 0 ou 300 (si arbre t´elescopique) 5 1
Table 12.1 – Performances compar´ees des diff´erents accouplements.
Type d’accouplement rigide `a dents `a chaˆıne `a grille universel ´elastique a` cisaillement ´elastique a` compression
Transmission effort axial **** *** *** ** **** * *
Transmission flexion **** **** **** ** **** * *
Capacit´e haute vitesse *** **** * ** * * *
Lubrification
Coˆ ut
non oui oui oui oui non non
r´eduit moyen mod´er´e mod´er´e faible faible faible
Table 12.2 – Performances compar´ees des diff´erents accouplements (* : faible a` **** : excellente).
´ ERENCES ´ R EF
12.6
161
Lexique
Fran¸cais l’ accouplement l’ accouplement rigide l’ accouplement `a manchon l’ accouplement `a coquilles l’ accouplement `a plateaux l’ accouplement `a dents le joint de Cardan
English the permanent coupling the rigid coupling the sleeve coupling the split muff coupling the flange coupling the gear coupling the universal joint the Hooke’s coupling le joint `a glissi`eres crois´ees the Oldham coupling
de de de de de de de
Nederlands continu-koppeling vaste koppeling koppeling met koppelbus deelbare koppelingsbus flenskoppeling tandkoppeling kruiskoppeling
de kruisschijfkoppeling
die die die die die die die
Deutsch nichtschaltbare Kupplung starre Kupplung Hulsenkupplung Schalenkupplung Flanschenkupplung Bogenzahnkupplung Kreuzgelenkkupplung
dir Kreuzscheibenkupplung
Table 12.3 – Lexique relatif aux accouplements.
R´ ef´ erences [1] I. Artobolevski : Th´eorie des m´ecanismes et des machines . Mir Moscou, 1977. [2] Karl-Heinz Decker et Karlheinz Kabus : Maschinenelemente. Gestaltung und Berechnung. Carl Hanser, 1998. [3] Francis Esnault : Construction M´ecanique. 3. Transmission de Puissance Par Liens Flexibles. Dunod, Paris, 1`ere ´edition, 1996. [4] Horst Haberhauer et Ferdinand Bodenstein : Maschinenelemente. Gestaltung, Berechnung, Anwendung. Springer, Berlin, 10st ´edition, 1996. (in German). [5] Robert L. Mott : Machine Elements in Mechanical Design . Prentice Hall, 1999. [6] Georges Spinnler : Conception des machines. Principes et applications. Volume 2. Dynamique. Presses polytechniques et univesitaires romandes, Lausanne, 1997. [7] M. Szwarcman : El´ements de Machines . Technique et Documentation - Lavoisier, 1983.
Chapitre 13 Embrayages. Ce qui est simple est toujours faux, ce qui ne l’est pas est inutilisable. Paul Val´ ery, Les Mauvaises Pens´ees et Autres .
13.1
G´ en´ eralit´ es
Les organes permettant de couper la transmission d’effort se classent selon leur mode de commande : – les embrayages sont command´es a` volont´e de l’ext´erieur, manuellement, par un courant ´electrique, pneumatiquement ou hydrauliquement. On peut distinguer : – les embrayages par obstacle : , par exemple les embrayages `a crabots . Ils ne peuvent s’enclencher qu’` a l’arrˆet ou lorsque les vitesses des deux arbres sont synchronis´ees. – les embrayages ` emarrer en douceur un a friction : ce type d’embrayage permet de d´ arbre arrˆet´e en laissant patiner les surfaces de frottement jusqu’` a la synchronisation des vitesses. Le couple maximum transmissible est limit´e par le patinage. – les coupleurs sont des embrayages command´es automatiquement par la vitesse de l’arbre primaire ; ils transmettent un couple dont l’intensit´e d´epend de la vitesse de l’arbre d’entr´ee ou de la diff´erence entre la vitesse des deux arbres. – les roues libres interrompent la transmission de couple lorsque l’´el´ement secondaire est plus rapide que l’´el´ement menant ; – les limiteurs de couples sont command´es par l’intensit´e de l’effort transmis.
