I . ; l
! I t l
TEORIA DA
RELATIVIDADE
I
I ' t
I :
Editora Livraria da Flsica
'
. '
TEORIA DA
RELATIVIDADE Bernhard Lesche Departamento de Fisico Universidade Federal de Juiz de Fora
Editora Livraria da Flsica Sao Paulo- 2005 Ano Mundial da Fisica
..
Copynght
"2005 Edftora Uvraria da Flsica
Jose Roberto Marinho
Editor
Cap~ ReVlsao
Arte Ativa v·tdal Sezerra da Silva
lmpressao
Grafica Paym
Oiagrama\ao R~nata Owa
Dados lnternacionais de Cataloga~ao na Publica~ao (CIP) (Camara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Lesche, Bernhard
t
Teoria da Relatividade I Bernhard Lesche. - 1. ed. - Sao Paulo: Editora Livraria da Ffsica, 2005.
l . Relatividade ( Flsica ) - Estudo e ensino I . Tftulo.
03-6013
CDD-530.11 07 Indices para catalogo sistematico: Teoria da Relatividade: Ffsica: Estudo e ensino 530.1107
,l. .
;
.
'
/.:' ·I
' i
. '
Editora l.ivraria da Ffsica www.livrariadaflsica;com.br
Tel.: 11 3936 3413 Fax: 11 3815 8688 \ ·.
a Maria Luiza Bedran · pela leilura critica do texto e pela sugestao de exercicios~
Agrade~o
CONTEODO ·
1 Introduc;ao
11
2 Revisao do espac;o e tempo da fisica nao relativistica
19
3 Medidas absolutas de tempo 31 4 Invariancia da velocidade da luz e simultaneidade relativa 35
5 Coordenadas no espa~o-tempo
41
6 Transformac;ao de velocidades 55 7 A geometria do espa~o-tempo e a
defini~ao
do metro 59
8 0 efeito Doppler e a aberra\ao relativistica da luz
9 0 tempo proprio 10 0 4-momento
83 93
11 A segunda lei de Newton
12 Relatividade geral 13 Cosmologia
77
105
111
123
Soluc;oes dos Exercicios 131 Bibliografia fndice
157
159
Constantes 163 7
PREFACIO
Este livro destina-se a alunos de Fisica Basica que queiram entender a famosa Teoria da Relatividade e nao apenas adquirir a habilidade para a soluc;ao de problemas. Apresentamos a teoria de urna forma nao convencional introd uzindo o leitor diretamente na geometria do espa~o-tempo. Esta abordagem esimples e revela a verdadeira natureza dos conceitos espa~o - temporais. 0 texto resultou de urn curso de Fisica IV que dei em 1996 para uma turina de Fisica do Instituto de Fisica da UFRJ. A abordagem adotada e adequada tambem para alunos de engenharia quimica e principalmente matematica. 1
Leitores que ja conhecem a Teoria da Relatividade encontrarao inumeros estimulos para uma analise critica do proprio entendimento. Como provocac;ao, e para testar o entendimento do conhecedor da teoria, coloco aqui as seguintes afirmac;oes:
• A frase1 que encontramos em inumeros textosl llrel6. devagar e bobagem.f gios em movimento andam mats II
1
• Rel6gios podem ser usados para medir distancias es- . paciais sem utilizar luz. • Simultaneidade relativa pode ser definida.sem .utili- ··. ·. zar sinais luminosos . .
0 fisico que nao concord a com estas afirma<;6es en con- trara certamente novas ideias neste livro. _ Na epoca da sua descoberta, a Teoria da Re~atividade causou grande impacto na sociedade. 0 verdadetro espanto que as pessoas sentiam e facil de en tender. Todo pensamento humano e baseado nas no\6es de espa~o e tempo. As palavras onde, quando, Ionge, perto, antes, depois etc. fazem parte do vocabulario de qualquer idioma humano. A teoria da relatividade declarou estes conceitos relativos e nao fundamentais. Ate fisicos de rename ficaram perplexos. 0 Fisico Brasileiro Cesar Lattes expressou certo cepticismo em rela~ao a Teoria da Relatividade. Hoje encontrarnos poucas pessoas que expressam duvidas em rela~ao a validade da teoria. Acredito que a grande maioria dos conforrnados nao possui convie<;ao da validade da Teo ria da Relatividade resultante de urn profunda entendimento. Este pequeno livro tenta revelar os aspectos objetivos da estrutura do espa<;o-tempo, evitando os conceitos relativos, que muitas vezes dao a impressao de que tudo nao pa~sa de truques. Desta forma, esperamos poder contribuu para urn entendimento solido da teoria.
a
1 INTRODU<;Ao
Com a mecanica de Newton, a eletrodinamica e a tcrmodinamica, a fisica parecia formar urn sistema consistentc c completo. Mas ja no seculo 19 come\OU a csboc;ar-se un1a inconsish~ncia nesta fisica classica. A teoria da rclat-ividndc removeu esta inconsistencia e com isso real mente com pictou a fisica classica. Qual era a inconsistencia na fisica classica? Na mecanica de Newton todos OS referenciais inerciais sao cquiva.... lentes. 0 lado esquerdo da equa~ao fundamental mii = F e invariante sob transforma~oes de Galileu:
x'=X-Ui
= y-uyt z' =z- uzt y'
(1)
t' = t
0 eletromagnetismo euma teoria das for,as do ]ado di. d a equa"s'ra- 0 ma..... -- F ..., mas as equa,oes de. Maxwell nao" re1to - Invartan · · te 8 sob as transformaroes de Gall leu. Is to seve sao "5' facilmente com a equa\ao de onda 11
que e uma conseqi.iencia das equa\oes de Maxwell. Voce pode mostrar isso diretamente inserindo a transforma\ao (1) na equa\ao (2) e utilizando a regrade cadeia. Mas, mesmo sem calculo e claro que a equa\aO (2) nao possui a invarH1ncia de Galileu, ja que nela aparece uma constante
com dimensao de velocidade e as transforma\oes de Galileu alteram velocidades. Assim a eletrodinamica parecia ter urn referendal privilegiado. Pensou-se entao que as ondas eletromagneticas propagam-se como as ondas elasticas num meio chamado eter e que o referencial privilegiado seria o referendal de repouso deste eter. Os fisicos imaginaram que o eter enchia todo espa\O do universo tanto em regioes de vacuo como em regioes preenchidas de materia comum. Esperava-se que urn movimento da materia comum seria capaz de arrastar o eter parcialmente na regiao preenchida pela materia. Urn meio material que se move com velocidade ii em rela\ao ao eter do espa\0 interestelar seria capaz de arrastar 0 eter localmente com uma velocidade ii a, on de a e urn a constante. Em 1851 Fizeau tentou medir este fator de arrasto estudando a propaga\ao de luz em agua correndo em tubas. Para agua ele encontrou a~0,48. Mais tarde, em 1868, Hoek aperfei\oou a experiencia de Fizeau atnnentando a precisao por ordens de grandeza e chegou ao resultado a= 1 - n- 2, onde n e 0 indice de refra\aO do material. 12
I
A .procu:a ~do. refere~cial do eter revelou final mente uma tnconststencta na fisica ch1ssica quando Michelson e Morl~y, ern,l881, tentaram medir a velocidade da terra em rela\ao ao eter. corn uma expenencta tnterferometrica que _ nao usava me1os transp arentes, mas 1uz propagando-se no vacuo (ou no ar na,~ 1). ·A.
•
· •
I
•
I
EA Fonte D
A+B
Fig. 1 Interfer6metro de Michelson
A figura 1 mostra o esquema do interferometro de
Michelson. Urn feixe de luz saindo da fonte e dividido no ponto D por meio de urn espelho semitransparente em do is feixes A e B. Depois de uma reflexao nos espelhos EA e EB os feixes voltam para o ponto de separa~ao e interferem no feixe A+ B onde se encontra o observador. Vamos supor que o eter move-se com uma velocidade u na dire~ao D ~ EB. 0 tempo que a luz precisa para ir de D ate EB (supondo a validade das transforma<;6es de Galileu) seria 18 I (c+u), onde 18 e a distancia entre 0 e EB. 0 tempo para voltar de EB para D seria IB I (c-u). Assim o tempo de ida e volta ~o bra~o B do interferometro seria: · (3) ·'
13
I
l
EA
I
Fig.2 Trajet6ria da luz no referencial do eter.
Para calcular o tempo tA de ida e volta no bra<;o A vamos analisar o percurso da luz no referencial do eter. Neste referencial o interferometro esta se deslocando com a velocidade u na dire<;ao D ~ Fonte. No tempo t,. o ponto D deslocou-se por uma distancia ut,. . A figura (2) mostra o percurso da luz no referencial do eter. A luz neste referencial percorre a distancia
Como a velocidade da luz neste referencial e c temos: _
~41~ + (utAf
f A - ---------C
{4)
Resolvendo esta. equa<;ao quadratica para tA encontramos
(5)
14
i\ ft. tsc relativa dos feixes A e 8 qtte s d , . , , e me e na expe. , .·. . ' . . """ rH.llU,1 tntctfcrometnca esta relac1·onad ' (.; a com a d'f 1 erenc;a dos tc1n pos tA c tv :
(6)
Nota-se que tv- tA depende de u. Para medir esta dependencin de u, Michelson posicionou o interferometro em divers as oricntn~oes. 0 resultado da experiencia era negativo: o feixe recon1binado A+B nao mostrou nenhuma dependencia da oricntac;ao do interferometro. A luz comportou-se na experiencia como se 0 referencial privilegiado do eter fosse exatamente o referencial do aparelho experimental. Isso, do ponto de vista da teoria do eter, estava em contradic;ao aos resultados de Hoek, ja que a Terra teria seguramente uma velocidade grande em rela\ao ao eter (compare exercicio 2). Verificou-se ainda que o resultado da experiencia nao dependia do fato de ter a fonte da luz fixa no laborat6rio. Usando-se uma estrela como fonte, a experiencia de Michelson continuava dando urn resultado negativo. Em 1905 Albert Einstein conseguiu remover esta inconsish~ncia da fisica ch1ssica. Ele resolveu o problema de uma maneira inesperada, subrnetendo os conceitos de espac;o e tempo a urn a critica. Resultou urn a nova vi sao de espa\o e tempo que recebeu o nome de teoria da relatividade restrita. Esta teoria dispensa completamente a noc;ao de eter. Todos os referenciais inerciais continuam equivalen tes - como na mecanica de Newton. Mas, apesar disso, a 1uz propaga-se em todos os referenciais inerciais da mesma maneira, com a mesma velocidade em todas as direc;oes. Einstein conseguiu conciliar estes dois principios, equiva/encia de todos os referenciais inerciais e invariancia da velocidade da luz, con15
· como tempo noc;oes relativas que siderando tanto espa~o dependem da escolha de urn referencial. siderar noroes tao fundamentais ~ . . Justamen te por Con
como espa<;o e temp o apenas como rela ti vas, a .teor1a da . , relatividade encontrou muitos inimigos entre le1gos e ate entre fisicos da epoca. Hoje a teoria e aceita na comunidade cientifica e foi testada experimentalmente. Nao ha mais duvidas da sua validade. Poder-se-ia entretanto considerar no minima complica- · da, ou feia, uma descric;ao da Natureza na qual temos que considerar rnuitos espac;os e tempos correspondendo aos diversos referenciais. Mas foi possivel elirninar completamente estes conceitos de espac;o e tempo da teoria. Em 1908 H. Minkowski introduziu o conceito de espar;o-tempo, que e absoluto. 0 espac;o-tempo nao depende de nenhuma escolha de referendal. Isto foi urn passo importante que ajudou muito no desenvolvimento da fisica te6rica. Novas teorias (por exemplo das particulas elementares) sao sempre formuladas no espac;o-tempo de Minkowski e o fato de ser absoluto e uma das guias mais confiaveis para o fisico que quer formular sua teoria; ele deve formular as leis usando sempre objetos invariantes (objetos geometricos) que nao dependam da escolha de urn referencial. Poder-seia dizer que na verdade a teoria da relatividade merece o nome de teoria dos objetos absolutos. Depois de elaborar a teoria da relatividade restrita, Einstein trabalhou na formulac;ao de uma teoria da forc;a · gravitacional que fosse compativel com as ideias da relatividade. Em 1916 ele conseguiu isso, expressando completamente as forc;as gravitacionais pela geometria do espac;o-te~po. Esta teoria da relatividade geral tern aplicac;oes na tentahva de entender a evoluc;ao do universo numa longa · ·. escala de tempo. A teoria da relatividade restrita tern apli-' : · '
16
. . ··.
ca~oes importantes na fisica de laborato' r 1·0 p
, . , . , or exemp1o, a . fisica nuclear e a fls1ca das particulas elernent . ares. Aqui explicaremos as ideias basicas da tcoria da rela· tividade restrita e alguns aspectos da relatividade gcral. Come~aremos com uma revisao dos conceitos de espa<;o e tempo na fisica nao relativistica e introduziremos 0 espa- . ~o-tempo ja na fisica nao- relativistica.
Exercicios E 1.1. Calcule a diferen~a de tempos dos bra~os do interferometro de Michelson (equa~ao 6) para o caso lA = 18 = l
e velocidades baixas, desenvolvendo a expressao ate o termo de ordem [u/c] 2 • E 1.2. Suponha que o Sol tenha alguma velocidade cons-
tante em rela~ao ao eter. A Terra teria entao velocidades em rela~ao ao eter que variam durante o ano. Determine urn limite inferior da velocidade maxima que a Terra teria durante o ano. E 1.3. No exercicio anterior vimos que podemos esperar velocidades entre eter e Terra da ordem de 3 ·104 m/s, isto e, da ordem de 10-4 vezes a velocidade da luz. Supondo que usamos luz de comprimento de onda de 500 nm, calcule o numero de franjas de interferencia que passam se 0 interferometro e girado tal que urn bra<;o que antes apontava na dire~ao do vento de eter depois aponta na dire<;ao ortogonal a anterior e o outro bra~o passa a ter a dire<;ao do vento. Suponha que os bra~os do interferometro tenham 50 m '·-. .. de comprimento. (Urn bra<;o tao grande pode ser obtido refletindo a Iuz muitas vezes dobrando entao o bra~o.) E 1.4. 0 fato experimental que o fa tor de arrasto e relacionado com o indice de refra~ao, a= 1 - n·2, aponta para uma ·.inconsistencia da ideia do eter. Use propriedades do indice de refra~ao para criticar a ideia do arrasto do eter. 17 _;
'·
.
·. ~.
~·~
. . t,,
..·d-r
. '
;
··:
..~
2 REVI~AO DO_ESPA<;O E TEMPO DA FISICA NAO RELATIVISTICA
Em portugues falamos: "o espa\o". Usamos o singular e em outros idiomas isso s~ faz da mesma maneira. Isso mostra que a mente humana esta acostumada a pensar em espa\o fisico como numa entidade unica e absoluta. No entanto OS fisicos descobriram, ja muito antes da descoberta da teoria da relatividade, que tal conceito de espa<;o absoluto nao e relevante para a descri\ao da Natureza. Quando queremos descrever, por exemplo, o movimento de uma particula, temos que especificar os lugares no espa\o que a particula percorre no percurso do tempo. Precisamos entao de uma no<;ao de espa\O que persiste valida durante algum tempo. Definir espa<;o de uma maneira valida durante algum tempo nao e trivial. Podemos ver isso analisando a seguinte frase: "Eu ja estive neste Iugar faz um ano e tres meses". Sera que o locutor desta frase considerou que a Terra se deslocou durante este tempo?- sera que ele considerou que todo o sistema solar deslocou-se dentro da via Iactea?- sera que ele considerou que ........?? A frase entao nao parece ter senti do. Masse o locutor desta frase falou-a no topo do Pao de A~ucar no Rio de Janeiro e quis dizer simplesmente que faz um ano e tres meses ele se encontrou tambem no Pao de A~car, ele fez uma afirmac;ao com sentido que expressa uma relac;ao entre . 19
, . . a 0 dcve ser entcndido 0 o locutor e a superfiCJe da terra. esp c; ,. . em termos de rela\Oes com urn corpo de refere11cta. " · ·a podemos n1arcar pontos e po· Num corpo d ere ferenc1 d ' t" . 5 ei1 tre 05 pontos marcados e ncos. emos me tr as 1s aneta , d d tando barras m.?tricas nos pontos marca dos. E importantc notar que a prescri\3o de medida de dist5ncia .en~olve uma no\3o de tempo: Se queremos verificar que a d1stancw entre dois pontos marcados A e Be 1m, temos que encostar a extremidade A' da barra de lm no ponto A e a outra extremidade B' simultaneamente no ponto B. SeA ' nao encostasse em A simultaneamente como contato de B' em B efctuariamos urn transporte da barra metrica entre OS pontos A e B ao inves de fazer uma medida de comprimento. Por enquanto nao definimos simultaneidade. Podemos, no en tanto, adotar uma prescric;ao cautelosa para a medida de comprimento: colocamos a extremidade A' do metro no ponto A e emiti· mos algum sinal do ponto A para o ponto B, quando o sinal chegar no ponto B a extremidade B' do metro deve estar em contato como ponto B. De B mandamos urn sinal de resposta ~ara A. Durante todo o tempo, desde o inicio do processo ate a chegada do sinal de resposta em A, a extremidade A' deve estar em contato permanente com A . D es t a manetra . podemos ter certeza de que B, tocou em B en quan t o A' esteve em contato com A . Verifica-se, experimentalmente' que eXIstem . " . corpos de re ferencla para os quais todas as d.Istanctas " . med ·d . I as entre pontos marcados sao · d d . In epen entes do tern (d mcerteza experimental) V po entro da . amos chamar est pos de referen.cia rigida*. Se'am C . es corpos de corrigida. Podemos conside!a .I e ~2 dois corpos de referencia r a JUn<;ao dos dois como urn novo * Os corpos nao sao necessaria formavel pode servir como co; : ente cort:os rigidos. Urn cor o d eP de referencia rigid a enquanto P nao .. houver deformaroes 'T • 20
corpo de referencia. Pode ser que a jun<;ao dos dois sc:·ja nova .. mente urn corpo de referencia rigida. Isto acont()<\! se c esh1 1 em repouso em rela<;ao a C2 . Neste caso varnos dizcr que C e 1 c2 pertencem ao n1esmo nferencial rigido. f\.1ed indo d i st:lnri~ls entre pontos marcados en1 corpos pertencentl's a urn refl'rl'ncial rigido, descobrimos experimentaltnente as rcla(,:tles da gl!ometria Euclidiana de urn espa<;o tridirnensional e podt•n1os associar este espa<;o ao referencia] rigido. Corn isso cht'garnos finalmente ao conceito de espa<;o. Mas cada rcferencial rigido tern o seu espa<;o associado, logo nao existe o esparo mas e istern espafOS. Por exemplo, a urn ponto marcado nurn tijolo quC' esta caindo de urn ediHdo nao corresponde ncnhtun ponto no referendal da terra. 0 ponto marcado no tijolo Sl) pode scr associado a uma curva (sua trajet6ria) no referenciJI da terra. 0 espa<;o de urn referencial contem pontos alcrn dos pontos marcados nos corpos de referencia e ate pontos fora dos corpas de referenda. Estes podem ser detenninados a partir de pontos marcados usando rela<;6es geometricas. Dos referenciais rfgidos interessarn especialtncnte os referenciais inerciais. Estes podem ser definidos da seguinte maneira: Uma particula puntiforme descreve durante seu movimento uma curva no referendal, a qual se chan1a a trajet6ria da particula no referencial. A curva pode ser tan1bern urn unico ponto quando a particula esta em repouso no referencial usado. De todas as particulas, esperarnos daquelas que sao bern isoladas de todas as influcncias de outros corpos, uma descric;ao do movin1ento espccialrnente simples. Estas partfculas se chamam particulas livrcs. Urn referencial e chamado inercial se as trajetorias de tochts as particulas livres sao linhas retas ou pontos. No que se segue varnos sempre trabalhar em referencias inerciais. Para poder descrever o movirnento de un1a partfcu1a ao Iongo de sua trajet6ria num referencial, precis~nH>S d~ no- · c;ao de tempo. Na Ffsica I aprende-se que as partJculns hvrcs 21
.
_
repousoouemmovimento num re ferenCla t uniforme em relac;ao M temos que pergun ar, uniforme. as M que e0 tempo? 0 que "? E ela\ao ao tempo. as o a que. m ~ , pararao entre duas particulas odemos afirmar e que a com -r , • P .f midade Se uma parttcula h vre livres sempre mostra unt or . Sm enquanto a outra percorre 1m, percorre, por exemp1o, , I d d' t" . as percorridas destas duas particu as a fra\ao as IS anc1 . , 5·1 continuara . para sempre · Podemos tamar este fa to .como motiva\ao para definir 0 tempo atraves de urn. movtme~to de uma particula livre num referencial inere1al, ou seJa, podemos usar o movimento de uma particula livre num referendal inercial como rel6gio padrao. . I 1.nerClal estao em
Porem esta defini\ao precisa de uma suposic;ao fundamental: Para poder comparar o movimento de duas particulas temos que ter a no\ao de simultaneidade. Em caso contrario nao tern senti do falar enquanto a particula 1 percorreu Sm a particula 2 percorreu lm". Na fisica nao relativistica pressup6e-se que e sempre possivel decidir de maneira objetiva e independente de referendal se urn dado evento e1 e simultaneo com o evento e2• Se isso for verdade, podemos ver qual marca\ao do rel6gio padrao e simultaneo com urn evento e e atribuir esta marca\aO ao even to como seu tempo. 0 tempo seria entao uma entidade unica e absoluta. II
Resumindo podemos dizer: na fisica nao re1ativistica espa<;o e urn conceito relativo que depende da escolha de urn referencial e tempo e urn conceito absoluto independente da escolha de urn referencial. I
N.a fisica relativistica o tempo tambem sera urn conceito relativo. No en tanto ' , b . . e posstve1su shtutr estes conceitos de espa<;o e tempo par urn un· ICO, 0 espat;o-tenzpo, que eabsoluto e nao depende da escolha de urn referencial. Acima usamos a palavra t evento · Os fisicos chamam ven o a urn acontecimento ·que ocorre numa regtao espa-
E
22
II
"
I
cial tao pequena que possa ser considerada um ponto e que dura tao pouco que possa ser considerada urn instante. 0 conceito de evento e algo analogo ao conceito de ponto na geometria. Podemos realizar urn evento fisicamente, por exexnplo, pelo choque de duas particulas puntiformes que tenham uma interac;ao de curto alcance. De maneira semelhante podernos realizar pontos no espa~o de urn referendal rnarcando-os no corpo de referenda. Podemos marcar apenas urn numero finito de pontos, mesmo assim, por raz6es praticas, imaginarnos que existe urn numero infinito de pontos, isto e, urn estoque. 0 espac;o e este estoque infinito de pontos. Da rnesma maneira podemos imaginar que os eventos fisicamente realizados sao tornados de urn estoque infinito". Este estoque e 0 espac;o-tempo. II
Seja e urn evento. Vamos escolher algum referencial inercial I. Em I o evento e acontece num certo ponto Pe. Escolhendo coordenadas Cartesianas x, y, z no referencial I podemos descrever este ponto Pe pelas coordenadas xe, Ye ze. Alem disso, o rel6gio marca urn certo tempo te no ins, . tante quando acontece o evento e. Podemos entao assocxar ao even toe quatro coordenadas te xe Ye ze. I
I
I
/c e~
XC
Ye
ze
!
i
i
I
Entao 0 espac;o-tempo tern quatro dimensoes. Nao · ter m edo de urn esparo )" de quatro d imensoes. e' prectso Podemos representar confortavelmente o espac;o-t~mpo num d esenh o, u Sando a m esma tecnica que uma cnan~a . nha o mundo tridimensional de 5 anos usa quan do dese . _ . numa folha de papel com apenas duas d~m:nsoes. A cnanc;a usa aproximadamente a seguinte proJe~ao: 23
I I
I
I
I
I
I
{x, y, z}
.{X, y}
)
)
YL X
z
Fig. 3 Reli w;a- o infantil do
mun~.o:to
. ...l I a l luas dimensi>l'S. trid i rn<.'nslon
Podemos usar u n1a prOJ·erao ' scnlclhantc: . {t, x, y, z}
)
{t, x, y} t
espavo-tenlpo .
I
I
)
I
X
I
Fig. 4a Redw;ao do espa';'o- tempo a trcs dimensocs.
I
I
ou ate uma mais radical: {t, x, y, z}
I -~>
I
{t, x}
I
t
espa9o-tern po
I
I I
) X
Fig. 4b Redu';'ao do espa';'o-tempo a duas dimensocs.
