Cap´ıtulo 5
Teor eor´ıa de la Cred Credib ibil ilid idad ad Considere Considere un riesgo riesgo S proveniente S proveniente de un conjunto de asegurados vigentes por un periodo determinado, t´ıpicamente ıpicame nte un a˜no. no. Si este grupo de asegurados es homog´eneo eneo en el sentido de que todos sus miembros tienen la misma probabilidad de realizar una reclamaci´on, on, entonces aplicar una misma prima a todos ellos es razonable. Sin embargo, cuando el grupo no es homog´ eneo, eneo, habr´a subgrupos subgrupos de bajo ba jo riesgo y otros de alto riesgo. Cobrar una misma prima a todos ellos ell os ser´ıa ıa injusto, y no ser´ ser´ıa bueno para la asegurador aseguradoraa pues los asegurados asegurados de bajo riesgo riesgo buscar buscar´ıan un mejor mejor trato con otras otras aseguradoras, y s´olo olo se quedar´ quedar´ıan en la cartera los asegurados de alto riesgo. La idea fundamental es aplicar primas menores a los asegurados de bajo riesgo y primas mayores a los de alto riesgo, con base en el historial de reclamaciones que cada uno de los asegurados o subgrupos hayan realizado durante los a˜nos nos anteriores. En la teor´ teor´ıa de la credibilidad se estudian m´etodos eto dos para el c´alculo alculo de primas a trav´ trav´es es de la combinaci´ on de la experiencia individual (historial on de reclamacio reclamaciones) nes) y la experiencia experiencia de grupo (comportamien (comportamiento to te´orico). orico). Considere por ejemplo, un seguro de autom´oviles y distintas primas existentes de acuerdo a la edad del asegurado. A´un un cuando un grupo grup o de asegurados se considere homog´eneo, eneo, las condiciones individuales de cada uno de ellos, o los desarrollos tecnol´ogicos de los autom´oviles oviles u otros aspectos pueden hacer que un asegurado tenga eventualmente un comportamiento distinto al grupo en el que originalmente fue asignado.
5.1.
Principios Principios de la Teor´ eor´ıa de la Credibilidad Credibilidad
5.1.1. 5.1.1.
Credib Credibili ilidad dad Comple Completa ta
Considere una cierto riesgo S y S y sean S 1 ,...,S m los montos de reclamaciones anuales efectuadas + S m ¯ = S 1 + · · · + S por un asegurado o grupo de asegurados durante m periodos consecutivos. Sea S m el promedio de las reclamaciones. Si las variables S variables S 1 ,...,S m son independientes indep endientes e id´ i d´enticamente enticamente dis¯ converge tribuidas, entonces la ley de los grandes n´umeros umeros garantiza que la variable S converge a la constante ¯ como funci´on E (S ), ), conforme el n´umero umero de sumandos crece a infinito. El comportamiento de S como S on de m es posiblemente oscilatorio alrededor de E [ E [S ], ], pero eventualmente va a estabilizarse en ese valor. ¯ est´e razonablemente La pregunta es ¿Qu´e tan grande debe deb e ser m para que S est´ S razonabl emente cercano a E (S )? )? El siguiente siguiente es un posible criterio. criterio. Definici´ on on 5.1.1. Sean k
completa (k, p) si
¯ tiene credibilidad ∈ (0, (0, 1) y p ∈ (0, (0 , 1) dos n´ umeros fijos. Se dice que S tiene S ¯ P ( P (|S
− E (S )| ≤ kE (S )))) ≥ p. 37
CAP ´ ITULO ITULO 5. TEOR TEOR ´ IA DE LA CREDIBILIDAD
38
¯ tiene credibilidad completa (k, La condici´on on anterior establece que S S ( k, p) si dista de E (S ), ) , en menos de k de kE E (S ) con probabilidad mayor o igual a p a p.. Naturalmente se toman valores de k cercanos ¯ como a cero y valores de p cercanos a uno, t´ıpicamente k =0.05 y p =0.9. La intenci´on on es usar S como S elemento para calcular la prima del asegurado, siempre y cuando se tenga suficiente historial para dar credibilidad a tal cantidad, el problema es entonces encontrar el valor de m. m . Adem´ as, podemos escribir la ecuaci´on as, on anterior en la forma P y definamos
− ! ≤ ! ≥ − ! ≤ ≥ − ! ≤ √ ¯ S
E (S )
kE (S )
V ar( ar (S ) m
¯ S
y p = ´ınf ın f P y
p
V ar( ar (S ) m
E (S )
y
V ar( ar (S ) m
p
.
¯ tiene Cuando S tiene distribuci´on on continua se cumple que ¯ S
P
E (S )
y p
V ar( ar (S ) m
= p
kE (S ) m
entonces es suficiente que se cumpla la desigualdad
σS
√ k m
≥ y p que es equivalente a
σS
E (S )
≤
, es decir, hemos encontrado una cota superior para el coeficiente de variaci´ on de on de la variable y p S que que nos indicar´ indicar´ıa que existe credibilidad completa. Adem´ as de la desigualdad anterior, existen otras dos desigualdades equivalentes a la misma, para as determinar si existe credibilidad completa: V ar( ar (S ) m
¯) = V ar( ar (S y m
≥ y p kE (S )
2
2
≤ k E y2(S )
(5.1)
p
2
V ar( ar (S ).
(5.2)
Credibilidad completa bajo hip´ otesis de normalidad otesis
Encontraremos una condici´on on sobre el n´umero umero de periodos de observaci´on m on m para obtener credi¯ tiene bilidad completa cuando S tiene una distribuci´on on aproximada normal. Bajo esta hip´otesis, otes is, el t´ermino ermi no de la izquierda en la definici´on on 5.1.1 es ¯ P ( P (|S
− E (S )| ≤ kE (S ))))
= P
≈
− ≤ √ −
2Φ
¯ E (S )| |S V ar( ar (S )/m k mE (S ) V ar( ar (S )
kE (S ) V ar( ar (S )/m
1
Como esta probabilidad debe ser mayor o igual a p se obtiene la desigualdad Φ
√
k mE (S ) V ar( ar (S )
+ p ≥ 1 + p . 2
Sea u Sea u q el q el q -cuantil -cuantil de la distribuci´ on on normal, es decir
Φ(uq ) = q .
