ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES DE INVARIANZA DE LAS PRECIPITACIONES MÁXIMAS PUNTUALES EN EL DEPARTAMENTO DE ANTIOQUIA
SANTIAGO WILCHES YEPES
Trabajo dirigido de grado presentado como requisito parcial para optar el título de Magíster en aprovechamiento de recursos hidráulicos
Director: I.C., Msc., Ph.D. OSCAR J. MESA S
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE MINAS
POSGRADO EN APROVECHAMIENTO DE RECURSOS HIDRÁULICOS
2001
ii
A mi esposa Mercedes y a nuestro hijo
iii
AGRADECIMIENTOS Al Doctor Oscar Mesa S, asesor de este trabajo por sus enseñanzas invaluables, la ayuda permanente y los continuos aportes.
A Hidramsa Ltda, por su apoyo y permanente colaboración, especialmente al ingeniero Juan Carlos Correa J.
Al Área de hidrometría de Empresas Públicas de Medellín, en especial a los Doctores Jaime Trujillo D, Héctor Pizarro y al Señor Gerardo Henao por su valiosa colaboración y por el suministro de la información pluviográfica.
A los estudiantes Juan Felipe Álvarez Z y Vladimir Toro V. por su colaboración en la recopilación y procesamiento de la información.
A la profesora María Victoria Vélez por el suministro de la información recopilada en al trabajo de “Hidrología en Antioquia”.
Al ingeniero Carlos Daniel Ruiz Carrascal por su colaboración en el análisis de homogeneidad de las series hidrológicas.
A la ingeniera Gloria Jenny Mejía por su aliento y apoyo incansable
A los Profesores Germán Poveda y Jaime Ignacio Vélez por sus ideas y aportes.
A mi esposa María Mercedes por el tiempo brindado
Y mis padres, hermanos y a todas a aquellas personas que de una u otra forma hicieron posible la culminación de este trabajo
iv
TABLA DE CONTENIDO
1
INTRODUCCIÓN. ..................................................................................................1
1.1
OBJETIVOS GENERALES ....................................................................................4
1.2
OBJETIVOS ESPECÍFiCOS ..................................................................................4
1.3
ORGANIZACIÓN DEL INFORME ..........................................................................5
2
GENERALIDADES DE LAS CURVAS IDF. ...........................................................7
2.1
DIFERENTES
TRABAJOS
EFECTUADOS
EN
EL
ESTUDIO
DE
LAS
PRECIPITACIONES MÁXIMAS. ..........................................................................10 3
ESCALAMIENTO SIMPLE Y MULTIESCALAMIENTO ........................................21
3.1
GENERALIDADES. ..............................................................................................21
3.2
ESCALAMIENTO SIMPLE. ..................................................................................21
3.3
ESCALAMIENTO MÚLTIPLE ...............................................................................23
3.4
CURVAS INTENSIDAD-DURACIÓN-FRECUENCIA A PARTIR DE LA TEORÍA DE ESCALAMIENTO SIMPLE Y MULTIESCALAMIENTO. .................................25
3.4.1 3.4.1.1
ESCALAMIENTO TEMPORAL.............................................................................26 ESCALAMIENTO SIMPLE ...............................................................................26
3.4.2
ESCALAMIENTO MÚLTIPLE ...............................................................................28
3.4.3
ESCALAMIENTO ESPACIAL ...............................................................................30
3.5
RESUMEN DE ALGUNOS TRABAJOS REALIZADOS APLICANDO LOS CONCEPTOS DE ESCALAMIENTO SIMPLE Y MULTIESCALAMIENTO EN EL ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS DE PRECIPITACIÓN. ............................31
3.5.1
PRECIPITACIONES MÁXIMAS AL NORTE DE ITALIA ......................................31
3.5.2
PRECIPITACIONES MÁXIMAS EN QUÉBEC (CANADÁ) ...................................32
4
RECOPILACIÓN, PROCESAMIENTO Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN ......35
4.1
GENERALIDADES DE LA ZONA EN ESTUDIO..................................................35
4.1.1
LOCALIZACIÓN ...................................................................................................35
4.1.2
DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA ZONA (CLIMATOLOGÍA) ..............................36
4.1.3
RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN ..................................................................36
4.1.4
PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN ........................................................42
4.1.5
ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN RECOPILADA. ...........................................44
v
4.1.5.1
AÑO CALENDARIO VS. AÑO HIDROLÓGICO. ...............................................44
4.1.5.2
DESCRIPCIÓN DE LA INFORMACIÓN RECOPILADA ...................................46
4.1.5.3
RELACIÓN ENTRE LOS VALORES DE LAS PRECIPITACIONES MÁXIMAS OBTENIDAS DE UN PERÍODO CON REGISTROS CONTINUOS, CON LOS OBTENIDOS DE ALGUNAS TORMENTAS AISLADAS...................................49
4.1.5.4
RELACIÓN ENTRE LA PRECIPITACIÓN MÁXIMA EN 24 HORAS Y LA PRECIPITACIÓN MÁXIMA DIARIA. .................................................................57
4.1.5.5
ANÁLISIS DE HOMOGENEIDAD DE LAS SERIES DE PRECIPITACIONES MÁXIMAS .........................................................................................................59
4.1.5.6
RELACIONES ENTRE LA PRECIPITACIÓN MÁXIMA EN 60 MINUTOS DE DURACION
Y
LAS
PRECIPITACIONES
MÁXIMAS
CON
OTRAS
DURACIONES. .................................................................................................69 5
ANÁLISIS DE FRECUENCIAS DE LAS SERIES DE PRECIPITACIONES MÁXIMAS. ........................................................................................................72
5.1
FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN ....................................................................72
5.2
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS ...................................................................74
5.3
AJUSTE DE LOS DATOS OBSERVADOS A LAS DIFERENTES FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN. .........................................................................................76
6
CURVAS INTENSIDAD DURACIÓN FRECUENCIA A PARTIR DE LA TEORÍA DE ESCALAMIENTO SIMPLE Y MULTIESCALAMIENTO. .............................92
6.1
ANÁLISIS PUNTUAL ........................................................................................93
6.1.1
ESTIMACIÓN DE CURVAS IDF (METODOLOGÍA CONVENCIONAL) ...........93
6.1.2
ESCALAMIENTO TEMPORAL .......................................................................102
6.1.2.1
ESCALAMIENTO SIMPLE..............................................................................102
6.1.2.2
ALGUNAS
PRUEBAS
ESTADÍSTICAS
PARA
LA
HIPÓTESIS
DE
INVARIANZA DE ESCALA (ESCALAMIENTO SIMPLE) ...............................109 6.1.2.3
MODELO DE LOGNORMAL DE ESCALAMIENTO MÚLTIPLE .....................127
6.2
ANÁLISIS REGIONAL ....................................................................................135
6.2.1
VARIACIÓN ESPACIAL DE LOS PARÁMETROS OBTENIDOS EN EL ESCALAMIENTO TEMPORAL .......................................................................135
6.2.2
ESCALAMIENTO ESPACIAL .........................................................................142
6.2.2.1
TODO EL DEPARTAMENTO .........................................................................144
6.2.2.2
SUBDIVISIÓN DE LA ZONA EN ESTUDIO POR SUBREGIONES ...............150
vi
6.2.2.3
VALLE DEL ABURRÁ (REGIÓN 4) ................................................................156
6.2.2.4
TODO EL DEPARTAMENTO (ESCALANDO CON LA INTENSIDAD MÁXIMA DIARIA). ..........................................................................................................159
6.3
CÁLCULO DE CURVAS IDF EN LA ZONA EN ESTUDIO, EN SITIOS DONDE NO SE CUENTE CON REGISTROS PLUVIOGRÁFICOS. ...............................160
7
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .....................................................172
BIBLIOGRAFÍA ANEXOS
vii
LISTA DE FIGURAS Figura 1-1. Localización de estaciones pluviométricas y pluviográficas en el departamento de Antioquia operadas por el IDEAM y por Las Empresas Públicas de Medellín..............................................................................................................2 Figura 2-1. Curvas IDF para una estación del departamento de Antioquia, Estación Aurrá, tomada de Vélez y Smith, 1997. ........................................................................9 Figura 2-2. Relaciones entre la precipitación máxima en una hora (Abscisas) y las precipitaciones máximas con las duraciones de 5, 15, 30 y 120 minutos (ordenadas), para diferentes períodos de retorno, tomado de Bell, 1969. ......15 Figura 3-1. Precipitaciones máximas en la estación Bergamo (Escalamiento simple). Tomada de Bacchi, 1998. ................................................................................22 Figura 3-2
Función de estructura o “Alejamiento” del escalamiento simple
en el
crecimiento de la pendiente nr en la ecuación 3-4 para los caudales para “Brandywie Creek, Pennsylvania- Tomada de Gupta and Waymire, 1990. .....24 Figura 4-1 Localización de la zona en estudio. ..................................................................35 Figura 4-2 Estaciones utilizadas en el estudio. ..................................................................39 Figura 4-3. Histograma del número de años con registros en la estaciones utilizadas en el estudio..............................................................................................................42 Figura 4-4. Obtención de la precipitación máxima para una duración d, en una tormenta específica. ........................................................................................................42 Figura 4-5 Número de tormentas seleccionadas por año en la estación Aurrá..................45 Figura 4-6 Histograma de frecuencia para la hora de inicio y la duración de la tormenta respectivamente, elaborado para todas las estaciones. ..................................46 Figura 4-7 Histograma de frecuencia para la hora de inicio y la duración de la tormenta respectivamente, elaborado para las estaciones localizadas en la vertiente occidental de la cordillera occidental. ..............................................................47 Figura 4-8 Histograma de frecuencia para la hora de inicio y la duración de la tormenta respectivamente, elaborado para las estaciones localizadas en la vertiente oriental de la cordillera central. ........................................................................47 Figura 4-9 Histograma de frecuencia para la hora de inicio y la duración de la tormenta respectivamente, elaborado para las estaciones localizadas en la vertiente occidental de la cordillera central. ....................................................................48
viii
Figura 4-10 Histograma de frecuencia para la hora de inicio y la duración de la tormenta respectivamente, elaborado para las estaciones localizadas en la vertiente oriental de la cordillera occidental. ...................................................................48 Figura 4-11. Precipitaciones máximas observadas en el departamento de Antioquia para diferentes duraciones. Los símbolos azules (Triángulo) corresponden las precipitaciones observadas durante toda la tormenta y los símbolos rojos (Círculos) corresponde a los valores de precipitación máximos observados para una duración específica. ..........................................................................50 Figura 4-12 Comparación de las precipitaciones máximas durante 1995 para diferente duraciones, obtenida de los registros continuos y con sólo tres tormentas en el año. a). Estación El Tabor y b) Estación Madreseca. En esta figura los símbolos vacíos corresponde
a los tres valores más grandes de las
precipitaciones obtenidos de los registros continuos y los símbolos “llenos” corresponden a las intensidades máximas de las tres tormentas analizadas en la Hidrología de Antioquia. ...............................................................................51 Figura 4-13 Comparación de las precipitaciones máximas durante 1995 para diferente duraciones, obtenida de los registros continuos y tomando los días con mayor precipitación diaria a). Estación El Tabor y b) Estación Madreseca. En esta figura los símbolos vacíos corresponde a los tres valores más grandes de las precipitaciones obtenidos de los registros continuos y los símbolos “llenos” y/o en color corresponden a las intensidades máximas obtenidas del análisis de algunas tormentas en cada año. ......................................................................53 Figura 4-14 Comparación de la serie de precipitaciones máximas obtenidas de los registros continuos y del procesamiento de sólo 3 tormentas para diferentes duraciones. a) 20 minutos b) 30 minutos. c) 45 minutos. d) 60 minutos. e)75 minutos y f) 120 minutos. .................................................................................55 Figura 4-15. Comparación de los momentos de orden 1 y orden 2 lde a serie de precipitaciones máximas obtenidas de los registros continuos y del procesamiento de sólo 3 tormentas para diferentes ecuaciones. a) Estación El Bizcocho b) Estación Inmarco..........................................................................56 Figura 4-16. a) Relación entre las precipitaciones máximas en 24 horas y las precipitaciones máximas diarias. a) Estación Inmarco b) Estación El Bizcocho c) Santa Bárbara d) El Sireno. e) Mande. ........................................................58
ix
Figura 4-17. Tipo de aparato registrador en cada una de las estaciones. En las estaciones que no se tiene símbolo no se dispuso de la información de los aparatos registradores. En la estación San Cristóbal hubo cambio de aparato registrador 2 veces...........................................................................................64 Figura 4-18. Análisis exploratorio para la estación el Retiro. Para la serie precipitaciones máximas de 20 minutos de duración ...............................................................66 Figura 4-19. Comparación de las series de precipitaciones máximas de la estación Inmarco para diferentes duraciones. En esta estación se tiene cambio de aparato registrador en el año de 1983 de un Fuess95 a un Fuess95Y. Véase anexo 1 para el análisis de homogeneidad......................................................67 Figura 4-20 Serie de precipitaciones máximas diarias en Caldas, Ayurá, Río Abajo y corrientes. ........................................................................................................68 Figura 4-21 Comparación de las relaciones entre la precipitación máxima de con una hora de duración y la precipitación máxima para otras duraciones para el mismo período de retorno. Cada símbolo corresponde a una estación diferente y cada color corresponde a una duración específica, se muestran duraciones de 20, 30, 45, 90 y 120 minutos. Las líneas rectas corresponden a las relaciones empíricas encontradas por Hershfield estimadas con la ecuación 2-7. ...........70 Figura 5-1. Grafico Q-Q para la estación el Bizcocho para la intensidad máxima en 20 minutos una distribución lognormal de II parámetros. .....................................78 Figura 5-2 Comparación de las intensidades máximas observadas con los valores ajustados a una función de distribución estable para diferentes períodos de retorno y diferentes duraciones en las estaciones de; a) El Bizcocho, b) Mandé y c) El Sireno. ...................................................................................................79 Figura 5-3 Intensidades máximas para diferentes duraciones y diferentes períodos de retorno en la estación Mandé...........................................................................87 Figura 5-4 Intensidades máximas para diferentes duraciones y diferentes períodos de retorno en la estación El Sireno .......................................................................88 Figura 5-5 Intensidades máximas para diferentes duraciones y diferentes períodos de retorno en la estación Santa Bárbara ..............................................................89 Figura 5-6 Intensidades máximas para diferentes duraciones y diferentes períodos de retorno en la estación Inmarco.........................................................................90
x
Figura 5-7 Intensidades máximas para diferentes duraciones y diferentes períodos de retorno en la estación El Bizcocho ...................................................................91 Figura 6-1. Valores del coeficiente k de la ecuación 6-1 para todas las estaciones estudiadas. El tamaño del círculo es proporcional al valor del coeficiente k ...96 Figura 6-2. Valores del exponente m de la ecuación 6-1 para todas las estaciones estudiadas. El tamaño del círculo es proporcional al valor del exponente m ..97 Figura 6-3. Valores del coeficiente b de la ecuación 6-1 para todas las estaciones estudiadas. El tamaño del círculo es proporcional al valor del coeficiente b ...98 Figura 6-4. Valores del exponente n de la ecuación 6-1 para todas las estaciones estudiadas. El tamaño del círculo es proporcional al valor del exponente n ...99 Figura 6-5 Escalamiento de los momentos de las intensidades máximas con la duración para diferentes estaciones. a) Mandé b)Santa Bárbara c) El Sireno d) Inmarco y e)El Bizcocho. .............................................................................................105 Figura 6-6 Variación del exponente de escalamiento del momento de orden 1 con la duración .........................................................................................................106 Figura 6-7. Escalamiento de los momentos de las intensidades máximas con la duración en la estación El Sireno tomando dos rangos de duraciones. .......................107 Figura 6-8 Intensidades máximas vs duración para la Estación Mandé. .........................108 Figura 6-9 Intervalos de confianza de CV para las diferentes estaciones. a) Mandé b)Santa Bárbara c) El Sireno d) Inmarco y e) El Bizcocho. ..........................111 Figura 6-10 Intervalos de confianza para el exponente nr para las estaciones (a) El Sireno y (b) Mandé. ...................................................................................................112 Figura 6-11. Exponente de escalamiento θ1 (Rango entre 45 y 105 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor real de la variable...........................................118 Figura 6-12. Coeficiente de variación CV1 (Rango entre 45 y 105 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor de la variable .......................................................119 Figura 6-13. Valor esperado de I105 , E[I105] en mm/hr (Rango entre 45 y 105 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor de la variable ...................................120 Figura 6-14. Valor esperado de I1052 , E[I1052] en (mm/hr)2 (Rango entre 45 y 105 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor real de la variable .........121 Figura 6-15. Exponente de escalamiento θ2 (Rango entre 105 y 1440 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor real de la variable...........................................122
xi
Figura 6-16. Coeficiente de variación CV2 (Rango entre 105 y 1440 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor real de la variable...........................................123 Figura 6-17. Valor esperado de I1440 , E[I1440] en mm/hr (Rango entre 105 y 1440 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor real de la variable .........124 Figura 6-18. Valor esperado de I14402 , E[I14402] en (mm/hr )2(Rango entre 105 y 1440 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor real de la variable .........125 Figura 6-19 . Valor de l(2)1 (Rango entre 45 y 105 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor de la variable ...................................................................130 Figura 6-20 . Valor de l(2)2 (Rango entre 105 y 1440 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor de la variable ...................................................................131 Figura 6-21 Histograma de frecuencia de la hora de inicio de las tormentas en la estación Miguel de Aguinaga .......................................................................................136 Figura 6-22. Clasificación de las estaciones de acuerdo con el período en el cual se presenta la mayor cantidad de tormentas (Diurno y Nocturno). ....................138 Figura 6-23 Hora con mayor número de tormentas máximas observadas (Hora local) ...139 Figura 6-24. Variación de los exponentes θ1 y θ2 con la precipitación media anual .......140 Figura 6-25. Variación del exponente de escalamiento con la altura. ..............................141 Figura 6-26. Variación de los coeficientes variación CV1 y CV2 con la precipitación media anual. .............................................................................................................141 Figura 6-27. Relación entre el momento de orden 1 y orden 2 de las intensidades máximas en 105 minutos y 24 horas respectivamente. .................................142 Figura 6-28 Variación de los momentos de las intensidades máximas en 45 minutos con la precipitación media anual. .............................................................................145 Figura 6-29 Variación del coeficiente de determinación
con la duración, r2, para la
regresión lineal entre los momentos de la precipitación promedio anual y los momentos de las intensidades máximas. ......................................................145 Figura 6-30 Intensidades máximas observadas vs intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para todo el departamento de Antioquia. .......................................................................................................................146 Figura 6-31 Variación del exponente de escalamiento con la duración. ..........................148 Figura 6-32 Variación del coeficiente E[Ipref] con la duración. .......................................148 Figura 6-33 Variación del coeficiente E[Ipref2] con la duración. .....................................149 Figura 6-34 Variación del exponente l(2) con la duración. ...............................................149
xii
Figura 6-35 Localización de las cuatro subregiones en la cuales se subdividió la zona de estudio............................................................................................................151 Figura 6-36 Variación de los momentos de las intensidades máximas en 45 minutos con la precipitación media anual (Región 1).............................................................152 Figura 6-37 Intensidades máximas observadas vs intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para la región 1. ...................................152 Figura 6-38 Variación de los momentos de las intensidades máximas en 45 minutos con la precipitación media anual (Región 2).............................................................154 Figura 6-39 Intensidades máximas observadas vs intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para la región 2. ...................................154 Figura 6-40 Variación de los momentos de las intensidades máximas en 45 minutos con la precipitación media anual (Región 3).............................................................155 Figura 6-41 Intensidades máximas observadas vs intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para la región 3. ...................................156 Figura 6-42 Variación de los momentos de las intensidades máximas en 45 minutos con la precipitación media anual (Región 4).............................................................157 Figura 6-43 Intensidades máximas observadas vs intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para la región 3. ...................................158 Figura 6-44. Intensidades máximas observadas vs intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para todo el Departamento, pero escalando con la precipitación máxima diaria................................................161 Figura 6-45 Intensidades máximas observadas vs intensidades máximas calculadas con el modelo A. ...................................................................................................167 Figura 6-46 Errores máximos obtenidos con el modelo A ................................................168 Figura 6-47. Intensidades máximas observadas vs intensidades máximas calculadas con el modelo B. ...................................................................................................170
xiii
LISTA DE TABLAS Tabla 4-1 Estaciones utilizadas en este estudio ................................................................40 Tabla 4-2 Tipos de pluviógrafos de flotador y de balanza .................................................62 Tabla 5-1 Prueba Smirnov-Kolmogorov de bondad del ajuste, error medio cuadrático y coeficiente de correlación del gráfico q-q para las cinco estaciones con registros continuos, distribución LognormalII
(duraciones entre 20 y 1440
minutos). ..........................................................................................................82 Tabla 5-2. Intervalo de confianza para los períodos de retorno estimados de las precipitaciones máximas (Tomado de Bell, 1969) ...........................................84 Tabla 5-3 Calificación de los métodos de estimación de parámetros ................................85 Tabla 6-1 Errores relativos promedios y máximos para las tres metodologías de cálculo de parámetros. ......................................................................................................94 Tabla 6-2 Parámetros de las curvas IDF estimados por la metodología III, errores relativos promedio y errores máximos obtenidos. ........................................................100 Tabla 6-3 Punto de cambio detectado en las diferentes estaciones ................................104 Tabla 6-4 Exponentes de escalamiento θ para diferentes cuantiles para las estaciones con registros continuos ( .......................................................................................109 Tabla 6-5 Intervalo de confianza para el exponente de escalamiento observado comparado con el exponente del escalamiento simple .................................113 Tabla 6-6 Parámetros para modelos IV y V de escalamiento simple. ..............................116 Tabla 6-7 Valor de los parámetros l(2)1 y l(2)2 de todas las estaciones para los dos rangos de duraciones.....................................................................................128 Tabla 6-8 Errores relativos,
promedio y máximo entre las intensidades máximas
calculadas con los diferentes modelos analizados simple y las intensidades máximas “observadas”. ..................................................................................132 Tabla 6-9 Errores relativos promedios y máximos (en %) entre el modelo de curvas IDF (escalamiento espacial múltiple escalando con la precipitación media anual) y los valores observados (ajustados a una distribución logNormal). ................147 Tabla 6-10 Parámetros y errores relativos promedios y máximos del modelo de multiescalamiento, escalando con la Intensidad máxima diaria ....................160 Tabla 6-11 Relaciones observadas entre la intensidad máxima en 60 minutos y la intensidad máxima para la duración indicada. ...............................................165
xiv
Tabla 6-12 Relaciones observadas entre la intensidad máxima en 105 minutos y la intensidad máxima para la duración indicada. ...............................................169
xv
RESUMEN Hoy en día las curvas intensidad duración frecuencia (Curvas IDF), siguen siendo una de las herramientas más utilizadas en la estimación de caudales de máximos, especialmente en el diseño de obras de drenaje, alcantarillados pluviales en las zonas urbanas y rurales, y en general en el diseño de pequeñas obras hidráulicas.
En la presente investigación se analiza el comportamiento de los eventos máximos de precipitación a la luz de las teorías invarianza de escala y multiescala, las cuales han sido utilizadas para el análisis de gran variedad de fenómenos en hidrología, en 61 estaciones localizadas en una amplia zona del departamento de Antioquia y su relación con las curvas intensidad duración frecuencia.
Inicialmente se realiza un análisis detallado de la información disponible en la cual se observan deficiencias importantes en el registro de los eventos máximos de precipitación, particularmente para las precipitaciones máximas de cortas duraciones, inferiores a los 45 minutos, las cuales son muy importantes en el diseño de alcantarillados y de pequeñas estructuras hidráulicas. Se evalúan también algunas prácticas comunes en ingeniería para la obtención de la información para la estimación de las curvas IDF.
Se muestra como a partir de las teorías de invarianza de escala pueden construirse modelos de curvas IDF cuyas formas son similares a las diferentes fórmulas empíricas propuestas a lo largo de la historia para la estimación de intensidades máximas, para diferentes duraciones y períodos de retorno, estos modelos convencionales como lo afirman Burlando y Rosso consisten en “procedimientos heurísticos, basados en suposiciones aún sin probar o suposiciones irreales relacionadas con la estructura espacio- temporal de la lluvia”, (1996).
Se tiene pues que con la aplicación de las teorías de invarianza de escala y multiescala es posible conclusiones importantes de diferentes fenómenos en la naturaleza.
En el caso particular de las intensidades máximas, es posible obtener modelos adecuados para estimar las curvas IDF, con resultados comparables a los obtenidos con la metodología utilizada tradicionalmente. Con la diferencia de que con la aplicación de
xvi
estos modelos de escalamiento y multiescalamiento la estimación de parámetro es mucho más sencilla y obedece a un procedimiento más racional que en los modelos convencionales el cual es un proceso netamente heurístico.
1
1
INTRODUCCIÓN.
Hoy en día las curvas intensidad duración frecuencia (Curvas IDF), siguen siendo una de las herramientas más utilizadas en la estimación de caudales de máximos, especialmente en el diseño de obras de drenaje, alcantarillados pluviales en las zonas urbanas y rurales, y en general en el diseño de pequeñas obras de ingeniería, así como en la estimación de las tormentas de diseño en sitios donde, debido a la falta de información de caudales, es necesario recurrir a los modelos lluvia escorrentía para el cálculo de los caudales máximos.
El tipo de proyectos mencionados anteriormente, a pesar de tener un costo individual relativamente bajo, representa un porcentaje considerable del total de la inversión en infraestructura de un país, incluso su costo puede llegar a ser superior que los costos de los proyectos grandes como los estudios y diseños de las grandes centrales hidroeléctricas (Pilgrim, 1986).
En el caso particular del diseño de obras de drenaje urbano, de alcantarillados pluviales y de pequeñas estructuras hidráulicas, es necesario conocer las intensidades máximas asociadas a diferentes períodos de retorno para duraciones relativamente pequeñas, para obtener dicha información se requiere de registros continuos de precipitación, los cuales no están disponibles en muchos de los casos, o si se encuentran disponibles no se encuentra procesados, tal como sucede en el departamento de Antioquia.
En la Figura 1-1 se muestra la localización de pluviómetros y pluviógrafos, sin incluir estaciones climatológicas, en el departamento de Antioquia operados por el IDEAM y por Las Empresas Públicas de Medellín (EPM). En esta figura puede observarse que en gran parte del departamento se tiene una buena cobertura de estaciones registradoras de lluvia; de las 129 estaciones del IDEAM el 76 % son pluviómetros y de las 194 estaciones de EPM 32% son pluviómetros, es decir, de las 323 estaciones la mitad son pluviógrafos. De lo anterior pudiera concluirse que, desde el punto de vista práctico, de acuerdo con el
2
criterio expuesto por Dixon (1964), en el Departamento se tiene una cobertura relativamente buena, sin embargo, gran parte de la información pluviográfica existente se encuentra aún si procesar.
GOLFO DE URABÁ
BOLIVAR
SANTANDER CHOCÓ CONVENCIONES
RISARALDA
CALDAS
Figura 1-1. Localización de estaciones pluviométricas y pluviográficas en el departamento de Antioquia operadas por el IDEAM y por Las Empresas Públicas de Medellín. En Antioquia, en la mayoría de los casos, el Ingeniero dispone para sus diseños de las curvas IDF de las 69 estaciones procesadas en el estudio “Obtención de Curvas Intensidad Frecuencia Duración en el Departamento ee Antioquia” (Botero y Muñoz,
3
1997), las cuales se presentan en el trabajo hidrología de Antioquia, (Vélez y Smith 1997), y de las 17 estaciones publicadas en el anuario hidrometeorológico de las Empresas Públicas de Medellín, (Empresas Públicas de Medellín, 1993)
Por otro lado en la Figura 1-1 puede observarse también que la mayoría de la información de precipitación con la que cuenta el IDEAM proviene de registros pluviométricos y ,además, que en los sitios más apartados no se tiene ninguna otra medición de precipitación diferentes a la pluviométrica, por ejemplo en el Norte de Antioquia, el Bajo Cauca y el Urabá Antioqueño.
Gracias a las nuevas tecnologías para el registro de precipitación ha sido posible identificar las características no lineales del fenómeno y las estructuras de variabilidad temporal y espacial de la precipitación. La observación del fenómeno ha avalado el uso de modelos desarrollados en otros campos, como la mecánica de fluidos, para explicar la estadística de la variabilidad espacial y temporal de la precipitación; modelos como las cascadas multiplicativas las cuales están relacionadas con las teorías de invarianza de escala y de multiescala, las cuales son el tema del presente estudio, son utilizadas para el análisis de gran variedad de fenómenos en hidrología, (véase Sposito, 1998), particularmente en eventos extremos de caudales y de precipitación. Las teorías mencionadas ya han sido aplicadas por diferentes investigadores en el estudio de precipitaciones máximas en diferentes partes del mundo, entre otros pueden mencionarse Burlando and Rosso (1996) y NGUYEN V. T. V. , NGUYEN T. D. and WANG H (1998)
Una de las implicaciones prácticas más importante de las teorías de escalamiento simple y de multiescalamiento es la posibilidad de, a partir de observaciones de un fenómeno en escalas grandes (pequeñas), por ejemplo a nivel diario, es posible inferir las características estadísticas del mismo fenómeno en escalas muchísimo más pequeñas (más grandes).
Por todo lo anterior se considera importante explorar, bajo este marco teórico, el comportamiento de los eventos extremos de las precipitaciones máximas en diferentes escalas, con el ánimo de mejorar el entendimiento y los procesos de estimación de las
4
precipitaciones máximas tanto en sitios con información pluviográfica disponible como en sitios con poca información.
Es importante mencionar que el principal objetivo de este trabajo es principalmente práctico y antes que el desarrollo de un procedimiento científico complejo está orientado a explorar metodologías y procedimientos adecuados para obtener los valores de las precipitaciones máximas en una zona específica. Dichas metodologías y procedimientos orientados tanto al estudio de las precipitaciones máximas en una estación específica, escala puntual, como al estudio de las precipitaciones máximas en una zona o región, escala regional.
En el presente trabajo se presenta entonces, la aplicación de las teorías de invarianza de escala y multiescala en el estudio de los eventos máximos de precipitación.
1.1
OBJETIVOS GENERALES
El objetivo general de este trabajo consiste en el estudio de las propiedades de invarianza de escala o multiescala de las precipitaciones máximas con el fin de profundizar un poco en el entendimiento del comportamiento de las precipitaciones máximas a lo largo de diferentes escalas y utilizar los resultados en la determinación de modelos que permitan la estimación de los eventos máximos de precipitación asociados a diferentes períodos de retorno.
1.2
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
El objetivo específico principal consiste en el estudio de las propiedades de invarianza de escala y de multiescala en 61 estaciones, operadas por las Empresas Públicas de Medellín, localizadas dentro del departamento de Antioquia, y observar el comportamiento de las precipitaciones máximas a lo largo de diferentes escalas (tanto en escalas temporales y espaciales) e identificar características que permitan el paso de una escala a otra.
5
Con base en los resultados del párrafo anterior explorar modelos o relaciones que permitan estimar las precipitaciones máximas para menores duraciones con base en registros diarios de precipitación con el fin de subsanar el constante problema de escasez de información a los que se ve enfrentado el ingeniero en el diseño de estructuras hidráulicas.
Además del objetivo principal se pueden mencionar, entre otros, los siguientes objetivos específicos: •
Realizar un análisis juicioso de los datos disponibles, para de esta forma trabajar con datos que estén libres, en lo posible, de “ruidos” ocasionados por causas diferentes al fenómeno mismo.
•
Explorar metodologías diferentes a las utilizadas normalmente en el análisis de frecuencias de los eventos máximos de precipitación.
1.3
ORGANIZACIÓN DEL INFORME
El informe está compuesto por 7 capítulos los cuales se resumen a continuación.
En el capítulo 2 se presentan las generalidades de las curvas IDF, los diferentes trabajos e investigaciones que se han realizado en el estudio de las precipitaciones máximas así como el estado del arte en el que se encuentra el estudio de los eventos máximos de precipitación.
En el capítulo 3 se presenta brevemente el marco teórico del escalamiento simple y del escalamiento múltiple o multiescalamiento y su aplicación al análisis de eventos extremos de precipitación así como un pequeño resumen de diferentes trabajos que se han realizado en este campo.
6
En el capítulo 4 se muestra la información recopilada durante el estudio, el análisis de la información básica y algunas consideraciones y restricciones que se tiene en el estudio, relacionadas con la información disponible.
En el capítulo 5 se muestran algunas consideraciones relacionadas con el análisis de frecuencias necesarios para la estimación de las intensidades máximas asociadas a los diferentes períodos de retorno.
En el capítulo 6 se presenta la aplicación de los modelos de escalamiento simple y multiescalamiento en la construcción de las curvas IDF en las estaciones disponibles para este estudio.
Y por último en el capítulo 7 se exponen algunas conclusiones y recomendaciones relacionadas con el estudio de eventos extremos de precipitación en el departamento de Antioquia.
7
2
GENERALIDADES DE LAS CURVAS IDF.
Las lluvias intensas han sido analizadas desde hace mucho tiempo y los estudios que se han realizado han tenido diversos objetivos, sin embargo, en la mayoría de ellos el objetivo último es la determinación de los caudales máximos para el diseño de diferentes estructuras hidráulicas.
A pesar de que los primeros estudios de precipitaciones máximas datan de finales del siglo XIX o comienzo del siglo XX y de que se han logrado avances significativos en las diferentes teorías y modelos para la representación de los campos de precipitación, la metodología para su análisis en mayoría de los casos de diseño ha permanecido prácticamente invariable hasta la última década del siglo XX.
La metodología tradicional que se ha venido utilizando a lo largo de la historia en el cálculo de las curvas IDF consiste básicamente en realizar un análisis de frecuencia a cada una de las series de valores máximos de precipitación obtenidas para cada duración.
La serie a la cual se le realiza el análisis de frecuencias puede ser seleccionada de tres formas, a saber: •
Serie de máximas anuales, es aquella serie que está conformada por cada uno de los valores máximos de precipitación observados en cada uno de los años de registro.
•
Serie de duraciones parciales, en la cual la serie de datos está conformada por aquellos datos que sobrepasan un valor base predefinido.
•
Serie de excedencias anuales, en la cual el valor base, de la serie anterior, es seleccionado de tal forma que el número de datos que conforman la serie sea igual al numero de años de registros.
8
No existe un consenso entre los diferentes investigadores de cual tipo de serie de datos debería ser utilizada en los análisis, sin embargo, algunos reportan que diferentes investigadores le han encontrado sentido teórico al análisis de series parciales, (Bonacci, 1984). Otros autores reportan que la utilización de cada uno de los tipos de series es determinada por cada proyecto específico en el cual se vayan a utilizar los resultados del análisis de los eventos extremos (Chow, 1964).
Pese a lo anterior, en muchos de los casos prácticos se utilizan las series máximas anuales, ya que en este tipo de serie no es necesaria la separación de la serie de registros continua en eventos o tormentas estadísticamente independientes, lo que eventualmente puede complicar un poco el análisis. Chow muestra que existe una relación entre las series de máximas anuales y las series de duraciones parciales (1964).
Una vez seleccionada la serie de máximos el siguiente paso consiste en establecer el rango de duraciones para el cual se estimaran las curvas IDF. Algunos autores consideran que en un sitio específico puede estimarse una sola familia de curvas para un amplio rango de duraciones, por ejemplo entre 5 minutos y 24 horas, mientras que la gran mayoría consideran que para cada sitio específico deben determinarse dos familias de curvas una para las duraciones más cortas, entre 5 y 60 o 120 minutos y otro entre 60 o 120 minutos hasta 24 horas e incluso hasta varios días. A pesar de no tenerse ninguna demostración rigurosa, diversos autores consideran que esta subdivisión debe realizarse ya que se tienen características físicas muy diferentes en las lluvias de corta duración, entre 0 y 1 o 2 horas, las cuales son debidas a fenómenos netamente convectivos, y las de larga duración, mayores a dos horas (Bonacci 1984).
