iversidade do Minho lho – Un ve a va v r a C e p i l i F : a c i g ó g a d e p ífica e tí fi viisão cien t Re v
12
Matemática A
PREPARAÇÃO PARA TESTES, TESTES INTERMÉDIOS E EXAME NACIONAL
APRESENTAÇÃO
Esta obra pretende ser um instrumento de trabalho que permita ao aluno: • rever os conceitos fundamentais de anos anteriores; • consolidar as aprendizagens deste nível de escolaridade; • evoluir no seu processo de ensino aprendizagem, fazendo com que queira ir sempre mais além; • familiarizá-lo com questões do tipo de exame nacional; • desenvolver a capacidade de resolução de problemas; • desenvolver o raciocínio matemático; • promover a autoconfiança perante situações novas. Foi elaborada tendo como referência a preocupação com o aluno , a valorização da componente prática na aprendizagem da Matemática, a preparação para testes, testes intermédios e exame nacional de todos os alunos . O livro, à semelhança do programa de Matemática A, está organizado em três grandes temas: Probabilidades e combinatória, Introdução ao cálculo diferencial II e Trigonometria e números complexos. Dentro de cada tema, os conteúdos estão organizados por capítulos, onde se encontrarão as rubricas seguintes. • Resumo teórico: síntese dos conteúdos programáticos abordados ao longo do 12.o ano e, quando pertinente, apresentação de esquemas esquemas que promovam promovam a consolidação da matéria e orientem orientem a resolução de exercícios – Esquematizando/Resumindo. • Exercícios resolvidos: conjunto de exercícios que exemplificam a diversidade de questões, recordam diferentes estratégias de resolução e mobilizam diferentes competências e conhecimentos. A resolução destes exercícios será detalhada e explicada em pormenor, pormenor, com chamadas de atenção. Quando oportuno será explorado o Erro Típico. • Exercícios propostos: bateria de exercícios (itens de seleção e itens de construção) que permitam ao aluno numa primeira fase assimilar as noções essenciais e posteriormente adquirir agilidade e destreza na resolução de exercícios, estabelecendo relações entre conteúdos. O grau de dificuldade está identificado pela seguinte sinalética: exercícios de base; exercícios que requerem mais método e raciocínio; exercícios de aprofundamento. O livro contém dez testes de controlo de aquisição de conhecimentos e duas provas modelo seguindo a estrutura de exame nacional. No final do livro encontram-se as soluções de todos os exercícios propostos e o formulário presente no exame nacional 2012. A todos, votos de bom trabalho e desejo de muito sucesso.
As autoras
2
ÍNDICE
Tema 1 – Probabilidades Pr obabilidades e combinatória 1.1. Conceitos probabilísticos 1.2. Operações com acontecimentos 1.3. Conceito clássico de probabilidade 1.4. Conceito frequencista de probabilidade Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção 2.1. Definição axiomática de probabilidade 2.2. Probabilidade condicionada 2.3. Acontecimentos independentes Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção
Teste 1 Teste 2 3.1. Análise combinatória 3.2.Triângulo 3.2.T riângulo de Pascal 3.3. Binómio de Newton Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção 4.1. Distribuição de probabilidades 4.2. Modelo binomial 4.3. Modelo normal Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção
Teste 3 Teste 4
Tema 2 – Introdução ao cálculo diferencial II 1.1. Generalidades sobre funções Exercícios propostos – Itens de seleção 2.1. Função exponencial de base superior a um 2.2. Função logarítmica de base superior a um 2.3. Modelação Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção
Teste 5
5 6 6 8 8 9 17 17 19 23 23 24 25 30 30 33 39 42 44 45 46 47 55 55 59 66 67 67 69 72 72 74 78 80 83 84 90 97 99 102 103 114 114 117 125 3
ÍNDICE
3.1. Limites 3.2. Continuidade 3.3. Assíntotas Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção
Teste 6 4.1. Derivadas Exercícios resolvidos 4.2. Aplicações das derivadas Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção
Teste 7 Teste 8
Tema 3 – Trigonometria e números complexos 1.1. Conceitos básicos de trigonometria Exercícios resolvidos 1.2. Funções trigonométricas Exercícios resolvidos 1.3. Limites de funções trigonométricas Exercícios resolvidos 1.4. Derivadas de funções trigonométricas Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção
Teste 9 2.1. Números complexos 2.2. Forma algébrica de um número complexo – operações 2.3. Forma trigonométrica de um número complexo – operações Exercícios resolvidos 2.4. Condições em e sua representação geométrica Exercícios resolvidos Exercícios propostos Itens de seleção Itens de construção
