Rosnani Ginting, Sistem Produksi (Yogyakarta: Graha Ilmu, 2007), hal. 31-34.
Sukaria Sinulingga. Perencanaan dan pengendalian Produksi. (Yogyakarta: Graha Ilmu, 2013) hal. 111-113 .
Rosnani Ginting, opcit, hal. 35-37; 38-40.
H. Murdifin Haming. Manajemen Produksi Modern Operasi Manufaktur dan Jasa. Edisi Pertama. (Jakarta: Bumi Aksara), hal.123.
Sukaria Sinulingga. Sukaria Sinulingga. Perencanaan dan pengendalian Produksi. (Yogyakarta: Graha Ilmu, 2013) hal. 113 .
Ibid, hal. 114-116.
H. Murdifin Haming. Opcit, hal.124,139.
Rosnani Ginting, SistemProduksi (Yogyakarta: Graha Ilmu, 2007), hal. 43-44.
Ibid, hal. 46-58.
Rival Zunaidhi. Aplikasi Peramalan Penjualan Menggunakan Metode Regresi Linier. Jurusan
Teknik Informatika, Fakultas Teknologi Informasi, UPN "Veteran" Jawa Timur. Vol VII. No. 3.
http://daps.bps.go.id/file_artikel/77/arima.pdf (diakses pada tanggal 10 Juli 2015, pukul 10:15 WIB).
Rosnani Ginting. Opcit. hal. 58-62.
http://winita.staff.mipa.uns.ac.id/files/2011/09/pemilihan-teknik-peramalan.pdf. diakses pada tanggal 10 Juli 2015, pukul 10:15 WIB).
Ronald E. Walpole, Pengantar Statistika (Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama, 1995), hal. 288-289.
Ibid., hal. 298-299.
Ronald E. Walpole, Opcit, hal. 382.
https://googledrive.com/host/...3SE5/.../doc.docx (dikases pada tanggal 10 Juli, pukul 22:00 WIB).
https://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear (diakses pada tanggal 10 Juli 2015 pukul 15:00 WIB).
https://id.wikipedia.org/wiki/Eliminasi_Gauss-Jordan (diakses pada tanggal 10 Juli 2015 pukul 15:00 WIB).
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1. Pengertian Peramalan (Forecasting)
Peramalan adalah pemikiran terhadap suatu besaran, misalnya permintaan terhadap satu atau beberapa produk pada periode yang akan datang. Pada hakekatnya peramalan hanya merupakan suatu perkiraan (guess), tetapi dengan menggunakan teknik-teknik tertentu, maka peramalan menjadi lebih sekedar perkiraan. Peramalan dapat dikatakan perkiraan yang ilmiah (educated guess).Setiap pengambilan keputusan yang menyangkut keadaan di masa yang akan datang, maka pasati ada peramalan yang melandasi pengambilan keputusuan tersebut.
2.2. Fungsi dan Tujuan Peramalan (Forecasting)
Dalam kegiatan produksi, peramalan dilakukan untuk menentukan jumlah permintaan terhadap suatu produk dan merupakan langkah awal dari proses perencanaan dan pengendalian produksi. Tujuan peramalan dalam kegiatan produksi adlaah unutk meredam ketidakpastian, sehingga diperoleh suatu perkiraan yang mendekati keadaan yang sebenarnya.
Tujuan peramalan dilihat dengan waktu terdiri atas:
Jangka pendek (Short Term)
Menentukan kuantitas dan waktu dari item dijadikan produksi. Biasanya bersifat harian ataupun mingguan dan ditentukan oleh Low Management.
Jangka Menengah (Medium Term)
Menentukan kuantitas dan waktu dari kapasitas produksi. Biasanya bersifat bulanan ataupun kuartal dan ditentukan oleh Middle Management.
Jangka Panjang (Long Term)
Merencanakan kuantitas dan waktu dari fasilitas produksi. Biasanya bersifat tahunan, 5 tahunan, 10 tahunan, ataupun 20 tahun dan ditentukan oleh Top Management.
2.3. Karakteristik Peramalan yang Baik
Peramalan yang baik mempunyai beberapa kriteria yang penting, antara lain akurasi, biaya, dan kemudahan. Penjelasan dari kriteria-kriteria tersebut adalah sebagai berikut:
Akurasi
Akurasi dari suatu peramalan diukur dengan hasil kebiasaan dan konsistensi peramalan tersebut. Hasil peramalan dikatakan bias bila peramalan tersebut terlalu tinggi atau telalu rendah dibanding dengan kenyataan yang sebenarnya terjadi. Hasil peramalan dikatakan konsisten jika besarnya kesalahan peramalan relatif kecil. Peramalan yang terlalu rendah akan mengakibatkan kekurangan persediaan sehingga permintaan konsumen tidak dapat dipenuhi segera, akibatnya perusahaan kemungkinan kehilangan pelanggan dan keuntungan penjualan. Peramalan yang terlalu tinggi akan mengakibatkan terjadinya penumpukan barang / persediaan, sehingga banyak modal tersia-siakan. Keakuratan hasil peramalan berperan dalam menyeimbangkan persediaan ideal.
Biaya
Biaya yang diperlukan dalam pembuatan suatu peramalan tergantung jumlah item yang diramalkan, lamanya periode peramalan, dan metode peramalan yang digunakan. Pemilihan metode peramalan harus sesuai dengan dana yang tersedia dan tingkat akurasi yang ingin didapat, misalnya item-item yang penting akan diramalkan dengan metode yang sederhana dan murah. Prinsip ini merupakan adopsi dari hukum Pareto (Analisa ABC).
Kemudahan
Penggunaan metode peramalan yang sederhana, mudah dibuat, dan mudah diaplikasikan akan memberikan keuntungan bagi perusahaan. Adalah percuma memakai metode yang canggih tetapi tidak dapat diaplikasikan pada sistem perusahaan karena keterbatasan dana, sumber daya manusia, maupun peralatan teknologi.