Luego de escoger el rango de validez de las curvas IDF, a cada una de las series obtenidas para cada duración se le ajusta una función de distribución, normalmente la distribución Gumbel. Con la función de distribución ajustada a los datos observados se construyen familias de curvas en las cuales pueden estimarse las intensidades máximas (o precipitaciones) para diferentes duraciones para diferentes probabilidades de ocurrencia, véase Figura 2-1.
9
350 300
Intensidad (mm/hr)
Tr=2 años Tr=5 años
250
Tr=10 años Tr=25 años
200
Tr=50 años Tr=100 años
150 I =
441,2Tr
0, 208
(d + 0,25)0,748
100 50 0 0
20
40
60
80
100
120
Duración (minutos)
Figura 2-1. Curvas IDF para una estación del departamento de Antioquia, Estación Aurrá, tomada de Vélez y Smith, 1997. Usualmente para evitar la representación gráfica de las curvas, y poder automatizar su cálculo, éstas son ajustadas a diferentes expresiones matemáticas de varios tipos, entre las más comunes se encuentran las siguientes (Froehlich, 1995):
I=
a ( d + b) n
(2-1)
I=
a dn
(2-2)
I=
a (d + b )
(2-3)
10
Donde I, es la intensidad de la lluvia a, b y n son parámetros de las ecuaciones que dependen del período de retorno y de la localización de la estación y d es la duración de la tormenta. Todas propuestas empíricamente por diversos investigadores en estudios específicos de precipitaciones máximas.
De todo lo anterior puede resaltarse, que en el estudio de las precipitaciones máximas (obtención de curvas IDF) , aún se tienen gran cantidad de interrogantes que no han sido resueltos satisfactoriamente, a pesar de ser una herramienta de uso continuo en la ingeniería. Entre otros pueden mencionarse los siguientes: El tipo de serie a utilizar, separación de los registros continuos en tormentas estadísticamente independientes, justificación para la determinación de los rangos de duración, metodologías para el ajuste de los datos a una función de distribución, estimación de parámetros de la función de distribución, etc.
2.1
DIFERENTES TRABAJOS EFECTUADOS EN EL ESTUDIO DE LAS PRECIPITACIONES MÁXIMAS.
A lo largo de la historia se han desarrollado un sinnúmero de proyectos y trabajos relacionados con el estudio de las precipitaciones máximas, a continuación se mencionan algunos de ellos.
Entre los primeros trabajos relacionados con el estudio de las precipitaciones se encuentran los realizados por Morgan y Meyer en 1917 (Bernard, 1932).
El primero realizó estudios en la zona Este de los Estados Unidos y estaba interesado en conocer los caudales máximos de crecientes; para tal efecto realizó un exhaustivo estudio de los registros de lluvias en la zona, los resultados de su estudio fueron presentados en una serie de mapas de los cuales se podía leer la intensidad de la lluvia para diferentes duraciones y frecuencias, en su estudio Morgan se concentró en precipitaciones con duraciones muy largas, entre 1 y cuatro días. Entre otras cosas Morgan concluye que la
11
relación entre la intensidad de la lluvia y la duración sigue una ecuación parabólica con la siguiente forma:
i=
a dn
(2-4)
Donde i es la intensidad de la lluvia con una duración d, y a y n parámetros cuyo valor depende de la localización de la estación y de la frecuencia de la lluvia.
Meyer por su lado estudió más de 2.000 tormentas también al Este de los Estados Unidos y como resultado de su trabajo obtuvo una seria de fórmulas empíricas, que relacionan la profundidad de la lluvia, o la intensidad, con la duración y la localización geográfica. El trabajo de Meyer estuvo concentrado en tormentas con duraciones menores de 120 minutos.
Meyer expresó la precipitación por medio de una ecuación de la siguiente forma:
i=
a (b + d )
(2-5)
Con a y b dependiendo de la localización de la estación y del período de retorno. Este tipo de ecuación había sido propuesto ha comienzos del siglo, en 1904, por Talbot (Remeneiras, 1974).
Después de los trabajos realizados por los investigadores mencionados se encuentra el trabajo realizado por Bernard, quien combinando los datos de los trabajos de los dos investigadores obtuvo una serie de mapas que permiten calcular los parámetros de las curvas intensidad frecuencia duración, ecuación 2-4, para duraciones iguales o mayores a 2 horas, es importante resaltar que para la obtención de parámetros Bernard no contó con ningún tipo de información entre 2 y 24 horas.
Una de las conclusiones del trabajo de Bernard fue que la relación entre la intensidad de la lluvia y la duración de los datos observados se ajustaban mejor a ecuaciones del tipo
12
de la ecuación 2-4, por lo tanto los mapas que presentó permitían calcular los parámetros a y n en un sitio determinado para un período de retorno específico. En su trabajo Bernard encontró que el exponente n permanecía prácticamente constante en una misma estación, para los diferentes períodos de retorno, y que variaba muy poco para una mismo sitio y se encontraba alrededor de 0,77. Según Powell, el exponente n puede ser tomado igual a 0,75 y el valor de a es función únicamente del período de retorno (Bernard, 1932).
En esta misma época Sherman propone, al menos para los estudios de precipitaciones máximas que él realizó en Boston, la siguiente ecuación para el cálculo de las precipitaciones máximas (Bernard, 1932):
i=
a (b + t )n
(2-6)
Con el exponente n cercano a 0,70 aplicable a un amplio rango de duraciones de lluvia con una valor máximo de la duración cercano a las 30 horas.
Además de los trabajos mencionados, se han realizado gran cantidad de estudios para la determinación de las curvas intensidad frecuencia duración. Uno de los más representativos, fue el realizado por Hershfield, quien desarrolló para los Estados Unidos mapas de isoyetas de profundidad de la lluvia para diferentes duraciones y diferentes períodos de retorno, los cuales fueron publicados en el reporte Técnico No 40 del U.S Weather Bureau en 1961, en este reporte se construyeron 49 mapas con las isoyetas de profundidad de lluvia para duraciones entre 30 y 1440 minutos y períodos de retorno entre 1 y 100 años. El trabajo de Hershfield fue luego modificado parcialmente por el trabajo conocido como el Hydro 35 en el cual se presentan mapas similares a los del TP40 para algunas zonas de los Estados Unidos para precipitaciones máximas entre 5 y 60 minutos de duración y períodos de retorno entre 2 y 100 años,
Dentro del trabajo de Hershfield se recomiendan una serie de relaciones empíricas derivadas de información disponible para lluvias de corta duración, de acuerdo con las cuales las precipitaciones máximas (láminas) de una tormenta de d minutos de duración
13
tiene una relación constante con la precipitación máxima de una tormenta de una hora de duración para el mismo período de retorno, es decir Pd/P60=cte. Estas relaciones son de 0,29, 0,45 0,57 y 0,79 para las duraciones de 5, 10, 15 y 30 minutos respectivamente, con errores máximos entre el 5 y el 8% (Raudkivi 1979). En estudios posteriores Hershfield muestra que en realidad estas relaciones tienen gran variabilidad alrededor de la media y, además, que dichas relaciones no permanecen constantes con el período de retorno, pero no descarta la posibilidad de su utilidad desde el punto de vista práctico (Hershfield, 1984).
Además de los trabajos mencionados anteriormente, existe un sinnúmero de trabajos de otros autores tanto en Estados Unidos como en otras partes del Mundo acerca de la estimación de la precipitaciones máximas con diferentes duraciones, asociadas a diferentes períodos de retorno, sitios donde no se cuenta con información. En estos trabajos se ha interpolado la información de las estaciones disponibles en mapas, ya sea de las precipitaciones máximas para diferentes períodos de retorno (o intensidades máximas) o de los parámetros de las estaciones, y de esta forma posibilitar el cálculo de las intensidades máximas, en sitios donde no se cuenta con información disponible.
Trabajos de este tipo se han realizado recientemente en nuestro país y particularmente en el departamento de Antioquia, como fue el desarrollado para la Secretaría de Obras Públicas del Departamento (Vélez y Smith, 1997). Una de las partes de este trabajo consistió en la elaboración de las curvas intensidad frecuencia duración de 69 estaciones distribuidas en todo el Departamento, y en la regionalización de los diferentes parámetros para la estimación de las curvas intensidad frecuencia duración en la zona en estudio, la cual fue subdivida 17 en sub-zonas,
A pesar de que la metodología de regionalización descrita anteriormente sigue siendo hoy en día muy utilizada para la estimación de las curvas IDF en sitios en los cuales no se tiene medición o cuando los períodos de registros son muy cortos, los investigadores también se han dado a la tarea de encontrar expresiones que permiten determinar, cuando se tienen pocos años de registros, la precipitación asociada a un período de retorno determinado a partir de una precipitación máxima asociada a un período de retorno mucho menor, esto para una duración específica, o relaciones que permitan
14
estimar la precipitación en sitios donde no se tengan registros muy detallados para la estimación de las curvas IDF, en función de precipitaciones con duraciones más largas, las cuales son más fáciles de obtener.
Uno de los trabajos relacionados con este tema es el desarrollado por Bell en “Generalized rainfall-duration-frecuency relationships” (Bell 1969), en el cual se presenta una fórmula generalizada para la estimación de las precipitaciones de corta duración, menores de 2 horas, que, según el autor, podrían ser aplicadas en muchas regiones del planeta, justificado por el hecho de que los mecanismos físicos que producen las tormentas cortas son los mismos (Bell, 1969).
En este trabajo Bell muestra que los resultados obtenidos por trabajos de Hershfield de 1961, con respecto a las relaciones constantes mencionadas anteriormente han sido verificadas, por él mismo y por otros autores en diferentes regiones, como en Suráfrica, en la antigua Unión Soviética, Australia y Checoslovaquia, véase Figura 2-2.
Y encontró la siguiente expresión para estas relaciones:
PT
d
PT
60
= 0,54d 0, 25 − 0,50
para 5 ≤ d 120
(2-7)
Donde: PTd:
Es la precipitación máxima en un intervalo de tiempo d, en minutos, con un período
de retorno T años. PT60 es la precipitación máxima en un intervalo de tiempo de 60 minutos con un período de retorno T años.
15
Figura 2-2. Relaciones entre la precipitación máxima en una hora (Abscisas) y las precipitaciones máximas con las duraciones de 5, 15, 30 y 120 minutos (ordenadas), para diferentes períodos de retorno, tomado de Bell, 1969.
Después de los trabajos de Bell diversos investigadores han verificado la expresión 2-7 para duraciones cortas, tal como puede observarse en el trabajo de Chen (1983) y del trabajo reciente de Varas en la cual se analiza la expresión 2-7 aplicada a diferentes
16
zonas de Suramérica; Mendoza, Brasil, Sao Paulo y Chile, y se observan errores máximos del 24% entre los valores calculados para otras zonas y los valores calculados por Bell para duraciones entre 5 y 120 minutos (Varas 2001).
Otro aspecto importante que se menciona en el artículo de Bell es que la relación que existe entre la lámina de agua de una lluvia de una duración d para cualquier período de retorno, y la lámina de agua de una lluvia de una duración d y un período de retorno de 10 años es función únicamente del período de retorno, es decir PTd/ P10d =f(T). Del estudio de Varas puede concluirse que esta observación se cumple en las diferentes zonas mencionadas en su estudio, y con respecto a la expresión obtenida por Bell para esta relación, se obtienen diferencias máximas del orden del 11% para períodos de retorno entre 2 y 100 años.
Lo anterior es muy importante, pues si esto fuera cierto, únicamente sería necesario la distribución de probabilidades de las precipitaciones con una hora de duración, y una vez obtenida la lámina de agua, para una hora de duración, podría estimarse el valor de la precipitación para otra duración diferente y para el mismo período de retorno y/o para otro período de retorno diferente.
Con base en lo anterior Bell obtuvo una expresión general con la cual se podría estimar la lámina de agua para una lluvia de cualquier duración y cualquier período de retorno, en función de la lámina de agua para una lluvia con período de retorno de 10 años y una hora de duración, la cual fue verificada satisfactoriamente en el estudio de Varas.
Diversas relaciones similares a las propuestas por Bell para el estudio de las lluvias intensas y de duraciones cortas se han encontrado en diferentes partes del mundo.
Otro trabajo importante dentro del estudio de las precipitaciones máximas fue el desarrollado por Chen (1983). El trabajo de Chen consistió en el estudio de precipitaciones máximas para rangos de duraciones entre 5 minutos y 24 horas, En Dicho trabajo utiliza para las duraciones cortas, las relaciones constantes entre las precipitaciones con una hora de duración y las precipitaciones para duraciones más cortas descritas por Hershfield en el TP 40, mostradas anteriormente.
17
Chen propone una fórmula general para el cálculo de las precipitaciones máximas en cualquier lugar de los Estados Unidos, en la cual esta puede ser calculada a partir de la relación entre la precipitación máxima con una hora de duración y la precipitación máxima con 24 horas de duración, asociadas al mismo período de retorno, dicha relación es independiente del período de retorno y de la relación entre la precipitación máxima con una hora de duración y un período de retorno de 10 años y la precipitación máxima con una hora de duración y un período de retorno de 100 años. Según Chen, con este par de relaciones podrían ser descritos los patrones geográficos de variación de lluvia.
La expresión propuesta por Chen es la siguiente:
I dT =
(
a1 I 110 log 10 2− x T px −1
(d + b )
)
(2-8)
c
Donde:
I dT
: Intensidad (pulg/hr) promedio en una duración 1 hora y un período de retorno de T años.
I 110
: Intensidad (pulg/hr) promedio en una duración d y un período de retorno de T años.
Tp
: Período de retorno para series parciales en años
x
Pd100 :Relación , donde P es la precipitación máxima (lámina). Pd10
a1, b y c son parámetros que dependen únicamente de la relación
P1T . Los parámetros P24T
a1, b y c varían entre 4,58 y 40,01, entre –2.84 y 11,52 y entre 0,309 y ,087 y pueden ser estimados gráficamente.
Además de los trabajos mencionados anteriormente existen gran cantidad de estudios relacionados con el tema en los cuales, en la mayoría de forma empírica, se busca expresar las curvas IDF en función de parámetros fácilmente obtenibles en zonas con
18
poca información o con información muy limitada. Entre otros pueden mencionarse los Trabajos de, Cao (1974), Kothyari y Garde (1992), Froehlich (1995), Botero y Muñoz (1997), Vargas y Granados (1998) y Varas y Farías (2000).
De estos trabajos es importante resumir los trabajos de Botero y Muñoz (1997) y el de Vargas y Granados (1998), que fueron trabajos desarrollados en Antioquia y Colombia respectivamente.
Además de la metodología de regionalización de parámetros descrita anteriormente, en el trabajo de Botero y Muñoz (1997), para el departamento de Antioquia se utilizó el Método de Líria y Torres, el cual establece que existe una relación entre el valor medio de las intensidades máximas anuales de una duración cualquiera y el valor medio anual de las intensidades máximas diarias
(24 horas), que es sólo función de la duración de la
tormenta, es decir, se cumple la siguiente relación:
Id = f (d ) I 24
(2-9)
Como se muestra más adelante esta relación puede ser obtenida a partir de las teorías de escalamiento simple y multiescalamiento.
Este método supone también que existe una relación entre la intensidad máxima para una lluvia con duración y período de retorno específico y el valor promedio anual de las precipitaciones máximas para la misma duración, dicha relación tiene la siguiente forma:
I d ,T = I d (A + B(LogT
))
(2-10)
Puede observarse que la metodología anterior coincide prácticamente con la metodología de Bell, propuesta para lluvias cortas en las cuales el valor medio reemplaza el período de retorno de 10 años utilizado en Bell, y la precipitación máxima con 1 hora de duración es reemplazada con la precipitación máxima diaria, situación que no parece lo más aconsejable de acuerdo con los resultados obtenidos en los trabajos de Bell y Chen, (véase Bell 1969 y Chen 1983).
19
Se encontraron entonces una serie de expresiones del tipo de la ecuación (2-10) para las diferentes subregiones, 17 en total, estudiadas en el departamento de Antioquia. Con la aplicación de esta metodología se pueden obtener errores máximos hasta del 50 %, incluso en la mismas estaciones utilizadas para obtener la ecuaciones, valores superiores a los obtenidos con la regionalización de parámetros, (Véase Botero y Muñoz, 1997).
En el estudio de Vargas y Granados, (1998) inicialmente se evalúa la aplicación de varías de las metodologías descritas anteriormente en la obtención de curvas IDF generalizadas en Colombia, de esta evaluación se concluye que no es satisfactoria la aplicación de metodologías como la propuesta por Bell y la propuesta por Chen. En dicho estudio se proponen 3 ecuaciones para el cálculo de las curvas IDF en Colombia, la cual fue dividida en 5 subregiones, las expresiones son las siguientes:
I =a
Tb d I c 24 d
(2-11)
I =a
Tb d I Ne c 24 d
(2-12)
Tb d I = a c I 24 N e PT d
f
(2-13)
Donde: I
:Intensidad máxima (mm/hr)
T
Período de retorno (años)
N
Número de días promedio con lluvia en el año
PT
Precipitación media anual (mm)
a, b, c, d, e
y f parámetros que dependen de la región, estos parámetros fueron
estimados para cada una de las regiones en las cuales se subdividió el país.
No obstante la validez de las metodologías descritas anteriormente y su aplicabilidad, desde el punto de vista práctico en muchas regiones del mundo en la obtención de curvas IDF, se observa que gran parte ellas consisten en métodos empíricos, los cuales como lo
20
afirman Burlando y Rosso consisten en “procedimientos heurísticos, basados en suposiciones aún sin probar o suposiciones irreales relacionadas con la estructura espacio- temporal de la lluvia”, (1996).
Otra forma con la que se ha tratado de enfrentar el estudio de los eventos de precipitaciones máximas, la cual no se profundiza en este trabajo, es por medio de la utilización de modelos estocásticos que representan la lluvia, con los cuales se realizan simulaciones de la precipitación durante muchos años y con la gran cantidad de datos generada es posible la construcción de las curvas IDF.
En algunos trabajos recientes se han empleado los conceptos de invarianza de escala para el estudio de las precipitaciones máximas y específicamente en el estudio de las curvas IDF. Dentro de estos trabajos puede mencionarse Rosso and Burlando (1996), Bacchi (1998) y Nguyen V.T.V., Nguyen T.D. and Wang, (1998).
Antes de presentar el resumen algunos de los trabajos realizados, así como la aplicación de las teorías de escalamiento simple y multiescalamiento en la obtención de las curvas IDF se expondrán de forma breve y sucinta en el capítulo siguiente los conceptos fundamentales de invarianza de escala y de multiescalamiento.
21
3
3.1
ESCALAMIENTO SIMPLE Y MULTIESCALAMIENTO
GENERALIDADES.
Una de las preguntas que a lo largo de muchos años han tratado de resolver la ciencia y la ingeniería es ¿de qué manera pueden trasladarse las observaciones de un fenómeno en una escala determinada a otras escalas diferentes?. Se habla de invarianza de escala o de multiescala cuando es posible establecer algunas relaciones entre las variables de un fenómeno, de tal forma que éstas se preserven ante los cambios de escala.
En el caso particular de la precipitación se tienen dos incógnitas; ¿Cómo es el escalamiento de las precipitaciones máximas en un sitio determinado para aguaceros de diferentes duraciones? (Escalamiento temporal), y ¿cómo es el escalamiento de las precipitaciones máximas para una duración específica de un sitio a otro dentro de una misma región? (Escalamiento espacial).
3.2
ESCALAMIENTO SIMPLE.
Se dice que un fenómeno presenta características de escalamiento simple para la variable aleatoria I, cuando para el factor de escala λ (λ>0) existe una función C(λ) de tal forma que se conserve la siguiente relación (Gupta and Waymire, 1990): d
I (λd ) = C (λ ) I (d )
(3-1)
La anterior relación es definida como “escalamiento simple en sentido estricto” (Gupta and Waymire, 1990): Donde la letra d encima del signo igual denota igualdad en la función de distribución de probabilidad e indica que la distribución de probabilidad del fenómeno es invariante con respecto a la escala, I es una variable aleatoria (Intensidad en el caso del estudio de intensidades máximas), d es el parámetro con el cual se escala la variable I
22
Puede mostrarse que la función C(λ) necesariamente tiene la siguiente expresión (Gupta and Waymire, 1990):
C (λ ) = λθ
(3-2)
Donde θ es cualquier número real, llamado exponente característico.
La expresión (3-1) implica que los cuantiles también son invariantes con la escala y pueden relacionarse por medio de la siguiente expresión
I q (λd ) = λθ I q (d )
(3-3)
Donde q es el q-ésimo cuantil de la variable I
Lo anterior implica una relación lineal, en el espacio logarítmico, entre el parámetro con el cual se escala y el valor de la variable I correspondiente al q-ésimo cuantil. En la gráfica de esta ecuación para diferentes cuantiles, se obtendrá una familia de líneas rectas, en el espacio logarítmico, para cada uno de los cuantiles, y la pendiente de esta familia de líneas es constante y es igual a θ, véase Figura 3-1.
Altura de precipitación (mm)
1000 Tr=5 años Tr=10 años Tr=20 años Tr=50 años Tr=100 años Tr=200 años
h5=37.749d0,2715 h20=49,287d0,2715 h200=67,536d0,2715
100
10 1
10
100
Duración (horas)
Figura 3-1. Precipitaciones máximas en la estación Bergamo (Escalamiento simple). Tomada de Bacchi, 1998. La ecuación (3-1) implica también, que siempre y cuando los momentos de la variable I existan, éstos también son invariantes con la escala y se relacionan por medio de la siguiente expresión
23
M r (λd ) = λnr M r (d )
(3-4)
Donde : Mr,() el momento de la variable I de orden r. y
n r = rθ
(3-5)
A lo anterior se le conoce como escalamiento en sentido amplio y es una propiedad más débil (menos rigurosa) que la expresada con la ecuación (3-1) ya que depende de la existencia de los momentos.
La ecuación (3-4) indica una relación lineal entre el parámetro con el cual se escala y cada uno de los diferentes momentos de orden r, en el espacio logarítmico.
Es decir, para estimar el momento de cualquier orden y cualquier valor de d, basta con conocer los valores de los momentos para un valor de d específico y el valor del exponente θ.
3.3
ESCALAMIENTO MÚLTIPLE
En la naturaleza se han encontrado diversos fenómenos en los cuales a pesar de conservarse la relación (3-4) para cada orden de los momentos, no se presenta la relación lineal entre el orden de los momentos y las diferentes pendientes nr de la expresión 3-4, es decir, no se cumple la expresión (3-5), en la Figura 3-2 se muestra un ejemplo.
24
5
4 Escalamiento Simple
nr
3
Escalamiento Multiple (Datos observados)
2
1
0 1
2
3
4
5
6
Orden del momento (r)
Figura 3-2
Función de estructura o “Alejamiento” del escalamiento simple en el crecimiento de la pendiente nr en la ecuación 3-4 para los caudales para “Brandywie Creek, Pennsylvania- Tomada de Gupta and Waymire, 1990.
De acuerdo con lo anterior la expresión (3-4) puede escribirse (Burlando and Rosso 1996):
M r (λd ) = λl ( r ) rθ M r (d )
(3-6)
Donde: θ:
corresponde al exponente de escalamiento del momento de orden 1
r:
Es el orden del momento
l(r):
es una función que describe el “alejamiento” de los valores de los exponentes de la expresión 3-4.
Como se mencionó, en muchos fenómenos de la naturaleza se han observado estas características de multiescalamiento. Por ejemplo, en Gupta(1994), se muestra para caudales máximos debidos a fenómenos de lluvias, relaciones de multiescala entre el área y los caudales máximos, diferente a lo que puede ocurrir cuando se presentan crecientes ocasionadas por deshielos, situación en la que se presenta escalamiento simple.
Otro fenómeno en el cual se han observado estas características de multiescalamiento es la variabilidad espacial de la precipitación, la cual ha sido posible identificar gracias a las mediciones de la precipitación con instrumentos como los radares y los satélites, (véanse
25
Gupta et al, 1993 y Over et al, 1994), los cuales permiten una medición prácticamente continua de esta variable.
Burlando and Rosso (1996), reportan que muchos autores han evidenciado la existencia de multiescalamiento en el estudio de eventos extremos de la precipitación.
En general, el multiescalamiento parece incrementarse en aquellos sistemas físicos que son gobernados por dinámicas altamente no lineales, como es el caso de la precipitación, en particular para tormentas de duraciones muy cortas.
El hecho de conocer las propiedades que permanecen invariantes ante los cambios de escala, tiene implicaciones importantes en hidrología, tanto desde el punto de vista teórico como práctico. Un ejemplo de aplicación práctica se tendría, si la identificación de estas propiedades de invarianza hicieran posible encontrar relaciones entre las precipitaciones a diferentes escalas temporales, pues sería posible estimar las precipitaciones máximas asociadas a los diferentes períodos de retorno para cortas duraciones con base en el estudio de las precipitaciones diarias.
3.4
CURVAS INTENSIDAD-DURACIÓN-FRECUENCIA A PARTIR DE LA TEORÍA DE ESCALAMIENTO SIMPLE Y MULTIESCALAMIENTO.
En el presente trabajo se sigue prácticamente la misma metodología mostrada en Burlando and Rosso, (1996).
Como se mencionó al comienzo de este capítulo con la aplicación de los conceptos de escalamiento simple y escalamiento múltiple se busca, conocer como es el comportamiento de las intensidades máximas ante los cambios de escala, tanto en el sentido temporal como en el sentido espacial.
26
3.4.1 ESCALAMIENTO TEMPORAL En el escalamiento temporal el parámetro con el cual se escala las intensidades máximas es la duración la lluvia, d. 3.4.1.1 ESCALAMIENTO SIMPLE Si se supone que existe escalamiento simple y, además, que existen los diferentes momentos, escalamiento simple en sentido amplio, de las ecuaciones (3-4) y (3-5), tomando λ = (d / d ref ) se obtiene lo siguiente:
M r (d ) = (d / d ref ) rθ M r (d ref )
(3-7)
y para el momento y la varianza se tiene las siguientes expresiones
[ ] ) Var [I ]
E [I d ] = (d / d ref )θ E I dref Var [I d ] = (d / d ref
2θ
dref
(3-8) (3-9)
Donde: Id:
Intensidad máxima para una duración d
Idref:
Intensidad máxima una duración de referencia
θ:
Exponente de escalamiento
De las dos expresiones anteriores puede observarse que el coeficiente de variación es constante cuando se tiene escalamiento simple.
CV =
[ ] [ ]
Var I def Var [I d ] = 2 E [I d ] E 2 I dref
(3-10)
Con las expresiones anteriores y utilizando la expresión del factor de frecuencia es posible calcular los cuantiles de la intensidad máxima de la siguiente forma:
27
I ( q ,d ) = E [I d ] + K q Var [I d ]
(3-11)
Donde Kq es el factor de frecuencia y reemplazando en 3-11, 3-8 y 3-9 se obtiene
[ ]
[ ]
I ( q ,d ) = (d / d ref )θ E I dref + K q (d / d ref ) 2θ Var I dref
[ ]
I ( q ,d ) = (d / d ref )θ E I dref (1 + K q CV
)
(3-12)
(3-13)
Puede observarse que para una duración de referencia la ecuación 3-13 quedaría de la forma de la ecuación (2-2).
Si lo anterior se cumple es posible calcular las intensidades máximas a partir de un valor de referencia dado, conociendo tanto la función de distribución de los valores extremos y el valor del exponente de escalamiento. El exponente θ puede estimarse a partir de los valores de precipitaciones máximas observadas para las diferentes duraciones. Este exponente puede calcularse de diferentes formas, una de ellas puede efectuarse calculando los momentos muestrales de diferentes órdenes y realizando, para el momento de orden 1, una regresión lineal entre los logaritmos de la duración y los logaritmos de los momentos de orden 1.
Como puede observarse de la ecuación (3-13) para definir el modelo es completamente necesario conocer la función de distribución de los valores extremos de precipitación. A continuación se muestra un modelo empleando la distribución lognormal de dos parámetros.
28
3.4.1.1.1 MODELO LOGNORMAL DE CURVAS IDF (Escalamiento Simple) Si se supone que los valores extremos de la precipitación siguen una distribución lognormal de dos parámetros la expresión (3-13) correspondiente al escalamiento simple quedaría de la siguiente forma (Burlando and Rosso,1996)
[ ]
I d ,q = E I dref
[
)]
(
exp Φ q ln 1 + CV 2 ⎛ d ⎜⎜ 1 + CV 2 ⎝ dref
⎞ ⎟⎟ ⎠
θ
(3-14)
Donde Φq es el valor de la distribución normal acumulada estándar inversa para una probabilidad de no-excedencia q y las demás variables tal como fueron definidas anteriormente.
Dado que para el escalamiento simple el coeficiente de variación es constante, independiente de la duración, la ecuación (3-14) puede también ser expresada de la siguiente manera:
I d ,q =
[ ]
E I dref
[
E I dref
2 2
]
(
) ⎞⎟ ⎤⎥⎛⎜
⎡ ⎛ E I dref 2 ⎢ exp Φ q ln⎜ 2 ⎜E I ⎢ dref ⎝ ⎣
[ ]
d ⎟ ⎥⎜⎝ dref ⎠⎦
⎞ ⎟⎟ ⎠
θ
(3-15)
3.4.2 ESCALAMIENTO MÚLTIPLE Es posible, como se vio en el numeral anterior, que para los datos de eventos extremos a pesar de que se cumple con la ecuación (3-4), la ecuación (3-5) no se mantiene, es decir, el exponente de escalamiento nr no varía linealmente con el orden de los momentos, véase Figura 3-2.
Los momentos para diferentes escalas se relacionan de acuerdo con la ecuación (3-6) y los momentos de primer y segundo orden puede expresarse de la siguiente manera:
29
[ ] E [I
E [I d ] = (d / d ref )θ E I dref
[ ]
E I 2 d = (d / d ref ) 2l ( 2)θ
(3-16) 2
dref
]
(3-17)
reemplazando estos dos momentos en la ecuación del factor de frecuencia es posible obtener la siguiente expresión
[ ]
[
([ ]
]
I ( q ,d ) = (d / d ref )θ E I dref + K q E I 2 dref (d / d ref ) 2l ( 2)θ − E I dref (d / d ref ) 2l ( 2 )θ 2
)
(3-18)
y reorganizado se obtiene:
[ ][
[
] [ ]
I ( q ,d ) = (d / d ref )θ E I dref 1 + K q E I 2 dref / E I dref (d / d ref ) 2θ (l ( 2 ) −1) − 1 2
]
(3-19)
El valor del exponente θ puede ser estimado tal como se describió para el escalamiento simple. El valor de l(2) puede ser estimado, a partir de una regresión lineal entre los logaritmos de los momentos de orden 2 y los logaritmos de las diferentes duraciones y estimar de esta forma el exponente n2 y calcular l2=n2 /(2θ). Como el modelo depende del valor de θ estimado para el escalamiento simple todas las observaciones relacionadas con este exponente tienen validez también para escalamiento múltiple.
3.4.2.1.1 MODELO LOGNORMAL DE CURVAS IDF (multiescalamiento) Si se supone que los valores extremos de la precipitación siguen una distribución lognormal de dos parámetros y teniendo en cuenta la relación que existe entre los momentos de orden r con la media y la varianza, la expresión 3-19 correspondiente al escalamiento múltiple quedaría de la siguiente forma (Burlando and Rosso, 1996)
30
I d ,q =
[ ]
E I dref
[
E I dref
2 2
]
[
] ⎛⎜
⎡ ⎛ E I dref 2 ⎢ exp Φ q ln⎜ ⎜ E I dref 2 ⎢ ⎝ ⎣
[ ]
d ⎜ dref ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
2 ( l ( 2 ) −1)θ
⎞ ⎤⎛ d ⎟ ⎥⎜ ⎟ ⎥⎜⎝ dref ⎠⎦
⎞ ⎟⎟ ⎠
( 2 −l ( 2 ))θ
(3-20)
3.4.3 ESCALAMIENTO ESPACIAL Como se mencionó anteriormente, además del escalamiento temporal, es posible observar el escalamiento de las precipitaciones máximas a través del espacio, es decir, el escalamiento espacial.
En general los modelos de escalamiento espacial son los mismos presentados en el numeral 3.4.1 de escalamiento temporal con la diferencia de que el parámetro de escala ya no es la duración si no el parámetro que describa mejor la variación espacial.
Por ejemplo si se supone la precipitación media anual como parámetro para escalar las intensidades máximas, el modelo de escalamiento espacial múltiple está descrito por la ecuación 3-20, en la cual el parámetro con el cual se escala ya no es la duración, sino la precipitación media anual, se tiene entonces para cada duración la siguiente expresión.
I d ,q =
[ ] exp⎡⎢Φ ] ⎢⎣ E [I
E I pref
2
2
pref
q
[ ] ⎛⎜ P ⎞⎟ [ ] ⎜⎝ Pr ef ⎟⎠
⎛ E I pref 2 ln⎜ 2 ⎜E I preff ⎝
2 ( l ( 2 ) −1)θ
⎞ ⎤⎛ P ⎟ ⎥⎜ ⎟ ⎥⎜⎝ Pr ef ⎠⎦
⎞ ⎟⎟ ⎠
( 2 −l ( 2 ))θ
(3-21)
Donde:
E[Ipref]
: Valor esperado de la intensidad máxima para una duración específica en el
sitio con el valor de precipitación promedio anual de referencia. E[Ipref2]
: Valor del momento de orden dos de la intensidad para una duración específica
en el sitio con el valor de precipitación promedio anual de referencia.
31
P
: Precipitación promedio anual en el sitio que se desea conocer la intensidad máxima
Pref.
: Precipitación promedio anual de referencia
Simplificando, la ecuación anterior quedaría de la siguiente manera:
I d ,q
2 ⎡ ⎛a a1 exp ⎢Φ q ln⎜⎜ 22 P 2( l ( 2 ) −1)θ = a2 ⎢⎣ ⎝ a1
⎞ ⎤ ( 2−l ( 2))θ ⎟ ⎥ (P ) ⎟⎥ ⎠⎦
(3-21)
Los parámetros de la ecuación (3-21) pueden ser estimados siguiendo el procedimiento descrito en el escalamiento temporal.
3.5
RESUMEN DE ALGUNOS TRABAJOS REALIZADOS APLICANDO LOS CONCEPTOS DE ESCALAMIENTO SIMPLE Y MULTIESCALAMIENTO EN EL ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS DE PRECIPITACIÓN.
A continuación se resumen dos trabajos recientes relacionados con la aplicación de los conceptos de escalamiento a los eventos extremos de precipitación.
3.5.1 PRECIPITACIONES MÁXIMAS AL NORTE DE ITALIA En algunos trabajos recientes realizados en Italia para el análisis de lluvias intensas se emplean los conceptos de invarianza de escala. Estos trabajos fueron presentados por el Dr. Baldassare Bacchi Director del departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de Brescia, durante su estadía en Medellín en el mes de julio de 1998 en el curso de actualización "El riesgo hidrogeológico y la protección hidráulica de los territorios fuertemente antropizados", Bacchi 1998.
La metodología empleada fue prácticamente la descrita en los párrafos anteriores para el escalamiento temporal, con la diferencia que en el trabajo presentado por Bacchi se trabajó con alturas (láminas) de precipitación y no con las intensidades máximas tal como
32
están propuestas las ecuaciones en el numeral 3.4.1. Para este estudio se trabajó con precipitaciones máximas con duraciones entre 1 hora y 24 horas.
Después de analizar los datos y realizar algunas pruebas estadísticas, para diferentes distribuciones de probabilidad, se observó un comportamiento de escalamiento simple de la precipitación, en la mayoría de las estaciones, alrededor del 80% de las estaciones.
Teniendo en cuenta que la ecuación 3-19 puede ser expresada de la siguiente forma
I ( q ,d ) = C1 (d / d ref )θ
(3-22)
Y utilizando 1 hora como duración de referencia, para diferentes funciones de probabilidad, se determinaron los valores de los exponentes θ y de c1 para diferentes estaciones localizadas al norte de Italia.