I
I
I A maior dificuldade para visualizar o espar;o-tempo nao reside no fato dele ter quatro dimensOes, mas no fa to que o espao;o-tempo niio tern a geometria Euclitliana da fo24
I
I
I I
.I
Iha de papel . que usamos para represen tar o espa\o-tem . . po. Para ver 1sso vamos escolher um ou t ro re ferenc1al tnercial I' que . _ se move ,em rela~ao a 1 com urn a ve1OCidade u na d ire\ao _x. Com I construimos novas coor d ena d as t' x' y' z' que. sao relacionadas com as de I pe1a trans f orma~ao ' ~ 'de _
Gahle~ (equa~ao _1). Aqui usaremos a proje~ao da figura 4b e prectsamos en tao apenas das coo r d ena d as t ex:
'
X =X
-ut (7)
t' = t
0 n.o vo eixo temporal e dado pela condi~ao x' = 0 e noVO eiXO espacia} e dado pela condi~ao t' = Q.
0
e
x x'
'
Fig.S Ei.xos de coordenadas no espa~o-tempo definidos com dais referenciais inerciais equivalentes que aparecem inequivalentes na geometria da folha do papel.
l
'
·J·,
Note que o eixo t' e diferente do eixo t, apesar de t' = t e que 0 eixo X e 0 mesmo do eixo x', apesar de termos x' = x - ut "* x! Obtemos o valor da coordenada temporal de urn evento e projetando paralelamente ao eixo espacial sobre o eixo temporal. Como o tempo na fisica nao relativistica e absoluto, esta proje\ao leva ao mesmo valor t~= te, como podemos verna figura 5. 25
. tra que a geometria do espa~o-tempo de _ , etria Euclidiana da folha de papel: a pafa to nao e a geom . ·xo t e' mais "certinho" que o e1xo t, po1s o rentemen teo e1 eixo t e ortogonal ao eixo X e 0 eixo t' inclinado. Mas est-a apar€ncia engana. Na verda de o referendal_inercial, I nao tern nenhum privilegio em rela<;ao a I', po1s podenamos ter come<;ado a constru<;ao de coordenadas igualmente com I'. No espa<;o-tempo (nao-relativistico) ortogonal nao e nem definido! De fato, na teoria da relatividade veremos que a no<;ao de ortogonalidade no espa<;o-tempo pode ser definida, mas esta ortogonalidade nao sera aquela que conhecemos do espa<;o Euclidiano. A figura 5 mos
I
•
e
Existe porem urn aspecto geometrico da folha de papel que podemos reencontrar tambem no espa<;o-tempo:·A folha de papel podemos associar urn espa<;o veto rial. U m par de pontos (A,B) define urn vetor AB sendo que dais pares (A,B) e (C,D) definern o mesrno vetor se estes pares d__ife~em apenas por urn transporte paralelo. Esta eqi.iivalenCia de par~ (A~= {C,D) que corresponde a igualdade dos vetores AB =CD pode ser verificada com a ajuda das coordenadas Cartesianas dos pontos A B c D N o p 1ana euclidiano do papel podemos afirmar que ~
1
~
1
,
•
~
XH - X A
AB=CD {
=
X I> - Xc }
(8)
yH-yA=y/J-y(.'
Podemos definir vetores no es a oneira sernelhante Como p <; tempo de uma rna. o espa<;o-tempo te t d. s6es estes vetores sao ch d m qua ro I menUrn 4-vetor e d fi .d ama OS quadrivetores ou 4-vetores. e nt o par urn par de que dois pares (e f) e (g 11) d fi eventos (e~ f) sendo ' ' seas diferen~as das d e nem · o tn esn1o 4-vetor see so coor enadas d urn referencial inercial - . . os eventosl defirlldas por ' sao Iguais pa ra os d 01s . pares: :l
26
•
•
=th -tg
tf-t
(!
~
~
x1 -x =xh-xg
<=>
ef = gh
f!
(9)
yf-yc=yh-yg
z1 -ze =zh-zK Temos que verificar se esta definic;ao e independente da escolha do referencial inercial. As coordenadas t', x', y', z' de urn outro referencial inercial I' podem ser relacionadas com as coordenadas originais atraves da transforma\ao de Galileu da equac;ao (1). Esta transformac;ao pode ser escrita na seguinte forma matricial:
t'
I
x'
-u -uy -uz
0 0 X
y'
z'
0
t
I
0 0
X
0
1 0
y
0
0
z
I
(10)
E facil ver que a rnatriz 4 x 4 que relaciona as coordenadas tern determinante diferente de zero. Isto irnplica que
t'f - t'e
, , -xe , ,
'
t'
/h- K
, ,
' ,
,
,
If -le
fh -fK
-xx
Xh -XK
X I - Xe
xh
Y1- Ye
y,- YK
Z.f- Ze
zh -ZK
Y1- Ye zf -ze
Yh- Yx zh -zx
XI
,
,
(11)
Na verdade as coordenadas construidas no referendal inercial I' poderiam ter uma outra origem ~-poderiam ~er rodadas em rela<;ao aos eixos xyz. Isto signtfica que, ao tnves da transformac;ao (10), poderiamos ter uma transforrna\aO da seguinte forma:
27 . :
t'
1
x' y' z'
-u
0
0
to
t
0
X
R_u Rxy Rxz -uy Ryx R.vY Ryz -uz Rzx Rzy Rzz ,"(
y
z
+
Xo
(12)
Yo Zo
onde (R-) euma matriz que descreve uma rotac;ao. A transhv;ao d~1 origem obviamente nii.o afeta a relac;ao (11 ), jlt que nela entram apenas diferen\as de coordenadas. A rotac;ao nao altera o valor do determinante da matriz, assim o resultado continua valido tambem com a transformac;ao (12). Mostramos com isso que a defini\aO de 4-vetor e realmente independente da escolha do referencial. Urn 4-vetor e entao urn objeto geometrico. 0 argurnento que usamos funciona nao apenas com a transforma\ao da equa\ao (12). De fa to ele evalido para qualquer transformac;ao linear inomogenea nao singular (deterrninante nao nulo ). As transformac;oes lineares inomogeneas nao singulares podem ser caracterizadas ainda da seguinte forma: elas sao transforrnac;oes de coordenadas que mapeiam linhas retas em linhas retas no espac;o das coordenadas. Podernos escolher urn referencial inercial I e construir coordenadas t, x, y, z com este referencial e podemos entao representar urn 4-vetor por urn vetor coluna: I I -1e ~
ef
~
x I -xe
(13)
Y1- Ye
zI -ze
I
Naturalmente a representac;ao depende do referencial e das' t coordenadas escolhidas. Por outro lado, o o b.Jet o geo· me nco nao depende desta _ escolha · p o d emos usar a repre28
senta\ao por vetores col una para defi · · nu soma de veto res e produto de urn vetor por urn numero, d a forma que conhecemos dos vetores em tres dimensoes:
a, ax aY az
+
b,
a,+ b,
bx
ax +bx
by bz
aY +bY az +bz
a,
e
A·
I
ax aY az
Aa, Aax AaY Aaz
(14)
I
Antes de entrarmos definitivamente na teoria da relatividade, vamos ainda definir mais urn objeto geometrico: Imagine uma particula puntiforme. Para ser mais intuitivo varnos supor que esta particula e urn bichinho, urn ratinho por exemplo. Cada batida do cora~ao do ratinho define urn evento no espa\o-tempo. Estes eventos vao formar uma sequencia de "pontos" no espa\o-tempo como as perolas de urn colar de perolas. Imagine agora que escoIhemos entre cada batida (= contra~ao do cora~ao) outros eventos, por exemplo, os inicios das expansoes do cora<;ao. Acrescentando estes eventos aos anteriores obtemos uma sequencia de eventos mais densa no espa~o-tempo. Seguindo assim, enchendo os intervalos entre os eventos com mais e mais eventos, descreveremos finalmente uma linha no espa~o-ternpo que seria formada por todos os eventos que acontecem no ratinho. Esta linha se chama: a linha de universo da particula. Matematicamente, a linha de universo de urna particula cujo movimento num referendal inercial I e dado pela lei honiria (t) seria 0 gr~Hico da fun~ao t ~ r (t) no espa\o-tem po. A linha de univcrso de uma particula em repouso na origem dos eix~s x,y e z de urn referencial iner.cial I seria o eixo t deste referendal.· Podemos representar urn ponto P de urn referenci,al noespa~o-tempo pela Jinha de universo de un1a parhcula em .repouso neste ponto.
r
I
29
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
.I I I I
Exerclcios
. ro-tempo bidinlensional (y = 0, E 2.1 Cons1dere o espa'r
=
d . etor --;1 definido pelos eventos z O). a) Desenhe o qua nv J . · _ O) f== (t == ~s x = 3cm) num dtagrama x-t. e = (t == 0' x e v , Represente 1 em por urn lcm no eixo x e 1 segundo por lcm no eixo t. b) Escreva 0 vetor coluna associado a este vetor no referencial original, que define os eixos x e t. Depois escreva o vetor coluna associado ao mesmo vetor num referencial I' que se move na dire<;iio x com velocidade u = 2 cm/s em
rela<;ao ao primeiro. c) Desenhe as proje<;6es da ponta do 4-vetor paralelas aos eixos de coordenadas que determinam as componentes do vetor coluna no novo referencial. E 2.2 A figura 5 mostra os eixos x, t e x', t' do espa~o-tem po nao-relativistico. Como seria a figura 5 se tivessemos come<;ado corn as coordenadas x', t', usando estas como eixos ortogonais na folha de papel? (Solu<;ao nao dada). E 2.3 Desenhe as linhas de universo de 1) urn movimento harmonica simples, 2) urn movirnento circular uniforme, 3) uma queda livre. (Solu<;ao nao dada)
30
3 MEDIDAS ABSOLUTAS DE TEMPO.
A teoria da relatividade restrita dois princfpios:
e baseada nos
seguintes
I. As leis da Fisica sao as mesmas para os observadores situados em qualquer referencial inercial.
II. A velocidade da luz no vacuo tern sempre o mesmo valor c em todas as rnercrars.
dire~oes
e em todos os referenciais
A primeira vista estes dois princfpios parecem ser contradit6rios: imagine uma lampada de flash que acende na origem de coordenadas de urn certo referencial I no instante t 0 = 0. Num instante posterior t > 0 o pulso de luz alcan~aria a superficie de uma esfera de raio r = ct em torno da origem de coordenadas de I. Agora imagine urn segundo referencial I' em movirnento em rela<;ao a I. No instante t os pontos da esfera marcariam pontos em I' que nao teriam a mesma distancia a origem de I' neste instante. Entao a propagac;ao da luz, nestes referenciais, nao parece ser a mesma. A aparente contradic;ao se dissolve se admitimos que a no~ao de simultaneidade possa ter significados diferentes nos dois referenciais. A superficie da esfera .mencionada e constituida por pontos nos quais a luz che31
. 'ficado de simultaneo e dite Se o stgnt _ ga simul taneamen · . . t mos que fazer a construc;ao d 015 · referenctats, e t no referencial I' e isto pode ferente nos · d pendentemen e da es fera tn e d . lente em concordancia com o levar a um resul ta o equt va segundo Postulado da relatividade. - uru'versal de simultaneidade, nao podeSem uma no~ao . de tempo baseada num movi·rao mos manter a nossa defini ~ . . mento de alguma particula livre em algum referenctaltnercial. Nao podemos mais transferir tempos simplesme~te de urn referencial para outro sem privilegiar o referenctal no qual o rel6gio padrao foi construido. Poderiamos escolher urna particula livre padrao para cada referencial. Mas isto teria o inconveniente de termos unidades de tempo diferentes em referenciais diferentes, dependendo das escolhas arbitrarias das particulas padrao. Seria entao dificil comparar resultados de urn referencial com os de urn outro. Temos que usar uma defini<;ao de tempo com urn padrao que possa ser reproduzido independentemente em cada referencial. Isto e de fato possivel. Neste ponto a teoria da relatividade faz uma liga<;ao com a teoria quantica. Sabernos que a materia, ao nivel microscopico, nao tern as propriedades continuas que ela parece ter no nivel macrosc6pico. A materia e composta de atomos e sabemos que estes atomos emitem luz d,e freqiiencias bern deterrninadas. 0 rnais notavel deste fat~ e que as freqiiencias ernitidas por urn determinado tipo de atomo, numa determinada transirao entre estad ,. . r , ~ os quantcos, e completamente independente da h' t, . I , IS or1a pe a qual o atomo passou. Por exem I . , .d " . . p o, se excitamos urn atomo de hI rogento de urn t . a cer a manetra ele ·· , nada cor de Iuz ind d emihra uma determi. , epen ente do fato , que o atomo foi obtido arrancando-o d , e uma molecula de ' do espa<;o, ou se ele f . . . agua, ou se ele veio 01 stntetizado n ... las elementares - tod , uma reac;ao de particuos estes atomos 'I mente a mesma fr .. " . osct arao com exataequencia. 0 unico .d d ' 0 . que devemos 32 CUI a
t
I l
lt t
,.
i
t I
Ii.
i
I
l
II
t
!
~
I
t
l
I
ter e ~e ~ao atuar sabre OS atomos OU sobre suas particulas constttun:_tes com ~or?as ext:~as. For~as extemas, em geral, deformarao OS orbitalS eletrOniCOS dos atomos e poderao alterar a freqiiencia. Isto sugere utilizar as oscila\6es de urn certo tipo de atomo livre* como padrao de tempo. Define-se de fa to o segundo desta maneira: Urn segundo e a dura~ao de 9192631770 oscila~aes de urn atomo de Cesio 133 livre de for~as extemas, numa transi<;ao entre os dois estados de estrutura hiperfina do nivel fundamental.
Esta defini<;ao e absoluta e vale em qualquer referencial. Tendo rel6gios atomicos podemos definir o conceito de distancia temporal de eventos. Seja e1 urn evento no espa<;o-tempo e e2 urn evento posterior a e1• Podemos "encostar" urn rel6gio atornico nestes eventos de maneira inteirarnente analoga a qual encostamos urn bastao n1etrico em dois pontos marcados num espac;o de urn referencial. Da mesma forma que o bastao rnetrico tern que tocar nos pontos marcados, o rel6gio tern que passar pelos eventos e1 e e2 • Isto significa que a linha de universo do rel6gio tern que passar pelos eventos e1 e e2• Alem disso, como o atomo do rel6gio deve ser livre (pela definic;ao do segundo), a linha de universo do rel6gio deve ser urna linha de universo de uma particula livre. A distancia temporal 't (et e2 ) dos eventos e1 e e2 e o n16d ulo da diferen~a de marcac;oes do rel6gio atomico ao passar pelos eventos e1 e e2 • A distancia temporal de eventos e urn conceito absoluto que nao depende da escolha de urn referencial.
,. Para chamar urn atomo de livre nao basta que a for-;a extema resulta.nte seja zero. As for~as sobre as particulas constituintes tf.m que ser 7.ero t~~m. Se aplicarmos urn campo eletrico num atomo, temos for~as sobre os el~trons e o nucleo que alteram as freqiiencias, mesmo que a for~a ~sultante SE'J3 ~ero. A .: altera~ao da freqiiencia neste caso e conhecida como efeJto Stark
33
4 INVARIANCIA DA VELOCIDADE DA
LUZ E SIMULTANEIDADE RELATIVA
Para a definic;ao de distancia temporal nao precisamos escolher nenhum referendal. Agora vamos estudar deliberadamente questoes ligadas a referenciais. Seja I urn referencial inercial. Para medir distancias entre pontos marcados em I temos que usar algum padrao de comprimento. Seria novamente conveniente ter urn padrao que possa ser reproduzido independentemente em qualquer referencial. Nova mente podemos usar a natureza discreta da materia ao nivel microscopico. Podemos, por exernplo, usar como padrao de comprimento uma aresta de urn certo crista! que tenha urn determinado numero de atomos. Adotaremos, por enquanto, este tipo de padrao "cristalino" de comprimento. 0 sistema intemacional de padroes nao usa este tipo de definic;ao de metro, e comentaremos sobre isso mais tarde. Investigaremos agora qual e o conteudo fisico - quer dizer conteudo observavel - da afirmac;ao da invariancia da velocidade da Iuz. Sejam A e B do is pontos marcados no referencial inercial I com distancia 1entre si (medido como padrao "cristalino''). Colocaremos urn re16gi~ atomi~o em · repouso no ponto A e emitiremos urn curto stnallumtnoso do ponto A. No ponto B colocamos urn espelho que traz . -· ' 35 .
. .. . ...
..· ·,
...
entao A · No relogio podemos ponto I a luz de volta para I ara a ida e a vo ta. Este e a luz eva p . . ,_ medir o tempo qu . do evento da emJssao . d. stancla tempora 1 . d hegada do pulso reflehdo . . tempo rr sena a 1 1 z e o even to a c · primento podem ser redo pulso d e u d - de tempo e com Como os pa roes te em qualquer referencial .d 'ndependentemen pro d UZl OS l ·" ·a em variOS re.nercial podemos repetir esta expenenc~ d l · ta\0es d os .pares e ' inerciais e com varias onen f ciais ;~;~os A e B. 0 principia da invariilncia da .veloCJda~e da luz afirma entao que 0 numero C =2/ /'t Sal sempre IguaJ 0
nestas experiencias. Note porem que o valor c = 2/ /'t eapenas a veloc~dade media de ida e volta. Poder-se-ia pensar que a veloc1dade na ida (A para B) fosse diferente da velocidade na volta (B para A). Para medir a velocidade so na ida teriarnos que marcar no rel6gio situado no ponto A em que instante o pulso chega no ponto B. Esta medida nao corresponde mais a uma medida de distancia temporal, pois o rel6gio nao passa pelo evento de chegada da luz. Esta experiencia requer urn a transferencia de urn valor da escala de tern po no ponto B para o rel6gio no ponto A. Precisamos en tao de algurn criteria de simultaneidade. Einstein propos o seguinte criterio de simultaneidade: Simultaneidade de Einstein: sejam a e b eventos que, nurn refer~ncial I, acontecem nos pontos A e B, respectivamente. SeJa M o ponto que divide o segmento de reta (A B) .ao meio. Chamaremos os eventos a e b simultaneos re~ lativamente ao referendal I se pulsos de luz emitidos nos eventos a e b se encontram no ponto M.
Este criteria e genial · ld d .. · - a Jgua a e da velocidade de luz na Ida e na volta e 'd ~ garanh a automaticamente! Note no entanta, que desta forma t . . . ' ida e volta , es a Jgualdade das velocidades de e apenas uma · _ canven~ao e nao pode ser veri fica . . 36
da ou falsificada experimentalmente. Qualquer experienda que questione esta igualdade teria que usar algum criterio de simultaneidade independente do criteria de Einstein. Isto e de fato possivel. Podemos formular urn criteria de simultaneidade dentro de urn dado referencial inercial baseado apenas no conceito de disHincia temporal: Simultaneidade geometrica: sejam a e b eventos que, num referencial I, acontecem nos pontos A e B respectivamente. Seja M o ponto que divide o segmento de reta (A, B) ao meio. Chamaremos os eventos a e b simultaneos relativamente ao referencial I se existir urn evento m, anterior aos eventos a e b, que acontece em M tal que as distancias temporais 't(m,a) e 't(m,b) sejam iguais. • Neste criteria nao se usa luz ern rnomento algum. Em rela\=aO a simultaneidade geometrica podemos entao testar experimentalmente se a velocidade da luz depende do sentido de propagac;ao. Para testar se os eventos a e b sao simultaneos relativamente a I temos que mandar dois rel6gios atomicos do ponto M para os pontos A e B. Os rel6gios tern que partir de M no evento m e chegar com marcac;oes iguais nos pontos A e B, justamente no instante certo para presenciar os eventos a e b (vide definic;ao de distancia temporal). Podemos resumir o conteudo fisico do segundo postulado da seguinte forma: a) a velocidade media da luz c = 2/ /'t e igual em todos OS referenciais inerciais e b) 0 criteria de simultaneidade de Einstein seleciona os mesmos pares de evento que o criteria de simultaneidade geometrica. Tanto o criteria de Einstein como o criterio geometrico definem uma simultaneidade re1ativa a um referendal. * Podemos usar tambem urn evento m postertor · a' a e b , mas m nao pode ser posterior a a e anterior a b ou vice versa.
37
Vejamos uxn exemplo: imagine um trem andando em alta velocidade. Imagine dais raios que caem no trem, urn na frente do trem e urn na extremidade traseira. Se os pulsos de Iuz que sao emitidos pelos raios seen con tram na meta de do intervalo (A,B) das posi\6es A e B dos raios marcados nos trilhos, urn observador no referencial dos trilhos deve julgar simultaneos os eventos criados pelos raios. Sejam A' e B' os pontos onde cairam os raios no referencial do trem. Obviamente o Iugar do evento do encontro dos dois pulsos de luz acontece no referencial do trem num pon to que nao divide o intervaloA', B' ao meio. En tao os eventos nao seriam julgados simultaneos no referencial do trem (veja a figura 6). A situa<;ao seria outra se os dois raios tivessem caido nao urn na parte dianteira e urn na parte traseira, mas sim urn ao lado do outro, isto e, separados por urn vetor perpendicular a velocidade. Neste caso ambos OS referenciais julgariam a simultaneidade da mesma forma (veja a figura 7). A situa<;ao e igual com a simultaneidade geometrica.
~ A'
+
;
---.._.lq
7"'\~
M
A
)
B'--4
6 a)
B 6 b)
M
B
Fig. 6 a) Trem (superveloz) e trilhos d . . . . te relativo ao refer · d . com 015 raios ca1ndo sm1ultaneatnenenCia1 os tnlhos 6b) E · ncontro das frentes de onda no ponto M.
38
,.
..'
A
j
~: B
t
7 a)
A
~
7 b)
l
B
M'
7 c)
Fig. 7 a) Trem e trilhos vistos de cima. Dois raios caem nos pontos A e B. 7 b) Frentes de onda que se encontram entre A e B. 7 c) Frentes de onda que se encontram entre A' e B'.
N as figuras 6 e 7 desenhamos pontos do referendal dos trilhos junto com pontos do referencial do trem. Mas antes £alamos que a urn ponto de urn referencial nao corresponde urn ponto num outro referencial. Isto everdadeiro. Mas urn evento e pode relacionar pontos em referendais diferentes: no referendal I o evento e acontece num ponto Pe do espa~o de I e este evento acontece num ponto P~ do espac;o de urn outro referencial I'. Desta forma e relaciona urn ponto do espa~o de I com urn ponto no espa\O de 1'. Se escolhermos uma cole~ao de eventos, por exemplo, como criteria de todos serem simultaneos no referendal I, podemos mapear o espa~o de urn referendal no espa~o de outro referencial. Desta forma podemos representa-los num desenho. A figura 6 mostra dois desenhos deste tipo. 0 primeiro (fig. 6 a) usa a correspondencia, entre os espa· \OS dos referenciais, gerada por eventos sitnultaneos cotn . as quedas dos raios. 0 segundo (fig ..6 b) usa eventos si· . 39 . . .
" ( ferencial dos trilhos) com o evento do enn1ultaneos no re z Na linguagem comum falaremos contro d os pu1sos de lu · . _ · 1 t . as figuras 6 a) e 6 b) mostram a sttuac;ao do stmp esmen e. trem e dos trilhos em dois "instantes" diferentes. As figuras 7 a), 7 b) e 7 c) mostram tres instantes.
Exercicios E 4.1. Simultaneidade de Einstein. a) Desenhe os eixos x, t de urn referencial I, representando a distancia espacial de 1 1 em por 1 em no eixo x e o tempo bt = (29979245800)- s por 1 em no eixo t. b) Desenhe, no mesmo grafico, as linhas de universo de tres pontos A', B' eM' de urn referencial I' que se move com velocidade c/3 na direc;ao x, em rela<;ao ao referencial I. Suponha que o ponto M' divide o segmento de reta (A', B ') ao meio. Escolha urn even to a na linha de universo de A' e construa urn even to b na linha de universo deB', tal que b seja simultaneo com a relativamente ao referencial I', segundo o criteria de Einstein. Use diretamente o criteria de Einstein, desenhando as linhas de universo dos pulsos de luz e nao use as formulas da transforrna<;ao de Lorentz. E 4.2. 0 criteria geometrico de simultaneidade e logicamente independente do criteria de Einstein, mas ele acaba selecionando os mesmos pares de eventos, pais as velocidades de ida e de volta da luz sao de fato iguais. Entao os eventos a e b construidos no exercicio E 4.1 sao tambem simultaneos relativamente a I', segundo o criteria geometrico. Entao e possivel encontrar urn evento m, na linha de universo de M', tal que -r(m,a) e 1:(1n,b). Escolha tal evento m. Tome cuidado de escolher m tal que realmente existam rel6gios que passam fazer a viagem m --) a e 1n --) b !
