y
(E 2
− E 1)
β = =
−4.5
β = = 3.9 + 0. 0 . 1i β = = 1
R2
Gm1 m2 F = r2
m1
m2
G
r
n > 2
n
1 = Gm1 m2 r F r3
,
2 = F
−F 1,
r
rM
¨m mr
=
¨M = M r
rm
− GMm r, r3 GMm r. r3
rM
rM rm r˙M r˙m
rm r
M
m
µ r¨ = 3 r, r µ = G(M + m)
≈ GM
M
m
r L = dL = dt
× v = r × r˙,
−r × rµ3 r = 0. r
r L =
× r˙ = r 0 × r ˙0 = L 0. r r = 0. L
·
1 v r ar = 2
L
× v = 21 L. r
v 1 mv 2 2 E
1 mµ = E = mv02 − , − mµ r 2 r0
L
× r¨ = − rµ L × r = 0, d r d r˙ + µ r r˙ ) = −µ d dt (L × dt r dt L × r × r˙ + µ r = −µe, L r L
3
e = e
= 0,
− rr − µ1 L × v. e
e = 0 L
·
e
r
θ r r (L
· × v) + µr = −µr · e = −µ r e cos θ, r (L
· × v) = −L · (r × v) = −L2,
L
r r =
p , 1 + e cos θ
p = L2 /µ (r, θ) e θ = 0 e
v
× L = µ
r + e . r
L
v
µ r µ L + L e L2 r L2 1 r 1 = L + L e, p r p
v =
×
×
×
×
h A
−90
◦
90
0
◦
δ
H
−90
◦
90
◦
360
◦
Z Z N
S
s
H γ
a b e ν E
r =
p , 1 + e cos ν
p = a(1
a(1 e2 ) r = , v2 = µ 1 + e cos ν
−
− e2),
2 r
1 a
−
b = a
−
, sin φ =
φ
1
e2 ,
a2 (1 e2 ) , r(2a r)
r
n =
− −
v
r
2π , T
T τ M = n(t
x = r cos ν = a(cos E x = v ˙ x =
− e),
sin E − 1 na − e cos E ,
cos ν =
− τ ).
√ − e2, √ na cos E 1 − e2 y = v ˙ . y = 1 − e cos E
y = r sin ν = a sin E 1
cos E e , 1 cos E
−
− M = E − e sin E ,
tan
− ν
E
2
=
A sin ν A sin E e = , A = 1 + A cos ν 1 A cos E 1+ 1
−
√ − e2 .
v
N, N
γ
Ω
γ
i ω Ω
ω
τ
{r, ˙r} = {x,y,z, ˙x, ˙y, ˙z} → {Ω,ω,i,a,e,τ } a =
1
− vµ .
2 r
2
e =
1
2
− r(2a −ar)sin 2 cos i =
φ
Lz = L
−
Ω tan Ω =
r1 (t1 )
→
r2 (t2 )
=
· − √ 1
r a
2
.
xy˙ yx˙ . µa(1 e2 )
−−
− LLxy = − zyxz˙˙ −− zxyz˙˙ .
r1 (t1 ) r˙1 (t1 )
→ {Ω,ω,i,a,e,τ }
t0 f
r r˙ µa
+
r
r˙
g
= f r(t0 ) + gr˙ (t0 ). r(t) f g f
g f = 1 g
− ra0 [1 − cos(E − E 0)],
= (t
− t0) −
a3 [(E µ
− E 0) − sin(E − E 0)].
f g
r1 (t1 ) r2 (t2 )
→
esquema iterativo
→
funciones f, g
r1 (t1)
→
r˙1 (t1)
f
g
→ {Ω,ω,i,a,e,τ }
y
y =
Area sectorABC . Area trianguloABC
y
(E 2
− E 1)
f g 1 µp 2
dAsector 1 = µp dt 2
√
√
t2
Asector =
t1
Atriangulo =
1 1 µp dt = µp(t2 2 2
√
1 base 2
− t1),
× altura = 21 r1r2 sin(ν 1ν 2),
y
√
µp(t2 t1 ) Asector y = = . Atriangulo r1 r2 sin(ν 1 ν 2 ) y
(E 2
−
− E 1) y
r1
r2 r =
t1
p 1 + e cos ν
→ pr = 1 + e cos ν,
t2
1 1 r = p + r1 r2
= 2 + e(cos ν 1 + cos ν 2 ).