Entonces
5.1. PRINCIPIOS DE LA TEOR ´ IA DE LA CREDIBILIDAD
√
k mE (S ) V ar(S )
De donde se obtiene
m
39
≥ u(1+ p)/2
u2(1+ p)/2 V ar(S )
≥
k 2 E 2 (S )
Los t´erminos E (S ) y V ar(S ) pueden ser conocidos o estimados, y sustituidos en esta f´ormula ¯ tenga credibilidad para conocer una aproximaci´on del n´ umero de periodos m de historial para que S completa (k, p). on anual S j tiene distribuci´ on P oisson compuesta, es Ejemplo 5.1.2. Suponga que cada reclamaci´ decir, N
S j =
Y j
j=1
en donde N tiene distribuci´ on Poisson(λ) y las variables Y j corresponden a las reclamaciones individuales. Denotemos por µ1 y µ2 el primer y segundo momento de las variables Y j , entonces E (S j ) = λ µ1 , y V ar(S j ) = λ µ2 . Por lo tanto, la cota inferior para m es λm
≥
u2(1+ p)/2 µ2 k2 µ21
Si adicionalmente se asume que cada reclamaci´ on Y i tiene distribuci´ on exp(α) con α = 1, entonces µ1 = 1 y µ2 = 2. Tomando k = 0.05 y p = 0.9, de tablas de probabilidad normal se obtiene u(1+ p)/2 = u0.95 = 1.6449. Por lo tanto 2
λm
) ·2 ≥ (1.6449 = 2165.56 . (0.05 )2 · 1 2
Es decir, despu´es de 2166 reclamaciones, se obtiene credibilidad completa (k, p) con k = 0.05 y p = 0.9. Observaci´ on 5.1.3. Los valores de V ar(S ) y E (S ) pueden ser estimados de los datos como se
muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 5.1.4. Supongamos que S i = 0 para i = 1,..., 6, S 7 = 253, S 8 = 398, S 9 = 439 y
S 10 = 756. Determina si la muestra presenta credibilidad completa con k = 0.05 y p = 0.9. 10
10
1 1 S i = 184.6 y V ar(S ) = (S i E (S ))2 = 71,766.4889 Soluci´ on: Notemos que E (S ) = 10 i=1 9 i=1 por lo que el m´ınimo n´ umero de observaciones que se deben tener para alzanzar credibilidad completa
es
−
2
y p
kE (S )
V ar(S ) = 2,279.56. Por lo tanto, no tenemos credibilidad completa.
5.1.2.
Credibilidad Parcial
Si se decide que la credibilidad completa es inapropiada, entonces se puede optar por la credibi¯ y una media M , obtenida externamente, en lidad parcial, es decir, se refleja la experiencia pasada S la prima neta. Un m´etodo para realizar esto, es considerar la prima de credibilidad P c = z ¯ S + (1 en donde z
∈ [0, 1] es llamado factor de credibilidad.
− z)M
CAP ´ ITULO 5. TEOR ´ IA DE LA CREDIBILIDAD
40
Recordemos que la meta del criterio de credibilidad completa fue la de asegurar que la diferencia ¯ la que deber´ıamos usar E (S ) sea peque˜ entre la prima que estamos considerando S y na con alta ¯ probabilidad. Adem´ as, el hecho de que S sea insesgado, equivale a controlar la varianza de la prima ¯ neta propuesta S . ¯) sea suficientemente peque˜na. Una La ecuaci´ on (5.1) nos muestra que no se asegura que V ar(S manera de controlar la varianza de la prima de credibilidad P c es: k2 E 2 (S ) y p2
= V ar(P c ) = V ar(z ¯ S + (1 ¯) = z 2 V ar(S V ar(S ) = z2 m
− z)M )
De esta manera se selecciona
z = m´ın
√
E (S ) k m ,1 V ar(S ) y p
Una interpretaci´on de la ecuaci´on anterior es que el factor de credibilidad z es la proporci´on del k m coeficiente de variaci´on real medida por que representa el coeficiente de variaci´on requerido y p para la credibilidad completa.
√
Ejemplo 5.1.5. Supongamos que S i = 0 para i = 1,..., 6, S 7 = 253, S 8 = 398, S 9 = 439 y
S 10 = 756. Determina la prima de credibilidad parcial si k = 0.05, p = 0.9 y M = 225. ¯ no tiene credibilidad completa, por lo que usaremos Soluci´ on: Vimos en el ejemplo 5.1.4 que S credibilidad parcial. Entonces z = m´ın {0.06623, 1} = 0.06623 y la prima de credibilidad est´a dada por P c =0.06623(184.6)+0.93377(225)=222.32. Credibilidad Parcial bajo hip´ otesis de Normalidad
¯ y recordando que Bajo la hip´otesis de normalidad para S z = m´ın
5.2.
√
Φ(uq ) = q entonces
E (S ) k m ,1 . V ar(S ) u(1+ p)/2
Enfoque Bayesiano de la Teor´ıa de la Credibilidad
La credibilidad Bayesiana es otra forma de incorporar el historial de reclamaciones de un grupo de asegurados en el c´alculo de las primas. Supongamos nuevamente que las variables S 1 ,...,S m representan el historial de reclamaciones en m a˜nos consecutivos por parte de un grupo de asegurados. Supongamos adem´as que estas variables son independientes y todas ellas tienen una distribuci´on com´ un dependiente de un par´ametro desconocido Θ. Bajo el enfoque Bayesiano se considera que el par´ametro Θ es una variable aleatoria para la cual se asume una distribuci´on de probabilidad a priori. on a priori del par´ ametro Θ, que denotaremos por π(θ), es una Definici´ on 5.2.1. La distribuci´ distribuci´ on de probabilidad sobre todos los posibles valores del par´ ametro
Θ.
Observaci´ on 5.2.2.
1. El par´ ametro
Θ puede
ser un escalar o un vector.
2. π(θ) contiene la informaci´ on del par´ ametro previo a la historia de los datos.
5.2. ENFOQUE BAYESIANO DE LA TEOR ´ IA DE LA CREDIBILIDAD
41
3. No es sencillo traducir la informaci´ on en π (θ ). on modelo es la distribuci´ on de probabilidad para los datos, consiDefinici´ on 5.2.3. La distribuci´ derados como una colecci´ on, dado un valor del par´ ametro ; distribuci´ on modelo es f S s|θ ) donde S = (S 1 ,...,S m ). |Θ (;
Θ,
es decir, si los datos son S 1 ,...,S m , la
De las definiciones anteriores, tenemos que: 1. f S, s, θ) = f S s|θ )π (θ ). Θ (; |Θ (;
∞
2. f S s) = (;
−∞
− f → (; s|θ )π (θ )dθ. S |Θ
ametro Θ es una variable aleatoria discreta, las integrales son Observaci´ on 5.2.4. Cuando el par´ cambiadas por sumatorias sobre todos los posibles valores del par´ ametro. on posterior (posteriori) es la distribuci´ on del par´ ametro Θ dado los Definici´ on 5.2.5. La distribuci´ ; datos observados S , es decir, la distribuci´ on posterior es π (θ|; s). Θ|S
Es posible estimar el valor del par´ametro una vez conocidos los datos; dicho estimador es conocido como el estimador de Bayes. on τ (Θ) con respecto a la distribuDefinici´ on 5.2.6. El estimador posterior de Bayes para la funci´ ; ci´ on posteriori es E [τ (Θ)|S ]. Observaci´ on 5.2.7.
