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TEORIA DA VIBRAÇÃO
com aplicações
Professor
de Engenharia
da Universidade
Mecânicn
da Califórnia,
Santa Bárbara
Cássio Sigaud Engenheiro
Civil
© 1973 by Prentice-Halllnc.
Copyright
Ali rights reserved. Publicado
em inglês com o titulo
Theory of Vibration Prentice
Halllnc.,
with Applications Englewood
New Jersey,
PREFÁCIO
Cliffs,
USA.
,-:,','?,:;'/(:';:'''i::':~;,i,>:,:.',,;:''',.:7''-/Dii:eito$,.Reseryadosem 1978 por Editora
lõte~ciência
Rio de,Janeiro,
Programação
o assunto vibrações tem uma fascinação única. Trata-se de um tema lógico, explicável através de princípios básicos d~ mecânica. Ao contrário do que seobserva com algumas matérias, seus conceitos matemáticos são todos eles ãssociados a fenômenos físicos c;ue podem ser experimentados e medidos. É um assunto que agrada ensinar e debater com os alunos. Desde o 'primeiro texto eleme'ntar, "Mechanical Vibrations", publicado em 1948, o autor tem procurado melliorar suaapresentação, quer acompanhando o progresso tecnológico, quer pelo tirocínio adquirido no ensino e na prática. Neste sentido, no decorrer dos anos, muitos' professores e estudantes contribuíram com sugestões e troca de idéias~
Visual e Capa
Interciência Composição
Ltda.
Brasil
'Arte do Texto
Interciência
CIP·Srasi!. Catalogaç50-na·fonte Sindicato Nacional do. Editores de Livro., RJ.
T396t
Thomson, William T. Teoria da vibração com aplicações/William T. Thomson; Cássio Sigaud. - Rio de Janeiro: Interciéncia, 1978.
Tradução de: Theory 01 vibration Apéndices Bibliografia 1. Processamento Vibração I. T(tulo
eletrônico
de
tradução
de
aplicada
2.
with applications
dado.
-
Mecânica
COO - 620.30183 COU - 620.178.5:
~ proibida
a reprodução
total ou parcial por quaisquer
meios,
sem autorização por escrito da ed'itora
I1I
EDITORA INTERClfNCIA LTOA. Rua Vema r,1agalhjies, 66, Tels.: 281-7495/263-5899 ZC·16 - 20710 - Rio de Janeiro - Brasil
681.3
Este texto novo, reescrito na sua quase totalidade; é mais uma vez um desejo, da parte do autor, no propósito de uma apresentação mais clara, com técnicas modero nas que são hoje rotina. Nos cinco capítulos iniciais, que tratam dos sistemas de um e dos de dois graus de liberdade, foi mantida a sin1plicidade do texto anterior, confiantemente melliorado. Tendo em vista o ,uso corrente do computador digital, sua aplicação no campo das vibrações é encorajada com alguns exemplos simples. Apesar da versatilidade do computador digital, o computador analógico ainda é um instrumento útil e, em muitos casos, plenamente justificado. Os primeiros cinco capítulos, que abordam os sistemas de dois graus de liberdade de um ponto de vista simples e físico, fom1am o fundamento para a compreensão do que é básico em vibrações e podem ser lecionados num curso inici~l, em período de três meses a um semestre. No Capítulo 6 há uma generalização dos conceitos dos sistemas de dois graus de liberdade para os de muitos graus. A ênfase neste capítulo 'é a teoria e a extensão para os sistemas de muitos graus de liberdade é apresentada elegantemente, com o auxI1io da álgebra matricial. O emprego das matrizes esclarece toda a base para o desacoplamento das coordenadas. São introduzidas algumas idéias fora do comum de modos normais na_vibração forçada e o método espaço-estado, utilizado correntemente em teoria de controle.
Há muitas abordagens analíticas para o estudo da vibração de estruturas com· plexas de muitos graus de liberdade. O Capítulo 7 apresenta alguns dos mais úteis métodos e, embora os sistemas de muitos graus de liberdade, na sua maioria, sejam resolvidos atualmente no computador digital, necessita-se ainda conhecer, não só como formular tais problemas para a computação eficiente, como algumas das apro'ximações que se podem fazer para checar os cálculos. Todos os problemas aqui podem ser programados para o computador, sendo entretanto necessário que se entenda a teoria básica das computações. Como exemplo, é apresentada a compu· tação digital de um problema do tipo Holzer.
íNDICE
O Capítulo 8 refere-se aos sistemas contínuos ou àqueles problemas associados a equações diferenciais parciais. Uma apreciação de problemas de vigas pelas diferenças frnitas oferece uma oportunidade de resolvê-Ios no computador digital. As equações de Lagrange, objeto do Capítulo 9, reforçam o entendimento dos sistemas dinárnicos apresentados anteriormente e alargam a visão para outros desen· volvimentos. Por exemplo, os conceitos importantes do método da sorna de modos é urna conseqüência natural das coordenadas generalizadas Lagrangianas. O sentido das equações restritivas como condições de contorno físico para a síntese modal é entendido logicamente outra vez, por meio da teoria de Lagrange. O Capítulo 10 trata dos sistemas dinâmicos excitados por forças aleatórias ou deslocamentos. Tais problemas devem ser examinados sob um ponto 'de vista estatístico e, em muitos casos, a densidade da probabilidade da excitação àleatória é distribuída normalmente. O ponto de vista adotado aqui é o de que, apresentado um registro àleat6rio, determina-se facilmente uma autocorrelação que permite o cálculo da densidade espectral e da resposta quadrática média. O computador digital é essenciàl novamente para o trabalho númerico. No Capítulo 11, dá·;eênfase ~ introdução do método do plano de fase no tratamento dos sistemas não-lineares. Quando as não-linearidades são pequenas, os 'métodos de perturbação ou iteração proporcionam uma abordagem analítica. Resul· tados de computações a máquina para um sistema não-linear ilustram o que pode ser feito. Os Capítulos 6 a 1I contêm matéria apropriada para um segundo curso sobre vibração, que pode ser dado em nível de graduação.
l.1 1.2 1.3 1.4
1.5 1.6
Introdução Movimento Harmônico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Análise Harmônica Função Transiente de Tempo. . . . . . . . . . . . . . . . Função Aleatória de Tempo ... '.' . . .. . . . . . . . Propriedades do Movimento Oscilatório. . . . . . . . .
. . . . . . . . .. , . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . ..
2 5 7 8 9
VIBRAÇÃO LIVRE 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Métodos de Sonia de Forças Método de Energia Massa Efetiva Vibração Livre Amortecida Decremento Logarítmico Amortecimento de Coulomb Rigidez e Flexibilidade
1.5 18 20 23 28 32 33
, .. '
','
MOVIMENTO EXCITADO HARMONICAMENTE 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11
Introdução ' Vibração Ham1ônica Forçada : Desbalanceamento Rotativo "Whirling" de Eixos Rotativos Movimento de Suporte Instrumentos Medidores de Vibração Isolamento de Vibração .. , ~ Amortecimento ....•............................. Amortecimento Viscoso Equivalente .......•............ Amortecimento Estrutural Agudeza de Ressonância
47 47 51 57 59 -
61 64 67 71
72 74
Introdução " 83 Excitação de Impulso " 83 Excitação Arbitrária : . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85 Formulação da Transtóf1!ladade Laplace. . . . . . . . . . . . . . .. 91 Espectro de Resposta: '.'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96 o Computador Analógico 101 Diferenças Finitas em Computação Digital " 111 A Computação Runge-Kutta ' 119
SISTEMAS
SISTEMAS DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE
)
)
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9
7.7 Cálculo de Modos Mais Altos 7.8 'Matrizes de Transferência - (Problemas tipo BaIzer) 7.9 Sistema Torcioúal : .' ' 7.1 O Sistema Engrenado 7.11 Sistemas Bifl1rcados 7.12 Vigas .'.~' 7.13 Estruturas Repetidas e Matriz deTransferência •........... 7.14 Equação de Diferença ; ;
Introdução , Vibração de Modo Normal Acoplamento de Coordenadas ~ .. ' Vibração Harmônica Forçada Absorvedor de Vibração : Pêndulo Centrífugo Absorvedor de Vibração O Amortecedor de Vibração .. ' Efeito Giroscópico sob~e Eixos R~iativos Computação Digital
,
129 129 136 139 142 144 146 151 153
~
'
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9
217 221 223 232 233 236 244 247
CONTlNUOS
Introdução '.. ' A Corda Vibratória Vibração Longitudinal de Barras ' Vibração Torcíonal de Barras A Equação de Euler para a Vig;l. . Efeito de Inércia Rotativa Dcformil\,ão de Cisalhamento Vibração de Membranas ' Computação Digital Solução Transientc pelas Transformadas de Lap1ace
265 266 269 271 274 278 279 281 289
)
)6 )
SISTEMAS DE MUITOS 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10
GRAUS DE LIBERDADE
Introdução Matrizes de Flexibilidade e de Rigidez Teorema de Reciprocidade Autovalores e Autovetores " , Propriedades Ortogonals dos Autovetores Raízes Repetidas A Matriz Modal P , : '; Vibração Forçàda CDesacoplamentode Coordenadas Modos Normais Forçados de Sistemas Amortecidos Método Espaço Estado: '
SISTEMAS DE PARÃMETIWS ,\
7.1 7.2 7.3 7.4 ,7.5 7.6
.
o.
'. :
169 169 173 173 177 178 180 182 183 188
EQUAÇÃO 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10
DE LAGRANGE
Intradução " ' Coordenadas Generalizadas , Princípio do Trabalho Virtual .............•... , Desenvolvimento da Equação de Lagrange Massa e Rigidez Generalizadas Método de Soma de Modos Ortogonalidade da Viga, Incluindo Inércia Rotaviva e DeformaçãoporCisalhamento Modos Normais de Estrutura Vinculadas Método Aceleração-Modo Síntese Modal
299 299 300 303 307 309 313 315 320 322
CONCENTRADOS
Introdução ...• ; : Equação Característica Método dos Coeficientes de Inf1uência Princípio de Raylelgh , Fórmula de Dunkerley Método de Iteração Matricial Ó
••••••••••••••••••••
'
199 199 200 203 212 215
VIBRA çÃO ALEA TÓRIA 10.1 10.2 10.3 10.4
Introdução A Função da Resposta da Freqüência Densidade Espectral. Distribuição da Probabilidade
333 335 '-.337 344
10.5
Correlação
10.6
Transformada
10.7
Resposta
)
353 de Fourier
de Estruturas
357
Contínuas
à Excitação
Aleatória
,
)
!
)
362
)
VIBRAÇOES NÃO-LINEARES 11.1
Introdução
371
11.2
O Plano de Fase
372
11.3
Sistemas Conservativos
374
liA
Estabilidade
I 1.5
Método
11.6
O Métódo
de Equilíbrio
........•.................
Método de Lienard Método das Restas Inclinadas.
11.9
O Método
','
11.13
O Método
do Computador
Não-lineares Runge-Kutta
. .. ,
:
O Método de Iteração Oscilações Auto-Excitadas
)
384· . . . . . . . . . . . ..
de Perturbação
Circuitos
)
381
11.8
11.12
)
MOVIMEf.JTO OSCILA TÓRIO
379
Delta
11.11
)
376
das Isóclinas
11.7
lU
)
)
390 ,
I
394 ,
Analógico
386
)
399
)
40 I
)
para Sistemas 402
) ) O estudo
da vibração
diz respeito
que Ihes são associadas. de vibração.
Deste modo,
grau de vibração
aos movimentos
oscilatórios
Todos os corpos dotados
a maior parte das máquinas
e o seu projeto
de corpos
de massa e elasticidade
requer geralmente
e estruturas
)
e às forças são capazes
)
está sujeita a certo
)
o exame do seu comportamento
oscilatório.
)
Os sistemas
lineares
oscilatórios
ou não-lineares.
Para
e estão bem desenvolvidos Ao contrário, análise
dos
destes
são bem sistemas
sistema~,
podem
os primeiros
os métodos menos
não-lineares.
quanda
da ação de qualquer
um sistema
da amplitude
estabelecido
Denomina-se Quando
de superposição
) )
o estado
os métodos
algum
força externa. pela distribuição quando
é oscilatória,
para
final para o qual tendem
de oscilação.
I
)
)
a livre e a forçada. No caso
)
conhecimento
A vibração livre
oscila sob a ação Qe forças que lhe são inerentes
l'ibração forçada
a excitação
aplicação
como
para o seu estudo.
o princípio disponíveis
é proveitoso
vibrar com uma ou mais das suas freqüências
sistema dinâmico
ternas.
Entretanto,
duas classes gerais de vibrações,
ausência
geral, caracterizados
e de difícil
uma vez que eles representam
acontece· poderá
prevalece
matemáticos
conhecidos
todos os sistemas, com o aumento Existem
ser, de um modo
e na
de vibração livre o sistema
)
)
naturais; que são peculiares ao )
de sua massa e rigidez. ela ocorre sob a excitação
o sistema é obrigado
de forças ex-
a vibrar na freqüência
) ) ) )
) '-~,;<~'-'
)
;":'~~:ii;\;: ) :'}da'excitação. Se. esta freqüência coincide com uma das freqüências naturais do ;sistema, forma-se um estado de ressonância, daí podendo resultar amplas e perigosas ..~•. :,,'·.;~,',:._~:.,:,~:;l ..:..',.', ..·1·.•..· " :;. ,•. ":', .• : ) '':''í<.,~~~,i-~''''';'··~:· oséilações:' Está ressonância pode ser a causa de temível colapso de estruturas como ) .as de edifícios, pontes e asas de avião. Assim sendo, é de importância o eálculo das freqüências naturais no estudo das vibrações. t .. ,· ..•
solta, ela· oscilará para cima e para baixo. Dotando·se a massa com uma pequena fonte 'Iuminosa, o seu movimento podeser registrado numa tira de filme sensível à luz, que se faz mover à sua frente, a uma velocidade constante.
) ) )
) )
) ) ) ) ) )
)
Os .sistemas de vibração são todos eles sujeitos a um certo grau de amorteci· mento, em face do desgaste de energia pelo atrito e outras resistências. Se O amortecimento é fraco, a sua influência torna·se muito pequena e não é geralmente consi· derada nos.cálcul~s das Jre(Úiên~ias daturais .. o. amortécimento, ,,'ntretanto, é de grande importância ao limitar a amplitude de oscilação na ressonâneia. Chama~se grau de liberdade de um sistema o número de coordenadas independentes requerido para a descrição do seu movimento. Nestas condições, uma partí· cula livre em movimento no espaço tem três graus de liberdade, enq~anto um eorpo rígido terá seis graus, isto é, três componentes de posição e três ângulos que del1nem a ..sua orientação. Em se tratando de um corpo elástico contínuo, ele requer um nú· chero infinito de coordenadas (três para cada ponto do corpo), para se descrever o seu movimento. Daí ser infinito o seu número de graus de liberdade. Entretanto, em muitos easos, pode-se admit~r que um corpo desta natureza seja parcialmen te rígido, tornandu possível considerar·se o sistema dinamicamente equivalente .a outro com um número I1nito de graus de liberdade. De fato, um surpreendente'grande número . de problemas de vibração pode ser resolvido com exatidão suficiente, pela redução a outro com um só grau de liberdade.
/Çl: \I.
x = A sen
·f 21fT
na qual A é a amplitude de oscilação, medida a partir da posição de equilíbrio da massa, e T é o período. O movin1ento é repetido qua.ndo .t = T. O movimento harmônico é muitas vezes representado como a projeção numa linha reta, de um ponto que se move numa circunferência a velocidade. constante, como indicado na Fig. 1.2-2. Designada por w a velocidade angular da linha 'op, o deslocamento x é expresso pela equação .
L(<.Xo
'.9 .movll1ento
oscilat6rio pode repetir.se regularmente, como no volante de um ;re16giO, ou apresentar irregularidade considerável, como em terremotos. Quando o .movll1ento se repete a intervalos iguais de tempoT, ele é denominado movimento .;periódico. 'O·, tempo de . repetição T é denominado periodo da oscilação, e sua j~edproca f= '1/1' é denominada a freqüência. Se o movimento é designado peh ;ji,função de·tempox(t), em conseqüência qualquer movimento periódico deve satis· '.;.\ ·.·.f.a.z.· er a relação x(t) = x( t + 1'). ;;t/,-,_> _ ,-,;~~tvl"Movimentos irregulares, que aparentam não possuir período definido, podem ·,:~s~r-'consideradosa·soma de }1m muito' gralldg"núm.e.lQde movimentos regulares de I J,iti~eCjüênciasvariadas. As propriedades de tais movll1entos podem ser definidas esta· ,·j',tistic;uIie,nte. A discussão dessas propriedades será tratada em seção mais adiante. )i\.'Jorma
)'odé
'~~is .simples Ú ~ovimento periódico é movimento harmônico. ser demonstrado por meio de uma massa suspensa de uma pequena mola, lindicadona·Fig:>!:2.L Se a massa é levantada da sua posição de repouso e d._,_' .. ,' ".... . I'
'
.•
Figura 1.2·2. Movimento harmônico com proíeção dc um ponto que se move numa circunferência.
por freqüência angular. U~a vez que o movll1ento se repete em cada 21f radianos, temos a relação
21t =T
ro onde r
e
f
são o período
Assim, a velocidade
= 21tf
e a freqüência
didos em segundos e ciclos por segundo, É conveniente, do por uma quantidade
que define
z
i e admitir-se
complexa
ê expresso
me-
ado-
seja representa·
O
Com
z
= =
Figura 1.2·3. No mOl'imento hannônico, a l'elocidade e a aceleração estão à frente do deslocamento por rr/2 e rr.
A cos wt A sen wt
considerar-se
dois moviInentos
harmônicos
da fase pelo valor
diferindo
da mesma podem
sei
expressos pelos fasores
de modo Z1
=
Ate
1wt
que no movimento
e dirigida para a origem.
harmônico
a aceleração
é proporcional
Visto que a segunda lei de movimento
é proporciónal
que a aceleração
Zz = Azei(wr+rP)
à força, podemos presumir
para os sistemas com molas lineares com força variando I
e A2
respectivamente,
na Fig. 1.2·3.
tempo
É muitas vezes necessário
onde A
com a mesma freqüência
fasor.
real e imaginário.
como
1m z
porém
de um ponto numa circunferência,
que o raio da circunferência
z chamada
Re
freqüência,
usualmente
harmônicas,
por rr/2 e rr radianos,
pela equação
os componentes,
variam senoidalmente
harmônico,
como indicado
são também
do deslocamento
respectivamente.
no caso de mo~in1ento
tar-se um eixo imaginário
O fasor
do movimento
e a aceleração
mas à frente
de oscilação,
são números
reais. O segundo
fasor pode ser expresso
com
ao deslocamento
de Newton
o movimento
estabelece harmônico
10:.
em, seguida
como
É muito onde
A1
é agora um número
complexo.
mas que envolvem movin1ento
hannônico.
A açlição, multiplicação que são dadas no Apêndice son,s, os cálculos tornam-se A velocidade sin1plesmente
Esta fonna
e. potenciação
é muitas vezes útil em proble.
obedecem
do movimento
a regras simples, harmônico
por fa-
do movimento da Eq. (J .2·2).
harmônico Usando
brações
f
ponto
para a de·
mento
x
= roA cos rol = roA sen (ro/
.~=
-'ro'A·senrol
=ro'Asen,(rol
-+ ~) +:n)
(1.2-6) (1.2·7)
francês
pode
natural.
relacionados.
o.,c
2[,
J. Fouricr
fi'
Sc x(t)
como indica
â
(1768·1830)
num
perfil
Fig. 1.3-1. mostrou
é uma Íunção .periódica
cos 2W11
as vi·
\le onda
que qualquer
por uma série de senos e co·senos
-1-.(12
dife-
da freqüência
para a qual contribuem resultam
série de Fourier
,i· a, cos ro ,I
é composta
3f etc. Outro exemplo é a vibra-
Tais vibrações
ser representado
pela seguinte X(I)
com .várias freqüências
de muitos·graus-de·liberdade,
freqüência
matemático periôdico
é representada
de vibrações
de urna corda de violino
que se repete periodicamente,
hamlOl1icamente
rivada, obtemos
simultânea
a vibração
e de todas as suas harmônicas
de cada
o
podem scr determinadas
a notação
a existcllcia
ção livre de um sistema complexa,
fáceis de efetuar.
e a aceleração
comum
Por exemplo,
fundamental de fasores
A. Com a expressão
pela diferenciação
rentes.
-I-
do período
movique' são T,
ela
tg
!p
=
b. G.
Deste
modo,
cn e!Pn (ou an e bn) defmem da onda periódica.
harmônica
O resultado
da representação
gráfica
completamente
de cn e
!Pn
em função
a
contribuição
da freqüência
nw I, para todos os valores de n, é uma série de retas discretas correspondentes a WI, 2WI' 3wI etc., como se observa na Fig. 1.3·2. Tal representação gráfica forma o que se chama de Espectro de Fourier do perfll da onda. onde Wl
Faz-se
=
2rr/r é a freqüência
an e bn, multiplicamos integramos
fundamental.
Para se determinar
ambos os lados da Eq. (1.3-1) por cos
cada termo sobre o período
J' ,
r. Examinando
,"
.
cos IIW,I
COS
IIlW,1 dI =
00
-f,2
J'i',
sen'lIw,1
sen IIlW,1 dI
-1',2
f'" - f,
r
.!E..
W
se m
7": 11
se
111
= 11
se
1117":11
se
111
se
1117":11
se
111
relações
2
atualmente ao auxílio
a análise 'harmônica, do computador
com eficiéncia
digital.
e num mínimo
Obtém-se,
ainda maior
de tem-
redução
tempo de computação, com o uso de um novo algoritmo para compu'tador, recentemente e conhecido como "Fast Fourier 'J:ransform""'.
no
lançado
cn O
t°
da equação,
W1'j
2w,
=~ 11
"'n
1
, cos IIw,1 se,n mw,1 dI =
todos os termos, exceto um do lado direito
as seguintes
t e sen nw,1 t c
po, graças
1
=_~ {On
"
nW1
os coeficientes
'.,. X
O
O," 11
w,
2w,'
se~ã:o iguais ~ 2;ero e obtemos
os resultados
Chama·se
Vol~ando , suasoma
à Eq~ (1.3.1). e, examinando
os dois termos
pode ser expres~a como
G. COS I/W,I
~I
== v G.
=C
n
-I- b.sen -1-
n,_
-
das freqüências,
de tempo,
riódicas.
A Fig. 1.4-1 mostra
sendo nula em qualquer
uma função transiente colisão de dois corpos.
uma variáção
de tempo.
Outro
outro
tempo.
de pressão exemplo
Tais funções
típica
não são pe-
de um estrondo,
é a força de impacto
que é
durante
a
IIW,I
b,f u, {..ja;G -]- b;;
COS(IIW,I
numa
Junção transiente de tempo a uma função que existe apenas num ,espaço
limitado
rp.)
cos
IIW,
I_I
'
• J. W, Coolcy and J. W. Tukcy, "An algorithm for the Machine Calculation of Complcx Fouricr Scries." Mathcmatics ofComputation 19; 90 (abril 1965, págs. 297-301). Vidc também: "Spccial Issue on Fast Fourier Transform", IEEE Trans. on Audío & Elcctroacoustícs, \1'01. AV-15, Nq 2 (1967).
de modo
a permitir
o estabelecimento
de características
gerais, úteis em projetos
de
engenharia. O Capítulo 10 trata desses processos em detalhe. Resumidamente se pode mencionar que, à semelhança das vibrações periódicas e transientes, ·os conceitos de amplitude Essas quantidades, mados
e distribuição na vibração
estatisticamente,
de sua freqüência aleatória,
são de importância
são representadas
fundamental.
por valores médios
esti-
a raiz da média quadrática e a média quadráti-
tais como
ca da densidade espectral. Chama-se
geralmente
de resposta
a um impulso ou choque. a excitação,
à resposta de um sistema mecânico
transiente
Em razão da presença
de amortecimento,
cessam as vibrações.
uma vez cessada .' i Certas
Não sendo de Fourier. contêm
periódicas.
Todavia,
as ondas transientes,
as funções
não periódicas
de freqÜência, pelo método
Em contraste-com
o espectro
nuo o seu correspondente
não é aplicável podem
das Transformadas
discreto
da freqüência
nas funções
o método
ser analisadas
de Fourier
da série
no que elas
(vide Capítulo
nas funções periódicas,
10).
é contí-
transientes.
propriedades
do movimento
oscilatório
são de interesse
na medida
da vibra-
ção. As mais simples delas são o valor pico e o valor médio.
O valor pico indica geralmente vibrante.
Ele estabelece
também
o esforço
máximo
a que está submetida
um limite na exigência
do "espaço
O valor médio indica um valor estável ou estático, ao nível de corrente pela seguinte
contínua
de urna corrente
de certa
elétrica.
a parte
de trepidação".
forma semelhante
Ele pode ser determinado
integração
I
T
- = 11m . '"I T'~ 1
X
ConsideranlOs
até agora tipos de funções
nistas, pois seus valores instantâneos uso de expressões sultam
matemáticas
em dados
não
previsíveis,
num
sentido
um gerador
de ruído,
de vento encontradas rística comum, futuro.
Dados
deterministas,
para qualquer
Há, entretanto, cujos
detenninista.
no vôo de
ser classificadas
são determinados
deduzidas.
as alturas
que podem
valores
avião.
que é a imprevisibilidade não deterministas
deste tipo sITo denominados
Por exemplo,
o valor médio
é zero, enquanto
o
XCI) dI
para um ciclo completo
de urna onda senoidal,
A sen t,
seu valor médio para um meio ciclo é
não são
citar a saída de
x. = -A n:
e a pressão de rajadas
Todos esses fenômenos
do seu valor instantâneo
t, pelo
físicos que refuturos
podemos
das ondas em mar encapelado UlI)
tempo
fenômenos
instantâneos
Corno exemplos,
de determi-
I"
II sen I (,
c
= -2A n:
têm uma caracteem qualquer
como
tempo
funções aleató-
É evidente
que este é também
o valor médio da onda senoidal
retificada,
conforme
a Fig. 1.6-1.
rias de tempo. A Fig. irregular
1.5-1 é um exemplo
da função,
certos
de f~nção
processos
aleatória
de média
podem
típica.
Apesar
ser aplicados
da natureza a. tais dados,
x(t)
O quadrad.o
do deslocamento
para a qual o valor quadrático
é assocudo
geralmente
médio é urna medida.
à energia de vibração,
b valor quadrático médio
de 9
função
x(t)
de tempo
limites
é determinado
de algum intervalo -'
.1'2
pela média
JT
I = lim -T T ....•'...
A2JT
= ~~ T
x
o valor drática.
(1) di
X2
com
o exemplo
A é
senoidal de amplitude
da Freqüência.
de importância conteúdo
O conteúdo
de freqüência
é representado
periódico,
o espcctro
definidos
conforme
a fase de cada componente
O movimento corno movimento
completa,
transiente, periódico
zero até o infinito.
Com
muito juntas aproximando-se
T
de um movimento
à freqüência
da freqüência
se ter uma representação
quadrática
por urna reta de comprimento
dos pontos
fundamental,
10. Por enquanto,
apresentação
da sua densidade
como
a Fig.
indica
1.6-3.
e seus espectros
e não pela sua série.
basta mencionar
quadrática
Tais curvas
que o seu espectro
média, traçada' em função são contínuas
de freqüen-
Este assunto
e podem
é
é urna
da freqüência,
ser determinadas
do valor da média qua·
No caso de uma só onda
de uma série de retas traçadas' a partir apresentar
no Capítulo
de Fourier
I
a raiz da média
a vibração.
traçada no ponto correspondente
No caso de um movimento
'também
de tempo não são periódicas,
pela integral
= 2A2
é a raiz quadrada
anterior,
aleatórias
da onda
AI-J2.
para caracterizar
de freqüência
amplitude,
médio é
cos 2ml) di
da raiz da média. quadrática
De acordo
Espectro
I
o 2(1 -
As funções
cia são determinados
Por exemplo, se x(t) = A sen wt, seu valor quadrático
-2
quadráticos,
tratado
o
.
dos valores
T:
de tempo
osciJat6rio
é
senoidal,
o
igual à sua,
do seu movimento. da freqüência
que marcam
por
os múltiplos
inteiros
pela sua série de Fourier.
Pode-se
em relação à fundamental,
instrumentos
geral,
é constituído
eletrônicos
projetados
a fase de uma função
aleatória
para
este
de tempo
fim específico. não apresenta
De um modo intcresse
e não é
considerada.
de modo a
corno se vê na Fig. 1.6-2. embora
de período = 2rr/w) deuma
->
limitado
no tempo,
infinito,
pela inclusão
00,
ou w)
->
pode ser considerado
(;~0\;~
das regiões de valor
0, as retas espectrais
?!. "' 0,15
ficam
curva contínua.
~um
ni.oViment~ harmôI:i~o tem uma :uuplitude de 0,:0 s. Detemlmar o maXlmo da velOCIdade e ace1eraçao. acelerômetro
~aceleração
1'J
1',,-)
indi~a
que
uma
estrutura
máxima de 50 g. Detemúnara
Um movimento máxima
é de
harmônico 180 pol/s.
tem
está. vibrando
amplitude
urna freqüência
Determinar
por e u~ períod~
de
a 82 cps e uma
da vibração. de 10 cps e sua velocidade
sua ampÚtude,
seu período
e sua ace-
leração máxima. 1-4 Achar
a soma de dois movimentos
freqüências
o
w,
2w,
(~~0xpressar
o número
//'1'1-6 'Adicionar sultado 'j
w,
2w,
3w,
Discutir
complexo
de amplitude o fenômeno
os dois números
4 + ,3i n~ forma exponencial
igual, mas com
de batimento
que
1-8 Determinar
~y
Figura,j.6-2.
...,a resultan.te '') ~
/.
AeÍO•
(2 + 3i) ~ (4' -' i), expressando
complexos
o re-
para A L O.
1-7 Mostrar que unl fasor gira 90° quando
I I I
O
harmônicos
diferentes.
resulta da sua soma.
3w,
"'n
ligeiramente
Determinar
multiplicado
a' sorna de. dois fasores5t!rr/6 eoprimeiro
fasor.
"
a série de Fourier
para
e 4(/rr/3'
por i. e enco"ntrar o ângulo entre '
a 'on'da 'retangular
I
'
Índicada
'
' '
na Fig. P.I-9. 11
1-10 Determinar a série de Fourier para o caso da origem da onda quadrada do Prob!. 1-9 ser deslocada de rr/2 para a direita. 1-11 Determinar a série de Fourier para a onda triangular indicada na Fig. P.I-II.
1·12 Determinar a séi-ie de Fourier para o perfil em dente de serra representado na Fig. P.I-I2.
O
1·13 Determinar o valor da raiz da média quadrática de uma onda formada das porções positivas de uma senóide. 1-14 Determinarovalordamédiaquadráticadaonda em dente de serradoProbl Fazê-Io de dois modos, pela curva quadrada -epeta série de Fourier.
1-12.
1-15 Traçar o espectro da freqüência relativo à onda triangular do Prob!. 1-11. 1·16 Determinar a série de Fourier e o espectro da freqüência de um conjunto de -pulsos retangulares indicado na Fig. P.I-I6 -
.
1-17 Estabelecer a equação para o deslocamento s do pistão no mecanismo de manivela indicado na Fig. P.I-I7, e determinar os componentes harmônicos e suas magnitudes relativas.
VIBRAÇÃO LivRE
Qualquer sistema que possua massa e elasticidade é capaz de vibração. O mais simples sistema oscilatório consiste em uma massa e uma mola, conforme a Fig. 2.1·1. A mola que suporta a'massa é considerada de peso desprezível e de uma rigidez de k lb por unidade de dellexão. O sistema possui um grau de liberdade, em razão do seu movimento ser definido por uma coordenada apenas ,x. Quanúo posto em movimento, haverá oscilação na freqüência natural !", que ê uma propriedade do sistema. Examinemos agora alguns dos conceitos básicos associados à livre vibração de sistemas com um grau de liberdade. O exame do movimento do sistema' baseia·sé, inicialmente, na segunda lei de Newton. Conforme indica' a Fig: 2.1·1, a deforinação da mola na posição de equilíbrio estático é t. e a força da mola kt. é igual à força gravitacional w atuando sobre a massa m:
Medindo o deslocamento x da posição de equilíbrio estático, as forças que atuam sobre m são k(t. + x) e w. Considerando-se x positivo na direção de cima para :baixo, todas as quan tidades - força" velocidad.e e aceleração - são também positivas na mesma direção.
, T
k Posição sem
cp_. k
-"",mo'''·· m· -:I~.
t:.
i r·~)
=
27tj!f.
l~;i;;,~~:.:,,,'"'.
. w w
Essas quantidades
são expressas
em termos
da del1exão
pela Eq. (2.1-1) que kf::,. = mg. Considerando
T ~-
0N\.O-·
K-~ a escolhad da v'posiçãot de equil íbrio x~ evidente e1im'nou -que da qua , I e e mo lmen o t o peso wd e a r resulta-nte sobr ç"om é' I r R'
l'
e
orça Definindo-se
Slmp esmen e a .orça
a freqüência
angular
r~~l\_tJ
'--
rfT\.
A
orça I d'des a Ica d a mo 1 a <->,t e a a mo a eVI o ao es ocamen o x.
wn pela equaçffo ~ y
.,
\)J ~
I
r' \
L\'
".... :i·-.:.
\_
O ~q
equação
pela comparaçffo
diferencial
linear
é harmônico.
com a Eq. (1.2-8), que o movimento
de segunda
ordem
homogênea
(2.1-4)
l:1,
notando-se
em termos de l:1 é
3,127 t:' _ -~ cps (Hcrtz)
187,6 =~c.p.m.
=
2-
!T::> -t// stas /7 condições,
.
a freqüência natural de um sistema de um grau de liberdade é . . ' " . " //' defimda UnIcamente pela deflexão estatlca A. A Flg, (2.1-2) apresenta um grafico logarítmico da Eq. (2.1-9). Embora são aplica.se não
e concluímos,
natural
estática
g = 386 pOI/S1 e l:1 em polegadas,
_ J li: fn - 27t '1/
"J~2)[~ ts'L\ A..A
da freqüência
'")2-
como d referência festático t 't' I k para
"'-
a expressão
os sistemas
osci!atóríos
possam
diferir na aparência,
a todos os sistemas de um grau de liberdade,
amortecida.
Em alguns
casos a oscilação
submetidos
é rotaÚva,
como
a presente
discus·
à vibração livre no pêndulo
rota-
0,05 0,10
·0,50 Dcl1exâo
A e B são duas constantes
as condições
necessárias.
Essas constantes
iniciais x(O) e x(O) e a Eq. (2.1-5) é simplificada
são calculadas
W.
w.1
. + x(O) cos .
Wn1
. 1,0
A"
para
para donal,
x(O)
x = -~ sen
rotativa
em cujo caso a segunda
lei de Newton
é substituída
~
••• • .-
A
tem a seguinte
solução geral
onde
.-•••• .-•••• -------•• •• i
pela sua correspondente
• -_.-•
~
·.• 'l
Exemplo
)
•• ,>
)
•
..
> )
,
>
••.-
·• )
••
• •• •• •• •• r-
Detenninar onde M é o momento, lar, tudo referido
J o momento
a um mesmo
de inércia da massa, e (j a aceleração
eixo inercial
fIxo de rotação.
A equação
i ~
i
fi
t
a ) J
natural
do pêndulo
torcional
indicado
na Fig. 2.2-1.
acima é
o total
é constante,
de energia em um sistema' conservativo
movimento vibraçãp
é estabelecida
pelo prinéípio
livre de um sistema
, energia cinética energia potencial 'trabalho
realizado
T
é
de conservação
não amortecido
conservada
sob a forma
A energia
e parte potencial.
da sua velocidade,
de esforço
num campo de força como a gravidade.
total, sua taxa de variação é zero, conforme
diferencial
de energia.
é parte cinétiea
na massa em razão
U é conservada
e a equação
se depreende
, dt (T Se o no~so interesse determinada
Podemos
que o movimento
o = Os máximos
das energias cinética,e
(2.2-1)
natural
Igualando
as duas. energias,
de acordo
Exemplo
:-=
lJe~ax= iJw; A2
Umu
=
iKe~u
representam
duas instâncias
de tempo.
U1
=
O como referência
ao máximo resultando
deslocamento
para a energia potencial. da massa.
Nesta
Admitimos
de equilibrio
posição,
=
que é
iKA'
à expressão
da sua freqüência
2.2-2
w e raio r rola sem deslizar sobre uma superfície
de peso
de movimento 2
natural,
são
T ma:-.
indica a Fig. 2.2-2.
para oscilações
Por não haver deslizamento e
pela
A sen wllt
potencial
chegamos
drica de raio R como
.1
e expresso
eom o
da energia, que
tante em que a massa passa pela sua posição
seja harmônico
do sistema, ela pode ser
estabelecer,
Um cilindro
onde
oscilatório
equação
equações
U) = O
considerações.
Suponhamos
a
(2.2-2)
está apenas na freqüência
pelas seguintes
p'~incípio de conservaçào
+
Solução:
a energia
T + U = constan te d
A
elástica ou
Sendo constante das seguintes
na
enquanto
na deformação
Figura 2.2-1. Pêndulo rorciollal.
de
I '
a freqüência
angu-
também válida em relação ao eixo do centro de massa que pode estar em movimento,
I
.
2.2-1
que
estático,
1
rrp
seja o ins-
pequenas
=
Determinar
sua equação
em volta do seu ponto
cilín-
diferencial mais baixo .
RO.
e escolhemos
Seja z o tempo correspondente a velocidade,
da massa é zero,
Tz = O. Temos então
se o sistema são os máximos,
está submetido
a um movimento
harmónico,
os valores
e daí
Figura 2.2·2.
Solução: uma
Deve·se
translação
notar,
ao se determinar
e, uma rotação.
é (R - r)Ô, enquanto
a energia
A velocidade
a velocidade
de rotação
cinética
de translação
é (~ -
do cilindro, do centro
li) == (Rir
que há
do cilindro -
1)0, uma 19
vez que ~ agora como T =
l;
=
1. ~(R
[(R - r)8J2
4
g
+ ~ ; ; [( ~ -
1)8]' Exemplo 2.3-1
- r)282
onde (w/g) (/ /2) é o momento de massa.
de inércia do cilindro em relação ao seu centro
Determinar o efeito da massa da mola na freqüência natural do sistema indicado na Fig. 2.3- I.
A energia potencial referida à sua posição mais baixa é dy
ms
que é igual ao negativo do trabalho efetuado pela força da gravidade no levantar o cilindro na distância vertical (R - r) (I - cos O} Substituindo
I: massa do clcmcnto da mola
y
x1":
velocidade do elemento da mola
na Eq. (2.2-2) [~
; (R -
r)2(j
-I- Ir(R -
JÓ"
r)sen {}
0,
e fazendo sen O == O para ângulos p~quenos, obtemos a,conhecida movimento harmônico (j ·i
equação para o
Solução: Com.\: igual à velocidade da massa concentrada m. suporemos que a velocidade de um elemento da mola, localizado à distância y da sua extremidade fixa, varie linearmente com y da forma seguinte
°
_2.L-o ~. 3(R -
r)
e encontramos para a massa efetiva o valor de um terço da massa da mola. Adicionando o valor da massa efetiva ao da massa concentrada, a expressão da 'freqüência natural revista será Até agora admitimos, no cálculo da freqüência natural, a inexistência de massa na mola. Muitas vezes a mola e outros elementos móveis podem representar uma fração ponderável da massa total do sistema, e do seu abandono podem resultar freqüências naturais altas demais. Para obtermos uma estimativa melhor da freqüência natural, podemos computar a energia cinética adicional dos elementos móveis, que não foi considerada anteriormente. Isto, é claro, requer uma suposição quanto ao movimento dos elementos distribuídos. O resultado integrado da energia cinética adicional pode ser, então, expresso em termos da velocidade j; da massa concentrada na forma de 20
Exemplo 2.3-2 Muitas vezes os sistemas oscilatórios são compostos de 'alavílJlcas, engrenagens e outras ligações que complicam aparentemente a análise. Um exemplo típico desses casos está no sistema de vá!vul3 de motor indicado na Fig. 2.3-2. É geralmente van"tajosa a reduç:To de um tal sistema para outro equivalente mais simples.
f-. I
:
.- a O \
Quando
um sistema
linear de um grau de liberdade
derá do tipo de excitação movimento
onde crição
e do amortecimento
balancim
mulação
ms
com momento podem
da equação
de inércia
ser reduzidos
do
é a exeitação e Pd a força de amortecimento. Embora seja difícil a desreal da força de amortecimento, é possível a admissão de modelos ideais de que muitas
vezes resultam
em prognósticos
Dentre
esses modelos,
a força de amortecimento
conduz
ao tratamento
matemático
c é uma constante
por um amortecedor,
o
depen-
a equação
F(l)
A força de amortecimento
com massa
sua resposta
Geralmente
terá a seguinte fórmula
amortecimento,
onde
é excitado,
presente.
satisfatórios
da resposta.
à velocidade,
proporcional"
mais simples. viscoso é expressa pela seguinte
de proporcionalidade.
conforme
viscoso,
indicado
equação
Ela é represelltada
simbolicamente
na Fig. 2.4·J.
J. a válvula eom massa mv e a mola
a uma simples massa em A pela seguinte
for-
da energia cinética
To'
+JÓ'
+ +mJbÓ}' t ;C~')(hÓ)'
~ +(J + m,/)' -+ -}m,b')Ó' Admitindo-se
que a velocidade
em A seja
x
forma em
A sülu\:ão da equação
acima ~em ullas partes.
ferencial
cuja solução
homogênea,
de amortecimento_ Com o tucho reduzido m"a-inteiro está reduzido
a uma molá e uma massa adicional
na extremidade
a uma mola e uma massa apenas,
A. o siste·
como indica a Fig. 2.3-2.
ção sem restrição homogênea,
Com
P(t)
da solução
Se P(t)."
corresponde
c/. O, obtemos homogênea.
que nos dará alguma compreensão
fisicamente a solução
Examinaremos
O, - lemos a equação
di-
àquela 'de vibração livre particular
devido ;\ excita-
inieialmente
do papel do amortecimento.
a equação
Para o valor de c que reduz o radical. a zero temos o caso limite, entre o mo· vimen to
osciJatório
e o não·oscilatório,
e que
definimos
como
amortecimento
critico. É agora oportuno
Feita a substituição
(ms que é satisfeita
na equação
+ cs + k)e"
2
=
diferencial,
Amortecimento
'0 radical
Crítieo.
c + -s J}l
s .7= ._- c -l:.: '.-
O
.1. I
k =O
/1Z
2m -'
J( C)' -
e
e'C':2m)'
é simplesmente
O comportamento
do valor numérico
na equação
dos termos
sob o radical ser positivo,
o termo de amortecimento acima
este caso como Quando
determinadas
os valores da Eq. (2.4·7),
termo
Quando
em termos
do amor·
fração de amortecimento.
S,
de acordo
com
notando
Expressamos
agora as raízes da Eq. (2.4·7)
que
as condições
x (O).
Considerando
declinante.
a serem
amortecimento
m
em termos de A e B são constantes
o valor de qualquer
por meio da fração não-mensurável
k
--
2111
expressar
critico,
que é chamada
primeiro
é zero para o amortecimento
da Eq. (2.4·9)
temos
tecimento
o
e em termos de quan· crítico.
c C"
É conveniente
onde
com o amortecimento
por todos os valores de t quando
s-•
iniciais x(O)
desses três casos em detalhe,
Começamos
crítico onde !i é uma constante.
o exame
tidades' usadas na prática.
são números
temos para (2.4-8) a seguinte expressão
e os três casos de amortecimento
uma função de tempo exponencialmente dentro
do parêntese
depende,
maior, menor·ou
entretanto,
zero ou ncgativo.
A Fig. 2.4-2
é maior que k/m,
(c/2m)2
reais e não há oscilação
poss ível. Referimo-nos
a
superamortecido. o termo
torna-se um número
de amortecimento ±i
imaginário,
e'.i'":'"-'''Z''')''
,= coso
os. teImas
da Eq. (2.4-9)
caso como
subamortecido.
.j k/nz
/5... ,_. (~)21
Y m
dentro
(c/2m)'
,. (c/2m)2 2m
do parêntese
mostra
longo do eixo horizontal.
os expoentes
de modo
que
cimento.
Para
As raÍzes
s,
discutidos
~nteriormente
dependem
agora de
S
ser
S
ao
igual à unidade. a Eq.(2.4-12) Se
S
traçada
as ra ízes no eixo imaginário
0< s <
num plano
= O, a Eq. (2.4-12)
1, a Eq. (2.4-12)
complexo,
fica red'uzida a SI.
correspondem
com
,/wll
= ± í,
ao caso de não-amorte-
é reescrita na'forma
é menor que k/m, o expoente t. Urna vez que
~I= isen
/5... __ (~)2 n
'\ m
são oscilatórios.
2m
t
Denominamos
convergindo este
e s, no ponto
as ra ízcs separam-se do presente
SolO então SI.2/Wn
pontos
complexos
= - 1,0.
ao longo do cixo horizontal
cste diagrama,
estamos
eonjugados
sobre u'm arco circular
S
cresce acnna da unidade.
Á medida
que
e permanccem
aptos a examinar
a solução
números
rcais.
Ten-
dada pela Eq. (2.4-9).
25
Eixo imaginário
, =O
·1,0
,= Movimento
Oscilatório.
Eq. (2.4-12)
na (2.4-8).
x
= =cC
[~
<
1,0 (Caso de subamortecimento
Xe-(""'sen'(~
CO_I
redução da Eq. (2.4-15)
+ r/J)
co.1 -I- C1 cos ~
e-(""'(C, sen~
iniciais.
).] Substituindo
a
A ~= X(O) -1- C( -1- ~)co_x(O) . 2co_--/'> - I
a solução geral torna·se
X.
onde as constan tes arbitrárias as condições
-1,0 O
Com as condições
C I,
C2
iniciais
o
(2.4-15)
dicado na Fig. 2.4-4, c é denOI;ninado como aperiódico.
co_1)
são detemúnadas x(O)
(2.4-14)
e X(O),
movimento
é uma [unção
de tempo
mostrar
decrescente,
conforme
in-
,,
de acordo com pode·se
exponencialmente
a
""
para a seguinte
Ae (-,
+.Jf2=1) w/lI
"~""
o /
A equação
indica que a freqüência
da oscilaçãó all/ortecida
,
é igual a
/'-B-<· ,-~)wIlI e
I I
coJ
Movimento
I é
separadas, então
26
n:To Oscilatório.
maior que a unidade, uma
aumentando
c
~:
c.~
II >
B
w.vT=T'
1,0
(Caso de supcramortccimcnto).j
as duas raizes permanecem e outra
decrescendo.
Quando
no eixo real da Fig. 2.4-2 e
A expressão
da solução
geral é
Movimento dupla
SI
apenas um
Amortecido
==
S2
== - wll'
Criticamente.
[~ ==
e os dois termos
1,0] Para ~ == I, óbtemos
da Eq. (2.4-8)
combinam
uma raiz
para formar
que não tem o número ue constantes requerido para satisfazer ;\s duas condições iniciais. A solução para as condições iniciais é encontrada pela Eq. (2.4.16), fazenuo-se \ -, 1
Substituinuo·se T<1 pelo seu valor logarítmico se transforma em
TJ
=cc
2njúJ",/l':"-'l,
a expressão do decremento
que é uma equação exata. As partes móveis de muitos medidores elétricos e instrumentos criticamente, a fim de evitar a ultrapassagem e a oscilação.
são amortecidos
Quando
\' é pequeno,
A Fig. 2.5-2 mostra 'função de \.
..)1"=12
== I, e obtém-se uma equação aproximada
um gráfico dos valores,> exatos e aproximados,
A medida da taxa· de decréscimo das oscilações livres é um meio conveniente para se determinar a quantidade de amortecimento presente num sistema. Quanto maior o amortecimento, maior a taxa de decréscimo. Consideremos
uma vibração
amortecida
representada
pela equação (2.4-14)
que é indicada graficamente na' Fig. 2.5-1. ln traduzimos aqui urna expressão denominada decremento logarítmico que é del1nida como o logaritmo natural do quociente de duas quaisquer amplitudes consecutivas. A fórmula do decrernento lagar ítrnico é pois
!I
15--, ln x, X2
e uma vez que os valores dos scnos são iguais quando o tempo é aumcn tado do período de amortecimcn to T<1' . a relação acima fica reduzida para
28
O , 'o,
0.2
üA-, -0,6
!:.. -_~,Raâo ('tO
0,8
de amortecimento
1,0
de
{j
como
Exemplo 2.5-1
(j ;;;
Um 'sistema dados:
w
em vibração
decremento
com amortecimento
k = 30 lb/pol
= 101b,
logadtmico
c
e
viscoso
apresenta
= 0,12 Ib/pol
pors.
os seguintes
nC ~~ ~693
Determinaro
.
e a razão entre duas amplitudes
sucessivas
natural não amortecida
(1).
O coeficiente
=
y(k m
!3OX386 'I~
=
de amortecimento
do sistema em radianos
crítico
equação
2111(1).
=
=
ou razão de amortecimento
e5 =
271C~
'co
,Jf - " A razão entre duas amplitudes
consecutivas
~ =
"""
*
'"
quaisquer
~ o. 2---
é cC
"
~ou
0,429
""
~ 8
."
é
~ o c'
=
eO.4'9
c.=
I,S4
r;;:
x: Exemplo
0,05
'"
-:.:;
t
0,10
0,15
0,20
= Razão de amortccimnto
2.5-2
Mostrar que o decremento
é dado também pela equação
logarítmico
e5
=
Xo
amplitudes
=
Xl
Pode-se escrever a razão xo/xn
de onde se obtém a equação
Xl
:..:.:...: X2
X2
X3
de ~ para que a amplitude
consecutivas
a razão é
= ... ~::~
.::.::-: e'S
x"
da forma seguinte
requerida
e5
0=
que é
J...ln Il
Obtemos
n ciclos. Traçar uma CUlva
de 50 por cento.
Solução: Para duas'CJuaisquer
da equação
de ciclos decorridos
acima -a seguinte
para a redução
2.5-3
Mostrar
Xn
onde xn representa a amplitude após decorridos dando o número de ciclos decorridos em função diminua
Exemplo
-I ln.:-Qx 11
30
.
---
o
logarítmico
271x 0,068 ~ JI - 0,0681"
2.5-3.
11
1,76 lb/pol/s
0,12 -- 00681 c, - 1,76 -- , .
De acordo com a Eq. (2.S-3), o decremento
na Fig.
-- -------
o
C -- !:- -
e está traçada
""
~ 5-
2 X 1.\8°6 X 34,0
retangular
"o. 5"
/
'~4
=
110
~ 6
~ são c,
°
'
é a de uma hipérbole
por segundo é
0= 34,0 rad s
e a fração
Cc
cc.o
271
quaisquer. A última
Solução: A freqüência
271C = J...ln 2 = 0,693 n n
.\0
x" relação,
a fim de determinar
de SO por cento na amplitude
o número
que o decremento
logarítmico,
pode ser expresso em termos sipada em cada ciclo.
no caso de amortecimento
da energia de vibração
Solução: A Fig. 2.S-4 mostra uma vibração amortecida cutivas x I, x 2. X 3, ... naseados na definição do decremento
U e da energia
com amplitude logarítrrúco
pequeno, t:.U dis-
conse-
ln xllx2'
Ó
escrevemos a relação de amplitudes na forma exponencial x. ,~ e-J -l
oc=
I-
o + -o' - ...
x, 21 A energia de vibração do sistema é aquela conservada na mola no deslocamento máximo, ou
tático, o qual é geralmente maior que a força do atrito cínético. Pode-se mostrar também que a freqüência ele oscilação é wjJ.Jk1Iil, que ~ a mesma do sistema não amortecido.
Deste modo, obtemos a seguínte relação para li de pequeno valor /1U
U=2ó A Fig. 2.6-1 mostra a vibração livre de um sistema com amortecimento de Coulomb. Deve-se notar que as amplitudes decaem linearmente em função do tempo.
o
amortecimento de Coulomb re'sulta do deslizamento de duas superfícies secas. A força de amortecimento é igual ao produto da força normal e o coeficiente de atrito )1 e é admitido como independente da velocidade, uma vez iniciado o movimento. Visto que o sinal da força de amortecimento é sempre oposto ao da velocidade, a equação diferencial de movimento para cada sinal é válida apenas para intervalos de meio ciclo. Recorremos ao princípio da equivalência entre' o trabalho realizado e a variação da energia cinética, para determinar o decréscimo da amplitude. Escolhendo um meio ciclo a partir da posição extrema, com velocidade igual a zero e a amplitude igual a X" a variação na energia cinética é zero e o trabalho realizado sobre m é também nulo.
As medidas de massa e rigidez são necessári~s para os cálculos da freqüência natural, nos sistemas de um grau de liberdade. Pode-se efetuar o cálculo da massa efetiva, utilizando-se como referência qualquer ponto adequado do sistema. Entretanto, deve-se determinar também a rigidez para este ponto. Rigidez é definida como a força necess:iria para prodúzir uma unidade de deslocamento na direção especificada. Se x é o deslocamento especificado sob a força l~ a rigidez é determinada pela relação. li.. Flexibilidade
é a recíproca
=- F },;
da rigidez. É designada pela letra "a" e é definida
pela equação onde X_I é a amplitude após o meio ciclo. como indicado na Fig. 2.6-1. Repetindo esta norma para o próximo meio ciclo, será encon trado ou tro decréscimo de amplitude no valor de 2Fdlk. de modo que o decréscimo de amplitude por ciclo é uma constante igual a Xl -
X2 = 4F --"
k
o
movimento
!:J., em cuja posição
cessará, entretanto. quando a amplitude se tornar menor que força da mola é insuficiente para superar a força do atrito es-
â
Em outra dois pontos i e em i produzida em i para uma zero. O k e o quantidades. A
seção mais adiante, precisaremos determinar a rigidez, considerados i do sistema .. A flexibilidade aij é então definida como a deflexão por uma unidade de força em j.' A rigidez kij é a força necessária unidade de deflexão em i, com tódas as outras deflexões iguais a "a" das Eqs. (2.7-1) e' (2.7~2) são os leu e aU em termos dessas tabc!a no final desta seção apresenta os valores de rigidez para vá-
rios tipos de molas.
Exemplo 2.7-1
~
Determinar a rigidez das molas no sistema indicado na Fig. 2.7-1.
k, '
k,
kc~
k,
ir
~ k,
=
..---_ 1/k1
k,
1
+
l/k,
+ k,
EI
k="
GJ
k
=--
I
-r}(}/}/J!}[t~=]~= 6~~f:3 = k
n
número de espíras
-,
~ 48Ef
~I
Sistema (a): Aplicando-se a força F na extremidade in!t'rior da segunda mola cada mola esticará de F/k, e F/k2, respectivamente, e o deslocamento total'na extremidade inferior é x = F/kl + F/k2• De acordo com a Eq. (2.7-1)a rigidez é en tão
Solução:
r-T I
CT--1 ~~ I
;t:::"i-j J~
F
k k,
k = -r-F' -+k, k2
=
k=-f~
'I
L.
c
.
192 Ef
k = -1-'768Ef
k=-7/'
k, ~1-k2
~
Sistema (b): A força Fo aplicada em O divide-se em Foú/(a + b) e Foa/(a + b), respectivamente. As deflexões de I e 2 são Fob/(a + b)k, e Foa/(a + b)k1, e a do ponto O é xo=Fo
=
b { (a+b)k
l
a [a(a+b)k
-I-(a+b)
2
b -(a+b)kl
(a' b2)
F (a +ob)' k, -\- k,
II ••. 2-1 Uma mola leve alonga de 0,31 paI quando ligada ao peso de uma libra. Determinar a freqüência natural do sistema. ,,2-2 Em um sistema mola-massa k I, m tem uma freqüência natural de fi' Se uma segunda nlola é adicionada .em série à primeira, a freqüência natural baixa para 1(2 fi' Determinar k2 em função de 1<1'
F
(a -I-
b)'
k ° = x ° = -(-a~2--b~'c-) °
Se kl 34
= k2 = k
7(+7( ,
I
e a = b. a equação acima se reduz a ko
2k
2-3 Um peso de 10 Ib.ligado à extremidade inferior de uma molá cuja extrcI~lidade superior é fixa, vibra com um período natural de 0,45 s. Determinar o período natural quando um peso de 5 lb é ligado ao meio da mola, com ambas as extremidades fiXas_ 35
Um peso
de IV Ib, ligado à extremidade
desconheddo
k, tem uma freqüência
nhecida
natural
de uma mola desco-
de 94 cpm. Aumentando-se
de uma Ib
o pesO de W. a freqüência natural baixa para 76,7 cpm. Determinar desconhecido IV lb e a constante k Ib/pol da mola. Um peso
w1
suspenso
o peso
k está em equil íbrio est<ítico. Um se-
por uma mola
gundo peso w2 cai da altura h e junta-se a \VI sem ressaltar, na Fig. 1'.2-5. Determinar o movimento subseqüente.
como indicado
·
k/h _,_,-;-;
h _1_
i .;%
W:z
IV,
2-9 2-6 Tendo
em vista o pêndulo
natural
depende
(c) material suspenso. 2·7
Um volante conforme
de: (a)
do arame,
pesando
da Fig. 2.2-1, explicar
comprimento
70 Ib, -apoiado
de inércia do volante
oscila
como
em relação
medido
do arame,
(d) do peso suspenso
a Fig. 1'.2-7,
do de oscilação
torcional
numa
e (e)
aresta
um pêndulo.
(b)
como diâmetro
do peso
pela face interna
do aro,
Determinar
ao seu eixo geométrico,
de peso
JiI
é suspenso Determinar
2,17 s o per iodo de oscilação tro da roda. 2-10
o momento
Um conjunto C<
horizontalmente
cada, igualmente
cia de 10 pol de raio.
do arame,
raio de rotação
Um volante
pés de comprimento
a freqüência
espaçados
como
seu raio de rotação,
sabendo-se
que é de pelo cen.
ter sido 1,22 s.
J, é inclinado
de inércia
se vê na Fig. 1'.2-10.
de oscilação resultante de um pequeno camente à dislància a pbl do eixo.
para o caso do perío-
de seis
em torno de um eixo vertical passando
rod" e eixo, de momento
em relação il vertical.
por três arames
em volta de uma circunferên-
peso com
Determinar li'
de um ângulo a freqüência
libras, situado
excentri.
---T -I . I
I
I
'
12" 16"
I
2-8 Uma biela com peso de 4.80 Ib oscila 53 vezes em um minuto. sa na forma indicada
na Fig. r.2-S. Determinar
lação ao seu centro suspensão.
de gravidade,
seu momento
que e,tá situado
quando
suspen-
de inércia em re-
a 10,0 pol do ponto
de
2-11
Um cilindro vremente Fif'. ,.
de massa
~('1l1
deslizar,
'·tcrmin~r
m c com o momento mas
é reCreado
a freqüência
nalural
de inércia da massa Jo rola li-
pela
mola
de oscilação.
k. como
indicado
na
--
---
--
--
""'::"~--l~""""
2-12 Um cronógrafo. L,
mento
do pêndulo cúrio,
é para ser acionado
representado completa
quando
o circuito do pêndulo?
com o mercúrio
numa
extensão
00'
deve ser a amplitude
que a velocidade
de oscilação
elétrico
ele passa pelo ponto
ser o comprimento
(Admitir
por um pêndulo
na Fig. P.2-12.
de regulação,
mais baixo.
(b)
de 2 segundos,
Um arame de platina
at ravés lima gota de mer-
Pergu[lta-s~:
Se o arame de platina
de um oitavo de polegada
a fim de limitar é constante
durante
de compri-
ligado ao disco (a)
Qual deve
da oscilação,
Uma como
placa
fina retangular
representado
se permite
está em contacto
a 0,01 s a duração o contacto,
2-14
é arqueada,
na Fig. P.2-14.
formando
Determinar
que ele balance sobre uma superfície
um cilindro
o seu período
semicircular
de oscilação,
s~
horizontal.
qual
do contacto?
e que a amplitude
é pequena.)
2-15
Uma barra uniforme
L e pesp' W é suspensa simetricamente
de compnmento.
por dois fios, con forme a Fig. P.2- J 5. Estabelecer a equação diferencial de movimento, para pequenas oscilações angulares da barra, em volta do eixo vertical O-O, e determinar o seu per íodo.
Uma por ti
2-13 Um hidrômetro pcso específico cilíndrica,
Dutuador,
indicado
dos Iíquidos.
que se estende
ríodo de vibração
quando
na Fig. 1'.2-13, é utilizado
O seu peso é de 0,082
acima da superfície, se deixa o aparelho
em um fluido de peso espec ífico 1,20.
para medir o
lb e o diàmetro
da parte
é de 1/4 po1. Determinar balançar
o pe-
barra
uniforme
dois fios verticais é o período
de oscilação
L é suspensa
de comprimento do mesmo
de oscilação
comprimento,
rIO plano
presos
na posição
horizontal
às extremidade;.
em vol ta de uma reta vertical
que passa pelo' centro
de gravidade
da barra, mostrar que o raio de rotação da barra em volta do' centro dade é dado pela expressão .
para cima e para baixo, k =
Se
da barra e~dos fios, e se t2 é o período
(~H-
de gravi-
3\
2-17 Uma barra uniforme, com o raio de rotação k em volta do seu centro de gravidade, é suspensa horizontalmente por dois fios verticais de comprimento h, às distâncias a e b do centro da massa. Provar que a barra oscilará em '1011# I)!I 111/» Y/"fIi,.ul'I'II~ J);I~,~ pt:1l) t;l;nl(l/ IJ~ rn:',\iJ, ~ t1durnin:a ~ frqUi;ntia de oscilação.
2-21 Determinar a massa efetiva do motor de foguete representado ser adicionada ;l massa m I do atuador.
na Fig. P.2-2 I, a
2-18 Um eixo de aço, de 50 paI de comprimen to de 1-1/2 pai de diâmetro, é usado como uma mola de torção para as rodas de um automóvel leve, conforme indicado na Fig. P.2-18. Determinar a freqüência natural do sistema, considerando que o conjunto roda e pneu pesa 38 lb e que o seu raio de rotação em volta do seu eixo é de 9,0 1'01. Discutir a diferença na freqüência natural, estando a roda travada ou destravada do braço.
2-22 Uma barra cantilever uniforme vai ser substituída pela sua massa efetiva, na sua extremidade livre. Supor uma curva de def1exão estática para uma carga unifom1C. Calcular a massa efetiva. 2-23 Determinar o, momen to de inércia da massa efetiva para o eixo I, no sistema representado na Fig. P.2-23. .
