Tesis Redes Neuron Ales Jmfa

´ Y DE ESTUDIOS AVANZADOS DEL CENTRO DE INVESTIGACI ON ´ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL Unidad Unid ad Ciud Ciudad ad de M´ exi co exico Departament Departa mento o de Contr Control ol Auto Autom´ m´ atic o atico

CINVESTAV-IPN

Aprendizaje Neuronal para el Control de Sistemas No Lineales Tesis que presenta: Jos´ Jo s´ e Ma Mart rt´ ´ın Fl Flore oress Al Albi bino no 1 Para obtener el grado de Doctor en Ciencias En la especialidad de Contro Con troll Aut Autom´ omático ati co

Directores de Tesis: Dr.Ieroham Dr.Ier oham Solomon Baro Barouh uh Dr.. Jua Dr Juan n Car Carlo loss Mar Martt´ın ınez ez Gar Garcc´ıa México, D. F. 1 Becario

CONACYT, No. 72355

28 de Mayo del 2004

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Agradecimientos Ha sido muy largo el tiempo que he tomado para terminar este trabajo, el resultado de todo to do será evaluado al momento de que sea de utilidad para otros, éste ha sido el objetivo desde su inicio. El que se dedica a la investigación, en frenta el reto del necesario aislamiento en que las reflexiones se conciben. Lo común un es que no halla alguien cerca cuando se logra un despeje exitoso de la variable que tanto se buscaba; ni se escuchan aplausos al ver que una simulación por computadora no se va al infinito. Pero aquello que nos alimenta a seguir es la curiosi curiosidad dad ¿Qu´ ¿Q ué pasa sı...? ¿Cómo omo ocur ocurre re ...? Etcétera. etera. Pero cuando se desciende de esta nube de aparente aislamiento, notamos que nunca se estuvo solo, que hay muchas personas que han apoyado de forma directa y otras que sin darse cuenta nos han dando su aliento para continuar. Gracias Graci as a todos.. todos....

Dr. Ieroham Solomon Barouh Sin su apoyo y ejemplo este trabajo jamás as se s e hubiese concluido.

Departamento Departament o de Control Automático atico Y Centro de Investigaci´ on y Estudios Avanzados on Por ser el lugar donde conoc conoc´´ı a mis profesores y compa˜ neros.

Dr. Juan Jua n Carlos Mart Mart´ ´ınez Garc Garc´ ´ıa Por confiar en mi esfuerzo.

Consejo Nacional de Ciencia y Tecnológia ogia

Por ser la instituci´ on que me brind´ o el apoyo econ´ omico para lograr este objetivo.

Instituto de Investigaci´ on y Desarrollo Tecnológico on ogico Secretar Secr etar´ ´ıa de Marin Marina, a, Arma Armada da de M´ exic o exico Por ser el lugar que me abri´ o las puertas para desarrollarme y me darme la oportunidad de terminar este trabajo.

A mi mam´ a y hermana hermanass Por su infinita paciencia y comprensi´ on.

Liliana Vicente˜ no Loya no Por todo tu cari˜ no.

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Resumen

En las siguientes páginas se presenta el trabajo realizado durante mi estancia en el Centro de Investigaci´ on y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional con el prop´ osito de obtener el grado de Doctor en Ciencias del Departamento de Control Automático. La investigaci´ on se enfoc´ o en el estudio de una arquitectura de Red Neuronal Recurrente y su algoritmo de aprendizaje del tipo retropropagaci´ on dinámico para su aplicaci´ on en tareas de identificaci´ on y control de sistemas no lineales. Se realizaron implementaciones en simulaci´ on y en un prototipo en tiempo real para el control de un motor de corriente directa. Los resultados producidos han sido alentadores y animan a plantearse metas de mayor complejidad. El deseo final de este escrito es el de generar nuevas preguntas y retos en la aplicaci´ on de las redes neuronales para el control de sistemas complejos.

Jos´ e Mart´ın Flores Albino , 8 de mayo de 2004

.

Índice general Índice general Índice de figuras Índice de tablas Historia Simbolog´ıa 1. Introducci´ on: Redes Neuronales

I

IV

VIII

XI

XIII

1

1.1. Redes Neuronales Biol´ ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1. Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Redes Neuronales Artificiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1. Topolog´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2. Redes Neuronales Artificiales Está ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.3. Redes Neuronales Artificiales Dinámicas (Recurrentes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.4. Proceso de Aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3. Conclusi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2. Red Neuronal Recurrente Entrenable

21

2.1. Estructura de una RNRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2. Propiedades de Observabilidad y Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.1. Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.2. Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3. Red Neuronal Recurrente Entrenable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3.1. Ley de Aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4. Red Neuronal Recurrente de Tres Capas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31


32

2.5. RNRE con Predicci´ on de la Salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33


34

2.6. RNRE con Retardo en la Retroalimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35


35

2.7. RNRE con Estados Acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 I

ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL


37

2.8. Condici´ on de Estabilidad para los Pesos J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.9. Pesos de Compensaci´ on ci0 , bi0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.10. Escalamiento de la Función de Activación, Γ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.11. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3. Identificaci´ on de Sistemas

43

3.1. Aproximación de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.1.1. Redes Neuronales Estáticas en la Aproximació n de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.2. Identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.3. Métodos de Identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.3.1. Algoritmo de Proyección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.3.2. Algoritmo de Proyección Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.3.3. Algoritmo de M´ınimos Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.3.4. Exitación Persistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.3.5. Algoritmos de Identificació n Clá sicos y Redes Neuronales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.4. Identificació n de Sistema Usando Redes Neuronales Está ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.4.1. Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.4.2. Sistemas No Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.5. Identificació n de Sistemas Usando Redes Neuronales Diná micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

3.6. Identificación de Sistemas Utilizando RNRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

3.6.1. Identificació n. del Modelo de Vel. de un Motor de cc. usando una RNRE . . . . . . . . . . . . .

70

3.6.2. Identificación no Lineal Usando RNRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

3.6.3. Identificació n de un Sistema no Lineal de dos Entradas dos Salidas . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

3.6.4. Identificación Múltimodelo con RNRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

3.6.5. Identificació n en Tiempo Real de un Motor de cc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

3.7. Complejidad Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

3.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

4. Control de Sistemas

89

4.1. Redes Neuronales en el Control de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

4.2. Modelado de controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

4.3. Control por modelo inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

4.4. Control Adaptable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

4.4.1. Control Adaptable Indirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.4.2. Control Adaptable Directo, [16]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.5. Control por Modelo de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.5.1. Control por modelo de referencia: Enfoque neuronal [28] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.5.2. Control por modelo de referencia: Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.6. Control por Modelo Interno, [58] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.6.1. Control por Modelo Interno –Redes Neuronales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.7. Control de Sistemas por medio de RNRE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 ii

– JMFA –

ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL

4.7.1. Sistemas de Control Adaptable Indirecto Usando los Par´ ametros Obtenidos por la RNRE . . . . . 131 4.7.2. Sistemas de Control Adaptable Directo Usando RNRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.7.3. Control en Tiempo Real de un Motor de Corriente Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

Conclusiones Generales y Perspectivas

145

Bibliograf´ıa

147

A. Art´ıculos Publicados

151

A.1. Congresos Nacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 A.2. Congresos Internacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 A.3. Revistas Nacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 A.4. Anexos en Libros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

B. Programas de C´ omputo

153

B.1. Aproximación de una Funció n No Lineal por Medio de una RNMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 B.2. Aproximación de una Funció n No Lineal por Medio de una RNFRB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

B.3. Algoritmo de Proyecci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 B.4. Algoritmo de Proyecci´ on Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158

B.5. Algoritmo de M´ınimos Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 B.6. Ident. Vel. Motor cc. con RN Estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 B.7. Ident. No lineal con RN Estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 B.8. Ident. Vel. Motor cc. con RNRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 B.9. Ident. No Lineal con RNRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

B.10.Ident. No Lineal MIMO con RNRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

B.11.Ident. Mú ltimodelo No Lineal MIMO con RNRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 B.12.Modelado de Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 B.13.Cinemática Inversa de dos Eslabones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 B.14.Cinemática Directa de dos Eslabones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 B.15.Ctrl. Inverso: Ident. Mod. Directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189

B.16.Ctrl. Inverso: Mé todo especializado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 B.17.Ctrl. Adaptable Indirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 B.18.Ctrl. Adaptable Indirecto 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 B.19.Ctrl. Adaptable Directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203

B.20.Ctrl. por Modelo de Referencia: Motor de CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

C. Motor de Corriente Continua

207

C.1. Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 C.2. Motor de cc de Imán Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 C.3. Control de Velocidad en Régimen Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 C.4. Modelo Discreto de un Motor de cc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 – JMFA –

iii

ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL

D. Ecuaciones de Entrenamiento para Redes Neuronales Recurrentes

213

D.1. Red Neuronal Recurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 D.1.1. Pesos de la Capa de Salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 D.1.2. Pesos de la Capa Oculta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 D.1.3. Pesos de la Capa de Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 D.2. R NR con Tres Capas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 D.2.1. Pesos de la Capa de Salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 D.2.2. Pesos de la Capa Oculta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 D.2.3. Pesos de Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 D.3. Predicci´ on de la Salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 D.3.1. Pesos de la Capa de Salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 D.3.2. Pesos de la Capa Oculta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 D.3.3. Pesos de la Capa de Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 D.4. E stados Acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 D.4.1. Pesos de la Capa de Salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 D.4.2. Pesos de la Capa Oculta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 D.4.3. Pesos de la Capa de Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

E. Prototipo Experimental

219

E.1. Descripci´ on General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 E.2. Control Proporcional Integral Derivativo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 E.3. Filtrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

F. Algoritmo de Retropropagaci´ on

227

G. Representaci´ on de Sistemas

231

G.1. Modelos Discretos de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 G.1.1. Modelo DARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 G.1.2. Modelo Regresor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 G.1.3. Modelo en Variables de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Índice alfab´ etico

iv

235

– JMFA –

Índice de figuras 1.1. Estructura de una neurona biol´ ogica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Neurona artificial elemental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3. Funciones de activaci´ on comunes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4. Derivadas de las funciones de activaci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5. Topolog´ıas de redes neuronales artificiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.6. Tipos de redes neuronales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.7. Red neuronal de m´ ultiples capas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.8. Red neuronal de funciones radiales básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.9. Neurona de Hopfield. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.10. Red de Hopfield con tres neuronas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.11. Máquina de Boltzmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.12. Estructuras de redes neuronales recurrentes (local-recurrent-global-feedforward). . . . . . . . . . . . . . .

12

1.13. Modelos para un sistema desconocido no lineal discreto de una entrada y una salida.

. . . . . . . . . . .

13

1.14. Estructura de la red de Jordan y de Elman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.15. Divisi´ on del Aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.16. Paradigmas de Aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.17. Red Neuronal con tres capas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.18. Modelo de sensibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.19. Retropropagaci´ on a través del tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1. Estructura general de una red neuronal hibr´ıda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2. Ejemplo de una red neuronal recurrente entrenable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3. Diagrama a bloques de una red neuronal recurrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.4. Red neuronal recurrente entrenable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.5. Red neuronal recurrente de tres capas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.6. Red neuronal recurrente con predicci´ on de la salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.7. Red neuronal con retardo en la retroalimentaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.8. Red neuronal recurrente con estados acotados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.9. Funci´ on de Activaci´ on tanh(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.1. Proceso de proximaci´ on en l´ınea de una funci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.2. Aproximaci´ on de una funci´ on a trav´ es de una red neuronal m´ ulticapa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.3. Aproximaci´ on de una funci´ on no lineal utilizando una red neuronal de funciones radiales básicas. . . . . . 49 V

ÍNDICE DE FIGURAS

ÍNDICE DE FIGURAS

3.4. Problema de identificaci´ on de sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.5. Algoritmo de proyecci´ on- Interpretaci´ on geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.6. Interpretaci´ on del algoritmo de proyecci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.7. Operaci´ on del algoritmo de proyecci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.8. Operaci´ on del algoritmo de proyecci´ on ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.9. Operaci´ on del algoritmo de m´ınimos cuadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.10. Redes neuronales en los algoritmos de identificaci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.11. Identificaci´ on de un sistema lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.12. Identificaci´ on de un sistema lineal (entrenamiento). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.13. Identificaci´ on de un sistema lineal (generalizaci´ on). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.14. Identificaci´ on no lineal usando una RN Estática (Entrenamiento).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.15. Identificaci´ on no lineal usando una RN Estática-Generalizaci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

3.16. Red neuronal estática en lazo cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3.17. Modelo general de una red neuronal recurrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3.18. Modelo de red neuronal recurrente simplifacada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

3.19. Identificaci´ on de la vel. Motor de cc. usando una RNRE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.20. Identificaci´ on de un sist. no lineal usando RNRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3.21. Identificaci´ on de un sist. no lineal MIMO Usando RNRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

3.22. Identificaci´ on M´ ultimodelo Usando RNRE +

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

3.23. Identificaci´ on M´ ultimodelo Usando RNRE −

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.24. Identificaci´ on M´ ultimodelo Usando RNRE ±

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

3.25. Lugar de las ra´ıces sis tema retroalimentado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

3.26. Identificaci´ on en tiempo real de un motor de cc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

3.27. Identificaci´ on multimodelo en tiempo real de un motor de cc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

3.28. Identificaci´ on multimodelo en tiempo real de un motor de cc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.1. Modelado de controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

4.2. Ejemplo del esquema por modelado de controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

4.3. Resultados del esquema de modelado de controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

4.4. Control por modelo inverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

4.5. Modelo inverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

4.6. Descripci´ on de un mecanismo de dos eslabones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.7. Cinemática directa del mecanismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

4.8. Cinemática inversa del mecanismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

4.9. Posici´ on de los eslabones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.10. Control inverso especializado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.11. Control por modelo inverso (Método especializado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.12. Control Adaptable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.13. Control Adaptable Indirecto –Identificaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.14. Control Adaptable Indirecto –Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.15. Control Adaptable Indirecto -En l´ınea vi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 – JMFA –

ÍNDICE DE FIGURAS

ÍNDICE DE FIGURAS

4.16. Componentes del control directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 ´ 4.17. Control Adaptable Directo - Epoca 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 ´ 4.18. Control Adaptable Directo - Epoca 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.19. Control por modelo de Referencia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.20. Grado relativo: linealizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.21. Diagrama a bloques del Ctl. Modelo de Referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.22. Diagrama a bloques del Ctl. Modelo de Referencia -Redes Neuronales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.23. Control por modelo de Referencia 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.24. Control por Modelo de Referencia –Motor de CC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.25. Control por Modelo Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.26. Control por Modelo Interno –Eq. Lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.27. Control por Modelo Interno –Redes Neuronales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.28. Control por Modelo Interno –Entrenamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.29. Control Adaptable Indirecto –RNRE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.30. Control Adaptable Indirecto –P, PI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.31. Control Adaptable Indirecto –Seguimiento de Trayectoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.32. Control Adaptable Directo –Modelo Inverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.33. Control Adaptable Directo –Modelo Inverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.34. Plataforma experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.35. Esquema de control en tiempo real de un Motor CC.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.36. Control en Tiempo Real de un Motor de CC – Posici´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.37. Control en Tiempo Real de un Motor de CC – Velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 C.1. Motor de corriente continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 C.2. Modelo matemático de un motor de c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 C.3. Transformada de Laplace de un motor de cc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 C.4. Respuesta al escal´ on Motor de c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 D.1. Red neuronal recurrente 2, 3, 2

{

}

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

D.2. Red neuronal recurrente con tres capas 2, 3, 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

{

}

D.3. Red neuronal recurrente con predicci´ on a la salida 2, 3, 2

{

}

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

D.4. Estados acotados 2, 3, 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

{

}

E.1. Prototipo experimental de laboratorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 E.2. Respuesta al escal´ on del motor de cc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 E.3. Diagrama de Bode de un derivador.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

E.4. Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 E.5. Diagrama de Bode de un filtro Butterworth pasa-altos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 E.6. Diagrama de Bode de un filtro Butterworth pasa-bajos.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

E.7. Diagrama de Bode de un filtro pasa-banda (continuo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 E.8. Diagrama de Bode de un filtro pasa-banda (Discreto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 E.9. Diagrama de Bode de un filtro Butterworth pasa-bajos de tercer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 – JMFA –

vii

ÍNDICE DE FIGURAS

ÍNDICE DE FIGURAS

E.10. Diagrama de Bode de un filtro pasa-banda. E.11. Filtro digital pasa banda

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

F.1. Esquema del método de aprendizaje por retropropagaci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

viii

– JMFA –

Índice de tablas 1.1. Topolog´ıa de una red neuronal m´ ultiples capas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3.1. Resumen de resultados de generalizaci´ on para el ejemplo 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.2. Resumen de resultados de generalizaci´ on para el ejemplo 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.3. Resumen del algoritmo de identificaci´ on de proyecci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.4. Resumen del algoritmo de identificaci´ on de proyecci´ on ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.5. Resumen del algoritmo de identificaci´ on de m´ınimos cuadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.6. Par´ ametros de una RNRE-Identificaci´ on de un Motor en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

3.7. Par´ ametros de una RNRE-Identificaci´ on de un Motor en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3.8. Desempe˜ no entre una RN est´ atica y una RNRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

4.1. Resultados del modelo neuronal inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 C.1. Par´ ametros de un motor de cc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

IX

ÍNDICE DE TABLAS

x

ÍNDICE DE TABLAS

– JMFA –

Historia 1990 Narendra & Partasaraty . . . . . . . . . . 1988 Anderson & Rosenfeld . . . . . . . . . . . 1986 Rumerlhart & MacClelland . . . . . . . 1985 Ack, Hinton & Sejnowski . . . . . . . . 1983 Barto, Sutton & Anderson . . . . . . . 1983 Kirkpatrick, Galatt & Vecchi . . . . . 1982 Kohonen . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1983 Cihen & Grossberg . . . . . . . . . . . . . . 1982 Hopfield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1980 Grossberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979 Utley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1973 Malsburg . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1972 Anderson, Kohonen & Nakano . . . 1969 Minski & Papert . . . . .. . . . . . . . . .. 1962 Widrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1960 Widrow & Hoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958 Rosenblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958 Rosenblatt . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1954 Minsky . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1956 Holland, Habitt & Duda . . . . . . . . . 1949 Hebb .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . 1948 Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943 MacCulloch & Pitts . . . . . . . . . . . . .

Presentan el algortimo Retropropación Dinámico para entrenar redes múlticapas para identificación y control de sistemas. Presentan las Funciones Radiales B´ asicas (RBF) como alternativa para los perceptrones múlticapa. Presentan el algoritmo Retropropagación para el entrenamiento del perceptrón múlticapa. Definen el aprendizaje estoc´ astico para la máquina de Boltzmann. Definen el aprendizaje reforzado (Reinforcement Learning ). Presentan el aprendizaje por templado simulado ( simulatedannealing ) para resolver problemas de optimización. Presentan sus mapas auto-organizados. Presentan las memorias direccionadas por contenido ( contentaddressable memories ). Presenta una red neuronal diná mica, define su función de energ´ıa considerando simetr´ıa en los pesos. Trabaja con el aprendizaje competitivo, establece el nuevo principio de auto-organización. Integra la teor´ıa de las comunicaciones de Shanon con el aprendizaje sinaptico neuronal. Presenta los mapas auto-organizados entrenados por una ley de aprendizaje competitiva. Presentan una ley de aprendizaje en una matriz de correlación. Presentan el perceptrón de una capa y de múltiples capas. Presenta una estructura para adaline’s de múltiples capas (Madaline). Presentan el algoritmo de m´ınimos cuadrados, usado para el entrenamiento de Adaline (adaptive learning element ). Teorema de convergencia del Perceptrón. Presenta su modelo del Perceptrón. Presenta su tesis Doctoral Theory of Neural-Analogue Reinforcement System and its Applications to the Brain-Model Problem. Presentan una simulación por computadora de la ley de aprendizaje de Hebb. Explica una regla de aprendizaje fisiológica para la modificación sinaptica. Establece las bases para la teor´ıa del control, comunicaciones y el aprendizaje. Describen la operación de una red neuronal y su modelo.

XI

ÍNDICE DE TABLAS

xii

ÍNDICE DE TABLAS

– JMFA –

Simbolog´ıa t R+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k Z + . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . i, j, n, r Z + . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . wij , T ij R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ker(C ) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. det(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. = Im(B) . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. > . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. o =< A, c = c (A, B) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. J (k), E (k) R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∂E(k) ∂w ij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tiempo continuo. Número de muestra (tiempo discreto). Enteros positivos (´ındices). Peso de la conexión que va desde la salida de la neurona j hasta la entrada de la neurona i. Función de activación. Transpuesta del matriz x. Derivada de la función f (x). Si A es una matriz, σ(A) es el espectro de A (conjunto de valores propios). Espacio nulo de la transformación lineal definida por C . Determinante de la matriz A. Indica que el subespacio es invariante bajo la transformación lineal A. Espacio imagen de la transformación lineal B. Espacio de alcanzable del par (A, B). Es el espacio coordenado A-invariante más grande incluido en el Ker(C ). Función de costo. Derivada parcial de E (k) con respecto a wij .

Si y(k), x(x)

Jacobiano de y(x) con respecto al vector x(k).

∈ ∈

∈

∈

Γ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x Rnm : [x]T .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . d ˙ f ′ (x), f (x), dx f (x) .. .. .. .. .. .. .. .. .. . σ(A) . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .

· ∈

V ⊂ V B R B O O ∈

∂y(k) ∈ Rn : ∂x(x) .. .. .. .. .. .. . ∂y(k) Si y(k) ∈ R y x(x) ∈ Rn : ∂x(x) .. .. .. . n

sli (k) δil (k) −1



nl 1 r=1 ∂E (k) ∂s li (k)

l−1

= wir xr .. .. .. .. .. .. .. . = .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. q x(k + 1) x(k) .. .. .. .. .. .. .. .. .. M −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dim θo = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

{ }

−

→

V

Gradiente de y(x) con respecto al vector x(k). Combinación lineal de las entradas a la neurona i del nivel l. Gradiente local del nodo i en el nivel l. Operador retardo. Matriz inversa de M . Dimensión del supespacio θo .

XIII

ÍNDICE DE TABLAS

xiv

ÍNDICE DE TABLAS

– JMFA –

Cap´ıtulo 1

Introducci´ on: Redes Neuronales En este cap´ıtulo se exponen algunos de los fundamentos que introduce a la compresión de las redes neuronales, sus principios biológicos y los modelos matem´ aticos propuestos.

1.1.

Redes Neuronales Biol´ ogicas

Las redes neuronales artificiales son una muestra m´ as del interés humano por emular alguna de las capacidades naturales de los seres vivos. Las redes neuronales biológicas exhiben caracter´ısticas importantes que las hacen muy atráctivas para imitar; entre estas caracter´ısticas se pueden citar las siguientes: memorizaci´ on, especializaci´ on, paralelismo, robustez, densidad, generalizaci´ on y aprendizaje . Los estudios sobre el sistema nervioso se remonta al año de 1889, por las observaciones realizadas por el cient´ıfico español Santiago Ramón y Cajal (1852-1934, premio Nobel de Medicina 1906). Ramón y Cajal reportó que el sistema nervioso está compuesto de unidades individuales que son estructuralmente independientes, cuyo contenido interno no entra en contacto directo. Estas unidades son las células neuronales. A esta hipótesis se le conoce como teor´ıa neuronal . Los seres vivos (agentes) poseen la habilidad de adaptarse a su ambiente. Los cambios externos son los est´ımulos y las reacciones son su respuesta. En los seres más simples la relación causa-efecto es directa; esto significa que la presencia de un estimulo dispara una reacción determinada. En los seres más complejos la respuesta a los est´ımulos implica la integraci´ on y sincronización de varios eventos de distintas partes del cuerpo, lo anterior es posible por la presencia de un mecanismo de control (controlador) entre los est´ımulos y las reacciones. En los organismos multicelulares este controlador emplea dos tipos de sistemas: la regulación qu´ımica y la regulación nerviosa. En la regulación qu´ımica, sustancias llamadas hormonas son fabricadas por un grupo bien definido de células y transportadas p or la sangre a otras partes de cuerpo en donde existen células objetivo, aqu´ı las hormonas alteran el metabolismo de estas células o incitan la s´ıntesis de otras sustancias. El sistema nervioso se define como un grupo organizado de células llamadas neuronas , dedicadas a la conducci´ on de impulsos (cambio breve de la carga eléctrica en la membrana de la célula) desde un receptor sensorial que atraviesa una red de nervios hasta un efector. El sistema nervioso está especializado en la conducción de impulsos eléctricos, lo que permite una rápida reacción a los est´ımulos del ambiente. En el ser humano se estima que existen 10, 000, 000, 000 de neuronas. En el cuerpo de una célula neuronal se identifican tres estructuras: el soma, el ax´ on y las dentritas . El soma es el cuerpo principal de la neurona, en él se concentran los organos responsables de su metabolismo y del intercambio electroqu´ımico producido como respuesta de la neurona. El ´ ax´ on es la extremidad más larga de la neurona, es por donde se transmiten los impulsos nerviosos hacia otras neuronas, es decir, representa la terminal de salida de la neurona. Las dentritas son varias extremidades de longitud m´ as corta que el axón, su función es de ser las terminales receptoras de los impulsos provenientes de otras neuronas. Al punto de transici´ on entre axón-dentrita se le llama sinapsis , en la figura 1.1 se presenta un dibujo de una célula neuronal, en donde se pueden identificar las estructuras que la integran. El mecanismo de conducción de los impulsos nerviosos en las neuronas es diferente al usado por los metales. En las neuronas la transmisión eléctrica se debe al intercambio de iones (´ atomos que han ganado o perdido electrones); por el 1

1.1. Redes Neuronales Biológicas

Cap´ıtulo 1. Introducción: Redes Neuronales

Dentrita

Estructura de una neurona biol´ ogica. Se distinguen tres estructuras en una célula neuronal: el soma, el axón y las dentritas. La unión dentrita-axón se le llama sinapsis. En el sistema nervioso se transmiten impulsos eléctricos entre las neuronas. Los neurotransmisores son sustancias qu´ımicas que pasan de una célula a otra, y definen el acomplamiento eléctrico entre ellas. ........................................................ Figura 1.1:

Soma Sinapsis Axón

contrario, en los metales la conducción eléctrica es debido a la gran cantidad de electrones libres en ellos. Pero además las neuronas utilizan un medio qu´ımico para el acoplamiento eléctrico entre ellas. Los neurotransmisores son sustancias qu´ımicas que pasan de una célula a otra, estimulando un potencial eléctrico en la membrana de la célula receptora.

1.1.1.

Modelo Matem´ atico

En [1] se presenta un modelo matemático del comportamiento de una neurona biológica. Como en todo modelo se intenta describir los procesos m´ as importantes que ocurren en el interior de una neurona descartando los efectos menos perceptibles. Sean uj el potencial el´ ectrico de la membrana de la neurona j y T ij f j (uj ) la transformación que este potencial sufre al pasar por la sinapsis que lo conecta a la neurona i. El valor de T ij puede ser positivo o negativo de forma que represente los iones positivos de potacio y sodio, K + , N a+ ; o negativos de cloro, Cl − en el cuerpo de la neurona. La concentración de potencial de la neurona i por esta unión es la integral en el tiempo:



t

T ij f j (uj )dτ.

(1.1)

−∞

El potencial que llega por cada unión de la neurona i depende del tiempo; entre más tarde en llegar el potencial a la neurona, menos contribuye al potencial acumulado en la membrana. Para considerar este efecto se modifica la ecuación (1.1) incluyendo una función que es monotónicamente decreciente, h:



t

h(t + τ )T ij f j (uj ) dτ,

(1.2)

−∞

en donde h( ) una función que decae exponencialmente con el tiempo. La función h se suele seleccionar como una exponencial decreciente en el tiempo: t 1 h(t) = e− µi , (1.3) µi

·

en donde µi es la constante de tiempo de la neurona i; µi > 0. De esta forma sólo los potenciales más recientes (entre t = 0 hasta aproximadamente t = 4µi ) contribuyen al potencial total. En el modelo de la neurona se considera el caso de que exista una entrada independiente; es decir, que no proviene de otra neurona. Para la neurona i esta entrada es denotada como I i . Por tanto, la contribución de esta entrada al potencial de la neurona es igual a la expresión:



t

h(t + τ )I j (τ )dτ.

−∞

2

– JMFA –

(1.4)


1.2. Redes Neuronales Artificiales

Ahora, como la neurona i recibe potenciales de varias otras, todas e´ stas deben ser sumadas para determinar el potencial total en la membrana de la neurona i. Si n es el número de estas conexiones, se establece que el potencial total ui (t) es igual al término: n

ui (t) =

  j=1

t



t

h(t + τ )T ij f j (uj ) +

−∞

h(t + τ )I i (τ )dτ.

(1.5)

−∞

Para facilitar el tratamiento se prefiere la forma diferencial de la ecuación (1.5). Entonces, sustituyendo (1.3) y ordenando los componentes de (1.5) se logra la ecuación: d d ui (t) = dt dt



t

−∞

1 e µi

−τ − tµ i

 

 

n

T ij f j (uj (τ )) + I i (τ ) dτ.

j=1

(1.6)

Pasando la derivada dentro de la integral en (1.6) y aplicando la regla de la derivada para el producto, regla de Leibnitz , la ecuación (1.6) se transforma de la manera siguiente: d ui (t) = dt

   t

−∞

1 − tµ τ d e i µi dτ −

 

 

n

T ij f j (ui (τ ) + I i (τ )) dτ

j=1

− µ1i · µ1i e−

t−τ µi

 

  

n

T ij f j (ui (τ ) + I i (τ )) dτ . (1.7)

j=1

El valor de la primera integral en (1.7) se obtiene al sustituir τ por t, y sustituyendo en el segundo término la parte que corresponde a ui . De este modo la expresión para el potencial de la neurona ui (1.7) adquiere la estructura final: µi

d ui (t) = dt

 

 

n

−ui(τ ) +

T ij f j (ui (τ ) + I i (τ )) ;

j=1

i = 1, ..., n.

µ i > 0.

(1.8)

De la expresión (1.8) se desea destacar que aún en este modelo simplificado de una célula neuronal se observa que su comportamiento está matemáticamente modelado por un sistema dinámico. Los valores que toman los par´ ametros T ij depende de la interacción de la neurona con su ambiente, es por esto que se estima que la información en la neurona está fijado por los valores de los par´ ametros T ij . La respuesta de cada neurona depende del efecto que tienen las neuronas con las que est´ a conectada. Se forma una estructura de neuronas interconectadas; la transferencia de información se realiza entre las sinapsis y la respuesta de cada neurona depende del potencial en su cuerpo. En la sección 1.2 se describen algunos de los modelos matemáticos para las redes neuronales artificiales, sus topolog´ıas y los paradigmas de aprendizaje.

1.2.

Redes Neuronales Artificiales

Con la denominación de Redes Neuronales Artificiales , desde el punto de vista computacional, se conoce a todos los modelos matemáticos y de cálculo que intentan imitar las capacidades y caracter´ısticas de sus semejantes biológicos. La redes neuronales artificiales están formadas por elementos relativamente simples de cálculo, todos ellos interconectados con una cierta organización (topolog´ıa). Las neuronas, llamadas perceptrones (Rossenblatt, 1958) o Adaline (Widrow y Hoff) que integran la red pueden ser tan simples como sólo puntos de suma, hasta elementos dinámicos complejos. El modelo básico de una neurona está constituido por los siguientes elementos: Un conjunto de sinapsis, que son las entradas de la neurona ponderadas, por un peso. Se identifica al peso que conecta a la entrada xj de la neurona i por s´ımbolo wij . Se incluye un peso independiente, wi0 , que se adquiere al suponer una entrada constante a la neurona i1 1 El

peso wi0 se le llama de compensaci´ on (bias) cuando la entrada asociada tiene valor de 1, y se le llama umbral (threshold) cuando la entrada asociada tiene valor de −1.

– JMFA –

3



Un sumador, que simula el cuerpo de la neurona y fija el nivel de exitación. Una función de activación, que genera la salida de la neurona y es la transformación del nivel de exitación de la neurona y restringe el nivel de salida. Opcionalmente en [2], se incluye entre el sumador y la función de activación una dinámica lineal de primer orden, o un retardo en su forma continua o discreta, al hacer esto, se implica una din´ amica interna al comportamiento de la neurona. En otra secci´ on se trata este tema (sección 1.2.3). En su forma básica, la salida de una neurona está fijada por la expresión:

 n

yi = Γ

wir xr

r=1

− wi0



,

(1.9)

en donde n indica el número de entradas a la neurona i. Notar que el argumento de la función de activación es la combinación lineal de las entradas de la neurona. Si se considera al conjunto de entradas y los pesos de la neurona i como un vector de dimensión (n + 1), la expresión (1.9) puede escribirse de la siguiente forma:

 

x = [ 1, x1 , . . . , xn ]T ,

yi = Γ wiT x ;

−

wi = [wi0 , wi1 , . . . , w in ]T ,

(1.10)

T en donde [ ] indica la transposión del vector. En la figura 1.2 se presenta el esquema de una neurona o perceptrón.

·

Pesos sinapticos

x 1

w i1

-1 w i0

compensación (bias)

y i

Entradas

(*) x n

w in

Neurona artificial elemental. Cada elemento básico de cálculo en una red neuronal esta formado por un grupo de constantes que ponderan la entrada a un sumador y la salida es acotada por la función de activación. ............................................. Figura 1.2:

s(*) Función de Activación Sumador

En lo que se refiere a los tipos de funciones de activación, las m´ as utilizadas son la función a) escal´ on, b) sigmoide , c) tangente hiperb´ olica y d) saturaci´ on, figura 1.3. 1 1

0.5

-1

Escalón: µ(x)

1

1

-1

Tangente Hiperbólico: Tanh(x)

4

Sigmoide: Sigm(x)

-1

Saturación: Sat(x)

– JMFA –

1.3: Funciones de activaci´ on comunes. a) Escalón. b) Sigmoide. c) Tangente hiperbólica. d) Saturaci´ on. La función de activación en una neurona acota el nivel de salida. ............................................. Figura



Estas funciones de activación están definidas por las expresiones: (a

µ(x) =

(c



1 si x 0 0 si x < 0

tanh(x) =

≥

2x

−

1−e 1+e

2x

−

(b

,

sigm(x) =

(d

sat(x) =

1 1+e

x

−

 − 

,

1 si x < 1 x si x 1 1

− | |≤

(1.11) .

si x > 1

Una propiedad de las funciones sigmode y tangente hiperbólica es que su derivada existe y es una función continua. El cálculo de la derivada de la función de activación sigmoide se realiza de la siguiente manera:





1 e−x = = , 2 1 + e−x 1 + e−x (1 + e−x ) 1 1 + e−x 1 1 1 = = 1 −x −x −x 1+e 1+e 1+e 1 + e−x = [1 sigm(x)] sigm(x).

d d (sigm(x)) = dx dx

1 1 + e−x

e−x

−

−

−



(1.12)

La derivada de la función de activación tangente hiperbólica está descrita por la expresión: d d (tanh(x)) = dx dx = 1



senh(x) cosh(x)



=

cosh(x)2

− sen(x)2 =

cosh(x)2

− tanh(x)2.

(1.13)

De esta manera, las derivadas de estas funciones de activación quedan en función de ellas mismas, esto será útil para interpretar el algoritmo de ajuste de los pesos de la red neuronal como un proceso transferencia de información en sentido contrario, ver sección 1.2.4. En la figura 1.4, se presentan las gráficas de las derivadas de las funciones de activación. 1

Derivada Escalón Delta de Dirac d/dx[µ (x)]=δ (x) 1

0.25

Derivada Sigmoide d/dx[Sigm(x)] 1

Derivadas de las funciones de activaci´ on. Las derivadas de las funciones de activación sigmoide y tangente hiperbólica son funciones continuas. ....................................... Figura 1.4:

-1

Derivada Tangente Hiperbólico d/dx[Tanh(x)]

Derivada Saturación d/dx[Sat(x)]

La ecuación (1.9) es común a diferentes modelos de neuronas. En cada uno de los pesos w las neuronas almacenan la información sobre su forma de responder a la exitación en la entrada. Pero también es importante reflexionar sobre la organizaci´ on que las neuronas conservan dentro de una red, debido a que la respuesta colectiva potencializa la capacidad de las neuronas individuales.

– JMFA –

5


1.2.1.


Topolog´ıas

Como se ha mostrado en las secciones anteriores, las redes neuronales biológicas y artificiales están construidas en base a elementos de c´ alculo relativamente simples, que son capaces de aprender de su ambiente y modificar su forma de reaccionar ante él. Al modo en que las neuronas se organizan en la red se le conoce como Topolog´ıa. En las redes neuronales artificiles se clasifican en tres organizaciones elementales: una sola capa, de múltiples capas, y en malla, ver la figura 1.5.

Red Neuronal de una capa

Red Neuronal de Múltiples capas

Red Neuronal en malla

Topolog´ıas de redes neuronales artificiales. Se clasifican en tres estructuras los arreglos de neuronas: en una capa, múltiples capas y en malla. .......................................................................................... Figura 1.5:

En las redes neuronales, el modelo usado para las neuronas es quien le provee de su capacidad de adaptación, debido al conjunto de pesos ajustables que tiene. Pero otras caracter´ısticas importantes de las redes se basan en la organización que conserva cada neurona en la red; por ejemplo: de la dimensiones de la red puede depender que ésta sea capaz de asimilar la información que los patrones de entrenamiento contienen. Las siguientes son algunas caracter´ısticas que las redes neuronales tiene por su organización interna. Caracter´ısisticas de las redes neuronales debidas a su topolog´ıa.

 •  •••

Paralelismo. Representaci´ on y cálculo distribuido. Inherente procesamiento contextual de la información. Tolerancia a fallas.

Otra clasificación para las redes neuronales se basa en la manera en que la información se transmite en la red. Se dividen en dos grupos: redes con conexiones hacia adelante (estáticas) y redes neuronales recurrentes (con retroalimentaciones) o dinámicas, ver la figura 1.6. En la próxima sección se presentan las redes neuronales estáticas, se dan sus modelos y principales caracter´ısticas.

1.2.2.

Redes Neuronales Artificiales Est´ aticas

Si la respuesta de una red neuronal depende únicamente de sus entradas se dice que es una red neuronal estática; es decir, que realiza un mapeo desde el espacio de entrada al espacio de salida, y por tanto, la respuesta de la red neuronal para cada entrada no depende del tiempo en el cual se aplica, ni de señales de instantes anteriores. Existen dos tipos de redes neuronales estáticas que han sido extensamente estudiadas, estas son: Las redes neuronales de m´ ultiples capas o niveles (RNMC), y las redes neuronales de funciones radiales básicas (RNFRB). Redes Neuronales de M´ ultiples Capas Estas redes neuronales están construidas por neuronas organizadas en capas. Cada nivel de la red tiene como entrada a todas o un conjunto de las salidas de la capa anterior. Un ejemplo de una red neuronal con múltiples capas se presenta 6

– JMFA –



Redes Neuronales

Estáticas

Dinámicas

Perceptrón de una Capa

Redes Competitivas

Redes de KOHONEN Perceptrón de Múltiples Capas Redes de HOPFIEL

Redes de Funciones Radiales Básicas

Adaptive Resonance Theory ART

Tipos de redes neuronales. Las redes neuronales pueden clasificarse en dos grupos: redes neuronales est´ aticas y redes neuronales dinámicas (recurrentes). ................................................................................................................. Figura 1.6:

en la figura 1.7. La primera capa de la red es la de entrada; su función es la de distribuir las entradas de la red en la primera capa oculta. La última capa genera las salidas de la red neuronal y las capas que se localizan entre la primera y la de salida se les denomina ocultas. La configuración o topolog´ıa que se presenta en la figura 1.7 se expresa como: 2 , 3, 4, 3 , esto significa que esta red neuronal tiene dos entradas; la primera capa oculta con tres neuronas; la segunda capa oculta con cuatro neuronas y la capa de salida con tres neuronas.

{

}

No. de capas de la red No. de entradas de la red No. nodos de la capa i (i = 1, . . . , L No. de salidas de la red

− 1)

Topolog´ıa de una red neuronal m´ ultiples capas: n0 , . . . , nL ; n0 indica el n´ umero de neuronas en la capa de entrada, ni es el n´ umero de neuronas en la capa i, nL es el n´ umero de salidas de la red neuronal. Tabla 1.1:

L n0 ni nL

{

}

En la figura 1.7 se observan a: Γli , sli y xli que representan la función de activación, la combinación lineal de las entradas y la salida del nodo i en la capa l, respectivamente. Las entradas de compensaci´ on: x0 y xl0 se hacen igual a l 1. Notar que para la capa de salida xL i = yi ; i = 1, . . . , n L . Donde W = [wij ]; i = 1, . . . , n l ; j = 1, . . . , n l−1 es la matriz de pesos de la capa l ésima, en donde cada fila i contiene los par´ ametros que ponderan a las entradas del nodo (neurona) i que pertenece la capa l.

−

El flujo de información se transmite en un sólo sentido. De manera que una red neuronal de múltiples capas es un mapeo no lineal entre el espacio de entrada, , al espacio de salida, ; es decir: . El flujo de la información se describe por las ecuaciones:

X

Y

X → Y

x0 = [1, x1 , . . . , xno ]T ;

(1.14)

sl = W l xl−1 ; Γl = [Γl1 , . . . , Γlnl ]T ,

(1.15) (1.16)



xl = Γl sl ;

1
≤ L;

xL = y = [y1 , . . . , ynL ]T , – JMFA –

(1.17) (1.18) 7



x 2o= 1 x o= 1

x

1 o =

W

1

s

1

1 1

Γ

x 2

s

W s

1 2

Γ

1 2

s 13

Γ

1 3

W

2 1

Γ

2 1

1

1 1

x 1

2

x 1

s

2 2

Γ

2 2

x 12

s

2 3

Γ

2 3

x 13

s

2 4

Γ

2 4

Capa de Entrada

1er Capa Oculta

2da Capa Oculta

x 21

3

s 31

Γ

3 1

x 22 s 32

Γ

3 2

x 23 s 33

Γ

3 3

x 24

x 31 = y 1 x 32 = y 2 x 33 = y 3

Red neuronal de m´ ultiples capas. Esta red neuronal tiene dos entradas; una capa oculta con tres neuronas; una segunda capa oculta con cuatro neuronas y una capa de salida con tres neuronas. Topolog´ıa 2, 3, 4, 3 .................................. Figura 1.7:

{

}

3er Capa Oculta (salida)

en donde sl , xl son vectores y sus componentes son la suma ponderada y salidas de los nodos en la capa l, respectivamente.

Redes de Funciones Radiales B´ asicas Un inconveniente de las redes neuronales de múltiples capas es que su entrenamiento (ajuste de pesos) es lento; la minimizaci´ on del ´ındice cuadrático del error de salida requiere de comparar en varias ocasiones del conjunto de datos de entrenamiento con la respuesta de la red neuronal. Las redes neuronales de funciones radiales básicas son una alternativa a las redes neuronales de múltiples capas. En partes de la corteza celebral y visual se encuentran campos receptivos que se interceptan y que son localmente sintonizados. Las funciones radiales básicas se basan en estos sistemas biológicos. En la figura 1.8 se presenta este tipo de red neuronal.

R1 x 1

W

1

y

x 2 x 3

Red neuronal de funciones radiales b´ asicas. Este tipo de red neuronal tiene un entrenamiento rápido, debido a que el valor de los pesos se actualiza fuera de l´ınea. ........................................................ Figura 1.8:

Rn

En la figura 1.8 xi , i = 1, 2, . . . , n; la salida es y = F f r (x); Ri son funciones radiales; por ejemplo: la función de Gauss. Si se supone que la red neuronal tiene nR nodos, entonces de la figura 1.8 se deduce que la salida de este tipo de red neuronal se expresa de la forma: nr

y = F fr (x, θ) =



wi Ri (x).

(1.19)

i=1

en donde θ está integrada por los parámetros wi . Hay varias opciones para las funciones radiales básicas, Ri (x), siendo lo más común utilizar la función de Gauss: Ri (x) = e

−

|x

2

ci | σ2 i

−

en donde ci represent´ a los centros de la función; σi es un escalar y define el radio de la función de activación. 8

– JMFA –

(1.20)



Redes Neuronales Est´ aticas–Aplicaciones Las principales tareas para las cuales se aplican las redes neuronales estáticas son aquellas en donde es necesario construir una relación funcional entre la entrada y la salida, como ejemplos de aplicaciones se tienen las listadas a continuaci´ on: 1. Clasificación de Patrones. 2. Aproximación de Funciones. 3. Memoria Asociativa. 1.- Clasificaci´ on de Patrones: Sea p una muestra que pertenece a un conjunto Se dice que p es de clase c, si existe una función f , tal que: f : p

P , y c es un designador de clase. (1.21)

→ c.

A todas las muestras p en que cumplen (1.21) forman la clase

2.- Aproximaci´ on de Funciones: una f ˆ tal que:

C: C = { p ∈ P|f : p → c} . (1.22) Dada una función f : x → y, en donde x ∈ X ⊆ Rn , y ∈ Y ⊆ Rm . Encontrar



f (x)

−



ˆ f (x) < ǫ;

∀x ∈ X .

en donde ǫ es un entero positivo pequeño. Se dice que f ˆ es una aproximación en

(1.23)

X de f .

3.- Memoria Asociativa: En la actualidad las computadoras tienen memorias direccionadas, es decir memorias que necesitan como información de entrada una dirección para recuperar un dato, esto las hace que tengan una estructura r´ıgida; en consecuencia tienen un tiempo de escritura y lectura grande. Una memoria asociativa, por el contrario, no requiere de una dirección espec´ıfica para recuperar un dato guardado en ella, lo que necesita es otro dato; es decir, que en este tipo de memorias se recupera la información por la asociación impuesta sobre su contenido. Este modo de operar hace a una memoria asociativa más rápida en la recuperación de la información. En las anteriores tareas las redes neuronales estáticas han tenido éxito para su solución. Pero como se ha visto, las neuronas biológicas de forma natural son modeladas como sistemas dinámicos. En las siguientes secciones se dar´ an algunos ejemplos de redes neuronales artificiales modeladas como sistemas dinámicos.

1.2.3.

Redes Neuronales Artificiales Din´ amicas (Recurrentes)

En las redes neuronales est´ aticas su respuesta es independiente del tiempo. En consecuencia, una vez que se han ajustado sus parámetros, la respuesta a una entrada determinada será la misma, no importando en que instante la entrada se presente. Las redes neuronales estáticas son muy útiles en los problemas de clasificación de patrones y aproximación de funciones porque construyen aplicaciones no lineales entre el espacio de entradas al espacio de salidas de las variables involucradas. En teor´ıa, se tiene la certeza de que una red neuronal de conexiones hac´ıa adelante con una capa oculta no lineal y una capa de salida lineal puede aproximar cualquier función con el grado de precisión que se desee, ver las referencias [3, 4, 5]. Hay problemas que necesitan de un sistema que tenga una respuesta dependiente de su estado anterior. Y por tanto, requieren de estructuras que tengan una dinámica interna propia. Si la respuesta de una red neuronal depende de su pasado se dice que es una red neuronal din´ amica. Algunas de las tareas para este tipo de redes neuronales son: la predici´ on de series , la identificaci´ on y el control de sistemas dinámicos . Existen diversos modelos de redes neuronales dinámicas. Algunos de ellos se basan en los modelos estáticos que por medio de l´ıneas de retardo retroalimentan alguna de las señales generadas por la red, ver las referencias [8, 9, 10]. Otros modelos tienen l´ıneas de retroalimentación en cada una de las neuronas y que actúan como memorias de corto plazo, [6]. Las redes neuronales recurrentes se han usado para mejorar el desempeño en problemas de clasificación que habian sido resueltos por medio de redes neuronales estáticas. Dos modelos de redes neuronales que se han ocupado con este objetivo son: – JMFA –

9



Red de Hopfield. M´ aquina de Boltzmann. Red de Hopfield La red de Hopfiel es una de las redes neuronales dinámicas que más han sido estudiadas. Consiste en nodos ordenados en una sóla capa, con lazos de retroalimentación interiores y exteriores. El modelo de la neurona de Hopfield en su forma discreta está definida por la expresión: n

xi (k + 1) = pixi (k) +



wij σj (xj (k)) + ui (k),

(1.24)

j=1

en donde pi < 1 es el coeficiente de retroalimentación interna; xi es el estado interno del nodo i; σ( ) es la función de activaci´ on; wij son los pesos sinapticos de la neurona, ver figura 1.9

·

σ1

wi,1

ui

z

+ σn

x(k)

x(k+1)

wi, n

-1

σ

(*)

Neurona de Hopfield. La salida de la red neuronal se retroalimenta hacia la entrada de cada neurona. ........................................................ Figura 1.9:

pi

Algunas de las aplicaciones de esta red están en los problemas de clasificación, análisis de imágenes y como memoria asociativa (memoria que almacena y recupera la información por medio de un análisis del contexto de la información). En la figura 1.10 se presenta una red de Hopfield con tres neuronas.

u1

x(k+1) 1

+

z -1

x(k) 1 σ

(* )

y1

p1 u2

x(k+1) 2

+

z -1

Red de Hopfield con tres neuronas. En una red de Hopfield se retroalimentan las señales internas y externas. ........................................................ Figura 1.10:

x(k) 2 σ

(* )

σ

(* )

y2

p2 u3

x(k+1) 3

+

z -1

x(k) 3

y2

p3

M´ aquina de Boltzmann La máquina de Boltzmann es una extensión de la red de Hopfield que incluye nodos o cultos y con una regla estocástica de ajuste de los pesos. Los pesos en esta red son simétricos y su actualización está basado en el principio de templado simulado (annealing), en donde un material es calentado y enseguida es enfriado de forma lenta, como resultado el material presenta una estructura cristálina ordenada sin impurezas de manera que el sistema se encuentra en un estado de muy baja energ´ıa, figura 1.11. 10

– JMFA –


1

2

3

L


Neuronas Ocultas

M´ aquina de Boltzmann. Esta es una red neuronal con una técnica de aprendizaje de tipo estocástico. ........................................................ Figura 1.11:

1

2

3

K

Neuronas Visibles

La máquina de Boltzmann es una máquina estocástica formada por neuronas estocásticas. Una neurona estocástica está en uno de dos estados posibles de manera probabil´ıstica. Las neuronas de la máquina de Boltzmann se dividen en dos grupos: las visibles y las ocultas. Las neuronas visibles son una interface entre la red y el ambiente en el cual ésta opera. Durante la fase de entrenamiento las neuronas visibles son obligadas a permanecer en un estado que es determinado por el ambiente. Las neuronas ocultas, por el contrario, son libres de tomar cualquiera de los estados. Redes Neuronales Localmente Recurrrentes En el art´ıculo [7] se analizan diversas estructuras de redes neuronales recurrentes, en particular, una clase de redes que tienen retrolimentaciones locales o internas, pero cuya estructura global es la de una red de conexiones directas (local-recurrent-global-feedforward ). En la figura 1.12 se presentan cuatro estructuras que en [7] se citan. En la figura 1.12.a se presenta el modelo de Lapedes-Farber . En este modelo una neurona está descrita por medio de la expresión: n

y(t) = f [a(t)] ;

a(t) =



wi xi ,

(1.25)

i=1

en donde xi , i = 1, 2, . . . , n son las entradas a la neurona y wi , i = 1, 2, . . . , n son pesos constantes. En este modelo la señal de activación de la neurona, a(t), es la suma ponderada de las entradas. A partir de modelo se derivan tres métodos para incorporar algún tipo de retroalimentación: 1.- Retroalimentaci´ on local de la activaci´ on neuronal: figura 1.12.b . En este tipo las entradas son una versión retardada de la señal de activación local; es decir, xi = a(t i), i = 1, 2 . . . , n, o una combinación de una versi´ on retardada de la señal de activación local y de la señal de entrada.

−

2.- Retroalimentaci´ on local de la sinapsis: figura 1.12.c . En este tipo de red neuronal cada sinapsis incorpora una estructura de retroalimentación. Notar que la retroalimentación local de la activación neuronal, es un caso especial de esta estructura. En esta estructura cada sinapsis se considera como si fuera una retroalimentación local, y la activación local de cada sinapsis es añadida antes de entrar a la función no lineal f ( ).

·

3.- Retroalimentaci´ on local de la salida: figura 1.12.d . En este tipo las entradas de la red son de la forma: xi = y(t i), i = 1, 2, . . . , n; es decir, que ahora las entradas son las versiones retardadas de la señal de salida o que hay una retroalimentación alrededor de la función no lineal.

−

En la sección que sigue se presenta un grupo de modelos de red neuronal recurrente que son útiles para los problemas de identificaci´ on y control de sistemas dinámicos. Se basan en la representación de los sistemas dinámicos como dependientes de sus condiciones en el pasado, ver [9, 8]. Modelo NARMA de una Red Neuronal Din´ amica Sea un sistema dinámico no lineal discreto con una entrada, u( ) y una salida, y( ). Su comportamiento dinámico se describe por la expresi´ on: y(k + 1) = F [y(k), . . . , y(k n); u(k), . . . , u(k m)] , (1.26)

·

−

– JMFA –

·

−

11


x 1 x 2

w1 w2

x n

wn


x(t)

a(t)

Σ

f(.)

y(t)

Sistema dinámico lineal

Σ

(a) x 1

x(t)

G2

x n

Gn

f(. )

y(t)

(b)

G1

x 2

a(t)

a(t)

Σ

f(.)

y(t)

Sistema dinámico lineal

Σ

(c)

a(t)

f(. )

y(t)

(d)

Estructuras de redes neuronales recurrentes (local-recurrent-global-feedforward). a) La se˜ nal de activación es una combinación lineal de las entradas. La función de activación, f ( ) , es no lineal. b) Retroalimentaci´ on local de la se˜ nal de activación. c) Retroalimentaci´ on local de la sinapsis. d) Retroalimentaci´ on local de la salida. ................................................................................................................. Figura 1.12:

·

en donde F ( ; ) es una función no lineal suave; k es el ´ındice de iteración; n y m son enteros positivos y y(k i) representa el i-ésimo valor pasado de la variable y. La entrada u(k) afecta a la salida y(k + 1); esto es, que el sistema tiene grado relativo igual a uno.

··

−

De la ecuación (1.26) se derivan cuatro modelos de identificación para el sistema no lineal. En el primero modelo se hace la suposición de que la función no lineal F ( ; ) se desconoce por completo. As´ı que la tarea consiste en proponer una red neuronal, N N , que aproxime a F ( ; ), ver la figura 1.13.a.

··

··

En el segundo modelo, la hipótesis que utiliza considera que la función no lineal F ( ; ) se divide en otras dos funciones no lineales desconocidas: F 1 ( ) y F 2 ( ); en donde la primera función depende solamente de los retardos de la entrada y la segunda función depende de la señal de entrada y sus retardos. Como se observa en la figura 1.13.b, este modelo usa dos redes neuronales para sustituir las funciones no lineales F 1 y F 2 .

·

··

·

En el tercer y cuarto modelos suponen que la planta tiene una parte que es una función lineal de la entrada, o de la salida, respectivamente, ver la figura 1.13.c, d. Entonces se propone sustituir la parte no lineal por una red neuronal. De esta forma, el modelo de la planta está integrado por dos bloques, uno con la función lineal conocida. y el otro con una red neuronal que aproxima la no linealidad de la planta. Redes de Jordan y Helman Las redes de Jordan y Elman son básicamente redes de conexiones hacia adelante ( FeedForward ) en las cuales existe retroalimentaci´ on de la capa de salida en una red de Jordan, o la capa oculta en una red de Elman, ver la figura 1.14. Estas redes añaden un elemento de recurrencia sin necesidad de nuevos algoritmos de aprendizaje. Los pesos en los caminos de recurrencia no son ajustables, estos pesos se ponen igual a uno cuando se desea como entrada una copia de la señal de activación de la neurona, o igual a 0.5 para obtener un enlace que decrece exponencialmente. La mayor ventaja de este tipo de red neuronal recurrente es su simplicidad. La red de Jordan sea ha usado en algunas tareas de control de sistemas. La red de Elman se utiliza en problemas de predicción de secuencias; por ejemplo: en la entrada de una red de Elman se presenta una secuencia de vectores, y obtenemos como salida una predicción del siguiente s´ımbolo. Una vez que se ha seleccionado una topolog´ıa de red neuronal se debe establecer la forma en que se ajustan sus pesos, en otras palabras, se necesita definir el criterio y la ley para actualizar los pesos de la red neuronal. En la siguiente secci´ on se aborda este tema. 12

– JMFA –


y(k)

y(k-1) y(k-2) z-1

z-1

1.2. Redes Neuronales Artificiales y(k)

y(k-n) z-1

y(k-1) y(k-2) y(k-n) z-1

u(k)

z-1

z-1

u(k) z-1

u(k-1)

u(k-1) ^

y(k)

u(k-2)

(NN)

u(k-2)

F2 (.) z-1

F(.)

z-1

z-1

(NN2)

F1 (.) (NN1)

^

Σ

z-1

z-1

y(k)

u(k-p)

u(k-p) ^

y(k)=F[ y(k-1),..., y(k-n); u(k-1),...,u(k-p)]

^

y(k)=F ]+ F2[ y(k-1),..., y(k-n)] 1 [ u(k-1),...,u(k-p)

(a) y(k)

u(k) u(k-1)

y(k-1) y(k-2) z-1

z-1

z-1

u(k)

y(k-1) y(k-2) y(k-n) z-1

z-1

z-1

u(k-2) z-1

z-1

^

b p

Σ

Σ

y(k)

z-1

p

i=1

a2

an

F1 (.) (NN1)

^

y(k)

Σ

u(k-p)

y(k)=Σ bi u(k-i)+ F2[ y(k-1),..., y(k-n)]

z-1

a1

z-1

(NN2) F2 (.)

b2

^

y(k)

F2 (.)

z-1

u(k-p)

y(k-n)

u(k-1) b1

u(k-2)

(b)

n

y(k)= F1[ u(k-1),...,u(k-p)]+Σ ai y(k-i) ^

(c)

i=1

(d)

Cuatro Modelos para un sistema desconocido no lineal discreto de una entrada y una salida. a) La parte no lineal se concentra en una sola función F ( ). b) La no linealidad se divide en dos funciones en la que una de ellas depende de los retardos de la entrada, F 1 , y la otra función de la salida actual y sus retardos F 2 . c) Este modelo es lineal con respecto a los retardos de la entrada, y no lineal con respecto a su salida y sus retardos, F 2 . d) En este modelo, la no linealidad es función de los retardos de la entrada, F 1 , y lineal con respecto a su salidas y sus retardos. ................................................................................................................. Figura 1.13:

·

1.2.4.

Proceso de Aprendizaje

En esta sección se da un resumen de los paradigmas y algoritmos de aprendizaje más importantes en el campo de las redes neuronales, ver [15]. Definici´ on de aprendizaje: El aprendizaje es el proceso a través del cual los parámetros de una red neuronal se modifican. Es un proceso continuo de estimulación y de reducción de un criterio de error. El tipo de aprendizaje depende de la tarea y tiene consecuencias en la manera en que los pesos son actualizados. El proceso general del aprendizaje se puede sintetizar en tres pasos: 1. La red neuronal es estimulada por el ambiente. 2. En consecuencia, la red realiza cambios internos (actualización de los parámetros). 3. Y debido a los cambios internos en su estructura la red neuronal responde de forma diferente. Con el fin de analizar el proceso de aprendizaje se divide en dos categor´ıas: los paradigmas, o modelos, y los algoritmos de aprendizaje, ver la figura 1.15. – JMFA –

13



Nodos de salida

Nodos de salida

Nodos Ocultos

Nodos de entrada

Nodos Ocultos

Nodos de Contexto

Red de tipo Jordan

Nodos de entrada

Nodos de Contexto

Red de tipo Helman

Estructura de la red de Jordan y de Elman. En la red de neuronal de Jordan la retroalimentación es entre la salida y los nodos de la capa de contexto (capa oculta). En la red neuronal de Elman la retroalimentación se realiza entre la capa oculta y la de contexto. ................................................................................................................. Figura 1.14:

Proceso de Aprendizaje

Algoritmos de Aprendizaje

Paradigmas de Aprendizaje

Supervisado

Corrección por Error Boltzmann

Reforzado

Ley de los Efectos (Thorndike) Ley Hebiana

No Supervisado (Auto-Organizado)

Competitivo

Divisi´ on del Aprendizaje. El concepto de aprendizaje se divide en dos categor´ıas: Los paradigmas de aprendizaje que son modelos que describen los componentes y la forma en que interactúan en los procesos de aprendizaje y los algoritmos de aprendizaje que son las herramientas con que se realiza. ................................................................................................................. Figura 1.15:

14

– JMFA –



Paradigmas de Aprendizaje Es un modelo del agente de aprendizaje y del ambiente en el que opera, describe la forma en que interactuan con la información disponible, ver la figura 1.16. Los tres principales paradigmas de aprendizaje son los siguientes: 1.- Aprendizaje Supervisado: Este modelo de aprendizaje supone la existencia de un maestro que tiene como funci´ on orientar el aprendizaje de la red neuronal. El maestro proporciona a la red neuronal ejemplos de lo que desea que sea aprendido, la red asume que estas muestras están libres de error. En el modelo supervisado se desea que una vez que el agente ha asimilado las muestras proporcionadas por el maestro, la red neuronal debe ser capaz de reproducir la relación causa-efecto aprendida sin error, y con algún grado aceptable de error cuando se utilicen muestras distintas a las usadas durante la fase de aprendizaje, a esto último se le conoce como generalizaci´ on. 2.- Aprendizaje Reforzado: En el modelo de aprendizaje reforzado no existe un maestro que coordine el aprendizaje durante cada paso, p ero la red neuronal tiene la oportunidad de saber, después de un conjunto de acciones causaefecto, si se ha logrado cumplir, o no, con los objetivos; es decir, existe un elemento de cr´ıtica. La información recibida por la red neuronal es de menor calidad que en el caso supervisado porque hasta el final del proceso se evalúa si se cumple con el objetivo. De este modelo de aprendizaje se deriva el llamado problema de asignaci´ on de crédito . El problema de asignación de crédito consiste en cómo propagar la consecuencia última del proceso de aprendizaje hacia todo el conjunto de decisiones que fueron necesarias para llegar al resultado actual. 3.- Aprendizaje No Supervisado: En el modelo no supervisado se carece de un elemento externo que indique lo que debe ser aprendido, o su calidad. Aqu´ı se considera que la red neuronal es capaz de extraer caracter´ısticas de la misma información, y añade éstas a su comportamiento.

Error

Acciones

Estado Ambiente

Estado

Estado -

RN

Ambiente

Respuesta Real Maestro

Ambiente

RN

Señal de Refuerzo Crítica

Respuesta deseada

Aprendizaje Supervisado

RN

Aprendizaje Reforzado

Aprendizaje No Supervisado

Paradigmas de Aprendizaje. Los paradigmas de aprendizaje se dividen entres tipos: el aprendizaje supervisado, reforzado y el no supervisado. ................................................................................................................. Figura 1.16:

En estos tres paradigmas o modelos del aprendizaje se basan los algoritmos encargados de ejecutar la tarea de ajuste de los pesos de red neuronal. A continuación se describen algunos de los m´ as importantes. Algoritmos de Aprendizaje Los principales algoritmos de aprendizaje para redes neuronales son: correcci´ on por error , la ley Hebbiana y el algoritmo de tipo competitivo , en seguida una breve explicación de ellos. 1.- Correcci´ on por Error: Este algoritmo de aprendizaje est´ a basado en el modelo supervisado, ya que existe una señal deseada para las salidas de la red. La función del error se define como: ei (k) = yid (k) – JMFA –

− yi(k);

(1.27) 15



en donde ei (k) es la señal de error; yid (k) es la señal deseada; yi (k) es la señal de salida de la red neuronal, todos en el instante k. El algoritmo se basa en la minimización de la función de costo a través del método del gradiente descendente. En aplicaciones que requieran que el ajuste de los pesos se realize en cada iteración, se utiliza el valor instant´ aneo de la suma de los cuadrados de los errores como criterio, o función de costo: E (k) =

1 2



e2r (k).

(1.28)

r

La función de costo debe ser minimizada en términos de los pesos sinápticos de la red neuronal. Para esto se utiliza la siguiente regla, llamada regla delta: ∆wij (k) = wij (k + 1)

− wij (k) = ηei (k)xj (k)

(1.29)

en donde η es el ´ındice de aprendizaje. La regla de corrección por error se comporta como un sistema de lazo cerrado y el ´ındice de aprendizaje asegura la estabilidad del algoritmo. Si la red neuronal consiste de unidades de procesamiento (nodos) lineales, la superficie del error es una función cuadr´ atica de los pesos con un sólo m´ınimo global. Pero si la red neuronal consiste en unidades de procesamiento no lineales, la supercifie del error tiene un m´ınimo global y posiblemente varios m´ınimos locales. Debido a que el algoritmo de aprendizaje inicia en un punto arbitrario de la superficie y va paso a paso en busca de un m´ınimo, la regla delta puede caer en un m´ınimo local y esto ocasionar´ıa que nunca alcance el m´ınimo global. Este es uno de los problemas de actualizar los pesos usando la ecuación (1.29) pero, por otra parte, su sencillez y fácil implementación la hacen muy popular. Uno de los algoritmos de aprendizaje por corrección del error para redes con conexiones hacia adelante es el de retropropagaci´ on del error que a continuación se desarrolla.

Algoritmo de Retropropagación del Error: En esta sección se presenta el algoritmo conocido como de Retropropagaci´ on del Error este algoritmo se utiliza para ajustar las redes neuronales del tipo de conexiones hacia adelante ( FeedForward ), que es una red est´ atica. Este algoritmo tiene dos presentaciones: Por lote (Bach) y el iterativo (en l´ınea). En el algoritmo por lote el ajuste de los pesos de la red se lleva al final de cada época, es decir, una vez que se ha comparado la respuesta actual de la red para todo el conjunto de datos de entrenamiento. Para este caso el ´ındice de desempeño está descrito por la expresión:

   N

E

1 = 2 n=1

P

e2i (n) ,

(1.30)

i=1

en donde N es un entero que define el número de épocas . Una época es el conjunto completo de los patrones o datos de entrenamiento. Se utiliza a P para indicar el número de patrones de entrenamiento; ei para indicar el error de la salida i de la red neuronal. El ajuste de los pesos se realiza al final de cada época. Para los problemas de control, se necesita de otro tipo de algoritmo debido a que la actualización de los pesos se debe hacer en cada iteración del proceso. En el caso iterativo se considera que para cada elemento del conjunto de entrenamiento se realiza un ajuste de los pesos de la red. Este tipo de algoritmo es el que nos interesa ya que permite que se use en aplicaciones que requieren de un ajuste continuo de los par´ ametros la red neuronal. Para desarrollar el algoritmo de retropropagación del error se utiliza un caso particular de una red neuronal con una configuración de dos entradas, dos nodos ocultos en la primer capa oculta, tres nodos en la segunda capa oculta, y dos nodos de salida o, de forma resumida, tiene una configuración 2, 2, 3, 2 , figura 1.17. El algoritmo de retropropagación del error se basa en la minimización del valor medio de la suma de los errores de salida al cuadrado:

{

nL

E (k) =

 i=1

yid (k)

nL

 

− yi (k) 2 =

}

ei (k)2 ,

(1.31)

i=1

en donde yid (k) valor deseado en la salida i de la red neuronal; E (k) es el ´ındice de desempeño, ambos en el instante k. 16

– JMFA –

Cap´ıtulo ıtulo 1. Introduc Introducci´ ción: Redes Neuronales


x 2o= 1 1 o =

x o= 1

x W

1

s

1 1

x 2

W s

Γ s 12

Γ

1 2

x 1 x

W

2 1

Γ

2 1

1

1 1

x 1

2

1

s

2 2

Γ

2 2

1 2

s

2 3

Γ

2 3

1

3

e

x 21 s

3 1

Γ

3 1

x

2 2

s 32

Γ

3 2

x 23

1

x 31 = y 1 x 32 = y 2

e

Capa de Entrada

1er Capa Oculta

+-

+

d 1 d 2

2

3er Capa Oculta (salida)

2da Capa Oculta

Red Neuronal con tres capas. El entrenamiento por retropropagación on del error consiste en transladar el error de salida hacia las capas internas de la red neuronal. ................................................................................................................. Figura 1.17:

La actualización on de los pesos de la red se realiza por medio de la expresión: l ∆wij (k ) =

∂E ((k ) ∂E −η ∂w , l (k )

(1.32)

ij

l en donde η es el ´ındice de aprendizaje; wij es el peso de la capa l que conecta a la salida de la neurona j de l l l la capa l 1 con la entrada de la neurona i en la capa l y ∆wij (k ) = wij (k + 1) wij (k ). Ahora se divide el proceso en dos casos, el primero cuando el peso a ajustar pertenece a la capa de salida de la red; y el otro caso cuando el peso a actualizar pertenece a alguna de las capas ocultas de la red. Esta separaci´ on se debe a que los pesos que est´ on an en la capa de salid an salidaa la deriv derivada ada del ´ındice de desem desempe˜ peño es funci´ on directa del error, ei (k ). Por el contrario, no está claro el efecto de los pesos de las capas ocultas sobre on el error de salida. Para ambos procesos se hace uso de la regla de la cadena para la derivación derivación de funciones.

−

−

Pesos en la capa de salida: 3 Sea wij (k ) un peso que pertenece a la capa 3 (cap (capaa de salida). Usando (1.32) y deriv derivando ando tiene: 3 ∆wij (k ) = 3 ∆wij (k )

∂E ((k ) ∂E −η ∂w , 3 (k )

(1.33)

ij

∂E (k ) ∂s 3i (k ) ∂E ( η 3 3 , ∂s i (k) ∂w ij

=

−

=

∂E ((k ) 2 ∂E −η ∂s 3 (k) xj (k ),

(1.34) (1.35)

i

en donde los ´ındices i = 1, . . . , 2 y j = 0, . . . , 3. De aqu´ aqu´ı se define el gradiente local de la capa de salida como: δi3 (k ) =

∂E (k ) ∂E ( . ∂s 3i (k )

(1.36) (1.37)

As´ı que para hallar el valor del gradiente de la función de costo con respecto al valor del peso es necesario As´ determinar el valor del gradiente local: δi3 (k) =

∂E (k ) ∂x 3i (k ) ∂E ( , ∂x 3i (k ) ∂s 3i (k )

– JMFA –

(1.38) 17


Cap´ıtulo 1. Introducción: Redes Neuronales ∂E (k ) 3 3 ∂E ( ′ Γi si (k ) , 3 ∂x i (k )

=

−ei(k)Γ3i δi3 (k) = −ei (k)Γ3i =

     

(1.39)

′

s3i (k ) ,

(1.40)

′

s3i (k ) ,

(1.41)

para i = 1, 1 , 2. Entonces los pesos de la capa de entrada se actualizan con la regla:

 

′

3 ∆wij (k ) = ηe i (k )Γ3i s3i (k ) x2j (k ),

en donde los ´ındices i = 1, 2, y j = 0, 0 , . . . , 3.

(1.42)

Pesos en las capas ocultas: 2 Para la primera capa oculta. Sea wij (k ) un peso que pertenece a esta capa. La expresión para la actualización de estos pesos se obtiene a trav´ es del desarollo: es 2 ∆wij (k ) =

∂E ((k ) ∂E −η ∂w 2 (k ) ,

(1.43)

ij

2

=

∂E (k) ∂s i (k ) −η ∂s , 2 (k ) ∂w 2 (k )

(1.44)

∂E (k) 1 −η ∂s x (k ), 2 (k ) j

(1.45)

i

=

ij

i

para los ´ındices ındices:: i = 1, . . . , 3 y j = 0, 0 , . . . , 2. El gradiente local de esta capa oculta es: ∂E (k ) ∂E ( , ∂s 2i (k ) ∂E ((k ) ∂x 2i (k ) ∂E = , ∂x 2i (k ) ∂s 2i (k ) ∂E ((k ) 2 2 ∂E ′ = Γi si (k) . 2 ∂x i (k )

δi2 (k ) =

Se desarrolla

∂E (k) ∂E( ∂x 2j

(1.46) (1.47)

 

de la forma siguiente: ∂E (k ) ∂E ( = ∂x 2i (k ) =

2

  

∂E (k ) ∂s 3r (k) ∂E ( , ∂s 3r (k) ∂x 2i (k )

(1.49)

∂E (k ) 2 ∂E ( w (k ), ∂s 3r (k) ri

(1.50)

3 δr3 (k )wri (k).

(1.51)

r=1 2 r=1 2

=

(1.48)

r=1

El gradiente local de esta capa está expresado como se muestra a continuación: δi2 (k ) =

Γ2i

2

  s2i (k )

′

3 δr3 (k )wri (k ),

(1.52)

r=1

para i = 1, 1 , 2, 3. Finalmente los pesos de la capa oculta 2 se actualizan por medio de la expresión: 2 ∆wij (k ) =

−ηδi2(k)x1j (k), 2 3 = −η δr3 (k )wri (k )

 r=1

18

– JMFA –

  

′

Γ2i s2i (k) x1j (k ),

(1.53)

Cap´ıtulo ıtulo 1. Introduc Introducci´ ción: Redes Neuronales


en donde i = 1, 1 , 2, 3; j = 0, . . . , 2. Para la capa de entrada, el procedimiento es similar, de manera que la expresión expresión para el ajuste de sus pesos es la siguiente: 1 ∆wij (k ) =

−ηδi1(k)x1j (k), 3 2 = −η δr2 (k )wri (k )



  

r=1

′

Γ1i s1i (k) x0j (k ),

(1.54)

para i = 1, 1 , 2; j = 0, . . . , 2. La ecuaciones para obtener los gradientes de la red neuronal definen un modelo adjunto o modelo de sensibilidad de la red. Esta red de sensibilidad define el paso hacia atr´ as durante el cual se determinan los gradientes as locales de los nodos de la red original, figura 1.2.4.