; = (s1 ,...,sm ) es una muestra aleatoria, entonces S 1 ,...S m son independientes y por lo 1. Si S m
tanto f S s|θ) = |Θ (;
f Si |Θ (si |θ).
i=1
; = (s1 ,...,sm ) entonces 2. Si S
∞
E [τ (Θ)|S 1 = s 1 ,...,S m = s m ] =
−∞
τ (θ)πΘ|S (θ |s1 ,...,sm )dθ
∞
s|θ )π (θ )dθ τ (θ)f S |Θ (;
=
−∞ ∞
−∞
f S s|θ )π (θ )dθ |Θ (; m
∞
τ (θ)
=
−∞
∞
i=1 m
f Si |Θ (si |θ ) π (θ )dθ
.
f Si |Θ(si |θ ) π (θ )dθ
−∞
i=1
Ejemplo 5.2.8. Consideremos S 1 ,...,S m una muestra aleatoria tal que f (s|θ) = θ s (1 s = 0, 1 y π (θ ) = 1(0,1) (θ ). Determina el estimador posterior de Bayes para:
1. E (S |Θ) 2. V ar(S |Θ). m
Soluci´ on: Sea a =
si .
i=1
1. Notemos que E (S |Θ) =
Θ
= τ (Θ):
− θ)1
−s
para
CAP ´ ITULO 5. TEOR ´ IA DE LA CREDIBILIDAD
42
1
E [τ (θ )|S 1 = s 1 ,...,S m = s m ] =
θ1+a (1
0
1
θ a (1
0
− θ)m
−a
− θ)m
−a
dθ
dθ 1
" − − $ 1
B(2 + a, m + 1 =
−
−
−
#
1 θ 1+a (1 θ )m−a dθ B(2 + a, m + 1 a) 0 1 1 θ a (1 θ )m−a dθ a) B(1 + a, m + 1 a) 0
a)
B(1 + a, m + 1
=
B(2 + a, m + 1 B(1 + a, m + 1
=
(a + 1)!(m a)!(m + 1)! (a)!(m a)!(m + 2)!
=
a + 1 m + 2
−
%$
− a) − a)
−
#"
%
1
−
m
1+ =
2. Notemos que V ar(S |Θ) =
Θ(1
si
i=1
m + 2
.
− Θ) = τ (Θ), por lo tanto:
1
E [τ (θ )|S 1 = s 1 ,...,S m = s m ] =
θ1+a (1
0
1
0
θ a (1
− θ)m+1
−a
− θ)m
dθ
−a
dθ
1
" − − $ 1
B(2 + a, m + 2 =
B(1 + a, m + 1
=
=
=
B(2 + a, m + 2 B(1 + a, m + 1
−
−
−
#
1 θ 1+a (1 θ )m−a dθ B(2 + a, m + 2 a) 0 1 1 θ a (1 θ )m−a dθ a) a) 0 B(1 + a, m + 1
a)
− a) − a) (a + 1)!(m + 1 − a)!(m + 1)! (a)!(m − a)!(m + 3)! (a + 1)(m + 1 − a) (m + 3)(m + 2)
%$
−
#" 1
%
5.2. ENFOQUE BAYESIANO DE LA TEOR ´ IA DE LA CREDIBILIDAD
m
si + 1
=
−
43
m
m + 1
i=1
si
i=1
(m + 3)(m + 2)
.
Observaci´ on 5.2.9. Cuando E [S i |Θ] = Θ, la esperanza a posteriori E (Θ|S 1 ,...,S m ) es conocida
como la prima de credibilidad pues representa una estimaci´ on para E (S ) = historial de las reclamaciones S 1 ,...,S m .
Θ tomando
en cuenta el
Proposici´ on 5.2.10 (Modelo Poisson-Gamma). Supongamos que las variables S 1 ,...,S m tiene distribuci´ on P oisson(λ) y que λ tiene distribuci´ on a priori Gamma(α, 1/β ), entonces:
1. La distribuci´ on posterior es Gamma(m¯ s + α, 1/(m + β )). 2. La prima de credibilidad es p c = z s¯ + (1
m − z) αβ donde z = m + . β
Proposici´ on 5.2.11 (Modelo Normal-Normal) . Supongamos que las variables S 1 ,...,S m tiene distribuci´ on Normal(θ , σ 2 ) y que Θ tiene distribuci´ on a priori Normal(µ, η 2 ), entonces:
1. La distribuci´ on posterior es Normal
µσ 2 + mη 2 s¯ 1 m , + 2 2 2 2 σ + mη η σ
−1
.
2
2. La prima de credibilidad es p c = z s¯ + (1
η − z)µ donde z = σ2 m+ m . η2
Observaci´ on 5.2.12.
1. El factor z es conocido como factor de credibilidad. 2. En los modelos de las proposiciones 5.2.10 y 5.2.11, la prima de credibilidad tiene la forma de la prima de credibilidad parcial, es decir, P c = z ¯ S + (1 z)M . M´ as a´ un, M = E [λ] en la proposici´ on 5.2.10 y M = E [Θ] en la proposici´ on 5.2.11.