Ketelitian
Sasaran pertama dalam peramalan permintaan ialah mendapatkan hasil peramalan dengan tingkat akurasi yang tinggi. Ada dua ukuran yang digunakan dalam mengevaluasi akurasi peramalan yaitu penyimpangan (bias) dan konsistensi (consistency). Penyimpangan terjadi apabila hasil peramalan memperlihatkan secara terus-menerus angka yang tinggi atau rendah. Konsistensi berkaitan dengan ukuran atau besarnya error.
Respon
Sistem peramalan haruslah stabil dalam arti hasil peramalan tidak memperlihatkan fluktuasi yang bersifat liar karena faktor random yang berlebihan. Pada pihak lain, apabila tingkat permintaan yang sebenarnya berubah maka peramalan juga harus menunjukkan hasil peramalan yang berubah.
Kesederhanaan
Metode peramalan yang lebih sederhana selalu lebih diinginkan dibandingkan dengan metode yang rumit karena akan lebih mudah dirancang, digunakan, dan dipahami, Apabila kesulitan terjadi dengan penggunaan metode yang sederhana maka akan lebih mudah menelusuri masalah yang terkait serta melakukan perbaikannnya. Namun demikian, pilihan yang terbaik ialah harus sesuai dengan sasaran penggunaannya.
2.4. Prinsip-Prinsip Peramalan
Ada lima prinsip peramalan yang snagat perlu diperhatikan untuk mendapatkan hasil peramalan yang baik yaitu:
Peramalan selalu mengandung eror. Hampir tidak pernah ditemui bahwa hasil peramalan persis seperti kenyataan di lapangan. Peramalan mengurangi faktor ketidakpastian, tetapi tidak pernah mampu untuk menghilangkannya.Para pengguna atau pelaksana peramalan harus benar-benar memahami situasi ini.
Peramalan harus mencakup ukuran dari error. Karena peramalan selalu mengandung error maka para pengguna perlu mengetahui besarnya eror yang terkandung. Besarnya error dapat dijelaskan dalam bentuk kisaran sekitar hasil peramalan baik dalam unit atau presentase.
Peramalan item yang dikelompokkan dalam famili selalu lebih akurat dibandingkan dengan peramalan dalam item per item. Jika famili dari produk sebagai sebuah kesatuan diramalkan maka presentase eror akan semakin kecil, tetapi apabila diramalkan masing-masing sebagai individual product maka presentase error akan semakin tinggi.
Peramalan untuk jangka pendek selalu lebih akurat dibandingkan dengan peramalan untuk jangka panjang. Dalam jangka pendek, kondisi yang mempengaruhikecenderungan permintaan hampir sama atau kalaupun berubah sedikit dan berjalan sangat lambat. Apabila rentang waktu peramalan bertambah panjang maka kecenderungan permintaan dipengaruhi oleh berbagai faktor sehingga error akan semakin besar.
Apabila dimungkinkan, perkiraan besarnya permintaan lebih disukai berdasarkan perhitungan dari pada hasil peramalan. Misalnya dalam perencanaan produksi dalam lingkungan make to stock, apabila besarnya permintaan terhadap produk akhir telah diperkirakan berdasarkan hasil peramalan maka besarnya jumlah part, komponen, sub-assembly dan semua bahan baku untuk produk tersebut lebih baik dihitung beerdasarkan principle of dependent demand dari pada masing-masing ditetapkan berdasarkan hasil peramalan.
2.5. Faktor-faktor yang Mempengaruhi Pemilihan Teknik Peramalan
Peramalan dimaksudkan untuk memperkecil resiko yang timbul akibat pengambilan keputusan dalam suatu perencanaan produksi. Semakin besar upaya yang dikeluarkan tentu resiko dapat diperkecil. Namun upaya memperkecil resiko tersebut dibatasi biaya yang diperlukan.
Faktor-faktor yang harus dipertimbangkan dalam peramalan:
1. Horizon Peramalan
Ada dua aspek dari horison waktu yang berhubungan dengan masing-masing metode peramalan yaitu:
Cakupan waktu di masa yang akan datang
Perbedaan dari metode peramalan yang digunakan sebaiknya disesuaikan.
Periode peramalan
Ada teknik dan metode peramalan yang hanya dapat meramal untuk peramalan satu atau dua periode di muka, teknik dan metode lain dapat meramalkan beberapa waktu di depan.
2. Tingkat Ketelitian
Tingkat ketelitian yang dibutuhkan sangat erat hubungannya dengan tingkat perincian yang dibutuhkan dalam suatu peramalan. Dalam suatu pengambilan keputusan diharapkan variasi atau penyimpangan atas ramalan antara 10% -15% sedangkan pengambilan keputusan yang lain variasi 5% sudah berbahaya.
3. Ketersediaan Data
Metode yang digunakan sangat besar manfaatnya. Apabila dari data yang lalu diketahui adanya pola musiman, maka untuk untuk peramalan satu tahun ke depan sebaiknya digunakan metode variasi musiman. Sedangkan apabila diketahui hubungan antar variabel saling mempengaruhi, maka perlu digunakan metode sebab akibat atau korelasi.
4. Bentuk Pola Data
Dasar utama metode peramalan adalah anggapan bahwa pola data yang diramalkan akan berkelanjutan. Sebagai contoh, beberapa deret yang menunjukan pola musiman, atau trend. Metode peramalan yang lain mungkin lebih sederhana, terdiri atas satu nilai rata-rata, dengan fluktuasi yang acakan atau random yang terkandung. Karena perbedaan kemampuan metode peramalan untuk mengidentifikasi pola-pola data, maka perlu adanya usaha penyesuaian pola data.
5. Biaya
Umumnya ada empat jenis biaya dalam proses peramalan yaitu: biaya pengembangan, biaya penyimpanan, biaya operasi, dan biaya kesempatan penggunaan teknik peramalan. Adanya perbedaan nyata berpengaruh atas menarik tidaknya penggunaan metode tertentu untuk suatu keadaan yang dihadapi.