Una vez se analizaron todas las estaciones se identificaron las diferentes zonas “homogéneas” desde el punto de vista del escalamiento simple, es decir, aquellas que presentaron unos coeficientes de variación estadísticamente iguales. Los valores de los exponentes θ y C1 obtenidos para cada estación fueron interpolados usando técnicas de Kriging y de esta forma se obtuvieron ,mapas de todo el norte de Italia, en los cuales se muestran los valores de θ y c1 para cualquier lugar; con estos dos valores, y con la ecuación (3-22) se puede estimar la precipitación máxima para una duración dada asociada a un período de retorno.
3.5.2 PRECIPITACIONES MÁXIMAS EN QUÉBEC (CANADÁ) Un estudio similar al anterior fue presentado por. Nguyen, Nguyen, and Wang, 1998. En este estudio se propone la aplicación de un modelo de escalamiento simple a las precipitaciones máximas entre 5 minutos y 4 días, en 14 estaciones pluviográficas localizadas en Québec.
33
Con base en las ecuaciones (3-1) y (3-2) y (3-4) y suponiendo que los valores extremos de precipitación siguen una distribución de generalizada de valor extremo (GEV por sus iniciales en inglés) establecieron la relación existente entre los parámetros calculados, para la función de distribución, para una duración específica y los parámetros para cualquier distribución.
Esta metodología se resume a continuación: Los cuantiles de la distribución GEV pueden ser calculados de la siguiente manera:
Pq = ε +
[
α κ 1 − [− ln (1 − q )] κ
]
(3-23)
Donde q es q-ésimo cuantil ε,α y κ son los parámetros de localización, de escala y forma respectivamente, dichos parámetros, suponiendo escalamiento simple, están relacionados para dos escalas temporales diferentes de la siguiente manera:
k (λd ) = k (d )
(3-24)
α (λd ) = λθ α (d )
(3-25)
ε (λd ) = λθ ε (d )
(3-26)
Donde λ y d son el factor de escala y la duración respectivamente.
De acuerdo con lo anterior es posible calcular las precipitaciones máximas para cualquier duración a partir de los parámetros de cualquier duración, siempre y cuando se conozca el valor de θ, en el caso particular de del estudio de Nguyen and Nguyen and Wang se propone calcular estos parámetros a partir de los registros diarios de precipitación y el valor de θ obtenido a partir de la interpolación de valores de θ obtenidos en estaciones pluviográficas cercanas al sitio de interés.
Tal como se mencionó al comienzo, la metodología propuesta fue aplicada a 14 estaciones pluviográficas en Québec, encontrándose que los estimativos de las precipitaciones máximas para cortas duraciones son similares a los obtenidos con las técnicas tradicionales.
34
En las 14 estaciones en las cuales se aplicó la metodología descrita, se observó la existencia de dos regímenes de escalamiento diferentes; uno para duraciones entre 5 y 60 minutos y el otro entre 60 minutos y 45 días.
35
4
4.1
RECOPILACIÓN, PROCESAMIENTO Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
GENERALIDADES DE LA ZONA EN ESTUDIO
4.1.1 LOCALIZACIÓN La zona del estudio comprende un sector del departamento de Antioquia, véase Figura 4-1, abarca la zona centro-oriental del departamento, un sector de la zona norte, la zona centro (Valle del Aburrá) y un sector de la zona centro-occidental.
GOLFO DE URABÁ
BOLIVAR
COLOMBIA SANTANDER CHOCÓ
ESTACIÓN PLUVIOGRÁFICA
RISARALDA
CALDAS
ANTIOQUIA Figura 4-1 Localización de la zona en estudio.
36
4.1.2 DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA ZONA (CLIMATOLOGÍA) La zona de estudio es caracterizada por una gran variabilidad climática, la cual está determinada por gran cantidad de factores dentro de los cuales pueden mencionarse la situación tropical, la vecindad con los océanos pacífico y atlántico, la presencia de dos de los tres ramales de la cordillera de los Andes, y la variabilidad de los diferentes procesos de la hidrología superficial, Vélez, Poveda y Mesa (2000), para más detalles véase Snow (1976), Mesa, Poveda y Carvajal. (1997) y. Vélez, Poveda y Mesa (2000).
Gran parte de la zona se encuentra en medio de la región Andina, la cual desde el punto de vista de la subdivisión climática realizada por Snow, (1976), pertenece a la categoría de clima Montañoso. En esta zona se presentan situaciones extremas en cuanto al comportamiento de las precipitaciones se refiere, ya que están influenciadas en gran parte por la topografía. Se tienen valores de la precipitación promedio multianual, obtenidos del software Hidrosig, Veléz, Poveda y Mesa, (2000), inferiores a los 1.000 mm en sectores como el valle del río Cauca, la cual es la región más seca de la zona hasta, hasta valores superiores a los 5.000 mm en las estribaciones norte de las cordilleras, en la transición entre la región andina y la región caribe, Mesa, Poveda y Carvajal, (1997).
Dentro de la zona en estudio se encuentra también parte de la región Pacífica, costado occidental de la cordillera Occidental cuenca del río Penderisco-Murrí, de acuerdo con Snow, categoría húmeda marítima. En esta zona se tienen valores promedios de la precipitación anual que pueden llegar hasta los 9000 mm
4.1.3 RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN Para el presente estudio se contó con la información recopilada en el trabajo hidrología de Antioquia mencionado anteriormente. Para este proyecto se recopilaron alrededor de 4.500 pluviogramas correspondientes a las tormentas registradas en 69 estaciones del Departamento, 67 de las cuales son propiedad de Las Empresas Públicas de Medellín y 2 del IDEAM. Para cada una de las estaciones se recopilaron tres tormentas por año, entre
37
el año de instalación de la estación y el año de 1995. Cada uno de los pluviogramas fue “escaneado” y posteriormente digitalizado.
Para el presente trabajo dirigido de grado se tomó como información base las imágenes de los pluviogramas las cuales fueron digitalizadas nuevamente en su mayoría.
La información de las precipitaciones obtenidas fue actualizada hasta abril de 1999 con ayuda de los registros continuos de precipitación disponibles en el área de Hidrometría de las Empresas Públicas de Medellín.
Además de la información recopilada para la “Hidrología de Antioquia” se dispuso de la información de las tormentas de 16 estaciones utilizada por EPM para la estimación de las curvas IDF, información procesada y suministrada por las Empresas Públicas de Medellín, dichas estaciones están localizadas en el Valle de Aburrá y en el oriente cercano. Para cada uno de estas estaciones se dispuso entre 3 y 8 tormentas por año, entre el año de instalación de la estación y el año de 1990, cada tormenta discretizada en intervalos de 5 min.
La información de las tormentas obtenidas de EPM fue actualizada hasta el año de 1999 de dos fuentes diferentes: para el período entre 1990 y 1995 se obtuvieron las tormentas máximas procesadas en el estudio elaborado por Cárdenas, Marín y López (1995) en el cual se actualizó la información de las curvas IDF calculadas por EPM en 1990, en dicho estudio se tomaron 5 tormentas por año.
Para el período entre 1995 y 1999 la información fue actualizada con la ayuda de los registros continuos de precipitación disponibles en el área de Hidrometría de las Empresas Públicas de Medellín.
Inicialmente de las 84 estaciones disponibles se seleccionaron aquellas que tuviesen mínimo 20 años de registros; sin embargo se observó que la mayoría de las estaciones disponibles en la vertiente occidental de la cordillera Occidental tenían entre 18 y 19 años de registros, por lo tanto no fueron descartadas, se observó también que las estaciones
38
Cachipay y Farallones, únicas sobre la vertiente oriental de la cordillera occidental tenían 18 años de registros cada uno y por lo tanto tampoco fueron descartadas.
Finalmente se seleccionaron 61 estaciones que se muestran en la Figura 4-2. En la Tabla 4-1 se muestra un listado de las diferentes estaciones con algunas de sus características más representativas y en la Figura 4-3 puede observarse la distribución del número de años de registros en cada una de las estaciones.
39
GOLFO DE URABÁ
BOLIVAR
SANTANDER CHOCÓ
RISARALDA
Figura 4-2 Estaciones utilizadas en el estudio.
CALDAS
40
Tabla 4-1 Estaciones utilizadas en este estudio (Tabla4_1.xls)
41
42
14
Número de estaciones
12
10
8
6
4
2
0 menor que 20
20-25
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50
mayor que 50
Numero de años de registros
Figura 4-3. Histograma del número de años con registros en la estaciones utilizadas en el estudio.
4.1.4 PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN Una vez recopilada la información se hallaron llas precipitaciones máximas. En la Figura 4-4 se muestra un esquema de la forma en que se obtuvieron las precipitaciones máximas
Precipitación acumulada
para las diferentes duraciones, en cada una de las tormentas.
Pj
Pi
Inicio de la tormenta Ti+d Tj
Ti d
Tiempo
Tj+d d
T
Ventana móvil de longitud d
Figura 4-4. Obtención de la precipitación máxima para una duración d, en una tormenta específica.
43
Como se mencionó anteriormente, para el período comprendido entre 1995 y 1999 se cuenta con registros continuos de precipitación por lo tanto, para el cálculo de las intensidades máximas, es necesario la separación de los registros en tormentas independientes. En la literatura se mencionan intervalos entre eventos independientes entre 1 y 4,5 horas (Arnell et al, 1984).
RESTREPO AND EAGLESON (1982) presentan un metodología para la estimación del intervalo mínimo entre tormentas independientes donde proponen también una relación que, como lo dicen en ellos, “aunque empírica e inexacta, puede ser atractiva en muchas situaciones de diseño” en la cual es posible calcular el intervalo mínimo entre tormentas independientes en función de la precipitación media anual (o precipitación promedio en la estación lluviosa) y la duración de la estación lluviosa, se tiene entonces la siguiente relación.
⎛m ⎞ tb0 = 1523⎜⎜ PA ⎟⎟ mτ ⎝ mτ ⎠
−1.59
(4-1)
Donde: tbo
:Tiempo mínimo entre tormentas independientes en horas
mPA
: Precipitación promedio en la estación lluviosa en mm
mτ
:Duración de la estación lluviosa en meses
Aplicando esta metodología a la región en estudio y tomando mPA igual a la precipitación promedio anual y mτ igual a 12 meses se tienen valor de tbo que varía entre 1 hora para los sitios más “lluviosos” y 10 para los sitios más ”secos”.
A pesar de lo anterior y teniendo en cuenta la limitaciones en las duraciones de la tormentas analizadas para este trabajo como criterio de intervalo mínimo para la separación de eventos independientes se adoptó “Ad hoc” un intervalo de 2 horas, como se verá más adelante esta suposición no afecta los resultados debido a que se tomaron series de valores máximos anual y no series parciales.
44
Una vez separados los registros continuos en tormentas independientes se estimaron las precipitaciones máximas para cada duración siguiendo la metodología descrita anteriormente.
Adicionalmente se obtuvieron las series de precipitaciones máximas diarias para las 61 estaciones.
4.1.5 ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN RECOPILADA. A continuación se mencionan algunos aspectos importantes observados durante las diferentes etapas del estudio relacionados con el análisis preliminar de la información recopilada. 4.1.5.1 AÑO CALENDARIO VS. AÑO HIDROLÓGICO. Con el fin de tener en cuenta los efectos estacionales y/o periódicos, en la mayoría de los fenómenos de la hidrología es preferible tomar como período base para la obtención de las diferentes series de datos el año hidrológico y no el año calendario. En el caso de la región de Antioquia, en la cual tiene una incidencia muy marcada el fenómeno del niñooscilación del Sur se tomó como año hidrológico el período comprendido entre el 1° de mayo y el 30 de abril del año siguiente de acuerdo con la recomendación de Smith (1998).
Al procesar la información y obtener, para cada duración, la serie de máximos en cada año hidrológico se observó que en algunos de los años hidrológico no se contaba con tormentas para el cálculo de las precipitaciones máximas. Lo anterior debido a que las tormentas máximas fueron seleccionadas, tanto en el proyecto de “Hidrología de Antioquia” como en el de las curvas IDF de EPM de acuerdo con el año calendario, luego para algunos de los años las precipitaciones máximas seleccionadas pertenecían a los 4 primeros meses del año calendario, es decir, al año hidrológico anterior, y las tormentas del año calendario siguiente pertenecían todas a las los últimos 8 meses calendario. Por ejemplo en la estación Aurrá para el año de 1987 se seleccionaron las tormentas con fechas del 1 de enero, del 30 de marzo y del 25 de abril y para el año de 1988 se seleccionaron tormentas con fechas del 19 de junio, del 7 de agosto y del 7 de diciembre
45
luego ninguna de las tormentas pertenecía al período del 1 de mayo de 1987 al 30 de abril de 1998.
En la Figura 4-5 se muestra un ejemplo de la diferencia que se tiene entre el número de tormentas que se tiene por año, dependiendo si se toma año calendario o año hidrológico.
6
Número de tormentas por año
5 Año hidrológico Año calendario 4
3
2
1
93 19
90 19
87 19
84 19
81 19
78 19
75 19
72 19
69 19
66 19
60
63 19
19
54
57 19
19
19
51
0
Año
Figura 4-5 Número de tormentas seleccionadas por año en la estación Aurrá. De acuerdo con lo anterior se complementaron las estaciones para que por lo menos se tuviera una (1) tormenta, en cada uno de los años de registros de cada una de las estaciones.
A pesar de lo anterior no se observan diferencias importantes entre la series de máximas anuales tomando los años hidrológicos y las series tomando los años calendario.
46
Sin realizar un minucioso análisis se observó que no se tiene una influencia muy clara, como la reportada en otras latitudes del ENSO sobre las series de precipitaciones máximas, Véase por ejemplo Heredia (1998), sin embargo, es necesario realizar un estudio más detallado en este sentido.
A lo largo del estudio se utilizarán las series correspondiente a los años hidrológicos. 4.1.5.2 DESCRIPCIÓN DE LA INFORMACIÓN RECOPILADA Después de todo lo anterior, finalmente se obtuvieron alrededor de 8.500 tormentas.
En la Figura 4-6 a la Figura 4-10 se muestran los histogramas de frecuencias relativas tanto para la hora de inicio como para la duración de las tormentas, estas figuras se construyeron para el conjunto de estaciones analizadas y para las diferentes vertientes, las cuales, eventualmente, podrían ser las sub-regiones en las cuales se subdivida el Departamento en caso de ser necesario.
0.35 0.25
Frecuencia relativa
0.3
0.15
0.2 0.15 0.1
0.10 0.05 0.05
0 012 0
12 024 0 24 036 0 36 048 0 48 060 0 60 072 0 72 084 0 84 096 0 96 010 80 10 80 -1 20 0 12 00 -1 32 0 13 20 -1 m 44 ay 0 or de 14 40
Frecuencia relativa
0.20
0.25
0.00 0-2
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24
Hora local
Duración de la tormenta (minutos)
Figura 4-6 Histograma de frecuencia para la hora de inicio y la duración de la tormenta respectivamente, elaborado para todas las estaciones.
47
0.3
0.25
0.25
Frecuencia relativa
Frecuencia relativa
0.2
0.15
0.1
0.2
0.15
0.1
0.05
0.05
12 024 0 24 036 0 36 048 0 48 060 0 60 072 0 72 084 0 84 096 0 96 010 80 10 80 -1 20 0 12 00 -1 32 13 0 20 -1 m 44 ay 0 or de 14 40
012 0
0
0 0-2
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24
Hora local
Duración de la tormenta (minutos)
Figura 4-7 Histograma de frecuencia para la hora de inicio y la duración de la tormenta respectivamente, elaborado para las estaciones localizadas en la vertiente occidental de la cordillera occidental.
0.3
0.25
0.25
Frecuencia relativa
Frecuencia relativa
0.2
0.15
0.1
0.2
0.15
0.1
0.05
0.05
0-2
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24
Hora local
12 024 0 24 036 0 36 048 0 48 060 0 60 072 0 72 084 0 84 096 0 96 010 80 10 80 -1 20 0 12 00 -1 32 0 13 20 -1 m 44 ay 0 or de 14 40
012 0
0
0
Duración de la tormenta (minutos)
Figura 4-8 Histograma de frecuencia para la hora de inicio y la duración de la tormenta respectivamente, elaborado para las estaciones localizadas en la vertiente oriental de la cordillera central.
48
0.35
0.25
0.3
Frecuencia relativa
Frecuencia relativa
0.2
0.15
0.1
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0.05
12 024 0 24 036 0 36 048 0 48 060 0 60 072 0 72 084 0 84 096 0 96 010 80 10 80 -1 20 0 12 00 -1 32 13 0 20 -1 m 44 ay 0 or de 14 40
012 0
0
0 0-2
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24
Hora local
Duración de la tormenta en minutos
Figura 4-9 Histograma de frecuencia para la hora de inicio y la duración de la tormenta respectivamente, elaborado para las estaciones localizadas en la vertiente occidental de la cordillera central. 0.35
0.3
0.3
Frecuencia relativa
Frecuencia relaativa
0.25
0.2
0.15
0.25
0.2
0.15
0.1
0.1 0.05
0.05
012 0
12 024 0 24 036 0 36 048 0 48 060 0 60 072 0 72 084 0 84 096 0 96 010 80 10 80 -1 20 0 12 00 -1 32 13 0 20 -1 m 44 ay 0 or de 14 40
0
0 0-2
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24
Hora local
Duración de la tormenta (minutos)
Figura 4-10 Histograma de frecuencia para la hora de inicio y la duración de la tormenta respectivamente, elaborado para las estaciones localizadas en la vertiente oriental de la cordillera occidental. De estas figuras puede observarse que, exceptuando el comportamiento del inicio de la tormenta para las estaciones localizadas en la cordillera occidental, los resultados de las demás regiones difieren muy poco de lo observado en todo el Departamento. En general se observa que alrededor del 20% de las tormentas inician entre las 14 y las 16, y cerca del 60% comienzan entre las 14 y las 22 horas, exceptuando en las dos estaciones localizadas sobre la vertiente oriental de la cordillera occidental en la cual la mayoría de las tormentas se presentan al amanecer, cerca del 50 % se presentan entre las 22 y las 02 horas.
49
No obstante lo anterior, dentro de las diferentes zonas analizadas se observan algunas estaciones específicas con patrones de precipitación diferentes a los valores promedios mostrados en las figuras anteriores, como es el caso de las estaciones localizadas en el oriente antioqueño por debajo de los 2.000 msnm donde predominan las lluvias nocturnas, en el capítulo 6 se muestra en detalle esta situación.
En cuanto a la duración se observa que alrededor del 75 % de las tormentas analizadas tienen duraciones inferiores a las 6 horas y más del 50% tienen duraciones inferiores a las 4 horas.
Con las tormentas analizadas, y con el único fin de comparar las precipitaciones máximas en el mundo con las máximas observadas en el departamento de Antioquia, se graficaron las máximas precipitaciones observadas sobre la curva envolvente de las máximas precipitaciones tomadas de Smith (1993), Figura 4-11. En esta figura puede observarse que las precipitaciones máximas a nivel mundial difieren prácticamente en un orden de magnitud con los máximos observados en el Departamento.
4.1.5.3 RELACIÓN ENTRE LOS VALORES DE LAS PRECIPITACIONES MÁXIMAS OBTENIDAS DE UN PERÍODO CON REGISTROS CONTINUOS, CON LOS OBTENIDOS DE ALGUNAS TORMENTAS AISLADAS. Una de las prácticas comunes en la ingeniería de diseño para la estimación de las curvas IDF, en nuestro medio, es la obtención de las precipitaciones máximas para las diferentes duraciones a partir del análisis de algunas tormentas en el año y no de la serie de registros continuos de precipitación, debido esto principalmente a razones económicas. En el presente estudio se presenta esta misma situación, en la cual, como se muestra en numerales anteriores, la mayoría de la información recopilada corresponde a un número discreto de tormentas y no a la serie de registros continuos de precipitación
50
10000
Precipitación (mm)
1000
Madreseca (24/04/85)
P=421,6d0.475 Madreseca (14/08/83)
100 La Fe (10/02/93) Pabón (15/01/92)
Madreseca (16/12/92)
Mande (21/03/82) Madreseca (14/08/83)
Mande (14/05/87)
Madreseca (22/09/93)
Madreseca (15/05/87)
San Antonio (08/05/92)
La Fe (16/11/92) Precipitaciones máximas a nivel mundial
10
Envolvente de las precipitaciones máximas anivel mundial Precipitaciones máximas observadas en el departamento de Antioquia (toda la tormenta) Precipitaciones máximas observadas en el departamento de Antioquia (Duración específica)
1 1
10
100
1000
Duración (minutos)
Figura 4-11. Precipitaciones máximas observadas en el departamento de Antioquia para diferentes duraciones. Los símbolos azules (Triángulo) corresponden las precipitaciones observadas durante toda la tormenta y los símbolos rojos (Círculos) corresponde a los valores de precipitación máximos observados para una duración específica. A raíz de lo anterior metodología anterior surge la inquietud inmediata de cual es el efecto “real” de tomar tan sólo unas pocas tormentas en el año sobre el estudio de precipitaciones máximas.
Con el fin de tratar de dilucidar esta situación se realizaron algunas comparaciones entre las precipitaciones máximas obtenidas por los dos métodos anteriores, para duraciones de 5, 10, 15, 20, 30, 45, 60, 75, 90, 105 y 120 minutos. Inicialmente se compararon las precipitaciones máximas obtenidas en el estudio de la “hidrología de Antioquia” (tres tormentas por año) , para el año de 1995 con las obtenidas de los registros continuos de las Empresas Públicas de Medellín. Esta comparación se realizó para la estaciones de Haitón, Farallones, El Tabor, Madreseca y El retiro. En la Figura 4-12 se muestran los resultados para las estaciones de El Tabor y Madreseca.
51
Precipitación (mm)
100
10 Precipitación máxima, registros continuos 2 precipitación máxima, registros continuos 3 precipitación máxima, registros continuos Tormenta del 16 de Marzo Tormenta del 20 de Octubre Tormenta del 29 de junio
1 1
10
100
1000
Duración (minutos)
(a) El Tabor
Precipitación (mm)
100
10
Precipitación máxima, registros continuos 2 precipitación máxima, registros continuos 3 precipitación máxima, registros continuos Tormenta del 15 de Octubre Tormenta de 17 de mayo Tormenta del 30 de junio
1 1
10
100
Duración (minutos)
1000
(b) Madreseca Figura 4-12 Comparación de las precipitaciones máximas durante 1995 para diferente duraciones, obtenida de los registros continuos y con sólo tres tormentas en el año. a). Estación El Tabor y b) Estación Madreseca. En esta figura los símbolos vacíos corresponde a los tres valores más grandes de las precipitaciones obtenidos de los registros continuos y los símbolos “llenos” corresponden a las intensidades máximas de las tres tormentas analizadas en la Hidrología de Antioquia.
52
De los resultados obtenidos en las diferentes estaciones se observa que los 11 valores máximos de las precipitaciones, correspondientes a las 11 duraciones, normalmente se encuentran entre 4 y 6 tormentas diferentes, razón
por la cual capturar todos estos
valores en sólo tres tormentas es prácticamente imposible. En general, el hecho de tomar solamente tres tormentas en el año, subestima los valores de las precipitaciones máximas, especialmente para duraciones inferiores a 30 minutos, en las cuales se observan diferencias hasta del 400%. Esta diferencia comienza a disminuir y desaparece para duraciones superiores a los 30 minutos. Es importante mencionar que para las duraciones muy cortas, el error en el procesamiento de la información puede llegar a ser muy significativo, por la baja resolución temporal de las cartas registradoras, y eventualmente se pueden encontrar casos en los cuales los valores de las precipitaciones máximas obtenidos tomando sólo tres tormentas son superiores a los obtenidos de los registros continuos.
Otra práctica usual en la ingeniería para el cálculo de las curvas IDF es seleccionar y procesar únicamente aquellas tormentas en los cuales se presentaron los mayores registros diarios de precipitación los cuales son registros disponibles y de fácil consulta, usualmente se toman entre 3 y 6 tormentas por año. En la Figura 4-13 se observa la comparación entre las precipitaciones máximas obtenidas de la información parcial y de los registros continuos. En estas puede observarse, que aún tomando las 6 tormentas máximas en el año no se garantiza que se tomen los valores máximos de precipitación, especialmente para las duraciones inferiores a 30 minutos, para las duraciones mayores los valores son prácticamente iguales. .
53
Precipitación (mm)
100
10
Precipitación máxima, registros continuos 2 precipitación máxima, registros continuos 3 precipitación máxima, registros continuos Tormenta del 15 de Octubre Tormenta del 25 de Noviembre Tormenta del 27 de junio Tormenta del 20 de octubre Tormenta del 4 de julio Tormenta del 29 de junio 1 1
10
100
1000
Duración (minutos)
.
(a) El Tabor
Precipitación (m)
100
10
Precipitación máxima, registros continuos 2 precipitación máxima, registros continuos 3 precipitación máxima, registros continuos Tormenta del 30 de junio Tormenta de 15 de octubre Tormenta del 18 de agosto Tormenta del 14 de mayo Tormenta del 17 de mayo Tormenta del 25 de abirl
1 1
10
100
1000
Duración (minutos)
(b) Madreseca Figura 4-13 Comparación de las precipitaciones máximas durante 1995 para diferente duraciones, obtenida de los registros continuos y tomando los días con mayor precipitación diaria a). Estación El Tabor y b) Estación Madreseca. En esta figura los símbolos vacíos corresponde a los tres valores más grandes de las precipitaciones obtenidos de los registros continuos y los símbolos “llenos” y/o en color corresponden a las intensidades máximas obtenidas del análisis de algunas tormentas en cada año.
54
De acuerdo con los resultados anteriores es posible concluir que cuando se desean construir las curvas IDF deben tomarse, si es posible, los registros de precipitación continuos, de no ser posible deben seleccionarse el mayor número de tormentas posible, superior a seis(6) u ocho(8) tormentas por año, dependiendo de la aplicación de dichas curvas.
Con la metodología anterior se verificó que para un año cualquiera se tienen diferencias importantes entre los valores máximos de precipitación si se toman sólo algunas tormentas en el año o si se toma los registros continuo. Con el fin de verificar el efecto sobre toda la serie de los valores máximos anuales, obtenida a partir de algunas tormentas se procesaron completamente 6 estaciones distribuidas en toda la zona de estudio: El Sireno, Santa Bárbara y Mandé en la vertiente occidental de la cordillera Occidental e Inmarco, El Bizcocho y el Peñol en la vertiente occidental de la cordillera Central. De esas 6 estaciones se descarta la ecuación del Peñol por problemas de tendencias y de no-homogeneidad en las series.
En la Figura 4-14 se muestran los resultados obtenidos en la Estación El Bizcocho, en esta figura se observa que para las cortas duraciones se tienen diferencias muy grandes en ambas series, esta diferencia disminuye a medida que aumenta la duración. Este comportamiento se observó en todas las estaciones analizadas.
En la Figura 4-15 se muestra la comparación de los momentos de orden 1 y orden 2 de ambas series, en esta puede notarse la diferencia mencionada anteriormente entre las series de precipitaciones máximas obtenidas de los registros continuos y del análisis de algunas tormentas. De la ecuación 3-13 puede observarse que las diferencias entre los momentos de orden 1, corresponden a las diferencias mínimas que se tendrían en el cálculo de las precipitaciones máximas asociadas a diferentes períodos de retorno ya que se tiene que el factor de frecuencia y la varianza son valores positivos..
55
250
160 140
200
Precipitación (mm)
Precipitación (mm)
120 150
100 Algunas tormentas Registros continuos
100 80 60 Algunas tormentas Registros continuos
40
50 20 0
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
Probabilidad de no excedencia (empírica) (a)
1
0
140
0.4
0.6
0.8
1
120
120
100
100
Precipitación (mm)
Precipitación (mm)
0.2
Probabilidad de no excedencia (empírica) (b)
80 60 Algunas tormentas Registros continuos
40
80
60
40 Algunas tormentas Registros continuos
20
20 0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Probabilidad de no excedencia (empírica) (c)
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Probabilidad de no excedencia (empírica) (d)
1
70
90 80
60
Precipitación (mm)
Precipitación (mm)
70 60 50 40 30
Algunas tormentas Registros continuos
20
50 40 30 Algunas tormentas Registros continuos
20 10
10 0
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
Probabilidad de no excedencia (empírica) (e)
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Probabilidad de no excedencia (empírica) (f)
1
Figura 4-14 Comparación de la serie de precipitaciones máximas obtenidas de los registros continuos y del procesamiento de sólo 3 tormentas para diferentes duraciones. a) 20 minutos b) 30 minutos. c) 45 minutos. d) 60 minutos. e)75 minutos y f) 120 minutos.
90
8000
momento de orden 2 de la precipitación (mm 2)
momento de orden 1 de la precipitación (mm)
56
80
7000
70
6000
60
5000
50
4000
40
Algunas tormentas Registros continuos
3000
30
2000
20 Algunas tormentas Registros continuos
10
1000 0
0 0
20
40
60 80 Duración (minutos)
100
0
120
20
40
60
80
100
120
Duración (minutos)
80
7000
momento de orden 2 de la precipitación (mm 2)
momento de orden 1 de la precipitación (mm)
(a)
70
6000
60
5000
50
4000
40
Algunas tormentas Registros continuos
3000
30
2000
20 Algunas tormentas Registros continuos
10
1000 0
0 0
20
40
60 80 Duración (minutos)
100
0
120
20
40
60
80
100
120
Duración (minutos)
(b) Figura 4-15. Comparación de los momentos de orden 1 y orden 2 lde a serie de precipitaciones máximas obtenidas de los registros continuos y del procesamiento de sólo 3 tormentas para diferentes ecuaciones. a) Estación El Bizcocho b) Estación Inmarco. De todo el análisis presentado anteriormente se concluye que con la información disponible no es procedente trabajar con duraciones muy cortas, a pesar de su importancia en el diseño de obras civiles, ya que es muy factible obtener errores muy significativos, por lo tanto, para este trabajo se analizaran los eventos máximos de precipitación con duraciones superiores a los 45 minutos.
El hecho de tener disponibles sólo algunas tormentas en el año para cada estación restringe también la duración máxima que se incluirá en el análisis, ya que para las duraciones largas, es posible que las precipitaciones máximas se den como consecuencia
57
del diferentes eventos de precipitación. De acuerdo con la información disponible se considera que es factible estimar de manera confiable, las precipitaciones máximas hasta 2 horas de duración. 4.1.5.4 RELACIÓN ENTRE LA PRECIPITACIÓN MÁXIMA EN 24 HORAS Y LA PRECIPITACIÓN MÁXIMA DIARIA. Tal como se mencionó anteriormente uno de los objetivos de este trabajo es poder establecer relaciones que permitan estimar las precipitaciones máximas para las duraciones cortas a partir de los valores máximos de las precipitaciones diarias. Como para las 61 estaciones no se tienen procesados los registros continuos, se utilizará el valor máximo diario como el valor máximo para 24 horas de duración.
Con el fin de conocer las implicaciones de esta decisión y con ayuda de los registros continuos disponibles en las 5 estaciones mencionadas, se observó la relación existente entre las precipitaciones máximas en 24 horas y las precipitaciones máximas diarias, de acuerdo con (Cao, 1974), esta relación puede considerarse lineal, independiente de la probabilidad de ocurrencia y constante para una región específica.
En la Figura 4-16 se muestran los resultados obtenidos en las diferentes estaciones, en estas se muestra la relación entre las precipitaciones máximas diarias y las precipitaciones máximas en 24 horas, así como la recta de ajuste, la cual pasa por el origen.
De esta figura puede observarse que se tienen una relación lineal que varía entre 1,01 y 1,11 con un valor medio para estas estaciones de 1,07.
58
200
Precipitación máxima en 24 horas (mm)
Precipitación máxima en 24 horas (mm)
160 140 120 Datos observados Lineal (Datos observados)
100
y = 1.0111x R2 = 0.9427
80 60 40 20
180 160 140
Datos observados Lineal (Datos observados)
120
y = 1.1136x R2 = 0.8495
100 80 60 40 20 0
0 0
20
40
60
80
100
120
0
140
20
40
Precipitación máxima diaria (mm) (a)
80
80
100
120
140
160
180
120
Precipitación máxima en 24 horas (mm)
Precipitación máxima en 24 horas (mm)
60
Precipitación máxima diaria (mm) (b)
70 Datos observados Lineal (Datos observados)
60 50
y = 1.0978x R2 = 0.8701
40 30 20 10 0 0
10
20
30
40
50
60
100 Datos observados Lineal (Datos observados) 80 y = 1.0612x R2 = 0.7413 60
40
20
0
70
0
20
40
Precipitación máxima diaria (mm) (c)
60
80
100
120
Precipitación máxima diaria (mm) (d)
Precipitación máxima en 24 horas (mm)
180 160 Datos observados Lineal (Datos observados)
140
y = 1.078x R2 = 0.8788
120 100 80 60 40 20 0 0
20
40
60
80
100
120
140
160
Precipitación máxima diaria (mm) (e)
Figura 4-16. a) Relación entre las precipitaciones máximas en 24 horas y las precipitaciones máximas diarias. a) Estación Inmarco b) Estación El Bizcocho c) Santa Bárbara d) El Sireno. e) Mande.
59
4.1.5.5 ANÁLISIS DE HOMOGENEIDAD DE LAS SERIES DE PRECIPITACIONES MÁXIMAS Las diferentes teorías utilizadas para el análisis y la simulación de datos hidrológicos usualmente suponen que dichos datos son estacionarios, consistentes y homogéneos, por lo tanto dentro de las primeras actividades de cualquier estudio relacionado con datos hidrológicos debe realizarse la verificación de que se cumplen dichas propiedades.
Se dice que una serie hidrológica es estacionaria si sus propiedades estadísticas, como la media la varianza y los momentos de orden mayor, no son afectados por el escogencia del origen, (Dahmen and May, 1990).
Una serie hidrológica eventualmente puede exhibir cambios y tendencias propios de las series, a estos cambios y tendencias se les conoce como inconsistencias y nohomogeneidades de la series. Se habla de inconsistencia cuando se tienen cambios o saltos en las series asociados principalmente con el registro y la recolección de la información, dichos cambios puede presentarse en las diferentes etapas de todo el proceso de recolección y procesamiento: como en la toma o medida de la información de campo, en la transmisión de los datos, en el almacenamiento y en el procesamiento de la información. Y se dice que una serie es no-homogénea cuando los cambios o saltos en las series de los datos son debidos a cambios naturales o factores antrópicos. (Dahmen and May, 1990).
Usualmente al proceso de detección de las no-estacionaridad, inconsistencias y la nohomogeneidad de las series se le conoce como análisis de homogeneidad, existen diferentes técnicas para el análisis de homogeneidad de una serie hidrológica, muchas de estas técnicas se muestran en detalle en Salas et al (1992).
En el presente trabajo se realizó al análisis de homogeneidad siguiendo la misma metodología mostrada en el estudio de Universidad Nacional-Interconexión Eléctrica S.A (1996).
60
Se realizó al análisis de homogeneidad para todas las estaciones y para cada una de las series correspondientes a duraciones de 20, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120 y a la serie de máximas diarias. En total se analizaron alrededor de 660 series, incluyendo las series obtenidas a partir de los registros continuos de 6 estaciones para duraciones de 20, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 180, 240, 360, 480, 640, 760, 880, 1000, 1220 y 1440 minutos.
Inicialmente se realizó el análisis exploratorio. Para este análisis se realizaron las gráficas de las series de tiempo, gráfico de masas simple, gráficas de análisis bayesiano para el punto de cambio, gráficos de cuantiles o Box-Plot y el correlograma junto con los límites de confianza de acuerdo con la prueba de Anderson para observar la independencia o dependencia de la variable hidrológica.
Posteriormente y con base en lo observado en el análisis exploratorio, para las pruebas que requieren punto de cambio, se realizó el análisis confirmatorio. Para éste se realizaron las siguientes pruebas •
Detección de cambios en la media: Prueba T simple asumiendo igualdad de varianzas Prueba T simple asumiendo diferencia de varianzas Prueba de Mann-Whitney Prueba de Kruskal-Wallis Prueba de Signo Prueba de homogeneidad de Abbe Prueba de Pettit
•
Detección de tendencia en la media Prueba de T para la detección de tendencias lineales Prueba de Hotelling-Pabst Prueba de Mann-Kendall Prueba de Sen
•
Detección de cambios en la varianza Prueba de F simple Prueba de Ansari-Bradley Prueba de Bartlett Prueba de Leven
61
•
Detección de tendencias en la varianza Prueba de Homocedasticidad
•
Detección de puntos extraordinarios Prueba del rango Prueba del rango normalizado
•
Pruebas de independencia Pruebas de corridas Prueba de punto cambiante Prueba de independencia de Spearman
Diferentes tipos de pluviógrafos existentes en las estaciones de estudio. Antes de realizar el análisis de homogeneidad y con el fin de interpretar correctamente los resultados obtenidos se consultaron la mayoría de las bitácoras (hoja de vida) de cada una de las estaciones.