−
3. El factor de credibilidad tiene un comportamiento mon´ otono creciente cuando m es grande. on predictiva es la distribuci´ on de probabilidad condicional de una Definici´ on 5.2.13. La distribuci´ ; observaci´ on nueva S dado los datos anteriores S y ser´ a denotada por f (s|; s). S |S
on posterior y la distribuci´ on predictiva pueden ser calculadas por Teorema 5.2.14. La distribuci´ las siguientes relaciones: 1. πΘ|S s) = (θ|;
f S s|θ)π(θ) |Θ (;
∞
−∞
.
f S s|θ)π(θ)dθ |Θ (;
∞
2. f S |S s) = (s|;
−∞
f S |Θ(s|θ)πΘ|S s)dθ . (θ |;
Demostraci´ on:
1. Para la distribuci´ on posterior tenemos que πΘ|S s) (θ|;
=
=
f S, s, θ) Θ (; f S s) (;
f S s|θ )π(θ) |Θ (;
∞
−∞
f S s|θ)π(θ)dθ |Θ (;
CAP ´ ITULO 5. TEOR ´ IA DE LA CREDIBILIDAD
44
2. Para la distribuci´ on predictiva tenemos que
f S |S s) = (s|;
f S,S s, s) (; f S s) (; f S,S, s,s, θ)dθ Θ (;
=
f S,S s, s|θ)π(θ)dθ |Θ (;
=
f S s|θ )f S |Θ(s|θ)π(θ)dθ |Θ (;
=
∞
−∞
f S s) (;
∞
−∞
f S s) (;
∞
=
−∞
f S s) (;
∞
f S |Θ (s|θ )f S s|θ)π(θ) |Θ (;
−∞
f S s) (;
dθ
∞
=
−∞
f S |Θ (s|θ )πΘ|S s)dθ . (θ|;
on posterior, cuando podemos completar la integral Observaci´ on 5.2.15. En el caso de la distribuci´ del denominador a una funci´ on de densidad, entonces la distribuci´ on posterior tendr´ a la misma densidad que la que hemos completado. Cuando se desea pronosticar, el valor esperado de la distribuci´on predictiva es de inter´es e inclusive podemos pensar que dicho valor esperado propociona una estimaci´on puntual de la m +1 ´esima observaci´on dado que se tienen las primeras m observaciones y la distribuci´on a priori como se indica en la siguiente proposici´ on.
−
; ] es el valor esperado de una nueva observaci´ on dado Definici´ on 5.2.16. La prima Bayesiana E [S |S
el historial de las observaciones. Proposici´ on 5.2.17. La prima Bayesiana puede ser determinada a partir del valor esperado de una
observaci´ on dado el par´ ametro
Θ y
; ] = E [S |S
la distribuci´ on posterior mediante la relaci´ on
∞
−∞
Demostraci´ on: Tenemos que
; ]. E [S |Θ]πΘ|S s)dθ = E [E [S |Θ]|S (θ |;
5.2. ENFOQUE BAYESIANO DE LA TEOR ´ IA DE LA CREDIBILIDAD
; ] E [S |S
45
∞
=
−∞
sf S |S s)ds (s|;
∞
=
s
−∞
=
=
−∞
∞
∞
−∞
−∞
∞
∞
−∞
−∞
f S |Θ (s|θ )πΘ|S s)dθ ds (θ|;
sf S |Θ (s|θ )πΘ|S s)dθds (θ|; sf S |Θ (s|θ )πΘ|S s)dsdθ (θ|;
∞
=
−∞
∞
∞
πΘ|S s) (θ|;
sf S |Θ (s|θ )ds dθ
−∞
∞
=
0
E [S |Θ]πΘ|S s)dθ. (θ |;
5.2.1.
Funciones de P´ erdida
ˆ una estimaci´ ˆ , Θ) es Definici´ on 5.2.18. Sea Θ on de τ (Θ). La funci´ on de p´erdida denotada por l(Θ la funci´ on real valuada que cumple: ˆ , Θ) ˆ y todos los posibles valores de 1. l(Θ 0 para todas las posibles estimaciones Θ espacio parametral.
≥
Θ en
el
ˆ , Θ) = 0 para Θ ˆ = τ (Θ). 2. l(Θ Ejemplo 5.2.19. Algunas funciones de p´erdida para el caso τ (Θ) = Θ son:
ˆ , Θ) = (Θ ˆ 1. l(Θ
− Θ)2. ˆ , Θ) = | Θ ˆ − Θ|. 2. l(Θ ˆ , Θ) = 3. l(Θ
0, A,
ˆ Θ
=Θ ˆ =Θ Θ
ˆ , Θ) = ρ (Θ)|Θ ˆ − Θ|r con ρ(Θ) ≥ 0 y r > 0. 4. l(Θ Las funciones de p´erdida que consideraremos son P´erdida Error Cuadrado (1), P´erdida Absoluta (2), P´erdida Cero-Uno (3) cuando A = 1. on de p´erdida es aqu´el que minimiza la Definici´ on 5.2.20. El estimador de Bayes para una funci´ p´ erdida esperada dada la distribuci´ on posterior del par´ ametro en cuesti´ on. Observaci´ on 5.2.21. El estimador de Bayes depende de la funci´ on de p´erdida l y la distribuci´ on a
priori. El siguiente resultado lo utilizaremos aunque la demostraci´on sea omitida. Teorema 5.2.22. El estimador de Bayes para:
1. La funci´ on p´ erdida error cuadrado, es la media de la distribuci´ on posterior. 2. La funci´ on p´ erdida absoluta, es la mediana de la distribuci´ on posterior. 3. La funci´ on p´ erdida cero-uno, es la moda de la distribuci´ on posterior.
CAP ´ ITULO 5. TEOR ´ IA DE LA CREDIBILIDAD
46
Ejemplo 5.2.23. Determine los estimadores de Bayes del ejercicio 3 para las funciones de p´erdida
1. Error cuadrado. 2. Absoluta. 3. Cero-uno. on del ejercicio veremos que la funci´on posteriori es Soluci´ on: De acuerdo a la soluci´ πΘ|S s) = (θ |;
es decir,
; = ; Θ|S s se
θ11 e-4.801121θ
, 1 Γ(12)( 4.801121 )12
1 distribuye Gamma(12, 4.801121 ). Por lo tanto:
1. El estimador de Bayes para la funci´on p´erdida error cuadrado es la media de la distribuci´on 12 ; = ; posterior, es decir, E [Θ|S s] = = 2.4994163. 4.801121 2. El estimador de Bayes para la funci´on p´ erdida absoluta es la mediana de la distribuci´ on 1 posterior, es decir, aquel valor α tal que P (Θ < α ) = , equivalentemente1 , 2
α
0
θ11 e-4.801121θ
dα = 1 Γ(12)( 4.801121 )12
1 . 2
3. El estimador de Bayes para la funci´ on p´erdida cero-uno es la moda, es decir, el dato que tiene “mayor probabilidad”, por lo que buscaremos el m´aximo de la funci´on de densidad posterior: 0 = πΘ s) (θ |; |S
−4.801121θ11e-4.801121
+ 11θ10 e-4.801121θ 1 11!( 4.801121 )12 θ
= ˆ = 2.291132. de donde Θ
5.2.2.
