Teoria Da Vibração Com Aplicações - William t. Thompson

TEOR TEORIA IA DA VIBRAÇÃO VIBRAÇÃO  com aplicações

Professor Professor de Engenharia Engenharia Mecânicn Mecânicn da Universidade Universidade da Califórnia Califórnia,, Santa Bárbara Bárbara

Cássio Sigaud Engenheiro Engenheiro Civil Civil

©   1973   by Prentice-Halllnc. Ali rights reserved.

Copyright

Publicado em inglês com o titulo Theory of Vibration with Applications Prentice Halllnc., Englewood Cliffs,  New Jersey, USA.

PREFÁCIO

,-:,','?,:;'/(:';:'''i::':~;,i,>:,:.',,;:''',.:7''-/Dii:eito$,.Reseryadosem   1978  por  Editora lõte~ciência Ltda. Rio de,Janeiro, Brasil

o   assunto vibrações tem uma fascinação única. Trata-se de um tema lógico, explicável através de princípios básicos d~ mecânica. Ao contrário do que seobserva com algumas matérias, seus conceitos matemáticos são todos eles ãssociados a fenômenos físicos c;ue podem ser experimentados e medidos. É  um assunto que agrada ensinar e debater com os alunos. Desde o 'primeiro texto eleme'ntar, "Mechanical Vibrations", publicado em 1948, o autor tem procurado melliorar suaapresentação, quer acompanhando o progresso tecnológico, quer pelo tirocínio adquirido no ensino e na prática. Neste sentido, no decorrer dos anos, muitos' professores e estudantes contribuíram com sugestões e troca de idéias~

Programação Visual e Capa Interciência 'Arte Composição do Texto Interciência

CIP·Srasi!. Catalogaç50-na·fonte Sindicato Nacional do. Editores de Livro., RJ.

Thomson, T396t

William T.

Teoria da vibração com aplicações/William Cássio Sigaud. - Rio de Janeiro: Interciéncia,

Tradução

T. Thomson;

tradução de

1978.

de: Theory 01 vibration with applications

Apéndices Bibliografia 1. Processamento

eletrônico

de dado.

-

Mecânica

aplicada

2.

Vibração I. T(tulo

COO - 620.30183 COU - 620.178.5:

~ proibida

a reprodução

total

ou parcial por quaisquer

meios,

sem autorização por escrito da ed'itora

I1I

  EDITORA

INTERClfNCIA

LTOA.

Rua Vema r,1agalhjies, 66, Tels.: 281-7495/263-5899 ZC·16 - 20710 - Rio de Janeiro - Brasil

681.3

Este texto novo, reescrito na sua quase totalidade; é  mais uma vez um desejo, da parte do autor, no propósito de uma apresentação mais clara, com técnicas modero nas que são hoje rotina. Nos cinco capítulos iniciais, que tratam dos sistemas de um e dos de dois graus de liberdade, foi mantida a sin1plicidade do texto anterior, confiantemente melliorado. Tendo em vista o ,uso corrente do computador digital, sua aplicação no campo das vibrações é   encorajada com alguns exemplos simples. Apesar da versatilidade do computador digital, o computador analógico ainda é  u m instrumento útil e, em muitos casos, plenamente justificado. Os primeiros cinco capítulos, que abordam os sistemas de dois graus de liberdade de um ponto de vista simples e físico, fom1am o fundamento para a compreensão do que é   básico em vibrações e podem ser lecionados num curso inici~l, em período de três meses a um semestre.  No Capítulo 6 há uma generalização dos conceitos dos sistemas de dois graus de liberdade para os de muitos graus. A ênfase neste capítulo 'é  a teoria e a extensão  para os sistemas de muitos graus de liberdade é   apresentada elegantemente, com o auxI1io da álgebra matricial. O emprego das matrizes esclarece toda a base para o desacoplamento das coordenadas. São introduzidas algumas idéias fora do comum de modos normais na_vibração forçada e o método espaço-estado, utilizado correntemente em teoria de controle.

©   1973   by Prentice-Halllnc. Ali rights reserved.

Copyright

Publicado em inglês com o titulo Theory of Vibration with Applications Prentice Halllnc., Englewood Cliffs,  New Jersey, USA.

PREFÁCIO

,-:,','?,:;'/(:';:'''i::':~;,i,>:,:.',,;:''',.:7''-/Dii:eito$,.Reseryadosem   1978  por  Editora lõte~ciência Ltda. Rio de,Janeiro, Brasil

o   assunto vibrações tem uma fascinação única. Trata-se de um tema lógico, explicável através de princípios básicos d~ mecânica. Ao contrário do que seobserva com algumas matérias, seus conceitos matemáticos são todos eles ãssociados a fenômenos físicos c;ue podem ser experimentados e medidos. É  um assunto que agrada ensinar e debater com os alunos. Desde o 'primeiro texto eleme'ntar, "Mechanical Vibrations", publicado em 1948, o autor tem procurado melliorar suaapresentação, quer acompanhando o progresso tecnológico, quer pelo tirocínio adquirido no ensino e na prática. Neste sentido, no decorrer dos anos, muitos' professores e estudantes contribuíram com sugestões e troca de idéias~

Programação Visual e Capa Interciência 'Arte Composição do Texto Interciência

CIP·Srasi!. Catalogaç50-na·fonte Sindicato Nacional do. Editores de Livro., RJ.

Thomson, T396t

William T.

Teoria da vibração com aplicações/William Cássio Sigaud. - Rio de Janeiro: Interciéncia,

Tradução

T. Thomson;

tradução de

1978.

de: Theory 01 vibration with applications

Apéndices Bibliografia 1. Processamento

eletrônico

de dado.

-

Mecânica

aplicada

2.

Vibração I. T(tulo

COO - 620.30183 COU - 620.178.5:

~ proibida

a reprodução

total

ou parcial por quaisquer

681.3

meios,

sem autorização por escrito da ed'itora

I1I

  EDITORA

INTERClfNCIA

LTOA.

Rua Vema r,1agalhjies, 66, Tels.: 281-7495/263-5899 ZC·16 - 20710 - Rio de Janeiro - Brasil

Este texto novo, reescrito na sua quase totalidade; é  mais uma vez um desejo, da parte do autor, no propósito de uma apresentação mais clara, com técnicas modero nas que são hoje rotina. Nos cinco capítulos iniciais, que tratam dos sistemas de um e dos de dois graus de liberdade, foi mantida a sin1plicidade do texto anterior, confiantemente melliorado. Tendo em vista o ,uso corrente do computador digital, sua aplicação no campo das vibrações é   encorajada com alguns exemplos simples. Apesar da versatilidade do computador digital, o computador analógico ainda é  u m instrumento útil e, em muitos casos, plenamente justificado. Os primeiros cinco capítulos, que abordam os sistemas de dois graus de liberdade de um ponto de vista simples e físico, fom1am o fundamento para a compreensão do que é   básico em vibrações e podem ser lecionados num curso inici~l, em período de três meses a um semestre.  No Capítulo 6 há uma generalização dos conceitos dos sistemas de dois graus de liberdade para os de muitos graus. A ênfase neste capítulo 'é  a teoria e a extensão  para os sistemas de muitos graus de liberdade é   apresentada elegantemente, com o auxI1io da álgebra matricial. O emprego das matrizes esclarece toda a base para o desacoplamento das coordenadas. São introduzidas algumas idéias fora do comum de modos normais na_vibração forçada e o método espaço-estado, utilizado correntemente em teoria de controle.

Há muitas abordagens analíticas para o estudo da vibração de estruturas com·  plexas de muitos graus de liberdade. O Capítulo 7 apresenta alguns dos mais úteis métodos e, embora os sistemas de muitos graus de liberdade, na sua maioria, sejam resolvidos atualmente no computador digital, necessita-se ainda conhecer, não só como formular tais problemas para a computação eficiente, como algumas das apro'ximações que se podem fazer para checar os cálculos. Todos os problemas aqui  podem ser programados para o computador, sendo entretanto necessário que se entenda a teoria básica das computações. Como exemplo, é apresentada a compu· tação digital de um problema do tipo Holzer.

íNDICE

O Capítulo 8 refere-se aos sistemas contínuos ou àqueles problemas associados a equações diferenciais parciais. Uma apreciação de problemas de vigas pelas diferenças frnitas oferece uma oportunidade de resolvê-Ios no computador digital. As equações de Lagrange, objeto do Capítulo 9, reforçam o entendimento dos sistemas dinárnicos apresentados anteriormente e alargam a visão para outros desen· volvimentos. Por exemplo, os conceitos importantes do método da sorna de modos é   urna conseqüência natural das coordenadas generalizadas Lagrangianas. O sentido das equações restritivas como condições de contorno físico para a síntese modal é entendido logicamente outra vez, por meio da teoria de Lagrange. O Capítulo 10 trata dos sistemas dinâmicos excitados por forças aleatórias ou deslocamentos. Tais problemas devem ser examinados sob um ponto 'de vista estatístico e, em muitos casos, a densidade da probabilidade da excitação àleatória é distribuída normalmente. O ponto de vista adotado aqui é o de que, apresentado um registro àleat6rio, determina-se facilmente uma autocorrelação que permite o cálculo da densidade espectral e da resposta quadrática média. O computador digital é essenciàl novamente para o trabalho númerico.  No Capítulo 11, dá·;eênfase ~ introdução do método do plano de fase no tratamento dos sistemas não-lineares. Quando as não-linearidades são pequenas, os 'métodos de perturbação ou iteração proporcionam uma abordagem analítica. Resul· tados de computações a máquina para um sistema não-linear ilustram o que pode ser feito. Os Capítulos 6 a 1I   contêm matéria apropriada para um segundo curso sobre vibração, que pode ser dado em nível de graduação.

l.1 1.2

1.3 1.4 1.5

1.6

Introdução . Movimento Harmônico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2 Análise Harmônica , 5 Função Transiente de Tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7 Função Aleatória de Tempo ... '.' . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. 8 Propriedades do Movimento Oscilatório. . . . . . . . . . . . . . . . .. 9

VIBRAÇÃO LIVRE 2.1

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Métodos de Sonia de Forças Método de Energia Massa Efetiva Vibração Livre Amortecida Decremento Logarítmico Amortecimento de Coulomb Rigidez e Flexibilidade

1.5

18 20 23 28 32 33

, .. '

','

MOVIMENTO EXCITADO HARMONICAMENTE 3.1

3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11

Introdução ' Vibração Ham1ônica Forçada : Desbalanceamento Rotativo "Whirling" de Eixos Rotativos Movimento de Suporte Instrumentos Medidores de Vibração I solamento de Vibração .. , ~ Am ortecim ento ....•............................. Amortecimento Viscoso Equivalente .......•............ Amortecimento Estrutural Agudeza de Ressonância

47

47 51 57 59 -

61

64 67 71

72 74

Há muitas abordagens analíticas para o estudo da vibração de estruturas com·  plexas de muitos graus de liberdade. O Capítulo 7 apresenta alguns dos mais úteis métodos e, embora os sistemas de muitos graus de liberdade, na sua maioria, sejam resolvidos atualmente no computador digital, necessita-se ainda conhecer, não só como formular tais problemas para a computação eficiente, como algumas das apro'ximações que se podem fazer para checar os cálculos. Todos os problemas aqui  podem ser programados para o computador, sendo entretanto necessário que se entenda a teoria básica das computações. Como exemplo, é apresentada a compu· tação digital de um problema do tipo Holzer.

íNDICE

O Capítulo 8 refere-se aos sistemas contínuos ou àqueles problemas associados a equações diferenciais parciais. Uma apreciação de problemas de vigas pelas diferenças frnitas oferece uma oportunidade de resolvê-Ios no computador digital. As equações de Lagrange, objeto do Capítulo 9, reforçam o entendimento dos sistemas dinárnicos apresentados anteriormente e alargam a visão para outros desen· volvimentos. Por exemplo, os conceitos importantes do método da sorna de modos é   urna conseqüência natural das coordenadas generalizadas Lagrangianas. O sentido das equações restritivas como condições de contorno físico para a síntese modal é entendido logicamente outra vez, por meio da teoria de Lagrange.

l.1 1.2

1.3 1.4 1.5

1.6

O Capítulo 10 trata dos sistemas dinâmicos excitados por forças aleatórias ou deslocamentos. Tais problemas devem ser examinados sob um ponto 'de vista estatístico e, em muitos casos, a densidade da probabilidade da excitação àleatória é distribuída normalmente. O ponto de vista adotado aqui é o de que, apresentado um registro àleat6rio, determina-se facilmente uma autocorrelação que permite o cálculo da densidade espectral e da resposta quadrática média. O computador digital é essenciàl novamente para o trabalho númerico.

VIBRAÇÃO LIVRE 2.1

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

 No Capítulo 11, dá·;eênfase ~ introdução do método do plano de fase no tratamento dos sistemas não-lineares. Quando as não-linearidades são pequenas, os 'métodos de perturbação ou iteração proporcionam uma abordagem analítica. Resul· tados de computações a máquina para um sistema não-linear ilustram o que pode ser feito.

83 83 85 91 96 101 1 11 119

) )

1.5

18 20 23 28 32 33

, .. '

','

3.1

3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11

Introdução ' Vibração Ham1ônica Forçada : Desbalanceamento Rotativo "Whirling" de Eixos Rotativos Movimento de Suporte Instrumentos Medidores de Vibração I solamento de Vibração .. , ~ Am ortecim ento ....•............................. Amortecimento Viscoso Equivalente .......•............ Amortecimento Estrutural Agudeza de Ressonância

7.7 Cálculo de Modos Mais Altos 7.8 'Matrizes de Transferência - (Problemas tipo BaIzer) 7.9 Sistema Torcioúal : .' ' 7.1O Sistema Engrenado 7.11 Sistemas Bifl1rcados 7.12 Vigas .'.~' 7.13 Estruturas Repetidas e Matriz deTransferência •........... 7.14 Equação de Diferença ; ;

47

47 51 57 59 -

Introdução , Vibração de Modo Normal Acoplamento de Coordenadas ~ .. ' Vibração Harmônica Forçada Absorvedor de Vibração : Pêndulo Centrífugo Absorvedor de Vibração O Amortecedor de Vibração .. ' Efeito Giroscópico sob ~e Eixos R~iativos Computação Digital

,

129 129 136 139 142 144 146 151 153

~

'

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9

Introdução '.. ' A Corda Vibratória Vibração Longitudinal de Barras ' Vibração Torcíonal de Barras A Equação de Euler para a Vig;l. . Efeito de Inércia Rotativa Dcformil\,ão de Cisalhamento Vibração de Membranas ' Computação Digital Solução Transientc pelas Transformadas de Lap1ace

71

72 74

217 221 223 232 233 236 244 247

265 266 269 271 274 278 279 281 289

)

) 6 )

SISTEMAS DE MUITOS GRAUS DE LIBERDADE 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10

Introdução Matrizes de Flexibilidade e de Rigidez Teorema de Reciprocidade Autovalores e Autovetores " , Propriedades Ortogonals dos Autovetores Raízes Repetidas A Matriz Modal P , : '; Vibração Forçàda CDesacoplamentode Coordenadas Modos Normais Forçados de Sistemas Amortecidos Método Espaço Estado: '

SISTEMAS,\ DE PARÃMETIWS 7.1 7.2 7.3 7.4 ,7.5 7.6

.

o.

'. :

169 169 173 173 177 178 180 182 183 188

EQUAÇÃO 9.1 9.2 9 .3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10

DE LAGRANGE

Intradução " ' Coordenadas Generalizadas , P rin cí pi o d o T rab al ho Vi rtu al .. .. ... .. .. .. •. .. , Desenvolvimento da Equação de Lagrange Massa e Rigidez Generalizadas Método de Soma de Modos Ortogonalidade da Viga, Incluindo Inércia Rotaviva e DeformaçãoporCisalhamento Modos Normais de Estrutura Vinculadas Método Aceleração-Modo Síntese Modal

299 299 3 00 303 307 309 313 315 320 322

CONCENTRADOS

Introdução ...• ; : Equação Característica Método dos Coeficientes de Inf1uência Princípio de Raylelgh , Fórmula de Dunkerley Método de Iteração Matricial Ó

••••••••••••••••••••

'

199 199 200 203 212 215

VIBRA çÃO ALEA TÓRIA 10.1 10.2 10.3 10.4

Introdução A Função da Resposta da Freqüência Densidade Espectral. Distribuição da Probabilidade

61

64 67

SISTEMAS CONTlNUOS

SISTEMAS DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Métodos de Sonia de Forças Método de Energia Massa Efetiva Vibração Livre Amortecida Decremento Logarítmico Amortecimento de Coulomb Rigidez e Flexibilidade

MOVIMENTO EXCITADO HARMONICAMENTE

Os Capítulos 6 a 1I   contêm matéria apropriada para um segundo curso sobre vibração, que pode ser dado em nível de graduação.

