CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
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J. Jovani Turco Quinto1 CEICE Febrero del 2012
1
Alumno de la UNCP y la PUCP; y miembro del Departamento de Estudios Económicos del BCRP-Sucursal Huancayo. Esta es una versión preliminar escrita para el curso de Microeconomía dictado en el curso de nivelación y preparación del Circulo de Estudios e Investigación en Ciencias Económicas “CEICE”, cualquier sugerencia por favor escribir al correo o a
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CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Contenido INTRODUCCIÓN La economía como ciencia social El método alfa-beta en la ciencia económica Matemáticas de la optimización El mercado
PARTE UNO: LA TOMA DE DECISIONES INDIVIDUALES
La teoría del consumidor La restricción presupuestaria Las preferencias La utilidad La elección La demanda Las preferencias reveladas La ecuación de Slutsky La compra y la venta La elección intertemporal El excedente del consumidor La demanda del mercado El equilibrio Las subastas*2
La teoría de la firma La tecnología La maximización del beneficio La minimización de los costes Las curvas de costes *2 opcional
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CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Contenido INTRODUCCIÓN La economía como ciencia social El método alfa-beta en la ciencia económica Matemáticas de la optimización El mercado
PARTE UNO: LA TOMA DE DECISIONES INDIVIDUALES
La teoría del consumidor La restricción presupuestaria Las preferencias La utilidad La elección La demanda Las preferencias reveladas La ecuación de Slutsky La compra y la venta La elección intertemporal El excedente del consumidor La demanda del mercado El equilibrio Las subastas*2
La teoría de la firma La tecnología La maximización del beneficio La minimización de los costes Las curvas de costes *2 opcional
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CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
La oferta de la empresa La oferta de la indu stria
PARTE DOS: EQUILIBRIO DE MERCADO Y EQUILIBRIO GENERAL
Equilibrio de mercado El modelo de equilibrio parcial competitivo Análisis competitivo aplicado
Equilibrio general El intercambio La producción El modelo de equilibrio general competitivo EL bienestar
PARTE TRES: TEORÍA DE LA ORGANIZACIÓN ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelos de monopolio Modelos tradicionales de competencia imperfecta
PARTE CUATRO: TÓPICOS EN MICROECONOMÍA* MICROECONOMÍA* 3 La incertidumbre y el mercado de activos a ctivos La Teoría de juegos y el equilibrio estratégico Fijación de precios en los mercados de factores Fallas de mercado
3
* Opcional
3
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Bibliografía recomendada Básicas [1] Varian, Hal (2006). “Microeconomía Intermedia”. Antoni Bosch. 7ma edición. [2] Nicholson, Walter (2004). “Teoría Microeconómica, Principios Básicos y Aplicación”. McGraw–Hill, 8va edición. [3] Kafka, Folke (1985). “Teoría Económica”. 3era edición. CIUP. [4] Parkin, Michael (1995). “Microeconomía”. Addison –Wesley. [5] Jorge Fernandez Baca (2000). “Microeconomía: Teoría y Aplicaciones”.CIUP.
Opcionales [6] Mas Colell, A., M. Whinston y J. Green (1995). “Microeconomic Theory”. Oxford. [7] Varian H. (1998). “Análisis Microeconómico”. Antoni Bosch. 3ra edición. [8] Henderson y Quandt (1973). “Teoría Microeconómica”, Ariel, 2da edición.
Complementarias [9] Figueroa, Adolfo (2008). Nuestro mundo social: introducción a la ciencia económica. Fondo editorial de la PUCP. Lima. [10] Figueroa, Adolfo (2003). “La sociedad sigma: Una teoría del desarrollo económico”. Lima y México: Coedición de Fondo Editorial de la PUCP y
Fondo de Cultura Económica.
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CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
A mi mam á Haydee y a mi hermana Midori, por rme que solo en las ense ña ecuaciones del amor existe una verdadera. raz ón
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CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Introducción El objetivo de la presenta nota de clase es complementar los aspectos teóricos relacionados a la teoría microeconómica, dictado en el curso de Microeconomía del Circulo de Estudios e Investigación en Ciencias Económicas. CEICE. En esta nota se describe aspectos básicos, pero importantes de la teoría microeconómica. Los apuntes de clase se dividen en cuatro partes. La primera parte, titulado la toma de decisiones individuales, está conformado por la teoría del consumidor y la teoría de la firma (productor). La segunda parte, titulado equilibrio de mercado y equilibrio general, trata modelos de equilibrio parcial y equilibrio general. En la tercera parte, llamado teoría de la organización industrial, se desarrollaran modelos referidos a los mercados de competencia perfecta. Por último, en la parte cuatro, se desarrollan temas adicionales en microeconomía, como la incertidumbre y el mercado de activos, la teoría de juegos, los mercados de factores y fallas de mercado. Las matemáticas son útiles para traducir los argumentos verbales en formas concisas y consistentes. Sin embargo, hacen algo más que esto. Las matemáticas proporcionan al economista una serie de instrumentos a menudo más poderosos que el lenguaje ordinario porque incorporan conceptos y permiten operaciones para las que no existen equivalentes verbales manejables. El uso de las matemáticas aumenta el instrumental del economista y dilata el alcance de las inferencias posibles a partir de los supuestos iniciales. Los principales instrumentos matemáticos utilizados en el presente son el cálculo y algunos conceptos de ecuaciones diferenciales y de ecuaciones en diferencia. Es por ello que la condici ón necesaria para entender la presente nota de estudio es tener conocimientos del cálculo matemático, y la ó es tener el interés de aprender a explicar el mundo económico con los diferentes modelos de la teoría microeconómica. Este documento no contiene desarrollos originales, que no estén ya planteados o desarrollados en los libros referenciados. Solamente pretende ser una ayuda para que el lector pueda enfrentarse a los textos de microeconomía con mayor seguridad y una guía para los actuales estudiantes del curso. Esperamos que ellos lo encuentren de utilidad, y comprendan que todos los errores que seguramente seguirán encontrando por ahí, son muy probables nuestros, no de Varian ni de Mas Colell. 6
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La economía como ciencia social4 Sabemos que los humanos necesitamos bienes para satisfacer nuestras necesidades . También sabemos que algunos bienes son libres, pero que otros deben ser producidos. Entonces ¿Cómo se organizan las sociedades humanas para producir los bienes y para distribuirlos entre los diferentes grupos? La ciencia económica tiene por estudiar el proceso de producción y distribución de bienes, llamado el . Se interesa por explicar cómo y por qué, en dicho proceso, los miembros de la sociedad entran en relaciones, interactúan entre ellos, y por qué lo hacen en diferentes grados y de diferentes maneras, jugando diferentes roles. Es por eso que la . Las ciencias pueden estar referidas a relaciones entre objetos reales o mentales. En el primer caso, las ciencias que hacen referencia a la realidad son llamadas ciencias f ácticas , mientras que en el segundo, las ciencias, en donde sus proposiciones son pensamientos que hacen referencia a otros pensamientos, son llamadas ciencias formales . Debido a que la economía tiene por estudio del proceso económico en sociedades concretas, sus proposiciones tienen que hacer referencia a la realidad. Entonces, claramente . Una ciencia es teórica cuando sus proposiciones son validas para toda la realidad (deben tener proposiciones universales). La ciencia Física es teórica, ya que sus proposiciones son casi validas para toda la realidad, por ejemplo, la ley de la gravedad se aplica en cualquier parte del mundo. Al contrario de esta ciencia, en Economía existen proposiciones específicas para cada realidad, como también existen proposiciones genéricas que son validas para todas las realidades. Entonces claramente la economía no es una ciencia teórica, pero aunque no tenga proposiciones (fundamentales) que no son universales, satisface exigencias para ser clasificada como ciencia teórica, dado que hay un ordenamiento lógico en sus proposiciones. Se podría decir, ante este hecho, que . A partir de lo mencionado, podemos definir a la Economía de la forma siguiente: “La econom í a es una ciencia social, f áctica y cuasi-te órica, que estudia la mejor asignaci ón de los recursos escasos entre usos ilimitados y competitivos.”