13.2
Embrayages
La transmission de couple par embrayage a` friction n´ecessite le serrage des surfaces glissantes par des dispositifs m´ecaniques, hydrauliques, pneumatiques ou ´electromagn´etiques. Le disque d’embrayage est garni, sur ses deux faces, d’une mati`ere a` fort coefficient de frottement et r´esistant bien a` la chaleur. La figure 13.1 illustre un embrayage `a diaphragme, classiquement utilis´e en automobile. La figure de gauche 13.2 repr´esente un embrayage a` tambour. Les garnitures consistent en plusieurs segments (2) entour´es d’une corde ´elastique (3) qui rappelle toujours les segments contre les disques coniques (4). La partie inf´erieure de la figure montre l’organe en position d´ebray´ ee. Pour embrayer, on pousse la bague de commande (5) vers la droite ; 162
CHAPITRE 13. EMBRAYAGES.
163
Figure 13.1 – El´ements d’un embrayage a` diaphragme [2].
Figure 13.2 – Embrayage `a tambour. Embrayage ´electromagn´etique [3].
elle agit sur trois leviers tournant autour de (6) qui rapprochent les disques (4) en serrant les garnitures radialement contre le tambour (1). La figure de droite 13.2 repr´esente un embrayage a` ´electromagn´etique. L’´electro-aimant (1) avec sa bobine (2) est retenu en rotation par ses encoches (9) en prise avec le bˆ ati de la machine. Le champ magn´etique attire la pi`ece polaire (7) vers la bague d’appui (4) en comprimant le paquet de disques (5) et (6). Les disques ext´erieurs sont entraˆın´es par le moyeu-cloche (8) tandis que les disques int´ erieurs coulissent dans les rainures du moyeu (3). L’usure des disques n’affecte pratiquement pas le serrage.
CHAPITRE 13. EMBRAYAGES.
13.3
164
Coupleurs
On appelle coupleurs des transmetteurs de couple dont l’intensit´e du couple transmis d´epend de la vitesse de l’arbre d’entr´ee ou de la diff´erence entre la vitesse des deux arbres.
13.3.1
Coupleurs centrifuges
Figure 13.3 – Coupleur centrifuge [4]. Les coupleurs centrifuges transmettent un couple dont la valeur d´epend de la vitesse de l’arbre d’entr´ee. La figure 13.3 illustre un exemple de construction. Des masselottes (2) sont dispos´ees sur le moyeu d’entraˆınement (1) et maintenues axialement par des disques (5). Les garnitures (4) entrourent les masselottes avec lesquelles elles sont li´ees par un t´eton ; des ressorts de traction (3) rapprochent les masselottes du moyeu. A partir d’une certaine vitesse de rotation du moyeu, la force centrifuge est suffisante pour vaincre les ressorts et pousser les masselottes contre le tambour arrˆet´e.
13.3.2
Coupleurs ´ electromagn´ etique
Figure 13.4 – Coupleur ´electromagn´etique [5]. Les coupleurs ´electromagn´etiques (cf. fig. 13.4) consistent principalement en un rotor menant (1) tournant autour d’un corps polaire magn´etique (2) pourvu de pˆ oles saillants.
CHAPITRE 13. EMBRAYAGES.
165
Une s´erie de bobines (3) excit´ees par un courant continu amen´e par des bagues (4) cr´ee un champ magn´etique dans l’entrefer qui permet la transmission du couple sans contact magn´etique ni usure. On peut faire varier le couple transmis en jouant sur le courant d’excitation.
13.3.3
Coupleurs ` a induction
Figure 13.5 – Coupleur a` induction [5]. Le rotor (3) de ces coupleurs est lisse. Le champ magn´etique cr´e´e par la bobine annulaire (5) engendre dans le rotor tournant des courants de Foucault dont le champ magn´etique r´eagit avec le champ principal pour permettre la transmission du couple. Le moyeu (1) entraˆıne le rotor par l’interm´ ediaire d’une roue perc´ee de canaux qui constituent un ventilateur centrifuge refroidissant ´energiquement le coupleur.
