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nho rvalho – Universidade do Mi Ca ipe Fil a: gic gó da pe e a Revisão científic

12

Matemática A $ANIELA2APOSOs,UZIA'OMES

PREPARAÇÃO PARA TESTES, TESTES INTERMÉDIOS E EXAME NACIONAL s-AISDEQUESTÜESCOMTIPOLOGIASEMELHANTEÌDOS%XAMES.ACIONAIS s1UESTÜESPROPOSTASORGANIZADASPOROBJETOSDEENSINODO0ROGRAMA s1UESTÜESGLOBALIZANTESDETODOSOSTEMASDO%NSINO3ECUNDÉRIO s%XERCÓCIOSRESOLVIDOSPARATODASASTEMÉTICASABORDADAS

APRESENTAÇÃO

Esta obra pretende ser um instrumento de trabalho que permita ao aluno: • rever os conceitos fundamentais de anos anteriores; • consolidar as aprendizagens deste nível de escolaridade; • evoluir no seu processo de ensino aprendizagem, fazendo com que queira ir sempre mais além; • familiarizá-lo com questões do tipo de exame nacional; • desenvolver a capacidade de resolução de problemas; • desenvolver o raciocínio matemático; • promover a autoconfiança perante situações novas. Foi elaborada tendo como referência a preocupação com o aluno, a valorização da componente prática na aprendizagem da Matemática, a preparação para testes, testes intermédios e exame nacional de todos os alunos. O livro, à semelhança do programa de Matemática A, está organizado em três grandes temas: Probabilidades e combinatória, Introdução ao cálculo diferencial II e Trigonometria e números complexos. Dentro de cada tema, os conteúdos estão organizados por capítulos, onde se encontrarão as rubricas seguintes. • Resumo teórico: síntese dos conteúdos programáticos abordados ao longo do 12.o ano e, quando pertinente, apresentação de esquemas que promovam a consolidação da matéria e orientem a resolução de exercícios – Esquematizando/Resumindo. • Exercícios resolvidos: conjunto de exercícios que exemplificam a diversidade de questões, recordam diferentes estratégias de resolução e mobilizam diferentes competências e conhecimentos. A resolução destes exercícios será detalhada e explicada em pormenor, com chamadas de atenção. Quando oportuno será explorado o Erro Típico. • Exercícios propostos: bateria de exercícios (itens de seleção e itens de construção) que permitam ao aluno numa primeira fase assimilar as noções essenciais e posteriormente adquirir agilidade e destreza na resolução de exercícios, estabelecendo relações entre conteúdos. O grau de dificuldade está identificado pela seguinte sinalética: exercícios de base; exercícios que requerem mais método e raciocínio; exercícios de aprofundamento. O livro contém dez testes de controlo de aquisição de conhecimentos e duas provas modelo seguindo a estrutura de exame nacional. No final do livro encontram-se as soluções de todos os exercícios propostos e o formulário presente no exame nacional 2012. A todos, votos de bom trabalho e desejo de muito sucesso.

As autoras

2

ÍNDICE

Tema 1 – Probabilidades e combinatória 1.1. Conceitos probabilísticos 1.2. Operações com acontecimentos 1.3. Conceito clássico de probabilidade 1.4. Conceito frequencista de probabilidade Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção 2.1. Definição axiomática de probabilidade 2.2. Probabilidade condicionada 2.3. Acontecimentos independentes Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção Teste 1 Teste 2 3.1. Análise combinatória 3.2.Triângulo de Pascal 3.3. Binómio de Newton Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção 4.1. Distribuição de probabilidades 4.2. Modelo binomial 4.3. Modelo normal Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção Teste 3 Teste 4

Tema 2 – Introdução ao cálculo diferencial II 1.1. Generalidades sobre funções Exercícios propostos – Itens de seleção 2.1. Função exponencial de base superior a um 2.2. Função logarítmica de base superior a um 2.3. Modelação Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção Teste 5

5 6 6 8 8 9 17 17 19 23 23 24 25 30 30 33 39 42 44 45 46 47 55 55 59 66 67 67 69 72 72 74 78 80 83 84 90 97 99 102 103 114 114 117 125 3

ÍNDICE

3.1. Limites 3.2. Continuidade 3.3. Assíntotas Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção Teste 6 4.1. Derivadas Exercícios resolvidos 4.2. Aplicações das derivadas Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção Teste 7 Teste 8

Tema 3 – Trigonometria e números complexos

4

127 131 133 135 148 148 153 165 167 170 175 179 187 187 192 203 205

1.1. Conceitos básicos de trigonometria Exercícios resolvidos 1.2. Funções trigonométricas Exercícios resolvidos 1.3. Limites de funções trigonométricas Exercícios resolvidos 1.4. Derivadas de funções trigonométricas Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção Teste 9 2.1. Números complexos 2.2. Forma algébrica de um número complexo – operações 2.3. Forma trigonométrica de um número complexo – operações Exercícios resolvidos 2.4. Condições em C e sua representação geométrica Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção Teste 10

209 210 214 222 225 227 227 229 229 237 237 239 249 251 251 256 259 276 278 280 280 283 293

Provas-modelo Prova-modelo 1 Prova-modelo 2 Soluções

295 295 299 303

RESUMO TEÓRICO Derivadas. Aplicações das derivadas

4.1. DERIVADAS CONCEITO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO Definição Seja f uma função e seja [a, b] um intervalo contido no domínio de f. Chama-se taxa de variação média de f no intervalo [a, b], com a ≠ b, ao valor TVM[a, b](f) =

f(b) – f(a) b–a

Definição Seja f uma função e seja a um ponto do seu domínio. Dá-se o nome de derivada da função f no ponto a e representa-se por f ’(a), ao limite (se existir): lim

xÆa

f(x) – f(a) ou x–a

lim

hÆ0

f(a + h) – f(a) h

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO CONCEITO DE DERIVADA Considera a reta secante ao gráfico de f que passa nos pontos de coordenadas (x0, f(x0)) e (x, f(x)) f(x) – f(x0) de declive . Quando x tende para x0, as sucessivas secantes ao gráfico tendem para uma x – x0 posição limite que se chama, se existir, tangente ao gráfico no ponto (x0, f(x0)), e cujo declive é f(x) – f(x0) lim . x Æ x0 x – x0 t y f (x)

f (x0)

O

x0

x

x

Assim, se f tem derivada finita em x = a, a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a tem declive igual a f’(a).