Teste 10 Provas-modelo Prova-modelo 1 Prova-modelo 2
Soluções 4
127 131 133 135 1 48 1 48 153 165 167 170 175 1 79 187 187 192 203 205 209 210 214 222 225 227 227 229 229 237 237 239 249 251 251 256 259 276 278 280 280 283 293 295 295 299 303
RESUMO TEÓRICO Derivadas. Aplicações das derivadas
4.1. DERIVADAS CONCEITO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO Definição Seja f uma função e seja [a, b] um intervalo contido no domínio de f . Chama-se taxa de variação média de f no intervalo [a, b], com a ≠ b, ao valor TVM [a, b](f ) =
f (b) – f (a) b–a
Definição Seja f uma função e seja a um ponto do seu domínio. Dá-se o nome de derivada da função f no ponto a e representa-se por f ’(a), ao limite (se existir): lim
x Æ a
f ( x) – f (a) ou x – a
lim
h Æ 0
f (a + h) – f (a) h
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO CONCEITO DE DERIVADA Considera a reta secante ao gráfico de f que passa nos pontos de coordenadas ( x0, f ( x0)) e ( x, f ( x)) f ( x) – f ( x0) de declive . Quando x tende para x0, as sucessivas secantes ao gráfico tendem para uma x – x0 posição limite que se chama, se existir, tangente ao gráfico no ponto ( x 0, f ( x 0)), e cujo declive é f ( x) – f ( x0) lim . x x0 x – x0 t Æ
y
f ( x)
f ( x
0
)
O
x
0
x
x
Assim, se f tem derivada finita em x = a, a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a tem declive igual a f ’(a).
DERIVADAS LATERAIS Seja f uma função e seja a um ponto do seu domínio. f ( x) – f (a) f (a + h) – f (a) • lim– = lim– é, caso exista, a derivada à esquerda da função f no ponto a x a h 0 h x – a e representa-se por f ’(a–). Æ
Æ
f ( x) – f (a) f (a + h) – f (a) = lim+ é, caso exista, a derivada à direita da função f no ponto a x a h 0 h x – a e representa-se por f ’(a+).
• lim+ Æ
Æ
167
RESUMO TEÓRICO Tema 2 | Introdução ao cálculo diferencial II
Geometricamente, se existir, f ’( x0–) é o valor do declive da semitangente à esquerda do gráfico de f no ponto x0. Geometricamente, se existir, f ’( x0+) é o valor do declive da semitangente à direita do gráfico de f no ponto x0. y y
a s q u e r d e n t e à e g n a t t i S e m f
O
x
O
x
0
x
x
0
Semitangente à direita
Quando as derivadas laterais num ponto são diferentes, não existe derivada da função nesse ponto. Do ponto de vista geométrico, tal significa que as duas semitangentes não estão no prolongamento uma da outra. Quando as derivadas laterais num ponto são iguais, existe derivada da função nesse ponto. Geometricamente, significa que as duas semitangentes estão no prolongamento uma da outra, formando uma reta tangente.
DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE Teorema Toda a função com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto.
Notas 1. O recíproco deste teorema não é verdadeiro. Uma função pode ser contínua num ponto e não ter derivada finita nesse ponto.
2. Se uma função não é contínua num ponto, então não tem derivada finita nesse ponto.
FUNÇÃO DERIVADA. REGRAS DE DERIVAÇÃO Definição Função derivada ou simplesme simplesmente nte derivada de uma função f é uma função: – cujo domínio é o conjunto C de todos os pontos em que f tem derivada finita; – que a cada ponto do seu domínio faz corresponder a derivada da função f nesse ponto, ou seja: f ’: C Æ
R
x |Æ f ’( x)
Representa-se por f ’ ou Df ou
168
df . d x
RESUMO TEÓRICO Derivadas. Aplicações das derivadas
REGRAS DE DERIVAÇÃO 1. Derivada de uma uma constante: (k )’ )’ = 0 2. Deriv Derivada ada de uma soma: soma: (u + v )’ )’ = u’ + v ’ 3. Deri Derivada vada de um produto: produto: (u ¥ v )’ )’ = u’v + uv ’ 4. Derivada do produto produto de uma constante por uma função: (ku)’ = ku’ 5. Derivada de 1 : v
() 1 v
’
=–
6. Derivada de um quociente:
v ’ v 2
() u v
’
=
u’v – uv ’ v 2
7. Deriv Derivada ada de uma potência: potência: ( xn)’ = n xn – 1; (un)’ = nun – 1 u’ (n ∈R)
8. Derivada da raiz quadrada: ( x)’ = 1 ; 2 x
( u) ’ =
n’
2 u
9. Derivada da função exponencial de base e: (e x)’ = e x; (eu)’ = eu u’
10. Derivada da função exponencial de base a: (a x)’ = a x ln a; (au)’ = u’ an ln a, a ∈R+\{1} 1 11. Derivada da função logarítmica de base e: (l (ln n x)’ = ; x (ln u)’ =
u’ u
12. Derivada da função logarítmica de base a: (l (log oga x)’ =
1 ; x ln a
(loga u)’ =
u’ , a ∈R+\{1} u ln a
TEOREMA DA DERIV DER IVADA ADA DA FUNÇÃO COMPOSTA Teorema Se f ’ e g’ existem e se f o g está definida, então (f o g)’( x) = f ’(g( x)) ¥ g’( x).