2-19 Tacâmetro é um instrumento do tipo freqüencímetro de lâminas, formado de pequenas lâminas de aço em balanço, com pesos fixados nas extremidades. O tacâmetro vibrará quando a freqüência de vibração corresponder à freqüência natural de uma das lâminas, indicando desse modo a freqüência. De que tamanho deve ser o peso colocado na extremidade de uma lâmina, constituída de uma mola de aço com 0,04 pai de espessura, 0,25 paI de largura e 3,50 paI de comprimento, para uma freqüência natural de 20 cps? 2-20 Determinar a massa efetiva no ponto O de uma haste uniforme de massa m e comprimento I, pivotada a uma distância nl de O, como indicado na Fig. P.2-20. .
2-24 Determinar Fig. P.2-24.
em função
de ;i: a energia
cinética
do sistema
indicado
na
2-25 Determinar Fig. P.2-25.
a massa efetiva
no ponto
Il
para o sistema
representado
na
Escrever a equação diferen'cial de movimento para o sistema indicado na Fig. 1'.2-33, c determinar a freqüência natural da oscilação amortecida e o coeficiente de amortecimento crítico. Um peso de 2 Ib é fixado na extremidade de uma mola que tem a rigidez de 41b/pol. Determinar o coeficiente de amortecimento crítico. Para calibrar um amortecedor, mediu-se a velocidade do êmbolo quando lhe era aplicada certa força. Considerando-se que um peso de 1/2 Ib produziu uma velocidade constante de 1,20 pol/s, calcular o fator de amortecimento ~, quando usado com'o sistema do Probl. 2-26. 2-28 Um sistema vibratório começa sob as seguintes condições iniciais: x = O, i = vo. Determinar a equação de movimento quando: (a) ~ = 2,0, (b) ~ = 0,50, (c) ~ = 1,0. Traçar as curvas não dimensionais para os três casos, tendo w,.r como abscissa e xwn/vo como ordenada. 2-29 Um sistema vibratório formado de um peso de 5 Ib c uma mola com rigidez de 10 Ib/po! é amortecido viscosamente de tal modo que a relação entre duas amplitudes consecutivas quaisquer é de 1,00 para 0,98. Determinar: (a) a freqüência natural do sistema amortecido, (b) o decremento logarítmico, (c) o fator de amortecimento, e (dj'o coeficiente de amortecimento. 2-30 Um sistema vibratório é formado de um peso de 10 Ib e uma mola com rigidez ,de 20 lb/pol, e um amortecedor com um coeficiente de amortecimento de 0,071 Ib/pol por segundo. Calcular: (a) o fa tor de amortecimen to. (b) o decremento logarítmico, e (c) a razão de duas amplitudes consecutivas quaisquer.
U_m sistema .mola-massa com amortecimento viscoso é deslocado da sua posiçao de equIlrbno c sol to. Qual a fração de amortecimcnto crítico do sistema, se a amplitude baixou de 5% em cada ciclo? Uma .barra uniforme rígida de massam c comprimento I é articulada por um p1l10 em O c suportada por uma mola c um amortecedor viscoso, como rep:esentado na rig. 1'.2-35. Medindo O a, partir da posição de equilíbrio estallco, determlflar: (a) a equação para um valor pequeno de O (o momento de inércia da barra em relação a O é ml2 /3), (b) a equação no caso da freqüência natural n;lo amortecida, e (c) a expressão para o amortecimento crítico.
2-31 Um sistema vibratório tem as seguintes cOllStantcs: IV = 38,6lb, k = 40 Ib/pol, e c = 0,40 Ib/pol por segundo. Determinar: (a) o fator de amortecimento, (b) a freqüência natural da oscilação amortecida. (c) o decremento logarítmi· co, e (d) a razão de duas [re ü~ '. ~cutivas quaisquer. 2-32 Estabelecer a equação diferenci 1 de movimento para o sistema reprcsentado na Fig. 1'.2·32. Determinar a expressão para: (a) o coeficicnte de amortecimen to crítico, e (b) a freqüência natural da oscilaçJo amortecida.
2-36 Urna placa fina de área A e peso W é presa à extremidade de uma mola e oscila num fluido viscoso, conforme a Fi~. P.2-36. Se TI é o período natural 43
de oscilação não amortecida (isto é, quando o sistema oscila no ar) e período amortecido.com a placa imersa no fluido, mostrar que
72,
o
onde a força amortecedora sobre a placa é Fd = J12Av, 2A é a área total da placa, e v é a sua velocidade.
2-42 Determinar a flexibilidade de uma barra uniforme de comprimento tada simplesmente em um ponto situado a 1/3 L da extremidade. 2-43 Determinar a rigidez efetiva do sistema representado do deslocamento x.
L, supor.
na Fig. P.2-43, em termos
\
2·37 Um cano de canhão com 1200 Ib de peso tem uma mola de recuo com a rigidez /AÍe 20.000 Ib por pé. Se o cano recua 4 pés 'ao atirar, determinar: (a) a veloci".'--~/".. dade inicial de recuo do cano, (b) o coeficien te de an1ortecin~cn to crítico de um amortecedor que é acionado no fim do curso de recuo, e (c) o tempo necessário par~ o cano voltar a uma distáncia de 2 pol da sua posição inicial. 2·38
Um pistãq pesando 10 Ib percorre um tubo com a velocidade de 50 pés/s e aciona uma mola e um amortecedor, conforme indica a Fig. P.2-38. Determi. nar o deslocamento máximo do pistão após acionar o conjunto mola.amor. tecedor. Quantos segundos dura este deslbcamen to'! v == 50 pésls
&
c == I ~':..::-
B ~IPol
2·39 Um absorvedor de choque é para ser projetado de modo que ultrapasse de 10% o deslocamento inicia!, quando solto. Determinar \ I' Se \ é igualado a 1(2 \ I' de quanto será a ultrapassagem'! 2·40 Discutir X2/X,
as limitações
2·44 Determinar a rigidez efetiva do sistema torciona! indicado na Fig. P.2-44. Os dois eix~s em série/têm os valores k, e k2, respectivamente, para a rigidez torcional.
da equação
6.UjU
= 28 considerando
== 1(2.
2·41 Determinar a rigidez efetiva das molas representadas na Fig. P.241. 44
o caso de
2-45 Um sistema mola-massa m, k é posto em ação com um deslocamento inicial unitário e uma velocidade inicial de zero. Representar graficamente lnX em funç,yo de li, sendo X a amplitude no cicl6 li para. (a) amortecimento vis. coso com \ = 0.05. e (Il) amortecimento d'e Cou]omll com a força de amortecimento Fd == 0.05k. Quando as amplitudes·serão iguais?
MOVIMENTO EXCITADO HARMONICAMENTE )
)
3
)
A excitação ham1ônica é muitas vezes encontrada em sistemas mecânicos. Ela é geralmente produzida pelo desequilíbrio em máquinas rotativas. Embora a ex~itação harmônica pura seja menos freqüente que a periódica ou de outros tipos, é essencial a noção. do comportamento d;: um sistema a ela submetido, a fim de se compreender como o mesmo responderá a tipos mais comuns de excitação. A excitação harmônica pode ser sob a forma de uma força ou deslocamento de um ponto do sistema.
Vamos considerar primeiro um sistema com um grau de liberdade com amortecimento viscoso, excitado por uma força harmônica Fo sen wt, conforme indicado na Fig. 3.2-1.
L~.:~
Figura 3.2-1. Sistema ~íscosamellte amortecido com excitaçaã harmônica.
A sua equação corpo-livre:
diferencial
de movimento
A solução desta equação
consiste
é a seguinte,
deduzida
do diagrama
de duas partes, a função complementar,
do
que é
a solução da equação homogênea, e a íntegral particular. A função complementar, neste caso, é uma vibração livre amortecida que foi discutida no Capítulo 2. A solução
particular
acima é uma oscilação
para a equação
nente da mesma freqüência particular seja da forma
€.o)
que ade
excitação.
Podemos
de estado
cúJ
q; =
tg
T JnúJ'
l-- k
perma.
supor que a solução As equações
acima
podem
ainda ser expressas
em termos
das seguintes
quan-
tidades
úJn
onde X é a amplitude força de excitaçã"o.
Para se ter os valores da amplitude e da fase, substitui.se x na Eq. (3.2-1) pelo seu valor na Eq. (3.2-2). Lembrando-se que no movimento harmônico as fases da velocidade
e da aceleraçã"o estiro 90° diferencial
e
180°
podem
além do deslocamento,
também
~
== Freqüência
natural
de oscilação
não-amortecida
com relaçã"o ã
de oscilaçã"o e lfJ é a fase do deslocamento,
mente, os termos da equação te, como na Fig.3.2-2.
~c,
ser apresentados
, ,~ ~c, == Fração ou fator de amortecimento
respectiva. graficamen-
As expressões
não-dimensionais
para a amplitude
Xk
•
Fo
~,c
e a fase tornam-se
I
-VIr[--I I
~
2J' -I- ['.2(( )J'
(úJ) úJ
úJ úJ
n
n
Figura 3.2-2. Diagrama vetorial para a vibração forçada com amortecimento.
Este diagrama
permite
concluir-se X-
facilmente
- ::J(k -
que
. Fo
JnW')2
+ (cúJ)' Essas equações funçõcs podem 'tram
Vamos
48
o que permite k o numerador
expressar
agora as Eqs. (3.2.3)
então
e (3.2-4)
em forma
uma apresentação grática concisa desses resultados. e o denominador das Eqs.(3.2-3) e (3.2-4), obtemos
não-dínlCnsional, Dividindo
por
indicam
somente
da razão
ser represcntadas que o fator
que a amplitude de frc9üências graficamente,
de amortecimen
compreensão
do comportamento
à Fig. 3.2-3,
como indica II Fig. 3.2-3.
to tem uma grande
ângulo dc fase, na zona de freqüências correspondendo w/wll é grande.
XkjFo e a fase 1>. são e do fator de amortecimento ~ e
não-dimensional
w/wn
próximas
do sistema, nas zonas
onde
iiJiluência
à ressonância. pelo
estudo
w/wn
Essas curvas mosna amplitude
e no
Pode-se obter melhor do diagrama
é peq~ena,
dé forças
w/w
== I lI
e
Para 0
180
."
- 0,05 0,10
r
0,15
de inércia, conforme
.;:: ~ 90° o
I
c
valores
Resumindo, seguintc
de w/wn muito maiores que um, c/J aproxima·se de é gasta quase que inteiramente para vencer a grande força
grandes
e a força aplicada
se observa na Fig. 3.2-4c . a equação
forma, incluindo
diferencial
e a sua solução completa
são expressas
da
o termo transiente:
~o
I ~ =- " 0,25 c,'-<
~senWI
I
2 Razão
3
4
m
5
de freqüência
W
Fo
wn
0,375
sen(WI-rP)
TJl1 ---(;YTI [2t;:J
-+
! X1c-c"''''sen("/I
--/;"w,./
+ rPI)
I
°
Razão de freqüências
Tanto
5,0 .
4,0
w
Gráfico relativo às Hqs, (3.2.7)
a inércia como as forças de amortecimento
muito
magnitude
-
Wn
Figura 3.2·3.
. w/wn
3,0
2,0
1,0
menores
que um,
Jo que resulta
desbalanceamento
tória. p
(3.2·8).
são pequenas
um pequeno
da força aplicada é então aproximadamente
o
ângulo
para valores de
Consideramos
em m.íquinas· rotativas aqui
um sistema
é uma fonte comum
mola·massa
obrigado
de excitação
vibra·
a se mover na direção
vertical e excitado por uma máquina rotativa que está desbalanceuda, conforme a Fig. 3.3-1. O desbalanceamento é representado por uma massa excêntrica III com excentricidade c, que está girando com a velocidade angular w .
de fase c/J. A
igual à força da mola, como se
observa na Fig. 3.2-4a.
Figura 3.3·1. Força Jiannônica pcrturbadora deshalanceamcnlo ro/ativo.
0
Para w/wn '" I ,O, o ângulo de fase é 90 e o diagrama de forças apresen· ta·se como na Fig. 3.2-4b. A força de inércia, que é maior agora, é equilibrada pela força da mola,
ao passo
O valor da amplitude
que a força
na ressonância,
Eq. (3.2.7), ou pela Fig. 3.2-4b,
aplicada tanto
supera se pode
a força de amortecimento. obter
e tem a seguinte expressão: X = Fo. -('ú.>" -
J:
2(k
pcla Eq. (3.2-5)
ou a
Sendo
x o deslocamento
(M - m), o deslocaJ1lento
da posição de m é
de equilibrio
remitante
~stático
de
da massa que não gira
,
{J2
(M - 111)3.: -I- 111-/ ,(x -I- (' sen WI) {/o
É pois evidenté
que a equação
é idêntica à Eq. (3.2-1). onde 1"0 está subs.
aci~a
apresentadas
graficamente
2
tituída por mew , e, nestas condições, anterior pode ser substituída por
a solução
do estado
permanente .
.\"(1)
da seção
na Fig. 3.3·2.
-=
X1('
A equação
mewz ,.j(k - MwZ)Z
, U;·-
+-
Exemplo
(cw)O
dá a solução
completa
"í .- (' w,/ + rP1"J
;"'-'sen(
+- -~"~'~~~~~:
x=
seguinte
Mw')'
.. ==sen(o){
+ (cw)'
... 1;)
(3.3-6)
3.3-1
Um peso excitador,
formado
de peças excêntricas
trários, é utilizado para produzir oscilação molas, como se observa na Fig. 3.3-3.
que giram em sentidos
forçada
con-
em massa suportada
por
pol, com
da
-<>
~
~ 90· --
'0'0
o
"3
Foi
~ ,~ 2.0
~I~
registrada
velocidade
uma
além da freqüência 1.0
2.0
3.0
4.0
Raz50 de ffeq üências
5.0 ~ wlI
amplitude
de rotação.
ressonante
Quando
a velocidade
notou·sc
que a amplitude
de ressonância,
um valor lixo de 0,08 pol.
de 0,60
se aumentou
Calcular o fator de amortecimento
a variação
de rotaçáo
se aproximava do sistema.
.r --.11 ,.,. '" 0.60 pol -<,
Quando
.
w é muito maior que wlI' a mesma equação se transforma //1('
:tI" 3.0 R'1Z.io de freqüências
0,08 pol
-~~ wn
Figura 3.3-2. Gráfico das equações (3.3.4) e (J.f5) para () caso de l'ihrara"o forçada com úesbalanceamento rotativo.
o.o~. =
~ X 0,60
O 0666 .
muito
em
de
que uma massa m situada
Mostramos' resulta
numa
mew2•
força centrífuga.
,que será estático
ou dinâmico,
à distância
Tais forças
confQnne
e do eixo de rotação
radial
provocam
a sua distribuição
Via de regra, um rotor longo tal como o induzido
o desbalanceamento.
manivela
no rotor.
Desbalanceamento
estático.
Quando
as massas desb,t1anceadas
é uma única
força
radial.
este desbalanceamento colocado onde
Confonne
o ponto
na Fig. 3.3-4,
por meio de um teste estático,
sobre um par de trilhos horizontais.
denominado
pesado de estático,
fica diretamente
estão
todas elas num
fino, o desbalanceamento
se observa
abaixo
pode:se
do eixo.
constatar roda-eixo
é
para uma posição
Há máquinas
nhecendo-se
fazer girar tais rotores
para detectar
essas l;:!áquinas consistem
cujo movimento
o desbalanceamento
a fim de se de-
e corrigir o desbaJanceamen-
de mancais
revela o desbalanceamento,
a amplitude
ou o eixo de
de apoio mont~~o~~
como
indica
a Fig. 3.3-6.
Co·
de cada mancal ea su;-fase relativa, é possível d~le~;;:;;~:;e
do rotor e corrigi-Io.
é
Tal desbalanceamento
pela razão de não ser necess,írio
molas
de um motor
como uma série de discos finos, cada um
É necessário
o desbalaneeamento.
to. Essencialmente,
resultante
no qual o conjunto
A roda gira então
é considerado
com algum desbalanceamento. tectar
mesmo plano, como no caso de um disco rotor
de um automóvel
fazer girar a roda para
Embora
descobri·lo.
um disco fino seja balanceado
obtém
dinamicamente.
Neste. sentido,
estaticamente,
o mesmo
expomos
teste
um
resultado
se
que se faz sim-
plesmente. O disco é apoiado zontalmente,
sobre
mancais
contidos
por molas que se movem
hori-
como indica a Fig. 3.3·7.
~'-------~.""
Desbalanceamento de um plano,
dinâmico.
Quando
a conseqüência
desbalanceamento
dinâmico.
Como vimos
tante por meio de um teste estático, rotação do motor. Fig.3.3.5. cstari
odesbalanceamento
Por exemplo,
antes,
está girando, cuja tendência
estaticamente
podemos
mas o momento
consideremos
Se as duas massas não-balanceadas
baJanceado
se apresenta
é uma força e um momento
em relação
cada disco não-balanceado
oscilante encontrar
oscilante
em mais
referido
como
a força resul-
só é detectado
com a
um eixo com dois discos, conforme são iguais e defasadas
de 180°, o rotor
ao eixo.
quando
desenvolve
Entretanto,
uma força centrífuga
o rotor rotativa,
é fazer o eixo oscilar nos seus mancais.
a
, Girando
a qualquer
um estroboscópio
podem
Figura 3.3·5. Sistema com desbalallceamento dillâmico.
Rolor
H:T
1
Figura 3.3-6. Máquilla de ba/allceamcllto de rotor.
anotam·se
IVo,
é desenhada
Xo
a amplitude
Um acclerômetro
para esta observação.
original
um peso de ensaIO
é repetido
peso de ensaio
IV;,
então
do peso de ensaio
o efeito
avançada
e
no mal~cal e Xo,
A amplitude
na escala sobre a roda
vetor Exemplo
oa.
de
ljJ
indicado
IVI
é adicionado
(oa/ab),
cm qualquer
somente.
originaJ
Se a posição de
no diagrama
vetorial,
o vetor.ab
torllar-se-á
A roda está agora balanceada,
da
XI
e a
Wo
ob. O vetor diferença
pelo'vetor
IV,
ponto
A nova amplitude
do desbalanceamellto
são representados
do ângulo
é aumentada
IVI
IVI
na mcsma velocidade.
"b" da foda, que resultam
posição
LJ
máxima.
na direção de o para a. Em seguida,
r
predetenninada,
ser usados
devido ao desbalanceamento
roda e o processo
lit
velocidade
"a" da roda na excursão
a posição
pois XI
IVI
é agora
e se a magnitude igual
e do
ab é
e oposto
de ao
é zero.
3.3-3
Faz·se
o balanceamento
corretivos
de!Jm
em dois quaisquer
rotor longo pela adição planos
paralelos.
ou remoção
Geralmente
de pesos
se faz a correção
55
abrindo
furos nos dois planos
2
mew
é substituída
Agindo-se correção
extremos,
por duas forças
de fomla semelhante desejada pela resultante
isto é, cada força de inércia
paralelas,
radial
uma em cada plano extremo.
com várias massas não-balanceadas,
obtém-se
a
das forças nos dois planos extremos.
Os eixos rotativos
apresentam
a tendência
e de girar de um modo complicado. formado
pode
acontecer
O assunto
mento
na mesma
"whirling"
são co.ntroladas "whirling"
UIll
velocidade
ou na direção
Consideremos Fig. 3.3-S.
o balanceamento
de um rotor longo de 4 paI, representado
Ele tem um desbalanceamento
de 3 oz/pol
da extremidade esquerda e um de 2 oz/pol larmente de 90° do primeiro.
eixo
nos mancais etc.
à rotação
oposta
de au to-excitado,
por cle próprio.
de his-
O "whirling"
do eixo.
à sua
Quanto
quc trata do assunto,
nesta seç:To
o caso
ideal formado
suportado
por
de um modo
no qual as forças excitadoras
A apreciação
de um modo
deste texto. de autoria
à de "whirling".
de um disco de massa
dois mancais,
conforme
m,
que o.
geral do movi-
lndicamos
aos interes-
de Edgar l. Gunter,
mais simples de rotação slÍzcrona,
de rotaç:To. do cixo é idêntica
supor um sistema num
As causas
de eixos é um tema sutil e o seu movimento,
trabalho
.Apreciaremos
rotor longo em dois
a trilo dos fluidos
de eixo está além do objetivo
sados um excelente Figura J.J~8. Correção do c1es!Ja/anceamcnto de planos eXlremós.
do plano
dos mancais.
tan to pode ser igual como diversa da do eixo.
geral, está sob a classificação induzem
como a rotação
são várias, tais como o desequil íbrio de massa, o amortecimento
terese no eixo, forças giroscópicas, velocidade,
atingem certas velocidades
é definido
c a reta que passa pelos centros
pelo eixo curvado
do fenômeno
a curvar quando
"Whirling"
Neste propósito, montado
a Fig. 3.4-1.
lr.
vamos
simetricamente O centro
G da
na
em um plano a I paI
no plano médio,
deslocando
angu-
O desbalanceamento de 3 oz/pol é equivalente a 2...L . 4 oz/pol na extrelllidade esquerda e 3/4 oz/pol na extremidade direita, como indicado. O de 20z/pol no meio é obviamente balanceamentos
B = I
I
tg-
igual a I oz/pol nos extremos.
em cada extremo,
I 2,25
=
as correções
-tg-I
~
m~ 1., -
os dois des-
são:
24° O' 110 sentido horário, a partir do plano do primeiro
B2
Combinando
desbalanceamento
53° no sentido horário, a partir do pl.ano do primeiro
desbalanceamen
to
•• Edgar J. eUI1!cr, Jr., "Dy,mníc Stability 1966, U. S. Government f'ríl1!il1g Offíce, Washington,
or Rotor-lJearing D. C. 20402.
**
em que a
SY$terns",
NASA Sf'-J J J,
e
massa do disco ·está a uma distância
radial
que passa pelos
atravessa
presenta manecem
centros
dos mancais
a Oexão do centro
do eixo.
do seu centro
gcométrico
O, S e
Neste caso de sincronismo,
fIxos, cada um em relação ao outro,
S. A reta
do disco em O, e OS re·
o plano
e
per·
ao passo que o eixo e o disco giram a
wll =
crítica
teral, encontramos
.jffiii,
uma condição
ou a freqüência
de ressonância
pelo amortecimento. A Fig. 3.4-2 diferentes de velocidade.
mostra
natural
do eixo em vibra:;,ro Ia.
na qual a amplitude
o sistema
disco·eixo
é contida
apenas
sob três condições
por xs e wt) e (ys + e sen wt). Admitindo que o amortecimento viscoso seja proporcional à velocidade de S, são . as segui~tes as equações de movimento nas direções de x e y uma velocidade
Ys'
w. Com a posição do centro
à velocidade
constante
as coordenadas
e
do centro
d'
III-,(X
di'
Em muitos
1-
'
S do eixo defInida
+ ecos
de massa são (xs
ecos
úJl)
casos o sistema
te, conforme
, 1Il-(Y di' , + esenúJl)'~
,.
(/
-f{l'.'.
-,
do· ponto referência
c)',
indicado
de suporte fixa.
Na posição 111.\',
IIlji,
Estas equações
+ c~, + kx, -I· C)i, + k)',
,~ lIleúJ' cos
=
meúJ' COS(úJI
-
,,/(k __- l11(2)2
_1_
é excitado
pelo movimento
Chamamos
o deslocamento
as forças desbalanceadas
diferencial
do movimento
do ponto de supor.
de y o deslocamento
harmônico
x da massa m a partir de uma são devidas ao amortecimento
e
torna·se
'c., IIlcúJ' sen úJ/
são similares à Eq. (3.3-1) e por inspeção
Xl
c medimos
deslocada,
às molas, c a equação
úJ/
dinâmico
na Fig. 3.5-1.
podemos
r-":] -;ir I
escrever a solução
rp)
(CW)2
k(x-y)
mew'sen(WI
y, = -/(k --
OS ,~ t
g
rp -_ -
rp) (CúJ)'
!I1CtJ'V-j
J x;
r "
-
-I
y;.
J(k:-
lIlew' IIlw')21(cw»
CúJ IIlW'
k --
É então evidente que a reta se = e está adiantadá de um ângulo de fase ep sobre o deslocamento da reta OS = r, ângulo este que depende da quantidade de amor. tecimento
e da velocidade
de rotação
w. Quando
G
a velocidade
/
/
s
I
\ \
14
de rotação
wé
/
"-
.
G
. Figura 3.4-2, Relaçaõ amplirude-fase
em rotação s{llcro,lla
com amortecimento ~·iscoso.
\
/
S
O
\\''-
igual
que
mostra
estar
o deslocamentq
x
defasado
pelo ângulo
ep
do deslocamento
y.
Levando estes valores na Eq. (3.5-2), obtemos
.~
(3.5-4 )
59
A Fig. 3.6·1 mostra os elementos essenciais de um instrumento medidor Consiste ele de uma massa sísmiea suportada por molas dentro de urna é para ser presa ao eorpo em vibraçJ'o. O movimento a ser medido é mento relativo (x -: y) entre a massa ni e a caixa que a contém é 'Para achar o ângulo de fa~e I/J, igualamos as partes real e Imag1l1ana na Eq. (3.5-4) a fim de determinar o seno e o co·seno de rIJ. A razão resulta pois na equação para o ângulo de fase, que é
Consideremos, para determinar o comportamento equação de movimento da massa m. que é
de vibração. caixa,'a qual y e o movi. sensorizado.
de tais instrumentos,
a
2((W).1 Ú)"
- (~)' -;-(2( ,Ú)/I
(j) )'
O)"
;. = 0.05 0,10 ______. O. I 5 0,25 0,375 0,50
====.
_.- 0.05
-------,
.-0,10
I
0,15 .- 0,25
-+--
-0,375
I
0,50'--'
Admitindo para o corpo em vibração o movimento mos a equação
w wn·
que é ·idêntiea na fODl1a à Eq. (3.3·1), com z e mYw2 substituindo x e IIICW2, respectivamente. Examinando. constatamos então que está dispon ível a solução de estado permanente z = Z sen (wt .. rIJ) que é mYw'
fiC~~;(,)'F~~(;ZJji As equações (3.5-5) e (3.5-6) para a amplitude do estado permanente e fase S:IO repr~sentadas graficamente na Fig. 3.5·2. Observa-se que as curvas relativas às ampli. tudes para diferentes amortecimentos, todas elas apresentam o mesmo valor de IX/YI = 1,0 para a razão de freqüêneias w/wn = vI2.
60
senoidal y
A Fig. 3.6-2 apresenta um gdfico da Eq. (3.6-5) que ê idêntico ao da Fig. 3.3-2 com Z/Y substituindo MX/me. O tipo do instrumento é indicado pela sua faixa útil de freqüências com relação à freqüência natural. Sismômetro. Um sismômetro é um instrumento de freqüência natural baixa. Nestas condições, a faixa de freqüências para a qual ele é destinado caracteriza-se por um valor grande de w/wn- Um exame da Eq. (3.6-5) mostra que à medida que w/wn -+ o déslocamento relativo Z torna-se igual a Y, ou IZ/YI 1,0. Então, a massa m permanece estaeion,íria enquanto a caixa de suporte nlovimenta-se com o corpo em vibração. 00,
Uma das desvantagens do sismômetro é o seu tamanho grande. Uma vez que IZI == I Yj, o movimento relativo da massa sísmica deve ser da mesma ordem de magnitude que a vibração a ser medida. O movimento relativo é geralmente convertido numa voltagem elétrica. fazendo-se da massa sísmica um magneto que se move em rc\açãoa bobinas fixadas na caixa. Uma vez que a voltagem gerada é proporcional :\ taxa de variação' do campo magnético, a leitura do instrumcnto scrá proporcional à vclocidade do corpo em vibração. 180
---:..:==L-----\,0----
0
05\\
1
3,0
\0
"0-
1
" .;:l 'J
'O
IZ/YI
o
- r = 0,70
f--
90'
'3
0"
,.-,:"
O
1,0 Razão
2,0 dt..:freqüências
3,0
4.0
5.0
-~
Aee\erômetro. 'Os instrumentos medidores de vibração são, atualmente, na sua maioria, constitu ídos de acelerômetros. Mesmo os terrcmotos são regislrados por esses aparelhos, sendo a velocidade e o deslocamento obtidos por integração. A preferência pelos acelerômetros como aparelhos medidores de vibração baseia-se no seu tamanho pequeno e alta sensibilidade. Acelerômelros são instrumentos de freqüência natural alta, e a faixa útil do seu funcionamento é w/w/I entre zero e cerca de 0,4. O exame da Eq. (3.6.5) para w/wlI -+ O conduz a
z,-
(02 ~
C~
w;
aceleração
w;
c, em conseqüência, Z torna-se proporcional à aceleração do movimento a ser medido. A sensibilidade baixa, entretanto, à medida que wll aumenta, de modo que wll não deve ser mais alta que o necessário. Por .exemplo, acelerômetros utilizados extensivamente para 'medições em terremotos têm uma freqüência natural de 20 cps, o que permite reproduzir com fidelidade movimentos do terreno eom freqüências' inferiores a 8 cps. Efetivamel:te, uma correção.na calibração do instrumento permite a medida de movimen tos até 16 cps. • O acelerômelro de cristal piezoelétrico é utilizado extensivamente para uma faixa maior de freqüências. Sua freqüência natural é geralmente muito alta, o que torna sua aplicação possível para freqüências até 1000 cps ou mais. A faixa útil de freqüêneià do acelerômetro não amortecido é, de certa forma, limitada, eio face da queda rápida do denominador I - (W/Wn)2 à medida que W aumenta. Entretanto, com'] amortecimento dentro dos limites de \' == 0,65 a 0,70, a redução do termo I - (W/W,)2 é compensada pelo termo adicional (2\,W/WIl)2, de modo a aumentar de muito a faixa útil do instrumento.
wll
l --71 r~O ---11 '
1,05U-= I" 3 I 3"
Ra7.:To de freqüências
1.02 -
1,01 ---:;~-
:7""L--P'"
+
1,00
-r-....
! ~ ~
Um instrumento típico destà espééie tem uma freqüência natural entre 2 a 5 cps e uma faixa útil entre 10 e 500 cps. A sua sensibilidade varia em torno de 100 l1lVpor pol/s, com deslocamento limitado a 0,2 pol. 62
'I
/
I ./ V
.v,
i 313" !
:',~:--L
'"
I"~
'u ----wll
_I i ~
0,99
1---
N"r - I 0,65
r--.....
"-...
0,96
-
\
"-..._ r=O,70!\
I
i
'1\
I
'"
!
r = 0,75\
~.
0,95
,
I'\!
'i -
,~0,6
--f---
0,98 0,97 -
D -,------
-r-r- ---!
!I'
l/V
/'f-'-.: ---
I
:\
\
O WIl
Fi,\7Ira J.6-3.
Erro do acC!crólIlelro em fUlIção da freqüência. lendo
r
COIllOparâmelro.
para vários valores de amortecimento, tada.
A maioria
dos aeelerômetros
o que não só estende Distorção
a faixa útil de freqüências
de fase. Para reproduzir
fase de todos os componentes tempo.
graficamente,
uma onda
harmônicos
em escala aumen.
próximo
com
a freqüência.
tisfeito aproximadamente minada.
de fase.
complexa
a sua forma,
Por exemplo,
por \ == 0,70,
)
como evita a dístorção sem mudar
deve variar igualmente se
a distorção
)
de \ '" 0,70,
I,
a
ao longo do eixo do
Isto pode se realizar se O ângulo de fase
. ta linearmente
Exemplo
representado
utiliza o amortecimento
X w/w/l'
/
aumen . que ê sa-
de fase é praticamente
eli-
3.6-1
Investigar
a saída de um acelerômetro
usado para equação
medir
um movimento
\ == 0,70 quando
com amortecimento periódico
com o deslocamento
dado pela
X desenvolvida
Visto que a amplitude a equação
acima fica reduzida
)[1Solução: Para \ = 0,7,0, rf> 2! n/2 X w/w/l' de modo que rf>1 e
A comparação ==
Iw2 X/W2
movimento
do ponto
IX/n
líl~)2rlt~~f das Eqs: (3.7-2)
n.
~{wiY,
senOJ,(I-
"
2w~) -
i
(J)~y,Senwl(1
"
mostram
.3-'))
2OJ"
para
w/w/l
> 0.
amortecimento
de ressonância, paradas.
Muitas vezes as forças vibratórias Consegue·se,
entretanto,
nâmico pelo emprego isoladores.
64
a redução
geradas
por máquinas
substancial
de molas projetadas
e motores
dos seus efeitos
adequadamente,
são inevitáveis.
Conforme
desejável
algum
Quando reduz a
embora
de
é idêntica
das forças perturbadoras. da Fig. 3.5.2 Essas curvas
to é desprezível,
r
I
w"
>
..j2,
da vibração é possível somente
na redução
é necessário
amplitude
(.w
a
de força ou de deslocamento.
amortecida,
quando
a grande
o amortccimen
I
de uma massa do
e a ordenada
se vê na Fig. 3.5-2, na região
a outra
sobre um sistema di-
que são denominadas
ao do isolamento
fato de que o isolamento
é superior
IFT/Fo
é menor que a unidade apenas para w/wn
que a transmissilibidade
não· amortecida
que
do isolamento
como transmissiDilidade,
transmissibilidade
modo,o
indica
o problema
de apoio é idêntico
igualmente
estabelecendo,deste
c (3.5.5)
Desta forma,
Cada uma destas razões é definida representada
Fo sen wt é dada pela Eq.(3.2-5),
sob a força
a
(Tr
FoJI I
:'
)
wlwn
> 0,
que W varie através
na ressonância
a equação
uma mola.
da transmissibilidade.
B
da região
possa' ser limitada
por
de' transmissibilidade
se
ficando
entendido
que o valor de w/wn
w:z
mais, substituindo-se tica em polegadas,
a ser usado é sempre· maior
por g/ !:J.", onde g
a Eq. (3.7-3) é expressa
=
386 pol/s2
e !:J."
=
que
0.
deflexão
E
está-
como
das. Para esses casos mais avançados indicamos C. Crede* sobrc isolamcnto da vibração. Exemplo
I
TR
==
em relação
a
f
e convertendo-o
total de 4000 lb/pol, para ciclos por minuto,
obtemos
a se-
guinte equação
188f~ ,,(iR -I- I),
f .... = onde a redução
tem um elemento
188,1~ "(7 ~=~D
rotativo
por molas
Iraballlo
de
com a rigidez
desbalaneeado
uma força perturbadora
de 80 Ib a uma veloeidade
fator de amortecimento
~ = 0,20, determinar
to em face do desbalanceamento, mitida.
do qual resulta
de 3000 rpm. Supondo
(a) sua amplitude
(b) a tr'Jnsmissibilidade,
um
de movimen-
e (c) a força trans-
(3.7.5)
é definida como R = (l - TR). A a Eq. (3.7·5) para f em função de !:J." com R como parâmetro.
percentual
Fig. 3.7·2 apresenta
f=
o excelenle
3.7-1
Uma' m<Íquina, com o peso de 200 lb e suportada
{2nf)'!:J. -'---1 g
Resolvendo
ao leitor
na transmissibilidade
Solução: A dellexão tural é
estática
t:
30000
o
(a)
20000
~'2f'J8()
2n\ 0,05
n
(4~80 ) ()~~~º)2Fi [2>, 0,20 x
.,.1[1
na-
841 cpm.
na Eq. (3.2·7), tem·se a amplitude
Substituindo
15000 10000
é iooooo = 0,05 pol, e sua freqüência
do sistema
de vibração
Wfº.l'
7000
(b)
A transmissibilidade,
conforme
5000
Ê
~ o'" "'" .o ~ ""'"u
~/I 3000
i (2/0,20
(3~0;)t)2j2
n
x
ífffJ'
! (2:..-: 0,20
~<~)'
2000 1500 1000
." ,""
700
,;::
500
g'
,ifi
a Eq. (3.7-2), é
~-----'--'-----,-,,;.-o-'
300
o
200
amortecimento
energia 150
está presente
do sistema.
de calor ou irradiada. 0,010
0.02
0.05
calor, ao se dobrar
0.10
outro.
DeOexão estática (pol)
Todos
em todos os sistemas oscilatórios.
Seú efeito é retirar
é
dissipada sob a forma
A energia em um sistema em vibração Faz-se uma experiência
um certo número
nós sabemos
Na análise Esta discussão só coordenada. translação )
J
66
foi limitada
a corpos
Regra geral, um corpo
ao longo e rotação
com translação
rígido
apenas ao longo de uma
tem seis graus de liberdade
em volta dos três eixos perpendiculares
de vibração,
da resposta
da dissipação
de vezes uma tira de metal,
do som que irradia de um objeto
Quando se faz uma bóia balançar dai resulta a sua perda de energia.
em termos
simples
ou
ao levar uma pancada.
para baixo e para cima na água, ela irradia ondas e .
estamos
do sistema.
de energia em
de um lado para o
geralmente
interessados
A conseqüência
com amortecimento
da perda de energia no sistema
a saber,
das coordena.
-c.
E. Credc,
"Vibration
and Shock
Isolatíon"
(Ncw York: John
Wilcy & Sons.
1951).
67
oscilatório é a queda da amplitude da vibração livre. Navibraç,To forçada do estado permanente, a perda de energia é compensada pela energia suprida pela excitaç,To. Um sistema em vibração pode encontrar muitos tipos de forças amortecedoras, desde o atrito molecular interno ao atrito por deslizamento e resistência de Ouido. Geralmente, a descrição matemática dessas forças é muito complicada e não se presta para a análise da vibração. Nestas' condições, foram desenvolvidos vários modelos simplificados de amortecimento, considerados adequados cm muitos casos de avaliação da resposta do sistema. Por exemplo, já usamos o modelo de amortecimento viscoso, representado pelo amortecedor, que conduz a soluções matemáticas tratáveis. A dissipação de energia é ·usualmente determinada sob condições de oscilações cíclicas. A representação gráfIca da relação força-deslocamento pode diferir muito, conforme o tipo de amortecimento presente. Em todos os casos, entretanto, a curva força-deslocamento incluirá uma área, denominada como laçada de hisierese, que é proporcional à energia perdida por ciclo. A energia perdida por ciclo pela açâo de uma força de amortecimento Fd é calculada por meio da equação geral
.Y
r/J) ·cc :1:wXv/i-sen'(WI--r/J)
wXCOS(WI '!ú)~
X'
··'x'
( cwXF)' _,_I
I
( _~_XY)'
reconhecemo-Ia como a dc uma clipse com Fd e x traçados ao longo dos eixos vertical e horizontal, como indicado na Fig. 3.8-I(a). A área abrangida pela eJipse representa então a energia dissipada por ciclo. Se adicionamos a Fd a força kx da mola ideal, a laçada da histerese sofre uma rotação, confornlC indica a Fig. 3.8-I(b). Esta representação está, pois, conforme o modelo de Voigt, que consiste em um amortecedor em paralelo com uma mola.
, dependerá amplitude. I1Id
geralmente
de muitos
fatores tais corno temperatura,
freqüência
ou
I I I
, , ,
Vamos considerar nesta seção o caso mais simples de dissipação de energia, que é o de um sistema mola·massa com amortecimento viscoso. A força de amor. tecimento neste caso é Fd = c,\:. Com o deslocamento do estado pcrmanente e velocidade x = Xsen(wl
I
-+--, X
_· .. x
-I
I I
~~X---i
. í/J)
.Y = wX cos Iwl .. r/J)
IVJ =
f
f f" "
d tlx =
= cw'X'
o
d' til
COS'(ú)1
-
í/J)
dI =
lr('WX'
n
de particular interesse a cnergia dissipada cm vibração forçada na ressonância. Substituindo; wn = yk/m e c 0= 21;-jkI/1, a equação acima na ressonância se transforma em
Podemos representar graficamentc a energia dissipada por ciclos pela força de amortecimento do seguintcmodo.· Escrevendo a velocidade sob a forma
68
São muitos os critérios adotados na elaboração de listas com as propriedades de amortecimento de materiais, variando de acordo com as áreas técnicas a que são destinadas. Dentre essas propriedades, enumeramos duas unidades relativas à energia que têm largo emprego. A primeira delas ~ a capacidade de amoriecimento especifico, definida como a perda dc energia por ciclo IV d dividida pela energia potencial máxima U.
!I. s~gunda quantidade é o coeficienle dI! perda, definido cOmo o quociente da perda de energia de amortecimen to por radiano IVd/2rr dividido pelo potencial máximo out rabalho de deformação U.
W ~,wFOXO
Determinar a expressão para a potência desenvolvida para uma força F = Fo sen (wt + tjJ) atuando sobre um deslocamento x = Xo sen wt. . Sotução: Potência é o trabalho realizado na unidade de tempo, isto é, o produto da força pela velocidade. p ,- Fi/x dt =
"(wXoFo)
(wXoFo)[cos
=1wXoFo[sencp
sen (w/
-I
(2w/
J
o
sen 71/cos 71/dt
+ sen 30° fl/':
sen 271/ dt
]
271t)JI." + 0,50 ( '2t - sen 4"7r" o
16,51 pol lb
A influência principal do amortecimento nos sistemas Qscilatórios é a de limitar a amplitude de resposta na ressonância. As curvas de resposta na Fig. 3.2-3 mostram que o amortecimento tem inf1uência pequena nas regiões afastadas da ressonância. No caso de amortecimento na ressonânci!!, Eq. (3.2-9), foi .
viscoso, a expressão encontrada
para a amplitude
+
cp.sen wt co:; wt
+ sen
co:; 30"
. 0,866 71 >: 10 ;< 2.[ - . ~ cos 271t
A curva da histerese é uma elipse no caso do amortecimento linear, quando a perda de energia é proporcional ao quadrado da deformação ou amplitude. O coeficiente de perda para a maior parte dos materiais varia entre O,OOJ e a unidade, depenc!endo da sua natureza e das condições sob as quais são efetu~dos os testes. A curva da histerese não será mais uma elipse quando a perda do amortecimento não for uma função quadrátiea da deformação ou amplitude. Novament~, o coeficiente de perda pode variar entre 0,00 I e aproximadamente 0,2. Exem pio 3.8-1
1.', [
+
Não existe expressão tão simples para outros tipos de amortecimento . .8 possível, entretanto, aproximar-se da amplitude na ressonância, substituindo na equação acima c por um amortecimento equivalente ceq. .
sen cp.cos' w/]
cp)]
O primeiro termo é uma constante, representando o fluxo contínuo de trabalho por unidade de tempo. O segundo termo é uma onda senoidaJ de duas vezes a freqüência que representa o componente variável de potência, cujo valor médio é zero duran te qualquer intervalo de tempo que seja múltiplo do período.
Encontra-se o amortecimento equivalente ceq igualando a energia dissipada pelo amortecimento viscoso com a da força de amortecimento não·viscoso com movimento harmônico suposto. De acordo com a Eq. (3.8-2)
Exemplo 3.8-2 Uma forçaF = 10 sen 71t lb atua sobre um deslocamento de x, = 2 sen(71t - 71/6). Determinar (a) o trabalho efetuado durante os primeiros 6 segundos; (b) o trabalho efetuado durante o primeiro meio segundo. Solução: Reeserevendo a Eq. (3.8-1) como W = f F'X dt e substituindo = Fo sen wt e x = X sen (wt - tjJ), o trabalho efetuado por ciclo torna-se W ,=
F =
oX sen cp
71F
Para a força e o deslocamento dados neste problema, Fo = 10, X = 2, rjJ = 71/6, e o período T = 2 segundos. Assim, nos 6 segundos especificados em (a) decorrem três ciclos completos, e o trabalho efetuado é
O trabalho referido em (b) é obtido pela integração da expressão de trabalho, nos limites de O a 1/2 segundo. 70
Exemplo 3.9-1 Corpos em movimento com velocidade moderada (10 a 50 pés/s) em fluidos, tais como água ou ar, encontram a resistência de uma força de am.ortecimento que é proporcional ao quadrado da velocidade. Determinar o amortecimento equivalente para tais forças atuando sobre um sistema oscilatório e encontrar a sua amplitude ressonante. Solução:
Seja a força de amortecim~nto Fd
expressa pela equação
=
±ax'
onde o sinal negativo deve ser usado quando.x é positivo e vice-versa. Supondo-se o movimento harmônico com o tempo medido a partir da posição de deslocamento negativo extremo
a energia dissipada por ciclo é
Wd
==
2
f:x
ai2dx
J:
= 2aco2 Xl
J
sen
cotd(cut)
viscoso equivalente,
de acordo com a Eq. (3.9-2), é então
Exemplo
W
de histerese substituição
relativa
determinar
a amplitude
oscilató!io
forçado
Seja VI.
ao amortecimento
equivalente
e indicar
Igualando
X elevado
são (3.9-1),
da taxa
de
pelo amortecimenfo
Usando
estrutural
o conceito
tem a seguinte
de amortecimento
expressão
viscoso equivalCnte,
para
total àquela do amor-
Com
a substituição
dc c por ceq, a equação diferencial estrutural é a seguinte
de movimento
para um
sistema com amortecimento
viscoso equivalente Rigidez
c,. =~71COX' que conterão
e independente
por ciclo para cada urna das
a energia dissipada
do amortecimento
a amplitude,
à amplitude
e a forma da curva
Desenvolver o processo
viscoso equivalente
Para determinar
de energia
de vibração,
a vibrar por uma força excitadora
V2, V3• etc. a energia dissipada
o coeficiente
esta classi·
no caso da dissipação
da amplitude
quanto
amortecimento sólique satisfaz
na ressonáncia.
diversas forças de amortecimento.
Encontra-se
dissipada
Q é urna constante. a Eq. (3.9-2) nos dá
a equação
tecimento
a mesma
onde que um sistema
interno
é uma constante,
ao quadrado
permanece
A energia
Fo sen wt está sob a ação de diversas forças de amortecimento.
Solução:
de perda
por ciclo e que esta é pro-
Denomina·se
de c pelo ceq na
== wn
3.9-2
Sabe-se
dissipada
estl1l/llrai ao amortecimento
por ciclo ser proporcional deformação.
pela
da amplitude
O coeficieI1te
371
é determinada
na ressonância com
ao quadrado
~.~-!acoX '.
A amplitude
de vibração.
ficação.
c Eq. (3.9.1),
na energia
porcional
do ou amortecimento
=~aco2Xl O amortecimento
tra de uma larga faixa n.io inOuem
é necessário
obter expressões
a várias potências.
complexa.
dades de vibração para
VI,
U2• 'V3,
etc.,
c por ceq na expres-
Substituindo-se
conceito
com a hipótese
Eq. (3.10-3)
da seguinte
serem
no cálculo
dos aviões.
harmônicas,
das veloci-
Chegou-se
que permite
a.este
escrever
a
forma lII.i'
em
das asas e das caudas
das oscilações
tem-se Colocando-se
de rigidez complexa
Usa-se o conceito das superfícies
evidência
i (k
).r
F"e"'"
i i~
k e fazendo
a rigidez
r
torna-se
A quantidade k (l + ir) é chamada tecimento estnltural. A dissipação submetidos
de energia a esforços
para a maioria
nos materiais
se faz internamente
cíclicos. Experiências
dos metais estruturais,
neles próprios,
de diversos pesquisadores"
tais como aço ou alumínio,
quando
mostram
as freqüências
que den·
O uso do conceito rais é vantajoso
de rigidez no sistema. mônicas.
• Kimball, A.L. "Vibration damping, APM51-52,(-I929). Lazan, B. 1. "Damping of Materiais Press. 1968).
72
including
the case of solid damping".
and Members
in Slructural
Trans. ASME. '. Mechanics". Pergamon
no sentido
Com
Eq. (3.10.4)
de rigidez complexa
e r é o fator de amor-
para problemas
em vibrações
de se precisar apenas mul'1.iplicar por (I
Entretanto,.
a solução
a rigidez complexa
o método
x ==
X eiwt,
só tem justificação
a amplitude
de
estrutu,
+ ir) os termos
para oscilações
estado
permanente
har· da
)
torna·se ____
(k
F..Jl lIIú)2)
) _
'1- iJ'/.:
(3.10-5)
)
73 )
) (
) )
IXI···-Da comparação
desta com a resposta
F
Yk{)
ressonante
de um sistema
IXlcc2CT-
concluímos trutural
que, com amplitudes
F
iguais na ressonüncia,
é igual ao dobro do fator de amortecimento
\"
Chamando obtemos·
de
«
I e desprezando
os tennos
o fator de amortecimento
e
WI
as duas freqüências
W2
Aqui, uma medida
de agudeza
uma quantidade de ressonância.
cimento viscoso e começamos
mos agora as duas freqüências
corre'spondent~s
Q, relacionada
ao amortecimento,
Para detenniná-Ia,
suponhamos
que é o amortc-
novamente,
para sistemas estrutural,
podemos
com outras
_.
011
/"
/2 - /, '~
-
~sar o amortecimento formas
em cada lado da ressonüncia
das de faixas laterais), onde
(muitas
Q
1 C~_
denomina-
Uma pcça· de máquina coeficientc
pesando
4,3 lb vibra num meio viscoso.
de amortecimento
5,5 íb resulta 0,20 s.
numa
quando
amplitude
cia de 4 cps, qual será a percentagem forçada
Ç
3-3
quando
o amortecedor
uma
ressonante
3·2 Se o sistema do PrubI. 3·J é excitado
l2 (E-.) J
vibração
encontrado
viscoso.
(:Y
(I·
- 2Ç2 ):L
que.
para
Quando
o de
de 0,50 pol, com um período
de
de. aumento
com freqüên-
na amplitude
o peso é deslocado
é de. 1,80 s e a relação
o sislema
de vibração
tem um dispositivo
e solto, o período
de duas amplitudes
a amplitude
e a fase quando
de
consecuti. uma força
•
mola-massa
ocorre a uma raz;'io de freqüências
2ç,/f--:-::ç'
Determinar cxcitadora
Um peso ligadêl a uma mola com a rigidez de .3,0 lb/pol de amortecimento
3-4 Mostrar lemos
harmônica
por uma força harmônica
F == 2 cos 3t atua sobre o sistema.
em relação a (W/W,)2,
força
for reúJOvido ..
vas é de 4,2 para. 1,0. Determinar
Resolvendo
Q
a fllU de definir
Assim, para o amortecimento
Y
3-1
I
equivalente
vezes denomina-
X é 0,707 X,cs' Estes pontos são também dos de pontos de meia potência e estão indicados na Fig. 3.1 ]-1.
(E-.) "J
I
de Q é
a expressão
é X,cs == (Fo/k) /2\". Procura-
ressonante
1
às raízes da Eq. (3.1.1-3),
2Ç
de amortecimento.
com a Eq. (3.2-7).
QU2.'ldo c,,'/wn == I, a amplitude
ao
es-
(i)"
forçada
\", chegamos
viscoso.
012 -
Há na vibração
de ordem maior de
com amortecimento
vi.scoso. I
Supondo resultado
amortecido,
dadá pela expressão
a amplitude
máxima
3-5 Um sistema mola-massa é excitado por uma força Fo scn wt. A amplitudc medida na ressonância é 0,58 paI. Na freqüência ressonante 0,80, a amplitude medida é 0,46 paI. Determinar o fator de amortecimento c do sistema. (Sugestão: Supor que o termo de amortecimento seja desprezível para ressonância a 0,80.) Um disco circular girando em tomo de seu eixo geométrico tem dois orifícios A e B que o atravessam. O diâmetro e posição dos orifícios são dA = 1,0 pol, rA = 3,0 pai, e 0A = 0°; dE = 1/2 paI, rE = 2 pol, 08 = 90°. Determinar o diâmetro e posição de um terceiro orifício a I pai de raio, que balan· ceará o disco. O braço de manivela e pino ·de um eixo de manivela de dois cilindros, indicado na Fig. P.3-7, é equivalente a um peso excêntrico de 'v lb a um raio de r paI. Determinar os contrapesos necessários nos dois volantes, se eles também são colocados a uma distância radial de r poL
Se o desembalanço de cada roda do excitador é de 4 lb/pol, determinar (a) a freqüência natural da estrutura, (b) o fator de amortecimento da estrutura, (c) a amplitude a 1200 rpm, e (d) a posição angular dos excêntricos no instante em que a estrutura completa o deslocamento para cima da sua posição de equil íbrio. . Um disco maciço com.10 lb de peso é enchavetado no centro de um eixo de aço de 1/2 paI e 2 pés entre mancais. Determinar a velocidade crítica mais baixa. (Supor o eixo simplesmente apoiado nos mancais.)
Estabelecer a equação de tÍ1ovimento para o sistema indicado na Fig. 1'.3-8 e empregar álgebra complexa para resolvê-Ia, para a amplitude de estado permanente e ângulo de fase.
~
r---
~
. '-,,_
~"
.X, ""W,
Um rotor de turbina pesando 30 lb é fixado no meio do comprimento de um eixo. com mancais distanciados 16 paI, conforme a Fig. P.3-11. Sabe-se que o rotor tem um desembalunço de 4 oz/pol. Determinar as forças que atuam sobre os mancaisa.urna velocidade de 6000 rpm, se o diâmetro do eixo de aço é 1,0 paI. Comparar este resultado com o do mesmo rotor montado sobre um eixo de aço de 3/4 paI de diâmetro. (Supor o eixo simplesmente apoiado nos mancais.)
•• ••
•••• •• •• ~
AlI
~~
Um excitador formado de pesos excêntricos de contra-rotação, conforme a Fig. P.3-9, é usado para determinar as características vibratórias de uma estrutura com o peso de 400 lb. A uma velocidade de 900 rpm, um estroboscópio mostra a posição dos pesos excêntricos no topo, .no instante em que a estrutura completa o deslocamento para cima da sua posiÇão de equil íbrio estático e a amplitude correspondente é 0,85 paI.
~
.
Mostrar que, se o amortecimento é pequen~, a amplitude da vibração lateral de um eixo na velocidade crítica eleva-se de acordo com a equação
zç( 1-· ('
r=
l'
''''''')
onde e é a excentricidade.
-~
•••• •••• •.••
3-13 'No caso de turbinas dispositivos
que operam
de parada
dade. Na turbina
3-14
a amplitude
para o eixo alcançar
de parada,
zero.
A Fig. P.3-l4
simplificaao
representa rodando
um diagrama
numa
de W como
amplitude
são instalados
é atingida
esta veloci-
do eixo é 1/120 pol, determinar
os dispositivos
cidade crítica é.atingida com amplitude
bre molas,
crítica,
quando
do ProbJ. 3-11, se a folga entre o eixo de I pol e os dispositi-
vos é 0,02 pol e a excentricidade querido
acima da velocidade
para limitar
estrada
função
acidentada.
da velocidade
o tempo re-
supondo-se
que a velo-
de um veículo montado
Determinar'
a equação
e determinar
a velocidade
so-
para a
I
mais
I
desfavorável.
I
f-x~ 3-18
Um tipo comercia.! de "pickup"
de vibração
r
4,75 cps e um fator de amortecimento que pode ser medida 3·15
As molas
de um reboque
de automóvel
estão
comprimidas
a 40 milhas por hora'! (Não considerar 3-16
A Fig. P.3-l6
k, . excitado
mostra através
um cilindro o atrito
= A sen wt. Determinar
3-19
m ligado a uma mola de rigidez c com um pistão de movimento y =
do movimento
de vibração
não-amortecida,
chassi) é 0,052 pol, qual é a amplitude
de massa
a amplitude
Um "pickup"
do cilindro
com
uma
I cps, é usado para medir urna vibração harmônica indicada pelo "pickup" (amplitude relativa entre
o amortecimento.)
viscoso
(a) um erro de um .por cento;
natura.! de freqüência
(b) um erro de dois
por ccnto?
4 pol sob o seu
peso. Achar a velocidade crítica quando o rehoque roda numa estrada que apresenta um perfil que se aproxima de uma onda senoidal de amplitude de 3 pol e 48 pés de comprimento de onda .. Qual será a ampli tude de vibração
com
tem uma freqüência
= 0,65. Qual é a menor
3-20
O eixo de um torciógrafo, harmônica Iativa
e sua fase em
00 sçnwt.
torciona.!
da roda
conforme
exterior
com
freqüência
natural
de
de 4 cps. Se a amplitude a massa do "pickup" e
correta? a Fig. P.3-20, é submetido
Determinar
relação
a (a)
a expressão
o
eixo,
a uma oscilação
para a amplitude
(b) uma referência
refixa.
relação ao pistão.
3-17
Dá-se ao ponto na
P.3-l7.
para
Fig.
)
) )
Utilizando
de movimento
x/xo
/. Mostrar
e mostrar
de urna
as coordenadas
para pequena
que, para w =
h = I(W,,1W)2
onde
simples um movimento
reta
horizontal,
indieadas,
amplitude
v'2 wlI'
que, de um modo geral, a distúneia
pela equação
78
de um pêndulo
= Xo sen wt, ao 10ngJ
diferencial
)
de suspensão
nico Xo
wlI =
confonne
escrever
de oscilação. o nó fica situado
harmôse vê
a equação no meio de
Discutir
os requisitos
tação de distorção
Dar a solução
Iz entre a massa c o nó é dada
..fi/I.
3-21
3-22
de um instrumento
sísmico
de fase de ondas complexas.
sob o ponto
de vista de limi-
Uma unidade de refrigerador (;om o peso de 651b é para ser suportada por três mola, com rigidez de k lb/pol cada. Se o refrigáador opera com 580 rpm, qual deve ser o valor da constante de mola k se apenas 10 por cento da 79
força de trepidação
da unidade
à estrutura
é para ser transmitida
de susten-
3-34
tação? 3-23
Urna máquina
industrial
uma def1exão estática de 20 lb/pol, amplitude 3-24
com o peso de 1000 Ib é suportada
de 0,20 pol. Se a máquina
determinar
dinâmica
Se a máquina pesando modo
(a) a força
transmitida
nesta velocidade.
do Probl.
tem um desequilíbrio
(Supor
3-23 está montada
ao piso a 1200 rpm,
o amortecimento
que a def1exão
estática
ainda
(b) a
de aeronave
cuja
que devem 3-26
Mostrar
a 'fim de se obter
que no amortecimento
Expressar
viscoso,
para a vibração
dade, em função do fator de perda 3-28
M~strar
que 7n/7d
culo onde
7d
~
das \'ibrações
Qual a dcf1exão
85 por cento
o fator
de perda
1)
traçado
1)
livre de um sistema
de
estática
de isolamento? é independente
natural
de um grau de liber-
na ressonância.
graficamente
período
em função
de ~ é um quarto e 7n = período
de amortecimento
de círnatural
de não-amortecimento. 3-29
Mostrar
que a energia
expressa
como
dissipada
w _. nFõ d'-
3-30
Determinar
Em amortecimento gia potencial
que no amortecimento
3-32
a fim de que a energia dissipada
a energia dissipada
é igual a 20 e também
• independente
por ciclo dividida pela ener-
a I/Q.
(Vide Eq. 3.7-6). Mostrar
viscoso
Estabelecer
sob qual condição
tanto da amplitude
o decremento
como
Ioga ritmo
o
é
da amplitude.
O amortecimento pre oposta
por
w/wn-
Em geral, a perda de energia por ciclo é uma função, da freqüência.
3-33
necessário
da relação de freqüência pequeno,
máxima
viscoso pode ser
2( [I - «(.0/(.0.)2]2 -I- [2((.0/(.0.)]2
o amortecimento'
ciclo seja independente 3-31
k
por ciclo no caso, de atrito
de Coulomb
ao movimento.
entre superfícies
Determinar
secas é uma constante
o amortecimento
D sem-
viscoso equivalente.
a amplitude
de Coulomb,
Fo sen wt. Sob 'que condições
de movimento quando
excitado
sc mantém
estc mo-
Supor
que, no caso de amortecimento estrutural, a rigidez seja uma quantidade da forma k = kei2{J. Determinar a equação para a resposta sob ex-
citação harmônica.
de
à freqüência.
e proporcional
a equação
cpm.
com amortecimento
complexa
pol, qual será a amplitude
24 lb tem que ser isolado
varia de 1600 a 2200
ter os isoladores
da amplitude 3-27
pesando
freqüência
3-35
desprezível.)
sobre um grande bloco de concreto
seja de 0,20
do Probl. 3-33, determinar
mola-massa
vimento?
rotativo
2500 lb e a rigidez das molas ou apoios sob o bloco é aumentada
Um rádio motor
o resultado
por uma força harmônica
por molas com
dinâmica? 3-25
Utilizando
de um sistema
3-36
o =
Mostrar
que
pondem
aos pontos
1r(/2 0_- fi )/fr de meia potência
onde
fi
e f2
são freqüências
da curva de ressonância'-
que
corres-
VIBRAÇÃO TRANSIENTE
4 Quando um sistema dinâmico é excitado pela aplicação súbita de uma excitação F(l) não-periódica, tal como a representada na Fig. 4.1-1, a resposta a este tipo de excitação é denomina.>!a resposta trallsiente. uma vez que não são geralmente produzidas
oscilações
natural do sistema, excitação. Inicialmente,
de estado
perlllanen te. Tais oscilações
variando
a amplitude
estudamos
a resposta
de impulso, por ser cste caso importante de transien teso
Impulso
de uma maneira
ocorrem dependente
de um sistema mola-massa para a compreensão
na freqüência do tiRO da
a uma excitação
do mais geral problema
é o tempo integral da força, e o designamo.s pela notaç,To ]i'
/ = J F(I) Encontramos
di
COlJ1UlJ1ente uma força, de muito grande magnitude,
um período de tempo forças são denominadas
muito
curto,
impulsivas.
mas com um tempo
integral
que atua durante que é finito.
Essas
L'
f(I)O(1
--
ç) di
C-.. C
f(ç)
Desde que Fdl = mdv, o impulso F atuando sobre a massa resultará numa súbita mudança r,a sua velocidade igual a Fim sem apreciável mudança no seu deslocamento_ Quando da vibração livre, constatamos q'ue o sistema mola-massa não-amortecido com condições iniciais x(O) e x(O) comportava-se de acordo com a equação x
cc
x(O) sen úJNI
+ x(O)
cos
úJNI
úJ"
A Fig. 4.2-1 mostra uma força impulsiva de magnitude FIE com uma duração de E. À medida que € se áproxima de zero, tais forças tendem para infinito. Entretanto, o impulso definido por seu tempo integral é F, que é considerado tini to.
Por isso. a resposta de um sistema mola-massa inicialmente por um impulso Fé' x
C~
fé --sen
em repouso e excitado
OJ"I
IIlOJN
F
j f.