Introdução " Excitação de Impulso " Excitação Arbitrária : . . . . . . . . . . . . . . . . .. Formulação da Transtóf1!ladade Laplace. . . . . . . . . . . . . . .. Espectro de Resposta: '.'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. o Computador Analógico Di fe ren ça s Fi nit as e m Co mp uta ção Di gi tal " A Computação Runge-Kutta '

Introdução . Movimento Harmônico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2 Análise Harmônica , 5 Função Transiente de Tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7 Função Aleatória de Tempo ... '.' . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. 8 Propriedades do Movimento Oscilatório. . . . . . . . . . . . . . . . .. 9

333 335 '-.337 344

Introdução " Excitação de Impulso " Excitação Arbitrária : . . . . . . . . . . . . . . . . .. Formulação da Transtóf1!ladade Laplace. . . . . . . . . . . . . . .. Espectro de Resposta: '.'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. o Computador Analógico Di fe ren ça s Fi nit as e m Co mp uta ção Di gi tal " A Computação Runge-Kutta '

7.7 Cálculo de Modos Mais Altos 7.8 'Matrizes de Transferência - (Problemas tipo BaIzer) 7.9 Sistema Torcioúal : .' ' 7.1O Sistema Engrenado 7.11 Sistemas Bifl1rcados 7.12 Vigas .'.~' 7.13 Estruturas Repetidas e Matriz deTransferência •........... 7.14 Equação de Diferença ; ;

83 83 85 91 96 101 1 11 119

SISTEMAS CONTlNUOS

SISTEMAS DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE

) )

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

217 221 223 232 233 236 244 247

Introdução , Vibração de Modo Normal Acoplamento de Coordenadas ~ .. ' Vibração Harmônica Forçada Absorvedor de Vibração : Pêndulo Centrífugo Absorvedor de Vibração O Amortecedor de Vibração .. ' Efeito Giroscópico sob ~e Eixos R~iativos Computação Digital

,

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9

129 129 136 139 142 144 146 151 153

~

'

Introdução '.. ' A Corda Vibratória Vibração Longitudinal de Barras ' Vibração Torcíonal de Barras A Equação de Euler para a Vig;l. . Efeito de Inércia Rotativa Dcformil\,ão de Cisalhamento Vibração de Membranas ' Computação Digital Solução Transientc pelas Transformadas de Lap1ace

265 266 269 271 274 278 279 281 289

)

) 6 )

SISTEMAS DE MUITOS GRAUS DE LIBERDADE 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10

Introdução Matrizes de Flexibilidade e de Rigidez Teorema de Reciprocidade Autovalores e Autovetores " , Propriedades Ortogonals dos Autovetores Raízes Repetidas A Matriz Modal P , : '; Vibração Forçàda CDesacoplamentode Coordenadas Modos Normais Forçados de Sistemas Amortecidos Método Espaço Estado: '

SISTEMAS,\ DE PARÃMETIWS 7.1 7.2 7.3 7.4 ,7.5 7.6

.

'. :

9.1 9.2 9 .3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10

DE LAGRANGE

Intradução " ' Coordenadas Generalizadas , P rin cí pi o d o T rab al ho Vi rtu al .. .. ... .. .. .. •. .. , Desenvolvimento da Equação de Lagrange Massa e Rigidez Generalizadas Método de Soma de Modos Ortogonalidade da Viga, Incluindo Inércia Rotaviva e DeformaçãoporCisalhamento Modos Normais de Estrutura Vinculadas Método Aceleração-Modo Síntese Modal

299 299 3 00 303 307 309 313 315 320 322

CONCENTRADOS

Introdução ...• ; : Equação Característica Método dos Coeficientes de Inf1uência Princípio de Raylelgh , Fórmula de Dunkerley Método de Iteração Matricial Ó

10.5 10.6 10.7 10.7

o.

EQUAÇÃO

169 169 173 173 177 178 180 182 183 188

199 199 200 203 212 215

'

••••••••••••••••••••

Correlação Transformada de Fourier Respos Resposta ta de Estrut Estrutura urass Contín Contínuas uas

xc itit aç aç ão ão à E xc

Ale at at ór óri a

VIBRA çÃO ALEA TÓRIA 10.1 10.2 10.3 10.4

Introdução A Função da Resposta da Freqüência Densidade Espectral. Distribuição da Probabilidade

333 335 '-.337 344

)

353 35 7 36 2

,

)

!

)

)

VIBRAÇOES NÃO-LINEARES 11.1 11.2 11.3 l iA iA I 1.5 11.6 11.7 1 1. 1.8 11.9 lU O 11.11 11.12 11.12

Introdução O Plano de Fase Sistemas Conservativos E st st ab ab ililid ad ad e d e E qu qu ilil íb íb ririo . . . . . • ..... . . . . . . . . . Método das Isóclinas O Métódo Delta Método de Lienard ',' Mé to to do do d as as Re Re ststa s I nc ncl in in ad ad as as . . . . . . . . . . . . . . O Método de Perturbação : Método de Iteração , Oscilações Auto-Excitadas Circu Circuito itoss do Comp Computa utador dor Analóg Analógico ico para para Sistema Sistemass  Não-lineares 11.13 O Método Runge-Kutta

. .. ,

,

)

371 372 374 37 6 379 381 384· 38 6 390 394 399

)

)

MOVIMEf.JTO   OSCILA TÓRIO

)

)

) I

)

)

)

40 I 402

) )

)

O estu estudo do da vibra vibração ção diz respei respeito to aos movi movimen mentos tos oscila oscilatór tórios ios de corpos corpos e às forças forças que Ihes Ihes são associ associada adas. s. Todos Todos os corpos corpos dotado dotadoss de massa massa e elast elastici icidad dadee são capaz capazes es de vibra vibração ção.. Deste Deste modo, modo, a maior maior parte parte das máqu máquina inass e estru estrutur turas as está está sujeit sujeitaa a certo certo grau grau de vibra vibração ção e o seu projet projetoo requer requer geralm geralment entee o exame exame do seu compo comporta rtamen mento to oscilatório. Os sist sistema emass oscila oscilatór tórios ios pod podem em ser, ser, de um modo geral, geral, caract caracteri erizad zados os como como ou   não-lineares.   Para os prime primeiro iross preval prevalece ece o princí princípio pio de superpo superposiç sição ão e estão estão bem desenvo desenvolvi lvidos dos os méto métodos dos matemá matemáti ticos cos dispon disponíve íveis is para para o seu seu estudo estudo.. Ao contrá contrári rio, o, são são bem bem meno menoss conh conhec ecid idos os e de de difíc difícil il apli aplica caçã çãoo os mét métod odos os para para anális análisee dos sistem sistemas as   não-lineares.   Entret Entretant anto, o, é provei proveitos tosoo algum algum conhec conhecim iment entoo destes destes sistem sistema~, a~, uma vez que eles repres represent entam am o estado estado final final para o qual qual tendem tendem todos todos os siste sistemas mas,, com o aumento aumento da amplit amplitude ude de oscila oscilação ção..

)

)

) )

lineares

Existe Existem m duas duas classe classess gerais gerais de vibraç vibrações ões,, a livr livree e a forç forçada ada.. A   vibração livre aconte acontece· ce· quanda quanda um sistem sistemaa oscila oscila sob a ação ação Qe forças forças que lhe são ineren inerentes tes e na vibração livre livre   o sistema ausê ausênc ncia ia da ação ação de qu qual alqu quer er forç forçaa exte extern rna. a. No caso caso de   vibração sistema  poderá vibrar com uma ou mais das suas freqüências naturais;   que são peculia peculiares res ao sistema sistema dinâmico dinâmico estabelec estabelecido ido pela distri distribuiç buição ão de sua sua massa massa e rigidez. rigidez. l'ibração forçada quando Denomina-se l'ibração quando ela ocorre ocorre sob a excit excitaçã açãoo de força forçass externas ternas.. Quando Quando a excit excitaçã açãoo é oscilat oscilatóri ória, a, o sistem sistemaa é obri obrigad gadoo a vibrar vibrar na freqüê freqüênci nciaa

)

) I

)

)

)

) )

) ) ) )

10.5 10.6 10.7 10.7

Correlação Transformada de Fourier Respos Resposta ta de Estrut Estrutura urass Contín Contínuas uas

xc itit aç aç ão ão à E xc

)

353 35 7 36 2

Ale at at ór óri a

,

)

!

)

)

VIBRAÇOES NÃO-LINEARES 11.1 11.2 11.3 l iA iA I 1.5 11.6 11.7 1 1. 1.8 11.9 lU O 11.11 11.12 11.12

Introdução O Plano de Fase Sistemas Conservativos E st st ab ab ililid ad ad e d e E qu qu ilil íb íb ririo . . . . . • ..... . . . . . . . . . Método das Isóclinas O Métódo Delta Método de Lienard ',' Mé to to do do d as as Re Re ststa s I nc ncl in in ad ad as as . . . . . . . . . . . . . . O Método de Perturbação : Método de Iteração , Oscilações Auto-Excitadas Circu Circuito itoss do Comp Computa utador dor Analóg Analógico ico para para Sistema Sistemass  Não-lineares 11.13 O Método Runge-Kutta

)

371 372 374 37 6 379 381 384· 38 6 390 394 399

. .. ,

,

)

)

MOVIMEf.JTO   OSCILA TÓRIO

)

)

) I

)

)

)

40 I 402

) )

)

O estu estudo do da vibra vibração ção diz respei respeito to aos movi movimen mentos tos oscila oscilatór tórios ios de corpos corpos e às forças forças que Ihes Ihes são associ associada adas. s. Todos Todos os corpos corpos dotado dotadoss de massa massa e elast elastici icidad dadee são capaz capazes es de vibra vibração ção.. Deste Deste modo, modo, a maior maior parte parte das máqu máquina inass e estru estrutur turas as está está sujeit sujeitaa a certo certo grau grau de vibra vibração ção e o seu projet projetoo requer requer geralm geralment entee o exame exame do seu compo comporta rtamen mento to oscilatório. Os sist sistema emass oscila oscilatór tórios ios pod podem em ser, ser, de um modo geral, geral, caract caracteri erizad zados os como como ou   não-lineares.   Para os prime primeiro iross preval prevalece ece o princí princípio pio de superpo superposiç sição ão e estão estão bem desenvo desenvolvi lvidos dos os méto métodos dos matemá matemáti ticos cos dispon disponíve íveis is para para o seu seu estudo estudo.. Ao contrá contrári rio, o, são são bem bem meno menoss conh conhec ecid idos os e de de difíc difícil il apli aplica caçã çãoo os mét métod odos os para para anális análisee dos sistem sistemas as   não-lineares.   Entret Entretant anto, o, é provei proveitos tosoo algum algum conhec conhecim iment entoo destes destes sistem sistema~, a~, uma vez que eles repres represent entam am o estado estado final final para o qual qual tendem tendem todos todos os siste sistemas mas,, com o aumento aumento da amplit amplitude ude de oscila oscilação ção..

)

)

) )

lineares

Existe Existem m duas duas classe classess gerais gerais de vibraç vibrações ões,, a livr livree e a forç forçada ada.. A   vibração livre aconte acontece· ce· quanda quanda um sistem sistemaa oscila oscila sob a ação ação Qe forças forças que lhe são ineren inerentes tes e na vibração livre livre   o sistema ausê ausênc ncia ia da ação ação de qu qual alqu quer er forç forçaa exte extern rna. a. No caso caso de   vibração sistema  poderá vibrar com uma ou mais das suas freqüências naturais;   que são peculia peculiares res ao sistema sistema dinâmico dinâmico estabelec estabelecido ido pela distri distribuiç buição ão de sua sua massa massa e rigidez. rigidez. l'ibração forçada quando Denomina-se l'ibração quando ela ocorre ocorre sob a excit excitaçã açãoo de força forçass externas ternas.. Quando Quando a excit excitaçã açãoo é oscilat oscilatóri ória, a, o sistem sistemaa é obri obrigad gadoo a vibrar vibrar na freqüê freqüênci nciaa

)

) I

)

)

)

) )

) ) ) )

) )

'-~ ,;< ~ '-' ;":'~~ :ii;\;:

:'}da'excitação. ação. Se. esta freqüência freqüência coincide coincide com uma das freqüências freqüências naturais do ) :'}da'excit   ressonância, daí podendo resultar ;sistema, forma-se um estado de resultar amplas e perigosa perigosass ..~•. :,,'·.;~,',:._~:.,:,~:;l ..:..',.',..·1· .•..· " :;. ,•. ":', .•: ) '':''í<.,~~~,i-~''''';'··~:· oséilações: oséilações:'' Está ressonância ressonância pode ser a causa causa de temível colapso de estruturas estruturas como edifícios, pontes e asas de avião. Assim sendo, sendo, é   de importância importância o eálculo eálculo das ) .as de edifícios, freqüências freqüências naturais no estudo das vibrações. vibrações. ) Os.sistemas Os.sistemas de vibração vibração são todos eles sujeitos sujeitos a um certo grau de amorteci· ) mento,   em face do desgaste desgaste de energia pelo atrito atrito e outras outras resistência resistências. s. Se O   amor geralmente consi· ) tecimento é fraco, a sua influência torna·se muito pequena e não é  geralmente derada nos.cálcul~s nos.cálcul~s das Jre(Úiên Jre(Úiên~ias ~ias daturais .... o .   amortéciment amortécimento, o, ,,'ntretant ,,'ntretanto, o, é de ) grande importânci importânciaa ao limitar limitar a amplitude amplitude de oscilação oscilação na ressonâneia. ressonâneia. ) liberdade de um sistema Chama~se grau de liberdade sistema o número de coordenadas coordenadas indepenindepent.., . · . •

solta, solta, ela· ela· oscila oscilará rá para cima e para baixo. Dotando Dotando·se ·se a massa massa com uma pequena pequena fonte 'Iuminosa, 'Iuminosa, o seu movimento movimento podeser registrado registrado numa tira de filme sensíve sensívell à luz, que se faz mover  à à  suafrente, a uma velocidade velocidade constante. constante.

requerido para a descrição do seu moviment movimento. o. Nestas Nestas condições, condições, uma partí· ) dentes requerido

cula livre livre em movimento movimento no espaço tem três graus de liberdade, liberdade, enq~anto um eorpo

) rígido terá seis graus, isto é, três componentes componentes de posição posição e três ângulos que del1nem

) )

) )

)

a ..sua sua orientação. orientação. Em se tratando tratando de um corpo elástico contínuo, contínuo, ele requer requer um nú· chero infinito infinito de coordenadas coordenadas (três para cada ponto do corpo), para se descrever descrever o seu movimento movimento.. Daí ser ser infinito infinito o seu número de graus de liberdade. liberdade. Entretanto, Entretanto, em muitos easos, pode-se admit~r que que um corpo desta natureza natureza seja parcialm parcialmen en te rígido, tornandu tornandu possível possível considerar·se considerar·se o sistema sistema dinamicament dinamicamentee equivalente equivalente .a outro com um número I1nito de graus de liberdade liberdade.. De fato, um surpreendent surpreendente'gran e'grande de número .de problemas problemas de vibração pode ser resolvido resolvido com exatidão suficiente, suficiente, pela redução a outro com um só grau de liberdade. liberdade.

 x

=

A sen

·f  2 1 f T

na qual A é   a amplitude amplitude de oscilação, oscilação, medida a partir da posição de equilíbrio equilíbrio da massa, e T é   o período. período. O movin1en movin1ento to é  repetido  repetido qua.ndo .t  t  = T. O   movimento movimento harmônico harmônico é   muitas muitas vezes representad representadoo como a projeção numa linha reta, de um ponto que se move numa circunferência circunferência a velocida velocidade. de. constante, constante, como indicado na Fig. 1.2-2. Designada Designada por  w a velocidade velocidade angular da linha  'op, o deslocamento x é   express expressoo pela equação equação .