40
5 .. COORDENADAS NO ESPA<;O-TEMPO
Para formarmos coordenadas no espa~o-tempo podemos usar quaisquer quatro fun~oes numericas definidas fisicamente que permitam distinguir os eventos. Mas certos sistemas de coordenadas serao mais uteis que outros. Conhecemos esta situac;ao da geometria Euclidiana onde gostamos mais de trabalhar com urn sistema Cartesiano, o qual se adapta especialmente bern a geometria do espac;o Euclidiano. Da mesma forma tentaremos construir coordenadas no espa<;o-tempo que se adaptem especialmente bern a geometria deste. Isto pode ser feito escolhendo urn referencial inercial I. Em I os eventos e acontecem em pontos Pe. Podemos escolher no espac;o de I coordenadas Cartesianas x, y, z e podemos atribuir a urn evento e as coordenadas xe, Ye' ze do ponto Pe. Resta construir uma quarta coordena- da. A quarta coordenada sera uma coordenada temporal. Podemos fixar urn rel6gio atomico em algum ponto do referencial. A coordenada te do evento e sera a marca<;ao do rel6gio que e simultanea como evento e. Nesta constru~ao _ usamos a simultaneidade geometrica relativa ao referencial I. Isto conclui a construc;ao das coordenadas. 0 referenciall · determina as coordenadas. Apenas a escolha da origem de t; x, y, z e a orienta<;ao dos eixos x, y, z sao arbitrarias. 41
~
t. f
Para ver que estas coordenadas silo realmente espe· cialmente adequadas para a descri<;iio da geometria do espa<;o-tempo, calcularemos agora a distiincia temporal 't(e ,e ) de dois eventos e1 e ez em termos das coordenadas 1 2 eventos. Uma segunda questiio que resolveremos . destes simultaneamente e como se transform am as coordenadas t, x, y, z numa mudan<;a de referendal. A chave para estas duas tarefas e 0 principia da invariiincia da velocidade da luz. Convem formular este prindpio em termos das coordenadas. Para dois eventos e1 e e2 podemos definir a seguinte grandeza quadn1tica:
Q(ePeJ= c 2(tt
-tJ -(xt -xS -(Yt- YS- (z1- zS (15}
e 'pa~a ~m outro referendal inercial I' com coordenadas t', x Y z analogamente 1
1
Q' (el' e2 ) = c2 (t; - t; Y- (x; - x; )
(y; _ y; ) _ (z: _ z; )2 2
2 _
(16}
Q (e1,e2) sera exatamente zero p ara eventos e e e 1 2 que po· d em ser ligados por urn sinallumi palavras Q(e e ) _ s noso. Ou, em outras ' v 2 - 0 e e so se urn 1 d 1 evento e1 iluminaria J·ust pu so e uz emitido no amente o event ( . dependendo de qual d o e2 ou VIce versa · . . ,. . os eventos e 0 an cia da velocidade d 1 . .. primeiro). A Invaria uz s1gntfica q . ser forrnulado com Q' d ue este cnteno pode . a mesma form E I
I
I
gumte eqiiivaH~ncia:
•
a. ntao vale a se-
<=>
Q'(e,,e2) = 0
(17)
Isto e urna pnmeua · . exi " . coordenadas. . gencia para a transforma<;i'io de 42
t
I'
f I
Jn1 agine que o referencial I' move-se com uma velocidade uetn relac;ao a I. Podemos escolher a orientac;ao dos eixos tal que U aponte na dire<;ao do eixo X, isto e, U= U ~ e que OS eiXOS y, z e y', z' estejam paralelos em qualquer instante. Alem disso podemos escolher o mesmo evento de origem e para . . 0 05 dais re f erenaats; e0 ~ t 0 =x0 = y = z = 0= t' =x' = y' o= z' . 0 0 0 0 0 Para eventos e1 e e2 que acontecem em pontos P e p no plano 1 2 y, z do referencial I nao faz diferenc;a se julgamos sua simultaneidade em I ou em I'; eles tern a configurac;ao dos dois raios que caem no trem urn ao lado do outro (fig.7). As extremidades de uma barra metrica em repouso no plano y, z de I atravessam o plano y', z' de I' simultaneamente em relac;ao a I e a I'. Com isso esta barra metrica pode ser usada tambem para medir distancias entre pontos no plano y', z' de I'. A medida das coordenadas Ye e ze de urn evento e com barras metricas no plano y, z em I deve entao resultar nos mesmos n{tmeros que a medida das coordenadas y'eez'e em I'. y = y' e z = z' e uma segunda condic;ao para a transformac;ao de coordenadas.
Deixaremos para depois a tarefa da transformac;ao de coordenadas e trataremos da tarefa de expressar a distancia temporal de dais eventos e1 e e2 em termos das coordenadas destes eventos. Para facilitar, podemos escolher a origem de coordenadas no evento e1 e a orientac;ao dos eixos tal que e2 acontec;a no eixo X, isto eY2 = Zz = 0. As coordenadas dos eventos sao entao: 0
e,
0 0
0
12
e2
~
x2 0 0
43
..
Para medir a distfulcia temporal entre e1 e e2 precisamos de um rel6gio at6mico R que passe por e1 e e2 • Suponhamos, sem restringir a generalidade, que t 2 > 0. Entiio o rel6gio R estaria em x = y = z = 0 no instante t = 0 e viajaria com velocidade u = x I t2 para o ponto {x2, 0, 0) para presen2 ciar o evento e • Para poder aproveitar o que aprendemos 2 sabre transforma~oes de coordenadas numa mudan~a de referendal, introduzimos agora o referencial inercial de repouso do rel6gio R. Neste referendal, I', escolheremos a origem tambem no even to e1 e os eixos x', y', z' paralelas aos eixos x, y, z. Como R esta em repouso em I', ele indica os valores da coordenada t'. As coordenadas de e e e em J 2 senam entao: I I
•
-
t; =~ (e"e
0 et
~
0 0
e2
'
I
2)
0 ~
0
0
0
. . . Agora podemos escolher urn terceiro evento e . I taneo co 1 3' Simum e2 em re a~ao ao referencial I e com a coordenada x do evento e , mesma 2
0 tal que urn pu1so d e luz emitid figu ra 8) . Isto e, possivel d d o em e1 ale x ance e3 (compare a es e que u = -L < c 12
44
•
t
I
-~- - --) (x 2, y) ,\ , I I
,
cI
X
Fig. Sa Os cvcntos e1, e7 c e.l no esp..'l\0-t<'mpo junto com a linha d<· uni· verso do relbgio que mede a dist3ncia tC'mporal dee, e l!r A superllcie conica represcnta os cventos que seriam iluminados pur um pulso de luz
emitido en\ e,.
y
y
cI
X
X
b
c
y
X
d '
'
Fig. 8b-e) Quadros de utna filmagem dos acontedmentos da fig. Sa. Os . . t rdbgio pot urn quad rado. eventos sao rcprcsentados por dascos pre os, 0· .. . d d luminosa enuttd'' no cvenbJ c,.
As figuras c-e mostram uma frcnte con a
~
.
4S
0. Com o pn·nct'pio ,da invariancia , Entao vale Q(e1,e3 ale tambem Q (e1,e3) = 0. d 1 sabemos que v da velocidade a uz,. t mbetn em relac;ao ao re, · Itaneo com e2 a o evento e,3 e. , stmu x - x (s1tuac;ao . _ da figura 7). Entao vale ferencial I , Ja que 3 - 2 _ _
) =
t'J = t'2 = 'r(e1,e2). Temos en tao: (18)
e Podemos combinar estas equac;oes e obtemos:
(19)
Mas aprendemos tam bern que y = y' e podemos concluir (20)
En tao obtemos o resultado desejado:
(21)
Este resultado foi deduzido escolhendo e1 como origem das coordenadas e com o evento e2 acontecendo num ponto do eixo x. Efacil adivinhar como seria o resultado com outra orientac;ao dos eixos x, y, z e com outra origem. No Iugar da equac;ao (21) teriamos ·
1:
(el'eJ=! ~c
2
(t1 -tS -(x -xS -(y YS -(z -zS 1
1
-
1
(22)
Podemos escrever isto tambem com a grandeza quadr
(23) 46
Este resultad~ e importante por duas razoes: 1) A distancia temporal e a grandeza chave para a deternlinac;do da geometria do espac;o-te~po. Com a equa\'ao (22), ou (23), podemos calcular estes numeros importantes. 2) A distanda temporal e uma grandeza absoluta independente da escoIha de um referencial. Mas as coordenadas que aparecem no lado direito da equa<;ao (22) dependem desta escolha. Podemos entao concluir que, numa mudanc;a de referencial, as coordenadas devem mudar de tal forma que o valor
nao se altere. Chegamos entao a conclusao de que nao apenas vale a eqiiivalencia (17), mas vale a condic;ao rnais forte (24)
Com esta equa~ao podemos finalmente cornpletar a tarefa de determinar a transformac;ao de coordenadas que acompanha uma mudanc;a de referendal. Sejam I e I' referenciais e t, x, y, z e t', x', y', z' as coordenadas correspondentes. A linha de universo de qualquer particula livre, vista nos espac;os R4 das coordenadas t, X, y, z ou t', x', y', z', e uma reta. Entao a transformac;ao {t, x, y, z} ~ {t', x', y', z'} deve mapear retas em retas e concluimos que ela deve ser uma transfonnac;ao linear inomogenea: ,.._,
t'
x' y'
z'
M" ,.._, Mxl ,..._, My, '""'"'
Mzl
'""'"'
.-J
,....__
Mix
M,y
M,z ,....,._
t
Mxx Myx
M xy ,...._ Myy
Mxz ,.._, M yz ,..__,
X
y
""""'
Mzy
Mzz
z
""-'
Mzx
,....__
to
+
Xo
(25)
Yo Zo
47
amenteesco!her as origens coincidentes, de Po demos nov . eneo desapare~a, e podemos e o termo 1nomog , , , . · z aralelos aos eixos x, y, z eo eJxo tal forma qu. I tiva u = u Entao sabemos escolher OS eiXOS X, y,'d pd . ao da veloci a e re a x na dire~ ' - (25) toma a forma quey-- y' e z = z e a equa~ao
ex.
,....,_
Mu M,x ,....,_. ,....... Mxt M.a
t' X
,.....;
I
....__
,......-
Mty M,z ....__ .....__ Mxy M xz
y'
0
0
1
0
z'
0
0
0
1
t X
(26)
y z
0 resultado ficara bern mais simetrico, e mais facil de memorizar, se usarmos no Iugar da coordenada t a coordenada Xo =ct. Correspondentemente, escreveremos as outr~s coordenadas na forma x1 = x, x2 = y e X3 = z. A transforma<;ao (26) toma entao a forma Xo'
xl'
x'2 x'3
Moo -
MID 0
MOl
Moz
Mo3
Xo
Ml,
M,2 I
M,3
XI
0
x2
0
I
x3
0
0
. 0
(27)
Umpontofixoeml'move-seemicornvelocidade u= u e_y. Conseqiientemente, a equa<;ao x' = 0 deve ser equivalente a equa<;ao x- ut = 0 ou xl - !!.xu= o. Concluirnos entao que; c
(28)
onde Y e alguma constante e onde abreviarnos 13 = u I c. Como a simultaneidade de eventos no mesrno plano y, z e julgada da rnesma forma nos dois referencias, conclufn1os · que M 02 = M 03 = 0. Tambern a transforma<;ao da coordenada x niio deve depender das coordenadas y e z. Por tanto esperamos ter M 12 = M 13 = 0. 48 .
.\
x'0
Af
AfOI
0
0
Xo
-py
y
0
0
x,
X .,
0
0
l
0
X.,
x'3
0
0
0
1
x3
~
, x, ,
()()
(29)
Resta detern1inar as tres incognitas Y, M00 e M • Esta 01 tarefa pode ser resolvida usando que a equa<;ao (24) deve valer para qualquer par de eventos. Escoihendo e 1 como origen1 e e2 coin coordenadas (xOt x 11 0, 0) obtemos da equa<;ao (24) a condi<;ao x/- x/ = (M00 x0 + M 01 x 1 ) 2 - (- ~y x0 + y x 1)2. ConlO as variaveis Xo e X 1 sao independentes (0 evento e2 e arbitrario) podemos comparar os coeficientes dos termos proporcionas aX 02, X/ e X 0 X 1 separadarnente e obtemos tres equa~oes para as tres incognitas. Nao desenvolveremos a algebra desta tarefa aqui e daremos apenas o resultado. Na lista de exercicios ten1os a tarefa de verificar o resuitado;
x'0
y
-~y
x'I
-~y
, x2 , XJ
0
Xo
'Y
0 0
x,
0
0
I
0
x2
0
0
0
I
x3
1
0
e
(30)
~ = u. c
Em terrnos das coordenadas t, x, y, z, e sem abrevia<;oes, esta transforma<;ao tern a forma:
ux
I----;;
c""
t' = --=====-
1-(:)2
(31)
49
.
x-ut (32)
y'=y
e
z'=z
(33)
Esta ea famosa transforma\iio de Lorentz, que substitui en tao a transformac;ao de Galileu. Como esta transformac;ao refere-se ao caso especial de uma velocidade relativa na direc;ao Xe a eiXOS parale}OS, a transforma~aO e tambem chamada transfonnar;iio de Lorentz especial. Podemos obter o caso geral combinando uma transformac;ao de Lorentz especial com uma rotac;ao dos eixos, mas nao trataremos deste caso aqui. Lorentz encontrou esta transformac;ao antes do trabalho de Einstein, mas nao conseguiu interpreta-la fisicamente. 0 matematico e fisico Poincare tambem inventou estas transformac;oes independentemente. As coordenadas t, x, y, z ligadas a urn referencial inercial, que deixam a distancia temporal na forma simples
sao tambem chamadas coordenadas de Lorentz. ~as equac;6es (31) e (32) podemos notar que a transformac;ao de Lorentz perde seu sentido se > a velocidade relativa entre do is r f u .-.c. ~sto sugere que pode ultrapassar a velocidad de Ierenciais tnerciais nunca . e a uz Ma·s t d mais argumentos supo t d . ·, I ar e veremos r an o esta hlpotese.
Da equac;ao (31) podemos ver . . multaneidade de eve t - , . exphcitamente que a si. . n os nao e JU] d . ferenctats. Como a . ga a 1gual nos dois re. . Simu1tanetdade compnmentos espaciais t entra nas llledidas de ' emos tan1be - diferenso m ava I.Ia<;oes
tes de distancias nos dais referenciais. Imagine uma barra B em repouso no referendal I' com suas extremidades A e B no eixo ~'. Em I' o comprimento desta barra sera simples- , _ mente a diferenc;a das coordenadas x' das extremidades (34)
Se quisessemos medir o comprimento da barra no referencial I, teriamos que encostar uma barra metrica simultaneamente nas extremidades de B. Os eventos do toque das extremidades das barras teriam que ter entao o mesmo valor da coordenada t. Com a equac;ao (32) podemos concluir que o comprimento observado em I seria entao
Entao a barra apareceria menor. Este efeito e chamado de contra~ao de Lorentz. Qual e entao o "verdadeiro" comprimento da barra? Isto e uma questao de defini~ao. Parece razoavel definir o comprimento de uma barra tal que esta grandeza nao dependa da escolha de referendal. Podemos definir o comprimento "'verdadeiro", ou pr6prio, de uma barra como aquele medido no referencial de repouso da barra. Isto e: se estivermos num referencial I no qual a barra esta se movendo com certa velocidade, a prescri~ao de medida e: telefona-se para urn colega que vive no referendal de repouso da barra e pede-se para ele medir o comprirnento. Desta forma chegaremos sempre ao mesmo valor, qualquer que seja o referencial I.
M.,. G. M G', . .. ' ~ fo~tre que a equ ..1\ao -~.- ic coordcnadas c C c E ;:,...... . . d transtornH\\ ..10 < ~
C'·l) e equtv~.l I
•
•
It..•rl te n
#
onde A-f e a nlatnz a a tnatriz
G=-
1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-I
0
0
0
0
-I
.
- de Lorentz (equa\ao 30)
E 5.3. ~Iostre que a transtorma~ao realmente cum pre a condi~ao (24).
~ (transtorma~ao
-
I
de Lorentz) nao e a E 54 A. equarao (30) · · ~ y M M Ol tal que a tinica solu\ao do problema de achar ' oo e equa<;ao (24) seja satisfeita. Nlostre que
, Xo
,
xl
,, x2 ,
--
xJ
com y-
-y
+~Y
0
0
Xo
-~y
y
0
0
XI
0
0
1 0
x2
0
0
0
1
XJ
1
e ~=u c
- Jt- ~
2
tambem satisfaz a condi~ao (24). De urn argumento por que as coordenadas x" pod em ser excluidas de considera~ao. E 5.5. Calcule a inversa de uma transformac;ao de Lorentz.
E 5.6. I, 1', I" sao referenciais inerciais. I' move-se com velocidade u 1, ao Iongo do eixo x, em rela~ao a I. I" move-se com velocidade u 2, ao Iongo do eixo x', em rela~ao a 1'. Escreva a transforma~ao de Lorentz que relacione as coordenadas t", x", y", z" com t, x, y, z. (Todos os eixos sao paralelos).
52
E 5.7. Determine a transforma\ao de Lorentz para o caso em que ]' se move na direc;ao z e nao na dire\ao x. E 5.8. Determine a transforma\aO de Lorentz para o caso em que [' se move numa dire\ao no plano xz que faz um angulo e com o eixo z tal que a velocidade de I' em relac;ao a I e == ezu cos8 + exu sen 8. Dica: aplique primeiramente uma rotac;ao que gira o vetor na direc;ao do eixo z, em seguida aplique a transformac;ao de Lorentz do exercicio E 5.7 e finalmente a rotac;ao inversa.
u
u
r·
6. TRANSFORMAc;Ao DE VELOCIDADES
A invariancia da velocidade da luz e obviamente incompativel com a lei nao relativistica da transforma\ao de velocidades; v' = v - u. Veremos agora como velocidades mudam numa troca de referencial inercial. Usaremos a transforma\ao de Lorentz especial (equa\6es (31, 32, 33)). Considere uma lei horaria no referendal I : t H
{x (t), y (t ), z(t)}
{36)
No referencial I' este mesmo movimento edescrito pel a lei horaria t' H {x' (t'), y' (t'), z' (t')}
(37)
onde t', x', y', z' sao relacionados com t, x, y, z pelas equac;oes (31, 32, 33). As componentes da velocidade em
I' sao entao:
dx' dx' dt ( _ )!!!_ v' =-=--='Y vx u d' dt' dt dt' . ( X
(38)
.
55 ... . . . .·
~
.· .
dt
dy _ L - == vy d-; ' - - dt d'/ t Vy- dt'
(39}
dz' dt _ !!!__ - - - - vz d'
(40)
.
d
I
e
,
dz'
I
dt
vz == dt' - dt dt' Falta calcular dt I dt'. Em vez calculamos o inverso dt' I dt:
t
de calcular esta derivada,
dt' . ( - uv:c -=Y 1 2 dt c
J
(41)
. do dt I dt' = 1 I (dt' I dt) nas equa~oes (38-40) obInsenn temos en tao; v' X
v -u
(42)
=~x_ _
UVr
1 - .; c~
~1 (%)
'
v = v -=--------y
y
uv
~1 (%)
'
v~ =v_~---
..
1- --f-
c ..
..
liV
(43)
1--x ')
c""
Urn aspecto notavel destas transformac;6es e que as componentes v'y e v'z dependem tambem de vx. Isto e bern diferente do caso nao-relativistico. Pode-se rnostrar que uma velocidade v cujo modulo em I e menor que c, tera modulo menor que c em qualquer referencial inercial. Vejamos apenas dois exemplos:
ex
1) Vamos supor que ii = 0,5 c e u = -0,5 c. Niio-relativisticamente teriamos ii = c (!,. Mas as equa,.Oes (42) e (43) mostram que: 56
I
,_
vx -
f
0, Sc - ( -0, Sc)
0,5c(-0,5c) 1cz
=
c -4 1 + II- 5c < c
-
e
v')I == v'z == 0
/4
-
2) Vamos supor que v= c ~ e -c < u
c-u vx = I _ cu 2 c ,
0
=
c(l- u)
c 1_ u/ = c /c
e
v , = v, = 0 Y
z
,
que eurn exemplo da invariancia da velocidade da luz.
Exercicios
I
E 6.1. 0 referencial inercial I' move-se em relac;ao ao referencial I com velocidade 0,7 c na direc;ao x eo referencial I" move-se com velocidade 0,8 c, em relac;ao a I, na direc;ao -x. Calcule a velocidade de I' em relac;ao a I". E 6.2. Urn pulso de luz propaga-se ao Iongo do eixo y do referencial I. Urn referencial I' move-se em relac;ao a I com velocidade u na direc;ao x. Calcule as componentes da velocidade do pulso de luz e o seu modulo no referendal I'. E 6.3. Expresse as componentes da velocidade de uma particula em relac;ao ao referencial I em termos das componentes da velocidade em relac;ao ao referencial I' que se move em relac;ao a I com velocidade u na dire~ao x. E 6.4. Use a inversa a da equac;ao (42), que foi obtida no exercicio E 6.3, para explicar por que as experiencias de 2 medir o fator de arrasto a deram o resultado a = 1 - n- -· Use que os meios tern velocidades baixas comparadas cotn a velocidade da Iuz.
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I -I
I I
57 ..
I
I
7 A GEOMETRIA DO ESPA<;O-TEMPO E A DEFINI<;Ao DO METRO
Veretnos, nesta sec;ao, que a geometria do espac;o-ternpo pode ser determinada inteiramente pelas distancias teinporais de eventos. No entanto podemos ver pela eguac;ao (22) 't
(e,,e2
)=! ~c (t, -tzf -(x,-xzY -(y 2
1-
yzY -(z,-z2 Y
que a distancia temporal de eventos nao esempre bern definida. Se os dois eventos e1 e e2 estiverem localizados no espa<;o-tem po tal que
Q(e~'e2 )=c 2 (t, -t2 f -(x, -x2 Y-(y,- y 2 f -(z, -z2 Y<0 (44)
a expressao da dis tan cia temporal nao fornece urn ntt mero real. Mas uma distancia temporal, sendo urn modulo de urna diferenc;a de numeros de oscilac;oes, tern que ser real. 0 fato que a distancia temporal, neste caso, nao ebenl definida, tern uma interpretac;ao fisica obvia: se os eventos e1 e e2 satisfazem a condi<_;ao (44), nao encontraren1os ncnhun1 rel6gio que presencie 05 do is eventos. Po is este re16gio teria que viajar com velocidade maior que a velocidade da luz c pela discussao das transformac;oes de Lorentz h~n1os irh~i- .·.. cios de que nao existe corpo material nlgum que sc dcslo• .. . .
·. · ,
_ r;Q
. e Neste aspccto a dist,uH.'ia h:nlporal que com tal velocidad . t . C<>nnun ~r.o d ifen.-n tps: " . da geonle nn . e a distancia comum --t r tnnn bnrrn tnetrica entr" . , . oden1os encos a " en1 pnnclpto p .. d .. '"'<> ciesdc t}tlP n~o h~tja lllll . d . pontos o espa\ ' . 1:\
qum~quer o~:minho
No espa(o-tempo" pn'lprio g••onw-
obstaculo no · i 'VPntos l)liC . b "'ta' C\tlo entre certos pares c (' ~ . tna bota um o s · nos eventos. impede, que encoste mos" urn relCH'io o II
..
E(c 1}
y
X
Figura 9
Vejamos quais os pares de eventos para os quais a distancia temporal e bern definida e aqueles para qu
0. Os eventos que nao tern distancia tempornl bern dcfinidn ao e1 satisfazem Q(e 1, e2) < 0. Ha ainda un1 caso intermediario, Q(e 1, e2) = 0, para o qual a expressao tnaten1atica para 't resulta no numero real zero, mas tan1bern nao encontrariarnos utn rel6gio que viaje de e1 para e. Podemos ver estes conjuntos nas figuras 9 e 10. 0 con junto L(e1 ) = {e IQ(e.1, c)= 0} e chamado de cone de luz do evento e1, e este cone duplo scpara os conjuntos T(e 1) = {e IQ(e1, e)> 0} e E(e 1) = {e IQ(e , e)< 0}. 60
1
.
·
T(e 1)
y
Figura 10
I
I
Para qualquer evento e E T ( e1 ) podemos entao encontrar um rel6gio que presencia os eventos e1 e e. No referencial de repouso deste rel6gio os dois eventos e1 e e acontecem no mesmo ponto do espa<;o. Por isso podemos dizer: os eventos de T(e1) sao temporal mente separados de e1. Logo em seguida veremos que para qualquer evento e E E ( e1 ) podemos encontrar um referencial inercial no qual e1 e e sao simultaneos. Entao diz-se que OS eventos de E(el) sao espacialmente separados de e1.
I
I
I
I
I
I
Como a expressao matematica da distancia temporal resulta num valor real quando Q(e1, ez) = 0, erazoavel juntar os conjuntos TeL; T(e 1 )= T(e1 )u L(e1 ) = ~~Q(e,,e) > 0 }. Este conjunto T ( e1 ) eurn cone duplo cheio (com interior). Como podemos ver pela figura 11, T (e1 ) decai naturalmente em dois cones simples, F(e1 ) e P(eJ), d~ tal forma que T (e1 )= F(e1 )u P(e1 ) e que {e1}= F(et )nP (eJ ).