169
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Tema 2 | Introdução ao cálculo diferencial II
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1.
Sendo g( x) = 2ln( x + 1), calcula g’(0), pela definição.
Sugestão de resolução
NOTA
g( x) – g(0) = g’(0) = lim x 0 x – 0
lim
Æ
2ln( x + 1) – 2ln 1
= lim x Æ
( 00 )
x
0
2ln( x + 1)
= lim x Æ
x
0
= 2 lim x Æ
x
0
x
= 1 (limite notável)
=
=
ln( x + 1)
0
x Æ
ln( x + 1)
=
=2¥1=2 Repara que, no caso de x0 = 0, a expressão é a mesma usando uma ou outra definição de derivada.
2.
No Ministério da Saúde estimou-se que, após o aparecimento de uma determinada doença contagiosa, o número de pessoas infetadas pode ser expresso pela função P(t ), ), sendo t o número de dias decorridos desde o primeiro caso registado. P(t ) = 33t 2 – t 3
2.1.
Calcula a taxa média de variação desta função nos primeiros cinco dias e interpreta o resultado obtido no contexto do problema.
2.2.
Determina a taxa de variação desta função em t = 10 e interpreta o resultado obtido no contexto do problema.
Sugestão de resolução P(5) – P(0) 33 ¥ 52 – 53 – 0 = = 140, o que significa que nos primeiros cinco dias 5–0 5 o número de pessoas infetadas aumentou, em média, 140 pessoas por dia.
2.1.
TVM [0, 5] =
2.2.
P’(10) = lim x Æ
10
P( x) – P(10) = x – 10
33 x2 – x3 – (33 ¥ 102 – 103) = x 10 x – 10 ( 00 ) 33 x2 – x3 – 2300 (*) = lim = x 10 x – 10 = lim Æ
(*) Cálculo auxiliar: –1
Æ
( x – 10)(– x2 + 23 x + 230) = 10 x – 10
= lim x Æ
= lim (– x2 +23 x + 230) = x Æ
10
= 360
10
33
0
–2300
–10 230 2300 –1
23 230
0 = r
– x3 + 33 x2 – 2300 = ( x – 10)(– x2 + 23 x + 230)
Assim, dez dias depois do aparecimento do primeiro caso, o número de pessoas infetadas estava a aumentar a uma taxa de 360 pessoas por dia.
170
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Derivadas. Aplicações das derivadas
3.
Na figura estão representadas: r epresentadas:
y
• parte do gráfico de uma função f diferenciável em R;
r
f
• uma reta r tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 3. O valor de f ’(3), derivada da função f no ponto 3, pode ser igual a:
(A) –1
(B) 0
(C) 1
(D) 1
f (3) (3)
O
3
x
Banco de Itens, GAVE
Sugestão de resolução Sendo a reta r tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 3, sabemos que o declive desta reta é igual ao valor de f ’(3). Observamos no gráfico que a reta tem declive negativo, logo o valor de f ’(3) é negativo. Ficam, assim, excluídas as opções (B), (D) e (C), já que f (3) (3) > 0. Então, a opção correta é a (A).
4.
Seja f uma função real de variável real tal que: • f (2) (2) = 3; • lim
h Æ 0
f (2 (2 + h) – f (2) (2) = 5. h
4.1. Indica, caso exista, o valor de lim f ( x). x Æ
2
4.2. Escreve uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2. ) – f (2) (2) 4.3. Calcula lim f ( x . 2 x Æ
2
– x – 5 x + 6
Sugestão de resolução (2 + h) – f (2) (2) 4.1. Sabemos que lim f (2 = 5 ⇔ f ’(2) = 5. h Æ 0
h
Como f admite derivada finita em x = 2, então f é derivável em x = 2. Dado que toda a função derivável num dado ponto é contínua nesse ponto, concluímos que f é contínua em x = 2, isto é, lim f ( x) = f (2) (2) ⇔ lim f ( x) = 3. x Æ
2
x Æ
2
4.2. Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2. Sabemos que o declive da reta t é o valor da derivada de f em x = 2, isto é, m = f ’(2) = 5. Assim, a equação reduzida da reta t é y = 5 x + b. Como o ponto de coordenadas (2, f (2)) (2)) = (2, 3) pertence à reta t , vem que: 3 = 5 ¥ 2 + b ⇔ 3 = 10 + b ⇔ –7 = b Concluímos, assim, que y = 5 x – 7 é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2.
