Teo eor r´ıa de co conj njunt untos os David David Abel Barraza Barraza Salguero Salguero
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18 de enero de 2014
Resumen
En este tema veremos la base de la teor´ teor´ıa de conjuntos conjuntos como punto punto de partida al entendimiento del lenguaje usado en la ciencia econ´ omica, omica, espec espe c´ıficamente ıficame nte la estad´ıstica ıstic a y la teor´ teo r´ ıa ıa micr m icroe oecon´ con´ omica. omica. Comenzaremos con una motivaci´ on, seguiremos con los conceptos m´ on, as as importantes y aprenderemos como operar con conjuntos haciendo uso de la simbolog´ simbolog´ıa matem atica. a ´tica. Tambi´ en en usaremos us aremos un enfoqu e nfoquee gr´ gr afico ´ afico y m´ as as intuitivo intuitivo introducido introducido por el matem´ atico John Venn en 1880 sobre la agrupaci´ on on de conjuntos, nombraremos los principales teoremas relativos a conjuntos y conoceremos los distintos tipos de conjuntos.
1.
Intr Introdu oducc cci´ i´ on on
La teor´ teor´ıa de conjuntos conjuntos es un tema que muchas muchas veces es subestimado subestimado por los alumnos de econom´ nom´ıa en sus distintas fases de formaci´ on on acad´ emica, emica, lo que conlleva conlleva a diversos problemas en las materias m´as as avanzadas de la especialidad. Lo que pasan por alto es tal vez el hecho de que esta herramienta es la base del un lenguaje particular que utilizan muchos libros para explicar o estructurar un determinado evento o comportamiento. Citemos un ejemplo microeconom´ıco ıco1: “...we pursue our discussion adopting the simplest sort of comsumption set: L L X = R+ = x ∈ R+ : xl > 0 > 0,, for l = 1, . . . , L
the set of all nonnegative bundles of commodities”.
Un ejemplo en la estad´ıstica ıstica 2: “Haciendo referencia al experimento de lanzar una moneda dos veces, sea A el suceso por lo menos reeuslte una cara y B es suceso el segundo lanzamiento sea un sello. Entonces A = { CS, SC, CC } , B = { CS, SS }...”
Como vemos, el lenguaje matem´atico atico est´a inmerso en la econom´ıa ıa3 de manera indiscutible y aprender este nuevo idioma es deber de un economista completo. La cita anterior nos dice que una canasta de consumo es igual al conjunto de los n´umeros umeros reales positivos que puede estar conformada conforma da por much´ much´ısimos bienes (L bienes como el ejemplo), o sea, cada uno de los x los x l bienes L que pertenecen al gran conjunto X conjunto X = R + son positivos para todo l todo l que va desde el primer bien hasta el ultimo u ´ ltimo (L (L). Solo necesitamos un l´ınea para poder decir todo lo que se dijo anteriormente. anteriormente. He all´ all´ı la necesidad y a la vez motivaci´ on on del estudio introductorio de la teor´ teor´ıa de conjuntos. 1 2 3
Mas-Collel, Whinston & Green , Microeconomic Theory (1995). Murray R. Spiegel, Probabili Pr obabilidad dad y estad est ad´ ´ıstica-Teor´ıa ıa y 760 problemas problema s resueltos resu eltos (1986). (1986) .
Para bien o para mal, depende de nuestro enfoque.
1
2. 2.1.
Definiciones Conjunto
Un conjunto , clase, grupo o colecci´on es una agrupaci´on de elementos que se encuentran bien definidos y/o poseen una caracter´ıstica que los etiqueta dentro de una agrupaci´ on. Un ejemplo son los d´ıas de la semana (lunes, martes,...,domingo), dedos de las manos (me˜ nique, anular,...,pulgar), razas de perros (labrador retriever, beagle,...,pastor alem´an) y muchos m´as que se nos ocurran. Con frecuencia se denotan los conjuntos por las primera letras may´usculas del alfabeto A, B, C, . . . y sus elementos por letras min´usculas a, b, c, .. .. Si a es un elemento del conjunto A entonces decimos que a ∈ A que se lee “el elemento a pertenece al conjunto A” y se escriben los elemento entre llaves. Por otro lado, si a no es un elemento del conjunto A, entonces decimos que a ∈ / A que se lee “el elemento a no pertenece al conjunto A”. Existen dos m´ etodos para describir los elementos de un conjuntos: Si a, b y c pertenecen al conjunto B escribimos por el m´etodo de extensi´on B = { a, b, c} y por el m´etodo de compresi´on o constructivo (regla de correspondencia) B = { x | x son las tres primeras letras del abecedario } que se lee “el conjunto de elementos x tal que las x son las tres primeras letras del abecedario”.
