0123 4 56784 9 2 9256 48265751285288125152287217 28 432112582 8157265 52 86585 12585 5 85657!5 2 4 882253648751 57 65855 55 788522 6 $ )58 #2 4*88(687528521 # 4"288+%11652765 57 825711857582,11582 5 4 252554 2 &78685 8 781252825556868)228'' 5 )782715 8 5 & , 52 78716' 52! 4271 88 72*7+6!21578528 227 411 5 72251225612!7585 5 21752!658617 5 5816525! #" 41,28361226875128285 2 4,7822517'8' 6 3 4 3 2 4 81176%22 57 5256!5125785 218261551 # 4767'2 25 4 885522417 2 4271578812528822157(5881251526878571658"27885725 . 28/6 #2$ 47)827582/85 50 ,)1-8251 5*8+7 2)52 2 5 5 4 2" &28771825227-556 7258727 81 8,8716!5718285821%,72655'' 5 , 7 5 0 )5 ,8 2 482-51051811,552818 77
C a p ´ıtu ı tu lo 1
Proporcionalidade e F u n c¸ oes o˜ es Afins ´ ˜ PetersEm seu livro “Elementos de Algebra”, publicado em S ao Peters´ burgo em 1770, o grande matem atico Leonardo Euler prop oe o˜ e o seguinte problema: Uma lebre est a´ 50 pulos a` frent e de um cachorr cachorr o, o qua l d a´ 3 pulos pulos n o tempo tempo que que ela leva leva para dar 4. S Sabe abendo ndo que 2 pu los los do cachorro cachorro valem 3 da lebre, qua qua nt os pu los los ´ ele ele deve deve dar par a pega-la? ˜ que se refere a proporcionalidade, E s t e e´ u m exemplo exemplo de quest ao assunto que exporemos a seguir.
1
P r o po p o rc r c i o n al a l id id a d e
Diz-se que duas grandezas s a˜ o proporcionais quando existe uma correspond encia eˆ ncia x → y, que associa a cada valor x de uma delas del as um valor y bem definido da outr a, de t al m odo que sejam sejam cumpr ida s a s segu int es condic¸oes: o˜ es:
´ 1) Quan to maior maior for x, ma ior ior ser a´ y. Em termos matem aticos: s e x → y e x → y en t a˜ o x < x implica y < y .
˜ o valor 2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x en t ao correspondente de y s er a´ dobra dobra do, do, tr iplic iplicado, ado, etc. etc. N a lingua lingua ´ a: se x → y en t a˜ o nx → ny para todo n N. gem matem atica: atic
N a s con di c¸oes o˜ es acima, a correspond encia eˆ ncia x proporcionalidade. proporcionalidade. 3
∈
→ y chama-se uma
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Temas e Problemas
E x e m p l o 1 . Sejam x o volume e y o peso de um a porc¸a˜ o d e u m ´ıquido homog eneo. lıquido eˆ neo. A co corr espond espond encia eˆ ncia x → y cumpre claramente a s d u a s con dic¸oes o˜ es a cima cima , logo logo o volum volum e e´ proporcional ao peso.
lelas. Dado qualquer ret angulo ˆ E x e m p l o 2 . Sejam r e s reta s para lelas. que tenha dois lados contidos nessas retas, chamemos de x o com´ ˆ primento de um desses lados lados e z a area do ret ret angulo. s z r Figura 1
A corr corr espond espond encia eˆ ncia x → z e´ um a pr oporci porcio ona lidade. lidade. Ou seja: seja: ˆ ´ z e´ proporcioquando a altur alturaa de um ret angulo e´ fixada fixada , sua area n a l a` base x. ´ z do Com efeito, em primeiro lugar, se x < x en t a˜ o a area ˆ ´ ˆ gulo de base x mais z do ret an r et angulo de base x e´ igua igua l a` area ´ ˆ gulo de base x − x, logo z < z . a area de um ret an ˆ gulo de base n x pode ser expresEm segun segun do lugar, lugar, um r et an ˜ de n r et an ˆ gulos so como reuni ao gulos justa postos postos de ba se x (e m esma z) logo sua area area ´ ´ e´ n z.