6. Jenis Dari Model
Sebagai tambahan perlu diperhatikan anggapan beberapa dasar yang penting dalam nyata. Banyak metode peramalan telah menganggap adanya beberapa model dari keadaan yang diramalkan. Model-model ini merupakan suatu derat dimana waktu digambarkan sebagai unsur penting untuk menentukan perubahan-perubahan dalam pola, yang mungkin secara sistematik dapat dijelaskan dengan analisis regresi atau korelasi.
7. Mudah Tidaknya Penggunaan dan Aplikasinya.
Satu prinsip umum dalam penggunaan metode ilmiah dari peramalan untuk manajemen dan analisis adalah metode-metode yang dapat dimengerti dan mudah diaplikasikan yang akan digunakan dalam pengambilan keputusan dan analisa.
2.6. Klasifikasi Teknik Peramalan
Pada umumnya peramalan dapat dibedakan dari beberapa cara melihatnya. Apabila dilihat dari sifat penyusunannya maka peramlaan dapat dibedakan atas dua macam, yaitu:
Dilihat dari sifat penyusunannya:
Peramalan yang subjektif, yaitu peramalan yang didasarkan atas perasaan atau intuisi dari orang yang menyusunnya. Dalam hal ini pandnagan orang yang menyusunnya sangat menentukan baik tidaknya hasil ramalan tersebut.
Peramalan yang objektif, yaitu peramalan yang didasarkan atas data yang relevan pada masa lalu, dengan menggunakan teknikteknik dan metode-metode dalam penganalisaannya.
Dilihat dari jangka waktu ramalan yang disusun:
Peramalan jangka pendek, yaitu peramalan yang dilakukan untuk penyusunan hasil ramalan yang jangka waktunya satu tahun atau kurang. Peramalan ini digunakan untuk mengambil keputusan dalam hal perlu tidaknya lembur, penjadwalan kerja dan lain-lain keputusan kontrol jangka pendek.
Peramalan jangka menengah, yaitu peramalan yang dilakukan untuk penyusunan hasil ramalan yang jangka waktunya satu hingga lima tahun ke depan. Peramalan ini lebih mengkhususkan dibandingkan peramalan jangka panjang, biasanya digunakan untuk menentukan lairan kas, perencanaan produksi dan penetuan anggaran.
Peramalan jangka panjang, yaitu peramalan yang dilakukan utnuk menyusun hasil ramalan yang jangka waktunya lebih dari lima tahun yang akan datang. Peramalan jangka panjang, biasanya digunakan untuk pengambilan keputusan mengenai perencanaan produk dan perencanaan pasar, pengeluaran biaya oerusahaanm studi kelayakan pabrik, anggaran, purchase order, perencanaan tenaga kerja serta perencanaan kapasitas kerja.
Berdasarkan sifat ramalan yang telah disusun, maka peramalan dapat dibedakan atas dua macam, yaitu:
Peramalan kualitatif, yaitu peramalan yang didasarkan atas kulitatif pada masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat tergantung pada orang yang menyusunnya. Hal ini penting karena hasil peramalan tersebut ditentukan berdasarkan pemikiran yang bersifat intuisi, judgement, atau pendapat, dan pengertahuan serta pengalaman dari penyusunnya. Biasanya peramalan secara kualitati ni didasarkan atas hasil penyelidikan, seperti Delphi, S-Curve, analogis, dan penelitian bentuk atau morphological research atau didasarkanatas ciri-ciri normatif seperti decision matrics atau decision trees.
Metode Kuantitatif, yaitu peramlan yang didasrkan atas data kuantitatif pada masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat tergantung pada metode yang dipergunakan dalam peramlaan tersebur. Dengan metode yang berbbeda akan dihasilkan hasil peramalan yang berbeda, adapun yang perlu diperhatikan dari penggunaan metode tersebut adalah baik tidaknya metode yang digunakan, sangat ditentukan oleh perbedaan atau penyimpangan antara hasil ramalan dengan kenyataan yang terjadi.
2.6.1. Peramalan Kualitatif
Peramalan kualitatif adalah metode penaksiran permintaan berdasarkan perkiraan secara subjektif atau opini terhadap ramalan. Dengan sifatnya yang demikian itu, ramalan atas hal yang sama yang dilakukan oleh orang yang berbeda berkemungkinan memberikan hasil yang juga berbeda. Metode kualitatif pada umumnya digunakan apabila data kuantitatif tentang peramalan masa lalu tidak tersedia atau akurasinya tidak memadai.
Metode yang dipakai pada peramalan kualitatif adalah:
Keputusan Manajemen, merupakan metode yang paling umum digunakan dalam meperkirakan besarnya permintaan produk untuk jangka panjang. Sekelompok anggota eksekutif dari bagian marketing, engineering, dan manufacturing bertemu dan berdiskusi tentang isu-isu yang terkait dengan perusahaan dan melakukan perkiraan ke depan tentang besarnya permintaan sehubungan dengan isu-isu yang dibahas. Keragaman pengalaman dan bidang kepakaran dari pada peserta diskusi snagat membantu dalam membuat perkiraan yang lebih reliable.
Teknik Delphi, digunakan untuk melakukan peramalan jangka panjang dalam lingkungan yang cukup kompleks yaitu perkembangan teknologi yang pesat, perubahan kondisi ekonomi global dan suasana geo-politik yang berubah cepat, sering dibutuhkan pembentukan sebuah panel yang beranggotakan para pakar atau ahli dari berbagai latar belakang dan pengalaman dari luar perusahaan.
Gabungan Pendapat Tenaga Penjual
Para penjual (salesforces) karena selalu berada pada posisi paling depan di pasar memahami benar perilaku para pembeli. Apabila mereka diberi kesempatan menyampaikan pendapat sesuai dengan pengalaman masing-masing dan pendapat mereka digabung secara bersama (sales forces composite) akan diperoleh sebuah hasil peramalan yang sering cukup dipercaya. Penggunaan hasil peramalan ini dapat mengandung penyimpangan karena faktor subjektivias masing-masing tenaga penjual tersebut.