/Çl: \I. L ( < . X o '.9   .movl .movll1e l1ento nto oscila oscilat6ri t6rioo pode repetir repetir.se .se regular regularment mente, e, como no volante volante de um

;re16giO, ;re16giO, ou apresentar apresentar irregularidade irregularidade considerável, considerável, como em terremotos terremotos.. Quando o .movll1ento .movll1ento se repete repete a intervalos intervalos iguais de tempoT, tempoT, ele é   denominado   movimento .;periódico. 'O·,  'O·, tempo de . repetição repetição T é   denominado   periodo   da oscila oscilação, ção, e sua  j~edproca f=   '1/1'  é   denominada denominada a freqüência. Se o movimento movimento é  designado peh ;ji,função ;ji,função de·tempox(t), de·tempox(t), em conseqüência conseqüência qualquer qualquer movimento movimento periódico periódico deve satis· satis· '.;.\   x(t) = x( t  +  1'). ; ;t·.·.f.a.z.· /, -, _> er a relação _  ,-,;~~tvl"Mo ,-,;~~tvl"Movimento vimentosirregulare sirregulares, s, que aparentam não possuir período período definido, definido, podem ·,:~s~r-'consideradosa·soma de }1m muito'  muito' gralldg"núm.e gralldg"núm.e.lQde .lQde movimentos movimentos regulares regulares de J,iti~eCjüências ênciasvariada variadas. s. As propriedades propriedades de tais movll1entos podem ser definidas definidas esta· I J,iti~eCjü ,·j',tisti ,·j',tistic;uIie c;uIie,nte.A ,nte.A discussão discussão dessas propriedades propriedades será tratada em seção mais adiante. ) i\i\. 'Jo rrm ma )'odé

movimento harmônico. harmônico. ' ~~ ~~ is is . si sim pl pl es es Ú~ovimento ~ovimento periódico periódico é   movimento ser demonstrado demonstrado por meio meio de uma massa massa suspensa suspensa de uma pequena pequena mola, lindic lin dicadon adona·F a·Fig: ig:>!:2 >!:2.L .L Se a   massa é   levantada levant ada da sua posição posição de repouso e d . _ ,_ ' .. ,' " ... . . I '

'

. •

Figura 1.2·2. Figura  1.2·2.   Movimento harmônico harmônico com proíeção proíeção dc um ponto que se move numa circunferência.

freqüência angular. angular.   U~a vez que o movll1ento  por   freqüência movll1ento se repete repete em cada cada 21f radianos, radianos, temos a relação relação

) )

'-~ ,;< ~ '-' ;":'~~ :ii;\;:

:'}da'excitação. ação. Se. esta freqüência freqüência coincide coincide com uma das freqüências freqüências naturais do ) :'}da'excit   ressonância, daí podendo resultar ;sistema, forma-se um estado de resultar amplas e perigosa perigosass '':''í<.,~~~,i-~''''';'··~:· ..~•. :,,'·.;~,',:._~:.,:,~:;l ..:..',.',..·1· .•. . · " : ;. ,•. ": ', .•: ) oséilações: oséilações:'' Está ressonância ressonância pode ser a causa causa de temível colapso de estruturas estruturas como edifícios, pontes e asas de avião. Assim sendo, sendo, é   de importância importância o eálculo eálculo das ) .as de edifícios, freqüências freqüências naturais no estudo das vibrações. vibrações. ) Os.sistemas Os.sistemas de vibração vibração são todos eles sujeitos sujeitos a um certo grau de amorteci· ) mento,   em face do desgaste desgaste de energia pelo atrito atrito e outras outras resistência resistências. s. Se O   amor geralmente consi· ) tecimento é fraco, a sua influência torna·se muito pequena e não é  geralmente derada nos.cálcul~s nos.cálcul~s das Jre(Úiên Jre(Úiên~ias ~ias daturais .... o .   amortéciment amortécimento, o, ,,'ntretant ,,'ntretanto, o, é de ) grande importânci importânciaa ao limitar limitar a amplitude amplitude de oscilação oscilação na ressonâneia. ressonâneia. ) liberdade de um sistema Chama~se grau de liberdade sistema o número de coordenadas coordenadas indepenindepent.., . · . •

solta, solta, ela· ela· oscila oscilará rá para cima e para baixo. Dotando Dotando·se ·se a massa massa com uma pequena pequena fonte 'Iuminosa, 'Iuminosa, o seu movimento movimento podeser registrado registrado numa tira de filme sensíve sensívell à luz, que se faz mover  à à  suafrente, a uma velocidade velocidade constante. constante.

requerido para a descrição do seu moviment movimento. o. Nestas Nestas condições, condições, uma partí· ) dentes requerido

cula livre livre em movimento movimento no espaço tem três graus de liberdade, liberdade, enq~anto um eorpo

) rígido terá seis graus, isto é, três componentes componentes de posição posição e três ângulos que del1nem

) )

) )

)

a ..sua sua orientação. orientação. Em se tratando tratando de um corpo elástico contínuo, contínuo, ele requer requer um nú· chero infinito infinito de coordenadas coordenadas (três para cada ponto do corpo), para se descrever descrever o seu movimento movimento.. Daí ser ser infinito infinito o seu número de graus de liberdade. liberdade. Entretanto, Entretanto, em muitos easos, pode-se admit~r que que um corpo desta natureza natureza seja parcialm parcialmen en te rígido, tornandu tornandu possível possível considerar·se considerar·se o sistema sistema dinamicament dinamicamentee equivalente equivalente .a outro com um número I1nito de graus de liberdade liberdade.. De fato, um surpreendent surpreendente'gran e'grande de número .de problemas problemas de vibração pode ser resolvido resolvido com exatidão suficiente, suficiente, pela redução a outro com um só grau de liberdade. liberdade.

 x

=

A sen

·f  2 1 f T

na qual A é   a amplitude amplitude de oscilação, oscilação, medida a partir da posição de equilíbrio equilíbrio da massa, e T é   o período. período. O movin1en movin1ento to é  repetido  repetido qua.ndo .t  t  = T. O   movimento movimento harmônico harmônico é   muitas muitas vezes representad representadoo como a projeção numa linha reta, de um ponto que se move numa circunferência circunferência a velocida velocidade. de. constante, constante, como indicado na Fig. 1.2-2. Designada Designada por  w a velocidade velocidade angular da linha  'op, o deslocamento x é   express expressoo pela equação equação .

/Çl: \I. L ( < . X o '.9   .movl .movll1e l1ento nto oscila oscilat6ri t6rioo pode repetir repetir.se .se regular regularment mente, e, como no volante volante de um

;re16giO, ;re16giO, ou apresentar apresentar irregularidade irregularidade considerável, considerável, como em terremotos terremotos.. Quando o .movll1ento .movll1ento se repete repete a intervalos intervalos iguais de tempoT, tempoT, ele é   denominado   movimento .;periódico. 'O·,  'O·, tempo de . repetição repetição T é   denominado   periodo   da oscila oscilação, ção, e sua  j~edproca f=   '1/1'  é   denominada denominada a freqüência. Se o movimento movimento é  designado peh ;ji,função ;ji,função de·tempox(t), de·tempox(t), em conseqüência conseqüência qualquer qualquer movimento movimento periódico periódico deve satis· satis· '.;.\   x(t) = x( t  +  1'). ; ;t·.·.f.a.z.· /, -, _> er a relação _  ,-,;~~tvl"Mo ,-,;~~tvl"Movimento vimentosirregulare sirregulares, s, que aparentam não possuir período período definido, definido, podem ·,:~s~r-'consideradosa·soma de }1m muito'  muito' gralldg"núm.e gralldg"núm.e.lQde .lQde movimentos movimentos regulares regulares de J,iti~eCjüências ênciasvariada variadas. s. As propriedades propriedades de tais movll1entos podem ser definidas definidas esta· I J,iti~eCjü ,·j',tisti ,·j',tistic;uIie c;uIie,nte.A ,nte.A discussão discussão dessas propriedades propriedades será tratada em seção mais adiante. ) i\i\. 'Jo rrm ma )'odé

movimento harmônico. harmônico. ' ~~ ~~ is is . si sim pl pl es es Ú~ovimento ~ovimento periódico periódico é   movimento ser demonstrado demonstrado por meio meio de uma massa massa suspensa suspensa de uma pequena pequena mola, lindic lin dicadon adona·F a·Fig: ig:>!:2 >!:2.L .L Se a   massa é   levantada levant ada da sua posição posição de repouso e d . _ ,_ ' .. ,' " ... . . I '

'

onde r e f  são o períod períodoo e a freqüên freqüência cia do movime movimento nto didos em segundos segundos e ciclos ciclos por segundo, segundo, respectivam respectivamente. ente.

harmôn harmônico ico,,

usualm usualment entee

freqüência angular. angular.   U~a vez que o movll1ento  por   freqüência movll1ento se repete repete em cada cada 21f radianos, radianos, temos a relação relação

. •

21t =21tf  =  T

ro

Figura 1.2·2. Figura  1.2·2.   Movimento harmônico harmônico com proíeção proíeção dc um ponto que se move numa circunferência.

me-

Assim, Assim, a velo velocid cidade ade e a acel acelera eração ção são també também m harmôn harmônica icas, s, com a mesma mesma freqüê freqüênci nciaa de oscilaç oscilação, ão, mas à   fren frente te do de deslo slocam cament entoo por rr/2 e rr radian radianos, os, respec respectiva tivamen mente, te, como como indica indicado do na Fig. Fig. 1.2·3.

convenien iente, te, no caso caso de mo~in1 mo~in1ent entoo de um ponto ponto numa numa circunf circunferê erênci ncia, a, adoadoÉ conven tar-se um eixo imaginário imaginário i e admitiradmitir-se se que o raio da circunf circunferê erênci nciaa seja seja represen representa· ta· do por uma quan quantida tidade de comple complexa xa z chamada chamada   fasor. O fasor 

z  ê

expresso expresso pela equação equação

qu quee defin definee os comp compon onen ente tes, s, real real e imagi imaginá nário rio.. variam variam seno senoida idalme lmente nte como como tempo tempo

z = 1m  z =

Re

Com Com O Figura  1.2·3. No mOl'imento mOl'imento hannônico, hannônico, a l'elocidade l'elocidade e a aceleração aceleração estão estão  à   frente frente do deslocamen deslocamento to por    rr/2 e rr.

A cos wt 

A sen wt 

muitas vezes vezes necessá necessário rio consid considera erar-s r-see dois dois moviInen moviInentos tos harmôn harmônico icoss É muitas freqüên freqüência cia,, porém porém diferin diferindo do da fase fase pelo pelo valor  < fi .   Os dois dois movimento movimentoss expressos expressos pelos fasores

onde A  I e A2 como

onde

A1   é

são númer números os

da mesma mesma podem podem sei de modo modo que no movime movimento nto harmôn harmônico ico a aceler aceleraçã açãoo é propor proporcio cional nal ao desloc deslocame amento nto e dirig dirigida ida para para a orig origem. em. Visto Visto que a segu segunda nda lei de de movimen movimento to de Newton Newton estabe estabelec lecee que a aceleração aceleração é   proporciónal força, a, podemo podemoss presum presumir ir o movime movimento nto harmôn harmônico ico à   forç  para os sistemas com molas lineares com força variando com   10:.

 Ate 1wt

Z1

=

Zz

=

 Azei(wr+ r P )

reais. reais. O segu segundo ndo fasor fasor pode pode ser expr express essoo

em, seguid seguidaa

muito comum comum a existc existcllc llcia ia É muito agor agoraa um número número

comp comple lexo xo..

mas que que envolvem envolvem movin1ento movin1ento

hannônico. hannônico.

Esta Esta fonn fonnaa é muit muitas as veze vezess útil útil em proble proble..

A velo velocid cidade ade e a acel acelera eração ção do movime movimento nto sin1pl sin1plesm esment entee pela pela diferenci diferenciaçã açãoo da Eq. (J   .2· .2·2) 2).. rivada, rivada, obtemos obtemos roA =

.~=

cos rol

-'ro'A· -'ro'A·sen senrol rol

roA =

Por exemplo, exemplo,

fundamental

A açliçã açlição, o, multipl multiplica icação ção e. potenc potenciaç iação ão de fasores fasores obedec obedecem em a regra regrass simples, simples, qu quee são são dadas dadas no Apênd Apêndic icee A. Com a expre express ssão ão do movi movime ment ntoo harmô harmôni nico co por por fafason,s, son,s, os cálculos cálculos tornam-se tornam-se fáceis de efetuar efetuar..

 x

rentes rentes..

sen (ro/

harmôn harmônico ico podem podem scr determ determina inadas das Usan Usando do a not notaç ação ão pont pontoo para para a de· de·

simultân simultânea ea

a vibraç vibração ão

de vibra vibraçõe çõess

com .várias .várias freqüên freqüência ciass

de urna urna corda de violi violino no é comp compost ostaa

todass as sua suass harmô harmôni nica cass f   e de toda

2[, 2[,

Outro exempl exemploo 3f    etc. Outro

ção livre livre de um sistem sistemaa de muitos muitos·gr ·graus aus-de -de·lib ·liberd erdade ade,,  brações de cada freqüência natural. Tais vibrações comple complexa, xa,

o ment mentoo

que se se repete repete period periodica icamen mente, te,

como como indica indica

=ro'As =ro'Asen, en,(rol (rol  

+:n)

(1.2-6) (1.2·7)

é a vibravibra-

para para a qual qual contribu contribuem em as vi· resultam num perfil \le onda â

  Fig. Fig. 1.3-1.

mate matemá mátic ticoo franc francês ês J. Four Fouric icrr (1768 (1768·1 ·183 830) 0) most mostrou rou que que qualq qualque uerr movi movi-periô periôdi dico co pode pode ser ser repre represe senta ntado do por por uma uma série série de senos senos e co· co·se seno noss que' que' são são

hamlOl1 hamlOl1ica icamen mente te relaci relaciona onados dos.. Sc   x(t)   é uma Íunção Íunção .peri .periódi ódica ca é repre represen sentad tadaa pela pela seguinte seguinte série série de Fourier  Fourier 

-+ ~ )

difedife-

da freqüên freqüência cia

X(I)

 

o.,c

 f i '

,i· a,   cos ro ,I   -1-.(12  cos 2W 1 1

-I-

do período período

T,

ela

21t =21tf  =  T

ro

onde r e f  são o períod períodoo e a freqüên freqüência cia do movime movimento nto didos em segundos segundos e ciclos ciclos por segundo, segundo, respectivam respectivamente. ente.

harmôn harmônico ico,,

usualm usualment entee

me-

Assim, Assim, a velo velocid cidade ade e a acel acelera eração ção são també também m harmôn harmônica icas, s, com a mesma mesma freqüê freqüênci nciaa de oscilaç oscilação, ão, mas à   fren frente te do de deslo slocam cament entoo por rr/2 e rr radian radianos, os, respec respectiva tivamen mente, te, como como indica indicado do na Fig. Fig. 1.2·3.

convenien iente, te, no caso caso de mo~in1 mo~in1ent entoo de um ponto ponto numa numa circunf circunferê erênci ncia, a, adoadoÉ conven tar-se um eixo imaginário imaginário i e admitiradmitir-se se que o raio da circunf circunferê erênci nciaa seja seja represen representa· ta· do por uma quan quantida tidade de comple complexa xa z chamada chamada   fasor. O fasor 

z  ê

expresso expresso pela equação equação

qu quee defin definee os comp compon onen ente tes, s, real real e imagi imaginá nário rio.. variam variam seno senoida idalme lmente nte como como tempo tempo

z = 1m  z =

Re

Com Com O Figura  1.2·3. No mOl'imento mOl'imento hannônico, hannônico, a l'elocidade l'elocidade e a aceleração aceleração estão estão  à   frente frente do deslocamen deslocamento to por    rr/2 e rr.

A cos wt 

A sen wt 

muitas vezes vezes necessá necessário rio consid considera erar-s r-see dois dois moviInen moviInentos tos harmôn harmônico icoss É muitas freqüên freqüência cia,, porém porém diferin diferindo do da fase fase pelo pelo valor  < fi .   Os dois dois movimento movimentoss expressos expressos pelos fasores

onde A  I e A2 como

onde

A1   é

são númer números os

da mesma mesma podem podem sei de modo modo que no movime movimento nto harmôn harmônico ico a aceler aceleraçã açãoo é propor proporcio cional nal ao desloc deslocame amento nto e dirig dirigida ida para para a orig origem. em. Visto Visto que a segu segunda nda lei de de movimen movimento to de Newton Newton estabe estabelec lecee que a aceleração aceleração é   proporciónal força, a, podemo podemoss presum presumir ir o movime movimento nto harmôn harmônico ico à   forç  para os sistemas com molas lineares com força variando com   10:.

 Ate 1wt

Z1

=

Zz

=

 Azei(wr+ r P )

reais. reais. O segu segundo ndo fasor fasor pode pode ser expr express essoo

em, seguid seguidaa

muito comum comum a existc existcllc llcia ia É muito agor agoraa um número número

comp comple lexo xo..

mas que que envolvem envolvem movin1ento movin1ento

hannônico. hannônico.

Esta Esta fonn fonnaa é muit muitas as veze vezess útil útil em proble proble..

A velo velocid cidade ade e a acel acelera eração ção do movime movimento nto sin1pl sin1plesm esment entee pela pela diferenci diferenciaçã açãoo da Eq. (J   .2· .2·2) 2).. rivada, rivada, obtemos obtemos roA =

.~=

cos rol

-'ro'A· -'ro'A·sen senrol rol

Por exemplo, exemplo,

fundamental

A açliçã açlição, o, multipl multiplica icação ção e. potenc potenciaç iação ão de fasores fasores obedec obedecem em a regra regrass simples, simples, qu quee são são dadas dadas no Apênd Apêndic icee A. Com a expre express ssão ão do movi movime ment ntoo harmô harmôni nico co por por fafason,s, son,s, os cálculos cálculos tornam-se tornam-se fáceis de efetuar efetuar..

 x

rentes rentes..

roA =

harmôn harmônico ico podem podem scr determ determina inadas das Usan Usando do a not notaç ação ão pont pontoo para para a de· de·

simultân simultânea ea

a vibraç vibração ão

de vibra vibraçõe çõess

com .várias .várias freqüên freqüência ciass

de urna urna corda de violi violino no é comp compost ostaa

todass as sua suass harmô harmôni nica cass f   e de toda

2[, 2[,

Outro exempl exemploo 3f    etc. Outro

ção livre livre de um sistem sistemaa de muitos muitos·gr ·graus aus-de -de·lib ·liberd erdade ade,,  brações de cada freqüência natural. Tais vibrações comple complexa, xa,

o ment mentoo

que se se repete repete period periodica icamen mente, te,

como como indica indica

-+ ~ )

=ro'As =ro'Asen, en,(rol (rol  

(1.2-6)

é a vibravibra-

para para a qual qual contribu contribuem em as vi· resultam num perfil \le onda â

  Fig. Fig. 1.3-1.

mate matemá mátic ticoo franc francês ês J. Four Fouric icrr (1768 (1768·1 ·183 830) 0) most mostrou rou que que qualq qualque uerr movi movi-periô periôdi dico co pode pode ser ser repre represe senta ntado do por por uma uma série série de senos senos e co· co·se seno noss que' que' são são

hamlOl1 hamlOl1ica icamen mente te relaci relaciona onados dos.. Sc   x(t)   é uma Íunção Íunção .peri .periódi ódica ca é repre represen sentad tadaa pela pela seguinte seguinte série série de Fourier  Fourier 

sen (ro/

difedife-

da freqüên freqüência cia

X(I)

 

o.,c

 f i '

,i· a,   cos ro ,I   -1-.(12  cos 2W 1 1

do período período

T,

ela

-I-

(1.2·7)

+:n)

tg ! p

=

b. G .

