Máster Modelización y Física de Sistemas Complejos
[DINÁMICA Y CONTROL POR LA FASE DEL OSCILADOR DE DUFFING ]
Autor: JEFFERSON MARTINEZ LOPEZ. Tutores: Jesús Miguel Seoane y Javier Used.
Mayo de 2014
AGRADECIMIENTOS
Reservo este espacio para agradecer a los Directivos y amigos de la Fundación Colombiana Agua y Paz por el apoyo. Igualmente a los Profesores Dr. Jesús Seoane y Dr. Javier Used del Departamento de Física de la Universidad Rey Juan Carlos, por la cortesía y amabilidad, además de facilitar mi viaje y el Máster en España. Agradezco a mi amigo e l Doctor Edwin Arturo Ramírez por invitarme a España, su estímulo y compañía fue vital durante mis estudios. Por su puesto que tengo un hondo sentimiento de gratitud para con mi Hija Ana Sofía Martínez, su compañía en Europa fue mi mejor motivación.
2
CONTENIDO 1.
................................................ ................................... .................................. ................................. ................................. .......................... ..........4 INTRODUCCIÓN ...............................
2.
.................................................. ................................. ........................ .......5 INTRODUCCIÓN AL OSCILADOR DE DUFFING ..................................
2.1.
................................................ .................................. ........................ .......5 OSCILACIONES MECÁNICAS ARMÓNICAS ...............................
2.2.
................................................. ................................. ...............6 OSCILACIONES ARMÓNICAS AMORTIGUADAS ...............................
2.3.
................................................ ........................... ..........7 OSCILACIONES FORZADAS -NO AMORTIGUADAS ...............................
2.4.
.................................................. ................................ ................7 OSCILACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS ..................................
2.5.
................................................. ........................ .......8 OSCILADOR DUFFING - OSCILACIONES CAÓTICAS ................................
2.6.
.................................................. ................................. ................................. .......................... ..........9 CAOS- ATRACTOR EXTRAÑO ..................................
2.7.
................................................. ................................. ................................. ................................. .................10 ESPACIO DE LAS FASES .................................
2.8.
................................................ .................................. ......................... ........11 ANÁLISIS CUALITATIVO-PUNTOS FIJOS ...............................
2.9.
.................................................. ........................... ...........15 HAMILTONIANO DEL OSCILADOR DE DUFFING ..................................
................................................. ................................. .................................. ................... ..17 2.10. MAPA O SECCIÓN DE POINCARÉ ................................. ................................................ .................................. ...................... .....18 2.11. LINEALIZACIÓN OSCILADOR DE DUFFING ............................... .................................................. .............................. .............19 2.12. PROPIEDADES DEL OSCILADOR DE DUFFING ................................. .................................................. ................................. ................................. ........................ ........20 2.13. EXPONENTES DE LYAPUNOV .................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. .............................. .............22 2.14. BIFURCACIONES ................................. .................................................. ................................. ................................. ................................. .................23 2.15. EL CONTROL DEL CAOS ..................................
3.
4.
................................................. .................................. ................................. .............................. ..............24 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA ................................
3.1.
................................................. ................................. .................................. ................... ..24 IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO .................................
3.2.
.................................................. .............................. ..............24 OSCILACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS ..................................
3.3.
................................................. ................................. .................................. ................... ..25 OSCILACIONES AMORTIGUADAS .................................
3.4.
.................................................. .................................. ................................. ........................... ...........26 OSCILACIONES FORZADAS .................................
3.5.
................................................. .................................. ................................. .............................. ..............26 OSCILACIONES CAÓTICAS ................................
3.6.
......................................... ........29 CUENCAS DE ATRACCIÓN Y FRACTALIDAD DEL DUFFING .................................
3.7.
.................................................. .................................. .............................. .............30 CONTROL DEL CAOS POR LA FASE .................................
................................................ ................................. .................32 RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN NUMERICA ................................
4.1. EXPLORACIÓN NUMÉRICA DEL CONTROL POR LA FASE EN EL OSCILADOR DE ................................................ .................................. ................................. ................................. ................................. ................................. ......................... ........34 DUFFING............................... 4.2.
................................................ .................................. .................................. .............................. .............34 ANÁLISIS BIFURCACIONAL ...............................
4.2.1. 4.3.
................................................ .................................. ................................. ................34 DIAGRAMAS DE BIFURCACIÓN ...............................
................................................ .................................. ................... ..37 CALCULO DE EXPONENTES DE LYAPUNOV ...............................
5.
.................................................. .................................. .............................. .............40 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .................................
6.
................................................. ................................. .................................. .................................. ................................. ................................. ...................... .....42 ANEXO .................................
7.
.................................................. ................................. ................................. .................................. .................................. ........................ ........47 BIBLIOGRAFIA ..................................
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1. INTRODUCCIÓN Existe el caos por todas partes en el mundo natural, y un vivo ejemplo es el Oscilador de Duffing, el cual recrea un experimento mecánico de un oscilador simple en un medio con fricción, cuya modelización matemática corresponde a una ecuación ampliamente conocida. Pero fue tan solo hasta el año de 1970, cuando se descubrió la existencia del caos en la ecuación, dando origen a una exploración que reveló su comportamiento asombrosamente complejo. El modelo del Oscilador de Duffing obedece leyes universales que guían el comportamiento caótico, y parece curioso que su ecuación aparezca en la modelización de campos tan diversos como la ingeniería, economía, física, demografía, ecología, epidemiologia, entre otros. Obtener las so luciones a la ecuación no es tarea fácil, ya que albergan la posibilidad de exhibir extremos propios de los sistemas dinámicos deterministas no lineales, tales como comportamiento irregular e imprevisibilidad caracterizado por órbitas aperiodicas, ciclos límite, atractores extraños y sensibilidad a las condiciones iniciales, es decir: Caos. La presente investigación efectúa una introducción elemental de la co mprensión de su complejidad. El oscilador de Duffing es un modelo paradigmático de la nolinealidad el cual nos brinda una plataforma para su estudio a través de las técnicas cualitativas y cuantitativas de la teoría, tales como series temporales, espacio de las fases, secciones de Poncaré, cálculo de exponentes de Lyapunov y diagramas de bifurcación. El presente trabajo también explora la aplicación de una técnica de control del Caos, la cual resulta útil cuando nos interesa suprimir la dinámica caótica, y proporciona conocimiento sobre cómo se produce el caos, permite observar sus fases previas antes de emerger como fenómeno. Incluso funciona para hacer surgir el Caos cuando se considere útil. La técnica de control se enmarca dentro de las investigaciones realizadas por el Grupo de Dinámica No Lineal, Teoría del Caos y Sistemas Complejos del Departamento de Física de la Universidad Rey Juan Carlos, cuyo grupo efectuó trabajos precedentes en investigación de la técnica de control por fase [1] [1].. El Grupo desarrolló la técnica ampliamente para una de las opciones de control de caos por fase, consistente en la adición paramétrica, para métrica, y dejaron planteada la necesidad de avanzar hacia el estudio de una segunda opción mediante la aplicación de una perturbación aditiva; ésta última es el desafío que aborda la investigación numérica efectuada. 4
2. INTRODUCCIÓN AL OSCILADOR DE DUFFING A continuación haremos una descripción de los osciladores lineales y no lineales así como de los tipos de oscilaciones que tienen lugar en función de los parámetros del sistema y del estímulo externo.
2.1.
OSCILACIONES MECÁNICAS ARMÓNICAS
En el Universo Mecánico se presenta un fenómeno físico natural denominado movimiento armónico. El movimiento se origina como respuesta de un sistema en equilibrio a retornar a su estado original, cuando una fuerza perturbativa, le ha desplazado de su lugar central o de estabilidad. En los sistemas mecánicos tipo masa muelle, el resorte ejerce sobre la masa, una fuerza de magnitud proporcional al desplazamiento de la masa desde su posición de equilibrio; la fuerza siempre actúa hacia la dirección de la posición de equilibrio de la masa, es decir en dirección contraria al desplazamiento. La Figura 1 permite observar el fenómeno natural y la Ley que lo rige.