4
Para mayor profundidad del tema se puede consultar a Figueroa (2008), cap. 1 y Figueroa (2003), cap. 1.
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B. La metodología alfa-beta en la ciencia económica Según Georgesu-Roegen (1971), la
ciencia es un conjunto de proposiciones alfa y beta, tal que las proposiciones beta son derivadas lógicamente de las proposiciones alfa, y ninguna proposición alfa puede ser derivada de otra proposición alfa . Así los
fundamentos de la ciencia vienen dado por sus proposiciones alfa. El conjunto de constituye la , es el conjunto de supuestos o axiomas que se establecen para comprender la realidad. Estos se construyen como axiomas que, no necesitan justificación. Explicar la realidad requiere teoría o abstracción, y eso implica simplificación de la realidad. Las se obtienen de las alfa por inferencia lógica (se usa el método matemático, para asegurar que la derivación sea lógicamente correcta). Las proposiciones beta muestran las relaciones entre las variables exógenas y endógenas, y por lo tanto . Las proposiciones beta tienen contenido empírico, particulares entre variables exógenas y las endógenas. En consecuencia, las proposiciones beta, son el medio por el cual se pone a prueba si la teoría es o no consistente con la realidad. Las proposiciones alfa son muy genéricas. Para analizar una economía concreta, se necesitan hacer supuestos adicionales que le permitan al economista un mayor grado de aproximación a la realidad. Esta mayor concreción se conoce como el “ ” de la teoría. Enton ces, cada economista puede hacer diferentes supuestos adicionales para una misma teoría, y por lo tanto, se puede obtener diferentes modelos para una misma teoría. Con respecto a la teoría Keynesiana, se puede encontrar varios modelos que se derivan de esta, por ejemplo, el modelo de la curva de Phillips, el modelo IS-LM, solo por mencionar algunos. La teoría, que se suponía a priori como verdadera, se verá confrontada con la realidad mediante las proposiciones beta, utilizando métodos estadísticoseconométricos. Es decir, las proposiciones alfa son falseadas mediante la verificación indirecta mediante las proposiciones beta. Si las proposiciones beta se ajustan bien a los datos empíricos, puede decirse que la teoría es consistente con la realidad. No podemos decir que la teoría es verdadera, porque las mismas proposiciones beta pueden derivarse de otra teoría. Si los datos no coinciden con las proposiciones beta, la teoría es simplemente falsa. Una teoría puede ser consistente con la realidad hoy, pero mañana no, es por tal motivo que la verificación empírica debe ser continua para poder usarlo en la formulación de . En conclusión, la metodología alfa-beta permite que una teoría pueda ser falseada por la observación empírica. Según esta metodología, una teoría necesita 8
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ser empíricamente refutable, una teoría debe ser mortal. Si una teoría no es susceptible de generar proposiciones refutables, no puede convertirse en teoría. Este es el llamado principio de falsación, principio que constituye la línea demarcatoria entre ciencia y no ciencia.
Metodología alfa-beta α1'
β'
α α2'
.. . αn'
REALIDAD ECONÓMICA
β*
SUPUESTOS ADICIONALES estos dependen del arte y de la capacidad abstracción de quien esta formulando el modelo teórico MÉTODO MATEMÁTICO para asegurar que las derivaciones de las predicciones sean lógicamente correctas CONFRONTACIÓN CON LA REALIDAD, mediante métodos estadísticos y econométricos.
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C.
Matemáticas de la optimización
Maximización de una función con una variable Derivadas Sea la función
, la derivada de
0
0
, se escribe formalmente como
sobre el punto
0
0
o de forma simplificada como pero la derivada de
sobre , se escribe formalmente como
0
o de forma simplificada como
0
0
0
0
Condición de primer orden para un punto optimo5 Hablar de un punto óptimo en matemáticas y en economía es encontrar el nivel mínimo o máximo de una función. En este sentido, para encontrar el punto máximo y mínimo se debe cumplir que 0 ,
En ese punto óptimo, por ejemplo
, se tiene que cumplir que
0,
Entonces, podemos decir que en el punto existe un punto óptimo (mínimo o máximo). La condición de segundo orden nos asegurará de que tipo de optimo de trata. 5
A veces a esta condición suele llamarse
condición necesaria
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Debemos tener en cuenta que con esta condición hallamos es punto que maximiza o minimiza la función, para obtener el valor máximo, debemos remplazar este punto en la función inicial.
Condición de segundo orden para un punto óptimo6 Para saber si el punto hallado es un punto máximo o mínimo, tenemos que recurrir a la condición de segundo orden. Las condiciones para un máximo y un mínimo son las siguientes. 2
Si
2
0 , entonces en
existe un máximo de ;
0 , entonces en
existe un mínimo de ;
0 , entonces en
2
Si
2
2
Si
2
puede existir un máximo, un mínimo o
nada.
Maximización de funciones de varias variables Cuando una función depende de varias variables, las condiciones de primer y segundo orden cambian.
Condición de primer orden para un punto óptimo Sea f : R n R , o sea una variable
sobre el punto
0
0
1
,
0
y sea la derivada parcial con respecto a
0
0
1
0
0
1
definida como
0
0
0
1
0
0
Y la derivada total definida como
1 1
2
2
1
1
2
2
La condición de primer orden para un óptimo es que 6
A esta condición se reconoce también como
condición suficiente.
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0
Y la única manera que se cumpla esta condición es que 1
2
0
Esta es la condición de primer orden para encontrar el punto óptimo o puede escribirse como
1
2
0
Condición de segundo orden para un punto óptimo
1
1
Sea la matriz hessiana de la función
y el punto optimo
encontrado con las condiciones de primer orden, igual a
1
1
11
1
1
Las condiciones de segundo orden para un punto máximo y mínimo son las siguientes: Será un máximo si: Será un mínimo si:
0 (definida negativa) o sea si
2
2
0 (definida positiva) o sea si
1
1
0 0
2
2
0 0
3
3
0 0
Si los menores de la matriz hessiana toman diferentes valores a los presentados, puede decirse que no existe un valor óptimo en ese punto.
Funciones implícitas Sea una función definida por
. La función implícita de esta función está
0
1
Entonces la derivada total de la función implícita será igual a 0
Si
1
1
2
2
0
tiene la diferencial total 12
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
1
1
2
2
2
Uniendo estas dos últimas, tenemos
1
1
1
2
2
0
Para que se cumpla esta igualdad, entonces los valores del paréntesis deben anular, es decir deben ser igual a cero
A este resultado se le conoce como el teorema de la función implícita.
Optimización con restricciones de igualdad El problema formal Supongamos que queremos calcular los valores de que optimizan la función sujeta a una restricción que solo permite utilizar determinados valores de las . Una forma general de escribir esta restricción es 0 , por lo tanto podemos escribir el problema de optimización de la siguiente forma 1
Max o Min Sujeto a
,
0 Para resolver el problema de programaci ón no lineal con restricciones de igualdad , existen dos métodos: el de sustitución y el lagrangiano. El método que se usará, en este documento, será el método lagrangiano que a continuación la describimos.
Condiciones de primer orden El método del multiplicador lagrangiano parte de la siguiente formulación de la expresión L
1
L
1
1
o
Donde es el multiplicador de Lagrange. Las condiciones de primer orden para alcanzar un óptimo (punto crítico) son las siguientes 13
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
L L
1
g 0
2
g 0
1
1
2
2
L g 0 L g 0 1
Después de resolver este sistema de ecuaciones se obtendrá el punto crítico 7 y que maximice o minimice la función objetivo. 1
1
Condiciones de segundo orden Las condiciones de segundo orden para un óptimo parten de la hessiana aumentada8 (“bordeada”).
1
1
0 g 1 g2 g
g1
g2
11
11
11
11
11
11
11 11 11
g
Las condiciones de segundo orden para un punto máximo y mínimo son las siguientes: Será 2
0
un 3
0
máximo 4
Será un mínimo si:
si:
2
0
(definida
negativa),
es
decir
0 2
0 (definida positiva), es decir
2
3
4
0
Si los menores de la matriz hessiana toman diferentes valores a los presentados, puede decirse que no existe un valor óptimo en ese punto.