2.2.
Elementos
Un elemento es un miembro de alg´un conjunto o familia de conjuntos y est´a asociado a un objeto solamente. Si tenemos que A = { α, β, γ, , {δ, }} los elementos no ser´an α, β , γ , δ y sino α, β , γ y { δ, }.
2.3.
Subconjuntos
Si tenemos dos conjuntos A y B de tal manera que los elementos de B est´en contenidos en A, entonces se dice que B est´ a incluido (o contenido) en A y se escribe B ⊂ A. Si A y B son iguales entonces A = B por lo que A ⊂ B y B ⊂ A, entonces A y B tiene los mismos elementos. Si A y B son distintos A = B y B est´ a incluido en A, entonces decimos que B es un subconjunto propio de A. Para representar la no inclusi´on de un conjunto sobre otro usamos el s´ımbolo .
2.4.
Cardinal de un conjunto
Es el n´ umero de elementos que contiene un conjunto A, y est´a denotado por |A| o n (A). Si A = { x | x son d´ıas de la semana } entonces n (A) = 7.
3. 3.1.
Operaciones con conjuntos o ´ algebra de conjuntos Uni´ on
Si tenemos dos conjuntos A y B , la uni´on es la agrupaci´on de los elementos tanto de A y B en un solo conjunto denotado por A ∪ B. Ejemplo. Sea A = { 1, 2, 3 , 4} y B = { 4, 5, 6, 7 }, entonces tenemos que A∪B = { 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7 }.
Note que como el elemento {4} pertenece a ambos conjuntos no es necesario repetirlo nuevamente. 2
3.2.
Intersecci´ on
Si tenemos dos conjuntos A y B, la intersecci´on son los elementos en com´ un que presentan ambos conjuntos y est´ a denotado por A ∩ B. Ejemplo. Sea A = { 1, 2, 3 , 4} y B = { 4, 5, 6, 7 }, entonces tenemos que A ∩ B = { 4}.
3.3.
Diferencia
Si tenemos dos conjuntos A y B , la diferencia A − B son los elementos que pertenecen a A pero no a B . Ejemplo. Sea A = { 1, 2, 3 , 4} y B = { 4, 5, 6, 7 }, entonces tenemos que A − B = { 1, 2, 3} y
de manera an´aloga B − A = { 5, 6, 7 }.
3.4.
Complemento
Si tenemos dos conjuntos U (universal) y A, los elementos en U que no est´an A son el complemento de A que se denota A . Ejemplo. Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } y A = { 1, 2, 3 , 4}, entonces tenemos que A = { 5, 6, 7 }.
4.
Diagramas de Venn
Los diagramas de Venn son gr´aficos que muestran las relaciones en la teor´ıa de conjuntos de una manera m´as intuitiva. Un rect´angulo representa todo los puntos posibles de un conjunto llamado universal U y es dentro de ´el que coexisten los conjuntos que analizaremos en forma de c´ırculos. Por ejemplo, si tenemos los conjuntos A = { a, b, c, d} y B = { d, e, f }, entonces sabemos que A ∪ B = {a, b, c, d, e, f }, A ∩ B = {d} y A − B = {a, b, c, d}. Gr´aficamente, obtenemos los siguientes resultados:
(a)
(b)
A∪B
A∩B
'
(c)
(d)
A−B
Figura 4.1: Diagramas de Venn
3
A
5.
Teoremas de conjuntos
Teorema 1. Ley conmutativa de las uniones
A ∪ B = B ∪ A Teorema 2. Ley asociativa de las uniones
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) Teorema 3. Ley conmutativa de las intersecciones
A ∩ B = B ∩ A Teorema 4. Ley asociativa de las intersecciones
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) Teorema 5. Primera ley distributiva
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) Teorema 6. Segunda ley distributiva
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) Teorema 7.
A − B = A ∩ B Teorema 8. Si A ⊂ B , entonces:
B ⊂ A
Teorema 9.
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) Teorema 10.
A ∪ ∅ = A,
A ∩ ∅ = A
A ∪ U = U,
A ∩ U = A
Teorema 11. Teorema 12. Primera ley de Morgan
(A ∩ B) = A ∩ B Teorema 13. Segunda ley de Morgan
A ∩ B = A ∪ B Teorema 14. Para cualquier conjunto A y B :
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B )
6. 6.1.
Tipos de conjuntos Conjunto de n´ umeros
N´ umeros reales
R
Es el conjunto universal de los n´umeros ya que incluye a todos los conjuntos de n´umeros. Si trazamos un recta con todos los n´umeros, cada uno de los puntos en ella pertenece al conjunto de los reales. 4
π
−
−4
−3
=
1.4435
3.1416...
