UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA FACULTAD DE INGENIERÍA ÁREA DEPARTAMENTAL ELECTROTECNIA
TEORÍA de CIRCUITOS I Año 2011 Clase XII
Ing. Eduardo Ariel Ponzano Jefe de Trabajos Prácticos
POLIARMÓNICAS Campo de Aplicación: •Hasta ahora estudiamos FEM y corrientes alternas sinusoidales en circuitos lineales con parámetros R, L y C concentrados, tanto funcionando en régimen permanente como transitorio. •Analizaremos hoy herramientas para resolver circuitos que: a) Son excitados por fuentes periódicas no sinusoidales, y/o b) Contienen componentes pasivos no lineales (Por ejemplo, componentes electrónicos, arcos eléctricos, inductores con núcleo de hierro, etc.).
•Mediante el desarrollo en serie trigonométrica de Fourier, es posible representar cualquier función periódica no sinusoidal integrable en su período, mediante la sumatoria de un término constante más una sucesión (Teóricamente infinita) de funciones sinusoidales cuyas frecuencias son múltiplos enteros (Armónicas) de la correspondiente al primer término de ese tipo, denominada frecuencia fundamental. •Como se verá luego en algunos ejemplos prácticos, usualmente unos pocos términos permiten una representación bastante cercana a la realidad de la función periódica original. •Por esa razón al capítulo del análisis de circuitos aplicando estas herramientas, se lo denomina usualmente “poliarmónicas”.
SERIES DE FOURIER Forma trigonométrica de la serie de Fourier:
o bien:
Ak
ϕk donde:
ak
bk
En las expresiones anteriores, k toma valores de números naturales (1, 2, 3, 4, …) y dan lugar, en la sumatoria de la serie de Fourier, a los términos que se denominan componente fundamental o primera armónica cuando k=1 (Tiene igual pulsación que la f(t) original), segunda armónica cuando k=2 , tercera armónica cuando k=3 y así sucesivamente.
Para poder calcular los coeficientes ak y bk es necesario que f(t) sea integrable a lo largo de todo su período T (Debe tener en T un número finito de máximos y mínimos, y ser contínua o tener un número finito de discontinuidades en dicho intervalo).
PARTICULARIDADES DE LAS f(t) La f(t) pueden presentar características particulares. Identificarlas previamente evita la realización de algunos cálculos, de acuerdo a que: •Sean pares; en ese caso f(t) es simétrica respecto del eje de ordenadas, es decir f(t) = f(-t). En tales casos, la serie carece de términos en seno, o sea bk = 0 para todo k > 1. • Sean impares; en ese caso f(t) es simétrica respecto del origen de coordenadas, es decir f(t) = -f(-t). En tales casos, la serie carece de términos en coseno, o sea ak = 0 para todo k > 1.
•Tengan simetría de media onda; en ese caso f(t) es simétrica respecto del eje de abcisas. En tales casos, la serie carece de armónicas pares y de término constante , o sea a0 = 0 y ak = bk = 0 para todo k par.
•Tengan simetría de cuarto de onda; si f(t) tiene simetría de media onda y además es par o impar, se dice que f(t) tiene simetría de cuarto de onda par (a0 = bk = 0 y ak ≠ 0 sólo si k impar) o impar (a0 = ak = 0 y bk ≠ 0 sólo si k impar) respectivamente. f(t)
f(t)
f(t) t
t
t
f(t) par
f(t) impar
Simetría media onda (y de cuarto de onda)
COEFICIENTES Y SIMETRÍAS
RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS Una fuente de FEM poliarmónica se puede representar , de acuerdo a la serie trigonométrica de Fourier, como la suma de una componente constante (continua) y de n (teóricamente n→∞ ) fuentes sinusoidales puras con frecuencias, múltiplos naturales de la fundamental (ω, 2ω, 3ω, 4ω, …), como expresa la ecuación siguiente:
donde:
e(t)
-
e5(t)
-
+
-
e4(t)
+
-
e3(t)
+
-
e2(t)
+
e1(t)
+
-
+
E0
siendo k= 1,2,3,4, …
Si la fuente poliarmónica e(t) alimenta un circuito serie RLC con componentes lineales, aparecerá en régimen permanente una corriente i(t) también poliarmónica, que no puede calcularse aplicando al conjunto el método fasorial (El método fasorial sólo es aplicable para funciones sinusoidales puras). Aplicando entonces valores instantáneos:
RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS
siendo:
y:
donde:
con k= 1,2,3,4, … A través de este ejemplo hemos visto que el proceso de resolución pasa por determinar la respuesta instantánea en régimen permanente del circuito a cada una de las fuentes (Contínua y sinusoidales) en las que se descompone la excitación poliarmónica, y luego sumar las respuestas instantáneas de régimen permanente individuales para hallar la respuesta poliarmónica en régimen permanente.