Riset Pasar
Riset pasar adalah pengumpulan data secara sistematis dan analisis terhadap fakta-fakta yang berhubungan dengan pemasaran. Maksudnya ialah mencari solusi terhadap permasalahan yang berhubungan dnegan produk dan metode marketing. Salah satu bentuk riset pasar adalah survey pelanggan.
Analogis Historis
Pertumbuhan permintaan terhadap produk baru kadang-kadang diramalkan berdasarkan metode analogis historis dari produk dan teknologi yang terkait dengan produk tersebut.
Kurva Siklus Daur Hidup
Kurva daur hidup sering dikembangkan untuk produk-produk baru. Kurva ini terutama berguna untuk peramalan permintaan produk-produk yang mempunyai daur hidup beberapa tahun seperti microcomputer dan produk-produk elektronik lainnya. Kurva daur hidup sering juga disebut sebagai kurva-S. Kurva ini dapat dilakukan dengan model logistik:
Yt= k/ (1+ea+b)
Dimana, Yt = Permintaan pada tahun t
e = Bilangan Napier (logaritma natural)
a,b = Konstanta
k = Asimptot atas
Model lain dari kurva daur hidup disebut algorithmicseond curve:
Log yt = a+b+c2
Metode Akar Rumput, adalah metode peramalan yang memanfaatkan data taksiran penjualan dari para aparatur penjualan dan wiraniaga dari seluruh wilayah pemasaran perusahaan dalam perhitungan dan penetapan ramalan permintaan di masa yang akan datang. Metode ini dipakai oleh perusahaan grosir suatu produk tertentu dalam peramalan permintaan satu tahun atau lebih di masa yang akan datang.
Kesepakatan Panel, merupakan metode pembuatan peramalan yang dilakukan melalui diskusi panel yang bebas untuk melakukan tukar pikiran diantara berbagai partisipan, misalnya para eksekutif perusahaan, wiraniagawan, dan atau pelanggan perusahaan.
2.6.2. Peramalan Kuantitatif
Pada dasarnya metode peramalan kuantitatif ini dapat dibedakan atas dua bagian, yaitu:
Metode peramalan yang didasarkan atas penggunaan analisa pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel waktu, yang merupakan deret watu atau time series.
Metode peramalan yang digunakan atas penggunaan analisis pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel lain yang mempengaruhinya, yang bukan waktu disebut metode korelasi atau sebab-akibat (causal method).
2.6.2.1. Metode Time Series
Metode time series adalah metode yang digunakan untuk menganalisis serangkaian data yang merupakan fungsi dari waktu. Metode ini mengasumsikan beberapa pola atau kombinasi pola selalu berulang sepanjang waktu, dan pola dasarnya dapat diidentifikasi semata-mata atas dasar data historis dari serial itu. Terdapat 4 komponen yang mempengaruhi analisis ini, yaitu:
Pola Siklis
Penjualan produk dapat memiliki siklus yang berulang secara periodik. Banyak produk dipengaruhi pola pergerakan aktivitas ekonomi yang terkadang memiliki kecenderungan periodik. Komponen siklis ini akan sangat berguna dalam peramalan jangka menengah. Pola data ini memiliki kecenderungan untuk naik atau turun terus-menerus. Pola siklik ini dapat dilihat pada grafik yang terlihat pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1. Pola Siklik
Sumber: http://2.bp.blogspot.com/nKF4S91uFLg/s1600/pb.jpg (diakses pada tanggal 6 Juli 2015, pukul 12:59 WIB).
Pola Musiman
Perkataan musiman menggambarkan pola penjualan yang berulang setiap periode. Komponen musim dapat dijabarkan ke dalam faktor cuaca, libur, atau kecenderungan perdagangan. Pola musiman berguna dalam meramalkan penjualan dalam jangka pendek. Pola ini terjadi bila data sangat dipengaruhi oleh musim. Pola musim ini dapat dilihat pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2. Pola Musiman
Sumber: http://2.bp.blogspot.com/nKF4S91uFLg/s1600/pb.jpg (diakses pada tanggal 6 Juli 2015, pukul 12:59 WIB).
Pola Horizontal
Pola ini terjadi apabila nilai data berfluktuasi disekitar nilai rata-rata. Pola horizontal ini dapat dilihat pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3. Pola Horizontal
Sumber: http://2.bp.blogspot.com/nKF4S91uFLg/s1600/pb.jpg (diakses pada tanggal 6 Juli 2015, pukul 12:59 WIB).
Pola Trend
Pola data ini terjadi bila data memiliki kecenderungan untuk naik atau turun terus menerus. Gambar pola trend ini dapat dilihat pada Gambar 2.4.
Gambar 2.4. Pola Trend
Sumber: http://2.bp.blogspot.com/nKF4S91uFLg/s1600/pb.jpg (diakses pada tanggal 6 Juli 2015, pukul 12:59 WIB).