·
·
˜ contida no Exemplo 2 e´ uma consecons eOb s e rv a c¸ a˜ o . A a fir m a c¸ ao q u¨ encia eˆ ncia imediata da f o´ rmu la que exprime a area ´ de um ret angulo ˆ como o produto da base pela altu ra . Esta e, e´ , entr etan to, to, uma justi´ ficat ficat iva iva a poster poster iori. iori. N a˜ o e´ convenient convenient e us a-la no presen te cont cont ex˜ daquela f ormula to pois, na verda de, o primeir o pass o da d edu c¸ao o´ rmula ˜ da proporcio e´ a ver ifica c¸ ao proporciona na lidade lidade acima.
ˆ AOB OB e u m a r e Consideremoss no plano um angulo E x e m p l o 3 . Consideremo t a r q u e n a˜ o e´ par alela alela a o llado ado OA n e m a OB (Figur Figur a 2). 2). Dado qualquer segment segment o de reta de co compriment o x, contido em OA, a s paralelas a r tr ac¸ada s por por su as extr emidades det erm inam sobre sobre o lado OB um segment segment o de co compriment o y.
˜ Afins Proporci Prop orciona onalid lidade ade e Func Fu nc¸ oes
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B
r y
O
A
x
Figura 2
Afirmamos que a correspond encia eˆ ncia x → y e´ u ma proporcio proporciona na lilidade. Antes de just ificar ificar est a a firm ac¸ ao ˜ devemos devemos m ostra r que o co compriment primento o y depende apena s do co compriment o x m a s n a˜ o da p osic osi c¸ a˜ o do segmento tomad o sobre sobre o lado OA. (Isto signific significa que a corr espond encia eˆ ncia x → y es t a´ bem definida.) Ora, se tomarmos sobre o lado OA dois dois segmentos de mesmo ˜ na Figur ˜ par alelos comprimento x en t ao Figur a 3, onde onde MN e M N s ao alelos ˆ MNP e M N P t eˆ m , c a d a u m , u m l a d o d e a OA, o s t r iangulos ˆ M=M mesmo comprimento x, compr compr eendido entr e dois angulos ˜ tri angulos ˆ e N = N . Logo s ao congruentes e da´ da ´ı MP = M P = y. ˜ inicial, A par tir dest a observa c¸ao inicial, sempr e que t iverm iverm os x → y e x → y , se quisermos co compa ra r y com y podemos podemos supor qu e x e x ˜ medidas de segmentos com origem no v ertice ˜ fica s ao e´ rtice O. E n t ao claro que se x < x ⇒ y < y e que x = n x ⇒ y = n y, como mostra a Figur Figur a 4 (onde (onde n = 3).
·
·
E x e m p l o 4 . Investindo Investindo uma quantia x numa caderneta de poupa nc¸a , a p os o´ s o decurso de um m es eˆ s obt em-se e´ m-se um montante y. A correspond encia eˆ ncia x → y e´ uma proporcionalidade: o que se recebe n o fi m d o m es eˆ s e´ pr oporci porcio onal ao que se a plic plicou. Com Com efei efeito to,, e´ claro qu e aplic aplican dodo-se mais receberecebe-se se ma is e investindo investindo--se uma quantia n vezes vezes m aior do que x, pode-se consid consid er a r es sa opera c¸a˜ o como n investimentos iguais a x, logo logo o que s e r ecebe e´ n y.
·
6
Temas e Problemas
B
P’ y M’ r
N’
x
P y M
N
x O
x
A
x Figura 3
B
B y y'
y
y O
y A
x
O
x'
Figura 4
x
x
x
A
˜ Afins Proporci Prop orciona onalid lidade ade e Func Fu nc¸ oes
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gera, ap o´ s um m es eˆ s de investiOb s e rv a c¸ a˜ o . Se uma qua ntia fixa gera, mento, um r etorn etorn o y, n a˜ o e´ verda verda de que ap os o´ s n meses essa mesma quan tia gere o retorno n y, mesm o que a ta xa de jur os perm an ec¸a ¸a consta nte. Pois Pois ao final de cada m es eˆ s e´ como se tivesse sido aplicada novamente uma quantia maior, igual a` existente no m es eˆ s anterior ma is os os jur os corr corr esponden esponden tes. Assim o retorno (nu (nu m per ´ıodo ı odo fixo) e´ proporcional ao capital inicial mas n a˜ o e´ proporcional ao tempo de investimento.
·
˜ mostra que a propriedade “qua E st a obser va c¸ao “qua nt o maior maior for for x, ˜ assegura a proporcionalidade entre x e y. Outro ma ior ior ser a´ y ” n ao exemplo disto e´ a correspond encia eˆ ncia x → y, onde x e´ o lado de um quadrado e y e´ sua a´ r e a .