VALOR EFICAZ DE UNA POLIARMÓNICA El valor eficaz de una FEM poliarmónica de período T viene dado por la expresión:
∞
Eef = E + ∑ En2ef 2 0
n =1
Análogamente, para una intensidad de corriente poliarmónica de período T resulta:
∞
I ef = I + ∑ I n2ef 2 0
n =1
POTENCIAS EN POLIARMÓNICAS El valor de la potencia instantánea en poliarmónicas viene dado por la expresión:
Operando, resulta como expresión de la potencia activa la siguiente:
Análogamente, para la potencia reactiva:
Observamos que:
POTENCIAS EN POLIARMÓNICAS En poliarmónicas se verifica que:
Siendo D la denominada potencia de deformación, medida en [VAD]:
Finalmente, definiremos como factor de potencia al calculado mediante la expresión:
Podemos pues en este caso hablar de un paralelepípedo de potencia: Q
P
S
D
CUESTIONARIO a) ¿Para analizar que tipos de circuitos se aplica el desarrollo en serie de Fourier ? b) ¿Cuál es el efecto de las condiciones de simetría de una onda poliarmónica sobre los coeficientes de la serie de Fourier? c) ¿Cómo se calcula el valor eficaz de una onda poliarmónica? d) ¿Qué expresiones matemáticas permiten calcular las potencias activa, reactiva, de deformación y aparente?
Resolución: La corriente por el resistor R, por el capacitor C y por la fuente serán respectivamente: IR =
U AB R + jω L
IC =
1 I f = I R + I C = U AB × + jω C R + jω L
U AB 1 jω C
Luego:
U AB R + jω L
1 IR = = 2 If 1 − ω LC + jω CR 1 + jω C U AB × + ω R j L
ω CR IR 1 − ω 2 LC − = j 2 2 2 2 If 1 − ω 2 LC + (ω CR ) 1 − ω 2 LC + (ω CR )
(
(
)
)
2
IR 1 − ω 2 LC ω CR = + 2 2 2 2 2 2 If 1 − ω LC + (ω CR ) 1 − ω LC + (ω CR )
(
)
(
ω CR 2 1 − ω LC
ϕ (ω ) = arctan −
)
2
Resolución: Supongamos ahora que alimentamos el circuito con la fuente if ( t) = 2 + 1 sen(314 t) + 0,5 sen(628 t) [A]. Haciendo que las fuentes actúen de a una tenemos: iR (t )ω =0 = i f (t )ω =0 = 2[A]
(R + j314 L )×
iR (t )ω =314
1 j 314 C i f (t )ω =3.14 × 1 R + j 314 L − 314 C = R + j 314 L
(R + j 628 L )×
iR (t )ω =628
1 j 628 C i f (t )ω =3.14 × 1 R + j 628 L − 628 C = R + j 628 L
iR (t )ω =0 = iR (t )ω =0 + iR (t )ω =314 + iR (t )ω =628 [A]
Resolución: Las impedancias y ángulos de fase serán para la frecuencia fundamental y para la tercer y quinta armónica respectivamente las siguientes:
Las componentes de las caídas de tensión en la carga (iguales a la FEM del generador) serán:
Reemplazando valores puede comprobarse si alguna de las tres armónicas de tensión y corriente están en fase entre sí.
Es todo …. Gracias y a trabajar