En general, en el área de interés, Las Empresas Públicas de Medellín disponen de tres tipos de pluviógrafos: El pluviógrafo de flotador, el pluviógrafo de balanza y el pluviógrafo de cubeta basculante.
Pluviógrafo de flotador
consiste en un pluviógrafo que
posee una cámara la cual a su vez contiene un flotador que sube verticalmente a medida que el agua aumenta. El movimiento vertical del flotador es registrado por medio del movimiento de una pluma en el papel. Este aparato cuenta con un sistema de sifón para evacuar el agua una vez la cámara que posee el flotador se ha llenado. En la actualidad, excepto en la estación de San Pedro, todas la estaciones analizadas cuenta con este tipo de. Dentro de este tipo de aparatos existen a su vez diferentes clases de acuerdo con la resolución temporal y de lluvia del aparato, dentro de este tipo de aparato se encuentran Los Fuess 95 y Los Fuess 95Y de mejor resolución en la fotografía anterior se muestra un Fuess 95Y tomado de EPM 1991.
62
En la Tabla 4-2 se muestran los diferentes tipos de pluviógrafos de flotador y de balanza . Tabla 4-2 Tipos de pluviógrafos de flotador y de balanza Modelo de
Tipo de
Máxima lectura
Máxima lectura
pluviógrafo
pluviógrafo
temporal
de precipitación (mm)
Q-6
Balanza
Semanal
120
Freizz
Balanza
Semanal
300
Fuess 95Y
Flotador
Semanal
10
Fuess 95
Flotador
Semanal
40
En la Figura 4-17 se muestra el tipo de aparato existente en cada una de las estaciones así como la estaciones en las que hubo cambio de aparato registrador.
Pluviógrafo de balanza.
Este tipo de
aparato consiste en un pluviógrafo que registra continuamente en una carta o papel, el peso de un recipiente más la lluvia acumulada utilizando un mecanismo de resorte (Freiz) o de balanza (Q-6 Stevens). En
esta
fotografía
se
muestra
un
pluviográfo que utiliza el resorte como mecanismo para registrar el peso de la lluvia. Tomada de Gilman (1964). Actualmente sólo una de las 61 estaciones analizadas cuenta con este tipo de aparato, sin embargo en varias de las estaciones inicialmente se tuvo instalado este tipo de aparato, véase Figura 4-17.
Pluviógrafo de cubeta basculante consiste en un pluviógrafo con dos cubetas, en el cual la lluvia entra primero a una cubeta, una vez llena esta primera cubeta, ésta se desbalancea dirigiendo el flujo de aguas hacia la
63
segunda cubeta. Este movimiento basculante de las cubetas es transmitido hacia el aparato registrador, conociendo el volumen de cada una de las cubetas es posible estimar la intensidad de la precipitación. Actualmente gran cantidad de las estaciones pluviográficas de Las Empresas Públicas de Medellín han sido dotadas de este tipo de aparato registrador, dicho programa comenzó alrededor del año de 1997. Es importante señalar que en las estaciones en donde se ha instalado este tipo de aparato registrador aún se conserva el pluviógrafo de flotador, es decir, se cuenta con ambos registros pluviográficos
Resultados del análisis de homogeneidad. En la Figura 4-18 se muestra un ejemplo del análisis exploratorio realizado para en las diferentes estaciones y en el anexo 1 se muestra un resumen de los resultados obtenidos en el análisis confirmatorio para todas las series, en este anexo las series marcadas con el número 0 indica que de acuerdo con alguna prueba específica, la hipótesis de Homogeneidad no puede ser rechazada, mientras que el número 1 indica que la hipótesis de homogeneidad es rechazada. En general de este análisis puede concluirse, entre otras cosas. lo siguiente: •
En la mayoría de las estaciones donde se realizó cambios del tipo de aparato registrador se observan cambios en la media, especialmente en aquellas que se realizó cambio de un aparato de menor resolución temporal (por ejemplo Fuess 95) a uno de mayor resolución (por ejemplo Fuess95Y). Este cambio es muy marcado particularmente para las duraciones menores, inferiores a 60 minutos, en los gráficos de las series puede observarse que los cambios en la media se van haciendo más pequeños a medida que aumenta la duración hasta desaparecer completamente para las series de precipitaciones máximas diarias, véase Figura 4-19.
64
CHOCÓ
SANTANDER CONVENCIONES Fuess95 Fuess95Y Freiz Q-Stevens Fuess95-Fuess95Y Freiz-Fuess95Y Freiz-Fuess95 Q-Stevens-Fuess95 Q-Stevens-Fuess95Y
Figura 4-17. Tipo de aparato registrador en cada una de las estaciones. En las estaciones que no se tiene símbolo no se dispuso de la información de los aparatos registradores. En la estación San Cristóbal hubo cambio de aparato registrador 2 veces.
65
Se observa que en los aparatos de menor resolución, en general, “subestiman”· los valores reales de las precipitaciones máximas para las duraciones más cortas. •
La influencia del aparato registrador dificulta cualquier búsqueda de nohomogeneidades de las series, debidas a cambios climáticos o cambios inducidos por la acción del hombre sobre las precipitaciones máximas de corta duración ya que estos pueden ser mucho más sutiles o de efecto más “débil” que el observado por el cambio de aparato. Un
ejemplo de esta situación es el de estaciones
relativamente cercanas como Haitón, Rionegrito y Montañitas, en la primera se tiene un cambio de aparato registrador en el año de 1988 y se observan cambios únicamente en la serie de precipitaciones máximas de 20 minutos de duración alrededor de este año. En las otras dos estaciones no se tiene cambio de aparato registrador y, de acuerdo con las diferentes pruebas de homogeneidad, se observan disminución en la media con un cambio alrededor de 1980. •
Para las series de precipitaciones máximas de 24 horas, las cuales no deben estar influenciadas por el tipo de aparato registrador, se tiene que sólo 20 estaciones no presentan ningún indicio de que la hipótesis de homogeneidad de las series pueda ser rechazada. En las 41 series restantes no es tan evidente el tipo de cambio o las no-homogeneidades detectadas por las diferentes pruebas, las cuales no muestran un comportamiento o patrón regional que permita identificar evidencias de cambio climático, por lo tanto es necesario estudiar más en detalle esta situación. Cabe destacar las tendencias crecientes en las estaciones Caldas, La Ayurá y Río Abajo, véase Figura 4-20.
Lo anterior confirma el hecho que no parece conveniente trabajar con series de duraciones pequeñas las cuales pueden estar altamente influencias por el tipo de aparato registrador.
66
CURVA DE MASAS
SERIE DE PRECIPITACIONES MÁXIMAS 1000
60
900
Precipitación acumulada (mm)
Precipitación máxima (mm)
50
40
30
20
10
800 700 600 500 400 300 200 100
0 1940
1950
1960
1970
1980
1990
0
2000
1940
1950
1960
1970
Año
1980
1990
2000
AñO
ANÁLISIS BAYESIANO funsión de densidad de la cantidad de cambio
ANÁLISIS BAYESIANO funsión de densidad del tiempo de cambio 0.2
0.35
0.18 0.3 0.16
Año de cambio (media)=1967 Año de cambio (moda)=1966
0.25
media de la Cantidad de
0.14 0.12
0.2
0.1 0.15
0.08 0.06
0.1
0.04 0.05 0.02 0
0
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
cantidad de cambio
Año
CORRELOGRAMA
GRÁFICO DE CAJA (BOX-PLOT) 1
50 45
0.8
Precipitación (mm)
40 35
0.6
30
0.4 25 20
0.2
15
0
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
-0.2 0 1940
1950
1960
1970
AñO
1980
1990
2000
-0.4
Figura 4-18. Análisis exploratorio para la estación el Retiro. Para la serie precipitaciones máximas de 20 minutos de duración
67
140 20 minutos 120 minutos máximas diarias
Precipitación máxima (mm)
120
100
80
60
40
20
0 1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
Año
Figura 4-19. Comparación de las series de precipitaciones máximas de la estación Inmarco para diferentes duraciones. En esta estación se tiene cambio de aparato registrador en el año de 1983 de un Fuess95 a un Fuess95Y. Véase anexo 1 para el análisis de homogeneidad.
SERIE DE PRECIPITACIONES MÁXIMAS
SERIE DE PRECIPITACIONES MÁXIMAS
90
100 90
70
Precipitación máxima (mm)
Precipitación máxima (mm)
80
60 50 40 30 20
70 60 50 40 30 20 10
10
0
0 1940
80
1950
1960
1970
Año (Caldas)
1980
1990
2000
1970
1975
1980
1985
Año (La Ayurá)
1990
1995
2000
68
SERIE DE PRECIPITACIONES MÁXIMAS
SERIE DE PRECIPITACIONES MÁXIMAS 140
90
120
Precipitación máxima (mm)
Precipitación máxima (mm)
80 70 60 50 40 30 20
80 60 40
20
10
0
0 1955
100
1960
1965
1970
1975
1980
Año (Río Abajo)
1985
1990
1995
2000
1965
1970
1975
1980
1985
Año (Corrientes)
1990
1995
2000
Figura 4-20 Serie de precipitaciones máximas diarias en Caldas, Ayurá, Río Abajo y corrientes. Para el presente trabajo se analizarán las precipitaciones máximas para 45, 60, 75, 90, 105, 120 minutos y las precipitaciones máximas diarias, para las estaciones en las cuales no se cuenta con registros continuos y para duraciones de 20, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 180, 240, 360, 480, 640, 760, 880, 1000, 1220 y 1440 minutos para las 5 estaciones con registros continuos.
Como se puede observar en la Figura 4-17 alrededor del 50% de las estaciones disponibles hubo cambio de aparato registrador, en un porcentaje no despreciable de este 50% se tienen series inconsistentes por esta razón, con el fin de no desechar esta información
se
decidió
“modificar”
las
series
originales
para
corregir
dichas
inconsistencias de la siguiente manera: •
Se conservó la fracción de la serie que tuviese mayor longitud, siempre y cuando la serie modificada no se “descartaran” más de 10 años de registros.
•
Se afectaron los datos de la fracción de menor longitud de tal forma que la nueva serie se conservaran los valores de la media y la varianza de la serie de mayor longitud, normalmente se convirtieron las fracciones de las series obtenidas de aparatos de menor resolución, por ejemplo aquellas obtenidas del Fuss95.
69
4.1.5.6
RELACIONES ENTRE LA PRECIPITACIÓN MÁXIMA EN 60 MINUTOS DE DURACION Y LAS PRECIPITACIONES MÁXIMAS CON OTRAS DURACIONES.
De todos los análisis y resultados anteriores puede concluirse que no se tiene información suficiente y confiable para el cálculo de las precipitaciones máximas para duraciones pequeñas, inferiores a 60 minutos, la cual es indispensable para el cálculo de alcantarillados y estructuras hidráulicas pequeñas.
Como se mencionó en el capítulo 2, a través de la historia se han utilizado una serie de relaciones empíricas con el fin de estimar las precipitaciones máximas de duraciones pequeñas con base en las precipitaciones máximas en una hora, las cuales han sido validadas en diferentes lugares del planeta.
En el presente estudio y ante la necesidad de disponer de alguna metodología para estimar las precipitaciones máximas para las duraciones menores se verifican estas relaciones. Inicialmente se verifican para las 5 estaciones con registros continuos disponibles. En la Figura 4-21 se muestran estas relaciones comparadas con las relaciones empíricas calculadas con la ecuación 2-7. Cada par de puntos de la Figura 4-21 fue obtenido de los valores observados para el mismo período de retorno el cual fue estimado de acuerdo con la probabilidad empírica calculada con la ecuación de Weibull
De esta figura puede observarse que existe una dispersión en algunos valores alrededor del valor medio el cual se encuentra muy cerca de los valores generalizados por Hershfield.
Comparando los valores calculados con los valores estimados se observan diferencias máximas del orden del 20%, con un valor promedio del error, en valor absoluto del orden del 7 %.
Con los datos obtenidos, se observa también que estas relaciones tienen gran variabilidad espacial y no presentan una correlación tan marcada como se reporta en la literatura.
70
Precipitación máxima para la duración indicada (mm)
140
Nota: Cada símbolo corresponde a una estación y cada color corresponde a una duración
120
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
Precipitación máxima para una hora de duración (mm)
Figura 4-21 Comparación de las relaciones entre la precipitación máxima de con una hora de duración y la precipitación máxima para otras duraciones para el mismo período de retorno. Cada símbolo corresponde a una estación diferente y cada color corresponde a una duración específica, se muestran duraciones de 20, 30, 45, 90 y 120 minutos. Las líneas rectas corresponden a las relaciones empíricas encontradas por Hershfield estimadas con la ecuación 2-7.
Dichas relaciones se verificaron, además, para las 61 estaciones analizadas, para duraciones entre 45 y 120 minutos, de estos resultados se observa que los valores obtenidos para dichas relaciones difieren alrededor del 5% de los valores sugeridos por Hershfield y se obtienen diferencias máximas entre los valores observados y los calculados con la ecuación 2-7 inferiores al 20%.
De lo anterior puede concluirse que no obstante la dispersión , para las relaciones entre las precipitaciones máximas con diferentes duraciones y la precipitación máxima para una hora de duración, desde el punto de vista práctico y con la información disponible en
71
este
trabajo,
parece
adecuado
utilizar
las
relaciones
empíricas
mencionadas
anteriormente, máxime si se tienen en cuenta la gran cantidad de errores,
la
incertidumbre y las imprecisiones que se tiene en el registro y procesamiento de las precipitaciones máximas para duraciones inferiores a 60 minutos, los cuales puede inducir a errores del mismo orden de magnitud o incluso hasta superiores que los obtenidos al utilizar dichas relaciones.
72
5
ANÁLISIS DE FRECUENCIAS DE LAS SERIES DE PRECIPITACIONES MÁXIMAS.
Si bien es cierto que todo estudio o análisis de los diferentes procesos hidrológicos debiera fundamentarse sobre aspectos físicos y “reales”, existen en hidrología diversos fenómenos muy complejos en los cuales es necesario recurrir a teorías que carecen de dichas bases físicas pero, que si se cuenta con suficiente información y se realizan los procedimientos apropiados se pueden obtener resultados satisfactorios. La precipitación es uno de estos casos en el cual se recurre al análisis de frecuencias, con funciones de distribución adoptadas “Ad-hoc”, para el estudio de los eventos extremos.
A continuación se presenta el análisis de frecuencias de las precipitaciones máximas en cada una de las diferentes estaciones para cada una de las duraciones, este se realiza con el fin de observar las implicaciones de la elección de una función de distribución específica en la estimación de las precipitaciones máximas asociadas a los diferentes períodos de retorno y con el fin de obtener valores con los cuales cotejar los valores obtenidos con los modelos de escalamiento.
5.1
FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN
Existe un sinnúmero de funciones de distribución utilizadas en hidrología las cuales, en general, no pueden ser deducidas teóricamente a partir de los procesos físicos, (Cong et al, 1993) y por lo tanto normalmente se adopta alguna función arbitrariamente, se estiman sus parámetros con los datos muestrales disponibles y se verifica que dicha función de distribución se ajuste satisfactoriamente a los datos y si esto sucede se supone que dicha función de distribución es aplicable a toda la población.
Entre las funciones de distribución utilizadas en hidrología pueden mencionarse las siguientes: Normal (Yevjevich, 1972), Log-Normal (Chow, 1954), Gamma (Yevjevich,
73
1972), LogGamma (Yevjevich, 1972), Logistic, loglogistic (Beirlant, Teugels and Vynckier, 1996) y Pareto.
En general, se ha demostrado que muchas de las funciones de distribución usadas en hidrología para el estudio de eventos extremos convergen asintóticamente a una de tres funciones específicas llamadas funciones de valor extremo, Tipo I, Tipo II y Tipo III respectivamente, (Ang and Tang, 1984). Así por ejemplo a la función tipo I convergen las funciones de distribución exponencial, gamma, normal, lognormal, logística y tipo I propiamente, a la función tipo II convergen Distribución t, Pareto, Cauchy, log gamma y tipo II, y a la función tipo III la uniforme, beta y tipo III (Committee on techniques for estimating probabilities of extreme floods, 1988), la convergencia de estas funciones de probabilidad puede ser muy lenta lo que limita la utilidad de la aplicación de dichas funciones. Las tres funciones de valor extremo pueden ser ligadas por medio de una única función de distribución de probabilidad llamada función generalizada de valor extremo (GEV por sus siglas en inglés).
Para la evaluación de las precipitaciones máximas en este trabajo se emplearán las siguientes funciones de distribución: Lognormal de II y III parámetros, Gamma II y III parámetros, LogGamma de III parámetros, GEV, Extremo tipo I, y Log extremo tipo I la cual es equivalente a extremo tipo II. En diversos textos y artículos de hidrología y estadística se encuentra la descripción en detalle de las anteriores funciones de distribución, véanse Stedinger, Vogel and Foufoula-Goergiou, 1993, Salas et al, 1992, Rao, 1981, Kite, 1977, Yevjevich, 1972 entre otros.
Además de las funciones de distribución de probabilidad mencionadas se exploró, aunque de manera preliminar y sin entrar en ningún detalle teórico, la clase de funciones de distribución llamadas distribuciones estables. Esta clase de funciones de distribución permite el análisis de fenómenos caracterizados por colas “pesadas” (heavy tails) con grandes asimetrías. (Nolan, 1999).
La familia de las funciones de distribuciones estables ha sido propuesta para modelar gran cantidad de sistemas físicos y económicos y fue caracterizada por Paul Lèvy en sus estudios de sumas normalizadas de términos idénticamente distribuidos, sin embargo,
74
debido a la ausencia de fórmulas o expresiones exactas que permitan estimar la función de densidad o la función de distribución acumulada, no ha sido acogidas por la mayoría profesionales y personas relacionadas con la aplicación de la estadística. En Nolan, 1999 se describe detalladamente este tipo de función de distribución, las cuales, entre otras cosas, están caracterizadas por sus propiedades de escalamiento (Véase Gupta and Waymire, 1990).
Dentro de esta familia se encuentran las funciones de distribución Normal, Cauchy y Lèvy. En general, este tipo de funciones de distribución son descritas por cuatro parámetros; un índice de estabilidad o exponente de escalamiento, α, un parámetro de asimetría (β), un parámetro de escala (γ) y un parámetro de localización (δ). En este trabajo los logaritmos de los valores máximos de las intensidades precipitación serán ajustados a una función de distribución estable, es decir, se ajustan a una función de distribución Log-estable.
5.2
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
Una vez se ha definido por algún método la distribución con la cual se desea modelar un fenómeno en particular, el siguiente paso consiste en la estimación de los parámetros de la función de probabilidad con base en la información disponible.
Ya que existen un número importante de estimadores para los parámetros de una función de distribución, deben buscarse aquellos estimadores que cumplan con las siguientes propiedades: No sesgados, regulares, eficientes, suficientes y consistentes (Yevjevich, 1972).
Entre los métodos de estimación de parámetros pueden mencionarse en orden ascendente de eficiencia, la cual considera que un estimador sea no sesgado y regular, entre otros, están: El método gráfico, el método de mínimos cuadrados, el método de los momentos, el método de momentos ponderados por la probabilidad o el método de “LMoments” y el método de máxima verosimilitud.
75
En este trabajo se utiliza para la estimación de parámetros el método de momentos, el método de L-moments con los momentos ponderados por la probabilidad y el método de máxima verosimilitud, para una descripción detallada de estos métodos véase, Hosking and Wallis (1997), Salas et al (1992) y Yevjevich, (1972)
Método de los momentos: El principio básico de este método es la relación que existe entre los parámetros de la función de distribución y los momentos muestrales, los cuales se suponen iguales a los momentos de la población.
Como fue mostrado por Fisher (Yevjevich), 1972 los estimadores calculados por el método de los momentos, son estimadores asintóticamente eficientes y su eficiencia es usualmente más pequeña que la unidad, particularmente en distribuciones asimétricas, que son las más usuales en el campo de la hidrología, su eficiencia es considerablemente menor que la unidad, lo que hace de este un método que en muchos de los casos se utiliza como una primera aproximación en la estimación de los parámetros.
Método de máxima verosimilitud: El principio básico de este método consiste en estimar los parámetros de tal forma que al utilizar el modelo, la probabilidad de obtener los resultados observados sea máxima, (Chow 1964).
Este método es más robusto, desde el punto de vista estadístico, que los demás métodos para la estimación de parámetros, sin embargo, para muestras de menor longitud puede ser menos eficiente que el método de “l-moments”, además, este método es mucho más complicado desde el punto de vista computacional.
Método de “L-moments”: Este método es similar al método de los momentos y se basa en que una función de distribución puede ser caracterizada por sus momentos ponderados por la probabilidad (PWM por sus siglas en inglés), (Greenwood et al 1979), por lo tanto basta con calcular los momentos ponderados por la probabilidad a partir de los datos muestrales. A su vez los “L-moments” son estadísticos, los cuales aparecen como una modificación de los PWM, que pueden ser expresados en términos de éstos y por lo tanto una función de distribución puede ser caracterizada por los “L-moments”. Para
76
la existencia de los r-ésimos “l-moments” sólo se requiere que exista el primer momento de la función de distribución.
Este método tiene la ventaja teórica sobre el método de los momentos convencional en que por medio de estos se caracterizan una amplia gamma de funciones de distribución y, además, que es un método más robusto ante la presencia de puntos extraordinarios en la muestra “Outliers”, cuando se calculan los parámetros a partir de los datos muestrales, (Hosking and Wallis, 1997).
Para la estimación de los cuatro parámetros de las distribuciones estables no es factible utilizar los métodos descritos anteriormente por lo tanto se utiliza el programa STABLES suministrado
por
el
señor
John
P.
Nolan
en
su
página
de
Internet,
www.cas.american.edu/∼jpnolan .
5.3
AJUSTE
DE
LOS
DATOS
OBSERVADOS
A
LAS
DIFERENTES
FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN. Inicialmente se ajustaron los datos de las Intensidades máximas para las 18 duraciones de cada una de las cinco estaciones con registros continuos a las funciones de distribución descritas en el numeral 5.1. Dicho ajuste se realizó, estimando los parámetros de acuerdo con los tres métodos mencionados en el numeral anterior, excepto en las estables.
La estimación de los parámetros se realizó de acuerdo con la metodología expuesta en Salas et al (1992), para los métodos de momentos (no-sesgados) y de máxima verosimilitud y en Hosking and Wallis, (1997) para el método de “l-moments”.
A cada una de las 90 series resultantes se les aplicó la prueba Smirnov-Kolmogorov para la bondad del ajuste. En los resultados obtenidos se observa que, exceptuando en aquellas funciones de distribución en las cuales no se pudieron estimar los parámetros por problemas de convergencia en los algoritmos para el cálculo por el método de máxima verosimilitud, en ningún caso es posible rechazar la hipótesis de que cualquiera de las
77
funciones de distribución estimadas con cualquiera de los tres métodos, es válida para modelar los datos de intensidades máximas, véase Anexo 2.
Es importante mencionar que en la columna Smirnov-Kolmogorov de las tablas del anexo 2 se muestra la diferencia entre el valor crítico, calculado con el número de datos de la serie y con un nivel de significancia del 95% , y el valor calculado, véase Benjamín y Cornell (1981), es decir, si en esta columna aparece un valor negativo significa que la prueba es rechazada.
Adicionalmente, y con el fin de comparar las diferentes funciones de distribución de probabilidad y los diferentes métodos de estimación de parámetros, se calculó el error medio cuadrático estimado como:
⎛ n 2 ⎜ ∑ (Ici − Ioi ) ECM = ⎜ i =1 ⎜ n−2 ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
0.5
Donde ECM
:Error cuadrático medio
Ici
:Intensidad calculada
Ioi
:Intensidad observada
n
:Número de datos en la series.
Y se hicieron los gráficos cuantil observado vs cuantil estimado (Gráficos Q-Q) para todas las series de máximos, la relación lineal que debe existir entre estos valores puede ser chequeada fácilmente por observación de las gráficas o por medio del coeficiente de correlación. En la Figura 5-1 se muestra un ejemplo de las gráficas Q-Q construidas y en el anexo 2 se muestra los coeficientes de correlación calculados para todas las series.
78
Gráfico Q-Q Precipitación 20 minutos de duración
Valore de la precipitación Rea
250
200
150
100
50
0 0
50
100
150
200
250
Valor de la precipitación teórica
Figura 5-1. Grafico Q-Q para la estación el Bizcocho para la intensidad máxima en 20 minutos una distribución lognormal de II parámetros.
En general, puede observarse, que de acuerdo con los tres criterios considerados aparentemente no existen diferencias significativas para una misma función de distribución en cuanto al método de estimación de parámetros se refiere. Sin embargo de los resultados obtenidos se observa que algunas funciones distribución comienzan a “alejarse” considerablemente de las demás las funciones de distribución par períodos de retorno mayores o iguales a 100 años por lo tanto se debe ser cauteloso en la elección de una
función
de
distribución,
considerando
el
comportamiento
de
las
“colas”,
especialmente si se desea simular lluvias máximas para períodos de retorno superiores al período de registros. En la Figura 5-2 se muestran, por ejemplo, los valores obtenidos al ajustar los datos
a una función de distribución log-estable para tres de las cinco
estaciones con registros continuos.
79
100000 20 minutos 60 minutos 120 minutos
Intensidad (mm/hr)
10000
480 minutos 880 minutos 1440 minutos
1000
Observados
100
10
1 1
10
100
1000
Período de retorno (años) 10000
20 minutos 60 minutos 120 minutos 480 minutos
Intensidad (mm/hr)
1000
880 minutos 1440 minutos
Observados
100
10
1 1
10
100
1000
Período de retorno (años)
(a)
(b)
Intensidad (mm/hr)
1000
100
20 minutos 60 minutos
10
120 minutos 480 minutos 880 minutos 1440 minutos
Observados
1 1
10
100
1000
Período de retorno (años)
(c) Figura 5-2 Comparación de las intensidades máximas observadas con los valores ajustados a una función de distribución estable para diferentes períodos de retorno y diferentes duraciones en las estaciones de; a) El Bizcocho, b) Mandé y c) El Sireno.
80
No obstante lo anterior, con el fin de definir una metodología específica para la estimación de los valores extremos en las demás estaciones y con base en los tres criterios mencionados anteriormente, se compararon cada una de las 9 funciones de distribución utilizadas, de acuerdo con el método utilizado en la estimación de parámetros, en esta comparación no se incluyen las funciones de distribución estables.
En la Tabla 5-1 se muestra la comparación para la función de distribución lognormal de II parámetros, en esta tabla las áreas sombreadas corresponden al “mejor” valor de cada uno de los tres criterios así: el mayor valor de la prueba Smirnov-Kolmogorov, el menor valor del error medio cuadrático y el mayor valor del coeficiente de correlación. Y las letras en negrilla corresponden al segundo valor.
Con el fin de cuantificar los resultados obtenidos para cada una las funciones de distribución se ponderó la información siguiendo la metodología que se describe a continuación:
A cada uno de los tres criterios se les dio el mismo peso. Al mejor valor se le dio un peso del 70% y al segundo valor se le dio un peso del 30% restante. Es decir, para cada criterio el mejor valor tiene una calificación de 0,23 y el segundo valor de 0,1 •
Se supuso que en cada estación se tiene, para todas las series, una única función de distribución en la cual los parámetros son estimados por el mismo método.
•
Al mejor valor se le dio un peso del 70% y al segundo valor se le dio un peso del 30% restante. Es decir, para cada criterio y para cada serie el mejor valor tiene una calificación de 0,01296, (0,7/(18*3)) y el segundo valor 0,00556 (0.3/(18*3))
•
Para cada estación se sumaron los valores de las calificaciones y de esta forma se observaron los “mejores” métodos de estimación de parámetros.
En la Tabla 5-3se muestran los resultados de las calificaciones, se observa que el método de “L-moments” es el que mejor puntaje tiene en la mayoría de las estaciones para las
81
diferentes funciones de distribución. Por lo anterior se adopta este método para la estimación de los parámetros de las series de cada una de las duraciones de las 61 estaciones consideradas en este estudio.
82
Tabla 5-1 Prueba Smirnov-Kolmogorov de bondad del ajuste, error medio cuadrático y coeficiente de correlación del gráfico q-q para las cinco estaciones con registros continuos, distribución LognormalII (duraciones entre 20 y 1440 minutos). Tabla5_1.xls
83
Una vez decidido el método para la estimación de parámetros se compararon las diferentes distribuciones de probabilidad, además de las nueve funciones mencionadas anteriormente se incluyó la función de distribución logística.
En esta comparación no se incluye las funciones de distribución estables ya que se considera que en la mayoría de los casos se tienen muy pocos datos para estimar de forma confiable los cuatro parámetros, esta situación es corroborada al observar el comportamiento de los valores las intensidades máximas para períodos retornos superiores al período de registros, 100 o 500 años por ejemplo. En los cuales para una misma estación se tiene, en algunas duraciones, que los valores de las intensidades máximas se “disparan” rápidamente hacia “infinito” mientras que para otras duraciones vecinas crecimiento no es tan dramático, véase Figura 5-2. No obstante lo anterior, dadas las propiedades de este tipo de funciones de distribución, éstas podrían ser consideradas en estudios posteriores
relacionados con las propiedades de escalamiento de las
intensidades máximas.
En la Figura 5-3 a la Figura 5-7 se muestran las intensidades máximas de las cinco estaciones con registros continuos para diferentes duraciones y para diferentes períodos de retorno. En estas figuras se observa que exceptuando la función de distribución LogGumbel, los valores de las funciones de distribución son del mismo orden de magnitud, con diferencias máximas del orden del 20% para un período de retorno de 500 años. Diferencia que desde el punto de vista estadístico no parece muy significativa, pues seguramente, el intervalo de confianza para cualquiera de estas funciones de distribución sería más amplio que este valor, además, debe tenerse en cuenta que el ajuste a las diferentes funciones se realiza con muy pocos datos, alrededor de 50 para el mejor de los casos, y esto lleva errores muy significativos, véase Tabla 5-2, pues como los expresa Bell, 1969 “Debería apreciarse que el valor promedio de una población en particular no puede ser determinado de uno o dos datos muestrales y por razones similares el evento promedio en 50 años no podría ser determinado con precisión de tan sólo 50 años de registros”.
84
Tabla 5-2. Intervalo de confianza para los períodos de retorno estimados de las precipitaciones máximas (Tomado de Bell, 1969) Período de retorno estimado para las precipitaciones máximas 50 años
100 años
500 años
Confiabilidad del 68% con Límite superior 220 años
Límite superior 400 años
Límite superior 2200 años
25 años de registros
Límite inferior 15 años
Límite inferior 16 años
Confiabilidad del 68% con Límite superior 100 años
Límite superior 220 años
Límite superior 1500 años
25 años de registros
Límite inferior 23 años
Límite inferior 60 años
Límite inferior 12 años
Límite inferior 25 años
Se observa pues que desde el punto de vista estadístico no puede ser rechazada ninguna función de distribución y que al aplicar cualquiera de las funciones de distribución se obtienen valores estadísticamente similares.
No obstante lo anterior y a manera de ejercicio se seleccionó la “mejor” función de distribución en cada estación siguiendo la metodología explicada en párrafos anteriores para la selección del “mejor” método para la estimación de parámetros. Se obtiene entonces que de las 61 estaciones, 25 se ajustan “mejor” a una función de distribución Logística, 17 a una función de valor extremo generalizada, 11 a una función LogGamma de tres parámetros y 8 a una función Gamma de tres parámetros.
Como es lógico los mejores resultados se obtuvieron para funciones de distribución de tres parámetros, pues se tiene un parámetro adicional para el ajuste. De los resultados se observa también que estas funciones de distribución tienen un límite inferior o superior dependiendo de los parámetros de forma, condición que para el caso específico de la precipitación no se cumple necesariamente. Se obtienen resultados por ejemplo en los cuales la función de distribución se encuentra entre -∞ y un limite superior, es decir, gran parte del dominio se encuentra en la parte negativa lo cual no tiene ningún sentido en cuanto a la precipitación se refiere. Incluso dentro de la misma estación se encuentra el caso de que para algunas duraciones se tiene un dominio entre -∞ y un limite superior y para otras se tiene un dominio entre un limite inferior, el cual puede ser negativo y ∞ lo cual no parece tener ninguna explicación desde el punto de vista físico.
85
Tabla 5-3 Calificación de los métodos de estimación de parámetros Función de
Método de
distribución
estimación de
ESTACIÓN
MANDÉ
EL SIRENO
parámetros
Lognormal II
Lognormal iII
GammaIII
Gamma III
LogGamma III
GEV
Gumbel
LogGumbel
SANTA
INMARCO
EL BIZCOCHO
BÁRBARA
Mom
0,41
0,39
0,44
0,42
0,39
Mver
0,14
0,05
0,20
0,19
0,12
Lmom
0,45
0,56
0,37
0,39
0,48
Mom
0,370
0,319
0,363
0,376
0,263
Mver
0,089
0,039
0,044
0,050
0,109
Lmom
0,557
0,643
0,570
0,574
0,628
Mom
0,406
0,289
0,315
0,359
0,406
Mver
0,143
0,148
0,246
0,217
0,115
Lmom
0,452
0,563
0,439
0,424
0,480
Mom
0,250
0,272
0,381
0,374
0,356
Mver
0,109
0,107
0,078
0,102
0,026
Lmom
0,641
0,620
0,541
0,524
0,619
Mom
0,394
0,361
0,287
0,313
0,311
Mver
0,144
0,019
0,000
0,017
0,124
Lmom
0,461
0,620
0,663
0,670
0,565
Mom
0,437
0,261
0,393
0,419
0,270
Mver
0,069
0,157
0,152
0,213
0,178
Lmom
0,494
0,581
0,456
0,369
0,552
Mom
0,193
0,111
0,183
0,181
0,296
Mver
0,376
0,393
0,357
0,307
0,226
Lmom
0,431
0,496
0,454
0,511
0,478
Mom
0,211
0,376
0,376
0,493
0,322
Mver
0,283
0,300
0,300
0,300
0,259
Lmom
0,506
0,324
0,324
0,207
0,419
Por todo lo anterior no parece recomendable utilizar las funciones de distribución de tres parámetros.
Al aplicar la “calificación “ de las funciones de distribución de dos parámetros se obtiene que un poco más del 50% de las estaciones se ajustan “mejor” a una función de distribución Gamma II de dos parámetros, el 26% a una función de distribución lognormal, el 20% a una función Gumbel y el 2% a una función de distribución LogGumbel.
86
De acuerdo con todo lo mostrado a lo largo de este capítulo y teniendo en cuenta que no existen diferencia prácticas entre una función de distribución GammaII y lognormal de II parámetros, véanse Figura 5-3 a Figura 5-7, se usará la función de distribución Lognormal de II parámetros para la estimación de las intensidades máximas asociadas a diferentes períodos de retorno, cuyos parámetros serán estimados con el método de “L-moments”, los valores de precipitaciones máximas se estimarán para períodos de retorno máximo de 50 años con el fin de evitar extrapolaciones muy alejadas de los valores observados.
87
Figura 5-3 Intensidades máximas para diferentes duraciones y diferentes períodos de retorno en la estación Mandé Fi5_3aFig5_7.xls
88
Figura 5-4 Intensidades máximas para diferentes duraciones y diferentes períodos de retorno en la estación El Sireno Fi5_3aFig5_7.xls
89
Figura 5-5 Intensidades máximas para diferentes duraciones y diferentes períodos de retorno en la estación Santa Bárbara Fi5_3aFig5_7.xls
90
Figura 5-6 Intensidades máximas para diferentes duraciones y diferentes períodos de retorno en la estación Inmarco Fi5_3aFig5_7.xls
91
Figura 5-7 Intensidades máximas para diferentes duraciones y diferentes períodos de retorno en la estación El Bizcocho Fi5_3aFig5_7.xls
92
6
CURVAS INTENSIDAD DURACIÓN FRECUENCIA A PARTIR DE LA TEORÍA DE ESCALAMIENTO SIMPLE Y MULTIESCALAMIENTO.