Pola data dalam bentuk trend ini dapat dijabarkan sebagai berikut:
Trend Linier
Bentuk persamaan umum = Y= a + bt, sedangkan peramalannya mempunyai bentuk persamaan = Yt = a + bt
Dimana Yt= nilai peramalan pada periode ke t
t= waktu atau periode
Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maka harga konstanta a dan b diperoleh dari persamaan di bawah ini:
b = n tYt- t Ytn t2-( t)^2 dan a = Yt-b tn
Trend Eksponensial Atau Pertumbuhan
Bentuk persamaan umum = Y = aebt
Sedangkan peramalannya mempunyai bentuk persamaan Yt = aebt
Dimana Yt= nilai peramalan pada periode ke t
t= waktu atau periode
Dengan menggunakan transformasi logaritma natural maka harga konstanta a dan b diperoleh dari persamaan
b = n tlnYt- t lnYtn t2-( logt)^2 dan ln a = lnYt-b tn
Trend Logaritma
Persamaan umumnya = Y= a + b log t
Sedangkan peramalannya mempunyai bentuk persamaan = Yt = a + b log t
Dimana Yt= nilai peramalan pada periode ke t
t= waktu atau periode
Dengan menggunakan transformasi logaritma natural maka harga konstanta a dan b diperoleh dari persamaan berikut:
b = n tlogYt- logt Ytn t2-( t)^2 dan ln a = Yt-b logtn
Trend Geometrik
Bentuk persamaan umumnya = Y = atb
Sedangkan peramalannya mempunyai bentuk persamaan = Yt = atb
Dimana Yt= nilai peramalan pada periode ke t
t= waktu atau periode
Dengan menggunakan transformasi logaritma maka harga konstanta a dan b diperoleh dari persamaan
b = n tloglogYt- logt logYtn log2t-( logt)^2 dan ln a = Yt-b logtn
Trend Hyperbola
Bentuk persamaan umumnya adalah:
Y =ab^t
Peramalannya mempunyai bentuk persamaan = Yt = ab^t
Dimana Yt= nilai peramalan pada periode ke t
t= waktu atau periode
Dengan menggunakan transformasi logaritma maka harga konstanta a dan b diperoleh dari persamaan
b = n tlogYt- t logYt t2-n t^2 dan ln a = logYt-logb tn
Metode peramalan yang termasuk model time series adalah:
Metode Penghalusan (Smoothing)
Metode Penghalusan digunakan untuk mengurangi ketidakteraturan musiman dari data yang lalu, dengan membuat rata-rata tertimbang dari sederetam data masa lalu. Ketepatan peramalan dengan metode ini akan terdapat pada peramlaan jangka pendek, sedangkan unuk peramalan jangka panjang kurang akurat. Metode ini terdiri dari beberapa jenis, antara lain:
Metode Rata-Rata Bergerak (Moving Average), terdiri atas:
- Single Moving Average (SMA)
Single moving average pada suau periode merupakan peramalan untuk satu periode ke depan dari periode rata-rata tersebut. Persoalan timbul dari penggunaan metode ini adalah menetukan nolai t. Semakin besar nilai t maka peramalan yang dihasilkan akan semakin menjauhi pola data. Secara matematis rumus fungsi peramalan metode ini adalah:
Ft+1=Xt-N+1+…+Xt+1+XtN
Dimana: Xt = data pengamatan periode i
N = jumlah deret waktu yang digunakan
Ft+1 = nilai peramalan periode t+1
- Linier Moving Average (LMA)
Dasar metode ini adalah penggunaan moving average kedua untuk memperolehpenyesuaian bentuk pola trend. Tahapan metode linier moving averageadalah:
i). Hitung 'single moving average' dari data dengan periode perata-rataan tertentu; hasilnya dinotasikan dengan St'
ii). Setelah semua single moving average dihitung, dihitung moving average kedua yaitu moving average dari St' dengan periode perata-rataan yang sama. Hasilnya dinotasikan dengan St"
iii). Hitung komponen trend at dengan rumus:
At = St' + (St'-St")
iv). Hitung komponen trend bt dengan rumus:
Bt = 2N-1(St-St")
v). Peramalan untuk periode ke depan setelah t adalah sebagai berikut:
Ft+m = at+bt.m
- Double Moving Average
Notasi yang diberikan adalah MA (M x N), artinya M- periode MA dan N- periode MA.
- Weighted Moving Average
Data pada periode tertentu diberi bobot, semakin dekat dengan saat sekarang semakin besar bobotnya. Bobot ditentukan berdasarkan pengalaman. Rumusnya adala sebagai berikut:
Ft = w1At-a+w2At-2+wnAt-nw1+w2+wn
Dimana: w1 = bobot yang diberikan pada peiode t-1
w2 = bobot yang diberikan pada periode t-2
wn= bobot yang diberikan pada periode t-n
n = jumlah periode
Metode Exponential Smoothing, terdiri atas:
- Single Exponential Smoothing
Pengertian dasar dari metode ini adalah: nilai ramalan pada periode t+1 merupakan nilai aktual pada periode t ditambah dengan penyesuaian yang berasal dari kesalahan nilai ramalan yang terjadi pada periode t tersebut. Nilai peramalan dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:
Ft+1 = a. X1 + (1-a). Ft
Dimana: Xt = data permintaan pada periode t
a = faktor/konstata pemulusan
Ft+1 = peramalan untuk periode t
- Double Exponential Smoothing (DES), terbagi atas:
i).Satu parameter (Brown's Linier Method), merupakan metod yang hampir sama dengan linier moving average, disesuaikan dengan menambahkan satu parameter.
S't = α Xt + (1-α) S't-1
S"t = αS"t+(1-α) S"t-1
Dimana S't merupakan single exponential smoothing, sedangkan S"t merupakan double exponential smoothing.
at = S't+(S't-S"t)=2S't-S"t
bt = α1-α (S't-S"t)
Rumus perhitungan peramlaan pada periode ke t :
Ft+m = at + bt.m
b). Dua parameter (Holt's Method)
Merupakan metode DES untuk time series dengan trend linier. Terdapat konstanta yaitu α dan β. Adapun rumusnya sebagai berikut:
St = α Dt + (1-α)(Dt-1+Gt-1)
Gt = β (St-St-1) + (1-β)Gt-1
Dimana: G = komponen trend
L = panjang musiman
I = faktor penyesuaian
Ft+m = ramalan untuk m ke periode muka
Metode Proyeksi Kecenderungan dengan Regresi
Metode kecenderungan dengan regresi merupakan dasar garis kecenderungan untuk suatu persamaan, sehingga dengan dasar persamaan tersebut dapat diproyeksikan hal-hal yang akan diteliti pada masa yang akan datang. Untuk peramalan jangka pendek dan jangka panjang, ketepatan peramalan dengan metode ini sangat baik. Data yang dibutuhkan untuk meode ini adalah tahunan, minimal lima tahun. Bentuk fungsi dari metode ini dapat berupa:
Konstan.
Dengan fungsi peramalan (Yt) = Yt = a, dimana a = Yt/N
Dimana Yt= nilai tambah
N= Jumlah Periode
Linier.