Otras aplicaciones
Recordemos que lo que estamos tratando de estimar es el valor esperado de una nueva observaci´on S m+1 . Hemos visto que una forma de poder realizar esto es utilizar la media hipot´ etica o prima individual E [S m+1 |Θ = θ] si conocieramos el valor de Θ. En caso contrario, podemos utilizar la prima pura o colectiva, es decir, E [S m+1 ] = E [E [S m+1 |Θ]]. Si tenemos el historial de datos, podemos ; ]. Debido a que utilizar la media de la distribuci´on predictiva (prima Bayesiana), es decir E [S m+1 |S en la mayor´ıa de las veces desconocemos el valor de Θ, es recomendable utilizar la media de la distribuci´ on predictiva. El m´etodo Bayesiano tambi´en puede ser utilizado para determinar el n´umero esperado de reclamaciones que tendr´a un grupo asegurado como mostraremos en el siguiente ejemplo. umero de reclamaciones N j en el a˜ no j para un grupo de Ejemplo 5.2.24. Supongamos que el n´ asegurados con par´ ametro de riesgo Θ desconocido y mj individuos en el grupo con j = 1,...,n se distribuye Poisson(mj θ) donde Θ se distribuye Gamma(α, β ). Determine el n´ umero esperado Bayesiano de reclamaciones para asegurar los mn+1 individuos del a˜ no n + 1. 1
En muchas o casiones, el valor de la mediana se deja indicado pues requiere de m´ etodos num´ ericos para encontrar la soluci´ on.
5.2. ENFOQUE BAYESIANO DE LA TEOR ´ IA DE LA CREDIBILIDAD
47
umero de asegurados m n+1 , por lo que Soluci´ on: Notemos que en la realidad, desconoceremos el n´ ser´ıa un error considerar que N m+1 |Θ = θ tiene distribuci´on Poisson(mn+1 θ ). En cambio, lo que podemos hacer es considerar un n´umero promedio de reclamaciones por asegurado. N j Definamos X j = como el n´ umero promedio de reclamaciones por asegurado en el a˜no j. mj Consideremos 2 enfoques: La prima pura y la media de la distribuci´on predictiva. 1. Para el caso de la prima pura tenemos que E [X j ] = E [E [X j |Θ = θ ]]
= E E
= E
= E
N j |Θ = θ mj
1 E [N j |Θ = θ ] mj 1 mj Θ mj
= E [Θ] = αβ Por lo que el n´umero esperado de reclamaciones para el siguiente a˜no cuando se aseguren m n+1 personas es m n+1 αβ . 2. Para el caso de la media de la distribuci´on predictiva tenemos que
N j f Xj |Θ(xj |θ ) = P (X j = x j |Θ = θ ) = P = xj |Θ = θ mj
= P (N j = m j xj |Θ = θ ).
Luego, la distribuci´ on posterior est´a dada por
n
πΘ|X x) (θ |;
∝
f Xj |Θ(xj |θ ) π (θ )
j=1 n
α−1+
∝
mj xj
j=1
θ
−θ β
n
−1
+
j=1
e
mj
n
Por lo que se concluye que
; Θ|X se
distribuye Gamma
α +
mj xj ,
β −1 +
j=1
Por la proposici´ on 5.2.17 tenemos que ; = ; E [X n+1 |X x]
0
E [X j |Θ]πΘ|X x)dθ (θ|;
; ] = E [Θ|X
n
=
α +
j=1
−1
n
mj xj
mj
j=1
∞
=
−1
n
β −1 +
mj
j=1
.
.
CAP ´ ITULO 5. TEOR ´ IA DE LA CREDIBILIDAD
48
Por lo tanto, el n´umero esperado de reclamaciones para las m n+1 personas que se asegurar´an
n
el siguiente a˜ no ser´a m n+1
α +
−1
n
β −1 +
mj xj
j=1
mj
.
n
Observaci´ on 5.2.25. Si en el ejemplo anterior definimos m =
mj y x ¯ =
j=1
n
; = ; E [X n+1 |X x] =
α +
β −1 +
mj xj
1
β
5.3.
mj xj entonces
j=1
mj
−1
+ m
β 1 + β m
= (α + m¯ x) β m 1 + β m
= zx ¯ + (1
n
j=1
= (α + m¯ x)
=
1 m
−1
n
j=1
donde z =
j=1
1 1 + β m
x ¯ +
αβ
− z)E [Θ]
β m , lo que tiene la forma de la prima de credibilidad. 1 + β m
Ecuaciones Normales
En esta secci´on nos enfocamos primeramente 2 a estimar E [S m+1 |Θ], que denotamos por µm+1 (Θ), ; = (S 1 ,...,S m ). mediante una funci´on lineal del historial de datos S De esta manera, nos restringimos a estimadores de la forma m
α0 +
αj S j
j=1
donde α0 , α1 ,..., αm son constantes que se requieren escoger de alguna forma. Para este fin, escogemos las α ‘s de tal forma que minimicen la funci´on p´erdida error cuadrado, esto es m
Q = E {[µm+1 (Θ)
− α0
−
αj S j ]2 }
(5.3)
j=1
y la esperanza se calcula sobre la distribuci´on conjunta de S 1 ,...,S m y
Θ.
Denotemos por α˜0 , α˜1 ,..., α˜m los valores de α0 , α1 ,..., αm que minimizan la ecuaci´on anterior. Para minimizar Q tomemos derivadas e igualemos a cero. De esta forma: ∂ Q = E {2[µm+1 (Θ) ∂α 0 ∂ Q = E {2[µm+1 (Θ) ∂α i 2
Despu´es veremos que tambi´en se estimar´a
m
− −
− α0
j=1
αj S j ]( 1)}
−
m
− α0
] E [S m+1 |S
y
αj S j ]( S i )}
j=1
S m+1 .