7 8
Llamado también punto estacionario. Conocido también como hessiano orlado.
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Optimización con restricciones de desigualdad (condiciones Kuhn-Tucker El problema formal Queremos resolver ahora el siguiente problema con restricciones de desigualdad: Max Sujeto a 1
,
0 0
Al igual que antes, se define el lagrangiano como L
1
1
Sea un máximo de L . Las restricciones pueden satisfacerse de dos maneras: con la igualdad, y entonces decimos que la restricción esta o con la desigualdad estricta, y decimos que esta inactiva En este caso, unas condiciones necesarias para que sea máximo son las llamadas 1
1
(CKT): L 0
0 0
0
La última condición es conocida como nos dicen que si 0 , entonces 0 (la restriccion esta activa) y cuando 0 (la restricción no está activa).
y =0
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El Teorema de la Envolvente Envolvente para un óptimo sin restricciones Sea una función que depende también del parámetro calcular un punto optimo, se debe cumplir que
0 1
Una vez que obtenemos el óptimo
. Para
1
1
, cada punto óptimo dependerá
del parámetro
1
2
2
1
Remplazando en la función inicial se obtiene
Diferenciando totalmente esta expresión con respecto a
1 1
2
2
, se obtiene
De las condiciones de primer orden, esta expresión se convierte en
Esta es conocida como el teorema de la envolvente.
Envolvente para un óptimo con restricciones En muchas situaciones, las funciones a maximizar y las restricciones dependen de parámetros . Sea el valor máximo del problema de optimización. Sea el punto que resuelva el problema 1
Max
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Sujeto a 1
0
0
,
Entonces se define la función de valor como tenemos el siguiente teorema.
= . Entonces
Sea el punto que maximiza el problema de optimización con parámetros y supongamos que todas las restricciones están activas. Si
L
a) b)
D.
es el lagrangiano en el óptimo, entonces se cumplen
= L L =
,
El mercado
A continuación se hace una introducción de los conceptos más básicos de un mercado, más adelante en posteriores capítulos, cuando contemos con instrumentos mas poderosos, se expondrá de una manera más rigurosa este punto. Precio de reserva. Cantidad máxima que una persona está dispuesta a pagar (la m áxima disposici ón a pagar )
para adquirir un bien o servicio. Es aquel precio que le da exactamente comprar un bien que no comprarla. Curva de demanda. Es la relación entre la cantidad demandada y el precio del
mercado. =
Construcción de una curva de demanda Para construir una curva de demanda, se tiene que elegir un precio y preguntar cuantos estarían dispuestos a comprar a ese precio (comprarán los consumidores que tengan un precio de reserva mayor o igual al precio determinado).
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Construcción de una curva de oferta Al igual que la curva de la demanda, elijamos un precio y preguntamos cuantos bienes se ofrecerían a un nivel de precios. Pero la respuesta dependerá en cierta medida del plazo de tiempo que analicemos. Para el mercado de apartamentos, en el corto plazo la cantidad ofertada es casi fija (es decir se alquilará el mismo número de apartamentos sea el precio que se cobre). Precio de reserva
Oferta
S
Número de apartamentos
Equilibrio de mercado competitivo El equilibrio de mercado es aquel punto al que cada consumidor, que esta dispuesto a pagar como mínimo, puede comprar un bien y cada productor puede alquilar el suyo al precio del mercado vigente
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CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
El monopolio discriminador Un monopolista discriminador es aquel que cobra precios diferentes a distintos consumidores para apropiarse de todo el excedente del consumidor, y así, obtener mejores ganancias.
Monopolista ordinario Un monopolista ordinario cobra un solo precio a comparación de un monopolista discriminador. Cobra un precio mayor al de un mercado competitivo para maximizar su beneficio.
La existencia del control de alquileres Si el estado decide fijar el alquiler máximo que va a cobrarse (generalmente menor al precio de un mercado competitivo). En esta situación se genera un exceso de demanda y causa distorsiones en quienes adquieren el producto.
¿Cuál es la mejor forma? Para evaluar cuál de estas cuatro instituciones es la que mejor asigna los recursos escasos, es necesario utilizar un criterio útil llamado o simplemente eficiencia econ ómica . Eficiencia en el sentido de Pareto (eficiencia económica). Es cuando no es
posible mejorar el bienestar de alguna persona sin empeorar la de otras. Mejora en el sentido de Pareto. Es cuando se puede encontrar la forma de
mejorar el bienestar de alguna persona sin empeorar el de ninguna. Si una asignación es mejorable, se dice que es . Por tanto, existirá eficiencia económica tanto en el mercado competitivo y el mercado donde gobierna un monopolista discriminador, pero hay ineficiencia económica en los mercados donde existe monopolio ordinario y control de alquileres. 19
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Algunas definiciones importantes Racionalidad. Capacidad que tiene una persona para evaluar diferentes
alternativas y elegir aquella que maximiza su satisfacción. Coste de oportunidad. Es desechar la mejor alternativa por elegir otra opción (no
se puede hacer todo lo que uno quiere).
Costo en dólares. Es una medida convencional. Los dólares que se gastan en
un libro no están disponibles para gastarlos en un disco compacto. En realidad el costo de oportunidad del libro no son los dólares que gastaron en él, sino en el disco compacto que nos privamos. Coste en tiempo. El coste de oportunidad de un bien incluye el valor del tiempo. Si tardar una hora en ir con su dentista, el valor debe añadirse en la cantidad que usted pago por consulta. Coste externo. Coste que imponen costes de oportunidad a otras personas. Si se consume una gaseosa del refrigerador, parte del costo de oportunidad que los demás pagan lo constituye el bióxido de carbono en la atmosfera.
Externalidades. Es cuando las acciones de un agente afecta de forma positiva o
negativa a otro agente (puede ser un consumidor o un productor). Si escuchas música alto volumen, ésta puede disgustar a los vecinos cercanos quienes no disfrutan del tipo de música que disfrutas.
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CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
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CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Capitulo 1
La restricción presupuestaria Los economistas suponen que los consumidores eligen la mejor cesta de bienes que pueden adquirir. A continuación estudiaremos lo que significa “poder elegir” Se denota al conjunto de cestas existentes en la economía como , esto es, el consumidor tiene para escoger su nivel de consumo entre combinaciones de bienes existentes, donde, es la cantidad consumida del bien = 1 , se verá, que la elección del conjunto de cestas del consumidor puede ser reducida por restricciones físicas, institucionales y económicas. +
Entonces el conjunto de cestas existentes en la economía se reduce a un conjunto de posibilidades de consumo dado las restricciones físicas e institucionales. Un ejemplo de restricción física es cuando el bien es no divisibles, es decir, el individuo sólo puede consumir cantidades enteras del bien, por ejemplo: una entrada al teatro. En la gráfica, para n=2 se observa que el bien 1 es no divisible y el bien 2 es divisible.
Restricción Presupuestaria Para un Bien No Divisible 22
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Para seguir con la notación inicial del conjunto de cestas de consumo se va a suponer que no hay restricciones de estos tipos, entonces, se define el como el siguiente conjunto convexo: +
+
=
+
0 para = 1
:
La elección del consumo del individuo también se enfrenta a una restricción económica, si consideramos el vector de precios de los bienes como (el valor en dólares, no negativo, del bien ), que es impuesto por el mercado. Y además, que el individuo tiene un ingreso , entonces, el conjunto de cestas es asequible si el costo es menor e igual que el ingreso del consumidor, así:
=
=
1
1
+
2
2
+
+
=1
Con este resultado, se puede definir el como todas las cestas de consumo factibles para el consumidor, dado, el precio de mercado y el ingreso del individuo. Y lo denotamos por =
1
+
:
en la figura siguiente, para = 2 , sería toda el área sombreada. La línea es llamada la . + = 1
2
2
Restricción Presupuestaria Estándar
9 10
Conocido también como área de posibilidades de consumo Llamada también ecuación de balance.
23
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
La pendiente de la recta presupuestaria como coste de oportunidad Análisis para dos bienes
A menudo la pendiente de la recta presupuestaria se interpreta como .