r = a(1 e cos E ), r cos ν = a(cos E e),
−
−
y )2 sec2
µ(t1
2
y = 2r1 r2
− t2 √ r1 + r2 − 2 r1 r2 cos l
m
≡
E 2
− ν 1
−
2 E 1
2
cos
ν 2
− ν 1 2
cos
− − −
µ(t1
√ −
2 r1 r2 cos
E 2
E 1
2
y2 =
m
ν 2
,
≡ √ r1 + rν 22 − ν 1 − 21 , 4 r1 r2 cos
−
1 x = 1 2
2 t2 )2
ν 2
3
ν 1
,
2
= sin2
E 2
E 1
4
,
m , l + x
l
r1 , r2 , (t2 t1 ), (ν 2
x
(E 2
−
− E 1) E = E 2
t1
M = E e sin E M = n(t τ )
− −
− E 1
→ n(t − τ ) = E − e sin E,
t2 n(t1
− t2) = (E 2 − E 1) − sin(E 2 − E 1).
y2 (y
− 1) = mX ,
2 − E 1 ) . ≡ E 2 − E 1 −E sin(E 2 − E 1
X
3
sin
2
y m
l
x
X y
(E 2 − E 1 )
y
(E 2
− E 1)
− ν 1)
a
f = g
=
1
− ra1 [1 − cos(E 2 − E 1)] ,
(t2
− t1 ) −
a3 [(E 2 µ
− E 1) − sin(E 2 − E 1)] .
r 2 = f r 1 + g r ˙ 1 , ˙1 r ˙1 = r 2 r
− f r 1 . g
y2
y = 1 + X (l + x) . r 1 r 2
(t2
− t1) y ≈ 1
m
l x
x =
m y2
− l ≈ m − l.
x cos (E 2 (E 2
− E 1)
− E 1) 2
E 2
− E 1 2
0 <
X
=1
(E 2
− 2x,
− E 1) < π 2
y = 1 + X (l + x) , y y
f (z) = 0 C
→ C
f :
C
zn+1 = G(zn ), n = 0, 1, 2,... G
ξ
ξ = G(ξ )
G G(z) = z
∃M > 0, k0 ∈ N tales que |zk+1 − ξ | < M |zk − ξ | p , ∀k ≥ k0, p p = 1 p = 2
p d
I = p 1/d .
0
C = p 1/(op) , op d 2d
−
2d
1
1
d
−
2(d
1)/d
−
ρ¯ =
ln( xk+1 ξ )/( xk ln( xk ξ )/( xk 1
| − | | − ξ |) , | − | | − ξ |) −
ρ¯ ξ
p
k +1 − xk |)/(|xk − xk 1 |) ≈ ρˆ = ln(ln(|x|xk − , xk 1 |)/(|xk 1 − xk 2 |) −
−
−
−
ρˆ
xn+1 = x n
k
xk+1 y = f (x)
− f f (x(xnn)) .
(xk , f (xk ))
f (x) f (x)
f (x)
ξ
− ξ ) + f 2(ξ ) (xn − ξ )2 + O[(xn − ξ )3], en = x n − ξ n
f (xn ) = f (ξ ) + f (ξ )(xn ξ
f (ξ ) = 0
f (ξ ) 2 en + O[e3n ]. 2
f (xn ) = f (ξ )en + f (ξ )
1 f (ξ ) 2 e ] + O[e3n ]. 2 f (ξ ) n
f (xn ) = f (ξ )[en +
1 f (ξ ) 2 f (ξ )
c2 =
f (xn )
f (xn ) = f (ξ )(en + c2 e2n ) + O[e3n ], f (xn ) = f (ξ )(1 + 2c2 en ) + O[e2n ],
en = xn n
− ξ en+1 = c 2 e2n + O[e3n ].
xn
G z
|G (z )| < 1 |G (z )| = 0 |G (z )| > 1 |G (z )| = 1
∗
∗
∗
∗
G
G
z
∗
G (z ) = 0
∗
x0
x0 , x1 ,...,xn xn z
A(z) = z0
{ ∈ C : R
n
(z0 )
→ z, n → ∞} f (z) = z 2
z1 = 1 z1
z2
z2 =
−1
−1
∗
F J
k ) + (2 + β )f (yk ) f (yk ) , − f (zf (z f (zk ) k ) + βf (yk )
zn+1 = y k
− f f (z(zkk)) .