DERIVADAS LATERAIS Seja f uma função e seja a um ponto do seu domínio. f(x) – f(a) f(a + h) – f(a) • lim– = lim– é, caso exista, a derivada à esquerda da função f no ponto a xÆa hÆ0 h x–a e representa-se por f ’(a–). f(x) – f(a) f(a + h) – f(a) = lim+ é, caso exista, a derivada à direita da função f no ponto a hÆ0 h x–a e representa-se por f’(a+).

• lim+ xÆa

167

RESUMO TEÓRICO Tema 2 | Introdução ao cálculo diferencial II

Geometricamente, se existir, f’(x0–) é o valor do declive da semitangente à esquerda do gráfico de f no ponto x0. Geometricamente, se existir, f’(x0+) é o valor do declive da semitangente à direita do gráfico de f no ponto x0. y

gente à

Semitan

y

a

esquerd

f O

O

x0

x

x0 x Semitangente à direita

Quando as derivadas laterais num ponto são diferentes, não existe derivada da função nesse ponto. Do ponto de vista geométrico, tal significa que as duas semitangentes não estão no prolongamento uma da outra. Quando as derivadas laterais num ponto são iguais, existe derivada da função nesse ponto. Geometricamente, significa que as duas semitangentes estão no prolongamento uma da outra, formando uma reta tangente.

DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE Teorema Toda a função com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto. Notas 1. O recíproco deste teorema não é verdadeiro. Uma função pode ser contínua num ponto e não ter derivada finita nesse ponto. 2. Se uma função não é contínua num ponto, então não tem derivada finita nesse ponto.

FUNÇÃO DERIVADA. REGRAS DE DERIVAÇÃO Definição Função derivada ou simplesmente derivada de uma função f é uma função: – cujo domínio é o conjunto C de todos os pontos em que f tem derivada finita; – que a cada ponto do seu domínio faz corresponder a derivada da função f nesse ponto, ou seja: f ’: C Æ R x |Æ f ’(x) Representa-se por f’ ou Df ou

168

df . dx

RESUMO TEÓRICO Derivadas. Aplicações das derivadas

REGRAS DE DERIVAÇÃO 1. Derivada de uma constante: (k)’ = 0 2. Derivada de uma soma: (u + v)’ = u’ + v’ 3. Derivada de um produto: (u ¥ v)’ = u’v + uv’ 4. Derivada do produto de uma constante por uma função: (ku)’ = ku’ 5. Derivada de

1 : v

() 1 v

’

=–

6. Derivada de um quociente:

v’ v2

() u v

’

=

u’v – uv’ v2

7. Derivada de uma potência: (xn)’ = nxn – 1; (un)’ = nun – 1 u’ (n ∈R) 8. Derivada da raiz quadrada: (√∫x)’ =

(√∫u)’ =

1 2√∫x

;

n’ 2√∫u

9. Derivada da função exponencial de base e: (ex)’ = ex; (eu)’ = eu u’ 10. Derivada da função exponencial de base a: (ax)’ = ax ln a; (au)’ = u’ an ln a, a ∈R+\{1} 11. Derivada da função logarítmica de base e: (ln x)’ = (ln u)’ =

1 ; x u’ u

12. Derivada da função logarítmica de base a: (loga x)’ =

1 ; x ln a

(loga u)’ =

u’ , a ∈R+\{1} u ln a

TEOREMA DA DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA Teorema Se f’ e g’ existem e se f o g está definida, então (f o g)’(x) = f ’(g(x)) ¥ g’(x).

169

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Tema 2 | Introdução ao cálculo diferencial II

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1.

Sendo g(x) = 2ln(x + 1), calcula g’(0), pela definição.

Sugestão de resolução NOTA

g(x) – g(0) g’(0) = lim = xÆ0 x–0 = lim

( 00 )

xÆ0

lim

xÆ0

2ln(x + 1) – 2ln 1 = x

= lim

xÆ0

ln(x + 1) = 1 (limite notável) x

2ln(x + 1) = x

= 2 lim

xÆ0

ln(x + 1) = x

=2¥1=2 Repara que, no caso de x0 = 0, a expressão é a mesma usando uma ou outra definição de derivada.

2.

No Ministério da Saúde estimou-se que, após o aparecimento de uma determinada doença contagiosa, o número de pessoas infetadas pode ser expresso pela função P(t), sendo t o número de dias decorridos desde o primeiro caso registado. P(t) = 33t2 – t3

2.1.

Calcula a taxa média de variação desta função nos primeiros cinco dias e interpreta o resultado obtido no contexto do problema.

2.2.

Determina a taxa de variação desta função em t = 10 e interpreta o resultado obtido no contexto do problema.

Sugestão de resolução 2.1.

2.2.

P(5) – P(0) 33 ¥ 52 – 53 – 0 = = 140, o que significa que nos primeiros cinco dias 5–0 5 o número de pessoas infetadas aumentou, em média, 140 pessoas por dia. TVM[0, 5] =

P’(10) = lim

x Æ 10

P(x) – P(10) = x – 10

33x2 – x3 – (33 ¥ 102 – 103) = x Æ 10 x – 10 ( 00 ) 33x2 – x3 – 2300 (*) = lim = x Æ 10 x – 10 = lim

= lim

x Æ 10

(x –

10)(–x2

+ 23x + 230) = x – 10

= lim (–x2 +23x + 230) = x Æ 10

= 360

(*) Cálculo auxiliar: –1 10

33

0

–2300

–10 230 2300 –1

23 230

0=r

–x3 + 33x2 – 2300 = (x – 10)(–x2 + 23x + 230)

Assim, dez dias depois do aparecimento do primeiro caso, o número de pessoas infetadas estava a aumentar a uma taxa de 360 pessoas por dia.

170

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Derivadas. Aplicações das derivadas

3.

y

Na figura estão representadas:

r

• parte do gráfico de uma função f diferenciável em R;

f

• uma reta r tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 3. O valor de f’(3), derivada da função f no ponto 3, pode ser igual a: (A) –1 (C)

O

3

x

(B) 0

1 f(3)

(D) 1

Banco de Itens, GAVE

Sugestão de resolução Sendo a reta r tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 3, sabemos que o declive desta reta é igual ao valor de f’(3). Observamos no gráfico que a reta tem declive negativo, logo o valor de f ’(3) é negativo. Ficam, assim, excluídas as opções (B), (D) e (C), já que f(3) > 0. Então, a opção correta é a (A).