En este capítulo se presenta la aplicación de las teorías de escalamiento simple y escalamiento múltiple mostradas en el numeral 3.4, para la obtención de las curvas intensidad duración frecuencia.
Inicialmente se estudia la obtención puntual de las curvas lDF, es decir, en cada una de las estaciones, a partir del escalamiento temporal (simple y multiescalamiento) de las precipitaciones, tomando la duración como parámetro de escala y se comparan los resultados con las técnicas convencionales de la estimación de curvas IDF.
Posteriormente se analizan el comportamiento regional de las curvas IDF. Este análisis se realiza
a partir del escalamiento espacial, utilizando diferentes parámetros de escala
como la precipitación promedio anual y la elevación sobre el nivel del mar en las diferentes estaciones y también a partir de los resultados obtenidos en el escalamiento temporal.
En ambos casos, escalamiento simple y múltiple, se empleará un modelo de escalamiento lognormal, obtenido a partir de una función de distribución lognormal de dos parámetros, que es una función de distribución adecuada para la modelación de los eventos máximos de precipitación, tal como se mostró en el capítulo anterior.
Con el fin de comparar los resultados obtenidos, se calcularon las curvas IDF siguiendo la metodología convencional, tanto para las 5 estaciones con registros continuos como para las 61 estaciones con registros parciales. Antes de mostrar la aplicación de los conceptos de escalamiento simple y multiescalamiento se presentan los resultados obtenidos por medio de la metodología convencional
93
6.1
ANÁLISIS PUNTUAL
6.1.1 ESTIMACIÓN DE CURVAS IDF (METODOLOGÍA CONVENCIONAL) Como se mencionó en el capítulo 2 la metodología convencional consiste en el ajuste de los valores de las intensidades máximas asociadas a diferentes períodos de retorno, estimados a partir de una función de distribución de probabilidad, a una expresión matemática que normalmente tiene cualquiera de las formas de las ecuaciones 2-1 a 2-3.
En este estudio los valores de las intensidades máximas fueron calculados a partir de una distribución LogNormal de II parámetros, estimados por el método de “l-Moments”, con períodos de retorno entre 2 y 50 años, las cuales para este trabajo se consideran como observados, dichos valores se ajustaron a una función con la forma de la ecuación (2-1), la cual tiene la siguiente expresión: .
I=
a ( d + b) n
(2-1)
Se ha observado que en la ecuación (2-1) el parámetro a es función del período de retorno y se relacionan por medio de la siguiente expresión:
a = KTr
m
(6-1)
Donde: k y m son constantes para cada estación y Tr período de retorno. Reemplazando esta expresión en la ecuación (2-1) queda de la siguiente manera:
I=
KTrm ( d + b) n
(6-2)
Tal como se ha mencionado en repetidas ocasiones, el cálculo se realiza inicialmente para las cinco estaciones con registros continuos y posteriormente, con base en los resultados obtenidos se calculan las 61 estaciones con registros parciales.
El cálculo de los parámetros se realiza de tres formas diferentes usadas normalmente en la práctica de ingeniería. Las cuales se describen a continuación.
94
Metodología I (Estimación de parámetros por regresión lineal). Este método consiste en la estimación de cada uno de los parámetros de la ecuación (6-2) por medio de regresiones lineales, en el espacio logarítmico, entre las intensidades máximas y las duraciones, para cada uno de los períodos de retorno. La metodología se muestra detalladamente en Monsalve, (1995).
Metodología II (Estimación de parámetros minimizando el error relativo promedio, 1 ecuación por estación). Este método consiste en la estimación de cada uno de los parámetros de la ecuación (6-2) minimizando el error relativo promedio entre las intensidades máximas observadas y las calculadas, el error relativo promedio calculado como:
E = 100 *
∑
abs ( I o − I c ) Io n
(6-3)
Metodología III (Estimación de parámetros minimizando el error relativo promedio,1 ecuación por período de retorno). Este método consiste en la estimación de cada uno de los parámetros de la ecuación (6-2) minimizando el error relativo promedio entre las intensidades máximas observadas y las calculadas, ecuación 2-1, pero en este caso se aplica la ecuación a cada período de retorno.
En la Tabla 6-1 se muestran los errores relativos, promedios y máximos, de las diferentes metodologías, en esta tabla se observa, que en general, se tienen errores mayores en la metodología I y que los errores menores obviamente son para la metodología II, pues un modelo con más parámetros que los otros dos.
No obstante lo anterior, se observa que las diferencias entre los errores obtenidos por la metodología II y por la metodología III son del mismo orden de magnitud, por lo tanto para el cálculo de las curvas IDF se estimaran por la metodología II.
Tabla 6-1 Errores relativos promedios y máximos para las tres metodologías de cálculo de parámetros.
95
Metodología 1
Metodología II
Error
Metodología III
Error
Error
Estación
promedio
Error máximo
promedio
Error máximo
promedio
Error máximo
Mande
9
27
3
16
2
12
Bárbara
9
29
4
13
2
7
El Sireno
6
17
6
13
5
13
Inmarco
4
13
3
9
3
9
El Bizcocho
2
9
2
11
1
7
Santa
En la Figura 6-1 a la Figura 6-4 se muestran cada uno de los cuatro parámetros que componen las curvas IDF, calculados con la información disponible para las duraciones entre 45 y 120 minutos y con las precipitaciones máximas diarias, duración de 1440 minutos, para períodos de retorno entre 2 y 50 años. En estas figuras se observa que existe una gran variación espacial para los coeficientes k y m, se observa que los exponentes m y n varían entre un rango más estrecho, 0,09 y 0,23 y entre 0,83 y 1,16 respectivamente. En la Tabla 6-2 se muestran los errores relativos promedios y los errores relativos máximos en cada una de las estaciones.
En estas tablas puede observarse que, en general, aplicando esta metodología se obtienen errores máximos inferiores al 30%, exceptuando la estación Mandé en la cual se obtuvo un error máximo del 41%. Se observa pues que al aplicar la metodología convencional se tienen errores significativos en la estimación de las intensidades máximas.
96
SANTANDER CHOCÓ CONVENCIONES Coef_k=1000 Valor de Coef_k
Figura 6-1. Valores del coeficiente k de la ecuación 6-1 para todas las estaciones estudiadas. El tamaño del círculo es proporcional al valor del coeficiente k
97
SANTANDER CHOCÓ CONVENCIONES Exp_m=0,1 Valor de Expf_m
Figura 6-2. Valores del exponente m de la ecuación 6-1 para todas las estaciones estudiadas. El tamaño del círculo es proporcional al valor del exponente m
98
SANTANDER CHOCÓ CONVENCIONES Coef_b=10 Coef_b=-10 Valor de Coef_b
Figura 6-3. Valores del coeficiente b de la ecuación 6-1 para todas las estaciones estudiadas. El tamaño del círculo es proporcional al valor del coeficiente b
99
SANTANDER CHOCÓ CONVENCIONES Exp_n=1 Valor de Exp_n
Figura 6-4. Valores del exponente n de la ecuación 6-1 para todas las estaciones estudiadas. El tamaño del círculo es proporcional al valor del exponente n
100
Tabla 6-2 Parámetros de las curvas IDF estimados por la metodología III, errores relativos promedio y errores máximos obtenidos. N°
Estación
Coeficiente
exponente
Coeficiente
Exponente
K
m
b
n
Error
Error
relativo
máximo
promedio 1
Cruces
3131
0.13
46
-0.89
2
8
2
Mandé
3485
0.19
19
-0.96
5
-41
3
Santa Bárbara
1161
0.16
6
-0.89
4
20
4
El Sireno
2306
0.13
32
-0.92
3
-10
5
Nendo
5685
0.17
92
-0.99
2
12
6
Pabón
839
0.18
3
-0.83
3
-23
7
Chaquenodá
2163
0.11
9
-0.84
3
-16
8
La Palmera
1971
0.14
34
-0.93
4
17
9
Pantano 3269
0.12
24
-0.91
2
10
Grande 10
La Blanquita 18932
0.14
97
-1.16
3
-15
11
Murrí Musinga
2372
0.13
26
-0.93
2
-18
12
Inmarco
2743
0.13
15
-0.90
2
-25
13
La Fe
1482
0.15
4
-0.90
3
23
14
La Severa
1135
0.15
-3
-0.87
2
-18
15
Las Palmas
1447
0.12
7
-0.88
3
14
16
Vasconia
1722
0.13
0
-0.90
2
-18
17
El Retiro
1738
0.13
9
-0.93
2
17
18
La Mosca
1309
0.19
11
-0.87
3
15
19
Rionegro La Macarena
817
0.16
-6
-0.83
3
-23
20
El Chuscal
1270
0.17
2
-0.89
3
13
21
Corrientes
2264
0.18
32
-0.94
3
14
22
Remango
2485
0.18
23
-0.90
3
14
23
La Pradera
3678
0.14
22
-0.96
2
13
24
El Combo
1642
0.09
0
-0.82
2
-14
25
San Carlos
14693
0.14
92
-1.11
3
8
26
El Pital
10150
0.12
83
-1.07
2
10
27
El Bizcocho
6547
0.12
45
-1.01
3
9
28
Calderas
2860
0.09
27
-0.89
2
-11
29
Mesopotamia
2099
0.21
26
-0.93
3
23
30
El Buey
776
0.16
1
-0.81
2
-18
31
Farallones
7795
0.14
50
-1.08
4
-26
32
Cachipay
3398
0.18
24
-1.00
4
-19
33
Aurrá
902
0.19
-5
-0.88
3
-30
101
Tabla 6-2 Parámetros de las curvas IDF estimados por la metodología III, errores relativos promedio y errores máximos obtenidos. N°
Estación
Coeficiente
exponente
Coeficiente
Exponente
K
m
b
n
Error
Error
relativo
máximo
promedio 34
Mazo
1132
0.16
-4
-0.87
3
-20
35
Chorrillos
1597
0.16
8
-0.92
2
12
36
Caldas
2326
0.17
13
-0.96
3
9
37
Fabricato
2220
0.18
32
-0.94
3
-19
38
San Antonio de 1942
0.13
2
-0.92
2
11
39
Río Grande
Prado
Bocacero
3409
0.16
52
-0.99
2
-13
40
Villa Hermosa
1948
0.17
6
-0.96
3
-31
41
San Cristóbal
2420
0.23
14
-1.00
4
-23
Aguinaga
1406
0.15
6
-0.92
3
11
43
El Botón
2490
0.19
22
-1.01
3
-18
44
Río Chico
916
0.19
5
-0.88
3
-31
1480
0.15
14
-0.90
2
17
42
45
Miguel de
Alto de San Andrés
46
Aragón
1222
0.18
12
-0.91
3
-19
47
Rionegrito
3158
0.15
67
-0.98
2
-9
48
El Chaquiro
715
0.20
-1
-0.84
3
22
49
Haitón
3558
0.15
42
-0.97
3
-31
50
Trinidad
1498
0.20
18
-0.95
4
-34
51
El Gómez
1643
0.21
13
-0.96
4
-29
52
Medina
932
0.13
7
-0.84
2
11
53
La Ayurá
1550
0.21
7
-0.93
5
-30
54
San Bernardo
1266
0.23
17
-0.91
4
-32
55
El Mango
2375
0.13
17
-0.95
2
-18
56
San Pedro
2350
0.18
19
-0.99
3
-15
57
El Tabor
1323
0.18
17
-0.85
3
-13
58
La Teresita
7735
0.20
65
-1.13
3
-21
59
Miraflores
3067
0.15
28
-0.94
2
15
60
Madreseca
5236
0.13
28
-0.97
2
13
61
Montañitas
1322
0.15
31
-0.88
3
-14
102
6.1.2 ESCALAMIENTO TEMPORAL
Dadas las limitaciones de disponibilidad de información descritas en el capítulo 4, Inicialmente se realiza el análisis de escalamiento temporal en aquellas estaciones en las cuales se tienen registros continuos, en las cuales se investigará el comportamiento para duraciones entre 20 minutos y 1440 minutos (24 horas) y luego con base en los resultados obtenidos se analizan el resto de las estaciones.
En el escalamiento temporal se considera la duración de la precipitación como el parámetro con el cual se escala la intensidad y se investiga el comportamiento para duraciones entre 20 minutos y 1440 minutos (24 horas).
6.1.2.1 ESCALAMIENTO SIMPLE Siguiendo el modelo lognormal de escalamiento simple, las Intensidades máximas pueden ser expresadas por la ecuación 3-14 y 3-15 definidas en el numeral 3.4.1.1.1 . Si se supone que la duración de referencia para escalar las intensidades máximas es 1440 minutos (24 horas) se tienen las siguientes expresiones.
I d ,q = E [I 24 ]
[
E [I 24 ]
2
I d ,q =
(
)]
exp Φ q ln 1 + CV 2 ⎛ d ⎞θ ⎜ ⎟ ⎝ 1440 ⎠ 1 + CV 2
[ ]
E I r 24
2
( ) ⎞⎟ ⎤⎥⎛⎜
⎡ ⎛ E I 24 2 exp ⎢Φ q ln⎜⎜ 2 ⎢⎣ ⎝ E [I 24 ]
d ⎞ ⎟ ⎥⎝ 1440 ⎟⎠ ⎠⎦
(6-4)
θ
(6-5)
Es importante observar que estas ecuaciones tienen la forma de la ecuación propuesta por Morgan para el análisis de precipitaciones máximas para tormentas de larga duración,
103
y son similares a la expresión propuesta por Vargas para la estimación de las precipitaciones en Colombia, véase capítulo 2, la cual se fundamenta en los estudios realizados en la India por Kothyari y Garde (1992), todas obtenidas empíricamente.
De acuerdo con las ecuaciones anteriores, si la hipótesis de escalamiento simple se cumple, para estimar las intensidades máximas para cualquier duración y para cualquier período retorno se necesitaría el valor esperado de las intensidades máximas en 24 horas, el segundo momento de las precipitaciones máximas en 24 horas y el exponente θ.
Tal como se mencionó anteriormente, el escalamiento simple implica una relación lineal, en el espacio logarítmico, entre el parámetro con el cual se escala, en este caso la duración, y las intensidades máximas asociadas a diferentes períodos de retorno o los cuantiles. En la gráfica de esta ecuación para diferentes cuantiles, se obtiene una familia de líneas rectas, en el espacio logarítmico, para cada uno de los cuantiles, y la pendiente de esta familia de líneas es constante y es igual a θ. El escalamiento simple implica también, que siempre y cuando los momentos de la variable I existan, éstos también son invariantes con la escala y existe también una relación lineal, en el espacio logarítmico, en los momentos y las diferentes escalas, véase numeral 3.2, esta última condición es utilizada por algunos autores para investigar la existencia de escalamiento simple, ya que según ellos, (Burlando and Rosso, 1996) es fácil de aplicar y, además, normalmente se tienen muy pocos registros disponibles para estimar, de forma confiable, los cuantiles.
En la Figura 6-5 se muestran el escalamiento de los momentos con la duración, en éstas puede observarse que, a pesar de que en las diferentes estaciones se tienen regresiones muy altas, con coeficientes de determinación superiores a 0,99 se tiene que en todas las estaciones, para las duraciones pequeñas entre 20 y 60 minutos aproximadamente, los valores observados se encuentran por debajo de la línea ajustada, para las duraciones intermedias, entre 60 y 640 minutos se encuentran por encima de la línea de regresión y para
las
duraciones
restantes
se
encuentran
nuevamente
por
debajo,
este
comportamiento sistemático, indica, que las relaciones de escala no son válidas en todo el rango de duraciones, es decir, aparentemente, las propiedades de invarianza de escala no son válidas en el rango de duraciones consideradas y por lo tanto es necesario subdividir el rango en varios grupos, en cada uno de los cuales sean válidas las
104
propiedades de invarianza. De forma visual puede decirse que para las cinco estaciones existe un punto de “cambio” que se encuentra alrededor de los 120 minutos.
Para detectar el punto de cambio de comportamiento, se dividió el rango de duraciones en dos grupos; 1 grupo conformado por las duraciones pequeñas entre 20 minutos y el punto de cambio y el segundo grupo, grandes duraciones, entre el punto de cambio y 1440 minutos. Este punto de cambio se varió entre 60 y 360 minutos y para cada uno de los escenarios, se calculó el coeficiente de determinación de la regresión lineal entre los momentos de orden 1 y las diferentes duraciones tanto para las duraciones pequeñas como para las grandes duraciones. El punto de cambio se definió como el punto en el cual se presenta la mayor suma entre los dos coeficientes de determinación (duraciones pequeñas y grandes duraciones). En la Tabla 6-3 se muestran los diferentes puntos de cambio estimados.
Tabla 6-3 PUNTO DE CAMBIO DETECTADO EN LAS DIFERENTES ESTACIONES Estación
Punto de cambio
Mandé
120 minutos
Santa Bárbara
60 minutos
El Sireno
120 minutos
Inmarco
120 minutos
El Bizcocho
90 minutos
De esta tabla se observa que el punto de cambio puede variar dependiendo del sitio, en un rango relativamente pequeño de duraciones. Sin embargo, no se cuenta con la información suficiente para estudiar más a fondo este punto de cambio.
105
VALOR DE LOS MOMENTOS INDICADOS DE LA INTENSIDAD
VALORES DE LOS MOMENTOS INDICADOS DE LA INTENSIDAD
1.E+10 1.E+12 1.E+11 1.E+10 Momento de orden 1 Momento de orden 2 Momento de orden 3 Momento de orden 4 Momento de orden 5
1.E+09 1.E+08 1.E+07
-3.9349
y = 1E+16x R2 = 0.9942
1.E+06
y = 7E+12x-3.1317 R2 = 0.9937
1.E+05 1.E+04
y = 4E+09x-2.3352 R2 = 0.9933
1.E+03
-1.5473
1.E+02
y = 2E+06x R2 = 0.993
1.E+01
y = 1394.7x-0.7688 R2 = 0.9929
1.E+00
1.E+09 1.E+08 Momento de orden 1 Momento de orden 2 Momento de orden 3 Momento de orden 4 Momento de orden 5
1.E+07 1.E+06 1.E+05
y = 6E+14x-4.0936 R2 = 0.9983
1.E+04
y = 6E+11x-3.2583 R2 = 0.9984
1.E+03
y = 6E+08x-2.4308 R2 = 0.9984
1.E+02
y = 656113x-1.6115 R2 = 0.9985
1.E+01
y = 777.52x-0.8011 R2 = 0.9987
1.E+00
10
100
1000
10000
10
100
Duración (min)
(a)
10000
(b) 1.E+12
1.E+09 1.E+08 Momento de orden 1 Momento de orden 2 Momento de orden 3 Momento de orden 4 Momento de orden 5
1.E+07 1.E+06 1.E+05
-3.6748
y = 3E+14x R2 = 0.9953
1.E+04
-2.9461
y = 4E+11x R2 = 0.9955
1.E+03
y = 5E+08x-2.213 R2 = 0.9956
1.E+02
y = 595773x-1.4766 R2 = 0.9956
1.E+01
y = 758.2x-0.7383 R2 = 0.9956
VALORES DE LOS MOMENTOS INDICADOS DE LA INTENSIDAD
1.E+10
1.E+11
Momento de orden 1 Momento de orden 2 Momento de orden 3 Momento de orden 4 Momento de orden 5
1.E+10
1.E+09
1.E+08
y = 1E+17x-4.3821 R2 = 0.9951
1.E+07
1.E+06
y = 4E+13x-3.5111 R2 = 0.9954
1.E+05
y = 1E+10x-2.6372 R2 = 0.9957
1.E+04
1.E+03
y = 6E+06x-1.7606 2 R = 0.996
1.E+02
y = 2391.9x-0.8814 R2 = 0.9963
1.E+01
1.E+00 10
100
1000
10000
1.E+00 10
100
Duración (min)
1000
10000
Duración (min)
(c)
(d) 1.E+12
Valores de los momentos indicados de la Intensidad
VALOR DE LOS MOMENTOS INDICADOS DE LA INTENSIDAD
1000
Duración (min)
Momento de orden 1 Momento de orden 2 Momento de orden 3 Momento de orden 4 Momento de orden 5
1.E+11 1.E+10 1.E+09 1.E+08
y = 3E+16x-4.0331 R2 = 0.997
1.E+07 1.E+06
y = 1E+13x-3.2279 R2 = 0.997
1.E+05
y = 7E+09x-2.4222 2 R = 0.997
1.E+04 1.E+03
y = 3E+06x-1.6155 R2 = 0.9968
1.E+02
y = 1828.6x-0.808 R2 = 0.9966
1.E+01 1.E+00 10
100
1000
10000
Duración (min)
Figura 6-5 Escalamiento de los momentos de las intensidades máximas con la duración para diferentes estaciones. a) Mandé b)Santa Bárbara c) El Sireno d) Inmarco y e)El Bizcocho.
106
Con el fin de observar la variación de este exponente a lo largo de la duración se realizó la Figura 6-6, en esta figura se graficó el exponente θ calculado localmente, es decir, se calculó la pendiente local, en el espacio logarítmico, entre cada par de duraciones adyacentes. En esta figura puede observarse que para las duraciones pequeñas, del orden de los 120 minutos, se tiene un comportamiento ascendente del valor de θ, y muy variable, y no un valor fluctuante alrededor de un valor constante, como se esperaría si el valor de θ fuera constante, tal como suponen las hipótesis de escalamiento simple o multiescalamiento, lo anterior puede ser la consecuencia de la existencia de rangos menores para la validez de las propiedades de escala dentro del rango entre 20 y 120 minutos adicionado al gran “ruido” que se tiene en los datos para las duraciones pequeñas.
Para las duraciones grandes, pero inferiores a 1220 minutos, se observa un comportamiento estable del exponente θ fluctuando alrededor de un valor medio que varía de estación en estación y para el último rango de duraciones, se observa una disminución del exponente θ para todas las estaciones. 1
Exponente del momento de orden 1
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 El Sireno El Bizcocho Inmarco Mande Santa Barbara
0.3 0.2 0.1 0 0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Duración (minutos)
Figura 6-6 Variación del exponente de escalamiento del momento de orden 1 con la duración Por lo anterior y teniendo en cuenta que uno de los principales objetivos del trabajo es netamente práctico se adopta como punto de cambio una duración igual a 105 minutos.
107
Al realizar la separación del intervalo en dos rangos se observa que efectivamente los exponentes son muy diferentes para los dos rangos de duraciones considerados, con diferencias, en algunos casos, superiores al 40% entre el exponente para las duraciones mayores y las duraciones menores En la Figura 6-7 se muestra el escalamiento del momento con la duración para los dos rangos de duraciones mencionados, para la estación El Sireno.
1.E+11
Valores de los momentos indicados de la intensidad
1.E+10
y = 2E+15x-3.402 R2 = 0.9959 1.E+09
Momento de orden 1 Momento de orden 2 Momento de orden 3
1.E+08 1.E+07
Momento de orden 4
y = 2E+12x-2.7509 R2 = 0.9962
Momento de orden 5 y = 7E+17x-4.6967 R2 = 0.9999
1.E+06 1.E+05
y = 2E+09x-2.0876 R2 = 0.9964
y = 2E+14x-3.7576 R2 = 0.9999
1.E+04
y = 5E+10x-2.8179 R2 = 0.9999
-1.4103
y = 1E+06x R2 = 0.9965
1.E+03
y = 1E+07x-1.8778 R2 = 0.9999
1.E+02 1.E+01
y = 1237.64958x-0.71589 R2 = 0.99654
y = 3409.96363x-0.93815 R2 = 0.99987
1.E+00 10
100
1000
10000
Duración (min) Figura 6-7. Escalamiento de los momentos de las intensidades máximas con la duración en la estación El Sireno tomando dos rangos de duraciones. En la Figura 6-8 se muestran graficados, en escala logarítmica, la variación de las intensidades con la duración para diferentes períodos de retorno en la estación Mandé, otra forma de identificar cualitativamente la existencia o no del escalamiento simple. En la Tabla 6-4 se muestran, los exponentes de escalamiento para diferentes períodos de retorno para las cinco estaciones con registros continuos.
108
1000 y = 963.13x-0.5594 R2 = 0.9796 y = 4602.4x-0.904 R2 = 0.999
Intensidad (mm/hr)
y = 926.97x-0.5633 R2 = 0.9837 y = 841.97x-0.5732 R2 = 0.9919
100
y = 4264.9x-0.898 R2 = 0.999 y = 3522.1x-0.8829 R2 = 0.9989
Tr=10 años Tr=25 años Tr=50 años 10
1 1
10
100
1000
10000
Duración (minutos)
Figura 6-8 Intensidades máximas vs duración para la Estación Mandé. En esta figura puede observarse claramente el cambio de comportamiento alrededor de los 105 minutos de duración, se observa también que existe una variación para un mismo período de retorno del exponente del orden del
35%. Para el rango de duraciones
pequeñas se tiene que el exponente de escalamiento aumenta, aunque levemente con el período de retorno, mientras que para el rango de duraciones largas este exponente disminuye con el período de retorno.
En la Tabla 6-4 puede notarse que el exponente de escalamiento no presenta siempre el mismo comportamiento para todos las estaciones en el mismo rango de duraciones, es decir, mientras que para las estaciones Mandé, Santa Bárbara e Inmarco el exponente de escalamiento aumenta con el período de retorno, para el rango de duraciones entre 45 y 105 minutos, en las estaciones El Sireno y El Bizcocho este disminuye Una situación
109
similar se observa para el rango de duraciones mayores, en la cual no se tiene tampoco un comportamiento sistemático.
Tabla 6-4 Exponentes de escalamiento θ para diferentes cuantiles para las estaciones con registros continuos ( Exponentes de escalamiento θ Estación
Período de retorno (años)
Período de retorno (años)
Duraciones entre 20 y 105 minutos
Duraciones entre105 y 1440 minutos
5
10
20
25
40
50
5
10
20
25
40
50
Mandé
-0,58
-0,57
-0,57
-0,56
-0,56
-0,56
-0,87
-0,88
-0,89
-0,90
-0,90
-0,90
Santa
-0,70
-0,70
-0,69
-0,69
-0,69
-0,69
-0,86
-0,88
-0,89
-0,90
-0,91
-0,91
El Sireno
-0,66
-0,68
-0,70
-0,70
-0,71
-0,71
-0,81
-0,81
-0,82
-0,82
-0,82
-0,82
Inmarco
-0,67
-0,64
-0,61
-0,61
-0,59
-0,59
-0,94
-0,95
-0,95
-0,95
-0,95
-0,95
El Bizcocho
-0,70
-0,71
-0,72
-0,73
-0,73
0,74
-0,85
-0,84
-0,83
0,83
-0,83
-0,82
Bárbara
Lo anterior puede indicar problemas muestrales ya que es muy probable, que en estaciones de la misma región como por ejemplo Mandé , El Sireno y Santa Bárbara tengan un comportamiento, por lo menos similar en cuanto a las propiedades de invarianza de escala, pues es de esperarse, a pesar de los efectos locales, que el fenómeno que gobierna el origen de las tormentas sea muy similar.
En esta tabla se observa también que, en general, la variación del exponente de escalamiento con los cuantiles a pesar de no mostrar un valor constante en cada una de las estaciones, no es muy significativa por lo tanto no es evidente la existencia o no de escalamiento simple o de multiescalamiento.
6.1.2.2 ALGUNAS PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA LA HIPÓTESIS DE INVARIANZA DE ESCALA (ESCALAMIENTO SIMPLE) CV=Constante: En el capítulo 3 se mostró que una de las implicaciones del escalamiento simple es que el coeficiente de variación es un valor constante independiente de la duración, por lo tanto se plantea la hipótesis de que el CV=Constante.
110
Se calcula entonces el intervalo de confianza para el CV de cada rango de duraciones, el valor de CV para cada estación y para cada rango de duraciones se estima como el valor promedio de todos los valores de CV observados y el intervalo de confianza se estima de acuerdo con la siguiente expresión:
CV
0 , 95
s s ⎞ ⎛ = ⎜ CV − tα / 2,n −1 ; CV + tα / 2,n −1 ⎟ n n⎠ ⎝
(6-6)
Donde
CV
0 , 95
Intervalo del 95% de confianza para CV ,
s
Desviación estándar muestral del coeficiente de variación.
n
Número de datos para estimar CV, 7 para duraciones entre 45 y 105 y 13 para duraciones entre 105 y 1440 minutos
tα/2,n-1
Función de distribución de probabilidad t-student inversa para una probabilidad de α/2 y n-1 grados de libertad.
En la Figura 6-9 se muestran los intervalos de confianza estimados para las cinco estaciones, en esta puede observarse que en ninguna de las cinco estaciones los puntos observados se encuentran dentro de los intervalos de confianza, es decir, que la hipótesis de que el CV es constante no puede ser aceptada con una confiabilidad del 95%, sin embargo, se observa que la ·”banda” para las duraciones mayores es mucho más estrecha que para las duraciones menores
nr=θ*r : En el capítulo 3 se mostró también que, si se presenta escalamiento simple y existen los diferentes momentos, los exponentes de escalamiento siguen una función lineal con el orden del momento, véase ecuación (3-5)
111
0.25
0.3
0.20
Coeficiente de variación
Coeficiente de variación
0.25
0.2
0.15 Observados Cv medio Cv inferior Cv superior
0.1
0.15
0.10
Observados CV medio CVinferior CV superior
0.05 0.05
0.00
0 0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0
1600
200
400
600
(a)
1000
1200
1400
1600
1400
1600
(b)
0.30
0.30
0.25
0.25
Coeficiente de variación
Coeficiente de variación
800
Duración (minutos)
Duración (minutos)
0.20
0.15 Observados Cv medio CVinferior CVsuperior
0.10
0.05
0.20
Observados CV medio Cvinferior Cvsuperior
0.15
0.10
0.05
0.00 0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0.00
1600
0
200
400
Duración (minutos)
600
800
1000
1200
Duración (minutos)
(c)
(d) 0.25
Coeficiente de variación
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00 0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Duración (minutos)
(e)
Figura 6-9 Intervalos de confianza de CV para las diferentes estaciones. a) Mandé b)Santa Bárbara c) El Sireno d) Inmarco y e) El Bizcocho.
112
Debido a que cada uno de los exponentes nr son estimados a partir de regresiones lineales entre los logaritmos de los momentos y los logaritmos de las duraciones, es posible calcular el intervalo de confianza de cada uno de los exponentes estimados, de la siguiente manera, Véase Benjamín y Cornell,1981.
nr
0 , 95
(
) ) = n(r − tα / 2,n − 2 S nr ; n(r + tα / 2,n − 2 S nr
)
(6-
7)
Donde:
nr
0 , 95
, es el Intervalo de confianza para el valor estimado de nr con una confiabilidad del
95% y Snr, es la estimación de la desviación estándar de nr la cual puede ser estimada de los datos
En la Tabla 6-5 se muestra el intervalo de confianza para el exponente de escalamiento de cada uno de los rangos de duraciones en cada una las cinco estaciones, en la Figura 6-10 se muestra la variación del exponente de escalamiento con el orden del momento, gráfica llamada por algunos función de estructura, de las estaciones El Sireno y Mandé 0.00
0.00
Valor observado (duraciones entre 105 y 1440 minutos) Límite superior e inferior
-0.50
-0.50
Escalamiento Simple Valor observado ( duraciones entre 45 y 105 minutos)
-1.00
-1.00
Serie3
-1.50
Exponente nr
Exponente n r
-1.50
-2.00
-2.50
-2.00
-2.50
-3.00
-3.00
-3.50
-3.50
-4.00
-4.00
-4.50
-4.50
Observados (Duraciones entre 105 y 1440 minutos) Limite superior e inferior Esalamiento Simple
0
1
2
3
Orden del momento (r)
(a)
4
5
6
Observados (Duraciones entre 45 y 105 minutos) 0
1
2
3
4
5
6
Orden del momento (r)
(b)
Figura 6-10 Intervalos de confianza para el exponente nr para las estaciones (a) El Sireno y (b) Mandé. Tanto en la tabla como en la figura, puede observarse que la línea de escalamiento simple se encuentra dentro de los límites de confianza de los datos estimados, es decir, que
113
desde el punto de vista estadístico no es posible rechazar la hipótesis de escalamiento simple. Además, debe notarse que algunas veces los puntos observados se encuentran por debajo de la línea de escalamiento simple, mientras que para otras se encuentran por encima, esto no es lógico ya que se está comparando el mismo fenómeno en estaciones cercanas en las cuales las características físicas del mismo son similares. Tabla 6-5 Intervalo de confianza para el exponente de escalamiento observado comparado con el exponente del escalamiento simple Intervalo de confianza para el exponente nr Duraciones entre 45 y 120 minutos Estación
r
Duraciones entre 120 y 1440 minutos
Valores
Limite
Limite
nr=θ*r
Valores
Limite
Limite
nr=θ*r
estimado
Superior
inferior
(escalamie
estimado
Superior
inferior
(escalamiento Simple)
nto Simple)
Mandé
Santa Bárbara
El Sireno
Inmarco
El Bizcocho
1
-0.60
-0.61
-0.58
-0.60
-0.85
-0.87
-0.83
-0.85
2
-1.19
-1.23
-1.16
-1.19
-1.71
-1.75
-1.67
-1.70
3
-1.80
-1.87
-1.74
-1.79
-2.57
-2.63
-2.51
-2.55
4
-2.44
-2.53
-2.34
-2.38
-3.43
-3.52
-3.35
-3.40
5
-3.10
-3.23
-2.96
-2.98
-4.30
-4.40
-4.19
-4.26
1
-0.71
-0.74
-0.67
-0.71
-0.83
-0.84
-0.82
-0.83
2
-1.42
-1.49
-1.35
-2.13
-1.67
-1.69
-1.65
-1.66
3
-2.13
-2.25
-2.02
-2.13
-2.52
-2.55
-2.49
-2.48
4
-2.86
-3.02
-2.70
-2.84
-3.38
-3.43
-3.34
-3.31
5
-3.59
-3.81
-3.38
-3.55
-4.25
-4.31
-4.19
-4.14
1
-0.63
-0.63
-0.62
-0.63
-0.80
-0.83
-0.78
-0.80
2
-1.27
-1.29
-1.24
-1.25
-1.61
-1.66
-1.55
-1.61
3
-1.92
-1.98
-1.86
-1.88
-2.41
-2.49
-2.32
-2.41
4
-2.57
-2.67
-2.46
-2.51
-3.20
-3.33
-3.08
-3.21
5
-3.22
-3.38
-3.06
-3.13
-3.99
-4.17
-3.82
-4.01
1
-0.72
-0.76
-0.67
-0.72
-0.94
-0.94
-0.94
-0.94
2
-1.41
-1.49
-1.33
-1.43
-1.88
-1.88
-1.88
-1.88
3
-2.09
-2.21
-1.96
-2.15
-2.82
-2.82
-2.82
-2.81
4
-2.75
-2.92
-2.58
-2.86
-3.76
-3.76
-3.76
-3.75
5
-3.40
-3.62
-3.19
-3.58
-4.70
-4.70
-4.70
-4.69
1
-0.67
-0.68
-0.66
-0.67
-0.86
-0.88
-0.85
-0.86
2
-1.35
-1.38
-1.33
-1.34
-1.72
-1.75
-1.69
-1.73
3
-2.03
-2.07
-1.99
-2.01
-2.58
-2.62
-2.53
-2.59
4
-2.71
-2.77
-2.66
-2.69
-3.43
-3.49
-3.38
-3.45
5
-3.39
-3.47
-3.32
-3.36
-4.29
-4.36
-4.22
-4.32
Por todo lo anterior parece razonable utilizar el modelo de escalamiento simple para la estimación de las intensidades máximas.
A continuación se ajustan las intensidades
114
máximas de las diferentes estaciones a un modelo de escalamiento simple para las 61 estaciones, considerando los dos rangos de duraciones mencionados, se estiman también los errores relativos entre el modelo y los valores observados, es decir, se evalúa la capacidad de predicción del modelo.