δ21 δ11

w 11 Π 2

1 1

w 12

Γ

2

w 12 2

w 13

Γ

3 1

3 2

δ

3

2 2

w 22

2 2

δ23

Γ

3 2

3

3 1

-e2

Π

w 31

1 2

-e1

Π

3

Π

Π

δ31

w 21

2

1 2

2 1

δ22

w 13 w 11

Γ

3

Γ

2

1 1

δ

w 11 2 1

w 12

Γ 1 2

3

Π

2

3 2

Modelo Mo delo de sensi sensibili bili-dad. El modelo de sensibilidad es una estructu estructura ra par parale alela la a la red que genera los gradientes locales. Figura Figur a 1.18:

3

Π

w 32

Γ

2 2

2 3

Retropropagaci´ on a Trav´ on es del Tiempo —Backpropagation Through Time: Básicamente es asicament e es una red neuronal recurrente que se desdobla en una red neuronal de conexiones hacia adelante ( FeedForward FeedForward )) y se aplica el algoritmo de entrenamiento de retropropagación dinámico amico del error para ajustar los pesos de la red recurrente, figura 1.19.

1

w11

w21 w12

w11

w22 1

w21 2

3

3

w23

2

3

o(t+ o( t+∆t) o(t)

w23

1

w21 w12

2

w22 1

2

w13

3

Retropropagaci´ on a trav´ es del es tiempo. Este algoritmo incorpora la informaci´ on an on anter terior ior con consid sidera erando ndo que en cad cadaa iteración on se agrega una nueva capa a la red neuronal. Figur Fig ura a 1.1 1.19 9:

o(t)

w11 w22

w13

w13

1

w12

2

o(∆t)

w23 3

Para cada instante de tiempo, la red neuronal recurrente duplica una capa de una red neuronal de conexiones hacia adelante. Cada nodo i de cada capa de la red feedforward representa la misma neurona de la red recurrente pero en distinto tiempo. Cada peso wij en la red original se duplica como el peso que va de la neurona i en el tiempo t a la neurona j en la capa correspondiente al tiempo t + ∆t; Todos los pesos wij están restringidos al mismo valor. Cuando los valores deseados son dados en el tiempo t1 , el error es propagado hacia todas las neuronas anteriores hasta la capa primera (tiempo inicial, t0 ) de la red desdoblada utilizando el algoritmo de retropropagación on dinámico. amico. El gradi gradiente ente de erro errorr de los pesos es justo la suma de todos los gradientes para todos los pesos de cada capa. Esta red neuronal tiene el problema que para secuencias muy grandes de tiempo los requerimientos de memoria aumentan grandemente.

– JMFA –

19

1.3. Conclusión

Cap´ıtulo 1. Introducción: on: Redes Neuronales

2.- Ley Hebbiana: La ley hebbiana corresponde al modelo de aprendizaje no supervisado. En esta ley, si dos neuronas conectada conec tadass en cualq cualquier uier lado de una sinap sinapsis sis est´ an acti an activas vas de for forma ma repeti repetida, da, enton entonces ces el valo valorr de la sinaps sinapsis is es selectivamente incrementado. Por el contrario, si las dos neuronas son asincrónicamente activadas, entonces el peso sináptico aptico es disminu disminuido. ido. Algunas propiedades de este algoritmo son las siguientes: Es un mecanismo dependiente del tiempo: La modificación on del valor de los pesos en la ley Hebbiana depende del tiempo en que ocurre la actividad neuronal. Es un mecanismo local: El algoritmo actúa ua de manera independiente sobre cada neurona. Mecanismo iterativo: El cambio en cada sinapsis depende de los nodos colocados en ambos lados de ella. Mecanismo de correlaci´ on: La ocur on: ocurren rencia cia de act activi ividad dad en amb ambos os lad lados, os, de la sin sinaps apsis, is, es sufic suficien iente te para producir la modificación on de los pesos. La correlación on positiva obliga su refuerzo, la correlación negativa su reducci´ on. on. 3.- Algoritmo Competitivo: Aqu Aqu´ ´ı las salidas de la red neuronal compiten entre ellas para ser activadas. La diferencia con la ley Hebbiana se encuentra en que pueden haber varias neuronas activas, pero en el algoritmo competitivo s´ olo una est´ olo a activa. Las tareas para las cuales este algoritmo suele utilizarse son en la clasificación, agrupamiento y la categorización on de los datos de entrada. ..............................................................................................................

1.3. 1. 3.

Conc Co nclu lusi si´ ´ on on

Por lo visto en este cap´ cap´ıtulo se puede pueden n cita citarr alguna algunass de las desventajas desventajas de los modelos de redes neuro neuronales nales que se acaban de presentar. Dichas desventajas son las siguientes: La gran variedad de modelos hace que se dificulte la busqueda de un modelo general de red neuronal, al menos para algunas tareas. Los modelos de redes neuronales que utili utilizan zan l´ l´ıneas de reta retardos rdos a la entra entrada da son de natur naturaleza aleza secuencial, secuencial, esto hace que su entre entrenami namiento ento sea lento lento.. Algunos Algun os de estos modelos, los lazos de retro retroalim alimentac entaci´ ión on no son entrenables. Algunos modelos de redes neuronales únicamente unicamente consideran el caso de sistemas de una entrada y una salida. En algunos casos la estabilidad de la red no se considera, especialmente para el entrenamiento. En la l a mayor´ mayor´ıa de los model modelos os los lo s parámetros no pueden ser directamente utilizados en los problemas de identificación y control de sistemas. Estos modelos no reali realizan zan la ident identifica ificaci´ ción on de estados ni de d e parámetros. ametros. Como conclusión on de este cap´ cap´ıtulo se puede decir que el campo de las redes neuronales artificiales ha estado madurando ya que en cada año no que pasa se va enriqueciendo con nuevas topolog´ topolog´ıas y algoritmos de entrenamiento. Las tareas van desde la aproximación on de funciones hasta modelos capaces de ser entrenados para reproducir el comportamiento de complejos sistemas dinámicos. amicos. En los siguientes cap´ cap´ıtulos se presenta una arquitectura de red neuronal recurrente que por su topolog topolog´´ıa y ley de entrenamiento está orientada para las aplicaciones de identificación y control de sistemas din´ di námic amicos os..

20

– JMFA –

Cap´ıtulo 2

Red Neuronal Recurrente Entrenable En este cap´ cap´ıtulo se pres presenta enta la estru estructura ctura de la red neuron neuronal al recurrente recurrente usada en este trabajo con algun algunas as de sus posibles modificaciones. La estructura de esta red neuronal se basa en un modelo en variables de estado de un sistema no lineal discreto. Todos los parámetros ametros de la red son entrenables a trav´ es de un algoritmo de tipo retropropagación del es error.

2.1.

Estructu Estr uctura ra de la Red Red Neurona Neuronall Recurren Recurrente te Entre Entrenabl nable e (RNRE) (RNRE)

En los trabajos [12, 11] se presenta una Red Neuronal Recurrente Entrenable ( RNRE) con algunos resultados de su aplicaci´ on en los problemas de identificación on on de sistemas no lineales. Esta red neuronal recurrente está descrita por las siguientes ecuaciones, ver la figura 2.1. Caso continuo: x˙ (t) = z (t) = y (t) = . J = Re σ(J )

J x(t) + Bu Bu((t), Γ[x(t)] )],, Γ[Cz (t)] )],, block diag( diag (J i ), <0

{

}

X (k + 1) Z (k ) Y ((k ) Y J

= = = . = σ(J )

(2.1) (2.2) (2.3) (2.4) (2.5)

Caso discreto:





J X (k) + BU BU ((k ), Γ[X (k )] )],, Γ[CZ CZ ((k )] )],, block diag( diag (J i), <1

(2.6) (2.7) (2.8) (2.9) (2.10)

en donde x( )[ )[X X ] es el vector de estados de la red; u( )[ )[U U ]] es el vector de entrada; y ( )[ )[Y Y ]] es el vector de salida; z ( )[ )[Z Z ] es un vector auxiliar. Las dimensiones de estos vectores son n, m, p y n, respectivamente. Γ( ) es un vector de funciones de activación on (en la deducción on del algoritmo de entrenamiento es preferible considerar a Γ como una matriz diagonal):

·

·

Γ(x Γ( x) : R

n

→R

·

n

:

      →   x1 .. .

Γ(x Γ( x1 ) .. .

xn

Γ(x Γ( xn )

.

·

·

(2.11)

Entre las posibles opciones para estas funciones se tienen la función sigmoide y la función on tanh tanh.. La dimensión on de este vector es la apropiada según sea para la capa interna de la red, o bien, para la capa de salida; J es una matriz 21

2.2. Propiedades de Observabilidad y Controlabilidad

Cap´ıtulo 2. Red Neuronal Recurrente Entrenable

diagonal por bloques. Los bloques corresponden a las formas de Jordan de dimensión (1 1) y (2 2); J i es el bloque i-ésimo de J . La propiedad (2.5) es la condición de estabilidad de la RNRE que implica que todos los valores propios de J (el espectro de J ) deben tener parte real negativa. En el caso discreto la condición de estabilidad es (2.10) indica que los elementos del espectro de J deben estar en el interior del c´ırculo unitario. Estas dos condiciones garantizan la estabilidad en la fase de operación de la red neuronal. Las matrices B y C son los pesos de entrada y salida de la RNRE, respectivamente. Notar que este modelo de RNRE es paramétrico de manera que es útil para tareas de identificación y control de sistemas. Los par´ ametros de la red son las matrices B, J y C .

×

.x(t)

u(t)

z(t)

Γ

Σ

B

Γ

C

y(t)

U(k)

X(k+1)

B

J

x(t) Capa Dinámica

×

Σ

z

-1

Z(k)

Γ

C

Γ

Y(k)

J

Capa Estática

X(k) Capa Dinámica

(a)

Capa Estática

(b)

Estructura general de una red neuronal hibr´ıda. a) Caso continuo. b) Caso discreto. En una red neuronal recurrente se identifican dos capas: una capa dinámica y la otra es una capa estática. ................................................................................................................. Figura 2.1:

En la figura 2.2 se muestra un ejemplo de una red neuronal recurrente entrenable con cuatro entradas, tres estados internos y dos salidas. En este ejemplo se considera que la matriz J es una matriz diagonal, esto ayuda a simplificar la obtenci´ on de las ecuaciones de ajuste de los pesos.

u1

b11 b14

u2

b21

u3

b24

u4

b31 b34

Σ Σ Σ

1 x +

x 2+ + 3

x

z -1 j 1 -1

z j 2

z -1 j 3

x 1 Γ(.) z 1 x 2 Γ(.) z 2 x 3 Γ(.) z 3

c11 c13 c21 c23

Σ

y 1 Γ(.)

Σ

Γ(.)

y 2

Ejemplo de una red neuronal recurrente entrenable. Topolog´ıa (2, 3 , 2). En donde: x+ = x(k+1). Se selecciona a la matriz J como una matriz diagonal para simplificar las ecuaciones de entrenamiento de la red. ............................................. Figura 2.2:

En la sección 2.2 se citan resultados sobre las propiedades de controlabilidad y observabilidad de un modelo de red neuronal recurrente similar al de una RNRE.

2.2.

Propiedades de Observabilidad y Controlabilidad

En [13, 14] se presentan resultados sobre las propiedades de observabilidad y controlabilidad del siguiente modelo de red neuronal recurrente: x+ = Γ(Ax + Bu), y = Cx,

(2.12) (2.13)

en donde x es el vector de estados; u es el vector de entrada; y es el vector de salida con dimensiones n, m y p, respectivamente. x+ simboliza a x(k + 1). Las literales A, b y C representan matrices de entradas reales y de dimensiones n n, n m y p n, correspondientemente; Γ( ) es la función de activación que opera de la forma: Γ(x1 , . . . , xn ) = [(Γ(x1 ), . . . , Γ(xn )]T . Ver la figura 2.3 que presenta la estructura a bloques de esta red neuronal.

×

22

×

×

·

– JMFA –


( ,+)

u

B

Σ

´x

Y(k)

Γ A

2.2.1.


∆

Diagrama a bloques de una red neuronal recurrente. ∆ puede ser el operador z −1 , o . ........................................................ Figura 2.3:

C



x

Observabilidad

El resultado principal en [13] sobre la observabilidad del modelo de red neuronal (2.12-2.13) se resumen en el teorema 2.1, pero antes unas definiciones que son parte del teorema.

Nota 2.1 (Propiedad de Independencia:) Se dice que Γ satisface la propiedad de independencia, si para un entero positivo dado l ; un grupo de n´ umeros reales diferentes de cero: b1 , . . . , bl y otro grupo de n´ umeros reales: β 1 , . . . , βl que están relacionados de la forma: (bi , β i ) = (b j , β j ) i = j.

±

∀

Las funciones: Γ(bi u + β i ), . . . , Γ(bl u + β l ), son linealmente independientes si se corresponden de la forma: l

c0 +



ci Γ(bi , β i) = 0

∀u ∈ R ⇒ c0 = c1 = · · · = c

i=1

l

= 0. 

La propiedad de independencia asegura que la función de activación Γ se conserva linealmente independiente bajo distintas translaciones y dilataciones. La siguiente nota define una clase de matrices.

Nota 2.2 Se dice que la matriz B pertenece a la clase

Bn,m =



en donde Bj indica la fila j de la matriz B.

B

∈R

B si:

n×m



Bi = 0 Bi = Bj

 ∀i = 1, . . . , n ,  ± ∀i = j. 

Observar el caso de que m = 1; es decir, cuando b es un vector, entonces b pertenece a elementos de b son diferentes de cero y de distinto valor absoluto.

B si y sólo si todos los

Nota 2.3 Se dice que un sistema del tipo (2.12, 2.13) es de clase , si la matriz B pertenece a la clase la propiedad de independencia.

S

B y Γ satisface



Teorema 2.1 (Observabilidad:) Sea un sistema (2.12, 2.13)

∈ S . Este sistema es observable si y s´ olo si ker {A} ∩ ker {C } = Oc (A, C ) = 0.

La condici´ on c (A, C ) = 0 es equivalente a decir que no existe un subespacio coordenado A-invariante diferente de cero que este incluido en el Ker C .

O

{ }



– JMFA –

23



Para el caso de sistemas lineales, si el par (A, C ) es observable entonces el subespacio A-invariante más grande contenido en el Ker C , denotado como: O(A, C ) es el espacio cero. Como c (A, C ) y ker A ker C son subespacios de O(A, C ), por lo que el corolario (2.1.1) se genera:

{ }

O

Corolario 2.1.1 Si (2.12, 2.13)

{ }∩ { }

∈ S y el par de matrices (A, C ) es observable entonces (2.12, 2.13) es observable. 

En el caso de que A sea invertible, se cumple que ker A

{ } ∩ ker{C } = 0, se tiene el siguiente corolario:

Corolario 2.1.2 Si (2.12, 2.13) y el par de matrices (A, C ) es observable entonces (2.12, 2.13) y det(A) = 0, entonces (2.12, 2.13) es observable si y s´ olo si c (A, C ) = 0.

∈ S



O



Un subespacio coordenado está definido de la forma que sigue. Si ei , i = 1, . . . , n es la base canónica para Rn . Por T ejemplo, si R2 la base canónica es: eT 1 = [1, 0], e2 = [0, 1]. Se le llama subespacio coordenado a un subespacio V , de la forma V = 0, o V = lin ei1 , . . . , e il , l > 0. Un subespacio coordenado es invariante bajo cualquier proyección, es decir: πi : Rn Rn , πi ej = δij ei .

{

}

→

en donde πi es la proyección sobre la componente ei , δij es la función delta de Dirac tal que i = j i=j δ = 0.

 →

→ δ = 1 y si



Un subespacio coordenado tiene la forma V = j πij (Rn ) para algunos ´ındices ii , . . . , i l . En este caso CV = 0 implica que Cπ ij = 0 para todo j. En otras palabras, si todas las columnas de C son diferentes de cero, entonces c = 0. De esta observación se deriva el siguiente corolario:

Corolario 2.1.3 Si un sistema (2.12, 2.13) el sistema es observable.

O

∈ S , ker A∩ ker C =0 y cada columna de C es diferente de cero, entonces 

El último corolario se da una propiedad de la matriz C para que la red neuronal recurrente sea observable. En la sección 2.2.2 se expone otro teorema para la propiedad de controlabilidad.

2.2.2.

Controlabilidad

En [14] se extiende la comprobación de la propiedad de accesibilidad hacia adelante de la red neuronal recurrente (2.12, 2.13) para probar su propiedad de controlabilidad. Accesibilidad hacia adelante ( Forward accessibility ): Se dice que el sistema tiene accesibilidad hacia adelante si desde cualquier estado inicial es posible alcanzar a cualquier punto en un conjunto abierto de estados en Rn por medio de una entrada adecuada u( ).

·

La propiedades para que el sistema (2.12, 2.13) tenga Accesibilidad hacia adelante son las siguientes: Propiedad de independencia para la función de activación Γ, B pertenezca a la clase

B.

Controlabilidad: Se dice que el sistema es controlable si desde cualquier estado inicial es posible alcanzar a cualquier otro punto en el espacio de estados completo por medio de una entrada adecuada u( ).

·

24

– JMFA –



Nota 2.4 Sea 1.

G la clase de funciones que son localmente Lipschitz que tiene las propiedades siguientes : Γ es una funci´ on impar; es decir, Γ(−r) = −Γ(r) para toda r,

2. Γ∞ = l´ıms→+∞ Γ existe y es mayor que 0, 3. Γ < Γ∞ para toda r 4. para cada a, b

∈ R,

∈ R y b > 1,

Γ∞ Γ(a + bs) = 0. s→+∞ Γ∞ Γ(s)

−

l´ım

(2.14)

−



Como ejemplo de un tipo de función de activación que cumple con estas propiedades se tiene la función tangente hiperbólica: tanh(x). Las primeras tres propiedades que se dan en la nota anterior son cumplidas por la función tanh. Para comprobar la ultima propiedad necesitamos del hecho que sigue: ´ Prop.1 Si, Γ(x) =

1 , (1 + e−x )−1

entonces,

Γ(r) = Γ(r) + er−t Γ( r). Γ(t)

−

Prop.2 1

− tanh(x) = 2Γ(−2x).

Es sencillo probar que la función tangente hiporbólica satisface la propiedad (2.14): 1

− tanh(a + bs) . 1 − tanh(s)

Usando la Prop.2 :

θ( 2a 2bs) . θ( 2s)

− − −

(2.15)

Ahora usando la Prop.1 y sustituyendo en (2.15), se tiene: θ( 2a 2bs) = θ( 2a θ( 2s)

− − −

− − 2bs) + e−2ae2(1−b)sθ(2a + 2bs).

(2.16)

Al aplicar el l´ımite a (2.16):

− − 2bs) → 0 + s→∞ l´ım e−2a e2(1−b)s θ(2a + 2bs) → 0.

l´ım θ( 2a

s→∞

Es decir que la función tangente hiperbólica tanh(x) cumple con las condiciones la de la nota 2.4 El teorema 2.2 define las condiciones de controlabilidad del sistema (2.12-2.13).

Teorema 2.2 (Controlabilidad:) Si se asume que Γ (2.12-2.13) es controlable.

∈ G y que B ∈ (B) y la matriz A es arbitraria entonces el sistema 

En el teorema 2.2 se nota algo muy interesante: en el caso de que Γ sea la función identidad la controlabilidad est´ a determinada por el par (A, B), pero en el caso no lineal la controlabilidad est´ a determinada por la estructura de la matriz B. En la sección que sigue se presenta la ley de aprendizaje para la red neuronal recurrente entrenable y para algunas de sus variaciones.

– JMFA –

25

2.3. Red Neuronal Recurrente Entrenable

2.3.


Red Neuronal Recurrente Entrenable

La ley de aprendizaje o regla ajuste de los pesos para la red neuronal recurrente, que se describe por las ecuaciones (2.6-2.9), se obtiene por medio del método de retropropagación del error de la salida (ver sección 1.2.4 y el apéndice F). El procedimiento consiste en obtener los gradientes de cada nodo de la red y después aplicar el algoritmo optimización por gradiente descendente para actualizar los pesos. Con el objetivo de disminuir la complejidad del algoritmo se construye a la matriz J con una estructura diagonal. En la figura 2.4 se muestra la estructura de una RNRE con m entradas, n estados (o nodos ocultos) y p salidas. La RNRE tiene una estructura formada por un grupo filtros digitales de primer orden conectados en paralelo y con acoplamiento en las entradas y en las salidas.

1

1

b 1m

u1(k) u2(k)

b21

x

1 2

s (k)

um(k)

b n-1,1 b n-1,m b n,1 b n,m

J 2,2 z-1

1

b 2m

Γ ( *)

1

+ 2

1

u m-1(k)

J 1,1 x1(k) z-1

x1+

s11 (k)

b 11

x 2(k )

Γ ( *)

1

z1(k) 1

z 2(k )

s21 (k)

c 11 c 1n c 21

1 c 2n

1 n-1

s

(k)

1

c p-1,1

J n-1,n-1 xn-1(k) z-1

+

xn-1 1

Γ ( *)

1

zn-1(k) 1

c p-1,n c p,1

s1n (k) 1

J n,n

xn+

z-1

1

xn(k)

Γ ( *)

1

zn(k)

c p,n

1

s22 (k) 1

Γ ( *) Γ ( *)

s2p-1(k ) 1

s2p (k) 1

Γ ( *) Γ ( *)

y1(k) 1

y2(k) 1

y p-1 (k ) 1

y p (k ) 1

1

Red neuronal recurrente entrenable. Esta red neuronal se compone de una capa oculta recurrente y de una capa estática de salida. x+ i = x(k + 1). ................................................................................................................. Figura 2.4:

Desarrollando un poco más las ecuaciones (2.6-2.9) que describen la RNRE se tienen las expresiones: m

s1i (k)

=



bij uj (k);

i = 1, . . . , n ,

(2.17)

i = 1, . . . , n , i = 1, . . . , n ,

(2.18) (2.19)

i = 1, . . . , p ,

(2.20)

i = 1, . . . , p ,

(2.21)

j=1

xi (k + 1) = J ii xi (k) + s1i (k); zi(k) = Γ1 [xi (k)] ; n

s2i (k)

=

  

cij zj (k);

j=1

yi (k) = Γ2 s2i (k) ;

en donde n es el número de nodos internos de la capa con retroalimentación y p es el número de nodos en la capa de salida de la red. El objetivo de la ley de aprendizaje es minimizar la suma de los cuadrados del error de salida: 1 E (k) = 2 en donde ei (k) = yid (k)

p



e2i (k),

(2.22)

i=1

− yi (k), yid(k) es el valor deseado en la i-ésima salida de la RNRE.

La actualización de los pesos de la RNRE se lleva a cabo por medio de la ecuación: ∆wij (k) = wij (k + 1) 26

∂E (k) − wij (k) = −η ∂w , ij (k)

– JMFA –

(2.23)



∂E(k) en donde wij (k) representa un peso en la RNRE; ∂w es el gradiente del ´ındice desempeño de la red con respecto al ij (k) peso wij que se va ajustar; η es la tasa de ajuste.

Para el caso continuo la ecuación (2.23), toma la forma: w˙ ij (t) =

∂E (t) −η ∂w , ij (t)

(2.24)

en donde t es la variable del tiempo. La ley de ajuste de los pesos de la red (2.23) actualiza el valor del peso en la dirección del mayor descenso de la funci´ on costo, esperando que al seguir este camino se alcance el punto en donde el peso define un m´ınimo global para esta funci´ on. Sin embargo, este algoritmo tiene algunos problemas: durante la actualizacin del peso puede caer en un m´ınimo local y estacionarse all´ı y, por tanto, no alcanzar el punto m´ınimo global de la función; la lentitud de este algoritmo es otro problema, ocasionado porque el peso puede estar en una zona plana del gradiente, aqu´ı las iteraciones del algoritmo implican sólo un cambio pequeño del peso; otro defecto se produce en sistemas con poco amortiguamiento, al llegar a un punto m´ınimo (global o local) el algoritmo tiende a oscilar alrededor de éste. Una forma sencilla para reducir estos efectos se logra con la ayuda de un término adicional a la ecuación (2.23) que le añade amortiguamiento, se le llama término momento . La regla de ajuste de los pesos con este término es: ∆wij (k) = wij (k + 1)

∂E (k) − wij (k) = −η ∂w + α∆wij (k − 1), ij (k)

(2.25)

en donde α es la tasa para el término momento. A la ecuación (2.25) se le conoce como regla delta generalizada. En [15] se da la siguiente explicación para el término momento. Si la regla delta generalizada se desarrolla como una serie para k = 0, . . . , n, se obtiene una ecuación de diferencias de primer orden para ∆wij (k), esto es:

k = 0; ∆wij (0) = k = 1; ∆wij (1) = k = 2; ∆wij (2) =

∂E (0) −η ∂w , ij (0)

− −

∂E (1) η + α∆wij (0) = ∂w ij (1) ∂E (2) η + α∆wij (1) = ∂w ij (2)

.. . k = n; ∆wij (n) =

 − η

 −  − η η



∂E (1) ∂E (0) +α , ∂w ij (1) ∂w ij (0) ∂E (2) ∂E (1) ∂E (0) +α + α2 ∂w ij (2) ∂w ij (1) ∂w ij (0)

∂E (n) ∂E (n 1) +α + ∂w ij (n) ∂w ij (n 1)

− −

· ··

∂E (0) +α ∂w ij (0) n



n

 − =

η

r=0

αn−r

,

∂E (r) , ∂w ij (r)

(2.26)

entonces la expresión para el cambio del peso , ∆wij (n) es una serie exponencial. Un requisito para la convergencia es que el parámetro α esté entre los l´ımites: 0 α < 1, (2.27)

≤| |

si α se le da un valor entre los l´ımites (2.27), entonces se considera a la ecuación (2.25) como un algoritmo de ajuste ∂E (r) con tasa, o coeficiente, de aprendizaje variable. Si se toma a ∂w = 1 para toda r, la ganancia final del algoritmo es: ij (r) l´ım ∆wij (r) =

r→∞

− 1 −η α ,

(2.28)

∂E(r) entonces, si el algoritmo (2.25) est´ a en una zona en donde ∂w tiene un valor pequeño durante varias iteraciones, la ij (r) ganancia del algoritmo se incrementa exponencialmente hasta la ganancia l´ımite (2.28), esto acelera la variación de la ganancia para salir de esta situación, aumentado as´ı su velocidad. Sobre el l´ımite de la ganancia, notar que si el valor de η se toma de la forma: η = 1 α, (2.29)

−

la ganancia final será 1, por esta razón se da a la condición (2.29) como una regla para definir el valor de α. – JMFA –

27



∂E (r) El término momento tambi´ en ayuda para reducir el efecto que ocurre cuando ∂w cambia de signo de manera ij (r) ∂E(k) . alternada. Si se define a: ∂w = ∆J (k), y se obtiene la transformada de la ecuación (2.25), se tiene: ij (k)

Z

∆W ij (z) = ∆J (z)

− z ηz − α,

(2.30)

es decir, que la relación entre la variación del peso, ∆W ij (z) y el gradiente de la función de costo, ∆J (z), presenta el comportamiento de un filtro pasa-bajos, esto significa que si el gradiente de la función de costo cambia de forma alternada de signo, entre más r´ apido sea este cambio, menor es el efecto sobre la variación del peso, amortiguando de esta forma las oscilaciones alrededor del punto m´ınimo. De lo anterior se concluye que el término momento (2.25) es útil para acelerar el aprendizaje y estabilizar el comportamiento de la regla delta (2.25). De la ecuación (2.30) se puede generalizar y establecer que la relación entre ∆W ij (z) y ∆J (z) est´ a dado por una 1 funci´ on de transferencia G(z) , esto es: ∆W ij (z) = G(z), (2.31) ∆J (z) lo anterior abre otras posibilidades para seleccionar la regla de actualización de los pesos al considerar que el cambio en el peso, ∆W ij (z), es la versión filtrada de ∆J (z). En la próxima sección se desarrolla el algoritmo de retropropagación del error para una red neuronal recurrente y algunas de sus variaciones.

2.3.1.

Ley de Aprendizaje

Tomando como base a la función (2.22) se comienza por obtener los gradientes locales de cada uno de los nodos en los distintos niveles de la red neuronal, una vez encontrados estos gradientes, se aplica la regla delta (delta generalizada) para calcular el nuevo valor del peso. El gradiente lo cal está definido de la forma: δil (k) =

∂E (k) , ∂s li (k)

(2.32)

en donde δil (k) es el gradiente local y sli (k) es la señal de activación de la neurona i que se localiza en el nivel l de la red. Se divide en dos étapas el proceso para determinar el valor de los gradientes locales de la red. Estas dos étapas dependen de si se est´ a en la capa est´ atica de la red, o en la capa din´ amica. En la siguiente sección se detalla el procedimiento. Gradiente local de la Capa de Salida Se necesita encontrar la expresión para el valor del gradiente de la función de costo con respecto a los pesos de la capa de salida de la RNRE. En la figura 2.4, notar que la capa de salida de la red neuronal puede considerarse como una red estática de un nivel. El gradiente local que se necesita es el que corresponde a la capa dos y al nodo i, esto es: δi2 (k) =

∂E (k) . ∂s 2i (k)

(2.33)

El gradiente de la función de costo (2.22) con respecto al peso cij queda definido como sigue: ∂E (k) ∂E (k) ∂s 2i (k) ∂s 2 (k) = 2 = δi2 (k) i . ∂c ij ∂s i (k) ∂c ij ∂c ij 1 Comentario

28

sugerido por el Dr. R´ uben Garrido Moctezuma.

– JMFA –

(2.34)



Se utiliza la ecuación (2.20) para transformar la expresión del gradiente de la manera siguiente: ∂E (k) = δi2 (k)zj (k). ∂c ij

(2.35)

en donde δi2 (k) es el gradiente local de la capa de salida. Para el cálculo del gradiente local δi2 (k), se continúa con la regla de la cadena. La expansión de las derivadas inicia en la capa de salida hasta llegar a s2i (k). El procedimiento es el siguiente: δi2 (k) = = = = =

∂E (k) , ∂s 2i (k) ∂E (k) ∂e i (k) , ∂e i(k) ∂s 2i (k) ∂e i (k) ei (k) 2 , ∂s i (k) ∂e i (k) ∂y i (k) ei (k) , ∂y i (k) ∂s 2i (k) ∂y i (k) ( 1)ei(k) 2 , ∂s i (k) ei(k)Γ˙ 2 (s2i (k) ,

− δi2 (k) = −

 

(2.36)

en donde Γ˙ 2 es la derivada de la función de activación de la capa de salida (nivel 2). Reuniendo las expresiones (2.35-2.36), entonces los pesos de la capa de salida se actualizan a través de la ley:

 

∆cij (k) = ηe i (k)Γ˙ 2 s2i (k) zj (k);

i = 1, . . . , p j = 1, . . . , n

(2.37)

La ley de actualización de los pesos de la capa de salida de una RNRE (2.37) es la que se obtendr´ıa para una red neuronal estática de una sóla capa con entrada z(k) y salida y(k) por medio del algoritmo de retropropagación del error. Desarrollo de los Pesos de la Capa de Retroalimentaci´ on Los pesos de capa interior están en los lazos de retroalimentación de la red. Para encontrar la ley que actualiza estos pesos se debe evaluar la derivada de la función de costo con respecto al peso J ii (k) en término de los gradientes locales de la capa de salida. El gradiente local de esta capa se define como: δix (k) =

∂E (k) . ∂x(k + 1)

(2.38)

el gradiente local en la capa de retroalimentación se denota por δix (k). La derivada parcial de la función de costo (2.22) con respecto al peso J ii (la matriz J se considera diagonal) se desarrolla de la manera siguiente: ∂E (k) ∂E (k) ∂x i (k + 1) ∂x i (k + 1) = = δix (k) . ∂J ii (k) ∂x i (k + 1) ∂J ii (k) ∂J ii (k) El valor de

∂x i (k+1) ∂J ii (k)

(2.39)

se obtiene al considerar la expresión (2.18) para xi (k + 1): xi (k + 1) = J ii xi (k) + s1i (k),

luego: ∂x i (k + 1) ∂ = xi (k + 1) = J ii xi (k) + s1i (k) = xi (k), ∂J ii(k) ∂J ii (k)





– JMFA –

(2.40) 29



por tanto la ecuación (2.39) es igual a: ∂E (k) = δix (k)xi (k). ∂J ii (k)

(2.41)

Ahora lo que falta es encontrar la expresión para el gradiente local δix (k) en función de los gradientes locales δ2 (k), para esto se procede de la manera siguiente: δix (k) = = = = =

∂E (k) , ∂x i (k + 1) ∂E (k) ∂x i (k) , ∂x i (k) ∂x i (k + 1) ∂E (k) −1 q , ∂x i (k) ∂E (k) ∂z i(k) −1 q , ∂z i (k) ∂x i (k) ∂E (k) ˙ 1 Γ [xi (k)] q−1 , ∂z i (k)

   p

=

r=1 p

=

r=1 p

=

 

∂E (k) ∂s 2r (k) ∂s 2r (k) ∂z i(k)

∂E (k) cri (k) Γ˙ 1 [xi (k)] q−1 , ∂s 2r (k)



δr2 (k)cri (k) Γ˙ 1 [xi (k)] q−1 ,

r=1

en donde x(k)q−1 = x(k

Γ˙ 1 [xi (k)] q−1 ,

(2.42)

− 1) y p es el número de salidas de la red neuronal.

Los pesos en las trayectorias de retroalimentación se actualizan a trav´ es de la expresión:

 −



p

∆J ii (k) =

η

δrx (k)cri (k) Γ˙ 1 [xi (k)] xi (k

r=1

− 1);

i = 1, . . . , n .

(2.43)

Pesos de la Capa de Entrada Finalmente para los pesos de la capa de entrada se sigue un procedimiento similar. La ley de ajuste de los pesos de la capa dependen de los gradientes locales de las capas posteriores. El gradiente local en este nivel es: δi1 =

∂E (k) . ∂s 1i (k)

(2.44)

Tomando en cuenta la expresión (2.17) el gradiente de la función de costo (2.22) con respecto al gradiente local es igual a: ∂E (k) ∂E (k) ∂s 1i (k) = , ∂b ij (k) ∂s 1i (k) ∂b ij (k) ∂E (k) = uj (k), ∂s 1i (k) = δi1 (k)uj (k). El gradiente local δi1 en función del gradiente δx es: ∂E (k) ∂E (k) ∂x i (k + 1) = , 1 ∂s i (k) ∂x i (k + 1) ∂s 1i (k) 30

– JMFA –

(2.45)


2.4. Red Neuronal Recurrente de Tres Capas

∂E (k) (1) ∂x i (k + 1) = δix (k). =

(2.46)

Los pesos en la capa de entrada se actualizan de forma: ∆bij (k) =

i = 1, . . . , n j = 1, . . . , m .

−ηδix(k)uj (k);

(2.47)

Estas reglas de actualización resultán en la práctica fáciles de programar. Una RNRE es un sistema dinámico, lo que se propone aqu´ı es utilizar este mo delo de RNRE en tareas de identificación y control. Esperando que la inclusión de este modelo din´ amico resulte es esquemas que aprovechen, en alguna medida, la capacidad de adaptación de la red.

2.4.

Red Neuronal Recurrente de Tres Capas

Es posible obtener algunas variaciones interesantes del modelo de Red Neuronal Recurrente propuesto. En primer lugar se presenta el caso en el que la capa de entrada tiene funciones de activación no lineales derivables. Al modelo resultante de RNRE se le llama Red Neuronal Recurrente Entrenable de tres capas . En la figura 2.5 se muestra una RNRE de tres capas con m entradas, n estados y p salidas. La estructura de este modelo de red neuronal se puede dividir en tres capas; la primera capa es estática y su función es la de hacer un mapeo no lineal de las entradas; la siguiente capa es dinámica en donde la señal de activación de cada nodo depende del mapeo no lineal de las entradas y de su valor anterior; la última capa es la salida de la red neuronal y realiza una mapeo no lineal de los estados de la red. s11 (k)

b 11

1

b1m

u1(k)

1 2

s (k)

u2(k)

1

Γ ( *) Γ ( *)

J 1,1 x1(k) z-1

x1(k+1)

r1 (k) 1

1

1

J 2,2

x 2(k+1)

r2 (k) 1

z-1

1

x 2(k ) 1

Γ ( *) Γ ( *)

z1(k) 1

z 2(k )

s21 (k)

c 11

1

c 1n c 21

1

s22 (k) 1

c 2n

um-1(k)

b n-1,1

um(k)

1 n-1

s

1

b n-1,m bn,1 b n,m

(k)

1 n

s (k) 1

Γ ( *) Γ ( *)

rn-1(k)

xn-1(k+1)

1

1

J n-1,n-1 xn-1(k) z-1 1

rn (k)

xn(k+1)

1

1

J n,n

z-1

xn(k) 1

Γ ( *) Γ ( *)

c p-1,1

Γ ( *) Γ ( *)

s2p-1 (k)

zn-1(k) 1

c p-1,n c p,1

zn(k)

c p,n

1

s2p (k) 1

Γ ( *) Γ ( *)

y1(k) 1

y2(k) 1

yp-1 (k ) 1

yp (k ) 1

1

Red neuronal recurrente de tres capas. Al poner en los nodos de entrada una función de activación, la estructura de la red neuronal se divide en tres capas: una capa de entrada y salida estáticas; y una capa oculta recurrente. ...................................................................................................... Figura 2.5:

Las ecuaciones de la red neuronal para este caso son: m

s1i (k)

=

  

bij uj (k);

i = 1, . . . , n ,

(2.48)

i = 1, . . . , n , i = 1, . . . , n , i = 1, . . . , n ,

(2.49) (2.50) (2.51)

i = 1, . . . , p ,

(2.52)

i = 1, . . . , p ,

(2.53)

j=1

ri (k) = Γ0 s1i (k) ; xi (k + 1) = J ii xi (k) + ri (k); zi (k) = Γ1 [xi (k)] ; n

s2i (k)

=

  

cij zj (k);

j=1

yi (k) = Γ2 s2i (k) ;

el componente nuevo de este modelo es sólo la función de activación Γ0 . – JMFA –

31

2.4. Red Neuronal Recurrente de Tres Capas

2.4.1.


Ley de Aprendizaje

El procedimiento nuevamente consiste en derivar la ecuación del gradiente de la función de costo (2.22): 1 E (k) = 2

p



e2i (k),

i=1

y después usar como ley de ajuste de los pesos una regla tipo gradiente descendente, (2.23): ∆wij (k) = wij (k + 1)

∂E (k) − wij (k) = −η ∂w , ij (k)

en donde wij (k) es alguno de los pesos de la red que van a ser actualizados. Deducci´ on de la ley de aprendizaje para la capa de los pesos de la salida El gradiente de la función de costo con respecto a los pesos en este nivel depende directamente del error de la salida, por lo que es el mismo que el obtenido en el modelo de RNRE anterior (2.36):

 

∆cij (k) = ηei (k)Γ˙ 2 s2i (k) zj (k);

 

i = 1, . . . , p , j = 1, . . . , n .

Γ˙ s2i (k) es la derivada de la función de activación usada en la salida de la red. Desarrollo de los Pesos de la Capa de Retroalimentaci´ on En la capa intermedia, o de retroalimentación, el efecto de haber puesto la función de activación en la capa de entrada no afecta el cálculo del gradiente, as´ı pues, esta es la misma que se expresa en (2.42). Los pesos en las trayectorias de retroalimentaci´ on se actualizan a trav´ es de la expresión:

 −



p

∆J ii (k) =

η

δr2 (k)cri (k) Γ˙ 1 [xi (k)] xi (k

r=1

− 1);

i = 1, . . . , n .

Pesos de la Capa de Entrada En esta capa donde se agrega la función de activación. Esto no cambia el procedimiento que debe seguirse: derivar y poner el gradiente en función del gradiente local de la capa siguiente. El gradiente de la función de costo con respecto al peso bij es: ∂E (k) ∂E (k) ∂s 1i (k) = , ∂b ij (k) ∂s 1i (k) ∂b ij (k) = δi1 (k)uj (k).

(2.54)

El gradiente local δi1 (k) en función del gradiente δx (k) es: ∂E (k) ∂r i (k) , ∂r i (k) ∂s 1i (k) ∂E (k) ˙ 0 1 = Γ si (k) , ∂r i (k) ∂E (k) ∂x i (k + 1) ˙ 0 1 = Γ si (k) . ∂x i (k + 1) ∂r i (k)

δi1 (k) =

 

 

El término x(k + 1) está definido por (2.50): xi (k + 1) = J ii xi (k) + ri (k), 32

– JMFA –

(2.55)


2.5. RNRE con Predicción de la Salida

luego: ∂x i (k + 1) = 1. ∂r i (k)

(2.56)

El gradiente δi1 es igual a la ecuación: ∂E (k) ˙ 0 1 Γ si (k) , ∂x i (k + 1) = δix (k)Γ˙ 0 s1i (k) .

     

δi1 (k) =

(2.57)

Los pesos en la capa de entrada se actualizan por medio de la expresión: ∆bij (k) =



−η

δix (k)Γ˙ 0 s1i (k)

uj (k);

i = 1, . . . , n , j = 1, . . . , m .

(2.58)

Este modelo de RNRE (2.17-2.21) corresponde a un caso especial de (2.48-2.53).

2.5.

RNRE con Predicci´ on de la Salida

Se presenta otra versión de la red neuronal recurrente. El cambio rádica en que la entrada a la capa de salida es ahora el estado siguiente generado por la capa intermedia recurrente, ver figura 2.6 J 1,1

x1+

x1(k) z

-1

s11 (k)

b 11

1

1

1

Γ ( *)

z 1+ 1

s21 (k+1)

c 11

b 1m

J 2,2

u1(k) u2(k)

z

x2+

1

1

b n-1,1

um(k) b n-1,m

Γ ( *)

z 2+

2

c 21 s 2

1 c 2n

xn-1+

z-1

s1n-1 (k) 1

1

J n, n b n,1

1

c 1n

1

J n-1,n-1 xn-1(k)

b n,m

-1

s12 (k)

b 21 b 2m

um-1(k)

x2(k)

1

xn(k)

s2p-1 (k+1)

Γ ( *)

zn-1+ 1

c p-1,n

1

Γ ( *)

s2p (k+1)

s (k) 1

1

Γ ( *)

1

y2(k+1) 1

y p-1 (k+1) 1

c p,1

1 n

1

(k+1)

y1(k+1)

c p-1,1

xn+

z-1

Γ ( *)

1

Γ ( *)

z n+

c p,n

1

Γ ( *)

y p (k+1) 1

1

Red neuronal recurrente con predicci´ on de la salida. Al cambiar la posici´ on del operador retardo y haciendo que la entrada a la capa de salida es el estado siguiente se obtiene esta varianción para una RNRE. ................................................................................................................. Figura 2.6:

De la figura 2.6, se obtienen las ecuaciones para la red neuronal: m

s1i (k)

=



bij uj (k);

i = 1, . . . , n ,

(2.59)

i = 1, . . . , n , i = 1, . . . , n ,

(2.60) (2.61)

i = 1, . . . , p ,

(2.62)

i = 1, . . . , p .

(2.63)

j=1

xi (k + 1) = J ii xi (k) + s1i (k); zi (k + 1) = Γ1 [xi (k + 1)] ; n

s2i (k + 1) =

 

cij zj (k + 1);

j=1

yi (k + 1) = Γ2 s2i k + 1)]; – JMFA –

33

2.5. RNRE con Predicción de la Salida

2.5.1.


Ley de Aprendizaje

Deducci´ on de la ley de aprendizaje para la capa los pesos de la capa de salida En este nivel el gradiente δi2 (k + 1) es (2.36) adelantado:





δi2 (k + 1) = ei (k + 1)Γ˙ s2i (k + 1) , as´ı que la ley de ajuste de los pesos de la capa de salida es:





∆cij (k) = ηe i (k + 1)Γ˙ 2 s2i (k + 1) zj (k + 1);

(2.64)

i = 1, . . . , p , j = 1, . . . , n .

(2.65)

Desarrollo de los Pesos de la Capa de Retroalimentaci´ on El gradiente de la función de costo con respecto al peso de la capa de retroalimentación J ii es: ∂E (k + 1) ∂E (k + 1) ∂x i (k + 1) = , ∂J ii (k) ∂x i (k + 1) ∂J ii (k) ∂x i (k + 1) = δix (k + 1) . ∂J ii (k)

(2.66)

La ecuación que define la relación de los componentes en la capa de retroalimentación es (2.60): xi (k + 1) = J ii xi (k) + s1i (k). Por tanto:

∂x i (k + 1) ∂ = xi (k + 1) = J ii xi (k) + s1i (k) = xi (k); ∂J ii(k) ∂J ii (k)



luego:



i = 1, . . . , n .

∂E (k + 1) ∂E (k + 1) ∂x i (k + 1) = , ∂J ii (k) ∂x i (k + 1) ∂J ii (k) = δix (k + 1)xi (k), en donde

∂E(k+1) ∂x i (k+1)

(2.67)

(2.68)

es el gradiente local, δix (x + 1), de esta capa. El cálculo de este gradiente se lleva a cabo de la forma: ∂E (k + 1) , ∂x i (k + 1) ∂E (k + 1) ∂z i(k + 1) = , ∂z i (k + 1) ∂x i (k + 1) ∂E (k + 1) ˙ 1 = Γ (zi (k + 1)), ∂z i (k + 1)

δix (k + 1) =

p

=

   r=1 p



∂E (k + 1) ∂s 2r (k + 1) ˙ 1 Γ (zi (k + 1)), ∂s 2r (k + 1) ∂z i (k + 1)



∂E (k + 1) = c Γ˙ 1 [zi (k + 1)] , 2 (k + 1) ri ∂s r r=1



p

=

δr2 (k

+ 1)cri Γ˙ 1 [zi (k + 1)] .

r=1

(2.69)


 − p

∆J ii (k) =

η

r=1

34



δr2 (k + 1)cri Γ˙ 1 [xi (k + 1)] xi (k);

– JMFA –

i = 1, . . . , n .

(2.70)


2.6. RNRE con Retardo en la Retroalimentación

Pesos de la Capa de Entrada En los pesos de la capa de entrada se actualizan a través de la ecuación (2.47), sólo es necesario sustituir el gradiente local δix (k) por δix (k + 1). Los pesos bij se modifican por la expresión: ∆bij (k) =

2.6.

−ηδix(k + 1)uj (k);

i = 1, . . . , n , j = 1, . . . , m .

(2.71)

RNRE con Retardo en la Retroalimentaci´ on

Este caso consiste en considerar que la salida de la red neuronal de la figura 2.6 es el vector y(k) en lugar de y(k +1). En la figura 2.7 se indican estos cambios en la estructura de la red. J 1,1 1 1

s (k)

b 11

x1(k-1)

z-1

x1(k) 1

1

Γ ( *)

1

z1(k) 1

s21 (k)

c 11

b 1m

J 2,2

u1(k) u2(k)

u m-1(k)

1

1

b 2m

um(k) b n-1,m

bn,m

z2(k)

c 21

1 c 2n

s1n-1 (k)

z-1

c p-1,1

xn-1(k) 1

1

J n, n b n,1

Γ ( *)

1

J n-1,n-1 xn-1(k-1) b n-1,1

z

c 1n

-1

x2(k)

s12 (k)

b 21

x2(k-1)

1 n

s (k)

1

xn(k-1)

1

c p-1,n c p,1

z-1

xn(k) 1

1

Γ ( *)

zn-1(k)

1

Γ ( *)

zn(k)

c p,n

1

s22 (k) 1

Γ ( *)

Γ ( *)

s2p-1 (k) 1

Γ ( *)

s2p (k) 1

Γ ( *)

y1(k) 1

y2(k) 1

y p-1 (k ) 1

y p (k ) 1

1

Red neuronal con retardo en la retroalimentaci´ on. Un simple cambio se produce al suponer que el estado actual es igual a la suma: s(k) + x(k 1) = x(k). ................................................................................................................. Figura 2.7:

−

De la figura 2.7 se obtienen las ecuaciones para la red neuronal: m

s1i (k)

=



bij uj (k);

i = 1, . . . , n ,

(2.72)

−

i = 1, . . . , n , i = 1, . . . , n ,

(2.73) (2.74)

cij zj (k);

i = 1, . . . , p ,

(2.75)

i = 1, . . . , p .

(2.76)

j=1

xi (k) = J ii xi (k 1) + s1i (k); zi (k) = Γ1 [xi (k)] ; n

s2i (k)

=

  j=1

yi (k) = Γ2 s2i k)];

2.6.1.

Ley de Aprendizaje

Deducci´ on de la ley de aprendizaje para los pesos de la capa de salida La capa de salida de esta red neuronal es igual a la ecuación (2.17). La regla de ajuste de los pesos es igual a la expresi´ on (2.37): i = 1, . . . , p , ∆cij (k) = ηei (k)Γ˙ 2 s2i (k) zj (k); j = 1, . . . , n .

 

– JMFA –

35

2.6. RNRE con Retardo en la Retroalimentación


Desarrollo de los pesos de la Capa de Retroalimentaci´ on El gradiente de la función de costo con respecto a los pesos de la capa de retroalimentación, J ii , es: ∂E (k) ∂E (k) ∂x i (k) = , ∂J ii (k) ∂x i (k) ∂J ii (k) ∂x i (k) = δix (k) . ∂J ii (k)

(2.77)

La ecuación que define la relación de los componentes en la capa de retroalimentación es (2.73): xi (k) = J ii xi (k Por tanto:

∂x i (k) ∂ = xi (k) = J ii xi (k ∂J ii (k) ∂J ii (k)



luego:

− 1) + s1i (k).



− 1) + s1i (k)

= xi (k

− 1);

i = 1, . . . , n ,

∂E (k) ∂E (k) ∂x i (k) = , ∂J ii (k) ∂x i (k) ∂J ii (k) = δix (x)xi (k 1),

(2.79)

−

en donde manera:

∂E(k) ∂x i (k)

(2.78)

es el gradiente local, δix (x), de esta capa. El c´ alculo de este gradiente se lleva a cabo de la siguiente ∂E (k) , ∂x i (k) ∂E (k) ∂z i(k) = , ∂z i (k) ∂x i (k) ∂E (k) ˙ 1 = Γ (zi (k)), ∂z i (k)

δix (k) =

p

=

   r=1 p



∂E (k) ∂s 2r (k) ˙ 1 Γ (zi (k)), ∂s 2r (k) ∂z i (k)



∂E (k) = c Γ˙ 1 [zi (k)] , 2 (k) ri ∂s r r=1



p

=

δr2 (k)cri Γ˙ 1 [zi (k)] .

r=1

(2.80)


 p

∆J ii (k) =

−η



δr2 (k)cri Γ˙ 1 [xi (k)] xi (k

r=1

− 1);

i = 1, . . . , n .

(2.81)

Pesos de la Capa de Entrada La ecuación para esta capa (2.72) es la misma que en el primer caso de la red neuronal recurrente (2.17). Se usa la ecuaci´ on (2.47) para actualizar los pesos: ∆bij (k) =

−ηδix(k)uj (k);

en donde δix (k) es (2.80). 36

– JMFA –

i = 1, . . . , n , j = 1, . . . , m .


2.7.

2.7. RNRE con Estados Acotados

RNRE con Estados Acotados

En la red Neuronal recurrente de la figura 2.8 los estados de la capa interna están acotados por la función no lineal de activación Γ [ ]. Esto asegura que los estados de la Red Neuronal están limitados.

·

s11 (k) b 1,1

1

um-1(k)

s12 (k)

x 2( k+1)

1

1

1 n-1

s

um(k)

(k)

1

b n,m

Γ ( *)

1

u1(k) u2(k)

J 1,1

x1(k+1)

J 2,2

Γ ( *)

z1(k+1)

z1(k)

z-1

1

1

s1n (k)

xn(k+1)

1

1

Γ ( *)

s21 (k) 1

z 2(k+1)

z 2(k )

z-1

1

1

zn(k+1)

1

Γ ( *)

s2p-1 (k)

zn-1(k)

1

1

zn(k)

z-1

1

c 2,1 s2 (k) 2

Γ ( *)

c p-1,1

J n-1,n-1 xn-1(k+1) zn-1(k+1) z-1 ( ) Γ * 1 1 J n,n

c 1,1

c p,1

c p,n

s2p (k) 1

Γ ( *) Γ ( *)

y1(k) 1

y2(k) 1

y p-1 (k ) 1

y p (k ) 1

1

Red neuronal recurrente con estados acotados. Al poner la función de activación en la salida de la capa oculta se acotan los estados generados por la red. ................................................................................................................. Figura 2.8:

De la figura 2.8 se obtienen las expresiones que describen su estructura: m

s1i (k)

=



bij uj (k);

i = 1, . . . , n ,

(2.82)

i = 1, . . . , n , i = 1, . . . , n ,

(2.83) (2.84)

i = 1, . . . , n ,

(2.85)

i = 1, . . . , p .

(2.86)

j=1

xi (k + 1) = J ii zi(k) + s1i (k); zi (k + 1) = Γ1 [xi (k + 1)] ; n

s2i (k)

=

 

cij zj (k);

j=1



yi (k) = Γ2 s2i (k + 1) ;

2.7.1.

Ley de Aprendizaje

Deducci´ on de la ley de Aprendizaje para la Capa de Salida La descripción de la capa de salida es la misma a la utilizada en el primer caso de la red neuronal (2.20-2.21). El cálculo del gradiente con resp ecto a los pesos de la entrada es el mismo, (2.36): δi2 (k) =

−ei(k)Γ˙ 2

Los pesos cij se actualizan por medio de la expresión (2.37):

 

(s2i (k) .

 

∆cij (k) = ηei (k)Γ˙ 2 s2i (k) zj (k);

i = 1, . . . , p , j = 1, . . . , n .

Desarrollo para los Pesos de la Capa de Retroalimentación El gradiente de los pesos de la capa intermedia en función del gradiente local de esta capa es igual: ∂E (k) ∂E (k) ∂x i (k + 1) = , ∂J ii (k) ∂x i (k + 1) ∂J ii (k) – JMFA –

37

2.7. RNRE con Estados Acotados

Cap´ıtulo 2. Red Neuronal Recurrente Entrenable = δix (k)

∂x i (k + 1) , ∂J ii (k)

(2.87)

en donde gradiente local es: δix (k) =

∂E (k) . ∂x i(k + 1)

(2.88)

Si considera la expresión: xi (k + 1) = J ii zi (k) + s1i (k); entonces, el gradiente

∂x i (k+1) ∂J ii (k)

i = 1, . . . , n ,

(2.89)

es igual a:

∂x i (k + 1) ∂ = xi (k + 1) = J ii zi (k) + s1i (k) = zi (k); ∂J ii (k) ∂J ii (k)





i = 1, . . . , n .

(2.90)

El gradiente local δix (k) es: δix (k) = = = = = ∂E (k) = ∂z i (k) δix (k) =

∂E (k) , ∂x i (k + 1) ∂E (k) ∂z i (k + 1) , ∂z i (k + 1) ∂x i (k + 1) ∂E (k) ˙ 1 Γ [xi (k + 1)] , ∂z i (k + 1) ∂E (k) ∂z i(k) ˙ 1 Γ [xi (k + 1)] , ∂z i (k) ∂z i (k + 1) ∂E (k) −1 ˙ 1 q Γ [xi (k + 1)] , ∂z i (k) p

p

∂E (k) ∂s 2r (k) ∂E (k) = c (k), 2 2 (k) ri ∂s r (k) ∂z i(k) ∂s r r=1

   r=1 p





(2.92)

∂E (k) c (k) q−1 Γ˙ 1 [xi (k + 1)] , 2 (k) ri ∂s r r=1



p

=

(2.91)

δr2 (k)cri (k) q−1 Γ˙ 1 [xi (k + 1)] .

r=1

(2.93)

Los pesos en las trayectorias de retroalimentación se actualizan con la ecuación:

 p

∆J ii (k) =

−η

r=1



δr2 (k)cri (k) Γ˙ 1 [xi (k)] zi (k

− 1);

i = 1, . . . , n .

(2.94)

Pesos de la Capa de Entrada El cálculo del gradiente de los pesos de la capa de entrada se lleva de la siguiente manera: ∂E (k) ∂E (k) ∂s 1i (k) = . ∂b ij (k) ∂s 1i (k) ∂b ij (k) ∂s 1 (k) = δi1 (k) i , ∂b ij (k) = δi1 (k)uj , ∂E (k) ∂x i (k + 1) δi1 (k) = ∂x i (k + 1) ∂s 1i (k) 38

– JMFA –

(2.95)

(2.96) (2.97)


2.8. Condición de Estabilidad para los Pesos J

∂E (k) (1), ∂x i (k + 1) = δix (k), =

∂E (k) = δix (k)uj . ∂b ij (k)

(2.98)

Los pesos en la capa de entrada se actualizan por medio de la ecuación: ∆bij (k) =

2.8.

i = 1, . . . , n , j = 1, . . . , m .

−ηδixuj (k);

Condici´ on de Estabilidad para los Pesos

(2.99)

J

Las condici´ ones de estabilidad para la red neuronal recurrente en su versión continua y discreta son (2.5) y (2.10), respectivamente. En ambas se supone que la matriz de pesos de la capa de retroalimentación es diagonal. Para el caso continuo la red neuronal será estable si los elementos de la matriz diagonal J : J ii ; i = 1, . . . , n, son tales que: (J ii ) < 0. En el caso discreto la red neuronal será estable si los elementos de la matriz diagonal J son tales que: J ii < 1; es decir, que estén en el interior de un c´ırculo de radio 1 con centro en el origen del plano complejo.

 

ℜ

Para incorporar la condición de estabilidad en las expresiones para la actualización de los pesos J ii se propone la siguiente modificación de la regla delta: ¯ii (k) J ii (k + 1) = J

− η ∂E (k) + α∆J ii (k − 1) ∂J ii

¯ii (k) = sat[J ii (k)] , J

(2.100) (2.101)

la función sat( ) que se usa en el caso discreto es:

·

 − − 1

sat(x) =

ǫ

en donde ǫ es un número positivo pequeño.

ǫ; x x; x < 1; x

≥ 1, | | 1, ≤ − 1,

(2.102)

¯ii en la red neuronal recurrente y de esta forma asegurar que el De esta forma se propone sustituir el peso J ii por J peso satisface las condiciones de estabilidad.

2.9.

Pesos de Compensaci´ on

ci0 , bi0

Como se mencionó en la sección 1.2 las neuronas en una red pueden tener un componente ponderado por un peso que no depende de ninguna entrada. Este componente se llama de compensación cuando se le asocia con una entrada constante de valor 1, o de umbral cuando es 1. En el modelo de red neuronal recurrente se añade este término independiente. En cada uno de los puntos suma que pertenecen a la capa de salida de la red neuronal. Estos pesos son los representados por: ci0 , uno por cada salida de la red. La entrada asociada a los pesos de compensación es z0(k) = 1. Los pesos de compensación ci0 se actualizan por medio de la regla:

−

 

∆ci0 = ηei (k)Γ˙ s2i (k)

i = 1, . . . , p .

(2.103)

De una forma similar pueden asignar pesos de compensación a los nodos que están en la capa de entrada de la red neuronal. Una entrada constante a lo pesos bi0 , hay el mismo número de pesos bi0 como nodos internos de la red. Los pesos bi0 se actualizan con la regla: ∆bi0 = ηδix (k) i = 1, . . . , n . (2.104) – JMFA –

39

2.10. Escalamiento de la Función de Activación, Γ(x)

2.10.


Escalamiento de la Funci´ on de Activaci´ on, Γ(x)

La función de activación que se usa en las simulaciones es la función tangente hiperbólico, tanh(x): tanh(x) =

ex e−x e2x 1 sinh(x) = = . ex + e−x e2x + 1 cosh(x)

−

−

(2.105)

Para poder modificar la ganancia (el valor l´ımite cuando x ) y la pendiente de esta función de activación (cuando la derivada de esta función es cero en x = 0) se modifican los parámetros k1 y k2 de la expresión:

→ ±∞

Γ(x) = k1 tanh

 x k2

.

(2.106)

La derivada de la función (2.106) es: d k1 Γ(x) = 1 dx k2

−

Γ(x/k2 )2



La ganancia de la función de activación (2.106) está dado por el l´ımite cuando x l´ım Γ(x)

x→±∞

(2.107)

→ ±∞. Para este caso, el l´ımite es:

→ ±k1,

(2.108)

la pendiente de la función de activación (2.106) es el valor de la derivada (2.107) en x = 0: Dx [Γ(x)] =

k1 . k2

(2.109)

En la figura 2.9, se muestran los cambios en la forma de la función de activación al modificar los parámetros k1 y k2 . En figura 2.9. a, se presenta la gr´ afica cuando hay un cambio en la ganancia de la función de activación, pero sin cambio en la pendiente. Los parámetros dede tener la misma magnitud: k = k1 = k2 . Las gráficas son para los parámetros k = 1,1.2 y 1.4. En figura 2.9. b, se grafican las derivadas de estas funciones. En figura 2.9. c, es el caso cuando hay cambio en la pendiente de la función de activación, pero sin cambio de la ganancia. Las gráficas tienen las pendientes: 30◦ , 45◦ y 60◦ , en figura 2.9. d, están sus derivadas.

40

– JMFA –


2.10. Escalamiento de la Función de Activación, Γ(x)

Función de Activación: Variación de ganancia

1.5

Función de Activación, derivada: Variación de ganancia

k=1.4 k=1.2

1

k=1

1

0.8

] ) k / x ( h 0.6 n a T * k [ x d / 0.4 d

0.5 ) k / x ( h n a T * k

0 −0.5

k=1.2

0.2

−1 −1.5 −4

−3

−2

−1

0 (a)

1

2

3 x

4

Función de Activación: Variación de pendiente

1.8

1

0.6

−2

−1

0 (b)

1

2

3 x

4

Función de Activación, derivada: Variación de pendiente

1.4

k1/k2 =Tan(30º)

] ) 1.2 2 k / x ( h 1 n a T * 1 0.8 k [ x d / d 0.6

0.4

) 2 k 0.2 / x ( h 0 n a T * −0.2 1 k

k1/k2=Tan(45º)

−0.4 −0.6

k1/k2=Tan(60º)

k1/k2=Tan(45º)

0.4

k1/k2=Tan(60º)

−0.8

k1/k2 =Tan(30º)

0.2

−1

Figura 2.9:

−3

k=1

1.6

0.8

−4

0 −4

k=1.4

−3

−2

−1

0 (c)

1

2

3 x

4

0 −4

−3

−2

−1

0 (d)

1

2

3 x

4





Funci´ on de Activaci´ on. tanh(x): a) funci´ on k tanh( xk ), casos: k = 1, 1.2, 1.4. b) funci´ on Dx k tanh( xk ) .

√





c) funci´ on k1 tanh( kx2 ), en los casos kk12 = 0.5, 1, 3. d) funci´ on Dx k1 tanh( kx2 ) . .................................................................................................................

– JMFA –

41

2.11. Conclusión

2.11.


Conclusi´ on

El modelo de una red neuronal recurrente y su algoritmo de entrenamiento se han presentado como una propuesta de un sistema dinámico ajustable y se muestran algunas variaciones de su estructura. La red neuronal propuesta tiene las siguientes caracter´ısticas: 1. Es un modelo de red neuronal recurrente que puede tener varias entradas y varias salidas, as´ı que no esta limitado en cuanto al número de señales externas. 2. Es un modelo paramétrico: el conjunto de los pesos define la estructura de un sistema dinámico. Es posible utilizar la información de los estados en las aplicaciones. 3. Se garantiza la estabilidad de la red por la restricción de los pesos de la capa de retroalimentación. 4. Los algortimos de entrenamiento de la red neuronal son simples y de fácil implementación. Las leyes de ajuste de los pesos utilizan un algoritmo de optimización de tipo gradiente. Se usa un algoritmo de tipo retropropagaci´ on para calcular los gradientes locales de cada nodo de la red y se realiza la actulización a través de una regla delta. En los cap´ıtulos que siguen se mostraran algunas de las implementaciones de este modelo de red neuronal en problemas de identificación y control de sistemas dinámicos.

42

– JMFA –

Cap´ıtulo 3

Identificaci´ on de Sistemas En el estudio de los sistemas una de las primeras necesidades es la de obtener modelos. Un mo delo sintetiza el análisis de las principales caracter´ısticas del sistema y de su precisión depende de la profundidad con la que se realiza. Para esto se deben detectar y determinar cuales son las variables del sistema más relevantes y el tipo de interacciones de tipo causa-efecto que entre ellas se producen. Los modelos de identificación son estructuras conocidas en las cuales se ajustan sus par´ ametros con el fin de reproducir la respuesta del sistema en estudio dentro de cierta zona de operación. En este cap´ıtulo se presentan algunos conceptos básicos sobre la identificación de sistemas, después algunos resultados de identificación usando el modelo de red neuronal recurrente presentado en el cap´ıtulo anterior y para terminar una propuesta de un modelo de identificación múltimodelo.

3.1.

Aproximaci´ on de Funciones

Se puede considerar el problema de aproximación de funciones como antecedente al de identificación de sistemas. Por esto se inicia con el tema de aproximación de funciones. Este problema se puede dividir en dos tipos. 1. En el primero, se supone que se conoce la expresión expl´ıcita de la función, y lo que se busca es una estructura paramétrica que apróxime a la función con el grado de precisión deseado. 2. En el otro caso, el problema consiste en obtener una función que se ajuste a la relación entrada-salida existente en un conjunto finito de datos. En el primer caso se búsca representar cierto clase de funciones como una suma de potencias a trav´ es de manipular series geométricas. Como ejemplo de este tipo de aproximación están las series de Mclaurin y de Taylor. Este enfoque permite obtener versiones simplificadas de funciones, esto ayuda al análisis de los problemas y tambi´ en se utilizan para simplificar cálculos. En el segundo caso es m´ as experimental debido a que no se cuenta de una expresión expl´ıcita de la función de la cual se desea obtener una aproximación. Pero se tiene la posibilidad de aprender sobre su forma por la realización de experimentos y la recolección de datos. Este tipo aproximaci´ on es en la que nos concentraremos. En [16] definen el problema de aproximación de funciones de la manera siguiente. Sea F (x, θ) una funci´ on de T aproximaci´ on no lineal ajustable . El vector: x = [x1 , x2 , . . . , xn ] es la entrada del aproximador y el vector: θ = [θ1 , θ2 , . . . , θ p ]T define sus parámetros y p la dimensión de la función de aproximación. Sea G(x, z) una función donde x = [x1 , x2 , . . . , xn ]T y z = [z1 , z2 , . . . , znz ]T son la entrada y una entrada auxiliar para G. El problema de aproximación de funciones se divide en dos etapas, en la primera se debe proponer una estructura para la función F , en la segunda etapa se debe definir la forma para ajustar el vector de parámetros, θ. En caso de que no se tenga la función G de forma expl´ıcita se define el problema de aproximación de funciones de la manera siguiente: 43

3.1. Aproximación de Funciones

Cap´ıtulo 3. Identificación de Sistemas

Sup´ ongase que para el i-ésimo experimento se tiene el vector de entrada: x(i) = [x1 (i), x2 (i), . . . , xn (i)]T , con el vector de auxiliar:

z(i) = [z1 (i), z2 (i), . . . , znz (i)]T ,

entonces, la salida es: y(i) = G(x(i), z(i)), debido a que no se conoce de forma expl´ıcita a G se puede aprender de ella experimentando y recolectando un conjunto de datos de entrada y salida. En la pr´ actica se restringen estos experimentos a un subconjunto X del espacio de entradas, es decir: x(i) X Rn ,

∈ ⊂

y de forma similar para la entrada auxiliar: z(i)

∈ Z ⊂ R

n

.

Se llama al par (x(i), y(i)) un dato de entrenamiento. Al conjunto de datos de entrenamiento, de la forma:

G = {x(i), y(i), . . . , x(M ), y(M )} en donde M denota el número de pares de entrenamiento contenidos en G (época de entrenamiento ).

El problema de aproximación de funciones consiste en hallar la forma de calcular el valor del vector de par´ ametros θ en F (x, θ) de manera que: G(x, z) = F (x, θ) + e(x, z), en donde e(x, z) es tan pequeño como se desee, para todo x

∈ Rn , aún para x, tales que (x, y) ∈/ G (Generalizaci´ on). z

Este problema es muy dif´ıcil si no se sabe nada sobre G, únicamente se tiene del conjunto de entrenamiento como información de la función. La función F puede ser representada por alguna de las siguientes opciones: un sistema difuso estandar, F f s (x, θ), un sistema difuso del tipo Takagi-Sugeno, F ts (x, θ), una red neuronal del tipo perceptrón múlticapa, F mlp (x, θ), una red neuronal del tipo funciones radiales básicas, F rbf (x, θ), una función polinomial, F poli (x, θ), entre otras.

3.1.1.

Redes Neuronales Est´ aticas en la Aproximaci´ on de Funciones

Las redes neuronales de múltiples capas y de funciones radiales b´ asicas (FRB) tienen la capacidad de aproximar funciones no lineales con el nivel de precisión deseado. Esta caracter´ıstica se aprovecha en las aplicaciones de modelado y control de sistemas. Se utiliza la información de tipo entrada-salida para entrenar a la red neuronal ajustando sus pesos para reducir la diferencia entre el valor deseado y el valor de salida de la red. Una vez hecho esto se utiliza la red neuronal para construir un modelo del sistema o un controlador. En [17], utiliza el Teorema de Weistrass para probar que estructuras como las redes neuronales de múltiples capas y por funciones radiales básicas, tienen la capacidad para aproximar funciones no lineales con el grado de precisión deseado. En este teorema se muestra que una función continua arbitraria puede ser uniformemente aproximada por una secuencia de polinomios, pn (x), dentro de cierta región; adem´ as, este teorema demuestra algunas propiedades generales para las funciones de aproximación. De acuerdo con el teorema de Stone-Weistrass, es sufienciente demostrar que el conjunto de todas las combinaciones lineales de funciones sigmoidales (para el caso de redes de múltiples capas) y de FRB forman una álgebra no desvaneciente que separa los puntos de un conjunto compacto definido por las variables de entrada de la red neuronal para garantizar sus propiedades para aproximar funciones no lineales continuas. 44

– JMFA –



Desde otro punto de vista teórico, el Teorema de Kolmogorov contradice el 13◦ problema de Hilbert donde se afirma que existen funciones análiticas de tres variables que no pueden ser representadas por una superposición de funciones continuas de dos variables. En el teorema de Kolmogorov se prueba que cualquier funci´ on continua de n-dimensional dentro del cubo E n puede ser representada por n(2n + 1) funciones de una variable. Entonces se tiene que es posible la representación exacta de una función análitica con una superposición finita de funciones continuas de una variable. En el trabajo de Hornik [3], se prueba que las redes neuronales de conexiones hacia adelante (feedforward) y con una capa oculta puede considerarse como una aproximador universal de funciones, lo anterior responde afirmativamente a la pregunta sobre si una red neuronal puede aproximar con el grado deseado a una función no lineal y responsabiliza el mal desempeño a los problemas de selección de los datos; la determinación del número de nodos en la capa oculta y a la falta de una relación determin´ıstica entre los datos de entrada y salida. En [5] se prueba que cualquier mapeo continuo puede ser realizado (aproximado) por una red neuronal de múltiples capas de al menos una capa oculta con función de activación tipo sigmoide. En ese trabajo prueba el teorema que sigue:

Teorema 3.1 Ver [5]. Identifique a Γ(x) como una funci´ on continua, no constante, uniformemente creciente y acotada; K como un subconjunto compacto (subconjunto acotado y cerrado) de Rn y f (x1 , . . . , xn ) es una funci´ on de valor real sobre K . Entonces para un ǫ > 0 arbitrario, existe un entero N y constantes reales ci , θi , wij ( i = 1, . . . , N ; j = 1, . . . , n) tales que:

  N

˜ 1 , . . . , x n) = f (x

n

ci Γ

i=1

y que satisface m´ axx∈K f (x1 , . . . , xn )



j=1

− f ˜(x1 , . . . , xn) < ǫ.

wij xj

− θi

 

,



Este teorema permite asegurar que una red neuronal de una capa oculta con función de activación tipo sigmoide y una capa de salida lineal, tiene la capacidad de aproximar una función de valor real con el grado de precisión deseado. M´ as adelante en [5] se generaliza el teorema 3.1:

Teorema 3.2 Ver [5]. Identifique a Γ(x) como una funci´ on continua, no constante, uniformemente creciente y acotada; K como un subconjunto compacto (subconjunto acotado y cerrado) de Rn y k es un n´ umero entero de modo que m R definido por x = (x1 , . . . , xn ) k 3. Entonces cualquier mapeo continuo f : K [f 1 (x), . . . , fm (x)] puede aproximarse en el sentido de una topolog´ıa uniforme sobre K por un mapeo de entrada-salida, por una red neuronal de k capas ( k 3, se cuentan las capas de entrada y salida) en donde Γ(x) es la funci´ on de salida de las k 2 capas ocultas y las capas de entrada salida lineales.