4.

Seja f uma função real de variável real tal que: • f(2) = 3; • lim

hÆ0

f(2 + h) – f(2) = 5. h

4.1. Indica, caso exista, o valor de lim f(x). xÆ2

4.2. Escreve uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2. 4.3. Calcula lim

xÆ2

f(x) – f(2) . –x2 – 5x + 6

Sugestão de resolução 4.1. Sabemos que lim

hÆ0

f(2 + h) – f(2) = 5 ⇔ f ’(2) = 5. h

Como f admite derivada finita em x = 2, então f é derivável em x = 2. Dado que toda a função derivável num dado ponto é contínua nesse ponto, concluímos que f é contínua em x = 2, isto é, lim f(x) = f(2) ⇔ lim f(x) = 3. xÆ2

xÆ2

4.2. Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2. Sabemos que o declive da reta t é o valor da derivada de f em x = 2, isto é, m = f ’(2) = 5. Assim, a equação reduzida da reta t é y = 5x + b. Como o ponto de coordenadas (2, f(2)) = (2, 3) pertence à reta t, vem que: 3 = 5 ¥ 2 + b ⇔ 3 = 10 + b ⇔ –7 = b Concluímos, assim, que y = 5x – 7 é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2.

171


Sugestão de resolução (continuação) 4.3.

(0 )

f(x) – f(2) 0 f(x) – f(2) = lim = lim x Æ 2 –x2 + 5x – 6 x Æ 2 –(x – 2)(x – 3)

Cálculo auxiliar:

= lim

(

= lim

f(x) – f(2) 1 ¥ lim = xÆ2 3 – x x–2

xÆ2

xÆ2

f(x) – f(2) 1 ¥ 3–x x–2

)

=

1 = 3–2 =5¥1=5

= f ’(2) ¥

–5 ± 1 –2 ⇔x=2 ∨ x=3

⇔x=

Assim: –x2 + 5x – 6 = –(x – 2)(x – 3)

5.

Determina a função derivada de cada uma das seguintes funções.

5.1.

a(x) = e–5x

5.2. b(x) = e√∫x

5.3.

c(x) = 5x

5.4. d(x) = 2x3

5.5.

e(x) = 2ln x ln x g(x) = x

5.6. f(x) = ex(–x4 – 5x3 + 2x + 9) x3 5.8. h(x) = – ex

5.7.

ex – e–x ex + e–x

5.9.

i(x) =

5.11.

k(x) = ln(ln x)

5.10. j(x) = ln(4 – 3x) 5.12. l(x) = ln(x2(x + 1))

Sugestão de resolução 5.1.

a’(x) = –5e–5x Da’ = R

5.2.

b’(x) = (√∫x)’e√∫x =

1

– 1 e√∫x ¥ x 2 ¥ e√∫x = 2 2√∫x

Db’ = R+ 5.3.

c’(x) = 5x ¥ ln 5 Dc’ = R

5.4.

d’(x) = 3x2 ¥ 2x3 ¥ ln 2 Dd’ = R

5.5.

e’(x) =

1 ln 2 ¥ 2ln x ¥ ln 2 = ¥ 2ln x x x

De’ = R+ 5.6.

5.7.

172

–x2 + 5x – 6 = 0 –5 ± √∫2∫5∫ ∫–∫ 4 ∫ ∫ ∫¥∫ ∫6 ⇔x= –2

f’(x) = ex(–x4 – 5x3 + 2x + 9) + ex(–4x3 – 15x2 + 2) = = ex(–x4 – 5x3 + 2x + 9 – 4x3 – 15x2 + 2) = = ex(–x4 – 9x3 – 15x2 + 2x + 11) Df’ = R 1 x – ln x x 1 – ln x g’(x) = = x2 x2 + Dg’ = R

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Derivadas. Aplicações das derivadas

5.8. h’(x) = –

3x2 ¥ ex – x3 ex ex(3x2 – x3) 3x2 – x3 =– =– (ex)2 ex (ex)2

Dh’ = R 5.9. i’(x) =

(ex – e–x)’ ¥ (ex + e–x) – (ex – e–x) ¥ (ex + e–x)’ = (ex + e–x)2

=

(ex + e–x) ¥ (ex + e–x) – (ex – e–x) ¥ (ex – e–x) = (ex + e–x)2

=

(ex + e–x)2 – (ex – e–x)2 = (ex + e–x)2

=

e2x + 2exe–x + e–2x – (e2x – 2exe–x + e–2x) = (ex + e–x)2

=

e2x + 2 + e–2x – e2x + 2 – e–2x = e2x + 2exe–x + e–2x

=

e2x

4 + 2 + e–2x

Di’ = R 5.10. j’(x) =

Dj’ =

–3 4 – 3x

] [ –∞,

4 3

1 (ln x)’ x 1 5.11. k’(x) = = = ln x ln x x ln x Dk’ = ]1, +∞[

(*) Nota que Dk = {x ∈R: ln x > 0 ∧ x > 0} = ]1, + ∞[ (*) Cálculo auxiliar:

5.12. l’(x) =

(x2(x x2(x

+ 1))’ = + 1)

=

2x(x + 1) + x2 = x3 + x2

=

2x2 + 2x + x2 = x3 + x2

=

3x2 + 2x = x3 + x2

=

x(3x + 2) = x(x2 + x)

=

3x + 2 x2 + x

Dl’ = ]–1, +∞[\{0} (*) Nota que Dl = {x ∈R: x2(x + 1) > 0} = ]–1, + ∞[\{0}

ln x > 0 ∧ x > 0 ⇔x>1 ∧ x>0

(*) Cálculo auxiliar:

–1

0

x2

+

+

+

0

+

x+1

–

0

+

+

+

x2(x + 1) –

0

+

0

+

173


6.

Considera a função de domínio R, definida por:

f(x) =

ex + 1

se x < 0

x2 + 3x

se x ≥ 0

Caracteriza a função derivada.