I
I
I
I . .: I .
.
~
,.).'.
6.1
: I
. ·' ..·' I .
'
·, I
Fig. 11 Futuro e passado de urn evento. ,
Qualquer linha de universo que passa pelo _:vento e1 e dividida em duas partes pelos cones F (e,) _e P (e, ), uma parte que fica em P (e,) e urn a que fica em F ( e, ) , tendo o evento e1 como unico elemento em comum. Esta situac;ao justifica chamar urn destes cones o passado de e1 e o ou tro o futuro de e1. Para eventos e espacialmente separados de e1 , obviamente nao tern sentido compararmos e e e1 no sentido de omais tarde" ou "mais cedo", pois sempre podemos encontrar urn referencial no qual eles seriam simultaneos. Temos entao uma estrutura que os matematicos chamam de "ordem parcial" ou "semi-ordem". Veja urn exemplo simples de ordem parcial. Para func;oes reais podemos definir: a func;ao f e maior que a func;ao g se para todo x o valor j(x) for sempre maior ou igual ao valor g(x). Isto ef J1g ~ (j(x) > g(x) para todo x). ~or exemplo, para j(x) = exp{x} e g(x) = sen{x}·exp{x} vale f/'g, mas as func;oes sene cos seriam incompaniveis. P.odemos dizer: na relatividade restrita 0 te1npo no seu sentido de ordenamento e uma ordem parcial dos eventos. Para :ven~os temporalmente separados poden1os decidir qual e rnals cedo e qual e mais tarde ... e a b _ . Esta . d.1st'tn~ao I
62
•.
sol uta e independente da escolha d f .· . . e urn re erenctal Nc , t . senttdo temos un1a no<;ao absoluta d e t en1po. · s c .. 1rnente separa· Faita mostrar que, para eventos espactn dos, sempre podemos encontrar 'algu In re ferenCial . no yual . . ,.. eles -senam .stmultaneos. Aqui nao da remos uma dcmons, . tra\ao. , . Ao tnves. dtsso, . discutiremos urn exemp1o como exerctcto que detxa a sttuac;ao intuitivamente bern clara.
Figura 12
Exercicio: desenhe na figura (12) os eixos ct' e x' para a transformac;ao de Lorentz da equa\ao (30) com ~ = 113.
Solu~ao: 0 eixo ct' e determinado pela condi~ao x ' = 0 (e y' = z' = 0 tambem, mas vamos omitir y e z para simplifi· car). Com x' =- ~y (ct) + y x a condic;ao x' = 0 e equivalente a X I (ct) = ~ = 1/3. lsto permite desenhar 0 eixo ct'. 0 eixo x' e determinado pela condic;ao ct' = 0. Com (ct') = Y(ct)- ~ Yx a condic;ao ct' = 0 e equivalente a (ct) I X= ~ = 113. Is to permite desenhar o eixo x'. A figura (13) mostra o resultado.
63
X
Figura 13 ,
Tambem mostramos na figura (13) urn evento e que e espacialmente separado do evento e0 da origem. Como podemos ver, a coordenada temporal dee no r_eferenci_al I seria positiva enquanto no referencial I' ela sena negahva, mostrando que uma compara~ao no sentido "mais tarde" nao e possivel de forma absoluta para eventos espacialmente separados. Nosso exercfcio deixa bern claro que podemos passar o eixo x' atraves de qualquer evento espacialmente separado do evento da origem, se escolhermos ~ no intervale (-1,+1) apropriadamente. Podemos aprender ainda mais com o nosso exercicio. Determinamos os novos eixos de coordenadas, mas nao botamos ainda as unidades nestes eixos. Determinaremos agora onde ficariam as marcas de lm nos eixos x' e ct'. 0 evento ez que fica no espa<;o-tempo localizado na marca de lm do eixo ct' tern as coordenadas (no referendal/') .
.. . 64
ct' ==lin 0
0 0
Para a grandeza quadnitica Q' entre o even to e1 e 0 evento de origem e0 vale entao Q'(e0,e1) =1m 2 • Mas sabemos que 0 valor desta grandeza 0 mesmo, se calculado nas coordenadas do referencial I. Sabernos entao que o evento e 1' que marca lm no eixo ct', cumpre a equac;ao
e
(45)
Esta equac;ao descreve dois hiperbol6ides de rotac;ao, urn que fica dentro do cone do futuro de e0 e o outro dentro do passado de e0. A marca de 1m fica onde o eixo ct' atravessa o hiperbol6ide do futuro.
0 evento e2 , que fica no espac;o-tempo localizado na marca de lm do eixo x', tern as coordenadas (no referencial I') I
0
x'= Im
e2
0 0
Sabemos entao que Q(e e2) =-1m2 e, conseqi.ientemente, ~ o evento e que marca lm no eixo x' cum pre a equac;ao: 2
(46)
. b 1'ide de rotac;ao. A Esta equac;ao descreve urn h 1per 0 0 ,. . , sa este hiperbolot. . marca de lm fica onde o etxo x atraves E ta figura substJtut de. A figura 14 mostra o resulta d o. 5 . entao a figura 5 da fisica nao relativistica. . · 65
Figura 14
Desta constru<;ao podemos aprender como interpretar Q(e , e) para eventos e0 , e espacialmente separados. 0
A distancia temporal
't
(e0 ,e) = .!~Q(e0 ,e) nao tern senti do c
neste caso, mas podemos chamar
s ( e0 , e) = ~ -Q ( e0 , e)
(47)
de separa9iio espacial dos eventos e0 e e. s(e0 , e) seria a distancia medida entre os pontos Pe0 e Pe onde acontecem os eventos e0 e e, no referencial em que estes eventos seriam julgados simultaneos. (48)
para e0 e e simultaneos no referencial que define p
eo
e p
e
Aparenternente podernos descrever toda a geome t na . . do espa<;o-ternpo a parhr da grandeza Q. 0 Q( ) , h d . va 1or c 1, e2 e c arna o zntervalo entre os eventos e V _ 1 e e2 • amos entao
investigar nlais as propriedades desta grandeza. Como podemos notar
Q(e,,e2)= c2 (t, -tS -(x, -xS -(y,- YS -(z, -zS depende apenas das diferen~as das coordenadas dos eventos. Consequentetnente, do is pares de eventos (e, f) e (g, h), que descrevem o mesmo 4-vetor, tem o mesmo valor de Q. Notamos que a defini<;ao de 4-vetor que demos na parte nao-relativistica pode ser mantida sem altera~oes, ja que as transforma~oes de Lorentz tambem preservam retas. Lembremos da defini~ao: Urn 4-vetor edefinido por urn par de eventos (e, j), sendo que dois pares (e, f) e (g, h) definem o rnesmo 4-vetor se e s6 seas diferen~as das coordenadas dos eventos definidas
por Uffi referencia} inercial sao iguais para OS dois pares. ~
Temosentao
~
(e,J)= (g,h)
=>
Q(e,J)= Q(g,h)
Desta forma podemos definir Q para urn 4-vetor: 4
Q(e,j") =Q(e,f)
(49)
Este tipo de fun<;ao quadratica de urn vetor chama-se forma quadratica. Conhecemos uma forma quadratica da geometria comum. 0 quadrado do modulo de urn vetor eurn exemplo. 0 quadrado do modulo e intimamente relacionado com o produto escalar de vetores; para vetores (comuns) temos (50) .
Inversamente, po d emos. ex pressar o .produto escalar d drados de m6dulos. . de dots vetores em termos e qua I · · produto escalar rnagtne que voce tern que determinar 0 d d · .... b... t m apenas uma regua e 01s vetores (comuns) a e ' e ~ 1
.
. . -
·.
.
·
67
. d. ta"ncias Voce pode resolver sua tarefa da para med 1r IS · ~ .... .... ....... 2 seguinte forma: notamos que (ii + b) - (a- ~f _ 4 a ·.b · Desta forma voce pode determinar o produto a · b medJndo comprimentos:
-2
-2}
- 1 { a+b -a-b a·b=
4
(51)
Esta forma de relacionar produto escalar como quadrado de urn modulo funciona tambem com outros tipos de m6dulos generalizados desde que este modulo satisfa~a a identidade de paralelograma (conhecida na geometria comum):
llall,
(52)
Com a eq(lS) verificamos imediatamente que Q satisfaz este tipo de identidade tambem:
Q(ii +b)+ Q(ii -b)= 2Q(ii)+ 2Q(b)
(53)
Entao podemos definir urn produto escalar para 4-vetores:
(54)
Como Q e independente da escolha d . produto escalar e tambe' b I o referencial, este m a so u to Se es componentes dos 4-vetores e b..... f . crevermos OS na orma
a
~
(e,f)==
ctf- cte
ao
x 1 -x
al
1:
-
Yt- Ye
zI -z
C!
68
I
a2 a]
-+
e (g,h) == I
ct, - ctK x, -xK yh- YK z, -z)(
ho
I
h, h2 h~ ·'
I
(55)
0
prod u to escalar e
-
ii · h ~ D0 h0 - a 1h, -a2 b2 -a3b3
(56)
0 importante e que a avaliac;ao desta grandeza levan~ sempre ao mesrno valor, em qualquer referencial inercial. Com o produto escalar temos tambem a noc;ao de ortogonalidade no espac;o-tempo. Note que a ortogonalidade no espac;o-tempo ebern diferente da ortogonalidade doespac;o Euclidiano do papel que usamos para desenhar o espac;o-tempo. Par exemplo, o eixo x' das figuras (13) e (14) e ortogonal ao eixo t'. Nao efacil ignorar a geometria natural da folha de papel e substitui-la mentalmente pela geometria do espac;o-tempo. Note tambem que, na geometria do espac;o-tempo, o eixo t' esta tao simetrico dentro do cone de luz quanta o eixo t. Existem ate vetores diferentes do vetor zero que sao ortogonais a si mesmos! A figura 15 permite visualizar urn pouco da geometria do espac;o tempo.
. . . . . , . Q No espa~o comum podemos F1g. 15 Vtsuahza~ao da forma quadrahca · d os vetores que cumVi 1 · , d 1 d senhando to sua IZar o quadrado do mo u o e f os A forma quadratica 2 2 It numa es era. mprem as equa~6es prem a equa~ao IaI. = 1m . Isto resu a Q pode ser visualizada desenhando os vetores que ~dcio imaginar estas Q(a)::: lmz, Q(a)= -1mz e Q(o)== 0. Fi~a co~o exe . . . . superficies num espa~o-tempo de tres dunensoes. 69
.
. .
.
. dernos (por exemplo na edil' vros texto mats mo b m I . k de 1996) encontramos na ta e~ao do Halliday Restnic. s o valor da velocidade da luz la de constantes na ural , . . to com o comentano que este va· 'fi c = 299792458 m Is, JUn · ,., . de um erro experimenta1 s1gn1 ca lor e exato. A ausencta que se trata simplesmente de uma definic;iio de metro. Um metro e, por definic;ao, a distancia que a Iuz pe~corre ~o vacuo durante o tempo de (299792458Y1 s. Onde fica enta~ conteudo fisico da invarH\ncia da velocidade da luz? Sera 0 que a teoria da relatividade nao passa de duas defini~.oes (uma da simultaneidade e uma do metro)? Claro que 1sto nao eo caso!- A teoria de relatividade tern conteudo fisico sim! Ela afirma fatos experimentalmente verificaveis sobre a geometria do espac;o-tempo e sobre o comportamento da luz. A melhor rnaneira de destacar o conteudo fisico da teoria e separar claramente as afirmac;oes sabre a geometria das afirma~oes sabre a luz. Urn primeiro passo nesta direc;ao foi a substitui~ao da simultaneidade de Einstein pela simultaneidade geometrica. Vejamos o que mais podemos afirmar sobre o espa~o-tempo sem utilizar luz. E
Vimos que, para certos pares de eventos (os eventos ternporalrnente separados ), podernos rnedir sua distancia temporal. Com esta noc;ao de disH\ncia podernos definir a simultaneidade geometrica e podemos definir coordenadas associadas a urn referencial inercial. As medidas de comprimentos no espac;o do referencial podern ser feitas ainda com algum padrao provis6rio, sem calibra~ao universal. Com as coordenadas ass oct·ad as a referenctais · · tner· ciais, pod~mos defi~ir 4-vetores. A disHincia temporal de e para f sera sempre tgual a distancia de g para h, se os dois pares de eventos (e, f) e (g, h) descrevern o rnesmo 4-vetor. Podernos entao escrever t (a)==t (e f) _= ( e,-+/) . p d fi , para a ~ :m~s a ~mar, e verificar experimentalmente, que esta dtstancia sahsfaz a identidade de ..... ..... . para1e 1ogran1a. Se a, b, 70
.....
-"'
a+ b e ii- b forem todos do tipo tempo (formados po tos temporalmente separados ), vale
r even-
(57)
Se encontrarmos na geometria comurn urn obstaculo entre dois 0 pontos, que impede a medi~ao direta da distancia podemos usar a identidade de paralelograrna para medir a distancia indiretamente (veja a figura 16).
c
c, n)] = 2JaJ + 21br -Ia + Er 2
2
Fig. 16 cdc
Da mesma forma podemos usar a identidade de paralelograma para estender o quadrado da distancia temporal a vetores nao temporais. Vamos definir
q(a) =[t (a)]
c
2
se
a
for temporal
(58)
Para urn vetor nao temporal, podemos procurar ve.... tores temporais a b tais que Q+ b seja temporal tambern e que c= a-b. Podemos definir q(c) estendendo a identidade de paralelograma a vetores nao temporais: ~
I
q (C)= 2 q(ii)+ 2 q (b)- q (a+ b)
(59)
Atnis desta construc;ao de uma forma quadratica q se esconde urn resultado extremamente surpreendente: podetnos medir disHincias espaciais com rel6gios! Vejamos, sem falar em formas quadniticas, como funciona isto. 71
Imagine que marcamos dois pontos A e B num refe. 1 1nerc1a . . I I . Com uma regua e urn compasso poderencia mos construir 0 ponto M que divide a sec;ao de ret a (A, B) ao meio. Em M colocamos urn rel6gio atomico RM em repouso. Dois outros rel6gios atomicos, RA e RH, deixamos sair do ponto Mao mesmo tempo. No evento da partida dos relogios, os tres relogios foram zerados. Deixamos os relogios RA e R 8 viajar para os pontos A e B, respectivamente, de tal forma que ambos mostrem o mesmo tempo T na chegada nos pontos A e B. Conforme com a defini<;ao de simultaneidade geometrica, os eventos a e b de chegada dos relogios, RA em A e R 8 em B, sao simultaneos no referencial I. Nos eventos de chegada a e b mandamos dois relogios atomicos R'A e R'8 de volta para o ponto M, com velocidades tais que ambos mostrem de novo o tempo T como tempo de viagem na hora de chegar em M. No even to da chegada dos relogios RIA e R I8 no ponto M, o relogio RM, que permaneceu em M, mostrara urn tempo 'tM. Nao-relativisticamente esperariamos que 'tM = 2T. Mas na realidade observariamos 'tM > 2T. Com isso podemos definir a distancia entre os pontos A e B como:
d(A,B)= ~('tM y-4't 2 = J-q(a,b)
(60)
Podemos agora verificar experimentalmente que esta defini<;ao de distancia tern realmente todas as propriedades esperadas de disHincia, e que o espa<;o de qualquer refer_e~cial inercial fica com a geometria de urn espa<;o Euchdtano com esta norao de distanci·a • Isto e a essenc1a "l' observacional da parte geometrica da teoria da relatividade restrita. Note que nesta definirao de d'IS t"aneta · espac1a · 1 "l' a luz nao foi usada em nenhum momenta! I
,
"
•
Com (60) podemos dispensar 0 _ . . a equa<;ao , d nosso pa d rao cnsta11no e comprimento · 0 segundo Ja ·' e, urn padrao - de
72
comprimento! Correspondentemente vel .d d _ .· oc1 a es sao adt' . mensionais! Resulta que ls e uma distana· ., . a mu1to grande · t"· · T Para aS flOSSaS tarefaS dtartaS. ) S equase a d 1s ancia 1 erraLua. Seria pouco a propria do usar esta unidad e para me d tr . . uma' Por exemplol nossas casas. Convern entao 1·ntro d uztr unidade secundaria. Podemos definir a unidade metro: lm =
Is
299792458
(61)
Esta equa<;ao nao tern erro experimental, pois se trata simplesmente de uma definic;ao de uma subdivisao da unidade segundo. 0 numero 299792458 foi escolhido de tal forma que a nova unidade metro fique bern perto de antigos padr6es, que definiam o metro antigo independentemente do segundo. Agora voltaremos a questao da luz. Tendo urn padrao de tempo e de comprimento podemos medir a velocidade da luz. Dentro do erro experimental encontrariamos que a velocidade da 1uz c e1. 1
c = 1±erro experimental
(62)
Este resultado experimental seria o mesmo em todos os referenciais inerciais. A invarHlncia da velocidade da luz continua urn fa to observavel. Podemos perguntar-nos que tao perto de 1 sera o verdadeiro valor da velocidade da luz? Se c fosse urn pouco diferente de 11 nao seria mais uma velocidade invariante. 56 a velocidade 1 tern esta propriedade. Entao poderiamos encontrar algum referendal no qual o valor medido seria notavelmente diferente de 1· Mas como na pratica nossa possibilidade de esco1her re. ' ·d e c vale ferenciais e bern }imitada1 continuana a d UVl aS acreditar que · mesmo 1. De fato, temos boas razoes para , . . d d 1 z e 1 exatamente. 0 verdadeiro valor da veloctda e a u -. F de aula que teonas alamos na introdurao destas notas ' ~ 73 I
. sernpre d...evein ser formuladas em termos fu 11 ,L.unentrus . ., de grandezas absolutas no espac;o tenlpo. As equac;oes de ._ ' po d e m ser form u f\.1-lX\Vell do eletrotnagnetisnlo tambem lal~as desta fonna absoluta, usando apenas objetos geonletricos. Mas esta forn1ula<;ao absoluta das equac;oes de N[aX\Ivell epossivel sea velocidade da luz tiver 0 valor 1 exatan1ente. Acredita-se entao que
so
c= I
exato
(63)
.A de fini<;ao internacional de metro e baseada nesta hip 6 tcsc. De fato, scria cxtrcmamcnte dificil medir distancias com boa precisao apenas com rel6gios atomicos sem u sa r a Iuz. A equac;ao (60) e a base fundamental para OS co n1prin1entos. Mas para medidas praticas e muito mais f~1cil verificar quanta distancia percorre a luz no tempo de (299792458)-1 s. A situa<;ao e urn pouco parecida com a defini<;ao da escala absoluta de temperahua. A temperatura absoluta e relacionada com a segunda lei da termodinamica. f\1as geralmente nao usariarnos, na pratica, esta lei fundanlental para medir temperaturas absolutas. Usarfamos urn tennometro a gas ideal e podemos confiar que isto resulta na mesma escalade temperatura. Cotn a equac;ao (63) podemos ornitir os fatores c em todas as equa<;oes. Mas para facilitar a vida do aluno que queira tra ta r o 1netro ainda como uma unidade independente dosegundo, vamos continuar escrevendo c nos devidos Iugares.
Exercicios E 7.1. A figura 12 u sa o mesrno f~tor de escala nos eixos t e X, isto e, 0 comprime nto [ e 0 tempo t = 1/c sao representa ... dos pelo m es n1o intervale nos e ixos. Corno fica n.~ a figura 10 se re presentarmos no eixo x centilnetros por centimetros e . no e ixo t segundos par centirnetros? 74
r
E 7.2. No metodo de medir a distan . . . · . . , . Cia espacial de dois relogtos, foram usad . , . Pontos A e ,B com R D os Cinco relogios R", R"' ,R'A, , dos . cin. . R IJ e M. esenhe as linhas de unt· ve rso co relogioS e dos pontos A, B e M Escreva ,d , . · o mo u 1o da velocidade dos relogtos RA I~ I< e R r 1 t' . ' n, A ll e a tvamente ao refcrenc1al I, em termos de d(A, B) e 'tM . I
I
E 7.3. 0 metoda de ~edir distancias com rel6gios (equa~ao 60) realmente nao seria viavel na pratica. Vamos supor que os rel6gios tenham uma imprecisao relativa ot ·u _ ( fi xa t = P = const. · se a equa~ao 60) e escreva o erro relativo da distancia Od em termos de p e do modulo da ved
locidade dos rel6gios RA, R8, R'A e R' 8 relativamente ao referencial I. Use que na pratica 'rM ~ 'r (em termos de ordem de grandeza). Qual e 0 valor minirno que esta velocidade deve ter para poder medir a distancia corn urn erro relativo 0 : ~ 10-<', supondo p = JQ-8? A dificuldade de obter uma boa precisao pode ser entendida em analogia com a geometria Euclidiana: imagine a Fig. 16 com uma distancia de 1 em .... entre OS pontos c e D, e urn modulo de 10 km do vetor a+ b. Qual seria a dificuldade de se medir a distancia entre C e D com 0 metodo da identidade de paralelograma neste caso? ,
E 7.4. (para matematicos) Vimos que o espa<;o-tempo e semi-ordenado pela rela<_;ao "posterior a". Sera que o espa~o-tempo e um reticulado? Uma semi-ordem < num conjunto M e chamada de reticulado se para todo a EM e b EM existe no conjunto sah ={c EM Ia < c 1\ b < c} urn elemento minima, isto eum S E Sub tal que S < C para todo C E Suh'
0 sfmbolo < significa < V =.
75
. . ·. ·'
8 0 EFEITO DOP~LER E A ABERRA<;Ao . RELATIVISTICA DA LUZ .
Imagine uma onda plana que, na descri~ao das coordenadas de urn referencial I, tern a forma:
......
Qual sera o vetor de onda k' e a freqiiencia angular m' desta onda para urn observador num outro referencial inercial I'? Estaremos interessados numa onda eletromagnetica. Mas podemos tambem pensar nurna onda na superficie da agua (tirando z do argumento do cosseno). Imagine entao uma onda plana na superficie do mar. De repente, uma gaivota mergulha e apanha urn peixe. Se este even to aconteceu numa crista de onda, ou num vale, seguramente nao depende do estado de movimento do observador. A fase da onda deve ser entao uma fun~ao absoluta no espa~o-tempo. Entao o numero (65)
. , . d t qual na descri\ao depende de manetra untca o even o e, 0 · d t x y z Se mudardo referencial I tern as coordena as ' ' ' · mudam, n1as
niio pode mudar. Entiio os valores de cu, kx, ky, kz tCm que mudar correspondentemente para manter (e) constunte. Para adivinhar qual e esta lei de transforma~ao, len1bra· mos que o produto escalar de 4-vetores
a. b- =aobo- albl -
a2b2 - a]b]
e invariante.
Se escolhermos num outro referencial I' 0 mesmo evento origem e0 , as coordenadas (ct), x, y, z transformam-se como as componentes de urn 4-vetor: ct' x'
y'
-
z'
'Y
-~y
-~y
0 0
ct
'Y
0
0
X
0
0
I
0
y
0
0
0
I
z
(66)
(ct), x, y, z seriam as componente d ~ do eo o evento de origem d ds o 4-vetor (eo, e), sen. e coor enad Ob · expressao k x + k y + k as. vtamente a X y zZ - UJf p d I produto escalar o e ser escrita como urn
com o 4-vetor deon da
-
K==
o/c kX ky kz
78
(68) I
A invariancia da fase e entao gara fd · n 1 a se transformaInos w I c, kx, ky, kz como as componentes d e urn 4~vetor:
co' I c
"'
-~y
0
0
ro/ c
y
0
0
k
k'
-~y
k'y k'z
0
0
1 0
ky
0
0
0
kz
X
I'
I
X
(69)
I
No caso de uma onda eletromagnetica no vacuo, a freqiiencia de oscila<;ao da fonte de onda sera identica a freqiiencia da onda observada no referendal de repouso da fonte. Escolhendo este referencial como o referendal I, e 0 referencial I' como referencial de repouso de urn observador, obtemos com a equa~ao (69) o efeito Doppler. A equa~ao (69) descreve tambem a mudan<;a de dire~ao de propaga~ao da luz numa mudan~a de referencial. Este efeito e chama do aberra<;ao relativistica da luz (nao confunda com as aberra~6es de sistemas 6pticos~). Este efeito e nohivel na astronomia. Devido ao movimento da Terra ern torno de Sol, o ceu estrelado parece deslocar-se urn pouco corn a periodicidade de urn ano. Nao relativisticamente o efeito Doppler seria ausente, . ' no caso de termos o vetor de onda k perpendicular a velocidade relativa. N a list a de exercicios ha a tare£a de mostrar que relativisticamente isto sera diferente. Este caso e ......
chamado efeito Doppler transversal. A equa<;ao (69) permite calcular o efeito Doppler. Agora , 1' · m do efeito Doppler. .