Deste modo, cn e!Pn (ou an e bn) defmem harmônica da onda periódica.

completamente

a

contribuição

de cn e ! P n   em função da freqüência correspondentes a gráfica WI, 2WI' 3wI   etc., como se observa na Fig.   1.3·2. Tal representação forma o que se chama de   Espectro de Fourier   do perfll da onda. O resultado

da representação

gráfica

nw  I, para todos os valores de n,   é uma série de retas discretas

onde Wl =   2rr/r é a freqüência fundamental. Para se determinar os coeficientes ambos os lados da Eq. (1.3-1) por cos nW1  t    e sen   nw,1  t  c an e b n ,   multiplicamos integramos cada termo sobre o período r.   Examinando as seguintes relações

J' ,

r

,"

.

cos   IIW,I

- f, 2

J 'i ',

  sen'lIw,1

sen IIlW,1 dI

-1',2

f'"

se m   7":

COS   IIlW,1  dI =. ! E . . 00

se

111 = 11

se  

1117":11

se

111  =~  11

se  

1117":11

t  W

, cos   IIw,1   se,n   mw,1 dI =

 °

se

111 O ," 11

O

 

W1'j

2w,

' .,.

"'n

1

- f,  2

cn

1

= _~ { O n

"

11

Faz-se atualmente a análise 'harmônica, com eficiéncia e num mínimo de tem po, graças ao auxílio do computador digital. Obtém-se, ainda maior redução no tempo de computação, com o uso de um novo algoritmo para compu'tador, lançado recentemente e conhecido como "Fast Fourier 'J:ransform""'.

X

O

w,

2w,' 

todos os termos, exceto um do lado direito da equação, se~ã:o iguais ~ 2;ero e obtemos os resultados

Chama·se   Junção transiente de tempo   a uma função que existe apenas num ,espaço

Vol~ando à   Eq~ (1.3.1). e, examinando , suasoma pode ser expres~a como

os dois termos numa das freqüências,

G. COS   I/W,I -I-   b.sen   IIW,I ==

v ~IG.

b ,f {..ja;G-]- b; ; cos

-1-  u,

= Cn   COS(IIW,I

n,_

-   rp.)

IIW,

I_I

'

limitado de tempo, sendo nula em qualquer outro tempo. Tais funções não são periódicas. A Fig.   1.4-1   mostra uma variáção de pressão típica de um estrondo, que é uma função transiente de tempo. Outro exemplo é   a força de impacto durante a colisão de dois corpos. •J.  W ,  Coolcy and J.  W .   Tukcy, "An algorithm for the Machine Calculation of Complcx Fouricr Scries." Mathcmatics ofComputation 19; 90 (abril 1965, págs. 297-301). Vidc também: "Spccial Issue on Fast Fourier Transform", IEEE Trans. on Audío & Elcctroacoustícs,   \1'01.   AV-15, Nq  2 (1967).

tg ! p

=

b. G .

Deste modo, cn e!Pn (ou an e bn) defmem harmônica da onda periódica.

completamente

a

contribuição

de cn e ! P n   em função da freqüência correspondentes a gráfica WI, 2WI' 3wI   etc., como se observa na Fig.   1.3·2. Tal representação forma o que se chama de   Espectro de Fourier   do perfll da onda. O resultado

da representação

gráfica

nw  I, para todos os valores de n,   é uma série de retas discretas

onde Wl =   2rr/r é a freqüência fundamental. Para se determinar os coeficientes ambos os lados da Eq. (1.3-1) por cos nW1  t    e sen   nw,1  t  c an e b n ,   multiplicamos integramos cada termo sobre o período r.   Examinando as seguintes relações

J' ,

r

,"

.

cos   IIW,I

- f, 2

J 'i ',

  sen'lIw,1

sen IIlW,1 dI

-1',2

f'"

se m   7":

COS   IIlW,1  dI =. ! E . . 00

11

se

111 = 11

se  

1117":11

se

111  =~  11

se  

1117":11

se

111 O ," 11

cn

1

= _~ { O n

t  W

"

Faz-se atualmente a análise 'harmônica, com eficiéncia e num mínimo de tem po, graças ao auxílio do computador digital. Obtém-se, ainda maior redução no tempo de computação, com o uso de um novo algoritmo para compu'tador, lançado recentemente e conhecido como "Fast Fourier 'J:ransform""'.

O

, cos   IIw,1   se,n   mw,1 dI =

- f,  2

 °

2w,

W1'j

' .,.

"'n

1

 

X

O

w,

2w,' 

todos os termos, exceto um do lado direito da equação, se~ã:o iguais ~ 2;ero e obtemos os resultados

Chama·se   Junção transiente de tempo   a uma função que existe apenas num ,espaço

Vol~ando à   Eq~ (1.3.1). e, examinando , suasoma pode ser expres~a como

os dois termos numa das freqüências,

G. COS   I/W,I -I-   b.sen   IIW,I ==

v ~IG.

b ,f {..ja;G-]- b; ; cos n,_

-1-  u,

= Cn   COS(IIW,I

IIW,

I_I

limitado de tempo, sendo nula em qualquer outro tempo. Tais funções não são periódicas. A Fig.   1.4-1   mostra uma variáção de pressão típica de um estrondo, que é uma função transiente de tempo. Outro exemplo é   a força de impacto durante a colisão de dois corpos. •J.  W ,  Coolcy and J.  W .   Tukcy, "An algorithm for the Machine Calculation of Complcx Fouricr Scries." Mathcmatics ofComputation 19; 90 (abril 1965, págs. 297-301). Vidc também: "Spccial Issue on Fast Fourier Transform", IEEE Trans. on Audío & Elcctroacoustícs,   \1'01.   AV-15, Nq  2 (1967).

'

-   rp.)

de modo a permitir o estabelecimento de características gerais, úteis em projetos de engenharia. O Capítulo 10 trata desses processos em detalhe. Resumidamente se pode mencionar que, à semelhança das vibrações periódicas e transientes, ·os conceitos de amplitude e distribuição de sua freqüência são de importância fundamental. Essas quantidades, na vibração aleatória, são representadas por valores médios estimados estatisticamente, tais como a   raiz da média quadrática e a   média quadrática da densidade espectral.

Chama-se geralmente a um impulso ou choque. a excitação,

de resposta transiente à   resposta de um sistema mecânico Em razão da presença de amortecimento, uma vez cessada

cessam as vibrações.

.' i

 Não sendo periódicas. as ondas transientes, não é aplicável o método da série de Fourier. Todavia, as funções não periódicas podem ser analisadas no que elas contêm de freqÜência, pelo método das Transformadas de Fourier (vide Capítulo 10). Em contraste-com o espectro discreto da freqüência nas funções periódicas, é contínuo o seu correspondente

nas funções transientes.

Certas propriedades

do movimento

são de interesse na medida da vibra-

O   valor pico indica geralmente

vibrante.

Ele estabelece

o esforço máximo a que está submetida a parte também um limite na exigência do "espaço de trepidação".

O valor médio indica um valor estável ou estático, de certa forma semelhante ao nível de corrente contínua de urna corrente elétrica. Ele pode ser determinado  pela seguinte integração X-

=

ConsideranlOs até agora tipos de funções que podem ser classificadas de deterministas, pois seus valores instantâneos são determinados para qualquer tempo t,   pelo uso de expressões matemáticas deduzidas. Há, entretanto, fenômenos físicos que resultam em dados não deterministas, cujos valores instantâneos futuros não são  previsíveis, num sentido detenninista. Corno exemplos, podemos citar a saída de um gerador de ruído, as alturas das ondas em mar encapelado e a pressão de rajadas de vento encontradas no vôo de   UlI)   avião. Todos esses fenômenos têm uma característica comum, que é a imprevisibilidade do seu valor instantâneo em qualquer tempo futuro. Dados não deterministas deste tipo sITodenominados como   funções aleató-

oscilatório

ção. As mais simples delas são o   valor pico e o   valor médio.

. '"I 11m 1

T'~

I

T

o

X CI)  dI

Por exemplo, o valor médio para um ciclo completo de urna onda senoidal, A sen t, é zero, enquanto seu valor médio para um meio ciclo é

 I " sen

A  x. =n:

c

I,   I( I=

-2A n:

É evidente que este é também o valor médio da onda senoidal retificada,

conforme

a Fig. 1.6-1.

riasde tempo.

A Fig. 1.5-1 é um exemplo de f~nção aleatória típica. Apesar da natureza irregular da função, certos processos de média podem ser aplicados a. tais dados, x(t)

é assocudo geralmente à   energia de vibração, O   quadrad.o do deslocamento  para a qual o valor quadrático médio é urna medida. b   valor quadrático médio de 9

de modo a permitir o estabelecimento de características gerais, úteis em projetos de engenharia. O Capítulo 10 trata desses processos em detalhe. Resumidamente se pode mencionar que, à semelhança das vibrações periódicas e transientes, ·os conceitos de amplitude e distribuição de sua freqüência são de importância fundamental. Essas quantidades, na vibração aleatória, são representadas por valores médios estimados estatisticamente, tais como a   raiz da média quadrática e a   média quadrática da densidade espectral.

Chama-se geralmente a um impulso ou choque. a excitação,

de resposta transiente à   resposta de um sistema mecânico Em razão da presença de amortecimento, uma vez cessada

cessam as vibrações.

.' i

Certas propriedades

 Não sendo periódicas. as ondas transientes, não é aplicável o método da série de Fourier. Todavia, as funções não periódicas podem ser analisadas no que elas contêm de freqÜência, pelo método das Transformadas de Fourier (vide Capítulo 10). Em contraste-com o espectro discreto da freqüência nas funções periódicas, é contínuo o seu correspondente

do movimento

oscilatório

são de interesse na medida da vibra-

ção. As mais simples delas são o   valor pico e o   valor médio. O   valor pico indica geralmente

vibrante.

nas funções transientes.

Ele estabelece

o esforço máximo a que está submetida a parte também um limite na exigência do "espaço de trepidação".

O valor médio indica um valor estável ou estático, de certa forma semelhante ao nível de corrente contínua de urna corrente elétrica. Ele pode ser determinado  pela seguinte integração X-

=

ConsideranlOs até agora tipos de funções que podem ser classificadas de deterministas, pois seus valores instantâneos são determinados para qualquer tempo t,   pelo uso de expressões matemáticas deduzidas. Há, entretanto, fenômenos físicos que resultam em dados não deterministas, cujos valores instantâneos futuros não são  previsíveis, num sentido detenninista. Corno exemplos, podemos citar a saída de um gerador de ruído, as alturas das ondas em mar encapelado e a pressão de rajadas de vento encontradas no vôo de   UlI)   avião. Todos esses fenômenos têm uma característica comum, que é a imprevisibilidade do seu valor instantâneo em qualquer tempo futuro. Dados não deterministas deste tipo sITodenominados como   funções aleató-

. '"I 11m 1

T'~

I

T

X CI)  dI

o

Por exemplo, o valor médio para um ciclo completo de urna onda senoidal, A sen t, é zero, enquanto seu valor médio para um meio ciclo é

 I " sen

A  x. =n:

c

I,   I( I=

-2A n:

É evidente que este é também o valor médio da onda senoidal retificada,

conforme

a Fig. 1.6-1.

riasde tempo.

A Fig. 1.5-1 é um exemplo de f~nção aleatória típica. Apesar da natureza irregular da função, certos processos de média podem ser aplicados a. tais dados, x(t)

é assocudo geralmente à   energia de vibração, O   quadrad.o do deslocamento  para a qual o valor quadrático médio é urna medida. b   valor quadrático médio de 9

função de tempo   x(t) é determinado pela média dos valores quadráticos, limites   de algum intervalo de tempo T: -' .1'2

= lim T ....•'...

 J T 

I

-T 

.

o

(1 )

X 2

di

Por exemplo, se   x(t) = A sen wt,   seu valor quadrático -2

 x

A2JT  

= ~~ T

As funções aleatórias de tempo não são periódicas, e seus espectros de freqüencia são determinados pela integral de Fourier e não pela sua série. Este assunto é tratado no Capítulo 10. Por enquanto, basta mencionar que o seu espectro é urna apresentação da sua densidade quadrática média, traçada' em função da freqüência, como indica a   Fig.   1.6-3. Tais curvas são contínuas e podem ser determinadas

I o   2(1 -   cos 2ml) di

médio é I

= 2A 2

o   valor da   raiz da média. quadrática é a raiz quadrada do valor da média qua· drática. De acordo com o exemplo anterior, a raiz da média quadrática da onda senoidal de amplitude A é A I-J2. Espectro da   Freqüência. O conteúdo de freqüência de um movimento osciJat6rio é de importância para caracterizar a vibração. No caso de uma só onda senoidal, o conteúdo de freqüência é representado por urna reta de comprimento igual à sua, amplitude, traçada no ponto correspondente à freqüência do seu movimento.

 por instrumentos eletrônicos geral, a fase de uma função considerada.

 No caso de um movimento periódico, o espcctro da freqüência é constituído de uma série de retas traçadas' a partir dos pontos que marcam os múltiplos inteiros da freqüência fundamental, conforme definidos pela sua série de Fourier. Pode-se 'também apresentar a fase de cada componente em relação à fundamental, de modo a se ter uma representação completa, corno se vê na Fig. 1.6-2. O movimento transiente, embora   limitado no tempo, pode ser considerado corno movimento periódico de período infinito, pela inclusão das regiões de valor  zero até o infinito. Com T  = 2rr/w) -> ou w) ->   0, as retas espectrais ficam muito   juntas aproximando-se deuma curva contínua.

projetados para este fim específico. De um modo aleatória de tempo não apresenta intcresse e não é

(;~0\;~ ni.oViment~

?!. "' 0,15 s.

0 0 ,

~um ~aceleração

harmôI:i~o tem uma :uuplitude de 0,:0 Detemlmar o maXlmo da velOCIdade e ace1eraçao.

por e u~ períod~

de

acelerômetro indi~a que uma estrutura está. vibrando a 82 cps e uma máxima de 50 g. Detemúnara amplitude da vibração.

1 'J   Um

movimento harmônico tem urna freqüência de 10 cps e sua velocidade é de 180 pol/s. Determinar sua ampÚtude, seu período e sua aceleração máxima.

1',,-)   máxima

o

w,

2w,

1-4 Achar a soma de dois movimentos freqüências ligeiramente diferentes. resulta da sua soma.

3w,

(~~0xpressar

"' n

o número complexo

harmônicos de amplitude igual, mas com Discutir o fenômeno de batimento que

4 +   ,3i n~ forma exponencial

os dois números complexos sultado para A L O.

'j

1-7 Mostrar que unl fasor gira 90° quando multiplicado

I I I

O

w,

2w,

3w,

1-8 Determinar

~y

Figura,j.6-2.

/.

a' sorna de. dois fasores5t!rr/6

...,a resultan.te eoprimeiro '') ~

Determinar

f asor.

"

a série de Fourier

para

AeÍO •

(2 +   3i) ~   (4' -'   i), expressando

//'1'1-6   'Adicionar

o re-

por i.

e 4(/rr/3' e enco"ntrar o ângulo entre '

a   'on'da 'retangular

I

'

'

' '

Índicada na Fig.   P.I-9. 11

função de tempo   x(t) é determinado pela média dos valores quadráticos, limites   de algum intervalo de tempo T: -' .1'2

= lim

 J T 

I

-T 

T ....•'...

.

o

(1 )

X 2

di

Por exemplo, se   x(t) = A sen wt,   seu valor quadrático -2

 x

A2JT  

= ~~ T

As funções aleatórias de tempo não são periódicas, e seus espectros de freqüencia são determinados pela integral de Fourier e não pela sua série. Este assunto é tratado no Capítulo 10. Por enquanto, basta mencionar que o seu espectro é urna apresentação da sua densidade quadrática média, traçada' em função da freqüência, como indica a   Fig.   1.6-3. Tais curvas são contínuas e podem ser determinadas

I o   2(1 -   cos 2ml) di

médio é I

= 2A 2

o   valor da   raiz da média. quadrática é a raiz quadrada do valor da média qua· drática. De acordo com o exemplo anterior, a raiz da média quadrática da onda senoidal de amplitude A é A I-J2. Espectro da   Freqüência. O conteúdo de freqüência de um movimento osciJat6rio é de importância para caracterizar a vibração. No caso de uma só onda senoidal, o conteúdo de freqüência é representado por urna reta de comprimento igual à sua, amplitude, traçada no ponto correspondente à freqüência do seu movimento.

 por instrumentos eletrônicos geral, a fase de uma função considerada.