13.4
Roue libre
La roue libre est un accouplement particulier qui permet de transmettre un couple d’un arbre a` un autre dans un sens seulement. L’enclenchement automatique d´epend de la vitesse relative entre les deux arbres. Il existe en principe deux types de roues libres : – roue libre a` rochet et cliquet : transmission positive dont l’enclenchement ne s’op`ere que dans des positions s´epar´ees par le pas angulaire des dents ; – roue libre `a corps de blocage : des billes, rouleaux ou cames s’arc-boutent entre un plateau int´ erieur et une bague ext´erieure. La transmission non positive s’enclenche en toute position. Les roues libres remplissent essentiellement trois fonctions :
CHAPITRE 13. EMBRAYAGES.
166
Figure 13.6 – Roue a` rochet et cliquet [4].
Figure 13.7 – Roue libre a` billes [1].
– antid´evireur : organe de s´ecurit´e – accouplement automatique (d’un moteur auxiliaire) – commande pas a` pas : transformation d’une rotation continue en rotation pas a` pas lorsqu’une roue libre sert d’articulation dans un m´ecanisme a` barres.
13.5
Limiteurs de couple
Des efforts excessifs sont susceptibles de briser des pi`eces et de causer des accidents. Dans les machines sujettes a` surcharge, il convient de limiter les efforts par des dispositifs idoines. Il existe divers principes de protection : – Limiteurs de couple `a pi`ece de rupture : un ´el´ement pr´ealablement entaill´e pour constituer une section fragile casse en cas de surcharge. On ne peut malheureusement pas essayer le m´ ecanisme de protection sans le rompre et le remplacement des goupilles prend du temps. – Limiteurs de couple ` a friction : comme dans un embrayage, des dispositifs sont serr´es par un ressort. Le couple de glissement se r`egle par un ´ecrou, mais il est impr´ecis parce que le coefficient de frottement varie dans de larges limites. Les limiteurs de couple `a friction s’´echauffent rapidement s’ils viennent a` patiner, c’est pourquoi il faut les prot´eger en d´eclenchant le moteur d`es qu’ils commencent a` glisser. – Limiteurs de couple ` a transmission de force par obstacle : des cliquets ou des billes sont press´es par un ressort r´eglable dans les empreintes correspondantes de la pi`ece entraˆın´ee. Si le couple transmis est sup´erieur au couple de d´eclenchement, les billes
´ ERENCES ´ R EF
167
sont chass´ees des empreintes et repouss´ees contre la force des ressorts en d´esolidarisant le plateau et le moyeu.
13.6
Lexique
Fran¸cais l’ embrayage la roue libre le frein le frein `a sabot le tambour de frein l’ encliquetage la roue `a rochet le cliquet
the the the the the the the the
English clutch overrunning clutch brake block brake brake drum ratchet gearing ratchet wheel pawl
de de de de de het het de
Nederlands schakelbare koppeling vrijloopkoppeling rem blokrem remtrommel palwerk palwiel pal
die die die die die das das die
Deutsch schaltbare Kupplung Freilaufkupplung Bremse Backenbremse Bremstrommel Klinkenschaltwerk Sperrad Schaltklinke
Table 13.1 – Lexique relatif aux embrayages.
R´ ef´ erences [1] Francis Esnault : Construction M´ecanique. 3. Transmission de Puissance Par Liens Flexibles. Dunod, Paris, 1`ere ´edition, 1996. `meteau : Technologie fonctionnelle de l’automobile. Tome 2. Transmission. [2] H. Me Tenue de route. Freinage. Dunod, 1`ere ´edition, 1983. [3] Georges Spinnler : Conception des Machines. Principes et Applications. Volume 1. Statique. Presses polytechniques et universitaires romandes, 1997. [4] Georges Spinnler : Conception des machines. Principes et applications. Volume 2. Dynamique. Presses polytechniques et univesitaires romandes, Lausanne, 1997. [5] Georges Spinnler : Conception des machines. Principes et applications. Volume 3. Dimensionnement. Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 1997.