yk = z k
β β f
β =
−2 z0
Gf,β (z) = y
+ (2 + β )f (y) f (y) , − f (z)f (z) + βf (y) f (z)
y y = z
. − f f (z) (z)
p(z ) = z 2 + c
αz + γ
f (z) g(z ) = (f T )(z) Gg,β T
◦
(T Gg,β
◦
◦ T
1)
−
= Gf,β (z)
T (z) = Gf,β
p(z) = a1 z 2 + a 2 z + a 3 c = 4a1 a3
a1 = 0
q (z) = z 2 + c
p(z) Gq,β
− a22
G p,β
p(z ) = z 2 + c
f (z)
p(z ) c3 (2 + β ) + 3cz 4 (10 + β ) + z 6 (10 + 3β ) Gβ,c (z) = 8z 3 ( cβ + z 2 (4 + β ))
−
β c
− √ √
− c2z2(10 + 7β ) ,
c
z i c h(z) = z + i c h( ) = 0
∞
√
− √
h(i c) = 0
h( i c) =
∞
z 4 5 + z 2 + 2β + z(4 + β ) Op(z, β ) = , 1 + z(4 + β ) + z 2 (5 + 2β )
c Op(z) = z
z = 0
z =
p(z)
∞
z = 1
− B1 − 12 √ C 1 − D1 √ z2 = A 1 − B1 + 12 C 1 − D1 z1 = A 1
− 12 √ C 1 + D1 √ z = A + B + 1 C + D z3 = A 1 + B1 4
A1 = 14 ( 5 1 4
− − 7
1
2
β =
1
C 1 =
2β + β 2
Op(z, β ) β =
1
−12 − 3β + 12 (5 + β )2 −8(5 + β ) − (5 + β )3 + 4(5 + β )(10 + 3β ) D1 = 2 −7 − 2β + β 2
− − β )
B1 =
1
−2 , z1 = z2 = −1 10 3
−
± 2√ 2, z1 = z3 , z2 = z4 β = − 22 5 , z3 = z 4 = 1 β = −5 z1 = −z4 y z2 = −z3 β = 38 z3 = −z4 β = 1
−
Op(z, β )
z = 0 z = ∗
z1 = ∗
z2
∗
z =
∞
−1 −
20 + 14β + 3β 2 +
20 − 14β − 3β 2 + − =
β =
√ 3
√
β (80 + 84β + 28β 2 + 3β 3 ) 20 + 8β
3 β (80 + 84β + 28β 2 + 3β 3 ) 1 = 20 + 8β z1
∗
−2
− 52
β = z=0
z =
−1
z=
β
∞
z = 1
|β + 226 | < 1655 55 |β + 226 | = 1655 55 |β + 226 | > 1655 55
β =
z1
−4
z2
−1.83917 < β < 1 − 2√ 2 1 + √ 2 < β < 3.96186 √ β = 1 + 2, β ≈ −1.83917, β ≈ 3.96186 β z3
z4
−4.97983 < β < − 225 β = 1 ± 2 − 22 β ≈ −4.97983 5
β
≈ −14.7034 β ≈ − 22 5
β
z1 z3
z4
z2
z
|Op (z , β )|
β
|Op (z , β )| < 1 |Op (z , β )| = 1 |Op (z , β )| > 1
∗
∗
∗
∗
XY
z1
z3
2
,
4
,
p(z ) z = 1 ∗
z1
z2
∗
∗
z2 = 1/z1 ∗
∗
P 1
z =
−
∗ z = z 1 2
P 2
−1
,
β
0
∞
P 2 β
z1,2 ∗
β =
−4.5
p(z ) z=
∞
z =0
β =
−4.5 β = 3.9 + 0.1i
P 2
β = 3.9 + 0.1i β
m , l + x 1) = mX,
y2 y 2 (y
−
=
y y2 y = 1 + X (l + x).
y x =
m y2
− l.
x E 2
− E 1 = 2 arc cos(1 − 2x).