Figura 1. Diagrama de la ley de Hooke
En el Movimiento Armónico Simple (MAS) se denomina ciclo, a la trayectoria seguida al oscilar de un extremo a otro, pasando dos veces por la posición de equilibrio. El número de ciclos por segundo (Hz), se conoce como frecuencia de la oscilación. Nos encontramos familiarizados con el movimiento oscilatorio o periódico en el universo mecánico, como en el péndulo y resortes, así como en las vibraciones de los instrumentos musicales de cuerda; más aún fenómenos como las ondas electromagnéticas, tales como la luz visible y ondas de radio, se caracterizan por ser oscilantes. Es la ley descubierta por Robert Hooke, la que gobierna el comportamiento del movimiento en un muelle o resorte. Hooke encontró que la fuerza ejercida sobre el resorte es proporciona a la elongación o extensión del estiramiento longitudinal que
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experimental, y a la constante elástica ( k ) del mismo, cuyos valores se corresponden con el tipo de material constitutivo y la longitud del resorte . En conclusión, en los sistemas dinámicos con movimiento armónico simple, en ausencia de fricción, la masa o el cuerpo oscilan de un lado al otro de su posición de equilibrio, pues para todo momento la fuerza recuperadora hace que la masa sea atraída hacia la posición de equilibrio, en un movimiento periódico de vaivén, para intervalos iguales de tiempo, de tal manera que su posición en función del tiempo queda descrita por la trayectoria de una sinusoide. Obsérvese la Figura 2.
Figura 2. Movimiento Armónico Simple (MAS)
2.2.
OSCILACIONES ARMÓNICAS AMORTIGUADAS
En el movimiento armónico simple, la masa oscila con su frecuencia natural indefinidamente entre dos posiciones sin perder la energía mecánica. En los sistemas reales se presentan fuerzas de resistencia del medio, y a la fricción interna de los materiales que lo constituyen, por lo que la energía mecánica se transforma en calor, el cual se disipa fuera del sistema, y la energía del oscilador desciende hasta hacerse cero. En el universo mecánico, las fuerzas disipativas, tales como la fricción, retardan el movimiento del sistema. De modo que la energía mecánica se pierde mientras se produce el movimiento en el tiempo. Aunque su carácter oscilatorio se mantiene, la amplitud de las oscilaciones disminuye con el tiempo, hasta que cesa el movimiento. La magnitud del amortiguamiento determina distintos casos posibles (oscilador subamortiguado, sobreamortiguado o con amortiguamiento crítico). Si el amortiguamiento supera el valor umbral o crítico, el sistema no oscila, sino que regresa a la posición de equilibrio en forma exponencial con el tiempo. De otro lado, para el caso subamortiguado, con valores menores al crítico, el sistema realiza un movimiento semejante al armónico simple, pero las oscilaciones se producen con un decaimiento en su amplitud de forma exponencial a medida que transcurre el tiempo.
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2.3.
OSCILACIONES FORZADAS -NO AMORTIGUADAS
Las fuerzas disipativas son las causantes de la perdida de energía en el oscilador amortiguado, por lo que con el transcurrir del tiempo, en función de la condición del amortiguamiento, provocan el agotamiento total de la energía, y con ello el cese del movimiento en su punto de equilibrio espacial o estado de reposo. No obstante si deseamos conservar el movimiento oscilatorio con su amplitud, nos veremos obligados a agregar la energía que se pierde del sistema, en forma de calor, mediante un agente externo que aporte una fuer za periódica y de magnitud constante, que remplace la disipada por el movimiento del sistema. Cuando aplicamos una fuerza impulsora que varía con una frecuencia ( w ), el sistema oscila a la misma frecuencia ( w ). Sin embargo, existe una condición para la cual la amplitud de las oscilaciones se amplifica a su máximo, la cual se da cuando la frecuencia de la fuerza externa se aproxima a la frecuencia natural ( w 0) ; dicho fenómeno físico es conocido como resonancia.
2.4.
OSCILACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS
En la condición de régimen estacionario, las oscilaciones conservan su amplitud, gracias a que la energía que ingresa al sistema a través de la fuerza externa, compensa en magnitud la energía que se pierde por disipación. En régimen estacionario las oscilaciones se presentan en la misma frecuencia ( w ) que la fuerza externa. Sin embargo es necesario que la energía mecánica neta e n el oscilado sea nula; pues de no ser así cambia la amplitud de las oscilaciones. Sobre el sistema actúan 3 fuerzas: la de restitución del resorte, la fuerza de fricción que amortigua las oscilaciones y la fuerza excitadora, obteniéndose:
̈ + ̇ + ∗
La anterior ecuación diferencial es solucionada mediante la técnica de adicción de la solución homogénea y la solución particular del sistema.
∞+
Por lo que se requiere encontrar una función, de la forma f(t, x, igualdad de la ecuación.
̇
), que verifique la
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2.5.
OSCILADOR DUFFING - OSCILACIONES CAÓTICAS
El oscilador Duffing es un modelo representativo de la complejidad presente cuando acontece un fenómeno categorizado con dinámica caótica, debido a la introducción de una reacción no lineal en la fuerza restauradora del sistema como respuesta a la acción generada por la fuerza perturbativa periódica.
Figura 3. Dispositivo experimental que puede modelizarse mediante un potencial de doble pozo. Oscilador magneto mecánico, conformado por una estructura excitada de forma sinusoidal dentro del campo magnético de 2 imanes que funcionan como atractores.
Para valores constantes de δ, α, β, y con un término de forzamiento ( F ), no muy grande se obtienen las oscilaciones descritas en la Figura 4.
Figura 4. Variación de potencial del oscilador en función de parámetros de configuración.
El Oscilador Duffing corresponde a un modelo de Oscilador forzado, con elasticidad no lineal, el cual es descrito por una ecuación diferencial de segundo orden, tal como se presenta a continuación: Donde el término:
̈ +δ̇ −x+ ∗cos
8
− Para valores de α = w 02 el sistema es denominado Osicilador Duffing , (Doublé Well), y corresponde experimentalmente a una columna que se deflecta hacia dos imanes dentro de una estructura rígida que es balanceada por una fuerza de forma sinusoidal y para una magnitud determinada de amplitud del forzamiento. Las trayectorias corresponden a órbitas con distintos niveles energéticos dentro de paraboloides de revolución, es decir un único pozo, para valores positivos de w 02 = α , o doble pozo para valores negativos β, por lo que el signo determina la configuración.
Figura 5. Diagrama de potenciales del oscilador.
La ecuación Duffing se clasifica de acuerdo al signo y valor de los parámetros α and β [2]. Tabla 1. Clasificación de la Ecuación de Duffing según el sistema de parámetros. Tipo de Ecuación w 02 = β α de Duffing
2.6.
Muelle Duro
>0
>0
Muelle Suave
>0
<0
No-Armonico
=0
>0
Invertido
<0
>0
CAOS- ATRACTOR EXTRAÑO
Un atractor es un conjunto al que todas las trayectorias vecinas convergen, tales como puntos fijos estables, ciclos límites estables [3].
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La Figura 6 elaborada por Ueda, muestra la complejidad del Oscilador de Duffing. La ilustración presenta la variación por regiones (periódicas y caóticas), de las diversas dinámicas cualitativas exhibidas por un oscilador no lineal, de la forma:
̈ +̇ +
Figura 6. Diversidad de dinámicas exhibidas por el oscilador de Ueda para las regiones del espacio de parámetros (f, r). Atractores de período-uno se encuentran en las regiones I, II, III y IV. Respuestas subharmonicas y ultrasubharmonicas existen en las regiones marcadas por m / n.
2.7.