Veremos, sem calculos, qua e a onge Podemos representar a fase d e uma 0 nda plana no espa· . presenta a fase no c;o-tempo da mesma forma como se re _~. 1sto ~, f tes de onda. · espa~o para urn tempo fixo, usan d ren . . d tos nos quats ova1or Podemos desenhar o conJunto e even · _.
°
.19 .
da fase e algum multipio inteiro de 2n. Isto resuita num conjunto de pianos (pianos tridimensionais no espac;otempo de quatro dimens6es) eqiiidistantes e paralelos. A figura 17 mostra frentes de uma onda no espac;o-tempo e linhas de universo de quatro observadores. A onda propaga-se na direc;ao x. 0 observador A esta para do no referencial escolhido, o observador B move-se na direc;ao x, C na direc;ao -x eo observador D move-se na direc;ao y. A
X
y F. 1 Ig. 7 Frentes de onda no espa\o-tem o e li
observadores.
P
. nhas de un1verso de quatro
A figura 18 mostra a situa ao n 1 da ondal medido por urn ob c; do p ~no xt. 0 periodo serva or e a d · f' . poral entre duas penet _ IS anc1a ten1consecu ti vas d . . rac;oes d e untverso atraves das f t d a sua hnha ren es e onda C veri o periodo para o obse d B ,' omo podemos , rva or sera . nodo para o observad A maior que o pe, or e para 0 b sera menor. o servador C ele I
1
80
Fig. 18 Efeito Doppler longitudinal. 0 observador C (B) mede urn periodo menor (maior) que o observador A.
A figura 19 mostra a situa\ao dos observadores A e D no plano yt, explicando o efeito Doppler transversal.
D
y
Fig. 19 Efeito Doppler transversal. d A , que o observa or · 0 observador D mede urn penodo menor
81
.:
} I 1
Exercfcios E 8.1. Num referencial I observou-se uma onda e~etr~mag- . netica plana propagando-se no vacuo numa direc;~o do plano xy que faz urn angulo 8 com 0 eiXO X . 0 compnmento de onda e Ao = 500nm. a) Calcule o vetor de onda k0 e a freqi.iencia angular w 0 desta onda. b) Calcule o vetor de onda k' e a freqiiencia angular w' desta onda num referendal I' que se move com velocidade u = 300 km/s, na direc;ao
x, em rela<;ao a I. E 8.2. A aberra<;ao de uma estrela muito distante, cuja posi<;ao media observada durante urn ano e vista perpendicular ao plano da orbita da Terra, mede 20,5 segundos de arco (= 20,5 x 2n I (360 x 60 x 60)). Use este dado e a dura<;ao conhecida de urn ana para estimar o raio da orbita da Terra. E 8.3. Uma nuvem do gas hidrogenio H (atomico e nao molecular) emite uma determinada linha espectral com freqi.iencia cv0. 0 gas tern uma temperatura de 2000 K. A agita<;ao h~rmica correspondente a esta temperatura faz com que a linha espectral observada tenha uma largura bw em tomo do valor w 0 . Usando que a cornponente da velocidade dos atomos na dire<;ao da observa<;ao X na media quadratica obedece a rela<;ao ~ T =::;; (v/ ) (k = constante de Boltzmann, T = temperatura e m = rnassa do atomo) estime a ordem de grandeza da largura relati va da linha espectral, isto e, bw/cv.
82
'!
9 0 TEMPO PROPRIO
A pe~a chave da geometria do espac;o-tempo e a distancia temporal. Demos o nome de distancia a esta grandeza porque a maneira de u encostarn urn relogio em do is eventos emuito parecida com a maneira como se encostam as barras metricas em pares de pontos. Mas sera que a distancia temporal tern tambem as propriedades matematicas de uma distancia? Os matematicos exigem de urn a distancia as seguintes propriedades:
d(A, B)> 0 d(A, B)
=
(70) (71)
d(B, A) A==B
(72)
d (A,B)+ d (B,C)> d(A,C)
(73)
d(A,B)== 0
A condi~ao (73) e chamada desigualdade de trit2ngulo. - as con dl' roes (70) e (71) se . " . temporais sahs . f arao DIstanoas ".r
. definirmos a distancia tempora1'I (el, ez)comoom6duloda , · e passa pelos evenct 1·feren~a das marcac;6es do re 1ogto qu . . t b , se nos hmitarmos os el e e2 . A condic;ao (72) vale tam em , . didos com re1ogtos a pares de eventos que possam ser me (exciuindo e sobre o cone de Iuz de et)· 2
83
Sera que vale a desigualdade de triangulo? Vale uma desigualdade de triangulo sim, mas nao a (73)! Ao inves desta, vale a desigualdade de triangulo inversa: t(a, b)+ t{b, c)< t(a, c)
(74)
Nesta rela~ao, be urn evento temporal mente intermediario aos eventos a e C, isto e, be mais tarde que a e mais cedo que C (ou mais cedo que a e mais tarde que c). Nos exercicios temos a tarefa de demonstrar esta desigualdade. Nao-relativisticamente valeria uma igualdade. En tao, o caso da desigualdade expressa uma carateristica da teoria da relatividade.
c
a Fig. 20 Desigualdade de triangulo Ss + 4s < 12 76 s. I
Em seguida, veremos que esta desigualdade d t . ,.. I 'd . e nanguo e e certa maneua rna is "simp a' t. " y . Ica que a comum (73) eremos Isto na definic;ao de co . . mpnmentos de curvas:
Figura 21 84
Queremos definir a noc;ao de idade A 'd d . · I a e de uma essoa, ou de. urn obJeto ~ uma particula . - que ch egou aP · existir a partir de urn certo evento (o nasct'ment o no caso da pessoa), deve ser uma propriedade apenas deste objeto e nao deve depender de uma escolha arbitraria de urn referencial. Portanto, uma diferen<_;a de coordenadas temporais seguramente nao serve como defini~ao. A distancia temporal entre o evento do nascimento eN e 0 evento presente e tambem nao serve, pais esta noc;ao de idade nao seria aditiva. Se, desde o meu vigesimo aniversario, passaram-se 40 anos podemos concluir que tenho atualmente 60 anos de idade. Por causa da desigualdade de trH1ngulo (74), a distancia temporal nao tern esta propriedade aditiva. Tendo a noc;ao absoluta de distancia temporal, a defini~ao adequada de idade e hem obvia. A idade deve ser o cornprirnento da linha de universo entre o evento do nascimento eN eo evento presentee, no qual queremos saber a ida de (comp. Fig 21 ). A definic;ao de comprimento de curvas do espac;o e de
linhas de universo einteiramente analoga. No espac;o, poderiamos medir comprimentos de curvas com fitas metricas flexiveis (usadas pelos alfaiates), obtendo resultados razoaveis. Mas estas fitas flexiveis seguramente nao sao suficientemente confiaveis para que possamos basear nelas uma definic;ao. Da mesma forma, poderiamos medir comprimentos de linhas de universo com relogios . atomicos que acornpanhem a linha de universo, da mesma forma como a fita do alfaiate "acompanha" a curva espacial. Se a linha de universo nao tiver acelera\oes excessi- · vas, os resultados sertam ate razoavet s· Mas. este metodo . ., . . odermos basear nele nao serta confiavel o sufictente para P . . U • ·• • t" ico nao seria hvre de ma definu;ao, 1a que o relogto a om •
I
'
I
I
•
'
fon;as externas no caso de linhas curvas.
ss
urvas e de linhas . . nlJJrimentos de c Poden10S defuur co segue: .. . d n1esrna forn1a cotno se de uruverso a fvos na curva even tos) consecu I ( Escolhetn-se N pontos mero 1 o inicio da . ) do 0 ponto nu ,.. . (na linha de universo , sen fi M dem-se as distancias t , mero N o rn. e . A curva e o pon o nu ( entos) consecuhvos. · ) de pontos ev (distancias temporals partir destes numeros £or ma-se sua soma I
I
N-l
IN= Ld(Pk,Pk+l)
(75)
k=l
Fig. 22 Parti<;ao e subdivisao da parti<;ao de uma curva.
A partic;ao da curva ern N pontos da apenas urn a avaliac;ao grosseira do seu comprimento. Para melhorar esta avaliac;ao, temos que subdividir esta partic;ao em passos cada vez mais curtos. Com a desigualdade de trH1ngulo (73), sabemos que uma subdivisao de uma parti~ao em passos mais curtos so pode aumentar (ou manter constante) ovalor da soma lN. Portanto, define-se 0 comprimento de uma curva como o supremo das somas IN (o menor valor que e maior ou igual a todos os lN's):
86
(76)
Con1 a desigualdade de triangulo in (? . . versa 4), sabemos , 1 ue 110 caso da linha de uruverso uma subd' . _ , , . ' · IVISao so pode dinunurr (ou manter constan . te) 0 valor da s C . oma 'TN. orresdefinir o con1priment d . pondenten1ente, van1os . o e urna 1tnha de w 1h rerso con1o o znfinw de todas as poss1've·IS somas TN. r = inf(r.v)
(77)
ittf ( '[ N) e0 maiOf Valor que e ffienor QU igual a fodas aS pOSSlVeiS 'f.v's. Comparando as defini~6es (76) e (77) notamos que a desigualdade de triangulo das distancias temporais (7-1) e mais "simpatica" que a desigualdade de triangulo comun1. Con1o T N > 0 a defini<;ao (77) sernpre fornece urn valor bern definido. Mas existem curvas no espac;o (por exemplo, curvas fractais ), para as quais o comprimento nao ebern definido 1=sup (IN)= oo. A ida de do objeto no evento e seria o comprirnento 7 da curva de universo entre o evento de nascimento e o evento e. Chama-se este numero, vista como func;ao do evento e, o tempo pr6prio do objeto. No caso em que o objeto nao tenha urn momenta de nascimento bern definido, podernos fixar arbitrariamente algum evento eN na sua linha de universo a partir do qual contamos o tempo proprio; para eventos e anteriores a eN, podemos definir o tempo proprio como onegativo do comprimento da linha de universo entre os eventos e e eN. Desta forma o tempo proprio de uma particula forma urn a escala de tern po ao Iongo de sua linha de universo. Vejamos como determinar o comprimento de uma curva (linha de universo) matematicamente. Podemos descrever a curva (linha de universo) de forma paratnetrica
{x = x(!; ), Y == y(S), z == z(S )} . ~ = t(S), x = x(S), Y =y(!; ), z "'z(S)}
(78)
A distancia (distancia temporal) em termos das coordenadas era
d=JC&Y+(~yY+(L\zf 't
(79)
=~J(~ct Y-(Ill f- (~y f- (~ f c
Podemos encontrar seqiiencias de parti~6es tais que as somas IN (-rN) convergem para o supremo 1 (infima 'T). 0 procedimento limite resulta numa integral:
e no caso da linha de universo
Muitas vezes epratico usar o tempo de coordenada t como parametro da linha de universo. Neste caso temos ac(a, = c e a t =v., a;;£,= v_YI a~ I= v: I e T toma a forma
Ya
lg I :2 -2
't
=
I-
dt'
(82)
IN
Para a diferen~a do tempo proprio entre dois eventos infinitesimalmente pr6ximos1 obtemos especial mente
&r = 88
g
2
bt (83)
r
I
I
se frases como: "o tempo para o irmao no foguete passa mais devagar" ou "o rel6gio do irmao no foguete anda rna is devagar". Esta interpreta~ao de" dilata~ao do tempo" confunde: se o tempo se dilata en tao em que podemos confiar? Como fica a definic;ao absoluta do segundo? Para ver claramente qual ea situac;ao, veremos 0 analogo dos comprimentos de curvas. A figura (23) mostra dois caminhos entre os pontos A e C no espac;o Euclidiano. Obviamente o caminho direto A,C emais curta que o caminho A, B, C. Ninguem daria a este fato simples a interpreta~ao absurda que os centimetres no caminho A, B, C sao menores e, por isso, cabem mais centimetres neste caminho. Os centimetros sao os mesmos- e os segundos tambem! Os caminhos e as linhas de universo sao diferentes, e nao e de se estranhar que seus comprimentos serao diferentes.
c B
A Fig. 23 AncHogo Euclidiano do paradoxa dos ,. . . g~meos. DOis caminhos no espac;o Euclidiano entre os pontos A C 0 , e · camtnho A B c , · e mals 1ongo, mas os centtmetros neste cam·nh I o sao os mesmos. I
I
0 paradoxa dos gemeos foi b mente com rel6gios at" . o servado experimentalomtcos transp t d . . or a OS em avioes. Nestas experiencias e , prectso tncluir na , . , sua analise teorica, tambem efeitos gra .t . . ' VJ actonais com d e. De toda forma os d d '. o veremos rna is tar. , a os expenm entats coincidem com a previsao te6rica dent d 90 ro o erro experimental.
,
.
ExerciCIOS E 9.1. Demonstre a desigualdade de trian - d d' /\ gulo (74) partin do da expressao a Istancia temporal (22 ). -
E 9.2. Mostre, com contra-exemplos qu . ,( )- I ( , e para a separa c;ao espaCial .s ePez v-Q el'e2) de eventos espac1a · 1mente _ separados, nao vale nenhum tipo de desigualdade de triangulo (nem a normal nem a inversa) · Podemos, porem , obter a desigualdade de triangulo comum para evento~ espacialmente separados se impusermos restric;oes adicionais na escolha dos tres eventos. Quais restric;oes resul tam na desigualdade de triangulo com urn?
E 9.3. Urn muon eproduzido por urn raio c6smico numa altura de Zp = 20000m acima do nivel do mar. 0 muon viaja com velocidade v = 0,99955 c verticalmente para baixo. Depois de 2·10-6 s (tempo proprio do muon) .o muon decai. Calcule a altura z0 , acima do nivel do mar, onde acontece o decaimento. Recomendac;ao: nao use as transformac;6es de Lorentz. Cornece escrevendo a distancia temporal entre produ\ao do muon e decaimento do muon com a equa\ao (22).
E 9.4. Urn astronauta de 40,0 anos de idade sobe numa espac;onave e viaja com v = 0,900 c para uma estrela que fica a 10,0 anos-luz da Terra. Depois de passar urn ano na estrela, ele volta com a mesma velocidade da ida. Desprezando 05 tempos de acelerac;ao e desacelerac;ao, calcule a idad~ do astronauta chegando de volta na Terra. Calcule tambem a 'd "" fi 't ra (tratando a Terra I ade do irmao gemeo que cou na er · · 1 · cial e despreaproximadamente como urn referenc1a Iner zando todos os efeitos gravitacionais). de uma E 9.5. Dois gemeos despedem-se num lanc;amento . d _ . . a veloctda e apro d. tante Anos espa~onave. 0 irmao A vtaJa com um x. , estre1a IS . nnadamente constante ate uma . dades do d . t ra senhu sau . epo1s o irmao B, qu~ ficou na . er ' .
;
,·
.
91
· · · u tambem para esta estrela. 0 foguete do seu umao e viaJ 0 irmao B emais veloz que o foguete de A, de tal forma que ambos chegam simultaneamente na estrela. Qual dos dois
sera mais velho na chegada? E 9.6. a) Considere o movimento unidimensional descrito 2 2 2 pel a fun\30 honlria X (t) = + c t onde J e urn a COnStante. Mostre que a acelera<;ao medida no referencial de 2 repouso momentaneo e constante no tempo e vale c I I. b) Urn problema para a saude dos astronautas e a falta da gravidade. Se tivessemos uma fonte de energia gigante a nossa disposic;ao poderiamos construir urn foguete que acelera durante a primeira metade de uma viagem interestelar, com acelerac;ao g z 10 ms-2 e desacelera como rnesmo valor durante a segunda metade da viagem. Desta forma o astronauta teria a sensac;ao de ter a gravidade habitual e ao mesmo tempo poderiamos obter grandes velocidades. Calcule quanta envelheceria o astronauta durante uma viagem com este foguete indo para uma estrela com 10 anos luz de distancia. (considere la ~ 3.107 s e c z 3.1os m/s)
.J/
Q')
10 04-MOMENTO
0 primeiro postulado da teoria da relatividade dizia:
I. As leis da Fisica sao as mesrnas para os observadores situados em qualquer referencial inercial.
A melhor maneira de se garantir a valid a de deste postulado, ede formular as leis basicas da Natureza com grandezas que sao simplesmente independentes da escolha de urn referencial. Na introduc;ao, mencionamos que este principia euma guia para a formula<;ao de teorias. Infelizmente, nao podemos ver exemplos de teorias de particulas elementares aqui no ciclo basico, e mesmo a formula~ao invariante do eletromagnetismo ultrapassa as limita~oes do ciclo basico. Mas podemos, pelo menos, usar a segunda lei de Newton como urn exemplo. Queremos entao formular a segunda lei de Newton de forma invariante. A segunda lei de Newton pode ser escrita na forma dp ldt == F. Nesta forma, ela usa grandezas dependentes . da escolha do referencial. Veremos, primeiramente, qual grandeza absoluta poderia substituir o momento lin~ar P:::: mv. A ve1oct·da d e v..a d epende da escolha de referenctal. Vi , . t'cula e absoluto. mos que o tempo proprto de uma par 1 0 integrando e os limites da equa~ao (82) dependem da 93
l'~l'()l h~1 d(l dcnt('
lh':-'l il
·r~l11..'i,l1, tlH1S 0 Vl.l for d ll i llleg fll) C j llUepent':-;colhn. D~i xnndo passar urn ternpo pn)prio
rt.'tl
0t, nt,, n:.Hnos dni~ eVL'IllllS e('t) e e(1: + b1:) na li nha de uni\'t'r:-'~) ltl p.lrlit'tda. () vetor (C("C), c(rr + bT)) eindependente d .1 l'~t.·ulha dl' refl'n'tH.:ial. Corn estc tipo de ve tor podemos dl'finir tuna no~'3o de vclocidadc Jbsoluta 4
V = lim ((·(t ),c(t +Ot ))
(84)
b't
~t - ~0
- c chntnado 4-velocidndc. Escolhendo u1n referencial
J,
I
poden1os expressar este objeto invariante em termos de con1poncntes que dept=ndcm da escolha de referencial:
ct
d V=-
X
(85)
dt y z
I
Corn a equa~ao (83) obtemos en tao:
ct
-
d
ct
X
V=d't y
z
-
1
d
)1 Vx di 2
I
c
X
--
y
z
I
)I
1
vX
V,%'2
vY vz
I
(86)
A 4-velocidade e nada . c mats que urn , hnha de universo. Da g . vetor tangente a eometna com vetor tangente a uma cu (d . . urn, sabemos que 0 rva efin1do . rel a~ao ao comprimento d , como der1vada em e arco) e urn que a 4-velocidade e norm . vetor unihirio. Sera . a 1IZada ta b , ts to, calculamos: m em? Para verificar .
94
Jl' . v -
.
1 ,. { (;"':! - v .,,-;... .r
1----
c-'-...
~
En.tao V
-
,... . >
.. }
_ ,,_ -
~
. ..,
::::~. c-==1 (87)
e de fato normalizado.
Fig. 24 Linha de universo com 4-velocidade.
Tendo urn conceito absoluto de velocidade, basta n1ultiplicar esta velocidade pela n1assa da particula para obter urn momento linear. Mas a massa teria que ser tan1betn un1 conceito absoluto. Sera que un1a massa poderia se alterar
numa mudanc;a de referencial? H
mos telefonar para urn colega que vive no referencial no qual a particula esta momentaneamente em repouso e pedir que ele mec;a a massa da particula. Desta form~ vm~os obter urn resultado que nao depende do nosso reterencull. 5
.
.
. . ch -se rnassa de repouso da .· . t maneua ama 0 valor obtido d es a m da particula, podearticula. Com a massa de repou~o . p 4- omento da parttcula. mos formar o m ~ ~ (88) P=mV - (86) podemos escrever as componentes Com a equac;ao deste 4-vetor como
me/ J!-v /c 2
2
Px Py
P=
Pz
(89)
I
com o 3-momento _
nzv-
p=-r:=== 2 2
~l-v /c
(90)
Quem fizer questao de escrever o 3-momento na forma conhecida "mass a x velocidade", vai en tao chamar a combinac;ao /(}1_ v2/c2 de massa. Define-se, por esta razao, esta grandeza como massa relativistica da particula:
(91)
Esta massa depende da escolha do referencial. A parte tridimensional p do 4-momento , b ., t. e, o vtamen e, . _ a genera1tzac;ao do momenta I' . , . -a. • .
. tnear nao-relahvtsttco; p dt• fere do momento hnear nao-relativisti . .1 . f . (1 - v2fc2)- 1h , . co apenas pe 0 ator , que e aproxtmadamente 1 para b . . .1 . atxas ve o-
.
'
....
'
96
·dades. Para adivinhar qual gra d · n eza fisica atn1s da componente 0 do 4-rnomento se esconde _ . 1 tomaremos t b 1 li:rnite nao re ahvtshco1 desenvolv d am em 0 en o em p 0 t'' . . 1vi /c ate a segunda ordem: enc1as de c1
I
po =
me
•
I / vl-v2 c2
'
I
1 ) - -c· me + -2 m v2 + .... _ I(
.
2
(92)
0 segundo • c1nehca • . , . terrno nos parenteses e a energta . que a nao-relahvishca. Este resultado nos deixa suspe1tar componen~e 0 do 4-mornento pode ser interpretada como Elc- energta da particula dividida pela velocidade da luz: I
-
P=
•
Yc Px Py Pz
(93)
I
Na proxima se(ao encontraremos mais urn argumento a favor desta interpreta~ao. 0 4-momento reune entao 0 momenta linear e a energia numa so grandeza. Por esta razaol este 4-vetor e tambem chamado vetor de energia-momento. Como podemos ver da equa~ao (92) temos, alem da energia cinetica da particula, urn termo constante que e independente da velocidade. Nao-relativisticamente estamos acostumados a adicionar e subtrair constantes a energia, e poderiamos simplesmente ignorar esta constante. Mas nao podemos retirar a constante me da componente . urn referenc1a · 11 po1s · e m outro referen-, 0. sem pnvt · - eg1ar
1
Cial a componente 0 teria outro significado. Chegamos ~ concl . "d d a energia possut usao que na teoria da relahVI a e, 89 9 urn valor zero ~bsoluto. Combinando as equa~Oes ~ ), ( l) e (93) · da part1cula em ' podemos entao escrever a energia . ter:rnos d a massa relativistica: 97
..
.-
...
E ==
m,~
(94)
c2
idade da particula - d ende d a ve1o C Esta expressao ep . da particula ern re, 1 tivistlca. No caso atraves da massa re a E _ m c2 A diferen\a pouso, obtemos a energia d~ re~o~~o o- artfcula. E = E- Eo e chamada energta ctnettca da p c
-
Da normaliza<;ao da 4-velocidade (equ_a\ao imos que o 4-momento tern a normaliza\ao: -
-
87) conclu'
2 2
P·P=mc
(95)
Em componentes, esta equa<;ao significa 2
E -2 2 2 = - - p =me ( P)-p o c2 2
2
(96)
Desta equa<;ao, obtemos para a energia da particula (97)
Esta equa<;ao eeqiiivalente aequa<;ao (94). i
Podemos formular urn principia dinamico com os vetores de energia-momento, mesmo antes de formular a segunda lei de Newton. Imagine que urn certo numero de particulas, inicialmente muito afastado entre si, se choca. Vamos supor que, depois do choque, saem particulas que se afastam entre si, de tal forma que nao haja mais intera<;ao entre elas. Neste caso, podemos formular a lei de conserva<;ao de momenta linear e de energia como uma unica lei de conserva<;ao:
I i
I !
_ ~s so.rnas dos 4-momenta antes e depois da intera<;ao . sao 1gua1s. Veremos u:r' exemylo: suponha que duas massas iguais . m, com veloc1dades v e - v em rela<;ao ao referencial do ·
I,
'
98
. l
Iaborat6rio, chocam-s; de ~orma completamente inelas. formando uma so parhcula nova de massa uca , . . M . N-aoIativisticamente poderiamos aproveitar apenas a lei de de momento_ linear, ja que parte da energia ecanica transformar-se-ta em energia intema da nova ;articula. Relativisticamente a situa\ao e diferente. A comonente 0 do 4-momento conh~rn todas as form as de enerp 1' b, ia, logo podernos ap tear tam em a conserva~ao de energia. Obviamente a conservar;ao de momento linear (isto e, componentes espaciais do 4-momento) implica que a nova particula ficani em repouso no laboratorio, como podemos ver pela equa\ao (98) ou pela figura 25.