≥

→

→

≥

−



El teorema 3.2 generaliza a las funciones de vectoriales de valor real para poder ser realizadas por una red neuronal con k 2 niveles ocultos, sin restricción sobre el número de nodos que integran cada uno de los niveles, o capas, de la red neuronal.

−

En [3] se generaliza aun m´ as, permitiendo que la función de activación Γ(x) sea cualquier funci´ on continua no constante y acotada, esto elimina la necesidad que la función de activación sea del tipo sigmoide . M´ as tarde en [4] se aborda la pregunta acerca de la precisión de red neuronal para aproximar una función. Se prueba que una red neuronal es un aproximador universal con respecto al critero L p(µ), disponiendo del número suficiente de niveles ocultos en la red, y que si la función de activación es una función continua, acotada y no constante, entonces cualquier mapeo continuo puede ser aproximado con suavidad; es decir, que la red neuronal aproxima también las derivadas del mapeo. En el ejemplo 3.1 ilustra el desempeño de una red neuronal de múltiples capas para la aproximación de una función no lineal.

– JMFA –

45



Ejemplo 3.1 La red neuronal tiene una capa de entrada, dos capas ocultas y una de salida, la configuraci´ on de la red es 1, 4, 4, 1 , todas las neuronas tienen una entrada independiente ( bias), utilizan como funci´ on de activaci´ on: tanh( ). El 2π objetivo es aproximar la funci´ on no lineal: f (k) = sen( 2 k), en donde k = 1.0, 0.9, . . . , 0, . . . , 0.9, 1 , que suman veinti´ un puntos para el entrenamiento de la red neuronal. El algoritmo de ajuste de pesos es de tipo retropropagaci´ on del error, ver sec. 1.2.4. La tasa de entrenamiento es: η = 0.15, esta constante va decreciendo de forma exponencial en funci´ on de la época de entrenamiento: e−ep/800 .

{

}

{−

−

}

·

Se puede utilizar el teorema de muestreo de Shannon para determinar el n´ umero de puntos necesarios para reconstruir esta se˜ nal. Si f r es la frecuencia del arm´ onico m´ as alto que se desea reconstruir, el teorema de Shannon indica que la frecuencia de muestreo debe ser de al menos 2f r. Para este ejemplo se selecciona una frecuencia de muestreo de 20f r, as´ı que es suficiente para garantizar la reconstrucci´ on de la funci´ on no lineal. Durante el proceso de entrenamiento de la red neuronal se va tomando un dato de entrada y se propaga en la red para determinar el resultado de salida de la red con el conjunto de pesos actuales; entonces, se compara este valor con el deseado, este es el error instantáneo; el error instantáneo se retropropaga en la red para calcular los gradientes de cada nodo de la red, este gradiente es la medida de la contribuci´ on del nodo en el error de salida de la red; este valor se utiliza como el factor de correcci´ on en una regla delta que actualiza el peso de la red en un porcentaje del gradiente determinado por el ´ındice de aprendizaje η. Este proceso se realiza con cada dato de entrada y en cada nodo de la red neuronal, este es un ejemplo de aproximaci´ on en l´ınea de una funci´ on, figura 3.1. z(k) x(k)

G(x, z)

y(k)

^

F[x(k),θ(k)]

Proceso de proximaci´ on en l´ınea de una funci´ on. La funci´ on G se aproxima ajustando los parámetros de la función F para cada iteración k del proceso. ........................................................ Figura 3.1:

θ(k) y(k)

-

Método de ajuste para

θ(k)

El programa para el entrenamiento de la red neuronal esta escrito en Matlab 5.0. El programa se localiza en el apéndice B.1, página 153. 

Los resultados del entrenamiento se pueden observar en la figura 3.2. En figura 3.2.a se puede ver el inicio del entrenamiento, aqu´ı los pesos de la red son asignados de forma aleatoria por medio de una distribución uniforme [0.0, 1.0] de números pequeños. En figura 3.2.b se presenta la condición de la RN en la época 100 de entrenamiento, ya se nota que algunos puntos se han alcanzado y que la red comienza a asimilar el comportamiento de la función deseada. En figura 3.2.c se muestra la época 800, aqu´ı la función de costo ha alcanzado el valor de 5 10−4 con el cual la red muestra un error aceptable y se detiene el entrenamiento; se toman a los últimos pesos calculados como los finales. En figura 3.2.d se presenta la historia de la minimización de la función de costo.

×

El final del proceso de entrenamiento de la red neuronal significa que con los datos utilizados en esta fase se han obtenidos un conjunto de pesos con los cuales la función de desempeño alcanza el valor m´ınimo deseado. Ahora es necesario evaluar la respuesta de la red neuronal en la etapa de generalizaci´ on, que consiste en utilizar otro conjuntos de datos de entrada-salida diferentes a los usados en el entrenamiento. En la tabla 3.1 se resume la respuesta de la red para este nuevo conjuntos de datos. En la primera columna están los datos utilizados para probar la red neuronal; en la segunda columna se anotan los valores deseados; la respuesta de salida de la red neuronal para la entrada correspondiente y utilizando los pesos obtenidos en la etapa de entrenamiento se resumen en la tercera columna; en la cuarta columna se indica el error de salida de la red neuronal y por último se anota el porcentaje de error de salida. Una desventaja de este tipo de red es su relativamente largo tiempo de entrenamiento. En el ejemplo 3.2 se presenta una alterativa para este problema. Se utiliza una red neuronal con funciones radiales básicas.

46

– JMFA –



Aprox. de Función (RNMC) 1


época=0

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

) 0.2 k ( Y , ) 0 k ( d Y −0.2

) 0.2 k ( Y , ) 0 k ( d Y −0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8

−1

−1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0 (c)

0.2

0.4

0.6

0.8 X(k)

1

−1


−0.8

−0.6

época=800

−0.4

−0.2

0 (c)

0.2

0.4

0.6

0.8 X(k)

1

700 época

800

Aprox. de Función (RNMC): Error cuadrático

5 4.5

0.8

ec=0.00074005

4

0.6

3.5

0.4

] k ( e [ m u s * 2 / 1

) 0.2 k ( Y , ) 0 k ( d Y −0.2

2 )

−0.4

3 2.5 2 1.5 1

−0.6

0.5

−0.8

0

−1 −1

época=100

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0 (c)

0.2

0.4

0.6

0.8 X(k)

1

−0.5

0

100

200

300

400 (d)

500

600

Aproximaci´ on de una funci´ on a trav´ es de una red neuronal m´ ulticapa. a) en la época cero de entrenamiento. b) muestra el progreso de la RN en la época número 100, c) época número 800, el error cuadrático medio (EMC) ha alcanzado el valor de 7 10−4. d) minimizaci´ on del error cuadrático medio por época de entrenamiento. ................................................................................................................. Figura 3.2:

×

– JMFA –

47



Ejemplo 3.2 Se repite el ejemplo 3.1, pero en lugar de utilizar una red neuronal m´ ulticapa, ahora se utiliza una red neuronal de funciones radiales b´ asicas. La funcion no lineal utilizada en cada uno de los nodos ocultos es la funci´ on − 12 x−xci 2 2σi Gauss: r(x, xci ) = e , donde los puntos xci son tomados del conjunto de entrenamiento para servir como los centros de las funciones radiales básicas, éste conjunto para el ejemplo es: xc = 1, 0.8, . . . , 0, . . . , 0.8, 1 .

{− −

} La red neuronal de funciones radiales básicas tiene una entrada, once nodos en la capa oculta y una salida, {1,11,1}.

El par´ ametro σi determina el ancho o dispersi´ on de las funciones gaussianas, en este ejemplo, se le asign´ o el mismo valor a todas las funciones, σi = 0.5. El proceso para determinar el valor de los pesos en una red neuronal de FRB se realiza en un s´ olo paso y considerando todo el conjunto de lo datos de entrenamiento, este procedimiento se lleva fuera de l´ınea. La relaci´ on entre los datos de entrenamiento y el valor de salida deseado es:

      f (x1 ) .. .

=

f (xn )

que minimiza la norma:

r(x1 , xc1 ) . . . r(x1 , xcm ) .. .. .. . . . r(xn , xc1 ) r(xn , xcm ) m´ın F (x)



     w1 .. .

,

F (X ) = RW.

(3.1)

wm

− RW 

(3.2)

Para obtener los pesos de la red neuronal se realiza la operaci´ on: W = (RT R)−1 RT F (X ).

(3.3)

El programa utilizado se localiza en el apéndice B.2, página 155. 

En la figura. 3.3 se presenta el desempeño de la red neuronal con los pesos obtenidos por la solución en (3.3). En figura. 3.3.a se muestra la estructura general de la red usada. En figura. 3.3.b se presenta la operación de la red neuronal, en donde se puede observar que la red neuronal realiza la transformación entre los valores de entrada y el valor deseado a la salida. Aprox. de Función (RNFRB)

Aprox. de Función (RNFRB): generalización

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

) 0.2 k ( Y , ) 0 k ( d Y −0.2

) 0.2 k ( Y , ) 0 k ( d Y −0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8

−1

−1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0 (a)

0.2

0.4

0.6

0.8 X(k)

1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0 (b)

0.2

0.4

0.6

0.8 X(k)

1

Aproximaci´ on de una funci´ on no lineal utilizando una red neuronal de funciones radiales b´ asicas. a) . . valor deseado, Y d (k) = ; valor de salida de la red, Y (k) = . Los centros de las FR están indicados por . b) . . Mapeo de la red en generalización. Valor deseado, Y d(k) = ; valor de salida de la red, Y (k) = ................................................................................................................. Figura 3.3:

◦

◦

×

×

∗

En la tabla.3.2 se listán los datos, y los errores de la red en una prueba de la propiedad de generalización la red neuronal. Los campos que se anotan son los mismos que los mostrados en el ejemplo.3.1. En este par de ejemplos se pueden notar algunas caracter´ısticas de las redes neuronales usadas. En la red neuronal de múltiples capas el entrenamiento puede realizarse en l´ınea; es decir, que los pesos de la red se van actualizando en – JMFA –

49


3.2.

3.2. Identificación

Identificaci´ on

El problema de identificación de sistemas puede considerarse como una extensión del caso de aproximación de funciones en donde la relación entre las variables de entrada y salida es m´ as compleja que un mapeo entre ambas. En los sistemas en los cuales se observa que el efecto de una misma señal de entrada en diferentes instantes de tiempo produce respuestas diferentes se les conoce como sistemas dinámicos. En estos sistemas su evolución no depende exclusivamente de la señal de entrada, sino tambi´ en depende de su estado anterior. En muchos sistemas f´ısicos es posible obtener expresiones matemáticas que describen su modo de evolucionar, por lo general, se parte de leyes f´ısicas, que explican los efectos entre los elementos más simples del sistema, después se coordinan las interacciones hasta llegar a describir el sistema completo. De esta manera se logra modelar sistemas de tipo eléctrico, macánicos, electromecánicos, cinemáticos, qu´ımicos, etc. Esta técnica permite el análisis de sistemas complejos; sin embargo, el proceso inductivo que se sigue para hallar estos modelos se basan en leyes, pero aún éstas s´ olo son aproximaciones que no pretenden describir todas las interacciones que se producen, se limita a los efectos más evidentes dentro de una zona espec´ıfica de operación. Si estos modelos se mantienen en la zona de operación, en la mayor´ıa de los casos, el modelo será de utilidad para el an´ alisis del sistema, pero al salir de esta zona los efectos antes despreciados haran que se vaya incrementado la diferencia entre la respuesta del modelo y del sistema bajo estudio, llegando a ser inútil el modelo. Obligando lo anterior a modificar el modelo para que contemple los efectos que antes fueron descartados. Dependiendo de la complejidad del sistema este proceso puede hacerce muy laborioso. Una opción para este problema es proponer un modelo de identificación. Un modelo de identificación es una estructura fija cuyos par´ ametros son ajustables. Con la información disponible del sistema se ajustan los parámetros del modelo de identificaci´ on con el objetivo de que la respuesta del modelo se aproxime a la respuesta del sistema. u

Planta

θ Modelo de Identificación

y p

Problema de identificaci´ on de sistemas. Los parámetros del modelo de identificación son ajustados con el fin de que su respuesta se aproxime a la del sistema analizado. ........................................................ Figura 3.4:

ym

-

Método de ajuste para

θ

Con este enfoque el problema del modelado de un sistema tiene dos etapas: 1. Selecci´ on del modelo de identificación que más se adapte a las caracter´ısticas del sistema y del análisis a realizar. 2. Elegir el método de ajuste de los par´ ametros del modelo de identificación, a partir de la información disponible del sistema. En el primer paso se define el problema de caracterización de sistemas, que consiste en seleccionar la estructura que mejor se adapte al sistema en estudio. En esta fase se determina si el modelo debe ser lineal, no lineal, continuo, discreto, variante o invariante el tiempo con base a los criterios de precisión y complejidad del modelo de identificación, de tal forma, que la selección del modelo tenga la estructura más sencilla posible, pero que cumpla con los requisitos de precisi´ on solicitados. El problema de identificación se puede definir de la siguiente forma: Problema de identificaci´ on: Sea u la entrada y y p la salida de un sistema estable, u es acotada y uniforme. Se propone un modelo de identificaci´ on con salida ym y una estructura paramétrica conocida. Se requiere que con la informaci´ on disponible del sistema se ajusten los par´ ametros del modelo de identificaci´ on de tal forma que ym se aproxime asint´ oticamente a la salida y p . En la definición anterior se supone que la información del sistema en estudio está libre de ruido. A continuación se presentan algunos métodos para la identificación de sistemas, con el propósito de que sirván como antecedentes a la utilización de las redes neuronales para el problema de identificación. – JMFA –

51

3.3. Métodos de Identificación

3.3.


M´ etodos de Identificaci´ on

Ver [38]. Los métodos de identificación que se presentan en esta sección modelan la salida del sistema como una combinaci´ on lineal de sus salidas y entradas anteriores ( auto-regressive moving average ): n1

Ao y(k) =

 −

n2

Aj y(k

j=1

− j) +



Bj u(k

j=0

− j)

k

≥0

(3.4)

en donde y es la salida del sistema de dimensión n; u es la variable de entrada de dimensión m; Ai , Bi son matrices de parámetros donde Ao es cuadrada y no singular. El modelo se normaliza agrupando las salidas y entradas anteriores en un vector φ de dimensión p, y una matriz de parámetros θ de dimensión p m donde las columnas están formadas por los parámetros para cada salida:

×

y(k) = θ T φ(k

− 1).

k

≥1

(3.5)

el vector φ se le nombra como regresor . Notar que la ecuación (3.5) tiene la forma de un sistema de ecuaciones algebraicas: y = Ax, donde x es el regresor φ(k 1) y A es θT ; el problema es hallar una θˆT tal que minimize y(k) θˆT φ(k 1) para todo k.

−



−

− 

Ejemplo 3.3 Para el caso del modelo discreto de la velocidad motor de cc. dado en el apéndice C.53, se puede expresar de la forma (3.5), es decir: ω(k) = θT φ(k 1), t 1 φ(k 1)T = [ω(k 1), ω(k 2), ea (k 1), ea (k 2), T L (k 1), T L (k 2)] , θT = [ 295.803 10−3 , 703.648−3, 10607.511 10−3 , 10607.511 10−3 . . . 1548.755, 1548.329].

−

− −

−

−

×

≥ −

−

−

−

−

×

− ×

(3.6) (3.7) (3.8)



Entonces el problema de identificación se inicia considerando que el sistema bajo análisis se puede modelar de la forma (3.5), ahora se debe proponer un algoritmo de ajuste de la matriz de pesos θ, el ajuste se realiza con la información disponible del sistema. Los algoritmos se dividen en aquellos que son adecuados para trabajar fuera de l´ınea, y otros que lo hacen en l´ınea. La diferencia entre ambos enfoques radica en si se tienen, o no, restricciones en el tiempo para realizar las operaciones necesarias para la actualización de los par´ ametros. En este trabajo se está interesado en los algoritmos en l´ınea. Estos algoritmos ajustán los parámetros de forma progresiva, utilizando la información disponible. El primer algoritmo se identificación que se trata es el de proyección.

3.3.1.

Algoritmo de Proyecci´ on

Este algoritmo de identificación en l´ınea. Supóngase que el sistema a identificar tiene una estructura definida por la ecuaci´ on (3.5) y, por tanto, existe una matriz de parámetros θ∗ . El algoritmo de proyección propone que en el instante k la matriz de paramétros estimados θˆ se actualice en la dirección del regresor φ(k 1) y en proporción al error de salida ˆ e(k) = y(k) φ(k 1)T θ(k 1), es decir:

−

−

−

−

ˆ = θ(k ˆ θ(k)

−

φ(k 1) 1) + φ(k 1)T φ(k

−

−

− 1)



y(k)

T ˆ

− φ(k − 1)

θ(k



− 1)

k

≥ 1,

(3.9)

ˆ en donde θ(0) es la estimación inicial para θ∗ . ˆ ˆ El algoritmo de proyección minimiza la distancia entre los valores estimados θ(k) y θ(k J = 52

1 ˆ θ(k) 2



ˆ − 1)2 , − θ(k

– JMFA –

− 1): (3.10)

Cap´ıtulo 3. Identificación de Sistemas sujeto a la restricción: y(k) = φ(k


ˆ − 1)θ(k). Ver [38].

Con el propósito destacar el principio geométrico de este algoritmo supóngase que θ ∗ es un vector bidimensional. ver figura 3.5. En el instante k se conoce un estimado para el vector de par´ ametros θ(k 1); el regresor: φ(k 1) y la salida y(k). Con esta información se debe proponer un valor para θ(k), esperando que se aproxime a θ∗ .

−

−

b

a

T ^

y(k) - Á (k-1) µ (k-1)

c

^

µ(k-1) ^

µ(k)

Algoritmo de proyecci´ on- Interpretaci´ on geom´ etrica. El algoritmo de proyección actualiza el vector de parámetros estimados en una magnitud igual a la de su proyección sobre el regresor actual, y en una dirección paralela a éste u ´ ltimo. Notar que cuando el vector de parámetros estimados es perpendicular al regresor (caso entre los pasos E a F ) el vector de parámetros estimados puede alcanzar en menos iteraciones (repeticiones) su valor verdadero. .............................................................. Figura 3.5:

^

µ(k+1) d

f e

µ* F

A

E D

Á(k-1) B C

Á(k)

El algoritmo de proyecci´ on puede interpretarse de la forma siguiente: supóngase que la r´ apidez de un barco es proporcional al producto escalar de la corriente, φ(k 1) por su rumbo, θ(k 1). Se desea otro valor de rápidez indicado por y(k). Para cumplir esto se debe calcular un cambio en el rumbo. La r´ apidez en las condiciones actuales es: φ(k T 1) θ(k 1), el cambio del rumbo debe reducir la diferencia entre la rápidez deseada y la actual: y(k) φ(k 1)T θ(k 1), este valor da la magnitud y la orientación del cambio de rumbo, pero falta decidir en que dirección se debe realizar. El algoritmo de proyección propone que el cambio de rumbo se realice paralelo a la corriente. En la figura. 3.6.a se presenta el barco en su estado inicial. Si la rápidez deseada es menor a la actual: y(k) φ(k 1)T θ(k 1) < 0, esto indica que la corrección del rumbo debe ser en dirección contraria a la corriente, como se ve en figura.3.6.b. Si lo que se desea es aumentar la rápidez del barco: y(k) φ(k 1)T θ(k 1) > 0, la corrección en el rumbo debe de darse en la dirección de la corriente, esto se observa en figura.3.6.c.

−

−

−

− −

−

−

−

Á(k-1)

Á(k-1)

(a)

(b) µ(k-1)

−

−

µ(k)

µ(k-1)

−

−

−

µ(k-1)

Interpretaci´ on del algoritmo de proyecci´ on. En el algoritmo se proyecció n la corrección del vector de parámetros se realiza en la dirección del regresor (dirección de la corriente). ............................................. Figura 3.6:

µ(k)

Á(k-1)

(c)

– JMFA –

53



Algoritmo de proyecci´ on: La ecuación (3.9) tiene el posible problema de que el denomidador se haga cero, para evitar esto, el algoritmo de proyección se modifica de la forma siguiente: ˆ = θ(k ˆ θ(k)

− 1) − 1) + a c + φ(kφ(k − 1)T φ(k − 1)



y(k)



ˆ − 1) − φ(k − 1)T θ(k

k

≥ 1,

(3.11)

en donde 0 < a < 2, c > 0. 

Las propiedades del algoritmo de proyección se resumen en [38]. Se garantiza que el error de estimación de los par´ ametros no serán mayor al inicial, pero esto no implica que eventualmente se haga cero. En el ejemplo 3.4 se presenta el caso de identificación del modelo lineal de un motor de cc. usando el algoritmo de proyección.

Ejemplo 3.4 Se presenta la operaci´ endice on del algoritmo de proyecci´ on para la identificaci´ on de un motor de cc. Ver Ap´ C. Se utilizan las ecuaciones que describen la velocidad del motor, ecuaci´ on C.53 y el resultado del ejemplo 3.3. En este ejemplo se supone que el par de carga, T L , es igual a cero: ω(k) = θT φ(k

− 1), k ≥ 1 φ(k − 1) = [ω(k − 1), ω(k − 2), ea(k − 1), ea (k − 2)] , θT = [−295.803 × 10−3 , 703.648−3, 10607.511 × 10−3 , 10607.511 × 10−3 ].

(3.12)

T

(3.13) (3.14)

El algoritmo utiliza; a = 1, c = 0.001; el tiempo de muestreo es: T s = 0.005s. La se˜ nal de entrada es u(k) = sen(2π(k 1)T s ) + sen(20π(k 1)T s ). El algoritmo opera durante 2 segundos.

−

−

El programa para el algoritmo de proyecci´ on se localiza en el apéndice B.3. Los resultados se resumen en la figura 3.7. Algoritmo de Proyección: Parámetros

12

Algoritmo de Proyección: Errores 10 0 −10

10.5985 10

e=−0.036992

0

8 6

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0

2 0.70122 −0.2922

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 (a)

1.2

1.4

1.6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

2

1.8

2

1.6

1.8

2

ep2=−0.0034485

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 (b)

1.2

1.4

1 0 −1

1.8 s

1.6

ep1=−0.012184

1 0 −1

4

−2

0.2

1 0 −1

1.6 1.8 2 ep34=−0.00085352

1.6

1.8 s

2

Operaci´ on del algoritmo de proyecci´ on. a) Evoluci´ on de los parámetros. b) Errores. Error de salida: 3 T ˆ φ(k 1) θ(k 1); error relativo del parámetro 1: ep1 = θ1 (k)+295.803×10 ; error relativo del parámetro −295.803×10 3

Figura 3.7:

e = ω(k)

−

−

−

−

−

3

−

θ

(k)−10607.511×10

3

−

2: ep2 = θ1 (k)−703.648×10 ; error relativo del parámetro 3 y 4: ep3,4 = 3,4 10607.511×10 3 703.648×10 3 ................................................................................................................. −

−



En la figura 3.7.a se observa el valor de los par´ ametros en cada repetición. En el ejemplo, se alcanzan r´ apidamente valores muy próximos a los verdaderos; pero no hay que olvidar que en una aplicación real no se conocen el valor preciso de estos parámetros, por lo cual no se tendrá una forma exacta de reconocer cuando el algoritmo de proyección ha logrado hallar una aproximación aceptable de los par´ ametros del sistema y, p or tanto, se debe definir una técnica de validación. 54

– JMFA –



Inicializaci´ on : ˆ - Vector de parámetros estimados: θ(0). - Tasa de ajuste : 0 < a < 2.. - Constante para evitar división entre cero : c > 0. - N´ umero de iteraciones : N . k=1 Proceso: - Actualización del vector de parámetros estimados: φ(0) ˆ = θ(0) ˆ + ˆ θ(1) φ(0)T θ(0) . c+φ(0)T φ(0) y(1) - Incremento de ´ındice: k = k + 1 Si k < N repetir Proceso. Si k = N Fin.



Tabla 3.3:



−

Resumen del algoritmo de identificaci´ on de proyecci´ on.

En la figura 3.5 se destaca el hecho que cuando el vector de par´ ametros estimados y el regresor son perpendiculares, la velocidad del algoritmo de proyección aumenta. Al algoritmo de identificación que aprovecha la observación anterior se le conoce como algoritmo de proyección ortogonal. A esto se refiere la próxima sección.

3.3.2.

Algoritmo de Proyecci´ on Ortogonal

Auxili´ andose de la interpretaci´ on geométrica del algoritmo de proyección, figura 3.5 se puede notar que en la actualizaci´ on del vector de par´ ametros que se realiza de E a F se acelera la convergencia del vector de par´ ametros estimados, lo anterior debido a que el regresor F es casi perpendicular al regresor en E . Esto indica que puede obtenerse un algoritmo m´ as rápido si en vez de utilizar el regresor actual, se utiliza el componente del regresor que es perpendicular al regresor del momento anterior. Para aprovechar la observación anterior se procede de la manera siguiente. Se inicia el algoritmo de igual forma que en el caso normal, esto es: ˆ = θ(0) ˆ + θ(1)



φ(0) y(1) φ(0)T φ(0)



ˆ − φ(0)T θ(0)

k = 1,

(3.15)

En la iteración que sigue no se utiliza φ(1), en vez de esto se calcula el componente de φ(1) que es perpendicular a φ(0): φ(0) φ(0)φ(0)T T φ(1) φ(0) φ(1) = I φ(1) = P (0)φ(1) (3.16) φ(0)T φ(0) φ(0)T φ(0)

−

−



aqu´ı lo que se hace es eliminar de φ(1) la proyección de φ(1) sobre φ(0). Notar que P (0) es una matriz simétrica y nilpotente (P (0)2 = P (0)). Aplicando otra vez el algoritmo se proyección se obtiene: ˆ = θ(1) ˆ + θ(2)



P (0)φ(1) y(2) φ(1)T P (0)φ(1)



ˆ − φ(1)T θ(1)

k = 2,

(3.17)

Ahora se debe determinar la componente de φ(2) que es perpendicular a P (0)φ(1), para esto basta con tomar la matriz P (0) que es una matriz de cambio de base, y en este nuevo marco de referencia, la componente de φ(2) que se necesita es: P (0)φ(2)

−



P (0)φ(1) φ(1)T P (0)φ(2) = P (0) φ(1)T P (0)φ(1)

−



(3.18)

k = 3,

(3.19)

P (0)φ(1)φ(1)T P (0) φ(2) = P (1)φ(2) φ(1)T P (0)φ(1)

Se aplica el algoritmo se proyección: ˆ = θ(2) ˆ + θ(3)



P (1)φ(2) y(3) φ(2)T P (1)φ(2) – JMFA –



ˆ − φ(2)T θ(2)

55



La dirección para la actualización del vector de par´ ametros en la nueva base P (2) es:



P (1)

−



P (1)φ(2)φ(2)T P (1) φ(3) = P (2)φ(3) φ(2)T P (1)φ(2)

(3.20)

ˆ y con P (2)φ(3) se vuelve a aplicar el algoritmo de proyección para calcular θ(4) En resumen: Algoritmo de proyecci´ on ortogonal: De lo anterior, el algoritmo de proyección ortogonal se puede generalizar de la forma: ˆ ˆ θ(k) = θ(k

− 2)φ(k − 1) − 1) + c + φ(kP (k − 1)T P (k − 2)φ(k − 1)

en donde: P (k

− 1) =



P (k

− 2) −



y(k)

ˆ − 1) − φ(k − 1)T θ(k





P (k 2)φ(k 1)φ(k 1)T P (k 2) φ(k c + φ(k 1)T P (k 2)φ(k 1)

−

−

−

− −

−

−

k

≥ 1,

(3.21)

− 1),

(3.22)

siendo la matriz P ( 1) = I y la constante c > 0 es para evitar que la expresión en el denominador sea igual acero.

−



En el ejemplo 3.5 se aplica el algoritmo de proyección ortogonal para la identificación de la velocidad de un motor de cc.

Ejemplo 3.5 Los utilizados en el algoritmo son: tiempo de muestreo T s = 0.005s; c = 0.001, la se˜ nal de entrada es: u(k) = sen(2π(k 1)T s ) + sen(20π(k 1)T s ). El entrenamiento se realiza durante 2 seg. En la figura 3.8 se resumen los resultados de este algoritmo.

−

−

Algoritmo de Proyección Ortogonal: Parámetros

12

Algoritmo de Ortogonal: Errores 20

10.6074 10

−20

8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 1.6 1.8 ep1=6.0887e−006

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 1.6 1.8 ep2=−2.5517e−006

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 1.6 1.8 2 ep34=−7.2727e−005

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 (b)

1.2

1.4

1 0 −1

6

1 0 −1

4 2 0.70365 −0.2958

0 −2

e=−3.9865e−005

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 (a)

1.2

1.4

1.6

1 0 −1

1.8 s

2

1.6

1.8 s

2

Operaci´ on del algoritmo de proyecci´ on ortogonal. a) Evoluci´ on de los parámetros. b) Errores. Error de 3 T ˆ salida: e = ω(k) φ(k 1) θ(k 1); error relativo del parámetro 1: ep1 = θ1 (k)+295.803×10 ; error relativo del −295.803×10 3 Figura 3.8:

−

−

−

−

−

3

−

θ

3

−

(k)−10607.511×10

parámetro 2: ep2 = θ1 (k)−703.648×10 ; error relativo del parámetro 3 y 4: ep3,4 = 3,4 10607.511×10 3 703.648×10 3 ................................................................................................................. −

−



En el ejemplo 3.5 se nota que el algoritmo de proyección ortogonal tiene una velocidad de convergencia mayor a la mostrada por el algoritmo de proyección, pero esto tiene la desventaja de que lo hace más sensible al ruido en los datos. Un caso intermedio entre estos dos algoritmos de identificación es el método por m´ınimos cuadrados. A esto se refiere la próxima sección. 56

– JMFA –



Inicializaci´ on : ˆ - Vector de parámetros estimados: θ(0). - Matriz : P ( 1) = I Matriz Identidad. - Constante para evitar división entre cero : c > 0. - N´ umero de iteraciones : N .

−

k=1 Proceso: - Actualización del vector de parámetros estimados: P (−1)φ(0) ˆ = θ(0) ˆ + ˆ θ(1) φ(0)T θ(0) . c+φ(0)T P (−1)φ(0) y(1) - Actualización de la matriz P : T P (−1) P (0) = P ( 1) P (−1)φ(0)φ(0) T c+φ(0) P (−1)φ(0) - Incremento de ´ındice: k = k + 1 Si k < N repetir Proceso. Si k = N Fin.





−

− −

Resumen del algoritmo de identificaci´ on de proyecci´ on ortogonal.

Tabla 3.4:

3.3.3.

Algoritmo de M´ınimos Cuadrados

Este algoritmo considera a y(k) = φ(k 1)T θˆ como una ecuación l´ıneal donde la variable a determinar es el vector ˆ a medida que k se va incrementado se forma un sistema de 1, 2, . . ., N ecuaciones, y en cada paso de parámetros θ, ˆ Cada uno de estos sistemas de ecuaciones se resuelven se va calculando una actualización del vector de parámetros θ. ˆ encontrando el valor de θ que minimiza la función escalar:

−

k



1 J (k) = y(r) 2 r=1

T ˆ

− φ(r − 1)

 

θ(k)

2

ˆ + θ(k)

−

 

ˆ θ(0)

T

ˆ θ(k)

P o−1

−



ˆ θ(0) ,

(3.23)

ˆ ˆ es el estimado inicial de este en donde θ(k) es el vector de par´ ametros que es solución del sistema de k ecuaciones; θ(0) ˆ vector; P o es una matriz que pondera la calidad de la estimación inical θ(0). El procedimiento que se seguira para deducir la ecuación recurrente de la actualización de los pesos inicia encontrando la solución para k = 1, 2, 3 para después generalizar para toda k. Si k = 1: J (1) =



1 y(1) 2

 

ˆ − φ(0)T θ(1)

2

ˆ + θ(1)

 

ˆ − θ(0)

T

ˆ P o−1 θ(1)



ˆ − θ(0)

ˆ para minimizar se calcula la derivada con respecto a θ(1) y se hace igual a cero: 0 =

−φ(0)

ˆ despejando θ(1):





y(1)

 

ˆ − φ(0)T θ(1)

ˆ θ(1) = P o−1 + φ(0)φ(0)T



 −1

ˆ + P o−1 θ(1)

ˆ + P o−1 θ(0)

(3.24)

,

(3.25)

φ(0)y(1) ,

(3.26)



ˆ ˆ + φ(0)y(1) , θ(1) = P (0) P o−1 θ(0) en donde:



ˆ − θ(0)

,

P (0)−1 = P o−1 + φ(0)φ(0)T ,



(3.27)

(3.28)

de lo anterio se prueba que: ˆ = P −1 θ(0) ˆ + φ(0)φ(0)T θ(0), ˆ P (0)−1 θ(0) o – JMFA –

(3.29) 57



sustituyendo (3.29) en (3.27) y reordenando:



ˆ ˆ θ(1) = P (0) P (0)−1 θ(0)



T ˆ

φ(0)φ(0) θ(0) + φ(0)y(1) ,

(3.30)



(3.31)

− −

ˆ ˆ + P (0)φ(0) y(1) θ(1) = θ(0)

ˆ φ(0)T θ(0) .

Para el caso k = 2: J (2) =

1 2

2



y(r)

r=1

 

ˆ − φ(r − 1)T θ(2)

2

ˆ + θ(2)

 

ˆ − θ(0)

T

ˆ P o−1 θ(2)



ˆ − θ(0)

,

(3.32)

ˆ se calcula la derivada con respecto a θ(1) y se hace igual a cero: 2

0=

 −

φ(r

r=1

− 1)



y(r)

 

ˆ − φ(r − 1)T θ(2)

ˆ + P o−1 θ(2)



ˆ − θ(0)

,

(3.33)


  

−1

2

ˆ θ(2) = P o−1 +

φ(r

r=1

ˆ θ(2) = P (1) en donde:

− 1)φ(r − 1)T

ˆ + P o−1 θ(0)





ˆ + φ(0)y(1) + φ(1)y(2) , P o−1 θ(0)



φ(0)y(1) + φ(1)y(2) ,

(3.34) (3.35)

2

−1

P (1)

=

P o−1



+

φ(r

r=1

− 1)φ(r − 1)T ,

(3.36)

= P (0)−1 + φ(1)φ(1)T ,

(3.37)

se puede probar que: ˆ + φ(0)y(1) = P (1)−1 θ(1) ˆ ˆ P o−1 θ(0) φ(1)φ(1)T θ(1), ˆ ˆ agrupando para θ(1) = P (1)−1 φ(1)φ(1)T θ(1) ˆ usando (3.37) = P (0)−1 θ(1)



−

−



ˆ + φ(0) y(1) = P (0)−1 θ(0)

multiplicando (3.31) por P (0)−1

(3.38)



(3.39) (3.40)



ˆ − φ(0)T θ(0)

ˆ + φ(0)y(1), sustituyendo P (0)−1 seg´ un (3.29) = P o−1 θ(0)

(3.41) (3.42)






ˆ ˆ θ(2) = P (1) P (1)−1 θ(1) ˆ ˆ + P (1)φ(1) θ(2) = θ(1)



ˆ + φ(1)y(2) − φ(1)φ(1)T θ(1) ˆ y(2) − φ(1)T θ(1) .



,

(3.43) (3.44)

Para el caso k = 3: 1 J (3) = 2

3



y(r)

r=1

− φ(r − 1)

T ˆ

 

θ(3)

2

ˆ + θ(3)

−

 

ˆ θ(0)

T

P o−1

ˆ θ(3)



ˆ θ(0) ,

(3.45)



(3.46)

−

ˆ se calcula la derivada con respecto a θ(1) y se hace igual a cero: 3

0=

58

−

 r=1

φ(r

− 1)



y(r)

 

ˆ − φ(r − 1)T θ(3) – JMFA –

ˆ + P o−1 θ(3)

ˆ − θ(0)

,




  −  

−1

3

ˆ θ(3) = P o−1 +

φ(r

1)φ(r

r=1

φ(r

r=1



ˆ + φ(0)y(1) + φ(1)y(2) + φ(2)y(3) , P o−1 θ(0)

(3.47)

− 1)y(r)

,

(3.48)

P o−1



− 1)T

3

ˆ ˆ + θ(3) = P (2) P o−1 θ(0)

 

en donde: 3

−1

P (2)

=

+

φ(r

r=1

−1

− 1)φ(r − 1)T ,

(3.49)

+ φ(2)φ(2)T ,

(3.50)

ˆ − φ(2)φ(2)T θ(2), ˆ − 1)y(r) = P (2)−1θ(2)

(3.51)

= P (1) se prueba la expresión: 2

ˆ + P o−1 θ(0)

 r=1

φ(r

ˆ agrupando θ(2) usando (3.50)

multiplicando (3.44) P (1)−1 ˆ agrupando θ(1) usando (3.38)

 

 −

ˆ = P (2)−1 φ(2)φ(2)T θ(2), ˆ = P (1)−1 θ(2),

(3.52)

ˆ + φ(1)y(2) = P (1)−1 θ(1)

(3.54)

−

(3.53)

ˆ φ(1)φ(1)T θ(1),

ˆ + φ(1)y(2), = P (1)−1 + φ(1)φ(1)T θ(1) =

2

ˆ + P o−1 θ(0)



φ(r

r=1

− 1)y(r),

(3.55) (3.56)




ˆ ˆ θ(3) = P (2) P (2)−1 θ(2) ˆ ˆ + P (2)φ(2) θ(3) = θ(2)





ˆ + φ(2)y(3) − φ(2)φ(2)T θ(2) ˆ y(3) − φ(2)T θ(2) .



,

(3.57) (3.58)

A partir de (3.31), (3.44) y (3.58) se puede generalizar esta para toda k, esto es: ˆ ˆ θ(k) = θ(k en donde P (k

− 1) + P (k − 1)φ(k − 1)

− 1) es: P (k

para todo k



y(k)

ˆ − 1) − φ(k − 1)T θ(k

− 1)−1 = P (k − 2)−1 + φ(k − 1)φ(k − 1)T



.

(3.59)

(3.60)

≥ 1, y donde P (−1) = P o es una matriz definida positiva.

El algoritmo de m´ınimos cuadrados est´ a definido por las ecuaciones (3.59) y (3.60). Pero en esta forma resulta computacionalmente dif´ıcil, debido a que para calcular la matriz P (k 1) hay que invertir dos matrices (una de P (k 2) y otra de P (k 1)). Afortunadamente con la ayuda del Lema 3.2.1 de inversión de matrices se elimina la necesidad de invertir matrices. El Lema 3.2.1 es el siguiente:

−

−

−

Lema 3.2.1 Inversi´ on de Matrices: sea A, B matrices de dimensi´ on n n no singulares; c es un vector de dimensi´ on n y k > 0 es una constante positiva. Si las inversas de B y A se relacionan de la forma:

×

B −1 = A−1 + kccT ,

(3.61)

entonces se cumple lo siguiente: T

B=A

− k 1 +AcckcT AAc , – JMFA –

(3.62) 59



además: Ac , 1 + kcT Ac Bc Ac = . 1 kcT Bc

Bc =

(3.63) (3.64)

−



Identificando a P (k de:

− 1) = B, P (k − 2) = A, φ(k − 1) = c y k = 1, se tiene que la matriz P (k − 1) puede obtenerse P (k − 2)φ(k − 1)φT (k − 1)P (k − 2) − − − P (k 1) = P (k 2) 1 + φ(k − 1)T P (k − 1)φ(k − 1)

(3.65)

esto elimina la necesidad de invertir matrices lo que hace al algoritmo computacionalmente más económico. En la forma actual se debe primero calcular la matriz P (k 1) por medio de (3.65) y después usar (3.59) para actualizar el vector de par´ ametros. Para cambiar este orden se utiliza la propiedad (3.63).

−

Algoritmo de m´ınimos cuadrados: Sea un sistema modelado de la forma: y(k) = φ(k 1)θ ∗ en donde θ∗ es el ˆ ˆ vector de par´ ametros del sistema. Se propone un modelo de identifiación: yˆ(k) = φ(k 1)θ(k) en donde θ(k) es ∗ ˆ una aproximación de θ . El algoritmo de identificación por m´ınimos cuadrados actualiza el vector de pesos θ(k) por medio de:

− −

ˆ ˆ θ(k) = θ(k

− 2)φ(k − 1) − 1) + 1 + φ(kP (k − 1)T P (k − 2)φ(k − 1)

donde: P (k

− 1) = P (k − 2) −

P (k 2)φ(k 1)φ(k 1 + φ(k 1)T P (k

−

−

−



y(k)

ˆ − 1) − φ(k − 1)θ(k



− 1)T P (k − 2) − 2)φ(k − 1)

(3.66)

(3.67)

P ( 1) = P o es una matriz definida positiva.

−



Se aplica el algoritmo de m´ınimos cuadrados para obtener un modelo de la velocidad del motor de cc. (apéndice C).

Ejemplo 3.6 El parámetro P o es la matriz identidad de 4 4; el tiempo de muestreo es T s = 0.005. El algoritmo opera durante 2s. El programa utilizado se puede ver en apéndice B.5. Las gráficas de los resultados se presentan en la figura 3.9.

×



En la figura 3.9.a se nota que la trayectoria de actualización de los parámetros es más suave, y requiere un tiempo m´ as grande para converger, pero este algoritmo es menos sensible a las perturbaciones.

3.3.4.

Exitaci´ on Persistente

En los algoritmos de identificación anteriores se basan en la suposición que la respuesta del sistema puede modelarse, dentro de cierta zona de operación, por una combinación l´ıneal de las respuestas y entradas pasadas, y de esta forma, el problema de identificación se restringe a encontrar, con esta información, los parámetros de la combinación l´ıneal, es decir, se convierte en un problema de naturaleza dinámico en uno estático. Si se considera que la estructura y el orden del sistema son dos caracter´ısticas que sobre él se pueden suponer, la posibilidad de que en los algoritmos de identificación anteriores los par´ ametros converjan a sus valores verdaderos depende de la calidad de la información de entrada y de la respuesta del sistema que se dispongan. A la propiedad sobre la información de entrada (y de manera indirecta sobre la información de salida) que garantiza la convergencia de los par´ ametros en los algoritmos de identificación se le conoce como: Exitaci´ on Persistente . 60

– JMFA –



Algoritmo de LMS: Parámetros

12

Algoritmo de LMS: Errores 10 0 −10

10.5224 10 8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 1.6 1.8 ep1=0.010223

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 1.6 1.8 ep2=−0.0057524

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 1.6 1.8 ep34=−0.085073

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 (b)

1.2

1.4

2

2 0 −2

6

1 0 −1

4 2 0.6979 −0.28558

0 −2

e=−0.0010918

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 (a)

1.2

1.4

1.6

1.8 s

1 0 −1 2

1.6

1.8 s

Operaci´ on del algoritmo de m´ınimos cuadrados. a) evoluci´ on de los parámetros. b) Errores. Error de 3 T ˆ salida: e = ω(k) φ(k 1) θ(k 1); error relativo del parámetro 1: ep1 = θ1 (k)+295.803×10 ; error relativo del −295.803×10 3 Figura 3.9:

−

−

−

−

−

3

−

θ

3

−

(k)−10607.511×10

parámetro 2: ep2 = θ1 (k)−703.648×10 ; error relativo del parámetro 3 y 4: ep3,4 = 3,4 10607.511×10 3 703.648×10 3 ................................................................................................................. −

−

Inicializaci´ on : ˆ - Vector de parámetros estimados: θ(0). - Matriz : P ( 1) cualquier matriz definida positiva. - Número de iteraciones : N .

−

k=1 Proceso: - Actualización del vector de parámetros estimados: P (−1)φ(0) ˆ = θ(0) ˆ + ˆ θ(1) φ(0)T θ(0) . 1+φ(0)T P (−1)φ(0) y(1) - Actualización de la matriz P : T P (−1) P (0) = P ( 1) P (−1)φ(0)φ(0) 1+φ(0)T P (−1)φ(0) - Incremento de ´ındice: k = k + 1 Si k < N repetir Proceso. Si k = N Fin.



−



− −

Tabla 3.5:

Resumen del algoritmo de identificaci´ on de m´ınimos cuadrados.

Por ejemplo, para el algoritmo de proyección ortogonal si n es el número de par´ ametros en el modelo, es posible probar que el algoritmo de proyección ortogonal converge en m pasos si se garantiza la siguiente condición de rango: rango[φ(1), . . . , φ(m)] = n, donde n = dim θo .

{ }

(3.68) (3.69)

Lo anterior se interpreta como una condición para que el algoritmo de proyección ortogonal converja en sus parámetros. Esta propiedad indica que el regresor debe expandir el espacio de param´ etros. La propiedad de convergencia anterior impone la condiciones sobre el vector de regresión, que incluye a señales entrada y de salida del sistema. Las condiciones de exitación persistente se suelen atribuir únicamente a la señal de entrada. Aqu´ı no se extiende más este tema, remitirse a la referenicia [38] para mayores detalles. Es suficiente para este trabajo hacer conciente al lector de esta caracter´ıstica en los algortimos de identificación.

– JMFA –

61


3.3.5.


Algoritmos de Identificaci´ on Cl´ asicos y Redes Neuronales

No es dif´ıcil hallar una relación entre las redes neuronales y los algoritmos de identificación presentados. En los modelos de identificación anteriores, el problema se reduce a determinar un algoritmo que permita ir paso a paso actualizando los parámetros del modelo con base al error entre la salida del sistema y la respuesta del modelo. La estrutura del modelo es lineal en los parámetros, de forma que la salida del modelo es la combinación lineal de la entrada del modelo ponderada por los par´ ametros estimados, ver figura 3.10. Si se considera que el regresor del sistema, φ(k 1), como la entrada de una red neuronal, donde los par´ ametros son pesos, y su combinación es salida estimada del modelo donde el algoritmo de ajuste de los pesos es alguno de los presentados para los problemas de identificación, se tiene una equivalencia entre las estructuras de los algoritmos de identificaci´ on y las redes neuronales. As´ı que la estructura de los modelos de identificación son una versión simplificada de una red neuronal, ya que estos modelos se l´ımitan a los problemas que son lineales en los parámetros.

−

En figura 3.10 se ilustra el esquema de identificación. El flujo de información durante la operación del algoritmo es en serie-paralelo , debido a que el modelo de identificación recibe como información la salida y la entrada del sistema.

q-1

y(k-1) y(k-n1) u(k)

Sistema q-1

Redes neuronales en los algoritmos de identificaci´ on. Para los algoritmos de identificación clásicos, si se considera que el regresor del sistema, φ(k 1) como la entrada de una red neuronal, donde los parámetros son los pesos que los ponderan; sumando al final para obtener la salida estimada y el algoritmo de corrección de los pesos es alguno de los presentados, se tiene una equivalencia entre los algoritmos de identificación y redes neuronales. .................................. Figura 3.10:

y(k) Modelo de Identificación ^

a1

−

-1

q

^

an1

-1

q u(k-n2 -1)

y(k)

^ ^ µ

y(k)

Σ

-Σ

e(k)

^

b1

Á(k-1) ^

bn2

e(k) Algoritmo de Identificación Á(k-1)

A diferencia de los objetivos de los algoritmos de identificación presentados, que son modelos de identificación paramétricos; los algoritmos con redes neuronales suelen utilizarse como cajas negras que ajustán sus pesos para aproximar funciones, o relaciones entre variables desde el punto de vista entrada-salida, de manera que en los esquemas de identificaci´ on las redes neuronales sustituyen mapeos no lineales entre las variables del sistema [8]. En la próxima sección se presenta la aplicación de las redes neuronales en la identificación de sistemas

62

– JMFA –


3.4.

3.4. Identificación de Sistema Usando Redes Neuronales Estáticas

Identificaci´ on de Sistema Usando Redes Neuronales Est´ aticas

En esta sección se presentan algunos modelos de identificación de sistemas dinámicos que utilizan redes neuronales. Como se ha visto en la sección 3.1. Las redes neronales estáticas son capaces de aproximar mapeos no lineales. Se utiliza esta caracter´ıstica para modelar sistemas dinámicos.

3.4.1.

Sistemas Lineales

Los algoritmos de identificación vistos proponen modelos lineales en los parámetros. Estos parámetros son desconocidos por lo que resulta dif´ıcil saber cuando el algoritmo ha logrado evaluarlos con precisión. En la figura 3.11 se propone sustituir el modelo de identificación por una red neuronal, aqu´ı los par´ ametros son los pesos de la red. Los pesos de la red ya no tendrán una relación directa con los par´ ametros del sistema. Lo que se requiere es que el algoritmo de ajuste de los pesos permita que la red neuronal encuentre la relación entre la entrada y salida del sistema. Lo anterior se basa en la proposición 3.1:

Proposici´ on 3.1 Sea un mapeo y(k) = F (x(k)); donde x W 1 y W 2 para una la red neuronal:

∈ X y y ∈ Y . Siempre es posible hallar un juego de pesos

yˆ(k) = W 2 Γ(W 1 x(k)),

(3.70)

de forma tal: 1 2 [y(k) yˆ(k)] < ǫ, 2 en donde ǫ es tan peque˜ no como se desee; Γ es una funci´ on no lineal.

(3.71)

−



Para abreviar se trata el caso para sistemas de una sola entrada-una sola salida ; pero todos los resultados pueden extenderse para el caso de m´ ultiples entradas y salidas .

q-1

y(k-1)

Sistema Lineal a1 Σ

y(k-n1) u(k)

y(k)

Red Neuronal

q-1

an1

y(k)

Σ

-1

q

bd

-

Σ

e(k)

W2 q-1 u(k-n 2-1)

W1

b-n2-1

Identificaci´ on de un sistema lineal. Se utiliza una red neuronal como modelo de identificación. ............................................. Figura 3.11:

y(k)

^

e(k) Algoritmo de Entrenamiento

Un sistema lineal discreto de una entrada una salida puede siempre representarse como una combinacin lineal de las entradas y salidas del pasado, esto es: y(k) = a1 y(k

− 1) + . . . + any(k − n) + b1u(k − 1) + . . . + b1+mu(k − 1 − m),

(3.72)

en donde n, m son constantes enteras fijas. Al usar una red neuronal para identificar al anterior sistema lineal, se utiliza la siguiente red neuronal: yˆ(k) = W 2 Γ(W 1 ; y(k

− 1), . . . , y(k − n), u(k − 1), . . . , u(k − 1 − m)),

(3.73)

en donde W 1 y W 2 son los pesos de la red y que deben ajustarse para reducir la diferencia entre las salidas del sistema y la red neuronal. En el ejemplo (3.7) se utiliza una red neuronal para identificar el sistema lineal que representa la velocidad de un motor de corriente continua, ver sección C. – JMFA –

63

3.4. Identificación de Sistema Usando Redes Neuronales Está ticas

Cap´ıtulo 3. Identificaci´ on de Sistemas

Ejemplo 3.7 Se utiliza una red neuronal de la forma (3.70) para la identificaci´ on del modelo de velocidad de un motor de corriente continua. La arquitectura de la red es: cuatro entradas, diez nodos ocultos y una salida 4, 10, 1 . Los ´ındices de aprendizaje son: η = 7 10−5 ; α = 10−5 . La se˜ nal de entrada durante la fase de entrenamiento es:

{

×

}

u(k) = cos(πkT s ) + 2cos(4πkT s) + 0.5sin(20πkT s).

(3.74)

La red neuronal se entrena durante 350 épocas donde cada una de éstas consiste en los datos de la simulaci´ on de la planta durante cinco segundos, con un tiempo de muestreo de: T s = 0.005 s. En la secci´ on B.6 se puede ver el programa utilizado. Identificación RN: Principio del entrenamiento

150

c e s / d a r

100

100

50

50 c e s / d a r

0

0

−50

−50

−100

−100

−150

0

0.5

1

1.5

2

2.5 (a)

3

3.5

4

Identificación RN: Segunda época

150

4.5 s

5

−150

0

0.5

1

1.5

2

2.5 (b)

3

3.5

4

4.5 s

5

Identificación RN: Fin de entrenamiento−época 350

150 100 50 c e s / d a r

0 −50 −100 −150

0

0.5

1

1.5

2

2.5 (c)

3

3.5

4

4.5

5 s

Identificaci´ on de un sistema lineal (entrenamiento). a) Comparaci´ on de la respuesta del sistema y la RN el principio del entrenamiento. b) Comportamiento en la segunda época. c) Comportamiento en la última época de entrenamiento ................................................................................................................. Figura 3.12:

En la figura 3.12 se presentan algunas gráficas del proceso de entrenamiento de la red neuronal. En las primeras tres gráficas se observa la evoluci´ on del sistema en la fase de entrenamiento. En la figura 3.13 está la operaci´ on de la red neuronal en la fase de generalizaci´ on, esto es, una vez terminado el entrenamiento se prueba si la red neuronal ha asimilado la relaci´ on que hay entre las variables de entrada y salida. Para esto se utiliza como se˜ nal de prueba:

u(k) =

64

 

0.1 sen(4πkT s ) 0.05 0 0.1 cos(2πkT s )

para 0< para 0.5 < para 0.75 < para 1<

– JMFA –

kT s kT s kT s kT s

≤ 0.5, ≤ 0.75, ≤ 1, ≤ 2.


3.4. Identificación de Sistema Usando Redes Neuronales Estáticas

Identificación RN: Generalización (Lazo abierto)

5 4

4

3

3

2

2

1

c e s / d a r

c e s / d a r

0

1 0

−1

−1

−2

−2

−3

−3

−4

−4

−5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 (a)

1.2

1.4

1.6

Identificación RN: Generalización (Lazo cerrado)

5

1.8

2

−5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

s

1 (b)

1.2

1.4

1.6

1.8

2 s

Identificaci´ on de un sistema lineal (generalizaci´ on). a) Comparaci´ on de las respuestas en la fase de generalización entre el sistema (l´ınea a trazos) y la RN en lazo abierto (l´ınea continua). b) Lo mismo, pero la RN operando en lazo cerrado. ................................................................................................................. Figura 3.13:



En la figura 3.13.a se muestra el comportamiento de la red en la fase de generalización en lazo abierto, esto es, se utilizan los retardos de la salida del modelo del motor, y(k i) , en la entrada de la red neuronal. En lazo abierto, la red neuronal, yˆ, muestra un seguimiento muy cercano a la respuesta del modelo, y.–Identificaci´ on serie-paralelo [10].

−

En la figura 3.13.b se muestra la respuesta de la red en lazo cerrado, es decir, cuando se utilizan los retardos de la salida de la red, yˆ, en la entrada de la red, de esta forma, no se depende del modelo del motor. Para que la red neuronal muestre un seguimiento aceptable son necesarias las 350 épocas de entrenamiento. Notar que la red neuronal operando en lazo cerrado se transforma en una red neuronal recurrente, ya que su salida depende de su respuesta en el pasado –Identificaci´ on paralela [10]. Debido a que una red neuronal puede aproximar la relación no lineal entre variables se extiende su aplicación a los casos de identificación de sistemas no lineales de forma directa.

3.4.2.

Sistemas No Lineales

En los algoritmos de identificación cl´ asicos se supone que el sistema a identificar es l´ıneal, o al menos l´ıneal en los par´ ametros. Por lo que dejan de ser aplicables en problemas donde el sistema se representa en forma general como un sistema no lineal: y(k) = F [y(k

− 1), . . . , y(k − n); u(k), . . . , u(k − m)] .

(3.75)

Por el contrario, las redes neuronales se pueden aun seguir aplicando, debido a que la proposición (3.1) no se l´ımita al caso lineal. Con el fin de utilizar las redes neuronales para la identificación de sistemas en la referencia [10] se clasifican los sistemas en cuatro modelos. Estos cuatro modelos de identificación dividen a los sistemas no lineales para utilizar la información estructural que se tenga de ellos. Los modelos son los siguientes: Modelo I:

n−1

y(k + 1) =

 i=0

αi y(k

− i) + G [u(k), . . . , u(k − m)] , – JMFA –

(3.76)

65

3.4. Identificación de Sistema Usando Redes Neuronales Está ticas Modelo II:

Cap´ıtulo 3. Identificaci´ on de Sistemas

m

y(k + 1) = F [y(k), . . . , y(k

− n + 1)] +



β i u(k

i=0

− i),

(3.77)

Modelo III: y(k + 1) = F [y(k), . . . , y(k

− n + 1)] + G [u(k), . . . , u(k − m)] ,

(3.78)

y(k + 1) = F [y(k), . . . , y(k

− n + 1); u(k), . . . , u(k − m)] ,

(3.79)

Modelo IV: en donde las funciones no lineales F y G se suponen desconocidas pero suaves (que tiene al menos primera derivada continua); los enteros n, m y los coeficientes αi , β i se presumen conocidos. [10] se propone remplazar las funciones no lineales desconocidas por redes neuronales estáticas, ver figura 1.13. La red neuronal se entrena utilizando el algoritmo de retropropagación estático. La configuración del esquema de identificación es serie-palalelo. En los modelos I y II, con una configuración de entrenamiento en paralelo, la red neuronal se entrena con el algoritmo de retropropagación dinámico, que consiste en retropropagar los gradientes a trav´ es de las funciones de transferencia de la parte lineal que es conocida.

Ejemplo 3.8 Este ejemplo corresponde al modelo de identificaci´ on del tipo IV, ver referencia [10], es decir, que se propone que una sola red neuronal para identificar el mapeo entre las variables del sistema no lineal, este sistema no lineal es el siguiente: y p(k)y p(k

y p (k + 1) =

− 1)y p(k − 2)u(k − 1) [y p(k − 2) − 1] , 1 + y p (k − 2)2 + y p(k − 1)2

(3.80)

la se˜ nal de entrada utilizada en la fase de entrenamiento es:

u(k) = 0.80 sen(2πk/250) + 0.3 cos(2πk/25). El entrenamiento consiste en simular el sistema durante 1000 iteraciones, repetido 30 veces (épocas). La red neuronal tiene la siguiente configuraci´ on: 5, 10, 1 , los ´ındices de aprendizaje son: η, α = 0.04. En la figura 3.14 puede observarse la evoluci´ on del entrenamiento.

{

}

Identificación no lineal RN: Principio del entrenamiento

1.5 1

1

0.5

0.5

0

0

−0.5

−0.5

−1

−1

−1.5

0

100

200

300

400

500 (a)

600

700

800

900

Identificación no lineal RN: Fin del entrenamiento−época 30

1.5

1000

−1.5

0

100

200

300

400

500 (b)

600

700

800

900

1000

Identificaci´ on no lineal usando una RN Est´ atica. a) Principio de entrenamiento. b) Al final de 30 épocas de entrenamiento. (- -) Planta; (–) RN. ................................................................................................................. Figura 3.14:

Para probar la generalizaci´ on de la red neuronal se utiliza como se˜ nal de entrada:

u(k) =

66

  −

0.5 sen(2πk/50) 0.5 0.5 0.4 cos(2πk/200)

para 0< k para 150 < k para 200 < k para 250 < k

– JMFA –

≤ 150, ≤ 200, ≤ 250, ≤ 600.


3.5. Identificaci´ on de Sistemas Usando Redes Neuronales Dinámicas

En la figura 3.15 se presenta la respuesta de la red neuronal en lazo cerrado. 

Identificación no lineal RN: Generalización (Lazo cerrado)

1 0.8 0.6 0.4 0.2

Identificaci´ on no lineal usando una RN Est´ atica-Fase de generalizaci´ on. (- -) Planta; (—) RN. ........................................................ Figura 3.15:

0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1

0

100

200

300

400

500

600

Los dos u ´ltimos ejemplos nuestran que una red neuronal de múltiples capas con el algoritmo de entrenamiento de retropropagaci´ on del error puede servir como modelo de identificación para sistemas lineales y no lineales. El entrenamiento de la red neuronal se realiza en lazo abierto de manera que si el sistema identificado es estable, la operación de la red no afecta su estabilidad. Al término del entrenamiento se utiliza la salida de la red para formar su entrada, es decir, que la red opera en lazo cerrado, en los ejemplos, la operación de la red en lazo cerrado y con una señal distinta a la usada en el entrenamiento, proporciona una buena aproximación de la respuesta del sistema.

3.5.

Identificaci´ on de Sistemas Usando Redes Neuronales Din´ amicas

En la sección anterior las redes neuronales estáticas se utilizaron para la identificación de sistemas dinámicos. En estos esquemas de identificación se utiliza la red neuronal para aproximar el mapeo no lineal entre las variables del sistema; la red neuronal se entrena en una configuración serie-paralelo, esto significa que no se utilizan los retardos de la salida de la red como entradas; se usan los retardos de la salida de la planta, esto hace que la red neuronal únicamente necesite aproximar la relación entre las variables. Al terminar el entrenamiento se prueba el modelo de identificación con la red neuronal; para esto se utilizan los retardos de la salida de la red como parte de sus entradas —ya no tiene sentido utilizar la salida del sistema. —a esto se definió como operaci´ on en lazo cerrado, ver figura 3.16. Al operar la red neuronal en lazo cerrado se obtiene una red neuronal dinámica, debido a que la respuesta de la red ya no depende sólo de las señal de entrada, sino tambi´ en de la respuesta en el pasado. La red neuronal dinámica anterior, las l´ıneas de retroalimentación se construyen externas a la red. Una de las primeras redes neuronales dinámicas que incluyen algún tipo de retroalimentación interna es la red de Hopfield, en esta red neuronal se retroalimetan todas las señales de la red, por esto se clasifica como un red neuronal completamente recurrente . Otro modelo de red neuronal dinámica que se utiliza para tareas de identificación de sistemas es la red de Elman, esta red neuronal contiene nodos que realimentan las señales de salida de una capa oculta, estos nodos son llamados de contexto, debido a que estos tienen la función de que la red tome encuenta las salidas anteriores para evaluar la salida actual de los nodos en la capa oculta. De la estructura de una red neuronal estática y de su configuración en lazo cerrado se puede obtener la estructura modelo para redes neuronales dinámicas. Una red neuronal estática está expresada de la siguiente forma: x(k) = W 2 Γ(W 1 u(k)), – JMFA –

(3.81) 67

3.5. Identificación de Sistemas Usando Redes Neuronales Dinámicas


-1

z

-1

z

Red neuronal est´ atica en lazo cerrado. Al final del entrenamiento, se toma la salida de la red para generar los retardos de la entrada y la red opera en lazo cerrado. ........................................................ Figura 3.16:

^

u(k)

Σ

z-1

y(k)

W2

-1

z

W1

si se pone a esta red en lazo cerrado, y se divide el vector de entrada, u, en dos partes, una para las entradas independientes, y la otra para los retardos de las señales de salida de la red, esto es: x(k) = W 2 Γ(W 1ii x(k

− 1) + W 1iu′(k)), (3.82) en donde u′ es un vector que integra a las señales independientes; x(k − 1) es el vector que agrupa los retardos en la respuesta de la red neuronal; W 1 se divide en W 1i y W 1ii para separar los pesos que ponderan a u′ y x(k − 1). Pero para simplificar la notación de (3.82) se propone:

x(k) = W 3 Γ [W 2 x(k

− 1) + W 1u(k)] ,

(3.83)

se pueden hallar semejanzas entre la ecuación (3.83) y los modelos de red neuronal recurrente de Hopfield y Elman. Se propone aqu´ı agregar una capa más a la red neuronal (3.83), esto con el objetivo de que la solución considere el caso de que la dimensión del vector x no corresponda a la salida requerida por el problema, o que hay un mapeo entre la variable x de salida y. Esta nueva capa en la red neuronal es: y(x) = W 5 Γ(W 4 x(k)),

(3.84)

entonces la red neuronal recurrente está representada por las expresiones: x(k) = W 3 Γ [W 2 x(k 1) + W 1 u(k)] , y(x) = W 5 Γ [W 4 x(k)] .

−

(3.85) (3.86)

El esquema general de esta red neuronal se presenta en la figura 3.17. Modelo general de una red neuronal recurrente. Al dividir el vector de entrada de la red neuronal en aquellos que dependen de los valores pasados de salida de la capa intermedia y de los que son independientes se puede obtener un modelo canónico de una red neuronal recurrente. ............................................. Figura 3.17:

W1

+

Γ

W3

z-1

W4

Γ

W5

W2

Por lo visto en el cap´ıtulo 2 se puede obtener la ley de actualización de pesos de esta red, pero aqu´ı se proponen algunas simplificaciones para obtener una red neuronal que adem´ as de ser sencilla, su forma está muy relacionada con un sistema representado en variables de estado. La simplificaciones son: la función de activación dentro del lazo de interno de retroalimentación de la red se sustituye por la función identidad; a la matriz de pesos W 3 (notar que esta matriz es cuadrada) se le remplaza por una matriz unitaria. Para la segunda capa de la red se simplifica sustituyendo a la matriz de pesos W 4 por una matriz diagonal con 1 en sus componentes. La red neuronal queda de la forma: x(k) = Γ [W 2 x(k 1) + W 1 u(k)] , y(k) = Γ [W 5 z(k)] ,

−

68

– JMFA –

(3.87) (3.88)


3.5. Identificaci´ on de Sistemas Usando Redes Neuronales Dinámicas

esta red neuronal recurrente que se presenta en la figura 3.18. En la figura se pone agregar una función de activaci´ on a la salida de la red. Modelo de red neuronal recurrente simplificada. Para hacer simplificar la obtenci´ o n del algoritmo de aprendizaje se proponen algunas simplificaciones del modelo conónico de la red neuronal recurrente. ............................................. Figura 3.18:

W1

+

z-1

Γ

W5

Γ

W2

Las ecuaciones (3.87-3.87) realizando un cambio en la variable x, considerando la propiedad de linealidad del operador z y sustituyendo las literales de los pesos, se tiene la expresión: x(k + 1) z(k) s2 (k) y(k)

= = = =

Jx(k) + Bu(k), Γ [x(k)] , Cz (k), Γ s2 (k) ,

 

(3.89) (3.90) (3.91) (3.92)

que corresponde al modelo de red neuronal que se estudio en el cap´ıtulo 2. Al principio de este cap´ıtulo se establece que una red neuronal recurrente puede utilizarse para aproximar un map eo entre las variables. Ahora con la red neuronal recurrente se prueba que es capaz de aproximar un cierto tipo de sistemas dinámicos. La proposición 3.2 establece este hecho:

Proposici´ on 3.2 Considere un sistema no lineal estable definido por las ecuaciones: x(k + 1) = F [x(k); u(k)] , y(k) = H [x(k)] , en donde x Rn es el vector de estado; u vectores; F y G son mapeos suaves.

∈

∈ Rm; y ∈ R p; m,

(3.93) (3.94)

n, y p son enteros que definen la dimensi´ on de los

Es posible aproximar el sistema (3.93-3.94) a través de una red neuronal de la forma: x ˆ(k + 1) = Γ [W 2 x ˆ(k) + W 1 u(k)] , yˆ(k) = W 5 Γ [W 4 x ˆ(k)] .

(3.95) (3.96)

Prueba: Por la propiedad de aproximaci´ on de funciones, teorema 3.1, el mapeo F se puede aproximar por: F [x(k), u(k)]

≃ W 3Γ [W 2 x(k) + W 1u(k)] ,

(3.97)

utilizando esta aproximaci´ on se tiene: x(k + 1) = W 3 Γ [W 2 x(k) + W 1 u(k)] ,

(3.98)

x ˆ(k) = Γ[W 2 x(k) + W 1 u(k)] ,

(3.99)

x(k + 1) = W 3 x ˆ(k),

(3.100)

se define:

por tanto:

sustituyendo (3.100) en (3.99), se tiene: x ˆ(k) = Γ[W 2 W 3 xˆ(k

− 1) + W 1u(k)] ,

(3.101)

el producto entre las matrices de pesos W 2 W 3 puede ser representado por una sola matriz, esta es, W 2 : x ˆ(k) = Γ[W 2 xˆ(k

− 1) + W 1u(k)] ,

– JMFA –

(3.102) 69

3.6. Identificación de Sistemas Utilizando RNRE


Hasta aqu´ı se tiene la primera ecuaci´ on del sistema dinámico, esto es (3.95). Para la ecuaci´ on de salida (3.96), ´ unicamente se debe utilizar el teorema 3.1 para la sustituir el mapeo H por una aproximaci´ on l´ıneal: yˆ(k) = W 5 Γ [W 4 x ˆ(k)] .

(3.103) 

Algo interesante en el modelo neuronal del sistema no lineal (3.93-3.94), es que el estado del sistema , x, y el estado de la red , x ˆ, no tiene que ser el mismo y, por supuesto, no es necesario que tengan la misma dimensión.

3.6.

Identificaci´ on de Sistemas Utilizando RNRE

La estructura de una Red Neuronal Recurrente Entrenable es un caso especial de la red neuronal dinámica que se utiliza en la propiedad 3.2. En esta sección se present´ an una serie de ejemplos de Identificación utilizando RNRE. Los ejemplos ilustr´ an que el modelo de red y su ley de entrenamiento son adecuados para las tareas de identificación de sistemas dinámicos.

3.6.1.

Identificaci´ on del Modelo de Velocidad de un Motor de cc. usando una Red Neuronal Recurrente Entrenable

En esta sección se presenta los resultados de identificación del modelo discreto de velocidad de un motor de cc. El modelo ya ha sido usado para otros esquemas de identificación, y; no obstante de su sencilles, se utiliza para tener diferentes algoritmos de identificación con el mismo problema. El modelo del motor es el siguiente: ωm (k + 1) =

−295.803 × 10−3ωm(k) + 703.648 × 10−3ωm(k − 1) +10607.511 × 10−3 [ea (k) + ea (k − 1)] − [1548.755T L(k) + 1548.329T L(k − 1)] . [rad/s]

(3.104)

La red neuronal recurrente propuesta permite que la identificación se ejecute en paralelo; es decir, que la información que la red neuronal utiliza es la entrada y la salida actuales al sistema. Por supuesto queda la pregunta sobre la estabilidad del sistema resultante, se cuida este aspecto por la restricción en los pesos de la matriz J , que por ser diagonal, esto implica que los valores propios deben estar en el intervalo ( 1, 1).

−

La RNRE que se utiliza en la identificación tiene la arquitectura 1, 5, 1 ; es decir, una entrada, cinco nodos ocultos en la capa de retroalimentación y una salida. El valor de los parámetros del entrenamiento son: para la capa de salida (pesos C ) η1 = 5 10−4 , α1 = 5 10−3 ; para los pesos ocultos (pesos J ) η2 = 1 10−5 , α2 = 1 10−4 ; para los pesos de entrada (pesos B) η3 = 1 10−4 , α3 = 1 10−3 .

×

× ×

{

}

×

×

×

La fase de aprendizaje se realiza en cuatro épocas en donde cada una consiste en cinco segundos de simulación del modelo de la velocidad del motor, la señal de entrada para exitar al modelo es: u(k) = cos(πkT s ) + 2 cos(4πkT s ) + 0.5 sen(20πkT s ). En la figura 3.19.a se presenta la comparación entre la salida del modelo del motor (l´ınea discontinua) y la respuesta de la RNRE (l´ınea continua), esta gráfica es para la cuarta época de entrenamiento. En la figura 3.19.b se ve el error cuadr´ atico medio durante la última época de entrenamiento. Para este ejemplo particular, nótese que una RNRE, y arquitectura relativamente simple, se logra que la red siga al modelo del motor. Una vez cancelado el ajuste de los pesos de la RNRE, se prueba la capacidad de esta red para reproducir el comportamiento del modelo para una señal de entrada diferente a la usada en la fase de entrenamiento, esta nueva señal es: 0.1 sen(4πkT s ) para 0 < kT s 0.5, 0.05 para 0.5 < kT s 0.75, u(k) = , 0 para 0.75 < kT s 1, 0.1 cos(2πkT s ) para 1 < kT s 2. 70

 

≤ ≤ ≤ ≤

– JMFA –



la comparación entre la respuesta del modelo (l´ınea discontinua) y la RNRE (l´ınea continua) figura 3.19.c. Esta fase tiene una duración de dos segundos. A diferencia entre el uso de una red neuronal estática, la op eración de la RNRE es en paralelo. En figura 3.19.d se observa el comportamiento de error cuadrático medio en esta fase. Identificación RN: Entrenamiento

150

Identificación RN: Entrenamiento−MSE

400 350

100

300 50 g e s / d a r

250 200

0

150 −50 100 −100 −150

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5 (a)

3

3.5

4

4.5

5

0

0.5

1

1.5

2

s

Identificación RN: Generalización

5

2.5 (b)

3

3.5

4

4.5

5 s

Identificación RN: Generalización−MSE

4

0.09

3

0.08 0.07

2 g e s / d a r

MSE=44.9275

50

0.06

1

0.05

0

MSE=0.036976

0.04

−1

0.03

−2

0.02

−3

0.01

−4

0

−5

−0.01

0

0.5

1

1.5

2 (c)

2.5

3

3.5

4

0

s

0.5

1

1.5

2 (d)

2.5

3

3.5

4 s

Identificaci´ on de la velocidad de un Motor de cc. usando una RNRE a) Comparaci´ on de la respuesta del sistema (- -) y la salida de la RNRE (–) durante el entrenamiento. b) Erro medio cuadrático. c) Comparaci´ on de la respuesta del sistema (- -) y la salida de la RNRE (–) durante la prueba de generalización. d) Error medio cuadr´ atico. ................................................................................................................. Figura 3.19:

– JMFA –

71


3.6.2.