ESPACIO DE LAS FASES
En el espacio de las fases cada punto da cuenta de la configuración del sistema en dependencia del tiempo [4]. Es el conjunto de todas las trayectorias, orbitas o curvas, que describen la evolución del sistema, y a través de su construcción se nos revelan detalles sobre sus puntos de equilibrio, separatrices, y regiones de atracción, por lo que se constituye en una herramienta v aliosa en el análisis cualitativo. x'=y
k=-1 m=1
y ' = - (k x + c y + l x 3)/m
c = 0.13 l=1
3
2
1
y
0
-1
-2
-3 -3
-2
-1
0 x
1
2
3
Figura 7. Espacio de las fases y nuclina del Oscilador de Duffing.
10
2.8.
ANÁLISIS CUALITATIVO-PUNTOS FIJOS
La descripción detallada del espacio de las fases de un sistema no-lineal es una tarea engorrosa por la complejidad de su dinámica [4]. Por lo anterior, es necesario buscar los detalles más relevantes, tales como los puntos de equilibrio del campo vectorial, las separatrices, que separan las trayectorias cualitativamente diferentes, y las fronteras de las regiones de atracción. Tal como se ilustra en la Figura 8.
Figura 8. Espacio de las fases. Cuencas de atracción.
Finalmente, en el plano, la dinámica del sistema en toda su complejidad queda reducido por el teorema de Poincaré-Bendixson, mediante el cual se demuestra que una trayectoria sólo puede alejarse hacia el infinito, hundirse en un punto singular o arrollarse alrededor de un ciclo limite. A continuación, efectuaremos por la vía del análisis matemático una exploración de la ecuación de Duffing. Aplicaremos elementos de la teoría cualitativa, como la búsqueda y clasificación de todos los puntos fijos.
0
Para la ecuación Dufffing, sin forzamiento ( F = 0), y sin fricción , con (w 0 ) 2 = β = 1, el sistema se representa como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:
̇ ̇ − 0 0 − 1− 1−1+
Igualando el anterior sistema a 0, para buscar los puntos singulares, tenemos:
De donde se sigue que existen 3 puntos fijos: el origen (0, 0) inestable, y dos focos (1,0), y (-1, 0), ambos estables. Seguidamente, nos interesa conocer todos los puntos fijos y su clasificación, para el Oscilador de Duffing sin forzamiento, pero introduciendo el parámetro de fricción. Por
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lo que el sistema se representa ahora como un sistema autónomo plano, de la siguiente manera:
̇ ̇ − + −
Se pueden clasificar los puntos críticos del sistema, pasando a un sistema linealizado alrededor de los puntos críticos, siendo la matriz Jacobiana:
−03 −1
La naturaleza y estabilidad de los puntos críticos del sistema se pueden describir de conformidad con sus autovalores. Las raíces del polinomio característico det (J- λI) son los autovalores de J . Para un sistema de 2 dimensiones, el polinomio característico es de la forma:
− +Δ 0 +√ − 4Δ −√ 2 ; 2 − 4Δ Δ +
Donde es la traza y Δ es el determinante de J . Las 2 raíces son de la forma:
Cuando Δ < 0, los autovalores son de signo opuesto y el punto fijo es una silla. A su vez cuando Δ > 0, los autovalores son del mismo signo. Por lo tanto si > 0 ambos son positivos y el punto es inestable. Mientras que si < 0, ambos son negativos y el punto es estable.
Analizamos el polinomio característico de cada punto fijo, y usando la forma generalizada de la ecuación característica para clasificar su estabilidad. Para cuando (w 0 ) 2 = β = 1, tenemos:
PUNTO FIJO (0, 0)
and
1 .
−0 −30 − 1−
Punto silla inestable
12
PUNTOS FIJOS (±1, 0)
and
− −1− −03−1 − −1− −0 31
2
Se presentan los siguientes casos:
(i)
0
0 2
Ambos puntos fijos son estables, dado que
Caso (ii)
0 and 0 .
0 0 2
Son centros neutros estables. 0
Caso (iii) Inestable
Caso (i)
0 2
= +1 ( > 0 )
Figura 9. Espacio de las fases global. Orbitas y atractores.
NUCLINAS Es parte integral de la teoria cualitativa para las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. En el campo de soluciones corresponde a la funciòn que es soluciòn con pendiente nula.
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' '
−
-
2.5
-
.
2 1.5 1 0.5 y
0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0 x
0.5
1
1.5
2
2.5
Figura 10. Puntos fijos y nuclina del Oscilador de Duffing. Ambos puntos fijos son estables.
RESUMEN DEL ANALISIS CUALITATIVO La Tabla 2 contiene para el Oscilador de Duffing, la sintesis total de la teoria cualitativa mediante la determinación de las técnicas y elementos de analisis. Tabla 2. Sintesis del analisis cualitativo del Oscilador de Duffing. Equilibrio (0,0)
01 −1 − ± + 4 , 2 2 02 1 −1 1 − ± 1− − 8 , 2 2 √ 8 8 √ 02 1 −1 1 − ± 1− − 8 , 2 2 √ 8 √ 8
Jacobiano J=
(-1,0)
J=
(1,0)
J=
Autovalores
Dinámica Silla
Foco inestable (0< <1) Foco estable 1< <1+ Nodo estable 1+ < Foco inestable (0< <1) Foco estable 1< <1+ Nodo estable 1+ <
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2.9.
HAMILTONIANO DEL OSCILADOR DE DUFFING
Una perspectiva física de la mecánica del modelo, se descr ibe de la siguiente manera:
̈− ̈ + − ∗cos − ̇ 0 − 2̈ 0 +3 2 − 0 2 + 4
En el Oscilador de Duffing:
̇ ̈ − ,̇ 2 + 4 + 2̇
100 50 0 10 5
0 v
-10
0 -5
x
Figura 11. Función Hamiltoniana del Oscilador de Duffing, y proyecciones de distintas curvas de nivel sobre el espacio de las fases.
Cuando δ = 0 [5].
̇ ̇ − ̇̇ ̈ − ̈̇ − + 0
Diferenciando y reemplazando, se tiene: Multiplicando a ambos lados por . O lo que es igual:
15
12 ̇ − 2 + 4 0 2 1 2 ,̇ 2 ̇ − 20 2 + 4 4
De donde aparece una cantidad conservativa de energía H:
,̇ ̇ ℎ̇ ℎ
Basados en lo anterior, se verifica que
ℎx −20+3 − ̇
Así el Oscilador de Duffing es dado en el sistema Hamiltoniano, de la siguiente forma:
Solucionando para
De donde sigue:
̇
̇ ℎ ; ̇ − ℎ ̇ ()2 2 + − 2 () 2 + 202 − 2 4 ∫ ∫ 2 + 22 − 4 0 2
tenemos:
De lo anterior se observa la complejidad de soluciones analíticas del Oscilador, incluso en su forma simplificada. La dificultad de obtener expresiones analíticas para la descripción de la dinámica, llevo a Poincaré a desarrollar la técnica que a continuación se detalla, para enfocarse más en las propiedades cualitativas de los sistemas, más que su descripción determinista.
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2.10. MAPA O SECCIÓN DE POINCARÉ En los sistemas dinámicos no lineales el espacio de las fases, presenta una enorme complejidad geométrica de las trayectorias. Resulto de gran utilidad la idea de Poincaré al estudiar el sistema estratégicamente, mediante la reducción de una dimensión [4]. Poincaré estudió los sistemas dinámicos registrando las huellas de los flujos en un plano transversal al mismo. De modo que pasamos de una geometría de las trayectorias en un espacio de las fases multidimensional; al estudio de la intersección con una sección transversal bidimensional. El mapa registra un punto que representa cuando una trayectoria completa cada ciclo [3]. Un mapa de Poincaré es la traza de todos estos "puntos" los cuales construyen una imagen, en ocasiones caótica acotada, que permite monitorizar los comportamientos generales y de flujo del sistema. Cuando la fuerza periódica ( F ) que acciona el sistema es grande, el movimiento puede ser caótico y en el diagrama del espacio de fases se desarrolla un atractor extraño. La técnica introducida denominada sección de Poincaré puede representarse mediante la adopción de un punto del espacio de fases en cada período de la fuerza motriz, su comportamiento caótico. :
i
Figura 12. Orbitas en 3D y sección de Poincaré, emergencia de atractor extraño.