−
49
5.3. ECUACIONES NORMALES
para i = 1,...,m. Por lo tanto, tenemos m + 1 ecuaciones
∂ Q = 0 para i = 0, 1,...,m. ∂α i
Por otro lado tenemos que E [S m+1 ] = E [E [S m+1 |Θ]] = E [µm+1 (Θ)] y como S m+1 |Θ y S i |Θ son independientes se cumple E [E [S i µm+1 (Θ)|Θ]] E [µm+1 (Θ)E [S i |Θ]] E [E [S m+1 |Θ]E [S i |Θ]] E [E [S m+1 S i |Θ]] E [S m+1 S i ]
E [µm+1 (Θ)S i ] = = = = = As´ı, la ecuaci´on
∂ Q = 0 implica la ecuaci´on de sesgadez3 ∂α 0 m
E [S m+1 ] = α˜0 +
α˜j E [S j ]
(5.4)
j=1
y las ecuaciones
∂ Q = 0 para i = 1,...,m implican ∂α i
m
E [S m+1 S i ] = α˜0 E [S i ] +
α˜j E [S j S i ]
(5.5)
j=1
Si multiplicamos la ecuaci´on (5.4) por E [S i ] y se lo restamos a la ecuaci´on (5.5) obtenemos para m
i = 1, ...,m E [S m+1 S i ]
− E [S m+1]E [S i] =
α˜j (E [S j S i ]
j=1
− E [S i ]E [S j ]) es decir,
m
Cov (S m+1 , S i ) =
α˜j Cov (S i , S j )
(5.6)
j=1
En resumen tenemos las siguientes ecuaciones conocidas como ecuaciones normales m
E [S m+1 ] = α0 + Cov(S m+1 , S 1 ) = .. . Cov(S m+1 , S m ) =
αj E [S j ]
j=1
m
αj Cov (S 1 , S j )
j=1 m
αj Cov (S m , S j )
j=1
Dichas ecuaciones se pueden resolver para α˜0 , α˜1 ,..., α˜m y de esta manera obtener la prima de credibilidad m α˜0 +
α˜j S j
j=1
que tambi´en tendr´a la forma z ¯ S + (1
− z)µ para alguna µ.
on p´erdida error Proposici´ on 5.3.1. Los valores de α˜0 , α˜1 ,..., α˜m estimados para minimizar la funci´ cuadrado tambi´en minimizan m
; ] a) Q = E {[E [S m+1 |S
3
− α0
−
αj S j ]2 }
j=1
Se llama Ecuaci´ on de Sesgadez porque el estimador α˜0 +
m X j =1
α˜j S j se
pide insesgado para
E [S m+1]
CAP ´ ITULO 5. TEOR ´ IA DE LA CREDIBILIDAD
50 m
b) Q = E {[S m+1
− α0
−
αj S j ]2 }
j=1
m
Corolario 5.3.2. La prima de credibilidad α˜0 +
α˜j S j es el mejor estimador lineal de:
j=1
a) La media hipot´etica E [S m+1 |Θ]. ; ]. b) La prima Bayesiana E [S m+1 |S
c) S m+1 . Antes de comenzar a desarrollar los modelos recordaremos 2 resultados que ser´an importantes para el c´alculo. Proposici´ on 5.3.3. Sea S una variable aleatoria tal que E [|S |] <
∞, entonces
E [E [S |Θ]] = E [S ]. Proposici´ on 5.3.4. Sea S una variable aleatoria tal que E [S 2 ] <
∞, entonces
V ar(S ) = E [V ar(S |Θ)] + V ar(E [S |Θ]).
5.3.1.
Modelo de Buhlmann
El primero y m´as simple de los modelos supone que las reclamaciones pasadas S 1 ,...,S m condicionadas a Θ tienen la misma media y varianza y son independientes e identicamente distribuidas. Por lo que definimos la media hipot´etica µ(θ) = E [S j |Θ = θ] y el proceso de varianza ν (θ) = V ar(S j |Θ = θ ). Definamos tambi´en µ = E [µ(Θ)], ν = E [ν (Θ)] y a = V ar[µ(Θ)]. Entonces, las proposiciones 5.3.3 y 5.3.4 implican las igualdades E [S j ] = µ y V ar[S j ] = ν + a. Finalmente, para i = j tenemos que
Cov (S i , S j ) = = = = = =
E [S i S j ] E [S i ]E [S j ] E [E [S i S j |Θ]] E [E [S i |Θ]]E [E [S j |Θ]] E [E [S i |Θ]E [S j |Θ]] E 2 [E [S i |Θ]] E [(µ(Θ))2 ] E 2 [µ(Θ)] V ar(µ(Θ)) a.
−
−
−
−
Entonces por el ejercicio 16 con par´ametros µ, σ 2 = ν + a y = credibilidad es
a tenemos que la prima de ν + a
m
α˜0 +
S + (1 α˜j S j = z ¯
j=1
donde z =
− z)µ
m E [V ar(S j |Θ)] ν y k = = . m + k a V ar[E (S j |Θ)]
El factor z es conocido como factor de credibilidad de Buhlmann. Observaci´ on 5.3.5.
1. Si m
→ ∞, entonces z → 1 y la prima de credibilidad ser´ıa S ¯.
51
5.3. ECUACIONES NORMALES
2. Si V ar[E [S |Θ]] ser´ıa µ.
→ 0, entonces k → ∞ lo que implica que z → 0 y la prima de credibilidad
Ejemplo 5.3.6. Consideremos el ejercicio 4 para calcular k y z. Soluci´ on: La esperanza est´a dada por
E [X i ] = 0(0.65) + 1(0.225) + 2(0.125) = 0.475. Tambi´en E [X i2 ] = 0 2 (0.65)+12 (0.225)+2 2 (0.125) = 0.725 lo que implica que V ar[X i ] = 0.725 (0.475)2 = 0.499375.
−
Por otro lado E [X i |Θ = θ ] =
1(0.3) + 2(0.2) = 0.7, θ = 0 1(0.2) + 2(0.1) = 0.4, θ = 1
Luego a = = = = =
V ar[E (X i |Θ)] E [E 2 [X i |Θ]] E 2 [E [X i |Θ]] (E 2 [X i |Θ = 0] π (0) + E 2 [X i |Θ = 1]π(1)) ((0.7)2 (0.25) + (0.4)2 (0.75)) (0.475)2 0.016875
−
−
y como V ar[X i ] = a + ν tenemos que ν = V ar[X i ]
− E 2[X i]
− a = 0.499375 − 0.016875 = 0.4825.
Por lo tanto k =
ν
a
=
0.4825 m 2 = 28.5925 y z = = = 0.06537. 0.016875 m + k 2 + 28.5925
5.3.2.
Modelo Buhlmann-Straub
El modelo de Buhlmann presentado anteriormente no permite variaciones en el tama˜no del riesgo pues la varianza es constante para todas las variables. Sin embargo, no siempre se cumple dicho supuesto. EL modelo de Buhlmann-Straub permite variaciones en el tama˜no, es decir, la varianza no es constante para cada variable S j . Supongamos que S 1 ,...,S m son independientes condicionalmente a Θ con media com´un µ(θ) = ν (θ) E [S i |Θ = θ ] y varianzas V ar(S j |Θ = θ) = donde mj es una constante conocida para cada mj j = 1,...,m. Definamos de nuevo, µ = E [µ(Θ)], ν = E [ν (Θ)] y a = V ar[µ(Θ)] para encontrar la prima de credibilidad de la forma m
α˜0 +
α˜j S j .
j=1
Entonces debemos resolver el sistema de las ecuaciones normales. Primero notemos que para i = j se cumple que
Cov (S i , S j ) = = = = = =
E [S i S j ] E [S i ]E [S j ] E [E [S i S j |Θ]] E [E [S i |Θ]]E [E [S j |Θ]] E [E [S i |Θ]E [S j |Θ]] E 2 [E [S i |Θ]] E [(µ(Θ))2 ] E 2 [µ(Θ)] V ar(µ(Θ)) a.