171
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Tema 2 | Introdução ao cálculo diferencial II
Sugestão de resolução (continuação) 4.3.
lim x Æ
2
( 00 )
(2) (2) f ( x) – f (2) f ( x) – f (2) = lim = 2 2 –( x – 2)( x – 3) x – x + 5 x – 6
Cálculo auxiliar:
Æ
= lim x Æ
2
(
f ( x) – f (2) (2) 1 ¥ 3 – x x – 2
)
– x2 + 5 x – 6 = 0 –5 ± 25 – 4 ¥ 6 ⇔ x = –2
=
–5 ± 1 –2 ⇔ x = 2 ∨ x = 3
f ( x) – f (2) (2) 1 = lim ¥ lim = x x 2 2 3 – x x – 2 Æ
⇔ x
Æ
1 = 3–2 =5¥1=5 = f ’(2) ¥
Assim: – x2 + 5 x – 6 = –( x – 2)( x – 3)
5.
Determina a função derivada de cada uma das seguintes funções.
5.1.
a( x) = e–5 x
5.2. b( x) = e x
5.3.
c( x) = 5 x
5.4. d ( x) = 2 x3
5.5.
5.6. f ( x) = e x(– x4 – 5 x3 + 2 x + 9)
5.7.
e( x) = 2ln x ln x g( x) =
5.9.
i ( x) =
3
5.8. h( x) = – x x e
x
e x – e– x e x + e– x
5.10. j ( x) = ln(4 – 3 x)
5.11. k ( x) = ln(ln x)
5.12. l( x) = ln( x2( x + 1))
Sugestão de resolução 5.1.
a’( x) = –5e–5 x Da’ = R
5.2.
1 b’( x) = ( x)’e = 2 Db’ = R+
5.3.
c’( x) = 5 x ¥ ln 5 Dc’ = R
5.4.
d ’( ’( x) = 3 x2 ¥ 2 x3 ¥ ln 2 Dd ’ = R
5.5.
e’( x) =
x
1 x
¥
1 ¥ x 2 –
2ln x ¥ ln 2 =
¥
e x =
ln 2 x
¥
e x
2 x
2ln x
De’ = R+
5.6.
5.7.
f ’( x) = e x(– x4 – 5 x3 + 2 x + 9) + e x(–4 x3 – 15 x2 + 2) = = e x(– x4 – 5 x3 + 2 x + 9 – 4 x3 – 15 x2 + 2) = = e x(– x4 – 9 x3 – 15 x2 + 2 x + 11) Df ’ = R 1 x – ln x x 1 – ln x g’( x) = = 2 2 x
Dg’ = R+
172
=
x
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Derivadas. Aplicações das derivadas
2
5.8. h’( x) = – 3 x
e x – x3 e x e x(3 x2 – x3) 3 x2 – x3 =– =– (e x)2 (e x)2 e x
¥
Dh’ = R
(e x – e– x)’ ¥ (e x + e– x) – (e x – e– x) ¥ (e x + e– x)’ 5.9. i ’( ’( x) = = x – x 2 (e + e )
=
(e x + e– x) ¥ (e x + e– x) – (e x – e– x) ¥ (e x – e– x) = (e x + e– x)2
=
(e x + e– x)2 – (e x – e– x)2 = (e x + e– x)2
=
e2 x + 2e xe– x + e–2 x – (e2 x – 2e xe– x + e–2 x) = (e x + e– x)2
=
e2 x + 2 + e–2 x – e2 x + 2 – e–2 x = e2 x + 2e xe– x + e–2 x
=
4 e2 x + 2 + e–2 x
Di ’ = R
–3 5.10. j ’( ’( x) =
4 – 3 x
D j ’ =
] [ –∞,
4 3
1 (ln x)’ 5.11. k ’( ’( x) = = ln x
x
ln x
1 x ln x
=
Dk ’ = ]1, + ∞[ x ∈R: ln x > 0 Nota que Dk = { x
∧ x
(*) > 0} = ]1, + ∞[ (*) Cálculo auxiliar:
2
5.12. l’( x) = ( x 2( x + 1))’ = x ( x
+ 1)
=
2 x( x + 1) + x2 = x3 + x2
=
2 x2 + 2 x + x2 = x3 + x2
=
3 x2 + 2 x = x3 + x2
=
+ 2) = x( x2 + x)
ln x > 0 ∧ x > 0 >1 ∧ x>0
⇔ x
x(3 x
3 x + 2 = x2 + x
(*) Cálculo auxiliar:
–1
Dl’ = ]–1, +∞[\{0}
2
+
+
+
0
+
+1
–
0
+
+
+
1) –
0
+
0
+
x
(*) Nota que Dl = { x x ∈R: x2( x + 1) > 0} = ]–1, + ∞[\{0}
x
2( x +
x
0
173
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Tema 2 | Introdução ao cálculo diferencial II
6.