La pendientes es igual a
2
=
1
2
=-
1
1 2
Si esta es igual a -2, significa que, para obtener una unidad adicional del bien es necesario sacrificar 2 unidades del bien . O también puede interpretarse con el enfoque de que el bien cuesta el doble del bien , o que se puede comprar dos unidades del bien con una unidad del bien . 1
2
1
2
2
1
Análisis para n bienes
Si tenemos la siguiente restricción presupuestaria 1
1
+
2
2
+
+
=
Convirtiendo esta ecuación en una función implícita 1
1
+
1
2
2
2
+
+
-
=0
=0
,
Podemos diferenciar totalmente y obtenemos 0
=
1
+
1
0
=
1
2
+
+
2
1
+
2
2
+
+
+
Por tanto en general el costo de oportunidad del bien es igual a
con respecto al bien
=-
El numerario El numerario es el bien de quien se supone que el precio es igual a 1. Cuando suponemos que uno de los precios es 1, entonces este es el precio del bien numerario, o sea el precio en relación con el cual medimos otro precio de la restricción presupuestaria. 24
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Por ejemplo en la siguiente restricción presupuestaria numerario será el bien debido a que el = 1 .
1
1
+
2
=
, el bien
2
2
A veces resulta útil considerar que uno de los bienes es un bien numerario, ya que de esa forma hay un precio menos de que preocuparse.
Los impuestos y las subvenciones Impuesto a la cantidad. Cantidad de dinero que se paga a un gobierno por cada
unidad que se compra: un ejemplo seria el impuesto por cada litro de gasolina. Si se grava un impuesto a la cantidad de , entonces el impuesto total que debemos pagar al estado es , por lo tanto la nueva restricción presupuestaria se convertirá en: 1
=
1
+
1
1
+
2
2
=
Impuesto sobre el valor (impuesto ad valoren). Es un impuesto sobre el precio
del bien (porcentaje del precio). Un ejemplo es el IGV. Si se grava un impuesto sobre el valor al precio del bien , entonces el impuesto total que debemos pagar al estado es = , por lo tanto la nueva restricción presupuestaria se convertirá en: 1
1
1 +
1
1
+
2
2
=
Impuesto fijo. Significa que el estado se lleva una cantidad fija de dinero,
independientemente de la conducta del individuo. Por tanto esta tasa fija desplaza la recta presupuestaria hacia adentro debido a que disminuye su renta monetaria. Si se grava un impuesto fijo T al consumidor, entonces el impuesto total que debemos pagar al estado es , por lo tanto la nueva restricción presupuestaria se convertirá en: 1
1
+
2
2
=
-
Subvención. Es lo contrario a un impuesto. Cantidad de dinero que el gobierno
otorga al consumidor cuando este consume un bien. Al igual que los impuestos, existen también subvenciones a la cantidad, al valor y subvenciones fijas.
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CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Capitulo 2
Las preferencias
Relaciones de preferencia En el enfoque basado en las preferencias, los objetivos de la toma de decisiones se resumen en una , que se denota por % . Técnicamente, es una relación binaria sobre el conjunto de alternativas (conjunto de consumo11), permitiendo la comparación de pares de alternativas . Cuando escribimos % , queremos decir que “ , , podemos os deri derivar var dos relaci relaciones ones import important antes es sobr sobree : ”. De % , podem i.
La relación de ,
, definido por:
si solo si
%
pero no
%
y se lee “ ”o“ ”
ii.
La relación de ,
∼
y se lee “
∼
, definido por:
si solo si
%
y a la vez
%
”
En la teoría microeconómica, las preferencias individuales son asumidas como racionales. La hipótesis de racionalidad, está incorporado en dos supuestos básicos (axiomas) sobre la relación de preferencias: completas co mpletas y transitivas. 11
En este documento, suponemos que es orlante no negativa de , pero pueden utilizarse utilizarse conjuntos más específicos, por ejemplo, pueden incluirse solamente cestas que, al menos, permitan al consumidor subsistir. Siempre suponemos que es un conjunto cerrado y convexo.
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CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Definición. La relación de preferencia es racional si este posee dos propiedades.
i.
Completas : para todo
, suponemos que
; si
o
%
, entonces
%
%
( o
ambos) ii.
Transitivas: para todo
y
%
%
.
Proposición. Si % es racional, entonces:
i. ii.
es a la vez ( nunca sucede) y (si , entonces ) es ( para todo ), ( si y entonces ) y (si , entonces ) Si , % entonces ∼
∼
∼
∼
∼
iii.
y ∼
∼
Una forma de dividir los axiomas de preferencia (axiomas adicionales) Axiomas de orden a) Completitud. Significa que el individuo ha de ser capaz de comparar dos cestas
o
%
%
o
∼
De esta última, se derivan las siguientes posibilidades lógicas del axioma. % ¬ % % ¬ % % % ¬
%
∼
¬ %
: prohibido
b) Reflexiva. Significa que toda cesta es al menos tan preferida así misma
:
; si
%
también
:
∼
c) Transitividad.
%
y
%
, entonces
%
El cumplimiento de estos tres axiomas de orden convierte a la relación binaria, % en una relación de orden débil. , porque permite efectuar una ordenación de las cestas de, y porque admite indiferencia entre ellas. De esta forma, ahora es posible particionar el espacio de elección en subconjuntos llamados . 27
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Definimos a una como un conjunto de cestas de bienes indiferentes entre sí:
, se define =
:
∼
El , es un conjunto de cestas al menos tan preferidas a una dada:
=
, se define
:
%
El , o conjunto de todas las cestas tales que una dada resulta, al menos, tan preferidas a ellas es un conjunto de cestas al menos tan preferidas a una dada:
, se define
=
:
%
Axiomas de regularidad d) Continuidad. Cualquiera que sea
perteneciente a , los conjuntos : % y : - son conjuntos cerrados. Por lo tanto : y : son conjuntos abiertos.
En el análisis económico suele resultar útil resumir la conducta del consumidor por medio de una , es decir, una función : tal que si solo si . Puede demostrarse que si la ordenación de las preferencias es completa, reflexiva, transitiva y continua, puede representarse por medio de una función de utilidad continua.
Axiomas de deseabilidad e) No saturación (insaciabilidad global). Siempre es posible encontrar una
combinación alternativa que permita tener mayor satisfacción que la actualmente. Es decir, prohíbe puntos de saturación absoluta (bliss points) en el consumo.
:
f) Insaciabilidad local . Dada una cesta cualquiera perteneciente a cualquiera, tal que 0 , existe una cesta perteneciente a
y un tal que
12, las que
. Es decir es posible mejorar, incluso aunque solo se introduzcan pequeñas variaciones en la cesta de consumo. La insaciabilidad local excluye la posibilidad de que las curvas de indiferencia sean de . ‖
-
12
-
‖
es la llamada distancia euclidiana
28
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
g) Monotonicidad débil. Si,
entonces % . Una cesta que contenga como mínimo la cantidad de bienes que otra, es como mínimo igual de buena como esta. h) Monotonicidad fuerte. Si y , entonces . Si una cesta contiene como mínimo la misma cantidad de todos los bienes que otra y más de alguno de ellos, es estrictamente mejor que esta. Esto significa simplemente suponer que los bienes son .
Axiomas de convexidad i) Convexidad. Dados
pertenecientes a tal que % y % , entonces +1 % cualquiera que sea tal que 0 1 . El conjunto de todas las cestas situadas en una curva de indiferencia o por encima de ellas se denomina conjuntos de puntos del contorno superior. j) Convexidad estricta. Dados y pertenecientes a , si % e % , entonces +1 cualquiera que sea tal que 0 1 . El supuesto de convexidad implica que un agente prefiere los puntos medios a los extremos, pero, por lo demás, apenas tiene contenido económico.
Las curvas de indiferencia La ordenación de las preferencias suelen representarse gráficamente. El conjunto de todas las cestas de consumo de indiferentes entre si se denominan curva de indiferencia Curva de indiferencia. Una curva de indiferencia (o con muchas dimensiones, una
superficie de indiferencia), nos muestra las cestas que el individuo considera indiferentes, pero no muestra cuales son mejores y cuales son peores.