Identificaci´ on no Lineal Usando RNRE

En la siguiente simulación se presenta la identificación del sistema no lineal (3.80) usando una RNRE. El modelo utilizado se toma de [6]: y p(k)y p (k

y p (k + 1) =

− 1)y p(k − 2)u(k − 1) [y p(k − 2) − 1] . 1 + y p (k − 2)2 + y p(k − 1)2

En el ejemplo 3.8 se utilizó este sistema para ser identificado por una red neuronal estática. Para ese caso fue necesario una red con una arquitectura 5, 10, 1 , con un entrenamiento de 30 épocas, y cada época con 1000 iteraciones del sistema no lineal.

{

}

La RNRE tiene una arquitectura de 1, 5, 1 . Los coeficientes de entrenamiento son: para la capa de salida y de entrada (C y B) η1,3 y α1,3 = 0.05; para la capa oculta (J ) η y α = 0.005.

{

}

La fase de entrenamiento consiste en tres épocas, cada una con mil iteraciones del sistema no lineal. La señal de entrada es: u(k) = 0.80 sen(2πk/250) + 0.3 cos(2πk/25). En la figura 3.20.a Se puede observar la comparación de la evolución del sistema no lineal (l´ınea discontinua) y la respuesta de la RNRE (l´ınea continua) en la fase de entrenamiento. En figura 3.20.b esta la gráfica de error cuadrático medio. Para la fase de generalización se utiliza como señal de entrada:

u(k) =

  −

0.5 sen(2πk/50) 0.5 0.5 0.4 cos(2πk/200)

para 0
≤ 150, ≤ 200, ≤ 250, ≤ 600,

esta etapa consiste en 600 iteraciones. En figura 3.20.c se puede comparar el resultado de las salidas de la planta (l´ınea discontinua) y de la RNRE (l´ınea continua).

72

– JMFA –



Identificación RN: Entrenamiento

1.5


0.01 0.009

1

0.008 0.007

0.5

0.006 0

0.005 0.004

−0.5

0.003

MSE=0.0019961

0.002

−1

0.001 −1.5

0

100

200

300

400

500 (a)

600

700

800

900

1000


1

0

5

0.8

4.5

0.6

4

0.4

3.5

0.2

3

0

2.5

−0.2

2

−0.4

1.5

−0.6

1

−0.8

0.5

−1

0

100

200

300 (c)

400

500

600

0

0

x 10

100

200

−3

300

400

500 (b)

600

700

800

900

1000


MSE=0.00018824

0

100

200

300 (d)

400

500

600

Identificaci´ on de un sistema no lineal usando RNRE. a) Comparación de la respuesta del sistema (- -) y la salida de la RNRE (–) durante el entrenamiento. b) Erro medio cuadrático. c) Comparación de la respuesta del sistema (- -) y la salida de la RNRE (–) durante la prueba de generalización. d) Error medio cuadrático. ................................................................................................................. Figura 3.20:

– JMFA –

73


3.6.3.


Identificaci´ on de un Sistema no Lineal de dos Entradas dos Salidas

Una de las caracter´ısticas importantes del modelo de RNRE es que de forma natural puede trabajar en sistemas con múltiples entradas y múltiples salidas. Ahora se presenta la identificación de un sistema no lineal con dos entradas y dos salidas, en [6] aparece este modelo:

 

 

y1 (k) y1 (k + 1) = 0.5 + u1 (k) , 1 + y2 (k)2 y1 (k)y2 (k) y2 (k + 1) = 0.5 + u2 (k) . 1 + y2 (k)2

(3.105) (3.106)

Para identificar este sistema se utiliza una RNRE con una configuración 2, 10, 2 . Los coeficientes de entrenamiento son: para la capa de salida y de entrada ( C y B) α1,3 y η1,3 = 0.01; para la capa oculta (J ) η2 y α2 = 0.001.

{

}

La fase de entrenamiento consiste en veinte épocas, cada una con quiniéntas iteraciones del sistema no lineal. Las señales de entradas son: u1 (k) = 0.8 sen(2πk/100) + 0.3 cos(2πk/10), u2 (k) = 1.5 cos(2πk/200) + 0.3 sen(2πk/20). En la figura 3.21.a se observa la comparación entre la salida del subsistema 1 del modelo no lineal (l´ınea discontinua) y de la salida 1 de la RNRE (l´ınea continua), en la gráfica figura 3.21.b est´ a lo correspondiente para la salida 2. En figura 3.21.c se presenta el error cuadrático medio para la salida 1 (l´ınea discontinua) y 2 (l´ınea continua). Para la fase de generalización se utiliza como señal de entrada:

u1,2 (k) =

  −

0.5 sen(2πk/50) 0.7 0.7 0.7 cos(2πk/100)

para 0< k para 150 < k para 270 < k para 400 < k

≤ 150, ≤ 275, ≤ 400, ≤ 500,

(3.107)

esta etapa consiste en 500 iteraciones. En las figuras figura 3.21.d, e, f se pueden ver las respuestas de las salidas 1 y 2, as´ı como el error cuadrático medio de las salidas.

74

– JMFA –



1

1 n y / 1 p y

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

1 n y / 1 p y

0 −0.2

0.2 0 −0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8 0

50

100

150

200

250 (a)

300

350

400

450

−1

500


1

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

2 n y / 2 p y

0 −0.2

−0.6

−0.8

−0.8

−3

4

150

200

250 (b)

300

350

400

450

−1

500

200

250 (d)

300

350

400

450

500

400

450

500


0

50

100

−3


x 10

150

−0.2

−0.6

100

100

0

−0.4

50

50

0.2

−0.4

0

0

1

0.8

−1


1

0.8

−1

2 n y / 2 p y


2.5

150

200

250 (e)

300

350


x 10

3.5 2

3 2.5

1.5

2

MSE1=0.0030255

1.5 1

MSE2=0.0013004

1

MSE1=0.0010879

0.5

MSE2=0.0002745

0.5 0

0

50

100

150

200

250 (c)

300

350

400

450

500

0

0

50

100

150

200

250 (f)

300

350

400

450

500

Identificaci´ on de un sistema no lineal MIMO usando RNRE. a) Comparaci´ on de la respuesta de la salida y1 del sistema (- -) y la salida yn1 RN (–) durante el entrenamiento. b) Comparaci´ on de la respuesta de la salida y2 del sistema (- -) y la salida yn2 RN (–) durante el entrenamiento. c) Error medio cuadrático, MSE1 (- -), MSE2 (–), entrenamiento. d) Comparación de la respuesta de la salida y1 del sistema (- -) y la salida yn1 RN (–) durante la fase de generalización. e) Comparaci´ on de la respuesta de la salida y2 del sistema (- -) y la salida yn2 RN (–) durante la fase de generalización. f ) Error medio cuadr´ atico, MSE1 (- -), MSE2 (–), generalización. ................................................................................................................. Figura 3.21:

– JMFA –

75


3.6.4.


Identificaci´ o n M´ ultimodelo con RNRE

En las referencias [11] y [9] se propone utilizar un arreglo múltimodelo para la identificación de sistemas dinámicos. Considérese el sistema desconocido y = f (x), por medio de mediciones se obtienen los datos y(k), x(k), en los tiempos k, k 1, . . . . El objetivo es que a trav´ es de estos datos se construya una función y = F (x) que sea una T aproximación razonable de y = f (x), donde x = [x1 , . . . , x p ] R p y y R. La variable x se conoce como variable antecedente, y como variable consecuente. En el modelado de sistemas difusos la función F (x) se presenta por una colecci´ on de reglas IF-THEN del tipo:

−

∈

∈

IF antecedente THEN consecuente

El modelo de Takagi Sugeno, es una mezcla de modelos lingü´ısticos y numéricos. El antecedente, en la regla, describe las regiones difusas en las cuales está dividido el espacio de estados, el consecuente es una función de las entradas. Esta funci´ on puede ser también una función dinámica dada por un modelo descrito en el espacio de estados en la forma: Ri:IF x(k) IS Ji AND u(k) IS Bi THEN xi(k+1)= Ji x(k) + Bi u(k) yi(k)= Ci x(k)

Se propone que la función consecuente sea una RNRE de manera que el sistema difuso tenga la forma: IF x IS Ji AND u IS Bi THEN yi = Ni(x),i =1,2,...L

La función yi = N i (x) representa la RNRE. Donde i es el número de la función de activación y L es el número total de estas funciones de aproximación. Los términos de umbral que se obtienen durante el proceso de aprendizaje, pueden usarse para formar los centros de las funciones de pertenencia. El número de reglas se puede optimizar usando el error medio cuadr´ atico de la RNRE, que es la medida natural de la precisión de aproximación del submodelo no lineal. La estructura del sistema de identificación completo contiene un sistema de coordinaci´ on difuso y un conjunto de RNRE. Se utiliza el sistema no lineal (3.105-3.106) para probar el m´ etodo de identificación múltimodelo. Se utilizan dos RNRE, una para identificar la parte positiva, y otra RNRE para la parte negativa de las respuesta del sistema no lineal. As´ı que las reglas que designan la zona de operación de cada una de las redes son: ---------------Regla 1 ---------------R1:IF yp(k) IS >0 AND u(k) Is >0 THEN x1(k+1)=G1[J1*x(k)+B1*u(k)]; y1(k)C1*G2(x1(k)). ---------------------------------------

| | | | |

---------------Regla 2 ----------------% R2: IF yp(k) IS <0 AND u(k) Is <0 THEN % x2(k+1)=G1[J2*x2(k)+B2*u(k)]; % y2(k)C2*G2(x(k)), % ---------------------------------------%

Las RNRE’s tienen la arquitectura: 2, 10, 2 . Los coeficientes de entrenamiento son los mismos para ambas redes: η1,3 y α1, 3 = 0.01, η2 y α2 = 0.01.

{

}

La fase de entrenamiento esta formada p or 40 épocas de 500 iteraciones. La señal de entrada al sistema es: u1 (k) = 0.8 sen(2πk/100) + 0.3 cos(2πk/10), u2 (k) = 1.5 cos(2πk/200) + 0.3 sen(2πk/20).

(3.108) (3.109)

En las figuras. 3.22, 3.23, 3.24 se puede observar el comportamiento del esquema múltimodelo para la etapas de entrenamiento y generalización. En la etapa de generalización la señal es (3.107). Se simula este sistema durante 500 iteraciones. En figuras. 3.24 se suman las respuestas de las dos RNRE que se usaron para identificar la parte positiva y negativa del sistema con el fin de reconstruir la respuesta del esquema de identificación múltimodelo. Una de las ventajas que tiene el modelo de RNRE es que sus ecuaciones de entrenamiento pueden ser implementadas para trabajar en l´ınea. En la próxima sección se utiliza el modelo de red neuronal recurrente para identificar un prototipo de control —Ver apeńdice E. —de un motor de cc. en tiempo real. 76

– JMFA –


Identificación RN: Entrenamiento−RNRE1

1

1 n y , 1 p y

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

1 n y , 1 p y

0

0

−0.2

−0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8 0

50

100

150

200

250 (a)

300

350

400

450

−1

500


1

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2 0

−0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8

−3

4

100

150

200

250 (b)

300

350

400

450

−1

500

150

200

250 (d)

300

350

400

450

500

450

500

Identificación RN: Generalización−RNRE1

0

50

−3

Identificación RN: Entrenamiento−MSE,RNRE1

x 10

100

0

−0.2

50

50

0.2

2 n y , 2 p y

0

0

1

0.8

−1


1

0.8

−1

2 n y , 2 p y


2.5

100

150

200

250 (e)

300

350

400

Identificación RN: Generalización−MSE,RNRE1

x 10

3.5 2

3 2.5

1.5

2

MSE1=0.0012572

1.5 1

MSE2=0.001253

1

MSE1=0.00038358

0.5

MSE2=0.00018524

0.5 0

0

50

100

150

200

250 (c)

300

350

400

450

500

0

0

50

100

150

200

250 (f)

300

350

400

450

500

Identificaci´ on M´ ultimodelo Usando de un sistema no lineal MIMO usando RNRE + . a) Comparaci´ on + de la respuesta de la salida y1 del sistema (- -) y la salida yn1 RNRE (–) durante el entrenamiento. b) Comparaci´ on + de la respuesta de la salida y2 del sistema (- -) y la salida yn2 RNRE (–) durante el entrenamiento. c) Error medio cuadr´ atico, MSE1 (- -), MSE2 (–), entrenamiento. d) Comparación de la respuesta de la salida y1 del sistema (- -) y la salida yn1 RNRE+ (–) durante la fase de generalización. e) Comparación de la respuesta de la salida y2 del sistema (- -) y la salida yn2 RNRE+ (–) durante la fase de generalización. f ) Error medio cuadrático, MSE1 (- -), MSE2 (–), generalización. ................................................................................................................. Figura 3.22:

– JMFA –

77



1

1 n y , 1 p y

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

1 n y , 1 p y

0

0

−0.2

−0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8 0

50

100

150

200

250 (a)

300

350

400

450

−1

500


1

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2 0

−0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8

−3

4

100

150

200

250 (b)

300

350

400

450

−1

500

150

200

250 (d)

300

350

400

450

500

450

500


0

50

−3

Identificación RN: Entrenamiento−MSE,RNRE2

x 10

100

0

−0.2

50

50

0.2

2 n y , 2 p y

0

0

1

0.8

−1


1

0.8

−1

2 n y , 2 p y


2.5

100

150

200

250 (e)

300

350

400

Identificación RN: Generalización−MSE,RNRE2

x 10

3.5 2

3 2.5

1.5

2

MSE1=0.001493

1.5 1

MSE2=0.00075558

1

MSE1=0.00067194

0.5

MSE2=0.00012367

0.5 0

0

50

100

150

200

250 (c)

300

350

400

450

500

0

0

50

100

150

200

250 (f)

300

350

400

450

500

Identificaci´ on M´ ultimodelo Usando de un sistema no lineal MIMO usando RNRE − . a) Comparaci´ on − de la respuesta de la salida y1 del sistema (- -) y la salida yn1 RNRE (–) durante el entrenamiento. b) Comparaci´ on − de la respuesta de la salida y2 del sistema (- -) y la salida yn2 RNRE (–) durante el entrenamiento. c) Error medio cuadr´ atico, MSE1 (- -), MSE2 (–), entrenamiento. d) Comparación de la respuesta de la salida y1 del sistema (- -) y la salida yn1 RNRE− (–) durante la fase de generalización. e) Comparación de la respuesta de la salida y2 del sistema (- -) y la salida yn2 RNRE− (–) durante la fase de generalización. f ) Error medio cuadrático, MSE1 (- -), MSE2 (–), generalización. ................................................................................................................. Figura 3.23:

78

– JMFA –


Identificación RN: Entrenamiento−RNRE1+RNRE2

1

1 n y , 1 p y

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

1 n y , 1 p y

0

0

−0.2

−0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8 0

50

100

150

200

250 (a)

300

350

400

450

−1

500

Identificación RN: Entrenamiento−RNRE1+RNRE2

1

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2 0

−0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8

−3

4

x 10

100

150

200

250 (b)

300

350

400

450

−1

500

150

200

250 (d)

300

350

400

450

500

450

500

Identificación RN: Generalización−RNRE1+RNRE2

0 −3

Identificación RN: Entrenamiento−MSE,RNRE1+RNRE2

100

0

−0.2

50

50

0.2

2 n y , 2 p y

0

0

1

0.8

−1

Identificación RN: Generalización−RNRE1+RNRE2

1

0.8

−1

2 n y , 2 p y


2.5

x 10

50

100

150

200

250 (e)

300

350

400

Identificación RN: Generalización−MSE,RNRE1+RNRE2

3.5 2

3 2.5

1.5

2

MSE1=0.0027401 1

1.5 1

MSE2=0.0028881

MSE1=0.0010266

0.5

MSE2=0.00024382

0.5 0

0

50

100

150

200

250 (c)

300

350

400

450

500

0

0

50

100

150

200

250 (f)

300

350

400

450

500

Identificaci´ on M´ ultimodelo Usando de un sistema no lineal MIMO usando RNRE ± . a) Comparaci´ on ± de la respuesta de la salida y1 del sistema (- -) y la salida yn1 RNRE (–) durante el entrenamiento. b) Comparaci´ on ± de la respuesta de la salida y2 del sistema (- -) y la salida yn2 RNRE (–) durante el entrenamiento. c) Error medio cuadr´ atico, MSE1 (- -), MSE2 (–), entrenamiento. d) Comparación de la respuesta de la salida y1 del sistema (- -) y la salida yn1 RNRE± (–) durante la fase de generalización. e) Comparación de la respuesta de la salida y2 del sistema (- -) y la salida yn2 RNRE± (–) durante la fase de generalización. f ) Error medio cuadrático, MSE1 (- -), MSE2 (–), generalización. ................................................................................................................. Figura 3.24:

– JMFA –

79


3.6.5.


Identificaci´ on en Tiempo Real de un Motor de cc.

En esta sección se describe el uso de una RNRE para la construcción en tiempo real del modelo de identificación de posición de un motor de cc. El prototipo utilizado se describe en el apéndice E. Por lo establecido en la proposición 3.2, se requiere que el modelo no lineal sea estable para poder ser identificado. Al modelar la descripción entrada salida de la posición de un motor cc., se obtiene un sistema no compensado; es decir, un sistema que al aplicar como entrada una señal constante, la respuesta de salida es una señal que se va incrementando con el tiempo a una tasa proporcional a la magnitud de la señal de entrada, ver figura E.2.a. Con el objetivo de compensar la respuesta del motor de cc., se retroalimenta la salida del motor. Utilizando el modelo matemático de la posición de un motor de cc. que se encuentra en el apéndice C se puede evaluar el efecto de esta retroalimentaci´ on de la posición del motor. La función de transferencia es: Θ(z) N (z) = , E (z) D(z) = 53.03810−3

z3

−

703.92210−3z 2

−

z +1 . 999.72510−3z + 703.64810−3

(3.110)

Al retroalimentar la salida en posición del motor a trav´ es de una ganancia constante kr , la entrada al sistema es igual: E (z) = V (z) kr Θ(z) y la función de transferencia en lazo cerrado es:

−

Θ(z) N (z) = . V (z) D(z) + kr N (z)

(3.111)

Al ir aumentado el valor de la ganacia kr los polos de la función de transferencia (3.111) se desplazan en las direcciones que se muestra en la figura 3.25. Lugar de Raíces: Sistema Realimentado 1

Lugar de las ra´ıces sistema retroalimentado. Los polos en lazo abierto son: 1, 1, 0.7038 . El sistema tiene un cero finito en 1. En el sistema retroalimentado, al ir aumentado la ganacia kr , el polo en 1 se aleja de la fontera de estabilidad marginal hasta que el valor real los dos polos no cancelados coinciden en un punto equidistante, si kr continua aumentado la parte imaginaria de estos polos crece, hasta que la magnitud de ambos polos revaza la zona de estabilidad marginal. ........................................................ Figura 3.25:

0.8 0.6

−

0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −1

−0.5

0

0.5

{ −

}

1

1, 0.7038 . El cero La función de transferencia de lazo cerrado (3.111) tiene un cero finito en 1; polos en: 1, finito cancela el polo inestable -1. El efecto de la ganancia de retroalimentación es atrer a los polos localizados en 1 y 0.7038, hasta que ambos toman el valor de 0.8519, al seguir aumentado el valor de kr la parte imaginaria de estos polos crecen de forma simétrica, hasta que su magnitud llega a la zona de estabilidad marginal (fontera del c´ırculo unitario). De lo anterior se concluye que retroalimentado la salida de posición del motor se puede compensar el sistema.

−

{ −

}

El sistema es identificado en lazo cerrado. El valor de constante de retroalimentación es: kr = 1. La red neuronal utilizada es una RNRE con una entrada, una salida y cinco nodos ocultos ( 1, 5, 1). La función de activación en la capa oculta es la función tanh, con una ganancia k1 = 10, y una pendiente k1 /k2 = 1, ver sección 2.10 . La funció n de activaci´ on en la capa de salida es la función identidad. Los par´ ametros de aprendizaje de la red neuronal se divide en dos grupos. Para la capa de salida las tasas de aprendizaje son: α y η = 0.1. Para la capa de entrada y la capa oculta estos par´ ametros son: α y η = 0.01. 80

– JMFA –



Para l´ımitar el tiempo de entrenamiento de la red neuronal, se van decreciendo en forma exponencial los par´ ametros de aprendizaje. El entrenamiento se limita a 60 segundos, para esto, el factor de decrecimiento exponencial es: e−1/8kT s . El experimento se realiza con un tiempo de muestreo de T s = 0.001s. En la fase de entrenamiento se utiliza como señal de entrada al sistema retroalimentado una combinación de funciones senoidales de diferentes frecuencias: v(k) = π sen(πkT s ) + 1/3π sen(0.5πkT s) + 1/6π sen(0.25πkT s).

(3.112)

En la figura 3.26 est´ an las gráficas del proceso de identificación. En figura 3.26.a se muestra la comparación de la respuesta en posición del sistema en lazo cerrado del motor (l´ınea discontinua) y la salida de la RNRE (l´ınea continua), notar que la respuesta de la RNRE se ajusta desde el principio del entrenamiento a la respuesta del sistema. En figura 3.26.c están los parámetros de la capa de retroalimentación, J , de la RNRE, la variación que se nota en ellos es por la operación de la ley de ajuste. Para probar la operación de la red neuronal, al final la fase de entrenamiento, se cambio la señal de entrada al sistema después de terminados los 60 segundos que dura el entrenamiento. De poca utilidad ser´ıa la red neuronal si el algoritmo de entrenamiento no pudiese hallar un conjunto de pesos en la red que reprodujera con cierto grado de precisión a la respuesta del sistema. La señal usada en la fase de generalización es:

v(k) =

 −   −

9/5 +2π sen(1/4πkT s) +9/5 9/5 +9/5

60 65 80 85 90

< kT s < kT s < kT s < kT s < kT s

≤ 65 ≤ 80 ≤ 85 ≤ 90 ≤ 95

(3.113)

En la figura 3.26.b,d se presentan los resultados de la prueba de generalizació n del modelo del motor de cc. Comparando la respuesta de la red y de la posición del motor de cc., ver figura 3.26.b, la respuesta de la RNRE es una buena aproximación del sistema. Notar en la figura 3.26.b, que en la fase de generalización los pesos de la red se mantienen constantes. El valor de todos los pesos al final del algoritmo de ajuste se listan en la tabla 3.6.5 B 0.207594 -0.195513 -0.292083 0.031599 -0.385518

J 0.0171 0.0161 0.0343 0.0007 0.0629

C 0.627222 -0.590573 -0.888135 0.094925 -1.185807

Par´ ametros de una RNREIdentificaci´ on de un Motor en tiempo real. ............................................. Tabla

– JMFA –

3.6:

81



Identificación tiempo real Motor de cc (Entrenamiento)

8 6

6

4

4

) 2 d a R ( n ó 0 i c i s o P −2

) 2 d a R ( n ó 0 i c i s o P −2

−4

−4

−6

−6

−8

0

5

10 (a)

15

−8 60

0.09

0.08

0.08

0.07

0.07

0.06

0.06

0.05

0.05

0.04

0.04

0.03

0.03

0.02

0.02

0.01

0.01

0

0 5

10 (c)

70

75

80

85 (b)

90

95

100

105 s

110

Identificación tiempo real Motor de cc: Parámetros J (Generalización)

0.09

0

65

s

Identificación tiempo real Motor de cc: Parámetros J (Entrenamiento)

−0.01

Identificación tiempo real Motor de cc (Generalización)

8

15

−0.01 60

s

65

70

75

80

85 (d)

90

95

100

105 s

110

Identificaci´ on en tiempo real de un motor de cc. a) Comparación de las respuestas en la fase de generalización entre el sistema (l´ınea discontinua) y la RN en lazo abierto (l´ınea continua). b) Lo mismo, pero la RN operando en lazo cerrado. c) Par´ ametros J en la fase de entrenamiento. d) Par´ ametros J en la fase de generalización. ................................................................................................................. Figura 3.26:

En esta sección se utilizó el prototipo de control de tiempo real del apéndice E, este es un ejemplo del uso de una RNRE para la identificación en l´ınea. El algoritmo de entrenamiento de la RNRE, presentado en el cap´ıtulo 2, no necesita de demasidos recursos de computo, as´ı que es posible utilizarlo en procesos donde hay una continua actualización de los datos.

82

– JMFA –



Identificaci´ o n M´ ultimodelo en Tiempo Real de un motor de cc. El esquema de identificación múltimodelo consiste en separar regiones de operación del sistema y en cada una de éstas utilizar una RNRE para reproducir la respuesta del sistema identificado. En esta sección se aplica este esquema múltimodelo para el prototipo experimental. La operación del sistema se divide en dos regiones: una para las señales positivas; y la otra para las negativas. ---------------Regla 1 ---------------R1:IF Theta1(k) IS >0 AND v(k) Is >0 THEN x1(k+1)=G1[J1*x(k)+B1*v(k)]; Theta1(k)=C1*G2(x1(k)). ---------------------------------------

| | | | |

---------------Regla 2 ---------------R2: IF Theta2(k) IS <0 AND v(k) Is <0 THEN x2(k+1)=G1[J2*x2(k)+B2*v(k)]; Theta2(k)=C2*G2(x(k)), ---------------------------------------

% % % % %

El sistema es identificado en lazo cerrado. La estructura de ambas redes es la misma. Las redes neuronales tienen una entrada, una salida y cuatro nodos ocultos: 1, 4, 1 .

{

}

La función de activación en la capa oculta es tanh; para la salida se usa la función identidad. Los parámetros de aprendizaje para la capa oculta son α y η = 0.01; y para la capa de salida son α y η = 0.1. El valor de estos par´ ametros van decreciendo de forma exponencial con el factor e1/8kT s . T s = 0.001 es el tiempo de muestreo. La fase de entrenamiento tiene una duración de 60 segundos. En las figuras 3.27-3.28. Se presentan los resultados del proceso de identificación del esquema múltimodelo. La señal de entrada es (3.112) Al terminar el entrenamiento los pesos de las RNRE se mantiene constantes. En la tabla 3.7 se listan los valores de los pesos para estas redes. B1 0.057693 0.299623 -0.046639 -0.056593 Tabla 3.7:

J 1 0.001541 0.042646 0.000764 0.001891

C1 0.566252 2.976411 -0.457629 -0.555556

B2 -0.060084 -0.176761 -0.190323 -0.163603

J 2 0.002091 0.015958 0.019237 0.012665

C2 -0.596148 -1.761057 -1.898322 -1.628012

Par´ ametros de una RNRE-Identificaci´ on de un Motor en

tiempo real. ....................................................................... En la prueba en la fase de generalización de las redes usan la señal (3.113) En los experimentos realizados con una y dos RNRE’s se observa que en la fase de generalización la respuesta de las redes neuronales no reproduce los efectos de alta frecuencia que se generan cuando hay una variación rápida de la entrada. Esto es de esperarse porque en la fase de generalización estos modos de alta frecuencia no fueron exitados. De esto se puede concluir que la selección de la señal de entrenamiento es importante debido a que de esta depende la información que se pueda extraer del sistema y; por tanto, del rango de utilidad del modelo de identificación (recordar el concepto de exitación persistente).

– JMFA –

83



Identificación Multi−Modelo tiempo real (Entrenamiento +)

8 6

6

4

4

) 2 d a R ( n ó 0 i c i s o P −2

) 2 d a R ( n ó 0 i c i s o P −2

−4

−4

−6

−6

−8

0

5

10 (a)

15

−8 60

0.06

0.05

0.05

0.04

0.04

0.03

0.03

0.02

0.02

0.01

0.01

0

0

−0.01

0

5

10 (c)

65

70

75

80

s

Identificación tiempo real Motor de cc: Parámetros J (Entrenamiento +)

0.06

Identificación Multi−Modelo tiempo real (Generalización +)

8

15

90

95

100

105 s

110

Identificación tiempo real Motor de cc: Parámetros J (Generalización +)

−0.01 60

s

85 (b)

65

70

75

80

85 (d)

90

95

100

105 s

110

Identificaci´ on en tiempo real de un motor de cc. a) Comparación de las respuestas en la fase de generalización entre el sistema (l´ınea a trazos) y la RNRE + en lazo abierto (l´ınea continua). b) Lo mismo, pero la RNRE+ operando en lazo cerrado. c) Par´ ametros J en la fase de entrenamiento. d) Par´ ametros J en la fase de generalización. ................................................................................................................. Figura 3.27:

84

– JMFA –



Identificación Multi−Modelo tiempo real (Entrenamiento −)

8 6

6

4

4

) 2 d a R ( n ó 0 i c i s o P −2

) 2 d a R ( n ó 0 i c i s o P −2

−4

−4

−6

−6

−8

0

5

10 (a)

15

−8 60

0.03

0.025

0.025

0.02

0.02

0.015

0.015

0.01

0.01

0.005

0.005

0

0

−0.005

−0.005

−0.01

0

5

10 (c)

65

70

75

80

s

Identificación tiempo real Motor de cc: Parámetros J (Entrenamiento −)

0.03

Identificación Multi−Modelo tiempo real (Generalización −)

8

15

90

95

100

105 s

110

Identificación tiempo real Motor de cc: Parámetros J (Generalización −)

−0.01 60

s

85 (b)

65

70

75

80

85 (d)

90

95

100

105 s

110

Identificaci´ on en tiempo real de un motor de cc. a) Comparación de las respuestas en la fase de generalización entre el sistema (l´ınea a trazos) y la RN− en lazo abierto (l´ınea continua). b) Lo mismo, pero la RNRE− operando en lazo cerrado. c) Par´ ametros J en la fase de entrenamiento. d) Par´ ametros J en la fase de generalización. ................................................................................................................. Figura 3.28:

– JMFA –

85

3.7. Complejidad Computacional

3.7.


Complejidad Computacional

Las redes neuronales están construidas por arreglos de elementos de cálculo simples. La capacidad de representación de relaciones entre variables depende de los pesos que interconectan a estos elementos de cálculo, as´ı como de la organización de la transferencia de la información interna en la red. La estructura de las redes neuronales tienen como caracter´ıstica importante de ser estructuras de transferencia de informaci´ on paralela, esto significa que la operación de cada uno de los nodos en la red es independiente de todos los dem´ as, en cada instante de tiempo cada nodo o neurona, responde al grupo de señales de su entrada, produciendo, en consecuencia, una respuesta. Esta transferencia paralela de información permite pensar en la implementación de las redes neuronales por medio de dispositivos de procesamiento individuales, cada uno siendo un nodo de la red, con sus terminales de entrada y salida. Estos dispositivos no necesitan de una gran cantidad de memoria, ni de realizar operaciones complejas; es suficiente que puedan calcular la suma ponderada de sus entradas y realizar una transformación no lineal sobre esta suma. Esta implementación se beneficiar´ıa de la transferencia paralela de información en la red. Sin embargo, todav´ıa se utilizan computadoras digitales de un soló procesador y con una estructura de memoria de tipo Von Neumann (memoria unificada) o Harvard (memoria de datos e instrucciones independientes). As´ı hay un l´ımite en la cantidad de operaciones de punto flotante ( flop: flotating operation) se realizan por unidad de tiempo (Notar una m´ aquina de procesamiento distribuido no tendr´ıa este problema). La cantidad de operaciones para la ejecución de una red neuronal será importante para determinar si la tarea puede resolverse en l´ınea, o si es mejor que sea un proceso por lote. Para una red neuronal de capas múltiples con n0 entradas, n1 nodos en la capa oculta, y n2 nodos en la salida, es decir: y = W 2 Γ [W 1 x] ,

(3.114)

en donde W 1 Rn1 ×n0 , W 2 Rn2 ×n1 , y Rn2 , x Rn0 y Γ es la función de activación. Si se desprecia el tiempo para hacer el mapeo Γ, la cantidad de operaciones de punto flotante se debe a los productos matriz vector, el número de operaciones es igual a 2n2 n1 + 2n1 n0 .

∈

∈

∈

∈

Y en el caso de una RNRE con m entradas, n nodos ocultos y p salidas. Sus ecuaciones son: x(k + 1) = Jx(k) + Bu(k); z(k) = Γ [x(k)] ; y(k) = Cx(k), en donde B Rn×m , J Rn , C R p×n , u Rm , x Rn , y operaciones de punto flotante es igual a: 2 pn + n + 2nm.

∈

∈

∈

∈

∈

(3.115) (3.116) (3.117)

∈ R p y Γ es la función de activación. La cantidad de

Si se supone que la dimensión de la entrada, la capa oculta y la salida en ambas redes es la misma, es claro que el número de operaciones de punto flotante para la RNRE es n veces mayor que para el caso de una red neuronal de múltiples capas, número, que para la mayor´ıa de los casos, es despreciable. Pero como se ha notado en los ejemplos presentados. La redes neuronales de múltiples capas en tareas de identificación de sistemas se entrenan en una configuración serie-paralelo, esto hace que la dimensión de entrada es mayor que el requerido por una RNRE en un esquema de entrenamiento paralelo. Por cada entrada adicional en una red neuronal recurrente de múltiples capas el número de operaciones de punto flotante aumenta en n(2i 1) donde i es la cantidad de entradas adicionales (no m), y n es el número de nodos en las capas ocultas en las dos redes.

−

−

Por lo general , el número de nodos en la capa oculta es mayor en una red de múltiples capas que en una RNRE. En el caso de que la dimensión de entrada y salida sea el mismo. Por cada incremento de un nodo en la capa oculta en una red neuronal de múltiples capas, la cantidad de operaciones de punto flotante es 2 pi + 2im n mayor al utilizado por una RNRE.

−

Por lo anterior, una RNRE utiliza un menor número de recursos en comparación de una red neuronal de múltiples capas. 86

– JMFA –


3.8.

3.8. Conclusiones

Conclusiones

Los algoritmos de identificación de tipo proyección o m´ınimos cuadrados se basan en la suposión de que el sistema puede representarse como una estructura l´ıneal en los par´ ametros. Por medio de ciertas condiciones sobre la entrada del sistema se prueba que los par´ ametros estimados por el algoritmo convergen a los reales. Para el caso de sistemas que no son de par´ ametros lineales este tipo de algoritmos no son adecuados. Las redes neuronales son una alternativa para la identificación de sistema. Aprovechando la información que sobre la estructura del sistema se tenga, se puede hacer que una red neuronal apróxime la relaciones no lineales de un sistema y que forme parte de un esquema de identificación. Las redes neuronales se les divide en dos clases: en redes estáticas y dinámicas. Las redes estáticas aproximan relaciones no lineales entre variables. Las redes neuronales dinámicas son estructuras en donde su respuesta depende de la evolución en el tiempo de variables de estado. De modo que las redes neuronales din´ amicas se consideran sistemas dinámicos con par´ ametros ajustables, y por tanto se utilizan como modelos de identificación de sistemas. En este cap´ıtulo se ha presentado el modelo de RNRE como una alternativa para la identificación de sistemas no lineales. En los ejemplos de identificación dados se han usado RNRE con estructuras más sencillas en comparación a las que se han necesitado con redes est´ aticas. La RNRE es una red dinámica esto permite que pueda usarse como un modelo de identificación por si mismo, es decir, que no requiere estar incluido dentro de una estructura. En la tabla 3.8 se comparan las estructuras y desempeños de una red neuronal estática y una del tipo RNRE. Mod. lineal * *

Mod. No lineal

* *

Red Neuronal Estática RNRE Estática RNRE

Arquitectura 4, 10, 1 1, 5, 1 5, 10, 1 1, 5, 1

{ { { {

} } } }

´ No. Epocas 350 4 30 3

EMC-Ent 0.6 44.9275 0.0002 0.0020

EMC-Gen 0.0140 0.0369 0.0008 0.0002

Desempe˜ no entre una RN est´ atica y una RNRE. Se comparan los desempeñ os de una red neuronal estática y una RNRE en los ejemplos de identificación. Con una estructura y un número de épocas de entrenamiento menor la RNRE logran rendimientos similares a los de una red neuronal estática. ....................................................................................................... Tabla 3.8:

De esta tabla se puede observar que para el mismo problema de identificación la RNRE tiene una estructura más sencilla y menor número de épocas de entrenamiento para obtener un desempeño similar a los alcanzados por la red neuronal estática. El modelo de RNRE es una estructura cuasi lineal, en variables de estado. Este modelo de red neuronal es naturalmente un sistema que puede trabajar con varias entradas y varias salidas. Estas caracter´ısticas l´ımitan el tipo de sistemas en donde pueden ser usadas. Por eso se presentó un esquema de identificación múltimodelo, en donde se propone dividir la respuesta de un sistema complejo en zonas, y en cada una de ellas utilizar una RNRE, estas zonas deberan poder ser representadas como sistemas cuasi lineales. La respuesta final del sistema consiste en una coordinación de los submodelos generados. En los ejemplos de identificación que se presentaron se notó que en los casos donde se utilizaron redes neuronales, durante la fase de entrenamiento de la red, se puede lograr que la salida de la red siga a la salida de la planta, pero aún sucediendo esto, no es suficiente para que la red haya asimilado la respuesta del sistema. Se requiere que el entrenamiento se realize durante más tiempo para lograr que la red reproduzca la relación entre las variables del sistema, además se debe tener precaución con el sobreentrenamiento porque esto provoca una deterioro del desempeño de la red neuronal. Es importante seleccionar los datos de entrenamiento en función del rango de operación que se desee, debido a que de este conjunto de datos depende la información que sobre el sistema se le proporcione al modelo de identificación. El modelo de RNRE que se ha presentado muestra que es capaz de servir como modelo de identificación de sistemas no lineales, y con este antecedente en el cap´ıtulo 4 se mostraran algunos esquemas en donde se puede usar para el control de sistemas.

– JMFA –

87

3.8. Conclusiones

88


– JMFA –

Cap´ıtulo 4

Control de Sistemas Un rasgo que se puede observar en la naturaleza es la tendencia de preservar y dispersar entre las especies aquellas estructuras que les han sido útiles para conservarlas vivas en su ambiente. Es por esto que desde los insectos hasta la especie humana la naturaleza se ha encargado de conservar a las neuronas como los elementos básicos que forman al sistema de procesamiento de la información (sistema nervioso central y periférico); por supuesto, que en las especies menos evolucionadas se utilizan otros tipo de mecanismos para la transmisión de información, pero éstos son menos eficientes y l´ımitados; por ejemplo, en los girasoles hay sensores de luz y temperatura que accionan las fibras en sus tallos haciéndolas girar en la dirección de la fuente de calor (Heliotropismo ), pero este mecanismo dif´ıcilmente ser´ıa de utilidad para organismos más complejos. Al ser vistas individualmente, las neuronas son elementos simples que resuelven la necesidad que tienen los organismos de reaccionar a eventos externos por medio de un proceso de transmisión de información. Las neuronas son el v´ınculo entre los elementos sensores y efectores de los organismos. Pero aún m´ as, las neuronas pueden procesar las señales y transformarlas de manera que el efecto de una señal sobre un sensor produzca una respuesta muy compleja en los efectores asociados al sistema, por medio de la integración de otras condiciones para determinar la respuesta más adecuada al est´ımulo. La forma en que las redes de neuronas responden se puede dividir en dos tipos. En el primero la respuesta está predeterminada, esto es debido a miles de años de evolución, una condición exterior dispara una bien definida reacción; por ejemplo, los actos reflejos en los organismos. El otro tipo de reacciones son aquellas que se adquieren por condicionamiento o aprendizaje; por ejemplo, en los experimentos del fisiólogo ruso, Ivan Petrovich Pavlov (1849-1936, premio Novel de Medicina en 1904) describió el reflejo condicionado , donde en uno de sus experimentos la acción de salivaci´ on de un perro se condiciona al tañir de una campana. Es interesante notar que entre más evolucionado es un organismo, la naturaleza se ha ido hacia aumentar la capacidad de éstos de aprender p or ellos mismos las acciones que le son de beneficio; dejando las tareas monótonas de mantenimiento de la vida (homeóstasis) a las acciones autónomas. Es sorprendente las capacidades que muestran los seres vivos con sistema nervioso central. Como ejemplo está la locomoción (habilidad para transladarse en busca de condiciones adecuadas para la supervivencia). La coordinación de movimiento de las extremidades y su forma de interacción con el trayecto implica la existencia de un sistema de mando (control) que supervice la relación entre la posición de las extremidades, la condición del camino y el lugar de destino. Y todo lo anterior est´ a concentrado en redes de neuronas. En los insectos esta tarea es realizada por un relativamente reducido número de neuronas, no obstante, resulta una tarea complicada de comprender y de reproducir. As´ı que las redes neuronales son un medio para generar o resolver los problemas de coordinación y control de señales. Pero a diferencia de los problemas de identificación, en donde se tiene al menos un conjunto de datos de entrada y salida para ajustar a la red neuronal; en los problemas de control, por lo general, se desconoce el valor de la señal de control por anticipado, sólo se tiene el valor de referencia y la condición actual del sistema, y el problema consiste en utilizar la información disponible para generar la señal de control que modifique el comportamiento de la planta de la forma deseada. Las redes neuronales artificiales, como se ha visto, se inspiran en las estructuras biológicas. As´ı que resulta un tema interesante estudiar la utilización de las redes neuronales artificiales para los problemas de control. Se busca con esto dar 89

4.1. Redes Neuronales en el Control de Sistemas

Cap´ıtulo 4. Control de Sistemas

a los sistemas cierta capacidad de adaptación y robustes en su operación. Por supuesto, que muchos de los esquemas de control tienen como origen la adaptación de la teor´ıa de control a la utilización de las redes neuronales artificiales, proceso que puede cuestionar su aplicación, pero como en toda tecnolog´ıa en progreso, a medida que vaya madurando ira tomando su lugar en el repertorio de herramientas de los tecnólogos.

4.1.

Redes Neuronales en el Control de Sistemas

En los problemas de control de sistemas se buscan formas de alterar su comportamiento natural, de manera que su respuesta cumpla con criterios de desempeño deseados. Por lo general, la solución de un problema de control sigue un proceso de s´ıntesis. Este proceso consiste en el diseño de un subsistema (controlador) que utiliza la información disponible del sistema controlado (planta) con el objetivo de que el sistema controlador-planta se comporte de la forma deseada. El proceso de s´ıntesis principia con el análisis de la planta. El objetivo del an´ alisis de la planta es la de obtener un modelo. Es muy importante este paso debido a que de este modelo del sistema depende el tipo de herramientas de s´ıntesis que se van a usar para diseñar el controlador. Por lo presentado en el cap´ıtulo 3, las redes neuronales son una opción para generar modelos de sistemas. Desde el punto de vista termodinámico, un sistema es una colecci´ on de elementos l´ ogicamente interrelacionados por alg´ un principio o ley , ver referencia [50]. Los sistemas de interés son los denominados abiertos , es decir, que son aquellos donde se identifica una entrada y una salida, relacionada una a la otra por una ley. En los problemas de control se considera que el sistema a controlar existe, y se requiere hacer un modelo de él; este modelo debe reflejar la relación que hay entre sus variables más significativas. Haciendo uso de las estructuras de redes neuronales que se han presentado, se dividen en tres tipos los modelos que se obtienen por medio de redes neuronales. El primer modelo considera que la relación entre las variables de entrada y salida puede ser interpretada por un mapeo lineal, o no lineal, este es un modelo funcional del sistema. Por lo visto anteriormente, las redes neuronales de múltiples capas o por funciones radiales básicas son adecuadas para este tipo de representaci´ on. En el segundo tipo de modelo, la respuesta está definida por una función que depende de los valores pasados de entrada y de salida (auto-regressive moving average). En las referencias [8, 10] se utiliza la red neuronal de múltiples capas para el modelado de sistemas dinámicos, en donde se propone utilizar a las redes neuronales para aproximar las relaciones no lineales de las variables, separando as´ı la parte lineal que se supone conocida. Para ajustar los pesos de la red neuronal se utiliza el algoritmo de retropropagación del error, que en el caso de que exista una dinámica lineal que siga a la red neuronal, el algoritmo retropropaga el error de modelado a través de la función de transferencia de la dinámica lineal, esto generaliza el algoritmo de aprendizaje llamándolo de retropropagaci´ on dinámico . El tercer modelo utiliza la representación en variables de estado del sistema. En los dos primeros modelos el objetivo de la red neuronal fue la aproximación de la relación funcional entre las variables; pero en la representación en variables de estado, las redes neuronales requieren que se incluya un lazo de retroalimentación de las variables de estado. Como se ha sugerido, la red neuronal recurrente entrenable (RNRE) es adecuada para este tipo de tareas, ver cap´ıtulo 2. Otra opción se presenta en la referencia [52], en donde se propone utilizar dos redes neuronales de múltiples capas para el modelado de un sistema en una representación de variables de estado, se utiliza una red para modelar la función de salida del sistema que recibe como señal de entrada la respuesta de otra red que genera los estados del modelo, los estados son retardados para que en la siguiente iteración éstos formen parte de la entrada de la red de estados, junto con las señales externas de entrada. Una vez que se ha obtenido el modelo de la planta, va a depender de este modelo y de los requerimientos de desempeño, el tipo de esquema que se diseñe para manejar al sistema. Pero en el caso de la aplicación de las redes neuronales también tiene importancia la manera en que se utiliza la información disponible para modificar los pesos de la red, es decir, del modelo de aprendizaje usado (ver cap´ıtulo 1, sección 1.2.4). As´ı que hay esquemas de control que utilizan el modelo de aprendizaje supervisado, en el que se supone que hay un conjunto de datos para entrenar a la red; en otros, se utiliza el modelo no supervisado, en donde de forma indirecta se obtiene la información y para el caso del modelo reforzado, la red neuronal no tiene información de su efecto sobre la planta durante varios per´ıodos, por lo general, sólo se cuenta de una retroalimentación de tipo éxisto/falla, as´ı que es necesario evaluar el efecto retardado de cierta acción para cada estado transcurrido del sistema, y reforzar aquellas acciones que representan una mejora en el desempeño del sistema, dilatando progresivamente la ocurrencia de falla en el sistema. En las siguientes secciones se describen algunos esquemas de control basados en redes neuronales y particularmente la aplicación del modelo de RNRE para este tipo de tareas. 90

– JMFA –


4.2.

4.2. Modelado de controlador

Modelado de controlador

Este esquema de control utiliza el modelo de aprendizaje supervisado. La información para el ajuste de los pesos de la red neuronal se obtiene de un controlador que se supone disponible. El controlador puede ser uno calculado por métodos cl´ asicos o de un operador humano. Notar que es posible utilizar información no convencional en la operación de la red neuronal. En la figura 4.1 puede observarse un esquema de la fase de entrenamiento y de operación de la red neuronal. La función de la red neuronal es modelar el sistema de control original para sustituirlo.

r e f e r e n c i a

Controlador interface

e n t r a d a s

RN pesos Ajuste

Algoritmo de ajuste

s a l i d a s

i n t e r f a c e

e n t r a d a s

Planta Datos

e n t r a d a s

s a l i d a s

RN

e n t r a d a s

s a l i d a s

Planta Datos

s a l i d a s

-+

e r r o r

(a)

(b)

Esquema de control por modelado de controlador. (a) Fase de entrenamiento de la red neuronal por medio de la información obtenida por el control existente. (b) Fase de operación de la red neuronal como controlador. ................................................................................................................. Figura 4.1:

Para elegir el tipo de red neuronal (est´ atica o dinámica) se debe estudiar la estructura del controlador existente. Y tambi´ en es recomendable entrenar a la red con datos del controlador en la zona de operación en el que vaya a funcionar la red neuronal.

Ejemplo 4.1 En este ejemplo se utiliza una red neuronal de m´ ultiples capas para modelar un control de tipo Proporcional Integral Derivativo (E.4): u(k) = K p [e(k)

d − e(k − 1)] + K iT se(k) + K [e(k) − 2e(k − 1) + e(k − 2)] + u(k − 1), T s

usado para controlar el modelo discreto de un motor de corriente directa (C.54): θm (k + 1) = 703.922 10−3 θm (k) + 999.725 10−3 θm (k 1) +53.038 10−3 [ea (k 1) + ea (k 2)] [rad].

× ×

−

× −

− − 703.648 × 10−3θm(k − 2)

El programa para el entrenamiento de la red se encuentra en el apéndice B, página 180 . La red utilizada tiene una configuraci´ on de cinco entradas, seis nodos ocultos no lineales ( tanh) y una salida, 5, 6, 1 . La capa de salida y oculta tienen entradas independientes, o bias. El algoritmo para ajustar los pesos es de tipo retropropagaci´ on del error. Los ´ındices de aprendizaje son: α y η = 0.0001. Ver el programa B.12.

{

}

En este primer esquema de control. Se utiliza la informaci´ on proveniente de un controlador existente para generar la informaci´ on de entrenamiento de la red neuronal. En la figura 4.2, se observa que para este ejemplo el flujo se informaci´ on entre el controlador PID y la red neuronal es de tipo serie-paralelo. El vector de entrada está formardo por: p(k) = [u(k 1), u(k 2), e(k), e(k 1), e(k 2)]T , este vector se selecciona porque se integra de los elementos que el control PID utiliza (excepto por u(k 2) que no es utilizado en (E.4), pero que bien puede incorporarse como otro elemento de entrada a la RN). Notar que la entrada a la red neuronal se compone de dos sucesiones dependientes: e

−

−

−

−

−

– JMFA –

91



y u. De manera que la tarea del algoritmo de aprendizaje es la de ajustar los pesos de la red para que con base en la informaci´ on de estas dos secesiones se aproxime la salida de la red neuronal al valor siguiente de control u(k). El entrenamiento debe realizarse expandiendo los datos del controlador PID en el rango de operaci´ on que se desea para la red neuronal. En la figura 4.2 se debe notar que durante el entrenamiento la red neuronal opera en lazo abierto, es decir, que no hay retroalimentaci´ on de la salida de red hacia las capas interiores. Sin embargo, cuando se sustituye al control PID por la red neuronal, se cierra el lazo en la red neuronal al momento de retroalimentar los dos primeros retardos del valor estimado del control actual producido por la red neuronal para completar el vector de entrada. As´ı que la red neuronal se ha entrenado como un sistema estático, pero se hace trabajar como un sistema dinámico.

r(k )

-

+

e(k )

Modelo Motor

Controlador PID

Θ(k )

u(k)

u(k)

-1

z

1

Σ

-1

z

tanh

1

Σ

1

-1

z

Σ Σ

e(k)

tanh

1

Σ

1

Σ

-1

z

z

u(k)

1

tanh

^

u(k)

-+

Σ

-1

r(k )

+

-

Σ

e(k) -1

Σ

-1

Σ

z

Σ W1

Backpropagation

(a)

1

Σ

u(k)

Modelo Motor Θ(k )

tanh tanh

1

tanh W2

tanh

1

tanh

W1

tanh

1

z

1

Σ

Σ 1

1

z

tanh

1

-1

tanh

tanh W2

(b)

Ejemplo del esquema por modelado de controlador. (a) Entrenamiento de la red neuronal (configuración serie-paralelo). (b) Sustituci´ on del control convencional por la red neuronal. ................................................................................................................. Figura 4.2:

En la figura 4.3, se presentan los resultados del entrenamiento de la red neuronal. Para este ejemplo las constantes del controlador PID son: Kp = 0.4, Kd = 0, y Ki = 0.05. El tiempo de muestreo es T s = 0.005 Seg. La se˜ nal de entrenamiento se genera al aplicar como referencia al sistema controlado por el PID una se˜ nal cuadrada con amplitud variable, que se simula durante 10 segundos, y en cien épocas. Terminado el entrenamiento se sustituye el control PID por la red neuronal y se cierra el lazo. En la gr´ afica de la figura 4.3. a se compara el comportamiento en posici´ on del motor controlado por el PID, y por la red neuronal, se observa que en este ejemplo, la red neuronal tiene pr´ acticamente el mismo tiempo de alcance que el obtenido por el controlador PID, s´ olo hay un retardo de la red neuronal durante el transitorio. En la figura 4.3. b se comparan los errores de control resultantes del uso de estos dos controladores, su comportamiento es muy parecido, pero se nota que el error de la red neuronal en la etapa estacionaria es de menor magnitud. En figura 4.3. c están las se˜ nales de control generadas por ambos controladores, aqu´ı algo interesante es que la magnitud del control en el estado transitorio es menos demandante comparada con la del PID. En la figura 4.3. d, e, f se observa el caso para una referencia sinusoidal. 

92

– JMFA –



Seguimiento (a)

1.2

Referencia − − PID −−

Referencia − −

1

RN .−.

1 PID −− RN .−.

0.8

0.5

. 0.6 d a R

. d a 0 R

0.4

−0.5

0.2

−1

0 −0.2

Seguimiento (d)

1.5

0

1

2

3

4

5

−1.5

6

Se . Error de Control (b)

0

1

2

3

4

5

6

5

6

5

6

Se . Error de Control (e)

0.15

PID −−

1

RN − −

PID −−

0.8

0.1 RN − −

0.6 0.4

0.05

. 0.2 d 0 a R

. d a R

−0.2 −0.4

0

−0.05

−0.6 −0.8

−0.1

−1 0

1

2

3

4

5

6

0

Se . Señal de Control (c)

0.5

1

2

3

4

Se . Señal de Control (f)

0.06 PID − −

PID − −

0.4

RN −−

RN −−

0.04

0.3 0.2

0.02

0.1

. t l 0 o V

. t l o V

0

−0.1 −0.02

−0.2 −0.3

−0.04

−0.4 −0.5

0

1

2

3

4

5

6

−0.06

Se .

0

1

2

3

4

Se .

Resultados del esquema de modelado de controlador. a) Comparación de la respuesta en posición del motor controlado por el PID y por la red neuronal (referencia cuadrada). b) Comparaci´ on entre las señales de error. c) Comparaci´ on entre las señales de control. d) Comparaci´ on de la respuesta en posición del motor controlado por el PID y por la red neuronal (referencia sinusoidal). e) Comparación entre las señales de error. f ) Comparaci´ on entre las se˜ nales de control. ................................................................................................................. Figura 4.3:

– JMFA –

93

4.3. Control por modelo inverso


La pregunta obvia sobre este esquema de control es: ¿Por qué sustituir al controlador por una red neuronal? Repuesta: 1. Porque durante el entrenamiento de la red neuronal se puede incorporar información no convencional que en los modelos anal´ıticos no es fácil de considerar. 2. Porque dado un apropiado conjunto de datos de entrenamiento, la red entrenada no sólo será capaz de producir las respuestas adecuadas para los datos de entrenamiento, sino que aún para lo datos fuera del conjunto de entrenamiento, las procesará correctamente (generalización). 3. La red neuronal es tolerante a las perturbaciones, es decir, que si las señales de la red est´ an afectadas por perturbaciones, la respuesta no se ve alterada de forma catastrófica. 4. Una vez entrenada la red neuronal, su operación es muy rápida (estructura paralela), y existen circuitos integrados disponibles en el mercado; por ejemplo: Siemens MA-16, Hughes M1718, ZISC36, etc´ etera.

4.3.

Control por modelo inverso

Este esquema de control consiste en ajustar los parámetros de la red neuronal para que reproduzca el modelo inverso de la planta, y después utilizarlo como un precompensador de la misma. De esta forma la relación funcional entre la entrada a la red y la salida de la planta es aproximadamente de uno a uno. Pero antes de abordar el uso de las redes neuronales con este esquema de control se presenta sus bases en general. Sea el caso de un sistema discreto de entrada y salida escalar. Se modela su comportamiento de la forma siguiente: y(k) = F (1) [y(k

− 1), . . . , y(k − n); u(k − 1), . . . , u(k − m)],

(4.1)

en donde F (1) es una función suave y n y m son enteros positivos distintos de cero. Por lo general, n m. Entonces (4.1) considera que el comportamiento actual del sistema depende de la respuesta y entrada en instantes anteriores.

≥

La ventaja de usar la representación discreta (4.1), es que permite ver la respuesta como una sucesión de datos. Por lo que es sencillo modificar a (4.1) y obtener su forma predictor (ver la referencia [38], cap.4). La forma predictor de (4.1) es: y(k + 1) = F (2) [y(k), . . . , y(k

− n + 1); u(k), . . . , u(k − m + 1)],

(4.2)

as´ı que puede evaluarse la respuesta del sistema 1 paso adelante . En (4.2) notar que u(k) está como argumento. Identif´ıquese a G como la función inversa de F (2) con respecto a u(k), es decir: u(k) = G[y(k + 1), y(k), . . . , y(k

− n + 1); u(k − 1), . . . , u(k − m + 1)].

(4.3)

El objetivo de control solicita que en el tiempo 1 , la respuesta del sistema sea igual a: y ∗ (k + 1), manteniéndose y = y ∗ en lo sucesivo. Esto es posible si en (4.3) se sustituye a y(k + 1) por y ∗ (k + 1), y se utiliza como señal de control para el sistema (4.2). Pero antes de resumir el control inverso...

94

– JMFA –


4.3. Control por modelo inverso ¿Qué significa la invertibilidad del sistema (4.2)?

(Ver referencia [56]). Considérese un sistema gobernado por (4.2): y(k + 1) = F (2) [y(k), . . . , y(k

− n + 1); u(k), . . . , u(k − m + 1)], el sistema se dice que es invertible si para la función F 2 en [y(k), . . . , y(k − n +1); u(k − 1), . . . , u(k − m +1)]T , existe su función inversa con respecto a u(k).

La función inversa de F 2 en [y(k), . . . , y(k n + 1); u(k 1), . . . , u(k m + 1)]T con respecto a u(k) existe si hay un conjunto A Rn+m+1 tal que para todo [y(k),...,y(k n + 1); u(k 1), . . . , u(k m + 1)]T A se cumple que para cualquier par de entradas diferentes u(1) (k) y u(2) (k):

−

∈

− −

− −

−

∈

F (2) [y(k), . . . , y(k

− n + 1); u(1)(k), . . . , u(k − m + 1)] = (4.4) (2) (2) F [y(k), . . . , y(k − n + 1); u (k), . . . , u(k − m + 1)]. Se dice que el sistema (4.2) es singular en [y(k), . . . , y(k − n + 1); u(k − 1), . . . , u(k − m + 1)]T ∈ A si existe al 1 2 (2)

menos un par de entradas diferentes u (k) y u (k), de modo que la salida resultante de F

es la misma:

F (2) [y(k), . . . , y(k

− n + 1); u(1)(k), . . . , u(k − m + 1)] = (2) F [y(k), . . . , y(k − n + 1); u(2) (k), . . . , u(k − m + 1)].

(4.5)

La proposición 4.1 es de utilidad para determinar la invertibilidad de una función.

Proposici´ on 4.1 [56]. Si la funci´ on f [y(k), . . . , y(k n +1); u(k), . . . , u(k m +1)] es mon´ otona con respecto a u(k) T entonces el sistema es invertible en [y(k), . . . , y(k n + 1); u(k 1), . . . , u(k m + 1)] .

−

−

−

− − Prueba: Si la funci´ on f [y(k), . . . , y(k − n +1); u(k), . . . , u(k − m +1)] es mon´ otona con respecto a u(k), y u(1) (k) > u(2) (k) entonces para el mismo punto [y(k), . . . , y(k − n + 1); u(k − 1), . . . , u(k − m + 1)]T , se cumple: f [y(k), . . . , y(k − n + 1); u(1) (k), . . . , u(k − m + 1)] > f [y(k), . . . , y(k − n + 1); u(2)(k), . . . , u(k − m + 1)]. Y de forma similiar, si u(1) (k) < u (2) (k)

− n + 1); u(1)(k), . . . , u(k − m + 1)] < f [y(k), . . . , y(k − n + 1); u(2)(k), . . . , u(k − m + 1)]. f [y(k), . . . , y(k

Por tanto el sistema es invertible. 

El control inverso queda definido en la proposición 4.2.

Proposici´ on 4.2 (Control Inverso –One-Step Ahead) Sea el sistema (4.2): y(k + 1) = F (2) [y(k), . . . , y(k en donde F (2) es una funci´ on suave.

− n + 1); u(k), . . . , u(k − m + 1)],

Si la funci´ on F (2) tiene la inversa G con respecto a u(k). La ley de control: u(k) = G[y ∗ (k + 1), y(k), . . . , y(k

− n + 1); u(k − 1), . . . , u(k − m + 1)],

(4.6)

es tal que: y(k) = y ∗ (k)

∀ k ≥ 1.

(4.7)

La ley de control (4.6) hace que en 1 pasos se cumpla con el objetivo de control (4.7). – JMFA –

95



Prueba: Si F 2 tiene inversa G con respecto a u(k), entonces se sustituye a (4.6) en F 2 : y(k + 1) = y ∗ (k + 1), as´ı, que y(k) = y ∗ (k) cuando k

(4.8)

≥1



De esta forma el esquema de control por modelo inverso requiere de la transformación inversa con respecto a la señal de control. Como se ha visto es posible usar a las redes neuronales para sustituir a dicha transformación. Para este objetivo se han propuesto dos métodos para obtener los datos de entrenamiento de la red neuronal. Referencia

* y(k-1 )

u(k)

y(k-n+1)

z-1

-1

z

F(.)

G(.) z-1

z-1

u(k -m ) y(k)

y(k -1)

u(k)

y(k)

y(k-n+1)

u(k -m ) -1

z-1

z

z-1

z-1 y(k)

u(k)

Figura 4.4:

z-1

Control por modelo inverso. Esquema general del control por modelo inverso.

M´ etodo directo: [2]. En este esquema se aplica una señal de exitación a la planta. La salida de la planta se usa como entrada a la red neuronal. La respuesta generada por la red neuronal se compara con la señal de exitació n y por medio del algoritmo de entrenamiento se ajustan los pesos de la red para reducir la diferencia entre estas dos señales. Ver figura 4.5. a El método directo tiene algunos inconvenientes: 1. Si la planta es un sistema no causal, o no está bien definido (que distintas entradas produzcan la misma respuesta), la mayor´ıa de las redes neuronales y algoritmos de entrenamiento generan modelos inversos incorrectos. 2. El esquema directo necesita que la se˜ nal de exitación de la planta expanda su respuesta en la zona de operación deseada, pero si no se tiene información sobre la forma de responder de la planta, es muy dif´ıcil determinar la señal adecuada de exitación para los objetivos de control. A lo anterior se dice que el esquema directo no es orientado al objetivo . 3. El esquema de control no tiene retroalimentación, debido a esto, los efectos no contemplados durante el entrenamiento afectaran en su desempeño. El primero de los puntos anteriores se relaciona a la existencia del modelo inverso de la planta. Es decir, que la relaci´ on entre las variables de salida con respecto a las variables de entrada de la planta no tenga ambigüedades. El segundo punto tiene que ver con el concepto de exitaci´ on persistente (ver sección 3.3.4). Al no tener información previa sobre como exitar a la planta para obtener datos de entrenamiento que correspondan a la zona de operación de interés, es necesario probar distintos tipos de señales con el fin de extraer suficiente información de la planta para hallar la relación entre la entrada y salida. 96

– JMFA –



M´ etodo especializado: [2]. La desventaja del método directo para obtener el modelo inverso del sistema es que no puede ser entrenado de forma selectiva para que responda correctamente en la región de salida del sistema que es de interés, debido a que normalmente no se sabe cual señal de entrada corresponde a la salida deseada. El m´ etodo especializado genera los datos de entrenamiento de la red para la región de operación deseada, esto porque la red neuronal es alimentada directamente por la señal de referencia. Ver figura 4.5. d. Entonces el error se forma por la diferencia entre la señal deseada y la respuesta de la planta (error de control) y con este se entrena a la red neuronal para reducir su discrepancia. Por esto el método especializado se dice que es orientado al objetivo . En el método especializado opcionalmente se puede utilizar otra red neuronal previamente entrenada para obtener un modelo de la planta. As´ı que en lugar de utilizar la salida de la planta para calcular el error del modelo inverso, se utiliza la salida del modelo neuronal para medir este error. Se pueden citar dos razones para optar por usar un modelo neuronal de la planta: 1. Si no se dispone del modelo matemático de la planta. Se puede utilizar un modelo neuronal y utilizarlo para retropropagar el error de seguimiento a través de esta red; y de esta forma, evaluar los gradientes de salida. Recordar que una caracter´ıstica de las redes neuronales es que son invertibles . Es decir, que dado un determinado estado de la red (para un est´ımulo particular) es posible evaluar la sensibilidad entrada/salida, o lo que es lo mismo hacer un análisis de sensibilidad (ver apéndice F). 2. En el caso de que la salida de la planta sea ruidosa, es preferible utilizar la respuesta del modelo directo de la planta en lugar de su salida real.

s e n t r a d a s

RN pesos Ajuste

Algoritmo de ajuste

s a l i d a s

-

+

e n t r a d a s

Planta Datos

s a l i d a s

yp

yd

e n t r a d a s

RN pesos

s a l i d a s

e n t r a d a s

e n t r a

e r r o r

Ajuste

Algoritmo de ajuste

(a)

d a s e r r o r

Planta Datos

M RN pesos

s a l i d a s

yp +

-

ym s a l i d a s

(b)

Esquemas para la obtenci´ on del modelo inverso de un sistema. (a) Método directo. (b) Método especializado. ................................................................................................................. Figura 4.5:

Ya que se tiene una buena aproximación del modelo inverso de la planta, se puede utilizar este modelo neuronal como controlador. En el método directo para la obtención del modelo inverso se propone usar a la red neuronal como un precompensador de la planta, as´ı se obtiene un control en lazo abierto ( feedforward ). De tal forma que si la planta es un sistema estable, el modelo inverso tambi´ en lo es, as´ı como el sistema de control compuesto por la red neuronal y la planta. Pero este esquema de control no compensa los cambios externos que afecten a la planta que no hayan sido contemplados durante el entrenamiento del modelo inverso. En el caso del método especializado se puede utilizar el mismo esquema de la figura 4.5. b para controlar a la planta. Si se tiene un modelo de la planta se utiliza esta información para calcular la derivada de la salida de la red neuronal de control con respecto el error de control y utilizar el algoritmo de ajuste para evaluar la corrección de los pesos de la red neuronal. Si no se tiene el modelo matemático de la planta se utiliza otra red neuronal para modelar su comportamiento, y durante el entrenamiento de la red de control se retropropaga el error de control a través de este modelo directo de la planta hasta la salida de la red de control, y con esta información se utiliza el algoritmo de entrenamiento de los pesos de la red de control. Se puede obtener una versión adaptable de este esquema de control si se permite que el algortimo de ajuste se mantenga en operación, de esta forma se logra un sistema de lazo cerrado, o retroalimentado, a través del algoritmo de aprendizaje. – JMFA –

97



Ejemplo 4.2 (M´ etodo directo) En el siguiente ejemplo se muestra el uso del método directo para la generar del modelo inverso de un sistema. Como se ha explicado, el modelo inverso puede utilizarse como un precompensador, de tal forma que cancela el efecto de la planta obteniendo una relaci´ on aproximada de uno a uno entre la se˜ nal de entrada del precompensador y la respuesta de la planta. Este esquema carece de retroalimentaci´ on, esto lo hace sensible a las perturbaciones no consideradas. Una aplicaci´ on para este esquema se halla en el campo de la rob´ otica. En una cadena cinem´ atica abierta la relaci´ on que existe entre la posici´ on relativa de los eslabones y la posici´ on del punto final en el espacio de trabajo se le conoce como cinemática directa. En este tipo de cadenas se puede obtener la relaci´ on entre las variables de articulaci´ on y las del punto final en el espacio de trabajo por medio de la geometr´ıa del mecanismo. Para la cadena que se muestra en la figura 4.6 la relaci´ on entre estas variables es la siguiente:

 



x cos(α1 ) + cos(α1 + α2 ) = . y sen(α1 ) + sen(α1 + α2 )

(4.9)

Es evidente que la relaci´ on entre la posici´ on de las articulaciones y la posici´ on del punto final es no lineal. Generalmente el objetivo de control de este tipo de mecanismos est´ a expresado en funci´ on de la posici´ on del punto final. De tal manera que es necesario determinar las posiciones de las articulaciones que corresponden a un punto en el espacio de trabajo, es decir, se debe hallar la relaci´ on inversa de (4.9). Puede encontrarse la forma análitica de este mecanismo en [51]. Aqu´ı se presenta la forma de entrenar una red neuronal de m´ ultiples capas para modelar la relaci´ on inversa de (4.9).

-

α2

Espacio de Trabajo

α1 α2 -

1

α1

2

Descripci´ on de un mecanismo de dos eslabones. Izquierda: geometr´ıa del mecanismo. Derecha: área de trabajo del mecanismo. ................................................................................................................. Figura 4.6:

Para entrenar a la red neuronal primero se generan los datos para tal prop´ osito. El rango de las variables de articulaci´ on 2 es: α1 = 0, ..., 3 π y α2 = π, ..., 0 , cada uno de estos conjuntos con 20 elementos. Del producto cartesiano, α1 α2 se crean los argumentos de (4.9) y de esta forma se obtienen 400 pares (x, y). Entonces se tienen como datos de entrenamiento: (α1 (k), α2 (k)) (x(k), y(k)); k = 1, . . . , 400.

×

{

}

{− →

}

Se selecciona como rango de las posiciones de las articulaciones entre: α1 = 0,..., 23 π y α2 = π, ..., 0 , porque de esta manera se evita que para una misma posici´ on (x, y) corresponda m´ as de un par (α1 , α2 ), eliminando ambig¨ uedades. (aun quedan las correspondientes a la posici´ on (0, 0)x,y ).

{

}

{−

}

La red usada tiene dos entradas, un primer nivel oculto con 25 nodos (neuronas), una segunda capa oculta de 25 nodos, y la capa de salida con 2 nodos. La configuraci´ on es: 2, 25, 25, 2 . Las tres capas tienen una entrada independiente. La funci´ on de activaci´ on de las capas ocultas es logsig, y en la capa de salida es la funci´ on identidad.

{

}

La relaci´ on inversa entre las variables está definida por: (x(k), y(k)) (α1 (k), α2 (k)). La red neuronal se entrena con el algoritmo de retropropagaci´ on del error. El error es igual a la diferencia: e(k) = ([α1 (k) α2 (k)]T [ynn1 (k) ynn2 (k)]T ). La funci´ on de desempe˜ no es : E (k) = 12 e(k)T e(k). Los parámetros de entrenamiento son: α y β = 0.01. Ver el programa B.13, página 183.

→

98

– JMFA –

−



Cinemática Directa: x

Cinemática Directa: y

2

2

1

1

x 0

y 0

−1

−1

−2 0

−2 0

0 2

0

−1 4

2

−2 6

−3

4

−2 6

α2

α1

−1

−3

α2

α1

Cinem´ atica directa del mecanismo. Izquierda: coordenada x en función de los ángulos α1 , α2 . Derecha: coordenada y en función de los ángulos α1 , α2 . ................................................................................................................. Figura 4.7:

En la figura 4.8. Se presenta las gráficas del resultado del entrenamiento de la red neuronal. Se presenta la respuesta de la red neuronal para las posiciones: x y, donde x e y = 0.5, . . . , 0.5. El ángulo α2 está relacionado de forma cuadratica con respecto a (x, y). En tanto que α1 tiene un cambio brusco en donde es ambigua para (x, y).

×

−

Cinemática Inversa: α1

Cinemática Inversa: α2

10 1

α

2

5

2

0

α−2

0

−5 −1

−1 −0.5

−4 −1

−0.5 0

−0.5

0 0.5

y

1

−0.5 0

0.5 1

−1

0 0.5

x

y

0.5 1

x

1

Cinem´ atica inversa del mecanismo. Izquierda: ángulo α1 en función de las coordenadas x e y. Derecha: ángulo α2 en función de las coordenadas x e y. ................................................................................................................. Figura 4.8:

Para evaluar la precisi´ on del modelo inverso obtenido, en la tabla.4.1, se comparan los resultados producidos por la red neuronal con sus valores verdaderos para once puntos de prueba. De la tabla, el error máximo de (x, y) es de (2.6, 1.1) cm; el error promedio en (x, y) es (0.9, 0.5) mm; la desviaci´ on del error es de (1.1, 0.8) cm, respectivamente. En la figura 4.9, se presenta la trayectoria de calculada por la red neuronal comparándola con la trayectoria deseada. En la primera, se observan las posiciones de las articulaciones calculadas por la red neuronal para seguir la trayectoria circular de r = 0.7 m. En la otra gráfica la trayectoria a seguir es la l´ınea recta: (0.5, 0.5) m (0.5, 0.5) m.