Sugestão de resolução • Determinar f’(x) para x < 0: f ’(x) = (ex + 1)’ = ex • Determinar f’(x) para x > 0: f ’(x) = (x2 + 3x)’ = 2x + 3 • Determinar f’(x) para x = 0: Como as expressões analíticas que definem f à direita e à esquerda de x = 0 são distintas, estudemos as derivadas laterais usando a definição de derivada: f’(0+) = lim+

f(x) – f(0) x–0

f’(0+) = lim+

x2 + 3x – 0 = x

xÆ0

xÆ0

x2 + 3x ( 0 ) = lim+ = x xÆ0 0

x(x + 3) = x

= lim+ xÆ0

= lim+ (x + 3) = xÆ0

=3 f’(0–) = lim–

f(x) – f(0) x–0

f’(0–) = lim–

ex + 1 – 0 = x

xÆ0

xÆ0

= lim– xÆ0

ex + 1 = x

2 = 0– = –∞ =

f ’(0–) ≠ f’(0+) f não é derivável em x = 0. Igual conclusão seria tirada através do estudo da continuidade em x = 0, já que, sendo f descontínua neste ponto, então não é derivável nesse mesmo ponto. • Caracterização de f’: f’(x) =

174

Df’ = R\{0}

ex

se x < 0

2x + 3

se x > 0

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Derivadas. Aplicações das derivadas

Itens de seleção 1.

De uma função f de domínio R sabe-se que lim

xÆ1

f(x) – f(1) = 3. x–1

Indica qual das seguintes afirmações é falsa. (A) f é contínua em x = 1. (B) f’(1) = 3 (C) lim

hÆ0

f(1 + h) – f(1) =3 h

(D) Não existe reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x = 1.

2.

Seja f a função cuja representação gráfica é: y

f e

–e

O

x

Então a representação gráfica da função f ’, primeira derivada de f, é: (A)

y

(B)

y

e O O

x

x –e

(C)

y

(D) 1

O

3.

y

O x

x –1

Seja f uma função tal que o gráfico de f ’’ é a reta de equação y = x + 3. Qual das afirmações é necessariamente verdadeira? (A) f(–3) é máximo de f. (B) f(–3) é mínimo de f. (C) –3 é abcissa do ponto de inflexão do gráfico de f. (D) O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em R+. 187

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Tema 2 | Introdução ao cálculo diferencial II


Seja f uma função definida em ]2, 6[. A função f tem primeira derivada e segunda derivada finitas em todos os pontos do seu domínio e f’(x) > 0 ∧ f’’(x) < 0, ∀ x ∈ ]2, 6[. Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função f? y

(A)

y

(B)

f

f

O

2

O

x

6

y

(C)

2

5.

2

6

x

f

O

x

6

2

Seja f uma função tal que a sua derivada no ponto 1 é igual a 3. Indica o valor de lim

xÆ1

(A)

6.

x

y

(D)

f

O

6

3 2

f(1) – f(x) . x2 – 1 (B) –

3 2

(C) 3

(D) 0

Na figura está parte da representação gráfica de uma função f. y

4

f

2 O

x

4

Indica o valor de f’(4+), derivada lateral direita de f no ponto 4. (A) 4

188

(B) 3

(C) –∞

(D) +∞


7.

Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira? (A) Uma função contínua num ponto tem derivada nesse ponto. (B) Uma função contínua num ponto tem derivada finita nesse ponto. (C) Uma função tem derivada finita num ponto se e só se é contínua nesse ponto. (D) Uma função descontínua num ponto não tem derivada finita nesse ponto.

8.

Para um certo valor de k, existe derivada no ponto de abcissa 0 da função f, definida por: (x2 + kx + 1)ex

se x < 0

ln(kx + e)

se x ≥ 0

f(x) = Qual é o valor de k? (A)

9.

e 1–e

(B)

1 1–e

(C)

1–e e

Considera uma função f, par, de domínio R, parcialmente representada na figura.

(D) e

y

A reta t de equação y = 3x + 3 é tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 4.

t

Então o valor de f’(–4) é: (A) 3 (C) –3

10.

(B) – (D)

1 3

O

x

4

1 3

Na figura encontra-se a representação gráfica da função g 5 2 definida por g(x) = x3 – 3x – e a reta r tangente ao 2 3 gráfico de g no ponto de abcissa a.

y g r a

Sabe-se que a inclinação da reta r é 45o.

x

O

Qual é o valor de a?

11.

(A) 2

(B) √∫2

(C) √∫3

(D)

3 2

Na figura estão representadas:

y

• parte do gráfico da função g, de domínio R–, definida por g(x) = ln(–x); • uma reta t tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa a. A inclinação da reta t é 135o. Indica o valor de a. (A) –1

(B) –√∫3

(C) –√∫2

1 (D) – 2

a

O

t

x

g

189



A reta de equação y = e é tangente ao gráfico da função: (A) f(x) = ex2 + x

13.

ln x (C) h(x) = x

(B) g(x) = ln x

ex (D) i(x) = x

Na figura está representado o gráfico da função f ’, derivada de uma função f definida no intervalo [0, 5]. y f’ 5 O

x

1

Qual das seguintes afirmações é necessariamente falsa? (A) f é contínua em [0, 5]. (B) O gráfico de f não tem pontos de inflexão. (C) A função f tem um extremo relativo em x = 1. (D) O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em [0, 5].

14.

Considera uma função definida por y = kx2 + 8x + 1 (k ≠ 0). Para que o declive da reta normal à curva no ponto de abcissa 1 seja – (A) 2

15.

(B) –3

(C)

1 2

1 , k deve ser: 2 (D) –2

Seja h uma função de domínio R tal que h’(1) = 2h(1) e h(1) ≠ 0. Seja t a reta tangente ao gráfico da função h no ponto de abcissa 1. Qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico de h? (A)

16.

( ) 1 ,0 2

(B) (1, 0)

(C)

( ) 1 ,1 2

(D) (2, 0)

Considera a função g, de domínio R, definida por g(x) = log2x. Seja f uma função definida em R tal que f ’(2) = ln 2. Indica o valor de (f o g)'(4). (A)

190

ln 2 ln 16

(B) ln

1 8

(C)

1 ln 16

(D)

1 ln 2


17.

Na figura está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função quadrática f, de domínio R.

y f

Seja h a função definida por h(x) = f(x) + ln x. O

Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função h’’, segunda derivada de h?

(A)

y

O

(C)

O

18.

y

(B)

O

x

y

x

x

y

(D)

O

x

x

Seja f uma função de domínio [a, b] e c um ponto do domínio de f tal que f(c) é um extremo relativo de f e f’(c) é um número real. Indica qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira. (A) f ’(c) = 0. (B) Se c é um ponto interior de [a, b], então f’(c) = 0. (C) A reta de equação y = f(c) é tangente ao gráfico de f. (D) (c, f(c)) é ponto de inflexão do gráfico de f.