Chapitre 14 Variateurs et boˆıtes de vitesses. Vends corbillard occasion : levier de vitesse bloqu´e au point mort. Pierre Dac.
14.1
Boˆıtes de de vitesses
14.1.1
Boˆıtes ` a baladeurs
Les boˆıtes a` baladeurs sont constitu´ees par la juxtaposition de couples d’engrenages avec un espace axial permettant leur d´eplacement ; il est difficile de d´epasser quatre rapports `a cause de la flexion des arbres. Les baladeurs sont d´eplac´es et maintenus en position par des fourchettes mues de l’ext´erieur du carter au moyen de leviers. Ces boˆıtes, d’une conception primitive, sont con¸cues pour ˆetre endurantes et ´economiques. Elles pr´esentent deux limitations majeures : – le baladeur ne peut accepter d’effort axial. On ne pourra par cons´equent utiliser que des dentures droites qui se r´ev`element relativement bruyantes ; – le changement de rapport ne peut s’effectuer qu’` a l’arrˆet complet, a` moins d’´equiper l’installation d’un asservissement plac´e sur le syst`eme de commande du moteur pour que la vitesse de l’arbre primaire soit amen´ee a` la valeur qu’elle aura apr`es l’engagement des dentures. C’est alors un syst`eme complexe, n´ecessitant de coordonner plusieurs op´erations en toute s´ecurit´e, donc difficile a` r´ealiser et souvent tr`es on´ereux.
14.1.2
Boˆıtes ` a engrenages en prise constante
L’arbre primaire porte tous les pignons moteurs qui entraˆınent en continu l’ensemble des pignons r´ecepteurs, lesquels tournent librement sur l’arbre de sortie, appel´ e arbre r´ecepteur. La liaison positive entre le pignon r´ecepteur et l’arbre r´ecepteur se fait par l’interm´ediaire d’un manchon de crabotage , le craboteur. Le craboteur dispose, par rapport a` l’arbre r´ecepteur, d’un seul degr´e de libert´e relatif de d´eplacement axial. Il tourne donc avec l’arbre r´ecepteur. Le crabotage entre deux ´el´ements est un cas particulier d’accouplement avec obstacle. 168
CHAPITRE 14. VARIATEURS ET BO ˆITES DE VITESSES.
169
Figure 14.1 – Pignon baladeur [3].
Figure 14.2 – Fourchette solidaire d’un coulisseau [2].
Figure 14.3 – Principe du crabotage [4].
Le pignon r´ecepteur et le craboteur sont munis de dents ou crabots qui assurent la transmission de couple d`es qu’elles s’interp´en`etrent. L’engagement des crabots impose l’´egalit´e des vitesses du pignon r´ecepteur et du manchon : un synchroniseur a pour rˆ ole d’amener les ´el´ements a` des vitesses de rotation identiques avant de r´ealiser le crabotage. Le synchroniseur comprend :
CHAPITRE 14. VARIATEURS ET BO ˆITES DE VITESSES.
170
– un moyeu li´e `a l’arbre; – une couronne a` denture droite int´erieure li´ee en rotation avec le moyeu et libre en translation ; – un dispositif de friction interpos´e entre la couronne et le pignon a` engrener ; – un pignon fou comportant une denture lat´erale a` crabots.
Figure 14.4 – Synchroniseur a` billes Borg-Warner [2].