−

– JMFA –

−



99

4.3. Control por modelo inverso (x, y) (0.5,-0.5) (1.0, 0.0) (0.5, 0.0) (0.5, 0.5) (0.0, 0.5) (0.0, 0.0) (0.0, 1.0) (-0.5, 0.5) (-0.5, 0.0) (-1.0, 0.0) (-0.5,-0.5)

Cap´ıtulo 4. Control de Sistemas (α1 , α2 ) <◦ > ( -0.4070, -89.8975) ( 3.0857, -7.4251) ( 59.0749,-119.2062) ( 91.6786, -90.7152) (149.9147,-120.9133) (136.8866,-179.6424) ( 94.4242, -10.4733) (181.1163, -88.1315) (241.1180,-121.1180) (182.8110, -4.3217) (269.8826, -88.6224)

(ˆ x, yˆ) (0.4973,-0.5035) (0.9978,-0.0109) (0.5060,-0.0047) (0.4853, 0.5082) (0.0047, 0.4931) (0.0021, 0.0023) (0.0141, 0.9957) (-0.5259, 0.4896) (-0.4915,-0.0071) (-0.9992,-0.0113) (-0.5009,-0.5110)

m´ ax(ex , ey ) ave(ex , ey ) σrms (ex , ey )

(0.0259, 0.0113) (0.0009, 0.0054) (0.0111, 0.0084)

(ex , ey ) (0.0027, 0.0035) (0.0022, 0.0109) (-0.0060, 0.0047) (0.0147,-0.0082) (-0.0047, 0.0069) (-0.0021,-0.0023) (-0.0141, 0.0043) (0.0259, 0.0104) (-0.0085, 0.0071) (-0.0008, 0.0113) (0.0009, 0.0110)

Resultados del modelo neuronal inverso. Los puntos de prueba (x, y) son aplicados por la red neuronal, y se obtienen los ángulos (α1 , α2 ). Con estos ángulos se calculan las posiciones de los eslabones (ˆ x, yˆ). Los errores en el espacio de las articulaciones son (ex , ey ). ave() es el valor promedio de los errores, y σrms () es la desviación del error. .......................................................................................................... Tabla 4.1:

Posición de los eslabones

Posición de los eslabones

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

m 0

m 0

−0.2

−0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8

−1

−1 −1

−0.5

0

0.5

1

−1

m

−0.5

0

0.5

1

m

Posici´ on de los eslabones. Izquierda: Utilizando la red neuronal con la dinámica inversa se determinan los ańgulos: α1 y α2 de los eslabones para seguir una trayectoria circular, r = 0.7 m. Derecha: seguimiento de una trayectoria recta, (0.5, 0.5) m-(0.5, 0.5) m. ................................................................................................................. Figura 4.9:

−

Ejemplo 4.3 (M´ etodo Especializado) En este ejemplo se presenta el control de una planta no lineal usando el método especializado. El sistema a controlar es un sistema de una entrada y una salida, [8, 56]: y(k + 1) =

y(k) + u(k)3 , 2 1 + y(k)

(4.10)

y(k) 3 (2) En donde d = 1, F (2) (y(k), u(k)) = 1+y(k) 2 + u(k) . Notar que el sistema es invertible con respecto a u(k) porque F es mon´ otona —funci´ on c´ ubica de u(k).

En este ejemplo se va a suponer que no se tiene informaci´ on de la estructura de F 2 . As´ı, el primer paso para implementar el esquema de control por medio del método especializado se necesita calcular el modelo directo del sistema (4.10). En [8] se supone que se conoce que la estructura de F 2 es: F 2 = F 2 (y) + F 2 (u), teniendo esto como conocido, 100

– JMFA –



en [8] se entrenan dos redes neuronales de m´ ultiples capas de estructura 1,20,10,1 , cada una de estas redes neuronales se entrenan para identificar las funciones desconocidas F 2 (y) y F 2 (u). Pero en este ejemplo se va a entrenar una sola red neuronal para identificar el modelo directo de la planta. La red que se propone tiene una estructura 2, 50, 50, 1 . El vector de entrada de esta red neuronal es [y, u]. El proceso de entrenamiento se detiene cuando el error medio cuadr´ atico −3 es menor de 10 . El programa para el entrenamiento de la red neuronal se localiza en apéndice B.15, página 189.

{

}

{

}

Por medio del modelo neuronal de la planta se puede retropropagar el error de control, ec (k) = y d (k) y(k), a través de esta red hasta la entrada de control, u(k) y se obtiene el valor de sensibilidad de la respuesta del modelo neuronal, ∂ ˆ y(k) ∂y(k) yˆ(k) con respecto a la entrada de control, ∂u(k) . Este valor de sensibilidad se utiliza en lugar de ∂u(k) porque se hace la suposici´ on de que no se conoce su descripci´ on matemática.

−

e n t r a d a s

RN pesos

s a l i d a s

∂ ∂ Ajuste

Algoritmo de ajuste

e r r o r

e n t r a

Planta

d a s

Datos

e n t r a d a s

RN pesos

∂ ∂

s a l i d a s

∂ ∂ s a l i d a s

Error Medio Cuadrático

+

-

=

^

∂ ∂

=

∂ ∂

= ∂∂

∂ ∂

^

∂ ∂

∂ ∂

Por retropropagación del error

^

Control inverso especializado. Al suponer que no se cuenta con la descripción matemática de la planta se utiliza un modelo neuronal para retropropagar ec (k) a través del modelo neuronal. ................................................................................................................. Figura 4.10:

−

Observando la estructura del esquema de control por el método especializado que se muestra en la figura 4.10, el objetivo de control es minimizar el error medio cuadr´ atico entre el valor de referencia, y d (k), y la respuesta de la planta, y(k). Si w es un peso de la red neuronal de control, se puede utilizar algoritmo de retropropagaci´ on del error para evaluar el gradiente de la funci´ on de desempe˜ no con respecto al peso w. La cadena de derivadas parciales es la siguiente: ∂J (k) ∂u(k) ∂y(k) ∂e c (k) ∂J (k) = , ∂w(k) ∂w(k) ∂u(k) ∂y(k) ∂e c (k)

(4.11)

en donde: ∂J (k) = ec (k) ∂e c (k) ∂e c (k) = 1 ∂y(k) ∂y (k) No es posible calcular. ∂u(k) ∂u(k) Se puede evaluar a trav´ es de retropropagaci´ on. ∂w(k)

−

(4.12) (4.13) (4.14) (4.15)

As´ı que si no se cuenta con la descripci´ on matem´ atica de la planta la derivada parcial (4.14). Para resolver este problema se propone utilizar el modelo neuronal de la planta y, sobre este retropropagar las derivadas parciales que le anteceden. De esta forma, la derivada parcial de la funci´ on de desempe˜ no con respecto al peso de la red de control (modelo inverso) está expresado por: ∂J (k) ∂u(k) ∂ ˆ y(k) ∂e c (k) ∂J (k) = , ∂w(k) ∂w(k) ∂u(k) ∂y(k) ∂e c (k)

(4.16)

en donde: ∂ ˆ y(k) Se puede evaluar a trav´ es de retropropagaci´ on. ∂u(k) – JMFA –

(4.17) 101

4.4. Control Adaptable

Cap´ıtulo 4. Control de Sistemas ∂u(k) Se puede evaluar a trav´ es de retropropagaci´ on, ∂w(k)

(4.18)

yˆ(k) es la salida de la red de identificaci´ on, que debido a que se conoce su estructura y se ha entrenado para ser una ∂y(k) aproximaci´ on de y(k) se utiliza para sustituir la derivada parcial ∂u(k) . As´ı que se utiliza el gradiente (4.16) para actualizar los pesos de la red neuronal de control. La estructura de la red de control es: 2, 50, 50, 1 . El vector de entrada est´ a formado por: [y d (k + 1); y p (k)] y su salida es el valor estimado para la se˜ nal de control, u(k).

{

}

En la figura 4.11 se presentan las gráficas donde se muestra la evoluci´ on del entrenamiento de la red neuronal de control. En este ejemplo la red neuronal usada para modelar a la planta se entrena antes de la red usada como controlador, as´ı que el proceso de entrenamiento de la red de control se lleva independientemente de la red de identidicaci´ on. Si la zona de operaci´ on de la planta se aleja del usado durante el entrenamiento de la red de identificaci´ on, se puede activar el entrenamiento para que realize los ajustes para disminuir la diferencia con respecto a la respuesta de la planta. En las figura 4.11, a y b se presenta el comportamiento del sistema en la primera época de entrenamiento de la red de control. Se observa que la red de control no ha sido a´ un ajustada para que el sistema (l´ınea continua) siga la referencia deseada (lnea por trazos), y en la gráfica del error cuadr´ atico medio todav´ıa es grande. En las figura 4.11, c y d se presenta la respuesta del sistema una vez completadas 50 épocas de entrenamiento. Notar como el sistema ya p uede seguir a la se˜ nal de reerencia y que el error medio cuadrático ha disminuido. Y en las figuras 4.11, e y f están las gráficas de las se˜ nales para el error y el control. 

4.4.

Control Adaptable

Los sistemas de control tiene como objetivo alterar el comportamiento de los sistemas para manejar algunas de sus variables y satisfacer algún criterio. Los m´ etodos de control se han basado en el análisis del modelo del sistema para determinar cual debe ser la estructura de control que permita cumplir con las especificaciones requeridas. El controlador as´ı diseñado tiene un grupo de parámetros que deben saleccionarse durante la etapa de diseño. Una vez realizado lo anterior, resta implementar la estructura del controlador con los par´ ametros obtenidos. El m´ etodo anterior resulta suficiente si los sistemas operan en ambientes estables, en donde las condiciones son constantes, es decir, que no se espera que vayan a ser afectados de forma brusca o paulatina por cambios no contemplados durante la fase de diseño del control. Pero como se puede imaginar, es muy dif´ıcil asegurar condiciones de operación semejantes para la mayor´ıa de los sistemas. También es muy complicado modelar todos los fenómenos que afectan a los sistemas, debido a que es necesario hacer simplificaciones que permitan obtener modelos que sean manipulables (por lo general representado por ecuaciones lineales). De lo anterior, se plantea la necesidad de generar controles que tengan la capacidad de actualizarse en función de los cambios ambientales y de modelado que los sistemas experimentan. Dentro de este tipo de sistemas de control están los llamados robusto y adapatable. Los sistemas de control robusto tienen el enfoque de producir reguladores que operan satisfactoriamente mientras que un grupo de parámetros de la planta estén dentro de un intervalo de condiciones extremas, garantizando un grado de rechazo de perturbaciones y de desempeño. Un ejemplo de este tipo de técnicas es el control multivariable o H-infinito . Se conoce como control multivariable porque sigue un método de análisis de frecuencia, pero a diferencia de los clásicos que opera para sistemas escalares, éste se aplica a sistemas con más de una entrada y más de una salida, y se denomina como H-infinito debido a que se basa en la minimización de la norma H-infinito de la función de transferencia de lazo cerrado. El control robusto garantiza la estabilidad del sistema dentro de todo el rango de variación de los parámetros. Otras técnicas de control robusto son las llamadas: Ganancias programadas (Gain Schedule) y Desigualdades Matriciales Lineales (Linear Matrix Inequalities). El control adaptable es otra técnica que maneja el cambio de las condiciones de operación y de par´ ametros del sistema controlado. Pero sigue un camino diferente al del control robusto. El control adaptable aborda el problema buscando estructuras que modifiquen sus variables. As´ı que en los esquemas de control adaptable existen estructuras que con base en la información disponible actualizan un conjunto de par´ ametros.

102

– JMFA –



Control Inverso (Especializado) −−Seguimiento

4

Época=2

Época=2

1.8

3

1.6

2

1.4

1

1.2

0

1

−1

0.8 0.6

−2

0.4

−3 −4

Control Inverso (Especializado) −−ECM

2

0.2 0

500

1000

1500 (a)

2000

2500

3000

Control Inverso (Especializado) −−Seguimiento

4

0

0

1500 (b)

2000

2500

3000

0.18

3

0.16

2

0.14

1

0.12

0

0.1

−1

0.08 0.06

−2

0.04

−3 −4

1000

Control Inverso (Especializado) −−ECM

0.2

Época=50

500

0.02 0

500

1000

1500 (c)

2000

2500

3000

Control Inverso (Especializado) −−ec(k)

2

0.5

1

0

0

−0.5

−1

−1

−2

−1.5

−3 500

1000

1500 (d)

2000

2500

3000

Control Inverso (Especializado) −−u(k) Época=50

2

0

500

3

1

−2

0

4

Época=50

1.5

0

1000

1500 (e)

2000

2500

3000

−4

0

500

1000

1500 (f)

2000

2500

3000

Control por modelo inverso (Método especializado). Se presenta el comportamiento del control inverso por medio del método especializado, el proceso de actualización de los pesos de la red neuronal de control se realiza de forma iterativa. La l´ınea discontinua (- - -) representa el valor de referencia deseado y la l´ınea continua (—-) es la salida del sistema no lineal. En (c) y (d) se están los resultados de seguimiento completadas 50 épocas de entrenamiento. En (e) est´ a el error de control, y en (f) la se˜ nal de control. ................................................................................................................. Figura 4.11:

– JMFA –

103



Son dos las estructuras de control adaptable que m´ as se utilizan. En primer lugar está el control adaptable indirecto , que considera que los cambios del sistema controlado pueden ser evaluados a través de un modelo del sistema o identificador. Este modelo recibe la misma información de entrada que el sistema controlado y tiene un conjunto de par´ ametros que deben ser ajustados para hacer que la respuesta del modelo y de la planta sea el mismo. Una vez alcanzado el empate de ambos modelos, el controlador utiliza los par´ ametros del modelo para calcular la señal de control. En este esquema hay un mecanismo de ajuste de los par´ ametros del modelo. La otra estructura de control adaptable se conoce como control adaptable directo . En esta estructura los parámetros ajustables son los del controlador. El mecanismo de ajuste utiliza la información disponible para calcular la desviación del sistema controlado del desempe˜ no deseado con el propósito de determinar el grado de corrección de los parámetros del controlador. Notar que el control adaptable indirecto los par´ ametros ajustables son los del modelo de identificación, por otro lado, en el control adaptable directo los par´ ametros ajustables son los del controlador, as´ı que no es necesario tener un modelo de identificación. En la figura 4.12 se presentan los esquemas a bloques del control adaptable indirecto y directo. Parámetros del Controlador

Parámetros del Sistema

Mecanismo de adaptación

Diseñador de control

Identificador

Parámetros del Controlador

r

Controlador

u

Planta

y

r

Controlador

(a)

+

-

u

Planta

ei y

(b)

Control Adaptable. En los sistemas de control adaptable hay dos estructuras que han dominado. (a) En el control adaptable directo los parámetros del controlador se obtienen sin necesidad de un sistema de identificación de la planta. (b) El control adaptable indirecto tiene un sistema de identifición de la estructura de la planta. ................................................................................................................. Figura 4.12:

4.4.1.

Control Adaptable Indirecto

En la referencia [16] se dan detalles sobre el control adaptable directo e indirecto. En esta sección se presenta este material para reunir toda la información. Los sistemas de interés están descritos por la siguiente expresión: y(k + 1) = f [v(k), u(k)] ,

(4.19)

en donde f () es una función suave pero desconocida. Los argumentos de la función son la entrada u() y la salida y() que son valores escalares y medibles. . El vector v() es función de los valores pasados de u y y: v(k) = [y(k), y(k

− 1), . . . , y(k − n + 1); u(k − 1), u(k − 2), . . . , u(k − m + 1)]T ,

(4.20)

en donde las constantes n > 0, m > 0, y por lo general n > m. En lo sigue se supone que las constantes n y m son conocidas. En la pr´ actica algunos elementos del vector v() pueden no estar presentes. Para el control adaptable indirecto se utiliza la siguiente subclase de sistemas: y(k + 1) = α [v(k)] + β [v(k)] u(k),

(4.21)

en donde α() y β () son funciones suaves desconocidas del vector v(). As´ı que se descartan los sistemas no lineales con respecto a u(k), no obstante, el sistema puede ser no lineal con respecto a los valores pasados de u(). 104

– JMFA –



Hay otra restricción que se impone sobre los sistemas del tipo (4.21). Se pide que la función β () este acotada por abajo por una constante positiva y lejana de cero. Esta condición evita que la función sea cero para algún valor del vector v() y que tenga cambios de signo.

El objetivo de control: Desarrollar un sistema controlador que siga la refencia r(k); en donde r(k) está acotada por una constante finita.

|

|

El error de control es la diferencia entre el valor de referencia y la salida del sistema: e(k) = r(k)

− y(k).

(4.22)

En el control adaptable se aplica en sistemas en los que existe un cierto grado de desconocimiento de su representación. En el sistema (4.21), las funciones α() y β () se dividen en una parte conocida y en otra desconocida. En la práctica, la parte conocida de estas funciones representa la información disponible del sistema, pero puede no existir en el caso de que se carezca totalmante de información. La estructura de estas funciones es la que sigue: desconocido α [v(k)] = β [v(k)] =

conocido

      αd [v(k)] + αc [v(k)] , β d [v(k)] + β c [v(k)] ,

(4.23) (4.24)

en donde el sub´ındice “d ” indica la parte desconocida y “ c ” la parte conocida. La función β () se supone acotada: 0 < β 0

≤ β [v(k)] ,

(4.25)

para algún β 0 > 0 y para todo v(k). Pero de igual modo se permite definir una cota por arriba de la función β () en el caso de que sea definida negativa.

Controlador por cancelación ideal: Debido a que la referencia es conocida, el valor de r(k + 1) está disponible. Utilizando la expresión de la planta (4.21). El control ideal u∗ para este sistema es: u∗ (k) =

r(k + 1) α [v(k)] , β [v(k)]

−

(4.26)

usando a u∗ (k) como señal de control linealiza la dinámica de (4.21): y(k + 1) = α [v(k)] + β [v(k)] u∗ (k), r(k + 1) α [v(k)] = α [v(k)] + β [v(k)] , β [v(k)] y(k + 1) = r(k + 1).



−



(4.27) (4.28) (4.29)

De manera que y(k) = r(k) después de 1 pasos. El problema es que para utilizar la ley de control (4.26) se necesita conocer las expresiones exactas de las funciones α() y β (). En el control adaptable indirecto se propone construir un sistema de identificación de la planta que permita obtener una aproximación de la estructura y utilizar esta información en la ley de control. Por lo visto en la sección 3.3, cap´ıtulo 3, se puede utilizar la ecuación (3.5): y(k) = θT φ(k

− 1),

es decir, se puede utilizar un aproximador lineal en los parámetros. As´ı que usando una estructura similar para estimar las funciones desconocidas de α [v(k)] y β [v(k)]: ∗ T αd [v(k)] = θα φα [v(k)] + ωα (k + 1), ∗ T β d [v(k)] = θβ φβ [v(k)] + ωβ (k + 1),

– JMFA –

(4.30) (4.31) 105



en donde ωα y ωβ son los errores debidos a utilizar un aproximador finito. ∗ T Los vectores de parámetros θα y θβ∗ T son los ideales para las funciones αd [v(k)] y β d [v(k)], tales que:

θα∗

= arg m´ın

θα ∈Ωα

θβ∗ = arg m´ın

θβ ∈Ωβ

 

sup

∗ T θα φα

| |

[v(k)]

− αd (v)

,

(4.32)

sup θβ∗ T φβ [v(k)]

− β d (v)

,

(4.33)

v∈Sv

v∈Sv

| |

en donde Ωα y Ωβ son conjuntos acotados y conexos que contienen la familia de vectores de parámetros θα y θβ , respectivamente. El conjunto S v es cerrado y acotado; representa el rango en donde las aproximaciones de las funciones α() y β () son v´ alidas.

Controlador por cancelación aproximada: Usando como ley de control para el sistema (4.21) a la expresión: u(k) =

r(k + 1) α ˆ [v(k)] , ˆ β [v(k)]

−

(4.34)

ˆ() son estimaciones de las funciones α() y β (), respectivamente, y definidas como sigue: en donde α ˆ () y β T α ˆ [v(k)] = θα (k)φα (v) + αc (k), T ˆ β [v(k)] = θβ (k)φβ (v) + β c (k).

(4.35) (4.36)

Se pueden utilizar métodos de optimización para seleccionar los vectores de parámetros θα (k) y θβ (k) para tratar de minimizar los errores de identificación (ver las secciones 3.3.1-3.3.3 del cap´ıtulo 3). Con los algoritmos de proyección se puede garantizar que los vectores de parámetros θα y θβ hallados pertenecen a los conjuntos Ωα y Ωβ , respectivamente; ˆ también aseguran que β [v(k)] > β 0 y por tanto la señal de control está bien definida. 

El error de seguimiento es: e(k) = rˆ(k)

− y(k). Y si se avanzan d pasos, de la forma siguiente: e(k + 1) = r(k + 1) − y(k + 1),

(4.37)

sustituyendo a y(k + 1) en la expresión anterior se obtiene: e(k + 1) = r(k + 1)

− α [v(k)] − β [v(k)] u(k),

(4.38)

y despejando a r(k + 1) de (4.34), para sutituir la en (4.38), se tiene: e(k + 1) = α ˆ [v(k)]

{

− α [v(k)]} +



ˆ β [v(k)]

− β [v(k)]



u(k).

(4.39)

Es interesante notar que al definir como modelo de identificación a : ˆ yˆ(k + 1) = α ˆ [v(k)] + β [v(k)] u(k),

(4.40)

y haciendo uso de la ley de control (4.34) en la planta (4.21), se obtiene la ecuación del error de seguimiento. e(k + 1) = yˆ(k + 1)

− y(k + 1),

(4.41)

que puede interprestarse como el error de identificaci´ on de la planta, es decir, que representa la calidad en que el modelo se sintoniza para representar la planta. Los errores en los vectores de par´ ametros quedan definidos como: θ˜α = θα θ˜β = θβ 106

− θα∗ , − θβ∗ .

– JMFA –

(4.42) (4.43)



De lo anterior, el error de seguimiento se convierte en la ecuación: T ˜T (k)φβ [v(k)] u(k) e(k + 1) = θ˜α (k)φα [v(k)] + β β

− ωα(k + 1) − ωβ (k + 1)u(k),

(4.44)

y con esto se puede notar que el error de identificación afecta al error de seguimiento de la referencia. Es posible obtener una ecuación lineal del error de seguimiento, y ésta es la que el método de optimización minimiza. Entonces, al considerar los siguientes vectores:

    

˜T θ˜ = θ˜αT , β β

T

,

θ(k) = θαT (k), β βT (k)

(4.45) T

,

T φ [v(k), u(k)] = φT α [v(k)] , φβ [v(k)] u(k)

(4.46) T



.

(4.47)

El vector que contiene los errores en la aproximación de las funciones α() y β () es: ω(k) = ωα (k) + ωβ (k)u(k).

(4.48)

Finalmente, la ecuación lineal del error de seguimiento queda de la forma siguiente: e(k + 1) = θ˜T (k)φ [v(k), u(k)]

− ω(k + 1).

(4.49)

Y sobre esta ecuación se aplica algún método de optimización. En la ecuación (4.48) se pueden definir cotas para los errores de aproximación de las funciones de la manera siguiente: 0 0

≤ | ωα(k)| < W α , ≤ |ωβ (k)| < W β .

(4.50) (4.51)

Y con estas cotas en los errores se obtiene la cota del error de la ecuación (4.49):

|ω(k)| = |ωα(k) + ωβ (k)u(k − 1)| ≤ W α + W β |u(k − 1)|.

(4.52)

Notar que es una ecuación variante en el tiempo. En lo anterior se hace la suposión de que se conocen las cotas W α y W β , que son las que corresponden a la aproximación ideal de las funciones α() y β (), pero en la práctica resulta dif´ıcil evaluar el grado se sintonización del identificador.

Ejemplo 4.4 (Control Adaptable Indirecto) En este ejemplo se utiliza un par de redes neuronales de multiples capas para identificar los componentes de un sistema no lineal y con esta informaci´ on se calcula la ley de control para que siga la se˜ nal de referencia. El sistema no lineal es el siguiente: y(k + 1) = 0.5

y(k) + [1 + y(k)] u(k), 1 + y(k)2

(4.53)

notar que el sistema (4.53) corresponde a la forma (4.21), en donde: y(k) , 1 + y(k)2 β [v(k)] = 1 + y(k),

α [v(k)] = 0.5

(4.54) (4.55)

son las funciones α() y β () que describen a la planta. De manera que este sistema es lineal con respecto a la entrada de control u(k). La condici´ on (4.25) para la funci´ on β [v(k)] se cumple si:

−1 < y (k),

(4.56)

– JMFA –

107



esta restricci´ on debe conservarse durante el dise˜ no. La cancelaci´ on de la dinámica del sistema se logra con la ley de control ideal: u∗ (k) =

r(k + 1) α [v(k)]) , β [v(k)]

−



1 = r(k + 1) 1 + y(k)

(4.57) 0.5(k)

− 1 + y(k)2



.

(4.58)

Se supone que no se conocen las funciones α() y β () por lo que no se puede calcular la ley de control u∗ (4.58). De manera que se propone usar dos redes neuronales para aproximar las funciones α y β . Los dos aproximadores son los siguientes: α ˆ [v(k)] = θαT (k)φα (v), ˆ β [v(k)] = θβT (k)φβ (v),

(4.59) (4.60)

entonces se pueden utilizar dos redes neuronales de multiples capas para aproximar a estas funciones. Se puede interpretar al producto: θ T (k)φ(v) como la ´ ultima capa de la red. Y una vez obtenida las aproximaciones, o modelo de identificaci´ on de la planta (4.53), se puede construir la ley de control aproximada (4.34). Antes de calcular la ley de control se realiza una identificaci´ on, en donde se alimenta al sistema con la se˜ nal de entrada descrita por: u(k) = 0.5 + 0.25 sen(2kπ/10) + 0.5 cos(2kπ/2.5),

(4.61)

la identificaci´ on se realiza en cien épocas, constando cada una de cien iteraciones ( k = 0, ..., 100). Las dos redes usadas tienen una entrada, dos capas ocultas de diez neuronas y una capa de salida ( 1, 10, 10, 1 ), las constantes de aprendizaje son: η y α = 0.1. El programa se encuentra en el apéndice B, página 194.

{

}

Los resultados de la identificaci´ on de la planta están en la figura1 4.13. En la gráfica del inciso (a), se muestra la comparaci´ on de la respuesta de la planta (4.53) marcada por la l´ınea por trazos, y con una l´ınea continua la del modelo de identificaci´ on: ˆ yˆ(k + 1) = α ˆ [v(k)] + β [v(k)] ,

(4.62)

en la época cien de entrenamiento de las redes. En figura1 4.13. b est´ a el valor medio cuadratico del error de idenˆ tificaci´ on. Las funciones α ˆ() y β () están representadas p or una red neuronal de multiples capas, y en figura1 4.13. c y d se muestra la comparaci´ on entre las funciones α() y β () con la respuesta de las redes neuronales entrenadas para aproximarlas, en estas gráficas las l´ıneas por trazos son las funciones que se desean aproximar y las l´ıneas continuas son la respuesta de las redes neuronales, se puede observar que en el rango presentado las redes han logrado aproximarse al comportamiento de las funciones α() y β (). Una vez identificado el sistema, y por tanto obtenidas las aproximaciones de las funciones α() y β (). Se utilizan para construir la se˜ nal de control, siendo esta la siguiente: u(k) =

r(k + 1) α ˆ [v(k)] , ˆ β [v(k)]

−

(4.63)

en donde las aproximaciones son las redes neuronales entrenadas. La se˜ nal de referencia, r(), es una se˜ nal cuadrada que va de cero a uno, con un per´ıodo de 40 iteraciones. Notar que no es problema obtener a r(k + 1) debido a que la se˜ nal de referencia es conocida. En la figura 4.14 se presentan los resultados de control. En la gráfica 4.14. a están las curvas de la referencia ( l´ınea por trazos) y la respuesta del sistema controlado (l´ınea continua) se puede observar que hay seguimiento de la se˜ nal de referencia. En la gráfica 4.14. b, se muestra el error de control. En la gráfica 4.14. b se presenta la se˜ nal de control aplicada a la planta, u(). Y en la gráfica 4.14. d se encuentra el valor medio cuadratico del error de control. En el esquema de control adaptable indirecto se utiliza un par de aproximadores para las funciones: α() y β (). Obteniéndose el modelo de identificaci´ on: ˆ yˆ(k + 1) = α ˆ [v(k)] + β [v(k)] , 108

– JMFA –

(4.64)




3


1.4

Época=100

1.2

2.5

1

2

0.8 1.5 0.6 1

0.4

0.5 0

0.2

0

10

20

30

40

50 (a)

60

70

80

90


0.35

100

0

0

10

20

30

40

50 (b)

60

70

80

90

100


2

0.3 1.8 0.25 0.2

1.6

0.15 1.4 0.1 0.05

1.2

0 1 −0.05 −0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 (c)

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.8

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 (d)

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Control Adaptable Indirecto –Identificaci´ on . Se presenta los resultados de identificación del sistema (4.53) de la época cien de entrenamiento. En la gráfica (a) est´ an las respuestas de la planta (l´ınea por trazos) y del modelo de identificación (l´ınea continua ). En (c) se muestra el valor medio cuadratico del error de identificación. La gráfica (c) presenta la comparación entre la fución α [y(k)] = y(k)/ 1 + y(k)2 , (l´ınea a trazos)y la aproximación a través de la red neuronal (l´ınea continua). Y en (d) est´ a la proximación para β [y(k)] = 1 + y(k), siendo la l´ınea por trazos la función y la l´ınea continua la proximaci´ on por medio de la red neuronal. ................................................................................................................. Figura 4.13:





ˆ() son las aproximaciones de las funciones. Notar que el modelo de identificaci´ on es de tipo serie-paralelo, en donde; α() ˆ y β ya que el vector : v(k) tiene los retardos producidos por la planta, que para el ejemplo es: y(k). Los resultados de control mostrados en la figura 4.14 son aceptables para el rango de operaci´ on impuesto a la planta, pero si se requiere modificar la zona de operaci´ on del sistema controlado se debe volver a entrenar a las redes neuronales para ajustar a los aproximadores de las funciones α() y β (). Esto puede realizarse sacando de operaci´ on al sistema y volviendo a correr una rutina de identificaci´ on. Otra opci´ on para reentrenar a los aproximadores es dejando la rutina de ajuste de los pesos operando constantemente, esto har´ a que el sistema logre ajustarse a los cambios de operaci´ on o de dinámica. En la figura 4.15 se presenta el caso en el que el ajuste de los pesos se mantiene operando mientras que se sigue controlando del sistema. El programa se puede ver en el apéndice B.18, p´ agina 198. En la primera étapa se identifica al sistema durante veinte épocas, después se aplica la se˜ nal de control y se deja operando el algoritmo de ajuste de los pesos. La se˜ nal de referencia utilizada es: r(k + 1) = 0.5 + 0.25 sen( – JMFA –

2πk ). 50

(4.65) 109




1.2

8

1

x 10


−3

6

0.8

4

0.6 2 0.4 0

0.2

−2

0 −0.2

0

10

20

30

40

50 (a)

60

70

80

90

100


1.2

−4

0

10

20

40

50 (b)

60

70

80

90

100

80

90

100


−5

2

30

x 10

1.8

1

1.6 0.8

1.4

0.6

1.2

0.4

1 0.8

0.2

0.6 0 −0.2

0.4 0

10

20

30

40

50 (c)

60

70

80

90

100

0.2

0

10

20

30

40

50 (d)

60

70

Control Adaptable Indirecto –Control . Se presenta el comportamiento del control . En (a), la l´ınea por trazos es la referencia, r(k) y la l´ınea continua es la respuesta del sistema controlado, y(k). En (b) es el error de control, ec(k). En (c) se presenta la señal de control, uc(k) y en (d) se presenta el valor medio cuadratico del error de control. ................................................................................................................. Figura 4.14:

y se simula durante quinientas iteraciones. En la figura 4.15. a están las gráficas del seguimiento de la referencia, en donde la l´ınea por trazos es la referencia, r(k), y la l´ınea continua es la respuesta de la planta. La figura 4.15. b es el error de control. En figura 4.15. c se muestra la se˜ nal de control aplicada al sistema, y en figura 4.15. d es el valor medio cuadratico del error de control. 

110

– JMFA –




1.4 1.2

0.1

1

0

0.8

−0.1

0.6

−0.2

0.4

−0.3

0.2

−0.4

0

0

50

100

1 50

2 00

250 (a)

30 0

350

4 00

450

500


0.7


0.2

−0.5

0

50

10 0

150

200

25 0 (b)

30 0

35 0

400

4 50

500

400

45 0

500


0.025

0.6 0.02 0.5 0.015

0.4 0.3

0.01

0.2 0.005 0.1 0

0

50

100

15 0

200

2 50 (c)

300

35 0

40 0

450

50 0

0

0

50

100

150

200

25 0 (d)

300

3 50

Control Adaptable Indirecto –En l´ınea ınea . Se presenta el comportamiento del control . En (a) Se observa como la respuesta de la planta, y (k ), converge con la señal nal de referencia, r(k), En (b) est´ a el error de control, ec ec((k ). En (c) se prese presenta nta el con control trol aplicado al sistem sistema, a, uc uc((k), y en (d) es el valor medio cuadratico del error de control. ................................................................................................................. Figura 4.15:

– JMFA –

111


4.4.2. 4.4. 2.


Control Con trol Adapt Adaptable able Dire Directo, cto, [16]

El control adaptable directo no hace una estimación de la l a dinámica amica de la planta. planta . En vez ve z de esto, e sto, se diseña un algoritmo que busque un controlador que force a un error de seguimiento pequeño. no. En el disenõ se considera un tipo de sistemas más as general que el usado para el control adaptable indirecto. Se conserva la suposici suposici´ón on de que se conoce a r(k + 1). 1). Y en lugar de suponer que existe de forma explicita un modelo del sistema no lineal se requiere que exista una señal señal de control: u∗ [v(k ), r(k + 1)] tal que la dinámica amica del error: e(k + d) = r(k + 1) y (k + 1) pueda expresarse como:

−

e(k + 1) =

−ψ [v(k)] [u(k) − u∗(k)] + ν (k),

(4.66)

en donde ψ () es tal que: 0 < ψ0

≤ |ψ [v(k)] ≤ ψ1 ,

(4.67)

en donde ψ0 y ψ1 son constantes conocidas relacionandas a la dinámica amica de la planta. Y ν () () es una función on a cotada por la constante :

V

sup ν (k ) k

(4.68)

| ≤ V .

|

Entonces los sistemas en los cuales su ecuación de error cumpla con (4.66) entra en los sistemas donde se puede aplicar el control adaptable directo. Usando el mismo vector v() (4.20) (4.20),, y el siste sistema ma (4.21): y (k + 1) = α [v(k )] + β β [[v(k)] u(k ). Y con la suposición on que la función on β () () satisface: 0 < β 0

≤ β β [[v(k)] ≤ β 1 < ∞,

(4.69)

se usa: β 0 β [[v(k )] para asegurar la existencia de una ley de control por abajo de la función β (), β (), y el parámetro amet ro β 1 especifica una restricción on sobre el algoritmo de actualización de la ganancia de control.

≤

Para esta clase de plantas, la ley de control: u∗ [v(k), r(k + 1)] =

r(k + 1) α [v(k )] , β [[v(k )] β

−

(4.70)

existe si la función on β () () es acotada y diferente de cero. Con esta elección on para el control y usando u∗ en la planta: e(k + 1) 1) = r(k + 1) y (k + 1) = r(k + 1) α [v(k )] β β [[v(k )] u(k ), = β β [[v(k )] u∗ (k ) β β [[v(k)] u∗(k), = β β [[v(k)] [u(k ) u∗ (k )] ,

− −

−

− −

(4.71) (4.72) (4.73) (4.74)

−

de la ecuación on anterior, y considerando la expresión on (4.66), en donde: ψ [v(k )] = β β [[v(k)] )],, ψ0 = β 0 ,ψ1 = β 1 y ν (k) = 0; de lo anterior se concluye que este tipo de plantas admiten un control adaptable directo. La ecuación on de error e(k + 1) además as de ser una u na medida med ida del error de seguime seguimento; nto; tambi´ tamb ién en lo es de la diferencia dife rencia entre el control control utili utilizado zado del ideal ideal:: u∗ . Para obtener la dinámica amica del error se expresa el control ideal u∗ de la siguiente forma: u∗ [v(k), r(k + 1)] = ud [v(k ), r(k + 1)] + uc (k ),

(4.75)

en donde uc () y ud () representan la parte conocida y desconocida, respectivamente, de la señal de control ideal. El componente uc () no es indispensable, as as´ ´ı que puede prescindirse de él, el, es decir: uc (k ) = 0, para todo k 0. Pero en

≥

112

– JMFA –



Señal de Control Nominal

Componentes del control directo. directo. En el control adaptable directo se puede aprovechar la señal nal de control nominal de un controlador existente y agregar únicamente el componente adaptable. ........................................................ Figura 4.16:

uc(k)

Señal de Control Adaptable ud(k) +

u*(k)

+

algunas aplicaciones es conveniente incluir el termino uc . De forma que si se conoce que existe un controlador que trabaja razonablemente bien en la zona de operación nominal n ominal del sistema éste este puede incluirse como el termino uc () y la otra parte del control puede ser una red neural que se vaya sintonizando para corregir las deficiencias del control. Se puede representar el control u∗ () como: u∗ (k ) = θd∗ T φd [v(k), r(k + 1)] + uc (k ) + ωd (k ).

(4.76)

Donde: θd∗

= arg m´ın

θ ∈Ωd



sup v∈Sx ,r ,r∈S ∈Sr

θdT φd

|

[v(k ), r(k + 1)]

|

− uc(v, r)

,

(4.77)

en donde Ωd es el conjunto conexo de los controladores aceptables, v es el espacio en el cual los estados del sistema est´ an, y r es el espacio en el cual la señal de referencia se desenvuelve (se hace la suposición que la señal an, nal de referencia r() es acotada).

S

S

El contr control ol estim estimado ado varia del contro controll ideal (4.49), (4.49), este se repr represent esentar ar por la exp expresi´ resión: on: u(k) = θdT (k )φd [v(k ), r(k + 1)] + uc (k ),

(4.78)

en donde el vector de parámetros ametros θd () es actualizado por el algoritmo y de manera que θd (k ) Si se define el vector de error en los parámetros ametros como: θ˜d (k ) = θd (k)

∈ Ωd.

− θd∗,

(4.79)

entoncess la dinámica entonce amica del error: e(k + 1) = r(k + 1)

− y(k + 1) se expresa como: e(k + 1) 1) = −ψ [v(k)] [u(k ) − u∗ (k )] + ν (k ), T = −ψ [v(l)] [θd (k) − θd∗ ] φd [v(k ), r(k + 1)] , −ωd (k ) + ν (k) e(k + 1) 1) = −ψ [v(k)] θ˜dT (k)φd [v(k), r(k + 1)] + ψ [v(k )] ωd (k) + ν (k ), ≤ |ωd(k)| < W d. Se su supon ponee qu quee se pu pued edee de defin finir ir a W d , tal que si |θ˜d |2 es aco acotad tada, a, y





en donde donde 0 0 ωd (k ) < W d para toda k .

≤|

|

– JMFA –

(4.80) (4.81) (4.82) entonc ent onces es

113



Ejemplo 4.5 (Control Adaptable Directo) En este ejemplo se utiliza en control adaptable directo para manejar el sistema no lineal (4.53): y (k + 1) = 0. 0.5

y (k ) + [1 + y (k )] u(k ). 1 + y (k )2

(4.83)

por lo visto en este secci´ on, este sistema puede ser manejado por una ley de control del tipo (4.75): u(k ) = ud [v(k ), r(k + 1)] + uc (k ),

(4.84)

en don donde de uc (k ) pu pued edee te tene ners rse, e, o no no.. Y lo qu quee se pr propo opone ne es us usar ar un unaa re red d ne neur uron onal al mu mult ltic icap apaa pa para ra el te term rmin ino: o: ud [v(k ), r(k + d)] )].. De forma que la ley de control tiene la forma: u(k ) = θdT φd [y (k ), r(k + 1)] + uc (k ) + ωd (k ),

(4.85)

en el primer caso se considera que el termino uc (k) es cero cero.. El E l progr pr ograma ama está en e n el péndice end ice B.19 B.19,, p´ p ágina agin a 203. 2 03. Para este caso se pide que el sistema siga la siguiente se˜ nal de referencia: r(k + 1) = 0. 0.5 + 0. 0 .25 sen sen(2 (2kπ/ kπ/50) 50)..

(4.86)

La red neuronal es de tipo multicapa y con dos entradas, diez nodos ocultos en una segunda capa, otros diez en otra capa y un nodo se salida de la red, 2, 10 10,, 10 10,, 1 . El vector de entrada es: [y (k ), r(k + 1)]. 1)]. La costantes de aprendizaje son: α = 0.005 y η = 0.05 05.. El algoritmo de ajuste de los pesos utiliza la se˜ nal de error: e(k + 1) = r(k + 1) y (k + 1). 1).

{

}

−

El sistem sistemaa se simul simulaa duran durante te 250 repeti repeticione cioness y 100 épocas. epocas. En la figura 4.17 se presentan los resultados en la primera época epo ca de d e entrenami entrenamiento. ento. Los result resultados ados en la prim primera era época de entre entrenamie namiento nto sirve sirven n para resaltar resaltar el compo comportam rtamiento iento inicial del contr control, ol, observando la forma progresiva en la que trabaja. En la figura 4.17. a se grafica la referencia r() (l (l´ ´ınea por trazos) y la respuesta de la planta y () (l (l´´ınea continua), notar que la planta inicia a seguir a la referencia. En la figura 4.17. b est´ a el error de control, en figura 4.17. c esta la se˜ nal de control y la figura 4.17. d muestra el valor medio cuadratico del error de seguimiento. Y en la figura 4.18 se muestran los resultados en la época epoca cien de entrenamiento. En donde se puede observar como la red neuronal ha podido controlar al sistema. En la figura 4.18. a está la gráfica afica del seguimi seguimiento, ento, se observ observaa que el sistema se asemeja mucho a su comportamiento deseado. En la figura 4.18. b está el error de seg seguime uimento, nto, la gráfica afica de la se˜ nal de contro controll está en figura 4.18. c, y su valor medio cuadratico está en la figura 4.18. d. 

114

– JMFA –



Control Adaptable Directo

0.8


1

Época=1

Época=1

0.7

0.8

0.6 0.6

0.5 0.4

0.4

0.3

0.2

0.2

0

0.1 −0.2

0 −0.1

0

50

100

150

200

250

−0.4

0

50

10 0

(a)


0.25

150

2 00

250

200

2 50

(b)


0.25

Época=1

Época=1

0.2 0.2 0.15 0.15

0.1 0.05

0.1

0 0.05 −0.05 −0.1

0

50

10 0

150

2 00

250

0

0

(c)

50

100

15 0 (d)

´ Control Adaptable Indirecto – Epoca 1. Se presenta el comportamiento del Control Adaptable Directo 1. al inicio del ent entrenam renamient iento. o. En (a) Se observa la respuesta de la planta, y (k ) comparada con la referencia r, en la primera época epoca de entrenamien entrenamiento to de la red de control, En (b) est´ a el error de control, e(k ). En (c) se presenta el control aplicado al sistema, u(k), y en (d) es el valor medio cuadratico del error de control. ................................................................................................................. Figura 4.17:

– JMFA –

115




0.8


0.3

Época=100

Época=100

0.7

0.25

0.6

0.2

0.5 0.15 0.4 0.1 0.3 0.05

0.2

0

0.1 0

0

50

100

150

200

250

−0.05

0

50

100

(a)


0.35

150

200

250

(b)


35 Época=100

Época=100

30

0.3 25 0.25

20 15

0.2

10 0.15 5 0.1

0

50

100

150

200

250

0

0

(c)

50

100

150

200

250

(d)

´ Control Adaptable Indirecto – Epoca 100 . Se presenta el comportamiento del Control Adaptable Directo al final del entrenamiento. En (a) Se observa como la respuesta de la planta, y(k), converge con la señal de referencia, r(k), En (b) est´ a el error de control, e(k). En (c) se presenta el control aplicado al sistema, u(k), y en (d) es el valor medio cuadratico del error de control. ................................................................................................................. Figura 4.18:

116

– JMFA –


4.5.

4.5. Control por Modelo de Referencia

Control por Modelo de Referencia

El esquema de control por modelo de referencia utiliza la salida de un sistema din´ amico en vez de una sucesión de valores: y ∗ (0), y ∗(1),... para establecer el comportamiento que se requiere para el sistema controlado. El sistema de control tiene el objetivo de hacer que la salida del sistema controlado converja a los valores deseados, pero el control por modelo de referencia elimina la relativa arbitrariedad de la selección de la sucesión de valores y ∗ al establecer que se produce como respuesta de otro sistema ( figura 4.19). Se puede interpretar al modelo de referencia como un prefiltro de la señal de mando y ∗ . Durante el diseño se aprovecha la estructura del modelo de referencia para construir el sistema de control.

{

}

r(k)

y*(k)

y*(k)

G(k)

Valores deseados

Sistema de Referencia

Control por modelo de Referencia. En el control por modelo de referencia se sustituye la sucesión de valores deseados por la respuesta de un sistema dinámico conocido. ................................................................................................................. Figura 4.19:

El modelo de referencia es un sistema de estructura conocida, al diseñarse se toman en cuenta las especificaciones de comportamiento que se desean para el sistema controlado. Además este sistema se considera estable y no debe ser más rápido que el sistema controlado, es decir, el modelo de referencia debe a lo más tener el mismo retardo del sistema controlado (tener grado relativo igual o mayor).

4.5.1.

Control por modelo de referencia: Enfoque neuronal [28]

El tipo de sistemas que se consideran son los representados en variables de estado y de una entrada una salida: x(k + 1) = f [x(k), u(k)] , y(k) = h [x(k)] , en donde x Rn es el vector de variables de estado, u R es la entrada al sistema y y funciones f : Rn R Rn y h : Rn Rn son análiticas.

∈

× →

→

∈

(4.87) (4.88)

∈ R es la variable de salida. Las

Un concepto importante en los sistemas de tipo (4.87-4.88) es el llamado grado relativo [41]. En forma básica corresponde al retardo de la variable de entrada u(k) para que afecte a la salida del sistema. A modo de ejemplo considérese el sistema (4.87-4.88), entonces al incrementar el ´ındice de tiempo k, se generan las siguientes funciones hl [x(k)]: y(k) = h [x(k)] = h0 [x(k)] , y(k + 1) = h0 [x(k + 1)] = h1 [x(k)] , .. . y(k + l) = hl−1 [x(k + 1)] = hl [x(k)] .

(4.89) (4.90) (4.91) (4.92)

entonces si tiene el sistema grado relativo r las funciones anteriores cumplen lo siguiente: ∂h 0 [x(k)] ∂u(k) ∂h 1 [x(k)] ∂u(k)

– JMFA –

≡ 0,

(4.93)

≡ 0,

(4.94)

.. .

(4.95) 117


Cap´ıtulo 4. Control de Sistemas ∂h t−1 [f (x, u)] = 0. ∂u(k)

(4.96)



(4.97) As´ı que t es el número más pequeño de per´ıodos de muestreo después de cual la variable manipulable afecta a la salida y. Entonces es posible hallar la relación entre las salidas en el futuro y el estado actual por medio de las expresiones: y(k) = h0 [x(k)] , y(k + 1) = h1 [x(k)] , .. . y(k + t 1) = ht−1 [x(k)] .

(4.98) (4.99) (4.100) (4.101)

−

Y en particular, la relación entre la salida y(k + t), el estado y entrada actuales es: y(k + t) = ht−1 [f (x(k), u(k))]

≡ g [x(k), u(k)] .

(4.102)

es decir que existe una función g que relaciona al estado actual x(k) y la entrada u(k) para obtener la salida futura y(k + t). Se define la siguiente variable v(k) como: v(k) = g [x(k), u(k)] .

(4.103)

y(k + t) = v(k)

(4.104)

entonces:

es decir, que se obtiene una transformación lineal del sistema original.

u(k)

x(k+1) f(x, u)

y(k)

x(k) z

-1

h(x)

x(k) u(k)

g(x,u)

v(k)

(a)

y(k+r)

1' z

-1

t '

y(k)

-1

z

(b) u(k)

α(x,v)

x(k) v(k)

(c)

Grado relativo: linealizaci´ on . a) Sistema en representación en variables de estado. b) Transformaci´ on lineal del sistema. c) A través del teorema de la funci´ on implic´ıta se obtiene una solución para el sistema (Controlador). ................................................................................................................. Figura 4.20:

Además ya que ∂g(x,u) = 0 para todo punto (x, u) en un conjunto abierto y denso del espacio Rn u del la función implicita, existe una única solución de la ecuacuación (4.103):



u(k) = α [x(k), v(k)] , n en donde ∂α ∂v = 0 para todo punto (x, v) del espacio R sistema original.



× R. Por el teorema (4.105)

× R. Notar que esta funcin α es el control que se aplica al

La implementación del control por modelo de referencia se basa en un sistema usado como patrón de referencia: X m (k + 1) = Axm (k) + br(k) ym (k) = cT xm (k) 118

– JMFA –

(4.106) (4.107)

Cap´ıtulo 4. Control de Sistemas en donde xm

∈ Rn

m

,r


∈ R y y ∈ R son los estados, la entrada y la salida del modelo.

Ahora bien, el objetivo del control es encontrar una señal de retroalimentación que haga que la salida del sistema y(k) siga de forma asintótica a la del modelo ym (k) generada por la entrada r(k). En la figura 4.20 se pueden ver que es posible transformar al sistema (4.87-4.88) a uno lineal por medio de la función v(k) = g [x(k), u(k)]: el sistema lineal que se obtiene es: w1 (k) = y(k) w2 (k) = y(k + 1) .. .

(4.108) (4.109)

wt (k) = y(k + t 1) v(k) = y(k + t)

(4.111) (4.112)

(4.110)

−

Desde este sistema lineal es ya muy sencillo hallar el control para el modelo de referencia, basta con construir la siguiente función de error: t−1

ym (k + t) +



β i [ym (k

− i) − y(k − i)] = y(k + t) e(k + t) + β t−1 e(k + t − 1) + · · · + β 0 e(k) = 0,

(4.113)

i=0

(4.114)

en donde los coeficientes β se seleccionan con tal que las ra´ıces de (4.113) estén dentro del c´ırculo unitario, es decir que sea estable. Y por lo tanto e(k)k→∞ 0,

→

Notar que v(k):

t−1

v(k) = ym (k + t) +



β i [ym (k

i=0

− i) − y(k − i)] ,

(4.115)

de manera que lo que falta es hallar a la función de transformación α [x(k), v(k)] que es la que genera la señal de control u(k) que es la que se usa para el sistema (4.87-4.88). Controlador

r(k)

v(k)

α(x,v)

g(x,v)

u(k)

y(k) Planta

e(k) xm(k)

+

x(k)

Modelo de Referencia

Diagrama a bloques del Control por Modelo de Referencia. En esta figura se muestran los bloques componentes del control por modelo d referencia. La función g() es la que construye la señal de control v(k) para el sistema linealizado. La función α transforma a la se˜ nal de control para ser aplicada a la Planta. ............................................. Figura 4.21:

-

ym(k)

En vez de buscar la expresión para la función α(), es tambi´ en posible obtener a v(k) en términos de la planta (4.87-4.88) y del modelo de referencia (4.106-4.106) Para lo anterior considérese que el grado relativo del modelo de referencia es el mismo que el de la planta. De forma que al hallar las expresiones para la respuesta en función de los estados xx (k) y la entrada r(k), estás son: ym (k + i) = cT Ai xm (k), para todo 0 ym (k + t) = cT At xm (k) + cT At−1 br(k)

≤ i ≤t−1

(4.116) (4.117)

Entonces al sustituir los los valores para y(k + i) y ym (k +i) en (4.115). De modo que la ley de control es la siguiente: t−1

v(k) = ym (k + t) +



β i ym (k

i=0



− i) − hi [f (x, u)]

– JMFA –

(4.118)

119


Cap´ıtulo 4. Control de Sistemas t−1

T

t−1

=c A

T

t

br(k) + c A xm (k) +



β i cT Ai xm (k)

i=0



− hi [f (x, u)]

,

(4.119)

La tranformación en la representación del sistema en la forma adecuada para utilizar lo antes expuesto se explica en el apéndice G. Por lo visto anteriormente, las funciones g() y α() son la base del control por modelo de referencia. Lo siguiente es establecer el esquema de control utilizando redes neuronales. La capacidad de las redes neuronales para aproximar funciones ya ha sido comentada. As´ı que las funciones g() y α() se sustituyen por las siguienres redes neuronales: u ˆ(k) = α ˆ (x(k), v(k), ω1 )

(4.120)

yˆ(k + t) = gˆ (x(k), u ˆ(k), ω2 )

(4.121)

en donde ω1 y ω2 son los pesos de las redes neuronales. La primer red neuronal aproxima a la función α y esta aproximación se llama α ˆ ; la segunda red neuronal aproxima la función g y se le llama gˆ.

x(k) r(k)

Control e n t r a d a s

RN pesos

x(k)

s a l i d a s

u(k)

xm(k)

x(k)

p e s o s

y(k)

Planta

Ajuste

s a d a r t n e

Identificador e n t r a d a s

e1(k) +

RN pesos

s a l i d a s

y*(k)

y*(k)

p e s o s

e (k)

Ajuste

ym(k) Modelo de Referencia

s 2 a d a r t n e

+

-

y(k)

Diagrama a bloques del Control por Modelo de Referencia -Redes Neuronales. . ................................................................................................................. Figura 4.22:

Las variables de entrada a la redes neuronales se pueden obtener al observar la ecuación 4.119. De manera que las redes neuronales usan los siguientes argumentos: u ˆ(k) = α ˆ (x(k), xm (k), r(k), ω1 ) yˆ(k) = gˆ (x(k t), u ˆ(k t), ω2 ) ,

−

−

(4.122) (4.123)

notar que la primera red neuronal es quien genera la señal de control, mientras que la segunda red es un modelo de indentificaci´ on. Los errores usados para el ajuste de la red neuronal son: e1 (k) = y ∗ (k) e2 (k) = y ∗ (k)

− ym(k) − y(k)

Error de Control Error de Identificaci´ on

(4.124) (4.125)

La convergencia de entre las variables de salida de planta y(k) y del modelo de referencia ym (s) se obtiene cuando: l´ım e1 (k) = 0 y l´ım e2 (k) = 0,

k−→∞

k−→∞

120

– JMFA –

(4.126) (4.127)



y al considerar la siguiente desigualdad:

|y(k) − ym(k)| ≤ |y∗(k) − ym(k)| + |y∗(k) − y(k)| = |e1(k)| + |e2(k)|, cuando se cumplen (4.124) y (4.125), entonces l´ımk→∞ (y(k) − ym (k)) = 0. 4.5.2.

(4.128)

Control por modelo de referencia: Sistemas lineales

El control por modelo de referencia para sistemas discretos lineales de una entrada y una salida se detalla en [38]. Sea el sistema lineal discreto a controlar: A(q−1 )y(k) = B(q−1 )u(k),

(4.129)

en donde las funciones A(q −1 ) y B(q −1 ) están definidas como los polinomios: A(q −1 ) = 1 + a1 q −1 + a2 q −2 + + an q −n B(q −1 ) = q −t (b0 + b1 q−1 + b2 q−2 + + bn q−n1 ) = q −t B ′ (q−1 ).

·· ·

(4.130) (4.131) (4.132)

···

El sistema (4.129) puede expresarse en su forma predictor, es decir, con la estructura: y(k + t) = α(q−1 )y(k) + β (q−1 )u(k),

(4.133)

en donde: α(q −1 ) = α0 + α1 q−1 + β (q −1 ) = β 0 + β 1 q −1 +

· · · + αn−1q−(n−1) ·· · + β n +t−1q−(n +t−1).

(4.134) (4.135)

1

1

Para pasar de la forma (4.129) a la forma predictor (4.133), se debe hallar un polinomio F (q−1 ) tal que permita factorizar el operador retardo q−t . Para factorizar el retardo se necesita que el producto: F (q −1 )A(q−1 ) = I q−t G(q−1 ), en donde G(q −1 ) es otro polinomio. De la forma siguiente:

−

F (q −1 )A(q−1 )y(k) = q−t F (q−1 )B ′ (q−1 )u(k), I q−t G(q−1 )y(k) = q−t F (q−1 )B ′ (q−1 )u(k)

−

(4.136) (4.137)

 



y(k) = q −t G(q −1 )y(k) + F (q−1 )B ′ (q−1 )u(k) y(k + t) = G(q−1 )y(k) + F (q −1 )B ′ (q −1 )u(k) y(k + t) = α(q −1 )y(k) + β (q −1 )u(k).

(4.138) (4.139) (4.140)

Es claro que el producto F (q −1 )A(q−1 ) es de orden

−(n + t − 1), as´ı que el polinomio F (q−1) debe tener orden −t + 1: F (q−1 ) = I + f 1 q−1 + · ·· + f t−1 q−t+1 . (4.141)

Y el polinomio G(q−1 ) es de orden

−n + 1: G(q−1 ) = G0 + G1 q−1 +

· · · + Gn−1q−n+1.

(4.142)

Ejemplo 4.6 (Llevar el sistema a su forma predictor) Considere el sistema lineal discreto:









1 + 0.9q −1 + 0.8q−2 + 0.7q−3 + y(k) = q−2 1 + 0.9q−1 u(k),

es decir, es un sistema lineal de orden n = 3 y con un retardo en la entrada t = 2.

(4.143)

Para llevarlo a su forma predictor se necesitan hallar los polinomios: F (q−1 ) = 1 + f 1 q −1 , G(q−1 ) = g0 + g1 q −1 + g2 q−2 . – JMFA –

(4.144) (4.145) 121



Multiplicando a (4.143) por F (q−1 ):



1 + f 1 q−1









1 + 0.9q−1 + 0.8q−2 + 0.7q−3 + y(k) = q −2 F (q −1 ) 1 + 0.9q−1 u(k) (4.146)

1 + (0.9 + f 1 )q−1 + (0.8 + 0.9f 1 )q−2 + (0.7 + 0.8f 1 )q−3 + 0.7f 1 q−1 =

(4.147)

La forma factorizada de (4.147) debe ser:





1 + q −2 g0 + g1 q−1 + g2 q −2







y(k) = q −2 F (q−1 ) 1 + 0.9q −1 u(k)

Basta ahora igualar los coeficientes de las potencias para encontrar su valor:

(4.148)

0.9 + f 1 = 0

(4.149)

0.8 + 0.9f 1 = g0 0.7 + 0.8f 1 = g1 0.7f 1 = g2 .

(4.150) (4.151) (4.152)

Por lo tanto: f 1 g0 g1 g2

= 0.9 = 0.8 + 0.9f 1 = 0.01 = 0.7 + 0.8f 1 = 0.02 = 0.7f 1 = 0.63.

−

−

(4.153) (4.154) (4.155) (4.156)

− −

Entonces el sistema (4.147) en su forma predictor es:

 −



y(k) = q−2 G(q−1 )y(k) + F (q −1 )B ′ (q−1 )u(k) , y(k + 2) =

0.01

− 0.02q−1 − 0.63q−2



y(k) + (1

(4.157)

− 0.81q−1)u(k).

(4.158) 

Para deducir el control para seguir el modelo de referencia se utiliza el hecho de que el sistema puede expresarse en su forma predictor. Se define primero la forma del modelo de referencia. La función de transferencia del modelo de referencia es conocida, su estructura general es la siguiente: E (q −1 )y ∗ (k) = q−tm gH (q−1 )r(k),

(4.159)

la función de transferencia del sistema es: G(z) = z −tm gH (z −1 )/E (z −1 ), donde g es una ganancia y las funciones H (z −1 ) y E (z −1 ) son: H (z −1 ) = h0 + h1 z −1 + E (z −1 ) = e0 + e1 z −1 +

· · · + hlz−l; h0 = 1, · · · + elz−l; e0 = 1.

(4.160) (4.161)

Se imponen las siguientes restricciones sobre el modelo de referencia (4.159): 1. E (z −1 ) es estable (sin ceros en z

| | ≥ 1)

2. El retardo del modelo de referencia tm debe ser mayor o igual al retardo del sistema (para simplificar se pueden considerar iguales). El control por modelo de referencia en principio puede verse como un sistema que es manejado con el fin de seguir el comportamiento de un sistema modelo. La información disponible para realizar el control es la señal externa r(k) y una secuencia histórica de valores de salida del sistema y(k), y(k 1), . . . . En este punto el problema se reduce a hallar el control que lleve a la salida del sistema y(k) a ser igual a y(k)∗ que es la salida del modelo de referencia. (ver figura 4.23. Izq.) Visto as´ı, se puede usar el valor de la señal del modelo y ∗ (k) para evaluar el error se seguimiento del on 4.3). Sin embargo, esto no aprovecha la función modelo e(k) = y(k) y ∗ (k), y utilizar el control inverso (ver secci´

{

−

122

– JMFA –

−

}



u(k) Controlador

y(k)

Planta

u(k) Controlador

y(k)

Planta

y*(k+d) ei(k)

y*(k)

r(k)

r(k)

+

G(k)

z

G'(k)

-


-d

i e(k)

y*(k) +

-


(a)

(b)

Control por modelo de Referencia. Dos esquemas de control por modelo de referencia. (a) Modelo de referencia en paralelo al sistema de control. (b) Modelo de referencia en serie al sistema de control. ................................................................................................................. Figura 4.23:

de transferencia del modelo en el diseño del controlador. Para ello se toma la señal y ∗(k + t) del modelo en su forma predictor para alimentar al controlador (ver figura 4.23. Der.) Notar que ahora el modelo queda en serie con el sistema de control. Partiendo de que es posible expresar el sistema (4.129) a su forma predictor (4.133), se puede modificar un poco y establecer que el sistema se transforma de la siguiente forma: E (q −1 )y(k + t) = α(q−1 )y(t) + β (q−1 )u(k),

(4.162)

en donde: α(q−1 ) = G(q −1 ), Siendo F (q−1 ) y G(q−1 ) son polinomios de orden t E (q−1 )

β (q−1 ) = F (q−1 )B ′ (q−1 ).

(4.163)

− 1, n − 1, respectivamente que satisfacen:

− q−tG(q−1) = F (q−1)A(q−1 ).

(4.164)

Al transformar el sistema (4.129) a la forma (4.162). Esposible hallar el control por modelo de referencia:

Proposici´ on 4.3 (Control por modelo de referencia) Sea el sistema: A(q−1 )y(k) = B(q−1 )u(k).

(4.165)

E (q −1 )y ∗ (k) = q−tm gH (q−1 )r(k).

(4.166)

Y el modelo de referencia:

El sistema (4.165) puede transformarse en la forma: E (q −1 )y(k + t) = α(q−1 )y(k) + β (q−1 )u(k).

(4.167)

α(q−1 )y(k) + β (q−1 )u(k) = gH (q −1 )r(k)

(4.168)

E (q −1 )y(k + t) = gH (q −1 )r(k)

(4.169)

Entonces con la ley de control:

el sistema de lazo cerrado es:



– JMFA –

123



Ejemplo 4.7 (Control por modelo de referencia de un motor de CD.) Considere que el motor est´ a regido por la siguiente expresi´ on: ωm (k + 1) =

−295.803 × 10−3ωm(k) + 703.648 × 10−3ωm(k − 1) +10607.511 × 10−3 [ea (k) + ea (k − 1)] . [rad/s]

(4.170)

Reacomodando:



1 + 295.803

× 10−3q−1 − 703.648 × 10−3q−2



ωm (k) = q

−1

10607.511

(4.171)

× 10

−3

  1+q

−1

ea (k),

[rad/s]

(4.172)

es decir, es un sistema lineal discreto de orden n = 2 y con un retardo en la entrada t = 1.

El objetivo de control es que el sistema (4.172) siga el comportamiento del siguiente modelo de referencia: y ∗ (z) =

H (z) 0.9754 = . E (z) z 0.9512

(4.173)

0.9754q −1 )= 1 0.9512q−1

(4.174)

−

reacomodando y usando el operador retardo q−1 : ∗

y (q

−1

−

as´ı que el modelo de referencia es de orden nm = 1, y retardo tm = 1. El modelo es estable y tiene el mismo retardo que el sistema a controlar ( t = tm = 1) de modo que cumple las dos condiciones solicitadas para el dise˜ no del control por modelo de referencia. Entonces se necesita hallar el polinomio F (q−1 ) tal que:



  

F (q −1 ) 1 + 295.803 f 0

× 10−3q−1 − 703.648 × 10−3q−2 1 + 295.803 × 10−3 q−1 − 703.648 × 10−3 q −2 E (q −1 ) − q−1 G(q −1 ) (1 − 0.9512q−1) − q−1 (g0 + g1q −1 ) (1 − (0.9512 + g0 )q −1 − g1 q−2

 



ωm = q−1 F (q−1 )10607.511 ωm =

× 10−3

 

1 + q−1 ea (k)

ωm = ωm = ωm = (4.175)

Por lo tanto: f 0 = 1, 0.9512 + g0 = 295.803 103 f 0 , g1 = 703.648 10−3 f 0 ,

−

de modo que: f 0 = 1, g0 =

×

(4.176) (4.177) (4.178)

×

−1.2470,g1 = 703.648 × 10−3.

Usando lo dicho en la Propocisi´ on.4.3, la ley de control por modelo de referencia es: G(q −1 )ω(k) + F (q−1 )B ′ (q−1 )ea (k) = E (q−1 )r(q−1 )

(4.179)

es decir: ea(k) =

0.9754 r(k) 10607.511 10−3 [1 + q−1 ]

×

−3 −1

1.2470 + 703.648 × 10 q − −10607.511 × 10−3 [1 + q−1]

ω(k)

(4.180)

En la figura 4.24, pueden verse las respuestas del motor sin control, con el control (4.180) compar´ andolo con el modelo de referencia (Programa B.20, p´ gina 205) . 

124

– JMFA –



Comportamiento libre del Motor

40

40

35

Comportamiento del Modelo de Referencia

35

ω(k) [rad/seg] 30

30

25

25

20

20

15

15

10

10 e(k)=1 [Volt]

5

r(k)

u(k)=1

5

0

0 Seg.

−5 −0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Seg. 0.6

−5 −0.1

0

0.1

0.2

(a)

Control por Modelo de Referencia

40

0.7

30

0.6

25

0.5 r(k),ω(k)

0.5

0.6

u(k)

0.4

15

0.3

10

0.2

5

0.1 0

0 Seg. −5 −0.1

0.4

Señal de Control

0.8

35

20

0.3 (b)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

−0.1 −0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

(c)

(c)

Control por Modelo de Referencia –Motor de CC.. Se presenta el comportamiento del Control por Modelo de Referencia para un motor de CC. En (a) se presenta el comportamiento del modelo del motor para una entrada constante. En (b) Se presenta el comportamiento deseado o modelo de referencia. En (c) es la gráfica de comparación entre la respuesta del modelo y la del motor de CC. controlado. (d) Es la señal de control aplicada al motor. ................................................................................................................. Figura 4.24:

– JMFA –

125

4.6. Control por Modelo Interno, [58]

4.6.


Control por Modelo Interno, [58]

El control por modelo interno se ha convertido en una alternativa en los sistemas de control de procesos debido a su relativamente fácil diseño, su capacidad para el rechazo de perturbaciones y sus caracter´ısticas de robustes. Al obtener un modelo del sistema a controlar se puede aprovechar e´ste para incluirlo dentro del sistema de control. Es decir: que el control puede lograrse al incluir dentro del sistema de control la representaci´ on del sistema a ser controlado , lo anterior se conoce como el principio del modelo interno En principio si se tiene un sistema y p (z) = P (z)u(z) que se desea controlar, se considera que puede existir un controlador de la forma u(z) = C (z)r(z) tal que la respuesta del sistema y(z) siga a la señal de referencia r(z): y p(z) = P (z)u(z) u(z) = C (z)r(z) y p(z) = P (z)C (z)r(z)

Planta Controlador Sistema de Control

(4.181) (4.182) (4.183)

Para que el sistema de control cumpla con el objetivo bastar´ıa que el Controlador sea igual al modelo inverso de la planta, esto es: C (z) = P −1 (z). Sin embargo, para que esto funcione requiere de dos condiciones: que el modelo del sistema y p (z) = P (z)u(z) sea tan exacto como la precisión solicitada y que contemple todos los efectos que intervienen durante su operación. Y la otra, es que el modelo inverso del sistema P −1 (z) sea un sistema estable , propio y causal , para que sea realizable su diseño como controlador. Estas dos condiciones muchas veces se oponen, ya que al hacer el modelo del sistema más complejo, har´ıa al mismo tiempo a su modelo inverso mucho m´ as complicado y con gran posibilidad de que no sea realizable. Notar también que el sistema de control (4.183) es de lazo abierto, esto significa que se conf´ıa en la precisión del modelo, y por lo tanto no se necesita de una señal de retroalimentación. La dificultad de cumplir con las condiciones para que un sistema de lazo abierto pueda ser realizable o que tenga el grado de desempeño solicitado hace que un esquema retroalimentado sea una alternativa. Para esto se lleva la respuesta del sistema hacia el controlador, de manera que se forma una señal de error que es igual a la diferencia entre el valor de referencia y la respuesta del sistema. yd (z) = y p (z) + d(z) y p(z) = P (z)u(z) e(z) = r(z) yd (z)

Planta más perturbaci´ on Planta Error

(4.184) (4.185) (4.186)

u(z) = C (z)e(z) P (z)C (z) 1 yd (z) = r(z) + d(z) 1 + P (z)C (z) 1 + P (z)C (z)

Controlador

(4.187)

Sistema de Control

(4.188)

−

en donde d(z) es una entrada de perturbación en la salida del sistema. En el sistema de control (4.188) se incluye la entrada de perturbación d(z) debido a que ahora ya no se exige que el modelo de la planta y p (z) = P (z)u(z) sea exacto. Notar que en el sistema (4.188) la condición para obtener un grado adecuado de rechazo de la perturbación d(z) es que la magnitud de P (z)C (z) sea mucho mayor que uno ( P (z)C (z) >> 1) y la misma condición ayuda a que la salida del sistema yd siga la referencia r(k). Las técnicas para calcular el controlador u(z) = C (z)e(z) son diversas y entre las m´ as usadas en la industria son el control Proporcional (P), Proporcional e Integral (PI), Proporcional Derivativo (PD) y Proporcional Integral Derivativo (PID), as´ı como compensadores de adelanto-retrazo.

|

|

Sin embargo, en este tipo de controladores, aunque es muy útil el modelo del sistema P (z) para sintonizar , el modelo no se integra en el diseño del controlador. Esto es precisamente lo que el control por modelo interno aprovecha. Utiliza la información del modelo de la planta, ll´ amese a este: ym(z) = M (z)u(z) en el diseño del controlador. Pero antes, considere que el sistema de control por modelo interno como una transformación del sistema de control retroalimentado (ver figura 4.25.a). Como primer cambio al sistema retroalimentado convencional se alimentan un par de modelos ym(z) = M (z)u(z) de la planta y p(z) = P (z)u(z) y se restan sus respuestas antes de insertarlas en el lazo de retroalimentación (ver figura 4.25.b), lo anterior no implica ninguna alteración en el comportamiento del sistema de control. El siguiente paso es llevar la respuestas de uno de los modelos de la planta hasta la posición de la señal de error. (ver figura 4.25.c). En el último paso se combinan los bloques del lazo formado por C (z) y M (z) llamándole Q(z). El esquema del control por modelo interno es el de la figura 4.25.d. 126

– JMFA –


r(z)

+-

e(z)

Controlador C(z)

u(z)


Planta P(z)

d(z) y(z) p +

y(z) d

+

r(z)

+-

e(z)

Controlador C(z)

u(z)

Planta P(z)

d(z) y(z) d

y(z) p +

+

y(z) d

y(z) d

Modelo M(z)

Modelo M(z)

ym (z) -

+

+

+

ym(z)

(a)

r(z)

+-

+-

e(z) Controlador C(z)

u(z)

(b)

Planta P(z)

y(z) p

Modelo M(z)

ym(z)

d(z) y(z) d

+

r(z)

+

+-

Compensador u(z) Q(z)

Planta P(z)

d(z) y(z) d

y(z) p +

+

ym (z) Modelo M(z)

-

Modelo M(z)

+

-

+

^

d(z)

(c)

(d)

Control por Modelo Interno. Transformación de un sistema de control retroalimentado convencional a un sistema de control por Modelo Interno. (a) Sistema de control retroalimentado convencional. (b) Inserción del modelo de la Planta M (z) en el lazo de retroalimentación. (c) La respuesta de uno de los modelos de la planta M (z) se lleva a la entrada del controlador C(z). (d) Simplificación del Controlador y del Modelo para formar el controlador Q(z), este es el esquema del control por modelo interno. ................................................................................................................. Figura 4.25:

De modo que las señales que forman al control por modelo interno son: y p(z) = P (z)u(z) ym (z) = M (z)u(z) u(z) = Q(z)e(z) ˆ e(z) = r(z) d(z)

− ˆ d(z) = yd(z) − ym (z)

yd(z) = y p(z) + d(z)

Planta Modelo de Planta Controlador

(4.189) (4.190) (4.191)

Error

(4.192)

Error2 Salida del Sistema

(4.193) (4.194)

Para hallar la función de transferencia del control por modelo interno primero se toma la ecuación (4.194) y se sustituye en la ecuación (4.189): yd (z) = P (z)u(z) + d(z).

(4.195)

Entonces es necesario hallar la relación para u(z) en función de r(z) y d(z). Para esto se usa la ecuación (4.191) y en ella se sustituyen las ecuaciones (4.192) , (4.193) y (4.190)





ˆ − d(z) , u(z) = Q(z) [r(z) − yd (z) + M (z)u(z)] , u(z) = Q(z) r(z)

(4.196) (4.197)

ahora se utiliza la ecuación (4.195) en la ecuación (4.197): u(z) = Q(z) [r(z)

− P (z)u(z) − d(z) + M (z)u(z)] ,

(4.198)

al factorizar y despejar con respecto a u(z): u(z) =

Q(z) 1 + Q(z) [P (z)

− M (z)]

r(z)

Q(z) − 1 + Q(z) [P (z) − M (z)] d(z).