(k
Ú)n ---
Quando P é igual à unidade, tal força no caso ~estrito de E -, O é denominada unidade de impulso ou a [unção delta. A função delta quando I = ~ é identi[jcada pelo símbolo Ó(I - O e tem as seguintes propriedades Ó(I -
O -
O
para todos os valores de I
J:
0(1 -
Ç) dI
=
1,0
0<
*- ~ ç
<
'V
m
Quando vibração livre
o amortecimento
está presente,
e substituindo
as condições iniciais acima, chegamos à equação x - ----'~ ..,__~__.-._e-""'" /1/w"JI--C"
sen
podemos
,/-1 --
iniciar com a equação
de
("WNI
-
A resposta ao impuls!) unitário é importante para os problemas de transientes, e é identificada pela designação especial g(r). Nestas condições, quer se trate de um caso amortecido ou não-amortecido, a equação para a resposta impulsiva pode ser ex pressa como se segue
(Xl
Se Ó (I - O é multiplicada por qualquer função de tempo f(l), como indicado na Fig. 4.2-2, o produto será sempre zero, exceto quando I = t e suairltegral será
Tendo a resposta g(t) para um impulso unitário 'de excitação, é possível estabelecer a equação para a resposta do sistema excitado pai uma 'força arbitrária f(l). Para este desenvolvimento, consideram'os a força arbitrária como sendo uma série de impulsos, conforme a Fig. 4.3-1. Se examinamos um dos impulsos (o que está hachu: rado)no tempo I = t sua força é
Excitação e sua contribuição
para a resposta
t depende do tempo decorrido
no tempo
n
(t -
ou
Sendo li~ear o sistema valece.
que estamos
Desta forma, combinando
considerando,
o princípio
todas essas contribuições,
de superposição
a resposta
mento
base.
repentino
Muitas vezes o suporte estabeleeido
do sistema
dinâmico
por seu deslocal11cnto,
é sujeito
velocidade,
equação de movimento pode então ser expressa cm termos z = x -- y como se segue
a um movi-
ou aceleração.
do deslocamento
A
relativo
pree daí, todos os resultados
para
excitado-base,
quando
para o sistema excitado-força
Fo/m
o termo
é substituído
para z no sistema
aplicam-se por -
y
ou o negativo
da acc-
leração de base. No caso de um sistema para o deslocamento
Exemplo
não-amortecido,
inicialmente
em repouso,
a solução
relativo torna-se
4.3-1
Determinar a resposta de um sistema degrau representada na Fig. 4.3-2.
de um grau de liberdade
à excitação
l{t)
l-t-l------{t
--I,=1
-1;)-------
fOI O ~------------
x(t) A integral acima é chamada
.~
L
J(é,)g(i
. é,) dé,
(4.3-])
Solução:
de Convolução integral
Considerando
tão, ~
=
t -
T,
(t - ~) encontramos -dr, e obtemos
r =
d~
=
x(i) Quando
t é maior
Eq. (4.3-])
que
=
cc
f"
L
J(ç)g(t
do
porque, --é,)
L
então,
.
desta equação.
dç
t P'
isto é,
o limite
pode
-
ç)
dé"
superior
ser expressa
Substituindo
+ f'
J(é,)g(l
FI"
indica que a resposta
é
sen Cún(t .' é,) dé, o
I -- cos máxima
Cún/)
à excitação
degrau de magnitude
estáti
... é,) dé, Para um sistema amortecido,
I:>
fi
do sistema não-amortecido
• __lL
F - t( Estc resultado
t
Cú
n
a resposta
da
corno
temos
\
na Eq. (4.3-])
igual a duas vezes a deflexão ~
J(é,)g(t
En-
/11úJ
II/Cún•
a integral
Aqui, a segunda integral é zero, uma vez que f(~)
86
forma
x(t)
pulso,
o
=
outra
.'
,)g(,) d,
J(I--
a duração
em tp'
permanece X(I)
.0 _1- sen
fi(1)
.
a superposição integral. Estabelecendo
o sistema não-amortecido,
ou algumas vezes referida como
o proce~o e"·~"I·,l
Ip
g(t)~"
--~sen.y
é repetido ~
.,j I -.. 1;'
com
I --I;-Cúnl
IlICúh
= O para
~
>
t p'
ou, alter~ativamente,
podemos
considerar
~implcsmcnte
a equação
diferencial
Fo é
·~ -I- 2'conx -I- co;x cuja solução
é a soma das soluções
a qual para este caso é Fo/mw~.
= fJJ m
da equação
homogênea
e da solução
particular,
,.~
Assim, a equação
O
ajustada
iniciais de x(O)
às condições
=
=
:<:(0)
O resultará na solução que é dada
como
tg 1/J = ,.j A Fig. 4.3-3 mostra evidente
, 1_
um gráfico de xk/Fo
que a resposta
máxima
'2 -
versus
wnr,
com
que 2Fo/k.
é menor
~ como parâmetro,
quando
e é
o amortecimento
está presente.
Da substituição
de ji(t) z(r)
na Eq. (4.3-5)
I'
'o, -- VO COn , .., __
11
Exemplo
V~
8
10
12
14
16
18
20
F,
wnr Figura 4.3·3.
Solução: Exemplo
4.3-2
cia
Considerar
um
base é especificado
sistema
mola·massa
não- amortecido
por uma velocidade
onde
o movimento
ro
__
(e""
sen.conO _.
- co t senco t ..., co~ co r} nO.
n
de duração
a uma mola de rigidez
despreiível,
a intervalos
po a =
Entre cada dois impulsos.
natural
Solução: Vo
repetido
a Fig. 4.3-5.
Deter·
wn = Vkfiii, Fazendo
o sistema
está em vibração
t = O imediatamente
livre na sua freqüên. após
cada
impulso,
da
~
F--~vvv~ 1:1 ..~. ~
com sua taxa de variação de tem·
P.
A velocidade
de pulso
e sua taxa de mudança
a súbita mudança
para
Assim, a aceleração
r = O dá um salto repentino de zero para é infinita. Admitindo quefa dr = ÍJ. = O é satisfeita por
(ou aceleração)
na velocidade
para 1'0
88
k é sujeita ao impulso
de estado permanente.
de pulso da forma
na Fig. 4.3·4 juntamente
n
de Ti' conforme
}'(I) -, voe":" que é representada
ç) dç
{
4.3-3
minar a resposta
Resposta a uma função degrau unitária.
{S(Ç) - ...!.-e .{,.( o
(COnlo)'
Uma massa m fixada 4
resulta
da base torna·se
I
f" • S(I) dI
• o
v"
x ~~A sen (co.1 +
(COnl
+
(a) (b)
89 ) (
)
)
) ~ ..
_:~
O, temos x(O)
=
A sen rp
x(O) ~= úJnA cos
A= __
rp
f_" __
2úJnlll
sen úJ
2T,
Pode ser de interesse o valor máximo da força da mola Fs Eq. (k) toma a forma úJn T, Ti~'
scn
F
onde Ti é o intervalo de tempo entre os impulsos. O impulso atuando nestc tempo aumenta a velocidade subitamente, de P/m, embora o deslocamento permaneça essencialmente sem modificação. Se é atingido o estado permanente, repetem-se o deslocamento e a velocidade depois de cada ciclo. Deste modo, podemos escrever
2
o.~
0)"
T,
2 Nestas condições, a amplitude ou força da mola torna-se infinita quando
r
úJ"T, n.!" = O,n, -2 ;:-::::
2 n, 3 Te,...
A Eq. (I) 'mostra também que a força máxima da mola Fs é um mínimo quando n.!"
7f
3n
TO~2-'T'2' 1\ variação de tempo do deslocamento Fig,4.3-().
Sn
...
e da velocidade pode aparecer como na
Pode-se aplicar um processo semclllânte, quando é ,incluído o amortecimento, embora o trabalho numérico ,seja aumentado eomideravelmente.
cos
(úJnT,
f
+ cfJ) -
senúJ
cos rp = - --A úJnlll
2T1 cos (úJ2T
I
sen úJnT, sen 2 Uma vez que sen wnT)2 somente se
(úJ" T,
2
+ cfJ)
=O
+ rp)
= ~.
A.i~ 1---- ~.__ .J
2úJnlllA
não pode ser zero para Ti arbitrário, a Eq. (i') é satisfeita
,cos (~~
L (úJ2
T1
+ rp)
=
O
+ cfJ)
=
1
O método da transformada de Laplace para resolver a equação diferencial fornece uma solução complet~, abrangendo a vibração transiente e a forçada. Apresentamos 91
no Apêndice
um resumo
com o assunto.
da teoria
deste método
Nesta seção ilustraremos
destinado
aos não familiarizados!
o seu uso com alguns exemplos
Exemplo
simples.
4.4-2
m é acondicionada numa caixa, conforme h. Deseja-se determinar a
Uma massa uma altura
Exemplo 4.4-1 Formular'
a solução
viscosamente
da transfórmada
amortecido
Solução: A equação trária F(t) é
de Laplaee
com as condições
dc movimento
para o sistema
de um sistema x(O) e
iniciais
excitado
x
w
mola-massa
(O).
por uma força arbi-
~ LLlf '--------' Adotando
a sua transfórmada m[s'x(s)
de Laplace, temos
-- x(O)s -
-I-
x(O)]
a Fig. 4.4-2, e cai de
~
h
c[.\'(s) -/- x(O)]
+ kx(s)
=
7ft,'
tis)
I/I
I
1/I/lIl
I I //l/Il
1//1
Figura 4.4-2. Teste de queda de uma massa acondicionada.
x(s) = ms'
+
t(s) _I (ms -I- c)x(O) mx(O) / cs -/- k ms' cs -1- k
+
a força máxima (rattle
O inverso da Eq. (4.4-1) nos dá a resposta x(t). O primeiro termo bração'forçada, e, o segundo, a solução transiente devido às condições
representa iniciais.
à massa
as seguintes
hipóteses:
a viSolução:
Idealizamos
caixa por uma mola linear comparada
são polinômios,
sendo que o segundo é geralmente
a solução
P(s) ~, z(s) x(s) A sua recíproca
é a transformada
Usa-se freqüentemente
1-
ms'
=
podemos
csl-
definir
a transfonnada
de trepidação
m,
a partir
relativo
de mogo
A massa
da caixa
q\,le a qu~~~)ivre
dentro
da
é grande
se
d~caixa
n[o~
da massa m. (3) Ao tocar o piso, a caixa per·
com ele .
x o deslocamento da posição
posição de partida,
m é suportada
A massa (2)
'de m em relaç[o
de equilíbrio
a equação-geral
estático,
à caixa, medido
de cima para
e y, o deslocamento
da caixa da
de m é
do movimento
k
I z(s)
um diagrama
a Fig. (4.4-1). Entrada
-oco
forçada,
espaço
admitância H(s)
saída, conforme
Fazendo
de ordem mais baixo,
Se é apenas considerada impedância
pelo movimento
manece em contacto
(I)
k Ib/pol.
de rigidez
à da massa acondicionada
influenciada
~( ) _ A(s) .x s -- B(s) onde A (s) e B(s) alta que A(s).
m e o necessário
transmitida
space*).
Então
(4.4-4)
de bloco
a transformada
F(s)--~
Saída
para
significar
admitância
a entrada
e a
ff(s) pode também
Para as condições para a equação
x(s) ,= [x(O)
x(s)
iniciais
x(O), x (O), y(O), jJ (O), a transformada
de Laplace
acima é .
.
1-)"(0)]--'--::'- -I [x(O) -!- )'(O)]s' s' -I- w;;
I _'. 1....
S2
Dell Sy,t.
Teeh.,
w: -
s2ji(S)
-f-
w:
Figura 4.4-1. Diagrama de bioco.
92
função de transferência de sistema, definida
ser considerada
como
ção no plano iguais a zero.
subsidiário
da saída
sobre
a entrada,
como a propor-
com todas as condições
iniciais
• R. D. Mindlin, 1954) págs. 353-461.
"Dynamie,
of Paekagc
Cu,hioning",
Jour.,
24, (julho
X(I)
=
[X(O) -I- y(O)]
COS 0).1
+ -.L[.x(0) +- );(0)]
.'."
sen
COn
Podemos
agora adaptar
particular
são
esta equação
às condições
x(to)
o deslocamento
"C-I~2J'(S)
O) I -
.
S"
TI
w;;
-/-
do nosso problema.
c a velocidade
(4.4-8)
De interesse
de m no tempo
x(to)
to
As condições
.x (O)
==
y
iniciais
para
o intervalo
(O), e o movimento
Levando-se
{gI2,
à Eq. (4.4-8) os valores
y(s)
_"C-I.
s(s21-
. Sendo to == v2hjg dades de interesse
o tempo
formas
em
séries
e admitindo
uma resposta
o movimento
0);
O)
de modo
•
de
=5
às seguintes
quan'tj-
,e,
1,0
Õ
I
0,3
li
= 0,25
iniciais para a segunda
fase do problema,
+---
0,1
0,03
da caixa sobre o piso.
Redefinindo
o tempo a partir do instante
ções iniciais para a segunda fase do problema )'(0) '" O,
c_, ..
x(O)
do impacto,
~i;
(1-
cos
são as seguintes
as condi-
0,01 0,1
0,3
1000
-
---~se[jw!,to 100
com
a equação
m depois do impacto
I) COS
.
cos
O) 11
"
I )2 o
que ocorre
máxima
. C:;,v(1
no ter .po (Wn1l
IX =: 5" 0=1"
,ti'
XI
-I-
_E, sen
w~
n
I
(O) fi
O'
--
W 10) 5en
;;I~
I
O)
fi
fi
1,0
sen
O) fi
I )2 sen(O) o
11
t-
Ao)
"r I~
"P
:.:-
tg r/J •..
94
1- (f2!..º W
1
O)
0,1
(I .....cos 0>.10)
(w.t~-~no)7:-j . O,OO! 0,01
atingida por m é
-
COSO).lo)'
+ (0).1
0
-
30
't.=IO"=h
6st
11
= W2 ..K.j(1 .-,
XI
de 10
O)
Ú);
Assim, a amplitude
para o deslocamento
torna-se
X(I) ,= --- L (I ... cos
.
Eq. (4.4-8), a equação
geral,
1,0 3 10 Freqüência, fn (cp')
100
Figura 4.4-3. Resposta de deslocamento para um teste de queda. 0).10)
lf
De acordo
----
I
E
as condições
senO).lo)2
-- r/J) == rr/2. A força máxima é simplesmente
kX1,
A
por uma única
'li ='10
:.:"
tornam-se
graficamente
10
<: Essas quantidades
de zero. da freqüência
como indica a Fig. 4.4-4.
~. .~ õ.
após o impacto
aproxinla em função
(4.4-10)
h, chegamos
da altura
Xi
(4.4-14)
que as curvas da Fig. 4.4-3 são representadas
curva não·dimensional
li
I)
wntose de
= Cú.--!21z/g = ~
Cú.lo (4.4-9)
que
de deslocamento
(l/2rr) VfTíiipara h = 10, 5, 1 e 0,15pol. A Eq. (4.4-13) indica, entreque w~Xdg = X1/l;st é uma função somente de
são
=~
-..1,'.(1 .- cos
da queda
suas
iniciais zero, o que leva a
._c 0);)
~
=
tanto,
livre são x(O) == )'(0)
da Eq. (4.4-9), encontra-se'
a queda livre, com as condições x(l) 'c~
da queda
da caixa e a sua transformada
)'(1) ~~
'm durante
com
quando wn -+ 0, para qualquer altura de queda de quedá to = ...j2h/g. Isto se mostra recolocando sen wnto ecos wnto
tem um valor máximo
ou tempo
Fig. 4.4-3 mostra
fn
quando a caixa atinge o piso.
==
Xl
h,
/"
/"
As Figs, 4.5-1, 4.5-2 e 4.5·3 representam' diferentes Um choque
resulta
dà aplicação
que provoca
resposta
é uma boa medida da severidade
características excitações
uma
repentina
mento,
dinâmicas
de choque,
mola·massa)
resposta
do sistema. escolhe-se
não amortecido,
Engenhéiros
de uma força, ou outra
transiente
de um sistema.
forma
Com o objetivo
como
de classificar
um sistema-padrão
útil
pa'ra projetos
do oscilador
em função
de um simples
grau de liberdade,
mesmo oscila dor. Diferentes espectros de resposta.
tipos de excitações
que o espectro
na curva resposta· tempo,
ção, ele sozinho de resposta
não define
muito
de resposta
semelhantes
corrrespondam
= f:f(ç)g(1
= --1
g(l)
De fato,
(sistema
~
é possível
é um conceito
f(r)
natural
2
l
3
t /r = wnt, , 2" Figura 4.5·J.
do
de informa. que espectros
de choque
diferen.
útil extensivamen.
era expressa
em termos do
-- ç) dç
sén
1
a partir de um simples
a duas excitações
arbitrária
para trés
em diferentes
um dado incompleto
de resposta
de um sistema à excitação g(t) pela Eq. (4.3-1) X(I)
é determinado
do choque.
o espectro
resultarão
de respostas
IFo~
Fomax
da resposta
da freqüência
de choque
o qual representa
a força
teso Apesar desta limitação, te usado. A resposta impulso resposta
2'O~
da resposta.
gráfica do pico máximo
Considerando
Xk)
(
1,0 O de espectro
Um espectro de resposta ,é uma representação
ponto
das
todos os tipos de
um oscilador
o conceito
os espectros
é
da
dependente
de um simples grau de liberdade.
acharam
A escala horizontal
de rompi-
O valor máximo
do choque e é, obviamente,
excitações,
(4.5'1)
0).1
mO).
de modo que a resposta pela equação
x(t)mu
de pico a ser usada no gráfico do espectro
~=
1-
1
-
InWIf
No caso em que o choque te, f(t)
c~
I=-!.J'
característico
com a excitação
a um repentino por -ji(t),
ç)
dç
I
j'(ç)senW.(1
movimento
a aceleração -
do ponto
de supor.
do ponto de suporte,
Ç)dÇ/
o
ou
(4.5-4) m.ax.
ti, tal como a duração do pulso do choque, está f(t) ou - ji(I). Com r como a freqüência
do choque
natural do oscilador, o valor máximo como uma função de ti /11.
96
sen 0).(1 -
é dada
m.x
é devido
OJ"
Algum tempo
f(ç)
o
na Eq. (4.5-3) é substituído Z(I)mn
associado
J'
de resposta
de x(t)
ou z(t)
é representado
graficamente
é igual à relação
lI/r,
enquan to a escala vertical é um número
é uma medida
do efeito
fator dinâmico
de um choque
Espectros veniente
dinâmico
de pseudo·resposta. expressar
os espectros
não·dimensional,
sobre o de uma càrga estaticamente
aplicada.
que O
é então menor que dois. Em situações de respostas
de choque em termos
de solo, é muitas vezes con'
de espectros de velocidade.
Os espectros de deslocamento e aceleração podem então ser expressos em termos de espectros de velocidade, dividindo-se ou multiplicando-se por wlI" Tais resultados chamam-se pseudo-espectros, uma vez que eles são exatos somente quando a resposta máxima ocorre após haver passado o pulso do choque, em cujo caso o movimento é harmônico. Os espectros de velocidade são usados extensivamente em análise de terremotos, e o amortecimento é incluído geralmente. Com o deslocamento relativo z = x·· y, é a seguinte a equação para o oscilado r amortecido i -I- 2CCú.i -I- Cú'; =
-y
e a Eq. (4.5-4) é substituída por Z(I) =
con
y(ç)e-(w,IHI
f(11Ç)clÇo~
o
=
r'
af(I,Ç)d';lf(I,Ç)
Cú.(1 -
ç) dç
-1
Cú.Ji -
' ~2
J'
y(e;)e'·(w.IHI
Relações aproximadas para o deslocamento e aceleração máximos, conhecidas como pseuclo-espectros, são en tão '
J \' _ yJ #
-o
obtemos para a velocidade i(l)
sen ~
O,
!!..f'
~
f'
FC2
Exemplo 4.5-1
o
sen ~ Cú.(1 - ç) -I- Cú.,,;T=1'2 cos,J'l'=1' Cú.(t - ç)] dç
Determinar o espectro de resposta não amortecida para uma função degrau com uma elevação de tempo ti, conforme a Fig. 4.5-5. iF
O
li! ',\
\, \
)
Figura 4.5·5.
A Eq. (4.5-8) pode ser expressa como e-c")II!
i(l)
)
=
.../1 _[2([Ae
-
B~]sen~lCú.1
-I- [A,,;T=1'2 -I Be] cos,,;T=1'2
)
(0.1]
Solução: A entrada pode ser considerada a soma de duas funções-rampa Fo(t/td, a segunda das quais é negativa e retardada do tempo tI' Para a primeira função-rampa os termos de integral de convolução são f(l)
~~ Fo(I/I,)
) 'g (I) eco
)
. Se a Eq. (4.5-12) é traçada em função do tempo, ela aparece como uma onda modulada de amplitude, como se vê na Fig. 4.5-4. Assim, a velocidade máxima de resFosta Sv' ou o espectro de velocidade, é dada com exatidão suficiente pelo valor pico da envolvente
) 98 )
)
--,
I senCú -
tnCOn
I
úJ O~
11
....!!senúJ I k
~ 11
e a resposta torna-se
) ) )
S,' Cú.
~
[-eCú.
)
=
max
J ~ e; sen ~, F
X(I)
"-"~úJ • . k
o
I,
OJ.(I -
ç) de;
Para a segunda função-rampa começando em ma, a solução pode ser expressa como = _
X(I)
5J.[(1 k
I,) __ sen Cú_(t
I,
X(I)
=
pelo exame da equação aci·
-c-
I,
)J
Cú_I,_
>
Superp~mdo estas duas equaç,ões, a resposta para r FkO [ 1
1\',
rI torna·se
J
senro - I +-senCú_(t-I,) . I Cú_1 I Cú_I,
_
Diferenciando e igualando a zero, obtém·se o tempo pico como tg
=
Cú I
I - COS Cú.1 sen OJ,.t I
n P
Uma vez que
deve ser maior que
wn1p
sen
Cú_1 p
cos
Cú
I
7T,
-..J1(l=Cos
=
-sel! ,.)2(1 -
Substituindo essas quantidades em X(I),
(Xk) Fo·
=
Para wn pequeno, ou uma mola muito flexível, a duração da entrada seria pequena comparada ao período do sistema, Daí, a entrada apareceria como um doblete impulsivo, conforme a Fig. 4.5-6, com a equação Voto li'(r). Então, a solução para Z(I) é
obtemos também
=
_ p
,
Cú_1 ,)
Cú_I, COS
Cú_I,)
acha-se a amplitude pico
1+_1_,./2(1
-COSCú_I,)
w,.,tl
mu
Fazendo-se o período do oscilador r função de I\ Ir, como na Fig. 4.5·1.
=
27T/Wn,
a equação acima é traçada como
Avaliadas estas condições extremas, podemos agora preencher o espectro de resposta, que é indicado na Fig. 4.5· 7.
Exemplo 4.5-2 Determinar o espectro de resposta para a entrada da velocidade base, Voe-t/t.• do Exemplo 4.3-2. ,
y
(t)
=
Solução:
O deslocamento relativo z(l) foi achado no Exemplo 4.3-2, sendo Z(I)
=
X (e-'"
o
I
+vol(Cú_lo)'
-
Cú.lo ""
sen Cú.I,
--
cos
Cú.t) "
O processo usual para determinar o valor pico de zp é diferenciar a equação em relação ao tempo I, igualá-Ia a zero, e substituir este tempo de volta na equação para z(t). É evidente 'que a conseqüência neste problema é uma equação transceridental que tem de ser resolvida graficamente. Para evitar esta tarefa numérica, vamos considerar, a seguir, um processo diferente. Para um sistema muito rígido, que corresponde a wn grande, a resposta pico ocorrerá certamente para I pequeno, e obter íamos para a parte da equação que varia com o tempo o valor pico de (1 -
Cú_Io
-
I)
=
-Cú_Io
Deste inodo, para wn grande, o valor pico será aproximadamente igual a IZpl::;::; de modo que o traçado de 100
1
Zp/Volo
Volo
+ (Cú_lo)versus
,«(0)_10):;;; wn10
voto Cú_lo
é um hipérbole retangular.
o nosso
breve encontro com transientes e espectrqs de resposta mostra suficientemente as dificuldades algébricas com que deparamos,.mesmo nos problemas muito simples. Tais problemas são resolvidos de modo adequado ,pelo computador analógico, que serve idealmente para a soluçãó de equações diferenciais comuns. Esses computadores são capazes também de resolver problemas não-lineares, para os quais as técnicas analíticas são inexistentes ou complexas demais para uso prático.
o elemento 'alto ganho, conhecer
f
básico' do computador
indicado
os detalhes
simbolicamente
analógico
é o amplificador
na Fig. 4.6-1.
da sua parte eletrônica.
operacional
Não é, entretanto,
Tais 'amplificadores
de Nestas equações,
necessário
são caracterizados
pela equação
)
Obtemos,
e
)
Jl é o fator de amplificação de amplificação
ximadamente
±
8
10
•
rente eonsumida de 10-7 amps. Várias
Jl para
Considerando
100 volts, a ordem
que a voltagem
de magnitude
da voltagem
pela rede é também
operações
realizar, pela conexão
)
e eg e' eo são as voltagens da rede e da saída. O os amplificadores operacionais modernos é apro-
onde
muito
de saída
é lim'itada geralmente
c.Ia rede eg é ± 10-6 volts.
pequena,
para o computador
do amplificador
integração,
operaeional
A Fig. 4.6-2 indica um entrelaçamento
__,
Zf
Z;
analógieo.
(a) Mudança de sÍna!.. A mudança do Zi
=
Ri
de sinal é a operação e Zf = Rf, a Eq. (4.6-2) torna.se
mais simples. Fazen-
a
A cor-
com um valor representativo de modo que se Rf = Ri obtemos
de diferenciação,
i,Z,
,= ÍfZf
e;o - que é fundamental
fator
=.0
g
a partir delas, a relação entrada-saída
Co
)
)
g
--'('0
8>
cg
}
)
em comparação
,
-- jJ.e,
)
)
com e e e" e Í é uma o I g , com Í; e lI' Assim, com e = Í = 0, as
é insignificante'
(';
eo
)
)
eg
'
quantIdade dGsprezivel em comparação equações acima se transformam em
soma,
a diferentes
geral do amplifieador
ete.,
são possíveis
de
tipos de impedâneia.
simplesmente Co
A Fig. 4.6-3 mostra o circuito
com uma impedâneia
= -(li
para a J11Udança de sinal.
RI
) ) )
) )
)
r
j~;
)
(b) Soma. Se mais de uma entrada está ligada ao ponto cado na Fig. 4.6-4, então Íf é a soma das correntes de entrada
g, conforme
indi.
) )
) )
) ) ) 102
de entrada Z; e uma impedâneia relativas ao circuito acima
de realimentação
Cj
-c/l
l', -
Zf'
As seguintes
equações
são
= ijZi
l'o = ÍfZf
ii=~if+i, Se todas as resistências trnc.l~
são iguais, a conseqüência
é o somatório
.
das voltagens
de cn.
(d) Diferenciação. Não se faz diferenciação fato do inevitável ração
R,
sinal de ru ído na entrada
do amplificador.
é
Em vez,
em computadores
ser ampliado
usualmente
possível
analógicos
por /-L, provocando rearruma,r
pelo a satu-
as equações
para
integração.
I
R1
_~2-.-
R,
-.!..!.+g
(e) Divisão de voltagem. uma fração
O potenciômetro
k vezes a voltagem
=
e2
lli~' _L
é designado
simbolicamente
tenciâmetro
só prevalece
muitas
vezes usado para se obter
de entrada
ke,
na Fig. 4.6-6(a).
quando
O ajustamento
a saída está em circuito
fracionário
k no po-
aberto.
) )
(c) fntegraçãà. indica inicial
a Fig_ 4.6-5, eCO)
do que eg
Se a impediíncia o circuito
de realimentação
efetuará
através do capacitor,
a função
a sua voltagem
é um capacitor
de integração. a qualquer
== O)
C, como
)
Com a voltagem
tempo
)
t é (lembran-
. eo ,~
-
~
{
i di
)
I· eCO)
) de carga R L é colocada
Quando uma resistência pode-se mostrar
que a voltagem
)
através a saída, como na Fig. 4.6-6(b),
de saída é igual a
e2 ,,= . k el [
)
R 1 I -I- R k(l
)
] -
k)
)
L
R é a resistência
onde de kel
quando
(f)
O.
)
Multiplicação
analÓgico.
Em um método,
é aproveitado
usando-se
a Fig. 4.6·7.
que o segundo
)
É evidente que esta equação se aproxima
do poténciâmetro. ->
Multiplicação.
computador conforme
R/RL
um
é uma
o princípio
servomecanismo
O primeiro
das mais com
potenciômetro
difÍ,ceis operações
do potenciômetro um potenciômetro é ligado a
é ligado a ± e2. a voltagem a ser multiplicada
±
para o
descarregado
)
conjugado,
)
100 volts, ao passo
)
por el'
) ('o
= .. i
f'
ri di
-!-
)
e(0)
eI
, o
Com R
=
computador
I megaohm é diretamente
A voltagem ·fechando-se 104
e C
I microfarad,
RC
=
I segundo,
e o tempo
IOOk
Servo'llecamsmo
)
do
)
em segundos.
inicial eCO) é obtida
a chave S antes
simultaneamente .
=
-
de iniciar
) do circuito
indicado
a computação.
em linha pontilhada.
Iniciada
)
esta: a chave S é
aberta por um relê.
) ) l
i
)
)
I)
A função
do servom~canismo
brado -
em 'zero o erro entre
entrada
elo
é posicionar
- o cursor do potenciômetro
a saída do primeiro
potenciômetro
Visto que a saída de cada potel;ciômetro
cali-
e a voltagem
de
a k, ,temos
é proporcional
fato da vibração
efetiva poder
ser de freqüência
registrador
acompanharem.
Por outro
freqüência,
o tempo do computador operem
da amplitude
dentro
Suponhamos
que a equação
do Computador
para o Sistema
de Um Grau de Liberdade.
cuito da Fig. 4.6-8 demonstra
o uso do computador
linear de um grau de liberdade.
A equação 111.~ -,-
analógico
representada
-I-
seguintes
e a equação
diferencial
~'i
2
(j,z!:!.!:... __ !:!.!:...
01 Dividindo-se
(/'x(-r)
p'or a2,
diZ
condições
dx(r)
esta equação
(J2.-.:(r) J7:2' que mostra fator
íniciai~ torna-se
I'"
,
rnF(r)
Admitindc> que a entrada
do primeiro
nos três terminais
las do lado direito da equação e que Os ajustamentos
seja X, sua saida é - X,
amplificador
Q) , Q) ,
e
Q)
,que
são iguais a
x
são aque-
acim,a. Observar que o sinal muda através de cada ampli-
2s-wll e w~. As condinos dois capacitorcs no tempo t '" O.
do: potenciômetro
são para
x(O) e ,x(O) são as voltagens Quando o computador é po'sto em funcionamento
ções iniciais
pelo fechamento
(h) Mudança
de Escala.
linear,
pandimos
ou contraímos
a escala
do sistema
das variáveis.
é muitas vezes necessário
do computador.
do problema permanecem
Uma mudança
passam por uma transas mesmas,
Na solução
fazer tal mudança
2m.wll
do sistema mudou não mudou,
para a equação
é possível e interpretar
há problemas
planejar
relativos
do computador que precisam do exemplo seguinte.
'=
a
natural
Teoricamente, Entretanto,
(W,,)2'x(r)
entretanto,
noya equação
Exemplo
Se as variáveis
as características
s-.
I
..!..
F(r)
IJ,'
l1l
de wn para 2
um circuito
para
cer
'"
de computador
em termos
às ordens de magnitudes
de mais atenção,
wn/a.
6
uma vez que o amortecimento
original mudou
seus resultados
'·(4.~12)·
2m2
para a
para 'resolver
das variáveis priginais. das ~oltagens' d~circ~ito
e cuja discussão
e melhor
em terrnos '
da chave So, as
e S2 abrem-se simultaneamente.
formação
esta
que '3. freqüência
cer '" nova.
toma a forma de
2t:(w,,~dx(r) a) dr
_I
de amortecimento
crítico equação
mitações
original comsuas
(/.-.:(0) I d.-.:(O) dr a({[-'
Q)
106
d-r:z -
di
a d7:,-I- 2t:w~aJi- -I- w;.-.:(r)"
('i'\
fazemos
ai
000
dão as derivadas
dr
I
computador,
~F(I)
mudar de a a escala de tempo do problema,
Se desejamos
c.\" -I- kx ,,~ F(I)
Sol
chaves SI
=
W;X(I)
na solução do sistema
X
ficador
pico deve
de exatidão.
é
a!!....oc!!....,
etc. As voltagens
de modo que
A resposta
111
Então as equações
(I)
necessário,
± 100 volts.
O cir-
r
F(t)
e o
para o sistema vigente seja
5:(1) 1-2(w"x(l) (g) Circuito
'6 também
dos limites de
dos limites de ± I OO-volt, para o máximo
ser aproximada
computador
efetiva é baixa demars em
torna-se longo em excesso, e por isso introd~zin.
do erros por desvios. O escaiamento os ampld1cadores
alta demais parao
lado, se a vibração
e apenas ex-
de um problema
no
de escala, em razão das li-
na escala do tempo pode ser necessária
pelo
4.6-1
A equação para certo sistemq mecâníco, extitadopor 2000 Ib é apresentada como' , '" ."
O,IO.\: -I- 5.\" -1- 4000x = 2000 Ib
UIna carga degrau f(t)
'"
:eCO) Escrever
= -
novamente
praticável
20 pol/s
a equação
Através
=
e x(O)
0.25 pol.
para o computador
da equação
ri e,entualmente
e estabelecer
todas
modificada,
reconhecemos
as oscilações
que o amortecimento
e que o deslocamento
elimina-
fma1 atingido
será igual a
um circuito x('r), ..• = ~'~ = 0,5 pol
,
para a sua cámputação. Notamos
também
que, sem o amortecimento,
a amplitude
pico sob a excitação
de
uma função degrau é duas vezes o valor acima, ou
X(T) A velocidade
e aceleração
na base de movimento Esta freqüência riamente equação
é muito
álta para o computador,
a = 100 para baixar
por um fator
com r como variável independente 2
d x(T)
I.
dr' com as condições
que escolhemos
de 100 a escala do tempo.
é então
dT
[Vide Eq. (4.6-12») Se examinamos
' -
tamos
"""dT .•.•
x,(O) 0_.0,25
100 =.• -0,20,
que a freqüência
natural
ficou reduzida
a
n
[dX(T)] dr
max
d2x~r)] [ dr
mu
agora o circuito
que os amplificadores
somente,
-20
a serem encontradas
são as seguintes,
estimadas
=OX(T) = 2 pol/s mu.
A nova
O 50 dx(r) -\- 4 O ter) -~ 2,0
"
1,0 pol
harmônico
arbitra-
iniciais
dx(O) e observamos
de modo
máximas
=
com x(r)
= 2rad/s.
=
= 4-pol/s2
mlX
da Fig. 4.6·9 com os valores máximos
1, 2 e 3 têm voltagens
e que não podemos
Para superar
= O'X(T)
obter exatidão
esta dificuldade,
acima, consta-
pico de saída de 4, 2 e 4 volts
com tal circuito.
efetuamos
uma mudança
1 pol, a saída estará mais aproximada
de escala de modo
do pico admissivel
que,
de 100 volts.
max
Se ignora~os essas equaçÕes. de saída demais. camento, renclal
as ordens de magnitudes,
Todavia,
para que o computador
dos amplificadores
não devem
Em face dessas considerações, velocidade modificada
o seguinte
e aceleração e estabelecer
pico de saída de amplificadores
exceder
da Fig. 4.6-9 satisfaz
A fim de evitar que ultrapasse
dê resultados
seguros, as voltagens
Multiplicando
± I 00
é necessário
máximos fatores
circuito
a serem
apropriados
aproximadas
o limite IOO-volt, fixaremos
diferencial
esta voltagem
modificada
por 20, obtemos
_lOdx(T) dr
_ SOx('r) ·1· 40
encontrados
na equação
dr
dife·
de escala, que darão voltagens admissível
20d'x(r).=
do deslo-
de ± 100 volts.
O circuito Fig: 4.6.10, ficadores,
para esta equação
de escala acrescida
toma
onde as voltagens
iniciais são escaladas
de acordo com a saída dos ampli·
isto é, com
dx(O)/dr
agora a forma
dx
-10
J; 0,25
dX(1)
dx
+IO~
d1
indicada
= - 0,20 pol/s, e a saída do amplificador
dx(1)
-~
+0,$ --;;;-
em 80 volts.
volts, nem serem pequenas
fazer uma estimativa
do máximo
a equação
na
2 igual a
-10(d;x.(r)/dr), seu valor seria -10(-0,20) = + 2 volts. De forma 3 seria 80 x 0,25 = 20 volts.
semelhante,
a
voltag~m inici~1 do amplificador .
Temos
amplitude
'agora uma saída de 80 volts para o amplificador
máxima
esperada
de 1 pol. Entretanto,
esperada é de 2 pol/s, a saída pico do amplificador É preferível,
então,
conseqüentemente de 4 pol/s
mudar o.ganho
o valor máximo
ganho do amplificador
para' R
que essas mudanças
requerem
máxima
2 é somente I,O(dx/dr) =.20 volts. 2 por um fator de 4 e redUZir
o ganho do amplificador do amplificador esperado
I. O ganho
RC, que é unidade
à
3, correspondendo
uma vez que a velocidade
=
3, conforme
da aceleração, do amplificador
I megaolun
e C
=
mais uma mudança
mostra
a Fig. 4.6-11.
não há necessidade é determinado I microfarad.
na voltagem
o
pela quanllcla.de tambem
inicial do amplificador
2, de 2 para 8 volts. Finalmente, mesma
equação
este problema
esses circuitos pode
d~ computador
ser resolvida
pode também
por diferentes
aparentam
não serem
circuitos.
ser resolvida pelo circuito
únicos, e a
Assim, a equação
para
da Fig. 4.6-12.
. -j1ih 20v' I,
20
d'x (f;'
~ 9
I
dx
-40dr
~ equação devem
.
diferencial
não' pode s~r integrada
ser' empregados.
na forma fechada,
Este pode 'bem ser o caso q~ando
la-massa é excitado
por uma força que não pode ser expressa
simples, ou quando
uma tal força é dada gráfica ou numericamente
Sendo
de mudar
Observe-se
Quando méricos
A integração
numérica
vimen to é resolvida tempo, mada
é um processo
progressivamente
qU2ndo o deslocamcnto mas, à medida
e a velocidade
que o intervalo
da solução
exata.
Embora
considerar
neste cap ítulo
existam apenas
diferentes
eram .conhecidos. métodos
dois, escolhid~s
diferencial partindo
de mode algum
A solução é aproxi-
o resultado
numéricos
se aproxima
disponíveis,
pela sua simplicidade.
dos vários métodos são associados aos erros e convergéncia discytidos em muitos trábalhos sobre' análise numérica. *
analíticas
apenas.
de tempo,
de tempo é reduzido,.
numo-
por funções
pelo qual a equação
em incrementos
métodos
um sistema
do processo.
vamos
Os méritos Estes são
A base da solução numéric,! é essencialmente.a de se obter os valores numéricos da integral, a ser detemlinada, nos pontos pivotais ao longo do eixo do tempo. Neste sentido,
as derivadas
na equação
diferencial
termos na expansão de Taylor. dos pontos pivotais são
0,5 -'"i
XiiI
.\"i
I
/::"1
'\"-2
... ."\ i.
:r
/::,.(
'\"-2
i
612
-'"ie;.-
xi+
Taylor,
... /::,.,.1
/::"12
:r
i
são aproximadas
Na expansão
I
..
'" /::,.',.1 '\ie;- i .
de um certo número 1
I
,
dx
+10.' dr
e
Xi _ l'
i'- 2
de
em termos
(4.7·1)
d'x
20d;' 40v
dx
..Q":
-40~
Estas equações mento., são suficientes são necessárias
recorrentes,
juntamente
para a solução
para começarmos
com as equações
numérica~
Eptretanto,
o r.rocesso de computação
lnrqueí
• A. Rablnn c II.'S. Wilr, Malhl'1l1allGlI 10hn Wiky & Sons, 1968) .• (.
1952).
M. G. ~al.vadn'i .
eM ..L. Baron,
Methnds
Nume,ieal
diferenciais
.
for DIgItal Computers
Melilods.·in. .
de movi.
algumasconsideraçõcs
Enginecring
Vol<. I & 11 (Nova (Prenlicc-Hall"'lnc.,
Quando a aceleração inicial (ou força) não é zero, o processo mais simples é admitir que ela permaneça constante durante o primeiro intervalo. Como subzero não é disponível no computador digital, usamos sub I para os valores iniciais. Temos então
esquerda para ® e © onde I é agora igual a 2, e assim seguimos para a direita para calcular XI' Admitindo N intervalos de .tH, o caminho é para a direção NO e a iteração direita é repetida N vezes até I =: N + I, em cujo tempo os resultados são imp ressos. O programa Fortran para a computação é dado conforme o diagrama de fluxo.
:~2 == X, CJ.I __ X2
I ~ CJ.
T'\'
--
(4.74) FORTRAN
2
I
1=1
x
A aceleração I a ser usada na equação acima é determinada a partir da equação diferencial de movimento e suas condições iniciais XI e X I _ XI
I ()
= mF
I(
-
c. mX'
-
20
'\1
X2
1 XI
61
GO TO 30 2
1
+
I
GO TO 20
="
I
PRINT END
Prinl resulls
Se a aceleraçko inicial Xl é zero, a Eq. (4.7.4) resulta em x2 ::: 0, e o pro· cesso de cálculo não pode começar. Esta condição pode ser retificada pelo desenvolvimento de uma equação nova baseada na hipótese de que a aceleração varia Iinerar· mente de Xl para Xl durante o primeiro intervalo, como se segue .\', '.= .\' r
® (XI,
I) CJ.I)
STOP
!=1
']=
=
(1-
1.\, CJ.1 +- :~, CJ.I + x,
occ
l·"~l+
40
(x.tl
.(1\)=.,
+-
I(
GO TO 20
x(t,) = x,
@
l(xl,
2xl_, - XI_2 + xl_, Ât2 I F (/ ,=, N -I- I) GO TO 40
30
Um diagrama de fluxo para o cálculo digital é indicado na Fig. 4.7·1. x
=
IF (I.GT.l)
k mX\
O deslocamento Xl e velocidade Xl são então determinados pda Eq. (4.7-4) e substituídos na equação diferencial para Xl' Tanto X2 e X2 são então substi· tuídos na Eq. (4.7·3) para determinar Xl e o processo se repete. Usualmente, um intervalo de tempo 61 ..; 1/107, onde 'T é o período natural, é suficientemente . pequeno para resultar numa solução satisfatória.
ji
PROGRAM
• X2
1,+(!-H6tl
.
"2
-I- a CJ.I
_ .. ~ A ....• \,0.1
._ 2I X, -
...
liA "'Ta
A'
ul
ul
2
-1- (;Cf. I 0.1 A J
Eliminando a na última equação, tirando o seu valor da primeira. obtemos X,'
-}-",,6./' + {(-iz . I (I'"
Com os dados· fornecidos no bloco ® seguimos para o bloco ® que e a equação diferencial. Indo a © pela primeira vez, J não é maior que I, e daí seguimos para a- esquerda onde Xl é cak."Ulado. Aumentando r de I comptetamos a. itcraç:ro 1\2
•
.
'l; _.\I
,
')
I .\,
A
~'
~
'\:'.)
6.t'
:
Com Xl = O, a Eq. (4.7·5) e a equação diferencial têm de ser resolvidas por tenta· tivas e erros, isto é .
x,
occ
'\,'= rf;(x" O método
agora
Eq. (4.7-3).
é discutido
na Seção 4.8.
e
X2
A Eq. (4.7-3)
F2)
que é auto-iniciado,
Runge-Kutta,
Temos
Ót'
,\.'(,
A tabela
representados
;""3
X3
dá então
X4,
seguinte
gr.lficamente
pode ser computado
e o processo ilustra
a partir
é repetido
a seqüência
entre
da equação a equação
do cálculo,
d.iferencial.
difercncial
e a
cujos resultados
são
na Fig. 4.7-3.
Exemplo 4.7-1 Resolver
numericamente
as condições
iniciais
a equação = XI
XI
=
4x + 2000x = F(l),
diferencial
°
e F(l)
eomo estabelccido
com
na Fig" 4,7·2. "
100 F(t)~,
I I
"
,
'
,, , ,,
,
0----1.--'::"'"
I
,
,, ,
0.10
0,20
I
°
O.2()(
0,10
,,0,10 Figura 4.7·J. lF(r)
N~ste problema
t
lhemos
=
utilizaremos
0,030,
a régua de cálculo' para efetuar 1/10T,
que é aproxima~amente
a computação,
a fim de reduzir
a um mínimo
o número de computações. /\. eeíuaçã~ 'diferencial
nos dá a a~eleração 'que é
Com
X2
= 0.,0113 voltamos
à equação
.'(,=WOO) = . As quantidades
X2
e
X2
= 0,0113
="t(25)(0,03W
difer~ncia1 p3ra determinar,
,
25 -5,65
= 0-
xJ
~
"Da Eq. (4.7-3) x,
500(0,0113)
=
são agora substituídas
19,35(0,030/
'Da Eq. (4.7-4) x,
X2
1
°° °° °° °°
.\'
.f:l1rl
°
25 19,35 5,00 -11,60 -28,0 - 34,3 - 25,15 - 2,20 26,75 43,65 40,90 19,75 -10,30 -'35,70 -45,05
0,0225 0,0174 0,0045 -0,0104 -0,0252 -0,0309 -0,0226 -0,0020 0,0241 0,0393 0,0368 0,0!78 -0,0093 -0,0321 -0,0405
5,65 20,00 36,60 48,0 46,80 30,15 2,20 -26,75 -43,65 -40,90 -19,75 10,30 35,70 45,05
= x, /lt' = +(0,0225) = 0,0113 = -x, + 2x, + ·x, /lt' = -O + 2(0,0113)
.
+ 0,0174
'"
°
0,0133' 0,0400" 0,0732 0,0960 0,0936 0,060) 0,0044 -0,0535 -0,0873 -0,0818 -0,0395 0,0206 0,0714 0,0901 0,0683
= 0,040
19,35. Exemplo naEq.
2(0,0113)
0;0400'
25,0 25,0 25,0 25,0 20,0 12,5 5,0 O
O 0,03 0,06 0,09 0,120 0,150 0,180 0,210 0,240 0,270 0,300 0,330 0,360 0,390 0,420 0,450
8 9 10 11 12 13 14 15 16
J"';
X2
c esco-
1 2 3 4 5 6 .7
500",
(4.7-3)
+ x,
com
4.7-2
2 Resolver citado
pelo computador
digital
por um pulso triangular.
dições iniciais
~ problema
São as seguintes
de um sistema mola·massa aequação
diferencial
ex·
c as con-
X,
A força triangular
é definida
k
=0
='-(',
==
A resposta x versus t indica um máximo para x "'" 1,97 pol. Uma vez que 81T2 == 79,0 e Fo == 100, um ponto no espectro da resposta doProbl. 4.23
é verificado
como
(xk) F
na Fig. 4.7-4
o
Solução:
O período
natural
== '"''
1,97 x 79
==
100
•
1,54
do sistema é r ~.
2rc
2rc
W
= 4rc
-c
0,50
X; I-"
. O incremento reorganizada
de tempo
será escolhido
t == 0,05,
como
e a equação
diferencial
....:
é
w t: a:: 5:
como
-;:::
,
....•
A força processo
e a aceleração
computacional
sendo
zero
quando
com as Eqs. (4.7.6), X2
70
x2
tx2(O,OS)2
t == O, é necessário
~, começar
....•
o
que são
-
161T2x2
IS8x2
'"t:
,
Y2 •...•
>:
,
i:L
....•
'"
li:
•...•I
" :)'{
"
== SO -
:::.
+ N •...•,
:;:;
§
== O,000417X2
== 2F(0,OS)
)'( ''J
:)('
N
vi K
..,: .~ Lt.
....•
11
A sua solução simultânea
conduz
------
3 +
.~ 2
M até
diagrama
)'(
(0,OS)2 F(O,OS)
x2
O
....•
a
"C
81T2(O,05)2
46,91
do fluxo para a «omputação
está representado
na Fig. 4.7·S.
Com
== O,OS, a duração do tempo para a força deve ser dividida em regiões J == I S, J == 6 até 9 e J > 9. O indice J controla o caminho da computação no
....•
-;:::
•...•I
o o 10
diagrama.
O programa
Fortran
pode
ser escrito
de muitos
modos,
um dos quais está
indicado
na Fig. 4.7-6, e os resultados,
na Fig. 4.7-7, podem ser represeJ;ltados
camente
pelo
a Fig. 4.7·8,
computador,
conforme
Um b.t menor
resultaria
grafi· em
"
....•
;:;:
'" ::::?J ;:;: '"
N
r<)'
,i .....
:;:;
:;:; '" ~'", ....•
li:
'"....•"
\
)
I
)
I
)
:)'{
gráfico menos acentuado.
116
117
) ( )
• ~
-; \' )
~
• ••
,• ~ ~ ~ ~
•
l I
) ) )
VWRATIOII ISII 00G2 1StI 0003 1511 0004 IStI 0005 15t1 0006 ISII 0007 15:1 0008 1511 0009 1511 0010 1511 0011 !511 0012 rStI OG13 1511 0014 1511 0016 1511 0017 r Sll 0013 ISrI 0019 IStl 0020 1SIl ISII 0024 I SIl 0026 ISrI 0027 I SII 0028 1511 0029 I SrI 0030 1511 0031 1511 0032
oon
I I
11
1'ROBLEII
OHIEII510II X(25),OX2(25) ,r(25), 1'12"3.1415**2 OT"0.05 OT2"OT**2 X(1 )"0.0 OX2(1 )"0.0 F( 1 )"0.0 T(1)"O.O J(lH DO 1 1"2,25 J( 1)"1 T(I)"OT*(I-1) IF (I .GT. 2) GO TO 2 F (I) "500*OT* (r-1) 'X( rHOT2*F( 1) )((3+B*PI2*OT2) OX2( I )"2*F( I )-16*PI2*X( I)
T(25)
,J(25)
,VAR(25)
GO TO 1 2 IF(r .LE. 5) F(I)"500*OT*(J-l) IF (I .GT. 5 .A1IO. I .LT. 9) F(r)"200-500*OT*(l-1) 1F (I .GE. 9) F(I)"O.O . x( I) ,OX2( ,··1 )*OT2-X (1-2)+2*X( I-I) OX2( I )"2*F( I )-16*I'I2*X( I) 1 COIITlIlUE :IRITE(6,3) 3 FORMAT(41HI J TUlE OIS1'L ACCLRTlI FORCE) WRITE(6,4) (J( I), T( I) ,X( I) ,DX2( I) ,F(!) ,1"1 ,25) 4 FORMAT(3X, 12 ,2X ,F6.4 ,3X ,F6.3 ,3X ,F7. 2,4X ,F7 .2) PLOTTIIIG
1511 15/1 I SN 15;1 1511
0033 0034 0035 0036 0037
00 5 1"1,25 5 VAR(r )'X( 1)*10 CALI. I'L0T1(VAR,25) STOP [i/O
o
processo
apresentar
de computação resultados
Runge-Kutta
com
precisão
é muito
satisfatória.
popular, A seguir,
por ser auto·iniciaao uma discussão
e
resumida
da sua' base. TIME 0.0
OI5PL
0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500 0.5000 0.5500 0.6000 0.6500 0.7000 0.7500 0.8000 0.8500 0.9000 0.9500 1.0000 1.0500 1.1000 1.1500 1.2000
0.020 0.156 0.481 0.992 1.610 1. 968 1.799 1.045 -0.122
0.0
-1.240 -1. 869 -1.760 -0.957 0.225 1.313 1.890 1. 717 0.865 -0.328 -1.391 -1.906 -1.668 -0.772 0.429
ACCLRTlI
0.0 46.91 75.31 73.97 43.44 -104.25 -210.78 -234.10 -165.01 19.22 195.B5 295.19 277 .9B 151.04 -35.52 -208.06 -298.47 -271.05 -136.54 51.72 219.66 300. B9 263.33 121.83 -57.77
FORCE
Consideremos
a equação
diferencial
0.0 lP\, 111-',
25.00 50.00 75.00 100.00 75.00 50.00 25.00 0.00
dl-
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
I-
dI
dI
x e y, ambos na vizinhança de Taylor.
Fazendo
de Xi e Yj,
o incremento
0.0 0.0
'.
X,
0.0 0.0
I
Em lugar de usar est'as expressões, uma inclinação
j')
h =
ser expressos
.
em termos
da série
til
«f2.\' ) ~ dIZ < 2.
(ddIY) li i (~) dIZ
0.0
de um grau de Iib~rdade
. kx '~F(I)
podem
de tempo
li (d.\') dI ,I
0.0
O.U 0.0
d\' + ('_:"
dy "" }'(I
0.0 0.0 0.0
para o sistema
i
Z
h
12
é possível substituir
a primeira
média e ignorar as derivadas de ordem mais elevada
derivada por
X;
·1
y:c' Yi
1
x
Se tivermos
usado
.'C'-
4.3
(dX)dL
4-4
II
dt
o
método
exceção
,J..[(dY) '6'
i /lI'
dI
Runge-Kutta
f
dt
é muito
Ir torna-se,
média no intervalo
I,
I
....
são computados
T2
,,'
Tj
,
T4
..
I;
14-
Xj
.--:."Xi
I;
I h
.1'4
2
Yj
.l'i
YJh
Y,
- .l'i
-1- Y2 -
Xj
acima,
em dois termos,
como
pela superposição
com a
y
I F, e,[(T,. F
['
h
X,.
\2"
F2 h
2
Y,)
....... ·'-'0 ,.
i F,h
Xj• Yj)
r.
X"
I(T"
~[Y I ,6
Xi
.1';'1
~ -; J'j '\
1
2Yj
2Y,I
4-6
Sc uma força arbitrária
(4.8-5 )
F,l
(4.8-6)
I
j
clinação
que os quatro dx/di
média
média de dx/dl,
valores de Y divididos
e os quatro
como definidas
por 6 representam
de F divididos
valores
uma in-
por 6 resultam
numa
pelas Eqs. (4.8-2) e (4.8-3).
iniciais
f(t)
>
10
'__
é aplicada
diferentes
a um oscilador
de zero, mostrar
Mostrar
que a resposta
é rel'acionada 4-8
Mostrar h(t)
1l1W/1
a uma
função
à resposta impulsiva
que a in tegral
r'
I
úJn
4-7 onde se reconhece
...
,. xocOSW,,1 I ....'!.senw.I!-
x(t),
,I 2F, -I 2F -I-
~ l.
forma
1
~[F 6
I
1'4)
Y,]
1
para
não-amortecidas:
Y2)
Fj :. I(T"
sua resposta
F"\_._J_.__._.,
- .\'
F, ~, [(T2, X"
na Fig. 1'.4-5, determinar
das soluções
c quatro
tem condições Xi'II
indicado
i, como se segue
I'
.ri
2 h
degraus,
Fo e duração 10 é aplicado a um sistema Considerando ser o pulso a sorna de dois pulsos
de altura
não-amortecido,
"
Y,
Xi
,
h
I
mola-massa
.\:
.•
Y,
i!..
Y,
x,
rI
Um pulso 'retangular
J
às computações
para cada ponto Y
.ri
+ i~ 2
I;
'
..
X,
I;
dt
h 2
semelhante
x T,
(~J!.)
-I-
da Eq. (4.8-4) é dividido
de que o termo central
valores de I, x. y, e
4(dY)
ri
à resposta pico do sistcma mola-masFo, é WI/lp == 1T/~.
correspondente
por uma força degrau
a"
a inclinação
-I-
Ip
excitado
Mostrar que, para o sistema do l'robl. 3, a rc~posta pico é igual a
isto é
(dY)
que o tempo
sa amortecido,
1
i 111'
(ddIY) ;
a regra de Simpson,
Mostrar
I
•.
'o
f(ç)senúJ,,(1
degrau
unitária,
g(t) pela equação
de convolução
não-amortecido,
que a solução
-ç)r/ç
designada
g(i)
pode também
.'
que
deve ser na
por h(I),
"'~ li (t).
ser escrita em termos
de
como j(O)h(t)
.1(1)
I
r'
... ç) r/ç
/(ç)lz(t
, o
onde 4-1 Mostrar
que
mola-massa
o tempo
excitado
tp'
à rcsposta
corrcspondcnte
impulsivamente,
é
pico
para
o sistema
4-9
dado pela equaç,To
h (I) é a resposta
viscosamcnte
amortecido,
pelas transformadas 4-2 Determinar excitado,
o deslocamento e mostrar xpico
mola-massa
impulsivamente
==
graficamente
. (
exp
( . .-/1 --C' - ---
este resultado
20(1 -
a freqüência tg
_I
'~)
---
(
4-11
Si).
subsidiária
Avaliar o segundo
termo
para o sistcma mola·massa devido a condições
iniciais
inversas.
4-10. Um sistema mola-massa
que ele pode ser expres~o na forma
-.jkiii " _ ., F.
Representar
pico para o sistema
a uma função degrau unitária.
Na Scção 4.4, a Eq. (4.4-1) d,\ a equação
não-àmortecido
Determinar
natural
recebe u,ma excitaçãO
odeslocamento
do sistema é
wl/
rel~ti~o máximo,
== 10 S-I
y (i)
sabendo-se
== que
.
é considerado como a superposiçãO confom1e a Fig. 13.4-11. Mostrar que a solução é
Ul~1 pulso senoidal
base de
de duas ondas senoidais,
como uma função de \.
, ) I
)
(Xk) Fo
~=
1 (sen 2711 _ ~ sen !!!..) (T/2I, -- 2I,/T) T T_ I,
('f~'!'o') .,-, (T/21,
-1 21,/T) [(_ senr-2711 -
I -- I,
(
-I- sen2n --onde
T
21, -senn
-
T
sen'7711)
21, T-
I -
T
I
I,).
1,_
,
= 2rr/w. F 4-14
Com referência
ao Exemplo
4.4-2, determinar
o espaço de trepidação
space") necessário. no caso do sistema suspenso de 10 cps c da caixa cair de uma altura de 1,0 pól. 4-15
Um peso de 38,6 lb é suportado de 6,40 Ib/pol. Se
~\-1\
/\
\ \
/
'-'" I
I .•....
4·16 U,,, instrumento
_/
o deslocamento
delicado
é suportado
euja rigidez combinada máximo
por I1'olas dentro
o espaço
natural
livre entre o imtrumento
1,0 pol. Pergunta·se, se a caixa cai acidenU,!rnentc instrumento baterá nas paredes?
I)
natural
é
de modo que a base da;. molas é ao mes-
na Fig. PA·16. onde Slla freqüencia
ção de suportado,
2Fo( ----sen2nI -r k I, 2m,
("rattle
de m, e o tempo
I
\
me indicado
X=-
por várias molas,
sistema é suspenso
mo tempo livre e so!t;,. detenninar para a compressão máxima.
I \
(l
ter uma freqüência
de uma c,·ixa, confor.
e
de 10 cps. Na posi.
e as paredes da caixa é de de uma altura de 20 paI, o
,
T
I)
l1.
2Fo { I- - - I -I- -- T [ 2 sen- 2n ( I - -I, x =k I, 2m, _ T 2
- sen 2n -I J • T_
~ F
'-
~/ ,'/
I
I I
I
,
•......
"'"
I I
Fo
I
,,7 ~o
"
)
~
'--
I I
/
4-17
I I
Um sistema mola·massa exerce um atrito ção de base é
/
I •...... I I I I
WoZ
I
l'O
) )
) )
x 4-13
) )
2:o{2;d2sen~(1
Um sistema conforme
) )
~=
mola-massa a Fig. PA-13.
-
{li) -sen~1!.(t
desliza para baixo Ilum plano inclinado Determinar
o tempo
tato da mola até que ela desfaça novamente
122
- 1,)--Sen271+]},
decorrido
o contato.
I>
I,
suave de 30°.
entre o primeiro
con-
da Fig. PA-17 tem um amortecimento
constante
de força
f
_1_(1 -I- Jr......)([ úJ,l1
/lH"o
de CouJomb que
Mostrar que a solUÇão para uma excita-
CoSW,I)
-senW,1
4·18
Mostrar que a resposta pi-::o para o Probl. 4·17 é
O)"Zmu
:~c
"o
_1 (1-
t-
0),,1,
&)11 -
~(I
+ ~)
I t- 1 ,V 1 +0),,1
/111'0
( 1 -I-
1
li, ) I'
l"iIr;; J
o
I
espectro
da rcsposta
quc a resposta
para o pulso senoidal
pico ocorre
Mostrar que a resposta
na rcgião t
pico ocorre em t
> =
é indicado na Fig. 1'.4-21. Mostrar t I para pequcnos valores de t dr. ti, quando ti Ir = 1/2.
2,0
O~)01ax Dividindo-se
4·19
por
wnt1,
No Probl. 4·18, a força máxima
Representar
graficamente
car por t1lmvo
4·20
pode
Ji,-
em forma n;To-dimensional,
)'(=.""') 10'
ser representada
ft,/mvo. para ftdmllo
multipli-
ção de wnt,
igual aO,
que o espectro
da resposta
,ma'
graficamente
Figura 1'.4-21.
como
0,20
de wt
função
como
I,
4-22
fun-
Um sistema natural
e 1,0.
para o pulso retangular
na Fig. P,4·20 é dado por
(xk) i'~,
I,/T I
IW/lzmax/vO I e IZ01ax/1I0tll
Traçar
presentado
gra-
-I (0),,/1
J1l/'u
com parâmetros
Mostrar
pode ser representada
como parâmetro.
a m é
transmitida
esta quantidade
JJH'o
novamente
com ftdmvo
para obter
!:..!!2:1~ que
z01axlvotl
a quantidade
como fU!lção de wnh
ficamente
triangular, de duração
t!,
re-
com a duração
não-amortecido
com
Ele está sujeito
w = 16,1 lh tcm um período
a um impulso
de 0,40 segundos.
Determinar
de 20 lh/pol de forma o deslocamento
mo da massa, 4.23
No caso de um pulso triangular
2scn7!lu r
de duração
2.0
(Xk)Fo
(Xk)Fo
mola-massa
de 0,5 segundos.
O1aX
01"-'1,0
ti
/r =
1/2, a resposta
partir da equação
pico ocorre
em t
ti,
mostrar
que, quando
máxi-
I,r (I,~I,
~ 2 cos, --21Cf,(I. •. I, encontrada
- 0,5 ) - cos ~ •.Ir -
ao se diferenciar
a equaç,lo
Fig. 1'.4·23 mostra o espectro
4·24 Se o período pulso ti'
natural
a resposta
não amortecido,
WnZmu:
O
com
OJnt
1'0
>
I"
A
ao de duração
de
1
1
para o pulso triangular.