Figure 14.5 – Synchronisateur a` billes Borg-Warner [3]. La figure 14.6 illustre le fonctionnement du synchronisateur Borg-Warner. A partir du point mort, la bague synchro a, solidaire du moyeu cannel´e a’, est mise en contact avec le pignon `a synchroniser A. Le craboteur b en se d´epla¸ cant par rapport au moyeu a’, escamote la bille de verouillage c en comprimant le ressort d. L’effort axial au niveau du contact conique cr´ee un couple de frottement tendant a` ´egaliser les vitesses de de rotation. Le craboteur b vient finalement coiffer le pignon a` craboter. Des fourchettes, command´ees par des coulisseaux, actionnent les baladeurs ou les synchroniseurs. Les coulisseaux sont manœuvr´es successivement par un s´electeur. Les mouvements du s´electeur sont conditionn´es par la grille des vitesses du v´ehicule. La figure 14.8 illustre le principe d’une boˆıte de vitesses a` deux arbres.
CHAPITRE 14. VARIATEURS ET BO ˆITES DE VITESSES.
Figure 14.6 – Fonctionnement du synchronisateur Borg-Warner [2].
171
CHAPITRE 14. VARIATEURS ET BO ˆITES DE VITESSES.
Figure 14.7 – Embrayage et boˆıte de vitesses [4].
172
CHAPITRE 14. VARIATEURS ET BO ˆITES DE VITESSES.
Figure 14.8 – Cin´ematique d’une boˆıte de vitesses a` deux arbres.
173
CHAPITRE 14. VARIATEURS ET BO ˆITES DE VITESSES.
14.1.3
174
Boˆıtes de vitesses automatiques
Une boˆıte de vitesses automatique est construite autour d’un ou de deux trains ´epicyclo¨ıdaux de natures diverses. Ceux-ci sont pr´ef´er´es aux boˆıtes de vitesses a` trains parall`eles pour les raisons suivantes : 1. il n’est pas n´ecessaire de d´esaccoupler le moteur de la boˆıte de vitesses pour passer les rapports : cette op´eration s’effectue par immobilisation de certains ´el´ements des trains ; 2. on obtient une meilleure continuit´ e dans la propulsion, alors que, pendant la manœuvre d’embrayage, on enregistre une perte de vitesse ; 3. l’automatisation est plus ais´ee a` r´ealiser. Outre un convertisseur de couple, une boˆıte de vitesses automatique comprend : – un train ´epicyclo¨ıdal complexe permettant d’obtenir trois rapports de marche avant bien ´etag´es et un rapport de marche arri`ere ; – un ensemble de freins et d’embrayages hydrauliques multidisques, ainsi qu’une ou plusieurs roues libres permettant le blocage, la mise en mouvement ou la r´eaction d’´el´ements du train ; – un dispositif de distribution hydrauliques actionnant les freins et embrayages et qui comprend : – une pompe hydraulique a` engrenages qui alimente ´egalement le convertisseur ; – un r´egulateur de pression ; – un ensemble de tiroirs de distribution actionn´es m´ecaniquement ou hydrauliquement ; – un r´ecepteur hydraulique pour chaque frein et chaque embrayage ; – un dispositif de commande. La r´ealisation d’un ensemble compact conduit par cons´equent a` une architecture relativement complexe.
CHAPITRE 14. VARIATEURS ET BO ˆITES DE VITESSES.
Figure 14.9 – Boˆıte de vitesses automatique (Renault) [4].
175
CHAPITRE 14. VARIATEURS ET BO ˆITES DE VITESSES.
14.2
176
Variateurs de vitesse
De nombreuses applications exigent de pouvoir varier la vitesse de mani`ere continue durant la marche. Les variateurs de vitesse sont destin´es a` modifier continˆ ument le rapport de transmission. On distingue : – les variateurs a` chaˆınes et a` courroies fonctionnant entre des poulies de diam`etre variable; – les variateurs a` friction ; – les variateurs hydrostatiques et hydrodynamique. Les variateurs de vitesse m´ecaniques sont en concurrence avec les dispositifs ´electriques de variation de vitesse des moteurs ; ils ont perdu beaucoup d’importance, mais, plutˆ ot que de s’exclure, ces syst`emes sont maintenant compl´ementaires.