– JMFA –

(4.199) 127



Finalmente se utiliza la ecuación (4.199) en la ecuación (4.195) y reduciendo: P (z)Q(z) 1 Q(z)M (z) r(z) + d(z), 1 + Q(z) [P (z) M (z)] 1 + Q(z) [P (z) M (z)] yd (z) = η r(z) + ǫ d(z). yd (z) =

−

−

−

(4.200)

Se suelen llamar a los términos ǫ y η como sensitividad y sensitividad complementaria. Analizando la ecuación (4.200) cuando ocurre que el modelo impl´ıcito es identico a la Planta, es decir: M (z) = P (z)

(4.201)

Entonces la función de transferencia (4.200) es la siguiente: yd (z) = P (z)Q(z)r(z) + [1

− Q(z)M (z)] d(z),

(4.202)

y basta con tomar al control Q(z) como igual al inverso del modelo interno M (z) para que el sistema siga a la referencia y rechace las pertubaciones ( Q(z) = M −1 (z)). (Notar que para eliminar las perturbación s´ olo se necesita que Q(z) = M −1 (z)) De aqu´ı que el control por modelo interno puede considerarse un caso intermedio con el control de lazo abierto (4.183) y el control en lazo cerrado (4.188), ya que en el control por lazo abierto requiere que el controlador sea el modelo inverso de la planta P (z) con las dificultades que esto implica y que ya se han comentado; y en el caso del control en lazo cerrado, el controlador debe ser tal que la magnitud de P (z)C (z) sea mucho mayor que uno para las frecuencias de operación del sistema de control, pero ya no tiene que estar necesariamente relacionado con el modelo de la planta. Es posible hallar el equivalente en lazo cerrado del control por modelo interno. (ver figura 4.26). El controlador equivalente se obtiene a juntar los bloques que corresponden al controlador Q(z) y del modelo interno M (z). Haciendo esto es f´ acil obtener el control equivalente: u(z) = Q(z) [r(z) + ym (z)] , = Q(z) [r(z) + M (z)u(z)] , = Q(z) [r(z) + M (z)u(z)] , Q(z) u(z) = r(z). 1 Q(z)M (z)

−

(4.203) (4.204) (4.205) (4.206)

De modo que el control equivalente en lazo cerrado es: C eq (z) =

1

−

Q(z) . C (z)M (z)

(4.207)

as´ı mismo de la ecuación (4.207) se puede hallar la relación entre C eq (z) Q(z) =

C eq (z) . 1 + M (z)C eq (z)

(4.208)

Cuando se cumple la condición del modelado perfecto de la planta ( M (z) = P (z)). Se pueden establecer dos condiciones para la estabilidad del control por modelo interno: 1. El sistema (4.202) es estable si y sólo si la planta P (z) y el Controlador Q(z) son también estables. 2. Si P (z) es estable y Q(z) = P (z). Entonces el sistema retroalimentado convencional equivalente (4.207) es también estable. El control por modelo interno ofrece los siguientes beneficios con respecto a la retroalimentación clásica. 1. No se necesita resolver las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico 1 + P (z)Q(z), sólo es necesario examinar los polos de Q(z). 2. Durante el diseño del control por modelo interno es únicamente necesario hallar el controlador Q(z) en vez de C (z). 128

– JMFA –


r(z)

+-

Compensador u(z) Q(z)


Planta P(z)

d(z) y(z) d

y(z) p +

+

r(z)

+-

e(z)

Controlador Ceq(z)

u(z)

Planta P(z)

d(z) y(z) p +

+

y(z) d

y(z) d Modelo M(z)

-

+

^

d(z)

(a)

(b)

Control por Modelo Interno –Eq. Lazo cerrado Es posible deducir el equivalente entre un sistema de control por modelo interno y el sistema convencional de lazo cerrado. a) Se marca los bloques que integran al control por modelo interno. b) Es el sistema de lazo cerrado equivalente. ................................................................................................................. Figura 4.26:

La condición de que Q(z) = M −1 (z) significa que el controlador utiliza la información disponible como modelo de la planta P (z). La condición para el seguimiento perfecto de la referencia es que el modelo de la planta M (z) sea igual a la planta P (z); pero garantizar esto para todo el rango de operación de la planta es por lo general muy dif´ıcil de alcanzar, esto se acentúa en las frecuencias altas de operación. Una forma para contrarestar el efecto de la dinámica no modelada de alta frecuencia es usar un filtro pasa bajas en serie con el controlador Q(z) esto ayuda a aumentar el grado de robustes del sistema de control. As´ı que el controlador por modelo interno suele integrarse de la forma: Q(z)F (z) donde F (z) es un filtro pasa bajas. El diseño de Q(z) se realiza en tres pasos: 1. El modelo del sistema M (z) se factoriza en dos componentes M (z) = M + (z)M − (z)

(4.209)

en donde M + (z) reune los componentes de M (z) que no son invertibles, o que causar´ıan problemas al incluirlos en el control, y M − (z) contiene los componentes restantes de M (z). 2. Se usa como parte del controlador Q− (z) = (M − (z))−1 . 3. Y finalmente se utiliza como control por modelo interno a: Q(z) = Q− (z)F (z)

(4.210)

siendo F (z) un filtro pasa bajos.

4.6.1.

Control por Modelo Interno –Redes Neuronales

Por sus caracter´ısticas de robustes el control por modelo interno es muy atractivo de implementar por medio de redes neuronales. La capacidad de una red neuronal para representar funciones ya ha sido comentada, de modo que se pueden utilizar redes neuronales en los componentes del control por modelo interno. En la figura 4.27. a se presenta el esquema de control por modelo interno. En primer lugar el control por modelo interno aprovecha el conocimiento de la planta para incorporarlo en el control. En el caso de que el modelo empate con el comportamiento de la planta, el control por modelo interno asegura un seguimiento exacto de la referencia por la planta. Y para el rechazo de perturbaciones, es suficiente que el controlador sea el modelo inverso de la planta para asegurar su cancelaci´ on a la salida. En la figura 4.27. b esta el esquema de control por modelo interno usando redes neuronales, en el esquema se propone usar dos redes neuronales, una que se entrena para reproducir el modelo de la planta, y la segunda para generar la señal de control. El filtro que se pone es para aumentar la robustes del sistema de control al atenuar la acción de control cuando el sistema trabaja a altas frecuencias donde se presentan diferencias de modelado. Algo importante que destacar es que al utilizar redes neuronales posibilita que el sistema a controlar sea no lineal, debido a que las redes pueden reproducir las relaciones no lineales que en los sistemas se presentan. – JMFA –

129



De manera que se requiere entrenar las redes para sustituir el modelo del sistema y el controlador. En la figura 4.28. a esta el esquema general para el entrenamiento del modelo de la planta, se utiliza el error de modelado y se retropropaga atrav´ es de la red para ajustar sus pesos y minimizar el error. La red que hace de controlador se entrena utilizando la red del modelo de la planta (ver figura 4.28. a) y se obtiene su modelo inverso. Notar que en realidad el controlador es el modelo inverso de la red de identificación.

r(z)

+-

Control

u(z)

Filtro

Planta

d(z) y(z) d

y(z) p +

+

ym(z) Modelo

-

r(z)

e n t r a d a s

+-

RN Control

s a l i d a s

u(z)

Filtro

Planta

e n t r a d a s

+

d(z) y(z) d

y(z) p +

RN Modelo

s a l i d a s

+

ym(z) -

+

^

^

d(z)

d(z)

(a)

(b)

Control por Modelo Interno –Redes Neuronales. El esquema de control por modelo interno puede ser implementado por medio de redes neuronales. En a) Se presenta el esquema general del control por modelo interno. b) Se usan dos redes neuronales, una para identificar el modelo inverso de la planta, y la otra es el controlador. ................................................................................................................. Figura 4.27:

Planta

e n t r a d a s

RN pesos

+

s a l i d a s

+

ym(z) -

Control

r(z)

e n t r a d a s

RN pesos

Ajuste

s a l i d a s

u(z)

e n t r a d a s p e s o s

s a d a r t n e

Ajuste

s a d a r t n e

RN Modelo

d(z) y(z) d

y(z) p

Planta

+

em(z)

Modelo p e s o s

d(z) y(z) d

y(z) p

+

s a l i d a s

+

ym(z)

ec(z)

-

+

(a)

(b)

Control por Modelo Interno –Entrenamiento. Las redes neuronales para el control por modelo interno se entrenan fuera de l´ınea. En a) Se entrena a la red neuronal para reproducir el comportamiento de la plata a controlar, el error em (k) se retropropaga a través de la red. b) El controlador es en principio el modelo inverso de la planta, el error ec (k). ................................................................................................................. Figura 4.28:

130

– JMFA –


4.7.

4.7. Control de Sistemas por medio de RNRE.

Control de Sistemas por medio de RNRE.

Una RNRE es una red neuronal dinámica (ver sección 2) su ley de aprendizaje se obtiene a trav´ es del algoritmo de retropropagaci´ on del error. Además se ha demostrado que tiene la capacidad identificar sistemas no lineales (ver sección 3.4.1). Ahora se presenta el caso del uso de una RNRE para el control de sistemas no lineales. El problema que se presenta es como hallar un esquema en donde se aproveche las estructura de la RNRE y su algoritmo de aprendizaje con el objetivo de modificar el comportamiento de un sistema dinámico.

4.7.1.

Sistemas de Control Adaptable Indirecto Usando los Par´ ametros Obtenidos por la RNRE

Esta fue la primera solución en la que se experimentó. La idea se basa en utilizar los par´ ametros generados por una RNRE que identifica el comportamiento del sistema a controlar, y dado que estos par´ ametros sintetizan la dinámica aproximada del sistema se usan para construir un control de tipo indirecto.

r(z)

r e f e r e n c i a

Planta

Control

d(z) y(z) d

y(z) p +

+

Parámetros

Control Adaptable Indirecto –RNRE. Se puede utilizar una Red Neuronal Recurrente Entrenable para identificar a un sistema o planta y luego usar los parámetros de la RNRE para calcular la ley de control. ....................................... Figura 4.29:

Parámetros e n t r a d a s

RNRE

pesos

s a l i d a s

ym(z) -

em(z)

Modelo p e s o s

+

Ajuste

s a d a r t n e

Control Proporcional: Considérese el modelo linealizado de una RNRE de la forma: x(k + 1) = Jx(k) + Bu(k), y(k) = Cx(k), en donde J

(4.211) (4.212)

∈ Rn×n, B ∈ Rn×m y C ∈ R p×n, es posible hallar matrices de transformación T y H , tales que: J ′ = T −1 JT, B ′ = T −1 BH, C ′ = CT ,

(4.213) (4.214) (4.215)

que llevan al sistema (4.211-4.212) a la forma canónica de Luenberger: v(k + 1) = J ′ v(k) + B ′ w(k) y(k) = C ′ v(k)

– JMFA –

(4.216) (4.217) (4.218) 131



T es una matriz de transformación, las matrices J ′ , B ′ , y C ′ , son las siguientes:

′

     

J =

B′ =

′ ′ ′ J 11 J 12 J 1m ′ ′ ′ J 21 J 22 J 2m .. .. . . . . .. . . ′ ′ ′ J m1 J m2 J mm

·· · ·· · ·· ·

′ B11 ′ B12 .. .

′ B1m



en donde αii = ασi

1 +1

−

    

  

J ii′

;

′ Bii =

;

, . . . , α σi ; αij ασj

1 +1

−

=

  0 Iσ αii

i

   0 b′i

;

, . . . , α j ; b′i = 0

′ J ij

;

H =

  

=

1 0 .. .

0 αij

b12 b1m 1 b2m .. . . .. . . . 0 0 1

··· ··· ···

··· 0 1 0 ··· 0

Las matrices por bloques que se usan tiene las dimensiones siguientes: J ii′

 



;

  

(4.219)

;

, es decir, un 1 en al posición i.

∈ Rσ ×σ ; J ij′ ∈ Rσ ×σ ; Bij′ ∈ Rσ ×m αii ∈ R1×σ ; αij ∈ Rσ ×σ ; b′i ∈ R1×m ; H ∈ Rm×m . i

i

i

i

i

j

(4.220)

i

j

(4.221) (4.222)

Los ´ındices de controlabilidad σi están determinados a partir del número de columnas linealmente independientes de la matriz de controlabilidad Γ = B, JB, J 2 B , . . . , J n B .





Es posible diseñar una retroalimentación de los estados usando los métodos explicados en [59]. De forma que la ley de control es: w(k) =

−Gv(k);

(4.223)

en donde G es una matriz de ganancia m

× n. Aplicando esta retroalimentación el sistema en lazo cerrado es: v(k + 1) = (J ′ − B ′ G)v(k) = Ac v(k),

(4.224)

en donde Ac es una matriz de transición de estados en lazo cerrado. Por la estructura de la matriz B ′ , se puede escribir una expresión para la matriz de ganancia G: G=α

− β ;

gii = αii

− βii;

gij = αij .

(4.225)

Usando las matrices de transformación se puede obtener la ley de control expresada en coordenadas originales del sistema: u(k) =

−Kx(k) =;

K = H −1 GT,

(4.226)

en particular en el caso del control dead-beat (Polos controlables en el origen) se requiere que: β = 0, de manera que G = α. Control Proporcional-Integral: Otro método de diseño es la sintesis de controladores de tipo P, PD, PI y PID. Ahora se trata el caso del diseño de un controlador tipo PI. Se utiliza el mismo método de retroalimentación que para el caso proporcional, sólo se agrega otro termino a la ecuación (4.211). Esta ecuación es la integral de la salida del sistema (4.212), esto es: xI (k + 1) = T s y(k) + x ˆ(k)

(4.227)

en donde xI (k) es un vector de terminos integrales, y T s es el per´ıodo de discretización. Al sustituir (4.212) en (4.227), produce: xI (k + 1) = T s Cy(k) + xI (k) 132

– JMFA –

(4.228)



Combinado la ecuación (4.227) con (4.228) obtenemos el sistema aumentado: xa (k + 1) = J I xa (k) + BI u(k),

(4.229)

en donde xa (k) es un vector de estados aumentado. El sistema se transforma en el siguiente:





J 0 J I = ; T s C I I

BI =

  B 0I

(4.230)

en donde I I es una matriz unitaria y 0I es una matriz de componentes cero. Y sobre este sistema se aplica la retroalimentaci´ on de estados. Es interesante hablar del caso de un sistema de una entrada y una salida; el sistema tiene la siguientes matrices:



B = b1 , b2 ,

J = Diag ( jii ) ;

· ·· bm



T

;



C = c1 , c2 ,

· · · c p



;

(4.231)

Las matrices del estado y del control del sistema transformado, se representa en la forma canónica: A=



0 I n−1 α



′

;

B =

 

0n−1 ; 1

H = b,

(4.232)

en donde α es un vector fila de coeficientes; I n−1 es una matriz unitaria (n 1) (n 1); 0n−1 es una matriz de componentes cero (n 1) (n 1). La transformación T puede obtenerse a partir de las siguientes relaciones:

− × −

− × −

T B ′ = B;

T A = JT,

(4.233)

Entonces es posible diseñar un control usando las ecuaciones (4.223) y (4.225).

Ejemplo 4.8 (Control Adaptable Indirecto —Control Proporcional, Proporcional-Integral.) Considere que el sistema est´ a regido por la siguientes expresiones: x1 (k + 1) x2 (k + 1) x3 (k + 1) x4 (k + 1) y(k)

= = = = =

g (x(k), u(k)) ; x1 (k) x2 (k) u(k) x1 (k); x1 x2 x3 g (x(k), u(k)) = + 0.5x4 + 2u, 1 + x21 + x22 + x23

(4.234) (4.235) (4.236) (4.237) (4.238) (4.239)

Los resultados obtenidos utilizando una retroalimentaci´ on de estados de tipo proporcional y proporcional-Integral se presentan el las figuras 4.27. a-d. Los estados y los par´ ametros de la planta se obtienen usando una identificaci´ on en l´ınea a trav´ es de una RNRE. Notar que existe un sobre impulso al principio del proceso, esto es provocado por el tiempo que necesita la RNRE para ajustar sus par´ ametros y mejorar su identificaci´ on. 

En el ejemplo 4.8 se utiza una RNRE para identificar el sistema y se usan sus parámetros para calcular la ley de control, este esquema de control es de tipo indirecto. La dificultad que presenta es la necesidad de ejecutar una fase de identificaci´ on antes de iniciar con el control, aúnque en este ejemplo se calcula la señal de control al mismo tiempo que se identifica, esto provoca se produzcan fallas al inicio y que no se pueda controlar al sistema. As´ı que es recomendable que exista una fase previa de identicación del sistema. Los resultados de la figura 4.30, dan prueba de que una RNRE es lo suficientemente rápida para lograr buenos resultados durante su operación. – JMFA –

133



4

12

3 10 2 1

8

0 6

-1 -2

4

-3 2 -4 -5

(a) 0

2

4

6

8

10

(b) 12

14

16

18

20

0

160

1000

140

900

120

800

100

700

80

600

60

500

40

400

20

300

0

200

-20 -40

5

10

2

4

6

8

15

20

25

0

10

12

14

16

18

20

(d)

100

(c) 0

0

0

5

10

15

20

25

Control Adaptable Indirecto –P, PI. Control Proporcional: Par´ ametros de la red: η = 0.1, α = 0.1, Orden de la Red Neuronal n = 2, Periodo de muestreo T s = 0.01 seg. La referencia es un tren de pulsos de frecuencia 1/5 Hz, amplitud=3 y ciclo de trabajo de 50. a) L´ınea por puntos es la salida del la RNRE, l´ınea continua es la salida del sistema; b) Es el error cuadratico medio (MSE). Control Proporcional Integral: Parémetros de la red: η = 0.5, α = 0.5, Orden de la red neuronal n = 1, per´ıodo de muestreo T o = 0.01 seg., La referencia es un tren de pulsos de frecuencia 1 /8 Hz, amplitud=100 y ciclo de trabajo de 50. c) L´ınea por puntos es la salida de la RNRE, l´ınea continua es la salida del sistema; d) Es el error cuadratico medio. ................................................................................................................. Figura 4.30:

Control Adaptivo para Seguimiento de Trayectoria –Caso escalar: El problema de seguimiento consiste en el diseño de un controlador que de manera asintótica reduce el error entre la salida de la planta y la señal de referencia. Aqu´ı se trata el caso escalar. Con una RNRE se logra identificar a sistemas y produce un modelo lineal y controlable del mismo. Este modelo es mejorado continuamente durante el entrenamiento y este mismo puede ser usado en el diseño del sistema de control. En esta sección se propone utilizar el método presentado en [41]. Entre una de las caracter´ısticas de una RNRE es que presenta un comportamiento no lineal global, p ero localmente puede aproximarse por una red lineal. Aprovechando esta estructura se aplican algunos de los métodos conocidos para los sistemas representados en variables de estado. Aqu´ı se propone utilizar los parámetros de la red para aplicar un control adaptable de seguimiento de trayectoria. Durante el proceso de aprendizaje la red ajusta sus pesos J , B, y C . La aproximación lineal que la red forma del sistema queda expresado como: x(k + 1) = Jx(k) + Bu(k); 134

– JMFA –

(4.240)


4.7. Control de Sistemas por medio de RNRE. y(k) = Cx(k);

(4.241)

Arreglando la ecuación de la salida (4.241) para k + 1 sustituyendo en esta ecuación para el estado siguiente (4.240), se tiene: y(k + 1) = Cx(k + 1); y(k + 1) = CJ x(k + 1) + CB u(k),

(4.242) (4.243)

al sacar la derivada de (4.242) y (4.243) con respecto a u(k): ∂y (k) ∂x(k) = C ; ∂u(k) ∂u(k) ∂y(k + 1) ∂ (Jx(k + 1) + Bu(k)) = C , ∂u(k) ∂u(k)

(4.244) (4.245)

recordar el concepto de grado relativo. Si se supone que el sistema tiene grado relativo igual a uno las expresiones (4.246) y (4.247) son tales que: ∂y(k) ∂x(k) = C 0; ∂u(k) ∂u(k) ∂y(k + 1) ∂ (Jx(k + 1) + Bu(k)) = C = 0, ∂u(k) ∂u(k)

(4.246)

≡

(4.247)



es decir que la salida del sistema y(k) no se ve afectada por la entrada u(k), mientras que y(k + 1) s´ı. De modo que de la ecuación (4.243) se obtiene la ley de control: CJ x(k + 1) + CBu(k) = y ∗ (k + 1),

(4.248)

en donde y ∗ () es la referencia deseada (Notar que por ser una señal conocida no hay problema para obtener cualquiera de sus adelantos) con esta ley de control se obliga que el sistema alcance la referencia en un sólo paso, es decir que el control (4.249) es de tipo dead-beat . De este modo la ley de control (4.249) es muy demandante, para darle un comportamiento asint´ otico se propone construir la siguiente función de error, en donde: e(k) = y ∗ (k) y(k):

−

CJ x(k + 1) + CBu(k) = y ∗ (k + 1) + γ [y(k)∗

− y(k)] ,

(4.249)

y γ es un par´ ametro contante y que tiene como requisito que γ < 1 para no perder estabilidad.

||

Ejemplo 4.9 (Control Adaptable Indirecto —Seguimiento de Trayectoria.) Considere que el sistema est´ a regido por la siguientes expresiones: x(k + 2) = 0.8x(k + 1) y(k) = f (x(k)) ;

− 0.15x(k) + h(u(k));

(4.250) (4.251)

3

h (u(k)) =

[1.9u(k)] ; 2 1 [1.9u(k)] + 1

f (x(k)) =



x(k + 2) + 0.3x(k + 1) 3.5

(4.252)



3

.

(4.253)

La se˜ nal de referencia se selecciona como: r(k) = sen(2πT s k) + 2 sen(2 πT s k).

∗

Los datos de la red son: α = 0.001, η = 0.04, n´ umero de estados de la red n = 10, Periodo de muestreo T s = 0.01Seg.. El valor del parámetro de control es γ = 0.1. Ver los resultados de la simulaci´ on en la figura 4.9. 

– JMFA –

135



5 4 3 2

Control Adaptable Indirecto – Seguimiento de Trayectoria. Comparaci´ on entre la respuesta del sistema y la referencia deseada. La l´ınea continua es la salida del sistema y(k) y la l´ınea por trazos es la referencia. Figura 4.31:

1 0 -1 -2 -3 -4 -5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 Seg..10

5 4 3 2

Comparaci´ on entre la salida del modelo no lineal, –l´ınea continua. –y la respuesta del la RNRE, –l´ınea por trazos. –que se entrena como identificador.

1 0 -1 -2 -3 -4 -5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 Seg .10

5 4 3 2 1

Se muestra el error de seguimiento que se obtiene al usar los parámetros de una RNRE y el control (4.249) .............................................

0 -1 -2 -3 -4 -5 0

4.7.2.

1

2

3

4

5

6

7

8

. 9 Seg 10

Sistemas de Control Adaptable Directo Usando RNRE

Ya que las redes tienen la capacidad de generar modelos que se ajustan a las relaciones entre las variables de entrada y salida, uno de los esquemas básicos para el control que se han propuesto es el llamado por modelo inverso. En éste lo que se busca es que la red neuronal aprenda la relación inversa que existe entre las variables de entrada y salida del sistema a controlar. Y después usar esta red como un precompensador del sistema. Al hacer esto la relación referencia-salida tiene ganancia unitaria. Lo anterior implica que la salida del sistema y() sigue a la señal de comando r(). Control por modelo Inverso Ya en la sección 4.3 se comenta el problema del control por modelo inverso. Ahora se utiliza una RNRE para controlar el modelo de un sistema. El objetivo es obtener un esquema adaptable que usa una RNRE para identificar el modelo 136

– JMFA –



inverso del sistema a controlar. El m´ etodo de entrenamiento es el de tipo especializado, debido a que permite concentrarse la zona de operación o de trabajo.

Controlador

r(z)

e n t r a d a s

RNRE

pesos

∂ u(k) ∂ w(k)

e n t r a d a s

u(z)

s a l i d a s

p e s o s

Ajuste

Planta Datos

s a l i d a s

y(z) p

ec(z)

+

∂ ec(k) ∂ y(k)

∂ y(k) ∂ u(k)

s a d a r t n e

-

-1

=

Error J(k) Medio Cuadrático

∂ J(k) = ec(k) ∂ec(k)

(a) Controlador

r(z)

e n t r a d a s

RNRE

pesos

e n t r a d a s

u(z)

s a l i d a s

Planta Datos

s a l i d a s

y(z) p

e n t r a d a s

RN pesos

s a l i d a s

ec(z)

+

∂ ec(k) ∂ y(k)

Identificador

∂ u(k) ∂ w(k)

-

-1

=

^

y(k)

Error J(k) Medio Cuadrático

∂ J(k) = ec(k) ∂ec(k)

^

p e s o s

Ajuste

s a d a r t n e

∂ y(k) ∂ u(k)

(b)

Control Adaptable Directo –Modelo Inverso. Por medio de una RNRE que se entrena para reproducir el modelo inverso de un sistema se puede construir un sistema de control. a) El error debe retropropagarse en por el modelo de sensibilidad de la planta para generar los gradientes para ajustar los pesos. d) Si no se dispone de un modelo de la planta, se puede sustituir por una RNRE y retropropagar la señal por ella. ................................................................................................................. Figura 4.32:

Si se representa a la red neuronal y el sistema a controlar por las relaciones: u(k) = R (r(k)) y(k) = P (u(k))

(4.254) (4.255)

en donde u(k) es la señal de control; y(k) es la respuesta del sistema. Adem´ as el objetivo de control es la minimización del error medio cuadrático: J (k) =

eT c (k)ec (k) 2

(4.256)

Los gradientes que para el entrenamiento de la red neuronal se obtienen del modelo de sensitividad de la red y del sistema, quedando expresados como: ∂J (k) ∂u(k) ∂y(k) ∂e c (k) ∂J (k) = ∂ω(k) ∂ω(k) ∂u(k) ∂y(k) ∂e c (k) ∂u(k) ∂y(k) = ( 1) ec (k). ∂ω(k) ∂u(k)

−

– JMFA –

(4.257) (4.258) 137



∂u(k) De la ecuación (4.258) notar lo siguiente. El gradiente ∂ω(k) se puede obtener atrav´ es de retropropagaci´ on y corresponde al modelo de sensibilidad de la planta, si se tiene el modelo puede usarse y calcularse.

∂y(k) ∂u(k)

Sin embargo, en los casos que no se tenga un modelo preciso de la planta se puede usar una RNRE para identificar al sistema y a trav´ es de este retropropagar la señal de error. Si la salida de la red es: yˆ(k) entonces la expresión (4.258) quedar´ıa: ∂J (k) ∂u(k) ∂ ˆ y(k) = ( 1) ec (k). ∂ω(k) ∂ω(k) ∂u(k)

(4.259)

−

En la figura 4.32. Se muestra los casos de como retropropagar la señal de error, esto depende de si se tiene un modelo del sistema bajo control, o si se usa un red neuronal para identificarlo.

Ejemplo 4.10 (Control Adaptable Directo —Modelo Inverso.) Considere que el sistema est´ a regido por la siguientes expresiones: x1 (k + 1) = x2 (k) x2 (k + 1) = x3 (k) x3 (k + 1) = 0.6x1 (k) + 0.3x2 (k) + h (u(k)) h (u(k)) =

(4.260) (4.261) (4.262)

−0.4u(k) + 0.3u2(k) + u3(k)

(4.263)

La se˜ nal de referencia se selecciona como: r(k) = 0.5 sen(π). Los datos de la red son: α = 0.001, η = 0.05, n´ umero de estados de la red n = 5, Periodo de muestreo T s = 0.01Seg. Ver los resultados de la simulaci´ on en la figura 4.33. 

138

– JMFA –



Control por Modelo Inverso

1

Control por Modelo Inverso 0.2 0.18

0.8

0.16

0.6

0.14

0.4

0.12

0.2

0.1

0

0.08 0.06

−0.2

0.04

−0.4

0.02

−0.6

0 0

5 

10 

(a)

15 

5 


1

0

t (seg)

10 

(b)

15 

t (seg)



t (seg)


0.8 0.7

0.8

0.6 0.6

0.5

0.4

0.4

0.2

0.3 0.2

0

0.1 −0.2

0

−0.4

−0.1 0

5 

10 

(c)

15 

t (seg)

0

5 

10 

(d)

15

Control Adaptable Directo –Modelo Inverso. (a) Comparaci´ on entre la respuesta del sistema y la referencia deseada. La l´ınea continua es la salida del sistema y(k) y la l´ınea por trazos es la referencia. (b) Criterio a minimizar J (k) –Error medio cuadrático. (c) Error de seguimiento ec (k). (d) Se˜ nal de control u(k). ................................................................................................................. Figura 4.33:

– JMFA –

139


4.7.3.


Control en Tiempo Real de un Motor de Corriente Continua

Debido a las pruebas en simulación mostraron que los esquemas de control que se idearon entregaban buenos resultados se realizaron experimentos en la plataforma descrita en el apéndice E. Se usa un motor de 24 voltios, y de aproximadamente de 8 amperes de corriente m´ axima. El motor esta conectado a un amplificardor de potencia que es controlado por una tarjeta de acquisición de datos. La programación se realiza en Matlab-Simulink . En los experimentos de control se llevaron asignando una referencia para la posición y velocidad de motor. Debido a que la información de retroalimentación es la posición del motor dada en las cuentas de un codificador óptico, la velocidad se estima por medio del uso de un filtro.

Plataforma experimental El motor de corriente continua es impulsado por un amplificador de potencia que esta conectado a una tarjeta electrónica de acquisición de datos. Dos computadoras se hacen cargo de la programación y la supervición del sistema. ............................................. Figura 4.34:

El esquema de control consiste tres redes neuronales. Una de ellas opera como control, se entrena para reproducir el modelo inverso del sistema, para ello utiliza el error formado por la diferencia entre la señal de referencia y la respuesta del motor, ec = r(k) y(k). Otra de las redes neuronales es un identificador del motor, se entrena con la diferencia entre la respuesta del motor y su salida, ei = yn2 (k) y(k). Los estados de la red de identificación se usan para formar una retroalimentaci´ on, de manera que se llevan los estados de la red de identificación a la tercera red que se entrena con el error de control.

−

−

Los datos de las redes son los siguientes: α = 0.005 y η = 0.005, el per´ıodo de muestreo es T s = 0.001 Seg. La redes uno y dos tienen una entrada, cuatro nodos internos y una salida. La tercera red neuronal tiene tres entradas, y la misma configuración interna. La señal de referencia es la siguiente:





π r(k) = G1 Sat G2 sen(2 ) . P

(4.264)

en donde Sat() es la función de saturación. Se realizan dos experimentos de control, uno para controlar la posición del motor y el otro para controlar la velocidad. Para el experimento de posici´ on la referencia es:





π r(k) = 1.5Sat 3 sen(2 ) . 4

(4.265)

En la figura 4.7.3. En la primera gráfica se muestran la respuesta del motor comparada con la referencia deseada, notar como al inicio hay una gran diferencia que se va reduciendo conforme se entrena la red neuronal. La gr´ afica del error traza la forma en que se va disminuyendo. Y en la tercera gráfica esta el control producido por la red y que se aplica al motor. 140

– JMFA –



Para el experimento de posici´ on la referencia es:

   

r(k) = 15Sat 20 sen(2 y

r(k) = 10sen 2 En la figura 4.7.3. se presentan sus resultados.

π ) , 10

π 2

(4.266) (4.267) (4.268)

Esquema de control en tiempo real de un Motor CC. El esquema de control usa tres redes neuronales. Una de control, se entrena para reproducir el modelo inverso del sistema. Otra red neuronal es un identificador del motor. Los estados de la red de identificación se usan para formar una retroalimentación, se llevan a la tercera red que se entrena con el error de control. ............................................... Figura 4.35:

Señal de Referencia

ec

ec u ff +

RNRE-1

yp

+

Planta

+ +

ec u fb

x nn

ei RNRE-2 RNRE-3

x nn

– JMFA –

141



Control Tiempo Real de un Motor de CC

2 1.5 1 ) d a r (

0.5

Control en Tiempo Real de un Motor de CC – Posici´ on. Figura 4.36:

0

θ −0.5

−1 −1.5 −2 0

2

4

6 

8 

10

12

(a)

14 

16

18

t (seg)


2

(a) Comparación entre la respuesta del Motor y la referencia deseada. La l´ınea continua es la salida de posici´ on del Motor θ(k) y la l´ınea por trazos es la referencia.

1.5

) d a r ( ) k (

1 0.5

c

e

(b) Error de seguimiento ec (k).

0

−0.5 −1 0

2

4

6 

8 

10

12

(b)

14 

16

18

t (seg)


0.1 0.08 0.06 0.04 ) k ( u

0.02

(c) Se˜ nal de control u(k). .......................................

0

−0.02 −0.04 −0.06 −0.08 −0.1 0

2

4

6 

142

8 

(c)

10

12

14 

16

18

t (seg)

– JMFA –




20 15 10 5 ) k (

Control en Tiempo Real de un Motor de CC – Velocidad. Figura 4.37:

0

ω

−5 −10 −15 −20 0

10

20 

30



40

(c)

50 

60

t (seg)


20

(a) Comparación entre la respuesta del Motor y la referencia deseada. La l´ınea continua es la salida de velocidad del Motor θ(k) y la l´ınea por trazos es la referencia.

15 10 5 ) k (

c

0

e

−5

(b) Error de seguimiento ec (k).

−10 −15 −20 0

10

20 

30



40

(b)

50 

60

t (seg)


0.1 0.08 0.06 0.04 ) k ( u

0.02

(c) Se˜ nal de control u(k). .......................................

0

−0.02 −0.04 −0.06 −0.08 −0.1 0

10

20 



30 (c)

40

50 

60

t (seg)

– JMFA –

143

4.8. Conclusiones

4.8.


Conclusiones

El objetivo de este cap´ıtulo es reflexionar de la necesidad del control, o lo que es lo mismo, del manejo de las variables de interés de los sistemas, también se resumen algunas de las metodolog´ıas usadas para controlar sistemas a través de redes neuronales y, finalmente, se presentas los resultados en simulación y en tiempo real de las aplicaciones de control por medio de una Red Neuronal Recurrente Entrenable (RNRE). Los casos de control por medio de redes neuronales estáticas han mostrado cierto grado de efectividad. La caracter´ıstica más útil es que una red neuronal es que puede aproximar funciones no lineales. Generalmente se utilizan para reproducir la relación funcional entre variables, una vez alcanzada la precisión necesaria se utiliza la red neuronal como parte del sistema de control. As´ı hay esquemas que utilizan una red neuronal para reproducir la relación funcional entre las variables de un controlador convencional para que se sustituya a este control por la red. Otro enfoque es el control inverso, que ajusta los pesos de la red neuronal para reproducir la relación inversa del sistema, de modo que al poner a la red como precompensador cancele la dinámica de la planta. Pero por en los ejemplos que se realizaron se encuentra que la dificultad principal de las redes neuronales est´ aticas es la relativa lentitud para su entrenamiento. Por lo general, los esquemas que utilizan redes neuronales se entrenan primero con una serie de datos y sólo después de lograr la precisión establecida, se utiliza dentro del sistema de control. Por ello el inter´ es de aplicar una Red Neuronal Recurrente y Entrenable. Por el contrario de una red est´ atica, una red dinámica es un sistema que responde a la señal de entrada y a su estado interno. De manera que se espera que una red dinámica no requiera gran número nodos ocultos (estados) y que esto permita que el ajuste de sus pesos sea más rápido comparado con una red estática. En los ejemplos de la aplicación de la Red Neronal Recurrente pudieron comprobarse los beneficios de usar una de este tipo. Una RNRE no requiere de un gran número de nodos ocultos para lograr sus objetivos. Lo anterior hace menos demandante de p oder de cálculo al sistema para entrenar la red. En los ejemplos de simulación s´ olo el control Proporcional y el Proporcional-Integral necesitan de que la red tenga un per´ıodo de entrenamiento antes de iniciar a general la señal de control. El control por modelo inverso mostro mejores caracter´ısticas, ya se podia iniciarse al c´ alculo del control junto con el entrenamiento de la red recurrente. En los problemas de tiempo real se concluye que una RNRE puede controlar sistemas dinámicos sin requerir de un per´ıodo previo de entrenamiento, la red neuronal de manera progresiva iba mejorando su desempeño. Pero quedan algunas cosas por resolver. Por ejemplo, si la red debe estar contantemente actualizando sus pesos. En algunos experimentos se noto que una vez alcanzada la referencia se produce un ciclo l´ımite, es decir una oscilación alrededor del la referencia, esta oscilación es producida por la alta ganancia que la red tiene. La manera en la que se redujo esta oscilación es poniendo un l´ımite a los pesos de la red, principalmente a los pesos de la capa de retroalimentación de la red. Al parecer es necesario poder ajustar los par´ ametros de la red con el fin de atenuarlos y reducir as´ı su ganancia. Otra interrogante es como evitar sobreentrenamiento de la red, ya que causa que en ciertas condiciones el sistema se inestabilice. Todas estas cuestiones deberan irse resolviendo en el futuro.

144

– JMFA –

Conclusiones Generales y Perspectivas Conclusiones Generales El objetivo de todas estas páginas es dar un panorama general del uso de las redes neuronales en las tareas de identificaci´ on y control de sistemas. Desde el primer c´ apitulo se presentaron los conceptos fundamentales, dando sus modelos y principios de operación, destacando los terminos de entrenamiento y generalizaci´ on y de su capacidad de aproximación. El trabajo de investigación se enfocó en el uso de una estructura de red neuronal dińamica que se llamó Red Neuronal Recuerrente Entrenable , o por sus siglas RNRE. Esta red tiene una estructura que resulta interesante explotar. Es una red neuronal dinámica, es decir que su respuesta depende de la señal de entrada y de su variables internas. Es una red que globalmente es un sistema no lineal, pero en su aproximación, es una red localmente lineal. Su estructura es muy semejante a una representación de un sistema en variables de estado. El algoritmo de entrenamiento se deduce a partir del algortimo de retropropagación del error, para simplificar este algoritmo se restringen los pesos internos a formar una matriz diagonal, durante el desarrollo de las ecuaciones de aprendizaje se supone que la relación entre las variables es est´ atica. Ambas consideraciones simplifican y hacen que el entrenamiento se realice con poca complejidad. La identificación se entiende como la capacidad de construir modelo de los sistemas a partir de la información disponible. Se presentan algunos de los métodos convencionales para realizar identificación. Se verá que la mayor´ıa de estos métodos son aplicables a sistemas que se modelan como lineales en sus par´ ametros. Antes de tratar la identificación usando la RNRE, se presenta el porque una red neuronal de este tipo podr´ıa ser adecuada para esta tarea. A diferencia de una red neuronal estática, una RNRE es un sistema dinámico en si, de manera que no requiere de otros componentes para servir como un modelo de identificación. En esta sección se presentan varios ejemplos se identificación con la RNRE. El control es otro aspecto que se trató. Pero este representa un reto de mayor complejidad. El algoritmo de entrenamiento que se desarrollo es de tipo aprendizaje supervizado , y como los problemas de control requieren que se genere la señal de control correcta para que el sistema cumpla con lo que se le demanda, y como en principo no se conoce cuál es esta señal correcta, esto hace d´ıficil reconocer como utilizar una red neuronal como controlador. La RNRE puede actuar como controlador situándola como un controlador por mo delo inverso, para entrenarla se utiliza es esquema especializado de entrenamiento. Esta fue la forma más exitosa de usar a la RNRE como controlador. Los otros esquemas de control, por ejemplo el control adaptable indirecto que utiliza los parámetros de una RNRE usada para identificar al sistema, requiere de un per´ıodo de entrenamiento antes de que sean útiles los par´ ametros para calcular la ley de control. El método por modelo inverso sustituye la retroalimentación del sistema al controlador, por la retropropagación de la señal de error a través de la red. Finalmente, en los experimentos con el motor de cc. se confirma que una RNRE puede ser usada para controlar sistemas. Anotando que una de las condiciones para que esto sea posible es que el sistema sea estable, o que tenga un buen grado de amortiguamiento, en caso contrario se produce un ciclo l´ımite en las cercanias de la referencia.

145

4.8. Conclusiones


Perspectivas Por supuesto que hay temas que no se han tratado con la profundida debida, pero que podr´ an irse resolviendo en con trabajo futuro: En el trabajo se han utilizado ecuaciones de entrenamiento estáticas, se debe considerar el caso dinámico. Lo anterior abre la posibilidad de modificar la leyes de ajuste de los pesos, por lo visto en los experimentos, ser´ıa interesante hacer que la ley de entrenamiento dependa tambi´ en de la señal de entrada. Estos cambios deben analizarse para ver su efecto con la estabilidad del entrenamiento mismo y de la red. Se debe buscar la posibilidad de aplicar a la RNRE en problemas de control en tiempo real de sistemas más complejos para evaluar con mayor r´ıgidez su capacidad. En algunos experimentos realizados ha resultado interesante hacer que el control neuronal colabore con un control convencional, lo anterior hace m´ as confiable al sistema.

146

– JMFA –

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4.8. Conclusiones


[18] Patrick K. Simpson. Fundation of Neural Networks [19] P. J. Werbos. Backpropagation Through Time: What It Does and How to do it .Proc. of the IEEE, Vol. 78, No. 10, Oct, 1990. [20] S. Mark Halpin, Reuben F. Burch. Applicability of Neural Networks to Industrial and Commercial Power Systems: A Tutorial Overview . IEEE Trans. on Industrial Applications, Vol. 33, No. 5, September/October, 1997 [21] D. H. Rao, H. C. Wood, M. M. Gupta. Control of Nonlinear Multivariable Systems Using a Dynamic Neural Network. [22] M. S. Ahmed, M. A. Al-Dajani. Neural Regulator Desing. Neural Networks . Vol.11,pp. 1695-1709, 1998 [23] Kumpati S. Narendra, Snehasis Murkhopadhyay. Adaptive Control of Nonlinear Multivariable Systems Using Neural Networks . Neural Networks, Vol. 7, No. 5, pp. 735-752, 1994 [24] Gitaras V. Puskorius, Lee A. Feldkamp. Neuro Control of Nonlinear Dynamic Systems with Kalman Filter Trained Recurrent Networks . IEEE trans, on Neural Networks, vol. 5, No. 2, March, 1994 [25] Pramod Gupta, Naresh K. Sinka. Intelligent Control of RObotics Manipulator: Experimental Study using Neural Networks . Mechatronics, vol. 10, pp. 289-305, 2000 [26] M. S. Ahmed, Block Partial Derivative and Its Applications to Neural-Net-based Direct-Model-Reference Adaptive Control . IEE Proc. Control Theory Appl. Vol. 141, No. 5, September, 1994 [27] George A. Rubithakis, Manolis A. Chirstodoulou. Direct Adaptive Regulator of Unknow Nonlinear Dynamic Systems Via Dynamic Neural Networks . IEEE Trans. on Systems, Man and Cybernetics, vol. 25, No. 12, December 1995 [28] L. Jin, P. N. Nikiforuk, M. M. Gupta. Adaptive Model Reference Control of Discrete-Time Nonlinear Systems Using Neural Networks . Control-Theory and Advanced Tecnology, Vol. 10, No. 4, Part 3, pp. 1379-1399, September, 1995 [29] O. Nerrand, P. Roussel-Ragot, D. Urbani, L. Personnaz, G. Dreyfus. Training Recurrent Neural Networks: Why and How? An Illustrative in Dynamical Process Modelling . IEEE Trans. on Neural Networks, Vol. 5, No. 2, March, 1994 [30] Lotfi A. Zadeh. Fuzzy Logic . IEEE Computer Magazine, pp. 83-93. April, 1988 [31] Charles W. Anderson. Learning to Control and Inverted Pendulum Using Neural Networks . IEEE Control Systems Magazine, April, 1989 [32] Andrew G. Barto, Richard S. Sutton, Charles W. Anderson. Neuronlike Adaptive Elements That Can Solve Difficult Learning Control Probles. IEEE Trans. on Syst. Man and Cibernetics, Vol. SMC-13, No.5, Sep./Oct. 1983. [33] Richard S. Sutton, and Paul J. Werbos. Neural Networks for Control. W. The MIT Press, Cambridge Massachussetts, London, England edition, 1990 [34] F. L. Lewis, S. Jagannathan, A. Yesildirek. Neural Network Control of Robot Manipulators and Nonlinear Systems . Taylor and Francis Ltd. 1999 [35] F. Chen. Backpropagation Neural Networks for Nonlinear Self-Tuning Adaptive Control. IEEE control System Magazine, April, 1990 [36] Bernard Widrow, Michael A. Lehr. 30 Years of Adaptive Neural Networks: Perceptron, Madaline, and Backpropagation. [37] I. D. Landau, R. Lozano and M. M. Saud. Adaptive Control. Springer, 1998. [38] Graham C. Goodwin and Kwai Sang Sin Adaptive Filtering Prediction and Control. Prentice-Hall, 1984. ˜ [39] Kumpati S.Narendra and Anaradha M. Annaswamy Stable Adaptive Systems Prentice-Hall, 1989. [40] W. Murray Wonham Linear Multivariable Control-A Geometric Approach. Springer-Verlag, 1985. 148

– JMFA –


4.8. Conclusiones

[41] Arberto Isidori Nonlinear Control Systems. Springer-Verlag, 1995. [42] Neural Networks for Optimization and Signal Processing. John Wiley & Sons, 1992. [43] Benjamin C. Kuo Automatic Control Systems. Prentice Hall, 1995. [44] D. P. Kwok, P. Wang and K. Zhou. Process Identification Using a Modified Elman Neural Net. Int. Symposium on Speach, Image Processing and NN, Hong Kong, 13-16 April, 1994. [45] Roland E. Thomas, Albert J. Rosa. The Analisys and Design of Linear Circuits. Prentice Hall, 1998 [46] http://www.mathworks.com [47] http://www.quanser.com [48] http://www.miktex.org [49] http://www.winedt.org [50] Mauricio Russek, Michael Cabanac. Regulaci´ on y Control en Biolog´ıa. Ed. Instituto Politécnico Nacional. 1990. [51] Mark W. Spong, M. Vidyasagar. Robot Dynamics and Control. Ed. John Wiley & Sons. 1989. [52] Julio Tanumaru, Yoshizo Takahashi. A General Structure for Neurocontrol of Dynamical Systems. Proc. of the IECON’93, International Conference on Industrial Electronics and Instrumentation, pp.304-309, Vol.1, IEE, New York, USA 1993. [53] Tariq Samad. Neurocontrol: Concepts and Applications. ISA/91, Advances in Instrumentation and Control, Vol.46, Instrument Society of America, 1991. [54] Oceano Uno Color Diccionario Enciclopédico , 1995 [55] Eric A. Wan, Fran¸coise Beaufays. Diagrammatic Methods for Deriving and Relating Temporal Neural Network Algorithms. Neural Computation, pp. 182-201. Vol.8, No.1, 1996 [56] K.J. Hunt, D.Sbarbaro. Neural Networks for Nonlinear Internal Model. IEE Proceedings-D, Vol.138, No.5, September, 1991 [57] K.J. ˚ Astr¨ om. Theory and Applications of Adaptive Control–A Survey. Automatica, Vol.19, No.5, pp.471-486, 1983 [58] Ming T. Tham. Internal Model Control. Parts of a set of lecture notes on Introduction to Robust Control, 2002 http://lorien.ncl.ac.uk/ming/ [59] I.Baruch Use of the Luenberguer Canonical Form in the Synthesis of Multivariable Control Sistems. Problems of Engineering Cybernetics,Bas, Sofia, Vol.6, 1977, pp.35-39.

– JMFA –

149

4.8. Conclusiones

150


– JMFA –

Ap´ endice A

Art´ıculos Publicados A.1.

Congresos Nacionales

[a.i]

I. Baruch, J. Martiń Flores, Implementaci´ on de un Multi-Modelo Neuronal para la Identificaci´ on de Sistemas No lineales , CIE’99, 8-10 Sept. 1999, CINVESTAV-IPN, México D.F.

[a.ii]

J. Mart´ın Flores, I. Baruch, Aplicaci´ on de Una Red Neuronal Recurrente para el Control de Sistemas Discretos , Memorias del Congreso de Ingenier´ıa Eléctrica CIE’2000, 8-10 Sept. 2000, CINVESTAV-IPN, México D.F.

[a.ii]

I. Baruch, J. Mart´ın Flores, Real-Time Identification and Control of Mechanical Systems by Neural Networks , AAPR’2000 Taller en Avances en la Percepción Artificial y Robótica, 23-25 de Oct. 2000, CIMAT, Guanajuato, México, pp. 107-114

A.2.

Congresos Internacionales

[b.i]

Baruch, J. Mart´ın Flores, Adaptive Control of Nonlinear Systems , (M.H. Hamza) Proc. of the IASTED Int. Conference Control and Applications (CA’2000), 24-27 May 2000, Cancún, México, pp. 230-236.

[b.ii]

I. Baruch, J. Mart´ın Flores Albino, R. Garrido, E. Gortcheva, An Indirect Adaptive Neural Control of Nonlinear Plants , Proc. of the International Joint Conference on Neural Networks, IJCNN’2000, 24-27 July 2000, Como, Italy.

[b.iii] I. Barouh, J. Mart´ın Flores, J. C. Mart´ınez, B. Nenkova, Fuzzy-Neural Models for Real-Time Identification and Control of Mechanical Systems , (St. Cerri, D. Dochev-Eds) Proc. of the ECCAI International Conference AIMSA’2000, 27-30 September 2000, Varna, Bulgaria, Lectures Notes in Artificial Intelligence 1904, Springer, Berling, pp.292-300 [b.iv] I. Baruch, J. Mart´ın Flores, J. C. Mart´ınez, R. Garrido, A Multi-Model Parameter and State Estimation of Mechanical Systems , Proc. of the IEEE International Symposium ISIE’2000, 4-8 December 2000, Puebla, México, vol.2, pp. 700-705 [b.v]

I. Baruch, J. Mart´ın Flores, Boyka Nenkova, A Neural Network Composite Model for Nonlinear System Identification and Control , Proc. Os the Intern. Conf. On Automation and Informatics (Symposium on Intelligent Control), 24-26 October, Sofia, Bulgaria, pp. 115-119

[b.vi] I. Baruch, J. Mart´ın Flores, R. Garrido, A Fuzzy-Neural Recurrent Multi-model for Systems Identification and Control , Proc. of the European Control Conference, ECC’2001, Portugal, Sept, 4-7, 2001, pp. 3540-3545. [b.vii] I. Baruch, J. M. Flores, F. Thomas, E. Gorcheva, A Multimodel Recurrent Neural Network for Systems Identification and Control , Proc. of the International Joint Conference on Neural Networks, IJCNN’2001, Washington, USA, July 14-19, 2001, pp. 1291-1296 151

A.3. Revistas Nacionales

Cap´ıtulo A. Art´ıculos Publicados

[b.viii] M. M. Goire, J. M. Flores, M. Bonilla, I. Baruch, Model Reference Neural Control of a Variable Structure System by Output Feedback , Proc. of the International Joint Conference on Neural Networks, IJCNN’2001, Washington, USA, July 14-19, 2001, pp.532-537 [b.ix] I. Baruch, J. Mart´ın Flores, R. Garido, A. Del Pozo, Red Neuronal Recurrente para Identificaci´ on y Control de Sistemas No Lineales , Memorias del III Simposio de Control Automático, CIMAF’2001, La Habana, Cuba, Marzo 19-23, 2001, págs. 175-182 [b.x]

Ieroham Baruch, José Mart´ın Flores, Rúben Garrido, J. C. Mart´ınez G. An Adaptive Neural Control of a DC Motor , Proceedings of the IEEE Joint International Conference on Control Applications and Int. Symp. On Intelligent Control, CCA/ISIC’2001, México D. F., México, Sept. 5-7, 2001, pp.121-126

[b.xi] Ieroham Baruch, José Mart´ın Flores, Boyka Nenkova, Application of the RTNN Model for a System Identification, Prediction and Control , 2nd IFAC DECOM-TT, Ohrid, Macedonia, 24-30 May, 2001, pp. 351-357

A.3.

Revistas Nacionales

[c.i]

I. Baruch, J. Mart´ın Flores, R. Garrido, E. Gortcheva, Identificaci´ on de Sistemas No Lineales Complejos Usando Multi-Modelo Neuronal , Revista Cient´ıfica, ESIME-IPN, No.19, enero-febrero, 2000, México D.F, pp. 29-38

[c.ii]

José Mart´ın Flores Albino, Ieroham Baruch, Rúben Garrido. Red Neuronal Recurrente para Identificaci´ on y Control de Sistemas No lineales . Revista Cient´ıfica, ESIME-IPN, Vol.5, No.1, enero-marzo, 2001, pp. 11-20, 2001

[c.iii] M. Margarita Goire C., José Mart´ın Flores A., Moisés Bonilla, Ieroham S. Baruch. Control Neuronal por Modelo de Referencia para un Sistema de Estructura Variable . Revista: Computación y Sistemas, CIC-IPN, Vol.6, No.4, 2003, pp. 284-292, ISSN 1405-5546

A.4. [d.i]

Anexos en Libros

Ierohan Baruch, José Mart´ın Flores, Federico Thomas, Rúben Garrido, Adaptive Neural Control of Nonlinear Systems , (Georg Dorffner, Horst Bischof, Kurt Hornik-Eds) Artificial Neural Networks-ICANN 2001, Lecture Notes in Computer Sciencien 2130, Springer, Berling, 2001, ISBN 3-540-42486-5, pp. 930-936

[d.ii] I. Baruch, J. M. Flores, R. Garrido, B. Nenkova, Real-Time Identification and Control of a DC Motor Using Recurrent Neural Networks , (vara Kurkova, Nigel Steele, Roman Neruda, Miroslav Karny-Eds.) Artificial Neural Networks and genetic Algorithms, Springer-Verlag, Wien, New York, 2001, ISBN 3-211-83651-9, pp. 165-169

152

– JMFA –

Ap´ endice B

Programas de C´ omputo B.1. % % % % % % % % %

Aproximaci´ on de una Función No Lineal por Medio de una RNMC

DICIEMBRE,2001 CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO COMPILADOR: MATLAB VER.5.0 IMPLEMENTA UNA RED NEURONAL(RN) MULTI-CAPA PARA LA APROXIMACION DE UNA FUNCION NO LINEAL SE UTILIZA EL ALGORITMO DE ENTRENAMIENTO DEL TIPO RETRO-PROPAGACION DEL ERROR LA RN TIENE UNA ENTRADA, DOS CAPAS OCULTAS Y UNA SALIDA

% INICIO PROGRAMA: MLNN2P%%%%%%%%%%% clear all close all step=100; % Paso de graficacion num_ep=800; % Numero de epocas no=1; n1=4; n2=4; n3=1;

% % % %

No. No. No. No.

etha=0.15;

de de de de

entradas. Nodos, primer capa oculta. Nodos, Segunda capa oculta. Nodos, Salidas

%Constante de aprendizaje

% Pesos iniciales(incluye bias) W1=0.1*rand(n1,no+1); W2=0.1*rand(n2,n1+1); W3=0.1*rand(n3,n2+1); X=(-1:0.1:1)’; % Entradas X_max=max(X); num_data=size(X,1); %Numero de datos Yd=1*sin((pi/1)*X); % Valor deseado (Funcion) Yd_max=max(Yd); % Inicializaciones

153

B.1. Aproximación de una Función No Lineal por Medio de una RNMC

Cap´ıtulo B. Programas de Cómputo

Ec=0; MSE=[]; hfig1=figure(1); set(hfig1,’position’, [0

460

672

504]);

figure(hfig1); plot(X,Yd,’o’); axis([min(X)*1.1 max(X)*1.1 min(Yd)*1.1 max(Yd)*1.1]); drawnow; hold on; for data=1:num_data %Paso hacia adelante S1=W1*[1;X(data)]; O1=tanh(S1); S2=W2*[1;O1]; O2=tanh(S2); S3=W3*[1;O2]; Y(data)=S3; end figure(hfig1); if (exist(’id’) & exist(’idplot’)), delete(id);delete(idplot);end id=text(X_max*0.5,Yd_max*0.8,0,num2str(0)); set(id,’FontWeight’,’bold’,’color’,’black’) idplot=plot(X,Y,’-’); drawnow; for ep=1:num_ep; for data=1:num_data;

% Por cada epoca % Para cada dato

% Paso hacia adelante S1=W1*[1; X(data)]; O1=tanh(S1); % Salida de la primera capa S2=W2*[1; O1]; O2=tanh(S2);

% Salida de la segunda capa

S3=W3*[1; O2]; Y=S3;

% Salida (lineal) de la RN

E=Yd(data)-Y; Ec=Ec+(E^2);

% Error % Suma de E^2

% paso hacia atras grad1_local=-E; grad1=grad1_local*([1; O2])’;

% Gradiente local de salida. % Gradiente de salida.

grad2_local=(1-O2.^2).*((W3(:,2:n2+1)’)*(grad1_local)); % Gradiente local capa oculta 2 grad2=grad2_local*([1; O1])’; % Gradiente capa oculta 2 grad3_local=(1-O1.^2).*((W2(:,2:n1+1)’)*(grad2_local)); % Gradiente local capa oculta 1 grad3=grad3_local*([1; X(data)])’; % Gradiente capa oculta 1 % Actualizacion de Pesos W3=W3-etha*exp(-ep/num_ep)*grad1; W2=W2-etha*exp(-ep/num_ep)*grad2; W1=W1-etha*exp(-ep/num_ep)*grad3;

154

– JMFA –

Cap´ıtulo B. Programas de Có mputo

B.2. Aproximación de una Función No Lineal por Medio de una RNFRB

end MSE=[MSE Ec/2]; Ec=0; if rem(ep,step)==0 for data=1:num_data %Paso hacia adelante S1=W1*[1;X(data)]; O1=tanh(S1); S2=W2*[1;O1]; O2=tanh(S2); S3=W3*[1;O2]; Y(data)=S3; end figure(hfig1); if (exist(’id’) & exist(’idplot’)), delete(id);delete(idplot);end id=text(X_max*0.5,Yd_max*0.1,0,[’Ep=’ num2str(ep)]); hold on set(id,’FontWeight’,’bold’,’color’,’black’) idplot=plot(X,Y,’-’); plot(X,Yd,’o’) axis([min(X)*1.1 max(X)*1.1 min(Yd)*1.1 max(Yd)*1.1]); drawnow; end end hfig2=figure(2); set(hfig2,’position’, [620 460 672 504]); figure(hfig2); plot(1:num_ep,MSE); id2=text(num_ep*0.5,max(MSE)*0.5,0,[’MSE=’,num2str(MSE(max(size(MSE,2))))]); set(id2,’FontWeight’,’bold’,’color’,’black’) % FIN PROGRAMA: MLNN2P%%%%%%%%%%%

B.2. % % % % % % %

Aproximaci´ on de una Función No Lineal por Medio de una RNFRB

ENERO,2002 CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO COMPILADOR: MATLAB 5.0 IMPLEMENTA UNA RED NEURONAL(RN) DE FRB PARA LA APROXIMACION DE UNA FUNCION NO LINEAL

% INICIO PROGRAMA: RBF2.m%%%%%%%%%%%

X=(-1:0.1:1)’; num_data=size(X,1); Yd=1*sin((pi/1)*X);

%Datos de entrenamiento(entradas) %numero de datos de entrenamiento %Datos de entrenamiento(Salidas)

– JMFA –

155

B.3. Algoritmo de Proyección


Xc=(-1:0.2:1)’; %Centros de las FRB num_data1=size(Xc,1); Yc=1*sin((pi/1)*Xc); s=0.5; R1=[]; for i=1:num_data; for j=1:num_data1; R1(i,j)=gaus(X(i)-Xc(j),s); end end W=(inv(R1’*R1)*(R1’))*Yd; %Calculo de Pesos Yp=R1*W; figure(1); plot(X,Yd,’-’) hold on plot(X,Yp,’x’) hold on plot(Xc,Yc,’+’) hold off axis([-1.1 1.1 -1.1 1.1])

% FIN PROGRAMA: RBF2.m %%%%%%%%%%% - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - % Funcion gaussiana % r expansion % Inicia Funcion gaus

%%%%%%%%%%%

function y=gaus(x,r) y=exp(-0.5*(x/r)^2);

%

% Termina funcion gaus %%%%%%%%%%% - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

B.3. % % % % % % % % %

Algoritmo de Proyecci´ on

MAYO,2002 CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO COMPILADOR: MATLAB 5.0 ALGORITMO DE PROYECCION INICIO PROGRAMA: proyec.m%%%%%%%%%%%

clear close all %TIEMPOS Tf=2; Ts=0.01; t=0:Ts:Tf;

156

– JMFA –


B.3. Algoritmo de Proyección

%FRECUENCIAS f1=1/1; f2=10; %CONSTANTES a=0.1; c=0.001; %PARAMETROS par=[-295.803E-3; 703.648E-3; 10607.511E-3; 10607.511E-3]; %ESTIMADO INICIAL pe(:,1:2)=[0 0;0 0;0 0;0 0]; %SALIDA INICIAL y(1:2)=[0;0]; %ENTRADA INICIAL u(1:2)=[0;0];

for k=3:(Tf/Ts)+1; %REGRESOR reg=[y(k-1);y(k-2);u(k-1);u(k-1)]; %SALIDA DEL SISTEMA y(k)=(reg’)*par; %MODELO ye(k)=(reg’)*pe(:,k-1); %ERROR DE SALIDA e(k)=y(k)-ye(k); %ALGORITMO DE PROYECCION g=reg/(reg’*reg+ c); %ACTUALIZACION DE LA ESTIMACION pe(:,k)=pe(:,k-1)+a*g*e(k); %ENTRADA u(k)=1*sin(2*pi*f1*(k-1)*Ts)+1*sin(2*pi*f2*(k-1)*Ts); end Tf2=(1/2)*Tf; t2=0:Ts:Tf2; r=size(t2,2); plot(t2,[y(1:r); ye(1:r)]); figure line([0 0 0 0;Tf Tf Tf Tf],[par’; par’]); hold on plot(t,pe) hold off figure subplot(4,1,1) plot(t,e)% subplot(4,1,2) plot(t,pe(1,:)-par(1))% subplot(4,1,3) plot(t,pe(2,:)-par(2))% subplot(4,1,4) plot(t,pe(3,:)-par(3))% % TERMINA PROGRAMA: proyec.m%%%%%%%%%%%

– JMFA –

157

B.4. Algoritmo de Proyección Ortogonal


----------------------------------------

B.4. % % % % % % % % %

Algoritmo de Proyecci´ on Ortogonal

MAYO,2002 CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO COMPILADOR: MATLAB 5.0 ALGORITMO DE PROYECCION ORTOGONAL INICIO PROGRAMA: porto.m%%%%%%%%%%%

clear close all %TIEMPOS Tf=2; Ts=0.005; t=0:Ts:Tf %FRECUENCIAS f1=1; f2=10; %CONSTANTES c=0.001; par=[-295.803E-3; 703.648E-3; 10607.511E-3; 10607.511E-3]; %ESTIMADO INICIAL pe(:,1:2)=[0 0;0 0;0 0;0 0]; %SALIDA INICIAL y(1:2)=[0;0]; %ENTRADA INICIAL u(1:2)=0;

P=eye(4); for k=3:(Tf/Ts)+1; %REGRESOR reg=[y(k-1);y(k-2);u(k-1);u(k-1)]; y(k)=(reg’)*par; %MODELO ye(k)=(reg’)*pe(:,k-1); %ERROR DE SALIDA e(k)=y(k)-ye(k); %ALGORITMO DE PROYECCION ORTOGONAL g=P*reg/(c+reg’*P*reg);

158

– JMFA –


B.5. Algoritmo de M´ınimos Cuadrados

pe(:,k)=pe(:,k-1)+g*e(k); P=P-P*reg*reg’*P/(c+reg’*P*reg); %ENTRADA u(k)=1*sin(2*pi*f1*(k-1)*Ts)+1*sin(2*pi*f2*(k-1)*Ts); end Tf2=1; t2=0:Ts:Tf2; r=size(t2,2); plot(t2,[y(1:r); ye(1:r)]); figure line([0 0 0 0;Tf Tf Tf Tf],[par’; par’]); hold on plot(t,pe) hold off figure subplot(4,1,1) plot(t,e) subplot(4,1,2) plot(t,pe(1,:)-par(1)) subplot(4,1,3) plot(t,pe(2,:)-par(2)) subplot(4,1,4) plot(t,pe(3,:)-par(3)) % FIN PROGRAMA: porto.m%%%%%%%%%%% ----------------------------------------

B.5. % % % % % % % % %

Algoritmo de M´ınimos Cuadrados

MAYO,2002 CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO COMPILADOR: MATLAB 5.0 ALGORITMO MINIMOS CUADRADOS INICIO PROGRAMA: lms.m%%%%%%%%%%%

clear close all %TIEMPOS Tf=2; Ts=0.01; t=0:Ts:Tf; %FRECUENCIAS f1=1; f2=10; %CONSTANTES c=1; par=[-295.803E-3; 703.648E-3; 10607.511E-3; 10607.511E-3]; %ESTIMADO INICIAL pe(:,1:2)=[0 0;0 0;0 0;0 0]; %SALIDA INICIAL y(1:2)=[0;0];

– JMFA –

159

B.6. Ident. Vel. Motor cc. con RN Estática


%ENTRADA INICIAL u(1:2)=0;

P=1*eye(4); for k=3:(Tf/Ts)+1; %REGRESOR reg=[y(k-1);y(k-2);u(k-1);u(k-1)]; y(k)=(reg’)*par; %MODELO ye(k)=(reg’)*pe(:,k-1); %ERROR DE SALIDA e(k)=y(k)-ye(k); %ALGORITMO MINIMOS CUADRADOS g=P*reg/(1+reg’*P*reg); pe(:,k)=pe(:,k-1)+g*e(k); P=P-P*reg*reg’*P/(1+reg’*P*reg); %ENTRADA u(k)=1*sin(2*pi*f1*(k-1)*Ts)+1*sin(2*pi*f2*(k-1)*Ts); end Tf2=1; t2=0:Ts:Tf2; r=size(t2,2); plot(t2,[y(1:r); ye(1:r)]); figure line([0 0 0 0;Tf Tf Tf Tf],[par’; par’]); hold on plot(t,pe) hold off figure subplot(4,1,1) plot(t,e) subplot(4,1,2) plot(t,pe(1,:)-par(1)) subplot(4,1,3) plot(t,pe(2,:)-par(2)) subplot(4,1,4) plot(t,pe(3,:)-par(3)) % FIN PROGRAMA: lms.m%%%%%%%%%%% ----------------------------------------

B.6.

Identificaci´ on de la velocidad de un Motor de cc. usando una RN Est´ atica

% JUNIO,2002 % CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN % DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO

160

– JMFA –

Cap´ıtulo B. Programas de Cómputo % % % % % % %


PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO COMPILADOR: MATLAB 5.2 IDENTIFICACION DEL MODELO DE VELOCIDAD DE UN MOTOR DE CD USANDO UNA RED NEURONAL ESTATICA INICIO PROGRAMA: nn_mot.m%%%%%%%%%%%

clear all close all %TIEMPOS Tf=5; Ts=0.005; t=0:Ts:Tf; % # Numero de Epocas epf=350; % Parametros de entrenamiento eta=0.00007; alfa=0.00001; %# de entradas;# nodos ocultos;# salidas no=4;n1=10; n2=1; %g escala para Tanh g=200; %Bias bias1=0; bias2=0; %Pesos iniciales W1=0.001*rand(n1,1+no); DW1=zeros(n1,1+no); W2=0.001*rand(n2,n1+1); DW2=zeros(n2,n1+1); %Parametros del Motor (velocidad) par=[-295.803E-3; 703.648E-3; 10607.511E-3; 10607.511E-3]; %SALIDA INICIAL y(1:2)=zeros(1,2); yg(1:2)=zeros(1,2); ynng(1:2)=zeros(1,2); %ENTRADA INICIAL u(1:2)=zeros(1,2); ug(1:2)=zeros(1,2); %FRECUENCIAS f1=0.5; f2=2; f3=10; %Inicializaciones Ec=0; Tf2=2; t1=0:Ts:Tf; t2=0:Ts:Tf2; for ep=1:epf, % EPOCAS for k=3:(Tf/Ts)+1, %SIMULACION %REGRESOR

– JMFA –

161



reg=[y(k-1);y(k-2);u(k-1);u(k-2)]; %Velocidad Motor y(k)=(reg’)*par; % Paso hacia adelante S1=W1*[bias1;reg]; O1=g*tanh(S1/g); S2=W2*[bias2;O1]; ynn(k)=S2; % Salida de la RN % paso hacia atras e=y(k)-ynn(k); % Error Ec=Ec+(e^2); % Suma de e^2 E1(k)=(0.5/k)*Ec; grad1=-e; % Gradiente de salida. grad2=(1-(O1/g).^2).*W2(1,2:n1+1)’*grad1; % Gradiente2. % Actualizacion de Pesos tmp2=W2; W2=W2-eta*grad1*[bias2;O1]’+alfa*DW2;%*exp(-k*Ts/1); DW2=W2-tmp2; tmp1=W1; W1=W1-eta*grad2*[bias1;reg]’+alfa*DW1;%*exp(-k*Ts/1); DW1=W1-tmp1; %ENTRADA u(k)=1*cos(2*pi*f1*k*Ts)+2*cos(2*pi*f2*k*Ts)... +0.5*sin(2*pi*f3*k*Ts); end ep figure(1) subplot(2,1,1) plot(t1,[y; ynn]) subplot(2,1,2) plot(t1,E1) drawnow Ec=0; % Generalizacion for k=3:(Tf2/Ts)+1, %REGRESOR reg=[yg(k-1);yg(k-2);ug(k-1);ug(k-2)]; %Velocidad Motor yg(k)=(reg’)*par; reg2=[ynng(k-1);ynng(k-2);ug(k-1);ug(k-2)]; % Paso hacia adelante S1=W1*[bias1;reg2];

162

– JMFA –


B.7. Ident. No lineal con RN Estática

O1=g*tanh(S1/g); S2=W2*[bias2;O1]; ynng(k)=S2; % Salida de la RN %Error e=yg(k)-ynng(k); % Error Ec=Ec+(e^2); % Suma de e^2 E2(k)=(0.5/k)*Ec; %ENTRADA if k*Ts<0.5 ug(k)=0.1*sin(2*pi*2*k*Ts); elseif k*Ts<0.75 ug(k)=0.05; elseif k*Ts<1 ug(k)=0; elseif k*Ts<=2 ug(k)=0.1*cos(2*pi*1*k*Ts); end end figure(2) subplot(2,1,1); plot(t2,[yg; ynng]) subplot(2,1,2); plot(t2,E2) drawnow Ec=0; end % FIN PROGRAMA: nn_mot.m%%%%%%%%%%%

B.7. % % % % % % % % % %

Identificaci´ on de un Sistema No Lineal Usando una RN Est´ atica

JUNIO,2002 CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO COMPILADOR: MATLAB 5.2 IDENTIFICACION DEL MODELO DE UN SISTEMA NO LINEAL USANDO UNA RED NEURONAL ESTATICA INICIO PROGRAMA: nn_id.m%%%%%%%%%%%

clear all close all % # Numero de Epocas epf=30; % Parametros de entrenamiento eta=0.04; alfa=0.04;

– JMFA –

163



%# de entradas;# nodos ocultos;# salidas no=5;n1=10; n2=1; %g escala para Tanh g=0.5; %Bias bias1=0; bias2=0; %Pesos iniciales W1=0.001*rand(n1,1+no); DW1=zeros(n1,1+no); W2=0.001*rand(n2,n1+1); DW2=zeros(n2,n1+1); %SALIDA INICIAL yp(1:3)=zeros(1,3); yn(1:3)=zeros(1,3); ypg(1:3)=zeros(1,3); yng(1:3)=zeros(1,3); %ENTRADA INICIAL u(1:2)=zeros(1,2); ug(1:2)=zeros(1,2); %Inicializaciones Ec=0; for ep=1:epf, % EPOCAS for k=3:999, %SIMULACION %ENTRADA u(k)=0.80*sin(2*pi*k/250)+0.3*cos(2*pi*k/25); %MODELO NO LINEAL Num=yp(k)*yp(k-1)*yp(k-2)*u(k-1)*(yp(k-2)-1)+u(k); Den=1+yp(k-2)^2+yp(k-1)^2; yp(k+1)=Num/Den; in1=[yp(k);yp(k-1);yp(k-2);u(k);u(k-1)]; % Paso hacia adelante S1=W1*[bias1;in1]; O1=g*tanh(S1/g); S2=W2*[bias2;O1]; yn(k+1)=S2; % Salida de la RN % paso hacia atras e=yp(k+1)-yn(k+1); % Error Ec=Ec+(e^2); % Suma de e^2 E1(k)=(0.5/k)*Ec; grad1=-e; % Gradiente de salida. grad2=(1-(O1/g).^2).*W2(1,2:n1+1)’*grad1; % Gradiente2. % Actualizacion de Pesos tmp2=W2; W2=W2-eta*grad1*[bias2;O1]’+alfa*DW2;%*exp(-k*Ts/1); DW2=W2-tmp2;

164

– JMFA –



tmp1=W1; W1=W1-eta*grad2*[bias1;in1]’+alfa*DW1;%*exp(-k*Ts/1); DW1=W1-tmp1; end ep figure(1) subplot(2,1,1) plot(0:999,[yp; yn]) subplot(2,1,2) plot(0:998,E1) drawnow Ec=0; % Generalizacion for k=3:599, %ENTRADA if k<150, ug(k)=0.5*sin(2*pi*k/50); elseif k<200 ug(k)=0.5; elseif k<250 ug(k)=-0.5; elseif k<=600 ug(k)=0.4*cos(2*pi*k/200); end %MODELO NO LINEAL Num=ypg(k)*ypg(k-1)*ypg(k-2)*ug(k-1)*(ypg(k-2)-1)+ug(k); Den=1+ypg(k-2)^2+ypg(k-1)^2; ypg(k+1)=Num/Den; in2=[yng(k);yng(k-1);yng(k-2);ug(k);ug(k-1)]; % Paso hacia adelante S1=W1*[bias1;in2]; O1=g*tanh(S1/g); S2=W2*[bias2;O1]; yng(k+1)=S2; % Salida de la RN %Error e=ypg(k+1)-yng(k+1); % Error Ec=Ec+(e^2); % Suma de e^2 E2(k)=(0.5/k)*Ec; end figure(2) subplot(2,1,1); plot(0:599,[ypg; yng]) subplot(2,1,2);

– JMFA –

165

B.8. Ident. Vel. Motor cc. con RNRE


plot(0:598,E2) drawnow Ec=0; end % FIN PROGRAMA: nn_id.m%%%%%%%%%%%

B.8. % % % % % % % % % %

Identificaci´ on de la Velocidad de un Motor de CC. Usando una Red Neuronal Recurrente Entrenable

JUNIO,2002 CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO COMPILADOR: MATLAB 5.2 IDENTIFICACION DEL MODELO DE VELOCIDAD DE UN MOTOR DE CD USANDO UNA RED NEURONAL RECURRENTE ENTRENABLE INICIO PROGRAMA: rnre_id1.m%%%%%%%%%%%

clear all clc clear %Tiempos Ts=0.005; % Tiempo de muestreo Tf=5; % Tiempo de Entrenamiento Tf2=4; % Tiempo de Generalizacin %epoca epf=5; %Razon de aprendizaje eta1=0.0005; alfa1=0.005; eta2=0.00001; alfa2=0.0001; eta3=0.0001; alfa3=0.001; %escala para tanh Sc1=20; %Definicion de bias biasc=0; %biasc=0; biasb=0; %biasb=0;

%Dimensiones de la RN ni=1; %# Entradas n=5; %# Nodos no=1; %# Salidas

%Inicializacion de pesos B=0.001*randn(n,ni+1); DB=zeros(n,ni+1);

166

– JMFA –



J=0.001*randn(n,3); DJ=zeros(n,1); C=0.001*randn(no,n+1); DC=zeros(no,n+1); x=0.001*randn(n,3); %Inicializacion sistema w=zeros(1:2); wg=zeros(1:2); u=zeros(1:2); ug=zeros(1:2);

for ep=1:epf for k=3:(Tf/Ts)+3, %Referencia de entrada u(k)=0.5*cos(pi*k*Ts)+... 1*cos(4*pi*k*Ts);%+... %0.25*sin(20*pi*k*Ts); %Sistema a identificar %"Modelo de la Velocidad de un Motor de CD" w(k)=-295.803E-3*w(k-1)+... 703.648E-3*w(k-2)+... 10607.511E-3*(u(k-1)+u(k-2)); %Paso hacia adelante s1=B*[biasb; u(:,k)]; x(:,k+1)=J(:,k).*x(:,k)+s1; z=Sc1*tanh(x(:,k)/Sc1); s2=C*[biasc; z]; y(:,k)=1*(s2); %Error yd(:,k)=w(k); e=yd(:,k)-y(:,k); %Paso Hacia atras %Entrenamiento lgrad1=e*1; lgradx=(((lgrad1’)*C(:,2:n+1))’).*(1-(z/Sc1).^2); %Actualizacion de pesos Ctemp=C; C=C+eta1*(lgrad1*[biasc; z]’)+alfa1*DC; DC=C-Ctemp; Jtemp=J(:,k); J(:,k+1)=J(:,k)+eta2*(lgradx.*x(:,k-1))+alfa2*DJ; ji=find(abs(J(:,k+1))>0.9); if ~isempty(ji), J(ji,k+1)=0.8*sign(J(ji,k+1)); end DJ=J(:,k+1)-Jtemp;

– JMFA –

167



Btemp=B; B=B+eta3*(lgradx*[biasb; u(:,k-1)]’)+alfa3*DB; DB=B-Btemp; end t=0:Ts:Tf; figure(1) plot(t,[yd(3:size(yd,2));y(3:size(y,2))]); title(’Identificacin-Entrenamiento’) drawnow t2=0:Ts:Tf2;% JJ=J(:,k); % Generalizacion for k=3:(Tf2/Ts)+3, %ENTRADA if k*Ts<1, ug(k)=0.1*sin(4*pi*k*Ts); elseif k*Ts<1.5 ug(k)=0.05; elseif k*Ts<2 ug(k)=0; elseif k*Ts<=(Tf2/Ts)+3 ug(k)=0.1*cos(2*pi*k*Ts); end %Sistema a identificar %"Modelo de la Velocidad de un Motor de CD" wg(k)=-295.803E-3*wg(k-1)+... 703.648E-3*wg(k-2)+... 10607.511E-3*(ug(k-1)+ug(k-2));

%Paso hacia adelante s1=B*[biasb; ug(:,k)]; x(:,k+1)=JJ.*x(:,k)+s1; z=Sc1*tanh(x(:,k)/Sc1); s2=C*[biasc; z]; yng(:,k)=1*(s2);

ydg(:,k)=wg(k); end ep figure(2) plot(t2,[ydg(3:size(ydg,2)); yng(3:size(yng,2))]) title(’Identificacin-Generalizacin’) drawnow end % FIN PROGRAMA: rnre_id1.m%%%%%%%%%%%

168

– JMFA –


B.9.