19.

De uma função f, de domínio R, sabe-se que a sua segunda derivada é dada por:

(

f’’(x) = (x – 1)3 (x2 – 4) x2 +

1 2

)

(x + 1)2

Quantos pontos de inflexão tem o gráfico de f? (A) 2

20.

(B) 3

(C) 4

(D) 5

Seja g uma função definida em R por um polinómio de grau 7. Qual dos valores seguintes pode representar o número de pontos de inflexão do gráfico de g? (A) 7

(B) 6

(C) 5

(D) 0

191


Itens de construção 1.

Caracteriza a função derivada de cada uma das seguintes funções. 1 1.1. f(x) = x2 + 5x + 3 1.2. g(x) = x10 + x3 – x + e 2 1.3. h(x) = (3x – 1)4 – π 1.5. j(x) =

1.4. i(x) =

1 1 2 + x x5 2

1.7. m(x) =

1 1.6. l(x) = x +2√∫x

2x – 3 x+1

1.8. n(x) =

1.9. o(x) = √∫1∫ ∫–∫ x∫ 2∫

2.

2 x2

x2

x +1

1.10. p(x) = 3√∫2∫x4∫ ∫ ∫+∫ 1 ∫ ∫0

Sejam a e b dois números reais e seja g a função definida em ]–1, +∞[ por: g(x) = –x2 + ax + b ln(x + 1) Determina os valores de a e de b para os quais as retas tangentes ao gráfico de g nos pontos 3 de abcissa x = 0 e x = são paralelas ao eixo Ox. 2

3.

Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio R. y

a

b

c x

O

Figura 1

Em cada uma das figuras abaixo está representada parte do gráfico de uma função de domínio R. Uma das funções representadas é f ’, primeira derivada de f, e a outra é f ’’, segunda derivada de f. y

y

a

b

c

a x

O

Figura 2

O

c b

x

Figura 3

Numa pequena composição, explica em qual das figuras está representado o gráfico da primeira derivada e em qual está representado o gráfico da segunda derivada.

192


4.

Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 120 m/s. Sabe-se que a sua altura, em metros, t segundos após o seu lançamento é dada pela expressão: h(t) = –4,9t2 + 120t 4.1. Determina o instante e a velocidade com que o projétil atinge o solo. Apresenta os valores com aproximação às décimas.

4.2. Determina a altura máxima alcançada pelo projétil. Apresenta o valor pedido arredondado às centésimas.

4.3. Determina a aceleração num instante arbitrário t.

5.

Numa pequena localidade calculou-se que, após o aparecimento de uma determinada doença contagiosa, o número de pessoas infetadas vem expresso pela função P(d) = 30d2 – d3, sendo d o número de dias contados após o registo do primeiro caso. 5.1. Calcula a taxa de variação média desta função no intervalo de tempo [1, 5]. 5.2. Estuda, utilizando processos exclusivamente analíticos, a monotonia e os extremos da função P no contexto do problema. Explica como evoluiu a doença ao longo do tempo, nomeadamente qual o número máximo de pessoas infetadas e quando é que tal ocorreu, bem como após quanto tempo se considerou a doença erradicada. 5.3. Utilizando as capacidades gráficas da calculadora determina, com aproximação às unidades, durante quantos dias o número de doentes foi superior a 3500. Apresenta todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora – o gráfico obtido, as coordenadas de algum, ou de alguns pontos relevantes, apresentando as coordenadas com aproximação às centésimas.

6.

Um recipiente contém uma certa quantidade de sal. Para dissolver o sal enche-se o recipiente com água. Admite que a massa, em gramas, de sal ainda não dissolvido, t minutos após o início do processo de dissolução, é dada por M(t) = 30 e–0,01t, t ≥ 0. 6.1. Determina a massa de sal dissolvido ao longo da primeira meia hora. Apresenta o resultado em gramas, arredondado às unidades.

6.2. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, estuda a função M quanto à monotonia e quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico. Interpreta as conclusões a que chegaste, no contexto do problema.

7.

Foi administrado um analgésico a um doente às 6 horas da manhã de um certo dia. A concentração desse medicamento, em miligramas por mililitro de sangue, t horas após ter sido administrado, é dada por C(t) = 3t e–0,2t. 7.1. Mostra que houve um instante, entre as 6 h 30 min e as 7 h, em que a concentração do medicamento foi 2 mg/ml. 7.2. Determina o instante em que a concentração de analgésico no sangue do doente foi máxima. 193


Itens de construção t

8.

O número de eucaliptos numa zona florestal cresce segundo a lei E(t) = 27 ¥ 1,3 2 , com t expresso em anos. 8.1. Quantos eucaliptos havia no início da contagem? E uma década depois? Apresenta o resultado com aproximação às unidades.

8.2. Quantos anos e quantos meses são necessários para que o número de eucaliptos existentes no início da contagem triplique? Em cálculos intermédios conserva três casas decimais.

8.3. Calcula a taxa de variação em t = 1 e em t = 10. Apresenta os valores com aproximação às unidades e interpreta os resultados encontrados no contexto do problema.

9.

Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto determina, para cada uma das funções, a derivada no ponto indicado. 9.1. f(x) = x2 + 4x, derivada no ponto 1. 9.2. g(x) = ex – x, derivada no ponto 0. 9.3. h(x) = ln(x + 1) + x, derivada no ponto 0.

10.

Caracteriza a função derivada de cada uma das funções seguintes. 10.2. g(x) = ex(x + 3)

10.1. f(x) = e2x 10.3. h(x) =

e2x + ex – 1 ex + 3

10.5. j(x) = ex ln x

10.7. l(x) = e

11.

1 x

10.6. k(x) =

1 ex

1 10.8. m(x) = x + ln x x ln x

10.9. n(x) = x ln x

10.10. o(x) =

10.11. p(x) = √∫l∫n∫ ∫x

10.12. q(x) = ln(ln x)

Caracteriza a função derivada de cada uma das funções seguintes. 11.1. f(x) = 10x

11.2. g(x) = 2x3

11.3. h(x) = 3ln x

11.4. i(x) = log(5x + 1)

()

1 11.5. j(x) = log2 x

11.6. k(x) =

11.7. l(x) = ln√∫1∫ – ∫ ∫ x∫ 2∫

11.8. m(x) = log

11.9. n(x) = πln x 194

10.4. i(x) = √∫ex∫ ∫ + ∫ ∫ x∫ 2∫

1 log2 x

( ) 1 x+1


34.