 No caso de um movimento periódico, o espcctro da freqüência é constituído de uma série de retas traçadas' a partir dos pontos que marcam os múltiplos inteiros da freqüência fundamental, conforme definidos pela sua série de Fourier. Pode-se 'também apresentar a fase de cada componente em relação à fundamental, de modo a se ter uma representação completa, corno se vê na Fig. 1.6-2. O movimento transiente, embora   limitado no tempo, pode ser considerado corno movimento periódico de período infinito, pela inclusão das regiões de valor  zero até o infinito. Com T  = 2rr/w) -> ou w) ->   0, as retas espectrais ficam muito   juntas aproximando-se deuma curva contínua.

projetados para este fim específico. De um modo aleatória de tempo não apresenta intcresse e não é

(;~0\;~ ni.oViment~

?!. "' 0,15 s.

0 0 ,

~um ~aceleração

harmôI:i~o tem uma :uuplitude de 0,:0 Detemlmar o maXlmo da velOCIdade e ace1eraçao.

por e u~ períod~

de

acelerômetro indi~a que uma estrutura está. vibrando a 82 cps e uma máxima de 50 g. Detemúnara amplitude da vibração.

1 'J   Um

movimento harmônico tem urna freqüência de 10 cps e sua velocidade é de 180 pol/s. Determinar sua ampÚtude, seu período e sua aceleração máxima.

1',,-)   máxima

o

w,

2w,

1-4 Achar a soma de dois movimentos freqüências ligeiramente diferentes. resulta da sua soma.

3w,

(~~0xpressar

"' n

4 +   ,3i n~ forma exponencial

os dois números complexos sultado para A L O.

1-7 Mostrar que unl fasor gira 90° quando multiplicado

I I I

O

w,

2w,

1-8 Determinar

3w,

~y

Figura,j.6-2.

/.

1-10

  Determinar a série de Fourier para o caso da origem da onda quadrada do Prob!. 1-9 ser deslocada de rr/2 para a direita.

1-11

  Determinar a série de Fourier para a onda triangular indicada na Fig. P.I-II.

1·12

  Determinar a séi-iede Fourier para o perfil em dente de serra representado na Fig. P.I-I2.

1·13

Determinar o valor da raiz da média quadrática de uma onda formada das  porções positivas de uma senóide. O

  Determinarovalordamédiaquadráticadaonda em dente de serradoProbl Fazê-Io de dois modos, pela curva quadrada -epeta série de Fourier.

1-12.

1-15

Traçar o espectro da freqüência relativo à   onda triangular do Prob!. 1-11.

1·16

Determinar a série de Fourier e o espectro da freqüência de um conjunto de -pulsos retangulares indicado na Fig. P.I-I6 -

.

a' sorna de. dois fasores5t!rr/6

...,a resultan.te eoprimeiro '') ~

Determinar

f asor.

"

a série de Fourier

para

AeÍO •

(2 +   3i) ~   (4' -'   i), expressando

//'1'1-6   'Adicionar

'j

1-14

o número complexo

harmônicos de amplitude igual, mas com Discutir o fenômeno de batimento que

o re-

por i.

e 4(/rr/3' e enco"ntrar o ângulo entre '

a   'on'da 'retangular

I

'

'

' '

Índicada na Fig.   P.I-9. 11

1-17 Estabelecer a equação para o deslocamento s do pistão no mecanismo de manivela indicado na Fig. P.I-I7, e determinar os componentes harmônicos e suas magnitudes relativas.

1-10

  Determinar a série de Fourier para o caso da origem da onda quadrada do Prob!. 1-9 ser deslocada de rr/2 para a direita.

1-11

  Determinar a série de Fourier para a onda triangular indicada na Fig. P.I-II.

1·12

  Determinar a séi-iede Fourier para o perfil em dente de serra representado na Fig. P.I-I2.

1·13

Determinar o valor da raiz da média quadrática de uma onda formada das  porções positivas de uma senóide.

1-14

1-17 Estabelecer a equação para o deslocamento s do pistão no mecanismo de manivela indicado na Fig. P.I-I7, e determinar os componentes harmônicos e suas magnitudes relativas.

O

  Determinarovalordamédiaquadráticadaonda em dente de serradoProbl Fazê-Io de dois modos, pela curva quadrada -epeta série de Fourier.

1-12.

1-15

Traçar o espectro da freqüência relativo à   onda triangular do Prob!. 1-11.

1·16

Determinar a série de Fourier e o espectro da freqüência de um conjunto de -pulsos retangulares indicado na Fig. P.I-I6 -

.

VIBRAÇÃO LivRE

Qualquer sistema que possua massa e elasticidade é   capaz de vibração. O mais simples sistema oscilatório consiste em uma massa e uma mola, conforme a Fig. 2.1·1. A   mola que suporta a'massa é   considerada de peso desprezível e de uma rigidez de k   lb por unidade de dellexão. O sistema possui um grau de liberdade, em razão do seu movimento ser definido por uma coordenada apenas , x. Quanúo posto em movimento, haverá oscilação na freqüência natural !", que ê uma propriedade do sistema. Examinemos agora alguns dos conceitos básicos associados  à  livre vibração de sistemas com um grau de liberdade. O exame do movimento do sistema' baseia·sé, inicialmente, na segunda lei de  Newton. Conforme indica' a Fig: 2.1·1, a deforinação da mola na posição de equilíbrio estático é t.   e a força da mola kt.  é   igual  à   força gravitacional w   atuando sobre a massa m:

Medindo o deslocamento x da posição de equilíbrio estático, as forças que atuam sobre m são   k(t. + x) e w.   Considerando-se x   positivo na direção de cima para :baixo, todas as quan tidades - força" velocidad.e e aceleração - são também positivas na mesma direção.

VIBRAÇÃO LivRE

Qualquer sistema que possua massa e elasticidade é   capaz de vibração. O mais simples sistema oscilatório consiste em uma massa e uma mola, conforme a Fig. 2.1·1. A   mola que suporta a'massa é   considerada de peso desprezível e de uma rigidez de k   lb por unidade de dellexão. O sistema possui um grau de liberdade, em razão do seu movimento ser definido por uma coordenada apenas , x. Quanúo posto em movimento, haverá oscilação na freqüência natural !", que ê uma propriedade do sistema. Examinemos agora alguns dos conceitos básicos associados  à  livre vibração de sistemas com um grau de liberdade. O exame do movimento do sistema' baseia·sé, inicialmente, na segunda lei de  Newton. Conforme indica' a Fig: 2.1·1, a deforinação da mola na posição de equilíbrio estático é t.   e a força da mola kt.  é   igual  à   força gravitacional w   atuando sobre a massa m:

Medindo o deslocamento x da posição de equilíbrio estático, as forças que atuam sobre m são   k(t. + x) e w.   Considerando-se x   positivo na direção de cima para :baixo, todas as quan tidades - força" velocidad.e e aceleração - são também positivas na mesma direção.

, T

k 

Posição sem

-"" ,m o'''· · m· -:I~.

c p _ . r·~)  t:.

k 

i

.

 =

2 7 t j ! f.

l~ ; i; ; , ~ ~ : . : , , , '" '.

w

w

T ~-

0N\.O-·

K-~

r~ ~ l\_ tJ

'- -

da v'posiçãot de equil íbrio f estático t 't' como d referência I k  A para I esobr ç"om é' e mo lmen o t o peso   e a orça r    w d resulta-nte I I d'des a Ica d a mo 1 a < ->t, e a l' e S lm p e sm en e a .o rça a mo a e VI o a o e s o came n o x. orça

 

rfT\.

a freqüência angular  wn pela equaçffo ~  y

"' -

.,

\)J ~

 _

A. .A

r' \

I

L \'

:i·-.:. "....

J

  li:_  3,127

27t '1/

t:' - ~

cps (Hcrtz)

187,6

=

=~c.p.m.

2-

  !T::> t// stas /7 condições,

,

r 

natural em termos de l:1 é

 fn -

'" ) 2 -

"J~2)[~ ts 'L \

a escolha  x~   evidente e1im'n ou -que da qua R' d

Definindo-se

Essas quantidades são expressas em termos da del1exão estática l:1 ,   notando-se g =   386 pOI/S1 e l:1   em polegadas,  pela Eq. (2.1-1) que k f::,. = mg.   Considerando a expressão da freqüência

\_

O ~q

.

a freqüência natural de um sistema de um grau de liberdade é . . ' " A. A   Flg,   (2.1-2) apresenta um grafico . "//' defimda UnIcamente pela deflexão estatlca logarítmico da Eq. (2.1-9). Embora os sistemas osci!atóríos possam diferir na aparência, a presente discus· são aplica.se a todos os sistemas de um grau de liberdade, submetidos à vibração livre não amortecida. Em alguns casos a oscilação é rotaÚva, como no pêndulo rota-

0,05 0,10

·0, 50

. 1,0

Dcl1exâo A"

necessárias.

Essas constantes

iniciais   x(O) e   x(O)   e a Eq. (2.1-5) é simplificada

são calculadas para para donal, em cujo caso a segunda lei de Newton é substituída

x(O)

x =-~ sen  w.1 W .

.  cos +   x(O) .

Wn1

~

•• • • .-

solução geral

as condições

-------• •

••

••

e concluímos, pela comparaçffo com a Eq. (1.2-8), que o movimento é harmônico. A equação diferencial linear de segunda ordem homogênea (2.1-4) tem a seguinte

onde A e B   são duas constantes

.•••• .••i

rotativa

pela sua correspondente

-

• -_• .~

, T

k 

Posição sem

-"" ,m o'''· · m· -:I~.

c p _ . r·~)  t:.

k 

w

w

T ~-

0N\.O-·

K-~

r~ ~ l\_ tJ

'- -

da v'posiçãot de equil íbrio f estático t 't' como d referência I k  A para I esobr ç"om é' e mo lmen o t o peso   e a orça r    w d resulta-nte I I d'des a Ica d a mo 1 a < ->t, e a l' e S lm p e sm en e a .o rça a mo a e VI o a o e s o came n o x. orça

 

rfT\.

"' -

a freqüência angular  wn pela equaçffo ~  y

.,

\)J ~

 _

A. .A

r' \

I

L \'

:i·-.:. "....

  li:_  3,127

J

27t '1/

t:' - ~

cps (Hcrtz)

187,6

=~c.p.m.

=

2-

  !T::> t// stas /7 condições,

,

r 

natural em termos de l:1 é

 fn -

'" ) 2 -

"J~2)[~ ts 'L \

a escolha  x~   evidente e1im'n ou -que da qua R' d

Definindo-se

Essas quantidades são expressas em termos da del1exão estática l:1 ,   notando-se g =   386 pOI/S1 e l:1   em polegadas,  pela Eq. (2.1-1) que k f::,. = mg.   Considerando a expressão da freqüência

\_

O ~q

.

a freqüência natural de um sistema de um grau de liberdade é . . ' " A. A   Flg,   (2.1-2) apresenta um grafico . "//' defimda UnIcamente pela deflexão estatlca logarítmico da Eq. (2.1-9). Embora os sistemas osci!atóríos possam diferir na aparência, a presente discus· são aplica.se a todos os sistemas de um grau de liberdade, submetidos à vibração livre não amortecida. Em alguns casos a oscilação é rotaÚva, como no pêndulo rota-

0,05 0,10

·0, 50

.•-

. 1,0

Dcl1exâo A"

as condições

Essas constantes

iniciais   x(O) e   x(O)   e a Eq. (2.1-5) é simplificada

são calculadas para para donal, em cujo caso a segunda lei de Newton é substituída

x(O)

x =-~ sen  w.1 W .

.  cos +   x(O) .

Wn1

~

•• • •

solução geral

necessárias.

-------• •

••

••

e concluímos, pela comparaçffo com a Eq. (1.2-8), que o movimento é harmônico. A equação diferencial linear de segunda ordem homogênea (2.1-4) tem a seguinte

onde A e B   são duas constantes

.•••• .••i

l~ ; i; ; , ~ ~ : . : , , , '" '.

i

.

2 7 t j ! f.

 =

pela sua correspondente

rotativa

-- _ •. ~

'l · ,• • >

Exemplo 2.2-1

)

.•

)

•

>

,

>

Detenninar

a freqüência

natural

do pêndulo

torcional

indicado na Fig. 2.2-1.

onde M   é o momento, J   o momento de inércia da massa, e (j   a aceleração angular, tudo referido a um mesmo eixo inercial fIxo de rotação. A equação acima é também válida em relação ao eixo do centro de massa que pode estar em movimento,

.. )

•• .-

·•

)

••

• • •• •

o   total de energia em um sistema' conservativo é constante, e a equação diferencial de movimento é estabelecida pelo prinéípio de conservação de energia. A energia na vibraçãp livre de um sistema não amortecido é parte cinétiea e parte potencial. A , energia cinética T  é conservada na massa em razão da sua velocidade, enquanto a energia potencial U  é conservada sob a forma de esforço na deformação elástica ou 'trabalho realizado num campo de força como a gravidade. Sendo constante a energia total, sua taxa de variação é   zero, conforme se depreende das seguintes equações T 

I

 +

 , dt (T 

(2.2-2)

U) = O

Se o no~so interesse está apenas na freqüência natural do sistema, ela pode ser  determinada pelas seguintes considerações. Podemos estabelecer, de acordo eom o  p'~incípio de conservaçào da energia, que

I

••

.

'

••

onde

.1

e

2

  representam

duas instâncias

de tempo.

que o movimento

equação

o

Os máximos

Admitimos

que

1

  seja o ins-

Igualando

Exemplo

= A

oscilatório

seja harmônico

e expresso pela

sen wllt 

das energias cinética,e potencial são

(2.2-1)

+ U  =  constan te d 

Figura   2.2-1.   Pêndulo rorciollal.

Solução:   Suponhamos

as duas. energias,

 lJe~ax =iJ w ;

Tma:-.

:-=

Umu

=   iKe~u

chegamos

A2

=   iKA' 

à   expressão

da sua freqüência

natural,

que é

2.2-2

Um cilindro de peso w   e raio r    rola sem deslizar sobre uma superfície cilíndrica de raio R   como indica a Fig. 2.2-2. Determinar sua equação diferencial de movimento para oscilações pequenas em volta do seu ponto mais baixo . Por não haver deslizamento RO . rrp

=

tante em que a massa passa pela sua posição de equilibrio estático, e escolhemos U 1 = O   como referência para a energia potencial. Seja z o tempo correspondente ao máximo deslocamento da massa. Nesta posição, a velocidade, da massa é zero, resultando

T z

=  O .   Temos então

r-

i ~

i

fi

t

a ) J

se o sistema são os máximos,

está submetido

a um movimento

harmónico,

os valores

e daí

Figura 2.2·2.

Solução:   Deve·se notar,

ao se determinar a energia cinética do cilindro, que há uma translação e, uma rotação. A velocidade de translação do centro do cilindro é   (R - r)Ô,   enquanto a velocidade de rotação   é (~ - li) = =   (R ir -   1)0, uma

19

·'l ,• • >

Exemplo 2.2-1

)

.•

Detenninar

>

,

>

natural

do pêndulo

torcional

indicado na Fig. 2.2-1.

onde M   é o momento, J   o momento de inércia da massa, e (j   a aceleração angular, tudo referido a um mesmo eixo inercial fIxo de rotação. A equação acima é também válida em relação ao eixo do centro de massa que pode estar em movimento,

)

•

a freqüência

.. ) o   total

•• .-

·•

de energia em um sistema' conservativo é constante, e a equação diferencial de movimento é estabelecida pelo prinéípio de conservação de energia. A energia na vibraçãp livre de um sistema não amortecido é parte cinétiea e parte potencial. A , energia cinética T  é conservada na massa em razão da sua velocidade, enquanto a energia potencial U  é conservada sob a forma de esforço na deformação elástica ou 'trabalho realizado num campo de força como a gravidade. Sendo constante a energia total, sua taxa de variação é   zero, conforme se depreende das seguintes equações

)

••

• • •• •

d 

 +

 , dt (T 

(2.2-2)

U) = O

Se o no~so interesse está apenas na freqüência natural do sistema, ela pode ser  determinada pelas seguintes considerações. Podemos estabelecer, de acordo eom o  p'~incípio de conservaçào da energia, que

I

••• •r -

.

onde

'

.1

e

2

  representam

duas instâncias

que o movimento

equação

o

Os máximos

de tempo.

Admitimos

que

1

  seja o ins-

Igualando

Exemplo

= A

oscilatório

seja harmônico

e expresso pela

sen wllt 

das energias cinética,e potencial são

(2.2-1)

+ U  =  constan te

T 

I

Figura   2.2-1.   Pêndulo rorciollal.

Solução:   Suponhamos

as duas. energias,

 lJe~ax =iJ w ;

Tma:-.

:-=

Umu

=   iKe~u

chegamos

A2

=   iKA' 

à   expressão

da sua freqüência

natural,

que é

2.2-2

Um cilindro de peso w   e raio r    rola sem deslizar sobre uma superfície cilíndrica de raio R   como indica a Fig. 2.2-2. Determinar sua equação diferencial de movimento para oscilações pequenas em volta do seu ponto mais baixo . Por não haver deslizamento RO . rrp

=

tante em que a massa passa pela sua posição de equilibrio estático, e escolhemos U 1 = O   como referência para a energia potencial. Seja z o tempo correspondente ao máximo deslocamento da massa. Nesta posição, a velocidade, da massa é zero, resultando

i

T z

=  O .   Temos então

se o sistema

está submetido

são os máximos,

~

a um movimento

harmónico,

os valores

e daí

Figura 2.2·2.