é grande,
pico máxima ocorrerá
Jr f(ç) o
mudarão
0'_'
comparado
na região
t
>
Para o oscilador
ti'
as integrais escritas da forma seguinte
x ---~ ~·(senw.1 Não
2lrl, -Ir - cos -r I,
para o deslocamento
da resposta
do oseilador
T
I)
-
para t
w"ç dç --
cos
cos
W"I
.
>
r
dçl
{(ç)Senúl"ç
~. o
t 1> uma
vez
que
nesta
= O. Assim,
região f(t)
fazendo-se a substituição
Asen if> ,-_o 0). a resposta
para t
>
t
A, Discutir a natureza 4-25
r"~f(ç)scn
do espectro
7';-
harmônico
da resposta
_~ _I_(W"I W"lo
_'
>
tino
simples,
com amplitude
para este caso.
sen
Probl. 4-26, mostrar
w.z\ r;;- ~o -sen
Um sistema mola·massa não-amortecido, m. k. é sujeito a uma força de excitação F(t), como Indicado na Fig. 1'.4·25, Mostrar que para t < to kx(t)
Se t
O).Ç <11;
• o
é um movimento
I
4-27
w:J~f(Ç)C0SW.Ç
Acosif>
W.I
4-28
Determinar
a resposta
4-29
Determinar
a re.spostatempo
4·30
Estabelecer um circuito não·amortecido excitado
+ úlol,
que a solução é
[COS
[senw" () 1 - 10
-
Wol
COS
úl" (I
-
10 )
1,0
xlE --
I
N
,0
N
-
0,6 0,4
y
'I.
y=
x~ "
--
.-
t
< ti'
mola-massa
o espectro
não-amortecido,
a Fig. 1'.4·26.
da resposta
Mostrar
é dado pela equação
m. k, é sujeita a
UI11
pulso
que se o pico ocorre
para
1
60 (l-51) ----
~
-
-l-
I
-- --
~t--
~ -
confonne
= 60e-o.,o
l--- -
1'."-..
" .
numérica.
para resolver o sistema Verificar o espectro da
I II
x
0,2
0,02
de velocidade,
numérica.
a integração
Excitação da velocidade
0,06 0,04
A base de um sistema
a integração
de computador analógico na base, do 1'robl. 4·26.
0,10
4·26
]
10
W"I)
] -I-.
COS W"I
-
para o l'robl. 4·22, usando
6 4
sen
I,
para o 1'robl. 4·10, usando
2 kx(t) .~ W"lI -ç;o
()
W. I -
.'"
~ í'•
{ ) i{r)"
Os espectros Fig. PA-30.
60('-'
10,
.('(1)
da resposta para as excitações
(lO(I
()
,51)
acima s;To indicados em escala na
() I)
4·31 Um sistema mola·massa tem a equação ,~.,
2.\'1
100.1'
O
com as condições iniciais x (O) = 1,0 pol c, x (O) = 3 pol/s. Diminuir a equa· ção do computador por um fator 10, c determinar o diagrama do circuito e os fatores de escala para a sua computaç,To eficiente.
SISTEMAS DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE
4·32 São dados os seguintés valores 'para um certo sistema de um grau de liberdade: 2 m = 0,122 Ib/s /pol, k = 6100 Ib/rol, c = O,lace' Escolherum tempo do computador que seja 500 vezes maior que o tempo efetivo e escrever a equação para o computador para uma excitação arbitrária F(T). Desenvolver ? diagrama do circuito em escala apropriada. 4·33 Escrever a equação de movimento para um sistema amortecido com excitação de base y(t). Traçar o circuito do computador analógico e mostrar com as quantidades z = (x - y) e x podem ser medidas.
5
4·34 Um sistema mola·massa com amortecimentos viscoso está inicialmente eri1 repouso com deslocamento zero. Se o sistema é ativado por uma 'força harmô' nica de freqüência W = wn = -Jk71ii, determinar a equação para o seu movimento. 4·35 Mostrar no Probl. 4·34 que, com amortecimento pequeno, a amplitude será elevada a um valor (1 - e-I) vezes o valor do estado permanente no tem. po t = li/nó. (ó = deeremento Ioga rítmico).
Um sistema é denominado de dois graus de liberdade quando requer duas coordenadas para a descrição do seu movimento. Tal sistema proporciona uma introdução simples ;lO comportamento de sistemas com vários graus de liberdade.
4·36 Supor que um sistema levemente amortecido é acionado por uma força Fo sen wnt onde w" é a freqüência natural do sistema. Determinar a equação para o caso da força ser subitamente removida. Mostrar que a amplitude decai para um valor e-I vezes o valor inicial, no tempo t = I/fl/ó.
Um sistema com uois graus de liberdade terá também duas freqüênei'ls naturais. Quando ocorre vibraç.To livle com uma destas freqüências 'naturais, eXÍ!'.te uma relação definida entre as amplitudes das dU;ls coordenadas e, a coníigur;lção é referida Como o /Ilodo //ormal. O sistem;l de dois graus de liberdade terá então duas vibrações de modo norm;ll. correspondentes às duas freqüências naturais. i\ vibração livre iniciada sob qualquer condiç;To será geralmente a superposição das duas vibr;lções de modo norm;ll. Entretanto. vibração harmônica forçada ocorrerá na freqüência da excitação, e a amplitude das duas coordenadas tenderá para um máximo nas duas freqiie'ncias naturais.
Consideremos '0 sislema não·amortecido da Fig. 5.2·1: Usando as coordenad~s e X2, medid~s a parlir d~ rererênci~ inercial, ~s equações diferenciais de movi· men to p~ra o sistema vêm a ser
XI
mX1 2mx2
=
-k(x,
= k(x,
w_
-- x,) -- kx,
=~ .1.:"
A substituição amplitudes.
I::l (x,-x,lr:;:l2 ~~--
Definimos
k
é submetida
agora uma oscilação
ao movimento
A substituição
de modo
harmônico
mente pela posição de equilíbrio.
:::...:A1ej(J/t
x2
=
(2k -- w'm)A,
-kA
I
+
àquela
freqüência,
na qual cada massa passando
simultanea'
Repetindo,
-
kA,
OO-~
mente
!
.1.' -
( 3-mk)
.1.+ -3
O
"o"
130
para asfreqüêllcias
2,366k/m,
'(AA: )'"
,_co
2k __
das
ao primeiro'
modo
obtemos
k wlm
=2
._
I 2,366
=
-2,73
ao segundo modo normal. Mostramos
nom1ais. No primeiro,
as massas movem·se
w: =0,634-
O
==
O Exemplo
em oposiçlfo
grafica-
as duas massas movem-se ou fora de fase, uma em
,2,366
':2
naturais do sistema são
k
m
5.2.1
Considerado
e os val~res encontrados
a razão
~
Ilk
.1.,=" (~ + -} -/T ) ~
achar
I =" 2 __ 0,634 ~= 0,731
w;m
=
em fase. No segundo, relação à outra.
.,= O
(k- )'
2 m
k
w~
para
nos pem1ite
ou perfil do modo, correspondendô
na Fig. 5.2·2 os dois modos
kl-
(2k - w'm) -k (2k _ 2w'm)
na Eq. (5.2-3) obtemos
para o perfil do modo que correspçmde
resulta em
(2k - 2w'm)A,
valores
que é a razão de amplitude normal.
A2ehut
diferenciais
destes
w i = 0,634k/m,
2k -
para tal movimento,
XI
Para
= .1.i" = !2 , 366 k _m
kx,
normal
da mesma
Fazemos,
destes nas equações
111
-- x,) -- kx,
w,
kx,
. 0,634jO:634f
co,
I
e computar
o sistema
da Fig. 5,2-1,
as freqüências
naturais
fazer o par de molas ao centro e os perfis dos modos .
igual a
Variando
o valor
(W2/WIl)2
n,
de
os seguintes
são estabelecidos
(wdwll? pernlanece
valores
e traçados,
numencos
conforme
(WI /WIl)2
e
a Fig. 5.2-3. Observamos
para
que
Exemplo
quase constante.
FreqÜências
de modos normais,
n
k,
(w,/wlI
que não está sob
posição vertical.
como função de n
(w,/w,,)'
dois pêndulos tensão
Determinar
quando
acoplados
por meio de uma mola frágil
as duas
hastes
dos pêndulos
estão
na
a vibração de modo normal.
)'
t,O 1,641 2,366 3,850 6,840 15,83 150,8
0,50 0,611 0,634 0,650 0,660 0,666 0,666 0,666
O 0,5 1,0 2,0 4,0 10,0 100,0
5.2-2
A Fig. 5.2-5 representa
Solução:
Admitindo
e tomando equações
w
como
os momentos de movimento
positivos
em relação para pequenas
deslocamentos
angulares
de suspensão,
obtemos
anti-horários, as seguintes
oscilações:
mg/e, _.. ka'(e, .....eJ
m/'ã, m/'ã,
'
os
aos pontos
. mgf(),
-1-
ka'(O
I
:.
O,)
(w,"J
(A~
,)")
L __ I Tn-
_
2
2( W,W,' / )'
,', cos
O,
A,coswl
ff
w,
n
O,
(~r' .A na Fig. 5.2-4.
se
n
=
4,
os dois modos
normais
são como
estão
representados
Nestas
condições,
não é estendida.
(~r) 11,
1,0
mola
no primeiro No segundo
de acoplamento
Exemplo
modo
os dois pêndulos
movem-se
em fase e a mola
os dois pêndulos
movem-se
em oposição
envolvida
com
um nó no seu ponto
e a
médio:
natural" é mais alta.
5.2-3
Se o pêndulo ções
-1,0
modo,
é ativamente
Daí resulta que a freqüência
k a' JJl./ .,~mT'
.
W,
2
Por exemplo,
wl
iniciais
acoplado diferindo
do Exemplo daquelas
5:2-2 é posto
dos modos
em movimento
normais,
com condi-
as oscilações
conterão 133
simultaneamente
ambos
'lôTcÍ'lÍssIToo-1(O)
os modos
= A e,(I)
fenômeno
normais.
·iA cos OJ,t + iA ~~ 11. COS OJ,I - iA
o caso da mola de àcoplamento de batimento
Por
exemplo,
O, as equações
=
=
8,(1) Considerar
c 0z(O)
COS
OJ,I
COS
OJ,I
ser muito
se as condições
de movimento
serão
Solução: Qualquer
.\"""
fraca, e mostrar
que um
Deve-se notar modo
A l/A
-- úl )
2
e,(1) ~ - A sen (w ' --2
cos
'I
W ")
+W ) -'-2--.
CO (
~en
aqui
normal 2
oscilam
I
livre pode ser considerada
Assim, os dois deslocamentos'
.\", "A sen
ocorre entre os dois pêndulos.
e, (I) == A cos (w
vibração
dos seus modos normais.
modos
(W +2 W 'I)
quatro'eondições
I
permitem
normais.
à direita
do segundo
a mudança
do tempo
A, B,
como
1Jf,) IJfJ ao primeiro
de amplitudes
é também
perfil do modo nOfmal. Os segundos
a vibração
As constantes
ser expressos
correspondem
Sua razão
WI'
B dBz
com razão de amplitudes
Wz
com
Bsen (co,'
termos
natural
I, que é o primeiro
à freqüência
simplesmente
1
freqüência
=
em conformidade
A sen (OJ,'
++-
Bsen (co,'
'-0
que os primeiros
na
= A/A
+ 1Jf,) + 1Jf1) +-
(OJ,I
como sendo a superposição podem
1/11
modo
= -
B/E
normal. As fases
termos
= 1/11
e
1, I/Iz
de origem e não alteram o caráter dos
C
são suficientes
1/12
iniciais, as quais podem ser escolhidas
para satisfazer
as
arbitrariamente.
wz) é muito pequeno, Ol(t) c 02(1) agirão como eos (WI + w2)t/2. W2 t)/2 com amplitudes variando lentamente, conforme mostra a Fig. 5.2-6. Visto que o sistema é eonservativo, a energia é transferida de um pêndulo
Já que (Wl
-
e sen (WI
+
para outro.
',~~4S
A sen 1Jf, ~ 2,5
"o~«Çfffsp
Diferenciando
,
a Eq. (a) para a velocidade
O
m
w; :iJ.
A,
e molas
do sistema
e k como indicado,
k III
representado
na Fig. 5.2-7
O obtemos
e fazendo
C"' co, A cos 1Jf, 0),
são igualadas
A cos
=
'11,
0),
+ 0),
Bcos 1Jf,
B cos 1Jf,
O
ou
1Jf.
cos 1Jf, = O
ou
1Jf,
cos 1Jf,
Exemplo 5.24 a
-2,5
equações
O,,,
Se as massas
=
Bsen 1Jf,
= =
90° 90°
os modos normais vêm a ser
wi
3k
~
m
~:
m
m .
-.~
xI
=, 2,5 cos
x,
=
}+-x,+--x,
A,
:4--;
·--1
x,(O)
=·5
.~,(O)
Figura 5.2· 7
O
.\",(0) ~' O :ê ,(O)
0.00
O
{X,} X,
Ifm- + -(
2,5 COS
2,5 cos .''k I_I - 2,5 cos
" 2,5
'Y m
{I} I
cos
.
V(k n:/ .m
2,5 {-
fikm JI1km
-I
..l-{
I} l'
cos
V!3k f;;f m
duas outras
k
I,
k2· Trata-se
de um sistema
sárias duas coordenadas As equaçõesdifereneiais
de movimento
são em geral acopladas, no sentido
para o sistema
de que :ul1bas as coordenadas
equação. No caso mais geral, as duas equações a forma seguinte
+ 11112:\:2 + 11122,\::,
11111'~I /112,,'(
que revela imediatamente
,
de dois graus de liberdade
para o sistema
aparecem
em eada
n:lo-;nl1ortecicJo
têm
possível
+ k, + k ~2X2
t- k"x, -/ k2,x,
o tipo de acoplamen'to
acoplamento,
também cinética
T ou U. A escolha de coordenadas podem estar presentes.
estabelece
possível
encontrar
um sistema
ser resolvida
separadamente
Massa ou acop!a/l1cnto
a partir
que eles sejam o tipo
.Aeoplamento
Estático.
Escolhendo
mento linear do centro de massa, observa na equação matricial
que não apresente
I(k
denotam
encontrados
de acoplalllento
são desacopladas
Tais coordenadas
das coorimediata-
ou acop!amcnto dinâmico
de massa e rigidez. ~assa
de massa é não-di:lgonal,
das expressões
em cada expressão
de coordenadas
;rsequtiçõés da outra.
a partir das matrizes ~;sall1atriz
que pode ser determinado enquanto
que rigidez ou acàp!a-
de rigidez é não-diagonal.
I: possível
também
O
presente.
cruzados
dependendo
formaõC'lícoplãmcntõ:-Nestêéâsõ,
mente existe
visto que são necesA escolha
O
o tipo de acoplamento Produtos
ou estático,
E
dinâmico
estabelecer e potencial.
o tipo de acoplamento
seu movimento_
que haja as duas formas de acoplamento.
(IIão-diagonal, ao passo que rigidez ou IlcoplaInento estático existe se a matriz de rigidez é não-diagonal.
E
definirá
mento estático existe se amatriz
dil!~~'? __ .c.?'is~e.se:I_1DaJrt~dç.1I1as§a
para as energias
denadas
de dois graus de liberdade,
para se deserever
I
i (k,l,
em
x e O, sendo
as coordenadas o sistema
terá acoplamento
x o desloca.
estático,
como
se
k,) k,l,)
e ambos
qualquer
e cada uma pode
são chamadas
coordenadas
principais ou coordenadas normais. Embora seja sempre praticável sisterna-não-amor'tcêi,fo,esteniior5 A;;q;;;;çõ~~-;;tri~'i;i~;~guintes co e estático
desacoplar.a:, equa~ões ..de .movinlento.parao •sempre o caso para .um. sistema amortecido.
Jc Se na equação
acima
cional (proporcional
Cl2
=
à matri~
C21
=
0, então se diz que o amortecimento
de rigidez
ou de massa),
e o sistema
é propurde equações
torna-se desacoplado_
A Fig. 5.3·1 mostra com seu eentro
urna barra rígida com seu centro de massa n.lo coincidente
geométrico,
isto é,
/,
oF
/2, e suportada
por duas molas,
C
e vibrações
O.
Aeoplamento
1/1<'
ponto
x desacoplado
cada normalmente à barra produz translação simples, isto é, k I/J, = k;-Ç f'~de.~e iííàstrar que são as seguintes as equações em termos de Xc e 0--------· ----- ..-- ..
to.
11:' .dgum
e obtemos
um sistema que tem- ós aC;Jplamen [os dinâmipcla matriz de amortecimen
Din;imico.
desaparece,
são acopladas
mó~íram
zero, porém as coordenadas
Se k, I I = k 2 12, o acoplamento
ao longo da barra onde .; força arl,i:
IF~} lO
(k,/~
o
I k2/~)
-J{xc0-'}
°
{}
)
) )
)
que mostram
terem
as coordenádas
e introduzidó
o dinâmico.
~,,()plamento
Estático
escolhidas
eliminado
o acoplamento
estático
)' )
'bar~;,-~s equações
e Dinâmico .. Se escolhemos
de movimento
x
w,
= 6,90 rad/s = 1,10 cps
w,
= 9,06 radjs
=
1,44 cps
tornam-se
)
(7f")""
) ) )
)
? ) ) )
Determinar os modos normais de vibração de um automóvel simulado pelo sistema simplificado de dois graus de liberdade, com os seguintes valores numéricos.
)
/, =
) )
Jc = W r' g
)
r = 4 pés
4,5 pés
/, = 5,5 pés
k,"~
2400 lb/pés
k,
2600 lb/pés
c=
(.:~t,~~1,09 pésjrad
= 0,288
poljgr~u
)
) )
) )
Consideramos
)
Supondo
)
mx
)
-I- k,(x -- I,e) -I- k,(xl
JcÕ -,- k,(x ,-- 1,0)/,
1,0)
+ k,(x + I,e)/,
)
) (k, ! k, ":-w'm) [ , -(k.t, -- k,l,)
)
)
138
-l{"}
-(k,l, --k,I,) (k,l;\ k,n ·_-w'J,>. e
° O
aqui
um sistema
que o movilllento
excita'do
por uma
seja r~presenlado
°1{X',~,} 111,.1
I
['lik" , ,
força
pela equação
harmônica matriciaJ
'J{"J {F'lI
12
k,
k"
,,_e
x,
.0
scn
úJ{
FI
sen wt,
ri
(k"
--- 111/»2)
_
k
k'2 (k22
'2
---
-j{X,}
m,w').
{F,}
1II
o
X,
'F'}
o
i.
Ii ()
1\"
nl
j
Fo' } sen
::>
c Deste w~
modo, 3k/lll.
E conveniente
temos
WJ
e W2
são as freqüências
dos modos
normais.
k22
=
as Eqs. (5.4-6)
aqui o desdobramento
parciais. Obtemos
onde
k'l
Portanto,
para X
(r){
{
.\'::
2k;
=
kJ2
= -
k21
k;
w;
da Seç, 5.4 tornam-se
de cada uma das equações
acima em frações
J
Visto que a Eq. (5.4-3)
torna-se
,~ _1_[(k {X,} X, [Z(w)1
22
\' ,
_ I
-
-
2 /Il2W )
-k'2 - lI1,(2)
·-k'2
(k"
(kn
..- lI1,w')F -- w')(w~ . - W2)
1I1,1II,(W;
c
]{F}
..// De forma sernelhante, fazendo W = W2
Uma forma alternativa
é calculado
C2
pela multipliéâ'Ção
por
(w~ /
de
X
1
(2k ---
2
-....--_.
. r _..J._' -.--::---....,!....
;I1(2)F"
-'
/-JI1'(CÓ;'·o.:
é e~iã~
'\
.v-
I
-
'wD'_":'-',~íl1 ,:', .',
5.4-1
Aplicar as Eqs. (5.4-6) da Seç. 5.4 ao sistema representado ml
II1W; lF] _ - w;) - '[;;,
1II'(wj
O
c Exemplo
r,
-=- ~ ~~ , ,-
na Fig. 5.4-1 quando
é excitado pela força F J sen wt. Traçar sua curva de resposta da freqüência.
F [-rkl
X2
F [21. I
,. "
I'
-, (W/W,)2
J
I -I- 3 -- (w/w,)'
(w/w,)'
I -
3 -- (W/WJ2
]
wy
__ ----------
e admitindo
o movimento
ser apresentada
xk
4'l
A Figura 5.5·2 apresenla
~--F
I,
melro.
Note-se
de Iibcrdade"
2,0 -
',I
a equação
para a amplitude
XI
pode
F
x k
1'1
3,Of
F
--~, ---
I
eomo harmônieo,
como igual a
de J.t 1,0
3,0
O
==
cxistem
=
1
J.t
desta equação,
(W22/Wll)2
duas freqüências
.
naturais.
com
J.t
==
/n2//Ill
cumo parà·
Visto que o sistema é de dois graus Estas sãu representadas
em função
na Fig. 5.5-3. Até
W
w w,
um gráfico
kdk
que
W22,
agora
nada
sc disse
sobre
u tamanho
da massa
do absorvedor.
XI = 0, mas a massa do absorvedor
a amplitude
é submetida
Com a uma
amplitude
- 1,0
II
:1
,-- - i~ I--r I
- 2,0
I'
I
- 3,0
~I""o
1 4
.-----")
:1-
.
:\
tal que (I
t•. }
movimentl)
mola-massa ~',
k2/m2,
k2•
da massa principal
__ k 1.(j) ~ !
n/j
/n"
atuará
,eu],
afinado
com
a freqüência
como um absorvedür
m J • Fazendo
da força
de vibração
+A;
,\
I
I
w,, W- -__1,0 __
I \
I
0,8 \
Um sistema
i~+J-1!'=0,2f II
I \ ~ - t \ "
..-
1,25
\
o
11
' ••••
r
-..-
excitadora
e reduzirá
a zero
a substituiç.lo
'3." 1111.
o sistema absorvedor Nestas condições,
k2,
1Il2
o tamanho
exef(;e uma força igual e contrária de k,c
/Il2
depcnde
à furça perturbadora.
du valur admissivel
de X 2'
/I. Figura
1,6
Ele é um sistema oscilações
1,4
não linear
centrífugo,
de dois graus de liberdade.
a ângulos pequenos,
reduzindo
Todavia,
limitaremos
as
assim a sua complexidade.
Fazendo as coordenadas. no ponto O' paralela e normal a r, a reta r gira A aceleração de m é .igual ao vetor soma da com ve IOCl'd a d'e angu j.ar (O' + ,.;,) 'I' ' aceleração de O' e a aceleração de m rc1ativa a O',
1,3 1,2
-----31 ;: J
Illostra () essencial de Ulll péndu\o
S,(,·j
1,1 -
[RÕ sen rP
RO'
rP
ws
r(O!
, [RÕ cos rP ! RÓ' sen ri)
~)'Ji
I r(Õ!·
~)J.j
Visto que o moménto- em rc1ação a O' é zero, ternos
rP
III[UÕ cos 0,1 0,2 0,3 0,4
0,5 0,6
Razão de massas
Admitindo equação
que
rjJ seja pequeno,
A força atuando absorvedor
de vibração
da Seç. 5.5 é eficiente
Para um sistema
rotativo
Nestas
condições,
como o do motor
à velocidade
rotacional
para que o absorvedor
ser também proporcional são idealmente adequadas
apenas
de automóvel, /l,
a uma freqüência,
os torques
de
fazemos
cos t/J
(Rr 0"),1. . 'i' é a força do pêndulo,
na roda grande
que é dirigida ao longo
r.
de exci.
que pode variar numa larga faixa.
seja eficiente,
sua freqüência
à velocidade. As características para este propósito,
do pêndulo
natural
deve
centrífugo
o
momento
pequenos,
onde
desta força na roda grande é
T é o torque perturbador
r
somos
da roda
rotação
seja uma
senq"
de modo que, admitindo
incapazes
a solução de efetuar.
constante
/l
simultânea Suporemos
O'
,
o=
/lI
() =
11
Õ
das Eqs. (5.6.3)
+ Oosenwl + wOocoswl
= -W20o sen wl
~
/l
e ~5.6.5),
então .que.. o mov~ento
mais uma pequena
forma seguinte
F
ângulos
na roda grande.
O e q, requerem
o que obviamente
FR
é
a segunda equação
Os ângulos
,/1/
O/
O
~)]r
de eada lado de "'-'22, é muito
W
tação s50 proporcionais
1'(0,1
para o pêndulo
.. rpl o
UÓ' sen q,1
0,7 0,8
/l
= W22• Além disso, com freqüências ressonantes limitada a utilidade do absorvcdor mola.massa.
i
oscilaçao
senOldal
na
giram livremente
A Eq. (5.6-3) torna-se então
- + (R)-;:
!fi
li'
'"
=
(R + r) -r-
b, quando w200sen wl
Quando oscilações. dência
no eixo e que são aeionadas
a pressão normal é exercida devidamente
Entretanto,
de aumentar relativo.
inércia,
A dissipação
ta desta forma altos esforços Admitindo
uma solução de estado permanente
Apesar
continllamente,
II'R
--w' r
00
durante
para deslizamento
a qual W = 11
indica
claramente
que
a o>cilação
Oo
da roda
torna-se
zero
grandes,
tecedor
de vibração
dissipa
vibração do tipo de atrito, . em sistemas torcionais vibração
nas velocidades
de vibração
à energia. conhecido
como motores críticas.
que se opõe à força excitadora,
A Fig. 5.7-1 representa pelo nome de Lanchester,
do amortecedor complicada.
a gás e diesel, na limitação
O amortecedor
consiste
de emprego
a dissipação
resultando
máxima
em eficiência
das amplitudes
de dois discos
11
de
e evi-
torcional,
a análise matemática os discos podem
do
deslizar
nada, isto na dependência
de energia e o amortecedor
de energia
ocorre
torna-se'
sob alguma
pressão
.
T
= J
Jilgura 5. 7·2. Amortecedor torcional sob deslizamento continuo. Para dar uma idéia do problema,
de
que
do movi-
de oscilação
ótima do amortecedor.
I~
o amorprático
a ten-
o eixo, em
peio atEito resultante
Por exemplo,
ou nula, não haverá dissipação
quando
um amortecedor
os discos não acompanham
de torção no êixo.
Inclinaçao
com o absorvedor
em pequenas
do eixo apresent~
parte do ciclo ou absolutamente
v' R/r.
Em contraste
torcionais
o eixo
p'clas molas das cavilhas. Se a pressão no anel de atrito é excessiva
inútil. Evidentemente, intermediária,
c.
com
de energia limita assim a amplitude
é um tanto
da pressão exercida
por meio dos anéis de atrito
giram
e a energia é dissipada
da simplicidade
seu comportamento
tudes torna-se
os discos
as oscilações
e se tornarem
razão da sua. grande mento
regulados,
quando
somente
pelas molas das cavilh~s
que
os discos
oscilando
deslizam
continuamente.
nas proximidades A accieração
será em conseqüência
do disco, representada
dos discos será crescente
enquanto
a do eixo passar a inferior, O trabalho
efetuado
w' é a velocidade
indicado
na
T, enquanto
da curva de velocidade,
J é o momento
de inércia dos
por urna série de linhas retas. A velocidade
a velocidade
do eixo for superior,
e decrescente
pelo amortecedor
f Tde ,~ T J 0/ di
relativa', é igual ao produto
do torque
T
e a área hachurada
T grande e grande para T o máximo de energia é dissipado para algum valor intermediário de T.*
da Fig. 5.7-2. Considerando pequeno,
pela inclinação
conforme de atrito
o caso em
do eixo esteja
de acordo com o que mostra o diagrama.
IV ,= onde
média,
do torque
e igual a TjJ, onde
será representada
resumidamente que o bosso
angular
sob urna ação constante
constante
discos, e sua velocidade quando
Admitindo-se
~a sua velocidade
Fig. 5.7-2, os discos estarão deslizam.
vamos considerar
que ~sta área é pequenip~ra
• J. 1'. Dcn H"rlog c J. Ormondroyd, "To~sional-Vibralíon Dampcrs", Trans. ASME APM-52-13 (sctcmbro.Jczcrnbro, 1930), p,ígs. 133-152.
Obviamente, de oscilação
o amortecedor
deve ser colocado
seja a maior, a qual geralmente
numa posição onde a amplitude
se encontra
volante principal,
uma vez que o nodo está usualmente
o
de Vibração
do lado do eixo distante
onde 00 c 'Po sJo amplitudes resul ta em
do
tal corno o motor
de automóvel,
nais são proporcionais uma freqüência
à
desta natureza,
nizado rotativa
dentro
numa
de uma
e o pêndulo
centrífugo,
'perturbadoras centrífugo
l\,,-
para oscilações
o amortecedor
cilíndrica,
a Fig. 5.7-3. Tal sistema é geralmente
de ordem torcional
Ele consiste
cheia
incorporado
h
Ilas equações
diferenciais
com
fluido
'.I
, "
torciode que
i~'C1!O
da perturbação.
Jd
"
viscoso 11ão sinto-
viscoso,
conforme
Eliminando torna-se
'Pó
entre
as duas equações,
a expressão
da polia, na extremi-
dade de um eixo de manivela, que aciona a correia do ventilador, denomiIlado corno o amortecedor HoudaiUe.
il'w _ Mo -T!fl" - T
.1'01'10 or')' ~ [..,
mais de
em Urna massa livre
no interior
.I
1
rotativo
tem a desvantagem
com o número
larga faixa operacional. cavidade
Em um sistema
de rotaç,To. Entretanto,
e sintonizados
com o pêndulo
é eficiente
Não-Sintonizado.
as freqüências
velocidade
vários deles são necessários Em contraste
Viscoso
sua substituição
perto da massa maior. '(
Amortecedor
complexas,
e é muitas
vezes
O o da polia
para a amplitude
(01'.Id iro)) ! ic01[01'.Id
[cü'.Id(Á'--J01')]
I'
I'
= -- 21m (',
°,0°/ 1
/
4Ç'
fl'(w/01Y ! --. '\fl --'-(01-/01-" )-,-(-, --0-) -,/-01~-;-)-'-i ~4~~'~f.u-(-w-/-O-),,-)~2-'--(-I~--w-'-/w--;~) J2
Af o
a qual indica que Se 11 Podemos
examinar
o amortecedor
de dois graus de liberdade,
ao considerar
como fIxo numa extremidade
do fluido dentro
harmônico
o amortecedor
Moe!Wl.
da cavidade
não sintonizado
o eIxo de manivela,
e com o amortecedor
do eixo igual a K pol I b/rad, por um torque
viscoso
ao qual ele está ligado,
nà outra. Com a rigidez toreional
pode ser considerado
O torque
do amortecedor
da polia, e suporemos
corno um sistema
como excitado
resulta da viscosidade
que ele é proporcional
dade rotacional relativa entre a polia e a massa livre. Desta forma, de movimento paJa a polia e a massa livre são ,
à veloci-
as duas equações
I KOo/lv!o I é
é mantido
(w/W/I)' a curva para qualquer sistema
de um grau
de \ == amortecido nesta
°
uma função
con1:tante \
de liberdade
e
aparecerá com
+ KO + .IiiJ -
dÓ -,
rp) = Mllci
dÓ - rp) = ()
•••,
um único
Y
Se
\ ==
00,
a massa
=
cimento
ótimo
O resultado
\0
.."
de
similar àquela de um
pico. Os dois valores
extremos
\ == 0, temos um sistema não KjJ, e a amplitude será infinita e a roda
um sistema
pode
Lanchester
moverão
não amortecido,
da seção anterior,
para o qual a amplitude
pico é um mínimo,
ser apresentado
um gráfico
como
juntas porém
ótimo é igual a
I
./2(1
+ ti)(2 ~fIi)
há um amorte-
conforme
dos valores
a Fig. 5.7-5v
11, conforme
0IlC'"'' !fluei
e (w/wn).
11
urna função
y
Pode-se mostrar que o amortecimento
0=
como
forma
do amortecedor
como uma massa única e novamente temos com freqüência natural de k/(J + Jd).
função de \ para qualquer
!fl
é traçado
de alguma
e \ == 00 são de interesse. Quando com freqüência ressonante Wn ==
freqüência.
L
de três parâmetros,
I KOo/Mo I
Desta forma, como o amortecedor
lÕ
"
a Fig.5.7-4.
pico corno
uma
obtemos a expressão para ~o. É evidente que ..estas conclusões aplicam-se também ao sistema mola·massa da Fig. 5.7-6, o qual é um caso especial do absorvedor de vibração amortecida, com a mola do amortecedor igual a zero.
Figura 5. 7-4. Respusta de um amortecedor.
visco,\'O llrió
(todas as cUrl'as passam por
sintonizado
I'J.
Uma roda e eixo rotativos com m?mento angular H podem, sob certas condições, introduzir um momento giroscópico, acoplando desta forma deflexão e inclinação para criar um problema de dois graus de liberdade. Ilustraremos este efeito com uma roda girando num eixo em balanço, conforme a Fig. 5.8-i.
~~.. --F-j~ .. ··:S..wl! .
.
,'0'
.
..
"'coso
Se a velocidade rotâtiva do eixo é w, seus componentes, paralelo e nomial à face da roda, são w sen O e w cos O. Assim, os momentos angulares nessas direções são Jdw sen O e Jpw cos O, onde Jp e Jd são os momentos de inércia da roda ao longo do eixo polar e seu diâmetro. . Resolvendo esses vetores ao longo da direção de w e na sua perpendicular, o componente normal a w é
Podemos chegar a estas conclusões observando que todas as curvas da Fig. 5.7-4 passam por um ponto comum P, qualquer que seja o valor numérico de \. Assim, igualando a equação de I KOojM i para = o e = encontramos a Eq. 5.7·8. Então, a curva para amortecimento ótimo deve passar por P com uma inclinação zero, de modo que se substituímos (wjwn)2 = 2/(2 + J.1) na Eq. 5.7·6 e a igualamos à amplitude encontrada na curva não amortecida para a mcsma freqüência,
r
150
r
Se o plano de deflexão do eixo gira excentricamente com velocidade angular WI' é necessário um momento na ,roda igual·a Hnwi, não sofrendo alteração o componente de H paralelo a w. Um momento contrário- está então atuando sobre o eixo
00,
Para considerar este momento na forma de' dellexão do eixo, expressamos as equaçõcs para a deflexão e inclinaçãO na extremidade do eixo
onde os coeficientes de F e M são funções de influência de deflexão e inclinação devido à força unitária ou momento unitário atuando sobre a extremidade do eixo, e F e M são a força e momento na mesma extremidade. A força F é simplesmente mwfy e M ébináriogiroscópico' - (Jp - Jd)ww\O, de modo que as Eqs. 5.8-3 tornam-se
Vimos na Seç. 3.4 que para 'uma roda ou disco com um desequilíbrio, li velocidade excêntrica WI pode ser igual a w. Assim, a equação de freqüência pode tomar a forma
14
Q
3Jd =ml'
o
método de diferenças fmitas da Seç. 4.7 pode ser estendido facilmente para a solução de sistemas com dois graus de liberdade. O 'problema seguinte ilustra o processo, sendo programado e resolvido pelo computador digital.
A Fig. 5.9-1 representa o sistema a ser resolvido. A fun de evitar confusão com subscritos, chamamos os deSlocamentos por x e y.
Para uma roda que se aproxima dé um disco fino, Jp qüência se reduz a
k
1
k2 /Il1
=
= 100 Ib/pol = 0,50 Ib s2/pol
/112=
F
Visto que, na ausência do binário giroscópico, a freqüência natural do sistema é wy = 3EI/mZ3, podemosreescrever a equação de freqüência como .
200 Ib/pol
=
0,20 lb s2/pol 100 lb (função degrau) {
F =_ O para t Fpara t
< >
O O
-J
W'. -.I ,
'4 Wo,( 1
I I),
--
rx
W2
4. --w rx
1
=O x Os subscritos para x e y
~)Ilde' IX '7' ~Jd/mZ2 pode ser visto ,como um termo de acoplamento. A Fig. 5.8-2 mostra a relação entre (W/Wy)2 e a. Para valores muito grandes de a, a razão O/y aproxima-se ,de zero e a freqüência natural do 'sistema tende para o valor w= 12EI/kZ3.' ,. .
-J
152
,"C'
;~
,~c
y
= j'
"'" F
=
O
indicalTI então a seqüénç:ia de tempo d~ computação:
As equações de movimento são 0,50i:= -200x 0,20 y
=
-Ioo(y
+ loo(y -x) - x) + 100
y(1)
Escolhemos por esta razão um valor arbitrário f::>.t = 0,020 s. !.'Iota-setambém que as aceleraçõcs inieiais são XI = O e YI = 500, o que nos obriga a usar a Eq. 4.7-4 para y e a Eq. 4.7-6 para x. Utilizando YI = 500, temos
As quantidades equaçõcs
X2
e
X2
têm de ser determinadas simultaneamente a partir das
Xl
o
0.-
33.33)'2~t2 I -i, 1()()~2
diagrama do fluxo para a computação é apresentado na Fig. 5.9-2 e o pro· grama Fortran está expresso na Fig. 5;9·3. A Fig. 5.9-4 apresenta os resultados computados e os gráficos relativos a x e y. 154
I srl 0002 1,11 0003 I SN 0004 1SII 0005 I S1I 0006 ISII 0007 ISII 0008 I srl 0009 1511 0010 Isrr 0011 IStl 0012 1Sil 0013 15'1 0014 1511 0016 1511 0017 ISN OOlR ISN 0019 1511 0020 I s:r 0021 Isrl 0022 1511 0023 1Stl 0024 I srl 0025 ISII 0026 Is:r 0027 1SII 0028 Isr, 0029 15:1 0030 ISII 0031
200
100 300 400
=
ó.t = 0.02 x(ll = x(l) y(1) = 500
=
O
1l1l1UISIOII X(40). Y(40) ,DX2(40) ,OY2(40), T(40),J(40) ,I( 1)<1 1lT-0.02 DT2=OT**2 OX2(1 )=0.0 OY2( 1) =500 X( 1) =0.0 Y(I)-o.O T( I )-0.0 00100 1=2,40 J( 1)= I T(1)=U1'(1-1) Ir( 1.[,1.2) GO TO 200 Y( I )=OY2(I-l)'oT2/2 x( I) =33.33'Y (I) 'UT2/( 1+ 100'OT2) DY2(1 l'SOO'(X( 1 )-Y( 1)+ 1) OX2(I) =-600' x( I) +200'Y( I) GO TO 100 Y(I) =OY2( 1-1 )'OT2+2'y(I_l) -Y (1.2) X( 1 )=DXZ( 1-1) 'OTZ+Z'X( 1-1 l-Xl 1-2) Oyz(I) -500'( x( 1)- Y( 1)+ I) DXZ(I )=.600'( 1) +200'Y(I) CorlT !lIUE WRlTE (6,300) • rORW\T (50 111 J Tlt1E olSP X olsp·r ACC-X. ACC-Y) HRlTE (6,400) (J( I), T( I) ,x(l), Y(r) ,OX2(I) ,OY2(1) ,1=1,40) FORMAT (Ix, 12,3X,F7.4,3X,f6.4,3X,r7.4,3X,F9.2 ,3X,F9.2l
sTor
[W"
5-1 Escrever as equações de movimento para o sistema representado e determinar suas freqüências naturais e seus perl1s de modos.
5-2 Determinar Tabela 5.9·1. J I
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
1S6
TIME 0.0 0.0200 0.0400 0.0600 0.0800 0.1000 0.1200 0.1400 0.1600 0.1800 • 0.2000 0.2200 0.2400 0.2600 0.2800 0.3000 0.3200 0.3400 0.3600 0.3800 0.4000 0.4200 0.4400 0.4600 0.4800 0.5000 0.5200 0.5400 0.5600 0.5800 0.6000 0.6200 0.6400 0.6600 0.6800 0.7000 0.7200 0.7400 0.7600 0.7800
OISPJ
OISP-Y
0.0 0.0013 0.0103 0.0472 0.1357 0.2913 0.5114 0.7720 1.0308 1.2375 1.3478 1.3363 1.2039 0.9781 0.7049 0.4358 0.2140 0.0639 -.0123 -.0313 -.0184 0.0042 0.0264 0.0543 0.1065 0.2052 0.3650 0.5826 0.8339 1.0773 1.2639 1.3513 1.3164 1.1627 0.9196 0.6350 0.3613 0.1420 0.0010 - .0608
0.0 0.1000 0.3803 0.7865 1-.2449 1.6815 2.0400 2.2928 2.4414 2.5080 2.5204 2.4983 2.4438 2.3413 2.1662 1.8988 1.5388 1. 1139 0.6789 0.3057 0.0651 0.0078 0.1498 0.4671 0.9018 1.3775 1.8187 2.1692 2.4023 2.5218 2.5524 2.52"2 2.4633 2.3720 2.2389 2.0419 1.7635 1.4047 0.9933 0.5835
os modos normais e freqüências
ll
Fig. P.S-I
do sistema representado
na
Fig. P.S-2, quando n = 1. ACC-X
0.0 19.23 69.90 128.99 167.55 161.53 101.14 -4.67 -130.19 -240.88 -304.59 -302.10 .-233.58 -118.61 10.31 118.30 179.37 184.41 143.18 79.95 24.04 -0.97 14.10 60.86 116.49 152.36 144.76 84.28 -19.90 -142.03 -247.86 -305.73 -297.19 -223.20 -104.01 27.37 135.90 195.74 198.09 153.20
ACC-Y
soa .00 450.64 315.00 130.34 -54.59 -195.09 -264.27 -260.37 -205.32 -135.25 -86.31 -81.02 -119.95 -181.60 -230.65 -231.52 -162.42 -24.96 154.37 351.47 458.26 498.20 438.32 293.59 102.31. -86.13 -226.87 -293.29 -284.19 -222.24 -144.24 -86.97 -73.45 -104.68 -159.61 -203.43 -201.08 -131.34 3.8? 177.83
5-3 Determinar. as freqüências naturais como funções de
/l,
para o sistema do
Probl. 5-2. 5-4 Determinar as freqüências naturais e perfis de modos do sistema representado na Fig. P.SA.
~'
~' k'k
3k 3m
.
,
~
m
,
5-5 Determinar os modos normais do sistema torcional representado na Fig. P.5-S para K1
= K2
e J1
= 2J2•
5-6 Se K1
=
O no sistema
torcional
sistema de dois graus de liberdade os modos
normais
deste
que lhe seja equivalente.
do ProbI.
sistema Mostrar
de um simples grau de liberdade,
5-5, ele degenera
com apenas uma freqüência assim como que o sistema usando-se
um sistema
e toma-se natural.
linear
pode ser tralado
a coordenada
5-7 Determinar
a freqüência natural do sistema torcional e traçar a curva do modo normal.;
mola-massa comosendo
= (O
representado
um
Discutir
I
-
O2),
5-10
na Fig. P.S-7
Estabelecer
5-11 5 lb/pol/s'
Duas massas forme
~lb/POI/s1
rn
as equações
OI e
ângulos
e2
de movimento
medidos
mie
duplo
em termos
dos
T, con-
são ligadas a uma mola fraca, com tensão
1112
a Fig. P.5-ll.
do pêndulo
a partir da vertical.
Supondo
que
T
permanece
a mesma quando
à mola, escrever as' equações
são deslocadas normalmente forma matricial.
as massas
de movimento
na
J-.-12,,-L6"~
5-8 Um trçm elétrico
formado
de dois carros
eom o peso de 50.000
ligado por engates de rigidez igual a 16.000 I b/pol, Fig. P.5-8. Determinar a freqüência natural dwistema.
como
I b cada é
representado
na
5-12
Se as duas massas freqüências
lecer a configuração
:w!,.. ,Ol O ... :
.
..~,.,"' GE .'.'." .
5-13
.." 00 :
.
5-14
forem
dos modos
éonsideradas
nonnais
iguais no Probl.
são w
5·11,
mostrar
= ..,;3T/ml.
e w2
que as Estab~-
para esses modos normais.
Se ml = 2m e m2 = m noProbl. dos normais e os perfis dos modos . Um sistema
= ..,; T/ml
torcional
representado
5-1 I, determinar
na Fig. P.S-14
as freqüências
é composto
dos mo-
de um eixo
K 1, um cubo com raio r e momento de inércia J1, quatro molas de folhas de rigidez k2 e uma roda externa de raio R e momento de inércia de rigidez
5·9
Supondo
amplitudes
pequenas,
estabelecer
a equação
diferencial
para o pên-
dulo duplo usando as coordenadas indicadas na Fig. P.5-9. Mostrar freqüências naturais do sis.tema são dadas pela equação
Determinar a razão de amplitudes de vibração.
XI/X2
que as
e localizar os nós para os dois modos
J2• Estabelecer
as equações
que uma das ex tremidades qüência fica reduzida a
diferenciais
para
a oscilação
do eixo seja fixa. Mostrar
torcional,
que a equação
supondo da fre.
5-20
Escolher
as freqüências
Dois pêndulos
de borracha
Fig. P.5-15. Determinar ção, e descrever mg para
=
3,86
de rigidez torcional
às freqÜências
naturais
como esses movimentos
I b, e k
um movimento
euidado
x-x
iguais livres para girar em volta do eixo
uma mangueira
=
com
determinar
=
O,
o período
=
O e O2
à medida que a amplitude
a fase do movimento
Se I =
começar.
5-21
de batimento
00, Examinar
Estabelecer
a equação
Fig. P.5-21,
usando
5-17 O pêndulo
de movimento iniciais:
duplo do Probl.
velocidade
incial
= A,
5-9 começa
ções iniciais: x,(O) = x2(0) equações de movimento. 5-18 Dá-se uma pancada
para o sistema
x \ (O)
V. Determinar
do Probl. =
o movimento
= X, x\(O)
brusca na massa inferior
'*2 (O) =
x \ (O)
= x2(0)
X2
5-4, sendo as
(O) =
x2 (O)
com as seguintes
= O.
as
No Probl.
uma
a equação.
são X,(I)
= 0,447 cos
()),I
-
X,(I) = 0,722 cos
()),I
+- 0,278
0,447 cos
()),I
CQS ()),I
x
e x2
1
par.a o sistema
representado
em m e 2m. DeternJinar
.+ + ../
5-2 I, se são usadas
na
a equa-
os perfis dos modos.
5-24
As
as coordenadas
x em m e O, que forma de
resultará? os Probls.
presente
seguintes
5-9 e 5-10 na forma matrieial
e indicar
o tipo de acopla-
em cada sistema de coordenadas. informações
são
relativas
a um
automóvel
representado
Fig. P.5-24. W
3500lb
/, -- 4,4 pés
5-19 Se o sistema do Probl. 5-1 começa o movimento com as condições iniciais x1(0) = O, X2(0) = 1,0, x1(0) = X2(0) = O, mostrar que as equações de movimento
de movimento
condi-
= O. Determinar
do Probl. 5-], imprimindo-lhe
horário
e determinar
I
mento as equações
na Fig. P.5-20,
dos modos normais e descrever
de zero.
5-23 Comparar
as condições
matricial
coordenadas
ção para as freqüências
acoplamento
seguintes
representada
e os perfis dos modos.
com
5-22
5-16 Determinar
naturais
de c e O no sentido
para o deslocamento uniforme
a
19,3 paI,
se aproxima
ela barra
por
conforme
para os modos normais de vibra-
podem
2,0 I b pol/rad,
iniciado
são acoplados
de k I b pol/rad,
x
coordenadas
para a rotação
/,
5,6 pés
k, ~. 2000 Ib/pés k, --, 2400 Ibjpés ,. = 4 pés
=
raio de rotação
em volta de c
na
5·25
Uma seção de superfície
é suportada
por
de sustentação,
uma mola
a ser testada
a Fig. P.5-25. Se o centro
de gravidade
frente do ponto do sistema.
determinar
de suporte,
em túnel aerodinâmico,
k e uma mola torcional
linear
K, conforme e à
da seção está a urna distância as equações
diferenciais
de movimento
5-28
Um edifício
de dois pavimentos
de massa acumulada
onde
m
é representado
=
1
1/2 m2
na Fig. P.5-28 por um sistema
=
e k1
1/2 k2• Mostrar que seus
modos normais são
_ (XI)l') X; X1)l2) (X2
5-26
Determinar as freqüências na Fig. P.5-26 quando
naturais
e os modos nomlais
2,
_
--1,
do sistema representado
k, = 20lb/pol k2 = 10 lb/pol Quando
forçado
tudes, traçando
por
F,
=
Fo senwt,
determinar
o seu gráfico em função de
W/W,
as equações
para as ampli-
I'
5-29
Considerado de uma
de movimento 5-30
Considerado primeiro
5-31 5-27
Um roto r é montado plano tendo
único,
conforme
ma~sa total
pendicular
sobre mancais
que têm liberdade
de movimento
a Fig. P.5-27. O roto r é simétrico
M e momento
ao eixo. Determinar
de inércia
as equações
rotativa w, para o caso de um pequeno cia axial b do seu centro O.
10 em relação
em relação
5-28,
é aplicada em m I para desviá-Ia é solto desta posição, determinar a equação
se uma força
e o sistema
de cada massa, utilizando o Probl.
5.19,
o método
determinar
de soma dos modos normais.
a razão do cisalhamen,to
máximo
no
e segundo pavimentos.
Repetir o Probl. 5-29, para o caso da carga ser aplicada em m2, desIocando-a de uma unidade.
num a O,
5-32
a uma axial per-
de movimen to para uma velocidade desequilibrio
o Probl.
unidade,
mr atuar a uma distân-
5·33
Supondo
no 'Probl. 5·28 que um terremoto
faz<;om que' a te~ra oseile na direção
horizontal de acordo com a equação xg = do edifício e traçá·Ia em função de w!w1•
Xg senwt,
A fim de simular o efeito de um terremoto
sobre um edifício
que a base seja ligada ao solo através
de duas molas;
,
determinar
a resposta
rígido, supõc-se
K h ' relativa à rigidez 163
de translação, e K" à rigidez de rotação. Se é atribuído ao solo um movi· mento hannônico Yg = Y G senwt, estabelecer as equações de movimento em termos das coorde'nadas indicadas na Fig. P.5-33.
5-36 As juntas de expansão de uma estrada concretada estão distantes 45 pés uma da outra. Estas juntas causam uma série de impulsos, a intervalos iguais, que afetam carros trafeg:lOdo a uma velocidad~ constante. Determinar as veloci· dades nas quais os movimentos de arfagem (lon~tudinal) e alternativo vertical têm maior possibilidade de surgir para o automóvel do Probl. 5·24. 5-37 No sistema representado na Fig. P.5-37, Wr = 200 Ib e o peso do absorvedor W2 = 50 Ib. Se IV 1 é excit:Jdo por um desembalanço de 2 lb/pol, c~m uma rotação de 1800 rpm, determinar o valor adequado da mola k2 do absorvedor. Qual será a amplitude de W2? .
o 1 .~ -k< 2 '$
.!.-k 2
I
<'
:~ = 0,734 e
':0
= -1,14
que indicam um movimento que é predominantemente translacional. Determinar a segunda freqüência natural c o seu modo (Yr = Yo - 2/000 = des· locamento do ponto mais alto). 5·35 A Fig. P.5·35 representa a resposta e configuração do modo para os Probls. 5·33 e 5-34. Verificar os perfis dos modos para vários valores da razão de freq üências. 5
5.38 No Probl. 5-37, se um amortecedor c é colocado entre W1 e W2, as equações da amplitude pelo método de álgebra COmPlexa.
determinar
5.39, Um volante, com momé~to de inércia. I, .tem um absorve dor torcionalde mo· mento de inércia ld que gira livremente no eixo e é ligado ao volante por quatro molas de rigidez k Ib/pol, conforme indicado na Fig. P.5·39. Estabe· lecer as equações de movimento para o sistema, e discutir a sua resposta a um torque oscilatório.
5-44 A Fig. 1'.5-44 mostra um tipo de amortecedor freqüentemente usado em eixos de manivela de automóveis. J representa um disco sólido que gira livremente no eixo, e o espaço entre o disco e a caixa,é cheio com um óleo silieone com o coeficiente de viscosidade J1 • A ação de amortecimento resulta de qualquer movimento relativo entre os' dois. Derivar uma equação para o torque de amortecimento exercido pelo disco sobre a caixa, devido a uma velocidade relativa de w.
cerytrífugo para eliminar oscilações torcionais. O peso em forma de U encaixa frouxamente e rola, por meio de dois pinos de diâmetro dz, dentro de orifícios maiores com o diâmetro' igual di' Com relação à manivela, o contrapeso tem um movimento de translação eurvilíneo, eom cada ponto fazendo um percurso circular de raio r = di - dz.Provar que o peso em forma de U move·se de fato numa linha ci!cular de raio igual a di - d z. Determinar o amortecimento ótimo 10 e a freqüência na qual o amortecedor é mais eficiente, para o amortecedor viscoso Houdaille com relação de m'assa J1 = 0,25.
5-41 Um pêndulo centrífugo do tipo bifllar é sugerido para eliminar uma perturbação de freqüência igual a quatro vezes a velocidade rotativa. Se se faz a distância R ao centro de gravidade da massa do pêndulo igual a 4,0 pol e di = 3/4 pol, qual deve ser o diâmetro dz dos pinos? 542
543
Um classificador de carvão tem uma peneira que alterna com uma freqüência de 600 cpm. O classificador pesa 500 I b e tem uma freqüência fundamental de 400 cpm. Se um absorvedor pesando 125 Ib está para ser instalado a fun de eliminar a vibração da estrutura do classificador, determinar a rigidez da sua mola. Quais serão as duas freqüências naturais resultantes do sistema? Em certo estabelecimento de refrigeração, um tubo de transporte do refrige. rante vibrava violentamente numa velocidade de compressor de 232 rpm. A fun de eliminar esta dificuldade foi proposto prender·se ao tubo um sistema mola·massa, para agir como um absorvedor. Em um teste experimental, um absorvedor de 2,0 Ib sintonizado em 232 cpm, 'resultou em duas freqüências naturais de 198 e 272 cpm. Qual deve ser o peso e a rigidez da mola, no caso do sistem
Se o amortecimento para o amortecedor viscoso do Probl. 5·45 é igual a 1 = 0,10, determinar a amplitude pico comparada com a ótima. 5-47
Estabelecer as conexões apresentadas pelas Eqs. (5.7.7) e (5.7.8) da Seç. 5.7.
5-48 Um eixo simplesmente apoiado, de comprimento I e rigidez EI tem um disco fino, mas rígido, enchavetado no ponto 1/3, conforme a Fig. 1'.5·48. Estabele· cer as equações de movimento para y e O e traçar (w/wy)Z como função de Jd/mI2•
Traçar o diagrama de fluxo e desenvolver o programa Fortran para a computação da resposta do sistema indicado no Probl. 5-4, quando a massa 3m é 167
i) (
, excitada por um pulso retangular de 100 Ib de magnitude e duração de 6rrvmlk s.
I
5·50 Admitir os seguintes dados no Probl. 5-28, k I = 4 X 103 Ibjpol, k2 = 6 X 103 Ibjpol, ml m2 = 100. Desenvolver o diagrama de fluxo e o programa Fortran para o caso em que o solo sofre um deslocamento y = 10" sen rrt durante 4 segundos.
SISTEMAS DE MUITOS GRAUS DE LIBERDADE
)
)
)
,
)
,
) ) ) )
(
)
i ) )
6
)
I
A análise dos sistemas dinâmicos de vários graus de liberdade é complicada por um grande número de equações e muitas computações detalhadas. É, pois, conveniente abordar-se o problema de um !]lodo sucinto, que conduzirá claramente aos resultados desejados, sem o embaraço do envo!vimento em detalhes intermediários. A este respeito os métodos matriciais são ideais, pelo fato de que grandes grupos de equações . podem ser manipulados com notação sumária. O grande volume de computação geralmente necessária tem que ser atribuído ao computador digital, sem o qual os problemas (ornam-se impraticáveis. Discutiremos neste capítulo as diversas técnicas matriciais aplicáveis à vibração dos sistemas dinâmicos de muitos graus de liberdade. Inicialmente, vamos examinar conceitos fundamentais essenciais na formulação das equações e desenvolver em notação matricial diversos conceitos relativos à teoria da vibração. Esses conceitos formam a base para o tratamento e compreensão do comportamento dos grandes sistemas.
O coeficiente de influência de flexibilidade 0ij é definido como o deslocamento em i devido a uma força unitária aplicada em j. Com forças fI, f2' e f3, atuando
)
nos pontos
I, 2 e 3, pode·se
deslocamentos
aplicar o princípio
em termos dos coeficientes ~I
a,,/,
~.
X2
=
x,
da superposição
de influência
-1-
a'2/2
os
de flexibilidade.
-I- a22/2 -1- 0lJ/'
aJlfl
+
+
=
0,
X2
tabelecer
=
1,0 e
== 0, são k
X3
12,
k22
e k32•
os elemen tos de rigidez de qualquer
Portanto,
Exemplo
a,,/,
a regra geral para es-
coluna é fazer o deslocamento
pondente a esta coluna igual à unidade, com todos os outros zero, e medir as forças requeri das em cada ponto.
-1- alJ/,
a2,/,
a'2/2
para determinar
deslocamentos
Corresiguais a
6.2-)
Determinar cantiiever
os coeficientes uniforme
de influência
representada
para os pontos
(I), (2) e (3) da barra
na Fig. 6.2-1.
ai, [a]
==
[
a21 aJl
I~_._·-,-
éa matriz de flexibilidade.
. Q,)
Se a Eq. (6.2-2) é premultiplicada obtemos a equação
pelo inverso da matriz
Solução:
Os coeficientes
de inlluência
rias em (I), (2) e (3), como indicado, . Encontramos
deste modo
o inverso da matriz
, ..
de flexibilidade
denexibilidade,
que é a matriz
de ri-
gidez [k]
do o método*
de momento
são determinados,
e calculando-se
colocando-se
cargas unitá-
os desvios nesses pontos.
Adotan-
ti igual ao momento Por exemplo, o valor de az I
de área, o desvio nos vários pontos
da curva M/E! em relação ao_ponto em questão. = aJ 2 é encontrado a partir da Fig. 6.2-1 (b) com se segue
r-
I I EI .2(2/)2
(l,2
27 /' a"
.,!; EI
a22 ==
3 EI
a"
3 EI
8
a21
7 J/
X
_
..
a 12
J
14 /' '~3EI
14 /'
3 EI 2,5 /'
/'
alJ
Gj'},
"3 EI
I /'
Ea e
seguinte
X2
mento ) ) 170
forças
=
a interpretação
=
X3
de acordo fI,
f2
dos vários elementos
da matriz de rigidez.
0, as forças em I, 2 e 3, que são requeri das para manter
C
com a Eq. (6.2-6), f3,
requeridas
são
para manter
k 11, kZ1'
e k31.
a configuração
Se
Xl
= 1,0
este desloca-
Da mesma
do deslocamento
forma,
as
XI
=
- Egor P. Popov.
Inlroduction
Ibll .• Ioe:, 1968), p;Íg. 411.
to Mcchanic,
of 50Ii<1' (Eoglcwood
Chfr"
N. J.: Prcnticc-
o
teorema de reciprocidade estabelece que em um sistema linear aij == aji' Para a prova deste teorema, consideramos o trabalho efetuado pelas forças fi e fj, no qual a ordem de carga é i seguido por j e depois pelo seu inverso. Constatamos a reciprocidade quando reconhecemos que o trabalho efetuado é independente da ordem de earga.
4 ] ~,5
Exemplo 6.2-2 .
Aplicando fi'
A Fig. 6.2-2 mostra um sistema de três graus de liberdade. Determinar a matriz de rigidez.
efetuado por fj
o trabalho efetuado é ~ fla;;, Aplicando fj' o trabalho I é "2 fJajj' Entretanto, i é submetido a outro deslocamento
e o trabalho adicional efetuado por fi total efetuado é
a i/j
Solução: Seja XI = 1,0 e X2 == X3 = O. As forças requeridasem derando como positivas forças para a direita, são
torna-se a i/jÍ;-
Assim, o trabalho
1,2e3,consi-
fi =k, +k2 "',kll f2 = --k2 == k21
f, ""O
fi f2
f,
=cc.
k'l
= --k2 ~,kI2 = k2 + k, = k22 ---k,
=.,
fi
= 0=
k13
f2
=
f,
= k, -I- k. = k JJ
C'C
k]Z
Para o sistema não-amortecido de vários graus de liberdade, a equação de movimento expressa na forma matrícial torna-se
--k, ,~k2) 11
!vi
[1/1:
!Jl.n
-k2 (k2
+ k,)
-k,
I
x
~I;:
"'''00 d' ',,"00=00," (m", m'I,;"olo",1 Se fizermos
Xn
.
.
Quando
não há ambigüidade,
culas e escrevemos
À = Ài, um autovalor,
agora
o detenninante
à esquerda
da equação
é
então igual a zero e obtemos dispensamos
simplesmente
a equação
colchetes matricial
e chaves e usamos letras maiúsA equação
como
11 graus
acima é válida para todos
de liberdade.
Ài e representa 11 equações para o sistema de esta equação com a Eq. (6.4-3) para o modo
Comparando
i-ésimo
M-I/l! ,,, I
(uma matriz unitária)
A1 -I K = A
reconhecemos
(uma matriz dinámica)
Exemplo
(9.4-2) Admitindo
o movimento
X = -'
harmônico
;\X, onde
~,
que a matriz
W2,
adj [A
adjunta,
uma das quais é o autovetor
- À/], deve consistir
Xi (multiplicado
por uma constante
6.4·1
Considerar
o sistema da Fig. 6.4-\
a Eq. (6.4-2)
torna-se
a-:
X,
que é a equação caracteristica do sistema. denominadas
autovalores e as naturais
As raízes freqüências
Ài da equação
do sistema
característica
são
são determinadas
a
111
[
partir da igualdade
Pela substituição
de Ài na equação
matricial
(6.4-3),
obtemos
É possível também achar os autovetores dice
=
C) do sistema.
Se, para
A - ÀI e começarmos
efeitos
com a definição
n-I =
adotarmos
2111
J{'~'}
[2k k -kJ{X'} 2k x
Xl
-
--m I
para um sistema o
M-I.
a partir da matriz adjunta
de concisão,
O
2
_ {O}O
o perfil de modo cor-
Xi que é denominado o autovetor. Nestas condições, de n graus de liberdade, há n autovalores e 11 autovetores.
respondente
O
[
O
(Vi de Apên-
a abreviação
n
O] ~ 2m
=
do invcrso
Dn
adj B
i~(2~
).