Seja f a função de domínio R+ definida por f(x) = xe–x + (x + 1) ln(x + 1). Seja P um ponto do gráfico de f’ tal que [OP] é a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles que tem um cateto contido no eixo Ox. Determina a área desse triângulo. Traduz este problema por meio de uma equação e, recorrendo à calculadora, resolve-a graficamente. Podes realizar algum trabalho analítico antes de recorrer à calculadora. Reproduz o(s) gráfico(s) obido(s) na calculadora, bem como as coordenadas de algum(ns) ponto(s) relevantes arredondadas às centésimas, e apresenta o valor pedido arredondado às centésimas.

35.

Seja f uma função cuja segunda derivada, f ’’, é contínua em R. Sejam a e b números reais tais que a < b. Admite que as retas tangentes ao gráfico da função derivada de f, f’, nos pontos de abcissas a e b são perpendiculares. Mostra que f’’ tem pelo menos um zero em ]a, b[.

36.

Seja f a função definida em R por f(x) = xex. Utiliza o método de indução matemática para mostrar que, ∀ n ∈N, f(n)(x) = ex(x + n).

37.

Seja g a função definida em R+ por g(x) = logax com a ∈R+\{1}. Utiliza o método de indução matemática para mostrar que ∀ n ∈N, g(n)(x)=

38.

(–1)n – 1 ¥ (n – 1)! xn ¥ ln a

Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é 30 metros.

2.o Poste f(x) o

1. Poste x 30 m

Considera a função f definida por f(x) = 5(e1 – 0,1x + e0,1x – 1). Admite que f(x) é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado a x metros à direita do primeiro poste. 38.1. Determina a diferença de alturas dos dois postes. Apresenta o resultado na forma de dízima, com aproximação às décimas. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

38.2. Recorrendo ao estudo da derivada da função f, determina a distância ao primeiro poste do ponto do fio mais próximo do solo. 38.3. Determina, com aproximação à décima de metro, a distância ao primeiro poste dos pontos do fio que se encontram a 15 metros do solo. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. Exame Nacional de Matemática A, 1998 – Prova modelo

201


Itens de construção 39.

Admite que quando uma substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração t k minutos após ter sido administrada é dada por C(t) = (e–bt – e–at), para constantes poa–b sitivas a, b e k. a ln b 39.1. Prova que a concentração máxima ocorre para t = . a–b

()

39.2. Determina lim C(t) e interpreta o valor obtido no contexto do problema. t Æ +∞

40.

Admite que a massa, em quilogramas, de uma elefanta africana, com t anos de idade, pode ser aproximada por uma função de crescimento de Bertanlanffy W tal que: W(t) = 2600(1 – 0,51e–0,075t)3 40.1. Determina a massa e a taxa de crescimento de uma elefanta recém-nascida. Apresenta os valores aproximados às unidades.

40.2. Uma elefanta adulta pesa 1800 kg. Determina a sua idade e a taxa de crescimento atual. Apresenta os resultados arredondados às unidades.

40.3. Determina lim W(t) e interpreta o valor obtido no contexto do problema. t Æ +∞

40.4. Mostra que a taxa de crescimento é máxima entre os 5 e os 6 anos de idade.

41.

Pretende-se fazer chegar um cabo de energia de uma central elétrica até uma fábrica localizada do outro lado de um rio que tem 900 metros de largura. Sabe-se ainda que a fábrica encontra-se a 3000 metros da central, medidos como se encontra na figura, e que o custo para fazer passar o cabo por terra é 4 euros por metro, enquanto o custo de fazer passar o cabo debaixo de água é 5 euros por metro.

P x Rio

900 m

3000 m

Nestas condições, determina a trajetória mais económica e indica o seu custo.

42.

Um depósito cilíndrico vai ser construído para suportar um volume fixo V0. O custo do material usado nas bases do cilindro é 3 cêntimos por metro quadrado e o custo do material usado na parte lateral do cilindro é 2 cêntimos por metro quadrado. Qual deve ser a relação entre o raio da base e a altura do cilindro de modo que o custo de produção seja o menor possível?

202

TESTES DE CONTROLO Teste 7

GRUPO I • Na resposta a cada um dos cinco itens deste grupo seleciona a única opção correta. • Escreve na tua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra que identifica a única opção escolhida. • Não apresentes cálculos nem justificações.

1.

Observa a representação gráfica da função f. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) f(c) ¥ f’(c) > 0

y

(B) f’(c) ¥ f’’(c) < 0 (C) f(c) ¥ f’’(c) < 0 (D) f(c) ¥ f’(c) ¥ f’’(c) < 0

2.

f

Considera a função real de variável real f definida por f(x) = ex + ln x. De uma outra função real de variável real, g, sabe-se que g’(3) = 0 e que o ponto de coordenadas (3, 2) pertence ao gráfico de g. Qual é o valor de (f ¥ g)’(3)? (A) 2e3 +

3.

x

O

c

2 3

(B) 2e3 + ln 3

(C) 3e3 + 1

(D) 0

y

Na figura está a representação gráfica de uma função h’, primeira derivada de uma determinada função h de domínio R. Quantos extremos relativos tem a função h?

x

O

(A) 0

4.

(B) 1

(C) 2

(D) 3

Seja f uma função definida num intervalo fechado I e seja a ∈I. Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira? (A) Se f´(a) = 0, então existe um extremo em x = a. (B) Se em x = a existe um extremo, então f ’(a) = 0. (C) Se f’(a) = 0, então f é contínua em x = a. (D) Se em x = a existe um extremo e se f ’(a) é um número real, então f ’(a) = 0.

5.

y

Na figura está a representação gráfica de uma função f e a reta t, tangente ao gráfico de f no ponto A de coordenadas (3, 2). De acordo com os dados da figura pode afirmar-se que o valor de lim

hÆ0

A

2 O

f(3 + h) – 2 é: h

(A) –2

t

3

f x

–2

(B)

3 2

(C)

2 3

(D)

4 3 203

TESTES DE CONTROLO Teste 7

GRUPO II • Nas respostas aos itens deste grupo apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiveres de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: Quando, para um resultado não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.