~:nserva~ao
~as
· 25 Choque inelastlco , . de d uas pa rticulas de massa m. A massa do Frg. sistema e maior que 2m .
mc/Jt-v2/c 2
mc/Jt-v2/c2
Px Py
-Px -py
Pz
+ I
-pz
Me 0
-
0 0
I
(98) I
- de 4-mon1enLendo a componente 0 da 1ei. d e conserva\ao , a de repouso
to' 0 b temos que a nova particuIa tera a mass
99
2m
(99)
Esta massa e, ma1·or que a soma das massas de repouso das particulas que se chocaram. Isto si~ni~ca que, a energia cinetica das duas particulas 1n contn.~~~ ~ambe~ para a inercia do sistema. Esta e uma consequenc1a notavel da teoria da relatividade. Se aquecermos uma massa M de agua, acrescentando
uma quantidade Q de calor, a teoria da relatividade preve que a massa da agua aumenta por bM = Q c -2 • Infelizmente, para quantidades de calor de alguns Joules, este aumento e pequeno dem
IiiI P=
P~
p"' P:
100
(100) I
Este tipo de 4-momento tem a propriedade
(101)
Comparando esta normaliza<;ao com a de uma particula massiva (equac;ao 95), podemos ver que 0 4-momento de uma parcel a de uma onda eletromagnetica comporta-se formalmente como o de uma particula com m = o . Mais tarde, quando estudarmos a fisica quantica, veremos que a energia e o momento linear de uma onda eletromagnetica plana so pod em ter certos valores discretos: £ = n_!!_ro e 21t p= n_!!_k onde n e Uffi fitlffiefQ inteiro, h e Uffia constante uniJ;rsal (a constante de Planck) e w e k sao a freqi.iencia angular e o vetor de onda. A onda parece ser com'• h hk posta de pacotes d o tamanho un1co £1 = 1t co e P1 = 21t , 2 e estes pacotes, de certa forma, podem ser vistas como particulas charnadas fotons. 0 4-momento de urn f6ton pode ser escrito com o 4-vetor de onda I
11
II
(102)
. t o de urn foton' vale enPara o vetor de energ1a-momen tao p . . p . = 0 e, pela analogia com a relac;ao (95), urn foton futon d re ouso zero ou f6ton e chamado uma particula de massa e P , Este nome e urn uma particula de energia de repouso zero. . tanto . nhum referenctal, estaInfeliz, ja que o foton nunca, em ne , assa de repouso zer0 ra em repouso. Mas entende-se que m . momento etor de energtaquer dizer simplesmente que_0 v_ .... _ p demos incluir da particula obedece a rela~ao P · p - O. de conserva1 a zero na et s particulas de massa de repous 0 d, exemplo dis.. fi ra 26 a um ~ao de energia-momento. A gu , Ia de massa de so, mostrando o decaimento d e u ma parttcu . . . _ . .. repouso m em dois f6tons.
°.
.. r ~·
>,:·
.
i_ ! c •
'r· I
...
. 101
Fig. 26 Decaimento de uma partfcula de massa m em dois fotons.
A experiencia mostra que o 4-momento de qualquer sistema e sempre urn vetor no cone de futuro. Para este tipo de vetor, podemos concluir, com a desigualdade de triangulo (74), que onde Ia! = .Ja. eo modulo do vetor. Combinando esta desigualdade com a rela~ao (95), podemos concluir que a massa de repouso M de urn sistema que no passado consistia de duas particulas sem interac;ao, com massas m 1 e m 2, vale sempre M > m + m • 1 2 A contribuic;ao da energia cinetica das particulas 1 e 2 para a massa total de repouso M e, entao, urn exemplo da desigualdade de trHingulo (74) e conseqi.ientemente urn efeito relativfstico.
!a+ hi> IaI+ Ihi,
a
Exercfcios E 10.1. Uma particula de massa m est, a em repouso num referencial I . Uma segunda part' 1 . , . . . Icu a, tgua 1 a pnme1 ra, move-se no senti do positivo do e · . , . _ txo x com veloctdade v. Apos uma 1nterac;ao, as duas pa t' f , r tcu 1as ormam uma so Calcule: a) a massa de repouso M d , · nova parhcula e b) a . a veloCidade V da nova particula. 102
A propulsao de foguetes ebaseada na conserva~ao 10 2 E ' ·mento linear. Do motor do foguete sai urn feixe de de JllO , foguete, em compensa~ao, ganha momento linear. 0 gas e·derou-se a posst'b'l'd d I I a e de construir foguetes que conSl . inves de expehr gas expelern fotons, ou seja, luz. Mesmo ao _ nh £6tons nao te am massa, a massa do foguete vai que 05 mudar no processo. Calcule a massa final Mf de urn fogue ... te movido aluz que partiu corn velocidade inicial zero e com massa inicial Mi, sea velocidade final for v (supondo urna trajet6ria reta). I
I
E10.3. No exercicio E 9.6 consideramos uma espa~onave que viaja para uma estrela de 10 anos luz de distancia com dois movimentos uniformemente acelerados. Na primeira metade da viagem a nave segue a lei honiria x (t) = 2 + c 2 t 2 com l::: c2 lg ~ 9·1015 m. Supondo que a espa<;onave tenha, na metade do caminho, uma massa de repouso de 104 kg, calcule a energia cinetica dela neste instante.
.J/
.
103
. •
.
. .•'
.
-
:
~
l
-~-
11 A SEGUNDA LEI DE NEWTON
Depois da introduc;ao do 4-momento, e facil adivinhar a forma absoluta da segunda lei de Newton:
d - -P=F dr.
(103)
0 'l.lle nao e tao facil e descobrir 0 que significa 0 4vetor F .9ue aparece no lado direito da equa~ao. Vamos chamar F de 4-forc;a. Mas urn nome bonito naturalmente nao resolve nada; temos que descobrir como :F erelacionada com a forc;a comurn F. Para poder adivinhar isto, vamos analisar uma for<;a bern conhecida, a for~a de Lorentz:
-
{104)
v -
Veja prirneiramente a parte magnetica, q x B. Esta expressao depende linearmente da velocidade da particula. Podemos dizer: o campo magnetico e uma grandeza que relaciona o vetor de velocidade linearmente com urn vetor d ' · )· Temos e for<;a (para uma particula com carga unt·tana que transformar isto numa afirma~ao que use 4-vetores. Isto ' , . . mo tempo o campo e posstvel se tnclutrmos, ao mes ' eletrico. Lembramos que a 4-velocidade era 105
c
_ (l04) por
.f- •X,, obtemos
Entao dividindo a equa~ao te da 4-velocidade: ' d }inearmen um 3-vetor que depen e F
=
jt-v;;,
q-V.+qn: E-
vx B - -
e
I- v
e
2
(105) -I
Ere = q E1 e - I -I E::e
0
Bz
-By
-B::
0
Bx
BY
-8
X
Vo
0
vx vy v_-
I
I
0 campo eletromagnetico como urn to do (campo e!E~ trico e magnetico) poderia, entao, ser urn objeto que relaciona a 4-velocidade linearmente com outro vetor. Tudo se encaixaria perfeitamente no esquema dos 4-vetores, se o lado esquerdo da equa<;ao (105) fosse a parte tridimensional de urn 4-vetor. Isto nos leva a supor que as componentes X, y, z ~a 4-for<;a sao dadas pela expressao {I - v2 /2 )XF. Temos en tao: \: I c:
Fa
-
F==
lJ lJft-v /c 1ft
~I-v2/c2
,,
.,'
y
2
{106) 2
"
-'
-V2/c2
106
·l
I
Com esta hip6tese, a parte tridi . · mensional da segunda lei de Newton (103) toma a seguinte forma:
{107)
Desta equac;ao concluimos que
dp
-
-=F dt
{108)
Esta eformalmente a conhecida segunda lei de Ne won. t Note, no entanto, que como equac;ao diferencial ela e bern diferente da segunda lei de Newton da mecanica nao-relativistica. Se esc~evermos esta equac;ao em termos das velocidades, podemos notar a diferenc;a: mv-
d dt
~I
vx2
.....
==F
(109)
Falta interpretar a componente 0 da segunda lei de Newton. A chave para esta tarefa e a normalizac;ao do 4momento: P. P = m 2c 2 • Vamos supor que a forc;a extema nao altere a massa de repouso da particula. Entao, o modulo do 4-momento e uma constante. Sabemos, desde OS tempos da Fisica I, que velocidades de vetores de modulo constante sao sempre perpendiculares ao vetor em quesh1o (por exemplo, temos esta situac;ao no movimen~o circular). Este fato e verdadeiro tambem com 4-vetores. E facil mos- _ trar isto com a regrade Leibniz (regrade produto): d d - - dP - dP dP p-- (110) 0 ==-(const.)==-(P·P)==-·P+P·-=2-· _ - dt d't ·. d't ' dt dt- ' - '• I
t.
- dPI p_. rtogonais (compare a figura 27). En tao 1 c1r. e sao o t
X
Fig. 27 Ortogonalidade do 4-momento e de sua derivada. A derivada e tangencial ao hiperbol6ide de massa m. A figura mostra tambem os eixos X e t do referendal de repouso da particula. A derivada dP I d"C e paralela ao eixo x e, entao, ortogonal ao eixo t.
Se multiplicarmos a equa~ao (103), isto e, a segunda lei de Newton, escalarmente com P, devemos obter zero. Podemos entao concluir:
0 = P ·F = m
v·F
c
JI
vx ~I
F - m --;::===---====-
Vlc2
J1
°
2
lilc
(111)
2
Com isso podemos determinar a componente 0 da 4-for~a
Fo
v·F
=-==---
cJI Vlc
(112)
2
e podemos completar a equa<;ao (l0 6 ):
V·% FX
(113)
Fy 08
Fz
I
_ A componente 0 da segunda lei de Newto n t em en tao a seguin te forma:
(114)
Multiplicando com
cJt- v/c2 obtemos (115)
0 lado direito e 0 trabalho por unidade de tempo feito pela for\a extema. Entao, a equac;ao (115) afirma que a taxa de varia\aO da grandeza cP0 eigual ataxa de transferencia de energia para a particula. Este resultado mais urn suporte da interpretac;ao da componente 0 do 4-momento como E/c.
e
Exerclcios E 11.1. Complete a equac;ao (105) acrescentando a componente 0 corn ajuda da equac;ao (112). A matriz do campo eletromagnetico tom a en tao a forma de uma matriz 4x4. E 11.2. Urn eletron em repouso num referencial I est a sendo acelerado por urn campo eletrico £ = e... a) Calcule a acelera\aO resultante no instante inicial da experiencia.
J{t:
b) Urn segundo eletron move-se com velocidade v = 0.99 c na dire\ao x e esta sendo acelerado com o mesmo campo eletrico. Calcule a acelerac;ao resultante no instante inicial da experiencia, neste caso. E• ll.3. Urn eletronI inicialmente em repouso num referenV Cl 1I 1 1 a 'esta sen do acelerado porum campo e etnco £ = ~ ;,e... Calcule o modulo da velocidade do eletron em func;ao do I
ternpo e fac;a urn gnifico do resultado.
•
-
II
-
109
12 RELATIVIDADE GERAL
A teoria relativistica da gravita~ao usa ferramentas matematicas fora do alcance do ciclo basico. Portanto temos que limitar-nos a poucos comentarios qualitativos. Primeiramente temos que entender porque a descri~ao Newtoniana da gravitac;ao precisa ser alterada.
0 ordenamento parcial dos eventos, no senti do de "mais tarde" QU rna is cedo" e intimamente relacionado CQffi Q conceito de causalidade. As conseqiiencias de urn acontecimento num evento e serao sentidas apenas no cone do futuro F(e)do even to e. Por exemplo, se empurrarmos uma carga eletrica A repentinamente, uma segunda carga B sentira o deslocamento da primeira apenas quando a linha de universo da carga B entrar no cone de futuro do evento do deslocamento da carga A (compare a figura 28). II
1
B
e
A
B
. d A a A e, em purrada repentinamente (evento e). A Fig. 28 Causahda e. carg ·tar por causa do deslocacarga B esta presa numa mol a e comec;a a osc1 - , mento da carga A, apenas no fu t u ro do empurrao.
F = -mMG r- 3 r nao e compativel com esta ordem causal, ja que ela represe.n. . 1N ew tonta . na A forc;a gravttaCiona
ta uma interac;ao instantanea (dentro de algum referenCial privilegiado no qual ela e formulada) . Poder-se-ia tentar elaborar uma teoria da gravita~ao no espac;o-tempo de Minkowski, parecida como eletromagnetistno. Mas a situac;ao e bern rnais complicada. A for~a gravitacional nao pode ser blindada e ela atua sobre todos os corpos. Com isso, ela derruba nossa base da geometria do espac;o-tempo. Se nao podemos blindar a gravita~ao, e se ela atua sobre todos os corpos, como vamos realizar urn rel6gio atotnico livre de for~as? Sem atomos livres nao temos mais · como medir distancias temporais! Mas, felizmente, existe uma maneira de salvar este conceito tao fundamental. A solu~iio do dilema esugerida pelo prindpio de eqiiivalencia. Imagine que urn experimentador fa<;a ex pen·"enc·1-'as.. de .. . tnecantca dentro de urn· elevador qu · · gra. e cat no campo 112
vitacional da Terra em queda livre (d entro de urn tub d o e vacuo). 0 elevador, o corpo do expe . nmentador e todas as massas dentro do elevador serao aceJ d era os pela gravitarao da mesma forma. Desta maneira 0 . 'r expenmentador : que pode ver apenas o interior do elevad . . or, nao percebera a forc;a gravttactonal. Para ele uma massa lt . so a 11 vremente ' no elevador mover-se-a como uma particula livre. Is to vale · nao a pen as para experiencias de mecan 1·ca . Po de mos d tzer: 0 uso d,o e~ev~do: em queda livre como referencial eequivalente a ehmtnac;ao da forc;a gravitacional. J
Esta formulac;ao do principia de eqtiivalencia nao eainda satisfat6ria. Temos que dizer algo sobre o tamanho do elevador. Imagine urn elevador gigantesco em queda livre no campo gravitacional da Terra; digamos que as arestas do piso do elevador tenham uns 500 m ou rna is. Duas massas soltas dentro do elevador na mesma altura, mas bern afastadas uma da outra, cairiam ambas para o centro da Terra. Mas como as direc;oes para o centro da Terra sao diferentes para as duas massas (compare a figura 29), observariamos dentro do elevador que as massas se aproximam de maneira acelerada.
. e . [)uas rvr . . aindo em queda Fig. 29 Terra com elevador gtgante c d £ rma acelerada. ' . am-se e JO I so tas dentro do elevador aproxun
mas.~s
113
. ·anal da Terra seria notagrav1tac1 f t para eliminar a forc;a graDesta forma, o camp d r De a o, . vel dentro do eleva o . I. ·t r o tarnanho espacial do enas Iffil a vitacional nao basta ap. . . t mbem 0 tempo de observa, ·so hmitar a no elevador cair urn tempo elevador, mas e preCl . sumpeque ~ao. Pois se d e1xarmo tr de urn poc;o de alguns qui. t ( 0 r exemplo, den o . sufi c1en e P celerac;oes relahvas entre ,. . ) . possivel observar a levador. Em Iugar do elevador lometros , sena equenas massas so1tas no e ma regiao pequena no espa<;oP .. . . . . pequeno, temos que usar u · , 10 · de equtvalencia. tempo para formular o pnnCIP . 0
Imagine uma regiiio R1 no es~ac;:o-tempo e um sisten:a de coordenadas cuja origem esta em R1· Podemos entao marcar uma regiao Rr, encolhida pelo fa torE, multiplicando os valores das coordenadas dos eventos de Rt por E. Com este tipo de regioes, podemos formular o principia_ de eqiiivalencia. Para urn sistema cujas linhas de universo de todos os seus elementos passam por Rr e que nao sofre nenhuma for~a extema nao-gravitacional, os efeitos gravitacionais observaveis dentro de R, sao pequenos da ordem E. . 0 ex~to signi~cado deste principia
e ainda ponto de
d1scussoes e ate parecem exis . t Ir . excec;oes . ,academicas . deste. pnncipio. Mesmo assim' ele sugere uma d e fi nu;ao . ,.. . de d1stanc1a temporal · Ateona · d a gravttac;ao . serve geralmente para, a fisica na escal a astronomtca. " . ,t · Nest a escala, urn a omo e extremamente lac;ao e extrema t pequeno e 0 periodo de ascimen e curta e · _ ' ncatxando-se entao numa regiao pequena do e spa<;o-temp p 0 nucleo sofrerao a m O. ortanto, OS e}etrons e esma acelera . , atomo nao sofrer nenh <;ao gravitacional se o uma outra f e para urn observador . . orc;a nao-gravitacional, b 1. t · " que cat )Unt0 ats atomicos nao d com 0 atomo OS orfi . se eforma ar nas oscila~oes a to . rao. Podernos en tao conqueda I· micas, desde , . tvre, e podemos defi . que o atorno esteJ· a em nu: . · 114
A distancia temporal entre dois .d eventos e e deve ser me d 1 a com um relogi t... • 1 e2 o a om aco que passe por estes eventos em queda livre. Recuperamos en tao a base da geornetria d . .f. d d , o espa<;o-tempo Como o stgnt tea o e atomo Ji vrc agora d _ d- . · . . . epen e do campo a geometna do esparo-tempo d d .~. gravttactonal, . . , '~" epen erd do campo gravttaCional tambem. A forra g·rav-'t · . , " t aaona 1 e entao bem diferente de todas as ou tras forras ')'. ·· por exemp1o, a --r1 erra gira em tomo do Sol porque o Sol modificou a geometria do espa~o-tempo em torno de sua linha de universo. Para explorar a geometria de urn espa<;o, podemos estudar as retas neste espa<;o. Eisso o que fizemos na escola quando tivemos os prirneiros cantatas com a geometria Euclidiana. As retas no espa~o Euclidiano sao as liga<;oes mais curtas entre pontos. No espa~o-tempo, sem campo gravitacional, as linhas retas de universo sao as conexoes mais longas entre dais eventos temporalmente separados. Em geral podemos entao dizer: retas sao conexoes com comprimentos extremos (ou minimos ou maximos). Em espa<;os mais complicados, como por exemplo, uma superficie de uma esfera ou o espa~o-tempo com gravita\ao, as conexoes extremas tern urn outro nome; chamamse geodesicas. Mas, no fundo, poderiamos chama-las d,e retas - a ideia ea mesma. Vamos entao estudar as geodesicas no espac;o-tempo.
E bem
facil realizar uma geodesica no espa~o-tempo, . has de universo de experimentalmente. Resulta que as 1In _ d, . eda livre sao geo epequenas massas punttformes em qu .,.. a . d considerar a 1 err Sicas do espac;o-tempo. Se pu ermos . _ na e puntiforme, po aproximadamente uma massa pequ~ d .,.. rra que se d "nh d ntverso a 1e , emos entao dizer que a h a e u d 1 como uma 0 50 · enrosca em torno da linha de universo 115
u£ ·o rtu· ft i a d tj -;ta'' qtH~ "'~ f1 , a cu rva rn c:us0 f-rL t () lJ u c J'~-*' .. JlH!IlcHi np,:.t-;:.,~ itc fazcr. a upoJ{:~;ica~; (\ fu11. • .
II
·
. '1 e mola espHa ' po perm . d . ,revern n espa.;:o-tem da livre c~:>c d • JJ~timt:Hl !~m'f es em que d ~finic;ao .l:. , . punti orm t a que nossa c , .J . ·t;jncias tern P(JJ(ti~ t I e mos r . ·dJr uJ S c . . , • damen a d A ideJa de me . cJa r>(da dHHHnJCd 1 dequa a. f . motJ va pora atomos ,e a d(~~r.n~Vf' urn;, em qucda livre · otque(1a J'vre 1 com . mctri camt.'flte o ,r.. dos atomos. Mas· o fato que aolha e' gto · , . mos tra que esta esc a o re 11 eodesJca ogJ.o mecJ e, CJf' J<,ngf> greta tam b,e m' pois, desta form . desJgua )-1ua de de triangulo ln. ho ex tremo e a de um camin versa (74) e garantida. :>
J
.
•
#
I
I
~
Fig. 30 Pontos (eventos) nas retas que se afastam de forma linear.
Voltemos urn momenta para as retas do espac;o Eudidiano, ou do espa~o-tempo sem gravita\ao. A figura 30 mostra duas retas (ou linhas retas de universo) que se cruzam num ponto (evento) e0 . Se andarmos nas retas uma distilncia -r, geramos dois pontos (eventos), e (
Se nos afastarmos de urn ponto N (polo norte) d odesicas, notaremos logo que 0 f em uas ge- a astament o, entre os dois ontos gerados, nao cresce prop . . fi orctonalmente a d.Istancia " P andada (veja a gura 31).
N
Fig. 31 A superficie de uma esfera eurn espac;o com curvatura. Os pontos 1 e 2 se afastam (e se aproximam) de forma nao-linear.
De fa to, depois de .atravessar o equador, as duas geodesicas se aproximarao de novo para reencontrar-se no polo sui. Este desvio nao-linear entre geodesicas e uma medida da curvatura do espa<;o. Vejamos agora urn exemplo mostrando que o espa<;o-tem po com gravita~ao tern curvatura tambem. Imagine simplesmente duas massas pequenas e puntiformes circulando em torno do Sol em 6rbitas iguais mas em sentidos contrarios. Estas massas se encontrarao depois de cada meia volta. Depois de urn destes encontros as linhas de universo das massas se afastarao e depois se aproximado e se reencontrarilo, da rnesma forma como as geodesicas do exemplo da esfera 2 se reencontraram no polo sui (veja a figura 3 )· 117
sol
Fig. 32 0 espac;o-tempo em volta da li~a de universo do Sol t~rn curva-
tura. A figura rnostra as linhas de un1verso de duas massas cuculando em tomo do Sol em sentidos contrarios. Estas geodesicas se afastam (e se aproximam) entre side forma nao-linear. A escala no plano xy eescolruda diferente da escala do eixo t. Escolhendo as mesmas escalas nestes eixos, as linhas de universo das duas massas apareceriam praticamente retas paralelas a linha de universo do Sol e o evento do reencontro das rnassas ficaria quilometros fora da folha de papel.
Einstein expressou o campo gravitacional em termos da curvatura do espa\o-tempo e formulou uma equac;ao de campo para esta grandeza. A fonte deste "campo de curvatura" ea densidade de energia-rnomento da materia, onde o conceito mah~r· · 1 · b, ,· Ia Inc UI tam em campos eletromagnencos . e ou tros campos d f td . e on;as. Esta teoria da gravitac;ao fo1 tesa a expenmental t , men e com medidas no sistema solar e ate h . OJe todos os dado . . . s expenmenta1s confirmam a teona. A relatividade er I , conceitu 1 g a e uma teoria matematicamente e a mente bern 1' gravita\ao . camp Icada. No espac;o-tetnpo corn . . nao extstem · · rctats em tod mats referenciais que sejarn tne o o espac;o-t . . 1 um elevador · fi . empo. Par urn te1npo infinttestma . In nttesim 1 oPnadamente ( a em queda livre escolhido apr sem rota - ) 118 c;ao pode servir como um referen..
~·Jl int:'r~ial local. 1\s coord~nadas de L . . . • • l orcntz, que foram , 1 n~tnudns ~on\ LlJUtH1 de un1 rcf~ren ·. 1 . . lt • Cia tnerc1al nao exis. , t tl'rcn1os <}llt' us'""r . . d ' tt ·tn null~. I~n' gera . .. .... ' ... . ._ " coor enadas que nao t,~l\,\0 t spec tal con, ., . . tt~tn .nt•nhu tnn.. lt ". • , •~ .... geon1ctna do espa·o-ll'tnpo. A tt '"'n~fot nl,H~ao de utn sist) d ~ , '· · ctna e coordenadas ,,. 1ra outru, ern gt•rat sera dada tJor func<.-)
Vejarnos pelo tnenos un1 efeito da relatividade geral. No paradoxa dos gemeos, obtivemos idades diferentes dos innaos, deixando-os viver em linhas de universos diferentes com con1pritnentos diferentes. Era preciso usar uma espa<;onave bern veloz para ter urn efeito apreciavel. Eplausivel que num espa<;o-tempo com geometria complicada sera mais facil obter esta situa<;ao. Suponha que dois irmaos gemeos A e B. se despedem num Iugar ao nivel do mar. 0 innao A conttnua no lu~ar, enquanto o irmao B sobe nas alturas do Himalaia e vtv: num rnonash~rio do Tibete na altura de 5000 m acima d.o nt• . - A viaJ·a para o Ttbete vel do mar. Depois de 20 anos o umao . , . No encontro, os dots para visitar seu irmao no monasteno. . ._ trar que o trnlf.'lO que t erao idades diferen tes. Pode-se mos · 119
elera\ao da gravida.b te onde a ac 1" viveu nas alturas do T I e ais velho. Infe tzmentel r sena om f . de e ligeiramente meno poderia ser con enda . d este caso nao a diferenc;a de 1da en brancos; pode-se calcu, de cabe1os de idade seria da ordem em termos de numeros a diferenc;a Iar, para este caso, que . . a contagem do tempo 4 ntficante para de 3·10· s. Isto e tnstg . ma diferen\a detectavel de vida de uma pessoal mas sena u com relogios atomicos. ·fi esta diferen\a de idade com Se qutsessemos ven car d t ao 0 fariamos usan o rerelogtos atomtcos, seguramen en . . . . te da deIogtos em que d a 1·tv re e com 0 procedtmento hmt finic;ao do tempo proprio- seria muito comphcado e caro. Usariamos na pratica simplesmente dois relogios que acompanham as linhas de universo dos irmaos, da mesma forma como fitas metricas dos alfaiates acompanham curvas espaciais. Vamos tentar estimar o erro que cometemos com este procedimento simplificado: A for\a externa naogravitacional, necessaria para manter OS atomos de Cesio dos ~elogios nas linhas de universo dos irmaosl tern modulo I_F:x~l =mg =I 33 ·~A g"' 10-'•N. Durante as via gens para o Ttbete, . fi as . acelerac;oes poderiam ser ligeiramente ma1ores mas canam na mesma ordem de grandeza. Vamos comparar esta forc;a com as forras inter ~ nas que atuam dentro do atomo. Temos as forc;as atrativas entre n as forc;as repulsivas entre os ltr ucleo e eletrons e e1e ons Como u . . grosseira do modulo d t f . rna eshmahva es as orc;as pod c;a entre duas cargas ele emos tamar a formentares com ct· ,. dentro de urn
I
I
•
I
I
•
•
•
-
•
I
,..
