Bussab&Morettin
Estatística Básica
Capítulo 12 – TESTES DE HIPÓTESES Problema 01
Para decidirmos se os habitantes de uma ilha são descendentes da civilização A ou B, iremos proceder do seguinte modo: (i) selecionamos uma amostra de 100 moradores adultos da ilha, e determinamos determinamos a altura média deles; (ii) se a altura média for superior a 176, diremos que são descendentes de B; caso contrário, são descendentes de A. Os parâmetros das alturas das duas civilizações são: A: µ= 175 e σ = 10; B: µ = 177 e σ = 10. Definimos: Erro de tipo I - dizer que os habitantes da ilha são descendentes de B quando, na realidade, são de A. Erro de tipo 11- dizer que são de A quando, na realidade, são de B. (a) Qual a probabilidade do erro de tipo I? E do erro de tipo II? (b) Qual deve ser a regra de decisão se quisermos quisermos fixar a probabilidade probabilidade do erro de tipo I em 5%? Qual a probabilidade do erro de tipo II, nesse caso? (c) Se σA = 5, como ficariam as respostas de (b) ? (d) Quais as probabilidades do erro de tipo II, nas condições da questão (b), se a média µB = 178 ? E µB = 180? E µB = 181 ? Coloque num gráfico os pares ( µB , P(erro II | µB)). Solução: (a)
P (Erro I) = P(dizer que são de B | na verdade são de A) = P ( X > 176 | X ~ N (175;1) ) =
P Z >
176 − 175 = P ( Z > 1) = 15,87% 1
P (Erro II) = P(dizer que são de A | na verdade são de B) = P ( X ≤ 176 | X ~ N (177;1) ) =
P Z ≤
176 − 177 = P ( Z ≤ −1) = 15,87% 1
(b)
P (Erro I) = 5% ⇔ P ( X > X C | X ~ N (175;1) ) = 5% ⇔ P Z >
⇔
X C − 175
1
X C − 175
1
= 5% ⇔
= 1,645 ⇔ X C = 176,645
Regra de decisão: Se X > 176,645 , dizer que habitantes da ilha são descendentes de B; caso contrário, dizer que são descendentes de A. Cap.12 – Pág.1 Pág.1
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P ( Erro II) = P ( X ≤ 176,645| X ~ N (177;1) ) = P Z ≤
176,645 − 177 = 1
= P ( Z ≤ −0,355) = 36,13% (c)
P ( Erro I) = 5% ⇔ P ( X > X C | X ~ N (175;0,5 2 ) ) = 5% ⇔ P Z >
⇔
X C − 175
0,5
X C − 175
0,5
= 5% ⇔
= 1,645 ⇔ X C = 175,823
P ( Erro II) = P ( X ≤ 176,645| X ~ N (177;1) ) = P Z ≤
175,823 − 177 = 1
= P ( Z ≤ −1,177) = 11,96% µ B P ( Erro II | µ B )
178 8,771% 180 0,040%
10,0%
8,0% ) B i m 6,0% | I I o r r 4,0% e ( P
2,0% 0,0%
181
177,5
178
178,5
179
179,5 miB
0,001%
(d)
Problema 02
Fazendo o teste Ho:µ = 1.150 (σ=150) contra Hl : µ = 1.200 (σ=200), e n = 100, estabeleceu-se a seguinte região crítica: RC= [1.170, + ∝), (a) Qual a probabilidade α de rejeitar Ho quando verdadeira? (b) Qual a probabilidade β de aceitar Ho quando Hl é verdadeira? (c) Qual deve ser a região crítica para que α = β?