En los casos más simples, cuando el sistema entra en un ciclo límite, la sección de Poincaré se reduce a un solo punto. En cambio un atractor extraño se asocia
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generalmente con una curva fractal.
Figura 13. Sección de Poincaré para el Oscilador de Dufffing.
La sección de Poincaré brinda información valiosa sobre la complejidad de la dinámica del Oscilador de Duffing, véase la Figura 13, de donde se puede obtener: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Puntos Fijos y estabilidad. Puntos atractores estables (2) de periodo 1. Puntos inestables (4): de periodo 1. Cuencas de atracción asociadas al espacio de las fases y orbitas. Fractalidad de las cuencas de atracción. Ubicación en la frontera de las cuencas de los puntos inestable.
2.11. LINEALIZACIÓN OSCILADOR DE DUFFING El modelo descrito por una ecuación diferencial no autónoma con forzamiento periódico puede ser representado en términos de una autónoma fluyendo en un toro, para lo cual se debe introducir una tercera variable θ=w*t.
Figura 14. Orbitas en toro. Fuente: Lynch S. 2014.
A su vez, las ecuaciones se pueden linealizar una dimensión más, tomando z=θ=w*t , hasta convertirse en 3 ecuaciones de primer orden, dado por:
̇ ̇ − + − + 18
̇ ̇ Un forzamiento periódico en la ecuación diferencial no-autónoma, es representada como un sistema autónomo girando sobre la superficie de un toro, con periodo 2 π/w.
2.12. PROPIEDADES DEL OSCILADOR DE DUFFING El caos es un comportamiento no periódico a largo plazo en un sistema determinista que exhibe dependencia sensible de las condiciones iniciales [3]. Aunque no existe una definición de conjunto del caos, existen tres propiedades que deben existir en una dinámica sistema con el fin de ser clasificado como caótica: 1. Debe tener un comportamiento aperiódico a largo plazo por lo que la solución del sistema se asienta en un patrón irregular como t →∞. La solución no se repite u oscile de una manera periódica. 2. Es sensible a las condiciones iniciales. Esto significa que cualquier pequeño cambio en la condición inicial puede cambiar la trayectoria, lo que puede dar un comportamiento significativamente diferente a largo plazo. 3. Debe ser " determinista ", que significa que el comportamiento irregular del sistema es debido a la no linealidad del sistema, en lugar de fuerzas externas. Efectuando el análisis elaborado para el sistema Lorenz [4], encontramos las siguientes propiedades: HOMOGENEIDAD Ausencia de términos libres, por lo que x=0,y=0, z=0 = 0 es un punto fijo singular, el cual además no depende de los valores de los parámetros. SIMÉTRICO El Oscilador de Duffing se transforma y varía bajo la acción de condiciones iniciales simétricas. (x,y,z)→( -x,-y,z). DISIPATIVO El Oscilador de Duffing es compresible.
̇,̇,̇ ̇ + ̇ + ̇ − < 0
Div v<0, indica que el espacio de las fases se contrae y el volumen disminuye. TRAYECTORIAS ACOTADAS Las trayectorias del Oscilador de Duffing permanecen acotas en el espacio de las fases.
19
2.13. EXPONENTES DE LYAPUNOV Los exponentes de Lyapunov consisten en un método de estudio de las propiedades de estabilidad de los puntos de equilibrios, basados en el cómputo de una función la cual mide el acercamiento o alejamiento de las órbitas hacia el eq uilibrio [6].
Figura 15. Divergencia de trayectorias de la solución.
El exponente de Lyapunov como número proporciona una medida de s u imposibilidad de predecir, mediante la cuantificación de distancias [7]; de allí que un exponente mayor que cero (0), indica que las partículas próximas se retiran; mientras que menores que cero significan que se contraen o acercan, por lo que el atractor es un punto fijo. De otro lado, a un atractor periódico le corresponde un exponente de valor cero (0) y los restantes negativos; mientras que del análisis de un atractor extraño resulta un exponente de Lyapunov positivo. La estabilidad según Lyapunov se corresponde al conocimiento intuitivo de los sistemas estables, en donde se da una reacción débil o limitada a perturbaciones pequeñas [4]. Pero en los sistemas inestables acontece que una pequeña perturbación desencadena enormes consecuencias en términos de crecimiento ilimitado o distanciamiento entre partículas con vecindad próxima. Expresándolo en lenguaje matemático analítico diríamos que un punto z 0 pertenece a un entorno ε del punto x 0 cuanto t=t 0 , entonces para todo t>t 0 la trayectoria que parte del punto z 0 se desvía respecto de la trayectoria x(t) que parte del punto x 0, en menos de δ (dependiente de ε ).
|∗ −∗| >
El análisis de la estabilidad de un punto fijo de un sistema no lineal según la técnica Lyapunov, se efectúa mediante la estabilidad en aproximación lineal, a través de la 20
descomposición del sistema en series de términos lineales evaluadas en un entorno elegido. Para el Oscilador de Duffing la parte lineal, tiene una matriz de la forma:
Donde:
=,, ̇ , , , ̇̇ ,, ,,,,
Para el Oscilador de Duffing J tiene la forma:
̇ ̇ − + − + ̇
De donde se sigue que la matriz tiene la forma:
0 1 0 1 −30 −0 − 0
En el entorno del punto fijo O=(0,0,0), los valores propios de la matriz.
De donde sigue:
0 0 det − −10 −10− − − −[ + ] 0 0, 2 −,3 0
En suma, en el punto fijo O = (0,0,0), λ 1 = 0, λ2<0 y λ3=0, es decir que existe una dirección estable por la cual las trayectorias entran en el punto O, y una dirección
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propia por las cuales las trayectorias salen del punto O, el que uno de los valores propios sea cero implica la ubicación en la frontera de estabilidad. Valores propios negativos corresponde a las direcciones propias estables, mientras que los valores positivos a las inestables [4]. El Oscilador de Duffing tiene dos (2) puntos fijos más O 1 (1,0,0), O2 (-1,0,0), además del punto fijo O(0,0,0), el cual es un punto silla con una variedad estable unidimensional λ2 y una separatrix inestables que tienden a los otros puntos de equilibrio. Los sistemas no lineales es la extrema sensibilidad de las soluciones a las condiciones iniciales; al punto que la más mínima perturbación provoca la divergencia de las trayectorias de manera exponencial [4].
2.14. BIFURCACIONES Una bifurcación representa un cambio cualitativo en la dinámica de un sistema cuando variamos un parámetro. De esta forma podemos observar las distintas dinámicas (periódicas, caóticas, etc) [8]. Cuando variamos dicho parámetro. La Figura 16 es una representación del diagrama de bifurcación cuando se varía el valor del coeficiente de fricción. La estabilidad estructural, es una garantía que el comportamiento cualitativo del sistema no se modifica, sino tan solo en los valores exactos de los equilibrios [6].
1.5 1 0.5 X n ió
0 c ul o S
-0.5 -1
-1.5 0.1
0.15
0.2 0.25 0.3 Coeficiente de Fricción
0.35
0.4
Figura 16. Diagrama de Bifurcación. Posición v.s. coeficiente de fricción.