Como se mostró anteriormente el modelo lognormal de escalamiento puede presentarse de dos formas equivalentes el representado por la ecuación 6-4, modelo IV y el representado por la ecuación 6-5, modelo V.
Modelo IV (a partir de la ecuación 6-4) Para este modelo, para una estación específica se tienen como parámetros, el exponente de escalamiento θ, el coeficiente de variación, y el primer momento de las intensidades máximas paras las duraciones de referencia, 105 minutos y 24 horas, es decir, se tienen 3 parámetros para cada rango de duraciones y el modelo queda de la siguiente forma:
I d ,q = E [I 105 ]
[
(
exp Φ q ln 1 + CV1
I d ,q = E [I 1440 ]
1 + CV1
[
2
2
(
exp Φ q ln 1 + CV2 1 + CV2
2
)]⎛⎜
d ⎞ ⎟ ⎝ 105 ⎠
2
)]⎛⎜
θ1
d ⎞ ⎟ ⎝ 1440 ⎠
para 45 min ≤ d ≤ 105 min
(6-8)
θ2
para 105 min ≤ d ≤ 1440 min (6-9)
Eventualmente los 6 parámetros de este modelo (3 por cada rango de duraciones) podrían ser reducidos a cinco si el valor promedio de las intensidades máximas de 105 minutos se calcula a partir de la ecuación 6-9
Los parámetros para cada rango de duración pueden estimarse de la siguiente manera:
El coeficiente de variación estimado como el promedio de los coeficientes de variación de cada una de las series. El exponente θ estimado por medio de una regresión lineal entre los logaritmos de las duraciones y los logaritmos del momento de orden uno de las intensidades máximas.
115
Los momentos de orden 1 para las duraciones de referencia, 105 y 1440 minutos, obtenidos de cada una de las series de valores observados.
Modelo V ( a partir de la ecuación 6-5) En este modelo para una estación específica se tienen como parámetros el exponente de escalamiento θ y el primer y segundo momento de las intensidades máximas para las duraciones de referencia. El modelo quedaría de la siguiente forma
E [I 105 ]
2
I d ,q =
[ ]
E I 105
2
E [I 24 ]
2
I d ,q =
[ ]
E I 24
2
( ) ⎞⎟ ⎤⎥⎛⎜
⎡ ⎛ E I 105 2 exp ⎢Φ q ln⎜⎜ 2 ⎢ ⎝ E [I 105 ] ⎣
( ) ⎞⎟ ⎤⎥⎛⎜
⎡ ⎛ E I 24 2 exp ⎢Φ q ln⎜⎜ 2 ⎢⎣ ⎝ E [I 24 ]
θ1
d ⎞ ⎟ ⎥⎝ 105 ⎟⎠ para 45 min ≤ d ≤ 105 min ⎠⎦
d ⎞ ⎟ ⎥⎝ 1440 ⎟⎠ ⎠⎦
(6-10)
θ2
para 105 min ≤ d ≤ 1440 min
(6-11)
Los parámetros de este modelo pueden ser estimados de la siguiente forma: El exponente θ estimado de la misma forma que en el modelo anterior.
El primer y segundo momento calculados a partir de las series de las intensidades máximas de duraciones de referencia, 105 y 1440 minutos.
Es importante recordar que para el caso de las 61 estaciones con registros parciales se toma la intensidad máxima en 24 horas igual a la intensidad máxima diaria, calculada a partir de los registros pluviométricos.
En la Tabla 6-6 se muestran los parámetros estimados para cada una de las estaciones por los diferentes métodos. En la Figura 6-11 la Figura 6-18 se muestran, localizados espacialmente, los parámetros de los modelos de escalamiento simple.
116
Tabla 6-6 Parámetros para modelos IV y V de escalamiento simple. Modelo IV
Modelo V
Duraciones entre 45 y 105
Duraciones entre 105
Duraciones entre 45 y 105
Duraciones entre 105 y
minutos
y 1440 minutos
minutos
1440 minutos
Estación θ1
Cv1
Cruces
-0.50
0.23
Mandé
-0.58
0.31
θ2
Cv2
37.25
-0.78
0.22
4.90
-0.50
37.25
1452.22
-0.78
4.90
24.95
40.67
-0.86
0.23
4.32
-0.58
40.67
1776.61
-0.86
4.32
19.10
E[I105]
E[I1440]
θ1
E[I105]
2
E[I105 ]
θ2
2
E[I440] E[I1440 ]
Santa Bárbara
-0.70
0.25
20.05
-0.87
0.20
2.06
-0.70
20.05
422.74
-0.87
2.06
4.32
El Sireno
-0.55
0.21
26.75
-0.83
0.18
3.10
-0.55
26.75
743.18
-0.83
3.10
9.79
Nendo
-0.50
0.28
31.40
-0.78
0.30
4.13
-0.50
31.40
1065.38
-0.78
4.13
18.85
Pabón
-0.66
0.29
19.66
-0.82
0.25
2.30
-0.66
19.66
410.22
-0.82
2.30
5.60
Chaquenodá
-0.57
0.18
44.32
-0.84
0.16
4.99
-0.57
44.32
1999.31
-0.84
4.99
25.69
La Palmera
-0.65
0.23
21.66
-0.83
0.23
2.45
-0.65
21.66
492.65
-0.83
2.45
6.32
-0.65
0.24
40.64
-0.80
0.22
4.98
-0.65
40.64
1746.29
-0.80
4.98
25.49
Pantano Grande La
Blanquita
Murrí
-0.49
0.24
41.20
-0.84
0.22
4.62
-0.49
41.20
1789.47
-0.84
4.62
22.01
Musinga
-0.61
0.22
27.46
-0.84
0.19
3.05
-0.61
27.46
783.21
-0.84
3.05
9.62
Inmarco
-0.65
0.22
39.31
-0.89
0.21
3.83
-0.65
39.31
1600.25
-0.89
3.83
15.58
La Fe
-0.80
0.24
23.50
-0.89
0.23
2.28
-0.80
23.50
582.50
-0.89
2.28
5.45
La Severa
-0.86
0.27
21.82
-0.85
0.25
2.34
-0.86
21.82
510.38
-0.85
2.34
5.72
Las Palmas
-0.71
0.22
23.72
-0.86
0.21
2.51
-0.71
23.72
584.03
-0.86
2.51
6.65
Vasconia
-0.82
0.22
28.24
-0.89
0.20
2.76
-0.82
28.24
832.41
-0.89
2.76
7.84
El Retiro
-0.78
0.23
22.46
-0.88
0.21
2.25
-0.78
22.46
529.04
-0.88
2.25
5.26
La Mosca
-0.63
0.33
23.78
-0.85
0.29
2.60
-0.63
23.78
613.55
-0.85
2.60
7.29
Macarena
-0.69
0.30
20.63
-0.86
0.24
2.20
-0.69
20.63
450.64
-0.86
2.20
5.14
El Chuscal
-0.80
0.30
22.48
-0.87
0.25
2.28
-0.80
22.48
545.58
-0.87
2.28
5.36
Corrientes
-0.59
0.31
24.84
-0.84
0.28
2.81
-0.59
24.84
671.96
-0.84
2.81
8.39
Remango
-0.55
0.30
35.00
-0.83
0.25
4.05
-0.55
35.00
1313.26
-0.83
4.05
17.21
Rionegro
La
La Pradera
-0.61
0.27
38.68
-0.88
0.23
3.90
-0.61
38.68
1582.34
-0.88
3.90
15.95
El Combo
-0.60
0.18
38.50
-0.83
0.12
4.40
-0.60
38.50
1503.51
-0.83
4.40
19.55
San Carlos
-0.44
0.23
44.36
-0.86
0.21
4.73
-0.44
44.36
2072.08
-0.86
4.73
23.04
El Pital
-0.44
0.23
44.36
-0.86
0.21
4.73
-0.44
44.36
2072.08
-0.86
4.73
23.04
El Bizcocho
-0.58
0.20
44.78
-0.87
0.19
4.66
-0.58
44.78
2067.09
-0.87
4.66
22.57
Calderas
-0.55
0.16
38.85
-0.84
0.14
4.33
-0.55
38.85
1533.00
-0.84
4.33
19.30
Mesopotamia
-0.54
0.32
26.15
-0.79
0.27
3.31
-0.54
26.15
749.31
-0.79
3.31
11.39
El Buey
-0.65
0.31
19.25
-0.81
0.27
2.34
-0.65
19.25
398.97
-0.81
2.34
5.80
Farallones
-0.58
0.24
35.54
-0.89
0.21
3.49
-0.58
35.54
1324.41
-0.89
3.49
12.59
Cachipay
-0.71
0.31
30.36
-0.91
0.27
2.83
-0.71
30.36
1007.61
-0.91
2.83
8.33
Aurra
-0.77
0.33
17.55
-0.84
0.27
1.95
-0.77
17.55
336.26
-0.84
1.95
3.99
117
Tabla 6-6 Parámetros para modelos IV y V de escalamiento simple. Modelo IV
Modelo V
Duraciones entre 45 y 105
Duraciones entre 105
Duraciones entre 45 y 105
Duraciones entre 105 y
minutos
y 1440 minutos
minutos
1440 minutos
Estación θ1
Cv1
E[I105]
θ2
Cv2
E[I1440]
θ1
E[I105]
2
E[I105 ]
θ2
2
E[I440] E[I1440 ]
Mazo
-0.74
0.29
23.43
-0.89
0.23
2.31
-0.74
23.43
582.86
-0.89
2.31
5.52
Chorrillos
-0.76
0.31
21.92
-0.86
0.27
2.32
-0.76
21.92
522.25
-0.86
2.32
5.67
Caldas
-0.77
0.29
25.55
-0.88
0.26
2.55
-0.77
25.55
707.83
-0.88
2.55
6.73
Fabricato
-0.46
0.33
24.38
-0.85
0.28
2.64
-0.46
24.38
644.62
-0.85
2.64
7.42
-0.81
0.24
27.13
-0.90
0.23
2.59
-0.81
27.13
774.74
-0.90
2.59
7.01
Bocacero
-0.54
0.30
24.02
-0.81
0.27
2.89
-0.54
24.02
626.11
-0.81
2.89
8.78
Villa Hermosa
-0.79
0.28
22.57
-0.90
0.24
2.14
-0.79
22.57
544.33
-0.90
2.14
4.74
San Cristóbal
-0.77
0.44
22.71
-0.85
0.35
2.44
-0.77
22.71
601.80
-0.85
2.44
6.23
San
Antonio
de Prado Río
Grande
Miguel
de
Aguinaga
-0.75
0.26
20.56
-0.89
0.21
2.01
-0.75
20.56
446.12
-0.89
2.01
4.14
El Botón
-0.70
0.36
20.62
-0.88
0.31
2.08
-0.70
20.62
479.39
-0.88
2.08
4.50
Río Chico
-0.68
0.32
16.26
-0.79
0.25
2.06
-0.68
16.26
285.24
-0.79
2.06
4.41
Andrés
-0.66
0.26
21.95
-0.86
0.23
2.34
-0.66
21.95
510.82
-0.86
2.34
5.72
Aragón
-0.63
0.31
17.65
-0.82
0.25
2.10
-0.63
17.65
336.27
-0.82
2.10
4.58
Alto de San
Rionegrito
-0.47
0.27
22.15
-0.79
0.27
2.85
-0.47
22.15
526.52
-0.79
2.85
8.66
El Chaquiro
-0.65
0.40
16.14
-0.78
0.34
2.08
-0.65
16.14
297.86
-0.78
2.08
4.64
Haitón
-0.54
0.26
30.19
-0.82
0.23
3.52
-0.54
30.19
962.76
-0.82
3.52
12.89
Trinidad
-0.64
0.35
17.63
-0.82
0.28
2.07
-0.64
17.63
345.63
-0.82
2.07
4.40
El Gómez
-0.63
0.38
19.13
-0.85
0.29
2.07
-0.63
19.13
409.26
-0.85
2.07
4.44
Medina
-0.67
0.24
18.49
-0.83
0.23
2.11
-0.67
18.49
358.54
-0.83
2.11
4.70
La Ayurá
-0.67
0.35
23.16
-0.89
0.27
2.29
-0.67
23.16
587.54
-0.89
2.29
5.49
San Bernardo
-0.64
0.42
18.35
-0.81
0.38
2.21
-0.64
18.35
391.59
-0.81
2.21
5.37
El Mango
-0.78
0.23
26.02
-0.87
0.22
2.72
-0.78
26.02
712.34
-0.87
2.72
7.70
San Pedro
-0.71
0.31
21.89
-0.89
0.27
2.13
-0.71
21.89
523.96
-0.89
2.13
4.73
El Tabor
-0.60
0.28
25.51
-0.79
0.24
3.20
-0.60
25.51
698.53
-0.79
3.20
10.62
La Teresita
-0.51
0.37
25.05
-0.84
0.31
2.77
-0.51
25.05
715.87
-0.84
2.77
7.92
Miraflores
-0.61
0.27
33.96
-0.85
0.27
3.67
-0.61
33.96
1236.38
-0.85
3.67
14.34
Madreseca
-0.64
0.22
50.15
-0.90
0.23
4.83
-0.64
50.15
2622.65
-0.90
4.83
24.73
Montañitas
-0.52
0.25
19.34
-0.79
0.22
2.47
-0.52
19.34
393.96
-0.79
2.47
6.36
118
SANTANDER CHOCÓ CONVENCIONES
θ1=-0,5 Valor de θ1
Figura 6-11. Exponente de escalamiento θ1 (Rango entre 45 y 105 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor real de la variable
119
CHOCÓ
SANTANDER
CONVENCIONES CV1=0,20 Valor de CV1
Figura 6-12. Coeficiente de variación CV1 (Rango entre 45 y 105 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor de la variable
120
CHOCÓ
SANTANDER
CONVENCIONES I[I105]=40 Valor de I[I105]
Figura 6-13. Valor esperado de I105 , E[I105] en mm/hr (Rango entre 45 y 105 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor de la variable
121
CHOCÓ
SANTANDER
I[I105 ]=1000 Valor de I[I105 ]
Figura 6-14. Valor esperado de I1052 , E[I1052] en (mm/hr)2 (Rango entre 45 y 105 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor real de la variable
122
CHOCÓ
SANTANDER
CONVENCIONES θ2=-0,80 Valor de θ2
Figura 6-15. Exponente de escalamiento θ2 (Rango entre 105 y 1440 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor real de la variable
123
CHOCÓ
SANTANDER
CONVENCIONES CV2=0,25 Valor de CV2
Figura 6-16. Coeficiente de variación CV2 (Rango entre 105 y 1440 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor real de la variable
124
CHOCÓ
SANTANDER
CONVENCIONES I[I24]=3 Valor de I[I24]
Figura 6-17. Valor esperado de I1440 , E[I1440] en mm/hr (Rango entre 105 y 1440 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor real de la variable
125
CHOCÓ
SANTANDER
CONVENCIONES I[I24 ]=10 Valor de I[I24 ]
Figura 6-18. Valor esperado de I14402 , E[I14402] en (mm/hr )2(Rango entre 105 y 1440 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor real de la variable
126
En la Figura 6-11 puede observarse que el exponente θ1 varía en un amplio rango, entre 0,44 y -0,86. Presentándose gran variabilidad en algunos casos en estaciones cercanas, como es por ejemplo la estación Fabricato la cual tiene un exponente de -0,46 y tiene dos estaciones vecinas, relativamente cerca, con valores de -0,77 para el exponente. En estas figuras puede observarse también que los valores más altos y más bajos se encuentra en las estaciones del Valle del Aburrá.
En la Figura 6-12 puede observarse que el coeficiente de variación para las duraciones cortas, cv1 varía entre 0,16 y 0,44. En la Figura 6-15 se aprecia que el exponente θ2 varía en un rango mucho más estrecho, entre 0,78 y 0,91, que lo que varía exponente θ1. Presentándose valores del mismo orden de magnitud entre estaciones vecinas. Esta variable presenta una mayor estabilidad que la mostrada por el exponte de θ1 y la variabilidad mostrada en cada una de las regiones es prácticamente la misma que se observa en todo el departamento.
En la Figura 6-16 puede observarse que el coeficiente de variación varía para las grandes duraciones entre 0,12 y 0,28 mostrando, en algunos casos,
gran variabilidad entre
estaciones vecinas como por ejemplo las estaciones del Remango y el Combo donde se tiene estaciones con coeficientes de variación de 0,25 y 0,12 respectivamente.
En la Tabla 6-8 muestran los errores relativos promedios y los errores máximos, en esta tabla se observa que las diferencias por los dos modelos de escalamiento simple son del mismo orden de magnitud presentándose errores mayores para el modelo V, en la mayoría de los casos. En el modelo IV se presentan errores promedios inferiores en todos los casos al 7% y con errores máximos inferiores al 15% en el 80% de las estaciones. En el modelo V se presentan errores relativos promedios en todos los casos inferiores al 10% y alrededor del 50% de las estaciones tienen errores máximos inferiores al 15%, cerca del 80% presenta errores inferiores al 20%.
127
Al comparar los errores obtenidos con los modelos de escalamiento simple con los obtenidos con el mejor modelo de la metodología convencional se observan que, en general los errores obtenidos son del mismo orden de magnitud, siendo un poco menores los errores relativos promedio para el caso de la metodología tradicional, sin embargo, se observa que en la metodología tradicional sólo el 40% de las estaciones presentan errores máximos inferiores al 15%. Para el modelo IV se observa que los mayores errores se presentan para las duraciones de 45 minutos, el 18 % de las estaciones, 105, el 23 %, y 1440 minutos, 39% de las estaciones.
Para el modelo V se tienen los mayores errores en las duraciones de 45, el 35% de las estaciones, y 120 minutos 43% de las estaciones, y la mayoría de los errores se presentan par un período de retorno de 50 años.
Se tienen pues que las los errores calculados en los modelos de escalamiento simple son, en general menores, que los calculados en los modelos de curvas IDF, además, el cálculo de los parámetros en los modelos de escalamiento simple es más sencillo y obedece a un procedimiento más racional que el utilizado en el modelo convencional el cual es proceso netamente heurístico.
6.1.2.3 MODELO DE LOGNORMAL DE ESCALAMIENTO MÚLTIPLE Tal como se mostró en el capítulo 3 un modelo de curvas IDF puede ser descrito a partir de la teoría de multiescalamiento por medio la ecuación 3-20.
Si se consideran que las propiedades de multiescala son válidas en los dos rangos de duraciones mencionados anteriormente se tendrían las siguientes expresiones para las intensidades máximas: E [I 105 ]
2
I d ,q =
[ ]
E I 105
2
E [I 1440 ]
2
I d ,q =
[
E I 1440
2
]
[ ]
⎡ ⎛ E I 105 2 ⎛ d ⎞ 2 (l ( 2 )1−1)θ 1 ⎞ ⎤⎛ d ⎞ ( 2−l ( 2)1)θ 1 ⎟ ⎥⎜ exp ⎢Φ q ln⎜ ⎜ E [I ]2 ⎜⎝ 105 ⎟⎠ ⎟ ⎥⎝ 105 ⎟⎠ ⎢ 105 ⎝ ⎠⎦ ⎣
[
]
para 45 min ≤ d ≤ 105 min
⎡ ⎛ E I 1440 2 ⎛ d ⎞ 2 (l ( 2) 2−1)θ 2 ⎞ ⎤⎛ d ⎞ ( 2−l ( 2) 2)θ 2 ⎟ ⎥⎜ exp ⎢Φ q ln⎜ ⎜ E [I ]2 ⎜⎝ 1440 ⎟⎠ ⎟ ⎥⎝ 1440 ⎟⎠ ⎢ 1440 ⎝ ⎠⎦ ⎣
para 105 min ≤ d ≤ 1440 min
(6-12)
(6-13)
128
Se observa que este modelo tiene 4 parámetros para cada uno de los rangos de duraciones mencionados: el exponente de escalamiento θ1, E[I105], E[I1052] y l(2)1 para las duraciones entre 45 y 105 minutos y el exponente de escalamiento θ2, E[I1440], E[I14402] y l(2)2 para las duraciones entre 105 y 1440 minutos. En esta ecuación los tres primeros parámetros para cada rango de duraciones son exactamente iguales que para el escalamiento simple, el cuarto parámetro l(2) puede ser estimado, a partir de una regresión lineal entre los logaritmos de los momentos de orden 2 y los logaritmos de las diferentes duraciones y estimar de esta forma el exponente n2 y calcular l(2)=n2 /(2θ), nótese que para escalamiento simple el valor del parámetro l(2) es igual a la unidad.
Con base en las ecuaciones 6-12 y 6-13 y los parámetros obtenidos de los datos observados, se calculan los valores máximos de las intensidades asociados a diferentes períodos de retorno para las estaciones con registros continuos, los valores obtenidos fueron comparados con los valores “observados”, obtenidos del análisis de frecuencias
En la Tabla 6-7 se muestran los valores de los parámetros l(2)1 y l(2)2 correspondientes a las duraciones de entre 45 y 105 y entre 105 y 1440 minutos respectivamente. En la Figura 6-19 y en la Figura 6-20 se muestra la localización de dichos parámetros, los demás parámetros, de este modelo pueden observarse en las tablas y figuras respectivas de escalamiento simple.
Tanto en las tablas como en las figuras puede observarse que este valor varía entre 0,98 y 1,06 para el rango de duraciones pequeñas y entre 0,99 y 1,02 para el rango de grandes duraciones. Se observa también que para las grandes duraciones, en la mayoría de los casos, el valor de l(2) es prácticamente de 1, por lo tanto las intensidades máximas, para este rango de duraciones, pueden ser estimadas a partir de modelos de escalamiento simple.
Tabla 6-7 Valor de los parámetros l(2)1 y l(2)2 de todas las estaciones para los dos rangos de duraciones Estación
Duraciones entre 45 y 105 minutos l(2)1
l(2)2
Estación
Duraciones entre 105 y 1440 minutos l(2)1
l(2)2
129
Cruces
1.01
1.00 Cachipay
0.99
1.01
Mandé
1.03
1.01 Aurra
1.03
1.01
Santa Bárbara
1.02
1.01 Mazo
1.03
1.00
El Sireno
1.01
1.00 Chorrillos
1.01
1.01
Nendo
0.98
0.99 Caldas
1.00
1.01
Pabón
1.03
1.00 Fabricato
1.05
1.00
1.01
1.00
San Antonio de Chaquenodá
1.03
1.00 Prado Río
Grande
La Palmera
1.01
1.00 Bocacero
1.00
1.01
Pantano Grande
1.00
1.01 Villa Hermosa
1.01
1.01
Murrí
1.00
1.01 San Cristóbal
1.03
1.02
Musinga
1.01
1.00 Aguinaga
1.02
1.01
Inmarco
1.02
0.99 El Botón
0.99
1.02
La Fe
1.01
1.00 Río Chico
1.04
1.01
La Severa
1.00
1.01 Andrés
1.02
1.00
Las Palmas
1.03
1.00 Aragón
1.02
1.01
Vasconia
1.01
1.00 Rionegrito
1.00
1.00
El Retiro
1.01
1.00 El Chaquiro
1.03
1.02
1.05
1.00 Haitón
1.02
1.00
La
Blanquita
Miguel
Alto
La Mosca Rionegro
de
de
San
La
Macarena
1.06
1.00 Trinidad
1.01
1.02
El Chuscal
1.01
1.01 El Gómez
1.03
1.02
Corrientes
1.01
1.01 Medina
1.02
1.00
Remango
1.03
1.00 La Ayurá
1.06
1.01
La Pradera
1.03
1.00 San Bernardo
1.00
1.01
El Combo
1.04
1.00 El Mango
0.99
1.00
San Carlos
1.00
1.01 San Pedro
1.00
1.01
El Pital
1.00
1.01 El Tabor
1.01
1.01
El Bizcocho
1.02
1.00 La Teresita
0.99
1.02
Calderas
1.02
1.00 Miraflores
1.01
1.00
Mesopotamia
1.02
1.01 Madreseca
1.01
1.00
El Buey
1.03
1.00 Montañitas
1.01
1.00
Farallones
1.02
1.00
130
CHOCÓ
SANTANDER
CONVENCIONES I(2)1=0,97 I(2)1=1,06 Valor de l(2)1
Figura 6-19 . Valor de l(2)1 (Rango entre 45 y 105 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor de la variable
131
CHOCÓ
SANTANDER
I(2)2=0,99 I(2)2=1,02 Valor de l(2)2
Figura 6-20 . Valor de l(2)2 (Rango entre 105 y 1440 minutos) El Tamaño del círculo representa el valor de la variable
132
Para las duraciones menores, el valor tan alto para l(2) no necesariamente es debido a la existencia de un escalamiento múltiple, sino que puede ser debido a que el valor de θ, que de acuerdo con las hipótesis de escalamiento es constante dentro de un rango de duraciones específicas, no es un parámetro realmente constante y aumenta con la duración.
En la Tabla 6-8 se muestran los errores relativos, máximos y promedios obtenidos, comparados algunos de los modelos IDF mencionados anteriormente.
Tabla 6-8 Errores relativos, promedio y máximo entre las intensidades máximas calculadas con los diferentes modelos analizados simple y las intensidades máximas “observadas”.
Modelo III (Convencional) Estación
Modelo IV
Modelo V
Modelo VI
(Escalamiento Simple
(Escalamiento Simple
(Escalamiento múltiple
ec-6-8 y 6-9)
ec-6-10 y 6-11)
ec-6-12 y 6-12)
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
relativo
relativo
relativo
relativo
relativo
relativo
relativo
relativo
máximo
promedio
promedio
máximo
promedio
máximo
promedio
máximo
Cruces
2
8
1
4
4
-7
3
-7
Mandé
5
-41
5
19
10
-22
6
-13
Santa Bárbara
4
20
6
16
7
-21
4
-7
El Sireno
3
-10
3
15
5
-13
3
-6
Nendo
2
12
6
17
3
-8
5
-9
Pabón
3
-23
4
16
8
-17
6
-11
Chaquenodá
3
-16
6
18
7
-18
3
-7
La Palmera
4
17
2
5
3
-9
3
-6
2
10
5
13
3
-12
2
-4
Murrí
3
-15
4
16
6
-16
5
-12
Musinga
2
-18
3
6
5
-11
4
-10
Inmarco
2
-25
4
7
7
-15
4
-8
La Fe
3
23
2
5
2
-7
1
-4
La Severa
2
-18
2
8
3
-10
2
-4
Las Palmas
3
14
4
13
6
-16
2
4
Vasconia
2
-18
2
4
3
-7
2
-3
El Retiro
2
17
1
4
3
-6
2
4
La Mosca
3
15
3
7
6
-13
3
-5
3
-23
4
9
5
-18
1
3
Pantano Grande La
Blanquita
Rionegro
La
133
Tabla 6-8 Errores relativos, promedio y máximo entre las intensidades máximas calculadas con los diferentes modelos analizados simple y las intensidades máximas “observadas”.
Modelo III (Convencional) Estación
Error
Modelo IV
Modelo V
Modelo VI
(Escalamiento Simple
(Escalamiento Simple
(Escalamiento múltiple
Error
ec-6-12 y 6-12)
ec-6-10 y 6-11)
ec-6-8 y 6-9)
Error
Error
Error
Error
Error
Error
relativo
relativo
relativo
relativo
relativo
relativo
relativo
relativo
promedio
máximo
promedio
máximo
promedio
máximo
promedio
máximo
Macarena El Chuscal
3
13
4
11
4
-17
1
Corrientes
3
14
Remango
3
14
-2
2
8
5
-14
3
-6
5
13
8
-16
6
-10
La Pradera
2
13
3
6
3
-11
1
-3
El Combo
2
-14
4
11
6
-19
1
-3
San Carlos
3
8
4
11
5
-17
4
-7
El Pital
2
10
5
14
3
12
2
7
El Bizcocho
3
9
2
7
4
-11
2
-5
Calderas
2
-11
3
7
6
-13
3
-6
Mesopotamia
3
23
5
15
9
-23
6
-14
El Buey
2
-18
3
7
3
-11
2
4
Farallones
4
-26
2
8
5
-14
4
-9
Cachipay
4
-19
4
9
4
-16
3
-5
Aurra
3
-30
4
14
9
-21
6
-13
Mazo
3
-20
4
13
4
-11
1
-2
Chorrillos
2
12
3
6
4
-12
2
-4
Caldas
3
9
4
18
5
-18
4
-7
Fabricato
3
-19
4
10
5
-13
2
-6
2
11
1
3
3
-9
1
-3
San Antonio de Prado Río
Grande
Bocacero
2
-13
4
12
4
-13
3
-9
Villa Hermosa
3
-31
3
8
7
-18
4
-9
San Cristóbal
4
-23
6
24
7
-30
3
-5
Aguinaga
3
11
3
9
5
-15
2
-4
El Botón
3
-18
4
14
4
-22
3
-7
Río Chico
3
-31
7
21
9
-20
6
-11
2
17
3
7
3
-8
1
-2
Aragón
3
-19
6
13
9
-21
6
-13
Rionegrito
2
-9
1
4
3
9
3
9
Miguel
Alto
de
de
Andrés
San
134
Tabla 6-8 Errores relativos, promedio y máximo entre las intensidades máximas calculadas con los diferentes modelos analizados simple y las intensidades máximas “observadas”.
Modelo III (Convencional) Estación
Error
Modelo IV
Modelo V
Modelo VI
(Escalamiento Simple
(Escalamiento Simple
(Escalamiento múltiple
Error
ec-6-12 y 6-12)
ec-6-10 y 6-11)
ec-6-8 y 6-9)
Error
Error
Error
Error
Error
Error
relativo
relativo
relativo
relativo
relativo
relativo
relativo
relativo
promedio
máximo
promedio
máximo
promedio
máximo
promedio
máximo
El Chaquiro
3
22
3
10
5
-14
3
8
Haitón
3
-31
5
14
8
-19
6
-16
Trinidad
4
-34
4
17
7
-27
4
-9
El Gómez
4
-29
4
12
8
-23
4
-8
Medina
2
11
3
8
4
-10
2
-3
La Ayurá
5
-30
4
10
8
-19
3
-7
San Bernardo
4
-32
4
8
7
-15
5
-12
El Mango
2
-18
2
9
3
-6
4
-7
San Pedro
3
-15
3
13
5
-18
4
-7
El Tabor
3
-13
3
11
5
-17
3
-6
La Teresita
3
-21
6
25
7
-28
4
-10
Miraflores
2
15
2
6
1
-6
1
2
Madreseca
2
13
5
10
3
-6
3
-5
Montañitas
3
-14
2
5
4
-9
3
-8
De esta tabla se obtiene que en el 95% de las estaciones se tienen errores relativos promedios inferiores al 6%, que de las 61 estaciones únicamente en una estación (2%) se presentan errores superiores al 15%.
Los mayores errores para el modelo VI se presentan para la duración de 60 minutos, alrededor del 38% de las estaciones presentan el error máximo para esta duración. Los errores máximos en este modelo están distribuidos más uniformemente en todas las duraciones que los otros modelos analizados.
En general de la Tabla 6-8 puede concluirse que los errores relativos promedios en todos los modelos son del mismo orden de magnitud, sin embargo, en el modelo que menores errores se presentan es en el modelo de escalamiento múltiple. Es importante anotar que
135
si bien es cierto que el comportamiento de los datos muestra una tendencia de escalamiento múltiple, las pruebas estadísticas no permiten rechazar el escalamiento simple para la modelación de las precipitaciones máximas.
De todo lo anterior puede concluirse que al utilizar las teorías de escalamiento simple y multiescalamiento, para la obtención de las curvas IDF se obtienen errores inferiores o del mismo orden de magnitud a los obtenidos al utilizar la metodología convencional.
6.2
ANÁLISIS REGIONAL
Para el análisis regional inicialmente se observa la variación espacial de los diferentes parámetros obtenidos en análisis puntual y posteriormente se analiza el escalamiento de las intensidades máximas espacialmente a partir del escalamiento de las mismas con la precipitación promedio anual, con la altura sobre el nivel del mar y con el promedio de las precipitaciones máximas diarias.
6.2.1 VARIACIÓN ESPACIAL DE LOS PARÁMETROS OBTENIDOS EN EL ESCALAMIENTO TEMPORAL Tal como se mencionó anteriormente la zona en estudio se caracteriza por una gran variabilidad climática determinada por un sinnúmero de factores. Uno de estos factores está relacionado con las circulaciones locales, las cuales pueden explicar la preponderancia de las lluvias diurnas o nocturnas de acuerdo con la posición topográfica de las estaciones, véase Oster (1979).
De acuerdo con lo anterior, y con el fin de interpretar un poco mejor los resultados obtenidos en las diferentes estaciones, así como conocer un poco más acerca de los diferentes fenómenos que intervienen en las formaciones de las tormentas más intensas en cada una de las estaciones, se realizó, para cada una de ellas un histograma de frecuencias de la hora de inicio de las tormentas.
136
En la Figura 6-21 se muestra por ejemplo el histograma de frecuencias para la estación Miguel de Aguinaga, En esta figura puede observarse que la hora en que se presentan la mayor cantidad de aguaceros intensos es entre las 15 y las 16 y que alrededor del 60% de las casi 200 tormentas observadas se presentaron en la tarde, entre las 12 y las 19 horas, se observa pues que en esta estación la mayoría de las precipitaciones intensas puede deberse a la combinación convención y efectos orográficos.
Frecuencia relativa de la hora de inicia de la tormenta
20% 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2%
22 -2 3
20 -2 1
18 -1 9
16 -1 7
14 -1 5
12 -1 3
10 -1 1
89
67
45
23
01
0%
Hora Local
Figura 6-21 Histograma de frecuencia de la hora de inicio de las tormentas en la estación Miguel de Aguinaga En el anexo 3, se muestra la tabla resumen para todas las estaciones. En la Figura 6-22 se muestra gráficamente la clasificación de las estaciones de acuerdo con el período del día en el cual se presenta por lo menos el 50% de las tormentas, clasificándolas como diurnas, entre las 7 y las 19 horas y nocturnas, entre las 19 y las 7 horas del día siguiente y en la Figura 6-23 se muestra la hora en la cual se observaron el mayor número de tormentas en cada una de las estaciones.
137
Tanto en la tabla del anexo 3 como en las figuras puede observarse en la mayor parte de la zona en estudio se tienen lluvias diurnas, las cuales en su mayoría ocurren en las horas de la tarde, entre las 12 y las 19 horas y son, muy probablemente ocasionadas por la combinación de efectos convectivos y orográficos.
Se observan lluvias nocturnas en la zona del oriente Antioqueño, este comportamiento se observa en todas las estaciones del oriente antioqueño localizadas por debajo de los 2000 msnm. Además de la zona mencionada se observan lluvias nocturnas en las estaciones La Palmera, Haitón, Farallones, Cachipay, El Mango y Madreseca estas cuatro últimas localizadas en la parte baja de los valles del río cauca y Porce-Nechí, en estas cuatro estaciones el hecho de tener lluvias preponderantemente nocturnas es explicado por las circulaciones locales diurnas y nocturnas, véase Oster, (1979). Con el fin de observar el comportamiento espacial se graficaron los parámetros θ1 y θ2 y CV1 y CV2 con respecto a algunas variables como la precipitación media anual y la elevación de las estaciones sobre el nivel del mar, en la Figura 6-24 y en la Figura 6-26 se muestran las gráficas de estos parámetros contra la precipitación media anual, parámetro con el cual se obtuvieron mejores resultados, en estas gráficas los resultados se presentan por regiones. En la Figura 6-24 puede observarse que el exponente θ1 varía en un amplio rango, entre 0,44 y 0,86. En estas figuras puede observarse también que los valores más altos y más bajos se encuentra en las estaciones del Valle del Aburrá, observándose un cambio del valor medio alrededor de los 2000 mm/año. En esta figura se aprecia, tal como se mencionó anteriormente, que el exponente θ2 varía en un rango mucho menor que lo que varía exponente θ1, .observándose que la variabilidad mostrada en cada una de las regiones es la misma que la que se presenta en todo el departamento, con un valor promedio
para
toda
la
región
de
0,85.