111
k
-)-
-
111
k
)
JII
(km
A
Ir:)
).lx,
' O
de colunas,
arbitrária).
cada
2 (!...)' ~- o
I
À' .- 3~À
2
111
111
de onde são' tirados os autovalores
A seguir mostramos ser apresentados
Os autovalores valores acima cálculo.
0,634 ~
À2
= 2,366 ~
Seja a equação
m
normais,
ou os autovetores
ortogonais em relação
às matrizes
do sistema,
podem
de massa e de rigidez.
para o i-ésimo modo
m
podem ser determinados
de À. Desejamos,
A matriz adjunta
À1
como os modos
como
através da Eq. (b) pela substituição
entretanto,
ilustrar
o uso da matriz
adjunta
dos
no seu
A seguir, começar para obter
da Eq. (b) é
X
-(!... -- X) /11
'j,
para o j-ésimo
corn a equação
modo e premultiplicar
por
'
[
k .
Visto que
2111
K
M
e
são matrizes
simétricas,
as seguintes
expressões
são válidas"
X~MX, = X;MXj X;KX, 0,366
1,000J!..
[ 0,500
1,377. m
Assim, subtraindo
O,732J ou X 1,000.
°=
De forma semelhante, quando é usado À2 do da coluna correspondente da Eq. (e) é
= 2,366
={-2,731
X 2
1
I,ooi
k/m,
o segundo
(À., -
t autovetor
obti.
também
evidente,
Àj}X;M
XI
acima requer que
X;MXj
= {0,732} 1,000
X:KXj
a Eq. (6.5-3) da Eq. (6.5-2), obtemos
Se Àj =I' Àj, a equação
0,732 [ 1,000
=
à vista
da
Eq.
=
°
(6.5-2) ou (6.5-3), que em conseqüência
da Eq. (6.5-6)
As Eqs. (6.5-6) e (6.5-7) definem r:ina\mcntc,
A Fig. 6.4·2 mostra os dois modos normais.
produtos
Estes
apresentados
valores
vamente.
o caráter ortogonal dos modos normais.
se i = j, a Eq. (6.5-5) é satisfeita
por qualquer
pelas Eqs. (6.5-6) ou (6.5-7). Portanto,
são denominados
valor f1nito dos
fazemos
massa generalizada c rigidez gçneralizada, respecti-
e rotação, Quandp
s<; encontram
re,spondentes
raízes repetidas
na equação
não são, únicos e sua combinação
ção de movimento.
Para ilustrar
característica,
linear pode satisfazer sejam XI
este ponto,
comum Ào, e X3 um terceiro de Ào. Podemos então escrever .
certes a um autovetor que é diferente
AXI
AX,
=
os autovetores
e X2
também
autovetores
autovetor
pertencente
cor-
à equa-
w
(6.6-1)
a segunda
equação
os autovalores
Nestas condições,
um novo autnvetor,
X
, AXI,
= X
12
à
satisfaz também
=c
dos modos
ele seja um modo normal.
correspondendo
à primeira,
A =
Exemplo :(
[
-;
+. bX 2, que é uma cOlllbillaçáo b~íslca (6.6-3)
Ào.
para descrever
são À1 == I, À2
assim os autovalores Formando
a Ào deve ser ortogonal
Se todos os três modos sao ortogonais,
te independentes e podem ser combinados de qualquer condição inicial.
quando
O b e adicionando-se
ÀOXI2
e por esta razão não exiSte modo único para Qualquer
I
cquaçáo
(2í(
'Vm
e autovetores
obtemos outra equação
linear 'dos dois primeiros,
==
para os dois modos,
6.6-2
Determinar
,AXJ Multiplicando
= ÀJXJ por uma constante
•
naturais
é
a À3 Exemplo
}-oX,
As freqüências
são iguais e seu valor calculado
perten-
}'oXI
C~
os quais são ortogonais.
entretanto,
a vibração
(À'
adj [A -
livre resultante
-
2.
a matriz adjunta
a X J, para que
eles sãO linearlllen-
== I, e À3
,1,1)
=
I)
-
-(À
-
I)
-(À -
I)
(,ll- I)
(À -
I)
(À -
[
I)
(À (À -
I) ] I)
(À' -
I)
6.6-1
Considerar
o sistema
representado
na ·Fig. 6.6-1 onde
a barra
de conex~To é
rígida e de peso desprezível. Os dois modos
normais'
de vibração
n~
7:17////////// //////////
são apresentados mp
1/:
como
de translação A substituição voltamos
deÀI
== À2
à equação matricial original
[A -
ÀIJX
== O com
-XI
'-x2
+xJ
=O
-XI
-x2
+x
=
O
+x,
-XJ
=
O
XI
Essas três equações
== I na ma,triz adjunta
são da forma
J
leva tudo a zero, assim À == I
(x, (XJ)[X,J
l,
=O
P'
podia s.eobter
.1'1
.\.)),
(X,
XL
X))l
(x,
XL
X
C~
[X,
X)]"
X;
(6.7-2)
)}J.
com cada linha correspondendo a um modo. Se agora fonnamos o produto PMP ou P'KP, o resultado será uma matriz diagonal visto que os termos fora da diagonal expressam simplesmente relações de ortogonalldade que são zero. Como um exemplo, consideremos um sistema de dois graus de liberdade. Efetuando a operação indicada com a matriz modal, temos P'MP
c.
[X,
XL)'[M][X,
J
X'IMXI ~~ [ X'lMX,
A Eq. (6.6-2) nos mostrou previamente que X, e X2 não são únicos, c que qualquer combinação linear de Xl e X2 satisfará também a equação matricial original.
=[:'
X2]
X'. MX2 X~"IXL
:J
Na equação acima, os termos fora da diagonal são zero, em razã~ da ortogonalidade, e os termos em diagonal são a massa generalizada Mi. Verificamos no Capítulo 5 que o acoplamento estático ou ·dinâmico resulta da escolha de coordenadas e que, para um sistema não amortecido, existe :.1mgrupo de coordenadas principais que expressa as equações de movimento na fonna desacoplada. Tais coordenadas desacopladas são desejáveis, uma vez que cada equação pode ser resolvida fndep~ndentertlente das outras, Para um sistema de massa concentrnda de muitos graus de liberdade, as coordenadas escoIlúdas em cada ponto de mllS~nresultarão numa matriz de massa que é diagonal, mas a matriz de rigidez conterá termos fora da diagonal, indicando acoplamento estático. A escolha de coordenadas de outra maneira importará em acopIamento dinânúco ou tanto dinâmico como estático. É possível desacoplar as equàções de movimento de um sistema de n-graus de liberdade, desde que conheçamos previamente os modos nonnais do sistema. Quando os n modos normais (ou autovalores) são reunidos numa matriz quadrada, com cada modo normal representado por uma coluna, nós a denominamos de matriz modai P. Portanto, a matriz modal para um sistema de três graus de liberdade apresentase como
ri) r") 1;: ,1;: J;:
É evidente que uma formulação semelhante aplica-se também à matriz de rigidez K, que resulta na seguinte equação
P'KP
J
A matriz moda! torna possível incluir-se todas as relações de ortogonalidade da Seç. 6.5 numa equação. Para esta operação precisamos também da transposta de P, . que é 180
I
Os termos em diagonal aqui stfo li rigidez generalizada
K,.
Se cada uma das colúnas da matriz modal P é dividida peia raiz quadrada da massa generalizada Mio a nova matriz é denominada matriz modal ponderada e s~u símbolo é P~ É fácil de se ver que a diagonalização da matriz de massa pela matnz modal ponderada resulta na matriz unitária
Visto que K/Mi = Àj, a matriz de rigidez tratada de forma semelhante pela matriz moda! ponderada torna-se uma matriz diagonal de autovaIores.
PKP
"[XI)
K =c [O
;1,0' '.
1
~n-]'
A
o
Consideremos o sistema simétrico de dois graus de liberdade representado na Fig.6.7-1. A equação de movimento na forma matricial é
0J{'\' '} I- r2k k
rm
10
!li.\'
2
[.
Se a matriz
de amortecimento
-
à matriz de massa ou à matriz de
C é proporcional
rigidez, ou a uma combinação
linear das duas, o amortecimento
é entã6 denominado
amortecimento proporcional e pode ser expresso como
t--x,
onde
:1--x,
e
Q
iJ
são constantes.
Para o caso do amortecimento
Figura 6.7·1.
sentadas
pela Eq. (6.8-1)
pela 'matriz
modal ponderada
proporcional,
as equações
de movimento
repre-
ser desacopladas,
quer pela matriz
mo dai P, quer
P- do correspondente
sistema vibratório
livre.
podem
Usando
}~ seja
x - i' Y
{XI} X,
{I}
I'
J,
{--I}
{XI}
'\
Y é outra matriz coluna.
onde
I
X,),
de X para
ordenadas A massa generalizada para ambos os modos modal ponderada são
I
é 2m, e a matriz modal e a matriz
e preniultiplicarmos
por
==
P'
'[' I ..)1m
representa
uma transformação
de eo-
a Eq. (6.8-3) na Eq. (6.8-1) e premultiplican.
P, obtemos
Com C igual à Eq, (6.8-2) torna-se
-;IJtJ
e admitindo
Visto que todos os coeficientes nais, a Eq. (6.8-5)
representa
as Eqs. (6.7-5)
do lado esquerdo
e (6.7-6),
desta equação
um grupo de equações
a equação
acima
são matrizes
diago-
de segunda ordem desacopladas
da forma
para obter
P'MPy!
do por
A Eq. (6.8-3)
Y. Substituindo
1I
..)2/)1 . J
{XI} x,
(6.8-3)
O
J"KJ'Y.
A solução
das equações
acima pode ser efetuada
de modo
satisfatório
pela transfor-
mação Laplace. Se a matriz , serão acopladas Assim,
a Eq. (a) foi transformada
na Eq. desacoplada
coordenadas
da Eq. (d). As coordenadas coordenadas principais ou normais.
6.8
VIBRAÇÃO NADAS
FORÇADA
YI
(e) pela transformação
e Y2 são denominadas
E DESACOPLAMENTO
de
de amortecimento pela matriz
vido simultaneamente
não é proporcional,
de amortecimento,
ou pelo método
As equações
de movimento
viscoso e excitação
DE COORDE-
Na vibração mônico
de um sistema arbitrária
F(l)
de n graus de liberdade
podem
ser apresentadas
de movimento
espaço-estado
da Seç. 6.10.
como
de modo normal,
e passa pela posição
todo ponto de equi1Jbrio
do sistema,está simultane~ente.
mento é possível no caso da vibração livre não-amortecida. mento
as equações
e o grup6 de equações deve ser resol-
com amorteci-
na forma matricial
sujeito a movimento Vimos
har-
que tal movi-
o tipo
modo normal
se ele é excitado liberdade
de vibração
por um número
do sistema.
Para mostrar
de n graus de liberdade,
tecido
Sua equação
de movimento
é possível
também
de forças harmônicas isto, consideramos excitado
num sistema amortecido,
igual ao número
de graus de
um' sistema viscosamente
por forças harmônicas
tg 0ip:);([k]
.. [1II]W2)(X),'-
wfXI'Jc](Xli
,~O
tg OJX);{[k]
[m]w )[XL'-
w[XUc][XL
o::
amor·
de freq,üência
w.
é
de [111], [k],.e
Em face da simetria
*'
tgOi
relações para
2
[e],
obtemos
. [m]w2)[X),
têm examinado
de que para uma determinada
descrito
pela Eq. (5.9·2),
posição
caso da vibração
no sistema
simultaneamente
existem
com uma fase de fipara a sua excita-
pontos.
(6.9·6)
~=
(6.9-7)
O
são no do tipo
do sis-
move-se em fase e passa pela sua
em relação aos outros
livre não-amortecida,
soluções
11
modos Ilormais forçados
é denominada
em que todo o ponto
de equilíbrio
E suas conclusões
{Fli que é requerida
do vetor força
sob estas condições
tema amortecido,
*
w, existem
onde cada um desses modos é associado
ilida 0i e uma distribuição ção. A resposta
tal problema.
freqüência
as seguintes
,. O
(X};[c][X),
Vários investigadores
subtraindo,
tgOj (XL([k]
sentido
então,
O
Transformação
de Coordenadas.
de coordenadas, matriz colunas
utilizando-se
modal normalizada divididas
Simplificação
ponderada
pela raiz quadrada
(Vide Seç. 6.7).
considerável
resulta da transformação
[P] do sistema não-amortecido
ou a matriz modal
ou a
[F], que é a matriz modal [P] com as i·ésimas da sua massa generalizada ( {Xlí[m] {XlYI1
Sé a transformação
Tal como no
relações de ortogonalidade
entre os
modos. Se levamos semelhantes,
a Eq. (6.9-2)
obtemos [([k]-
[([k]
à Eq. (6.9-1) e igualamos
os coeficientes
dos termos
as, duas equações [m](2)
sen O
_.c.
[c]w cos O][X)
-- [m](2) cos fi -I- [c)w sen 0][ X]
(6.9-3) (6.9-4)
•• (O) C~=
f.FI
LÀ,l .,
[P]'[k][J']
=' quadrados naturais
é evidente
que
há
/I
valores
Eq. (6.9-5), e que para cada rias funções
que forçam
na Eg.. (6.9-4).
,
Obtém-se i.ésimos
tg
°
correspondendo
i
{Fli são obtidas
aos
então
autovalores
/I
{X
correspondente pela substituição
h-
[C) .~ [1']'[c][1']
=' matriz de amortecimento
til-
=' matriz unitária
[1']'[m][1']
da
As necessá·
de 0i e {X li
de ortogonalidade
e autovctor,
o processo
premultiplicando
com i e
f
reescrevendo
a Eq. (6.9-3)
pela transposta
do j-ésimo
para os autove-
intercambiados.
[t 11
• B. M. Fracjis de Vcubckc. "Déphasagcs téme Amorti':, Académie Royale de Belgique,
184\
pág. 626.
Ch~lmctcristiql:c~ ct Vibration~ Forcés J'un Sy~Ilulletiíl de Ia Ctasse des Seionce" Series 5. Vol.
[(tÀ,l---
2
w't 11) cos
Cll Y 1.' I YJ;[1']Vl [ Y);[
(t{X;-~ w ]rC)](
tg ~ --
[ Y];(tJ.,l-XXXIV (1948),
simétrica
.
as relações
autovalor
tor, e repetindo
da
tg O i há um autovetor
das freqüências não-amortecidas
t
11w')( O
O
y
l
o~
O
(6.9-12)
~ -I- w[C] sen4>H Y} = [,i']'[F}
(6.9-13)
YL '-.~O
(6.9.14) (6.9.15) (6.9-16) 185
Se a matriz modal rp] é usada no lugar da matriz normalizada ponderada [P], ambas as matrizes de massa e de rigidez serão diagonalizadas, mas a matriz de massa não será unitária. Exemplo Numérico A Fig. (6.9-1) apresenta um sistema de dois graus de liberdade euja equação de movimento é
~J{~:}!'{~I --IJ"IX'lx,} -,., i I
2
--I {'~'}
~-I
2
.\,
{~J
senWI
---r 0)'//1
1 (/)'//1
,I .. --i; =' I (:S.) x, ,
).,=-k
m k ).,= 3m
(:S.) x,
.
. 1,105
li,
=_]
---- ,flm
íYL"
2,895
JL,
2,24
2
~IJ r -] - I [I P
JL
Para obter valores' numéricos, é necessário especificar a freqüência de excitação w ou W2 m/k. Para W2 m/k == 0,50, obtemos
Visto. que a massa generalizada é 2hz para ambos os modos, a matriz modal e a matriz normalizada ponderada são
[P]=[:
.-
- 2,24
. í YL,co
coa
1,00
Essas quantidades satisfazem as relações de ortogonalidade das Eqs. (6.9-14) e (6.9-15). A Eq. (6.9-16) nos permite achar a razão de forças. A equação
1
°
IY];"(I']'(F],,,
Usando [.p], temos
tÀ/l =
k m e
[I° 0J
r
5
14 _I
I--
l
I
m'm k
o,
i
,
.,I
i me 2k
Ii
[I -IJ
[e] = 2m _I
tg c/J--
··-T----T-~·l
3
I
-i
,i
I
1',/1',
-2---.J~
1--
,
mw' k
em (Fi/F2
resulta
)111
Para esta reformulação,
resulta em
buídas
novas variáveis,
derivadas
Finalmente, reais
através da transformação
(n ==
[P] {Y} achamos
as amplitudes
{X}
[XL, A fim de completar
~c
0,382} { 1,000
o problema,
. das e repetida a computação razões de forças e amplitudes
(XL, -,
tornam-se
a cada uma das variáveis originais
primeiras
za a ordem
das derivadas,
no trabalho
de computação.
das novas variáveis-estado.
ele dobra o número Nestas condições,
pensável para a computação
W2
x,
m/k têm de ser escolhi.
acima. As Figs. 6.9-2 e 6.9·3 apresentam para os dois modos.
Exemplo
t .
Considerem'os
o sistema amortecido
ma difere do viscosamente
visco-elasticamente
amortecido
c, ·-kx--
c(.o( -"
não ser que elas sejam 188
reformuladas
em termos
proporcional, não pode
de equações
o sistema
de
ser desacoplado,
a
de primeira
ordem.
.0(,)
(J.
-I-
F
Z 1
x
o-~
::2
.\'
ec,
::J ,.-
.~.
c
2,
_
kl
de movimento
e(X .. - .\-,) -- k ,x,
:( I
da Fig. 6.1 0-1. O siste-
pela adição da mola
nova coordenada Xl no sistema. As equações em coordenadas inerciais X e X 1 são
XI
da Eq. (6.8-4)
digital é indis-
c
{1 • ~ m
de amortecimento
o uso do computador
redu-
daí aumento
6.1 O-I
O
da forma
este processo
resultando
k
}}IX
de segunda 'ordem
Embora
de variáveis,
os gráficos das
,
No caso mais geral de inexistência
são atri-
1
I-J
equações
e suas derivadas
e por esta razão segundas
numérica.
{2,61} 1,00
outras freqüências
por variáveis-estado,
denominadas
que insere urna para o sistema
CAI
=
,e-'[sI
-
c= ,e_,adj[slIsI-
Ar' A] AI
É evidente aqui que as raízes Sj da equação característica IsI - A I = O devem ser calculadas e que o lado direito da equação, após o processo de inversão, será uma matriz quadrada, cujos elementos são e Sjl multiplicados por constantes. Se raízes repetidas estão presentes, terinos tais como teSjl aparecerão também na matriz. onde -
'+1 "~1~1
e
m
A
-IX
O
O
O
-/3 -wG
I
Solução 2: Podemos examinar também a solução par~ a equação espaço-estado como um problema de au tovalor, autovetor. A equação característica fornece os autovalores
I O
A solução desta equação de primeira ordem é bem conhecida e pode ser expressa na seguinte forma feehada
e os autov~tores são tirados de uma das colunas da matriz adjunta adj [M - A] para o i-ésimo modo.
"j
com
Antes de prosseguir com este problema, introduzimos aqui uma técnica de diagonalização que será essencial à solus:ão. A equação homogênea da Eq. (6.10-5) é escrita primeiro para o i-ésimo modo como Esta equação aparentemente simples, nada tem de simples na realidade e requer tratamento numérico considerável, que é apresentado na próxima seção. Solução 1: Consideremos a equação homogênea i = Az
o
termo eA t, nesta equação, requer interpretação. Um processo seria considerar a solução pcla transformada de Laplace da equação homogênea e comparar os resultados. Fazendo z(s) a transformada de Laplace do vetor coluna z, obtemos
onde se supõe que os autovalores sejam distintos. Existem n (para este problema, n remos como
=
3) equações como esta que rearranja-
Essas n equações matriciais podem ser reuilidas numa única equação matricial em termos da matriz modal P e uma matriz diagonal dos autovalores definida como
]. de onde concluímos que 190
(6.10-16) 191
a qual pode Eq. (6.10-14).
ser facilmente Obtemos,
verificada
como
A é diagonalizada
Voltando coordenadas
equações
em termos dos autovalores
agora à solução
do tipo designado
como
por p-1
=1\
P-IAP e a matriz
fi
acima é premultiplicada
se a equação
do sistema.
da Eq. (6.1 0-5), introduzimos
a transformação
de 6-2 Estabelecer
as matrizes
6-3 Uma barra uniforme Py=PAY+1I
pesos
por P-1, temos
Premultiplicando
flexibilidade
y = P-'AP)'
-+
+
P-'1I
=~Ay A Eq. (6.10-20) está agora deóacoplada, pela transformação Laplace. Considerando
somente
nas posições
a equação
c'
P-III
6-4
Determinar
de rigidez e flexibilidade
para o Probl. 6-9.
de comprimento I, simplesmente apoiada, é carregada com 0,251 e 0,61. Determinar os coeficientes de influência de
pára estas posições. a matriz
de flexibiJidade
para a barra
~antilever
representada
na
Fig. P.6-4 e calcular por meio de sua inversa a matriz de rigidez.
a soluçJo
para Yi
homogênea
y =, Ay 6-5
Considerar
o sistema
com
fi'
molas em sêrie, como
se vê na Fig. P.6-S, e mos-
trar que a matriz de rigidez é uma matriz faixa ao longo da diagonal.
Y') _ [e"'. ( Yl _ OO )'2
Para transformar
-.
as coordenadas
Eq. (6. I 0-22) e premultiplicando
e'"O
O O
O
e,ht
originais,
]()'I)
notemos
Y2
Y3
o
que Y
por P, obtemos 6-6
Determinar
6-7 Utilizando
a matriz de flexibilidade a matriz
massa indicado
6-1 Deterrminar a matriz de rigidez para o sistema representado estabelecer a matriz de t1exibilidade pela sua inversa.
na Fig. P.6- I e
6-S Para o sistema forma matricial
adjunta,
para o sistema do Probl. 6-5.
determinar
os modos
normais
do sistema
mola-
na Fig. P.6-7.
indicado
na Fig. P.6-S, escrever
e determinar
os modos normais
as equações
de movimento
a partir da matriz adjunta.
na
6.9 As duas barras unifonnes indicadas na Fig. P.6-9 são de comprimentos iguais' c de massas diferentes. Determinar as equações de movimento, as freqüências naturais e os perfis de modo usando os métodos matriciais.
6-15 Para o sistema indicado na Fig. P.6-1S, escolher coordenadas Xl c tremidades da barra e determinar o tipo de acoplamento resultante.
Figura P.6-9.
6-10 Mostrar que os modos normais do sistema do Probl. 6-8 são ortogonais. 6.11 Verificar a relação da Eq. (6.5-7) XjK Xj =
°
6.16 Escrever as expressões para as energias einéticas e potencial do sistema representado na Fig. P.G-1S para outros grupos de coordenadas e notar que o acoplamento existe se produtos cruzados de coordenadas aparecem em T ou em U. 6.17 Determinar a matriz modal P e a matriz moda! ponderada P para o sistema indicado na Fig. P.6-17 e diagona!izar a matriz de rigidez, desacoplando desse modo as equações.
aplicando-a no Probl. 6-8. 6-12 Começando com a equação matricia!
k
K
=
nas ex·
/ -~ 2
4
premultiplicar
X2
primeiro por Klvf-I
~
k
1-x
e, usando a relação de ortogonalidade
k
~x I
%
0, mostrar que 6-18 Determinar P para o sistema do Probl. 6-14 e desacoplar as equações. 6·19 Determinar P para o pêndulo duplo com coordenadas ()1 e P desacopia as equações de movimento.
para h
=
1,2, ...
ll,
onde
II
=
número de graus de liberdade do sistema.
6-13 De forma semelhante ao Probl. 6-12, mostrar que
~
dez.
Mostrar que
6.20 Determinar pelo método de transfonnação de Laplace a solução para o problema de vibração forçada apresentado na Fig. P.q-20. Fscn wt
6-14 Det.crminar a matriz modal P c a matriz modal ponderada jf para o sistema indicado na Fig. P.6·14. Mostrar que P ou P diagonalizará a matriz de rigi·
{)2'
k
;t-;k Xl
~k ';2
6-21 Determinar
a matriz
Fig. P.6-21 e mostrar
de
amortecimento
para
o
sistema
apresentado
na
(- 11,351 1,0
que ela não é proporcional.
I - 3,676. I 6-27
Se 1..2 == -0,1619 mostrar
+ i10,43
que cada coluna
em adj [A
é substituído
fica reduzida
ao segundo
- À!J
autovetor
do ProbL6-24,
que é
I
;0,338 1,00 6-22
Usando
a matriz
P,
modal
apenas por amortecimento 6-23
Determinar Fig. P.6-23.
a resposta
reduzir
o ProbL 6-21 a outro
e resolver pelo método
do estado
permanente
que seja acopIado
da transformada
forçado
do sistema
0,1(,19
! i IO,43(
de Laplacc. indicado
na P == [
6-29
Mostrar, amortecido equivalente
-
11,35 1,00
0,876 1,00
3,676
- 0,1619
+ iO,338
0,876 1,00
+ il0,43
-
-0,1619-il0,43
pela comparaç;To do sistema viscoelástico viscosamente, são
iO,338]
que o amortecimento
da 'Fig. 6.10-1 eom o sistema viscoso equivalente
e a rigidez
(~,()Z ~ ".10, m Deterntinar 6:25
a matriz do sistema
Para o Probl. 6-24, mostrar
(..1.2 -I- 100) [
[Ã - À1J.
que a adj [A
-
À!J é
~IOO
..1.
-10
..1.(4-I- ..1.)1 10
(4 -1..1.)
-10..1.
-100(4 -1..1.)
..1.(4 -1-..1.)
6-30
um sistema viscosamente
I
I:
(~~)Z
amortecido
de um grau de liberdade
]
e expressá-I o na equação 6-31
Usando À1, mostrar que cada coluna da matriz adjunta tovetor de modo I, que pode ser reduzido para
Considerar
kJ(cr;l
(k,
é proporcional
ao au-
matricial
Resolver a equação estado· espaço equação de segunda ordem.
estado.espaço do Probl.
.
6-30 e comparar
com a SOlução da
SISTEMAS DE PARÂMETROS CONCENTRADOS
7 Quando sc torna grandc o númcro de graus dc libcrdadc dc um sistcma, aumenta a dificuldadc para a obtcnção dc rcsultados numéricos. Para sc tcr a solução é prcciso confiar no computador clct;ônico de alta velocidade. Embora o problema de achar os auto-valores e autovetores de uma equação matricial seja tratado rotineiramente pelo computador eletrônico, há processos de aproximação e outros alternativos que são muitas vezes proveitosos. De modo particular, é útil o conceito dc fragmentar-se um sistema complicado em subsistemas com propriedades clásticas e dinâmicas simples, no sentido de tornar abordáveis sistemas cujas soluções aparecem obscurecidas em complexidade. Neste capítulo serão discutidas e ilustradas COm excmplos simples as idéias básicas desses processos.
Dois processos alternativos são disponíveis para o problema do autovalor e autovetor. A equação matricial
pode ser primeiram~nte premultiplicada por llr I, e com a suposição de movimen to harmônico X =o -ÀX, onde À =o W2, obtemos a equação ,[
'("'~)I IrXI úr
I
I
onde A
1
A matriz A =o M- K na equação acima é freqüentemente chamada a matriz sistema, visto que da define todas as propriedades dinámicas do sistema. Corno uma alternativa para a equação Eq. (7.2-1) por K-1 para obter a equação
acima,
podemos
premultipjicar
é igual à matriz quadrada
-I
A equação caractcrística
(",,/11,
a
«([!I/II,)
pelo determinante
,,/li!)
(1l,,1II
1
K- M e K -I é a /lU/triz de flexibilidade /11 I. Assim, a equaç.To que fornece o~; autovaJores pode ser expressa nas duas formas seguintes
(o
«(["I/l,)
d,)
( (/2211!2
/(0,,/11,) onde A -I c~radcrÍsticJ
no lado direito da Eq. (7.3-1).
é representada
~,)
(a "I/l,)
(li
J
.I.l'JlJ
=
que, ao expandir-se,
()
"J,) ú)-
conduz a unw equaç.To de terceiro grau em (J /(2)
I ',\
(
A equação (7.2-4) é baseada na formulação da rigidez, enquanto na Eq. (7.2-5) a forrnula"'âo é baseada na flexibilidade. A .primeira equação eonduz a urna equaç.To Jigéb;ica de n-ésimo grau em À =o W2, enquanto a segunda equaçãu resulta numa equaçfio algébrica de Il-ésimo grau em À -I =o ·w-2.
Se as r;iÍzes desta eql:acu'o $;T(; ] !w~. J i(,J~ c J/wi, fatorada da form.: ;;q:ll;nJc
acima pode
X2 X3
C.C
a"/, -J ([,,/2
,j.
a21/, I· ([,,12 1, -/-an/2
I,
a"I"
I,
11
a3,
11,,1, Exemplo 7.3-1
/3
33
supomos o movimento harmônico e substituímos as forças =o W2/1l;X;. A Eq. (6.2-1) toma-se ent.To
li
pelas forças de inércia
-~m;J.:;
1") (' xJ
(J, ,/li, 0)'
{/ I
~'nz
a21'111
{/ ~2JJ12
{[J!1J11
ti
J
2'11
a I 3/11, O:nI11]
'2
(J.lJ/H.l
ri .\,
50
É evidente aqui que o coeficiente de (l/W2)2 é igual à soma das raízes da equação característica e é também igual à soma dos termos da diagonal de A -I, que é chamuda o traço da matriz (Vide Apêndice C)
com a Eq. (6.2-1), que é repetida abaixo xJ
ou
cqUJÇÜO
CJ
A Eq. (7.2-3) é uma forma abreviada das equações de movimento formuladas na base d«s coefieientes de influência de flexibilidade. Desejamos agora apresentar os detalhes desta equação para exame posterior.
200
a
i \! I (~)T/ \ (u"::
7.3 MfTODO DOS COEFICIENTES DE INFLUENCIA
Começando
w,)
Usando os coeficientes de int1uência do Exemplo (6.2-1), determinar matriciaJ pura os modos normais do sistema indi~ado na Fig. 6.2-1. Soluçaõ:
(7.3.1)
o inverso A-J
da matriz do sistema A é :=
K-'M
ccc
XJ
[aJM
27 14
~.=3EI1 3
1
14
.. 4
Im
J
8
2,5
4 ] O 2,5 I .O
a equáção
")
•
~
•~
•
• • •I
) )
)
) )
,, ,
)
!
)
,
)
I
n
)
)
i
No caso do sistema conservativo de um grau de liberdade, encontra-se a freqüência natural igualando o máximo da energia cinética ao máximo da energia potencial. Rayleigh mostrou que este processo pode ser aplicado também a sistemas de maiores graus 'de liberdade, contanto que se admita uma razoável distribuição da def1exão. O método é discutido a seguir de modo conveniente, em termos de notação matricial.
)
)
::
)
)
w'[J
=3EI
14
[211:
2,5
8
4
2,5
1
r' o o
o 111,
o
°lrJ o
x,
I/lL
x,
Exemplo 7.3-2 Dada a equação
) ) ) )
1.\
Sejam M e K as matrizes de massa e rigidez e X o vetor de deslocamento admitido para a amplitude de vibração. Considerado o movimento harmônico, são as seguintes as expressões dos máximos das energias cinétiea e potencial
) )
f,
=
x,
all
a"
x,
a"
a2J
x3
aJ2
G33
Este quociente aproxima-se da mais baixa freqüência natural (ou freqüência fundamental) do lado alto, e seu valor é de algum modo insensível à escolha das amplitudes admitidas. Para mostrar essas qualidades, expressaremos a curva do desloçamento admitido em termos dos modos normais Xi na forma seguinte
lal
) ) 22
) k
)
~C~~
11
la
G"I IG I
) )
onde termos cruzados da forma X;KXj ções de ortogonalid'lde.
)
• • •
•
)
e X;MXj
foram eliminados pelas condi-
) )
) ) )
Todos os outros termos podem ser determinados do mesmo modo. Deve-se notar que o processo acima é simplesmente o da inversão da matriz [a ).
• 101m \V. Strutt, Baron Rayleigh, Publícations, 1937), Vol. I. págs. 109-10.
The Thcory
01' Sound
(2~ cd, rcv.)(Nova
Iorque:
Dovcr
'i'
Quando X ': expresso em termos dos modos normais CO!1l0 :U1tC:·:, "ondiçiíes de ortogonalidadc eliminarão novamente todos os termos p,lra '" quais i 'F i, e a estimativa da freqüência fundamental torna-se
(J)l
I) X'
l~fX, I ,X',/vIX, '
'\ I -I ' C' ((Vi '-----j
,. \(ui
",1
Uma vez que (I w;/cúj) é menor que (wJjw; Eq. (7.4-9) resulta iluma estimativa melhor ,h freqüência
.- 1) onde fund:Jt"lelltaL
"'i>
Wl,
a
Desejamos estender nesta· seção o método de Rayleigil ;lS vibrações de barras. Seja:n /Il a massa por unidade de comprimento ao longo da barra e y a amplitude da eurva de deflex,]o admitida, a energia einétiea é expressa pela equação T",,, então, que W2 é maior que w; por ser wjjw; > I, Visto que C2 representa o desvio das amplitudcs admitidas em relação ;lS amplitudes cxalas Xl, o erro na freqüência eomputada é somente proporcional ao quadrado do desvio das amplitudes admitidas em relação aos seus valores exatos.
É evidente,
Esta análise mostra que se é admitida a deflexão fundamental exata (ou modo) X" a freqüência fundamental encontrada por este método ser
1
J
.i"
onde w é a freqüência fundamental
-lw'
dl11
em radianos por segundo.
l
U
r M dO
Visto que a del1exão em barras é geralmente seguintes relações geométricas
pequena,
I
R
c
~~ (t)'aMX
X'MX
=
Y'MaMX
dl11
da barra é determinada pelo trabalho a que foi submetida e que nela está acumulado como rnergia elástica. Sendo M o momento de flexão e O a inclinação da curva el,ística, o trabalho efetuado é igual a
x ,~,aM,Y
2
Y'
1\ energia potencial
Outra forma do quociente de Rayleigh que fornece uma estimativa melhor da freqüência fundamental pode ser obtida a partir da equação de movimento baseada no coeficiente de influência da flexibilidade
(V
J
1 R
AI EI
dO tlx
admitimos que prevaleçam as
onde
EI é a rigidez flexional da barra e R é o raio de curvatura.
de dO e l/R,
Umu Igualando
I = 2"
as duas energias,
é determinada
Com a substituição
Exemplo
U pode ser expressa como
fM
2 EI dx
cinética
=~
I 2"
7.4-2
Se a distância
f
(d'Y)'
EI dx2
e potencial,
en tre. as ex trem idades da barra da Fig. 7.4-2 é fixada rigidamen te,
a surgirá em conseqüência
um esforço de tensão
dx
a freqüência
rar este adicional fundamental
trabalho
de deformação
da deflexão
na equação
lateral. Conside-
de freqüência.
da barra
pela equação
f EI(d2y/dx')' f y' dm
dx
(02="--------
Exemplo
7.4-1
Aplicando versal
este
uniforme,
processo
a uma
indicada
barra simplesmente
na Fig. 7.4-2,
sentada por uma curva senoidal
supomos
apoiada,
de seção
que a def1exão
trans-
seja repre-
de fórmula
onde
A
é a área da seção transversal,
é a unidade
Igualando
Y = (Yo sen nt) sen WI .
a é o esforço de tensão, e
a energia
cinética
ao total
tensão, obtemos I
-(j)'
2.
j"
)"
dl1l
c..
.
--
I
2
J
EI
J EI(~r onde
)'0
é a f1exão máxima
no meio do vão. A derivada
segunda
= 1/2 (dx/dy)"
E
de deformação.
torna-se
do trabalho
J EA(
(tl-, 2
)')'
dx-
dx -\-
J)"
de deformação
_.~
da f1exão e
dx
J ~(~r
dm
entã_o
d'y dx'
=
-(!!..)'yosen
I
nXsen I
wl
Exemplo
7.4-3
Consideremos
a seguir
aqui que a amplitude
(j)'
T
'= EI(
r'To
IV
-
g
fi
sen'
T
suficiente dx
=C~
71.4
com
gEI 4
s en 2 -nx dx o I
urna
a barra
pela curva de deflexão carga
concentrada
método
de Rayleigh. Qualquer
numa constante
outra
a freqüência
curva
maior que rr2 na equação
admitida
de freqüência.
na Fig. 7.4-3. Suporemos
ponto
estática
x é dada com exatidão
de uma barra cantilever
forma
w/
ser a correta,
indicada
na extremidade.
I [_3-(')'-cr .. (,)J]
)' =1)'0
No caso da eurva admitida
cantilever
da barra em qualquer
exata para
é obtida
pelo
o caso resultará
t... :111
/ -~x
:,1
Escrevendo
esta
sem massa, equação
na
onde
= P[3/3EI
Yo
vem a ser k = efeluado, é enlão
é a ampliluue
Pl.vo
= 3EI/IJ.
da '?xtremidade
livre. a rigidez nesle ponlo
1\ ~nergia pOlencial
:'El
2/
que é igual ao trabalho
.
Exemplo
)'i)
J~
7.4-4
Para ilustrar A energia iJrouuto
cinética
é determinada
da massa e o quadrado
a seguir pela integraç,lo
da velocidade,
Il'
sobre o comprimento
(O)\'o)"j"
I (X 13-· I
Y').....g \ ~
\(:'T4ü:;'; 311") ,.,
2
A equação
acima
(J).J
indica
de urna metade
() L
)'
do
da barra
o uso desta equação,
a freqüência
que para
a curva de detlexão
a freqüência
suposta,
de vibração
em radianos
Com referência carga concentrada pela equação
que pode
à Fig. 7.4-5, a detlexão
W, às distâncias
ser eneo,ntraua
a curva
de contorno
de deflexão
suposta
para
de deflexão,
inclinação,
condições são satisfeitas pela curva numa freqüência de exatidão aceitável.
de detlexão
Se uma barra é representada
W3,
••• ,
efetuado
o trabalho
pode
ser -determinado
aproximação,
correspondentes.
I 0)' 2R'[W,.J'i
que geralmente
as
Estas
I
.1",
6 /
pode-se
livro paurão
ser obtidas
/0
o mesmo resultado
indicado
x.
devido a uma
pode ser determinada
sobre resistência
dos materiais.
'das duas cargas, mos-
45,2 ;-; 106 I --D--po .
El
40,7 ;. IOó -U,,-pol.
resulta
W\.
W
~="~
,
~.
pelo trabalho
0
(i)
usar a detlexão
ern cujo caso as cnergias cinélica
,
! W,)'~
I IV,)',
I W,)';
: IV,)',
i···]
eom a equação
Um"
~
1'f'
Q)
(i)
I",]
Figura
• Obtém-se
aproximaçau
(} sistcma
ponto
pela superposição
:'O.o.:~5,!3(1r;' ú IX U
2
máximo
por estes pesos. Como uma primeira
-iUV,)',
estática
deve satisfazer e momento.
por uma série de cargas concentradas
de deformação
estática Y I ,Y2 ,Y3 , ... dos pontos e potencial rnáx irnas são
o problema cisalhamento
em qualquer
:'OO<~~.:.:.J' ( I0'
1" •
Em geral,
para
a e b das extremidades,
em qualquer
As detlexães nas cargas podcm trada na Fig. 7.4·6
condições
a primeira
lateral
a barra contínua
à barra sem peso com um
fundamental
determinar
CD
(i)
de w I b/pé é equivalente em características de vibração peso (33/140w/) concentrado na extremidade.
vamos
de vibraç,lo
==8='=='[ ",3U '",. f
.1
o
Igualando as duas energias, por segundo é a seguinte
fundamental
na foig. 7.4-4.
\.),n, (,'j 1 tlx
I
para
O
EI
Y')' (dd.r;.
d.\'.
• j':gor P. l'0pov. -Jlall, Ille., 1968 l. .
Introductioll
7.4·6 .
to MeclJanies .
ar
Solids, (Englewood
C1iffs. N. l.: Prentiee-
*
,I' =500 X 8 X 10(18' _ 10' _ 8') X 12' 6 X 18 X EI
=
J'l
2~xEI l2.':,
"= 500 X 8 X 5(18' _ 5' __ 8') X 12'c
y,
6
X
18 X EI
10' y, = 148 X EI'
103,OXIO'poi EI . l'oi
.
10' EI
y,=116x--
Figura 7.4- 7. Diagrama de corpo livre do elemento da 'barra_
Solução:
Se utilizamos
a Eq. (7.4-11),
vamos chegar
a um resultado
errado,
de contorno
na extremidade
livre. Usando
que a curva acima não satisfaz as condições
= )~ w1
=
I;Wy'
)386(500 X 148 300 X 116)EI (500 X 148' + 300 X 116')10'
-c. 0,00 Se outra exatidão pelo emprego
é desejada,
pode-se
de cargas dinâmicas
ter uma melhor aproximação
no lugar de pesos estáticos.
é m w' y, que é proporcional pesos modificados W, e W, (Y'/Y I)' coneeito
de cargas
dinâmicas
à deflexão,
à curva dinâmica
Uma vez que a carga
podemos
recalculá-Ia
com os
o
processo
resumido
pode
também
mais simples
que a estática.
a carga dinâmica
por unidade
de comprimento
ser usado,
Supondo-se
começando
com
é w'm(x)y(x)
w'
V(e;)
que tal curva seja y(x), que deve igualar
r
ao longo da barra. M(.\)
dM
na Fig. 7.4-7. Uma vez que
M pela integração e substituindo
Vdx,
encontra-se
Substituindo
l'fM' EI
M(x)
é
então proporcional
da curvatura,
a W4. Na realidade,
da curva admitida, podendo
quanto
muito provavelmen
U mu
de Tmax
a equação o trabalho
na Fig.7.4-8,
a freqüência utiliz~ndo
fundamental
aceitáveis,
(/'
3
W';IIC
--- 41'xl
r x
ç') de;
(I'.
4
)
temos o trabalho
'5.E7 (w'me)' 12
__I -
fI
máximo
4
O
,
(31 - 41 X -I-
de deformação 4
X )
,
dx
que depende
te estar em erro e por isso deve ser com·
da barra cantilcver
m'c'312 144 ffi I"
não é tão sensível
de deformação
putada eom cuidado.
Determinar
a resultados
dx = 2EI
às inexatidões
W'/IIl'
de;
/IIeç'
V(ç) dç-
em Umax,
W4
que
conduz
o momento
na equação
Um•• ~= 2"
1:
~~le(31'
'c
eomo indicado
na seção anterior
zaI1do-se a curva dada.
uma curva muito
a mudança em cisalhamento
obtemos
17-/El rad/s
dinâmica
o
a Eq. (7.4-11),
-I-
visto
uniforme
Tmu
indicada
'~,
W,
a curva simples y. = cx'. que é muito próximo
i
f
=
i'
y'm dx ,~ -i e'w'm
,J12,47
do resultado
JI ;,' dx = o
O,
EIlml4 exato.
.
== 3,53,JEIlmI4
'11 ie2w211J
5
utili-
o limite superior para a freqüência fund:unental é dado pelo princípio de Rayleigh, que é complementado pela fórmula de Dunkerley da qual decorre o limite inferior. As Eqs. (7.3-3) e (7.3-4) mostram claramente que é a seguinte a relaç:To para um sistema de l1·graus de liberdade I W'
I
freqüência freqüência freqüência 113 ausência
fundamental da estru.tura mais excitador, fundamental da estrutura sozinha, natural iÍú cxcitador montado sobre a estrutura de outra, massas·.
I'
J, 1 w' 'I '"
f convl;niente, exemplo
'I w'n
Uma vez que aii éo coeficiente de influência igual à detlexão em i, resultante de uma unidade de carga nesse ponto, sua recíproca deve ser () coeficiente de rigidez kii• igual à força por unidade de deflexão em i. Também
algumas vezes, "prcscntar
esta equação
sob outra f6rma, por
onde m2 é a massa do Pl'SO wncentrado ou excitador e a22 de influência da estrutura no ponto de ligaç:To do excit
o coeficiente
Exelllplo 7,5·2 "a freqüência natural do sistelll" quando ~Olr;':I,t" til, 'ést'; preSCl1lt', Podemos pcrtantu c~;crevcr a Eq. (7,5-1) na:' seguintes fOrJli:,:;eqllivaJellk~;.
!II.l.
II/I,t
k 1I
k"
. ,'.
!
Um profundo! (peça hUlizoiltal di,) It·nlc.l de aviàu apreseIltou uma freqüência ressonantc di: :;:) C,'S c;1I3ndJ~vibr;;,!:, i)(Jr um ag,/;,dor de maSSa excêntrica com o pcso de 1,5 Ib. J\ adiç:io de I,S U- ao pew do agitador baLxou a freqüência ressonante par:: 24 CI)S. r~"'I'>rIllin,Jl a freqül~ncia natural verdadeira do profundor.
/1"1
(,,:
Soluçiio: As freyüências reSSonallli- .. l:l<'djd:!\ "Jo uquelas resultantes da massa total do profundor c agitador. Sendo f, I a freq üência natural do profundor, e substituindo na Eq, (b) do Exemplo 7.5-1, obtemos
I J -, -1--2 ·1 "'1- I 2 (i) I I W22 (JJ
nn
Faz-se a estima'tiva da freqüência fundamental reconhecendo que '"-'1, W3 etc" são freqüências naturais de modos mais altos c por isso I/w~, I/w} etc., podem ser desprezados no lado esquerdo da Eq. (7.5-3). Com o abandono desses termos, I/w; é maior que o seu valor verdadeiro e portanto 0)1 é menor que o valor eXato da freqüência fundamental. Exemplo 7.5-1 A equação de Dunkerley é de utilidade para a estimativa da freqüência fundamental de uma estrutura em teste de vibração. As freqüências naturais das estruturas são determinadas, muitas vezes, por meio de um excitado; de massa excêntrica ligado ,) estrutura, e pela anotação das freqüências correspondendo à amplitude máxima. As freqüências medidas desta forma representam as da estrutura mais excitador e podem se afastar consideravelmente das freqüências naturais da própria estrutura, quando a massa do excitador representa uma percentagem substancial da massa total. Em tais casos, a freqüência fundamental da estrutura sozinha pode ser determinada pela seguinte equaç:To • S. Duokcrley. "00 185 (1895), págs. 269-360.
212
the Whirliog
and
Vibration
01' Shafls".l'hil,
Ilans.
!(oY., Soe"
l,
I
45,3 cps
A rigidez do profundor no ponto de ligação com o agitador é determinada meio de I /a22' cujo valor tirado da mesma equação é I
k
2
"'2
por
I
ll;i5ü,fci7
246Ib/pol.
Exemplo 7.5-3 Determinar a freqüência fundamental de uma barra caritilever uniformemente carregada com uma massa M concentrada na extremidade, igual à massa da" '! uniforme. (Vide Fig. 7,5.1) .
Exemplo
7.5·5
A freqüência
A equação
de freqüência
para a barra com a carga uniforme
de massa M, simplesmente 8I/MP. Se um'a massa concentrada
de uma viga uniforme
=
é presa à viga em x
lIlo
Solução:
fundamental
como na Fig. 7.5-2 é igual a
apoiada
112 ..)
1/3, determinar
a nova freqüência
fundamental.
do próprio
peso é Wi,•
EI ) 3,515 ( iJ7j
•
Solução:
co1, .. Substituindo
na fórmula
de Dunkerley
do sistema é determinada
natural
3,OO(ft~J)
da vig~ uniforme
àviga. Multiplicando
re:llrum31b
na mancHa seguinte,
com a Eq. (b) do Exemplo
Começando
fundamental
(b) por
aEq.
método
este
de Rayleigh
resultado
com
o da equação
de freqüência
obtida
pelo
a freqüência
com
mo
presa
,(W')' -
W11
a22
=
I -I- a12mOW'r,
é o coeficiente
unidade de carga aplicada no mesmo mula da barra no Exemplo 7.4-4, é
que é
natural
nova freqüência numa
posição
avião
tal
de uma asa de avião em torção
torcional um sexto
que
seu
se um tanque
. ... 6
em x
de influência
ponto.
8
>~ 81
=
Seu valor, forriecido
1/3 devido a uma por meio da fór-
I' 8I
de
é 1600 cpm. Qual será a
de combust ível de 1000 lb é suspenso
da semi·envergadura,
momento
inércia
1800 lb pol/s2? A rigidez torcional
em
a contar relação
da asa neste ponto
da linha central 30 eixo
torcional
do é
é 60 X 106 pollb/rad. As equações
de movimento,
de l1exibilidade, . i
f"
).
Wll
7.5-4
A freqüência
A nova
. - Q!.Z,nOW11
(~r
2,43(~~J) Exemplo
I
-
fundamental
temos
W11
A quantidade comparar
wi,
(w')'
a frequência
7.5-1, façamos
a nova freqüência
como
'41(EI)"Mí' ~, Podemos
e Wl
freqüência
!0-10-:;:-rO' - ~ ,I _~~____ ")1)
= _
2n'\
l.
Xl
ps. -- 1745 l'p III
x,
IWO
torcional
com o tanque,
conforme
a Eq. (a) do Exemplo
formu.ladas
a"
G12
a"
°22
7.5·!.
". fi
I
I
= 16(50' -:- r't45"
onde
À
é igual a I/W2
a.,
a.2
de rigidez quer na
como
x, x2 (7.6-1)
"'"I
- À
torna-se então I
quer na base da equação
são similares na forma e se apresentam
a••
x.
para a fom1Ulação de rigidez e w2 para a de flexibilidade. 215
o processo de iteração tem in ício pela admissão de um conjunto de deflexões para a coluna direita, da Eq. (7.6-1) e pela execuç:To das operações indicadas, do que resulta urna coluna de números. Esta é então normalizada fazendo-se uma das amplitudes igual à unidade e dividindo-se cada tenno da coluna pela amplitude escolhida que foi normalizada. O processo é então repetido com a coluna normalizada até que as amplitudes estabilizem num padrão definido. Conforme se verá na Seç. 7.7, o processo de iteração converge para o valor mais baixo de À, de maneira que se encontra o modo fundamental ou o mais baixo de vibração para a equação formulada na base das coeficientes de inJ1uência de llexibilidade. Igualmente, para ,a equaç,Io formulada na base dos coeficientes de influência de rigidez, a convergência é para o modo mais aIto, que corresponde ao valor mais baixo de À == I/v.}.
I
-,x,'1 1
~J)_'/J 135,3,,'1" KE1g 333,0
x,1
',I,OOj' [,2,60
e a raz,To de amplitudes encontrada
é x, x2
Exemplo 7.6-1 A barra unifornlC da Fig. 7,6-1, livre para vibrar no plano indicado, tem dois pesos concentrados W, == 500lb e W2 == 100 Ib, Determinar a freqüência fundamental do sistema. '
r
1
~
==~
2,60
Obtém-se uma exatidão suficiente com os re'sultados da primeira e segunda iteraçôes, se apenas a freqÜência fundamental é de intl'resse. As forças de inércia da primeira iteração são 500w2/g e 208w2/g. Estas forças produzem deflexães obtidas na segunda iteraç,Io que são x, == 135,3w2IJ/8EIg = 16,92w2IJ/Eig e X2 == 2,46x,. O trabalho efetuado por estas forças é então I ,,..,,,-OS,', ,,;, .,46 )w' ,,-()OO,-x, .'-'-?I x 1012 2 g •.• e a energia cinética correspondente
I -2>;
J
105 "v w'x; -,,-
'g
L
X (O'X, g
é
w' 1- 100 .,' 2,46')-x;'-
I -,,(500
Solução: São os seguintes os coeficientes de influência para este problema, determinados por n:eio das equações de dellexão de barras, colocando-se uma carga unitária nas posições I e 2-
135,3W'/'ll'001 SElg _2,461
"
m
457
, ''17'
I " J. '"
ú)
I .,
Ix, , •
I x, I _ Ix, ! Se o processo.é 216
repetido
'/.1
I ) oo II
='xD!i I'. ) 40,0
?)'~ XUg
com x,
1 08,3; 225,0
1
I~O
100
Ii 1,\, I .1'
I
:
__ 10§~~(J)~i11J ,00 XUg i 2,08
I --
Quando as equaçües de movimento são formuladas de influência de flexibilidade, o processo de iteração baixo presente na deflex:To admitida, É evidente que,se na deflexão admitida, a técnica da ileração convergirá baixo, ou o segundo modo, Seja :~éurva admitida X
em termos dos cocficient~s converge para o modo maIS o modo mais baixo é ausen:e para 'o modo próximo maIS
X expressa pela soma dos modos nonnais C,,\',
1 C,Xz
; C,XJ '1- ,.,
Xi
Pa~a fazer distinção
Xi, designaremos
na equação
acima entre a curva admitida
X e os modos normais
estes últimos por
Xi
=
1::)
1x
o processo
de iteraçãoaplicado
à Eq. (7.7-7) convergirá
para o segundo modo.
3I
Repete-se C1
=
=
C2
Entretanto,
o processo
de impurezas
~ convergência
para modos
mais aI to pela inversão Estabelecemos da deflexão tiplicando
agora a condição
CI
= O a fim dc remover
X. Para isto, introduzimos
admitida
a Eq. (7.7-1)
por
Xl
o primeiro
a relação de ortogonalidade
M, o que elimina
todos os termos
modo premul-
Exemplo
o terceiro
formulada
m~do.
de cada vez é reduzida
se há introdução
mais crítica
à equação
para
O, etc.Assim,
da equação
C
outros
mais altos,
a ordem
através das matrizes
de varredura,
mais altos. É conveniente
matricial
fazendo
da equação matricial. torna-se
checar o ~odo
original, inversão esta que deve ser igual
em termos dos coeficientes
de influência
de rigidez.
7.7-1
do lado direito Escrever a equação
exceto o primeiro.
matricial
dade, para o sistema
baseada nos coeficientes
representado
de influência
na Fig. 7.7-1 e determinar
de flexibili·
todos os modos
naturais. Igualando
a zero o lado esquerdo
o primeiro
modo da Eq. (7.7-1)'
X'IMX
x2
(x,
=
da equação
x,)
+-
=/I1IX,;I',
acima,
111,
O
O
/112
O
O
1I12X2'>;2
+-
C\
O
I~J
torna-se zero e é eliminado
]r) ;:
G,
O ~c
=0
I1IJXJSJ
Solução:
Encontram-se
os coeficientes
de carga, uma de cada vez, no~ pontos
X-
... ._1
onde as duas últimas Na forma matricial
_/I12(X2) !1'jX,
.'( 2
'0, ''(2
.'( J
C.C
equações
.'(
x~2
_
XJ
XI
a22•• aJJ
acima aparecem
apenas como identidades.
As equações
t:j
- n!J(:S)-J /11,
L'J
,\,
O
(Xl
da deflexão original
218
admitida
é o resultado
de
C]
=
3k
+-
I k
O, o primeiro
pela matriz varredura S. Levando
SX
modo
à equação
=
Uk I
=
0)2'
~~]
3k
4
;;
••
~~/l
pela aplicação
de. uma unidade
·1· ~)
== 3~
7
+- k
= 3k
na forma matricial
j
~= SX
que esta equação
I
=
=. a2J
X')
I
Visto
GJ2
de movimento
a Eq. (7.7-4) torna-se
{Xll:
de influência 1, 2 e 3.
(:S) -
-/I1J /111
J
do conjunto
h,
Figura 7.7-1.
são então
[4~1 2~1 ~] 7
O
O
l/l
ti)1x:
[4 2 I] 1:;' fil) :
.:
~
foi varrido matricial
Começando para o primeiro
com valores modo que é '.
arbitrários
de
xjx2XJ,
a equação
acima converge
I) ' "': .•
x)
1,00
.
i3k
w, Para determinar com a Eq. (7.7-5)
14 ,-32'jO'25) 079 ,
. ~'~ 3k
(k
'VT4,32m~0,457'Vm
o segundo
modo,
'\1
a matriz
varredura
está destituída de varredura
dos dois primeiros
ri ,\
I
com a Eq. (7.7-6), a nova quação
rI x2
W'1I1
3k
x)
para a iteração
2
I
O - 1,58
4
8
4
o
I
4
8
7
o
o
'O
-4,32
W'/11 O 3k O
1,67 1,67
Começando o processo de iteraçào com converge para o segundo modo, que é
~I
o
,
3.0
I
4 2 w'm 4 8 3k
4
m.odo é
modo resulta imediatamente
rl .\
,
X")
.\,
1
11
e ,pode ser utilizada
o o
~Io
0,25 -0,79
O O O
x,
'~J
acima, sendo
1 0,25\
9!.'m 1,68 -0,79 3k
1,00
n:
1,34.\!~ 111 arbitrÜfias,
a equação
acima
7.8 MATRIZES DE TRANSFERÉNCIA' TIPO HOLZER)
O
- (PROBLEMAS
1,0 No método
de matrizes de transferência,
com propriedades
elásticas e dinâmicas
um sistema grande é dividido em subsistemas simples. A formulação
é em termos:
do vetar de estado, que é uma matriz coluna dos deslocamentos internas; Para C1
'"
Cl
a .-
determinação
terceiro
O da equação de ortogonalidacle
modo,estabeleeel11os
as
2..:
j·1
lI1i(X)'·~i'4(0,25).\',
(7.7-3)
Obtemos 220
L: m,(x)
i
da matriz ponto,
O cálculo
1 2(0,79),\',/1(1
,O),\,) . - O
que encerra
as propriedades
dinâmicas
do subsistema;
elásticas
do subsistema.
sistema,
se processa e as freqüências
em ter~l1os dessas quantidades, naturais
são estabelecidas
de um extremo satisfazendo
a outro
às condições
do
apro-
priadas de con torno.
J
C,
condições
e das forças
•
e da matriz campo, que define as propriedades
.
)
C,
do
como
para a equação
rI
1,00,
da equação
XJ
10 • )
1
o terceiro
8
XJ
amplitudes
-
do segundo
Xl
-3'~IF) 3
modos
original, obtemos
4 0,25 O
4
1,00
O
para o terceiro modo. }'ondo isto em prática
x)
De acordo
-0,79
de acordo
_ J.. (lRQ)]'
O
O
XJ
formamos
Esta matriz
I
[OO OO
1 uma matriz
,_.1(0,79) 2 0,25
0,25
'~')
"\'i'- 4( - 1,0).\',
I
dessas duas equações
i 2(0).\', -i- 1(1 ,O).\')
o.
O •. E, C, Pestel e [', A. Leekíe, McGrDw-IIíllllook Co" 1963),
"MDtríx Méthods
in ElastomechDnícs"
(Nova Iorque:
o
Sistema
Mola-Massa.
mola-massa
'com
m n com deslocamento deslocamentos esquerda
A Fig. 7.8-1
uma das subseçães
x fl
apresenta
uma
parte
isolada. A n-ésima
e a mola
com
rigidez
e Xn _ l' Quando necessário e à direita do elemento com sobrescritos
de um sistema
seção
kfl,
consiste
cujas extremidades.
fazê-Ia, designamos
Xn
linear
da massa
quantlda
d têm_ es a
L e R, respectivamente.
onde a matriz quadrada Relacionamos
n -
na estação
acima
é
a matriz campo.
agora as quantidades
I, pela substituição
l"
f.\
lFL
c
na estaçãon
em termos
de quantidades
da Eq. (7.8-6) na Eq. (7.8-3)
II. -(0'111
+Fxl" ~][~ .IFLI I.
~I~,,,,~;,,)H:\:
(7.8-7)
(I
A equação
de matriz de transferência para a seção
acima é denominada
por ser através dela que o vetar
de estado em
1/
-
1 é transferido
n,
para o vetar de
estado em n. Com valores conhecidos do vetar de estado na estação 1 e um valor escolhido de w1, .é possível computar progressivamente os vetares de estado até a última Considerando
que
é o mesmo
o deslocamento
em cada
lado
de
identidade
m",
temos
a
estação
em função naturais São
n. Tanto
w2,
de
do sistema
denominados
associado
xn
como
Fn podem ser representados graficamente apenas das condições de contorno. As freqÜências
dependendo
são estabelecidas tipo-Holzer
com cada
massa.
que aplicou ao problema
quando
satisfeitas
os' problemas Ilolzer*
torciona!
as condições
em que
desenvolveu
de contorno.
um deslocamento
um método
apenas
tabular
deste
é
tipo,
de muitas massas.
{ .~ }R
F "
onde {}} é o vetor de estado e a matriz quadrada
é a matriz ponto.
Sinais são muitas definir
Examinamos
a seguir a mola
k Il cujas forças extremas
são iguais
claramente
eixo rotativo
meio
de setas
\.R
Reunimos
222
_ -\
-
conforme
positivas.
rotativos,
sendo necessário
A coordenada
ao longo do
positiva no sentido da direita. Feita uma seção transversa!
dos torques
apontando
nos sistemas
das quantidades
a face cuja normal
a indicação
mão direita,
~\n
o sentido
é considerada
no eixo, é positiva Faz-se
vezes a fonte de confusão
externa
positivos
positivamente,
é no sentido
da coordenada
e deslocamentos de acorpo
com
angulares
á
positiva.
positivos
por
regra de parafuso
de
a Fig. 7.9-1.
F ---c R
,,--I
agora as Eqs. (7.8-4) e (7.8-5) na forma matricial
• H. llolzcr,
Qie
ilcrcchnung
ucr
Drchsehwingungcn
(Bcrlim:
Springcr-Ycrlag,
1921).
223
sentido. A seta sob o sinal de igualdade nas Eqs. (7.8·7) e (7.9-3) indica esta direção de seqüência. É convenient(' ('m alguns problemas proced('r com a matriz de transferên<.:ia na direção oposta, quando precisamos apenas de inverter as Eqs. (7.8-7) ou (7;9-3). Obtemos então a relação T
-
____
~tJ_
o
Com esta definição, o desenvolvimento
da matriz de transferência
do sistema
torcional é idêntico ao do sistema mola-massa linear com {~} como vetor de estado. Isolamos a n-ésima seção como na Fig. 7.9-2 e escrevemos a equação dinâmica para a matriz ponto e a equação elástica para a matriz campo. Elas são I
{O}I.
O!
'.0'1 I!"
'I' "
A seta agora indica que a matriz de transferência progride da direita para a esquerda, sem modificação na ordem de numeração das' estações. O estudante deve verificar esta cqt;ação, começando pelo desenvolvimento do corpo·livre. Exemplo 7.9-1 Determinar ~s freqüências na Fig. 7.9-3.
naturais e perfis de modos do sistema representado . .
~'""""'" "_ r*
r*_1 --=-_1
0;:_
-
T{; ~
01fi•
I
J,
JII
= 50
J,
=
-r;:
J 00
J,
=
200
Ib-pol-,'
Figura 7.9-3.