Seja f a função definida em R por f(x) =

1.

x–1 1+

1 ex – 1

0

se x ≠ 1 . se x = 1

Prova que a função f é contínua no ponto de abcissa 1, mas não admite derivada nesse ponto.

2.

100 , onde P(t) 1 + e4 – t é o número de crianças infetadas e t é o número de dias contados após as crianças terem estado em contacto com outras crianças infetadas. Recorrendo a processos exclusivamente analíticos, resolve as alíneas seguintes. A propagação de uma doença infeciosa num infantário é dada por P(t) =

2.1. Determina o número inicial de crianças infetadas e passados quantos dias estarão 25 crianças doentes. Apresenta todos os resultados com aproximação às unidades.

2.2. Determina P ’(1), com aproximação às unidades. Interpreta o valor encontrado no contexto do problema. 2.3. Mostra que houve um instante entre t = 1 e t = 3 em que o número de crianças infetadas estava a aumentar à taxa de 10 crianças por dia. Nota: Se a calculadora for utilizada em eventuais cálculos numéricos conserva duas casas decimais.

2.4. Qual foi o dia em que aumentou mais o número de crianças infetadas? E qual era a taxa de variação nesse dia?

3.

(

Seja h a função real de variável real definida por h(x) = ln 3.1. Mostra que h’(x) =

e3x – 2e2x – 3ex , ∀ x ∈R+. (ex – 1)(e2x + 3)

e2x + 3 ex – 1

)

.

3.2. Averigua se existe um ponto do gráfico da função h no qual a tangente é uma reta paralela ao eixo das abcissas. Em caso afirmativo, determina uma equação dessa reta tangente.

4.

Considera um retângulo inscrito num triângulo retângulo, como mostra a figura. Se o triângulo tem os lados de comprimentos 5 cm, 12 cm e 13 cm, quais serão as dimensões do retângulo inscrito que tem maior área? FIM

204

5

12

PROVA MODELO 1

GRUPO I • Na resposta a cada um dos itens deste grupo, seleciona a única opção correta. • Escreve, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a única opção escolhida. • Não apresentes cálculos nem justificações.

1.

Numa aula, a professora fez uma pergunta a um aluno dando cinco hipóteses de resposta, das quais só uma está correta. Um aluno responde ao acaso. Qual é a probabilidade de acertar à segunda tentativa? (A)

2.

(B)

6 12C 2

(C)

1 2

(D)

2 5

(B)

12

(C)

12C 2

6 12A

(D) 2

1 12A 2

Uma certa linha do triângulo de Pascal tem 2016 elementos. Quantos deles são maiores do que 5000? (A) 1008

4.

1 5

Seis cozinheiros concorrem de forma anónima a um concurso de gastronomia. Cada um elabora dois pratos. São escolhidos aleatoriamente dois desses pratos. Qual é a probabilidade de os dois pratos terem sido elaborados pelo mesmo cozinheiro? (A)

3.

1 4

(B) 2012

(C) 2014

(D) 2015

Na figura está desenhada parte da representação gráfica de uma função f, de domínio R. y 4 3 2 1 x

5

[(

Seja (xn) uma sucessão tal que xn = 5 ln Qual é o valor de lim f(xn)? (A) 5

5.

(B) 4

1+

1 n

)] n

.

(C) 3

(D) 1

Seja f uma função de domínio R+, da qual se sabe que não tem zeros e que o eixo das abcissas é assíntota horizontal do seu gráfico. 2 + e–x Seja g a função de domínio R+, definida por g(x) = . f(x) + 1 Qual das seguintes equações define uma assíntota horizontal do gráfico de g? (A) y = 0

(B) y = 1

(C) y = 2

(D) y = 3 295

SOLUÇÕES

3.3. Área ≈ 1,1

26. 26.1. f é contínua no seu domínio, R\{–2}. 26.2. f –1 é contínua no seu domínio, R\{1}. 26.3. g é contínua no seu domínio, R\{0, 1}. 27. 27.1.

y g

B

e–x

27.2. g(x) =

y=x

1,83

A função f é contínua no intervalo ]–∞, 0[ e em ]0, +∞[. Logo, é contínua no seu domínio. 1 – 2x 2x

1,24 A

se x < 0

O

–1,35

x

1,24

se x = 0

1 2

ln(x + 1) 2x

4. Derivadas. Aplicações das derivadas.

se x > 0

Itens de seleção – página 187 1. (D)

2. (C)

3. (C)

4. (D)

5. (B)

6. (C)

7. (D)

8. (A)

9. (C)

10. (B)

R\{–√∫2, √∫2 }. Logo, é contínua no seu domínio.

11. (A)

12. (D)

13. (D)

14. (B)

15. (A)

16. (A)

17. (C)

18. (B)

19. (B)

20. (C)

29.

1 1 a= eb= 2 4

Itens de construção – página 192

30.

Proposição verdadeira.

f': R → R x |Æ 2x + 5 1.2. g': R → R 3 x |Æ 10x9 + x2 – 1 2 1.3. h': R → R x |Æ 12(3x – 1)3 1.4. i': R\{0} → R 4 x |Æ – x3 1.5. j': R\{0} → R 5 x |Æ – +x x6 1.6. l': R+ → R 1 1 x |Æ – + x2 √∫x

28. 28.1.

A função f é uma função contínua em

1. 1.1.

32. 32.2. x = 1 e y = –e 32.1. x = 0 e y = 2 32.3. x = –3 1 32.4. x = 5, y = 0 e y = – 16 32.5. x = 0 32.56. y = 0 33. 33.1. 33.3. 33.4. 33.6. 33.8.

x = 2 e y = 3x + 1 33.2. y = x x = 1, y = x + 1 e y = –x – 1 y = 2x e y = 4x 33.5. y = x – 1 x=0 33.7. x = e e y = 0 x=1

34. 34.1. y = –5 e y = -3x – 1 34.3. y = 5 e y = 3x – 2

34.2. y = –5 e y = 3x + 2 34.4. y = 7 e y = 3x

35. 35.1.

35.2. y = 0

36. 36.1.

f é contínua em x = 1. f é contínua em

R+\{1}.

38. 38.1.

3e2

38.2. 4e3

36.2. x = 1 e y = 0

38.3. 4

1.7. m': R\{–1} → R

5 (x + 1 )2

x |Æ

37. 37.1. f é contínua no seu domínio. 37.2. x = 0, x = e e y = 4x + 1 37.4. –1,7

1.8. n': R → R –x2 + 1 x |Æ (x2 + 1 )2 1.9. o': [–1, 1] → R x |Æ –

38.4. –18

1.10. p': R → R x |Æ

x √∫1∫ ∫–∫ ∫x2∫

8x3

33√∫(∫2∫x∫4∫ ∫+∫ 1∫ ∫0∫)∫2

39.

a = 1 e b = –3

41.