•
•
1
1
1
I
I
I
,
Um, caso .particular do paradoxa gra vt·t aCJona · 1 d os ge. .
gravJtactonal · Se m an d armos urn rne os eo efe1to Doppler . feixe de luz da b~se de uma torre para seu topo, a frequcncia da onda medtda no topo sera ligeiramente menor que na base. R.V. Pound e G.A. Rebka (1960) verificaram este efeito com raios gama gerados como efeito Mossbauer (o efeito Mossbauer permite criar radia<;ao com frequencias extrema mente bern definidas). Adiminui<;ao da freqi.iencia da radia<;ao eletromagnetica, corresponde uma diminui\ao da energia dos quanta hv. Resulta que esta diminuic;ao de energia, DE= hbv, dos f6tons que sobem uma altura H, e justamente a energia necessaria para levantar uma massa m == hv I c 2 por uma altura H no campo gravitacional.
Exerclcio E 12.1. Urn rel6gio atomico sai da superficie da Lua, ver-
ticalmente, com uma velocidade urn pouco menor que a velocidade de escape da Lua. 0 rel6gio se move em queda livre e volta para a superflcie da Lua cai~~o no"m~sm~ lugar do qual ele partiu. Urn segundo relog1o atomtco ficou no local. Qual dos dois rel6gios mostrara mais tempo entre os eventos de saida e chegada?
121
13 COSMO LOG lA
A aplica<;ao n1ais nota vel da teoria da relatividade geral ea cosn1ologia. Estc r~n1o da Fisica tenta entender nosso mundo nurna escala acima das galaxias. Nesta escala, a for~a gravitacional predominante. Hoje em dia falamos de galclxias con1 maior naturalidade. Mas foi urn esfor~o enorme de n1uitos astronomos para n1ostrar que fora da nossa galaxia existetn outras gah1xias. 0 grande problema da questao ecotno n1edir as distancias dos objetos que vemos no o~u. Para as estrelas rna is proximas do Sol (poucos anos luz), podemos medir suas disHincias ainda com triangula~ao, usando dois pontos opostos na 6rbita da Terra em torno do Sol como base da triangula\ao. Mas com este metoda conseguese rnedir apenas uma fra\ao minima da nossa propria galaxia. Fornm desenvolvidos diversos metodos sofisticados para rnedir distancias de estrelas e de grupos de estrelas. Mas para distancias grandes, funcionam basicamente apenas metodos baseados ·na luminosidade das estrelas.
e
Sabemos que a luminosidade aparcntc de uma lampa. " · se a Iuminosidadc da cai quadraticamente com a dtstancta. .
absoluta da lilmpada (potCncia irradiada) for conhec!da, po. . ,.. . t Jf' npada e observador demos determ1nar a dtstancta en re at ' , · d problc1na e con10 sape1a lurninosidade aparente. 0 gran e 123
, . .d d bsoluta das estrelas. As estrelas ber qual e a luminosi .. . . a e a . elas diferem nas suas potennao sao todas 1gua1S entre Sl1 · d 5 de grandeza. U m grande cias irradiadas por mtntas or . . en a Hennetta . . Swan Leavitt avan<;o ocorreu quando a astronom . . . m metoda para determ1nar a luminod escob nu, em 1912 u sidade absoluta de um certo tipo de estrelas chamadas cefeidas. As cefeidas sao estrelas extremamente Iuminosas. Elas podem emitir mais de 10' vezes a potencia irradiada pelo Sol. 0 mais interessante destas estrelas gigantes e que sua luminosidade nao e constantel mas oscila com periodos de alguns dias. Estudando cefeidas na nuvem de Magalhaes, Henrietta Swan Leavitt descobriu que existe uma relac;ao entre a luminosidade absoluta das cefeidas com sua freqiiencia de oscila<;ao. Medindo entao a frequencia de oscilac;ao de uma cefeida, podemos determinar sua luminosidade absoluta e, pela sua lurninosidade aparente1 sua distancia. 1
Como as cefeidas emitem tamanha quanti dade de energia, e ~ossivel det~ctar cefeidas ainda em ou tras gah1xias. 0 astronomo Edwtn Hubble conseguiu localizar cefeidas nas "'nebulosas" chamadas M31, M33 e NGC6822, e com es:as estrelas mostrou que estas nebulosas distam mais de 10. anos luz do . tem urn . observador. Como a nossa ga I,ax1a ra1o de aprox1rnadamente 6 ·1Q4 a nos 1uz, as nebulosas observadas estavam definitivame n te fora da 1' · Trata-se de outras 1, . nossa ga ax1a. ga ax1as. Nos . estudou urn numero anos segutntes1 Hubble enorme de galax· . d. . las, suas formas, sua localiza<;ao no esparo e 5 ua Istnbuira El , ~ as galaxias tern a tenden . d ~ 0 · e encontrou que eta e se agr Mas, numa escala muito . upar em aglomerados. mat or que 0 t merados, elas parecem e t d. . amanho destes ag1os ar tstnb 'd Em colabora<;ao com 0 a t . . UI as uniformemente. s ronomo M'I 1 encontrou uma lei em · · ton Hun1ason ele putca bastante . A 1· h cunosa· s In as espectrais d . t f e certos el a mos eras das estrelas de g I, . ementos quitnicos das 124 a ax1as d lstantes · mostraranl I
deslocamento para o vermelho E t 1 _ u111 . . . · s a a terac;ao das freco f . qi.ienc1as lumtnosas, se, tnterpretada . moe e1 to Doppler indicava que estas ga I axias estao sea fast d d .' an o o observador. Hubble e Humason notaram ainda . , . que a ve 1oc1dade com a qual as galaxtas fogem etanto maio . , r quanta maJor . ,.. . sua d1stancta. Esta regra e a famosa lei de Hubble. Ela e0 ingrediente essencial de praticamente todos os modclos realistas do nosso Universo. A maioria destes modelos usa duas hip6teses:· 1. (principia cosrnol6gico) Existe urn referendal privilegiado no qual o espac;o ehomogeneo, vis to numa escala muito maior que os aglomerados das galaxias. 2. 0 Universo esta se expand indo de uma forma tal que dois objetos em repouso no referendal privilegiado estao se afastando urn do ou tro com urn a velocidade proporcional a distancia entre OS objetos.
A figura 33 mostra o espac;o-tempo do nosso Universo, segundo o modelo m.a is aceito - o modelo padrao. Esta representada a forma quadratica Q em quatro eventos. As coordenadas t, x (y e z nao sao representados), usadas para mapear o espac;o-tempo na folha de p.apel, sao escolhidas de tal forma que: 1) as linhas de un1verso de observadores parados no referencial privilegiado sao re-
tas verticais, 2) o tempo prOprio de tais observador:s de3) a homogenetdade fi ne urna escala linear no pape1 e que . . d h Estao desenhadas do espac;o fique evtdente no esen I, .as aproxtmadamenas linhas de universo de duas ga axt , . A d . . · do A galaxta po e, te paradas no referencial priVI1,egia · _ podemos ver, . Como por exemplo, ser a nossa gaI axta. ,.. . tre a nossa Ga a distancta en no tempo t = 3·109 anos = 3 t S·109 anosluz , ·madam en e ga1axia e a gala xi a B era aproxt . b , .de da unidade , · · 0 htper o 1ot (5 Ga), pois podemos tnsenr . h Hoje isto e, 8 lGa cinco vezes entre a linha A e a hn a . '
°·
.
125
. . tre A e B e, segun. "nClaen _ 12 Ga, a dtsta . a anos luz. Entao n t = 12·109 anosis que 13 gzg ei ouco ma ada outra. do o desenho, um pfastando um as galax1as A e B estao se a A t I
•
B ~
l ~'''''"
,,,,~~
~
12 Ga
9Ga
6Ga
3 Ga
~~--------------~0 Fig. 33 Espa~o-tempo do modelo padrao.
Na figura 33 esta desenhada ainda a li~n~a de universo de urn sinal luminoso que partiu da galaxta B no tempo t = 3 Ga e que chega ao nosso telesc6pio hoje, em t = 12 Ga. Esta Iinha de universo e construida tal que ela encoste tangencialmente nos cones de luz da forma quadnltica Q ao Iongo do seu caminho. Agora podemos verificar graficamente o deslocamento para o vermelho das linhas espectrais. Imagine que uma terceira galaxia, que fica 0,5 Ga luz atnis da galaxia B, emite urn sinal luminoso no tempo t = 3 Ga. Este sinal passaria pela ga13xia B no tempo t = 3,5 Ga. Podemos agora utilizar a homogeneidade do espat;o para construir a Jinha de universo deste segundo sinalluminoso: obtemos esta Jinha de universo simplesmente deslocando a linha de universo do primeiro feixe de luz paralelamente pa d N gara a esquer a. a ·_ laxta B ha urn atraso debt8 == 0 5 Ga e t d . . . ' n re os ots stnats 1um• 126 l
•
,
t - 12 Ga
• 9 (ia
6 Ga
3 Ga
_________________________________LQ Fi~.
34 Do is sinais luminosos. Na galaxia B o sinal2 passa 0,5 Ga depois do sin.:1ll. Na galaxia A o sinal2 passa aproximadamente t3 Ga depois do sinal l.
0 n1estno fa tor de aumento entre os atrasos de dois sinais luminosos, separados por giga anos, teriamos com os atrasos de je1npto segundos entre frentes consecutivas de uma unica onda. Isto significa que o periodo de uma onda emitida na galaxia B, em t =3 Ga, seria menor que o period ada mesma onda quando ela eobservada na galaxia A, no tempo t = 12 Ga.
A expansao do universo tern como conseqi.iencia que a densidade de materia no universe diminui com o tempo. Hoje a densidade de materia e tao pequena que uma onda eletromngnetica podc viajar giga anos sem interagir com a materia. Mas esta situac;iio niio foi sempre assim. Segundo 0 modelo padrao, devem ter existido epocas ren1otns nas quais a densidade da matCria era tao alta que ondas ele· trornagneticas sofriam abson;Oes constantemente. Nestas epo t-o corno um corpo . . .· · cas o universo se comportava en a . 127 .
~
.
.
. rpo negro n~o s6 abc.i' : t a 1 u z. Urn co t negro que absorve o ' mas c Ie ernt.te t am .. tnlqucr corpo, sorve luz n1elhor que q '" Com ns constnntes absorbem n1elhor que qualquer corpo. .d mente urn equilibrio . t·:tbclecc rnpt n <;oes e etntssoes se es '" : _ >dita-se que a tempeadw\ao. Acre . tern1tco entre tnatena e r d univcrso JOVem, era . :-.stas epocas o ratura do untverso, ne . . . r que 0 universo esp d 'nos unagina extremaxnente a 1ta. 0 tl f rma como um gas ' ';' da mesma 0 friou durante sua expansao 1 d ·abatica - reverstve e a 1 • esfria durante uma expansao . . cheio de materia Imagine en tao o untverso JOvem f quen. . - t'ermt·ca _urn alto- orno tnte e densa e cheio de radta<;ao . - a densidade da _matena estava fini to. Devtdo a, expansao, ,
•
I
•
I
•
I
I
•
diminuindo lentamente. Durante a expansao: ~he~ou e~ tao urn momenta em que a densidade da matena fic.ou tao pequena que a radia<;ao h~rmica deixou de ~of~er ~nte~a <;oes com a materia. Desde esta epoca a radt~<;ao telrmt~a estaria entao conservada e deveria ser observavel ate hoJe. Mas devido ao efeito Doppler, ou falando em outros termos, devido a expansao adiab
128
•
•
ii
•~1\
11
,10
n e opaco se obscrvnrernos nunca nada mais velho. ' guramente
Extrnpolando o n1odelo para temp d . = :) .. os ca a vez mais pert(.) do v,1lor t 0, ~nhatnos em regioe d . , . s com ens1dades de nh1tena tao alta e corn te1nperaturas tao lt . _ ~ . a as que nao basta . Cl>nstdcrar apenas as fon;as gravitaciona 1·5 d . . " ., . , . na escru;ao da dtnanHGl do untverso. Acredtta-se que' per t o d ova 1or t = O, . ._ ~x 1 ste un1a regtao com urn comportamento ainda diferente, com urna expansao mais violenta do universo. Durante esta expnnsao, a materia provavelmente sofreu varias mudan(aS dram,lticas parecidas com as transic;oes de fase conhecidas na termodinamica. No tempo t = O, segundo 0 modelo, a geometria do universo tinha uma singularidade - o nascimento do universo, o "big bang". Nas figuras 33 e 34 usamos o valor de t = 12 Ga para a idade atual do universo. Este valor corresponde a dados observacionais um tanto quanta ultrapassados. Hoje, a idade do universo e estimada entre 12 e 18 giga anos. Mas mesmo estes numeros devem ser encarados com certa cautela; os erros na determina<;ao das distancias das gal
Exercicio E 13.1. As curvas que represcnt,1n1 l,lS Jinh,l_s d<' universo dos sinais lun1inosos n,l figurn 34 sjo dt•scnt~s por e
c
I
v () V Ji
130
X
=(!£) . lo
c
'
. SOLU<;6ES DOS EXERCICios
Solu~ao E 1.1. Para E < 1 temos (1 + E)s ~ 1 .. . + SL Utihzando
esta aprox1ma~ao na expressao
2
I -----
I
c 1-(~~)~
obtemos:
Nesta aproxima~ao usamos a formula (1 + £)5 ~ 1 + s£ duas vezes identificando E com -u 2 I c? e usando s = -1 no primciro terrno e s = -Vz no segundo. Solu~ao E 1.2. Podemos tratar a orbita da Terra aproxitna-
damente como circular com raio r == 1,50·10 11 nz · A velocidade da Terra no referencial do Sol eum vetor de m6dulo 11
V. ..
· .· . •
. J
' ·.
.
·.
131.
.
.: • ;
·. :
• :
'
· ,.
IT
2n r _ 21t · 1, 50 · 10 · m :=; 2, 98 . 10 4 - . 7 s · a ··. J ' 16-·10 s
_
.
: ·;-
.
... .. '
. ... , . .
·: '•
. .
. ' .
.
'
.
·.
',
..
.
'
.
.. ;· '
.
.
• '.
.
..
. ...
. , ao r eh·rL'l"H'i,,\ do . se reterc 011 .d des abatXO d;) Terra dl·scn~ve un, eloCl a 10 cidade " . .. Todas as v ano ave . t·va entre eh•r ~ lerrt\ te urn .d d c re 1a 1 SoL Duran . v A veloCl a _ t )\Yon~\ t\41 ve\ocid ..hh.· rn ra1o · · ~ ~ao or ( o circu1o co . ando a pro)e " T rra aponta cln SL' nli· . axuna qu , bita da e sena m plano da or (Con'n,tre o Ul'~enho) 't r sobre o d Terra. r . d o e e , . , velocidade a entl~S dn veloulL,dt• 1 do contra no a , l s das com pot ., . y 05 rnodu o , 6rbita da Terra. l~nt ao Sejam VJ.. e u paralelas a , . , endiculares e . t e Terra e eter sen a: do eter perp . dade relattva en r , dulo da ve\oCl omo
Veloc,dade da Te rra :.mt~ nrb1trAno num 1nst •
Velocidade da (f Terra no instante de ve\ocidade maxima em rela<;ao ao eter
\
/7
Proje((ao ortogonal no plano da 6rbita da Terra da vclocidade do eter_ __
VMAX--
(v + v.,,'f) + V: > v
tao podemos afirmar que a velocidade relativa entre . no v"'\o· Terrae eter deve atingu pelo menos uma vez par a
En
4
res acima de 2,98.10 m/s. Resposta E 1.3. N = 2 franjas.
Solu~ao E 1.4. Conforme a ideia do eter que podc sl'r arra~ tado localmente, iria existlr no local de urn p c da\o dt' v\l\rn urn referencial de repouso do eter local. Este rcfcrencL.\\ deV{' 5
ser o mesmo para qualquer onda eletromagneticn. Mas '~· bemos que o indice de refra<;ao depcnde da cor dn \uz dev~· do dispersao cromatica do material. En tao teria que exi~tlr
a
urn eter diferente para cada comprimento dt! onda~ 132
Solu~ao E 2.1.
a) e c) : 1 [s] t'
[s)
x [em)
c:], e no novo obtemos com
3
b) no referendal original if --> ( 3 3 a equa<;ao (7) if ~ ( s J -3 em
1
,
Solu-;ao E 4.1. Come<;amos com OS eixos X e t do referendal I marcando as unidades lcm e lcm/c. Depois desenhamos duas paralelas com inclina<;ao tal que, para cada avanc;o por uma unidade no eixo x, avan<;amos 3 unidades no eixo t.
I
·3 . I. ·I . I I . I' ·/
.
I
. ,.I
.I em I em·
I I
I I . I'
A~, · M'
I
·x
I
.I.
B' .
133
_ . · dos pontos A' e B' do ref Estas sao as hnhas de untvers 0 e0 renciall'. Uma terce ira paralela, que divide intervalo de interse~iio de qualquer reta com as retas A', B' ao meio, ea linha de universo do ponto intermediario M'. Em A' escolhemos um evento a. Partindo de a desenhamos a linha de universo de um pulso de luz avan~ando uma unidade no eixo t para cada unidade no eixo x. No evento de chegada deste pulso de luz no ponto M' come~amos a constrw;:iio da linha de universo de outro pulso de luz, indo para tn1s isto e, para 0 passado e respeitando que cada unidade no eixo t retrocedida corresponde a uma unidade avan~ada no eixo x. A interse<;ao desta linha de universo com a de B' I
e o evento procurado. I
Solu~ao
E 4.2.
De~emos esco~er o eventom na linha de universo M' tal que as linhas de uruverso que ligam os eventos 1n, a e m, b corres-
pondam a velocidades menores que a velocidade da luz: I . . I' . ·I . . I . . 11.
. I
·I .
. a . .
.
·I I
I . I' ·I . I
. .
.I ernie
I . I'
I em ·
I I · 1·
I . I ' ·I . I I I'
.
·
I . I' ·I . I .
I
·
..
m
I . I. ·I . I .
I . I . ·I . I I . I ' ·I . I . . .
I .
b
I
I
. I ' ·I . I I . I '
•I . I I . I'
I 1
·x
. . A' . M' I. B'. I : :
Acabamos de constr . . . ... uu urn tri" angulo isosceles (m a b) no espa<;o-tempo! Repare q 1 ue este tr'' ' ' ce es no desenho As g tangulo nao parece is6s.. · eometri d espa\o-tempo sao diferentes. as a folha de papel e do 134
solu~ao E 5.1. Sejam I e l' OS refe
.. . . -. .. renCia1s 1ner · · 3o eo o even to que serve como or· cra1s em quest' Igem de co d bos os referenciais. Em I' event or enadas em 0 '·3111 . . o o acontece 0' cuja hnha de un1verso forma 0 . d num ponto , . eixo e coordenada ' · Seja P urn ponto no etxo de coordenad , . x o· t a x 1· N a hnha de ' universo P cons ru1mos o evento e qu e e Simultaneo como no referenc1al I usando o metoda do exe , · E rcicio 4.1. Nesta .. construc;ao usamos pulsos de luz "luz o" e ''l uz e" em1hdos nos eventos o e e respetivamente · Como e e' 81·rnuItAaneocom 0 event~ de origem o em I' temos x'0(e) = 0 e portanto I
I
•
,
•
....
I
(i)
Para o resto da demonstrac;ao precisamos uma rela\ao entre x0(e) e x1(e). Vamos prolongar a linha de universo do · pulso luz e. A intersec;ao desta linha de universo com alinha de universo 0' define urn evento f. Como I' tern velocidade u = f3c em relac;ao a Ina direc;ao do eixo x1 temos (ii)
xo
0'
-----------
P'
M'I
I
I
I
I
I
I
I
I I I I
I I
I
..
I
0 ..·.. '
.
'
. ~ _: .
..
.
.
.
· .. , ..
•'
·' .
..
.
~
.
·.
nde acontccem os eventos · F' M e E 05 · d ulso Iuz o no pont0 SeJam 0 f me e respectivamente. A chegada P F define urn evento g, para 0 qual vale pontos em I O
(iii)
xt(g)::: xt(j)
F Alem disso va 1e b porque g e f acontecem am os em · (iv)
porque g esta numa linha de universo de Iuz que passa por o. 0 ponto M divide o intervalo (F, E) ao meio e os pulsos de Iuz "luz o" e "luz e'' se encontram em Me nzuz o" passa por g. En tao gee sao simultaneos em I. En tao vale (v)
Como e e f sao ligados por urn sinalluminoso, que viaja na dire<;ao -x, vale xt (e) - xt (f) =- (xo(e) - Xo(j))
(vi)
Juntando as equa<;6es (iii- vi) obtemos xt (f)= x0(e)
xo(f) = x1(e) Inserindo estas equa~oes e ('11.) . resultado desejado. m e (l) obtemos finalmente o
Solu~ao
E 5.2. SeJ· am et e e2 dois . , . amaremos as diferenra d eventos arbitranos. "r s e coorde d nos referenciais I e I' d na as destes eventos , d. e av e a res . In Ice v percorre os valores 0 v pechvamente onde o 2 (24) toma a forma ' l, ' 3 · Com isto a equa~ao Ch
I
(ao)2- (a,)2- (a2)2- (a3)2:::::: ( ')2 ao - (
136
.
. . 1 a 1 - (a 2)2 ~ (a 3)2 I
)2
1
(#)
v .:::Q
(//) como: · 1 os escrever o lado direitu da equar"fao rod en 2 ( ')2 - (a2, )2 - (a3, )2 == (a~) - al
r
r
(~M~~ ) -(~M~v~ -(~M~~ -(tMNav J_ 2
3
::: L,:
M~A.aA.MKV~GJJ.K =
~ .k.v, A.=O
3
L
aA.M-r'A+tGJJ.KMKV~ =
J.l,k,v).=O
: : L,: aA. (MTGM lv £\, 3
"J.,v =0
0 Iado esquerdo da equac;ao pode ser escrito como
(aof -(aJ -(a2 Y-(aS= 2
t
a~.G~.A.
A.,v=O
Entao percebemos: se vale a igualdade matricial MT GM = G a equa\aO (#), isto e a equac;ao (24), esta automaticamente satisfeita. Inversamente se a equac;ao (#) estiver satisfeita para qualquer vetor a temos J
La~.. (MTGM -Glv~ =0 A.,v =0
para qualquer vetor coluna a. Escolhendo a como urn vetor coluna com apenas urn elemento diferente de zero, vemos imediatamente que os elementos diagonais da matriz MT GM - G sao zero. Escolhendo para ~ um vetor que tenha 0 numero 1 nos lugares a, e p e zero nos demais lugares e usando que (Mr GM _ G)aC{ = (Mr GM _ G)f3~ = 0 obtemos (Mr GM- G)af3 + (Mr GM- G)f3a == 0. 137 ·
Mas como a matriz MT GM- G e simetrica, a ultima equayao significa Mr GM- G = 0 e isto conclui a demonstra<;ao.
Solu~ao 5.3. Podemos usar o resultado do exercicio E s.2 e demonstrar a equa\ao matricial Mr GM = G. Temos
M=MT=
y
-~Y
-~Y 0
y 0
0 0 I 0
0
0
0
0
0 I
I
0
0
0
0 0
0 -I
0
0
0
1 0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
-1
y
-~y
-py
y
0 0
0
0
1
I
y
~y
0
0
-~y
0
0
0
-y 0
-1
0
0
0
0
-1
y
py
0
0
'Y
-~y
-~y
-y
0
0
-py
y
0 0 0 0
0 0
0 0
-1
0
0
0
1 0
0
-1
0
0
0
e
y2- p 2y2
1
0
0
1
0
0
0
-py2 + ~y2
-py2 + py2 -y2 + p 2y2
0
0
0 -1
0
0
0
0
-1
0
-1
0
0
0
0
-1
0 0
-
onde, no ultimo passo, usamos que y2 = (1 138
0 0 ~2)-t.