138
SANTANDER CHOCÓ CONVENCIONES Estación con más del 50 % de las precipitaciones máximas entre las 19 y 07 horas (Nocturno) Estación con más del 50 % de las precipitaciones máximas entre las 07 y 19 horas (Diurno).
Figura 6-22. Clasificación de las estaciones de acuerdo con el período en el cual se presenta la mayor cantidad de tormentas (Diurno y Nocturno).
139
SANTANDER CHOCÓ CONVENCIONES 0 Hora local con el mayor número de 6 tormentas máximas
18 12
Figura 6-23 Hora con mayor número de tormentas máximas observadas (Hora local)
140
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
2
0.7
0.6
Penderisco-Murrí Oriente de Antioquia Sur de Antioquia Valle de aburrá Norte de Antioquia
0.6
Exponente
Exponente
1
0.7
0.5 0.4 Penderisco-Murrí Oriente de Antioquia Sur de Antioquia Valle del Aburrá Norte de Antioquia
0.3 0.2
0.5 0.4 0.3 0.2
0.1
0.1
0
0 0
1000
2000
3000
4000
Precipitación media anual (mm)
5000
6000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Precipitación media anual (mm)
Figura 6-24. Variación de los exponentes θ1 y θ2 con la precipitación media anual De todo lo anterior se confirma la anotación de Snow (1976) en el sentido de que la complejidad de la topografía hace que cualquier generalización sobre la distribución espacial y temporal de la lluvia esta sujeta a muchas excepciones, se observa que estaciones relativamente cerca, presentan parámetros considerablemente diferentes, es decir, se tiene un efecto local muy fuerte sobre el exponente de escalamiento θ.
En general se observa que para una zona específica el exponente varía con la altura sobre el valle presentándose los menores valores en las partes más bajas y más altas de las laderas, y los parámetros mayores a media ladera, véase Figura 6-25, lo que significa, que en tanto en las partes bajas como en las partes alta de las laderas se tienen las precipitaciones máximas más concentradas en el tiempo que en las laderas.
Por ejemplo en la Figura 6-25 se muestra la variación del exponente de escalamiento para las estaciones de Mandé, Las Cruces, Nendo, El Sireno, y Santa Bárbara, localizadas alrededor de la 6°25’ de latitud en la vertiente occidental de la cordillera occidental y para las estaciones de San Pedro, Río Chico y Río Grande Bocacero, se observa, en general se observa un gradiente muy alto alrededor del valor mínimo de θ2. Sin embargo, este comportamiento no se presenta en todas partes, en los cuales la variación regional es prácticamente la misma que la variación de dos estaciones muy
141
cerca como es el caso de las estaciones La Pradera y El Pital ubicadas en la misma cota aproximadamente, cota 1100 msnm, a menos de 2 km de distancia en las cuales se tiene valores de -0,85 y -0,88 respectivamente. 3000 2450
Santa Bárbara 2500
2400
Elevación (msnm)
Elevación (msnm)
San Pedro 2350
2000
1500 El Sireno Las Cruces 1000 Nendo
2300 Río Chico
2250
2200
Mandé 500
Río Grande Bocacero
2150
0
2100
-0.88
-0.86
-0.84
-0.82
-0.80
-0.78
-0.76
-0.90
-0.88
Exponente de escalamiento θ2
-0.86
-0.84
-0.82
-0.80
-0.78
Exponente de escalamiento θ2
Figura 6-25. Variación del exponente de escalamiento con la altura. 0.5
0.5
0.45
0.45
0.4
0.35
0.35
0.3
0.3
CV2
CV1
0.4
0.25
0.25 0.2
0.2 Penderisco-Murrí 0.15
0.15
Oriente de Antioquia Sur de Antioquia
0.1
0.1
Penderisco-Murrí Oriente de Antioquia
Valle de aburrá 0.05
Sur de Antioquia
0.05
Norte de Antioquia
Valle de aburrá Norte de Antioquia
0
0 0
1000
2000
3000
4000
Precipitación media anual (mm)
5000
6000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Precipitación media anual (mm)
Figura 6-26. Variación de los coeficientes variación CV1 y CV2 con la precipitación media anual. En la Figura 6-26 se aprecia que el coeficiente de variación, tanto para las duraciones pequeñas como para las duraciones mayores, presenta gran variabilidad espacial con una tendencia clara de disminuir a medida que a aumenta la precipitación media anual, lo que eventualmente, podría indicar un escalamiento múltiple espacial.
142
En Figura 6-27 se muestra la variación del momento de orden 2 en función del momento de orden 1, para las duraciones de 105 y 1440 minutos respectivamente. Es importante mencionar en la gráfica correspondiente a la duración de 1440 minutos, se incluyeron, además de las 61 estaciones de este estudio, se incluyeron los datos de 36 pluviómetros
3000
35
Momento de orden 2 de la intensidad máxima en 24 horas (mm2/hr2)
Momento de orden 2 de la intensidad máxima en 105 minutos, E[I 1052] (mm2/hr2)
localizados dentro del área de interés.
2500
2000
1500
1000 1.9471
y = 1.2717x R2 = 0.9981 500
0 0
10
20
30
40
50
60
Momento de orden 1 de la intensidad máxima en 105 minutos (E[I105]) (mm/hr)
30
25 y = 1.0495x2.0001 R2 = 0.9979 20
15
10
5
0 0
1
2
3
4
5
6
Momento de orden 1 de la intensidad máxima en 1440 minutos (mm/hr)
Figura 6-27. Relación entre el momento de orden 1 y orden 2 de las intensidades máximas en 105 minutos y 24 horas respectivamente. Se observa, pues que existe una alta correlación entre los momentos de orden 1 y orden 2, para ambas duraciones y por lo tanto es posible calcular los parámetros de E[I1052] y E[I14402] a partir de los parámetros E[I105] y E[I1440] respectivamente y de esta forma disminuir en dos parámetros los modelos de curvas IDF obtenidos de las teorías escalamiento simple y /o multiescalamiento mencionados anteriormente. De la función obtenida de la correlación mostrada en la Figura 6-27 para las precipitaciones máximas en 24 horas se obtiene, que para estas duraciones, se tiene un coeficiente de variación constante igual a 0,22.
6.2.2 ESCALAMIENTO ESPACIAL
Además del escalamiento temporal, es posible observar el escalamiento de las precipitaciones máximas a través del espacio, es decir, escalamiento espacial.
143
En el escalamiento espacial se utilizaron dos variables como parámetros de escala; la altura sobre el nivel del mar, y la precipitación promedio anual en cada uno de las estaciones analizadas. A continuación se presenta un resumen de los resultados obtenidos escalando con la precipitación promedia anual, con la cual se obtuvieron mejores resultados.
De los resultados obtenidos en el numeral anterior puede observarse que el coeficiente de variación no es un valor constante y presenta una tendencia, aunque con gran variabilidad, decreciente con la precipitación media anual, lo anterior permite descartar la posibilidad de considerar escalamiento espacial simple e indica la necesidad de considerar escalamiento múltiple. Para el análisis de escalamiento espacial se considera entonces un modelo lognormal de multiescalamiento.
El modelo de escalamiento espacial múltiple está descrito por la ecuación 3-21, en la cual el parámetro con el cual se escala es la precipitación media anual o la altura sobre el nivel del mar, en este trabajo sólo se muestran los resultados obtenidos con la precipitación media anual como parámetro de escala ya que fue el parámetro con el cual se obtuvieron los mejores resultados.
Teniendo en cuenta lo anterior retomando lo expresado en el capítulo 3, para cada duración se tiene la siguiente expresión.
I d ,q =
[ ] exp⎡⎢Φ ] ⎢⎣ E [I
E I pref
2
2
pref
q
[ ] ⎛⎜ P ⎞⎟ [ ] ⎜⎝ Pr ef ⎟⎠
⎛ E I pref 2 ln⎜ 2 ⎜E I preff ⎝
2 ( l ( 2 ) −1)θ
⎞ ⎤⎛ P ⎟ ⎥⎜ ⎟ ⎥⎜⎝ Pr ef ⎠⎦
⎞ ⎟⎟ ⎠
( 2 −l ( 2 ))θ
(6-21)
Donde: E[Ipref] es el Valor esperado de la intensidad máxima para una duración específica un el sitio con el valor de precipitación promedio anual de referencia, E[Ipref2] es el valor del momento de orden dos de la intensidad para una duración específica un el sitio con el valor de precipitación promedio anual de referencia, P es la precipitación promedio anual en el sitio que se desea conocer la intensidad máxima y Pref. Es la Precipitación promedio anual de referencia.
144
Los parámetros de la ecuación 6-13 pueden estimarse siguiendo el procedimiento descrito en el escalamiento temporal.
Es importante mencionar que la aplicación de este modelo de escalamiento espacial, escalando con la precipitación promedio anual, tiene una limitante muy importante y es que la precipitación promedio anual máxima (5644 mm) y mínima (1377 mm) son del mismo orden de magnitud con la mayoría de los valores concentrados alrededor de los 2000 mm/año.
El modelo anterior se aplicó para todo el Departamento y también se aplicó en diferentes subregiones en las cuales se dividió el área en estudio, a continuación se presentan los resultados obtenidos en cada una de las regiones.
6.2.2.1 TODO EL DEPARTAMENTO Se aplicó un modelo lognormal de multiescalamiento a las 61 estaciones del departamento de Antioquia. Para este modelo lognormal se tomó como valor de referencia aquella estación que tuviese mayor precipitación promedio anual. Para el cálculo del coeficiente θ se realizaron regresiones lineales entre el logaritmo de los momentos de orden 1 y los logaritmos del valor de la precipitación promedio anual de cada estación. En la Figura 6-28 se muestra, por ejemplo, el gráfico para las intensidades máximas con 45 minutos de duración. En esta figura puede observarse que los coeficientes de determinación para el ajuste son relativamente pequeños, para las duraciones menores. Este coeficiente de determinación aumenta con la duración, véase Figura 6-29.
145
1.00E+10
Valor de los momentos indicados
1.00E+09
y = 2.9139x2.397 R2 = 0.4873
1.00E+08 1.00E+07
y = 1.0822x2 R2 = 0.5117
1.00E+06 M1
1.00E+05
y = 0.5618x1.5674 R2 = 0.5334
1.00E+04
M2 M3 M4 M5
y = 0.4326x1.093 R2 = 0.5502
1.00E+03 1.00E+02
y = 0.5162x0.5721 R2 = 0.5603
1.00E+01 1.00E+00 1000
10000
Precipitación media anual (mm)
Figura 6-28 Variación de los momentos de las intensidades máximas en 45 minutos con la precipitación media anual. 0.95 0.90 0.85 0.80
r2
0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50 0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Duración (minutos)
Figura 6-29 Variación del coeficiente de determinación con la duración, r2, para la regresión lineal entre los momentos de la precipitación promedio anual y los momentos de las intensidades máximas. A pesar de los coeficientes de correlación relativamente “bajos”, se calcularon los diferentes parámetros y se estimaron las intensidades máximas asociadas a diferentes
146
períodos de retorno. De los resultados obtenidos se concluye, que en el 74% de las estaciones se tienen errores menores del 20%, y el 80% de los valores estimados tienen errores por debajo del 30% con respecto a los valores observados, véase Figura 6-30. En la Tabla 6-9 se muestra el resumen de los errores máximos y los errores promedios entre los valores calculados y los valores observados, para las diferentes duraciones. En esta tabla puede observarse que en general se tienen errores máximos cercanos al 40% o superiores, estos errores se presentan en las mismas estaciones, lo que es de esperarse ya que se utilizan valores promedio de los parámetros para estimar las precipitaciones en cualquier punto.
Intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial (mm/h)
1000
recta teórica Error relativo de +/-20% Error relativo de +/-30% Datos calculados 100
10
1 1
10
100
1000
Intensidades máximas "observadas" (mm/h)
Figura 6-30 Intensidades máximas observadas vs intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para todo el departamento de Antioquia. En la Figura 6-31 a la Figura 6-34 se muestra la variación de los parámetros de los diferentes modelos de multiescalamiento con la duración. Para el caso de todo el Departamento entre otras cosas puede observarse lo siguiente: •
El exponente θ tiene un comportamiento creciente con la duración. Condición que puede indicar, a pesar de tener parámetros de escala diferentes en el escalamiento espacial y temporal, que el rango para el cual son válidas las
147
propiedades de invarianza de escala o multiescala en el escalamiento temporal es mucho menor, que el amplio rango considerado en el escalamiento temporal, e incluso que las hipótesis que supone el escalamiento no se cumplen. Puede apreciarse también que el exponente θ tiene un comportamiento asintótico alrededor de 0,80. •
Se observa buena correlación entre los momentos de orden 1 y orden 2 de intensidad máxima promedio diaria y la precipitación promedio multianual.
•
El factor de “decaimiento” l(2) aumenta con la duración, es decir, que a medida que aumentan las duraciones la precipitación tiende a un comportamiento de escalamiento simple.
Tabla 6-9 Errores relativos promedios y máximos (en %) entre el modelo de curvas IDF (escalamiento espacial múltiple escalando con la precipitación media anual) y los valores observados (ajustados a una distribución logNormal). Todo el departamento
Región 2
Región 3
(Oriente de
(Norte de
Antioquia)
Antioquia)
Región 1 (Penderisco-Murrí
Error
Error
Región 4 (Valle del Aburrá) Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
Error
medio
máximo
medio
máximo
medio
máximo
(%)
(%)
(%)
(%)
(%)
(%)
(%)
(%)
(%)
(%)
45
7
59
10
-28
9
36
11
-29
8
-28
60
14
45
12
13
9
27
12
-27
7
-27
75
13
39
9
-27
9
25
12
-26
7
-31
90
13
-38
10
-31
9
23
13
-29
6
-24
105
14
-41
11
-30
9
23
13
-29
6
-24
120
14
-49
10
-27
9
26
13
-30
5
-25
1440
12,
-37
13
-39
8
18
12
-30
9
-17
Duración (minutos)
medio máximo máximo
máximo
148
1.10
1.00
Valor del exponente
0.90
0.80
0.70 Todas las estaciones Region 1 (Penderisco-Murrí) Region 2 (Oriente Antioqueño) Region 3 (Norte de Antioquia) Region 4 (Valle de Aburra)
0.60
0.50
0.40
0.30 10
100
1000
10000
Duración (minutos)
Figura 6-31 Variación del exponente de escalamiento con la duración.
Coeficiente E[Ipref]
100
10
Todas las estaciones Region 1 (Penderisco-Murrí) Región 2 (Oriente Antioqueño) Región 3 (Norte de Antioquia) Región 4 (Valle de Aburrá)
1 10
100
1000
Duración (minutos)
Figura 6-32 Variación del coeficiente E[Ipref] con la duración.
10000
149
6000
Valor del coeficiente E[I pref2]
5000
4000
3000 Todas las estaciones Region 1 (Penderisco-Murrí) Region 2 (Oriente Antioqueño) Region 3 (Norte de Antioquia) Region 4 (Valle de Aburra)
2000
1000
0 10
100
1000
Duración (minutos)
10000
Figura 6-33 Variación del coeficiente E[Ipref2] con la duración. 1.03 1.02 1.01
Coeficiente l(2)
1.00 0.99 0.98 Todas las estaciones
0.97
Region 1 (Penderisco-Murrí) 0.96
Región 2 (Oriente Antioqueño) Región 3 (Norte de Antioquia)
0.95
Región 4 (Valle de Aburrá)
0.94 0.93 0.92 10
100
1000
Duración (minutos)
Figura 6-34 Variación del exponente l(2) con la duración.
10000
150
6.2.2.2 SUBDIVISIÓN DE LA ZONA EN ESTUDIO POR SUBREGIONES Se subdividió la zona en estudio en cuatro subregiones, véase Figura 6-35, y en cada una de estas, siguiendo la misma metodología para todo el Departamento, se aplicó un modelo lognormal de multiescalamiento a las estaciones localizadas dentro de las diferentes zonas. Al igual que para todo el Departamento, en cada una de las subregiones se tomó como valor de referencia aquella estación que tuviese la mayor precipitación promedio anual.
6.2.2.2.1 PENDERISCO-MURRÍ (REGIÓN 1) Se tomaron 11 estaciones localizadas en la vertiente occidental de la cordillera occidental en su mayoría en la cuenca del río Murrí. Las estaciones que conforman esta región son, véase Figura 6-35
Las Cruces, Mandé, Santa Bárbara, El Sireno, Nendo, Pabón,
Chaquenodá, La Palmera, Pantano Grande, La Blanquita Murrí y Musinga La Grande.
Para esta región se obtuvieron mejores correlaciones, entre los logaritmos de los momentos y los logaritmos de las precipitaciones medias anuales, que las obtenidas para todo el departamento, Por ejemplo en la Figura 6-36 se muestras las correlaciones para una duración de 45 minutos. En esta región al igual que para todo el Departamento se observa que el coeficiente de determinación aumenta con la duración.
En la Tabla 6-9 se muestran el resumen de los errores máximos y los errores promedios entre los valores calculados y los valores observados, para las diferentes duraciones. En esta tabla puede observarse que en general se tienen errores máximos del orden del 30% exceptuando la duración de 1440 minutos en la cual se tiene un error máximo del orden del 40%, véase Figura 6-37, estos errores máximos se presentan, en la mayoría de los casos en la estación Mandé.
151
REGIÓN 3 REGIÓN 1
REGIÓN 4
REGIÓN 2
CHOCÓ
Figura 6-35 Localización de las cuatro subregiones en la cuales se subdividió la zona de estudio
SANTANDER
152
Valor de cada uno de los momentos indicados
1.00E+10 y = 0.0049x 3.1408 R2 = 0.8124
1.00E+09 1.00E+08 1.00E+07 1.00E+06 1.00E+05
y = 0.0114x2.5271 R2 = 0.8256
M1 M2 M3 M4 M5
y = 0.0288x1.91 R2 = 0.8384
1.00E+04 1.00E+03
y = 0.0801x1.2859 R2 = 0.8497
1.00E+02 y = 0.2574x0.6508 R2 = 0.8588
1.00E+01 1.00E+00 1000
Precipitación media anual (mm)
10000
Figura 6-36 Variación de los momentos de las intensidades máximas en 45 minutos con la precipitación media anual (Región 1) Intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial (mm/h)
1000
recta teórica Error relativo de +/-20% Error relativo de +/-30% Datos calculados 100
10
1 1
10
100
1000
Intensidades máximas "observadas" (mm/h)
Figura 6-37 Intensidades máximas observadas vs intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para la región 1.
En la Figura 6-31 a la Figura 6-34 se muestran la variación de los parámetros de los diferentes modelos de multiescalamiento con la duración. En esta figura puede observarse que los parámetros tienen prácticamente el mismo comportamiento que los
153
parámetros obtenidos al considerar todo el Departamento, con la diferencia que por ejemplo para el coeficiente l(2) se tienen valores más cercanos a la unidad para la región del Penderisco-Murrí.
6.2.2.2.2 ORIENTE-ANTIOQUEÑO (REGIÓN 2). Se tomaron 17 estaciones localizadas en la vertiente oriental de la cordillera central en su mayoría en la cuenca del río Nare. Las estaciones que conforma esta región son, véase Figura 6-35: Inmarco, La Fe, La Severa; Las Palmas, Vasconia; El Retiro, La Mosca, Rionegro-La Macarena, El Chuscal, Corrientes, Remango, La Pradera, El Combo, San Carlos, El Pital, El Bizcocho y Calderas. Se escogió como estación de referencia para el escalamiento espacial, la estación El Bizcocho.
Para esta región no se obtuvieron correlaciones, entre los logaritmos de los momentos y los logaritmos de las precipitaciones medias anuales, mejores que en la región 1, sin embargo, si fueron mejores que las obtenidas para todo el departamento de Antioquia. En la Figura 6-38 se muestran las correlaciones para una duración de 45 minutos. Tal como se ha mencionado para las regiones anteriores, en esta región se observa que el coeficiente de determinación aumenta con la duración.
En la Tabla 6-9 se muestran los errores máximos y los errores promedios entre los valores calculados y los valores observados, para las diferentes duraciones. En esta tabla puede observarse que en general se tienen errores máximos inferiores al 30%, exceptuando la duración de 45 minutos en la cual se tiene un error máximo del 36%. Los errores máximos para las diferentes duraciones se presentan en diferentes estaciones.
En la Figura 6-31 a la Figura 6-34 se muestran la variación de los parámetros de los diferentes modelos de multiescalamiento con la duración. En esta figura puede observarse que los parámetros tienen prácticamente el mismo comportamiento que los parámetros obtenidos al considerar todo el Departamento, con la diferencia que se tiene un valor muy cercano a 1 para el coeficiente l(2) para la duración de 45 minutos:
154
Valor de cada uno de los momentos indicados
1.00E+10 1.00E+09
y = 7.6616x2.3123 R2 = 0.6455
1.00E+08 M1 1.00E+07
M2
y = 2.0389x1.9495 R2 = 0.6559
M3 1.00E+06
M4 M5
1.00E+05
y = 0.8666x1.5349 R2 = 0.6591
1.00E+04
y = 0.5928x1.0684 R2 = 0.6552
1.00E+03 1.00E+02
y = 0.7626x0.5345 R2 = 0.7264
1.00E+01 1.00E+00 1000
10000
Precipitación media anual (mm)
Figura 6-38 Variación de los momentos de las intensidades máximas en 45 minutos con la precipitación media anual (Región 2). Intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial (mm/h)
1000
recta teórica Error relativo de +/-20% Error relativo de +/-30% Datos calculados 100
10
1 1
10
100
1000
Intensidades máximas "observadas" (mm/h)
Figura 6-39 Intensidades máximas observadas vs intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para la región 2.
155
6.2.2.2.3 NORTE DE ANTIOQUIA (REGIÓN 3) Se tomaron 14 estaciones localizadas en la vertiente occidental de la cordillera central, sobre la margen izquierda del río Porce todas pertenecientes a la cuenca del río Nechí. Las estaciones que conforma esta región son, véase Figura 6-35: Río Grande-Bocacero, El Botón, Río Chico, Aragón, Río Negrito, El Chaquiro, Haitón, Trinidad, El Gómez, San Bernardo, El Tabor, La Teresita, Miraflores y Montañitas. Se escogió como estación de referencia para el escalamiento espacial, la estación El Tabor.
Para esta región se obtuvieron correlaciones, entre los logaritmos de los momentos y los logaritmos de las precipitaciones medias anuales, muy pequeñas En la Figura 6-40 se muestra las correlaciones para una duración de 45 minutos. Tal como se ha mencionado para las regiones anteriores, en esta región se observa que el coeficiente de determinación aumenta con la duración.
Valor de cada uno de los momentos indicados
1.00E+10 1.00E+09 y = 0.0011x3.3063 R2 = 0.4958
1.00E+08 1.00E+07
M1 M2
1.00E+06
M3 M4
1.00E+05
M5
y = 0.0016x2.7502 R2 = 0.5265 y = 0.0032x2.1653 R2 = 0.562
1.00E+04 1.5303
y = 0.01x 2
1.00E+03
R = 0.6002
1.00E+02
y = 0.0621x0.8201 R2 = 0.6391
1.00E+01 1.00E+00 1000
10000
Precipitación media anual (mm)
Figura 6-40 Variación de los momentos de las intensidades máximas en 45 minutos con la precipitación media anual (Región 3). En la Tabla 6-9 se muestran los errores máximos y los errores promedios entre los valores calculados y los valores observados, para las diferentes duraciones. En esta tabla puede observarse que para todas las duraciones y todas las estaciones se tienen errores
156
máximos inferiores al 30%. Los errores máximos para las diferentes duraciones se presentan en diferentes estaciones, véase Figura 6-41. Intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial (mm/h)
1000
recta teórica Error relativo de +/-20% Error relativo de +/-30% Datos calculados 100
10
1 1
10
100
1000
Intensidades máximas "observadas" (mm/h)
Figura 6-41 Intensidades máximas observadas vs intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para la región 3. En la Figura 6-31 a la Figura 6-34 se muestra la variación de los parámetros de los diferentes modelos de multiescalamiento con la duración. En esta figura puede observarse que los parámetros tienen prácticamente el mismo comportamiento que los parámetros obtenidos al considerar todo el Departamento. Se observa también que en esta zona es donde se presentan mayores valores del exponente θ : 6.2.2.3 VALLE DEL ABURRÁ (REGIÓN 4) Se tomaron 8 estaciones localizadas en la vertiente occidental de la cordillera central, todas pertenecientes a la cuenca del río Medellín. Las estaciones que conforma esta región son, véase Figura 6-36: Mazo, Chorrillos, Caldas, San Antonio de Prado, Villa Hermosa, San Cristóbal, Miguel de Aguinaga y La Ayurá. Se escogió como estación de referencia para el escalamiento espacial, la estación Caldas.
157
Para esta región se obtuvieron correlaciones, entre los logaritmos de los momentos y los logaritmos de las precipitaciones medias anuales, similares a las obtenidas en todo el departamento de Antioquia En la Figura 6-42 se muestran las correlaciones para una duración de 45 minutos. Tal como se ha mencionado para las regiones anteriores, en esta región se observa que el coeficiente de determinación aumenta con la duración.
Valor de cada uno de lo momentos indicados
1.00E+09 1.00E+08
y = 385.53x1.8686 R2 = 0.4345
1.00E+07 1.00E+06
y = 65.777x1.5478 R2 = 0.5047 M1
1.00E+05 1.00E+04
y = 15.025x1.1987 R2 = 0.563
M2 M3 M4 M5
1.00E+03
y = 4.5965x0.8229 R2 = 0.5831
1.00E+02 1.00E+01
y = 1.861x0.4231 R2 = 0.5587
1.00E+00 1000
10000 Precipitación media anual (mm)
Figura 6-42 Variación de los momentos de las intensidades máximas en 45 minutos con la precipitación media anual (Región 4). En la Tabla 6-9 se muestran los errores máximos y los errores promedios entre los valores calculados y los valores observados, para las diferentes duraciones. En esta tabla puede observarse que para todas las duraciones y todas las estaciones se tienen errores máximos inferiores al 31%, véase Figura 6-43. Es importante anotar que esta es la región en la cual las estaciones que la conforman se encuentran más cercanas entre sí, es la que presenta menor coeficiente de determinación, entre los logaritmos de los momentos y los logaritmos de las precipitaciones medias anuales.
En la Figura 6-31 a la Figura 6-34 se muestra la variación de los parámetros de los diferentes modelos de multiescalamiento con la duración. En esta figura puede observarse exponente θ presenta un comportamiento decreciente completamente
158
diferente a lo observado en las otras regiones. Se observa también que en esta zona es donde se presentan los menores valores del exponente θ. Intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial (mm/h)
1000
recta teórica Error relativo de +/-20% Error relativo de +/-30% Datos calculados 100
10
1 1
10
100
1000
Intensidades máximas "observadas" (mm/h)
Figura 6-43 Intensidades máximas observadas vs intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para la región 3. Además de lo mencionado en párrafos anteriores en la Figura 6-31 a la Figura 6-34 puede observarse entre otras cosas lo siguiente: •
En dos regiones tan distantes geográficamente, como la región del Penderisco Murrí y la región del Oriente Antioqueño se tienen, en general, parámetros muy similares
•
En las otras dos zonas, regiones 3 y 4, a pesar de tener valores de precipitaciones promedio multianuales similares, se tienen valores para el exponente θ muy diferentes, por ejemplo se tienen valores que varían de 0,42 y 0,82 para una duración de 45 minutos en las regiones 4 y 3 respectivamente.
En general puede concluirse que las intensidades máximas pueden ser escaladas a partir de las precipitaciones máximas multianuales. Al aplicar estas teorías de multiescalamiento se obtienen errores máximos inferiores al 30%, entre las
159
precipitaciones observadas y las calculadas, cuando se divide el departamento en regiones. Sin embargo, se observa que las diferencias obtenidas, entre los valores observados y calculados, para todo el Departamento no son significativas con respecto a las obtenidas en cada una de las subregiones, lo que puede indicar la incidencia de los efectos locales sobre las intensidades máximas.
6.2.2.4 TODO EL DEPARTAMENTO (ESCALANDO CON LA INTENSIDAD MÁXIMA DIARIA). Con la misma metodología expuesta en los párrafos anteriores se estimó un modelo lognormal de multiescalamiento espacial , pero utilizando como parámetro de escala la precipitación máxima en 24 horas. La expresión para el modelo quedará de la siguiente forma:
I d ,q =
[
E I dpref
[
]
E I dpref
2 2
]
[
] ⎛⎜
⎡ 2 ⎛EI dpref exp ⎢Φ q ln⎜⎜ 2 ⎢ E I dpref ⎝ ⎢⎣
[
]
I ⎞⎟ ⎜I ⎟ ⎝ pref ⎠
2 ( l ( 2 ) −1)θ
⎞ ⎤⎛ I ⎟ ⎥⎜ 1440 ⎟ ⎥⎜ I ⎠ ⎥⎦⎝ 1440 pref
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
( 2 −l ( 2 ))θ
(6-14)
Donde E[Idpref] es el valor esperado de la intensidad máxima para una duración específica en el sitio con el valor de la intensidad máxima diaria de referencia. (Estación Chaquenodá), E[Idref2] es el valor del momento de orden dos de la intensidad para una duración específica un el sitio con el valor de la intensidad máxima diaria de referencia (Estación Chaquenodá), I 1440 es el valor de la Intensidad máxima diaria en el sitio que se desea estimar la intensidad máxima y I
1440ref.
es la Intensidad máxima diaria en el sitio de
referencia
Las demás variables son iguales a lo descrito anteriormente, en la Tabla 6-10 se resumen los parámetros del modelo anterior así como los errores promedio y máximos obtenidos al utilizar el modelo para estimar las intensidades máximas en las 61 estaciones.
160
Tabla 6-10 Parámetros y errores relativos promedios y máximos del modelo de multiescalamiento, escalando con la Intensidad máxima diaria Duración
θ
L(2)
E[Idpref]
E[Idref2]
I 1440ref.
(minutos)
Error
Error
medio
máximo
(%)
(%)
45
0,79
0,958
71,66
5384
4,99
12
54
60
0,84
0,965
62,18
4030
4,99
10
39
75
0,89
0,97
54,82
3099
4,99
10
32
90
0,93
0,972
49,19
2464
4,99
10
30
105
0,94
0,974
44,31
1999
4,99
10
28
120
0,98
0,977
40,77
1695
4,99
9
28
1440
1
0,997
4,99
25,69
4,99
4
21
En esta tabla se observan errores relativos promedios del mismo orden de magnitud que los obtenidos en los otros métodos de escalamiento espacial para cada una de las regiones, sin embargo, se observan errores máximos mayores, especialmente para las duraciones más cortas. Para este modelo se observa que alrededor del 93% de los valores estimados presentan errores inferiores al 20% con respecto a los valores observados y menos del 1% presentan errores por encima del 30%, véase Figura 6-44.
6.3
CÁLCULO DE CURVAS IDF EN LA ZONA EN ESTUDIO, EN SITIOS DONDE NO SE CUENTE CON REGISTROS PLUVIOGRÁFICOS.
Tal como se menciona anteriormente las condiciones climáticas locales tienen una influencia fuerte sobre los diferentes parámetros que componen los modelos de curvas IDF, especialmente el exponente de escalamiento, por lo tanto cualquier modelo de regionalización que no involucre estas condiciones climáticas locales puede llevar a errores significativos en la estimación de las intensidades. De lo observado a lo a lo largo de este capítulo parece que, si bien es cierto que los valores máximos de las precipitaciones diarias “guardan” gran parte del comportamiento de las intensidades máximas para cortas duraciones, no son suficientes para explicarlo todo.
161
Intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial (mm/h)
1000
recta teórica Error relativo de +/-20% Error relativo de +/-30% Datos calculados 100
10
1 1
10
100
1000
Intensidades máximas "observadas" (mm/h)
Figura 6-44. Intensidades máximas observadas vs intensidades máximas calculadas con el modelo de escalamiento espacial para todo el Departamento, pero escalando con la precipitación máxima diaria.
No obstante lo anterior, en ingeniería es necesario recurrir a diferentes modelos simplificados para la estimación, así sea de manera aproximada, de las intensidades máximas en sitios donde no se cuenta con información suficiente para la elaboración de las curvas IDF.
Además de los diferentes modelos de escalamiento espacial mencionados, en el numeral anterior, a continuación se exploran diferentes modelos para la estimación de las intensidades máximas asociadas a diferentes períodos de retorno en sitios dónde únicamente se cuente con información pluviométrica, modelos derivados partir de los resultados obtenidos en el escalamiento temporal.
Como se vio anteriormente, desde el punto de vista práctico, es posible calcular las curvas IDF a partir de un modelo lognormal de escalamiento temporal simple. Dicho modelo con características válidas en dos rangos de duraciones entre 45 minutos y 105 minutos y entre 105 minutos y 1440 minutos (24 horas).
162
Para el cálculo de las curvas con este tipo de modelo es necesario conocer dos parámetros en cada uno de los rangos de duración: el exponente de escalamiento y el valor promedio de la intensidad máxima para la duración de referencia (105 y 1440 minutos).
Tal como se observa en numerales anteriores la ubicación de la estación y las condiciones climáticas locales, tienen una incidencia muy fuerte sobre el valor del exponente de escalamiento, sin embargo, durante este estudio no se encontraron expresiones que permitan relacionar las diferentes variables con el valor del parámetro, por lo anterior, y siendo consciente de la magnitud de los errores que esto implica, se propone considerar los exponentes de escalamiento como constantes e iguales a los valores promedio obtenidos para cada rango de duraciones.
Para las duraciones pequeñas, entre 45 y 105 minutos, a pesar de que el exponente de escalamiento aumenta con la duración, pueden estimarse las Intensidades máximas partir del valor medio observado en toda la zona del estudio de 0,64. Con esta suposición, y con la hipótesis de que los demás parámetros son estimados exactamente se tiene que en el 93% de las estaciones se tienen errores máximos relativos inferiores al 20% y en el 100% de las estaciones inferiores al 30%.
Para las duraciones mas largas, entre 105 y 1440 minutos, puede tomarse el exponente de escalamiento θ2 constante, e igual al promedio de los valores observados. Calculando las intensidades máximas con un exponente de escalamiento igual a 0,85, suponiendo que los demás parámetros son conocidos se tiene que en el 70 % de las estaciones tienen errores máximos relativos inferiores al 20% y en el 100 % de las estaciones inferiores al 32%.
Para cálculo del valor promedio de las intensidades máximas para las duraciones de referencia el procedimiento sería el siguiente:
163
•
Para las duraciones pequeñas, entre 45 y 105 minutos, el valor promedio de la intensidad máxima en 105 minutos, valor de referencia, podría ser calculado a partir del modelo de intensidades máximas para las duraciones largas.
•
Para las duraciones largas, entre 105 y 1440 minutos, el valor promedio de la intensidad máxima en 1440 minutos, 24 horas, podría ser calculado a partir de los registros pluviométricos.
En el modelo lognormal de escalamiento temporal simple se necesitarían también el segundo momento de las intensidades máximas de cada una de las duraciones de referencia, los cuales podrían ser calculados a partir de las regresiones encontradas y mencionadas anteriormente entre el momento de orden 1 y orden 2 para una duración específica, las cuales tienen la siguiente expresión.
M 2 ( I 105 ) = 1,27 M 1 ( I 105 )1,947
(6-
14)
M 2 ( I 1440 ) = 1,05M 1 ( I 1440 ) 2
(6-
15)
Debe notarse que la ecuación 6-15 implica un coeficiente de variación constante e igual a 0,22. Sin embargo, como normalmente se dispone de la serie de intensidades máximas diarias el valor del segundo momento M2(I1440) puede ser estimado de los datos observados.
Con la metodología descrita anteriormente podrían ser calculadas las intensidades máximas para duraciones entre 45 y 1440 minutos, sin embargo, no sería posible estimarlas para duraciones más cortas, las cuales son de mucho interés en el diseño de alcantarillados y obras de drenajes pequeñas.