Figure 14.10 – Variateur frontal a` galets coniques [1].
´ ERENCES ´ R EF
14.3
177
Lexique
Fran¸cais English Nederlands Deutsch la boˆıte de vitesses the transmission box de versnellingsbak der Getriebekaste la s´ e rie de vitesses the series of speeds de reeks van toerentallen die Drehzahlreihe le crabot the jaw de klauw die Klaue le variateur de vitesse the variable-speed drive de regelbare overbrenging der Variator
Table 14.1 – Lexique relatif aux dispositifs de r´eglage de vitesse.
R´ ef´ erences [1] V. Dobrovolski, K. Zablonski, S. Mak, A. Radtchik et L. Erlich : El´ements de machines . Mir Moscou, 1974. [2] Francis Esnault : Construction M´ecanique. Transmission de Puissance. 2. Applications. Dunod, Paris, 1`ere ´edition, 1994. [3] Johannes Looman : Zahnradgetriebe . Springer, 1996. prˆet´e Declerq. [4] H. M` emeteau : Technologie fonctionnelle de l’automobile. Tome 2. Transmission. Tenue de route. Freinage. Dunod, 1`ere ´edition, 1983.
Chapitre 15 Figures. Tout mouvement de quelque nature qu’il soit est cr´eateur. Edgar Poe.
Avertissement Les repr´esentations partielles des machines qui sont fournies ci-apr`es ont ´et´e volontairement simplifi´ ees dans un but didactique.
15.1
R´ educteur marin ` a deux ´ etages
Les figures 15.1 et 15.2 pr´esentent une transmission de puissance plan´etaire a` deux ´etages ´epicyclo¨ıdaux. Il s’agit d’une transmission marine destin´ee a` transmettre la puissance a` l’h´elice d’un (gros) bateau. Les dimensions sont effectivement impressionnantes (plus de 2,5 m de hauteur). La transmission comprend deux freins (deu : Schaltbremse ) dont l’action permet l’immobilisation de certains ´el´ements des trains plan´etaires. La particularit´e de ce dispositif, est de permettre, en fonction du frein actionn´e, d’inverser le sens de rotation de l’arbre de sortie. Compte tenu de la puissance a` transmettre, six satellites sont utilis´es.
178
CHAPITRE 15. FIGURES.
Figure 15.1 – Transmission Stoeckicht [2].
179
C H A P I T R E 1 5 . F I G U R E S .
Figure 15.2 – Transmission Stoeckicht [2]. 1 8 0
´ ERENCES ´ R EF
15.2
181
Winch a ` deux vitesses
Le winch est un petit treuil a` main, utilis´e sur les voiliers pour raidir les ´ecoutes et les drisses, qui sont respectivement les cordages servant a` orienter une voile ou `a la hisser. Le winch de voilier pr´esent´e a` la figure 15.3 comprend deux m´ecanismes a` roue libre ou antid´evireurs qui permettent avec un seul arbre d’entr´ee de fournir deux vitesses de sortie dans le mˆeme sens. La plupart des winchs sont manoeuvr´es par une manivelle qui s’engage dans une gorge cannel´ee situ´ee au-dessus. La conicit´e du tambour d’enroulement fait glisser les tours de cordage vers le bas au cours du fonctionnement. La figure 15.4 reprend les sch´emas cin´ematiques correspondant a` chaque sens de rotation de manivelle (`a gauche, grande vitesse en prise directe ; a` droite, petite vitesse).
R´ ef´ erences [1] Gilbert Bals : Sch´ema cin´ematique des m´ecanismes. Ellipses, 1`ere ´edition, 1991. [2] Horst Haberhauer et Ferdinand Bodenstein : Maschinenelemente. Gestaltung, Berechnung, Anwendung. Springer, Berlin, 10st ´edition, 1996. (in German).
´ ERENCES ´ R EF
182
Figure 15.3 – Winch a` deux vitesses [1].
´ ERENCES ´ R EF
Figure 15.4 – Sch´emas cin´ematiques du winch a` deux vitesses [1].