−
−2
−1
0
1
2
3
4
Figura 6.1: Cualquier n´ umero en esta recta pertenece a R. N´ umeros enteros
Z
Los n´ umeros enteros son un subconjuntos de los n´ umeros racionales y est´a conformado extensivamente por: Z = { . . . − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, . . .} N´ umeros racionales
Q
Comprende la relaci´on entre dos n´umero enteros, m´as espec´ıficamente su raz´on aritm´etica:
Q=
N´ umeros naturales
p x | x = , ∀ p ∈ Z ∧ q ∈ Z q
N
Son los enteros positivos y se denotan como N , o tambi´en como Z + :
N = { 1, 2, 3, . . .} N´ umeros irracionales
Q
Son los n´ umeros reales que no son racionales, o sea, es el complemento de Q . Relaci´ on entre conjuntos de n´ umeros
Resulta evidente que:
N⊂Z⊂Q⊂R 6.2.
Conjunto producto
Tambi´en llamado producto cartesiano, es la operaci´on entre dos conjuntos A y B que agrupa en pares ordenados (a, b), los elementos de dichos conjuntos de tal manera que los componentes de A se ubican en el lado izquierdo y los componentes de B se ubican en el lado derecho. A × B = { (a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B }
6.3.
Conjunto vac´ıo
Es aquel que no contiene ning´un elemento {} 4 y est´a denotado por ∅ . Una de sus propiedades es que para A ⊂ ∅ si y solo si (⇔) A = ∅ . Este conjunto se considera subconjunto de cualquier conjunto. 4
Seg´ un la notaci´ on extensiva.
5
6.4.
Conjunto potencia
Es el conjunto formado por todos los subconjuntos de ´el, o sea, todas las combinaciones posibles entre elementos. Si tenemos un conjunto A = { 1, 2, 3 } entonces el conjunto potencia se denota como 2A = P (A) = {, { 1} , { 2} , { 3} , { 1, 2} , { 1, 3 } , { 2, 3 } , { 1, 2, 3 }}. Un regla para saber cuantos elementos posee el conjunto potencia hacemos 2 |A| , o sea, dos elevado al cardinal del conjunto A.
6.5.
Conjuntos disjuntos
Si dos conjuntos no poseen elementos en com´un, se dice que estos son conjuntos disjuntos. Sea A y B dos conjuntos de manera que a ∈ A y b ∈ B pero b ∈ /Aya∈ / B, entonces A y B son disjuntos.
6
7.
Ejercicios propuestos
1. Dado que A = { x, y, z }, ¿cu´antos subconjuntos hay en A y cu´ales son? 2. Si A = { x | 2x = 6} y b = 3, ¿es b = A? 3. Escribir estos conjuntos en una forma constructiva: a ) El A que consiste de la letras a, b, c, d y e. b ) El B = { 2, 4, 6, 8, . . .}. c ) El conjunto C de todos los pa´ıses de las Naciones Unidas. d ) El conjunto D = { 3}. e ) Sea E los presidentes Truman, Eisenhower y Kennedy.
4. ¿Cu´ales de estos conjuntos son vac´ıos? a ) A = { x | x es una letra anterior a aen el alfabeto}
b ) B = x | x 2 = 9 ∧ 2x = 4 c ) C = { x | x = x } d ) D = { x | x + 8 = 8}
5. ¿C´omo se demuestra de un conjunto A no es un subconjunto de otro conjunto B ? Demostrar que A = { 2, 3, 4, 5} no es subconjunto de B = { x | x es par}. 6. Sean V = {d}, W = {c, d}, X = {a, b, c}, Y = {a, b} y Z = {a, b, d}. Establecer la verdad o falsedad de la siguientes afirmaciones: a ) Y ⊂ X b ) W V
= Z c ) W d ) Z ⊃ W
Y f ) Z X e ) V
g ) V ⊂ X h ) Y
Z
i ) X = W j ) W ⊂ Y
7. ¿Qu´e significa el s´ımbolo {{ 2, 3}}? 8. Dado E = { 2, { 4, 5 } , 4}, ¿qu´e afirmaciones son correctas y por qu´e? a ) 5 ∈ E b ) {5} ∈ E c ) {5} ⊂ E
9. Hallar el conjunto potencia 2S del conjunto S = { 3, { 1, 4 }}. 10. Demostrar: Sean A y B no vac´ıos, esto es A = ∅ y B = ∅ , Si A y B son disjuntos, entonces A y B no son comparables.
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