Curva de Indiferencia 29
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Las curvas de indiferencia constituyen un instrumento para describir las preferencias. Puede representar casi todas las preferencias que puedan imaginarse. El truco consiste en aprender que forma tienen las curvas de indiferencias a cada tipo de preferencias. Mapa de curvas de indiferencia. Puede considerarse que las curvas de indiferencia
son conjuntos de nivel de una función de utilidad.
Mapa de curvas de Indiferencia
Ejemplos de preferencias Sustitutos perfectos Dos bienes son sustitutos prefectos si el consumidor está dispuesto a sustituir una por otro a una tasa constante.
Sustitutos Perfectos 30
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Complementarios perfectos (proporciones fijas-Leontief) Los complementarios perfectos son bienes que siempre se consumen juntos en proporciones fijas. X2
U2
U1
U0
X1
Complementos Perfectos
Neutrales Un bien es neutral si al consumidor le da igual consumir más de ese bien X2
U2 U1 U0
X1
Curvas de Indiferencia cuando X1 es un Bien Neutral
Males Un mal es una mercancía que no gusta al consumidor. X2 (Mal)
U0
U1
U2
X1 (Bien)
Curva de indiferencia de un Bien y un Mal (desbien) 31
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Saciedad X2
Mal (X1)-Mal (X2)
Bien (X1)-Mal (X2)
Punto de saciedad ( punto de máxima felicidad o colina del placer )
B
A
X 20
Bien (X1)-Bien (X2)
X 10
D
C
Mal (X1)-Bien (X2)
X 12
X 11
X1
X 13
Mapa de Indiferencia para un caso de una Superficie de Preferencias en Particular
Bienes discretos Un bien es discreto cuando solo se encuentra en cantidades enteras X2
Cestas preferidas Debilmente a la (1, X 2 )
X 2
0
1
2
3
4
X1
Mapa de Indiferencias para u Bien Discreto (x1) y Conjunto Preferido Débilmente 32
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Bienes disponibles e indispensables y los bienes necesarios Bien indispensable. Si no existe la posibilidad de tener utilidad positiva sin
consumir algo de dicho bien. X2
U2 U1 U0
X1
Mapa de Indiferencia cuando ambos Bienes son Indispensables Bien dispensable. Si el consumidor puede dejar de consumir el bien en cuestión,
este se convierte en un bien dispensable. X2
U1
U0
X1
Mapa de Indiferencia cuando el Bien X2 es Dispensable Bienes necesarios. Es cuando requiere ser consumido en, al menos, una cantidad
mínima superior a cero, para que el individuo sobreviva. X2
U1
U0
X1
Mapa de Indiferencia cuando el Bien X2 es Dispensable 33
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Preferencias onduladas Es un caso más inusual, no tiene mucho fundamento económico. X2
U1
U0
X1
Mapa de Indiferencia Preferencias Onduladas
Preferencias lexicográficas Sean dos cestas y . Supongamos que la relación de preferencia, están definidas de la siguiente manera: si , o si pero . Esta viene hacer una relación lexicográfica, nombre que tiene origen en la manera como está organizado un diccionario: el bien 1 tiene la prioridad más alta para determinar el ordenamiento de preferencias, del mismo modo que la primera letra de una palabra tiene la primera prioridad para su ordenamiento dentro del diccionario. Solo cuando las canastas contienen la misma cantidad del primer bien (o sea ) es que el segundo bien ( ) entra a tallar para determinar las preferencias del consumidor. El lector puede verificar que el ordenamiento lexicográfico es completo, transitivo, fuertemente monótono y estrictamente convexo. Sin embargo, se puede demostrar que no existe ninguna función de utilidad para representar este ordenamiento de las preferencias. 1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
X2 Relojes
A
f
X1 Leche
Preferencias Lexicográficas (se debe satisfacer primero el deseo o necesidad de un bien, luego otro) En las preferencias lexicográficas no existen cestas que sean indiferentes entre sí. No se cumple el teorema de Debreu. Las curvas de indiferencias son conjuntos unitarios (cada punto dentro del mapa de indiferencia). 34
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Las preferencias regulares Para que las preferencias sean regulares, deben cumplirse los siguientes supuestos: preferencias monótonas y convexas Supuesto 1 (preferencias monótonas). Cuanto más tenemos de algo es mejor; es
decir, que hablamos de bienes normales. Más concretamente, si tiene al menos la misma cantidad de bienes que y más de uno de ellos, entonces . Este supuesto a veces se denomina preferencias monótonas. X2
Mejores cestas (X 1 , X 2 ) Peores cestas
X1
Preferencias Monótonas Supuesto 2 (preferencias convexas). Cuando las preferencias son convexas
estrictamente, se supone que las cestas medias se prefieren a los extremos. Cuando las preferencias son regulares, no existe . X2
X2
Cesta media
Cesta media (X 1 , X 2 ) (X 1 , X 2 )
(Y 1 , Y 2 )
(Y 1 , Y 2 )
U
X1
X1
Preferencias Convexas X2
X2
(X 1 , X 2 )
Cesta media
(X 1 , X 2 )
Cesta media
(Y 1 , Y 2 )
(Y 1 , Y 2 )
X1
Preferencias No Convexas
X1
Preferencias Cóncavas 35
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Relación marginal de sustitución La Relación Marginal de Sustitución ( ) 13 es la pendiente de la curva de indiferencia ( ). Mide la relación con que el consumidor está dispuesto a sustituir un bien por otro. En un modelo de 2 bienes, la relación marginal de sustitución del bien 2 por el bien 1, es decir cuánto estará dispuesto a sustituir el bien 2 por el bien 1, se define como: 2 1
2
1
En un modelo de bienes, la relación marginal de sustitución del bien j por el bien i , es decir cuánto estará dispuesto a sustituir el bien j por el bien i , se define como:
Otra
interpretación
de
la
La
RMS.
RMS
también
mide
la
.
Si las preferencias son convexas, la RMS es decreciente, o sea
1
2
0
1
X2
RMS= Tg ( α) (X 1 , X 2 )
α
U X1
La Relación Marginal de Sustitución decreciente para dos bienes 13
Conocida también como “Tasa Marginal de Sustitución ” (TMS), “Tasa Subjetiva de Cambio ”(TSC) o “Relación de sustitución entre bienes” ( RSB).
36
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Capitulo 3
La utilidad Los economistas han abandonado la antigua idea de la utilidad como medida de la felicidad y han reformulado totalmente la teoría de la conducta del consumidor en función, ahora, de sus . Se considera que la utilidad no es más que una forma de describirlas. Los economistas se han dado cuenta gradualmente de que lo único importante de la utilidad, es lo que a elección se refiere, es decir si una cesta tiene mayor utilidad que otra y no el grado en que una utilidad es mayor que otro. Las preferencias del consumidor son la descripción fundamental para analizar la elección y la utilidad no es más que una forma de describirlas.
Función de utilidad La función de utilidad es un instrumento para asignar un número a todas las cestas de consumo posibles, de tal forma que las que se prefieren tengan un número más alto que las que no se prefieren. Es decir la cesta se prefiere a la si solo si la utilidad de la primera es mayor que la utilidad de la segunda, en símbolos, si , si solo si . 1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
Diferentes formas de asignar utilidades 3 2 1
17 10 0.002
-1 -2 -3 37
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
La única propiedad importante de una asignación de utilidad es la forma en que ordena las cestas de bienes. Este tipo de utilidad se denomina utilidad ordinal, debido a que se pone énfasis la ordenación de bienes. Casi todos los tipos de preferencia, pero no todos, pueden representarse mediante una función de utilidad.
La existencia de una función de utilidad (Teorema de Debreu, 1959) Supongamos que las preferencias son completas, reflexivas, transitivas y continuas y monótonas en sentido fuerte. En ese caso, existe una función de utilidad continua ( = : + ) que representa esas preferencias. 1
2
Transformación monótona14 La transformación monótona es una serie de números en otra de tal manera que se mantengan el orden de estas. Es decir si implica que la transformación monótona . Es decir, una transformación monótona representa las mismas preferencias que una función de utilidad inicial. 1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
Ejemplos de transformación monótona son la multiplicación a la función de utilidad por un número positivo (por ejemplo 17 ), la suma de cualquier número (por ejemplo 3 ), la elevación de una potencia (por ejemplo
3
), etc.