−
−
−
−
CAP ´ ITULO 5. TEOR ´ IA DE LA CREDIBILIDAD
52 Tambi´en se tiene que
V ar(S j ) = E [V ar(S j |Θ)] + V ar[E [S j Θ]] ν (Θ) = E + V ar[µ(Θ)] mj ν = + a. mj
y que E [S m+1 ] = E [E [S m+1 Θ]] = E [µ(Θ)]µ. Por lo tanto, la primera ecuaci´on normal es m
− − − −
E [S m+1 ] = α˜0 +
α˜j E [S j ]
j=1 m
µ = α˜0 +
α˜j µ
j=1
m
m
la cual mediante despejes implica α˜0 = µ
α˜j µ = µ
1
α˜j
j=1
, luego
j=1
m
α˜j = 1
α˜i
j =i
α˜0
µ
.
(5.7)
Por otro lado las ecuaciones normales para i = 1,...,m son m
Cov(S m+1 , S i ) =
α˜j Cov(S i , S j )
j=1 m
a =
α˜j a + α˜i
j =i
ν
mi
+ a .
Sustituyendo la u ´ ltima igualdad en la ecuaci´on 5.7 implica las siguientes ecuaciones
− − −
a = a 1
a = a 1 a ˜ α0 µ Por lo tanto α˜i = α˜0 = µ
=
1
α˜0
µ
α˜0
µ
+
+ α˜i
ν
mi
+ a
α˜i ν
mi
α˜i ν
mi
α0 mi a ˜ para i = 1,...,m. Sustituyendo en la ecuaci´on 5.7 obtenemos que µν
− a α ˜0 µν
α˜i
m
m
mj . Si definimos m =
j=1
mj entonces
j=1
α˜0 =
µν mi a , α˜i = . ν + am ν + am
Finalmente la prima de credibilidad es
53
5.4. EJERCICIOS m
P c
= α˜0 +
α˜j S j
j=1
=
µν + ν + am
¯ = donde S
5.4.
m j=1 mj S j m j=1 S j
y z =
j=1
mj a S j ν + am
=
µν ma + ν + am ν + am
=
µν ma ¯ + S ν + am ν + am
= z ¯ S + (1
m
m j=1 mj S j m j=1 S j
− z)µ
ma . ν + ma
Ejercicios
1. Para un contratante particular, la prima natural es igual a $600 por a˜no. La experiencia de las reclamaciones pasadas en los u ´ ltimos tres a˜nos es $475, $550 y $400, respectivamente. Determine si credibilidad completa o parcial es adecuada y determine la prima neta para las reclamaciones del siguiente a˜ no suponiendo distribuci´ on normal. Use r = 0.05 y p = 0.9. ¯ se aproxima a E (S ) con probabilidad alta. Con2. Para la credibilidad completa, la prima S ¯ siderando la prima de credibilidad parcial P c con M = E (S ) y suponiendo que S tiene una distribuci´ on aproximada normal, demuestra que: ¯ a ) P (|S b) m =
− E (S )| ≤ kz E (S )) ≥ p.
z 2 u2(1+ p)/2 V ar(S )
c ) z = m´ın
k 2 E 2 (S )
si se quiere tener credibilidad completa para P c .
√
E (S ) k m ,1 . V ar(S ) u(1+ p)/2
3. Las siguientes cantidades en miles de pesos fueron pagadas sobre ciertas p´olizas: 125, 132, 141, 107, 133, 319, 126, 104, 223 y 145. Las reclamaciones individuales tienen distribuci´on Pareto(100, Θ) con Θ desconocido. La distribuci´on a priori de Θ es Gamma(2, 1). Determina las distribuciones: a ) A priori. b) Modelo. c ) Posteriori. d ) Predictiva. 4. En una cartera de autos se tienen dos tipos de conductores: buenos y malos, representados por la variable aleatoria Θ. Los conductores buenos ( Θ = 1) representan el 75 % de la poblaci´on, mientras que los conductores malos ( Θ = 0), el 25 % restante. Adem´ as, el n´ umero de reclamaciones X de los dos tipos de conductores y sus probabilidades de ocurrencia se encuentran en las siguientes tablas:
CAP ´ ITULO 5. TEOR ´ IA DE LA CREDIBILIDAD
54
Tipo A No. Reclamaciones Probabilidad 0 0.7 1 0.2 2 0.1
Tipo B No. Reclamaciones Probabilidad 0 0.5 1 0.3 2 0.2
Determinar: a ) La funci´on de densidad de la variable X . b) La distribuci´on posterior π Θ|X
1
c ) La distribuci´on predictiva f X
3
=0,X2 =1 .
|X1 =0,X2 =1 .
d ) E [X 3 |X 1 = 0, X 2 = 1]. e ) E [X 3 ]. 5. Sup´ ongase que el monto de reclamaciones S i |Θ tiene distribuci´on exponencial(1/Θ) donde Θ se distribuye Gamma(4, 0.001). Si S 1 = 100, S 2 = 950 y S 3 = 450, determina la distribuci´on predicitiva f S |S (s | s) . 4
4
6. Sean S 1 ,...,S m una muestra aleatoria con distribuci´on Bernoulli( p). Sup´ongase que la distribuci´ on apriori de p es Beta(α, β ). Calcule el estimador posterior de Bayes. (Hint: Puede usar Y = ni=1 S i .)