Dengan fungsi peramalan = Yt = a + bt
Dimana a= Y-btn dan b=nty-(t)(y)n- t2- (t)^2
Kuadratis.
Dengan fungsi peramalan = Yt = a + t + ct2
Dimana a= Y-bt-ct2n ; c=θ-bα ; b= δ-θα β-α2
=(t^2)^2-nt^4
=tY-ntY
= t^2Y-nt^2Y
= tt2-nt^3
Eksponensial.
Dengan fungsi peramalan = Yt = aebt
Dimana ln a= lnY-btn ; b=ntlnY-tlnYnt2-(t)^2
Siklis.
Dengan fungsi peramalan = Yt = a + b sin 2πn+cos2πtn
Dimana Y=na+b sin2πtn+ c cos2πtn
Ysin2πtn=asin2πtn+ b sin^22πtn+ csin2πtncos2πtn
Ycos2πtn=acos2πtn+ c cos^22πtn+ bsin2πtncos2πtn
Metode Dekomposisi
Metode Dekomposisi yaitu hasil ramalan yang ditentukan dengan kombinasi dari fungsi yang ada sehingga dapat diramalkan secara biasa. Model tersebut didekati dengan fungsi linier atau siklis, kemudian bagi t atas kwartalan sementara berdasarkan pola data yang ada. Metode dekomposisi merupakan pendekatan peramalan yang tertua. Terdapat beberapa pendekatan alternatif untuk mendekomposisikan suatu deret berkala yang semuanya bertujuan memisahkan setiap komponen deret data seteliti mungkin. Konsep dasar pemisahan bersifat empiris dan tetap, yang mula-mula memisahkan unsur musiman, kemudian trend, dan akhirnya unsur siklis. Adapun langkah-langkah perhitungannya adalah:
Ramalkan fungsi Y biasa (dt = a +bt)
Hitung nilai indeks
Gabungkan nilai perolehan indeks kemudian ramalkan yang baru.
Metode Regresi dengan Metode Kuadrat Kecil (Least Square)
Metode ini merupakan suatu teknik peramalan yang didasarkan atas analisis perilaku atau nilai masa lalu suatu variabel yang disusun menurut urutan waktu. Metode ini berdasarkan atas penggunaan analisis pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel waktu. Bentuk persamaan umum dari metode ini adalah: Y = a + bx
Dimana Y = variabel dependen ; a = konstanta ; b = koefisien regresi dan x = variabel waktu.
Metode ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average)
ARIMA sering juga disebut metode runtun waktu Box-Jenkins. ARIMA sangat baik ketepatannya untuk peramalan jangka pendek, sedangkan untuk peramalan jangka panjang ketepatan peramalannya kurang baik. Biasanya akan cenderung flat(mendatar/konstan) untuk periode yang cukup panjang. Model Autoregresive Integrated Moving Average (ARIMA) adalah model yang secara penuh mengabaikan independen variabel dalam membuat peramalan. ARIMA menggunakan nilai masa lalu dan sekarang dari variabel dependen untuk menghasilkan peramalan jangka pendek yang akurat. ARIMA cocok jika observasi dari deret waktu (time series) secara statistik berhubungan satu sama lain (dependent). Model ARIMA terdiri dari tiga langkah dasar, yaitu tahap identifikasi, tahap penaksiran dan pengujian, dan pemeriksaan diagnostik. Tiga langkah dasar tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.5. berikut.
Gambar 2.5. Tiga Langkah Dasar pada ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average)
Sumber: http://daps.bps.go.id/file_artikel/77/arima.pdf (diakses pada tanggal 10 Juli 2015, pukul 10:15 WIB).
Model Box-Jenkins (ARIMA) dibagi kedalam 3 kelompok, yaitu:
Model Autoregressive (AR),
Bentuk umum model autoregressive dengan ordo p (AR(p)) atau model ARIMA (p,0,0) dinyatakan sebagai berikut:
Xt = μ'+ 1Xt-1+ 2Xt-2+…+ pXt-p + et[0]
Dimana: μ'=suatu konstanta
p = parameter autoregresif ke-p
et = nilai kesalahan pada saat t
Moving Average (MA),
Bentuk umum model moving average ordo q (MA(q)) atau ARIMA (0,0,q) dinyatakan sebagai berikut:
Xt = μ'+ et-θ1et-1-θ2et-2-…-θqet-k
Dimana: μ'= suatu konstanta
θ1sampaiθq = parameter-parameter moving average
et-k = nilai kesalahan pada saat t-k
Model Campuran ARIMA (Autoregresive Moving Average).
(i). Proses ARMA
Model umum untuk campuran proses AR(1) murni dan MA(1) murni, misal ARIMA (1,0,1) dinyatakan sebagai berikut:
Xt = μ'+ 1Xt-1+et-θ1et-1atau (1- 1B)Xt = μ'+(1-θ1B)et
AR (1) MA(1)
(ii). Proses ARIMA
Apabila nonstasioneritas ditambahkan pada campuran proses ARMA, maka model umum ARIMA (p,d,q) terpenuhi. Persamaan untuk kasus sederhana ARIMA (1,1,1) adalah sebagai berikut:
(1-B)(1- 1B)Xt= μ'+(1-θ1B)et
Pembedaan pertama AR(1) MA(1)
2.6.2.2.Metode Kausal
Metode kausal adalah metode yang kuantitatif untuk menganalisis pengaruh dan juga hubungan antara variabel, independen dengan variable dependen. Alat analisis yang dipakai pada metode ini adalah:
Analisis regresi dan korelasi, merupakan metode yang dipakai untuk mengetahui hubungan kausal atau saling memperngaruhi antara variabel dependen dan variabel independen. Dipakai untuk membuat suatu garis tren dari suatu sebaran data historis yang relevan dengan sebaran data. Metode yang paling umum dipakai adalah metode kuadrat paling kecil (Least Square Method).
Proyeksi tren, merupakan suatu metode matematik yang dipakai untuk membuat garis tren suatu hasil plotting data untuk mengetahui kecenderungan perkembangan di masa mendatang, naik atau turun. Model ini pada umumnya terintegrasi ke dalam analisis regresi.