Solução:   Deve·se notar,

ao se determinar a energia cinética do cilindro, que há uma translação e, uma rotação. A velocidade de translação do centro do cilindro é   (R - r)Ô,   enquanto a velocidade de rotação   é (~ - li) = =   (R ir -   1)0, uma

i

fi

t

19

a ) J

v ez qu e ~ agora como

l;

T =

1.

[ (R -

= ~( R 4 g

onde

  (w/g) (/   /2)

r )8 J 2

1 ) 8] '

 + ~ ; ; [( ~ -

Exemplo 2.3-1

-   r)28 2

é o momento

Determinar

de inércia do cilindro em re lação ao seu centro

o efeito da massa da mola na freqüência natural do sistema indica-

do na Fig. 2.3- I.

de massa. A energia potencial referida à   sua posição mais baixa é dy

ms

que é   igual ao negativo do trabalho cilindro na distância vertical (R Substituindo

sen O

-

pela força da gravidade no levantar o

da mola

 y

 x1 ":   velocidade do ele-

c os  O }

mento da mola

na Eq. (2.2-2)

[~ e fazendo

efetuado r) (I

I :massa do clcmcnto

==

JÓ "

; (R -   r)2(j -I-   Ir(R -   r)sen {}

0,

O   para ângulos p~quenos, obtemos a,conhecida

equação para o

movimento harmônico

(j  ·i   _2.L-o 3(R - r)

m. suporemos que a Solução:   Com.\: igual à velocidade da massa concent rada velocidade de um elemento da mola, localizado à   distância y   da sua extremidade fixa, varie linearmente

com y   da forma seguinte

°

~.

e encontramos para a massa efetiva o valor de um t erço da massa da mola. A dicionando o valor da massa efetiva ao da massa concentrada, a expressão da 'freqüência natural revista será Até agora admitimos, no cálculo da fre qüência natural, a inexistência de massa na mola. Muitas vezes a mola e outros elementos móveis podem representar uma fração  pond eráv el

da mass a total do siste ma, e do seu aban dono

pode m resu ltar freqü ênci as

naturais altas demais. Para obtermos

uma estimativa melhor da freqüência natural, podemos compu-

tar a energia cinética adicional dos elementos

móveis, que não foi considerada ante-

riormente. Isto, é claro, requer uma suposição quanto ao movimento dos elementos distribuídos. O resultado integrado da energia cinética adicional pode ser, então, expresso em termos da velocidade j;   da massa concentrada na forma de 20

Exemplo   2.3-2 Muitas vezes os sistemas oscilatórios

são compostos

de 'alavílJlcas, engrenagens

e outras ligações que complicam aparentemente a análise. Um exemplo típico desses casos está no sistema de vá!vul3 de motor indicado na Fig.  2.3-2. É geralmente van"tajosa a reduç:To de um tal sistema para outro equivalente mais simples.

v ez qu e ~ agora como

l;

T =

[ (R -

1.

= ~( R 4 g

onde

  (w/g) (/   /2)

r )8 J 2

1 ) 8] '

 + ~ ; ; [( ~ -

Exemplo 2.3-1

-   r)28 2

é o momento

Determinar

de inércia do cilindro em re lação ao seu centro

o efeito da massa da mola na freqüência natural do sistema indica-

do na Fig. 2.3- I.

de massa. A energia potencial referida à   sua posição mais baixa é dy

ms

que é   igual ao negativo do trabalho cilindro na distância vertical (R Substituindo

sen O

r) (I

-

pela força da gravidade no levantar o

da mola

 y

 x1 ":   velocidade do ele-

c os  O }

mento da mola

na Eq. (2.2-2)

JÓ "

; (R -   r)2(j -I-   Ir(R -   r)sen {}

[~ e fazendo

efetuado

I :massa do clcmcnto

0,

O   para ângulos p~quenos, obtemos a,conhecida

==

equação para o

movimento harmônico

(j  ·i   _2.L-o 3(R - r)

m. suporemos que a Solução:   Com.\: igual à velocidade da massa concent rada velocidade de um elemento da mola, localizado à   distância y   da sua extremidade fixa, varie linearmente

com y   da forma seguinte

°

~.

e encontramos para a massa efetiva o valor de um t erço da massa da mola. A dicionando o valor da massa efetiva ao da massa concentrada, a expressão da 'freqüência natural revista será Até agora admitimos, no cálculo da fre qüência natural, a inexistência de massa na mola. Muitas vezes a mola e outros elementos móveis podem representar uma fração  pond eráv el

da mass a total do siste ma, e do seu aban dono

pode m resu ltar freqü ênci as

naturais altas demais. Para obtermos

uma estimativa melhor da freqüência natural, podemos compu-

tar a energia cinética adicional dos elementos

móveis, que não foi considerada ante-

riormente. Isto, é claro, requer uma suposição quanto ao movimento dos elementos distribuídos. O resultado integrado da energia cinética adicional pode ser, então, expresso em termos da velocidade j;   da massa concentrada na forma de

Exemplo   2.3-2 Muitas vezes os sistemas oscilatórios

são compostos

de 'alavílJlcas, engrenagens

e outras ligações que complicam aparentemente a análise. Um exemplo típico desses casos está no sistema de vá!vul3 de motor indicado na Fig.  2.3-2. É geralmente van"tajosa a reduç:To de um tal sistema para outro equivalente mais simples.

20

f -. . - a I

:

O

\

Quando um sistema linear de um grau de liberdade é excitado, sua resposta dependerá do tipo de excitação e do amortecimento presente. Geralmente a equação do movimento terá a seguinte fórmula

onde   F(l) é   a exeitação e Pd   a força de amortecimento. Embora seja difícil a descrição real da força de amortecimento, é   possível a admissão de modelos ideais de amortecimento, que muitas vezes resultam em prognósticos satisfatórios da resposta. Dentre esses modelos, a força de amortecimento viscoso, proporcional" à  velocidade, conduz ao tratamento matemático mais simples. A força de amortecimento

viscoso é expressa pela seguinte equação

onde c é uma constante de proporcionalidade. Ela é represelltada  por um amortecedor, conforme indicado na Fig. 2.4·J.

simbolicamente

o balancim com momento de inércia J.   a válvula eom massa mv   e a mola com massa m   podem ser reduzidos a uma simples massa em A   pela seguinte fors

mulação da equação da energia cinética To' 

  +JÓ'  ++mJbÓ}' 

t;C~')(hÓ)' 

~ +(J  + m,/)'  - +  -}m,b')Ó'  Admitindo-se

que a velocidade

em A   seja

x

forma em

Com o tucho reduzido a uma molá e uma massa adicional na extremidade A.   o siste· m"a-inteiro está reduzido a uma mola e uma massa apenas, como indica a Fig. 2.3-2.

A sülu\:ão da equação acima ~em ullas partes. Se   P(t)." O,- lemos a equação diferencial homogênea, cuja solução corresponde fisicamente àquela 'de vibração livre de amortecimento_ Com   P(t) c/.   O, obtemos a solução particular devido ;\ excitação sem restrição da solução homogênea. Examinaremos inieialmente a equação homogênea, que nos dará alguma compreensão do papel do amortecimento.

f -. . - a I

:

O

\

Quando um sistema linear de um grau de liberdade é excitado, sua resposta dependerá do tipo de excitação e do amortecimento presente. Geralmente a equação do movimento terá a seguinte fórmula

onde   F(l) é   a exeitação e Pd   a força de amortecimento. Embora seja difícil a descrição real da força de amortecimento, é   possível a admissão de modelos ideais de amortecimento, que muitas vezes resultam em prognósticos satisfatórios da resposta. Dentre esses modelos, a força de amortecimento viscoso, proporcional" à  velocidade, conduz ao tratamento matemático mais simples. A força de amortecimento

viscoso é expressa pela seguinte equação

onde c é uma constante de proporcionalidade. Ela é represelltada  por um amortecedor, conforme indicado na Fig. 2.4·J.

simbolicamente

o balancim com momento de inércia J.   a válvula eom massa mv   e a mola com massa m   podem ser reduzidos a uma simples massa em A   pela seguinte fors

mulação da equação da energia cinética To' 

  +JÓ'  ++mJbÓ}' 

t;C~')(hÓ)' 

~ +(J  + m,/)'  - +  -}m,b')Ó'  Admitindo-se

que a velocidade

x

em A   seja

forma em

A sülu\:ão da equação acima ~em ullas partes. Se   P(t)." O,- lemos a equação diferencial homogênea, cuja solução corresponde fisicamente àquela 'de vibração livre de amortecimento_ Com   P(t) c/.   O, obtemos a solução particular devido ;\ excitação sem restrição da solução homogênea. Examinaremos inieialmente a equação homogênea, que nos dará alguma compreensão do papel do amortecimento.

Com o tucho reduzido a uma molá e uma massa adicional na extremidade A.   o siste· m"a-inteiro está reduzido a uma mola e uma massa apenas, como indica a Fig. 2.3-2.

Para o valor de c que reduz o radical. a zero temos o caso limite, entre o mo· vimen to osciJatório e o não·oscilatório, e que definimos como   amortecimento critico.

É agora oportuno

Começamos

Amortecimento

'0 radical

crítico onde !i   é uma constante.

Feita a substituição (ms2

na equação diferencial,

+ cs + k)e" 

o exame desses três casos em detalhe,

tidades' usadas na prática. Crítieo.

com o amortecimento da Eq. (2.4·9)

e em termos de quan· crítico.

é   zero para o amortecimento

c C"

temos

=  O

que é satisfeita por todos os valores de t    quando

• s-

s   . 7= '.-

+  -sc  J }l 

. _- c

- l:. :

2m -'

k  =O

  .1. I

J(

/1Z

É conveniente expressar o valor de qualquer amortecimento tecimento critico, por meio da fração não-mensurável -

C ) ' 

2111

--

k 

em termos de

Considerando

o   primeiro

termo

a serem

determinadas

do amor·

m

que é chamada

onde A e B   são constantes iniciais   x(O) e  x   (O).

em termos

de acordo

fração de amortecimento.

S ,   notando

Expressamos

agora as raízes da Eq. (2.4·7)

que

com as condições

os valores da Eq. (2.4·7), temos para (2.4-8) a seguinte expressão

e' C ':2m)' 

é simplesmente

uma função de tempo exponencialmente

declinante. O comportamento dos termos dentro do parêntese do valor numérico sob o radical ser positivo, zero ou ncgativo.

depende, entretanto,

Quando o termo de amortecimento   (c/2m)2 é maior que   k/m,   os expoentes na equação acima são números reais e não há oscilação poss ível. Referimo-nos a este caso como   superamortecido.

e os três casos de amortecimento maior, menor·ou

discutidos

~nteriormente

dependem

agora de

S

ser 

igual à  unidade.

A Fig. 2.4-2 mostra a Eq.(2.4-12) traçada num plano complexo, com S ao longo do eixo horizontal. Se S = O, a Eq. (2.4-12) fica red'u zida a SI. ,/wll =± í, de modo que as ra ízes no eixo imaginário correspondem ao caso de não-amortecimento.

Para

 s

0<  <   1, a Eq.

(2.4-12) é   reescrita na'forma

Quando o termo de amortecimento   (c/2m)' é   menor que   k/m,   o expoente torna-se um número imaginário, ± i .jk/nz ,.   (c/2m)2 t.   Urna vez que e'.i'":'"-'''Z''')'' 

,= coso

/ 5 . . . , _ . (~2m)2 1

Y m

os. teImas da Eq. (2.4-9) dentro caso como   subamortecido.

do parêntese

~I = isen

/ 5 . . _ _ (~2m)2 n

'\ m

são oscilatórios.

t 

Denominamos

este

As raÍzes s, e s,   SolO então pontos complexos eonjugados sobre u'm arco circular  convergindo no ponto   SI.2/Wn =-   1,0. Á   medida que S   cresce acnna da unidade. as ra ízcs separam-se ao longo do cixo horizontal e permanccem números rcais. Tendo presente cste diagrama, estamos aptos a examinar a solução dada pela Eq. (2.4-9). 25

Para o valor de c que reduz o radical. a zero temos o caso limite, entre o mo· vimen to osciJatório e o não·oscilatório, e que definimos como   amortecimento critico.

É agora oportuno

Começamos

Amortecimento

'0 radical

crítico onde !i   é uma constante.

Feita a substituição

na equação diferencial,

+ cs + k)e" 

2

(ms

o exame desses três casos em detalhe,

tidades' usadas na prática. Crítieo.

com o amortecimento da Eq. (2.4·9)

e em termos de quan· crítico.

é   zero para o amortecimento

c C"

temos

=  O

que é satisfeita por todos os valores de t    quando

+  -sc

• s-

s   . 7=

. _- c

'.-

k  =O

  .1. -

 J }l 

I

- l:. :

2m -'

/1Z

É conveniente expressar o valor de qualquer amortecimento tecimento critico, por meio da fração não-mensurável

J(

-

C ) ' 

2111

--

k 

em termos de

Considerando

o   primeiro

termo

a serem

do amor·

m

que é chamada

onde A e B   são constantes iniciais   x(O) e  x   (O).

em termos

determinadas

de acordo

fração de amortecimento.

S ,   notando

Expressamos

agora as raízes da Eq. (2.4·7)

que

com as condições

os valores da Eq. (2.4·7), temos para (2.4-8) a seguinte expressão

é simplesmente

e' C ':2m)' 

e os três casos de amortecimento

uma função de tempo exponencialmente

declinante. O comportamento dos termos dentro do parêntese do valor numérico sob o radical ser positivo, zero ou ncgativo.

maior, menor·ou

depende, entretanto,

discutidos

~nteriormente

dependem

agora de

S

ser 

igual à  unidade.

A Fig. 2.4-2 mostra a Eq.(2.4-12) traçada num plano complexo, com S ao longo do eixo horizontal. Se S = O, a Eq. (2.4-12) fica red'u zida a SI. ,/wll =± í, de modo que as ra ízes no eixo imaginário correspondem ao caso de não-amorte-

Quando o termo de amortecimento   (c/2m)2 é maior que   k/m,   os expoentes na equação acima são números reais e não há oscilação poss ível. Referimo-nos a este caso como   superamortecido.

cimento.

Para

 s

0<  <   1, a Eq.

(2.4-12) é   reescrita na'forma

Quando o termo de amortecimento   (c/2m)' é   menor que   k/m,   o expoente torna-se um número imaginário, ± i .jk/nz ,.   (c/2m)2 t.   Urna vez que

,= coso

e'.i'":'"-'''Z''')'' 

/ 5 . . . , _ . (~2m)2 1

Y m

os. teImas da Eq. (2.4-9) dentro caso como   subamortecido.

do parêntese

,= Oscilatório.

Eq. (2.4-12)

 x

na (2.4-8).

[~

< 

n

são oscilatórios.

As raÍzes s, e s,   SolO então pontos complexos eonjugados sobre u'm arco circular  convergindo no ponto   SI.2/Wn =-   1,0. Á   medida que S   cresce acnna da unidade. as ra ízcs separam-se ao longo do cixo horizontal e permanccem números rcais. Tendo presente cste diagrama, estamos aptos a examinar a solução dada pela Eq. (2.4-9).

t 

Denominamos

este

Eixo

O   imaginário ·1,0

-1,0

O

1,0 (Caso de subamortecimento

).] Substituindo

a

 A ~= X(O) - 1 - C(  - 1 -   ~)co_x(O)

. 2 co _ - - /'> -

a solução geral torna·se

=   Xe-(""'sen'(~ =cC

/ 5 . . _ _ (~2m)2

'\ m

25

,=

Movimento

~I = isen

 + r /J )

 

CO_I 

  e-(""'(C,   sen~

 

co.1

-I - C1cos ~

 

co_1)

(2.4-14)

o

(2.4-15)

dicado na Fig. 2.4-4, c é denOI;ninado como   aperiódico.

movimento

é uma [unção de tempo exponencialmente

decrescente,

conforme

in-

, ,

onde as constan tes arbitrárias X. < /1 . ou C I , C2   são detemúnadas de acordo com as condições iniciais. Com as condições iniciais   x(O) e   X(O),   pode·se mostrar a redução da Eq. (2.4-15)

I

""

para a seguinte

Ae ( -,

  +.Jf2=1)   w/lI

"~""

o  /

A equação indica que a freqüência

da oscilaçãó all/ortecida

,

é   igual a

/'-B-< ·   ,-~)wIlI e

I

I

co  J   

c

~:

c.~

w.vT=T' 

Movimento n:To Oscilatório. Quando II  >   1,0 (Caso de supcramortccimcnto).j Ié   maior que a unidade, as duas raizes permanecem no eixo real da Fig. 2.4-2 e separadas, uma aumentando e outra decrescendo. A expressão da solução geral é então 26

B

Movimento Amortecido Criticamente. [~ = =   1,0] Para ~ = = I,óbtemos uma raiz dupla SI = = S2 = = - wll' e os dois termos da Eq. (2.4-8) combinam para formar  apenas um

,=

,= Movimento

Oscilatório.