–4

2.

a = 5 e b = –5

42.

1 1 y= x+ 2 4

3.

Da análise do gráfico de f decorre que esta função é decrescente no intervalo ]–∞, a], crescente no intervalo [a, c], voltando a ser decrescente em [c, +∞[. A função tem um mínimo relativo de abcissa a e um máximo relativo de abcissa c. Logo, f’ é negativa em ]–∞, a[, positiva em ]a, c[, voltando a ser negativa em ]c, +∞[. Como f´ está definida em R, a e c são pontos interiores do domínio de f e f(a) e f(c) são extremos, conclui-se que f ’(a) = 0 e f’(c) = 0. Portanto, o gráfico de f ’ está representado na figura 3. O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima para x menor do que b, tem a concavidade voltada para baixo para x maior do que b e tem um ponto de inflexão de abcissa b. Logo, f’’ é positiva para x menor

Teste 6 – página 165 Grupo I 1. (D)

2. (C)

3. (B)

Grupo II 1. 1.1.

D = ]–∞, 0[ ∪

1.2. y = x ln 5 –

] 51 , +∞[

1 5

3. 3.1. y = 0, y = 0 e y = –x + 1

310

y = x2

4. (B)

5. (C)

SOLUÇÕES

do que b e negativa para x maior do que b. Como f’’ está definida em R, b é ponto interior do domínio de f e (b, f(b)) é um ponto de inflexão, conclui-se que f’’(b) = 0. Portanto, o gráfico de f’’ está representado na figura 2. 4. 4.1. t = 24,5 e v(24,5) = –120,1 m/s 4.2. 734,69 m 4.3. a(t) = v´(t) = –9,8 m/seg2 5. 5.1. 149 doentes por dia. 5.2. O número de doentes aumentou durante os primeiros 20 dias, atingindo o máximo de 4 000 pessoas infetadas, tendo diminuído a partir daí. Após 30 dias a doença foi considerada erradicada, pois o número de pessoas infetadas é nulo quando d = 30. 5.3. Durante, aproximadamente, oito dias. P 3500

m': R+ → R x–1 x |Æ x2 + 10.9. n': R → R x |Æ 1 + ln x 10.10. o': R+\{1} → R –1 + ln x x |Æ (ln x)2 10.8.

10.11. p': ]1, +∞[ → R x |Æ

O

15,58

23,84

30

11. 11.1.

t

11.4.

9. 9.1. 6 10. 10.1. 10.2. 10.3.

10.4.

9.2. 0 f ': R → R x |Æ 2e2x g': R → R x |Æ ex(x + 4) h': R → R e3x + 6e2x + 4ex x |Æ (ex + 3)2 i': R → R x |Æ

10.5.

10.6.

10.7.

9.3. 2

ex

+ 2x

2√∫ex∫ ∫ ∫+∫ ∫x2∫

j': R+ → R

(

1 x |Æ ex ln x + x k': R → R 1 x |Æ – x e

)

11.5.

1 x2

11.6.

]– 51 , +∞[ → R

5 (5x +1) ¥ ln 10

j': R+ → R 1 x ln 2

k': R+\{1} → R x |Æ –

11.7.

l': ]–1, 1[ → R x |Æ

11.8.

1 x ln 2(log2x)2

–x 1 – x2

m': ]–1, +∞[ → R x |Æ –

11.9.

1 (x + 1) ln 10

n': R+ → R ln p ¥ pln x x |Æ x

12. 12.1. 12.2. 12.3.

f não admite derivada em x = 0. g admite derivada em x = 0; g’(0) = 0. h não admite derivada em x = 0.

14. 14.1.

–1

14.2. –10

14.3. 10

14.4.

14.5.

2 9

14.6. 1

14.7. –6

14.8. 2

15.

a = 2, b = –3 e c = 1.

16. 16.1.

y=–

16.3.

y = –2x – 1

17. 17.1.

2 1 x– 9 3

16.4. y = 2e–5x + e–5

18. 19.

(0, 0) e (–2, 2)

17.2.

1 8

16.2. y = –20x – 16

Equação da reta tangente: y = 2x – 1 1 Equação da reta normal: y = – x + 2 4 Equação da reta tangente: y = x – 5 5 Equação da reta normal: y = – x + 4 y = 3x – 2 + ln 4

1

ex

i':

x |Æ –

l': R\{0} → R x |Æ –

f': R → R x |Æ 10x ¥ ln 10 g': R → R 3 x |Æ 3x2 ¥ 2x ¥ ln 2 + h': R → R ln 3 x |Æ ¥ 3ln x x

x |Æ

7. 7.2. A concentração máxima foi às 11 horas. 8. 8.1. No início havia 27 eucaliptos e uma década depois aproximadamente 100 eucaliptos. 8.2. Oito anos e quatro meses e meio. 8.3. E’(1) = 4 e E’(10) = 13, o significa que um ano depois do início da contagem o número de eucaliptos está a aumentar à taxa de 4 eucaliptos por ano, enquanto que 10 anos após o início da contagem o crescimento é mais rápido, visto o número de eucaliptos estar a aumentar à taxa de 13 eucaliptos por ano.

1 x ln x

x |Æ

11.3.

6. 6.1. 8 g 6.2. M é estritamente decrescente; o gráfico de M não admite assíntotas verticais; a reta de equação y = 0 é assíntota horizontal do gráfico de M quando t → +∞, ou seja, à medida que o tempo passa, a quantidade de sal ainda não dissolvido é cada vez menor, tendendo a desaparecer.

2x√∫l∫n∫ x∫

10.12. q': ]1, +∞[ → R

11.2. P

1

3 2 8 + ln 5 5 5 + ln5 2

311

Matemática A 12 OUTRAS OBRAS DE APOIO A TESTES E EXAMES s4ESTESE%XAMEn"IOLOGIAE'EOLOGIAn.!NO s4ESTESE%XAMEn&ÓSICAE1UÓMICA!n.!NO s4ESTESE%XAMEn-!#3n.!NO s4ESTESE%XAMEn(ISTØRIA!n2 .!NO

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