La utilidad marginal Dado una función de utilidad = , la utilidad marginal de cada bien nos dice cuanto se incrementa la utilidad del consumidor, en promedio, cada vez que el consumo de dicho bien aumenta en una unidad, manteniéndose constante el consumo del otro bien. 1
2
Por ejemplo, la utilidad marginal del bien 1
1
1
1
se expresa:
1
2
1
2
1
14
Lo que se llama “transformación monótona” se denomina, estrictamente hablando, “transformación monótonamente creciente”, para diferenciarla de “transformación monótona decreciente” que es aquella que invierte el orden de los números.
38
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Y cuando la variación del bien 1
tiende a cero, entonces:
1
1
1
2
1 0
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
También esto se cumple para la utilidad marginal del bien 2 2
1 2
2
2
Cuando existe bienes, la función de utilidad será igual a entonces la utilidad marginal con respecto al bien será:
1
2
=
1
2
,
La utilidad marginal (UM) y la relación marginal de sustitución (RMS) Sea una función de utilidad, supongamos que aumentamos la cantidad del bien , ¿Qué cambios ha de introducir el consumidor en el consumo del bien para mantener constante la utilidad? Por hipótesis la variación de la utilidad debe ser cero. 1
2
0
Despejando tenemos:
39
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Sea una
transformación monótona de la función de utilidad
, la relación marginal de sustitución no cambia respecto a la función de utilidad inicial, como se demuestra a continuación. Sea
1
2
1
, entonces
2
Algunos ejemplo de función de utilidad Sustitutos perfectos Es cuando consumidor siempre está dispuesto a renunciar unidades del bien por unidades del bien , entonces la función de utilidad para dos bienes será: 2
1
1
2
1
2
y miden el valor que tiene los bienes para el consumidor, para función será:
1
2
1
1
2
2
bienes la
Complementarios perfectos La función de utilidad para bienes que son complementarios perfectos se representa de la siguiente forma:
y
1
2
1
2
son números positivos que indican la proporción que se consume de cada
bien. 40
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Esta función quiere decir que, dado que un exceso de alguno de ellos no incrementa la utilidad, por lo tanto no habrá un exceso de ninguno de los bienes. Un ejemplo es lo siguiente
La función de utilidad para
1
2
16 8 8
bienes es 1
2
1
1
2
Preferencias cuasilineales Las funciones de utilidad para preferencias cuasilineales para dos bienes se representa de la siguiente forma.
Es decir, esta función es lineal en utilidad cuasilineal.
1
2
2
1
2
pero no en el bien
1
, de ahí el nombre de
X2
X1
Preferencias Cuasilineales (Cuando es cuasilineal, pero no lo es) 2
1
Ejemplos de estos tipos de función son las siguientes (lineales en
1
2
1
2
1
1
2
)
2
2
Preferencias Coob-Douglas 41
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Las funciones de utilidad para las preferencias Coob-Douglas para dos bienes se representan de la siguiente forma
Para
1
2
=
1
0
, donde
2
0
bienes seria de la siguiente forma:
1
=
2
1
1
2
2
Estos tipos de funciones de utilidad representan curvas de indiferencia regulares. También se puede representar en su forma de transformación monótona de la siguiente forma:
1
2
=
1
2
Preferencias con elasticidad de sustitución constante (ESC o CES) Las tres funciones de utilidad específicas (sustitutos perfectos, complementarios perfectos y Coob-Douglas) que se han mostrado, son casos especiales de una función más general con elasticidad de sustitución constante (CES), esta se representa de la forma siguiente:
1
1
2
2
1
1
2
donde 0 , y 2
cuando 0
Esta función de utilidad será: Sustituto perfecto, Coob-Douglas,
1
1
2
2
Y complementaros perfectos,
1
1
cuando 1
2
2
1
2
cuando 0
1
2
cuando
Convexidad y la RMS decreciente La convexidad estricta, como se dijo anteriormente, atribuye una RMS decreciente. Si las preferencias son convexas, entonces la RMS será decreciente. Esto significa que: 42
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
1
1
2
1
2
0
Propiedades especiales de las funciones de utilidad Aditividad Una función de utilidad es (fuertemente) aditiva si la utilidad marginal del bien solo depende de la cantidad de dicho bien.
2
0
Separabilidad Si una función de utilidad es (fuertemente) separable, si la RMS entre dos bienes y solo dependen de la cantidad consumida de dichos bienes, esto es si
, entonces
0
Homogeneidad Dado una función de utilidad grado si se cumple que:
1
2
1
, la función será homogénea de
2
1
2
Si es una función homogénea de grado , su RMS es homogénea de grado cero
Homotecia (preferencias homotéticas) Una función es homotética si se cumple que
1
2
1
2
1
2
1
2
Es decir, la relación marginal de sustitución dependerá únicamente del cociente de las cantidades de los bienes, y no de las cantidades totales.
43
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Ejemplo si
1
2
=
1
2
, entonces su
2
2
1
dependerá del cociente
1
2
.
1
La importancia de las funciones homotéticas es que, en esta situación, una curva de indiferencia es igual que otra, las pendientes solo dependen del cociente
2
y
1
no de lo lejos que este el origen. , su disminuye a medida que se reduce la cantidad elegida de , pero es independiente de la cantidad consumida de . Si una función de utilidad es homogénea, entonces será homotética, pero no ocurre lo contrario (si es homotética no necesariamente será homogéneo).
Por otro lado, por ejemplo si tenemos la siguiente función
1
2
1
2
2
1
2
2
1
44
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Capitulo 4
La elección (La conducta del consumidor) En esta sección se unirá el conjunto presupuestario y la teoría de las preferencias para examinar la elección óptima de los consumidores. Según el modelo de la elección económica del consumidor, los individuos la cesta que pueden adquirir. Es decir este modelo supone que los individuos, restringidos por rentas limitadas, se comportarán como si utilizarán su poder adquisitivo de tal manera que obtienen “”. O sea, se supone que los individuos se comportan como si maximizaran la utilidad sujeta a una restricción presupuestaria.