0 -1
8,.ht(•io 5..1. 1\ trnn~fon\ll h,Jio de r oordt•nodns
, .\'ll ,, XI ,
-,,
.\'.,
.....
-
XJ
-"(
+r\y
()
0
Xo
- J~y
y
0
()
x,
0
0
l
0
x2
0
0
0
xl
polil.· St'r c..'sl·dta conlo tlllHl transfnrrni1c;ao de Lorentz tnunl scguida d ' UllHl invcrs5o tenlporal:
,
)
·'V = L e\ICl Afuj)
Xp COn1
0 ::::
a .ll -·0
Verificarnos facilrncnte que e rG
bern para o produto 8M a
-1
0
0
1 0 0
0
0
I
0
0
0
0
I
e=G
0
co-
0
e en tao vale tam-
equn~ao
Embora a trans forrnnc;5o conserve a grandeza Q(e1, e2 ) ela nao seria pnltica, utna vcz que, nas coordenadas novas, t" diminui quando o tempo avanc;a. Soht~ao 5.5. Intuitivamente esperamos que a transforma~ao inversa corresponda a invcrs5o da vclocidade rclativa. Para mostrar que esta intuic;ao leva ao resultado correto, mostramos que a matriz obtida da transforma~ao de Lorentz substituindo ~ por -~ e man tendoY, que depende sornente do modulo de p, ea invcrsa:
y
-PY
-PY
'Y
0 0 0 0
0
0
I
0
0
0
0
1
0 0 +PY 'Y 0 0 'Y +PY 0 1 0 0 0 1 0 0
..,
0
0
0
0
-f3Y2 + f)y2
+PY - ~y .. -P :.12 +Yz
0
0
1 0
0
0
0
2
y2-(32y2
1- (32
1- (32
-
0 0
0 1- (32
0
1- pz
0
0 -
0
0
I
0
0
0
0
I
Solu~ao
I
I
0
0
0
0
I
0
0
0
0
1 0
0
0
0
1
5.6. Escrevemos as transforma~oes em fom1a matricial:
I ~ I':
I ~ I':
YJ
-~lyl
-P~r~
yl
0
0
0
0
I
0
0
0
0
1
y2
-P2Y2 y'2
-~2y2 0 0
140
0 0
0
0
0
0
0
1 0
0
0
1
A transforma~ao I~ I" corresponde ao produto:
-~2'Y 2 0 0 0 0 'Y2
Y2 -Pz'Yz 0 0
0
1 0
0
0
yl
-~,yl
0
0
-ply I 0
yl
0
0
0
0
0
1 0 0 1
1
yly2 + ~1~2yly2 -(~~+~2)yly2 -(~, + p2 )y,y 2 r,r2 + B,~zY1Y2 0 0 0
0
-
0 0
0 0 I
0
0
1
Convem tentar escrever esta matriz na forma de uma transformac;ao de Lorentz. Entao veremos se Y1Y2 + ~ 1 ~2 Y1Y2 e (~ 1 + ~ 2)Y 1 Y2 podem respectivamente ser interpretados como urn Y e urn ~Y . Se estas expressoes puderem ser interpretadas desta forma teremos
~ = (~I+ ~2)yly2 =(~I+ P2) • YJ'Y2 + PIP2'YJY2
I+ plp2
0 Y corresponden te a este ~ sera
1+PI p2
I _ 1
J(l +P~PS -(13~ +pJ 2
1+ ~J32
==
Q+ 2 ~~~ 2 +(~~~S)-(13~ 2 +2PIP2 + ~/) I+ ~J32
~Q-~~2Xt-~/)
=(1 + PJP2 )YJY2 141
~ A y 1y 2 • En tao pod e. .d my. Y2 + t'l 1.... 2 Isto de fato COinCI e co 1 - I I' e uma transforarao ___., f mos afirrnar que a trans orm mac;ao de Lorentz com velocidade "$'
u=~c=
(u, + U2) )+
uu I 22
c
. . . nte teriamos u = ul + Uz. Repare que nao-relattvishcame
Solu~ao
5.7.
0
0
1 0 0 1
0
0
y
0 -~y
Solu~ao
e
0
0 -~Y
y
0
0
5. 7. A rotac;ao e dada par
1
0
0
case
0
0
I
0
0
sene
0
case
0
0
0 -sene
resultado final e
y
-~ys
-~ys
c2 + s2y
0
0
-~yc
0
0 sc(y -1) 1 0
sc(y-1) 0
on de s = sen e e c = cos
-~yc
s2 + c2y
e.
Solu~ao 6.1. Urn ponto fixo em I' tern, em I, a velocidade v == 0, 7c ex. Julgando a velocidade deste ponto no referen· cial /" podemos utilizar as equac;oes' (42) e (43) o~de o te·
.
'
!
I . ·, 1'
142
(
i
ferencial I" faz o papel do referenct'al I' d es tas
Usando u =- 0,8 c obtemos:
, 0, 7c- ( -0,8c) I,Sc vx = 1- ( -0,8c )- 0, 7c = 1,56 ""0,962 c
-
equa~oes .
e v y, =vz, =
0
•
c2 Solu~ao 6.2. Usando as equa~oes (42) e (43) corn
1
obtemos:
v; =
-u
u· 0 1--
v =ce
=-u, vY' =c
~ u·O l--
c2
=cJ1 {u/i v' =O Vc)' Y •
c2
0 modulo desta velocidade e ~
lvl=
2
u +c
2
u 2J 1-"2 =c. (
Este e mais urn exemplo da invarHincia do modulo da velocidade da luz. Solu~ao
6.3. A tarefa
e de inverter as equa~oes (42) e (43).
Ja sabemos que basta substituir u par -u para obtermos a transforma~ao
Vx=
inversa:
, Jl {u/'i vx+u I Vc) I , vy=vy I uv uv 1+-x 1+-x
c2
c2
J1 I
I
vz=vz
ful'i
Vc) , . uv 1+-x c2
Quem duvida deste resultado pode substitui-lo nas equac;oes (42) e (43) para chegar em identidades do tipo v'x=v'x·
Solu~ao 6.4. Seja I o referencial do laborat6rio no qual h.a urn peda~o de material transparente em movimento na _dt143
SeJ· a J' o referencial de repou cidade u · _ so rerao x coin ve1o ·dade de propaga<;ao de uma ond 'T • A ve1oci . a deste matena1· . 1 m rela<;ao ao referenc1al I' Val matena e ~ luminosa neste a onda luminosa que se propag . eagora um a v == c/71. Imagtn dor no referencial I mede a velaUm observa na direc;ao x. - das frentes de onda cidade de propagac;ao
% + u "' fcl + u v = · , u % Vn . 1+_:!.. 1 n v: + u _ UV
X
+
c2
c
2
2
c ( _ c u u -+u----~-+u 1
n
n2
en
n
_!_) n
2
Do ponto de vista nao-relativistico espera-se a velocidade: +u. A correc;ao (1_ ~' ) eent3o interpretada como fator de arrasto. Solu~ao
7.1.
Urn segundo vale 29979245800 em. Entao representar 1 em no eixo x 1 por 1 em e Is no eixo t por 1 em signifiea introduzir urn fa tor de escala 29979245800 entre estes eixos. Vamos primeiramente introduzir urn fa tor de eseala 2, depois urn fator de escala 10 e finalmente o fa tor 29979245800.
10
29979245800 l 144
As figuras mostram o espa\o·ten1po com estas distor\5es. Esta desenhado o cone de luz. Vcmos que no caso do fator 29979245800 o cone de luz desaparece dentro do hiper-plano X 1-X 2-X 3. 0 leitor deve tentar desenhar ncstas figuras os hiperboloides Q(ii)= (lcm Q(a) = {2crn f, Q(ii)=(!Ocmf e Q(ii)=(29979245800crnf. 0 hiperbo16ide no ultimo desenho explica a proje\aO horizontal da unidade ls da figura 5 do capitulo 2.
y,
Solu~ao
7.2. A
M
B
I I
RB
Para
orelogio R
8:
.
d(M,B)= ,
I I I I I I
b
I I I
d(A,B) 2
'tM
= v2
d(A,B)
En tao a veloc1dade e v = _..;.____ 'tM
, . R A, R'A e R's sao' em modulo, As velocidades dos re Iog1os iguais a este valor. Solu~ao 7.3.
. . - de erro com avalia\ao de erro lmute: Vamos usar a propaga~ao 145
Isto significa que os rel6gios teriam que ter 22°/o da veloddade da luz! Solus:ao 7.4. 0 espa~o-tempo nao tern a estrutura de urn reticulado. Solu~ao
8.1.
r- cos e + eY - sen9500 ) 2n ' ffio a) k:o -- \ex ntn
= 2n c ~ 3, 77 x 1OJ ss-1' Ao
b) As componentes do 4-vet or d e onda no referencial I sao d ados por
0)% ....
K=
146
(fo}. (ko)Y (fo}.
1
-
cosO
sene 0 I
I
Este mesmo 4-vetor lido no referenc'a] 1 1, t em a forma:
rox -
K=
--
'Y
(f'). (P1 (f').
-
27t
-py
500nm
0
0
0
0
-
I'
300 km/s ternos (3 ~ 10·3 e y ~ 1,0000005 z 1. En tao 3
Y
cosO I 0 sene 0 1 0
sene
ro' ~(1) (1-1 o-
k' =
l
I'
0 =
'Y
0 0 0 0
'Y- BY cos9 -~y +y cose
21t SOOnm
Com u
-r3r
X
cose ), k' x
~
21t (-I o-J + cose) 500nm '
21t sene k' = 0. 500nm ' z
Solu~ao
8.2. A luz da estrela incide, supostamente, perpendicularmente no plano da orbita da Terra. Vamos colocar o eixo y nesta dire<;ao e vamos considerar urn instante no qual a Terra se move na direc;ao x. No referencial, ancorado nas estrelas fixas, 0 4-vetor de onda e
1
21t 0 A.0 1 QI e no referencial da Terra:
; -'
147
w/c -K= (k'l (f')y (k' l
y
-~Y
0
0
I
y
0
0
0
21t -~Y
=-
"-o
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
-
y 21t -py
Ao
1 0
I'
I'
,.. b ~·1 l-Byl Entao obtemos para o angulo de a err~~a~ tg~ =1· 'T' ,_ 20,5x21t _ x -5. este valor e tao pequeno 1emos 9 - 9,94 10 ' que poderdg~ x:p~~~imar tg ~'I ~ e ~ 1. Entao temos ~:::: 9,94 x lQ-5 e a velocidade da Terra seria u = 9,94 x lo-s x c = 2,98 x 104 m/s. Por outro Iado sabemos que u = 2nr I a.
1e 'I y
Oaf, nos obtemos:
3, 16 X 10 r = ua I 21t ~ 2 98 x 10 ' s 21t 4 ffi
7
S
II
= 1, 50 x 10 m
Solu~ao 8.3. Se o atomo voa com velocidade
u em dire~ao ao observador, este vai observar urna freqi.iencia rnaior cu = w 0y(l + ~). Entao ternos urna varia<;ao relativa de freqiiencia bw/w = y(l + ~) - 1. As velocidades tipicas dos atornos sao dadas por
v~ {kf = 1,38 x l0-23 JK- 1 x2000K _ · 3 _1 I ,67 X 1o-27kg - 4, 07 X 10 ms .
v-;;
Conseqiientemente ~::::lo-s e podemos usar y ~ 1. Entao temos bw/w ~lo-s. Solu~ao
9.1.
Sejam os eventos a, b e c dad d f .· . os e orma que c seja postenor , . a b e b postenor a a. Fora d'1550 os eventos sao arbitranos. C omo a e c sao temporalment , . e comparave1s, existe um refe148
rencial no qual a e c acontecem no me . smo ponto. Nas coordenadns de Lorentz assoctadas a este re->ferenc1a . temos 1 (#).
Obten1os para as distancias temporais entre a e be be c:
Somando as desigualdades e usando t,- ta = (t,- tb) + (tb- ta) e a equa\ao (#) obtemos 't(a,b) + 1:(b,c) < 1:(a,b). Percebemos nesta demonstra\ao que o sinal de "=" vale apenas no caso em que o evento b tarnbem acontece no mesmo ponto dos eventos a e c, ou seja, quando o triangulo (a, b, c) for degenerado. Solu-;ao 9.2. ct
y
c
105 vamos escolher um Para a constru\ao de contra-exemp t cem no · b c que aeon e referencial inercial I e tres eventos a, ' h que o I Supan am05 eixo y simultaneamente em rela\ao a · 149
b fica no meio, entre os pontos ond ponto onde acontece f' e esta indicado na Igura. Para este, acontecem a e c, com 0 s · nte tres eventos temos ob viame s(a,b)
+ s(b,c) = s(a,c).
Agora vamos substituir o evento b f~r urn ~ue acontec~ no mesmo Ioca I1m as n um tempo t =c2- postenor a b, onde 0 < f.< 1, c ea velocidade da Iuz e La distancia espacial entre os pontos onde acontecem os event.os a e c. Com 0
triangulo (a, b'1 c) vale:
ou seja, a desigualdade de triangulo inversa. Por outro lado, se substituifffiOS 0 evento b por Uffi b" que e simultaneo com a e deslocado na dire~ao y obtemos a desigualdade de triangulo comum, ja que, neste casol s coincide com distancias comuns no espa~o do referendal escolhido. Desta forma nao podemos formular uma desigualdade de triangulo geral para eventos espacialmente separados. No entanto, limitando os eventos a urn hiperplano de simultaneidade de algum referendal, obtemos a desigualdade de triangulo comum. 1
1
Solu~ao 9.3. 0 fa to que o muon existiu por 2·10-{, s significa que a linha de universo do muon entre even to de produ~ao
e evento de decaimento tern urn cornprimento de 2·10·6 s. C~mo a. li~ha de universo, no caso, e reta1 este tempo pr6· pno coincide com a distancia temporal destes eventos. Entao temos: .
150
2 . 10-6 s =
.!. \jIc.: (t - I
).
2
C
--
c
IJ
C.: 2 (
I'
z I 1 - Z /' v2
( -
Z0
.,
- z1,f ~
t - (zo - z,.Y=
e conseqiientemente Zp
e
-
Z0 =
z0
- v.2 .1o-6 s -
~I
V/c
2
= 2, 9966.1 Osrns _,·2 .I 0 6 S ../1-0, 999 I 0
19980
=
m
20 rn.
Solu~ao
9.4.
Cr
A idade do astronauta na chegada aTerra sera 40 anos + o cornprimento da sua linha de universo entre o evento da partida da Terra Pre da chegada na Tcrrn cr. Se usan110s Pr como origem de coordenadas do rcferencial da Terra e se usarmos unidades tais que c-=- 1, obteremos para ns coordcnadas da chegada na estrela: 1~. = ~' 0 9 X c.....· = 10 a. •
151
A idade do astronauta na ch eg ada
a Terra sera:
ldade do astronauta ='t (ppc,~ )+'t (c,~,P~:· )+'t (P,~·,Cr )+ 40a ~
= 40a + ( ~~;) =
2
2
lOa 2 - (I Oa )' + Ia + ( O, 9 ) - (lOa) =
40,0 a+ I0, 7 a
=
50,7 a
0 irmao gemeo tera na chegada a idade:
lOa 0,9
I dade do irmao = 40 a+ 2 x - +I a = 6 3 ' 2 a Solu~ao
9.5.
0 irmao A sera mais velho (desigualdade de triangulo inversa). Solu~ao 9.6. a) Consideremos primeiramente um movi-
mento qualquer ao Iongo do eixo x de urn referencial inercial /. Sejam v e a a velocidade e acelerac;ao do movimento em I. Seja I' urn referencial inercial que se move na dire\ao x com velocidade u. Vamos calcular a acelerac;ao a' em ['. Com as equac;oes (38) e (41) temos:
152
)2
, _ dv' _ dv' dt ( d a - dt' - dt == Y a ;};
df
+Y ( v - u}!!.2
'=
dl'2
a
No caso em que I' for o refere . 1 d ncia e repous 0 d b. que esta se movendo temos v = o o Jeto u e consequentemente a'= ay3 (#).
.Jt
Com a fun\ao horaria x(t) =
2
+ c212 temos
c 2t V=--;::=== 12 + c212
.J .J1 + c212 "{=----
(##);
2
/
(###)
e (####).
Com a equa\aO (#)segue que a acelera~ao no referendal de repouso sera c? I 1 . b) Resposta: aproximadamente 5 a nos. Solu~ao
10.1.
a)Resposta: M=m 2
b) Resposta: V
1+(1-(;)}~ ;
=---===v==
I+ 1-(;J
153
(,' - V
-- - . Solu~ao 10.2. Resposta: M1 == M, c+v ...
Solu~ao 10.3. Resposta: 4,5 10
Solu~ao
J.
11.1. Resposta:
V·%
c~l- v 2 I c 2
~~I- v I c2 2
~~1- v I c 2
~
21
2
~l-v 2 /c 2
0
Exc-•
Ey c - 1
Ezc-•
EXC - 1
0
Bz
- 8y
E -1 Yc
-Bz
0
Bx
Ezc -1
By
-B
0
X
~.Jt -v lc2 2
YJ v YJ.J1YJ 1-
2I c2
v 2I c2
I - v 2 I c2
,.
Solu~ao 11.2. Respostas: a)
a= -1,76 ·1 0
19
ms-2
ex
b) a= -4,93 ·10 16 ms- 2 e~. Solu~ao
11.3. A cornponente x da velocidade obedece a equa\ao diferencial
-d ( dt
mv
.JI - v2 I c2
) ==-eE
.
Integrando obtemos: mv
.JI- v2 Ic2 == -eEt + const. 154
Com a condi<;ao inicial v(O) = 0 co 1 , · - , nc utmos que a constante de Integra<;ao e zero. Finalmente 0 d b P emos resolver a equa<;ao para v e o temos . e --Et v = r===m====-
A figura mostra I vI /c em fun<;ao do tempo. 1,0 r----:::::::::====----~ 0,8 ~ ~
0,6 0,4 0,2 0,0 -t----r---~------.---___. 4,0 X ) {r 19 2,o x 1o-''J 0
tlsl Figura: IvI /c para urn eletron que esta sendo acelerado porum campo de lOS V/m.
Solu~ao
12.1. 0 relogio em queda livre mostra mais tempo, ja que este seguiu uma geodesica e as geodesicas temporais sao as conexoes mais longas entre eventos. Solu~ao 13.1. As equa<;6es horarias de duas frentes de onda consecutivas sao:
.155
l,.
Sejatn 't£ e 'to os pedodos de oscila<;ao da onda na emissao e observa<;ao respectivamente. Linearizando a equa\ao ho. raria localmente obtemos:
e
Di vidindo a segunda equa<;ao pel a primeira obternos:
Para o caso desenhado na figura 34 teriamos tE = 3 Ga e t0 = 12 Ga e entao a freqiiencia observada seria reduzida por urn fator 0, 397 .
(!t ,.
156
.
\
t t
BIBLIOGRAFIA
1. A. Einstein: A Teoria da Relatividade (Traduc;ao do original alernao: Ober die spezielle und allgemeine Relativitatstheorie) Carlos Almeida Pereira, Contaponto Rio de Janeiro Ou Relativity: The Special and General Theory. Crown Publishers New York (1961)
2. H.A. Lorentz, A. Einstein, H. Minkowski and H. Weyl with notes by A. Sommerfeld: The Principle of Relativity. A collection of original papers on the special and general theory of relativity. Dover Publications (1952) a
3. D. Halliday R. Resnick, Fundamentos da Fisica 4 3-- edic;ao LTC Livros Tecnicos e Cientificos Editora LTDA. Rio de Janeiro (1991)
4. P.A.Tipler: Fisica para cientistas e engenheiros, Vol 4, Guanabara Koogan (1995)
5. G.O. Abell, D. Morrison, S.C. Wolff: Exploration of the Universe sth. edition Saunders College Publishing (1987)
6. Steven Weinberg: Os Tres Primeiros Minu tos. Editora Guanabara. Rio de Janeiro, 1980
·. 157
IN DICE
Alpher e Herman 128 arrasto (fator de .) 12 big bang 129 causalidade 111 cefeidas 124 cone de luz 60 contrac;ao de Lorentz 51 coordenadas de Lorentz 50 cosmologia 123-130 curvatura 117-118 desigualdade de triangulo 83-84, 102 Dicke, Robert H. 128 dilatac;ao do tempo 89-90 distancia espacial 72 distancia temporal33, 46, 83, 115 Doppler 77-82, 121, 125, 128 efeito Mossbauer 121 efeito Stark 33 Einstein 15, 36, 118 energia 97-98 espac;o-tempo 16, 23 eter 12-15 159
I
evento 22-23 fator de arrasto 12 Fizeau 12 for«;a de Lorentz 105 forma quadnltica 67 f6ton 101 futuro 62, 111 galfuda 123 Galileu (transforrna«;ao de .) 11, 27 Henrietta Swan Leavitt 124 Herman e Alpher 128 Hoek 12 Hubble 124-125 Humason 124 idade 85 idade do universo 129 identidade de paralelograrna 68, 71 interferometro de Michelson 13 intervalo 66 Leavitt 124 lei de Hubble 125 linha de universo 29 Lorentz 50 rnassa de repouso 95-96, 101 massa relativistica 96 metro 73 Michelson e Morley 13-15 Minkowski 16 Morley e Michelson 13-15 Mossbauer 121 Newton (segunda lei) 11, 105-109 ordern parcial62 ortogonalidade 69, 107-108 ·paradoxa dos gemeos 89-90, 119-120 · 160
f t •
paraltdogratna 68, 71 p ass" do 62 Pcn zias e Wilson 128 Poincare 50 Pound e H.ebka 121 prindpio cosmol6gico 125 prindpio de equivalencia 112-114 produto escalar 67-69 quadrifon;a 105 quadrirnomento 93-103 quadrivelocidade 94 quadrivetor 26-28, 67, 119 quadrivetor de onda 78 radiac;ao de fundo 128 Rebka e Pound 121 referencial 21 referencial privilegiado 125 rel6gio atomico 32-33 Robert H . Dicke 128 segundo 33 simultaneidade 22, 36-40 Stark 33 Swan 124 tempo proprio 83-92 transformac;ao de Galileu 11, 27 transformac;ao de Lorentz 49-50 transformac;ao de velocidades 55-57 velocidade da Iuz 12, 36, 70, 73-74 velocidades (transformac;ao de) 55-57 vetor de energia-momento 97 Wilson e Penzias 128
t61 .
1. Unidades de comprimento e tempo
Urn segundo e a dura\aO de 9192631770 oscila<;oes de urn atomo de Cesio 133, livre de for~as externas, numa transi~ ~ao entre os dois estados de estrutura hiperfina do nivel fundamental. Unidades secundarias: Simbolo
Valor em segundos
metro
m
lm=
unidade astronomica (semi-eixo maior da 6rbi ta da Terra)
AU
1 AU= 499,0047838 s
ano
a
1 a : : : 3,155.107 s
NQme
parsec (parlaxe segundo)
Is
299792458
..
pc
1 pc ~ 1,02927125.108 s
== 1AU 360x 60x 60
21t
.
.
'
.
2. Constantes aproximadas Constante Velocidade da luz Permissividade eletrica do vacuo
Simbolo c
Eo
Valor aproximado ==
1 ~ 3,00.108 m/s
-
8,85.10-12 AsNm
-
Permeabilidade magnetica do vacuo
~0
Carga elementar
e
1,60.10-19 As
Constante da gravita\ao
G
6,67.10-11 m 3 s-2 kg·1
Massa do eletron
me
Massa do proton
mp
9,11.10-31 kg 1,67.10-27 kg
Massa do neutron
mn
1,68.10-27 kg
Constan te de Planck
h
6,63.10-34 Js
Constante dos Gases
R
Numero de Avogadro
NA
8,31 J mol-1 K-1 6,02.1023 moi-1
Constante de Boltzmann
k
1,38.10-23 J K-1
Constante de Stefan-Boltzmann
a
5,67.10-8 W m -2 K-4
Raio de Bohr
rs
5,29.10-11 m
Momento magnetico do eletron
~e
9,28.1Q-24 J!f
Momenta magnetico do proton
~p
1,41.1Q-26 Jff
164
-
1,26.10-6 Vs/Am
3. Sol, Terra, Lua l'ropricdadc
Unidade
Sol
Terra
Lua
Massa
kg
1,99·1 Q10
5,98·1024
7,36·1022
Rnio
m
6,96·1()8
6,37·106
1,74·106
Gravidade na
m s-2
274
9,81
1,67
superficie
DisH1ncia Terra - Lua : 3,82·108 m Distancia Terra- Sol: 1,50·1011 m Potencia irradiada pelo Sol: 3,90·1026 W
GRAFICA P., YM Tel (0\ \\ 43~1-l~ paym(~ern_QOift .bl-