7. Demuestre la proposici´ on 5.2.10. 8. Demuestre la proposici´ on 5.2.11. 9. Sean S 1 ,...,S m una muestra aleatoria de una densidad normal con media θ y varianza σ2 . Sup´ ongase que Θ se distribuye normal con media µ y varianza τ 2 . Demuestre que τ 2 σ2 /m a ) E [Θ|s¯] = 2 s¯ + 2 µ. τ + (σ2 /m) τ + (σ 2 /m)
b) V ar(Θ|s¯) =
τ 2 σ2 /m . τ 2 + (σ2 /m)
10. Sean S 1 ,...,S m una muestra aleatoria de una densidad exponencial(1/θ). Sup´ongase que distribuye Gamma(α, 1/β ). Demuestre que ; = ; E [S m+1 |S s] =
m m + α
−1
s¯ +
Θ se
− 1 β m + α − 1 α − 1 α
; 11. El vector de datos S indica los montos de las reclamaciones de los ´ultimos 20 per´ıodos. Al grupo de asegurados se le asigna un par´ametro de riesgo Θ, el cual se supone que sigue una distribuci´ on Gamma(2, 0.0002). Sup´ongase adem´as, que el monto de una reclamaci´on sigue una distribuci´ on exponencial de par´ametro 1/Θ.
432.86 34,721.03 939.25 4,660.44
402.39 7,888.19 870.99 5,174.05
8,000.70 670.64 1,278.71 884.51
3,154.43 331.57 916.53 6,561.24
7,381.71 5,086.11 1,615.60 5,077.45
a ) Determina la prima Bayesiana. ¿Prefiere esta prima o la media muestral? b) El monto de una nueva reclamaci´on fue de $3,108.81. De acuerdo a esta informaci´on ¿cree que fue acertada la decisi´on tomada en a)? Explique su respuesta 12. Considere el modelo de la proposici´ on 5.2.10 donde S 1 denota el n´ umero de reclamaciones en un a˜ no de una p´oliza. Determinar:
55
5.4. EJERCICIOS
a ) La distribuci´on predictiva f S |S (s|s1 ) e identif´ıcala. 1
b) El estimador de Bayes para la funci´on p´erdida error cuadrado. 13. Proporcione todos los detalles para el c´alculo de la media predictiva del ejemplo 5.2.24. 14. Considere los supuestos de la observaci´ on 5.2.25 donde N 1 ,...,N n son identicamente distribuidas y m j = 1 para j = 1,...,n. Demuestre que ; ] = z x E [X n+1 |X ¯ + (1
n 1 donde z = yx ¯ = − 1 n + β n
− z)E [Θ]
n
xj .
j=1
15. Demuestra la proposici´ on 5.3.1. 16. Si E [S i ] = µ, V ar(S i ) = σ 2 y Cov (S i , S j ) = σ2 para i = j donde es el coeficiente de
correlaci´ on que satisface
m
−1 < < 1, demuestre que la prima de credibilidad α˜0 +
est´ a dada por z ¯ S + (1 ¯ = 1 donde S m
m
S j y z =
j=1
m m + 1
α˜j S j
j=1
− z)µ
− .
17. Sup´ ongase que S j |Θ = θ Poisson(θ) para j = 1,...,m son variables aleatorias independientes con Θ Gamma(α, β ). Calcule la prima de credibilidad de B u ¨hlmann.
∼
∼
18. Sean S 1 ,...,S m una muestra aleatoria con distribuci´on exponencial(1/θ ). Supongamos que se distribuye Gamma(α, 1/β ).
Θ
a ) Calcule la prima de credibilidad de B u ¨hlmann. ; . b) Calcule la prima de credibilidad de B u ¨hlmann usando S = S 1 + · · · + S m en vez de S
c ) ¿Existe alguna relaci´ on matem´atica entre la prima de a) y la prima de b)? ¿Por qu´e crees que se cumple esta relaci´on? d ) Compare los factores de credibilidad de B u ¨hlmann de los incisos a) y b). 19. Suponga que en el a˜no j existen N j reclamaciones de mj p´ olizas para j = 1,...,n con mj constante. El n´ umero de reclamaciones de una p´oliza tiene distribuci´ on Poisson(Θ) donde Θ se distribute Gamma(α, β ). Determine mediante las ecuaciones normales, el n´umero esperado de reclamaciones si existen m n+1 el siguiente a˜no y expr´eselo en la forma z ¯ S + (1 Z )E [Θ]. (Hint: Considere el modelo de Buhlmann.)
−
20. Sean S 1 ,...,S m independientes condicionalmente a Θ con media com´un µ(θ) = E [S j |Θ = θ ] ν (θ) y varianzas V ar(S j |Θ = θ) = ω (θ) + donde mj es una constante conocida para cada mj j = 1,...,m. Si ω = E [ω(Θ)], ν = E [ν (Θ)], µ = E [S ] y a = C ov(S i , S j ) para i = j , demuestre que la prima de credibilidad tiene la forma
P c = z ¯ S + (1 donde z = mj
→ ∞?
am∗ , m∗ = 1 + am∗
m
j=1
− z)µ
mj ¯= 1 y S mj ω + ν m∗
m
j=1
mj S j . ¿Qu´e sucede con z cuando ω mj + ν
CAP ´ ITULO 5. TEOR ´ IA DE LA CREDIBILIDAD
56
b 21. Considera los supuestos del ejercicio 20 y definamos V ar[µ(Θ)] = a + donde n = n Determine la prima de credibilidad. 22. Sup´ongase que S 1 ,...,S m son independientes (condicionalmente en
Θ)
m
mj .
j=1
y que
E [S j |Θ] = β j µ(Θ), V ar[S j |Θ] = τ j (Θ) + ψj ν (Θ). Sean µ = E [µ(Θ)], ν = E [ν (Θ)], τ j = E [τ j (Θ)], a = V ar[µ(Θ)]. a ) Demuestre que E [S j ] = β j µ, V ar(S j ) = τ j + ψj ν + β j2 a, C ov(S i , S j ) = β i β j a, i = j.
b) Resuelva las ecuaciones normales para α˜0 , α˜1 ,..., α˜m para demostrar que la prima de credibilidad satisface m
α˜0 +
α˜j S j = (1
j=1
− z)E [S m+1] + z β m+1 ¯S
donde nj
=
β j2
, j = 1,...,m
τ j + ψj ν
n = n1 + · · · + nm an z = 1m+ an nj S j ¯ = S . n β j j=1
23. Sup´ongase que existen dos tipos de asegurados: A y B. Se sabe que dos terceras partes del total de n´ umero de asegurados son del tipo A y una tercera parte, del tipo B. Para cada tipo, la informaci´on del n´ umero de reclamaciones anual y severidad est´a dada por Tipo A No. de Reclamaciones Severidad
Media 0.2 200
Varianza 0.2 4,000
Tipo B No. de Reclamaciones Severidad
Media 0.7 100
Varianza 0.3 1,500
Un asegurado tiene una cantidad total reclamada de $500 en los ´ultimos cuatro a˜nos. Determine el factor de credibilidad z y la prima de credibilidad para el siguiente a˜no de este asegurado.