% % % % % % % % % %

B.9. Ident. No Lineal con RNRE

Identificaci´ on de un Sistema No Lineal Usando una Red Neuronal Recurrente Entrenable

JUNIO,2002 CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO COMPILADOR: MATLAB 5.2 IDENTIFICACION DE UN SISTEMA NO LINEAL USANDO UNA RED NEURONAL RECURRENTE ENTRENABLE INICIO PROGRAMA: rnre_id2.m%%%%%%%%%%%

clear all clc clear

%epoca epf=3; %Razon de aprendizaje eta1=0.05; alfa1=0.05; eta2=0.005; alfa2=0.005; eta3=0.05; alfa3=0.05; %escala para tanh Sc1=0.5; %Definicion de bias biasc=-1; %biasc=0; biasb=-1; %biasb=0; %Dimensiones de la RN ni=1; %# Entradas n=5; %# Nodos no=1; %# Salidas %Inicializacion de pesos B=0.001*randn(n,ni+1); DB=zeros(n,ni+1); J=0.001*randn(n,3); DJ=zeros(n,1); C=0.001*randn(no,n+1); DC=zeros(no,n+1); x=0.001*randn(n,3); %Inicializacion sistema yp(1:3)=zeros(1,3); yn(1:3)=zeros(1,3); ypg(1:3)=zeros(1,3); yng(1:3)=zeros(1,3); u=zeros(1:2); ug=zeros(1:2);

for ep=1:epf

– JMFA –

169

B.9. Ident. No Lineal con RNRE


EC1=0; for k=3:999, %Referencia de entrada u(k)=0.80*sin(2*pi*k/250)+... 0.3*cos(2*pi*k/25); %MODELO NO LINEAL Num=yp(k)*yp(k-1)*yp(k-2)*u(k-1)*(yp(k-2)-1)+u(k); Den=1+yp(k-2)^2+yp(k-1)^2; yp(k+1)=Num/Den;

%Paso hacia adelante s1=B*[biasb; u(:,k)]; x(:,k+1)=J(:,k).*x(:,k)+s1; z=Sc1*tanh(x(:,k)/Sc1); s2=C*[biasc; z]; yn(:,k)=1*(s2); %Error e=yp(:,k)-yn(:,k); EC1=EC1+e^2; MSE1(k)=(0.5/k)*EC1; %Paso Hacia atras %Entrenamiento lgrad1=e*1; lgradx=(((lgrad1’)*C(:,2:n+1))’).*(1-(z/Sc1).^2); %Actualizacion de pesos Ctemp=C; C=C+eta1*(lgrad1*[biasc; z]’)+alfa1*DC; DC=C-Ctemp; Jtemp=J(:,k); J(:,k+1)=J(:,k)+eta2*(lgradx.*x(:,k-1))+alfa2*DJ; ji=find(abs(J(:,k+1))>0.9); if ~isempty(ji), J(ji,k+1)=0.8*sign(J(ji,k+1)); end DJ=J(:,k+1)-Jtemp; Btemp=B; B=B+eta3*(lgradx*[biasb; u(:,k-1)]’)+alfa3*DB; DB=B-Btemp; end figure(1) subplot(2,1,1) plot(0:998,[yp(2:size(yp,2)); yn]);

170

– JMFA –


B.10. Ident. No Lineal MIMO con RNRE

title(’Identificacin-Entrenamiento’) subplot(2,1,2) plot(0:998,MSE1) drawnow EC2=0; JJ=J(:,k); % Generalizacion for k=3:599, %ENTRADA if k<150, ug(k)=0.5*sin(2*pi*k/50); elseif k<200 ug(k)=0.5; elseif k<250 ug(k)=-0.5; elseif k<=600 ug(k)=0.4*cos(2*pi*k/200); end %MODELO NO LINEAL Num=ypg(k)*ypg(k-1)*ypg(k-2)*ug(k-1)*(ypg(k-2)-1)+ug(k); Den=1+ypg(k-2)^2+ypg(k-1)^2; ypg(k+1)=Num/Den;

%Paso hacia adelante s1=B*[biasb; ug(:,k)]; x(:,k+1)=JJ.*x(:,k)+s1; z=Sc1*tanh(x(:,k)/Sc1); s2=C*[biasc; z]; yng(:,k)=1*(s2); %Error e=ypg(:,k)-yng(:,k); EC2=EC2+e^2; MSE2(k)=(0.5/k)*EC2; end ep figure(2) subplot(2,1,1); plot(0:598,[ypg(2:size(ypg,2)); yng]) title(’Identificacin-Generalizacin’) subplot(2,1,2); plot(0:598,MSE2) drawnow end % FIN PROGRAMA: rnre_id2.m%%%%%%%%%%%

B.10. % % % %

Identificaci´ on de un Sistema No Lineal MIMO Usando una Red Neuronal Recurrente Entrenable

JUNIO,2002 CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO

– JMFA –

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% COMPILADOR: MATLAB 5.2 % % IDENTIFICACION DE UN SISTEMA NO LINEAL MIMO % USANDO UNA RED NEURONAL RECURRENTE ENTRENABLE % % INICIO PROGRAMA: rnre_id3.m%%%%%%%%%%% clear all clc close %epoca epf=20; %Razon de aprendizaje eta1=0.01; alfa1=0.01; eta2=0.001; alfa2=0.001; eta3=0.01; alfa3=0.01; %escala para tanh Sc1=0.5; %Definicion de bias biasc=-1; %biasc=0; biasb=-1; %biasb=0; %Dimensiones de la RN ni=2; %# Entradas n=10; %# Nodos no=2; %# Salidas %Inicializacion de pesos B=0.001*randn(n,ni+1); DB=zeros(n,ni+1); J=0.001*randn(n,3); DJ=zeros(n,1); C=0.001*randn(no,n+1); DC=zeros(no,n+1); x=0.001*randn(n,3); %Inicializacion sistema yp=zeros(2,3); yn=zeros(2,3); ypg=zeros(2,3); yng=zeros(2,3); u=zeros(2,3); ug=zeros(2,3);

for ep=1:epf EC1=0; for k=2:500, %Referencia de entrada u(1,k)=0.8*sin(2*pi*k/100)+0.3*cos(2*pi*k/10); u(2,k)=1.5*cos(2*pi*k/200)+0.3*sin(2*pi*k/20); %MODELO NO LINEAL %subsistema 1 yp(1,k+1)=0.5*(yp(1,k)/(1+yp(2,k)^2)+u(1,k));

172

– JMFA –



yp(2,k+1)=0.5*(yp(1,k)*yp(2,k)/(1+yp(2,k)^2)+u(2,k)); %Paso hacia adelante s1=B*[biasb; u(:,k)]; x(:,k+1)=J(:,k).*x(:,k)+s1; z=Sc1*tanh(x(:,k)/Sc1); s2=C*[biasc; z]; yn(:,k)=1*(s2); %Error e=yp(:,k)-yn(:,k); EC1=EC1+e.^2; MSE1(:,k)=(0.5/k)*EC1; %Paso Hacia atras %Entrenamiento lgrad1=e*1; lgradx=(((lgrad1’)*C(:,2:n+1))’).*(1-(z/Sc1).^2); %Actualizacion de pesos Ctemp=C; C=C+eta1*(lgrad1*[biasc; z]’)+alfa1*DC; DC=C-Ctemp; Jtemp=J(:,k); J(:,k+1)=J(:,k)+eta2*(lgradx.*x(:,k-1))+alfa2*DJ; ji=find(abs(J(:,k+1))>0.9); if ~isempty(ji), J(ji,k+1)=0.8*sign(J(ji,k+1)); end DJ=J(:,k+1)-Jtemp; Btemp=B; B=B+eta3*(lgradx*[biasb; u(:,k-1)]’)+alfa3*DB; DB=B-Btemp; end figure(1) subplot(2,1,1) plot(0:499,[yp(:,2:size(yp,2));yn]) title(’Identificacin-Entrenamiento’) subplot(2,1,2) plot(0:499,MSE1) drawnow EC2=0; % Generalizacion JJ=J(:,k); for k=2:500,

– JMFA –

173

B.11. Ident. Múltimodelo No Lineal MIMO con RNRE


%Referencia de entrada if k<=150, ug(1,k)=0.5*sin(2*pi*k/50); elseif k<=275 ug(1,k)=0.7; elseif k<=400 ug(1,k)=-0.7; elseif k<=500 ug(1,k)=0.7*sin(2*pi*k/100); end if k<=150, ug(2,k)=0.5*sin(2*pi*k/50); elseif k<=275 ug(2,k)=0.7; elseif k<=400 ug(2,k)=-0.7; elseif k<=500 ug(2,k)=0.7*sin(2*pi*k/100); end %SISTEMA ypg(1,k+1)=0.5*(ypg(1,k)/(1+ypg(2,k)^2)+ug(1,k)); ypg(2,k+1)=0.5*(ypg(1,k)*ypg(2,k)/(1+ypg(2,k)^2)+ug(2,k)); %Paso hacia adelante s1=B*[biasb; ug(:,k)]; x(:,k+1)=JJ.*x(:,k)+s1; z=Sc1*tanh(x(:,k)/Sc1); s2=C*[biasc; z]; yng(:,k)=1*(s2); %Error e=ypg(:,k)-yng(:,k); EC2=EC2+e.^2; MSE2(:,k)=(0.5/k)*EC2; end ep figure(2) subplot(2,1,1); plot(0:499,[ypg(:,2:size(ypg,2)); yng]) title(’Identificacin-Generalizacin’) subplot(2,1,2); plot(0:499,MSE2) drawnow end %% FIN PROGRAMA: rnre_id3.m%%%%%%%%%%%

B.11.

Identificaci´ on M´ ultimodelo de un Sistema No Lineal MIMO Usando una Red Neuronal Recurrente Entrenable

% JUNIO,2002

174

– JMFA –



% CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN % DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO % PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO % COMPILADOR: MATLAB 5.2 % % IDENTIFICACION MULTI-MODELO DE UN SISTEMA NO LINEAL MIMO % USANDO UNA RED NEURONAL RECURRENTE ENTRENABLE % % INICIO PROGRAMA: rnre_id4.m%%%%%%%%%%% clear all clc close %epoca epf=40; %Razon de aprendizaje eta1=0.01; alfa1=0.01; eta2=0.001; alfa2=0.001; eta3=0.01; alfa3=0.01; %escala para tanh Sc1=0.5; %Definicion de bias biasc1=-1; %biasc=0; biasb1=-1; %biasb=0; biasc2=-1; biasb2=-1;

%biasc=0; %biasb=0;

%Dimensiones de la RN ni=2; %# Entradas n=10; %# Nodos no=2; %# Salidas %Inicializacion de pesos RNRE1 B1=0.001*randn(n,ni+1); DB1=zeros(n,ni+1); J1=0.001*randn(n,3); DJ1=zeros(n,1); C1=0.001*randn(no,n+1); DC1=zeros(no,n+1); x1=0.001*randn(n,3); %Inicializacion de pesos RNRE1 B2=0.001*randn(n,ni+1); DB2=zeros(n,ni+1); J2=0.001*randn(n,3); DJ2=zeros(n,1); C2=0.001*randn(no,n+1); DC2=zeros(no,n+1); x2=0.001*randn(n,3); %Inicializacion sistema

– JMFA –

175

B.11. Ident. Múltimodelo No Lineal MIMO con RNRE yp=zeros(2,3); ypg=zeros(2,3); u=zeros(2,3); ug=zeros(2,3); for ep=1:epf EC1=0;EC2=EC1;EC3=EC2; for k=2:500, %Referencia de entrada u(1,k)=0.8*sin(2*pi*k/100)+0.3*cos(2*pi*k/10); u(2,k)=1.5*cos(2*pi*k/200)+0.3*sin(2*pi*k/20); nn=find(u(:,k)<0); up=u; if ~isempty(nn) up(nn,k)=zeros(size(nn,1),1); end pp=find(u(:,k)>0); un=u; if ~isempty(pp) un(pp,k)=zeros(size(pp,1),1); end %MODELO NO LINEAL %subsistema 1 yp(1,k+1)=0.5*(yp(1,k)/(1+yp(2,k)^2)+u(1,k)); yp(2,k+1)=0.5*(yp(1,k)*yp(2,k)/(1+yp(2,k)^2)+u(2,k)); nn=find(yp(:,k)<0); ypp=yp; if ~isempty(nn) ypp(nn,k)=zeros(size(nn,1),1); end pp=find(yp(:,k)>0); ynp=yp; if ~isempty(pp) ynp(pp,k)=zeros(size(pp,1),1); end %Paso hacia adelante RNRE1 s11=B1*[biasb1; up(:,k)]; x1(:,k+1)=J1(:,k).*x1(:,k)+s11; z1=Sc1*tanh(x1(:,k)/Sc1); s21=C1*[biasc1; z1]; ypn(:,k)=1*(s21); %Paso hacia adelante RNRE2 s12=B2*[biasb2; un(:,k)]; x2(:,k+1)=J2(:,k).*x2(:,k)+s12; z2=Sc1*tanh(x2(:,k)/Sc1); s22=C2*[biasc2; z2]; ynn(:,k)=1*(s22);

176

– JMFA –




%Error 1 e1=ypp(:,k)-ypn(:,k); %Error 2 e2=ynp(:,k)-ynn(:,k); e3=e1+e2; EC1=EC1+e1.^2; MSE1(:,k)=(0.5/k)*EC1; EC2=EC2+e2.^2; MSE2(:,k)=(0.5/k)*EC2; EC3=EC3+e3.^2; MSE3(:,k)=(0.5/k)*EC3;

%Paso Hacia atras 1 %Entrenamiento 1 lgrad1=e1*1; lgradx=(((lgrad1’)*C1(:,2:n+1))’).*(1-(z1/Sc1).^2); %Actualizacion de pesos 1 Ctemp1=C1; C1=C1+eta1*(lgrad1*[biasc1; z1]’)+alfa1*DC1; DC1=C1-Ctemp1; Jtemp1=J1(:,k); J1(:,k+1)=J1(:,k)+eta2*(lgradx.*x1(:,k-1))+alfa2*DJ1; ji=find(abs(J1(:,k+1))>0.9); if ~isempty(ji), J1(ji,k+1)=0.8*sign(J1(ji,k+1)); end DJ1=J1(:,k+1)-Jtemp1; Btemp1=B1; B1=B1+eta3*(lgradx*[biasb1; up(:,k-1)]’)+alfa3*DB1; DB1=B1-Btemp1; %Paso Hacia atras 2 %Entrenamiento 2 lgrad1=e2*1; lgradx=(((lgrad1’)*C2(:,2:n+1))’).*(1-(z2/Sc1).^2); %Actualizacion de pesos 1 Ctemp2=C2; C2=C2+eta1*(lgrad1*[biasc2; z2]’)+alfa1*DC2; DC2=C2-Ctemp2; Jtemp2=J2(:,k); J2(:,k+1)=J2(:,k)+eta2*(lgradx.*x2(:,k-1))+alfa2*DJ2; ji=find(abs(J2(:,k+1))>0.9);

– JMFA –

177

B.11. Ident. Múltimodelo No Lineal MIMO con RNRE if ~isempty(ji), J2(ji,k+1)=0.8*sign(J2(ji,k+1)); end DJ2=J2(:,k+1)-Jtemp2; Btemp2=B2; B2=B2+eta3*(lgradx*[biasb2; un(:,k-1)]’)+alfa3*DB2; DB2=B2-Btemp2; end figure(1) subplot(2,1,1) plot(0:499,[yp(:,2:size(yp,2));ypn]) title(’Identificacin-Entrenamiento RNRE1’) subplot(2,1,2) plot(0:499,[yp(:,2:size(yp,2));ynn]) title(’Identificacin-Entrenamiento RNR2’) drawnow EC1=0;EC2=EC1;EC3=EC2; %Generalizacion JJ1=J1(:,k); JJ2=J2(:,k); for k=2:500, %Referencia de entrada if k<=150, ug(1,k)=0.5*sin(2*pi*k/50); elseif k<=275 ug(1,k)=0.7; elseif k<=400 ug(1,k)=-0.7; elseif k<=500 ug(1,k)=0.7*sin(2*pi*k/100); end if k<=150, ug(2,k)=0.5*sin(2*pi*k/50); elseif k<=275 ug(2,k)=0.7; elseif k<=400 ug(2,k)=-0.7; elseif k<=500 ug(2,k)=0.7*sin(2*pi*k/100); end nn=find(ug(:,k)<0); upg=ug; if ~isempty(nn) upg(nn,k)=zeros(size(nn,1),1); end pp=find(ug(:,k)>0); ung=ug; if ~isempty(pp)

178

– JMFA –




ung(pp,k)=zeros(size(pp,1),1); end %SISTEMA ypg(1,k+1)=0.5*(ypg(1,k)/(1+ypg(2,k)^2)+ug(1,k)); ypg(2,k+1)=0.5*(ypg(1,k)*ypg(2,k)/(1+ypg(2,k)^2)+ug(2,k)); nn=find(ypg(:,k)<0); yppg=ypg; if ~isempty(nn) yppg(nn,k)=zeros(size(nn,1),1); end pp=find(ypg(:,k)>0); ynpg=ypg; if ~isempty(pp) ynpg(pp,k)=zeros(size(pp,1),1); end %Paso hacia adelante RNRE1 s1=B1*[biasb1; upg(:,k)]; x1(:,k+1)=JJ1.*x1(:,k)+s1; z=Sc1*tanh(x1(:,k)/Sc1); s2=C1*[biasc1; z]; ypng(:,k)=1*(s2); %Paso hacia adelante RNRE2 s1=B2*[biasb2; ung(:,k)]; x2(:,k+1)=JJ2.*x2(:,k)+s1; z=Sc1*tanh(x2(:,k)/Sc1); s2=C2*[biasc1; z]; ynng(:,k)=1*(s2); %Error %Error e1=yppg(:,k)-ypng(:,k); e2=ynpg(:,k)-ynng(:,k); e3=e1+e2; EC1=EC1+e1.^2; MSE4(:,k)=(0.5/k)*EC1; EC2=EC2+e2.^2; MSE5(:,k)=(0.5/k)*EC2; EC3=EC3+e3.^2; MSE6(:,k)=(0.5/k)*EC3;

end ep figure(2) subplot(2,1,1);

– JMFA –

179

B.12. Modelado de Controlador


plot(0:499,[ypg(:,2:size(ypg,2)); ypng]) title(’Identificacin-Generalizacin RNRE1’) subplot(2,1,2); plot(0:499,[ypg(:,2:size(ypg,2)); ynng]) title(’Identificacin-Generalizacin RNRE2’) drawnow figure(3) subplot(2,1,1); plot(0:499, MSE1) title(’Identificacin-Entrenamiento MSE-RNRE1’) subplot(2,1,2); plot(0:499,MSE4) title(’Identificacin-Generalizacin MSE-RNRE1’) drawnow figure(4) subplot(2,1,1); plot(0:499, MSE3) title(’Identificacin-Entrenamiento MSE-RNRE2’) subplot(2,1,2); plot(0:499,MSE5) title(’Identificacin-Generalizacin MSE-RNRE2’) drawnow end figure(5) subplot(2,1,1); plot(0:499,[yp(:,2:size(yp,2)); ypn+ynn]) title(’Identificacin-Entrenamiento RNRE1+RNR2’) subplot(2,1,2); plot(0:499,[ypg(:,2:size(ypg,2)); ypng+ynng]) title(’Identificacin-Generalizacin RNRE1+RNRE2’) figure(6) subplot(2,1,1); plot(0:499, MSE3) title(’Identificacin-Entrenamiento MSE-RNRE1+RNRE2’) subplot(2,1,2); plot(0:499,MSE6) title(’Identificacin-Generalizacin MSE-RNRE1+RNRE2’)

%% FIN PROGRAMA: rnre_id4.m%%%%%%%%%%%

B.12. % % % % % % % % % %

Modelado de Controlador

SEPTIEMBRE,2002 CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO COMPILADOR: MATLAB 5.2 ENTRENAMIENTO DE UNA RN FF PARA EL CONTROL DEL MODELO DE UN MOTOR DE CD INICIO PROGRAMA: modctrl1.m%%%%%%%%%%%

clear all

180

– JMFA –



disp(’>>>> Programa en ejecucion !!!’); tfinal=10; Ts=0.005; nsamples=tfinal/Ts; t=0:Ts:tfinal; %PID PARAMETROS Kp=0.4; Kd=0; Ki=0.05; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %PARAMETROS DE RED eta=0.0001; alfa=0.0001; g2=nsamples; g3=50;g4=2;g5=5; %Dimensiones de la red no=5; n1=6; n2=1; %Pesos iniciales W1=0.1*randn(n1,1+no); DW1=zeros(n1,1+no); tmp1=DW1; W2=0.1*randn(n2,n1+1); DW2=zeros(n2,n1+1); tmp2=DW2; bias1=1; bias2=1; p=zeros(no,nsamples); ynn=zeros(1,nsamples); e=zeros(1,nsamples); ref=zeros(1,nsamples); ep=100; for i=1:ep, theta=(1E-3)*randn(1,3); u=(1E-3)*randn(1,3); ind1=0; for k=3:nsamples+2, % PLANTA theta(k+1)=(703.922E-3)*theta(k)... +(999.725E-3)*theta(k-1)... -(703.648E-3)*theta(k-2)... +(53.038E-3)*(u(k-1)+u(k-2)); if mod(k,nsamples/g5)==0 ref(k)=not(ref(k-1))+(1E-1)*randn; else ref(k)=ref(k-1); end % ERROR DE CONTROL e(k)=ref(k)-theta(k); % CONTROLADOR PID u(k)=Kp*(e(k)-e(k-1))+Ki*Ts*e(k)...

– JMFA –

181



+(Kd/Ts)*(e(k)-2*e(k-1)+e(k-2))... +u(k-1); % RED NEURONAL % Paso hacia adelante p=g3*[u(k-1); u(k-2); e(k);e(k-1);e(k-2)]; S1=W1*[bias1;p]; O1=tanh(S1);% S2=W2*[bias2;O1]; ynn(k)=S2;% Salida de la RN E=g3*u(k)-ynn(k); % Error de la RN % AJUSTE DE PESOS (BACKPROPAGATION) % paso hacia atras grad1=-E; % Gradiente de salida. grad2=((1-O1.^2)).*(W2(:,2:n1+1)’*grad1); % Gradiente2 % Actualizacion de Pesos tmp2=W2; W2=W2-eta*exp(-i*g4/ep)*grad1*[bias2;O1]’+... alfa*exp(-i*g4/ep)*DW2;% DW2=W2-tmp2; tmp1=W1; W1=W1-eta*exp(-i*g4/ep)*grad2*[bias1;p]’+... alfa*exp(-i*g4/ep)*DW1;% DW1=W1-tmp1; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if mod(i,10)==0, theta=zeros(1,nsamples); u=zeros(1,3); for k=3:nsamples+2, % PLANTA theta(k+1)=(703.922E-3)*theta(k)... +(999.725E-3)*theta(k-1)... -(703.648E-3)*theta(k-2)... +(53.038E-3)*(u(k-1)+u(k-2)); if mod(k,nsamples/g5)==0 ref(k)=not(ref(k-1)); else ref(k)=ref(k-1); end % ERROR DE CONTROL e(k)=ref(k)-theta(k); % RED NEURONAL % Paso hacia adelante p=g3*[u(k-1); u(k-2);e(k);e(k-1);e(k-2)];

182

– JMFA –

Cap´ Cap ´ıtulo B. Programas de C´ C ómputo

B.13. Cinemática atica Inversa de dos Eslabones

S1=W1*[bias1;p]; S1=W1*[bias 1;p]; O1=ta O1=tanh(S1) nh(S1);% ;% S2=W2*[bias S2=W2* [bias2;O1]; 2;O1]; u(k)=S2/g3; u(k)=S2/g3;% % Salida de la RN end

plot(t,theta(3:nsamples+3),t(1:nsamples),ref(3:end plot(t,theta(3:nsamples+3),t(1:nsamp les),ref(3:end),’--k’); ),’--k’); title(’Mode title (’Modelado lado de Contr Controlador olador’) ’) xlab xl abel el(’ (’Re Refe fere renc ncia ia - -; -;Re Resp spue uest sta a -. Seg. Se g.’) ’); ; ylabel(’Rad ylabe l(’Rad.’); .’); axis( axis([0 [0 10-0. 10-0.5 5 1.5]) drawnow end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% end disp(’>>>> disp( ’>>>> Progra Programa ma termin terminado ado !!!’) !!!’); ; % FIN PROGR PROGRAMA: AMA: modctr modctrl1.m% l1.m%%%%%% %%%%%%%%%% %%%%%

B.13. % % % % % % % % % %

Cinem´ atica Inversa atica Inversa de dos Eslabones

AGOSTO,2002 AGOSTO,2002 CENTRO CEN TRO DE INV INVEST ESTIGA IGACIO CION N Y EST ESTUDI UDIOS OS AVA AVANZA NZADOS DOS DEL IPN DEPTO. DEP TO. DE CON CONTRO TROL L AUT AUTOMA OMATIC TICO O PROGRAMADOR PROGR AMADOR:JOS :JOSE E MARTIN FLORES ALBINO COMPIL COM PILADO ADOR: R: MAT MATLAB LAB 5.2 CINEMATIC CINEMA TICA A INV INVERS ERSA A DE DOS ESL ESLABO ABONES NES RED NEU NEURON RONAL AL DE MUL MULTIP TIPLES LES CAPAS INICIO INICI O PROGRA PROGRAMA: MA: CINV1. CINV1.m%%%%% m%%%%%%%%%% %%%%%% %

clear cle ar all all; ; clo close se all all; ; %Numero %Numer o de dat datos os t=19; nep=4000; nep=4 000; %Numero de Epoca Epocas s eg=1 eg =10; 0; %Rep %R epet etic icio ion n de Gr Graf afic icas as g2=(1)*nep; g2=(1 )*nep; t1=1; g1=0.8 g1=0.8; ; Emax= Emax=0.9E-4 0.9E-4; ; eta=0.01; alfa=0 eta=0.01; alfa=0.01; .01; %etha %etha;alfa ;alfa %# de ent entrad radas; as;# # nod nodos os ocu oculto ltos;# s;# sal salida idas s no=2 no =2; ; n1 n1=2 =25; 5; n2=2 n2 =25; 5; n3 n3=2 =2; ; bi bias as1= 1=1; 1; bi bias as2= 2=1; 1; bi bias as3= 3=1; 1;

alfa1=0:(3/2)*pi/t:(3/2)*pi; alfa1=0:(3/2)*pi/t:(3/2)* pi; alfa2=-pi:pi/t:0; alfa12=[]; for i=1:t+ alfa12=[]; i=1:t+1, 1, tmp=[alfa1;alfa2(i)*ones(size(alfa1))]; alfa12=[alfa12 tmp]; end %longitudes l1=0.5;l2=0.5;

– JMFA –

183

B.13. Cinemática Inversa de dos Eslabones

Cap´ıtulo B. Programas de Cómputo omputo

X=[];Y=[];XY=[]; X=l1*cos(alfa12(1,:))+l2 X=l1*cos(alfa12(1,:))+l2*cos(sum(alfa12 *cos(sum(alfa12)); )); Y=l1*sin(alfa12(1,:))+l2*sin(sum(alfa1 Y=l1*sin(alfa12(1,:))+l2* sin(sum(alfa12)); 2)); XY=[X;Y]; %%%%%%%%%%%%%%%%%% x=-0.7:1.4/ x=-0. 7:1.4/t:0.7 t:0.7; ; y=x; xy=[] xy=[]; ; for i=1:t+ i=1:t+1, 1, tmp=[x;y(i)*ones(size(x))]; xy=[xy xy=[x y tmp]; end xyp= xy p=[0 [0.5 .5 1. 1.0 0 0. 0.5 5 0. 0.5 5 0. 0.0 0 0. 0.0 0 -0 -0.5 .5 -0 -0.5 .5 -0 -0.5 .5 0. 0.0 0 -1.0 -1.0 -0.5 -0 .5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 1.0 0.5 0. 0.0 0 -0.5 -0.5 0.0 0.0 0. 0.0 0]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Pesos %Peso s inicia iniciales les W1=randn(n1,1+no); tmp1=zeros(n1,1+no); W2=randn(n2,n1+1); tmp2=zeros(n2,n1+1); W3=randn(n3,n2+1); tmp3=zeros(n3,n2+1); figure(1) figure (1) gri grid d vie view([ w([135 135 60] 60]) ) col colorm ormap( ap([0 [0 0 0]) xlabel(’x’);ylabel(’y’);zlabel(’\alpha xlabel(’x’);ylabel(’y’);z label(’\alpha_{1}’); _{1}’); title(’Cinemtica Inversa: Inver sa: \alpha \alpha_{1}’ _{1}’) ) hold on h2=[] h2=[]; ; figure(2) figure (2) gri grid d vie view([ w([135 135 60] 60]) ) col colorm ormap( ap([0 [0 0 0]) xlabel(’x’);ylabel(’y’);zlabel(’\alpha xlabel(’x’);ylabel(’y’);z label(’\alpha_{2}’); _{2}’); title(’Cinemtica Inversa: Inver sa: \alpha \alpha_{2}’ _{2}’) ) hold on h3=[] h3=[]; ; disp(’Presi disp( ’Presione one una tecla para conti continuar’) nuar’); ; pause Err=1; ep= Err=1; ep=1; 1; whi while le (ep (ep<=n <=nep ep & Err Err>Em >Emax) ax), , Ec=0; for k=1:(t k=1:(t+1)^2, +1)^2, % Pas Paso o hac hacia ia ade adelan lante te S1=W1*[bias1;XY(:,k)]; O1=g1./(1+exp(-S1/t1)); S2=W2*[bias2;O1]; O2=g1./(1+exp(-S2/t1)); ynn=W3*[bias3;O2]; E=alfa12(:,k)-ynn; % pas paso o hac hacia ia atr atras as grad1=-(40-39*exp(-ep/500))*E; grad1=-(40-39*exp(-ep/5 00))*E; % Gradiente1 grad2=((g1/t1)*(1-O2).*O2).*(W3(:,2: grad2=((g1/t1)*(1-O2).* O2).*(W3(:,2:n2+1)’*grad1); n2+1)’*grad1); % Gradiente2 grad3=((g1/t1)*(1-O1).*O1).*(W2(:,2: grad3=((g1/t1)*(1-O1).* O1).*(W2(:,2:n1+1)’*grad2); n1+1)’*grad2); % Gradiente3 % Actual Actualiza izacio cion n de Pes Pesos os DW3=W3-tmp3; tmp3=W3; W3=W3-eta*exp(-ep/g2)*grad1*[bias3;O W3=W3-eta*exp(-ep/g2)*g rad1*[bias3;O2]’+alfa*exp(2]’+alfa*exp(-ep/g2)*DW3; ep/g2)*DW3; DW2=W2-tmp2; tmp2=W2; W2=W2-eta*exp(-ep/g2)*grad2*[bias2;O W2=W2-eta*exp(-ep/g2)*g rad2*[bias2;O1]’+alfa*exp(1]’+alfa*exp(-ep/g2)*DW2; ep/g2)*DW2;

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– JMFA –


B.13. Cinemática atica Inversa de dos Eslabones

DW1=W1-tmp1; tmp1=W1; W1=W1-eta*exp(-ep/g2)*grad3*[bias1;X W1=W1-eta*exp(-ep/g2)*g rad3*[bias1;XY(:,k)]’+alfa* Y(:,k)]’+alfa*exp(-ep/g2)* exp(-ep/g2)*DW1; DW1; end XYp=[]; ynn=[] XYp=[]; ynn=[]; ; for i=1:11 i=1:11, , S1=W1*[bias1;xyp(:,i)]; O1=g1./(1+exp(-S1/t1)); S2=W2*[bias2;O1]; O2=g1./(1+exp(-S2/t1)); ynn=W3*[bias3;O2]; Xp(i)=l1*cos(ynn(1))+l2*cos(sum(ynn)); Yp(i)=l1*sin(ynn(1))+l2*sin(sum(ynn)); end XYp=[Xp;Yp]; err=(xyp-XYp); err2=err.^2; errs=0.5*sum(sum(err2)); Err=errs/11; if (rem(ep,eg) (rem(ep,eg)==0), ==0), ynn=[]; for i=1:(t i=1:(t+1)^2 +1)^2, , S1=W1*[bias1;xy(:,i)]; O1=g1./(1+exp(-S1/t1)); S2=W2*[bias2;O1]; O2=g1./(1+exp(-S2/t1)); ynn(:,i)=W3*[bias3;O2]; end Ynn1=[];Ynn2=[]; for i=1:(t i=1:(t+1), +1), tmp11=ynn(1,1+(i-1)*(t+1):i*(t+1)); Ynn1=[Ynn1;tmp11]; tmp22=ynn(2,1+(i-1)*(t+1):i*(t+1)); Ynn2=[Ynn2;tmp22]; end if isempty(h2) isempty(h2)~=1, ~=1, delete(h2); delete(h3); end figure(1) h2=mesh(x,y,Ynn1); drawnow

– JMFA –

185

B.14. Cinemática Directa de dos Eslabones

Cap´ıtulo B. Programas de Cómputo omputo

figure(2) h3=mesh(x,y,Ynn2); drawnow figure(3) plot(xyp(1,:),xyp(2,:),’o’,XYp(1,:) plot(xyp(1,:),xyp(2,:), ’o’,XYp(1,:),XYp(2,:),’+’) ,XYp(2,:),’+’) axis([-1.1 axis( [-1.1 1.1 -1.1 1.1]) axis(’square’); grid drawnow ep Err end ind=randperm(size(XY,2)); XY=XY(:,ind); alfa12=alfa12(:,ind); ep=ep+1; end figure(3) plot(xyp(1,:),xyp(2,:),’o’, plot(xyp(1,:),xyp(2,:),’o’,XYp(1,:),XYp XYp(1,:),XYp(2,:),’+’) (2,:),’+’) axis([ axi s([-1. -1.1 1 1.1 -1. -1.1 1 1.1 1.1]) ]) axi axis(’ s(’squ square are’); ’); grid ep, Err save c:\te c:\temp\W1. mp\W1.mat mat W1; save c:\temp\W2.mat c:\temp\W2.mat W2; save c:\temp\W3. c:\te mp\W3.mat mat W3; % FIN PROGR PROGRAMA: AMA: CINV1.m%%%%%%%%% CINV1.m%%%%%%%%%%% %%

B.14. % % % % % % % % % %

Cinem´ atica Directa atica Directa de dos Eslabones

AGOSTO,2002 AGOSTO,2002 CENTRO CEN TRO DE INV INVEST ESTIGA IGACIO CION N Y EST ESTUDI UDIOS OS AVA AVANZA NZADOS DOS DEL IPN DEPTO. DEP TO. DE CON CONTRO TROL L AUT AUTOMA OMATIC TICO O PROGRAMADOR PROGR AMADOR:JOS :JOSE E MARTIN FLORES ALBINO COMPIL COM PILADO ADOR: R: MAT MATLAB LAB 5.2 DINAMICA DINAMI CA DIR DIRECT ECTA A DE DOS ESL ESLABO ABONES NES RED NEU NEURON RONAL AL DE MUL MULTIP TIPLES LES CAPAS INICIO INICI O PROGRA PROGRAMA: MA: DDIREC DDIREC1.m%%% 1.m%%%%%%%% %%%%%%%% %%%

clear cle ar all all; ; clo close se all all; ; %Numero %Numer o de dat datos os t=15; alfa1=0:2*pi/t:2*pi; alfa2=-pi:pi/t:0; alfa12=[]; for i=1:t+ alfa12=[]; i=1:t+1, 1, for j=1:t+ j=1:t+1, 1, tmp=[alfa1(j);alfa2(i)]; alfa12=[alfa12 tmp]; end

186

– JMFA –


B.14. Cinemática atica Directa de dos Eslabones

end %longitudes l1=0.50;l2=0.50; X=[];Y=[];XY=[]; X=[];Y=[];X Y=[]; for i=1:( i=1:(t+1)^2 t+1)^2; ; X(i)=l1*cos(alfa12(1,i))+l2*cos(sum(a X(i)=l1*cos(alfa12(1,i)) +l2*cos(sum(alfa12(:,i))); lfa12(:,i))); Y(i)=l1*sin(alfa12(1,i))+l2*sin(sum(a Y(i)=l1*sin(alfa12(1,i)) +l2*sin(sum(alfa12(:,i))); lfa12(:,i))); end XY=[X XY=[X;Y]; ;Y]; X=[];Y=[]; for i=1:t+ X=[];Y=[]; i=1:t+1, 1, tmp1=XY(1,1+(i-1)*(t+1):i*(t+1)); X=[X; tmp1]; tmp2=XY(2,1+(i-1)*(t+1):i*(t+1)); Y=[Y; tmp2]; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Numer %Nu mero o de Epo Epocas cas nep=2500; %Repeticion %Repe ticion de Grafic Graficas as eg=10; %etha;alfa eta=0.1; eta=0 .1; alfa=0 alfa=0.0; .0; g=0.5; %# de ent entrad radas; as;# # nod nodos os ocu oculto ltos;# s;# sal salida idas s no=2; no= 2; n1= n1=20; 20; n2= n2=20; 20; n3= n3=2; 2; %Pesos inicia %Pesos iniciales les W1=0.1*randn(n1,1+no); DW1=zeros(n1,1+no); W2=0.1*randn(n2,n1+1); DW2=zeros(n2,n1+1); W3=0.1*randn(n3,n2+1); DW3=zeros(n3,n2+1); bias1=1; bias1 =1; bias2= bias2=1; 1; bias3= bias3=0; 0; figure(1) mesh(alfa1,alfa2,X) %grid colormap([0 color map([0 0 0]) title( title(’Cine ’Cinemtica mtica directa:x’) directa:x’) xlabel(’\alpha_{1}’) ylabel(’\alpha_{2}’) zlabel(’x’) view([45 45]) 45] ) axi axis([ s([0 0 2*p 2*pi i -pi 0 -2. -2.1 1 2.1 2.1]); ]); drawnow drawnow hold on h2= h2=[]; [];

figure(2) mesh(alfa1,alfa2,Y) %grid colormap([0 color map([0 0 0]) title( title(’Cine ’Cinemtica mtica directa:y’) directa:y’) xlabel(’\alpha_{1}’) ylabel(’\alpha_{2}’) zlabel(’y’) view([45 45]) 45] ) axi axis([ s([0 0 2*p 2*pi i -pi 0 -2. -2.1 1 2.1 2.1]); ]); drawnow drawnow hol hold d on h3= h3=[]; []; h4=[]; h4=[]; Ec=0;MSE=[]; Ec=0;MSE=[] ; for ep=1:n ep=1:nep, ep, Ec=0; for k=1:(t k=1:(t+1)^2, +1)^2, % Pas Paso o hac hacia ia ade adelan lante te S1=W1*[bias1;alfa12(:,k)];

– JMFA –

187

B.14. Cinemática Directa de dos Eslabones


O1=1./(1+exp(-(1/g)*S1));% S2=W2*[bias2;O1]; O2=1./(1+exp(-(1/g)*S2));%(1/(1+exp(-S2))) S3=W3*[bias3;O2]; ynn=S3; % Salida de la RN E=XY(:,k)-ynn; % Error %Ec=Ec+sum(E.^2); % Suma de E^2 %MSE(k)=0.5*Ec/k; % paso hacia atras grad1=-E; % Gradiente de salida. grad2=((1/g)*(1-O2).*O2).*(W3(:,2:n2+1)’*grad1); % Gradiente2. grad3=((1/g)*(1-O1).*O1).*(W2(:,2:n1+1)’*grad2); % Gradiente3. % Actualizacion de Pesos tmp3=W3; W3=W3-eta*exp(-k/500)*grad1*[bias3;O2]’+alfa*exp(-k/500)*DW3;%*exp(-k/100); DW3=W3-tmp3; tmp2=W2; W2=W2-eta*grad2*exp(-k/500)*[bias2;O1]’+alfa*exp(-k/500)*DW2;%*exp(-k/100); DW2=W2-tmp2; tmp1=W1; W1=W1-eta*exp(-k/500)*grad3*[bias1;alfa12(:,k)]’+alfa*exp(-k/500)*DW1;%*exp(-k/100); DW1=W1-tmp1; end if rem(ep,eg)==0, ynn2=[]; for i=1:(t+1)^2, S1=W1*[bias1;alfa12(:,i)]; O1=1./(1+exp(-(1/g)*S1));% S2=W2*[bias2;O1]; O2=1./(1+exp(-(1/g)*S2));%(1/(1+exp(-S2))) S3=W3*[bias3;O2]; ynn2(:,i)=S3; % Salida de la RN end E=XY-ynn2; Ynn1=[];Ynn2=[];E2=[];E3=[]; for i=1:(t+1), tmp1=ynn2(1,1+(i-1)*(t+1):i*(t+1)); Ynn1=[Ynn1;tmp1]; tmp2=ynn2(2,1+(i-1)*(t+1):i*(t+1)); Ynn2=[Ynn2;tmp2];

188

– JMFA –


B.15. Ctrl. Inverso: Ident. Mod. Directo

tmp3=E(1,1+(i-1)*(t+1):i*(t+1)); E2=[E2;tmp3]; tmp4=E(2,1+(i-1)*(t+1):i*(t+1)); E3=[E3;tmp4]; end if isempty(h2)~=1, delete(h2); delete(h3); delete(h4); delete(h5); end figure(1) h2=mesh(alfa1,alfa2,Ynn1); drawnow figure(2) h3=mesh(alfa1,alfa2,Ynn2); figure(3) h4=mesh(alfa1,alfa2,E2); axis([0 2*pi -3.5 0 -0.1 1]); view([45 60]) figure(4) h5=mesh(alfa1,alfa2,E3); axis([0 2*pi -3.5 0 -0.1 1]); view([30 60]) %figure(3) %plot(MSE); drawnow end ep end % FIN PROGRAMA: DDIREC1.m%%%%%%%%%%%

B.15.

Control inverso: Identificaci´ on del Modelo Directo

% SEPTIEMBRE,2002 % CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN % DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO % PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO % COMPILADOR: MATLAB 5.2 % % Ident. Modelo Directo de un sistema no lineal % para el control inveso especializado. % % INICIO PROGRAMA: %%%%%%%%%%% clear all; close all;

– JMFA –

189



%Numero de datos nep=400; t1=1.2; g1=1.2; Emax=1E-3; eta=0.01; alfa=0.01; %etha;alfa %# de entradas;# nodos ocultos;# salidas no=2; n1=50; n2=50; n3=1; bias1=0; bias2=1; bias3=0; nsamples=1000; g2=(1/2)*nep; eg=5; % Entrada Planta up=1*sin(2*pi*(0:nsamples)/50)+... 0.5*cos(2*pi*(0:nsamples)/(50+10)); upp=1*sin(2*pi*(0:nsamples)/50)+... 0.5*cos(2*pi*(0:nsamples)/(50+10)); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pesos iniciales W1=0.5*randn(n1,1+no); tmp1=zeros(n1,1+no); W2=0.5*randn(n2,n1+1); tmp2=zeros(n2,n1+1); W3=0.5*randn(n3,n2+1); tmp3=zeros(n3,n2+1); % Funciones de Activacion acflogsig=... inline(’x1./(1+exp(-x2/x3))’,’x1’,’x2’,’x3’); der_acflogsig=... inline(’(x1/x3)*(1-x2).*x2’,’x1’,’x2’,’x3’); acftanh=... inline(’x1*tanh(x2/x3)’,’x1’,’x2’,’x3’); der_acftanh=... inline(’(x1/x3)*(1-x2.^2)’,’x1’,’x2’,’x3’); % Graficas figure(1) figure(2) disp(’Presione una tecla para continuar’); pause disp(’Inicia Programa’); Err=1; ep=1; yp=zeros(1,nsamples); ynn=zeros(1,nsamples); ypp=zeros(1,nsamples); ynnp=zeros(1,nsamples); while (ep<=nep & Err>Emax), ep yp(1:2)=0.5*randn; for k=1:nsamples, %Planta; yp(k+1)=(yp(k)/(1+yp(k)^2))+up(k)^3; % Paso hacia adelante unn=[up(k);yp(k);]; S1=W1*[bias1;unn]; O1=acftanh(g1,S1,t1); S2=W2*[bias2;O1]; O2=acftanh(g1,S2,t1);; ynn(k+1)=W3*[bias3;O2]; %Error e=yp(k+1)-ynn(k+1); % paso hacia atras % Gradiente1 grad1=-e; % Gradiente2

190

– JMFA –



grad2=der_acftanh(g1,O2,t1).*(W3(:,2:n2+1)’*grad1); % Gradiente3 grad3=der_acftanh(g1,O1,t1).*(W2(:,2:n1+1)’*grad2); % Actualizacion de Pesos DW3=W3-tmp3; tmp3=W3; W3=W3-eta*exp(-ep/g2)*grad1*[bias3;O2]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW3; DW2=W2-tmp2; tmp2=W2; W2=W2-eta*exp(-ep/g2)*grad2*[bias2;O1]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW2; DW1=W1-tmp1; tmp1=W1; W1=W1-eta*exp(-ep/g2)*grad3*[bias1;unn]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW1; end if (rem(ep,eg)==0), ypp(1:2)=0; ynnp(1:2)=0; for j=1:nsamples %Planta; ypp(j+1)=(ypp(j)/(1+ypp(j)^2))+upp(j)^3; % Paso hacia adelante unn=[upp(j);ynnp(j)]; S1=W1*[bias1;unn]; O1=acftanh(g1,S1,t1); S2=W2*[bias2;O1]; O2=acftanh(g1,S2,t1); ynnp(j+1)=W3*[bias3;O2]; end err=(ypp-ynnp); err2=err.^2; errs=0.5*sum(err2); Err=errs/size(err2,2); figure(1) plot(0:nsamples-1,ynn(1:nsamples),’k’,... 0:nsamples-1,yp(1:nsamples)) title(’Entrenamiento’) grid drawnow figure(2) plot(0:nsamples-1,ynnp(1:nsamples),’k’,... 0:nsamples-1,ypp(1:nsamples)) title(’Generalizacion’) grid drawnow Err end %%%%%%%%%%%%%%%% ep=ep+1; end %save c:\tmp\W W1 W2 W4 disp(’>>> Termina Programa !!!’);

– JMFA –

191

B.16. Ctrl. Inverso: Método especializado


% FIN PROGRAMA: %%%%%%%%%%%

B.16. % % % % % % % % % %

Control inverso: M´ etodo especializado

OCTUBRE,2002 CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO COMPILADOR: MATLAB 5.2 CONTROL INVERSO (METODO ESPECIALIZADO) SISTEMA NO LINEAL INVERTIBLE INICIO PROGRAMA: %%%%%%%%%%%

clear all; close all; load c:\tmp\pesos\Wd1 W1d=W1; W2d=W2; W3d=W3; %Parametros nsamples=1000*3; nep=50; t1=1; g1=1; eta=0.005; alfa=0.005; %etha;alfa %# de entradas;# nodos ocultos;# salidas no=2; n1=50; n2=50; n3=1; bias1=0; bias2=0; bias3=0; g2=(nep/20); % Entrada Planta p=200; uref=[]; for pp=1:nsamples/(5*p), uref_tmp=[2*ones(1,p) 0.1*ones(1,p) ... -2*ones(1,p) -0.1*ones(1,p) 2*ones(1,p+1)]; uref=[uref uref_tmp]; end t=5; ref=zeros(1,nsamples); for i=1:nsamples ref(i+1)=(1/t)*((t-1)*ref(i)+uref(i)); end %ref=1*sin(2*pi*(0:nsamples)/50)+... % 0.5*cos(2*pi*(0:nsamples)/(50+10)); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pesos iniciales W1=0.01*randn(n1,1+no); tmp1=zeros(n1,1+no); W2=0.01*randn(n2,n1+1); tmp2=zeros(n2,n1+1); W3=0.01*randn(n3,n2+1); tmp3=zeros(n3,n2+1); % Funciones de Activacion acflogsig=... inline(’x1./(1+exp(-x2/x3))’,’x1’,’x2’,’x3’); der_acflogsig=... inline(’(x1/x3)*(1-x2).*x2’,’x1’,’x2’,’x3’); acftanh=... inline(’x1*tanh(x2/x3)’,’x1’,’x2’,’x3’); der_acftanh=... inline(’(x1/x3)*(1-x2.^2)’,’x1’,’x2’,’x3’); % Graficas figure(1) disp(’Presione una tecla para continuar’); pause; disp(’Inicia Programa’); ep=1;

192

– JMFA –


B.16. Ctrl. Inverso: Método especializado

yp=zeros(1,nsamples); ynn=zeros(1,nsamples); ypp=zeros(1,nsamples); ynnp=zeros(1,nsamples); while (ep<=nep), ep yp(1:2)=0.5*randn; for k=1:nsamples, % Paso hacia adelante unn=[ref(k+1);yp(k)]; S1=W1*[bias1;unn]; O1=acftanh(g1,S1,t1); S2=W2*[bias2;O1]; O2=acftanh(g1,S2,t1); up(k)=W3*[bias3;O2]; %Planta yp(k+1)=(yp(k)/(1+yp(k)^2))+up(k)^3; unnp=[up(k);ynnp(k)]; S1d=W1d*[0;unnp]; O1d=acftanh(1.2,S1d,1.2); S2d=W2d*[1;O1d]; O2d=acftanh(1.2,S2d,1.2); ynnp(k+1)=W3d*[0;O2d]; %Error ec=ref(k)-ynnp(k); % Retro propagacion del error de control grad1d=-ec; grad2d=der_acftanh(1.2,O2d,1.2).*(W3d(:,2:51)’*grad1d); grad3d=der_acftanh(1.2,O1d,1.2).*(W2d(:,2:51)’*grad2d); r=W1d(:,2:3)’*grad3d; % paso hacia atras % Entrenamiento de la Red de Control grad1=r(2); % Gradiente1 % Gradiente2 grad2=der_acftanh(g1,O2,t1).*(W3(:,2:n2+1)’*grad1); % Gradiente3 grad3=der_acftanh(g1,O1,t1).*(W2(:,2:n1+1)’*grad2); % Actualizacion de Pesos DW3=W3-tmp3; tmp3=W3; W3=W3-eta*exp(-ep/g2)*grad1*[bias3;O2]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW3; DW2=W2-tmp2; tmp2=W2; W2=W2-eta*exp(-ep/g2)*grad2*[bias2;O1]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW2; DW1=W1-tmp1; tmp1=W1; W1=W1-eta*exp(-ep/g2)*grad3*[bias1;unn]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW1; end

– JMFA –

193

B.17. Ctrl. Adaptable Indirecto


plot(0:nsamples,ref,’k’,0:nsamples,yp) axis([0 nsamples -4 4]) grid drawnow %%%%%%%%%%%%%%%% ep=ep+1; pause; end disp(’>>> Termina Programa !!!’); % FIN PROGRAMA: %%%%%%%%%%%

B.17. % % % % % % % % % %


Abril, 2004 CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO COMPILADOR: MATLAB 5.2 CONTROL ADAPTABLE INDIRECTO

INICIO PROGRAMA: %%%%%%%%%%%

close all; clear all; nep=100; %Numero de epocas nsamples=100; %Numero de muestras t1=1;g1=1; %etha alfa alfa=0.1;eta=0.1; % # de entradas, nodos ocultos y salidas no=1;n1=10;n2=10; n3=1; %bias bias1=0; bias2=1; bias3=0; g2=(1/2)*nep;eg=5; %PESOS INICIALES %Red AlFA W1=0.5*randn(n1,1+no); tmp1=zeros(n1,1+no); W2=0.5*randn(n2,1+n1); tmp2=zeros(n1,1+n1); W3=0.5*randn(n3,1+n2); tmp3=zeros(n3,1+n2); %Red BETA W12=0.5*randn(n1,1+no); tmp12=zeros(n1,1+no); W22=0.5*randn(n2,1+n1); tmp22=zeros(n1,1+n1); W32=0.5*randn(n3,1+n2); tmp32=zeros(n3,1+n2); %Funciones de activacion acftanh=... inline(’x1*tanh(x2/x3)’,’x1’,’x2’,’x3’); der_acftanh=... inline(’(x1/x3)*(1-x2.^2)’,’x1’,’x2’,’x3’); %Valores Iniciales y(1)=randn;

194

– JMFA –



t=0:0.1:1; ft1=0.5*t./(1+t.^2); ft2=(1+t); figure(1); figure(2); figure(3); clc disp(’Presione alguna techa para continuar’) pause ep=1; Ec1=0;MSE1=[]; Ec2=0;MSE2=[]; while (ep<=nep) ep for k=1:nsamples; %ENTRADA u(k)=0.5+0.25*sin(2*(k)*pi/10)+0.5*cos(2*k*pi/2.5); %PLANTA alpha=0.5*y(k)/(1+y(k)^2); beta=1+y(k); y(k+1)=alpha+beta*u(k); %RED ALPHA unn=y(k); S1=W1*[bias1;unn]; O1=acftanh(g1,S1,t1); S2=W2*[bias2;O1]; O2=acftanh(g1,S2,t1); ynn1=W3*[bias3;O2]; %Error alpha e1=alpha-ynn1; Ec1=Ec1+e1^2; MSE1(k)=0.5*Ec1/k; %AJUSTE RED ALPHA %Gradiente1 grad1=-e1; %Gradiente2 grad2=der_acftanh(g1,O2,t1).*(W3(:,2:n2+1)’*grad1); %Gradiente3 grad3=der_acftanh(g1,O1,t1).*(W2(:,2:n1+1)’*grad2); %AJUSTE DE PESOS DE RED ALPHA DW3=W3-tmp3; tmp3=W3; W3=W3-eta*exp(-ep/g2)*grad1*[bias3;O2]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW3; DW2=W2-tmp2; tmp2=W2; W2=W2-eta*exp(-ep/g2)*grad2*[bias2;O1]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW2; DW1=W1-tmp1; tmp1=W1; W1=W1-eta*exp(-ep/g2)*grad3*[bias1;unn]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW1;

%RED BETA

– JMFA –

195



S1=W12*[bias1;unn]; O1=acftanh(g1,S1,t1); S2=W22*[bias2;O1]; O2=acftanh(g1,S2,t1); ynn2=W32*[bias3;O2]; %Error beta e2=beta-ynn2; %AJUSTE RED ALPHA %Gradiente1 grad1=-e2; %Gradiente2 grad2=der_acftanh(g1,O2,t1).*(W32(:,2:n2+1)’*grad1); %Gradiente3 grad3=der_acftanh(g1,O1,t1).*(W22(:,2:n1+1)’*grad2); %AJUSTE DE PESOS DE RED ALPHA DW32=W32-tmp32; tmp32=W32; W32=W32-eta*exp(-ep/g2)*grad1*[bias3;O2]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW32; DW22=W22-tmp22; tmp22=W22; W22=W22-eta*exp(-ep/g2)*grad2*[bias2;O1]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW22; DW12=W12-tmp12; tmp12=W12; W12=W12-eta*exp(-ep/g2)*grad3*[bias1;unn]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW12; %%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%% S1=W1*[bias1;unn]; O1=acftanh(g1,S1,t1); S2=W2*[bias2;O1]; O2=acftanh(g1,S2,t1); ALFA=W3*[bias3;O2]; S1=W12*[bias1;unn]; O1=acftanh(g1,S1,t1); S2=W22*[bias2;O1]; O2=acftanh(g1,S2,t1); BETA=W32*[bias3;O2]; ynn(k+1)=ALFA +BETA*u(k); end ep=ep+1; figure(1) plot(0:nsamples,y,’k’,0:nsamples,ynn,’b’); grid ALFA=[];

196

– JMFA –



for(i=0:0.1:1) unn=i; S1=W1*[bias1;unn]; O1=acftanh(g1,S1,t1); S2=W2*[bias2;O1]; O2=acftanh(g1,S2,t1); ALFA1=W3*[bias3;O2]; ALFA=[ALFA ALFA1]; end figure(2) plot(t,ft1,’k’,t,ALFA,’b’); grid BETA=[]; for(i=0:0.1:1) unn=i; S1=W12*[bias1;unn]; O1=acftanh(g1,S1,t1); S2=W22*[bias2;O1]; O2=acftanh(g1,S2,t1); BETA1=W32*[bias3;O2]; BETA=[BETA BETA1]; end figure(3) plot(t,ft2,’k’,t,BETA,’b’); grid figure(4) plot(0:nsamples-1,MSE1,’k’); grid drawnow end y1=[]; y1(1)=0.5; r(1:2)=zeros(1,2); for k=1:nsamples; %Referencia r(k+1)=r(k); if mod(k,20)==0, r(k+1)=~r(k+1); end %RED ALPHA unn=y1(k); S1=W1*[bias1;unn]; O1=acftanh(g1,S1,t1); S2=W2*[bias2;O1]; O2=acftanh(g1,S2,t1); ALFA1=W3*[bias3;O2]; %RED BETA unn=y1(k); S1=W12*[bias1;unn]; O1=acftanh(g1,S1,t1);

– JMFA –

197

B.18. Ctrl. Adaptable Indirecto 2


S2=W22*[bias2;O1]; O2=acftanh(g1,S2,t1); BETA1=W32*[bias3;O2]; %Control uc(k)=(-ALFA1+r(k+1))/BETA1; %PLANTA alpha=0.5*y1(k)/(1+y1(k)^2); beta=1+y1(k); y1(k+1)=alpha+beta*uc(k); %Error control ec(k+1)=r(k+1)-y1(k+1); Ec2=Ec2+ec(k+1)^2; MSE2(k)=0.5*Ec2/k; end figure(5) plot(0:nsamples,r,’k’,0:nsamples,y1,’b’); grid figure(6) plot(0:nsamples,ec,’k’); grid figure(7) plot(0:nsamples-1,uc,’k’); grid figure(8) plot(0:nsamples-1,MSE2,’k’); grid % FIN PROGRAMA: %%%%%%%%%%%

B.18. % % % % % % % % % %

Control Adaptable Indirecto 2

Abril, 2004 CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO COMPILADOR: MATLAB 5.2 CONTROL ADAPTABLE INDIRECTO 2


close all; clear all; nep=20; %Numero de epocas nsamples=100; %Numero de muestras t1=1;g1=1; %etha alfa alfa=0.1;eta=0.1; % # de entradas, nodos ocultos y salidas no=1;n1=10;n2=10; n3=1; %bias bias1=0; bias2=1; bias3=0; g2=(1/2)*nep;eg=5;

198

– JMFA –



%PESOS INICIALES %Red AlFA W1=0.01*randn(n1,1+no); tmp1=zeros(n1,1+no); W2=0.01*randn(n2,1+n1); tmp2=zeros(n1,1+n1); W3=0.01*randn(n3,1+n2); tmp3=zeros(n3,1+n2); %Red BETA W12=0.01*randn(n1,1+no); tmp12=zeros(n1,1+no); W22=0.01*randn(n2,1+n1); tmp22=zeros(n1,1+n1); W32=0.01*randn(n3,1+n2); tmp32=zeros(n3,1+n2); %Funciones de activacion acftanh=... inline(’x1*tanh(x2/x3)’,’x1’,’x2’,’x3’); der_acftanh=... inline(’(x1/x3)*(1-x2.^2)’,’x1’,’x2’,’x3’); %Valores Iniciales y(1)=1; t=0:0.1:1; ft1=0.5*t./(1+t.^2); ft2=(1+t); clc disp(’Presione alguna techa para continuar’) pause ep=1; Ec1=0;MSE1=[]; Ec2=0;MSE2=[]; while (ep<=nep) ep for k=1:nsamples; %ENTRADA u(k)=0.5+0.25*sin(2*(k)*pi/10)+0.5*cos(2*k*pi/2.5); %PLANTA alpha=0.5*y(k)/(1+y(k)^2); beta=1+y(k); y(k+1)=alpha+beta*u(k); %RED ALPHA unn=y(k); S1=W1*[bias1;unn]; O1=acftanh(g1,S1,t1); S2=W2*[bias2;O1]; O2=acftanh(g1,S2,t1); ynn1=W3*[bias3;O2]; %Error alpha e1=alpha-ynn1; Ec1=Ec1+e1^2; MSE1(k)=0.5*Ec1/k; %AJUSTE RED ALPHA %Gradiente1 grad1=-e1;

– JMFA –

199



%Gradiente2 grad2=der_acftanh(g1,O2,t1).*(W3(:,2:n2+1)’*grad1); %Gradiente3 grad3=der_acftanh(g1,O1,t1).*(W2(:,2:n1+1)’*grad2); %AJUSTE DE PESOS DE RED ALPHA DW3=W3-tmp3; tmp3=W3; W3=W3-eta*exp(-ep/g2)*grad1*[bias3;O2]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW3; DW2=W2-tmp2; tmp2=W2; W2=W2-eta*exp(-ep/g2)*grad2*[bias2;O1]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW2; DW1=W1-tmp1; tmp1=W1; W1=W1-eta*exp(-ep/g2)*grad3*[bias1;unn]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW1;

%RED BETA S1=W12*[bias1;unn]; O1=acftanh(g1,S1,t1); S2=W22*[bias2;O1]; O2=acftanh(g1,S2,t1); ynn2=W32*[bias3;O2]; %Error beta e2=beta-ynn2; %AJUSTE RED ALPHA %Gradiente1 grad1=-e2; %Gradiente2 grad2=der_acftanh(g1,O2,t1).*(W32(:,2:n2+1)’*grad1); %Gradiente3 grad3=der_acftanh(g1,O1,t1).*(W22(:,2:n1+1)’*grad2); %AJUSTE DE PESOS DE RED ALPHA DW32=W32-tmp32; tmp32=W32; W32=W32-eta*exp(-ep/g2)*grad1*[bias3;O2]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW32; DW22=W22-tmp22; tmp22=W22; W22=W22-eta*exp(-ep/g2)*grad2*[bias2;O1]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW22; DW12=W12-tmp12; tmp12=W12; W12=W12-eta*exp(-ep/g2)*grad3*[bias1;unn]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW12; %%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%% S1=W1*[bias1;unn];

200

– JMFA –



O1=acftanh(g1,S1,t1); S2=W2*[bias2;O1]; O2=acftanh(g1,S2,t1); ALFA=W3*[bias3;O2]; S1=W12*[bias1;unn]; O1=acftanh(g1,S1,t1); S2=W22*[bias2;O1]; O2=acftanh(g1,S2,t1); BETA=W32*[bias3;O2]; ynn(k+1)=ALFA +BETA*u(k); end ep=ep+1; end

y1=[]; y1(1)=0; r(1:2)=[0.5,0.5]; nsamples=500; alfa=0.4;eta=0.4; for k=1:nsamples; %Referencia r(k+1)= 0.5+0.25*sin(2*pi*k/50); %r(k+1)=r(k); %if mod(k,20)==0, %r(k+1)=~r(k+1); %end %RED ALPHA unn=y1(k); S1=W1*[bias1;unn]; O1=acftanh(g1,S1,t1); S2=W2*[bias2;O1]; O2=acftanh(g1,S2,t1); ALFA1=W3*[bias3;O2]; %RED BETA unn=y1(k); S12=W12*[bias1;unn]; O12=acftanh(g1,S12,t1); S22=W22*[bias2;O12]; O22=acftanh(g1,S22,t1); BETA1=W32*[bias3;O22]; %Control uc(k)=(-ALFA1+r(k+1))/BETA1; %PLANTA alpha=0.5*y1(k)/(1+y1(k)^2); beta=1+y1(k); y1(k+1)=alpha+beta*uc(k); %Error control ec(k+1)=r(k+1)-y1(k+1); Ec2=Ec2+ec(k+1)^2;

– JMFA –

201



MSE2(k)=0.5*Ec2/k; %Error alpha e1=alpha-ALFA1; %AJUSTE RED ALPHA %Gradiente1 grad1=-e1; %Gradiente2 grad2=der_acftanh(g1,O2,t1).*(W3(:,2:n2+1)’*grad1); %Gradiente3 grad3=der_acftanh(g1,O1,t1).*(W2(:,2:n1+1)’*grad2); %AJUSTE DE PESOS DE RED ALPHA DW3=W3-tmp3; tmp3=W3; W3=W3-eta*grad1*[bias3;O2]’+... alfa*DW3; DW2=W2-tmp2; tmp2=W2; W2=W2-eta*grad2*[bias2;O1]’+... alfa*DW2; DW1=W1-tmp1; tmp1=W1; W1=W1-eta*grad3*[bias1;unn]’+... alfa*DW1; %Error beta e2=beta-BETA1; %AJUSTE RED BETA %Gradiente1 grad1=-e2; %Gradiente2 grad2=der_acftanh(g1,O22,t1).*(W32(:,2:n2+1)’*grad1); %Gradiente3 grad3=der_acftanh(g1,O12,t1).*(W22(:,2:n1+1)’*grad2); %AJUSTE DE PESOS DE RED BETA DW32=W32-tmp32; tmp32=W32; W32=W32-eta*grad1*[bias3;O22]’+... alfa*DW32; DW22=W22-tmp22; tmp22=W22; W22=W22-eta*grad2*[bias2;O12]’+... alfa*DW22; DW12=W12-tmp12; tmp12=W12; W12=W12-eta*grad3*[bias1;unn]’+... alfa*DW12; end figure(1)

202

– JMFA –


B.19. Ctrl. Adaptable Directo

plot(0:nsamples,r,’k’,0:nsamples,y1,’b’); grid figure(2) plot(0:nsamples,ec,’k’); grid figure(3) plot(0:nsamples-1,uc,’k’); grid figure(4) plot(0:nsamples-1,MSE2,’k’); grid % FIN PROGRAMA: %%%%%%%%%%%

B.19. % % % % % % % % % %


Abril, 2004 CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO COMPILADOR: MATLAB 5.2 CONTROL ADAPTABLE DIRECTO


close all; clear all; nep=100; %Numero de epocas nsamples=250; %Numero de muestras t1=1;g1=1; %etha alfa alfa=0.005;eta=0.05; % # de entradas, nodos ocultos y salidas no=2;n1=10;n2=10; n3=1; %bias bias1=0; bias2=1; bias3=0; g2=(1/2)*nep;eg=5; %PESOS INICIALES %Red AlFA W1=0.1*randn(n1,1+no); tmp1=zeros(n1,1+no); W2=0.1*randn(n2,1+n1); tmp2=zeros(n1,1+n1); W3=0.1*randn(n3,1+n2); tmp3=zeros(n3,1+n2); %Funciones de activacion acftanh=... inline(’x1*tanh(x2/x3)’,’x1’,’x2’,’x3’); der_acftanh=... inline(’(x1/x3)*(1-x2.^2)’,’x1’,’x2’,’x3’);

– JMFA –

203

B.19. Ctrl. Adaptable Directo


%Valores Iniciales y(1)=0; r(1)=0.5; u(1)=0; figure(1);figure(2);figure(3);figure(4); clc disp(’Presione alguna techa para continuar’) pause ep=1; Ec1=0;MSE1=[]; while (ep<=nep) ep for k=1:nsamples; %REFERENCIA r(k+1)=0.5+0.25*sin(2*k*pi/50); %RED ALPHA unn=[r(k+1); y(k)]; S1=W1*[bias1;unn]; O1=acftanh(g1,S1,t1); S2=W2*[bias2;O1]; O2=acftanh(g1,S2,t1); u(k)=W3*[bias3;O2]; %PLANTA alpha=0.5*y(k)/(1+y(k)^2); beta=1+y(k); y(k+1)=alpha+beta*u(k);

%Error alpha ec(k+1)=r(k+1)-y(k+1); Ec1=Ec1+ec(k+1)^2; MSE1(k+1)=0.5*Ec1/k; %AJUSTE RED ALPHA %Gradiente1 grad1=-ec(k+1); %Gradiente2 grad2=der_acftanh(g1,O2,t1).*(W3(:,2:n2+1)’*grad1); %Gradiente3 grad3=der_acftanh(g1,O1,t1).*(W2(:,2:n1+1)’*grad2); %AJUSTE DE PESOS DE RED ALPHA DW3=W3-tmp3; tmp3=W3; W3=W3-eta*exp(-ep/g2)*grad1*[bias3;O2]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW3; DW2=W2-tmp2; tmp2=W2; W2=W2-eta*exp(-ep/g2)*grad2*[bias2;O1]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW2; DW1=W1-tmp1; tmp1=W1; W1=W1-eta*exp(-ep/g2)*grad3*[bias1;unn]’+... alfa*exp(-ep/g2)*DW1; end ep=ep+1;

204

– JMFA –


B.20. Ctrl. por Modelo de Referencia: Motor de CD

figure(1) plot(0:nsamples,r,’k’,0:nsamples,y,’b’); grid figure(2) plot(0:nsamples,ec); grid figure(3) plot(0:nsamples-1,u); grid figure(4) plot(0:nsamples,MSE1); grid drawnow %disp(’Presione alguna techa para continuar’) %pause end

% FIN PROGRAMA: %%%%%%%%%%%

B.20. % % % % % % % % % %

Ctrl. por Modelo de Referencia: Motor de CD

OCTUBRE,2003 CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN DEPTO. DE CONTROL AUTOMATICO PROGRAMADOR:JOSE MARTIN FLORES ALBINO COMPILADOR: MATLAB 5.2 EL CONTROL DEL MODELO DE UN MOTOR DE CD POR MODELO DE REFERENCIA INICIO PROGRAMA: MRCD.m%%%%%%%%%%%

clear all %Modelo de Referencia k1=20,k2=1/10, sist1=tf([k1],[k2 1]) %Modelo de Referencia Discreto Ts=0.005 sist2=c2d(sist1,Ts) % Condiciones iniciales w(1:2)=0; wc(1:2)=0; e(1:2)=0; y(1:2)=0; r(1:2)=0; u(1:2)=0; Tf=0.5; Mf=Tf/Ts; fact1=1/(10607.511*10^(-3)); for k=2:Mf+1 e(k)=1;

– JMFA –

205

B.20. Ctrl. por Modelo de Referencia: Motor de CD


w(k+1)=-295.803*10^(-3)*w(k)+703.648*10^(-3)*w(k-1)+... 10607.511*10^(-3)*(e(k)+e(k-1)); r(k)=1; y(k+1)=0.9512*y(k)+0.9754*r(k); %%%%%%%%%%%%%%% % Ley de Control por Modelo de Referncia u(k)=fact1*(-10607.511*10^(-3)*u(k-1)+0.9754*r(k)+... 1.2470*wc(k)-703.648*10^(-3)*wc(k-1)); % Sistema (Motor de CD) wc(k+1)=-295.803*10^(-3)*wc(k)+703.648*10^(-3)*wc(k-1)+... 10607.511*10^(-3)*(u(k)+u(k-1)); end tt=-1:Mf; T=Ts*tt; T2=[]; y2=[]; wc2=[]; for j=1:size(T,2) if mod(j,4)==0 T2=[T2 T(j)]; y2=[y2 y(j)]; wc2=[wc2 wc(j)]; end end plot(T,w,’k’ ,T, y,’:k’,T2,wc2,’xk’) grid on % FIN PROGRAMA: MRCD.m%%%%%%%%%%%

206

– JMFA –

Ap´ endice C

Motor de Corriente Continua Ver la referencia [43]. El motor de corriente continua (cc) es una m´ aquina que transforma una corriente continua de energ´ıa eléctrica a movimiento de rotación de un eje mecánico (fecha) por la interacción de dos campos magnéticos: un campo magnético fijo localizado en el cuerpo de motor llamado estator y un campo móvil unido a la armadura del motor. Hay dos formas para generar los campos magnéticos: al hacer circular una corriente por un alambre enrollado en forma de una bobina, y por un imán permanente, de aqu´ı la primera clasificación de este tipo de motores en base al medio para generar el campo magnético del estator: Motor de cc con inductor: Este tipo de motores el campo magnético del estator se genera por el paso de una corriente eléctrica a través de bobinas fijas en él (campo del inductor). Hay cuatro formas en las cuales puede tomarse la corriente del inductor: por una fuente independiente, por una configuración en serie, paralelo o serieparalelo con la fuente del inducido de la armadura. Motor de cc de im´ an permamente: El campo magnético del estator se genera por un imán permanente. El circuito de armadura de un motor de corriente continua se modela como un circuito serie entre la tensión del inducido, la resistencia eléctrica, la inductancia del inducido y la tensión que se opone al paso de la corriente del inducido como respuesta al movimiento relativo del campo magnético del inducido con respecto al campo magnético del estator. figura. C.1

La

R a

θ (t), ω (t) m

ea (t)

m

φ(t)

+

ia (t)

J

m

ea (t)

+

eb(t)

M

θ (t) m

ω (t) m

-

T m

T L

Figura C.1:

C.1.