J"w'l0/l
Figura 7.9-2.
f (} r
ITL
- I KI -[ f O IR 1.0
1.1" 1 T
I O]R lT ,
"_,
I [ ---IOOw2
(j]R [T Notamos assim que cada uma das Eqs. (7.9-1), (7.9-2) e (7.9-3) é idêntica às do sistema mola-massa linear. No desenvolvimento até aqui, as estações eram numeradas na ordem crescente da esquerda para a direita, com a matriz de transferência progredindo no mesmo 224
[ J
_.
I -
2()Ow'
6
10-
]
[
1,0
]
(I -- I~~~~)-SOw' 1 x 10[(}]R 2
I
6
]
(
J
.-
200W') 2 X IQ6
T J
2
As quantidac!('s De T são enéontradas com a adm'iss;To de diferentes valores para pam a esta\';1'o 2 e depois para a estação 3. Considerando que a extremi. dade 3 é livre, as freqüências que resultam em T~ = O são as naturais do sistema. A tabela abaixo fornece os vetares de estado em eada estação para três valores de 225 w, primeiro
W,
de T~~ indicando
e a Fig. 7.9-4 é um gráfico
tema são (,;1
=
126 rad/s e
que as freqüências
= 2! O rad/s. Os torques
W2
naturais
T3 para w
=
do siso
126 e 210
Exemplo
7.9-2.
Computação
O programa
Digital de Problema
do computador
para o sistema
torciorIal
que é aplicável
Torcional
digital para o problema
da Fig. 7.9-6. O programa
a qualquer
outro
sistema
tipo Holzer é redigido
torcional,
é ilustrado
de tal maneira,
bastando
apenas
mudar
os dados.
não são zero, Os perfis
mas bastante
de modos
para
perto
dele para se aproximar
as duas freqüências
naturais
da condição são mostrados
Fig. 7.9·5.
T3
=
também
O. na Em
w r"d/s
1,00 126
1,121
x
10'
x
10'
-3,lO4
X 10'
-0,009
x
10'
-1,618
x
10'
x
10'
-0,044
TL(I, N TR(I, N
-+ -+ -+
=
8(1, N)
I)
=.c
TR(I, N)
I) = TL(I, N
À
\ \
\
\
com
as
=
-+
TR(/, N)jK(N
I)
(a)
(b)
-+
I) -- ),,(1)*J(N
,
-+
1)*0(1, N
-+
(c)
I)
W2
/
\
\
trabalhar
TL = Torque para a esquerda do disco TR =' Torque para a direita do disco
\
\1
-+
I)
\
.---""
vamos
X 10'
O(I, N
w=210
a Eq. (7.9-3) Elas,são
0,347
-1,205
2,205
com
- 0,547
0,842
10'
1,00 210
x
-0,126
1,126
diretamente
·~0,355
0,206 X 10'
0,794 1,00
150
[~I
[~I
[~T
vez de lidar
Eqs, (7,9-2) e (7,9-i), que são equivalentes,
/
/
/
/
- 1,205
N define a posição mudanças
correspondência de inércia
ao longo
são necessárias
da estru~ura
na notação
com a linguagem
Fortran.
do discQ J são designados
e I, a freqüência'a
para o programa por
ser usada.
do computador,para
Por exemplo~ a rigidez
SK
e SJ,
Algumas que haja
K e o momento
e O é escrito
por extenso,
227
As três equações
acima
têm de ser resolvidas
ponto N .da estrutura e para diversos O deve ser zero na extremidade fixá. A faixa de freqüências um incremento
6w.
valores de
as freqliências
---}j r
a cada
w(l)=40
naturais,
>-.(1)= 1600
8([,1)= 1
pode ser percorrida
Neste problema,
em rc1aç,To a O e TI? À. Para
pela escolha
por exemplo,
de um
escolhemos
-----1""---
w incial e de
as freqüências
[-------' = TR([, 1)
->-.(l)*J(ll
G(l) = w2([)
I
w (l) = 40
0(1, I) TR(I,I) as equações
(a),
mantendo-se
l(ou
númtro
inteiro
(b)
e (c)
são computadas
freqüência)
fixo.
para a próxillld
freqüência
f1uxo da Fig. 7.9-7 mostra clarmnente As seções mostra
seguintes
graficamente
Quando
04
c sc repcte
os resultados em função
o proccsso.
úJ,
160
úJ,
356
úJJ
552
a forma
da matriz
representado
que
,
é incluído
l1-ésimo subsistcma
W I
= 160.
o amortecimento,
a,
A
escrevendo
as equações
í
2,0 -
!
1,0
I
não se altera para o
equaç,To de [arque para [) disco
11
t
!
mas os elcrnen tos de massa e rigidez tornam-se
é fácil de se mostrar na Fig. 7.9-10.
I
[ ;RINTJ
do
!
com Amortecimento.
QGando
naturais
\I
Sistemas
Isto
de
~
na Fig. 7.9-9 para
de transferência,
um
A Fig. 7.9·8
e a Fig. 7.9-8 mostra
O i de cada ponto é apresentado
complexas.
O diagrama
As freqüências
O üngulo
quantidades
na estrutura),
'= 4, J avançou
do computador.
w.
de
aos valores zero dc 04
sistema são as que correspondem elas são
N(posição N
cstas operações.
apresentam
o üngulo
para cada se atinge
é
O
--L...-..
600
w
~u:=-;-)• 20 I
as quais são idênticas
às da hipótese
de não amortecimento.
de massa e rigidez, eles são agora quantidades Exemplo
O sistema
tarcional
à direita
a primeira
da Fig. 7.9·11
é excitado
do disco 4. Determinar
freqüência
20
K x 10·' = 2
aos elementos
7.9·3
ponto
J = 15
Quanto
complexas.
natural
J,
=
J.
K2
= =
K,
c2
harmônico
num
e estabelecer
do sistema.
J, == J2 = 500 Ib paI. 2
por um torque
a curva freqüência·torque
S2
= 1000 Ib pai
=
K.
S2
= 106 lb polfrad
10' lb pai
sfrad
g. =0 2 x 10' lb pai sfrad T;;c_c K.({}.(K.
. Nestas
condições,
para
0._,)·\
iwg.(O. ···0._,)
I iwg.)(O •.. - 0.-1)
o sistema
amortecido
a matriz
ponto
e a matriz
campo
tornam-se
Solução: tabela
As computações
abaixo.
Os termos
para cada estação nas Eqs" (7.9-7) estação,
11.
numéricas complexos
enc.ontramos
a segunda li
=
W2
Com a sua substituição
e (7.9-8),
conforme
para
1000
são indieadas
de massa e rigidez são inicia1mjlnte nas matrizes
a amplitude
ponto
e torque
(W2J. _. iwc.)IO-b
(K.
+ iüJg.)IO-·
0,50 + O,Oi 2
0,50 - 0,316i
1,0 + O,Oi
1,0 + O,Oi
1,0 + O,Oi
1,0 + O,Oi
1,0 + O,635i
4
0"
1/
2
4
r: (para
1,0 + 0,0i'
(-0,50
0,50 + O,Oi
(-0,750
w' = 1000)
+ O,Oi) X 10' + 0,158i)
X
10'
+ O,Oi) X 10'
.·0,250
+ 0,158i
(-0,50
-0,607
+- O,384i
(0,107 - 0,384i)' X !O,
tabuladas
e campo, isto é,
complexos
tabela abaixo.
na primeira
para cada
As compu [ações aCima s:1o rCpelltl.Js um nlllTICI" de vezes que permita çado da curva freqüência-torque da Fig. 7.9-12. O gráfico mostra as
u tra-
) J'~_.
)
_K,
tO
K
,
)
J,
n
f
Figura 7. 9-12.
Curva freqiiência-torque para o sistema torcional amortecido da Figura 7.9·11.
Considerada
n2Jz
n2K'),
KI
J,
do eixo 2 igual a Ó2
a velocidade
do sistema é partes
real
excitador 6
10
J 0,107
2
primeira W
e imaginária
neste
'=
v'93õ
Exemplo
T§
assim como
Por exemplo,
+ 0,3842
freqüência
um sistema
de
problema.
'= 0,394
natural
do
a sua resultante,
o torque
106 pol lb.
X
sistema
deste
'= 30,5 rad/s. Neste caso a freqüência
não amortecido
que
resultante
não requer
torque
que é o torque
em
W2
'= 1000 é
O valor encontrado
diagrama natural
é
para a
é definida
para sustentar
discos os 01
•
uma
A tabela
amplitude
acima
de
O2
mostra
'=
torcional
232
um
engrenado
do segundo
torque
de 394.000
Considerando
que
pol Ib produzirá amplitude
ao eixo. I, pren~em-~e
um torque na engrenagem I, fazendo-a glfa~ um a~gu o _ um angu _ I o O 2. --. nO 1 , que sera lambem a 2 rodara . en tao
no eixo 2. A energia potencial
disco para o torque
e n2 K2
épro.
especificado
da Fig. 7.1 q-I, no qual pode ser reduzido
12
é a rigidez equivalente
A regra para
é
n2
dade do eixo 2 para o eixo I. O sistema eixo único, como a seguir
do eixo 2 referida
ao eixo I.
do sistema sera pOIS
e vi
0,50 radiano.
porcional ao torque, a amplitude 0,50 X 2/394 '= 0,00254 rad.
Seja o sistema
que
a rigidez equivalente
do eixo 2 referida
I e 2 e aplica-se
À engrenagem
rotação
Solução.:
J2 é a inércia equivalente
Para se determinar
como a de
o movimento.
7.9-4
Na Fig. 7.9-11, se T '= 2000 pollb tu de do segundo disco.
122
Nestas condições,
aproximadamente
os
do eixo 2 referida
. temas SIS
engrenados
ao eixo L
entre o eixo engrenado
e o eixo de referência.
Os sistemas
são enconúados
simples:_ multiplicar• por d n a relaçao de veloclda es
é pois muito
toda a rigidez e inércias "do eixo engrenado, sendo
é a relação de velocia outro
equivalente
de
bifurcados
o sistema
duplo
de hélices
diferencial
de um automóvel,
com freqüênc'ia,
de uma instalação ambos representados
maríti~a
sendo exemplos
co~ec~dos
e o eixo de transnllssao
na FIg. 7.11-1
e
233
e precisamos
agora
T~
expressar
em termos
1
do deslocamento
eixo A.
looo0F!i1,==,,~
K,
KI
J,
(I)
R
(a) LI I
Tais sistemas
podem
gens, multiplicando-se
ser reduzidos
todas
as inércias
para a forma com uma-para-uma e rigidez as dos ramos
engrena-
pelos quadrados
KI
I I I I
das
IR I
:R
:B K
I I I I
,
I I
'A
I I I I I
suas relações de ve:ocidades.
J,
I I I I
J,
I
3
Figura 7.11-2.
Exemplo
_TAl ---R
Sistema bifurcado reduzido a velocidades comuns por 1 para 1 engrenagens.
°AI
7.11-1
Esboçar
o processo
matricial
para resolver
o sistema
bifurcado
torcional
da
do ramo
B
Fig.7.11-3.
Solução: para
Inicialmente
converter
num
na Fig. 7.11-3(b).
multiplicamos sistema
Podemos
nota do fato de engrenagem A Fig. 7.11-4
T~
1
considerado
sobre a engrenagem a engrenagem
mostra como A
A é então
tendo
por
então prosseguir
B introduzir o diagrama torque
n2
uma-para-uma
a rigidez
da estação um torque
de corpo-livre
positivo,
e a inércia
engrenagens,
o torque
é negativo como está indicado.
confonne
O até a estação
T~l
indicado
3, tomando
das duas engrenagens. exercido
A.
sobre a engrenagem
Sendo
pela engrenagem
O balanço dos torques
B
sobre
O~I ~=
(I'--, (J)Y')8~~ = -8~, K.,
T~,
=
(J)21l2J.8~ •.
R
angular
OI
do
T"
-
111 -
O)
DI,
'11 './.,
com
de uma viga idealizada
(I . 9l/-,,-) '"
I
as forças e momentos
massas
nela atuando
concentradas, são indicados
Examinando
a /1-ésima seção,
pelo diagrama
de corpo-livre.
Por
4
meio deles se encontram Substituindo o v~lor ~cima de T~1 na Eq. (7.1 l-I), eixo A através as engrenagens torna-se
{~:r
dc transfcrência
I
(t~{;)
T,
V~_1
uma
viga é substituíd~
por seções
desenvolveu inclinação,
sem massa,
para computar momento
por um~ outra pode-se
utilizar
progressivamente,
e cisalhamento,
=
A deílex,To e inclinação
formada
e momento
V~
à Fig, 7.12-2 para a deformação
Referimo-nos
(7.11-6)
I
J'.
Quando
para o cisalhamento
do
nas extremidades
4
ligadas
seguintes
M~_I = M~ -
O-Irl .I
w'.l, (I
a função
as equações
"C
)'"
o, -I-
V~/.
elástica da n-ésima seção da viga.
são dadas então pelas equações
L~_VL~ 10 •• -, -I- M , 2(El)"
• 3(El),
de massas concentrad~s
o método
que
N. O. Myklestad*
de urna estação para outra, a dcllexão,
de um modo semelhante
é novamente
A eXpressão dessas equações na forma matricial da concisão e eficiência de computação ..
ao método
de Holzer.
vantajosa,
no sentido
(a) Vibrações de flexão desacopladas. A Fig. 7.12-1 mostra uma seção típica onde os Vlírios coeficientes
de Influêncla
utilizados
são baseados
sobre seçtro uniforme
e são: I
I
n
n-1 y
Y"
w'lmn
i
M~~_1
(1 Vn
5,
M~
ln
I
t
I
M*
Cr&1)q tJ
o
ln+ ,
I
T
devido a um momento
.!..':...
devido a um cisalhamentó
- 2EI
I
V,í
II
unitário
em /1.
unitário
.
em n
R
V"
/"
o
c
2~I devido a um momento
unitárlo
I) devido a um cisalhamento 3EI • N. O. Myklestad, "A Ne\V Method 01' Calculaling Natural Modos of Uncollplcd llcnding Vibration of Airplane Wings and Olher Typcs ()f Bcams", JOllr. Acro. Sci.{abril, 1944), prigs. 153-62.
236
Expressando
naEq.
(7.12-2)
da Eq. (7.12-1), estas equações
M"
e
V"
podem ser reescritas
em /1
unitário
em
em termos como.
n de M"_l
e
V"_1
, M~_,/~ Y.'
)'.-,1
e.-
01
MI;.c
o
I.e •. , '
I-
M:_,/.,
e
.-1
o
I
V~_I/~ ' 2(EI).
I . (E/).
e
-I V,~_,/.
OIV~-1
r
e expressas como uma matriz campo Il -] -y 6EI
[2
L.
Y
lEI
O
(}
UIZ
U!l
UZ1
UZ2
U2l
U"
Ul2
Ull
Ull
M:_,
VI;.O·IO
A Eq. (7.12-6) nos permite, para qualquer freqüência w, começar pelo contorno esquerdo O e prosseguir para o con torno direito N, sendo essas quantidades relacionadas linearmente pela equação
V~_le
1 6(EI).
2(EI).
- >
I
12
Ei
'lEi
-
V
1 r N
U41
R
Geralmente, são conhecidas duas das condições de contorno em cada extremidade, de modo que as freqüências que satisfazem essas condições são as naturais da viga.
(}
(7.12-4)
M
O
O
1
1
M
V
O
O
O
I
V~
- "
M y
Exemplo
7.12-1
Uma viga cantilever, flxada na extremidade esquerda, é representada por diversas massas conccn tradas. Determinar as equaç.õe5' de contorno que conduzem às freqüências naturais.
n . I
MN = uJ,MO VN ~--, u4,Mo
e
-Y M'
II o
IR
OI
r
l_w
_ V _.
o o
R
O
e
O
O
O
O
O
O
I •
V
l'
6iD
\.
1
12
"El
2Ei
e
O
O
I
O
O
O
I
1
M
II1W'
O
O
I
O
O
o
I
V
2EI
1
O
o W2111
238
12 2EI
V
1
EI
o 1
w2111
-2EI
.
(--;i}
l'
I' 2Ei
()
.'\'
de modo que esta quantidade pode ser representada graficamente em função de w para estabelecer as freqüências naturais da viga. (b) Peças ratat/vas. Examinaremos nesta seção a vibração perpendicular ao plano de rotação, de peças rotativas tais eomo pás de hélice e palhetas de turbina. Em face ~a força centrífuga; necessitaremos considerar termos em acréscimo à análise sobre barras da seção anterior.
I
IJ
(7.12-6)
A Fig. 7.12-3 mostra' a força centrífuga, que é normal ao eixo de rotação, e igual a mllrl2xll para a massa mil' A quantidllde adicional que deve ser introduzida é el1tão a força axial 1
M
I CJ) 2 II1F
O
n
M
2
44
O
M
Substituindo a coluna no lado direito da Eq. (7.12-5) pela Eq. (7.12-4), enconlra-se a equação final seguinte relacionando os velores de estado em n c 11 - 1 Y
U34
onde Mo e Vo são desconhecidos e MN e VN devem ser zero. As condições de contorno são então satisfeitas se o de terminante. da equação é zero, ou
oO o01 ye 1"
0010 2111
.+. V +- u V
, CJ)"1I1
1J 6E1
V
(7.12-9) n- 1
239
lU
c...0
r------
p;yf
---lo>-m"U2XII
I
/11
y"
I :
I.
Yn-J
Substituindo
I I
Y
J:t V e a inclinação
conta ao considerar de cisalhamcnto
são influenciadas
somente
também
o componente
de
F;;
I
O
O
O
I
O
O
O
1
O
O
-l1lúJ'
I
A deflexão
l~r mn
,,,--xn ----------.~
I
FL e levamos isto em n' normal à peça como uma carga
por esta
l
a coluna
r- ( I -!"7;E/
lIlúJ'J3)
- (I
lIlúJ'
J,,-,
-I-
2EI
--F
(
Y
-EJ
I' n'l
(J
( 1+2E1Fl2)
-- 1-1- 6EI
O
--lIlúJ'
I
O
(c) Vibração de Torção-Flexão Acopladas.
mais
altos
coeficiente
os quais quando_ mais altos diferem
desacoplados. de influência
~ necessário, adicional,
para
Os modos
são muitas
-- 01-[/.'
.
"
0:_
1
M:_.
_-o
O~-[I -/
-- MI'[II
" , 6(EI),,_
da direita
__ VI_1_J_
tratar
li", definido
" 2( El)n
.
"6( E1)"
M~-(l:~0" ! V~-2(~/J
- (I -I -I
J _..
::::_~)
FI')
2EI
ln'[-I
: F~'/~ " _ " , 6(Ú)n
I' 2EI 1 -EI
- (I {~~) (I 1 ;~_~) O
O
l
I 1[-
,
F.~t;
- O.,F,; _I" -,- 6(EI),,_
J
V..Jn
ao torque
naturais
vczes modos
tais problemas,
de vibração de torçãodos modos
intrnduzir
como o ângulo de torção
um
da estação
à estação 11 I, e resultante de um torque unitário em n. Com à seção de barra da Fig. 7.12-4, são as seguintes as' equações relatívas T T~' - J"tp" -I
n.i'n
l1l"c
-J"w'rp" --
2f~~~J -~F~'I;
(I
prosseguir
referência
T: _o:
J
F~'/~ -1- MI.~
'2~EI)"
n
agora, a fim do cálculo
M "
consideravelmente
11 relativamente
'Y~'
FI')
(7.12-12)
flexão acoplados,
)':-1
(
por
de asas de avião e de ou tras estru turas de barras
Estas equações podem ser rearrumadas para a esquerda, da forma seguinte
R
-(;0
I
FIJ) 1+ 6EI
o resul ta do final IJ
2EI
I-
( 1-1- 6EI FI')
temos
!'
FlJ) 6E1
( 1 2EI FI')
lIlúJ'l'
-
da Eq. (7.12-10);
direita
(7.12:]])
IIInC"úJ'Yn
estação [
onde
J"
+ rnnc;'
= Jncg
é o momento
ao eixo elástico da barra. O cisalhamento
V;' -- V:
l'
I
rn7
O
O
O:
O
O: , O ,, I ,,
O
O
I
O
O
O
I
V
IIIW'
()
()
T
o
J"
o o o o O O
-- IIICW'
(n
A matriz campo ertre a estação com duas equações adicionais
n-ésima relativamente
L
Nestas condições,
-
°li.!' O I a O
O
M
IIIW'C
Jw,
I)R
I'
I'
27:..7
()
I-
o
rp
I
T
e (n)L
0*,
()tJ
I
I'
'Fi
210
..
O
()
\'
, O
()
o
()
M
()
()
I
()
)'
()
o
o
o o
AI I-
rp
o o
o
()
I
11
rp
T
o o
o
O
O.
de estado
(7.12-13)
é a mesma da Eq_ (7.12-4)
a
substituindo
I.
A inclinação de f1exão o cisalhamento zero na linha do centro para os modos simétricos, momento, o cisalhamento e o torque Eq. (7_-12-14) aparecem então como
I'
a coluna
na estação
direita
o
T
a decomposição
para a vibração
para a determinação
Ujj
V
.
"
o o
7
I
que podem
ser.reescritas
pela Eq. (7,12.14), de estado
na forma
I~I
na
Estabelecer
e asa de um
as equações
simétricos.
de
'
Solução: A fun de utilizar a equação matrieial (7.12-14), fazemos a estaçã~ O na reta central do avião, e sejam rnl e J1 a metade da massa e do momento de inércia da massa da fuselagem em relação ao eixo elástico, com /1 =' O. Colocamos a
""rr
UJI
U33
U41.
U4J
U.,
U.3
U~l
M
.
rp
o
.vo. Mo e 'f!o na linha do centro são desconhecidas; entretanto, à esquerda é zero na ponta da asa, pàra o mOJ11ento, cisa1hamento e Desta maneira, o determinante do Uij, que é uma função de w deve ser
As quantidades a matriz torque.
coluna
zero para satisfazer
) 242
R
rp T
aos vetores
dos modos de torção-flexão
da
M
;--..:.:
(7.12-14)
de massa para a fuselagem
de torção-flexão.
de contorno
o
Exem'plo 7.12-2
avião de combate
são zerO. As equações -
M
I)R.
A Fig. 7.12-5 mostra
T*
e o torque de torção são ao passo que na ponta da asa o
y
da Eq. (7.12-13)
(n)R são relacionados'
V*
N
.U61
contorno
17
-I- c"rp,,)
'--III"W'Cl'"
c.c"
a
(n -
]f.
através da massa é
M
rp
estação
da asa, com
através de m pode ser escrita desta forma
e a matriz ponto
os vetores
de inéreia da seção
7 na ponta
]~ que agora fica igual a [
As freqüências
as condições naturais
represen tação da quan tidade
de contorno.
para os modos sjmétricos '
sãO' estabelecidas
por meio da
D(w)
eco
1/"
1/J.1
1/-"
1/.,
I/.J
1/. \
bla C HllIl'SlI1
num gráfico, em função de w. Os perfis dos modos são então detcrminados para as freqüências naturais obtidas, compu tando-se Y ll, O Jl e 'Pn. A Fig. 7.12-6 mostra uma curva típica para o segundq modo simétrico de um avião de combate característico.
I
~~n
·~~J-;ll n_· X
1
Figura 7./3-2. w=
210
/
w"m
I~
-- kTiwc
)
klv-----=é:::~Fn
FI~_l'
.
~
III
VVv---k
X,I_I
-
xn
Figura 7. !.l-3.
A matriz de transferência do capítulo anterior conduz a alguns resultados interessantes, quando aplicada a seções idênticas repetidas. Cumpre notar que o determi· nante da matriz de transferência é unidade, quer o sistema scja amortecido ou não. Os três casos seguintes são. apresen lados para verificar a afirmação acima. O primeiro caso, com a Fig. 7.13-1. .
A coordenada
intcrmediária
y. foi eliminada na equaçITo acima.
Em cada um dos casos acima, a matriz de transferência
[Tl=[~
é da forma
~J
e o determinante AD - BC == 1,0. Pode-se mostrar facilmente que o detcrminante da matriz 4 X 4 é unidade, até mesmo para a matriz de transferência da seção da viga, isto é, Eq. 7.12-6. Quando o sistema tem transferência conduz à cquação
seções idênticas,
II
{ F} X.
oc li
o prosseguimento
[Tl'{ ~}. X
da matriz de
~ o
c daí o interesse em se poder calcular a Il-ésima potência da matriz de transferência. Para tanto, determinam-se primeiro os autovalores f1 c autovetores ~ da matriz 245
[T],
os quais não devem ser confundidos com as freqüências naturais e perfis de
. modos do sistema discutido anteriormente. Os autovalores e autovetores da matriz [T]
[Tj2
satisfazem a equação
=
[T][T]
=
[P](A][Pt
I
[PJ[AJ[Pt
J
=; [P][A]Z[Pt1
Para [T] = [AC
BD]'
os autovalores são obtidos da equação característica
onde
[A]2
=
[/.10;
O]
/.I~
Multiplicações repetidas conduzem à n·ésima potêncià (A-/.I) .\ C
B
\
O
(D -- tI)
Por exemplo, se a extremidade F n == O, e obtemos
Visto que Fo '1= O, Se há amortecimento, complexas. Neste caso, e determinamos a força
O é fIxa e a extremidade
n
é livre, Xo
O e
encontramos as freqüências naturais a partir. de tIl == O. os elementos da matriz de transferência são quantidades o deslocamento final Xn pode ser escolhido como unidade Fo por meio de
para r--" I e" r-- 2 podem ser reunidas agora coma uma única equação matricial (Vide também a Eq. (6.10-16)).
onde [A] ~.•
[~I ~J.... matriz diagonal dos autovalores.
pós.multiplicando por [p]-I obtemos
.
A equação de diferença oferece' outra maneira de se abordar o problema de seções idênticas repetidas. Como um exemplo de seções repet.idas, consideremos o edifício de n pavimentos representado na Fig. 7.14.1, onde a massa de cada piso é m e a rigidez lateral ou de cisalhamento é' de k pol/lb. A equação de movimento para a Il-ésima m3.ssaé então (7.14.1) 247
)
.\ ) ) 2 cos ft(N
-I-
D sen
~
=
°
(7.14-7)
) (7.14-8)
) O)
a qual pode
ser representada
para movimento
harmônico
em termos
da amplitude
0),-
como
X-nl Encontramos
2(1 ..- W'II1) X ....:-X 2k
I
n'
a solução desta equação
= 'l-I
substituindo
O
2
== 2( 1
k
onde
cos ft) == 4sen'
,. 2 0)2\
de movimento
IJ: sen
n
2(2N
(7.14-9)
+
1)
(!f.:m sen 2(2N3n+ I)
c
n: sen (2N - 1 )n 2(2N -I- I)
Viii
4
A e B são calculados eonforme as condições de contorno. Xo 0, de modo que A = O. No último piso,
a amplitude
~
. Viii
. 2
(j)'m
2~k/lI1sen
Na base, Il
=
Il
= 0,
N, a equação
é
que, em termos de amplitude,
A figura 7.14-2
torna-se
N_, == (I - ~!-flYN
X
mostra
uma representação
N == 4.
o
(7.14-6) outros sempre
gráfica dessas freqüências
. método
sistemas pela
cada problema
da equação dinâmicos
naturais
quando
• de diferença
com seções
Eq. (7.14-9); entretanto,
que
repétidas.
apresentamos As freqüências
a quantidade
de acordo com as condiçoes
de contorno;
IJ
é apliéável naturais
a muitos são dadas
deve ser estabelecida
para
)
7-1 Estabelecer a equação matricial para o sistema apresentado na Fig. P,7·j, na forma {8} = W2 [aJ[J) {8}.
7·2 Determinar os coeficientes de influência para o sistema mola-massa apresentado na Fig.P.7-2.
7-6 Determinar os coeficientes de influência para o pêndulo triplo representado na Fig. P.7-6.
7·3 Escrever as expressões das energias potencial e cinética para o sistema do ProbI. 7·2, quando k, "~ k, k2 = 3k, kJ = 2k,
e determinar a equação para W2 igualando as duas energias. Fazendo X2/Xl = n, traçar W2 em funçaõ de 11. De posse dos valores máximo e mínimo de W2 e os correspondentes de n, mostrar que eles representam os dois modos naturais do sístema.
7-7 Determinar os coeficientes de influência para o sistema mola·massa de três graus de liberdade representado na Fig. P.7·7.
7-4 Determinar os coeficientes de influência para a viga eantilever de duas massas indicada na Fig. P.7-4, e-escrever a sua equação de movimento na forma matricial.
7-5 Três molas iguais de rigidez k lb/pol são reunidas numa das pontas, sendo as outras pontas dispostas simetricamente a 120 uma da outra, como indicado na Fig. P.7-S. Provar que os coeficientes de influência dajunção numa direção 0
7-8 Mostrar que a equação de freqüência para um sistema torcionaI de três discos e dois eixos indicado na Fig. P.7-8 é
w·
--I-K,
.1,
-/-
_1_K, + :!2-)J w! + K,
K! (I l,
K!
lJ
K, (li
l, l,
1
l,
li
-I- l,)
_
O
7-13
Calcular
a freqüência
conforme
Úl-!~i]
mostra
um sistema
radial e supercompressor. a formulação matricial.
torcional
Determinar
equivalente
as duas freqüências
com massas concentradas,
100lb
~=I=~ --â ~-4'
7-9 Derivar a equação de freqüência para um sistema linear mola-massa três massas e duas molas, e comparar com o resultado do Probl. 7.8. !I. Fig. P.7·10
da viga cantilever
150lb
(j{\Jr-C) 7-10
fundamental
a Fig. P.7·13 .
Uma
contendo
de uma hélice, molor naturais
barra
uniforme
I EI
.1,
M e rigidez
de inassa
= constante
4'------4
K
= EII[3,
representada
na
Fig. P.7·14, é apoiada
sobre molas iguais com rigidez vertical total de k Ibfpol.
Utilizando
de Rayleigh
mostrar
o método
que a equação
com def1exão
de freqüência
= sen (1Txll)
Ymax
+ b,
torna·se
utilizando
I,M
7-11 Determinar
xJ//2/ os modos
naturais
do' modelo
sentado na Fig. P.7·11, onde Mim =
7-12
Calcular a freqüência fundamental na Fig. P. 7- 12, utilizando o método 200 Ib
k ~5'-+-
II
simplificado
e a viga de comprimento
I é uniforme.
do sistema de massas concentradas de Rayleigh. 100 Ib
5'+
indicado
7·15
Determinar a freqüência fundamental Probl. 7-12, utilizando a Eq. 7.4·3.
da viga com
massas concentradas
do
7-16
Utilizando a Eq. Probl. 7·12.
a freqüência
natural
do.
7·17
Utilizando
7.4·9,
a equação
da viga cantilever
determinar
de Dunkerley,
determinar
com três massas, conforme
do sistema
a freqüência
fundamental
a Fig. P.7-17.
G-:~
El = constante
1=1 (
171I/l/7II~1lll/" ~~/l
de um avião repré.
â
TIrm
m
m
' '!Z
5·-1 7· 18 Utilizando
a equaçao
viga representada
4e Dunkerley,
na Fig. P.7-18.
determinar
a freqüência
fundamental
da
7·27
Utilizando
o método
meiras freqüências
de Holzer .na forma
naturais
na Fig. P.7-27 com os seguintes
J, ~'J2 K,
matricial,
e modos normais
=
=
determinar
do sistema torcional
as duas prirepresentado
valores de J e K
J3 "",IQlbI101 J4
~= 20
K2
= 1,5 x lQ6 Ib pol/rad
lb pol s~
KJ = 2,0 x lQ6 lb pol/rad
7-19
Uma carga de 100 lb na ponta def1exão
correspondente
dessa mesma de·f1exão
da asa de um avião de combate
de 0,78 pol. Se a freqüência
asa é 622 cpm,
indicar
para o caso de um tanque
o valor aproximado
de 320 lb;inclusive
produziu
fundamental
uma
de f1exão
da nova freqüência
o combustível
contido,
ser fixado na pon ta da asa. 7-20
Uma determinada
viga vibrava
por meio de um agitador
de peso excêntrico,
pesando 12 lb, colocado no seu meio vão. Encon trou-se ressonància a 435 cps. Com um peso adicional de 10 lb, a freqüência de ressonància baixou para 398 cps. Determinar a freqüência natural da viga. , 7·21
Determinar
os dois modos
naturais
do sistema
do Probl.
7-10 e mostrar
7-28
simétricas
que
7-23
Dêterminar
os modos
normais
da viga cantilever
do Probl.
a sua ortogonalidade. Para o sistema do Probl. 7-7, sejam
1 2 3 4 5 6
50 138 145 181 260 t x 140,000
= 3k,
k, .7= k,
Jll1
"':::c
4111
111,
=~
2111
kj '" k,
a equação
matricial
pais. Checar a ortogonalidade Utilizando
a equação
o Probl. 7-23 e comparar Determinar W1 7-26
'"
Mostrar
W2
e determinar
de Dunkerley,
por iteração
calcular
com os resultados
os três modos principais '"
correspon-
:CD
K lb pol/rad
=
15 x 10' 30 22 36 120
40" 70"105"145"200"
I
I
I I
:
I I
I
I
I
I 2 I
3 I
I
I
_0_0_'_'
I I
---
I I
os três modos princi·
a freqüência
da iteração
da viga representada
W3• Checar a freqüência
que a equação
torcionaI
dos modos encontrados. fundamental
para
matricial. 7-29
7-25
o modo
o
J Ib pol s'
Estabelecer
graficamente
7-13 e verificar n
. kj
7·24
das asas, e representar
dente a cada uma.
eles são ortogonais. 7·22
Uma asa de avião de combate é reduzida a uma série de discos e eixos para a análise de t-Jolzer, conforme indicado na Fig. P.7·28. Determinar as duas primeiras freqüências naturais para as oscilações torcionais simétricas e anti-
de Dunkerley
mental que é menor que o valor exato.
fundamcntal
resulta scmprc
disco 3 do sistema
na Fig. P.7-IS quando
com a equação
funda-
de 10.000 pollb
indicadô
no Exemplo
.
~ '!J '"
150 rad/s
7.9-1, determinaf
é'aplicado
a amplitude
ao
e fase
de cada disco.
dc Dunkerley.
numa freqliência
Se um torqueharmônico
7-30
Um
sistema
tor'cional
Fig. P.7-30. Detemlinar
com um
am?rteced?f
a curva freqücncia·torque
tOfcionaI
é representado
paia o sistema.
na
6" diarn. J, =10 pol Ib 5'
7-34 Determinar o sistema equivalente de eixo único e estabelecer as freqüências naturais, no caso das engrenagens pequena e grande do Probl. 7-33 terem as inércias l' = 2 e J" = 6, respectivamente. 7-35 Determinar as duas freqüências naturais mais baixas do sistema torcional representado na Fig. P.7-35, para os seguintes valores de J, K e Il Para o sistema do Exemplo 7.9-3, Fig. 7.9-11, determinar a amplitude e fase de cada disco para W2 =.600 quando é aplicado sobre o disco 4 um torque de 0,040 X 106 pollb. A Fig. P.7-32 representa um sistema linel!r com amortecimento entre as massas 1 e 2. Efetuar uma análise de computador para os valores numéricos designados pelo professor, e determinar a amplitude e fase de cada massa para uma freqüência especificada_
J1 J2
J3 J4
15 pollb S2 10 pollbs2 18 pollb S2 6 pollb S2
K1
K2 K3 K4
2 X 106 pollb/rad 1,6 X 106 pollb/rad 1 X 106 pollb/rad 4 X 106 pollb/rad
RelaçãO entre as velocidades do eixo de transmissão e eixo do veículo = 4 para I.
Reduzir o sistema torcional do automóvel representado em (a) para o torcional equivalente indicado em (b). Os dados necessários são os seguintes J de cada roda traze ira .= 9,2 pollb S2 J do volante = 12,~ pollb S2 Relação das velocidades de transmissão'(entre
7)3
Determinar o sistema torcional equivalente para o sistema engrenado representado na Fig. P.7-33, e calcular a sua freqüência natural.
•
eixo de transmissão e motor) =
= 1,0 pa~a 3,0 Relação diferencial de velocidades (entre eixo do veículo e eixo de transmissão)'= 1,0 para 3,5' Dimensões do eixo do veículo (cada)
Dimensões do eixo de transmissão = 1-1/4" de diâmetro e 75" de comprimento Rigidez do virabrequim entre os cilindros, medida aproximadamente 6,1 X 106 pol Ib/rad Rigidez do virabrequim entre o cilindro 4 e o volante 4,5 X 106 pollb/rad
0,,onde K
.. ±IIIW2/K(5 -I- tmw2/2K) 1 -I- if2Kmw2
_ 1 -
+ imW2/2K -I- Ctmw2/2Kj2 2/ + !rnw2/JK .
l/E/o
Deduzir a equação de freqüência da relação acima e determinar as duas freqüências naturais. Resolver o Probl. 7-39 pelo método da Seção 7.12(b) quando se faz girar a barra em torno de um eixo, ao qual está fixada por uma extremidade, com uma velocidade angular n. Determinar as freqüências naturais da' viga cantilcver do Probl. 7.17 pelo método da Seção 7.12 (a). 743
Estabelecer o determinante de contorno D(w) para uma viga simplesmente apoiada, por meio da equação de contorno (7.12.7).
744
Furmular o determinante engastada.
745
Formular o determinante de contorno D(w) para uma viga engastada-articulada.
7-46 Formular o determinante
de contorno
de contorno
D(w)
para uma viga duplamente
D(w) para uma viga articulada.livre.
e determinar
Uma pá rotativa, tal como a de uma hélice de helicóptero, é algumas vezes considerada como presa ao cubo por meio de pino. Formular o determinante de contorno D(w) para l'sta hipótese.
Determinar as equações de' movimento para o sistema torcional representado na Fig. P.7-38, e arrumá-Ias na (arma matricial de íteração. Rl'solver em relação aos modos principais de oscilação.
Supor que uma pá de hélice de hilicóptero seja representada por três massas concentradas igualmente espaçadas, com a extremidade do cubo engastada. Determinar as freqüências naturais para a velocidade de rotação n, na base da rigidez de flexão constan te. .
Supor que o- J de cada cilindro do Probl. 7-36 = 0,20 pollb as freqüências naturais do sistema.
S2
Determinar a vibração de torção-flexão para o sistema representado na Fig. P.7-49
I~m
~
7-39 Aplicar o método matricial para uma viga cantilever de comprimento I e massa m na extremidade, e mostrar que se obtém diretamente a equação de freqüência natural. 740
Aplicar o método matricial para uma vigacantilever com duas massas iguais, . espaçadas igualmente de uma distância I. Mostrar que as condições de con· torno de zero para a inclinação e deflexão conduzem à equação
2c
\J'm
Utilizando a formulação matricial. estabclecct as condições de contorno para os modos de tlexão simétiicos e anti·simétrico·s p~ra o sistema indicado na Fig. P.7-50. Representar graficamente o det~nninaJíte de contorno em função da freqüência w para estabeleeer as freqüências naturais, e traltar os primeiros dois perfis de modos.
P' olm'lTfl\
-----
-
l-, 'lEI
-
onde ,B é simétrico em relação à sua diagonal. L == (M, V)', mostrar que a matriz de rigidez é
:" ._--
ó
Fazendo
~
---~--7-56
7·51
Provar que os elementos de liberdade são
da matriz
onde a seção do sistema Fig.7.13-1. 7-52
Mostrar
é formada
que para o sistema
para um sistema
na Fig. !,.7-52,
de freqüência
natural
as matrizes
parceladas
forma (plicas indicam
transposta)
que
face
a utilização
conforme
a
7-57
é esperada,
Usando a notação
em
L
Estabelecer
111
=;
Ot
e
e
7-54
Reduzir o sistema na Fig. 7.13-2.
7·55
Permutando
112
==
da Fig. 7.13-3
,
1.
)'
1
I'
1:'/
'lEI
F
1J 6U
J : 2U
,,
/'-.1 V
n
,
as equações
1
AI
O
O ,
O
V
1_ O
,,
*
de Betti-MaxwelI.
a Eq. 7.12-6 na forma
[~:+~J {Ó}R
=
Q,
L
S
da matriz
de diferença
de transferência
para
as equações
n-1
o sistema
de contorno
é igual à unidade.
torcional e resolvê-Ias
representado para as fre-
indicado
7-59
Estabelecer tensão contorno
as equações
T, conforme
de diferença indicado
e as freqÜências
para
N massas iguais numa corda com
na Fig. P.7-59.
Determinar
as equações
de
mola-massa
representado
na
naturais.
)'
O ,,
,
ao sistema
para a forma
8
O
I~f'i 260
um equivalente
O e y, a Eq. 7.12-4 pode ser rearrumada
8
de reciprocidade
nos termos desta substituição. para
, o: , ,
que elas estão na
(A + D)/2 == cos lux.
na Eq. (7.13-8),
e-Ot
de freqüência
teorema
n
que o determinante
na Fig. P.7-58. Determinar qüências naturais.
Fazendo
do
{ Ó}R
do processo
7-58
Desenvolve~ a equação
7-55 e mostrar
do Probl. 7-56, reescrever
para e mostrar
7-53
do Probl.
de dois graus
de uma mola e uma massa,
indicado
da Seção 7.13 reduz a equação
[P]
modal
Calcular
:l~L r
n
I
7-60 Escrever
as equações
Fig. P.7·60 e determinar
de diferença,
para o sistema
as freqüências
naturais
do sistema.
) ~I
·
••
• •• ~
•
)
7-61
A Fig. P.7-61 de diferença,
~
representa
um pêndulo
as condições
de contorno
de N ll!assas. Determinar e as freqüências
as equações
naturais
~
••
7-64
Uma estrutura tipo escada é fixada em ambas Fig. P.7-64. Determinar as freqüências naturais.
7-65
Se a base dCJ,!m edifício
as extremidades,
conforme
a
•• ••
•••
• •• •
7-62
Se
um
Probl.
volante
pesado
7-58, conforme
conduzem
à extremidade
é ligado a Fig. P.7·62,
mostrar
esquerda
do sistema
que as condições
do
de contorno
à equaçã~
resistência de contorno
(-senNp
cos
= -2jsen2
p
+sen fsen
NP)( p
1 + 4 :. :fsen2 cos
{)
Np
• • •
••
~
• • •
• •~
7-63 Se o pavimento mais alto de um edifício KN, conforme a Fig. P.7-63, determinar de N pavimentos.
é contido
por uma mola de rigidez
as freqüências
naturais
do edifício
de~ma
mola
de N pavimentos
K;,
e as frcquências
conforme
naturais.
gira em sentido
a Fig. P.7·65,
contrário
determinar
ào da
as equações
SISTEMAS
CON.TíNU·OS
8 Vamos estudar neste capítulo os sistemas relativos a corpos com massa e elasticidade distribuídas continuamente. Esses corpos são considerados homogêneos e isotrópicos, comportando-se de acordo com a lei de Hooke, quando dentro dos limites de elasticidade. Cada partícula de um corpo elástico necessita de coordenadas para descrevet a sua posição, resultando daí que corpos desta natureza possuem um número infinito de graus de liberdade. Geralmente, a vibração livre desses corpos é a soma dos modos principais, como foi exposto anteriormente no Capítulo 5. No modo principal de vibração, cada partícula do corpo realiza movimento harmônico simples, na freqüência correspondente à raiz particular da equação de freqüência e passa simultaneamente através de sua respectiva posição de equil íbrio. Se a curva elástica do corpo sob a qual o movimento começou coincide exatamente com uma dos modos principais, somente este modo principal será produzido. Entretanto, a curva elástica resultante de um choque ou de uma súbita retirada de forças corresponde raramente àquela de um modo principal, e nestas condições todos os modos são excitados. Em muitos casos, porém, pode-se excitar um modo principàl específico por IT\eio de condições iniciais adequa'das. ' São considerados neste capítulo alguns dos mais simples problemas de vibração de corpos elásticos, cujas soluções são discu tidas em termos dos modos principais de vibração.
e em conseqüência
a equação
Considerando
são
T.
flexível
Supondo
de massa p por unidade
que seja pequena
são com deflexãoé
insignificante
na direção
Supondo
é estendida
sob ten-
y da corda, a mudança em ten-
lateral
e pode ser ignorada.
A Fig, 8.2-1 mostra um diagrama dx da corda.
de comprimento
a deflexão
deflexões
=
reção
de corpo livre de um comprimento
e inclinações
se c
t
pequenas,
a equação
elementar
de movimento
y é
F2(ct
=
=:
-90; t
c. Referimo-nos
)
é satisfeita por t = O, x = -100; -80 etc. Então, o perfIl da onda move-se na di-
em conseqüência
Um método
ao
= Fi (100)
=
2, x
a c como a velocidade
de reso1'ler equações a solução
diferenciais
ê admitida
=
pela substituição
Considerando
que o lado esquerdo
o lado direito
é independente
Fazendo
constante
esta
de'
_(WfC)2
Y 2
pode
i
ay 2
como
a velocidade
de propagação
da onda
As constantes e das iniciais.
A solução geral da Eq. (8.2-2) pode ser expressa na forma
obtemos
°
mento
(ct ± x) conduz sob diferenciação
aF ax 2
2
à equação I
aF 2
= CiffiT
duas
equações
diferenciais
ordinárias
C
c
+ B. cos
x
CJ)
c'
x'
A, B, C e D dependem das condições de contorno é fistendidaentre dois pontos fixos distande conto~no~ão ;V(O, t) = 'y(i, t) = O. A condição de
vai exigir que B .~ 0, de modo ql\e a sqlução aparecerá jI
Não. obstante
O)
de t, ao passo que
(~)2 Y'=_~°
+-
A sen
é independente
que cada lado deve ser uma constante.
se a .corda
.
arbitrárias.
resulta
arbitrárias
Por exemplo,
ciados de I, as condições y(O, t) =
e F2 são funções
e;
• -
ao longo da corda.
onde FI
I I d2G c2 (j[2
(8 2 2)
= Ci al2
ser reconhecido
=
=
desta equação
x,
dx2
-..tt1P
de va-
na Eq. (8.2-2)
{l'Y
c =
parciais é o da separação
na forma.
ay
I ~l' Y dx2
onde
de onda.
pdx7fiT
Y
ax2
de propagação
2
- TO
Obtemos
ay
pelo
x positiva com velocidade c. De maneira semelhante podemos mostrar que + x) representa uma onda movendo-se na direção x negativa com velocidade
riáveis. Neste método
T ( 0+ axdx
=
FI (ct - x), seu valor é detenninado
por uma faixa de vàlores de t e x. Por exemplo,
para y
10, a equação
1, x
é satisfeita.
y=
o componente
(ct - x) e portanto
argumento Uma corda
diferencial
o tipo de função
F, o argu-
.
=
.
.'.
..
(CsenO)I
.•....
O)
+ DcosO)t)'sen-x . . c
O conduz ent~o à eq\lação sen
.'
0)1
c
=
°
como
'
w)
C e À = presenta equação
271/ =T
c/r ê o comprimento uma vibração
=1171,
de onda e
de modo
Supomos
r
normal
ê a freqüência
de oscilação.
Com freqüência
natural
Cada
determinada
11
re-
pela
II!T
11
f. = 2' c =
que a barra considerada
comprimento. que serão
Em razão função
É evidente
No caso mais geral de vibração conterá muitos sa como
dos modos normais
y(x, t) = n~
x
sen
=
livre iniciada
e a equação
-I-
de qualquer
maneira,
para o deslocamento
a cn
e o Dn podem de y(x,O) e Y(x,O). Exemplo
ser calculados
do tempo
desta
barra
do deslocamento
a unidade
I
P~~~--P-+-::_d_X
adaptando-se
esta equação
às condições
8.3-1).
em comprimento
de elon-
~
dx
H
iniciais
3u'
dx +
Uma corda uniforme
I é fIxada nas extremidades
de comprimento
T. Se a corda ê desloca da para um perfIl arbitrário Cn e Dn da Eq. (8.2.14)
ã;'
dx
Solução: Para t = O, o deslocamento
e velocidade
=
equação
por
do lado direito
Dk
2 =7
Ck
=
O
t
sen krrx/l serão zero,
fi o y (x, O) sen -,-
k71X
da barra. Diferenciando
em relação a
x
'
1171X
cada
onde A é a área da seção transversal
1171X
n
n" I
n"
e sol.
são
i: D sen I y(x, O) = i; OJnCn sen y(x, O)
e estendida y(x,O)
=
e integrando exceto
Aplicamos agora a lei de movimento de Newton brada ao produto da massa e aceleração do elemento
O
,
o termo
de 11
x
e igualamos
a força desiquili.
Oax=1 k. Assim chega- ' onde p é a densidade da barra em libras por unidade oe volume'. Eliminando entre as Eqs. (8.3-2) e (8.3-3), obtemos a equação diferenCial parcial.
dx
de
é élu/élx.
de elongamento
~,.......==-=-~~~_-_-_-~
I
= -,-
vai
será u + (élu jax)dx.
dx na nova posição mudou e desta forma
dx (Fig.
de comprimento em x + dx
em x, o deslocamento
(élujélx)dx,
t. Como a barra tem um
a distribuição
Figura 8.3·1. Deslocamento de elemento de barra.
sob a tensão ta, determinar
Multiplicando
elemento
como
de vibração,
~ Xl:t~·+ :;
117x
Dn cos OJnt) sen
8.2-}
todos os termos mos ao resultado
naturais
então que o elemento
a solução
pode ser expres-
1171C
OJn
x
da posiÇão
ao longo do seu
u ao longo da barra
Visto que pela lei de Hooke a relação entre a unidade de força e a unidade gamento é igual ao módulo de elasticidade E, pod.emos escrever
11717
(Cn sen wnt
um
Se u é o deslocamento uma quantidade
Y
tanto
número infinito de modos diferir com cada modo. Consideremos
2'.y fi '
nesta seção seja fma e uniforme
de forças axiais haverá deslocamento
élPjõx
que é similar à da Eq. (8.2-2)
para a corda.
A velocidade
de propagação
onde
do desloca-
n representa
a ordem
livre nas extremidades
mento ou onda de tensão na barra é igual, então, a
do modo.
li ~" li
A anlplitude tendo resultará (8.2-8),
em duas equações
diferenciais
ordinárias
semelhantes
às Eqs, (8.2-7)
Pode-se então escrever a solução para a barra
com deslocanlento
da vibração
inicial zero
•. me
o cos
I
1171:
fEl<
x sen T'II
-p-l
ao longo da barra é pois uma onda co-seno_
longitudinal
n nós.
e
com A equação
+ B cos
U(x) = A sen co x
c
co x
,c
vibração
torque Exemplo
de movimento
longitudinal
de uma barra em vibração torcional
de barras, discutida
de = as freqüências
as extremidades
Solução:
Numa
barra
nestas
condições
a tensão
deve ser também
zero, isto é
is seguintes
x
as duas equações
nas extremidades
E3uj3x.
é dada pela equação
a unidade
deve ser zero.
de elongamento
nas
' = O,
e
x
IpG
é a rigidez torcional
da área da seção transversal
T e T + (3Tj3x)dx na Fig. 8.4·1, o torque
"(aU)' ax C,onsiderando
= A co (C sen co!
c
X'O
=: x./
co C
correSpondentes
às condições
C
que essas equações
zero na primeira a, segunda equação
equação. é satisfeita
COI)(Csen,co!
c
0) '+
Dcos
devem, valer para qualquer
Uma vez qué B deve' ser tInito quando
polar de inércia
de elasticidade
sobre as duas faces do elemento,
Ip
G. Sendo
conforme
indicado
da Eq. (8.4-1) torna-se
O)
co!) ~~ o
tempo
!, A deve ser
para que haja vioração, Igualando
sen co/ =0 c
o torque líquid9
do momento
de cisalhamento
de contorno
+' D COSCO!) = O
(A cos col~'Bsen
dada pelo produto
e o módulo
=I
acima
(ali) ax
Tdx IrG
de uma barra com ambas onde
~~= O em São portanto
e perfis de modos
livres.
Uma vez que a tensão extremidades
naturais
àquela da
Fazendo-se a medida de x ao longo da barra, o ângulo de torçâ'Çl devido a um T. em qualquer comprimento dx da barra, é
8.3-1
Detenninar
é semelhante
na seção anterior.'
mento
este torque
e a: aceleração
por unidade
ao produto angular
do momento 32 e /3t2
de volume, a equação
)
onde
de inéteia da massa
p é a densidàde
diferenciiJl de movimento
(p/g)Il'dx
doe.le·
qa barra em libras
torna·se
:.
L
t ,:','r:.:
1,<,'
" : '(8.4.3) ',.,':
Esta equação é da mesma forma. que a da vibração longitudinal de barras onde O e Gglp substituem u e Eglp, respectivamente. Resulta pois que por comparação a solução geral pode ser escrita imediatamente corno
O = (A sen OJ/1fgx
+- B cos OJ/1fgx)
naturais, supondo que o tubo da sonda seja uniforme e fIxo na extremidade superior e que a barra e a broca sejam representadas por urna massa fInal com momento de inércia Jo, como indicado na Fig. 8.4·3.
J1T
(C sen OJr -I- D cos OJr)
I
Exemplo 8.4-1
® ----
Determinar a equação para as freqüências naturais de urna barra uniforme em oscilação torcional, com urna extremidade fIxa e a outra livre, corno na Fig. 8.4-2. .
-------20) ~ ar
Torque -J de inércia o
2
x =I
Solução: A condição de contorno na extremidade superior é x que requer que B seja O na Eq. (8.44). Solução:
Começando com a equação
+- B cos OJ..jp/Ggx)
O = (A sen OJ.,jp/Ggx aplicar as condições de contomo;que
sen OJr
são
=
O, O
=
O, o
Quanto à extremidade inferior, o torque sobre o eixo é devido ao torque dç inércia do disco fInal, conforme representado pelo diagrama de corpo livre da Fig. 8.4-3. O torque de inércia do disco é -Jo(à20/à2t)x=l' = Jow2(O\=1 ao passo que o torque do eixo da Eq. (8.4-1) é TI = GI pede Idx)x = I' Igualando os dois, ternos
(I) quando x = O, O = O, (2) quando x = /, torque
O, ou
ao dX = O Condição de contorno (1) resulta em B = O Condição de contorno (2) resulta na equação cos OJ..jp/Ggi = O que é satisfeita pelos seguintes ângulos
OJn/lg1 = ~ , 3;, 5;, ... , (11 -1--})n Esta equação é da forma Em conseqüência, as freqüências naturais da barra são determinadas pela equação -.·0
(11/
-} )
7 jfj
{3tg/3 = J~:ra,
P = OJI/lg
que pode ser resolvida grafIcamente ou por meio de \abelas. *. Exemplo 8.4·2 . O tubo da sonda de um poço de petróleo termina na sua extremidade inferior por uma barra contendo uma broca. Derivar a expressão para as freqüências
• Vide lahnke e Emdc, Tables of Functions, 4~ ed. (Dover Publications, Inc., 1945), Tabela V, pág. 32.
Exemplo 8.4·3 Utilizando 'a equação de freqüência desenvolvida no exemplo anterior, determinar as duas primeiras freqüências naturais de um tubo de sonda, de um poço de petróleo, eom 500 pés de comprimento, fixo na extremidade superior e terminando na inferior por um colar de perfuração com 120 pés de comprimento. São dados a seguir os valores médios do tu~o e do colar.
YI
MC1Õ~)M+dM v\+-;-1V+dV dx
Tubo da sonda:
=
p I
Ip -
g
x
Figura 8.5·1.
Diâmetro externo =; 4-1/2 pol Diâmetro interno = 3,83 pol .Ip = 0,00094 pés4 I = 5000 pés Jbarra
••
p(x)dx
=
Õ 0,00 94 X
490 32,2
VeM são os momentos de cisa!hamento e flexão, respectivamente, e p(x) representa a carga por unidade de comprimento da viga.
Somando as forças na direção y
X 5000 Somando os momentos em relação a qualquer ponto sobre a face direita do elemento
Diâmetro externo = 7-5/8 pol Diâmetro interno = 2,0 pol
dV dx = p(x), {3 tg {3 ='
.NaTabelaV,pág.
J
32, de "Jahnke andEmde",
5000'" ~ - ~ y/p Gg -__ ~
fJ --- ",1
f2
= 2,44
barra
Jo
X
{3
106
= 490 X
X
32.2
.
O 470"
'
~
Resolvendo em relação a w, encontram-se as duas primeiras freqüências naturais 1,135
Wj
=--
0,470 3,722 W2
= --
0,470
'.
= 2,41 rad/s = 0,384 cps
=
V
.
Obtemos o seguinte 'da Eq. (8.5-3) d2M
dx2
=
dV dx
= p(x)
O momento de flexão é relacionado à curvatura pela equação d(;;flexão, a qual, para as coordenadas indicadas na Fig. 8.5-1, é
= 7,93 rad/s = 1,26 cps
M = Eld2y dx2
2
Consideremos as forças e momentos atuando sobre um elemento da viga representada na F:ig. &}-1, a fl1119-e.determinar, a equação diferencial para a Y!.?,rilçãqlateral de vigas.
2']4..
dx
A primeira parte da Eq. (8.5-3) exprime que a taxa de variação do cisalhamento ao longo da viga é igual à earga por unidade de comprimento, e a segunda exprime que a taxa de variação do momento ao longo da viga é igual ao cisalhamento.
1,135,3,722 ... 122
dM
d
(
d2y)._
dx2 EI dx2
:-
p(x)
Para uma viga vibrando, sob O, seu próprio peso, em' volta da sua posição de equilíbrio estático,·a carga por unidade de comprimento é igual à carga de inércia 275
devido à sua massa e aceleração. Considerando que a força de inércia é na mesma direção que p'(x), conforme indicado na Fig. 8.5·1, temos, supondo o movimento harmônico
onde w/g é a massa por unidade de complimento equação para a vibração lateral da viga se reduz a
(fi,/)'
(8.5.7)
p(x) = ~úJ'Y g
da viga. Usando esta relação, a .
No caso especial da rigidez de f1exão EI ser uma constante, a equação acima pode ser escrita na forma
(fi,!)'
Fundamental Apoiada simplesmente .. Cantílever ou em balanço Duplamente livre Duplamente engastada Engastada-artieulada Articulada-livre
9,87 3.52 22.4 22,4 15,4
'......•. . . . . .
;
Segundo
(fil!)'
modo
Terceiro
39,5 22,4 61.7 61,7 50,0 15,4
O
modo
88,9 61.7 121,0 121,0 104,0 50,0
Exemplo 8.5-1 Determinar as freqüências naturais de vibração de uma viga uniforme engastada numa extremidade e livre na outra.
[l.
C~
~
úJ'
g EI obtemos a equação diferencial de quarta ordem
y=O
!
emx = O dy_ --O
dx
M=O
para a vibração de uma viga uniforme. emx = I
Podemos mostrar que a solução geral da Eq. (8.5-11) é
!
V=O
(A.o = A
(Zt.o =
P[B
(~~t.1= P[A {"fi., . ("
'fi.'
= =
+-
[l[Asenh [lx
+-
:. A = -C
B cosh [lx - Csen [lx D]
+-
cosh [lI
+ C = O, =
O,
B
cos [lx
±
i sen [lx
estabelecemos prontamente a solução na forma da Eq. (8.5-12).
dl ( d;'
)
x=/ = [ll[Asenh [lI A(senh [ll-
-
.-t-
-D
Bsenh [lI - C cos pl - D sen [lI]
A(cosh [lI -I- cos [lI) -I- B(senh[lI cosh [lx :J: sen h [lx
=
+ D cos [lx]x.o =
B cosh [lI
senfll)
+ sen [ll)=
+ Csen
+ B(cosh [lI
.
fil - D cos fil]
A Eq. (8.5-10) nos dá as freqüências naturai~ de vibração úJn
=
fJ' ..j gl:'f/II'
onde o número {3depende das condições de contorno do problema. A tabela seguin-
276
cosh[ll -I- cos [lI __senh [lI senh [lI - sen [lI - cosh fil
+- sen [lI
+ cos [lI
O
=
O
O
.
+.cos fi/)
=c
=
O
O
cosh Esta última
equação
a cada modo
normal
é satisfeita
p!
cos
tly V 1jI- tlx~" kAG
1 =O
ppr um número
de oscilação,
de valores de {3!, correspondendo
valores estes que são para o primeiro
1,875 e 4,695, respectivamente.
modos
p! -1-
Em conseqüência,
a freqüência
tlljI M tlx = EI
e segundo natural
para
o primeiro modo é
onde
.
A é a área da seção
dependendo (o,
=
.
fiEl =
1,875'
"1/7
[2
fiEl
3,515
do, há duas equações
"1/7
[2
transversal,
EFEITO DE INERCIA
ROTA TlVA
E DEFORMAÇÃO
k um fator
de cisalhamento,
e EI a rigidez de flexão.
Complementan-
dinâmicas
Jrp
(momento)
8.6
G o módulo
da forma da seção transversal,
DE
my
(força)
V
= ~':.-
+ p(x,
= - ~~
r)
CISALHAMENTO oll,de J e A teoria
de Timoshenko
t81HO
i1 inércia rotativa
como
à deformaçITo
da viga. O diagrama
de cisalhamento mento
diz respeito
dt' ,;·'T" li"w c a l.lisp(J'ição geométrica do ele· na Fi:( iLrí·l. Se a deformação de cisalllamento
da viga são representados
Com
m
são a inércia
my que são as equações
transversa!.
do elemento
Devido
de um diamante ângulo
da viga coincidirá
ao cisalhamento,
sem rotação
de cisalhamento
com a perpendicular
o elemento
retangular
da face e a inclinação
(l/J - dyjdx). As seguintes
tende
da reta central quantidades
'tly _ dx -
a tornar
a'y
então
(' J
- JIfI = O
IjI)J -
p(x, r) = O
temos
para a viga. permanece
constante,
Elm)
a'y
Jm a'y_
+ kAG ax'al' + kAGdt4 J a2p EI a'p + kAG ar' - kAG ôX'-
então que a equação
estas duas equa·
a'y
EI ax' é um caso especial da equação
-,- p(x,
I)
de Euler
do ser
-1jI)
de comprimento. dinâmicas,
a uma única
+ m aI' -
a forma
é diminuída podem
B evidente
de movimento
nas equações
__ + m a'y ai' - p(x,
geral da viga incluindo
I) a inércia rotativa e a deforma-
ção de cisalhamento.
definidas Y. =
à face da seção
-
e a seção transversal
ções podem ser reduzidas
a'y EI ax'
elásticas
+ kAG(~
f.x[ kAG(~~
acopladas
Se 1/1 é eliminado
e. a massa da viga por unidade
das equaç15es
1x(EI~)
é zero,
a reta central
rotativa
a substituição
deflexão inclinação
ljI = inclinação
da reta cen tral da viga da reta central
da viga
devido à flexão
'I! - :~~ =" perda da inclinação,
igual ao ângulo de cisalhamcnto
Uma membrana
não tem rigidez de flexão, ~ quando sujeita a uma carga lateral ;esis.
te apenas pela sua prGlpria tens[o.