Eq. (2.4-12)

na (2.4-8).

 x

[~

< 

-1,0

O

1,0 (Caso de subamortecimento

).] Substituindo

a

 A ~= X(O) - 1 - C(  - 1 -   ~)co_x(O)

. 2 co _ - - /'> -

a solução geral torna·se

=   Xe-(""'sen'(~ =cC

Eixo

O   imaginário ·1,0

 + r /J )

 

CO_I 

  e-(""'(C,   sen~

 

co.1

-I - C1cos ~

 

co_1)

(2.4-14)

o

(2.4-15)

dicado na Fig. 2.4-4, c é denOI;ninado como   aperiódico.

movimento

é uma [unção de tempo exponencialmente

decrescente,

conforme

in-

, ,

onde as constan tes arbitrárias X. < /1 . ou C I , C2   são detemúnadas de acordo com as condições iniciais. Com as condições iniciais   x(O) e   X(O),   pode·se mostrar a redução da Eq. (2.4-15)

I

""

Ae ( -,

para a seguinte

  +.Jf2=1)   w/lI

"~""

o  /

A equação indica que a freqüência

da oscilaçãó all/ortecida

,

é   igual a

/'-B-< ·   ,-~)wIlI e

I

I

co  J   

c

~:

c.~

B

w.vT=T' 

Movimento n:To Oscilatório. Quando II  >   1,0 (Caso de supcramortccimcnto).j Ié   maior que a unidade, as duas raizes permanecem no eixo real da Fig. 2.4-2 e separadas, uma aumentando e outra decrescendo. A expressão da solução geral é

Movimento Amortecido Criticamente. [~ = =   1,0] Para ~ = = I,óbtemos uma raiz dupla SI = = S2 = = - wll' e os dois termos da Eq. (2.4-8) combinam para formar  apenas um

então 26

q u e n ã o t em o n ú m er o

u e c o ns ta n te s

iniciais. A solução para as condições u o- se \ - , 1

r e qu e ri do

p a ra s a ti sf a ze r

iniciais é encontrada

; \s d ua s c o nd iç õ es

pela Eq.   (2.4.16),   fazenT < 1   pelo seu valor  T  J  Substituinuo·se logarítmico se transforma em

=cc

 2njúJ",/l':"-'l,   a expressão

do decremento

que é uma equação exata. A s p a rt es m ó ve is d e m u i to s m e di d or es e lé tr ic o s e i n s tr um e nt o s criticamente, a fim de evitar a ultrapassagem e a oscilação.

s ã o a mo r te c id o s

Quando

\' é pequeno,

A F i g . 2 . 5 -2 m o st ra ' fu n çã o d e \. A medida da taxa· de decréscimo

das oscilações livres é um meio conveniente

d e te rm i na r a q ua n ti da d e d e a mo r te ci m en to amortecimento, maior a taxa de decréscimo. Consideremos

uma vibração

que é indicada graficamente

p re s en te

amortecida

n u m s i st em a .

representada

na' Fig. 2.5-1. ln traduzimos

amplitudes

consecutivas.

u m g r áf ic o

d o s va lo r es ,> e x at os

e a pr o xi m ad o s,

para se

Q u an to m a io r o

aqui urna expressão denonatural do quo-

A fórmula do decrernento

laga-

!I

15--,   ln x,  X  2

e u m a v ez q u e o s v a lo r es d o s s c no s s ã o i gu a is q u an d o o t e m po  perío do de amor tecim cn to T< 1' . a relação acima fica reduzida para

28

e obtém-se uma equação

pela equação   (2.4-14)

minada   decremento logarítmico que é del1nida como o logaritmo ciente de duas quaisquer r ítrnico é   pois

..)1"= 1 2 = =   I,

O

é   aumcn tado do

,

0.2 ' o,

ü A -, -0, 6

0, 8

  !:.. -_~,Raâo de amortecimento ('tO

1, 0

aproximada

d e {j   como

q u e n ã o t em o n ú m er o

u e c o ns ta n te s

iniciais. A solução para as condições u o- se \ - , 1

r e qu e ri do

p a ra s a ti sf a ze r

iniciais é encontrada

; \s d ua s c o nd iç õ es

pela Eq.   (2.4.16),   fazenT < 1   pelo seu valor  T  J  Substituinuo·se logarítmico se transforma em

=cc

 2njúJ",/l':"-'l,   a expressão

do decremento

que é uma equação exata. A s p a rt es m ó ve is d e m u i to s m e di d or es e lé tr ic o s e i n s tr um e nt o s criticamente, a fim de evitar a ultrapassagem e a oscilação.

s ã o a mo r te c id o s

Quando

A F i g . 2 . 5 -2 m o st ra ' fu n çã o d e \. A medida da taxa· de decréscimo

das oscilações livres é um meio conveniente

d e te rm i na r a q ua n ti da d e d e a mo r te ci m en to amortecimento, maior a taxa de decréscimo. Consideremos

uma vibração

que é indicada graficamente

p re s en te

amortecida

n u m s i st em a .

representada

na' Fig. 2.5-1. ln traduzimos

amplitudes

consecutivas.

u m g r áf ic o

e obtém-se uma equação

d o s va lo r es ,> e x at os

e a pr o xi m ad o s,

aproximada

d e {j   como

para se

Q u an to m a io r o

pela equação   (2.4-14)

aqui urna expressão deno-

minada   decremento logarítmico que é del1nida como o logaritmo ciente de duas quaisquer r ítrnico é   pois

..)1"= 1 2 = =   I,

\' é pequeno,

natural do quo-

A fórmula do decrernento

laga-

!I

15--,   ln x,  X  2

O

e u m a v ez q u e o s v a lo r es d o s s c no s s ã o i gu a is q u an d o o t e m po  perío do de amor tecim cn to T< 1' . a relação acima fica reduzida para

0.2

,

é   aumcn tado do

' o,

ü A -, -0, 6

0, 8

1, 0

  !:.. -_~,Raâo de amortecimento ('tO

28

Exemplo 2.5-1

(j ;;;

Um 's istema

em vibração

com amortecimento

viscoso apresenta

os seguintes

2 7 1C =J...ln 2  =0,693 n n

dados: w =  101b, k  = 3 0 l b/ pol e c = 0,12 Ib/pol pors. Determinaro decremento logadtmico e a razão entre duas amplitudes sucessivas quaisquer.

n C ~ ~   ~693 .

A última Solução:   A freqüência

natural não amortecida

do sistema em radianos por segundo é

!3OX386 y(mk ='I~

de amortecimento

crítico

o

e5 =

  271C~

,Jf - "

A razão entre duas amplitudes

'co

*

consecutivas

o

, .

271 x  0,068 ~ JI -   0,0681"

'"

~ o.   2 -

é

"

~ ou

  0,429

cC

""

~ 8

."

quaisquer é

~ =  c'  =eO.4'9

c.=

---

"" "

C - - !:- -   0,12 -- 00681 logarítmico

na Fig.   2.5-3.

11

c, =  2111(1). =  2   X 1.\8°6 X 34,0 =   1,76 lb/pol/s

De acordo com a Eq.   (2.S-3), o decremento

e está traçada

.

'~4

c, -   1 ,76 --

retangular

"

~ são

-

'

é a de uma hipérbole

~ 5 - --

  e a fração ou razão de amortecimento

Cc

 ° 110

~6 "" 5" o.

/ 0 =   34,0 rad s

(1).  =

O coeficiente

equação

  cc.o

271

~ o

  I,S4

r ;; :

 x:

0,05

'"

-: . :;

t

0,10

0,15

0,20

Razão de amortccimnto =

Exemplo 2.5-2 Mostrar que o decremento

logarítmico

é   dado também pela equação

Exemplo 2.5-3

x e 5 = - I  ln.:-Q 11

X n

onde xn   representa a amplitude após decorridos n   ciclos. Traçar uma CUlva dando o número de ciclos decorridos em função de ~ para que a amplitude diminua de 50 por cento. Solução:   Para duas'CJuaisquer

amplitudes

Xo

= Xl

 Xl

X2

Pode-se escrever a razão   xo/xn

:..:.:...: X2

consecutivas

a razão é

  = ... ~::~

.::.::-: e'S

x"

X3

da forma seguinte

de onde se obtém a equação requerida que é e5

0=

 J...l n Il

.\0

x"

Obtemos da equação acima - a   seguinte relação, a fim de determinar de ciclos decorridos para a redução de S O   por cento na amplitude

30

o número

Mostrar que o decremento logarítmico, no caso de amortecimento pequeno,  pode ser expresso em termos da energia de vibração U   e da energia   t:.U   dissipada em cada ciclo. Solução:   A Fig.   2.S-4   mostra uma vibração amortecida cutivas x  I, x 2. X   3, ...   naseados na definição do decremento

com amplitude logarítrrúco

conse-

Exemplo 2.5-1

2 7 1C =J...ln 2  =0,693 n n

(j ;;;

Um 's istema

em vibração

com amortecimento

viscoso apresenta

os seguintes

dados: w =  101b, k  = 3 0 l b/ pol e c = 0,12 Ib/pol pors. Determinaro decremento logadtmico e a razão entre duas amplitudes sucessivas quaisquer.

n C ~ ~   ~693 .

A última Solução:   A freqüência

natural não amortecida

!3OX386 y(mk ='I~

de amortecimento

crítico

o

.

"" "

*

C - - !:- -   0,12 -- 00681

  271C~

e5 =

A razão entre duas amplitudes

271 x  0,068 ~

'co

,Jf - "

'"

~ o.   2 -

é

"

~ ou

  0,429

cC

JI -   0,0681"

consecutivas

o

, .

logarítmico

""

~ 8

."

quaisquer é

~ =  c'  =eO.4'9

c.=

---

11

c, =  2111(1). =  2   X 1.\8°6 X 34,0 =   1,76 lb/pol/s

De acordo com a Eq.   (2.S-3), o decremento

na Fig.   2.5-3.

~ 5 - --

'~4

c, -   1 ,76 --

e está traçada

"

/ 0 =   34,0 rad s

~ são

-

'

retangular

~6 "" 5" o.

  e a fração ou razão de amortecimento

Cc

 ° 110

é a de uma hipérbole

do sistema em radianos por segundo é

(1).  =

O coeficiente

equação

  cc.o

271

~ o

  I,S4

r ;; :

 x:

0,05

'"

-: . :;

t

0,10

0,15

0,20

Razão de amortccimnto =

Exemplo 2.5-2 Mostrar que o decremento

logarítmico e5

é   dado também pela equação

= - I 

Exemplo 2.5-3

x ln.:-Q

11

onde xn   representa a amplitude após decorridos n   ciclos. Traçar uma CUlva dando o número de ciclos decorridos em função de ~ para que a amplitude diminua de 50 por cento. Solução:   Para duas'CJuaisquer

amplitudes

Xo

= Xl

 Xl

X2

Pode-se escrever a razão   xo/xn

:..:.:...: X2

Mostrar que o decremento logarítmico, no caso de amortecimento pequeno,  pode ser expresso em termos da energia de vibração U   e da energia   t:.U   dissipada em cada ciclo.

X n

consecutivas

a razão é

  = ... ~::~

.::.::-: e'S

Solução:   A Fig.   2.S-4   mostra uma vibração amortecida cutivas x  I, x 2. X   3, ...   naseados na definição do decremento

com amplitude logarítrrúco

conse-

x"

X3

da forma seguinte

de onde se obtém a equação requerida que é e5

0=

 J...l n Il

.\0

x"

Obtemos da equação acima - a   seguinte relação, a fim de determinar de ciclos decorridos para a redução de S O   por cento na amplitude

o número

30

Ó

ln   xllx2' 

tático, o qual é geralmente

escrevemos a relação de amplitudes na forma exponencial  x. l, ~ e-J  x,

oc=

I-

também

o   + o'2-1 - ...

que a freqüência

maior que a for ça do at rito ele

  oscilação é   wjJ.Jk1Iil,

cínét ico.

Pode-se most rar 

que ~ a mesma do sist ema não

amortecido.

A energia de vibração do sistema é aquela conservada na mola no deslocamento máximo, ou

Deste modo, obtemos a seguínte relação para li de pequeno valor   /1U 

U=2ó A Fig. 2.6-1 mostra Coulomb.

o   amortecimento

de Coulomb

re's ulta do deslizamento

de duas sup erfícies

a vibração

livre de um sist ema com am orteciment o

Deve-se notar que as amplitudes

decaem linearmente

de

em função do tempo.

secas.

A força de amortecimento é igual ao produto da força normal e o coeficiente de atrito )1   e é admitido como independente da velocidade, uma vez iniciado o movimento. Visto que o sinal da força de amortecimento é sempre oposto ao da velocidade, a equação diferencial de movimento para cada sinal é   válida apenas para intervalos de meio ciclo. Recorremos

ao princípio da equivalência entre' o trabalho realizado e a variação

da energia cinética,

para determinar

o decréscimo

meio ciclo a partir da posição extrema,

da amplitude.

com velocidade

Escolhendo

um

igual a zero e a amplitude

igual a X"    a variação na energia cinética é zero e o trabalho realizado sobre m é também nulo.

As medidas de massa e rigidez são necessári~s para os cálculos da freqüência natural, nos sistemas de um grau de liberdade. Pode-se efet uar o cálculo da massa ef et iva, utilizando-se como referência qualquer pont o adequado do sist ema. Entretanto, deve-se determinar também a rigidez para est e pont o. Rigidez é   definida como a força necess:iria para prodúzir da. Se x   é o deslocamento

uma unidade de deslocamento

especificado

na direção especifica-

sob a força l~   a rigidez é determinada

pela

relação.

F l i .. = },;

Flexibilidade

é   a recíproca

da rigidez. É designada pela letra "a" e  é   definida

 pela equa ção onde X_ I

é a amplitude após o meio ciclo. como indicado na Fig. 2.6-1.

esta norma para o próximo meio ciclo, será encon trado ou tro decréscimo tude no valor de constante

Repetindo de ampli-

2F d lk. de modo que o decréscimo de amplitude por ciclo é uma

igual a

Xl -

o   movimento ! :J .,   em cuja posição

X2   =4F  --"

cessará, entretanto.

â   força

em

k 

i para uma

zero. O

quando a amplitude

da mola é insuficiente

Em outra seção mais adiante, precisaremos determinar a rigidez, considerados dois pontos i e i   do sistema .. A flexibilidade aij é   então definida como a deflexão em i prod uzid a por uma unid ade de forç a em j.'    A rigidez kij é   a força necessária

se tornar menor que

para superar a força do atrito es-

unid ade

de defle xão

k  e o "a"   das Eqs. (2.7-1)

quantidades.

em

i,   com tódas as outras deflexões iguais a

e' (2.7~2)

são os leu e aU   em termos dessas

A tabc!a no final dest a seção apresenta

rios tipos de molas.

os valores de rigidez par a vá-

ln   xllx2' 

Ó

tático, o qual é geralmente

escrevemos a relação de amplitudes na forma exponencial  x. l, ~ e-J  x,

oc=

I-

também

o   + o'2-1 - ...

que a freqüência

maior que a for ça do at rito ele

  oscilação é   wjJ.Jk1Iil,

cínét ico.

Pode-se most rar 

que ~ a mesma do sist ema não

amortecido.

A energia de vibração do sistema é aquela conservada na mola no deslocamento máximo, ou

Deste modo, obtemos a seguínte relação para li de pequeno valor   /1U 

U=2ó A Fig. 2.6-1 mostra Coulomb.

o   amortecimento

de Coulomb

re's ulta do deslizamento

de duas sup erfícies

a vibração

livre de um sist ema com am orteciment o

Deve-se notar que as amplitudes

decaem linearmente

de

em função do tempo.

secas.

A força de amortecimento é igual ao produto da força normal e o coeficiente de atrito )1   e é admitido como independente da velocidade, uma vez iniciado o movimento. Visto que o sinal da força de amortecimento é sempre oposto ao da velocidade, a equação diferencial de movimento para cada sinal é   válida apenas para intervalos de meio ciclo. Recorremos

ao princípio da equivalência entre' o trabalho realizado e a variação

da energia cinética,

para determinar

o decréscimo

meio ciclo a partir da posição extrema,

da amplitude.

com velocidade

Escolhendo

um

igual a zero e a amplitude

igual a X"    a variação na energia cinética é zero e o trabalho realizado sobre m é também nulo.

As medidas de massa e rigidez são necessári~s para os cálculos da freqüência natural, nos sistemas de um grau de liberdade. Pode-se efet uar o cálculo da massa ef et iva, utilizando-se como referência qualquer pont o adequado do sist ema. Entretanto, deve-se determinar também a rigidez para est e pont o. Rigidez é   definida como a força necess:iria para prodúzir da. Se x   é o deslocamento

uma unidade de deslocamento

especificado

na direção especifica-

sob a força l~   a rigidez é determinada

pela

relação.

F l i .. = },;

Flexibilidade

é   a recíproca

da rigidez. É designada pela letra "a" e  é   definida

 pela equa ção onde X_ I

é a amplitude após o meio ciclo. como indicado na Fig. 2.6-1.

esta norma para o próximo meio ciclo, será encon trado ou tro decréscimo tude no valor de constante

de ampli-

2F d lk. de modo que o decréscimo de amplitude por ciclo é uma

Em outra seção mais adiante, precisaremos determinar a rigidez, considerados dois pontos i e i   do sistema .. A flexibilidade aij é   então definida como a deflexão em i prod uzid a por uma unid ade de forç a em j.'    A rigidez kij é   a força necessária

igual a

X2   =4F  --"

Xl -

o   movimento ! :J .,   em cuja posição

Exemplo  

Repetindo

cessará, entretanto.