Considera a função de domínio R, definida por:
e x + 1 f ( x) = x2
+ 3 x
se x < 0 se x ≥ 0
Caracteriza a função derivada.
Sugestão de resolução • Determinar f ’( x) para x < 0: f ’( x) = (e x + 1)’ = e x • Determinar f ’( x) para x > 0: f ’( x) = ( x2 + 3 x)’ = 2 x + 3 • Determinar f ’( x) para x = 0: Como as expressões analíticas que definem f à direita e à esquerda de x = 0 são distintas, estudemos as derivadas laterais usando a definição de derivada: f ( x) – f (0) (0) x – 0
f ’(0+) = lim+ x Æ
0
f ’(0+) = lim+ x Æ
x2
+ 3 x – 0
=
x
0
+ 3 x ( 0 ) = 0
x2
= lim+ x Æ
= lim+ x Æ
x
0
x( x
+ 3)
x
0
=
= lim+ ( x + 3) = x Æ
0
=3 f ’(0–) = lim–
f ( x) – f (0) (0) x – 0
f ’(0–) = lim–
e x + 1 – 0
x Æ
x Æ
0
= lim– x Æ
x
0
e x + 1
0
x
=
=
2 = 0– = –∞ =
f ’(0–) ≠ f ’(0+) f não é derivável em x = 0.
Igual conclusão seria tirada através do estudo da continuidade em x = 0, já que, sendo f descontínua neste ponto, então não é derivável nesse mesmo ponto. • Caracterização de f ’: Df ’ = R\{0}
e x f’( x) =
2 x + 3
174 17 4
se x < 0 se x > 0
EXERCÍCIOS PROPOSTOS Derivadas. Aplicações das derivadas
Itens de seleção 1.
De uma função f de domínio R sabe-se que lim x Æ
1
Indica qual das seguintes afirmações é falsa.
f ( x) – f (1) (1) = 3. x – 1
(A) f é contínua em x = 1. (B) f ’(1) = 3 (C) lim
h Æ 0
f (1 (1 + h) – f (1) (1) =3 h
(D) Não existe reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x = 1. 2.
Seja f a função cuja representação gráfica é: f
y
e
–e
O
x
Então a representação gráfica da função f ’, primeira derivada de f , é:
(A) (A
(B)
y
y
e O O
x
x
–e
(C)
(D)
y
1 O
3.
y
O
x
x
–1
Seja f uma função tal que o gráfico de f ’’ é a reta de equação y = x + 3. Qual das afirmações é necessariamente verdadeira?
(A) f (–3) (–3) é máximo de f . (B) f (–3) (–3) é mínimo de f . (C) –3 é abcissa do ponto de inflexão do gráfico de f . (D) O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em R+. 187
EXERCÍCIOS PROPOSTOS Tema 2 | Introdução ao cálculo diferencial II
Itens de seleção 4.
Seja f uma função definida em ]2, 6[. A função f tem primeira derivada e segunda derivada finitas em t odos os pontos do seu domínio e f ’( x) > 0 ∧ f ’’( x) < 0, ∀ x ∈ ]2, 6[. Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função f ?
(A)
(B)
y
y
f
f
O
(C)
2
6
O
x
(D)
y
2
5.
2
6
x
f
6
O
x
2
Seja f uma função tal que a sua derivada no ponto 1 é igual a 3. Indica o valor de lim x Æ
(A) 6.
x
y
f
O
6
3 2
1
(1) – f ( x) f (1) . x2 – 1
(B) –
3 2
(C) 3
(D) 0
Na figura está parte da representação gráfica de uma função f . y
4
f
2 O
4
x
Indica o valor de f ’(4+), derivada lateral direita de f no ponto 4.
(A) 4 188
(B) 3
(C) –∞
(D) +∞