Model ekonometrik, adalah metode yang dipakai untuk menerangkan perilaku gejala ekonomi berdasarkan data runtun waktu dengan beberapa macam variabel bebas.
Model input-output, adalah metode analisis yang dipakai untuk mengukur hubungan keterkaitan masukan-keluaran berbagai sektor usaha dalam perekonomian dan pemerintahan melalui aktivitas penjualan keluarannya.
Indikator tertentu, analisis yang dipakai untuk menaksir suatu perubahan sektor yang dipengaruhi jika sektor berpengaruh itu mengalami perubahan.
2.7. Langkah-Langkah Peramalan secara Kuantitatif
Langkah-langkah dalam melakukan peramalan secara kuantitatif adalah:
Definisikan tujuan peramalan.
Pembuatan diagram pencar.
Pilih minimal dua metode peramalan yang dianggap sesuai.
Hitung parameter-parameter fungsi peramalan. Adapun parameter fungsi peramalan adalah nilai yang menyatakan ciri dari populasi data yang diramalkan.
Hitung kesalahan setiap metode peramalan.
Pilih metode yang terbaik, yaitu yang memiliki kesalahan terkecil.
Lakukan verifikasi peramalan.
Langkah-langkah tersebut dapat dilihat pada blok diagram yang terlihat pada Gambar 2.6.
Gambar 2.6. Langkah-langkah Peramalan secara Kuantitatif
Sumber: Rosnani Ginting. Sistem Produksi. (Yogyakarta: Graha Ilmu) h.45.
2.8. Kriteria Pemilihan Metode Peramalan
Kriteria peramalan yang terbaik antara lain:
1. Mean Square Error (MSE)
Dimana:
: data aktual periode t
: nilai ramalan periode t
m : banyaknya periode
2. Percentage Error (PEt)
Dimana nilai dari PEtbisa positif ataupun negatif.
3. Standard Error of Estimate (SEE)
Dimana:
k = derajat kebebasan
k = 1 karena data konstan hanya memiliki satu parameter, yaitu a, unuk data konstan
k = 2 karena data linear memiliki 2 parameter, yaitu a dan b, unuk data linier
k = 3 karena data kuadratis memiliki 3 parameter yang harus dicari, yaitu a, b, dan c, unuk data kuadratis
k = 3 karena data siklis memiliki 3 parameter, yaitu a, b, dan c, unuk data siklis
4. Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
5. Mean Square Error (MSE)
MSE = 1nt=1n(Yt-Yt')^2
Mean Absolute Deviation (MAD)
MAD= 1nt=1n"Yt-Yt'"
Verifikasi dan Pengendalian Peramalan
Verifikasi digunakan untuk melihat apakah metode peramalan yang diperoleh representatif terhadap data. Proses verifikasi dilakukan dengan menggunakan Moving Range Chart (RMC). Dari chart ini dapat dilihat apakah sebaran masih dalam kontrol ataupun sudah berada di luar kontrol. Jika sebaran di luar kontrol, maka fungsi/ metode peramalan tersebut tidak sesuai, artinya pola peramlaan terhadap data (Y-Yt) tersebut tidak representatif. RMC dapat dilihat pada Gambar 2.7.
Gambar 2.7. Moving Range Chart
Sumber: http://community.asdlib.org/imagefiles/2013/08/Figure15.3.jpg (diakses pada tanggal 6 Juli 2015, pukul 12:59 WIB).
Harga MR diperoleh dari:
Dimana: atau:
Kondisi out of control dapat diperiksa dengan menggunakan empat aturan berikut:
Aturan Satu Titik
Bila ada titik sebaran (Y-YF) berada di luar UCL dan LCL.
Aturan Tiga Titik
Bila ada tiga buah titik secara berurutan berada pada salah satu sisi, yang mana dua diantaranya jatuh pada daerah A.
Aturan Lima Titik
Bila ada lima buah titik secara berurutan berada pada salah satu sisi, yang mana empat diantaranya jatuh pada daerah B.
Aturan Delapan Titik
Bila ada delapan buah titik secara berurutan berada pada salah satu sisi, pada daerah C. Bagan yang dijelaskan pada MCR tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.8.
AABBCCLCLUCLL2/3 UCL1/3 UCL2/3 LCL2/3 LCLCCL
A
A
B
B
C
C
LCL
UCLL
2/3 UCL
1/3 UCL
2/3 LCL
2/3 LCL
CCL
Gambar 2.8. Bagan Batas Kendali Out of Control
Sumber: Rosnani Ginting. Sistem Produksi. (Yogyakarta: Graha Ilmu) h.61.
Pengujian Hipotesa
Hipotesis statistik adalah pernyataan ayau dugaan engenai satu atau lebih populasi. Benar atau salahnya suatu hippotesis tidak akan diketahui dengan pasti, kecuali bila kita memeriksa seluruh populasi. Tentu saja, dalam kebanyakan situasi hal itu tidak mungkin dilakukan. Oleh karena itu, kita dapat mengambil suatu contoh acak dari populasi tersebut dan menggunakan informasi yang dikandung contoh itu untuk memutuskan apakah hipotesis tersebut kemungkinan besar benar atau salah. Bukti dari contoh, yang tidak konsisten dengan hipotesis yang dinyatakan tentu saja membawa kita kepada penolakan hipotesis tersebut, sedangkan bukti yang mendukung hipotesis akan membawa pada penerimaannya. Hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak membawa penggunaan istilah hipotesis nol. Sekarang ini istilah itu digunakan pada sembarang hipotesis yang ingin diuji dan dilambangkan dengan H0. Penolakan H0mengakibatkan peneriman suatu hipotesis alternatif yang dilambangkan dengan H1.Uji hiipotesis satu arah adalah wilayah kritik bagi hipotesis alternatif θ> θ0 terletak seuruhnya diekor kanan sebaran tersebut, sedangkan wilayah kritik bagi hipotesis alternaif θ< θ0 terletak selutuhnya di ekor kiri. Tanda pertidaksamaan tersebut menunju ke arah wilayah kritiknya. Suatu uji yang bersifat satu arah dapat diliht pada cotoh berikut:
Ho ;: θ=θ0
H1 : θ> θ0
Uji hipotesis dua arah adalah wilayah kritiknya dipisah menjadi dua bagian yang ditempatkan di masing-masing ekor sebaran statistik ujinya, Hipotesis alternatifnya 0 θ0 menyatakan bahwa θ< θ0 atau θ> θ0 . Uji dua arah telah digunakan untuk menguji hipoesis nol bahwa μ=68 kilogram lawan alternatifnya yang dua arah kiloogram lawan alternatifya μ 68 kilogram bagi populasi kontinu. Hipotesis nol akan selalu dituliskna dengan tanda kesamaan sehingga menspesifikasi suatu nilai tunggal. Dengan cara demikian, peluangmelakukan galat jenis I dapat dikendalikan. Hipotsis alternatif yang demikian ini selalu menghasilkan uji satu arah dengan wilayah kritiknya terletak di ekor kanan sebenarnya.