La elección óptima El caso de dos bienes Análisis grafico Supongamos 1
1
+
2
2
que
el
consumidor
tiene
un
conjunto
presupuestario
45
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
X2
Conjunto presupuestario
X1
Y las preferencias representadas por algunas curvas de indiferencia X2
U2 U1 U0
X1
El objetivo es encontrar la curva de indiferencia mas alta, y consecuentemente la cesta que genera tal nivel de utilidad, dado que las preferencias son regulares (monótonas y convexas). Condiciones de primer orden para un máximo (tangencia)
Al unir los dos gráficos anteriores, tenemos lo siguiente X2 Elección óptima (X 1* , X 2* )
* X2
U2 U1 U0
X1
Como se muestra en la figura, la única forma para que el consumidor alcance la máxima utilidad, es gastando todo su ingreso (renta) e igualando la pendiente de la recta presupuestaria 46
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Pendiente de la recta presupuestaria=
2
1
1 2
a la pendiente de la curva de indiferencia
Pendiente de la curva de indiferencia=
2 1
1
1
,
2 2
es decir 1
1
2
2
O de otra forma 2 1
1 2
para que el consumidor maximice su utilidad. ¿Tiene que cumplirse realmente esta condición de tangencia? No se cumple en todos los casos, pero si en los más interesantes. Ejemplos en donde no se cumple que la tangencia para que se alcance un máximo son las siguientes Preferencias con vértice X2 Elección óptima
U2
X2
*
U1
U0
RP * X1
X1
Un punto optimo del consumidor en el que la curva de indiferencia no tiene tangente. 47
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Preferencias con solución de esquina X2 Elección óptima
RP
X1
El consumo óptimo implica consumir 0 unidades del bien . 1
Preferencias onduladas X2
U2 U1
Cestas óptimas
U0
Cesta no óptima RP
X1
Solo un punto es óptimo, por lo que la tangencia es necesaria pero no suficiente para obtener un máximo. Condiciones de segundo orden o suficiente (preferencias convexas)
La condición de segundo orden o suficiente para obtener un máximo es que las preferencias deben ser convexas (las curvas de indiferencias deben ser convexas). Es decir que la RMS debe ser decreciente a medida que aumenta en una unidad el bien . 1
1
1
2
1
2
0
Análisis matemático
Consideremos el problema de maximización del consumidor condicionada de la utilidad, que se denomina : 48
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
s.a
1
1
1
+
2
2
2
0 0
1
2
O simplemente s.a
1
1
1
+
2
2 2
0 0
1
2
1er método de solución (sustitución)
Para maximizar la función de utilidad condicionada a la restricción presupuestaria (ecuación de balance), el consumidor debe encontrar las combinaciones de bienes que satisfagan la restricción presupuestaria y al mismo tiempo la función de utilidad. Transformando la restricción presupuestaria y despejando en función de . 2
1
2
1 1
2
2
Y luego ésta la sustituimos en la función de utilidad, entonces el problema se transforma en:
1
2
1
1
1
1
2
1 2
(condición e primer orden) para el problema sin restricciones es:
1
0
1
Entonces
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2 2
0
1
1 2
0
49
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Transformando el segundo término de esta última ecuación de la derecha tenemos la condición de primer orden: 1 2
1
,
que es igual a
1
2
2
1 2
O simplemente
1 2
para alcanzar un máximo es:
2
0
1
2 1
Que es lo mismo que
1
1
2
1
2
0
2do método de solución (multiplicadores de lagrange o método lagrangiano)
La segunda forma de resolver estos problemas consisten utilizar multiplicadores de lagrange. Sea la función de utilidad sujeta a la restricción presupuestaria. s.a
1
1
1
+
2
1
2
2 2
0 0
Este método este método comienza definiendo una función auxiliar conocida como lagrangiano.
1
1
L L
Donde
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
,ó
es el multiplicador lagrangiano.
El teorema de lagrange dice que una elección óptima debe cumplir las siguientes condiciones de primer orden. 50
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
L
1
L
1 1
1 2
1
1
L
2
2
2
1
2
Tenemos tres incógnitas ( , y que estas tres están en función de ecuaciones tenemos que 1
)
2
1
2
2
1
1
0
2
0
1
2
2
0
con tres ecuaciones, entonces cabe esperar y . Entonces de las dos primeras , 2
1
2
1
2
Si esta última remplazamos en al restricción presupuestaria, obtenemos las llamadas curvas ordinarias de demanda (demandas marshalianas15)
1
2
1
1
2
2
1
2
Las condiciones de segundo orden para un máximo condicionado es que los menores del hessiano
sean
2
0
3
0
4
1
0 g1 2 g 2
L12 L22
g1
g2
L11 L21
0
Interpretación del multiplicador marginal del ingreso)
lagrangiano
(utilidad
De las condiciones de primer orden
1
2
1
15
1
1
2
2
1
2
2
Curva de demandas normales
51
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
1
2
1
2
Esta ecuación afirma que en el punto de optimización cada bien debe ofrecer la misma utilidad marginal por dólar gastado en este bien. Por tanto cada bien debe tener el mismo cociente de beneficio (marginal) respecto al coste (marginal). Es decir, las últimas ecuaciones nos dice que un dólar adicional debería ofrecer la misma utilidad adicional independientemente en que se gaste. El valor común de esta utilidad adicional viene dado por el multiplicador lagrangiano de la restricción presupuestaria del consumidor (es decir por ), por tanto, se puede considerar como la utilidad marginal del dólar adicional que gasta en consumo (). Para ver esto de forma técnica, tenemos que 1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
Por otro lado
1
Dividiendo las dos ultimas ecuaciones o remplazando la ultima en al penúltima, tenemos
La demanda del consumidor La elección optima de los bienes 1 y 2, dado un conjunto de precios y renta determinados, se denomina “cestas de demanda” por el consumo. Cuando varía los precios y la renta también varían la elección óptima del consumidor. La , es aquella que relaciona, en la elección óptima, las cantidades demandadas con los diferentes valores de los precios y la renta.
52
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
1
2
1
1
2
2
1
2
La función de utilidad indirecta Si las funciones de demanda individuales las sustituimos en la función de utilidad inicial, tenemos:
Utilidad máxima=
1
2
1
1
2
1
1
2
2
1
2
2
En otras palabras, dado que el deseo de maximizar la utilidad de un consumidor, el nivel de utilidad optimo alcanzable indirectamente de los precios de los bienes que compra y la renta del individuo. Entonces la está representado por:
1
2
La minimización del gasto () Consideremos el problema de minimización del gasto del consumidor condicionada a un nivel de utilidad, que se denomina del consumidor:
1
s.a
2
1
1
2
2
1
1
+
2
2
0 0
Para resolver este problema podemos utilizar los multiplicadores de lagrange. La función lagrangiana será L
L
1
2
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
, ó
El teorema de lagrange dice que una elección óptima debe cumplir las siguientes condiciones de primer orden. 53
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
L
1
L
1
1
1
2
L
2
2
2
1
2
1
2
1
2
0
2
0
1
1
2
0
Tenemos tres incógnitas ( , y ) con tres ecuaciones, entonces cabe esperar que estas tres estaran en función de y . Entonces, análogamente al , problema de maximización, de las dos primeras ecuaciones tenemos que 1
2
1
2
1
2
1
2
Si esta última remplazamos en la tercera ecuación, obtenemos las llamadas curvas compensadas de demanda (demandas Hicksianas)
1
2
1
1
2
2
1
2
La Función de Gasto del Consumidor Si las funciones de demanda individuales Hicksianas las sustituimos en la función a minimizar inicial, tenemos:
Gasto mínimo =
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
+
2
1
2
2
2
+
2
1
2
2
En otras palabras, dado el deseo de minimizar el gasto del individuo, sujeto a un nivel de utilidad a alcanzar, el nivel de gasto óptimo estará en función de los precios y del nivel de utilidad a alcanzar. Entonces la está representado por: min
1
2
54
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Un ejemplo muy útil Dado el problema dual:
1
1
2
s.a
2
1
2
Formulando el lagrangiano L
1
2
1
1
2
2
1
2
Las condiciones de primer orden serán: L L L
1
1
1
2
1
0
2
1
1
0
2
2
1
2
0
Resolviendo tenemos
1
1 1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1 1 2
Remplazamos esta última ecuación en la tercera de las condiciones de primer orden, obtenemos
1
Resolviendo para
1
y
2
1 2
1 1 2
1
obtenemos las demandas compensadas o Hicksianas 1
1
2 1
55
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
2
1
2
1
Si tenemos la función de gasto mínimo
1
1
+
2
2
Remplazando las funciones de demanda en la función de gasto inicial tenemos
1
2
1
1
2 1
1
+
2
1 2
Entonces agrupamos y factorizamos
1
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
1
+
1
1
1
1 2 1 2
2
1
1
1 2
2
+
2
1
2
+ 2 2
2
Finalmente obtenemos la resumida del consumidor
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
56
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Teoría de la firma Ejercicio importante16 Dada la siguiente función de producción de matamoscas
600
2
2
3
3
Suponemos que en el corto plazo el capital es constante ( tenemos que 60000
2
1000
10 ), entonces
3
Hallar la productividad marginal del trabajo (
) y graficarla.
Solución i) Hallamos la función de producto marginal del trabajo
120000 3000
120000 3000
2
2
Para graficar tenemos que hallar los puntos óptimos, los puntos de inflexión, los intervalos de concavidad y convexidad, etc. ii) Hallando los puntos óptimos (
0)
120000 6000 0
20
Determinamos si es mínimo o máximo con la condición de segundo orden (la 2
segunda derivada,
2
)
2 2
6000
0
, como es menor a cero, existe un valor máximo de la
productividad marginal en
20 .