22
2.15. EL CONTROL DEL CAOS No obstante la condición caótica puede resultar poco deseable para determinados procesos, en los que de orquestarse la presencia de condiciones particulares en el sistema, lo conduciría a un tipo de movimiento caótico, en ocasiones prácticamente impredecible, incontrolable, que podría llegar a ser destructivo. Las técnicas del control del caos, se construye sobre la base de un conocimiento cada vez mayor sobre la dinámica caótica, que permita detectar el Caos de forma temprana y oportuna, para seguidamente controlarlo o acotarlo. El control del caos incluye procedimientos para: 1. Suprimir la dinámica caótica cuando no es deseada 2. Proporciona conocimiento sobre cómo se produce el caos, así como sobre sus fases previas antes de la aparición. 3. Incluso funciona para hacerlo surgir cuando se considere útil. Los métodos de non –feedback como 2 tipos de excitaciones, relativas a fuerzas externas y excitaciones paramétricas [1], es decir: 1. Se aplica una perturbación armónica a alguno de los parámetros del sistema. 2. Fuerza adicional. La primera alternativa ha sido explorada [1]; la presente investigación opta por explorar el control que se efectúa mediante una fuerza externa periódica de baja amplitud pero con una diferencia de fase entre el forzamiento periódico principal y la perturbación armónica de control. Cuando se presenta un atractor caótico el movimiento presenta una flexibilidad inherente a su dinámica. Usando una pequeña perturbación en el parámetro es posible crear una gran variedad de orbitas periódicas y elegir la deseada ; por lo que solo basta aplicar una pequeña perturbación dependiente del tiempo en un p arámetro del sistema accesible para producir el control [11].
23
3. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA 3.1.
IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO
̈
̇
Para la ecuación Duffing: = aceleración. = Velocidad. = coeficiente de amortiguación-fricción; es la frecuencia del forzamiento Periódico; = α es la frecuencia natural del sistema o la parte lineal de la fuerza de restauración; , corresponde a la componente no lineal de la fuerza de restauración; y F es la amplitud del forzamiento periódico. Bajo las siguientes condiciones: F = 0.258; = α =1, =1, w = 1, =0.15, el sistema se torna caótico.
Por razones de simulación numérica, la ecuación diferencial no lineal de segundo orden, es expresada en 2 ecuaciones lineales equivalentes:
̇ ̇ − + − +
El cual se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales, no autónomo y forzado.
3.2.
OSCILACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
Suponiendo que no se aplica fuerza externa y no hay presencia de perdidas en el medio, en tal caso el sistema es conservativo, por lo que muestra dos orbitas homoclínicas, correspondiente a las dos (2) trayectorias de energía nula que se ubican en el origen, por un lado en la variedad estable y por el otro en la variedad inestable [9].
Figura 17. Sin pérdidas por rozamiento [9] . E<0 (color verde) oscilaciones periódicas alrededor de un poso de potencial. E=0 (color rojo) máximo de energía ubicado en el origen (0,0). E>0 (color azul) energía por encima del máximo, las oscilaciones encierran ambos puntos fijos.
24
Naturalmente, variando y en una situación de especial análisis, cuando la = 0, se denomina conservativa.
Figura 18. Espacio de las fases del sistema para diferentes condiciones sin amortiguamiento. Fuente: Wolfram Demostration.
Las trayectorias restantes representan orbitas cerradas en armonía con las oscilaciones periódicas, las cuales pueden orbitar alrededor de un solo centro, para aquellos eventos con energía E < 0 relativos a un poso de potencial o ambos centros, si la energía E > 0; tal como se muestra en la Figuras 17-18.
3.3.
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
Una aproximación un poco más real del Oscilador se logra mediante la introducción de la componente disipativa de las perdidas por fricción debidas al rozamiento del oscilador [9]. De donde se tiene que en toda órbita la energía decrecerá monótonamente y las trayectorias terminarán en uno de los focos, los cuales son atractores puntuales o nodos, si se presenta sobreamortiguamiento, asintóticamente estables, como se ilustra en la Figura 19.
Figura 19. Espacio de las Fases y solución para
= 0.2 y F=0.
25
El origen se conserva como punto silla inestable, pero las variedades estable e inestable no coinciden. Bajo las condiciones descritas, las trayectorias que salen del origen y se dirigen hacia uno de los atractores, cuando t →-∞. Así mismo las dos (2) órbitas de la variedad estable que entran en el origen t→∞, no van a ninguno de los atractores, por lo que conforman la frontera entre las cuencas de atracción.
3.4.
OSCILACIONES FORZADAS
Las Figuras 20 - 21 muestran las variaciones de la potencia del espectro, escalograma, y trayectoria de fase espacial con los cambios en el parámetro de amplitud del forzamiento, con valores fijos de los otros parámetros. El espectro de potencia y el escalograma exponen el contenido de frecuencia de la solución.
Figura 20. Amplitud de forzamiento mayor. Espacio de las Fases 1-periodo y 2-periodo.
Bajo los efectos de la excitación ser atraído por uno de los puntos de equilibrio se dificulta. No obstante debido a la naturaleza sinusoidal de la fuerza externa, las curv as solución son órbitas típicas de oscilaciones aisladas en concordancia con el periodo de la fuerza de excitación, alrededor de cada punto de equilibrio.
3.5.
OSCILACIONES CAÓTICAS
Seguidamente, aumentando la amplitud del forzamiento la dinámica del Sistema experimenta oscilaciones que no se detienen, las órbitas periódicas desaparecen, y parece no existir ningún patrón, como se observa en la Figura 21.
26
Figura 21. Sistema Caótico.
Más aún, el sistema muestra una extrema sensibilidad a las condiciones iniciales, la cual es una propiedad de los sistemas en régimen caótico. Éste aspecto se puede demostrar al variar ligeramente las condiciones iniciales de una de las partículas, de donde se sigue que toman trayectorias diferentes, tal como se graficó en la Figura 22. SERIE TEMPORAL
1
Condicion inicial= 0 0 Condicion inicial= 0.1
0.8
0.1
0.6 0.4 X
0.2 c
ió
0 o
-0.2
n ul S
-0.4 -0.6 -0.8 -1
150
200
250 Tiempo
300
350
Figura 22. Serie Temporal de las Soluciones. En verde condición inicial (3,4), en rojo condición inicial (3.1,4.1).
La Figura 22 presenta dos (2) series temporales, las cuales difieren en una décima (0.1) en el par de valores iniciales, y sin embargo a pesar de encontrarse cercanas, y de tratarse de ecuaciones continuas, las trayectorias experimentan un divorcio radical, que indica que una ligera perturbación en las condiciones iniciales, desemboca en un distanciamiento cada vez mayor entre las órbitas vecinas, y trayectorias, impredecibles, sin patrón determinado, que hace de las oscilaciones señales caóticas.
27
ESPACIO DE LAS FASES
1
Condicion inicial=3 4 Condicion inicial=3.1
0.8
4.1
0.6 0.4 0.2 t /d
0 x d
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.5
-1
-0.5
0 x
0.5
1
1.5
Figura 23. Figura. Espacio de las Fases.
En la Figura 23 se graficó el espacio de las fases. La técnica confirma el estado caótico visible en las orbitas distantes, las cuales no coinciden para un tiempo de simulación amplio, donde se nota que las partículas tendrían ca minos y hasta destinos espaciales muy diferentes, con tan solo variar un pequeño épsilon en la continuidad de las condiciones iniciales espaciales y de velocidad, se obtendría un delta enorme contrario a lo establecido por la mecánica de los medios continuos. SECCIÓN DE PONCARÉ
1
Condicion inicial=3 4 Condicion inicial=3.1
0.8
4.1
0.6 0.4 0.2 .