â   força

em

k 

quando a amplitude

da mola é insuficiente

de defle xão

em

i,   com tódas as outras deflexões iguais a

e' (2.7~2)

são os leu e aU   em termos dessas

A tabc!a no final dest a seção apresenta

os valores de rigidez par a vá-

rios tipos de molas.

para superar a força do atrito es-

~

a rigidez das molas no sistema indicado na Fig. 2.7-1.

unid ade

k  e o "a"   das Eqs. (2.7-1)

quantidades.

se tornar menor que

2.7-1

Determinar

i para uma

zero. O

k, '

k,

kc~

..---_

1/k1

k,

ir

~

k,

=k,

1

 +   l/k,

 +  k,

EI 

k= "

GJ 

k 

=-I

-r}(}/}/J!}[t~=]~ =  6 ~ ~ f :3  = k 

n

 número de espíras

-,
~ ~I

Sistema (a): Aplicando-se a força F    na extremidade in!t'rior da segunda m ol a c ad a m ol a e st ic ar á d e   F/k, e F/k 2 , respectivamente, e o deslocamento total'n a extremidade inferior  é x = F/k l + F/k 2 • De acordo com a Eq. (2.7-1)a

Solução:

rigidez é en tão

r-T

48Ef 

k = -

I

CT--1

~  ~ I

;t:::"i-j J~

F k k, k =-r-F' = k , ~ 1 -k 2

-+ k, k

f~

'I

L. c

.

192 Ef  k=  -1-'768Ef 

k = 7/'

~

2

F o   aplicada em O divide-se em   Foú/(a + b) e   Foa/(a + b), As deflexões de I e 2 são   Fob/(a +   b)k, e   Foa/(a + b)k 1 , e a

Sistema (b): A força respectivamente. do ponto O  é

b  xo=F o   { (a+b)k l

a

[ a(a+b)k 

-I-(a+b)

2

b

-(a+b)k l

( a '  b 2 ) = (a +ob)' k, -\- k, F 

II ••. 2-1 Uma mola leve alonga de 0,31 paI quando ligada ao peso de uma libra. Determinar a freqüência natural do sistema. ,,2-2 Em um sistema mola-massa

k  I,   m t em u m a f r e qü ê nc ia

n a tu r al d e fi' 

Se uma

segunda nlola é adicionada .em série à   primeira, a freqüência natural baixa para 1(2 fi'   Determinar  k 2 em função de 1 < 1 '

F

(a -I-

b)'

k  °  =  x  °  = - ( -a ~ 2 - - b ~ 'c - ) °

Se k l  = k 2

34

=

k 

e

a

7( +7( ,

2-3 Um peso de 10 Ib.ligado

I

= b.   a equação acima se reduz a k o

à   extremidade inferior de uma molá cuja extrcI~lidade

superior  é   fixa, vibra com um período natural de 0,45 s. Determinar o período n a tu r al q u an do u m p e so d e 5 l b é li g ad o a o m ei o d a m ol a, c o m a m b a s a s ex tremidades fiXas_  2k

35

Exemplo  

2.7-1

Determinar

~

a rigidez das molas no sistema indicado na Fig. 2.7-1.

k, '

k,

kc~

..---_

1/k1

k,

ir

~

k,

=k,

1

 +   l/k,

 +  k,

EI 

k= "

GJ 

k 

=-I

-r}(}/}/J!}[t~=]~ =  6 ~ ~ f :3  = k 

n

 número de espíras

-,
~ ~I

Sistema (a): Aplicando-se a força F    na extremidade in!t'rior da segunda m ol a c ad a m ol a e st ic ar á d e   F/k, e F/k 2 , respectivamente, e o deslocamento total'n a extremidade inferior  é x = F/k l + F/k 2 • De acordo com a Eq. (2.7-1)a

Solução:

rigidez é en tão

r-T

48Ef 

k = -

I

CT--1

~  ~ I

;t:::"i-j J~

F

k k, k =-r-F' = k , ~ 1 -k 2

-+ k, k

f~

'I

L. c

.

192 Ef  k=  -1-'768Ef 

k = 7/'

~

2

F o   aplicada em O divide-se em   Foú/(a + b) e   Foa/(a + b), As deflexões de I e 2 são   Fob/(a +   b)k, e   Foa/(a + b)k 1 , e a

Sistema (b): A força respectivamente. do ponto O  é

b  xo=F o   { (a+b)k l

= (a

F 

a

[ a(a+b)k 

-I-(a+b)

b

-(a+b)k l

2

II

( a '  b 2 )

+ob)' k, -\- k,

••. 2-1 Uma mola leve alonga de 0,31 paI quando ligada ao peso de uma libra. Determinar a freqüência natural do sistema. ,,2-2 Em um sistema mola-massa

k  I,   m t em u m a f r e qü ê nc ia

n a tu r al d e fi' 

Se uma

segunda nlola é adicionada .em série à   primeira, a freqüência natural baixa para 1(2 fi'   Determinar  k 2 em função de 1 < 1 '

F

b)'

(a -I-

k  °  =  x  °  = - ( -a ~ 2 - - b ~ 'c - ) °

Se k l  = k 2

=

k  e

a

7( +7( ,

2-3 Um peso de 10 Ib.ligado

à   extremidade inferior de uma molá cuja extrcI~lidade

superior  é   fixa, vibra com um período natural de 0,45 s. Determinar o período

I

n a tu r al q u an do u m p e so d e 5 l b é li g ad o a o m ei o d a m ol a, c o m a m b a s a s ex tremidades fiXas_ 

= b.   a equação acima se reduz a k o

2k

35

34

Um peso desconheddo de IV Ib, ligado à extremidade de uma mola desconhecida k,   tem uma freqüência natural de 94 cpm. Aumentando-se de uma Ib o pesO de W .   a freqüência natural baixa para 76,7 cpm. Determinar o peso desconhecido IVlb e a constante k   Ib/pol da mola. Um peso w 1   suspenso por uma mola k    está em equil íbrio est<ítico. Um segundo peso w2 cai da altura h   e junta-se a \VI   sem ressaltar, como indicado na Fig.   1'.2-5.   Determinar o movimento subseqüente.

· i

k/h  _ ,_ ,- ;-;

h

 _1_

.;%

W :z

IV,

2-6 Tendo em vista o pêndulo torcional da Fig. 2.2-1, explicar como a freqüência natural depende de: (a) comprimento do arame, (b) diâmetro do arame, (c) material do arame, (d) do peso suspenso e (e) raio de rotação do peso suspenso. 2·7 Um volante pesando 70 Ib, -apoiado numa aresta pela face interna do aro, conforme a Fig. 1'.2-7, oscila como um pêndulo. Determinar o momento de inércia do volante em relação ao seu eixo geométrico, para o caso do período de oscilação medido ter sido 1,22 s.

2-9 Um volante de peso JiI é suspenso horizontalmente por três arames de seis  pés de comprimento cada, igualmente espaçados em volta de uma circunferência de 10 pol de raio. Determinar seu raio de rotação, sabendo-se que é de 2,17 s o per iodo de oscilação em torno de um eixo vertical passando pelo cen. tro da roda. 2-10

Um conjunto rod" e eixo, de momento de inércia J,   é inclinado de um ângulo em relação il vertical. como se vê na Fig. 1'.2-10. Determinar a freqüência de oscilação resultante de um pequeno peso com li'   libras, situado excentri. camente à  dislància a   pbl do eixo. C<

- - - T - I . I

I

I

'

12" 16"

I

2-8 Uma biela com peso de 4.80 Ib oscila 53 vezes em um minuto. quando suspensa na forma indicada na Fig.  r.2-S.   Determinar seu momento de inércia em relação ao seu centro de gravidade, que e,tá situado a 10,0 pol do ponto de suspensão.

2-11 Um cilindro de massa m c com o momento de inércia da massa Jo   rola livremente   ~('1l1 deslizar, mas é reCreado pela mola k.   como indicado na Fif'. ,. '·tcrmin~r a freqüência nalural de oscilação.

Um peso desconheddo de IV Ib, ligado à extremidade de uma mola desconhecida k,   tem uma freqüência natural de 94 cpm. Aumentando-se de uma Ib o pesO de W .   a freqüência natural baixa para 76,7 cpm. Determinar o peso desconhecido IVlb e a constante k   Ib/pol da mola. Um peso w 1   suspenso por uma mola k    está em equil íbrio est<ítico. Um segundo peso w2 cai da altura h   e junta-se a \VI   sem ressaltar, como indicado na Fig.   1'.2-5.   Determinar o movimento subseqüente.

· i

k/h  _ ,_ ,- ;-;

h

 _1_

.;%

W :z

IV,

2-9 Um volante de peso JiI é suspenso horizontalmente por três arames de seis  pés de comprimento cada, igualmente espaçados em volta de uma circunferência de 10 pol de raio. Determinar seu raio de rotação, sabendo-se que é de 2,17 s o per iodo de oscilação em torno de um eixo vertical passando pelo cen. tro da roda.

2-6 Tendo em vista o pêndulo torcional da Fig. 2.2-1, explicar como a freqüência natural depende de: (a) comprimento do arame, (b) diâmetro do arame, (c) material do arame, (d) do peso suspenso e (e) raio de rotação do peso suspenso. 2·7 Um volante pesando 70 Ib, -apoiado numa aresta pela face interna do aro, conforme a Fig. 1'.2-7, oscila como um pêndulo. Determinar o momento de inércia do volante em relação ao seu eixo geométrico, para o caso do período de oscilação medido ter sido 1,22 s.

2-10

Um conjunto rod" e eixo, de momento de inércia J,   é inclinado de um ângulo em relação il vertical. como se vê na Fig. 1'.2-10. Determinar a freqüência de oscilação resultante de um pequeno peso com li'   libras, situado excentri. camente à  dislància a   pbl do eixo. C<

- - - T - I . I

I

I

'

12" 16"

I

2-8 Uma biela com peso de 4.80 Ib oscila 53 vezes em um minuto. quando suspensa na forma indicada na Fig.  r.2-S.   Determinar seu momento de inércia em relação ao seu centro de gravidade, que e,tá situado a 10,0 pol do ponto de suspensão.

2-11 Um cilindro de massa m c com o momento de inércia da massa Jo   rola livremente   ~('1l1 deslizar, mas é reCreado pela mola k.   como indicado na Fif'. ,. '·tcrmin~r a freqüência nalural de oscilação.

-

-

"" ' :: " ~ - - l ~-""""

2-12   Um cronógrafo. é para ser acionado por um pêndulo de 2 segundos, de comprimento L,   representado na Fig. P.2-12. Um arame de platina ligado ao disco do pêndulo completa o circuito elétrico de regulação, at ravés lima gota de mercúrio, quando ele passa pelo ponto mais baixo. Pergu[lta-s~: (a) Qual deve ser o comprimento do pêndulo? (b) Se o arame de platina está em contacto com o mercúrio numa extensão de um oitavo de polegada da oscilação, qual deve ser a amplitude 00'  a fim de limitar a 0,01 s a duração do contacto? (Admitir que a velocidade é constante durante o contacto, e que a amplitude

2-14

Uma placa fina retangular é arqueada, formando um cilindro semicircular  como representado na Fig. P.2-14. Determinar o seu período de oscilação, s~ se permite que ele balance sobre uma superfície horizontal.

2-15

Uma barra uniforme de compnmento. L   e pesp' W  é  suspensa simetricamente  por dois fios, con forme a Fig. P.2-  J 5. Estabelecer a equação diferencial de movimento, para pequenas oscilações angulares da barra, em volta do eixo vertical   O-O,  e determinar o seu per íodo.

de oscilação é pequena.)

Uma barra uniforme de comprimento L   é suspensa na posição horizontal  por dois fios verticais do mesmo comprimento, presos às extremidade;. Se de oscilação rIO   plano da barra e~dos fios, e se t2   é o período ti é o período 2-13 Um hidrômetro Dutuador, indicado na Fig. 1'.2-13, é   utilizado para medir o  pcso específico dos Iíquidos. O seu peso é de 0,082 lb e o diàmetro da parte cilíndrica, que se estende acima da superfície, é de 1/4 po1. Determinar o período de vibração quando se deixa o aparelho balançar para cima e para baixo, em um fluido de peso espec ífico 1,20.

de oscilação em vol ta de uma reta vertical que passa pelo' centro de gravidade da barra, mostrar que o raio de rotação da barra em volta do' centro de gravidade é dado pela expressão .

(~H-

k =

3\

-

-

"" ' :: " ~ - - l ~-""""

2-12   Um cronógrafo. é para ser acionado por um pêndulo de 2 segundos, de comprimento L,   representado na Fig. P.2-12. Um arame de platina ligado ao disco do pêndulo completa o circuito elétrico de regulação, at ravés lima gota de mercúrio, quando ele passa pelo ponto mais baixo. Pergu[lta-s~: (a) Qual deve ser o comprimento do pêndulo? (b) Se o arame de platina está em contacto com o mercúrio numa extensão de um oitavo de polegada da oscilação, qual deve ser a amplitude 00'  a fim de limitar a 0,01 s a duração do contacto? (Admitir que a velocidade é constante durante o contacto, e que a amplitude

2-14

Uma placa fina retangular é arqueada, formando um cilindro semicircular  como representado na Fig. P.2-14. Determinar o seu período de oscilação, s~ se permite que ele balance sobre uma superfície horizontal.

2-15

Uma barra uniforme de compnmento. L   e pesp' W  é  suspensa simetricamente  por dois fios, con forme a Fig. P.2-  J 5. Estabelecer a equação diferencial de movimento, para pequenas oscilações angulares da barra, em volta do eixo vertical   O-O,  e determinar o seu per íodo.

de oscilação é pequena.)

Uma barra uniforme de comprimento L   é suspensa na posição horizontal  por dois fios verticais do mesmo comprimento, presos às extremidade;. Se de oscilação rIO   plano da barra e~dos fios, e se t2   é o período ti é o período 2-13 Um hidrômetro Dutuador, indicado na Fig. 1'.2-13, é   utilizado para medir o  pcso específico dos Iíquidos. O seu peso é de 0,082 lb e o diàmetro da parte cilíndrica, que se estende acima da superfície, é de 1/4 po1. Determinar o período de vibração quando se deixa o aparelho balançar para cima e para baixo,

de oscilação em vol ta de uma reta vertical que passa pelo' centro de gravidade da barra, mostrar que o raio de rotação da barra em volta do' centro de gravidade é dado pela expressão .

(~H-

k =

em um fluido de peso espec ífico 1,20.

2 -1 7 U m a b a r ra u n if o rm e ,

c o m o r a i o d e r ot aç ã o

vidade, é suspensa horizontalmente

k    em volta do seu centro de gra-

por dois fios verticais de comprimento

a e b   d o c e n tr o d a m a ss a. P r ov a r q u e a b a r ra o s ci la rá e m 111/»   Y/"fIi,.ul'I'II~   J);I~,~  pt:1l) t;l;nl(l/ IJ~   rn:',\iJ, ~ t1durnin:a ~   frqUi;n-

h,   às distâncias '1011#   I)!I

3\

2-21 Determinar a massa efetiva do motor de foguete representado ser adicionada ;l massa m  I do atuador.

na Fig. P.2-2 I, a

tia de oscilação. 2 - 18 U m e ix o d e a ç o, d e 5 0 p a I d e c o m p ri m en t o d e 1 - 1 /2 p a i d e d i â me tr o , é u sa d o c o mo u m a m o la d e t or çã o p a ra a s ro d as d e u m a u to m óv el dicado na Fig. P.2-18.

Determinar

a freqüência

l e ve , c o nf or m e

i n-

natural do sistema, consideran-

do que o conjunto roda e pneu pesa 38 lb e que o seu raio de rotação em volta do seu eixo é   de 9,0 1 '0 1 . Discutir a diferença na freqüência natural, estando a roda travada ou destravada do braço.

2 - 22

U m a b a rr a c an t il ev er

u n if o rm e

v a i se r s u bs ti tu íd a

p e la s ua m a s s a e f et iv a , n a

s ua e x t re m id a de l iv re . S u po r u m a c u rv a d e d e f1 e xã o e st át ic a p a ra u m a c a rg a unifom1C. Calcular a massa efetiva. 2 -2 3 D e te rm i na r o , m o me n t o d e i n é rc ia d a m a ss a e fe ti va p a ra o e i xo representado na Fig. P.2-23. .

2 -1 9 T a câ m et ro

é u m i n s tr u me n to

d o t i po f re q üe n cí m et ro

d e lâ m in a s,

I , n o s is te m a

f or m ad o

de pequenas lâminas de aço em balanço, com pesos fixados nas extremidades. O tacâmetro c ia n a t ur al tamanho

vibrará quando a freqüência d e u m a d a s l âm i na s,

deve ser o peso colocado

de vibração corresponder 

i nd i ca n do

d e ss e m o do a f re qü ê nc ia .

na extremidade

à   freqüênD e qu e

de uma lâmina, constituída

d e u m a m o la d e a ç o c o m 0 ,0 4 p a i d e e s pe ss u ra , 0 ,2 5 p a I d e la rg u ra e 3, 50 p aI de comprimento, para uma freqüência natural de 20 cps? 2 -2 0

D e te rm i na r

a m as sa e fe ti v a n o p o n to

m   e comprimento Fig. P.2-20.

O

d e um a h a s te u n if or m e

I,   pivotada a uma distância .

d e ma s sa

nl   d e O , c o m o i nd ic a do

na

2 -2 4

D et er mi na r Fig. P.2-24.

em

f un çã o

d e ;i:   a e ne rg ia

c in ét ic a

d o s is te ma

i nd ic ad o

na