Dian te dos exemp los los a nt eriores, podemos formu formu lar a d efinic¸a˜ o ´ a de pr oporci ˜ substim a t e m atica atic porcio ona lidade, lidade, onde a s grandezas sao ´ıdas por n um ´ eros ˜ suas medidas. t u ıdas eros r eais, eais, que s ao Estamos considerando apenas grandezas que t em eˆ m medida po´ ico sitiva, sitiva, logo logo o modelo modelo ma tem at ico da proporcio proporciona na lidade lidade leva leva em ˜ apenas ´ eros rea is positivo cons ide r a c¸ ao apenas n um positivos. s. Uma proporcionalidade (num erica) e´ rica) e´ u m a fun c¸ a˜ o f : R → R com as seguintes propriedades: ·
˜ crescente, isto e´ x < x 1) f e´ u m a fun c¸ ao quaisquer x, x R .
2) Para P ar a todo x
∈
∈R ·
⇒
·
f(x) < f(x ) p a r a
·
e todo n
∈ N tem-se f(nx) = n · f(x).
Nu ma pr oporcio porciona na lidade lidade a propriedade 2), acima adm itida ape´ nas quando n v a llee p a r a u m n umero real positivo qualquer. N, va ´ E s t e e´ o cont cont e udo do
∈
Te o r e m a F u n d a m e n t a l d a P r o p o r c i o n a l id id a d e . S e f : R → R e´ u m a fun c¸ao ˜ cresce crescente nte tal que f(nx) = n f(x) para todo x R e todo n N , ent a˜ o f(cx) = c f(x) para quaisquer x e c em R . ·
·
∈
·
·
∈
·
·
˜ do teorema ´ 16. A dem ons t r a c¸ ao teorema acima acima est a´ no Ap Ap endice eˆ ndice 1 na p ag. Ver tamb em e´ m os seguintes livros livros,, publicados publicados pela S.B. S.B.M.: M.: “Meu
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Temas e Problemas
´ ´ 129, e “A Mat em atica ´ Pr ofessor essor de Ma tem atica”, p ag. do Ensino ´ 94. M edio, e´ dio, vol. 1”, p ag. ´ ´ l mostrar que f(nx) = n f(x) p a r a Na pr atica, e´ bem mais f acil aci n N do que que verificar verificar que f(cx) = c f(x) para todo c R . (Pense em c = 2 ou c = π .) . ) Por outro lado, o fato de que uma propor´ cionalidade f satisfaz satisfaz esta igualdade gualdade par a qualquer qualquer numero real positivo c tem importa importa ntes conseq u¨ encias, eˆ ncias, como como verem os agora.
∈
·
√
·
∈
·
Coro l ario. ´ S e f : R → R e´ u m a proporci proporcionalida onalida de entao ˜ tem -se, para todo x > 0 , f(x) = ax , onde a = f(1). ·
·
Com Com efeito efeito,, pelo pelo Teo Teorem a F un dam ent al, par a qu aisquer x, c R , vale f(xc) = x f(c) = f(c) x. E m p a r t ic i cu l a r, r, t om o m a n d o c = 1, obtemos f(x) = a x, onde a = f(1).