X X =
E 2
− E 1 − sin(E 2 − E 1) . E 2 − E 1 sin3
2
X
y
− − − − − − − − − − − − − − − −
m 2arccos 1 y = 1 +
2
l +
1
y f (z) =
−z + 1 −
m 2arccos 1
m y2
1
2
sin 2arccos 1
2
l +
1
z
l +
m z2
1
z
2
m y2
2
l +
l +
,
3/2
y2
sin 2arccos 1
2
m y2
2 3/2
m z2
2
l +
m z2
,
z2
∈ C Gf,β
Gf,β
r1 (t1 )
r2 (t2 )
a = 3e.r e = 0.05 τ = 0h 0m 0s 23 dic 1963 i = 30
◦
a
Ω = 80
◦
ω = 60
◦
1e.r = 6378140m) r 1
( 1.759810674470381, 1.681128006831926, 1.169134301380908)e.r ν 2 ν 1
−
−
r 2
r 1
r 2 m y = 1 ν 2
20
◦
40
◦
l
− ν 1
≈
ν 2
ν 2
− ν 1
− ν 1
= 20
◦
ν 2
y
− ν 1
◦
= 40
m
l
20 40 70
◦ ◦ ◦
ν 2 10
3
−
− ν 1
20
◦
106
80
−0.4
1.4
ν 2
−0.4
0.4
− ν 1 = 20
◦
z1 = 1.018748317827323 z2 = 0 40
◦
70
◦
z1
z2
z3 x
− ν 1 ◦ ◦
ν 2
− ν 1
z4
− ν 1 = 70
◦
z4 z4 z¯3 z¯3 z¯3
◦
z2 z3
ν 2
◦
arc cos
z3
20 40 70
− ν 1 = 40
z4
z3 ν 2
ν 2
z2 z3 z1
z4
ν 2
− ν 1 = 20
ν 2
− ν 1 = 40
ν 2
− ν 1 = 70
◦
◦
◦
β =
−2 β =
−4.5
β = 1
z2 z 3
z4
y
ν 2
− ν 1 = 20
ν 2
− ν 1 = 40
◦
◦
10 y
δa
β = 3.9 + 0.1i
35
−
ν 2
ν 2
− ν 1
y0 = 1
y0 = 0.8
◦
y0 = 0.6
δa 16 16 −16
20 40 70
7.76 6.96 5.22
× 10 × 10 × 10
20 40 70
7.76 6.96 5.22
× 10 × 10 × 10
20 40 70
7.76 6.96 5.22
× 10 × 10 × 10
z2 z3
z4
◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦
z1 z2
− ν 1 = 70
− −
16 16 −16 − −
16 16 −16 − −
ν 2
− ν 1
z1
z2
z3
z4
20 40 70
◦ ◦ ◦
20 40 70
◦ ◦ ◦
20 40 70
◦ ◦ ◦
β =
z1
−4.5
z2 z3
z4 z1
β =
−4.5
ν 2
− ν 1 = 20
◦
β =
−4.5
ν 2
− ν 1 = 40
β =
−4.5
ν 2
− ν 1 = 70
◦
◦
β = 3.9 + 0.1i
β =
−4.5
β = 3.9 + 0.1i
ν 2
− ν 1 = 20
β = 3.9 + 0.1i
ν 2
− ν 1 = 40
◦
◦
z5 = 1.124300240349773 1.130155132817833i
−
β = 3.9 + 0.1i
ν 2
− ν 1 = 70
◦
z5 z6 = z¯5
β = 3.9 + 0.1i
ν 2
− ν 1 = 70
◦
β = 1
β = 1
ν 2 β =
β = β = 3.0 + 0.1i
−4.5
β = 3.9 + 0.1i
β = 1
− ν 1 = 20
◦
−4.5
β = 1
ν 2
− ν 1 = 40
β = 1
ν 2
− ν 1 = 70
◦
◦
β = ν 2
− ν 1
y0 = 1
−4.5
β = 3.9 + 0.1i
y0 = 0.8
β = 1
y0 = 0.6
δa
β = 1
20 40 70
7.76 6.96
× 10 × 10
β = 3.9 + 0.1i
20 40 70
7.76 6.96 5.22
× 10 × 10 × 10
β =
20 40 70
7.76 6.96 5.22
× 10 × 10 × 10
◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦
◦
−4.5
◦ ◦
β = ν 2
− ν 1
β = 1
20 40 70
β = 3.9 + 0.1i
20 40 70
β =
20 40 70
◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦
◦
−4.5
◦ ◦
z1
z2
z3
z4
−4.5
β = 3.9 + 0.1i
− −
16 16
16 16 −16 − −
16 −16 −16 −
β = 1
N =
−1 + z −
m 2
2
D
− 2zm − 2 2 1 − 1 + 2l − 2zm
1 + 2l
2
2
1 + 2l
3/2
− 2zm 2
z2
,
4m − z (m2 − (1 + 2l)mz 2 + l(1 + l)z 4 ) 2m 2 1 + 2 l − 2zm − 2 1 + 2 l − 2zm − 12m 1 + 2l − z 2 2 5/2 5 1 − 1 + 2l − 2zm z 2m 2 1 + 2l − 2zm − 2 1 + 2 l − 2zm + , 3/2 2m 2 3 1 − 1 + 2l − z z 2m − 2 m 2 1 + 2l − 1 + 2l − +z ) ( ( = −1 − +z− / 3 2 2 2 2m − + z 1 − 1 + 2l − ( +z) = 1
2
2
2
2
2
2
2
2
S
−
2
−
Gz,β
=
−
+z
−
( + (2 + β )) . ( + β )
−
2m 2 +z )
, er
−
−
− − − − −
− − − −
−
− − − −
−
−
− − −
− −
−−−−−−−−−−−−
− − −
−
−
−
−
−
− −
−
−
−
−
− −
−
−
−
− −
− − − − − − −
−
− −
−
−−−−−−−−−−−−
− − −
−
−
−
−
−
− −
−
−
−
−
−
−
−
− −
− − − −
− − −
−
− −
−