183
Index Accouplements ´elastiques, 157 mobiles, 155 rigides, 153 Angle d’articulation, 147 d’inclinaison de l’h´elice de base, 58 d’inclinaison de l’h´elice primitive, 58 de base, 24 de d´eveloppante, 24 de pas, 90 de pression, 26 des axes, 77 Apex, 77 Axe central, 12, 13 Axo¨ıdes, 12, 14, 15, 86 Baladeur, 168 Base, 9 Boˆıte de vitesses, 168 automatique, 174 Cardan, 155 Cercle primitif, 25 Chaˆınes, 146 Cin´ematique base, 9 C.I.R., 8 champ de vitesses, 8 contact, 8 mouvement plan, 8 roulante, 9 Cliquet, 165 Correction de dentures, 113 des dentures, 72 Coupleur, 162 Coupleurs, 164 Courbes conjugu´ees de roulement, 9 Courroies, 137 asynchrones, 137
synchrones, 137 trap´ezo¨ıdales, 142 Cr´emaill`ere, 28 Crabot, 162 Crabotage, 168 D´eport, 32, 44 D´epouille, 73 D´eveloppante de cercle, 23 Denture bateau, 72 droite, 23 Gleason, 82 h´elico¨ıdale, 52 Klingelnberg, 82 Oerlikon, 82 pallo¨ıde, 82 spirale, 82 Zerol, 82 Diff´erentiel, 89 Effet polygonal, 147 Effort sur la denture engrenage a` vis sans fin, 98 engrenage conique, 97 engrenage gauche, 99 engrenage parall`ele, 95 Embrayage, 162 Engrenage `a vis sans fin, 86, 88, 98 conique, 77, 97 cyclo¨ıdal, 15 cylindrique, 23, 52 cylindrique droit, 95 cylindrique h´elico¨ıdal, 95 D-z´ero, 33, 82 gauche, 86 h´elico¨ıdal, 86 gauche h´elico¨ıdal, 99 hypo¨ıde, 86, 88 int´erieur, 43 184
185
INDEX
Wildhaber-Novikov, 15 Erreur de transmission, 7
M´etrologie des engrenages, 71 Module, 28, 29, 31
Fabrication des engrenages, 33, 69 Facteur d’´elasticit´e, 102 d’application, 111 d’inclinaison, 110 de conduite, 110 de contact unique, 110 g´eom´etrique, 109 Finition des engrenages, 70
Novikov, 15
Gleason, 82 Glissement, 8, 140 Glissement sp´ecifique, 43 H´elico¨ıde, 54 Inclinaison d’une denture, 63 Interf´erence d’engr`enement, 46 de raccordement, 47 de taillage, 46 Jeu radial, 36 Joint d’Oldham, 155 de Cardan, 155 de Hooke, 155 Joints cin´ematiques, 155 Kennedy, 9 Klingelnberg, 82 Ligne d’action, 25 Limiteur de couple, 162 Limiteur de couple, 166 Longueur d’approche, 39 de conduite, 39 de retrait, 39 Lubrification, 105 des chaˆınes, 149
Oerlikon, 82 Pas, 28 axial, 90 de base, 24 h´elico¨ıdal, 89 Pivotement, 8 Plan action, 63 apparent, 54 normal, 55 Pression de Hertz, 101 de Stribeck, 106 Profil actif, 41 Profils conjugu´es, 15 Qualit´e des engrenages, 72 R´educteur plan´etaire, 127, 178, 181 Raison d’un train plan´etaire, 129 Rapport d’efforts, 7 d’engrenage, 26 de conduite, 41 de conduite apparent, 66 de recouvrement, 67 de transmission, 7 Rayon primitif, 25 Rochet, 165 Roue libre, 162 Roue libre, 165 Roulante, 9 Roulement, 8 Sch´ematique, 20 Stribeck, 106 Surfaces conjugu´ees, 15 Synchroniseur, 168