Pode-se derivar sua equação
processo
para a corda, aplicado
semelhante
ao utilizado
de movimento
por um
porém em duas dimensõcs.
279 278
SuponhIDlOS de 'comprimento, deDexão sendo
lateral.
que a membrana a qual é grande Definindo
w a deflexão
esteja sob tensão de modo
a posição
lateral,
de equilíbrio
examinemos
conforme representado na Fig. 8.7·J. da tensão nas orlas dy é
T Ib por unidade
uniforme,
que seja pequena
no plano
xy, e
elemento
dxdy,
da membrana
as forças
sobre
A força resultante
devido à
sua variação um
Para o tipo dc modo e a equação
diferencial
o
método
de separação
Fig. 8.7-2. Da mesma forma,
a tens:ro sobre as orlas lix resulta na componente
T(à!/J/ày)dy
nas direções x e y são O = àw/íJx
que as inclinações
e r/J
=
dx.
+ (W)Z C
de variáveis
de mostrar
retangular
w(x, y)
Fazendo
p(x, y)
de vibração,
V'1l'
w em virtude
na direção
caso de uma membrana
Considerando
normal
se reduz a
ll'
=
O
pode ser usado
= X(x) Y(y)
para se chegar
(x, y)
de dimensões
= (a, b)
e substituindo
à solução,
no
representada
na
na Eq. (8.7-4),
é fácil
que a solução é da forma
àw/ày,
Y(y) = CJ onde
Ct.~
+
de acordo
f32
=
(W/C)2.
+ Cz cos o:x sen P.v + C cos py
= C, se-n o:x
X(x)
y
4
A constante
com as condições
Cj nestas
equações
deve ser determinada
de contorno.
-----j
b
T a força lateral total devido à tensão
T é
aZI\'
aZI\')
T ( axZ -I- ayZ dxdy Sendo p a massa por uuidade de área da membrana I:lteral aplicada, a equação de movimento torna-se
a w' 2
p flx dy alz
eoo
(aZw + ayz a'w)
T ax'
e p(x,
y)
a pressão. As soluções
analíticas
curso de métodos tlx ti)' -I- p(x, y) dx dy
sua escolha
depende
resumidamente, . Diferenças torno
não são possíveis
numéricos
da natureza
dois métodos
finitas.
Neste
são substituídas
para muitos
aproximados,
de cada
numéricos
método
problema.
Consideremos
as equações
pelas equações
Esta equação para "1Z, 280
aplica-se
tIDlbém
em outras
coordenadas
com expressão
apropriada
y(x)
uma função
xj a derivada é aproximada Y (d(Xf )
Discutiremos
diferenciais
de difer~nças
então o renesta
e
seção,
e suas condições
finitas
algébricas
que é representada
correspondentes. simultâneas
de conIsto
que podem
ná Fig. 8.8-1. Em algum
pela eqlJação
~ _/1 (Yi' i
havendo
diversos disponíveis
de largo emprego .
reduz então o problema a um grupo de equaçõe~ ser resolvidas pelo computador digital.
ponto
problemas,
dos quais existem
1
I
--
y,)
C"~
_/1/
11..1'
(8.8-1)
281
---,;::
•...
+
+
$:
N
~
.. I
I
.E +..
~
-5
~
+~
~
~
I,
-I:::
-I:::
o processo
acima pode ser repetido um número qualquer de vezes para derivadas de ordens mais elevadas. A tabela seguinte mostra o modelo de diferenças finitas até a quarta derivada.
;.,
•.....•
I
I
.....:::
~
....• '"
-I
". •..,
.•
+ ~
;.,
,:,~
-T:<:
-1:<:
~'
.•
~ -1:<:
Viga Simplesmente Apoiada. Conforme a Fig. 8.8·2, seja p o ponto à esquerda da etapa 1. As condições de contorno na extremidade esquerda da viga são
,;::
;.,
+
+
+.•
+
N
N
N
I ,j
,j
--"r'
-I~
.•
-I~
'
-\-" Escrevendo a equação de diferença para a segunda derivada na etapa 1, temos I I ' h2 (Y2 - 2y, Yp) = h2 (h - O Yp) = O
+
Nestas condições Yp' deve ser igual a -Y2'
+
•...
•...
~
5
;., I ..• ,j
;,
~
N
,;::
--:::
..
~
+~
Condições de Contorno. Para satisfazer as condições de contorno, devem ser escolhidos pontos fictícios fora da estrutura. Os exemplos seguintes referem·se a condi· ções de contorno típicas para vigas.
;.,
I
~
~
-T~ ---~
---,;::
~
1 ;.,
I ,j
I
I
-1-::
-5
-1-"
--1-<:
3
..
~.
-1-<:
Extremidade Engastada. Tanto a deflexão como a inclinação são zero na extremi. dade engastada, conforme indica a Fig. 8.8·3. Sendo novarriente y p a deflexão à esquerda da etapa I, temos, usando um intervalo de 2h
Quanto ao cisalhamento, obtemos geralmente maior eX;ltidão por meio da mé· dia das derivadas terceiras na extremidade, na forma seguinte
(;;.;')4 +[/:' Cv
3yp -I· 3Y4 -
q-
c-~
I = 2h,(Y
q
O!.
2yp
--
2y,
y,) -I,
I:J
3Y4 -I- 3y, -
(Yp -
Y1)J
-- Y1) = O
Portanto y p = Y2 , e a curva de deflexão é simétrica em relação à parede. Viga. Parcialme~te Contida. Consideramos agora o caso da extremidade esquerda da viga ser parcialmente contida. Podemos representar ,esta condição por uma mola espiral de rigidez K pol lb/rad, conforme a Fig. 8.8-4. O momento no limite é M1 = -K81, porém
Exemplo 8.8·1 Uma viga de momento de inércia não uniforme assenta sobre uma fundação elástica de rigidez k pol/lb, conforme indicado na Fig. 8.8-6. Suas freqüências naturais devem ser determinadas por meio da sua equação diferencial que é d' V) -[ !Cy- w'my -(J2 ( EI-'dx1 dx2
M, = EI(~,';,),= ;,;(Y1 -K81>
O
-Y1
O
+ yp)
e resolvendo em relação a _ Yp--
=-
y;,
obtemos
+
(2EI Kiz) 2EI-Kh
Extremidade Livre. Na extremidade livre da viga, o momento e o cisalliamento de. vem ser zero. Introduzimos dois pontos fictícios p e q, e um número arbitrário 4 para a etapa na extremidade, conforme a Fig. 8.8-5. A tabela de diferenças acima nos dá para o momento
Para resolver este problema pelo método das diferenças fmitas, numeramos de I a n as etapas ao longo da viga, e atribuímos uma nova rigidez de fundação para cada seção, a qual é klh conforme a Fig. 8.8·7. A equação (a) é também reescrita na forma .
d4y x
EId---.
+
d'ydI x -d x
2Ed~
I 1
d yd + Ed---z x -d x + (k 1
1[
2
•
-
1_
mw )y -
O
k'
r'-j
L1"ELLLÂ. 2
3
4
5
n
'Figura 8.8-7. I (dd Y)4=h,(Yp-2Y4-1-y,)=O 1
X1
Vamos escrever agora a equação de diferenças linitas para a etapa 2, tendo em vista as condições de contorno na extremidade esquerda. As derivadas encontradas são
'11== 'li,
+ ~ (f, +
2/2.+
y := y,
+- ~
2g)
(g,+
M, •.,"h(6
M,
+
"2 P2
PI"17
V,= V -I- !!...(k , 6'
+1.)
2/3
2g3 -I- g~),
+ 2P3
-I' P.
)'
+ 2k' 2
onde h = b.x. A computação prossegue na forma seguinte
f, =
F(x" 'II"y"
M"
V,)
g, =G(x"'II"y"M,,V1) P 1 '= P(x
k,
l'
,,= K(x"
'11,. y"
;\1l' V,)
'11" y" M" V,)
Podem ser escritas de uma maneira' semelhante as equações para as outras etapas. Devem ser consideradas também as condições de contorno da extremidade direita, e o grupo resultante de equações algébricas pode ser programado para computação digital. Método Rooge-Kutta. O método Runge-Kutta é popular pelo fato de ser auto-iniciado e de apresentar boa exatidão. O erro é da ordem de hS• Para ilustrar o processo, vamos considerar a,viga com jnérc~a rotativa e termos de cisa1hamento que discutimos na Seção 8.6. A equação da quarta ordem é escrita inicialmente em termos de quatro equações de primeira ordem na forma seguinte
d'll
M
,~~=
'11- k~G = G(x, 'II,y, M, V)
dx ,= E/
~~ = dV. dx
=
=
V -
(J)
2
F(x, '11, y, M, V)
(J)2J'II = P(x,
'11,y, M, V)
my = K( x, '11, y, M ,V)
1.,= F(x,
+ h, 'li,
g. =,G(x,
-1- h, 'li, -I; 13h,)',
P. k.
O processo Runge-Kutta, discutido na Seção 4.8 para uma coordenada única, é ampliado agora para a solução simultânea de quatro variáveis relacionadas abaixo
286
.
= =
+f3h,y,
-I- gJh, M, -I- P3h, V, -I- k3h) -I- g3h, M, -I- P3h, V,
+ kJh)
P3h, VI
+ k3h)
P(x, -I- h,'II,' -I- !3h, y, +g3h, M,\~ K(x,
-I-
h, '111 -I- 13h,)', -I- g3h, M,
-+- P3h,
V, -f k3h)
Com estas quantidades substituídas na Eq. (8.8.4), encontram-se as variáveis dependentes no ponto vi~inho Xl, 'e o processo se repete para o ponto X3 etc.
Voltando início
Xl
às equações
fornecem
gem no ponto
da viga, as condições
um ponto
de partida.
fixo, as condições
de contorno //fI
na extremidade'
na viga cantilever
no ponto
são
de inído
de
com ori.
=0, M, =M,
y, =0, Estas podem ser consideradas contorno na forma seguinte
de contorno
Por exemplo,
como
V, = V,
sendo
A iteração
a combinação
linear
de dois vetares
de
pode
começar
com três freqüências
em três valores do determinante. o zero da curva é escolhido qüência
está perto
Uma parábola
diferentes,
é passada
para uma nova estimativa
do valor correto,
da freqüência.
a nova estimativa
reta entre dois valores dodetenninante
as quais resultam
através estes três pontos e Quando
a fre.
pode ser feita por uma linha
de contorno.
8.9 SOLUÇÃO TRANSIENTE PELAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE Visto que o sistema é linear, podemos cvnJeçar damente. Começando com Cl> obtemo'.
com cada vctor de contorno
separa. A utilização resposta
da técnica
dos sistemas
Considerando
da transformada contínuos
que os problemas
diferencial,
c.
Tomamos
primeiro
a eqUação variável independente Agora estas devem somar para satisfazer
as condições
midade fmal, as quais são para a extremidade
de contorno
'VNC IX
=
+
(J.MND == O IXVND
_MNC MND
arbitrariamente.
longitudinais
examinar
e torci anais
a equação
ax' - aI'
uma
=
O correspondendo
de Laplace
equação
ü (x,
diferencial
ao sistema
s) em termos do tempo
ordinária
com
x
como
a
efetivas na extre.
livre de uma cantilever
onde as constantes
-I-
para o exame da
prescritas
,a'u _ au'
a transformada para
C1 e C2 dependerão
que deve ser definido o problema compatíveis com a realidade: M;c
podemos
u(x, O) = u'(x, O)
com as condições iniciais ini~ialmente parado.
é de vantagem
de contorno
da corda e os movimentos
da barra fina têm a mesma equação
t, reduzindo
de Laplace
a condições
=
-=
O
VNC -VND
A Corda.
Consideremos
bitrariamente vimento
lateral
prescrito
uma corda
da corda
e
c
=
X
vITlP com
de contorno.
fim de' que as condições
de comprimento
da extremidade
perturbação ao longo da corda, de comprimento.
dás condições
físico;a
=
infmito
O. A quantidade
é a velocidade
E neste ponto
de contorno
sejam
com movimento
ar.
u(x, t) é então o mo-
de propagaçã~
de qualquer'
T como tensão e p como massa por unidade .
Na extremidade qual requer
=
x
distante
I
-+
o deslocamento
00,
deve ser zero,
x == O o deslocamento
que C1 = O. Na extreITÚdade
é prescrito
o
como
Considerando podemos velocidade
u(O, t) de modo que C2 = u(O, s). A solução geral torna-se então
que o deslocamento
substituir
ii(x,
na extremidade
s)
é a integral em relação
ao tempo
v (x,
(lls)
da velocidade,
s) e' obter uma expressão x = I e a força F(/, t), na forma seguinte por
geral entre a
P(I, s)~' i!(/, .1') (AcE) cotg h ( ~) Utilizando
o segundo
teorema
de deslocamento
(Vide Apêndice
.r,-'e-"'j(s) = /(r - a)'li(r-
B).
.=
a) Utilizando
u(x, r) ~ u a qual é interpretada
t
< x/c,
da forma
(o, r -
seguinte:
~) 'li (r A função
unitária
'Uo(1 -
x/c) é zero para
1-Y\v~----------------
c
A solução
acima
extreITÚda?efixa O método outros
formation".
8-1
Calcular um
exprime introduz
teorema
4(,/1<)
de deslocamento,
+ .. ,]
obtemos
(AcE)[ v(/, r) + 2v(/, t - ~/)'li (t - :/) + 2V(/, r - ~/)'li(t - ~/) + .;.J
Longitudinal
de uma
Barra.
Consideremos
aqui uma
barra
ftxa em
x =' O com uma força F(l, t) aplicada na extremidade livre x = I. O deslocamento longitudinal é agora .u(x, t) com c = a velocidadc de propagação
.JEilP
a velocidade
quarto
primento
T
As condições
de contorno
=
C,
AEaú(1 'o .1') . = AE!-(C C
I
Ú(O, .1')
ax
= -C = 2
eF(I, s)
d
2AEs cosh':"'" c
+C = 2
e'I," -
um termo adicional
deste
à
é proporcional
velocidade
21/c, justamente quando o reflexo da 2v(/, t - 21/c) etc. o
de L:tplace
pennite
tipo; encaminhamos
de onda
ao longo
de libra por pé, quando
tratar
de forma
semelhante
o leitor
para "Laplace
Trans-
de uma corda
cuja densidade
é de
para as freqüências
esticada
sob uma tensão
naturais
de uma corda uniforme
I, tlxada nas duas extremidades.
e sua massa por unidade
8-3 Uma corda mola-massa, naturais ..
são
=
t
*
sob tensão
das. perturbações.
que a força da extreITÚdade
da transformada problemas
8-2 Derivar a equação
I
+ 2e-
llü;,)
v (I. t) da extreITÚdade livre até o tempo
muitos
I-.----x----l!l
r==~
C
+ 2e-
que as unidades
r == o
Movimento
o segundo
F(I, r) ~
:)
x da corda a partir da origem permanecem em repouso até o tempo r = x/c. Após t = x/c o movimento da cord:: em x é o mesmo que o prescrito da extremidade x = O. .f pois evidente que o movimento prescrito da extrcITÚdade x = O prossegue ao longo da c(mia com a velocidade de propagação c. como indicado na Fig. 8.9-1. de modo
novamente
i!(I, s) (AcE) [I
de comprimento
T, com a extremidade conforme
de ~om-
A corda é estica da sob uma tensão é p.
de comprimento .[ e massa
de 100 libras.
p por unidade
esquerda
de comprimento
está
fIxa e a direita ligada a um sistema
a Fig. r.8-3. Detenninar
a equação
para as freqüências
O
C 2 e-
Ü,")
ü(x, s)
= .,.t(1
.=
r)
Pu, s)scnh
sx
.
('
A E:~ L:Osh sJ. c c
·W. T. Thomson, Laplacc Transformation, 2~ 00. (Englcwood Cliffs, N. J.; Prcnticc-lIall, Inc., 1960), Capo 8. . o
8-4 Uma vibração
harmônica
tem uma amplitude
x
"no ao longo da direç~o
que varia como uma função co.se.
tal que '"
,
/:
/
,/
Figura P. 8· 9. Mostrar
que se é adicionada
da mesma· freqüência mento
e amplitude
Detenninar na de aço.
a velocidade
O
módulo
de ondas
Mostrar
que
na extremidade
ao longo
=
representará
w/k.
8-11
de uma barra de volume
fi·
onde c = 1, 2, ...
...;Eglp
longitudinais
é a velocidade
normais
sendo
a outra
carregada
são detenninadas
rol Mostrar que a freqüência expressa na fornla
fL
tg rol
VÊ[:E
fundamental
uniforme
barra
Determinar
8·14
8-7 pode ser
Determinar
8-15
8·17
k = AE I ' o sistema
acima
8·18
para uma mola
8-9
A freqüência
de osciladores
de magnetostrição
é determinada
pelo comprimen-
Pllra as freqüências
a posição
a qual gera uma voltagem
alternada
xl l)
11
pelo
à
que a circundam
igual
DeterITÚnar o comprimento
meio para uma freqüência dade são E
=
freqüência
da vibração
longitudinal
adequado
de 20 kcps, se o módulo
30 X 106 lb/pol2
e p
=
método
- b. Igualando
que uma
sobre
supondo
as freqüências
o momento
teste
8-19
as freqüências
numa extremidade
Transmite-se é livre -
da barra, confor.
de elasticidade
0,31 Ib/poJ3.
no
e a densi.
de um
naturais
e detenninar
seja
b. Substituir
de
à extremidade
2
X 2
ressonava
pé cúbico,
X 12 paI, a 1690 cps.
determinar
o mó-
viga uniforme
de comprimento
de uma
viga uniforme
de comprimento
e presa por pinos na outra.
a equação
I e peso
Wb é engasta da numa
Wo na outra.
Especificar
extre-
as condições
de freqüência.
presa por pinos de uma viga - a outra extremidade
um movimento
y/
que a curva
a zero, determinar
.
de comprimento
o"
da viga livre em amo
supondo
de concreto
de uma
um peso concentrado
Mostrar que as condições
de uma barra livre em
fundamental
de 153 libras por
naturais
Detenninar
de contorno
formado
que a viga seja fina.
I, engastada
Uma viga uniforme
naturais
a 0;224 I das extremidades,
do concreto
e suporta
toreional
de Rayleigh,
viga para
Sendo a densidade
nas espirais
da barra engastada
de
w 1•
dois pontos
~
me a Fig. P.8-9.
torcionais
lateral.
do nodo para o modo
harmônico de contorno ,
to da barra de liga de níquel,
das oscilações
de um sistema
em vibração
. dulo de elasticidade,
midade
k e uma massa na extremidade
igual a M + 1/3 M barra' determinar uma equação aproximada para a freqüên. cia fundamental. Mostrar que a relação entre a freqüência aproximada e a exata encontrada acima é (l/~d"';3rl(3 + r).
naturais
de inércia de massa Js com um disco de inércia Checar a freqüência fundamental pela redução
I engastada em ambas aS extremidades
.M
Reduzindo
a expressão
Constatou·se apoiada
8-16' Determinar
'
tor· •
a uma mola de torção com massas nas extremidades.
este valor de b para achar do Probl.
da deformaçãó
de c para o aço?
I engasta da no meio e livre nas duas
naturais
Com momento
bas as extremidades,
fL = dP!. "lEi W
M
as freqüências
DeterITÚnar
y = sen(
para os sistema
de propagação
para as freqüências de comprimento
ambas as extremidades
de área A é ftxa
W. Mostrar
a expressão
uma
do eixo uniforme
por meio da equação
barrá r=---
é a velocidade
Jo ligado a cada extremidade.
são
das ondas longitu-
com um peso
Determinar
eixo uniforme
8·13
I e seção transversal
de comprimento
..jGg/p
c =
que
extremidades.
do aço 8-12
das vibrações
Mostrar
ciona! ao longo da barra. Qual é o valor numérico
0,
naturais
8·10
I é fIxa numa extreITÚdade e livre na
as freqüências
superior,
que as freqüências
é c
e peso por unidade
de comprimento
= (n + 1/21c /2/, dinais na barra, e n =
Uma barra uniforme
resultante
de compri-
e O,2821b/poI3.
f
8·8
de um quarto
de propagação
longitudinais
de elasticidade
8-6 Uma barra uniforme
8·7
uma outra vibração harmônica
igual, deslocada
cuja velocidade
são 29 X 106 lb/poe
outra.
vibração
de onda em fase espaço e fase tempo, a vibração
uma onda em movimento 8·5
à primeira
de amplitude.
.
resultam
Yo perpendicular
na equação
senh ~I cos ~I - cosh {31 sen {:lI senh ~l - sen ~l
à viga.
8-20 Uma barra uniforme unidade, de volume
tem estas especificações: p e a rigidez torcional'
IpC
onde
S-23
i, densidade
por
Ip é o momento
po-
comprimento
A Fig. P.S-23 mostra
um cabo flexível preso numa ponta
sob a ação da gravidade.
Mostrar que a equação
da seção transversal e C 'o módulo de cisalhamento. A extrex = O é presa a uma mola em espiral de rigidez K pol lb/rad, enquanto a extremidade i é fixa, como indica a Fig. P.8-20. Determinar a equa-
g(i'Y ax
lar de inércia midade
ção transcendental Verificar
da qual as freqüências
se esta equação
está correta,
naturais
possam
=
-I-
2
ser estabelecidas.
casos especiais para K
considerando
e livre para oscilar
de movimento
lateral é
ay) ax
I~i I .
O
T+dT
e K =
00.
,.I'
T
'
,
pgdx
I
Di
i 8-21 Uma viga simplesmente forme
indicado
apoiada
tem uma saliência
na Fig. P.8-2!.
que as condições
de contorno
requerem
i2,
de comprimento
Se é livre a extremidade que a equação
da saliência, de deflexão
con-
para cada
S-24
ifJ2 = A flcos
Supor Y(x)
= c(senpx ,
- sen senh
uma solução
+ cos~ ::2)CsenPX 2 -/-sen 2
-/-senh
lateral
ax2 .-
mwi;I
p, conforme
com velocidade mostrar
angular
2
que a equação
diferen-
, 8-26
Aplicar
o/)
W'J') o
-
,/., Vez) = O
=
4W2
com grande
que a equação
os resultados
as condições a deflexão
(n )'(mw -p-
·""27 ._
que
T
xjg.
tensão
de modo
diferencial
T lbjpol,
apreciável. de vibração
de modo
Utilizando
que sua decoordenadas
lateral é
'
indiWo· Se
de nodos
2
Wo.
do Probl.
de contorno dos modos
da forma
y(a)
simétricos
circunferenciais
meio das condições ma equação
W
e mustrar
de llessel
cada uma com o mesmo valor e densidade
é
ar2 -
esticada
Z2
y não aumenta·
polare~, mostrar
a2y._ --.I!-(B2y
em variável
é
Uma membrana flexão
8-22 Um satélite particular consiste de duas massas, m, ligadas por um cabo de comprimento 2i cado na Fig. P.8-22. O conjunto gira no espaço não é considerada a variação na tensão do cabo,
1.. dY(z) Z --;rz-
y = Y(x) cos wr
diferencial
f3x)}
8-25
lateral do mesmo
-I-
dz2
(COS ~~2 sen
23 na forma
a uma equação
d2 Vez)
por uma mudança
cial de movimento
no Probl.
pode ser reduzido
PpI,ll senh px)
px -/- cosh px -
,
mostrar
vão seja
4>,
I
25 a uma membrana
circular
=
que Jo(r";pw2jT)
O. Pode,se mostrar
dá
sem linhas de nodos radiais. Para o caso geral
e' radiais, as freqüên~ias
de contorno
de raio a com
em r
=
naturais
a e 'r . =
são calculadas
por
O" as quais resultam
nu-
I
2
"-
8-31 Mostrar que a equação diferencial da viga, quando sli'oincluídos o cisalhamento e a inércia rotativa, pode ser expressa pela equação matricial de primeira ordem
@
{)ct
o
I El
O
O
O
O
W2m
O
8-32 Considerada a disposição da viga representada na Fig. P.8-32, determinar a equação de diferenças finitas para a etapa 2.
~~
onde n refere-se ao número de nodos radiais, e m ao número de nodos circulares incluindo aqueles do contorno externo. A Fig. P.8-26 mostra alguns perfis. 8-27 A equação relativa às oscilações longitudinais de uma barra fina com amortecimento viscoso é 2
a u AEa2u mãi2 = ax2 -
N aú •.•aI
+ TP Po ( )f(I') x
onde a carga por unidade de comprimento é considerada separável. Fazendo u = 'E/
bl
=
=
. Po ml../I -
+
f(t '2 I: bjc(Jjf' OJI o j
8-28 Supor que a orla da membrana retangular da Fig. 8.7-2 seja presa e mostrar que asua solução é ~
~ m7tx' n7t y nL;\ sen -b-sen a(Amn senOJmnt
+ Bmn
ços OJmnt)
8-29 Mostrar que a equação seguinte dá as freqüências naturais da membrana do
Prohl. 8.28 2 OJm•n
(m
2
2
11 = C2 7t2 Fi +QT
8-35 Urna corda de comprimento I, flxa nas extremidades, Em x = O dá-se à corda uma velocidade inicial
está sob tensão T.
11(0, I)
8-36 Uma mola helicoidal de comprimento I e rigidez k está posta naturalmente sobre um plano horizontal sem atrito. Imprimindo-se à extremidade x = O Uma velocidade prescrita v(O,t), deteffiÚnar o movimento em qualquer ponto x. Qual é a tensão na mola no ponto x?
Derivar a equação relativa à tensão em qualquer ponto x.
.:'5;\
8-34 Desenvolver as equações de diferenças finitas para as etapas 9 e 10 da viga do Probl. 32.
Determinar seu movimento.
- -r)r'wJ'senWj~-rdr
f>(x}Plx)dX
w(x, y, t) =
8-33 Estabelecer as equações de diferenças finitas que se aplicam às etapas 5 e 7 da viga do Probl. 32.
)
onde m, n = I, 2, 3, ... 8-30 Descrever os perfis dos modos naturais para a membrana quadrada com orla presa.
! \
! \
"
J
)
S
EQUACÃO DE LAGRANGE ,
J )
1 ) )
9
) j } )
Lagrange* desenvolveu um tratamento geral de sistemas dinâmicos formulado por meio das quantidades escalares de energia einética T, energia potencial U, e trabalho W. À medida que o sistema. fica mais eon.plicado, torna-se progressivamente difícil" o estabelecimento de relações vetoriais requerido pelas leis de Newton, quando então há vantagem considerável na apreciação escalar baseada em energia e trabalho. Além disto, a formulação das equações de movimento de Lagrange dispensa completamente a consideração das forças restritivas de articulações e guias sem atrito.
)
» )
} ~ ) )
I
As equações de movimento de um sistema podem ser formuladas por meio de diversos sistemas de coordenadas. Entretanto, são nçcessárias n coordenadas independentes para descrever o movimento de um sistema de n graus de liberdade. Tais coordenadas independentes são chall1:adas coordenadas generalizadas e são usualmente represen tadas pelas letras q.j'
I
O movimento de corpos nem sempre é livre, mas sufeito muitas vezes a limitações predeterminadas. Como exemplo.a Fig. 9.2-1 mostra um pêndulo esférico de compri-
) ) )
i
1 ) ~.
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I
I I I!
EQUACÃO DE LAGRANGE ,
9 Lagrange* desenvolveu um tratamento geral de sistemas dinâmicos formulado por meio das quantidades escalares de energia cinética T, energia potencial U, e trabalho W. À medida que o sistema. fica mais con.plicado, torna-se progressivamente difícil' o estabelecimento de relações vetoriais requerido pelas leis de Newton, quando então há vantagem considerável na apreciação escalar baseada em energia e trabalho. Além disto, a formulação das equações de movimento de Lagrange dispensa completamente a consideração das forças restritivas de articulações c guias sem atrito.
As equações de movimento de um sistema podem ser formuladas por meio de diversos sistemas de coordenadas. Entretanto, são nçcessárias n coordenadas independentes para descrever o movimento de um sistema de n graus de liberdade. Tais coordenadas independentes são charT\adas coordenadas generalizadas e são usualmente representadas pelas letras q,. O movimento de corpos nem sempre é livre, mas sujeito muitas vezes a limitações predeterminadas. Como exemplo.a Fig. 9.2-1 mostra um pêndulo esférico de compri-
mento I. Sua posição. pode ser completamente definida pelas duas coordenadas independentes 1/J, e, t/J. Nestas ,co,ndições t/J e t/J são coordenadas generalizádas, é' o pêndufo esférico representa um sistema de dois graus de liberdade.
Consideremos um sistema de partículas sob a influêncía de várias forças. Se o sistema está em equilíbrio estático, a resultante Rj das forças atuando sobre qualquer partícula j deve ser zero, e nulo é o trabalho realizado por estas forças num deslocamento virtual li rj . óW
=
L: RJ·órJ
=
O
J
Se a força Ri é dividida numa força aplicada Fj e numa, força restritiva fi, há então equilíbrio entre e fi e nenhuma delas é zero. Limitando nossa discussão a forças restritivas que não realizam trabalho, tal como a reação de um assoalho liso, a equação do trabalho virtual se reduz a
Fi
A posição do pêndulo esférico pode ser também estabelecida pelas três coordenadas retangulares x, y e z, que excedem de um os graus de liberdade do sistema. Entretanto, as coordenadas x, y e z não são independentes, pois elas estão relacionadas pela equação de restrição .
'Uma das coordenadas pode ser eliminada pela equação acima, reduzindo desta forma a dois o número de coordenadas necessáriás. Chamam·se coordenadas supérfluas as que excedem o número de graus de liberdade do sistema, e é necessário para a sua eliminação número igual de equações de restrição. Denominam-se de holonômicas as restrições se as coordenadas em excesso podem ser eliminadas por meio das equações de restrição. Tais restrições são na forma
a qual exprime o princípio do trabalho virtual como apresentado por J. Bemoulli (1717). Em resumo, a equação acima estabelece que, num sistema em equillbrio estático, o trabalho efetuado pelas forças aplicadas num deslocamento virtual compatível com as restrições é igual a zero. Trabalho Virtual em Termos de Coordenadas Generalizadas. Consideremos um sistema de n graus de liberdade no qual o deslocamento ri possa ser expresso por n coordenadas generalizadas independentes qj e o tempo t
o deslocamento
virtual da coordenada ri é
órJ As restrições nos sistemas não-holonômicos não são expressas em termos de coordenadas ou coordenadas e tempo, como na Eq. (9.2-2). Restrições não-holonômicas são expressas somente como relações entre as diferenciais, como na seguinte equação
Um deslocamento virtual ax, aO, ar etc., é uma mudança infinitesimal da coordenada' que pode ser concebida de qualquer maneira sem consideração do tempo t, mas não violando as restrições do sistema, 300
= 2: ~ óq, oq,
,
(9.34)
I
e o tempo t ilão é envolvido. Quando o sistema está eIlij equilíbrio, o trabalho virtual pode ser expresso agora em termos das coordenadas generalizadas qj, pela Eq. (9.3·4) ,
definida como a força generalizada, o trabalho virtual do sistema, expresso em termos das coordenadas generalizadas, torna-se ~ (9.3· 7) 301
e a equação
Exeml'lo 9.3-1 , ,
Consideremos;
_-,: ·-'estabelecer
para ilustrar
a posição
vimento, conforme
o método
de equihbrio
do trabalho
virtual,
-de uma barra
rígida
o problema
limitada
para o trabalho
virtual torna-se
-oW = \\"a8 ar 08 = Qo 08
de se
no seu mo-
na Fig. 9.3-1
indicado
Qo
w'~8
ú coordenada
é a força generalizada
associada
Usando
Unitários
vetares
oc=
O.
generalizada
i e j ao longo dos eixos x e y (Vide figo ') .3·1 ),
para r G é
a equação
r'i
1',,(icosO
-I jsenO)
(I -- - co(~
Õ)u \:Os 0-[
j scnO)
em relação a O
Difcrcnciando
or" ' ."(( --I e tomando
o produto
sen O)i -I (/
escalar
com
w
0-- ('
\:Os
= -
S2
8)j]oO
wj, o trabalho
virtual,
que deve ser
zero, torna-se
A posição
da barra
é estabelecida
_pode servir como coordenada
{j8, os dcslocamentos ser compatíveis
correspondentes
com as restrições
de 00, que é a única
termos qualquer
do sistema.
quantidade
e
{jr2,
e óre dos pontos
{jr2
Eles todos
as forças
w
fi
restritivas
virtual
que define
ser expressos
em
a posição
que o centro
é um deslocamento
atribuir
de equihbrio
da barra.
G ocupa o ponto
de massa
O estudante
pode verificar
mais baixo na posição
o fato dJ
acima e que {jre
horizontal.
'
respectivamente,
deslocamento
podem
virtual
1,2 c G devem
à qual se pode
independente
valor arbitrário.
ao passo que a gravidade
~trito,
O, que
pela coordenada
Se se dá à barra um deslocamento
lírl,
Há dois tipos de forças atuando
12
completamente
generalizada.
e
sobre a barra.
12
Nestas
Supondo
são norm-ais aos deslocamentos
e por isso não há trabalho
pO.
As forças restritivas
é uma força aplicada.
condições,
quando
o trabalho
são fI
e
contactos
sem
virtuais
orr
a barra é sujeita a um
virtual
do sistema
resulta
o princípio Segundo
apenas da força aplicada:
oW
= f,·or, -+-
f2·orz
resulta
+ w.or
G
do trabalho
ser estendido
virtual
à dinâmica
d' Alembert,
para o caso de equillbrio
.
exposto
m/i
de equilíbrio.
a aplicação
A equação
pode
(1743).
sobre uma partícula
de _uma fo!ça igual a -
para a partícula
estático
por d'Alembert
uma vez 'que a soma das forç~s atuando
numa aceleração
uma condição
estabelecido
por meio de um raciocínio
miri
produziria
pode então ser expressa
como
_=O+O+w·órG Uma vez que
re
é alguma função de O, podemos
or
G,
~#00
escrever
onde
Fi
e fi silo aS forças aplicadas
do princípio
do trabalho
e restritivas,
respectivamente.
virtual que para um sistema de partículas
Decorre então
onde o trabalho efetuado pelas torças restritivas fi' é zero novamente. Nestas condições, para um sistema dinâmico, o princípio do "trabalho virtual requer que a força aplicada Fi seja substituída por (Fi - mii:i) a qual introduz um novo termo 'Eimii:i • Ó ri' Vamos mostrar agora que este novo termo é relacionado à energia cinética T pela equação
Na Eq. (9.4-6). 3r/àqk no primeiro termo pode ser substituído por 3 t;/3qk' e a ordem de diferenciação no segundo termo pode ser invertida de modo que
• Considerando um corpo possível de ser representado por um sistema'de partí. culas, sua energia cinética é igual a . T
= L; ±m/-,z = L; ±m,i','fi i
Somando as i partículas, chegamos ao resultado
j
~
A posição de qualquer partícula, num sistema de n graus de liberdade, 'pode ser expressa em termos das n coordenadas generalizadas q" Q2, •••• qn' e em algUns casos do tempo t.
.. ó
.:.. mir,' r, , onde
~ [d-d -a' aT aTJ = "'"' - "l:"" I q. uq. '.~I
J:
uq.
T = lI; , m/,2 é a energia cinética do sistema.
Para completar. o desenvolvimento, o trabalho efetuado pelas forças aplicadas no deslocamento virtual são expressas da seguinte forma r.
'
=
ar,. -q aql
I
I ar,. --.,,--q vq22
-f - ... ar,. aq.7' --'-fl
-
f- '37 ar, vI
Duas importantes relações resultam destas equações. Primeira. se tomamos a derivada parcial de r; com relação a ti k, ela será igual ao coeficiente de ti k
ôW
=
ar q,
ar
= -a I Ôq, +a-
I
q2
Ôq2 -I- '"
ar -LDq. aq.
cc
I:• -'ar, Ôq. ..,aq.
onde se nota que o tempo t não entra na equação (definição de deslocamento virtual, independente de tempo). Utilizando a equação acima para ó ri> temos
• ar
I; F,·ôr, =1: FI' k'-'lUqk I; ~ ,.
óq.
i
ar ) Óq • =:I:• ( :EF,,~vq. i
• ~I
Q.
Segundo, o deslocamento virtual de ri a partir da Eq. (9.3-4) é
Dr,
,
=
:I:F,,~ , vq.
é chamada a força generalizada associada à coordenada qk' As dimensões de Qk dependerão das dimensões de qk' de modo que se qk é um ângulo 0, a força' generalizada será um momento. Voltamos agora as Eqs. (9.4-12) e (9.4.13) à Eq. original (9.4.2)
t (!!.. B:
."'
dI aq.
- ~ uqk
Q.) Dq. = O
Considerando que as 'nóqk correspondentes aos n graus de liberdade são quanti· dades independentes, podemos escolhê-Ias de qualquer maneira que quisermos. Isolando uma das aqi =10 O e considerando zero as restantes óqs' obtemos a equa. ção de Lagrange para a coordenada qj
!!.. aT dI aih
_ aT _ QJ
aq,
=
O
Un:a equação .s,emelhante com a repetição·do Há poucas agora. Se temos
pode ser estabelecida
processo
para as
11
coordenadas
do sistema,
com as outras coordenadas.
variações
da equação
um sistema
de Lagrange
conservativo,
que podem
o trabalho
efetuado
Num
ser mencionadas é igual ao negativo
que
sistema é uma
de Taylor
da energia potencial
conservativo, função
as forças podem
das coordenadas
em volta da posição
ser derivadas
generalizadas
de equilíbrio,
qj'
temos,
dá energia
U,
potencial
U numa
Expandindo
para um sistema
de
11
série graus
de liberdade
Uo a zero.' Assim, em lugar de Qk usamos
- (OU/oqk)e
reescrevemos
a equaçã~
de Lagrange
desta forma
nesta expressão As derivadas, de
tantes
quando
líbrio.
Uma vez que
(o U/oqj)o
as
qj
é uma constante
arbitrária
U são calculadas
são quantidades
na'posição
pequenas
lações em volta da posição A segunda
variante
resuI1a do conhecimento
que
U não é uma função de
q,
iguais a zero na posição
de equiIJbrio,
segunda
calculada
e a energia potencial
efetuado
pode ser separado
e a equação
, na teoria das pequenas
de energia potencial
.
osci·
fica redu-
em O é uma constante
não-conservativas
no sistema,
o trabalho
associada
com a rigidez gene-
' k jl
forças
de equi·
zida a
A derivada
existem
igual
O e são cons·
L como
um: Lagrangiano
ralizada
.Quando
considerar
de equilíbrio
U é um'mínimo na posição de equilíbrio, a primeira derivada é zero, deixando apenas (02 U/oqjoq/)o é termos de ordem mais elevada.
Os termos além da segunda ordem são ignorados
de modo que definimos
que podemos
é expressa
=
(a;:~q) o
como
por elas
na forma
= -}rq)'[k]fq} e neste caso é possível
apresentar
a equação
de Lagrange
para um ,sistemanão-con-
servativo como
li aL_ ~L ,= Qk dt
a(jk
aqk
li aT ." aT -+ au dt
Estas últimas sistemas
formas
aqk
aqk
nos permitem
não-conservativos
=,
aqk
estender
r. =' ') uso do método
e, em conseqüência,
a todos os sistemas dinâmicos,
incluindo
Qk
vibrações
o método amortecidas.
de Lagrange
de Lagrangc
,
aos
é aplicável
Considerando do tempo,
t aq/ ar, q, -+ ar ai l
/=,
J
um sistem~ escleronômico
o último
termo da equação
o~de
a~restrições
acima é zero, e temos
são
independentes
,;
-.0 -.0 ~
12 I
a
L..J L..J
-
J"
1 I," 1
~ . .
qJ
'a
Portanto, a énergia cinética torna-se
T
=
ql
qJql
'
As equações de movimento eram desacopladas na Seç. 6.7 pela matriz modelo, a fun de se obter a solução .da vibração forçada' em termo~ das coordenadas normais do sistema. Aplicamos nesta seção uma técnica semelhante para sistemas contínuos, expandindo a deflexão em termos dos modos normais do sistema.
t JI1I[tJ"',t:1f' aqJ arl ,arl q qJ aql I
1
-2
1"1
I
Permutamos agora a ordem de soma e reescrevemos a·equação acima T
=
+. t t MI(t J"'I"I
1
Consideremos, por exemplo, o movimento geral de uma viga carregada por uma força distribuída p(x, t), cuja equação de movimento é
JI1laàrl 'aar,) qJ ql
Definindo a massa generalizada como
m JI =
(t m1aarqJ/ ,ar,) aql "·1
.
a energia cinética pode ser expressa como e suas condições de contorno. Os .modos normais if>i(x) são também funções ortogonais satisfazendo a relação i
f
= +[qJ'[m][q}
As equações (9.5.3) e (9.5·10) tornam evidente que k. = k. e m _ D t '. II II jl - mlj' es a maneIra, as matnzes de massa e de rigidez são simétricas em relação à diagonal.
{
. m(x)rp,rp;dx
=
O para j
--1= i
Mi para j = i
o
Representando a solução para o problema geral em termos de if>i(x)
A. wbstituição de TeU na equação de Lagrange conduz a um grupo de equações que pode ser expresso pela seguinte equação matricial. podemos determinar a coordenada generalizada qj (t) por meio da equação de Lagrartge, estabelecendo previamente as energias cinética e potencial. Qu~do os autovetores {q} são coordenadas (principais) normais, os termos fora da dlagonal da equação matricial são zero e as equações de movimento desa. copiam para
+ kuql
m'/L
=
O (9.5.12) A solução é enÜro a vibração de modo normal q. A I = i s~nw;f, cuja substituição na equação diferencial resulta em ku
=
-OJ,2mli
(9.5-13)
O uso de coordenadas normais eliminará todos os termos k. em, d' I .,. . h . . II 11 on e J Te: em consequencla, á a sunphficaçao das expressões das energias cinética e otenCla!para as formas ' p ---J-
onde 308
L ]
T
= -i'
U
=
2f
-± ~
muq;
==
i[q}'[m][q}
(9.5-14)
kuqr
=
J[q}'[k][q]
(9.5-15)
simboliza uma matriz diagona!.
Admitindo a relação de ortogonalidade, Eq. (9.6.3), a energia cinética é T
= -1 {jJ2(x, =
t)m(x)
dx
=
i ~~qAJ f~ip,r/JJm(x) dx
-t L M,q; 1
onde ~ massa generalizada Mi é definida como M1 = ( rp,l(x)m(x) dx .
onde a rigidez generalizada
é
Exemplo
K, de TeU,
. ftJém por
meio
precisamos
.do trabalho
oq j
virtual
E/[ifi;'(x)F
= (
efetuado
da pela
dx
força
generalizada
força
aplicada
9.6-1 apoiada
na Fig. 9.6-\.
Qj, que é determinada
p (x, t)dx
'....["'lli1a1
no deslocamento
p\.'"
f
p(x,
o
if>/Jq,)
t)(~
= ~ óq, (p(x,
, f=C-=--=--
t)rp,(x)dx
:
subitamente
I
O
II
-I
(b)
Q, = Substituindo
na equação
diferencial
primento
ponto
c-c,
Os modos normais da viga são
Q,
ifiJx)
= ~
W!qi
é conveniente
f'
p(x, l)ifi,(x)
e a massa generalizada
dx
considerar
o caso da carga por unidade
'
f
i
,
I-
é defInido
como
Eq. (9.6-14)
é então
fator
Ji
=
fI
MjO)j
volvida em termos
dx
(9.6-15)
de modo
pode ser denominada
OJ, (
g(t)
para
o modo
i. A solução
.= é a cronologia
f(ç)sen
ç)
dç
I
estática
do modo
o fator de carga dinâmica
(com q
j
(t)
= O)
desen-
(1_(1) "
I1TC g
w~q" ==
ll7eM o
i-ésimo
modo.
ÚJ~
(1)(-1)para qn é então
IIV _.J2 O(_I)"g(l) I1TCM
'I)
-- cos w"
(-1)"(1 -' cos w I) w;' ~
+ 2..J'2~/:vo(-I )"[I _ cos I1TCMow~
(IITC/I)
cos IITC
I1TC
_.J2llVo
. -, ",/'2'111'0 (-1")"( I -= -..J'2-/ll'o I1nM o
ç)dç
para o
(IITC/I)2
r'll
o
a quantidade
f(ç) sen w,(t ,-
IV
a qual tem a solução
o
o
o
da carga. A equação
q" -I-
W,(I -
x
(I) IVO..J'2' [sen (l17ex/l) _ x cos (lI1ex/I)J'
da
g(t)
I
fi. W( .J2 ~en I1~X dx
(9.6-16)
de cf>j(x) é p. rjfMjWf, D,(I) =
310
deflexão
=
g
-I· ~, q,(O)sen OJJ
-I-(Por,,)w, que a i-ésima
t)ifi" dx
o
= - g(I)~ o p(x)rp,(x)
de participação
q,(O) cos wJ
=~JI2sen2I1TCXd-=M
="
onde
q,(l)
Considerando
p
o p(x,
w,'q,. ~, M;rJ(I)
r, = TI
"I •
para
q,
II;X
é M
de com-
p(x, t) = ~o p(x)f(l) é então reduzida
.J2 sen
.
p (x, t) ser separá •••el na forma
A Eq. (9.6-12)
=
w" '-= (IITC)2-J EI/MoJ3
para qj (t) é
'o
Neste
dx
Solução:
" ~;, -I- ~~
enconttada
q, +-
p(x, t)~Jx)
de Lagrange
(% (~;) a equação
J~
w (t - t J)J "
,
por
de movimento .
j,OCL
,.
--.L
I
a equação
g(I)
w.
ff"= -Jrim. ---
dx
é carregada
Determinar
T
)
-:r1:f'
•
óW,c
de massa Mo
Uma viga simplesmente uma força representada
o
Desta maneira,
a deilexão
da viga é expressa
i: q.(r).J:rsen
.1'(x, r) ==
•
Exemplo
m,lx
I
9.6-2
Um míssil
na sua trajetória
é excitado
à' extremidade
do seu motor
de foguete
deslocamento
u(x, I) e a aceleração
'Pi(x)
são os modos
normais
longitudinalmente
F(r)
pelo impulso
x '" O. Determinar
a equação
para o
li (x. I).
L: qJt)rpJx)
==
u(x, I) onde
pela soma
do míssil em oscilação
longitudinal.
A coorde-
q i satisfaz a equação diferen.eial .
nada generalizada
[E1y"(x. Desta maneira,
Se, em teria
=
vez de F(r),
um impulso
unitário
em x '" O, a equação
atuasse
('P;CO)/ Miwi) sen wil para as condições portanto, à forç~ arbitrária F(I) é
a solução
inciais
qi (O) '"
acima (Íi
de inércia forma
+ m(x)y(x,
I»)"
r) = -m(x)Yb(/)
em vez da força por unidade
por unidade
de comprimento
F(x, I) ternos a força
- m (x)ji b (I). Admitindo
de comprimento
a solução
na
(O) =
O. A resposta,
qJr) "
fr
tp,(O)
Miú!; e o deslocamento
em qualquer
u(x, r)
ponto
a·equação
dç
MjOJ{
-
M,
=
-y.(r)
~. "
F(ç)sen w/r
fi
rpJx) dx o
A solução para qi difere então somente do fator um oscilador simples, de maneira que para as condições
.-- ç) dç
ti
reescrevendo-se
a
q,(r) ~~ ( - ~/i
J:
tp,(x)
dX}
~i
I/Mif~'Pi(X)dx iniciais y(O)
J~
j'.(ç) sen w,(r -- ç)
=
daquela y(O)
=
de O
de;
W,'qi
i
= );-(t)gJ/O)
.qi torna-se
generalizada
q, -/ w;q,
A aceleração q, (t) do modo i pode ser determinada equação diferencial e substituindo a solução anterior para qi (I) q,(r) = F(rz,(O)
para a coordenada
x é
'L: rp/x)rp,(O) J" .
-- ç)
F(ç) sen wJr o
_ p,(O)w, Mi
J'
F(ç) sen w,(t -
9.7
ç) de;
o
ORTOGONALlDADE DA VIGA, INCLUINDO INERCIA ROTA TlVA E DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO As equações
mento,
foram
para a viga, incluindo
derivadas
na Seç. 8.6.
inércia
rotativa
A ortogonalidade
e deformação
por cisa1ha-
para tais vigas não é mais
expressa pela Eq. (9.6-3), mas pela equação
~ L: {F(r)rp,(O)rp,(x) ,M,
-
~,(O)tp,(X)Wi M,
J'
F(ç) sen w,(t -
o
ç) dÇ}
a qual pode ser provada Determinar
a resposta
um movimento
de urna viga cantilever
quando
Yb (I) normal ao eixo da viga, conforme
se transmite indicado
da seguinte
maneira.
à sua base na Fig. 9.6-2
Vamos momento
reescrever
distribuído
por conveniência
por unidade
as Eqs. (8.6-5)
de comprimento
;Jl1(x, r)
e
(8.6-6), incluindo
um
-I kAG(tly
':L(Eld'fl) tlx tlx
-- 'fi) - J/iI-
,tlx
mji -- (~~,[
kAG(~?~--'fi) J -
O
~m_(x, t)
p(x,
ij,l
O
t)
com
p (x,t)
excitação
ser expressas
e a inclinação
Ij;(x,t),
de flexão
e;m (x,t)
por
unidade
em tem10S das coordenadas
de
no caso de osçilação comprimcn
to
f
forçada
da viga,
podem, que define
generalizadas
:L: qj(t)q;}x)
y
p(x, t)1fI/dx -1-
f:
~ll(x, t)'fI/ dX}
(8.6-6) i
y(x,t)
A deflexãc
I~{J~
OJ~q,=
{OSej4=-i '" Mj se I
(1Il1fljlfl, -\- J'fIj'fl,) tlx = o
a ortogonalidade
para
a viga, incluindo
==
I
inércia
rotativa.e
deformação
por cisalhamento.
j
Substiuídas
estas somas nas duas equações
J:L: iij'flj
:L: qj{
=
J
I' kAG(IfI~'-
(,l(EI'fl~)
J
Entretanto,
J
vibrações
Quando
I ~rr(x, t)
'fIj)}
( ~\
é alterad.a pela adição de uma massa ou de uma mola, nós a
de estrutura vinculada. Por exemplo,
a de atuar como uma restrição
VI)) -I p(x, t)
e, possivelmente,
{.\
de modo-normal
uma estrutura
denominamos
•
m:L: ijjlflj .= :L: qj (,'JkAG(q;>j
da viga, obtemos
aumentar
nada, ao contrário,
são da fonna
podem y = q;/x)e'Wj'
ao movimento
as freqüências
pode diminuir
ser formulados
a tendência
da estrutura naturais
as freqüências
do sistema.
naturais
em temlOS de coordenadas
de uma
é
mola
no ponto da sua aplicação Uma massa adicio-
do sistema. Tais problemas
generalizadas
e a técniea de soma
de modos.
iWj
'fi "" lfI/x)e
'
Consideremos
a vibração
x
(isto é, uma coordenada uma -OJJ1'f1j = :X
-\- kAG(q;~ -
força
sua denexão -wJ.mq;j
,= :')kAG(q;~
Os lados direitos
deste grupo de equações
ralizadas
equações
qj nas
da vibração
-
são os coeficientes forçada,
de modo
das coordenadas que podemos
gene-
onde a coordenada
ij,(t) -\- OJ;q.(t) == =
j
j
estas duas equações
por
)
(m'Pjlfll -\- J'fIj'fl,) dx -\o
direito
desta
ser detenninada
por
== 'Pj dx
obtemos
:L: qj fi
O lado
j
j
:L: qjOJ] J
= (p(x,
[(x,t) e momento
os modos
normais
denadas independentes 314
equações
e
r
Ij; j dx,
somando
e integrando,
da estrutura,
por
de com-
Wj, e 'Pj(x),
por
(mq;jq;, -1- J'fIj'fl,) dx ~l(x,
f(x,
equação meio
Se,
no lugar
do
de cargas
1)q;,(X) tlx -\-
a equação
generalizadas,
para tais cargas é encontrada
t)'fI, dx eles devem ser coor-
f
M(x, 1)1fI;(X)IIxJ
é 'I/Mj vezes a força generalizada Qj, trabalho virtual das cargas aplicadas
==
distribuídas,
M(a,t)
concentrado
ó W ,=F(a,
1)IfI,IIx -1- (
A~Jf
a qual pode como
Qj ==
'oW/oqj'
e um momento
o
são coordenadas
que satisfazem
excitada
por unidade
q j deve satisfazer a equação
temos
Q,
força
x == a,
por meio de I) óy(a, t) -\- M(a, I) óy'(a, I)
F(a, I)
'7 ~~
uma
em algum ponto
:L: 'P,(a) óqj + M(a, I) 1:ço;(a) óq,
.;
Se os q nestas
de uma dimensão
sobre a estrutura)
ponto pode ser representada
generalizada
escrever
:L:qj'flj -:L: qjOJ}J'fIj -\-- ~l(x, t) m :L:q/Pj = -:L: qjOJ]mlflj -\- p(x, I) Multiplicando
em qualquer
uma estrutura
os pontos
'fIj»)
as Eqs. (9.7-3) na fonna
J
de qualquer
de comprin1ento
M(x, t). Se conhecemos
primento
'fIj)
por unidade
forçada
para definir
=
F(a, 1)IfI,(a)
I
+ M(a,
1)1fI;(a)
concentrada
F(a, t)
a força generalizada
I~
Então, em vez da Eq. (9.5.2), obtemos a equação
iMO
+ w,zq,(/)
=
~-[F(a,
I)rpi(a)
-I-
/I'/(a, I)rp;(a)]
.rA;;
I
r---- x·_-~
Estas equações formam o ponto de partida para a análise das estruturas vinculadas, desde que as restrições sejam representáveis como cargas externas sobre a estrutura. Como um' exemplo, consideremos prender uma mola torcional e linear à viga siJpplesmente apoiada da Fig. 9.8-1. A mola linear exerce sobre a viga uma força igual a
Desta maneira, em lugar da Eq. (9.8-8), obteríamos a equação q
=
'I ( .! .i.'
F(a, I)
=
-ky(a,
I)
=
I: qJI)rpJa)
-k
/
:,(:)7 -
.Jw'mo9,(a)
(:J-F__.
~ ri/p/a) j
7
....J
Exemplo 9.8-1 Dar uma aproximação de modo único para a freqüência natural de uma viga simplesmente apoiada quando ligada a uma massa mo em x = 1/3. Solução:
Quando é usado apenas um modo, a Eq. (9.8-lU) é reduzida a M,(w; , - w')·=
Resolvendo para
W2,
W'/1Iorp;(a)
obtemos I
1 M (a, t).
=-
Ky'(a, t)
= -
K
I: qJt)rp~(a)
+ M, ~rp;(a)
Temos para o primeiro modo da viga não·vinculada
j
, )
9,~X
Substjtuindo estas equações na Eq. (9.54), obtemos
q, ..:. w;q,
=
Ar: .
i-kç',(a)
IL
L qjç'/a) j
- Kç;(a)
r:qj~;Ca)"I J_
Os modos normais dos modos vinculados sao harmônicos também e assim podemos escrever
ç'. ( !...)
'\ 3/
= ..,;7sen
::
= ... /2
=.,/T- seny
7CX
x 0,866
J
Jf, = J! = massa efetiva
Assim, sua substituição na equação acima dá o segunite valor para a aproximação de modo único para a viga vinculada
(W)' w,
I
= I
+ J,5~Q
O mesmo problema tratado por meio da equação de Dunkerley no Exemplo 7.5-5 Se usamos n modos, haverá' n valores de qj e n equações tais como a (9.8-8). O determinante formado pelos coeficientes de qj conduzirá então às freqüências naturais dos modos vinculados, e os perfis dos modos da estrutura vinculada são obtidos pela substituição do qj na Eq. (9.8-1). Se, em lugar de molas, uma massa mo é colocada num ponto x = a, con. forme a Fig. 9:8-2, a força exercida por mo sobre a viga é
deu para esta relação o resultado I _\- 16/110
'M
Um míssil é vinculado numa plataforma de teste por molas lineares e tor· cionais, conforme indica na Fig. 9.8-3.
I ,..;
/(0)
)'(0)
2: ~ia)cIJ,(a)
K
D/01)
i
O pcrfil do modo duplamcntc'livre
é dado cntão por
, '"
y ( x)
'C
Y(o),
Formular
invcrso que é. o de determinar
o problema
livres por meio dos modos normais
'*'i
como
Solução:
do míssil vinculado,
os quais são designados
Exemplo
de uma maneira
em lugar de
culos
dos suportes
ky(a)
c Ky'(a).
~Ia
introdução
A fIm de resolver
semelhante
'*'i
utilizamos de forças
ni.
e
Livramos
com maior
detalhe,
t' J\
1"(0),,,,( -'(-)''>',
( a)"..• >,.I')
ya D,(m}
os modos
vinculados
modo duplamente
do rn[ssil da Fig. 9.8·3.
livre
o primeiro
agora os vín·
= 1, nT = e rotação
°
utilizando
somente
(x), Wl, junto com a translação
do problema
-F(a) e -M(a) iguais a
opostas
este problema
àquela
I,
9.8·3
Determinar é abordado
.
duplamente
ni·
e
O problema
direto onde,
scus modos
()'"
I: '\'>'i a '>'i(X)
":1
começamos
com a equação -F(a)1>;(a)
q, que substitui
=
a Eq. (9.8.8).
-
MT
M(a)1>;(a)
Fazendo
Di/w = Minl(i
-
(w/ny],
_ "cIJ ( )- _ "
,a q, - L.r
Lr
-F(a)1>f(a)
- M(a)1>;(a)1>,(a) D,(01)
onde
o modo
Os fatores
, ( ) _ "
ya ira)
L.r
=
I: ky(a)cIJ;(a)cIJ;(a)
y(a)[1 y(a)k
-
'
k
'f x'
M, ' .
f
dl/l
q>;(x)
(x) foi normalizado
Di depcndentes
,~
M , ..
<11/1
Mp'
/.'0
M
de maJleira
da frcqüência
que M1
= M = massa efctiva.
são
ky(a)
;(a)1>;(a) DlO1)
-
,
dl/l
Mi< o deslocamen·
toemx=aé y (a ) -
J
=
M,nw - (01/ny]
-I- Ky'(a)1>;'(a)
D,(01)
I:, 1>1'(a)J = y'(a)K 2: 1>';(a)1>,(a) D,(01) ,D,(01)
:I:, cIJ;(a)cIJ,(a) ~~ y'(a)[1 D,(01)
-
K
:I: 1>;'(a)J Di(01) i
A equação
da frcqüência
excetuados
os k ncgativos
substituem
(x)
tcmos
e
n.
para este problema quc
são
Substituindo
é a mcsma que a do Excmplo
su'bstituídos
por k positivos
cstas quantidadeS
na equação
9.8·2,
c
(I- M:'2,[~ ~
A
+ p2.1. ~ -
~.J}{I __Mw; ~[_Ip2.1. -
tp',2(a)]} (J -.1.)
(I - .1.t
- M2W: ~{=!!. p2.1.'
~(a)tp,(a)}2
-L
(1 -
À)
~ O
--
devem representar funções de- influêneia, onde a (a, x) e Ma, x) são as deflexões em x devido a uma unidade de carga e momento unitário em a, respectivamente. Podemos reescrever, nestas condições, a Eq. (9.9-2) na forma
+
L: q,(tZ;(X)
y(x, I) = F(a, I)a(a, x) 1- M(a, t)fi(a, x) _
2
.1. (1 - .1.)-1- (M:;)[
(-kf k~2 (I -
tp;(a) -/- ~ tp?(a)]..t .1.) -
(M::r
2 -
(M:;)[
~ ,1.{tp',2(a)
I
-+ ;~ -+ k~2]..to
+ )2 [tp,(a)
-- atp'.(a)J2}
-.1.)
=
O
São de interesse, alguns éasos especiais da equação acima e meneionamos um deles. Se K = O, a equação da freqüência simplifica para 2 2 + Mw; + p2 a + tp;(a)]}.1. -+ p2 (2) = _ MWj
.1. {I (--"-)[1
_1_(~--,)(I
O
Aqui x = a podia ser tomado negativamente de modo que o míssil ficaria pendurado por uma mola.
A convergência é melhoráda em relação ao método de soma de modos, pela razão de estar no denominador dos termos somados.
wl
No problema de vibração forçada onde F(a. t) e M(a, r) são excitações, a Eq. (9.8-4) é primeiramente resolvida em relação a qi(t), na maneira convencional, c em seguida substituída na Eq. (9.9-4) para a del1exão. Quanto aos modos normais de estruturas vinculadas, F(a. t) e M(a, t) são novamente as forças e momentos exercidos pelos vínculos, e o problema é tratado de maneira semelhante à da Seção -9.8. Entretanto, em face da convergência melhorada, menor número de modos será considerado necessário. Exemplo 9.9-1
9.9 METODOACELERAÇÃO_MODO
Utilizando o método aceleração-modo, resolver o problema da Fig.9.8-2 de uma massa concentrada mo ligada à estrutura.
Uma das dificuldades deparadas em qualquer método de Soma de modos diz respeito à Convergência do processo. Se esta convergência é escassa, torna-se neeessário o emprego de grande número de modos e assim aumentando a ordem do determinante da freqüência. A tendência do método aceleraçao-modo é a de superar esta dificuldade, melhorando a convergência e, em conseqüência, diminuindo o número de modos normais necessários. •O método aceleração-modo começa com a mesma equação diferenciál para a coordenada generalizada qi' mas com a ordem rearrumada. Por exemplo, podemos . começar com a Eq. (9.8-4) e escrevê-Ia na ordem q,(t) = F(a, t)tp/a) Miro,. Substituindo esta na Eq. (9.8-1), obtemos
-+
M(a, t)~;(a) _ q,(;) Miw, 01;
L:, q,(t)tp,(x) t) L: ~;(a)~,~x)
(9.9-1)
t)
L: Q!.1(a)tpi~'\-)-+ M(a, ,
M,w,
Miw,
_
L: q,(t)~/x)
,w . ' Notamos aqui que se F(a, t) e M(a, t) fossem cargas estátieas, seria zero o último termo contendo a aceleração. Portanto os termos I
Admitindo oscilações harmônicas F(a, t) q,(t)
y(x, t)
= F(a)e'W< = q,e'Wf = y(x)c'wt
Substituindo estas equações na Eq. (9.9-4) e fazendo x .
ji(a) = F(a)rx(a, a)
-+
=
a,
W2 ~ qi~~a) J
j
Visto que a força exercida por mo sobre a estrutura e F(a) = /I1ow2ji(a) podemos eliminar;
y(x, t) =
= F(a,
Solução:
(a) entre as duas equações acima, obtendo F(a)2 /I1oW
=
F(a)x(a,
a)
-+
W2
L: qjrpj~a) wJ j
L: tpl(a)tpl~x) = rx(a, x) i.