Uji/ Analisis Ragam (Uji F)
Analisis ragam adalah suatu metode untuk menguraikan keragaman total data kita menjadi komponen-komponen yang mengukur berbagai sumber keragaman. Misalkan dalam suatu percobaan, tiga varitas gandum ditanam pada beberapa petak yang bentuk dan luasnya sama, kemudian hasil panen setiap petak dicatat, kemudian akan diuji hipotesis nol bahwa ketiga varitas gsndum tersebut secara rata-rata memberikan hasil panen yang sama. Dari percobaan tersebut akan diperoleh 2 komponen, yang pertama mengukur keragaman yang disebabkan oleh galat percobaan dan yang kedua dilakukan perhitungan terhadap galat percobaan plus keragaman yang disebabkan oleh keragaman varitas. Bila hipotesis nol benar sehingga ketiga varitas gandum itu memberikan nilai dugaan bagi galat percobaan. Dengan demikian kita mendasarkan uji kita pada perbandingan kedua komponen tersebut dengan menggunakan sebaran F.
Langkah-langkah/ urutan menguji hipotesa dengan distribusi F:
Merumuskan hipotesa
Ho : β1 = β2 = β3 = β4 = 0, berarti secara bersama-sama tidak ada pengaruh variabel bebas terhadap variabel terikat.Ha : β1 β2 β3 β4 0, berarti secara bersama-sama ada pengaruh variabel bebas terhadap variabel terikat.
Menentukan taraf nyata/ level of significance = α
Taraf nyata/derajat keyakinan yang digunakan sebesar α = 1%, 5%, 10%.Derajat bebas (df) dalam distribusi F ada dua, yaitu:
df numerator = dfn = df1 = k – 1
df denumerator = dfd = df2 = n – k
Dimana:
df = degree of freedom/derajat kebebasan
n = jumlah sampel
k = banyaknya koefisien regresi
Menentukan daerah keputusan, yaitu daerah dimana hipotesa nol diterima atau tidak.
Ho diterima apabila F hitung F tabel, artinya semua variabel bebas secara bersama-sama bukan merupakan variabel penjelas yang signifikan terhadap variabel terikat.Ho ditolak apabila F hitung > F tabel, artinya semua variabel bebas secara bersama-sama merupakan penjelas yang signifikan terhadap variabel terikat.
Menentukan uji statistik nilai F
Bentuk distribusi F selalu bernilai positif
Gambar 2.9. Distribusi F dengan Satu Arah
Sumber: http://3.bp.blogspot.com/Kurva+Distribusi+F.png(diakses pada tanggal 10 Juli 2015, pukul 22:25 WIB).
5. Mengambil keputusan
Keputusan bisa menolak Ho atau menolak Ho menerima Ha.Nilai F tabel yang diperoleh dibanding dengan nilai F hitung apabila F hitung lebih besar dari Ftabel, maka ditolak sehingga dapat disimpulkan bahwa ada pengaruh yang signifikan antara variabel independen dengan variabel dependen.
Metode Gauss Jordan
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalahmetode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati CarlFriedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasiGauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887.Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon (row echelon form).Selain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan ini dapatpula digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah:
1.Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.
2.Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A"b) untuk mengubah matriksA menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi.
Contoh mengubahnya dapat dilihat pada Gambar 2.10. berikut.
Gambar 2.10.Mengubah Sistem Persamaan Linier Menjadi Matriks Augmentasi
Sumber: http://referensi.dosen.narotama.ac.id/files/2011/12/gaussjordan.pdf(diakses pada tanggal 26 Juli 2015, pukul 22:25 WIB)
Pengubahan dilakukan dengan membuat matriks yang elemen-elemennya adalah koefisien-koefisien dari sistem persamaan linier, sedangkan langkah-langkah pada operasi baris elementer yaitu :
Menukar posisi dari 2 baris.
Ai Aj
Mengalikan baris dengan sebuah bilangan skalar positif.
Ai = k * Aj
Menambahkan baris dengan hasil kali skalar dengan baris lainnya.
Ai = Ai + k * Aj
Sebuah matriks sendiri bisa dikatakan sudah memiliki bentuk baris eselon yang tereduksi jikatelah memenuhi syarat-syarat berikut ini.
Jika sebuah baris seluruhnya bukan merupakan angka nol, maka angka bukan nol pertamapada baris tersebut adalah 1 (leading 1).
Jika ada baris yang seluruhnya terdiri dari angka nol, maka baris tersebut dikelompokkandi baris paling bawah dari matriks.
Jika ada 2 baris berurutan yang sama-sama tidak terdiri dari angka nol seluruhnya, makaleading 1dari baris yang lebih bawah berada di sebelah kanan dari leading 1yang beradadi baris yang lebih atas.
Pada setiap kolom yang memiliki leading 1di kolomnya, maka nilai yang ada di kolomtersebut kecuali leading 1adalah nol
Metode Gauss Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah algoritma versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama.