Para el rango de duraciones pequeñas se propone la aplicación de resultados empíricos mostrados en la literatura mencionados en el capítulo 2 , en los cuales se supone que la relación entre la precipitación (Intensidad) máxima para una duración de referencia y la precipitación máxima para otra duración específica permanece constante para cualquier
164
sitio y para el mismo período de retorno sin importar cual, relaciones que son válidas para duraciones inferiores a 2 horas. Al aplicar esta metodología en las cinco estaciones con registros continuos se obtuvieron errores máximos inferiores al 20%, error comparable con cualquiera de las metodologías para el cálculo de curvas IDF con registros pluviográficos disponibles.
Relacionando estas relaciones con el escalamiento simple, ecuación 3-4, para una estación específica y un período de retorno específico, se tendría lo siguiente:
I d ,q I 60,q
I d ,q I 60,q
exp[Φ E [I ] dref
=
[ ]
E I dref
⎛d ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 60 ⎠
(
)]
(
)]
ln 1 + CV 2 ⎛ d ⎜⎜ 2 ⎝ dref 1 + CV
⎞ ⎟⎟ ⎠
θ
exp Φ q ln 1 + CV 2 ⎛ 60 ⎜⎜ ⎝ dref 1 + CV 2
⎞ ⎟⎟ ⎠
θ
[
q
(6-18)
θ
(6-19)
Luego podría ser calculado el valor de θ a partir de la ecuación 2-7 y se tendrían valores para θ de -0,53, -0,57, -0,59, -0,62
para las duraciones de 5, 10, 15 y 30 minutos
respectivamente. Se observa entonces, que este valor no es constante y va disminuyendo con la duración, lo que esta de acuerdo con las observaciones mencionadas anteriormente con respecto al exponente de escalamiento para las duraciones pequeñas.
A continuación se muestran los resultados obtenidos al aplicar los diferentes criterios mencionados anteriormente:
Modelo A. Para este modelo se suponen los exponentes de escalamiento iguales a los valores promedios obtenidos de los parámetros observados, de -0,64 para el rango de duraciones entre 45 y 105 minutos y de –0,85 para las duraciones de 105 y 1440 minutos. Los momentos de orden 1 y orden 2 para las intensidades máximas diarias son obtenidas
165
de los registros pluviométricos. Notése la similitud entre la expresión para el cálculo de las intensidades máximas para duraciones con el modelo A y la expresión encontrada por Vargas y Granados (1998) para la región Andina ecuación (2-11), en la cual se tiene un exponente para la duración de 0,66.
Las Intensidades máximas para las duraciones 5 y 45 minutos se suponen que pueden ser estimadas partir de la expresión 2-7, que para las intensidades máximas quedaría:
IT
d
IT
60
=
32,4 30 − d 0, 75 d
para 5 ≤ d
45
(6-17)
Al tomar la duración de referencia de 105 minutos y estimar las relaciones promedio en todas las estaciones del estudio se obtienen diferencias máximas del 6% con respecto a las relaciones obtenidas con la ecuación 6-16. Si se suponen que estos valores son constantes para toda la región en estudio se obtendría, al calcular las intensidades máximas para cualquier período de retorno una error máximos del 29% entre el valor observado y el valor calculado, este error disminuye a medida que la duración calculada se acerca más a la duración de 105 minutos, véase Tabla 6-11
Tabla 6-11 Relaciones observadas entre la intensidad máxima en 60 minutos y la intensidad máxima para la duración indicada. Relación
I45/i60
I75/i60
I90/i60 I105/i60 I120/i60
promedio
1,20
0,86
0,75
0,67
0,60
desviación éstandar
0,05
0,03
0,04
0,05
0,05
1,20
0,87
0,78
0,70
0,64
Valor máximo
1,30
0,93
0,85
0,77
0,71
Valor mínimo
1,06
0,81
0,68
0,59
0,53
Error máximo (%)
0,11
0,08
0,14
0,15
0,18
Valor
estimado
ecuación 6-17
con
la
De acuerdo con todo lo anterior las intensidades máximas en cualquier sitio, dentro de las zonas de interés podrían estimarse a partir del valor promedio de las intensidades máximas diarias, los pasos se resumen a continuación.
166
Teniendo en cuenta que el primer y segundo momento de las precipitaciones máximas diarias son conocidos. Las intensidades máximas para el rango de duraciones entre 105 y 1440 minutos pueden estimarse a partir de la siguiente expresión:
E [I 24 ]
2
I d ,q =
[ ]
E I 24
2
( ) ⎞⎟ ⎤⎥⎛⎜
⎡ ⎛ E I 24 2 exp ⎢Φ q ln⎜⎜ 2 ⎢⎣ ⎝ E [I 24 ]
d ⎞ ⎟ ⎥⎝ 1440 ⎟⎠ ⎠⎦
− 0 ,85
para 105 min ≤ d ≤ 1440 min
(6-18)
Para las duraciones pequeñas entre 5 y 105 minutos las intensidades máximas pueden estimarse de la siguiente manera:
E [I 105 ]
2
I d ,q =
[ ]
E I 105
2
( ) ⎞⎟ ⎤⎥⎛⎜
⎡ ⎛ E I 105 2 exp ⎢Φ q ln⎜⎜ 2 E [I 105 ] ⎢ ⎝ ⎣
d ⎞ ⎟ ⎥⎝ 105 ⎟⎠ ⎠⎦
− 0 , 64
para 45 min ≤ d ≤ 105 min
(6-20)
Donde el valor de E[105] se calcula
E [I 105 ] = E [I 1440 ] (105 / 1440) −0,85
(6-
21) y
[ ]
E I 105 = 1,27 E [I 105 ] 2
1, 947
(6-
22)
Siguiendo los dos pasos anteriores se calcularon las precipitaciones máximas para todas las estaciones y se obtuvieron errores máximos hasta del 40%, en el 90 % de las estaciones se observan errores máximos inferiores al 30% y sólo en el 50% de ellas se tienen errores inferiores al 20%, no obstante lo anterior en el 90 % de las intensidades máximas estimadas se obtuvieron errores inferiores al 20% y en el 99% de los casos se obtuvieron errores inferiores al 30%.
167
Intensidades máximas calculadas con el modelo A (mm/h)
1000
recta teórica Error relativo de +/-20% Error relativo de +/-30% Datos calculados
100
10
1 1
10
100
1000
Intensidades máximas "observadas" (mm/h)
Figura 6-45 Intensidades máximas observadas vs intensidades máximas calculadas con el modelo A.
Modelo B. Para este modelo se supone el exponente de escalamiento para las duraciones entre 105 y 1440 minutos constante para toda la zona e igual a –0,85. Los momentos de orden 1 y orden 2 para las intensidades máximas diarias son obtenidas de los registros pluviométricos
Las Intensidades máximas para las duraciones 5 y 105 minutos se suponen que pueden ser estimadas partir de la expresión 2-7, cambiando el punto de referencia de 60 a 105 minutos dicha expresión quedaría.
PT PT
d
105
= 0,44d 0, 25 − 0,41 para 5 ≤ d 105
(6-23)
o lo que es lo mismo
IT IT
d
105
=
46,20 43,05 − d d 0,75
para 5 ≤ d 105
(6-24)
168
SANTANDER CHOCÓ CONVENCIONES Error relativo máximo (30 % más que el valor observado) Error relativo máximo (30 % menos que el valor observado)
Figura 6-46 Errores máximos obtenidos con el modelo A
169
Al tomar la duración de referencia de 105 minutos y estimar las relaciones promedio en todas las estaciones del estudio se obtienen diferencias máximas del 6% con respecto a las relaciones obtenidas con la ecuación 6-22. Si se suponen que estos valores son constantes para toda la región en estudio se obtendría, al calcular las intensidades máximas para cualquier período de retorno una error máximos del 21% entre el valor observado y el valor calculado, este error disminuye a medida que la duración calculada se acerca más a la duración de 105 minutos, véase Tabla 6-12 Tabla 6-12 Relaciones observadas entre la intensidad máxima en 105 minutos y la intensidad máxima para la duración indicada.
Relación Promedio
I45/i105 I60/i105 I75/i105 I90/i105 I120/i105 1.81 1.51 1.29 1.13
0.90
Desviación estan. 0.19 0.11 0.05 0.02
0.01
Valor máximo
2.12 1.69 1.38 1.17
0.95
Valor mínimo
1.43 1.30 1.18 1.07
0.87
Error máximo (%)
21
14
8
5
5
De acuerdo con todo lo anterior las intensidades máximas en cualquier sitio, dentro de las zonas de interés podrían estimarse a partir del valor promedio de las intensidades máximas diarias, los pasos se resumen a continuación.
Las intensidades para duraciones entre 105 y 1440 minutos se estiman de acuerdo con la ecuación 6-18.
Para las duraciones pequeñas entre 5 y 105 minutos las intensidades máximas pueden estimarse a partir de la ecuación 6-24
Siguiendo los dos pasos anteriores se calcularon las precipitaciones máximas para todas las estaciones y se obtuvieron los siguientes resultados, se observaron errores relativos máximos, con respecto a los valores observados, del orden del 44% . En tan sólo el 40% de las estaciones se observaron errores inferiores al 20% y cerca del 65 % de las estaciones se presentaron errores máximos inferiores al 30%. Se observa pues que con
170
este modelo, en general los errores relativos máximos son mayores que con el modelo A. Para este modelo se tiene que el 80% de las intensidades máximas estimadas presentan valores inferiores al 20% y el 95% de los casos valores inferiores al 30%, véase Figura 6-45.
Intensidades máximas calculadas con el modelo B (mm/h)
1000 recta teórica Error relativo de +/-20% Error relativo de +/-30% Datos calculados
100
10
1 1
10
100
1000
Intensidades máximas "observadas" (mm/h)
Figura 6-47. Intensidades máximas observadas vs intensidades máximas calculadas con el modelo B.
A su vez en el modelo A se observan errores mayores que los obtenidos con el modelo de regionalización de multiescalamiento, tomando como parámetro de escala la precipitación máxima diaria.
A pesar de la magnitud de los errores relativos obtenidos en los diferentes modelos regionales los errores obtenidos son del mismo orden de magnitud e incluso inferiores a los obtenidos cuando se aplican otras metodologías de regionalización para el departamento de Antioquia.
Así por ejemplo se calcularon las intensidades máximas para las 61 estaciones utilizando el modelo para la región andina propuesto por Vargas y Granados (1992), para duraciones entre 45 y 120 minutos y se obtuvieron errores máximos del orden del 39%. En el 99% de las intensidades máximas calculadas se obtuvieron errores inferiores al
171
30% y en el 88% se obtuvieron errores inferiores al 20%. Este modelo tiene la desventaja, con respecto a los propuestos en este trabajo, que son válidos únicamente para duraciones inferiores a los 180 minutos.
Se calcularon también las intensidades máximas de 36 de las 61 estaciones, utilizando los parámetros regionalizados en 17 zonas mostrados en la “Hidrología de Antioquia”, (Vélez y Smith, 1997). Con estos modelos se obtuvieron errores máximos del orden el 44%, en el 75% de las estaciones se obtuvieron errores máximos inferiores al 30% y en el 50% de ellas se obtuvieron errores máximos inferiores al 20%. Además, en el 85% de las intensidades máximas calculadas se obtuvieron errores inferiores al 30% y en el 65% de los casos se obtuvieron errores inferiores al 20%.
172
7
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Como conclusión general puede resaltarse, que en el estudio de las precipitaciones máximas, obtención de curvas IDF, aún se tienen gran cantidad de interrogantes que no han sido resueltos satisfactoriamente, a pesar de ser una herramienta de uso continuo en la ingeniería. Entre otros interrogantes pueden mencionarse; El tipo de serie a utilizar, series parciales o máximas anuales, la longitud de los intervalos de períodos sin lluvia para la separación de los registros continuos en tormentas estadísticamente independientes, justificaciones para la determinación de los rangos de duración, metodologías para el ajuste de los datos a una función de distribución específica, estimación de parámetros de la función de distribución. Algunos comentarios con respecto a los puntos anteriores se realizaron a lo largo de este trabajo.
La zona de estudio es caracterizada por una gran variabilidad climática, la cual está determinada por gran cantidad de factores dentro de los cuales pueden mencionarse la situación tropical, la vecindad con los océanos pacífico y atlántico, la presencia de dos de los tres ramales de la cordillera de los Andes, y la variabilidad de los diferentes procesos de la hidrología superficial, (Vélez, Poveda y Mesa, 2000), esta gran variabilidad climática dificulta cualquier generalización que desee realizarse acerca de las precipitaciones máximas.
A lo largo de este estudio se realizaron observaciones en diferentes tópicos relacionados con las precipitaciones máximas puntuales en una amplia zona del departamento de Antioquia, las conclusiones y recomendaciones pueden subdividirse en tres grupos; aquellas relacionadas con el análisis de la información disponible, las relacionadas con el análisis de frecuencias de eventos extremos y las relacionadas con la aplicación de los conceptos escalamiento simple y multiescalamiento para la estimación de las curvas intensidad duración frecuencia, a continuación se resumen dichas conclusiones.
173
•
Tal vez la conclusión más importante relacionada con la información disponible tiene que ver con el efecto del tipo de aparato registrador sobre las precipitaciones máximas, particularmente para las duraciones cortas. Se ha observado que el aparato tiene una influencia grande sobre los valores reales de precipitación, así por ejemplo en el análisis de homogeneidad de las diferentes series se detectaron diferencias hasta del 50% de los valores promedios registrados con aparatos registradores diferentes para una misma estación.
El efecto del aparato registrador se conserva incluso hasta duraciones superiores a una hora, y en general puede afirmarse que en los aparatos de menor resolución temporal se subestima el valor real de las precipitaciones máximas. Lo anterior es una situación que delicada, si se tiene en cuenta que el diseño de alcantarillados normalmente se realiza para tiempos de concentración inferiores a 20 minutos, véase Empresas Públicas de Medellín, (1989)
Por lo tanto se recomienda realizar investigaciones que permitan cuantificar el efecto real sobre las precipitaciones máximas de los diferentes aparatos registradores existentes en la zona, para de esta forma estimar curvas IDF que permitan dimensionar de forma más confiable las pequeñas estructuras hidráulicas. Esta recomendación es viable, ya que actualmente Empresas Públicas de Medellín tiene dotadas muchas de las estaciones pluviográficas, además del aparato convencional, con aparatos del tipo de cubeta basculante que permiten una resolución temporal muy buena. •
Otra conclusión importante, de acuerdo con los resultados de este estudio, es que para la elaboración de las curvas IDF, en la medida de lo posible deben procesarse los registros pluviográficos completamente y no sólo unas cuantas tormentas en el año, especialmente si se desean estimar las precipitaciones máximas para duraciones cortas, inferiores a 1 hora. De no ser factible deben procesarse el mayor número de tormentas por año, mínimo 8 tormentas.
•
Se observa que a pesar de la gran variabilidad espacial de las precipitaciones máximas, y de las relaciones entre las precipitaciones máximas con una hora de
174
duración y la precipitación máxima para diferentes duraciones y la gran dispersión que presentan éstas alrededor de los valores promedio, parece adecuado utilizar las
relaciones
empíricas
propuestas
por
Hershfield,
para
estimar
las
precipitaciones máximas para duraciones pequeñas, máxime si se tienen en cuenta la gran cantidad de errores, la incertidumbre y las imprecisiones que se tiene en el registro y procesamiento de las precipitaciones máximas para duraciones pequeñas, los cuales puede inducir en errores del mismo orden de magnitud o incluso hasta superiores que los obtenidos al utilizar dichas relaciones. •
En general no se observa una influencia muy clara, como la reportada en otras latitudes, del ENSO sobre las series de precipitaciones máximas, sin embargo, es necesario realizar un estudio más detallado en este sentido véase por ejemplo Heredia, (1998).
•
En la mayor parte de la zona en estudio se tienen lluvias diurnas, las cuales en su mayoría ocurren en las horas de la tarde, entre las 12 y las 19 horas, hora local, y son, probablemente ocasionadas por la combinación de efectos convectivos y orográficos.
Se observan lluvias nocturnas en 16 de las 61 estaciones analizadas, este comportamiento se observa principalmente en la zona del oriente Antioqueño, en las estaciones por debajo de los 2.000 msnm. Se observan lluvias nocturnas también en estaciones La Palmera, Haitón, Farallones, Cachipay, El Mango y Madreseca estas cuatro últimas localizadas en la parte baja de los valles del río cauca y Porce-Nechí.
En ninguna de las estaciones se observa un predominio de tormentas en las horas de la mañana, excepto en la estación de San Bernardo en la cual la hora con mayor número de tormentas es entre las 11 y 12 del día. •
En el análisis de frecuencias de los eventos extremos de intensidades, los parámetros de cada una de las funciones de distribuciones fueron estimados de acuerdo con tres metodologías diferentes, métodos de los momentos, método de
175
“L-moments” y método de máxima verosimilitud. A pesar de no obtenerse diferencias significativas en los diferentes parámetros estimados, se observa que los mejores resultados fueron los obtenidos por el método de “l-moments” por lo tanto se recomienda su utilización en el estudio de eventos extremos en hidrología ya que es un método fácil de utilizar y no presenta los problemas computacionales y dificultades que presenta el método de máxima verosimilitud. •
A cada una de las series de intensidades máximas utilizadas se ajustaron nueve funciones de distribuciones de probabilidad de dos y tres parámetros encontrándose que, exceptuando la distribución logGumbel, los valores obtenidos con cualquiera de las distribuciones son del mismo orden de magnitud con diferencias máximas del 20% para un período de retorno de 500 años, diferencias que desde el punto de vista práctico no son muy significativas, máxime si se tiene en cuenta la corta longitud de los registros.
Por lo anterior parece razonable utilizar para el análisis de frecuencias, siempre y cuando no existan argumentos teóricos ni físicos que exijan una distribución específica, las funciones de distribución más simples y más utilizadas en el medio, como por ejemplo la distribución lognormal de II parámetros.
No obstante los resultados obtenidos con las funciones de distribución logestables, dadas las propiedades de escalamiento de este tipo de funciones de distribución,
estas
deberían
ser
consideradas
en
estudios
posteriores
relacionados con las propiedades de escalamiento de los eventos extremos en diferentes fenómenos de hidrología. •
A lo largo de este trabajo se ha mostrado que al aplicar las propiedades de escalamiento simple y escalamiento múltiple se obtienen modelos adecuados para estimar las curvas IDF. Los resultados obtenidos con dichos modelos, son del mismo orden de magnitud, con errores máximos relativos considerablemente menores, a los obtenidos por la metodología tradicional, se muestra pues una metodología en la cual la estimación de los parámetros es mucho más sencilla y la
176
cual obedece a un procedimiento más racional que el utilizado en el modelo convencional el cual es un proceso netamente heurístico. •
En el rango de duraciones estudiado, entre 45 y 1440 minutos, se observan mínimo dos regímenes o rangos de duraciones en los cuales se tienen propiedades de escala diferentes, el punto en el cual se presenta este cambio se ha detectado entre una y dos horas. Otros autores han reportado la presencia de este punto de cambio, pero en diferentes duraciones, por ejemplo Burlando and Rosso, (1996) reportaron que este cambio se daba alrededor de los 45 minutos y Nguyen, Nguyen and WANG H, (1998) lo reportan alrededor de 1 hora. No debe descartarse la posibilidad de que este punto de quiebre sea una consecuencia de la baja resolución temporal de los medidores. La hipótesis anterior es reforzada por el comportamiento de escalamiento creciente, véase Figura 6-6, situación que podría presentarse por una subestimación de las intensidades máximas en las duraciones cortas.
•
En general se observa que con los modelos de multiescalamiento se obtienen mejores resultados en la estimación de las intensidades máximas, sin embargo, no se tienen pruebas estadísticas que permitan rechazar las hipótesis, por lo tanto se hace necesario profundizar en la investigación de diferentes pruebas estadísticas más robustas que permitan rechazar las hipótesis de escalamiento simple. Además, para el rango duraciones cortas no es muy claro la presencia de escalamiento simple o múltiple, ya que de acuerdo con la información disponible, no se cumplen las hipótesis de invarianza de escala pues no se tiene un único exponente de escalamiento sino que este varía con la duración.
Para el rango de duraciones entre 105 y 1440 minutos tanto la función de estructura como el exponente l(2), permiten proponer el escalamiento simple para las precipitaciones máximas. En estas duraciones se observa que el exponente de escalamiento varía en un rango relativamente estrecho, entre –0,78 y -0,91, con un valor promedio de -0,85 mostrando una variabilidad local del mismo orden de magnitud que la variabilidad regional. En algunos sitios se observa una clara variación del exponente de escalamiento con la altura, por ejemplo la cuenca del
177
río Penderisco en el cual se observa un valor máximo para el exponente de escalamiento alrededor de los 1000 m., sin embargo, este comportamiento no se observa en todas las regiones. •
Se observó también dentro de este estudio el escalamiento espacial de las intensidades máximas, con base en las propiedades de multiescala se obtuvieron modelos de multiescalamiento regionales, escalando las intensidades máximas con la precipitación promedio multianual.
Los resultados obtenidos para el multiescalamiento espacial pueden ser utilizados para la estimación de las curvas IDF en sitios donde no cuente con ninguna información diferente a la precipitación media anual del sitio para duraciones entre 45 y 1440 minutos. Con la aplicación de estos modelos se podrían tener errores hasta del 60% si se emplea el modelo propuesto para todo el departamento o del 40% se emplean los modelos obtenidos para cada una de las subregiones. Es importante mencionar que para el modelo propuesto para el departamento de Antioquia en el 74% de las estaciones se obtuvieron errores inferiores al 20% y que en el 80% de ellas se obtuvieron errores inferiores al 30%. De lo anterior puede concluirse que en la precipitación promedio multianual se tiene “almacenada” información valiosa relacionada con las precipitaciones máximas, sin embargo, esta no es suficiente para explicar exactamente el comportamiento de las intensidades máximas con duraciones inferiores a 1 día.
Se observó también el escalamiento espacial, utilizando como parámetro de escala la precipitación máxima promedio diaria y se obtuvieron resultados mejores que los obtenidos con la precipitación promedio multianual como parámetro de escala. Con este modelo a pesar de haber obtenidos errores máximos hasta del 54%, en el 93% de las intensidades máximas estimadas se obtuvieron errores inferiores al 20% y en el 99% se obtuvieron errores inferiores al 30%. •
Sin ignorar que las condiciones climáticas locales tienen una influencia fuerte sobre los diferentes parámetros que componen los modelos de curvas IDF, especialmente el exponente de escalamiento y que por lo tanto cualquier modelo
178
de regionalización que no involucre estas condiciones climáticas locales conlleva a errores en la estimación de las intensidades, y teniendo en cuenta que normalmente en ingeniería es necesario recurrir a diferentes modelos simplificados para la estimación, así sea de manera aproximada, de las intensidades máximas con base en los resultados obtenidos en el escalamiento temporal se propone un modelo de cálculo para la estimación de las curvas IDF utilizando únicamente la información pluviométrica (modelo A descrito en el capítulo 6).
Con la aplicación de este modelo es observan errores máximos hasta del 40%, sin embargo, en el 90 % de las estaciones se observan errores máximos inferiores al 30% y en el 50% de ellas se tienen errores inferiores al 20%, situación comparable con los errores máximos obtenidos al aplicar la metodología convencional en cada uno de los sitios. No obstante los errores máximos, en el 90 % de las intensidades máximas estimadas se obtuvieron errores inferiores al 20% y en el 99% de los casos se obtuvieron errores inferiores al 30%. •
De todo lo anterior puede concluirse finalmente que con la aplicación de las teorías de invarianza de escala y multiescala, es posible obtener conclusiones importantes de diferentes fenómenos en la naturaleza. En el caso particular de las precipitaciones máximas permite estimar de manera confiable y simple relaciones entre la intensidad y la duración, curvas IDF, en un sitio determinado lo que a su ves facilita el estudio del fenómeno a nivel regional.
179
BIBLIOGRAFÍA ANG, Alfredo and TANG, Wilson. Probability concepts in engineering, planning and design. Volume II: Decision, Risk and reliability. John Wiley and Sons, 1984.
ARNELL V, HARREMOES P, JENSEN N, JOHANSE N. B. and NIEMEZYNOWICS. Review of rainfall data application for design and analysis. Water Science and Technology vol 16 N° 8-9 pp 1-45, 1984.
BACCHI, Baldassare. Analisi e previsione statistica delle piogge di breve durata e forte intensita En curso de actualización "El riesgo hidrogeológico y la protección hidráulica de los territorios fuertemente antropizados", Medellín 1998.
BERNARD M. Merry. Formulas for rainfall intensities of long duration Transactions of the American society of civil Engineers, volume 96, New York, 1932.
BEIRLANT Jan, TEUGELS, Josef and VYNCKIER Petra. Practical analysis of extreme values. Leuven University Press. 1996 .
BELL Charles Frederick. Generalized rainfall-duration-frequency relationships. Journal of hydraulics division. ASCE. January, vol 95, 1969.
BENJAMIN Jack y CORNELL Allin. Probabilidad y estadística en ingeniería Civil. McGraw Hill Latinoamericana, 1981.
BOCACCI. O. Rainfall as the basis urban-runoff- Experience and practice in Yugoslavia. Water Science and Technology vol 16 N° 8-9 pp 102-108, 1984.
BOTERO B. Alejandro León y Muñoz G. Sergio I Obtención de curvas intensidad frecuencia duración para el departamento de Antioquia. Medellín 53 p. Trabajo de grado (ingeniería Civil). Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Minas, 1997.
180
BURLANDO Paolo, ROSS Renzo Scaling and Multiscaling models of depth-durationfrequency curves for storm precipitation. Journal of Hydrology N° 187 pp 45-64. 1996.
CAO, Carlo. A contribution to statistical depth-duration-frequency analysis. Journal of Hydrology, N°22 pp109-129. 1974.
CARDENAS B, Juan Carlos, MARÍN P. Olga Lucía y LOPEZ O. Isabel Cristina, “Curvas de masas para las estaciones pluviográficas de las Empresas Públicas de Medellín que poseen curvas Intensidad Duración Frecuencia, Tesis de grado. Universidad de Medellín. Facultad de Ingeniería Civil. 1995
CHEN, Cheng L. Rainfall intensity-Duration-Frequency formulas. Journal of hydraulics engineering, vol 109 No 12. pp 1603-1621, 1983.
CHOW, Ven te. The log-probability law and its engineering applications. Proceedings American Society of Civil Engineers. 1954
CHOW, Ven te. Statistical and probability analysis of hydrological data. Part I. Frequency analysis. En Chow Ven Te. Handbook of applied hydrology. McGraw Hill book Company, 1964
CHOW, Ven te, Maidment David R, Mays Larry W Hidrología aplicada. McGraw-Hill interamericana S.A. Santa Fé de Bogotá, 1994.
COMMITEE ON TECHNIQUES FOR ESTIMATING PROBABILITIES OF EXTREME FLOODS. Estimating probabilities of extreme floods, methods and recommended research. National Academy Press. Washington D.C. 1988
CONG, Shuzheng, LI Yuanzhang, VOGEL, Jhon AND SHAAKE Jhon. Identification of the underlying Distribution form of precipitation by using regional data. Water Resources Research, Vol 29. N°4, pp1103-1111. 1993.
181
DAHMEN E. R. and HALL M.J. Screening of hydrological data: Test for stationarity and relative consistency. International Institute for land reclamation an improvement publication N° 49. 1990.
DIXON J. W. Planning and development, En Chow Ven Te. Handbook of applied hydrology. McGraw book Company, 1964.
EAGLESON, Peter. Climate, soil and vegetation. 2. The distribution of annual precipitation derived from observed storm sequences. . Water Resources Research, vol 14 No 5,pages 713-721, Octubre de 1978.
EMPRESAS PÚBLICAS DE MEDELLÍN. Normas de diseño de acueducto y alcantarillados y aguas residuales , 1989
EMPRESAS PÚBLICAS DE MEDELLÍN. Anuario hidrometeorológico. Volumen 1, 1991
GILMA Charles. Rainfall. In CHOW Ven Te. Handbook of Applied Hydrology. aw Hill INC. 1964.
GRENWOOD Arthur, LANDWEHR Maciunas, MATALAS N.C.and Wallis J.R.. Probability weighted moments: Definition and relations to parameter of several distributions expressable in inverse form, Water Resources Research. vol 15 No 5, pages 10491054, 1979.
GUPTA Vijay k. Multiscaling theory of flood peaks: Regional quantile analysis. Water Resources Research, vol 30 No 12,pages 3405-3421, December de 1994.
GUPTA Vijay K and, Waymire Edward. Multiscaling properties of spatial rainfall and river flow distributions. Journal of Geophysical Research, volume 95, No D3 ,Febrero de 1990
GUPTA Vijay K and, Waymire Edward. A statistical analysis of mesoscale rainfall as a random cascade. Journal of applied meteorology, volume 32, No 2,Febrero de 1993
182
FROEHLICH, David C Intermediate-duration-rainfall intensity equations.
Journal of
Hydraulic Engineering, Vol. 121, No 10, Octubre 1995, pp751-756.
HEREDIA C. Edison. Una metodología de análisis regional de frecuencias de lluvias intensas adecuada para zonas bajo efectos del niño. En: CADIER Eric,GOMÉZ Gustave, GALÁRRAGA Remigio y FERNÁNDEZ-JUAREGUI Carlos Consecuencias climáticas e hidrológicas del evento El Niño a escala regional y local. Incidencia en América
del
Sur,
Ecuador
1998
publicación
de
la
UNESCO
(
www.unesco.org.uy/phi/libros/enso/)
HERSFIELD. D. M. Some statistical properties of short duration rainfall. Water Science and Technology vol 16 No 8/9. P101-108, 1984.
HOSKING J.T.M. and WALLIS J.R. Regional frequency analysis: an approach based on lmoments. Cambridge University Press. 1997.
KITE, G.W. Frequency and risk analyses in hydrology. Water Resources Publications. Fort Collins Colorado. 1977
KOTHYARI Umesh C. and GARDE Ramchandra J. Rainfall intensity-duration-frequency formula for India. Journal of Hydraulics Engineering, Vol. 118 No 2. 1992. pp 323335.
LANDWEHR Maciunas and MATALAS N.C. Probability Weighted moments compared with some traditional techniques in estimating Gumbel parameters and quantiles.. Water Resources Research. Vol 15. No 5. 1979. ppp1055-1064.
MESA, Oscar, POVEDA, Germán y Carvajal L. Fernando. Introducción al clima de Colombia. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín. Facultad de Minas. 1997.
183
MONSALVE
Germán.
Hidrología en la ingeniería. Editorial escuela Colombiana de
Ingeniería. Santa Fé de Bogotá 1995.
NOLAN, John P. Stable Distribution Capítulo 1 [En línea] Math/Stat Department American University, 1999 www.cas.american.edu/∼jpnolan.
NGUYEN V. T. V. , NGUYEN T. D. and WANG H. Regional estimation of short duration rainfall extremes. Water Science and Technology Vol 37 No 11, pp15-19. 1998.
OSTER, Remy. Las precipitaciones en Colombia. Colombia Gegráfica. Instituto Geográfico Agustín Codazzi, Vol 6 N°2 de 1979.
OVER Thomas, GUPTA Vijay K. Statistical analysis of mesocale Rainfall: Dependence of random cascade generator on large-Scale forcing. Journal of applied meteorology, volume 33, No 12, 1994
PILGRIM, David H Bridging the gap between flood research and design practice. Water Resources Research. Vol 22, No 9 pp 1655-1765, 1986.
RANZI Roberto. Valutazione delle portate al colmo di piena in un bacino alpino con un modello di trasformazione afflusi-defflusi. La difesa idraulica del territorio. Universita di brescia, diprtimento di ingegneria civile, Editoriale Bios1996.
RAO Dounthamsetti Veerabbadra. Three-parameter probability distributions. Journal of the hydraulics division. Vol 107 No. HY3. 1981. pp339-357.
RAUDKIVI, Arved J. An Advance introduction to hydrological processes and modeling. Oxford Pergamon Press, 1979.
REMENEIRAS G. Tratado de hidrología aplicada. Editores técnicos asociados S.A. Barcelona-España. 1974.
184
RESTREPO P.J. and EAGLESON Peter. Identification of independent rainstorms. Journal of hydrology N55, pp 303-319. 1982
RODRIGUEZ-ITURBE Ignacio, GUPTA Vijay K, Waymire Edward. Scale in the modeling of temporal rainfall. . Water Resources Research, vol 20 No 11,pages 1611-1619, 1984. SALAS, J.D, SMITH, R,TABIOS G and HEO J. Statistical computer techniques in hydrology and water resources. Colorado State University, 1992.
SNOW J. W. The climate of Northern South America. In SCHWERDTFEGER, Werner. Climates of Central and South America. World Survey of Climatology Volume 12.
STEDINGER, Jeri, VOGEL, Richard and FOUFOULA-GEORGIOU Efi. Frequency analysis of extreme events. En: En MAIDMENT David R,. Handbook of hydrology. McGraw Hill INC. 1993.
SMITH James. PRECIPITATION In MAIDMENT David R,. Handbook of
hydrology.
McGraw Hill INC. 1993.
SMITH Ricardo. Conferencia de estimación de caudales máximos. En : En curso de actualización "El riesgo hidrogeológico y la protección hidráulica de los territorios fuertemente antropizados", Medellín 1998.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA-INTERCONEXIÓN ELÉCTRICA S.A. Análisis de homogeneidad de las series del sector eléctrico colombiano. Tomos I, II y III. Posgrado en Aprovechamiento de recursos hidráulicos. 1996.
VARGAS M. Rodrigo M. y DÍAS Granados Mario. Curvas sintéticas regionalizadas de intensidad frecuencia duración para Colombia. Cali 1998.
VARAS., C. Eduardo y FARÍAS de Reyes Marina. Estudio comparativo de relacionesIntensidad-Duración-Frecuencia. En XIX congreso latinoamericano de hidráulica, Córdoba-Argentina. 2000.
185
VELÉZ María Victoria, SMITH Ricardo. Ricardo. Hidrología de Antioquia. Posgrado en Aprovechamiento
de
recursos
hidráulicos.
Secretaria
de
Obras
Públicas
Departamentales. 1997.
VELÉZ, Jaime, POVEDA, Germán y Mesa, Oscar. Balances hidrológicos de Colombia. Universidad Nacional, Sede Medellín. Posgrado en Aprovechamiento de Recursos Hidráulicos, 2000.
YEVJEVICH, Vujica. Probability and statistics in hydrology. Water Resources Publications Fort Collins, Colorado. 1972.
ANEXO 1 ANÁLISIS DE HOMOGENEIDAD DE LAS SERIES DE PRECIPITACIONES MÁXIMAS ESTUDIADAS Anexo1.xls
Convenciones en la tabla de análisis de homogeneidad. Detección de cambios en la media: 1
:Prueba T simple asumiendo igualdad de varianzas
2
:Prueba T simple asumiendo diferencia de varianzas
3
:Prueba de Mann-Whitney
4
:Prueba de Kruskal-Wallis
5
:Prueba de Signo
6
:Prueba de homogeneidad de Abbe
7
:Prueba de Pettit
Detección de tendencia en la media 8
:Prueba de T para la detección de tendencias lineales
9
:Prueba de Hotelling-Pabst
10
:Prueba de Mann-Kendall
11
:Prueba de Sen
Detección de cambios en la varianza 12
:Prueba de F simple
13
:Prueba de Ansari-Bradley
14
:Prueba de Bartlett
15
:Prueba de Leven
Detección de tendencias en la varianza 16
:Prueba de Homocedasticidad
Detección de puntos extraordinarios 17
:Prueba del rango
18
:Prueba del rango normalizado
Pruebas de independencia 19
:Pruebas de corridas
20
:Prueba de punto cambiante
21
:Prueba de independencia de Spearman
A.B. Análisis Bayesiano
ANEXO 2 PRUEBA SMIRNOV-KOLMOGOROV DE BONDAD DEL AJUSTE, ERROR MEDIO CUADRÁTICO Y COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DEL GRÁFICO QQ
PARA
LAS
CINCO
REGISTROS CONTINUOS 20 Y 1440 MINUTOS) Anexo2.xls
ESTACIONES
CON
(DURACIONES ENTRE
ANEXO 3 DISTRIBUCIÓN TORMENTAS DIURNO.Anexo3.xls
PORCENTUAL MÁXIMAS
EN
DE EL
LAS CICLO