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.5
-1
-0.5
0 x
0.5
1
1.5
Figura 24. Diagrama de Poincarè. Atractor Extraño
Más aún, en la Figura 24 se presenta el atractor extraño del Oscilador. Los atractores coincide para las 2 condiciones iniciales cercanas, pues ambos tienen sus sistemas de parámetros en valores umbrales que producen caos. Los errores de cálculo se incrementan progresivamente y sin límites. A medida que el tiempo avanza, por lo que una mayor precisión en la indicación de las condiciones iniciales no es suficiente, ya que la tasa de error es exponencial, puesto que la distancia entre las soluciones crece de la manera ( e λt ), para el cual λ, es el máximo exponente de Lyapunov. Es sabido que valores del exponente de Lyapunov positivos hace que el atractor sea caótico, tal es el comportamiento del Oscilador de Duffing el cual presenta no solo un
28
atractor caótico sino también extraño, el cual a simple vista no es posible de visualizar en el sistema. No obstante, si observamos lo ilustrado en la Figura 25, y tomamos 16 secciones para periodos de tiempo , con n en la serie de los naturales (1,2,…) aparece el atractor.
+ 2
Figura 25. Secuencia de 16 tomas de secciones de Poincaré del Oscilador de Duffing, dinámica del atractor extraño.
3.6.
CUENCAS DE ATRACCIÓN Y FRACTALIDAD DEL DUFFING
El atractor es un conjunto invariante que sufre la transformación del panadero, la cual consiste de acciones de estiramiento y pliegues sobre sí mismo; lo cual produce la estructura fractal de atractor y la divergencia exponencial entre soluciones con condiciones iniciales muy próximas [9], tal como se ilustra en la Figura 26.
Figura 26. Cuenca Fractal en el atractor extraño del Oscilador de Duffing.
El doble proceso de estirar para separar exponencialmente las orbitas y plegar para que el espacio de las fases se mantenga acotado es el mecanismo de la transformación del panadero, que de alguna manera alude al aspecto del pro ceso de elaboración del pan, en donde la masa es transformada de tan manera que, es 29
posible que partículas de harina cercanas terminen distantes, luego de ser amasadas. Por tratarse de un conjunto invariante, se forma por infinitas capas de espesor nulo, pues el atractor tiene volumen cero (0), debido a su componente disipativa y la perdida de volumen en el espacio de las fases [9]. Una técnica complementaria del análisis cualitativo consiste en representar en el espacio de las fases en negro los estados con condiciones iniciales que terminan en el atractor de la derecha, mientras que se dejan en blanco aquellas condiciones iniciales, cuyos valores se ubican en la cuenca de atracción del punto fijo de la izquierda. En la Figura 27 se presenta una ilustración de la técnica.
Figura 27. Cuencas de atracción
Las Figuras 26 y 27 permiten observar la complejidad del Oscilador de Duffing, para niveles de forzamiento que conducen al Caos. Los puntos negros y los puntos blancos parecen estar muy juntos y mezclados en las fronteras.
3.7.
CONTROL DEL CAOS POR LA FASE
Seguidamente se introduce un término de control, para detener la dinámica caótica, tal como se muestra en la siguiente ecuación:
̈ + ̇ −̈ + ∗cos+ε ∗ cosrwt+φ Las figuras 28 - 30 muestran, para 2 condiciones iniciales cercanas, las trayectorias, el espacio de las fases y el plano de Poincaré. La curva que representa la trayectoria con traza de color rojo corresponde al modelo que se le ha incluido un parámetro de control aditivo, obteniéndose lo siguiente:
30
SERIE TEMPORAL
1
Sin Control-C Ini=0 0 Controlado-C Ini=0 0
0.8 0.6 0.4 0.2 X n ió
0 c ul o S
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
150
200
250 Tiempo
300
350
Figura 28. Serie temporal controlada
En la Figura 28 se observa (color rojo) que la trayectoria se encuentra absolutamente acotada, por causa del parámetro de control aditivo que se incluyó en el modelo matemático que describe la dinámica oscilatoria del sistema oscilador Duffing. SECCIÓN DE PONCARÉ
1
Sin Control-C Ini=0 0 Controlado-C Ini=0 0
0.8 0.6 0.4 0.2 d a di
0 c lo e
-0.2 v
-0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.5
-1
-0.5
0 x
0.5
1
1.5
Figura 29. Espacio de las fases con control y sin él.
Al igual que en la Figura 29, la cual muestra en el espacio de las fases una órbita periódica o cerrada alrededor de uno de los atractores, correspondiente a la condición controlada. Lo anterior contrasta en gran medida, con la órbita caótica no controlada (verde), la cual circula ampliamente con gran intensidad por muchos puntos del plano que describe la dinámica potencial total, llegando casi a abarcar grandes fracciones del plano. SECCIÓN DE PONCARÉ
1
Sin Control-C Ini=0 0 Controlado-C Ini=0 0
0.8 0.6 0.4 0.2 .
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.5
-1
-0.5
0 x
0.5
1
1.5
Figura 30. Sección de Poincaré. Atractor extraño y orbita periódica.
31
El Plano de Poincaré presentado en la Figura 30, constituye una garantía más de la eficiencia del control, pues tan solo 2 puntos aparecen representados en todo un gran plano posible, representando entonces, lo (que se tipificaría como un movimiento periódico perpetuo. El Oscilador de Duffing controlado tiene la forma:
̇ ̇ −+ − + + ∗ cos + ̇
De donde se sigue que la matriz Jacobina controlada tiene la forma:
0 1 0 1 −03 −0 − − ∗0 + ∗ En el entorno del punto fijo O = (0,0,0), el determinante del Jacobiano es:
0 1 0 det 10 −0 00 0
4. RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN NUMERICA A continuación se presentan en las Figuras 31 (a)-31(c), los resultados obtenidos para diferentes simulaciones en las cuales se variaron los valores de los parámetros de control ( , ). Seguidamente realizamos simulaciones para diferentes valores de fase , conservando fijo el valor , situado a un cierto umbral mínimo que haga eficiente en términos energéticos la aplicación del control.
ε
El objetivo es obtener una órbita periódica estable partiendo de una caótica, con tan solo aplicar una leve perturbación armónica.
32
ESPACIO DE LAS FASES
1.5
Condicion inicial=0 0 Condicion inicial=0.1
SECCIÓN DE PONCARÉ
1.5
Sin Control-C Ini=0 0 Controlado-C Ini=0 0
0.1
1
1
0.5
0.5
t /d
0 x d
0 .
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5 -2
-1.5
-1
-0.5
0 x
0.5
1
1.5
-1.5 -1.5
2
-1
-0.5
0 x
0.5
1
1.5
Figura 31 (a). Espacio de las fases y Sección de Poincaré para 2 condiciones iniciales cercanas, una de las cuales se encuentra controlada con un ángulo de desfase =0. ESPACIO DE LAS FASES
1 0.8
SECCIÓN DE PONCARÉ
1
Condicion inicial=0 0 Condicion inicial=0 0
Sin Control-C Ini=0 0 Controlado-C Ini=0 0
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
t d
0 / x
0 .
d
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-1 -1.5
-1
-0.5
0 x
0.5
1
-1 -1.5
1.5
-1
-0.5
0 x
0.5
1
1.5
Figura 31 (b). Espacio de las fases y Sección de Poincaré para 2 condiciones iniciales cercanas, una de las cuales se encuentra controlada con un ángulo de desfase = pi/4. x -1.5 -1
-1
-0.5
0
0.5
1
SECCIÓN DE PONCARÉ
1
1.5
Sin Control-C Ini=0 0 Controlado-C Ini=0 0
0.8 -0.8
0.6
-0.6
0.4 -0.4
0.2 -0.2 d x / d t
.
0
0
-0.2 0.2
-0.4 0.4
-0.6 0.6 Condicion inicial=0 0
0.8
Condicion inicial=0 0 1
-0.8 -1 -1.5
ESPACIO DE LAS FASES
-1
-0.5
0 x
0.5
1
1.5
Figura 31 (c). Espacio de las fases y Sección de Poincaré para 2 condiciones iniciales cercanas, una de las cuales se encuentra controlada con un ángulo de desfase = pi.
Tal como lo presentan las Figuras 31 (a) y 31(b) con tan solo un pequeño desfase ( =π/4 - π/2 ), se empieza a notar una ligera tendencia a controlar el caos, aunque predominan las fuerzas caóticas, pues el ángulo es aún demasiado débil para inducir al control. En la Figura 31 (c) se hace más significativa la acción del ángulo en el termino del control para un valor de = π . Para éste valor la dinámica del sistema es periódica.