Motor de corriente continua. Modelo eléctrico de un motor de CC.

Modelo Matem´ atico

El par generado por el motor, T m [N -m], es proporcional a flujo magnético del estator, φ[webers], y la corriente a través de inducido, ia [ampere]; esto es: T m (t) = K b φia (t) [N -m], (C.1) 207

C.2. Motor de cc de Imán Permanente

Cap´ıtulo C. Motor de Corriente Continua

en donde K b es una constante de proporcionalidad. Como respuesta a la velocidad de giro de la armadura [rad/s] se genera una fuerza contra-electromotriz, eb [volt], ésta es una tensión que se opone a la tensión aplicada al inducido y por tanto al movimiento del motor mejorando su estabilidad, esta tensión es definida de la forma: eb (t) = K r φωm (t) [volt],

(C.2)

en donde K r es una constante de proporcionalidad. Las ecuaciones (C.1) y (C.2) son importantes porque relacionan una variable eléctrica con una variable mecánica y permiten determinar el efecto que existe entre ellos. La parte eléctrica está dominada por el circuito del inducido y la variable de interés es la corriente, ia , que está descrita por la ecuación: La

dia (t) = ea (t) dt

− Raia(t) − eb(t)

[volt],

(C.3)

en donde La[henry], Ra [ohm] son la inductancia y resistencia del inducido; ea y eb son las tensiones aplicadas al inducido y la fuerza contra-electromotriz, respectivamente. Al ponerse a girar el inducido el cuerpo que lo sostiene y la fecha del motor también lo hace. La velocidad de giro de este conjunto es: ωm (t). La la dinámica de este cuerpo sólido está gobernado por la expresión: J m

dωm (t) = T m (t) dt

− T L(t) − Bm dθ(t) dt

[N -m],

(C.4)

en donde J m [Kg -m2 ] es el momento de inercia del rotor y de la fecha; T L y T m [N -m] es el par de carga y el generado por el motor, respectivamente. Se considera un par de fricción que es función de la velocidad de rotación de la flecha del N -m motor, Bm [ rad/s ]. Las ecuaciones (C.1-C.4) modelan la dinámica de un motor de cc.

C.2.

Motor de cc de Im´ an Permanente

El flujo magnético del estator, φ, es constante para los casos de un motor de cc de im´ an permanente, en este caso en las ecuaciones (C.1) y (C.2) el valor del flujo se incorpora a las constantes respectivas. T m (t) = K b ia (t) [N -m], eb (t) = K r ωm (t) [volt].

(C.5) (C.6)

La potencia generada por el motor se expresa en función de las variables eléctricas: P = ia ea

[watt],

(C.7)

o bien, por medio de las variables mecánicas: P = T m ωm

[watt].

(C.8)

Al tomar unas de las expresiones anteriores y utilizar las ecuaciones (C.5) y (C.5) para sustituir las variales eléctricas por mecánicas, o viceversa. Se concluye que K b = K r , por tanto: T m(t) = Ki a(t) [N -m], eb (t) = Kω m (t) [volt]. 208

– JMFA –

(C.9) (C.10)


C.3.

C.3. Control de Velocidad en Ré gimen Estacionario

Control de Velocidad en R´ egimen Estacionario

El flujo magnético, φ, generado por los embobinados del inductor es proporcional a la corriente que circula por él. Considerando lo anterior, las ecuaciones del par generado por el motor y la fuerza contra-electromotriz son: T m (t) = K b iind (t)ia (t) [N -m], eb (t) = K r iind (t)ωm (t) [volt],

(C.11) (C.12)

en donde iind (t) es la corriente en el inductor. En régimen estacionario el término dia /dt es igual a cero. Entonces la ecuación (C.3) queda de la forma: 0 = E a (t)

− RaI a (t) − E b (t).

(C.13)

Al usar (C.12) en la ecuación (C.13) y resolver para ωm se obtiene: Ωm =

E a Ra I a , KI ind

−

[rad/s]

(C.14)

en donde W m , I a e I ind son la velocidad angular, la corriente del inducido y la corriente del inductor en r´ egimen estacionario, respectivamente. Si el la tensión Ra I a se considera pequeña, la velocidad en régimen estacionario es: Ωm

≈ KI E iand ,

[rad/s]

(C.15)

de la ecuación anterior se concluye que hay dos formas para el control de la velocidad del motor de c.c, a través de la tensión aplicada al inducido, y por la corriente aplicada al inductor (cambio del flujo magnético). Por lo general se mantiene la corriente del inductor constante y se varia el voltaje del inducido, cuando se desea trabajar en sobre velocidad (velocidades superiores a la nominal) se mantiene la tensión constante y para aumentar la velocidad se reduce la corriente del inductor, disminuyendo en proporción el par disponible (C.9).

C.4.

Modelo Discreto de un Motor de cc

El modelo matem´ atico de un motor de cc. está dado por las ecuaciones: dia (t) dt eb (t) T m (t) dωm (t) J m dt La

= ea(t)

− Ra ia(t) − eb (t),

= Kω m (t), = Ki a(t), = T m (t)

− T L(t) − Bm dθ(t) , dt

[volt]

(C.16)

[volt] [N -m]

(C.17) (C.18)

[N -m]

(C.19)

Combinando (C.17) en (C.16), y (C.18) en (C.19) se obtienen el par de ecuaciones diferenciales de primer orden: dia (t) = ea (t) Ra ia(t) dt dωm (t) J m = Ki a (t) T L (t) dt La

−

−

− Kωm(t), − Bm dθ(t) , dt

[volt]

(C.20)

[N -m]

(C.21)

en la figura C.2 est´ a el diagrama de bloques de estas ecuaciones. Al aplicar la transformada de Laplace de (C.17) en (C.16) se tienen las ecuaciones algebraicas: (La s + Ra ) ia(s) = ea (s) Kω m (s), (J m s + Bm ) ωm(s) = Ki a(s) T L (s).

−

−

– JMFA –

[volt] [N -m]

(C.22) (C.23) 209

C.4. Modelo Discreto de un Motor de cc

ea(t) -

T L(t)

ia(t)

1 -


∫

La

-

wm(t)

1

K

-

∫

J m

µm(t)

∫

T m(t)

eb(t)

Bm

Ra K Figura C.2:

Modelo matem´ atico de un motor de CC. Diagrama a bloques del modelo matemático de un motor de

CC. .................................................................................................................

ea(s)

1 -

Las+Ra

T L(s)

T m(s)

ia(s)

-

1

K

wm(s)

Jms+Bm

1

µm(s)

s

eb(s)

K Transformada de Laplace de un motor de cc. Notar que el motor tiene una retroalimentación interna de la velocidad esto ayuda a agregar amortiguamiento. ................................................................................................................. Figura C.3:

Aplicando el teorema de superposición y álgebra de bloques la función de transferencia de motor de cc., está descrita por: 1 K, ωm(s) = 2 LaJ m s + (La Bm + Ra J m )s + (Ra Bm + K 2 )



−(Las + Ra )

la posición de la fecha del motor se obtiene por medio de la siguiente expresión: 1 K, θm (s) = La J m s3 + (La Bm + Ra J m )s2 + (Ra Bm + K 2 )s



 

−(Las + Ra)

e(s) , T L (s)

[rad/s]

(C.24)

 

[rad]

(C.25)

e(s) . T L (s)

El modelo en el tiempo discreto de un sistema continuo se obtiene usando: G(z) = (1

−z

−1

Z 

)

G(s) , s

(C.26)

en donde G(s) es la función de transferencia del sistema, al cual le antecede un retenedor de orden cero; z es una variable de valor complejo y [H (s)] indica la transformada z de la función de transferencia H (s). Utilizar C.26 requiere que la fuci´ on de transferencia del sistema continuo, multiplicar la función de transferencia por 1s , dividir la última expresión en fracciones parciales, aplicar la transformada z de estos términos y simplificar.

Z

Como método alternativo se puede utilizar una aproximación discreta de la integral y sustituir ésta en el modelo matem´ atico del sistema. A pesar de que este método genera una aproximación, para muchos casos será suficiente con ella, y acambio está su sencilles para evaluar. Entonces la propuesta es sustituir el operador integral por una aproximación 210

– JMFA –



discreta. Suponiendo que y(k) es la aproximación de la integral en el instante k y x(k) es el valor de la función que se integra. Las dos aproximaciones de la integral que se utilizan son:

 

T

y(t) =

x(t)dt

≈

y(k) = y(k

− 1) + T 2s [x(k) + x(k − 1)] ,

k = 0, . . . ,

T T s

(C.27)

x(t)dt

≈

y(k) = y(k

− 1) + T sx(k − 1),

k = 0, . . . ,

T T s

(C.28)

0

T

y(t) =

0

(C.29)

en donde T s es el tiempo de muestreo. Con el operador retardo, q −1 (q−1 x(k) = x(k 1)), se puede factorizar y reordenar las ecuaciónes (C.27, C.28 ):

−

T s y(k) = 2 y(k) = T s

  − q+1 q 1 1 q 1

−

x(k).

(C.30)

x(k).

(C.31)

la primera aproximación (C.30) es m´ as precisa que la indicada por (C.31). Para aplicar la aproximación de la integral se modifica la presentación de las ecuaciones (C.20) y (C.21) de la forma: La ia(t) = J m ωm (t) =

 

[ea (t)

− Raia(t) − Kω m(t)] dt,

[Ki a(t)

(C.32)

− T L(t) − Bmωm(t)] dt,

(C.33)

sustituyendo (C.30) en (C.32) y (C.31) en (C.33) se tiene: T s La ia (t) = 2 J m ωm (t) = T s

   −

q+1 [ea (t) Ra ia (t) Kω m (t)] dt, q 1 1 [Ki a (t) T L (t) Bm ωm (t)] dt, q 1

−

−

(C.34)

−

−

(C.35)

−

se resuelve (C.34) para ia y se sustituye en (C.35), en resumen: (α0 q 2 + α1 q + α2 )ωm (k) = (β 0 q + β 1 )ea (k)

− (γ 0q + γ 1)T L(k)

[rad/s]

(C.36)

en donde: α0 α1 α2 β 0 β 1 γ 0 γ 1

= = = = = = =

J m (T s Ra + La ), (T s Bm J a )(T s Ra + La ) + J m (T s Ra (T s Bm J a )(T s Ra La ) + (T s K )2 , T s2 K, T s2 K, T s (T s Ra + La ), T s (T s Ra La ),

− −

−

(C.37) (C.38) (C.39) (C.40) (C.41) (C.42) (C.43)

− La) + (T s K )2,

−

Para la descripción de posici´ on, θ, de la flecha del motor se obtiene al integrar la velocidad, es decir, al aplicar (C.30): ¯0 q + β ¯1 )ea (k) (¯ α0 q3 + α ¯1 q 2 + α ¯2q + α ¯3 )θm (k) = (β

− (¯γ0 q + ¯γ1 )T L(k)

[rad]

(C.44)

en donde: α ¯ 0 = J m (T s Ra + La), α ¯ 1 = (T s Bm J m )(T s Ra + La ) + (T K )2 ,

−

– JMFA –

(C.45) (C.46) 211



α ¯2 =

−J m(T s Ra − La), α ¯ 3 = −[(T sBm − J m )(T s Ra − La) + (T s K )2 ], ¯0 β ¯1 β γ¯0 γ¯1

= = = =

T s3 K, T s3 K, T s2 (T sRa + T s2 (T a Ra

−

(C.47) (C.48) (C.49) (C.50) (C.51) (C.52)

La ), La ).

Considérese el motor de cc. cuyos parámetros se listán en la tabla C.1. Par´ ametros Resistencia, Ra Inductancia, La Amortiguamiento, Bm Inercia, J m Costante elect-mec, K

Valor 4 ohm 2.751 10−6 h 3.5077 10−6 N ms 3.2284 10−6 Kg m2 /s2 0.0274 Nm/Amp

× × ×

Tabla C.1:

Par´ ametros de un motor de cc.

Con los datos del motor listados en la tabla C.1 se simula el comportamiento del motor y se comparan los modelos continuo y dicreto. El per´ıodo de muestreo para la simulación discreta es T s = 0.005 segundos, el par de carga es, T L = 0.001. La respuesta que se muestra en figure.C.4 es para un valor de tensión constante, ea = 1, el modelo en velocidad para el motor es: ωm (k + 1) =

−295.803 × 10−3ωm(k) + 703.648 × 10−3ωm(k − 1) +10607.511 × 10−3 [ea (k) + ea (k − 1)] − [1548.755T L(k) + 1548.329T L(k − 1)] . [rad/s]

(C.53)

Para posición el modelo es: θm (k + 1) = 703.922 10−3 θm (k) + 999.725 10−3 θm (k 1) 703.648 10−3 θm (k +53.038 10−3 [ea (k 1) + ea (k 2)] 7743.774 10−3 T L (k 1) + 7741.644 10−3T L (k 2) . [rad]

× ×

−

×

−

× −

−

Velocidad Motor de c.c.

35

− −

×

×

−

− 2)



(C.54)

Posición Motor de c.c.

4.5 4

30

3.5

25

3

20

2.5

s / d 15 a r

d a r

2 1.5

10

1

5

0.5

0

0

−5

−0.5 0

0.05

0.1

(a)

Figura C.4:

0.15

0

s

0.05

0.1

(b)

0.15

s

Respuesta al escal´ on Motor de cc. a) velocidad. b) posición. - - respuesta continua; — respuesta

discreta. .................................................................................................................

212

– JMFA –

Ap´ endice D

Ecuaciones de Entrenamiento para Redes Neuronales Recurrentes Recordar que las ecuaciones de entrenamiento son para el trabajo en l´ l´ınea, es decir, que en cada iteración se actualizan todos los pesos de la red. Como las ecuaciones se derivan a partir del algoritmo de retropropagación del error, los primeros pesos que se actualizan son los de salida, se sigue con los de la capa oculta y se termina con los pesos de entrada. La operación on de la red se divide en dos fases: una hacia adelante, que es donde se determina la respuesta de la red a una entrada dada en el instante k y considerando que los pesos son fijos; la otra fase es de entrenamiento: en esta fase se utiliza la información on de las señales nales de entrada y salida de la red para calcular la actualización de los pesos. En esta sección on se detallan las ecuaciones de entrenamiento para las redes neronales que se proponen en el cap´ cap´ıtulo 2. El ejemplo es para una red con arquitectura de dos entradas, tres elementos ocultos y dos salidas.

D.1.. D.1

Red Re d Ne Neuro urona nall Recu Recurre rren nte

La red neuronal para la cual se expresan sus ecuaciones de entrenamiento se presenta en la figura D.1. -1

Σ

Σ

z -1

Γ 11(.) Γ ( -1

-1

Σ

Σ

z -1

Σ

Σ

Γ 22(.) Γ (

Σ

-

-1

Σ

z -1

Γ 31(.) Γ (

Figura D.1:

D.1. D. 1.1. 1.

Γ 12(.) Γ (

Γ 21(.) Γ (

-1

Σ

-

Σ

Red neuronal recurrente 2, 3, 2

{

}

Peso Pe soss de la Cap Capa a de Sali Salida da

Como son dos las salidas de la RNR existen dos gradientes asociados a cada una de éstas: δ12 (k ) = e1 (k )Γ˙ 21 s21 (k ) ,

− 2 δ2 (k ) = −e2 (k )Γ˙ 22

    s22 (k )

.

(D.1) (D.2) 213

D.1. Red Red Neuronal Neuronal Recurren Recurrente te

Cap´ Cap ´ıtul ıtulo o D. Ecuac Ecuaciones iones de Entrenam Entrenamien iento to para para Redes Neurona Neuronales les Recurren Recurrentes tes

Si la función on de activación on de salida es tanh tanh,, entonces



δ12 (k ) =

−e1(k) 1 − y1(k)2 δ22 (k ) = −e2 (k ) 1 − y2 (k )2 La corrección on de los pesos es:



,

(D.3)

.

(D.4)

∆c10 (k ) = δ12 (k )( 1) 1),, 2 ∆c11 (k ) = δ1 (k )z1 (k ), ∆c12 (k ) = δ12 (k )z2 (k ),

(D.5) (D.6) (D.7)

∆c13 (k ) = δ12 (k )z3 (k), ∆c20 (k ) = δ22 (k )( 1) 1),,

(D.8) (D.9)

∆c21 (k ) = δ22 (k )z2 (k), ∆c22 (k ) = δ22 (k )z2 (k),

(D.10) (D.11)

∆c23 (k ) = δ22 (k )z3 (k).

(D.12)

− −

Para actualizar los pesos se utiliza: cij (k + 1) = cij (k )

D.1. D. 1.2. 2.

− η∆cij (k).

(D.13)

Peso Pe soss de la la Capa Capa Ocu Ocult lta a

Son tres nodos ocultos y cada uno de ellos tiene un gradiente local asociado δ1x,2,3 (k ):

  

  

δ1x (k ) = Σ2r=1 δr2 cr1 Γ˙ 11 [x1 (k )] , δ x (k ) = Σ2 δ 2 cr2 Γ˙ 1 [x2 (k )] , 2 δ3x (k )

La corrección on de los pesos es la siguiente:

=

r=1 r Σ2r=1 δr2 cr3

2 ˙Γ1 [x3 (k )] . 3

∆ j11 (k ) = δ1x (k)x1 (k ∆ j22 (k ) = δ2x (k)x2 (k ∆ j33 (k ) = δ3x (k)x3 (k

− 1) 1),, − 1) 1),, − 1) 1)..

(D.14) (D.15) (D.16)

(D.17) (D.18) (D.19)

Para actualizar los pesos se utiliza: jii (k + 1) = jii (k)

D.1.3 D. 1.3..

− η∆ jii (k).

(D.20)

Pesos Pe sos de la la Capa Capa de Ent Entrad rada a

Los pesos de la capa de salida se utilizan el mismo gradiente de la capa oculta, entonces la corección corección de los pesos es la siguiente: ∆b10 (k ) ∆b11 (k ) ∆b12 (k ) ∆b20 (k ) ∆b21 (k ) ∆b22 (k ) ∆b30 (k ) ∆b31 (k ) ∆b32 (k ) 214

= = = = = = = = =

δ1x (k)( 1) 1),, x δ1 (k)u1 (k δ1x (k)u2 (k δ2x (k)( 1) 1),, x δ2 (k)u( 1)( 1)(k k δ2x (k)u2 (k δ3x (k)( 1) 1),, x δ3 (k)u1 (k δ3x (k)u2 (k

− − −

– JMFA –

− 1) 1),, − 1) 1),, − 1) 1),,

− 1)

− 1) 1),, − 1) 1)..

(D.21) (D.22) (D.23) (D.24) (D.25) (D.26) (D.27) (D.28) (D.29)

Cap´ Cap ´ıt ıtulo ulo D. Ecu Ecuaci acione oness de En Entre trenam namien iento to par para a Red Redes es Ne Neuron uronale aless Rec Recurr urren entes tes

D.2.. RNR con Tres Cap D.2 Capas as

Para actualizar los pesos se utiliza: bij (k + 1) = bij (k )

D.2.. D.2

− η∆bij (k).

(D.30)

Red Re d Neuron Neuronal al Recurr Recurren ente te con Tre Tress Capas Capas

Esta red neuronal tiene con modificación on la de contar con una función on de activación on a la salida de la capa de entrada. El la figura D.2 se presenta a arquitectura de la red para la que se presentas sus ecuaciones de entrenamiento. -1

Σ

Γ 10(.) Γ (

Γ 11(.) Γ (

z -1

Σ

-1

-1

Σ

Γ 20(.) Γ (

-1

Σ

Σ

Γ 22(.) Γ (

Σ

-

-1

Σ

Γ 30(.) Γ (

Figura D.2:

D.2. D. 2.1. 1.

Γ 12(.) Γ (

Γ 21(.) Γ (

z -1

Σ

-

Σ

Γ 31(.) Γ (

z -1

Σ

Red neuronal recurrente con tres capas 2, 3, 2

{

}


Quedan definidos por (D.1-D.13)

D.2. D. 2.2. 2.


Quedan definidos por (D.14-D.20)

D.2.3 D. 2.3..

Pesos Pe sos de En Entra trada da

El gradiente para cada nodo de la entrada δ12,2,3 (k) es igual a:

     

δ11 (k ) = δ1x Γ˙ 01 s11 (k ) , δ21 (k ) = δ2x Γ˙ 02 s12 (k ) , δ31 (k ) = δ3x Γ˙ 03 s13 (k ) .

(D.31) (D.32) (D.33)

Si la función on de activación on la tanh este gradiente local es:

 −   −− 

δ11 (k ) = δ1x 1

r1 (k )2 ,

(D.34)

δ21 (k ) = δ2x 1

r2 (k )2 ,

(D.35)

δ31 (k )

=

δ3x

1

2

r3 (k )

– JMFA –

.

(D.36) 215

D.3. Predicción on de la Sali Salida da

Cap´ Cap ´ıtul ıtulo o D. Ecuac Ecuaciones iones de Ent Entrenam renamien iento to para Redes Neuro Neuronales nales Recur Recurrent rentes es

la capa oculta oculta,, entonc entonces es la core corecci´ cción on de los pesos es la siguiente:

 − −  −  −− −−    −− −−  −  −− −−  −  −− −− 

∆b10 (k ) = δ1x 1

r1 (k

1)2 (k)( 1) 1),,

(D.37)

∆b11 (k ) = δ1x 1

r1 (k

1)2 (k)u1 (k

(D.38)

∆b12 (k ) = δ1x 1

r1 (k

1)2

(D.39)

∆b20 (k ) = δ2x (k) 1

r2 (k

1)2 ( 1) 1),,

(D.40)

∆b21 (k ) = δ2x (k) 1

r2 (k

1)2 u1 (k

− 1) 1),, u2 (k − 1) 1),,

(D.41)

( 1) 1),,

(D.43)

u1 (k

(D.44)

∆b22 (k ) = ∆b30 (k ) = ∆b31 (k ) = ∆b32 (k ) =

δ2x (k) δ3x (k) δ3x (k) δ3x (k)

Los pesos se actualizan usando D.30.

D.3. D. 3.

− 1) 1),, (k)u2 (k − 1) 1),,

1 1 1 1

2

r2 (k

1)

2

r3 (k

1)

2

r3 (k

1)

− 1) 1),, u2 (k − 1) 1)..

2

r3 (k

(D.42)

1)

(D.45)

RNRE RN RE co con n Pr Pred edic icci ci´ ´ on de la Salida on

En este modelo de red nueronal recurrente el lazo de retroalimentación interno contiene el ratardo pudiendo expresarse la salida para el tiempo (k + 1), 1), ver la figura D.3 -1

Σ

Γ 11(.) Γ (

Σ

-1

z -1 -1

Σ

Γ 12(.) Γ (

Σ

Σ

Γ 22(.) Γ (

Σ

Γ 21(.) Γ (

Σ

z -1 -1

Σ

-

Σ

-

-1

Γ 31(.) Γ (

Σ

z -1 Figura D.3:

D.3. D. 3.1. 1.

Red neuronal recurrente con predicci´ on a la salida 2, 3, 2

{

}


Para las dos salidas de la RNR existen dos gradientes asociados a cada una de éstas: estas:

−e1(k + 1)Γ˙ 21 δ22 (k + 1) 1) = −e2 (k + 1)Γ˙ 22 δ12 (k + 1) 1) =

 

(D.46)

s22 (k + 1) .

(D.47)

En el caso de que la función on de activación on de salida es tanh tanh,, entonces δ12 (k + 1) 1) =

 

s21 (k + 1) ,



−e1(k + 1) 1 − y1(k + 1)2 δ22 (k + 1) 1) = −e2 (k + 1) 1 − y2 (k + 1)2 La corrección on de los pesos es:

∆c10 (k ) = δ12 (k + 1)( 1) 1),, 2 ∆c11 (k ) = δ1 (k + 1)z 1)z1 (k + 1), 1),

−

216

– JMFA –



,

(D.48)

.

(D.49)

(D.50) (D.51)

Cap´ Cap ´ıt ıtulo ulo D. Ecu Ecuaci acione oness de En Entre trenam namien iento to par para a Red Redes es Ne Neuron uronale aless Rec Recurr urren entes tes

D.4.. Est D.4 Estado adoss Ac Acota otados dos

∆c12 (k ) = δ12 (k + 1)z 1)z2 (k + 1), 1),

(D.52)

δ12 (k + 1)z 1)z3 (k + 1), 1), 2 δ2 (k + 1)( 1) 1),, 2 δ2 (k + 1)z 1)z2 (k + 1), 1), 2 1)z2 (k + 1), 1), δ2 (k + 1)z 2 δ2 (k + 1)z 1)z3 (k + 1). 1).

(D.53) (D.54) (D.55) (D.56) (D.57)

∆c13 (k ) ∆c20 (k ) ∆c21 (k ) ∆c22 (k ) ∆c23 (k )

= = = = =

−

Para actualizar los pesos se utiliza (D.13)

D.3. D. 3.2. 2.


Son tres nodos ocultos y cada uno de ellos tiene un gradiente local asociado δ1x,2,3 (k ):

  

  

δ1x (k + 1) 1) = Σ2r=1 δr2 (k + 1)c 1)cr1 Γ˙ 11 [x1 (k + 1)] , δ2x (k + 1) 1) = Σ2r=1 δr2 (k + 1)c 1)cr2 Γ˙ 12 [x2 (k + 1)] ,

(D.58)

δ3x (k + 1) 1) = Σ2r=1 δr2 (k + 1)c 1)cr 3 Γ˙ 13 [x3 (k + 1)] .

(D.60)

La corrección on de los pesos es la siguiente:

(D.59)

∆ j11 (k ) = δ1x (k + 1)x 1)x1 (k),

(D.61)

∆ j22 (k ) = δ2x (k + 1)x 1)x2 (k), x ∆ j33 (k ) = δ3 (k + 1)x 1)x3 (k).

(D.62) (D.63)

Para actualizar los pesos se utiliza D.20:

D.3.3 D. 3.3..

Pesos Pe sos de la la Capa Capa de Ent Entrad rada a

Los pesos de la capa de salida se utilizan el mismo gradiente de la capa oculta, entonces la corección corección de los pesos es la siguiente: ∆b10 (k ) ∆b11 (k ) ∆b12 (k ) ∆b20 (k ) ∆b21 (k ) ∆b22 (k ) ∆b30 (k ) ∆b31 (k ) ∆b32 (k )

= = = = = = = = =

δ1x (k + 1)( 1) 1),, x δ1 (k + 1)u 1)u1 (k), x δ1 (k + 1)u 1)u2 (k), x δ2 (k + 1)( 1) 1),, x δ2 (k + 1)u 1)u1 (k), δ2x (k + 1)u 1)u2 (k) x δ3 (k + 1)( 1) 1),, δ3x (k + 1)u 1)u1 (k), x δ3 (k + 1)u 1)u2 (k).

− − −

(D.64) (D.65) (D.66) (D.67) (D.68) (D.69) (D.70) (D.71) (D.72)

Para Pa ra actualizar actualizar los pesos p esos se utili utiliza za D.30

D.4. D. 4.

RNRE RN RE con con Est Estad ados os Acot Acotad ados os

En esta red los estados quedan acotados por medio de la función de activación. on. Vea la figura D.4.

D.4. D. 4.1. 1.


Quedan definidos por (D.1-D.13) – JMFA –

217

D.4. Estados Acotados

Cap´ıtulo D. Ecuaciones de Entrenamiento para Redes Neuronales Recurrentes -1

Σ

1 Γ ( 1 .)

Σ

z -1 -1

-1

Σ

1 Γ ( 2 .)

Σ

Σ

Σ

2 Γ ( 2 .)

Σ

-

-1

Σ

1 Γ ( 3 .)

Σ

Figura D.4:

D.4.2.

2 Γ ( 1 .)

z -1

-1

-

Σ

z -1

Estados acotados 2, 3, 2

{

}

Pesos de la Capa Oculta

x Los gradientes locales de esta capa son: δ1,2,3 (k):

 

 

δ1x (k) = Σ2r=1 δr2 (k)cr1 Γ˙ 11 [x1 (k)] , δx (k) = Σ2 δ2 (k)cr2 Γ˙ 1 [x2 (k)] , 2 δ3x (k)

La corrección de los pesos es la siguiente:

=

r=1 r Σ2r=1 δr2 (k)cr3

2 Γ23 [x3 (k)] .

∆ j11 (k) = δ1x (k)z1 (k

− 1), ∆ j22 (k) = δ2x (k)z2 (k − 1), ∆ j33 (k) = δ3x (k)z3 (k − 1).

(D.73) (D.74) (D.75)

(D.76) (D.77) (D.78)

Para actualizar los pesos se utiliza D.20:

D.4.3.

Pesos de la Capa de Entrada

Los pesos de la capa de salida se utilizan el mismo gradiente de la capa oculta, entonces la corrección de los pesos es la siguiente: ∆b10 (k) ∆b11 (k) ∆b12 (k) ∆b20 (k) ∆b21 (k) ∆b22 (k) ∆b30 (k) ∆b31 (k) ∆b32 (k)

= = = = = = = = =

δ1x (k)( 1), δ1x (k)u1 (k δ1x (k)u2 (k δ2x (k)( 1), δ2x (k)u1 (k δ2x (k)u2 (k δ3x (k)( 1), δ3x (k)u1 (k δ3x (k)u2 (k

− − −

Para actualizar los pesos se utiliza D.30

218

– JMFA –

− 1), − 1), − 1), − 1), − 1), − 1).

(D.79) (D.80) (D.81) (D.82) (D.83) (D.84) (D.85) (D.86) (D.87)

Ap´ endice E

Prototipo Experimental En el laboratorio de robótica del Departamento de Control Automático se tienen diversos prototipos para implementar algoritmos de control en tiempo real. Esto permite redondear el proceso de diseño y obtener resultados experimentales, y con ellos juzgar si estos concuerdan con lo obtenido en la teor´ıa y en simulación. En particular en este trabajo se utiliza el un sistema para el control de un motor de corriente continua. figura E.1. ..............................................................................................................

IEEE 802 WinCon Server

WinCon Client

MatLab Simulink Visual C++

Data and Acquisition Control Board

Amplificador de Potencia

Codificador Digital de Posición

Sistema Embrague/Carga

Motor de CC

Figura E.1:

E.1.

Brazo Acoplable

Prototipo experimental de laboratorio.

Descripci´ on General

En este prototipo de control se trabaja con la interacción de dos programas comerciales MatLab c y WinCon c . El proceso para implementar los algoritmos de control inicia programando en Matlab-Simulink el algoritmo de control por





219

E.1. Descripción General

Cap´ıtulo E. Prototipo Experimental

medio de los bloques que vienen en las librer´ıas que integra a este programa. Una vez que se ha programado el algoritmo de control se env´ıa a compilar por medio de Real-Time Workshop que traduce el programa en Simulink a lenguaje de programaci´ on C++ optimizado para trabajar en tiempo real. El algoritmo codificado es tomado por WinCon para ser cargado y ejecutado en la tarjeta de adquisición y control. WinCon trabaja en una configuración cliente-servidor, en una computadora opera el programa servidor, que junto con Matlab-Simulink , el programa se compila y se capturan datos. Por medio de una red local la computadora con el programa servidor se comunica con el programa cliente. La computadora con el programa cliente es la que se encarga de supervisar la operación del algoritmo en la tarjeta de adquisición y control, as´ı como la transferencia de datos a la computadora con el programa servidor en donde se pueden graficar y guardar los datos del proceso. La tarjeta de adquisición y control es una MultiQ c diseñada por la compañ´ıa Quanser Consulting Inc . Esta tarjeta tiene ocho entradas analógicas, ocho salidas analógicas, ocho salidas digitales, tres temporizadores y seis entradas para codificadores digitales de posicisión en cuadratura.



Para suministar la energ´ıa al motor de corriente continua se utiliza un amplificador de potencia entre la salida analógica de la tarjeta (de 5 a +5 Volt, a través de un registro de 12 bits) y las terminales del motor. Este amplificador incluye una retroalimentación de la corriente que pasa por el inducido del motor para mejorar el amortiguamiento del sistema.

−

El motor de corriente directa es de 24 volts, en la flecha del motor se pone un codificador digital de posición. Este codificador tiene una resolución 2000 ciclos por revolución. El codificador digital es de tipo incremental y en cuadratura, es decir, que internamente se generan dos señales desfasadas 90◦ eléctricos; en cada ciclo se generan cuatro transiciones de forma que la resolución en la lectura de la posición es de 8000 transiciones por cada 360◦ grados de rotación del eje. El contador interno de la tarjeta es de 24 bits, de forma que el número de transiciones máximo que se pueden acumular es de 16, 777, 216; es decir, que hay 2, 097 revoluciones antes de que el contador se reinicie. En la fecha del motor se acopla un sistema mec´ anico embrague-carga que posibilita conectar al eje de motor una carga a trav´ es de una banda dentada. La relación entre los engranes es de 1:3.6 Otro accesorio es un brazo r´ıgido que se puede ser montado sobre el eje de carga. En la figura E.2 se presenta la respuesta al escalón del motor de cc., para la posición y velocidad del eje del motor. Estas curvas son el resultado de aplicar a la entrada del motor u(k) = 0.2, 0.3, . . . , 1.0. El tiempo de muestreo es de T s = 0.001 s.

Respuesta al Escalón, Motor CC: Posición

Respuesta al Escalón, Motor CC: Velocidad

500

100 u(k)=1

u(k)=1

450

90

400

80

350

70

300 d a 250 R

60 s / d 50 a R

200

40

150

+0.1

30

+0.1

100

20

50

u(k)=0.2

10

0

u(k)=0.2

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

s

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

s

Respuesta al escal´ on del motor de cc. a) posición (Radianes). b) velocidad (Radianes/segundo). La magnitud de entrada al motor de cc., va de 0.2 hasta 1.0 en incrementos de una décima. El per´ıodo de muestreo es T s = 0.001s. ................................................................................................................. Figura E.2:

220

– JMFA –


E.2.

E.2. Control Proporcional Integral Derivativo Discreto

Control Proporcional Integral Derivativo Discreto

En esta sección se presenta la discretización de un control de tipo Proporcional Integral Derivativo (PID) se utiliza para obtener algunos datos del prototipo de control, y de esta forma tener un marco de referencia para los evaluar los resultados. La ecuación continua de un control PID es: U (s) K i = K p + + K d s, E (s) s

(E.1)

en donde K p , K i y K d son los parámetros del controlador. Para obtener una aproximación discreta de este controlador se reemplazan los integradores por T s /1 T s es el tiempo de muestreo: U (z) = (1

−z

−1

)U (z) =

− z−1, en donde

− z−1) + K iT s2 + K d(1 − z−1)2 E (z), T s (1 − z −1 ) K d K p(1 − z −1 ) + K i T s + (1 − z −1 )2 E (z), T s

K pT s (1



u(k) = K p [e(k)



d − e(k − 1)] + K iT se(k) + K [e(k) − 2e(k − 1) + e(k − 2)] + u(k − 1), T s

(E.2) (E.3) (E.4)

al algoritmo (E.4) se suele llamar PID de velocidad , debido a que el valor del control se cálcula en referencia al valor del control en la iteraci´ on anterior.

E.3.

Filtrado

La señal de retroalimentación con que cuenta el prototipo experimental es la salida de un codificador digital de posición. Para realizar pruebas de control en velocidad se necesita evaluar la velocidad de la flecha del motor con la información de la posición. El codificador digital trabaja en cuadratura, es decir, genera un par de señales desfazadas 90◦ entre si. Esto permite cuadruplicar la resolución del encoder y determinar el sentido de giro de la flecha. Para evaluar la velocidad del motor se puede utilizar una diferenciación numérica: w(k) =

θ(k)

− θ(k − 1) , T s

(E.5)

ó W (z) =

z 1 Θ(z), zT s

−

(E.6)

en donde T s es el tiempo de muestreo. Sin embargo esta opción es muy sensible al ruido; es decir, que para todo incremento grande en la posición en un tiempo muy corto el valor de la velocidad tendrá un valor muy alto, caracter´ıstica que cumplen las perturbaciones. Por lo que en un experimento puede darse el caso de que el ruido se amplifique en tal grado que perjudique el desempeño del sistema. Se propone utilizar un filtro para obtener el valor de la velocidad para evitar amplificar el ruido. Un filtro pasa-banda es el indicado para esto. La función de transferencia de la velocidad en tiempo continuo es: V (S ) = sΘ(s).

(E.7)

En la figura E.3 se presentan las gráficas de Bode de un derivador (E.7). En figura E.3.a se nota que un derivador tiene la caracter´ıstica de un cambio de ganancia de 20dB por década, de aqu´ı que un derivador ideal amplifica con mayor medida las señales de alta frecuencia. En la figura E.3.b se aprecia que un derivador produce un adelanto de fase constante de 90◦ . – JMFA –

221

E.3. Filtrado

Cap´ıtulo E. Prototipo Experimental Gráficas de Bode: H(z)=z−1/(Ts*z)

Gráficas de Bode: H(s)=s 80

80

) B 60 d ( d 40 u t i n g 20 a M 0

) B 60 d ( d 40 u t i n g 20 a M 0 −1

10

0

10

1

10

2

3

10

(a)

10

−1

0

10

10

1

2

10

(a)

150 ) s o d a r 100 g ( e s a F 50 0 −1 10

10

Hz

10

3

Hz

150 ) s o d a r 100 g ( e s a F 50 0 0

10

1

10

(b)

2

3

10

10

10

−1

Hz

0

10

10

1

(b)

Diagrama de Bode de un derivador. El rango de graficación es [0.1,1000] Hz. a) Diagrama de ganancia. Notar que un derivador tiene pendiente de 20dB/década. b) Diagrama de fase. Un derivador tiene 90◦ de adelanto de fase.

2

10

10

3

Hz

Diagrama de Bode de un diferenciador. El rango de graficación es [0.1,1000] Hz. con un tiempo de muestreo de T s = 0.001s La frecuencia de Nyquis es de 500Hz. a) Diagrama de ganancia. El diferenciador tiene una pendiente de 20dB/decada en la zona de operación. b) Diagrama de fase. Un diferenciador mantiene un desfasamiento 90 ◦ ; pero a partir de 100Hz este va disminuyendo hasta alcanzar 0◦ en la frecuencia de Nyquist. ................................................................................................................. Figura E.3:

Figura E.4:

En la figura E.4 pueden verse las gr´ aficas de Bode de la diferencia finita (E.6). figura E.4.a se observa que un diferenciador mantiene una ganancia de 20dB por década, la misma caracter´ıstica de un deivador, hasta poco antes de 1 alcanzar la frecuencia de Nyquist; es decir, a la frecuencia f N = 2∗T . Si T s = 0.001s entonces f N = 500Hz, a esta s frecuencia la salida del diferenciador es cero, debido a que la toma de cada una de las muestras de la señal coincide con el cruce por cero de la misma, y para frecuencias mayores a f N , se produce el efecto de alias. La frecuencia de Nyquist no debe considerarse como el l´ımite superior del rango de trabajo, por el teorema de Shannon se conoce que para reproducir una señal digitalizada se debe utilizar un per´ıodo de la mitad del per´ıodo del componente de frecuencia más alto que se desea recuperar. Para una frecuencia de muestreo de T s = 0.001s, se utiliza un diferenciador para obtener la derivada de la señal, esto implica que el rango de trabajo tiene un l´ımite impuesto por la frecuencia de Nyquist, para este caso es: f N = 500Hz, es decir, que el per´ıodo de muestreo se reduce a T N = 0.002s. Por el teorema de Shannon la frecuencia de la señal m´ as grande que se puede recuperar con una per´ıodo de muestreo T N es del doble; es decir T Sh = 0.004. Por tanto la frecuencia m´ axima de trabajo es de F M = 1/T Sh = 250Hz. Notar de la figura E.4.b que esta frecuencia de 250Hz corresponde al punto en donde inicia a reducirse la fase. En este punto se determinó la frecuencia máxima de trabajo, en función del per´ıodo de muestreo; pero el tipo de sistema con el cual se está trabajando impone por si mismo un l´ımite de operación. El prototipo experimental de un motor de corriente directa es un dispositivo electromecánico, los cambios en velocidad en su operación no son muy grandes, por esto se propone que la frecuencia máxima del cambio de velocidad sea de 10Hz. Por lo anterior se tiene que para estimar la velocidad del motor a partir de la lecturas de codificador digital de posición se necesita de un filtro digital que tenga una caracter´ıstica de una ganancia de 20dB/década y 90◦ de adelanto de fase en la zona de trabajo, y con el fin de evitar ruido y reducir el efecto de alias se necesita atenuar las señales que correspondan a un cambio de velocidad por mayores de 20Hz. El filtro adecuado para esta función es uno de tipo pasa-banda. Dentro de la frecuencia de trabajo se utiliza un filtro pasa-altos de tipo Butterworth: H pa (s) =

2πf ca s , s + 2πf ca

(E.8)

en donde f ca es la frecuencia de corte alta en Hertz. Este filtro tiene una ganancia 20dB/década y 90◦ hasta una 222

– JMFA –


E.3. Filtrado Gráficas de Bode: H(s)=2*pi*fca/(s+2*pi*fca)

Gráficas de Bode: H(s)=2*pi*fca*s/(s+2*pi*fca) 80

0

) B 60 d ( d 40 u t i n g 20 a M 0

) B d ( −20 d u t i −40 n g a M−60 −1

10

−80 0

10

1

2

10

3

10

(a)

10

0

1

10

10

2

3

10

(a)

0

150 ) s o d a r 100 g ( e s a F 50 0 −1 10

−1

10

Hz

10

Hz

) s −50 o d a r g ( e −100 s a F

−150

0

10

1

2

10

(b)

−1

3

10

10

10

0

1

10

10

(b)

Hz

Diagrama de Bode de un filtro Butterworth pasa-altos. a) Diagrama de ganancia. b) Diagrama de fase. La lńea vertical se˜ nala la frecuencia de corte: f ca = 15Hz. Se usa para estimar la velocidad.

2

3

10

10

Hz

Diagrama de Bode de un filtro Butterworth pasa-bajos. a) Diagrama de ganancia. b) Diagrama de fase. La l´ınea vertical señala la frecuencia de corte: f ca = 15Hz. Aten´ ua las se˜ nales superiores a f ca ................................................................................................................. Figura E.5:

Figura E.6:

√

frecuencia poco menor a la de corte, en la frecuencia de corte la ganancia se reduce a 1/ 2 y +45◦ de adelanto de fase. De forma que si la frecuencia de operación máxima es de 10Hz se sugire que la frecuencia de corte superior sea 50 % mayor a la frecuencia de corte superior. De forma que la frecuencia de corte que se utiliza es f ca = 15Hz. ver figura E.5. Este filtro estima la derivada de la señal. Para atenuar las señales superiores a la frecuencia de corte se puede utilizar un filtro Butterworth pasa-bajos. Un filtro Butterworth pasa-bajos de primer orden está descrito por la ecuación: H pb (s) =

2πf cb , s + 2πf cb

(E.9)

este filtro tiene una gancia de 20dB/década. Ver las gráficas de Bode de este filtro en figura E.6. El filtro tiene un desfasamiento de 0◦ grados, cruzando por 45◦ en la frecuencia de corte, f cb ; hasta 90◦.

−

−

−

El filtro pasa banda puede usarse para estimar la velocidad y atenúa las frecuencias superiores a la de corte es: H (s) = H pa (s)H (s) pb =

2πf ca s , s2 + 4πf ca s + (2πf ca )2

(E.10)

Discretizando este filtro con un per´ıodo de muestreo, T s = 0.001, su función de transferencia es: H (z) =

z2

8.084(z 1) , 1.82z + 0.8282

−

−

(E.11)

En las figuras E.7 y E.8 se muestran las gráficas de Bode el un filtro pasa banda (E.10), en su versión continua; y (E.11) en discreto. De estas gráficas se observa que las señales alrededor de la frecuencia de Nyquist aún son amplificadas. Para aumentar el grado de atenuación se puede utilizar un filtro Butterworth de tercer orden: H pb (s) =

(2πf cb )3 s3 + 2(2πf cb )s2 + 2(2πf cb)2 s + (2πf cb )3

Este filtro tiene una pendiente de atenuación de filtro para una frecuencia de corte de 50Hz.

(E.12)

−60dB/década. En la figura E.9 están las gráficas de Bode de este – JMFA –

223

E.3. Filtrado


2

2

Gráficas de Bode: H(z)

Gráficas de Bode: H(s)=2*pi*fca*s/[s +4*pi*fca*s+(2*pi*fca) ] 80

80

) B 60 d ( d 40 u t i n g 20 a M 0

) B 60 d ( d 40 u t i n g 20 a M 0 −1

10

10

0

1

10

10

2

(a)

−1

3

10

10

0

10

1

10

2

(a)

Hz

3

10

10 Hz

) s 100 o d a r g 0 ( e s a F −100

) s 100 o d a r g 0 ( e s a F −100 −1

10

10

0

1

10

10

2

(b)

−1

3

10

10

0

10

1

10

2

3

10

(b)

Hz

10

Hz

Figura E.8: Diagrama de Bode de un filtro pasaDiagrama de Bode de un filtro pasabanda. a) Diagrama de ganancia. b) Diagrama de banda. a) Diagrama de ganancia. b) Diagrama de fase. Frecuencia de corte f c = 15Hz. fase. Frecuencia de corte f c = 15Hz. ................................................................................................................. Figura E.7:

Gráficas de Bode: H(s)=(2*pi*fca) 3 /[s3+4*pi*fca*s2+2*(2*pi*fca)2*s+(2*pi*fca)3] ) B d ( d u t i n g a M

0

) 50 B d ( d u 0 t i n g a M−50

−50

−100 −1

10

0

10

1

10

2

−1

3

10

(a)

0

10

10

0

10

Hz

1

10

2

3

10

(a)

10 Hz

100 ) s o d 0 a r g ( −100 e s a F −200

) s o d −100 a r g ( e s −200 a F

−300

Gráficas de Bode: H(s)=(2*pi*fca) 3*s/[s4+3*v*s3+4*v3*s2+3*v3*s+v4]

−1

10

−300 0

10

1

10

(b)

2

3

10

10

Hz

−1

10

0

10

1

10

(b)

2

3

10

10

Hz

Figura E.10: Diagrama de Bode de un filtro pasaDiagrama de Bode de un filtro Butterworth pasa-bajos de tercer orden. a) Diagrama banda. a) Diagrama de ganancia.b) Diagrama de de ganancia. La pendiente de esta grá fica es de fase. Las frecuencias de corte son: f ca = 15Hz, 60dB/década. b) Diagrama de fase. Frecuencia de f cb = 50Hz. Las frecuencias por arriba de 500Hz son . . .corte . . . . . 50Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .atenuadas. ...................................................... Figura E.9:

−

224

– JMFA –


E.3. Filtrado

Gráficas de Bode: H(z) ) 50 B d ( d u 0 t i n g a M−50

Filtro digital pasa banda .a) Diagrama de ganancia.b) Diagrama de fase. Frecuencia de corte inferior:f ca = 15Hz; Frecuencia de corte superior: f cb = 50Hz. Frecuencia de Nyquist: f N = 500Hz. ........................................................ Figura E.11:

−1

10

0

1

10

2

10

3

10

10

(a)

200

Hz

) s o 0 d a r g ( e s −200 a F

−400 −1 10

0

1

10

2

10

3

10

10

(b)

Hz

El filtro pasa-banda generado por (E.8) y (E.9) está representado p or la ecuación: N (s) , D(s) N (s) = (2πf ca )(2πf cb )3 s, D(s) = s4 + [(2πf ca ) + 2(2πf cb )] s3 + 2(2πf ca )(2πf cb ) + 2(2πf cb )2 s2 + H (s) =

·· · +



  



2(2πf ca )(2πf cb )2 + (2πf cb )3 ) s + (2πf ca )(2πf cb )3 ,

(E.13) (E.14)

···

(E.15)

en donde f c a es la frecuencia de corte el filtro pasa-altos, y f cb es la frecuencia de corte del filtro pasa-bajos. En la figura E.10 est´ an las gráficas de Bode para el filtro pasa-banda (E.13), para las frecuencias de corte: f ca = 15Hz; f cb = 50Hz. Notar que este filtro atenúa las señales por arriba de 500Hz. La versión discreta de este filtro para una frecuencia de muestreo T s = 0.001 es: H (z) =

0.4053z 3 + 0.9439z 2 1.067z 0.2824 . z 4 3.287z 3 + 4.096z 2 2.293z + 0.4855

−

− −

−

(E.16)

En la figura E.11 están las gráficas de magnitud de fase del filtro digital (E.13). Dependiendo del grado de atenuación requerido en las frecuencias superiores se puede seleccionar entre el filtro (E.10, E.11), o (E.13, E.16). ..............................................................................................................

– JMFA –

225

E.3. Filtrado

226


– JMFA –

Ap´ endice F

Algoritmo de Retropropagaci´ on En la sección 1.2.4 se presenta el algoritmo de retropropagación para una red neuronal múlticapa. El objetivo de esta sección es la de mostrar este algoritmo de forma que sea sencillo traducirlo a un lenguaje de computo; por ejemplo Matlab c .



El algoritmo de retropropagación del error tiene como tarea m´ınimizar el error cuadrático de la salida de la red: J = 12 eT e. Siendo: e = y d y el vector error, en donde: y d es el vector de valores deseados y y es el vector con los valores de la salida de la red.

−

Los componentes que forman la salida de la capa l de la red neuronal: x(l) , está expresado de la forma siguiente: s(l) = W (l) x(l−1) , x(l) = Γ[s(l) ],

(F.1) (F.2)

en donde: l indica el número de capa en la red; Γ[ ] es el vector de funciones de activación; x(l−1) es el vector de salida de la capa l 1; cada componente del vector s(l) es la combinación lineal entre los pesos de una neurona y la salida de (l) (l) (l) la capa anterior, es decir: si = wi x(l−1) , siendo wi la i-ésima fila de la matriz de pesos W (l) . Si las neuronas tienen una entrada independiente, ésta se agrega como una entrada de valor fijo:

·

−

(l) si

[ w(l) i0

=

.. (l) ] . wi

(l)

   · ··  1

,

(F.3)

(l−1)

x

el término wi0 es el componente de compensación. Como ejemplo: una red neuronal de tres capas tiene la forma: s(1) x(1) s(2) x(2) s(3) y = x3

= = = = = =

W 1 x(0) , Γ[s(1) ], W 2 x(1) , Γ[s(2) ], W 3 x(2) , Γ[x(3) ].

(F.4) (F.5) (F.6) (F.7) (F.8) (F.9)

El proceso de entrenamiento de la red neuronal principa al incializar las matrices de la red neuronal con valores aleatorios pequeños. La actualización de las matrices de pesos se realiza a través de la regla delta: (l)

wi (l)

en donde: wi vector fila.

←− wi(l) − η

∂J (l)

∂w i

,

es un vector fila con los pesos de la neurona o nodo i de la capa l; el gradiente:

(F.10) ∂J (l) ∂w i

es también un

227

Cap´ıtulo F. Algoritmo de Retropropagación Al utilizar la regla de la cadena en este gradiente se obtiene: (l)

∂J (l)

∂w i en donde el escalar

∂J (l) ∂s i

(l)

= δi

=

∂J ∂s i (l)

(l)

∂s i ∂w i

∂J

=

(l)

∂s i

  x(l−1)

T

,

(F.11)

es el gradiente local del nodo i de la capa l.

Se puede representar la actualización de todos los pesos de una capa de la red neuronal a través de la forma siguiente:

←− w1 − ηδ1(l)

w1 .. .. . . wnl

x(l−1)

←− wn − ηδn(l) l

l

T

    x(l−1)

, (F.12)

T

,

nl indica en número de nodos del nivel l. Agrupando la matriz de los pesos del nivel l se obtiene una representación matricial: W l

←− W l − η[δ(l) ]T

  x(l−1)

T

,

(F.13)

en donde: δ(l) es un vector fila, compuesto por gradientes locales de los nodos de la capa l. Hay un gradiente local para cada nodo en la red. Y como se puede observar en la figura F.1, los gradientes locales de la red neuronal se pueden calcular por medio de una red con estructura similar a la original. Se parte de la salida y se propagan los gradientes de una capa para calcular los gradiente de la capa que le antecede. El vector de los gradientes locales una capa l es: tiene:

∂J . ∂s(l)

Al seguir aplicando la regla de la cadena al gradiente local, se

∂J ∂J x(l) ∂J (l) = = Diag Γ′ [s1 ], . . . , Γ′ [s(l) nl ] , (l) (l) (l) (l) ∂s ∂x s ∂x





(F.14)

en donde: nl es el número de nodos en la capa l; Diag a1 ,...,a n representa una matriz cuadrada (n elementos a1 , . . ., anl .

{

}

× n) diagonal con

La solución de la derivada: ∂x∂J (l) depende de si es una capa oculta o la de salida de la red neuronal. En el caso de que sea para la salida de la red (nivel L), esta derivada es: ∂J 1 ∂e T e 1 ∂e T e ∂e = = = 2 ∂x (L) 2 ∂e ∂x L ∂x (L)

−eT .

(F.15)

∂J ∂J ∂s (l+1) = = δ (l+1) W (l+1) , ∂x (l) ∂s (l+1) ∂x (l)

(F.16)

Y para una capa oculta la derivada:

∂J ∂x (l)

es:

Resumiendo: 1. La ecuación para actualizar los pesos del último nivel de una red múlticapa se utiliza: L

W

L

←− W − ηDiag

nL es el número de salidas de la red.



′

Γ

 

(L) [s1 ], . . . , Γ′ [s(L) nL ]

e x(L−1)

T

,

(F.17)

2. Y para los niveles ocultos: W l para 0 228

≤ l < L.

←− W l − ηDiag



(l)

Γ′ [s1 ], . . . , Γ′ [s(l) nl ]

– JMFA –



δ(l+1) W (l+1)

  T

x(L−1)

T

,

(F.18)

Cap´ıtulo F. Algoritmo de Retropropagación Utilizando el ejemplo de la red neuronal (F.4-F.9) los gradientes de esta red son: δ (3) =

−eT





(3)

Diag Γ′ [s1 ], . . . , Γ′ [s(3) n3 ] ,

 

(2)

(F.19)

 

δ (2) = δ (3) W (3) Diag Γ′ [s1 ], . . . , Γ′ [s(2) n2 ] , (1)

(F.20)

δ (1) = δ (2) W (2) Diag Γ′ [s1 ], . . . , Γ′ [s(1) n1 ] , recordar que estos vectores son tipo fila y est´ an formados p or las derivadas parciales: número de nivel o capa en la red y nl el número de nodos en esta capa.

(F.21) ∂J (l) ; ∂s i

i = 1, . . . , nl , siendo l el

El modelo que se forma a partir de los gradientes locales de la red neuronal se conoce como modelo se sensibilidad . Este modelo es en su estructura similar al original, se obtiene al sustituir las entradas x a la red por los gradientes locales δ, los nodos de suma por puntos de bifurcación, y viceversa (ver [55]). Esta estructura es útil en los problemas de control inverso (ver sección 4.3), debido a que permite usar un modelo neuronal del sistema a controlar y retropropagar a través de su modelo de sensibilidad el error de control; y con este valor, determinar los gradientes locales de la red de control para actualizar sus pesos. Para lo anterior se requiere calcular el Jacobiano (para el caso de un sistema con más de una entrada y una salida): Como ejemplo supóngase un sistema con tres entradas y dos salidas este Jacobiano tiene la siguiente estructura:

∂x (L) . ∂x (0)

∂x (L) = ∂x (0)

 

(L)

∂x 1

(0)

(L)

∂x 1

(0)

(L)

∂x 1

(0)

∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 (L) (L) (L) ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 (0)

∂x 1

(0)

∂x 2

(0)

∂x 3

 

.

(F.22)

Desarrollando este Jacobiano se obtiene: ∂x (L) ∂x (L) ∂s (L) = ∂x (0) ∂s (L) ∂x (0) ∂x (L) ∂s (L) ∂x (L−1) = , ∂s (L) ∂x (L−1) ∂x (0)



′

= Diag Γ

(F.24)



(L) [s1 ], . . . , Γ′ [s(L) nL ]

al proseguir derivando, el Jacobiano queda definido por: ∂x (L) (L) (L) = Diag Γ′ [s1 ], . . . , Γ′ [s(L) nL ] W ∂x (0)



(F.23)



·· · Diag

W (L)



∂x (L−1) , ∂x (0)

(1)

(F.25)



(1) Γ′ [s1 ], . . . , Γ′ [s(1) n1 ] W ,

(F.26)

se faculta utilizar los gradientes locales para evaluar el Jacobiano (F.26), con tan sólo suponer que el modelo de sensitividad de la red neuronal tiene a 1 en sus entradas.

−

..............................................................................................................

– JMFA –

229

2 3 0

Γ (* )

Γ (* )

Γ (* )

Γ (* ) Γ ( *) (1)

(2)

=

1

=

1

(1) 1

Γ ( *)

(2) 1

=

=

(3)

(3) 1

=

Γ (* )

Γ (* )

Γ (* )

=

(2)

=

2

(1)

=

2

(2) 2

=

(1) 2

=

– J M F A –

1

Γ (* )

Γ (* )

Γ (* )

Γ (* )

-

Γ (* ) (3) 2

(3)

=

Γ (* )

2

Γ (* )

=

(2) (1) 3

=

3

(1) 3

=

(2) 3

=

=

Figura F.1: [36]. Esquema del m´ etodo de aprendizaje por retropropagaci´ on. Se presenta el caso para una red con una topolog´ıa: {3, 3, 3, 2}; es decir, que esta red neuronal tiene tres nodos en la capa de entrada (nivel cero), tres nodos en la primer y segunda

capas ocultas (nivel 1 y 2) y dos nodos en la capa de salida (nivel 3). En este diagrama se presentan las dos fases del algoritmo de retropropagaci´ on. En la primera, se propaga el vector de entrada: x0 = [x01 , x02 , x03 ]T (si se considera a la entrada independiente −1 dentro del vector entonces: x0 = [ x00 , x01 , x02 , x03 ], en donde: x00 = −1), a trav´ es de cada capa y de cada no do de la red neuronal hasta llegar al tercer nivel, en donde la salida de la red está definida por el vector: y = x3 = [ x31 , x32 ]T . Se utiliza el error medio instántaneo como funci´ on costo: J = 12 eT e, e = [ y1d − x31 , y2d − x32 ]T . Las l´ıneas discontinuas marcan la segunda fase del proceso de aprendizaje. Este T (l) consiste en calcular los gradientes locales de la red neuronal ( δn = − 12 ∂e (l)e , l = nivel, n = nodo). Por medio de la regla de la cadena ∂s n

T

T

∂s n

∂x n

(l)

T

para la diferenciaci´ on se puede expresar el gradiente local como: δn(l) = − 12 ∂e (le) = − 12 ∂e (le) ∂x(nl) = − 12 ∂e (le) Γ [s(nl) ]. El término: depende de la topolog´ıa de la red neuronal. Para la nivel 3: l

en donde: l < 3; N es el n´ umero de nodos del nivel l; a xlj 1 . −

l wij

∂e T e (3)

∂x n

∂s n

′

∂x n

= −en ; y en un nivel anterior (oculto):

∂e T e (l)

∂x n

=



N l+1 r=1

∂e T e (l)

∂x n

(l+1)

l+1 wrn δr

,

es el peso que est´ a en el nivel l, pertenece al nodo i y tiene como entrada

C a p ´ ı t u l o F . A l g o r i t m o d e R e t r o p r o p a g a c i o ´ n

Ap´ endice G

Representaci´ on de Sistemas La necesidad de describir el comportamiento de los sistemas din´ amicos ha requerido de obtener representaciones matem´ aticas que permitan su an´ alisis. Ya sea que se describan como sistemas que varian continuamente en el tiempo, o bien considerados como datos que se presentan en per´ıodos de tiempo regulares, estos modelos determinan la forma en que pueden ser manipulados lo sistemas.

G.1.

Modelos Discretos de Sistemas

La representación de un sistema en forma discreta considera que responde por medio de una función de la secuencia de valores pasados de la variable de salida, y, y de entrada, u; es decir: y(k) = F (y(k

− 1), . . . , y(k − n); u(k − t), . . . , u(k − m − t))

(G.1)

en donde la función f () es una función suave, y la variable t es un entero que representa un retardo en la entrada; los escalares n y m son posivitos y mayores de cero.

G.1.1.

Modelo DARMA

En particular un sistema lineal tiene la siguiente forma general: n

A0 y(k) =

 −

m

Aj y(k

j=1

− j) +



Bj u(k

j=0

− j − t),

k

≥ 0,

(G.2)

donde en el caso de un sistema multivariable (varias entradas con varias salidas), los coeficientes Aj y Bj son matrices; y en el caso de una entrada y una salida Aj y Bj son escalares; t es un retardo en la variable de salida. En esta representaci´ on, a la parte formada por la secuencia de valores pasados de la variable de salida, y, se conoce como autoregresivo y a los componentes pasados de la entrada, u, se le llaman moving-average . Conociéndose a los sistemas (G.2) como Deterministic Autoregrssive Moving-Average o bien DARMA. Utilizando el operador retardo q−1 en la ecuación (G.2) se obtiene una representación equivalente: A(q−1 )y(k) = B(q−1 )u(k),

(G.3)

en donde: A(q−1 ) = A0 + A1 q−1 + B(q−1 ) = B0 + B1 q−1 +



· · · + An q−n, · · · + Bnq−m q−t,



(G.4) (G.5)

de esta forma el sistema (G.2) es descrito por un par de polinomios de la variable q. 231

G.1. Modelos Discretos de Sistemas

Cap´ıtulo G. Representación de Sistemas

Si la condiciones iniciales del sistema (G.2) son iguales a cero, se puede tomar a q−i quivalente a la variable compleja z −i . Al hacer este cambio en los polinomios A y B del sistema (G.3), se obtiene: A(z) = A0 + A1 z −1 + B(z) = B0 + B1 z −1 +

· · · + Anz−n, ·· · + Bn z−m z−t,





(G.6) (G.7)

considerando los polinomios en z, la función de transferencia del sistema (G.2) es la siguiente: B(z) U (z), A(z) Y (z) = H (z)U (z). Y (z) =

(G.8) (G.9)

La función de transferencia H (z) es la representación del sistema (G.2) desde el punto de vista entrada-salida y es la respuesta del sistema a un impulso.

G.1.2.

Modelo Regresor

Otra forma para el modelo del sistema (G.2) y que es muy útil para los algoritmos de estimación de parámetros, se obtiene al normalizar la ecuación con respecto al parámetro A0 . As´ı que se puede despejar de (G.2) a la variable y(k) y se agrupan los coeficientes de y(k i), i = 1, . . . , n y u(k l), l = 1, . . . , m en una matriz de parámetros θ y en un vector se agrupan las variables y(k i) y u(i l), llamado regresor .

− −

−

−

y(k) = θT φ(k

− 1).

(G.10)

La presentación del tipo (G.10) puede usarse para sistemas no lineales, basta con que sea posible separar los parámetros y reunirlos en θ.

G.1.3.

Modelo en Variables de Estado

La descripción en variables de estado de un sistema dinámico considera que existen un conjunto de variables que determinan la historia pasada del sistema y la forma en que se ve afectada por la señal de entrada, est´ as variables se conocen como los estados del sistema. La descripci´ on en general de un sistema en variables de estado es: x(k + 1) = f (x(k); u(k)); y(k) = h(x(k)), x(0) = x0 ,

(G.11) (G.12)

en donde las funciones f () y h() son funciones suaves y x0 , es el vector de condiciones iniciales. La representación en variables de estado de un sistema lineal discreto tiene la siguiente forma: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k); y(k) = Cx(k), x(0) = 0,

(G.13) (G.14)

en donde los vectores: y, u y x son las variables de salida, entrada y estado, respectivamente, del sistema. Si se aplica la transformada

Z al sistema (G.13-G.14) se obtiene: zX (z) = AX (z) + BU (z); Y (z) = CX (z),

(G.15) (G.16)

resolviendo el anterior par de ecuaciónes anteriores con respecto a Y (z): Y (z) = C (Iz A)−1 BU (z), Adj(Iz A) Y (z) = C B, Iz A

−

−

| − |

232

– JMFA –

(G.17) (G.18)



en donde Adj() es la adjunta y () el determinante de la matriz Iz

| |

− A.

De la función de transferencia (G.18) se pasa de una representación de estado a una representación entrada-salida en función de la variable compleja z, es decir, de la forma (G.9). Y sólo basta transformar el sistema en función de la variable compleja z −n por el operador retardo q −n para obtener una representación del tipo (G.2) Grado Relativo En un sistema representado por medio de sus ecuaciones en variables de estado al retardo que hay para que la señal de entrada , u(k), afecte a su salida se le conoce como grado relativo . Utilizando el sistema (G.11,G.12) para hallar el grado relativo se inicia por calcular la derivada parcial de los adelantos de la salida con respecto a la entrada u(k), entonces: y(k) = h(x(k), u(k)) = h0 y(k + 1) = = ∂y (k + 1) = ∂u(k) y(k + 2) = = ∂y (k + 2) = ∂u(k) .. . y(k + l) = ∂y(k + l) = ∂u(k)

h(x(k + 1), u(k)) = h(f (x(k)), u(k)) h1 ∂ 1 h ; ∂u(k) h(f (x + 1)), u(k)) = h(f (f (x(k))), u(k)) h2 ∂ 2 h ; ∂u(k)

(G.19) (G.20) (G.21) (G.22) (G.23) (G.24) (G.25) (G.26) (G.27)

l

h

∂ l h. ∂u(k)

(G.28)

∂y(k+r) ∂u(k)

es diferente de cero, es el grado relativo del sistema (G.11-G.12).

El valor de r para el cual la derivada parcial:

Para un sistema lineal de la forma (G.13-G.14) el grado relativo es corresponde al valor de r para el que la siguiente expresi´ on es diferente de cero: C T Ar−1 B = 0.



(G.29)

El valor del grado relativo en un sistema lineal expresado en ecuaciones de estado (G.11-G.12), es quivalente al retardo, t, en la entrada para el sistema DARMA (G.2).

– JMFA –

233


234


– JMFA –

Índice alfab´ etico actos reflejos, 89 aprendizaje, 13 algoritmos, 15 BPTT, 19 competitivo, 20 correcci´ on por error, 15 ley hebbiana, 19 Retropropagaci´ on, 16 No supervisado, 15 reforzado, 15 supervisado, 15 aproximación de funciones, 9, 43 clasificaci´ on de patrones , 9 control modelo inverso, 94 Control Adaptable, 102 Directo, 112 Indirecto, 104 Control PID., 221 control, Def., 90 Epoca de entrenamiento, 16 esquema serie-paralelo, 62 exitaci´ on persistente, 60 Filtrado, 221 filtro Butterworth, 222 filtro pasa-altos, 222 filtro pasa-bajos, 223 filtro pasa-banda, 222 Frecuencia de Nyquis, 222 frecuencia de Nyquist, 222 funci´ on de activación, 4 derivada, 5 tipos, 4 generalizaci´ on, 15, 94 gradiente local, 17, 228 Heliotropismo, 89 home´ ostasis, 89 identificaci´ on, 43, 51 métodos m´ınimos cuadrados, 57 proyección, 52

proyección ortogonal, 55 RN dinámicas, 67 RNMC, 63 RNRE, 70 múltimodelo, 76 memoria asociativa, 9 modelado de controlador, 91 Modelo de referencia, 117 modelo de sensitividad, 19, 229 Modelo Interno, 126 Modelo inverso, 94 modelo inverso método directo, 96 modelo inveso método especializado, 97 modelo NARMA, 11 momento, 27 Motor de CC., 207 modelo discreto, 209 modelo matemático, 207 neurona modelo matemático, 2 neuronas, 1 ax´ on, 1 dentritas, 1 sinapsis, 1 soma, 1 neurotransmisor, 2 PID, 91 Prob. de Asignación de crédito , 15 problema de Hilbert, 45 propiedad de independencia, 23 redes neuronales est´ aticas, 6 aplicaciones, 9 redes neuronales artificiales, 3 dinámicas, 9 Boltzmann, 10 Hopfield, 10 Jordan, Elman, 12 recurrentes localmente, 11 est´ aticas 235

Tesis Redes Neuron Ales Jmfa

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