MiO);
L: tp;(a)tp+\:) =, fiCa, x) .Miw,
Se substituímos agora esta equação na Eq. (9.8-4) e admitimos o movimento harmônico, obtemos a equação
Separamos a viga em duas seções, CD e G) ,cujas coordenadas são representadas por IVI, x; IV2, x; e 1/2, x: Supomos que a deflexão para a seção CD seja
).
[I - mow1a(a, a)J(wl -- W1)ij,
=
w4n~Ja)
~ ijJ~;ja)
que representa um grupo de equações lineares em q k' A série represcntadapela soma, entretanto, convergirá rapidamente por ter no denominador. Em contraste com esta vantagem de menor número de modos, há o inconveniente dessas equações serem da quarta ordem em 0.) e não quadráticas ..
wJ
Notamos que as duas funções de modos satisfazem as eondições de força e geométricas nos limites da seção CD na forma seguinte w,(O) = O w',(O) "
1",(0)=
A fIm de apresentar as idéias básicas do método de síntese modal, vamos considerar uma viga simples com uma dobra de 90°, exemplo este que foi utilizado por W. Hurty*. Admitimos que a viga representada na Fig. 9.10-1 vibre apenas no plano do papel.
o
T-w, x
I
o T
O
w',(l)
M(O)
_"'~f(2;
"(/)
=yzP,
IV,
+ P1 = 7 P, + fp, = P,
_ M(l) _
)322
I
V(I) _
6
6
A seguir consideramos a seção G) com a extremidade livre como a origem das coordenadas W2, x. As seguintes funções satisfarão as condições de contorno da seção G) da viga
+
w1(x, I) = f/J,(X)p,(I) =
lp,
=
U1(X, t)
1>6(X)P6(t)'
+
= 1 P.
onde
1/2
(x, t) é o deslocamento na direção x.
O próximo passo é calcular a massa generalizada por meio da equação mu Temos para a subseção
=
,
r
o
m(x)1>Jx)ep/x)
dx
CD
ml' = J~ m1>,1>1dx
=
~)4 dx
{m(
= O,20ml
J~m(~)'dx~0,166ml=m2'
r
mu = J~ 1111>11>2 dx ~ {me;
• Walte: C. lIurty, ",vi?rations or Struct~ra[ Systems by Component Syntilcsis," lour Engr. Mech. DIV., Proc. or ASCE (ag05to,1960), pags. 51-69.
2
-YZP'--I':P1
-ET-l'h
w'.
111'1= {mep'1>2dx'=
),
_
EI
-
. "'(I)
w,
w,
-1---
2
EI
"'(0) _ V(O) _ 6 - EI -l'P1
o estudo de grandes sistemas estruturais pode ser simplificado pela divisão do sistema· em subsistemas menores, os quais sào relacionados através das condições de deslocamento e força nos seus pon tos de junção. Cada subsistema é representado por funções de modos, cuja soma permite a satisfação das condições de deslocamento e força nas junções. Não há necessidade destas funções serem ortogonais ou modos normais do subsistema, e cada modo utilizado não precisa satisfazer as condições de junção, desde que a sua soma combinada permita que estas condições sejam satisfeitas. As equações de Lagrange e, em particular, o método das coordenadas supérfluas, formam a base para o processo de síntese.
=
w,(l)
A massa generalizada para ~ subseção usando 1/>3 e 1/>6
G)
dx
= 0:1428ml
é computada de maneira semelhante
m33
1,Oml
m34
0,50ml
=
m35
= =
0,20ml
m44
0,333ml
m45
0,166ml
m55
O,l11ml
m66
1,Oml
+
m43
1\',(1)
m53
w2(1) ,= O
1', -I- 1'. + 1', ~~O
w', (I) -
21', -I- 3P2 -
=
m54
~"O
1I2(1)
O
P,+P2+P,
I\'~(/) =, O
E1[II",'(I) -I- w';(I)]
''o
O
21',
P. -
+ 61'2 + 121',
41',
=
O
=0
Que são. arrumadas na forma matricial 1',
Uma vez que não há acoplamento entre o deslocamento longitudinal locamento lateral W2. m63 -= m64 = m65 = O.
U2
e o des-
l;
Encontra-~e a rigidez generalizada por intermédio da equação kiJ
k"
=
k,z
= kZ1
EI
r
=
f
Elrp;'cf>~' dx
r(~r
o
dx = EI
cf>'icf>'t'
EI
EI
= 28,8"
k"
Todos os outros kij são zero. Podemos arrumar agora os resultados computados para divididas de rigidez e massa na forma seguinte 0,2000
0,1666:
0,1666
0,1428
________________
O
O
°
i 1
°
mij
°
O
O
O
I O
°
_
0,5000
0,2000
: 0,5000
0,3333
0,1666
: 0,2000
0,1666
0,1111
4
6
° ,, ° I
O
[k]
O
O
12 : O
I - - - - - - -1--
O
O
,, ,, I I
I I I I
O
--
O
O
° =~! ° ° ° ° _--------° 6
- --
I
1
3
°O
--- 1
OIj I O
pz 1', C~
6
O
°
O
O
O 28,8
°
O
O
I O
O
I
I
3 O -I
6
I
°
O
O
-4 O P. 12
O
O
(9.10-7)
1',
e kij nas matrizes
I
: 1,0000
O
Considerando que o número total de coordenadas utilizadas é seis e que há quatro equações restritivas, são duas as coordenadas generalizadas para o sistema (isto é, há quatro coordenadas supérfluas correspondendo às quatro equaçõ~s restritivas (Vide Seç. 9.2)). Nestas condições, podemos escolher duas quaisquer das coordenadas para serem as coordenadas generalizadas q. Sejam PI = (;1 e P6 = q6 as coordenadas generalizadas e expressemos PI •. ,. P6 em termos de ql e q6. Isto é efetuado nas seguintes etapas.
= 4!Jf-
dx
dx = 6~f
k22 = 12"
O
P.
f'J~)(~n
= EI
I
O
°
~1;:] l-~ -~l{q''}
-4
12
P, p,
=
-20 -2
q6
O
_
1,0000
O
---
O
O
O
(9.10-6)
O
...
O
O
O
O
onde a matriz superior à esquerda refere-se à seção 324
CD
e o restante à seção C;D
A equação restritiva acimà está agora em termos das coordenadas generalizadas ql e q6 na forma seguinte
I~ ~
PI
P2 P, P4 Ps P.
l-~:~~:
{p}
4,50
o
A Fig. 9.10-2 mostra os perfis dos modos que correspondem às freqüências acima. Considerando que a Eq .•(9.l0-12) permite a solução dos autove'tores somente em termos de uma referência arbitrária, q6 p~de ser detenninado com ql = 1,0.
[CJ{;J
{~:}=
-5,0
0,50 I
m/[nl][ji} substituímos
o -I
-I-
~! [k]fp}
=O
em termos de {q} da equação restritiva (9.1 0-9)
+ ~;[k][C][q}
m/[m][C]fq}
=O
As coordenadas P são obtidas da Eq. (9.10-9) por meio das Eqs. (9.10-1), (9.10-3) e (9.104).
Premultiplicamos pela transposta [c]'
+ ~';[C]'[k][C]}q}
m/[C]'[m][C][q}
=
O
Comparando as Eqs. (9.10-10) e (9.10-11), notamos que em (9.10-10) as matrizes de rigidez e de massa são 6 X 6 (Vide Eqs 9.10-5 e 9.10-6), ao passo que as matrizes [C]' [m] [c] e [C]' [k] [c] na Eq. (9.10-11) são 2 X 2. Nestas condições reduzimos o tamanho do sistema de um problema de 6 X 6 para um de 2 X 2. Fazendo
{q}=
_W2
{q},
aEq.(9.10-ll)apresentaaforma
Os valores numéricos das matrizes [
e [bijl
ajj]
das Eqs. (9.10-5), (9.10-6)
=[
1,1774 2,6614 7200
[bJ)l ~ [C]'[k][C]
= [ 10:800
9-1 Mostrar que o fator de carga dinâmica atinge um valor máximo de 2,0 para urna força constante aplicada subitamente. 9-2 Se urna força constante aplicada subitamente é aplicada em um sistema no qual o fator de amorteci~entodó i-ésimo modo é t = c/ccr' mostrar que o fator de carga dinâmica é dado aproximadamente pela equação
e 9-3 Determinar o fator de participação de modo para urna força distribuída uniformemente.
(9.10-9) são [a,)] = [C]'[m][C)
2,6614J 7,3206 10,800 ] 19,200
94
Se uma força concentrada atua em x = a, a carga correspondente por unidade de comprimento pode ser representada por urna f~nção delta I ó (x - a). Mostrar que o fator de participação de modp torna-se então Kj = 'Pj (a) e a deflexão é exprimível como
Com o emprego destes resultados numéricos, determinamos as
= 1,172,.f!f.
w2 =3,198"
fEl
mP
e determinamos os perfis de modos
Y(X I) = Pol, '" p,(a)!p,(x) D(I' .' El "t
onde wJ = normal.
({3jl)4(EI/MI3)
e ((3jl). é o autovalor da equ'ação do modo
9-5 Para um binário de momento Mo atuando em X = a, mostrar que a carga p(x) ç o caso limite de duas funções delta. indicadas na Fig. P.9-S à medida 327
que € tende para zero. Mostrar também que o fator de participação de modo para este caso é Ki = 1dPdlx)
x
I
= (ft,l)rp;(x)x ••
x-a
n(x, I) =
:;.{b<6(X-a-<) I'
!~
I'
_____ --x-a
·1
1
9-6 Uma força concentrada Pof(t) é aplicada· no centro de uma viga uniforme simplesmente apoiada, conforme a Fig. P.9-6. Mostrar que a deflexão·é dada por . D,
. 2Pop!sen It-T =
l'T 1t4" D,(t)
sen 31t-T - ('j"iij'
"sen 51t-]-
DJ(t)
+ (5104
Dj(I) ...
2Fo'jcos
/tE
y,(
t)
=
I
Mof2 " rp;(a)p,(x) D(I) EI ~ (ft,l}3 . ,
I
2M /2sel)
=
o ----n-
21T.T x (2il'5'ID2(t)
s~n . 4ltTx
+
(41T.)'
,sen 61T.T x D:(I) - ((ii!)'JD6(t)
U 11 IqPo
...
y(X, I) ~- ip ,(x)q, (I)
D3(1) + ...
I
= 1/3, determinar quais os
+ ((J2(X)fP2(/)
e '-P2 = 1,0. Utilizando a .equação de Lagrange,
sen 11';
e escolher
ii, + .i.ii2 + It
wr,q,
=
O
~.M,I k
k
'2
I
2'
.
r f f f Ltiln .\--1..-.+.-1..-1
rÃ-
2·
c;r3; -T
cos D,(~)+
No Probl. 9-10, determinar o fator de participação dos modos presentes e obter uma solução completa para uma variação arbitrária de tempo da força aplicada. Considerar uma viga uniforme de massa M e comprimento 1 suportada por molas iguais de rigidez total k, conforme indicado na Fig. P.9-12(a). Supor que a deflexão seja
9·7 Um binário de momento Mo é aplicado no centro da viga do Probl. 9-6, como indicado na Fig. P.9-? Mostrar que a deflexão em qualquer ponto é dada pela equação X
Tr-T
(T
Se a força do Probl. 9-9 é concentrada em x modos que estarão ausentes na solução.
Â
e
_ Pol' "K,rp;(x) y(x, I) - E/ ~ (P,/)'
igualmente (isto é, que o fator de participação de modo é independente do número de modos), a solução completa sendo
2
Figura P.9,8.
~"--"'I ~ 3 f
-
0,5
9-8 Uma viga uniformesimples!llente apoiada recebe subitamente uma carga cuja distribuição está indicada na Fig. P.9-8, sendo a variação de tempo uma função degrau. Determinar a resposta y(x,t) em termos dos modos normais da viga. Indicar quais os modos ausentes e relacionar' os dois primeiros existentes.
0,01 0,1 0,2
9·9 Uma barra delgada de comprimento I, livre em x = O e fixa em x = 1 é golpeada longitudinalmente por uma força que varia com o tempo concentrada na extremidade x = O. Mostrar que todos os modos são excitados
Figura P. 9-12. Duas primeiras freqüências sistema da Fig. P.9-12.
0;5 1,0 2
R'=(~)' w" naturais do
onde
(EI/M P)
1f4
W~l
=
freqüência
da viga sobre suportes
~
rígidos
L3-i_- ~J_IJ 3
= k/M = freqüência
W2 22
natural
natural
da viga rígida sobre molas
_
3
Figura P. 9-15.
9-16
r.,2 _ r.,2 2 J<_R_+_I)_±_J_
21 '
Escrever as equações
para a aproximação
9-17
Repctir
o Probl. 9-16, utilizando
9-18
Mostrar
que para o problema
de dois modos ao Prob19-15.
o método
aceleração-modo.
11.
~
Fazer
- ~n
y(x, t) =
~ = R
=
(b
11.2 ~
de uma viga, tanto
1fX) I
+ sen
i{(R -, (~)2 Wn
b
8
tam
q e utilizar o método ' I) 'F
C~
J
1):
de Rayleigh
para obter
-
(b) representa
+ ~~R}
9-19
determinar das freqüências
naturais
equação
A viga representada paI lb/rad
um gráfico
o método
modo-vinculado
quando
somente
força concentrada a deflexão
engastada
Po/(t)
em ambas as extremidades,
no meio do vão, conformc
sob a carga e o momento
de flexão
um modo
ó
x = a resul-
é utilizado,
scndo esta
Wj
de K
na Fig. P.9-19 tem uma mola de rigidez rotacional
a
na extremidade
esquerda.
Utilizando
ciois mo'dos na Eq. (9.8-8),
a freqüência
fundamental
do sistema con1l' uma função de
é a freqüência
fundamental
da viga sÚnplesmente
K/Mwl
apoiada.
do sistema K
9-13 Uma viga uniforme,
como
equação
onde A Fig. P.9-12
na mesma
ponto
aceleração-modo
de uma mola presa a quaIquer
é excitada
1M
2-~'
por uma
-'~-=:A-
a Fig. P.9-13. Dcterminar
resultante
nas extremidades
engastadas. ,9-20
Dcterminar
a freqüéncia
fundamental
para o caso dc ambas as extremidades
da viga da Fig. P.9-19 serem vinculadas
,K se 'aproxima 9-21
do infinito,o
resultado
Um avião é esquematizado
!
9-14 Se uma carga uniformemente aplicada
9-1;';
sobre
uma
ç1istribuída
viga cantilever
de variação
uniforme,
pação dos três primeÍros
modos.
Uma
k é presa a uma viga uniforme,
mola
de rigidez
na Fig. P.9-15.
Mostrar
que a aproximação
de tempo
determinar
de um modo
o fator
conforme
arbitrária
conforme
+ 1,5(~
)(::~:1)
de comprimento
com uma J!lassa conc~ntrada
Mo
a Fig. P.9-l!.
======@I=====
indicado
resulta na equação
Utilizando
a translação
escrever as equações = 1
de _compri.mento,
é
de partici-
de freqüência
G::,r
K. À medida que
a ser o da viga engastada.
sob a forma de uma viga uniforme
I e massa ,m por unida~e no seu centro,
por molas de rigidez tende
simétrico. 9-22
Para
o sistema
a rotação 9-23
Utílizar.o
Determinar
Mo como uma das coordenadas
de
de movimento primeiro
do Probl.
e estabelecer
a freqüência
n:ôdo cai1til~ver par; a. asa.
9-21, determinar
o modo
da fuselagem como uma das cóordenada~
à
nova
freqüênCia
de asa, seremadicionados
generalizadas, natural do modo
no caso de tanques
ao sistema do Probl. 9-21.
anti-simé'tricó
utilizando
generalizadas. 'de: massa M1,
de ponta
Utilizando o método de modos vinculados, mostrar que o efeito da adição de uma massa ml, com momento de inércia JI, num ponto XI sobre a estrutura, é a mudança da freqüência natural WI para
w',
=
W,
,,)1
+ ';,/,qJt(x,) + '/.d, qJ',2(X,)
e da massa generalizada e amortecimento para
VIBRA CÃO ALEA TÓRIA
onde uma aproximação de um modo é utilizada para as forças de inércia. Formular. por meio da síntese modal o pr~blema de vibração da flexão indicada na Flg. P.9-25. Admitir que os cantos permanecem com 90°. /,
10 Tratamos. nos Capítulos anteriores da resposta de sistemas dinâmicos e excitaçlro deterministas, representáveis por uma função mate~ática de tempo. A resposta a
Um~ barra de seção transve~sal circular é dobrada em ângulo reto num plano honzontal, conforme indicado na Fig. P.9-26. Utilizando a síntese modal estabelecer as equações para a vibração perpendicular ao plano da barra: Notar que a parte 1 está em flexão e torção. Admitir sua flexão apenas no plano vertical.
~
X
tal excitação é determinista tambéJn. Com o desenvolvimento de motores a jato e aeronaves de alta velocidade, surgiu um novo aspecto de vibração, o da vibração variando de uma maneira aleatória, conforme indicado na Fig. 10.1-1. A característica de tal funçlro é a de que nã'o podemos fazer o prognóstico do seu valor instantâneo num sentido deterrninista. Apesar das suas variações imprevisíveis, muitos fenômenos aleatórios apresentam certo grau de regularidade estatística que toma possível uma abordagem estatística para o problema. Por exemplo, é possível predizer a probabilidade de encontrar
J ) )
o valor instantâneo
da resposta
dentro
x + tu. Outras quantidades,
)
podem
)
ser 'estabelecidas
em questão
)
.e
)
qualquer
pcloseu
método
tros do tipo representado
)
riação de pressão mina-se
)
plicar as pressões
)
média desses resultados
)
pela turbulência
do ar em determinada
instantâneas
então
ti'
tI'
a estatística
aleatório
descrito
Deno-
No caso de variáveis dis.
. I ~~ !1m -
Estas operações
de cálculo
I;" x,
n
li-h"
j"'l
de médias podem
ser aplicadas
2
tal como x (t) ou x(t) • y(t), e o valor esperado distribuição de probabilidade da variável.
a qualquer
(ou expectativa)
variável
é associado
à
Podemos
+
T, e tirar a
quando
escolhe-
para o conjunto
aci-
de estacionário.
ma é chamado
de tempo.
também multi-
e ti
tI
Se tais médias não diferem
o processo
um longo período é dado pela equação
em da va-
rota aérea.
Podemos
nos tempos
o valor esperado
E[x]
de regis-
de. conjullIo.
completa
no tempo
em cada amostra
para o conjunto.
mos diversos valores de
~ confiabilidade
a fim de estabelecer
instantâneas
de vezes, ou durante Xi'
da variável
um avião tem de reunir centenas
de amostra e a sua coleção
número eretas
na análise de Fourier.
na Fig. 10.1-12,
a m6dia das pressões
)
de freqüências
baseados
de dados para estabelecer
Por exemplo,
motivada
cada registro
computar
e o conteúdo
por vários métodos
um grande número estatístico.
x a
de valores
os valores de média e média quadrática,
cálculo,
pode ser determinado
necessário
de uma faixa especificada
tais como
Há uma relação Esta
relação,
diagrama
linear
direta
que prevalece
entre
a entrada
e a saída em qualquer
também
para
aleatórias,
de bloco da Fig. 10.2-1.
)
funções
O sistema,
caracterizado
sistema linear.
é representada
pelá
por sua função de trans-
~ .~-
) )
)
ferência (Vi de Eq. 4.4-4) e modifica
)
a entrada
para a saída.
Considerando um sistema mola-massa de um grau de liberdade cimento viscoso, definido pela equação diferencial .
)
com amorte-
)
)
vimos (Capítulo
)
das condições a solução
)
Se ~ médias e se os resultados
J
tra qualquer
)
do' conjunto computados
são em seguida substituídas de cada amostra
e iguais à média do conjunto;
de ergódico.
Este capítulo
tratará
então
somente
as quais a média de tempo pode ser adotada
)
O conceito
)
lo.
)
na qual
As notações
x (t) .é
de média de tempo mais comuns
por médias
o processo
aleatório
desta classe de funções com imutabilidade
em todo este capítulo
para esta operação
de tempo,
são os mesmos que os de outra amos-
é denominado aleatórias,
3) que a solução iniciais e diminui
particular
da excitação.
geral cOllsiste do termo transiente, com tempo
devido ao amortecimento,
(Vi de Eq. 3.2-11).
o qual depende dependendo
Dcfl11imos agora a função da
resposta da freqüência como: a relação entre a saída e a entrada sob as condições do estado permanente, com a entrada igual a uma função llamzúnica de tempo com amplitude unitária. assim excluída nesta consideração a solução transiente.
e
para
Sendo a entrada
assegurada. refere-se a longo interva-
são definidas
pela seguinte equação
a variável.
)
-." xC!)
=
(X(I»
=
I lim -T
r ...• o<>
JT X(I) o
dI
) O número
)
definido 334
acima é igual também como
a média
ao valor esperado
ou valor. médio
de x(t),
de uma quantidade
ou
E[x(t)],
amostrada
o qual é um grande
sua substituição que é
na Eq. (10.2-1) resulta na função
da resposta
da freqüência
H(w)
I
número e do seu conjugado complexo, simbolizando por ~. podemos reescrevera Eq ..(lO.2.7) na forma
H(w) =k~---f-n-())~2-.-t.-l-·())-C
Notamos que H(w) é uma função complexa de w/wn e do fator de amorteci. mento t, e tem as dimensões de deslocamento sobre força.* * O valor absoluto desta quantidade é dado pela Eq. (3.2.7) e sua variação com a freqüência e o amor. tecimento é representada graficamente na Fig. 3.2·3. Para amortecimento pequeno, seu pico ocorre para w/wn ~ 1,0 e a agudeza da curva de ressonância é definida por Q = 1/2
t.
Valor Quadrático Médio. As condições iniciais e a fase t/J são ignoradas nas vibra. 'ções aleatórias por sua pequena significação. Estamos preocupados principalmente com a energia média, a qual podemos associar à média quadrática de x. O valor quadrático médio, designado pela notação x2, é encontrado pela integração de x~ 'num intervalo de tempo T e tomando seu valor médio de acordo com a equação -' x2 = tim - I r-- T
Ir
.
r.",T
Jr02
····2
Para deteTnúnar a relação entre a média quadrática da resposta e a média quadrática da excitação, começamos com a equação da resposta
adnútindo que estamos interessados na parte real da expressão acima. Uma vez que para qualquer número complexo a· parte real é igual a uma metade da soma do
'Muitas vezes o fator dimensional O!k na Eq. 10.2-4) é.considerado junto com a força, deixando a função da resposta da freqüência como uma quantidade não-dimensional }{(w) =
~
I-
(!!!..) + i2C(..":!..) Wn
.
"No exemplo 10.6'3, a função da resposta da freqüência é apresentada também como sendo a transformada de Fourier da função da resposta do impulso.
336
=
F~ lim J... 4 r-~ T
Ir
= F~2 H(w)H*(w)
(H2e'2""
+ 2HH* + H*e-12"")
dt
o
=
P I H(w) 12
Na avaliação acima, o primeiro e o último termoS tornam·se zero porque T -+no denonúnador, ao passo que o termo do meio é independente de T. A Eq. (10.2.9) indica que o valor quadrático médio da resposta é igual ao valor quadrático médio da excitação multiplicado pelo quadrado do valor absoluto da função da resposta do sistema. 00
x2 di
.- cos 2wl) di ... F~
Fi(l
x2
na Eq. (10.2·5), o valor quadrático
o
Esta equação pode, evidentemente, ser aplicada à força excitadora ou à resposta. Por exemplo, se temos uma força harmônica F = Fo sen wt, seu valor'quadrá. tico médio é P = fim ~
Assim, elevando ao q\ladrado e substituindo médio de x é
As vibrações aleatórias contêm freqüências numa distribuição contínua sobre uma faixa larga. :e de interesse na vibração aleatória a quantidade de energia representada nas divçrsas freqüências. Abordamos este problema considerando inicialmente uma função periódica 'F(t) que contém muitas freqüências discretas. Ela pode ser representada pela parte real da série
onde Fn é um número complexo, e Re significa a parte real da série". Escrevemos esta equação em termos do seu conjugado complexo na forma
e deteTnúnamos seu valor quadrático médio a seguir
~
Ne.stascondições, o valor quadrático médio da onda de·muitas freqüências é simplesmente a soma dos valores quadráticos médios de cada componente harmônico presente, sendo o resultado um espectro discreto de freqüência conforme indicado pela figo 10.3-1. *
."'1
k.
tf;
i
p= [S(f)df Se uma força excitadora Fneinw.t atua sobre um sistema com função da resposta da freqüência H(w), sua resposta, conforme a Eq. (10.2-7) é
.:
H I.ó.W
N
I
I~LJ~l1~j O
Wo
2wo
3wo
w
: flWo: I I
I I
Assim, para um entrada de muitas freqüências, a resposta quadrática média é a superposição da totalidade de tais valores ou Examinamos a seguir a contribuição da média quadrática no intervalo de freqüência. Âw. Sendo S(nwo) a densidade do valor da média quadrática no intervalo Âw na freqüência nwo, obtemos
X"
=
FF* I;. T
=
I; SF(nwo)H(nwo)H*(nwo)ô'W
.
H(nwo)H*(nwo)
F F* S(nw ) = ---"-" o
2ô,w
1't evidente que quando F(t) contém um número muito grande de componen· tes de freqüências, a função de densidade discreta S(nwo) aproxima-se de uma fun· ção de densidade espectral contínua S(w), tal como a representada na Fig. 10.3-2. O valor quadrático médio de F é então p
=
s:
S(w) dw
(10.3-6)
achamos que Sx(nwo) é também um espectro discreto, igual à densidade espectraI da éxcitação modificada pela função da resposta da freqüência. Desta forma, SF(nwO) e Sx(nwo) podem aparecer como na Fig. 10.3-3. No caso de um espectro contínuo, o somatório da Eq. (10.3-9) é substituído por uma integral e a resposta quadrática média é dada pela equação
x"=
r o
S(w)H(w)H*(w) .
dw
Sp (nwo)1
o
'Especificamos na Eq 00.3-1) a parte da série que é expressa na Eq. (10.3-2). Assim um número inteiro positivoe o espectroda Fig.10.3-1 é definido na base de freqüências e não de ambasas freqüênciaspositivase negativas.
~
w
11111"
Na prática, a função da densidade espectral é dada geralmente em termos da freqüência f = w/2rr cps e, em conseqüência, a equação toma.se
x2
=(
S(f)H(f)H*(f)
di
1
H(f)
=
é um registro aleatório de banda estreita que é típico da resposta de um sistema agudamente ressonante a uma entrada de banda ampla. Sua função de densidade espectralé concentrada em torno da freqüência da variação instantânea dentro d~ envoltória.
Pode-se medir eletronicamente por meio do circuito da Fig. 10.3·7 a densidade espectral de um determinado registro. Aquí a densidade espectral é mencionada como a contribuição do valor
k
[l -
uIJ:n + i(2CUlfn)]
-lW+AW
Num sistema ligeiramente amortecido, a função da resposta H(f) vai ao má. ximo abruptamente na ressonância e, se é larga a densidade espectral da excitação, como na Fig. 10.3-4, a resposta quadrática média pode ser aproximada pela equação x2
;;;
x'
w S(w)Aw
/"S(/,,) :,
As Figs. 10.3-5 e 10.3·6 representam funções de densidade espectral características para dois tipos comuns de registros aleatórios. O primeiro é um registro relativo a ruído de banda ampla que tem uma larga função de densidade cspectral. O segundo
S(w)
= Iim Aw
-o
2
Ã(x
)
dw
O mtro de banda-passante da banda passante B = dw passa xCt) no intervalo de freqüência de w para w + Àw, e a saída é elevada ao quadrado, tirada a média, e dividida por dw. Para alta resolução, dw deve ser tão estreito.quanto possível; entretanto, a banda passante do mtro não pode ser reduzida indefinidamente sem se perder a confiabilidade da medida. Além disso, um registro longo é necessário para a estimativa real do valor quadrático médio, mas os existentes são sempre de comprimento finito. 341
h evidente agora que um parâmetro de importância é o produto do comprimento do registro pela largura da banda, 2ET, a qual deve ser suficientemente longa. * Exemplo 10.3-1 Um sistema de um grau de liberdade com freqüência natural amortecimento ~ = 0,20 é excitado pela força F(t)
=
F cos m ,[
wn =
..jkfíii
e
+ F cos w,,! + F COS1W,,!
iW,,!
1::
A Fig. I 0.3~8 apresenta os espectros da entrada e da saída para o problema. Os componentes da entrada quadrática média são os mesmos para cada freqüência e iguais a F2/2. O espectro da saída é modificado pela função da resposta da freqüência do sistema.
F cos mw,,!
i~
2, ]-, 3.2
Determinar a resposta quadrática média e comparar o espectro da saída com o da entrada.
lILL'--- -----
----
..
.g ."E
g
Solução: A. resposta do sistema é simplesmen te a soma das respostas do sistema de um grau de liberdade para cada um dos componentes harmônicos da força excitadora
O
0,5
1,0
"-l
1,5.
wjwn
~.g~ I
'ro
::l."
~E
.~
ro
I
IH(F:v.) I
T
O
1,0 wjwn
'"
1.29
J161(Õ-:-iO)2k I
I H(w.) I
-fl(~20)2
Exemplo 10.3-2
2.~0
Deternúnar os coeficientes de Fouder Cn ~ a densidade espectral de potência da função periódica representada na Fig. 10.3·9.
I
IH(1w,,) I . .
~;7J: "
T,
JHT9Tó-;O-2?
4>':2
= tg-I
~(
r/J,
= tg-I
00
cD~F_o~__~ 4t
i
= 0,08371
0,5071
..0
I
I
" A. 'I' J 2
__ -
x(t) "" :
tg
12(_.,
1-
~
- .. -,
[1,29cos(0,5wn
+ 2,50 cos (wnt + 0,72 cos (l,5w,,!
0142
-
'Vide
342
Bendat,
(1971) pág. 96.
J. S. e A. G. Piersol em "Random
0,08311) Co
0,5011) +0,14211)]
Data"
I
71
Wiley lnterscience,
1 = --
2T.
c =,.l"
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1<
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2T
ITIl -T:2
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Fo . de;, = F
F 2
....!l
dç.'= 'Fo (' seli (~n/2»)
e··.!"""{ o
' ,
.
2
nn/2,.
.;,.
Nova lorque
Os valores numéricos de Cn são computados a'segUir e'representados na·Fig. 10.3-10 343
2
F. Cn
tempO total em que x(t) é menos que será encontrada menos que XI'
1,0
-
XI,
a qual é a propabilidade de que xCt)
0,'127
./4 - 0.212
Figura 10.3-10. n
"" "2
O
O
2 3 4 5
5
6
Coeficientes de Fourier em função de n.
2 ""
sen
O
" '2
1
" 3~
O
2 2" 5~ 2
.-
-I
Cn 0. = 100. 2 . 2
(2)!:!! "2
(_.2.) !:!! = 3" 2
O I
=06360. ' 2 O -O 2l2~ . 2
P(x,)
=
Probo [x(t) < xJ
.' . I = hmt-~ t
L;Ât,
O
(2)!:!! 5" 2
= O 127~ ' 2
Se é escolhido para XI um número grande negativo. não haverá prolongamento negativo da curva além de x I, e por esta razão P(x 1 -+ - 00) =- O. À medida que a reta horizontal correspondente a Xl é movida para cima, mais de·x(t) se estenderá negativamente além de XI. e deverá crescer a fração do tempo total na qual x(t) estende-se abaixo de Xl. conforme indicado na Fig. 1O.4-2(a).Quando X -+ 00, x(t) estará integralmente na região menos que x = 00, e em conseqüência é certa a probabilidade de x(t) ser menos que x = ou P(x = = 1,0. Nestas condições, a curva da Fig. 1O.4-2(a) que é cumulativa para x positivo deve crescer monotonamente de zero para X = até 1,0 para x = + A curva é denominada função de distribuição da probabilidade cumulativa P(x). 00,
f-;
e uma vez que = J';; StC w) d w,
Com referência à função aleatória de tempo da Fig. 10.4-1, qual é a probabilidáde do seu valor instantâneo ser menos que (mais negativo do que) algum valor especificado de Xl? Para responder a esta pergunta, traçamos uma reta horizontal no valor especificado x I e somamos os intervalos .de tempo I::iti durante os quais x(t) é. menos que Xl' &ta soma dividida pelo tempo total representa então a fração do 344
00
00)
00.'
Se desejamos determinar em seguida a probabilidade de x(t) que se encontra entre Xl e X, -+ ll.Xl, precisamos apenas subtrair P(x,) de P(Xl + ll.x), queé também proporcional ao tempo ocupado por x(t) na zona Xl a Xl + ll.x. Definimos agora afunção de-densidade da probabilidade p(x)
, ,x~ 'I,-' '- xp(x) '.
.
-,-",'
dx ,;
como
e a Fig. lOA-2(b) mostra ser evidente que p(x) é a inclinação da distribuição da probabilidade cumulativa P(x). Baseados na equação acima podemos escrever também
o
x---.1lAx
P(x,)
= [~p(~)
--x--
dx
A área sob a curva de densidade da probabilidade da Fig. IOA-2(b) entre dois valores de x representa a probabilidade da variável estar neste intervalo. Uma vez que é certa a probabilidade de x(t) estar entre X = ±
o valor quadrático médio é detem1inado de forma semelhante por meio do segundo momento .
x' ~ a área total sob a curva p(x) deve ser a unidade. A Fig. 1004-3 mostra um diagrama de bloco -de um circuito que efetuará eletronicamente o cálculo da função de densidade da probabilidade. Com x(t) como a variável, o analisador mede o tempo cumulativo durante o qual x(t) permanece dentro de um intervalo estabelecidoll.x. Encontra-se a densidade da probabili· dade dividindo-se esta quantidade por ll.x e r.
2
A variância aritmética, ou (12
0
.
f",
(x -
=
fo>
x p(x) dx -
11m
-1- ~
.:lI.
A média e o valor quadrático médio, defmidos previamente em termos da média do tempo, são relacionados da seguinte maneira com a função de densidade da probabilidade. O valor médio coincide com o centróide da área sob a curva de densidade da probabilidade p(x), como indicado na Fig. 10.4-4. Ele pode portanto ser determinado-pelo primeiro momento
x
)346
X)2
=
O, da área sob a curva de
p(x) dx
2
2.1:
= x2
-
2(X)2
=x
_
(X)2
ca é zero, a (rms). 6.X·'O IL.\X
x2 p(x)
é definida como o valor quadrático médio em relação à média -
-=
o desvio padrão
[._0<)
J:.~
que é análogo ao momento de inércia' em relação a x densidade da probabilidade.
2
Figura ](J.4-3. ATU1/isadorde densidade da probabilidade p(x) '~Jim
=.
r..,
xp(x) dx
+' (X)2 + (x)2
r~
p(x) dx
o é a raiz quadrada positiva da variância. Quando a médiaaritméti. e o desvio padrão é igual ao valor da raiz da média quadrática
= ~
Distribuições Gaussiana e Rayleigh. Certas distribuições que ocorrem freqüentemente na natureza são a disÚibuição Gàussiana(ou 'normal) e a distribuição Rayleigh, sendo que ambas podem ser expressas matematicamente. ~Adistribuiçã-o Gaussiana é uma curva em fonna de sino, simétrica em relação à médi~ aritméti~à (a qual se'rá admitida como zero) com a seguinte equação '
p(A)
o desvio padrão a é uma medida da dispersão em relação ao valorinédio; quanto menor o valor de a mais estreita a curva p(x) (lembrar que a área total é igual a 1,0), conforme indica a Fig. 10.4-5 (a).
0.6 0.5
p(x)
1.0
A
2
4
Figura J 0.4-6. Distribuição Ray/eigh.
Os valores da média e da média quadrática para a distribuição Rayleigh, determinados por meio do primeiro e do segundo momentos são
o
-3 -2 -1
Ã' .
(b)
"'
So
Ap(A)
S
A2p(A)
'"
A distribuição Gaussiana é traçada não-dimensionalmente na Fig. lOA-5(b) em termos de x/a. A equação seguinte nos permite encontrar a probabiIidad~ de x(t) estar entre ± Àa onde À é qualquer número'inteiro positivo Prob [-la
S x(t) S la] = ~ 1 a,.,; 2n
I'·
_'a
u
dA
"-= S'" o
=
dA •
2
A a2 e-A';7·' dA =
S-
-Vrn Ta 2
AJ a2 e-A';2.' dA = 2a2
o
u
e-
A
'/2.'
dx Também, a probabilidade de A exceder um valor especificado de' Àa é
.t
,Prob [-.ta::;
x(t)::; .ta]
Prob[Jxl>
3
Prob [A
S ,.
A > la] =a2e-A';2.'
31.7% 4.6% 0.3%
68.3% 95,4 % 99.7%
1 2
.ta]
.t A probabilidade de x(t) estar fora de ± Àa é a probabilidade de I x I exceder Àu. que é 1,0 menos os valores acima, ou a equação' Prob [[xl>
2 la] = a:}'Iit
S~
,. e- ';2.' dx = A
erJc(,J\-)
(10.4-10)
A tendência das variáveis aleatórias limitadas a valores positivos, tais como o valor absoluto da amplitude A, é muitas vezes a de seguir a distribuição de Rayleigh que é definida pela equaçã"o
P(A)=:2e-A'/2.'
A>O
A probabilidade da densidade p(A) é aqui zero para A tado na Fig. 10.4-6 348
(10.4-11)
<
O 1 2 3
O e tem o perfIl apresen-
P[A>
dA
.ta]
100% 60.7% 13,5% 1,2%
Três impor,tantes exert1J>losde registros de tempo enco~trados freqüentemente na prática são apresentados na Fig. 10.4-7, onde'O valor da média é escolhido arbitrariamente para ser zero. Mostra-se facilmente que a dístríbl;lição da probabilidade cumulativa para a onda senoidal é P(x)
= -i + ..!-sen-l~ 1t
A
para zero.
f\
valores
f\' f\ (\1A
caso da banda
\TVV
No/2M
Quando
de pico torna-se estreita,
== O, a distribuição
Gaussiana,
de densidade
ao passo que quando
a tendência
da distribuição
da probabilidade
No/2M
de densidade
dos
== 1, como no da probabilidade
dos valores de pico é para a distribuição Rayleigh.
---=1-=, L,
------~~xll~7Uma especificação
o
Densidade Determinar
~,
Solução: O
Exemplo
I Xi
para
20 a 2000 cps
o valor rms da aceleração.
O valor rms da aceleração
da aceleração
estabelece
== O 0,025 g2 cps
da aceleração,
Faixa da freqüência,
.0
p(x) c= 11..../ A2 _
para teste de vibração aleatória
Valor médio da aceleração
é· a raiz quadrada
do prodúto
da deilsidade
pela largura da fab.a .
10.4-2
Um sinal aleatório
tem uma dellSida(;~ e>pectía! que é constante
=0 No caso do registro rodas .aleatoriamente instantâneos. do motor
Encontram-se a jato.
. probabilidade
um registro
em comparação
lentamente.
Outra
negativos.
analítica
para
variam
seus valores
en tre 20 e 1200 eps, e zero fora desta faixa de freqüência.
de rádio, na flu tuação da pressão
ete., e a distribuição
mais provável
é de 2,0 pol.
A distribuição
quantidade
através
[o,
obtemos
de freqüência da probab;lidade de banda larga.
zero e 2M
Para uma onda senoidal
ou uma banda estreita,
que a relação
No/2M
de muito o número
==
1. Para um registro
aleatório
de cruzamentos
dos valores da quantidade
é o'número No
(;2
os valores absolutos Rayleigh.
é a distribuição de pico depende
é o número.decruzamentos
picos excederá
e fase
para seus valores instantâneos
terão a distribuição
interesse
dos valores
Se o valor médio n,tro é zero, temos que usar a Eq. (1DA· 7)
tipo de onda
com amplitude
Entretanto,
e seu valor nus.
do filtro é pequena
o terceiro
constante,
seu desvio padrão
um fi1tro de banda-
onde a largura da banda
à envoltória,
de grande
que a distribuição
é colocado
Determinar
da Soluç50:
central
'uma oscilação
que a da função aleatória
Rice*mostra
No
em ruído
de banda-larga
de ressonância
dos seus picos, correspondendo
onde
a fase e a freqüência
expressão
atmosférica.
com sua freqüência
que é essencialmente é a mesma
tais funções
na turbulência
ou um sistema
variando
a anlplitude, uma
para tais registros é a Gaussiana.
Quando estreita.
de banda-larga,
e não é possível
de pico. No/2M
de picos positivos
c
é igual a 2M de m0do
de banda-larga,
o número
zero, de modo que No/2M
de
tende
=
~ S(f)
f
(l
dI = .
fl200 20
.
0,004 d[ == 4,72 '
Seu valor médio
S(f) (X)'
Tabela Numérica
'= 4
I !
t
Exemplo 10.4-3 A resposta de qualquer estrutura a uma excitação aleatória em um ponto único pode ser computada por um processo numérico simples, desde que sejam conhecidas a densidade espectral da excitação e a curva da resposta da freqüência da estrutura. Considere-se, por exemplo, a estrutura da Fig. 10.4-9(a) cuja base é sujeita a uma entrada de aceleração aleatória com a função da densidade espectral de potência representada na Fig. 10A-9(b). Deseja-se . computar a resposta do ponto p e estabelecer a probabilidade de haver excesso sobre qualquer aceleração especificada.
j
!:.j
S(!i)
cps
cps
g2/cpS
O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 '210
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 .'10
Ilf(!il I Não-dimensional
g' unidades O O 2,4 11,8 48,0 30,5 30,5 44,0 123 320 57,7 18,6 5,1 2,2 0,8 0,7 0,1 1,7 .1,2 2,3 O
10 10 12,1 19,6 40 16,9 16,9 40 137 291 48,4 16,9 6,4 3,6 2,5 3,6 4,9 16,9 12,1 4,9 2,5 1.6
1,0 1,0 1,1 1,4 2,0 1,3 1,3 2,0 3,7 5,4 2,2 1,3 0,8 0,6 0,5 0,6 0,7 1,3 1,1 0,7 0,5 0,4
O O 0,2 0,6 1,2 1,8 1,8 1,1 0,9 1,1 1,2 1,1 0,8 0,6 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0,5 O O
S(!i) Ilf (!iW M
\lf(!ilI2 !:.j cps
O
ã2 = 7oo.6g2 (1
=
./7oo,6g2
=
26,6g
As probabilidades de haver excesso sobre acelerações especificadas s[o
p[la I> 79,8g] == 0,3% p[apico > 79,8g] == 1,2%
p[la I> 26,6g] "" 31,7% p[apico > 26,6 g] = 60,7%
Pode-se obter experimentalmente a função da resposta da freqüência H(j) para o ponto p, aplicando-se à base um agitador senoidal de freqüência variável com \ uma entrada da aceleração constante ao e medindo-se a resposta da aceleração em p. Dividindo·se a aceleração medida por ao. H(j) aparece como na Fig. 10.4-9(c)~ A resposta quadrática média a~ da equação
em p é calculada numericamente por meio
Correlação é uma medida da similaridade entre duas quantidades. Suponhamos que temos dois registros, XI (t) e xz(t), conforme a Fig. 10.5-1. A correlação
XI(I)\_
p~~
~ro~' COO-.J
A tabela numérica seguinte ilustra o processo de computação. 352
~.~
~c-.
Figura 10.5-1
'. '"'
~
........,.~
Correlação enlre x, (t) e x,(I).
entre eles é computada pela multiplicação das ordenadas dos dois registros em cada tempo t e determinando o valor'médio pela divisão da soma dos prodUtos pelo seu número. É evidente que a correlação calculada desta maneira será maior quando os dois registros forem similares ou idênticos. Para registros dissimilares, alguns produtos scrão positivos e outros negativos, e assim',sua soma será ~;enor.
ção, portanto; é uma ponta aguda em indicado.
7
=
° que cai rapidamente com
±
7
como'
~t'
Consideremos agora o caso em que X2 (t) é idêntico a Xl (t) mas desl.ocado para a esquerda de um tempo r, conforme a Fig. 10.5-L Então no tempo t, quando XI é x(t), o valor de X2 é x(t + r), e a correlação será dada por < x(t)x(t + 7) >. Aqui, se r = O, temos correlação completa; à medida que r aumenta a correlação .vai decrescendo. É evidente que o resultado acima pode ser computado por meio' de um, registro único, multiplicando-se as ordenadas nos tempos t e t + r e determin:mdo a mé· dia. Designamos então este resultado a autocorrelação e a chamamos por R (7), Ela é
Para o caso especial de uma onda periódica, a autocorrelação deve ser periódica do mesmo pcríodo uma vez que se deslocando a onda de um período ela volta à coincidência novamente. A Fig. 10.5-4 mostra uma onda senoidal e sua autocorre· lação. A'
R(T) =""2cos
WoT
A autocorrelação para o ruído de banda larga é uma curva com o pico em 7
= O, caindo de cada lado muito rapidamente e aproximando-se de zero. Isto signi·
fica que a correlação ou não existe ou é pequena, exceto perto de r = O, para os registros aleatórios de banda larga. R(r)
=
E[x(t)x(t I
= ~i~
T
+ r)]
JT!l -Til
=
X(I)X(I
,Para o registro de banda estreita representado na Fig. 10.5·5, a autocorrelação tem aIgumas das caiacterísticas encontradas para a onda senoidal, no sentido de que ela é novamente urna função p~r com um máximo para r = e freqÜência wQ' correspondendo à freqüência dominante ou central.'
°
+ r) di
Rcsposta
de banda estreil.
rfDrh'anf 71r: AW
.,V .VJIX1l _\1- V=vJ[L
t
Visto que o segundo registro da Fig. 10.5·2 pode'ser considerado como atrasado em relação ao primeiro registro, ou o primciro adiantado em relação ao segundo, é evi· dente que R(r) = R( - '7) é simétrico em relaçãO à origcm 70= e é sempre menos que R(O).
°
Funções altamcnte aleatórias, tais como a representada na Fig. 10.5-3 perdem logo sua similaridade dentro de, um deslocamento curto de tempo. Sua autocorrela)354 )
A diferença aparece riO fato de R(r) aproximar-se de zero para r grande no caso de registro de banda estreita. É evidente então que periodicidades ocultas num
355
registro aleatório valores de 1. Outras seção adiant?;
podem
ser detectadas
pela determinação
de
R(T)
para grandes ~,(r)
propriedades
da funç~o
mostramos
de autocorrelação
agora um diagrama
+ r»
,= (Z(I)Z(I ,~~([x(l)
ficam transferi das para uma
de bloco na Fig. 10.5-6 que apresenta
= (x(l)x(l
+ y(l»)[x(l + r) -I- y(t -I- r)l) + r» + (x(l)y(l + r»
+ (y(l)x(1 + r» + <;>(I)y(l + r» = Rx(r) + Rxy(r) + Ryx(r) + Rir) Assim a autocorrelação
em um ponto
dado devido
a duas cargas
FI (I) e F2 (I)' não pode ser determinada e simplesmente pela soma das autocorrelaçõcs Rx(T) e Ry (T) que resultam de cada carga atuando separadamente. Rxy(T) e Ryx(T) são aqui referidas como correlações cruzaclas e, geralmente, elas separadas
não são iguais. a operação de
T
básica para a multiplicação
e multiplicado,
da autocorrelação.
sendo em seguida integrado
tempo T é fixado durante cada passagem por uma técnica de varredura fina.
O sinal
e calculada
e é mudado
Correlação cruzada. Consideremos duas quantidades entre estas duas quantidades é definida pela equação
em etapas
X(I)
X(I)
a média.
é atrasado O atraso
de
ou continuamente
e y(l).
A correlação
Examinamos
na Seç. 10.3 o conteúdo
que resultam
em espectros
foi introduzido cia dividida
Rxy(-r:)
= E[X(I)y(1 + -r:») =
que também Muitas plo, seja
pode ser chamada
X(I) carga
a deflexão
+ -r:)dl
aparecem
Y(I)
num ponto
em problemas
é adeflexão
JL _
dinâmicos.
x e y. Por exem-
de urna viga em razio de uma carga FI (I)
diferente
no mesmo
do primeiro,
(,(I)
pelo intervalo
cont{nua
ponto,
conforme
devido a uma a Fig. 10.5.7.
da densidade
se aproxima
é conhecida,
J
o traballho
à medida
como um caso limite da série de Fourier infinito. tratamento
As transformadas mais extensivo
de Fourier, do problema
da vibração
periódica
Cn c.
1:I Jr:> . -T,2
x(l)
356
x(ç)e-In",,~ dç ,
e a correlação e T é o período. pode ser reescrita
A Eq. (10.6-2) na forma
indica que
C~
para o
permitem
um
aleat6ria. que é uma quantidade
,(()
+ Y(I),
o valor
de acordo
se estende
da sua integral,
~y(t)
= X(I)
de uma Quando
de se determinar da freqüência,
que o período
que resultam
1~---
z(l)
esta quantidade
. As vibrações alea t6rias (;m geral não são peri6dieas, de modo que a análise da freqüência requer o uso da integral de Pourier. Esta, entretanto, pode ser vista
F
A deflexão resultante de ambas as cargas é então de z(r) como um resultado das duas cargas é
espectral
de freqüên-.
de um valor grande.
ao da soma no intervalo
~(()
.~
de tempo
da densidade
média no intervalo
aproximando-se
que o período
espectral
de funções periódicas O conceito
quadrática
de freqüência,
à medida
COmeçamos com urna função pode ser expressa pela função
.
de freqüência
de freqüência.
então como a contribuição
quadrático médio fica red~zido com a Eq. (10.3-6) .
de correlação cruzada elHre as quantidades
na extremidade
especificado.
F2(1)
a função
_~ X(I)y(I
vezes tais quantidadés
em algum ponto segunda
J~
-variação
discretos
.
real que
Daqui em diante usaremos sempre que possível esta expressão simétriea da transformada de Fourier.
A freqüência w = nwo é especificada aqui em intervalos discretos, e por isto o seu incremento é
Teorema de Parseval. O teorema de Parseval é um intrumento útil para eonverter integração de tempo em integração de freqüência. Se XI (f) e X2 (J) são transformadas de Fourier das funções reais de tempo XI (t) e X2 (t) respectivamente, o teorema de Parseval estabeleee que
L.
x,(I)X2(1)
dI = [.
De acordo com esta expressão, substituímos 1fT por !:J.wf21f e notamos que T -+ 00, !:J.w -+ d w e r-wo -+ w. Assim no easo limite, a Eq. 00.6-3) tarna-se
'.'~ [~XI(-
X1(I)X,(I).c
que é a integral de Fourier.
f
Considerando que a quantidade dentro das chaves internas é uma função somente de iw, podemos reescrever esta equação em duas partes a seguir X(iw)
=
r~
xl(t)x,(1)
dI
=
r~,",
x,(I)
n
_~
df
X, (J)ei"/'
df
[M X,U)e"'/'
..L..
(I0.6-5)
X(iw)e
iwr
dw
A quantidade X(iw) é a transformada de Fourier de x(t), e as duas equações acima são ,denominadas como o par da transformada de Fourier. A Eq. (10.6-5) reduz a função· x(t) a seus componentes harmônicos X(iw), enquanto a Eg. 00.6-6) reúne ,estes componentes na função original x(t).
f) df
f)X,U)
X,(f)[L.
x(ç)e"iw{ dç
i- f·"
r"
x,(1)
= ["
X(I)
XI (J)X,(-
x,(I)e"·/t
, df dI dI] df
X,(J)X2(-f)df
Todas as fórmulas anteriores para o valor quadrático médio, autocorrelação e correlação cruzada podem ser expressas agora pelo teorema de Parseval, em termos da transfo'rmada de F ourier. Exemplo 10.6-1. Expressar o valor quadrático médio em termos da, transformada de Fourier. Fazendo x I (t) = X2 (t) = x(t), e tirando a média no intervalo T, que pode variar até "", obtemos
Para medidas na prática, é mais conveniente adotar a freqüência f do que a freqüência angular w.· Desta forma, há também matematicamente a vantagem de - reduzir o par da transformada de Fourier às expressões simétricas abaixo
Exemplo 10.6·2. Daqui em diante usaremos sempre que possível esta expressão simétrica da transfor· mada de Fourier.
358
Expressar a autoeorrelação em termos da transformada de Fourier. Começamos eom a transformada de Fourier de x(t + 1)
X(I
+ 't}= S:oo X(f)e
I
R(-r) = ~~~ T
=
di
I2>[(/h)
= Joo = foo ,
x(l)
foo
-00
lim
-00
T-M
+ r) dI
X(I)X(I
_00
1- Joo
lim
~i_~ ~ X*(f)Y(f)
=
= S':,(f)
X(f)e'2>[tel2>[T
Sx/-f)
di dI
_00
1-{Joo
x(l)e'2.[t
T
dl}X(f)e,2.f<
di quc é a paralela à Eq. (10.6-12). Ao contrário da autocorrelação, as funções de correlação cruzada e densidade espectral cruzada não são geralmente funções pares. Portanto, são mantidos os limites a +
-00
"f1im 1-X*(f)X(f)}e (r_ T
di
i2.[T
_00
==
= ~i_~ ~X(f)Y*(f)
foo
r-oo T
SXy(f)
00
oo
00.
'
Exemplo 10.6-3 Mostrar que a função da resposta da freqüência H(w) é a transformada de Fourier da função da resposta do impulso g(t). Solução: De acordo com a integral de convolução, Eq. (4.3-1), a equação da resposta em termos da função da resposta do impulso é X(I)
Sendo R(r) simétrica em relação a r = O, a última equação pode ser expressa também na forma
=
. S(f)
25:
= LJ(ç)g(1 - ç) dç
onde o limite inferior foi estendido a para abranger todas excitações passadas. Fazendo r = (t - ~). a integral acima toma-se 00
X(I)
=
R(r) cos 21tfor dr
Estas são as equações de Wiener-Kinchin, e elas exprimem que 'a função da densidade expectral pode ser determinada pela função de autocorrelação. Paralelamente às equações de Wiener-Kinchin, podemos definir a correlação cruzada entre duas quantidades x(t) e y(t) como
';:,lr)
=
= foo -00
Rx/or) =
lim T-oo
+ r» =
I lim -T r-o<>
1-X*(f)Y(f)e
I2>[T
T
foo Sxy(f)e
X(I)Y(I
-T/2
+ r) dI
=
f(1 - r)g(r) dor
s: ei~1
eiw(/-')g(r) (
2.[T
dor
g(or)e-iWT dr
A comparação deste resultado com a Eq. (10.2-3) mostra que a função da resposta da freqüência é
di H(w) =,
f'~g(or)e-
iWT
o
i
dor '
df
onde a densidade espectral é definida como 360
fT/2
X(I) =
s:
Densidade Espectral pela Transformação de Laplace da Autocorrelação. Usaremos até aqui as transformadas de Fourier supondo que elas existem para o registro' em questão. Para as transformadas de Fourier
, ~
~ f(l)
~ ~
J~ r~
= -I
271:
F(w) =
_~
S(s) = F(w)eiwt dw
f(l)e-iW'
S(s)
~
a integração é ao longo do eixo real, de -
~
Suponhamos a mudança do curso da integração para uma reta paralela ao eixo real, mas abaixo dele uma distância r, como indicado na Fig. 10.6-1 (a). Os limites da.in tegração
t)
a +
R(r)e-" dr
Uma vez que R (7) é uma função simétrica, o limite inferior pode ser mudado para zero e dobrado o valor da integral.
dI 00
r.,
=
2
00.
~ ~
•
~
r:
R(r)e-" dr
Nestas condições, a função da densidade espectra/ pode ser determinada pela tranSformada de Laplace da [ulIção de autocorrelação. Para as funções de autoeorrelação que não têm a transformada de Fourier, a equação acima oferece um processo altero nativo para a avaliação da função da densidade espectral S(i21Tf).
10.7 RESPOSTA DE ESTRUTURAS CONTINUAS EXCITAÇÃO ALEATOR(A
~
A
~ Consideramos
• • • •,
da resposta quadrática média
distribuída. Tratando o problema por meio da soma dos modos normais
~
são então w = ir a w = + ir, e a integral de Fourier é estendida para incluir funções para as quais as equações anteriores não podiam ser válidas. 00
~
-
00
f(l)
J ~c
-
J'~--ir
2n
y(x, i)
-
F(w)e""' dw
-'"-i,
f(l)
~
F(s)
= _1_. 2m =
Jrfi-"
onde 4J/x) são os modos normais da estrutura, podemos utilizar o nosso conheci· mento plhio da resposta do sistema de um grau de liberdade, discutida na Seç. 10.2. Para isto devemos admitir amortecimento proporcional definido por
r
•
I
362
•
1·,/ !
s:
massa ~eneralizada
F(s)e" doi'
r...
f(l)e-"
dI
AIj = Fi/)
.1',
o
r-i"
Consideremos a seguir a Eq. (10.6-12) da função da densidade espectral da potência
Com i21Tf = iw = Laplace de dois lados
c(x)rf>/X)rf>k(X) dx =
.0
e são assim convertidas no par de dois lados da lransformada de Laptace.
.i
=.2: ~/x)q/I) j
Se introduzimos agora .I' = iw, é evidente q~e pontos na Fig. 10.6-1 (a) giram 0 90 como na Fig. 10.6-1 (b), e o curso da integração torna-se uma linha vertical a uma distância r à direita da origem. As transformadas de Fourier tornam-se agora
• • • • • • •
, "
aqui o problema da determinação
y2 (x, t) de uma estrutura elástica contínua excitada por uma força aleatória f(x, t)
a equação acima é reconhecida como a transformada de
o,
rf>;(x}dm
S: f(x
,t)rf>'/x) dx = força generalizada
Ao estabelecer a resposta quadrática média. de' y(x, t), .devemos considerar as seguin tes somas ..
y2(X, I)
I
=
lim -T T-H>O'
JT!2
Bretschneider*. A Fig. 10.7·1 pode representar um tal espectro, para um determinado estado do mar.
y2(X, I) dI
-T12
Notamos aqui que estamos envolvidos com a correlação cruzada de q/t) e qk (I) que, pelo teorema de Parseval. pode ser substituída pela integração da freqüência das transformadas de Fourier ' I ~i~ T
JT!2
-Ti2
q/l)qk(l) dI =
J=_= ~~r:?>TI Q/f)Qt(f)
df
onde as letras maiúsculas representam as T.F. das quantidades correspondentes em letras rÚinúsculas. De acordo com a Eq. (10.~.15), notamos também que Na determinação da resposta de uma estrutura de océano a tal excitação, um S.,••C/) = ~~~ ~Q/f)Qt(J)
caminho é a admissão de forças ondulatórias harmônicas da forma
é a densidade espectral cruzada das coordenadas generalizadas, a qual é relacionada à.densidade espectral cruzada da:orça excitadora, SFjFk(f) (Vide Ed. /0.3.10). S.,••(J)
=
Hif)Ht(J)Sp'P.(J)
F(I) =
C :E ai cos (rol
+ ~I)
I
onde para concordar co~ o espectro ondulatório, as amplitudes pela relação seguinte para cada freqüência
aj
são escolhidas
Wj
É necessário freqüentemente trabalhar estritamente no período do tempo em que a equação diferencial do moviment.o seja da forma
Pode-se admitir que a fase tPj tenha uma piobabilidade igual entre O e 2~ . e, em conseqüência, pode ser escolhida fazendo·se girar uma roda de roleta (ou utilIZando o método de Monte Cado com números aleatórios). Quando somadas todas as fre· qüências corresponden tes ao aspectro ondulatório, a excitação F(t) é uma função
onde F(t) é admitida como uma função aleatória de tempo e L(x. x, ~) é uma equação diferencia} que pode ser não-linear. A solução para uma equação eomo esta seria obtida mais provavelmente no computador digital ou no analógico, sendo o resultado uma resposta aleatória x(t).
aleatória de tempo.
No caso de se querer o espectro da resposta para o problema acima, o primeiro passo será o de formar a função de auto correlação
o
espectro da resposta Eq. (10.6-13).
S(f)
Aplicando F(t) à equação diferencial do sIstema sob consideração, a resposta x(l) é obtida por um computador. A partir da resposta x(t) a correlação R(1) é computada e o espectro da resposta é obtido por meio da Eq. (10.6.13) ou (/0.6·19) S(J)
=
2
=
2
s:
5:
R(7:) cos 2nf7:dr R(7:)e-"
d7:
(s
=
i2n/)
será então obtido pela relação Wiener-Khinchin,
Exemplo 10.7·1 As alturas das ondas oceânicas são geralmente distribuídas numa forma Ray· leigh, comum espectro de freqüência conhecido como o espectro do mar de
'C. L., Brctschncidcr, :'Wavc Variability and Wave Spectra for Wind·Gencratcd Gravily Waves." T. M. N9 118 Beach Erosion Board, U. S. Army Corps ofEngineers.
10·30 Iniciando com a equação Spx(w) ~~ lim 2-~T F*(iw)X(iw)
SXF(W)
Jilll ~-F*(FlI)·
n
'1''"''
lilll _I_X*F
o~
'1'_ ••
2nT
'1' •.••
,2nT
=
lim ~.-(F*fI*)F 2nT
=
5pll
5}.11*
T- •••
S,..(w) '--' S"X
10·31 A equação diferencial para o movimento longitudinal de uma barra fina uniforme é
Mostrar que para uma força axial arbitrária na extremidade x '= 0, com a outra extremidade x '= I livre, a transformada de Laplace da resposta é
10·32 Se a força no Probl. 10-31 é harmônica e igual a F(t) '= Fociw1, mostrar que t) = cF"éw' cosjfOJ!/c)(x/! -
/l(x ,
I)]
WAl:.scn(úJ!/C)
. ( ) _ -scn[(wl/c)(x/! a x, I scn(w!/c)
l)]F" ,,,,/ /[c
10·33 Com S(w) como a densidade espectral da tensão da excitação cm x mostrar que a tensão quadrática média no Probl. 10-31 é 0'2 ~
2n
-:L; Y n
c -I S(wn)scn
nn
2
0,
x /ln-!
onde é admitido o amortecimento estrutural. Os modos normais do problema são