33
4.1.
EXPLORACIÓN NUMÉRICA DEL CONTROL POR LA FASE EN EL OSCILADOR DE DUFFING
Se hizo evidente que la técnica de control por la fase, resulta ser muy efectiva para controlar la dinámica caótica de los sistemas dinámicos.
Igualmente se vio ostensiblemente la sensibilidad a la fase del control ( ), constatándose que su valor óptimo es pi.
4.2.
ANÁLISIS BIFURCACIONAL
La Figura 32 da muestra del espacio final de la partícula frente a la amplitud de la oscilación armónica que se aplica, allí se observa la biestabilidad del sistema. Luego de superar cierto umbral, la función da cuenta del comportamiento caótico, seguido de ventanas periódicas, intercaladas nuevamente por franjas caóticas. Bifurcation Diagram of the Duffing System. Bistable Region.
2 1.8 1.6 1.4 1.2 r
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Figura 32. Diagrama de Bifurcación del Oscilador de Duffing. Trayectorias v.s. Amplitud del forzamiento.
La Figura 32 fue obtenida a través del análisis numérico [10], brinda información sobre la estratificación espacial del Oscilador de Duffing, para el parámetro del forzamiento externo, junto con los retratos de fase representativos de cada estrato.
4.2.1. DIAGRAMAS DE BIFURCACIÓN La Figura 33 presenta el diagrama de bifurcación modulando el parámetro del forzamiento del modelo de oscilador Duffing con las siguientes condiciones en el sistema de parámetros; y w 02 = α =1, β =1, w=1, r=1, =0.15, =pi .
δ
34
Diagrama de Bifurcación del s istema Duffing. Regiones:Estable-Bistable -Caotica. 2 1.5 1 0.5 n ói c
0 lu o S
-0.5 -1 -1.5 -2
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Figura 33. Diagrama de Bifurcación posición (x) v.s. amplitud del forzamiento.
En la Figura 34 se construyó un diagrama de Bifurcación haciendo variar el parámetro de amplitud de la excitación de control ( ), y conservando fijo en su valor optimo el angulo de desfase =pi . Naturalmente se observa que valores altos del control conllevan a la estabilización de la dinámica del Oscilador hacia los atractores, aunque valores superiores también contienen la posibilidad de dinámica caótica. Mientras que para valores de la excitación de control ( ) menores son por lo general demasiado débiles para inducir a una situación de dinámica periódica, aunque valores inferiores también incluyen la opción de control.
Figura 34. Diagrama de Bifurcación posición v.s. amplitud del control.
35
Diagrama de Bifurcación del Duffing Controlado variando la fase del control aditivo 2 1.5 1 0.5 x
0 -0.5 -1 -1.5 -2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 Phi
1.2
1.4
Figura 35. Diagrama de Bifurcación para el ángulo
1.6
1.8
2
de desfase en el Control.
Los diagramas de bifurcación obtenidos se muestran en Figura 35(a)-35(c), en las cuales se hacen visibles diferentes tipos de atractores del sistema, cuando el parámetro de bifurcación es variado. Igualmente enseña que en la dinámica caótica para cierta configuración del sistema, modulado por sus parámetros, coexisten ambos regímenes de movimiento: caótico y regular.
Figura 35 (a). Diagrama de Bifurcación para el ángulo =0.005.
de desfase en el Control, y
36
Figura 35 (b). Diagrama de Bifurcación para el ángulo =0.003.
de desfase en el Control, y
Figura 35 (c). Diagrama de Bifurcación para el ángulo de desfase en el Control, y =0.3.y parámetro de modulación r=2.
En las Figuras 35 (a)- 35 (c) se observa la mezcla de ángulos continuos que conducen a estados caóticos o estados periódicos. Así mismo se hace patente el hecho que una mayor amplitud en la excitación armónica del control, no garantiza necesariamente que el sistema se comporte periódicamente. De donde se sigue que el control es una elección apropiada de ambos parámetros tanto el ángulo como la amplitud del control , es decir la dupla ( , ) se debe establecer de forma sincronizada para hacer el control eficiente.
4.3.
CALCULO DE EXPONENTES DE LYAPUNOV
Se efectuaron cómputos de los exponentes de Lyapunov basados en código Matlab; para la condición para un valor de la amplitud del forzamiento externo de F = 0.258; y w 02 = α =1, β =1,w =1, r =1, =0.15, se obtiene: Régimen Caótico, pues el exponente de Lyapunov arrojo un valor de λ = 0.11, es decir λ > 0.
37
i
1 ts n e
0.5 n o p x e v o n u
0 p a y L
-0.5
-1
0
20
40
60
80
100 Time
120
140
160
180
200
Figura 31. Computo de los exponentes de Lyapunov Oscilador de Duffing forzado. Exponente v.s. tiempo.
CONTROLADO Para la condición para un valor de la amplitud del forzamiento externo de F =0.258; y w 02 = α =1, β =1, =0.15, y =0.05 y =0, se obtiene:
Régimen Caótico el exponente de Lyapunov arrojo un valor de λ= 0.1854, es decir λ>0. Dinamica de Exponentes de Lyapunov
0.8 0.6 0.4 v
0.2 o n u p a y
0 L e d et
-0.2 n e n o p x E
-0.4 -0.6 -0.8 -1
0
20
40
60
80
100 120 Tiempo
140
160
180
200
Figura 32. Computo de los exponentes de Lyapunov controlado para tiempo.
= 0 . Exponente v.s.
Lo anterior contrasta con la condición para = pi , con los mismos valores de la amplitud del forzamiento externo de F =0.258; w 02 = α =1, β =1, =0.15, y =0.05. La dinámica es Periódica, de allí que el exponente de Lyapunov sea λ= -0.0442, es decir λ<0.
38
Dinamica de Exponentes de Lyapunov
0.8 0.6 0.4 v
0.2 o n u p a y
0 L e d et
-0.2 n e n o p x E
-0.4 -0.6 -0.8 -1
0
20
40
60
80
100 120 Tiempo
140
160
180
200
Figura 33. Computo de los exponentes de Lyapunov controlado para tiempo.
= pi . Exponente v.s.
Es así como se constató el efecto y la sensibilidad de los p arámetros sobre la dinámica del oscilador controlado. El valor del control usado en el escenario simulado fue =0.05, el cual es lo bastante débil como para producir 2 dinámicas diametralmente opuestas en el oscilador, como lo son la dinámica periódica y la caótica, todo ello debido a tan solo la modulación del parámetro de fas e en un valor de pi.
El efecto del parámetro de modulación de la frecuencia ( r ) en el control no contribuyó a producir el control. De hecho se simularon escenarios con dinámica controlada, la cual una vez se aumentaba el valor de r, se transforma la dinámica del Oscilador de controlada a caótica. (r =1 λ =-0.04, r =2 λ =0.15, r =3 λ =0.17). Mientras que para el parámetro de la frecuencia ( w) se observó un efecto positivo en el control pues para la condición en la cual = 0 y por lo tanto el Oscilador se situaba en una dinámica caótica ( λ =0.18), ahora aumentando la frecuencia w =2 λ =-0.05 el Oscilador cambia su dinámica hacia lo periódico, haciendo efectivo el control.
39
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
El Oscilador de Duffing presenta una naturaleza no lineal que permite observar el fenómeno de la complejidad y la emergencia del Caos, propio de la din ámica no lineal, como sensibilidad a las condiciones iniciales, ciclos límite, atractores extraños y comportamiento caótico. Una aproximación a la comprensión del Oscilado de Duffing es posible mediante las técnicas de la propia teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, como espacio de las fases, secciones de Poincaré, cálculo de exponentes de Lyapunov y diagramas de bifurcación. Es posible implementar una aplicación experimental electrónica del sistema controlado, que permita garantizar la versatilidad y robustez de la técnica. A través del control es posible anular o hacer aparecer la dinámica caótica, al igual que la periódica. Los diagramas de bifurcación mostraron diferentes tipos de atractores para el sistema cuando el parámetro de bifurcación es variado.