Cap.12 – Pág.2
180
180,5
181
181,5
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Solução:
(a)
verdadeir a) = P X > 1170 | X ~ N (1150;152 ) = 1170 − 1150 = P Z > = P ( Z > 1,333) = 9,12% 15
α = P (rejeitar H 0 | H 0
(b)
| H1 é verdadeir a) = P X < 1170 | X ~ N(1200;202 = 1170 − 1200 = P Z < = P ( Z < −1,5) = 6,68% 20
β = P (aceitar H 0
(c)
α = β ⇔ P X > X C | X ~ N (1150;15 2 )
= P X < X C | X ~ N (1200;20 2 ) ⇔ X − 1150 X C − 1200 X C − 1150 X C − 1200 = P Z < ⇔ ⇔ P Z > C =− ⇔ 15 20 15 20 ⇔ X C = 1171,429
RC = ]1171,429;+∞[ . Problema 03
Nas situações abaixo, escolha como hipótese nula, Ho, aquela que para você leva a um erro de tipo I mais importante. Descreva quais os dois erros em cada caso. (a) O trabalho de um operador de radar é detectar aeronaves inimigas. Quando surge alguma coisa estranha na tela, ele deve decidir entre as hipóteses: 1. está começando um ataque; 2. tudo bem, apenas uma leve interferência. (b) Num júri, um indivíduo está sendo julgado por um crime. As hipóteses sujeitas ao júri são: 1. o acusado é inocente; 2. o acusado é culpado. (c) Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra resfriado. Ele irá conduzir uma pesquisa de laboratório para verificar a veracidade da afirmação. De acordo com o resultado, ele lançará ou não a vacina no mercado. As hipóteses que pode testar são: 1. a vacina é eficaz; 2. a vacina não é eficaz. Solução: (a) H 0 : Está começando um ataque.
H 1 : Está acontecendo uma leve
interferência.
Cap.12 – Pág.3
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Erro I: Dizer que está acontecendo uma leve interferência, quando na verdade está começando um ataque; Erro II: Dizer que está começando um ataque, quando na verdade está acontecendo uma leve interferência. (b)
H 0 : O acusado é
inocente.
H 1 : O acusado é culpado.
Erro I: Dizer que o acusado é culpado, quando na verdade é inocente. Erro II: Dizer que o acusado é inocente, quando na verdade é culpado. (c)
H 0 : A vacina não é eficaz. H 1 : A vacina é eficaz.
Erro I: Dizer que a vacina é eficaz, quando na verdade não é eficaz. Erro II: Dizer que a vacina não é eficaz, quando na verdade é eficaz. Problema 04
Se, ao lançarmos três vezes uma moeda, aparecerem 3 coroas, decidimos rejeitar a hipótese de que a moeda é "honesta". Quais as probabilidades de erro de tipo I e erro II, se p = 2/3? Solução:
X : número de coroas em 3 lançamentos. X ~
Binomial(3; p). H 0 : p = 0,5
versus H 1 : p ≠ 0,5 .
P ( Erro I) = P ( rejeitar H 0
| H 0 verdadeir a) = P(X = 3|p = 0 ,5 ) = 12,50% .
P ( Erro II) = P ( não rejeitar H 0 | H 0
falsa) = P(X < 3|p = 0 ,667 ) = 70,37% .
Problema 05
A variável X, custo de manutenção de um tear, pode ser considerada como tendo distribuição normal de média µ e desvio padrão 20 unidades. Os valores possíveis de µ podem ser 200 ou 210. Para verificar qual dos dois valores é o mais provável, usar-se-á uma amostra de 25 teares. Defina: (a) Uma hipótese a ser testada. (b) Uma regra de decisão e encontre as probabilidades dos erros de tipo I e 11. Solução: (a)
H 0 : µ = 200 versus H 1 : µ = 210 .
(b)
Por exemplo: Se X < 205 , dizer que µ = 200 . Caso contrário, dizer que µ = 210.
Cap.12 – Pág.4
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| H 0 verdadeir a) = P( X > 205 | X ~ N (200;4 2 ) ) = . 205 − 200 = P > = > = ( 1 , 25 ) 10 , 56 % Z P Z 4
P (Erro I) = P ( rejeitar H 0
P (Erro II) = P (não rejeitar H 0
| H 0 falsa) = P( X < 205| X ~ N (210;4 2 ) ) =
205 − 210 = P Z < = P ( Z < −1,25) = 10,56% 4
.
Referência: Bussab, W. O. & Morettin, P. A. - ESTATÍSTICA BÁSICA, 5a. Edição , Editora Saraiva, 2000
Cap.12 – Pág.5