16
A continuación se presenta algunos ejercicios que servirá de mucho, en la teoría de la firma (empresa), a los estudiantes de Economía. No se pretende ser aburrido con la solución paso a paso, sino que, el estudiante que recién empieza a introducirse en este tipo de ejercicios, comprenda claramente que algoritmo debe seguir para resolverlos. Los estudiantes avanzados pueden omitir los detalles del ejercicio y resolverlos como mejor le convenga.
57
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Hallamos el punto máximo de la productividad marginal ( 20 en la función de productividad marginal
) remplazando
20 120000 20 3000 20 20 1200000 Entonces el punto máximo estará en 20 1200000 iii)
Hallamos el punto de inflexión (
0)
2
6000 0 , por lo tanto no existen puntos de inflexión.
2
iv) Si no hay punto de inflexión, entonces hallamos los intervalos en donde crece y decrece la función. Para obtener estos, primero ubicamos el punto del nivel de trabajo dentro de la recta de números reales, en donde la productividad marginal es la máxima ( 20 ).
0
20
0
30
0
Este punto ( 20 ) divide en dos intervalos la recta, entonces para determinar si la función es creciente o decreciente, tenemos que remplazar algún punto, de cada uno de los intervalos, en la derivada de la productividad marginal del 120000 6000 ). En este caso elegimos los puntos
trabajo (en
0 y
30 para el primer y segundo intervalo, respectivamente (ver grafico).
Si
0
120000 6000 0 120000
0
0
Si
30
120000 6000 30 60000
0
30
Entonces, tenemos lo siguiente:
58
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
0 (la productividad marginal creciente) en
20
0 (la productividad marginal decreciente) en
20
v) Hallamos los interceptos con el eje L, para esto la productividad marginal debe ser igual a cero. 0 3000
120000
2
0
40 0
vi)
1
0
2
40
Por lo tanto el grafico será:
1200000
0
0
0
40
20
Hallar la productividad media del trabajo (
) y graficarla.
Solución17 i) Hallamos la función de producto medio del trabajo
60000
2
1000
60000 1000
3
2
Para graficar tenemos que hallar los puntos óptimos, los puntos de inflexión, los intervalos de concavidad y convexidad, etc. 17
Como se dará cuenta el lector, el procedimiento es el mismo que la pregunta dado que para graficar una función en un plano bidimensional, se sigue el mismo procedimiento.
59
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
ii) Hallando los puntos óptimos (
0)
60000 2000 0
30
Determinamos si es mínimo o máximo con la condición de segundo orden (la 2
segunda derivada,
2
)
2
2000
2
0
, como es menor a cero, existe un valor máximo de la 30 .
productividad media en
Hallamos el punto máximo de la productividad marginal ( 30 en la función de productividad media
30 60000 30 1000 30 30 900000
) remplazando
2
Entonces el punto máximo estará en 30 900000 iii)
Hallamos el punto de inflexión (
0)
2 2
6000 0 , por lo tanto no existen puntos de inflexión.
iv) Si no hay punto de inflexión, entonces hallamos los intervalos en donde crece y decrece la función. Para obtener estos, primero ubicamos el punto del nivel de trabajo dentro de la recta de números reales, en donde la producción media es la máxima ( 30 ).
0
30
0
40
0
Este punto ( 30 ) divide en dos intervalos la recta, entonces para determinar si la función es creciente o decreciente, tenemos que remplazar algún punto, de cada uno de los intervalos, en la derivada de la productividad marginal del 60
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
60000 2000 ). En este caso elegimos los puntos
trabajo (en
0 y
40 para el primer y segundo intervalo, respectivamente (ver grafico
anterior). Si
0
60000 2000 0 60000
0
0
Si
40
60000 2000 40 20000
0
40
Entonces, tenemos lo siguiente: 30
0 (la productividad media creciente) en 0 (la productividad media decreciente) en
30
v) Hallamos los interceptos con el eje L, para esto la productividad medio debe ser igual a cero. 0 60000
1000
2
0
60 0
vi)
1
0
2
60
Por lo tanto el grafico será:
900 000
0
0
0
30
60
61
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Encontrar cuanto vale cuando el producto marginal es igual al producto medio ( ), ¿Cuánto será el valor del producto marginal y el producto medio en ese punto? Solución Igualando las dos funciones que anteriormente obtuvimos 120000 60000
3000 2000
2
2
60000
1000
2
0
30 0 1
0
2
30
0 30
0 0 30 900000
Entonces el producto marginal y el producto medio se igualaran en dos puntos, en el punto L=0 y L= 30; y el valor para ambos serán 0 y 900 000, respectivamente.
Encontrar cuanto vale (la cantidad de trabajo) cuando el producto marginal es igual a cero ( 0 ). Esta pregunta ya lo desarrollamos en la parte a. iv)
0 120000
3000
2
0
40 0
Cuando
1
0
2
40
0 , el trabajo tomara valores de
Encontrar cuanto vale
1
0
2
40
cuando el producto medio es igual a cero (
0 ).
Esto ya lo desarrollamos en la parte b. iv)
0 60000
1000
2
0
60 0
1
0
2
60
62
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Cuando
0 , el trabajo tomara valores de
1
0
2
60
Dibujar la función de producción en el plano , la productividad marginal y la productividad media (ambos) en otro gráfico. Solución Ya tenemos los gráficos de la productividad media y marginal, ahora solo nos falta el grafico de la función de producción. Para desarrollar este punto seguiremos el mismo algoritmo que usamos para la productividad media y marginal. i) Tenemos la función de producción 60000
2
1000
3
Para graficar tenemos que hallar los puntos óptimos, los puntos de inflexión, los intervalos de concavidad y convexidad, etc. ii) Hallando los puntos óptimos (
0)
1
2
120000 3000
2
0
0 40
Determinamos si es mínimo o máximo con la condición de segundo orden (la 2
segunda derivada,
2
) 2 2
120000 6000
Remplazamos el primer punto óptimo en esta función (
1
0)
2
120000 6000 0 120000
2
0
, es decir existe un valor mínimo en
0 1
0
Hallando el valor mínimo 2
3
0 60000 0 1000 0
0
63
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
Entonces el punto mínimo estará en 0 0 Ahora, remplazamos el otro punto óptimo (
2
40 ) en la segunda derivada
2
120000 6000 40 120000 0 , es decir existe un valor mínimo en el
2
40
punto
2
40 .
Hallando el valor mínimo 2
3
40 60000 40 1000 40
32000000
Entonces el punto máximo estará en 40 32000000 iii)
Hallamos el punto de inflexión (
0)
2 2
120000 6000
0
20
Remplazando este punto en la función de producción, tenemos 2
3
20 60000 20 1000 20 16000000
Por lo tanto el punto de inflexión estará en el punto (20,16000000) iv) Hallamos los intervalos de concavidad y convexidad. Para obtener estos, primero ubicamos el punto del nivel de trabajo en donde se encuentra el punto de inflexión ( 20 ). 0
30
20 2
2 2
0
2
0
Este punto ( 20 ) divide en dos intervalos la recta, entonces para determinar si la función es concava o convexa, tenemos que remplazar algún punto, de cada uno de los intervalos, en la segunda derivada de la función de producción (en
64
CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA
2 2
120000 6000 ). En este caso elegimos los puntos
0 y
30 para el
primer y segundo intervalo, respectivamente (ver grafico anterior). 2
0
Si
120000 6000 0 120000
2
0
0 2
30
Si
120000 6000 30 60000
2
0
30
Entonces, tenemos lo siguiente: 0 (la productividad media creciente) en 0 (la productividad media decreciente) en
30
30
v) Hallamos los interceptos con el eje L, para esto la producción debe ser igual a cero. 0 2
60000 2
1000
3
0
60 0 1
0
2
0
3
60
vi) Por lo tanto los intervalos de las fases de producción serán los siguientes (ver gráfico). La I fase será de
0
30 , o sea
0
30
La II fase será de
30
40 , o sea
30 40
La III fase será de
0
, o sea
40
¿A partir de que punto se produce la ley de los rendimientos físicos marginales decrecientes (
0 )?
Los rendimientos físicos marginales decrecientes, como se ve en el gráfico, se produce a partir del punto 20 65