En dinámica caótica, para una configuración determinada del sistema, modulado a través de sus parámetros, se observa que coexisten ambos regímenes de movimiento: Caótico y regular. Luego de superar cierto umbral, el comportamiento es caótico, seguido de ventanas periódicas, intercaladas nuevamente por franjas caóticas. Naturalmente, una mayor amplitud en la excitación armónica del control Ɛ , no garantiza necesariamente que el sistema se comporte periódicamente, o se dirija hacia alguno de sus atractores. Por lo que el control es una elección apropiada de ambos parámetros: tanto el ángulo ( ), como la amplitud del control (Ɛ ), es decir de la dupla ( Ɛ , ). Además se hizo evidente que el ángulo más eficiente de control es =π .
40
El efecto del parámetro de modulación de la frecuencia ( r ) en el control, no resultó ser positivo para lograr el control, incluso produce el efecto contrario, es decir, el Oscilador ingresa en dinámica caótica. El parámetro de la frecuencia (w ), puede tener un efecto positivo en el control, lo cual resulta interesante porque se encuentra también en la fuerza de excitación causante del Caos; pues las simulaciones mostraron que es posible variar una condición de dinámica caótica ( λ >0) a periódica, aumentando la frecuencia del oscilador, para así ingresar en dinámica controlada ( λ < 0).
41
6. ANEXO CODIGO MATLAB CONTROL DE CAOS EN EL OSCILADOR DE DUFFING -POR ADICIÓN DE FASE PERTURBATIVA Archivo duff.m [10] % Jefferson Martinez % Universidad Rey Juan Carlos, España function y=duffing(t,x) global delta beta alfa OMEG GAM y(1)=-delta*x(1)+beta*x(2)-alfa*x(2)^3+GAM*cos(OMEG*t); y(2)=x(1); y=y'; end
close all clear clc global delta beta alfa GAM OMEG epsilon omega phi delta=0.15; beta=1; alfa=1; OMEG=1; GAM=0.258; epsilon=0.3; omega=1; phi=pi; a=0; b=0; [t x]=ode45(@duffing,0:2*pi/OMEG/100:4000,[a b]); figure(1) plot(t(2000:6000),x(2000:6000,1),'g.')
42
hold on [t x]=ode45(@duffing,0:2*pi/OMEG/100:4000,[a+0.1 b+0.1]); plot(t(2000:6000),x(2000:6000,1),'y') grid on title('SERIE TEMPORAL') xlabel('Tiempo') ylabel('Solución X') legend(['Condicion inicial=',num2str([a b])],['Condicion inicial=',num2str([a+0.1 b+0.1])]); hold off [t x]=ode45(@duffing,0:2*pi/OMEG/100:4000,[a b]); figure(2) plot(x(2000:10000,2),x(2000:10000,1),'g.') hold on [t x]=ode45(@duffing,0:2*pi/OMEG/100:4000,[a+0.1 b+0.1]); plot(x(2000:10000,2),x(2000:10000,1),'y.') title('ESPACIO DE LAS FASES') xlabel('x') ylabel('dx/dt') legend(['Condicion inicial=',num2str([a b])],['Condicion inicial=',num2str([a+0.1 b+0.1])]); hold off [t x]=ode45(@duffing,0:pi/OMEG/100:4000,[a b]); figure(3) for i=5000:100:127300 n=(i-4900)/100; x1(n)=x(i,2); x2(n)=x(i,1); end plot(x1(:),x2(:),'g.') [t x]=ode45(@duffing,0:pi/OMEG/100:4000,[a+0.1 b+0.1]); hold on for i=5000:100:127300 n=(i-4900)/100; x1(n)=x(i,2); x2(n)=x(i,1); end plot(x1(:),x2(:),'y.') title('SECCIÓN DE PONCARÉ') xlabel('x') ylabel('.') legend(['Condicion inicial=',num2str([a b])],['Condicion inicial=',num2str([a+0.1 b+0.1])]); hold off % Controlado
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[t x]=ode45(@duffing,0:2*pi/OMEG/100:4000,[a b]); figure(4) plot(t(2000:6000),x(2000:6000,1),'g.') hold on [t x]=ode45(@duffingcontrol,0:2*pi/OMEG/100:4000,[a b]); plot(t(2000:6000),x(2000:6000,1),'r.') title('SERIE TEMPORAL') xlabel('Tiempo') ylabel('Solución X') legend(['Sin Control-C Ini=',num2str([a b])],['Controlado-C Ini=',num2str([a b])]); hold off [t x]=ode45(@duffing,0:2*pi/OMEG/100:4000,[a b]);
figure(5) plot(x(5000:10000,2),x(5000:10000,1),'g.') hold on [t x]=ode45(@duffingcontrol,0:2*pi/OMEG/100:4000,[a b]); plot(x(5000:10000,2),x(5000:10000,1),'r.') title('SECCIÓN DE PONCARÉ') xlabel('x') ylabel('.') legend(['Sin Control-C Ini=',num2str([a b])],['Controlado-C Ini=',num2str([a b])]); hold off [t x]=ode45(@duffing,0:pi/OMEG/100:4000,[a b]); figure(6) for i=5000:100:127300 n=(i-4900)/100; x1(n)=x(i,2); x2(n)=x(i,1); end plot(x1(:),x2(:),'g.') [t x]=ode45(@duffingcontrol,0:pi/OMEG/100:4000,[a b]); hold on for i=5000:100:127300 n=(i-4900)/100; x1(n)=x(i,2); x2(n)=x(i,1); end plot(x1(:),x2(:),'r.') title('SECCIÓN DE PONCARÉ') xlabel('x') ylabel('.')
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legend(['Sin Control-C Ini=',num2str([a b])],['Controlado-C Ini=',num2str([a b])]); hold off
global delta beta alfa OMEG epsilon omega phi GAM delta=0.15; beta=1; alfa=1; OMEG=1; omega=1; phi=pi; GAM=0.258; a=1; %Condición inicial. b=0; for k=1:1000, hold on epsilon=k*0.001; [t x]=ode45(@duffingcontrol,0:2*pi/OMEG:400,[a b]); plot(epsilon,x(end-50:end),'r.-','MarkerSize',2), end hold off axis([0 1 -2 2]) xlabel('\Epsilon') ylabel('x') title('Diagrama de Bifurcación del Duffing Controlado')
close all clear clc global delta beta alfa GAM OMEG epsilon w phi delta=0.15; beta=1; alfa=1; OMEG=1; GAM=0.258; epsilon=0.1; w=1; a=1; b=0;
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for k=1:1000, hold on phi=k*2*pi/1000; [t x]=ode45(@duffingcontrol,0:2*pi/OMEG:1000,[a b]); plot(phi,x(end-50:end),'r.-','MarkerSize',2), end hold off axis([0 2*pi -2 2]) xlabel('Phi') ylabel('x') title('Diagrama de Bifurcación del Duffing Controlado variando la fase del control aditivo')
delta = 0.15; alfa = 1; beta = 1; Gam=0.258; w=1; x=X(1); y=X(2); z=X(3); Y= [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)]; f=zeros(9,1); f(1)=y; f(2)=-delta*y+alfa*x-beta*x^3-Gam*cos(z); f(3)=w;
Jac=[0, 1, 0; 1-3*x^2, -delta, 0, 0, 0];
0;
f(4:12)=Jac*Y;
------------------------[T,Res]=lyapunov(3,@duffing_ext,@ode45,0,0.5,200,[0 0 0],10); plot(T,Res); title('Dinamica del Exponente de Liapunov'); xlabel('Time'); ylabel('Lyapunov exponents');
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