·
∈
·
·
·
´ Um a fun c¸ a˜ o f : R → R definida por f(x) = ax, onde a R e uma constante, chama-se uma fun c¸ ao d o a > 0, a ˜ linear . Q u a n do fu n c¸ ao ˜ linear f(x) = ax transf transforma or ma um n umero ´ real positivo x n o ´ ˜ uma proporcionan umero positivo ax, logo defin e, p or r est r ic¸ao, lidade f : R → R . Acabam os de ver que, r ecipro eciproccam ente, toda ˜ linear proporcionalidade e´ a r es t r ic¸ a˜ o de u m a fun c¸ao linear a R . O coeficiente a cha ma-se o fator de proporcionalidade. proporcionalidade. ´ E s t a ultima observac¸a˜ o n os os p e r mi m it e con cl clu ir ir q u e s e f : R → R e´ uma proporcionalidade ent ao, ao ˜ , para quaisquer x , x com f(x ) = y , f(x ) = y , tem-se y /x = y /x . Com Com efeito, efeito, am ˜ igua bos esses quocientes s ao igua is ao fat or de proporci proporcio ona lidade lidade a. A igualda igualda de y /x = y /x chama-se uma propor¸ca˜ o. Chama-se regra de trˆ blema que consiste em, conh conh ees ao pr oblema ´ x , y , x , y , determina cendo t r es eˆ s dos n umeros determina r o quar to. to. H a´ du as m an eira eira s tr adicio adiciona na is de resolv resolver er esse problema. problema. Suponhamos dados x , y e x . O quarto elemento elemento da propo proporc rc¸ a˜ o ˜ deve ser y /x = y/x , d o n d e s e t i r a s er a´ c h a m a d o y. E n t ao y = x y /x . E s t a e´ uma forma de resolv resolver er a regra de tr es eˆ s . O outro m etodo e´ todo de resolv resolver er a regra de tr es eˆ s cha ma -se “r edu c¸a˜ o a` unidade”. Sabendo que f(x ) = y , ou seja, ax = y , obtemos a = y /x e d a ´ı vem o valor do termo y que falta na pr opor opor c¸a˜ o y /x = y/x : y = f(x ) = ax = y x /x . O n ome “red “red uc¸ a˜ o a`
∈
·
·
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½
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¾
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¾
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½
¾
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˜ Afins Proporci Prop orciona onalid lidade ade e Func Fu nc¸ oes
unidade” provem e´ m do fato de que a = f(1) e´ o valor valor de f(x) quando x = 1. Deve-se ressaltar enfaticamente que a r egr a de tr es, eˆ s, proven ient e da pr oporc¸a˜ o y /x = y/x , s o´ pode ser legitimamente empregada quan do se tem um a proporci proporcio onalidade f, sendo y = f(x ) e y = f(x ). ˜ a ser feita Ou t r a obser vac¸ao feita e´ qu e, em d iversa s situ ac¸oes o˜ es ond ond e se usa a proporci proporcio ona lidade lidade (ou (ou a regra de tr es), eˆ s), o fator de p roporroporcionalidade a e´ irrelevante e/ou complicado de se obter. No Exemplo 1, o fator de p roporcio roporciona na lidade lidade a = peso / volume, chama do a densidade d o l´ıquido ı quido (ou, mais precisamente, o peso ´ il. il. Assim, peso = densidade volume. espec´ ıfico), ıfico), e´ um conceito ut ˜ tem a menor No Exemplo 3, o fator de proporcionalidade n ao menor ˆ cia. (Por ˆ import an Por acaso ele ele e´ o quociente dos senos dos angulos que a reta r forma com os lados OA e OB, m as est a inform inform ac¸a˜ o e´ uma mera cur iosidade iosidade.) .) No Exemplo 4, e´ costume escrever o fator de proporcionalidade sob a forma a = 1 + i, portanto tem-se y = (1 + i)x. O n u´ m e r o i cha ma-se o juro. juro. Se o investimento inicial x for mantido durante n m eses eˆ ses e os jur jur os se m an tiverem fixos, fixos, tem-se ao final do n-esimo e´ simo m es eˆ s y = (1 + i) x. ´ ˆ z de um ret angulo Qua nt o ao Exemplo 2, ele ele nos diz que a area de altura fixa fixa y (= dist an ˆ cia entre as par alelas alelas r e s) e´ pr oporcio oporciona na l a` b a s e x, logo z = A x, onde o fator de proporcionalidade A e´ a ´ ˆ area do ret angulo de mesma a ltur a y e base 1. Mas e´ clar clar o que o ´ A que vale par a a base vale tambem e´ m para a a ltura. Logo Logo,, a area ˆ d e u m r e t angulo de base 1 e altura y e´ proporcio proporciona na l a y, ou seja, ´ ˆ A = B y, onde B e´ a area do ret angulo de base 1 e altur altur a 1. Ora, este e´ o quadr ado unit a´ r io logo, logo, p or de fin ic¸ a˜ o, B = 1. Assim A = y ´ ˆ z do rret e a area et angulo de base x e a l t u r a y e´ dada por z = xy. ´ 17.) (Veja (Veja o livro “Medida “Medida e Form a em Geomet Geomet ria ”, p ag. ˜ de proporcio Existe tamb em e´ m a n oc¸ ao proporciona na lidad lidad e inversa . DizDiz-se que duas gran dezas dezas s a˜ o in versam ente proporcion proporcion ais qua ndo existe existe uma correspond encia eˆ ncia x → y que associa a cada valor x d e u m a delas um valor bem definido y da outr a, de tal modo modo que que sejam sejam cump rida s as seguin tes cond cond ic¸oes: o˜ es: ½
½
¾
½
¾
×
Ò
·
·
½
